О многокритериальной оптимизации Cети массового обслуживания с множественным доступом в условиях конкуренции информационных потоков

УДК 519.2: 518.9

О МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ оптимизации CЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С МНОЖЕСТВЕННЫМ ДОСТУПОМ В УСЛОВИЯХ КОНКУРЕНЦИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКОВ

В. А. Чекменев, Т. Д. Чекменева

ON MULTICRITERIAL OPTIMIZATION OF QUEUEING NETWORKS WITH MULTIPLE ACCESS AT COMPETITIVE INFORMATION FLOWS

V. A. Chekmenev, T. D. Chekmeneva

Рассматривается задача многокритериальной оптимизации информационной сети с множественным доступом и конкурирующими пользователями, для решения которой применяются методы теории игр. Предложен алгоритм решения для сети с двумя узлами.

The paper focuses on the problem of multicriterial optimization of queueing networkswith multiple access and competitive users, which is solved with methods of the theory of games. The algorithm of solution for a two-node network is proposed.

Ключевые слова: сети массового обслуживания с множественным доступом, многокритериальная оптимизация, теория игр.

Keywords: queueing networkswith multiple access, multicriterial optimization, theory of games.

Введение. Характерной чертой функционирования информационных систем с множественным доступом (спутниковые каналы, многоточечные телефонные линии, многоотводные шинные системы и др.) является наличие неопределённостей, порождаемых стохастической природой потоков информации, поступающих в систему, времени её обработки, неполнотой информации о состоянии канала передачи. Кроме того, между потоками информации, поступающими от разных пользователей, существует конкуренция за максимальное обладание ресурсами канала.

Традиционно при анализе и оптимизации таких систем руководствуются принципом однозначности: функционирование системы характеризуется одной и только одной целевой функцией. Однако существование конкуренции между входящими потоками, характеризующимися своими целевыми функциями, вызывает затруднения в формулировке единой для всей системы целевой функции и требует применения новых подходов при учёте этих особенностей. Рассмотрим задачу оптимизации функционирования системы такого рода, основанной на одном из таких подходов [1; 2]. Исследуемая в данной работе система функционирует при наличии неопределённостей, указанных выше.

Постановка задачи. Рассмотрим систему с множественным доступом [3] с двумя узлами, передающими сообщения по каналу связи. Каждый узел, получив сообщение, передает его немедленно, не зная состояние канала - занят он или свободен. Будем считать, что сообщение передано успешно, если только один узел передает сообщение и канал свободен от сообщений другого узла. Если два сообщения от разных узлов перекрываются в канале, то возникает «конфликт», который обнаруживается по окончании передачи. Такие сообщения передаются повторно с предварительной случайной задержкой. Повторные передачи продолжаются до тех пор, пока сообщение не будет принято (успешная передача). Если в узле имеется сообщение для передачи (узел занят), то но-

вое сообщение, поступающее в узел, не принимается и теряется.

Входные потоки сообщений, поступающие в передающие узлы, являются независимыми пуассонов-скими процессами с известными параметрами Л1 и Я2. Время передачи сообщения от г-го узла по каналу является случайной величиной с показательным распределением с известными параметрами /и1 и /л.2- Случайное время задержки повторной передачи подчинено показательному распределению с точностью до неизвестных параметров у и у2. Для каждого узла ставится задача максимизации числа сообщений, успешно переданных за единицу времени. При этом у1 и у2 являются неизвестными управляемыми параметрами системы, оптимизирующими ее функционирование с точки зрения заданных критериев.

Так как узлы передают сообщения независимо друг от друга и каждый из них стремится максимизировать свою пропускную способность, то задачу оптимизации можно сформулировать в виде бесконечной непрерывной бескоалиционной игры двух лиц с некомпактными множествами стратегий. Под стратегиями будем подразумевать параметры у1 и у2 распределений времён задержки. Рассмотрим игру

Г=< I, {у }ге1, {Ц }ге1 > , где I = {1,2} - множество передающих узлов,

Ц(У,У2) - непрерывная функция, выражающая математическое ожидание числа сообщений, успешно переданных узлом г (г =1,2) за единицу времени, и определенная на множестве:

У хУг = {(УУ2):У > 0 У2 > 0}.

Анализ системы. Получим явные выражения для функций выигрыша Ц(у,у2) и Ц2(у1,у2).

