Применение компьютерных программ при моделировании колебательных процессов

По кинематическим признакам различают два вида трения [10]:

- трение скольжения - одна и та же номинальная поверхность одного тела поступательно перемещается по поверхности другого тела;

- трение качения - тело перемещается по другому телу под действием момента сил, вектор которого совпадает с плоскостью касания, причем в соприкосновение входят последовательно расположенные друг за другом элементы поверхности.

Нередко один вид трения сопровождается другим, например, качение с проскальзыванием [8].

Силу трения, как известно, принято характеризовать коэффициентом трения. В соответствии с классификацией, принятой выше, будем различать, соответственно: коэффициент трения покоя, коэффициент трения скольжения и коэффициент трения качения. Определим их качественное различие в соответствии с общепринятыми понятиями [5, 10].

Коэффициент трения покоя - отношение максимальной тангенциальной силы Хпокоя, затрачиваемой на преодоление связей, обусловленных касанием двух тел при выведении их из состояния покоя, к нагрузке N сжимающей соприкасающиеся тела: = тах

Коэффициентом трения скольжения называют отношение тангенциальной силы, затрачиваемой на преодоление сопротивления относительному перемещению двух тел при их скольжении, к нагрузке, сжимающей тела касания:

fс = X скольжения /М

Коэффициентом трения качения называют коэффициент пропорциональности в уравнении Кулона:

Хкачения fк N / Гс1,

где Хкачения - сила трения качения (сила сопротивления перекатыванию круглого цилиндра по плоскости); г,! - радиус качения.

Таким образом, становится ясно, что понятием трения можно пользоваться только для оценки совокупного (векторного), осредненного взаимодействия двух соприкасающихся тел. Но, так как сила трения направлена в сторону, противоположную сдвигающему усилию, а оно при реальном (неидеальном) движении летательного аппарата по ВПП никогда не располагается в плоскости колеса, то этим понятием мы можем пользоваться только для обобщенного описания движения, в смысле осред-ненных характеристик. Понятием сил трения и коэффициентов трения в применении к пневматикам можно пользоваться только в случаях отсутствия сдвигающей силы D и поперечной силы сцепления Z, т.е. при плоскопараллельном движении колеса. Исключительно в указанных условиях можно отождествлять понятия силы трения, силы сцепления Т и продольной силы сцепления X. Соответственно и результаты экспериментальных исследований, приведенные в литературных источниках, будут интерпретироваться в более строгой терминологии, исключающей разночтения. Для детального описания в математических моделях высокой степени адекватности необходимо применение понятия силы сцепления. Более того, необходимо детальное математическое описание, как продольной, так и поперечной сил сцепления, а также и механизма их взаимного влияния [12].

ЛИТЕРАТУРА

1. Диамика полета транспортных летательных аппаратов: Учебник для вузов / А.Я. Жуков, В.И. Егоров, А.Л. Ермаков, В.Н. Журавлев, В.Г. Ципенко. Под ред. А.Я. Жукова. - М.: Транспорт, 1996.

2. 1993.

3. 1982.

Колчин Н.И. Механика машин. Т.2. - М. - Л.: Машгиз, 1963.

Крагельский И.В.и Виноградова И.Э. Коэффициенты трения.: Справочное пособие. - М. : Машгиз,

Бехтир В.П., Ципенко В.Г. Практическая аэродинамика самолета Ил-86. - М.: Воздушный транспорт, Белинский И.А., Смородов Ю.А., Соколов В.С. Зимнее содержание аэродромов. - М.: Транспорт,

4.

5.

1962.

6. Хачатуров А.М., Матвеенко А.М., Копьев Д.Е., Кац Я.И. Аэродромные системы торможения самолетов / Под ред. А.М. Матвеенко - М.: Машиностроение, 1984.

7. Махиндер К. Уахи. Концепция прогностической модели трения в области взаимодействия пневматика и поверхности ВПП. Jqurnal of aircraft, 1979, v. № 6, p. 407-416.

8. Дедков В.К. Исследование взаимодействия пневматика тормозного колеса с поверхностью при высоких скоростях качения / АН СССР. Научный совет по трению и смазке. Выпуск. Трение твердых тел. М.: Наука, 1964. - с. 5 -26.

9. Зверев И.И., Каконин С.С. Проектирование авиационных колес и тормозных систем. - М.: Машиностроение, 1973.

10. Кнороз В.И. Работа автомобильного пневматика. - М.: Автотрансиздат. 1960.

