ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Аннотация

Вычисление предела - как самостоятельная задача или как промежуточное звено в рамках другой задачи «преследует» студентов технических ВУЗов на протяжении первых двух курсов. Поэтому обучение вычислению пределов является актуальной задачей при подготовке студентов технических специальностей. В статье рассматривается использование аппарата бесконечно малых функций для вычисления пределов. Данный аппарат является достаточно универсальным и эффективным способом решения указанной задачи. Приводятся краткие теоретические сведения, необходимые для обоснования рассматриваемого метода. Рассматриваются различные примеры, иллюстрирующие применение бесконечно малых функций.

Ключевые слова

предел, бесконечно малая функция, эквивалентная бесконечно малая функция,

порядок малости

АВТОРЫ

Велищанский Михаил Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва velmiha@yandex.ru

Кавинов Алексей Владимирович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва alekseyvladimirov'ch1@yandex.ru

Введение

Понятие предела является одним из важнейших в курсе математики, читаемой в технических ВУЗах. Ведь понятие непрерывности функции, ее производной, определенного интеграла и т.п. все это базируется на понятии предела и предельного перехода. При этом, к сожалению, вычислению пределов в настоящее время не уделяется должного времени, и, как следствие, слабый навык в вычислении пределов преследует студентов и в дальнейшем - при изучении графиков, несобственных интегралов, рядов и т.п.

Следует сразу отметить, что не существует единого метода вычисления пределов, есть лишь более универсальные методы или методы узкоспециализированные, применяемые для конкретных типов пределов. Данная статья посвящена применению аппарата бесконечно малых функций к вычислению пределов.

Методология и результаты исследования

В настоящее время при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [да / да], а так же других типов, приводимых к указанным двум, среди студентов особой популярностью пользуется метод Бернулли-Лопиталя [1-6]. Это объясняется с одной стороны практической эффективностью данного метода, а с другой -относительной простотой его применения для студентов. Ведь по сути все сводится к умению дифференцировать, что большинство студентов 1-го курса более-менее умеет еще со школы. Тем не менее, сам метод Бернулли-Лопиталя отнюдь не является универсальным, хотя и «работает» с широким кругом задач. Существует масса примеров когда указанный метод не позволяет вычислить тот или иной предел или же его применение требует очень больших вычислительных затрат, в то время как другие методы позволяют достаточно легко решить поставленную задачу. Более того, очень часто самым удачным способом раскрытия неопределенностей при вычислении пределов является комбинация (если это возможно, конечно) указанного метода Бернулли-Лопи-таля с выделением главной части бесконечно малой или бесконечно большой функций или заменой их эквивалентными более простыми функциями.

Поэтому не менее важно, наряду с правилом Бернулли-Лопиталя, научить студентов и другим эффективным методам вычисления приделов. В данной работе рассматривается применение аппарата бесконечно малых функций к вычислению пределов. К сожалению, данному методу вычисления пределов и раньше уделялось не очень много времени, а сейчас этого времени еще меньше. И это притом, что он позволяет во многих случаях вычислять пределы чуть ли не устно. Даже в ставших уже классическими задачниках под редакцией А.В. Ефимова [5] или Б.П. Демидовича [6] приводятся примеры на правило Бернулли-Лопиталя, которые с использованием эквивалентных бесконечно малых функций вычисляются просто устно, т.е. применение указанного в этих задачниках правила в данных примерах просто не рационально. Что же говорить о студентах, которые пытаются использовать это правило чуть ли не в каждом пределе, не задумываясь о рациональности своих вычислений. Похожая ситуация наблюдается и за рубежом: на сайте вопросов и ответов математической тематики https://math.stackexchange.com/, основными посетителями которого являются жители зарубежных стран, меткой «limits» (т.е. предел) помечено 33644 вопроса, однако лишь 269 из них содержат слово «equivalence» (т.е. относятся к использованию эквивалентных бесконечно малых функций).

Прежде чем перейти к рассмотрению различных примеров, приведем некоторые известные [2-4,7] определения и теоремы, которые нам потребуются в дальнейшем.

Определение 1. Функцию f(x) называют бесконечно малой при х—»öeR, если при данном стремлении аргумента предел функции равен нулю, т.е. lim f ( x ) = 0.

x —a

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или просто бесконечно малыми и обычно обозначают буквами греческого алфавита a(x), ß(x) и т.д.

