Аномальный скейлинг в теории развитой турбулентности

Н. В. Антонов, М. М. Перекалин

АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В ТЕОРИИ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ *)

1. Введение. Теоретическое описание явления турбулентности часто называют последней нерешенной проблемой классической физики. Разумеется, понятие турбулентности включает огромное число различных интересных явлений, почти столь же разнообразных и богатых как явления живой природы [1]. В данной статье речь пойдет лишь об одном, хотя и весьма показательном, примере: развитой гидродинамической турбулентности. Хотя дифференциальные уравнения, описывающие динамику жидкости или газа, в принципе давно известны (например, уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости), проанализировать их решения удается лишь в небольшом числе простых случаев. Достаточно сказать, что до сих пор не доказаны и не опровергнуты существование и единственность глобального решения уравнения Навье-Стокса для произвольного гладкого начального условия. Поэтому при описании турбулентности пользуются обычно упрощенными моделями, которые удается проанализировать теоретически, но связь их с исходными динамическими уравнениями далеко не очевидна. Другой подход - попытаться сформулировать некоторые правдоподобные гипотезы, основанные как на динамических уравнениях, так и на экспериментальных данных, и затем изучать их следствия. Самая известная теория такого рода - феноменологическая теория Колмогорова-Обухова 1941г., позволившая предсказать вид спектра турбулентной энергии, хорошо согласующийся с экспериментальными данными [1, 2]. Впоследствии появились как теоретические, так и экспериментальные свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний этой теории; ключевые понятия здесь: перемежаемость, аномальный скейлинг (масштабная инвариантность) и аномальные показатели. Основными задачами являются обоснование теории Колмогорова-Обухова или отклонений от нее (если они есть) на основе-исходных динамических уравнений и нахождение аномальных показателей в рамках какой-либо последовательной вычислительной схемы. В 90-х годах XX в. эти задачи были решены, но не для самой турбулентной среды, а для случая скалярной величины (температуры или энтропии турбулентной жидкости, концентрации примеси), переносимой случайным гауссовым полем скорости, имитирующем некоторые свойства реальной турбулентности (так называемая модель Обухова-Крейчнана; см. обзорные статьи [3, 4] и цитированные в них оригинальные работы).

В настоящей статье кратко обсудим проблему аномального скейлинга развитой турбулентности и ее решение для модели Обухова-Крейчнана.

2. Уравнение Навье-Стокса. Пусть у(£,х) = {ы(¿,х)}, "Р(£,х) и /з(/,х) - скорость, давление и плотность турбулентной среды в момент времени £ и в точке пространства х — {х.}, так что г = 1,2,3. Для несжимаемой жидкости (это разумное приближение для обычных турбулентных течений, поскольку числа Маха для них малы) плотность постоянна, р(£, х) = р$, так что уравнение неразрывности дьр + дг(ь\р) = 0 превращается в условие равенства нулю дивергенции поля скорости: д¿1^ = 0 (здесь и

Работа является методическим пособием по курсу «Методы квантовой теории поля в критической динамике и теории турбулентности». Выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л* 05-02-17 524).

© Н.В. Антонов, М. М. Перекалин, 2005

далее обозначаем дt = З/сЙ, д{ — д/дх{ и подразумеваем суммирование по повторяющимся векторным индексам от 1 до 3). Выберем единицы измерений так, чтобы ро = 1. Тогда уравнение Навье-Стокса принимает вид

Чт = иоАуг - дгТ + ^t~дtЛ

где V* - лагранжева производная; Д - лапласиан; щ - кинематический коэффициент вязкости; ^¿,х) = {/¿(£,х)} - внешняя сила, также удовлетворяющая условию дг/г = О (ее смысл обсуждается ниже). Давление V фактически не является независимой динамической переменной: применив к обеим частям равенства операцию <9,-, получим для него уравнение Пуассона: АТ — —¿^(«¿г^), позволяющее выразить давление через поле скорости в тот же момент времени.

В отсутствие диссипации (ио = 0) и внешней силы ({ = 0) из (1) вытекает уравнение дь£ -\-diJi = 0, выражающее в дифференциальной форме закон сохранения энергии; величины £ — V2/2 и Ji = ¡Ъ-УР) имеют смысл плотностей энергии и потока энергии соответственно. В отсутствие внешней силы уравнение (1) инвариантно относительно преобразования Галилея «¿(¿, х) —> х + и<) — щ с произвольным постоянным вектором и — {¡¿г/.

