Сформированность основных показателей обучаемости математике как основа диагностики обучаемости учащихся математике

УДК 51: 371

Б01: 10.21685/2072-3024-2016-3-21

А. В. Фарков

СФОРМИРОВАННОСТЬ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОБУЧАЕМОСТИ МАТЕМАТИКЕ КАК ОСНОВА ДИАГНОСТИКИ ОБУЧАЕМОСТИ УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТИКЕ

Аннотация.

Актуальность и цели. Для современного развития системы школьного образования характерно наличие противоречия между необходимостью учитывать обучаемость при дифференцированном обучении математике и неразработанностью в теории и методике обучения математике вопросов, связанных как с сущностью, структурой, показателями обучаемости учащихся математике, так и с механизмами для диагностики, как уровней сформированности основных показателей обучаемости, так и уровней обучаемости учащихся математике, особенно высокого уровня обучаемости. Цель работы - научно обосновать и разработать методики для диагностики обучаемости математике учащихся общеобразовательных организаций.

Материалы и методы. Реализация исследовательских задач была достигнута на основе изучения и анализа психолого-педагогической и методической литературы, результатов диссертационных исследований по рассматриваемой проблеме; анализа программ, учебников, учебных пособий для общеобразовательных школ; анализа опубликованных тестов, контрольных работ, текстов математических олимпиад; интервьюирования и анкетирования учителей математики; бесед с учителями математики и учащимися школ; наблюдения уроков математики в школе; педагогического эксперимента; статистической обработки и анализа результатов проведенного эксперимента.

Результаты. Разработана концепция диагностики обучаемости учащихся математике, в основу которой положена система основных показателей обучаемости учащихся математике: обученность ученика математике, темп продвижения ученика в изучении нового математического материала, самостоятельность в освоении нового математического материала, восприимчивость к помощи учителя, сформированность приемов умственной деятельности, умение решать нестандартные математические задачи. На основе данной концепции разработаны следующие методики: а) методика конструирования и использования многоуровневых контрольных работ по геометрии с целью диагностики уровня обученности учащихся; б) методика конструирования и применения тестовых заданий для диагностики уровня обученности и обучаемости учащихся по математике; в) методика составления и использования субтестов по математике как средства для диагностики таких приемов умственной деятельности, как аналогия, классификация, абстрагирование и обобщение; г) методика применения целесообразно подобранных систем упражнений для диагностики как всей обучаемости учащихся математике, так и некоторых ее показателей. Также были выработаны практические рекомендации к содержанию контрольно-измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена по математике с целью более объективного отбора наиболее обучаемых учащихся в вузы России, дано определение понятия олимпиадной задачи по математике, предложена типология олимпиадных задач по математике. Автором разработаны рекомендации к текстам школьных и муниципальных олимпиад по математике, предложены изменения в методике

проведения математических олимпиад в малокомплектных школах, разработан новый вид олимпиад - многоуровневые олимпиады.

Выводы. Представленная в статье концепция диагностики обучаемости учащихся математике является практически реализуемой и требует своего дальнейшего развития.

Ключевые слова: обучаемость, диагностика обучаемости учащихся математике, основные показатели обучаемости учащихся математике, обученность.

A. V. Farkov

AVAILABILITY OF BASIC INDEXES OF MATHEMATICS LEARNABILITY AS THE BASIS OF MATHEMATICS LEARNABILITY DIAGNOSTICS OF STUDENTS

Abstract.

Background. The modern state of development of the school system is characterized by the contradiction between the need to take into account the learnability during differentiated teaching of mathematics and the undeveloped issues in the theory and methodology of mathematics teaching, associated with the essence, structure, indicators of mathematics learnability, as well as mechanisms for diagnostics of both the availability levels of basic indexes of learnability and the levels of mathematics learnability, especially a high level of learnability. The aim of the work is to scientifically substantiate and develop methods of mathematics learnability diagnostics for students of secondary educational institutions.

Materials and methods. The research tasks were implemented on the basis of the study and analysis of psychological, pedagogical and methodological literature, results of dissertation works on the subject matter; the analysis of programms, textbooks, tutorials for secondary schools; the analysis of published texts, tests, texts of mathematical contests; the survey and interviewing of math teachers and pupils; the observation of math classes at schools; the pedagogical experiment; the statistical processing and analysis of results of the experiment carried out.

