Математическое моделирование и оптимизация токораспределения в цилиндрическом электролизере с многоэлементным анодом

НАУЧНЫЕ СТАТЬИ И ДОКЛАДЫ раздел МАТЕМАТИКА

УДК 518.5 : 550.83

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОЛИЗЕРЕ С МНОГОЭЛЕМЕНТНЫМ АНОДОМ

Болотнов А.М., Зайков Ю.П., Закиева Г.Н., Ковров В.А., Храмов А.П., Щербинин С.А.*

Рассматривается математическая модель стационарного электрического поля в электрохимической системе. Экспериментальные поляризационные кривые интерполированы эмпирической формулой. Предлагается итерационный алгоритм решения задачи. Представлены результаты расчетов.

Введение

Проектирование новых электролизеров и оптимизация технологических процессов в существующих аппаратах требуют как экспериментальных исследований по определению оптимальных конструктивных и технологических параметров, так и разработки математических моделей и программ, позволяющих проводить исследования методом вычислительного эксперимента. В работе рассмотрена модель электрического поля в сложной трехмерной области с кусочнооднородной средой. Для решения задачи стационарного токораспределения предложен комбинированный алгоритм, основанный на последовательном итерационном уточнении решений граничных интегральных уравнений для потенциала электрического поля в отдельных непересекающихся областях. Получены результаты численных расчетов при различных значениях геометрических и электрохимических параметров.

Математическая модель

Электрохимическая система (ЭХС) представляет собой цилиндрический контейнер, заполненный жидким металлом и электролитом. В электролите находится анод, который состоит из цилиндрического стакана, анодного ниппеля и наполнителя с высокой проводимостью

(рис. 1).

Введем обозначения для областей и границ. Область интегрирования О представим в виде объединения анодной области О!, области электролита О2 и катодной области О3. Каждая из областей О0 (о = 1,2,3), в свою очередь, может состоять из М0 подобластей с различными электропроводностями. В итоге общее число подобластей равно М, а вся область О является их объединением :

3 3 3 М0

М = £М0 ; О=£Оо = £ £о0>г .

<9=1 0=1 0=1 Г=1

Для двойных индексов примем соглашение : первый индекс соответствует области (1 - анод,

2 - электролит, 3 - катод), второй индекс соответствует номеру подобласти внутри «своей» области.

* Болотнов Анатолий Миронович — д. ф. - м. н., доцент каф. вычислительной математики БашГУ

Зайков Ю рий Павлович — д. х. н., профессор, зав. лаб. электролиза расплавов Института высокотемпературной электрохимии

Закиева Гульназ Насибулловна — ассистент кафедры математики и программного обеспечения вычислительных машин Нефтекамского филиала БашГУ

Ковров Вадим Анатольевич — аспирант лаб. электролиза расплавов ИВТЭ УрО РАН Храмов Андрей Петрович — к. х. н., с. н. с. лаб. электролиза расплавов ИВТЭ УрО РАН

Щербинин Сергей Анатольевич — д. т. н., профессор, начальник управления математического моделирования инженерно-технологического центра компании «Русский Алюминий;

Рис. 1. Cечение электролизера. 1 -анодный ниппель, 2 - наполнитель, З -инертный анод, 4 - электролит, 5 - жидкий металл, б - контейнер, 7- катодный ниппель.

Данная модель соответствует ЭXC, у которых аноды и катоды состоят из нескольких элементов, а электролит может включать проводящие неоднородности.

В данной задаче к анодной области й относятся подобласти анодного ниппеля, наполнителя и анодного стакана; область электролита Q2 однородна; катодная область йз включает подобласти контейнера, жидкого металла и катодного ниппеля.

Известно, что распределение потенциала электрического поля Е в области й описывается дифференциальным уравнением эллиптического типа і

div

где a(p) — кусочно-постоянная функция удельной электропроводности среды.

Управляющими параметрами

электрического поля является напряжение, приложенное к токоподводам

U = Фа-Ф к

и суммарный ток /, проходящий через ЭXC.

Введя шкалу напряжений относительно Фк = 0, имеем для потенциала на верхней границе анодного ниппеля Sa краевое условие первого родаі

£L = U.

ISa

Полагая плотность тока на верхних границах токоподводов постоянной, получим краевое условие второго рода :

дЕ_

дn

I

St

а AS,

к

где - площадь сечения катодного ниппеля.

Краевые условия на внешних поверхностях контейнера, электролита, анодных и катодных элементов имеют вид :

дЕ_

дn

= 0 .

S

На границах идеального контакта различных элементов ЭХС ставятся условия четвертого рода - непрерывность потенциала и плотности тока :

ML = 0;

_дЕ_

дn

= 0.

