Сигма-функция в задачах синтеза наблюдателей состояний и возмущений

УДК 62—501.2

СИГМА-ФУНКЦИЯ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА НАБЛЮДАТЕЛЕЙ СОСТОЯНИЙ И ВОЗМУЩЕНИЙ1

С.А. Краснова, A.B. Уткин

Для нелинейных систем, функционирующих в условиях неопределенности, на основе принципа разделения движений разработаны методы синтеза наблюдателя состояний с нелинейными корректирующими воздействиями в виде сигма-функций. Показано, что для систем, представимых в регулярной форме относительно внешних возмущений, данный подход позволяет получить текущие оценки неизмеряемых переменных состояния и внешних возмущений без расширения динамического порядка наблюдателя за счет модели, имитирующей действие внешних возмущений. Разработанные алгоритмы применены в системе управления асинхронным электроприводом с неполным комплектом измерительных устройств.

Ключевые слова: нелинейная система, наблюдатель состояний и возмущений, сигма-функция, асинхронный электропривод.

ВВЕДЕНИЕ

Рассматриваются нелинейные системы управления с функциональными неопределенностями математической модели объекта управления и при действии внешних возмущений, принадлежащих пространству управления. В таких системах инвариантность переменных вектора состояний по отношению к неопределенностям может быть обеспечена или с помощью разрывных управлений и организации скользящего режима [1], или с помощью непрерывного комбинированного управления с составляющей, компенсирующей действие возмущений при наличии их оценок. Практически значимый метод оценивания возмущений, не требующий составления их динамической модели, заключается в применении наблюдателей состояний с разрывными корректирующими воздействиями, функционирующих в скользящем режиме [2—4]. В § 1 продемонстрирована процедура синтеза такого наблюдателя, реализующая принцип разделения общего движения на разнотемповые составляющие при последовательном возникновении скользящих режимов на пересечении поверхностей в виртуальном пространстве ошибок наблюдения. Показано, что при выполнении определен-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-08-01543а и 14-01-31190 то1_а.

ных условий данный наблюдатель позволяет получить текущие оценки и неизмеряемых переменных состояния, и возмущающих воздействий. Однако для обеспечения высокого качества оценивания требуется организовать скользящий режим, близкий к идеальному, при котором изображающая точка системы, записанной относительно ошибок наблюдения, движется по многообразию скольжения, совершая колебания с бесконечно большой частотой и бесконечно малой амплитудой. При большой, но конечной частоте переключений возникает реальный скользящий режим [5], в котором возможны хаотичные высокочастотные колебания изображающей точки в ненулевом пограничном слое многообразия скольжения, что приводит к неудовлетворительному качеству оценивания при использовании бортовых компьютеров с маломощным процессором. Этот факт стимулирует разработку альтернативных методов синтеза наблюдателя состояний и возмущений с непрерывными корректирующими воздействиями.

В § 2 представлен основной результат — методы синтеза наблюдателя состояний и возмущений с нелинейными непрерывными корректирующими воздействиям в виде сигма-функций. Показано, что такой наблюдатель, размерность которого равна размерности модели объекта управления, сохраняет преимущества наблюдателя на скользящих режимах в допредельной ситуации и, в то же время, обеспечивает лучшее качество

оцениваемых сигналов в условиях ограниченности вычислительных ресурсов. Формализована процедура настройки параметров сигмоидальных корректирующих воздействий на основе неравенств, обеспечивающих за заданное время заданную точность оценивания неизмеряемых переменных состояния и имеющихся неопределенностей. В § 3 в качестве приложения рассмотрена задача наблюдения неизмеряемых переменных состояния и внешнего возмущения в асинхронном электроприводе, приведены результаты моделирования.

1. ПРИНЦИП РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ НАБЛЮДЕНИЯ

Рассматривается математическая модель нелинейного объекта управления вида

х 1 = х2, х2 = /(х, г) + Ь(х^и,

где х = со1(х1, х2) е X с Е2 — вектор состояний; х1(?) е Е — выходная (измеряемая) переменная; фазовая переменная х2(г) не измеряется, но предполагаются известными либо область ее изменения в процессе управления |х2(г)| < Х2, либо область допустимых начальных условий |х2(0)| < Х2; и е Е — управляющее воздействие, Ь(х1) — известная функция, Ь(х1) ^ 0 УхДг), г > 0. Неизвестная функция /(х(г), г), которая включает в себя функциональные и параметрические неопределенности модели объекта управления, а также внешние возмущения, полагается ограниченной вместе со своей полной производной:

где ¥ и ¥1 — известные положительные константы; динамическая модель неопределенностей не вводится. Требование гладкости на /(г) и / (г) не накладывается, достаточно, чтобы данные функции были кусочно-непрерывными и имели в каждой точке, включая точки разрыва, конечные правую и левую производные.

