Математические модели процесса пассажирских перевозок в гражданской авиации

В статье рассмотрена проблема управления неопределённостью выбора параметров РСМ-алгоритма на основе ИНМТ2 при кластеризации множества объектов, содержащего кластеры существенно разной плотности или существенно разного объёма.

Предложен метод кластеризации, разработанный для РСМ-алгоритма на основе ИНМТ2, позволяющий ослабить свойство кластерной относительности и учесть свойство кластерной типичности объектов, что в ряде случаев приводит к улучшению результатов кластеризации.

Применение ГА позволяет найти оптимальную комбинацию значений фаззификатора и "ширины зоны" в РСМ-алгоритме на основе ИНМТ2, обеспечивающую лучшие результаты кластеризации, что подтверждается минимальным значением функции соответствия.

Использование предлагаемого подхода на практике для решения задачи классификации технического состояния зданий и сооружений обеспечило принятие обоснованных и адекватных решений, что доказывает возможность его дальнейшего использования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rhee F.C.-H. Uncertain fuzzy clustering: insights and recommendations // IEEE Computational intellegence magazine. 2007. Vol. 2. № 1. P. 44-56.

2. Демидова Л.А., Кираковский В.В. Кластеризация объектов на основе нечетких множеств второго типа и генетического алгоритма // Управление созданием и развитием систем, сетей и устройств телекоммуникаций / Под ред. докт. экон. наук, канд. техн. наук,

проф. А.В. Бабкина, докт. техн. наук, проф. В.А. Кежае-ва / Труды Междунар. конф. СПб, 2008. С. 212-222.

3. Демидова Л.А., Кираковский В.В. Методы кластеризации объектов на основе нечетких множеств второго типа и генетического алгоритма // Научно-технические ведомости СПбГПУ Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб., 2008. № 6 (69). С. 136-142.

4. URL: http://www.appraiser.ru

УДК 656.7.025: 519.8

А. Д. Припадчев

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПАССАЖИРСКИХ ПЕРЕВОЗОК В ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Решение задач оптимизации означает поиск и достижение оптимального соотношения параметров авиационной транспортной системы и ряда параметров системы, которые влияют на оптимальность и результат её функционирования. Оптимальность означает наличие в системе приемлемых свойств в соответствии с принятым критерием эффективности. В нашей постановке это структура и размерность парка воздушных судов во взаимодействии с процессом пассажирских перевозок.

Оптимизация парка воздушных судов проводится на основе математического моделирования. Для построения математической модели необходимо иметь чёткое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые опреде-

ляют область допустимых значений переменных. В общем случае основные этапы исследования представлены на рис. 1.

Идентификация проблемы

Построение модели

Проверка адекватности

Решение сформулированной задачи

Рис. 1. Этапы исследования процесса пассажирских перевозок

На первом этапе задача исследования заключается в идентификации проблемы. Выделим следующие основные стадии:

формулировка задачи или цели исследования;

выявление возможных альтернатив решения применительно к исследуемой проблемной ситуации;

определение ограничений, присущих исследуемой авиационной транспортной системе.

Второй этап исследования связан с построением модели. Учитывая особенности постановки задачи, вырабатываем наиболее подходящую модель для адекватного описания исследуемой авиационной транспортной системы. При построении такой модели должны быть установлены количественные соотношения для выражения целевой функции и ограничений.

На третьем этапе исследования осуществляется решение сформулированной задачи. При использовании математической модели решение получаем с помощью оптимизационных методов, т. е. приводим модель к оптимальному решению или проводим анализ модели на чувствительность.

Четвёртый этап исследования заключается в проверке адекватности модели. Модель можно считать адекватной, если некоторые неточности отображения авиационной транспортной системы-оригинала способствуют обеспечению достаточно надёжного предсказания поведения системы. Общий метод проверки адекватности модели состоит в сопоставлении получаемых результатов с характеристиками системы, которые при тех же исходных условиях имели место в прошлом. Если при аналогичных входных параметрах модель достаточно точно воспроизводит поведение системы, то она считается адекватной.

