Исследование циклических траекторий в дуополии Курно-Штакельберга при равных ставках квадратичных затрат фирм

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

COMPUTER SCIENCE, COMPUTER ENGINEERING AND MANAGEMENT

УДК 330.42+519.83

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ

В ДУОПОЛИИ КУРНО-ШТАКЕЛЬБЕРГА

ПРИ РАВНЫХ СТАВКАХ КВАДРАТИЧНЫХ ЗАТРАТ ФИРМ

В.А. Коршунов

Аннотация. В статье уточнены формальные условия существования циклических траекторий на плоскости объемов выпуска двумя фирмами однородного товара в ситуации, когда одна из них выбирает стратегию Курно, а вторая - стратегию Штакельберга. Визуализация указанных циклических траекторий получена в диалоге с авторской компьютерной программой учебного назначения «Дуополия с управлением выпусками» (Duopoly2).

Ключевые слова: однородная дуополия, стратегия Курно, стратегия Штакельберга, циклические траектории, циклы Штакельберга-Мулена.

INVESTIGATION OF CYCLIC TRAJECTORIES IN THE COURNOT-STACKELBERG DUOPOLY AT EQUAL RATES OF QUADRATIC COSTS OF FIRMS

V.A. Korshunov

Abstract. The article clarifies the formal conditions for the existence of circular trajectories on the plane of production volumes of the two firms, homogeneous goods in a situation when one of them chooses the Cournot strategy, and the second is the Stackelberg strategy. Visualization of cyclic trajectories obtained in dialogue with the author's computer program for educational purposes «Duopoly control of the volume of releases» (Duopoly2).

Key words: homogeneous duopoly, strategy Cournot, strategy Stackelberg, circular trajectory, Stackelberg-Moulin cycles.

МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИИ УНИВЕРСИТЕТ

Общую постановку задачи дуополии с управлением выпусками [1] - [8], [10] - [16] можно, исследуя не только линейные, но и квадратичные [3], [6] - [8], [12, с. 29-60] затраты фирм, сформулировать следующим образом.

Отрасль состоит из двух фирм, которым известна формула для общей цены за однородный товар

Р^д) = а - Ь [^

Затраты /-ой фирмы - линейно-квадратичные функции от выпуска

0

где:

с. - ставки линейных переменных затрат /-й фирмы;

сд. - ставки квадратичных [12] переменных затрат /-й фирмы:

й . - ее постоянные затраты, / = 1,2.

Найти формулы для управляемых параметров дДО, д2(0 из условий некооперативной максимизации прибыли П .(¿;д.), где Г = 0, 1, 2, ..., Т.

Формализация выбора руководством каждой фирмы стратегии Штакельберга означает требования выполнения следующих совместных условий взаимного влияния выпусков фирмами однородного товара:

д-2 = -Ь

^ 2Ь + с02

д-- =___--_

Мг 2Ь + с01

Формальные зависимости для построения траекторий на плоскости выпусков, получаемые при выборе каждой из фирм некооперативных стратегий, например, Курно или Штакельберга, выводимые из необходимых условий оптимальности выпусков для товара, продаваемого фирмами по одинаковой цене Р^д^д^, имеют следующий общий вид:

<jb

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

a - c1 bq2

^1 <-q2 dq2

b X [2 + ^ + cQ1 b X [2 + --i] + cQ1

dq1 01 dq1"

bq1

a - c2

42 dq1 dq-

b x [2+w]+'02 b x [2+w-]+'

При выборе каждой фирмой стратегии Курно, то есть с учетом равенств

= о

dq-

{

= о

dq2

система дифференциальных уравнений (4) сводится к системе алгебраических уравнений (совпадающих, с точностью до обозначений, с результатами в [12, с. 33]) следующего вида:

a - c1 bq2

q, =---

1 2b + '01 2b + '01

a - c2 bq1

q2

2b + '02 2b + '02

которая была исследована в более ранней работе автора [6, с. 129-136].

