Дискретизация и анализ каркасов пространственных кривых линий

Секция инженерной графики

УДК 514:593.3

В.Г. Ли

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ КАРКАСОВ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КРИВЫХ ЛИНИЙ

Современные промышленные системы обработки геометрически сложной графической информации ориентированы, главным образом, на дискретный синтез, обработку и визуализацию объектов, например в виде замены интегральных и дифференциальных функций их разностными аналогами [1]. Технические и программные средства позволяют обрабатывать в реальном времени сверхбольшие объемы информации, исчисляемые миллионами элементарных геометрических фигур. Показательной в этом отношении можно считать новую область компьютерной графики - систему виртуальной реальности, являющуюся основной частью тренажно-моделирующих комплексов [2,3]. Проблема дискретизации весьма существенна также для таких задач, как построение дискретных сеток поверхностей для применения методов конечных элементов, расчета оболочек в задачах механики [4], в системах распознавания образов, при разбивке кривых на местности, многих других областях науки и техники [5]. Важность проблемы многократно возрастает для случаев дискретного задания формообразующих кривых сложных поверхностей, построении цифровых моделей рельефов.

Разрабатываемые ранее методы прикладной и вычислительной геометрии, в особенности по управлению формой интерполирующих функций, ориентировались на интерактивные системы конструирования. В настоящее время такие частные задачи необходимо переводить в функциональную область рутинных операций, не требующих вмешательства пользователя. Для этого необходимо соответствующим образом готовить графическую информацию, чтобы не требовалось производить дополнительные корректировки и оптимизации.

Важнейшей составляющей алгоритмов высокоскоростной визуализации геометрической информации при обеспечении необходимой реалистичности является минимизированное по геометрическим характеристикам, оптимальное по отражению формы, положения и движения представление графических моделей объектов.

Размерность точечного каркаса влияет на точностные характеристики интерполяции примерно в геометрической прогрессии, так удвоение количества точек повышает точность интерполяции кривых в технических приложениях не менее, чем в 15-20 раз. Исследований в этой области явно недостаточно, в основном предлагаемые решения сводились к кусочно-линейной аппроксимации с метрическими ограничениями по точности. Однако в этой связи необходимо отметить, что с геометрической точки зрения применение целевых функций с метрическими условиями трудно считать геометрически правомерными, поскольку диффе-

ренциально-геометрические характеристики, определяющие форму кривой, всегда инвариантны к таким операциям отображения как трансляция и масштабирование, независимы от используемой системы координат, способа параметризации.

Наиболее математически строго дискретизация формулируется как оптимизационная задача вариационного исчисления с подвижными границами-узлами результирующей дискретизации. Однако такая постановка задачи допускает в качестве решений и кусочно-гладкие каркасы, что для реальных технических приложений неприемлемо. Рассмотрим задачу в терминах геометрического линейного программирования [6].

На произвольной непрерывной кривой Iзаданной в графической или аналитической форме, требуется найти такие N лежащих на ней точек X., для которых выполняется условие

где Е - некоторая геометрическая функция цели, значение которой может быть принято за оценку близости ломаной, определяемой точечным каркасом к кривой Л. Все наборы из {Х}у, удовлетворяющие целе-

вой функции Д называются допустимыми решениями. Допустимое решение, минимизирующее целевую функцию (1), является оптимальным при заданном N.

Аналогично можно рассматривать некоторую максимизирующую целевую функцию 7, такую, что

где Я - множество допустимых решений на Ь.