11. Глушков Г.И., Бабков В.Ф., Горецкий Л.И., Смирнов А.С. Изыскание и проектирование аэродромов. - М.: Транспорт, 1981.

12. Математическое моделирование задач летной эксплуатации воздушных судов на взлете и посадке: монография / М.С. Кубланов. - Москва: РИО МГТУ ГА, 2013. - 270 с.

УДК 004.42

Куатов Б.Ж., Сергеев Д.М.

Военный институт сил воздушной обороны, Актобе, Казахстан

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

В настоящее время в образовательной сфере успешно применяются реально-виртуальные приборы и математические программы для демонстративного показа и для моделирования различных физических процессов, как простых, так и сложных. Сейчас расширение возможностей вычислительной техники позволяет не только получать результаты численных вычислений в виде графиков и таблиц, но и в виде симулирующей анимационной модели. Для построения таких моделей пользователю следует изучить физику моделируемого объекта, но напоминаем, что в настоящее время моделирование относится к той области науки, где новые результаты могут быть получены без прямых экспериментальных исследований. Уже возросшее быстродействие вычислительных машин позволяет получать численные решения важнейших дифференциальных и интегро-

дифференциальных уравнений - уравнения Шредин-гера, Шокли, Максвелла, Больцмана при разных потенциалах и реалистических граничных условиях в трехмерных моделях.

В данной работе рассмотрена возможность различных моделирующих программ для моделирования радиотехнических процессов. В качестве физических процессов рассмотрены сложения двух колебаний и воздействия сигналов на последовательный колебательный контур. В радиотехнике (и в физике) для сравнения частот двух источников сигналов и для подстройки частоты одного источника под частоту другого широко используется метод сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. В результате сложения этих колебаний возникают фигуры названные именем Лиссажу.

Фигуры Лиссажу - это замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно

два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Еще одним интересным явлением, наблюдаемое при сложении двух гармонических сигналов с разными, но не кратными частотами является биения.

В этом случае частоты обоих колебаний различны, их фазы то расходятся и колебания ослаб-

ляют друг друга, то сближаются и колебания усиливаются. При этом амплитуда результирующих колебаний соответственно то убывает до минимума, то возрастает до максимума.

Для наблюдения этих явлений следует подать на входы «X» и «У» осциллографа сигналы близких частот, соблюдая порядок, показанный на рис. 1 а, б.

а)

б)

Рисунок 1 - Порядок подключения ЗГ к осциллографу для получения: а) биений и б) фигуры Лиссажу

Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами взаимодействующих двух колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или п вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз п/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение - получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

Описанные феномены можно наблюдать с помощью реально-виртуального компьютерного двухканаль-ного осциллографа и генератора синусоидальных колебаний, особенно если в классе (где проводится учебное занятие) отсутствует или под рукой не имеется электронный осциллограф или генератор гармонических колебаний.

В данном осциллографе функцию АЦП выполняет звуковая карта компьютера, поэтому придется работать только примерно в звуковом диапазоне частот. При соблюдении порядка подключения ЗГ на осциллограф как на рис. 1 а, получим картину биения вида, показанную на рис. 2. Биения можно моделировать и с помощью программы Ма^САБ, но это очень тривиально. Поэтому перейдем к моделированию сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний (хотя для подготовленного специалиста данный вопрос тоже считается тривиальным).

Для получения фигуры Лиссажу, воспользуемся известной математической моделью, описывающее взаимодействие двух ортоколебаний:

х (г) = Лэт (Ш + £), у (г) = В эт (Ы),

где А, В - амплитуды колебаний, а, Ь - частоты, 5- сдвиг фаз.

Результат такой модели в Ма^САБ-е приведен на рис. 3. Изменяя свободные параметры модели (1) можно получить различные фигуры и сопоставлять с полученной картиной с помощью электронного осциллографа.

Рисунок 2 - Биение на реально-виртуальном компьютерном осциллографе

Рисунок 3 - Моделирование фигуры Лиссажу с помощью программы Ма^САБ

Рисунок 5 - Наблюдение фигуры Лиссажу на виртуальном осциллографе программы Proteus 7 Pro при различных значениях соотношении частот сигналов от sin-генераторов

Особый интерес представляет моделирования фигур Лиссажу с помощью программы VisSim и Proteus. В программе VisSim для моделирования используется sin-генератор и математическая модель (1). В VisSim-е соотношения частот и сдвиг фаз контролируется с помощью специальных инструментов, которые позволяют регулировать значения свободных параметров (рис. 4).

