Уравнения движения колебательно возбужденных газов для модели гармонических осцилляторов

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 198 1

№ 2

УДК 533.6.011

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНО ВОЗБУЖДЕННЫХ ГАЗОВ ДЛЯ МОДЕЛИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Е. С. Асмолов, А. В. Бурмистров, М. И. Коган,

Н. К. Макашев

Получены уравнения газодинамики из уравнения Больцмана для течений колебательно возбужденных газов при учете межмодо-вых обменов колебательной энергией. Формулируются и объясняются условия возникновения многотемпературности по колебательным степеням свободы молекул при наличии быстрых межмодовых обменов колебательной энергией. Рассмотрение проводится для модели молекул — гармонических осцилляторов. Для простоты рассмотрен однокомпонентный газ двухмодовых молекул.

1. Проблема создания проточных лазеров значительно повысила интерес к исследованию течений колебательно возбужденных газов и, в частности, к задаче построения уравнений газодинамики для таких течений. Этот вопрос рассматривался в целом ряде исследований, библиографию по которым можно найти в [1—5].

Среди множества случаев, отличающихся различными соотношениями между вероятностями тех или иных неупругих процессов, практический интерес представляет, в частности, ситуация, когда межмодовые обмены колебательной энергией относятся к группе „быстрых“ процессов, происходящих на временах, много меньших характерного времени течения. Этот случай с молекулярно-кинетической точки зрения был рассмотрен в работах [6, 7]. Однако при этом были допущены некоторые неточности, которые исказили газодинамические уравнения уже в навье-стоксовском приближении. В настоящей работе дан вывод, лишенный указанных недостатков.

2. Для простоты изложения в качестве исследуемой среды выберем однокомпонентный многоатомный газ, молекулы которого имеют поступательные и две колебательные степени свободы с эквидистантным расположением уровней энергии (модель гармонического осциллятора).

Пусть при бинарных столкновениях молекул возможны следующие типы процессов: упругий обмен поступательной энергией, внутримодовый обмен колебательной энергией (V— V процесс), межмодовый обмен колебательной энергией (I/—V—Т процесс), неупругий обмен колебательной и поступательной энергией (У—Т процесс). Каждый из процессов характеризуется своим масштабом

тУУ гУУТ гУТ ^

релаксации: 1,1 , I и I , для которых будем предполагать

Iе ~ 1уу ~ 1уут« ат ~ ь,

где I—масштаб течения.

Величину дефекта резонанса е1 — г2 (ег — величина кванта г-й моды, г = 1, 2), вследствие которого межмодовый обмен может осуществляться только с участием поступательных степеней свободы молекул, будем считать независимой от малого параметра задачи г —IеII < 1.

С учетом (2.1) обезразмеренное уравнение Больцмана для функции распределения /»=/,,„„(*, х, £) примет вид

м

а/’ + £<тсг] =-г‘' (//)+

+ 4- ^

Здесь 1/2 /,(/, /) —интегралы столкновений, соответствующие

различным типам столкновений; с — скорость молекулы; N2);

индексы „V,11 и обозначают номера уровней энергии для первой и второй моды колебаний.

„Быстрые" процессы обладают следующими шестью инвариантами столкновений

тйс2 Е Е

фо = т1 'Ь. 2, 3 = /И?1, 2, з; — —2 Фг, = ^ ~-

При записи ф5 (аналогичный инвариант упоминается, например, в [5]) предполагается, что при V — V—Т переходах один квант первой моды обменивается на один квант второй и наоборот. (Ниже будет рассмотрена более общая схема этих переходов). Введем шесть макроскопических величин

Га = X I Д (а = 0, . . . , 5),

V

Т0=2пт, Гр = тпщ (В = 1, 2, 3),

Г4 = А пкТ + - + пЕх + пЕ2, Г5 = пЩ.

Здесь т — масса молекулы, « — числовая плотность, и — среднемассовая скорость газа, Г—температура поступательных степеней свободы

Г6=-|-£7 = _^£ с = Г— й;

Ег и ^ — средняя энергия первой и второй моды колебаний, — среднее число квантов на молекулу.

Умножая (2.2) на <ра, интегрируя по § и суммируя }ПО V, получим шесть уравнений переноса

дГа йг .

____а, I

д( дх]

^« = °. 7- = 0, . . . , 4.

