О полных множествах частичных ультрафункций на двухэлементном множестве

3. Дискретная математика и математическая кибернетика

УДК 519.716

© С. А. Бадмаев

О ПОЛНЫХ МНОЖЕСТВАХ ЧАСТИЧНЫХ УЛЬТРАФУНКЦИЙ НА ДВУХЭЛЕМЕНТНОМ МНОЖЕСТВЕ

Рассматриваются мультифункции на двухэлементном множестве. Под мультифункцией на конечном множестве понимается функция, определенная на данном множестве и принимающая в качестве значений его подмножества. В зависимости от вида мультифункции и соответствующей ей суперпозиции возникают частичные функции, гиперфункции, ультрафункции, частичные гиперфункции и частичные ультрафункции.

В заметке построены некоторые полные множества ультрафункций на двухэлементном множестве и доказано, что множество всех одноместных частичных ультрафункций является функционально полным.

Ключевые слова: мультифункции, ультрафункции, полные множества.

О S. A. Badmaev

ON COMPLETE SETS OF PATIAL ULTRAFUNCTIONS ON A TWO-ELEMENT SET

Multifonctions on a two-element set are considered in this paper. Functions from two-element set to sets of all subsets of two-element set are called multifonctions. These fonctions are natural generalization of Boolean fonctions. Partial functions, hyperfunctions, ultrafonctions, partial hyperfonctions and partial ultrafonctions are arised depending on the type of multifonctions and superposition.

In this work presents of examples of complete sets of patial ultrafonctions on a two-element set.

Keywords: multifonctions, ultrafonctions, complete sets.

Введение

В предлагаемой работе рассматриваются полные множества дискретных функций, определенных на конечном множестве А и принимающих в качестве значений подмножества множества А. Такие функции, называемые в последнее время мультифункциями, часто рассматриваются как не всюду определенные функции. Неопределенность понимается как некоторое подмножество основного множества. В зависимости от вида муль-тифункций и соответствующей им суперпозиции принято различать час-

тичные функции, гиперфункции, частичные гиперфункции, ультрафункции и частичные ультрафункции на А.

1. Основные понятия

Пусть Е2 = {ОД}, множество всех его подмножеств обозначим 2Ег . Определим следующие множества функций:

Р1п=У\/-ЕЯ^1Ег},Р1п={)Р1п,

РХп = {/\/:Е"^Е},Р2 РХп.

g(al,...,a„) = <

Функции из первого множества будем называть мультифункциями, а из второго - булевыми функциями.

Для того, чтобы суперпозиция /(/ (х,,..., хп ),..., /т (х,,..., хп )) определяла некоторую мультифункции g(x1,...,xn), следуя [1], определим значения мультифункции на наборах из подмножеств множества Е2. Если (аг,..., ап) е Е", то по определению

П лк-м,

К),

пересечение берется если оно не пусто, в противном случае берется объединение. На наборах, содержащих пустое множество, значение мультифункции равно пустому множеству.

Это определение позволяет вычислить значение мультифункции на

любом наборе (а1,...,ап)& (2е2)".

Если мультифункции рассматриваются с данной суперпозицией, то их называют частичными ультрафункциями.

Проекцией назовем «-местную частичную ультрафункцию

е"(а1,...,ап) = а,.

Для множества частичных ультрафункций В замыкание [5] определим следующим образом:

2. если /,и..,/яе[В], то /(/,...,/„) е [В];

3. других частичных ультрафункций в [5] нет.

Множество частичных ультрафункций называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, и полным в замкнутом множестве М, если его замыкание совпадает с М.

В дальнейшем, если это не вызовет недоразумений, частичную ультрафункцию будем называть просто функцией.

Для упрощения записи договоримся использовать кодировку:

0 <-> *,{0} <-> 0,(1} <-> 1,(0,1} <-> - .

Функцию из Р2п будем задавать её значениями на двоичных наборах,

причем вектор значений будем записывать в строку или столбец, а двоичные наборы будем считать заданными в натуральном порядке.

