Аналитический метод исследования пространственных задач динамики самогравитирующего газа

Вычислительные технологии

Том 3, № 1, 1998

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ САМОГРАВИТИРУЮЩЕГО ГАЗА *

Н.П. Чуев

Уральская государственная академия путей сообщения Екатеринбург, Россия

In the paper the general behaviour of outflowing ideal gas into vacuum is investigated. This behaviour is described by a set of integrodifferential equations in Lagrange's form. The attraction potential of the mass of gas and its time derivatives have been found to be analytical functions. An analytical method of approximate determination of the free surface equation (gas-vacuum boundary) has been proposed.

Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной сжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А.Пуанкаре, Дж. Дарвина, Дж. Джинса, А. М. Ляпунова, Л.Лихтенштейна и др. [1-3]. Движение гравитирующего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях К. П. Станюковича [4], Л. И. Седова [5]. Движение газа в поле тяжести изучалось в работе А.Ф. Сидорова [6], в которой были построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с полит-ропным уравнением состояния. В статье О. И. Богоявленского [7] рассмотрена динамика адиабатических движений гравитирующего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид. В работе С. Л. Дерябина, Н. П. Чуева [8] исследовались сферически-симметричные течения самогравитирующего идеального газа в вакуум и задача о распаде разрыва и построены точные решения начально-краевой задачи для нелинейной интегро-дифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся степенных рядов.

1. Постановка задачи

Пусть в начальный момент времени t = 0 известная замкнутая поверхность Го является границей, отделяющей трехмерную область П0, заполненную идеальным политропным гравитирующим по закону Ньютона газом, от вакуума. При t=0 в каждой точке x={x, y, z} области П0 известны распределения вектора скорости и = и0(Х) частиц газа, плотности р = ро(Х), энтропии s = so(x). Функции и0, ро, s0 и уравнение поверхности Г0 являются

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №96-01-00115.

© Н. П. Чуев, 1998.

аналитическими, плотность газа р0(Х) на поверхности Го равна нулю, что обеспечивает непрерывное примыкание газа к вакууму.

Требуется построить течения газа при £ > 0 и найти закон движения свободной поверхности Г4, отделяющей газ от вакуума.

Течения гравитирующего идеального политропного газа определяются следующей системой интегро-дифференциальных уравнений в форме Л. Эйлера [1, 2]:

щ + (иУ)и + 1УР = УФ, Р

р4 + ^у рщ = 0,

в4 + иУв = 0,

где

ф = ф(*-.() = с Щ -

ньютоновский потенциал, созданный всей массой газа [9-11], С — гравитационная постоянная, |Х — Х'| — расстояние между двумя точками области П4, являющейся переменной областью одних и тех же частиц в момент времени £ и ограниченной замкнутой подвижной поверхностью Г4.

Уравнение состояния политропного газа задается в виде р = А(в)р7/7, где р — давление, А (в) > 0, 7 > 1 — показатель политропы [12].

При произвольном значении 7 система (1) не является аналитической, поэтому в дальнейшем предполагается, что

п

7 =1+--, п е N. т е М.

т

Введем новые неизвестные функции о = р1/т и в' = А

щ + (иУ)и + т опУв + твУап = УФ, т + п п

01 +--о^у и + Уои = 0,

т

в* + иУв = 0,

где Ф = с///^.

