Logic modeling of systems dynamics

УДК 519.8

ЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ

© В. И. Левин

Ключевые слова: непрерывная логика; моделирование; динамика автоматов; диагностика цифровых устройств; синхронизация систем; системы обслуживания; дискретная оптимизация.

Описана история открытия применения непрерывной логики для моделирования различных систем: динамика дискретных автоматов, динамическая диагностика цифровых устройств, синхронизация динамических систем, расчет систем обслуживания, дискретная оптимизации и др.

Наука логика, созданная стараниями великого древнегреческого ученого Аристотеля в IV в. до н.э., много веков оставалась логикой мышления и служила только в качестве средства для построения правильного мышления. Однако в XX в. после работ группы выдающихся ученых разных стран - японца А. Накаши-мы, американца К.Э. Шеннона, русского В.И. Шестакова, австрийца О. Плехля, немки Х. Пиш и других -выяснилось, что логика позволяет также моделировать поведение множества разнообразных систем, в основном, технических. Эта новая ситуация подтолкнула создание компьютеров и способствовала рождению ряда новых наук - кибернетики, искусственного интеллекта, компьютерных наук и др. Резко ускорился технический прогресс общества. Более внимательный анализ работ перечисленных ученых показывает, что реальное содержание их теорий - установление, с помощью операций булевой алгебры логики, зависимости двоичного состояния дискретной схемы от двоичных же состояний ее элементов в один и тот же момент времени. Так что указанные ученые реально открыли логико-алгебраическую модель статики работы дискретных схем. Что же касается динамики работы таких схем, то они ею никогда не занимались. Между тем изучение динамики дискретных схем имеет большое значение. Действительно, основные характеристики любой технически реализованной дискретной схемы -устойчивость, быстродействие, надежность и др. -формируются именно в динамическом (переходном) процессе, сопровождающем переход схемы из одного статического состояния в другое. С другой стороны, если дискретная схема не подлежит реализации, а представляет собой только удобную математическую модель для описания поведения некоторой системы (эволюция надежности системы, поведение социальной группы и т. д.), то интерес представляет только динамический процесс в схеме. Поэтому с конца 1940-х -начала 1950-х гг. началось интенсивное изучение проблемы адекватного описания динамики дискретных систем.

Проблема количественного изучения динамики дискретных схем может быть поставлена следующим

образом. Известна булева логическая функция у = /(х1,...,хп), описывающая зависимость состояния выхода дискретной схемы у от состояний ее входов х1,... , хп в один и тот же произвольный момент непрерывного времени Ґ , где х1,...,хп,у є{0,1} . При этом двоичные состояния входов и выхода схемы могут иметь самую различную интерпретацию, в зависимости от типа и назначения рассматриваемой схемы. Например, хі = 1 (у = 1) может означать проводимость контакта реле (проводимость схемы), а хі = 0 (у = 0) - их непроводимость в релейно-контактной схеме. Те же значения переменных могут означать работоспособные состояния элементов (хі = 1) и схемы из этих элементов (у = 1) или их неработоспособные состояния (хг- = 0, у = 0) , если эта схема является моделью надежности некоторой системы или хі = 1 и хі = 0 могут обозначать единичные и нулевые значения сигнала на различных і -х входах функциональной схемы с реализуемой на выходе у булевой логической функцией входов у = /(х,,...,хп), так что у = 1 и у = 0 обозначают единичные и нулевые значения сигнала на выходе схемы и т. д. Пусть известны процессы х1(/),..., хп(Ґ) , описывающие изменение состояний входов дискретной схемы во времени. Требуется найти процесс у(/), описывающий изменение состояния выхода схемы во времени, в виде аналитически выраженной суперпозиции процессов хі (Ґ), і = 1, п , описывающих изменение состояний ее входов во времени.

