О гиперболичности связанных пространственных кинематических уравнений на ребре призмы Кулона-Треска

УДК 539.374

О ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ СВЯЗАННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА РЕБРЕ ПРИЗМЫ КУЛОНА-ТРЕСКА1

© 2006 Н.А. Курнышева2

Рассматриваются пространственные кинематические уравнения связанного состояния жесткопластического тела с рассеянным анизотропным полем микроповреждений, соответствующего ребру призмы Кулона-Треска. Анизотропная поврежденность представляется симметричным тензором поврежденности второго ранга, главные оси которого совпадают с главными осями тензора напряжений. Проанализирована система трехмерных кинематических уравнений теории связанной пластичности и поврежденности в изостатической координатной системе относительно главных приращений пластических деформаций и приращений перемещений. Показано, что система основных кинематических соотношений является правильно определенной и принадлежит к гиперболическому типу. Обобщено понятие конуса Ивлева на случай связанных пространственных состояний.

Введение

В представляемой работе рассматриваются пространственные кинематические уравнения связанной задачи математической теории пластичности. Связанная постановка необходима в механике деформируемого твердого тела для того, чтобы учесть искажение пластического течения анизотропным полем микроповреждений и одновременно возрастание повреждений в процессе накопления пластических деформаций. Подход к анализу кинематических уравнений связанной задачи с помощью изостатической координатной сетки впервые был предложен в работе [1]. Важным представляется учет анизотропии распределения поврежденности в основных уравнениях математической теории пластичности. Целью работы являются анализ кинематических уравнений связанной задачи теории пластичности и анизотропной

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.

2Курнышева Наталья Александровна (knatalyasamgu@mail.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

поврежденности, указание случаев их гиперболичности и обобщение понятия конуса характеристических направлений, известного из теории идеальной пластичности, на случай пространственных связанных состояний.

Под поврежденностью понимается сокращение обратимого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микроповреждений. Сокращение эффективной площади при пластическом течении сопровождается сдвиговым скольжением, приводящим к микрошейкообразованию.

В рамках математической модели поврежденность, как правило, представляется специальной тензорной переменной — тензором поврежденности Б. Тензорная мера анизотропной поврежденности является мерой сокращения, вследствие распределения микроповреждений, реально несущей нагрузку площади двумерного элемента тела в зависимости от его ориентации. В [2, 3] тензорная мера анизотропной поврежденности вводится как симметричный тензор второго ранга. Это позволяет преодолеть трудности, связанные с несимметричностью использованных ранее тензорных мер анизотропной поврежденности, а также дать ясную геометрическую и механическую интерпретацию собственных значений и главных направлений тензора поврежденности.

Будучи симметричным тензором второго ранга, тензор поврежденности Б имеет три взаимно ортогональных главных направления (главные оси поврежденности) и три соответствующих собственных значения Dj (главные поврежденности). В дальнейшем, следуя [3], будет предполагаться, что ор-тонормированный базис тензора поврежденности ориентирован точно так же, как и базис из собственных векторов тензора напряжений 1, т, п.

1. Трехмерные соотношения Коши

в триортогональной координатной сетке

Вывод трехмерных соотношений Коши в триортогональной координатной сетке был рассмотрен в работе [4]. Соотношения Коши связывают тензор приращений полных деформаций dг с вектором приращений перемещений ^и. Данные соотношения являются базовыми не только для анализа кинематических уравнений теории пластичности, но и для всей механики деформируемого твердого тела. В принципе все соотношения данного раздела статьи справедливы для любой триортогональной системы координат, но нас преимущественно будет интересовать изостатическая система координат, координатные линии которой совпадают с траекториями главных нормальных напряжений.

Соотношения Коши, записанные для приращений перемещений, имеют форму

2de =

Приращения перемещений можно представить в виде разложения по векторам ортонормированного базиса в пространстве 1, т, п

^и = Мы<\> + mdы<2> + ^ы<з>.

Здесь величины д.ы<> не являются действительными приращениями, а являются физическими компонентами вектора перемещений ^и в базисе 1, т, п. Здесь и далее треугольные скобки указывают на физические компоненты векторных и тензорных величин.

Трехмерный оператор Гамильтона, как нетрудно видеть, в триортого-нальной системе координат есть

1 д 1 д 1 д . , V = 1--- + ш--- + п---,

где Ь1, Ь2, Ь3 —криволинейная триортогональная координатная система; На = (по а не суммировать) — параметры Ламе.

