Начальные напряжения в анизотропном неоднородном цилиндре, образованном намоткой

4/2010 М1 ВЕСТНИК

НАЧАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В АНИЗОТРОПНОМ НЕОДНОРОДНОМ ЦИЛИНДРЕ, ОБРАЗОВАННОМ НАМОТКОЙ

INITIAL STRESSES IN ANISOTROPIC INHOMOGENEOUS CYLINDER FORMED BY WINDING

В.И.Антонов V.I.Antonov

МГСУ

В работе рассмотрена задача определения начальных напряжений, возникающих в цилиндре, образованном намоткой с натягом некоторой ленты на упругий сердечник. Получено аналитическое решение поставленной задачи в предположении, что сформированный рулон представляет собой анизотропный неоднородный цилиндр.

The paper presents solution to the problem of initial stresses determination in a cylinder formed by winding a belt on elastic reel. Tensile pull is assumed to be variable. Closed-form formula solution is determined using the assumption that formed material is anisotropic and inhomogeneous.

Поставим целью определить напряжения и деформации, возникающие в рулоне к моменту окончания его формирования. Под рулоном понимаем цилиндрическое тело, образованное намоткой натянутой некоторой силой ленты на цилиндрический сердечник, представляющий собой упругий изотропный полый цилиндр [1]. Задача о намотке цилиндра принадлежит классу так называемых задач для растущих тел [2,3,4]. Отличие предлагаемого подхода состоит в том, что формируемый намоткой материал является анизотропным и неоднородным.

Процесс намотки моделируется надеванием с натягом последовательности цилиндрических слоев, причём натяг зависит, вообще говоря, от номера слоя [5]. Деформированное состояние считаем плоским и одномерным (все величины зависят только от координаты r - расстояния от оси сердечника).

Допустим, что свойства материала рулона вполне определяются свойствами материала ленты, из которой он формируется, но сам материал изменяются, так что свойства двух различных слоев могут быть неодинаковыми. В этом случае сформированный рулон будет представлять собой анизотропный неоднородный цилиндр. Деформационные свойства материала рулона задаются при этом модулями упругости E. и

коэффициентами Пуассона v., которые некоторым образом зависят от координаты r

и наружного радиуса ro.

Напряжения в какой-либо точке складываются из напряжений, возникающих при намотке слоя, которому принадлежит эта точка, и напряжений, возникающих при намотке каждого из последующих слоев.

Задача о догрузке рулона, состоящего из к -1 слоя, возникающей при намотке следующего слоя с номером к, представляет собой задачу типа задачи Гадолина для трёх цилиндрических тел: а/ упругий изотропный сердечник с наружным радиусом Го ;

б/ полу сформированная часть рулона - неоднородный упругий анизотропный цилиндр; в/ тонкий слой, анизотропный однородный. Такая задача представляет собой краевую задачу линейной теории упругости для неоднородного тела, которая может быть решена, если деформационные свойства материала рулона предполагаются произвольными, но известным образом распределёнными по радиусу цилиндра.

В каждом из трёх тел радиальные перемещения и удовлетворяют уравнению равновесия:

р

где

р= 7 ; Ез = Е.. =Л. Е.; А. =•

/Г з 31 4 4

=1 - уп узз; з= уз+у-> уп; 3,1 = г ,6,2.

Общее решение уравнения (1) представим в виде и = и + 02 и , где и Б2 -

константы интегрирования, для определения которых имеем следующие граничные условия:

а/ внутри сердечника приращение давления равно нулю, снаружи при намотке слоя с номером к появляется приращение давления АкР ;

б/ рулон, состоящий из к -1 слоя, получает на границах приращения давления ДкР внутри и АкР снаружи;

в/ приращение давления снаружи слоя с номером к в момент намотки этого слоя на рулон равно нулю, внутри - АкР .