Процесс последовательного изменения состояния любого входа схемы состоит из некоторого его начального состояния а и последовательности моментов а изменения его состояний двух видов: а = изменение

0 ^ 1 в момент а ; 0'а = изменение 1 ^ 0 в момент а . Аналогично можно представить процесс последовательного изменения состояния выхода схемы с ука-

занными входами. Таким образом, проблему количественного изучения динамики дискретных схем можно представить структурно следующим образом. По заданной булевой логической функции у = /(х1,..., хп ) , описывающей зависимость состояния выхода дискретной схемы у от состояний ее входов х1,...,хп в один и тот же произвольный момент времени Ґ , и известным моментам последовательного изменения состояний

этих входов аі : аг1,аг-2,..., аіт , і = 1,п требуется

выразить моменты последовательного изменения состояния выхода схемы в виде аналитически выраженной суперпозиции моментов ая, а,2,..., аіт ,

і = 1, п . Именно возможность аналитического решения поставленной проблемы в виде указанной суперпозиции означает, что использованный для его получения математический аппарат с некоторым конечным набором операций является адекватным этой проблеме.

Сложность решения поставленной проблемы заключается в следующем. Во-первых, априори совершенно не ясна номенклатура операций, с помощью которой можно всегда осуществить вышеуказанную суперпозицию, причем так, чтобы она (номенклатура) была не только достаточной, но и необходимой для выполнения суперпозиции. Во-вторых, для решения проблемы никак нельзя использовать не только операции булевой (двузначной) алгебры логики (которые были успешно использованы для моделирования статики многих технических систем, но и операции любой дискретной логики, поскольку изменения состояний входов и выхода любой схемы с дискретными состояниями в общем случае могут происходить в любые моменты непрерывного времени. В-третьих, в силу сказанного во втором пункте, при решении данной проблемы невозможно воспользоваться подходами, наработанными в практике применения логики в науке и технике, и необходимо искать какие-то другие подходы.

Исследования по моделированию динамики дискретных систем начались в начале 1950-х гг. Исследователи тогда с трудом понимали, какой именно математический аппарат мог бы составить твердую теоретическую основу для решения стоящей перед ними проблемы. Однако некоторые, вероятно, уже понимали, что математическая логика в ее традиционной дискретной форме двузначной (булевой) или многозначной алгебры логики едва ли годится на эту роль. Поэтому первый этап работ в рассматриваемой области, который охватывает 1950-1960-е гг., характеризуется попытками использования самого разнообразного, чаще известного, а иногда и специально созданного нового математического аппарата (В.Н. Рогинский, Э.А. Яку-байтис, А.В. Нетушил и др. [1-3]). Открытие адекватного проблеме логико-математического аппарата произошло в начале 1970-х гг. Его автором был В.И. Левин.

Виталий Ильич Левин родился 17 мая 1936 г. в г. Одессе в семье служащих. Отец Илья Маркович Левин погиб под Москвой в 1941 г. Семья с 1941 по 1949 год проживала в эвакуации в г. Джалал-Абад (Киргизия), а с 1949 г. - в Прибалтике: до 1967 г. в г. Каунас (Литва), а затем в г. Рига (Латвия). В Каунасе В.И. Левин окончил

среднюю школу (1954 г.) и политехнический институт (1959 г.). Получение диплома инженера-механика было для него вынужденным, из-за материальных трудностей. Недостаток полученного теоретического образования он восполнял впоследствии, в основном, самостоятельно. В 1962 г. В.И. Левин поступил в аспирантуру по теоретической радиотехнике и в апреле 1966 г. защитил кандидатскую диссертацию по специальности «Кибернетика» в Совете АН Латвии (Рига). Его руководителем был Борис Рувимович Левин (Москва), выдающийся специалист по теоретической радиотехнике и теории надежности. В 1971 г. в том же Совете и по той же специальности В.И. Левин защитил докторскую диссертацию. В Прибалтике он работал сначала инженером Каунасского завода средств автоматизации, затем научным сотрудником Каунасского НИИ измерений, а с 1967 г. - старшим научным сотрудником Института электроники и вычислительной техники АН Латвии (Рига). В 1975 г. он переехал в г. Пенза (Россия). Здесь он работает поныне зав. кафедрой Пензенской государственной технологической академии.

B.И. Левин - обладатель многих академических и почетных званий (PhD, Grand PhD, Full Professor, академик Международной и Европейской академий информатизации, Международной академии наук экологии и БЖД, Академии социальных наук РФ, трижды Соросовский профессор, заслуженный деятель науки и почетный работник высшего образования РФ), автор около 3000 публикаций в 22 странах мира.

