Логические исследования.  2018. Т. 24. № 1

| | | | |
| --- | --- | --- | --- |
| Логические исследования. 2018. Т. 24. № 1 | | | |

В НОМЕРЕ

ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА

И.А. Горбунов. Логика, единство в трёх лицах

Эта работа в своей большей части имеет обзорный характер. В ней рассмотрены некоторые основополагающие результаты, полученные в рамках так называемой алгебраической логики. В частности, обсуждаются факты о взаимосвязях, существующих между такими основными синтаксическими объектами логики, как логическое следование, операция добавления следствий и решётка теорий логики.

Основное внимание в работе уделяется обоснованию того факта, что для того, чтобы определить логику синтаксически, необходимо и достаточно задать один из этих объектов. Для этого детально показано, как задание одного из этих объектов полностью определяет и два других объекта, а значит, и логику. А именно, показано что отношение логического следования определяет и операцию добавления следствий, и решётку теорий логики. В свою очередь, задание оператора добавления следствий определяет и логическое следование, и решётку теорий логики. Особенно подробно рассматриваются условия, которые являются необходимыми и достаточными для того, чтобы семейство множеств формул порождало операцию замыкания, которую можно трактовать как операцию добавления следствий. Для этого в работе вводится понятие семейства множеств формул, образующего решётку теорий. Доказывается, что такое семейство определяет логику. Намечаются возможные подходы к способам задания таких семейств.

В заключение обращается внимание на то, что наиболее популярные синтаксические определения логик (такие, как исчисления секвенций, исчисления фрегевского типа, замыкание множеств относительно правил вывода) одинаково успешно можно понимать как определения и логического следования, и операции добавления следствий, и компактных элементов решётки теорий логики (а значит, в силу её алгебраичности, и самой решётки теорий).

Ключевые слова: логическое следование, операция добавления следствий, решётка теорий, компактность в решётках, задание логики

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-9-25

В.И. Шалак. Анализ vs дедукция

В настоящей работе рассматриваются четыре вида задач, которые естественным образом возникают в связи с определением логического вывода: 1) проверка доказательства: Г⟨A1,...An⟩A; 2) поиск интересных следствий: Г⟨...⟩?; 3) поиск доказательства: Г⟨.?.⟩A; 4) поиск гипотез: ?⟨...⟩A. В современной логике основное внимание уделяется задаче поиска доказательств. Ограничительные теоремы Гёделя имеют прямое к ней отношение. В то же время в реальной практике задача поиска гипотез, из которых следует целевое предложение, встречается гораздо чаще, чем задача поиска доказательства. Подробному ее исследованию и посвящена основная часть настоящей работы. Дано предложение A, и требуется найти множество гипотез (посылок) Г, из которых оно логически выводимо. Выбор подходящих гипотез Г происходит на основе логического анализа предложения A. Мы можем выделить шесть различных оснований для выбора этих гипотез: 1) принятие явных определений для предикатных и функциональных символов; 2) принятие неявных аксиоматических определений для предикатных и функциональных символов; 3) принятие ранее доказанных теорем; 4) принятие эмпирически истинных предложений; 5) принятие предложений, описывающих результат некоторого действия; 6) принятие правдоподобных гипотез, которые могут иметь отношение к решаемой задаче. В работе построено исчисление, которое формализует задачу аналитического поиска гипотез для данного целевого предложения.

Ключевые слова: решение задач, логический вывод, поиск доказательства, поиск гипотез, логическая редукция, аналитические таблицы, теория определений

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-26-45

НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

А.А. Беликов. Семантики Войшвилло для некоторых расширений логики FDE: часть I

В настоящей статье исследуются семантики полуобобщенных описаний состояний, которые являются разновидностью информационной семантики Е.К. Войшвилло, предложенной им для первоуровневой релевантной логики (FDE) в начале восьмидесятых годов. Ключевой особенностью войшвилловского подхода является рассмотрение описаний состояний, на которые не налагаются классические условия о непротиворечивостии полноте, что позволяет определить релевантное отношение следования. Под релевантным отношением следования понимается такое, для которого не проходят классические парадоксы: A ∧ ∼A |= B и B |= A ∨ ∼A. Нами рассматриваются известные расширения логики FDE, сформулированные в терминах систем бинарных следований: трехзначная логика Клини, логика Приста и классическая логика. Первые две из них могут быть семантически определены при помощи полуобобщенных описаний состояний: для логики Клини вводится понятие ⊤-обобщенных описаний состояний (непротиворечивых, но неполных), для логики Приста используется понятие ⊥-обобщенных описаний состояний (противоречивых, но полных). Отношение следования, порождающее логику Клини, определяется через сохранность истинности и не-ложности от посылки к заключению. В свою очередь, логика Приста определяется отношением следования через сохранность ложности и не-истинности от заключения к посылке. В статье предлагаются доказательства адекватности данных семантик указанным системам. В случае с классической логикой мы формулируем лишь набросок доказательства полноты и непротиворечивости относительно семантики с классическими описаниями состояний (непротиворечивыми и полными). Настоящая статья является первой частью исследования, посвященного семантикам Е.К. Войшвилло для расширений логики FDE.

Keywords: логика Клини, логика Приста, классическая логика, первоуровневая релевантная логика, описания состояний, информационная семантика

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-46-61

Н.Н. Преловский. Логические матрицы и проблема Гольдбаха

В статье рассматриваются эквивалентные формулировки бинарной проблемы Гольдбаха в терминах множеств тавтологий последовательностей логических матриц и отдельных логических матриц. При этом существенную роль играют понятия тавтологий логических матриц, а также произведений и сумм логических матриц из последовательности Kn+1 (матриц Карпенко). Таким образом, в статье дается вариант ответа на поставленный А.С. Карпенко вопрос о возможности наличия связи между подобными Kn+1 последовательностями матриц и отдельными логическими матрицами и известной как бинарное утверждение Гольдбаха открытой проблемой: всякое четное натуральное число n ≥ 4 может быть представлено в виде суммы двух простых чисел (G2). Доказано утверждение о том, что всякая конечнозначная матрица в построенной последовательности M имеет тавтологии, если и только если G2 является истинным. С использованием свойств операции произведения матриц доказано, что бесконечнозначная матрица M⊗ имеет тавтологии, если и только если G2 истинно. Показано, что G2 эквивалентна верности утверждения о равенстве множества тавтологий матрицы M⊗, образующего заданную этой матрицей логическую теорию, и логической теории, определенной в терминах множеств тавтологий конечнозначных логик Лукасевича Ln. Данные результаты распространены на последовательности матриц и произведения матриц из таких последовательностей, входящие в довольно широкую совокупность классов матриц. За счет этого установлено, что построения с использованием последовательности Kn+1 могут рассматриваться в качестве частного случая построений в данных классах. Проблема Гольдбаха таким образом приобретает логические аспекты, так как вопрос о ее истинности или ложности теперь сводится к вопросу о непустоте определенной логической еории.

Ключевые слова: многозначная логика, логические матрицы, тавтологии, проблема Гольдбаха

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-62-74

Н.Е. Томова. О свойствах одного класса четырехзначных паранормальных логик

Статья посвящена результатам, полученным в ходе исследования одного класса четырехзначных литеральных паранормальных логик, т. е. логик, которые одновременно являются паранепротиворечивыми и параполными на уровне пропозициональных переменных и их отрицаний. Паранепротиворечивые логики допускают возможность работы с противоречивой информацией, параполные логики позволяют строить рассуждения в условиях неполной информации. С обоими типами неопределенности, как с противоречивой, так и с неполной информацией, позволяют работать паранормальные системы. В [5] рассмотрен класс четырехзначных литеральных паралогик, полученных методом комбинирования изоморфов классической логики, выделенных в четырехзначной логике Бочвара B4. В результате вместе с самими изоморфами логические матрицы, определяющие эти логики, образуют десятиэлементную верхнюю полурешетку относительно функционального вложения. В предложенной статье мы исследуем класс матриц, составляющий супремум упомянутой полурешетки. Как оказалось, матрицы этого класса обладают интересными функциональными свойствами, а именно соответствуют классу всех внешних четырехзначных функций. В статье также проводится алгоритм построения совершенной дизъюнктивной J-нормальной формы четырехзначной внешней функции. В литературе имеются известные матрицы, которые функционально эквивалентны матрицам рассматриваемого класса. Например, одна из них это матрица, определяющая логику V [17], представляющая собой формализацию интуиций воображаемой логики Н.А. Васильева. Нами рассмотрен вопрос о соотношении всех этих систем как по классам тавтологий, так и по классам правильных заключений, порождаемых рассматриваемыми матрицами. В результате доказано, что по классу тавтологий все системы эквивалентны, однако отличаются по свойствам отношения логического следования.

Ключевые слова: четырехзначные паранормальные логики, функциональные свойства, внешние функции, тавтологии, отношение следования

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-75-89

ИСТОРИЯ ЛОГИКИ

В.В. Воробьев. Cтефан Александрийский как ≪наследник≫ Аммония

В работе рассмотрен комментарий философа поздней неоплатонической школы Стефана Александрийского (вторая половина 6 в. – начало 7 в. н. э.) на 9 главу ≪Об истолковании≫ Аристотеля. Стефан Александрийский предположительно был учеником Иоанна Филопона, одного из учеников Аммония Гермия (435/445–517-526 гг.), и особого внимания историков философии до сих пор не привлекал, хотя до нас дошли его сочинения по философии. Комментарий Стефана невелик по объему и по содержанию весьма близок к такому же комментарию Аммония.

Сделан и проанализирован перевод соответствующего фрагмента текста Стефана. Отмечено, что он принимает так называемую традиционную, или стандартную, интерпретацию проблемы «завтрашнего морского сражения». Её смысл, в самом общем виде, состоит в том, что существуют различия при определении истинности высказываний, имеющих временные характеристики. Высказывания о событиях прошлого и настоящего мы считаем истинными или ложными, а высказывания о случайных событиях будущего имеют иной истинностный статус. Стефан (вслед за Аммонием) для характеристики таких высказываний вводит термин «определенно (horismenos) истинно».

Переведен также текст, содержащий известный «парадокс жнеца». Этот парадокс упоминается многими античными авторами, но до нас он дошел только в изложении Аммония, Стефана и еще одного анонимного автора. В издании Диогена Лаэртского имеется примечание, в котором содержится перевод ≪жнеца≫. Однако этот перевод, к сожалению, сокращенный, вследствие чего очень искаженный. Парадокс ≪Жнец≫ в последнее время привлекает внимание современных авторов и требует дальнейшего исследования.

Ключевые слова: ≪Об истолковании≫ Аристотеля, Аммоний, Стефан, парадокс жнеца

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-90-98

А.О. Копылова. Овремененные пропозиции в логике У. Оккама

Данная статья представляет собой реконструкцию подхода средневекового схоласта, представителя логики новых Уильяма Оккама к анализу овремененных предложений. Основным источником статьи является глава 7 второй книги и глава 72 первой книги трактата Summa Logicae. В этих главах Уильям Оккам отказывается от традиционного схоластического инструмента для анализа овремененных пропозиций — амлиацио, взамен предлагая собственный способ. Цель данной статьи состоит в выяснении того, по каким причинам Оккам не использует данный инструмент анализа условий истинности предложений о будущем и прошлом. В начале статьи предлагается текстологическая реконструкция структуры седьмой главы и ее основных аргументов, после чего эксплицируется роль субъектного термина и правила предикации в овремененных позициях. Далее строится основная схема анализа условий истинности овременненных пропозиций, согласно У. Оккаму. В статье показано, что основанием отказа от амплиацио были онтологические интересы схоласта, которые, в частности, выразились в его полемике с реалистом У. Бурлеем. Вместо традиционной дизъюнкции Уильям Оккам предлагает выделение двух смыслов пропозиции. Это приводит его систему к некоторым семантическим противоречиям: референция к сущностям, не существующим в настоящем времени, не редуцируется до традиционной референции в настоящем. Для решения этой проблемы Уильям Оккам вводит простые категорические пропозиции с демонстративами. Их онтологическая простота имеет два теоретических обоснования: первое — номинализм схоласта, в котором признается существование только индивидуальных вещей и субстанций, второе — его концепцию ментального языка.

