Построение комплекса нестандартных задач по математике, направленного на обеспечение процесса формирования мотивации учебной деятельности школьников 5 6 классов

ровании индивидуальном траектории, например, по модулю 1 «Сложение натуральных чисел и его свойства» учащиеся осуществляют по схеме (рис. 2). В кружочках указаны номера обязательных заданий, а в прямоугольниках — задания вариативной части. После выполнения задания 5 ученик может, перейти либо к заданию 10, либо 11, либо ..., либо 16.

Познакомившись с возможными направлениями движения, ученик проектирует свою индивидуальную траекторию изучения данного модуля и заполняет соответствующую строку таблицы 2.

К финишу ученики могут прийти разными путями:

Старт 1---2---3---4а---5---6---8 (переход к модулю 2);

Старт 1---2---3---4б---5---6---8 (переход к модулю 2);

Старт 1---2---3---4а---5---6---7---6---8 (переход к модулю 2);

Старт 1---9---2---3---4а---5---10---6---7---6---8 (переход к модулю 2);

Старт 1 —2—3—4б—5—11 —13—14—6—8 (переход к модулю 2) и т.д.

Третий этап. Учитель рекомендует ученику познакомиться с листом самоконтроля, в который включены различные задания для установления факта достижения (недостижения) поставленной им цели. В частности, ученику нужно ответить на теоретические вопросы, проверить себя при выполнении математического диктанта и самостоятельной работы.

Четвертый этап. Учитель осуществляет текущий контроль (при работе с данным модулем) в форме самостоятельной работы, задания которой носят разноуровневый характер. После её выполнения и проведения рефлексии, ученик переходит к знакомству со следующим модулем 2 «Вычитание» и конструирует индивидуальную траекторию изучения этого модуля. Так происходит до тех пор, пока не будут изучены все модули темы. Только после изучения всей темы, уче-

ник подводит итоги, то есть выходит на пятый этап.

Пятый этап. Подведение итогов изучения темы. Учитель помогает учащимся в организации выставки и презентации их «Багажа знаний».

Наш опыт показывает, что организация процесса обучения математике на основе индивидуальных траекторий учащихся — одна из эффективных форм совершенствования математического образования в 5 — 6 классах в рамках традиционной классно-урочной системы обучения. Учебный процесс максимально адаптирован к возможностям и потребностям каждого учащегося, что создаёт комфортные условия работы. Ученик формулирует собственные цели, выбирает пути и способы их достижения, работает в индивидуальном темпе, на оптимальном для него уровне сложности. Опытно — экспериментальная работа по обучению математике учащихся 5-6 классов на основе индивидуальных траекторий осуществляется в школах № 9, 10, 14 города Прокопьевска Кемеровской области.

ЛЮБИЧЕВА Вера Филипповна, доктор педагогических наук, профессор, заведующая кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике Кузбасской государственной педагогической академии.

E-mail: lubichevavf@mail.ru СОБИНА Татьяна Аврельевна, учитель математики школы № 14, г. Прокопьевск, соискатель кафедры алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике Кузбасской государственной педагогической академии.

E-mail: Sobin.85.@mail.ru

Дата поступления статьи в редакцию: 24.04.2009 г.

© Любичева В.Ф., Собина Т.А.

УДК 371351 Е. Н. КАЧУРОВСКАЯ

Омский государственный педагогический университет

ПОСТРОЕНИЕ КОМПЛЕКСА НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ, НАПРАВЛЕННОГО НА ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ МОТИВАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ 5 - 6 КЛАССОВ______________________________________

В статье приведены примеры нестандартных задач, направленных на обеспечение поэтапного формирования мотивации учебной деятельности, с учетом индивидуальных особенностей учащихся.

Ключевые слова: нестандартная задача, мотивация учебной деятельности.

В исследованиях многих авторов показана тен- стало формирование устойчивого мнения о под-денция снижения мотивации учебной деятельности ростковом возрастном периоде как о трудном и учащихся основной школы, следствием которой непродуктивном для решения образовательных

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 4 (79), 2009 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 4 (79), 2009

задач. С другой стороны, как указывают многие исследователи, например, А.П. Сперлинг [1], возраст 11 — 14 лет период бурного и плодотворного развития познавательных процессов и формирования важных психологических новообразований (становление избирательности и целенаправленности восприятия, устойчивого произвольного внимания, логической памяти и т.д.). Из чего считаем возможным заключить, что процесс формирования мотивации учебной деятельности в основной школе должен быть начат не позднее чем в 5-м классе и продолжен в последующих, для обеспечения высоких образовательных результатов учащихся.

