Лиувиллева классификация интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях вращения

УДК 514.8

ЛИУВИЛЛЕВА КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ГАМИЛЬТОИОВЫХ СИСТЕМ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ

Е. О. Кантонистова1

В статье описан алгоритм вычисления инвариантов Фоменко—Цишанга для гамиль-тоновых систем, соответствующих двумерным поверхностям вращения, для случая потенциала V(r) = cos г. Для примера рассмотрена одна конкретная система. Также приведены классические примеры лиувиллево эквивалентных ей систем. Показано, что исследуемая система на поверхности вращения лиувиллево эквивалентна геодезическому потоку на той же поверхности вращения.

Ключевые слова: интегрируемая гамильтонова система, слоение Лиувилля, инвариант Фоменко—Цишанга, меченая молекула.

The algorithm of calculation of the Fomenko-Zieschang invariants for the Hamiltonian systems on 2-dimensional surfaces of revolution is described in this paper in the case of potential V(r) = cos r. One typical example of the investigated system was studied in this article. Classical examples of the systems which are equivalent in the sense of Liouville to the studied system were founded. It is shown that the studied system is equivalent to geodesic flow on corresponding surface.

Key words: integrable Hamiltonian system, Liouville fibration, Fomenko-Zieschang invariant, marked molecule.

Рассмотрим регулярную параметризованную кривую (f(r),g(r)), г € [0; L], без самопересечений, где г — натуральный параметр, т.е. fl2(r) + д,2(г) = 1. Функция f(r),r € [0;L], гладкая, а также f(r) > 0, г € (0;L), и /(0) = f(L) = 0. Будем вращать эту кривую вокруг оси Oz, в результате мы получим двумерную поверхность Р в R3, параметрически заданную следующим образом:

(f(r)cos<p,f(r)sm<p,g(r)),r € [0-,L],<p € [0;2тг].

Координаты (г, ip) регулярны вне полюсов, т.е. вне точек г = 0 и г = L.

Метрика на поверхности вращения Р (вне полюсов, т.е. на интервале (0; L)) в координатах (г, ip) задается следующей формулой:

ds2 = dr2 + f2(r)díp2.

Легко показать, что поверхность Р регулярна вне полюсов.

Пусть V(r) — гладкая функция на отрезке [0;L], назовем ее потенциалом.

Определение 1. Пусть функции f(r),r € [0;L], и V(r),r € [0;L], таковы, что существует функция д(г), г € [0;L], такая, что поверхность вращения Р и функция V(r) на ней являются гладкими в полюсах, г € [0;L]. Тогда будем говорить, что пара функций (f(r),V(r)),r € [0;L], задает натуральную механическую систему на римановом многообразии вращения (Р,д), далее будем называть эту систему системой на поверхности вращения.

Всюду далее в статье будем считать, что функции f(r),V(r),r € [0;L], удовлетворяют указанным условиям.

Нетрудно показать, что система на поверхности вращения является интегрируемой гамильто-новой системой. Ее фазовое пространство S четырехмерно и имеет координаты (г, с/р, j9r, р^).

Исследуемая система обладает двумя первыми интегралами: II — интеграл энергии и — линейный дополнительный интеграл, физический смысл которого — это проекция момента импульса на ось вращения.

Гамильтониан системы имеет вид

H = í + 2Fh + vir)-

Определение 2. Отображение Ф : S —> М2 :

называется отображением момента.

1 Кантонистова Елена Олеговна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: elena.kantonistovaQyandex.ru.

Определение 3. Если ранг с1Ф(х) < 2, то х особая точка отображения момента, а Ф(ж) особое значение отображения момента. Множество особых значений £ = {£ = Ф(ж), х особая точка} называется бифуркационной диаграммой.

Лемма 1. Система на поверхности вращения имеет две. особые, точки ранга 0, координаты образов которых это {Н^р^) = (У(0),0) и (У(Ь), 0). Особая точка не вырождена, если У'(0) ф 0. Она имеет тип фокус, фокус, если sgnУ/(0) = — 1, и центр центр, если sgnУ/(0) = +1 (аналогично для точки (У(Ь), 0)).

Доказательство основано на алгоритме определения типа особых точек ранга 0, описанном в книге [1].

Лемма 2. Параметрическое задание кривых бифуркационной диаграммы имеет вид

И

f

+ V(r), iv = ±1

lf3

Доказательство. Из определения 3 следует, что бифуркационная диаграмма задается линей-

—f'p2

ной зависимостью gradp^, и gradН, где gradp^, = {0,0,0,1}, grad Н = { + V',0,pr, уз}. Тогда требуемые формулы получаются прямым вычислением.

Далее будем изучать систему на поверхности вращения, заданную функцией /(?*) и потенциалом V(r) = cos г, г Е [0; 7г], где функция /(?*) имеет два локальных максимума на интервале (0; 7г) (рис. 1, а) и удовлетворяет следующим условиям: f('2k\0) = = 0, \f'{r)\ < 1 на интервале

(0; 7г) и /'(0) = 1, /'(7г) = —1. Этот случай является типичным для рассматриваемого класса систем. Более подробное исследование всех случаев будет проведено в следующих публикациях.

