Моделирование динамических процессов на основе марковских цепей в управлении комплексными экономическими системами

31(73) - 2011

Математические методы анализа

в экономике

УДК 338.27

моделирование динамических процессов на основе марковских цепей в управлении комплексными экономическими системами

А. Г. ЭБИНГЕР,

аспирант кафедры финансов и кредита E-mail: ebinger-alexey@bk.ru Дальневосточная академия государственной службы

В работе представлен метод моделирования вероятностного распределения процессов в некоторых экономических системах, основанный на математическом аппарате цепей Маркова. Сделан вывод об эффективности практического применения моделирования на основе цепей Маркова для принятия инвестиционных решений и управления комплексными экономическими системами.

Ключевые слова: цепь Маркова, комплексный, система, моделирование, инвестиция, прогнозирование.

При планировании инвестиционных решений, а также оценке сложных экономических процессов актуальной является задача эффективного прогнозирования денежных потоков с учетом особенностей их динамики и вероятностного распределения.

Осуществление инвестиционного проекта почти всегда подразумевает некоторую долю неопределенности в ожидаемых денежных потоках. Связано это с возможностью изменения параметров, которые влияют на осуществление проекта. Изменчивость параметров может порождать как незапланированную прибыль, так и незаплани-

рованные убытки. В случае с дополнительной прибылью ее достоверная оценка не столь критична, как оценка возможных убытков, при возникновении которых весь проект может стать для инвестора неэффективным. Поэтому для принятия инвестиционных решений нередко применяются стохастические методы, позволяющие дать количественную характеристику возможных изменений параметров.

К таким методам относятся модели на основе цепи Маркова. Данные методы находят свое применение в оценке инвестиционных проектов благодаря широким возможностям моделирования вероятностного распределения будущих денежных потоков, изменения их структуры на заданном горизонте прогнозирования.

Суть простой цепи Маркова заключается в том, что некоторая система может переходить последовательно из одного состояния в другое, находясь в любой момент времени только в одном состоянии. Такой переход называется испытанием, или шагом процесса. Для марковских цепей характерно свойство: условное распределение последующего состояния цепи зависит только от текущего состо-

31 (73) - 2011

Математические методы анализа в экономике

яния и не зависит от всех предыдущих состоянии.

Вероятность перехода из состояния Е. в состояние Е. обозначается как Р.. и часто записывается

1 ч

в виде матрицы:

Р =

Рп • Л,

Рл • Р„

где каждый Р. - вероятность перехода системы в определенное состояние. Кроме того, цепь Маркова может записываться в виде графа с вершинами — состояниями системы и ребрами — вероятностями перехода в данное состояние (рис. 1).

Такое представление достаточно удобно для анализа механизмов структурных изменении системы.

Применение идеи марковских цепеИ в прогнозировании экономических процессов базируется на возможности моделировать динамические состояния системы в процессе ее функционирования. Основываясь на возможных вероятностях осуществления того или иного сценария развития экономического процесса, можно прогнозировать будущее состояние экономической системы, ее структуру на протяжении заданного горизонта прогнозирования.

Одним из методов практического применения марковских цепей является моделирование поведения кредитного портфеля банка. Он является сложной системой с определенной структурой и особенностями внутренних взаимосвязей. При построении модели кредитный портфель кластеризуется по признаку срока просроченного платежа, так как этот показатель качественно влияет на

поведение ссуды. Кроме того, имеет смысл кластеризация портфеля по другим детерминирующим параметрам для повышения качества модели, но в рамках рассматриваемого алгоритма прогнозирования с помощью марковского процесса это не имеет решающего значения.

Важнейшим этапом моделирования является построение матрицы переходных состояний, или матрицы миграций (табл. 1), каждый элемент которой представляет собой вероятность перехода ссудной задолженности по группам просроченной задолженности за один период (одно испытание).

Матрица миграций для кредитного портфеля сама по себе является инструментом финансового анализа, так как показывает закономерности кредитного портфеля на момент анализа статистических данных. Например, элемент Р12 — вероятность просрочки ссуд на первом месяце жизни; вектор N (Р12, Р23, Р34,--- Р (¡+1)) — вектор образования просрочки всего портфеля; Б.-вероятность погашения ссуды; элементы, находящиеся под диагональю матрицы (Р21, Р31, Р32 ), означают вероятность уменьшения периода просрочки и т. д.

Механизм динамического распределения для данного случая можно представить в виде графа (рис. 2).

