Управление пучком заряженных частиц с учетом их взаимодействия

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 2

УДК 517.97:621.384 А. Д. Овсянников

УПРАВЛЕНИЕ ПУЧКОМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С УЧЕТОМ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Введение. Работа посвящена проблеме оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускорителе с учетом взаимодействия частиц. В работах [1-3] был предложен новый подход к проблеме оптимизации динамики заряженных частиц. На примере ускорителя с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) были созданы новые математические модели совместной оптимизации программного и возмущенного движений, которые потребовали разработки на их основе новых методов оптимизации. В статье [4] исследовалась такая математическая модель без учета взаимодействия частиц. В данной работе проводится учет взаимодействия частиц и получены соответствующие условия оптимальности. Следует отметить, что проблеме управления пучками заряженных частиц посвящено много исследований, например [5-10]. Однако предложенный метод позволил по-иному взглянуть на процесс организации формирования и ускорения заряженных частиц.

Математическая модель управления. Рассмотрим управляемую динамическую систему, заданную системой интегродифференциальных уравнений

^ = Fi{t, х, у, и) + j F2(t, х,у, zt)p{t, zt)dzt = F(t, х,у, и),

Mtu

^ = ~p{t, У) • divyF

с начальными условиями

Здесь Ь € То = [0, Т] - независимая переменная, х € Яп и у € Ят - векторы фазовых переменных, и = п(Ь) - г-мерная функция управления, Т - фиксированное число, Ро(уо) - некоторая неотрицательная непрерывная функция. Множество Мг,и = {уг\уг = у{ь,х(1),уо,и),уо € Мо,х(0) = хо} есть сечение в момент времени £ пучка траекторий у{ь,х(Ь),уо,и, уо € Мо, при фиксированном управлении и = и(Ь). Вектор-функция

x(o) = хо, y(0) = Уо e Mo, p(0, y(0)) = Po(yo), Уо e Mo.

Овсянников Александр Дмитриевич — доцент кафедры технологии программирования факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 56. Научные направления: математическое моделирование, процессы управления. E-mail: ovs74@mail.ru.

© А. Д. Овсянников, 2009

](Ь, х, и) размерности п предполагается определенной и непрерывной по совокупности аргументов (Ь, х, и) на множестве То х Нх х и вместе со своими частными про-

д$%

изводными по х: ——

дх2

размерности т предполагаются определенными и непрерывными по совокупности аргументов (Ь,х,у,и) и (Ь,х,у,х) на множествах То х Нх х Ну х и и То х Нх х Ну х Ну соответственно, вместе со следующими своими частными производными первого и вто-

дЕи дЕи д2Ец д2Ец дЕ2; д^2* д^2* д2^ д2 Е2; д2Е2;

рого порядка: -—, ——, -——, , ^, ,

дхк ду^ дхк ду^ духду^ дхи ду^ дх^ дх^ду^ ду\ду^ дх\ ду^

(к = 1,...,п; I, ^,1 = 1,..., т). Множества Нх С Нп и Ну С Нт - открытые; множество и С Ну - компактное; множество Мо С Ну - компактное, ненулевой меры; точка хо € Нх. Полагаем, что допустимые управления и = и(Ь), Ь € То, образуют некоторый класс Б кусочно-непрерывных функций, принимающих значения из компактного множества и.

Решением системы (1)-(3) при начальных условиях (4)-(6) и фиксированном управлении и = и(Ь) будет являться траектория х(Ь) = х(Ь,хо,и) и пучок траекторий у(Ь,уо) = у{Ь,х(Ь),уо,ии, уо € Мо, вместе с семейством плотностей распределения частиц р{Ь,у(Ь,уо)) на соответствующих траекториях у(Ь,уо), обращающие уравнения (1)-(3) в тождество. Заметим, что решение подсистемы (1) можно рассматривать независимо от подсистемы (2) и уравнения (3).

Введенная математическая модель управления учитывает взаимодействие частиц в пучке. Здесь вектор-функция Е\ определяет воздействие внешних полей на частицу, а Е2 - взаимодействие частиц. Укажем, что только функция Е\ зависит от управления и.