В следующих определениях предполагается, что функции cx(x) и ß(x) есть бесконечно малые функции при х — a, отличные от нуля в некоторой проколотой окрестности точки a .

Определение 2. Функции d(x) и ß(x) называют бесконечно малыми одного

ос( xi

порядка при х-»а, что записывают а(х) = 0(ß(x)), если Ellim-= сеК\{0}.

дг-»а дг-»д ß

относительно ß(x) при x—»a, если Ellim—-—- = сеК\{0}, k>0. При этом число

Определение 3. Функции сс(х) и ß(x) называются эквивалентными при х—»а, что обозначают а(х) ~ ß(x), если предел их отношения при х—»а равен

х—>а

а

единице, т.е. а(х) ~ ß{x) <^>lim =1.

х-+а х^а ß

Заметим, что свойство эквивалентности б.м. функций симметрично и транзитивно, т.е.

а(х) ~ ß(x)<=>ß(x) ~ а(х) и (а(х) ~ /?(х))л(Дх) ~ К*)) =>сх(х) ~ у(х) .

.т—>а х—>а л—»а л—>а л—»а

Определение 4. Функцию a(x) называют бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с ß(x) при х ^ a, что записывают а(x) = o(ß(x)),

если 3 lima

В этом случае так же говорят, что функция ß(x) является бесконечно малой более низкого порядка малости по сравнению с а(x) при х ^ a. При этом (как и в случае определения 4) слово «малости» обычно опускают.

Определение 5. Функцию а(x) называют бесконечно малой k-го порядка малости

а{х) ~ß\x)

к называют порядком малости бесконечно малой функции а(x) относительно ß(x) . Определение 6. Функции a(x) и ß(x) называют несравнимыми бесконечно

_/,. а

малыми при х ^ a, если 3 lim-, т.е. не существует ни конечного, ни бесконеч-

x^a ß

ного предела их отношения.

Теорема 1. Сумма конечного числа функций, бесконечно малых при х ^ a, есть функция бесконечно малая при х ^ a .

Теорема 2. Произведение бесконечно малой при х ^ a функции и функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки a , есть функция бесконечно малая при х —» а.

Теорема 3. Пусть а(х) ~ ß(x) и f(x) - некоторая функция, определенная в

х —>а

проколотой окрестности точки a . Тогда, если существует предел при х ^ a произведения a(x) f (x) или частного a(x) / f (x), то данный предел не изменится, если в нем заменить функцию а(x) на ß(x) .

Теорема 4. Сумма конечного числа бесконечно малых при х ^ a функций различного порядка эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорема 5. Если бесконечно малые при х ^ a функции a(x) и ß(x) являются эквивалентными при х ^ a, а функция x(t) в некоторой проколотой окрестности точки т отлична от a и при t ^т стремится к a, то сложные функции a(x(t)) и ß(x(t)) эквивалентны при t ^т .

В завершении теоретической части приведем традиционно даваемую студентам таблицу основных эквивалентных бесконечно малых функций. Данная таблица при вычислении пределов так же важна, как таблица умножения. Использование данной таблицы, совместно с теоремами об эквивалентных бесконечно малых, дает нам эффективное средство для вычисления пределов.

Таблица 1. Основные эквивалентные бесконечно малые функции

при x ^ 0

sin(x) ~ X x2 1 - cos( x) ——

tg

arcsin

arctg(x) ~ х (1 + x)p -1 ~ px, при p G R x—>a

Рассмотрим теперь различные примеры, иллюстрирующие применение аппарата бесконечно малых функций к вычислению пределов.

Пример 1. Вычислить lim-—-.

x^0 arcsin

В данном примере имеем неопределенность вида [0/0]. Приведем сначала решение, базирующееся на первом замечательном пределе и теореме о замене переменой.

замена: arcsin(x)=t

x=sin(t) при x ^ 0, t ^ 0

Рассмотрим решение данного предела при помощи правила Бернулли-Лопиталя:

:.к. (5x) = 5, 1

1. 5x

lim-

arcsin

= 5ШП2П22 = 5.

t

t

i. 5 x

lim-

arcsin

VT

x

lim

x ^ 0

1

5.

