R-функции как аппарат в приложениях фрактальной геометрии

№ 6(30) 2010

К. В. Максименко-Шейко, А. В. Толок, Т. И. Шейко

В-функции как аппарат в приложениях фрактальной геометрии

В настоящее время фракталы широко применяются в радиотехнике, компьютерной графике, физике, нефтехимии, биологии и других областях. В данной статье на основе конструктивных средств теории И-функций, суперпозиции функций, рекурсивных процедур и свойств подобия фигур разработана оригинальная методика и построены уравнения ряда объектов фрактальной геометрии.

Введение

Слово «фрактал» образовано от латинского «^асШэ», что в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбро-том в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур [1]. Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX в., когда Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая «пыль Кантора»), Пеано нарисовал особый вид линии. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов [2-3]. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0), а кривая Пеано — на основании одномерной линии, но в результате получалась плоскость. Геометрические фракталы обычно формируются, начиная с инициатора — фигуры, к которой применяется основной рисунок. Детерминированные фракталы образуются в рекурсивном процессе, он применяет основной рисунок к инициатору, после чего — к результату ит. д.В детерминированных фракталах самоподобие проявляется на всех уровнях. Как правило, такие фракталы итерируют 4-6 раз, чтобы получить четкое изображение.

В настоящее время фракталы широко применяются в радиотехнике при проекти-

ровании антенных устройств (кривая Коха и ковер Серпинского) и волноводов (снежинка Коха), в компьютерной графике и при сжатии изображений. В физике фракталы возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции и т.п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). Большой интерес вызывают задачи математического моделирования физико-механических полей в объектах фрактальной природы.

Однако В. Л. Рвачев [4], определяя к описанию Р-функциями типы геометрических объектов, исключил из рассмотрения такие «геометрические монстры, как Канторово множество, ковер Серпинского» и др. В данной статье на основе новых конструктивных средств теории Р-функций [5] построены уравнения ряда объектов фрактальной геометрии.

Построение уравнений объектов фрактальной геометрии

Рассмотрим самый простой детерминированный фрактал, который образуется при прибавлении квадратов к вершинам других квадратов и называется коробкой, где и инициатор, и генератор — квадраты. Его фрак-

№ 6(30) 2010

1п 8

тальная размерность — р- = 1,8927. Построим уравнение основного рисунка:

? ? ? ?

, ч а - х а - у

юп (х,у) =-лп-— > 0;

0\ 2а 0 2а .

ю01 (х, у) = ю0 (х - 2а, у - 2а) > 0;

ю02 (х, у) = ю0 (х + 2а, у - 2а) > 0;

ю03 (х, у) = ю0 (х + 2а, у - 2а) > 0;

04 (х> У) = юо (х + 2а, у + 2а) > 0;

ю1 (х, у) = ю0 у0 ю01 у0 ю02 у0 ю03 у0 ю04 > 0.

Теперь построим итерационный процесс, в результате которого получим:

л-1,1 (*. У) = л-1 (* " 6а У " 6а) 0;

% - 1,2 (* У) = Ю

% - >< N Ю,

Ю к - N ю,

юк (х, у) = юк_1 v0 юк_11 v0 ю А

V0 Ю^-1,3 V0 Ю^-1,4 ^ 0.

точную копию целого. В данном случае имеет место полное самоподобие. В этом фрактале инициатор и генератор, как и в предыдущем случае, одинаковы. При каждой итерации добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора и т. д. Если при создании такого фрактала произвести бесконечное число итераций, он займет всю плоскость. Поэтому его фрактальная размерность — = 2. Запишем уравнение правильного треугольника:

ю,

, (х,у )=->/х2+у2 COS

2 . { . 39 -arcsinl sin—

3 I 2

+R > 0

На рисунке1 построены изображения линий уровня функции ак (х,у) > 0.

Одним из свойств фракталов является самоподобие. Возьмем, например, салфетку Серпинского. Для ее построения из центра равностороннего треугольника вырезают треугольник. Эту процедуру повторяют для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального), и так до бесконечности. Если теперь любой из этих треугольников увеличить, то можно получить

или ю0 (х,у) = —х1 + R > 0,где х1 = г cosц; у1 = г sin ц;

/„ч 2 . ( . зеЛ ц(8) = -arcsinI sin — I;

г = Jх2 + у2; 8 = arctg —;

х

R — радиус вписанной окружности.

Тогда ю1 (х, у) = Юд (-2(х1 - R), 2у1) /2 > 0 и соответственно

ю, (х, у) = ю,(2(х1 - R), 2у1)/2 > 0;

(К = 2,3,...).

На рисунке 2 построены линии уровня функции (х,у)> 0.