S„

На границах поляризуемых электродов с электролитом ставятся условия “с разрывом решения” - скачок потенциала и непрерывность плотности тока :

дЕ_

дn

= 0 ,

где ) - нелинейная зависимость, получаемая по экспериментальным данным.

Замыкающим соотношением является закон Ома, который на границах подобластей может быть записан в форме :

J = -а

д_Е_

дn

где у - нормальная составляющая плотности тока, п - вектор внутренней нормали к границе электрода.

Необходимым условием и одним из критериев правильности результатов является выполнение балансовых соотношений по току :

/0 ={а—Ля = 0 ,

0 { дп

где интегрирование проводится по любой замкнутой поверхности, в том числе по границам каждой подобласти.

Теоретические основы постановок краевых задач электрических полей в ЭХС, и возможные ограничения, связанные с неучтенными факторами, изложены, например, в [1 - 5].

Алгоритм численного решения задачи

Функция поляризации ^(у) нередко имеет логарифмический вид. В данном алгоритме

удобнее использовать обратную зависимость ](ц), для аппроксимации которой предлагается функция [6] :

Ж) = Л

где А и В - числовые параметры, определяемые по экспериментальным данным.

Для решения задачи разработан двухуровневый итерационный алгоритм на основе метода граничных элементов. С помощью интегральной формулы Грина, применяемой в каждой из областей О0, исходная задача сведена к системе интегральных уравнений вида [7] :

( мп \-1

Е0 (р) =

Г=1

} К

Для решения уравнения (11) в каждой области О0 применяется итерационная процедура [8] :

Ек0 +1 = Ек0 -а

( ^ Ек0 - X} К(р, д, Ека )ds

)

где к - номер итерации; а (к) -

итерационный параметр. Итерационный процесс (12) оценивается по условию \Ек0+\Р) - Ек (р)\ <е

для всех рє ^ и заданного є > 0 .

Процедура (12) является «внутренней», которая выполняется последовательно в областях О0 (о = 1,2,3) при обращении из «внешней» итерационной процедуры. Обоснования и условия сходимости внешнего итерационного процесса имеется в [9]. Аналогичные подходы, основанные на разделении области интегрирования, содержатся в [10-12].

Вопросы программной реализации

На рис. 1 представлена схема электролизера. Задача трехмерная и не осесимметричная. В качестве граничных элементов (ГЭ) на боковых поверхностях применялись прямоугольники в цилиндрической системе координат. Для круговых и кольцевых границ использовались два типа ГЭ : треугольные и четырехугольные. На рис. 2 представлены примеры разбиения верхних границ ЭХС на треугольные и четырехугольные ГЭ. В алгоритмах предусмотрено изменение шага сетки и конфигурации границ при перемещениях анода.

Отметим, что число ГЭ, с которыми

проводились устойчивые расчеты, равнялось 2 -6 тысяч. В алгоритме с автоматическим изменением итерационного параметра время счета одного варианта — от 3 до 30 минут для процессора РепНит III.

Рис. 2. Примеры разбиений на 3 и 4 -угольные элементы верхних поверхностей электролизера.

Формулы численного интегрирования. Для совпадающих точек р и $ интегралы вычислялись в явном виде, для несовпадающих — применялись кубатурные формулы численного интегрирования. Для

четырехугольных ГЭ использовались формулы численного интегрирования с 9 узловыми точками, точные на полиномах 5-й степени, и с 12 узловыми точками, точные на полиномах 7-й степени [13, 14]. Для треугольных ГЭ

применялись формулы с 7 узловыми точками с восполнениями третьей и пятой степени [15].

Аппроксимация поляризационных кривых. Для аппроксимации поляриационной зависимости функцией (10) разработан программный модуль на основе метода наименьших квадратов. В частности, для экспериментальных данных анодной поляризации инертного материала в криолите, получены значения А = 2.851 и В = 20.155, которые использованы в приведенных ниже примерах.

Итерационный процесс. Выбор начального значения и закона изменения итерационного параметра а (к) в процедуре (12) зависит от геометрических и электрохимических параметров системы. Как правило, начальное значение выбирается из интервала (0, 1). В ходе вычислительного эксперимента установлено, что для получения результатов с высокой точностью параметр должен уменьшаться с ростом числа итераций. Удалось получить эмпирическую зависимость итерационного параметра от баланса тока (9), что позволило увеличить скорость счета одного варианта в 3 раза. При этом погрешность баланса по току не превышает

0.01 % от суммарного тока, проходящего через ЭХС.

Достоверность численных расчетов обоснована и подтверждена сравнениями с результатами аналитических решений соответствующих тестовых одномерных задач и сопоставлениями с результатами лабораторных экспериментов.

