Метод гарантированного оценивания в задачах морской навигации с использованием геофизических полей мирового океана

Розенбаум А. Н., Дешнер А. И. МЕТОД ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ В ЗАДАЧАХ МОРСКОЙ НАВИГАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ МИРОВОГО ОКЕАНА

Введение

Для решения задач навигации, слежения за движущимися объектами и управления динамическими системами используется информация о координатах и параметрах движения (изменения состояния), получаемая с помощью следящих систем и датчиков различной физической природы (гравитационных, радиолокационных, оптических и др.). С увеличением скоростей движения растут требования к динамической точности таких систем.

Развитие с одной стороны методов теории оптимального управления, а с другой - компьютерных технологий позволяет создавать алгоритмы и средства реализации высокоточных навигационных систем и систем высокой точности слежения за динамическими объектами.

Информационной основой для решения задач высокоточной навигации движущихся объектов могут служить результаты обработки измерений параметров движения с помощью фильтров калмановского типа.

В классическом смысле фильтр Калмана есть алгоритм, реализующий процедуру обработки наблюдений в темпе их поступления на основе метода наименьших квадратов, Иначе говоря, классический фильтр Калмана (существует более десятка модификаций такого фильтра) предназначен для выработки рекуррентных среднестатистических оценок наблюдаемого в присутствии ошибок некоторого динамического процесса. При этом должны быть известны модель динамического процесса, вероятностные свойства ошибок модели и наблюдений, а также заданы начальные условия развития рассматриваемого процесса. При линейной модели и линейных измерениях динамического процесса и при представлении возмущающих факторов в виде белого гауссовского шума фильтр Калмана обеспечивает оптимальную оценку вектора состояния, т.е. совокупности координат и параметров движения.

При отсутствии знания стохастических характеристик самого оцениваемого процесса и связанных с ним наблюдений использование среднестатистических алгоритмов, в том числе и фильтров калмановско-го типа для обработки данных измерений сопряжено с принятием ряда труднопроверяемых гипотез (нормальность возмущений, независимость измерений, принадлежность обрабатываемой выборки генеральной совокупности и т.д.). При этом оказывается невозможным оценить достоверность результатов фильтрации. Гарантия достоверности в рассматриваемой ситуации при определении величин коррекции ИНС может быть обеспечена при применении неклассической фильтрации калмановского типа. Теоретической основой для такой фильтрации может быть расчет на "наихудший" случай, т.е. принцип минимакса. В настоящей работе предлагается метод использования геофизических полей для построения морских навигационных систем, в котором получение оценки текущих координат объекта производится с помощью теории гарантированного оценивания, что позволяет корректно обрабатывать неслучайные ошибки модели состояния и движения объекта, а также учитывать неполноту и неопределенность исходной информации.

Минимаксная фильтрация

Пусть движение объекта описывается линейным разностным уравнением

Zi+l=AiZi + ei, I = 1,N, = е0

при линейных измерениях

У± = 3^! + Si, I = 1, N,

где Ai, ^, - известные матрицы соответствующей размерности, ei, si, -неопределенные векторы

размерности m и п соответственно. Априорная неопределенность в системе и условиях ее функционирования заключена в наборе w=col(eN, sN), где eN=col(e0, ..., еЭД, sN=col(s1, ..., sN). Про вектор ю неизвестных параметров известно лишь, что он стеснен ограничением N - N

21К - < +21К - < * г2,

1=о /=1

где Bi, ^ - положительно определенные матрицы, г - заданная постоянная, mi, qi - известные вектора. Множество

N N

Ег = ю: 211е - т Ц +21 К-- ъ С *г \

1=0 1=1

является множеством возможных значений неопределенного вектора ю.