Results. The author has developed a conception of mathematics learnability diagnostics based on the system of basic indexes of mathematics learnability: a degree of student's mathematical knowledge, student's pace of learning new mathematical material, independence in mastering new mathematical material, perceptive-ness to teacher's assitance, availability of intellectual functioning, skills to solve nonstandard mathematical problems. On the basis of the present conception there have been developed the following methodologies: a) the method of construction and usage of multilevel tests in geometry in order to determine a level of the students' knowledge; b) the method of construction and application of tests to determine levels of knowledge and learnability of students in mathematics; c) the method of composition and usage of subtests in mathematics as a means of diagnostics of such intellectual functioning elements as analogy, classification, abstracting and generalization; d) the method of application of reasonably selected exercise systems for diagnostics of total learnability of students as well as some indexes thereof. The author has also developed practical recommendations to the content of monitoring materials for conducting the uniform state examinations in mathematics in order to achieve a more objective selection of the most teachable students to universities of Russia. The article defines the notion of a mathematical contest problem and suggests a typology of mathematical contest problems. The author has also developed recommendations to texts of school and municipal mathematical contests, offered changes to the methodology of conducting mathematical contests at schools with small amount of students, developed a new type of contests - multilevel contests.

Conclusions. The conception of mathematics learnability diagnostics, presented in the articles, is implementable and requires further development.

Key words: learnability, mathematics learnability diagnostics, main indexes of mathematics learability, level of knowledge.

Происходящие изменения в обществе предполагают ориентацию образования не только на усвоение учащимися определенного уровня знаний, но и на умение применять полученные в школе знания в реальной жизни, а также и на развитие личности учащихся.

Практика показывает, что быстрее овладевают необходимым уровнем знаний, умений те учащиеся, у которых лучше развиты индивидуальные психологические особенности, в первую очередь это особенности мышления. И именно обучаемость является одной из основных характеристик этих индивидуальных особенностей.

Изучение данной индивидуальной характеристики ученика позволит не только выявить ее уровень развития, но и в какой-то мере прогнозировать характер и темпы дальнейшего продвижения ученика в изучении любого предмета, а также организовывать учебный процесс с учетом данной особенности учащихся.

Многолетнее исследование автора как раз и посвящено диагностике обучаемости учащихся математике. На основе изучения и обобщения обширного круга источников впервые в теории и методике обучения математике автором разработана концепция диагностики обучаемости учащихся математике, основу которой составляет система основных показателей обучаемости учащихся математике [1, 2].

В основу рассматриваемой концепции автором положены многочисленные исследования психологов, педагогов, методистов: В. П. Беспалько, З. И. Калмыковой, Ю. М. Колягина, В. А. Крутецкого, Е. Н. Перевощиковой, Г. И. Саранцева, В. П. Симонова, М. А. Холодной, П. И. Третьякова и многих других [3-12].

Проведенный анализ различных точек зрения на общую обучаемость и специальную обучаемость (обучаемость математике) в психологии, педагогике и теории и методике обучения математике показал, что на сегодня нет общепринятой точки зрения как на обучаемость, так и на ее структуру. Поэтому в дальнейшем исследовании автором за основу взят подход, согласно которому обучаемость отождествляется со способностью ученика успешно обучаться в системе школьного образования.

При этом под обучаемостью математике в контексте нашей работы понимается характеристика индивидуальных возможностей ученика, обеспечивающих в конкретных условиях обучения наилучшее овладение математикой как учебным предметом, а также дальнейшее самостоятельное развитие ученика.

Данная индивидуальная особенность основывается на способностях ученика и его познавательной активности.

Среди наиболее обучаемых детей по математике выделяется группа одаренных детей с особым типом обучаемости, который может проявляться как в высокой скорости и легкости обучения, так и в замедленном темпе обучения, но с последующим резким изменением структуры знаний, представле-

ний и умений. Высокая же обучаемость учащихся является одним из показателей одаренности. Ученики, наиболее одаренные в области математики, обладают теми же качествами, что и наиболее обучаемые учащиеся. А значит, одаренные дети в области математики, обладающие повышенными математическими способностями, являются и наиболее обучаемыми учащимися. Это подтверждают и многочисленные исследования автора и других ученых. Более чем двадцатипятилетний опыт работы автора в вузах Архангельской области, а также проведенный анализ литературы по данной проблеме показывает, что практически не отчисляют из вузов детей, которые были приняты как победители и призеры различного рода олимпиад. Такие учащиеся легко усваивают материал вузовских курсов, часто становятся победителями олимпиад в вузе, достигают в дальнейшем определенных успехов в жизни.

