Средства поверхностного векторного анализа и их применение для определения параметров физических полей. Часть 1

УДК 514.742.43 Попов И.П.

Курганская государственная сельскохозяйственная академия им. Т.С. Мальцева, Курган

средства поверхностного векторного анализа и их применение для определения параметров физических полей. часть 1

Аннотация. Вводится понятие о слагаемых векторных произведений, которыми являются первая, или ортоположительная часть, и вторая, или ортоотрицательная часть; дальнейшим развитием этого понятия является представление о сопряженных векторах, векторном дифференциальном поверхностном операторе, поверхностном градиенте, производной по поверхности, поверхностных дивергенции и роторе. Рассматриваются поверхностные функции, их поверхностное дифференцирование и интегрирование. Показаны особенности поверхностных функций, для которых все слагаемые являются функциями не менее чем двух переменных. Кроме того, поверхностные функции имеют смешанные частные производные второго порядка, при этом по крайней мере одна из смешанных частных производных второго порядка от любого слагаемого не обращается в нуль. Доказывается теорема о восстановлении поверхностной функции по ее поверхностному градиенту. Вводится понятие о линейной комбинации координат и ее делении на вектор, нулевом и мнимом нулевом векторных операторах, псевдовекторах и комбинированных векторах. Приведен ряд разложений с использованием введенных операций.

Ключевые слова: вектор, оператор, поверхностный, координаты, градиент, дивергенция, ротор, ортоположительный, ортоотрицательный.

Popov I.P.

Kurgan State Agricultural Academy named TS Maltsev

means of the surface vector analysis and their application to determine parameters of the physical fields. part 1

Abstract. We introduce the notion of the terms of vectorproducts,whichare thefirstorortopolozhitelnaya part and the second part or ortootritsatelnaya; further development of this concept is the notion of conjugate vectors, vector differential operator of the surface, the surface gradient, the derivative on the surface, the surface divergence and rotor. Treated surface functions, their surface differentiation and integration.

The features of surface functions for which all terms are functions of at least two variables, in addition, surface features have mixed partial derivatives of the second order, with at least one of the mixed partial derivatives of second order of any term does not vanish . We prove a theorem on the restoration of surface features on its surface gradient. We introduce the notion of a linear combination of coordinates and its division by a vector zero and zero imaginary vector operators, pseudo and combined vectors. Is a series of expansions using these operations.

Keywords: vector, operator, surface coordinates, gradient, divergence, rotor, ort, positive, negative.

Введение

Работа посвящена рассмотрению ряда операций на пространстве гладких функций и векторных полей в R3 [1-3]. В качестве исходного пункта могут выступать нулевые величины. Их можно условно разделить на две категории. К первой относятся величины, содержимое которых «пусто». Ко второй - состоящие из величин, сумма которых равна нулю. Сюда же относится векторное произведение оператора Гамильтона (набла) на самого себя. При этом использование взаимно противоположных компонентов этого произведения создает определенные перспективы, в частности, развития элементов поверхностного векторного анализа, приложением которого может быть определение энергетических параметров силовых, например, электромагнитных полей [4-11]. К таким элементам могут быть отнесены векторный дифференциальный поверхностный оператор, поверхностный градиент, производная по произвольной поверхности, поверхностные дивергенция и ротор, являющиеся аналогами соответствующих величин первого порядка. Названные операции относятся к поверхностному дифференцированию, которое можно рассматривать в качестве обратной задачи к поверхностному интегрированию. Перечисленные операции могут использоваться для получения разложений ряда векторных представлений второго порядка, часть которых имеет аналоги первого порядка. В ряде случаев для этого придется прибегнуть к специальным методам, таким, как сопряжение векторов, использование линейной комбинации координат, ее деление на вектор, введение нулевого и мнимого нулевого векторных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов.

1 Слагаемые векторных произведений

Для векторов G и H имеет место операция векторного произведения

G х H = (GyHz - GzHy ) i +

+ (GzHx - GxHz) j + (GxHy - GyHx ) k .

