О вещественной полноте пространства слабо аддитивных \sigma-гладких функционалов

Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 1, С. 22-28

УДК 515.12

О ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПОЛНОТЕ ПРОСТРАНСТВА СЛАБО АДДИТИВНЫХ а-ГЛАДКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ

Р. Е. Жиемуратов, А. А. Заитов

В работе устанавливается, что пространство а-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов является вещественно полным.

Ключевые слова: функтор, слабо аддитивный, сохраняющий порядок, функционал, вещественная полнота.

Систематическое исследование пространств вероятностных т-гладких и радоновых мер на тихоновских пространствах было начато в работе [1]. Пространство слабо аддитивных функционалов является более широким объектом, чем пространство вероятностных мер. Пространства слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных т-гладких и радоновых функционалов впервые рассматривались в [2]. Наши интересы в настоящей работе затрагивает, в основном, вещественная полнота пространств слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. Это связано с тем, что вещественно полные пространства обладают многими свойствами, которыми обладают компакты (= бикомпактные хаусдорфовы пространства).

Начало исследований ковариантных нормальных функторов, действующих на категории Comp компактов, и их непрерывных отображений и на других различных категориях, восходит к фундаментальной работе [3] Е. В. Щепина, где он выделил ряд элементарных свойств ковариантных функторов в категории компактов и ввел понятие нормального функтора. Т. Н. Радул показал, что введенный им в [4] функтор O : Co'm'p ^ Co'm'p не удовлетворяет некоторым условиям нормальности. Функтор O можно продолжить на категорию Tych тихоновских пространств и их непрерывных отображений по конструкции А. Ч. Чигогидзе [5] до функтора Oß : Tych ^ Tych или до функтора Ooß : Tych ^ Comp аналогично конструкции В. В. Федорчука [6], рассмотренной для функтора P вероятностных мер, где было отмечено, что функтор P o ß : Tych ^ Comp, ставящий в соответствии тихоновскому пространству X компакт P (ßX), тоже продолжает функтор P : Com'p ^ Comp, где через ßX обозначено компактное расширение Стоуна — Чеха тихоновского пространства X.

Пространство Oß (X) слабо аддитивных функционалов с компактными носителями, рассмотренное в [7], слишком узко, а пространство O(ßX) = O o ß(X) всех слабо аддитивных функционалов, категорные свойства которого были изучены в [8], слишком широко, и в результате функтор O o ß : Tych ^ Co'm'p не сохраняет многих специфических свойств пространства X, переводя тихоновское пространство X в компакт O(ßX).

Поэтому естественно рассматривать пространства функционалов, заключенных между пространствами Oß(X) и O(ßX). В связи с этим в [9] были изучены пространства Or(X) слабо аддитивных радоновых функционалов и OT(X) слабо аддитивных

© 2009 Жиемуратов Р. Е., Заитов А. А.

т-гладких функционалов. Но эти пространства не всегда являются вещественно полными. Естественно возникает вопрос о том, какая часть компакта O(ßX) является вещественно полной для всякого тихоновского пространства X. В настоящей работе покажем, что пространство O, (X) а-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов является вещественно полным.

Пусть X — компакт, C(X) — алгебра непрерывных функций р : X ^ R с обычными алгебраическими операциями и sup-нормой. Для каждого c Е R через cx обозначим постоянную функцию, определяемую по формуле cx (x) = c для всех x Е X. Пусть р, ф Е C(X). Мы говорим, что р ^ ф тогда и только тогда, когда ^>(x) ^ ^(x) для всех x Е X.

Функционал ß : C (X) ^ R называется [4]:

1) слабо аддитивным, если ß(p + cx) = ß(() + c для любых р Е C(X) и c Е R;

2) сохраняющим порядок, если для любой пары функций р, ф Е C(X) неравенство р ^ ф влечет ß(p) ^ ^(ф);

3) нормированным, если ß(1x) = 1.

Для компакта X через O(X) обозначается пространство всех слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов ß : C(X) ^ R. Множество функционалов, удовлетворяющих первым двум условиям этого определения, обозначим через W (X). В протяжении этой работы слабо аддитивный, сохраняющий порядок, нормированный функционал для краткости просто будем называть функционалом. Множество W (X) снабжается топологией поточечной сходимости. Рассмотрим O(X) как подпространство W (X).

Пусть X — тихоновское пространство, Cb(X) — алгебра ограниченных непрерывных функций р : X ^ R с поточечными алгебраическими операциями. Для функции р Е Cb(X) положим ||р|| = supl^x) : x Е X}. Cb(X) с введенной нормой является банаховой алгеброй. Для каждой р Е Cb(X), сопоставив ее непрерывное продолжение р Е C(ßX), получим изоморфизм между алгебрами Cb(X) и C(ßX), причем имеет место ||р|| = ||р||, поэтому указанный изоморфизм является изометрией соответствующих нормированных алгебр. Тем самым их топологические свойства совпадают. Поэтому всякую функцию из Cb(X) можно считать элементом C (ßX).

