Поля на поверхностях, находящихся в точечном соответствии

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 6

УДК 519.711.3

М. С. Бухтяк, А.В. Никульчиков

ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ, НАХОДЯЩИХСЯ В ТОЧЕЧНОМ СООТВЕТСТВИИ

Продолжено исследование по моделированию сотовых панелей. В основе модели - точечное соответствие пары поверхностей и описание инвариантов, сопровождающих указанную геометрическую конструкцию и относимых (большей частью) к «внешней геометрии поверхностей». Введено понятие совместных кривизн поверхностей, находящихся в точечном соответствии. Отмечены как скалярные, так и связанные с ними векторные поля, порождаемые соответствием поверхностей.

Ключевые слова: пара поверхностей, точечное соответствие, локальная метрика, первая квадратичная форма, вторая квадратичная форма, совместные кривизны.

В предшествующей статье [1] в основу моделирования деформации сотовой панели положено отношение метрических дифференциальных форм двух поверхностей, находящихся в локальном точечном соответствии. Инвариантные величины - экстремальные значения указанного отношения (в [1] выпала ссылка на всем хорошо известную монографию Вениамина Федоровича Кагана [2, с. 117-118], в связи с чем приносим глубочайшие извинения внимательным читателям). В предлагаемой работе рассмотрены величины, традиционно относимые к «внешней» геометрии поверхностей, а именно, инварианты, находящие истолкование в привлечении вторых квадратичных форм поверхностей.

Вообще понятие математической модели процесса или явления предполагает приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, а также прогнозирования и управления [3, 7] (рис. 1).

Рис. 1. Примерная схема использования математических моделей

1.0. Обоснования постановки задачи

Рассматривая общие принципы формирования тела с сотовым заполнителем, необходимо расширить постановку задачи. В самом деле, если иметь в виду только свойства, характерные для упомянутых устройств, то область значений получаемых результатов неизбежно сжимается, их невозможно прилагать к ситуациям, не буквально копирующим те, что положены в основу, но претендующим на сходство в существенных чертах. Достаточно ознакомиться с некоторыми конструкциями, основанными на сотовом заполнении, как становится ясным многообразие черт, слишком большое, чтобы подогнать его под одну модель.

Все большее распространение получают параболические антенны, способ изготовления которых основан на обмазывании параболической болванки несколькими слоями специфической смеси эпоксидной смолы и углепластика с должным выдерживанием в тепловом режиме - в расчете на то, что итоговая форма точно воспроизведёт исходную поверхность. Исследование указанных конструкций, опираясь только на свойства сотовой панели как таковой, вряд ли эффективно, поскольку неизбежно наличие системы швов в местах стыков отдельных искривленных кусков сотовых панелей и влияние швов может оказаться весомым.

У сотовых панелей есть весьма надежная ниша в самолетостроении, судостроении, других отраслях промышленности. В частности. в строительстве широко применяются конструкции с заполнителем. Впервые появившиеся в 30-х годах ХХ века панели с сотовым заполнителем получили большое распространение только в 50-х годах с разработкой трехслойной сэндвич-панели (рис. 2).

Опыт эксплуатации и различные исследования (к примеру, [4, 5]) позволили выявить основные преимущества подобных панелей. Конструкции с заполнителем при относительно небольшой массе обладают высокими характеристиками прочности и жесткости. Несущие слои, подкрепленные заполнителем, испытывают высокие напряжения сжатия, превышающие предел упругости материала. Вследствие уменьшения числа стыков и опорных элементов сокращается трудоемкость разработки чертежей и изготовления. Также конструкции с заполнителем обладают хорошими вибрационными и радиотехническими характеристиками, звуко- и теплоизоляционными свойствами.

