Электронное учебно-методическое пособие «Функциональный метод решения уравнений и неравенств»

ELECTRONIC TRAINING TOOL «TIER CONTROL OF KNOWLEDGE IN PHYSICS»

O.B. Bandura, A.G. Matveeva, M.A. Kruglyakova

This article describes the different ways to control knowledge, a classification of levels of control of knowledge, skills and abilities of students. The necessity of creation of electronic teaching aids. The article presents a diagram of the electronic training manual "Control of level of knowledge of physics for high school" and the screen interface, the control of the passage. The electronic educational-

methodical manual presents all the topics of the course of physics in each topic are: the control work, test, solving problems, the theoretical material. In the student's work, even in the electronic manual, combining all the knowledge levels of control in the following ways: testing, the task of reproduction of formulas, definitions, job search information, job to check the physical meaning of the basic physical concepts. Electronic version of the manual is made in the implementation of the cluster approach involving small innovative enterprise IT Meridian and the Department of Computer Science and Information Technology TSU named GRDerzhavin

Key words: level control, electronic textbook, the test work, the physics.

УДК 004.9:004.588

ЭЛЕКТРОННОЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»

О.П. Беляева, Е.В. Бучнева, А.Ю. Моргунова

В статье рассмотрено применение функционального метода при решении уравнений и неравенств для подготовки к ЕГЭ по математике. При решении задач типа В с кратким свободным ответом в едином государственном экзамене имеются задачи, которые не решаются традиционными методами. Функциональный метод позволяет научить учащихся анализировать искомое множество решений уравнений и неравенств и рационально находить это множество решений. Материал рассматривается на конкретных примерах. В статье подробно рассматривается метод мажорант и примеры его практического применения: упражнения для самоконтроля с ответами и рекомендациями к решению. Обоснована необходимость создания электронного учебно-методического пособия. Приводится структура учебно-методического пособия. Теоретическая часть пособия содержит разделы об основных свойствах функции: монотонности, ограниченности, четности-нечетности, а также справочник о различных видах функций.

Ключевые слова: электронное учебно-методическое пособие, ЕГЭ, информационные технологии, функциональный метод.

Качество и уровень подготовки школьников по математике сегодня проверяется независимой экспертизой, а содержание -контрольно-измерительными материалами ЕГЭ и ГИА по математике. В заданиях уровня В все больше появляется задач, которые относятся к разряду «нестандартных». Однако в современных учебниках и учебных пособиях подобные задания представлены достаточно «скромно», поэтому на этапе подготовки к ЕГЭ возникает дефицит задач комбинированного характера.

Впервые эта проблема возникла в 2008 году, когда на ЕГЭ по математике в задачах типа В7 были впервые использованы комбинированные уравнения, решаемые только функциональным методом. Примеры подобных задач:

1. Решите уравнение

4.

2 -2 т х - 4х + 5 = 1 - sin — .

2

В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

2. Решите уравнение log2 x2 = 8 -|x|.

В ответе укажите произведение его корней.

3. Решите уравнение

2 = log05((4x - 5)2 + 0,125).

sin влх

Решить эти уравнения традиционными приемами и методами невозможно. Каждое из них решается функциональным методом, в частности используется метод мажорант. Очевидно, что подобные задания не были представлены на тот момент ни в одном учебнике. Только в учебниках «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы» авторов А.Г. Мордковича, Л.О. Денище-вой, Т.А. Корешковой и др. прослеживалась функциональная линия, но и в них подобных заданий было крайне мало.

Сегодня содержание ЕГЭ по математике кардинально изменено, современные контрольно-измерительные материалы насыщены практико-ориентрованными задачами, но

и в обновленных материалах также есть задания, где необходимо применять функциональный метод: задачи типа В5 и В14.

