Моделирование орбит комет

УДК 521.73

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТ КОМЕТ

Н.Ю. Емельяненко

В работе исследуется кинематика касательного сближения малого тела с Юпитером. В рамках парной задачи двух тел (Солнце - Юпитер, Солнце - комета) предлагаются две модели комет, у которых точки низкоскоростного касания их орбит с орбитой Юпитера совпадают с апсидальными точками. Рассматривается возможность и определяются условия длительного сближения этих комет с Юпитером. Анализируются особенности сближений модельных и реальных комет, орбиты которых близки к предложенным моделям. Работа поддержана грантом РФФИ № 01-02-16006.

Введение

Эта работа продолжает исследование кинематики низкоскоростных сближений с Юпитером комет, удовлетворяющих условию

Ту > 2,9,

где Т} - постоянная Тиссерана кометы относительно Юпитера.

В работах [1,2] введены понятия точек низкоскоростного касания орбит кометы и Юпитера, точки минимальной йовицентрической скорости и низкоскоростного касательного участка на орбите кометы. На плоскости {а, е) выделена область орбит комет с особенностями в сближениях

Рис. 1. Невозмущенные орбиты всех наблюдаемых комет с особенностями в сближениях с Юпитером в расширенной области ш

Основные задачи исследования

В работе изучаются модельные кометы, орбиты которых расположены на нижней линии области со ~п\\тшА\АР\.

1. Рассматривается эволюция орбит при продвижении вдоль линии А\АР\ (изменение элементов, характеризующих размеры и форму орбиты).

2 Оценивается возможность и определяются условия синхронного движения Юпитера и кометы по афелийной (перигелийной) части орбиты.

3, Выделяются и описываются возможные особенности сближения с Юпитером модельных комет.

Так как модели комет из области со выбираются по расположению точек низкоскоростного касания их орбит и орбиты Юпитера и неоднократно упоминаются в последующем изложении материала, повторим определения точек низкоскоростного касания орбит.

Пусть в момент времени 1М комета находится в точке орбиты М, а Юпитер-в точке М.

Пусть Ук, Ую - векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера; У] - вектор йовицен-

трической скорости кометы; УКг УЮ} - абсолютные величины векторов Ук, Ую, V .

Точки М и М назовем точками низкоскоростного касания орбит, если в момент времени ¿м векторы гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера равны:

К\\?ю>

К=УЮ-

Равенство (2) означает коллинеарность и одинаковую направленность векторов.

1. Модель А\

Это кометы, орбиты которых удовлетворяют условию

аю-ак

аю+ак

Они расположены на нижней левой границе области со, линии АА\ (рис. 1). В дальнейшем изложении все эти кометы называются кометой Л]. Для кометы А) выполнено равенство:

вк=гм

ак+аю

то есть на орбите этой кометы имеется всего одна точка низкоскоростного касания - М, совпадающая с афелием.

Оценим элементы, характеризующие размеры орбиты кометы Аи на линии орбит ААи где точка А соответствует орбите Юпитера (в рассматриваемых моделях это круговая орбита: аю - 5,2043 а.е., е - 0), точка А\ на плоскости (а, е) имеет координаты: а = 3,52 а.е., е = 0,19. Выразим элементы а, д орбиты кометы Л] через эксцентриситет ек и большую полуось орбиты Юпитера аю:

1 + е.

а

Ю '

ß«=(l ~ек)а

Ю '

Як =

Q-eJ

а

V7 NÍ

Inj

+ ек

Исследование функций ак = aK{ß\ QK = QK(e), qK = qK(e) показало, что при продвижении вдоль линии орбит АА\ области со размеры орбиты кометы А\ непрерывно убывают от орбиты Юпитера до наименьшей изображенной на рис. 2.

а = 3,52 а.е. А™т: Q = 4,20 сие.

q - 2,84 а.е. е - 0,19.

Найдем условия, необходимые для длительного низкоскоростного сближения кометы^ и Юпитера.