1.1. Применение конструкций с заполнителем в летательных аппаратах

Конструкции с заполнителем, особенно с сотовым (схематичный вид на рис. 2), применяются в самолетах различных классов и назначения независимо от компоновочно-конструктивной схемы. Площадь поверхности таких конструкций в планере самолета достаточно велика, а относительная масса конструкций с со-

Рис. 2. Трехслойная сэндвич-панель. А - панель в сборе, В - лицевые поверхности, С - заполнитель

товым заполнителем ткз, как видно из диаграммы на рис. 3 [6], составляет большую долю массы конструкции планера самолета.

Рис. 3. Относительная масса конструкций с заполнителем в планере самолетов

Конструкции с заполнителем применяют в качестве силовых элементов в крыле, фюзеляже, оперении (обшивка, лонжероны, шпангоуты, нервюры, стенки), особенно в агрегатах, воспринимающих местную нагрузку (закрылки, элероны, щитки, рули, различные обтекатели) и поперечную распределенную нагрузку (полы грузовой и пассажирской кабины, каналы воздухозаборника), а также в качестве несиловых элементов (детали интерьера, элементы крепления оборудования) (рис. 4).

Рис. 4. Применение конструкций с заполнителем [6]: а - истребитель-перехватчик 8ЛЛБ-37 «Вигген»; б - истребитель-бомбардировщик Р-111Л; в - пассажирский самолет ИЛ-96300; г - космический корабль «Спейс Шаттл»; 1 - клееные конструкции с сотовым заполнителем

1.2. Применение конструкций с заполнителем в строительстве

Конструкции с заполнителем применяют в строительстве зданий как в качестве ограждающих, так и в качестве несущих конструкций (стены, перегородки, перекрытия, полы и др.). Несущие слои выполняют из различных металлических материалов, стеклопластиков, асбестоцемента, фанеры, гипсовой штукатурки и др. Заполнитель изготавливают из крафт-бумаги, картона, тканей, пропитанных смолами.

Применение конструкций с древесно-бумажным сотовым заполнителем особенно эффективно в малоэтажном строительстве. По сравнению с типовыми здания из конструкций с заполнителем в 1,4—1,5 раза дешевле; в 2-3 раза меньше удельная трудоемкость их строительства; в 3-4 раза сокращается расход древесины и в 2-3 раза уменьшается масса основных сборных элементов здания.

і

АЧ

ЗБг ТІ ТІ

Ьтії -

6000

А

А-А

-*4

ш

150

3

4

Рис. 5. Конструкция пятислойной стеновой панели [6]: 1 - асбестоцементные несущие слои; 2 - древесно-бумажный сотовый заполнитель; 3 - обрамление из дерева; 4 - закладные детали для крепления панели

1.3. Применение конструкций с заполнителем в судостроении

Конструкции с заполнителем применяют на судах различных классов и типов. На рис. 6 показано типовое сечение тральщика (США), построенного из конструкций с сотовым заполнителем.

Корпус минного тральщика изготовлен из трехслойных, пропитанных полиэфирными смолами панелей (несущие слои из стеклоткани имеют толщину 3,2 и 4,9 мм). Сотовый заполнитель из хлопчатобумажной ткани толщиной 44,4 мм, размер ячейки 4,9 мм, плотность - 75 кг/м3.

Широко применены панели со сплошным заполнителем из пенопласта и несущих слоев из стеклопластика в поперечном наборе конструкции судов на воздушной подушке фирмы «Ховермерин». Полы пассажирского салона изготовлены из трехслойных панелей (заполнитель из алюминиевой фольги, несущие слои - из стеклопластика). На научно-исследовательском судне «Владимир Комаров» сферические укрытия для радиолокационных антенн были изготовлены из трехслойных конструкций (сотовый заполнитель из хлопчатобумажной ткани толщиной 8,7 мм, несущие слои из стеклоткани). Диаметр сферы от 12 до 18 м.