Определяя наиболее выгодные условия пассажирских перевозок для воздушных судов гражданской авиации, необходимо технологически описать процесс математическими моделями, которые позволяют перейти от решения отдельных задач к изучению процесса как единой сложной системы [1—3]. Технологическое описание процесса пассажирских перевозок представляет определённую закономерность [4, 5]. Аккумуляцию всех параметров, влияющих на процесс пассажирских перевозок, указать в математической модели невозможно. Необходимо обратить внимание на параметры, которые воздействуют наиболее существенно, при этом функция модели не должна быть только описательной, т. к. важна роль предсказательного характера процесса. Математическая модель состоит из нескольких этапов:

рациональное осмысление математической модели в зависимости от целей и задач;

отождествление модели с помощью экспериментов;

сопоставление математических и теоретических исследований модели;

адекватность модели;

поэтапный просчёт технологии процесса.

Из вышесказанного следует, что для построения математической модели приоритетным направлением будет поэтапное формирование параметров, которые воздействуют наиболее существенно на процесс пассажирских перевозок, в соответствии с чем выделяем:

1. Модель режимных характеристик воздушного сообщения. Основными режимными параметрами являются: скорость воздушного судна; высота полета воздушного судна; дальность полёта воздушного судна;

2. Модель конструктивно-геометрических параметров воздушного судна. В качестве параметров применяют относительные или удельные величины, такие как: удлинение, относительная толщина, удельное давление.

При определении вышеуказанных параметров могут быть применены составные, тактические, экономические, весовые критерии, а также срок разработки воздушного судна;

3. Модель инерционно-массовых параметров воздушного судна. Инерционно-массовые или весовые характеристики включают взлётную массу воздушного судна и все её компоненты.

4. Физико-механическая модель процесса пассажирских перевозок гражданской авиации. К физико-механическим параметрам относится: расход топлива, тяга двигателя, удельный вес двигателя, максимальный диаметр двигателя.

5. Технологические параметры процесса пассажирских перевозок. Наибольшее влияние оказывают следующие параметры: параметр оценки воздушной линии, параметр оценки пассажирского воздушного судна.

Используя данный структурообразующий подход, возможно сформировать следующую модель, в соответствии с рис. 2.

На основании выведенных взаимосвязей, т. е. целевой функции, формируется комплекс параметров эффекта, необходимых для параметрического синтеза. Следовательно, для формирования математической модели необходимо поэтапно сформировать множества режимных,

Рис. 2. Структура математической модели процесса пассажирских перевозок гражданской авиации РФ

конструктивно-геометрических, инерционно-массовых, физико-механических, технологических параметров. Математическая модель служит систематическим началом в том случае, если множество параметров образуется функциями зависимости от внутренних характеристик системы и устанавливает взаимосвязи множеств режимных параметров, конструктивно-геометрических, инерционно-массовых, физико-механических, технологических с множеством параметров эффекта выделенных для данного процесса через внутреннюю характеристику системы Э - экономическую эффективность. Самый оптимальный вариант - когда один из параметров взаимодействует с максимально возможным числом других параметров, влияющих на процесс.

Для воссоздания движения воздушного судна в воздушном пространстве необходимо уравнение, описывающее данный процесс, в связи с этим при определённых допущениях процесс пассажирских перевозок гражданской авиации РФ может быть описан дифференциальным уравнением Колмогорова-Фоккера-Планка: др_ дщ

Эр др

дУ'

где д - текущая плотность распределения вероятности изучаемого процесса, ед/м3; т0 - взлётная масса воздушного судна, кг; Суд - удельный расход топлива на крейсерском режиме полёта; У - параметр оценки пассажирского ВС; г - ось направления процесса; Ь - дальность полета, км.

Поэтапное рассмотрение движения воздушного судна в воздушном сообщении, система рассредоточения воздушных судов в полёте, а также разница конструктивных характеристик воздушных судов, т. е. влияние физико-механических параметров на общую плотность эшелонирования, опуская промежуточные преобразования, получаем решение дифференциального уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка для расчёта внутренней характеристики системы, т. е. экономической эффективности, по формуле:

Э1=^пн

1 -ф

\\

.1

2Суд{К + ашиы  т0)

"ЕР

.

У У

где тпн - масса полезной нагрузки воздушного судна, кг; Ф(х) - интеграл вероятности Гаусса;

К - аэродинамическое качество воздушного судна; а - капиталовложения, руб.; а - приве-

' кап. вл. ' ' пр. г

денные затраты, руб.

В основе построения математической модели лежит допущение: что все релевантные параметры и ограничения, а также целевая функция количественно измеримы.

В качестве параметров эффекта выделенных для процесса пассажирских перевозок в нашей постановке являются: приведённые затраты; расход топлива;

производительность воздушного судна; интенсивность движения на линии. Проверка математической модели является необходимым условием правомерности его использования в научных и технических исследованиях.