VT

x

Приведем теперь решение, базирующееся на теореме 3 и приведенной таблице 1:

5 x

lim-

х^0 arcsin

т.к.

arcsin(x) ~ х

л->0

= lim— = 5.

х

Несмотря на кажущуюся одинаковую трудоемкость вычислений, первый способ содержит неочевидную замену и, как показывает многолетняя практика, студенты самостоятельно не могут догадаться сделать подобную замену переменной. Второй и третий способы примерно равнозначны по трудоемкости, хотя второй и требует вычисления производных. Использование же эквивалентных бесконечно малых, в данном случае, не требует проведения никаких дополнительных вычислений.

ln

Пример 2. Вычислить lim—--—.

arcsin

В данном примере имеем неопределенность вида [0/0].

ln

lim-

arcsin

т.к.

arcsin(x) ~ x

л-—

= lim

л-»0

ln

X

т.к. ln(l + x) ~ X

л-—

= lim— = 1

X

На практике, конечно же, обе замены на эквивалентные бесконечно малые функции делают одновременно, что позволяет вычислить данный предел фактически «в

одно действие». Использование замены переменной в данном примере крайне не рационально, поскольку для числителя и знаменателя требуются различные замены.

Теорема 5 позволяет переписать таблицу 1 в следующем более универсальном виде:

Таблица 2._

при х ^ а

sin(«(x)) ~ и(х), х—>а 1 - cos(u(х)) ~ и (х),

tg(u(x)) ~ и(х), х—>а logb(1 + и (х» ьПb '

arcsin(M(x)) ~ ы(х), х—>а bu (х) -1 ~ и(х)1п b,

arctg(«(x)) ~ ы(х), х—>а (1 + и(х))р -1 ~ ри(х), при p&R. х—>а

Пример 3. Вычислить lim

ln

1

Имеем неопределенность вида [0/0]. Используя таблицу 2 и теорему 3, получим

lim

х ^ о

ln

х2 - 1

т.к.

-1 ~ X2

х—»0

= lim

х—»0

ln

х

т.к.

ln(1 + (cos(х) -1)) ~ cos(х) -1

х ^ 0

lim

х^о

cos( х) -1

х

т.к.

cos(x)-l —х2 / 2

х—»0

lim

х2 /2

х 2

Следует отметить, что применение каких-либо других методов в данном примере затруднительно, а использование правила Бернулли-Лопиталя при вычислении данного предела потребовало бы его многократного применения.

.о 1- arctg

Пример 4. Вычислить lim-——1———.

arcsin^) sin

Для раскрытия неопределенности вида [0/0], как и в примере 3, воспользуемся таблицей 2 и теоремой 3.

т.к. sin(x/ 2) ~ х / 2,

х—>0

arcsin(3x) ~ Зх,

arctg

lim-

х^0 arcsin

х—>0

Т.К.

„2>

sin(x ) ~ Xх

х—>0

2х" = lim—-

Зх2

arctg

х—>0

2 3

2sin

lim

х^0 3 х 2

Применение при вычислении данного предела метода Бернулли-Лопиталя крайне не рационально, поскольку ведет к излишне громоздким вычислениям, в то

2

время как использование аппарата бесконечно малых функций позволяет легко вычислить данный предел.

Отметим, что использование теоремы 5 и таблицы 2 приводит нас именно к указанной в примере последовательности замены на эквивалентные бесконечно малые

функции в случае с арктангенсом: агс1§(8т(х2)) ~ 8т(х2) и затем 8т(х2) ~ х2.

л—>0 л-—»0

Учитывая транзитивность отношения эквивалентности на практике часто используют «итоговую» эквивалентность агс1§(8т(х2)) ~ х2. Однако при разборе данного при-

х->0

мера, для лучшего понимания студентами теоремы 5 и таблицы 2, рекомендуется использовать приведенную в примере последовательность замены на эквивалентные бесконечно малые функции.