Для удобства дальнейшего исследования в (2) от переменных Эйлера перейдем к переменным Лагранжа. Тогда система будет иметь вид [12]

тт

М *хй + оп Ув + —вУаоп = УаФ, т + п п

т/о4 + о^ = 0,

в* = 0,

где х = х(а,Ь) — неизвестные функции лагранжевых переменных а = {а,Ь,о} и времени Ь, а € По, М = дх/да — матрица Якоби, М* — матрица, транспонированная к М,

д д -> д -* 3 = ае1 М = 0, Уа = т-г + -т] + -¿-к,

да дЬ дс

ф=ф(а, Ь)=С

ат(х',г) |х(а, £)—х'1

¿х —С

ат (х', £)3 ¿а'

С

'JJ 1х(а,1)-х(а')| У,/,/ 1х(а,1)-х(а' , ¿)|

По По

Выполнив преобразование Вебера [1], систему уравнений (3) можно свести к системе, содержащей производные по Ь первого порядка. Для этого интегрируется первое векторное уравнение (3) по Ь в пределах от 0 до Ь и вводятся новые функции

Ф = 1\ ф + 1 |хг|2 ) ¿т, ф = Щ -

———тпУв + — вУтп ) д.т, — + п п

где ф = ф(а,Ь), ф = {ф1(а,1),ф2(а,1),ф3(а,1)}. В результате получим систему интегро-дифференциальных уравнений

М *хг = Уф + ф,

1,

фг = Ф + о I хт |

2'

фг = -

т

т

тпУв + —вУт' т + п п

—3аг = —а3г

г,

В = 0.

Решение (5) отыскивается при следующих начальных условиях:

х(а, 0) = х0 = а, ф(а, 0) = 0, ф(а, 0) = и0(а),

а(а, 0) = а0(а) при т0(а)|Го = 0, в(а, 0) = в0(а), М*(а, 0) = Е, 3(а, 0) = 1, где и0, т0, в0 — аналитические функции в области П0.

г

г

2

2. Построение решения

Пусть Е0 = |а — а'| и Пг|г=0 = П0 — выпуклая область. Решение задачи Коши (5), (6) будем искать в виде степенных рядов по положительным степеням ¿:

и

к=0 '

Полагая в системе (5) Ь = 0, с учетом начальных условий (6) получим вторые коэффициенты рядов (7):

х = и0,

ф1 = Ф0 + 1Ы2,

-01 = —

т

т

о?Уво + твоУоП ) ,

, о Ув0

т + п о п

о1 =--оол = — ао^у ио,

тт

в1 = 0.

Дифференцируя систему (5) по £ и полагая £ коэффициентов рядов (7) при к = 2:

0, получим следующие формулы для

Х2 = Уфо--^а^Уво — твоУаП,

т + п п

^2 = Ф1 + Х1Х2,

"—2 = —

тп

т + п

аП 101Уво + твоУ (а£

1

а 2 =--

т

в2 = 0.

Коэффициенты ирядов (7) будут иметь вид

Хк+1 = У^ + —к — ^ СМ*Хй+1-г,

г=1

где

= Фк + 2 С хг+1Хк+1_

г=1

—к+1 = —

т

т—- Уво 2]

т+п

\ «1+...+а

т

+- воУ п

\«1+...+ап=к

к!

п — к к!

а!!а2!...а„!

а«1 а«2 • ••аап +

а!!а2!...а„!

ак+1 = — С%как+1-г^г — Е СаА:-г Лг+1. к > 2. вк+1 = 0.

г=1

г=о

м = ^, л

да

Е

а1+а2+аз=к

к! д

а1!а2!а3! д

Фк = С

д к д^

^а'

а

4=о

I- По

при Х = Х(а, £), Х' = Х(а', £).

Дифференцируя правую часть, получим

По

д к

1

Фк = С

а0

Л (—1)г(2/ — 1)!!

—- 2..1 х

По

г=1

к

к

х

Е

а +.. + а

«д > 1

к!

«х!...«;!

П

д=1 \.=0

Докажем следующую лемму.

Лемма. Коэффициенты рядов ик, к = 0,1, 2,..., определяемые начальными данными (6) и рекуррентными выражениями (10)-(13) при к > 0, являются аналитическими функциями переменных а = {а, Ь, с} в области П0.