Поучительно переписать уравнение (1) в терминах Фурье-образа {¡¿(£, к) исходного поля скорости:

ь&,х) =

здесь к - волновой вектор и к = |к| - волновое число:

<%£,-(£, к) 4- ^0Аг2г>*(^, к) =

= ^Рцт

В (2) Рцт{к) = ктРц(к) + /с;Ргт(к), Рц(к) = 5ц - ^¡/к2 - проектор на ортогональное к к подпространство и 5ц - дельта-символ Кронекера. Компоненте 0*(£, к) в координатном пространстве отвечает поле, заметно изменяющееся на длине порядка г ~ 1/к. Нетрудно видеть, что в отсутствие нелинейности уравнение (2) распалось бы на независимые уравнения для компонент щ (¿, к) с различными к.

3. Феноменология развитой турбулентности. Теория Колмогорова-Обухова. Типичный пример турбулентности - течение жидкости (газа) по трубе с заданным перепадом давления ¿V на ее концах: при малом 5Т течение плавное (ламинарное); с повышением 6Т при переходе через некоторое критическое значение бТс оно теряет устойчивость, и в жидкости возникают хаотические завихрения, интенсивность которых увеличивается с ростом 5V. Одновременно усложняется «внутреннее устройство» турбулентной среды: характерным размером впервые появляющихся вихрей является внешний масштаб X (в данном случае диаметр трубы), с ростом ¿V возбуждаются вихри все меньших масштабов. Развитой турбулентности отвечает ¿V бТс, когда в системе одновременно присутствуют вихри всевозможных размеров от Ь до диссипа-ционной длины г1, ниже которой доминирует процесс затухания вихрей из-за вязкого трения. В установившемся режиме вся энергия, поступающая от внешнего источника со средней мощностью У/ на масштабе Ь, распространяется на весь интервал масштабов и в конечном счете переходит в тепло за счет диссипации энергии вихрей размеров порядка г].

I (2тг)з £¿(2, к) ехр {¿кх},

В общем случае роль 5V/8VC играет безразмерное число Рейнольдса Re — UL/щ, где U - характерное изменение скорости на длине порядка L. Его можно также записать в виде Re ~ (L/tj)4/3, так что развитой турбулентности (Re 1) отвечает широкий «инерционный интервал» масштабов г) <С г ~ 1/к <С L, в котором накачка и диссипация энергии несущественны, а единственным процессом является «дробление вихрей», или, другими словами, перенос энергии от малых волновых чисел к ко все большим за счет нелинейности в уравнениях (1) или (2). (Из (2) очевидно, что в отсутствие нелинейности вся энергия оставалась бы в той же области волновых чисел, куда она поступает от внешнего источника f(£, к)).

При переносе от компонент v(£. к) с к ~ 1/1 к компонентам с к ~ 1 /77 данная порция энергии претерпевает многочисленные акты дробления вихрей (каскад Ричардсона). Поэтому можно ожидать, что в области к^> 1/L турбулентность «забывает» конкретные детали устройства накачки (сечение трубы, форму препятствия или пропеллера, создающих турбулентность и т.п.) и «помнит» лишь глобальные характеристики: среднюю мощность поступающей энергии W и, возможно, величину L. В силу крайней нерегулярности турбулентного движения естественно рассматривать поля v(£. к) как случайные величины и говорить об их функции распределения или корреляционных функциях (v(ii,kx)v(i2,k2)... v(£n,kn)), где угловые скобки означают усреднение по некоторому статистическому ансамблю. Можно надеяться, что такие величины описываются какими-то универсальными законами, не зависящими от конкретной ситуации (способа возбуждения турбулентности, типа жидкости или газа и т.п.). В частности, можно ожидать, что турбулентность становится однородной и изотропной, а в теоретических исследованиях моделировать внешний источник энергии с помощью вклада силы f в уравнениях (1), (2), считая ее случайной и приписав ей простейшие статистические свойства, например, гауссово распределение с нулевым средним и заданным парным коррелятором вида

= S

где 5(t - t') - дельта-функция Дирака, равная нулю при t ф ? (отсутствие корреляций во времени обеспечивает галилееву инвариантность полного стохастического уравнения со случайной силой, нарушенную, если f - конкретная неслучайная функция), а Фурье-образ С(к) функции С(г) отличен от нуля лишь при к ~ 1/L.

Каскадный характер распространения энергии по спектру и ряд других соображений привели в 1941 г. А. Н. Колмогорова и А. М. Обухова к феноменологической теории развитой турбулентности (история вопроса прекрасно изложена в книге [1]), основные постулаты которой можно сформулировать в виде двух гипотез [1, 2].

1. В области к » 1/L корреляционные функции поля v(£, к) зависят лишь от средней мощности накачки энергии W, но не от «деталей ее устройства», в частности, от масштаба L. Сейчас известно, что эта гипотеза может относиться лишь к одновременным корреляционным функциям — t2 —  = tn) или в общем случае к галилеевоинвариантным величинам, поскольку чисто кинематические эффекты переноса мелких вихрей крупными приводят к сильной зависимости от L разновременных функций.

2. В области к <С 1/т) корреляционные функции v(i,k) не зависят от вязкости vq

и, тем самым, от диссипационной длины Г). Таким образом, в инерционном интервале, где выполнены оба неравенства, должна оставаться зависимость лишь от единственного параметра W.

Корреляционные функции поля 5,(£,к), даже одновременные, — довольно сложный объект из-за наличия большого числа аргументов и индексов. Поэтому обычно рас-

сматривают так называемые структурные функции, определяемые соотношениями

Sn

где vr = (vr)/r - проекция скорости на направление вектора г. Достоинством функций (4) является их галилеева инвариантность и тот факт, что для изотропной однородной турбулентности они, будучи скалярными величинами, зависят лишь от модуля г = |г|. Наконец, именно структурные функции обычно непосредственно измеряются экспериментально (точнее, сводятся к экспериментально наблюдаемым величинам с помощью гипотезы Тейлора о замороженной турбулентности). Из соображений размерности можно написать

Sn{r) = {Wr)n/iFn

где Fn - некоторые функции безразмерных аргументов r/L и r/rj. Гипотезы Колмогорова применительно к функциям (5) означают существование конечного универсального предела при r/L -4 0 и г/77 00; так что в инерционном интервале получаются

простые степенные законы с точно известными показателями:

Sn

С некоторыми, предположительно универсальными, ЧИСЛОВЫМИ коэффициентами Сп.

Экспериментальное подтверждение «закона 2/3» для функции второго порядка So ос г2//3 стало большим достижением теории Колмогорова-Обухова: оказалось, что такое сложное явление, как развитая турбулентность, подчиняется некоторым простым и универсальным закономерностям. Однако необходимо подчеркнуть, что гипотезы Колмогорова и, следовательно, соотношения (6) носят феноменологический характер; все попытки вывести их непосредственно из уравнений (1) или (2) пока не увенчались успехом. Единственным исключением является случай п = 3, когда выражение (6) можно получить из вытекающего из (1) уравнения баланса энергии и даже найти амплитудный множитель: Сз = —4/5 (для с£-мерного пространства имеем Сз = —12/d(d + 2)), который, тем самым, действительно оказывается универсальным.

4. Отклонения от теории Колмогорова-Обухова. Аномальный скейлинг. В настоящее время известны как теоретические, так и экспериментальные аргументы в пользу того, что существуют некоторые отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова-Обухова, особенно заметные для структурных функций Sn высоких порядков. Дело в том, что гипотезы Колмогорова в оригинальной формулировке имели дело лишь со средней мощностью W поступления энергии к волновым числам к ~ 1/L, равной, в силу уравнения баланса энергии, средней скорости диссипации на масштабах к ~ 1 /77 или средней скорости потока энергии по спектру из области к < ко в область к > ко с произвольным 1/L ко l/г]. В действительности все эти величины испытывают сильно развитые флуктуации, так что функции Sn в инерционном интервале могут в принципе зависеть не только от среднего, но и от их старших корреляционных функций, а через них - и от масштаба L. Подобно тому, как в теории фазовых переходов II рода флуктуации параметра порядка приводят к отклонениям критических показателей от их классических значений, предсказываемых теорией среднего поля, можно ожидать, что флуктуации спектрального потока энергии проявятся в отклонениях показателей степеней в (6) от простых значений, предсказанных теорий Колмогорова-Обухова:

Sn

с некоторыми аномальными показателями Дп. Это явление называется аномальным скейлингом (скейлинг - распространенный ныне синоним понятий масштабная инвариантность или автомодельность) в отличие от классического колмогоровского скейлин-га (6).

