Моделирование упругости конструкции крыла

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVI 1985

№ 6

УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.422 : 629.7.025.1

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА

Ю. Ф. Яремчук

Рассматривается задача определения параметров упругоподобной модели конструкции крыла на основе заданной матрицы коэффициентов влияния упругости. Параметры жесткости модели определяются из условия минимума квадратичного функционала, характеризующего отличие искомых параметров от заданных. Получены необходимые условия оптимальности. Решен пример указанной задачи идентификации параметров модели, представленной экспериментально полученной матрицей коэффициентов влияния упругости.

Аппроксимируя упругие деформации конструкции крыла летательного аппарата смещениями конечного ряда выбранных точек — узлов, можно представить математическую модель упругости констркции крыла в виде следующего соотношения:

\Р = РР,

где № и Р — векторы соответственно упругих смещений и внешних сил, действующих на конструкцию, в выбранных точках; Р— матрица коэффициентов влияния упругости конструкции.

В общем случае для трехмерной конструкции крыла векторы № и Р содержат компоненты по трем осям системы координат, связанной с конструкцией. Однако в некоторых случаях интерес представляет лишь часть матрицы Р, дающая сведения о конструкции как о некоторой упругой поверхности, воспринимающей изгиб и нагрузки, действующие по нормали к базовой плоскости конструкции. Такая идеализация используется в расчетах аэроупругости летательных аппаратов и при моделировании аэроупругих явлений.

Пусть в базовой «горизонтальной» плоскости Охг конструкции (или части конструкции) крыла заданы координаты XI, г=1...........,п точек, для которых определена

матрица коэффициентов влияния упругости Р относительно «вертикальных» сил Р} и прогибов Wi, /=1......п.

Требуется найти параметры жесткости упругоподобной модели конструкции крыла, т. е. модели, имеющей матрицу коэффициентов влияния, совпадающую с матрицей Р с точностью до коэффициента подобия &*, зависящего от масштаба скоростного напора 6д и линейного масштаба &ь:

= 1 •

Силовая конструкция модели представляется пластиной, разбитой на трапециевидные зоны (рис. 1). В пределах каждой зоны параметр жесткости предполагается постоянным. Относительно разбиения на зоны нет ограничений, кроме количественного, определяемого возможностями программы расчета (количество зон т<25).

Если определяемая модель предназначена для расчетов, то коэффициент подобия можно положить равным единице. Проекции модели и конструкции на базовую

Рис. 1

плоскость должны совпадать одна с другой. При этом расчет параметров жесткости может производиться без ограничений на значения параметров.

Другого типа задача возникает при подборе параметров жесткости упругоподобной модели конструкции крыла для статических аэроупругих испытаний в аэродинамической труб?. Здесь задаются масштабы подобия и кь- Необходимо предусмотреть возможность воспроизведения геометрического подобия профилей сечений конструкции и ее модели, а также технологические возможности изготовления модели из выбранного материала. Эти требования удовлетворяются введением ограничений на параметры жесткости модели. Конструкция модели должна быть по возможности простой.

Методика подбора параметров жесткости упрощенной конструкции модели, основанная на использовании матрицы жесткости крыла, изложена в работе [1]. Основным недостатком этой методики является то, что для расчета матриц жесткости (относительно обобщенных координат) конструкции и модели должен быть использован один и тот же метод расчета (с одним и тем же набором обобщенных функций). Это ограничивает возможности ее применения.

Использование матрицы коэффициентов влияния является в определенном смысле более предпочтительным. Эта матрица, представляющая смещения точек конструкции от действия единичных сил (см. [1]), является инвариантной относительно способа ее получения (расчетного или экспериментального).

Для расчета прогибов модели от действия заданных сил используется метод Рит-да в виде, представленном в работе [2]. Изогнутая поверхность нагруженной модели представляется в виде разложения

1&

где f — вектор координатных функций /; (х, г), £= 1,..., Лг; ¿/ — вектор обобщенных

координат; «т» — операция транспонирования.

В работе [2] в качестве координатных функций используются степенные функции. Определяется матрица перехода X с компонентами

XI] = /г {X), г¡), I = 1....ЛЛ У = 1........п,

Матрица перехода дает связь между вектором действительных прогибов модели в заданных точках и вектором обобщенных координат

\У = ХТ 11.

Вектор обобщенных координат определяется следующей системой уравнений равновесия:

ои = ХР,

где О — матрица жесткости силовой конструкции модели.

Матрица О является линейной функцией параметров жесткости

щ, к = 1, . . . , т.

Для решения задачи подбора параметров жесткости ик вводится следующий функционал:

п

п = ^^5 < ^ ^ (6>

Л=1

где — вектор прогибов модели в выбранных точках от единичной силы, приложенной в точке (хк, г*); Рк— й-й столбец матрицы коэффициентов влияния исходной кон-

струкции (предполагается, что матрица Р уже умножена на коэффициент подобия £р); 5 — симметричная неотрицательная весовая матрица.

Требуется, чтобы матрицы коэффициентов влияния конструкции крыла и модели наименее уклонялись одна от другой в смысле минимума среднеквадратичной невязки (6).

