Численное моделирование гашения колебаний распределенной системы с помощью пьезоэлементов

Механика

DOI: 10.18721ЛРМ.12112 УДК 531.391+681.5.01

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ПЬЕЗОЭЛЕМЕНТОВ А.В. Федотов

Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Представленная статья продолжает работы автора, в которых рассматривалась задача об управлении вынужденными изгибными колебаниями металлической балки с помощью пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. При этом все результаты управления были получены экспериментально. Однако для того, чтобы процесс проектирования систем управления был наиболее эффективным, необходима разработка численной модели, позволяющей получать результаты для разных вариантов таких систем, что и является задачей данной работы. В данном исследовании численно на основе конечно-элементной модели объекта воспроизводятся основные экспериментальные результаты, а также проектируются более эффективные модальные системы управления, приводящие к большему снижению амплитуды резонансных колебаний балки, по сравнению с системами, рассмотренными ранее в эксперименте.

Ключевые слова: управление колебаниями, мехатроника, модальное управление, пьезоэлемент, конечно-элементная модель

Ссылка при цитировании: Федотов А.В. Численное моделирование гашения колебаний распределенной системы с помощью пьезоэлементов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2019. Т. 12. № 1. С. 142-155. БО1: 10.18721/ 1РМ.12112

THE DAMPING OF THE DISTRIBUTED SYSTEM VIBRATIONS USING PIEZOELECTRIC TRANSDUCERS: SIMULATION

A.V. Fedotov

Institute for Problems in Mechanical Engineering, RAS, St. Petersburg, Russian Federation

The present paper continues the author's studies where the problem of the control of forced bending vibrations of a metal beam using piezoelectric sensors and actuators has been investigated. In those studies, all the control results were obtained experimentally. However, in order to make the design of the control systems the most effective, it was necessary to develop a numerical model, which would allow one to get the results for different variants of such systems, and that was the objective of the present study. In this study, the main experimental data were reproduced numerically on a basis of the finite element model of the object. In addition, new modal control systems were designed, providing a more efficient reduction of the amplitude of resonance vibrations of a beam compared to the systems considered experimentally.

Keywords: active vibration control, mechatronics, modal control, piezoelectric transducer, finite element model

Citation: A.V. Fedotov, The damping of the distributed system vibrations using piezoelectric transducers: simulation, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 12 (1) (2019) 142-155. DOI: 10.18721/JPM.12112

Введение

Сложность управления колебаниями распределенных механических систем состоит в том, что такие системы имеют бесконечное количество форм колебаний, поэтому они не являются полностью управляемыми и наблюдаемыми. Однако на практике для рассмотрения динамики таких систем можно, как правило, ограничиться некоторым конечным набором собственных форм объекта. В работе [1] было экспериментально показано, что в таких случаях большую эффективность, по сравнению с локальным управлением, имеет модальное, причем по тем формам, которые преимущественно задействованы в работе рассматриваемой конструкции.

Модальный подход к управлению колебаниями упругих систем был впервые сформулирован в статье [2], а развитие данного подхода представлено в монографии [3]. Для отслеживания и регулирования отдельных форм колебаний упругого объекта в модальной системе управления могут использоваться как распределенные сенсоры и актуаторы в качестве модальных фильтров [4, 5], так и массивы дискретных элементов управления [6 — 8]. В последнем случае возникает проблема идентификации объекта управления, которая обычно решается либо с помощью конечно-элементного (КЭ) моделирования объекта [9 — 11], либо аналитически [12, 13]. Экспериментальная процедура идентификации объекта с целью создания модальной системы управления предложена нами в статье [14]. В задачах управления колебаниями распределенных систем широко применяются пьезоэлектрические сенсоры и актуаторы, которые просты в использовании и обладают высокими эксплуатационными характеристиками.

Настоящая работа является логическим продолжением экспериментального исследования, изложенного в статьях [1, 14]. В данных публикациях подробно описан эксперимент по созданию систем управления, снижающих вынужденные колебания консольно закрепленной металлической балки. В полученных системах управления используется набор дискретных пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов. В рамках эксперимента были созданы как локальные системы, так и модальная система управления; при этом самой эффективной из рассмотренных оказалась именно модальная.

Целью данной работы является числен-

ное воспроизведение основных экспериментальных результатов, а также создание более эффективных систем управления, по сравнению с системами, полученными в рамках эксперимента.

В первой части статьи рассматривается постановка экспериментального исследования по управлению вынужденными из-гибными колебаниями балки; далее описываются результаты КЭ-моделирования объекта управления, которые сравниваются с результатами эксперимента. Затем излагаются теоретические основы модального управления колебаниями распределенной механической системы, а также выводятся критерии устойчивости замкнутой системы с двумя контурами обратной связи. Наконец, в заключительном разделе статьи рассматривается работа различных систем управления, снижающих амплитуду резонансных колебаний балки.

Постановка эксперимента

Постановка, процедура проведения и результаты рассматриваемого здесь экспериментального исследования подробно изложены в статьях [1, 14].