Моделью (1), имеющей регулярную каноническую форму, описывается представительный класс динамических объектов управления, например, механические и теплообменные системы. Модели ряда других объектов могут быть представлены в виде (1) с помощью диффеоморфной замены локальных переменных. Мы намеренно приняли за основу построений систему второго порядка, чтобы максимально детализировать основную идею разработанного метода. Без ограничения общнос-

ти нижеследующие построения распространяются на объекты управления более высокого порядка, математические модели которых представимы в регулярном каноническом виде.

В данной работе цель и закон управления не детализируются: проблема автоматического управления системой (1) в различных постановках решалась множество раз в рамках различных подходов. Ориентируясь на базовый закон комбинированного управления (по состоянию и по возмущению) ставится задача оценивания неизмеряемых сигналов х2(г), /(г).

Эта проблема может быть решена с помощью наблюдателя с разрывными корректирующими воздействиями, функционирующего в скользящем режиме, который строится на основе системы (1) в виде

г 1 = г2 + г2 = Ь(х1)и + v2,

где г = со1(г1, г2) е Е2 — вектор состояний, V = = со1^, е Е — вектор разрывных корректирующих воздействий наблюдателя. Задача наблюдения сводится к задаче стабилизации системы, записанной относительно ошибок наблюдения е = х — г = со1(в1, е2) е Е в силу модели (1), (2) в виде

Е1 = е2 - V1, Е2 = /(г) - ^

Согласно каскадному методу синтеза наблюдателей состояний на скользящих режимах [4], в первом уравнении системы (4) формируется разрывное корректирующее воздействие от известных переменных v1 = м181§пе1, которое при выполнении достаточных условий

е1 е 1 < 0 ^ м1 > м* = |Е1(0)|/г1 + ф2,

обеспечит за конечное время г1 > 0 возникновение скользящего режима на прямой е1 = 0 в двумерном пространстве ошибок наблюдения. Заметим, что при установке начального условия г1(0) = х1(0) ^ ^ е1(0) = 0 скользящий режим возникает практически сразу и г1 « 0.

При г > г1 динамический порядок системы (4) понижается, и из уравнения статики е 1 = е2 — v1eq = 0

имеем эквивалентное корректирующее воздействие v1eq(г) = Е2(г). Этот сигнал может быть получен с выхода фильтра первого порядка с малой посто-

янной времени ц т, = —х, + v,, lim x,(i) = v1eq (t) 11 1 1 ^ ^+0 1 q

[1]. Тогда во втором уравнении системы (4) можно сформировать разрывное корректирующее воздействие v2 = M2signx1, что обеспечивает v2 = M2signs2 вне малой окрестности е2 = 0. Амплитуда разрывного воздействия выбирается на основе достаточных условий

Е2 е 2 < 0 ^ м2 > |е2

Пренебрегая быстро затухающими собственными движениями фильтра, можно считать, что за теоретически конечное время t2 > t1 на пересечении {е1 = 0 П е2 = 0} возникает скользящий режим. При t > ¿2 из уравнения статики е2 = /(t) — v2eq = 0 имеем эквивалентное корректирующее воздействие v2eq(t) = /(t). Этот сигнал, который является оценкой неизвестной функции, также может быть получен с выхода фильтра первого порядка:

Ц2Т 2 = —Т2 + ^ limn T2(t) = V2eq(t) = /(t).

^ +0 4

Тот факт, что, начиная с момента времени t1, переменная E2(t) начинает монотонно стремиться к нулю, позволяет оценить область ее изменения следующим образом:

С учетом оценки (7) выбирается амплитуда разрывного корректирующего воздействия v1 (5).

Для стабилизации системы (4) за заданное время t2 = T с учетом условий (6) и оценки (7) имеем следующее неравенство для выбора амплитуды разрывного корректирующего воздействия v2:

M2 > |E2(t1)|/(t2 — t1) + F ^ M2 > M2* =

=

Главное преимущество наблюдателя на скользящих режимах — оценивание за конечное время и неизмеряемой переменной x2(t) = z2(t), и возмущения x2(t) «/(t) Vt > T без ввода его динамической модели. Данный наблюдатель является робаст-ным, так как амплитуды разрывных корректирующих воздействий выбираются на основе неравенств, не требующих детализированной математической модели объекта управления. С другой стороны, динамический порядок наблюдателя (3) увеличивается в два раза из-за ввода фильтров, которые вносят дополнительные малые динамики. Кроме того, микропроцессорная реализация раз-

рывных управлений с большой, но конечной частотой переключений может привести к неудовлетворительному качеству оцениваемых сигналов, так как на полезный сигнал накладывается паразитный высокочастотный сигнал с малой амплитудой.

