Двухфазная модель с неограниченными очередями для расчета характеристик и оптимизации речевых порталов самообслуживания

нформационные технологии в управлении

УДК 519.872.1-5; 004.5-8

ДВУХФАЗНАЯ МОДЕЛЬ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОЧЕРЕДЯМИ ДЛЯ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК И ОПТИМИЗАЦИИ РЕЧЕВЫХ ПОРТАЛОВ САМООБСЛУЖИВАНИЯ

М.П. Фархадов, Н.В. Петухова, Д.В. Ефросинин, О.В. Семенова

Рассмотрена двухфазная модель с неограниченными очередями на каждой фазе, предназначенная для расчета и оптимизации телефонных речевых порталов самообслуживания на базе компьютерного распознавания речи. Определены стационарные распределения вероятностей состояний системы и вероятностно-временные характеристики обслуживания.

Ключевые слова: центр обслуживания вызовов, сервисы самообслуживания, открытая экспоненциальная сеть массового обслуживания, распознавание речи, многофазное обслуживание.

ВВЕДЕНИЕ

Компьютерные речевые технологии достигли в настоящее время достаточно высоких показателей качества, позволяющих начать их практическое применение. Речевые порталы с данными технологиями позволяют обеспечить в автоматическом режиме, без участия операторов, полное обслуживание большой доли входящих запросов. Операторы обслуживают оставшуюся часть входного потока, а также те заявки, которые не были обслужены автоматами по причине ошибок распознавателя или по желанию клиента, или при занятости всех портов самообслуживания, или в случае запросов, не входящих в функционал автомата. Примерами систем обработки вызовов с сервисами самообслуживания на базе речевых технологий может служить система «Автодиспетчер» для приема заявок на подачу такси [1], система «Автосекретарь» для диспетчеризации вызовов [2], и др. [3, 4].

В работе [5] дан обзор моделей для расчетов центров обслуживания вызовов классической архитектуры, а также приведена модель контакт-центра с сервисами самообслуживания с ограниченным числом мест для ожидания в первом узле и бесконечным числом мест ожидания во втором.

В данной работе исследуется открытая экспоненциальная многолинейная сеть массового обслуживания с бесконечным числом мест ожидания

в узлах, описывающая функционирование речевого портала современной архитектуры с сервисами самообслуживания на базе речевых технологий, архитектура которого приведена на рис. 1.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим открытую экспоненциальную сеть массового обслуживания с двумя узлами (рис. 2). Узел і сети представляет собой многолинейную систему массового обслуживания с пх идентичными приборами, і = 1, 2. Число мест для ожидания в первом и втором узлах неограничено.

Поток заявок из внешнего источника является пуассоновским интенсивности X и поступает в узел 1 или 2 в зависимости от числа свободных приборов в узле 2.

Если в узле 2 есть свободные приборы, то заявки из внешнего источника поступают на узел 2, в противном случае заявки поступают на узел 1. Если также в узле 2 освобождается прибор и нет заявок в очереди узла, то заявка, стоящая первой в очереди узла 1 (если очередь не пуста), переходит в узел 2 и занимает освободившийся прибор. Время обслуживания заявки в узле і экспоненциально распределено с параметром

Предполагаем также, что с вероятностью 1 — р обслуживание заявки в первом узле успешно, и в момент завершения обслуживания эта заявка по-

Рис. 1. Архитектура центра обслуживания вызовов на основе современных технологий

кидает систему. В противном случае, с вероятностью p обслуживание неудачно (в ходе обработки запроса произошла ошибка, и запрос должен быть обработан оператором), и заявка переходит во второй узел.

Введем случайный процесс, описывающий состояние сети в момент времени t:

{X(t)}t i 0 = {Qj(t), Q2(t)}t i 0, где Q(t) — число заявок в i-м узле, i = 1, 2. Случайный процесс {X(t)}t ^ 0 является однородным, марковским процессом. Условие его эргодичности будет приведено далее.

