Модель эволюции спутного следа воздушного судна при полете на крейсерском режиме

УДК 629.735

МОДЕЛЬ ЭВОЛЮЦИИ СПУТНОГО СЛЕДА ВОЗДУШНОГО СУДНА ПРИ ПОЛЕТЕ НА КРЕЙСЕРСКОМ РЕЖИМЕ

А. А. ХАУСТОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Рассматривается движение вихрей, сходящих с крыла воздушного судна, летящего на крейсерском режиме. Описаны основные механизмы разрушения и снижения дальнего спутного следа в турбулентной стратифицированной атмосфере.

Ключевые слова: вихревая безопасность, спутный след, эволюция спутного следа.

Введение

Учет фактора спутного следа, образующегося за летящим по маршруту воздушным судном (ВС), является актуальным при планировании воздушного пространства как с точки зрения безопасности полетов (БП), так и пропускной способности воздушных трасс.

Образование спутного вихревого следа является следствием действия на ВС подъемной силы. Его интенсивность и время жизни зависят от характеристик ВС, порождающего спутный след, а также от состояния атмосферы. Под действием естественных сил спутный след постепенно опускается и разрушается ниже траектории полета ВС. Спутный след создает риск для БП других ВС, двигающихся на соседних эшелонах. Этот риск обусловлен тем, что при попадании в область спутного следа возникают дополнительные силы и моменты, изменяющие динамику полета, происходит резкое возмущение траектории движения ВС, что может привести к потере управляемости, а также к травмам пассажиров и членов экипажа.

Вопрос о вихревой БП обострился при введении сокращенных минимумов вертикального эшелонирования (программа RVSM) и появлении новых сверхтяжелых магистральных ВС, таких как Airbus А380-800, Boeing 747-8, Boeing 787 Dreamliner, спутный след за которыми более интенсивен и снижается до 600 м.

В настоящей работе рассматриваются полуэмпирические модели ближнего следа, описывающие поле скоростей и положение вихрей в следе с учетом характеристик порождающего его ВС, а также модель эволюции спутного следа, включающая основные механизмы разрушения и потери высоты дальнего спутного следа в турбулентной стратифицированной атмосфере.

1. Постановка задачи и основные приближения модели

Рассматривается ВС с размахом крыла B, совершающее полет по маршруту на заданном эшелоне

H пол с крейсерской скоростью V в атмосфере с уровнем турбулентности q . В результате действия

подъемной силы за ним образуется спутный вихревой след. Интерес представляют основные характеристики, структура и время жизни спутного следа.

В модели будем использовать следующие основные приближения:

1) ВС совершает установившийся горизонтальный полет;

2) будем полагать, что вихревая пелена от каждой половины крыла сворачивается в некоторое вихревое образование, вследствие чего дальний след моделируется парой противоположно закрученных, симметричных вихревых жгутов одинаковой интенсивности. Таким образом, вихревая система крыла представляется двумя свободными вихрями, сбегающими с концевых кромок крыла, замыкающимися одним П-образным присоединенным вихрем той же интенсивности [1].

2. Характеристики ближнего спутного следа

Здесь мы рассмотрим такие вихревые характеристики, как интенсивность циркуляции, положение и радиус вихрей, для чего используем эмпирические модели вихря, основанные на экспериментальных данных и измерениях спутного следа при проведении летных испытаний [2].

Для определения начальной циркуляции вихревых жгутов Г0 воспользуемся следующими соображениями.

1. Известно, что подъемная сила крыла, выраженная через циркуляцию скорости П-образного вихря Г0 и расстояние между свободными вихрями Ь0, согласно теореме Жуковского, может быть записана в виде [1]

Ya=РVГ0Ъ0,

где р - плотность воздуха на высоте полета, кг/м3; V - скорость полета ВС - генератора следа, м/с.

2. Так как ВС совершает установившийся горизонтальный полет, то подъемная сила крыла компенсирует силу тяжести ВС Уа = т  g .

Учитывая эти два факта, начальную циркуляцию скорости вихревого жгута можно записать в виде

Г =^-.

РЬ07

где Ь0 - начальный размах вихрей, м. Полету ВС по маршруту с убранной механизацией соответствует эллиптический закон распределения циркуляции (следовательно, и нагрузки) по размаху крыла [3] и, в этом случае, начальный размах вихрей связан с размахом крыла формулой Ь0 =  В .

Начальная скорость опускания пары вихревых жгутов следа определяется соотношением

2жЪ,

= -^Ь

0

Для описания ближнего следа, образующегося за ВС после свертывания вихревой пелены, используются модели вихря, дающие зависимость тангенциальной компоненты скорости Ув(г) как функции

расстояния от центра вихревого жгута г . Данные модели позволяют по интегральным характеристикам ВС с помощью законов сохранения импульса и энергии получить характеристики вихрей следа на выходе из зоны ближнего следа.

