Внутренняя задача для кольцевой рамочной антенны

УДК 004.383

ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КОЛЬЦЕВОЙ РАМОЧНОЙ АНТЕННЫ

© 2010 г. В.А. Велегура, В.Ю. Титов

Новочеркасское высшее военное Novocherkassk Higher Military

командное училище связи School of Communications

Рассматривается внутренняя задача для кольцевой рамочной антенны, размеры которой соизмеримы с длиной волны. В строгой постановке исследуется функция распределения тока и входной импеданс антенны. Приводятся результаты расчета и сравнительная оценка точных и приближенных аппроксимаций.

Ключевые слова: рамочная антенна; внутренняя задача; дельта-функция; функция распределения тока; ряд Фурье; входной импеданс.

The article focuses on the internal problem for the circular loop antenna which sizes are with a wave length. In strict statement function of current distribution and an antenna entrance impedance are investigated. Results of calculation and a comparative evaluating of the minute and approached approximations are yielded

Keywords: a loop antenna; an internal problem; delta-function; function of distribution of a current; the Fourier series; entrance impedance.

Кольцевые рамочные излучатели широко используются не только в качестве самостоятельных антенн, но и в качестве элементов антенных решеток различной топологии. Решение большинства задач, связанных с определением основных параметров рамочных антенн, базируется на использовании функции распределения тока, найденной в нулевом приближении (косинусоидальное распределение). Однако, как показывает опыт, такое распределение тока справедливо только для тонких рамок, периметр которых значительно меньше длины волны.

Причина несоответствия принятой модели функции распределения тока, истинному закону распределения заключается в качественном изменении свойств излучающих элементов с ростом их геометрических размеров по сравнению с длиной волны. С ростом периметра рамочной антенны происходит перераспределение энергии электромагнитного поля, создаваемого антенной в окружающем пространстве.

Энергия поля в ближней зоне уменьшается, а в дальней возрастает, что подтверждается ростом сопротивления излучения рамочной антенны. За счет интенсивного излучения наблюдается затухание тока вдоль провода кольцевой рамки. В результате этого косинусоидальное приближение для функции распределения тока не достаточно объективно отражает характер изменения электрических параметров антенны с ростом частоты.

Наиболее полная и правильная оценка характеристик кольцевой рамочной антенны требует более точных приближений для функции распределения тока. Это обстоятельство приобретает важное значение при исследовании резонансных, нагруженных комплексными сопротивлениями рамок, периметр которых становится намного больше длина волны (kR = 2яRA = = 2, 3 и т.д.).

Определение функции распределения тока, являющееся сутью внутренней задачи, сводится к решению интегрального уравнения Халлена [1] для кольцевой рамочной антенны (рис. 1), возбуждаемой в точке Ф = 0 сторонней ЭДС в виде дельта-функции (функции Дирака). Вопросы, касающиеся внутренней задачи для рамочных излучателей, нашли свое отражение в работах [2, 3]. Большинство из них посвящены в основном уточнению результатов, полученных в фундаментальной работе [4].

о  V

2a sin —

Рис. 1. Кольцевая рамочная антенна

Для круглой идеально проводящей и достаточно тонкой рамки, удовлетворяющей условию

a2« R2; (ka)2 « 1,

справедливым является следующее интегральное уравнение

О(ф-ф') = iWТ(ф —ф')/(ф')^ф'. (2) 2л л

Ядром данного уравнения является функция

T (ф-ф') =

где

1 д2

kR cos(ф-ф') +---

kR дф2

R

е(ф-ф') = — х

2л

G(ф-ф'),

Vе ш 1 . .

1 (ф) = -i Vw^T е

n = -<Ю an

здесь &2п(х) - функция Ломмеля-Вебера порядка 2п, а J2n(x) - функция Бесселя 1-го рода порядка 2п.

Расчеты, проведенные с учетом ограничения (1), показывают, что при больших значениях п коэффициенты Тп, а соответственно и ап являются не достаточно верными. Особенно сильно это проявляется с увеличением диаметра провода рамки 2а, что характерно для реальных практических конструкций антенн, работающих в диапазоне дециметровых волн. Основываясь на [3], в [5] были получены более строгие соотношения для коэффициентов Тп

T = 1

п

л

K l — I '„1 fl + C

2kR

- 2 J [Q2n (X) + ÍJ2n (x)]dx,

г+л exp

xj_ -. _-dy.