Открытие логико-алгебраического исчисления, могущего служить адекватным математическим аппаратом для количественного изучения динамики дискретных систем, произошло быстро и неожиданно. Весной 1971 г. научный сотрудник Института электроники и вычислительной техники АН Латвии в Риге В.И. Левин, окончив написание докторской диссертации по вероятностным методам изучения надежности конечных автоматов, стал подыскивать темы для новых исследований. Ему под руки попала любопытная книга директора этого института Э.А. Яку-байтиса по асинхронным логическим автоматам. Просматривая книгу, он с удивлением обнаружил, что весьма сложные логико-динамические процессы в асинхронных автоматах автор книги пытается изучать количественно без помощи какого бы то ни было математического аппарата - просто «на пальцах». Возникал законный вопрос: а верно ли просчитаны многочисленные примеры, на которых, по существу, и была построена вся книга? Чтобы ответить на этот вопрос, надо было повторить расчеты, но уже не «на пальцах», а с помощью подходящего математического аппарата. И тут Левину опять повезло: абсолютно случайно он наткнулся на небольшую книжку

C.А. Гинзбурга, посвященную проблеме аппроксимации функций многих переменных применительно к задаче построения аналоговых вычислительных устройств [4]. Тематика книги была далека от научных интересов читателя, однако использованный в ней необычный математический аппарат - непрерывная логика - заинтриговал его. Он быстро понял, что нашел подходящую базу для построения адекватного математического аппарата, решающего проблему количественного изучения динамики дискретных схем в общем, аналитическом виде. Уже в марте 1971 г. были подготовлены первая публикация и доклад на конференцию, содержащие идею нового подхода. К концу года была написана серия статей с изложением основных полученных результатов [5]. В течение 19721974 гг. все они были опубликованы в отечественных и зарубежных журналах [6-11]. А в 1975 г. вышли первые две монографии, содержавшие решение проблемы количественного изучения динамики дискретных схем, изложенное на языке алгебры непрерывной логики [12-13]. Это было открытие возможности выражать моменты последовательного изменения состояний выхода дискретной схемы через моменты последовательного изменения со-

стояний ее входов в аналитической форме с помощью суперпозиции операций непрерывной логики - дизъюнкции (взятие max) и конъюнкции (взятие min). Оно установило возможность логического (в терминах непрерывной логики) моделирования динамики дискретных схем, подобно тому, как работы А. Накашимы, К.Э. Шеннона и В.И. Шестакова 1930-х гг. установили возможность логического (в терминах булевой логики) моделирования статики таких схем. Тем самым было положено начало разработке динамической теории дискретных схем на строгой и адекватной логико-математической основе. Причем в указанных монографиях возможности новой теории демонстрировались не только в общем виде, но и на многочисленных примерах расчета схем, в том числе, заимствованных из различных источников. При этом впервые выяснилось, что целый ряд рассмотренных ранее примеров проанализированы ошибочно, что привело к неверным выводам.

Идея использования непрерывной логики для количественного изучения динамики дискретных схем проста. Пусть имеется простейшая схема (логический элемент) с двумя входами x1, x2 и одним выходом y , реализующая на выходе булеву логическую функцию «конъюнкция» y = x л x2 . Пусть заданы изменения

состояний входов схемы вида Xj(t) = 0 ^ 1|t=a = 1'a, x2(t) = 0 ^ і |t=ъ = 1 . Тогда соответствующее изменение состояния выхода (динамический процесс на выходе) схемы, с учетом того, что состояние 1 на выходе схемы с указанной функцией наступает в момент наступления состояния 1 на обоих ее входах (т. е. в более поздний из двух моментов наступления этого состояния на входах), имеет вид

y(t) = 0 ^ 1t=max(afi) = і'avЪ , где a v Ъ означает дизъюнкцию непрерывной логики (операцию взятия max ) моментов a и Ъ . Итак, получаем следующую формулу для динамического процесса на выходе двухвходовой схемы - «конъюнктора» при входных изменениях в виде скачков 0 ^1 в моменты a и Ъ

1'a л 1Ъ = 1',

avb •

Совершенно аналогично находим формулы для динамических процессов на выходе конъюнктора и дизъ-юнктора - дискретной схемы, реализующей на выходе булеву логическую функцию «дизъюнкция» у = х1 V х2 -при других возможных входных изменениях, одинаковых для всех входов:

1'a л 1 = і'avЪ ; 0'a л 0Ъ = 0'aлЪ ; 1'a v 1 = 1'aлЪ ; 0'a v 0Ъ = 0'a vЪ

В формуле (2) Хл означает изменение 0 ^ 1 \=л, 0’а - изменение 1 ^ 0^= а , а V Ь = шах(а,Ь) - дизъюнкция непрерывной логики, а л Ь = шш(а, Ь) -

конъюнкция непрерывной логики. Таким образом, при однократных изменениях состояний входов, одинаковых для различных входов, динамический процесс на выходе конъюнктора и дизъюнктора всегда можно выразить в терминах операций дизъюнкции и конъюнкции непрерывной логики, совершаемых над мо-

ментами входных изменений. В более сложном случае, при однократных изменениях состояний входов, неодинаковых для различных входов, применяется перебор различных возможных вариантов взаимного расположения моментов входных изменений, запись динамического процесса на выходе схемы для каждого варианта и последующее их объединение в одно общее выражение динамического процесса с помощью операций непрерывной логики. Этот метод всегда приводит к успеху. Пусть, например, необходимо найти динамический процесс на выходе конъюнктора при входных изменениях х1(/) = 1'а, х2(і) = 0; . Очевидно, что этот процесс равен одиночному импульсу \(а,Ь) в интервале (а, ;) или тождественному нулю, в зависимости от

того, что больше: ; или а . Тогда, интерпретируя тождественный нуль как одиночный импульс с совмещенным началом и концом, можем записать искомый процесс в виде

1'a л 0Ъ =

1(а,Ъ), Ъ > а, 1(а, а),Ъ < а.

Совмещая оба записанных выражения в одно с помощью операции дизъюнкции непрерывной логики V , окончательно находим единое выражение искомого динамического процесса

і'а л 0Ъ = 1(а,a v Ъ).

Совершенно аналогично находим выражение динамического процесса на выходе дизъюнктора при тех же входных изменениях - он имеет вид одиночной паузы 0(-) в указанном в скобке интервале

1'a v 0Ъ = 0(Ъ,a v Ъ).

В еще более сложном случае, при многократных изменениях состояний входов, применяется декомпозиция одного из двух входных процессов х1(/) и

х2 (і), например, х1(/), на два подпроцесса х}(і) и

х^;(і), стыкующихся в точке изменения х1(/) (эта

точка имеет вид 1а или 0; ). Затем находятся части

искомого динамического процесса на выходе схемы 1 2

у (і) в виде ее реакций у (і) и у (і) на получившиеся в результате этой декомпозиции частичные входные воздействия {х11(і),х2(і)} и {х12(і),х2(і)}. Весь искомый динамический процесс у(і ) находится как последовательность его найденных частей у1(і), у2(і) . Метод декомпозиции сводит задачу отыскания динамического процесса на выходе конъюнктора и дизъюнктора с заданными входными процессами к аналогичной задаче при более простых (с меньшим числом изменений) входных процессах. Поэтому его последовательное применение в конце концов приводит к задаче отыскания динамического процесса на выходе конъюнкто-ра и дизъюнктора с простыми, однократными изменениями состояний входов, которая, как уже сказано вы-

ше, всегда решается в терминах операций непрерывной логики: дизъюнкция и конъюнкция. Этот прием приводит к успеху во всех случаях, кроме следующих двух: 1) количества изменений состояний входов заданы в численной форме, но велики; 2) количества изменений состояний входов заданы в буквенной форме.

Известно, что наборы булевых логических функций (конъюнкция, отрицание) и (дизъюнкция, отрицание) функционально полны, т. е. позволяют с помощью их суперпозиции реализовать любую булеву логическую функцию. Известно также, что динамический процесс на выходе элемента - инвертора, реализующего на выходе логическое отрицание его входа, при входном процессе с любым числом изменений состояния, выражается весьма просто в аналитической форме через входной процесс следующим образом: все импульсы (паузы) входного процесса заменяются на паузы (импульсы) в тех же временных интервалах. Т. е. нахождение динамического процесса на выходе инвертора не требует использования никаких логических операций. В сочетании с тем, что было сказано раньше, это означает, что динамический процесс на выходе всякой дискретной схемы с любым конечным числом входов, любой реализуемой на выходе булевой логической функцией от значений входов и любой конечной сложностью (числом изменений) входных процессов может быть выражен в аналитической форме через моменты входных изменений с помощью операций непрерывной логики - дизъюнкции и конъюнкции. В этом и состоит суть открытия, произошедшего в начале 1970-х гг.

