Структурно-параметрическая идентификация физических процессов в виде двухполюсников

УДК 621.372

И. Р. Добровинский, А. И. Кислов, А. С. Кибиткин, С. Б. Шахов

СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ВИДЕ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Аннотация. Рассматриваются вопросы структурно-параметрической идентификации двух-, трех- и четырехэлементных двухполюсников.

Abstract. There are considered the questions of structurally-parametrical identification

of two-, three- and fourelements depols.

Ключевые слова: многоэлементные двухполюсники, расположение полюсов и

нулей, операторное сопротивление.

Key words: the multielement depols, poles and zeros location, operational resistance.

Актуальность вопросов, возникающих при определении значений параметров электрических цепей с двумя доступными узлами, называемыми двухполюсниками, постоянно растет, так как, с одной стороны, имеется большое число такого рода задач в различных областях знаний, с другой стороны, быстро развиваются средства измерительной техники, использующие операционные усилители (ОУ), аналого-цифровые преобразователи (АЦП), микропроцессоры (МП) и персональные ЭВМ.

Задачи, требующие определения значений параметров многоэлементных двухполюсников, по области применения условно могут быть разделены на четыре большие группы [1]:

- научные исследования;

- контроль радиоэлектронной аппаратуры (РЭА);

- преобразование неэлектрических величин в электрические величины;

- медицинская диагностика.

Структурно-параметрическая идентификация решает две задачи: первая задача состоит в определении топологии неизвестной электрической цепи и характера элементов цепи, адекватных модели физического процесса; вторая - в определении значений параметров данной измерительной цепи.

Для характеристики объектов используют различные математические описания. Простейшее описание - одномерное, когда объект характеризуется одной скалярной величиной (например, сопротивлением RX, емкостью CX или индуктивностью LX). Это лишь первое приближение в описании объектов, подвергающихся воздействию переменного тока. Во многих случаях, особенно при умеренных требованиях к точности измерений, оно оказывается вполне достаточным.

Методы и средства измерения значений параметров объектов переменного тока при одномерном их описании хорошо известны, соответствующие измерительные приборы давно освоены и выпускаются промышленностью.

Более естественно для цепей переменного тока двумерное математическое описание -представление объекта переменного тока комплексной величиной с двумя независимыми параметрами при фиксированной частоте напряжения питания. Для пассивных объектов это равносильно представлению их двухэлементной схемой замещения. Переход к такому описанию стимулировал разработку методов и средств измерения и преобразования параметров комплексных величин в цифровой код.

2012, № 1

27

Но и двумерного представления часто недостаточно для описания объектов, работающих или проявляющих свои свойства при воздействии синусоидального напряжения на измерительную цепь.

Наибольший интерес представляют многоэлементные двухполюсники.

1. Идентификация двухэлементных двухполюсников.

Для двухэлементных двухполюсников (ДДП) возможны два топологических варианта, представленных на рис. 1: параллельное (рис. 1,а) или последовательное (рис. 1,6) соединения двух из трех Ях, Сх или Ьх элементов цепи. Внешние узлы ДП изображены незачерненными кружками.

г£

-С

а)

ДДП

г, ^ г2

б)

Рис. 1

Для отдельных вариантов ДДП имеем:

а) 2Х = 2122(21 + 22)-1;

б) 2Х = (2 + 22).

В этом случае двум вариантам обобщенных схем двухполюсников (см. рис. 1) соответствуют четыре варианта использования двух (ДДП) из трех элементов Ях, Сх или Ьх, представленных в табл. 1.

Таблица 1

Схемы нерезонансных ДДП с потерями

Электрическая

схема

Обобщенное сопротивление цепи 2р

Представление 2р в виде отношения полиномов

Значения

коэффициентов

полиномов

Расположение полюсов и нулей 2р

2 - Я

р рСЯ+1

а

о

о

ао - Я;

Ь0 - 1; ь1 - СЯ

2р-Л^*.

