Свойства фотонного кристалла у связанных диэлектрических волноводов

СВОЙСТВА ФОТОННОГО КРИСТАЛЛА У СВЯЗАННЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

О.П. Мельничук, И.Ю. Попов

Рассмотрена система двух планарных диэлектрических волноводов, разделенных узким высококонтрастным слоем. С помощью вариационных методов доказано существование связанного состояния ниже границы непрерывного спектра и получена оценка расстояния от этой границы.

Исследование транспортных свойств диэлектрических волноводов в последнее время вызывает повышенный интерес в связи с появлением новых материалов -фотонных кристаллов. Хотя существует большое количество работ по экспериментальному и численному анализу подобных систем, получено мало аналитических и асимптотических результатов. С точки зрения асимптотического анализа большой интерес представляют высококонтрастные системы, в которых малым параметром является толщина диэлектрического слоя, диэлектрическая проницаемость которого велика. Наиболее продвинулись в изучении подобных систем группы физиков в США и Франции [1-3].

Настоящая статья посвящена анализу системы, состоящей из трех диэлектрических слоев, причем узкий средний слой имеет большую диэлектрическую проницаемость. Рассматриваются электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль слоев. При этом анализ сводится к изучению двух возможных поляризаций (когда электрическое или, соответственно, магнитное поле перпендикулярно границе раздела). В обоих случаях задача сводится к скалярному уравнению для величины напряженности электрического (или, соответственно, магнитного) поля. Если электрическое поле Е перпендикулярно плоскости системы, то в плоскости, перпендикулярной границе раздела, получаем двумерное уравнение Гельмгольца: -ДЕ = X е(х)Е, где X = (а/c)2, а - частота волны, c - скорость света, s(x) - диэлектрическая проницаемость.

Допустим, мы имеем две полосы диэлектрика с малым s = s1, разделенные узкой (толщина 5 ) полосой диэлектрика с большим s = s2, причем в разделяющей полосе есть малое отверстие с шириной 2а . В соответствующей трёхмерной системе данному отверстию отвечает узкая бесконечная щель. В [4, 5] показано, что в подобной системе при условии s5 ^ 0 или s5 ^const (s = s2 -s1), т.е. при высокой контрастности, спектр оператора Гельмгольца распадается на две части, одна из которых связана с транспортными свойствами узкого диэлектрического волновода, а другая близка к спектру оператора Гельмгольца в области, в которой описанная узкая полоса заменена на линию, на которой предполагается выполненным условие Дирихле. Таким образом, для моделирования такой системы при достаточно высокой контрастности можно использовать более простую задачу Дирихле.

Рассматривается трехслойный двумерный волновод, показатели преломления слоев которого различны. Поперечное сечение такого волновода показано на рис. 1. Центральный узкий слой имеет наибольший показатель преломления n3 и малую толщину 25, а непосредственно прилегающие сверху и снизу слои взяты с одинаковой толщиной (d - 5) (d >>5) и показателем преломления n1. Отверстие связи берется с малой шириной 2a.

Предполагается, что поляризованный монохроматический свет (рассматривается случай существования ТЕ-мод, т.е. Ez = 0) распространяется в направлении оси z. Слои неограниченно простираются в направлении осей z и y (перпендикулярно к плоскости фигуры).

Н

------из-------- ---1----

(и л 1 1

№ 1 .

I

Рис. 1. Поперечное сечение трехслойного двумерного волновода, где п1, п2 < п3, 3<< б, а<<б, 2а - тощина отверстия.

При этих условиях для обычного однослойного волновода (с показателем преломления п) без отверстия получить модовые решения можно из волнового уравнения для Еу

д2Еу д2 Еу

у +--т- + п2 к02 Еу = 0, где к 0 = со^а0ц0 и п2 = — .

&2 дг2 ^ у — • о V - о —о

I

В случае зависимости Еу от координаты г и времени I в виде е1 (с ) получим

д2Еу 2 2 2

+ (п2 к о2 - А )Еу = 0,

где А является собственным значением рассматриваемой граничной задачи, и ее возможные значения определяются граничными условиями.

Если теперь взять, например, двухслойный волновод без отверстия, то модовые решения такого более сложного волновода, очевидно, получатся за свет сшивания решений для каждого из них. Теперь, если внести в рассмотрение факт существования малого отверстия на границе волноводов (3 = 0), то оказывается, что в области отверстия существует связанное состояние. Доказательство этого факта (при условии, что на границах волноводов ставятся условия Дирихле) было получено с помощью вариационного метода в [6], а асимптотики найдены в [8].