Из вышесказанного следует, что экономическая эффективность системы зависит от множества параметров, а решение уравнения - это сложная задача, поэтому целесообразнее было бы заменить его более простыми приближенными уравнениями, т. е. аппроксимировать уравнениями регрессии. Уравнения регрессии - это зависимость какого-либо значения случайной величины от некоторой детерминированной величины или нескольких величин. Основа регрессионного анализа лежит на аппроксимации статистических данных и финансовых отчётов авиакомпаний алгебраическими полиномами.

Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии необходимо составить матрицу значений [6-8], характеризующих процесс пассажирских перевозок, и воспользоваться методом наименьших квадратов. Адекватность модели проверяется по критерию Фишера, определяемому для экономической эффективности системы.

Получено уравнение регрессии для экономической эффективности системы, которую вычисляем в соответствии с уравнением:

31 = - 0,0053т - 0,8Г . - 2,53Г _ +

0 ' креис. ' Ркреис.

+ 18,317 + 7,26Я + 67,88К - 21,7973 + 0,3573 -

" э

- 19,73К3 + 27,1472 - 0,42Я + 25,61К2 -

- 70,527 • К - 7,527 • Н + 5,677 • Н • К +

Табличное значение критерия экономической эффективности 3 = 0,0017, при принятом уровне значимости р = 0,05, критерий Фишера Ф = 1,96, уравнение адекватно.

+ 0,19Г _ • Г . - 31,5.

' крейс. ^крейс.

Из полученного уравнения регрессии видно, что модель в полном объёме описывает процесс пассажирских перевозок, а также показаны влияние и связь экономической эффективности с режимными, конструктивно-геометрическими, инерционно-массовыми, физико-механическими и технологическими параметрами.

Векторной оптимизации подвергается весь комплекс параметров эффекта, построенных на основе внутренней характеристики системы. Возможно использование графического метода, заключающегося в геометрическом представлении допустимых решений, т. е. построении области (допустимых решений), в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели. Искомую область решений можно выявить в зависимости от авиапредприятий, типа воздушного судна и дальности полёта.

Второй способ оптимизации парка воздушных судов авиационной транспортной системы разработан на основе методологической и программной реализации процесса пассажирских перевозок.

При рассмотрении вопроса о выборе оптимального парка воздушных судов необходимо учитывать системный подход к планированию цели, учитывать как перспективу развития цели, так и комплексное решение с использованием большинства взаимосвязей внутри авиационной транспортной системы и вне системы.

Системный анализ характеризуется не специфическим научным аппаратом, а упорядоченным, логически обоснованным подходом к исследованию проблем. Он представляет совокупность методов, применяемых при исследовании возможных подходов к решению сложных задач, и применяется для определения наиболее реальных способов решения возникших проблем, обеспечивающих максимальное удовлетворение поставленных требований. Методология системного анализа определяется как совокупность его принципов, т. е. наиболее общих закономерностей проведения конкретных анализов различных систем и процессов, протекающих в них.

Для определения парка воздушных судов по авиапредприятиям в целом необходимо рассматривать авиационную транспортную систему, состоящую из воздушных судов, их эксплуатации и обслуживания.

В нашем случае задача заключается в том, чтобы определить наиболее эффективные воздушные

суда. При этом необходимо учесть, что на выбор оптимальных вариантов воздушных судов большое влияние оказывает величина значений параметрического ряда, значит, следует определить их оптимальное количество, обеспечивающее выполнение объёмов пассажирских перевозок в установленные сроки, а также определить для каждого типа воздушного судна наиболее рациональное распределение по маршрутам.

Решение вышеуказанной комплексной задачи должно дать ответ на следующие вопросы:

какие типы воздушных судов необходимо применять для заданного объёма пассажирских перевозок;

на каких маршрутах целесообразно использовать каждый тип воздушного судна;

какое количество воздушных судов необходимо иметь авиакомпании для выполнения пассажирских перевозок.

В рассматриваемой задаче предполагается, что все пассажирские перевозки выполняются в полном объёме, со стопроцентной загрузкой и с установленной регулярностью полётов. Предположим, что необходимо из определённого пункта А произвести воздушную перевозку по п маршрутам.

Предполагаем, что обслуживают эти маршруты следующие типы воздушных судов:

1,2,...т,

где т - тип воздушного судна.

Предположим, что известно количество авиапассажиров, которых необходимо перевести по каждому маршруту за определённый промежуток времени - за неделю, за месяц и т. д.

