О свойствах показателя Ляпунова на проекторе класса Бэра

1. Функциональный анализ и дифференциальные

уравнения

УДК 517.926.4

© Д. Д. Николаева

О СВОЙСТВАХ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА НА ПРОЕКТОРЕ

КЛАССА БЭРА

В оптимальном управлении показатели Ляпунова играют основную роль. Статья посвящена изучению следующего вопроса: если существует проектор первого класса Бэра, то каковы свойства показателя Ляпунова? В данной работе проведены: анализ одной задачи о существовании проектора первого класса Бэра, построение равномерно непрерывной ретракции на выпуклое множество, анализ различных свойств пространства Шх .

Ключевые слова: равномерно непрерывная ретракция, линейно-непрерывный операторы, проекторы первого класса Бэра.

О D. D. Nikolaeva

ABOUT PROPERTIES LYAPUNOV EXPONENT ON THE PROJECTOR OF BAIRE CLASS

The Lyapunov exponents play a major role in optimal control. The paper is devoted to the following question: If a projection of Baire class one exists, then what are the properties of the Lyapunov exponent? In this research work the analysis of one problem of the existance of the of Baire class one projection, building a uniformly continuous retraction to the convex set, the analysis of the different properties of space Шх have been performed.

Keywords: uniform continuous rectractions, linear continuous operator, projection of Baire class one.

Введение

В работе [1] центральное место занимает вопрос о принадлежности или непринадлежности конкретных ляпуновских показателей тому или иному классу Бэра, доказана непринадлежность минимальных полунепрерывных сверху мажорант показателей Ляпунова первому классу Бэра». Отсюда возникает актуальность исследования следующего вопроса: если существует проектор первого класса Бэра, то каковы свойства показателей Ляпунова? Для этого исследуется понятие проекции (в случае не-

линейного отображения соответствующее отображение называется ретракцией) и построение равномерно непрерывной ретракции на выпуклое множество, а также проведен анализ различных свойств пространства

Равномерно-непрерывные ретракты

Пелчинский [2] доказал, что пространство С[0,1] не дополняемо в пространстве /)[0,1], то есть не существует проектора из пространства /)[0,1] на его подпространство С[0,1], где /)| 0.1] - пространство всех ограниченных функций на [0,1], непрерывных в каждой недвоично-рациональной точке, непрерывных слева и справа в каждой точке и имеющих для каждого е > 0 только конечное число «скачков», больших, чем £ . Но актуален следующий вопрос: существует ли между данными пространствами проектор первого класса Бэра?

Бэр Рене-Луи в 1899 году предложил свою классификацию разрывных функций:

- нулевым классом Бэра, называется множество всех непрерывных функций;

если функция представляется, как поточечный предел последовательности функций нулевого класса, то она принадлежит первому классу Бэра;

если функция представляется, как поточечный предел последовательности функций первого класса, то она принадлежит второму классу Бэра; ит. д.

Введем алогичную классификацию для операторов:

- множество всех непрерывных операторов назовём множеством нулевого класса;

- если оператор Р не входит в нулевой класс, но представим в виде: 1'(х) = 1пп /',(х). для Ух, где каждый оператор Рп непрерывен, то

п—>со

оператор Р называется оператором первого класса Бэра;

- если оператор Р, не входит ни в нулевой, ни в первый классы, но представим в виде: Р(х) = \{тРп(х), где каждый оператор

п—>СО

Рп непрерывный, то оператор Р называется оператором второго класса Бэра;

и.т.д по трансфинитной индукции.

Теорема 1. Не существует линейного проектора первого класса Бэра пространства /)[0,1] на его подпространство С[0,1].

Доказательство. Для доказательства используем классическую теорему о принципе равномерной сходимости [3] из общего курса функционального анализа:

Пусть пространство Е банахово, а пространство F нормированное и задано некоторое множество отображений {Та }аеА с L(E, F). Тогда равносильны следующие условия:

(1) {Та} равномерно ограниченно, т.е. \\'l':/_ | <М для \/а е А .

(2) {Та } поточечно ограниченно, т.е. \Tt/ (х)}!Л , ограниченно в пространстве F => |Гах| <Мх для \/а е А .

Предположим, что проектор P(f) представим в виде предела непрерывных операторов, где каждый Рт линейный:

P(f)=lunPm(f).

т—>со

Это означает, что Р есть проектор первого класса Бэра. Если данный предел существует для каждого /, то по принципу равномерной ограниченности, это будет означать, что и

т

то есть эирЦ/^Ц <+QO, а этого не может быть. Таким образом, мы

т

приходим к выводу, что проектора первого класса Бэра между данными пространствами не существует. Теорема доказана.

