Методические основы деятельно-смыслового подхода в развивающем обучении старшеклассников началам математического анализа

Э.К. Бреймигам

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЕЯТЕЛЬНО-СМЫСЛОВОГО ПОДХОДА В РАЗВИВАЮЩЕМ ОБУЧЕНИИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ НАЧАЛАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Барнаульский государственный педагогический университет

В теории и практике предметно-ориентированного обучения накоплен богатый опыт. Однако при таком обучении нивелируется личность школьника, не создаются достаточные условия для саморазвития и раскрытия его индивидуальности. Ведущей тенденцией современного образовательного процесса и педагогического сознания общества является личност-но ориентированная образовательная парадигма. Она отвечает целям гуманитаризации и гуманизации образования. Переход к личностно ориентированной системе образования предполагает решение сложнейшей дидактической задачи синтеза знаниево-стандар-тизированного и личностно-вариативного компонентов образования с построением новой образовательной системы. Результатом такого синтеза должно стать целостное образование личности. Очевидна многоаспектность данной проблемы, а следовательно, и существование различных путей в ее решении.

Одним из таких путей, на наш взгляд, является осуществление деятельно-смыслового подхода к обучению, который рассматривается нами как один из способов развития личности учащихся путем «понимающего усвоения предмета» [1]. Необходимым условием организации успешной деятельности учащихся является «активное и безопасное обучение» [2, с. 127-429]. Развитие личности в обучении во многом определяется пониманием учебного материала: только в этом случае происходит обогащение личностного опыта учащегося. При обучении математике развивающий эффект в значительной мере определяется созданием условий, способствующих постижению учащимися математических смыслов [3].

Так как ведущим элементом содержания курса алгебры и начал анализа является математическое понятие, то основное внимание мы уделили деятельно-смысловому подходу к обучению старшеклассников математическим понятиям.

Перечислим основные положения деятельно-смыслового подхода к обучению старшеклассников началам анализа:

- системно-генетическое построение содержания (структурирование учебного содержания на основе системообразующего понятия курса; выделение основного образовательного объекта в теме и образовательных идей двух уровней);

- использование различных форм представления знаний;

- сопутствующее повторение (как средство установления содержательных связей между новым понятием и усвоенными ранее);

.- вариативность процесса обучения (уровневая

и профильная дифференциация обучения, изменения уровня строгости изложения, выбор вида деятельности учащимся);

- интерактивное и комфортное обучение школьников.

Данная концепция является отражением личностно ориентированной парадигмы в современном образовательном процессе.

Реализация деятельно-смыслового подхода к обучению старшеклассников началам анализа, основными дидактико-методическими требованиями которого являются:

- построение процесса обучения как последовательности взаимосвязанных учебных ситуаций;

- осуществление актуализированного способа формирования математических понятий (при раскрытии содержания понятий) на основе выявленного опыта учащихся по данной проблеме и направленного на постижение выделенных аспектов категории «смысл» при обучении математике;

- выявление структуры учебной деятельности и использование двух форм регуляции: предметно-понятийной и смысловой при формировании математических понятий;

- выявление средств и приемов организации «понимающего усвоения» абстрактных математических понятий (использование диалога, интерпретации абстрактных понятий, рефлексии и др.) отвечает целям личностно ориентированного образовательного процесса; будет способствовать преодолению формализма знаний учащихся, повысит качество усвоения учебного материала и создаст условия для развития учащихся.

Реализация основных условий организации деятельно-смыслового подхода при обучении, к которым относятся:

- выделение смысловых элементов деятельности в процессе формирования математических понятий с учетом установленных аспектов категории «смысл» в преподавании математики;

- применение диалога как ведущего метода осмысления учебного материала в развивающем обучении школьников началам анализа;

~ использование различных форм представления понятия через целенаправленную организацию зна-ково-символической деятельности учащихся;

~ обучение моделированию реальных ситуаций через различные интерпретации абстрактного математического понятия (задания на творческий поиск возможных истолкований нового знания);

....- организация корректировки старшеклассниками собственной учебно-познавательной деятельности через рефлексию полученных знаний и приобретенного опыта в данной предметной области;

- решение специально подобранных задач для актуализации опыта учащихся по рассматриваемой проблеме, выявление смысловой компоненты понятия;

- организация информационно-коммуникационной предметной среды при выполнении лабораторных работ и специальных творческих заданий по математике;

- использование информационно-коммуникационных средств как инструмента визуализации изменяющихся процессов, описываемых в курсе начал анализа, окажет положительное влияние на понимание учебного материала, его осознанность и качество усвоения, а тем самым и на умственное развитие учащихся.

