Применение метода анализа иерархий и теории нечетких множеств для оценки сложных социально-экономических явлений

УДК 51-77

Е.С. Каган

Применение метода анализа иерархий и теории нечетких множеств для оценки

*

сложных социально-экономических явлений

E.S. Kagan

The Use of the Analytic Hierarchy Process (AHP) and Fuzzy Sets Theory for Estimating Complex Socio-Economic Phenomena

Представлено описание разработанной методики получения количественной оценки интегрального показателя, характеризующего сложное социальноэкономическое явление, основанное на применении метода анализа иерархий и элементов теории нечетких множеств.

Ключевые слова.. интегральный показатель, метод анализа иерархий, нечеткие множества.

This article presents a technique to obtain a quantitative evaluation of the integral index which characterizes the complex socio-economic phenol-menon. The technique is based on the Analytic Hierarchy Process and the theory of fuzzy sets.

Key words: integral index, Analytic Hierarchy Process, fuzzy sets.

В связи с появлением всевозможных пакетов прикладных программ, позволяющих проводить статистический анализ экспериментальных данных, в гуманитарных исследованиях наблюдается тенденция применения методов многомерного анализа для изучения различных социально-экономических явлений и процессов.

Для получения первичной информации об изучаемом объекте специалисты гуманитарных областей знаний нередко пользуются данными анкетного опроса, специально разработанными тестами и методиками. При этом полученная информация часто носит качественный характер, в то время как большинство методов многомерного анализа данных работают в предположениях, что изучаемые признаки должны быть измерены в количественной шкале. Таким образом, получение количественной оценки изучаемого явления - это первая проблема таких исследований.

С другой стороны, большинство изучаемых социально-экономических явлений имеют сложную структуру, состоящую из ряда компонент. Далее приводится один из подходов получения интегральной оценки такого явления.

Интегральная оценка представляет собой либо сумму баллов, набранных испытуемым по различным методикам, с помощью которых оценивают компоненты явления, либо суммируются значения вариантов ответов респондента на вопросы анкеты, отражающие его отношение к оцениваемому явлению.

Такой подход содержит ряд недостатков. Во-первых, компоненты явления могут быть измерены в различных шкалах. Во-вторых, простое сложение значений показателей может быть недопустимо из-за их различной природы и единиц измерения. В-третьих, не все структурные составляющие изучаемого явления могут оказывать на него одинаковое воздействие, поэтому использование равных весовых коэффициентов при суммировании составляющих явления может привести к потере информации.

На наш взгляд, решить вышеперечисленные проблемы, возникающие при нахождении количественной оценки сложных явлений, можно путем использования предлагаемой ниже методики, работающей на основе применения метода анализа иерархий (МАИ) [1] и аппарата теории нечетких множеств [2].

На первом этапе исследования необходимо представить изучаемое явление в виде многоуровневой иерархической модели, путем проведения декомпозиции проблемы на сравнительно простые составляющие. Фокус иерархии - это само изучаемое явление. Работа алгоритма строится на предположении о том, что каждая составляющая явления характеризуется двумя величинами: важностью и степенью выраженности.

Для определения важности составляющих модели на каждом уровне иерархии формируются матрицы парных сравнений, представляющие собой обратно симметричные матрицы. Для нахождения вектора

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект №11-06-00103).

приоритетов по соответствующей матрице парных сравнений находят главный собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению матрицы. Тогда элементы вектора приоритетов будут равны частному от деления элементов собственного вектора на сумму его элементов.

После того как построены матрицы парных сравнений для составляющих всех уровней и найдены значения элементов вектора приоритетов сравниваемых критериев, начинается второй этап, называемый иерархическим синтезом. Иерархический синтез осуществляется в целях определения вектора приоритетов составляющих нижнего уровня (которые непосредственно поддаются измерению) относительно фокуса иерархии.

Для определения степени выраженности составляющих нижнего уровня иерархии необходимо каждую из рассматриваемых компонент представить в виде лингвистической переменной с соответствующим терм-множеством.

Переход от четкого значения переменной к нечеткому осуществляется с помощью процедуры фазификации, заключающейся в переводе измеренного четкого значения в значение функции принадлежности соответствующего терма лингвистической переменной.

В качестве функции принадлежности может быть выбрана трингулярная функция (функция треугольного вида), которая задается соотношением (1),

0, 0 < х < а

И( х, а, Ь, с) =

х - а

Ь - а с - х

с - Ь 0,

а < х < Ь

Ь < х < с

с < х.

где а - левый ноль; Ь - точка, в которой значение функции принадлежности равно 1; с - правый ноль.

При фазификации используется алгоритм, описанный в [3]. Отличие данного алгоритма от известных алгоритмов, используемых в теории нечетких выводов [2, с. 201-205], заключается в том, что четкое значение переводится не в одно нечеткое число, а в группу нечетких чисел, соответствующих функциям принадлежностей различных термов лингвистической переменной. Таким образом, составляющие нижнего уровня иерархической модели представляются в виде объединения функций принадлежности соответствующих термов

И И2 ик.

О/- ©Г/  Г/

Т1 Т 2 Тк ’ где Ху - значение /-й компоненты/-го уровня иерархии; к - номер терма.

Используя нечеткое отношение X X Т, строится нечеткая составная матрица М(Х), строки которой представляют собой значение функций принадлежности соответствующих термов для компонент нижнего уровня иерархии.

X,.