А в Proteus-е мы работаем полностью с виртуальными приборами: sin-генераторы, осциллограф (рис. 5). Преимуществом данной программы является то, что без применения математических модели можно получить желаемый результат и все используемые виртуальные приборы, по всем параметрам напоминает реальных приборов. Однако по сравнению с VisSim для программы Proteus нужен большой запас оперативной памяти компьютера.

Заканчивая простейшие модели сложения гармонических колебаний, переходим к рассмотрению последовательного колебательного контура (рис. 6).

Рисунок 6 - Последовательный колебательный контур

Результирующее напряжение в системе представляет собой сумму напряжений на составляющих элементах контура:

S(

(t) = uc + uR + uL ,

где uC

u„

"R , Mi - соответственно напряжение на

конденсаторе, на сопротивлении и на индуктивности.

Для модельного исследования системы используем известные формулы из курса физики, описывающие изменения напряжения в указанных на рис. 6 элементах:

. £duc

_ duC

Ut> = riB = rC —C R R dt

u

r di r „ d 2ur = L— = LC—c dt dt2

Подставляя (3), (4), (5) в (2) получим обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида:

s(

dur

(t ) = uc + rC^ + LC

. d u,

C

dt2

С учетом Ю

p

=

-V2

резонансная частота,

a = rj(2L) = Юр1(2Q) - коэффициент затухания уравнение (6) представим в виде:

d uduf, 2 2 / \

—C + 2a—C + mur =a„e(t) dt2 dt '

Принимая следующие обозначения ис =у , частота внешнего воздействующего сигнала Т = преобразуем (7) в следующий вид:

72,

fo -s(T) ,

d 2y 1 fp dy

T + Qf ~z +

У -

pl s

Математическая модель для описания параллельного колебательного контура готова. С помощью выражении (8) можно изучить воздействие различных сигналов на параллельный колебательный контур. Фазо-частотная и амплитудно-частотная характеристики контура приведены на рис. 7.

60

60

16.667

-26.667 04X(f) - 70 -113.333

- 156.667

-200

-200

а)

60

60

48

36

A4X

100 116.667133.333 150 166.667183.333 200 100 f 200

24

12

0

б)

100 116.667 133.333 150 166.667 183.333 200 100 f 200

Рисунок 7 - Фазо-частотная и амплитудно-частотная характеристики контура

Здесь s

внешний воздействующий сигнал.

В виду того, что воздействие синусоидальных сигналов на рассматриваемому систему тривиально, ограничимся рассмотрением линейно-частотно модулированного (ЛЧМ) сигнала на систему.

Вставляя в уравнение (8) модель ЛЧМ сигнала получим в MathCAБ-е результаты показанные на рис. 8.

Дифференциальное уравнение (8) можно решить в программе У1зБ1ш используя, так называемые коэффициенты передачи. В У1зБ1ш интегрирование в цифровой форме является более стабильной операцией, чем дифференцирование, необходимо преобразовывать исходные дифференциальные уравнения в операторной форме таким образом, чтобы оператор

Лапласа входил в уравнение только с отрицательными степенями. Далее описывая дифференциальное уравнение с помощью передаточной функцией получим симуляцию системы. Пример моделирования колебательной системы приведен на рис. 9.

Таким образом, использование различных моделирующих программ:

- визуализирует физические процессы, протекающие в радиотехнических устройствах и системах;

- облегчает усвоение учебного материала обучающимися;

- дает возможность моделирования системы и получения достоверных результатов численного эксперимента без применения реальных измерительных приборов и радиодеталей.

ч

\

Рис. 8. Результаты моделирования воздействия ЛЧМ сигналов на последовательный колебательный

контур при различных параметрах системы

Рисунок 9 - Моделирование колебательной системы в программе У1зБ1т

ЛИТЕРАТУРА

1. Лазоренко О.В., Черногор Л.Ф. Системный спектральный анализ сигналов: теоретические основы и практические применения // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. - Т. 12, №2. - С. 162-181.

2. Сергеев Д.М. Применение программы MATHCAD для вейвлет-анализа сигналов // Сборник трудов 4-й НМК «Роль военной науки в подготовке авиационных специалистов». Актобе, ВИ СВО - 2009. - С. 160163.

3. Кособоков А.С. К вопросу повышения эффективности практической подготовки студентов технической специальности / Кособоков А.С., Волощенко А.А, Затылкин А.В., Танатов М.К.// Труды международного симпозиума. Надежность и качество. - 2014. - Т. 1 - С. 300 -302.