Структурирование учебного материала в нашей методике осуществляется по двум направлениям: выделение основных идей (как общеобразовательных, так и специфичных для данного курса) и образовательных объектов, вокруг которых и концентрируется материал по генетическому принципу. Выделяется основной образовательный объект курса, а также - образовательные объекты в каждой теме. Например, в классах естественно-математического и математического профилей в теме «Логарифмическая и показательная функция» таким образовательным объектом является натуральная логарифмическая функция. Причинами такого выбора являются:

- широта применимости этого вида функции по сравнению с логарифмическими функциями по любому другому основанию;

- «типичность» свойств, т.е. присутствие основных свойств функций данного класса;

- «простая» система обозначений (как следствие -удобство при оперировании с новым объектом) и возможность геометрического, наглядного истолкования значений;

- возможность и естественность представления остальных представителей данного класса функций через исходную.

Наконец, введение натуральной логарифмической функции «через интеграл» позволяет расширить сферу применения интеграла в школьном курсе математики. Необходимость в этом обусловлена выявлением универсального характера понятия интеграла, на котором базируется общность и универсальность ме-

тода интегрирования. Показ возможностей применения интеграла для решения физических, геометрических задач, а также для введения и изучения нового класса непрерывных функций позволяет сделать эту идею более доступной для понимания учащимися.

Осуществление актуализированного способа при формировании математических понятий описано в [2,4]. Важным моментом в реализации деятельностно-смыслового подхода является решение специально подобранных задач, направленных на раскрытие смысла (основной идеи) изучаемого понятия.

Так, в понятии предела функции ведущими являются идея стремления (направленного изменения), отражающая динамическую сущность данного понятия, и идея близости (принадлежности окрестности, расположения вблизи чего-то), отражающая его стационарную сущность. Они соответствуют двум аспектам данного понятия - процессу предельного перехода и его результату (если последний существует). Для понятия производной функции такими идеями - соответственно динамической и статической -являются идеи скорости изменяющегося процесса и гладкости кривой, являющейся графиком данной функции (идея линеаризации).

Постижение смыслового аспекта понятия чаще всего организуется с помощью специально подобранных задач через наглядную интерпретацию. Примерами задач, решение которых главным образом направлено на выявление смысловой стороны понятия «предел функции», являются следующие.

Задача 1. Как изменяются корни квадратного уравнения + 4х — 8 = 0 и график соответ-

ствующей параболы, когда величина а стремится к нулю?

Задача 2. Как изменится масса та некоторого тела при его движении со скоростью, близкой к скорости света, если известно, что изменение, массы тела вычисляется по формуле

где V - скорость тела, ас-скорость света?

Решение предлагаемых задач целесообразно рассмотреть после того, как у учащихся сформировалось первичное наглядно-интуитивное представление о понятии и приобретены некоторые навыки оперирования с ним. Урок проводится в форме лабораторной работы в компьютерном классе. Решение задач ведется в диалоговом режиме, так как именно такой метод способствует выявлению сути проблемы и ее пониманию учащимися, участвующими в диалоге.

Из анализа условия первой задачи получаем выводы; а^О, так как дано квадратное уравнение; дискриминант неотрицателен, т.е. корни уравнения су-

ществуют. В процессе анализа выясняем также, что в задании сформулированы фактически две связанные между собой задачи: об изменении параболы и об изменении корней квадратного уравнения. Объединяет эти задачи общий процесс изменения коэффициента а.

Затем учащимся дается задание выяснить, что будет происходить с параболой, если коэффициент а станет уменьшаться по абсолютной величине. Так как ученики перед этим изучили тему «Преобразование графиков», то они легко делают вывод, что будет происходить деформация параболы.