Рассмотрим синхронные движения Юпитера и кометы А\ по афелийной части ее орбиты l\Qh\ точки /ь /2 образуют хорду, проходящую через мнимый фокус эллиптической орбиты кометы симметрично относительно линии апсид. Пусть в момент прохождения

кометой А\ точки афелия (момент времени Tq) комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе (напомним, что точки Q и М - это точки низкоскоростного касания орбит кометы А\ и

Рис. 2. Наименьшая орбита кометы А<[ в области б)

Емельяненко Н.Ю. Моделирование __орбит комет

Юпитера; Тд = Тм), Синхронные движения 1\М1г Юпитера и Щ12 кометы действительно возможны, так как в рассматриваемых моделях комета и Юпитер движутся по законам Кеплера (см. рис. 2):

Ек + ек $тЕк ~ Мь = х ак 3/2 Т0\

Ею ~ Мю - ую аюш (/г- То), где I}- момент прохождения кометой точки 1г и Юпитером - точки /2' (ввиду симметрии движения тел относительно точки афелия рассмотрим дуги орбит 01г и М72').

Так как орбитальная скорость кометы А\ выше орбитальной скорости Юпитера, в момент времени /[ выполнено равенство

Мю= ук - аи

где а{ - угол между направлением на комету А \ и Юпитер в момент времени //.

Из уравнений Кеплера (1.5) с учетом равенства (1.6) определяем угол а{:

/ \ 3/2

а{= vK~

<*к

(величины Е, М\ v отсчитываем от точки афелия). Для кометы А]

2е

cos Ек = вк, cos =-

1 + е*

Выражения для косинусов получены с учетом того, что в момент времени t\ радиус-вектор кометы А1 находится по формуле

rj = aK{ 1+еД

Решение уравнения (1.7) относительно ai для кометы А\ дает нам значение угла между направлением на Юпитер и на комету в момент времени tj для различных значений эксцентриситета (см. табл. 1). Положение кометы 1\ и Юпитера 1\ (см. рис. 2) с углом af между направлением на эти объекты, соответствующим табличному значению, назовем начальными условиями низкоскоростного касательного сближения кометы А\.

Таблица 1

Значения угла а/ в момент времени ti как функция эксцентриситета орбиты кометы Ai

ек «у, град ук , град град rh а.е. Л/, а.е. АД а.е.

0,05 6,83 84,3 87,1 А,12 0,76 1,05 0,26

0,06 7,98 83,1 86,6 4,63 0,89 1,06 0,31

0,07 9,07 82,0 86,0 4,55 1,01 1,07 0,36

0,08 10,11 80,9 85,4 4,46 1,13 1,08 0,42

0,09 11,08 79,7 84,8 4,38 1,24 1,08 0,47

0,10 12,00 78,6 84,3 4,30 1,34 1,09 0,52

0,11 12,87 77,4 83,7 4,22 1,44 1,10 0,57

0,12 13,68 76,3 83,1 4,15 1,53 1,11 0,62

0,13 14,44 75,2 82,5 4,07 1,62 1,12 0,68

0,14 15,16 74,1 82,0 4,00 1,70 1,13 0,73

0,15 15,83 72,9 81,4 3,93 1,78 1,14 0,78

0,16 16,46 71,8 80,8 3,87 1,86 1,14 0,83

0,17 17,04 70,7 80,2 3,80 1,92 1,15 0,89

0,18 17,59 69,6 19,в 3,73 1,99 1,16 0,94

0,19 18,09 68,5 79,0 3,67 2,06 1,17 0,99

Примечание В третьем - восьмом столбцах таблицы для кометы а\ последовательно указываются истинная аномалия у , эксцентрическая аномалия Ек, радиус-вектор гк и расстояние до Юпитера в точке /, отношение модулей гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера в момент времени минимальное йовицентрическое расстояние на афелийной части орбиты (в точке афелия).

Проанализируем изменение каждого элемента табл. 1 по вертикали.

