Совместная плотность вероятностей длительности интервалов модулированного MAP-потока событий и условия рекуррентности потока

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2015 Управление, вычислительная техника и информатика № 1

УДК 519.21

Л.А. Нежельская

СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИНТЕРВАЛОВ МОДУЛИРОВАННОГО МАР-ПОТОКА событий и условия рекуррентности потока

Изучается модулированный MAP-поток событий, являющийся одной из адекватных математических моделей информационных потоков событий в цифровых сетях интегрального обслуживания (ISDN). Приводятся явный вид плотности вероятностей длительности интервала между моментами наступления соседних событий потока, а также явный вид совместной плотности вероятностей длительности двух соседних интервалов. Рассматриваются условия рекуррентности потока.

Ключевые слова: модулированный MAP-поток событий; инфинитезимальные характеристики; плотность вероятностей; совместная плотность вероятностей; рекуррентность потока.

Интенсивное развитие компьютерной техники и информационных технологий во многом определило важную сферу приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, телекоммуникационных сетей, которые называют цифровыми сетями интегрального обслуживания - Integrated Service Digital Networks (ISDN). Всё это послужило стимулом к созданию адекватных математических моделей реальных информационных потоков, функционирующих в ISDN, так называемых дважды стохастических потоков событий. В работе [1] дважды стохастический поток определяется как случайный поток событий с интенсивностью, представляющей собой случайный процесс. Дважды стохастические потоки делятся на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс; ко второму классу относятся потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Второй класс потоков впервые введен в рассмотрение практически одновременно в 1979 г. в статьях [2-4]. В [2, 3] данные потоки названы MC (Markov сИат)-потоками; в [4] - MVP (Markov versatile processes)-потоками. Последние начиная с конца 1980-х гг. носят название MAP (Markovian arrival process)-потоков событий. MAP-потоки событий наиболее характерны при описании информационных потоков в реальных телекоммуникационных сетях [5]. В зависимости от смены состояний MC-потоки можно разделить на три типа: 1) синхронные потоки событий [6-11]; 2) асинхронные и обобщённые асинхронные потоки событий [12-17]; 3) полусинхронные и обобщённые полусинхронные потоки событий [18-23]. В [24] введены в рассмотрение MAP-потоки событий первого порядка (собственно MAP-потоки, введенные в [4]) и MAP-потоки событий второго порядка (синхронизированная суперпозиция двух MAP-потоков первого порядка, отличающихся друг от друга исходными параметрами). В [24] показано, что синхронный MC-поток является частным случаем MAP-потока первого порядка; асинхронный, обобщённый асинхронный, полусинхронный и обобщённый полусинхронный MC-потоки являются частным случаем MAP-потока второго порядка.

Режим функционирования системы массового обслуживания непосредственно зависит от параметров MC (MAP^^ro^ и состояний, в которых находится поток. В реальных ситуациях параметры входящих потоков событий, как правило, неизвестны, либо частично известны, либо (что ещё более ухудшает ситуацию) изменяются со временем. Вследствие этого важными задачами являются задачи оценки в произвольный момент времени состояний [14, 17, 19, 23, 25] и параметров [6-12, 16, 18, 20-22] потока по наблюдениям за этим потоком.

Для решения задачи оценивания (тем или иным статистическим методом) параметров потока необходимо знать вероятностные свойства потока [13, 15, 26]. В настоящей статье рассматривается модулированный MAP-поток событий (относится к классу MAP-потоков событий второго порядка), введённый в работах [27-29] и являющийся обобщением MAP-потока первого порядка [24, 25]. Находятся явные виды плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления

соседних событий потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов.

1. Постановка задачи

Рассматривается модулированный МАР-поток событий с интенсивностью, представляющей собой кусочно-постоянный стационарный случайный процесс А(7) с двумя состояниями: А(7) = А либо А(7) = А2 (^>А2>0). Длительность пребывания процесса А(7) в 7-м состоянии зависит от двух случайных

величин: 1) первая случайная величина распределена по экспоненциальному закону ^^ (()= 1 - е~а'г, 7 = 1,2; в момент окончания 7-го состояния процесс А(7) переходит с вероятностью единица из 7-го состояния в /-е, 7,] = 1,2 (7ф/); 2) вторая случайная величина распределена по экспоненциальному закону

(()= 1 - е, 7 = 1,2; в момент окончания 7-го состояния процесс А(7) переходит с вероятностью ^(А^А) в ]-е состояние (7 Ф/) с наступлением события, либо с вероятностью -Р0(А/|А7) переходит в /-е состояние (7 Ф /) без наступления события, либо с вероятностью -Р1(А7|А7) переходит в 7-е состояние с наступлением события. При этом _Р0(А/-|А7)+ А(А/|А7)+ .Р1(А7|А7) = 1. Случайные величины являются независимыми друг от друга. В сделанных предположениях А(7) - марковский процесс. Матрицы инфинитези-мальных характеристик процесса А(7) примут вид

