Е. Степанов, "Минимальные поверхности -I" (с/к лаборатории им. П.Л. Чебышева СПбГУ)

Е. Степанов, "Минимальные поверхности -I"

Курс лекций «Минимальные поверхности-I»

Евгений Степанов, СПбГУ и СПбГУ ИТМО

Первая лекция во вторник 22 февраля в 17:30 на 14 линии д.29

Аннотация.

Курс задуман как элементарное введение в современную геометрическую теорию меры как теорию, сложившуюся вокруг задачи о минимальных поверхностях (задачи Плато) - задачи о том, как выглядит (какую форму принимает) мыльная пленка, образованная на проволочной рамке заданной формы. В первой части курса рассматриваются вопросы постановки задачи об «обобщенных» минимальных поверхностях. Таких обобщений придумано много (потоки, варифолды, (

)-минимальные множества и т.д.), но в курсе будут рассматриваться в основном обобщения понятия поверхности, основанные на понятии потоков (поверхность – это то, по чему можно интегрировать дифференциальную форму, поток – это линейный функционал на дифференциальных формах). При этом основное внимание уделяется теории потоков в метрических пространствах, позволяющей во многих случаях избежать использования «тяжелых» конструкций геометрической теории меры в конечномерном пространстве. Первая часть курса в основном посвящена вопросу существования обобщенных решений. В дальнейшем предполагается вторая часть (уже в другом семестре), посвященная вопросам регулярности минимальных поверхностей.

Курс должен быть в принципе доступен в т.ч. и студентам 2-3 курса, знакомым с основными понятиями теории меры и с элементарными основами функционального анализа.

Содержание курса

1.Справочные сведения из геометрической теории меры. Липшицевы функции, спрямляемые множества, касательные пространства к мерам, [кривизна мер, размерность мер и свойства спрямляемости мер]. Минимальные поверхности: конкретные примеры.

2.Потоки Уитни в конечномерном евклидовом пространстве. Формы, потоки, нормальные потоки, спрямляемые потоки, плоские цепи. Массы потоков. Потоки со значениями в различных группах (в т.ч. целочисленные).

3.Потоки в метрическом пространстве (конструкция De Giorgi-Ambrosio-Kirchheim’а). Нормальные и спрямляемые потоки. Евклидовы плоские цепи иметрические потоки. Топологии в пространствах потоков.

4.Сечения потоков. Теоремы о спрямляемости.

5.Компактность. Сходимость Громова-Хаусдорфа.

6.Изопериметрические неравенства. Конусы.

7.Существование решений задачи Плато в метрическом пространстве.

8.Примеры минимальных поверхностей. Краткий обзор результатов о регулярности минимальных поверхностей