Анализ всего материала, связанного как с видами обучаемости, так и ее составляющими, а также показателями обучаемости, подробно рассмотрен автором в [2]. Поэтому в данной статье сделаны акценты только на основных показателях обучаемости математике - на таких показателях обучаемости, без которых качественное усвоение математики как учебного предмета невозможно.

К числу основных показателей обучаемости учащихся математике были отнесены в первую очередь те показатели, диагностику которых исследователи обучаемости учащихся отождествляют с диагностикой самой обучаемости. Также в число основных показателей обучаемости учащихся математике был включен такой показатель, как сформированность приемов умственной деятельности, в первую очередь анализа и синтеза.

Анализ и обобщение исследований в психологии, педагогике, теории и методике обучения математике позволяют в качестве основных показателей обучаемости учащихся математике указать следующие (в скобках указаны фамилии исследователей, на которых мы ссылаемся):

1) обученность ученика математике - усвоенные учащимся знания, умения, навыки и способность использовать их в жизни (Е. П. Гусева, О. Б. Епишева, И. А. Левочкина, Н. В. Метельский, М. И. Минин, И. П. Под-ласый);

2) темп продвижения ученика в изучении нового математического материала (В. П. Беспалько, В. Я. Забранский, М. И. Зайкин, З. И. Калмыкова, В. А. Крутецкий, М. И. Лукьянова, Н. А. Менчинская, Р. С. Черкасов, А. А. Столяр, П. И. Третьяков, М. А. Холодная);

3) самостоятельность в освоении нового математического материала (Т. С. Баранова, Л. С. Выготский, И. П. Лебедева, М. И. Лукьянова, А. К. Маркова);

4) восприимчивость к помощи учителя (Т. С. Баранова, Л. С. Выготский, С. Н. Дектярев, А. Я. Иванова, И. П. Лебедева, М. И. Лукьянова, А. К. Маркова, В. И. Малинович, М. А. Холодная);

5) сформированность приемов умственной деятельности, в первую очередь анализа и синтеза (В. А. Крутецкий, И. П. Лебедева, М. Г. Минин, Р. С. Черкасов, А. А. Столяр);

6) умение решать нестандартные математические задачи (В. А. Кру-тецкий, А. А. Лосева, Н. В. Метельский, В. А. Садовничий).

В зависимости от сформированности или несформированности данных основных показателей будем выделять пять уровней обучаемости. Характеристика данных уровней подробно дана в [2].

Диагностику обучаемости учащихся математике предлагается проводить на основе комплексного подхода. Суть комплексного подхода к диагностике уровня обучаемости математике заключается в следующем.

1. С целью достижения более объективного выявления уровней обучаемости учащихся необходимо проанализировать и учесть различные точки зрения на диагностику обучаемости учащихся математике и ее показателей.

2. Диагностику уровней обучаемости учащихся математике предлагается вести через диагностику ее основных показателей, применяя для этого различные методики как на уроке, так и во внеурочной деятельности.

3. Диагностика обучаемости учащихся математике должна быть составной частью учебно-воспитательного процесса образовательного учреждения. Поэтому необходимо применять всю совокупность методов проведения диагностической работы, объединив для этого усилия учителей-предметников, социальных педагогов, классных руководителей, школьного психолога и администрации образовательного учреждения.

4. В связи с тем что диагностическую работу в основном проводить будет все же учитель математики, то ему для проведения диагностики различных показателей обучаемости необходимо предложить специальные инструменты.

Основным средством диагностики большинства выделенных основных показателей обучаемости учащихся математике на сегодня являются результаты деятельности ученика при решении разнообразных упражнений. В современных условиях в связи с все большим внедрением в школы технологий тестового контроля знаний, введением в планы педвузов нового предмета «Современные средства оценивания результатов обучения» необходима разработка валидных методик диагностики как обученности, так и обучаемости учащихся. А это означает, что в качестве инструментов диагностики уровней обучаемости учащихся математике предлагается использовать различные виды тестов (в том числе и диагностические), специальные системы упражнений, диагностические контрольные работы. Так как тесты выполняют много функций, то необходимо усиление диагностической функции тестов. С этой целью необходимо включение в тест таких заданий, которые в своем решении использовали бы всего один-два факта. Такого вида тесты назовем диагностическими.