Поставим задачу поиска оптимальной в некотором смысле оценки вектора I по данным измерений

у . При этом конкретный смысл критерия оптимальности получаемой оценки, а также точная формализация характеристик возмущений ei и ошибок измерений si определяют способ построения алгоритма оценивания. Классическим подходом является гипотеза о случайном характере ошибок измерений и возмущений с нормальной плотностью распределения и задания среднеквадратического критерия качества. При этом для систем вида (1), (2) удается получить в явном виде решение задачи оценивания вектора

состояния системы. Однако в общем случае не удается гарантировать выполнение требуемых условий, в частности, возмущения в модели (1) могут иметь неслучайную природу, а вероятностные характеристики ошибок измерений могут быть известны не полностью. Иным способом получения оценок является гарантирующий подход, сущность которого состоит в интерпретации всех неконтролируемых факторов, включая и случайные, для которых характеристики (моменты) точно не известны, как неопределенных факторов, о которых известными являются лишь диапазоны их изменения, или, более точно, некоторые

предельные (доверительные множества). При этом оптимальная стратегия оценивания определяется как

гарантирующая достижение наилучшего результата при наихудшем сочетании неопределенных факторов. Если при этом доверительное множество неопределенных факторов выбрать априори так, что его вероятностная мера будет не ниже заданной, то минимаксная стратегия управления будет гарантировать достижение результата с такой же вероятностью.

Итак, по измерениям у^^1 (у1, ..., уЮ требуется оценить в момент времени N+1 вектор состояния

^+1 = Щ

zN+1 системы. Поиск стратегии оценивания 4 ' выполняется в классе линейных

^

‘—1 ,

где Vi - весовые матрицы фильтра, vi - векторы настройки фильтра.

Требуется выбрать такие наборы (V, vi) весовых матриц V и векторов vi, i= 1, N, чтобы была минимальна наибольшая погрешность оценивания

Ф

aeEr

т.е.

D,b D,b cysEr

Таким образом, критерий качества алгоритма оценивания является минимаксным.

Синтез минимаксного фильтра приводит к рекуррентным соотношениям [0]:

v* = vN+1, где v;+1 = ук - V* (Нк  Ьк + qk)- bk; v* = 0, к = 1,N, Ъ^.+1 = Ibj + m, b = 0, j = 0,N;

V* = V; • K; , где V; =

Vn+1 = I, к = N1, K; = AkPkHTk (C- + HkP; • н\ )-1;

P;+1 = A;PkAT + B-1 - A;P;HTkT , p = B-1.

Ф(V ,v ) = rX , где X - максимальное собственное значение матрицы Pk+1 ;

€;+1

Матрицы Pk в данных соотношениях не являются в общем случае ковариационными матрицами погрешностей оценивания, так как в рассматриваемой модели (1), (2) помехи ei, si являются неопределен-

ными. Оценки y(t)opt являются однозначными, несмещенными и удовлетворяют условию сходимости [0].

Использование геофизических полей

Использование фильтрации Калмана в задачах высокоточной навигации требует определения матрицы H (в уравнениях (8)), которая может быть получена путем аппроксимации областей цифровых карт аналитическими поверхностями. При этом аппроксимация может касаться только областей неопределенности (областей возможных вариаций модельных ошибок и ошибок наблюдения) измерения y(t) , лежащих на траектории движения объекта.

Существующие методы аппроксимации не обеспечивают представления ошибок восстановления исходных поверхностей. Методы, восстанавливающие поверхность непосредственно с использованием дискретного набора данных используют некоторое подмножество исходных данных и, в общем случае, менее устойчивы, и кроме того, их применение требует хранения всего исходного набора данных.

В данной работе предлагается использование интервальных сплайн-поверхностей, с помощью которых можно не только восстанавливать исходную поверхность, но также учитывать неопределенность, возникающую при наличии ошибок измерений непосредственно геофизических полей с помощью датчиков, ошибок позиционирования при подготовке эталонных карт, а также ошибок, возникающих при преобразовании данных в определенный формат данных ЭВМ. Для представления данных предлагается использование

:i е[ , z\ ], где 4,1

квадратичных однородных интервальных сплайн-поверхностей на интервале 2г

ветственно верхняя и нижняя границы данных измерений. При этом использование сплайн-поверхностей дает следующие преимущества. Представление поверхностей с помощью сплайнов является аналитическим, что позволяет эффективное представлять вариаций параметров геофизических полей, при этом восстановление с помощью сплайна производится в любой промежуточной точке сетки без какой-либо дополнительной обработки. При этом также существенно снижаются требования к объему оперативной памяти бортовой ЭВМ, а интервальное представление данных позволяет учесть ошибки картографирования при использовании карт.