Для определения приращений давления АкРо и АкР имеем контактные условия: а/ на поверхности сердечника (при р = ро = 1) перемещения точек сердечника и рулона одинаковы:

А ки «

заметим, что условие (2) справедливо только при к > 2 ; при к = 1, т.е. при намотке первого слоя, условие (2) заменяется другим:

А ки

так как, наматывая с натягом первый слой, мы задаём тем самым разрыв перемещений, равный разности радиусов недеформированного сердечника и нерастянутого слоя (кольца);

б/ на границе между рулоном и слоем с номером к перемещения удовлетворяют условию

4/2010_М|ВУТНИК

А^

аналогичному условию (3).

В результате получаем приращения компонент тензора напряжений в некоторой точке рулона, состоящего из к = 1 слоя, возникающие от намотки очередного слоя с номером к:

д

Д а. -----—т-—г--;

р 1

и в самом наматываемом слое:

д

^ -----7-\-7---•

р 1

Здесь обозначено:

ф1 (Р) = Е„ (р)ри[(р)+Е„ Ыи Ы;

ф 2 Ы = Е {р)ри[ (Р) + Е„ Ыи (Р);

П,1 - 1 = + Е„ Ц; Пг2 - Ф2 = РК и; + Егв и2;

пв1 = р-Е X + Ц; пв2 2 = Р К и2 + X;

П,1 - Х1 =рЕ1г X + Ц; Я2 - Х2 =рЕгг и2 +

X )-^Ф1 ) (1 -2у) + (1 -е)2 1 + г . ----4 = —_—^---; Рк =Рк +АРк;

X (Р. )"^ф2 (Р. )' 1 "(1 - е)2

Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона материала сердечника; е - отношение толщины стенок сердечника к его наружному радиусу; Арк - толщина слоя.

В соответствии с принятым алгоритмом вычисления напряжений получаем для некоторой точки рулона, принадлежащей слою с номером т :

{Рт <Р< Рт+,) = Д 2) + £ А ко

к=т+1

где N - число слоев в полностью сформированном рулоне.

Таким образом, напряжения в данной точке рулона вычисляются как сумма приращений напряжений, возникающих за счёт намотки всех наружных для данной точки слоёв, сложенная с приращением соответствующей компоненты напряжения, полученным за счёт деформации слоя, которому принадлежит рассматриваемая точка, при его намотке на рулон.

Заметим, что при получении решения (7) не использовалось никаких упрощающих предположений, связанных с толщиной слоя. Таким образом, получено точное в рамках принятой постановки решение задачи об определении начального напряжённого состояния анизотропного неоднородного рулонированного цилиндра, состоящего из любого конечного числа слоёв.

Во многих практически интересных случаях формируемый рулон содержит большое количество слоёв, так что толщину слоя можно считать малой по сравнению с характерным размером.

Рассмотрим составной цилиндр, образованный сердечником и надетым на него без натяга вторым цилиндрическим телом. Наружный радиус составного цилиндра - х.

Под действием приложенного на наружной поверхности давления Р (х) во внешнем

цилиндре возникают напряжения, определяемые из решения задачи Ламе:

' Ф, (х)-сф2 (х) р

При увеличении наружного радиуса на dx , что соответствует намотке с натягом на цилиндр дополнительного материала (слоя толщиной dx ), наружное давление получает приращение

dx

dP

х

где ат - напряжение натяга, равное среднему значению тангенциального напряжения во вновь намотанном тонком слое. Пренебрегая в слое величиной dP( х) по сравнению с напряжением натяга, а также учитывая, что давление на наружной поверхности рулона равно нулю, получаем приращения (вариации) напряжений в точке с координатой р , возникающие при увеличении наружного радиуса рулона на dx :

Х ( П'1 (Р)~ С П!2 Ы ( \ dX Пт

8о\р,х + dx) =--—-— -ат

Ф1 \х)-с2 (х) р

Поскольку вся наружная часть рассматриваемого составного цилиндра образована намоткой с натягом некоторой ленты на сердечник, то для вычисления напряжений в какой-либо точке рулона с координатой р необходимо проинтегрировать уравнение (10) по всем в пределах от рассматриваемой точки до наружного радиуса полностью сформированного рулона р":

оо-'Ь (х)^^^^г -т (х)с»

; ф, (х)-с 2 (х) р

причём:

ат =0; < =Уват.