Доказательство. Коэффициенты рядов (7) ик при к > 1 определяются рекуррентными формулами (10)-(12) с помощью операций сложения, умножения и дифференцирования по переменным а, Ь, с функций игде I < к. Из аналитических начальных условий (6) следует аналитичность последующих коэффициентов (10) ряда (7) при условии, что функции Фд (к = 0,1, 2,...), определяемые равенствами (13), являются аналитическими функциями в области П0. Функции Фд(а) - несобственные интегралы с параметром. Доказательство его сходимости и аналитичности при любом к = 0, 1, 2, ... проведем методом математической индукции.

Проверим справедливость утверждения об аналитичности Фд(а) при к = 0.

Фо(а) = С / / / о,

По

ньютоновский потенциал в области П0 - удовлетворяет уравнению Пуассона

ДФ0 = —4пСа0™ при Ф0|

- 0

0.

Учитывая аналитичность функции от(а) и функции, описывающей поверхность Г0, из теории ньютоновского потенциала [9, 11] следует, что функция Ф0(а) — локально аналитическая.

Из формул (8) и аналитичности «0, з0 следует аналитичность коэффициентов и1 (а) в лагранжевых переменных а = {а, Ь, с} в области П0. Аналитичность Фд при к = 1 следует из равенств

Ф1

С

о,

По

С

о,

т(а — а')(И0 — и0_) ^

4=0

Разность функций м0(а) — м0(а') в области П0 можно представить следующим образом:

Г ^ и

Х1(а) — Х1(а') = «0 (а) — м0(а') = / —м0(а' +

J

0

где

Д0 / Л(а, а', = Д^\(а, а'), 0

Л = [(У^)^ + + [(УзЩ))/]к

дии

Ж

а

к

1

1

l

a — a

a — a

| a — a' | R0 Подставляя (15) в (14), окончательно получим

единичный вектор.

Ф1 = G

on

•ЩЩс1а'.

Функции т0 и ]1 являются аналитическими, следовательно, ограниченными в замкнутой области П0; тогда подынтегральное выражение имеет мажорантную функцию

m<max^^ с

a — a

R0

< —-, C1 = const. R0

Если положить

Ф1 = G

On

По

,Fi(a,a')l

da = G

On

По-ш£

,Fi(a,a')l a |a — a'|

da = G

on

,Fi(cl,al)l,

По+ш£

—da ,

где ш£ — шар радиуса е с центром в точке а (ш£ : |а — а'| < е), то подынтегральная функция в интеграле по области П0 — ш£ не имеет особенностей и является аналитической функцией переменных а, Ь, с. Интеграл £[/ т0™(Р1(а,а!1)йа!)/|а — а'| допускает следующую оценку:

G

On

,Fi(a,a')l |a — a' |

dFal

ШЕ

< G max (|om||Fl(а,аl)|) 2ne2 < 2nGCie2.

По

Для всех a G П0 интеграл G fff om(F1(a, d1)^«!1)/^ — a^ при e ^ 0 равномерно стремится

ШЕ

к нулю, следовательно, имеет место равномерный предельный переход

G

W^da' = lim G

' £—>0

По

om ^^da!

По-шЕ

что доказывает существование несобственного интеграла, его равномерную сходимость и аналитичность Ф1 [3].

Из аналитичности ф1(а), коэффициентов и0(а), и1(а) и формул (9) следует аналитичность функций ]2 (а) переменных а, Ь, с в области П0.

Пусть справедливость леммы установлена для коэффициентов (у = 0,1, 2,..., к); тогда в равенстве (13) разность функций, аналогично формулам (15), можно представить в виде

xv

R0Fv (a,a'), v = 1, 2,...,k; R0F0(a,a') = R01, v = 0.

Функции om(a), Fv ограниченны в области П0. Пусть |o0™|<C2, |FV|<AV, v = 0,1,..., k, C2 = const, Av = const. Обозначая A = max{A0, A1,..., Ak}, проведем последовательные оценки в выражении (13):

П ECa q

q=1 \j=0

< 2kR0lA21,

ex

q

к!