Do =

ai +

а 2 + Л 21 0

D =

Элементами матрицы D\ являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком [3]. Заметим, что в приведённом определении модулированного MAP-потока событий в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса X(t) наступает событие потока при переходе X(t) из первого (второго) состояния во второе (в первое). Отметим, что в реальных потоках событий, моделями которых являются модулированные MAP-потоки, событие потока (в момент окончания того или иного состояния процесса 'k(t)) наступает с полной определённостью в первом или во втором состоянии процесса ^(t). В данной статье при получении формул для плотностей вероятностей данное обстоятельство является несущественным, так как наступление события и переход процесса X(t) из состояния i в состояние j, i,j = 1,2, происходят мгновенно. Вариант возникающей ситуации представлен на рис. 1, где А4 и - состояния случайного процесса ^(t); tb t2,... - моменты наступления событий потока.

Процесс X(t) принципиально ненаблюдаемый, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий потока tb t2, ... . Рассматривается стационарный режим функционирования потока. В силу предпосылок в моменты времени наступления событий tb t2,..., 4,... последовательность {^(tk)} представляет собой вложенную цепь Маркова, т.е. модулированный MAP-поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента tk - момента наступления события потока, k = 1,2,. .

Обозначим тк = tk+i—tk, k = 1,2,., - значение длительности k-го интервала между соседними событиями потока. Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности k-го интервала p(Tk) = р(т), т>0, для любого k. В силу этого момент времени tk наступления события без ограничения общности можно положить равным нулю или, что то же самое, момент наступления события есть т = 0.

Пусть (tk,tk+i), (tk+i,tk+2) - два смежных интервала, длительности которых есть Tk = tk+i-tk и Tk+i = = tk+2-tk+i соответственно; их расположение на временной оси в силу стационарности потока произвольно. Тогда, полагая k = 1, будем рассматривать два соседних интервала (tbt2), (t2,t3) с соответствующими значениями длительностей Ti = t2-ti и т2 = t3-12; Ti>0, т2>0. При этом Ti = 0 соответствует моменту ti наступления события потока; т2 = 0 соответствует моменту t2 наступления следующего события потока. Соответствующая совместная плотность вероятностей при этом есть p (ti,t2), Ti>0, т2>0.

)

я 2

Р

а,

Р0 2 ) Р1 2 ) а 2

, Р1

Р

-О—О

'х *2

О

и

О

О

... I

Рис. 1. Модулированный МАР-поток событий

Задача заключается в нахождении явного вида р(т) и явного вида р (т1,г2), а также в установлении условий рекуррентности модулированного МАР-потока событий.

2. Вывод плотности вероятностей р

Введём в рассмотрение вероятности Ру(т) того, что на интервале (0,т) нет событий модулированного МАР-потока и в момент времени т значение процесса Х(т) = X/ при условии, что в момент времени т = 0 значение процесса Х(0) = X,, У = 1,2. Тогда для указанных вероятностей справедливы следующие системы дифференциальных уравнений с начальными условиями:

Рп

< р12

Р11 (0) = 1, Р12 (0) = 0,

Р22

< Р21 (Т) = (а2 + Я 2Р0 (Я1 1 Я 2 )) (Т)"(а1 + Я1 ) Р21 (Т) Р22 (0) = 1, Р21 (0) = 0.

Решая записанные системы, находим вероятности Ру(т), 1, / = 1,2, в виде

Р11 (т) =—1— Г( +а2 "21 Кг'х -(( +а2 "22К22т], 22 - 21

Р12 (^^^М-МУ [е-^е--],

22 21

Р22 (Т)=-~ [(Я1 +а1 - 21 )2'Т +а1 - 22 )22Т] ,

22 21

Р21 (т) = а1+^рА1Ъ) [е-2.т- е-22Т] , 22 21

(Я + Х2 +а1 +а2) - Х1 -Х2 +а1 -а2 )2 + 4(а1 + Я1/)0 (Х21 Х1))(а2 + Х2Р0 ( | Х2)) ,

2 2

0 < ^ < z2.

С учётом определения модулированного МАР-потока введём Рп(т)^1АтР1(^1|^1)+о(Ат) - совместную вероятность того, что без наступления событий потока на интервале (0,т) процесс Цт) перешёл на этом интервале из первого состояния в первое, на полуинтервале [т,т+Ат) произошло окончание первого состояния процесса Цт) и процесс Цт) на полуинтервале [т,т+Ат) перешёл из первого состояния в первое с наступлением события потока. Аналогичные совместные вероятности примут вид

Р12 (Т)^2А^ ((1|(2 )+ °(Л"0 , Р12 (х)(2Л^Р1 (( 21(2 )+ ,

Р21 (х)(1 АхР1 ((1()+ о (Ах), Р21 (х)( АхР (( 2()+о(Ах),

Р22 (х)( 2 Ах^1 ((11( 2 )+ о (Ах), Р22 (х)(2 Ах^1 (( 21( 2 )+о(Ах),

Р11 (х)(1 АхР1 ((21(1)+о(Ах).