Таблица 1

Матрица миграции ссудной задолженности

Просрочка дней 0 1-30 31-60 61-90 I Гашение

0 Р11 Р12 - - Ри S1

1-30 Р21 Р 22 Р 23 - Ри

31-60 Р31 Р х 32 Р ± 33 Р34 Р3. S3

61-90 Р41 Р42 Р43 Р44 Р41 ^

J Р1 Р12 Р13 Р44 Р.. ч 1

22 О Э

Рис. 1. Граф цепи Маркова с тремя состояниями

Рис. 2. Граф перехода ссудной задолженности по срокам просрочки

Математические методы анализа в экономике

31(73) - 2011

Для прогнозирования портфеля на период п задается алгоритм, который с помощью матрицы миграций производит испытание входящего вектора структуры портфеля для каждого будущего периода (т. е. состояние портфеля в периоде 3 находится путем распределения входящего портфеля по матрице переходов из состояния 1 в состояние 2, результат состояния 2 — в состояние 3 и т. д.).

С помощью модели прогнозирования на основе цепи Маркова можно получать широкий спектр показателей кредитного портфеля, основываясь на внутренних процессах изменения его структуры во времени, которые нельзя получить другими методами.

Кроме того, прогнозирование на основе моделирования марковских цепей целесообразно применять при оценке сложных социально-экономических систем. Применение модели Маркова для анализа социальной структуры общества обусловлено наличием конечного распределения социальных групп внутри такого общества.

Часто встречается система противоположных классов с несколькими средними состояниями, которую необходимо спрогнозировать. Например, деление общества на богатых, средний класс и бедных будет являться системой с тремя динамическими параметрами, для которой можно построить матрицу миграций (табл. 2).

Элементы данной матрицы Р^ являются вероятностями перехода населения из одного класса в другой за единичный промежуток времени. Графически динамика перемещений в системе представлена на рис. 3.

Для прогнозирования в данном случае применяется тот же алгоритм, что и для кредитного портфеля: начальный вектор распределяется через матрицу миграций в каждом расчетном периоде.

Матрица переходов для социальной системы с установившимся режимом распределения вероятностей, называемая в теории цепей Маркова финальной матрицей, состоит из одинаковых строк и является финальным вектором распределения. Для анализа интересен период, через который система принимает данное стабильное состояние и который вычисляется как произведение матрицы миграций на себя в течение нескольких шагов.

матрица перехода населения по классам

Таблица 2

Богатые средний класс Бедные

Богатые Р11 Р12 Р13

Средний класс Р21 Р ± 22 Р х 23

Бедные Р31 Р х 32 Р ± 33

рис. 3. Граф перемещения населения по классам

Кроме этого, математический аппарат цепей Маркова позволяет найти матрицу среднего времени перехода из одного класса в другой. Определение времени перехода между классами в социальной системе при помощи моделирования на основе марковских цепей является важной прикладной возможностью, позволяющей проводить анализ динамической структуры данной системы и выявлять внутренние закономерности ее функционирования.

В рамках комплексного анализа некоторых экономических систем (будь то территориальная единица или сложный инвестиционный проект) часто возникает проблема прогноза распределения и дальнейшего поведения инвестиционных потоков. Для таких задач целесообразно применение моделирования на основе математического аппарата цепей Маркова. Это связано с тем, что такие системы часто обладают сложной структурой, где элементы взаимосвязаны и воздействуют друг на друга, а движение инвестиционных потоков в немалой степени зависит от данных взаимодействий.

Для оценки эффективности управленческого решения, направленного на инвестирование в сложный проект, представляющий систему целостных элементов (центров затрат, подпроектов), необходимо учитывать механизмы взаимодействия этих элементов и их влияние на движение денежных потоков.

Рассмотрим упрощенную модель структурного динамического распределения инвестиций на территории, где существуют несколько взаимосвязанных секторов хозяйствования. Механизм взаимодействия можно представить в виде матрицы миграций (табл. 3).

7х"

35

31 (73) - 2011

Математические методы анализа в экономике

Таблица 3

Матрица распределения инвестиций по секторам экономики

Сектор 1 Сектор 2 Сектор 3 Сектор 4 Использование

Сектор 1 Р11 Р12 Р13 Р14 и,

Сектор 2 Р21 Р ± 22 Р х 23 Р24 и2

Сектор 3 Р31 Р 32 Р 33 Р34 и3

Сектор 4 Р41 Р42 Р43 Р44 и4

Здесь Р. - вероятность перераспределения денежного потока из сектора / в сектор 1 за единичный интервал времени функционирования проекта; и. -вероятность использования (освоения) входящего инвестиционного потока сектора / за единичный интервал времени функционирования проекта.

Матрица миграции позволяет проанализировать механизмы взаимодействия элементов экономической системы и выделить структурные особенности динамики денежных потоков. Графически взаимодействия можно представить в виде графа (рис. 4).

Экономическая сущность представленной матрицы миграции и графа заключается в том, что при инвестировании сектора 1 на 100 единиц эти 100 единиц с некоторой вероятностью могут быть распределены в сопряженные сектора, которые, в свою очередь, также могут перераспределить их на следующем временном отрезке; либо сектор 1 может самостоятельно использовать часть полученных средств.

