Методы и критерии оценки решения задач областной олимпиады школьников по математике

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.95.5.105

МЕТОДЫ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБЛАСТНОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ

Научная статья

Келдибекова А. О. * ORCID: 0000-0001-6444-0468, Ошский Государственный Университет, Ош, Киргизия

* Корреспондирующий автор

Аннотация

Основной целью статьи является демонстрация методов решения и критериев оценки олимпиадных задач областного этапа республиканской олимпиады школьников по математике 2019 года в Кыргызской Республике. В ходе исследования изучены положение олимпиады, принципы комплектации и требования к олимпиадным заданиям областного этапа, изучены критерии их оценивания. В областной олимпиаде 2019 года применялись новые критерии оценивания: введена 10-балльная оценка заданий, определены баллы за каждый этап решения задач олимпиады. Четко сформулированные критерии оценивания заданий позволяют выполнить качественный отбор победителей олимпиады.

Ключевые слова: математика, областной этап, олимпиада, задача, решение, критерии оценивания.

METHODS AND CRITERIA FOR EVALUATING THE SOLUTION OF PROBLEMS OF THE REGIONAL

OLYMPIAD OF SCHOOLCHILDREN MATHEMATICS

Research article

Keldibekova A. O.

PhD in pedagogy, associate professor,

ORCID: 0000-0001-6444-0468, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

* Corresponding author

Abstract

The main purpose of the article is to demonstrate the solution methods and criteria for evaluating the Olympiad tasks of the regional stage of the republican Olympiad of schoolchildren in mathematics in 2019 in the Kyrgyz Republic. During the study, the position of the Olympiad, the principles of bundling and requirements for the Olympiad tasks of the regional stage were studied, the criteria for their evaluation were studied. In the regional competition in 2019, new assessment criteria were applied: a 10-point assessment of tasks was introduced, points for each stage of solving the problems of the competition were determined. Clearly defined criteria for the assessment of tasks allow you to perform a qualitative selection of the winners of the Olympiad.

Keywords: mathematics, regional stage, Olympiad, task, decision, criteria for evaluation.

Введение

Областной этап республиканской олимпиады школьников 2019 года проведен в два тура 12-13 марта во всех областях Кыргызстана. Как и в 2018 году, в разработке олимпиадных заданий, организации и проведении олимпиады приняла участие независимая организация «Центр оценки в образовании и методов обучения», специализирующаяся на научно обоснованном, независимом тестировании в Кыргызстане.

В Кыргызской Республике областной этап республиканской олимпиады проводится для учащихся 10-11 классов школ областей и городов Бишкек и Ош после предыдущих школьного и районного этапов.Задания олимпиады

разрабатываются соответственно «принципам: - задания должны быть направлены на выявление у учащихся, с высокой мотивацией, учебных навыков в определенной научной области, умении применять знания в новых условиях, анализировать, оценивать различные подходы к решению задач, нахождению нестандартных решений, умению аргументировать собственную точку зрения; - задания могут допускать широкий диапазон ответов, формулировку нескольких гипотез, различную аргументацию и другие возможности проявления учащимися творческого подхода; -задания должны иметь четкие критерии оценки (оценивается самостоятельность и логичность мышления, владение информацией для формулирования аргументов, навыки доказательства и аргументации, новизна решения);

- задания должны быть направлены на оценивание умений учащегося самостоятельно применять свои знания на практике, ставить задачи и решать их в новых условиях» [5].В статье будет рассмотрен вопрос об оценивании олимпиадных заданий по математике на основе критериального подхода.

Цель

Цель исследования состоит в изучении методов и критериев оценивания решений олимпиадных задач областного этапа республиканской олимпиады школьников по математике в Кыргызской Республике, проведенной в 2019 году.