Поле скоростей каждого вихревого жгута может быть представлено профилем его тангенциальных скоростей, рассчитанных, в соответствии с положениями теории потенциального течения, по формуле Био-Савара [3]

Г

^

2рг

Поле скоростей, индуцируемое парой вихревых жгутов, определяется как суперпозиция течений двух смоделированных вихрей с циркуляцией разного знака.

Данная модель вихря (в некоторых источниках называемая моделью вихря Гельмгольца) обладает существенным недостатком, так как в центре вихревого жгута (при г = 0) имеется неопределенность. В реальных течениях вследствие вязкости воздуха на оси вихревого жгута эта скорость и циркуляция равны нулю. С увеличением расстояния от оси вихревого жгута значения скорости увеличиваются, достигая своего максимума значения на границе ядра гс.

Модель вихря Ламба - Озеена позволяет избегать указанный недостаток, учитывая затухание вихря вне вихревого ядра вследствие кинетической вязкости воздуха [3; 4; 5]

с лл2 V

г

Ъ(г) = Р

2рг

1 - ехр

1.2526

г

г

где гс = л/4и радиус ядра, а V - кинетическая вязкость воздуха, м2/с.

Для определения скоростей в спутном следе за ВС помимо модели вихря Ламба - Озеена наиболее часто используют:

• модель вихря Халлока - Бёрнхема [6]

Г г2

1 о '

Ув(г) =0 2 + 2 2рг г + г,

с

модель вихря Ранкина [5]

Г г 1 0 '

2РГс Гс

2рг ’

при г < гс

при г > гс

Подробный обзор вопроса моделирования вихря в ближнем следе можно найти в работах [5; 7]. Сравнение профилей тангенциальных скоростей, рассчитанных по четырем приведенным выше моделям вихрей, представлено на рис. 1.

При расчетах использовались характеристики ВС Вое1^ 747-400 (размахом крыла В = 64.4 м), совершающего полеты на крейсерском режиме со скоростью V = 230м / с, начальной циркуляцией вихря Г0 = 630 м2 / с , радиус вихревого ядра полагался равным гс = 0.052 • Ь0.

Для определения радиуса ядра вихря, индуцируемого ВС, может быть использована эмпирическая формула Киндела [2]

= 0.35-V1 + 0.327• і.

Рис. 1. Поле тангенциальных скоростей в спутном следе за Воеі^ 747-400

3. Эволюция дальнего спутного следа

В основе описания эволюции спутного следа за ВС лежит модель Дональдсона и Биланина [8], в последствии развитая Грином [9], а также ее дальнейшие модификации [10; 11]. Модель Грина базируется на предположении о том, что импульс воздуха на единицу длины следа уменьшается в результате суммарного влияния естественных сил - силы вязкости (вязкого сопротивления), выталкивающей силы Архимеда (стратификации) и турбулентность воздушной среды

Ш , 2 dw

—=2ррК—=~рьс dі dі

dГ

dі

+ -

dГ

dі

+ -

dГ

dі

Л

пурб J

При анализе воздействия вязкости и архимедовой силы на спутный след будем предполагать, что оба вихревых жгута движутся параллельно на расстоянии Ь0 и заключены в эллипс с полуосями 1.73 • Ь0 /2 и 2.09• Ь0/2 [8; 9].

Стратификация атмосферы приводит к тому, что рассматриваемый эллипс, опускающийся из-за самоиндукции вихрей, оказывается в среде с отличными термодинамическими характеристиками, в результате чего на массу воздуха, замкнутую внутри кластера, начинает действовать архимедова сила. Влияние стратификации на спутный след определяется выражением [8]

-рЛЫ2 г ,

где N

Г л ( Е dрл

р dz

- частота Брента - Вяйсяля. В работе [12] для расчетов рекомендуется использовать

следующие значения: N(1) = 0 0.03 1/с; г - изменение высоты положения вихря, м; А - константа,

Р о

А = 1.73 • 2.09 — Ь02.

4 0

Перемещение рассматриваемого эллипса в вязкой воздушной среде рассматривается как движение тела, на которое действует сила сопротивления

г

с

сопр

страт

К

сопр

рм

-2.09Ъ—СГ 2 £

где Св - коэффициент вязкого трения, в работе [9] приводятся следующие значения константы Са — 0.2 при Яе > 600000 и Са — 0.4 при Яе > 400000.

Основное влияние на характеристики спутного следа оказывает турбулентная диффузия, которая приводит к росту турбулентного ядра и падению максимальной окружной скорости по мере удаления от ВС. Для определения скорости изменения циркуляции вихревой пары может быть использовано уравнение Дональдсона и Биланина [8]

ёГ = qГ

— К ,

&

к

где q - уровень турбулентности атмосферы, м/с, в работе [12] рекомендуется использовать q = 0.914 м/с (средний уровень турбулентности) и q > 1.524 м/с (высокий уровень турбулентности); к - безразмерная константа, в [9] полагается равной к = 0.82.