Результаты расчетов

Расчеты электрического поля проводились для лабораторного алюминиевого

электролизера. Значения основных параметров представлены в таблице 1. Целью являлось получение наиболее равномерного

распределения плотности тока по границе анод -электролит. В качестве критерия равномерности использовалась величина

^ } шах — / тп1

,/тах

где утах, ]т\п — максимальная и минимальная плотности тока на границе анод-электролит.

Таблица 1. Значения входных параметров ЭХС.

Область интегрирования Диаметр, см Высота, см Уд. эл-ть 1/

Контейнер 11. 6.0 100000

Жидкий металл 8.0 1.0 3000000

Электролит 8.0 3.5 400

Инертный анод 2.0 5.0 1000

Наполнитель 0.8 0.5 12820513

Анодный

ниппель 0.5 4.5 806450

Катодный

ниппель 0.5 1.5 806450

Глубина погружения анода Высота катодного ниппеля Общий ток, А 1.5 1.5 8.768

При варьировании некоторых

геометрических и электрохимических

параметров ставилась задача минимизации величины (13). Значение тока, проходящего через электролизер, задавалось таким, чтобы средняя плотность тока на поверхности анода была равна 0.7 А/см2.

К а

Рис. 3. Зависимости критерия равномерности от смещения анода : по границе анода - 1, по боковой

поверхности - 2, по нижней поверхности -3.

Из рис. 3 видно, что наиболее равномерное анодное токораспределение наблюдается при смещении анода на 0.4 см от оси симметрии контейнера в сторону, противоположную катодному ниппелю; здесь минимум функции Ка(х). Заметим, что оптимальное расположение анода зависит не только от геометрических размеров системы, но и от ее электрохимических параметров.

I, А/см 2

I, А/см 2

а / 1%

Рис.4. Распределение плотности тока по боковой (а) и нижней (б) поверхности анода при Ха= 0.5 см.

На рис. 4 представлены распределения плотности тока на аноде при электропроводности

электролита 400 См/м и анода 1000 См/м.

Заключение

Известно, что неравномерность

распределения тока по границам электродов возрастает с увеличением размеров электрохимической системы. Поэтому при переходе от лабораторных электролизеров к

промышленным, или к лабораторным больших размеров с теми же электрохимическими параметрами, следует ожидать менее равномерного токораспределения. В этом случае необходимы дополнительные исследования условий устойчивости предложенных алгоритмов и тестирование программы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Багоцкий B.C. Основы электрохимии. М.і Xимия, 1988. 400 с.

2. Болотнов А.М., Иванов В.Т. Численное моделирование пусковых режимов анодной защиты //Защита металлов. 2001. Т.37, №2. C.197 -200.

3. Болотнов А.М., Иванов В.Т. Численное моделирование электрических полей анодной защиты некоторых электрохимических систем // Электрохимия. 199б. Т.32, №б. ^94 - б97.

4. Иванов В.Т., Болотнов А.М. А^И электрических полей в сложных электрохимических системах на основе вычислительного эксперимента // Электрохимия. 1991. Т.27, №3.C.324 - 331.

5. Щербинин CA Математическое моделирование трехмерных взаимодействующих физических процессов в промышленных электрохимических аппаратах// Матем. моделирование, 199б. № 3. C.

3 - 2б.

6. Болотнов А.М. Методы граничных элементов в расчетах электрических полей электрохимических систем. Уфаі РИО БашГУ, 2002. 143 с.

7. Бобрик А.И., Михайлов В.Н. Решение некоторых задач для уравнения Пуассона с граничными условиями IV рода // ЖВМ и МФ. 1974. Т.14, №1. С. 12б- 134.

8. Иванов В.Т., Макаров В.А., Болотнов А.М. Численное моделирование электрических полей в системах анодной защиты теплообменного оборудования // Защита металлов. 1992. Т. 28, № б. C. 955 - 9б0.

9. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Об одном итерационном процессе для граничных задач о сопряжении с разрывным решением //Матем. моделирование. 2000. Т.12. № 3. C. 30 - 31.

10. Гогричиани М.Г., Шипилин А.В. Итерационный метод стыковки решений уравнений теплового баланса в различных областях термоохладителя //ЖВМ и МФ, 2001. Т.41, № 12. C. 1893 - 190б.

11. Матвеева Э.И., Пальцев Б.В. О разделении областей при решении краевых задач для уравнения Пуассона в областях сложной формы //ЖВМ и МФ. 1973. Т.13, № б. C. 1441 - 1458.

12. Cмелов В.В. Принцип интегрирования по подобластям в задачах с уравнением переноса //ЖВМ и МФ. 1981. Т.21, № б. C. 1493 - 1504.

13. Кронрод А.^ Узлы и веса квадратурных формул. М.і Наука, 19б4. 144 с.

14. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.і Наука, 19б7. 500 с.

15. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.і Мир, 1984. 490 с.

Поступила в редакцию 14.10. 03 г.