О классах, порожденных редуктами алгебр отношений Тарского

УДК 519.4

Д.А. Бредихин О КЛАССАХ, ПОРОЖДЕННЫХ РЕДУКТАМИ АЛГЕБР ОТНОШЕНИЙ ТАРСКОГО

Рассматриваются вопросы, связанные с изучением многообразий и квазимногообразий, порожденных редуктами алгебр отношений Тарского. Приводится обзор и формулируется ряд новых результатов автора в указанном направлении.

Алгебра отношений, многообразие, квазимногообразие, базис тождеств и квазитождеств

D.A. Bredikhin ON CLASSES GENERATED BY REDUCTS OF TARSKI RELATION ALGEBRAS

The article presents the analysis of varieties and quasivarieties generated by reducts of Tarski relation algebras. The overview covers the latest research data in the specified area.

Algebra of relations, variety, quasivariety, basis of identities and quasiidentities

Актуальность задачи. Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности П операций над ними, образует алгебру (Ф,П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная (Ф, П, с) отношением теоретикомножественного включения с.

Теория алгебр отношений берет свое начало в исследованиях Де Моргана, Пирса, Фреге и Шредера, направленных на создание алгебраического аппарата, адекватного логике предикатов первого порядка. Новый этап развития теории связан с работами Тарского [1, 2], в которых был заложен аксиоматический подход к изучению алгебр отношений и сформулирован ряд методологических проблем, сыгравших важную роль в дальнейшем развитии теории. Среди этих проблем одно из центральных мест занимают проблемы аксиоматического описания классов алгебр отношений и характеризации порожденных ими многообразий и квазимногообразий.

Тарским были рассмотрены алгебры отношений вида (Ф, o, -1, Д, и, О, 0, U), где

o, -1 - операции умножения и обращения отношений; и, О, - - булевы операции объединения, пересечения и дополнения; Д, 0, U - тождественное, пустое и универсальное отношения, рассматриваемые как нульарные операции. Алгебра отношений (Ф, П) называется строгим редуктом (ре-дуктом) алгебры отношений Тарского, если Пс{o, -1, Д, и, О, 0, U} (операции из П могут

быть выражены через операции алгебр отношений Тарского). Обзор некоторыз результатов, посвященных редуктам алгебр отношений Тарского, можно найти в [3-4].

Алгебры отношений с диофантовыми операциями

Обозначим через ^{П} (R{^ с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр), изоморфных алгебрам (упорядоченным алгебрам) отношения с операциями из П. Пусть Q{П} (Q{П, с}) - квазимногообразие и V{П} (V{П, с}) - многообразие, порожденные классом R^} (R{^ с}. Перечислим ряд проблем, естественно возникающих при изучении алгебр отношений:

(1) найти систему элементарных аксиом для класса ^П};

(2) выяснить, является ли класс ^П} конечно аксиоматизируемым;

(3) выяснить, является ли класс ^П} квазимногообразием;

(4) найти базис квазитождеств квазимногообразия Q{ П};

(5) выяснить, является ли квазимногообразие Q^} конечно базируемым;

(6) выяснить, является ли квазимногообразие Q{^ многообразием;

(7) найти базис тождеств многообразия У{П};

(8) выяснить, является ли многообразие У{П} конечно базируемым.

Аналогичные проблемы формулируются для упорядоченных классов алгебр отношений И{П,с}.

Операция над отношениями называется диофантовой [5, 6] (в другой терминологии примитивно-позитивной [7]), если она может быть задана с помощью формулы исчисления предикатов первого порядка с равенством, содержащей в своей записи лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. К числу диофантовых операций алгебр отношения Тарского относятся операции

o, -1, Д, О, U.

Решение указанных проблем для различных классов алгебр отношений во многом основывается на полученном автором описании эквациональных и квазиэквациональных теорий алгебр отношений с диофантовыми операциями. Приведем указанное описание для случая эквациональ-ных теорий.