Построим уравнение ковра Серпинского. Для этого исходный прямоугольник разбивается на 9 равновеликих прямоугольников, из которых исключается центральный. Оставшиеся прямоугольники подвергаются

к = 1

к = 2

22

Рис. 1. Линии уровня функции ак(х, у) > 0, задающей фрактал «коробка« для различных значений к

№ 6(30) 2010

той же процедуре и т.д. Фрактальная размерность построенной области — = 1,89.

Если

I =

а2 - х2 2а

* о,4 = ^ * о,

2 2 Ь

, . юп (3 х,3 у) „ (*. у )= о ^

ю* (х, у ) =  где

а.

1 К >3^г )

> 0...(к = 2, 3,...),

= — агсэт я

Лу

цЛ1/ = — агсэт у я

/ \

. ях эт —

V

/ \

. яу

эт —

V у

и 2а . 2Ь

= Т' ^ = Т

Тогда:

КЛХ> У) = о (*. УК (*. УК

ю2(х,у)л0...л0 ю,(х,у)>0.

то ю0 = /; Ад 4 > 0 — предфрактал нулевого уровня. Построим вспомогательные функции, пользуясь свойством самоподобия:

На рисунке 3 представлены изображения линийуровняфункции Ка (х,у)> 0.

Трехмерным аналогом ковра Серпинского является губка Менгера с фрактальной

размерностью

1п20 1пЗ

= 2,73, поскольку она

состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3. Уравнение куба со стороной 2а имеет вид:

? ? а - х

2 а

а2 - у2 2а '

а2 - г2 1 2а

> 0.

Уравнение трех центральных сквозных отверстий строится следующим образом:

к = 0

к= 1

к =2

к = 3

к = 4

к =5

Рис. 2. Линии уровня функции ак(х, у) > 0, задающей салфетку Серпинского для различных значений к

23

№ 6(30) 2010

к = 3 к = 4 к = 4

Рис. 3. Линии уровня функции Кщ (х, у) > 0, задающей ковер Серпинского для различных значений к

Г „г

ю Ь, = —

а - 9 х2 а - 9 у

А,

2 П.,2 Л ^2 _ д72 а2 _ д^Л ^„2 п.2 „2 П,,2 Л

2 а

2 а

2 а

2а

а - 9 г2 а - 9 у2

Лл

2а

2 а

> О,

а уравнения транслированных самоподобных отверстий —

Ьк = ^г

2 о2Л,, 2 я2 п2к м 2 " 3 ^хк 3 ~ 6 ^ Л

Л (Я2 'Х1к II 2 Я2 'Х1к II 2 ^

2 а

2а

Vn

2а

"Ап

2а

Vn

я2 Ч2* м 2 Я2 - 32Л М 2 ^

2 а

2а

> 0, (/с = 2,3,...), где

Л,

ях

Л,

яу

Л,

яг

2а

= —агсз1пв1п—; ц= агсв^и—; = агсз1пв1п—; 11к =

Л,

Л,

Л,

Тогда:

На рисунке 4 приведена визуализация уравнений поверхностей губки Менгера для различных значений к, выполненная в условиях эксплуатации системы РАНОК [6].

Типичным детерминированным фракталом является кривая Коха. Процесс ее построения выглядит так: берется единичный отрезок, разделяется на три равные части, средний интервал заменяется равносторонним треугольником без этого сегмента.

В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырех получившихся звеньев. Предельная кривая является кривой Коха. Она была описана в 1904 г. шведским математиком Хельге фон Кохом, который, изучая работы Карла Вейерштрасса и Кантора, натолкнулся на описание некоторых странных кривых с необычным поведением. Кривая

Юк = Ю0 Ад ЮЬ1 Ад ЮЬ2 Ад ... Ад ЮЬ^ > 0.

№ 6(30) 2010

0

-г-. 0

к = 2

к= 3

Рис. 4. Визуализация уравнений поверхностей губки Менгера для различных значений к

Коха примечательна тем, что нигде не имеет касательной, т.е. нигде недифференцируе-ма, хотя всюду непрерывна.

Кривая Коха неспрямляема, не имеет самопересечений. У нее фрактальная размер-

ность, равная — « 1,26, поскольку она со-1пЗ

стоит из четырех равных частей, каждая из них подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3. Выполним построение на интервале -За < х < За. Тогда:

ю0 =-у > 0; ю1 = ю0 у0 (Г, Ад 4)> 0;

/; =—(хт/з - у+^л/3 )>0; 4 = -(- Хл/З - у+а>/з)>0;

ю9

= (3(х + 2а), 3у)> 0;

г / 3

V V

х + а/ 2

у--

а>/з

Я

2

у у

-(х + а/ 2)^ +

у--

^л/3

V4

> 0;

у Г)

ю2 = (ю21 (х, у)у0 ю22 (х, у))а0 А0 (ю21 (-х, у)у0 ю22 (-х, у))> 0; = ю,(3(х + 2а), 3у)> 0;

ю« = ю,

3

V V

х + а/ 2

У-

^л/3

Я

2

у /

-(х + а/ 2)^ +

V4

У /7

> 0;

л = ((*. УК ^2 (*. УЖ

а0^ (-*. У)уо (-*.У))^0. (к = 3, 4,...).

