Нелинейная задача о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 119-127 Механика

УДК 532.591

Нелинейная задача о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости

К. Ю. Басинский

Аннотация. Рассмотрена нелинейная задача о распространении волн по свободной поверхности слоя вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины. Задача решена первым методом Стокса с точностью второго приближения. Получены выражения для траекторий частиц жидкости, а также для скорости приповерхностного течения. Проанализировано влияние вязкости и глубины на форму траекторий жидких частиц и переносную скорость.

Ключевые слова: волновые возмущения, вязкость, траектории частиц.

Решение нелинейной задачи о волнах на поверхности слоя идеальной жидкости приведено в работах [1], [2]. В работе [2] также найдены нелинейные траектории жидких частиц. Для вязкой жидкости известно решение линейной задачи [3], [4], [5], а нелинейная задача решена только для приближения слабовязкой жидкости [6]. Данная работа посвящена определению нелинейных выражений для скорости, давления и формы свободной поверхности при волновом движении вязкой жидкости, а также определению траекторий жидких частиц.

1. Нелинейная задача о волнах на поверхности вязкой жидкости. Рассматривается слой вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины. Свободная поверхность слоя граничит со средой пренебрежимо малой плотности, характеризующейся постоянным давлением Ра (в частности, атмосферным). Декартовая система координат задана так, что плоскость г* = 0 совпадает с невозмущённой поверхностью, а ось г* противоположно направлена вектору силы тяжести Движение жидкости происходит в плоскости х*г* со скоростью и* = (п*^*,х*,г*), 0, у*(£*,х*,г*)). Звездочкой, там, где это необходимо, обозначены физические (размерные) величины.

Пусть в положительном направлении оси х* распространяется волна длины Л. Длина волны много больше ее высоты (Л >> £тах). В области, занятой жидкостью, выполняются уравнения неразрывности и движения:

ди* 1 и

ё1уи* = 0, +

от* р р

Здесь р* = Р — Ра + рдг* — динамическое давление, р — плотность, Р — давление, ц — коэффициент динамической вязкости.

На свободной поверхности г* = £*(г*,х*) задаются кинематическое и динамическое условия

* д£* * д£* V* = —2-+и* —-,

дг* дх*' 1 '

рпп — Ра, рпт — 0.

При бесконечном заглублении скорость жидкости должна затухать, т.е. выполнено условие

и* ^ 0, г* ^ —ж.

Система уравнений (1) и граничных условий (2), (3) является замкнутой и составляет нелинейную краевую задачу для определения характеристик волнового движения.

Введем следующие безразмерные переменные и величины:

и* = ес0и, р* = ере^р, £* = е£/к, щ = цк/рс0, г = ксЬ*, х = кх*, г = кг*, а = с/с0 = и/и0, с2 = д/к.

где Со и ио — соответственно фазовая скорость и частота волны линейной задачи для идеальной жидкости, с и и — фазовая скорость и частота волны, е = к^тах — малый волновой параметр, к = 2п/Х — волновое число.

В безразмерных переменных задача (1)-(3) принимает вид

д и

ё1уи = 0, а— — ^0Ди + Ур = — е

д£ д£ V — а— = ей —, г = е£,

дг дх

р — £ — 2и — = -£и (— + д!^ + 2(V (£ — р — 2и — ^ г = е£

дг \дг дх) дх \дх / \ дг) ' '

+ дх^ е [дх^ дv дх^ г е£

и ^ 0, г ^ —ж.

В силу малости волнового параметра е граничные условия на свободной поверхности г = е£ разложением в ряд Маклорена входящих в них функций сводятся к условиям на фиксированной поверхности г = 0.

Решение задачи находим в виде рядов по параметру е:

^ тете

и = ^ ег-1щ, ип = (иг, 0, Vi), р = ^ ег-1рг, £ = ^ ег-1£г.

г=1 г=1 г=1

Подставляя эти ряды в уравнения (4) и разложенные в окрестности нуля граничные условия и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим задачи в первых двух приближениях.

В первом приближении задача имеет вид: при е°

dui

divui = 0,

а

— voAui = —Vpi,

dEi ^ д vi dui dvi

, pi — Ei — 2vo—- =0, —^ + —^ =0, z = 0, dt dz dz dx

ui ^ 0, z ^ —ж. для второго приближения: при s1

du

divu2 = 0, а—--voAu2 = —Vp2 —

dt

, d , , dv2 t-d( dvi \

v2=a — + («iEi), P2 — 6 — 2vo— = Ei— [2vo—--pi , z = 0,

dt dx dz dz dz

d u2 + dvi =4 dui dEi — e1 —(dui + —vl^ z = 0

dz dx dx dx dz \ dz dx ) ' '

u2 ^ 0, z ^ —ж.