Созданная еще в начале 1970-х гг. на основе совершенного открытия непрерывно-логическая теория динамических процессов в дискретных схемах была впоследствии значительно пополнена и расширена. Были существенно развиты теория и методы изучения динамических процессов в дискретных схемах с памятью (с контурами обратной связи). Любая схема с памятью содержит обычную (без памяти) дискретную подсхему и блок памяти из параллельно работающих элементов памяти (например, задержек), причем часть выходов подсхемы подается на входы блока памяти, а выходы блока памяти - на входы подсхемы, что и создает контуры обратной связи. Такая структура дискретных схем с памятью позволяет изучать динамические процессы в них путем приспособления методов, разработанных для изучения схем без памяти, т. е. в этом случае не надо совершать никакого открытия. Поэтому первые работы по количественному изучению в аналитической форме динамики дискретных схем с памятью появились сразу после первых работ по аналогичному изучению схем без памяти. Однако именно во второй половине 1970-х - 1980-е гг. продвижение в динамике схем с памятью было особенно заметным. Далее, в 1975 г. были открыты логические определители. Это открытие революционизировало теорию динамических процессов в дискретных схемах, позволив изучать в аналитической форме динамику схем произвольной сложности, при произвольно сложных (с произвольным числом изменений) входных процессах. Существенно, что теперь оказалось возможным работать со схемами и их входными процессами, сложность которых может быть произвольной величиной, заданной как численно, так и буквенно. Важнейшая роль логических определителей в динамике дискретных

схем аналогична роли обыкновенных определителей и матриц в теории линейных систем, однако, в нашем случае изучаемый объект - дискретная схема - нелинейный, т. е. более сложный. С использованием аппарата логических определителей были получены замкнутые аналитические выражения для динамических процессов ряда классов дискретных схем, при произвольной буквенно заданной сложности как самих схем, так и их входных процессов. Речь здесь идет о пороговых схемах, схемах с симметрическими реализуемыми функциями, типовых логических элементах, а также схемах с некоторыми типовыми входными процессами, например, периодическими. Наконец, отметим важные исследования по разработке методов расчета динамических процессов в дискретных схемах в условиях различных форм неопределенности временных параметров входных процессов и внутрисхемных задержек. Эти методы - недетерминистско-логический, метод огибающих, метод эквивалентных схем, вероятностный анализ, приближенный метод и другие - позволили сводить расчет динамических процессов в дискретных схемах в условиях неопределенности к аналогичному расчету в условиях полной определенности, который, как уже говорилось, можно выполнять с помощью аппарата непрерывной логики. Важное значение имели также работы по получению приближенных оценок динамических процессов в дискретных схемах, позволивших существенно снизить сложность расчета указанных процессов за счет некоторого уменьшения точности расчета. Наиболее полное изложение непрерывно-логической теории динамических процессов в дискретных схемах дано в итоговой монографии В.И. Левина (1995).

Логическое моделирование динамики дискретных схем нашло многочисленные применения. В первую очередь, это изучение динамики и, в частности, переходных процессов в различных вычислительных и управляющих устройствах с целью обеспечить требуемое качество, надежность, быстродействие и некоторые другие параметры этих устройств. Далее, это применения, связанные с созданием логической теории надежности, в которой дискретная схема служит математической моделью надежности исследуемой технической системы, причем входные процессы схемы моделируют потоки отказов в элементах системы, выходной динамический процесс схемы - аналогичный поток отказов в системе в целом, а булева логическая функция, реализуемая схемой, - соотношения между теми и другими, что и позволяет применить непрерывнологическую теорию динамических процессов в дискретных схемах для изучения надежности систем. Важным применением логической теории динамических процессов в дискретных схемах явилось создание динамической диагностики таких схем, которая основана на изменении вида динамического процесса на выходе схемы при появлении в ней тех или иных неисправностей, что и позволяет обнаружить неисправности схемы путем анализа изменения динамического процесса на ее выходе. Важным преимуществом динамической диагностики дискретных схем по сравнению с традиционной статической диагностикой явилась ее большая обнаруживающая способность, что связано с большей информацией о схеме, содержащейся в ее выходном динамическом процессе. Еще одним инте-