Гладкость оцениваемых сигналов обеспечивают наблюдатели с непрерывными корректирующими воздействиями. Известный способ стабилизации систем с неопределенностью — применение глубоких обратных связей. Так, выбор в системе (4) линейных корректирующих воздействий у1 = к1Б1, у2 = к2£1 с большими коэффициентами к1 . к2 . 0 обеспечит стабилизацию ошибок наблюдения с заданной точностью ||£(?)|| < 8 V? > Т, если возмущающее воздействие не затухает со временем. Для многомерных канонических систем с неопределенностью в последнем уравнении известны параметрические схемы настройки больших коэффициентов наблюдателя [4, 6, 7]. Основной недостаток таких наблюдателей: большие коэффициенты усиления, значения которых обратно пропорциональны степеням задаваемой области сходимости - -2

к2(1/8), к1(1/8 ), приводят к избыточному потреблению ресурсов управления на начальной стадии, что требует искусственного ограничения управляющего сигнала. Кроме того, для получения оценок имеющихся неопределенностей потребуется ввести дифференциальное уравнение, характеризующее их динамику [7].

Наша цель заключается в том, чтобы, во-первых, не расширять порядок наблюдателя для получения оценок возмущающих воздействий, во-вторых, не прибегать к искусственному ограничению управляющего воздействия и, в-третьих, избежать возможного всплеска в начале переходного процесса в замкнутой системе с наблюдателем. Этой цели отвечает выбор корректирующих воздействий наблюдателя из класса так называемых ^-образных непрерывных функций с насыщением (8а1;-функ-ция, сигма-функция, арктангенс, гиперболический тангенс и др.) [8, 9]. В следующем параграфе представлен основной результат: показано, что с помощью наблюдателя с непрерывными ограниченными корректирующими воздействиями в виде сигма-функций, размерность которого равна размерности объекта управления (1), можно получить оценки не только неизмеряемой переменной состояния, но и ограниченного возмущения. Принцип разделения движений в таком наблюдателе реализуется в допредельной ситуации, что приведет к решению задачи оценивания с некоторой, наперед заданной точностью, которая обеспечива-

ется за заданное время выбором параметров корректирующих воздействий. Показано, что в таких наблюдателях, в отличие от наблюдателя с глубокими обратными связями, имеется возможность учитывать имеющиеся ограничения на ресурсы управления на стадии синтеза и избежать существенного «всплеска» на начальном этапе процесса управления.

2. СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ СОСТОЯНИЙ И ВОЗМУЩЕНИЙ С СИГМОИДАЛЬНЫМИ КОРРЕКТИРУЮЩИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Рассмотрим нелинейную гладкую ограниченную сигма-функцию a(kx) = 2/(1 + e kx) — 1, k = const > 0, которая является допредельной реализацией функции знака y = signx в следующем смысле: a(—kx) = — a(kx), a(kx) x~ 0 kx/2,

a(kx) k signx. Первая производная сигма-функции — положительная ограниченная функция, вторая производная — ограниченная нечетная функция:

a (kx) = k(1 - a2(kx))/2, a"(kx) = —ka'(kx)a(kx).

Для сигма-функции и ее первой производной в указанных интервалах справедливы оценки:

ст(к5) < |ст(кх)| < 1, У|х| > 5 > 0;

ст(Л5)|х|/5 < |ст(кх)| < ст(к5),

0 < ст

Отсюда следует, что при |х| > 5 сигма-функция близка к постоянной функции, а при |х| < 5 — к линейной. В качестве границы указанного разделения сигма-функции при х > 0 рекомендуется принять точку из интервала к5 = с е [1,3; 3], где ± 1,3 — абсциссы точек перегиба первой производной ст '"(±1,3) = 0 (при этом ст(±1,3) « ±0,57, ст (±1,3) « 0,34к); ± 3 — абсциссы вершин сигма-функции, в которых ее кривизна достигает максимума, при этом ст(±3) - ±0,9, ст (±0,9) ~ 0,095к [8].

Для дальнейших построений введем сигма-функцию с переменным ограниченным сдвигом

|ф(г)| < а у г > 0:

ст (кх) = ст(к(х — ф(г)), ст(к(х - А)) < ст (кх) < ст(к(х + А),

ст '(кх) = к(1 - ст2 (кх))/2.

Для функций a (kx) и a ' (kx) в указанных интервалах справедливы оценки:

a(k5) < |a (kx)| < 1 Vjxj > А + 5,

sign a (kx) = signx Vjxj > А,

a

Vx: A < jxj < A + 5;

0 < a '(k(2A + 5)) < a '(kx) < k/2 Vjxj < A + 5.

Используем в наблюдателе (3) сигмоидальные корректирующие воздействия вида

v1 = M1a(k1s1), v2 = M2a(k2v1),

где М-, к > 0, / = 1, 2. Идея заключается в том, чтобы в системе (4), (12) обеспечить за заданное время стабилизацию с заданной точностью не только ошибок наблюдения, но и их производных е 12 « 0. Тогда неизмеряемые сигналы могут быть непосредственно получены из уравнений статики без расширения пространства состояний: v1 « Е2(г),

V2(г) - /(г).

Предварительно рассмотрим ситуацию, когда для целей управления требуется получить оценки только неизмеряемой переменной состояния х2(г) системы (1).

