АНАЛИЗАТОР СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ И КОМПОНЕНТ СИГНАЛА

Область техники
Анализатор спектра собственных векторов и компонент сигнала (АССВиКС) - универсальный измерительный и исследовательский прибор (устройство), отдельный или встраиваемый, предназначение которого - визуальный и/или автоматизированный (в т.ч. автоматический) анализ (в т.ч. ретроспективный) исследуемого сигнала, безотносительно к его физической природе.
АССВиКС открывает новые возможности при решении задач выявления энергетически недоминирующих компонент анализируемого сигнала, которые независимы от других компонент и спектрально локализованы на заранее заданных частотах, выявление которых невозможно с использованием известных методов спектрального анализа. АССВиКС открывает новые возможности при решении задач радио- и геофизики, акустики, звуко-, радио- и гидролокации, медицинской и другой диагностики, при обнаружении новых физических явлений.
В таблице 1 приведены сокращения, использованные в описании полезной модели.
Уровень техники. Аналоги и их недостатки
Периодические, почти периодические, квазипериодические [2, 3] процессы занимают особое место при изучении природных и технических объектов. Для описания таких процессов разработан и широко используется спектральный анализ, при котором сигнал представляется в виде суммы простых гармонических компонент.
Переход на цифровые способы обработки расширил область применения алгебраических представлений сигналов. В связи с этим появились технические решения, в которых совместно используются алгебраические и спектральные представления. К числу таких решений относится и анализатор собственных векторов и компонент сигналов - айгеноскоп [1] - фиг. 1 а).
Среди классических, наиболее часто используемых, спектральных описаний следует отметить амплитудные и фазовые спектры (используются при анализе детерминированных сигналов) и энергетические спектры (используются при анализе случайных сигналов и детерминированного хаоса).
В исследовательской практике достаточно часто встречается задача выявления в анализируемом временном ряде составляющей, которая локализована на некоторой наперед заданной частоте. Эта задача тривиальна, если выявляемая компонента - гармоническое колебание с известной частотой и неизвестной начальной фазой, а отношение сигнал/шум достаточно велико. В этом случае используется так называемый некогерентный приемник гармонического сигнала на фоне шума [5]. структура такого приемника совпадает со структурой классического анализатора амплитудного спектра [4], настроенного на известную частоту. Это - так называемая квадратурная схема, конструкция которой представлена на фиг. 1 б). Выявление периодической составляющей с использованием этой схемы тем эффективнее, чем больше отношение сигнал/шум и интервал спектрального анализа.
В случае, когда встает задача выявления спектрально локализованного (окрашенного) шума на фоне шума неокрашенного (белого), конструкция изменяется и совпадает с анализатором энергетического спектра [4]. Это - та же квадратурная схема, в которой за перемножителями включены фильтры (импульсная характеристика которых определяется корреляционной функцией окрашенного шума), квадраторы и интеграторы - см. фиг. 1 в).
Ситуация осложняется, когда решение задачи выявления связано с высокой априорной неопределенностью - как о свойствах выявляемой спектрально локализованной компоненты, так и о процессах, на фоне которых происходит решение задачи выявления.
Так, например, использование анализаторов энергетического и амплитудного спектров при выявлении приливных явлений, связанных с периодическими движениями Луны и Земли, не всегда позволяет выявить в вертикальной составляющей электрического поля Земли составляющие на известных частотах лунных приливов, хотя они хорошо выявляются с использованием гравиметрии. Далее мы покажем, что это связано с двумя обстоятельствами: с низкой энергией выявляемой спектрально локализованной компоненты и со сложной структурой сигнала, из которого компонента выделяется. Как будет показано далее, использование АССВиКС позволяет осуществить выявление компонент, которые соответствуют лунным приливам.
Относя АССВиКС по признакам наличия в нем вычисления ковариационной матрицы и ее собственных векторов и собственных значений к айгеноскопам, следует отметить, что наличие в АССВиКС весьма специфического блока оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей 6 придает устройству новые качества и позволяет решать новые задачи.
АССВиКС, в отличие от прототипа (айгеноскопа), позволяет устранить и одновременно оценить величину негативного эффекта смешивания в анализаторе энергетического спектра некоррелированных компонент, тем самым в разы повышая чувствительность и избирательность анализа.
Следует отметить, что конструкция АССВиКС (сочетание блоков и их связей) обеспечивает (в отличие от прототипа) формирование:
- новых ранее не использованных спектральных характеристик, позволяющих оценивать энергетический вклад как группы, так и отдельных выявляемых компонент;
- оценок применимости анализаторов амплитудного и энергетического спектров.
В качестве прототипа и аналогов для заявляемого устройства взяты конструкции, показанные на фиг. 1 а), 1 б) и 1 в), а именно: айгеноскоп, квадратурная схема оценки амплитудного спектра и анализатор энергетического спектра.
Раскрытие сущности полезной модели
АССВиКС представляет собой универсальное устройство для выявления, анализа и интепретации энергетически недоминирующих спектрально локализованных компонент временных рядов (сигналов) с использованием собственных векторов ковариационной матрицы временного ряда на заданном конечном интервале анализа.
Вся работа блоков АССВиКС нацелена на обеспечение действий блока оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей 6 и обработку в нем результатов, получаемых из других блоков, что будет описано далее.
В ходе обработки в АССВиКС:
1. Оценивается ковариационная матрица временного ряда, вычисляются ее собственные векторы и собственные значения.