ресным применением указанной теории стали задачи распознавания образов и анализа пространственных сцен. В данном случае, аналогично применению этой теории в области надежности, дискретная схема служит лишь математической моделью процесса распознавания, точнее - моделью вычисляемой функции совпадения образа и эталона, причем процессы на входах схемы-модели моделируют степени совпадения отдельных элементов сравниваемых образа и эталона, а динамический процесс на ее выходе - степень их совпадения в целом, на основании которой и принимается решение о принадлежности данного образа определенному классу, представленному данным эталоном. Интересной областью применения динамики дискретных схем явилась теория синхронизации динамических систем, в которой требуется определить временные интервалы, в которых несколько имеющихся процессов находятся в одинаковом фазовом состоянии, благодаря чему могут быть подключены к одному приемнику. Применение в этой задаче, подобно предыдущей, модели в виде некоторой дискретной схемы, «измеряющей» на выходе степень совпадения фаз входных процессов, позволяет проводить простые и эффективные расчеты синхронизации динамических систем путем вычисления динамического процесса на выходе дискретной схемы-модели, на входах которой действуют синхронизируемые процессы. Теорию динамических процессов в дискретных схемах можно также успешно применять для расчета регулярных систем обслуживания, которые отличаются от хорошо известных вероятностных систем обслуживания детерминированным режимом поступления и обслуживания заявок. Здесь моделью системы выступает дискретная схема с несколькими входами, процессы в которых моделируют последовательности интервалов поступления заявок от нескольких источников, несколькими входами, процессы в которых моделируют последовательности интервалов возможного обслуживания заявок несколькими приборами, и несколькими выходами, динамические процессы в которых моделируют последовательности интервалов реального обслуживания заявок приборами, получающихся при пересечении интервалов поступления заявок с интервалами их возможного обслуживания. Наконец, отметим возможность эффективного применения динамики дискретных схем в качестве математического аппарата для количественного изучения социальных, экономических и исторических процессов, включая изучение библейской истории [14-36].

Еще одним важным применением непрерывной логики явилось решение задач дискретной оптимизации. В 1977 г. В.И. Левиным была открыта возможность адекватного представления алгоритма решения любой задачи дискретной оптимизации в виде суперпозиции операций непрерывной логики - дизъюнкции а V Ь = = тах(а,Ь) и конъюнкции а л Ь = тіп(а, Ь), являющихся, по существу, элементарными актами оптимизации. Решение любой задачи дискретной оптимизации в этом случае сводится к 1) записи алгоритма решения в виде алгоритма полного перебора, где выбор оптимального варианта отмечается простановкой между характеристиками вариантов операций V или л (в зависимости от решаемой задачи - максимизации или минимизации); 2) последующего преобразования полученной записи по законам алгебры непрерывной логи-

ки с целью его упрощения. Полученное выражение дает алгоритм решения задачи: выполняя стоящие в выражении операции над заданными переменными задачи, мы и приходим к решению. Главными преимуществами такого подхода являются возможность формализованного синтеза алгоритма оптимизации, его представления в простейшей форме или в форме декомпозиции на алгоритмы решения подзадач меньших размеров, а также обозримость получаемого алгоритма и возможность перехода от него к приближенным алгоритмам решения задачи. Типичные примеры решаемых этим путем задач: задача о назначениях, планирование технологического процесса, оптимальное распределение работ, соответствующие трех- и многоиндексные задачи, составление оптимальных расписаний и т. д.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рогинский В.Н. Переходные процессы в релейных устройствах (дискретных автоматах) // Сети передачи информации и их автоматизация. М.: Наука, 1965.

2. Якубайтис Э.А. Асинхронные логические автоматы. Рига: Зинат-не, 1966.

3. Нетушил А.В. Алгебра временных последовательностей // Изв. ВУЗов. Сер. Электромеханика. 1967. № 3.

4. Гинзбург С.А. Математическая непрерывная логика и изображение функций. М.: Энергия, 1968.

5. Левин В.И. Анализ надежности асинхронных устройств // Пути повышения надежности промышленных АСУ: тез. докл. республ. семинара. Киев: Изд-во Укр. республик. правления НТО Прибор-пром, 1971. Ч. 1.