При равенстве затрат у обеих фирм, то есть при с = с2 = с и, одновременно, с01 = с02 = с0 математическая модель (4) становится симметричной относительно биссектрисы прямого угла, проведенной из начала координат в положительной четверти декартовой плоскости выпусков фирм

a - c

dq2

b x [2 + —-] + с

a - c

--2

b x [2 + -i] + C0

--------b-q-2------

dq

b x [2 + —-] + Co

--------b-q-1-----

dq1

b x [2 + -1-] + Co dq2 0

и именно она использована в книге Э. Мулена [8, с. 111-121].

В более ранней работе автора [6, с. 129-136] были исследованы не только рассмотренные в книге Э. Мулена [8] для модели (6) стратегии Курно, в дальнейшем обобщенные на модель (4) с различными затратами фирм, но и две ситуации, когда одна из фирм применяет стратегию Курно (игрок-ведомый), а вторая - стратегию Штакельберга (игрок-лидер). Обе ситуации исследовались только при праве первого хода у первой фирмы, что было вызвано ограниченными возможностями компьютерной программы Duopoly [7, с. 230-241].

Если 1-я фирма применяет стратегию Штакельберга, а 2-я фирма - стратегию Курно, то тогда система уравнений (6) примет вид:

q(t + 1) =

q2(t +1) =

a - c

bqx

2b + co 2b + co

Если же 1-я фирма применяет стратегию Курно, а 2-я фирма -стратегию Штакельберга, то тогда система уравнений (6) примет вид:

Ьд2 (0

/ a - c

q(t+ 1) =

2b

2b

q?(t + 1) =

q

2

o

o

<jb

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Однако, в [6, с. 129-136] имеются ошибки, отчасти вызванные неудобствами, связанными со средой программирования (Borland Pascal для MS DOS).

При выполнении в 2016-2017 гг. программы работ по воссозданию компьютерной модели однородной и дифференцированной дуополии автор использовал программирование на языке Visual Basic Application (VBA) в среде электронных таблиц (EXCEL), что дало ряд естественных технологических преимуществ, в том числе, и наглядность предварительных геометрических построений [7, с. 230-241]. Отмеченное преимущество при работе с новым программным средством [7, с. 230-241] позволило автору, в частности, провести новое, более точное, чем в [6, с. 129-136], исследование компьютерной реализации математических моделей (7).

Так, общая формула изменений объемов выпуска первой фирмы (ведомой фирмы) динамической модели Курно-Штакель-берга(7.b) равна

qCm(0 =

qSlm

a - c

(a - c)b

L2b + c (b + cn) x (3b + cn) J

0 v 0' b2'-2

I

b2k-2

k=1 (b + c^1 x (3b + c)-1

2Ь + с0 (Ь + с0)'-1 х (3Ь + с0)'-1

А общая формула изменений объемов выпуска второй фирмы (ведущей фирмы) динамической модели Курно-Штакельберга (6.Ь) будет иметь вид

qS2 (') =

(a - c)b

-a -c)(2b + c„)___

(b + (3b + ci- (b + c- x (3b + c--

b2'-1 qS'2

I -

k=1

b2k-2

(b + c0)k-1 x (3b + c0)k-1

(Ь + СоУ х (3Ь + Со)'

Суммы слагаемых, записанных в форме сокращенного суммирования в формулах (8), являются геометрической прогрессией с первым элементом, равным единице и знаменателем, равным

Ь2

q-

(b + cï x (3b + cï

Если выполнено условие

I ь2 I

I---------------| < 1

I (b + c0) x (3b + c0) 1

то указанная геометрической прогрессия становится бесконечно убывающей, а ее сумма равна

У ^ =

(b + Co)k-1 x (3- + c/-1 (- + c0) x (3- + c0) - b2

Подставляя найденное значение из формулы (10) вместо сумм слагаемых, записанных в форме сокращенного суммирования в формулах (8), а также учитывая, что последние слагаемые, с начальным условием qSt2(0), как в (8.а), так и в (8.b) стремятся к нулю, можно получить координаты выпуска:

1) для первой фирмы-последовательницы (горизонтальная координата):

41 (2b + co) [(b + co) x (3b + co) - b2]

2) для лидирующей второй фирмы (вертикальная координата):

(a-c) (b + co) [(b + co)x(3b + co) - b2]

q*St =------------------- ,

что в точности совпадает с формулами для конкурентного равновесия «ведомый-лидер» статической модели, отличающейся от (7.Ь) лишь отсутствием зависимости от дискретно растущего времени.

Если условие (9.Ь) не выполнено, то в динамической модели Курно-Штакельберга (7.Ь) - (8.Ь) имеет место расходимость от точки статического конкурентного равновесия (11).

Решая неравенство (9.Ь) относительно параметра с0, то есть ставки квадратичных затрат фирм, можно получить следующие условия:

1) если выполнено либо неравенство

с0 < -

<4Ь

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

либо неравенство

с0 > -

то динамический процесс сходится к точке статического конкурентного равновесия (11);

2) если же выполнено двойное неравенство

-

то динамический процесс расходится от точки с координатами (11).

Алгоритмически накладываемые в программе Duopoly2 [7, с. 230-241] на каждом шаге указанного расходящегося процесса ограничения неотрицательности объемов выпуска (для отбрасывания неадекватных ситуаций при моделировании) товара фирмами, обнуляют их отрицательные значения и, тем самым, преобразуют траектории динамического процесса в циклические.

Таблица 1

Зависимость знаков горизонтальной и вертикальной координат точки равновесия «лидер-ведомый» (при лидерстве 2-й фирмы), а также наклона прямых реакций фирм при выборе ими стратегии Штакельберга от значений параметра с0 - ставки квадратичных затрат фирм

Значения параметра с0 Знаки координат точки равновесия «лидер-ведомый» (при лидерстве второй фирмы) Наклон прямых реакций фирм при стратегиях

Горизонтальной по формуле (11.а) Вертикальной по формуле (11.Ь) Курно Штакельберга

Со > -(2 - ^2)Ь + + - -

-2Ь + 1 + ^Ь2 + 1 < с0 < -(2 - ^2)Ь - - - -

-Ь < с0 < -2Ь + 1 + ^Ь2 + 1 + - - -

-2Ь < с0 < -Ь + - - +

-2Ь + 1 - ^Ь2 + 1 < с0 < -2Ь - + + -

-3Ь < с0 < -2Ь + 1 - ^Ь2 + 1 + + + -

-(2 + ^2)Ь < с0 < -3Ь + + + +

с0 < -(2 + ^2)Ь - - + +

<4Ь

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

Результаты авторских исследований (в начале на компьютерной, а затем посредством математической модели) зависимости переменной структуры модели от параметра с0 в сжатой форме представлены в таблице 1.

Наличие или отсутствие циклических траекторий движения ломаной линии динамики игры (на плоскости объемов выпуска однородного товара) вокруг одной из двух точек равновесия типа «лидер-ведомый» (лидер выбирает стратегию Штакельберга, а ведомый - стратегию Курно):

1) зависит от значения структурного параметра с0 и

2) как правило, не зависит ни от выбора фирмами стратегий (Курно или Штакельберга), ни от права первого хода у 1-й или у 2-й фирмы.

Направление же движения циклической траектории (по или против часовой стрелки) зависит именно от выбора фирмами стратегий (см. таблицу 2, где обнаруженные автором четыре циклические траектории названы «А», «В», «С» и циклами Штакельберга -Мулена соответственно).