2кД2 А21 < к!^-^Д021А21 < к!(4А2Д02)г.

¿а к а1!...агГ к-1——I—

+ ...а; =к аа >1

Из формулы Валлиса [13] следует неравенство

(—1) (2/ — 1)!!

21 /!

1

<

л/Л!

Окончательную оценку подынтегрального выражения (13) обозначим через Вд:

|Вк| < С2(ВД^к < С2(к +1)!(4А2)к = Я

V пД Д Д

где С - постоянное число, определяемое конкретным значением к. Итак, установили, что для каждого к = 0,1, 2,... подинтегральное выражение имеет мажорантную функцию Ск/Д0. Повторяя для Фк(а) изложение доказательства существования и аналитичности интеграла Ф1(а), установим существование несобственного интеграла Фк(а) и его аналитичность по переменным а, Ь, с в области П0. Как следствие, отсюда следует выполнение правила Лейбница дифференцирования интеграла по параметру /. На основании формул (10)-(13) становится очевидным аналитичность коэффициентов икг+1(а) ряда (7). Лемма полностью доказана.

Возьмем первые к + 1 членов формального ряда для потенциала Ф(а,/):

к /д

Ф*(а,/) = £>д (а) -у,

д=0 -!

где Фд(а) получено из рекуррентных формул (10)-(13). В итоге функция Ф*(а,/) будет известной аналитической функцией переменных а, Ь, с, /.

Заменив в системе (5) функцию Ф на Ф*, получим

X = (М *)-1(У^ + й),

*1

^ = Ф + 2

й = — ( +

\ш + п п

1 г-1 г

04 =--Л О^,

т

в* = 0.

Теорема. Задача (16), (6) имеет единственное локально-аналитическое решение.

Доказательство. Система уравнений (16) по построению является системой Коши — Ковалевской. Все функции (6), задающие начальные условия, аналитические. На основании теоремы Коши — Ковалевской [14] можно утверждать, что задача Коши имеет при малых / аналитическое решение, которое можно представить, например, в виде сходящихся рядов по степеням / с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями переменных а, Ь, с.

В соответствии с приведенным методом построения решения к + 1 первые коэффициенты рядов (7) задач (16), (6) и (5), (6) равны.

3. Исследование формы свободной поверхности газового шара

Будем рассматривать газовую массу, заполняющую при t = 0 шар По радиуса 1, на которую действуют силы взаимного гравитационного притяжения частиц по закону Ньютона. При t = 0 задано вращение газового шара как твердого тела вокруг своей неподвижной оси с угловой скоростью w. Для системы уравнений (16) заданы следующие начальные условия:

x(a, о) = a, xt(a,0) = ио(а) = {-wb,ша, о},

ст(а, 0) = сто (а) = стоо(1 - r2), стоо = const, сто|га = 0, r2 = а2 + b2 + c2, Го — сфера радиуса 1,

а = {а, b, c} — лагранжевы координаты.

Решение задачи (16), (17) является частным случаем решения задачи (16), (6) и имеет вид (7):

t

U(а^) = £ U(а)-у

к=о

где и к (а) определяется по алгоритму, изложенному выше в разделе 2.

Пусть г = f (ж,у,£) — уравнение свободной поверхности Г при £ > 0. Тогда функция f (ж,у,£) удовлетворяет следующему квазилинейному дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка:

ft + u(x,y,z,t)fx + v(x,y,z,t)fy - w(x,y,z,t) = 0 при z = f (x,y,t).

Здесь X = (ж, у, г} — эйлеровы координаты точки, и = — скорость частицы,

находящейся в момент времени £ в точке ж € Г4. Для решения уравнения (19) определим функцию и = (ж,у,г,£)|г=/с помощью трех первых членов ряда (18); получим приближенный закон движения свободной поверхности Г при £ > 0.