Ключевые слова: амплиация, суппозиция условия истинности, средневековая логика

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-99-114

ДИСКУССИИ

Ю.В. Ивлев. Предмет и перспективы развития логики

В статье обсуждается вопрос о предмете логики и о некоторых перспективах ее развития. Утверждается, что логика является наукой о мышлении. То есть мышление — это объект науки логики. Предмет логики — это особые структуры мыслей и процессов мышления, называемые, не совсем удачно, по мнению автора, формами мыслей и процессов мышления. Эти структуры выявляются путем частичного отвлечения от смысловых и предметных значений нелогических терминов, входящих в языковые выражения, которыми представлены мысли и процессы мышления. Современная логика отличается от традиционной использованием методов, сходных с математическими, — методов символической логики. Однако все значимые для научного и обыденного познания достижения традиционной логики сохраняются. Логика, изложенная в некоторых учебниках, изданных в сороковых годах прошлого столетия в СССР, называется суррогатной. Выделяются эмпирический и теоретический уровни исследований в логике, а также логика и ≪как-бы-логика≫ (≪as-if-logic≫), логика классическая и неклассическая. Обсуждаются перспективы развития ≪как-бы-логики≫ и собственно логики. Отмечается полезность исследований в области ≪как-бы-логики≫ — могут будут созданы ≪как-бы-логические≫ системы, некоторые из которых найдут интерпретацию в качестве собственно логических систем, могут быть разработаны новые методы доказательства метатеорем, которые будут применяться для доказательств относительно собственно логических. В качестве перспектив развития собственно логики указываются два направления — исследования эмпирические и теоретические. Названы возможные приложения квазиматричной логики в области логики, а также в других областях познания.

Ключевые слова: объект науки логики, предмет логики, традиционная логика, современная логика, суррогатная логика, ≪как-бы-логика≫

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-115-128

Nikolai N. Nepejvoda. Formalization as the Immanent Part of Logical Solving

The work is devoted to the logical analysis of the problem solving by logical means.

It starts from general characteristic of the applied logic as a tool:

1. to bound logic with its applications in theory and practice;

2. to import methods and methodologies from other domains into logic;

3. to export methods and methodologies from logic into other domains.

The precise solving of a precisely stated logical problem occupies only one third of the whole process of solving real problems by logical means. The formalizing precedes it and the deformalizing follows it.

The main topic when considering formalization is a choice of a logic. The classical logic is usually the best one for a draft formalization. The given problem and peculiarities of the draft formalization could sometimes advise us to use some other logic.

If axioms of the classical formalization have some restricted form this is often the advice to use temporal, modal or multi-valued logic. More precisely, if all binary predicates occur only in premises of implications then it is possible sometimes to replace a predicate classical formalization by a propositional modal or temporal in the appropriate logic. If all predicates are unary and some of them occur only in premises then the classical logic maybe can replaced by a more adequate multi-valued. This idea is inspired by using Rosser–Turkette operator Ji in the book [22]. If we are interested not in a bare proof but in construction it gives us it is often to transfer to an appropriate constructive logic. Its choice is directed by our main resource (time, real values, money or any other imaginable resource) and by other restrictions.Logics of different by their nature resources are mutually inconsistent (e.g. nilpotent logics of time and linear logics of money).

Also it is shown by example how Arnold’s principle works in logic: too “precise” formalization often becomes less adequate than more “rough”.

Keywords: applied logics, formalization, choice of logic

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-1-129-145

Исправления

Информация для авторов