Следует отметить, что математическая модель динамики заряженных частиц, приведенная выше, представляет собой систему уравнений Власова. Однако функция Е2, выражающая взаимодействие частиц, в таком случае является достаточно гладкой и описывает некоторое сглаженное взаимодействие частицы со всем ансамблем частиц. Такие «сглаженные» модели получаем при различных численных решениях уравнения Власова, например методом крупных частиц. Существование и единственность решений уравнения Власова (классических и обобщенных) рассмотрены в работах [11, 12]. В данном случае можно также доказать аналогично [5], что решение системы (1)-(3) при сделанных предположениях существует и единственно на некотором интервале Ь € [0,к]. Более того, функции у(Ь,уо) непрерывны по совокупности аргументов Ь и уо, а также непрерывно дифференцируемы по уо. Далее предположим, что решения определены и единственны на всем интервале Ь € [0,Т] при Уи € Б.

Будем говорить, что подсистема (1) описывает динамику программного движения, а подсистема (2) - динамику пучка траекторий или динамику возмущенных по начальным условиям движений.

Постановка задачи. Введем следующие функционалы, определенные на решениях системы (1)-(3) при соответствующих начальных условиях (4)-(6) и выбранном управлении и(Ь):

т

1х(и) = ! ¥10Ь,х(Ь),и(г))А + д\0х(Т)),

о

І2 (u)= ^Wl(t)) dt + G(w2),

o

где

Wl (t) = J <P2{t,x(t),yt,p(t,yt),u(t)) dt, Mt,u

w2 = J g2{vT ,P(t,yT ^ dyT.

Mt,u

В (7), (8) множество Мг,и есть сечение в момент £ пучка траекторий подсистемы (2), исходящих из множества Мо при управлении п(Ь) и соответствующем программном движении х(Ь). Функции Ф, О, ^1,^2,91,92 - неотрицательные непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.

Введем функционал

одновременно оценивающий динамику программного движения и динамику пучка частиц с учетом их плотности распределения, для дальнейшей совместной оптимизации.

Задачу минимизации функционала (9) будем называть задачей совместной оптимизации программного (расчетного, выделенного) движения и динамики пучка частиц.

Допустимое управление п°(1) € В, доставляющее минимум функционалу (9), будем называть оптимальным управлением.

Некоторые соотношения и леммы. Рассмотрим допустимые управления п(Ь) и П(Ь). Обозначим соответствующие им траектории подсистем (1), (2) с одинаковыми начальными условиями через х(Ь) = х(Ь,хо,п), уг = у(Ь) = у{Ь,х(1),уо,П и Х(Ь) =

х(Ь,х0,П), уг = у(Ь) = у{ь,х(1),у0,П). Приращения траекторий при вариации управления Ап(Ь) = П(Ь) — п(Ь) будем обозначать Ах(Ь) = х(Ь) — х(Ь) и Ау(Ь, уо) = у($) — у(£).

Для приращения Ах(€) справедлива оценка [4, 5]

||ж|| = ||ж(£)|| - норма вектора; для определенности берем евклидову норму.

Докажем теперь лемму, дающую оценку для Ау(і,у0), которая понадобится при выводе вариации функционала.

Лемма 1. Для < Ay(t,yo) >= || / У A y(t,yo)\\dyo\\c = max || A y(t,y0)\\dy0

JM 0 teTo J Mo

справедливы следующие утверждения при || A u(t)\\L ^ 0:

1) < Ay(t,yo) > ^ 0;

2) < Ay(t,y0) >^ C max(||A„ f \\L + ||A„Fi\\l), где C - некоторая положитель-

I (u) = Il(u) + І2 (u),

yoEMo

ная константа.

Доказательство. Рассмотрим уравнение, которому удовлетворяет Ау(г, уо) (в уравнении (2) перейдем от интегрирования по множеству М1,и к интегрированию по множеству Мо):

^ Ау(г, у0) = Р1(г, ж, у, м)-Еі(і, х, у, и)+ !(Е2 (і, х, у, у(г, г0))-Р2 (і, ж, у, у(г, г0)) р0{г0)<1г0.

Мо

Используя формулу конечных приращений и интегрируя от нуля до £, запишем это уравнение в следующем виде:

г

Ау(і, уо) = I А х + Ау-\- сіт+

о

г

Г Г \дВ2 Л дВ2 л дВ2 л , , 1 , , , ,

+ ]] |^Ах+ — Ду + — Д у(т, го)^роЫгЬог1г.

