Об условии сходимости почти всюду функционального ряда со слабым аналогом свойства ортонормированности

4. Лупанов О.Б. О сложности реализации функций алгебры логики формулами // Проблемы кибернетики. Вып. 3. М.: Физматлит, 1960. 61-80.

5. Ложкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Наука, 1996. 189-214.

6. Arnold А., Brlek S. Optimal word chains for the Thue-Morse word // Inform, and Comput. 1989. 83, N 2. 140-151.

7. Мерекин Ю.В. Нижняя оценка сложности для схем конкатенации слов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. 3, № 1. 52-56.

8. Кочергин В.В. О мультипликативной сложности двоичных слов с заданным числом единиц // Математические вопросы кибернетики. Вып. 8. М.: Наука, 1999. 63-76.

9. Потапов В.Н. Аддитивная сложность слов с ограничениями на состав подслов // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2004. 11, № 1. 52-78.

10. Strassen V. Berechnungen in partiellen Algebren endlichen Typs // Computing. 1973. 11. 181-196.

11. Лупанов O.B. Об одном подходе к синтезу управляющих систем — принципе локального кодирования // Проблемы кибернетики. Вып. 14. М.: Наука, 1965. 31-110.

12. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

13. de Bruijn N. G. А combinatorial problem // Ned. Akad. Wetensch. Proc. 1946. 49. 758-764.

14. Конспект лекций О. Б. Лупанова по курсу "Введение в математическую логику" / Отв. ред. А. Б. Угольников. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007.

Поступила в редакцию 29.05.2015

УДК 517.518

ОБ УСЛОВИИ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА СО СЛАБЫМ АНАЛОГОМ СВОЙСТВА ОРТОНОРМИРОВАННОСТИ

В. В. Галатенко1, Т.П. Лукашенко2, В. А. Садовничий3

Для функциональных рядов со слабым аналогом свойства ортогональности получено условие сходимости почти всюду, аналогичное условию Меныпова-Радемахера. Следствиями являются результаты о сходимости почти всюду рядов по системам Рисса, системам Гильберта, системам Бесселя и по фреймам.

Ключевые слова: сходимость почти всюду, условие Меныпова-Радемахера, системы Рисса, системы Гильберта, системы Бесселя, фреймы.

The almost everywhere convergence condition similar to the Menchoff-Rademacher condition is obtained for functional series with some weak analogue of the orthogonality property. As a corollary, the results of almost everywhere convergence of series with respect to Riesz systems, Hilbert and Bessel systems, and frames are obtained.

Key words: almost everywhere convergence, Menchoff-Rademacher condition, Riesz systems, Hilbert systems, Bessel systems, frames.

В теории ортогональных рядов известна теорема Меныпова-Радемахера (см. [1, гл. 9, § 1; 2, гл. 5, § 3; 3, гл. 2, § 3]) об условии сходимости почти всюду рядов по ортонормированным системам. В настоящей работе доказана аналогичная теорема для функционального ряда со слабым аналогом свойства ортогональности. Как следствия получены результаты о сходимости почти всюду рядов по некоторым функциональным системам, в том числе по системам Рисса, системам Гильберта, бесселевым системам и по фреймам.

1 Галатенко Владимир Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgalatïmscs.msu.ru.

2Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenkomail.ru.

3 Садовничий Виктор Антонович — акад. РАН, зав. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, ректор МГУ, e-mail: inforector.msu.ru.

Пусть Ь2(П) — пространство Лебега действительнозначных (или комплекснозначных) интегрируемых в квадрате функций над пространством П (с сг-алгеброй Е и со счетно-аддитивной мерой /х), см. [4, гл. VII, § 2; 5, гл. 3.8, гл. 5.1^.

Лемма 1. Пусть Ф = {!£к{х)}\=1, где целое п ^ 0; — система функций в Ь2(П) и ряд

2П

а(х) = ^ ак<Рк(х) обладает, следующим свойством: для любых натуральных р, 1 ^ р ^ д ^ 2п, к=1

выполняется оценка

^2ак

к=р

где С — некоторая постоянная. Тогда для, мажоранты частичных сумм ряда

к

к=р

Б* (х) = тах К< 2п

^2ак

к= 1

верна оценка

1|£*(Ж)Ц2 ^ С(п + I)2 \ак\2-

к=1

Доказательство. Для п = 0 оценка следует из условия. Предположим, что оценка верна для п = т ^ 0, и докажем ее для п = т, + 1. Пусть

А = < х € П : 5*(ж) = тах

К< 2т

К

^2ак

к= 1

, В = П\А=<х£П: 5* (ж) > тах

К< 2т

к

^2ак

к= 1

По предположению

тах

К< 2т

к

^~2ак

к=1

<

к= 1

где Ха(^) — характеристическая функция множества А. Если х (£ В, то

2 т

(ж) <

^~2ак

¿¡=1

+ тах

2т<А'5С2т+1

а:

^ ак(рк(х) к=2т+1

По условию

а по предположению

Следовательно,

^акук

тах

2т<А'5С2т+1

а:

<

С^Ы2

^ ак(рк(х) к=2т+1

2т+1

< С(т + 1)2 Ы2.