Схема экспериментальной установки представлена на рис. 1,а. В качестве объекта управления выбрана алюминиевая балка 1 длиной 70 см с прямоугольным сечением 3 х 35 мм, закрепленная в вертикальном положении в одной точке на расстоянии 10 см от нижнего конца. Данная балка испытывает вынужденные изгибные колебания, вызванные продольной вибрацией пьезоэлектрического стержня-толкателя 2, входящего в состав конструкции закрепления, соединяющей балку с неподвижным основанием 3.

Основное назначение созданной экспериментальной установки заключалось в том, чтобы отработать модальный подход к управлению вынужденными колебаниями балки. Для этого проектировалась система управления с двумя контурами, включающая два актуатора и два сенсора. Пьезоэлектрические актуаторы 4 и сенсоры 5 расположены попарно по обеим сторонам балки. На рис. 1,Ъ показан фрагмент КЭ модели балки, включающий конструкцию закрепления с пьезотолкателем 2 и один из актуаторов 4. В отличие от упрощенной схемы, представленной на рис. 1,а, в конечно-элементной модели присутствует полная конструкция закрепления балки,

используемая в экспериментальном установке. Конструкция включает (помимо пьезотолкателя) стальную пластину и болты, воспринимающие вес балки и освобождающие таким образом пьезотолкатель от поперечной нагрузки.

Сигналы, измеряемые сенсорами, преобразуются в управляющие, подаваемые на актуаторы, с помощью дискретного контроллера 6. Задача системы управления состоит в том, чтобы снижать амплитуду вынужденных резонансных колебаний балки с первой и со второй собственными частотами. Таким образом, модальное управление ведется по первой и по второй формам изгибных колебаний балки. Данные формы представлены на рис. 1,с. Качество подавления вынужденных колебаний определяется по показаниям лазерного виброметра, измеряющего скорость колебаний точки на верхнем конце балки. Амплитуда колебаний данной точки максимальна среди всех точек балки как для первой, так и для второй формы.

Актуаторы и сенсоры представляют собой одинаковые прямоугольные пластинки из пьезоматериала размерами 50 * 30 *0,5 мм, покрытые с двух сторон электрода-

ми и помещенные внутрь тонкой изоляции. Работа таких пьезоэлементов рассмотрена в книге [15]. При приложении к электродам актуатора электрического напряжения слой пьезоматериала растягивается или сжимается, приводя к изгибной деформации того участка балки, к которому приклеен акту-атор. Таким образом, действие актуатора на балку эквивалентно приложению к двум сечениям балки (концевым сечениям акту-атора) пары противоположных изгибающих моментов. Работа пьезосенсора аналогична: при изгибе участка балки, к которому прикреплен сенсор, материал сенсора растягивается или сжимается в продольном направлении, что приводит к появлению на электродах сенсора разности потенциалов, измеряемой в качестве сигнала сенсора. Для максимальной эффективности управления первой и второй формами изгибных колебаний балки сенсоры и актуаторы расположены в тех местах балки, где данные формы имеют наибольшую кривизну:

110,5 < х < 160,5 мм для первой пары сенсор-актуатор и

377,5 < х < 427,5 мм для второй пары (координата х отсчитыва-ется от нижнего конца балки).

Рис. 1. Схема экспериментальной установки (а), а также фрагмент конечно-элементной

модели объекта (Ь) и две низших формы изгибных колебаний балки (с): 1 — алюминиевая балка; 2 — пьезоэлектрический толкатель; 3 — неподвижное основание; 4 —

актуаторы; 5 — сенсоры; 6 — контроллер

Помимо основных элементов (см. рис. 1), в систему управления входят также дополнительные:

усилитель, увеличивающий в 25 раз амплитуду управляющего сигнала перед его подачей на актуаторы;

фильтры нижних частот с частотой среза 1 кГц, сглаживающие высокочастотную составляющую электрического сигнала и предохраняющие оборудование от высоких значений входного напряжения.

Через фильтр проходит как измеренный сигнал перед подачей на контроллер, так и управляющий сигнал перед подачей на ак-туаторы.

Для того чтобы проектировать системы управления, необходимо измерить ряд характеристик объекта управления.

Во-первых, измерялись амплитудно- и фазочастотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) балки при воздействии на каждый из актуаторов и при измерении сигнала каждым из сенсоров.

Во-вторых, снимались также АЧХ и ФЧХ балки при воздействии на пьезотолкатель и измерении сигнала с помощью виброметра. Таким образом, всего было получено девять амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик для каждого из трех вариантов внешнего воздействия (актуаторы, пье-зотолкатель) и каждого из трех вариантов измерения (сенсоры, виброметр). При этом все характеристики измерялись в присутствии фильтров и усилителей.

В-третьих, анализировались колебания балки в резонансных режимах (резонансные колебания с первой и второй собственными частотами) для того, чтобы определить модальные матрицы Т и Б, в соответствии с идентификационной процедурой, изложенной в статье [14].

После этого на основании измеренных характеристик объекта методом логарифмических амплитудно-частотных характеристик (метод ЛАХ) синтезировались и затем тестировались экспериментально законы управления, позволяющие наиболее эффективно снижать вынужденные резонансные колебания балки.

В результате были получены как локальные системы, так и модальная система управления.

Наиболее эффективной оказалась модальная система; она позволила снизить амплитуды резонансных колебаний на первом резонансе на 83,5 %, а на втором

— на 87,2 %. Спроектированные локальные системы управления показали хороший результат либо на первом резонансе (снижение на 78,0 %), либо на втором (снижение на 88,9 %), однако в рамках локального подхода не удалось получить систему управления, работающую одновременно и одинаково эффективно на обоих резонан-сах. Результаты тестирования полученных систем управления подробно изложены в статье [1].

Конечно-элементная модель системы

Одной из задач данной работы является численное воспроизведение результатов, полученных в эксперименте, описанном в предыдущем разделе статьи. Для этого исследуемая система была смоделирована в КЭ-пакете ЛК8У8. Фрагмент КЭ-модели балки с пьезоэлектрическими сенсорами и актуаторами представлен на рис. 1, Ъ.

КЭ-модель состоит из трехмерных 20-уз-ловых элементов 8оШ186 (используется для обычных материалов: алюминий балки, сталь конструкции опоры и изоляция пьезоэлементов) и 8оШ226 (для пьезоэлектрических материалов сенсоров, актуаторов и пьезотолкателя). Всего модель содержит 3534 элемента и 21088 узлов. В качестве механических граничных условий задано жесткое закрепление точек конструкции опоры, которые в экспериментальной установке прикреплены к неподвижному основанию; в качестве электрических граничных условий заданы электрические потенциалы на электродах актуаторов и пьезотолкателя.

Для задания коэффициента демпфирования в КЭ-модели экспериментальной установки были проанализированы результаты эксперимента, а именно — для всех снятых АЧХ, на каждом из резонансов по ширине резонансного пика был определен коэффициент демпфирования £ в соответствии с формулой

А/

х =

2/0

где /0 — резонансная частота; Д/ — ширина резонансного пика, ограниченная значениями частоты, на которых резонансная амплитуда падает в VI раз.

Полученные таким образом значения коэффициентов демпфирования приведены в табл. 1 (обозначения представлены в примечании к табл. 1). В итоге в КЭ-мо-дели для всех форм колебаний был задан

одинаковый коэффициент демпфирования 4 = 0,0020.

В пакете ЛК8У8 производился гармонический анализ системы при трех вариантах воздействия: с помощью каждого из двух актуаторов или пьезоэлектрического толкателя. Для каждого варианта отслеживалось по три АЧХ и ФЧХ, которые соответствовали либо измерению сигнала одним из двух сенсоров, либо поперечному смещению точки на верхнем конце балки. После получения данных характеристик в комплексе Л№У8, они подвергались модификации: к ним были добавлены характеристики фильтров и усилителей, отдельно измеренные в рамках эксперимента. Таким образом, были получены амплитудно- и фазочастотные характеристики, аналогичные измеренным экспериментально.

На рис. 2 проведено сравнение АЧХ, полученных численно и экспериментально для каждого из двух актуаторов и каждого из двух сенсоров. Видно, что резонансные частоты в эксперименте и в КЭ-модели совпадают хорошо, но по амплитуде кривые, соответствующие эксперименту, оказываются несколько выше кривых, получен-

ных в результате моделирования. К тому же присутствует некоторое несовпадение в величинах резонансных пиков кривых, объясняемое тем, что в реальности демпфирование является разным для разных форм колебаний и отличается от значения, выбранного в модели. Однако в целом данные, полученные численно, достаточно хорошо соответствуют результатам эксперимента.

Модальное управление колебаниями упругой системы

Рассмотрим работу модальной системы управления колебаниями упругого объекта, состоящей из п сенсоров и п актуаторов. Основной принцип модального управления состоит в раздельном управлении различными формами колебаний объекта; при этом каждый контур управления соответствует своей форме колебаний. Пусть система управления содержит т контуров, и управление ведется по т низшим формам колебаний объекта. Очевидно, что число используемых сенсоров и актуаторов должно быть не меньше количества независимо управляемых форм, т. е. п > т.

Таблица 1

Коэффициенты демпфирования, полученные из экспериментальных АЧХ на разных резонансных частотах /0

Номер формы /о. Гц 42 43 44

1 7,125 0,0044 0,0044 0,0055 0,0055

2 42,55 0,0022 0,0021 0,0026 0,0026

3 113,9 0,0031 0,0031 0,0034 0,0034

4 175,2 0,0022 0,0025 0,0031 0,0031

5 249,5 0,0018 0,0019 0,0019 0,0019

6 390,9 0,0010 0,0010 0,0012 0,0010

7 579,4 0,0013 0,0012 0,0016 0,0016

8 790,5 0,0010 0,0009 0,0014 0,0014

9 1073 0,0016 0,0016 0,0018 0,0017

10 1338 0,0015 0,0014 0,0019 0,0019

11 1471 0,0016 0,0017 0,0025 0,0025

12 1763 0,0022 0,0023 0,0034 0,0033

Обозначения: — 44 — коэффициенты демпфирования, полученные из разных АЧХ: актуатор-сенсор (41), актуатор-виброметр (42), пьезотолкатель-сенсор (43), пьезотолкатель-виброметр (44).

