Матричное представление сопротивления нейтрали при расчете различных режимов работы трехфазной цепи

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИК

УДК 621.3.011.7

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ НЕЙТРАЛИ ПРИ РАСЧЕТЕ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ

ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ

К.П. ЧЕРНОВ

Казанский государственный энергетический университет

Для участка трехфазной цепи общего вида введено понятие матрицы сопротивления нейтрали. Найдены инварианты трехфазной цепи при ее описании в различных базисных пространствах. В произвольном базисном пространстве обоснованы и записаны выражения для закона Ома и мощности потребления участка трехфазной цепи. Установлены правила эквивалентирования для основных схем соединения трехфазных сопротивлений при описании цепи в различных базисных пространствах. Для разветвленной несимметричной трехфазной цепи дана запись первого правила Кирхгофа в произвольном пространстве. Применение установленных правил продемонстрировано на примере расчета практической схемы.

При анализе установившихся режимов и переходных процессов в несимметричных трехфазных цепях обычно применяют метод симметричных составляющих, основанный на представлении любой трехфазной несимметричной системы величин фазных токов (напряжений) в виде суммы, в общем случае трех базисных трехфазных симметричных систем токов (напряжений), называемых токами (напряжениями) нулевой, прямой и обратной последовательностей [1-7]. При расчетах цепей этим методом традиционно рассматривают отдельно схемы для токов и напряжений различных последовательностей. Однако такое рассмотрение с помощью отдельных схем не всегда возможно. Поэтому часто прибегают к искусственному принципу компенсации, заменяя несимметричный приемник или несимметричный участок в линии источниками ЭДС (напряжений). Анализ режимов цепей с помощью эквивалентных схем достаточно сложен и в большинстве случаев требует большого опыта.

В ряде случаев при расчете несимметричных режимов сложных трехфазных схем применяют также разложения и по несимметричным составляющим [6, 7]. Однако такие специальные разложения применяют гораздо реже.

Принципиальная сложность расчета трехфазных схем связана с тем, что они в общем виде включают в себя как трехфазные, так и однофазные элементы. Однофазные элементы сосредоточены в нейтралях цепи, а трехфазные - в фазах и между фазами. Причем трехфазные элементы характеризуются матричными, а однофазные - скалярными величинами. В настоящей работе путем введения понятия матрицы сопротивления нейтрали удалось свести к полной аналогии расчеты трехфазных и однофазных схем. При этом, в отличие от однофазных цепей, все элементы трехфазных схем характеризуются матричными величинами.

© К. П. Чернов

Проблемы энергетики, 2004, № 3-4

Рассмотрим общий случай трехфазной цепи, составленной из комплексных сопротивлений (рис. 1). На схеме цепи используются общепринятые обозначения.

Ф

п

Рис. 1. Общая схема трехфазной цепи. Пунктирной линией обведены сопротивления, характеризующиеся матрицей фазных сопротивлений 1ф и вырожденной матрицей

сопротивления нейтрали 1н

Подчеркивание буквы, характеризующей какой-либо параметр, указывает на комплексный характер величины данного параметра. Нижние индексы для величин напряжений указывают точки на схеме, которым соответствует данное напряжение. Индексы для величин токов и сопротивлений указывают на принадлежность соответствующему фазному проводу. Точки N и п - нейтрали трехфазного источника напряжения и трехфазного сопротивления соответственно. Сопротивления в фазах характеризуются матрицей [6, 7]

1ф =

£АА А & £ас

А »^1 £вв £вс ,

5 ^?1 £св £сс,

где недиагональные матричные элементы обусловлены взаимовлиянием сопротивлений в фазах. Следует иметь в виду, что токи в каждой фазе до сопротивлений и после них должны оставаться неизменными. Это требование накладывает определенные ограничения на недиагональные матричные элементы: они не могут характеризовать комплексные сопротивления между фазами, которые следует рассматривать отдельно в качестве параллельно

подключенного трехфазного сопротивления. Матрицу 1ф назовем фазным сопротивлением трехфазной цепи. Сопротивление нейтрали определяется комплексной величиной ZN . Фазные напряжения и токи будем представлять в

виде вектор-столбцов (матрицами 1х 3) в комплексном пространстве. Тогда

падение напряжения Uф на фазном сопротивлении zф , в соответствии с [6, 7], можно записать в виде

