Задача Стеклова для уравнения Лапласа с линейными граничными условиями, содержащими интегралы

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 2. С. 6-10.

УДК 517.95 Р.М. Зейналов

ЗАДАЧА СТЕКЛОВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ИНТЕГРАЛЫ

Как известно из курса математической физики и курса уравнений с частными производными, уравнение Лапласа является каноническим видом линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа. В общем случае для уравнения Лапласа, так же как и для общего эллиптического уравнения, в основном рассматриваются локальные граничные условия. Это задачи Дирихле, Неймана и третья краевая задача. Настоящая работа посвящена исследованию решения граничной задачи Стеклова для уравнения Лапласа, где спектральный параметр входит только в граничные условия, которые являются линейными нелокальными и содержат глобальные члены, т.е. интегралы.

Ключевые слова: граничная задача, граничные условия с нелокальными и глобальными слагаемыми, задача Стеклова, необходимые условия, регуляризация, фредголь-мовость.

Введение

Рассматривается спектральная задача для двумерного уравнения Лапласа с нелокальными и глобальными слагаемыми в граничных условиях. Отметим, что спектральный параметр входит только лишь в граничные условия [1-2]. Применяемый метод является продолжением метода теории потенциала и опирается на основные соотношения, которые получаются с помощью второй формулы Грина [3-8] и аналога этой формулы [6-8].

Как известно, решение задачи Дирихле ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестными плотностями, а решение задачи Неймана -в виде потенциала простого слоя с неизвестными плотностями. Для этих задач из граничных условий получаем относительно плотностей потенциала интегральные уравнения Фредгольма второго рода [9]. Если рассматривается граничная задача с наклонными производными для уравнения Лапласа, где наклон для некоторых частей границы является касательным, то тогда, отыскивая решения в виде потенциала простого слоя и пользуясь формулой скачка для наклонной производной потенциала простого слоя, мы получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода для тех частей границы, где наклон не является касательным, и уравнения Фредгольма первого рода, где наклон касательный [10]. В наших исследованиях, учитывая что мы ищем решения, диктуемые второй формулой Грина (т. е. для уравнения Лапласа в виде суммы двух потенциалов), вышеприведенная трудность не появляется. Для таких задач мы всегда приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отметим, что в той части границы, где потенциал простого слоя не дает скачок, имеем скачок за счет потенциала двойного слоя [11].

Постановка задачи

Пусть О - ограниченная, выпуклая по направлению оси х2 плоская область с границей Г - линией Ляпунова [12]. Если спроектировать эту область на ось х1 параллельно х2, то граница Г разбивается на две части. Обозначим эти части через Г и Г , для которых выписываем уравнения х2 (х1), х1 е [а, Ь ], к = 1, 2, где [а, Ь ] - проекция области О на ось х1.

© Зейналов Р.М., 2016

Задача Стеклова для уравнения Лапласа с линейными граничными условиями..

7

Рассмотрим следующую граничную задачу:

82 и

8х2

8и

8х,

8х^

= Р

= 0, х е Б с Я

8и

8х,

у

х2 =У

8и

8х,

= а

8и

=у

8х,

=у

Я| К2 (х1, Л 1 , У2 ))<Л1, х1 е [«1, " ],

гДе K\(x\,V\),К2(х1,Л1)а(х1), Р(х\ У(х1) и

у (х) - заданные вещественнозначные непрерывные функции; X - спектральный параметр. Ищется классическое решение

и е С(2) (Б) п С(1) (Б). Известно, что

и (х-\) = -^]п|х- \\ 2ж

- фундаментальное решение двумерного уравнения Лапласа [12].

Основные соотношения

Умножая уравнение (1) на фундаментальное решения (3), интегрируя полученное выражение по области Б и применяя формулы Остроградского-Гаусса подобно второй формуле Грина, получаем первое основное соотношение:

и(х) 8и(хх-\)-ЬЮ и (х

сх.

сх.

'1

X С08(у, х )^х +

и( х)8и (х -\)и (х

8х

8хп

2 2 X С08(г, х )^х +

и(х) тр\>-*£> и (х

£х2 8х2

и (\), \е Б,

: С08(г, х )^х =

1 и(\),\ е Г.