Из (17), (8), (9) следует

и

а + иоt + УФо -

m

m \ t2

+ -СТПУво - твоУстП .

m + n n 2

2

Используя известные формулы потенциала Ф0 для внутренних точек шара радиуса 1 [9, 11], получим

Фо =

4nG

ст^(т)т2dr + 4nG / ст^(т)rdr

4nG

стот(т )T2dT U,

^^ СМ

или УФо =--г,

г

где М(г) = 4п / ст0т(т)т2^т — масса газа внутри шара радиуса г, о

U = аг + bj + ck.

r

3

r

r

При г = 1, УФ0 = — СМ00г, М00 — вся масса газа.

Дифференцируя (3.4) по Ь и исключая а, Ь, с, найдем приближенные выражения

и « и0 + и1 Ь.

После вычислений получим при п = 1, г = 1

и = —шу + ш2 хЬ — (СМ00 — 2тв0т00)хЬ, у = шх + ш2уЬ — (СМ00 — 2—в0т00)уЬ, = —(СМ00 — 2—в0т00)гЬ, г = /(х,у,Ь) на Гг;

при п > 2, г = 1

и = —шу + ш2хЬ — СМ00 хЬ, у = шх + ш2уЬ — СМ00уЬ, = — СМ00гЬ, г = /(х, у, Ь) на Гг. Уравнению (19) соответствует характеристическая система

¿х ¿Ь

где

при условиях

—шу + (ш — СМ00 + 2к—в0т00 )хЬ, - шх + (ш2 — СМ00 + 2к—в0т00)уЬ,

§ =

к = 1 , для п = 1 ,

к = 0, для п > 2

/|г=0 = М£,п) = ±У1—ё2—^2, £2 + п2 < 1.

Из первых двух уравнений получим уравнение второго порядка

х'' — 2(ш2 — СМ00 + 2к—в0Т00)Ьх' + [СМ00 — 2к—в0Т00 + (ш2 — СМ00 + 2к—в0Т00 )2Ь2]х = 0. Сделаем замену переменной [15]

х(Ь) = к(Ь)ехр( ^ — СМ00 + 2к—80Т00 Ь2 получим уравнение

к'' + ш2к = 0.

Третье уравнение системы (22) не зависит от двух других и его решение имеет вид

иС Л г (С М (—СМ00 + 2к—80т004_2

/(е, п, Ь) = к) ехР (-2-Ь

Рис. 1. а - (и2 - СЫоо) > 0, б - (и2 - СЫоо) < 0.

Решив уравнение (23), найдем решение системы (22) в виде

х = ехр

у = ехр

— СМ00 + 2кт50ст00 2 £

— СМ00 + 2кт50ст00 2 £

(£ СОБ + П Бт

(£ б1П + п СОБ

f = г = ехр

—^Моо + 2кш^оСТоо ,2 2 £

Найдем из первых двух уравнений п и подставим найденные выражения в последнее уравнение:

= г = ехр

—^Мрр + 2кт^рСТро ' 2 £

а/1 — (х2 + у2)ехр[—(^2 — £М00 + 2ктз0ст00)£2].

После преобразования приближенное уравнение поверхности Г — границы газ - вакуум примет вид: при к = 1

у2

+-„ „„ ^-= 1;

х2 + у2

ехр[(^2 — СМ00 + 2кт«0ст00 )£2 ] ехр[(—СМ00 + 2кт«0 ст00 )£2 ]

при к = 0

х2 + у2

+

= 1.

ехр[

Таким образом, Г при £ > 0 принимает форму эллипсоида вращения. Изменение формы свободной границы (24) определяется знаком выражения — СМ00. При — СМ00 > 0 происходит осесимметричный разлет частиц газа и сжатие вдоль оси Тело принимает форму сплюснутого эллипсоида вращения. При — СМ00 < 0 шар начинает сжиматься под действием сил самогравитации.