2. Ведется спектральный анализ собственных векторов и интерпретация амплитудных спектров собственных векторов - с целью выявления тех собственных векторов, которые определяют некоррелированные компоненты временого ряда, локализованные на заданных частотах.
3. На базе амплитудных спектров отобранных собственных векторов формируются спектральные характеристики.
Технический результат от применения АССВиКС состоит в возможности выявления и отдельного спектрального анализа некоррелированных (на заданном интервале анализа) компонент временного ряда, что позволяет (как будет далее показано) в разы повысить селективность и чувствительность проводимого анализа, а также сформировать оценку применимости в конкретной исследовательской ситуации стандартных методов спектрального анализа.
Предлагаемое устройство - АССВиКС предназначено для выявления и анализа на конечном интервале анализа временных рядов, содержащих спектрально локализованные энергетически недоминирующие некоррелированные компоненты, которые не могут быть выявлены с использованием классических методов спектрального анализа.
К числу таких иследуемых временных рядов относится множество временных рядов, продуцируемых в т.ч. геофизическими, астрофизическими и техническими объектами.
На фиг. 2 представлена конструкция анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала, где к блоку памяти и программного управления 5 подключены:
- блок формирования ансамбля 1,
- блок вычисления ковариационной матрицы 2,
- блок вычисления собственных векторов и собственных значений 3,
- блок отбора собственных векторов 4,
- блок оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей 6.
При этом двухсторонний выход блока 5 служит для:
- получения исходной обрабатываемой информации,
- связи с внешними устройствами по выдаче результатов,
- получения новых заданий.
Результаты работы блоков 1, 2, 3, 4, 6 поступают в память блока 5, откуда берутся для дальнейшей обработки.
Остановимся на работе блоков конструкции анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала и их взаимодействии, которое подробно описано в таблице 6.
Напомним, что вектор - это упорядоченная последовательность чисел [6]. Будем при записи векторов применять нотацию «бра-кет», используемую в квантовой механике [7], обозначая вектор, записанный в виде матрицы-строки («бра») как , а вектор, записанный в виде матрицы-столбца («кет») как . В этой нотации скалярное произведение двух действительных векторов [6, 7] записывается в виде  или в виде .
1
2
L
M×N
В блоке формирования ансамбля 1 временной ряд, представляющий собой последовательность отсчетов S, S, …, S, преобразуется в матрицу ансамбля A, где величина М - размер конечного интервала анализа, а величина N≤(L-M+1) - число элементов ансамбля. Каждый из элементов ансамбля представляет собой сегмент временного ряда длины М и записывается в матрицу ансамбля в виде столбца.
M×N
Если N=(L-M+1), то в матрицу ансамбля входят все несовпадающие друг с другом сегменты временного ряда длины М. Если каждый следующий элемент матрицы ансамбля получается путем единичного сдвига по отношению к предыдущему, то матрица ансамбля A совпадает с так называемой траекторной матрицей [8]. В общем случае при формировании матрицы ансамбля может использоваться не равный единице сдвиг.
Сформированная в блоке 1 матрица ансамбля передается на хранение в блок 5, откуда поступает в блок 2.
M×N
Ковариационная матрица в блоке 2 вычисляется на основе матрицы ансамбля A с использованием соотношения
где
M×N
- транспонированная матрица A,
- парциальная ковариационная матрица,
и  - векторы отсчетов на i-ом конечном интервале анализа в форме «бра» и «кет», соответственно.
С выхода блока 2 ковариационная матрица поступает в блок 5, откуда передается в блок вычислителя собственных векторов и собственных значений 3.
На выходе блока вычислителя собственных векторов и собственных значений 3 формируются (с использованием любого подходящего алгоритма линейной алгебры [9]) собственные векторы и собственные значения, отвечающие эквивалентным соотношениям
где
M×M
K - ковариационная матрица размера М×М,
i
λ,  - собственные значения,
i
〈ψ⎜,  - собственные векторы в форме «бра»,
i
⎜ψ〉  - собственные векторы в форме «кет»,
М - размер конечного интервала анализа.
i
Как правило, собственные векторы пронумерованы в порядке убывания собственных значений. В этом случае будем называть последовательность λ,  спектром собственных значений [1].
В общем случае, как видно из соотношения (1), ковариационная матрица получается путем усреднения парциальных ковариационных матриц , получаемых из элементов ансамбля .
Собственные векторы ковариационной матрицы образуют ортонормированный базис [6], то есть
где
i,j
δ - символ Кронекера [6].
Из соотношений (1-3), следует, что ковариационная матрица может быть представлена через свои собственные векторы и собственные значения в виде
Соотношение (5) носит название «поляризационное соотношение» [10]; оно далее понадобится для обоснования причинно-следственных связей, обеспечивающих заявленный технический результат.
Полученные в блоке 3 собственные векторы и собственные значения поступают на хранение в блок памяти и программного управления 5 для дальнейшего использования.
Остановимся на вариантах анализа амплитудных спектров собственных векторов в блоке отбора собственных векторов 4, блоке оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей 6, а также на взаимодействии этих блоков с блоком памяти и программного управления 5, с которым они связаны двухсторонними связями, предназначенными для управления блоками, передачи в них хранимой информации и передачи результатов обработки на хранение.
Блок отбора собственных векторов 4 получает из блока 5 набор всех собственных векторов, а также управляющую информацию о виде используемого критерия отбора и параметрах отбора и список искомых частот. Блок 4 возвращает в качестве результатов обработки в блок 5 оценки амплитудных спектров собственных векторов, номера тех собственных векторов, которые признаны спектрально локализованными на искомых частотах, а также дополнительную информацию о критериях спектральной локализации собственных векторов.