V

Представим решение уравнения (2.2) в виде ряда по степеням г:

/* =/<0) [1 + в?'1» + . . •], ?<*> = О (1), к = 1, 2, . . .

Для главного нулевого члена разложения получим уравнение

\г,(Г, П + /“’) +-1-ГГ(Г>, /№')-о.

Общее решение этого уравнения в соответствии с //-теоремой

5

запишем в виде 1п /10)= V а, фр, где — произвольные функции I

_ Р=0

И X. Выберем их из условий

Г.= 21’>*/“* « = °. 1. 2, 3, 5; -5-*Г-Г,=

=

Очевидно, такой выбор а$ накладывает на <р<*> условия 2 | Фа/10) <Р(^йГ= 0; а = 0, 1, 2, 3, 5, Е1пгЛ0>?(,*)^=0. 1,2,....

Как будет видно из дальнейшего, шесть инвариантов „быстрых11 процессов являются шестью собственными функциями интегрального оператора уравнений для <р<й), что позволяет удовлетворить условиям (2.4) или (2.5).

При этом для /<°> можно записать

Л \3/2

/<°> = «(-—) ехр (- Лс2) ЧГ„ (Т, Щ (7, М), Л=

2£г

, (7. Л/,) = ехр (_ _А + _3.) £ежр( - ^ -Л

-1

причем а5 связана с макропараметром Л/, выражением

Л е =

ехрЬг_'г,Ь‘

-1

+

ехр

кТ

Нетрудно видеть, что функцию распределения (2.6) и соотношение (2.7) можно свести к больцмановскому распределению по

колебательным степеням свободы, если формально ввести эффективные колебательные температуры Г10 и Т„0:

кТ

-а-,

кТи

кТ

— «г. ==

кТп<

Эти температуры по своему определению (2.8) удовлетворяют равенству

/1 1 ' \-в / ' 1 1 \

1 Т Гю / )_е2( 7т тй о /

Аналогичный подход применялся и в [о] при анализе свойств решения уравнений поуровневой кинетики для получения такого же соотношения для колебательных температур. Однако здесь необходимо отметить, что функции Т1о(М£, Т) и Т20(М, Т) отличаются на величины порядка е от истинных колебательных температур Тх и Т2, определяемых соотношениями

-1 = 2 2>

V

поскольку в общем случае (см. приложение).

V

Подставляя определенную выражениями (2.6)—(2.8) функцию Л0) в уравнения (2.3), получим уравнения газодинамики нулевого (эйлеровского) приближения

_D_, (±

DiJ * { 2

Dn . dui n

----------\-п —— — О,

Dt дх I

Du-i_________________

Dt

л. p<f»\ —

D Dt

1 dp mn dxi dui

d

dt

Ur

1 dxi ’

- , p = nkT,

£(°) == Ee\ (Tl0) + E?,4 {T20),

n^r=№= 2 + 4r) I т W0), /(0)) *

где E? (Tt 0) = ег [exp («,/АГ, о) - l]-1.

Входящую в уравнения -энергии производную DEWjDt можно выразить через DTjDt и DNe/Dt, пользуясь определением Т10 и Г20:

г)р(О) .ОТ DN

DE ^ (Г, щ ~^~ + к2 (Г, М) -of

Dt

Е* Г2 к

СвЧ

С1

К2 =

/ ci9 е1 + (е2 ---------sl) ( * Н-----------X

е2 2 гр2, 1 10

9 £1 гр2 1 20

*н>\

4> j

причем сГ = dEl4(Тi0)/dTi0, i= 1,2.

Для используемой здесь модели гармонического осциллятора можно показать (см., например, [1]), что

п(°) _ „2

Кут п.

1) exp [(Sjjk) (1/У10 1/?")] 1 I

. 1"+0 exp (EjjkTw) - 1

I ^(2) /ул exp [(eq/&) (1/7» — 1; 7)] 1

1_+0 exp (s2lkT2o) — 1

где а(Д0— константа скорости дезактивации первого колебательного уровня i-я моды.

В нулевом (по параметру в) приближении эффективные Т10 могут отождествляться с истинными колебательными температурами Т г.

Этим завершается построение решения в нулевом приближении.

3. Прежде чем приступить к получению остановимся на

соотношении (2.9).