а)

Ъ)

Рис. 2. Сравнение АЧХ, полученных экспериментально

Будем считать, что динамика распределенной системы может быть описана с помощью разложения перемещения и(г, ¿) в ряд по собственным формам колебаний системы:

го

I) =1 ^

к=1

где Рк(7) — обобщенные координаты, м>к(г) — формы колебаний.

Пусть формы колебаний не зависимы друг от друга; в таком случае динамика каждой из форм описывается уравнением

Рк

где \ — к-я собственная частота объекта; £к — к-ый коэффициент демпфирования; /к — к-я внешняя обобщенная сила; ук — управляющее воздействие, соответствующее к-ой форме колебаний объекта.

Управляющее воздействие прикладывается к объекту с помощью п актуаторов и является для каждой формы колебаний линейной комбинацией управляющих сигна-

лов и,, подаваемых на актуаторы:

Ук=£ ад-.

1=1

где 9^- — коэффициент влияния /-го актуа-тора на к-ю форму колебаний.

Разделение первых т форм колебаний объекта в системе управления обеспечивается за счет следующей структуры управляющего воздействия:

ипА =

тхт пх1'

где КтУт — диагональная матрица законов управления, каждый элемент которой К.. соответствует одномуизконтуровуправления и является функцией комплексной переменной з; F , Т — модальные

г ? пут 1 туп ^

матрицы (синтезатор и анализатор форм), осуществляющие линейное преобразование векторов управляющих и измеряемых сигналов; Упх1 — вектор сигналов сенсоров.

Вектор Упу1 связан с вектором первых т обобщенных координат Рту1 следующим образом:

у — О ^ в + V

пх 1 пх тНтх 1 ?

где 0Пхт — весовая матрица, определяющая, как каждый из п сенсоров реагирует на каждую из т форм колебаний; Y — слагаемое, зависящее только от высших собственных форм объекта, по которым не ведется управление.

Подставляя выражения (4) — (6) в уравнение (3), получим уравнение движения для т первых обобщенных координат в матричном виде:

в тх1 + 24тхтЛтхтР тх1 +

+ЛтхтРтх1

— { + еа ¥ К х

^ тх1 ^ тхп пхт тхт

Т в +д

тх^ пхтМтх1 тх1

Ттхп = (е^ В* )-10^Г ,

шли \ тхп пхт/ тхп

¥пхт —еаТ (0а еаТ )-1

"Лш иут^ тхп пхт7

Итак, для создания модальной системы управления необходимо, во-первых, задать модальные матрицы Б и Т в соответствии с формулой (8), а во-вторых, выбрать законы управления для каждого контура К/5).

Устойчивость замкнутой системы с двумя контурами обратной связи

Для начала рассмотрим работу системы управления с одним контуром обратной связи. Пусть на вход объекта управления с передаточной функцией Н(з) подается возмущение й, а выходной сигнал объекта у преобразуется в контуре обратной связи с передаточной функцией Л(з) в управляющее воздействие и, которое также подается со знаком «минус» на вход объекта. Таким образом, выходной и управляющий сигналы оказываются связаны следующими соотношениями:

у = Н (л) ^ - и), и = R(s) у.

где Л , £ — диагональные матрицы соб-

" шу-т ~шу-Ш " ^^

ственных частот и коэффициентов демпфирования, соответственно; Дшу1 — вектор, содержащий только высшие гармоники.

Очевидно, что для раздельного управления т низшими формами колебаний объекта необходимо обеспечить диагональную структуру матрицы

М = 9а¥КТЭ5.

Для этого модальные матрицы Б и Т должны быть заданы следующим образом:

Ограничимся рассмотрением передаточных функций Н

у =-Л / ^d =-

1 + Н

Для того чтобы определить устойчивость замкнутой системы, необходимо проанализировать функцию, стоящую в знаменателе полученной дроби. Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы все нули данной функции лежали в левой полуплоскости 5. Однако на практике удобнее ограничиться анализом передаточной функции разомкнутой системы

Но(5) = Н(5Щ5).

Согласно критерию Найквиста, при устойчивости разомкнутой системы замкнутая система устойчива в том случае, если годограф функции Н0(/ю) при изменении частоты ю от 0 до не охватывает на комплексной плоскости точку (—1; 0). Теперь получим аналогичный критерий для системы с двумя обратными связями.

Пусть объект управления имеет два входа и два выхода, при этом на входы подаются возмущающие воздействия й1 и й2, а выходные сигналы у1 и у2 измеряются системой управления, преобразуются с помощью передаточных функций Я1(з) и Я2(5) в управляющие воздействия и1 и и2, которые также подаются со знаком «минус» на входы объекта:

и1 = ^

и2 = ^ (5) У22

Для описания поведения объекта в рассматриваемой системе необходимо использовать четыре передаточных функции — Н11(з), Н12(з), Н21(з) и Н22(з), каждая из которых соответствует одному из двух входов и одному из двух выходов:

У1 = НцфЦ-и^+^^Хйг^),

У2 = Нп(5) (й1-и!)+И72(5)(й2-и:).

