Проблемы построения моделей экономической динамики

Д-р техн. наук Л. Ф. Петров

ПРОБЛЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ

ДИНАМИКИ

Рассматриваются проблемы построения моделей нелинейной экономической динамики. Проводится сравнение моделей нелинейной механики и моделей, отражающих динамику социально-экономических процессов.

Циклические процессы, наблюдаемые в реальных экономических системах, полностью соответствуют результатам, получаемым в моделях, основанных на исследовании нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Более сложные явления, реально присутствующие в процессе эволюции экономических и социально-экономических систем, - кризисы, хаос, революции, скачкообразные изменения экономического развития - нашли свое качественное отражение в результатах, получаемых в соответствующих разделах теории нелинейных колебаний, синергетики, теории катастроф.

Рассмотрим основные проблемы, возникающие при переходе от качественного моделирования динамики экономического развития к количественному анализу, получению достоверных численных результатов.

Проблема адекватности модели

Большая часть результатов теории нелинейных колебаний, синергетики, теории катастроф была получена при анализе моделей естественно-научных дисциплин (механики, биологии, метеорологии, физики). Чтобы не загромождать изложение при необходимости проводить аналогии, мы будем использовать наиболее простые модели механики, в которых имеют место существенно нелинейные эффекты. Для простых механических систем существуют обозримые модели на основе нелинейных дифференциальных уравнений, которые полностью отражают динамику процесса с учетом сложных нелинейных эффектов. Нетрадиционные результаты, получаемые в таких моделях (нелинейные эффекты при колебаниях, зависимость амплитуды от частоты, потеря динамической устойчивости, бифуркации решений, переход к хаосу, странный аттрактор), полностью повторяются в натурных экспериментах. При этом система дифференциальных уравнений, являющаяся основой модели, может быть весьма компактной. Так, например, в достаточно простой модели поперечных колебаний стержня, потерявшего статическую устойчивость, наряду с простыми циклическими колебаниями обнаружены различные устойчивые и неустойчивые режимы, странный аттрактор, бифуркации удвоения периода, хаотические колебания [13. С. 10-13]. Основой такой модели будет неавтономная система существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Отметим, что системы второго-третьего порядка (чаще автономные) используются и при построении разнообразных моделей исследования динамики социально-экономических систем [9; 10]. Упомянутые выше нетривиальные результаты получены численно. Соответственно численные экспери-

менты и станут основным инструментом, позволяющим продолжить исследования и развить результаты, получаемые с помощью качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений.

Вид зависимостей и величина коэффициентов в уравнениях, используемых при построении модели

При анализе простейших задач механики вид уравнений полностью определяется постановкой задачи и заданным уровнем точности модели. Вид нелинейных слагаемых в таких уравнениях определяется постановкой задачи. Например, уравнение вынужденных колебаний математического маятника имеет вид:

y

где y(t) - угол отклонения от положения равновесия;

t - время;

ra - частота собственных колебаний;

о

W, ra - амплитуда и частота внешнего воздействия;

b - коэффициент диссипации.

Это уравнение является существенно нелинейным, так как неизвестная функция y(t) входит в него как аргумент функции sin(y(t)). Оно моделирует все режимы колебаний, включая вращение вокруг оси.

Если колебания имеют не очень большую амплитуду, для достижения приемлемой точности в разложении в ряд функции sin(y(t)) можно ограничиться двумя слагаемыми. При этом получится уравнение вида

y

Последнее уравнение при колебаниях с амплитудой меньше единицы является квазилинейным. Для его исследования можно использовать асимптотические методы, но никаких существенно нелинейных эффектов (хаос, странный аттрактор) получить невозможно. Однако в подобных системах остается возможность существования устойчивых и неустойчивых периодических решений разного периода и бифуркации решений при изменении параметров системы.

Наконец, при малых колебаниях в разложении в ряд функции sin(y(t)) можно ограничиться одним слагаемым, при этом получится линейное уравнение, вошедшее в классические учебники

y

Эта линейная модель, естественно, не содержит в себе никаких нелинейных эффектов, и область применимости ее весьма узка - только там, где sin(y) ~ y с приемлемой погрешностью.