Опираясь на исследования психологов, указывающих, что у учащихся пятого класса активно формируется абстрактное и теоретическое мышление, формируется умение строить сложные умозаключения, выдвигать гипотезы и проверять их, можно заключить, что нестандартные задачи могут являться адекватным средством формирования мотивации учебной деятельности в данном возрасте.

Приведенный ниже пример построения комплекса нестандартных задач в полной мере согласуется со стадиями формирования мотивов, выделенными Е.П. Ильиным: формирование первичного (абстрактного) мотива, поисковая активность, выбор конкретной цели и формирование намерения ее достичь.

I. Процесс формирования мотивации учебной деятельности школьников начинается с предъявления учащимся проблемной ситуации. Проблемная ситуация, в самом общем случае, возникает при наличии противоречия между знанием и незнанием. Рассмотрим различные случаи возникновения проблемных ситуаций.

1. Для осмысления чего-либо или совершения каких-то необходимых действий учащемуся не хватает имеющихся у него знаний или известных способов действий.

Задача 1. Можно ли 13 листов бумаги разделить поровну между 10 учащимися, не деля ни одного листа на 10 частей?

Решение. 13=г5+-8 10 '

2+5. Каждому человеку мож-

10 10~

1 4

но отдать по - и - листа.

2 5

Проблемную ситуацию эта задача порождает для учащихся, незнакомых с правилом сокращения дробей, что приводит учеников к самостоятельному

формулированию этого правила или отысканию решения, напрямую не связанного с ним.

Задача 2. Верно ли, что приведенное число меньше 10?

9 + 0,1(9 + 0,1(9 + 0,1(9 + 0,1(...(9 + 0,1))...).

Отметим, что у учащихся, как правило, отсутствует опыт упрощения выражений, содержащих неограниченное число операций, а значит, учащимся незнакомы примы решения таких задач.

2. Обнаруживается несоответствие между имеющимися у учащихся знаниями и новыми требованиями.

Задача 3. Таня и Вова шли домой после уроков. Это был необыкновенный день, у них сегодня было первое настоящее знакомство со средней школой — первые уроки в 5 классе. Только Вову омрачал один факт:

— Совсем не правильно учат нас на уроках математики читать числа, — говорил Вова, — очень много лишних слов приходится говорить, например, 1 миллион 212 тысяч 345. Намного проще сказать так, как произносят номер телефона в других странах: один, два, один, два, три, четыре, пять. И под диктовку очень удобно записывать.

Тане показалось, что Вова в чем-то не прав. Но что возразить ему, она не знала. Можно ли что-нибудь возразить Вове, и нужно ли?

Приведенная задача содержит несоответствие между старыми знаниями и новыми фактами.

Задача 4. Постройте треугольник, у которого больше чем один прямой угол.

Ответ. Например, такой треугольник есть на мяче (рис. 1). Стоит отметить, что треугольником в школьном курсе математики называем плоскую фигуру, а то, что изображено на рисунке не является плоским. Мы немного лукавим, говоря о том, что есть треугольник, у которого больше чем один прямой угол, приводя объект, рассматриваемый другими разделами математики.

Решение этой задачи выявляет несоответствие между математическими знаниями разного уровня (более низкого и более высокого).

Задача 5. На время рекламной акции стоимость товара уменьшили на 50%. Насколько процентов необходимо увеличить новую цену товара после акции, чтобы получить исходную? [2].

Ответ многим учащимся кажется очевидным — стоимость товара необходимо увеличить на 50%, а

Таблица 1

Вспомогательная таблица к задаче 9

Действия Иллюстрация Упрощенная иллюстрация Упрощенная запись

Задумали число. • X

Прибавили 4. * . . . . 3 +4

Увеличили в 2 раза. * : : : : 2  х + 8

Отняли 6. • * + 2

Разделили на 2.

Уменьшили на задуманное число.

194

— количество горошин в мешочке соответствует задуманному числу.

правильный ответ всё же такой — 200%. Эта задача демонстрирует возможность наличия несогласованности знаний и представлений учащихся с научными данными.

3. Возникает необходимость использования усвоенных знаний в новых условиях.

Задача 6. Найти значение произведения 35 и 37, зная, что 362 = 1296.

Решение. Для решения этой задачи можно воспользоваться понятием площади и ее свойствами. Построим прямоугольник со сторонами 37 и 35, выполним построения так, как показано на рисунке (рис. 2):

Я - 1 = Я ,

квадрата прямоуг-ка'

35.37 = 362 - 1 = 1296- 1 = 1295.

4. Проблемные ситуации возникают и тогда, когда необходимо использовать усвоенные знания в новых практических условиях.

Задача 7. Вы когда-нибудь задумывались, почему люки канализационных колодцев именно круглой формы, а, допустим, не квадратной?

Ответ. Причиной, по которой крышки люка делают круглой, может послужить тот факт, что для крышки такой формы нет такого положения в пространстве, чтобы она могла провалиться в колодец, а для квадратной такое положение есть.

5. Имеется противоречие между теоретически возможным путем решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа.

Задача 8. Простым или составным является число 20062006?

Решение, конечно, не предполагает возведение числа в степень 2006, хотя теоретически эта операция осуществима. Ответ - число составное, так как при возведении числа заканчивающегося цифрой 6 в натуральную степень получится число, последняя цифра в записи которого так же будет 6, а значит, 20062006 четное.

6. Имеется противоречие между практически достигнутым результатом выполнения учебного задания и отсутствием у учащихся знаний для его теоретического обоснования.

Задача 9. Фокусник задумал число. Прибавил к нему 4. Затем то, что получилось, увеличил в 2 раза. Отнял 6. Разделил на 2. Уменьшил на задуманное число. Какое число осталось в результате выполненных действий?

Ответить на вопрос задачи не представляет собой сложную процедуру, так как, подставив вместо числа задуманного фокусником, любое другое число всегда получается один и тот же ответ. Но разобраться, в чем состоит секрет этого «фокуса», представляется довольно затруднительным. Учащимся для осмысления производимых операций можно предложить заполнить таблицу 1.

Следующим этапом формирования мотивации учебной деятельности является актуализация эмоционального воздействия на учащихся для осознания ими когнитивной потребности.

У учащихся, чей уровень мотивации находится на низком уровне - общепознавательном, чаще вызывают эмоциональный отклик задачи с необычной фабулой, содержащие яркие факты, занимательный сюжет, задействующий нетривиальных персонажей или форму предъявления; к ним можно также отнести задачи, предполагающие действия с реальными (материальными) объектами.

Таблица 2

Первая таблица к задаче 17

1-1 = 1

11-11 =

111*111 =

1111.1111 =

11111.11111 =

111111 . 111111=

111111111 .111111111=

Таблица 3

Вторая таблица к задаче 17

12345679^9 = 111111111

12345679'18 =

12345679.27 =

12345679.63 =

Задача 10.

Математик весельчак

Перепутал чисел ряд.

И добавил он туда

То, чему там быть нельзя.

Начал он, конечно, счет

С единицы. И не врет!

А потом он прошипел: «Шесть,

Шестнадцать, тридцать шесть».

Веселей сказал: «Четыре, девять,

Двадцать, двадцать пять!»

А тебе же надо взять

Всё восстановить опять.

Ответ. В стихотворении идет речь о следующих числах: 1, 6, 16, 36, 4, 9, 20, 25. Лишние числа 6 и 20. Остальные числа 1, 4, 9, 16, 25, 36 — квадраты натуральных чисел.

Задача 11. Каю необходимо сложить головоломку из кусочков картона. Все части за исключением одной расположились на своих местах. Последний кусочек подходит по размеру, но окрашен с другой стороны. Как должен поступить Кай для того, чтобы закончить головоломку, использовав ошибочно окрашенную часть? (рис. 3).

Ответ. На рисунке 4 пунктиром изображены линии разреза, сплошными изображены вспомогательные линии сгиба. После того, как треугольник разрезан, необходимо перевернуть каждую из трех получившихся частей на другую сторону.

Для учащихся с более высоким уровнем развития мотивации эмоционально действенными являются задачи, которые можно условно назвать «задача — вызов». Можно выделить три типа таких задач:

а) задачи, условия которых создают ложные представления о данных, как о недостаточных.

Задача 12. 10 авторучек стоят больше 11 рублей, а 9 авторучек стоят меньше 10 рублей. Хватит ли 15 рублей для того, чтобы купить 13 авторучек?