Здесь также будем считать, что все передаточные функции Н..(5) и Я.(5) не имеют полюсов в правой полуплоскости 5. Из равенств (11) и (12) путем несложных ма-

тематических преобразований получаются выражения, связывающие входные и выходные сигналы системы при замкнутых контурах управления:

У1 =(( Ни ( 5 )+( Ни ( 5 ) Н 22 ( 5 )--Н12 (5)Н21 (5)) ^ (5))^ +

+ Н21 ( 5) d2 )/((1 + Н11 ( 5) R ( 5 ))х (13) х(1 + Н22 (5)R2 (5))- Н12 ( 5 ) Н 21 ( 5) ^ ( 5) R2 ( 5);

У 2 =(( Н 22 ( 5 ) + ( Н11 ( 5 ) Н 22 ( 5 )-

- Н12 (5) Н21 (5)) ^ (5)) d2 +

+ Н12 (5)dl )/((1 + НП (5)Л1 (5)) X (14) Х(1 + Н 22 ( 5 ) R2 ( 5 ))-

- Н12 ( 5 ) Н 21 ( 5 ) ^ ( 5 ) R2 ( 5 ) .

Для определения устойчивости данной системы необходимо проанализировать знаменатель полученных дробей (у обеих дробей он одинаков). Можно заметить, что данная функция не имеет полюсов в правой полуплоскости 5. Поэтому, как и в случае системы управления с одним контуром, замкнутая система будет устойчивой, если все нули данной функции лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости переменной 5.

Знаменатель дробей (13) и (14) может быть переписан в виде

1 + Н0(5),

где функция И0(5) определяется следующим образом:

Яо

хвд) ад ад.

Следовательно, для рассматриваемой системы также можно применить критерий, аналогичный критерию Найквиста: для устойчивости данной системы необходимо, чтобы годограф функции И0(/ю) при изменении частоты ю от 0 до +ю не охватывал на комплексной плоскости точку (-1; 0).

Создание систем управления

Первый этап создания модальной системы управления - это задание модальных матриц Б (синтезатор форм) и Т (анализа-

тор форм). Соответствующая экспериментальная процедура, включающая исследования на резонансных режимах, приведена в статье [14].

При численном решении задачи для вычисления модальных матриц необходимо проанализировать высоту первого и второго резонансных пиков на АЧХ пьезотол-катель-сенсор и актуатор-виброметр. Синтезатор форм Б задается таким образом, чтобы первый контур управления не вызывал колебаний балки по второй форме, а второй - по первой форме. Аналогично, анализатор форм Т задается таким образом, чтобы первый контур не реагировал на активизацию второй формы колебаний, а второй - на активизацию первой формы.

При анализе АЧХ было получено, что первый и второй актуаторы возбуждают первую форму изгибных колебаний балки в пропорциях 3,08 : 1,00 а вторую форму — в пропорциях — 0,97 : 1,00. Первый и второй сенсоры реагируют на активизацию первой формы в пропорциях 3,07 : 1,00, а второй — в пропорциях — 0,95 : 1,00. Отсюда были получены модальные матрицы:

F = Т =

1,01 -0,49 0,98 1,50 1,01 0,96" -0,49 1,49

Данные значения достаточно близки к значениям матриц, полученным в рамках эксперимента:

1,000 -0,500

г

(ехр) _

Т(ехр) =

1,035 1,00 -0,49

1,525 1,01" 1,52

Результаты разделения форм в модальных контурах управления с помощью матриц Т и Б показаны на рис. 3. На данном рисунке приведены модули передаточных функций Ит , соответствующие возбуждению колебаний с помощью 1-го модального контура управления и измерению с помощью .-го модального контура. Данные функции получаются из передаточных функций И., соответствующих возбуждению колебаний с помощью 1-го актуатора и измерению с помощью .-го сенсора, по следующей формуле:

2 2 к=1 I=1

Рис. 3. АЧХ системы, соответствующие возбуждению колебаний с помощью /-го модального контура управления и измерению с помощью у'-го модального контура; у = 11 (кривая 1),

22

Как видно из рисунка, выбранные модальные матрицы обеспечивают качественное разделение первой и второй форм колебаний: на амплитудно-частотной характеристике Нт 11, соответствующей первому модальному контуру управления, присутствует только первый резонансный пик; на АЧХ Нт22 — только второй резонансный пик, а на перекрестных АЧХ Нт12 и Нт21 отсутствуют оба резонанса. Таким образом, взаимное влияние контуров управления оказывается минимальным.

В рамках численного исследования колебаний балки с управлением необходимо как спроектировать системы управления, так и получить результаты использования данных систем. В качестве результата использования систем управления анализируются амплитудно-частотные характеристики балки, полученные при возбуждении колебаний с помощью пьезотолкателя и при измерении амплитуды колебаний точки на верхнем конце балки. Для определения эффективности созданных систем управления сравниваются данные АЧХ при включенной и отключенной системе управления в области первой и второй резонансных частот изгибных колебаний балки. АЧХ балки с управлением получаются из имеющихся АЧХ и ФЧХ балки без управления в соответствии с математической процедурой, изложенной ниже.