Его можно представить в виде:

GхH = (G H i + GHj + GHk)-

\ У z z xJ x y f

-

Определение 1.1. Операция

О х, Н := ОуИ21 + ОгИх1 + ОхИук

является первой, или ортоположительной, частью векторного произведения О х Н векторных полей

О = Сх 1 + Су 1 + к

и Н = Их 1 + Иу 1 + И к .

Определение 1.2. Операция

О хп Н := Н х, О = в2Иу 1 + ОхИ21 + ОуИхк

является второй, или ортоотрицательной, частью векторного произведения.

Очевидно,что

О х Н = О х, Н - Н х, О = О х, Н - О х,, Н.

Все вышесказанное справедливо и для ротора.

Определение 1.3. Операция

™ „ ™ дМ . дМ . дМ

гotIM := Ух, М = —^ 1 + —^ 1 + —ук

dy dz

dx

является первой, или ортоположительной, частью ротора гotM векторного поля

М = Мх 1 + Му 1+М2 к

Определение 1.4. Операция

rot,,M := Vx,, M =

dMv, dMz . dMr

dz dx

J + "

dy

2

d2 . d2 . d2 , + —— J +—k

дуд2 дхдг дхду

является векторным дифференциальным поверхностным оператором.

3 Поверхностный градиент и производная по поверхности

Определение 3.1. Вектор

, „г „ ™ д2Ж . д2Ж . д2Ж, gгad :=У,Ж =- 1 +-1 +-к

дyдz дхдг дхду

является поверхностным градиентом функ-

ции W.

По аналогии с производной по направлению вычисляется производная по поверхности

d2W

:=(gradS W)• n =

d ст

d2W d2W d2W =-cos ф +--cos y +--cos У

dydz dxdz dxdy

Здесь

n = i cos ф+ J cos y + k cos 0 - поле единичных нормалей поверхности дифференцирования.

Теорема 3.1. Производная функции W(x, y, z) (скалярного поля) по некоторой поверхности равна проекции поверхностного градиента на единичный вектор нормали к этой поверхности (в соответствующей точке). d 2W

—— = grads W cos (gradS W, n) d ст .

Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из (3.2).

Следствие. Поверхностный градиент скалярного поля равен по величине производной поля по поверхности, для которой эта производная (в соответствующей точке) является максимальной, и совпадает по направлению с единичным вектором нормали к этой поверхности.

является второй, или ортоотрицательной, частью ротора гotM. Очевидно,что гotM = го^М - гс*п М

или УхM = Ух, M-Ух,, M или , II .

2 Сопряженные векторы

Определение 2.1. Операция

О х* Н := О х, Н - Н х, О = О х, Н + О хп Н

является сопряженным векторным произведением векторных полей О и Н. Определение 2.2. Операция

го^ := го^ + го^^

или Ух* M = Ух, M + Ухп M или , II

является сопряженным ротором векторного

поля M.

Определение 2.3. Оператор

Ух* У

Ух : = Ух, У = Ухп У =-

max

f dW

d ст

= I grads W| =

d2 W dydz

Y f

d W

v dxdz;

d W dxdy

Пусть для функции и(ху2, все слагаемые которой являются функциями не менее чем двух переменных, имеющей смешанные частные производные второго порядка, по крайней мере одна из смешанных частных производных второго порядка от любого слагаемого не обращается в нуль. Для однообразия терминологии такая функция может быть названа поверхностной.

Теорема 3.2. Поверхностная функция и(ху2 может быть восстановлена по ее поверхностному градиенту О в соответствии с формулой:

и = Ц Gxdydz + Ц Gydxdz + Ц G2dxdy - 2У =

= р (х, у, 2) + Р2 (у, 2) + 01 (х, у, 2) +

+02 (х, 2) + Я1 (х, у, 2) + Я2 (х, у) - 2V .

При этом

V = р = 01 = Я,

а интегралы понимаются как повторные неопределенные с нулевыми аддитивными составляющими.

Доказательство

d3U dGv dGz

dx dxdydz dy

dz

.