Перед выполнением лабораторной работы задача конкретизируется вопросами:

- в какую линию «вырождается» (стремится обратиться) парабола,

- сколько получается точек пересечения графика с осью Ох при каждом конкретном значении параметра а и в «предельном случае»,

- как располагаются точки пересечения относительно друг друга,

- каковы «предельные значения» координат точек пересечения и как эти значения связаны с коэффициентами квадратного трехчлена?

На компьютере установлен пакет математических программ Мар1е 6 и написана программа вычисления корней уравнения ах2+4х-8 = 0 и изменяющихся значениях а, например: 2; 0.1; 0.0000001; 0.0000000000001 и 10~27, а также с применением анимации показано изменение параболы. Учащиеся могут изменять значения коэффициентов а, Ь и с уравнения ах^+Ьх+с = 0 и проследить изменения параболы на получаемых конкретных примерах.

Получив ответы на вопросы, поставленные перед выполнением лабораторной работы, практически от каждого учащегося, сравниваем их.

Далее приступаем к обобщению полученных результатов, которое начинаем с вопроса: во что же «вырождается» парабола? - В прямую. Можем ли мы найти уравнение прямой, в которую стремится обратиться парабола? - Да. Ее уравнение: у = Ъх + с, так как

Ит(ах1) = о.

а—> 0

На этом этапе, задав несколько провокационный вопрос: «Сливается ли парабола с прямой?», в результате дискуссии мы приходим к выводу о необходимости рассмотрения данного явления с двух сторон. Первая сторона - динамическая, т.е. процесс изменения параметра а; в этом случае парабола лишь сколь угодно близко приближается к прямой, так как коэффициент а не равен нулю, а лишь неограниченно к нему приближается. Тем самым, просматривается наглядное представление, смысловая составляющая (неограниченное приближение, «близкое» расположение растягивающейся параболы и прямой, при их несовпадении) и аналитическое, операционально-вычисли-

тельное обоснование идеи близости, неограниченного приближения параболы к прямой («выпрямление» параболы). Вторая сторона - результат данного процесса: прямая как результат процесса «выпрямления» параболы, т.е. качественное изменение объекта в результате предельного перехода.

Следующая серия вопросов позволяет подойти к выявлению смыслового аспекта понятия несколько с другой стороны и получить некоторые следствия.

Что еще спрашивается в задаче? - Как изменяются корни квадратного уравнения?

А что представляют собой корни уравнения на графике? - Точки пересечения графика с осью абсцисс.

Возвращаемся к тексту задачи и ищем ответ на вопрос: как: изменяются корни квадратного уравнения при стремлении коэффициента а к нулю (при растяжении параболы). На основании исследования полученных числовых и графических данных, а также предыдущего опыта приходим к гипотезе, что один корень «уходит» в бесконечность, а другой -

с

немного смещается, приближаясь к значению ,

Ь

так как это - корень линейного уравнения Ьх + с - (), Далее исследуем проблему; совпадет ли один из корней «вырождающегося» квадратного уравнения

с

с числом — ? Вновь сталкиваемся с необходимос-Ь

тыо рассмотрения данного явления с двух сторон: процесс и его результат. Получаем ответ, что один из корней квадратного уравнения стремится к значе-

с

нию —, он сколь угодно мало отличается от числа Ь

с

—, но не равен ему. Данный вывод подтверждает-Ь

ся не только конкретными вычислениями, но и может быть обоснован аналитически. Вместе с тем в результате предельного перехода получим прямую, которая в данном случае имеет единственную точку

с

пересечения с осью Ох: х = —.

Ь

Вторая задача решается аналогичным образом (придаются различные значения параметру V, приближающиеся к значению скорости света).

Выводы, к которым приходим в результате решения рассмотренных задач: понятие предела функции' используется в тех ситуациях, в которых нужно математическими средствами описать процесс неограниченного приближения некоторого изменяют,егося явления к статическому, при описании ситуации близости.

Наибольшая эффективность усвоения достигается при проведении лабораторной работы, когда каждый ученик работает со «своей параболой», используя конкретные числовые значения коэффициентов Ь кс. Эту же задачу можно использовать в качестве

одной из мотивационных при введении «бесконечных» пределов.

