Математическая модель соударения жидкой капли с пористой подложкой

УДК [531.62+532.6+536.421.4]:517.9

Математическая модель соударения жидкой капли с пористой подложкой

А.Н. Черепанов, В.В. Бублик

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

На основе интегральных законов сохранения массы и энергии построена математическая численно-аналитическая модель деформации сплошной жидкометаллической капли после ее соударения с плоской пористой поверхностью. Модель учитывает капиллярные и адгезионные свойства расплава. Проведены численные расчеты для модельного случая соударения сплошной жидкой капли из диоксида циркония с пористой подложкой.

Ключевые слова: жидкая капля, пористая подложка, соударение, математическая модель

Mathematical model of impact of a molten droplet on a porous substrate

A.N. Cherepanov and V.V. Bublik

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

A numerical analytical model of deformation of a liquid metal droplet impacted on a flat porous surface was developed from the integral laws of conservation of mass and energy. The model takes into account capillary and adhesive properties of the melt. Numerical model calculations were performed for impact of a molten zirconium dioxide droplet on a porous substrate.

Keywords: molten droplet, porous substrate, impact, mathematical model

1. Введение

Исследованию процессов соударения капли с подложкой уделяется большое внимание в связи с задачами нанесения защитных порошковых покрытий на детали и механизмы, термобарьерных покрытий на лопатки турбин и двигателей самолетов, нанесения припоев на микрочипы и др. [1-4]. При этом в основном рассматриваются сплошные гладкие поверхности. Одной из основных проблем при этом является задача прочности сцепления покрытия с подложкой. В данной работе исследуется задача взаимодействия жидкометаллической капли с пористой подложкой, представляющая, на наш взгляд, интерес с точки зрения повышения прочности сцепления с подложкой, а также вопросов динамической пропитки рабочих поверхностей различными материалами, стойкими к коррозии, химическим и другим агрессивным воздействиям.

Предложенная модель является дальнейшим развитием моделей соударения сплошной и полой капли с твердой подложкой [5, 6].

2. Описание модели

Пусть Н0 — начальный диаметр капли, с0 — скорость соударения капли с подложкой. Начальные кинетическая и потенциальная энергии капли равны

^о По =а12 п Но2.

Здесь ст12 — поверхностное натяжение на границе «жидкость - газ»; р — плотность жидкости.

Весь объем капли после соударения разобьем на четыре подобласти (рис. 1): ^ — шаровой сегмент, образованный вращением вокруг оси г криволинейного треугольника hM1H; — диск, образованный вращением вокруг оси г прямоугольника 0hM1Rc; — тороидальная область, образованная вращением вокруг оси г полукруга RcM 1М — область жидкости

в пористой подложке.

Пористость подложки будем моделировать в виде вертикальных трубок-капилляров. Пусть zp < 0 — координата г максимального проникновения расплава

© Черепанов А.Н., Бублик В.В., 2012

вглубь пористой подложки (считаем, что максимальная глубина проникновения достигается на оси симметрии системы «капля - подложка»). Скорость движения жидкости в пористой подложке согласно закону Пуазейля имеет вид [7]: гр2р Н 2

-=•

где х — параметр извилистости канала; гр — эффективный радиус капилляра; ¡1—динамический коэффициент вязкости жидкости. Будем считать, что в каждый момент времени скорость фильтрации жидкости одинакова во всей области ар. Тогда объемы жидкого расплава в каждой из подобластей равны

п

V = б(( Н - н)3+3( Н - н) я2), V1 = пНя2,

V =пН

пRcН Н2 —^ + —

4 6

г

V =-птр I ¿р

где тр — пористость подложки.

Из условия постоянства объема несжимаемой жидкости получим соотношение, связывающее величину Rc с остальными параметрами капли:

I

3(Н + Н)я£ - 6тр I¿ря21т-

+ ^пН2Rc + (Н - Н)3 + Н3 - Н0 = 0.

В каждой из подобластей а§, а1 и а 1 зададим свое приближение поля скоростей, удовлетворяющее условию неразрывности:

и. = 0, = Н,

и1 =

VI = (Н - тр ¿р) - + тр ¿p,

2Н

z

Н

R 2

и = (тр¿р - Н

2Нг

^ = 0.

Кинетическая энергия движущейся жидкости будет определяться формулой

Рис. 1. Схема растекания капли

а

2 2 и2 + V

р ¿а = пр|| (и2 + V2) г 1г1-.

Здесь а — фигура вращения, образованная вращением вокруг оси 0z плоской области а1. Рассмотрим каждый такой объем отдельно.