Тогда соответствующие плотности вероятностей запишутся в виде

~11(1)(х)= V! ((11(1 )Р11 (х), ~11(2)(х)=( 2Р1 ((11( 2 )Р12 (х), ^12(1)(х) = (2Р1 ((21(2 )Р12 (х) , ,Р12(2)(х) = (1Р1 ((21(1 )Р11 (х) , ^21(1)(х) = (1Р1 ((11(1 )Р21 (х) , ,Р21(2)(х) = (2Р1 ((11(2 )Р22 (х) ,

~22(1)(х)= ( 2Р1 (( 21( 2 ))22 (х), = (1Р1 (( 21(1 )Р21 (х) .

Очевидно, что плотности вероятностей Ру (х) того, что без наступления событий потока на интервале (0,т) и наступления события в момент т процесс Цт) перейдёт на этом интервале из состояния / в состояние у (, у = 1,2), запишутся в виде

~11(х) = (1Р1 ((11(1 )Р11(х) + (2Р1 ((11(2 )Р12 (х) , ~12 (х) = (2Р1 ((21(2 )Р12 (х) + (1Р1 ((21(1 )Р11(х) , ~21 (х) = (1Р1 ((11(1 )Р21 (х) + (2Р1 ((11(2 )Р22 (х) ,

~22

Подставляя (1) в (2), получаем выражения для плотностей вероятностей Ру (х), I,у = 1, 2, в явном виде.

Поскольку т - произвольный момент времени, то Ру - вероятности перехода процесса Цт) из состояния / в состояние у ( , у = 1, 2) за время, которое пройдёт от момента т = 0 до момента наступления очередного события потока, определятся в виде

да да да

Р11 = |Р11 (хУх = (1Р ((1 |(1 ) )Р11 (х)^х + (2Р1 ((1 |(2 ) )Р12 (х)^х ,

0 0 0

да да да

Р12 = |Р12 (х)^х = (2Р ((2 |(2 ) )Р12 (хУх + (1Р ((2 |(1 ) )Рн (хУх ,

0 0 0

да да да

Р21 = |Р21 (х)^х = (1Р ((1 |(1 )| Р21 (х)^х + (2Р ((1 |(2 ) ) Р22 (х)^х ,

да да да

Р22 = |Р22 (х)^х = (2Р1 ((2 |(2 ) ) Р22 (х)^х + (1Р1 ((2 |(1 ) ) Р21 (хУх .

0 0 0

Подставляя (1) в (3), находим

Р11 = ( ^2 )-1 [(1 Р1 ((1 |(1 )((2 + а2 ) + (2Р ((1 |(2 )(а1 + (1Р0 ((2 |(1 ))] ,

Р12 = ( ^2 )-1 [(1 Р1 ((2 |(1 ) ((2 + а2 ) + (2Р ((2 |(2 ) (а1 + (1Р0 ((2 |(1 ))] :

Р21 = (^2 )-1 [(2Р ((1 |(2 ) ((1 + а1 ) + (1 Р ((1 |(1 ) (а2 + (2Р0 ((1 |(2 ))] ,

0

Р22 = ( *2 Г' [А 2Р (А2 |А2 )( А1 + «1 ) + (А2 |А1 ) («2 + А2Р0 (А1 |А2 ))] ,

=

Введём в рассмотрение лг(0) - условную стационарную вероятность того, что процесс А(т) в момент времени т = 0 находится в состоянии 1 при условии, что в момент времени т = 0 событие потока наступило, 1 = 1,2 (я1(0)+я2(0)=1). Тогда, так как (А(4)} есть вложенная цепь Маркова, то для вероятностей л,(0) справедливы следующие уравнения:

где переходные вероятности ру (1, у = 1, 2) определены формулами (4). Подставляя (4) в (5), получаем

К (0) = {^2 Р (А А )(А +«1 ) + А Р (А |А )(«2 +^2 Р (А А ))} (^2 |А )( +«2 ) +

+А2Р1 ( |А2)( +«1 ) + АР ( |А )(<х2 + А2Р0 (А, |А2))-+Х2Р (А2\А2)((Х1 + АР (А2))}"\ К(0) = {А1РР (А2|А1 )(А2 +«2) + А2Р (А2|А2)(«1 +А1Р0(А2|А1))}{А1Р1 (А2|А1 )(А2 + «2) +

+А2Р (А1 |А2)(( +«1) +А1Р (А1 |А1 )(сх2 + А2Р0 ((|А2)) +А2Р (А2|А2)( + АР(А2|А))}"\

Плотность вероятностей р(т) длительности интервала между соседними событиями в модулированном МАР-потоке примет вид

2 2

р

1=1 у=1

Подставляя в (7) сначала (2), затем (1) и (6) и проделывая достаточно трудоёмкие преобразования, получаем явный вид плотности вероятностей р(т):

р

где 2\ и г2 определены в (1), Л1(0) и п2(0) определены в (6). Положив в 2\ и г2 параметры а! = а2 = 0, получаем плотность вероятностей р(т) для МАР-потока [26].