Рис. 1

Лемма 3. Бифуркационная диаграмма для систем,ы, заданной указанной парой функций (f(r),V(r)), состоит из одной кривой с вершиной в точке {Н,р<^) = ( — 1,0), симметричной относительно оси М = рч>, двух "клювов", т.е. кривых, имеющих изло,м точку возврата, и изолированного особого значения с координатам/и {Н^р^) = (1,0) точки типа фокус фокус (рис. 1, б). Бифуркационная диаграмма системы симметрична относительно оси М.

Доказательство проводится прямым вычислением с использованием формул (2).

Далее перейдем к описанию топологических инвариантов системы.

Определение 4. Рассмотрим интеграл pv на трехмерном изоэнсргстичсском многообразии (Н = const., // / ///, где Щ значения энергии Н в точках излома ''клювов"). Можно показать, что он является боттовской функцией (см. определение в [2J). Поверхности уровня функции pv задают слоение Лиувилля на имеющее особенности. Каждому особому слою {р^ = q} отвечает некоторый атом (определение см. в [1J). Построим граф, вершины которого отвечают особым слоям слоения и кодируются соответствующими атомами, а ребра отвечают регулярным слоям. Этот граф называется .молекулой (инвариантом Фоменко).

Молекула интегрируемой системы является ее топологическим инвариантом. Построим молекулы исследуемой системы.

Лемма 4. На биф>уркационной диаграмме исследуем,ой системы (см. рис. 1) точки на кривых 1,2,5,6 отвечают атомам, А в прообразе, отображения момента, а точки на кривых 3 и 4 атомам, В.

Доказательство. Прообразом каждого значения из образа отображения момента является тор, или объединение торов Лиувилля, или критическое многообразие. Точки, принадлежащие прообра-

зу, задаются координатами (г, ip,pr,pv). Формула (1) позволяет описать точки в прообразе отображе-

р2

ния момента. Введем функцию, называемую эффективным потенциалом: Ue^(pv,r) = +'Г. То-

гда имеем следующее условие: р2г = 2(Н — Ueg(p<p, г)) ^

0. Из этого условия следует, что прообраз существует, если правая часть этого выражения неотрицательна. Построим график функции Н — £/eff {ру>, т) при фиксированном Н для различных значений параметра р^. Получим, что при Н < //о для некоторого значения //о существует интервал М € ( Д/,,. Д/,,). такой, что в прообразе каждого значения (Hq, М) из этого интервала лежит ровно один тор Лиувилля, а прообраз всех остальных точек (Но,М) пустое множество. Таким образом, точки (Но, ±Мо) соответствуют атому А. Аналогичный анализ поведения функции Н—lJeg(p,p, г) при Н > Но завершает доказательство леммы.

Молекулы, получающиеся при различных значениях интеграла энергии Н, показаны на рис. 2.

Молекула несет много информации о структуре слоения Лиувилля на изоэнергетической поверхности Qfj, однако эта информация неполная. Например, если взять простейшую молекулу А — А, то ясно, что многообразие Qз склеено из двух нолното-рий, но молекула не дает информации о том, каким образом была произведена склейка. Чтобы получить эту информацию, А. Т. Фоменко и X. Цишанг ввели понятие .меченой .молекулы, указав дополнительные инварианты числовые метки на ребрах молекулы (см. в |1, 3|).

Определение 5 |1|. Две интегрируемые системы (v,Q3) и (v',Q3') лиувилае.во эквивалентны (т.е. имеют "одинаковые" слоения Лиувилля), если существует послойный диффеоморфизм Q3 —>

о/ .

Q , сохранящий ориентацию 3-многообразий Q и Q и ориентации всех критических окружностей.

Меченая молекула является полным инвариантом лиувиллевой эквивалентности.

Теорема (Фоменко, Цишанг |1|). Две интегрируемые, боттовские. систем,ы с двумя степенями свободы лиувилае.во эквивалентны тогда u, только тогда, когда их меченые молекулы совпадают.

Теорема. Пусть W молекула систем,ы на поверхности, вращения, отве.чаюищя неособой, изоэнергетической поверхности на которой, интеграл pv является функцией Ботта. Тогда:

a) на ребрах А — В молекулы метка г = 0, метка е = +1;

b) на ребрах В — В, где оба атома В находятся в одной, полуплоскости, (pv > 0 или, pv < 0), метка г = оо, метка е = +1;

c) на ребре. В — В, симметричном относительно оси, Н, метка г = оо, а метка е = — 1;

d) на ребре. А — А метка г определяется расположением уровня энергии h относительно энергий h\,h-2 особых точек ранга 0; если, h < min{/?,i, h?}, то г = оо: если, h\ < h < h-j, то г = 0: если, h > max{/?i, ha}, то г = 1/2;

с) при, h < min{/?i,/?2} м,етка п = 0: при, h\ < h < ho, ,м,етка п = 1: при, h > maxj/ii,/?^} м,етка п = 2.