Лемма. Если в системе (4), (12) условия (2) выполнены, то для любых сколь угодно малых 5 , Т > 0 и любых конечных начальных условий е1(0), |е2(0)| < Х2

найдутся такие положительные константы к* > 0, М* > 0, / = 1, 2, что для всех к > к*, М > М* будут выполнены неравенства

Конструктивное доказательство. Каждое корректирующее воздействие (12) имеет по два параметра. Амплитуды М; > 0, г = 1, 2, выбираются так же, как и амплитуды разрывных корректирующих воздействий с тем, чтобы обеспечить попадание ошибок наблюдения в некоторую окрестность нуля за заданное время. Большие коэффициенты к; > 0, г = 1, 2, выбираются так, чтобы обеспечить заданную точность стабилизации (13).

Рассмотрим первое уравнение системы (4), (12): ё I = ё2 — у1 ^ у1 = ё2 — ё х, тогда v2 = М2р(к2у1) =

М2а (к2ё2), где роль сдвига выполняет первая производная первой ошибки наблюдения <(?) = ёх (?) и, согласно оценкам (11), signv2 = signё2, если |ё2| > |ёх |.

Для регуляризации процедуры синтеза введем параметрическую связь

0 < с,- = кД, с,- е [1,3; 3], / = 1, 2, (14) и выделим интервалы времени 0 < < ?2 < Т для сходимости переменных 81 2(?), 81 (?) в указанные окрестности нуля:

ЦС)! < §1 < 8 V? > ?1, |82

при этом |е2(0| < |¿2()| < Ф2 (7), (?)| < (?1)| < Ф2 + Щ-Для анализа устойчивости введем для системы (4),

(12) квадратичную форму = 1- (8^ + ). С учетом выражений (7), (10), (11), (14) для ее производной

Ко = 81

справедлива оценка: КО < |е1|(Ф2 — М1ст(с1)) + |е2|(^ —

— Ж2а(с2)). Неравенство К < 0 выполняется при Ж1а(с1) > Ф2, Ж2а(с2) > Г вне окрестности |е1| < с1/к1 = 81, |е2| < 1811 + 82, 82 = с2/к2. Неравенства для выбора амплитуд .Щ 2, при которых условия (15) обеспечиваются за заданное время, аналогичны неравенствам (5) и (8), а именно:

Х2 + „ с2)

м2 > M2* =

(t2 - tlMc2) - tl

, 0 < tj <

1 + a(C2)'

.1 > Щ =

Для целей анализа введем вспомогательное уравнение, которое характеризует динамику производной 81 (?):

81 = —.^'

Для обеспечения выполнения неравенств (16) оценим решение уравнения (19) на интервале [?1; ?2]:

-к1а1<,*2 - Г1>

|8i (t)| < (Ф2 + Mj)e

+ (F + M2)/(k1a1) < 8 - 82

где a1 = M1(1 - a2(c1))/2 > 0, тогда Va: 0 < a < 8 - 82 имеем

k1 > kl = max

ln ((Ф2 + M1)/a). F + M2

ai(t2 - ti) a1(8 - 82 - a)J Выбор больших коэффициентов на основе неравенств

k1 > max{ kl; c1/81}, k2 > k2 = c2/82. (20) в зависимости от принятых значений c; е [1,3; 3], i = 1, 2, 82, a обеспечивает заданную точность стабилизации ошибок наблюдения за заданное время (13). Лемма доказана. ♦

Если задача оценивания неизвестной функции f(t) не ставится, то для оценивания фазовой пере-

менной х2(?) можно применить укороченный наблюдатель 11 = у1, у1 = М1ст(к1Е1). Тогда уравнение относительно ошибки наблюдения е1 = х1 — z1 примет вид е 1 = х2 — у1, и после стабилизации производной ошибки наблюдения е 1 « 0 можно будет непосредственно получить оценку неизмеряемого сигнала: у1(?) « х2(?). Для настройки параметров сигмоидального корректирующего воздействия у1 воспользуемся полученными выше результатами.

Из леммы вытекают два следствия.

Следствие 1. Если в системе (1) выполняются условия (2), |х,(?)| — X, а также \Ь(х(?))и(?)| — и V? > 0, то тогда при оценивании х2(?) с помощью укороченного

наблюдателя неравенство |х2(?) — у1(?)| — 8 V? > Т

будет обеспечено для любых 8, Т > 0, если

М1 > М* = (|е1(0)|/?1 + Х2)/а(С1), 0 — ?1 < Т, ((Хг + М1)/а). Е + и . С1}

k1 > k1 = max

ai(T- t1) ' ^(8 - а/ 8

где а1 = М1(1 - ст2(с1))/2 > 0, с1 е [1,3; 3], 0 < а < 8.