6. Левин В.И. Бесконечнозначная логика и переходные процессы в конечных автоматах // Автоматика и вычислительная техника. 1972. № 6.

7. Левин В.И. Переходные процессы в типовых логических элементах // Автоматика и телемеханика. 1973. № 3.

8. Левин В.И. К анализу переходных процессов в комбинационных схемах // Е1екгот$сЬе ШЪгшаиопвуегагЪе^и^ ипё КуЪетеик. 1973. Вып. 9. № 6.

9. Левин В.И. Переходные процессы в простейших асинхронных автоматах с памятью // Автоматика и вычислительная техника. 1974. № 2.

10. Левин В.И. Анализ динамики переключения автоматов с памятью // Автоматика и вычислительная техника. 1974. № 3.

11. Левин В.И. Оценки переходных процессов в конечных автоматах // Автоматика и вычислительная техника. 1975. № 4.

12. Левин В.И. Таблицы для расчета и анализа переходных процессов в дискретных устройствах. Рига: Зинатне, 1975.

13. Левин В.И. Введение в динамическую теорию конечных автоматов. Рига: Зинатне, 1975.

14. Левин В.И. Вероятностное изучение переходных процессов в конечных автоматах // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1976. № 1.

15. Левин В.И. Определители в бесконечнозначной логике и задачи укрупненного описания дискретных систем // Автоматика и вычислительная техника. 1976. № 5.

16. Левин В.И. Логические определители и автоматы с непрерывным временем // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. № 3-5.

17. Левин В.И. Динамические процессы в пороговых элементах // Автоматика и вычислительная техника. 1977. № 5.

18. Левин В.И. Динамические процессы в схемах с симметрическими функциями // Автоматика и вычислительная техника. 1977. № 6.

19. Левин В.И. Динамика логических устройств и систем. М.: Энергия, 1980.

20. Левин В.И. Бесконечнозначная логика в задачах кибернетики. М.: Радио и связь, 1982.

21. Левин В.И. Логическая теория надежности сложных систем. М.: Энергоатомиздат, 1985.

22. Левин В.И. Динамические процессы в автоматах с периодическими воздействиями. I, II // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1985. № 4; 1986. №2 1.

23. Левин В.И. Каноническое представление входных воздействий в динамике автоматов // Проблемы передачи информации. 1986. Т. 22. Вып. 4.

24. Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем. М.: Наука, 1987.

25. Левин В.И. Исследование динамики дискретных автоматов с возможной неопределенностью значений сигналов. I, II // Кибернетика. 1988. № 6; 1989. № 2.

26. Левин В.И. Расчет динамики цифровых схем с памятью при неполностью определенных сигналах // Кибернетика. 1989. № 4.

27. Левин В.И. Непрерывная логика. Ее обобщения и применения. I, II // Автоматика и телемеханика. 1990. № 8, 9.

28. Левин В.И. Расчет динамических процессов в дискретных автоматах с неопределенными параметрами с помощью недетерминистской бесконечнозначной логики // Кибернетика и системный анализ. 1992. № 3.

29. Левин В.И. Теория динамических автоматов. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 1995.

30. Левин В.И. Математическое моделирование потока исторических событий методами теории автоматов // Гуманитарные науки и современность. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 1999. Вып. 5.

31. Левин В.И. Математическое моделирование Библии. Характеристический автоматный подход // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 1999. Т. 4. Вып. 3.

32. Левин В.И. Математическое моделирование библейской легенды о Вавилонском столпотворении // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2001. Т. 6. Вып. 2.

33. Левин В.И. Автоматное моделирование исторических процессов на примере войн // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. 2002. № 2.

34. Левин В.И. Методы непрерывной логики в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2003. № 3.

35. Левин В.И. Структурно-логические методы в теории расписаний. Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. академии, 2006.

36. Левин В.И. Очерки истории прикладной логики. Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. академии, 2007.

Поступила в редакцию 18 декабря 2008 г.

Levin V.I. Logic modeling of systems dynamics. The history of opening of continuous logic application for various systems modeling is described: dynamics of discrete automata, dynamic diagnostics of digital devices, dynamic systems synchronization, calculation of service systems, discrete optimization, etc.

Key words: the continuous logic; modeling; automata dynamics; diagnostics of digital devices; synchronization of systems; service systems; discrete optimization.