Параметрические исследования прочности и массы крыльев малого удлинения методом пластинной аналогии

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том ХШ 1982 №4

УДК 629.7.02.34

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЧНОСТИ И МАССЫ КРЫЛЬЕВ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ МЕТОДОМ ПЛАСТИННОЙ АНАЛОГИИ

Е. И. Крючков

В работе получил дальнейшее развитие метод пластииной аналогии. Разработана новая методика проектировочного расчета конструкции крыла малого удлинения с учетом деформаций сдвига в стенках и нервюрах. Используемые способы описания элементов конструкции и задания исходных данных облегчают задачу параметрического исследования силовой схемы крыльев. Получена зависимость массы силового материала от параметров формы крыла.

1. Метод пластинной аналогии при расчете крыльев малого удлинения

Разработанный алгоритм предназначен для проектировочных расчетов, включающих расчет напряжений и деформаций, потребных по условиям статической прочности сечений силовых элементов и массы силового материала. Крыло моделируется пластиной переменной жесткости. Набор координатных функций дает возможность рассчитывать крылья с неоднородными условиями в заделке. Алгоритм расчета включает метод дискретизации решения по заданным направлениям [1]. Реальные элементы описываются геометрическими параметрами жесткости, что значительно упрощает алгоритм и вместе с тем расширяет его возможности, например, позволяет получать предварительное распределение силового материала панелей и одновременно располагать подкрепляющие элементы панелей по направлениям главных деформаций.

В вычислительных программах используются два типа расчетной сетки. Сравнительный расчет вариантов крыла с различной геометрией может проводиться с автоматически задаваемой расчетной сеткой, описываемой небольшим числом исходных данных. Применение произвольной расчетной сетки позволяет рассчитывать реальные крылья с различной силовой схемой Задание нагрузок и толщин крыла в узлах, не связанных с расчетной сеткой, и дальнейшее их интерполирование по координатам расчетной сетки облегчают задачу параметрического исследования силовой схемы крыла.

2. Расчетные модели крыльев малого удлинения Учет деформаций сдвига в стенках. Под расчетной моделью крыла понимаются описание конструктивных элементов крыла, геометрии и расчетной сетки, а также уравнения работы конструкции.

Верхняя и нижняя поверхности крыла считаются конструктивно идентичными. Площадь крыла разбивается на элементарные участки, состоящие из обшивки, подкрепляющих наборов и стенок. Ортотропная обшивка характеризуется параметрами: толщиной — 8(г, дг), модулями жесткости — Ег, й и коэффициентами Пуассона —Ч|, >2; ориентация осей ортотропности совпадает с ориентацией подкрепляющего набора. Ортогональные продольный и поперечный наборы характеризуются параметрами: /\(г. х), £^, ?/(*, х) и /2(г, х), £д. соот-

1 48

ветственно; /, (г, х), и /а(г, х) — толщины .размазанных" по плошали участка наборов; ?/(*, х)— угол продольного набора /, (г, jc) с осью г; £/,, f/2- модули жесткости. Ортогональные стенки характеризуются модулями сдвигов G, у, G3 у и приведенными объемами f,(*. дг), t, (г, дс)—такими, что величины i, (г, х) bSh (г, х), Г2(г, x)\Sh(z, дг) представляют собой объемы силового материала стенок элементарного участка: здесь Л5 —площадь участка, Л (г, д:) —толщина крыла. Продольные стенки ¿,(г, д:) образуют с осью г угол х). Модули жесткости и коэффициенты Пуассона считаются постоянными по всему крылу. Сосредоточенные силовые элементы (лонжероны, стенки) распределяются на участках определенной ширины и характеризуются этими же параметрами: задаются /,, f,, = ф,; остальные величины — Ь, /г, t~— берутся равными нулю. Приведенные

выше параметры жесткости дают возможность описать реальную конструкцию крыла с произвольной силовой схемой.

При оптимизации могут варьироваться параметры 6, /,, /2, U, 9/, у,, а именно: 8, /„ /а, <„ по алгоритму равнопрочности на несколько случаев нагружения (в общем случае с переменными по размаху допускаемыми напряжениями). Соотношения /,/8 или /3/8 могут сохраняться постоянными,/,,*,— располагаться по направлению главных деформаций панелей.

Для полного описания деформированного состояния крыла с учетом сдвига необходимы три функции (2]: v(z, дг)—прогибы срединной поверхности крыла, 1гу(г, х), їху (г, дг) —сдвиги в сечениях х = const и г = const. Тогда относительные деформации крыла будут иметь виї:

J_

'-z = — 2 h \ дг"- ~ дг )’

і /д»у d-jx v\

*Х = — 2 h\dx‘ ~ дх )'

Г*. 1

Ldi- д-хг 2 1 1 дх дг )\

В настоящей работе вместо функций V, -¡гу, -¡ху введены функции у,, 1>2, причем так, чтобы

Р-*, -и2, 7.г

тогда

1 дг 1<1 1 I д- у, М \ / д} vI I

Ь = — ~2~л -д^Г • £* = — ”2* й ( ¿¿г + дх)’ 'I** ~~ л \дгдх ~2~ Иг ) '

Последние более соответствуют физической сути задачи - слабой зависимости между изгибными и сдвиговыми деформациями.