В данной статье предпринята попытка рассмотрения аналогичного факта существования связанного состояния в более общем случае, при 3> 0.

Идея доказательства

В этом разделе мы опишем идею доказательства, полное доказательство изложено в Приложении. Здесь и далее решение для трехслойного волновода будем обозначать символом у. Тогда для каждого слоя можно написать дифференциальное уравнение

дЩ- + (п2к2 -А2)у = 0,

дг2

где 1=1, 2, 3 (количество слоев волновода). Для определенности примем, что номером 3 обозначается узкий промежуточный слой волновода; номером 1 - непосредственно прилегающий к 3 сверху и снизу слой; номером 2 - внешнее пространство волновода.

Рассматриваемый нами волновод, как нетрудно заметить, является симметричным вдоль оси г, поэтому в доказательстве достаточно рассмотреть лишь верхнюю часть при

х > 0. Доказательство проводится с помощью вариационного метода с использованием результатов и методики [7, 8].

Собственные функции у (модовые решения) для трехслойного волновода могут быть составлены на основе решений у, у2 и у3. Они будут удовлетворять уравнению

д У , , „2Ь2 12-

дх2

+ (п2к02 -Л2)у = 0,

где п - кусочно-постоянная функция, равная П1, п2 или п3 в каждом из слоев, соответственно,

п1, х е[-<,-5] и [5, < ]

п = \п2, х е[-да, -< ] и [<, да]'

п3, х е [-5,5] Граничные условия при х = 5и х = <

У;|(х=<) = у\ , д , д

(х=<) , где

1( х=<) 'Г11( х=<) Уз|( х=5) =У|(

1

у2 _ у

и дх (х=<) дх

уз ду

дх (х=5) дх

ух = У (5 < х < <), у2 = У (< < х < да), у3 = У (0 < х < 5).

Иными словами, в общем случае функции у должны удовлетворять уравнению Ну- п2 к0У = 0, где оператор Н = -А (лапласиан, с условиями сшивания), откуда следует выполнение равенства (Ну, у) - (п2к02у, у) = 0 .

Теперь, если удастся найти такую пробную функцию ¥ (удовлетворяющую граничным условиям), что выражение

(Н ¥, ¥) -

п2к02 -I2

2

будет меньше нуля, то этим мы докажем существование связанного состояния Л 2<Л2 при наличии малого отверстия.

Таким образом, идея доказательства состоит в отыскании функции ¥, при которой выражение М(¥), где М(¥) = (Н¥¥) - ((п2к02 -12)¥¥), было бы меньше

М2 ' '

нуля. В результате получаем оценку

М(у) <-1

С 2а4

2 2а сР + сР + а 4С • С3

(из вычислений, которые приведены в приложении, следует, что все константы в этом выражении неотрицательны).

Обсуждение результатов

Итак, мы показали, что при достаточно высокой контрастности трехслойного планарного диэлектрического волновода при наличии окна связи шириной 2а появляется связанное состояние ниже границы непрерывного спектра. При этом предполагается, что ширина разделяющего слоя имеет порядок а2. Получена оценка

расстояния данного собственного значения Л2 от границы непрерывного спектра ЛЛ

Л2 -Л2 <-

1 С 2а4

2 2а3еР + сР2 + а4СС3

По-видимому, условия, при которых получена данная оценка, могут быть ослаблены.

Можно рассмотреть систему с периодическим набором отверстий связи. Анализ

ее с помощью вариационного метода осуществляется путем комбинирования

описанных выше приемов для случая одного окна и варианта доказательства оценок

границ зоны в задаче о периодически связанных волноводах с условием Дирихле на

границе [9]. При достаточно высокой контрастности и достаточно малой ширине

отверстия имеется запрещенная зона, т.е. данная система обладает свойствами

фотонного кристалла. Отметим, что в задаче Дирихле о периодической системе

отверстий (с периодом Ь) получена асимптотика границ зоны [ 10]

п2 3п3 2 . п2 пъ 2 .

—т--гa + o(a ) < А < —--тa + o(a ).

d2 Ld3 d2 Ld

Видно, что при достаточно малом а имеется лакуна между найденной зоной и нижней

п2

границей остальной части непрерывного спектра _, т.е. система проявляет свойства

d2

фотонного кристалла.

Работа поддержана Министерством образования РФ (грант Т02-02.2-599) и программой «Интеграция науки и высшего образования России 2002-2006 гг.» (государственный контракт П0045, в рамках которого осуществлялось сотрудничество с университетом г. Ювяскиля в Финляндии).