Для вектора УРь, в соответстви с матричным выражением (4), можно написать следующее соотношение:

1Ук = Хтик, к = 1.....п,

а для вектора ик получается следующая система уравнений [см. (5)]:

Оик=ХЕк, *= I,... , л.

где Е/г — к-й столбец единичной матрицы Е, который представляет собой единичную силу, действующую в точке (лгь, гц).

Изменяя параметры жесткости и к — параметры управления задачи, можно изменять значение функционала П.

Прежде чем формулировать необходимые условия минимума П, получим уравнение, связывающее вариацию П и вариации управлений ик, используя процедуру, представленную в работе [3]. Для этого потребуются сопряженные к системам (7) и (8) системы уравнений. Для уравнения (7) сопряженная система представляется в виде

9*-25

где фь — вектор сопряженных к вектору 11ук переменных.

Для уравнения (8) сопряженной системой является следующая система уравнений:

Сф* = А=1,...,л.

где фк — вектор сопряженных К вектору и к переменных.

Варьируя уравнения (7) и (8) по всем входящим в них переменным, получим

ЫГл-1Гъик-0;

т

г7*8иг+0Ш*=0,4=1..........."•

Умножая первое соотношение (И) на вектор <р£, а второе — на ф* и складывая, получим следующее вариационное уравнение:

пт п я

Е Е +* -$Г и"щ + Е <+* 0 + ** *т) т - 2 ьхгк = 0.

к=\ *=1 1 к—1 к=1

Учитывая сопряженные системы уравнений (9) и (10), а также выражение (6) для функционала П, из соотношения (12) получаем требуемое вариационное уравнение, связывающее М1 и Ьщ, г = 1, . . . , т:

т / я \

а-Щ«5'*Г

1=1 \*=1 1 /

Уравнение (13) дает возможность определять компоненты вектора градиента функционала П по управляющим параметрам «а, которые выражают чувствительность П к вариациям биь:

т,

диі дт

где г|з/і и ик определяются следующими матричными уравнениями: 011 = X, Сф = -2ДГ5(Л-Тг/-Л,

в которых матрицы и и ф составлены из столбцов ¿7* и и = (£/и . . . , 11п), ф = (Ф1, - • •, Фп)- Уравнения (15) являются следствием уравнений (7)—(10).

Теперь можно сформулировать следующую задачу оптимизации: найти значения параметров жесткости а, удовлетворяющих двусторонним ограничениям

и доставляющих

Щ I < Ч < «2 і шіп П .

Для решения этой задачи составим функционал Лагранжа

I = — П + £ ^ к (ик _ иг й) + 2^ н-1 к («а А - “*).

А =1

где щ к, ц2 к — множители Лагранжа.

Приравнивая нулю частные производные Ь по входящим в (18) переменным и учитывая выражения (14), получим необходимые условия экстремума в задаче (16), (17):

А = 1

N І («і — Щ і) = 0,

^2 г (к2і — Щ) = 0, / = 1, . . .

, т.

Задача минимизации П решается на ЭВМ методом сопряженных градиентов.

Чтобы показать возможности методики и программы расчета на ЭВМ, решена следующая задача идентификации. В качестве исходной матрицы коэффициентов влияния упругости использована экспериментальная матрица готовой модели крыла малого удлинения. Форма этой модели в плане представлена на рис. 1, где черными кружками изображены и узловые точки, относительно которых проведены измерения. Конструкция модели и особенности ее закрепления намеренно считались неизвестными. Для восстановления жесткости исходной конструкции выбрана пластина-сердечник, разбитая на зоны. Эта пластина изображена на рис. 1.

В левом нижнем углу (на рис. 1) каждой зоны указан ее номер. Параметром, характеризующим жесткость в зоне, является высота к пластины. Предполагалось, что пластина жестко закреплена по корневому сечению. Было принято, что 5 == Е. В результате решения получено распределение толщин сердечника, представленное в таблице.

№ ; к, мм № к, мм' № к, мм

1 8,09 6 7,00 •11 4,01

2 8,10 7 3,97 12 4,01

3 6,89 8 4,00 13 3,98

4 7,64 9 4,01 14 3,98

5 7,47 10 4,06

Для оценки степени воспроизведения жесткости исходной конструкции сравниваются прогибы двух конструкций-.в.выбранных точках при действии одной и той же нагрузки. На рис. 2 представлены графики прогибов исходной конструкции (сплошная

линия) и пластины сердечника (штриховая линия) от единичной силы (9,8 Н), приложенной в узловой точке 1. Точки на графиках рис. 2 соответствуют выбранным узлам на рис. 1.

Автор благодарит Л. А. Калмыкова и В. В. Егорова за предоставленные экспериментальные данные.

ЛИТЕРАТУРА

1. Транович В. А., Я р е м ч у к Ю. Ф. Решение задачи о численном построении модели, подобной по жесткости исходной конструкции, как задачи квадратичного программирования. — Ученые записки ЦАГИ, т. VII,

№ 1, 1976.

2. Буньков В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. — Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

3. S е у г а п i а п А. P. Sensitivity analysis and optimization of aero-elastic stability. — DCAMM, Report N 219, August, 1981.

Рукопись поступила 4/VII 1983 г.