Неравновесное вязкое течение в тонком ударном слое около заостренных тел

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXV 1994 №1-2

УДК 533.6.011.8

НЕРАВНОВЕСНОЕ ВЯЗКОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТОНКОМ УДАРНОМ СЛОЕ ОКОЛО ЗАОСТРЕННЫХ ТЕЛ

А. Л. Анкудинов -

Двуслойная модель сверхзвукового тонкого вязкого ударного слоя, применяемая преимущественно в исследованиях по обтеканию тел с притупленным носком, впервые использована при изучении неравновесного течения около заостренных тел. Предложена регуляризованная формулировка этой (имеющей особенности) задали в двумерном случае и получено предельное (при продольной координате, стремящейся к нулю) решение ее для окрестности острого носка, которое является начальным условием для интегрирования регуляризованной системы уравнений неравновесного тонкого вязкого ударного слоя вдоль боковой поверхности заостренного тела. Получены аналитические формулы для вычисления теплового потока вблизи острого носка при обтекании тела в режиме умеренно малых чисел Рейнольдса.

Изучению неравновесного течения в сверхзвуковом тонком вязком ударном слое около притупленных тел посвящено большое количество работ (см., например, обзор [1]). Проблема обтекания заостренных тел в приближении тонкого вязкого ударного слоя рассматривалась лишь применительно к нереагирующему совершенному газу и в очень ограниченном круге исследований (см. [2—5]). В то же время эксперименты, проведенные с острыми клиньями и конусами (см. работы [6, 7]), указывают на хорошее соответствие опытных данных и теории тонкого вязкого ударного слоя (в пределах ее применимости) для достаточно широкого диапазона параметров обтекания, порой даже выходящих за рамки требования теории (что особенно касается острых конусов и тепловой части эксперимента); при этом указанное соответствие имеет место как для областей течения, весьма близких к острому носку (в пределе — в самом остром носке), так и достаточно от него удаленных. Сказанное выше позволяет заключить, во-первых, что приближение тонкого вязкого ударного слоя адекватно физической сущности рассматриваемого гиперзвукового вязкого течения вблизи заостренных тел при умеренно малых числах Рейнольдса и, во-вторых, что учет реальных свойств газа при исследовании течения в тонком

вязком ударном слое около заостренных тел является вопросом, по существу, неисследованным, но оправданным и представляющим интерес для изучения обтекания тел с предельно малым радиусом притупления. Настоящая статья посвящена разработке аппарата расчетного исследования неравновесного вязкого течения в тонком ударном слое около заостренных плоских или осесимметричных тел. В качестве модели реагирующего газа при этом принимается бинарная смесь атомов и двухатомных молекул (т. е. учитывается единственная реакция диссоциации — рекомбинации), хотя рассматриваемая ниже постановка задачи может быть распространена и на случай, когда число компонентов газа более двух.

Изучение вязкого гиперзвукового обтекания заостренных тел в приближении тонкого вязкого ударного слоя сопряжено с преодолением существенной особенности задачи в остром носке, характеризующейся обнулением физической поперечной протяженности области ударного слоя (скачок в рамках теории тонкого вязкого ударного слоя считается присоединенным к острому носку) и наличием здесь бесконечной продольной производной основных функций решения.

В ряде работ, посвященных реализации приближения тонкого вязкого ударного слоя (см., например, [2, 3] и др.), указывалось на преимущества, которые дает использование в такого рода задачах переменных Мизеса х, у/ (либо той или иной их модификации), что существенно упрощает в постановочном плане исходную математическую проблему, позволяя в рамках точности модели тонкого слоя трактовать изначальную задачу тонкого вязкого ударного слоя (с неизвестной и подлежащей определению внешней границей области течения) практически как погранслойную задачу с фиксированной в новых переменных внешней границей (при этом внешняя граница ударного слоя, т. е. физическая величина отхода скачка, просто определяется уже после решения основной задачи в переменных Мизеса).

Такого рода независимые переменные, а именно:

5 = х1/2, С =

использовались в дальнейшем анализе, где 5 — новая безразмерная продольная, а £ — новая безразмерная поперечная переменная.