В прикладной геометрии кривых известно несколько способов построения точечных каркасов, предназначенных для различных научнотехнических применений по заданной стрелке прогиба, с равномерной сеткой подынтервалов, с равными звеньями ломаной, с равными длинами дуг подынтервалов, косвенные методы дискретизации соответствующих дуг эволют или интервалов параметризации кривой. Однако степень близости вписанной ломаной к кривой заключается не столько в том, что она метрически близка к дуге, но и направления ее звеньев близки к направлению кривой в узловых точках. То есть, говорят, что

ломаная у) находится от гладкой кривой Ь в X -близости

первого порядка, если обеспечивается не только метрическое 6 -отклонение, но и для точек кривой и ломаной на любом интервале касательная к кривой и звено ломаной составляют угол, меньший X •

Как показано в [7], функционал вида

Е(х1,...,хы)<8

Т(хь...,х„) = шах^';V/ е Л,

•V, к

может быть принят за интегральную оценку совокупности дифференциальных характеристик к раз дифференцируемой гладкой, строго монотонной плоской кривой Г = г(.у) на интервале Л,Л',, в виде интегральной модели П кривой Ь. Если ограничиться погрешностью порядка /?3(0), то модель строится относительно только функции кривизны г(.у)”, а оптимальная дискретизация сводится к делению интегральной модели кривой на равновеликие по площади полосы. Естественно, что для пространственной кривой необходимо использовать функцию полной кривизны и рассматривать уже трехмерную интегральную модель кривой.

Для наглядности будем оперировать непосредственно углами (X -кривизны и Р -кручения кривой в натуральной параметризации. В этом случае интегральная модель дуги кривой будет иметь вид отсека некоторой линейчатой поверхности с краевой линией полной кривизны

сЬ{2 = с/а2 + (г/Р". Так например, для кривой типа гиперболической спирали (с постоянными и равными по величине кривизной и кручением) будем иметь отсек биссекторной плоскости, для произвольной гелисы иррегулярного типа - отсек косой плоскости, в общем случае будет поверхность косого цилиндроида. Деление такой поверхности на равные по площади полосы весьма сложно реализуемо. Необходимо также отметить достаточно очевидное обстоятельство - результаты деления моделей по кривизне и кручению в отдельности не совпадают как между собой, так и с делением по модели полной кривизны, что объясняется функциональной независимостью этих характеристик.

Для обеспечения точности более высокого порядка, например с погрешностью М(0), надо применять уже деление на равновеликие по объему части интегральной модели в виде трехмерной фигуры, а с погрешностью /?5(0) - деление на равные по весу части модели в виде тела с переменным распределением плотности. Дальнейшее повышение точности X -приближения требует построения интегральных моделей в многомерном пространстве.

Если принять допущение, что табулируемые кривые имеют малые скорости изменения кривизны и кручения (по крайней мере, скорости их изменения близки к линейному закону и не превышают квадратичной зависимости), что в подавляющем большинстве случаев имеет место в технических приложениях, то с достаточной точностью можно использовать один из двух вариантов графоаналитической реализации изложенного метода дискретизации, предложенных в [7,8].

Укажем некоторые основные свойства этих алгоритмов, а также получаемых с их помощью дискретных каркасов кривых:

♦ инвариантность к операциям масштабирования и трансляции над исходными кривыми;

♦ универсальность в смысле применимости как для плоских, так и для пространственных кривых;

♦ достижимость в геометрическом и информационном смыслах оптимального решения;

♦ возможность достоверной дискретной экстраполяции как вперед, так и назад;

♦ алгоритмичность: устойчивость, сходимость вычислительного

процесса.

Подтверждением правомерности предложенной методики могут служить положительные результаты экспериментальных проверочных оценок полученных каркасов по сравнению с наиболее широко используемым способом секущих с заданной стрелкой прогиба (для одних и тех же значений размерности каркаса), а именно:

♦ оценка угла вариации Д(2 (алгоритм изложен в [9]);

♦ вычисление дискретных дифференциальных характеристик;

♦ и, наконец, точным способом - полномасштабным интерполированием.

Однако наиболее корректной и эффективной, с точки зрения автоматизации вычисления как абсолютной, так и относительной оценки дискретных каркасов, представляется следующая методика оценки дискретного каркаса. Метод разработан на основе понятия дискретного аналога кривизны и кручения ломаной линии [10] привлечением аппарата теории информации.