Поскольку, как уже отмечалось, Г,=Гго[ 1+0 (в)], то вместо (2.9) можно записать

-2-fi-^W1—й-r-ow-

2 V т1] \ Ь

Малость числа Кнудсена е по сравнению с единицей отражает, как известно, тот факт, что в каждой точке течения состояние газа почти не отличается от равновесного. В данном случае это равновесное состояние относится к газу с „замороженными11 V—Т переходами и происходящими V—V и V—V—Т обменами, а также упругими столкновениями молекул. С помощью V—V—Т обменов все три статистически независимые подсистемы газа (поступательные и две моды колебательных степеней свободы) взаимодействуют друг с другом. Между тем следствием (3.1) является тот факт, что при Sj фе2 температуры этих подсистем отличны друг от друга даже в состоянии равновесия.

Это странное, на первый взгляд, обстоятельство, однако, не находится в противоречии с основными принципами термодинамики, и равенство (3.1) может быть строго доказано с помощью термодинамических соображений.

Каждую из упомянутых выше подсистем будем характеризовать энергией (Ет, Ех и Е2) и энтропией (соответственно, ST (Ет), SX(E1) и S2(E2). Тогда, если система изолирована [при е 0 это так в каждой точке с погрешностью О (в)], то будут выполняться равенства

Ет + Ех 4- Е% = const; dET + dEx + dE2 = 0; j

j|7(Sr + S, + SJ-0, } (3-2>

причем последнее из них выражает тот факт, что полная энтропия системы в состоянии равновесия достигает максимума.

Из-за того, что взаимодействие между подсистемами осуществляется только за счет V—V—T процессов, дифференциалы dEx и dE2 связаны между собой очевидным соотношением

а|=—S--

В результате, комбинируя (3.2) и (3.3), получим

"Ж

дВг

___А

дЕ, ~и>

Наконец, учитывая, что д8т!дЕт=1/Т, д511дЕ1=\/Т1 и д82/дЕ2— — 1 /Т’з, получаем необходимую связь между Т, Тх и Т2. Как следует из изложенного, эта связь обусловлена тем, что в системе помимо обычных интегралов движения — массы, энергии и импульса— появился новый—-число колебательных квантов. Последний интеграл пропадает при „включении* в схему процессов У—Т обменов. Поэтому в этом случае при равновесии значения температур всех подсистем равны между собой.

4. Уравнение для навье-стоксовской добавки к функции распределения <р1!) имеет вид

й/

<И

1 (/(0)> /(0)) = /* (/(0)5 /(0) Т(.)) +

+ IV (/<0), /<°> (1>) + /Г7" сл°», /да*1»).

Исключая с помощью уравнений (2.11) производные по времени от макроскопических величин из его левой части, можно показать, что неоднородная часть уравнения для записывается следующим образом:

А

2 кТ

кТ

ю

20

X

. . д\пТ .

-А-

ЯУ 10 К I 20

С,-

дЫе

дх1

+

тс*

ит

11

—2-(1 + ~/сЛ 1 ( £”.,5' Д.Т+ Е- _5* Л, г

кТ:

20

+

+

В, + —

ю

кТ,

20

3 кТ

+

кТ

Ю

кТг

А,Т

20

и-1 №т I - 4- /Г

Определенные выше коэффициенты Кх и /С2 [см. (2.12)] выражаются через эти величины так:

кК, = с{9 А, + с? А2, К2 = ^ ^ Я2.

Структуру и свойства <р,1) можно определить с помощью

11>= — А, сі

д 1п т дхі

В> (сі сі з с“) дх, ^с‘

діїг

дхі

+ Р,^ + а,.

Возникающие при построении функций Л,, /ч и произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы выполнить условия (2.5) (см. приложение). С помощью найдем выражения для тензора напряжений, потока тепла за счет поступательных степеней свободы молекул и диффузионного потока у-молекул

Рц = —

Яті

Лі

1 (дщ даЛ ъч диг 1

2 \ дхі дхі 3 дхг

дхі

дЛГ,

дхі

и’ дх і и'1 дхі '

Диссипативные коэффициенты [х, X, а^, 01 и От, обычным образом определяются через функции Л„, В, и

Кроме упомянутых величин, в уравнения Навье — Стокса войдут скалярные поправки за счет вклада /\ и б, в скорость изменения числа квантов Иут и внутреннюю энергию газа Е. В результате уравнения Навье — Стокса запишем следующим образом:

йп . ди, п Ии,

~пг + и -1Г1- = 0, ~пГ охі ’ £)£

тп \ дх.

