Отрицательная размерность пространства, возникающая при экстраполяции самосогласованной метрики

Здравствуйте, друзья. Хотелось бы поделиться своими наблюдениями и догадками из области оснований геометрии и математики в целом. Как мне кажется, вполне могут существовать пространства отрицательной размерности вплоть до -3. Я попробую обосновать свои догадки, но для этого необходимо ввести одно понятие и пронаблюдать за его поведением в пространствах различных размерностей и это понятие

Самосогласованная метрика

. Любая метрика определяет расстояние между 2-мя точками пространства, самосогласованная метрика не исключение - это такой геометрический объект, в котором содержится одновременно базис, координаты 2-х точек в этом базисе и расстояние между этими двумя точками, выражаемое через базис и их координаты, только базис и координаты также состоят из точек и расстояний между ними, т.е. расстояние между двумя точками определяется расстояниями до этих точек от базиса, который сам из себя представляет точки, связанные между собой отрезками-расстояниями. Так вот, самосогласованная метрика пространства размерности n - это и есть минимальный набор отрезков и точек, необходимый для описания расстояния между 2-мя точками, причем в этом наборе можно выразить единообразно расстояния между любыми 2-мя точками, через остальные.

Чтобы было понятнее о чем речь рассмотрим двумерный случай. Пусть имеем пятиугольник на плоскости, причем все вершины этого пятиугольника связаны попарно отрезками известной длины. Мы можем взять произвольные 3 вершины этого пятиугольника и 3 отрезки, связывающие эти 3 вершины в качестве базиса. Местоположение оставшихся 2х точек относительно базиса мы можем однозначно определить с помощью еще 6 отрезков, связывающих эти точки с вершинами базиса. И у нас есть еще отрезок, связывающий 2 наши точки, так вот, даже не зная его длины, можно однозначно определить её лишь по базису и координатам. Такой набор точек и связующих их отрезков будет минимальным для 2-мерного пространства, причем за неизвестное можно взять любое из 10-ти расстояний между 5-ю точками и выразить его единообразно через остальные 9 отрезков - это и есть самосогласованный базис двумерного пространства. Количество вершин в нем 5, а граней 10.

Не вдаваясь в подробности приведу характеристики самосогласованной метрики для пространств другой размерности сведенные в таблицу:

| | | | | | | | | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Размерность пространства | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Количество точек* | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| Количество отрезков* | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 | 78 | 91 |
| Примечания | 1* | 2* | | | | | | | | | |

__________________________

*)... определяющих самосогласованную метрику

1* 4 точки и 6 отрезков на прямой

2* Пятиугольник, все вершины которого попарно соединены отрезками

Нетрудно увидеть здесь рекуррентную закономерность и продолжить таблицу сколь угодно далеко до любых, сколь угодно больших размерностей n. Но, что самое удивительное рекуррентная зависимость позволяет восстановить и начало таблицы, т.е. добавить в её начало фрагмент:

| | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Размерность пространства | -3 | -2 | -1 | 0 |
| Количество точек* | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Количество отрезков* | 0 | 0 | 1 | 3 |
| Примечания | 1* | 2* | 3* | *4 |

__________________________

*)... определяющих самосогласованную метрику

1* Ничто

2* Точка

3* Отрезок

4* Треугольник, содержащий характеристики самосогласованной метрики для пространств отрицательной размерности.

Т.е. если восполнить с помощью рекурсии начало таблицы, то окажется, что должны существовать нулевая и 3 отрицательные размерности, причем характеристики самосогласованной метрики в этих размерностях, как это ни странно, выражают неопределимые базовые понятия геометрии: ничто, точка, отрезок и треугольник, с помощью которых уже возможно построение любых геометрических объектов, т.е. они выражают конечные части нульмерной, одномерной и двумерной протяженностей. Вот так вот, неопределимые базовые понятия определились через самосогласованную метрику в отрицательном пространстве, да еще получилось, что в нульмерном пространстве самосогласованная метрика плоская, в -1 мерном пространстве она одномерная, - 2 мерном - нульмерная, а в -3 мерном - безразмерная или пустая. Во всех этих случаях метрика определяет сама себя, т.е. ничего, кроме этой метрики в пространствах отрицательной размерности больше не существует. Например пространство размерности -1 - это отрезок, соединяющий 2 точки, кроме которого ничего нет. Его нельзя разбить, нельзя увеличить его длину. Одномерное пространство состоит из бесконечного множества таких отрезков, которые могут пересекаться в нем.

Пространство размерности -2 - это 2 точки, разделенные точкой, кроме них ничего не существует, расстояние между ними 0, а нульмерное пространство состоит из бесчисленного множества пересекающихся пар точек, разделенных друг от друга точкой. Пространство размерности -3 - это пустота в которой нет ни точек, ни отрезков.