Расчет напряженно-деформированного состояния древесины в зоне контакта с металлической зубчатой пластиной

V.P. SELYAEV, T.A. NIZINA, V.V. TSYGANOV

THE DEVELOPMENT AND APPLICATION OF FUNCTIONALLY-GRADIENT COVERING FOR STRENTHENING AND PROTECTION OF FERROCONCRETE CONSTRUCTIONS

The results of the research on the development of epoxide functionally-gradient coverings are given in the paper. It was shown that the efficiency of their using increases taking into account the influence of coverings on work of concrete and ferro-concrete elements of constructions.

УДК 624.011.2.001.2+674.028.1/.5

Д.В. ЛОСКУТОВА,

ТГАСУ, Томск

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ДРЕВЕСИНЫ В ЗОНЕ КОНТАКТА С МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЛАСТИНОЙ

В статье приводятся результаты расчетов напряженно-деформированного состояния зоны контакта зуба металлической зубчатой пластины с деревянным элементом. Рассмотрены изотропная и ортотропная модели древесины. В нелинейном расчёте контактного взаимодействия используются «фиктивные контактные» элементы. Результаты расчетов представлены в виде полей напряжений и перемещений. Получены значения коэффициентов постели, проведено сравнение результатов расчетов с данными экспериментов.

Рассмотрим задачу о взаимодействии зуба металлической зубчатой пластины (МЗП) с древесиной. Моделируется часть деревянного бруса размером 21^34x14 мм и часть пластины размером 21x22x1 мм с одним зубом (7x3 мм). Фрагмент МЗП показан на рис. 1. Сталь марки 05кп, ГОСТ 1050-88*. Временное сопротивление разрыву о = 407 МПа, относительное удлинение в = 14 %. Диаграмма деформаций при испытании на растяжение стали марки 05кп, испытанной по ГОСТ 1497-84, показана на рис. 2.

Вид А

е j

' ) / /

Л J-2 7 3

-\ \ Jr 1 1

9 13 к

т-

Рис. 1. Фрагмент МЗП, размеры зуба

А

© Д. В. Лоскутова, 2008

Е, %

Рис. 2. Диаграмма деформаций при испытании на растяжение стали марки 05 кп

Для получения диаграммы деформаций образцов из древесины сосны были проведены испытания образцов на сжатие на прессе при постоянной скорости деформаций 10-4 с-1. Прочность на сжатие составила 5,5 МПа. Деформации, при которых произошло разрушение, равны приблизительно 16-18 %. Модуль упругости древесины получен измерением отношения величин напряжений к значениям деформаций Е = 9600 МПа [1]. Диаграмма деформаций, полученная при статическом испытании образцов из сосны в продольном, радиальном и тангенциальном направлениях относительно волокон, показана на рис. 3 [2].

Рис. 3. Диаграмма деформаций для трёх направлений сжатия древесины сосны:

1 - тангенциальное; 2 - вдоль волокон; 3 - радиальное

На рис. 4 показана модель деревянного бруса с внедренным зубом МЗП. Зуб, имеющий прямоугольное сечение, расположен под углом 30° к направлению действующей нагрузки. Брус закреплён от вертикальных смещений по нижнему торцу и полностью закреплён по торцу с нормалью в отрицательном направлении оси У. Пластина с зубом показана на рис. 5. Шаг сетки, модели-

рующей зуб, принят кратным V3 шага сетки, моделирующей пластину. Пластина может свободно перемещаться по оси Y, а остальные степени свободы запрещены. По торцу пластины приложена сила 20,6 Н. Расчеты проведены посредством расчетной системы APM Civil Engineering Prof. Версия 9.4.

Расчет проведен методом конечного элемента. Перемещения u(x) произвольной точки элемента через неизвестные перемещения его узловых точек

n

u

i=1

где Nt (x) - функция формы элемента; Ut - вектор перемещения i-го узла элемента; N (x)- матрица функций форм элемента; U — вектор всех узловых перемещений элемента.

Связь напряжений c(x) с деформациями e(x) для линейного поведения

материала описывается уравнением с = De , где D - матрица упругости.

Рис. 4. Конечно-элементная модель деревянного бруса с внедренным зубом МЗП

Рис. 5. Расчетная модель пластины с зубом

Выражение деформаций через узловые перемещения элемента

в = Ви .