Пусть X топологическое подпространство пространства Y . Определение 1. [4] Непрерывное отображение r.Y^-X называется ретракцией, если r(x) = х для любой точки х е X .

Определение 2. [4] Если существует ретракция г : Y —> X , то X называют ретрактом пространства Y .

Определение 3. [4] Топологическое пространство X называется абсолютным ретрактом, если оно является ретрактом всякого топологического пространства, содержащего X в качестве замкнутого подпространства.

Рассмотрим случай существования равномерно-непрерывных ретрактов в пространстве Ср (X).

Лемма 1. Для любого пространства X, если Ср(Х) содержит всюду

плотное подмножество типа Gs из пространства Шх, то пространство X является дискретным.

Доказательство. Предположим, что пространство X недискретно. Тогда функция g е Шх \ Ср (X). Определим отображение F:RX ^ Шх ,

такое что F(f) = f + g . Тогда отображение F есть гомеоморфизм Шх на самого себя, и F(C (X)) cMI\Cf (X). Таким образом Шх \ Ср (X) также

содержит плотное Gs подмножество из пространства Шх, чего быть не

может, так как пространство Мл является бэровским, и в бэровском пространстве каждая пара плотных Gs множеств имеют непустое пересечение.

Теорема 2. Пусть X — вполне регулярное пространство и пусть дана равномерно непрерывная функция (р: X —> Ш такая, что (р(х) > 0 для любого х е X . Тогда выпуклое множество

L = {feCp(X):\f(x)\<(p(x)}

является равномерным ретрактом пространства Ср(Х).

Доказательство. Множество L является выпуклым, то есть

fxX + /2(1-Я)еХ<=> | fX + /2(1 - Л)| <(р,

R

рис. 1

для любого хеХ выполняется неравенство | /|(х)Л + (х)(1 - А)| < ср(х).

при fx (х) > /-, (х) справедливо неравенство

fx (х) < \fx (х)Л + /2 (х)(1 - Л)| < /2 (х).

Необходимо показать, что выпуклое множество L является равномерным ретрактом. Для любого х е X определим некоторое отображение r :Cp(X)^L, такое что г(/)(х) =/(х). Функции

/(х) е Ср (X) и /(х) > 0 . Рассмотрим случаи:

1) Если |/(х)| < ср(х), то г(/)(х) = /(х).

2) Если f{x) > <р(х), то г(/)(х) = <р(х).

3) Если fix) < -(pix) 1, то г(/)(х) = -<р(х).

Нетрудно видеть, что наше полученное отображение г является непрерывным. Следовательно, по определению ретракта, выпуклое множество L является равномерным ретрактом в пространстве СpiX) .

Теорема доказана.

Определение 4. [1] Пространство X обладает свойством Бэра, если в нем пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных множеств является всюду плотным.

Предложение. Если С (X) пространство со свойством Бэра, то

каждое ограниченное в X множество конечно.

Доказательство. Допустим, что существует бесконечное неограниченное множество А с X . Положим Gi = {/ еСр (X):

существует х е А , такой, что /(х) > /} , / е N , и покажем, что (г открыто и всюду плотно в Ср {X).

Пусть / е (7 . Возьмем х е А , такой, что /(х) > /. Положим £ = /(х)-7 и рассмотрим стандартное открытое множество IV(/. х. г) в С (X). Очевидно, / е Ж(/,х,е) с С . Следовательно, (г открыто в СР{Х).

Пусть Иг(£,х1,...,хк,£') - любое стандартное открытое множество в

С (X). Так как множество А бесконечно, найдется у е А\{хх,...,хк}.

Существует функция / е Ср(X), такая, что /(у) >/' и |/(хг)-^(хг)| <е'

при всех 7 = 1 ,...,к. Тогда / е (I г^W(g,xl, ...,хк ,е'). Следовательно,

(¡1 = Ср (X). Покажем, что г-,{С/( : / е N } = 0 . Пусть это не так, и

/ е г\{(/1 :1 е N } . Тогда для каждого / е N найдется точка х( е А .

такая, что /(хг) > / . Значит, функция / не ограничена на А. в

противоречие с условием. Следовательно, r^{Gi : I = 0, что

невозможно, так как пространство Ср {X) обладает свойством Бэра.

Лемма 2. Пусть X дискретно и счетно. Тогда Мх есть абсолютный ретракт в классе всех нормальных пространств.

