Трансляционно-совместимые многогранники Дирихле-Вороного для различных ориентаций осей голоэдрий

Вестник КемГУ № 4 2009 Физика

УДК 548.1.02:548.713

ТРАНСЛЯЦИОННО-СОВМЕСТИМЫЕ МНОГОГРАННИКИ ДИРИХЛЕ-ВОРОНОГО ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ ОСЕЙ ГОЛОЭДРИЙ

А. С. Поплавной, Р. И. Филиппов

Работа выполнена при поддержке целевой программы “Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.), проект 2.1.1.1230”.

Представлен способ решения задачи о построении трансляционно-совместимых многогранников Ди-рихле-Вороного, отвечающих подрешеткам сложных кристаллических соединений. С использованием параметров Зеллинга эта задача сводится к задаче линейного программирования, которая может быть решена на персональном компьютере при условии ограничений на величину отношения объемов трансляционносовместимых многогранников. Получены частные решения для кубической и тетрагональной систем, отвечающие различным ориентациям реперов Браве и сортов многогранников.

A way of solving problem concerning a construction of translational-compatible Dirichlet-Voronoi polyhedra corresponding to complex crystal compound sublattices has been developed. By using the Zelling parameters one accomplishes a problem of linear programming which can be solved by means of a personal computer on condition that a value of relation of translational-compatible polyhedra volume is restricted. Particular solutions for cubic and tetragonal systems characteristic of various orientations of holohedral axes have been found.

Ключевые слова: решетки Браве, трансляционно-совместимые подрешетки, многогранники Дирихле-Вороного, линейное программирование.

Многогранники Дирихле-Вороного (МДВ) или зоны Бриллюэна (ЗБ) используются при решении многих задач кристаллографии, кристаллофизики и кристаллохимии. Для определения сорта МДВ(ЗБ) принято использовать известный алгоритм Делоне [1]; комбинаторно-симметрийная классификация этих многогранников представлена в статье [2]. С областью Дирихле решетки принято связывать приведенный четырехсторонник этой решетки, называемый основным четырехсторонником Зеллинга.

Этот четырехсторонник определяется приведенными параметрами Зеллинга, которые являются геометрическими константами решетки [1].

Сказанное относится к простым решеткам.

Сложная кристаллографическая структура может быть представлена как совокупность вложенных подрешеток, представляющих собой решетки Браве

[3]. Такое представление оказалось продуктивным при исследовании особенностей спектров элементарных возбуждений сложных кристаллов [4], в том числе колебательных спектров [5]. Методы исследования, представленные в [3], [4], [5], предполагают построение трансляционно-совместимых МДВ и соответствующих им ЗБ. Это необходимо при теоретико-групповом анализе симметрии каждой под-решетки и кристалла в целом, в частности, при перестройке ЗБ подрешеток в ЗБ кристалла, разложении соответствующих неприводимых звезд представлений и групп точечных симметрий.

В настоящей работе нами представлен метод построения трансляционно-совместимых МДВ(ЗБ), отвечающих подрешеткам сложных кристаллических соединений.

При построении сложных кристаллических структур из подрешеток Браве необходимо наложить на последние требование трансляционной совместимости. Пусть (a, b, c ) и (A, B, C) реперы двух решеток Браве. Эти решетки будут трансляци-онно совместимы при условии, если они связаны

между собой посредством матрицы М = п^ с целочисленными коэффициентами:

а4

f A' ' n11 n12 n ^ '43

B = n21 n22 n 23

v C V V n31 n32 n "33 V

с

V У

Матрицу М будем называть матрицей трансляционной совместимости [3]. Если ёв1 (М) = 1, то обе решетки полностью совпадают, в противном случае, определитель матрицы М показывает отношение объемов их элементарных ячеек.