о Мо

Здесь частные производные берутся в точках в соответствии с формулой конечных приращений.

Оценим норму Ау(і,уо):

г

II Д у(і,уо)\\ < | (11^11 • II Л ж|| + 11^11 • II Д у(т, у0)|| + || Ди *і||) ГІГ+

о

г

+ // ^ Лж^ + ~^у ' ^ Ау^ + ^ Ау

о Мо

Проинтегрируем неравенство (11) слева и справа по всем уо: г

I ||Д^,Уо)|Иуо< 11 (\\^\\-\\Ах\\ + \\^\\-\\Ау(і,у0)\\ + \\АиГ1\\уу0(Іт+

Мо о Мо

г

+111 + Ау^ У°)11 + 1|-^“1М1 Л2/(т, г0)\\^р0{г0)<1г0<1у0<1т.

о Мо Мо

Введем следующие множества:

А = {(і,х,у)\і е То, Уж - х(і)|| < є, ||у - у(і,уо)\\ < £,Уо Є Мо},

В = \

г € То, Уж - ж(г)|| < е, \\у - у(г,уо)\\ < е,

Можно показать, что при достаточно малой допустимой вариации управления Ап при всех г € То и при всех уо,го € Мо имеет место

(г, Ж(г), у(г, уо)) € А, (г, Ж(г), у(г, уо), у(г, го)) € В.

IIЭР1 II IIЭР1 II IIЭР2 II IIЭР2 II IIЭР2 II й

В силу непрерывности, величины ||-^-||> и <9у~ <9гГ бУДУт огра-

ничены на компактах А х и и В соответственно. Функция ро(го) ограничена на Мо. Обозначим а(г) = / || Ау(г,уо)Цйуо.

Jм0

Тогда можно записать такую оценку при г € То:

т г

а(г) < С^ ^||А ж\\ || Аи Г\уо^ & + С2 ! а(т)йт <

о Мо о

г

< С1 (| А жЦа + тах ЦАи Е1Ць)+ С2 [ а(т)йт.

УоеМо J

о

Используя лемму Гронуолла, получаем оценку a(t) ^ C3 max

VoEM

Тогда с учетом оценки [4, 5]

VoEMo

где ci - положительная константа, при || Д u||l ^ 0, очевидно, выполняются и доказываемые соотношения.

Лемма 2. Для || Д y(t,yc)HC = max || Д y(t,y0)H при || Дп^)^ ^ 0 справедливы

tETo

следующие утверждения:

1) У Д y(t> ycOIC ^ 0;

2) || Д y(t, yc)|c ^ C тах(||Ди f ||l + ||Ди F1^L), где C - некоторая положитель-

VoEMo

ная константа.

Доказательство. Рассмотрим вновь неравенство (11) для ||Д y(t, yc)||, выведенное из соответствующего интегрального уравнения, которому удовлетворяет Ду^,ус).

тт II ^ II II II II др1\\ \\др1\\ \\др1\\ ( ^

Используя ограниченность величин ||1|, Ill’ll’ Po(zo) при

|| Д u(t)^L ^ 0, можем получить соотношения

t

ЦДу^,Ус)Ц < ci тах(|Ди f || + ||Ди FiH) + c2( ЦД y(r,yc)Hdr+

V0EM0 J

c

T t

+C3 [ [ ЦД у(т, zc)HdzcdT < C4 max (ЦДи f || + ЦДи F1D + C2 ( ЦД y(T,yc)Hdr,

VoEMo

c Mo c

так как I I || Д y(t, zc)Hdzcdt < T< Ду^,ус) X C max (ЦДи f ||l + ЦДи Fi ||l).

Jc JM0 VoEMo

Тогда по лемме Гронуолла находим требуемую оценку для || Д y(t, yc)||c и убеждаемся в справедливости леммы. Лемма доказана.

