СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ЛИНИЕЙ СИНГУЛЯРНОСТИ

PHYSICS AND MATHEMATICS

СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ЛИНИЕЙ

СИНГУЛЯРНОСТИ

Акимов А.А.

к. ф. м.-н., кафедра фундаментальной математики СФ БашГУ

Багаутдинова М.Ю.

студент СФ БашГУ

SPECTRAL PROBLEM FOR AN ELLIPTIC EQUATION WITH A SINGULARITY LINE

Akimov A.,

Ph. MD, Department of Fundamental Mathematics, Sterlitamak Branch of the Bashkir State University

Bagautdinova M.

student of Sterlitamak Branch of the Bashkir State University

Аннотация

Теория краевых задач для уравнений эллиптического типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Поставлена и исследована краевая задача для эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом в прямоугольной области. Для доказательства существования решений использован спектральный метод Фурье, основанный на разделении переменных. Решение поставленных задач построено в виде суммы ряда Фурье - Бесселя. Сформулирована теорема единственности поставленной задачи. При обосновании равномерной сходимости построенного ряда использованы асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, которые позволили доказать сходимость ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.

Abstract

The theory of boundary value problems for equations of elliptic type, due to its applied and theoretical significance, is one of the important sections of the modern theory of partial differential equations. A boundary value problem for an elliptic equation with a singular coefficient in a rectangular domain is posed and investigated. To prove the existence of solutions, we used the spectral Fourier method based on the separation of variables. The solution to the problems posed is constructed as the sum of the Fourier - Bessel series. A uniqueness theorem for the problem posed is formulated. In justifying the uniform convergence of the constructed series, we used asymptotic estimates for the Bessel functions of the real and imaginary arguments. On their basis, estimates were obtained for each term of the series, which made it possible to prove the convergence of the series and its derivatives up to the second order inclusive, as well as the existence theorem in the class of regular solutions.

Ключевые слова: задача Келдыша, уравнение эллиптического типа, сингулярный коэффициент, спектральный метод, единственность решения, существование решения.

Keywords: Keldysh problem, elliptic type equation, singular coefficient, spectral method, uniqueness of a solution, existence of a solution.

Рассмотрим уравнение эллиптического типа

Р

Su + Ли = uxx + uyy + — ux +Ли = 0,

x

где , в области эллиптичности О -

бесконечной полосе, ограниченной прямыми X = 0, X = 1 и у = 0 .Для уравнения (1) при

р ^ 1 иД< 0 в области D поставим краевую задачу:

Найти ограниченную на D функцию u(X, y), удовлетворяющую условиям:

u

Su

lim u

y^+x

u

где t( x) - заданная, достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию согласования

г(1)= 0.

Отсутствие краевого условия на границе x = 0 объясняется следующим.

Преобразуем уравнение (1), положив

x = 2 V?, y = r

Получим уравнение

+ u + p + 1 U?+ÄU = 0.

Пусть функция и(X, у) является решением

задачи (2) - (6). В уравнении (1) разделим переменные, представив

и

и подставив (8) в (1):

X"(х)У (у) + X (х)У"(у) + + РХ'( х)У (у) + ЛХ (х)У (у) = 0'

X

Поделив обе части последнего равенства на произведение X(х)У(у) Ф 0, получим уравне-

ние:

X"(x) Y"(y) p X' (x) , n

V —+ ^-\-L + l = 0 .

X(x) Y(y) x X(x) Уравнение (9) перепишем в виде

X"

X

-Л = -л2,

т 2

Область В взаимно-однозначно преобразуется в бесконечную область В' плоскости

, ограниченную линиями дд = 0, Т] = 0 и * 1

д = —. Задача (2) - (6) для уравнения (1) в области В эквивалентна краевой задаче для уравнения (7) в области О, в которой не требуется задания краевого условия на линии дд = 0.

Корректность этой задачи для уравнения (7) в области О обоснована в известной работе Келдыша [1].

В работе [2] были доказаны единственность и существование решения задачи, аналогичной (2) -

(6) при Л = 0 , в произвольной ограниченной области, лежащей в полуплоскости у > 0 и ограниченной линией X = 0. Была построена теория потенциала уравнения (1) при Л = 0 и получена формула решения через функцию Грина. Для полукруга построена функция Грина и в явном виде выписано решение задачи.

В работе [3] для уравнения (1) при

0 < р < 2, Л = 0 в четверти круга

{(X, у) | X2 + у2 = 1, X > 0, у > 0} построено решение краевой задачи с нелокальным условием на линии у = 0 в виде суммы биортогональ-

ного ряда. Решение этой задачи использовалось при построении решения задачи Трикоми.

В данной работе используется спектральный

метод для решения задачи (2) - (6) при р ^ 1 и

Л< 0.

где ¡Л - вещественная константа разделения. Левая часть равенства (10) зависит только от X, а правая часть - только от у, поэтому равенство

(10) возможно тогда и только тогда, когда правая и левая части представляют одну и ту же постоянную .2

¡Л . Тогда из соотношения (10) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка

X"(X) рХ'^)_ 2

--1---= ,

X

Y"

+ Л = ¡л2

или равносильные им уравнения X2X"(X) + pxX (X) + X VX(X) = 0 ,

0 < X < 1,

У"

Найдём общее решение уравнения (11). Заменяя в (11) функцию

1- р

X(X) = X 2 2 (ЛX) и переменную z = ¡XX , получим уравнение Бесселя

z2 2" + zZ +

при р ^ 1.

Записывая общее решение уравнения Бесселя в виде

2 = С1Л (z) + С2У, (z),

где - функция Бесселя первого рода, У

- функция Бесселя второго рода, С и С2 - постоянные, получим общее решение уравнения (11) в виде

The scientific heritage No 68 (2021) 47

X(x) = x v[OlJvßx) + С2Y(ß)], уравнения (Щ котоРое удовлетворим условию

v = £-1. (13) X(1) = CJ^ ß) = 0 о QJ^ ß) = 0.

2 2 2 Так как функция Yv (ßx) при x ^ 0 обра- Исхода из госледнето уравшшия имеем

щается в бесконечность, то ограниченным на 10; 1

Jр-1 (ß) = 0 и C ^ 0, так как в противном

2

решением уравнения (11) будет функция (13) при

_ п случае получим тривиальное решение X (X) = 0

— 0 , то есть

. Поэтому /Л является корнем бесселевой функции

X(X) — С1X 2 3 Р_1 (/X) . (14) 1р—1 ) . Так как нули функции Бесселя

2 2 2 Найдём общее решение уравнения (12). Соста- л — \

вим характеристическое уравнение, соответствую- при Р-> 0 положительны и счетны [9, c. 266],

щее уравнению (12): 2

к2 + (Л — /Л2 ) — 0 ^ к — ±у!(/ — Л), то обозначим через /п, П е N - П -ый положи-где /Л — Л > 0, т.к.

Тогда общее решение уравнения (12) имеет 2

вид: Итак, система функций

ß ~Л> 0 , т.к. Л < 0 . тельный к°рень функции Jp_i (t) .

у

с некоторыми постоянными С2 и С3 . В полу- I 2 J 1

ченном общем решении слагаемое где /Лп - положительный вещественный ко-

I 2

С С Л — при у — , а слагаемое рень бесселевой функции 3 р_ 1 (?) , является си-

С« У —^ 0 при у —>. Поэтому стемой собственных функций спектральной задачи

ограниченным решением уравнения (12), обращаю- (11), (15), соответствующей множеству собствен-

щимся в нуль на бесконечности, является функция ных значений \и

У(у) — Се У. Из приведенных результатов следует, что , функция Таким образом, ограниченное в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее условию ✓ ч _ ^ , ч _-\/п2—Лу (5), есть функция ип (^у) — -1 1 р_1 ^п1*^

(5), есть функция V^> - л ^ p

bp , 2 2 Т (, гЛо~Vß2-

2

и( X, у) — X (X) • У (у) — Сx 2 1 р_! (/с)е ^ Л удовлетворяет условиям (3) - (5).

Решение задачи (2) - (6) будем искать в виде

с некоторой постоянной C .

суммы ряда

По предположению u

(2) - (6), то есть u(x; y) удовлетворяет условию

(4): Ш 1\Р

u(1, y) = X(1) • Y(y) = 0, 0 < y < +Ш, = X Cnx 2 Jpzi (ßnx^ Vß

2

откуда

n=1

X ^1) — 0 (15) где Сп - неизвестные пока коэффициенты.

Следовательно, функция X(X) из представ- Покaжем, что функция и(х, у), определяе-

ления (8) является решением следующей спек- мая формулой (17), удовлетворяет условию (6) и

тральной задачи: найти значения параметра ß и

принадлежит классу (2) краевой задачи.

Удовлетворяя (17) граничному условию (6), соответствующие им ограниченные на [0,11 имеем

функции X(X) Ф 0, которые удовлетворяют

уравнению (11) и граничному условию (15).

Для решения этой спектральной задачи воспользуемся ограниченным на [0,1] решением

1-p

T

n=1

или

2

р-1

/^) = X 2 Т

„=1 2

Таким образом, (18') есть разложение функции

f(x) в ряд Фурье-Бесселя по функциям

Jp-iC4nx)

n=1

Из теории разложений Фурье-Бесселя [9, с. 277] следует, что

С =

J

2 i

-^Т J xf (x)Jvi^nx)d-

v+1 ¡n ) 0

1

константа.

p-1 2

fi0)=

p-1

2

p-3

p-1

x 2 r

'

p-1

lim rM = Z-llim r(x). x 2 -

2 x^0 3^p 3 - p x^o v 7

= 0

x

если Г( x ) дифференцируемая функция на

[0;1).

Поэтому справедлива Лемма 2.

<2/

x)dx,

при условии V > — — . В нашем случае р -1

при р > 1.

Обоснуем равномерную сходимость ряда в правой части (18') к функции f (х) на [0;1]. Имеет место утверждение [9, с. 288]

Утверждение. Если f(x)определена и дважды дифференцируема на [0;1],

/ (0) = /\0)= 0, / (1)= 0, /(X) ограничена, то

\с„\ <С,

Л„2

где Сп определяются по формуле (19) и С -

Если р > 1,

ф)е С[0;1]п С2 (0;1), т(1) = 0, то коэффициенты (19) удовлетворяют неравенству (20).

При наличии оценки (20) ряд в правой части формулы (18') сходится абсолютно и равномерно на [0;1] [9, с. 282]. Следовательно, при выполнении

условий лемм 1 и 2 относительно Т^) имеет место равенство (18), значит, функция и(\; у),

определяемая формулой (17), удовлетворяет краевому условию (6). Очевидно, что

чм„2 -лу

k(x,У) < |Сп

Jp -1

Потребуем, чтобы /(X) = X 2 т(x) удовлетворяла условиям теоремы 1.

1) Пусть р = 1, тогда /(X) = Т^) и

условия /(0) = / (0) = /(1) = 0 очевидно равносильны условиям

т(0) = Т (0) = т(1) = 0 . Тогда из утверждения вытекает

Лемма 1: Если р = 1,

ф)е С[0;1]п С2 [0;1),

т(0) = Т (0) = т(1) = 0, то коэффициенты (19) удовлетворяют неравенству (20).

2) Пусть р >1 . Очевидно, в этом случае

/ (0) = 0,

< С • е~Лп, У^; у) е В Значит, функциональный ряд в правой части

(17) мажорируется на О числовым рядом

да да

2 е Лп , ¡1п ~ „ . Так как ряд 2 е Лп сходится,

„=1 п=1

то по признаку Вейерштрасса ряд в (17) сходится абсолютно и равномерно на О, т.е. сумма

и(X; у) ряда в (17) непрерывна на В. Нетрудно показать, что

о и„

dxm

д mu„

ду"

< Сл . е-¡n, V(x; y)е D,

< Сл . е-¡n, V(x; y)е D.