В общем случае не представляется возможным абсолютно точное восстановление исходных данных при сжатии информации. Таким образом, все методы, которые позволяют понизить требования к объему памяти, являются приближенными методами и тем самым, дают ошибку приближения. Возникает задача построения метода восстановления исходных данных, который давал бы гарантированную ограниченную ошибку восстановления.

Метод использования интервальных сплайн-поверхностей для представления неопределенности аппроксимации геофизических полей был предложен в работах [0-0].

С целью представления неопределенности, границы изменения ошибки представляются с помощью интервалов вместо используемой на практике точечной аппроксимации. Интервалы используются для описания геофизических параметров при создании цифровых эталонных карт.

Интервал X определяется как множество X = {х | X1 * 1 * Xй} , где индексы и и I - соответственно верхняя и нижняя границы интервала. Далее используется X = ^X1, Xй ^ для обозначения границ интервала X .

Х^ + Xй

Среднее интервала есть X =-------—---, ширина интервала - w(X) = Xй — X , внутренность интервала

-(X) = оопу|х | X1 < х < Xй | , где ослу - выпуклая оболочка множества.

Интервальные арифметические операции определяются как обычные алгебраические операции X оУ = сопу{х оу | х е Х,у е ¥} , при этом каждая операция дает новый интервал.

Интервальные функции определяются как функции действительного параметра с интервальными коэффициентами. Например, функция /(/) = ^/и(/),/1 (/)^ при I = а вычисляется как /(а) = ^/и(а),/1 (а)^ . При

этом интервальные функции служат для вычисления ограниченных (интервальных) величин и, тем самым, неоднозначно определяются на всем интервале. Внутри интервала неопределенность может иметь произвольный характер, например, она может быть описана равномерным распределением вероятностей, либо нормальным распределением с границами, равными стандартному отклонению значений функции.

Интервальная В-сплайн-поверхность определяется как В-сплайн с интервальными коэффициентами. Пусть Т - множество действительных чисел таких, что

/у * /у+|, 0 * - < к + 2(М — 1) ,

где к - число сплайн-коэффициентов. Тогда действительная функция / ) в области | ¿о,^к+2(М—1) ]

называется сплайном порядка М или степени М — 1, если многочлен степени М — 1 на каждом подынтервале [/у ,//+1] и его первые М — р — 1 производных, где р - количество контрольных узлов, непрерывны на всем интервале |/0,/£+2(м-1)] . Более того, производные высших порядков /(/) непрерывны везде, кроме , 0 < / < к + 2(М — 1) . Вектор Т = • -^к+2(М-Х)\ называется вектором контрольных узлов и

значения ¿О’А’-• щ^к+2(М-\) называются внутренними узлами В-сплайна.

Имеется рекуррентное соотношение для базисных функций (/) :

в = 1Х / е[/,//+1], и [о / +1].

В,-м(/) = ' — Вш—1(/) + +1,М_—' В,.+1,М—1(/) , М > 1 .

ч+м—1 ч Ч+м ч+1

В-сплайн-поверхность определяется прямоугольным множеством контрольных точек Zi j , 0 * - * т — 1 ,

О * у * п — 1, являющихся вершинами контрольного полиэдра Z, и двумя векторами Т и 5, связанными с параметрами и и V . Для интервального В-сплайна каждая контрольная точка заменяется интервалом

т-1 п-1

ZMN (и, ^ = [^N (и^), ZM,N (и, ^)] = ;'В;м (и)В/^ (v) .

-=о у=о

Аналитическое восстановление карты геофизического поля из некоторого набора дискретных данных заключается в представлении области изменения данных измерений интервальной В-сплайн поверхностью. При этом для построения карты требуется предварительная обработка данных. В первую очередь выполняется сортировка данных на регулярной двумерной сетке.