Ответ. 1 ручка стоит 1 рубль 11 копеек. Стоимость 13 ручек составит — 13.1,11 = 14,53; 15 рублей на покупку 13 авторучек хватит;

б) задачи, сюжеты которых основаны на реальном историческом факте или связаны с историческими персонажами:

Задача 13. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов. (Эта задача была приведена в китайском математическом трактате «Арифметика

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 4 (79), 2009 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 4 (79), 2009

*

196

Рис. 2. Площадь прямоугольника

Рис. 3. Изображение головоломки

Рис. 4. Схема разрезания треугольника

2,65 4,73 1,52

6,13 0,55 2,22

0,12 3,62 5,16

Рис. 5. Квадрат

Рис. 6. Схема сворачивания пятиугольника из полоски бумаги

+ С,ложи Д,роби Хо,рошо

Рис. 7. Сложение дробей

в девяти главах»

Ответ. 23 фазана, 12 кроликов;

в) задачи, имеющие предысторию, значимую только для данного класса, данной параллели классов или школы (задача, которую составил ученик школы; задача, которая предлагается для решения не первый год и, решившие её, попадают в почетный список и т.д.).

На примере одной задачи покажем, как может быть реализовано эмоциональное подкрепление деятельности учащихся с различными ведущими мотивами учебной деятельности, различными учебными способностями.

Для учащихся с высокими учебными способностями можно предложить следующую задачу - 14.1, решение которой предполагает отыскание закономерности по увеличению толщины сложенного листа.

Задача 14.1. Возможен ли следующий факт: толщина обычного листа бумаги, сложенного в 40 раз пополам, превысила высоту башенного крана?

Ответ. Если толщину листа бумаги взять равной I = 0,0001 м, и сложить лист только 21 раз, то получится высота примерно в 105 метров (0,0001 -221), а башенный кран высотой лишь 50-90 метров.

Для учащихся с низкими учебными способностями можно предложить задачу, позволяющую осознать проблему, поднятую в задаче 14.1.

Задача 14.2. Можно ли сложить лист бумаги вдвое, повторив это хотя бы 9 раз?

Можно ли лист из другого материала сложить более 12 раз?

Учащимся, для актуализации положительных эмоций (удивления, восхищения, интереса и т.д.), можно сообщить следующие факты, имеющие непосредственное отношение к содержанию этих задач:

1. Мировой рекорд по складыванию листа бумаги пополам, зарегистрированный в январе 2001 г., состоит в 12 кратном сложении бумаги; он принадлежит американской школьнице Бритни Гэлливан.

2. Началом ее успеха можно считать скептическое отношение к словам педагога о том, что совершенно невозможно сложить хотя бы что-нибудь пополам 12 раз. После длительных экспериментов с различными материалами Бритни Гэлливан смогла сложить лист фольги 13 раз, доказав неправоту педагога.

3. Эта задача стала основой успешного математического исследования.

4. Если бы удалось сложить лист бумаги 39 раз и встать на него, то можно было бы тогда оказаться на Луне (среднее расстояние от Земли до Луны — 384 400 км, а 0,000001-239 и 550 000 км.).

Средства и методы, выбранные учителем для актуализации положительных эмоциональных реакций учащихся на этапе предъявления нестандартной задачи, непосредственно влияют на формирование у учащихся целей решения задачи. Можно выделить следующие виды целей решения задачи:

. познавательные:

— овладеть методами математического познания действительности;

— усвоить способы учебно-познавательной математической деятельности;

— выработать умения по решению задач;

— усвоить теоретический материал;

— научиться применять полученные знания в новой ситуации;

— получить новое знание;

. социальные:

— получить одобрение родителей, учителя, одноклассников;

— достигнуть субъективно значимого успеха;

— поучаствовать в коллективной деятельности;

— избежать наказания.

Формирование у учащихся когнитивных целей, на примере задачи 14, может происходить за счет сообщения учащимся дополнительных сведений (они обозначены цифрами) 3, 4. Информация, содержащаяся в пунктах 1,2, в большей степени способствует формированию социально направленных целей решения задачи, так как указывает на значимость результата деятельности, его общественно признанную ценность.

II. В соответствии с поставленными целями учащиеся приступают к планированию своей деятельности. Действия учителя на этом этапе должны быть направлены на поддержание и формирование стремления учащихся к выполнению самостоятельной познавательной деятельности.

Приведем примеры задач, применение которых позволяет активизировать стремления учащихся к самостоятельной деятельности. Таким свойством обладают, прежде всего, задания, ответы на которые предполагают рассуждения, повествования, которые, при условии, что работа выполнена самостоятельно (не списана), становятся уникальными.