Уравнения в вариациях. Рассмотрим вариации траекторий системы (1)-(3) при допустимой вариации управления Ди(t). Для них справедливы уравнения

dSx л _i_ A f

-гг = ттдх + Д„/, dt дх

Мо

<15у дР дР Г дР2 с ,

~Ж = ~дх ~ду У ~д^6у(і'г^Р(і'г^<І,ги

^ = -Зр<ИууР - р | ~ К~д^ ' &х + ~~яГ Зу + ли(ііуу^і +

сІЗр

сМ

+

\ 9(с1іуУР) і ЗсІІУуЕ ду

5у(і,гг)р(і,гг)в.гг

ддіууР2

дг

мь,

при начальных условиях

Яж(0) = 0,

Яу(0) = 0,

6р

Используя доказательства, аналогичные доказательству лемм, можно убедиться в справедливости следующих утверждений при условии || А п(г)Ць ^ 0:

УоЕМо

Рассмотрим отображение

уг = уг

где уг = у(г,ж(г),уо,п), уг = у(г,ж(г),уо,п) - траектории подсистемы (2), выходящие из одних и тех же точек множества Мо при разных управлениях. Отображение определяет взаимно однозначное соответствие множеств Мг,и и Мг,и. Преобразование (15) будем называть преобразованием пучков траекторий по сечениям.

Определим якобиан этого преобразования. Частные производные существуют и

дугз

непрерывны в силу непрерывной дифференцируемости решений системы (1)-(3) по начальным данным. Матрица удовлетворяет следующему дифференциальному урав-

дуг

нению:

В

<9Е

ду

<9Е

ду

Л дуі А дуг

дРі

ду

дР\(Ь, х, у, и) ду

+

+

дР^дш _ дшдР ду дуг дуг ду '

дР2(і,х,у,у(і,г0)) ду

дР2(і,х,у,у(і,г0)) ду

Мо

ро(го)гЬо,

ро(го)гЬо.

Мо

Якобиан преобразования может быть представлен таким образом:

т

, , дуг

сієї —— = ехр

дуг

М

дР дР -------"Б- I т

ду ду

Рассмотрим подробнее подынтегральное выражение в (14):

/ дР дР \ /*

8р( ~ду ~ ~ду ) = + J Ах,у,г(^уР2Ро{го)(Ьо

Мо

д divy Р1 д ёгУу Р1 дdivy Р1 дdivy Р1

—Б------ ^-----Б---- У + + Аи—^-----Л х + Ди— ---------Д у +

дж ду дж ду

[ (дdivy Ро дdiVyРo дdivy Р2 \

У (—^-----------------~0у—----------^—йу{*, го) ) ро{го)(1го +

Мо

+ о(|1 А ж11 + ||АУ||)+ [ о(|1 А ж11 + У А у^ + У А У(t, го)У)ро(го)аго.

Мо

Таким образом, можем получить

дуг [ (дdivy Р дdivy Р л\

^ ~ду = ^ } (—~дх—----------~0^у--1~ и 1 ) +

го

т

Ядdivy Р2 \

———ду{г, г0) )ро{го)с1госИ + о(а),

о Мо

где о(а) есть величина более высокого порядка малости, чем а = тах (|| Аи /||ь+

УоЕМо

У Аи Р1Уь + У Аи divyР1Уь) при У А иЦь ^ 0.

Покажем, что якобиан преобразования может быть представлен в виде

= 1 + д.1Уу6у + о(а).

дуг у У ’

С этой целью проинтегрируем уравнение (12) от нуля до Ъ и полученное выражение продифференцируем по уг (вектор-функция Зуг непрерывно дифференцируема по уг, в силу существования непрерывных частных производных функций Р1 и Р2 до второго порядка включительно, перечисленных в наших предположениях о правых частях системы (1)-(3)). В результате имеем следующее:

г

дЗуг д [ (дР2(т) дР(т) [ дР(т) ^

о Мт,и

г д дР « „ )т ( д дР & „ )т дР дЗу Л дР1

I ~а----а У I + ~а—~а---------^ и~а +

дхТ д'Уз ' I дут д'Уз х ' дут дут ' “ дут

о

га\ т

) \ дгт дуз )ъз=1 ) дуг

Мт,и

V А дут дут дР лКлК +

Учитывая, что — —— = — —-----------—, продифференцируем по ъ записанное выше выра-

аЪ дуг дуг дУ

ддуг а дЗуг d

жение для матрицы —— и найдем след полученной матрицы: Ьр— —— = -----------------------------------,

дуг аЪ дуг аЪ

d(diVy Зу) дdiVy Р дdiVy Р ( дdiVy Р

где ---------- = —т^—5х Л---------—5у + + —-У—5у(гг)рг<1ги при на-

аг дж ду )М,.а дг

чальном условии

divy Зу

Тогда и уравнение (13) может быть записано компактнее, а именно:

Прибавив к левой и правой частям уравнения (18) выражение —{рд\уу8у), имеем линейное однородное дифференциальное уравнение

с1

сМ

— {5р + р(\\уу5у) = -(Ну уР{5р + р(\\уу5у).