Для определения вершин билинейной ограничивающей поверхности в пустых ячейках, используется линейная интерполяционная поверхность, которая строится на основе алгоритма триангуляции Делоне на известных вершинах. Общая постановка задачи триангуляции Делоне заключается в следующем. Пусть дано некоторое множество вершин (X/ ,^) на плоскости. Требуется построить триангуляцию с использованием всех вершин, при этом углы выбираются так, чтобы они имели как можно более близкие значения. В геометрическом смысле триангуляция двойственна к диаграмме Вороного.

Для построения триангуляции используется расстояние между вершинами. Для каждой вершины N. определяется окрестность Тиссена как замыкание множества точек, которые расположены ближе к N. , чем к любой другой вершине. Пара вершин называется соседями, если их окрестности Тиссена имеют одну (слабые соседи) или более (сильные соседи) общих вершин. Триангуляция строится соединением всех пар сильных соседей, слабые соседи соединяются, только если четыре или более вершин лежат на одной окружности.

Алгоритмы триангуляции используют процедуру сортировки для предварительной обработки массива данных, при этом время выполнения сортировки оценивается как 0(п log2п) . Индекс, образующийся в

результате сортировки, хранится в массиве размером Ь*6п — 9 , еще один массив требуется для хранения пар соседних вершин, рассчитанных в результате выполнения триангуляции.

Для вычисления линейной интерполяции в точке (х, у) с использованием полученной в результате триангуляции поверхности, требуется определить треугольник, содержащий (х,у) . Точка находится внутри треугольника, если она расположена по левую сторону от каждой его стороны при движении против часовой стрелки. Точка находится слева от стороны при выполнении условия

ха Уа 1

хь Уь 1 < о

хс Ус 1

где (ха, уа) - координаты точки, (хь, у) и (хс, ус) - координаты вершин треугольника. Точка находится

по правую сторону треугольника, если определитель больше нуля. Таким образом, последовательное определение соседних треугольников приводит к определению нужного, либо оказывается, что точка лежит вне поверхности, за ее границей. При этом, как легко видеть, точка находится внутри поверхности, если она лежит по левую сторону от всех граничных сторон при обходе краевых треугольников в направлении против часовой стрелки.

Ах + Ву + В

Линейная интерполяция точки (х, у) рассчитывается по формуле-----------------, где

С

А = ( У1 — Уо)(22 — го)-(21 — го)(У2 — Уо), В = ( х2 - хо )( 21 - 2о )-( х1 - хо )( 22 - 2о ^ С =(х1 -хо)(У2 -Уо)-(У1 -Уо)(х2 -хо), В = - (Ахх + Ву{ + С2Х).

Для построения В-сплайн поверхности требуется задание внутренних узлов. При этом их количество, в принципе, может быть произвольным, ограничение состоит лишь в том, чтобы количество внутренних узлов превышало порядок поверхности. При этом целесообразно выбрать количество внутренних узлов сплайна таким образом, чтобы обеспечить определенную точность восстановления исходной поверхности. Для выделения в исходном массиве данных сегментов используем деление двумерного массива на прямоугольные области с помощью тернарного дерева. Каждая вершина тернарного дерева имеет не менее 2 и не более 4 потомков, вершина дерева представляет всю исходную прямоугольную область,

а ветви дерева получаются делением прямоугольных областей на 4 подобласти. Каждому узлу дерева присваивается значение «истина» или «ложь», либо производится дальнейшее деление до получения какого-либо значения (классификация) либо по достижении заданной глубины дерева.

Построенное тернарное дерево представляет собой структуру, определяющую границы сегментов и количество внутренних узлов для каждой координаты. Для выполнения условия непрерывности первой производной на границах сегментов, необходимо построение двух дополнительных поверхностей: по-

верхности, которая покрывает общие узлы 4-х соседних сегментов, и граничных поверхностей, покрывающих границы двух смежных сегментов.