Рассмотрим стационарные вероятности

n(i, j) = lim P[X(t) = (i, j)], i l 0, j l 0.

t —— &

Система уравнений равновесия (СУР) имеет следующий вид:

Xn

(X + + jM2)n(i, j) = Xn(i, j - 1) + (i + 1) x

s (1 - p)^xn(i + 1, j) + (i + 1)p^n(i + 1, j - 1) +

+

(X + /ц1)я(/, 0) — (/ + 1)(1 — р)ц1л(/ + 1, 0) +

+ ц2л

(X + и1ц1 + У ц2)л( и1, У) — Хп( и1, У - 1) +

+

(X + и1ц1 + и2ц2)я(и1, и2) — Хя(и1, п2 — 1) +

+ Хя(и1 — 1, и2) + п1(1 — р)ц1я(и1 + 1, и2) +

+ и2ц2я

(X + /ц1 + и2ц2)я(/, у) — Хя(/ — 1, У)/{г > 0} +

+ Xя(/, У — 1) 1и = „2} + шт{/ + 1, и1}ц1(1 — р) х х я(/ + 1, У) + шт{/ + 1, и1}ц1рп(/ + 1, У — 1) +

+ и2ц2я(/, У + 1) + (/' + 1)ц2я(/, У + 1),

0 т / т И1, У 1 И2,

(X + и1ц1 + и2ц2)я(/, У) —

— Xя(/ — 1, У)/{г- > 0} + и1 (1 — р)ц1я(/ + 1, У) +

+ и^рц1я(/ + 1У — 1) /{у> Й1} + У + 1) +

+ и2ц2я

где 1{А} обозначает индикаторную функцию, принимающую значение 1, если выполнено условие А, и 0 — в противном случае.

Теорема. Если выполнено условие pr =

п1 И

< 1,

р2 = -*-^- < 1, то процесс {X(t)}t ^ о является эрго-«2 М-2 1

дическим, а решение СУР представляется в форме

n(i, j) = (2 ) 1 п(0, -2 + 1),

V-2M2) W 2

0 m i m - - 1, j i -2 + 1,

n(i, j) = (-Xp-)j-”2-1 (-)* n(0, -2 + 1),

V-2 М2) ^U1' • - ”1 2

i l nr, j l + 1,

nr! nr

4

Рис. 2. Схема сети массового обслуживания с двумя узлами

п(і, п2) = И

_ г' П2Ц2 1

п(0, П2 + 1),

п(і, у) =

п«2 + 1 0Пі - (пі(1 - Р)Ц1 + п2^2)(?л2п Х

«2 - І

X (пі + Ь п2^ П ^«2 - к еР к = 1

о т і т п2, о т у т п2,

где вектор-строка п«2 +1 — (п(0, -2 + 1), п(1, -2 + 1), ..., я(и1, -2 + 1)).

Матрицы Ц определяются рекуррентными соотношениями

Ц0 — — С1,0 00,0 ,

Ц — —'0 + 1,/ Ц , 1 т У т П2,

Ц — (С/, / + Ц - 10/ - 1, /)-1,

где матрицы 0 ., г е {/ — 1, У + 1}, имеют вид

г, У

0..- 1 у — ^{X, ..., X} — ШаБ-^, р2ц1, ..., ри1ц1},

7 = 1, п2,

О,, і = ¿іаБ{^0, і, ^, і, ..., 4Пі>і } +

+ ШаБ-{(1 - р)ц1, 2(1 - р)ц1, р2ц1, ..., п1(1 - р)ц1} +

+ /{і = „2} аіаБ {X, ..., X}, у = 0, п2,

+ 1,1 =

= ШаБ{тіп{у + 1, п22,..., тіп{у + 1, п2}^2},

У = 0, п2,

где = -(X + гц1 + уц2), діа§{и1, ..., а«} — диагональная матрица размера п с диагональньши элементами и1, ..., а«, аіа§-{и1, ..., а« _ 1} и ШаБ+Ц, ..., а« - 1} — соответственно, нулевые матрицы размера п с поди наддиагональньши элементами а, ..., а і- Є —

Р 5 « — 1 г

вектор-столбец, г-я координата которого (начиная с 0) равна 1-

Вероятность п(0, п2 + 1) вычисляется из условия нормировки

п1 «2

+

г = 0 І = 0

г = 0 І = «2 + 1

да да

+ Е Е ^у) = 1

і = «і у = «2 + 1

причем бесконечные суммы сходятся, если рг < 1, г = 1,2 и

да

Е п

у=«1+1

п2^2 ГХ^ «^

2) ттгг.—п(0, п2

р(«1^1 - X)п!

«1 - 1 да

Е Е "

(-) «1 п(0, п2 + 1),

і = 0 у = «2 + 1

X

п2 ^2

(п2^2 - Xp)( п1 - 1)!

еЦ1 Г

X

^1-

п(0, п2 + 1),

Е Е "

(А) «1 п(0, п2 + 1).