Из уравнения (10) следует, что циркуляция вихря Г(^) зависит от удельной турбулентной кинетической энергии q2 / 2. Влияние атмосферной турбулентности на спутный след может быть описано моделью Сарпкайя, в которой в качестве параметра, характеризующего турбулентность, используется ско-

*

рость затухания вихрей £ [11].

Разрушение следа связано с синусоидальной неустойчивостью вихревых жгутов, описанной Кроу. Неустойчивость Кроу приводит к тому, что в некоторый момент времени вихревые жгуты сталкиваются, образуя вихревое кольцо. Рассматривая неустойчивость Кроу, можно получить следующую оценку для времени разрушения вихревой пары следа [9; 12]

(-1.6 • '№п V

ехР

ехр(-10) + ехр

q

— 1,

л

где Т * —

К

- безразмерное время до момента касания вихрей.

Величина циркуляции уменьшается во времени из-за вязкого трения, стратификации и турбулентности атмосферы. Влияние вязкости и архимедовой силы на циркуляцию вихревого жгута можно определить по формуле

71—'

М-! сшат сопр /1ЛЧ

.

РК

&

сопр ,страт

Подставляя (8)-(9) в (12), учитывая (3) и (10), изменение величины Г(?) можно определять нелинейным дифференциальным уравнением

ёГ _ qГ

— —-0.82—-

2.09 Г

Вихревая пара постепенно опускается под действием естественных сил, соответствующее уравнение вертикального движения оси вихревого жгута от первоначального положения и начальные условия, в соответствии с (7) и (13), имеют вид

ё2Н 2.09• С (ёН

ёТ2

4 •р

ёТ

+ 0.82 •

q (ёН

+ -

Л^Ы2

ёТ ) 2 •

Н — 0,

где

ёН

ёТ

Г

К

у0 *0 ^0

Таким образом, дифференциальные уравнения (13) и (14) позволяют, учитывая характеристики ближнего следа с помощью соотношений (2) - (5) и параметры атмосферы, описать эволюцию спутного следа за ВС, совершающим полет на крейсерском режиме.

2

ЛИТЕРАТУРА

1. Мхитарян А.М. Аэродинамика. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1976.

2. Хаустов А.А. Динамика крена воздушного судна в спутном следе // Научный Вестник МГТУ ГА. - № 150. - 2009. - C. 11-18.

3. Филатов Г.А., Пуминова Г. С., Сильвестров П.В. Безопасность полетов в возмущенной атмосфере. - М.: Транспорт, 1992.

4. Ламб Г. Гидродинамика. - М.: ОГИЗ, 1947.

5. Gerz T., Holzaephel F., Darracq D. Commercial aircraft wake vortices // Progress in Aerospace Sciences Vol: 38, Issue: 3, Date: April, 2002, Pages: 181-208.

6. Burnham D.C., Hallock J.N. Chicago Monostatic Acoustic Vortex Sensing System,Volume IV: Wake Vortex Decay, D0T/FAA/RD-79-103 IV, July 1982.

7. Hinton D.A., Tatnall C.R. A candidate wake vortex strength definition for application to the NASA aircraft vortex spacing system (AVOSS). NASA TM-110343, 1997. 32pp

8. Greene G. An Approximate Model of Vortex Decay in the Atmosphere // Journal of Aircraft, Vol. 23, July 1986, pp. 566-573.

9. Corjon A. and Poinsot T. Vortex Model to Define Safe Aircraft Separation Distances // Journal of Aircraft, Vol. 33, No. 3, 1996, pp. 547-553.

10. Sarpkaya T. New Model for Vortex Decay in the Atmosphere // Journal of Aircraft, Vol. 37, No. 1, 2000, pp. 53-61.

11. Donaldson C. duP., Bilanin A.J. Vortex Wakes of Conventional Aircraft. AGARDograph No. 204, May 1975.

12. Воеводин А.В., Гайфулин А.М., Захаров С.Б., Судаков Г.Г. Зональный метод расчета следа за летательным аппаратом // Труды ЦАГИ. - 1996. - Вып. 2622. - С. 54-65.

AIRCRAFT WAKE VORTEX EVOLUTION MODEL DURING CRUISE

Khaustov A.A.

The motion of vortices trailing from the aircraft's wing during cruise is examined. Basic mechanisms of far wake evolution and destruction in a turbulent stratified atmosphere are described.

Key words: wake vortex safety, wake vortex, wake vortex evolution.

Сведения об авторе

Хаустов Александр Александрович, 1986 г.р., окончил МГТУ ГА (2009), руководитель группы оценки операционных рисков Инспекции по безопасности полетов «АК «Трансаэро», автор 6 научных работ, область научных интересов - оценка рисков для безопасности полетов, планирование воздушного движения.