Угол аи величины А/, АД непрерывно увеличиваются - область сближения единичного радиуса охватывает все меньшую дугу афелийной части орбиты. В точке А\ линии АА\ (см. рис. 1) область сближения стянется в одну-единственную точку афелия Q. Величины vK, Ек, г}

непрерывно уменьшаются - сама афелийная часть орбиты уменьшается. С увеличением эксцентриситета кометной орбиты условия для длительного низкоскоростного сближения ухудшаются. Динамику процесса отражает рис. 3, на котором представлены графики изменения йовицентри-ческого расстояния кометы А\ на афелийной части орбиты в зависимости от истинной аномалии vK. Так как угол а мал (0,95 < cos а < 0,99), на участке траектории I\Q изменяем его равномерно.

Гьа.е.

0,1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

у,град

Рис. 3. Графики изменения йовицентрического расстояния кометы на афелийной части орбиты

Остановимся более подробно на возможных особенностях сближения кометы А\ и Юпитера.

Совершенно очевидно, что для орбит Ах в точке ()(М) выполнены оба условия (2), (3) (см. введение), если в момент времени Т0 комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе. В этом случае в точке <2(М) йовицентрическая скорость кометы А\ равна нулю и в ее окрестности с неизбежностью будет фиксироваться ВСЗ - временный спутниковый захват кометы Юпитером в смысле Эверхарта (е] < 1).

Непосредственный анализ предпоследнего столбца табл. 1 и рис. 2 позволяет сделать вывод о возможности длительного захвата, не связанного с гравитационным взаимодействием с Юпитером, так как на всем афелийном участке орбиты приблизительно выполняются условия (2), (3), описанные выше.

Оценим изменение йовицентрического расстояния кометы А\ на афелийном участке орбиты. По теореме косинусов с учетом первого из равенств

(1-е,)4 2(\~ек )2

(\-ексо$ук)2

Исследование функции Д, - А, (ук, а) показало, что она имеет единственный экстремум -минимум

= = = а»

достигаемый при выполнении равенств : ук = 0 ; а = 0, то есть когда комета проходит точку афелия. Эта точка одновременно является точкой низкоскоростного касания орбит и точкой минимума С.

Итак, сближение кометы А\ и Юпитера, удовлетворяющее начальным условиям, рассмотренным выше, - это низкоскоростное касательное сближение. Особенности сближения:

*rjl+, 2 ~ 1 [_

Емельяненко Н.Ю.

Моделирование орбит помет

1. Это длительное сближение, охватывающее всю афелийную часть орбиты. Для наименьшей из орбит (1.4), изображенной на рис. 2, расстояния до Юпитера в точках /ь /2 совпадают с радиусом низкоскоростного сближения [3].

2. Функция йовицентрического расстояния кометы Л] имеет единственный минимум р, точка минимума С на орбите кометы совпадает с точкой афелия; С = Q.

3. Точка афелия одновременно является точкой низкоскоростного касания орбит: Q г М.

4. Точка афелия - центр длинного низкоскоростного касательного участка, на котором с неизбежностью возникает временный спутниковый захват в смысле Эверхарта.

2. Модель Р1

Это кометы, орбиты которых удовлетворяют условию

ас

аю + ак

Они расположены на нижней правой границе области со, линии АР\ (см. рис.1). В дальнейшем изложении все эти кометы называются кометой Р\. Для кометы Р\ выполнено равенство

Як

гм -

2 акаю

ак+ак>

на орбите этой кометы имеется одна точка низкоскоростного касания М, совпадающая с перигелием.

Оценим элементы, характеризующие размеры орбиты кометы Ри на линии орбит АР и где точка А соответствует орбите Юпитера, точка Р\ на плоскости {а, е) имеет координаты: а = 7,68 а.е., е = 0,19. Выразим элементы а, (), ц орбиты кометы Р\ через эксцентриситет ек и большую полуось орбиты Юпитера аю:

1+3 1-е,

а,

а

0 + екУ

1-е,.

а,

V« М=я

+ ек)аю.