Следствие 2. Если в системе (1) внешнее возмущение отсутствует, Ь(х1, х2) и Дх^ х2) — известные функции, удовлетворяющие условию Липшица, \и(?)\ > и V? > 0, тогда с помощью наблюдателя ^ 1 = г2 + у1, ¿2 =/(г1, г2) + Ь(г1, г2)и + у2 можно обеспечить асимптотическую стабилизацию ошибок наблюдения Ит е1 2(?) = 0 ^ Ит г1 2(?) = х1 2(?) с

t^ + да ' t^ ' '

помощью сигмоидальных корректирующих воздействий (12) с параметрами

> N2 (X (1 + — -1 ) + — | Е1 ( 0 ) I -1 ) 2 а ( - ) - | -1 ,

M >

| £1 ( 0 ) I + - Ф 2 0 < t < етС£2>

О ( С 1 ) , 1 -2 :

k2 >

C2I N2 + 1N12 + 3 С2О

k1 >

2| b2 + Ъ\ + 4N2 + IN2

= M2k20( С2) b2 =

С

2

M1

Ф2 = X2(1 + N2t1) + N1|61(0)|t1 + M2t1, c1; 2 e [1,3; 3], fx) + b(x)u - f(z) + b(z)u\ < NJeJ + N2)621, где N1 и N2 — известные константы.

Замечание. Неравенства (18) и (20) нацелены на выбор минимально допустимых амплитуд М1 2 при к ~ с/Ь1 (14), что при достаточно малых 8г может привести к плохо обусловленным вычислениям. Если принять сг- = Л^/^б^, сг- е [1,3; 3], / = 1, 2, где /г > 1 — коэффициенты пропорциональности произведения Мк, то можно понизить допустимые значения к благодаря увеличению амплитуд М. Тогда неравенства (15) и (16) представимы в виде

|е1(?)| < /1б1 V/ < /п, |е2(/)| < |е 1 (/)| + /2б2 V/ > /12,

0 < *11 < ¿1 < ^12 < /2 < Т

В областях б1 < |е1| < /1б1, | Е 11 + б2 < |е2| < | Е 11 + /2б2 для производной квадратичной формы (17) с учетом оценок (10) и (11) справедлива оценка

где Ь. = Мг.ст(с;)/(/г.бг) > 0. Неравенство 10 < 0 выполняется при М2 > Е/2/ст( с2 ), М1 > Ф2/1/ст( с1). Соответственно, требования (13) выполняются при условиях:

M2 > M2* = max I - + 12

Fl28

2U2

^ ll£1(0)| + Ф2111 Ф21181 1

M > M* = max I' 1 1-—; -2-1—1-\ ,

1 1 1 о (c 1 ) in 'a (c 1 ) (8 1 - a1 )fA

где l. > 1 выбираются желаемым образом, a;: 0 < at < 8г, i = 1, 2, выбираются так, чтобы обеспечить a2 > Ф2ехр(—b2(t2 — t12)), a1 > l181exp(—b1(t1 — t11)), а неравенства для выбора больших коэффициентов примут вид

k1 > max{ ; c1 /

Теперь рассмотрим общий случай, когда с помощью наблюдателя (3), размерность которого равна размерности объекта управления (1), решается проблема оценивания не только неизмеряе-мой переменной состояния x2(t), но и имеющихся неопределенностей /(?).

Теорема. Если в системе (4), (12) выполнены условия (2), то для любого, достаточно малого 8 > 0 и любых конечных начальных условий е1(0), |е2(0)| < X2

найдутся такие положительные константы k* > 0,

М* > 0, что при кг > к*, М > М* обеспечивается заданная точность оценивания х2(/), Д/), а именно:

IЕ2

Конструктивное доказательство. Как показано в доказательстве леммы, условия (15) будут обеспечены при выборе амплитуд М (18) и > с;/8; (14), г = 1, 2. Требования (23) будут выполнены, если обеспечить выполнение условий (16) и |/(?) — у2(?)| < |ё21 < 8 . С учетом формул (9) и у1 = ё2 — ё1 для целей анализа введем вспомогательные дифференциальные уравнения относительно производных ё1 (?), ё1 (?) и ё2 (?), а именно уравнение (19) и уравнения

2

ё'х = —М1а (^1ё1)(ё1 — ^1а(^1ё1)ё1 + М2а (Л2у1)ё1) + /,

ё2 = — М^а'

Для анализа устойчивости виртуальной системы (19),

(24) введем квадратичную форму V = 1 (ё1 + ё1 + ё2).

С учетом условий (2), (10) и (11) для производной квадратичной формы справедлива оценка

- ^а^)ё2 - 0,5М2^2|ё1|)) + |ё21(^1 + ^(М - М),

где а1 = 0,5М1(1 - а2(с1)) > 0, а2 = 0,5М2(1 - а2(с3)) > 0,

с3 = £2(8 + 2А) = с2 + 2£2А. Неравенство V! < 0 выполняется вне указанных окрестностей при выполнении условий

| ё21 < 82 + | ё11 < 8 при > = тах{с2/82; ^,/(а282)}, |ё11 < ^1/к1а1 + к1а(с1) ё! + 0,5М2^2|ё11 < 8 - 82, £2А < 2( 8 - 82)/М2, |ё11 < (^ + М2)/(к1а1) = А << 8 - 82,