Область а§. Уравнение окружности, частью которой является дуга М1Н:

г2 + (- - ¿0)2 = я2,

где радиус окружности R и координата ¿0 центра окружности соответственно равны (Н - Н )2 + я2

я=-

¿0 = Н - я.

2( Н - Н) Тогда

н ^я2 - (г - г 0)2 Wg = пр 1| Н2 г ¿г =

Н 0

прН 2

( н - Н)(3г0( н+н )-

- н 2 - нн - н2 + 3( я2 - ¿2).

Область а1. Кинетическая энергия

Н Яc

Wd = пр| | (и2 + VI)г 1г =

0 0

ч2 ( я2 1

-пр

(Н -тр - р)2

(Н - тр -р) тр -

я-+-

16Н2 6

V J

.2-2 ^

+

'р + тр ¿р

я.2 н.

/

Область а Уравнение окружности, частью которой является дуга М1М 2 Яc:

(г - ^ +( Н ^ *

н

---

2

Кинетическая энергия

н яс +4 н 2/4-( - - Н/ 2)2

Wt = пр| 10

/' ' (тр-р - Н)2-я-1г =

4Н 2'

пр С2

„ . ч, н-Лн2 -4я2 ,

-(Н + 2яc)ln--- + пяc - Н

2я

если 2 Яc - Н < 0,

где

пр С

если 2 Яc - Н > 0, я2

-2л/4я2 - Н2 аг^г Гя Н + пЯc - Н у c V 2 Яc + Н 4

С =

рр "'2Н

Область ар. Вследствие постоянства скорости -р в каждый момент времени во всей области ар кинетическую энергию можно вычислить, не прибегая к интегрированию по области с неизвестной границей:

W =рУ — =

"р Н'р 2

пН3

-У.-VI-V

р -р 2

Потенциальная энергия системы «капля - подложка»:

Па=°12^ + St + Vd) +

+ (^13 -CTM)((1 -mp)Sd + Sp), где ст13, ст23 — поверхностное натяжение на границах «жидкость - подложка» и «подложка - газ» соответственно; Sg = n(R'2 + (H -h)2) — площадь внешней поверхности шарового сегмента; St = 2nh(2h + nRc) — площадь боковой поверхности тороидальной части; Sd = лЛ2 — площадь контактного пятна без учета пористости; mp Sd — площадь поверхности «жидкость -газ» внутри капилляров (для простоты считаем, что поверхность жидкости в капиллярах строго горизонтальна); Sp = 2(пHq/6- Vg - Vd - Vt)jrp — площадь поверхности «жидкость - подложка» внутри капилляров; (1 - mp) Sp — площадь контактного пятна с учетом пористости подложки. Величины ст12, ст13 и ст23 связаны соотношением (ст13 - ^23)/ст12 = - cos 6, где 6 — краевой угол смачиваемости.

Работа сил адгезии при растекании капли по подложке определяется выражением

Q = (1 - mp) лЛ2а!2(1 + cos 6).

В дискообразной области Qd действует сила вязкого трения, поэтому учтем работу этой силы, определив напряжение вязкого трения как

r

Fn =

ц1 mp ¿p - н \

h 2h2 тогда

4= 24 d/j F, rdr = n_^mP Zp - H|R

о 0

3h

Здесь ц — динамический коэффициент вязкости жидкости.

Условие сохранения энергии системы «капля - подложка»:

+ Wd + Wt + Wp +ПС + Q + Ац = + П0. (2) Предположим, что параметры Ни h связаны соотношением

f

h = H

1 -

H

Ж,

ч П

где п — константа, подбираемая для обеспечения наилучшего согласия с экспериментом.

Функции Н^) и zp(t) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1), (2). В качестве начальных условий возьмем:

Н

Непосредственное решение полученной задачи Ко-ши вызывает некоторые трудности. Это связано с тем, что система уравнений является нелинейной относительно старших производных. В ранее разработанных моделях (с непроницаемой подложкой) старшая производная входила в уравнение квадратично, что позволяло

легко выделить нужную ветвь решения из анализа физической модели. В случае с проницаемой подложкой после исключения с помощью (1) из уравнения (2) получаем уравнение, являющееся полиномом четвертой степени относительно Н. В общем случае корни полинома четвертой степени в аналитическом виде выразить нельзя, поэтому надо либо исследовать все возможные решения задачи Коши (теоретически число таких решений может достигать четырех), либо искать способы однозначного выделения старшей производной.

