Движение квантового ангармонического осциллятора

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 1

Физико-математические пауки

2009

УДК 530.145

ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОГО АНГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

С. В. Сазонов

Аннотация

Предложен квантовый аналог классического метода перепормировки в теории ангармонического осциллятора.

Ключевые слова: ангармонический осциллятор, метод перенормировок, когерентное состояние.

Введение

Колебательные движения весьма распространены как в макро-, так и в микромире. В первом случае такие движения описываются классическим вторым законом Ныотона. во втором уравнениями квантовой механики. Простейшим представителем колебательного движения выступает гармонический осциллятор, собственная частота которого не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называют изохронностью колебаний. Оно является следствием линейности соответствующего уравнения движения. Напротив, уравнения, описывающие движение ангармонического осциллятора, нелинейны. Вследствие этого частота свободных колебаний начинает зависеть от их амплитуды.

В теории классического ангармонического осциллятора разработаны приближенные асимптотические методы, в которых нелинейность рассматривается как возмущение гармонических колебаний [1]. Соответственно, ангармонические эффекты проявляются в виде малых поправок к линейным колебаниям. К наиболее известным подходам такого типа относятся методы Ван-дер-Поля. Линдштедта Пуанкаре. Крылова Боголюбова Митропольского. а также классический метод перенормировки [1]. В этой связи возникает идея поиска соответствующих методов при кваитовомехаиическом способе описания движения ангармонического осциллятора. Любопытным здесь также представляется обнаружение сходств и отличий в движениях классического и квантового ангармонических осцилляторов. Исследованию этих вопросов и посвящена настоящая работа.

1. Классический ангармонический осциллятор

Для сопоставления движений классического и квантового ангармонических осцилляторов будем в обоих случаях использовать гамильтонов подход. Запишем классические уравнения Гамильтона

дН дН

х = р =

где х - координата осциллятора, р - его импульс, Н - функция Гамильтона (энергия), имеющая вид

2 2 2 3 п 4

2/1 2 3 4 ' 1 '

Здесь ^ - эффективная масса осциллятора, шо - собственная частота в отсутствие энгармонизма, а и в - коэффициенты квадратичной и кубической нелинейностей соответственно.

Подставляя (2) в (1), придем к уравнению

X + ш^х + ах2 + вх3 = 0.

Следуя [1], будем искать решение (3) методом последовательных приближений.

а=0

В нулевом приближении отбросим в (3) нелинейность. Тогда будем иметь решение, соответствующее гармоническим колебаниям

х = a cos

Здесь a - амплитуда колебаний, уо - нэчальная фэзэ.

Первое приближение соответствует подстановке

3 в

х + lvqX = — —

Общее решение данного уравнения имеет вид

3в 3 в 3

х = acos

8шо 32Ш2

Здесь обрэщэет на себя внимание второе слэгэемое, описывающее неограниченно растущие во времени колебания. Это так называемый секулярный член. Понятно, что при достаточно больших временах (t > 8шо/3ва2) секулярный член, описывающий нелинейное возмущение, превзойдет первое (основное) слэгэемое в (6), н используемый подход окэжется неприменим. В действительности же ничего подобного не наблюдается. Чтобы избавиться от секулярности, выясним вначале причину появления данного члена в (6). Для этого вновь обратимся к (5). Первое слэгэемое в правой части можно формально рассматривать как внешнюю силу, периодически меняющуюся со временем нэ чэстоте шо собственных линейных коле-бзний. Это и приводит к неограниченной резонансной рэскэчке колебаний. Теперь положим, что частотэ ш нелинейных колебаний отличается от шо : шо = ш — Дш, где Дш < ш. В этом и состоит идея клэссического метода перенормировки. Учитывая мэлость нелинейной поправки к частоте, представим первое (основное) слэгэемое в (6) следующим обрэзом

а cos(шot + уо) = a cos (wt + уо — Дш^ « a cos(wt + уо) + aДшt sin(wt + уо).

Подстэвляя данное выражение в (6), придем к условию обнуления секулярного членэ: Дш = 3вa2/8шo. Таким образом, чэстотэ нелинейных колебэний зэвисит от их амплитуды:

(л Л. 3/3 2 Ш = ШП 1 + , О

V 8ш2

а=0

меии, но в принципе это не меняет сути идеи. С учетом квадратичной нелинейности имеем

шо

u , 2 + ' 8ш2 12^4 1 й

При этом приближенное решение уравнения (3) не содержит секулярного членэ.

2. Квантовый ангармонический осциллятор

Перейдем теперь к квантовому ангармоническому осциллятору. В соответствии с правилами перехода от классической механики к квантовой заменим классический гамильтониан Н, а также координату и импульс соответствующими им операторами

^ Х и^2х2 иах3 ивх4 . .

