Разработка эффективных эвакуационных планов на основе оптимизационной математической модели

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

Р. С. Хайрулин

РАЗРАБОТКА ЭФФЕКТИВНЫХ ЭВАКУАЦИОННЫХ ПЛАНОВ НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ

Процесс разработки планов эвакуации населения является весьма трудоемким и не до конца формализованным. Представляется целесообразным создание механизма, обеспечивающего математическую поддержку процесса планирования эвакуации населения из городов. В качестве такого механизма предложена оптимизационная математическая модель, разработанная на основе опыта проведения эвакуации населения, нормативных и рекомендуемых требовании.

Ключевые слова и словосочетания: оптимизация, эвакуационный план, имитационная модель.

Современные возможности вычислительной техники в сочетании с эффективными алгоритмами анализа и синтеза коммуникационных сетей и сетевых графиков позволяют решать задачи больших размерностей, возникающие при моделировании процессов эвакуации.

Модель процесса эвакуации решает, по существу, задачу анализа, поскольку оценивает временные параметры конкретного эвакуационного плана, хотя и может быть использована для корректировки эвакуационных планов в сторону их оптимизации. В данной статье приводится оптимизационная модель, которая решает задачу синтеза, а именно формирует систему маршрутов, определяет оптимальные объемы перевозок по ним и оптимальное распределение транспортных ресурсов.

Введем ряд обозначений, необходимых для математической постановки задачи:

п - количество вершин в сети; т - количество дуг в сети; N - количество маршрутов в сети;

Хг - количество транспортных средств, выделенных на маршрут г; X = (Хь ..., Х^) - вектор распределения транспортных средств по маршрутам;

Я - общее количество распределяемых автотранспортных средств; Ш - количество эвакуируемых, перевозимых транспортным средством;

/) - длина]-й дуги; I = (¿1, ..., 1т) - вектор длин дуг;

Ьг - протяженность г-го маршрута;

Ь = (Ь1, Ьм) - вектор протяженностей маршрутов Ь = (¡Б I);

аг - количество эвакуируемых по маршруту г;

А = (а1, аМ) - вектор распределения объемов перевозок (количество эвакуируемых) по маршрутам;

рг - плотность потока на маршруте г, рг---;

Ьг

Р = (рх, ..., рМ) - вектор плотностей потоков на маршрутах;

¡Б - матрица инцидентности маршрутов размерности Ыхт. Показывает, какие дуги входят в маршруты, а именно: ¡Бгц = 1, если дуга ] принадлежит маршруту г, и ¡Бц = 0 иначе. Под маршрутом понимаем некоторую последовательность сонаправленных дуг, начинающихся в одной из вершин типа 1 и заканчивающихся в одной из вершин множества 3;

Ш - матрица инцидентности графа сети размерности пхт. Показывает структуру сети, а именно в какой вершине начинается каждая дуга и в какой заканчивается: Шу = 1, если дуга] начинается или заканчивается в вершине I, и Nц = 0 иначе;

((Р ¡Б)1, ..., (Р¡Б)т) - вектор плотностей потока на дугах;

Vц - средняя скорость движения автотранспортных средств по ду-геЦ, = Г((Р Щ);

V = (ух, ..., ут) - вектор средних скоростей потока;

ц

Ц - время прохождения дуги ц транспортным средством, Ц = —;

vj

Т = (¿1, ..., ¿т) - вектор времен прохождения транспортных средств по дугам сети;

((¡Б Т)1, ..., (¡Б Т)м) - вектор времен прохождения транспортных средств по маршрутам;

¡1 - множество индексов вершин типа 1 (площадки посадки - ПП);

¡2 - множество индексов вершин типа 2 (транзитные вершины);

¡3 - множество индексов вершин типа 3 (приемные эвакуационные пункты - ПЭП);

ск - общее количество эвакуируемых из вершины к типа 1 (к е ¡1);

йк - максимальное количество эвакуируемых в вершину к типа 3 (к е ¡з);

У = ((А ¡Б)1, ..., (А ¡Б)т) - вектор нагрузок дуг сети - общее количество эвакуируемых по дугам сети;

((Ш У)1, ..., (М У)п) - интегральный вектор потока по вершинам сети (сумма входящего и исходящего потоков);

Хайрулин Р. С. Разработка эффективных эвакуационных планов 107

ТМ = (ТМь ..., ТМы) - вектор продолжительностей перевозок по маршрутам согласно предписанным количествам эвакуируемых и распределенным автотранспортным средствам, который вычисляется как

а„

ТМ =

2 • 18 • Т •

а > 0, Xr > 0,

0, аг = 0, или Xr = 0. Приведем теперь математическую постановку поставленной оп-

тимизационной задачи:

ТМ, =

Ш1П

X, А

XI +

2 • 18 • Т •

шах ТМГ 1 < г < N

+ XN < Я,

аг > 0, X,. > 0,

0, аг = 0, или X, = 0. (Ш (А 18))к > ск, к е II, (Ш (А 18))к < к е 1з, X, А > 0.

Если привести данную задачу к форме задачи минимизации (путем введения дополнительной переменной 7), а также заменить производные величины их выражениями через переменные задачи, то получим следующую постановку:

шт 7 X, А, 7

11

2 (18 (

11

1 (181 )1

X,

-) 18 )1)

т {181),

(181) N

Кг < 7, 1 < г < N, XX + ... + XN < Я,

а' аг > 0, Xr > 0,

X

"))г ,

Кг = ^ XгW

0, аг = 0, или X, = 0.

(Ш (А 18))к > Ск, к е 11, (Ш (А 18))к < к е 1з, X, А > 0.

В качестве функций Р(), описывающих зависимость средних скоростей автотранспортных средств (V) от плотностей потока на дугах,

а

г

представляется разумным использовать функции 8-образной формы1. При малой загруженности магистрали увеличение плотности потока мало сказывается на средней скорости, однако при увеличении плотности такое влияние заметно. При плотностях, близких к критической, скорости близки к нулю и влияние увеличения плотности потока опять мало. Плотность имеет естественный предел, связанный с размерами автотранспортных средств. Подобные зависимости могут быть представлены функциями следующего вида:

с

У = а + (Ь - а)-

й + хс

Пример такой зависимости представлен на рисунке (а = 3, Ь = 0, с = з, й = 100).

3,5 -| 3 -2,5 2 1,5 1

0,5 0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Рис. Пример зависимости Б-образной формы

Список литературы

1. Правила эвакуации населения, материальных и культурных ценностей в безопасные районы. Утв. постановлением Правительства Российской Федерации от 22 июня 2004 г. № 303.

2. Указ Президента РФ от 27 мая 1996 г. № 784 «Вопросы гражданской обороны Российской Федерации» (с изм. от 9 сентября 2000 г., 5 августа 2002 г.).

1 См.: Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков. - М. : Мир, 1966.