Полная потенциальная энергия элемента определяется выражением

П

V V 5

где р и д - векторы объемных и поверхностных сил соответственно. Подставляя вектор деформаций через узловые перемещения

П

п

запишем выражение для потенциальной энергии в виде

[/

'2

где К(е) = | (ВЫ)г БВШУ - матрица жесткости элемента;

V

г I г I г

/ =1 р ЫёУ +1 д ЫёБ - вектор приведенных узловых сил.

V 5

Полная потенциальная энергия системы получается суммированием по всем ее элементам

П = £ П

е

минимизация функционала потенциальной энергии дает систему уравнений МКЭ:

ки =

где К - глобальная матрица жесткости и Б - вектор узловых сил, полученные

ът

путем суммирования соответствующих членов матриц жесткости К и векторов / отдельных конечных элементов.

Для определения напряженно-деформированного состояния древесины в окрестности зуба МЗП рассмотрим контактное взаимодействие двух деталей.

Для решения необходимо наличие «контактных» и «целевых» элементов на поверхностях предполагаемого взаимодействия (рис. 6).

В нелинейном расчёте контактного взаимодействия создаются «фиктивные контактные» элементы, имеющие конфигурацию тетраэдра (основание -треугольник) или пирамиды (основание - четырёхугольник). Основанием для этих элементов служит «контактный» элемент, а вершина - узел, принадлежащий одному из «целевых» элементов. В данной задаче будет создано 4 «фиктивных контактных» элемента, соединяющих узлы 1-5-7-3-8, 1-5-7-3-12, 1-5-7-3-14, 1-5-7-3-10 (рис. 6).

На первой итерации жёсткость элементам назначается в соответствии с жёсткостью контактирующих деталей, а далее, на каждой итерации, проводится статический расчёт (решается матричное уравнение вида [К](х}=(Е}), проверяется условие непроникновения вершины каждого «фиктивного кон-

тактного» элемента в его же основание и, в зависимости от расположения вершины, изменяется дополнительное внутреннее усилие в элементе. Критерием сходимости нелинейного расчёта является норма вектора невязки внешних и внутренних сил.

Рис. 6. «Фиктивный контактный» элемент 1-5-7-3-12

Результаты расчетов представлены в виде полей напряжений, ориентированных вдоль действующей нагрузки и полей перемещений (рис. 8, 9). Напряжения в древесине направлены по оси У (рис. 7). Максимальные значения возникли в зоне контакта с металлической поверхностью.

ЗУМм?)

Рис. 7. Распределение напряжений по оси У в древесине

Рис. 8. Распределение суммарных перемещений в древесине

Рис. 9. Распределение перемещений в древесине по оси У

По результатам расчёта получили неравномерное распределение перемещений и напряжений по поверхности контакта зуба с древесиной. Разделив всю поверхность контакта на участки с равномерным распределением напряжений и перемещений, вычислили коэффициент постели для каждого участка. Коэффициент постели определен как отношение напряжения к перемещению по оси У (направление приложенной силы). Общий коэффициент постели определен как среднее из массива полученных коэффициентов.

Были рассмотрены 3 задачи с различными характеристиками деревянного бруса:

- изотропный материал, модуль Юнга 9600 МПа, коэффициент Пуассона 0,01 [1];

- изотропный материал, модуль Юнга 7000 МПа, коэффициент Пуассона 0,01 [3];

- орторопный материал с матрицей упругих постоянных [4]:

сц = 12650 МПа; с22 = 607,0 МПа; с33 = 1015,0 МПа;

с44 = 23,6 МПа; с55 = 506,0 МПа; с66 = 632,0 МПа;

с!2 = 424,0 МПа; с13 = 608,0 МПа; с23 = 495,0 МПа.

Коэффициент постели рассчитывался тремя способами:

1) отношение среднего по площадке контакта напряжения к перемещению края пластины в месте приложения нагрузки;

2) средняя величина коэффициента постели, вычисленного для каждой площадки контакта;

3) отношение среднего по площадке контакта напряжения к среднему по площадке контакта перемещению.

Результаты расчёта сведены в таблицу.