3. Вывод совместной плотности вероятностей р

В моменты времени наступления событий ¿2,..., 4,... последовательность (А(4)} представляет собой вложенную цепь Маркова, поэтому совместная плотность вероятностей значений длительности двух соседних интервалов р (т1,т2) примет вид

р

1=1 }=\ к=1

где ру (т), Рук (т2 ) - плотности вероятностей, соответствующие переходным вероятностям ру (т), Рук (т2 ) и вычисленные по формулам (2) при т = т и т = т2. Подставляя в (9) сначала ру (т1), рук (т2 ), затем Ру(т1), Рук(т2), определённые формулами (1) при т = т и т = т2 и, наконец, п(0), 1 = 1,2, определенные в (6), и проделывая необходимые достаточно трудоёмкие преобразования, находим

р(Т1,Т2) = Р(Т1 )р(Т2) + у(1 -у))^[Р (А1 |А1 )) (А2|А2)-Р (А|А2)) ((|А1 )]х

2122

х((гл - г2е-)((гл - г2е-гл ), т1 > 0,т2 > 0,

гдер(т1), р(т2), у определены в (8) для т = т и т = т2; 2\ и г2 определены в (1).

Полагая в (10) параметры а1 = а2 = 0, получим совместную плотность вероятностей р (т1,т2) для МАР-потока событий [26].

4. Условия рекуррентности модулированного МАР-потока событий

Рассмотрим случаи, при которых модулированный МАР-поток событий становится рекуррентным.

С учётом выражения (8) для у и выражений (6) для п(0), i = 1,2, находим

У

х{

х{А [1 - Ро (( |А ))(( [^ Р ( 1^2 )^ + а2 ) \}~ Ро (А ))( [^ Р (А |А )) + а1 )) \

Анализируя выражение для у(1-у), замечаем:

1) если А^-Р0(а,2А)]-А2[1-Р0|А2)]= 0, то совместная плотность (10) факторизуется: р(т!,т2) = р(т0р(т2); подставляя указанные условия в выражение (1) для 2\, находим г = - Р0 (а2А)] либо г = А2[1 -Р0(|А2)]; при этом из (8) следует, что у =1 и р(хг-) = ^е-ZlХi, тг>0, I = 1,2, или р(х) = гхе - ^, т>0;

2) если ,(0)(А1[1 -Р1(ах|Ах)]+а1)-,2(0)(А2[1 -Р1(а2|А2)]+а2)= 0, то совместная плотность (10) факторизуется: р(т!,т2) = р(т!)р(т2). При этом из (1) следует, что

А1А2 [Р1

г, =

а2[1 -Р1 (А2 | А2)] + а2

либо

г = А1А2 [Р

1 А1[1 - Р1(А1|А1 )] ' 1 '

и из (8) находим у = 1 и р(хг- ) = г1е- , тг>0, \ = 1,2, т.е. р(х) = г1е- г1Х, т>0.

Из выражения (10) для совместной плотности вероятностей р (11,12) следует третье условие её факторизации: Р1 (|АХ) (а 2 |А 2 )-Р1 ( |А 2 ) (а 2 |АХ )= 0. Тогда из (6) в результате необходимых преобразований находим

, (0)= ( Р1 ^ , ) либо ,(0)= ( ,Р1)|А2(( , ),

^ Р1

,2(0)= ( Р(2|А( , ) либо ,1 (0)= ( Р1 ^ , ).

2У> Р1

Тогда из (8) следует

У = —{2 - А1Р1 (А11А1)- А 2Р1 (А 21А2 )},

1 - У = —— {- + А1Р1 (А11А1) + А 2Р1 (А 21А 2 )}

г2 г1

и р(хг) = уг1е - гЛ +(1 -у)г 2е - , тг>0, i = 1,2, т.е. р(х) = уг1е - г1Х+(1 -у)г2е - 22Х, т>0.

Если выполняется одно из перечисленных условий, то тогда модулированный МАР-поток событий будет рекуррентным потоком. Действительно, пустьр (т1,т2,...,тк,тк+1) - совместная плотность вероятностей значений длительностей интервалов Х1,т2,...,тк+1, где тк = 4+1—¿к, к = 1,2, ... . Для к = 1 имеет место р (т1,т2) = р (11)р (т2). Докажем факторизацию плотностир (т1,т2,...,тк) методом математической индукции. Пустьр (т1,Х2,...,тк) = р СО ... р (тк). Так как в моменты наступления событий потока 4, ¿2, ... , 4 последовательность {А(4)}, к = 1,2, ..., образует вложенную цепь Маркова, то дальнейшее после момента 4 поведение потока не зависит от предыстории. Тогда р(т1,...,тк,тк+1) = р(тк+1|т1,...,тк)р(ть...,тк) = = р(тк+1|тк)р(т1,...,тк). Здесь р(тк+1|тк) = р(тк,ч+\)\р(тк). Так как для двух соседних интервалов (4,4+1),

(4+1,4+2), к = 1,2,..., расположенных на временной оси произвольно, справедливо р(тк,тк+1) = р(тк)р(тк+\), то р(ч+\\ч) = р(тк+1). Таким образом,р(ть...,Тк,Тк+1) = р(тк+1)р(ть...тк) илир (ть...,тк,тш) = р(т0р(т2)...р(тк+1).