Доказательство. Предположим, что Мх есть некоторое подпространство нормального пространства Г . Рассмотрим семейство

тождественных отображений t: Мх —> Мх . Семейство t есть диагональное произведение вещественных функций, каждое из которых по теореме Титце-Урысона [3] можно непрерывно продолжить на все пространство Г . Данное декартово произведение тождественного отображения / есть ретракция пространства Мх .

Теорема 3. Пусть множество Г бесконечно и и есть единичный шар

в пространстве /2(Г). Вложим /2(Г) в пространство М (т. е. в простран-

стве /2 (Г) будем рассматривать топологию, индуцированную из пространства Ш ). Тогда естественная ретракция

г : /2 (Г) —» U

не является непрерывной.

Доказательство. Заметим, что если мы наделим гильбертово пространство /2(Г) нормированной топологией, то отображение г является непрерывной ретракцией. Рассмотрим отображение:

г:12(Г)^и,

в том случае, когда пространство наделено топологией поточечной сходимости.

Окрестность элемента X имеет вид :

W{x,yl,...,yn,8) = {y\\x{yi)-y{yi)\<8,i = l,...,n} .

А окрестность образа г(х) имеет следующий вид:

W(r(x),a,s) = {zeL2( Г):

Ограничимся предбазисной окрестностью (т.е. всякая окрестность есть пересечение окрестностей такого вида).

Элемент г(х) принадлежит пространству /2(Г), следовательно,

г(х)(а) = = Ха 2 , где х = (ха)аеГ .

Имеем

г(Щх, к,...,/„,#)) = (г(у),у е Ж: |х(хг) -у(у1)\ <5,1 = 1.....я} =

= {г(у)Ф)= , Ур 2}.

2 \Ур\

/ЗеГ1 1

Покажем, что не существует конечного набора ух,у2,...,уп, такого что

Так как в окрестности Ж(г(х),а,е) образа г(х) фиксируем только одну координату и в сумме ряда нормы участвуют координаты х, то в окрестности г(Ж(х,у1,...,уп,3)) прообраза фиксируется конечное число координат и в сумме ряда участвуют координаты у . Ограничения накладываются только на конечное число координат, а остальные координаты могут изменяться как угодно. Мы можем заставить координаты у изменятся так

сильно, что они не войдут в окрестность W{r{x),a,s). Следовательно,

формула (*) не верна. Теорема доказана.

Замечание. Отображение г конечно же является непрерывным в топологии нормы.

Заключение

Доказано, что не существует линейного проектора первого класса Бэра пространства Z)[0,1] на пространство С[0,1]. Следовательно, так как не существует проектора первого класса Бэра, то нет необходимости исследовать свойства показателей Ляпунова при условии существования проектора.

Рассмотрены случаи существования равномерно-непрерывных ретрактов в пространстве Ср (X). При этом доказано, что выпуклое множество

L = {f & Ср(Х) : |/(х)| < ср(х)} является равномерным ретрактом пространства С (X). Доказано, что естественная ретракция

г:/2(Г)->С/

не является непрерывной.

Литература

1. Ветохин А. Н. Метод неординарных семейств в теории Бэровских классов показателей Ляпунова: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук : 01.01.02 / А. Н. Ветохин. - Москва, 2013. - 16 с.

2. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения к линейной топологической классификации пространств непрерывных функций / А. Пелчинский. - Москва : МИР, 1970. - 143 с.

3. Данфорд Н. Линейные операторы: в 3 томах / Н. Данфорд, Дж. Шварц. - Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. - Т. 1: Общая теория. - 895 с.

4. Angosto, С., Cascales, В., Namioka, I.: Distances to spaces of Baire one fonctions. Z. Math. 263, 103-124

References

1. Vetohin A. N. Metod neordinarnyh semeistv v teorii Berovskyh classov pokazatelei Lyapunova: avtoreferat dissertacii na soiskanie ychenoi stepeni doctora phisico-matematicheskih nauk: 01.01.02 / A. N. Vetohin. - Moskva, 2013. 16p.

2. Petczynski, A. Linear extensions, linear averagings, and their applications to linear topological classification of spaces of continuous functions / A. Petczynski. - Moscow : MIRpubl., 1970. 143 p.

3. Dunford N. Liniar Operations : in 3 parts / N. Dunford, J. Schwartz. -Moskow : foreign literature publ., 1962. - part 1 : General Theory. 895 p.

4. Angosto, C., Cascales, В., Namioka, I.: Distances to spaces of Baire one functions. Z. Math. 263, 103-124

Николаева Дарима Доржиевна, аспирант кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: Darisha89@yandex.ru

Nikolaeva Darima Dorgievna, Research Assistant, Applied mathematics department, Buryat State University, e-mail: Darisha89@yandex.ru