Выразим операторы координаты и импульса через операторы уничтожения х и рождения х + :

Р = «у^р

где Н - постоянная Планка.

Вначале рассмотрим движение гармонического квантового осциллятора. Собственные состояния |п) оператора Н в отсутствие ангармонизма (а = в = 0) подчиняются уравнению

где Еп - возможные значения энергии гармонического осциллятора, определяемые выражением [2]

Еп = Нш0

2,

Здесь п - целое число, соответствующее степени возбуждения осциллятора. При этом операторы уничтожения и рождения действуют на стационарные состояния согласно правилам

а\п) = \fn\n — 1), о + |?г) = л/п + 1|?г + 1), а + а\п) = п\п).

Прежде чем начать совершать свободные колебания, квантовый осциллятор должен быть приведен в суперпознцнонное (когерентное) состояние внешней классической силой ^ (г). Известно [3], что действие классической силы переводит гармонический осциллятор в когерентное состояние. Если начальное состояние осциллятора есть |0), то в момент т окончания действия внешней силы состояние осциллятора примет вид

|0>=ехр[г

о

где

т

J ^(г') ехр -1ш0(т - г')] ¿г'

о

т

ся свободная эволюция осциллятора, описываемая зависящим от времени вектором состояния:

^(г)) =ехр(-гНо(г - т)/Н)|0),

где Н определяется выражением (8) при а = в = 0.

Принимая во внимание (13) и учитывая, что |п) являются собственными состояниями оператора Но с собственными значениями, определяемыми (11), получим

|0(*)> = ехр (- И2 /2) ]Г -= ехр(-гВДЬ)Н =

П=0

= ехр [-ги0

п=0 V«.

Таким образом, с точностью до несущественного фазового множителя ехр [—го>о(£ — т)/2] можно утверждать, что эволюционирующее во времени когерентное состояние свободного гармонического осциллятора определяется выражением (18) (см. также (19) и (20)) при учете замены

О ^ 0

Так как когерентное состояние является собственным состоянием оператора уничтожения [3], то Н|0(£)) = 0(£)|0(£)). Тогда легко находится квантовое среднее (0(*)|я|0(*)) = х оператора координаты

П ^ , (« + -

у 2^,(^0

Оно имеет вид (4), где амплитуда определяется выражением

Таким образом, приходим к совпадению с результатом для классического гармонического осциллятора. Это неслучайно, ибо когерентные состояния являются наиболее близкими к классическим состояниям в том смысле, что они минимизируют соотношение неопределенностей [3]: ¿ж • ¿р = П/2.

Колебания квантового гармонического осциллятора так же, как и классического, изохронны, что является следствием эквидистантности его энергетического спектра. Действительно, для квантовых переходов между уровнями гармонического осциллятора справедливы правила отбора Дп = ±1 [4]. Тогда для частот разрешенных переходов имеем

Еп+1 — Еп Еп — Еп-1

и+ =---=---=ш0.

п п

Определим, с какой вероятностью Рп осциллятор можно обнаружить в одном из собственных энергетических состояний, если он находится в когерентном состоянии. По определению Рп = |(п|О)|2 . Используя (14) и свойство взаимной ортогональности стационарных состояний, найдем

Это хорошо известное распределение Пуассона [3].

Таким образом, если осциллятор находится в когерентном состоянии, то ве-

Рис. 1

При этом наиболее вероятным состоянием является состояние с порядковым номером п = \9\2 (рис. 1).

Данное свойство является ключевым при использовании квантового метода перенормировки.

Как и в случае квантового гармонического осциллятора, начнем с рассмотрения стационарных состояний квантового ангармонического осциллятора. При этом будем опираться на стандартную квантовомеханическую теорию возмущений [4]. рассматривая как возмущение ангармоническую поправку к гамильтониану Н0. Тогда [41

Еп = Тъи о ( п + ^ ) -

Ъа2П2

30 I

г/зп2

1

П+2

Теория возмущений справедлива до тех пока, возмущающие добавки значительно меньше основных членов, определяемых гамильтонианом Но. В нашем случае возмущающие добавки с увеличением п растут как п2. Поэтому, очевидно, вып

п

п

когерентном состоянии является п = \9\2, запишем п = п + (п — п) и п2 = п2 + + 2пп + (п — п)2. Тогда (18) перепишется в виде

Еп = Ео + пНш о

1 +

3в 5а2

П

2 12ш4) о

+ (п — п

Энергия осциллятора в когерентном состоянии есть

— , ^ Й^О (г>\а\2 , Л _

2

3в 5а2 \ П2

8^2 12ш4) И

где (а2) - квантовое среднее квадрата амплитуды. Отсюда

П И^о

(2п + 1) = (а2).