U можно искать в виде:

U = Ц Gxdydz + Ц Gydxdz +

+jj Gzdxdy + f (x, y, z) При этом

jj Gxdydz = p

d3 , , dGx _ d3P—

dxdydz д3 dxdydz

д3

jj Gxdydz  jj Gydxdz  jj Gzdxdy

dx dxdydz

dG d3 Q—

dy dxdydz

dGz d3 R—

dxdydzJJ z dz dxdydz

С учетом (3.3) P = Qj = Rj = V (x, y, z). Тогда

f (x, y, z) = -2V. При этом

d U =—— I jj Gxdydz + dydz dydz LJJ x

+jj Gydxdz + jj Gzdxdy + f (x, y, z) = G, - d2

grad s U =

(

\

3z2-x

y

— - sin

y

J +

(2 z > 2 y--J

y /

3 xz xz • í \ 2

U = yz +— +— + sin (x + z) + xy + У У

xz _ xz з xz . / \ 2

+---2— = yz +---+ sin (x + z) + xy

У У У .

4 Поверхностная дивергенция и поверхностный ротор

В (3.1) имеет место произведение вектора VS на скаляр W. Могут быть рассмотрены скалярное и векторное произведения VS на вектор M.

Определение 4.1. Операция

„ „ „ д2ых д2ыу d2Mz

divs M := Vs  M =-^ +-y +-z-

dydz dxdz dxdy

является поверхностной дивергенцией векторного поля M .

Определение 4.2. Операция

( д2М д2Mv \

rot.M := V х M =

dxdz dxdy

(d2M d2M, \ (d2Mv d2M, 1

dxdy dydz

J +

dydz dxdz

я Лй + &(х,г) +

дудг

+Я, + Я2 (X, у) - 2Г ] = Gx .

Аналогично

д 2и/(дхдг) = Gy

д2и/ (дхду) = Gz

Теорема доказана.

Замечание 1. Равенство нулю аддитивных составляющих повторных неопределенных интегралов вытекает из того, что в поверхностных функциях соответствующих слагаемых нет.

Замечание 2. Поверхностная функция может быть восстановлена по ее поверхностному градиенту и с помощью поверхностного интеграла, однако это решение может оказаться более громоздким из-за необходимости определения поверхности интегрирования. Кроме того, при поверхностном интегрировании могут появляться константы и функции одной переменной, вследствие чего возникает необходимость прибегать к их отбрасыванию, т.е. к произволу [12-15].

Пример.

является поверхностным ротором векторного поля M.

Определение 4.3. Операция

rotSДМ := VS xI M =

d2M. d 2Mx . d 2Mv

J + -

dxdz dxdy dydz

является первой, или ортоположительной, частью поверхностного ротора rotS М . Определение 4.4. Операция

rotS,IIM :=VS xn M =

d 2M„

d 2M . d 2M ,

i+ _ _zj+ _ _xk

dxdy dydz dxdz

является второй, или ортоотрицательной, частью поверхностного ротора rotS M . rotSM = rotSIM - rotS IIM

Vx M = V,x, M-Vx„ M

или

Определение 4.5. Операция

rotSM := rotS jM + rotS,nM

„п., VS x* M := VS x, M + VS xII M

или S S 1 S 11

является сопряженным поверхностным ротором векторного поля M. 5 Некоторые формулы

VS (a V + eW) = aVSV + p VSW

(a = const, P = const) VS-(aE + pF) = aVS • E + PVS • F VS x (aE + PF) = aVS x E + PVs x F

д4

д4

д4

V-Vs =VS-V-3

dy dz dx dz дх2ду2 д3

дxдyдz

д Г д2

VxVS -_VS xV — дх

д

2 A

ду

( я2

д2

дz2 " дх2

2

д

J+&

дУ2 дz2,

г_д! __д! ^

дх2 ду2

w w д3 . д3 . д3 , vxi vs = ^"тт1 + j+ —-k

VXii Vs =

дхду дyдz

д3 . д3 . 1 + —г J +

дzдx2 д3

дxдz дудх дzдy

ASW -

д4

д4

д4

Л

ду дz дх ^z дх ду

W (х, у, z) =

= divSgradSW = VS -VSW AS (a V + ß W) = aASV + ßASW ASF - A„Fi + A„F J + A„Fk

S S x S yJ S z

divrotS F = V-(VS xF) =

= _divSrotF = _VS -

graddivS F = V(VS - F) =

= Vs x(VxF) + (V-VS)F .