2 1

Рис. 6. Мидель-шпангоут тральщика М5В-23 [5]:

1 - несущие слои из стеклоткани; 2 - сотовый заполнитель из хлопчатобумажной ткани

Таким образом, разнообразное применение сотовых панелей в различных ситуациях (они приведены здесь далеко не все) свидетельствует о том что нет смысла строить «всеобщую теорию» сотовых панелей. Однако интересно исследовать согласованные деформации двух ограничивающих плит, связанных общим сотовым заполнителем. В этой связи возникают две значимые задачи описания фактов, связанных с сотовыми панелями.

2. Скалярные поля

Именно, пусть мы имеем дело с параметризованными поверхностями

21 : Я = г

класса гладкости не ниже второго. Точки М1 = г1 (и,V) и М2 = г2 (и,V) являются соответствующими. Соответствие поверхностей, обусловленное параметризацией, общей для них, будем называть (и, V) -соответствием. Для первых квадратичных

форм [10] наших поверхностей примем обозначения ds^2 и й^ соответственно. Тогда

йц2 =

Вторые квадратичные формы [10] соответственно имеют вид

ЙИ^ = (Й2т1,и1) = Ьхйи2 + 2МхйиЙу + Ы1йу2 ,

й%2 =

Здесь п1 , п2 суть единичные нормальные векторы поверхностей и 22.

Для поверхностей, находящихся в (и, V) -соответствии, введем следующие величины.

Определение. Совместными кривизнами нормальных сечений поверхностей (1) будем называть следующие отношения:

^(1,2) (Й т1,п1) 1^йи2 + 2M1dudv + Ж1йу2

k(2,1) (Й т2, п2 ) £2йи2 + 2М2ЙиЙУ + Nйу2

(йт1, йт1) Е1йи 2 + 2^йийу + 01йу2

Представление о совместных кривизнах дает рис. 7.

Именно (йт,, йт,) есть квадрат касательного смещения из точки М1 поверхности Е, в точку р на касательной прямой ш1. Данное смещение - главная часть вектора М^ , определяемого смещением из точки Mi в точку Qi е Ег-. Величина (й2 т,, п,) есть удвоенная главная часть отклонения точки Qг от касательной плоскости а, поверхности Ег-, проведенной в точке Mi. Таким образом, совместная кривизна k^1 равна удвоенному отношению главной части отклонения точек поверхности Е, , близких к точке М1, от касательной плоскости а,, к квадрату касательного смещения из точки М1 в точку Qj еЕ-.

Иначе говоря, величина k(1,2 ^ показывает, насколько будет искривлена первая

поверхность, если мы сместимся по второй поверхности в направлении, определенном отношением дифференциалов йи : йу .

Заметим, что нормальные кривизны самих поверхностей

к

(йт,, йт,) Е1йи 2 + 2р1йийу + О, й>2

связаны с совместными кривизнами соотношением

k

Стационарные значения совместных кривизн нормальных сечений найдутся как собственные значения соответствующих квадратичных форм (аналогично

главным кривизнам поверхности). Стационарные значения к(1,2^ суть корни

,

к , к2 уравнения

Упомянутые корни упорядочены естественным порядком числовой прямой:

к(и >< Л21,2).

Уравнение главных направлений имеет вид

Е2 йи + Е2 йу Цйи + М1йу

Е2йи + О2йу М1йи + Щ1йу

= 0.

Аналогично, стационарные значения величин Л

находятся из уравнения

2

а уравнение главных направлений аналогично уравнению (6):

Е1йи + ^йу Ц Йи + М2 йу

Е1йи + О1йг М2 Йи + Щ2 йу

= 0.

Отметим, что рассмотренные нами конструкции позволяют говорить о следующих скалярных полях на поверхностях, находящихся в (и, V) -соответствии.

1. Экстремальные значения совместных кривизн нормальных сечений (обозначим их к|1,2^, к21,2^, к|2,1), к22,1)) . Первые две величины следует ассоциировать с первой поверхностью, остальные - со второй. Эти величины естественно именовать главными совместными кривизнами.