Обозначим количество перевозимых авиапассажиров как: Ь1 - по 1-му маршруту; Ъ2 - по 2-му маршруту; Ъп - по и-му маршруту.

Количество рейсов, совершаемых на 1-м маршруте воздушными судами первого типа, обозначим Х11.

Количество рейсов, совершаемых на 2-м маршруте воздушными судами первого типа, обозначим Х

Соответственно, количество рейсов, совершаемых на г-м маршруте воздушными судами j-го типа, обозначимХ , где г = 1,2,.и, j = 1,2,.т.

Количество пассажиров, перевозимых за один рейс на г-м маршруте воздушными судами j-го типа, обозначим а., где г = 1,2,.и, j = 1,2,.т.

Расходы на один рейс на г-м маршруте воздушного судна j-го типа обозначим с , где г = 1,2,.и, j = 1,2,.т.

Предположим, что каждый маршрут обслуживают воздушные суда всех марок 1,2,. т. Тогда для первого маршрута количество перевозимых пассажиров вычисляем по формуле:

Ъ1 = а.. • X.. + а.. • X.. +...+ а. • X, .

1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,т 1,т

Для второго маршрута количество перевозимых пассажиров вычисляем по формуле:

Ъ2 = а2,1 ^ Х2,1 + а2,2 ^ Х2,2 "

а2 • X .

2,т 2,т

Окончательно для всех маршрутов составляем систему ограничений-равенств:

Ь1 = «1,1 ' Х1,1 + «1,2 ' Х1,2 + - + «1 ,т ' Х1,т = «2,1 ' Х2,1 + «2,2 ' Х2,2 + — + «2,т ' Х 2,т

,

Ь„= ап, • Хп, + а , • Хя,+... + апт  Хп„

п п, 1 п,1 п,1 п,т п,п.

где а.. - известные величины, г = 1,и, 1 = 1,т ; Ъ - известные величины, г = 1,и; Х - неизвест-

' - ' - ' ' Ч

ные величины, г = 1,и, 1 = 1,т .

Общую сумму расходов на все рейсы всех маршрутов вычисляем по формуле:

1=1 7=1

Если необходимо минимизировать общую сумму расходов по формуле (8) при выполнении системы ограничений-равенств (7), то получаем задачу линейного программирования [9,10].

Задача линейного программирования решается симплекс-методом, т. е. этим методом находят Х , где г = 1,и; 1 = 1,т .

После определения Х при г = 1,и, 1 = 1,т , зная расстояние и скорость, возможно определить оптимальный парк воздушных судов для узла перевозок А.

Возможно к системе ограничений-равенств добавить систему ограничений-равенств (неравенств) по количеству рейсов воздушного судна каждого типа, в результате получаем общее количество рейсов на всех маршрутах воздушных судов типа 1, известное значение, вычисляемое по формуле:

к1=£хй-

¿=1

Общее количество рейсов на всех маршрутах воздушных судов типа 2, известное значение, вычисляемое по формуле:

К2=±хп.

1=1

Окончательно систему ограничений равенств по общему количеству рейсов на всех маршрутах для каждого типа воздушного судна вычисляем по формуле:

=

¿=1

где ] = 1,т .

Добавляя к системе ограничений (5) систему ограничений (11), можно минимизировать общую сумму расходов (8). В результате опять получаем задачу линейного программирования, которую решаем симплекс-методом. Для решения необходимо задать Ь, а., е., К, г = 1,п, / = 1,т .

1 V У

Выбор оптимального парка воздушных судов с учётом тактико-технических характеристик, воздушного сообщения, количества пассажиров в воздушном судне, количества рейсов в месяц и затраченных расходов на г-м маршруте в месяц производим комплексно с помощью симплекс-метода. Информация, которую можно получить с помощью симплекс-метода, не ограничивается оптимальными значениями переменных. Симплекс-метод позволяет дать экономическую интерпретацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность. Анализ модели на чувствительность - это процесс, реализуемый после получения оптимального решения. В рамках такого анализа выявляется чувствительность оптимального решения к определённым изменениям исходной модели.

Процесс решения задачи линейного программирования симплекс-методом носит итерационный характер, т. е. однотипные вычислительные процедуры в определённой последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода, естественно, требуют применения персональных ЭВМ. В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой точки, осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка (тип воздушного

судна на маршруте), соответствующая оптимальному решению.