Здесь (и далее) у — безразмерная функция тока, вводимая соотношениями ^ = г'ри; ^ = -гуро, где х = х*1 С — продольная безразмерная координата, представляющая собой отнесенное к некоторому характерному линейному размеру V расстояние х*, отсчитываемое от острого носка тела вдоль его поверхности; у = у*/17 — безразмерное расстояние, отсчитываемое от поверхности тела в направлении внешней нормали; г = г*/17 — безразмерное расстояние от оси тела до его поверхности; р = р*/— безразмерная плотность; и, V — безразмерные компоненты скорости соответственно в направлениях х и у (и = и*/и*ж, V = безразмерный параметр V равный V = 0, либо

V = 1 соответственно для плоского и осесимметричного случая;

= г1+у/2У; р^, £Л — соответственно плотность и скорость в набегающем потоке; верхний индекс (* ) здесь и в дальнейшем относится к размерным величинам, индекс оо — к величинам в набегающем (невозмущенном) потоке.

В качестве зависимых переменных было принято:

г. _ ц~ци>0 . £г _ Н~Н\»о . - _ а-сс^о . - _ р—рщй /тч

и ~ гуг ’ 12 ~ г1/2 ’ а - г1/2 ’ Р ~ Г ’ { '

где Н = Н*!и*2 — безразмерная полная энтальпия; а — массовая концентрация атомов; р — безразмерное давление (/> =/>*/р^{7*2), ик0, Ну,о, Ру/о, ос^о — значения соответственно величин продольной скорости, полной энтальпии, давления и концентрации атомов на поверхности тела в остром носке. •

Ниже приводятся уравнения и краевые условия рассматриваемой задачи, представленные с использованием переменных (1), (2) в пренебрежении эффектами термо- и бародиффузии.

Система уравнений тонкого вязкого ударного слоя в переменных (1), (2) имеет вид

д 2Х*-» ,,пйдй , (1+у) 1/2 Л- г2 дй . 1 г1/2 Лг г.~ .

—2 ас+1г Ш^и +

+гУ2 4гЦ + г112^ 1

ах и р х и 2р дя

<3>

+,'1/2<Рг- Щ] * * <* - +е)<1 -£)$}-+

+1г(#гй +

2 \х> . ^ 3* р

Внешние граничные условия (при С, = 1), в качестве которых используются модифицированные соотношения Рэнкина—Гюгонио, представим в виде

т^й-смЦ-О;

ТОТ! •Ч’<; +  *2 + С)^] +

р = [вт(р + Ро)зт((3 - ро)]/г;

_ 2У-1 ипй_да , _1/2 - , _ _ л

КеБсвтр цр; а; а + а^о <*«, - и.

Условия на непроницаемой каталитической поверхности заданной температуры (при С, = 0) в предположении, что гетерогенные каталитические реакции являются реакциями первого порядка (см. [4]), запишем (без учета скольжения и скачка температуры и концентрации на стенке) следующим образом:

В (3) — (13) и далее принято: Ие = 1/^1?Р^/ц* — число Рейнольдса; Рг = ц*с* /к* — число Прандтля; Бс = \х*/р*/)*2 — число Шмидта; Ье = = с*рР*В*2/к* ~ число Льюиса; Т = Т*1(и^ / с*р2) — безразмерная абсолютная температура; Я — обезразмеренная газовая постоянная (К = К*/с*р2); ^ = А*/?/*2 — безразмерная удельная энтальпия; ц =

= ц*/ц* — безразмерный коэффициент вязкости (ц* = ц*(Н^)); к* — коэффициент теплопроводности; В*2 — коэффициент диффузии; с* — удельная теплоемкость при постоянном давлении; р — угол поверхности тела с осью симметрии; = (Л^/.£,*)_1 — безразмерная кривизна поверхности; уК — эффективность рекомбинации; С — обезразмеренная энергия связи атомов ((? = 0*/и^); (и'/р) =

= (и'*/р*)/(р^?7*/1,*) — безразмерная скорость образования атомных частиц в единицах массы на единицу объема; Т„ = Т*/(и£/с*р2) —

безразмерная величина температуры поверхности (заданное распределение); индекс 1 относится к атомарной компоненте смеси, индекс 2 — к молекулярной компоненте; индекс 0 характеризует значение индексируемой величины, относящееся к острому носку.

Каждую из компонент, составляющих реагирующую бинарную газовую смесь, будем полагать совершенным газом с постоянными удельными теплоемкостями. Выражения для коээфициентов переноса смеси ц* = |д*(Г*,а), к* = к*(Т*,а), Х>*2 = Б*2(Т*,р*), необходимые при

решении задачи (3)—(13), могут быть почерпнуты из [8], формула для скорости образования атомов и>/р (являющейся функцией от

р*, Г*, а) — из работы [2].

г^Н + Н„ о = Т (г1/2а + а„0) Ср1 • -1 + 1

-

г1/2 а + а„0 = г'Чг-у*) / я 1' и-й да.