г = «1 у = «2 + 1

— -2 М 2 -1

(-2-2 - ^)(-1 -1 - X) ^-1'

Доказательство. Заметим, что если число заявок во втором узле будет больше -2 + 1, система функционирует как классическая сеть Джексона, имеющая два узла с интенсивностями поступления X! — X и X2 — ^, поэтому предположим, что для состояний х — (г, У), где / 1 0, У 1 -2 + 1, имеет место мультипликативное представление стационарных вероятностей

я(/, У) — (2 ) 1 п(0, -2 + 1),

^2М2У ^М1У г! 2

0 < г < -1 — 1, У 1 -2 + 1, п(г; У) — (2 п(0, —2 + 1),

V-2-2 ^ Vи^) г- «1 2

Чп2^2 п1!п1

0 1 п1, у 1 п2 + 1.

Далее преобразуем уравнения (7) и (8) СУР. Выражая из правых частей этих равенств вероятности п(г, п2), г 1 п1 + 1, а остальные вероятности выражая через п(0, п2 + 1), используя полученные формулы, после элементарных преобразований получим выражение (9).

Оставшиеся вероятности состояний ниже границы (п1, п2) вычисляются с помощью матричного подхода. Введем в рассмотрение векторы стационарных вероятностей я,. = (п(0, у), п(1, у), ..., п(п1, у)), 0 т у т п2.

Преобразуя уравнения (1)—(7) СУР для 0 < г < п1 и 0 < у < п2 в векторно-матричную форму, получаем следующие уравнения для векторов п,, 0 < у < п2:

] 2

п0°0,0 + п1°1,0 = 0,

ПІ - 1°І - 1, І + лА І + ПІ+1°І+1, 1 = °,

0 т у т п2 - 1,

да

да

«і + 1

«і + 1

«1 - 1 да

ои

П«2 - 1 Qn2 - 1 л2 + П”2 Qn2> л2 + П”2 + 1 Qn2 + 1 л2 + + («i(1 - p)^ + «2^2) S л(«1 + 1, «2) = 0,

где матрицы 0. i є {j — 1, j, j + 1} имеют при-

веденную в утверждении форму. Осуществляя рекуррентную подстановку в последнюю систему, получим соотношения для векторов п/ в виде

П — п. + 1б/, 0 т у т -2 — 1,

п«2 — п«2 + 1 Цп2 — (-1(1 — Р)-1 + -2-2) х

4 Л

х °П2п(-1 + 1 -2).

Из последней системы получаем

Пу — [п«2 + 1 Ц«2 — (-1(1 — р)М1 + -2М2) х

П2 - У

% Gn2П(«1 + 1, «2)] П

Gn

к = 1

Отсюда непосредственно следует формула (10).

Таким образом, все вероятности системы представляются в виде функции, зависящей от вероятности п(0, -2 + 1), которая, в свою очередь, вычисляется из условия нормировки (11). Легко показать, что для сходимости входящих в выражение бесконечных сумм необходимо, чтобы величины р1 и р2 были меньше 1. Дальнейшая подстановка полученных выражений в СУР подтверждает справедливость сделанных предположений относительно мультипликативной формы (11), что завершает доказательство теоремы. ♦

2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ СИСТЕМЫ

Вычислив стационарное распределение вероятностей состояний системы, далее можно найти следующие характеристики производительности.

• Среднее число занятых приборов в первом и втором узлах

«1 »

N — ЕЕ тш{/, -1}п(г, У),

г = 0 у = 0

«1 »

2 Е Е min{j, «2}n(i, j).

N =

i = 0 j = 0

• Среднее число заявок в системе

да да

L = Е Е

i = 0 j = 0

• Вероятности того, что заявка, поступив в систему, попадает в первый узел и второй узел, соответственно,

да да

Т1 -

Е е ^т2 - 1 — ті-

i = 0 j = n2

• Среднее время ожидания в системе может быть получено по формуле Литтла W = L/X.

• Среднее время ожидания заявки во втором узле

да да

Е Еп

w2 = i=0 j=0 1-------.

2 X

3. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

Введем следующую структуру штрафов за функционирование системы:

c0 к — стоимость в единицу времени ожидания в очереди узла k;

cu k — стоимость в единицу времени использования прибора в узле k;

ce k — стоимость в единицу времени простоя прибора в узле k;

Су — фиксированная стоимость включения системы мониторинга состояний.