-Л V4R2 sin2

Здесь R - радиус рамки; а - радиус провода рамки; W - волновое сопротивление среды; k = 2л/А, -волновое число для свободного пространства; Voe -напряжение возбуждающего генератора, которое при расчетах принимается равным 1 В.

Разложение в ряд Фурье подынтегральной функции интеграла (2) позволяет представить функцию распределения тока соотношением

где К0(х), /0(х) - модифицированные функции Бесселя нулевого порядка, соответственно второго и первого рода, а

п—1 1

Сп = 1п п + у — 2 --.

т=о 2т +1

Отличие (8) от (7) состоит в независимости Тп от А. При условии паМ < 1 и дополнительном ограничении п > kR справедливой является аппроксимация

„i na I ( na I , na

0 ina J101 na h-Y- ln2R;

Коэффициенты разложения an данного ряда выражаются соотношением

an = a-n = kR

Tn+1 + Tn-1

- T kR n

Jn

n—1 1 2 ^ —— m=0 2m +1

1

Г(п +1) ^ 2

y + ln4n ;

- I ; Q (x) « 0.

Дискретные комплексные компоненты Тп определяются путем интегрирования функции, представленной соотношением

1 л

Tn = T-n = — J 0

2л

1 2kR

-T J [Q2n (X) + iJ2n (x)]dx ,

2 n

При больших п допустимо соотношение Тп+1 + Тп—1 и 2Тп . В этом случае приведенные аппроксимации, с учетом (5) и (8), позволяют записать выражение для коэффициентов ряда Фурье в следующем виде:

Для тонких рамок, диаметр которых 2а удовлетворяет условию А < 2а < R / п, где А = 2а sinУ , интеграл (6) может быть записан [3] в виде

т 1, 8R 2 П— 1

Tn = — ln---^--

л 4 л m=0 2m +1

an = 11 kR - — kR

ln n0 - ln n - i

л^)

2n+1

Г

где Г(2п+2) - гамма-функция, у = 0,577 - постоянная Эйлера.

Данное соотношение позволяет рассчитать действительные и мнимые составляющие коэффициентов

разложения — = Ап + 1вп . Результаты расчетов со-

(7) ставляющих Ап и Вп представлены на рис. 2, 3 и 4.

n

2

n

Рис. 2. Действительные составляющие А0, Аь А2 коэффициентов разложения

Рис. 3. Мнимые составляющие В0, Вь В2 коэффициентов разложения

Рис. 4. Действительные А3, А4 и мнимые В3, В4 составляющие коэффициентов разложения

При расчетах в качестве параметра была выбрана

величина О = 21п. Обращает на себя внимание

а

тот факт, что зависимости для составляющих Аь Вь А2, В2 вблизи значений kR = 1 и kR = 2 имеют явно выраженный резонанс. Это говорит о том, что коэффициенты определяют фильтрующее действие рамки и выделяют те члены в ряде (4), которые соответствуют её резонансным размерам.

Так как ап = а_„ , то функцию распределения тока (4) для круглой рамки можно записать в ином виде

7 (ф) = " < W

(Ao + iBo) + 2 ^ (An + iBn) cos пф

.

Приведенные выше результаты расчета коэффициентов разложения показывают, что наибольший вклад в распределение тока вносят составляющие не более пятого порядка. Это позволяет бесконечный ряд в (10) представить в виде двух составляющих

ад 4

X (А + iBn)со«ф = X (А + iBn)со«ф + у(ф).

п=1 «=1

Второе слагаемое в данном соотношении определяется как

у(ф) =

2л

ln

kR с ^ i kR У „ ^. ч

^1

где

S (Ф) = j

ln

1 [ln(n0/4,5) - ln х] х2

52(ф) ^ j cosi4^.

dx;

На рис. 5 представлены графики результатов расчета функций ^(ф) и 52(ф) для значения О = 10.