^ =

Г илм - ипм" 1лл 1 л Б ^.лс л л

- ипМ = Ї.БЛ МББ МБС ІБ

, исм — и У-пМ ) 1 сл Iі сБ МСС , , ІС )

Преобразуем

илм ' *лл їм л Б млс (Г Л Іл (и Л ипМ

иБМ = 1 Бл МББ МБС • ІБ + ипм

исм) ^ &л 8 мі 8 і < ІС ) ^ ипМ )

или

U = z ф • I + U н ,

где

(и Л илм (т Л Іл (и Л ипМ

U = иБМ , I = ІБ , ц* = ипм

< иСМ) , тС) < ипМ )

Падение напряжения на сопротивлении нейтрали

инМ = .

Поскольку согласно первого правила Кирхгофа = 1л + 1в + 1с,

то

(и Л ипМ ( мм • Іл + мм • ІБ + м • ІС"

Uн = ипм = мм • Іл + мм • ІБ + мм • ІС

<ипМ ) м • Іл + м • ІБ + м • ІС )

ММ 1 м м І л

мм мм мм • І Б

^ мм м 1 ІС С )

= zн • I,

где

z н =

Подставим результат

U = z ф • I + z н • I = (г ф + z н) • I = z  I

ф + г н1

где z = z ф + z н. Обобщенное сопротивление z , в отличие от zн, характеризуется не вырожденной матрицей и имеет поэтому свою обратную матрицу, т.е. матрицу

проводимостей Y = z -1. Соотношение

U = z • I

представляет собой закон Ома для участка трехфазной цепи общего вида в фазном базисе.

Таким образом, если характеризовать сопротивление нейтрали

вырожденной матрицей zн, то цепь на рис. 1 можно рассматривать либо как трехфазную цепь с заземленной нейтралью с двумя последовательно

соединенными трехфазными сопротивлениями в фазах (гф и zн), либо как трехфазную цепь с заземленной нейтралью с одним обобщенным трехфазным сопротивлением z. При этом без потери общности ее можно представлять в упрощенном виде, как показано на рис. 2. Схема на рис. 2,а более предпочтительна, когда требуется выявить особенности влияния на ее работу сопротивления нейтрали или трехфазного сопротивления. Схема на рис. 2,б удобнее, когда интересует влияние нагрузки цепи в целом.

I

ф

I

£

и

£

>

-С

и

а) б )

Рис. 2. Два варианта упрощенного изображения общей схемы трехфазной цепи

г

ъ

н

г

При анализе трехфазных цепей с разземленной нейтралью возникает с первого взгляда особенность, связанная с бесконечной величиной сопротивления . Однако, если при аналитических расчетах использовать понятие предела, а

при численных расчетах сопротивлению придать достаточно большое

значение, при увеличении которого результаты расчета практически не изменяются, то эта особенность разрешается.

Следует также обратить внимание на то, что векторная запись (10) представляет собой систему из трех уравнений. При этом, в отличие от аналогичной однофазной схемы, для которой по известным величинам тока и

напряжения однозначно определяется сопротивление цепи, для трехфазной схемы однозначно определить сопротивление цепи в такой же ситуации в общем случае нельзя. Связано это с тем, что трехфазное сопротивление характеризуется девятью матричными элементами, а уравнений, из которых они могут быть определены, существует только три. Таким образом, в общем случае для полного определения трехфазного сопротивления по известным величинам тока и напряжения необходимо иметь еще шесть дополнительных условий.

До сих пор соотношения для трехфазной цепи были записаны в фазном комплексном пространстве, базисом которого являются фазы. В то же время, трехфазную цепь можно описать и в других комплексных пространствах. В качестве базисов при этом могут быть использованы различные линейные комбинации фаз. Одни и те же вектора напряжений и токов, представленные в фазном и каком-либо другом пространствах, связаны между собой матрицей преобразования Р [8]

и

где и(ф) и и(Р), 1(ф) и 1(Р) - напряжения и токи соответственно в фазном пространстве и в новом пространстве, соответствующем преобразованию Р. Здесь и в дальнейшим верхний индекс у матриц "-1" используется в общепринятом значении обратной матрицы.