п т

Искомые функции деформаций раскладываются в ряды вида V V ?/(*)/;(*) су,

/=1 у=1

где сп — обобщенные координаты; г, х — координаты по размаху и хорде соответственно. Функции ?,•(*), предусмотренные в алгоритме, могут быть или це-

к

лыми неотрицательными степенями х; или ц{х) — хч П (•*—а,), где — коорди-

(=1

наты элементарных участков бортового сечения, в которых заданы граничные геометрические условия на прогибы, углы поворота сечения, ц—целый неотрицательный показатель степени; или •?, (дг) — полиномы Лагранжа в случае использования метода дискретизации решения []). Функции /у(г) — степени или полиномы от г. Набор функций <ц(х), /¡(г) определяется главными граничными условиями в заделке: на участках с жестким креплением выбираются так, чтобы

при г = 0 выполнялись равенства г, (г, л-) = 0, д:)=0, —* * ~ с шар-

нирным креплением: 1>, (г, дг) = 0, г'г (г, дг) = 0.

В методе дискретизации используются также естественные граничные усло-д* V,

вня для кривизны прогибов -------------=0 на свободных и шарнирно закреп-

ленных участках бортового сечения.

Решение осуществляется метолом Ритца с улучшенной сходимостью [3], корректировка в расчете с учетом сдвига производится по Мх, Мг и ()у. Интегрирование энергии деформации при составлении обобщенной матрицы жесткости и вектора нагрузок осуществляется суммированием по элементарным участкам. При этом учитывается неравномерность деформаций и напряжений по толщине обшивки. Вводится редукционный коэффициент обшивки К» равный отношению средней по толщине удельной энергии обшивки к удельной энергии при у = АГ2. При линейном изменении деформаций и напряжений по толщине 2й 4 / Ъ \2

крыла = 1 — — + Т'(Т~) • Введение данного коэффициента позволяет рас-п 3 \ А /

считывать монолитные крылья и крылья с толстой обшивкой.

3. Примеры расчета конструкций с учетом сдвига. Точность алгоритма исследовалась на расчете прямого кессона с размерами / = 150 см, Ь = 50 см Л=5 см. Толщина обшивки кессона 6 = 0,2 см, толщины стенок 5, = = 0.2 см.

3... = 0.1 см, модули жесткости материала £ = 7,2X10% 0=2,77105 даН/см*. коэффициент Пуассона положен равным нулю, нагрузка — равномерно распределенное давление р = 0,1335 даН/см!. Результаты расчета сравнивались

с расчетом по теории тонкостенных оболочек неизменного контура поперечного сечения с учетом стеснения деформаций в заделке. Сплошная линия —расчет по методу пластинной аналогии с учетом сдвига.

Как показывает сравнение (см. рис. 1), нормальные напряжения совпадают хорошо. Расчетная модель в общем верно отражает характер перераспределения напряжений вблизи заделки, в случае же расчета без учета сдвига напряжения постоянны по хорде. В напряжениях ~~гу имеется некоторая погрешность-метод дает завышенные напряжения в средней стенке и заниженные в крайних. По касательным напряжениям 1хг хорошо совпадают лишь средние напряжении на участках лг = 0-*-0,5 и л" = 0,51.0. Для уточнения касательных напряжений вблизи стенок можно пользоваться способом, изложенным в [4]. Очевидно, что более равномерные касательные напряжения от крутящих моментов будут рассчитываться точнее, чем разрывные от перерезывающих сил.

К недостаткам метода, снижающим точность, можно отнести то, что метод многочленов предполагает некоторую распределенность конструктивных элементов. в то время как в данном случае присутствуют сосредоточенные элементы-стенки; деформации задаются в виде гладких функций, касательные же напряжения вдоль средних стенок претерпевают разрыв. Применение метода целесообразно при проектировании многостеночных крыльев малого удлинения

В качестве примера конструкции с неоднородными условиями в заделке рассматривалась рулевая поверхность (рис. 2). Исходные данные: бортовая хорда — 100 см, концевая—30 см, длина по размаху —50 см, угол стреловидности по передней кромке 47°, крепление по борту на участке х = 0,325-+-0,475,

профиль ромбовидный, относительные толщины у борта и на конце 2,5% и З.ЗЗН, положение максимальной высоты по хорде —60% от передней кромки. Конструкция состоит из обшивки 3=0,2 см и стенок толщиной 0,2 см, начальные координаты стенок — х = 0,325; 0,375; 0,425 и 0,475, углы стреловидности — 52*. 22°, —5е и —45", еще одна стенка расположена в бортовом сечении. В заделке при .г = 0,3250,475 толщина обшивки 6=0,5 см. Для более точного выполнения граничных условий на участках лг = 0-*-0,325 и х = 0,475 — 1,0 считалось, что отсутствуют элементы, воспринимающие напряжения зг, ~.гу. По внешним кромкам, где строительные высоты Л меньше 0,4 см. конструкция рассчитывалась как монолитная: 3 = А/2, Модули жесткости материала £ = 7,2Х