На рисунке 5 показаны линии уровня функции тк (х,у)> 0.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха, или триадой Коха, которая является математической моделью кривой побережья, с ней работал Ричардсон. Размерность Хаусдорфа-Безико-

вича снежинки Коха составляет — « 1,26,

1пЗ

т.е. больше топологической размерности линии (равной единице), но меньше евклидовой размерности плоскости, на которой она расположена. Отсюда следует, что снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь. Итальянский математик Э. Чезаро, поразившийся внутренней бесконечности и самоподобию снежинки Коха, в 1905 г. писал: «Если бы она была одарена жизнью, то можно было бы лишить ее жизни, только уничтожив кривую в целом. В противном случае она бы возрождалась снова и снова из глубины своих треугольников, как это делает жизнь во Вселенной». Зная уравнение кривой Коха тк (х,у)> 0, можно построить уравнение снежинки Коха (рис. 6), выполнив следующие преобразования:

25

№ 6(30) 2010

к = О

к = 3

к= 1

к =2

к = 4

к= 4

Рис. 5. Линии уровня функции ак{х, у) > О, задающей кривую Коха для различных значений к

к= 1

к = 2

к = 3

к= 4

Рис. 6. Линии уровня функции аЭк{х, у) > О, задающей снежинку Коха на сторонах правильного треугольника для различных значений к

aSk = ак (г sin ц, г cos ц-R)> 0, (6) где ц(л0) = —arcsin^sin; г = >/х2 + у2;

8 = arctg—; fí — радиус окружности, впи-

х

санной в правильный n-угольник со стороной, равной отрезку, на котором строится кривая Коха.

Пользуясь данной методикой, можно строить фрактальные снежинки на сторонах различных правильных многоугольников.

Возможно построить крест Коха на сторонах квадрата, при этом проводя построение внутрь квадрата. Для этого выполним построение кривой Коха, заменяя средний интервал равносторонним треугольником,

ориентированным вниз, без данного сегмента. Повторяем операцию для каждого из четырех получившихся звеньев и т.д. Метод Р-функций позволяет легко получить такую кривую при использовании отрицания функции, построенной ранее (рис. 7).

Зная уравнение переориентированной кривой Коха, можно построить уравнение креста Коха (рис. 8), выполнив преобразования, аналогичные (6).

Визуализация полученных результатов выполнена с использованием систем ПОЛЕ в 20 [4] и РАНОК в 30 [6].

Заключение

Математический аппарат теории Р-функций оказался весьма удобным для описания объектов фрактальной геометрии

26

№ 6(30) 2010

к = 2 к = 3 к=4

Рис. 8. Крест Коха на сторонах квадрата для различных значений к

Рис. 7. Линии уровня функции юк(х, у) > О, задающей переориентированную кривую Коха

для различных значений к

функциями ю(х) = 0, х е Е" (или неравенствами ю(х) > 0 ), где ю(х) имеет вид единого аналитического выражения. При этом были использованы следующие конструктивные средства:

• Р-операции системы

К } =

X Ag у = X + у -Jx' + у' X v0 у = X + у + yjх2 + у2 X = - X

• суперпозиции функции ю(цЛх ,цЛу) с периодическими функциями

hx

= — arcsin х я

Vhr =—arcsln

/ \ . КХ

sin

V "х J ( \

sin

ку

X

V У J

позволяющие транслировать заданную функцию ю(х,у) вдоль осей с шагом hx и hy\

• суперпозиции функции ю(х1 -R,у 1), где х1 = г cos ц; у1 = г sin ц;

ц(8) = —arcsin^sin; г = у]х2 + у2; у

8 = arctg— , которые позволяют п раз транс-

х

лировать заданную функцию ю(х,у) вдоль окружности радиуса fí;

• свойство подобия фигур, описанных уравнениями ю(х,у) = 0 и а>(Кх,Ку) = О, где К— коэффициент подобия.

В настоящей статье построены лишь некоторые, наиболее известные объекты фрактальной геометрии. Разработанные методы позволили также построить снежинку и крест Коха на правильном многоугольнике, дерево Пифагора, кривую Ле-ви и др.

Описок литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П. X. Красота фракталов. М.: Мир, 1993.

3. ФедерЕ. Фракталы. М: Мир, 1991.

4. Рвачев В. Л. Теория Р-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук, думка, 1982.

5. Максименко-Шейко К. В. Р-функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических полей. Харьков: ИПМаш НАН Украины, 2009.

6. Толок А. В. Графические образы-модели в информационных технологиях // Прикладная информатика. №4 (22). 2009. С. 31-40.

27