В приведенном примере само динамическое уравнение и все его коэффициенты определяются постановкой задачи и требуемым уровнем точности решения. Однако здесь не учтены многие малозначимые дополнительные факторы (не учтено влияние неравномерности ускорения свободного падения

на движение этого математического маятника), но в рамках разумной точности моделирования модель в существенно нелинейном варианте отражает все реально наблюдаемые нелинейные эффекты.

Намного сложнее, чем при построении динамических моделей в естественно-научных приложениях, обстоит дело с построением модели динамики социально-экономической системы. Так, например, В. П. Милованов [10. С. 106] предлагает модель предпринимательской деятельности в следующей форме:

х(7) = а1 у + а2ху + а3у2 + а4ху2 - а5 х - а6х2;

уЦ) = Ъхх - ¿2у, где х(^ - денежные ресурсы;

у(0 - набор способов зарабатывать деньги;

^ - время.

При этом все слагаемые в модели вводятся констатирующим способом, например, величина а2ху означает, что в организацию дела нужно вкладывать деньги, тогда отдача от такого финансирования будет связана с эффективностью а2. Остаются открытыми вопросы о виде этой зависимости, почему именно а2ху, а не, например, а2ху2, и о величине коэффициента эффективности а2.

Отметим принципиальное отличие моделей механики и экономики: в механике вид функциональных зависимостей и величина коэффициентов полностью определяются постановкой задачи, в экономике необходимы дополнительные исследования для определения этих параметров. Эта часть моделирования нелинейной экономической динамики является наименее исследованным разделом. Из-за нерешенности проблем определения функциональных зависимостей и коэффициентов уравнений математический аппарат, применяемый в синергетике, теории катастроф, теории нелинейных колебаний, так сложно использовать для количественного анализа экономической динамики.

Некоторые обобщения

Общность эффектов, наблюдаемых в реальной экономической деятельности (циклическое развитие, кризисы, хаос, зарождение и развитие новых состояний), в технических и биологических системах и рассматриваемых классах моделей позволяет рассчитывать на разработку подобных моделей для исследования нелинейной экономической динамики. Эта общность имеет всеобъемлющий характер. Так, наблюдаемые циклы экономического развития ассоциируются с автоколебаниями, т. е. периодическими процессами в технических приложениях, источник энергии которых не имеет циклического характера. Регулярные воздействия на хозяйственный механизм с периодом один год (осенний сбор урожая, ежегодная дефляция в августе - сентябре, повышенные затраты на отопление в зимний сезон и т. п.) аналогичны периодическим воздействиям на динамическую систему при вынужденных колебаниях. Кроме естественного периода в один год, в экономической системе присутствуют другие периодические воздействия (период уплаты налогов, когда повышается потребность банков в рублевых высоколиквидных активах, уста-

новившийся четырехлетний цикл политической активности в России и других странах, влияющий на хозяйственно-инвестиционный климат). Такого рода воздействия на экономику с различными периодами аналогичны воздействию на динамическую систему полигармонических возмущений. Можно проводить аналогии между экономическим кризисом и потерей динамической устойчивости и переходом к хаосу в динамической системе. При дальнейшем изменении параметра происходит переход от хаоса к упорядоченному движению - выход из кризиса.

Выделим определяющую роль учета при моделировании нелинейных свойств объекта. В существенно нелинейных моделях наряду с привычными циклическими колебаниями обнаруживаются сложные полигармонические устойчивые и неустойчивые режимы (бифуркации, странный аттрактор). При этом те режимы, которые принципиально не могут быть исследованы в рамках линейного и квазилинейного подхода, но которые получены при анализе существенно нелинейных моделей, устойчиво повторяются в численных и натурных экспериментах. Обобщая эти результаты, можно считать, что хаос является естественной динамической формой эволюции сложной системы и часто встречается (возможно, как переходный режим) в простых динамических системах. Хаос в социально-экономических системах, биологических сообществах можно трактовать как естественную форму проявления конкуренции. Искусственное устранение хаоса (в механике - за счет большой диссипации энергии, в экономике - за счет чрезмерной зарегулированности, плановости, высокого налогообложения) ведет к неустойчивости и устранению сложных динамических режимов, переходу к простым решениям и деградации системы. В механике это обычные простейшие периодические колебания, в экономике - ситуация стагнации и застоя.

