О вычислительной сложности расширений графов

№1 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2009

Секция 7 ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.17

О ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЛОЖНОСТИ РАСШИРЕНИЙ ГРАФОВ

М. Б. Абросимов

В 1976 году Хейз в работе [1] предложил основанную на графах модель для исследования отказоустойчивости. Технической системе Е сопоставляется помеченный граф О, вершины которого соответствуют элементам системы Е, ребра (или дуги) — связям между элементами, а метки указывают тип элементов. Под отказом элемента системы Е понимается удаление соответствующей вершины из графа системы О и всех связанных с ней ребер. Говорят, что система Е* является к-отказоустойчивой реализацией системы Е, если отказ любых к элементов системы Е* приводит к графу, в который можно вложить граф системы Е с учетом меток вершин. Построение к-отказоустойчивой реализации системы можно представить себе как введение в нее определенного числа новых элементов и связей. При этом предполагается, что в нормальном режиме работы избыточные элементы и связи маскируются, а в случае отказа происходит реконфигурация системы до исходной структуры.

Пусть в системе Е встречается £ различных типов элементов. Очевидно, что любая ее к-отказоустойчивая реализация должна содержать не менее к дополнительных элементов каждого типа. Легко видеть, что такого числа дополнительных элементов достаточно для построения к-отказоустойчивой реализации системы Е. В самом деле, добавим к элементов каждого типа и соединим их все между собой и с элементами системы Е. Тогда любой отказавший элемент можно будет заменить одним из добавленных элементов соответствующего типа.

к-отказоустойчивая реализация Е* системы Е, состоящей из элементов £ различных типов, называется оптимальной, если система Е* отличается от системы Е на к элементов каждого из £ типов системы Е, и среди всех к-отказоустойчивых реализаций с тем же числом элементов система Е* имеет наименьшее число связей.

Хейз предложил процедуры построения оптимальной к-отказоустойчивой реализации для цепи, цикла и помеченного дерева. Позднее Хейз и Харари в работе [2] обобщили модель на случай отказов связей между элементами, предложив понятие реберной отказоустойчивости. Модель отказоустойчивости, в которой рассматриваются отказы элементов, в работе [3] было предложено называть вершинной отказоустойчивостью.

Если исключить понятие отказа, то рассмотренные ранее понятия могут быть естественным образом сформулированы с использованием обычных терминов теории графов. Впервые это было предложено автором в работе [4], и далее мы дадим формальные определения именно в таком виде.

Граф О* = (V*,а*) называется вершинным (реберным) к-расширением (к — натуральное) графа О = (V, а), если граф О вкладывается в каждый подграф графа О*, получающийся удалением любых его к вершин (ребер).

Сформулируем задачу о вершинном k-расширении как задачу распознавания свойств, то есть задачу, ответом на которую может быть «да» или «нет»: ВЕРШИННОЕ k-РАСШИРЕНИЕ УСЛОВИЕ. Даны графы G = (V, а) и H = (U, ß).

ВОПРОС. Верно ли, что граф G является вершинным k-расширением графа H? Теорема 1. Задача ВЕРШИННОЕ k-РАСШИРЕНИЕ является NP-полной.

Аналогично формулируется задача о реберном k-расширении:

РЕБЕРНОЕ k-РАСШИРЕНИЕ УСЛОВИЕ. Даны графы G = (V, а) и H = (U, ß).

ВОПРОС. Верно ли, что граф G является реберным k-расширением графа H?

Теорема 2. Задача РЕБЕРНОЕ k-РАСШИРЕНИЕ является NP-полной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.-25. No. 9. P. 875-884.

2. Harary F., Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

3. Harary F., Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.

4. Абросимов М. Б. Минимальные расширения графов // Новые информационные технологии в исследовании дискретных структур. Томск, 2008. С. 59-64.

УДК 519.171

ПОСТРОЕНИЕ ПОКРЫТИЙ РЁБЕР ГРАФА КЛИКАМИ

И. А. Бадеха, П. В. Ролдугин

Реберным покрытием кликами (РПК) графа G называется такой набор клик (полных подграфов) Ki,..., Kr, что любое ребро графа G лежит хотя бы в одной из этих клик. Задача построения РПК, минимального по числу входящих в него клик, как известно, является NP-полной (см., например, [1]). Поскольку каждую из клик в наборе можно дополнить произвольным образом до максимальной клики и получить также РПК, то будем считать, что в определении РПК и далее речь идет о максимальных кликах.

Легко выделить клики, которые обязаны содержаться в каждом РПК для данного графа. Назовем ребро e графа G собственным ребром клики K, если оно лежит в этой клике и не лежит ни в какой другой клике графа G. Соответственно клику K, имеющую хотя бы одно собственное ребро, назовем зафиксированной.

Как известно, вершина графа называется доминирующей, если она соединена ребром с каждой из остальных вершин графа.

Определение 1. Конструкцией C в графе G будем называть порожденный подграф графа G, обладающий ненулевым количеством доминирующих вершин, и такой, что граф, получающийся из графа C удалением всех доминирующих вершин и инцидентных им рёбер, является непустым и связным.

В работе доказывается, что в связном графе без собственных рёбер существует конструкция.

Конструкция C может быть пригодной или непригодной для разбиения графа, что определяется свойствами рёбер, входящих в неё. Данные свойства подробно исследованы в работе. Все рёбра пригодной конструкции разбиваются на две категории: те,