Кроме того, следует обратить внимание на очень распространенную ошибку, допускаемую в подобных примерах. Зачастую студенты используют следующую последовательность замены на эквивалентные бесконечно малые:

агс1§(8т(х2)) ~ ~ х2. Несмотря на одинаковый итоговый ответ, данная по-

л-—>0 х->0

следовательность не имеет под собой никакого теоретического обоснования, поскольку в общем случае нет (и не может быть) теоремы о замене на эквивалентные бесконечно малые под знаком функции. Поэтому замену на эквивалентные бесконечно малые под знаком функции допускать нельзя, что демонстрирует следующий пример.

Пример 5. Вычислить lim

x—0

sin

1

x

x

Данный предел имеет неопределенность . Посмотрим, к чему приведет замена на эквивалентную (8т(х) ~ х) под знаком функции:

х->0

lim

x—0

sin

1

x

V

x

= lim

x—0

x x

V x

= lim (1) x2 = 1.

x—0

Однако верный ответ в данном примере е 6, который проще всего получить, используя второй замечательный предел и разложение в ряд Маклорена функции Бт(х) . Поэтому подобные замены на эквивалентные со стороны студентов допускать нельзя, даже если в конкретном примере ответ получился верный.

x2 sin

(1 ^ V x J

Пример 6. Вычислить lim

x—0 sin

Для раскрытия имеющейся в данном примере неопределенности вида [0/0], воспользуемся теоремами 2 и 3, а так же таблицей 1.

О ^ , . (1Л

т.к.

= lim-

x2 sin

lim—

x—0 sin

V x J _

sin

X

.r—»0

x2 sin

.T—>0

x

= lim x sin

x—

1

= 0.

V x J

Отметим, что используя правило Бернулли-Лопиталя решить данный пример нельзя.

1

Пример 7. Вычислить lim (1 + arcsin2(x)) ln(1+x2).

Изначально в данном примере мы имеем дело с неопределенностью вида .

Поэтому сначала воспользуемся вторым замечательным пределом, а затем уже используем эквивалентные б.м. (таблица 2 и теорема 3).

arcsin

,. arcsin (x) lim-

lim

x

x—0

т.к

+

.r—»0 2/„\ „2

arcsin (x) ~ x

.r->0

x—0

2

lim "—

„x2 1

e -1

Пример 8. Вычислить lim-,- .

x—+ sin(x2) -1

Воспользовавшись таблицей 2 и теоремой 3, получим:

lim ,—e 1 — х—°у11 + sin(x2) -1

2 x 2

= lim2^ = 2.

x—0 x

0' 0

X' 1 z

т.к. e -1 ~ x ,

.r—»0

" V ЧЛ Л

*->o 2

2 x2

lim-2""

x—0 sin

т.к.

.2-

sin(x ) ~ X

Как и в случае с примером 4, с учетом транзитивности отношения эквивалентности, на практике допустимо использование сразу итоговой замены на эквивалентную

I-:—Г

бесконечно малую функцию, т.е. Jl + sin(x2) -1--.

.г^О 2

Пример 9. Вычислить lim (V x +1 -V x).

x—+» V '

В данном случае имеем неопределенность вида [да - да]. Используя теорему 3 и таблицу 2, имеем:

lim (Vx +1 -yfx ) = limVx , 1 + -

x—+ro V / x—да Л1 x

\

.__ 1

x

J

т.к.

Vx

lim —

*-»+00 2x

= lim —\=

x—+M 2 V x

= 0.

До сих пор все рассмотренные примеры, по большому счету, были пределом отношения двух бесконечно малых функций (поскольку произведение двух бесконечно малых функций при х ^ а есть функция бесконечно малая при х ^ а). Однако на практике часто встречаются задачи, в которых требуется вычислить предел от отношения двух линейных комбинаций бесконечно малых функций. В некоторых ситуациях, как показывает следующий пример, достаточно разбить предел в линейную комбинацию пределов. Однако такой способ допустим лишь в некоторых случаях, и, в общем случае, его нельзя рекомендовать как универсальный для подобного типа пределов.

Пример 10. Вычислить Нш

tg

x^Q

Нш

х^0

tg

т.к. sin

0 Q

X,

.r—»0

tg(6x) ~ 6x,

x^O

arcsin

x->0

2x

sin

tg

= lim ——- + lim--—--—

sin

ln

lim — + lim

x^Q x x^Q

x

т.к.

(ln(l + 2x)) ~ 2x

x->0

= 6 + Нш— = 6 + 2 = 8.