Тогда

Еп = Ео + Пып + ПО. (п — п) ,

где Ео — несущественная нулевая энергия с учетом ангармонических поправок,

П = Аш,

а величина ( определяется выражением (7) с точностью до замены а2 на (а2). Выражение (21) без последнего слагаемого по своей структуре не отличается от (

лятора. Последнее слагаемое в (20) можно рассматривать как малую нелинейно-квантовую поправку, так как состояния, далеко отстоящие от «, согласно распределению Пуассона, маловероятны.

Таким образом, частота осциллятора оказалась перенормированной и так же, как в классическом случае, зависит от квадрата амплитуды колебаний.

Проделанный здесь переход от (18) к (20) составляет суть процедуры квантового метода перенормировки при рассмотрении движения ангармонического осциллятора.

Не вдаваясь в детали дальнейших вычислений, поясним ниже их схему. Используя формулу кваитовомехаиической теории возмущений [4]

1-х , \ . у- ' (т\Н ~ Яр и | ,

И = И + —г _ г—И>

ЕЕ

Еп Ет

т=0

найдем основное состояние |0) ангармонического осциллятора, которое из-за нелинейных добавок отличается от |0). Кроме того, вычислим остальные состояния |п). Воздействие внешней классической силы переводит осциллятор в ангармоническое когерентное состояние

|0) = ехр [г (ОН + + 0*а)] |0).

Свободная эволюция дается разложением

!*

п=0

Здесь последнее слагаемое в (20) учитывается только для переходов « + 1 ^ « и « ^ п — 1.

Используем теперь простые рассуждения для выяснения смысла основных результатов. Для частот соседних квантовых переходов имеем

= Еп+1~ Еп = ш + П [2 (п - п) + 1],

„ -

= Еп = си + И [2 (п - п) - 11 .

п

Наибольший вклад в динамику вносит состояние с п = п. Поэтому, полагая в (23) п = «, пайдем = ( + П , = ( — П. Отличие от является следствием неэквидистантности спектра ангармонического осциллятора.

Из общего курса физики хорошо известно, что сложение двух сонаиравленных колебаний с близкими частотами приводит к биениям на половине разности их частот (рис. 2):

+ = П = 2 ( — ) Аси.

а

о

t

Рис. 2

При этом центральная частота колебаний равна полусумме этих близких ча-

Правилами отбора Дп = ±1, ±2, ±3 для переходов между уровнями ангармонического осциллятора задается условие существования колебаний на второй и третьей гармониках основной частоты, как это имеет место и в классическом случае.

Таким образом, квантовый метод перенормировки позволяет описать движение ангармонического осциллятора в когерентном состоянии с учетом квантовых поправок. Основной такой поправкой, носящей качественный характер, является предсказание квантовых биений амплитуды па частоте О.

Квантовый метод перенормировки привел к физически разумным результатам н представил взаимное соответствие между движениями классического и квантового ангармонических осцилляторов. Его можно также рассматривать, например, как квантовую версию асимптотического метода Крылова Боголюбова Мит-ропольского. Приложения данного подхода, на наш взгляд, могут быть весьма разнообразными. Это колебания атомов в молекулах, заряженных частиц в бетатроне. осцилляторное эхо. квазирелятивистский заряженный бозон в магнитном поле. При этом возмущающие гамильтонианы не обязательно должны совпадать с рассмотренным здесь. Важно только, чтобы они выступали в роли малых поправок к гармоническим колебаниям. Число степеней свободы может быть больше единицы. В этом случае вычисления окажутся более громоздкими, но принципиальной сути подхода это не меняет.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Л*1' 09-02-00503а).

S. V. Sazunuv Motion of Quantum Anliarmonic Oscillator.

A quantum analogy of the classical renormalizat.ion method in the theory of anliarmonic oscillator is proposed.

Key words: anliarmonic oscillator, renormalizat.ion method, coherent state.

Литература

1. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 536 с.

2. ФелЪшаи Р. Статистическая механика. М.: Мир. 1978. 408 с.

стот:

+ ш.

2

Заключение

Summary

3. Хакеи Г. Кваптовополевая теория твердого тела. М.: Наука, 1980. 342 с.

4. Давыдов A.C. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 703 с.

Поступила в редакцию 28.01.09

Сазонов Сергей Владимирович доктор физико-математических паук, ведущий научный сотрудник РНЦ «Курчатовский институт», г. Москва. E-mail: sazonov.sergeyegmail.com