Пусть на балку одновременно действуют три источника возбуждения, а именно — напряжения:

иа , подаваемое на пьезотолкатель; и , подаваемое на первый актуатор; и2 , подаваемое на второй актуатор. При этом измеряются поперечное смещение у точки на верхнем конце балки, напряжения У1 на первом сенсоре и У2 на втором. Измеряемые величины выражаются через приложенные воздействия с использованием передаточных функций Н, Н1}а, Н(2) Н(1) Н(2) Н(11) Н(12) Н(21) Н22) :

л а а пК пк^ пК пъ

= нрй- + Н 2) и 2,

- Н^и, - ьНГ и + н!21) и 2,

- Н^и, +Н12 и1 + Н[2]и 2

Пусть управляющие воздействия ЦГ1 и К, зависят от измеряемых сигналов У1 и У2 сенсоров следующим образом:

1^1 --Кп¥1 - ^2*2, 2 --К21¥1 - К22¥2.

В таком случае путем несложных математических преобразований можно выразить смещение точки на верхнем конце балки у через подаваемое на пьезотолкатель напряжение ил:

1 +

У = ийил + и^и, + и[ %2,

Ц = иё (-Я2Я1)- R22и(й2>н + (2 - ^2)Х х( и!:2) и«- ии<2)))/(1-

+^ и^R2lИL2l)+ +R22 и!22)+( RllR22 - ^2 Л21 )х х( ии^- ии™)),

и2 = ий (-Rnиd1 - ^2и^--(^1^2 - ^ 2 )Х

))/(! +

х( и122) и?- и!21) и!2

+RllИi:l)+ ^ и^ + +R2lИi21)+ R22 и!22) + + ( 2 - ^2 )Х х( и!:1) и(22)- и^ и!21))).

Таким образом, на основании известных передаточных функций системы без управления и выбранных законов управления вычисляются передаточные функции системы с управлением.

В рамках данного численного исследования была протестирована в первую очередь модальная система управления I, синтезированная в рамках эксперимента. Затем была спроектирована модальная система управления II, отличающаяся от системы I передаточными функциями в контурах управления. При создании системы II ставилась цель получить систему управления, наиболее эффективно снижающую амплитуду вынужденных изгибных колебаний балки на первом и на втором резонансах. Система I, тестируемая в численном исследовании, отличается от модальной системы, используемой в эксперименте, только коэффициентами усиления в контурах управления, которые были подобраны из условия наибольшей эффективности работы системы.

Передаточные функции и коэффициенты усиления для обоих контуров систем управления I и II представлены в Приложении.

На рис. 4, а представлена диаграмма Найквиста для системы управления I, полученная для обоих контуров управления в соответствии с формулой (15). На рис. 4,Ь показан участок данной диаграммы вблизи точки (—1; 0). Поскольку годограф не охватывает на комплексной плоскости точку (—1; 0), данная система управления является устойчивой. Диаграмма Найквиста для системы управления II выглядит аналогичным образом.

На рис. 5 изображены АЧХ балки, полученные при воздействии пьезотолкателем и измерении амплитуды колебаний точки на верхнем конце балки с управлением и без него для систем управления I и II. Видно, что обе рассматриваемые системы управления достаточно эффективно снижают амплитуду колебаний балки как на первом, так и на втором резонансе. Система управления I приводит к снижению амплитуды колебаний на первом резонансе на 87,8 %, а на втором — на 89,1 %. Система управления II снижает амплитуду колебаний на первом резонансе на 92,4 %, а на втором — на 90,7 %. Таким образом, система управления II несколько эффективнее системы I. Однако в случае использования системы управления II, вблизи первой и второй резонансных частот балки образуются два резонанса вместо одного.

Результаты управления в эксперименте и при численном моделировании приведены в табл. 2. Для каждой из систем управления представлены коэффициенты усиления в первом и втором контурах Кр1 и КР2, а также отношение максимальной амплитуды колебаний точки на верхнем конце балки с включенным управлением к амплитуде резонансных колебаний данной точки без управления на первом резонансе У1/У0\ и на втором резонансе у2/У0)2. Из данных табл. 2 видно, что эффективность модальной системы управления I в экспей рименте близка к ее эффективности в численном исследовании, а результаты системы II превосходят результаты системы I, особенно для первой резонансной частоты.

Заключение

В рамках настоящей работы была построена конечно-элементная модель экспериментальной установки [1, 14] с учетом пьезоэффекта. Данная модель позволила численно получить амплитудно-частотные

Рис. 4. Диаграмма Найквиста для обоих контуров системы управления I: общий вид (п) и

увеличенный фрагмент

Ь)

1 ! /

1\

1 1 1 ! 3 -----

41.0 41 5 42 0 42 5 « 0 43 5 44 0 44 6 /, Нг

Рис. 5. АЧХ балки без управления (кривая 1) и с управлением для систем I (2) и II (3) вблизи

первого (п) и второго (Ь) резонансов

Таблица 2

Результаты работы различных систем управления, полученные численно и экспериментально

Система управления К", р1 р2 У/Л, % У2/У(0), %

I (эксперимент) 0,100 0,020 16,5 12,8

I (расчет) 0,170 0,044 12,2 10,9

II (расчет) 0,530 0,650 7,6 9,3

Обозначения: К^, К2 — коэффициенты усиления в первом и втором контурах; у/У'р У2/У(0)2 — отношения максимальной амплитуды колебаний точки на верхнем конце балки с включенным управлением к амплитуде резонансных колебаний данной точки без управления на первом и втором резонансах соответственно.