На кафедре информатики и информационных технологий ТГУ имени Г.Р. Державина [1] студентом-дипломником разработано электронное учебно-методическое пособие (ЭУМП). В основе электронной версии - результат многолетнего опыта работы авторов [2]. Работа выполнена при участии малого инновационного предприятия «ИТ-Меридиан» [3] в рамках внедрения кластерного подхода в учебный процесс при подготовке студентов-информатиков[4].

В разделе ЭУМП [5], посвященном использованию области значений (ограниченности) функций, подробно рассматривается метод мажорант и примеры его практического применения:

«Пример 1. Решите уравнение

— • агс1п(-х) =1 + |х4 + 2х3 + х2|.

ж 2 ' '

Решение. По определению арксинуса

ж , ж

атевгщ -х) < — для допустимых значе-

11 „ , 1

ний х, следовательно, — < — • агезгщ -х) < —

2 ж 2

т 1 I 4 ~ 3 21^1

Так как — + х + 2х + х > —, делаем вы-2 \ 1 2

вод, что данное равенство справедливо, если

— агся1п{ - х) = —, ж 2

1 + |х4 + 2 х3 + х2| = 1.

22

\log3 х + logx 3 =

log3 х +

1

Для

правой

log3 х

части

> 2.

справедливо

ж

- 2 < 2 sin— < 2 . Следовательно, данное ра-6

венство верно, если

' 1 = 2,

log3 х +

log3х

или

жх „

2 sin— = 2; 6

¡х + -

log3х

жх

2 sin— = -2. 6

- = -2,

Решением первой системы является х=3. Вторая система решений не имеет».

В разделе ЭУМП, посвященном использованию монотонности функций, приведены основные теоремы о монотонности и также показаны приемы, в некоторых случаях нетривиальные, применения этих теорем при решении уравнений и неравенств. Ярким примером этому служит следующее упражнение: «Пример 3. Решите неравенство

^2

- х2 > х3 + х -1.

Решение. ОДЗ данного неравенства -промежуток [-42 ].

Рассмотрим функции f (x) = - x2 и

3

g(x) = х + х -1.

3

На ОДЗ функция g(x) = x3 + x -1. возрастает, а функция

f(x) = ^2 - x2 не является монотонной. Разобьем ОДЗ неравенства на промежутки монотонности функции f(x):

Так как при x е

-42 ;0] и [o;V2 ]

;42 ]

[0;ч функция

Решим первое уравнение системы: y(x) = 2 - x2 убывает, то в силу теоремы 3

arcsin(-x) =— ФФ -x = 1 ^ ^ x = -1. Про- функция f(x) = - x2 также убывает. Тогда уравнение f(x) = g(x) на данном отрезке имеет не более одного корня. Очевидно, что x=1 - корень этого уравнения. Так как f( 1) = g( 1) = 1, то x=1 не является решением данного неравенства.

Заметим, что при 0 < x < 1 g(x) < 1 < f(x), следовательно, данное неравенство выполняется.

Если 1 < x <42, то f(x) < 1 < g(x), что не удовлетворяет данному неравенству. При x е

[-42 ;о] обе функции f(x) и g(x) - возрастающие и для них справедливо g(x) < 0 < f(x). Это означает, что данное неравенство выполняется.

веркой убеждаемся, что это значение переменной удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, х = -1 является решением системы и данного уравнения.

Также в этом разделе показаны способы применения базовых неравенств для вычисления области значений функций: «Пример 2. Решите уравнение

log3 х - logj. i = 2 • sin

6

Решение. ОДЗ уравнения (0;1) и (1;+ Для левой части (в силу неравенства №1 для суммы двух взаимно-обратных величин) выполнено:

1

Итак,

\-Г2 ;i]

11 решения неравенства

82 - х2 > х3 + х -1».

Также подробно на примерах рассматривается применение других свойств функций для решения уравнений и неравенств. Как видно из приведенных примеров, в пособии разбираются способы решения задач всего спектра сложности: от самых простых до достаточно сложных.

Так как для практического использования указанного метода необходимо знание свойств элементарных функций, то данное пособие содержит справочник (рис. 1) и необходимые теоретические сведения по каждому разделу.

