Вероятностно-статистический метод восстановления формы волны зашумленного вибросейсмического сигнала

УДК 519.24.8

В.И. Знак, С.М. Панов

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФОРМЫ ВОЛНЫ ЗАШУМЛЕННОГО ВИБРОСЕЙСМИЧЕСКОГО СИГНАЛА

Интерпретация результатов геофизических исследований и степень доверия к ней определяется, в основном, качеством исследуемого материала и точностью соответствующих оценок. Данный тезис в полной мере относится и к интерпретации данных активного вибросейсмического мониторинга. В предлагаемой работе излагаются основы кофазной медианной фильтрации и предлагается метод восстановления формы волны зашумленного вибросейсмического сигнала. В качестве основы метода использован последовательный статистический анализ временных рядов.

Медианные фильтры интересны тем, что они позволяют сохранять разрывы и ступени сигнала, которые теряются при использовании линейных фильтров, в том числе и свертки. Интерес к ним отражен в работах многих авторов, среди которых отметим только работы [1, 2].

Однако на периодических сигналах поведение медианных фильтров подобно поведению линейных (с ростом длины фильтра растет его сглаживающий эффект). Данное свойство медианных фильтров значительно ограничивает их возможности в части обработки вибро-сейсмических данных, в основе которых лежат либо гармонические, либо частотно модулированные сигналы. Из работ, посвященных проблеме адаптации медианных фильтров к обработке периодических сигналов, отметим работы [3, 4]. В частности, в [3] соответствующая проблема более четко формулируется как способность фильтра «отбраковывать те образцы в окне, которые не совпадают по фазе с центром окна». Рассмотрим сейчас такую модификацию медианного фильтра, который ориентирован как раз на «отбраковку» нежелательных образцов, что позволяет значительно ослабить названное выше ограничение медианных фильтров. Предлагаемая модификация принадлежит классу взвешенных медианных фильтров. Специфика подхода - в признании правомочности нулевых весов.

Рассмотрим фильтр, длина которого равна п периодам сигнала, зарегистрированного в эквидистантные моменты времени гг (/=1, 2,...) с

фиксированным периодом квантования Л (п - четное: 2, 4, и т.д.), как на рис. 1.

Рис. 1. Выборка значений сигнала, наиболее близких фазе СЕ

Положим, на входе фильтра присутствует соответствующая последовательность значений сигнала. Если события, определяющие поведение сигнала в "соседних" периодах сейсмозаписи с высокой степенью вероятности повторяют друг друга, тогда текущему значению сигнала в момент iАt (рис.1, центр окна - СЕ) можно присвоить единичный вес и ненулевые положительные веса тем значениям, которые отстоят от текущего на длину периода, при равенстве нулю весов прочих членов выборки. Тем самым значимыми (ненулевыми) весами отмечены статистически однородные члены выборки. Использованная здесь гипотеза о подобии последовательности событий в соседних периодах сигнала отдельной сейсмозаписи аналогична гипотезе о подобии последовательности событий в соседних (относительно близких по времени) сейсмотрассах, используемая в алгоритме накопления. Назовем такой фильтр ко-фазно (или синфазно) взвешенным и обозначим как СФВ фильтр. Вопросы выбора ко-фазных (синфазных) значений сигнала и отклика фильтра на дискретные периодические сигналы были исследованы в работах [5, 6].

Здесь мы не будем останавливаться на формальных определениях. Отметим только, что основные характеристики фильтра и принципы его конструирования изложены в отмеченных работах [5, 6].

Как показано в работе [6], СФВ фильтр радиуса Я={1, 2} (длины 2, 4 периода соответственно), позволяет сохранять удовлетворительное качество сигнала в полосе частот А/ ~ 1 Гц (1.5 Гц - в случае повышения веса СЕ относительно прочих). В работах [7 - 9] предложены схемы алгоритмов для того случая, когда область частот свип-сигнала превышает отмеченную полосу, т.е., А/ТМ)>А/(СФВ). В их основу положен единый принцип: распараллеливание обработки сигнала, где отдельная ветвь обработки

проектируется для обработки сигнала в полосе частот А /(/) при условии

/.(/) е/ГМ), /=1, п (/ - номер ветви). При этом сигнал вне полосы данной ветви (кроме кратных частот) трактуется фильтром как помеха. Пример динамики формы волны чистого свип-сигнала на выходах ряда соседних ветвей представлен на рис.2. Частотный диапазн сигнала - 5 Гц ^ 10.5 Гц с шагом частоты 0.1 Гц.

Рис. 2. Динамика формы волны свип-сигнала на выходах ветвей СФВ

фильтра

Реконструкции сигнала во всей полосе производится в два последовательных этапа. На первом вычисляется (для каждой ветви алгоритма) оценка дисперсии на некотором скользящем базисе L значений

сигнала а(и)=*/X(^(г) _мк) (/ L, L нечетное, k=L/2,..., N-L/2 (Ы - длина

V

вибросейсмозаписи). Пример распределения дисперсии по ветвям представлен на рис. 3.

ь«__________и_______|Ю ¡и____________аз______02________13_______________и_______и________и_______а. Iза________^________130 131__________из________гг______га______гг_______г*______зт Ц ________________1М ^_____I

Рис. 3. Распределение дисперсии свип-сигнала по ветвям СФВ фильтра

^=51)

На втором этапе, в приведенных ранее работах, восстановление сигнала производится на основе сопоставительного анализа распределения дисперсии

О к) (/=1,..., п) в текущий момент времени к. Рассмотрим метод

последовательного статистического анализа с привлечением формулы Байеса.

ТТ ~ V Т I С (1) С (П ^1 ~

Для этих целей введем вектор С =1Ск , ..., Ск1 значений сигнала и

ЛТ \ (1) (п )| - 7 тэ

вектор о =\ а к , ., а к \ значений дисперсии на момент k. В принципе,

соответствующие значения сигнала и дисперсии представляют собой

случайные величины. В этих условиях определим событие А: «значение С к) сигнала является представителем реального сигнала на момент k (/=1,., п) при условии принятия одной из п гипотез Н/ (по числу ветвей)».

Для оценки вероятности Р(А\Н/) предлагается привлечь распределение

дисперсии по ветвям алгоритма: Р(А\Н/)=а к) / 1,/а к). Как видно, мы имеем

здесь полную группу событий.

Для оценки вероятности гипотез Р(Н/), в качестве априорной

информации, воспользуемся распределением дисперсии по ветвям алгоритма за некоторый период времени, предшествующий моменту k. В соответствии с этим сведем предшествующие оценки дисперсии в матрицу

а к-т

(1) а к-1

( п ) а к-т

(п) а к-1

и оценку вероятности гипотез представим в форме:

рнг- ттл') ' (I:, 2>!}) -»/< * з,.

Тогда приходим к выражению Р(Н,|А)= (а к) ♦§, )/(2, а к) *2, §, ).

Форма волны свип-сигнала, восстановленного в соответствии с последним алгоритмом, представлена на рис. 4.

Рис. 4. Динамика формы волны восстановленного свип-сигнала

Результаты проверки алгоритма на модели свип-сигнала, искаженного шумами, сведены в табл. 1. В качестве модели шума использован аддитивный белый шум с нулевым математическим ожиданием.

Таблица 1. Значения коэффициентов корреляции исходного сигнала с сигналами на входе фильтра (к0),и выходе для различных уровней шума

Уровень шума к О ~1

0 1.0 0.993

5 0.444 0.80

10 0.242 0.351

20 0.128 0.131

Как видно, с ростом уровня шума монотонно падает качество восстановления сигнала.

Представляется, через вариацию параметров алгоритма (величину базиса L оценки дисперсии и числа столбцов матрицы 5) методами

010102020102000100020102000202000001000102010000000001010201020002860202010101000000

динамического программирования можно достичь их оптимальности в зависимости от уровня шумов. Однако в данной работе ставилась цель только разработка вероятностно-статистического подхода к решению задачи восстановления зашумленного свип-сигнала. Всестороннее исследование полученного решения представляет собой отдельную задачу.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Duncan, G. and Beresford, G., 1995, Median filter behaviour with seismic data: Geophysical Prospecting, v. 43, p. 329-345.

2. Justusson B.I. Median filtering: statistcal properties: Two-dimentional digital signal processing II, In T-transforms and Median Filters (Springer-Verlag, Berlin, 1981, p.161-196).

3. Yin and Y. Neuvo, Fast adaptation and performance characteristics of fir-wos hybrid filters, IEEE Transactions on signal processing, 42(7), 1994, 1610-1628.

4. G. R. Arce, A general weighted median filters structure admitting negative weights, IEEE Transactions on signal processing, 46(12), 1998, 3195-3205.

5. В.И. Знак. Синфазно-взвешенный медианный фильтр и некоторые вопросы оценки качества его отклика на частотно-модулированный сигнал. Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 6, 2003 г., № 3, с. 31-40.

6. V. I. Znak, Co-Phased Median Filters, Some Peculiarities of Sweep Signal Processing, Mathematical Geology, 37(2), 2005, 207-221.

7. В. И. Знак. Синфазные взвешенные медианные фильтры и обработка вибросейсмических данных. Геофизический журнал, № 6, Т. 27, 2005, с. 44-53.

8. V. Znak. Some questions of adaptation of the median filters to periodic signal processing, Proc. 1st International Workshop on Active Monitoring in the Solid Earth Geophysics, Mizunami, Japan, 2004, 212-217.

9. V. I. Znak. One way of organizing N-tap co-phased weighted median filters. Proceedings of the Second IASTED Informational Multi-Conference on Automation, Control, and, Information Technology - Signal and Image Processing (ACIT-SIP), June 20-24, 2005, Novosibirsk, Russia, p. 137-143.

© В.И. Знак, С.М. Панов, 2006