Будем говорить, что последовательность |рп} С Cb(X) есть монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящейся к нулю на X, если для каждой точки x Е X имеем рп^) ^ р^^) при n ^ m и limрп^) = 0.

Определение 1. Функционал ß Е W(ßX) назовем а-гладким, если ß^n) ^ 0 для любой монотонно убывающей последовательности |рп} С Cb(X), поточечно сходящейся к нулю на X.

Для тихоновского пространства X через W, (X) обозначим множество всех а-гладких функционалов ß Е W (ßX). Положим

O,(X) = |ß Е W,(X) : ß(1x) = 1}. Очевидно, что имеют место следующие включения

Oe(X) С Or(X) С Ot(X) С O,(X) С O(ßX) для любого тихоновского пространства X, и равенства

Oe (X) = Or(X ) = Ot (X) = O, (X) = O(ßX) для произвольного компакта X.

Наделим множество Оа (X) топологией поточечной сходимости. Базу окрестностей функционала у £ Оа (X) в этой топологии образуют множества вида

{у; ; е) = {V £ О(вХ) : \и (&) - у(^г )| < е} П Оа (X),

где ^ £ СЬ(Х), г = 1,... ,к и е> 0.

Покажем, что конструкция взятия пространства Оа(X) порождает ковариантный функтор Оа, действующий на категории ТуеН. Для этой цели рассмотрим компакты X,Y £ Сотр и непрерывное отображение / : X ^ У. Определим отображение О(/) : О(X) ^ О^) по формуле

(О(/)(у))(<р) = У(<Р ◦ /), У £ О(X), <р £ Съ(У).

Пусть теперь X,Y £ ТуеН и / : X ^ Y — непрерывное отображение. Рассмотрим его продолжение в/ : вX ^ , существующее согласно теореме 3.6.1 [10, с. 266]. Возникает отображение О (в/) : O(вX) ^ О(^). Пусть у £ Оа (X) и {фп} С Съ^) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на Y. Тогда {фп ◦ /} С Съ(X) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на X. Имеем

О(в/)(у)(фп) = у(фп ◦ в/) = у(фп ◦ /) о,

т. е. О(в/)(Оа(X)) С Оа^). Положим Оа(/) = О(в/)\Оа(X).

Покажем, что конструкция Оа сохраняет композицию отображений. Пусть X,Y,Z — тихоновские пространства и / : X ^ Y, д : Y ^ Z — непрерывные отображения. Пусть у £ Оа(X),<р £ Съ(2). Тогда

(Оа(д ◦ /)(у))(<р) = (О(вд ◦ в/)(у))(Ф) = у(ф ◦ (вд ◦ в/)) = у((& ◦ вд) ◦ в/) = О(в/)(у)((р ◦ вд) = О(вд)(О(в/)(у)т = Оа(д)(Оа(/)(у))(<р),

т.е. Оа (д ◦ / ) = Оа (д) ◦ Оа (/).

Наконец, установим, что конструкция Оа сохраняет тождественные отображения. Пусть г(х : X ^ X — тождественное отображение, т. е. г(х(х) = х для любой точки х £ X. Тогда

Оа(г(х)(у)(ф) = О(вг(х)(у)(&) = О(г(вх)(у)(&) = у(<Р ◦ ) = у(&) = у(ф),

т. е. Оа (г(х) = г(оа(х).

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 1. Конструкция Оа является ковариантным функтором, действующим на категории ТуеН тихоновских пространств и их непрерывных отображений, продолжающим функтор О : Сотр ^ Сотр.

Для компакта X через Р(X) обозначим пространство вероятностных мер на X, которое является подпространством О(X). Далее, для тихоновского пространства X обозначим через Ре (X) пространство вероятностных мер с компактными носителями на X, когда е = в, пространство вероятностных радоновых мер на X, когда е = К, пространство вероятностных т-гладких мер на X, когда е = т, и пространство вероятностных а-гладких мер на X, когда е = а.

Предложение 1. Пусть X — тихоновское пространство. Тогда Ре^) замкнуто лежит в О), где е = в, К, т, а.