Значение коэффициента постели, Н/мм3

Способ расчёта Изотропная модель, Е = 9,6 ГПа Изотропная модель, Е = 7,0 ГПа Ортотропная модель

1 560,74 459,42 137,49

2 1015,98 797,20 321,69

3 1330,00 1017,99 241,43

Значения коэффициентов постели для древесины, моделируемой изотропной и ортотропной моделью, значительно различаются между собой. Зуб, расположенный под углом к продольным волокнам, деформирует древесину и в продольном, и поперечном направлениях. Изотропная модель дает завышенный коэффициент постели, так как не учитывает значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона в поперечном направлении. Результаты расчетов по ортотропной модели были сопоставлены с данными экспериментов, полученными В.А. Цепаевым [5] при испытании узкими прямоугольными штампами вдоль и поперек волокон древесины. Сравнение результатов показало, что коэффициенты постели для зуба, расположенного под углом, находятся в интервале между экспериментальными значениями вдоль и поперек волокон.

Библиографический список

1. Прочность и деформации древесины сосны, модифицированной высоким давлением / Д.Г. Копаница, Д.В. Лычагин, Л.И. Офицерова [и др] // Строительство: материалы, конструкции, технологии : Материалы IV Межрегиональной научно-технической конференции. - Братск : ГОУ ВПО «БрГУ», 2006. - 186 с.

2. Демпфирующие свойства секвойи, березы, сосны и осины при ударном нагружении / А.П.Большаков, [и др.] // ПМТФ. - 2001. - Т. 42. - № 2. - С. 23-32.

3. Крицин, А.В. Расчет сквозных деревянных конструкций на металлических зубчатых пластинах с учетом упруго-вязких и пластических деформаций : дис. ... канд. техн. наук. -Н. Новгород, 2004. - 180 с.

4. Рабинович, А.Л. Об упругих постоянных и прочности авиационных материалов / А.Л. Рабинович // Тр. ЦАГИ. №582. 1946. С. 1-56.

5. Цепаев, В.А. Исследование длительной прочности и деформативности соединений элементов деревянных конструкций на металлических зубчатых пластинах : дис. . канд. техн. наук. - М., 1982. - 201 с.

D.V. LOSKUTOVA

CALCULATION OF THE INTENSE-DEFORMED CONDITION OF WOOD IN THE ZONE OF CONTACT WITH METAL GEAR PLATES

The results of calculations of the intense-deformed condition of a contact zone of a tooth of a metal gear plate with a wooden element are given in the paper. The isotropic and orthotropic model of wood is considered. In nonlinear calculation of contact interaction the «fictitious contact» elements are used. Results of calculations are presented in the form of fields of pressure and movings. Values of factors of subgrade reaction are received; comparison of results of calculations with data of experiments is made.

УДК 624.012.45.001.6

Д.Г. УТКИН, аспирант,

ТГАСУ, Томск

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ЗОННЫМ АРМИРОВАНИЕМ ИЗ СТАЛЬНОЙ ФИБРЫ ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

В статье представлены программа и результаты экспериментальных исследований сжато-изогнутых железобетонных элементов с зонным армированием из стальной фибры в растянутой и сжатой зонах при кратковременном динамическом нагружении. На основании анализа результатов экспериментальных исследований сформулированы основные выводы об эффективности усиления железобетонных элементов слоем стале-фибробетона в сжатой и растянутой зонах.

Вследствие непрерывного развития химической, нефтяной, газовой и других отраслей промышленности увеличивается вероятность возникновения и воздействия на конструкции зданий и сооружений случайных кратковременных динамических нагрузок аварийного характера. Во многих случаях они приводят не только к крупному материальному ущербу, но и к гибели людей. Поскольку данные воздействия относятся к аварийным, основное требование, предъявляемое к зданиям и сооружениям, состоит в том, что они должны выдержать без обрушения однократное воздействие кратковременной динамической нагрузки. В связи с этим в настоящее время является весьма актуальным при проектировании и расчете железобетонных конструкций учитывать возможность кратковременного динамического воздействия на эти конструкции.

В России и за рубежом сталефибробетон применяется в различных элементах и конструкциях, в основном, в качестве экспериментальных или опытно-промышленных образцов. Однако вопрос широкого практического применения сталефибробетона остается и в настоящее время открытым. В связи

© Д.Г. Уткин, 2008