П

Р

кТ+Е«» + Е{Р~ + Е$)=-

И дхг ИЧ дх.

ддТ,

DNB

дхі Е„

дхі

VI V,

Кроме этого, уравнения (4.4) должны быть дополнены соотношениями (2.7)—(2.9), устанавливающими связь между Т, Л4 и

Т10, Т20.

5. Рассмотрим теперь для принятой модели молекул подход работ [6, 7], где вместо инварианта столкновений = (Ен/в1 + + Еъ/в2) в качестве такового фигурирует величина

Для того, чтобы ф, можно было считать инвариантом, входящие в

1 I

По определению инварианты столкновений должны зависеть лишь от параметров сталкивающихся молекул и не должны зависеть от макрохарактеристик газа. Величина ф* зависит от макропараметров, но авторы работ [6, 7] принимают его в качестве инварианта, выполняющегося приближенно „в среднем", что делает смысл Л* непонятным и запутывает вопрос.

Если, используя (5.2), функцию ф* записать в виде

то становится ясным, что наличие макропараметров в 4* объясняется тем, что в ф* истинный инвариант <|>5 умножен на величину, зависящую от макропараметров.

С нечеткостью введения и использования инвариантов столкновений связано и «другое обстоятельство, повлиявшее на точность окончательных уравнений в приближении Навье — Стокса и на возможность построения более высоких приближений к решению уравнения Больцмана.

Как показано выше, наличие шести инвариантов столкновений позволяет ввести шесть макроскопических величин, для которых строятся шесть уравнений сохранения. Тот факт, что инварианты столкновений одновременно являются и собственными функциями однородного оператора уравнения (4.1), позволяет удовлетворить шести условиям однозначности построения у,1’, т. е. позволяют получить и уравнения Навье — Стокса так, что выбранные шесть макропараметров (в нашем случае, это п, щ, М и поступательная температура Т) не содержат поправок порядка е, зависящих от Из соотношений (2.7)—(2.9) видно, что эффективные

температуры Т[0, выражаются через Т и М и поэтому также не содержат добавок от $]. Все другие макропараметры и, в частности, истинные колебательные температуры Ть содержат такие добавки О (г) (см. приложение).

Если в полученных выше уравнениях Навье — Стокса перейти к обозначениям работ [6, 7], в которых вместо поступательной температуры Т использовалась температура Тя, определяемая соотношениями

и сравнить эти уравнения с построенными в [6, 7], то можно убедиться в их совпадении, если под Тг понимать ^„^. — эффективные колебательные температуры, удовлетворяющие соотношениям (2.7)—(2.9) после замены в них Т на . Однако в работах [6, 7] везде (т. е. и в й), и в самих уравнениях для макровеличин) речь

П

идет об истинных температурах колебательных мод. Поскольку эти температуры в приближении Навье — Стокса приобретают добавки О (е), то уравнения Навье — Стокса работ [6,7] в общем случае содержат ошибку порядка учитываемых в них навье-сток-совских слагаемых. К счастью, эти ошибки не сказываются в наиболее часто применяемом приближении пограничного слоя.

6. Выше изложение проводилось для простейшей модели колебательно возбужденных молекул с быстрым межмодовым обменом, когда число мод в молекуле равно двум, а V—V—Т обмен происходит за счет одноквантовых переходов. В связи с этим рассмотрим обобщение решения на более сложный случай, когда V— V—Т процесс сопровождается обменом 112 квантов одной моды на /31 квантов другой. В качестве инварианта Ф5 здесь выступает величина (Е^1/е11и + Еч/е2121)— число „порций“ колебательной энергии в ^-молекуле, участвующих в V— V-—Т процессах. Соответственно этому изменится физический смысл макропараметра М. В результате вместо (2.6)—(2.9) будем иметь

(4-Гехр (-Ас*) Чч (М, Т) (М, Т)\

Е

Тт

-,-1

42

еХР1#—

+

ехр

кТ

_«5

^21

—1

кТ

аъ

Л2

кТ10

1

; кт

---- £о /о

£2

кТ о.