Пусть Rel(U) - множество всех бинарных отношений на U . Всякая формула <р( z0, z1) логики предикатов первого порядка с равенством, содержащая m бинарных предикатных символов r1, r2,...,rm и z0, z1 - две свободные индивидуальные переменные z0, z1, определяет m-ю операцию Fр на Rel(U):

Fp( RV R2 Rm ) = {( x> y);^( ^0, Z15 R!,..., Rm )}»

где p( z0, z1; R1..., Rm) означает, что формула p выполняется, если свободные переменные z0, z1 интерпретируются как x,y и r1,r2,...,rm интерпретируются как отношения R1,...,Rm из Rel(U).

Примитивно-позитивные операции могут быть описаны с помощью графов. Пусть N - множество всех натуральных чисел. Помеченным графом назовем пару G = (V, E), где V=V(G) - конечное

множество, называемое множеством вершин, и E=E(G) с V X N X V - тернарное отношение. Тройку (u,k,v) є E будем называть ребром графа, идущим из вершины u в вершину v, помеченным меткой k.

Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, то есть систему вида G=(V,E,in,OUt) , где (V,E) - помеченный граф; in=in(G) и OUt=OUt(G) - две выделенные вершины (не обязательно различные), называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.

Пусть F = Fp - диофантова операция, задаваемая формулой p. С этой операцией может быть ассоциирован граф G=G(F)=G(p), определяемый следующим образом: V(G) - множество всех

индексов индивидуальных переменных, входящих в формулу ф; in(G)=0, OUt(G)=1;

(i,k,j) Є E(G) тогда и только тогда, когда атомарная формула rk(zpZj) входит в ф; если формула

zi = zj входит в p, то вершины i и j отождествляются.

Пусть G=(V,E,in,OUt) и Gk=(Vk,Ek,ink,OUtk) (k=1,...,m) - двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовем композицией этих двухполюсников новый двухполюсник G(G1,..., Gm), определяемый следующим образом: возьмем двухполюсник G и заменим каждое его ребро (i,k,j) Є E(G) на двухполюсник Gk, отождествляя при этом вершину ink с вершиной u и вершину outk с вершиной v.

Рассмотрим множество примитивно-позитивных операций над отношениями Q={F ,..., Fp }

и пусть A=(A, f1,..., fn) - универсальная алгебра соответствующего типа. Положим

G1=G(p1),...,Gn=G(pn). Для всякого терма p алгебры A определим следующим индуктивным образом двухполюсник G(p)=(Vp, Ep, in(p), OUt(p)):

1) если p = xk , то G(p) представляет собой двухполюсник вида ({1,2}, {(1,2,k)},1,2) ;

2) если p=fk(p1,...,pm) , то G(p) есть композиция Gk(G ,..., Gp ) .

Пусть G1=(V1,E1,in1,OUt1) и G2=(V2,E2,in2,OUt2) - двухполюсники. Отображение f из V2 в V1 гомоморфизмом из G2 в G1, если f(in2)=in1, f(OUt2)=OUt1 и (f(U),k,f(v)) Є E1 для всякой тройки (U,k,v) Є E2. Мы будем писать G1 Р G2, если существует гомоморфизм из G2 в G1, и G1 = G2, если G1 Р G2 и G2 Р G1.

Обозначим через Eq{^} (Eq{^,с }) эквациональную теорию класса R{^} (R{^, с}. Теорема 1. Тождество p = q (p < q) принадлежит эквациональной теории Eq{^} (Eq{^, с }) тогда и только тогда, когда G = G (G Р G ).

p q p q

Решение проблем для диофантовых редуктов алгебр отношений Тарского

Сосредоточим свое внимание на строгих редуктах алгебр отношений Тарского с множеством

операций , удовлетворяющим условию {о} с ^ с {о, 1, А, о, U}.

В следующей таблице приводится сводка результатов для указанных редуктов, касающихся указанной выше проблематики. Здесь символы +, - означают соответственно позитивное и негативное решение проблемы, а символ ? означает тот факт, что проблема остается открытой.

Остановимся более подробно на результатах, полученных в этом направлении. Позитивное решение проблем (1)-(8) для класса R{ о, о} было получено автором совместно с Б.М. Шайном в [8].

Класс R{ о, о} совпадает с классом всех полурешеточно упорядоченных полугрупп.