Методы исследования

В ходе исследования применялись анализ педагогической, методической литературы, программных документов, положения об олимпиаде. Изучено содержание протоколов областного этапа олимпиады, олимпиадных задач по математике, критериев их оценки. При непосредственном участии автора в жюри олимпиады, проводилось наблюдение за процессом организации олимпиады.

Результаты исследования и их обсуждение

На первостепенную важность определения четко поставленных критериев оценивания олимпиадных заданий при определении победителей олимпиады, указывают следующие факты: «Критериальное оценивание, как правило,

позволяет объективно разрешить все споры (если они возникают) относительно полученных отметок» [3]. А также: «Правильное, грамотное определение критериев оценки (оценивающих факторов), показателей (признаков, по которым производится однозначная оценка), использование адекватных им измерителей (инструментов, с помощью которых производится оценка: анкет, тестов, протоколов наблюдений) - залог верного оценивания любой деятельности, метода» [4]. В олимпиадах разного уровня, предназначенных для учащихся разного возраста, критерии оценки олимпиадных заданий также гибко варьируются. Одна из старейших и престижных международных математических олимпиад школьников (ММО) отличается своим жестким отбором победителей и призеров, позволяющим выявить самых сильных участников. В задания ММО включены такие разделы математики, как комбинаторика, геометрия, теория чисел, особое внимание уделяется доказательствам [6].

А в олимпиадах для младших школьников городского (областного) этапа члены жюри оценивают не качество оформления решения задачи, а степень его понимания, так как ученики этого возраста еще не умеют формулировать и оформлять свои решения письменном виде. Но есть единые принципы оценивания олимпиадных заданий, которых придерживаются жюри олимпиад всех уровней. Например, олимпиадные задания имеют разные варианты решений, оценка задачи не должна зависеть от объема или рациональности решения. Тем не менее, при обучении школьников математике, в том числе и при подготовке учащихся к математическим олимпиадам, все-таки необходимо обучать школьников умению находить оптимальное решение. Результаты исследований показывают, что будущие учителя математики предпочитают применять более сложный алгебраический способ решения, при имеющейся возможности рационального арифметического решения, а методы решения будущих учителей начальных классов отличались разнообразием [7]. Возможно, это говорит о том, что правильно заданная установка и отсутствие шаблонов при обучении, способствует воспитанию рациональности и нестандартности мышления ученика. Наше мнение подтверждается Хи Ла^, автором учебного курса обучения методам решения олимпиадных задач по математике, проведенного в Сингапуре, который акцентирует внимание на том, что математические олимпиады представляют собой систему развития математического опережающего образования, т.е. это нечто большее, чем просто тренировка по отработке навыков решения олимпиадных задач [8].

На Всероссийской олимпиаде школьников по математике при оценивании олимпиадных работ участников, принимаются во внимание следующие аспекты решения:

- правильное решение;

- решение с недочетами;

- решение с пропущенными важными случаями, либо с доказанным одним из двух (более сложным) утверждений задачи;

- доказательство вспомогательных утверждений, помогающих в решении задачи;

- рассмотрение отдельных важных случаев при отсутствии решения;

- решение олимпиадной задачи оценивается в 0 баллов за угаданный правильный ответ без обоснований [1].

Место, присуждаемое участнику на олимпиаде, определяется на основании рейтинга полученных баллов.

Рассмотрение апелляции проводится с участием самого участника и учителя соответствующего предмета. Поэтому, считаем важным, чтобы в результате критериального оценивания участник имел возможность видеть итоговый балл, полученный им за выполнение олимпиадной работы, а также баллы, которые он получил соответственно каждому критерию.Полное и правильное решение олимпиадного задания по математике в республиканской олимпиаде школьников Кыргызской Республики, в предыдущие годы, оценивалось в 7 баллов. Обобщив личный, 25-летний опыт работы в комиссии на математических олимпиадах школьников в г. Ош, считаем 7-балльное оценивание несовершенным, поскольку, на каждом этапе решения необходимо учитывать рекомендуемое соответствие правильности решения и выставляемых баллов [9]. Исходя из этого, в 2017 году, с целью уменьшения субъективизма в оценивании, было предложено ввести 10-балльную систему оценивания решения олимпиадной задачи по математике. В результате, в 2019 году на областной олимпиаде по математике оценивание задач проводилось соответственно установленным критериям по 10-балльной шкале [10]. С методами и критериями оценивания решений задач республиканского этапа олимпиады по математике 2019 года, читатель может ознакомится в [11]. Здесь же покажем решение и критерии оценивания каждой задачи областного этапа этой олимпиады.

