Интегро-дифференциальные операторы нецелого порядка и их физические применения

ТОЧКА ЗРЕНИЯ

УДК 517.9

Д.М. Гордиевских, г. Челябинск

Интегро-дифференциальные операторы нецелого порядка и их физические применения

В статье дан краткий исторический обзор развития дробного исчисления, рассмотрены специальные функции математического анализа для работы с производными нецелых порядков. Рассмотрены дробные производные Капуто и Римана-Лиувилля.

Уравнение дробного порядка, дробная производная Капуто, дробная производная Римана-Лиувилля.

D.M.Gordievskikh, Chelyabinsk

Integro-differential operators of non-integer order and their physical

applications

The article gives a brief historical overview of the development of fractional calculus are considered special functions of mathematical analysis to work with non-integer-order derivatives. Considered Caputo fractional derivatives and the Riemann-Liouville.

Keywords: fraction differential equation, Caputo fractional derivative, fractional derivative of Riemann-Liouville

Математический анализ с использованием интегро-дифференциальных операторов нецелых порядков имеет более чем трехвековую историю.

Впервые упоминания о производных нецелого порядка встречаются в переписке Лопиталя и Лейбница. Последний, в письме, датированном 1695 г., обсуждая возможности дифференциалов порядка 1 /2, написал слова, ставшие пророческими: «.. .Из этого парадокса со временем будут выведены полезные следствия».

Весь XIX и первая половина XX века стала периодом накопления результатов и формирования дробного исчисления, как самостоятельного раздела математического анализа. В это же время появляются публикации таких физиков и математиков, как: Лаплас, Фурье, Риман, Абель, Лиувилль, Грюнвальда, Хэвисайда, Куранта и др. Значительный вклад в развитие математического анализа дробных порядков внес известный русский математик А.В. Летников. Первые публикации А.В. Летникова по дробному исчислению относятся к 1868-1872 г.г.

Новая волна интереса научного сообщества к дробному исчислению, произошла после публикации книги «Дробное исчисление» (K.B.Oldham, J.Spanier) в 1974 г. В этой книге систематически изложена теория дробного исчисления, а также рассмотрены области его применения [2].

С этого момента, начинают появляться тематические выпуски различных журналов, посвященные применениям дробного исчисления в различных областях науки, техники, естествознания.

В настоящее время дробное исчисление находится в процессе бурного развития, как в теоретическом плане, так и в его применениях. Данный раздел математического анализа превратился в инструмент математического моделирования сложнейших динамических процессов в различных (обычных и фрактальных) средах, позволяющий решать различные задачи анализа, синтеза, диагностики и создания новых систем управления [5].

2. Функции дробного математического анализа

В дробном математическом анализе часто встречаются функции, являющиеся обобщением широко известных и применяемых в классическом математическом анализе, в частности, экспоненциальной функции и факториала. Начнём сопоставление с рассмотрения этих функций.

Гамма функции Эйлера

Гамма-функцию можно определить следующим образом:

Где Х- любое. В качестве аргументов Гамма функции могут быть любые числа. Для целых положительных X = 71 гамма-функция связана с факториалом следующим образом:

Кроме того, наряду с Гамма-функцией применяются функции, тесно связанные с ней. В частности это неполная Гамма-функция, Бэта-функция и Пси-функция [2]: Неполная Гамма-функция определяется следующими выражениями:

Бэта-функция выражается через Гамма-функцию следующим образом:

Г

В(р,я) =

Г

Пси-функция связана с Гамма-функцией соотношением вида:

Пси-функция обладает рядом интересных свойств, которые часто используются в дробном исчислении:

ф(х + 1) = ф(х) + Х"1

п

Ф(?1+ 1) =ф(1) +

I-

Функция Миттаг-Лефлера

Функция Миттаг-Лефлера [3,4] задается на множестве значений комплексного аргумента ъ с помощью бесконечного ряда и зависит от двух параметров а и Р:

Если а = /? = 1, то приведенная формула определяет экспоненциальную функцию ег

Функция Миттаг-Лефлера играет важную роль в решении интегро-дифференциальных уравнений нецелых порядков. Многие специальные функции могут быть выражены через функции Миттаг-Лефлера с различными параметрами. К таким функциям, в частности, относятся гиперболические синус и косинус, функции Миллера-Роса, Работнова и др. Подробнее об этом см. [4].

Дробный интеграл и производная Римана-Лииувилля

Одним из самых широко распространенных определенных производных и интегралов нецелых порядков является определения Римана-Лиувилля [2,3]. Данное определение, является обобщением интегральной формулы Коши на нецелые порядки.