Приведем несколько численных значений величин а, Ь, с — полуосей эллипсоида (24) для — £Моо < 0 (^2 = 1, £Моо = 2) и — £Моо > 0 (и2 = 2, £Моо = 1):

2

£ — СМоо < 0 — СМоо > 0

а = Ь с а/с а = Ь с а/с

0.5 1.133 0.882 1.28 0.882 0.779 1.13

1 1.649 0.606 2.72 0.606 0.368 1.65

2 7.389 0.135 54.7 0.135 0.018 7.5

Последовательность фигур иллюстрируется на рисунке.

Автор благодарит А. Ф. Сидорова и С. Л. Дерябина за полезные обсуждения работы.

Список литературы

[1] Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л., 1947.

[2] Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Мир, М., 1973.

[3] Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. Наука, М., 1971.

[4] СтАнюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. Наука, М., 1987.

[5] Седов Л. И. Методы подобия и размерностиi в механике. Наука, М., 1987.

[6] Сидоров А. Ф. О некоторых течениях газа в поле тяжести. ПММ, 42, 1978, 96-104.

[7] БогоявлЕнский О. И. Динамика гравитирующего газового эллипсоида. Там же, 40, 1976, 270-280.

[8] Дерябин С. Л., Чуев Н. П. Сферически-симметричное истечение самогравитирую-щего газа в вакуум. Там же, 58, вып. 2, 1994, 77-84.

[9] Сретенский Л. Н. Теория ньютоновского потенциала. М.-Л., 1946.

[10] Гюнтер Н. М. Теория потенциала. М., 1953.

[11] Антонов В. А., ТимошковА Е. И., ХолшЕвников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. Наука, М., 1988.

[12] Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. Наука, М., 1981.

[13] ФихтЕнгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Наука, М., 1970.

[14] Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, М., 1964.

[15] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Наука, М., 1971.

Поступила в редакцию 5 января 1998 г.

Правила для Авторов

1. Статья должна быть представлена в редакцию в одной из двух форм:

1.1. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + файлы рукописи в формате LTEX или ^^/fS-LXIEX + файлы рисунков на дискете;

1.2. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + электронная версия рукописи, набранная в текстовом формате Microsoft Word (RTF) + файлы рисунков на дискете.

Время прохождения издательского цикла для рукописей, представленных в форме 1.1, минимально, а для рукописей в форме 1.2 — максимально.

2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5" формата 1440 Кбайт. Возможна пересылка файлов по электронной почте jct@ict.nsc.ru в виде *.zip архива. Текстовые файлы и файлы TX представляются в кодировке CP866 (MS-DOS).

3. Статья предваряется аннотацией, содержащей не более 300 знаков. На отдельной странице прилагаются на русском и английском языках название статьи, имена авторов, аннотация и ключевые слова.

4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail автора, с которым будет вестись переписка.

5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного файла следующая информация:

о Фамилия, имя, отчество о место работы и должность о почтовый адрес о ученая степень и звание о год рождения

о телефоны с кодом города

6. Рекомендации по оформлению статьи в LaTeX.

Оформление статьи в LTEX 2.09 Оформление статьи в LTEX 2е

7. Все материалы следует направлять по адресу: редакция журнала "Вычислительные технологии", Институт вычислительных технологий СО РАН, проспект Ак. Лаврентьева 6, 630090, Новосибирск, 90, Россия, Пестунову Игорю Алексеевичу (отв. секретарь) — тел.: +7(3832)343785, Митиной Галине Григорьевне (зав. РИО).

Оформление статьи в LT^X 2.09

Стиль журнала jctart.sty.

Для представления статей на английском языке используйте стиль jctart-e.sty.