Усредненный коэффициент устойчивости и и коэффициент точности 7 точечного каркаса ЕМ пространственной кривой 7, определяются как

N-2

х1х2 +Хы^хы + £х,х<+1 и =---------—-------^-------;

N-2

XX

г

1

Т =1(^(1/и) (бит).

В качестве примера реализации метода в таблице приведены результаты дискретизации и оценки полученных каркасов для дуги пространственной кривой типа гелисы иррегулярного типа. N - размерность дискретного каркаса. Необходимо отметить, что 7=1 - есть критическая величина, при которой происходит “потеря” формы исходного объекта дискретизации.

N и Т

4 0,435 1,2

6 0,0698 3,84

11 0,00038 11,37

ЛИТЕРАТУРА

1. Найдыги В.М., Верещага В.М. Особливості та перспективи розвитку дискретно - параметричного методу геометричного моделювания кривих линий та поверхонь. //Прикладна геометрія та інженерна графіка: Міжвідомча наукова-технічна збірка. Вып. 61. К:КДТУБА, 1997. С.19-21.

2. Современные технологии автоматизации. М.: СТА-ПРЕСС. N2. 1996.

3. Ггиіой В.К., Расселер Г., Джакел Д. Новые стандарты высокореалистичного рендеринга в реальном времени. //Открытые системы. 1995. N5 (13).

4. Корнишин М.С., Паймуиіин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. 208 с.

5. Компьютерная графика и геометрическое моделирование в САПР //Сб. на-учн. тр. Вып. 11. СПб.: ПИМаш, 1997. 173 с.

6. Зенер К. Геометрическое программирование и техническое проектирование. М.: Мир, 1973. 111 с.

7. Михайлепко В.Е., Ли В.Г. Алгоритм рациональной дискретизации кривых //Прикладная геометрия и инж. графика. К.: Будівельник, 1987. Вып.43. С.3-6.

8. Ли В.Г. Дискретизация пространственной кривой типа обобщенной винтовой линии. //Прикладная геометрия и инж. графика.К.: Будивэльнык, 1989. Вып. 47. С.88-90.

9. Ли В.Г. Оценка точности дискретного задания кривой. //Прикладная геометрия и инж. графика. К.: Будівельник, 1983. Вып. 36. С.64-65.

10. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука. 1987. 160 с.

УДК 681.3

В.Г. Ли, А.В. Завиден им

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ИГ В СРЕДЕ ЭЛЕКТРОННОГО ЗАДАЧНИКА

Следуя современной педагогической концепции непрерывной компьютеризации учебного процесса в вузе, разработана электронная версия рабочей тетради (задачника) по инженерной графике. Задачник предоставляет пользователю возможность автономной работы в одном из трех режимов:

♦ практические занятия;

♦ самостоятельная, в том числе творческая и научноисследовательская работа, выполнение домашних заданий;

♦ выполнение контрольных работ.

Главное методическое достоинство описанного программного комплекса состоит в том, что он играет подготовительную роль в естественном переходе от "ручного" вычерчивания к использованию профессиональных программных графических комплексов.

Структура рабочего окна типична для современных пользовательских программных комплексов и содержит минимально достаточный набор меню и клавиш. Выбрав, по желанию, один из способов работы - с клавиатуры или с помощью мыши, пользователь-студент имеет возможность производить следующие операции:

♦ регистрацию (фамилии студентов и номера учебных групп), архивирование (автоматическое фиксирование времени и даты работы, ведение журнального файла);

♦ сервисные команды оформления работы: редактирование, удаление, штриховку, скроллинг, вывод на печать и т.д.;

♦ основные команды графических построений: точек, отрезков, окружностей, ломаных, точек пересечения отдельных геометрических фигур, нанесение обозначений по правилам оформления проекционных изображений на эпюре Монжа и т.д.