= max

ст(Cl)(F + M2)2 + fll(Fx + 0,5M2k2(F + M2)) Cl

2 -

öl

' — 1'

на основе которых выбираются большие коэффициенты 2, обеспечивающие заданную точность оценивания (23). Теорема доказана. ♦

Полученные результаты свидетельствуют о принципиальной возможности оценивания имеющихся неопределенностей с помощью наблюдателя состояний. Еще раз подчеркнем, что разработанный подход не требует расширения пространс-

тва состояний из-за учета динамической модели возмущения. Для простоты изложения при доказательстве не учитывались собственные затухающие движения вспомогательных переменных £ 1 (?), £ 1 (?) и £ 2 (?). При необходимости можно ввести их в рассмотрение, что позволит обеспечить неравенства (23) за заданное время.

Полученные с помощью наблюдателя оценки г2(?) « х2(?), у2(?) « /(?) используются для синтеза комбинированного управления с заданной целью управления системой (1).

3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ АСИНХРОННЫМ

ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПРИ НЕПОЛНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

3.1. Описание модели объекта управления.

Базовый закон управления

В качестве иллюстрации разработанных алгоритмов рассмотрим задачу управления асинхронным электроприводом, функционирующим в условиях неопределенности и при неполных измерениях. Динамическая модель асинхронного электропривода описывается в неподвижной системе координат (а, в) в векторном виде системой нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка [10]

X: 1 = ^1

где х1 = со1(х1а, х1р) — компоненты тока статора, х2 = со1(х2а, х2р) — компоненты потокосцепления ротора, хз е Я — скорость вращения вала двигателя, х4 е Я — момент нагрузки на валу, и = со1(иа, ир) — напряжение питания статора (управляющие воздействия);

Р(Хз) =

( Аз Хз 1 > о, 5 = (

—х3 А3

0 -1 1 0

Р(0)^2 + Х2, Хт Х1 Х-^ ^^2,

4 = А-/(¿А - ), ¿2 = ¿/А-, а3 = Яг/А,

А4 = ¿5 = А2А4 +

где А. > 0, / = 1, 5 ; Я^, Яг, Р^, — приведенные активные и индуктивные сопротивления статора, ротора и взаимоиндукции. Прямым измерениям подлежат скорость вращения вала двигателя хз(?) и токи статора х1(?); /(?) полагается неизвестным ограниченным внешним воздействием с ограничен-

|х4(?)| < Х4 V? > 0, Р, Р, Х2, Х4 — известные константы.

Ставится задача слежения за заданной скоростью вращения вала двигателя хзД?) с обеспечением заданного потокосцепления в предположении, что аналитический вид задающих воздействий как функций времени и их производных первого и второго порядка известен.

В математической модели (25) имеется три управляемых и две управляющих переменных. Для того чтобы согласовать число управляемых и управляющих переменных, в работе [11] предложено свести задачу слежения за заданным потоко-сцеплением к задаче слежения за заданным квадратом вектора потокосцепления, который обозначим т

|х2/?)| := х1ахм е Я. В силу модели (25) дифферен-

циальное уравнение относительно управляемой

т 1

переменной |х2| := х^ х2 е Я примет вид ^ | Х21 =

т т

Хт ( Р(Хз)Х2 + а/^х^ ¿з^! + Хт Х1.

Базовый (т. е. в предположении, что все сигналы известны) закон управления, обеспечивающий асимптотическую стабилизацию ошибок слежения ез = х3 — хм, е2 = |х2| — |х2^|, сформируем согласно работам [11, 12] по иерархическому принципу. Вектор тока х1 е Я2 будем полагать фиктивным управлением, на компоненты которого нало-

т т

жим локальные связи: А2Хт 5 хы = х4 — рзез + /х

т 1

А4Х2 хы = —р2е2 + А3|х2^| + 21Хм |. Совместное решение этих уравнений дает выражение для расчета фиктивного управления

хы

-Х2 в Х2а

V Х.

2а х2в

1

1 (-Р2 е2 + Аз| Х2 ^ + ¿1 *

С учетом невязки между реальным и выбранным значениями фиктивного управления е1 = х1 — хы е Я имеем систему относительно ошибок с замкнутыми локальными связями:

е 1 = А1(А2Р(х3)х2 — А5(е1 + хы) + и) — Х 1с1,

е2 = 2(А4хТ е1 — (Аз + р2)е2),

1 т т ез = - (А2Х2 5 е1 — рзез),

1

х

2

где желаемые темпы сходимости ошибок слежения обеспечиваются выбором коэффициентов обратной связи р23 > 0 при условии стабилизации невязки е1, что, в свою очередь, обеспечивается истинным управлением. Электроприводы, как правило, управляются с помощью инверторов напряжения, работающих в ключевом режиме, поэтому целесообразно использовать базовый закон разрывного управления