Решение линейной задачи (5) имеет вид [5] ui = Ae- аt [ez cos (x — t) + (aVi + bV2) cos (x — t) + (aV2 — bVi) sin (x — t)]

vi = Ae- %1 {ez sin (x — t) + Vi cos (x — t) + V2 sin (x — t)} вt, , Л • ,Л ^ A „-вt

dt

dvi dui dvi

pi = Aez a (a cos % + в sin x), Ei =

a2 + s2

e a

Vi (z) = e z (Bi cos az — B2 sin az), V2 (z) = ez (B2 cos az + Bi sin az),

Bi = —2voaA /(a2 + s2), B2 = —2vosA /(a2 + s2).

Здесь в — безразмерный декремент затухания (fíuo — размерный), A — амплитудный параметр, s = 2vo — в- Параметры a и b связаны соотношениями a2 = b2 — 1 + e/vo, 2ab = a/vo-

Частота волны через декремент затухания выражается следующим обра-

зом:

a2 = 1 + s2 — 4^/s

Для декремента затухания же получено уравнение

s6 + s4 - 4v4s2 - 4v06 = 0,

аналитическое решение которого найдено, но не приведено здесь из-за своей громоздкости.

Подставив выражения (7) в задачу (6), получим систему линейных неоднородных уравнений и граничных условия для определения неизвестных функций U2, V2, Р2 и £2, решение которой имеет вид

U2 = е" a1 ({e2zD2 + 1/2 [aV + bi V4 + aV5 + (b + 1) V6]} cos (2x - 2t) +

+ {-e2'Dl + l/2 [alV4 - bV + aVe -

v2 — e-a*[(e2'Dl + Vз + V5) cos (2x - 2t) + (e2'D2 + V4 + V>) sin (2x - 2t)]

p2 — e- a[e2' (ßDl + aD2) + V7] cos (2x - 2t) + [e2' (ßD2 - аDl) + Vg] x x sin (2x - 2t) - e'AV2 + AB2 + A2 [(2vo - ßs)/ (а2 + s2) - e2']/2+ + (B2 + B22) (l - e2')/2} ,

_ 2ß .

e a

Í2 — 2

x cos (2x - 2t) - [ß (D2 + B4 + K2 - Q2) + а (Dl + Bз + Kl + Ql)] x

x sin (2x - 2t)} ,

где

V3 (z) — e'1' (B3 cos a1z - B4 sin a1 z), V4 (z) — e'1' (B4 cos a1z + B3 sin a1 z), V5 (z) — e(b+1)' (K1 cos az - K2 sin az), Ve (z) — e(b+1)' (K2 cos az + K1 sin az), V7 (z) — e(b+1)' (Gl cos az - G2 sin az), Vg (z) — e(b+1)' (G2 cos az + Gl sin az),

a\ — bf - 4 + 2ß/v0, a1b1 — a/v0, Ki — {[(b + l) Ri + aR2] Gl - [aRl - (b + l) R2] G2}/Ai, Ai — (g2 + G^)/2, K2 — {[aRl - (b + l) R2] Gl + [(b + l) Ri + aR2] G2}/Al, Gl — {[aa + ß (b - l)] Kl - [а (l - b) + ßa] K2 + 2R2}/4, Gl — {[а (l - b) + ßa] Kl + [aa + ß (b - l)] K2 + 2Rl}/4, Gl — [4avo2 - а (ß + 2vo)]/(2vo), Gl — [8bvo2 - a2 + ßo2 - 4vos]/(4vo), Rl — A[(2bvo - s) Bl + (а - 2avo) B2]/(2vo), R2 — A[(a - 2avo) Bl - (2bvo - s) B2]/(2vo), B3 — Vo[si (L2 - 4Dl) + а (Li - 4D2)]/A2, A2 — s2 + а2, B[ — vo[si (Li - 4D2) - а (L2 -4Di)]/A2, si — 4vo - ß, Li — A2 [a [4v2 (а2 - s2)/A3 - s - Kl] + ab [l - K2 + 8vos/A3] - 3а+