2. Аналоги полной (гауссовой) и средней кривизн. Назовем их совместной гауссовой кривизной К(1,2^ и совместной средней кривизной Н(1,2^. В силу определения, с учетом формул (5), (7) получаем выражения для указанных кривизн в виде

K (1.2) = к (1,2 )k (1,2) = А N1 - М{

E G - F

-^2^2 1 2

K(2.1) = к(2,1)к(2.1) = L2N2 -M2

EG. -F2 ’

111

H(1.2) = 1 ((1.2) + k(1.2)) = )N1 + L1G2 - 2F2M1

2 2 2 (- F2) .

H

K(1’2) и H(1’2) естественным образом ассоциируются с первой поверхностью. в то

время как K ’ и H ’ ' - со второй.

Для иллюстрации наших построений рассмотрим пару поверхностей

r1 = {u.v.0.3u + 0.08v2 -0.08м2} . r2 = {u.v.0.3v + 0.08м2 -0.08v2}

Результаты вычисления экстремальных значений совместных кривизн отражены на рис. 8. 9. 10 и 11. Вычисления проведены в среде Maple. Визуализация - средствами пакета Surfer 9.

Значимую информацию о поверхностях. находящихся в (м. v)-соответствии следует ожидать при сравнении обычных гауссовых кривизн указанных поверхностей в соответствующих точках. Однако приходится считаться с тем. что в некоторых точках поверхности гауссова кривизна может обращаться в нуль. Данное обстоятельство переключает внимание на разность гауссовых кривизн.

На наш взгляд. заслуживает внимания формула Бертрана и Пюизе (1848 г.) [13. с. 168]:

K = lim 3

r^O nr

Здесь r - радиус геодезической окружности [12]. проведенный из точки М0 поверхности. L - длина этой окружности. K - гауссова кривизна в точке М0. Данная формула позволяет истолковать гауссову кривизну как меру отклонения длины геодезической окружности радиуса r от длины плоской окружности того же радиуса. отнесенную к площади круга радиуса r . Пусть М1 и М2 - точки двух поверхностей. находящихся в точечном соответствии. причем указанные точки соответствуют друг другу. Окружая каждую из этих точек геодезической окружностью радиуса r (каждую на своей поверхности) и обозначая K1 . K2 как гауссову кривизну в этих точках. из (10) получим. что

K-K = 3. lim L-

2 1 ~0 r. S

В данной формуле S (r) и есть площадь указанной плоской окружности. Последняя формула сообщает геометрический смысл разности гауссовых кривизн: при

K2 > K1 геодезическая окружность «малого» радиуса. окружающая точку второй

поверхности. сжимается относительно окружности того же радиуса на первой поверхности. При K2 < K1 - наоборот.

Рис. 9. Поле вторых экстремумов совместной кривизны £

Рис. 11. Поле вторых экстремумов совместной кривизны к

Рис. 12. Тройка линий - аналогов окружностей, -присоединенная к участку сотовой панели

Рис. 13. Тройка линий - аналогов окружностей, -присоединенная к участку сотовой панели. Изгиб с положительной гауссовой кривизной

Рис. 14. Тройка линий - аналогов окружностей, -присоединенная к участку сотовой панели. Изгиб с отрицательной гауссовой кривизной

Мы предлагаем существенно более простой подход к характеризации изменений формы сотовой панели. Панель моделируется парой поверхностей, соответствующих параллелизмом касательных плоскостей. Соответствующие точки соединяем отрезками равной длины, ортогональными обеим поверхностям. Локально обе эти поверхности и срединную поверхность относим к ортогональным криволинейным координатам (и,V). На срединной поверхности задаем линию

(и - и0)2 + (V - V,)2 = а2. На ограничивающих поверхностях получаем соответствующие ей линии - аналоги окружностей.

Первым важным источником векторных полей являются уравнения главных направлений (6) и (8). На каждой из двух поверхностей, находящихся в (и,V) -соответствии, получаем пару ортогональных касательных векторных поля. Их интегральные кривые имеют аналогию с линиями кривизны [10] теории поверхностей. Естественно поэтому назвать их линиями совместной кривизны.