Структура файла формата LaTeX должна быть следующей: \documentstyle{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} ^^^{<НАЗВАНИЕ CTАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<^ О. Фамилия первого автора>}\\

\^{<Место работы первого автора>}\\[2mm] \sc{<^ О. Фамилия второго автора>}\\ \^{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Текст аннотации> \end{abstract} <Текст статьи> \begin{thebibliography} <Библиография (\item-список)> \end{thebibliography} \end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps). Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью следующих команд:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<сдвиг рисунка по горизонтали в мм>шш} \special{em:graph <имя файла рисунка>} \vspace*{<BbicoTa рисунка в мм>шш} \caption{<Подрисуночная подпись>} \end{figure}

Оформление статьи в ЖГеХ 2е

Для представления статей на английском языке используйте опцию english: \documentclassEenglishKjctart}.

\documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm} \usepackage{amsmath}

\begin{document} \pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} \title{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\

\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm] \sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\ \it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Текст аннотации> \end{abstract} <Текст статьи> \begin{thebibliography} <Библиография (\iteш-список)> \end{thebibliography} \end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps). Иллюстрации вставляются в текст с помощью следующих команд:

\includegraphics{<имя файла рисунка>}

Instructions für Authors

1. The paper may be submitted to the editorial board in one of the following forms:

1.1. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript in LTEX or A/íSLTX + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below);

1.2. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript (saved as RTF-format) with (or without) formules + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below).

The duration of the publishing cycle for the manuscripts, submitted in the second form is the longest one and for the manuscript in the forms first - the shortest.

2. All files should be submitted on a 3.5" floppy disc (1440 Kbytes) or sent by e-mail jct@ict.nsc.ru as a *.zip - archive. All text-files and TeX-files in Russian must be submitted in CP866 (MS-DOS) Code Page.

3. The "hard copies"must be typed neatly with a fresh black ribbon. The typing should be double-spaced and lettered as neatly as possible. Any material that cannot be typed such as symbols and formulae should be inked carefully in black meeting the existing standards. The drawings must be printed on a laser or high-quality ink-jet printer or drawn directly in Indian ink on a sheet of a strong (bond) white paper.

4. Each paper must be preceded by an abstract of no more than 300 characters. The title of the paper and its abstract in English should be submitted on a separate sheet accompanied by the list of the key words (not more than 20) in Russian and English as well as the AMS/ZBL classification codes.

5. Authors are required to obtain permission for the publication from the company or institution at which the scientific results presented in the paper had been obtained. The accompanying letter should contain the communicating author, his mail address, telephone number(s), e-mail address.

6. The following information pertinent to every author have to be submitted as a separate file:

o First name, Second name, Last name o Affiliation data: Institution/Organization, Position o Scientific degree, Title o Address

o Telephone numbers, including the area code, Fax number, E-mail address, Homepage URL o Scientific Interests

7. Submission in LaTeX — Case (3). Recommendations.

Using IATEX 2.09 Using IATEX 2e

8. All materials should be mailed to the following address: Journal of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia, Ph. D. Igor A. Pestunov — Phone +7(3832)343785, Galina G. Mitina.

Writing paper in English in LT^X 2.09

Journal style jctart-e.sty

Writing paper in Russian using L-TX 2.09

Journal style jctart.sty.

In this case LaTeX file structure should look like this: \documentstyle[jctart]

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm] \sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Text of the abstract> \end{abstract} <Body of the paper> \begin{thebibliography} <References(\item-list)> \end{thebibliography} \end{document}

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file. The illustrations are inserted into the text by the following commands:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<horizontal shift of the drawing in mm>mm} \special{em:graph <name of the drawing file>} \vspace*{<height of the drawing in mm>mm} \caption{<caption>} \end{figure}

Writing paper in LT^X 2e

Writing paper in English use the option english: \documentclass[english]{jctart}. \documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm} \usepackage{amsmath}

\begin{document} \pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE(LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm] \sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Text of the abstract> \end{abstract} <Body of the paper> \begin{thebibliography} <References (\item-list)> \end{thebibliography} \end{document}

<Russian translation of the paper title for papers in Russian> <Abstract in Russian>

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file.