Исследование функций ак - ак(е\ Qh = Як = яЛе) показало, что при продвижении вдоль линии орбит АР\ области со размеры орбиты кометы Р} непрерывно возрастают от орбиты Юпитера до наибольшей РГах, изображенной на рис. 4:

а = 7,68 а.е.; Р,™*: 0 = 9,1 ба.е.;

# = 6,20 а.е.; г = 0,19.

Найдем условия, необходимые для длительного низкоскоростного сближения кометы Р\ и Юпитера.

Рассмотрим синхронные движения Юпитера и кометы Р\ по перигелийной части ее орбиты точки Р2 образуют хорду, проходящую через Солнце симметрично относительно линии апсид. Пусть в момент прохождения кометой Р\ точки перигелия (момент времени Тч) комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе (точки рМ'- это точки низкоскоростного касания орбит кометы Р\ и Юпитера: Тч = Тм)- Запишем уравнения Кеплера для кометы Р\ и Юпитера (см. рис. 4):

Ек - ек ътЕк

Рис. 4. Наибольшая орбита кометы Р1 в области ео

М, = л а

-3/2

Е„

К ('/- Тч\ =ха10ш

где //.-- момент прохождения кометой точки Р2 и Юпитером - точки (рассмотрим дуги орбит др2 и М'Р2'). Так как орбитальная скорость кометы Р\ ниже орбитальной скорости Юпитера, в момент времени ^ выполнено равенство

мю « ук + аЕ,

где ар - угол между направлением на комету Р\ и Юпитер в момент времени (р.

Из уравнений Кеплера (2.5) с учетом равенства (2.6) определяем угол а¥:

n3/2

aF =

(величины E, M, v отсчитываем отточки перигелия). Для кометы Р\

cosEh = ек, cos vK = 0; vK

a.

- v.

\аю J

Выражения для косинусов получены с учетом того, что в момент времени 1р радиус-вектор кометы Р\ находится по формуле

г^ак{ 1-еД

Решение уравнения (2.7) относительно для кометы Р\ дает нам значение угла между направлением на Юпитер и на комету в момент времени 1р для различных значений эксцентриситета (табл. 2). Положение кометы Р\ и Юпитера Р\' (см. рис. 4) с углом ар между направлением на эти объекты, соответствующим табличному значению, назовем начальными условиями низкоскоростного касательного сближения кометы Рх.

Таблица 2

Значения угла ар в момент времени ^ как функция эксцентриситета орбиты кометы Р1

ек ctF, град Ек, град rF, а.е. А/, а.е. АД а.е.

0,05 7,92 87,1 5,74 0,92 0,95 0,26

0,06 9,54 86,6 5,85 1,12 0,95 0,31

0,07 11,18 86,0 5,96 1,32 0,94 0,36

0,08 12,82 85,4 6,07 1,53 0,93 0,42

0,09 14,48 84,8 6,18 1,73 0,92 0,47

0,10 16,15 84,3 6,30 1,94 0,91 0,52

0,11 17,83 83,7 6,41 2,16 0,91 0,57

0,12 19,53 83,1 6,53 2,38 0,90 0,62

0,13 21,23 82,5 6,65 2,60 0,89 0,68

0,14 22,95 82,0 6,76 2,83 0,88 0,73

0,15 24,68 81,4 6,88 3,06 0,88 0,78

0,16 26,43 80,8 7,00 3,29 0,87 0,83

0,17 28,18 80,2 7,12 3,53 0,87 0,89

0,18 29,95 79,6 7,25 3,77 0,86 0,94

0,19 31,73 79,0 7,37 4,02 0,85 0,99

Примечание В третьем - седьмом столбцах таблицы для кометы рх последовательно указываются' эксцентрическая аномалия Е, радиус-вектор о и расстояние до Юпитера Д/ в точке отношение модулей гелиоцентрических скоростей кометы и Юпитера в момент времени минимальное йовицентричекое расстояние до Юпитера на перигелийной части орбиты

Проанализируем изменение каждого элемента табл. 2 по вертикали.