Х105 даН/см5, б = 2,7X10* даН/см!, коэффициент Пуассона обшивки < = 0,Ч. Нагрузка — равномерно распределенное давление /» = 0,25 даН/см". Деформации представлялись в виде:

3 3

I*, (7, х) = 2 -*/-1 (* - 0,35)(х — 0,45) ак +2 1 (•* 0,4) гЛ,, +

1=1 1=1

+ 2 2^-'^+,с1У;

1=1

3 4 3

1-2 (г, х) — ^ х‘~1 (х— 0,35) (х — 0,45) а~ / -с 2

¡=1 /=1/=1

1=1/=1

Общее число степеней свободы JV = 46.

Результаты расчета с учетом сдвига показаны сплошной линией. Деформации прогибов в концевых сечениях для данной конструкции в расчете со сдвигом больше на 8%. Различие в нормальных напряжениях небольшое, деформации сдвига вызывают смещение максимума напряжений к задней кромке. Расчет других крыльев с положительной стреловидностью также показывает, что деформации сдвига приводят к разгрузке передних и догрузке задних лонжеронов.

4. Исследование зависимости массы крыла малого удлинения от геометрических параметров. Определялась зависимость массы силового материала консолей крыла малого удлинения от геометрических параметров формы крыла. Зависимость получена расчетом, числовые результаты аппроксимировались функциональными соотношениями. Идеализация расчетной схемы такова: силовые элементы моделировались обшивкой, нагрузка была взята в виде равномерно распределенного по поверхности крыла давления, обшивка рассчитывалась под заданные напряжения по алгоритму равнопрочности. В этом случае расчет охватывает около ЗОИ массы крыла.

Анализ работы конструкции приводит к формуле:

spS3 * —

т = const —— £(>-, т„ /, хс, ас),

ВС

где т — масса силового материала крыла; ? — плотность; р — удельная расчетная нагрузка; S — площадь крыла; о — допускаемые напряжения; с — относительная толщина у борта; X, г„ '/. — удлинение, сужение и стреловидность по линии

0,5 хорды; —положение максимальной толщины профиля по хорде; ^—отношение средней высоты профили к максимальной.

Отыскивалась упрощенная зависимость, функция F была разложена на множители: F = FiWXFtfr, *) X £3(*, MX?1 (•*<•. '?с)> вид функций F¡, F... F3, Ft задавался, числовые коэффициенты определялись по данным расчета. На основании проведенных расчетов было получено выражение

т - const (1 + 2.52 V-03) /0.804^0.647 cos х х

ас

X ((\84/cos2 / — 1,42 cos /.-!)[!- (0,83/cos ут - 0.63) bc) X у [i +4,23(0,5- 5f)(i,5 — >.tg-/.-^)(l-w] .

Последовательность определения, например, функции F-, (X, •/_) представлена на рис. 3, а, б. Варьировалось два параметра: удлинение и стреловидность. Результаты расчета показаны точками, аппроксимирующие их соотношения — сплошной линией.

Зависимость величины lg/п от lgX(puc. 3, а) хорошо описывается соотношением lg т = я(у) lg л + lg Ь (у) или т <=• b (/) \а М, по рис. 3, б имеем «('/.) = = 0,804 -г 0,647/cos y. т. е. F, (Л, у) = Ь (у) /О.«н*о.647 со* г

Используя полученные зависимости и статистические данные, можно получить весовую формулу крыла:

/якр = 5,22-10~бЯЯ1>- (I - 2.52/т,1

С

х -д0.804+0,647,со» X (0,84/COS1 / — 1,42/COS у + 1) + 20,1 S,

которая применима для расчета массы крыльев маневренных самолетов, где л— расчетная перегрузка; т0 — взлетная масса самолета, кг; S—полная площадь крыла, м-.

Результаты исследований, а также расчеты по данной методике использовались при анализе компоновочных схем крыла сверхзвукового пассажирского самолета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Л и п и н Е. К. Применение метода дискретизации решения по заданным направлениям в расчетах крыльев с произвольным расположением силовых элементов. Труды ЦАГИ, вып. 1504, 1973.

2. Буньков В. Г. Учет деформаций сдвига при расчете колебаний крыла малого удлинения методом многочленов. .Ученые записки ЦАГИ", т. Ill, jN6 4, 1972.

3. Крючков Е. И. Улучшение сходимости метода многочленов в расчетах крыльев малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ*, т. X, № 3, 1979.

4. Комаров В. А. Расчет крыла малого удлинения, как пластины переменной жесткости. Труды КуАИ, вып. XXXII, 1968.

Рукопись поступила 6¡l 1981 г.