Добавим, что из уравнения баланса энергии вытекает Дз = 0 (см. выше), а для п > 3, как принято считать, Дп отрицательны, так что функции неограниченно возрастают при Ь —> оо. Такое поведение считается следствием так называемой перемежаемости (¿ЩегггЛ^епсу): крайне редкие, но аномально большие флуктуации случайной величины (в данном случае потока энергии или локальной скорости диссипации) дают значительный вклад в их средние значения и корреляционные функции. Это интересное явление, характерное для случайных величин с сильно негауссовым распределением, свойственно многим физическим системам, далеким от состояния термодинамического равновесия [1, 5].

Эксперимент свидетельствует в пользу отклонений от колмогоровских показателей, по крайней мере для п > 3, с отрицательными Д„, возрастающими по модулю с увеличением п. Для структурной функции второго порядка наблюдаемое отклонение мало (порядка Дг — 0,03) и пока не может считаться достоверным.

Впервые на возможные причины отклонений от теории Колмогорова-Обухова, вскоре после ее появления, указал Л. Д. Ландау. В последующие годы был предложен ряд моделей, которые пытались дать количественное описание аномального скейлинга и предсказать значения показателей Дп. Наиболее известные из них - модели Колмогорова и Обухова 1962 г., модель Новикова-Стюарта, /3-модель Фриша и ее обобщения, мультифрактальные модели, случайные каскадные модели и модель Ше-Левека. (Подробный анализ этих вопросов можно найти в книге [1], обсуждение ранних моделей 1960-х годов - в [2].) Хотя такие модели зачастую основаны на весьма тонких соображениях относительно характера распространения энергии по спектру и ее диссипации и привлекают красивую и довольно изощренную математику (мультифрактальный формализм, пространства дробной размерности), их общим слабым местом является то, что они не основаны непосредственно на динамических уравнениях (1) или (2), используют недоказанные допущения и содержат произвольные подгоночные параметры. Некоторые модели предсказывают те же, что и теория Колмогорова, простые ответы (6), другие - отличный от степенного характер поведения функций 5П и т.д.

Поэтому было бы желательно иметь теорию, основанную на исходных динамических уравнениях, в рамках которой можно было бы надежно установить сам факт существования отклонений от теории Колмогорова, получить соотношения (7) и вычислить аномальные индексы Д„ в рамках какой-либо теории возмущений (т.е. с возможностью систематически улучшать результаты первого приближения), подобно тому, например, как критические показатели вычисляются в ренормгрупповой теории фазовых переходов [6].

Для самого поля скорости турбулентной жидкости эта задача остается нерешенной. Однако недавно ее удалось полностью решить для родственной, но более простой физической системы: пассивной скалярной величины, переносимой турбулентным полем скорости с простыми заданными статистическими характеристиками.

5. Модель Обухова—Крейчнана. Рассмотрим скалярное поле #(£, х), удовлетворяющее конвективно-диффузионному уравнению вида

д$ +

Величина 0(£, х) может иметь разный физический смысл: температура турбулентной среды или концентрация примеси (например, химическое загрязнение в турбулентной атмосфере или планктон в толще океана), тогда ко - коэффициент температуропроводности или молекулярной диффузии соответственно. Для «шума» х), моделирующего влияние граничных условий и поддерживающего стационарное состояние системы, предполагается гауссово распределение с коррелятором типа (3), но без векторных индексов. Существует аналог теории Колмогорова-Обухова для пассивного скалярного поля [1, 2] («пассивность» означает, что в не оказывает обратного влияния на динамику поля скорости, а это справедливо, если перепады температуры или концентрация примеси малы).