у и, у Яе5с ' ж,-

Преобразование переменных (1), (2) позволяет раскрыть упомянутые выше особенности исходной задачи вблизи острого носка в рамках единой формы ее представления для всей области течения. Регуляри-зующее преобразование (1), (2) может быть построено таким же образом, как это было проделано в работе [3] для случая течения нереагирующего однородного совершенного газа либо как для нереагирующей бинарной смеси в задаче со вдувом через проницаемую стенку [5]. Инте1рирование параболической системы (3)—(6) с краевыми условиями (7)—(10) и (11)—(13), заданными соответственно при С = 1 и 0, в полуполосе 5^0, Ой £й1 может быть осуществлено без разложения в ряд по продольной координате в окрестности носка, т. е. вблизи линии 5 = 0. В самом носке (при s = 0) дифференциальные уравнения в частных поизводных системы (3)—(6) вырождаются в обыкновенные, и для них решается соответствующая краевая задача (с учетом краевых условий (7)—(13)) на отрезке С, [0,1], причем конкретный вид уравнений и граничных условий для этой задачи (в носке) непосредственно получается из соотношений (3)—(13) после подстановки в них значения 5 = 0 и последующего (вследствие этого) обнуления ряда их членов.

При построении преобразования (1), (2) было учтено:

«о = uwо = const = 0; а0 = awo = const; Hq = HwQ = const;

P0 = Pw0 = со^ = PeO = sin2 P.

что может быть получено из анализа в носке (т. е. при s -> 0) задачи для зависимых переменных и, а, Н, р, представленной в переменных (1). Здесь и далее принято:

<х0 * а(0,О; «о = «(0,0; Щ = # (0,0; р0 s р(о,О, и если «„,0, рео в (14) известные величины, то aw0, как соответственно И Hwо, где Hw0 = Ко= awo[(c^l/Ср2)7И'0 - TwQ +(?] + Tw0, неизвестны и

подлежат определению в дальнейшем.

Дальнейшее изложение будет относиться к предельной (при 5 —> 0) форме задачи тонкого вязкого ударного слоя (3)—(13) для заостренного тела, т. е., как упомянуто выше, уравнения и граничные условия этой более узкой задачи далее будут подразумеваться полученными из соотношений (3)—(13) подстановкой в них значения 5 = 0, что всякий раз, в частности при ссылках на (3)—(13), специально оговариваться не будет; будет опущена также непринципиальная детализация выкладок.

Единожды интегрируя по переменной £ уравнения (3)-(6) с условиями на внешней границе соответственно (7) — (10), получим при 5 = 0

+ ^f1 - -ПгК ~ *2 + 0f 1 =

Re-Wf

Pr a; Sc' Le

2V~* ...й дй

S; + <a"0  o£»)sinP = °;

р = ре0.

Учитывая (14), г:з (15) находим: д2 (и2)/dfc2)2 = const > 0, откуда, принимая во внимание условие на стенке й|^_0 = йщ = 0, получим

й = С&

1/2

где Q = j^Re tgp/2V_1 jap j cos p.

Соотношение (17) с условием d)^_0 = 0 при учете (14) и равенства (19) дает

a = C2Q,

где С2 — [Retgp/2(v_1Vp] Sc(a00 - aw0)-Соотноше (19), (20) дает

Соотношение (16) с условием Н ^ = 0 при учете (14) и равенств

Я = С3С,

где

Су = [Retgp/2(v-1)np]V2 Рг[(Я. - tfw0) - (Ai- *2+ Q)( 1 - i)(«- - awo) • Чтобы завершить описание констант Cj, С2, С3 в (19)—(21) (учитывая ц = ц(Г,а), р = р(р,Т,а)), равно как и функций а0, Н0 из (14), необходимо вычислить величину awo- Квадратное уравнение для aw0

aalQ.+baw0 + с = 0,

где а = sin Р; b = J^^sin2 р + sin р(1 - аи); с = -ам sin р,

получается из совместного рассмотрения соотношения

aw0 = ~Л + Ja2 +a„,

где А = -j{[2yw sinp/

учтено pq = peQ = sin2 р, Ri = 2R2.‘

Определением aWQ (23) заканчивается построение предельного (при s —> 0) решения задачи (3)—(13) в остром носке. Функции, представленные соотношениями (18) — (21) совместно с (14) при учете (23), задавая начальное условие задачи (3)—(13) для s = 0, дают возможность ее последующего решения во всей области течения при s > 0.