Функционирование расматриваемой системы с множественным доступом опишем пятимерным марковским случайным процессом

{ц^), ^), ), ]2^),УЦ)},

где 4 (() - число сообщений узла к (к =1,2), ожидающих в момент t повторной передачи (гк = 0 или 1);

/к (0 - число сообщений узла к (к =1,2), передаваемых по каналу в момент t (/к = 0 или 1);

КО = 1, если передаваемое сообщение “испорчено” в результате конфликта;

К) = 0 в случае успешной передачи.

Данный процесс представляет собой цепь Маркова с непрерывным временем и имеет конечное множество сообщающихся состояний. Согласно достаточному условию Маркова-Бернштейна для цепи Маркова существует единственное стационарное распределение вероятностей состояний Р (/ь г2,/ь /2, У). Пользуясь известной техникой [4], построим систему уравнений равновесия относительно стационарных вероятностей:

= 0,

где 7- вектор вероятностей Р (іі, і2, Уь І2, V):

Р

Р

Р

Р

Р

77= Р

Р

Р

Р

Р

Р

Є - инфинитезимальная матрица:

Л +Л2 — Мі — М2 0 0 0 0 0 0 0 0

- А1 А2 + Мі 0 0 — 7і 0 0 0 0 0 0

— А2 0 Аі + М2 0 0 — 72 0 0 0 0 0

0 — А2 — А1 Мі + М2 0 0 — 7і — 72 0 0 0

0 0 0 0 А2 + 71 0 0 0 — М2 0 0

0 0 0 0 0 А2 + Ї2 0 0 0 — Мі 0

0 0 0 — Мі 0 0 М2 + 7і 0 0 0 0

0 0 0 — М2 0 0 0 Мі + 72 0 0 0

0 0 0 0 — А2 0 0 0 М2 0 0

0 0 0 0 0 — А1 0 0 0 Мі — 7і

0 0 0 0 0 0 — М2 — Мі 0 0 7і + 72

Система уравнений равновесия (1) совместно с

условием нормировки Т Е = 1 (Е - вектор-столбец, состоящий из единиц) однозначно определяет вектор вероятностей т, которые являются рациональными функциями двух переменных у, у. При этом функции выигрыша Цг (У1, У2 ) (г =1,2) имеют вид:

Ц1(у1,у2) = Я1[ Р(0,0,0,0,0) + Р(0,1,0,0,0)],

Ц2(у,у2) = Л2[ Р(0,0,0,0,0) + Р(1,0,0,0,0)],

где входящие в эти выражения вероятности суть вероятности успешной передачи сообщений, которые могут быть найдены явно из системы уравнений (1), а множитель А(і = 1,2) - математическое ожидание числа сообщений, поступивших на узел і в единицу времени. Выражая вероятности вектора п, например, через Р(0,1,0,0,0), запишем функции выигрыша в виде:

А(у,у)_ Аі

^'2(У,72) = А2'

72[77Мі

72[7і72Мі

А а2

+ П- ^(0,і,0,0,0),

+ 722 Д0,1,0,0,0),

где Р(0,і,0,0,0) определяется из условия нормировки и представляет собой рациональное выражение относительно 7і и 72 и инфинитезимальных характеристик Аі, Мі (і = і,2). (В этом выражении в числителе будет полином по 7 степени 2, по 72 степени і; а в знаменателе - полином по 7 степени 2, по 72 степени 3).

Оптимизация. Оптимальным решением бескоалиционной игры является ситуация равновесия, т. е. такая точка (7 , у2), для которой справедливо:

Ц (у\У*) > У2) Vу > ^

Ц2(У*,У2*) > Ц2(у1',у2) VУ2 > 0.

Так как функции выигрыша непрерывно дифференцируемы, то для нахождения ситуации равновесия воспользуемся необходимым условием экстремума (учитывая, что каждый игрок стремится максимизи-

где аі(У2)(і = 0,...,4), Ьі(У2)(і = 0,...,5) - многочлены от у2 с известными коэффициентами, определяемыми через характеристики исследуемой системы Я; , Мі (І =1,2).