В конце каждого раздела приведены наборы упражнений для самостоятельной работы и самоконтроля, для каждого из этих заданий даны ответы и краткие указания к решению (рис. 2).

Область определения:

Рис. 1. Раздел «Справочник» - Логарифмическая функция

Беляева О.П., Бучнева Е.В. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ И НЕРАВЕНСТВ

электронное учебно-методическое пособие

[/ X.Í:^W'.Jv

7Ъм&Щ -tl-JJjJ, 4]

'й^вш]

¡Mííflííüíijflil

до)

Тема 4 Упражнения Решите уравнения (№119-125):

не. г*2 = з - \х\

120. х\х\ = У*.

121. х2 - 3\х\ + 2 = 0,

123. (2% + 1) (2 + V(2x-+l)s + 3) + Зх(2 + V9*2 + 3) = О,

124 2х + + 7) + C3r + !) (i + + I)2 + 7) = 0

\si'h2>: + 4 Vcos2x + 4

—-+—;-= °

125. 4 srnx 4 cosx

[ Ыьь) [ ¿laten.) [ Ыиъ 1 [ СЫ '>!, | [ 0яИш\ [ Üiiiiíiu)

[Лиму,») [Дмияд)

[|Jmi№ii)

[ СЫм.) [flamas)

126. Нечетная функция у — / ( '. I определена на всей числовой прямой. Для всех неположительных значений X значение функции совпадает со значением функции п(х') — Х.(\: — 7 I'П V + R!T4+111. Г коттькг копией iP.ieeT vnapHeHHe f(x'I — (1 7

Рис. 2. Упражнения к разделу «Тема 4»

Для организации контроля и самоконтроля данное пособие содержит серию тестов.

На рисунке 3 представлена структура электронного учебно-методического пособия:

Рис. 3. Структура пособия

Данное электронное учебное пособие состоит из 10 основных разделов:

«ГЛАВНАЯ», «СОДЕРЖАНИЕ», «ТЕМА 1», «ТЕМА 2», «ТЕМА 3», «ТЕМА 4», «ТЕСТЫ», «СПРАВОЧНИК», «ЛИТЕРАТУРА», «О ПРОЕКТЕ».

Минимальные требования к программному обеспечению персонального компьютера для работы с электронным учебно-методическим пособием «Функциональный метод решения уравнений и неравенств»:

- операционные системы Windows Vista/ XP/ 7;

- оперативная память не менее 512 Мб;

- CD-ROM не менее 8х;

- дополнительные программные средства: Google Chrome 25.0, Mozilla Fire-fox 19.0, Opera Internet Browser 12.0, Internet Explorer 9.0 и выше.

Электронное учебное пособие [5] рекомендовано в системе довузовской подготовки, в школах (классах) с углубленным изучением математики, лицеях и гимназиях,

а также для самоподготовки учеников к ЕГЭ.

Заинтересованных лиц приглашаем к сотрудничеству: veronikalyskova@yandex.ru

Литература

1. Лыскова В.Ю. Кафедра информатики и информационных технологий // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и технические науки. 2009. Тамбов, Т. 14. Вып. 5-1. С. 851-871.

2. Беляева О.П., Бучнева Е.В. Свойства функций при решении уравнений и неравенств. Тамбов, 2008.

3. Лыскова В.Ю. Практика кластерного подхода: активизация познавательной деятельности студентов-информатиков на основе малого инновационного предприятия «ИТ-Меридиан» // Гаудеамус. Тамбов, 2011. № 2 (18). С. 59-63.

4. Лыскова В.Ю., Королева Н.Л. Внедрение кластерного подхода на кафедре информатики и информационных технологий ТГУ им. Г.Р. Державина // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1966-1968.

5. Беляева О.П., Бучнева Е.В. Функциональный метод решения уравнений и неравенств. 1 CD диск Регистрационное свидетельство №0321300993 от 3 апреля 2013.

