Об аэродинамических коэффициентах тела, летящего в окрестности другого тела в свободномолекулярном потоке

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м III 197 2

№ 3

УДК 533.6 011.8

ОБ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ТЕЛА, ЛЕТЯЩЕГО В ОКРЕСТНОСТИ ДРУГОГО ТЕЛА В СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ ПОТОКЕ

М. А. Закиров

Приведены результаты расчета методом Монте-Карло аэродинамических коэффициентов простейших тел, летящих рядом и друг за другом на некотором расстоянии. Получены приближенные формулы, хорошо согласующиеся с результатами расчета методом Монте-Карло.

При Исследовании полета в свободномолекулярном потоке нескольких близко расположенных тел возникает задача определения аэродинамических коэффициентов заданного тела с учетом затенения его другими, а также с учетом столкновений с рассматриваемым телом молекул, отраженных от других тел. Решение этой задачи при заданных граничных условиях — функции распределения молекул в бесконечности и законе отражения молекул от поверхности — сводится к решению сложной системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Задачи в такой постановке решены только для тел простейшей формы: вогнутых сферических и цилиндрических поверхностей, обращенных вогнутой стороной к набегающему потоку (см. библиографию, приведенную в работе [1]). В работе [2] рассмотрены аэродинамические коэффициенты плоской решетки пластин и течение газа через канал прямоугольного сечения. В работе [3] для расчета вероятности пролета молекул через сложные каналы был применен метод Монте-Карло. В работах [4, 5] методом Монте-Карло были рассчитаны аэродинамические коэффициенты сложных тел. В работе [6] этим методом были определены параметры газа по полю свободномолекулярного течения.

В настоящей работе методом Монте-Карло рассчитаны аэродинамические коэффициенты тел (сфер, конусов и цилиндров бесконечного удлинения), летящих рядом на некотором расстоянии друг от друга, и тел (пластина, конус, сфера), летящих друг за другом на некотором расстоянии. Молекулы отражались от поверхности зеркально и диффузно с постоянной температурой Число М набегающего потока М^ > 1. Для случая обтекания двух сфер или двух цилиндров, летящих рядом, когда отношение расстояния между ними к радиусу і > 1, а отражение молекул диффузно, получены асимптотические формулы, хорошо согласующиеся с результатами расчета по методу Монте-Карло.

Применение метода Монте-Карло для расчета аэродинамических коэффициентов группы тел. Для расчетов аэродинамических коэффициентов отдельных тел, летящих группой, была использована универсальная программа, составленная на основе метода Монте-Карло. Сделаем некоторые замечания об алгоритме этой программы (см. также [6]).

Около группы обтекаемых тел проводятся связанные оси Ххі(і= 1, 2,3). Вся группа тел окружается контрольной поверхностью (параллелепипедом), на которой разыгрываются случайные компоненты координат старта и вектора скорости молекул, летящих из бесконечности. Производится накопление импульсов, приносимых молекулами на каждое тело. После розыгрыша достаточно

большого количества случайных траекторий молекул рассчитывается математическое ожидание импульса, приносимого одной разыгранной молекулой, и суммарный импульс на тело в единицу времени.

Коэффициенты сил с+„г и сы, действующих на ч-е тело, будем относить к <7 = тпк 5м/2, а коэффициенты моментов т±,г и ты будем относить к Здесь т, «оо — средняя скорость, масса и концентрация молекул набегающего потока; 5М, «Гм— площадь и диаметр миделя тела. Индексы обозначают:

— падение молекулы из бесконечности, „—* — первое отражение и г — второе, третье и т. д. столкновения и отражения до вылета молекул в бесконеч^ ность.

Суммарные коэффициены равны с= с+у1 + с_^ + сы, тч1 = т+ч1 + т_„г + -\-ты. При диффузном отражении коэффициенты с индексами * и „г* пропорциональны множителю 5"1 = V”1 (пг/2й 7'а,)--1/2, где & —универсальная постоянная Больцмана.

Отметим, что разброс результатов расчета, полученный при применении различных датчиков псевдослучайных чисел, составил 1—3% (в отдельных случаях Ъ%).