Класс R{o, \ п, А) впервые был рассмотрен Б. Йонссоном [9], где им была получена бесконечная система квазитождеств для этого класса и поставлены проблемы (5) и (6). Долгое время эти проблемы оставались открытыми. Негативное решение проблемы (5) было получено М. Найманом [10]. Негативное решение проблемы (6) было независимо получено автором и Х. Андрекой и опубликовано в совместной статье [11].

Бесконечные системы квазитождеств для классов R{o, -1}, R{o, -1, А), R{o, -1, с),

R{o, -1, А, с) были найдены в [12, 13]. В работе автора [14] было установлено, что классы R{o, -1}, R{o, -1, А) не являются конечно аксиоматизируемыми. Проблема конечной аксиоматизируемости для классов R{o, -1, с), R{o, -1, А, с) остается открытой.

Проблемы

{о) ; {о, А) ; {о, п) + + + + + + + +

{о, п, А) ? - + ? - ? ? ?

< т О*" т о*" + - + + - - + +

{о, -1,п); {о, -1, п, А) + - + + - - + -

,о + ? - + ? - + +

{о, А, и) ? ? - ? ? - + +

{о, п, и) + + - + + + + +

{о, п, А, и) ? ? - ? ? ? ? ?

{о, -1, и); {о, -1, А, и) ? - - ? - - + -

{о, -1,п, и); {о, -1, п, А, и) ? - - + - - + -

Решение проблем (1)-(8) для классов ^{о, U), ^{о, U, с) и ^{о, п, U) было получено автором в [15,16].

Ниже приводятся результаты, дающие решение проблем (7) и (8) для классов R{ о, -1, U) и Я{о, -1, А, U).

Пусть x1,x2,...,Xn - переменные. Для любых двух различных натуральных чисел i, j < П положим [х{, х^ ] = XiXi+1...Xj, если i < j, и [х1,Xj] = х^х”^.^-1, если i > j. Чередующейся последовательностью назовем последовательность натуральных чисел (^,^,...,X2ш-1), удовлетворяющую условиям ^ <x2k-1 и ^ <x2k +1 для k = 1,...,m-1.

Теорема 2.Многообразие V{о, -1, U) не является конечно базируемым. Алгебра (A, ,-1, и) типа (2,1,0) принадлежит многообразию V{о, -1, и) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет тождествам:

(ху)г = х(уг), (х-1)-1 = х, (ху )-1 = у_1х_1, и2 = и, и_1 = и,

и для каждой чередующейся последовательности (^,х2т-1) тождеству

и[X1, хп ] = и[х1, X ] [X, х2 ]...[х2т-1, х1][X1, хп ] ,

где п = тах{г1,^,...,х2т-1).

Теорема 3. Многообразие V{°, -1, А, и) не является конечно базируемым. Алгебра (А, ,-1, е, и) типа (2,1,0,0) принадлежит многообразию V{°, -1, А, и) тогда и только тогда, когда алгебра (А, , -1, и) принадлежит многообразию V { о, -1, и ) и выполняется тождество хе = ех = х .

Наряду с операциями, непосредственно входящими в сигнатуру алгебр отношений Тарского, представляет интерес рассмотрение диофантовых операций, которые могут быть выражены через них. К таким операциям, в частности, относятся унарные диофантовы операции, играющие важную роль в алгебраической и модальной логике [17, 18]. Исследованию этих операций посвящен цикл ра-40

бот автора. В частности, в [19, 20] находятся базисы тождеств для многообразий V{o, V1) , V{o, V2), V{o,V1,с), V{o,V2,с), где V1,V2 - операции цилиндрофикации [19], определяемые следующим образом: V1(R) = {(х, у): (3z)(х,z) е R}, V2(R) = {(х, у): (3z)(z, у) е R} •

Ниже приводится один из последних результатов автора, в котором находится базис тождеств для многообразий V{o,А с), V{o,А2,с) с унарными операциями рефлексивной цилиндрофикации

А1 (R) = {(х,у):(х,х)е R} и А2(R) = {(х,у):(у,у)е R}.