х X

Достаточно эффективным в подобных примерах, но отнюдь не универсальным методом, является использование теоремы 4, как показано в следующих примерах.

1 - соб3

Пример 11. Вычислить lim

1 - cos3

x^Q 5x2 + 7x3

lim _ ,

x^Q 5 x2 + 7 x3

" Q" т.к.

_ Q _ —i- ''

x^O

Нт

х^О

5 x2

т.к.

1 - cos

X

*->o 2

x

T

3

= lim

1Q'

Пример 12. Вычислить Нш

x^Q

tg(x2) + sin2(x32) - 4x ln(1 + 5x2) + 7 x4

Нт

х^0

tg(x2) + sin2(x32) - 4x ln(1 + 5 x2) + 7 x4

tg

Q Q

т.к. ln(l + 5x ) + 7x ~ ln(l + 5x ).

x->0

tg

x->0

lim _

x^Q ln

Т.К. tg(x ) ~ X .

x^O

ln(l + 5x2) ~ 5x:

x->0

x

lim

5x2

1

5'

К сожалению, использование теоремы 4 невозможно, если в линейной комбинации бесконечно малых функций присутствуют бесконечно малые одинакового порядка, что демонстрирует следующий пример.

1п

Пример 13. Вычислить lim-

x^Q

ln

Нш

X ^ 0

1п

0 0

1п

= Нш- _

х ^01п

т.к. 1п(1 + (-х2)) ~ (-х2);

х->0

1п(1 + 5х2) ~ 5х2

х^О

Нш

- X

5х2 5'

В данном примере нельзя сразу использовать замену на эквивалентные бесконечно малые в числителе, поскольку обе бесконечно малые функции имеют одинаковый порядок малости и замена 1п(1 + х) ~ х и 1п(1-х)--х привела бы к тожде-

х—>0 х—>0

ственно равной нулю функции в числителе. Однако, как мы видим, данный предел отнюдь не равен нулю. Это объясняется тем, что приведенные ранее теоремы ничего не говорят нам о том, чему эквивалентна линейная комбинация конечного числа бесконечно малых функций одинакового порядка малости.

Можно показать, что если а(х) ~ А(х-а)к и Р(х) ~ В(х-а)к , то

х—>а х—>а

а(х) + Р(х) ~ (А + В)(х- а)к при А + В Ф 0. Если же А + В = 0, то фактически мы

х—>а

получаем вычитание эквивалентных бесконечно малых (и попадаем под действие соответствующей теоремы) и тогда верно а(х) + Р(х) = о(а(х)) и а(х) + Р(х) = о(Д х) ) .

х ^а х ^а

Используя данные утверждения, вычислим следующие примеры.

..о 1- *ё( х) - эт( х) Пример 14. Вычислить пш -— .

1п

В рассматриваемом пределе в числителе мы имеем дело с разностью двух эквивалентных бесконечно малых функций. Воспользовавшись тем, что их разность есть бесконечно малая более высокого порядка, мы можем вычислить данный предел.

Пт1ё

0 0

Т.К. ~ X.

х->0

БтГх) ~ х,

х^О

1п

X

х—»0

х^0 Д"

X

На самом деле можно показать, что tg(x) - 8т(х)--

х^0 2

Пример 15. Вычислить Нш

х^0

1 - соб(4 х) 1ё( х2) + агоБт2 х

В данном примере, в знаменателе мы имеем сумму двух бесконечно малых

функций одинакового порядка. Поскольку в данном случае А + В = 1 +1Ф 0, мы мо-

4

жем заменить знаменатель на эквивалентную ему бесконечно малую.

lim

x^0

1 - cos

tg(x ) + arcsin

2 X

2

т.к. 1 - cos

(4xf 2

tg(x-) ~ x-

x->0

arcsin

x 2 *-»<>

v2y

tg(x2) + arcsin2

x 5x~

2*-x> 4

= lim

(4 x)2 2 _32

x^Ü 5 x 5 4

tg(x) + 2 sin(x) - arcsin(x2) + 3 Vx ( ex - 1J Пример 16. Вычислить lim-

x^Ü

arctg (sin (ln(1 + 2 x))) + 3( ex

tg(x) + 2sin(x) - arcsin(x2) + 3vx (ex -1) lim-

x^Ü

x^O

x^O

arctg (sin (ln(1 + 2 x))) + з( ex3 -1

tg

arctg (sin (ln(1 + 2x))) ~ sin(ln(l + 2x)) ~

x->0 V ' x—»0

ln(l + 2x) ~ 2x

0 Ü

tg(x) + 2sin(x)-arcsin(x2) + 3vx(ex-1) ~ 3x

x->0

x->0

x->0

' x—»0

arctg (sin (ln(l + 2x))) + 3^ex -l) ~q2x

3x 3 = lim— = —.