р рЬ + Я

-^±р_

Ь1 р + Ьо

а0 - 0; а1 - ЬЯ; Ьо - Я ; Ь1 - Ь

2 - рСЯ +1

р рС

2р -

а1 р + ао \р

ао -1; а1 - СЯ; Ьо - о; Ь - С

2 - рЬ + Я 2р - 1

2р -

а1 р + ао Ьо

ао - Я; а1 - Ь; Ьо -1

В первом столбце таблицы представлены электрические схемы ДДП, во втором столбце -соответствующее выражение для операторного сопротивления 2р, где р - оператор Лапласа, в третьем столбце - операторное сопротивление 2р в виде отношения полиномов первой или

второй степеней, причем степени числителя и знаменателя либо совпадают, либо отличаются на единицу. В четвертом столбце приведены значения коэффициентов полиномов числителя а0, а1 и знаменателя Ь0, Ь1. В пятом столбце представлены для 2р расположения на комплексной плоскости корней уравнений числителя (в виде незачерненных кружков) и знаменателя (в виде зачерненных кружков).

Из табл. 1 следует, что двухполюсники первой группы (ДДП) реализуются в четырех вариантах: параллельное и последовательное соединения двух элементов Ях и Сх либо Ях и Ьх. Параллельное или последовательное соединения двух элементов Сх и Ьх не рассматриваются, поскольку они считаются цепями без потерь, т.е. резонансными цепями.

2. Идентификация трехэлементных двухполюсников.

Для трехэлементных двухполюсников возможны четыре топологических варианта, представленных на рис. 2. Из рис. 2 следует, что ТДП реализуются в четырех вариантах: последовательное соединение трех элементов цепи (рис. 2,а); последовательное соединение двух элементов цепи с параллельным соединением третьего элемента (рис. 2,6); последовательное соединение одного элемента цепи с параллельным соединением двух других (рис. 2,в); параллельное соединение трех элементов (рис. 2,г). В случае соединения элементов (см. рис. 2,в) появляется внутренний недоступный узел.

ТДП

а) б)

в)

г)

Рис. 2

Недоступный внутренний узел изображен зачерненным кружком, а внешние узлы ДП изображены незачерненными кружками.

Для отдельных вариантов ТДП имеем:

а) 2х = 21 + 22 + 2з;

б) 2Х = 212223(2122 + 2123 + 2223) 1;

в) 2х = (21 + 2222 + 22 + 2з)-1;

г) 2Х = 21 + 2223(22 + 23) 1.

В этом случае четырем вариантам обобщенных схем двухполюсников (см. рис. 2) соответствуют шесть вариантов использования трех элементов Ях, Сх, Ьх, представленных в табл. 2.

Порядок представления информации в табл. 2 тот же, что и в табл. 1.

Таблица 2

Схемы резонансных ТДП с потерями

Электрическая схема Обобщенное сопротивление цепи 2р Представление 2Р в виде отношения полиномов Значения коэффициентов полиномов Расположение полюсов и нулей 2р

1 2 3 4 5

2 р 2СЬ + рСЯ +1 2 а2 р2 + а1 р + а0 ао—!; а1 — СЯ; а2 — СЬ; Ь0 — 0; Ь1 — С 1

2п — р рС 1

2012, № 1

29

Окончание табл. 2

—

рСЯ

р р2СЬ + рЬ + Я

2р —

а1 р

Ь2 р + Ь1 р + ь0

а0 — 0; а1 — СЯ;

Ь0 — Я; Ь1 — Ь; Ь2 —СЬ

2 — р2 ЯСЬ + рСЬ 2р — ~

р СЬ + рЯС +1 рЯС р 2СЬ + рЬ + Я

2р —

а2 р + а1 р

Ь2 р 2 + Ь1 р + Ь0

2р —•

р СЬЯ + рЬ р 2СЬ + рСЯ +1

а0 — 0; а1 — Ь; а2 — СЬЯ;

Ь0 — 1;

Ь1 — СЯ;

Ь2 — СЬ

2„ —

рЬ + Я

р р 2СЬ + рСЯ +1

2р —

а1 р + а0

Ь2 р + Ь1 р + Ь0

а0 — Я; а1 — Ь; Ь0 — 1;