характеристики (АЧХ) для различных случаев воздействия на балку и измерения выходного сигнала. Результаты расчета оказались достаточно близкими к характеристикам, полученным экспериментально. Различия в значениях высоты резонансных пиков между расчетом и экспериментом обусловлены отличием коэффициентов демпфирования реальной системы от соответствующих значений конечно-элементной модели.

На основании АЧХ и ФЧХ системы, полученных численно, были построены решения задачи о колебаниях балки при наличии модального управления для различных законов управления. Результаты численного моделирования наиболее эффективной системы управления, созданной в рамках эксперимента (снижение резонансных амплитуд на первом и на втором резонансах 87,8 и

89.1 % соответственно), оказались близкими к экспериментальным (снижение на 83,5 и

87.2 %). В качестве развития исследования были получены и протестированы более эффективные законы управления для обоих контуров, приводящие к более низким значениям амплитуд резонансных колебаний балки, чем системы, рассмотренные в эксперименте (снижение резонансных амплитуд на 92,4 и 90,7 %).

Приложение

Передаточные функции контуров управления

Передаточная функция первого контура системы управления I:

R1(1) (:) = ( 44:6 + 7,2 • 103:5 +1,3 • 108:4 + +1,4-1010:3 + 5,5-1013:2 + 4,8 -1015: + +1,1-1017/(:7 + 668:6 + 3,1 •Ю6:5 +

+7,4-108:4 +1,3-1012:3 + +1,8 -1014 :2 + 7,1-1015: + 6,3-1017).

Коэффициент усиления И(1)1 = 0,170.

Передаточная функция второго контура системы управления I:

R21)( : ) = (1,4 -105:5 + 9,3 -107:4 + 2 -1011:3 +

+1,1-1014 :2 + 2,9-1016: +

+1,92 • 1018 ) Д :7 +1,1 • 103:6 + 2,1 • 106:5 +

+1,8 •Ю9:4 +1,1 •Ю12:3 +

+ 6 •Ю14 :2 +1,1 • 1017: + 4,36 •Ю19).

Коэффициент усиления К(1)р2 = 0,044.

Передаточная функция первого контура системы управления II:

^(2)( : ) = (403:4 + 2,9 •Ю4 :3 +

+ 9,7 •Ю8:2 + 8,6 •Ю9: + +1,88 •Ю12 У( :5 + 1,Ь103:4 + +2,7 •106:3 +1,5 •Ю9:2 + +7,8 •Ю9: + 3,54 •Ю12).

Коэффициент усиления К(2)р1 = 0,530.

Передаточная функция второго контура системы управления II:

R22)( : ) = ( 2,2 •Ю5:4 + 8 •Ю6:3 + +2,7 •Ю11:2 + 4,2 •Ю12: + +1,7 •Ю16 У(:6 + 372:5 + +1,5 •Ю6:4 + 4,1 •Ю8:3 + +4,2 •Ю11:2 + 3,4 •Ю13: + 2,6 •Ю16).

Коэффициент усиления К(2) 2 = 0,650.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Belyaev A.K., Fedotov A.V., Irschik H., Nader M., Polyanskiy V.A., Smirnova N.A. Experimental study of local and modal approaches to active vibration control of elastic systems // Structural Control and Health Monitoring. 2017. Vol. 25. No. 8. P. e2105.

2. Gould L.A., Murray-Lasso M.A. On the

modal control of distributed parameter systems with distributed feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1966. Vol. 11. No. 4. Pp. 729-737.

3. Meirovitch L. Dynamics and control of structures. New York: John Wiley & Sons, 1990. 425 p.

4. Lee C.-K., Moon F.C. Modal sensors/actuators // ASME Journal of Applied Mechanics. 1990. Vol. 57. No. 2. Pp. 434-441.

5. Donoso A., Bellido J.C. Systematic design of distributed piezoelectric modal sensors/actuators for rectangular plates by optimizing the polarization profile // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2009. Vol. 38. No. 4. Pp. 347-356.

6. Stoebener U., Gaul L. Modal vibration control for PVDF coated plates // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2000. Vol. 11. No. 4. Pp. 283-293.

7. Hurlebaus S., Stoebener U., Gaul L. Vibration reduction of curved panels by active modal control // Computers and Structures. 2008. Vol. 86. No. 3-5. Pp. 251-257.

8. Zenz G., Berger W., Gerstmayr J., Nader M., Krommer M. Design of piezoelectric transducer arrays for passive and active modal control of thin plates // Smart Structures and Systems. 2013. Vol. 12. No. 5. Pp. 547-577.

