Существование локально равномерно выпуклой полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости нормы на пространствах вида с(к), где к линейно упорядоченный сепарабельный компакт

М.С. Кобылина

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЛОКАЛЬНО РАВНОМЕРНО ВЫПУКЛОЙ ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЙ СНИЗУ В ТОПОЛОГИИ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ НОРМЫ НА ПРОСТРАНСТВАХ ВИДА С(К),

ГДЕ К - ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЙ СЕПАРАБЕЛЬНЫЙ КОМПАКТ

Доказывается, что для любого линейно упорядоченного сепарабельного компакта К со стандартной интервальной топологией пространство С(К) допускает локально равномерно выпуклую (ЬиЯ ) полунепрерывную снизу в топологии поточечной сходимости норму.

В статье [1] дан критерий существования полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости ЬиЯ нормы.

В данной работе рассматривается случай пространства С (К), когда К является линейно упорядоченным сепарабельный компактом со стандартной интервальной топологией. В [3] доказано, что такое пространство допускает ЬиЯ норму. В предлагаемой статье, используя исследования, проведенные в [1], доказывается существование вышеуказанной нормы с более сильными свойствами.

Определение. Пусть Ь - линейно упорядоченное пространство. Назовем элементы (если существуют) х+ = шт{у е Ь; у > х} и х_ = тах{у е Ь; у < х} непосредственным последователем и, соответственно, предшественником элемента х из Ь .

Для доказательства существования вышеобъявлен-ной нормы на пространстве вида С(К) понадобится следующая лемма М. Бурке, ее доказательство приводится здесь для полноты.

Лемма 1. Если Ь - сепарабельное линейно упоря доченное пространство и множество Р = {х е Ь; Зх счетно, то существует сохраняющее порядок гомео-морфное вложение f : Ь ^ Я [2].

Доказательство. Каждой точке х из Ь поставим в соответствие линейно упорядоченное множество Ьх следующим образом:

а) если х £ Р и х - не концевая точка, то Ьх = {0};

б) если х е Р или х - наибольший элемент Ь, то

4 = [о^;

в) если х - наименьший элемент Ь , то Ьх = (- <»;0].

Обозначим М = и {х} х ЬХ - линейно упорядочен-

ХЕ.Ь

ное пространство с топологией лексикографического порядка. Так как Ь сепарабельно и Р счетно, то М -сепарабельное пространство. Заметим, что М - плотное в себе линейно упорядоченное пространство, в котором у каждой точки нет непосредственного последователя. Следовательно, существует гомеоморфизм к : М ^ Я на всюду плотное подпространство в Я , сохраняющий порядок.

Отображение х ^ (х,0) сохраняет порядок и является гомеоморфизмом Ь на подпространство в М . Тогда искомый гомеоморфизм f : Ь ^ Я можно задать формулой f (х) = к(х,0).

Введем обозначения: А_ = {х є К; Зх },

А+ = {х є К; Зх +} и А0 = А_ ПА+ . Заметим, что линейно упорядоченный компакт К можно представить в виде К = А_ и А+ и С и О , где С - это множество всех точек х є К, для которых существует окрестность Ох, не пересекающаяся с множеством А_ и А+ , а Б состоит из всех предельных точек множества А_ и А+ . Отметим, что из сепарабельности и компактности К вытекает, что С может быть равно не более чем счетному дизъюнктному объединению сегментов вида [, Ъ ], і є N, гомеоморф-ных обычному сегменту [0,1] с Я .

Лемма 2. Если К - линейно упорядоченный сепарабельный компакт, то существует гомеоморфное вложение К в подпространство пространства неубывающих функций на [0,1] , наделенного топологией поточечной сходимости.

Доказательство. Определим на К отношение эквивалентности следующим образом: скажем, что х ~ у , если между точками х и у нет элементов из К . Тогда фактор-пространство К/~ будет удовлетворять условиям леммы 1.

По лемме 1 существует гомеоморфное сохраняющее порядок вложение f : К/ ~ ^ Я на подпространство в Я . Тогда / (к/ ~) - сепарабельный линейно упорядоченный компакт в Я , и существует сегмент [а, Ь], который содержит / (к/ ~). Определим s(t) = ——а,

Ь - а

я : [а, Ь] ^ [0,1] - гомеоморфизм, сохраняющий порядок.

Для каждого х є К положим g(х) = л ° / ° п(х). Тогда Е = g(К) - сепарабельный линейно упорядоченный компакт, лежащий в обычном отрезке [0,1]. Обозначим

Ео = £(+ \ Ао) и Еа = ё(я) .