и = — Ш£пер 81§пе1 = со1

Выбор амплитуды разрывного управления на

т

основе достаточных условий ех е 1 < 0 ^ и > > ||^2Р(х3)х2 — — х 1с1 /^1|| обеспечит возникновение скользящего режима на многообразии е1 = 0 за конечное время гё > 0 [1], что и решает поставленную проблему слежения:

е,

1 * > 2' 3 < *

3.2. Синтез наблюдателя состояний и возмущений

Для реализации базового закона управления (27) по измерениям х3(г) и х1(г) требуется получить текущие оценки компонент вектора потокосцеп-ления х2(г) и момента нагрузки х4(г) с помощью наблюдателя, построенного на основе системы (25) в виде

¿1 = а^(^2Р(х3)г2 — ^5х1 + и) + v1,

С учетом непосредственно измеряемых сигналов Х 3(t) имеем:

v1 = M1a(k1s1), v2 = M2a(k2v1/(d1d2)),

ст = со1(ст1, ст2);

v3 = М3ст

Согласно следствию 2 и теореме (см. § 2) соответственно в первой подсистеме системы (30), (31) можно обеспечить асимптотическую стабилизацию ошибок наблюдения lim e1 2(t) = 0, а во вто-

t ^ + ю '

рой — заданную точность оценивания |e3 4(t)| < 8 Vt > T с помощью выбора параметров корректирующих воздействий (31). С учетом обозначений

Vc, = [1,3; 3], i = 174;

аналогично неравенствам (18) имеем следующие неравенства для выбора амплитуд M-, i = 1, 4 , сиг-моидальных корректирующих воздействий:

-d,t

M > (| + || -2 ( 0 ) II ) e " 31

2 ст(С2)(?2 - t1) - 1/d3

г2 = — Р

где г1, г2 е Е2, г3, г4 е Е — переменные состояния,

V!, v1 е Е2, v3, ^ е Е — корректирующие воздействия наблюдателя. С учетом выражений (25) и (29) составим уравнения относительно ошибок наблюдения е;. = хг — г., I = 1, 4 :

1) е 1 = ^1^2р(х3)е2 — v1, е2 = —р(х3)е2 — v2;

2) е3 = 1

Система (30) состоит из двух связанных подсистем вида (4). В первой подсистеме собственные движения переменных Е2(г) устойчивы, внешнее возмущение действует только на вторую подсистему. Используем в данном наблюдателе сигмои-дальные корректирующие воздействия вида (12).

|Е1( 0 )|/?1 + d^P Ф2

M > 2 V »2 I 2 2| f "Ц 1 ст

M4 >

ст ( c4 ) ( +4 - ) - +3

4

t. > max <! U +

ст

»2 Г'

t1,3 > 0,

M3 >

I Е 3 ( 0 ) | / 2+ + ( +2 Ф 2+ + Ф+) /+

ст

, U > t, + -;—i- .

обеспечивающие сходимость ошибок наблюдения Ег(г) в указанные окрестности нуля за заданное время:

^ < к1 уг > г1, « < ^ + Шуг > г2;

IЕ3(t)| < | Vt > Ц

IE4I < | + d2||E2|X1 + JIЕ3 (t)I Vt > t4.

^ - k4 "2"°21

Рис. 1. График регулируемой переменной |х2

Рис. 3. График ошибки наблюдения |е2(?)|

Рис. 4. График ошибки наблюдения е4

Неравенство |е4(?)| < 8 может быть обеспечено за заданное время Т > t4 выбором больших коэффициентов к., аналогичным выбору на основе неравенств (20), а именно,

кх > тах

1п

Ф,

' а ! (А ! - а 0 \ '

к2 >

М ( 1М (ф2/82)-(м4-м2)мз) к>М-

' 4 > 8 '

(Т- ^)Ига(С2)йъ

4

>тах

к3 >

1п( -(+ Ф4) + Щ /аз

ф.

аз

' аз(Аз- азу 8

где а. = Ш1 - а (с))/2 > 0, Уа,:0 < а, < А., I = 1, 3;

У82, 82, 84 > 0: А3 < (8 - 84 - 8282X)//, А 1 <

1 <

< йхй2с1ъ{82 - 82), Ф 1 = я^/ 1м(^2Х2Х1+Х4 + /Р2)Ф2 +

+ РМ2), Ф3 = (й2(( Р Ф2 + М2)Хх + 2^хЦФ2) + Р + + М)//.

Полученные оценки используются для вычисления (г2, г4, х3) (26). Базовый закон управления (27) реализуется в виде и = - Ц^п^ - ) и обеспечивает выполнение поставленной задачи (28) при Vt > td > t4 с точностью, меньшей, чем 8.

Моделирование проводилось в среде МаНаЪ-81тиИпк при параметрах модели объекта управления: / = 0,06, кг-м2, Р^ = 0,2596, Рг = 0,1484, Ом, Р^ = 0,0863, Гн, Рг = 0,0871, Гн, Рл = 0,0846, Гн, /(0 = 58Ы, и = 100, В, р2 = 1, р3 = 10.