Точно так же умножая уравнению (1) на производную фундаментального решения (3) (сперва по х а затем по х ), интегрируя по

области Б и применяя формулы Остроград-ского-Гаусса подобно (4), получаем второе и третье основные соотношения:

8и(х) 8и(х - \) 8и(х) 8и(х - \)"

8х

8х

8х,

1

С08(г, х )^х +

8х

8и

8хп

8х

x с08(у, х)^х = <

8х

8и

8\

1 8и

2

8х

\ е Б

, \ ег

X

8и

8х

8х

8х

8х

'2 2 X С08

8хп

8хп

x с08(у, х )^х =

8х 8х 8и\), \ е Б,

, \ еГ.

x

8 \ 1 8и

2 8\2

Здесь V - внешняя нормаль к границе Г области Б. При получении (5) и (6) интегрирование по частям нужно провести так, чтобы интегралы по границам не содержали производные как от и( х), так и от и (х - \ ) выше первого порядка, а интегралы по области Б не содержали производных этих функций выше второго порядка. Таким образом доказана следующая

Теорема 1. Пусть Б - ограниченная выпуклая по направлению х плоская область,

а её граница Г = Б \ Б - линия Ляпунова. Тогда произвольная гармоническая функция, определённая в области Б, удовлетворяет основным соотношениям (4)-(6). Необходимые условия Вторые выражения основных соотношений (4)-(6) являются необходимыми условиями, Легко видеть, что их можно привести к виду:

«\,Гк (\)) =

1 " 1 /

ж -1 8и

и

х1 - \

8х

1 " 1/

ж -1

(х -£)2 + (Г1(х)-ук(\))2 Xй^щ -£)2 + (ух(х1) -ук(\1))2

х2 =Г1

X /[(х )^х -

и

х1 -

8и

8х,

= Г2

(х1 - \1)2 + (у2(х1)-ук (\))2

X х-\)2 + (у2 (х1)-7к\))г

ь

1 "1

у'2

ж -1

+

Г

и

+

Г

Г

Г

+

Г

+

Г

г

X

У

(Х1 )2 + (у (Х1)-Ук (£ ))2

дп

дх.,

1 ^

77" *

-£)2 + (У1(Х1)-Ук(Ю))2

Х2 =У1

: dxl +

я

П

у2(Х1) -Ук Ю

дп

дхп

х

(Х1 -Ю1)2 + (У2( х)-ук (Ю1))2 х-Ю)2 + (У2( х)-Ук (Ю))2

х

Х2 =У2

хdx, к = 1,2; ^е^,Ь], что следует из второй формулы Грина. При к = 1 из (7) приведем первое и пятое слагаемое:

1 } , , -Щ(х)-[у1(Х1)-у1(Ю1)] — I п(х, у (х ))---1-^dx, =

яI 1)) (Х-Ю)2 + (У1(Х1)-уДЮ))2 1

1 Ьп(Х У(ХХ1 -Ю)[у1(Х1)-У1ЫхЮ)]^ =

I п(Х1,у1(Х1)) 2Г "Х1 =

^ (Х1 -Ю)2[1 + У1 М хЮ))2]

я

1 г , , \\ [У1 (Х1)-у1 (ст1(Х1,Ю1)] л

= — п(Х ,У (Х ))—ь-—=гdx•

яI (1,У1(1))(Х1 -Ю1)[1+ У1 МХ1Ю1))2] 1

Учитывая, что граница Г - линия Ляпунова, вышеприведенный интеграл перестает быть сингулярным, т. е. порядок особенности теперь меньше единицы. Точно так же при к = 2 рассмотрим третье и седьмое слагаемые из (7).

1) { { ЛХ1 -Ю1)у2(Х1)-[У2(Х1)-У2(Ю1)] ,

— I п(Х,у2(Х))-ъ-ь-^ dx, =

я} (Л1,У2(Л1)) (Х1 -Ю)2 + УХ)-У2(Ю1))2 1

1ь

я

1 , , (х1 -ю1)[у2 (х1) -у2 (^(хю)],

I п(Х1,у2(Х1)) , 2Г1 / глл2 dх1 (Х -Ю1)2[1 + У2 (^2 (X, Ю ) /

1 \

я

1 п(Х у (Х)) [у2(Х1) -у2(^2(Х1,^1)] ёх 1 (Х1,У2(Х1))(Х1 -Ю) [1 + у[(а2(Х1ю1))^ 1,

что также является интегралом со слабой особенностью. Далее:

дп

дЮ

¡2 =Ук Ю)

I Ь

II

я

дп

дХ

Х1 -Ю1

У Х1)

(х-Ю)2 + (у1(х1) -ук (Ю))2

дп

дх.

х=У1

У1

(Х1 -£)2 + (У1(Х1)-ук (Ю))2

у1 (х^х1 -

1 Ь

я1

дп

дх

Х1 -Ю1

Х2 =У2

(х -Ю)2 + (У2(х1) -ук(Ю1))21

дп

дх0

У2

х2 = У2

(Х1 -Ю)2 + (у2(х{) -ук(Ю))2

х у2 (х) dx -

я-1

дп

дх,

Х1

дп

дх,

1 Ь

1 I

77" ^

=у

=У

я

дп

дх.

