Распространение возмущений в пограничном слое на вращающемся конусе в сверхзвуковом потоке газа

УДК 533.6.011.5

И. И. Липатов1'2, И. Н. Устинов1'2

1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2Центральный аэрогидродинамический институт имени профессора H. Е. Жуковского

Распространение возмущений в пограничном слое на вращающемся конусе в сверхзвуковом потоке газа

Ислледуется влияние вращения конуса в сверхзвуковом потоке газа на скорость распространения возмущений в пограничном слое. Производится расчет пограничного слоя на вращающемся конусе в предположении безградиентного внешнего течения, рассчитывается диаграмма направленностей скорости распространения возмущения в пограничном слое.

Ключевые слова: пограничный слой, распространение возмущений, сверхзвуковое течение, теория слабого взаимодействия, конус.

1'2 1'2

1

2

Disturbances propagation in the boundary layer on a rotating cone in a supersonic flow

The problem of disturbances propagation in the boundary layer on a rotating cone in a supersonic flow is studied. Boundary layer computation is carried out assuming a nongradient external flow. The velocity direction diagram is obtained.

Key words: boundary layer, disturbances propagation, supersonic flow, weak interaction, cone.

1. Введение

Множество работ посвящено исследованию пограничных слоев на вращающихся телах, в том числе на конусе, поскольку такие исследования могут найти непосредственное применение как в баллистике, так и в аэрокосмических отраслях. В частности, интересно исследовать, что происходит с распространением возмущений в пограничном слое на конусе, если придать ему вращение.

2. Расчет ламинарного пограничного слоя

Для исследования скоростей распространения возмущений неообходимо прежде получить профили скоростей и энтальпии в пограничном слое. Расчет проводится в следующих предположениях:

1) скорости внешнего потока достаточно велики, чтобы конус обтекался с присоединенным скачком и соответственно внешнее течение было безградиентным и коническим;

2) температуры нагрева пограничного слоя достаточно малы и можно не учитывать высокотемпературные эффекты (потери на радиационное излучение, рекомбинация и диссоциация молекул), газ считается совершенным;

© Липатов И. И., Устинов И. Н., 2017

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

3) для упрощения расчета будем считать верным соотношение р^ = сопв^ здесь р плотность, ^ — вязкость, т.е. вязкость линейно зависит от температуры газа;

4) конус обтекается под нулевым углом атаки.

Рис. 1. Система координат, использованная при расчете

Использовалась неподвижная система координат, изображенная на рис. 1.

ие

Обезразмерив систему уравнений следующим образом: u* = иие, v* = v

л/Re

W = WUp

x* = xl, y* = y

l

л/Re

Т* = ТТе, р* = рре, ¡л,* = где I — длина образующей конуса,

ие,Те, ре, ц,е — скорость, температура, плотность и вязкость внешнего потока, Ые — число Рейнольдса, ее можно записать в виде [1|:

dpurw dpvru

дх

ду

0,

ди

ди

г:

I W 2

pu— + pv— - р—w2 =

ох ду rw ду ду

д ди

dw

ди

д dw

pu— + pv— + р—uw = ^-¡л—, ох Оу rw Оу Оу

dh dh 0 // ди \2 (dw\2

pUd~x + pV0~h - - [[ ду) +[ Wj

д л dh дуРгду'

рк = 1 + 7М 2р,

где гт — радиус сечения конуса с граничными условиями:

и ^ 1; ^ 0; к ^ 1 щи у ^ ж, и = V = 0; к = —^; ш = т(х) щи у = 0,

1 е

и = 1; V = т = 0; к = 1 при х = 0.

Для устранения особенности в вершине конуса и для сведения сетки к прямоугольной используется преобразование Дородницына-Лиза (х,у) ^ И) запишем систему уравнений в новых переменных:

д d2f d2f 2

+f

+ т^2 = —1

2(idfd2f dfd2f

д'ц drj2 drj2 3 3 Удц drjdÇ drj2

д dw dw 2 df 2{ / dfdw dfdw\

—N--+ f----w—-----,

д'ц дri дщ 3 дri 3 \ дri дг/ I

)

д N dh dh ^ . _ , „

О1^ Pv О1^ д^ * ' ^ir>2 ^^

fô)2 +i \ ОГ12 I \ОГ1 I

_2ÇÎdfdh dfdh\ _ = У [&пд£ - =

г

с граничными условиями:

£ = 0: f = V,w = 0,h = 1,

df

V = 0: f = 0,^- = 0, w(0 = ш  £,h = hw, or¡

df

ц : —=1,w = 0, h = 1. O'q

Расчет проводился при параметрах М2(7—1) = 1, sin ip = 0.5, где М — число Маха внешнего потока, 7 — показатель адиабаты газа, ip — угол полураствора конуса.

3. Получение диаграммы направленностей для скорости распространения возмущений

В работах [3,4| рассматривается распространение возмущений в пограничных слоях в сильной теории взаимодействия и приводится выражение для нахождения a — скорости распространения возмущений, здесь u,w — профили продольной и поперечной скорости, Н — профиль полной энтальпии, в — направление распространения возмущений:

22

/о (u cos в + w sin в — а)2

г- те

dy — (Н — и2 — w2) dy = 0. о

27<Г

Рис. 2. Влияние угловой скорости на диаграмму направленностей, £ = 0.1

Рис. 3. Влияние расстояния от вершины конуса на диаграмму направленностей, ш = 1

Зная профили в различных сечениях вдоль конуса и при различных безразмерных угловых скоростях вращения, можно получить диаграммы направленностей для величины скорости распространения возмущений в зависимости от угловой скорости (рис. 2) и в зависимости от удаленности сечения от вершины (рис. 3). Оказалось, что скорость распространения возмущений вверх по потоку {0 = ж) очень слабо зависит от угловой скорости, изменения имеют порядок 10-4 при ш = 1.

4. Заключение

В работе было исследовано влияние вращения конуса на скорости распространения возмущений в пограничном слое. Получено, что диаграмма направленностей становится заметно несимметричной при придании вращения конусу: чем больше угловая скорость и чем дальше вдоль конуса, тем более явным становится влияние вращения, хотя скорость распространения возмущений вверх по потоку меняется очень слабо и почти не зависит от угловой скорости.

Литература

1. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М.: Наука, 1977.

2. Шалаев В.И. Применение аналитических методов в современной аэромеханике. Ч. 1. Теория пограничного слоя. М.: МФТИ, 2011.

3. Lipatov I.I. Disturbances propagation in supersonic boundary layers // Fliud Mechanics And Its Applications. 1996. V. 35. P. 369-378.

4. Krechetnikov R., Lipatov I.I. On upstream influence in supersonic flows // Journal of Fluid Mechanics. 2005. V. 539. P. 167-178.

References

1. Shevelev Yu.D. Three-dimensional problems of laminar boundary layer theory. M.: Nauka, 1977. (In Russian).

2. Shalaev V.I. Application of analytic methods in modern aeromechanics. Part 1. Boundary layer theory. M.: MIPT, 2011. (In Russian).

3. Lipatov I.I. Disturbances propagation in supersonic boundary layers. Fliud Mechanics And Its Applications. 1996. V. 35. P. 369-378.

4. Krechetnikov R., Lipatov I.I. On upstream influence in supersonic flows. Journal of Fluid Mechanics. 2005. V. 539. P. 167-178.

Поступим в редакцию 30.06.2017