Задача состоит в минимизации функционала потерь

V («j, «2) = V (X, ц2, p, «j, «j) ^ min,

который в данном случае имеет вид

V (nj, «2) = С0,1 Q1 + c0,2 Q2 + cu,j CJ + Cu,2 C2 +

+ cej Zj + ce,2 Z2 + cf/B,

дада

дада

где Qi - е Е jp(i + «1, j) и 02 - Е Е jn(i, j +

i = 0 j = 0

i = 0 j = 0

+ n2) — среднее число заявок в очереди k-го узла,

дада

дада

Е Е min{i, «1}n(i, j) и C2 — Е Е min{i,

i = 0 j = 0

i = 0 j = 0

«2}n(i, j) — среднее число занятых приборов в k-м

n1 n2

n1 n2

узле, Zl — Е Е (-1 — г')п(г, У) и Z2 — Е Е (-2 —

г = 0 у = 0 г = 0 у = 0

— г)л(г, у) — среднее число свободных приборов в

к-м узле, В — 1Дл(0, 0) — средняя длительность цикла между соседними посещениями состояния (0, 0).

В качестве примера рассмотрим систему со следующим набором параметров: (X, -1, -2, р,

х

Рис. 3. Значение функции V (и1? и2) в зависимости от числа приборов

С0,1, С0,2, СиД, Си,2, Се,1, Се,2, / (0,9; 0,5; 0,7; 0,001;

5,5; 2,5; 0,001; 0,005; 0,001; 0,005; 0,9). В этом случае оптимальное число приборов (-1, -2) — (3, 4), и оптимальное значение функционала потерь

V (-1, -2) — 0,247 (рис. 3, а).

Для случая (Я,, -1, -2, р, с0,1, С0,2, СиД, Си,2, Се,1,

се2, С/) — (2,5; 0,5; 0,7; 0,001; 5,5; 2,5; 0,01; 0,05; 0,01; 0,05; 2,9) оптимальные значения определяются как (-1, -2)— (6, 4), V (-1, -2)— 1,011 (рис. 3, б).

Зависимость функции V (-1, -2) от числа приборов показана на рис. 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложены математические модели, позволяющие исследовать характеристики телефонных систем массового обслуживания с комбинацией традиционных методов обслуживания и инновационного обслуживания: сервисов самообслужи-

вания на основе компьютерных речевых технологий и современных интерактивных средств взаимодействия. Предложенные модели учитывают специфику, вносимую новейшими технологиями. Исследована открытая экспоненциональная многолинейная сеть массового обслуживания с бесконечным числом мест ожидания в узлах. Определены стационарные распределения вероятностей состояний системы, найдены основные характеристики производительности системы.

Авторы надеются, что полученные результаты будут полезны специалистам для проектирования, исследования и организации высокоэффективной работы центров обслуживания и обработки вызовов современной архитектуры на основе новых телекоммуникационных и речевых технологий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Современные технологии управления в диспетчерской службе такси / В.А. Жожикашвили, Н.В. Петухова, А.Н. Зацепин, В.В. Азаров // Проблемы управления. — 2006. — № 2. — С. 32—34.

2. Интеллектуальные телефонные услуги на основе речевых технологий / В.А. Жожикашвили, Р.В. Билик, В.А. Верт-либ и др. // Информационно-измерительные и управляющие системы. — 2007. — № 2. — С. 75—78.

3. Жожикашвили В.А., Петухова Н.В., Фархадов М.П. Компьютерные системы массового обслуживания и речевые технологии // Проблемы управления. — 2006. — № 2. — С. 3—7.

4. Жожикашвили В.А., Петухова Н.В., Фархадов М.П. Муль-тисерверная архитектура интеллектуальных порталов самообслуживания // IV Междунар. конф. по проблемам управления (МКПУ-IV). — М., 2009. — С. 1744—1748.

5. Математическая модель центра обслуживания вызовов с сервисами самообслуживания / М.П. Фархадов, Н.В. Петухова, Д.В. Ефросинин, О.В. Семенова // Proc. of International Workshop Distributed Computer and Communication Networks DCCN'2009, Sofia, Bulgaria. — M., 2009. — P. 86—95.

Статья представлена к публикации членом редколлегии А.С. Манделем.

Фархадов Маис Паша оглы — зав. лабораторией,

Институт проблем управления РАН, г. Москва,

(495) 334-87-20, И mais@ipu.ru,

Петухова Нина Васильевна — ст. науч. сотрудник,

Институт проблем управления РАН, г. Москва,

(495) 334-90-60, И nvpet@ipu.ru,

Ефросинин Дмитрий Владимирович — доцент,

Российский университет дружбы народов, г. Москва,

(495) 434-53-00, И dmitriy_e@mail.ru,

Семенова Ольга Валерьевна — ст. науч. сотрудник,

ЗАО Научно-производственное объединение «Информационные и сетевые технологии», г. Москва,

(495) 515-57-92, И olgasmnv@gmail.com.