21 \ Т

Приложение

Рассмотрим построение решения для одной из двух скалярных частей <р11>, которую обозначим символом 9$, предполагая при этом для общности, что имеет место случай среды, описанной в п. 6. Разложим по неприводимым тензорным полиномам Эрмита и полиномам Вальдмана — Трюбенбахера. Тогда с учетом вида решения однородного интегрального уравнения

Ф<°> = а

тс‘

2кТ

Е„ — Еп

№

кТ

112 Е1

^21 е2

где а, Ь и ^ — произвольные „постоянные", не зависящие от ско-

ростеи молекул, для получим

<Р« = (<3° + а) + [я01 +ь + ^ + ь + с1

а

кТ

Е,

кТ

+

кТ / тс3 3 1

^21 £2 ) № ! V 2кТ 2 1

+ З11 + З12 -

кТ

4-

Коэффициенты разложения 0}і и <3* в (1) также не зависят от скоростей молекул. Если в качестве условий единственности использовать соотношения типа (2.5), т. е. среди прочих ограничений на решение потребовать, чтобы <р,У не давала вклад в поступательную температуру Т, то вместо (1) для ср'У следует записать

г2 ^ (Т10) Е- Е2

<Р*У —

,01

Е,, -Е,

и і і

Т г" -

110 С1 V* 10/ ~7з

КГ

с2ч

кТ

+

+

2 кТ

О}

- Ех кТ

112

Е,

кТ

С помощью (2) можно определить, что

X |/<0)ері1; Еч Л-яд!1 с??(Г10) = лсГ (Т10) 7\,

где Ті — Т10 + Ті.

Таким образом, действительно, поправки порядка О (г) к величинам Ті0 в общем случае отличны от нуля. Имея в виду (3), найдем, что поправка к ЕЪЧ = Ею + £20 в уравнении энергии в навье-стоксовском приближении имеет вид

7(1) диг

'р дхг

+ £'(о)=е(1

Г2 10 С1

Аналогично поправка, возникающая в соотношении

т10) —52( т г20.

при переходе в уравнениях к истинным колебательным температурам, придает этому выражению такую форму

+ £

Е1 ^12

81 ^12

+ £2 4

С1 ‘12

---- ^21 I т'

геЧ

С1

,ея

2

1

-01 диг ^-,01

* 1ГГ + и*

Подставив,, значение <?« в виде (2) в уравнения для /^1; или можно определить, что С}1 имеет величину порядка а-1, где а — вероятность V—V—Т обмена при столкновении молекул. Выше эта вероятность принималась конечной величиной, поскольку, по предположению, Iе ~ 1УУТ.

Аналогично может быть рассмотрен случай, когда величина

<?£>

строится таким образом, чтобы удовлетворить условию (5.4).

При этом вместо (2) необходимо записать

-(З*01 1 ^

+ / /яс2 _ М

( 26Г 2 і

т

сеЯ

£1

Т220 сІНТ20*)

кТу

КТу

+

где <3* связано с (З1 соотношением (5.3), а Т1в по своему определению удовлетворяют условию

Выражения (3) и (4) при этом сохраняют свою форму, если В них В соответствии С (5) осуществить переход ОТ Т, т10 И Т2о к Г10й. и Т20Ц:.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука", 1967.

2. Андерсен Г. Вывод уравнений гидродинамики из уравнения Больцмана. В кн. „Кинетические процессы в газах и плазме".

1М., „Атомиздат", 1972.

3. В а л л а н д е р С. В., Н а г н и б е д а Е. А., Р ы д а л е в с-кая М. А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. Л., Изд-во ЛГУ, 1977.

4. Лосев С. А. Газодинамические лазеры. М., „Наука", 1977.

5. Никитин Е. Е., Осипов А. И. Колебательная релаксация в газах. В сб. „Кинетика и катализ*. Сер. .Итоги науки и тех-ники^, 1977, т. 4.

6. Козлов В. Ф. Уравнения физической газовой динамики для течений смесей многоатомных газов. В сб. „Проблемы физической газовой динамики*. Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1932.

7. Кузнецов В. М., Козлов В. Ф. Некоторые модели физической газодинамики. В сб.„Численные методы механики сплошной среды", Новосибирск, 1978, т. 9, № 2.

Рукопись поступила 27/11 1980 г.