Оптмальное управление токами синхронного двигателя с минимальными потерями мощности

УДК 621.31

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТОКАМИ СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С МИНИМАЛЬНЫМИ ПОТЕРЯМИ МОЩНОСТИ

А.Ю. АФАНАСЬЕВ, М.Ю. ЗАВГОРОДНЕВ, В.Ф. МИЛОСЕРДОВ

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ

В данной статье рассмотрен поиск оптимальных режимов работы и параметров питания синхронного электродвигателя, при которых потери в двигателе будут минимальны, что, в свою очередь, приводит к снижению энергопотребления двигателя. Также описана методика расчета оптимального управления токами при возбуждении от постоянных магнитов и с электромагнитным возбуждением.

Ключевые слова: синхронный электродвигатель, оптимальное управление токами, минимальные потери мощности, возбуждение от постоянных магнитов, электромагнитное возбуждение.

В настоящее время все актуальнее становится вопрос экономии электроэнергии, так как невозобновляемые энергетические ресурсы заканчиваются и использование их плохо сказывается на экологии земли, а производство электроэнергии от возобновляемых ресурсов слабо развито. Основными потребителями электроэнергии являются электродвигатели. Они потребляют 60% вырабатываемой электроэнергии. Поэтому встает проблема минимизации мощности потерь в электроприводах.

В работе поставлены и решены следующие задачи: а) оптимальное управление токами синхронного двигателя с возбуждением от постоянных магнитов; б) оптимальное управление токами синхронного двигателя с электромагнитным возбуждением.

1 Оптимальное управление токами синхронного двигателя с возбуждением от постоянных магнитов

Рассмотрим синхронный электродвигатель с возбуждением от постоянных магнитов. Его электромагнитный момент определяется формулой

M = ca Ф1 sin е + cp 12 sin 29,

где Ф - основной магнитный поток, созданный ротором-индуктором; I - действующее значение тока обмотки якоря (статора); 9 - угол между осью МДС обмотки якоря и продольной осью ротора-индуктора; ca, Cp — конструктивные коэффициенты

активного Ma и реактивного M p моментов (см. рис. 1).

Мощность электрических потерь определяется формулой Р = 3rI 2

Найдем ток I и угол 9, при которых создается требуемый электромагнитный

момент M0, а мощность потерь Р минимальна.

Задачу решаем методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:

V = 3rI2 + A.(ca Ф1 sin 9 + cpI2 sin 29-M0).

© А.Ю. Афанасьев, М.Ю. Завгороднев, В. Ф. Милосердов Проблемы энергетики, 2012, № 7-8

Рис. 1. Моменты синхронного двигателя

Условия ее стационарности по току I и углу 9 имеют вид:

dV

— = 6rI + A,(caФ sin 9 + 2cpI sin 29) = 0;

di p

— = ^(ca Ф1 cos 9 + 2cp 12 cos 29) = 0.

d9 y

Из уравнения (2) следует: caФ cos 9 + 2cpI cos 29 = 0.

С помощью формулы 2

cos29 = 2cos 9-1 получаем уравнение

caФ cos 9 + 4cpI cos2 9 - 2cpI = 0.

Отсюда следует формула для оптимального угла 9 : £

cos 9 =

-ca Ф + д/ с2ф2 + 32ср 12

8cp I

Отметим, что для синхронного двигателя с неявно выраженными полюсами выполняются соотношения:

cp И 0; cos9« 0; 9«п/2.

Напротив, для реактивного синхронного двигателя выполняются соотношения: Ф = 0; cos 9«1/V2; 9«п/4. Для получения рабочих формул удобнее использовать уравнения обобщенной электрической машины, соответствующей синхронному двигателю. Электромагнитный момент определяется выражением

M = pjq

где рп - число пар полюсов; id , iq — токи продольной и поперечной фаз обобщенной

машины, соответствующей синхронному двигателю; ^0 - потокосцепление продольной фазы статора с магнитным потоком ротора-индуктора; AL — разность индуктивностей продольной и поперечной фаз. Мощность электрических потерь

P = r

где г — активное сопротивление фазы статора обобщенной машины. Определению подлежат токи г^ , .

Найдем токи га , iq, при которых создается требуемый электромагнитный

момент М0, а мощность электрических потерь Р минимальная. Из равенства (3) следует М

Ч =

Рп (Т 0 + Ша ) Условие (4) принимает вид

га +

М2

р10¥о + Щ/ )2

-» Ш1П.

Продифференцируем это выражение и приравняем производную нулю:

га

М 2М

Р2(Ч 0 +ыга )3

= 0.

Отсюда получаем уравнение М = рп^(То + Д^а)3га /Д!.

Зависимость мощности потерь от электромагнитного момента может быть получена численно. Задаемся значением тока гу и вычисляем соответствующее значение момента М. Затем по формуле (5) находим значение г^. Далее по формуле

(4) определяем мощность потерь Р .

Была разработана программа БУШ, позволяющая рассчитать зависимость Р(М). Параметры имели значения: рп = 2; Д! = 0,2 Гн; То = 1 Вб; г = 2 Ом. Ток г^ изменялся с шагом 0,01 А от 0 до 2 А.

На рис. 2 показаны зависимости токов гу , iq , угла 9 и мощности потерь Р от электромагнитного момента М. Масштабы графики для этих величин: ^ = 9; ^ = 9; тз = 20; т4 = 1; т5 = 1.

32

24

16

е

Ру

8

0

Рис.

. Зависимости у

iq

9 М 9

Видно, что при малом моменте зависимость тока (М) близка к линейной, а зависимости г^ (М) и Р(М) близки к квадратическим функциям. По мере увеличения момента на помощь току приходит ток г^, рост тока замедляется, а ток г^

изменяется по линейному закону.

С помощью программы МШ^ИА была проведена аппроксимация, методом наименьших квадратов, зависимости Р(М) функцией

Р = с0 М2 + с3М3.

Получилась зависимость Р = 0,5045М2 - 0,0171М3.

Среднеквадратическая относительная приведенная погрешность составила 0,25%, что говорит о пригодности данной формулы аппроксимации, а на рис. 3 показан график Р(М), рассчитанный с помощью программы БУЫ1 (сплошная линия), и график Р'(М) функции аппроксимации.

С учетом потерь в стали формула для мощности потерь приобретает вид

Коэффициенты С1, С2 соответствуют мощностям потерь в стали на гистерезис и вихревые токи.

32

24

16

/у

Р' /

рч у

3 6 9

Рис. 3. Зависимости мощности потерь от момента

М

2 Оптимальное управление токами синхронного двигателя с электромагнитным возбуждением

Электромагнитный момент синхронного электродвигателя с электромагнитным возбуждением определяется формулой (1).

Если магнитопровод двигателя не насыщен, то можно положить

Ф = ,

где г у - ток обмотки возбуждения.

Мощность электрических потерь определяется формулой

© Проблемы энергетики, 2012, № 7-8

8

0

P = 3rI2 + rfif.

Найдем токи I, if и угол 9, при которых создается требуемый

электромагнитный момент M0, а мощность потерь P минимальна.

Задачу решаем методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:

V = 3rI2 + rfif + A,(cak&fl sin 9 + cp12 sin 29 - M0). Условия ее стационарности по токам I, if и углу 9 имеют вид:

dV

— = 6rI + A,cakфi f sin 9 + 2 A,cpI sin 29) = 0;

dI J v

dV

-= 2rfi f + Xca кф I sin 9 = 0;

dif J J

dV 2

— = A,

d9 J v

Из уравнения (6) следует

. ^ca кфI sin 9

Jf =--о-.

2rf

Подставляя это выражение в уравнение (7), получаем

_К2 кф 12sin 9 cos 9 + 2cp i 2 cos 29 = 0. 2rf p

Отсюда следуют равенства:

кф I2 sin 29 = 8cp rf I2 cos 29;

8cp rf tg29 = p f

Xc^ кф

Интересно, что в данном случае, как будет показано ниже, множитель Лагранжа X и угол 9 не зависят от момента М. Далее, множитель Лагранжа X отрицательный (см. формулу (8)) и угол 0 лежит в пределах от п/4 до п/2 .

Проведем решение задачи оптимального управления токами с помощью теории обобщенной электрической машины.

Электромагнитный момент определяется выражением

М = ргч

где р — число пар полюсов; , iq — токи продольной и поперечной фаз обобщенной

машины, соответствующей синхронному двигателю с электромагнитным возбуждением; г/ — ток обмотки возбуждения; к^ - коэффициент потокосцепления;

АЬ — разность индуктивностей продольной и поперечной фаз. Мощность электрических потерь

Р = г (г'2 + ф + //,

где г — активное сопротивление фазы статора обобщенной машины; г/ - активное сопротивление обмотки возбуждения.