Установим закон Ома для участка трехфазной цепи при ее описании в произвольном пространстве. Для этого в выражение

Р • и

Верхний индекс в скобках у матрицы сопротивлений, также как и у матриц напряжений и токов, указывает на принадлежность к определенному

пространству. Умножая слева обе части равенства (12) на обратную матрицу Р-1 , получим

и

Или окончательно

и

где

Л Р) = Р—1 • ,(ф),

является матрицей сопротивления цепи в пространстве Р . Так как преобразование

эквивалентны, а их следы одинаковы. Это полезное свойство матриц сопротивлений может быть использовано при проведении конкретных расчетов.

Выражение (14) представляет собой запись закона Ома участка трехфазной цепи в произвольном базисном пространстве. Из сравнения (10) и (14) следует, что вид закона Ома не зависит от пространства, в котором проводится анализ.

Найдем также выражение для преобразования матриц проводимостей из фазного пространства к произвольному. Для этого воспользуемся преобразованием (15) и правилом нахождения обратной матрицы произведения матриц:

У() 1 = Е-1 • У(ф) 1 • Е = (Е-1 • У(ф) • Е)-1,

\(Г) = Е-1 • У(ф)  Е .

Видно, что проводимости и сопротивления преобразуются в другое пространство по одному и тому же правилу. Поэтому, как и для сопротивлений, след матриц проводимостей не изменяется при переходе в новое пространство.

В расчетах несимметричных режимов в трехфазных электрических сетях, где вращающиеся электрические машины (генераторы и двигатели) учитываются моделями с матрицами фазных сопротивлений, обладающими циклической симметрией [7], большое распространение получило пространство с базисной системой так называемых симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей. Это пространство связано с фазным матрицей преобразования Ес

и(ф) = Ес • и(с), и(с) = Ес-1  и(ф), 1(ф) = Ес • I

где

1(с) = Ес-1  1(ф),

(и Л ц 0 (т Л 1 о (1 1 1

и(с) = и 1 , 1(С) = 11 Е = с 1 а 2 а

1 и 2 ) 112 ) ,1 а а2

(1 1 1

1 1 а а2

з  .1 а2 а

и 0, И 1, И 2, I о, 11, 12, - напряжения и токи нулевой, прямой и обратной

* 2Пз

последовательностей соответственно, а = е* п . Отметим, что в (19) порядок следования последовательностей, в отличие от традиционно принятого (прямая, обратная и нулевая), соответствует возрастанию нижнего индекса. Матрица Ес преобразует матрицы сопротивлений с циклической симметрией к диагональному виду. При этом напряжение определенной последовательности зависит от тока только той же последовательности, и, как следствие, общую схему цепи можно рассматривать для каждой последовательности в отдельности. Для сопротивлений общего вида выделенным пространством будет являться пространство, в котором матрица сопротивлений имеет диагональный вид. Для

нахождения матрицы преобразования к такому пространству Ед необходимо

выполнить стандартную процедуру нахождения собственных значений и собственных векторов. Матрица преобразования Ед при этом составляется из

столбцов собственных векторов матрицы сопротивлений.

Как было выявлено ранее, инвариантами трехфазной цепи при описании ее в различных базисных пространствах являются следы матриц сопротивлений и проводимостей. Инвариантом цепи также должна быть и мощность потребления. На основании этого заключения найдем формулу для нахождения мощности в произвольном пространстве. В качестве исходной используем формулу для мощности 8 в фазном пространстве [2]

Запишем выражение (20) в матричном виде, выполним преобразование векторов напряжений и токов в произвольное пространство и найдем искомую формулу

£ = 1(ф)+ • и(ф) = (Е • 1( F))+  Е • ) = 1( F)+ • (Е+ • Е) • и( F).

Крестик в верхних индексах матриц означает их эрмитово-сопряженность.

Произведение Е+ Е для фазного пространства равно 1, а для пространства симметричных составляющих - 3 • 1, где 1 - единичная матрица.