Задача 1. Какое из чисел больше: (2019 + 2019) или 1920? Решение задачи 1. Приведем два возможных способа доказательства:

1 способ. Оценим значение числа, используя бином Ньютона:

2019 = (19 + 1)19 = 1919 +

+ 19-19 + 1 < 1919 + + {19 • 1918 + (19 • 18) • 1917 + - + (19 • 18 • ... 3) X 192} + +361 + 1 < 1919 + 17 • 1919 + 361 + 1 = 18 • 1919 + 362

В фигурных скобках имеем 17 слагаемых, каждое из них меньше 1919.

2019+2019 < 18 • 1919 + 362 + 2019 = = 18 • 1919 + 2381 < 18 • 1919 + 1919 = 1920

2 способ. Разделим оба числа на 19 . Оценим значение числа:

2019 ' 1 -19

+ (1 + !9) ^^¿Ж^Ь

1919 19 19 19

9 , ч , , 1,1^/, -I , Л 5

<1 + (1 + 1) (1 + 119)<1 + (1+?) <1 + ((1 + 9)) <

ю5

< 1 + (1 + -) <1 + 1,62 • 1,6 < 1 + 3 • 1,6 < 7 < 19

Таким образом, доказали, что 2019+2019 < 1920. Ответ: второе число больше.

Критерии оценки задачи 1. Общая идея решения заключается в том, что значение числа 2019 значительно меньше значения числа 1920, поэтому добавление числа 2019 не меняет отношения.

При проверке все вычисления должны выполнятся не с округлением чисел, а с их оцениванием в нужную сторону.

- Верный ответ без вычислений и доказательства оценивается в 1 балл.

- Верный ответ с неполным доказательством, но правильными вычислениями оценивается по усмотрению жюри до 5 баллов.

- Верное полное доказательство задачи оценивается в 10 баллов.

Задача 2. А) Сколько существует пятизначных чисел, цифры которых могут быть только 2, 1 или 0 (например, 20000, 12222, 20100)?

Б) Найдите сумму этих чисел.

Решение задачи 2 А: 1 способ. У таких пятизначных чисел на левой позиции стоит 1 или 2. На каждой из оставшихся четырех позициях стоит любая из трех допустимых цифр. Следовательно, общее количество этих пятизначных чисел равно:

Х = 2- 3- 3- 3- 3 = 162.

2 способ. Применим троичную систему счисления. Наименьшее допустимое число 10003 = 1 • 34 = 81. Наибольшее допустимое число

222223 = 2 • 34 + 2 • 33 + 2 • 32 + 2 • 31 + 2 = 242

Общее количество 242-81+1=162 (здесь возможно ошибиться на 1). Ответ: 162.

Решение задачи 2 Б. На позиции единиц этих допустимых цифр поровну по 54. Их сумма равна 51 = 2 • 54 + 1 • 54 + 0 • 54 = 162.

Суммы 52 , 53 , 54 на позициях десятков, сотен и тысяч будут соответственно 52 = 1620, 53 = 16200, 54 =162000. На позиции десятков тысяч цифр 2 и 1 поровну, по 81. Их сумма равна

55 = 2 • 81 • 10000 + 1 • 81 • 10000 = 2430000

Сумма всех этих пятизначных чисел составит:

5 = 51 + 52 + 53 + 54 + 55 = 2 609 982.