Отметим, что почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа относятся к так называемым относительным понятиям. Психологами установлено, что при усвоении таких понятий учащиеся испытывают значительные трудности. В абсолютном большинстве случаев указанная специфика нами выделяется на этапе мотивации.

Именно здесь проявляется особенность деятельно-смыслового подхода при обучении математике старшеклассников. Наряду с процессом актуализации знаний, необходимых для усвоения нового понятия, учащиеся должны быть включены в процесс установления неформальных связей изучаемого понятия с предыдущим материалом и собственным опытом. Средством выявления специфики указанных понятий и осуществления деятельно-смыслового подхода в обучении служит диалог, выступающий в данном случае как педагогическая технология, способствующая постижению специфики изучаемого понятия. При этом выявление связей изучаемого явления в момент его первичного предъявления способствует пониманию, Диалог ведется по следующему плану:

1. К какому классу математических объектов относится данный объект?

2. Любой ли объект из данного множества может быть примером данного понятия?

3. Какие связи данного объекта позволяют выделить его из всего множества объектов данного класса?

4. Достаточно ли отмеченных связей для выделения конкретного объекта?

5. Какие еще признаки следует указать, чтобы однозначно выделить изучаемый объект?

Следующий этап в усвоении понятия состоит в установлении его характеристических свойств и создании аппарата его нахождения.

Другой особенностью деятельно-смыслового подхода при обучении старшеклассников математике является выделение перспективы в изучении нового понятия после его введения. Это необходимое условие реализации в дичностно ориентированной концепции обучения рассматриваемого подхода, которое связано с возможностью осуществления каждым учеником выбора ЧТО и КАК изучать, на каком уровне строгости и глубины.

Обсуждение перспективы проводится по следующей схеме:

1. Обобщение изученного понятия с указанием его сферы существования (на примере понятия касатель-

ной: введение начиналось с наклонной касательной, она проводится во внутренней точке области определения функции; она существует всегда для конкретной функции в точке, если существует конечная производная этой функции в точке).

2. Направления возможного обобщения понятия: исследование «граничных условий»; отказ от ограничений сферы (может ли быть вертикальная касательная); возвращение к собственному опыту, от которого отталкивались при введении понятия (что значит, просто две линии касаются друг друга и т.д.).

3. Рекомендация дополнительной литературы для продолжения самостоятельного изучения вопроса.

Специальное внимание уделяется знаково-символической деятельности и интерпретации ее результатов. Введение каждого нового обозначения символа анализируется с точки зрения его исторического возникновения, информативности, удобства применения.

Знаково-символическая деятельность тесно связана с моделированием. Например, при введении понятия производной функции в точке обращаем внимание на то, что мгновенная скорость и угловой коэффициент касательной имеют одно и то же знаковое представление. Кроме того, обе эти величины характеризуют скорость, в первом случае мгновенную скорость передвижения материальной точки в момент времени х(), во втором - скорость изменения функции/в окрестности точки х0:

Ах

Таким образом:, два различных явления описываются одной и той же математической моделью.

Постижению метода моделирования служат текстовые задачи оптимизации с различной фабулой, решение которых сводится к исследованию на наибольшее и наименьшее значение одной функции (может быть, и на разных промежутках области определения).

Реализация перечисленных выше положений и требований в процессе формирования математических понятий, а также условий осуществления деятельно-смыслового подхода к обучению старшеклассников началам' анализа создает больше возможностей для того, чтобы у учащихся не возникали мысли об оперировании в математике символами и значками, никак не связанными с действительностью. Она способствует возникновению убеждений в том, что математические понятия описывают реальные явления и факты.

Литература

1. Жохоз А.Л., Сафир И.Ф. Структурирование, учебного материала как средство организации самостоятельной работы учащихся при обучении математике II Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике: Из опыта работы: Кн. для учителя / Сост. Ю.Д. Кабалевский. М., 1888.

2. Брейтигам Э.К. Интеграция предметно-понятийной и смысловой деятельности при обучении старшеклассников началам

математического анализа (теоретический аспект): Монография. Барнаул, 2002.