Ь1 — СЯ;

Ь2 — СЬ

2р —

р2СЬЯ + рЬ + Я рСЯ +1

2р —

а2 р + а1 р + а0 Ь2 р 2 + Ь0

а0 — Я; а1 — Ь; а2 — СЬЯ;

Ь0 — 1; Ь1 — СЯ

2р —

р2СЬЯ + рЬ + Я р2СЬ + рСЯ

2р —

а2 р + а1 р + а0

Ь2 р 2 + Ь1 р

а0 — Я; а1 — Ь; а2 — СЬЯ;

Ь0 0;

Ь1 — СЯ;

Ь2 — СЬ

1

2

3

4

5

В первом столбце табл. 2 представлены электрические схемы ТДП, во втором - соответствующее выражение для операторного сопротивления 2р, в третьем столбце - операторное сопротивление 2р в виде отношения полиномов первой или второй степеней, причем степени числителя и знаменателя либо совпадают, либо отличаются на 1. В четвертом столбце таблицы приведены значения коэффициентов полиномов числителя а0, а1, а2 и знаменателя Ь0, Ь1, Ь2. В пятом столбце таблицы для 2р представлены расположения на комплексной плоскости корней уравнений числителя (в виде незачерненных кружков) и знаменателя (в виде зачерненных кружков).

Из табл. 2 следует, что двухполюсники ТДП реализуются в шести вариантах. Параллельное и последовательное соединения двух только реактивных элементов Сх и Ьх не рассматриваются, поскольку они считаются цепями без потерь.

3. Идентификация четырехэлементных двухполюсников.

Для четырехэлементных двухполюсников возможны шесть топологических вариантов, представленных на рис. 3: последовательное соединение трех элементов цепи с параллельным соединением четвертого элемента (рис. 3,а), параллельное соединение двух пар последовательно соединенных двух элементов цепи (рис. 3,б), параллельное соединение трех элементов цепи с последовательным соединением четвертого элемента (рис. 3,в), последовательное соединение двух пар параллельно соединенных двух элементов цепи (рис. 3,г), параллельное соединение двух элементов цепи с двумя последовательно соединенными элементами (рис. 3,д), последовательное соединение двух элементов цепи с параллельным соединением третьего

элемента и с последовательным соединением четвертого элемента цепи (рис. 3,е). В случае смешанного соединения элементов (см. рис. 3,в,г,д,е) появляется внутренний недоступный узел.

ЧДП

Рис. 3

Здесь независимо от характера элементов электрической цепи Ях, Сх, Ьх элементы заменены обобщенным параметром ХХ.

Для отдельных вариантов ЧДП имеем:

а) ХХ = (Х1 + Х2 + Хз)Х4(Х1 + Х2 + Хз + Х4) 1;

б) Хх = (21 + Х2)(Хз + ХОХ + 22 + Хз + Х4)-1;

в) Хх = 7,1X223(7,1X2 + ХХз + Х2Х3) 1 + Х4;

г) Хх = 71X2(71 + Х2)-1 + ХзХ4(Хз + Х4)-1;

д) ХХ = Х1Х2(Х1 + Х2) 1 + Хз + Х4;

е) ХХ = (Х1 + Х2)Хз(Х1 + Х2 + Хз) 1 + Х4.

В табл. з приведены резонансные четырехэлементные двухполюсники с потерями. Порядок представления информации в табл. з тот же, что и в табл. 1.

В первом столбце таблицы представлены электрические схемы ЧДП, во втором - соответствующее выражение для операторного сопротивления Хр, где р - оператор Лапласа, в третьем столбце - операторное сопротивление Хр в виде отношения полиномов второй или третьей степеней, причем степени числителя и знаменателя либо совпадают, либо отличаются на 1. В четвертом столбце приведены значения коэффициентов полиномов числителя а0, а1, а2, аз и зна-

менателя Ь0, Ь1, Ь2, Ъз. В пятом столбце для Хр представлены расположения на комплексной плоскости корней уравнений числителя (в виде незачерненных кружков) и знаменателя (в виде зачерненных кружков).

Из табл. з следует, что резонансные ЧДП с потерями реализуются в четырнадцати вариантах. Параллельное и последовательное соединения трех только реактивных элементов Сх и Ьх не рассматриваются, поскольку они считаются цепями без потерь.

Рассмотренные варианты ДДП, ТДП и ЧДП могут быть использованы как схемы замещения реальных объектов.

Идентификация и реализация схем замещения электрических цепей позволяют проводить измерения и обработку результатов измерений при использовании эффективных алгоритмов обработки.

Схемы резонансных ЧДП с потерями

Электрическая схема Обобщенное сопротивление цепи Представление 7;, в виде отношения полиномов Значения коэффициентов полиномов Расположение полюсов и нулей 7„

1 2 3 4 5

о— Яг 1 1 —О ^ + рСЯ{Я-, + V а2р2+а1р + а0 а0 = /?0; я, = СД, /?,; = СШ2;Ь0 =1; — С ( Л] + /?-,) ; Ъ2 = СІ; • 1 -1 ° ,і

ч "П—1|—огхлЛ р ~ р2а+рс(л1 +я2)+\ ” Ь2р2+Ь1р + Ь0 < • °

о— Сз II р3С1С2Ь + р1С1С2Я +1 а>р3+а2р2+а0 й0 = 1; я, =0; аг=С,С2Я\ аъ - С, Сі; =0; ^=(с,+с2); Ь2 =С,С2Я; — С, С*2 і н і-

к ?! 1 ~р ріСІС2Ь + р2С1С2Я + р(С1 +с2) р Ь^р' +Ь2р2 +Ь\р О • о V

о— 1-2 ОГ'у~ч—; — 7 + рЧ:і.я \ рі2 V а^р1 +а2р2 +0\Р о0 =0; а, = £,; а2 = СЬ2Я\ аъ = СХ,£2; 60 = 1; ^ = СЛ; 62=С(І,+І2) О -1 •

н с ц р р2С(Ь1+і2) + рСЯ + 1 Р Ь1р2+Ь1р+Ь<1 і о • Л

к2 с I | рга^ + р

р р2С1 + рС(Я, + Л2) + Д2 Р Ь2р2+Ь,р + Ь0 < о •

2012, №1

Продолжение табл.

Окончание табл.

33

2012, № 1

Список литературы

1. Добровинский, И. Р. Проектирование ИИС для измерения параметров электрических цепей / И. Р. Добровинский, Е. А. Ломтев. - М. : Энергоатомиздат, 1997. - 120 с.

Добровинский Игорь Рувимович

доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: iit@pnzgu.ru

Кислое Александр Иванович

доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедрой травматологии, ортопедии и военно-экстремальной медицины, Медицинский институт,

Пензенский государственный университет E-mail: iit@pnzgu.ru

Кибиткин Андрей Станиславович

ассистент кафедры травматологии, ортопедии и военно-экстремальной медицины, Медицинский институт,

Пензенский государственный университет E-mail: iit@pnzgu.ru

Шахов Сергей Борисович

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: iit@pnzgu.ru

Dobrovinskiy Igor' Ruvimovich

doctor of technical sciences, professor, sub-department of information and measuring technique,

Penza State University

Kislov Aleksandr Ivanovich

doctor of medical sciences, professor, head of sub-department of traumatology, orthopedics and military medicine,

Medical Institute,

Penza State University

Kibitkin Andrey Stanislavovich

assistant, sub-department of traumatology, orthopedics and military medicine,

Medical Institute, Penza State University

Shakhov Sergey Borisovich

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of information and measuring technique, Penza State University

УДК 621.372 Добровинский, И. Р.

Структурно-параметрическая идентификация физических процессов в виде двухполюсников / И. Р. Добровинский, А. И. Кислов, А. С. Кибиткин, С. Б. Шахов // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 1. - С. 26-34.