Формулы (11) и (12) могут быть также получены путём предельного перехода непосредственно из формул (5), (6) и (7).

Заметим, что рассмотренные предельные переходы используются только как способ вычисления сумм (7). Решения (11), как функции координаты р дифференцируемы только в пределах каждого «реального» слоя. При переходе через поверхность контакта слоёв могут терпеть разрыв или сами функции, или их производные.

Таким образом, если сформированный рулон представляет собой анизотропный неоднородный упругий цилиндр, содержащий любое конечное число слоёв, толщиной которых по каким-либо причинам пренебрегать нежелательно, решение задачи об определении намоточных напряжений дают формулы (5), (6) и (7). Если число слоёв достаточно велико, так что толщина слоя может считаться малой по сравнению с характерным размером, то возможно усреднение напряжений по толщине слоя. В этом случае может быть использовано приближённое решение (11), (12).

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

Как точное, так и приближённое решения предполагают, что функции Е , характеризующие деформационные свойства материала рулона, заданы как функции координаты р . При этом предполагается, что эти функции дифференцируемы по координате р . Полученное решение содержит две, неопределённые пока, функции и и и , которые, напомним, могут быть определены только, если заданы функции Е (р),

определяющие деформационные свойства материала рулона.

В качестве примера приведём самый простой случай изотропного рулона, сформированного при постоянном напряжении натяга:

сг = -п

Р

2р

-• ln

Р

Р

СТ„ = СТ

1 . ln

2Р

Р

р + co

(1 + уо )(1 - )~пЕо (1 + уо ) + уЕо

где V и Е - коэффициент Пуассона и модуль упругости материала рулона.

Литература:

1. Антонов В.И., Кузнецов В.Н. О напряжениях и деформациях, возникающих при намотке рулона из физически-нелинейного анизотропного материала // В кн. Некоторые вопросы расчёта строительных конструкций. М.: МИСИ, 1983, с. 176-192.

2. Победря Б.Е. Механика композитных материалов// М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1984, 336с.

3. Тринчер В.К. О постановке задачи определения напряжённо-деформированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР, МТТ, 1984, №2.

4. Тринчер В.К. Теория наращиваемых тел // М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1989, 154 с.

5. Саусвелл Р.В. Введение в теорию упругости // М.: ИЛ, 1948, 550 с.

Literature:

1. Antonov V.I., Kuznetsov V.N. About stresses and strains, arising at winding of a roll from a physically-nonlinear anisotropic material // In the book: Some questions of calculation of building constructions. M., MISI, 1983, p. 176-192

2. Pobedria B.E. Mechanics of composites // M.: Pub. of Moscow Univ., 1984, 336 p.

3. Trincher V.K. About setting of the problem of stress-strain state finding for growing body // Bulletin of the USSR Academy of Sciences. Mechanics of Solids, 1984, N2.

4. Trincher V.K. Theory of growing bodies // M.: Pub. of Moscow Univ., 1989, 154 p.

5. Southwell R. V. An introduction to the theory of elasticity // M., FL, 1948, 550 p.

Ключевые слова: анизотропия, неоднородность, упругость, рулон, намотка, нелинейность, напряжения, растущее тело,

Key words: anisotropy, heterogeneity, elasticity, roll, rolling, nonlinearity, stresses, growing body

121170, г.Москва, Кутузовский проезд, дом 4, корп. 1-а, кв. 7., тел. 8 916 836 53 65, viktant@inbox.ru

Рецензент: Шешенин Сергей Владимирович, доктор физ.-мат. Наук, профессор, кафедра механики композитов, МГУ им. М.В.Ломоносова