References

1. Lyskova V.Yu. Kafedra informatiki i informat-sionnykh tekhnologiy // Vestnik Tambovskogo universiteta. Ser.: Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2009. T. 14. Vyp. 5-1. S. 851-871.

2. Belyaeva O.P., Buchneva E.V. Svoystva funktsiy pri reshenii uravneniy i neravenstv. Tambov, 2008.

3. Lyskova V.Yu. Praktika klasternogo podkhoda: aktivizatsiya poznavatel'noy deyatel'nosti studen-tov-informatikov na osnove malogo innovatsion-nogo predpriyatiya «IT-Meridian» // Gaudeamus. Tambov, 2011. № 2 (18). S. 59-63.

4. Lyskova V.Yu., Koroleva N.L. Vnedrenie klasternogo podkhoda na kafedre informatiki i infor-matsionnykh tekhnologiy TGU im. G.R. Derzha-vina // Vestnik Tambovskogo universiteta. Ser.: Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2010. T. 15. Vyp. 6. S. 1966-1968.

5. Belyaeva O.P., Buchneva E.V. Funktsional'nyy metod resheniya uravneniy i neravenstv. 1 CD

disk Registratsionnoe svidetel'stvo №0321300993 ot 3 aprelya 2013.

ELECTRONIC TRAINING TOOL «FUNCTIONAL METHODS OF SOLVING EQUATIONS AND INEQUALITIES»

O.P. Belyaeva, E.V. Buchneva, A.Y. Morgunova

The paper considers the application of the functional method for solving equations and inequalities to prepare for the exam in mathematics. In solving problems of type B with a short free response in the unified state exam are problems that are not addressed by traditional methods. Functional method allows students to learn to analyze the desired set of solutions of equations and inequalities and efficiently find a set of solutions. Material treated with specific examples. The article details the majorant method and examples of its practical application: for self-control exercises with answers and recommendations to the decision. The necessity of creation of electronic teaching aids. Paper has presented the structure of educational and methodical manuals. The theoretical part of the manual contains sections on basic properties of functions: monotony, narrow-mindedness, even-odd, and a manual on the different types of functions.

Key words: electronic training tool, CSE.

УДК 004.2

СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ В СИСТЕМЕ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

Е.В. Варгина

Для повышения эффективности учебного процесса преподавателями применяются технические средства обучения, которые позволяют совместить аудиторную и самостоятельную работу обучаемых. Проведен классификационный анализ средств обучения, на основании которого составлена классификация технических средств обучения. В системе повышения квалификации широко применяется компьютерная подготовка, а именно тренажерные технические средства обучения. В ходе проведения курса обучения, персональный компьютер может применяться как совместно с другими методами и средствами обучения, так и систематически. Современное тренажеростроение выделяет двухуровневую систему подготовки персонала, объединяющую компьютерную подготовку персонала и тренажерную подготовку. В статье делается вывод, что внедрение технических средств обучения в учебный процесс повышает эффективность обучения и оптимизирует учебную деятельность. Нами разрабатывается автоматизированная обучающая система для повышения квалификации с целью оптимизации процесса обучения.

Ключевые слова: средства обучения, система повышения квалификации, компьютерная подготовка, тренажер.

Для повышения интереса обучаемого к учебной деятельности, развития познавательной активности в учебном процессе применяются различные средства обучения, которые, воздействуя на эмоции обучаемых, активизируют их. Применение средств обучения в образовательной деятельности позволяет значительно повысить темп изучения учебного материала, совместить аудиторную и самостоятельную работу обучаемых. Следует учесть, что «динамичное развитие, вне-

дрение новых информационных технологий становятся ведущими факторами развития учебного процесса» [1].

При этом происходит формирование педагогической системы как открытой, которая предполагает непрерывное образование в течение всей жизни человека. В этих условиях основными источниками учебной информации становится учебно-методическое обеспечение, включающее учебники, учебные пособия, методические пособия, про-