Установим далее правила эквивалентирования для основных схем соединения нескольких трехфазных сопротивлений (рис. 3) в произвольном базисном пространстве. На рис. 3,а показана схема с последовательным соединением трехфазных сопротивлений. Причем, в силу специфики трехфазных цепей, сопротивление г! может быть только фазным. Из определения падения напряжения на фазном сопротивлении (2) следует, что

и(ф) = и1(ф) + и2(ф),

и

и,

а)

и2

I

I, 22

т

б)

и

1 А 2

I

В)

и

Рис. 3. Основные схемы соединения трехфазных сопротивлений

I

I

г

г

2

I

г

3

3

Здесь, как и раньше, верхний индекс в скобках указывает на пространство, в котором данный параметр представлен. Выразим с помощью закона Ома падения напряжений через сопротивления и токи и учтем, что в последовательно соединенных сопротивлениях токи одинаковы. Тогда получим

^1,2

Нижний индекс "1,2" у сопротивления означает, что это сопротивление является эквивалентным одновременно двум сопротивлениям (1 и 2). Умножим

выражение (24) справа на матрицу преобразования Е и слева - на Е-1. Учитывая при этом связь матриц сопротивлений в различных пространствах (15), найдем правило нахождения сопротивления, эквивалентного двум последовательно соединенным сопротивлениям в произвольном пространстве

г1,2 = 21 + г2 .

Для нахождения общего сопротивления двух параллельно соединенных трехфазных сопротивлений (рис. 3, б) воспользуемся первым правилом Кирхгофа для точки А и законом Ома (10):

1

212(ф)-1. и(ф) = 21(ф)-1. и(ф) + г2(ф)-1. и(ф) =

= (г1(ф)-1 + г2(ф) -1). и<ф>

*и

Умножим равенство (28) справа на матрицу Е , слева - на Е-1 и выполним

некоторые преобразования:

•г!,2(ф) • Е = Е-1 • г^1' • Е + Е • г2

,-,-1 (ф)-1 ^ ,-,-1 (ф)-1 ^+^-1 (ф)-1

Е • г1 • Е = Е • г-с^’ • Е + Е • г^’ • Е

(Г)-1 (Р)~Х + (ґ)~Х

г1,2 = г^ + г2 .

Выражение (31) представляет собой правило нахождения сопротивления, эквивалентного двум параллельно соединенным сопротивлениям в произвольном пространстве.

Умножая (26) слева на матрицу Е, получим запись первого правила Кирхгофа в произвольном пространстве

Поскольку закон Ома, первое правило Кирхгофа и правила сложения последовательно и параллельно соединенных трехфазных сопротивлений имеют одинаковый вид в любом базисном пространстве, анализ схемы с двухсторонним питанием (рис. 3,в) проведем для произвольного пространства, а верхние индексы, указывающие на тип пространства, будем опускать. Найдем ток і3 в нагрузке цепи г3. Будем исходить из того, что для напряжения в точке А одновременно справедливы равенства

и А = и1 -г1 • І1 = и2 - г2 • І2 = г3 • І3 .

Учитывая при этом первое правило Кирхгофа в точке А, составим систему уравнений

г1 • І1 = и1 -г3 • І3

г2 • І2 = и2 -г3 • І3

І3 = І1 +12 .

Из решения этой системы уравнений находим

І3 =[1 +

где ¥1 = г1 1; ¥2 = г2 1 - матрицы соответствующих проводимостей. Проведем тождественные преобразования

І3 =[1 + (¥1 + ¥2)• г3] (¥1 + ¥2) (¥1 + ¥2)-1 (¥1 • и1 + ¥2 • и2) =

= [ + ¥2) + г31"1

Окончательно выражение для тока І3 запишем в виде

І3 = (гэкв + г3 ) •иэкв ,

где г экв = (¥1 + ¥2 )-1; иэкв = (¥1 + ¥2 )-1 • (¥1 • и + ¥2 • и2 ). Как следует из (37), схема на рис. 3,в эквивалентна схеме с односторонним питанием от источника с напряжением иэкв и двумя последовательными сопротивлениями (г экв и г3).

Из полученных результатов видно, что установленные правила полностью аналогичны правилам эквивалентирования однофазных цепей. Это дает основание использовать при расчетах сложных несимметричных трехфазных схем методы, разработанные для однофазных цепей. Выбор базисного пространства при этом, с математической точки зрения, не имеет принципиального значения.

В качестве иллюстрации применения установленных правил проведем расчет трехфазной схемы (рис. 4,я), приводимой в учебной литературе при анализе феррорезонансных перенапряжений [9]. На схеме С мф и С о - удельные

емкости между проводами фаз и между проводами фаз и землей; ^ и /2 -

расстояния от места обрыва провода до источника и трансформатора соответственно. Для простоты расчетов будем полагать, что индуктивности обмоток силового трансформатора L постоянны и не зависят от тока в цепи. Полные сопротивления обмоток будем характеризовать комплексными сопротивлениями zт = Rт + jXт .

МС

и

&

в

Ма

е

ГГ

XX

III

С0' 11

г4

г5

а)

111

III

С ' I 0 2

гб

ГГ

XX

Смф • 12

г7

и

т

,ф

г

г4

и,

и

ф

н

гб

г

ф

и7ф

б)

Рис. 4. Общая (а) и упрощенная (б) схемы для исследования перенапряжений при обрыве фазы в сети с изолированной нейтралью и падением провода на землю

г

г

г

3

5

г

Чтобы трехфазные элементы цепи были однотипными, преобразуем, согласно [2], соединения треугольником сопротивлений межфазных емкостей в эквивалентные соединения звездой. При этом в лучах каждой звезды все

сопротивления будут одинаковы и равны, соответственно, 1/(3]<ьСмф1\) и 1/(3угаСМф/2), где ю = 314 рад/с - угловая частота переменного напряжения.

Сопротивления в нейтралях этих звезд стремятся к бесконечности. В результате упрощенная схема примет вид, как показано на рис. 4,б. Сопротивления схемы выражаются следующими матрицами:

г Ф = г1 =

3У'юС мф 11

' 1 о о' '1 1 Г

о 1 о нннн , г1 = г6 = г7 = 1 и = я • 1 1 1

,о о 1 ,1 1 1

Ф . н г! = + г1 ,

г4 =

г6 = г

1

г2 =

я о о"

о 1/я о , г5

о о 1/я,

фн 6 + 26, г ф 7

уюС о І1

1

уюС о12

(1 о о4 0 1 о 0 о 1у (1 о о о 1 о о о 1

^ =

Ф г6 =

1

3уюСоІ2

гф = ( + ЇХ т )•

У

(1 о о^1 о 1 о о о 1

1/я о о я о о (1 о о о 1 о о о 1

о

о

я

фн

і7 ^ г 7 + г 7 ,

где Я - действительная величина, стремящаяся к бесконечности. В численных

расчетах было принято Я — 1  109 Ом, поскольку увеличение И сверх этого числа не приводило к заметным изменениям результатов.

Основные параметры линии электропередачи были приняты следующими: номинальное напряжение ?7ном = 35 кВ, Смф = 1,5 нФ/км, С о = 6 нФ/км,

Ят = 5 Ом, Xт = 9 кОм, /1 =1 км, /2 - величина варьируемая. Матрица напряжения линии (прямая последовательность) записывалась в виде

Г1 Л

и = .^ном

2

а

\ У

Для определения токов и падений напряжения в каждом сопротивлении схемы использовалась обычная, для однофазных цепей, методика. На первом этапе с помощью установленных правил эквивалентирования находилось общее сопротивление и общий ток цепи. На втором этапе цепь в обратном порядке последовательно "разворачивалась", и при этом находились искомые величины. Поскольку методика широко известна, приведем ее для рассматриваемой схемы без особых комментариев:

I -1 + -1 + -1ч-1 +

г567 = (г5 + 26 + г7 ) , 24-7 = 2567 + 24 ,

/ -1 1 -1 1 -1 1 -1\—1 | н т —1 тт

21—7 - (г1 + г2 + 23 + 24—7 ) , 2об = 21—7 + 2и , !об - 2об  и,

1

иин = 2ин • Іоб , иі = и - и ин , І4 = г4.7-1 • иі, и5 = иі - Х4 • І4, І7 = г7-1 • и5, и7ф = г7ф • І7, и7н = г7н • І7 .

Расчеты выполнялись с помощью системы МаШса^ позволяющей удобно производить любые матричные вычисления. На рисунках 5 и 6 представлены

зависимости фазных напряжеий и и7Ф от расстояния І2 соответственно. Видно, что напряжение на фазе А, вследствие короткого замыкания на землю, становится равным нулю, а на фазах В и С увеличивается в >/3 раз. Причем фазные напряжения не зависят от расстояния /2 .