Используя полученное выше решение, выпишем интересующее нас выражение для безразмерного теплового потока

к поверхности тела в остром носке. Переходя в представлении (24) к новым переменным, находим

(19), (20), (21) (либо непосредственно из соотношения (16)), получаем

Аналогичная (26) формула для химически замороженного течения имеет вид

Как можно видеть, рассматриваемая постановка задачи предполагает возможность наличия «замороженных» атомных частиц (которые имеют концентрацию аю) в набегающем потоке. При малых значениях

Видно, что концентрация атомов на стенке а^о не равна нулю лишь при а„ * 0, и решения для некаталитической и полностью каталитической стенки в носке при = 0 совпадают, а тепловой поток к острому носку в этом случае имеет такое же значение, как при обтекании заостренного тела нереагирующим потоком молекулярных частиц. Можно отметить, что член со скоростью образования атомных частиц м>/р в уравнении для концентрации, обнуляясь при 5 = 0, не дает вклада в решение для острого носка.

Отметим, что представленные результаты получены при упрощающем (неявно заложенном еще в постановочной части) предположении, полагающем пренебрежимо малую скорость реакции м>/р в

Подставляя в (25) й/£ = С1; да/дС, = С2, дЙ/дС, = С3 в соответствии с

аж в пренебрежении величиной порядка 0(а2 ) соотношение (23) дает для концентрации атомов на стенке:

области перехода через скачок. Это допущение дает возможность сформулировать внешнее граничное условие задачи для уравнения концентрации в том виде, который использовался в настоящей работе [см. (10)], и соответственно позволяет традиционно исследовать собственно ударный слой независимо от области перехода через скачок. Более точная постановка задачи для химически неравновесного течения в тех же рамках двуслойной модели тонкого вязкого ударного слоя приводит к необходимости уже сопряженно-, го рассмотрения двух слоев (собственно ударного слоя и области перехода через скачок).

Для иллюстрации результатов проведенных исследований на рисунке представлена графическая зависимость величины Сн от ах, построенная на основе полученных выше формул (23), (26) для острого носка. Здесь величина

Ся = -^о/Я,втр0,

где Н5 = [Нх - Н„о\а =0, представляет собой удельный тепловой поток

к стенке в остром носке, отнесенный к тепловому потоку в гипер-звуковом свободномолекулярном течении при аю = 0 и с коэффициентом термической аккомодации, равным единице. При расчете зависимости Сн(а.х) предполагалось, что исследуется обтекание азотом со скоростью и*т = 8 • 103 м/с на высоте 90 км (т. е. Т* = 185° К), что приблизительно соответствует режиму входа с орбитальной скоростью в плотные слои; кроме того, было принято Уи, = 1, Ро = ^ и рассматривались условия холодной стенки с Т* = Т*+ ДОГ*. Все кривые с параметром Т*, изменяющимся в указанном диапазоне, отличаются от прямой, представляющей на рисунке функцию

С# = 1 + 20аоо

(где для азота <2 = <2*/и^ « 0,523), менее чем на 2% и потому на рисунке не приводятся. Кружком (см. Сд при = 0) на рисунке помечено значение величины Сц, соответствующее уровню, этой величины в свободномолекулярном течении при аю = 0. Коррелирующая peзyль^aты зависимость (28) является приближенным равенством, полученным при посредстве (23), (26), (27) выделением главных членов в этих соотношениях. Учет а,*, ф 0 может представлять интерес в трубном эксперименте.

Зависимость величины Сн от аю для острого носка

1. Гершбейн Э. А., Пейгин С. В.., Тирский Г. А. Сверхзвуковое обтекание тел при малых и умеренных числах Рейнольдса // Обзор ВИНИТИ, сер. Механика жидкости и газа.—1985. Т. 19.

2. Cheng Н. К. The blunt body problem in hypeisomc flow at low Reynolds number // IAS Paper.—1963, N 63—92.

3. Анкудинов A. JI. Об одном преобразовании уравнений вязкого ударного слоя // Труды ЦАГИ.—1971. Вып. 1315.

4. Анкудинов А. Л. Расчет вязкого гиперзвукового ударного слоя с подводом массы при умеренно малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР, МЖГ.-1970, № 3.

5. Анкудинов А. Л. Вдув инородного газа в гиперзвуковой вязкий ударный слой // Изв. АН СССР, МЖГ. -1972, № 4.

6. Waldron Н. F. Viscous hypersonic flow over pointed cones at low Reynolds number // AIAA J.—1967. Vol. 5, N 2.

7. Vidal R. J., Bartz J. A. Experimental studies of low density effects in hypersonic wedge flows // CAL Rept.—1964, N AF 1500-A-2.

8. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике / Под ред. Г. И. Майкапара,—М.: Машиностроение, 1972.

Рукопись поступила JO/II1992