Приложение

Приведем доказательство вариационной оценки. Представим искомую пробную функцию ¥в виде ¥(х, г) = Е(х, г) + О(х, г), где Е (х, г) = / (г Ж х), / (г) = а тш{1, е ~р( г|-а)},

А2 ехр(-/(| х| - d)), х > d к(х) = < А С08(кг) + В181п(кх), 5 < х < d'

Аз С08(/х),

О

ё (г ) =

0 < х <5

г (х) =

0, г > а

ехр(-пх /2а), 0 < х < d /2

2(1- х / d) exp(-пd/4а), d/2< х < d:

0, х > d

у =^Л2 - п2к] , V = у]А2 - п\ , X = Vп3К - А , а, в и п - параметры пробной функции.

Для выбранной нами пробной функции ^получим

М ) =||¥ х\\2 г | Г - п 2ко -А

где

а да

х\\2 =|К!2 +|\Ох\\2 + 2\\ЕхО^г ,

- а 0

а да

а0

дР 1 —х—£ = Г

дх '

идР Р

дх

-Г Р д—Р йх Г дх2

да да д 2 р да да

йг = -Цр —— йхйг = Цр2(п2к02 -Л2)йхй£ =

да л дх да Л

Р^п2к02 -Л2

Тогда

а да

М(¥) = ||Рх||2 +1\Ох\\2 +1|Рг||2 +1\Ог\\2 + 2\ ¡РхО<<

-а 0

2 а да

Р^п2к02 -Л2 + Од/п2к02 -Л2 + 2 {{рО(п2 к02 -Л2) йй

-а 0

а да ( 2 а

= И2 + И2 + И2 + 2\\РхОх<хёг- О^пХ -Л2 + 2{{Рв(п2к02 -Л2)«

у

ада

-а 0 V

Оценки для функции О примут следующий вид:

О,]п2 к02 - Л2 = ||О2(п2к2-Л)<2<х = |1 /соб! — I + |у2еайх +

-а 0 —

5 — й/2 —

+ |у24(1 - х/й)2е 2айх

й/2

<

22 щ а

п

2

X

( -—Л

1-е а

V J

п5

+ у2 е а + 8

а да а /

2 = ¡¡о2йхйг = Ц щсоБ

= гЩа

—— ( 2

2а

—

\

й 4а

— 4а

<

( — II

V 2а JJ щ2—

йг

й /22 —х й 4 —

Г—7 е айх + Г — е 2айх Л Ап2 л Л2

0

4

е а йх + I -4а2 й

й/2

а ^ а /

- а 0

(—£ II

V 2а J J

й /2 —х й —й

| е айх + | 2(1 - х / й)е 2айх

й/2

2 2 — щ

4а

— ( й а I

2а

6 —

а + —

—

12

< 4—/ (1 + £),

для любого £>0. Далее, посчитав оставшиеся в выражении для М(у) интегралы, придем к следующему результату:

( —5 \ —5

М (¥) <—п2(2 + е) -щ2а 2

X

1 - е

+ V е а + 8

1 2 0„ 0аЩа

—а всР + 8 2 И Р —

-е 2а (Ъ2 + ЪА) + 81

где

= 1 .2 ( 8ХП(2х5) I

С тт — -

"Р 2 3

2Х

+ 5

2

2

2

5

+ -(2 А - В2)^т(2-Л) - зт(25)) + 2А1 B1(cos(v5)2 - ^(и/)2)) + 2(( + В2-5)-

+

А22 л

2 > 0,

2Г

Ь2 =— л 2

п + 4х а

п2 + 4-2 а2

ПАзХ2а2 (2ахcos(x5) + пsш(х5)) +

(cos(-5) (В1 п - 2А--а) - siп(-5)(А1п + 2В1-а)),

2а х2 А

Ь4 =———Г2 (2ха siп(х5) -пcos(х5)) п + 4х а

2а-2

п2 + 4-2а2

(cos(-5)( Ап + 2В-а) + siп(-5)( В1п - 2А1-а)),

( п

символом в заменены выражения порядка ехр\--| • С,

Коэффициенты А1, В1, А2, А3 находятся из системы граничных условий А2 = А1 cos(vd) + В1 siп(vd),

А3 cos(х5) = А1 cos(-5) + В1 siп(-5),

А2у = -( siп(vd) - В; cos(vd)),

А3х cos(х5) = -(А1 siп(-5) - В; cos(-5)).