При этом диагностика уровня сформированности некоторых из основных показателей, в частности обученности учащихся математике, должна быть организована таким образом, чтобы эта диагностика также осуществлялась комплексно. Для этого необходимо применять как математические диктанты, тесты, так и различные системы упражнений. Но основным средством диагностики уровня обученности учащихся по теме все же должна быть многоуровневая контрольная работа. Но в упражнения, включаемые для диагностики обученности учащихся по математике, предлагается включать и упражнения, для решения которых учащиеся должны применить выделенные нами показатели обучаемости. Это позволит наряду с диагностикой обучен-ности учащихся учитывать в какой-то мере и сформированность других показателей обучаемости математике.

5. Используя данные инструменты, учитель математики диагностику обучаемости учащихся должен проводить в условиях, к которым привык ученик. А именно, сначала учитель объясняет материал. Затем учитель показывает, как его применить к решению упражнений. После этого ученик работает самостоятельно, при этом в случае затруднения учитель может оказать ему тот или иной вид помощи (дать указания: на применяемую формулу, на порядок действий, на необходимость выполнения дополнительного построения; дать образец решения аналогичной задачи и т.д.). И наконец, учитель оценивает результаты деятельности ученика по 5 (10)-балльной системе. А с учетом этой оценки учитель проводит уже коррекционную работу.

6. В зависимости от цели диагностики (отбор в профильные математические классы, классы коррекции, реализация индивидуального или дифференцированного подхода в обучении, поступление в вуз и др.) в качестве основных методик предлагается использовать методики диагностики тех из основных показателей обучаемости, учет которых наиболее важен для дальнейшего обучения ученика. Например, для осуществления дифференцированного подхода (текущего диагностирования) больше всего подойдут методики, диагностирующие такие основные показатели обучаемости учащихся математике, как темп продвижения ученика в изучении нового математического материала и обученность ученика. Для прогноза обучаемости в вузе -методики, основанные на диагностике таких основных показателей обучаемости учащихся, как обученность, самостоятельность в освоении нового материала, умение решать нестандартные математические задачи. Для отбора учащихся в классы коррекционно-развивающего обучения - методики, которые больше учитывают восприимчивость ученика к помощи. Для отбора учащихся в профильные классы наряду с диагностикой уровня обученности учащихся применять и методики, учитывающие уровень сформированности приемов умственной деятельности и умение решать нестандартные математические задачи. При этом для более точного диагностирования уровня обучаемости учащихся необходимо полнее использовать возможности внеклассной работы.

При осуществлении диагностики обучаемости учащихся математике мы будем придерживаться следующих основных дидактических принципов:

- принцип доступности применяемых методик (все разработанные методики должны быть доступны учителю математики);

- принцип научности (разработанные методики построены с учетом действующей программы по математике, проверены на надежность и валид-ность (если требуется), учитывают современные достижения психолого-педагогической науки);

- принцип системности и конкретности (разработанные методики ориентированы на диагностику как обучаемости в целом, так и ее отдельных показателей; методики могут использоваться и для узких целей в учебно-воспитательном процессе);

- принцип прогностичности (на основании результатов диагностики обучаемости с помощью разработанных методик можно делать прогноз, хотя и осторожный, об уровне обучаемости учащихся, а также применять психо-коррекционные методики);

- принцип последовательности и преемственности (разработанные методики предполагается применять как поэтапно (это относится к тестам,

контрольным работам), так и по мере необходимости (методика для диагностики восприимчивости учащихся к помощи учителя), в конце года (субтесты, специальные системы упражнений), регулярно (методика выявления темпа продвижения ученика в изучении нового математического материала)).

При этом средства и методы для диагностики основных показателей обучаемости учащихся математике выбираются из арсенала выработанных в отечественной педагогике диагностических средств и методов.

Основными методами диагностики обучаемости учащихся математике являются наблюдение, анкетирование, метод тестирования, традиционные методы контроля.

В качестве основных средств диагностики обучаемости учащихся математике предлагаются специальные системы упражнений, разнообразные виды тестов, многоуровневые контрольные работы, тексты математических олимпиад.