Всякое (достаточно гладкое) скалярное поле на поверхности порождает на ней векторное поле градиента. Пусть на поверхности

Как доказано в [10, с. 363-364], градиент скалярного поля ф = ф(и, V) на поверхности есть касательный вектор

Данный вектор не зависит от выбора координат на поверхности и1, и2 и определяет инвариантное векторное поле на поверхности (рис. 15).

3. Векторные поля

Г = Г (и, V) є С1

задано скалярное поле ф = ф(и,V). Для метрического тензора

а = а1ги + а2гу ,

причем

ф=СОШІ

Рис. 15, проясняющий связь поля градиента функции ф с линиями уровня этой функции

Обратимся к понятиям из теории дифференцируемых многообразий. Пусть в некоторой области U дифференцируемого многообразия Mm задано гладкое касательное векторное поле V. Хорошо известно [7-9, 11], что интегральной кривой векторного поля V называется гладкая параметризованная кривая х = ф(е), (-е0 <е<е0), касательный вектор к которой в каждой точке совпадает со значением векторного поля V в этой точке:

ф

для всех допустимых е. В локальных координатах вектор-функция х = ф(е) = = (ф'(е),...,фт(е)) есть решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

dX ----

d е

где ^ (х) - коэффициенты векторного поля V в точке х. Для гладких ^ (х) стандартные теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений гарантируют существование и единственность решения системы (13) для начальных данных ф0 = х0 из области U .

ЛИТЕРАТУРА

1. Бухтяк М.С., Никульчиков А.В. Моделирование деформации сотовой панели // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 2(22). С. 5-16

2. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей, часть вторая. М: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 407 с.

3. Бухтяк М.С. Анализ и моделирование сложных геометрических объектов. Введение в Марле. Вычисления в геометрии. URL: http://edu.tsu.ru/eor/resourse/574/ tpl/index.html

4. Dharmasena Kumar P., Wadley Haydn N.G., Hue Zhenyu and Hutchinson John W. Mechanical response of metallic honeycomb sandwich panel structures to high-intensity dynamic loading // Int. J. Impact Engineering. 2008. V. 35. P. 1063-1074.

5. Rathbun H.J., Radford D.D., Hue Z., et al. Performance of metallic honeycomb-core sandwich beams under shock loading // Int. J. Solids and Structures. 2006. V. 43. P. 1746-1763.

6. Панин В.Ф., Гладков Ю.А.. Конструкции с заполнителем. М: Машиностроение, 1991.

7. Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1982. С. 574.

8. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979. 760 с.

9. Иванов А.О., Тужилин А.А. Лекции по классической дифференциальной геометрии. Новая университетская библиотека, 2009. 233 с.

10. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 428 с.

11. Шапуков Б.Н. Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Казань: КГУ, 2007. 135 с.

12. ФаварЖ. Курс локальной дифференциальной геометрии. М.: ГИТТЛ, 1960. 559 с.

13. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1935. 330 с.

14. Агафонов С.А., Герман А.Д.,Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. 3-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 352 с.

Статья поступила 10.09.2013 г.

BukhtyakM.S., Nikul'chikov A.V. FIELDS ON SURFACES THAT ARE IN A POINT CORRESPONDENCE. A continuation of the honeycomb panel modeling research. The modes is based

on a point correspondence of a pair of surfaces and on describing invariants accompanying the aforesaid geometrical construction and referred (mostly) to the "extrinsic geometry of surfaces." The notion of joint curvatures of surfaces has been introduced, pertaining to those in point correspondence. Both scalar fields and associated vector fields generated by the surfaces' correspondence have been specified.

Keywords: pair of surfaces, point correspondence, local metric, first quadratic form, second quadratic form, joint curvatures.

BUKHTYAKMikhail Stepanovych

E-mail: bukhtyakm@mail.ru

NIKULCHIKOV Andrey Viktorovych

E-mail: tracesofdeath@mail2000.ru