Исходной точкой при определении оптимального парка воздушных судов является начальное решение. От исходной точки осуществляется переход к следующей смежной точке. Выбор точки зависит от коэффициентов целевой функции: где коэффициент больше, функция подлежит максимизации, что приводит к экстремальной точке. После чего указанный процесс повторяется для выяснения, существует ли другая экстремальная точка, соответствующая лучшему допустимому решению. В результате такой итеративный процесс позволяет найти оптимальное воздушное судно для соответствующего маршрута.

Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-метода определяется следующими правилами:

каждая последующая точка должна быть смежной с предыдущей;

обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться.

Симплекс-алгоритм состоит из следующих этапов:

1) используя линейную модель стандартной формы, определяем начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю небазисных переменных;

2) из числа текущих небазисных (равных нулю) переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если такой переменной нет, вычисления прекращаются, т. к. текущее базисное решение оптимально. В противном случае осуществляется переход к следующему этапу;

3) из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна принять нулевое значение (стать небазисной) при введении в состав базисных новой переменной;

4) находится новое базисное решение, соответствующее новым составам небазисных и базисных переменных. Осуществляется переход к этапу 2.

Из теоретических положений, лежащих в основе построения симплекс-метода, следует, что угловая точка полностью определяется базисным решением задачи линейного программирования. Условия оптимальности и допустимости симплекс-алгоритма обеспечивают переход от начальной допустимой точки (начального базисного

решения) к смежной точке, соответствующей улучшенному значению целевой функции. Максимальное количество итераций, необходимых для получения оптимума (т. е. количество базисных решений), не превосходит п!/[(п - т)!т!], где п - число переменных, а т - число уравнений модели линейного программирования, представленной в стандартной форме.

Предложенные методики определения оптимального парка с различными типами воздушных судов (с учётом условий их применения), маршрутов воздушного сообщения, позволяют рекомендовать авиапредприятиям применять воздушные суда с наибольшей эффективностью.

Работа выполнена в рамках Государственного контракта № П295 от 24.07.2009 ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бузулук В.И. Оптимизация траекторий движения аэрокосмических летательных аппаратов. М.: ООО "Марийское рекламно-издательское полиграфическое предприятие", 2008. 476 с.

2. Трусов П.В. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие. М.: Логос, 2004. 136 с.

3. Припадчев А.Д. Математические модели, применяемые для пассажирских перевозок. Системы проектирования, моделирования, подготовки производства и управление проектами CAD/CAM/CAE/PDM // Сб. ст. III Междунар. науч.-практ. конф. Пенза: Приволжский Дом знаний, 2009. С. 59-61.

4. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

5. Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы. СПб.: ДиаСофтЮП, 2003. 672 с.

6. Арнольд В. И. Жесткие и мягкие математические модели. М.: МЦНМО, 2004. 144 с.

7. Альфред Ахо В., Хопкрофт Д., Джеффери Ульман Д. Структуры данных и алгоритмы. М.: Изд. дом "Вильямс", 2000. С. 384-390.

8. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. 168 с.

9. Волков Е.А. Численные методы. М.: Физматлит,

2003. 298 с.

10. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ,

2004. 407 с.

УДК 519.63:004

Н.М. Евстигнеев

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВО-ЭЙЛЕРОВОГО МЕТОДА

1. Исходные уравнения

Будем рассматривать систему уравнений Навье-Стокса, записанную в интегральном виде, и начально-краевую задачу для них как:

Пусть задана стационарная произвольная ограниченная область Ое Ш3 с границами ГОе Ш2. Найти вектор-функцию скорости ^О* [0,Г] ^ Ш3 и скалярную функцию давления Р:0х[0,7] ^ Ш такие, чтобы для любой замкнутой области внутри О они удовлетворяли интегральным соотношениям:

[дШ +  Ш - <¡1 -Ш-Р,- =0,(1) о эа за

где д = [0;м;у;^]г - вектор переменных количества движения, V = в декартовой системе координат;  п =[(©);(и© + пхР); (у© + п Р);

+ пг Р)]г - невязкие потоки для произвольной подобласти внутри О; п = (пх, пу, п } - вектор нормали к границам замкнутой подобласти;

?!  п = [0;(п т + пх + пт + т + т ); (п т + пт +

4 х д^ у ху г хг хи гх7 V х ух у уу

+ пт + т + т ); (пт + пт + пт + т + т )]г-

г уг ух у2/~\х гх у гу г гг гх гу' J