Общая задача заключается в построении поверхности Z = Z(x,у) , минимизирующей ошибку аппроксимации и имеющей форму согласно заданному вектору контрольных узлов, при этом интервальная В-сплайн-поверхность строится таким образом, чтобы объем, ограниченный В-сплайн-поверхностью и билинейной поверхностью, был минимальным. Определим

Z(u,v) 0 ^Zu (u,v), Zl (u,v)J

как интервальную В-сплайн поверхность, где u = Ax + B , v = Су + D , A, B, С, D выбираются из условия u,v e [0,1] . Требуется минимизировать

F = J}ZixB(u)Bj(v)dudv ,

0 0 i=0 j=0 11 k11 kv

G = _JJiiZ\jBt

0 0 i=0 j=0

по Zfj , Z1 . , где ku , kv - число внутренних узлов (количество контрольных узлов минус единица), необходимых для каждого сегмента в параметрических направлениях u и v .

Интеграл от В-сплайн-поверхности вычисляется с помощью выражения

11 ku kv i ku kv

JJii P, (u), (v)dudv = — ii

p,j (ti+N U )( Sj +M Sj ) ,

0 0 i=0 j=0 MN i=0 j=0

где M =N=3 для двунаправленных квадратических сплайнов, откуда получаем

1 ku kv

F = Ш iiZ-j N't' Ъ + M-Sj ) ,

MN i=0 j= 0

i ku kv

G = - 1ш iiZ,j

MN i=0 j=0

Полученная задача минимизации (11) с линейными ограничениями может быть решена с использованием методов линейного программирования.

Литература

1. Генике А. А., Малорацкий Л. Г., Фрумович В.Л. Высокоточные системы ближней навигации // Зарубежная радиоэлектроника, 1980, № 10. С. 87-93.

2. Дешнер А.И. Алгоритм информационного обеспечения систем навигации по геофизическим полям // Надежность и качество. Труды международного симпозиума. Пенза, 2000. С.294-296.

3. Малышев В. В., Кибзун А. И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987. 304 с.

4. Пузырев В. А., Гостонина М. А. Алгоритмы оценивания движения летательных аппаратов // Зарубежная радиоэлектроника, 1981, № 4. С. 3-25.

5. Ржевкин В.А. Автономная навигация по картам местности // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. №10. с.3-28.

6. Щербатюк А.Ф. Беспоисковые корреляционно-экстремальные алгоритмы коррекции местоположения объекта по изолинии поля рельефа // Сб. коррекция в навигационных системах и системах ориентации ИСЗ. - М.: Изд. МГУ. 1986. с.40-48.

7. Korotchentsev V.I., Rozenbaum A.N., Deshner A.I., Precise location of submarine robots, Proceedings of the 3rd IFAC Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles, Madrid, 1998, V.I. pp. 68-72.

8. Korotchentsev V.I., Rozenbaum A.N., Deshner A.I. Navigation of underwater autonomous vehicles // Proc. of International Symposium On Underwater Technology. 23-26 May, 2000. Tokyo, Japan. pp.17 0-17 4.

9. Krige D.G. A statistical approach to some mine valuation and allied problems on the Witwa-tersrand. Master's thesis, University of the Witwatersrand, 1951.

10. Rozenbaum A.N., Korotchentsev V.I., Deshner A.I.. Navigation of underwater industrial autonomous vehicles // Proc. of 9th IFAC Symposium Control in Transportation Systems 2000. June 13-15, 2000. Braunschweig, Germany. pp.168-172.

11. S. T. Tuohy. Geophysical map representation, abstraction and interrogation for autonomous underwater vehicle navigation. Ph. D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts, October 1993.

12. S. T. Tuohy, T. Maekawa, and N. M. Patrikalakis. Interrogation of geophysical maps with uncertainity for AUV micro-navigation. In Engineering in Harmony with the Ocean, Proceedings of Oceans '93, Victoria, Canada. IEEE Oceanic Engineering Society, October 1993.

13. S. T. Tuohy and N. M. Patrikalakis. Representation of geophysical maps with uncertainity. In N. M. Thalmann and D. Thalmann, editors, Communicating with Virtual Worlds, Proceedings of CG International '93, pages 179-192. Springer, Tokyo, June 1993.