Градиент приращений перемещений V <8> du вычисляется в виде:

V <8> du = 1 <8> Vdы<1> + т <8> Vdы<2> + п <8> Vdы<3> +

+ (ды<1>) V <8> 1 + (ды<2>) V <8> т + (ды<3>) V <8> п. Ясно, что справедливы равенства

1 дды<1> 1 дды<1> 1 дды<1> \du<\> = 1--;--1- ш-----1- п---—,

Й1 д11 Ъ2 д12 й3 д1ъ

1 дды<2> 1 дды<2> 1 дды<2>

™и<2> = ^-зГ + + пТъ—>

1 дды<з> 1 дды<з> 1 дды<з> vdu<з> = 1---—--1- т:--—--1- п-

И дь1 ь.2 дь2 Из дь3

или

Vdы<\> = 1

Vdы<\> = dы<з>) + m(d2dы<з>) + п^з dы<з>), 1д

где dk =--- (по к не суммировать (к = 1,2,3)) — производная по на-

Ик дЬ,к

правлению изостатической траектории с номером к:

d1 = V  1, d2 = V  т, d3 = V  п.

Используя далее выражения для производных от единичных базисных векторов 1, т, п по криволинейным координатам

д1 д1 д1

— = -

дт дт дт

—т=№й1)1, — = -йй2)1"

дь1 дь2 дь,3

дп

дп

дп

— = —т = №Й2)ш, — = -№Й3)1 - №Й3)Ш,

д^1 д§2 д§з

приходим к следующим формулам для градиентов базисных векторов:

1 1

V <8> 1 =--№Й01 <8> т--№Й01  п+

Й1 Й1

н--№йг) т <8> тн--№йз) п <8> п,

Й2 йз

V <8> т = — №й0 1 <8> 1--№йг) т <8> 1-

Й1 Й2

--(й?зй 2) тт--№йз) п <8> п,

Й2 йз

11

V <8> п = —(¿3Й1)1  1 + —№й2)т <8> т-

Й1 Й2 11 --(¿1Йз)п  1--(й?2^з)п <8> т.

¿3 йз

Используя (1.6) и (1.10), выражение для градиента приращений перемещений (1.4) можно представить следующим образом:

V <8> du = 1 <8> 1

+т <8> т

+п <8> п +1 <8> т

+

— (й?2^1)^м<2> Н--(АъЬ\)<1и<Ъ> + й?1й?М<1>

Й1 Й1

']-(.(1\}12)(1и<\> + ^-(й?з/г2)й?М<з> + й?2й?И<2> Й2 _ Й2

— (й?1/г3)й?М<1> + — (й?2Йз)й?И< 2> + йъйи<ъ> йз йз _

--(й?2Й1)й?И<1> + й?2<^м<1>

Й1

+

+1 <8> п

1

--(й?з/г1)й?м<1> + й?зй?м<1>

Й1

+т <8> 1

-^-(й?1/г2)й?М<2> + й?1й?М<2> Й2

1

+т <8> п

+п <8> 1

- — (й?1/г3)й?м<3> + й?и<3> йз

+п <8> т

- —(й?3/г2)й?М<2> + й?Зй?И<2> Й2

- —(й?2Йз)й?М<3> + й?2й?И<3> йз

+

+

+

+

+

Транспонировав уравнение (1.11), получаем (V <8> du)T = 1 <8 1 +т <8 т

+п <8 п

+

+

11

— (й?2Й1)й?И<2> н--{<13}1\)с1и<3> + й?1й?М<1>

Н\ Н\

' 1 1

— (й?1/г2)й?М<1> + —{(13}12)(1и<3> + с12с1и< 2> И2 И2

11 — (й?1/г3)й?М<1> + — (й?2/гз)й?и< 2> + й?3й?И<3>

Из Из

1

--{<12И.\)с1и<\> + (12(1и<\>

И\

+т <8 1

+

+п <8 1

--(й?з/г1)й?м<1> + й?зй?м<1>

И\

+1 <8 т

1

- — + с1^и<2>

И2

1

+п (8> т

+1 <8 т

1

- — (й?1/г3)й?м<3> + й?м<3> И3

+

+т <8 п

- —(й?3/г2)й?м< 2> + й?Зй?И<2> И2

1

- — {(12113)(1и<3> + с12с1и< 3> И3

Подставляя выражения (1.11) и (1.12) в соотношения Коши (1.1), получим следующее выражение для тензора приращений полных деформаций:

d£ = 1 <8 1

+т <8 т

+-1 <8 т

2

— (й?2Й1)й?М<2> Н--№Й1)й?М<3> + й?1й?М<1> +

Их Их

— (й?х/г2)й?м<х> н--(й3Ъ.2)йи<3> + й?2<^М<2> +

И2 И2

+п<8п —(с?х/гз)^и<1> н--^Н^сЬл^ + с13с1и<3>

[Из Из

--(й?2 /гх)й?М<х> + й?2<^м<1>--((¡1112)(1и<2> + й?х й?М<2> +

И И2

+ -1 <8 П

2

1

+

н—т <8 п

2

--(^Н^сЬл^у + й?зй?м<1>--(с1\}13)с1и<3> + й\йи<3> +

И\ Из

Н—т  1--(й?2Й1)й?И<1> + с12(1и<\>--(с11}12)с1и<2> + й?1й?М<2>

2 И И2

--(й?зЙ2)й?М<2> + й?зй?И<2>--(й?2Йз)й?М<з> + й?2<^м<3> +

И2 Из

--(й?з/г1)й?м<1> + й?зй?м<1>--(й?1/гз)й?м<з> + с1\с1и<3> +

И1 Из

--(й?зЙ2)й?М<2> + й?зй?М<2>--(й?2Йз)й?И<3> + й?2<^м<3>

И2 Из

+

н—п (8) 1 2

1

Н—п (8> т 2

Тензор d£ симметричен, что, впрочем, заранее очевидно.

Преобразуем последнюю формулу, вводя нормальные кривизны3 соглас-

3В приведенных ниже формулах К;у есть кривизна проекции изостаты с номером г, причем проектирование осуществляется параллельно главному направлению у на плоскость, ортогональную этому направлению.

+

+

+

+

но

dlhз = йзКз2, d2 йз = йзКз1, dзЙ2 = й2К21,

dlЙ2 = й2К2з, d2й1 = й1К1з, dзhl = й1К12.

Кроме того, в приближении жесткопластического анализа мы пренебрегаем упругими деформациями: dг = deP, т.е. тензор приращений полных деформаций совпадает с тензором приращений пластических деформаций.

В итоге получим следующие соотношения:

depn> = к^и<2> + К^и<з> + dldи<l>,

Р / \

de<22> = К2зdм<l> + К2^И<з> + d2dм<2>,

depзз> = Кз2dм<l> + Кзldu<2> + dзdu<з>,

depl2> = -К^и<1> - К2зdu<2> + d2du<l> + dldu<2>,

de<lз> = -Кl2du<l> - Кз2du<з> + dзdu<l> + dldu<з>,

de<2з> = -К2ldu<2> - Кзldu<з> + dзdu<2> + d2du<з>.

Напомним, что соотношения Коши в приращениях (1.14)—(1.19) справедливы для любой триортогональной криволинейной системы координат.

2. Обобщенный ассоциированный закон течения мик-роповрежденного тела

Полученных трехмерных соотношей Коши (1.14)—(1.19) недостаточно для анализа связанных кинематических уравнений теории пластичности. Для вывода связанных кинематических уравнений теории пластичности к соотношениям Коши необходимо добавить следствия, получаемые из обобщенного ассоциированного закона течения микроповрежденного тела.

Мы сохраним традиционную форму ассоциированного с условием пластичности

/

закона течения тела с микроповреждениями.

Заменяя в (2.1) 0j на эквивалентные главные напряжения оэ., согласно соотношению

О

Оу = -- (по ] не суммировать),

1 - Dj

получим обобщенное условие пластичности

/ (о1, о2, Озз) = 0.

Обобщенный ассоциированный закон течения тела с микроповреждениями примем в виде

с!гр = ^-йК, да

откуда следуют соосность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, а также три соотношения в главных осях

йе,р = —йК,

где пластический потенциал / зависит от оэ.

Для напряженного состояния, соответствующего ребру обобщенной призмы Кулона-Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений так, чтобы выполнялись равенства (мы ограничились выбором положительного знака):

О1 Оз О2 Оз

-----— = 2 к, -----— = 2 к. 2.2

1 - С1 1 - Бз 1 - Б2 1 - Бз К !

Согласно ассоциированному закону течения, определяющие зависимости для ребра (2.2) есть

Р dЛl р dЛ2 р dЛl dЛ2

йе, =-, йе0 =-, йе, =----. 2.3

1 1-Б1 2 1-£>2 3 1 - Дз 1-Б3 у 7

Из (2.3) следует обобщенное условие несжимаемости4 для микроповре-жденного тела

^гр =

где

1 - ^ „ 1 - Б2

(31 — 1 = —-— 1 = ---.

' 1 - ^з 1 I-Из

Таким образом, из ассоциированного закона течения следуют соосность тензора приращений пластических деформаций и тензора напряжений, а также обобщенное условие несжимаемости (2.4). Мы воспользуемся данными следствиями для получения правильно определенной кинематической системы связанной задачи теории пластичности.