+

дп

дх

(х1 -Ю)2 + (у( х1) -Ук (Ю1))2

х--

У

У2

dxl +

х

х

х=У(х) (х-Ю)2 + (У2(Х1)-Ук(Ю))2 х оХ1, к = 1,2; Юе^, Ь]• Точно так же для производной по х2 получим:

дп

1 ь 1 ^

я -1

дп

сХ

Х2 =У1

5п

дх.

х2 = У1

1 Ь

я

дп

дЮ Ю2 =Ук

У1

(х1 -Ю1)2 + (У1(х1) -Ук (Ю1))2

._Х1 -Ю1_

( х1 -Ю)2 + (у1( х1) -Ук (Ю))2

х У (Х) dx. -

У2

х -

дХ1 ^ (х) (Х1 -Ю1)2 + (У2(Х1)-Ук (Ю)) дп (х) х - Ю

х=У (х)х (х1 -Ю)2 + (У2(х1)-Ук (Ю1))2

х у'2 (х) dxl -

дх.

дп

дх

Х1

х2 =У1

(Х1-Ю1)2 + У х) -Ук (Ю))2

dxl +

+— я

I Ь

II

ж

дп

дх.,

У1

Х2 =У1

(х-Ю)2 + (у (х) -Ук (Ю))2

дп

дх,

Х1

Х2 = У2(Х) (Х -Ю )2 + (У2(Х1)-Ук (Ю ))2.

хdx, к = 1,2; Ю1е[а1,Ь]• Точно так же, как в (8), так и в (9), некоторые особенности отпадают, но все-таки в них сингулярные слагаемые остаются. Эти остающиеся сингулярности не общего положения, и они регуляризируется известным способом. Доказана

Теорема 2. При условиях теоремы 1 произвольная гармоническая функция, определённая в О, удовлетворяет необходимым условиям (7)-(9).

х

х

+

х

а

х

Задача Стеклова для уравнения Лапласа с линейными граничными условиями...

9

Отделение сингулярности

Рассмотрим необходимые условия (7). Здесь при к = 1 первое и пятое слагаемые, а при к = 2 третье и седьмое слагаемые - сингулярные, они взаимно уничтожаются, в результате в (7) сингулярность не остаётся. Таким образом, (7) является регулярным соотношением.

Рассмотрим второе необходимое условие (8). Здесь при к = 1 первое, второе, пятое и шестое слагаемые сингулярны. Здесь первое и шестое слагаемые взаимно уничтожаются, а второе и пятое сингулярные слагаемые объединяются, в результате при к = 1 получаем:

8и

8 \

\2 = У1

1 ) 8и

ж 8х„

dx

х1 - \

Т- +..., \ е[а1,Ь1 ],

х2 = У1

где многоточием обозначена сумма несингулярных слагаемых.

Точно так же при к = 2, имеем:

8и

8 \

\2 =У2

1 } 8и

= -Ч

ж J 8х,

Ох

х1 - \

+..., \ е[«1,Ь1 ].

х2 =У2

В этом случае в третьем, четвёртом, седьмом и восьмом слагаемых появляется сингулярность. Здесь третье и восьмое слагаемые взаимно уничтожаются, а четвёртое и седьмое сингулярные слагаемые объединяются. Наконец, в (9) при к = 1 появляется сингулярность в первом, втором, пятом и шестом слагаемых в правой части. В результате, после того как второе слагаемое с пятым взаимно уничтожаются, первое и шестое слагаемые после объединения дают следующее выражение:

8и

1 } 8и

ж 8х,

8\ \2 = У1«1)

dxl

х2 = У1(Х) ^ - ^

+ ...,\х е[а1,Ь1 ],

аналогично, при к = 2 получим

8и

8 \

\2 =У2

1 } 8и

ж J 8х,

ох

^ +..., \ е [а^ ¿1 ]

1 х =У2(х) х \

Регуляризация

Исходя из (10) и (11), создадим следующую линейную комбинацию:

8и(\) 8 \

\2 = У2

8и(\ ) 8 \

4=У1

1 ¿1 ж

ди

8х.

-а

ди

х2 =У2

8х

х2 =У1( х1).

Ох,

х1

х" ох ¿1

+ [^

ж х - \

а] 1 а]

= Х\и(Л' У2(Л))ОЛ 12(^'Р Ох + ...,

\ е [а1' ¿1 ] . При получении (14) было использовано второе граничное условие (2). Далее, исходя из (12) и (13), создадим следующую линейную комбинацию:

8и

8\2

+р\)

8и\)

\2 =У2

8\2

\2 =У1

1 ¿1 - ^

ж

8и

дх1

8и

х2 =У2

дх1

х2 = у( х1).

Ох,

-— +... = -

ж

1 ¿1 7Г

8и

дх.

х2 = У2

-Р

8и

дх.

х2 =У1

Ох,

х1

+... =

|к^ л^' у1(л))ОЛ +...