Именно при переходе от хаоса к упорядоченным движениям либо после потери устойчивости предыдущего режима зарождаются новые устойчивые нетривиальные решения в механике и наиболее перспективные и прибыльные направления в экономике. Для анализа таких эффектов в экономике необходимо разработать адекватные модели, способные отразить обсуждаемые эффекты.

Конструктивный подход к построению моделей экономической динамики

Для решения рассмотренной выше проблемы определения функциональных зависимостей и величины коэффициентов в моделях нелинейной экономической динамики можно использовать следующий подход. Основным аппаратом исследования становятся численные методы. При их использовании неважен конкретный вид функциональных зависимостей и величина коэффициентов (в этом случае они также могут быть известными функциями каких-то переменных). И зависимости, и коэффициенты могут определяться по статистическим отчетным данным. Естественным образом отпадает вопрос о виде зависимости - она принимается такая, какая определяется по реальным данным. Если она близка к квадратичной, кубичной или какой-либо другой общепринятой зависимости, то задача упрощается. Если же реальные зависи-

мости не могут быть с приемлемой погрешностью аппроксимированы стандартными функциями, то в качестве промежуточного вспомогательного средства на этом этапе могут быть использованы сплайны. С точки зрения численной реализации это незначительно усложнит алгоритм.

Такой подход представляется наиболее перспективным для применения методов моделирования, развитых в теории нелинейных колебаний, синергетике, теории катастроф, к анализу задач нелинейной экономической динамики.

Список литературы

1. Бабосов Е. М. Катастрофа как объект социологического анализа // СОЦИС. - 1998. - № 9.

2. Голованов А., Звягин А. Предсказуемы ли финансовые кризисы? // Рынок ценных бумаг. - 1998. - № 7.

3. Губанов С. Цикличность - форма кризисности // Экономист. - 1999.

- № 1.

4. Инфантьев К. А. Особенности циклических колебаний в экономике России // Экономика и технология : межвузовский сборник научных трудов. -Ч. 1. - М. : Изд-во Рос. экон. акад., 1997.

5. Кондратьев Н. Д. Основные проблемы экономической статики и динамики. - М. , 1991.

6. Кондратьев Н. Д. Особое мнение. - Кн. 2. - М. : Наука, 1993.

7. Кондратьев Н. Д. Проблемы экономической динамики. - М., 1989.

8. Крюков А. В. О циклах производственно-экономического развития // Менеджмент в России и за рубежом. - 2000. - № 6.

9. Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. - Екатеринбург : Едиториал УРСС, 2001.

10. Милованов В. П. Синергетика и самоорганизация: Экономика. Биофизика. - Екатеринбург : Едиториал УРСС, 2005.

11. Остапкович Г. В. О системе индикаторов цикличности экономики // Вопросы статистики. - 2000. - № 12.

12. Перламутров В. Кризис экономики и хаос цен в России // Проблемы теории и практики управления. - 1997. - № 6.

13. Петров И. Л., Петров Л. Ф. Вынужденные установившиеся колебания сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием / МГИЭМ, 2002. - Деп. в ВИНИТИ. № 1980-В2002.

14. Романова М. В. Временные циклы // Дайджест-финансы. - 2000. -

№ 12.

15. Сергиенко Я. Финансовая модель экономических изменений в условиях неразвитых институтов // Вопросы экономики. - 2002. - № 9.

16. Устиян И. Экономическая динамика в свете теории «больших циклов» Н. Д. Кондратьева // Экономист. - 1998. - № 9.

17. Flamant M. Les fluctuations économiques. - Paris : Press universitaires de France, 1985.