Рассмотрим работу алгоритма на конкретном примере. Пусть в результате изучения некоторого явления с помощью МАИ была построена двухуровневая иерархическая модель, в которой первый уровень иерархии состоит из трех компонент: Х1Ь Х12, Х13. В свою очередь составляющая Х12 состоит из трех компонент, а составляющие Хи и Х13 - из двух. Вычисленные по соответствующим матрицам парных сравнений приоритеты составляющих всех уровней иерархии представлены в таблице 1.

Таблица 1

Приоритеты составляющих двухуровневой иерархической модели

Компо- ненты 1-го уровня иерар- хии Приоритеты составляющих 1-го уровня иерархии Компо- ненты 11-го уровня иерар- хии Приоритеты составляющих 11-го уровня иерархии

Х„ 0,33 Х221 0,75

Х212 0,25

Х\2 0,5 Х221 0,45

Х222 0,45

Х223 0,1

Х13 0,17 Х231 0,25

Х232 0,75

Пусть каждая из составляющих нижнего уровня иерархии представляется в виде лингвистической переменной с соответствующим терм-множеством Т= (Т1 - низкий, Т2 - средний, Т3 - высокий). В качестве функции принадлежности будем использовать трингулярную функцию.

Тогда функции принадлежности термов описываются соответственно соотношениями (3)-(5).

[1 -2х, 0 < х < 1/2

Ит 1

Ит 2

0,

2 х,

1/2 < х < 1;

0<х<1/2

2 - 2х, 1/2 < х < 1;

Г0, 0 < х < 1/2

Ит2

[2х -1, 1/2 < х < 1.

В таблице 2 представлены результаты проведения процедуры фазификации и приоритеты составляющих иерархической модели.

С использованием данных, представленных в таблице 2, алгоритм получения интегральной оценки заключается в проведении следующих этапов.

Так как наша иерархическая модель имеет двухуровневую структуру, то на первом этапе алгоритма получают нечеткую оценку составляющих первого уровня иерархии (6) как результат произведения вектора значений весовых коэффициентов состав-

ляющих второго уровня иерархии компоненты X (M(i, 1), M(i, 2), M(i, 3)) =

(i-я компонента первого уровня иерархии) на мат- = (W2(i, 1), w2(i, 2),..., W2(i, (n(i))хМ(М),

рицу значений функций принадлежности данной ., i

где M(i, k) - значение функции принадлежности i-й

компоненты.

переменной первого уровня иерархии для k-го терма.

Таблица 2

Приоритеты составляющих иерархической модели и значения функций принадлежности термов

лингвистической переменной

Компоненты I-го уровня иерархии Весовой коэффициент W1(i) (I-й уровень иерархии) Компоненты II-го уровня иерархии Весовой коэффициент W2(i, l) (II-й уровень иерархии) Значения функции принадлежности соответствующих термов

Т! Т2 Т3

Xn 0,33 X211 0,75 0 і 0

X212 0,25 0 0,б 0,4

X12 0,5 X221 0,45 0,8 0,2 0

X222 0,45 0,2 0,8 0

X223 0,1 0,б 0,4 0

X13 0,17 X231 0,25 0 і 0

X232 0,75 0 0,2 0,8

Так, например, для переменной Хі2 вектор значений функции принадлежности соответствующих термов будет иметь вид (7):

(М (2,1), М (2,2), М (2,3)) =

= (0,51;0,49;0).

Таким образом, после применения первого этапа алгоритма нечеткая матрица М(Х) принимает вид (8):

(0 0,9 0,1 ^

f 0,8 0, 2 0N

(0,45; 0,45; 0,1) x 0,2 0,8 0

ч М 0, 4 0,

M (X) =

0,51 0,49 0 0 0,4 0,б

На втором этапе получаем нечеткую оценку фокуса иерархии, используя соотношение

(М(1), М(2), М(3)) = (0,33; 0,5; 0,17) х (0 0,9 0,1 'ї

0,51 0,49 0 v0 0,4 0,б,

= (0,255; 0,б1; 0,135).

Полученный с помощью соотношения (9) вектор (М(1),М(2),М(3)) = (0,255; 0,61; 0,135) представляет собой нечеткую оценку изучаемого явления. Для получения четкого значения необходимо провести процедуру дефазификации. Данную процедуру можно осуществлять различными методами. Наиболее часто применяется центроидный метод.

Используя центроидный метод, центры масс соответствующих термов находятся по формуле

VG(T) = -

| xu(x)dx

n___________

max

I U

В случае описания лингвистической переменной тремя термами с трингулярной функцией принадлежности центры масс равны:

13 5

УО(Т1) = -, УО(Т 2) = -, УО(Т 3) = -.

6 6 6

Обозначим через У - четкую оценку исследуемого явления, значение которой с помощью центроид-ного метода вычисляется по формуле

]ГуО

У =^~к------------.

Ё М

/=1

Для нашего примера получаем

1 • 0,255 + 3 • 0,61 + - • 0,135

У = 6--------6-------6------= 0,46.

0,255 + 0,61 + 0,135

В заключение отметим, что данная методика использовалась для получения интегральной оценки переговорной позиции работника в его взаимоотношениях с работодателем. Представление составляющих иерархической модели в виде лингвистических переменных при получении интегральной оценки позволяет использовать данные различной природы. Новый подход к оценке значений компонент иерархической модели с помощью группы нечетких чисел, являющихся функциями принадлежности различных термов, позволяет снизить степень субъективности и исследовательской неопределенности.

1б2

Библиографический список

1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа 3. Lee H.M. Applying fuzzy set theory to evaluate the rate

иерархий: пер. с англ. - М., 1993. of aggregative risk in software development // Fuzzy Sets and

2. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде Systems. - 1996. - V. 79.

MATLAB и fuzzyTECH. - СПб., 2003.