В блоке оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей 6 с использованием отобранного списка собственных векторов на основе оценок амплитудных спектров собственных векторов и собственных значений формируются спектральные характеристики, о свойствах которых будет сказано ниже.
Блок памяти и программного управления 5 связан двухсторонним выходом с периферией АССВиКС и по этой связи получает необходимую исходную и управляющую информацию, а также передает во внешнюю среду результаты работы АССВиКС. Блок 5 передает в остальные блоки управляющую и исходную информацию, необходимую для их работы.
Остановимся подробно на работе блока 4.
В блоке 4 осуществляется быстрое преобразование Фурье (БПФ) каждого из М собственных векторов. Будем далее обозначать эти БПФ как , . Поскольку каждое из БПФ представляет собой комплексную функцию целочисленного аргумента  такую, что ее действительная часть представляет собой четную функцию, а мнимая - нечетную функцию относительно начала координат, перенесенного в точку M/2, то далее обрабатывается только последовательность отсчетов БПФ с номерами от 1 до целой части величины М/2. Таким образом, областью определения  для i-го собственного вектора  будет последовательность дискретных частот , где ceil (…) - функция округления числа сверху. Дискрет частоты БПФ собственного вектора определяется соотношением
где
ΔТ - время дискретизации временного ряда.
Значения модуля БПФ, соответствующие частотам,
вместе с этими частотами рассматриваются как оценка амплитудного спектра собственного вектора, которая передается на хранение в блок 5.
Далее определяются номера тех собственных векторов, у которых амплитудные спектры локализованы на частотах близких к искомым. Для этого могут быть использованы критерии:
- критерий «минимум частотной расстройки» между искомой частотой и частотой максимума амплитудного спектра собственного вектора;
- критерий «индекс когерентности»;
- критерий «максимум коэффициента корреляции».
Индекс когерентности собственного вектора - числовой критерий, величина которого определяет степень спектральной локализации собственного вектора. Величина индекса когерентности определяется как отношение максимального значения амплитудного спектра собственного вектора к среднему значению амплитудного спектра того же собственного вектора, то есть
где
max (…) - максимум,
mean (…) - среднее.
Минимальное значение индекса когерентности равно единице и достигается в том случае, когда максимальное значение равно среднему значению. Максимальное значение индекса когерентности достигается в случае, когда БПФ имеет один ненулевой отсчет (все остальные равны нулю). Пусть величина этого отсчета (числитель (8)) равна А, тогда знаменатель будет равен A/ceil(M/2). Таким образом, максимальное значение индекса когерентности ограничено величиной ceil(М/2).
После определения индексов когерентности для всех собственных векторов они передаются на хранение в блок 5 и используются далее в блоке 6 для интерпретации и принятия решения.
Рассмотрим использование в блоке отбора собственных векторов 4 критерия «минимум частотной расстройки».
ДОП
При его использовании для каждого собственного вектора определяется положение максимума его амплитудного спектра, и значение частоты максимума сравнивается со списком искомых частот. Если разность между частотой максимума амплитудного спектра собственного вектора и искомой частотой меньше допустимого значения ΔF, то номер собственного вектора вносится в список отобранных собственных векторов. После сравнения всех частот максимумов амплитудных спектров собственных векторов со всеми искомыми частотами из списка номеров отобранных собственных векторов удаляются повторяющиеся номера, и этот список передается в память блока 5 для дальнейшего использования в блоке 6.
Вторым вариантом отбора собственных векторов в блоке 4 является использование критерия максимума коэффициента корреляции между собственными векторами и отрезками гармонических колебаний с искомыми частотами , , определяемого по формуле
где
φ
max(…) - максимум выражения, стоящего в скобках, достигаемый при варьировании параметра φ,
- нормированный гармонический вектор с частотой  и начальной фазой φ,
(H)
K - коэффициент нормировки.
m,n
Величина ρ≤1.
Чем больше эта величина, тем более приближается m-ый собственный вектор к отрезку гармонического сигнала с заданной частотой .
ИСК
Значение критерия «максимум коэффициента корреляции», определенное для всех частот из списка искомых частот, образуют выборку объемом M×N, по которой определяется обоснованное значение порога критерия. В качестве такого порога уместно использовать значение квантили заданного уровня (например, медианы критерия) [6].
Значения критерия «максимум коэффициента корреляции» для всех собственных векторов и всех частот из списка искомых частот сравниваются с величиной порога. Если критерий превышает порог, то номер собственного вектора попадает в список отобранных собственных векторов. Из списка далее устраняются повторяющиеся значения и он передается в память блока 5 для дальнейшего вычисления спектральных характеристик в блоке 6.
Опишем работу блока оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей 6, определяющего работу устройства и его новизну. В этом блоке выполняется:
- вычисление и визуализация спектральных характеристик, представленных в таблице 2;
- вычисление и визуализация оценок применимости анализаторов энергетического и амплитудного спектров, приводящих к достижению заявляемого технического результата (смысл этих оценок будет пояснен далее при описании причинно-следственных связей);
- по заданию пользователя - оценка критериев, определяющих степень спектральной локализации некоррелированных составляющих, а также вероятность ложного выявления группы спектрально локализованных некоррелированных составляющих;
- подготовка данных для визуализации и сама визуализация.
Отметим, что в айгеноскопе, взятом за прототип, не используются спектральные характеристики, которые рассчитываются в блоке 6 АССВиКС.