Теорема 4. Многообразие V{o, А1, с} не является конечно базируемым. Упорядоченная алгебра (A, •, *, <) типа (2,1) принадлежит многообразию V{o, А1, с) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующей бесконечной системе тождеств:

х** = х*, (х* х)* = х*, (ху*)* = ху*, ((ху )* у)* = (ху)*,

(х* у)* ух* = (х* у )*, ху*( у*х)* = ху*, ((х* у)* Z )* = ((х* z)* у)*,

((ху)* zу)* = (X zу)*, ((ху*z^* Z)* = (ху*Z)*

(х*у)* < х*, х*уz ^ х*z, х* < (хр)*для всякого натурального числа р.

Система тождеств, характеризующая многообразие V{°,А2,с), двойственна системе тождеств из теоремы 4.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tarski A. On the calculus of relations / A. Tarski // Symbolic Logic. 1941. V. 6. P. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations / A. Tarski // J. Symbolic Logic. 1953. V. 18. P. 188-189.

3. Schein B.M. Representation of reducts of Tarski relation algebras / B.M. Schein // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1991. V. 54, P. 379-374.

4. Bredikhin D.A. On relation algebras with general superpositions / D.A. Bredikhin // Colloq. Math. Soc. J. Bolyai. 1991. V. 54. P. 111-124.

5. Бредихин Д.А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями / Д. А. Бредихин // Сибирск. матем. журн. 1997. Т. 38. С. 29-41.

6. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями / Д.А. Бредихин // Доклады Российской академии наук. 1988. Т. 360. С. 594-595.

7. Boner F. Clones of operations on binary relations / F. Boner, F.R. Poschel // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

8. Bredikhin D.A. Representations of ordered semigroups and lattices by binary relations / D.A. Bredikhin, B.M. Schein // Colloq. Math. 1978. Vol. 49/ P. 2-12.

9. Jonsson B. Represantation of modular lattice and of relation algebras / B. Jonsson // Tranc. Amer. Math. Soc. 1959. V. 92. № 3. P 449-464.

10.Haiman M. Arguesian lattices are not type I / M. Haiman // Alg. Univers. 1991. V. 28. P.191-199.

11.Andreka H. The equational theory of union-free algebras of relations / H. Andreka, D.A. Bredikhin // Alg. Univers. 1994. V. 33. P. 516-532.

12.Бредихин Д.А. Представление упорядоченных инволютированных полугрупп / Д.А. Бредихин // Изв. вузов. Математика. 1975. № 7. С. 19-29.

13. Schein B.M. Representation of involuted semigroups by binary relations / B.M. Schein // Fundamenta Math. 1974. V. 82. P. 121-141.

14. Бредихин Д.А. Абстрактная характеристика некоторых классов алгебр бинарных отношений / Д.А. Бредихин // Алгебра и теория чисел. Нальчик, 1977. Вып. 2. С. 3-19.

15. Бредихин Д.А. U-полугруппы отношения / Д.А. Бредихин // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. №1.С. 51-56.

16.Бредихин Д.А. О редуктах алгебр отношений Тарского / Д.А. Бредихин // Алгебра и логика. 1988. № 1. С. 3-16.

17.Henkin L. Cylindric algebras / L. Henkin, J.D. Monk, A. Tarski. Amsterdam: North-Holland, 1971. 311 p.

18. Venema Y. Many-dimansional modal logic / Y. Venema. Universiteit van Amsterdam, 1989. 177 p.

19.Bredikhin D.A. On varieties of semigroups of relations with operations of cylindrofication / D.A. Bredikhin // Contributions to General Algebra. 2005. V. 16. P. 1-6.

20. Бредихин Д. А. О многообразиях упорядоченных полугрупп с операциями цилиндрофика-ции / Д.А. Бредихин // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. Вып. 3. С. 3-7.

Бредихин Дмитрий Александрович -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математика и моделирование»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 31.10.11, принята к опубликованию 15.11.11

Dmitry A. Bredikhin -

Dr.Sc., Professor

Department of Mathematics and Modeling,

Yu. Gagarin Saratov State Technical University