Учитывая условия (14), (17), из уравнения (18) получаем Зр + pdivyЗу = 0, или

Зр = -р  diVyЗу.

Вариация функционала. Полное приращение функционала (9) с использованием введенных выше оценок и соотношений и с соответствующими изменениями в уже известной схеме вывода [4] может быть записано следующим образом:

А1

где вариация З1(и, Аи) имеет вид

т

51(и,Аи) = ! + Д„^1^ А + -^Зх(Т) +

о

т

+'I'Ф^и)!^)) !

о М,.

+ С'(и!2) ! + (#2 - ~§~^ Лут,

Мт,и

а о(в) есть величина более высокого порядка малости, чем в. Здесь в = тах (|| Аи/Ць +

Уо^Мо

У Аи Р1УЬ + У Аи divy Р1УЬ + У Аи ^2 У Ь).

Введем вспомогательные функции х(г), и(г, уг), ^(г, уг), удовлетворяющие вдоль траекторий системы (1)-(3) уравнениям

Ъ__(д1У , (&рА*_

<М V дх) ^ \ дх )

дР\ * fдdivyРч *

дж дж

Мь.и М,

Луг + ^'Ы) I

Лр (дР \* {ддіуу Р\* ж1/ ,{ду2\ *

+ т"-’р) "-Чтг) +ФМШ -

-рЧ.у.) І м'Ь|^)*МЬл) + ^%)

Мі

^ т.. . / д^2 \

_ = -^,У„Р+ф(ВД)^-^

и условиям на правом конце:

Рассмотрим очевидные равенства

т

о

т

^* і~а~ ~ ~&тУх ~ ~ИуЗу ~ ^иРі ~! ~^~зггр(1, ^у=°>

о Мі,и Мі,

Т Г ^ / ащм _ ЩуІ)$х _ 9ЩуП$ _ ^ р _

\ & дх ду

о Мь,и

даіУу р2

Х(Т)^|М)‘, (24,

МТ)--<У

£/

5ггрггЛгг )3,уг3,і = 0.

.] дг

М,.и

Прибавив левые части равенств (27)-(29) к основной части приращения (20) (учитывая выражения (21)—(23) и используя формулу интегрирования по частям), получим следующее представление вариации функционала:

1

51 (и, Аи) = -1(х* Аи / - Аи^і)сМ -

т

'

о М,.и

Оно позволяет строить направленные методы минимизации функционала (9), рассматриваемого на траекториях системы (1)—(3).

Условия оптимальности. Введем функцию Н1, зависящую от переменных г, ж, и и х:

Н1(г, ж, х,и) = х*/(г, ж,и) - ^(г, ж,и),

и функцию Н2, зависящую от переменных г, ж, у, р, ,Ш1, и, р, V:

Но(г,ж,у, р, 'Ш1, р, V, и) = р*Р1 (г, ж,у, и) + + vdivyР1(г,ж,у,и) - Ф'(и>1 )фо(г,ж,у,р, и).

Тогда вариация функционала (30) может быть записана в такой форме:

т

З1(и, Аи) = - J Аин1 (г,ж(г),х(г),и(г))аг -

о

т

- / АиНо{Ь,ж(г),уг ,р(г,уг),Ы1(г),р(г,уг )^(г,уг),и(г)) аугаь,

о М,.и

где ж,у, р — решения системы (1)—(3), соответствующие управлению и = и (г); и>1(г) определена формулой (7) на этих решениях и этом же управлении; вспомогательные функции х, Р, V удовлетворяют соответственно уравнениям (21)—(23) с условиями на правом конце (24)—(26).

Определение. Под оптимальным процессом будем понимать в дальнейшем оптимальное управление ио(г), оптимальные траектории жо(г) = ж<о, уо(г) = у° и плотности распределения частиц на оптимальных траекториях р°(г,у<о)) = ро системы (1)—(3), соответствующие этому оптимальному управлению.