В (13-15) использованы величины нормированных собственных значений, определяемые соотношением
В [1] показано, что величина  совпадает со средним квадратом отсчетов временного ряда, поэтому правая часть в соотношениях (15) и (16) представляет средний квадрат отобранных компонент временного ряда, определяемый соотношением
На фиг. 11 показаны спектральные характеристики, отвечающие (14), полученные с использованием АССВиКС для наборов удвоенных частот обращения двойных звездных систем из таблицы 4 (фиг. 11 а)), а также для некоторых отдельных удвоенных частот (фиг. 11 б), фиг. 11 в)). Спектральные характеристики свидетельствуют об успешном выявлении некоррелированных компонент, спектрально локализованных на заданных частотах.
Рассмотрим причинно-следственные связи, приводящие к техническому результату.
Для демонстрации технического результата, получаемого с использованием АССВиКС, сравним этот результат с аналогами, представленными на фиг. 1 б) и 1 в).
Для сравнения АССВиКС с анализатором энергетического спектра введем структурную схему, приведенную на фиг. 1 г). Можно показать, что схема фиг. 1 г) обладает такими же свойствами, как и схема 1 в), и является эквивалентной алгебраической схемой анализатора энергетического спектра.
Таким образом, возможно, с одной стороны, показать преимущества АССВиКС по отношению к анализатору энергетического спектра, а с другой - ввести спектральные характеристики, позволяющие АССВиКС оценивать погрешности, связанные с использованием анализатора энергетического спектра в конкретной ситуации.
Введенная эквивалентная алгебраическая схема анализатора энергетического спектра (см. фиг. 1 г)), так же как и АССВиКС, содержит блоки 1 и 2. Из блока опорных сигналов на входы блоков вычисления квадратичной формы 16 подаются нормированные гармонические векторы, соответствующие искомой частоте и имеющие начальные фазы, сдвинутые на . Обозначим эти векторы как  и , соответственно.
Сигналы на выходах блоков 16 схемы фиг. 1 г) эквивалентны сигналам на входах блока 15 схемы фиг. 1 в).
S
И
C
И
Σ
И
На основании поляризационного соотношения (6) получим выражения для выходных величин P(ƒ) и P(ƒ) блоков 16 (фиг. 1 г)), поступающих на входы сумматора 15, и для величины P(ƒ) на выходе сумматора 15, соответственно:
где
И
ƒ - искомая частота.
Для дальнейшего важно, что базис собственных векторов на конечном интервале анализа задает представление вида [6]
где
и  - конкретный сегмент временного ряда на конечном интервале анализа,
- коэффициенты разложения сегмента временного ряда на конечном интервале анализа по собственным векторам ковариационной матрицы.
M×N
Матрица коэффициентов разложения по конкретному собственному вектору  для всех сегментов временного ряда, входящих в матрицу ансамбля A, имеет вид
Коэффициент ковариации i-го и j-го коэффициентов определяется соотношением
i
Из соотношения (30) следует, что коэффициенты ковариации для i≠j всегда равны нулю, а при i=j коэффициенты равны λ.
Таким образом, выявлены необходимые предпосылки, чтобы обосновать технический результат.
Если исследуемый временной ряд образуется из независимых друг от друга на конечном интервале анализа аддитивных компонент, то следует ожидать, что коэффициенты ковариации этих компонент будут (при достаточно большом N) статистически сходиться к нулю, то есть соответствуют соотношению (30). Из этого следует, что такие независимые компоненты нужно искать среди собственных векторов ковариационной матрицы, причем средний квадрат этих компонент будет совпадать с собственными значениями ковариационной матрицы.
Вывод 1: Если сигнал образован независимыми на конечном интервале анализа компонентами, то их следует искать среди собственных векторов ковариационной матрицы.
Следствие 1: Всякие другие ортонормированные на конечном интервале анализа компоненты (например, гармонические) представляют собой коррелированные смеси собственных векторов ковариационной матрицы.
Следствие 2: Если среди собственных векторов ковариационной матрицы нет гармонических собственных векторов, то гармонические ортонормальные на конечном интервале анализа компоненты являются коррелированными смесями собственных векторов ковариационной матрицы.
Следствие 3: Если на выходе блока 3 АССВиКС среди собственных векторов ковариационной матрицы отсутствуют гармонические векторы, то их нет среди независимых компонент на конечном интервале анализа в анализируемом временном ряде. Если среди собственных векторов ковариационной матрицы есть векторы, похожие на гармонические по каким-либо критериям, то они и есть некоррелированные компоненты.
Соотношения (20-25) описывают процесс смешивания некоррелированных компонент в анализаторе энергетического спектра.
Входящие в сумму (22) слагаемые  уместно назвать функцией распределения оценки энергетического спектра по некоррелированным компонентам (собственным векторам). Сокращенно это распределение будем обозначать ФРОЭС/СВ. Как будет показано далее, ФРОЭС/СВ является характеристикой применимости анализатора энергетического спектра при анализе некоррелированных компонент временного ряда.
(S)
(С)
Аналогично величины  и  уместно назвать распределениями квадратурных компонент оценки энергетического спектра по некоррелированным компонентам (собственным векторам). Сокращенно эти распределения будем обозначать ФРОЭС/CB и ФРОЭС/СВ, соответственно.