&=2т+1

к=1

2

+с

^ 2т \ 1/2 / 2т+1 ЕЫ2) +(ш + 1) Е Ы2

\к=1 / \ А;=2т + 1

1/2

<

С(т + 1)2^Ы2+

к= 1

2т+1 2т+1 2т_Ь1 2т_Ь1

+С £ \ак\2 + 2С(т + 1) £ Ы2 + С(т + I)2 Е \ак\2 = С(т + 2)2 Е Ы2. &=1 &=1 &=2т + 1 &=1

По принципу математической индукции лемма доказана.

Перейдем к выводу основного результата работы.

Теорема 1. Пусть Ф = {(рк(х)}^=1 — система функций в пространстве Лебега Ь2(П) и ряд

оо

<7= £ ак^рк(х) обладает, следующим свойством: для любых натуральных р, д, р ^ д, выполняется

к= 1 оценка,

^akLpk{x)

k=p

где С — некоторая постоянная. Тогда если

k=p

Ь = ^Ы2Ъё22

к= 1

оо

то ряд ак^Рк{х) сходится в Ь2(П) и почти всюду на П. Кроме того, для мажоранты

к=1

частичных сумм

к

S*(x) = max

k&i

^2ак

к=1

имеет место оценка

Доказательство. Покажем сначала, что подпоследовательность частичных сумм ряда

2П

S2"

k= 1

сходится в L2(Q) и почти всюду на Q, и оценим норму в L2(Q) мажоранты этой подпоследовательности:

= sup |52"(ж)|.

0^га<оо

Пусть

2"

Ф0(ж) = a\tpi{x), Фга(ж) = ^ akLpk(x), п € N.

к=2™-1+1

2п

Тогда по условию

к=2"-!+1

оо

\\Фо(х)\\2 + ^2Шх)\\2п2 ^CL.

п= 1

Используя неравенство Коши-Буняковского (см. [4, гл. III, § 4, формула (1); 5, гл. 5, разд. 1-2]), получаем

оо / оо

\ !/2 / оо \ 1/2

Еиф™(ж)и < ифо(^)и2 + £\\фп(х)\\2п2 1 + En"2 < ^ci-

п=0 \ п= 1 / \ п= 1 /

оо

Следовательно, ряд ^ Фп(ж) сходится в L2(Q). Поскольку частичные суммы этого ряда — под-

п=о

последовательность (3) частичных сумм ряда а, то эта подпоследовательность сходится в L2(Q). Теперь оценим мажоранту подпоследовательности (3) частичных сумм ряда а:

S*1= sup |52п(ж)К ^Г|Фга(ж)|.

^ п=0

оо

Поскольку ряд ^ ||Фп(ж)|| ^ \/3СЬ, то Цб^Ц ^ ^ ||Фп(ж)|| ^ л/3СЬ. Ряд ^ |Фга(ж)|, а значит, и

п=0 га=0 га=0

оо

ряд ^ Фга(ж) сходятся почти всюду на О по теореме Б. Леви (см. [4, гл. V, § 5, разд. 5; 5, гл. 3,

п=о

разд. 4.1]).

Итак, доказано, что подпоследовательность ¿>2" (ж) частичных сумм ряда а сходится в Ь2(П) и почти всюду на О и норма мажоранты этой подпоследовательности ||57Н ^ л/ЗСЬ.

Перейдем теперь к последовательности частичных сумм ряда а. Пусть 2" К < 2га+1, где целое л^Ои величина

0п{ ж) = max \Sk(x) — S2"(x)\ = max

2nsíAT<2n+1 2nsíAT<2n+1

E

2n<k4,K

По лемме 1 имеем

2n+l_1 2n+1-l

\\дп{х)\\2 =<:С(п + 1)2 Е \ak\2^C Е |afc|2log2(2fc). fc=2n + l fc=2n+l

Из условия (2) следует, что

над и =

max \Sk(x) — ¿>2™(ж)|

2nsíATsí2n+1

0

при п оо. Значит, последовательность вк(х) частичных сумм ряда а(х) сходится в Ь2(П).

Теперь покажем, что последовательность вк{х) частичных сумм ряда а(х) сходится почти всюду на О. Из оценки (4) и условия (2) следует, что

Е над Ii2 < с Е м2= сь.