Ответ: 2 609 982. Критерии оценки задачи 2.

А) верный ответ 162, без обоснования, оценивается в 1 балл, с обоснованием ответа - в 5 баллов. Б) верный ответ без обоснования оценивается в 1 балл, с обоснованием - в 5 баллов.

Верное полное решение задачи, с обоснованными решениями частей А и Б, оценивается в 10 баллов.

3

Задача 3. Длина прямоугольника L равна 19, высота прямоугольника H равна ^. В центре прямоугольника

3

начерчены три концентрические окружности 51, 52, 53. Диаметр большей из них равен - ^ диаметр второй равен

3 1 5

- , диаметр третьей равен - В1.

A) С какой целью можно использовать такой чертеж?

Б) На сколько процентов длина второй окружности больше длины третьей окружности?

B) Найти отношение площади кольца между второй и третьей окружностями к площади внутри третьей окружности.

Г) Найти расстояние от вершины прямоугольника до большей окружности и округлить его до целого числа с избытком.

Решение задачи 3.

А) Участники олимпиады должны догадаться, что размеры с таким соотношением сторон имеет флаг Кыргызской Республики.

3

Б) 1 способ. Длина второй окружности С2 = п • £2 = - • я •

1

Длина третьей окружности С3 = п • £3 = - • я • . Тогда

1 20 С2 = С1 + 1 • С1 = С1 + — • С1 = С1 + 20% • С1.

2 1 5 1 1 100 11 1

Ответ: Длина второй окружности больше длины третьей на 20 %. В) Площадь внутри третьей окружности равна:

П3 = - • Дз = - • Г1^ Д1)2 =—•£>!.

3 4 3 4 42 Ч 16 1

Площадь кольца равна разности площадей второй и третьей окружностей:

п л /3 \2

---А2 = -• (-• Д ) -

16 1 4 (5 V

пк = п2 - п3 = - • £>| - — • а2 = - • (- • а) - — • а2 -

к 2 3 4 2 16 1 4 15 V 16 1 /1 9\ , п ,11 = (т • ^) • ^ • 01 - тт х 01 = тг^ • ^ • 01

4 25 1 16 1 400 1

получена формула площади кольца.

Отношение площади кольца между второй и третьей окружностями к площади внутри третьей окружности равно

11 А2):(^ А2) = 11:25

Пк: П3 = (--п • А2) : (— • А2) =

к 3 400 1 16 1

Ответ:— или 0,44.

25

Г) Расстояние от вершины прямоугольника до его центра вычисляем по теореме Пифагора

Ь= 1Д192 + (3 • 19)2) = 1,9 • -/34 « 11,14.

Вычитая из этого числа радиус большей окружности

1 3 3 171

= 2 •19 • 5 • 5 = "570" = 3,42

получим искомое, выполнив округление результата с избытком:

11,14-3,42=7,72^8

Ответ: 8.

Критерии оценки задачи 3.

A) любое упоминание флага Кыргызстана оценивается в 1 балл.

Б) Другой способ решения опирается на факт: отношение длин окружностей равно отношению диаметров. Поэтому, за ответ: длина второй окружности больше длины третьей окружности на 20 % начисляется 1 балл. Здесь предполагается, что длина третьей окружности принимается за 100%.

Верное полное решение оценивается в 3 балла.

11

B) За ответ: — или 0,44 без обоснования начисляется 1 балл, с обоснованием 3 балла.

25

Примечание: Если сделать чертеж на клетчатой бумаге, то можно получить этот же ответ. Но так как ответ будет получен без строгого математического доказательства, то такой ответ оценивается в 2 балла.

Г) Неправильный результат измерения или приближенный ответ оценивается в 0 баллов. Верный ответ с обоснованием 3 балла.

Таким образом, полное верное решение задачи оценивается в 10 баллов.