Если в качестве искомых частот используются дискретные частоты, такие, что синусоидальные и косинусоидальные векторы размерности М образуют ортонормированный базис, то сумма
k
для всех частот ƒ может использоваться для формирования оценки нормированного энергетического спектра
(S)
(C)
В случае, когда в качестве энергетического спектра рассматривается нормированный энергетический спектр (32), будем использовать для введенных распределений сокращенные наименования ФРОНЭС/СВ, ФРОНЭС/СВ и ФРОНЭС/СВ.
i
i
Пусть в блоке 4 АССВиКС отобраны R собственных векторов, номера которых образуют список g, , где i - номер по порядку в списке, а величина g - номер собственного вектора.
И
В этом случае в спектральной оценке (22) отобранным собственным векторам, локализованным на частоте ƒ, будет соответствовать величина
Составляющая (33) представляет собой «полезную» часть оценки, которую формирует анализатор энергетического спектра. Таким образом, отношение «бесполезной» части (то есть погрешности) к «полезной» части на выходе анализатора энергетического спектра будет равно
Чем больше значение величины (34), тем с большей погрешностью оценивается некоррелированная компонента с использованием анализатора энергетического спектра. Величину (34) будем далее называть коэффициентом псевдооценки в анализаторе энергетического спектра. Этот коэффициент зависит от обрабатываемого временного ряда и сигнализирует о том, насколько целесообразно использовать при обработке временного ряда АССВиКС. Малые величины коэффициента псевдооценки в анализаторе энергетического спектра говорят о том, что при обработке временного ряда можно использовать анализатор энергетического спектра, а большие - о том, что анализатор энергетического спектра будет давать неверные оценки, и необходимо использовать АССВиКС.
Из сказанного следует, что коэффициент псевдооценки в анализаторе энергетического спектра и ФРОНЭС целесообразно внести в число спектральных характеристик, которые оцениваются в блоке оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей 6.
На фиг. 8-10 приведены ФРОНЭС/СВ для конкретных искомых частот. На верхних графиках приведены ФРОНЭС/СВ, упорядоченные по номерам собственных векторов, на среднем ФРОНЭС/СВ для случая, когда собственные векторы упорядочены по частоте, на которой находится максимум амплитудного спектра собственного вектора. На нижних графиках ФРОНЭС/СВ, упорядоченные по частоте, изображены более подробно в районе максимума функции. Конкретные значения ФРОНЭС/СВ показаны кружочками. Значения, находящиеся на одной вертикальной линии, соответствуют собственным векторам, имеющим максимум амплитудных спектров на одной и той же дискретной частоте.
В таблицах 3 и 4 представлены значения величины (34), рассчитанные для одного из многолетних временных рядов вертикальной составляющей электрического поля на частотах лунных приливов и удвоенных частотах обращения двойных звездных систем.
Будем считать, что для обоснованного применения анализатора энергетического спектра при выявлении некоррелированных компонент, локализованных на заранее известных частотах, достаточно иметь величину . Это означает, что действующее значение погрешности оценки по крайней мере вдвое меньше действующего значения выявляемой компоненты. Тогда из таблицы 3 следует, что анализатор энергетического спектра может быть использован в 1/3 случаев при выявлении спектрально локализованных компонент, связанных с лунными приливами и частотой вращения Земли (приливы Q1, Р1, М2, K2, O1, M1, OO1, K1 и СВЗ). Аналогично, при выявлении составляющих, спектрально локализованных на удвоенных частотах двойных звездных систем, анализатор энергетического спектра применим только в 1/5 случаев. В отличие от анализатора энергетического спектра, АССВиКС обеспечивает выявление во всех рассмотренных случаях.
Фиг. 3 и 4 демонстрируют вид некоррелированных компонент, выявляемых АССВиКС для тех случаев, когда выигрыш от применения АССВиКС невелик. Как видно из графиков, в этом случае собственные векторы похожи на гармонические. Этим графикам соответствуют строки 12 и 4 из таблицы 3, соответственно.
На фиг. 5 и 6 приведен вариант некоррелированных компонент, выявленных АССВиКС для случая, представленного в строках 13 и 37 таблицы 4, соответственно. Как видно из графиков, в этих случаях собственные векторы значительно отличаются от гармонических.
Из сказанного можно сделать вывод о том, что использование АССВиКС позволяет в разы повысить вероятность выявления спектрально локализованной компоненты на искомой частоте и чем сложнее ситуация, тем выше (по сравнению с анализатором энергетического спектра) будет выигрыш АССВиКС. Как следует из вышеизложенного, ФРОНЭС/СВ и коэффициент псевдооценки позволяют формировать в блоке 6 общую оценку применимости анализатора энергетического спектра в конкретной ситуации, что является новым техническим результатом.
Сравним АССВиКС с квадратурной схемой, представленной на фиг. 1 б). Фиг. 7 иллюстрирует поведение квадратурной схемы при обработке одного и того же временного ряда на трех частотах, соответствующих частоте лунного прилива K1 и частоте суточного вращения Земли (верхний график), частоте лунного прилива 2N2 (средний график) и частоте двойной звездной системы UV Leo [11] (нижний график). По осям ординат всех трех графиков - величины оценок амплитудного спектра (среднее и действующее значения оценки, а также ее стандартное отклонение), получаемые при использовании квадратурной схемы. По осям абсцисс - время анализа в часах.
Как показывает сравнение графиков, для случая частот лунного прилива К1 и частоты суточного вращения Земли оценка при увеличении интервала анализа сходится к некоторой ненулевой величине, а для других двух случаев - монотонно уменьшается. Это означает, что квадратурная схема реагирует на составляющие на частоте лунного прилива 2N2 и частоте двойной звездной системы UV Leo как на шум и не выявляет тех компонент, которые можно выявить с использованием АССВиКС [14].