п=о

k=1

По теореме Б. Леви (см. [4, гл. V, § 5, разд. 5; 5, гл. 3, разд. 4.1]) ряд Y1 \вп(х)\2 сходится почти

п=о

всюду на Q. Значит, lim 9п(х) = 0 почти всюду на Q, что вместе с уже доказанной сходимостью

п—>оо

почти всюду на Q подпоследовательности частичных сумм SV (ж) ряда а(х) влечет сходимость почти всюду на Q всей последовательности Sk(х) частичных сумм этого ряда.

Осталось получить оценку мажоранты частичных сумм S*(x). Поскольку при 2" íC К < 2га+1 верна оценка \Sk(х) — 52«(ж)| ^ вп(х), имеем

<§2(ж) = sup max \Sk(ж) — ¿>2™(ж)| ^ sup0ra(a;).

п>0 2"<:к<2"+1

п> 0

Согласно (5) заключаем, что

п=0

А так как S*(x) ^ Sf(x) + 5|(ж), то

\\S*(x)\\^\\S{(x)\\ + \\S*2(x)\\^V3CL +

<

Теорема доказана.

Следствием теоремы 1 является теорема Менынова-Радемахера (см. [6, 7] или [1, гл. 9, § 1; 2, гл. 5, § 3; 3, гл. 2, § 3]).

Теорема Меньшова Радемахера. Пусть Ф = {^(ж)}^^ — ортонормированная система функций в пространстве Лебега Ь2(П). Тогда если

оо

Ь = ^2Ы21оё22(2к) <оо, к= 1

то ряд а = ^ ак^Рк{х) сходится, почти всюду на, О. Кроме того, для мажоранты частичных сумм

к=1

S*(x) = max

K&í

К

Eafc№

к= 1

имеет место оценка

Заметим, что, как правило, в теореме Менынова-Радемахера в качестве О берут отрезок [0,1] с обычной мерой Лебега и вместо Ъ^^^к) пишут \о^(к + 1), что немного меняет величину Ь и сказывается на величине константы в оценке <5* (ж) (вместо 3 можно взять, например, 6). В работе Д.Е. Меньшова [6] было также показано, что + 1) нельзя заменить на неубывающую после-

довательность о (1с^2(к + 1)), растущую медленнее \о^{к + 1) (доказывающие этот факт теоремы ряда авторов см. в [1, гл. 9, § 1]).

Отметим еще, что в теореме 1 говорится об условии сходимости почти всюду конкретного функционального ряда со свойством (1) (имеющим место в случае ортонормированности функций (рк(ж) ряда), а в теореме Менынова-Радемахера — об условии сходимости почти всюду рядов по ортонор-мированной функциональной системе.

Приведем еще одно следствие теоремы 1.

оо

Теорема 2. Пусть ^ <Рк(%) — ряд из функций <Рк(х) € Ь2(П), а {а,к}^=1 — такая числовая к=1

последовательность, что для любых натуральных р,д, р ^ д, выполняется оценка

ж)

к=р

<

к=р

где С — некоторая постоянная. Тогда если

Ь = ^2Ы21оё22(2к) <оо,

к= 1

оо

то ряд а = ^ <рк(ж) сходится в Ь2(П) и почти всюду на П. Кроме того, для мажоранты частич-к= 1

ных сумм

К

/

5*( ж) = тах кем

к=1

имеет место оценка

Доказательство. Следует применить теорему 1 к ряду V • —<рк(ж) (при ак = 0 по

к= 1 ^к '

условию (6) имеем (рк(ж) = 0 и считаем к-т член выписанного ряда равным нулю).

В условии теоремы 1 речь идет о фиксированном ряде. Следствием этой теоремы является теорема о системах функций.

Теорема 3. Пусть Ф = {(Рк(х)}^=1 — такая система функций в пространстве Лебега Ь2(0), что для, любых натуральных р, д, р ^ д, и любой числовой последовательности {а>к}к=р (ш ^ или С) верна оценка,

^2ак

к=р

Ы2,

к=р

где С — некоторая постоянная. Тогда, если

оо

Ь = ^Ы21оё2(2к) <оо,

к= 1

то ряд а = ^ а,к<Рк(%) сходится в Ь2(0) и почти всюду на, О. Кроме того, для мажоранты к=1

частичных сумм

к

5*( ж) = тах кем

^2ак

к=1

имеет место оценка

надн <

Перейдем теперь к некоторым встречающимся в математике системам, удовлетворяющим условию (7).

Определение 1. Система элементов Ф = {фк}^^ гильбертова пространства II (над полем М или С) называется систем,ой Рисса, с постоянными А > 0 и В, если для любой числовой последовательности с конечным числом отличных от нуля членов (из К или Со) верны оценки

¿¿>fc|s

<

к= 1

^СкФк

к= 1

<

я£ы5

к= 1

Постоянная А называется нижней границей системы Рисса, а постоянная В — верхней границей системы Рисса. Если система Рисса является базисом, то ее называют ба,зи,сом, Рисса (введено Н. К. Бари в [8]).

Система Рисса удовлетворяет условию (7) (с постоянной С = В), в случае Н = L2(Q) для нее верна теорема 3.

Определение 2. Система элементов G = {g^'kLi гильбертова пространства II (над полем R или С) называется гильбертовой системой (или системой Гильберта), если в Н определен такой линейный ограниченный оператор А, что д^ = А{фк), к € N, где Ф = {фк}^\ — некоторая полная ортонормированная система (см. [2, обзорная статья P.C. Гутера и П.Л. Ульянова, § 9, п. 9.9.4]).

Из определения видно, что для любой числовой последовательности с конечным числом

отличных от нуля членов (из R или С) верна оценка

£ ск9к

к= 1

<

£СкФк

к= 1

к= 1

М. Кац, Р. Салем и А. Зигмунд [9] для гильбертовых систем (они назвали их квазиортогональными) сформулировали аналог теоремы Менынова-Радемахера. Поскольку гильбертова система удовлетворяет условию (7) (с постоянной С = ||А|| ), то в случае Н = Ь2(0) для нее также верна теорема 3.

Определение 3. Система элементов Ф = гильбертова пространства Н (над полем М

или С) называется бесселевой (или системой Бесселя), если существует такая постоянная В, что для любого / € Н верна оценка

к=1

Постоянная В называется границей бесселевой системы.

Лемма 2. Если система элементов Ф = {(£>к}к>=1 гильбертова пространства Н бесселева с границей В, то для любых натуральных р, р ^ q, и, любых чисел р ^ к ^ q, выполняется оценка

q

y^aWk

k=p

^ в

<1

Е

к=р

Ы2.

Доказательство. Пусть / = Е ак^к, тогда

к=р

Буняковского

2 = flfc(^fc)/)) и по неравенству Коши-к=р

Значит,

Ё ак<*Рк к=р

1/2

< [В £ Ы2

\ к=р

. Лемма доказана.

Поскольку бесселева система удовлетворяет условию (7) (с постоянной С = В), то в случае н = L2(Q) для нее также верна теорема 3.

Фреймы были введены Р. Даффином и А. Шаффером [10]. В настоящее время фреймы используются в разложениях и анализе функций, в частности в теории всплесков (вейвлетов), см. [11, гл. 3.2, 3.3; 12, § 1.8].

Определение 4. Система элементов Ф = {сРк}^=\ гильбертова пространства Н (над полем R или С) называется фреймом, если существуют такие постоянные А > 0 и В < оо, что для любого / € Н верны оценки

оо к=1

Постоянная А называется нижней границей фрейма, а постоянная В — верхней границей фрейма. Если А = В, то фрейм называется жестким, а если А = В = 1, то фреймом Парсеваля (или Ляпунова, или ортоподобной системой). Полная ортонормированная система в Н — фрейм Парсеваля. Любой фрейм — бесселева система, поэтому в случае Н = L2(Q) теорема 3 верна и для них.

Для ортоподобных систем, или фреймов Парсеваля, и их интегральных аналогов результат, аналогичный теореме Менынова-Радемахера, был получен в [13], а для обобщенных ортоподобных систем — в [14].

Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", грант НШ-7461.2016.1, и РФФИ, проект № 144)14)0417.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кашин Б. С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Изд-во АФЦ, 1999.

2. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: ГИФМЛ, 1958.

3. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Наука, 1984.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

5. Богачев В.И., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2009.

6. Меньшов Д.Е. Sur les séries de fonctions ortogonales // Fund. math. 1923. 4. 82-105.

7. Rademacher H. Einige Sátze über Reihen von allgemeinen Orthogonalñmktionen // Math. Ann. 1922. 87. 111-138.

8. Бари H.K. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Уч. зап. МГУ. 1951. 148, № IV. 69-107.

9. Кае М., Salem R., Zygmund A. A gap theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. 63. 235-243.

10. Duffin R.J., Schaeffer A.C. A class of nonharmonic Fourier seriese // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. 72. 341-366.

11. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: РХД, 2001.

12. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005.

13. Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения, подобных ортогональным // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. 62, № 5. 187-206.

14. Лукашенко Т.П. Аналог теоремы Меныпова-Радемахера для обобщенных ортоподобных систем // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 5. 31-35.

Поступила в редакцию 25.09.2015