3. Лящевко Е.И. К проблеме понимания в обучении математике II Проблемы и перспективы развития методики обучения математике: Сб. науч. работ, представленных на 52-е Герценовские чтения / Под ред. В.8. Орлова. СПб., 1999,

4. Брейтигам Э.К., Теас Д.П. Интегрированные уроки математики и информатики II Информатика и образование. 2002. № 2.

Е.Н. Дудина

ОСОБЕННОСТИ ПЕДАГОГИКИ СПОСОБНОСТЕЙ В ИНТЕНСИВНОМ ОБУЧЕНИИ ИНОСТРАННЫМ ЯЗЫКАМ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Томский государственный педагогический университет

Глобальные изменения, происходящие в политической, общественной, экономической, культурной жизни европейского общества оказывают влияние на все общественные институты, различные объединения людей и непосредственно на конкретного человека. Преодоление межгосударственных границ, свобода передвижения, единые экономические и культурные пространства открывают перспективы для реализации потенциальных возможностей каждой личности. Реформа всего общественно-экономического уклада сопровождается целым рядом противоречивых явлений. Огромные возможности, открывающиеся перед личностью, ставят определенные требования для вживания ее в это пространство, а ломка стереотипов приводит к поиску новых форм поведения, реагирования, стиля жизни. Движение мирового сообщества к миру без границ, новое видение жизненного пространства, глобализация общественного и индивидуального мировоззрения приводит к необходимости сотрудничества и коммуникации между странами на различных основах и уровнях. Поиск единого языка для осуществления понимания - важная современная проблема. Стирание языкового барьера, прямое межличностное общение становятся насущной потребностью (З.А. Малькова, Б.Л. Вульфсон, К.А. Абульханова, Н.В. Васина, Л.Г. Лаптев, В.А. Сластенин и др.).

В европейских странах процесс интернационализации образования становится необратимым, изучение иностранных языков выходит за рамки педагогической проблемы и приобретает статус политического характера, так как социальная среда становится многонациональной и поликультурной. Обучение языку становится не профессией, а одной из общих компетенций, которые должны освоить выпускники школы.

Общественно-политические и социально-экономические преобразования в России привели к открытости общества, вхождение его в мировое сообщество. От личности требуется творческий поход к выполняемой деятельности, молодое поколение должно обладать креативным интеллектом, чтобы справиться с информационным потоком. Традиционное школьное образование во многом не соответствует новым требованиям. Поэтому современная школа и

педагогическая наука вынуждены искать новые альтернативные и эффективные технологии обучения. Задачами таких технологий служит обеспечение выпускников большей компетентностью и подготовка молодых людей к освоению массовых интеллектуально сложных профессий. Уход от знаньевого подхода в обучении к информационно-деятельному формирует у учащихся индивидуальную шкалу личностных достижений. Выпускник становится компетентным в общих и специальных проблемах.

Иностранные языки становятся востребованными современным российским обществом, знание европейских языков - не только престижно, но и необходимо.

Уровень владения иностранным языком выпускников школ остается невысоким. Причинами этому являются:

- программы с малым лексическим объемом;

- не во всех шкодах ведется преподавание иностранного языка в начальных классах и упускается сенситивный возраст ребенка для более успешного усвоения иностранного языка;

- современные школьные программы не располагают необходимыми теоретическими и технологическими разработками по интенсивному обучению иностранным языкам; такое обучение носит в основном эпизодический характер;

- учебных часов недостаточно для практического овладения языком;

- содержание учебников, их ориентация и используемая методика не выводит всех учащихся на свободное иноязычное общение;

- первичная языковая подготовка растянута на долгие школьные годы, многолетнее обучение фиксирует комплексы недостижения в изучении иностранного языка: возникают страхи говорения, комплексы общения и др.

Очевидно, что языковая подготовка в школе в первую очередь требует серьезнейшего пересмотра.

Уже нельзя растягивать на годы процесс обучения иностранному языку, поэтому обучение должно нести интенсивный и сжатый во времени характер. Как правило, современное общество требует знания минимум двух иностранных языков, и процесс по их