Рисунок 1. Экранная форма InputDataDuopolyQuantity с введенными в ее поля значениями параметров, определяющих структуру игры

<з!Ь

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В частности, согласно данным примера, взятого из книги Э. Мулена ([8], с. 85-87), автором этой статьи исследованы следующие значения:

1) параметров математической модели (6) однородной дуополии (а = 4,0; b = 2,0; с = с2 = 2,0; d = d2 = 0,0; с01 = cQ2 = с0 = -2,40 (-2b < c0 < -b); e = 0,01} и

2) начальных данных {^(0) > 0,65; q2(0) > 0,65}, где координаты стартовой точки игры больше (расположены на плоскости выпусков выше), чем координаты точки равновесия по Курно.

На рисунке 1 предъявлены вводимые (посредством разработанной автором экранной формы) в программу Duopoly2 [7, с. 230-241] указанные значения параметров, определяющих структуру игры.

Таблица 2

Траектории циклов Штакельберга - Мулена,

при с0 = -1,2 b в частности, при b = 2,0; с01 = с02 = с0 = -2,40

Право 1 хода 1-я фирма - стратегия Курно; 2-я фирма - стратегия Штакельберга 1-я фирма - стратегия Штакельберга; 2-я фирма - стратегия Курно

У 1-й фирмы Две из четырех угловых точек прямоугольника цикла расположены на горизонтальной полуоси положительной четверти плоскости выпусков. Движение «А»-цикла против часовой стрелки вокруг точки лидерства 2-й фирмы. Две из четырех угловых точек прямоугольника цикла расположены на вертикальной полуоси положительной четверти плоскости выпусков. Движение цикла по часовой стрелке вокруг точки лидерства 1-й фирмы. Вход в «В»-цикл изнутри цикла -рисунок 2. Вход в «В»-цикл извне цикла - рисунок 3.

У 2-й фирмы Две из четырех угловых точек прямоугольника цикла расположены на горизонтальной полуоси положительной четверти плоскости выпусков. Движение цикла против часовой стрелки вокруг точки лидерства 2-й фирмы. Вход в «С»-цикл изнутри цикла - рисунок 4. Вход в «С»-цикл извне цикла - рисунок 5. Две из четырех угловых точек прямоугольника цикла расположены на вертикальной полуоси положительной четверти плоскости выпусков. Движение «Б»-цикла по часовой стрелке вокруг точки лидерства 1-й фирмы.

<з!Ь

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

Рисунок 2. Право 1-го хода у 1-й фирмы. 1-я фирма применяет стратегию Штакельберга; 2-я фирма - стратегию Курно. Движение цикла по часовой стрелке. Вход в «В»-цикл изнутри цикла. Начало цикла на 4-м полуходе игры

Рисунок 3. Право 1-го хода у 1-й фирмы. 1-я фирма применяет стратегию Штакельберга; 2-я фирма - стратегию Курно. Движение цикла по часовой стрелке. Вход в «В»-цикл извне цикла. Начало цикла на 4-м полуходе игры

<з!Ь

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Рисунок 4. Право 1-го хода у 2-й фирмы. 1-я фирма применяет стратегию Курно; 2-я фирма - стратегию Штакельберга. Движение цикла против часовой стрелки. Вход в «С»-цикл изнутри цикла. Начало цикла на 6-м полуходе игры

Рисунок 5. Право 1-го хода у 2-й фирмы. 1-я фирма применяет стратегию Курно; 2-я фирма - стратегию Штакельберга. Движение цикла против часовой стрелки. Вход в «С»-цикл извне цикла. Начало цикла на 4-м полуходе игры

<з!Ь

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

Согласно таблице 1, двойному неравенству {-2Ь < с0 < -Ь} соответствуют геометрические изображения, на которых:

1) наклон прямых реакции фирм при взаимном применении ими

стратегии Курно является отрицательным (обычным), а

2) наклон прямых реакции лидирующих фирм (выбравших стра-

тегию Штакельберга) на экономическое поведение ведомых фирм (выбравших стратегию Курно) является положительным (нетипичным).