Отметим, что каждый из полученных коэффициентов может быть выражен через какой-нибудь один из оставшихся коэффициентов ввиду линейной зависимости уравнений. Значения свободного коэффициента предполагается варьировать в допустимых пределах. При таких допущениях сое/2 и сое/4 в выражениях будут некоторыми числами, величина которых будет зависеть от выбранных А1, В1, А2 и А3. Теперь определимся с выбором 5. Пусть 5 = а2, тогда М( ¥) приводится к виду

М(¥) = —г/2п(2 + в) - ПС + 1а2ксР - 8аnaC2, 4 п 2 п

где

С, =

С2 =

(

X

п5 \

п5

.2

1 - е а

п5

-е 2а(Ь2 + Ь4) + 2в

+ -е а +в

= -2 + (--

1 (х2--) а2 + 0(а3) + в,

= - В- +

Вхла-

АХ - А--2 +

В-п 8

2

а2 -0(а3) + 2в.

Далее необходимо выбрать п Для этого минимизируем выражение М( ¥) по параметру п

М(¥) П = 2^(2 + в) - с - 8аЛс2 = 0.

п

п

Так как выражение М(¥) необходимо оценить сверху, то членом с С1 здесь можно

пренебречь. После минимизации получаем аа

П = 16—2

п

С2

М (¥) =

26 а 2а2С2 27 а 2а2С2 1 2,

2 2 +—аксР = -

26 а 2а2С2 1 2

п (2 + в) п (2 + в) 2

п (2 + в) 2

+ — а ксР .

Прежде чем окончательно оценить М(¥) , напишем выражение для ||¥||2:

11¥112

а да /1

- \\О\\2 + 2 Л РО—х—£ < а21 2а + —

-а 0 V в.

+8

аща

2А—а -—51 -—+ е 2аЪл +£

— + 4/ а

2 2 а П п ч Ср +-- (1 + 8)"

2 о8 _2 /

= а

+8

а227а2

—

2 А—

-—+ е 2аЪл + 8

— + 4/а2

2а-

= а

в

2а-

сР +

в

а2Т а2(1 + 8) 2 —(2 + 8)2 2'

сР + а а С3.

Итогом будет следующая оценка:

26 а 2а2С2 1

М (¥) < — (2 + 8) 2

-а всР

¥

а

2а + — в

сР + а а С3

2 а 2С2 1 _

-^ + -всР

— (2 + 8) 2 Р

2а + —

в

сР + а С3

График получившегося выражения при конкретных заданных значениях параметров и констант показан на рис. 2.

Рис.2. График зависимости отношения М(¥) от значения параметра в(а~10-5).

Минимизация этого выражения дает следующие значения в

-2сР + 2^] сР 2 + 4Са3сР + 2Са 4С3

в =

4асР + 2а С3

= -2сР - 2^сР 2 + 4Са3сР + 2Са4С3 в2 = ' . „ 2/

4асР + 2а С3

г\ 6 2

где С = 32 С2 > 0. —

Очевидно, что второй результат нас не удовлетворяет. Разложим в1 по степеням а, тогда

С

в1 =— а2 + 0(а3) . Подставив это значение в в исследуемое отношение, получим

требуемую оценку

Р

M (|) 1 C2 a4 ЦЦ2 2 2a3cF + cF2 + a4CC3

Литература

1. Axmann W., Kuchment P. // J. Comput. Phys. 1999. V. 150. P. 468.

2. Dobson D C. // J. Comp. Phys. 1999. V. 149. P. 363.

3. Joannopoulos J.D., Meade R.D., Winn J.N. Photonic Crystals. Molding the Flow of Light. Princeton: Princeton University Press, 1995.

4. Figotin A., Kuchment P. // SIAM J. Appl. Math. 1996. V. 56. № 1. P. 68.

5. Axmann W., Kuchment P., Kunyansky L. // J. Lightwave Technology. V. 17. № 11. P. 1996.

6. Exner P., Vugalter S.A. //Ann. Inst. Henri Poincare. 1996. V. 65. № 1. P. 109.

7. Exner P., Vugalter S.A. //J. Phys. A. 1997. V. 30. P. 7863.

8. Popov I.Yu.//Rep. Math. Phys. 1999. V. 43. P. 427.

9. Мельничук О.П., Попов И.Ю. // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28. В. 8. С. 69.

10. Popov I.Yu. // J. Math. Phys. 2002. V. 43 (1). P. 215.