Анализ алгоритмов вычисления фрактальной размерности

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

© Д.В. Слетков

Понятия фрактал и фрактальная геометрия относятся к категории достаточно новых понятий, как оказалось, к этому понятию примыкают уже некоторые известные математические и физические явления. Однако до Мандельброта никто не связывал воедино такие физические понятия как динамический хаос, хаотическая динамика и отдельные примеры «математических «монстров». Важность изучения этих явлений вместе состоит в том, что они фактически являются примерами одинаковых по сути систем. Позже примеры подобных систем были найдены и в других областях науки (биологии, геологии, психологии и др.).

Анализ размерности фрактальных объектов позволяет подойти к проблеме объяснения формообразования пространственных объектов в биологии, минералогии, физике твердого тела.

Реализованы методы вычисления фрактальной размерности: 1. точечный метод; 2. оптимальный клеточный метод; 3. метод Грассбергера-Прокаччиа.

Несмотря на то, что основные алгоритмы определения размерности получаются из определения или свойств определения математических размерностей, мы получаем размерность компакта, как

сПт(Т7) = Ме1ИойО\т(1Мах, ЬМт) + Р(ЬМах) +

+ Щ1/ Шах)+1

Параметр Шт должен быть минимальным. Где Р(ЬМах) - погрешность использования больших чисел в пределе, и(1/ЬМах) - погрешность недостаточной статистики, /(/*) - неустранимая погрешность, обусловленная тем, что мы не имеем сам фрактал, а только его изображения на некоторой линейной сетке. Используя свойства функций Р и и, найдем минимум для Д сПт(ЬМах), т. е.

д

д

= 0 =

ар

аи

-1

а (Шах) а( 1 / Шах ) (Шах У

ЬМах =

аи а

а(\/шах) ар

=> Шах = Vи'/Р' = ЦХ > 0)

где X - характеристический параметр компакта и метода вычисления размерности, данный параметр определяет минимум погрешности для данных параметров, этот параметр существенно зависит как от компакта, так и от метода определения фрактальной размерности. Поэтому ЬМах « X .

Достоинства и недостатки методов определения размерности

Общие недостатки:

- Сложность определения фрактальной размерности, если она меньше единицы.

1. Точечный метод Достоинства:

- Больший, нежели у других методов характеристический параметр.

- Наибольшая скорость вычисления фрактальной размерности.

Недостатки:

Средняя скорость роста погрешности. Применение:

- Быстрая оценка фрактальной размерности.

- Оценка фрактальной размерности для фракталов с малым характеристическим параметром.

2. Метод оптимальных клеток Достоинства:

Теоретически лучший метод, т. к. основывается на математическом определении размерности.

Наименьшая скорость роста погрешности. Недостатки:

- Наименьшая скорость вычисления фрактальной размерности.

- Небольшой характеристический параметр. Применение:

Лучшая оценка фрактальной размерности для большинства фракталов.

3. Метод Грассбергера-Прокаччиа Достоинства:

- Возможность определения хаотических множеств по тренду.

Хорошие результаты на «странных» аттракторах.

Недостатки:

Сложность определения фрактальной размерности, если она близка к двум.

- Оценка лишь нижней границы для фрактальной размерности, т. н. корреляционной размерности.

Наименьший, из всех методов характеристический параметр.

Применение:

- Оценка фрактальной размерности «странных» аттракторов.

Оценка нижней границы фрактальной размерности.