Для решения задачи наблюдения с заданной

точностью 8 = 0,05 за заданное время Т = 2 с помощью наблюдателя (29) на основе полученных выше неравенств и с учетом условий (21) и (22) приняты следующие параметры сигмоидальных корректирующих воздействий (31): Мх = М3 = 300,

М2 = 10, М4 = 45, кг = 20, I = Т~4.

На рис. 1 показан график регулируемой переменной |х2(?)|, отрабатывающей заданный сигнал = 1; на рис. 2 — график ошибки слежения е3(?) = х3(?) — х3^(?), где х3^(?) = бШ — заданный сигнал. На рис. 3 и 4 представлены графики ошибок наблюдения |е2(?)| = е2г(?)е2(?) и е4(?). Результаты моделирования подтверждают эффективность разработанных методов оценивания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для нелинейных систем, представимых в регулярной канонической форме с учетом возмущений, разработаны процедуры синтеза сигмоидаль-ных корректирующих воздействий наблюдателя состояний и возмущений, размерность которого равна размерности модели объекта управления. Данные наблюдатели в допрепредельной ситуации сохраняют преимущества наблюдателей с разрывными корректирующими воздействиями, функционирующих в скользящем режиме: выбор параметров корректирующих воздействий осуществляется на основе неравенств; задача синтеза декомпозируется на элементарные подзадачи; имеется возможность получить оценки неизвестных правых частей дифференциальных уравнений без детализации их динамической модели. В отличие от наблюдателей на скользящих режимах данные наблюдатели позволяют решить задачу оценивания с некоторой, наперед заданной точностью, но в условиях ограниченности вычислительных ресурсов и при шумах в измерениях обеспечивают лучшее качество оцениваемых сигналов. В отличие от наблюдателей с глубокими обратными связями не требуют увеличения динамического порядка и позволяют учитывать имеющиеся ограничения на ресурсы управления на стадии синтеза.

ЛИТЕРАТУРА

1. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1981. — 368 с.

2. Краснова С.А., Кузнецов С.И. Оценивание на скользящих режимах неконтролируемых возмущений в нелинейных системах // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 10. — С. 54—69.

3. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Решение задачи слежения в условиях неопределенности на основе совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости // Управление большими системами. — 2009. — Вып. 24. — С. 34—80.

4. Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. — М.: Наука, 2006. — 272 с.

5. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. — М.: Наука, 1997. — 352 с.

6. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2007. — 224 с.

7. Atassi A.N., Khalil H.R. A separation principie for the stabilization of a class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. — 1999. — Vol. 44, N 9. — P. 1672—1687.

8. Краснова С.А., Мысик Н.С. Каскадный синтез наблюдателя состояния с нелинейными корректирующими воздействиями // Автоматика и телемеханика. — 2014. — № 2. — С. 106—128.

9. Бабин В.А., Дик В.В., Краснова С.А. Допредельные реализации разрывных корректирующих воздействий наблюдателя, функционирующего в скользящем режиме // Тр. XII Все-рос. совещания по проблемам управления ВСПУ—2014 / ИПУ РАН. — М., 2014. — С. 374—390.

10. Чиликин М.Г., Ключев В.И., Сандлер А.С. Теория автоматизированного электропривода. — М.: Энергия, 1979. — 616 с.

11. Уткин В.А. Задачи управления асинхронным электроприводом // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 12. — С. 53—65.

12. Utkin V.A., Krasnova S.A., Utkin A. V. State observer in control systems of induction motor drives // Prep. of the 2013 IFAC Conf. on Manufacturing Modeling, Management and Control (MIM'2013). Saint Petersburg, Russia. June 19—21 2013. — P. 1204—1209.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

М.В. Хлебниковым.

Краснова Светлана Анатольевна — д-р техн. наук,

гл. науч. сотрудник, И krasnova@ipu.ru,

Уткин Антон Викторович — канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник,

И utkin-av@rambler.ru,

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,

г. Москва.

Не

овал книга

Орлов А.И. Полвека в мире формул: Комментарии к списку научных и методических трудов. 2-е изд., испр. и доп. —

М.: Институт высоких статистических технологий и эконометрики МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. — 493 с.

Даны тематические комментарии к «Общему списку трудов А.И. Орлова». По каждому из 20 направлений работ приведена хронологическая сводка публикаций вместе с описанием оснований для проведения исследований. Рассмотрены все публикации А.И. Орлова в 1970—2013 гг. (более 850). Для облегчения восприятия информации описаны основные этапы профессионального пути автора.

Для научных работников, преподавателей, аспирантов, студентов, работников различных отраслей народного хозяйства, для всех, кто захочет узнать о публикациях профессора А.И. Орлова по той или иной тематике, о значении той или иной публикации, о соотношениях публикаций между собой, о логике развития исследований, о нерешенных проблемах в тех или иных направлениях исследований.

Основные публикации А.И. Орлова последних пятнадцати лет представлены на сайтах http://orlovs.pp.ru) и http://ibm.bmstu.ru/nil/biblio.html.