Сорт решетки определяется как симметрико-топологическая характеристика ее МДВ [1]. Принадлежность решетки к тому или иному из 24 сортов можно определить на основе анализа ее параметров Зеллинга (g, И, к, I, т, п), которые определяются как скалярные произведения между векторами а, Ь, с и ё = -(а + Ь + с) :

g = (Ь, с) И = (а, с), к = (Ь, а),

I = (а, ё), т = (Ь, ё), п = (с, ё).

Особенностью таблицы является то, что сумма элементов в каждой ее строчке равна нулю. Параметры Зеллинга считаются приведенными, если выполняется условие

g, И, к, I, т, п < 0.

В работе [1] даны условия на приведенные параметры Зеллинга для всех возможных 24 сортов. Выполнение этих условий необходимо и достаточно для принадлежности кристалла к тому или иному сорту.

Вестник КемГУ № 4 2009 Физика

Предположим, что решетки с реперами

и (A, B, С) относятся к определенным сортам и отношение объемов их элементарных ячеек невелико. Это означает, что det (M ) не превышает некоторого целого числа. Исключим также случай больших значений n.., что приведет к конечному

множеству матриц трансляционной совместимости.

Тогда количество систем уравнений вида (1) будет конечным. В качестве решения каждой из систем будут выступать некоторые возможные реперы

(â0, К c0) и (A0, B0, С0), такие, что для них будет выполняться условие трансляционной совместимости, заданной матрицей M.

Переведем условие (1) на язык параметров Зел-линга. Для этого вычислим попарные произведения

векторов A, B, С, D :

G — (B, С ) — n21n31a2 + n21n32 k + n2ln33h +

+n22n3lk + n22n32b ^ n22n33g ^ +n23n3lh + n23n32g ^ n23n33c

ж — (С ,D) —...

Множители a2, b2, c2, можно преобразовать по следующему свойству: a — -(k + h +1 ),

b2 — -(k + g + m),

c2 — -(/ + m + n).

В результате в системе (3), которая состоит из шести уравнений, будут присутствовать только значения из матрицы трансляционной совместимости и параметры Зеллинга обеих решеток Браве.

Добавим к (3) условия на сорт. Будем добавлять условия таким образом, чтобы (3) трансформировалась в задачу линейного программирования. Возможны следующие варианты:

1) g — h - два параметра равны друг другу:

a) е сли равны параметры для решетки с репером A, B, С , то добавим дополнительное уравнение: X — G - H — y(nabna'b' - nxynxy ) gi,

где gi - условное обозначение для параметров Зеллинга (gl — g, g2 — h,...) и потребуем выполнения условия X — 0 ;

b) если равны некоторые параметры g., g.

для решетки с репером a, b, c , то добавим уравне-

ние X = gi — g  = 0 для соответствующих параметров Зеллинга.

2) g <0 и g = 0 — такие условия просто добавляются к системе.

После добавления условий система все еще будет иметь бесконечно много решений относительно неизвестных g, И, к, I, т, п. Для выделения частного решения добавим минимизирующую функцию:

!тгп = g + И + к + 1 + т + п .

В общем виде задача линейного программирования запишется как:

Яп =0 - Я, <0

О =0 О = Vп п , ,я .

г г ХУ х у <-> J

Ок < 0 Ок = Vпхупхуё.

Х1 = 0 Х1 = V (паЬпа'Ь'— пхупху) ё.

Хт =0 Хт = £„— а

2с^тт = я + И + к + 1 + т + п .

Далее эта задача записывается для конкретных сингоний и сортов решеток.

Решетки кубической сингонии

Рассмотрим решетки Браве, которые относятся к трем возможным сортам кубической сингонии. Рассмотрим полученные результаты в зависимости от

сорта решетки (а, Ь, с ).