С введением производных и интегралов нецелых порядков стирается резкая граница между производными и интегралами. Таким образом, мы можем трактовать интегралы, как производные отрицательного порядка, а производные, соответственно, как интегралы отрицательного порядка. В математическом анализе нецелых порядков существует термин: диферинтеграл [2]. Обобщение интегральной формулы Коши на нецелых порядки интегро-дифференциальных операторов приводит к следующим определениям дифферинтегралов дробного (нецелых) порядков:

где: /?, а Е Н, п — 1 < /? < п.

— интегральный оператор порядка /?

О

Р

га г — дифференциальный оператор порядка /?

Рассмотренное определение производной и интеграла нецелых порядков не является единственным. Известны также определения интегро-дифференциальных операторов по Вейлю, Грюнвальд-Летникову, Капуто и др.

Дробная производная Капуто

Наибольший интерес для практических приложений представляет определение производных нецелого порядка по Капуто. Оно отличается от определения Римана-

Лиувилля тем, что функция сначала подвергается дифференцированию с наименьшим целым порядком п, превышающим нецелый порядок а затем результат

интегрируется с порядком 71 — /?:

где: р, а € Н, п — 1 < /? < п.

В интеграле Римана-Лиувилля сначала производится интегрирование, а затем дифференцирование. Преимуществом определения дробной производной Капуто является более естественное для практических приложений решение проблемы начальных условий при решении интегро-дифференциальных уравнений нецелых порядков.

Отметим, что использовать сходство формул следует с большой осторожностью, поскольку свойства производных (как и интегралов) нецелого порядка существенно отличаются от их целочисленных аналогов.

Так, дробная производная Римана-Лиувилля имеет важный недостаток, касающийся ее использования в приложениях, в частности, дробная производная Римана-Лиувилля от константы не равна нулю:

В отличие от дробной производной Римана-Лиувилля, дробная производная Капуто от константы равна нулю:

Физический смысл дробной производной Капуто.

Рассмотрим обобщение уравнения Линдблада для квантовых наблюдаемых в

виде:

где, cjjf - дробная производная Капуто по времени t, и

Для СС = 1 мы имеем обычное уравнение Линдблада.[1] Если CL не целого порядка, то данное уравнение определяет квантовые процессы со степенной памятью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lindblad, G. On the generators of quantum dynamical semigroups / G. Lindblad // Commun. Math. Phys. - 1976. - № 48. - С. 119-130.

2. Oldham, K.B. The Fractional Calculus / K.B. Oldham, J. Spanier. - Academic Press, 1974. - 234 р.

3. Podlubny, I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny // Mathematics in Science and Endineering. -Academic Press, 1999. - Vol. 198. - Р. 340.

4. Tarasov, V.E. Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems / V.E. Tarasov. -Amsterdam, Boston, London, New York : Elsevier Science, 2008.

5. Васильев, В.В. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем / В. В. Васильев, Л. А. Симак. - Киев : НАН Украины, 2008. - 256 с.

УДК 378

Ю.Н. Рюмина, г. Шадринск

Организация деятельности по привлечению и отбору добровольцев из числа студентов вуза

В статье рассмотрены технологические аспекты организации добровольческой деятельности студентов вуза.

Добровольческая деятельность, социально-педагогическое сопровождение, информирование и отбор добровольцев.

YU.N. Ryumina, Shadrinsk

Organizing activities to attract and selection of volunteers from among the students of the university

The article describes the technological aspects of the organization of volunteer activities of university

students.

Keywords: volunteer activities, social and educational support, information and selection of volunteers.

Молодежь как наиболее активная социально демографическая группа может стать основой развития волонтерского движения в нашей стране. Опыт деятельности по созданию добровольческих групп, существующих на сегодняшний день, стал основой выявления некоторых технологических основ развития волонтерского движения среди молодежи.

Молодежное волонтерское движение, как правило, организуется на базе образовательных учреждений (общего или профессионального образования), учреждений молодежной сферы (например, молодежного центра), молодежных общественных объединений и организаций.

В качестве механизма формирования социально-значимых качеств личности студентов в процессе добровольческой деятельности может выступать социально-педагогическое сопровождение.

В общих чертах социально-педагогическое сопровождение организации добровольческой деятельности студентов вуза может осуществляться в рамках трех модулей: ориентировочном, обучающем и основном

Планирование

Координация

Анализ деятельности

Оценка эффективности

118

Ориентировочный модуль

Обучающий модуль