< Возьмем произвольный функционал М £ 0е(Х) \ Ре(Х). Тогда существуют такие рг £ Сь(Х), г = 1,2, что м(Р1 + ^2) = М(Р1) + МР2). Положим а = |м(Р1 + Р2) -МрО — м(р2)| > 0. Покажем, что р2, + р2; §) П Ре(Х) = 0. В самом деле, пусть

существует V £ Р1,Р2,Р1 + Р2; |)П Ре(Х). Тогда из принадлежности V £ Ре(Х) имеем

V

а из принадлежности V £ р1, р2, Р1 + Р2; §) вытекает, что IV(рг) — м(Рг)1 < |, г = 1, 2. Откуда вытекают следующие неравенства:

—а^ы — V

аа — 3 ^^ — V

Сложив (В) и (С), получим

2а . . 2а

— у < (Р0 + ПР2) — МРО — ^(Р2) < у.

С другой стороны, имеем

—а<мр1+Р2) — v

Возможны два случая:

1) м(Р1 + Р2) > М(Р1) + МР2). Тогда м(Р1 + Р2) = а + м(Р1) + м(Р2). Последнее равенство вместе (А) и (Е) дает

— у < М(Р0 + ^(Р2) — V(Р1) — V(Р2) < — у,

что противоречит

2) м(Р1 + Р2) < МР1) + МР2). Тогда м(Р1 + Р2) = МР1) + МР2) — а. Подставляя последнее равенство в (Е) и имея в виду (А), получим

у < М(Р0 + МЫ — ^^(Р1) — ^^(Р2) < у,

что опять-таки противоречит >

Следующий результат дает критерий а-гладкости слабо аддитивных, сохраняющих порядок, функционалов. Сначала отметим, что для каждого компакта X и для всякого слабо аддитивного, сохраняющего порядок, функционала м : С(X) ^ Ж существует [11] слабо аддитивный, сохраняющий порядок, функционал М : В (X) ^ Ж такой, что М|С(X) = М, где В(X) — пространство ограниченных функций компакта X, обеспеченное топологией равномерной сходимости. Это утверждение естественным образом распространяется для тихоновских пространств.

Теорема 2. Функционал М £ Ш(вX) является а-гладким тогда и только тогда, когда МХк) = 0 для всякого замкнутого -множество К С вX \ X.

< Пусть м £ Ш(вX) — функционал такой, что м(Хк) = 0 для всякого замкнутого -множество К С вX \ X. Рассмотрим произвольную монотонно убывающую последовательность {рп} С С(вX), поточечно сходящуюся к нулю на X. Можно считать, что рп ^ 1рх для всех п £ N. Для произвольного е > 0 выделим следующее множество

Ап = {ж £ ДО : рп(ж) > е}.

Ясно, что все множества Ап открыты в вX и их пересечение Ке := Пп=1 Ап = {ж £ вX : рп(ж) ^ е} является замкнутым С 5-множеством в вX \ X. Откуда следует, что М(ХАп) ^ м(Хк£). Следовательно, имеем

м

= М(ХА„) + еМ(1вх) ^ М(Хк) + еМ(1вх) = еМ(1вх).

Отметим, что всякий слабо аддитивный функционал линеен на одномерном подпространстве пространства Сь^), состоящего из всех постоянных функций. Следовательно, М(1вх) < ^ Откуда м(рп) ^ 0. Таким образом, м £ (X).

Пусть м £ Ш (вX) — произвольный а-гладкий функционал и К С вX \ X — некоторое замкнутое -множество, т. е. К = П^ 1 Сп, где Сп открыто в вX для любого п £ N. Построим последовательность {рп} С С(вX) такую, что Хк ^ рп ^ Хсп. Тогда {рп} — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на X. Следовательно, в силу а-гладкости м, имеем м(рп) ^ 0. Откуда, так как м сохраняет порядок, имеем м(Хк) =0. >

Таким образом, согласно этой теореме, множество всех а-гладких функционалов можем написать в виде

О(X) = {М £ О^) : м(Хк) = 0

для всякого замкнутого С 5-множества К С вX \ X}.

Напомним, что пространство X называется [10, с. 320, 321] вещественно полным (или полным по Хьюитту), если оно гомеоморфно к замкнутому подпространству произведения прямых для некоторого кардинала к. Вещественное полное пространство можно рассматривать [10, с. 323] как тихоновское пространство X, имеющее компактификацию YX такую, что каждая точка ж £ YX \ X лежит в замкнутом С 5-множестве Е С YX \ X.

Следующее понятие является общеизвестным. Подпространство X пространства У называется С-вложенным (в У), если каждая функция р : X ^ Ж допускает непрерывное продолжение р : У ^ Ж. Согласно теореме 3.1.16 [10, с. 327] всякое тихоновское пространство X имеет ровно одно (с точностью до гомеоморфизма) вещественно полное пространство «X, содержащее X в качестве всюду плотного С-вложенного подпространства, которое можно отождествлять с подпространством

«X = {ж £ ДО : Е П X = 0

для всякого замкнутого С 5-множества Е С вX, содержащего ж} С вX.

Пространство «X называется [10, с. 327] хьюиттовым пополнением пространства X.