Если у) = (001-), Дх, у) = (1001), 8(х, у) = (-00*), то запись

оП ГГ!

0 0

0 о

1 * V1

о

о

*

V У

означает, что суперпозиция И(/(х,у)^(х,у)) рав-

на функции (100*).

2. Основной результат Теорема 1. Пусть функция Дх^.^х^) принимает все значения из

множества 2е"2 , а множество В является полным в Р2 . Тогда множество { / и В} является полным в Р2 .

Доказательство. Пусть /г(х1,...,хп) - произвольная функция из Р2п. Так как множество В является полным в Р2 , то мы имеем все булевы функции. Построим суперпозицию функции Дх^.^х^) и булевых функций gl(х1,...,хп),...,gm{xl,...,xn) , которая будет давать функцию И(х],..., хп), следующим образом.

Пусть /г(с1з...,си) = ос . Функция / принимает все значения из 2е"2 , поэтому существует набор (а1,...,ат) такой, что /(а1,...,ат) = а. Определим булевы функции gi(xl,...,xn) так, чтобы gj(cl,...,cn) = aj. Тогда

Теорема доказана.

Теорема 2. [(1-), (-0), (1*)] = Р2 .

Доказательство. Функция (1—) легко дает функцию (—1) и констан-

ту 1: станту 0 :

- V У ' 1 ^у

, а функция (—0) - функцию (0—) и кон-

(ол ofo^ fo^

V У

V У

Рассмотрим следующую цепочку суперпозиций, которая приводит к

конъюнкции:

oil Л (\Л\(\

1

*

V

1 О

- О

if- 0^

V у

(1)0(0 ^ Го^

1(1 М

1 о

- о

vly

of- Г(Л

о

1

о о

v~y

о(- 0}

- о

- о 1 -

1

*

Kb

о о

Kb

0 1

1 * 1 1

У

Kb

Из функций (00 * 1), (1—) и проекции можно получить бинарную функцию, принимающую все четыре значения: 0(1 0^ ^

- О 1 1

- 1

0

1

Отрицание может быть выражено следующей цепочкой суперпозиций: * (с\ t

0 -

1 О 1 -

У

* Го fo> 0 г

0 0 0 0 * * 0 - 0

1 1 - 1 - 1 1

vly 1 J Оу vly 1 v0 "У Л

Имея конъюнкцию, отрицание (конъюнкция и отрицание образуют полное в Р2 множество [3]) и функцию (*01—), с учетом теоремы 1, получим полное в Р2 множество.

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество всех унарных частичных ультрафункций на двухэлементном множестве является полным в Р2 .

Справедлива следующая

Лемма 1. Функция (-0) содержится во множестве [(1—), (1*)] •

Доказательство. Из функций (1*), (1—), (11) легко получаются функции (*1) и (—).

Получим отрицание следующими суперпозициями:

^*Л * А

- * * * -

1 1 1 ;1 1

1у

V V У

(1 0" Г1>

1 0 1

- 1 0

V Ъ чОу

(—) 1 (— о) т

0(0

1

1 -- 1

V

У

1

V у

1 О - 1 - 1

У

0

1 1.

0

1 1 о

0

1

*

Рассмотрим цепочку суперпозиций:

*(х Л (-)\(- о) (\) 0(0 л

1

1

*

V у

0 1

1 1 1

1 *

0 1

1 1

У

(0}

0

1

*

V у

(о) о

Используя отрицание и функцию (0—) , легко получим функцию (—0) .

Лемма доказана.

Теорема 3. Множество функций [(1—), (1*)] является полным в Р2 .

Доказательство. Доказательство следует из теоремы 2 и леммы 1. Теорема доказана.

Теорема 4. Множество функций [(-0), (*0)] является полным в Р2" . Доказательство. Из функций (*0), (—10) нетрудно получить еле-

*

дующие функции:

0

чОу

*

V У

0

чОу

V У

V У

чОу

о

чОу

Функцию (1*) дает следующая цепочка суперпозиций:

0 (о (*)*(- О) ( - 0

1

1

*

*

V У

А функция (1—) является суперпозицией функций (01*1).

V У

(10) и

оП ГП

1 -

о -о -

У

V у

Получим первые две функции:

о(- сЛ -(- -Л (-Л *(-

о о

_ *

о *

У

о

*

*

V у

- О

о -о о

У

V У

- о

О 1

- 1

АЛО^О (Я

У

чОу

1 о

0 *

1 о

У

-Го (оЛ*(о о^ (*Л

о о

V- О,

V У

- о

- 1 - 1

У

о о

чОу

о(о Г *(— ГО

0 о

1 о 1 о

0 0

1 ;1

У 1

- о

О 1 О 1

У

1 о

чОу

В силу предыдущей теоремы, утверждение верно.

Теорема доказана.

В булевых функциях полное множество может состоять лишь из одной функции, например, штриха Шеффера. Ниже приведем примеры бинарных частичных ультрафункций, аналогичных по этому свойству, штриху Шеффера.

Теорема 5. Множество {/} является полным в Р2 , где / е { (10*-) , (11*-), (1-*-), (1**-), (-0*0), (-0*-), (-1*0), (-1*-), (— *0), (-**0)}.

Доказательство. Приведем доказательство для случаев, когда /совпадает с функциями а)^'(х,>') = (10*-) и б) Ь(х,у) = (-0*0). Остальные случаи доказываются аналогично.

а) Из функции g(x,y) легко получить функцию (1—) из которой следует константа 1. С помощью функции (0 — 0—) = g(y^) получим константу 0 . Затем получим функцию (11**) = ^(х,0) . Тогда по теореме 3

[(10*-)] = Р2" .

б) Отождествлением переменных в функции Ь(х,у) получим функцию (—0) , а значит и функцию (0—) с константой 0 . Далее легко получить функцию (—). Константу 1 получим из функции (—1), которая получается следующим образом:

0Í0 А

1 о

foWo (А

vly

0 -

1 -1 -

у

vly

Имея константу 1, получим функцию (*0) = /7(1, у) . Полнота множества {(10 * -)} следует из теоремы 4. Теорема доказана.

Заключение

Замыкание двух определенных унарных частичных ультрафункций яв-

что существенно отличается от частичных гипер-

ляется полным в Р2* функций на двухэлементном множестве, где замыкание всех унарных частичных гиперфункций полным во множестве частичных гиперфункций не является [2].

Литература

1. Пантелеев В. И. Критерий полноты для доопределяемых булевых функций // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2009. - № 2(68). - С. 60-79.

2. Пантелеев В. И. Критерий полноты для недоопределенных частичных булевых функций // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2009. - Т.9. - № 3. - С. 95-114.

3. Post Е. L. Introduction to a general theory of elementary proposition // Amer. J. Math. - 1921. - Vol. 43, No 4. - P. 163-185.

References

1. Panteleyev V. I. Completeness Criterion for Incompletely Defined Boolean Functions // Vestnik Samar. Gos. Univ. Est.-Naucn. Ser. - 2009. - Vol. 2, No 68. - P. 60-79.

2. Panteleyev V. I. Completeness Criterion for Incompletely Defined Partial Boolean Functions // Vestnik Novos. Gos. Univ. Ser.: Math., mechanics, inf. -2009. - Vol. 9, No 3. - P. 95-114.

3. Post E. L. Introduction to a general theory of elementary proposition // Amer. J. Math. - 1921. - Vol.43, No 4. - P. 163-185.

Бадмаев Сергей Александрович, аспирант, Бурятский государственный университет, тел.: (3012)219757 (badmaevsa@mail.ru).

Badmaev Sergey Alexandrovich, Postgraduate, Buryat State University, Phone: (3012)219757 (badmaevsa@mail.ru).