+[(ß - 6vo) K2 - aKl]/(2vo)}/Aз, A3 — s2 + а2, L2 — A2 [b [4v0 (а2 - s2)/A3 - s - Kl] - aa [l - K2 + 8vos/A3] + 3s+ + [(ß - 6vo) Kl + aK2]/(2vo)}/A3, Dl — (Fl Jl + F2J2VA4, D2 — (Fl J2 - f2ji)/A4, A4 — J12 + J?, Jl — [8v0° (aal + slbl) - si/A^ - si, J2 — [8v0° (abl - slal) - a/A^ + a, Fi — A2 [2vo(a - s)/A3 + l] [2vo(a + s)/A3 - l]/2 + IK + I2K2 - G1 + HlLl+ +H2L2 + (ßQl - aQ2)/(2A5), A5 — (a2 + ß2) ,

= 2а^Л2(1 - 2вЦ)/Дз)/Дз + № - /К + С2 - И2Ьг + И1Ь2+

+(вя2 + ад1)/(2Дб), /1 = 2Ъщ + (4^0 - в/Дб)/2, 12 = —2ащ + а/(2Д5), И1 = [2а^Ь1 - 2в1и0а1 + а^/Д5]/Дз, И2 = (2а^о2а1 + 2в1^1 + (в«1 - а2)/Д5]/Дз-

2. Волновые траектории жидких частиц. Физические координаты частицы х*(Ь*), г*(Ь*) удовлетворяют уравнениям

йх и, ^^ и,

— = и*, —— = У* . аЬ* ' йЬ*

Физическое время необходимо обезразмерить частотой колебания жидкой частицы а, т.к. для нелинейных волн даже в идеальной жидкости а не совпадает с частотой волны [2]. Учитывая, что

х* = еЬ* + х/к, г* = г/к, Ь* = г/а, и* = ее0и,

уравнения, описывающие движение частицы в волне, можно представить в

виде , , ,

йх ( Ь ек\ ( ек\ йг ( Ь ек\

— = е---и - Ь — , — = е---У.

аЬ \а а / \ а аЬ \а а

Положим

те те ^

ж = ^ eixi, z = ^ е%, — = 1 + ^ £ÍYi-

, те

kc

Zi, — = 1 + > £ a

i=0 i=0 i=1

Подставляя ряды (8) и выражения для компонент скорости в уравнения движения (9), для определения первых трех коэффициентов получим следующие уравнения:

dxo = _i dzo =о dt ' dt '

dx 1 aA в

~dttj- = ae~a * {[ez° + aVi (zo) + bv2 (zo)] cosxo + [aV2 (zo) - bVi (zo)] sinxo} -

— (t7i)', d1 = ~e- a * {[eZ° + Vi (zo)]cos xo + V2 (zo) sin xo} , dx e-Ш *

-x = —— ({e2z°D2 + 1/2 [aiVs (zo) + biV4 (zo) + aV5 (zo) + (b + 1) Ve (zo)]} x dt o,

x cos2xo + {—e2z°Di + 1/2 [aiV4 (zo) - bV (zo) + aVe (zo) - (b +1) V5 (zo)]} x

-в t e a *

x sin 2xo) — (tY2)' +--— ({Aziez° + b (2azi — xi) Vi (zo) — [(a2 — b2) zi — ax^ x

xV2 (zo)} cos xo + {—Axiez° + b (2azi — xi) V2 (zo) + [(a2 — b2) zi — ax^ x

xVi (20)} sinXo) ,

dz2 e a t

dt a

[(e2Z0Di + V3 (zo) + V5 (zo)) cos 2xo + (e2Z0D2 + V4 (zo) + Ve (zo)) x

в t

e a

x sin2xo] +--{[Ax1ez0 + bz1V1 (zo) + (x1 — az1) V2 (zo)] cosxo+

a

+ [Az1eZ0 + bz1V2 (zo) — (x1 — az1) V1 (zo)] sin xo} .

Разрешая последовательно данные уравнения, получим следующие выражения:

xo = xl — t, zo = zl, 71 = 0,

-в t

e a

x1 = —— {[—eAeZL — (ab + fia) V1 (zL) + (aa — f3b) V2 (zL)] cos (xL — t) +

A5

+ [—aAeZL — (ab + /3a) V2 (zL) — (aa — /3b) V1 (zL)] sin (xL — t)} ,

-в t e a 1

z1 = —— [(aAeZL — m (zl) + aV> (zl)) cos (xl — t) +

A5

-2в t

e a t

+ (—eAeZL — (3V2 (zl) — aV1 (zl)) sin (xl — t),

x2 = ({— (aD1 + I3D2) e2ZL — (ea1 + ab1) V3 (zl)/2 + (aa1 — в^) x

2A5

x V4 (zl)/2 + AeZL [(2a^a + a2b — e2b)/A5 — e/(2^o) + (a2 — в2)^] x x V1 (zl) + AeZL [(2apb — a2a + в2a)/A5 + a/(2vo) — 2ae/A5] V2 (zl) —