В работах [12, 13] было показано, что пространства Рд^) радоновых вероятностных мер и Рт (X) т-гладких вероятностных мер на X в общем случае не обязаны быть вещественно полными даже тогда, когда рассматриваемое пространство X вещественно полно. Из этого замечания, предложения 1 и теоремы 3.11.4 [10, с. 322] (которая гласит, что каждое замкнутое подпространство вещественно полного пространства вещественно полно) вытекает, что пространства Од^) радоновых слабо аддитивных функционалов и 0т (X) т-гладких слабо аддитивных функционалов в общем случае не обязаны быть вещественно полными. Но для пространства а-гладких слабо аддитивных функционалов это уже не так.

Теорема 3. Для всякого тихоновского пространства X пространство (X) является вещественно полным.

< Пусть € О(вХ)\Од(X) — произвольный фиксированный функционал. Тогда ^о (хк) ^ е для некоторого е > 0 и некоторого замкнутого -множества K С вХ \ X. Имеем K = Пп= 1 Gn, где Gn — убывающая последовательность открытых в вХ множеств. Для каждого n ^ 1 множество

Zn = {^ € 0(вХ): ) > е - П}

является открытым в О(вХ) множеством, а

F = € 0(вХ) : Мхк) ^ е}

есть замкнутое в О(вХ) множество. Поскольку F = Пi Zn, мы получим, что F является замкнутым G5-множеством в О(вХ), содержащим функционал ^о и непересекающимся с Од- (Х). >

Теорема 4. Замыкание Х = вХ П (Х) тихоновского пространства Х в (Х) является хьюиттовым пополнением пространства Х.

< Достаточно заметить, что вХ П (Х) = «Х. Это следует из равенства вХ П О(вХ) = вХ П Р(вХ), которое, в свою очередь, вытекает из [14, замечание (а)] и из равенства вХ П Рд(Х) = «Х [15, теорема 1.2]. >

Литература

1. Банах Т. О. Топология пространств вероятностных мер, I: функторы PT и P // Математичш студи.—1995.—Т. 5.—С. 65-87.

2. Заитов А. А. т-гладкие слабо аддитивные функционалы и вероятностные меры // Тезисы докл. конф. молодых ученых, посвященной 60 летию АН РУз.—2003.—С. 41-42.

3. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, вып. 3(219).—С. 3-62.

4. Radul T. N. On the functor of order-preserving functionals // Comment. Math. Univ. Carol.—1998.— Vol. 39, № 3.—P. 609-615.

5. Чигогидзе А. Ч. О продолжении нормальных функторов // Вестник МГУ. Сер. мат-ка, мех-ка.— 1984.—№ 6.—С. 23-26.

6. Федорчук В. В. Вероятностные меры в топологии // Успехи мат. наук.—1991.—Т. 46, вып.1.—С. 4180.

7. Beshimov R. B. On weakly additive functionals // Matematychni Studii.—Vol. 18, № 2.—P. 179-186.

8. Zaitov A. A. On categorical properties of the functor of order-preserving functionals // Methods of Functional Analysis and Topology.—2003.—Vol. 9, № 4.—P. 357-364.

9. Zaitov A. A. Some categorical properties of functors OT and OR of weakly addidtive functionals // Math. notes.—2006.—Vol. 79, № 5.—P. 632-642.

10. Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—752 с.

11. Заитов А. А. О продолжении слабо аддитивных функционалов // Докл. АН РУз.—2005.—Т. 5.— C. 3-7.

12. Федорчук В. В. О свойствах типа полноты пространств т-аддитивных вероятностных мер // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат-ка, мех-ка.—1998.—№ 5.—С. 19-22.

13. Федорчук В. В. Топологическая полнота пространств мер // Изв. РАН. Сер. Мат.—1999.—Т. 63, № 4.—С. 207-223.

14. Zaitov A. A. The functor of order-preserving functionals of finite degree // J. of Math. Sciences.— 2006.—Vol. 133, № 5.—P. 1602-1603.—

15. Banakh T., Chigogidze A., Fedorchuk V. On spaces of a-additive probability measures // Topology and its Applications.—2003.—Vol. 133.—P. 139-155.

Статья поступила 27 октября 2008 г.

жиемуратов рзамурат есбергенович Институт математики АН РУз, аспирант

УЗБЕКИСТАН, 100125, г. Ташкент, Академгородок, ул. Ф. Ходжаева, 29 E-mail: rzamurat_25@mail.ru

Заитов Адилбек Атаханович

Институт математики АН РУз, ст. науч. сотр.

УЗБЕКИСТАН, 100125, г. Ташкент, Академгородок, ул. Ф. Ходжаева, 29 E-mail: adilbek_zaitov@mail.ru