Задача 4. В выражении 10:9:8:7:6:5:4:3:2:1 можно по-разному расставить скобки, определив тем самым порядок действий, и получить разные результаты. Какие наибольшее и наименьшее натуральные числа могут быть получены таким образом?

Решение задачи 4. Наименьшее число находится последовательностью действий:

10: 9: (8: 7 (6: (5: 4(3: 2:1)))) = 7

Число 7 не сокращается и остается в числителе, поэтому наименьшее число меньше 7 быть не может.

Наибольшее число можно найти следующим образом: 10: (9: 8: 7: 6: 5: 4: 3: 2:1) = 44800 В наибольшем числе, 9 всегда будет в знаменателе. Все остальные числа можно расположить в числителе.

120

Ответ: 7; 44800. Критерии оценки задачи 4.

- За верный ответ 7; 44800 без расстановки скобок и пояснений начисляется по 1 баллу за каждое число.

- С записью выражения со скобками начисляется по 3 балла за каждое найденное число.

- С пояснениями начисляется по 5 баллов за каждое число.

- Верное полное решение задачи оценивается в 10 баллов.

Задача 5. Сколько различных треугольников с целочисленными сторонами имеют периметр 19? Решение задачи 5. Примечание: повороты и зеркальные отражения новых треугольников не создают. Один из способов перебора: длина наибольшей стороны меньше половины меньше половины периметра, но не меньше одной трети периметра. Это могут быть значения 9, 8 или 7. Если самая длинная сторона равна 7, то сумма двух других равна 12. Возможные варианты: 7, 7, 5 или 7, 6, 6.

Аналогично получим варианты для 8: 8, 8, 3 или 8, 7, 4 или 8, 6, 5. Варианты для 9: 9, 9, 1 или 9, 8, 2 или 9, 7, 3 или 9, 6, 4 или 9, 5, 5.

19

Другой способ перебора: от наикратчайшей стороны от 1 до — с недостатком, равным числу шесть: 9, 9, 1; 9, 8, 2 и т.д. Ответ: 10 различных треугольников. Критерии оценки задачи 5.

- Верный ответ без пояснений оценивается в 1 балл.

- За любой правильный перебор начисляется по 1 баллу за каждый из них.

- Верное полное решение задачи оценивается в 10 баллов.

Теорема Виета находит широкое применение в решениях олимпиадных задач и задач повышенной сложности по алгебре [2]. Следующая задача наглядно показывает, что теорема применяется и при алгебраическом решении геометрической олимпиадной задачи

Задача 6. На параболе у = х2 выбраны четыре точки А, В, С, Б с абсциссами х1, х2, х3, х4 соответственно. Отрезки ЛС и 5,0 имеют общую точку на оси ординат. А) Для каких х1, х2, х3, х4 это возможно?

Б) Найти х4, если х1, х2, х3 известны и удовлетворяют этому условию. Решение задачи 6.

А) Уравнение прямой ЛС имеет вид у = + й. Тогда координаты х1, х3 точек А и С будут корнями уравнения X2 = ^х +

По теореме Виета получим х1 • х3 = — й

Уравнение прямой ВД имеет вид у = шх +

Тогда координаты х2, х4 точек В и Д будут корнями уравнения

X2 = шх +

Здесь положительное число й равно ординате точки пересечения прямой 5,0 с осью ординат Оу, такое же как у прямой ЛС.

По теореме Виета получим х2 • х4 = — й (**) Тогда из (*) и (**) получим отрицательное число:

х1 • х3 = х2 • х4 = — й

Ответ: числа х1 и х3 разного знака, х2 и х4 разного знака. Б) Из равенств

Ответ: х4 =

Б) Из равенства (***) найдем х4 = ^^

ж2

ХГХз

Х2

Критерии оценки задачи 6.

- Верный ответ: числа х1 и х3 разного знака, х2 и х4 разного знака, без обоснований, оценивается в 1 балл.