После проведения диагностической работы в зависимости от поставленных целей диагностики и выбранной методики диагностирования учитель организует дифференцированную работу в соответствии с уровнями обучаемости учащихся, проводит коррекционную работу с целью устранения выявленных пробелов в интеллектуальном развитии ученика или учитывает уровень сформированности данного показателя обучаемости при дальнейшей работе с учащимися.

Опираясь на данную концепцию, автором разработаны:

- стратегия диагностики уровня обучаемости учащихся математике с помощью специальных систем упражнений, в которые входят различные типы задач, для правильного решения которых ученик должен проявить те или иные умственные способности [1];

- методика диагностики уровня обученности учащихся математике с помощью многоуровневых контрольных работ, в которые входят задания на диагностику узнавания, воспроизведения, понимания, сформированности простейших умений и навыков и творческого применения знаний и умений [13];

- методика диагностики уровня обучаемости учащихся математике с помощью специальных предметных тематических тестов, в которые наряду с заданиями, предназначенными для диагностики уровня обученности, включены и задания, предназначенные для диагностики других основных показателей обучаемости [14];

- методика диагностики уровня сформированности приемов умственной деятельности: абстрагирование, аналогия, обобщение и классификация у учащихся общеобразовательных учреждений с помощью субтестов по математике [15];

- методика диагностики способных и одаренных учащихся в области математики с помощью текстов олимпиад и др. [16].

Рассматривая проблемы обучаемости математике студентов первых курсов, автор предлагает некоторые рекомендации, которые позволили бы действительно выявлять наиболее обучаемых абитуриентов, а не натренированных на решение определенных типов заданий учащихся. Суть этих рекомендаций сводится к следующему:

- нормы отметок за ЕГЭ и число баллов, набранных учащимися, должны определяться уровнем включаемых заданий;

- для уровня С, а может быть и некоторых заданий уровня B не указывать типы заданий (всех или тех, которые не влияют на выставление аттестационной отметки по алгебре и началам анализа), т.е. сделать задания уровня C закрытыми;

- уменьшить число заданий в уровне C до трех-четырех;

- включать в число заданий уровня C и олимпиадные задачи.

Также считаем нецелесообразным отмену устного экзамена по геометрии в школах и устного вступительного экзамена по математике в вузы математической направленности.

Список литературы

1. Фарков, А. В. Диагностика основных показателей обучаемости учащихся математике : практико-ориентированная моногр. / А. В. Фарков. - Saarbrücken, Germany : LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co., 2012. - 301 c.

2. Фарков, А. В. Основные показатели обучаемости учащихся математике /

A. В. Фарков // Сибирский педагогический журнал. - 2010. - № 3. - С. 210-217.

3. Беспалько, В. П. Образование и обучение с участием компьютеров (педагогика третьего тысячелетия) / В. П. Беспалько. - М. : МИСИ ; Воронеж : МОДЭК, 2002. - 352 с.

4. Калмыкова, З. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости / З. И. Калмыкова. - М. : Педагогика, 1981. - 200 с.

5. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся / Ю. М. Колягин. - М. : Просвещение, 1977. - 110 с.

6. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач / Ю. М. Колягин. - М. : Просвещение, 1977. - 142 с.

7. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников /

B. А. Крутецкий. - М. : Просвещение, 1968. - 432 с.

8. Перевощикова, Е. Н. Теоретико-методические основы подготовки будущего учителя математики к диагностической деятельности : дис. ... д-ра пед. наук / Перевощикова Е. Н. - Н. Новгород, 2000. - 344 с.

9. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г. И. Саранцев. - М. : Просвещение, 1995. - 240 с.

10. Симонов, В. П. Диагностика степени обученности учащихся : учеб.-справ. пособие / В. П. Симонов. - М., 1999. - 48 с.

11. Холодная, М. А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования / М. А. Холодная. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб. : Питер, 2002. - 272 с.

12. Третьяков, П. И. Технология модульного обучения в школе : практико-ори-ентированная моногр. / П. И. Третьяков, И. Б. Сенновский ; под ред. П. И. Третьякова. - М. : Новая школа, 2001. - 352 с.

13. Фарков, А. В. Контрольные работы как средство диагностики уровня обученности учащихся / А. В. Фарков // Математика в школе. - 2011. - № 1. - С. 27-33.

14. Фарков, А. В. О тестах для диагностики уровня обученности и обучаемости учащихся / А. В. Фарков // Математика в школе. - 2011. - № 10. - С. 24-32.