Именно такая структура линий реакции обеих фирм (структура математической модели однородной дуополии - товарного рынка двух продавцов) изображена на рисунках 2-5, сгенерированных программой «Дуополия с управлением выпусками» (Лиоро1у2) [7, с. 230-241].

Результаты исследований позволили сделать следующие выводы:

1. Наличие или отсутствие циклических траекторий движения ломаной линии динамики игры (на плоскости объемов выпуска однородного товара) вокруг одной из двух точек равновесия типа «лидер-ведомый» (лидер выбирает стратегию Штакельберга, а ведомый - стратегию Курно):

а) зависит от значения структурного параметра с0 и

б) не зависит ни от выбора фирмами стратегий (Курно или Шта-кельберга), ни от права первого хода у 1-й или у 2-й фирмы.

2. Направление же движения циклической траектории (по или против часовой стрелки) зависит именно от выбора фирмами стратегий (см. таблицу 2, где обнаруженные автором четыре циклические траектории названы «А», «В», «С» и «Л» циклами Штакельберга - Мулена соответственно).

3. Вход в цикл (изнутри либо извне цикла) зависит от значений одной из координат стартовой точки выпусков однородного товара фирмами:

а) если выполнено двойное неравенство д2*сгп < #2(0) < д2топсгп, то вход в цикл происходит изнутри цикла (рисунок 2), иначе

- извне цикла (рисунок 3);

б) если выполнено двойное неравенство д*сгп < #Д0) < д™опсгп, то вход в цикл происходит изнутри цикла (рисунок 4), иначе

- извне цикла (рисунок 5);

<jb

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

4. Особенность ситуации - также в том, что обе точки равновесия типа «лидер-ведомый», при положительном наклоне прямых реакции фирм, «меняются местами», то есть оказываются симметрично отображенными относительно биссектрисы прямого угла.

Результаты и выводы, полученные в процессе исследования,

могут быть использованы, в том числе, в учебных дисциплинах

«Основы системного анализа» и «Теория систем и системный анализ» [9], [17].

Библиографический список

1. Байе М.Р. Управленческая экономика и стратегия бизнеса / пер. с англ. под ред. А.М. Никитина. М., 1999.

2. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: в 2 т. Т. 2. / общ. ред. В.М. Гальперина. СПб., 1997.

3. Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика / общ. ред. Л.С. Тарасевича. СПб, 1996.

4. Джуха В.М., Курицын А.В., Штапова И.С. Экономика отраслевых рынков. М., 2012.

5. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М., 1975.

6. Коршунов В.А. Математические модели Курно и Штакельберга для компьютерной деловой игры «Дуополия с назначением выпуска» // Экономика и технология: межвузовский сборник научных трудов. Ч. 2. М., 1997.

7. Коршунов В.А. Новые авторские компьютерные модели для исследования однородной и дифференцированной дуополии // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА. 2017. № 2.

8. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М., 1985.

9. Николис Дж. Динамика иерархических систем: Эволюционное представление. М., 1989.

10. ПиндайкР., РубинфельдД. Микроэкономика / сокр. пер. с англ.; научн. ред. В.Т. Борисович, В.М. Полтерович, В.И. Данилов. М., 1992.

11. Розанова Н.М. Экономика отраслевых рынков. М., 2013.

12. Филатов А.Ю. Модели олигополии: современное состояние // Теория и методы согласования решений. Новосибирск, 2009.

13. Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности: в 2 т. Т. 1 / пер. с англ. под ред. А.Г. Слуцкого. СПб., 1999.

14. Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика: промежуточный уровень. М., 2016.

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

15. Шагин В.Л. Теория игр. М., 2013.

16. Шерер Ф.М., Росс Д. Структура отраслевых рынков / пер. с англ. М., 1997.

17. ЮмагуловМ.Г. Введение в теорию динамических систем. СПб, 2015. В.А. Коршунов

кандидат технических наук, доцент доцент кафедры общематематических и естественнонаучных дисциплин

Московского финансово-юридического университета МФЮА E-mail: vak_mfua@mail.ru