Письмо редактору: Парадокс. Контур с током в электрическом поле

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 4. 2009. С. 76-78

Физика

УДК 539.12

Письмо редактору: Парадокс. Контур с током в

электрическом поле

Р. И. Храпко

Кафедра физики Московский авиационный институт Волоколамское ш., 4, Москва, Россия, 125993

Вектор Пойнтинга, существующий в скрещенных электрическом и магнитном полях, действительно является вектором плотности потока энергии.

Ключевые слова: вектор Пойнтинга, локализация энергии-импульса.

Если контур с постоянным током находится в постоянном электрическом поле Е, которое касательно к плоскости контура, как показано на рис. 1, то вектор Пойнтинга Б = [ЕН] направлен вниз. (Для простоты мы рассматриваем прямоугольный контур). Вектор Пойнтинга является вектором плотности потока электромагнитной энергии. В связи с этим возникает вопрос, какова дальнейшая судьба энергии, притекающей к нижней стороне нашего контура? [1]

I

J

Рис. 1. Прямоугольный контур с током находится в электрическом поле

Отсутствие ответа на этот вопрос способствует сомнению в локальном смысле вектора Пойнтинга как вектора плотности потока электромагнитной энергии. Дело в том, что в литературе весьма распространено мнение, что «физическим смыслом обладает лишь интегральный поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность, но не вектор Пойнтинга сам по себе» [2]. Это мнение восходит к лекциям Л. И. Мандельштама [3].

Отказ от локализации энергии-импульса присутствует и в книгах [4, 5], поскольку вектор Пойнтинга является компонентом тензора энергии-импульса. Мнение о неопределённости и нелокализуемости энергии-импульса поля изложено во всех учебниках по теории поля (см., например, [6]). Его разделяет Р. Фей-нман [7].

В то же время в литературе существует противоположная точка зрения, согласно которой тензор энергии-импульса обладает локальным смыслом [8]. Это мнение разделяли Ландау и Лифшиц в книге [9], Рашевский [10] и Синг [11].

Существует операционное определение тензора энергии-импульса Т:

«Если среда и (или) поле локально ограничены инфинитезимальным элементом ЗУ¡з, то этот элемент получает инфинитезимальный 4-импульс

АРа = Т ^ .»

Статья поступила в редакцию 4 июня 2009 г.

Письмо редактору: Парадокс. Контур с током в электрическом поле

77

Вопреки сомнениям Мандельштама, энергия Б = [ЕН] действительно циркулирует по замкнутым кривым в области непараллельных электрического и магнитного статических полей. Иначе не выполнялся бы закон сохранения момента импульса [7, с. 304], [12].

Приходится констатировать, что ошибочное мнение о неоднозначности тензора энергии-импульса и сомнения относительно формулы (1) не приносят вреда науке и технике только потому, что не принимаются всерьёз. Но тогда зачем они повторяются во всех учебниках?

Эта тема уже рассматривалась подробно в [13]. В настоящей заметке показано, что использование вектора Пойнтинга как вектора плотности потока электромагнитной энергии позволяет описать потоки энергии при рассмотрении контура с током в электрическом поле и таким образом подтвердить локальный смысл тензора энергии-импульса.

Для простоты рассматриваем не контур, а бесконечный соленоид в однородном электрическом поле Е (двумерная модель). Будем считать, что именно такой соленоид изображён на рис. 1

Поверхностную плотность электрического тока и напряжённость магнитного поля соленоида обозначаем ] = Н. Идея заключается в том, что энергия, приносимая на нижнюю сторону соленоида вектором Пойнтинга Б = [ЕН], передаётся движущимся носителям тока, потому что на них действует электрическая сила. Будем считать носители положительными, поверхностную плотность их обозначим р, а скорость V. Тогда ] = ри, поверхностная плотность силы есть Е = рЕ, и получаемая носителями поверхностная плотность мощности есть Еи = рЕп = jE = ЕН = Б. Если умножить эту величину на ширину I соленоида, получится мощность, приносимая носителями к правому нижнему ребру соленоида на единицу его длины, Ш = ЕН1 Вт/м. Эта мощность поднимается носителями по правой стороне соленоида, а затем — по верхней стороне соленоида, превращается в поток энергии, уносимый вниз полем вектора Пойнтинга. Это происходит потому, что носители тока испытывают там тормозящею силу Е = рЕ. Таким образом, линии тока энергии оказываются замкнутыми, как и должно быть, согласно закону сохранения энергии.

Представляется интересным понять, в каком виде энергия поднимается по правой стороне соленоида. Ответ на этот вопрос зависит от определения свойств носителей тока. Примем здесь, что плотность и скорость движения носителей всюду постоянна. В качестве модели такой ситуации можно представить себе, что носители закреплены на движущейся несжимаемой замкнутой ленте. В этом случае наша лента окажется под воздействием плотности силы Е = рЕ на нижней стороне соленоида. Поэтому она окажется сжатой на правой стороне соленоида. Линейное давление (т. е. отрицательное поверхностное натяжение) в ленте, поднимающейся вверх по правой стороне, будет поэтому равно Р = рЕ1 Н/м. Мы должны вспомнить теперь, что сжатая движущаяся среда содержит в себе плотность потока энергии. В данном случае этой средой является наша лента с носителями. Она и обеспечивает плотность потока энергии Ри = рЕ1ь = ЕН1 = Ш. Этот поток направлен вверх по правой стороне соленоида. Он замыкает поток электромагнитной энергии, направленный вниз и представленный вектором Пойнтинга внутри соленоида.

Литература

1. Перевозский Т. А. Замечания к статье Р. И.Храпко «Локализация энергии-импульса и спин» // Вестник РУДН. Серия Физика. — 2005. — № 1(13). — С. 78-79.

2. Барабанов А. Л. Об угловом моменте в классической электродинамике // УФН. — 1993. — Т. 163. — С. 77.

3. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. — М.: Наука, 1972. — С. 19.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973. — С. 107.

5. Райдер Л. Квантовая теория поля. — М.: Мир, 1987. — С. 111.

78

Храпко Р. И.

6. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: ГИТТЛ, 1957. — С. 23.

7. Фейнман Р., Лейтон Р. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. — М.: Мир, 1977.

8. Петров А. З. Новые методы в общей теории относительности. — М.: Наука,

1966. — 382 с.

9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1965. — С. 15.

10. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Гостехиздат,

1967. — 304 с.

11. Синг Д. Л. Общая теория относительности. — М.: ИИЛ, 1963. — 154 с.

12. Сивухин Д. В. Общий курс физики, Т. 3, Ч. 2. — М.: Наука, 1996. — С. 24.

13. Храпко Р. И. Локализация энергии-импульса и спин // Вестник РУДН. Серия Физика. — 2002. — № (10)1. — С. 35-39.

UDC 539.12

Letter to Editor: Paradox. An Electrical Current Circuit in

Electric Field

R. I. Khrapko

Department of Physics Moscow Aviation Institute 4, Volokolamskoe ave., Moscow, Russia, 125993

The Poynting vector, which exists in crossing electric and magnetic fields, in reality represents energy flux density.

Key words and phrases: Poynting vector, localisation of energy and momentum .