Для существования решения (у, у2) системы (2) необходимо и достаточно [5], чтобы результант многочленов данной системы, являющийся многочленом от одного неизвестного (у2), был равен нулю, а его корни не обращали в ноль коэффициенты а0(у2) и

Ь0(у2). Находя результат:

ао(7і) аі(Уі) а2 (У2 ) а3 (У2 ) а4 (У2) 0 0 0 0

0 а0(Ї2) а1(У2) а2(У2) а3 (У2 ) а4 (У2) 0 0 0

0 0 а0(Ї2) аі (У2 ) а2 (У2) а3 (У2 ) а4 (У2) 0 0

0 0 0 а0(У2) аі (У 2 ) а2 (У 2 ) а3 (У2 ) а4 (У 2 ) 0

0 0 0 0 а0

Ь0(У2) Ь1(У2) 2 2 Ь Ь.3 (У 2) Ь4(У2) Ь5 (У2 ) 0 0 0

0 Ь0(У2) Ь1 (У 2 ) Ь2(У2) Ь3 (У 2 ) Ь4 (У 2) Ь5 (У 2 ) 0 0

0 0 Ь0(Г2) Ь1 (У 2 ) Ь2 (У 2 ) Ь3 (У 2 ) Ь4 (У 2 ) Ь5(У2) 0

0 0 0 Ь0

и приравнивая его к нулю, получим уравнение вида: ^ 2 ^

С0)У2 ^ С\У2 ^ ^ С19^2 ^ С20 = 0, ду2 * * , ' , "

где с, (г =0,2,...,20) - постоянные коэффициенты, за- 2,2

висящие от значений Л\, A2, ^ М параметров исход- Таким образом, в статье рассмотрена постановка

ной системы с множественным доступом. Чтобы по- задачи многокритериальной оптимизации информа-

лучить решение системы (2), находим действитель- ционной системы с множественным доступом с воз-

ные неотрицательные корни этого уравнения (чис- можностью возникновения конфликтов сообщений,

ленным методом при фиксированных Ль Л2, Мь М2), а передаваемых разными узлами системы. Предложен

затем подставляем их в коэффициенты системы (2), алгоритм решения данной задачи как задачи нахож-

после чего каждое уравнение системы решаем отно- дения ситуации равновесия в бескоалиционной игре

сительно неизвестного у2. В качестве решения систе- двух лиц. Получен явный вид функций выигрыша

мы берем совпадающие корни ее уравнений, удовле- игроков, описана методика нахождения оптимального

творяющие условию неотрицательности. Найденные управления (у2*, у2*) как решения системы полиноми-

пары (у2 , у2) являются для игры Г точками, которые альных уравнений. Если же при решении рассматри-

могут быть ситуациями равновесия. Для проверки ваемых уравнений не получено действительных неот-

этого предположения используется достаточное усло- рицательных корней (т. е. удовлетворяющих услови-

вие экстремума: ям игры), то бескоалиционная игра Г не имеет реше-

ния в виде ситуации равновесия. В этом случае необходимо рассматривать другие принципы оптимальности [2; 6].

Литература

2. Чекменев, В. А. Теоретико-игровой подход к задаче максимизации пропускной способности канала с множественным доступом / В. А. Чекменев, Т. Д. Чекменева // Сети связи и сети ЭВМ как модели массового обслуживания. - Минск, 2992. - С. 235 - 236.

2. Чекменев, В. А. Некоторые подходы к оптимизации канала с множественным доступом / В. А. Чекменев // Сети связи и сети ЭВМ. Анализ и применение. - Минск, 2992. - С. 223 - 224.

3. Бертсекас, Д. Сети передачи данных / Д. Бертсекас, Р. Галлагер. - М.: Мир, 2989. - 544 с.

4. Гнеденко, Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. - М.:

Наука, 2987. - 336 с.

5. Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. ван дер Варден. - М.: Мир, 2979. - 648 с.

6. Вилкас, Э. И.Оптимальность в играх и решениях / Э. И. Вилкас. - М: Наука, 2990. - 256 с.

ровать свою функцию выигрыша). Преобразовывая систему уравнений: —- = 0, г = 2,2,

получим полиномиальные уравнения с неизвестными у, у2, которые можно записать как уравнения относительно, например, у:

а0 (У2 )у4 + а2(У2)У2 + + а4 (У 2 ) = 0

Ь0 (У2 )у2 + Ь2 (У2 )у2 + • " + Ь5 (У2 ) = 0,

Информация об авторах:

Чекменев Владимир Алексеевич - кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики математического факультета КемГУ.

Vladimir A. Chekmenev - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Assistant Professor at the Department of Research Automation and Technical Cybernetics, Kemtrovo State University.

Чекменева Татьяна Дмитриевна - кандидат технических наук, доцент кафедры общей и региональной экономики экономического факультета КемГУ,8-923-612-48-90, chtd42@yandex.ru.

Tatyana D. Chekmeneva - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Assisatnt Professor at the Department of General and Regional Economics, Kemtrovo State University.

Статья поступила в редколлегию 10.02.2014 г.