— [a (b + 1) + ea] V5 (zl)/2 + [aa — в (b + 1)] Ve (zl)/2} cos (2xl — t) + + {(eD1 — aD1) e2ZL — (ea1 + ab1) V4 (zl) — (aa1 — eb1) V3 (zl) +

+AeZL [(2aea + a2b — в^/А, — в/(2vo) + (a2 — в2)/А5] V2 (zl) — —AeZL [(2aвb — a2a + в^)/А5 + a/(2vo) — 2aв/А5] V1 (zl) —

— [a (b + 1) + вa] Ve (zl)/2 — [aa — в (b + 1)] V5 (zl)/2} sin (2xl — t)),

_2в t

e a L

z2 = -r^ { [(aD2 — вDl) e2ZL + aV4 (zl) — вVз (zl) + aVe (zl) — вV5 (zl) x 2A5

x cos (2xl — 2t) + [— (aD1 + вD2) e2ZL — aV3 (zl) — вV4 (zl) — aV5 (zl) — —вVe (zl)] sin (2xl — 2t) + AeZL [aV1 (zl) + (b +1) V2 (zl) + A2] +

+bebZL (B2 + B2)} ,

1 _ - a t

72 = —a—\2avoA2e2ZL + AeZL (a2 — в2 + 2aavo) V1 (zl) + 2aAeZL x 4вvoA5t

x (vo + bvo — в) V2 + ae2bZL (B? + Bf) (2a2vo + 2vo — 3в) , где xl, zl — лагранжевы координаты.

Величина и3 = с — а/к представляет собой переносную скорость вдоль горизонтальной оси. Ее приближенное выражение имеет вид

^ = с

*

X

Рис. 1. Траектории частиц жидкости при I/ = 10~6 м2/с

Для примера построены траектории движения жидких частиц при малом (рис. 1) и большом (рис. 2) значении коэффициента кинематической вязкости. Видно, что частицы вблизи поверхности движутся быстрее, чем частицы на глубине, что обусловлено наличием приповерхностного течения Стокса, которое характеризуется переносной скоростью (10). С увеличением вязкости амплитуда волновых возмущений и переносная скорость убывают быстрее. Кроме того, вблизи поверхности при большой вязкости траектории наклонены в верхней точке в сторону движения, что не наблюдается на заглублении. Это можно объяснить влиянием вязких касательных напряжений на свободной поверхности.

Таким образом, получено асимптотическое решение нелинейной задачи с точностью до членов второго порядка по малому амплитудному параметру. Получены выражения для траекторий частиц жидкости, а также для скорости приповерхностного течения Стокса.

/7

ни

Г

илШ

О 0.1 0.2 0.3 0.4

*

Рис. 2. Траектории частиц жидкости при и = 2 • Ю-3 м2/с

Список литературы

1. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М. : Наука, 1977. 816 с.

2. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. Л. : Изд-во. Ленингр. ун-та, 1981. 196 с.

3. Ламб Г. Гидродинамика. Л. : Гостехиздат, 1947. 928 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М. : Наука, 1986. 735 с.

5. Баринов В.А. Распространение волн по свободной поверхности вязкой жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2010. Сер. 10. Вып. 2. С. 18-31.

6. Баринов В. А., Басинский К.Ю. Решение нелинейной задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2011. Сер. 10. Вып. 2. С. 9-16.

Басинский Константин Юрьевич (kbasinsky@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тюменский государственный университет, Тюмень.

Non-linear problem of the waves on the surface of the viscous liquid layer

K. Yu. Basinsky

Abstract. The nonlinear problem of the propagation of waves on the free surface of the layer of viscous incompressible fluid of infinite depth. The problem is solved first by Stokes to within a second approximation. The expressions for the trajectories of fluid particles, as well as the speed of the surface current. The effect of viscosity on the shape and depth of the trajectories of liquid particles and the drive speed.

Keywords: wave disturbances, viscosity, particle trajectories.

Basinsky Konstantin (kbasinsky@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modeling, Tyumen State University, Tyumen.

Поступила 10.10.2015