При обсуждении условий рекуррентности необходимо использование результатов, приведённых в [28, 29].

Для первого условия факторизации А^1 - Р0

А 2 [1 - Ро (А,1\А 2)]

Таким образом, апостериорная вероятность первого состояния процесса А(0 (несмотря на то, что поток рекуррентный и плотность р(т) = zxe- 21 т) зависит от предыстории, т.е. от значений апостериорной вероятности ^А^) в моменты наступления событий t1, ¿2, . ••, (к Если ввести дополнительное условие А^А^) = АзР^А), то

+ 0)= Д^Л, к = 1,2, ...,

1 - Р0 1Л1 \ А 2 /

т.е. апостериорная вероятность ^А^) первого состояния процесса А(1) не будет зависеть от предыстории, а будет определяться лишь её значением в момент наступления события потока. Это значение апостериорной вероятности одинаково для всех моментов времени tk наступления событий потока, к = 1,2, ... Итак, при дополнительном ограничении имеется некоторая близость модулированного МАР-потока событий к простейшему потоку.

Для второго условия факторизации л1 (0)(А1-Р(А1 |А1 )] + а1 )-я2(0)(А2-Р(А2|А2)] + а2) = 0

апостериорная вероятность w(Аl\t) первого состояния процесса А(^ в момент 4 также будет зависеть от предыстории, несмотря на то что поток рекуррентный и плотность экспоненциальная: р (т) = , т>0.

Для третьего условия факторизации Р1 (а)р(а2|А2)-Р1 (а|А2)Р(а2)= 0 апостериорная вероятность ^А^) первого состояния процесса А(0 в момент ^ наступления события потока имеет вид

w(l\tk + о)= ( Р1 ()\Аь>-- = % (о), к = 1,2, ... .

к ' Р1(А1\А1) + Р1 (А2\А1) "

Таким образом, апостериорная вероятность ^А^) не зависит от предыстории, а определяется лишь её (апостериорной вероятности) значением в момент наступления события потока. Итак, в данной ситуации имеется некоторая близость модулированного МАР-потока событий к простейшему потоку в том смысле, что апостериорная вероятность первого состояния процесса А(0 в моменты наступления событий потока принимает постоянное значение.

Заключение

Полученные результаты можно использовать для решения задачи оценивания неизвестных параметров модулированного МАР-потока событий, таких как интенсивности Аь А2 и вероятности Р0(А;\Аг), Р^А^Аг), /, ] = 1, 2. При этом, например, для нахождения оценок, после построения соответствующей функции правдоподобия, можно воспользоваться методом максимального правдоподобия либо применить метод моментов, решив соответствующие системы уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kingman J.F.C. On doubly stochastic Poisson process // Proc. of Cambridge Phylosophical Society. 1964. V. 60, No. 4. P. 923-930.

2. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов связи // Известия АН

СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 6. С. 92-99.

3. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов связи // Известия АН

СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 1. С. 55-61.

4. NeutsM.F. A versatile Markov point process // Journal of Applied Probability. 1979. V. 16. P. 764-779.

5. Дудин А.Н., КлименокВ.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск : Изд-во БГУ, 2000. 175 с.

6. Bushlanov I.V., Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimating parameters of the synchronous twofold-stochastic flow of events // Au-

tomation and Remote Control. 2008. V. 69, No. 9. P. 1517-1533.

7. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the dead time period and intensities of the synchronous double stochastic event flow //

Radiotekhnika. 2004. No. 10. P. 8-16.

8. Василевская Т.П., Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности мёртвого времени и параметров синхронного

альтернирующего потока с проявлением либо непроявлением событий // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 9 (II). С. 129-138.

9. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности мёртвого времени и параметров синхронного альтернирующего

потока событий // Вестник Томского государственного университета. 2003. № 6. С. 232-239.

10. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров синхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1(1). С. 24-29.

11. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the parameters of a synchro-alternating Poisson event flow by the method of moments // Radiotekhnika. 1995. V. 40, No. 7-8. P. 6-10.

12. Леонова М.А., Нежельская Л.А. Оценка максимального правдоподобия длительности мёртвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2 (23). С. 54-63.

13. Горцев А.М., Леонова М.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся мёртвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 4 (21). С. 14-25.

14. Леонова М.А., Нежельская Л.А. Вероятность ошибки при оценивании состояний обобщенного синхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 2 (19). С. 88-101.

15. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events // Discrete Mathematics and Applications. 2011. V. 21, No. 3. P. 283-290.

16. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров асинхронного потока с инициированием лишних событий методом моментов // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 18. С. 267-273.

17. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A., Shevchenko, T.I. Estimation of the states of an MC-stream of events in the presence of measurement errors // Russian Physics Journal. 1993. V. 36, No. 12. P. 1153-1167.

18. Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оценка длительности мёртвого времени в обобщённом полусинхронном потоке событий // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Десятой рос. конф. с междунар. участием (9-13 июня 2014 г.). Томск : Издательский Дом Томского государственного университета, 2014. С. 96-97.

19. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщённого полусинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2 (11). С. 66-81.

20. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мёртвом времени // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 1. С. 31-41.

21. Gortsev, A.M., Nezhel'skaya, L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochastic stream of events // Measurement Techniques. 2003. V. 46, No. 6. P. 536-545.

22. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1 (I). С. 18-23.

23. Нежельская Л.А. Оптимальное оценивание состояний полусинхронного потока событий в условиях его частичной наблюдаемости // Вестник Томского государственного университета. 2000. № 269. С.95-98.

24. Горцев А.М., Нежельская Л.А. О связи МС-потоков и МАР-потоков событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1 (14). С. 13-21.

25. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A., Solov'ev A.A. Optimal state estimation in map event flows with unextendable dead time // Automation and Remote Control. 2012. V. 73, No. 8. P. 1316-1326.

26. Горцев А.М., Соловьев А.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов MAP-потока событий и условия его рекуррентности // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 3 (20). С. 32-41.

27. Нежельская Л.А. Апостериорные вероятности состояний модулированного MAP-потока событий // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Десятой рос. конф. с междунар. участием (9-13 июня 2014 г.). Томск : Издательский Дом Томского государственного университета, 2014. С. 95-96.

28. Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний модулированного MAP-потока событий в условиях непродлевающегося мёртвого времени // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2014) : материалы XIII Междунар. науч.-практ. конф. им. А.Ф. Терпугова (20-22 ноября 2014 г.). Томск : Изд-во Том. ун-та, 2014. Ч. 2. С. 193-198.

29. Nezhel'skaya L.A. Optimal State Estimation in Modulated MAP Event Flows with Unexendable Dead Time // Communications in Computer and Information Sciences : proceedings of the 13th International Scientific Conference ITMM 2014 named after A.F. Terpugov «Information Technologies and Mathematical Modeling» (November 20-22, 2014). Cham Heidelberg ; New York ; Dordrecht ; London : Springer, 2014. P. 342-350.

Нежельская Людмила Алексеевна, канд. техн. наук. E-mail: ludne@mail.ru

Томский государственный университет Поступила в редакцию 15 ноября 2014 г.

Nezhelskaya Luydmila A. (Tomsk State University, Russian Federation).

Joint probability density of the intervals duration in modulated MAP event flows and its recurrence conditions.

Keywords: modulated MAP event flows; infinitesimal characteristics; probability density; joint probability density; flow recurrence

conditions.

Consider a modulated MAP flow of events with the intensity represented by a piecewise constant random process X(t) with two states: X() = X1 or X() = X2 (A > X2 > 0 ). The time when the process X(t) remains at the i th, i = 1,2, state depends on two random values: 1) the first random value has the exponential distribution function Fi^(i)= 1 - e-a,t, i = 1,2; when the i th state ends, process X(() transits with the probability equal one from the i th state to the j th, i = 1,2, (i ^ j); 2) the second random value has the exponential distribution function Fi^(f) = 1 -e-X,t, i = 1,2; when the i th state ends, process X(() transits with probability P (X j | X ,) from the i th state to the j th (i ^ j) and a flow event occurs or process X(t) transits with probability P0 (X j | X, ) from the i th state to the j th (i ^ j), but the flow event does not occur, or process X(t) transits from the i th state to the i th with probability P1 (X, | X,) and a flow event occurs. Here, P1 (Xj | X,) + P0 (X j | X,) + P1 (X, | X,) = 1; i = 1,2, i * j .

The first and the second random values are independent from each other. Under these assumptions, X(() is a Markov process. The infinitesimal characteristics matrices for the process X(t) are as follows:

Do

-

D1

XjPJ

We consider the stationary operation mode for the flow. Denote by Tk = 4+1-4, k = 1,2,... the value of interval k duration between the neighboring flow events. We may take that the probability density of the interval k duration is p(Tk) = p(t), t>0, for any k. Then, we can let tk = 0 without loss of generality, i.e., the moment of the event occurrence is t = 0. Now, let (4,4+1), (4+1,4+2) be the neighboring intervals with the corresponding duration values t k= 4+1-4, Tk+i = tk+2-tk+1. Due to the stationary of the flow, the arrangement of the intervals on a time axis is arbitrarily. That is way, we may consider the neighboring intervals (t1,t2), (t2,t3) with the corresponding duration values t1 = t2-t1, t2 = t3-t2; t1>0, t2>0. Here t1 = 0 corresponds to the moment t1 and t2 = 0 corresponds to the time moment t2 when the next event in the flow occurs. The respective joint probability density is defined asp(t1,t2), t1>0, t2>0.