Наибольшее количество дополнительных уравнений в задаче линейного программирования оказывается в случае совмещения двух объемноцен-трированных кубических решеток. Система будет состоять из 16 уравнений (6 основных, для выполнения условия трансляционной симметрии, и 10 дополнительных для выполнения условий для сортов). Ограничимся значениями —3 < п. < 3 для элементов матрицы трансляционной совместимости. При

таких ограничениях получаем 79 = 40353607 матриц и столько же задач линейного программирования.

Частные решения уравнений (5) искались для случаев разных сочетаний сортов К1, КШ, КУ кубической сингонии. Тривиальными решениями для сочетаний К1-К1, КШ-КШ, КУ-КУ являются МДВ с параллельными осями голоэдрий и целочисленным масштабированием. Однако для этих сочетаний имеются и решения с осями голоэдрий, расположенными под углами друг к другу, которые приведены на рисунках.

Решетки тетрагональной сингонии

Решетки тетрагональной сингонии характеризуются двумя параметрами, в отличие от решеток кубической сингонии, которые можно задавать одним параметром. Таким образом, уравнений в задаче линейного программирования для тетрагональных решеток Браве будет меньше, что приводит к росту

Вестник КемГУ № 4 2009 Физика

возможных решений. В качестве примера рассмотрим взаимные ориентации для двух сортов 01 и 011: (01) ё = к = I = п <0, И = т <0

ЮН ё = к = I = п <0, И = 0, т <0

):

Объемноцентрированная

ё = И = к = I = т = п <0:

0 1 -1

-1 -2 -1

2 1 1

-1 0

-1 -1

0 -1

Гранецентрированная

ё = к = I = п <0, И = т = 0:

0 -1

Простая кубическая

ё = И = к = 0, I = т = п <0:

1 1 0

0 -1 1

-1 1 0

-2 -1

1 2

2 -2

-2 0 0

0 -2 0

0 0 -2

Для приведенных ограничений на п. , было по-

ч

лучено 23 различных решения. Различными считались только те варианты, которые давали такую взаимную ориентацию многогранников Дирихле-Вороного, что ее было невозможно путем поворотов совместить ни с одной из уже ранее найденных пар. На рисунке ниже изображены несколько найденных решений.

Заключение Условие трансляционной совместимости подре-шеток, записанное в форме (1), позволяет исследовать совместимость 14 типов решеток Браве с учетом схемы подчинения сингоний. Переход к системе (5) с практической точки зрения удобен как сведение уравнения (1) к задаче линейного программирования, удобной для реализации на компьютере. Более глубокий смысл этого перехода заключается в том, что параметры Зеллинга позволяют учитывать более тонкую классификацию решеток на сорта Делоне, которых оказывается 24. Фактически типы Браве являются просто объединениями сортов. Именно по сортам идет классификация МДВ [2], что опять же важно при практическом их построении. Найденные в настоящей работе частные решения (5) включают в себя трансляционносовместимые МДВ как с параллельными осями голоэдрий, так и с осями, расположенными под некоторыми углами.

п

п

п

п

п

VI

п^А =

1-3

Литература

1. Делоне, Б. Н. О. Браве. Избранные труды / Б. Н. Делоне, Р. В. Галиулин, М. И. Шторгин. — Л., 1974. - С. 309.

2. Галиулин, Р. В. Кристаллография / Р. В. Галиулин. - 1984. - Т. 29. - № 4. - С. 638.

3. Поплавной, А. С. Кристаллография /

А. С. Поплавной, А. В. Силинин. - 2005. - Т. 50. -№ 5. - С. 791.

4. Поплавной, А. С. Материаловедение /

А. С. Поплавной. - 2005. - № 9. - С. 2.

5. Поплавной, А. С. Известия вузов. Физика /

А. С. Поплавной. - 2008. - № 7. - С. 31.

2 2 1 0 2 1 2 1 0 -2 1 1 2 1

2 2 2 1 п 1 -1 -2 п 1 1 1 2

0 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1

Трансляционно-совместимые МДВ для 01-ЦП

п

Рецензент — В. И. Крашенин, ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет».