Возникновения конкурентной фазы в центрах цилиндрических вихрей

ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОНКУРЕНТНОЙ ФАЗЫ В ЦЕНТРАХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ

А.Я. Исаков

Рассмотрены особенности возникновения конкурентной фазы при движении в жидкости тел c высоким коэффициентом гидродинамического сопротивления, сопровождающемся образованием цилиндрических вихрей, ядро которых является наиболее вероятным местом проявления условий, достаточных для потери устойчивости ядер в виде разного рода дефектов основного фазового состояния. Результаты теоретического анализа сравниваются с данными экспериментальных исследований.

Features of occurrence of a competitive phase during the movement in a liquid of bodies with high factor of the hydrodynamic resistance, accompanying with formation of cylindrical whirlwinds which nucleus is the most probable place of display of conditions sufficient for loss of stability of nucleus as a different sort of defects of the basic phase condition are considered in the article. The results of theoretical analysis are compared with the data of experimental research.

Движение в жидкости плохообтекаемых тел с высокими значениями коэффициента гидродинамического сопротивления при значениях критерия Рейнольдса Яе = уЬ^ > 103 сопровождается образованием вихревой системы за тыльной стороной пластинки. Так, например, при обтекании пластин, расположенных перпендикулярно вектору скорости набегающего потока, в кормовой их части возникает вихревая система, состоящая из двух цилиндрических вихрей, схема образования которых приведена на рис.

1.

Динамическое условие появления вихрей может быть записано в виде уравнения Бернулли [1]:

p + v

Y 2g

= H,

dH

dn

* 0,

где р - давление; у - удельный вес жидкости; V

- скорость жидкости в данной точке течения; g

- ускорение свободного падения; Н -постоянная уравнения

Рис. 1. Схема образования цилиндрических вихрей при нормальном обтекании пластины

говорит о том, что в конечном счете вектор скорости изменяется по модулю и направлению. Другими словами, в жидкости возникают силы, направленные перпендикулярно течению, следствием действия которых являются поверхности раздела, распадающиеся затем на отдельные вихри. Вихревое вращение жидкости в области существования вихрей возможно при изменении двух составляющих скорости. Если составляющие скорости движения жидкости обозначить как {ух, уу, vz}, то необходимые условия вращения частиц жидкости относительно осей {х, у, 2} можно представить следующим образом:

dy dz

(

* 0,

dvx

dz

dv

~д„

\

* 0,

г dvv dvx

\

dx dy

* 0.

Для элементарного объема жидкости с размерами^х, dy, dz}, расположенного так, что сила тяжести направлена в сторону, противоположную оси 2, проекция действующих сил на оси {х, у, 2} представится следующим образом:

pxdydz -1 px - —Pidx Idydz = p - dxdydz,

dx

dt

pydxdz -

Фу

Ру я,

ду

dvy

dxdz = р - dxdydz,

- d(mg) + pzdxdy -1 р2 - —Р^dz |dxdy = р- dxdydz,

5х у dt

dvz

где px, ру, pz - проекции давления; vx,vy,vz - проекции скорости; т - масса элементарного объема; р - плотность жидкости. После очевидных сокращений, приведения к единичному объему и раскрытия полных производных уравнения (4)-(6) примут вид:

—px

—x

= р

- + Vx

фу С —V

—у

= Р

+ Vx

дVx

дX + Vy ^у

дX +Vy'

—Vx

су

—V

- + Vz

дz

у

—у

—V

—Рz

-^-^ = Р

дz

—Vz

- + Vx

—Vz

ч — x —X Поделим далее уравнения (7) на плотность р:

- + V.,

—уz —у

+ Vz

дz

+ vx —V*  + V.  + vz ^ _ 1 дРx

x дx у —у ъ дz Р дx ’

—V. + vx —у. + V. —V. + vz дУy _ 1 Фу

x дx у —у ъ дz _ Р —у’

+ vx + V. + vz ^ _ -g - 1 дРz

x дx у —у ъ дz р дz

С учетом того что V = ^ + jvy + kvz, имеем:

2 2.2.2

V = V + V + V .

^ У 7

Запишем далее частные производные от обеих частей уравнения (9):

дx

_—_

—у

_—_

дz

Г V2 Л _ vx + V дУy + V

V 2 у дx у дx дx ’

Г V2' _ vx + V дУy + V

V 2 у —у у —У —У '

Г V2 | V2) _ Vx дz + VУ дУy дz + Vz дz '

Вычтем из системы уравнений (8) уравнения (10):

—V

—V,,

дvx

—V

дv2

—у

—V,,

дz

—V,,

дуy

дx

дvx

дvz

- V,

1 дРx

у + V -У- + V -у- - V

дx дz —у

- V,

—V

дvz

дvx

—- + V —- - V —-

дx у —у x дz

дx р дx дx

дvz = 1 Фу

—у —V.

V 2 у

- V —— = -g —-у дz ё

р —у —у

1

V 2 у

р дz дz

V 2 у

у

+ 2

- + 2

+ 2

1 С дvx ду2

—x

2 V дz

1 С —V.

—x

\

С—^ —У

—У

—V. ^ —z

С ^у —V,.

2

V«---------

—У

1Г —V 2 V —z

—x —у

1 —p

р —у —у

2

_________________________________

g р —z —z

2

Разности частных производных проекций скорости, стоящие в круглых скобках, представляют собой проекции вектора угловой скорости частиц жидкости, т. е.

1

ю>с =_ x 2

—У

1 С —уx

ю„ _ — I

у 2 V —z

1 С —V

2

У

—V. ^ —z —^

—x

—V ^

—x —у

Уравнения движения частиц жидкости (12) с учетом вращения примут вид уравнений вихревого движения И.С. Громеки:

—t

—V,

дVx 2( 2( + 2(

у г г у У

V 2 у

1 —? ^ ^ ^

р —x —x

)_- 1—р -АС V2 ^

2 р —у —у

V 2 у

\ 1 —p — С V ^

+ Дю^,, -ю,^^_----------------

р —z —z

V 2 у

Рассмотрим прямолинейный цилиндрический вихрь, ось которого совпадает с единичным вектором {. В этом случае ю - вектор угловой скорости. Уравнение движения частиц жидкости в данном случае будет описываться двумя уравнениями системы (14):

+ 2(ю

V 2 у

\ I с/р и

2 р —у —у

—V.

дvz / \ 1 —p

—- + 2(юу - «.V I_------------

—; V x У У ’ р—z —z

)_ 1 —p —

V 2 у

Определим линейную скорость частиц жидкости V в области вихревого движения, используя кинематические уравнения. Предположим, что частица жидкости, находящаяся вблизи вихря, совершает движение по спирали, т. е. движется поступательно вдоль оси ох с постоянной по модулю скоростью vx и вращается в плоскости zoy. Координаты частицы при таком движении должны удовлетворять следующим кинематическим условиям (рис. 2):

z(t) _ Г 008 юЬ, у(Ь) _ гап юЬ,

x(t) _ Vxt.

1

V

у

2

V

z

V

x

=

Последовательно исключая из уравнений (17) время, можно прийти к следующему виду траектории частицы:

2 2 2 z + y = г , x = rsin

v

V х у

которая соответствует движению частицы по винтовой линии с периодом Т и шагом Ь:

T = —, h = rsin (cot). ю

Проекции скорости частицы из уравнений (17) определятся как

Рис. 2. Кинематическая схема вихревого движения

vz = —гю sin ot, vy = гю cos ot, vx = x/t.

Модуль и направление скорости определим из уравнений движения (17):

vi = л/ю2г2 + v2, cos(v;k )=

rrasin rat

ю'г' + vX

cos(:v; j )=

rracos rat

і

ю2г' + vX

cos(v;i )=

і

ю2г2 + vX

Ускорение частицы будет нормальным, потому что проекция скорости vx полагается постоянной по модулю и направлению:

ах = ^ = 0, х dt

dvy 2

ay =— = —г cosot, y dt

dvz 2 • .

az =—- = —г sin ot, z dt

2 2 2 ^ lan| = 4ax + ay = гю .

Нормальное ускорение можно выразить через радиус кривизны траектории р*

22 v г ю

р* р*

Поле скоростей в окрестностях вихря можно представить векторным уравнением:

V _ГГ*

4п ^ г

где Г = I = 2пюг2 - циркуляция, или интенсивность вихря; Г - радиус-вектор. В скалярном виде, с учетом того что Г2 _ р2 + x2 (рис. 3),

v

x

-г-, +да

Г г 8іпа

V = — [ 2 2 ¿X .

4п - р„ + х

—да •

Интеграл (23) вычисляется при замене переменной х на а:

х , ¿а

— = -с^а, ах = р—2— р 8Іп а

Р2 + х2 = —

р

2

8іп а

Г

V = -

4пр

п

8Іп ааа:

* 0

Г

2пр*

Рис. 3. К определению поля скоростей цилиндрического вихря

Радиус кривизны траектории определится из уравнения нормального ускорения рассматриваемой точки Кап _ гю2 _ V2/р*:

Р* = г + —г. гю

Подставим в уравнение (24) величину радиуса кривизны траектории частицы М, полученную при анализе кинематики вихря (25):

Г

г2ю

V = -

2п

vx

г + -^2-гю

г + -

гю

где г - радиус вихря. Таким образом, в окрестностях цилиндрического вихря можно выделить область, которая движется подобно точкам твердого тела, вращающимся вокруг неподвижной оси.

Эту область принято называть ядром вихря и характеризовать радиусом ^ [2], цилиндрическая

поверхность которого вращается с линейной скоростью и = юу-^ Вызванное вращением вихря течение окружающей жидкости за счет сил внутреннего трения можно считать плоским [3], если величина г - — много меньше длины вихря (рис. 4). Уравнения движения Рис. 4. Структура течения жидкости

применительно к плоскому течению удобно рассматривать в цилиндрической системе координат ге9:

в окрестностях ядра вихря

Vг = V, = 0,

= 0.

Запишем далее систему уравнений Навье - Стокса в цилиндрической системе координат:

2

2

V

х

dvr . 5vr v0 dvr

dt

dv,

+ v.

' + "

dr r d0

+v

dvr v2

dz

---- = a -

1 Эр

p dr

+ v

^d2v 1 dv2 d2v, 1 dv, 2 dv„

dr2

+

+

r d0 dz r dr r d0 r

0 dv0 v0 dv0 dv0 vrv0

— + vr—0 + ——0 + vz—0 + ^-0 = dt dr r d0 dz r

1 dp f d2v0 1 d2v0 d2v0 1 dv0 2 dvr v0

"+v -------0 +--------0 +-----0 +------0 +-------L-----0

-„2 2д2 д 2 _ д_ „2 до „2

pr d0

V

dr2

r dz dz r dr r d0 r

dvz

dt

dvz v0 dv,

• + "

dr r d0

- + vz

dvz

dz

= a7 -

1 dp

p dz

+v

54

dr2

1 d 2vz d 2vz 1 dvz

r2 d02

+

dz

+

r dr I

dvr 1 dv0 dvz v.

dr r2 d0 dz

+ -^ = 0.

Подставляя в четвертое уравнение системы уравнений (28) условия (27), получим:

—V е

д0

= 0,

т. е. линии тока будут представлять собой окружности, для каждой из которых ve = const, причем скорость будет являться только функцией расстояния от оси вращения: v0 = f(r). Будем считать далее, что на частицы жидкости действует только одна внешняя сила - тяжести, другими словами,

a e = ar = ° az = -g.

Условия (29)-(30) позволяют существенно упростить систему уравнений (28):

і!=-1 др r p dr ’

1 dp = 0

- g —1T =0, p dz

d4 + 1 dv0

dr2 r dr

= 0.

Последнее уравнение системы (31) представляет собой дифференциальное уравнение второго

порядка, частное решение которого имеет вид ve = г . Другими словами,

І_ ()+1Л ( )=Z|L=0,

dr r dr r2

1d

откуда

k(k - 1) + (k -1) = 0, ^ k = ±1.

Общее решение будет иметь вид:

C

v 0= C,r + -А r

Постоянные интегрирования Сі и С2 определяются начальными условиями:

где Ь - ширина обтекаемой потоком жидкости пластинки (рис. 1). Подставим условия (35) в уравнение (34):

(b2 - 4г2) ю.г,1 (b2 - 4r2) (b2 - 4rv2) = r(b2 - 4r.2) .

+

r

r

v

0

2

r

v

e

rr

r

V 0 = u

Для определения величины минимального давления в области ядра вихря перепишем уравнение (36) при условии г = гу:

Проинтегрируем далее первое уравнение системы (31), разделив предварительно переменные:

РУв

Ч Р0

аг = ар, рюу | гА = |ар,

0 р

где р0 - гидростатическое давление; р - давление на поверхности ядра вихря. Минимальное значение давления определится, таким образом, как

2 2 2 2 Р^ = р р . р = р Р^

-------= р - р0, ^ ршіп = р0

2

Рис. 5. Распределение давления за тыльной стороной пластинки, расположенной нормально к набегающему потоку жидкости

2

На рис. 5 приведена качественная картина распределения давления за тыльной стороной пластинки,

расположенной нормально к

набегающему потоку. В соответствии с развиваемой моделью минимум давления имеет место в области ядер вихря. При увеличении скорости набегающего потока величина давления ртт может достигнуть критического значения рсг, при котором в ядрах вихрей возможно появление конкурентной газовой фазы - кавитации.

Несмотря на то что кавитация и кипение,

т. е. процессы образования в жидкостях конкурентной фазы, известны давно и активно изучаются, успехи, особенно в плане создания их фундаментальных теорий, весьма скромны. На практике, например, часто полагают, что кипение начинается в нормальных условиях при температурах порядка Тк = 373 К. Это действительно так. Повторяемость результатов привела к тому, что одно время полагали температуру кипения Тк некой универсальной константой для воды и других жидкостей. По этому случаю даже появилась широко известная шкала температур Цельсия. Однако обнаружилось, что жидкости, специально обезгаженные и предварительно очищенные, выдерживали нагревы большие, чем 373 К. Дело в том, что все реальные жидкости, включая воду, содержат в большом количестве газовые включения, которые при нагревании увеличивают свой размер, образуя центры парообразования. Таким образом, относительное постоянство Тк показало, что вода в своем естественном виде содержит в изобилии газ в свободном состоянии. Именно газовые полости являются причиной того, что жидкости склонны превращаться в пар при условиях, не совпадающих с предсказанными кинетической теорией.

Молекулы жидкости, находясь постоянно в состоянии колебательного движения, под действием внешних условий, чаще всего давлений и температур, время от времени меняют свое положение, переходя из одной группы в другую. На месте ушедшей из данного сообщества (кластера) молекулы образуется пустота (дырка), которая, соединяясь с другими, теоретически может стать кавитационным ядром, особенно если сообщество покинут сразу несколько молекул. Я.Б. Зельдович теоретически показал, что объединение нескольких дырок может привести к возникновению парового пузырька, который при попадании в область жидкости, где давление ниже или равно давлению насыщенного пара р5, потеряет устойчивость и начнет увеличивать свой объем:

2с

р > р + її?

где с - коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела пар - жидкость; Я0 -начальный радиус ядра.

Число пузырьков в единице объема, способных терять устойчивость в единицу времени, определяется в основном работой образования поверхности Л8:

¿п 1 г [ Л5 ^ глг,

_ = _ = Сехр -- ^ ,

т ^ квТ)

где кв - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура; т - среднее время ожидания кавитационного события в единице объема; С - постоянная величина; Ак - работа, затраченная на образование полости. Работа по образованию паровой полости радиуса Я складывается из работы образования свободной поверхности, работы против сил поверхностного натяжения и работы заполнения пустоты паром:

2 4 3 4 3

Л* = 4пЯ0с + 3пЯор* - 3пЯор*.

Решение уравнения (41) с учетом соотношения (42) приведено в работе А.Д. Перника [6]:

2,2-108 [С

- р = 2 = р5 , Л—.

1пС— Т

Постоянная С в теории Я.Б. Зельдовича не определена теоретически, поэтому ее значение

8 13 22 1 3

выбиралось исходя из экспериментальных данных в пределах от С = 10 с- м" до С = 10 см-. Сопоставляя теорию с собственными опытными данными, Корнфельд [4] получил приближенное значение С = 1019 с-1м-3. При (п /Л ) = 106 с • м3 уравнение (43) свелось к виду:

2=р*- 4^^^Т~.

Для воды, находящейся при температуре Т = 293 К, р8 = 2, 33 • 103 Па, а величина 44д/ с3/Т = 5 • 10-2 Па. Кавитация на паровых пузырьках начинается при давлениях, равных

давлению насыщенных паров при данной температуре.

Теоретическое предсказание режимов возникновения гидродинамической кавитации на лопастях гидродинамических устройств не представляется возможным, потому что фундаментальная задача о количестве и распределении по размерам кавитационных ядер до настоящего времени не разрешена даже в общих чертах. Развиваемые теории образования в жидкости конкурентной фазы носят отрывочный и весьма частный характер. Основным методом предсказания кавитационных режимов является эксперимент, будь то поверхности акустических излучателей, судовые движители, крыльевые профили, активные элементы насосов или местные гидравлические сопротивления.

За неимением лучшего в научной и технической литературе сохраняется приверженность модели кавитационных ядер, предложенной еще в 1947 г. Гарвеем [3] и развитой другими исследователями [5, 6]. Практически во всех известных работах ядрами кавитации в воде полагаются газовые полости, взвешенные в жидкости. Критическое значение радиуса газового ядра Яст определяется исходя из условия его статического равновесия. Давление на внешнюю стенку полости должно удовлетворять условию:

с . . _ч

р=р* + рв-ъ_,

Ксг

где р5, рЁ - давление насыщенных паров и газа в полости соответственно; Я0 - начальный радиус газовой сферической полости. Значения критического радиуса и критического рсг при этом определяется как

Яст =л/зяг

2с

Р» - Р5 +

2с

Я

4с

»У

3(р5 - Рсг )’

Рсг = Р5

Зл/3

( 2с ^3

V Я0 У

Р» - Р

2с

+я:

2 2с

3 Я„

Очевидно, что критические кавитационные параметры, определяемые уравнениями (46) и (47), будут ближе к получаемым на практике данным при работе с жидкостями, не подготовленными специально.

Следует, однако, заметить, что пребывание длительное время в жидкости газонаполненных ядер является одним из парадоксов современной физики жидкого состояния. Дело в том, что крупные ядра по логике вещей должны под действием силы Архимеда всплывать на поверхность, а мелкие - растворяться вследствие диффузионных процессов. Однако даже после специальных обработок дистилляцией и высокими внешними давлениями кавитационная прочность несколько возрастает, тем не менее существенно не достигая теоретических значений.

Подставим значение критического давления из уравнения (47) в уравнение (39):

с

4

+ Р^ =_

3 Я

которое разрешим относительно критического значения линейной скорости частиц жидкости в области ядра вихря:

(

4с

зя"

Л

Процесс образования конкурентной фазы в области «работы» вихря имеет вероятностную основу [7].

Паровое или парогазовое ядро, потерявшее устойчивость, начинает увеличивать свой объем только в том случае, если окружающая его жидкость будет находиться при давлении, равном или меньшем величины рт1п. Ситуация осложняется еще и тем, что ввиду наличия градиента давления, приведенного в уравнении (31), кавитационные ядра будут в области вихря двигаться по спиральным траекториям, увеличивая свой объем по мере приближения к центру вихря (рис. 6). Оценочные расчеты, проведенные по уравнению (49) для р8 = 2 400 Па, с = 7,2 • 10-2 Н/м,

р = 103 кг/м3, дают следующие значения линейной

скорости вращения на границе ядра вихря в зависимости от радиуса ядра конкурентной фазы:

Рис. 6. Схема движения кавитационного ядра в области вихря

Ясг, м 10-8 10-7 10-6 10-5 3 • 10-5

у0(сг), м/с 138 43,8 13,6 3,8 1,2

Определение кавитационного порога на модели в виде вращающихся прямоугольных пластинок, закрепленных на цилиндрической ступице,

осуществлялось акустическим методом, позволявшим регистрировать появление единичных кавитационных событий.

Возникновение кавитации в отстоявшейся дистиллированной воде при температуре Т = 288 К наблюдалось при значении центробежного критерия Рейнольдса Яесг = 1

'V»

Рис. 7. Возникновение кавитации при обтекании вращающейся пластинки

105, что

2

сг

соответствовало скорости обтекания концевых кромок пластинок V = 1 м/с. В качестве иллюстрации на рис. 7 приведена фотография, полученная при значении центробежного критерия Рейнольдса Яе = 1,2 • 105.

Полученные расчетные и экспериментальные данные подтверждают правомерность предлагаемой вихревой модели образования конкурентной фазы в области вихрей, имеющих место при обтекании тел с высоким коэффициентом сопротивления.