The aim of this article is to obtain the explicit form of the probability density p(t) and the joint probability p(t1,t2) and then to formulate the conditions of the flow recurrence. These formulas are obtained and are as follows:

p(t) = yz1e - Z1X + (1 - y)z 2e-Z2X, x > 0,

y = —{z2 - X^ (0)[1 - P0 (X2 |X1)] - X2^ (0)[1 - P0 (X1 |X2)]}, Z2 Z1

(X1 +X 2 +a1 +a 2 2+a1-a 2 )2 + 4( +X1P0 (X

2 | X0Xa2 + X2P0

z2 = —

(a1 +a2 +a1 +a2 ) + )/(a1 -a2 +a1 -a2 )2 +4 (a1 +a1p0 (a2 1 a1 ))( +a2 P0 (a1 1 a2 )) (o) = {a 2 P1 (A1 |A 2 )(A1 + a1 ) + A1P1 (A1 |A1 )(a 2 + A 2 P, (A1 |A 2 ))){A1P1 (a 2 |A1 )(A 2 + a 2 )+

+ A 2 p(( |A 2 +a1 )+A1p((1 |A1 2 +A 2 P, ((1 |A 2 ))+A 2 P1 (a 2 |A 2 +A1P0 (a 2 A

n 2 (0) = {A1P1 (a 2 A )(A 2 + a 2 ) +A 2 P1 (a 2 |A 2 )(a1 +A1P0 (a 2 |A1 ))}{a1P1 (a 2 ( )(A 2 +a 2 ) +

+ A 2 P1 ((1 |A 2 +a1 ) +A1P1 ((1 |A1 X^ 2 + A 2 P0 ((1 |A 2 )) + A 2 P1 (a 2 |A 2 +A1P0 (a 2 |A1

^(T1, T2 ) = ^(T1 2 ) + y(1 - r)— [^1 (IA1 )P1 (A21A2 )- P1 (a1 A2 ) (A21A1

z1z2

x (z1e-Z'T1 - z2e-Z2T1 ^Z'T2 - z2e-Z2T2 )) x1 > 0,x2 > 0.

0 < z1 < z 2 ,

REFERENCES

1. Kingman J.F.C. On doubly stochastic Poisson process. Proc. of Cambridge Phylosophical Society, 1964, vol. 60, no. 4, pp. 923-930.

2. Basharin G.P., Kokotushkin V.A., Naumov V.A. O metode ekvivalentnykh zamen rascheta fragmentov svyazi [On a method of

equivalent substitutions for communications network fragments calculation]. Izvestiya AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, 1980, no. 6, pp. 92-99.

3. Basharin G.P., Kokotushkin V.A., Naumov V.A. O metode ekvivalentnykh zamen rascheta fragmentov svyazi [On a method of

equivalent substitutions for communications network fragments calculation]. Izvestiya AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, 1980, no. 1, pp. 55-61.

4. Neuts M.F. A versatile Markovian point process. Journal of Applied Probability, 1979, vol. 16, pp. 764-779. DOI: 10.2307/3213143

5. Dudin A.N., Klimenok V.I. Sistemy massovogo obsluzhivaniya s korrelirovannymi potokami [Queueing systems with correlated

flows]. Minsk: BGU Publ., 2000. 175 p.

6. Bushlanov, I. V., Gortsev, A.M., Nezhel'skaya, L.A. Estimating parameters of the synchronous twofold-stochastic flow of events. Automation and Remote Control, 2008, vol. 69, no. 9, pp. 1517-1533. DOI: 10.1134/S0005117908090075

7. Gortsev, A.M., Nezhel'skaya, L.A. Estimation of the dead time period and intensities of the synchronous double stochastic event flow.

Radiotekhnika, 2004, no. 10, pp. 8-16.

8. Vasilevskaya T.P., Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of the synchronous alterna-

tive flow with displaying or no displaying of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2004, no. 9 (II), pp. 129-138. (In Russian).

9. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Otsenivanie dlitel'nosti mertvogo vre-meni i parametrov sinkhronnogo al'terni-ruyushchego potoka

sobytiy [Estimation of the dead-time period and parameters of the synchronous alternative flow of events]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2003, no. 6, pp. 232-239.

10. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Otsenivanie parametrov sinkhronnogo dvazhdy stokhasticheskogo potoka sobytiy metodom mo-mentov [Estimating parameters of the synchronous twofold-stochastic flow of events by the moment method]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2002, no. 1(I), pp. 24-29.

11. Gortsev, A.M., Nezhel'skaya, L.A. Estimation of the parameters of a synchro-alternating Poisson event flow by the method of moments. Radiotekhnika, 1995, vol. 40, no. 7-8, pp. 6-10.