gradSdiv F = VS (V-F) =

= Vx(Vs xF) + (V-Vs)F .

gradsdivs F = Vs (Vs - F) = Vs x (Vs x F) + AsF .

rotrotS F = Vx(VS x F) = VS (V-F)_(V-VS)F

rotSrotF = VS x (VxF) = V(Vs -F)_(V-Vs)F

rot S rot S F = V S x ( V S x F ) = V S (V s - F ) _ A s F .

rotSgradS W = VS xVSW - 0

divsrots F = Vs -(Vs x F)- 0.

VS (VW) = WVSV + VVSW + VV x* VW

VS -

Известные методы не позволяют получить

V

аналогичные формулы для выражений SV ',

Vs-

v SJ , SV '. Для их получения, а также для решения других задач существующий арсенал средств операций с векторами может быть расширен за счет введения в рассмотрение линейной комбинации координат и ее деления на вектор, нулевого и мнимого нулевого векторных

дифференциальных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов.

Список литературы

1 Popov I. P. Mathematical modeling of the formal analogy wave functions //Applied mathematics and control sciences. -2016. - № 1. - P. 9-14.

2 Попов И. П. Скалярное и векторное дифференцирование векторов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1: Математика. Физика. - 2016. - №3 (34). - С. 19-27.

3 Попов И. П. О некоторых операциях над векторами // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1: Математика. Физика. - 2014. - №5 (24). - С. 55-61.

4 Попов И. П. О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия // Вестник Челябинского государственного университета. Физика. - 2009. - Вып. 5. -№24(162). - С. 34-39.

5 Попов И. П. Об электромагнитной системе единиц // Вестник Челябинского государственного университета. Физика. - 2010. - Вып. 7. - №12(193). - С. 78-79.

6 Попов И. П. О пространственной конфигурации вихревого электрического поля //Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. -2009. - Вып. 2. - №1(15). - С. 50, 51.

7 Попов И. П. Дуально-инверсный аналог силы Ампера для магнитопровода с изменяющимся магнитным потоком, находящегося в электрическом поле // Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. -2009. - Вып. 2. - №1(15). - С. 51, 52.

8 Попов И. П. О некоторых изоморфизмах между электромагнитными и магнитоэлектрическими соотношениями // Вестник Курганского государственного университета. Технические науки. - 2010. - Вып. 5. - №1(17). - С. 94-96.

9 Попов И. П. Два подхода классиков электромагнетизма к взаимодействию проводников с токами // Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. - 2015. - Вып. 7. - № 1(35). - С. 55, 56.

10 Попов И. П. Силы, возникающие в вихревом электрическом поле между магнитопроводами с изменяющимися магнитными потоками // Вестник Курганского государственного университета. Технические науки. - 2010. -Вып. 5. - №1(17). - С. 93, 94.

11 Попов И. П. Диэлектрическое сопротивление и аналог закона Ома для цепи потока электрического смещения // Сборник научных трудов аспирантов и соискателей Курганского государственного университета. - 2010. -Вып. XII. - С. 19, 20.

12 Попов И. П. Интегрирование градиента в R3 // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. - 2016. - № 2(33). - С. 44-46.

13 Попов И. П. Оптимизация способа определения функции по ее градиенту // Вестник Тверского государственного технического университета. - 2017. - № 1(31). - С. 9-12.

14 Попов И. П. Применение неопределенного интеграла для восстановления функции по ее градиенту // Вестник Амурского государственного университета. Естественные и экономические науки. - 2017. - Вып. 77. - С. 18-21.

15 Попов И. П. Определение функции по ее градиенту // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2016. - № 2. - С. 31-33.