В реальной ситуации поле V в

<«^> = Д, *

где <1 - произвольная (для общности) размерность пространства, £>о - положительный амплитудный множитель и 0 < е < 2 - произвольный показатель. Степенное поведение коррелятора (9) имитирует скейлинговые свойства реальной турбулентности; теории Колмогорова отвечает е = 4/3. Разумеется, гауссово поле скорости, полностью определяемое единственной функцией (9), не может демонстрировать аномальный скейлинг с его бесконечным набором независимых показателей Дп в (7). Однако оказывается, что, несмотря на относительную простоту статистических свойств скорости, аналогичные (3) структурные функции 5„(г) = ([#(£, х') — 0(4,х)]п) скалярного поля 6(1,, х) в инерционном интервале являются аномальными, именно

52п

(нечетные функции равны нулю как следствие инвариантности уравнения (8) при смене знака в и /). Выражение (10) не зависит от «о, т. е. вторая гипотеза Колмогорова в модели (8) выполняется. Первой гипотезе (независимость от Ь) отвечает Дп = 0. Можно показать, что Д2 = 0, но старшие аномальные индексы нетривиальны [3, 4]:

Д2„ = —2п(п - 1)е/(<* + 2) + 0(е2) = —2п(п — 1)е/а + 0(1/й2).

Существуют два аналитических подхода к модели (8), (9). Линейность уравнения

(8) по полю в и отсутствие корреляций во времени для поля V в (9) позволяют получить для одновременных корреляционных функций в замкнутую систему дифференциальных уравнений. За аномальный скейлинг «ответственны» решения соответствующих однородных уравнений («нуль-моды»). За исключением простейшего случая п — 2, найти их явно не удается, но оказывается возможным обосновать аномальное поведение типа (10) для структурных функций, а сами показатели получить в ведущих порядках асимптотик £->0и1/с2->0 (что и дает приведенные выше ответы; см. [3,

4])-

Другой подход основан на применении метода ренормализационной группы и операторных разложений. Этот аппарат, развитый изначально для изучения квантовополевых моделей элементарных частиц, оказался применимым и, более того, чрезвычайно эффективным в физике твердого тела, физике конденсированного состояния (в частности, в теории фазовых переходов) и, наконец, в теории турбулентности [6]. Турбулентная среда - далекая от термодинамического равновесия система с большим числом сильно взаимодействующих степеней свободы существенно различных масштабов,

в некоторых отношениях; близкая к физическому вакууму квантовой теории поля, что отчасти и объясняет общность используемых математических методов. Ренормгруп-повой подход дает альтернативное обоснование аномального скейлинга (10) в модели Крейчнана и позволяет систематически вычислять показатели Д„ в виде рядов по е; практические расчеты доведены до третьего порядка е3 [7].

Также рассматривались обобщения простой модели (8), (9), включающие анизотропию, гиротропию, сжимаемость, конечное время корреляции и перенос векторных (например, магнитных) полей. Можно ожидать, что в скором будущем эти методы позволят решить проблему аномального скейлинга и для «настоящей» развитой турбулентности.

Summary

Antonov N. V., Perekalin М. М. Anomalous scaling in the theory of developed turbulence.

Derivation of anomalous scaling and calculation of anomalous exponents on the basis of hydro-dynamic equations remain an important open problem in the theory of turbulence. It has been recently solved for a simple model of turbulent transport of a passive field (temperature, concentration of impurity) by a random velocity with prescribed statistical properties.

Литература

1. Frisch U. Turbulence: Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge, 1995. 2. Монин А. С., Яг-лом А. М. Статистическая гидромеханика: В 2 т. СПб., 1996. Т. 2. 3. Falkovich G., Gawgdzki К., Vergassola М. // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 913-975; http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0105199. 4. Gaw§dzki K., Kupiainen A. // Low-dimensional models in statistical physics and quantum field theory / Eds: H. Grosse, L. Pittner. Berlin, 1996. P. 71-105;

http://xxx.lanl.gov/abs/chao-dyn/9504002. 5. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A. A., SokoloffD.D. The Almighty Chance. Singapore, 1990. 6. Васильев A.H. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998. 7. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A. et al. // Phys. Rev. 2001. Vol. E64. P. 056306-(l)-056306-(28).

Статья поступила в редакцию 24 февраля 2005 г.