Введем обозначение

H0(t,u) = H1(t,x0t,x°t,u)+ J H2V0,u)dy0,

где функции хРу = X0(t), P0 = P0(t,y0), v0 = v°(t,y°) удовлетворяют уравнениям (21)—(23) на оптимальном процессе, w0 = w\(t) находится по формуле (7) на оптимальном процессе.

Теорема 1. Пусть п° = u0(t) - оптимальное управление. Тогда при всех t G T0 = [0,T] выполняется следующее условие:

max H0(t, п) = H°(t, u°(t)).

uEU

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1 в работе [4], с учетом полученного выражения (19) для полного приращения функционала.

Теорему 1 можно рассматривать как аналог принципа максимума Понтрягина [12] для функционала (9) на траекториях системы (1)-(3).

В случае дифференцируемости правых частей системы (1)-(3) и подынтегральных функций, участвующих в построении функционала (9) по управлениям, предположим,

df dFi dip-i д(р2

что существуют и непрерывны такие частные производные: —, ——, ——, ——. И пусть

дп дп дп дп

didiVyFi)

существует и непрерывна частная производная ----—^---.

дп

Рассмотрим допустимое направление q(t), t G T0, в точке п по множеству D [4]. Пусть АпЕ = eq(t) и (п(t) + АпЕ) G D при всех е G [0, £0], £0 > 0. Тогда, очевидно,

для оптимального управления п0(t) выполняется неравенство AI(п0, Апе) ^ 0 при любом допустимом направлении q(t) в точке п0 G D.

Представим классическую вариацию функционала (9) в виде выражения

т

SciI(п, Ап) = - J

0

Теорема 2. Пусть п0(t) - оптимальное управление. Тогда справедливо неравенство

SciI(п0, q) > 0

при всех допустимых направлениях q(t) в точке п° G D.

Теорема 2 доказывается аналогично теореме 2 в работе [4].

Заключение. Предложенные аналитические выражения для вариации функционала и условия оптимальности позволяют строить новые численные методы оптимизации ускоряющих и фокусирующих структур, показавшие высокую эффективность на примерах оптимизации ускорителей с ПОКФ [2, 14, 15].

Литература

1. Bondarev B. I., Durkin A. P., Ovsyannikov A. D. New Mathematical Optimization Models for RFQ Structures // Proc. of the 18th Particle Accelerator Conference. New York, USA, 1999. P. 2808-2810.

2. Bondarev B. I., Durkin A. P., Vinogradov S. et al. RFQ Optimization: Methods and Codes // Proc. of the 6th Intern. Computational Accelerator Physics Conference. September 11-14, 2000. Darmstadt, Germany, 2000. P. 142-151.

3. Ovsyannikov A. D. New Approach to Beam Dynamics Optimization Problem // Proc. of the 6th Intern. Computational Accelerator Physics Conference. September 11-14, 2000. Darmstadt, Germany. P. 246-257.

4. Овсянников А. Д. Управление программным и возмущенными движениями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 4. C. 111-124.

5. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 312 с.

6. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 174 с.

7. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

8. Drivotin O. I., Loukianova A. E., Ovsyannikov D. A. et al. The choice of accelerating structure for PET system // European Particle Accelerator Conferense. Barselona, Spain, 1996. P. 783-785.

9. Loukianova A. E., Ovsyannikov D. A., Svistunov Yu. A., Vorogushin M. F. Modeling and optimization for RFQ structures // Proc. of Intern. Workshop Beam Dynamics and Optimization. St. Petersburg, Russia, 1994. P. 115-120.

10. Ovsyannikov D. A. Modeling and Optimization Problems of Charged Particle Beams Dynamics // Proc. of the 4th European Control Conference. Brussels, 1997. P. 390-394.

11. Арсеньев А. А. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218, № 1. С. 11-12.

12. Арсеньев А. А. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 16, № 1. С. 136-147.

13. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 332 с.

14. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Antropov I. V., KozynchenkoV. A. BDO-RFQ Code and Optimization Models // Proc. of the 2d Intern. Conference “Physics and Control”. August 24-26. St. Petersburg, 2005. P. 282-288.

15. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Svistunov Yu. A. et al. Beam dynamics optimization: models, methods and applications // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Sect. A 558. 2006. P. 11-19.

Статья рекомендована к печати проф. О. И. Дривотиным.

Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.