Найдем токи гу , iq, г/ , при которых создается требуемый электромагнитный момент М0, а мощность электрических потерь Р минимальная.

токам:

Составим функцию Лагранжа и запишем условия ее стационарности по всем

V = \{г (а + г12) + гр} ]-^рц (% г/ +ша) - М0];

дУ

— = гч - ^рч Д! = 0;

дЧ дУ

— = Г11 - хР(куг/ + Мгу) = 0; дlq

дУ

— = - Хрку^ =

/

Эти уравнения можно представить в виде:

гга = хр11

г11 г/ + Д!га); г/г/ = хРп кт iq.

Из уравнений (10) можно выразить токи гу , iq через ток возбуждения г/ :

i = Г/г/ . q Хрп ку '

га =

Д1г/г/ ку г

Подставим эти выражения в уравнение (10) и найдем множитель Лагранжа X :

ГГЛ/ Ярп (Д!)2 грг

= хРпктг/ +-;——;

крку 7 ку г

г \ = (Хрп )2[г4 + / (Д!)2];

Хрп = г.

гк<2 + гf (Д!)2

Соотношение между продольным и поперечным токами обмотки статора определяет угол 9 между продольной осью ротора и вектором МДС статора. Справедливо равенство

= ^ = ——.

ч ХрпД1

Его можно представить в виде

1§9 =

гк<2 + гг (Д!)2 г/ (Д!)2

Видно, что угол 9 больше п/4. Он зависит от соотношения сопротивлений обмотки статора и обмотки возбуждения, а также от соотношения между величинами ку и ДЬ.

Для определения требуемых токов подставим выражения (11), (12) в формулу

(9):

2

Гг1Г (ДЬ) ГГ1Г

М = Р (% гг + 11). крку J ку г

Эту формулу можно представить в виде Г1 (к<р г + (ДЬ)2 Г1 )2

М = --2-— 1.

Хку г

С учетом формулы (13) получаем

M =

Ри кф

Г 7 Л

1/2

r

V У

4 + m

ч3/2

L

Отметим, что при ДЬ = 0 эта формула принимает вид

М = рп

Г >1/2 f rf ^

r

V У

k^ if,

что совпадает по виду с формулой

I

rf 2

M = cÄL %if

'я

для двигателя постоянного тока независимого возбуждения. Формула мощности электрических потерь имеет вид

(

P = r (if + if) + rfif =

rr

f

r (ALrf )2

-fT-f"

ОРп % )

Л

+ r

f

if

или, сравнивая с формулой (14), Р = с°М.

С учетом магнитных потерь в стали формула приобретает вид

P =

к

eg + ci ш + Cfffl

1-

Знаки модуля позволяют применять эту формулу при любом знаке частоты вращения ш .

В результате получили оптимальные соотношения для токов синхронного электродвигателя при наименьших потерях и наименьшем потреблении электрической энергии. Также по расчетам получены формулы зависимости потерь мощности от момента, по которым в дальнейшем можно найти оптимальное управление движением электропривода.

Summary

This paper refers to the search of optimal operating conditions and power supply parameters of synchronous motor, at which the motor losses will be minimal, that in turn leads to decrease in motor power consumption. The method of calculating the optimal

control of currents in the excitation from permanent magnets and electromagnetic excitation is described.

Key words: synchronous motor, optimal currents control, minimal power losses, excitation from permanent magnets, electromagnetic excitation.

Литература

1. Хэнкок Н. Матричный анализ электрических машин. М.: Энергия, 1967. 224 с.

2. Афанасьев А.Ю. Моментный электропривод. Казань: Издательство КГТУ им. А.Н. Туполева, 1997. 250 с.

Поступила в редакцию 10 апреля 2012 г.

Афанасьев Анатолий Юрьевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электрооборудование» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева - КАИ. Тел.: 8 (927) 4235480.

Завгороднев Максим Юрьевич - аспирант кафедры «Электрооборудование» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева - КАИ. Тел: 8 (927) 4255172. E-mail: zavgorodnev86@yandex.ru.

Милосердов Василий Фёдорович - аспирант кафедры «Электрооборудование» Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева - КАИ. Тел.: 8 (917) 2984226.