9. Braghin F., Cinquemani S., Resta F. A new approach to the synthesis of modal control laws in active structural vibration control // Journal of Vibration and Control. 2012. Vol. 19. No. 2. Pp. 163-182.

10. Cinquemani S., Ferrari D., Bayati I. Reduction of spillover effects on independent modal

space control through optimal placement of sensors and actuators // Smart Materials and Structures. 2015. Vol. 24. No. 8. P. 085006.

11. Canciello G., Cavallo A. Selective modal control for vibration reduction in flexible structures // Automatica. 2017. Vol. 75. January. Pp. 282-287.

12. Biglar M., Gromada M., Stachowicz F., Trzepiecinski T. Optimal configuration of piezoelectric sensors and actuators for active vibration control of a plate using a genetic algorithm // Acta Mechanica. 2015. Vol. 226. No. 10. Pp. 3451-3462.

13. Song Z.-G., Li F.-M., Carrera E., Hagedorn P. A new method of smart and optimal flutter control for composite laminated panels in supersonic airflow under thermal effects // Journal of Sound and Vibration. 2018. Vol. 414. 3 February. Pp. 218-232.

14. Беляев А.К., Полянский В.А., Смирнова Н.А., Федотов А.В. Процедура идентификации при модальном управлении распределенным упругим объектом // Научно-технические ведомости СПБГПУ. Физико-математические науки. 2017. Т. 10. № 2. С. 69-81.

15. Preumont A. Mechatronics: dynamics of electromechanical and piezoelectric systems. Dordrecht: Springer, 2006.

Статья поступила в редакцию 17.01.2019, принята к публикации 18.02.2019.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРE

ФЕДОТОВ Александр Васильевич - младший научный сотрудник Института проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, Российская Федерация.

199178, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Большой проспект В.О., 61. alvafed@yandex.ru

REFERENCES

[1] A.K. Belyaev, A.V. Fedotov, H. Irschik,

et al., Experimental study of local and modal approaches to active vibration control of elastic systems, Structural Control and Health Monitoring. 25(8) (2017) e2105.

[2] L.A. Gould, M.A. Murray-Lasso, On the modal control of distributed parameter systems with distributed feedback, IEEE Transactions on Automatic Control. 11(4) (1966) 729-737.

[3] L. Meirovitch, Dynamics and control of structures, John Wiley & Sons, New York, 1990.

[4] C.-K. Lee, F.C. Moon, Modal sensors/ actuators, ASME Journal of Applied Mechanics. 57(2) (1990) 434-441.

[5] A. Donoso, J.C. Bellido, Systematic

design of distributed piezoelectric modal sensors/actuators for rectangular plates by optimizing the polarization profile, Structural and Multidisciplinary Optimization. 38(4) (2009) 347-356.

[6] U. Stoebener, L. Gaul, Modal vibration control for PVDF coated plates, Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 11(4) (2000) 283-293.

[7] S. Hurlebaus, U. Stoebener, L. Gaul, Vibration reduction of curved panels by active modal control, Computers and Structures. 86(3-5) (2008) 251-257.

[8] G. Zenz, W. Berger, J. Gerstmayr, et al., Design of piezoelectric transducer arrays for

passive and active modal control of thin plates, Smart Structures and Systems. 12(5) (2013) 547577.

[9] F. Braghin, S. Cinquemani, F. Resta, A new

approach to the synthesis of modal control laws in active structural vibration control, Journal of Vibration and Control. 19(2) (2012) 163-182.

[10] S. Cinquemani, D. Ferrari, I. Bayati, Reduction of spillover effects on independent modal space control through optimal placement of sensors and actuators, Smart Materials and Structures. 24(8) (2015) 085006.

[11] G. Canciello, A. Cavallo, Selective modal control for vibration reduction in flexible structures, Automatica. 75 (January) (2017) 282287.

[12] M. Biglar, M. Gromada, F. Stachowicz, T. Trzepiecinski, Optimal configuration of

Received 17.01.2019, accepted 18.02.2019.

piezoelectric sensors and actuators for active vibration control of a plate using a genetic algorithm, Acta Mechanica. 226 (10) (2015) 3451-3462.

[13] Z.-G. Song, F.-M. Li, E. Carrera, P. Hagedorn, A new method of smart and optimal flutter control for composite laminated panels in supersonic airflow under thermal effects, Journal of Sound and Vibration. 414 (3 Febr.) (2018) 218-232.

[14] A.K. Belyaev, V.A. Polyanskiy, N.A. Smirnova, A.V. Fedotov, Identification procedure in the modal control of a distributed elastic system, St. Petersburg Polytechnical University Journal: Physics and Mathematics. 10 (2) (2017) 69-81.

[15] A. Preumont, Mechatronics: dynamics of electromechanical and piezoelectric systems, Springer, Dordrecht, 2006.

THE AUTHOR

FEDOTOV Aleksandr V.

Institute for Problems in Mechanical Engineering, RAS

61 Bolshoi Ave. V.O., St. Petersburg, 199178, Russian Federation

alvafed@yandex.ru

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2019