- Верный ответ х4 = х1 • х3: х2 без обоснований оценивается в 1 балл.

- За верный вывод формулы х4 = х1 • х3: х2, если выполнена часть А, начисляется 9 баллов.

- Верное полное решение задачи оценивается в 10 баллов.

Республиканская олимпиада школьников 2018-2019 учебного года стартовала в октябре 2018 года. В III (областном) этапе олимпиады участвовали 2041 школьник республики, из них 171 учащихся общеобразовательных школ, гимназий, лицеев города Ош, 177 учащихся школ города Бишкек, 1693 ученика из школ областей республики. В

каждый регион республики было отправлено 165 обученных администраторов, в обязанности которых входила доставка олимпиадных заданий, администрирование и координирование проведения олимпиады по каждому предмету. В г. Ош работала комиссия в составе 60 человек, в их числе 9 представителей оргкомитета олимпиады, обеспечивающие объективность оценивания и судейства.

Выводы

Объективная однозначная оценка решений олимпиадных задач обеспечивается соответствием оценивающих факторов, признаков, по которым она производится, использованием адекватных измерителей. Критерии оценивания олимпиадных заданий различаются в зависимости от уровня и статуса олимпиады, возраста ее участников. Участие независимой организации в методическом руководстве, сопровождении олимпиады и разработке олимпиадных заданий способствует четкой организации, объективности и прозрачности проведения олимпиад. В областной олимпиаде 2019

года применялись новые критерии оценки решения олимпиадных заданий: введена 10-балльная оценка, предусмотрены другие возможные способы решения задач, определены баллы за каждый этап решения задач олимпиады.

При систематическом участии школьников в математических конкурсах и олимпиадах осуществляется их системная, непрерывная подготовка, которая при правильном распределении их физических, психических и умственных возможностей, приводит к положительным результатам в обучении и успеху на олимпиадах.

Конфликт интересов Conflict of Interest

Не указан. None declared.

Список литературы / References

1. Агаханов Н.Х. Муниципальный этап XLII всероссийской олимпиады школьников по математике в Московской области / Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. //Математика в школе. 2016. № 2. С. 14-26.

2. Агаханов Н.Х. Применение теоремы Виета для решения задач повышенной сложности / Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Щербатых С.В. // Математика в школе 2017. № 8. С. 41-47.

3. Методика. Проектная деятельность школьников [Электронный ресурс]. URL:http://sch185s.mskobr.ru/files/INIE_DOC/metodika_proektnaya_deyatel_nost_shkol_nikov.pdf

4. Нагель О.А. О критериях оценки проектной деятельности учащихся / Нагель О.А. // Школа и производство. 2007. № 6. С. 12-20.

5. Положение о республиканской олимпиаде школьников. Приказ МОиН КР от 27.11.2018, № 1455/1 [Электронный ресурс]. URL:http://www.testing.kg/media/uploads/files/olimpiada/polozhenie.pdf

6. Holton D.A. First step to mathematical olympiad problems. World scientific publishing / Holton D.A. 2009. 292 p.

7. Van Dooren W. Pre-service teachers' preferred strategies for solving arithmetic and algebra word problems / Van Dooren W., Verschaffel L., Onghena P // Journal of mathematics teacher education. 2003. V. 6. № 1. P. 27-52.

8. Xu Jiagu Lecture notes on mathematical olympiad courses for senior section / Xu Jiagu. World scientific. 2012. 260 p.

9. Келдибекова А.О. Критерии оценивания олимпиадных заданий по математике / Келдибекова А.О. //Журнал педагогических исследований. 2019. Т. 4. № 4. С. 50-54.