Доказательство основано на выборе базисных циклов на торах вблизи атомов и явном выписывании матриц склейки полученных базисов. По матрицам склейки определяются метки г и е. Метка п вычисляется но определению (см. в |4, 5|). Подробное доказательство теоремы будет приведено в последующих работах.

Следствие. Приведенная в статье, модельная система на поверхности, вращения при, — 1 < Н < Н* (Н* значение энергии в точке, излома "клюва") имеет молекулу А — А, поэтому система лиувилае.во эквивалентна лтогим, классическим, интегрируемым, гамильтоновым системам с •такой, же молекулой. В зависимости, от значения энергии Н (Н > 1 или, Н < 1) она лиувиллево эквивалентна систем,е. Ковалевской, систем,е. Лагранжа, систем,е. Горячева Чаплыгина при, определенных значениях энергии (см. |2, 6|) и, другим, известным, системам. При, Н > Н* полученная система имеет меченую молекулу, "похожую" на систему Жуковского при, некоторых значениях Н, однако не. совпадает с ней, так как отличается в одном значении, метки, е. Исследуемая система, заданная парой, (f(r),V(r)), лиувилае.во эквивалентна геодезическому потоку на поверхности, вращения, заданной, функцией, f(r). Напомним, что лиувилае.во эквивалентные систем,ы обладают совпадающими, замыканиями, решений (интегральных траекторий).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсипов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1, 2. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.

2. Бол,сипов A.B., Рихтер П., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матом, сб. 2000. 191, № 2. 3 42.

Рис. 2

3. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли // Успехи матем. наук. 1984. 39, вып. 2. 3-56.

4. Браилов A.B., Фоменко А. Т. Топология интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 1987. 133, № 3. 375-385.

5. Кантонистова Е.О. Целочисленные решетки переменых действия для системы "сферический маятник" // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 4. 6-17.

6. Кантонистова Е.О. Целочисленные решетки переменных действие для обобщенного случая Лагранжа // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 54-58.

Поступила в редакцию 24.01.2014

УДК 519.178

О НЕЭФФЕКТИВНОСТИ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕСАДОК

Р. А. Савченко1

Рассматривается задача поиска кратчайшего пути в графе с помощью системы пересадок. Доказывается, что иерархическая система пересадок может оказаться в Q(y/n) раз больше минимальной (неиерархической) системы пересадок.

Ключевые слова: поиск кратчайшего пути в графе, система пересадок, иерархическая система пересадок.

We study the shortest path problem in a graph using hub labeling. It is proved that a hierarchical hub labeling can be Q(y/n) times larger than the minimal (non-hierarchical) hub labeling.

Key words: find shortest path in a graph, hub labeling, hierarchical hub labeling.

Пусть дан неориентированный граф G = (V,E). Расстоянием между двумя вершинами называется длина кратчайшего пути в графе между ними. Система, пересадок — это структура данных, позволяющая находить расстояние между двумя вершинами и устроенная следующим образом: для каждой вершины v € V хранятся подможество вершин L(v) С V, называемых пересадкам,и, и расстояния до них [1]. При этом должно быть выполнено условие, что для любых двух вершин найдется общая пересадка, лежащая на кратчайшем пути между ними. Таким образом, чтобы узнать расстояние между вершинами sat, следует выбрать вершину и € L(s) П L(t), минимизирующую dist(s,t>) +dist(t»,i) (здесь dist(х,у) обозначает расстояние между вершинами х и у). Общее число пересадок в системе, равное Ylv&v \L(v)\, называется размером системы пересадок. Алгоритм для построения системы пересадок с размером, близким к минимальному, описан в [2].

В последние годы приобрела популярность иерархическая система пересадок: вершины графа упорядочены некоторым образом, и для любой вершины все ее пересадки предшествуют ей в данном порядке [3]. На практике такую систему проще строить для больших графов [3, 4], и на реальных данных она незначительно превосходит неиерархическую по размеру. Возникает вопрос: насколько условие иерархичности существенно в общем случае? В [5] показано, что для гиперкуба из п = 2d вершин минимальная система пересадок имеет размер B(2,5d) (т.е. ее размер заключен между 2,5dc\ и 2,5dC2 для некоторых положительных с\ < сг), а минимальная иерархическая — B(3d), что дает разницу в Q(n0'26) раз (т.е. не менее чем в т0'26 при некотором положительном с; мы используем стандартные для теории алгоритмов обозначения: О для оценки сверху, Q для оценки снизу и В для оценки и сверху, и снизу [6]). В настоящей работе мы приводим более простой пример, когда эта разница составляет уже Q(y/n) раз, где п — число вершин в графе.

Построим граф Gk- Возьмем к вершин v\,...,vk- К каждым двум вершинам гц, Vj добавим вершину w^ijj и соединим ее с Vi и Vj ребрами длины 2. Добавим еще одну вершину и и соединим ее ребрами длины 3 со всеми w^jj. Это и будет граф Gk- В получившемся графе п = к(к + 1)/2 + 1 = 0(к2) вершин.

1 Савченко Руслан Алексеевич — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ruslan.savclienkoQgmail.com.