ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА

УДК51

Коткова Е.С.,

учитель математики МБОУ «СОШ №19», г. Абакан, Республика Хакасия

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Аннотация

Данный материал позволит обучающимся расширить знания по математике и узнать, кроме известных замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров, еще замечательные точки и линии треугольника.

Ключевые слова

Треугольник, биссектриса, медиана, перпендикуляр, замечательные точки треугольника.

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия». Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале XX века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.

Применение замечательных точек треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Замечательные точки треугольника» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 8-9-х классов. Учителям - с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру». При подготовке обучающихся к ОГЭ встречается множество разноплановых заданий. Можно выделить группу задач, подход к решению которых является интересным и оригинальным. Это задачи на замечательные точки и линии треугольника. Рассмотрим некоторые из них.

Задача 1. По углам А и В треугольника АВС (угол А < угла В) определите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины С.

Решение. Пусть СБ - высота, СЕ - биссектриса, тогда угол ВСБ = 900 - угол В, угол ВСЕ = (1800 -угол А - угол В) / 2. Следовательно, угол БСЕ = (угол В - угол А) / 2.

Задача 2. К какой из вершин треугольника ближе расположена точка пересечения биссектрис?

с

Рисунок - 1

Решение. Пусть О - точка пересечения биссектрис треугольника АВС (Рис. 1). Воспользуемся тем, что против большей стороны лежит больший угол. Если АВ > ВС, то угол А < угла С и , следовательно, угол ОАБ < ОСБ. Поэтому ОС < ОА, то есть центр О вписанной окружности лежит ближе к вершине, расположенной против большей стороны.

Задача 3. Какая из высот треугольника наименьшая?

с.—

t

F/ \н

Vf1

¿г \ / N4

Рисунок - 2

Решение. Пусть О - точка пересечения высот треугольника АВС (Рис. 2). Если АС < АВ, то угол С

> угла В. Окружность с диаметром ВС пройдет через точки F и G. Учитывая, что из двух хорд меньше та, на которую опирается меньший вписанный угол, получаем, что CG < BF, то есть меньше та высота, которая опущена на большую сторону.

Задача 4. Биссектрисы внешних углов при вершинах В к С треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС.

Решение.

Проведем из точки О перпендикуляры OAi, ОВ1 и ОС1 к прямым ВС, С А и АВ. Поскольку точка О лежит на биссектрисе угла А1ВС1, то она равноудалена от прямых АВ и ВС, а значит, ОА1 = ОС1. Аналогично, ОА1 = ОВ1. Следовательно, окружность радиуса ОА1 проходит через точки В1 и С1. Прямые ВС, СА и АВ касаются этой окружности в точках А1, В1 и С1, так как они перпендикулярны соответственно к радиусам ОА1, ОВ1 и ОС1.

Рисунок - 3

Задача 5. Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) ¿АМВ= 136°; б) ¿АМВ = 111°. Решение.

Рисунок - 4

Поскольку М - точка пересечения биссектрис углов А и В треугольника ABC, то луч СМ биссектриса угла С этого треугольника. Следовательно,

Z,ACM = ZВСМ =

¿.С

180° -ZA-ZB

= 90° — — - — =

= 90° - (180° - ZAMB) = ZAMB - 90°.

Таким образом:

а) ZACM = ZBCM = 136° - 90° = 46°;

б) ZACM = ZBCM = 111° - 90° = 21°. Ответ, а) 46° и 46°; б) 21° и 21°.

Задача 6. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите: a) AD и CD, если BD = 5 см, АС=8,5 см; б) АС, если BD=11,4 см, AD = 3,2 см. Решение.

Рисунок - 5

Точка D равноудалена от концов отрезка СВ, т. е. BD = CD. Поэтому:

а) CD = BD = 5 см, AD = АС - CD = 8,5 см - 5 см = 3,5 см;

б) АС = AD + CD = AD + BD = 3,2 см + 11,4 см = 14,6 см. Ответ, а) 3,5 см и 5 см; б) 14,6 см.

Задача 7. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника ABC пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: a) D - середина стороны ВС; б) ¿A= ¿B + ¿С. Решение.

а) Точка D лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, поэтому AD = BD. Аналогично AD

= CD.

В

А

Рисунок - 6

Следовательно, BD = CD, а значит, точка D - середина отрезка ВС.

б) Поскольку AD = BD, то треугольник ABD - равнобедренный, а значит, ¿BAD = ¿B. Аналогично ¿CAD = ¿C.

Поэтому ¿A = ¿BAD + ¿CAD = ¿B + ¿C.

Задача 8. Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС треугольника, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ=18 см.

Решение.

Треугольник ABC - равнобедренный, поэтому ВС = АВ = 18 см. Точка Е лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, а значит, АЕ = BE.

В

Рисунок - 7

Имеем:

АС = (АС + АЕ + ЕС) - (АЕ + ЕС) =

= (АС + АЕ + ЕС) - (ВЕ + ЕС) =

= (АС + АЕ + ЕС) - ВС = 27 см - 18 см = 9 см.

Ответ: 9 см.

Задача 9. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон АВ и ВС пересекаются в точке О, ОВ=10 см. Найдите расстояние от точки О до стороны АС, если угол ОАС равен 30°.

Задача 10. В треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника АОВ, если АА1=18 см, ВВ1=24см.

Задача 11. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОВА, если угол ОСА= 38°.

Задача 12. В треугольнике МНК биссектрисы пересекаются в точке О. Расстояние от точке О до стороны МН=6см, НК= 10 см. Найдите площадь треугольника НОК.

Задача 13. В треугольнике АВС медианы ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О и равны 15 см и 18 см соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если угол ВОС = 90°.

Задача 14. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром в точке О, угол А равен 50°, АС:АВ=2:3. Найдите углы В и С, угол ВОС.

Задача 15. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром в точке О, угол АОВ равен 80°, АС:ВС=2:3. Найдите углы треугольника АВС.

Задача 16. Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найдите СД, если АЕ=4см, ВЕ=9 см, а длина СЕ в четыре раза больше длины ДЕ .

Задача 17. Хорды МН и КТ окружности пересекаются в точке А, причем хорда МН делится точкой А на отрезки равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка А делит хорду КТ, если КТ больше МН на 3 см?

Для проведения занятий по подготовке к ОГЭ можно использовать разработанное наглядное пособие - памятка. Данное пособие поможет при подготовке к ОГЭ, так как постоянная визуализация видов заданий и их решения будет способствовать их запоминанию.

Памятка

Замечательные точки треугольника

в

// Гочка пересеченш 1

S» У \ А, медиан треугольника

У / > к { АС ВО _ СО >

А ^ W— / —Sic 4 О во с п [

i - г

в

Точка пересечения

>< биссектрис

треугольнике

д /1- ¡j OK =ом = ( Oh

BiN

в Гочка пепр.ерменш г

серединных

х ДА, перпендикуляров

О 40 = ВС ) = СС )

А с

в

1

в

Гочка пересеченш i

высот треугольника

\

А' . л_ ас

Задачи

1. В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон АВ и ВС пересекаются в точке О, ОВ=Ю см. Найдите расстояние от точки О до стороны АС, если угол ОАС равен 30°.

2. В треугольнике АВС медианы АА1 ВВ1 пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника АОВ, если АА1=18 см, ВВ1=24см.

3. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОВА, если угол ОСА= 38°.

4. В треугольнике МНК биссектрисы пересекаются в точке О. Расстояние от точке О до стороны МН=6см, НК= 10 см. Найдите площадь треугольника НОК.

5. В треугольнике АВС медианы ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О и равны 15 см и 18 см соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если угол ВОС = 90°.

6. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром в точке О, угол А равен 50°, АС:АВ=2:3. Найдите углы В и С, угол ВОС.

7. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром в точке О, угол АОВ равен 80°, АС:ВС=2:3. Найдите углы треугольника АВС.

8. Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найдите СД, если АЕ=4см, ВЕ=9 см, а длина СЕ в четыре раза больше длины ДЕ .

9. Хорды МН и КТ окружности пересекаются в точке А , причем хорда МН делится точкой А на отрезки равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка А делит хорду КТ, если КТ больше МН на 3 см?

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. кадомцев и др.]. - М.: Просвещение, 2013. - 383 с.

2. Новая геометрия треугольника. / ЗетельС.И. . - М.: Учпедгиз, 1962.

3. Новые встречи с геометрией. / Коксетер Г.С. Грейтцер С.Л.. - М.: Наука, 1978.

4. Элементарная геометрия. / Понарин Я.П. Т.1. - М.: МЦНМО, 2004.

5. «История математики в школе 7 - 8 классы». /Г. И. Глейзер. - Москва 1982 «Просвещение».

6. https://m.wikipedia.org/wiki/Трапеция

7. https://урок.рф/library/domashnyaya_kontrolnaya_rabota_reshenie_zadach_po_teme_191413.html

8. http://pedmir.ru/viewdoc.php?id=8012

© Коткова Е С., 2021

УДК 551.557.59

Хучунаев Бузжигит Муссаевич,

доктор ф.-м.н.,ФГБУ «Высокогорный геофизический институт»,

г. Нальчик, РФ Геккиева Сафият Омаровна, канд.ф.-м.н., ФГБУ «Высокогорный геофизический институт»,

г. Нальчик, РФ

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА УДЕЛЬНЫЙ ВЫХОД ЛЬДООБРАЗУЮЩИХ ЯДЕР НАНОЧАСТИЦ

ОКСИДА ЦИНКА

Аннотация

В лабораторных экспериментах по повышению льдообразующей активности реагента, наночастицы оксида цинка (2п0) представляют большой интерес в качестве функционального материала. В настоящей работе представлены результаты исследований влияния наличия электрического поля на удельный выход льдообразующих ядер наночастиц оксида цинка. Выявлена зависимость удельного выхода частиц 2п0 от температуры при наличии и отсутствии электрического поля. В статье приведены фотографии частиц оксида цинка, полученные с помощью сканирующего электронного микроскопа ТЕ8САК (рис.2), полученные при возгонке оксида цинка в сухой камере и в среде водяного пара.

Актуальность работы заключается в том, что переход от микро к наноразмерным добавкам позволит сократить количество используемого реагента. В ранних работах авторов были представлены результаты лабораторных исследований, где были получены композиты, усиленные наночастицами оксида цинка 3,6 и 9% мас. при сочетании механического перемешивания[1]. Отмечено, что соответствующий выбор наночастиц оксида цинка из-за разных форм и размеров имеет решающее значение для получения лучших свойств композиционных материалов.

Ключевые слова

Напряженность электрического поля, активные воздействия, пиротехнический состав, реагент, льдообразующие частицы, нанотрубки оксида цинка.

Статья является итогом лабораторных исследований в области средств активных воздействий на облака и туманы. В работе представлены результаты исследований влияния электрического поля на удельный выход льдообразующих ядер нанотрубок оксида цинка на основе лабораторных экспериментов, приближенных к реальным условиям (при наличии электрического поля и заряда на