15. Фарков, А. В. Субтесты по математике как средство диагностики некоторых приемов умственной деятельности / А. В. Фарков // Школьные технологии. -2010. - № 1. - С. 175-182.

16. Фарков, А. В. Составление текстов городских (районных) олимпиад по математике / А. В. Фарков // Школьные технологии. - 2003. - № 2. - C. 86-88.

References

1. Farkov A. V. Diagnostika osnovnykh pokazateley obuchaemosti uchashchikhsya mate-matike: praktiko-orientirovannaya monogr. [Diagnostics of main indexes of mathematical learnability: practice-oriented manaograph]. Saarbrücken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co., 2012, 301 p.

2. Farkov A. V. Sibirskiy pedagogicheskiy zhurnal [Siberia pedagogical journal]. 2010, no. 3, pp. 210-217.

3. Bespal'ko V. P. Obrazovanie i obuchenie s uchastiem komp'yuterov (pedagogika tret'ego tysyacheletiya) [Education and learning involving computers (pedagogy of the third millenium)]. Moscow: MISI; Voronezh: MODEK, 2002, 352 p.

4. Kalmykova Z. I. Produktivnoe myshlenie kak osnova obuchaemosti [Productive thinking as a basis of learnability]. Moscow: Pedagogika, 1981, 200 p.

5. Kolyagin Yu. M. Zadachi v obuchenii matematike. Ch. I. Matematicheskie zadachi kak sredstvo obucheniya i razvitiya uchashchikhsya [Problems in mathematical teaching. Part 1. Mathematical problems as a means of teaching and development of students]. Moscow: Prosveshchenie, 1977, 110 p.

6. Kolyagin Yu. M. Zadachi v obuchenii matematike. Ch. II. Obuchenie matematike che-rez zadachi i obuchenie resheniyu zadach [Problems in mathematical teaching. Part II. Teaching mathematics through problems and problem-solving teaching]. Moscow: Prosveshchenie, 1977, 142 p.

7. Krutetskiy V. A. Psikhologiya matematicheskikh sposobnostey shkol'nikov [Psychology of mathematical skills in students]. Moscow: Prosveshchenie, 1968, 432 p.

8. Perevoshchikova E. N. Teoretiko-metodicheskie osnovy podgotovki budushchego uchi-telya matematiki k diagnosticheskoy deyatel'nosti: dis. d-ra ped. nauk [Theoretical and methodological bases of future mathematical teacher training for diagnostic acticity: dissertation to apply for the degree of the doctor of pedagogical sciences]. Nizhniy Novgorod, 2000, 344 p.

9. Sarantsev G. I. Uprazhneniya v obuchenii matematike [Exercises in teaching mathematics]. Moscow: Prosveshchenie, 1995, 240 p.

10. Simonov V. P. Diagnostika stepeni obuchennosti uchashchikhsya: ucheb.-sprav. poso-bie [Student learnability diagnostics: study and reference book]. Moscow, 1999, 48 p.

11. Kholodnaya M. A. Psikhologiya intellekta. Paradoksy issledovaniya [Intellectual psychology. Research paradoxes]. 2nd ed., rev. and expanded. Saint-Petersburg: Piter, 2002, 272 p.

12. Tret'yakov P. I., Sennovskiy I. B. Tekhnologiya modul'nogo obucheniya v shkole: prak-tiko-orientirovannaya monogr. [Modular education technology at school: practice-oriented monograph]. Moscow: Novaya shkola, 2001, 352 p.

13. Farkov A. V. Matematika v shkole [Mathematics at school]. 2011, no. 1, pp. 27-33.

14. Farkov A. V. Matematika v shkole [Mathematics at school]. 2011, no. 10, pp. 24-32.

15. Farkov A. V. Shkol'nye tekhnologii [School technologies]. 2010, no. 1, pp. 175-182.

16. Farkov A. V. Shkol'nye tekhnologii [School technologies]. 2003, no. 2, pp. 86-88.

Фарков Александр Викторович

кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математики, Северный

E-mail: a.farkov@mail.ru

Farkov Alexander Viktorovich Candidate of pedagogical sciences, associate professor, sub-department of mathematics, Northern

УДК 51: 371 Фарков, А. В.

Сформированность основных показателей обучаемости математике как основа диагностики обучаемости учащихся математике / А. В. Фарков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2016. - № 3 (39). - С. 204-213. DOI: 10.21685/2072-3024-2016-3-21