В таблицу 5 сведены обобщенные характеристики трех анализаторов при анализе трех типов компонент вертикальной составляющей электрического поля Земли на станции наблюдений Воейково. Как видно из таблицы, АССВиКС всегда позволяет произвести выявление спектрально локализованных некоррелированных компонент.
Можно констатировать, что использование АССВиКС дает явное преимущество по сравнению с анализаторами амплитудного и энергетического спектров.
Предположим, есть основания полагать, что все некоррелированные компоненты, локализованные на искомых частотах, возникают не случайно, а в результате действия определенного физического явления, так что необходимо принять решение о наличии или отсутствии такого явления. Покажем, как использовать критерий «индекс когерентности», вычисленный в блоке 4, для принятия такого решения в блоке 6 по результатам выявления нескольких спектрально локализованных на известных частотах собственных векторов.
Таблица 3
Результаты сравнения АССВиКС и анализатора энергетического спектра при выявлении спектрально локализованных составляющих на частотах лунных приливов и частоте вращения Земли при обработке многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля на станции наблюдений Воейково. Величины М = 1000, Δt = 1 час. Медианное значение индекса когерентности равно 64.
Таблица 4
Результаты сравнения АССВиКС и анализатора энергетического спектра при выявлении спектрально локализованных составляющих на двойных частотах обращения двойных звездных систем при обработке многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля на станции наблюдений Воейково. Величина М = 1000, время дискретизации - 1 час. Медианное значение индекса когерентности равно 64. Двойные частоты рассчитаны по данным [13] для двойных звездных систем с периодами обращения более  суток. Вероятность ложной тревоги при обнаружении удвоенных частот обращения двойных звездных систем, представленных в данной таблице, определенная при использовании схемы Бернулли, составляет .
Таблица 5
Сравнение трех типов анализаторов при выявлении и анализе трех типов компонент вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы на станции наблюдений Воейково. + означает, что компонента выявляется, - означает, что компонента не выявляется.
В качестве примера рассмотрим группу частот, равных удвоенной частоте обращения двойных звездных систем, представленных в третьем столбце таблицы 4. В классической работе [11] предлагается рассматривать двойные звездные системы в качестве источников гравитационных волн. Показано, что излучение гравитационных волн должно происходить преимущественно на удвоенной частоте обращения двойных звездных систем.
Поставим вопрос: есть ли в электрическом и магнитном полях Земли некоррелированные компоненты, спектрально локализованные на удвоенных частотах обращения двойных звездных систем?
Для ответа на этот вопрос необходимо воспользоваться какой-либо общепринятой схемой статистического вывода. Проще всего использовать широко распространенную схему испытаний Бернулли [6].
Вероятность возникновения в серии из n испытаний Бернулли k успехов определяется формулой [6]
n
где S - число успехов в серии из n испытаний Бернулли,
p - вероятность успеха,
q=1-p - вероятность неудачи.
Оценим результаты, представленные в шестом столбце таблицы 4, с точки зрения схемы Бернулли.
Будем считать успехом, если у отобранного собственного вектора индекс когерентности больше, чем медиана индекса когерентности, определенная по всем собственным векторам. Неуспехом будем считать событие, противоположное успеху.
В этом случае , формула (35) упрощается и принимает вид
Соотношение (36) показывает, какова вероятность случайного возникновения серии успехов.
Какова же вероятность случайного возникновения тех значений индексов когерентности собственных векторов, которые приведены в последнем столбце таблицы 4? Это величина  Таким образом, случайное превышение индексом когерентности медианного значения в 78 случаях из 89 весьма маловероятно.
Конечно же, полученное весьма малое значение вероятности еще не является доказательством наличия гравитационных волн, но полученный результат свидетельствует о наличии физического эффекта, такого же, какой прогнозируется для гравитационных волн.
Эффект присутствует и на других многолетних временных рядах. Проверки, сделанные на удвоенных частотах обращения двойных звездных систем, приведенных в таблице 4, для многолетних временных рядов вертикальной составляющей электрического поля на станциях наблюдений Душети и Верхнее Дуброво, привели к вероятностям  (Душети) и  (Верхнее Дуброво).
Таким образом, с помощью АССВиКС можно с исчезающе малой вероятностью ошибки вынести решение о том, что обнаружен эффект спектральной локализации некоррелированных компонент вертикальной составляющей электрического поля Земли на удвоенных частотах обращения двойных звездных систем, который не противоречит гипотезе о наблюдении гравитационных волн.
Следовательно, АССВиКС - как исследовательский прибор - способен выявлять те эффекты, которые невозможно обнаружить с использованием анализаторов амплитудного и энергетического спектров.
В ходе интерпретации в блоке 6 визуализируют:
1. Отобранные собственные векторы (по примеру фиг. 3-6).
2. Спектральные характеристики, определяемые по соотношениям таблицы 2 (по примеру фиг. 11 и 12).
3. ФРОНЭС/СВ (по примеру фиг. 8-10).
4. Поведение спектральной оценки при использовании анализатора амплитудного спектра (по примеру фиг. 7).
5. Другие графики: спектры собственных значений и нормированные спектры собственных значений.
6. Амплитудные спектры отдельных собственных векторов.
7. Функции распределения критериев «индекс когерентности» и «максимум коэффициента корреляции».
На фиг. 11 и 12 показаны некоторые типичные варианты визуализации собственных векторов, нормированных спектров собственных значений, критерия «индекс когерентности», а также спектральных характеристик, которые могут быть реализованы в блоке 6.