3. О гиперболичности трехмерных кинематических соотношений связанной задачи

При течении на ребре обобщенной призмы Кулона-Треска два главных напряжения равны 01 = 02 . Предположим, что Dl = D2, в этом случае Р1 = Р2 = в и о1 = о2. Тогда любое направление, расположенное в плоскости, ортогональной вектору п, является главным направлением. В этом случае при определении собственных векторов 1 и т существует известный произвол, поскольку собственные векторы 1 и т определяются с точностью до поворотов в плоскости, ортогональной вектору п, следовательно, 1 и т, вообще говоря, могут и не быть собственными векторами тензора dгр, т.е.

^Р12> *

4Мы сохраняем термин несжимаемость, хотя данное условие, по существу, является условием сжимаемости.

Из обобщенного ассоциированного закона течения на ребре обобщенной призмы Кулона-Треска, таким образом, можно вывести обобщенное условие несжимаемости и лишь тот факт, что п есть собственный вектор тензора d£, т.е. следующие соотношения:

(в - 1) ^еРп> + deP22>) + dгр = 0,

dePlз> =

^Р2з> = °.

Осуществляя подстановку выражений для dePll>, dгр<<1>, dгр, dгPílз> и deP23>, согласно формулам (1.14)-(1.19) в систему (3.1), приходим к системе кинематических уравнений

(в - 1)(Кlзdu<2> + Кl2du<з> + dldu<l> +

+К2зdu<l> + К2ldu<з> + d2du<2>) +

+Кз2du<l> + Кз1 du<2> + dз du<з> = 0,

-Кl2du<l> - Кз2du<з> + dзdu<l> + dldu<з> = 0,

-К2ldu<2> - Кзldu<з> + dзdu<2> + d2du<з> = 0.

Данная система правильно определена: для нахождения трех неизвестных du<l>, du<2>, du<з> имеется ровно три уравнения. Система (3.2) является квазилинейной системой уравнений в частных производных первого порядка; для определения ее характеристик запишем характеристическое уравнение

(в - 1Ж<1> (в - 1)^<2> ^<з>

^<з> 0 ^<1>

0 N<з> И«>

= М<з> (ж<з> - (в - 1)(ЛТ<1> + М<2>)) = 0, которое, очевидно, имеет три различных вещественных корня:

м<3> = о, М<3> = ± л/СР - 1) >/Ж<1>+Ж<2>-

Учитывая также условие нормировки

^<1> + *<2> + *<з> = 1 (3.5

соотношения (3.4) можно представить в виде

Л^<3> = 0, 3> = ± ^

Тем самым конус характеристических направлений, известный из теории идеальной пластичности, обобщается на случай связанного состояния, когда Dl = D2: единичный вектор N, ортогональный характеристикам, соответствующий первому корню характеристического уравнения, перпендикулярен вектору п, а двум другим корням соответствует вектор N расположенный на круговом конусе с углом полураствора а (равным углу между

вектором нормали N и вектором n):

ß-1

cos а = ± л -.

ß

Следует также заметить, что в случае идеально пластического течения на ребре призмы Треска

1

cos а = ± ——.

V2

Литература

[1] Радаев, Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности: учеб. пособие / Ю.Н. Радаев. - Самара: Издательство "Самарский университет", 2004. - 142 с.

[2] Мураками, С. Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности / С. Мураками, Ю.Н. Радаев // Изв. РАН. -Мех. тверд. тела. - 1996. - №4. - С. 93-110.

[3] Радаев, Ю.Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности / Ю.Н. Радаев // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 1998. -№2(8). - С. 79-105.

[4] Радаев, Ю.Н. О гиперболичности связанных уравнений математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев, Н.А. Курнышева // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2005. -№6(40). - С. 89-112.

Поступила в редакцию 15/ VIII/2006; в окончательном варианте — 15/VIII/2006.

166

Н.А. KypHumeea

ON HYPERBOLIC PROPERTY OF THE THREE-DIMENSIONAL COUPLED KINEMATIC EQUATIONS FOR AN EDGE OF THE TRESCA PRISM5

© 2005 N.A.Kurnysheva6

In the present study the three-dimensional kinematic equations for coupled (plastic strain-damage) states of rigid-plastic solid with distributed anisotropic microdamages are obtained. Anisotropic damage is represented by a symmetric second-rank damage tensor. The principle axes of the damage tensor are assumed to coincide with principle axes of the Cauchy stress tensor. The system of the three-dimensional kinematic equations in their incremental forms is then analysed by isostatic coordinate net. The system is shown belong to hyperbolic type, thus allowing to generalize cone of characteristic directions for coupled states.

Paper received 15/ VIII/2006. Paper accepted 15/VIII/2006.

5Communicated by Dr. Sci. (Phys.&Math.), Prof. Y.N.Radayev.

6Kurnysheva Nataliya Aleksandrovna (knatalyasamgu@mail.ru) Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.