Ри

Рис. 4. Граф распределения инвестиций по секторам экономики

В действительности примеры такого мультипликативного взаимодействия встречаются весьма часто: например, прокладка трубопровода заставит функционировать не только трубное производство, но и строительную индустрию, перевозки и т. д.

Комплексная оценка инвестиционного решения на основе модели марковской цепи позволяет учесть довольно сложные структурные взаимодействия элементов экономической системы и получить более точную характеристику ее будущего состояния. Кроме того, данная модель схематично показывает мультипликативный эффект взаимодействия элементов экономической системы при инвестировании в ее отдельную часть.

Для анализа динамики инвестиционных потоков, кроме прогнозирования сложившихся механизмов взаимодействия элементов экономической системы, весьма значимой является задача моделирования и оценки управленческих решений, которые инвестор может осуществлять на каждом временном отрезке. Действительно, если управленцу предоставлена динамическая картина (неуправляемая) распределения денежных потоков в экономической системе, то, вероятнее всего, такой руководитель будет прямо воздействовать на проект с целью повышения эффективности его функционирования. Большие возможности в разрешении представленной задачи имеет математический аппарат цепей Маркова с доходами.

Сущность цепи Маркова с доходами заключается в том, что при переходе из состояния в состояние 1 экономическая система получает од-ношаговый доход, не зависящий от номера шага. Совокупность одношаговых доходов образует матрицу одношаговых доходов. Доход, который неуправляемая система может получить за п шагов, является случайной величиной с распределением вероятностей, определяемым вероятностными связями элементов экономической системы.

Чтобы включить в моделирование функцию управления, необходимо построить управляемую цепь Маркова. Особенностью такой модели является то, что на каждом шаге и в каждом состоянии может быть выбрана строка матрицы миграции к, / к, к; к; к; \ РГ =

и строка матрицы одношаговых доходов к; / к, к, к; к, \

,

определяющих дальнейшее функционирование системы.

Величина к1 в данном случае является стратегией управления в /-м состоянии, а К = {к} - мно-

Математические методы анализа в экономике

31(73) - 2011

жеством стратегий управления в /-м состоянии.

Вектор стратегий к = (к1,кл...кГ1) является политикой, а последовательность выбранных на каждом шаге политик образует управление, однозначно определяющее функционирование цепи.

Задача определения эффективности функционирования системы на заданном интервале прогнозирования состоит в поиске оптимального управления, т. е. максимизирующего совокупный доход. Для решения данной задачи широко применяются разработанные методы динамического программирования или метод Ховарда, в основе которых лежат итерационные алгоритмы решения систем уравнения максимизации совокупного дохода.

Таким образом, моделирование денежных потоков в сложных экономических системах с помощью математического аппарата марковских цепей эффективно решает практические задачи в области принятия инвестиционных решений, а также задачи социально-экономического и финансового прогнозирования. Основным преимуществом перед другими методами является возможность учи-

тывать структурные особенности вероятностного распределения денежных потоков в экономических системах.

Список литературы

1. Кирий В. Г. Анализ различных социально-экономических амбивалентных систем на основе теории цепей Маркова // Известия ИГЭА. 2010. № 4.

2. Колногоров А. В., Федорук Р. С. Модель управления конечной цепью Маркова с дисконтируемыми доходами в случае неизвестных параметров // Вестник новгородского государственного университета. 2009. № 50.

3. Соколов Г. А., Чистякова Н. А. Теория вероятностей. Управляемые цепи Маркова в экономике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 248 с.

4. Федорук Р. С. Оптимальная стратегия в цепях Маркова с дисконтируемыми доходами в периодическом случае // Вестник Новгородского государственного университета. 2007. № 44.

• 10 ноября 2011 г. в гостинице Radisson SAS Slavyanskaya (г. Москва) CNews при поддержке Министерства связи и массовых ФФФ коммуникаций РФ проводит третий ежегодный форум

CnCW5 <<;CNews Forum 2011: Информационные технологии завтра»

forum 2011 Информационная поддержка - Издательский дом «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ»

Основные вопросы форума:

- тенденции развития ИКТ-отрасли в России и мире;

- векторы дальнейшего развития информатизации бизнеса и органов государственной власти в России;

- технологические тренды, которые будут определять эволюцию корпоративных ИТ-систем в ближайшие годы.

Отраслевые секции:

госсектор, банки, информационная безопасность, розница, облачные технологии.

За дополнительной информацией, а также по вопросам участия обращаться по телефонам: +7 (495) 363-11-57, 5078, 5077, 5035 либо e-mail: forum@cnews.ru Айвазов Армен, Серова Елена, Четвернин Алексей

www.forum.cnews.ru

проблемы и решения ' 37