10. Келдибекова А.О. О подходах к оценке решения задач математических олимпиад школьников / Келдибекова А.О. // Перспективы науки и образования. 2019. № 5 (41). С. 324-344. DOI: https://doi.org/ 10.32744/pse.2019.5.23

11. Келдибекова А.О. Задачи заключительного этапа республиканской олимпиады 2019 г. по математике, методы и критерии оценки их решения / Келдибекова А.О //Научные исследования и разработки. Социально-гуманитарные исследования и технологии. 2019. Т. 8. № 4. С. 54-59. DOI: https://doi.org/10.12737/2587-912X-2019-54-59

Список литературы на английском языке / References in English

1. Agahanov N.H. Municipal'nyj jetap XLII vserossijskoj olimpiady shkol'nikov po matematike v Moskovskoj oblasti [Municipal stage of the XLII All-Russian school mathematics olympiad in the Moscow region] / Agahanov N.H., Podlipskij O.K //Matematika v shkole. 2016. № 2. P. 14-26. [in Russian].

2. Agahanov N.H. Primenenie teoremy Vieta dlja reshenija zadach povyshennoj slozhnosti [Application of the Viet theorem for solving problems of higher complexity]/ Agahanov N.H, Podlipskij O.K., Shherbatyh S.V. // Matematika v shkole. 2017. № 8. P. 41-47. [in Russian].

3. Metodika. Proektnaja dejatel'nost' shkol'nikov [Methodology. Project activity of schoolchildren]. [Available at]: http://sch185s.mskobr.ru/files/ INIE_DOC/metodika_proektnaya_deyatel_nost_shkol_nikov.pdf [in Russian].

4. Nagel' O.A. O kriterijah ocenki proektnoj dejatel'nosti uchashhihsja [On the criteria for assessing the project activities of students.]. / Nagel' O.A. Shkola i proizvodstvo. 2007. № 6. P. 12-20. [in Russian].

5. Polozhenie o respublikanskoj olimpiade shkol'nikov. Prikaz MOiN KR ot 27.11.2018, № 1455/1 [Regulations on the republican school olympiad. Order of the Ministry of education and science of the Kyrgyz Republic of 27.11.2018, No. 1455/1]. URL: http://www.testing.kg/media/uploads/files/ olimpiada/polozhenie.pdf (accessed:10.04.2020) [in Russian].

6. Holton D.A. First step to mathematical Olympiad problems. World scientific publishing / Holton D.A. 2009. 292 p.

7. Van Dooren W. Pre-service teachers' preferred strategies for solving arithmetic and algebra word problems / Van Dooren W., Verschaffel L., Onghena P. // Journal of mathematics teacher education. 2003. T. 6. № 1. P. 27-52.

8. Xu Jiagu Lecture notes on mathematical Olympiad courses for senior section. World scientific./ Xu Jiagu 2012. 260 p.

9. Keldibekova A.O. Kriterii ocenivanija olimpiadnyh zadanij po matematike [Criteria for evaluating Olympiad assignments in mathematics] / Keldibekova A.O. // Journal of pedagogical studies. 2019. Т. 4. № 4. Pp. 50-54. [in Russian].

10. Keldibekova A.O. O podhodah k ocenke reshenija zadach matematicheskih olimpiad shkol'nikov [On approaches to assessing the solution of problems in mathematical Olympiads for schoolchildren] / Keldibekova A.O. //Perspektivy nauki i obrazovania [Perspectives of Science and Education]. 2019. № 41(5). Pp. 324-344. DOI: https://doi.org/10.32744/pse.2019.5.23 [in Russian].

11. Keldibekova A.O. Zadachi zakljuchitel'nogo jetapa respublikanskoj olimpiady 2019 g. po matematike, metody i kriterii ocenki ih reshenija [Tasks of the Final Stage of the 2019 Republican Olympiad in Mathematics, Methods and Criteria for Evaluating Their Solution] / Keldibekova A.O. //Scientific Research and Development. Socio-Humanitarian Research and Technology. 2019. № 4. Pp. 54-59. DOI: https://doi.org/10.12737/2587-912X-2019-54-59 [in Russian].