Об одной задаче идентификации стохастических систем

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

УДК 004.89

В. Д. Дергачев, Ю. С. Ломаев Научный руководитель - Е. А. Попов Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

МЕТОДЫ ПОДАВЛЕНИЯ ШУМОВ И АЛГОРИТМЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ АППРОКСИМАЦИИ РЕНТГЕНОГРАММЫ ВЕЩЕСТВА NIFE ФУНКЦИЯМИ ГАУССА

Обработка результатов эксперимента может быть проведена с использованием различных методов фильтрации и оптимизации. В данной работе приводятся методы: фильтр низких частот, метод адаптивной фильтрации Винера (задача подавления шумов) и использование генетического алгоритма, численного дифференцирования (задача оптимизации) при дальнейшей аппроксимации рентгенограммы вещества функциями Гаусса с использованием градиентного метода Левенберга-Марквардта.

Прежде всего, необходимо произвести подавление шумов, присутствующих в исходной рентгенограмме, что позволит построить корректную модель, отражающую физические свойства материала. Данная задача может быть реализована с помощью дискретного преобразования Фурье (фильтр низких частот) и метода адаптивной фильтрации Винера [4]. В качестве результата этого преобразования формируется некоторая отфильтрованная выборка.

Следующий этап - задача аппроксимации рентгенограммы функциями Гаусса [3] при использовании градиентного метода Левенберга-Марквардта [1], который позволяет получить вектор значений параметров функций (абсцисса точки максимума функции, ордината, полуширина пика). Данный метод использует начальную оценку параметров аппроксимирующих функций Гаусса. Результатом работы метода является оптимальный вектор параметров модели.

Начальная оценка параметров определяется исходя из выборки. Эта задача может быть решена с помощью генетического алгоритма (ГА), так как она сводится к поиску точек максимума функции. ГА возвращает начальную оценку параметров функций Гаусса, используемую в работе градиентного метода.

Иным образом данная задача может быть решена проведением численного дифференцирования выборки [2]. Используя необходимый и достаточный условия существования экстремума, формируется критерий выбора тех точек выборки, значения которых удовлетворяют данным условиям. При этом оценивается только абсцисса точки максимума функции, так как данный параметр несет наибольшую информацию относительно расположения пика в рентгенограмме.

Библиографические ссылки

1. Levenberg K. A method for the solution of certain problems in least squares. Quart, Appl. Math., 1994. Vol. 2. P. 164-168.

2. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization. Springer. New York, 1999.

3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М. : Мир, 1985.

4. URL: http://find.spa.umn.edu/matlab5_help/toolbox/ images/wiener2.html.

© Дергачев В. Д., Ломаев Ю. С., 2012

УДК 519.8

Е. И. Дмитриев Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассматриваются задачи анализа данных, возникающие при идентификации стохастических систем. Предложен способ генерации рабочей выборки на основе обучающей. Приведены компьютерные исследования новых классов непараметрических оценок и алгоритмов, предназначенных для построения адаптивных моделей стохастических систем.

В задаче идентификации сложных систем в условиях непараметрической неопределенности исследователь располагает некоторой исходной обучающей выборкой. Часто в пространстве «входных-выходных» переменных элементы этой выборки образуют «сгущения», а в ряде других подобластей пространства- «разряжения». При их использовании при решении задачи идентификации предлагается из

имеющейся обучающей выборки сгенерировать новую «рабочую» выборку, которая непосредственно используется в непараметрических моделях [1]. Этот процесс генерации, предлагаемый в настоящем докладе целесообразно использовать и в других непараметрических адаптивных системах. Процесс генерации основывается на непараметрическом оценивании

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

регрессионных характеристик по наблюдениям с шумами.

Если осуществить процесс генерации новой «рабочей» выборки из исходной обучающей (Ун«!,! = 1,з] иа основе создания равномерной сетки в пространстве Д(и) и вычисления в ее узлах непараметрической оценки хс то можно получить другую «рабочую» выборку = З^в7) где

о: На этой выборке вводится новый тип стохастических аппроксимаций из класса Н-аппроксимаций. Вычислительные эксперименты показывают, что объем рабочей выборки, при практически том же качестве оценивания регрессионных характеристик, значительно меньше исходной обучающей выборки. Для генерации элементов «рабочей» обучающей выборки используется соответствующий непараметрический индикатор. В докладе приводятся некоторые численные исследования одного класса Н-аппроксимации. Ниже графически представлен результат генерации рабочей выборки в сравнении с исходной выборкой в двух плоскостях (случай двух входов).

Л

Рис. 1. Исходная выборка представлена красными жирными точками, сгенерированная - синими, более тонкими точками

В докладе рассматривается так же случай оценивания регрессионных характеристик при неравномерно распределенных элементов исходной обучающей выборки. Для этого была введена и исследована непараметрическая оценка кривой регрессии по наблюдениям с шумами, использующая в вычислительной формуле вместо измерения выхода объекта

И = X?) гиперплоскость

временные векторы объемом к), аппроксимирующую некоторую окрестность точки (х^Щ) (окрестность состоит из точек, выбираемых из соображения их

близости к (ytl-Kt3 относительно некоторого расстояния h, определяемого экспериментальным путем) [2]. В докладе приведены численные исследования предложенных непараметрических процедур, иллюстрирующие их эффективность и необходимость использования для идентификации стохастических систем.

Таким образом, каждой точке выборки по-

ставлена в соответствие некая гиперплоскость, параметры которой определяются исходя из МНК. В результате исследований данной оценки ошибка идентификации по сравнению с классической непараметрической оценкой имеет значение на порядок, а в некоторых случаях и на два порядка, меньше. Данный результат объясняется привлечением дополнительной полезной информации о поведении соседних с (¡ГцН^) точек.

Таким образом, при значительном уменьшении объема выборки (варьируется кол-во узлов сетки и происходит отсеивание индикатором некоторых точек сетки, в которых знаменатель классической оценки равен 0), не наблюдается значительного увеличения ошибки идентификации (ошибка сохраняет свой порядок малости). Таким образом, в дальнейшей работе для исследований лучше брать новую «рабочую» выборку, так как исследователю выгоднее использовать выборку меньшего объема для уменьшения вычислительных затрат.

Ниже графически представлен результат работы данной модифицированной непараметрической оценки с выборкой с шумом, снятой с функции одной входной переменной, в сравнении с обычной непараметрической оценкой.

Рис. 2. Модифицированная оценка

Библиографические ссылки

1. Медведев А. В. Непараметрические системы адаптации. Новосибирск : Наука, 1983.

2. Катковник В. Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. М. : Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

© Дмитриев Е. И., 2012