Подведем итоги:
1. Технический результат от использования АССВиКС состоит в том, что АССВиКС позволяет выявлять энергетически недоминирующие некоррелированные спектрально локализованные на заданных частотах компоненты, которые не выявляются известными средствами спектрального анализа - анализатором амплитудного спектра и анализатором энергетического спектра.
2. Проигрыш анализатора энергетического спектра по отношению к АССВиКС обусловлен тем, что при формировании спектральных оценок анализатор энергетического спектра смешивает в формируемой оценке различные некоррелированные компоненты. Такое смешивание снижает селективность анализатора и приводит к недопустимому увеличению погрешности спектральной оценки; эта погрешность растет по мере усложнения корреляционных свойств анализируемого сигнала.
3. АССВиКС позволяет принимать обоснованное статистическое решение о наличии группы некоррелированных компонент, спектрально локализованных на заданных частотах. В том случае, если имеется физически обоснованная гипотеза о возникновении такой группы компонент, такое статистическое решение должно рассматриваться как обоснованное подтверждение физической гипотезы.
4. Технический результат в АССВиКС достигается за счет того, что временной ряд на конечном интервале анализа представляется в виде собственных векторов (некоррелированных компонент), которые обрабатываются и интерпретируются в блоке 6 с целью формирования спектральных оценок и принятия решений, а также обоснованной оценки выигрыша АССВиКС по отношению к анализаторам амплитудного и энергетического спекттров.
Таким образом, АССВиКС целесообразно применять в тех случаях, когда известные методы спектрального анализа не дают результата. При этом в ходе использования АССВиКС автоматически формируется оценка применимости анализаторов амплитудного и энергетического спектров в конкретной ситуации.
АССВиКС, как универсальное устройство, расширяющее возможности айгеноскопа [1], безусловно найдет свое применение при решении весьма актуальных задач разведочной геофизики (некоторые возможности представлены в [15]), при решении задач поиска предвестников сильных землетрясений (предварительные данные приведены в [16]) и во многих других приложениях.
Источники информации
1. Исакевич В.В., Исакевич Д.В., Грунская Л.В. Анализатор собственных векторов и компонент сигнала. Полезная модель №116242 RU.
2. Бор Г. Почти периодические функции: Пер. с нем. / Под. ред. А.И. Плеснера. Изд. 3-е. - М.: «ЛИБРОКОМ», 2009. - 128 с.
3. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Издательство Московского университета, 1978. - 205 с.
4. Харкевич А.А. Спектры и анализ. Изд. 5-е. - М.: «ЛИБРОКОМ», 2009. - 240 с.
5. Харкевич А.А. Борьба с помехами. Изд. 3-е. - М.: «ЛИБРОКОМ», 2009. - 280 с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 831 с.
7. Сасскинд А., Фридман А. Квантовая механика. Теоретический минимум / пер. с англ. А. Сергеев. - Спб. : Питер. 2015. - 400 с.
8. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница». / Под. ред. Д.Л. Данилова и А.А. Жиглявского. Издательство СпбГУ. 1997.
9. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Издательство «Лань». 2009. - 736 с.
10. Холево А.С. Квантовые системы, каналы, информация. МЦНМО, 2010.
11. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука. 1971. -486 с.
12. Мельхиор П. Земные приливы. М.: Мир. 1968. - 482 с.
13. http://www.johnstonsarchive.net/relativity/binpulstable
14. Грунская Л.В., Исакевич В.В., Исакевич Д.В., Рубай Д.В. Анализ собственных векторов и главных компонент вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы: Частоты лунных приливов. М.: Издательство «Перо», 2015. - 356 с.
15. Исакевич В.В., Исакевич Д.В., Грунская Л.В. О некоторых возможностях айгеноскопии / Приборы и системы разведочной геофизики. 2016, №2, с. 69-75.
16. Исакевич Д.В. Основы анализа собственных векторов и компонент регулярных колебаний. М.: Издательство «Перо», 2014, ISBN 9-785000-862803? 138 с.
222
17. Фирстов П.П., Исакевич В.В., Макаров Е.О., Исакевич Д.В., Грунская Л.В. Применение методики айгеноскопии для поиска предвестников сильных землетрясений в поле почвенного радона (Rn) на Камчатке (август 2012 - август 2013 гг) / Сейсмические приборы, 2014, т. 50, №3, с. 63-75.
Описание фигур и чертежей
Фиг. 1. Прототипы и аналоги:
а). Анализатор собственных векторов и компонент сигнала по патенту №116242: 8 - блок маштабирования, 9 - блок вычислителя матрицы смешанных моментов, 3 - блок вычислителя собственных векторов и собственных значений, 10 - блок вычислителя скалярных произведений и анализатора признаков.
б). Квадратурная схема анализатора амплитудного спектра: 11 - перемножитель, 12 -  блок опорных сигналов, 13 - интегратор, 14 - квадратор, 15 - сумматор.
в). Анализатор энергетического спектра.
г). Эквивалентная алгебраическая схема анализатора энергетического спектра: 16 - вычислитель квадратичной формы.
Фиг. 2. Анализатор спектра собственных векторов и компонент сигнала по формуле полезной модели: 1 - блок формирования ансамбля; 2 - блок вычисления ковариационной матрицы;
3 - блок вычисления собственных векторов и собственных значений; 4 - блок отбора собственных векторов; 5 - блок памяти и программного управления; 6 - блок оценки и интерпретации спектральных характеристик и погрешностей.