4. Лазоренко О.В., Панасенко С.В., Черногор Л.Ф. Адаптивное преобразование Фурье // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2005. - Т. 10, №10. - С. 39-50.

5. Сергеев Д.М. Определение спектра амплитудно-модулированного колебания // Методические указания по выполнению курсовой работы. - Актобе, ВИ СВО. - 2010. - 24 с.

УДК 681.324

Юрков1 Н.К., Штыков? Р.А., Разживина3 Г.П.

гФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия

Муромский институт (филиал) ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых», Муром, Россия

3ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства», Пенза, Россия МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГОРЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ГАЗА

В данной работе предложена более точная методика диффузионного горения, позволяющая наиболее полно утилизировать методом сжигания попутные и не реагирующие газы Ключевые слова:

газ, модель, диффузионное горение, массоперенос

Введение

Имеем четыре обобщенные компонента: «горючее» - А, «воздух» - В, «продукт горения» - В и «не-реагирующий газ» - Б. Необходимо подобрать такую концентрацию этих компанентов, чтобы згорание смеси было максимальным без остатков продуктов горения.

Основная часть

Пассивный газ Б в своем составе не содержит кислород и горючие компоненты, а состоит из продуктов горения ( С02, Н20...) и пассивных газов ( N, Аг ...) . Концентрации этих компонентов в Б составляют < С. >х сивного газа»

-1

поэтому молярная масса «пас-определяется в виде

ms =

= V

< С >v / m1

давлении

C

pS

C >S Cpi

и, разумеется, ско-

рость химической реакции и теплотворная способность «пассивного газа» Б - нулевые, т.е. = 0

, к* = 0 .

Согласно этим допущением перенос и диффузия

масс представляются четырьмя уравнениями Ь

где для стационарной турбулентной струи

[1,2]

дС

L(Ca) = pu C + P

дС„

1 д ( дС„ -I pey-

п =п , о п

С в ~ С в + O-DB^D <

имеет место вы-

теплоемкость при постоянном

центрации «пассивного газа» С, ражение, вытекающее из определения массовой концентрации и соотношений (2), С$=\ — СА—СВ, то диффузионную задачу можно представитв толвко двумя уравнениями: относителвно функций СА и

Св . Во входном сечении первая из этих функций принимает ненулевое значение толвко в зоне «горючего» (т.е. <СА>А= 1 ), вторая - а в зоне «воздуха» (т.е. <СВ>В= 1).

На поверхности фронта пламени концентрации «горючего» и «окислителя» равны нулю, т.е.

С* = С* =0 . Используя этот факт, из (2) находим условие для фронта пламени

С - Q С

Определим распределения массовых концентраций компонентов в зоне течения. Используя условия

положительности

С.

из (3) для зоны «горючего»

(при CA>QBACB) имеем

С А -СА ^ВА^В I

Св= 0, CD = QBACB;

дх ду 8су ду ^ ду

Согласно единому стехиометрическому уравнению УЛА + УВБ ^+ к* скорости химической реакции «компонентов» А, В и В взаимосвязаны стехиомет-рическими соотношениями тА+^П)АтП) = 0 ,

тв+0овто = 0 , где использовано обозначение

= Уата 1 (Уртр) •

Для избавления от членов т из уравнений (1) вводятся замены в виде функций Шваба-Зелвдовича

для зоны «воздуха» ( СА < С1ВАСВ ) -

СА = 0 , Св =СВ - 0.а^2а , Св = 0.АОСА ;

а значение концентрации «пассивного газа» в обеих зонах определяется одинаково

С -1 -С -С

4s — 1 Ч4

Тогда уравнения (1) при а =А, В, Б представляются в виде ЦС ) = 0 , а уравнение относителвно С заменяется допущениями модели диффузионного горения.

Таким образом, необходимо решить три дифференциальных уравнения переноса. Так как для кон-

Процессы тепло - и массообмена описывали уравнениями теории турбулентного пограничного слоя многокомпонентного газа, записанными в переменных Мизеса-Прандтля.

В рассматриваемых нами случаях, в связи с изменением расхода поступлений «горючего» и «воздуха» в определенных частях фронта пламени из-за диффузии «пассивного газа» S, имеет место переменность значения температуры на фронте пламени. Проследить за изменением этого показателя вниз по потоку на основе сеточных данных не возможно.

В целях определения максимального значения температуры в данном сечении (i =const ) из се-

значении

T,,

определяли

Tmm) = T.™ = max{Tu]

и соответствующей узел m по-