В данной работе предложено вместо уравнения на Н взять его дифференциальное следствие:

АН + В = 0,

где А = А(Н, Н, zp), В = В(Н, Н, zp) — известные функции, которые здесь не приводятся из-за их чрезмерной громоздкости. В качестве недостающего условия Коши возьмем условие равенства скорости падения капли и скорости движения вершины капли в момент соударения:

Н

Таким образом, для описания движения капли после соударения с пористой подложкой необходимо решить систему уравнений (1), (5) с данными Коши (4), (6).

Кроме того, для численных вычислений представляет некоторые трудности наличие в уравнениях отношений бесконечно малых величин при t ^ 0. Поэтому в окрестности момента соударения вместо уравнения (2) возьмем для расчетов его приближение

+П^ = Щ> +П0,

т.к. размеры областей и близки нулю в

окрестности t = 0, кинетическая энергия жидкости в этих областях и работа силы вязкого трения пренебрежимо малы в самом начале процесса растекания капли по сравнению с оставшимися слагаемыми в уравнении баланса энергии растекающейся капли. Уравнение (7) с учетом (1) имеет вид: аН2 + Ь = 0,

где а = а(Н, V, гр), Ь = Ь(Н, V, zp) — известные функции, которые также здесь не приводятся из-за их громоздкости. Поскольку после столкновения капли с подложкой вершина капли движется вниз, то из двух ветвей квадратного уравнения надо выбрать ту, которая дает отрицательную скорость движения, т.е. уравнение (7) приводится к виду:

Н = -Д.

а

Для того чтобы обойти особенность при t = 0 в уравнении (1), введем вспомогательную функцию ур = zp\ Тогда (1) можно заменить на уравнение

Ур =

ХГр2рН 2

гр 8ц

Теперь расчет динамики капли можно начинать с решения системы (8), (9) с начальными условиями (4).

Рис. 2. Изменение диаметра контактного пятна

Счет по этим формулам продолжается до момента времени 4, когда особенности при I = 0 перестанут мешать численному решению задачи Коши (1), (4)-(6). В результате мы получим значения Н* = Н (4), Н* = Н (4 ), -* = - Ур(4). Затем решается система уравнений (1), (5) с начальными данными

н

Счет продолжается до тех пор, пока Н и -р не обратятся в 0.

3. Результаты численных экспериментов

Для проведения численных экспериментов запишем уравнения модели в безразмерных переменных, выбрав в качестве масштабов значения Н0, v0, г0 = Н0/v0. Уравнение (2) после деления на о12Н0 принимает безразмерный вид:

We(Wg + + + "р) +

We ^ ( We

12

-+1

/

где We = р V2Н0 /а12 — число Вебера; Re = р v0Н0/1 —

Рис. 3. Изменение высоты капли и высоты дискообразной области капли

число Рейнольдса; величины с чертой — безразмерные кинетические энергии, потенциальная энергия, работы сил адгезии и трения. Безразмерные варианты уравнений (1), (7), (9):

We

We + Пa+Q = п

- + 1

X гр2 Н2 16^

У р

12

X гр2 Н2

Начальные данные для задачи Коши (4) в безразмерном виде: Н(0) = 1, -р(0) = 0. Остальные уравнения для экономии места в безразмерном виде приводить здесь не будем.

На рис. 2-4 приведены результаты численных расчетов для модельного случая со следующими значениями параметров: We = 15, Re = 100, % = 1, гр = 0.01, тр = 0.05, 0 = 0, число капилляров, попадающих на проекцию начального диаметра капли N = тр/ (4гр2) = = 125. Значение параметра п в формуле (3) равно 1.7 и выбрано так, чтобы геометрические размеры получившегося сплэта совпадали с размерами, полученными в [5]. При этом считаем, что объем жидкости, проникшей в подложку, достаточно мал, чтобы это не сказалось существенно на размерах конечного сплэта. В расчетах принимали г* = 10-5.

В результате расчетов полное растекание происходит через 2.7 безразмерных единиц времени. При этом в последней трети этого периода скорости изменения

Рис. 4. Изменение глубины проникновения жидкости в подложку

Рис. 5. Форма капли в момент столкновения

размеров настолько малы, что изменение геометрических размеров капли на приведенных графиках уловить нельзя, поэтому для удобства на рисунках приведены графики только для времен от 0 до 2. Высота получившего сплэта равна 0.19, диаметр — 1.93, максимальная глубина проникновения расплава в толщу подложки — 0.025. Как видно из графика, максимальная глубина проникновения достигается примерно за 1.5 единицы безразмерного времени, после чего жидкость в подложку практически не поступает. Объем жидкости, просочившейся в подложку, не превышает 0.0035 от начального объема капли.