Фиг. 3. Собственные векторы, выявляемые с использованием анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала из многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля Земли на станции наблюдений Воейково на частоте лунного прилива К1 и суточной частоте вращения Земли. Собственные векторы близки к гармоническим. Составляющие соответствующие этим собственным векторам, выявляются как с помощью анализатора энергетического спектра (см. строку 12 таблицы 3), так и с использованием квадратурной схемы (см. фиг. 7 а)).
Фиг. 4. Собственные векторы, выявляемые с использованием анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала из многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля Земли на станции наблюдений Воейково на частоте лунного прилива М2. Собственные векторы близки к гармоническим. Составляющие, соответствующие этим собственным векторам, могут быть выявлены и с помощью анализатора энергетического спектра (см. строку 4 таблицы 3).
Фиг. 5. Собственные векторы, выявляемые с использованием анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала из многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля Земли на станции наблюдений Воейково на удвоенной частоте вращения двойной звездной системы J1012+5307. Собственные векторы не похожи на гармонические. Некоррелированные составляющие, соответствующие этим собственным векторам, выявляются только с использованием анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала.
Фиг. 6. Собственный вектор, выявляемый с использованием анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала из многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля Земли на станции наблюдений Воейково на удвоенной частоте вращения двойной звездной системы J1909-3744. Собственный вектор не похож на гармонический. Некоррелированная составляющая, соответствующая этому собственному вектору, выявляется только с использованием анализатора спектра собственных векторов и компонент сигнала.
Фиг. 7. Зависимость оценки амплитудного спектра вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы от длительности интервала анализа на станции наблюдений Душети, осуществляемая с использованием прототипа:
а). На частоте лунного прилива К1 и частоте суточного вращения Земли.
б). На частоте лунного прилива 2N2.
в). На частоте двойной звездной системы UV Leo.
Фиг. 8. ФРОНЭС на частоте лунного прилива К1 и частоте суточного вращения Земли для многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы на станции наблюдений Воейково (конечный интервал анализа равен 1000 часов):
а). ФРОНЭС по номерам собственных векторов.
б). Функция распределения откликов по частотам максимумов амплитудных спектров собственных векторов.
в). Функция распределения откликов по частотам максимумов амплитудных спектров собственных векторов в окрестности максимума.
Фиг. 9. ФРОНЭС на частоте лунного прилива 2N2 для многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы на станции наблюдений Воейково (конечный интервал анализа равен 1000 часов):
а). ФРОНЭС по номерам собственных векторов.
б). Функция распределения откликов по частотам максимумов амплитудных спектров собственных векторов.
в). Функция распределения откликов по частотам максимумов амплитудных спектров собственных векторов в окрестности максимума.
Фиг. 10. ФРОНЭС на частоте двойной звездной системы UV Leo для многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы на станции наблюдений Воейково (конечный интервал анализа равен 1000 часов):
а). ФРОНЭС по номерам собственных векторов.
б). Функция распределения откликов по частотам максимумов амплитудных спектров собственных векторов.
в). Функция распределения откликов по частотам максимумов амплитудных спектров собственных векторов в окрестности максимума.
Фиг. 11. Спектральные характеристики (14) для многолетнего временного ряда вертикальной составляющей электрического поля в приземном слое атмосферы на станции наблюдений Воейково. Критерий «минимум частотной расстройки» .
а). Спектральная характеристика для удвоенных частот всех двойных звездных систем из таблицы 4. Вертикальными тонкими линиями показаны удвоенные частоты обращения (третий столбец таблицы 4).
б). Спектральная характеристика для удвоенной частоты двойной звездной системы J1911-5958A. Вертикальной пунктирной линией показана удвоенная частота обращения (третий столбец, строка 38 таблицы 4).
в). Спектральная характеристика для удвоенной частоты двойной звездной системы J2140-2310 В. Вертикальной пунктирной линией показана удвоенная частота обращения (третий столбец, строка 41 таблицы 4).
-5
Фиг. 12. Иллюстрация работы блока 6. В верхнем левом окне - собственный вектор №592, локализованный на второй гармонике частоты обращения двойной звездной системы J1756-2251 и имеющий нормированное собственное значение -37.9 дБ. В верхнем правом окне - нормированный к своему максимуму амплитудный спектра собственного вектора №592. По оси абсцисс - частота в Гц, по оси ординат - значение нормированного амплитудного спектра. Индекс когерентности равен 97.5 (показан над окном). Вертикальными пунктирными линиями показаны допустимые границы положения максимума амплитудного спектра. Вертикальной сплошной линией показана искомая частота (в данном случае 7.242 10 Гц). В нижнем левом окне - нормированный спектр собственных значений. Отмечено нормированное собственное значение, соответствующее отобранному собственному вектору (имеет значение -37.9 дБ). По оси абсцисс - номер собственного значения, по оси ординат - нормированное собственное значение в дБ. В нижнем правом окне - индексы когерентности всех собственных векторов ковариационной матрицы исследуемого временного ряда. Отмечено значение индекса когерентности, величина которого 97.5, для отобранного собственного вектора №592. По оси абсцисс - номер собственного вектора, по оси ординат - индекс когерентности. Горизонтальная линия - медиана индекса когерентности (равна 63.9; цифровое значение приводится над окном). Как видно из графиков, величина индекса когерентности собственного вектора №592 превышает медианный уровень.
Осуществление изобретения
Анализатор спектра собственных векторов и компонент сигнала реализуется в виде аппаратного или программно-аппаратного универсального комплекса, в котором блоки взаимодействуют так, как описано в таблице 6.