Это значит, что производные т -го порядка от функции и(\; у) в области В мажорируются

да

1 т - ¡1

сходящимся числовым рядом 2 Лп е „ . По-

п=1

этому ряд в правой части (17) можно почленно дифференцировать сколь угодно раз, т.е. сумма этого

ряда и^; у) е С да(В).

Итак, доказана теорема существования решения задачи

Теорема 1. Если а) при р = 1

ф)е С[0;1]п С2 [0;1],

О

x=0

00

<

>

2

2

2

т(0)=т (0)=т(1)= 0, б) при р > 1

ф)е С[0;1]п С2 (0;1), т(1) = 0, то существует решение задачи (2) - (6) при р > 1, Л < 0 и оно имеет вид

1-p

u(x, У) = Е Cnx 2 Jp-1 (лnx)e

-hn2-ЛУ

n=1

где С определяются по форму-

лам

С =

J2 (л ,

J p+1 MnJ 0

, 1 p+1

^Jx 2 r(x)Jp-1 (¡nx)dx . (Лп ) 0 IT

Теорема 2. Если существует решение задачи (2) - (6) при р > 1 и Л < 0, то оно единственно.

Список литературы

1. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области [Текст] / М.В. Келдыш // Доклады АН СССР. - 1951. - Т. 77, № 2.

2. Пулькин, С.П. Некоторые краевые задачи

P

для уравнения uxx ± u Н--Ux = 0 [Текст] / С.П.

x

Пулькин // Уч. зап. Куйбыш. пединститута., 1958, Вып. 21.

3. Сабитов, К.Б., Ильясов, Р.Р. Решение задачи Трикоми для уравнения с сингулярным коэффициентом спектральным методом [Текст] / К.Б. Сабитов, Р.Р. Ильясов // Изв. вузов. Матем. - 2004. - № 2.

4. Akimov A., Safin E., Agafonova A. On uniqueness generalized problem of Tricomi for the Chaplygin equation// International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017. Т. 115. № 4. С. 895-899.

5. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи [Текст] / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. -1999. - Т. 35, № 8.

6. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций [Текст] / Г.Н. Ватсон. - Ч.1.- М: ИЛ, 1949.

7. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. [Текст] / А. Зигмунд. - М: Мир, 1965.

8. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / Э. Камке. - М: ИЛ, 1949.

9. Акимов, А.А. О единственности решения задачи типа Неймана для уравнения Чаплыгина [Текст] / А.А. Акимов. - Вестник Московского государственного областного университета. 2013. № 4. С. 38.

о

2

2

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Наметкулова Ф.Д.

Канд. пед. наук, доцент, Наметкулова Р.Ж., Кадиримбетова А.К.

таршие преподаватели Таразский региональный университет им. М.Х. Дулати, г. Тараз, Республика Казахстан

SOLVABILITY OF A CLASS OF NONLINEAR INTEGRAL EQUATIONS

Nametkulova F.,

Candidate of Pedagogical Sciences Nametkulova R., Kadirimbetova A.

Teachers

Taraz State University named M.Kh. Dulati, Taraz, Kasakhstan

Аннотация

Исследованы вопросы однозначной разрешимости нелинейного интегрального уравнения специфического вида и указан алгоритм построения его решения. Установлены достаточные условия существования единственного решения.

Abstract

Were studied problems of the unique solvability of a nonlinear integral equation of a specific type and an algorithm for constructing a solution. We establish sufficient conditions for the existence of a unique solution.

Ключевые слова: Нелинейное интегральное уравнение, оптимальное управление, принцип сжимающих отображений, метод последовательных приближений.

Keywords: nonlinear integral equations, optimal control, the contraction mapping principle, the method of successive approximations.