40

30

и

1А

кВ

и

1В

и-

иіс

ЄНЕЮ

20 "

, кВ , кВ 10

0

23 24 25 26 27 28 29 30

12, км

Рис. 5. Зависимость модулей фазных напряжений Ц_ і от расстояния І2

Зависимости амплитуд падений напряжений на обмотках трансформатора (рис. 6) от І2 носят резонансный характер. Такой характер зависимостей обусловлен резонансом напряжений на индуктивностях трансформатора и емкостях линии электропередачи. Максимум перенапряжений на трансформаторе соответствует І2 = 26,2 км. Наибольшее перенапряжение возникает на фазе А. На фазах В и С падения напряжений равны между собой. Большая кратность перенапряжений обусловлена тем, что в расчетах не учитывалось активное сопротивление замыкания на землю.

Если источником напряжения является генератор (вращающаяся электрическая машина), то на его работу большое влияние оказывает наличие в общем токе цепи нулевой и обратной симметричных составляющих. Для нахождения амплитуд симметричных составляющих воспользуемся выражением (18). Тогда

І

об

(с) = К-1 • І

об

8000 1 1 1 1 1 1

и ф и 7 А ’ кВ 6000

и ф и 7 В , кВ - э -

1 II и ф и7С 0-00 4000 , кВ 2000 - 1 1 1 1 1 1 1 1 -

- /\ етязПЗВЗЙВ 1 V -

23

24 25

26

12, км

Рис. 6. Зависимость модулей фазных напряжений иф от расстояния /2

Результаты расчета зависимостей модулей токов нулевой, прямой и обратной последовательностей общего тока от расстояния /2 представлены на рис. 7. Величина тока нулевой последовательности пренебрежимо мала. Этот результат естественен, поскольку нейтрали источника напряжения и трансформатора разземлены. Токи прямой и обратной последовательностей совпадают по амплитуде и резонансно увеличиваются также при /2 = 26,2 км.

I

об0

1 об1 |, +++

1 об2 ,

ОЧЭ-О

23 24 25 26 27 28 29 30

/2, км

Рис. 7. Зависимость модулей токов нулевой, прямой и обратной последовательностей вблизи источника напряжения

Представленные на рисунках зависимости демонстрирует только минимальные возможности предложенной методики. В то же время, как следует из изложенного выше алгоритма расчета, можно легко найти напряжения и токи в любой точке цепи и в любом базисном пространстве.

Таким образом, введение понятия матрицы сопротивления нейтрали и определение правил эквивалентирования для основных схем соединения трехфазных сопротивлений позволяет существенно упростить анализ режимов работы несимметричных трехфазных схем и повысить информативность результатов расчетов, находить напряжения и токи в любой точке цепи и в любом базисном пространстве, что, в свою очередь, позволяет более объективно оптимизировать релейную защиту составляющих элементов схемы и предъявлять требования к изоляции оборудования.

Summary

Within this work for a 3-phase circuit of a general type the concept of a matrix of zero-phase resistance has been introduced. While describing the 3-phase circuit in different base spaces the invariants have been found. Formulas for Ohm law and the input power of 3-phase circuit have been given in any base space. The rules of finding the equivalent resistance for main schemes of 3-phase resistors connection in describing the circuit in different base spaces have been revealed. Recording the first rule of Kirchhoft in any space has been given for the ramified asymmetrical 3-phase circuit. The application of the established rules has been demonstrated by the example of practical scheme calculation.

Литература

1. Вагнер К.Ф., Эванс Р. Д. Метод симметричных составляющих. - М.: ОНТИ, 1936.

2. Основы теории цепей: Учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. - М.: Энергоатомиздат, 1989.

3. Неклепаев Б.Н. Электрическая часть электростанций и подстанций: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1986.

4. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Ч. 1. Линейные электрические цепи, изд. 4-е. - М., Энергия, 1970.

5. Ульянов С.А. Электромагнитные переходные процессы в электрических системах. Учебник для электротехнических и энергетических вузов и факультетов. - М.: Энергия, 1970.

6. Чернин А.Б., Лосев С.Б. Основы вычислений электрических величин для релейной защиты при сложных повреждениях в электрических системах. -М.: Энергия, 1971.

7. Лосев С.Б., Чернин А.Б. Вычисления электрических величин в несимметричных режимах электрических систем. - М.: Энергия, 1983.

8. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. - М.: Наука, 1965.

9. Техника высоких напряжений: Изоляция и перенапряжения в

электрических системах: Учебник для вузов / В.В. Базуткин, В.П. Ларионов, Ю.С. Пинталь; Под общ. ред. В.П. Ларионова. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 464 с.

Поступила 15.10.2003