Теперь, зная зависимости Rc(t), zp(t) и Zp(t), можно восстановить форму области проникновения жидкости в подложку. На рис. 5 представлены расчетные формы капли и области подложки, занятой жидкостью. Для сравнения здесь же пунктиром приведена начальная форма капли в момент столкновения, внешняя граница капли показана сплошной линией, заливкой — область подложки, занятая жидкостью. Видно, что область наибольшего проникновения жидкости в подложку занимает пятно размером примерно с первоначальный диаметр падающей капли.

Проводились также численные эксперименты по влиянию начальных параметров задачи на размеры итогового сплэта. Число Вебера менялось в пределах от 1 до 20, размеры итогового сплэта совпадают с результатами работы [5]. Как показано в [5], в зависимости от угла смачиваемости 6 и числа Вебера We растекание капли может проходить в трех режимах: прилипание без отката, прилипание с откатом, отрыв после отката. Модель, предложенная в данной работе, описывает только первый режим. Поэтому в численных экспериментах угол смачиваемости 6 менялся в пределах, в которых реализовывался только этот режим растекания (чем больше число Вебера, тем меньше возможный для этого режима диапазон изменения угла смачиваемости). Числа Рейнольдса варьировались в пределах от 1 до 1000, при этом существенное влияние данных изменений выявлено только для глубины пропитки (например, при Re = 1000 глубина проникновения жидкости в подложку достигает 0.08), в то время как размеры итогового сплэта отличались от приведенных выше не более чем на 15-20 %. Показано, что изменение пористости подложки в диапазоне от 0.01 до 0.1 не оказывает сущест-

венного влияния на размеры получающегося сплэта и максимальную глубину проникновения жидкости в подложку. Изменение радиуса капилляра в пределах от

0.001.до 0.01 на геометрические размеры сплэта практически не влияет, а максимальная глубина пропитки имеет зависимость от него близкую к линейной.

4. Выводы и заключение

Построена численно-аналитическая модель взаимодействия металлической капли с пористой подложкой. Показано, что область наибольшего проникновения жидкости в подложку занимает пятно, размер которого примерно равен диаметру падающей капли, изменение пористости подложки в пределах от 0.01 до 0.1 на геометрические размеры сплэта практически не влияет, максимальная глубина пропитки имеет зависимость от радиуса поры близкую к линейной.

Предложенное решение может быть полезно для оценки параметров сплэта при формировании порошковых покрытий с динамической пропиткой пористых поверхностей с целью упрочнения и получения композитных слоев с улучшенными свойствами.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00575-а).

Литература

1. Waldfogel J.M., Policacos D. Solidification phenomena in picoliter size solder droplet dispersion on a composite substrate // Int. J. Heat Mass Tran. - 1997. - V. 40. - P. 295-309.

2. Hayts D., Wallace D.B., Boldman M.T. Picoliter solder droplet dispersion // Int. J. Microcircuits Electr. Packaging. - 1993. - V. 16. - P. 173180.

3. Harlow F.Y., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid free surface // Phys. Fluids. - 1965. -V. 8. - P. 2182-2189.

4. Предтеченский M.P., Черепанов А.Н., Попов В.Н., Варламов Ю.Д. Исследование динамики соударения и кристаллизации жидкоме-таллической капли с многослойной подложкой // ПМТФ. - 2002. -Т. 43. - № 1. - С. 112-123.

5. БорисовВ.Т., ЧерепановА.Н., ПредтеченскийМ.Р. и др. Влияние смачиваемости на поведение жидкой капли после ее соударения с твердой подложкой // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. - №6. - С. 64-69.

6. ЧерепановА.Н., СолоненкоО.П., БубликВ.В. Численно-аналитическое исследование динамики соударения полой капли расплава с подложкой // Теплофизика и аэромеханика. - 2008. - Т. 15. -№4. - С. 677-688.

7. Пирсон С.Д. Учение о нефтяном пласте. - М.: Гос. научн.-техн. изд-во по нефтяной и горно-топливной литературе, 1961. - 870 с.

Поступила в редакцию 16.03.2012 г., после переработки 04.07.2012 г.

Сведения об авторах

Черепанов Анатолий Николаевич, д.ф.-м.н., проф., гнс ИТПМ СО РАН, ancher@itam.nsc.ru Бублик Василий Витальевич, к.ф.-м.н., нс ИТПМ СО РАН, bublik@itam.nsc.ru