12. Leonova M.A., Nezhel'skaya L.A. Maximum-likelihood estimation of the dead time in a generalized asynchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2013, no. 2 (23), pp. 54-63. (In Russian).

13. Gortsev A.M., Leonova M.A., Nezhel'skaya L.A. Joint probability density of the intervals duration for generalized asynchronous flow of events with unextendable dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2012, no. 4 (21), pp. 14-25. (In Russian).

14. Leonova M.A., Nezhel'skaya L.A. The probability of wrong decision in the estimation of states of a generalized asynchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2012, no. 2 (19), pp. 88-101. (In Russian).

15. Gortsev, A.M., Nezhelskaya, L.A. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events. Discrete Mathematics and Applications, 2011, vol. 21, no. 3, pp. 283-290. DOI: 10.4213/dm1141

16. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Otsenivanie parametrov asinkhronnogo potoka s initsiirovaniem lishnikh sobytiy metodom mo-mentov [Estimating parameters of the asynchronous flow with initiation of superfluous events by moment method]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2006, no. 18, pp. 267-273.

17. Gortsev, A.M., Nezhel'skaya, L.A., Shevchenko, T.I. Estimation of the states of an MC-stream of events in the presence of measurement errors. Russian Physics Journal, 1993, vol. 36, no. 12, pp. 1153-1167.

18. Kalyagin A.A., Nezhel'skaya L.A. [Estimation of the dead time duration in a generalized semi-synchronous flow of events]. Materi-aly konferentsii "Novye informatsionnye teknologii v issledovanii slozhnykh struktur" [Proceedings of the 10th Russian conference with international participation "Novel information technologies for studying complex structures"]. Tomsk: Tomsk State University Publ., 2014, pp. 96-97. (In Russian).

19. Gortsev A.M., Kalyagin A.A., Nezhel'skaya L.A. Optimal state estimation for a generalized semi-synchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaya tekhnika I informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science, 2010, no. 2 (11), pp. 66-81. (In Russian).

20. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Semisynchronous double stochastic flow of events when the dead time is prolonged. Vychislit-el'nye tekhnologii - Computational Technologies, 2008, vol. 13, no. 1, pp. 31-41. (In Russian).

21. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochastic stream of events. Measurement Techniques, 2003, vol. 46, no. 6, pp. 536-545. DOI: 10.1023/A:1025499509015

22. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. Otsenivanie parametrov polusinkhronnogo dvazhdy stokhasticheskogo potoka sobytiy metodom momentov [Estimating parameters of the semi-synchronous double stochastic flow of events by moment method]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaya tekhnika I informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science, 2002, no. 1 (I), pp. 18-23.

23. Nezhel'skaya L.A. Optimal'noe otsenivanie sostoyaniy polusinkhronnogo potoka sobytiy v usloviyakh ego chastichnoy nablyudae-mosti [Optimal state estimation of the semi-synchronous flow of events under incomplete observability]. Vestnik Tomskogo gosu-darstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal, 2000, no. 269, pp.95-98.

24. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A. On connection of MC flows and MAP flows of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaya tekhnika I informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science, 2011, no. 1 (14), pp. 13-21. (In Russian).

25. Gortsev A.M., Nezhel'skaya L.A., Solov'ev A.A. Optimal state estimation in map event flows with unextendable dead time. Automation and Remote Control, 2012, vol. 73, no. 8, pp. 1316-1326. DOI: 10.1134/S000511791208005X

26. Gortsev A.M., Solov'ev A.A. The join density of probability intervals MAP of the flow of events and condition of its recurrence. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaya tekhnika I informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science, 2012, no. 3 (20), pp. 32-41. (In Russian).

27. Nezhel'skaya L.A. [Optimal state estimation for a modulated MAP events flow with unextendable dead time]. Materialy XIII mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Informatsionnye teknologii i matematicheskoe modelirovanie (ITMM) " [Proceedings of the 13th International scientific conference named after A.F. Terpugov "Information Technologies and Mathematical Modeling"]. Tomsk: Tomsk State University Publ., 2014, pt. 2, pp. 193-198. (In Russian).

28. Nezhel'skaya L.A. [Optimal State Estimation in Modulated MAP Event Flows with Unexendable Dead Time]. Informatsionnye tekhnologii i matematicheskoe modelirovanie (ITMM-2014): materialy XIII Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Proceedings of the 13th International scientific conference named after A.F. Terpugov "Information Technologies and Mathematical Modeling"]. Tomsk: Tomsk State University Publ., 2014, pt. 2, pp. 193-198. (In Russian).

29. Nezhel'skaya, L.A. [Optimal State Estimation in Modulated MAP Event Flows with Unexendable Dead Time]. Communications in Computer and Information Sciences: Proceedings of the 13 th International Scientific Conference ITMM 2014 named after A.F. Terpugov "Information Technologies and Mathematical Modeling". Cham Heidelberg New York Dordrecht London: Springer, 2014, pp. 342-350.