Угол а/г, величины А/, А/ непрерывно увеличиваются. Только для кругообразных орбит (е < 0,6) комета будет находиться в сфере единичного радиуса на всей перигелийной части орбиты; при увеличении эксцентриситета область сближения будет охватывать все меньшую и меньшую дугу перигелийной части орбиты. В точке Р\ линии АР\ (см. рис. 1) область сближения единичного радиуса стянется в одну-единственную точку перигелия Величина Ер непрерывно уменьшается - дуга орбиты Р\дРг составляет все меньшую часть полного орбитального эллипса

Емельяненко Н.Ю.

Моделирование орбит комет

кометы Р\. С увеличением эксцентриситета кометной орбиты условия для длительного низкоскоростного сближения кометы Р} быстро ухудшаются.

Динамику процесса отражает рис. 5. Угол а для кометы Р{ изменяется в более широких пределах (0,85 < соб а < 0,99), но при построении всех графиков мы изменяли его равномерно. Из графиков следует, что при равномерном изменении угла а на участке орбиты Р\дР2 функция йовицентрического расстояния кометы Р\ (величина Л,) имеет единственный экстремум-минимум, который достигается в точке перигелия.

У,град

Рис. 5. Графики изменения йовицентрического расстояния кометы Р1 на перигелийной части орбиты

Остановимся более подробно на возможных особенностях сближения кометы Р\ и Юпитера.

Совершенно очевидно, что для орбит Р\ в точке д(М) выполнены оба условия (2), (3), если в момент времени Тц комета и Юпитер находятся на одном радиусе-векторе.

В этом случае в точке ц(М) йовицентрическая скорость кометы Р\ равна нулю и в ее окрестности с неизбежностью будет фиксироваться временный спутниковый захват, не связанный с гравитационным взаимодействием с Юпитером. Но из анализа рис. 4 видно, что ВСЗ в смысле Эверхарта невозможен на всей перигелийной части орбиты даже для комет с кругообразными орбитами, так как в точках Fь Р2 заведомо нарушается условие (2) (параллельности векторов гелиоцентрических скоростей кометы Р\ и Юпитера). Благоприятные для ВСЗ положения планеты и кометы появляются только после пересечения Юпитером линии Р\ Р2.

Оценим изменение йовицентрического расстояния кометы Р\ на перигелийном участке орбиты. По теореме косинусов с учетом первого из равенств (2.3):

2-^£-оо5а -аю

] (\ + ексозукУ \ + ексо8Ук

Исследование функции Д7 = А,(ук, а) показало, что она имеет единственный экстремум-минимум

Д,тш = Д/ ^ дк- а10 = екаЮг

достигаемый при выполнении равенств: ул.=0; а = 0, то есть когда комета проходит точку перигелия. Эта точка одновременно является точкой низкоскоростного касания орбит и точкой минимума С.

Итак, сближение кометы Р\ и Юпитера, удовлетворяющее начальным условиям, рассмотренным выше - это низкоскоростное касательное сближение. Особенности сближения:

1. Это длительное сближение. Для комет, орбиты которых удовлетворяют условию: ек < 0,11, вся перигелийная часть орбиты принадлежит области сближения с радиусом в 2 а.е. Для остальных орбит линии АР\ области со длительность сближения обеспечивается большой длиной дуги орбиты, принадлежащей области сближения (см. рис. 3, 4).

2. Функция йовицентрического расстояния кометы Р\ имеет единственный минимум рь точка минимума С на орбите кометы совпадает с точкой перигелия: С s q.

3. Точка перигелия одновременно является точкой низкоскоростного касания орбит: q = M

4. Точка перигелия - центр низкоскоростного касательного участка, на котором с неизбежностью возникает временный спутниковый захват в смысле Эверхарта. Но для кометы Р\ ВСЗ не может охватить всю перигелийную часть орбиты.