1,85 1,60 1,35 1,10 0,85 0,06 0,35 0,10 -0,14 -0,39 -0,64

Т s

ф( iS

Ii [ У ) )

4 -,

0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 ф Рис. 5. Функции ^

Как следует из представленных зависимостей, функции S1(ф) и S2(ф) имеют существенное значение только в окрестности ф < 30 По мере увеличения аргумента ф их амплитуды убывают. Следовательно, влияние функций проявляется в основном на входной импеданс рамочного излучателя, а в остальных точках они несущественны.

На рис. 6 показаны зависимости распределения амплитуды и фазы тока вдоль проводы кольцевой рамочной антенны для значений kR=1 и kR=2.

Пунктиром на рис. 6 отображено нулевое (косину-соидальное) приближение для распределения тока. При расчетах во всех случаях полагалось О = 10, что соответствует 2^/а = 150. Сравнение полученных зависимостей показывает, что чем больше размер рамки, тем более сильное различие наблюдается между точным и приближенным законами распределения тока.

т

6,53 5,87 5,22 4,56 3,90 3,24 2,58 1,92 1,26 0,06

V 160 120 80 40 0

-40 -80 -120 -160 -200

Л - 1

Г" kR \ ^ * * kR - 2 / i-I

" \ \ \ if i i V

N 1 \ \ г А \ f i j \ г \ if 1 1 / 1

г 1 V V / i i i \ 1 * IT 31 11

\ Jv J / V 1 V/

\ / V * /I1 1 / у

V j f 1 / ii

/ \

Xf>  J

0 20 40 60 80 100 120 140 160 ф

4

\ kR -

\ 2

kR - 1 \ 4

,——ч \

\

\

0 20 40 60

100 120 140 160 180 ф

Рис. 6. Амплитуда и фаза тока, распределенного вдоль провода кольцевой рамочной антенны

х

В отличие от косинусоидального приближения ток в узлах при точном распределении не спадает до нуля, а принимает некоторое минимальное значение. При этом чем дальше узел находится от точки возбуждения (Ф=0), тем это значение становится меньше.

Характер изменения функции распределения тока подтверждает тот факт, что в результате излучения имеет место уменьшение амплитуды тока и дополнительное запаздывание по фазе вдоль провода рамки.

Входной импеданс Z = ¥ое/1(0) зависит не только от размера рамки, но и от характера распределения тока. Поправку в значение импеданса вносят составляющие высокого порядка в разложении Фурье, которые аппроксимируются функциями ^(ф) и £2(ф).

Поступила в редакцию

Литература

1. Hallen E. Transmitting and Receiving Qualities of Antennas // Nova Acta Upsaliensis, 1938. Series 4. Vol. 11.

2. Wu T.T. Theory of thin circular loop antennas // J. Math. Phys. Vol. 3, № 6. 1962.

3. King R.W. The loop antenna for transmission and reception, in Antenna Theory. Part 1, olited by R.E. Collin and F.J. Zucker, 1969. P. 458 - 482.

4. Storer J.K. Impedance of Thin wire loop antennas. Am. Inst. Elec. Engrs. Trans. 1956. Vol. 75, part. 1, 27, P. 606 - 619.

5. Велегура В.А., Сосунов Б.В. Входное сопротивление и характеристики излучения кольцевых антенн с реатив-ными нагрузками // Техника средств связи. Серия ТРС, Вып. 4(20), 1978.

24 ноября 2009 г.

Велегура Владимир Алексеевич - канд. техн. наук, профессор, кафедра «Многоканальная электросвязь», Новочеркасское высшее военное командное училище связи. Тел. 8-904-508-2497.

Титов Вячеслав Юрьевич - адъюнкт, кафедра «Многоканальная электросвязь», Новочеркасское высшее военное командное училище связи. Тел. 8-904-349-8357.

Velegura Vladimir Alekseevich - Candidate of Technical Sciences, professor, department «Multichannel telecommunication », Novocherkassk Higher Military School of Communications. Ph. 8-904-508-2497.

Titov Vyacheslav Jurevich - adjunct, department «Multichannel telecommunication », Novocherkassk Higher Military School of Communications. Ph. 8-904-349-8357.