2 x 2

Заметим, что использование правила Бернулли-Лопиталя в данном примере приведет к неоправданным вычислительным затратам и, скорее всего, закончится какой-либо вычислительной ошибкой.

Хочется так же отметить, что для эффективного использования различных методов вычисления пределов главное, чему нужно научиться - это видение типа величины, т.е. какая она: бесконечно малая или бесконечно большая, ограниченная и т.п. Если она бесконечно малая, то каков ее порядок (если его можно определить). Это не только существенно облегчит вычисление пределов, но и поможет в дальнейшем, при изучении функций, несобственных интегралов, рядов и д.р. Для приобретения требуемого навыка с бесконечно малыми величинами рекомендуется давать студентам больше устных заданий, связанных с определением эквивалентной бесконечно малой функции. К примеру, это могут быть задачи наподобие приведенных ниже:

2

x + 5x3/2-x2 ~ ; l-cos(vx ) + x2 ~ ;xcos(x) ~ ; Inf 1 + xJs'm(x)) ~ ;

.r->0 V J x->0 x->0 V J x->0

41-cosW)3 - ;л/ГТ7arctglTx ~ ; ln(l + x) - xsin(x) - ; и т.п.

v ' x->0 x->0 x->0

В завершении статьи отметим, что как уже отмечалось ранее, не существует универсального метода вычисления пределов, и аппарат бесконечно малых функций здесь не является исключением. К примеру, следующий предел не может быть вычислен с использованием эквивалентных бесконечно малых функций ln

lim---, в то время как использование правила Бернулли-Лопиталя поз-

х^0 х

воляет легко получить ответ.

Заключение

Вычисление пределов - тема практически необъятная и в рамках одной статьи невозможно рассмотреть все связанные с ней трудности, тонкости применения тех или иных методов. В данной статье было рассмотрено применение аппарата бесконечно малых функций к вычислению пределов. К сожалению, этому способу уделяют недостаточно внимания у нас и еще меньше за рубежом. А, как показали рассмотренные в статье примеры, зря: приведенные примеры показали эффективность и простоту использования рассмотренного метода на целом классе задач. В работе даны рекомендации по использованию аппарата бесконечно малых величин при вычислении пределов, отмечены характерные ошибки, допускаемые студентами при использовании данного метода.

В заключении хочется еще раз отметить, что универсального метода вычисления пределов нет и, зачастую, самые лучшие результаты дает комбинация различных методов. Поэтому студентов необходимо обучать разнообразным методам вычисления пределов, а не концентрировать внимание на каком-либо одном из них.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного аргумента. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 408 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. - М.: Интеграл-Пресс, 2006. - 416 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1982. - 616 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х т. Т. 1. - М.: Высшая школа, 1988. - 718 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1993. - 478 с

6. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Астрель, 2003. - 472 с.

7. Морозова В.Д. Введение в анализ. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 408 с.

Mikhail A. Velishchanskiy,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia velmiha@yandex. ru Alexey V. Kavinov,

Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor, Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia alekseyvladimirovich1@yandex. ru

Calculating limits using the infinitesimal function technique

Abstract. Calculating limits, either as an independent task or as an intermediate step of another task solution "haunts" students of technical Universities during the first two years. Therefore, learning to calculate limits is an urgent task in training students of technical specialties. The article deals with the use of the infinitesimal function technique for calculating limits. This technique is a fairly universal and effective way to solve this problem. Brief theoretical information necessary to justify the considered method is provided. Various examples are considered to illustrate the use of infinitesimal functions. Key words: limit, infinitesimal function, asymptotic infinitesimal function, order of smallness.