Для каждой точки х є К \ Б зададим следующее отображение на компакте К :

а) если найдется номер і, для которого

х є (аі, Ьі )П С , то положим

0, у < аі;

ё(у)- ё (а) г і

і-т—г, У€1а;,х|;

ё(х) - ё(а) у 1 • ]

1, у > X

Ф*<*,(у) =

, ч . Г0.

Ь) если X Є А_ , то положим фї(ї ((у) = К 1

0, у < х; У ^ х;

c) если x e A+ \ A_ , то положим у , (y) = к

[1, y > x.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Утверждение. Если x и y , x < у , - не эквивалентные элементы из K , то ф (_((х) < ф (_((у) для каждого z е (x,у)П K \ D.

Доказательство. Пусть x, y е K и x < у , кроме того, (x,у)П K Ф0 . Возьмем произвольную точку z е (x, у) П K \ D . Если z е А+ \ А_, то ф (_,(х) = 0 , а

Ф*(.->(У) =1 • Тогда ф*(_-,(x) < ф*(_-,(у) •

Если z е C U A , то ф (_((х) < 1, ф (_,(y) = 1. Следовательно, фг(_.,(х) < фг(_.((у).

Рассмотрим x, y е K , x < у . Возможны следующие варианты:

1) (х, у) П K ^ 0 , тогда найдется z е (х, у) \ D , для которого фг(__,(x) < 1 = фг(__,(y);

2) (x, у) П K = 0 , тогда у = x + , а

Ф*. ,(x) = 0 <Ф,(, »(У) =1 .

Получили, что семейство функций \<pg(x)}

различает точки K , следовательно, их диагональное произведение [4] Аф,: K ^ П{0,1}х п [0,1] явля-

1 1иЕа /е£\

ется гомеоморфным вложением.

Воспользуемся теперь оператором

Q : C(K) ^ с0 (Г), введенным в статье [1]. Здесь

K с [0;1]г, а оператор Q на элементе h е C(K) определяется по правилу

Qh(y) = sup I h(t) - h(s): t, s e K, (t - s)|n{>/ ( = o}.

Введем носитель функции Qh следующим образом: su ppQh = {уеГ; Qh(y) > 0}.

Теорема. Пусть K - линейно упорядоченный сепарабельный компакт.

Тогда пространство С (К) допускает эквивалентную полунепрерывную снизу относительно топологии поточечной сходимости ЬиЯ норму.

Доказательство. По лемме 2 можно считать, что компакт К есть подпространство тихоновского куба

[0,1]м" . Тогда, в силу теоремы 1.15, следствия 2.67 и утверждения 2.68 статьи [1], достаточно доказать существование счетного множества Q а Е такого,

что Q и зыррОН будет контролировать любую функцию Н е С(К), т.е. если 5, t е К и 5 ,, = Л , , ,

V / ’ ’ I еОидрОА I ОЗзиррОН ’

то = Ь({).

Так как К - сепарабельное пространство, то существует счетное всюду плотное множество Q0. Обозначим Q = g(20). Тогда Q будет счетным всюду плотным множеством в Е . Покажем, что Q контролирует любую функцию Н е С(К). Пусть X, у е К и, для определенности, X < у (если X = у, то утверждение теоремы очевидно). Пусть, кроме того,

х)Ц, и ф/«и „,о/,=ф/(у)1,е„ „,о/,.

Тогда обязательно у = х + . В самом деле, если бы у Ф х + , то для всех точек z е (х, у) П К \ Б, согласно утверждению в доказательстве леммы 2, было бы

Ф*С-->(х) <Ф*-->(У).

Но (х, у )П й ^0 и Ф*(.- )(х) = Ф*(.- )(У) для

z е (х, у) П Q. Получили противоречие, следовательно,

У = х + и ^)(х^а =^м(у)Ц.

Если g(х) е тррОк, то ((х) = ^,,(у) и

й(х) = Н(у).

Если же g(х) й suppQ.h, то по определению носителя к(х) = к(у), что и требовалось доказать.

ЛИТЕРАТУРА

1. Molto A., Origuela J., Troyanski S., Valdivia M. A nonlinear transfer technique for renorming // Prepublicationes del Departmento d Mathemeticas d la

Universidad. 2003. № 2.

2. Burke M.R. Borel measurability of separately continuous function // Topology and its Applications. 2003. № 129. Р. 29-65.

3. Кобылина М.С. Локально равномерно выпуклые пространства вида С(К), где К - линейно упорядоченный сепарабельный компакт // Вестник

ТГУ. Сер. Математика, кибернетика и информатика. 2006. № 290. Р. 64-65.

4. Энгелькинг. Общая топология: Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 752 с.

Статья представлена кафедрой теории функций и топологии механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 4 декабря 2006 г., принята к печати 11 декабря 2006 г.