ж х -4

«1 1 «1

X

ж

и(л, У1(Л1))0Л1 .ГОх1 +...  -1 х - \

\ е [а1' ¿1 ].

Таким образом, объединяя полученные регулярные выражения с граничными условиями (2), для граничных значений производных первого порядка получим следующие регулярные соотношения:

8и\)

8\

8и\)

\ =У2

К

8\

\ =У[

: х\ К1 (\' Л )и(Л' У (Л ))ОЛ'

8и

8\

8и

\ =У2\

8\

\=У1

¿1

: Х| К2 (\' Л )и(Л' У2 (Л ))ОЛ'

8и

84,

8и

4 =У2

8\1

4 =У1

ж х - 4

а а 1 ~ 1

X

а

ôu(fi) ôfi

+ ß

ôu(fi) ôfi

-Л n

fi ^

J u(n, п(7ШJ+...

J x -fi

^ ^ 1 ~ 1

Фредгольмовость

Легко видеть, что из системы (16) при условии

а

имеем:

ôu

Л

ôfi

b

fi=п

«

Л

JKi(fi 7)u(7, П (7))d7

- fu(7, ПТЬШ J K2(X)dx  n(«(fi) + ß(fi)) J 7 ' /2(/1)) hJ x -fi

ôu

ôfi

fi =n

= «l, , J Ki (fi ,7 )u(7i, П (7 ))d7i +

«(fi)+ß(fi) a

+ 2ß(fi) J u(7, yM))7J^^dxi +..., «(fi )+ß(fi)a(/i ''2(/i )) 7a x-fi i -

ôu

Л

ôfi

b

fi = П

«

J K2(fi ,7i )u(7, П2(7 ))d7

Л

- J u(7, п2(7))d7 J K2(x,7i)dx n(«(fi)+ß(fi))J (/i''2(/l)) 7iJ x-fi "x

ôu

ôfi

b

fi2 ^

= J K2(fi ,7 )u(7i, П2(7 ))d7-

«(fi) + ß(fi) J

- «i ) Ju(7i, п(7))d7 J^^^ +...

«(fi ) + ß(fi)J (/i ,п(/i )) J x-fi i

Таким образом, для граничных значений первых производных получаем четыре нормальных интегральных уравнения Фредгольма второго рода вида (18). Присоединив к системе (18) регулярные соотношения (7), для функции u(fi, п(fi)), k = i, 2 получим однородную систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре относительно шести

неизвестных

u(fi, Гк (fi)) >

ôu(fi) ôfi

fi = П

ôu

ôfi

k = 1,2.

Î2 = ïk

Тем самым установлена следующая Теорема 3. При условиях теоремы 1,

если K(xi,7) и K(xi,7) -непрерывны, а

a(x ) и P(x ) принадлежат классу Гёльдера

и при выполнении условий

фредгольмова.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Cтеклов В. А. Общие методы рещения основных задач математический физики. Харьков, 1901. 29 с.

[2] Комаренко А. Н., Луковский И. А., Фешенко С. Ф. К задаче о собственных значениях с параметром в краевых условиях // Украинский математический журнал. 1965. № 6. С. 22-30.

[3] Алиев Н. А., Зейналов Р. М. Исследование решения задачи Стеклова для уравнения Коши-Римана при граничном условии, содержащем глобальный член // Известия Национальный Академии Наук Азербайджана. Серия физико-технических и математических наук. 2010. Т. XXX. № 3. С. 75-80.

[4] Алиев Н. А., Зейналов Р. М. Задача Стеклова для уравнения эллиптического типа первого порядка // Вестник Бакинского университета. Серия физ.-мат. наук. 2012. № 2. С. 13-20.

[5] Зейналов Р. М., Алиев Н. А. Задача Зарембы-Стеклова для уравнения Коши-Римана // Вестник Дагестанского государственного университета. 2015. Т. 30. Вып. 6. С. 74-79.

[6] Алиев Н. А., Масталиев В. Ю., Зейналов Р. М. Об одной граничной задаче уравнения Коши-Римана // Научные труды, фундаментальные науки. Азербайджанский технический университет. 2013. Т. XII, № 1. С. 67-71.

[7] Алиев Н. А., Зейналов Р. М. Задача Стеклова для уравнения Лапласа на одной неограниченной области // Материалы республиканской научной конференции. Баку, 2010. С. 199-202.

[8] Алиев Н. А., Зейналов Р. М. Фредгольмовость задачи Стеклова для уравнения Коши-Римана с условием Лаврентьева-Бицадзе // Известия Педагогического университета. Серия естественных наук. 2012. № 1. С. 16-19.

[9] Aliev N., Jahanshahi M. Solution of Poisson's equation with qlobal, local and non-local boundary conditions // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 2002. Vol. 33. № 2. Р. 241-247.

[10] Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

[11] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

[12] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.