Задача 15. Придумайте четверостишье, используя следующие рифмы (не обязательно все). Выражение — скольжение. Умножение — приложение. Учение — умение. Буква — клюква. Частное — разное.

Активизируют стремления учащихся к самостоятельной деятельности и задачи, имеющие множество решений.

Задача 16. Что удивительного в этом квадрате? (рис. 5) Можно ли составить похожий квадрат?

Ответ. Сумма чисел в строках и столбцах равна 8,9. Похожих квадратов составить можно много.

Особо выделим задачи соревновательного характера (кто быстрее, оригинальнее, интереснее и т.д.).

Задача 17. Предложи своему другу соревнование: кто из вас быстрее заполнит таблицы (табл. 2, 3).

Ответ. Это задание первым выполнит тот, кто увидит закономерности в произведениях.

На этапе планирования своей деятельности учащийся опирается на результативность предыдущей деятельности, в связи с чем считаем полезным приводить задачи, схожие с успешно решенными ранее. Приведем пары задач схожие по содержанию (задачи 18 и 19) и по способу решения (задачи 20 и 21).

Задача 18. Проверьте свою линейку, действительно ли она позволяет чертить прямые линии?

Задача 19. Специалисты говорят, что самое лучшее изображение у телевизоров (мониторов) с плоским кинескопом. Как же проверить такую характеристику телевизора?

Задача 20. Кусок мыла, лежащий в умывальнике, имеет форму параллелепипеда. Мыло расходуется равномерно. Через 7 дней размеры мыла уменьшились вдвое. На сколько дней хватит оставшегося мыла?

Ответ. Объем мыла после 7 дней использования составляет восьмую часть от первоначального объема.

Значит, за 7 дней было израсходовано 7 куска мыла.

Мыла осталось на 1 день.

Задача 21. Как-то раз гуляла Одна Сотая по парку

и увидела знакомую, которая каталась на лодке в пруду.

— Привет, Единица! — позвала знакомую Одна Сотая.

— Я совсем не Единица. Я, между прочим, значительно стройнее ее. Вот если взять меня, да еще столько, да еще полстолько, да еще четверть столько, да еще и тебя. Вот тогда бы я могла стать единицей!

Одна сотая извинилась и пошла дальше, думая о том, с какой же дробью она перепутала единицу.

Ответ. 0,36. 0,36 + 0,36 + 0,18 + 0,09 + 0,01 = 1.

Для осознания учащимися результативности своей деятельности мы рекомендуем предлагать им: последовательность задач, в которых результаты решения первых задач значительно упрощают решения последующих; задачи, условно назовем их «задачи с продолжением» — это задачи, результаты которых стимулируют познавательную деятельность, косвенно связанную с исходной задачей. Так, полученные в задаче 22 пятиугольники, могут быть использованы для построения многогранника — правильного додекаэдра, составленного из двенадцати правильных пятиугольников (при условии, что все полоски будут одной ширины, и будет одинаков метод построения пятиугольников).

Задача 22. Как сложить из полоски бумаги пятиугольник, у которого все стороны равны? Проверьте, будут ли равны углы этого пятиугольника.

Ответ. На рисунке 6 изображен способ, которым можно сложить из полоски бумаги пятиугольник. Этот способ похож на завязывание узелка, только из полоски бумаги, а не шнурка. Углы у приведенного пятиугольника равны.

III. На заключительном этапе формирования мотива учебной деятельности (принятие решения о намерении достичь цель), учащийся оценивает заинтересованность остальных учащихся в решении данной задачи. Как показал опыт, подкрепляющее воздействие на формирование у учащихся намерения достичь цели могут оказывать положительные оценочные высказывания, содержащиеся в условии задачи.

Задача 23. Замените буквы цифрами в примере на сложение. Разные буквы означают разные цифры (рис. 7).

Таким образом, мы показали, что нестандартные задачи могут способствовать формированию мотивации учебной деятельности на каждом из его этапов.

Библиографический список

1. Сперлинг А.П. Психология : пер. с англ. С.И. Ананин. — М. : ООО «Попурри», 2002. — 112 с.

2. Далингер В.А. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике: Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и их системы : учеб. пособие. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 1995. — 65 с.

КАЧУРОВСКАЯ Евгения Николаевна, аспирантка кафедры теории и методики обучения математике.

E-mail: jeka kach@mail.ru

Дата поступления статьи в редакцию: 29.04.2009 г.

© Качуровская Е.Н.

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 4 (79), 2009 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