Пусть орбиту А] или Pi на периоде обращения, отмеченном минимумом, имеет реальная комета. Приведенные выше геометрические результаты будут искажаться, в основном, по двум причинам. Во-первых, Юпитер движется по эллиптической орбите. От того, в какой части этой орбиты произойдет сближение, зависит расположение точек низкоскоростного касания М, [см. условия (1.2); (2.2)]. Несовпадение точек М, и апсидальных точек приводит к несовпадению моментов времени Т (Г = Tq LJT = Тд)нТм (момент касания орбит). Во-вторых, неизбежно нарушаются начальные условия, необходимые для синхронного движения, что приводит к несовпадению моментов времени Ти Тр (момент минимума). Обе причины приведут к отсутствию точки низкоскоростного

касания орбит кометы и Юпитера. Вместо нее появится точка минимальной йовицентрической скорости M момент прохождения которой принадлежит промежутку [Ту, Тр]. Высокая эффективность сближения реальной кометы обеспечивается не только величиной р, но и тем, что в окрестности точки минимума находится точка минимальной йовицентрической скорости M Окрестности точки M образуют низкоскоростной касательный участок, на котором фиксируется ВСЗ ( е} < 1 ). Этот участок может охватывать всю афелийную часть орбиты кометы А ¡, включая точку минимума С, но для перигелийной части орбиты кометы Pi это невозможно по причине, изложенной выше. Гравитация Юпитера непрерывно возмущает орбиту кометы. Если величины Ар окажутся менее радиуса сферы действия Юпитера, комета испытает временный гравитационный захват (ВГЗ) с возможным выходом на спутниковую (по форме) орбиту, так как на низкоскоростном касательном участке орбиты тангенциальная составляющая йовицентрического ускорения мала. ВГЗ будет увеличивать йовицентрическую скорость кометы в окрестности точки минимума. У функции V} возможно появление экстремума - максимума в момент времени Тр и нарушение условия ВСЗ в окрестности точки С, С другой стороны, гравитационный захват при некоторых дополнительных условиях, наложенных, например, на величину р, по-видимому, может перевести комету на орбиту временного спутника Юпитера. Примеры комет, совершивших несколько обращений вокруг планеты, в настоящее время известны. Это кометы ГерельсЗ [4-6], Шумейкер-Леви 9 [7], Хелин-Роман-Крокет [8] и некоторые другие кометы.

Литература

1. EmeFyanenko N. Yu. Kinematics of the comets low-velocity encounters with Jupiter // Proceeding of the International conference CAMMAC. - 2000. - P. 35^0.

2. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тис-серана, 3. Кинематика низкоскоростных сближений // Астрон. вест. - 2003. - Т, 37.1. - С. 66-73.

3. Емельяненко Н.Ю. Динамика орбит комет при тесном сближении с Юпитером. Анализ длительности сближений // Астрон. вест. - 2003. - Т. 37.2. - С. 153-160.

4. Казимирчак-Полонская Е.И. Захват комет Юпитером и некоторые закономерности в вековой эволюции кометных орбит // Проблемы исследования Вселенной. Астрометрия и небесная механика. - M-Л.; 1978. - Вып. 7.- С. 340-383.

5. Rickman Н.5 Malmort A.M. Variations of the Orbit of Comet p/Gehrels 3: Temporaiy Satellite Captures by Jupiter// Astronomy and Astroph. - 1981. -V. 102. - P. 165-170.

6. Емельяненко Н.Ю. Сближение кометы Герельс 3 с Юпитером // Кометн. цирк.- 1985. -№341.-С. 3.

7. Sekanina Z. Tidal breakup of the nucleus of comet Shoemaker-Levy 9 // The collision of comet Р/ Shoemaker-Levy 9 and Jupiter eds. K.S.Nol, H.A.IWeaver and P.D.Feidman. Cambridge University Press. - 1994-P. 1-23.

8. Rickman H. Physico-dynamical evolution of aging comet. // Phis-Dyn. Minor Bodies (Goutelas 91). -

1992. ~ P. 197-263.

Поступила в редакцию 26 апреля 2003 г.