Аэродинамические коэффициенты тел (сфера, цилиндр и конус), летящих рядом на некотором расстоянии. Схема обтекания двух сфер и двух цилиндров приведена на фиг. 1. Скорость направлена перпендикулярно образующим цилиндров. В расчетах принималось > 1; для сфер 5М = 2гс#2 и йм = 2Я, для цилиндров отношение длины цилиндров к радиусу 6/7? > 1, 5М = 4^6, йм = 4^.

Результаты расчета коэффициентов и» с г 12 И га, 23. показывающих влияние кратных отражений молекул, приведены для сфер на фиг. 1 и для цилиндров на фиг. 2. На фиг. 1—3 светлые точки обозначают результаты, полученные при диффузном отражении молекул, а черные точки — при зеркальном отражении.

Моменты рассчитаны относительно точки X. При зеркальном отражении молекул тг — (2</м)—*. Вычисление

коэффициентов с+ч1 и т±ч1 не представляет затруднений. Для сфер: с+1, = 1, т+2з=£ (2йм) —*; при зеркальном отражении с_п=0, тге_2з=0; при диффузном отражении с_и=Уп (35ц,)-1, т_23=Ьс_п(2(1 м); для цилиндров: с+п = 1, т+23 = (2с?ы) 15

при зеркальном отражении с_и = 1/3, т_23 = Ь (6йм)-1; при диффузном отражении с_п = л3/2 (8 5а,)-1, »*_23 =

= ^с_ц (2^м)—В силу симметрии обтекания имеем Сг21 = Сг11, Сг 22 = —Сг ^2* тТ 53 = — тг 2з- 1

В расчетах для двух конусов (см. фиг. 3) принималось 5^ = 7, = 7^2,5,

5М = 2тг/?2. На фиг. 3 д и С) з обозначают коэффициенты полного сопротивления двух конусов при диффузном и зеркальном отражении молекул.

Аэродинамическое взаимодействие двух сфер и двух цилиндров, летящих рядом при /->1. Будем учитывать только два столкновения молекулы: первое столкновение со второй сферой и второе столкновение с первой сферой (см. фиг. 1). Выделим на второй сфере площадку аУ>2. Импульс йР+1, действующий на площадку от молекул, диффузно отраженных с площадки й52. равен

0Р+1 = ±£?1 тЩ Л“1/2 О

Фиг. 1

где

G (xv *2) =

COS 0! COS 02

w;

12

Здесь r12 — расстояние между dAx и dA-i, 0i и 02 —углы между г12 и нормалями к площадкам dAx и Л42; — поток молекул через единичную площадку dA2. _

Для расчета Р+1 при£> 1, очевидно, первую сферу можно заменить площадкой dAi — тс/?*; cos 0j = 1. Тогда, интегрируя по всей поверхности второй

сферы, на которую падают молекулы из невозмущенного потока и с которой видна первая сфера, получим

Cm; Срн

>А

2.15

210

205

2.00.

+1'

I 2

х?

1

•Z-/ гб

*>4 <?

\ У т / і

\ fi А > у /

/ /у Г

\\ / / / / У

\> \ V \/ / / с/

\ V / /\ К

Ї/ V / / сп

/ / \ \ // г

у / \ t \10СГ!2

\/ г > 10сг12 $ъг

/ / К \

/ 7 \\

) /

/

V — /= 2R

/= Ьг ©о

^'У>

10спг\ 10Cr!2Sw

50° (і

Фиг. 3

Аналогично находим поток молекул, падающих из бесконечности на вторую сферу и попадающих после отражения на первую сферу:

^+1 пао ^со -JJ.

Считая, что поток Л^+1 распределен равномерно по площадке Л5Ь перпендикулярной оси хъ находим плотность числа молекул, отраженных от первой сферы, и после интегрирования по поверхности первой сферы импульс, переданный потоком М+1 первой сфере при отражении:

Р-1 = §-УГ"'»Поо Уоо 1/2 ТТ

Отнесем сумму (2) и (4) к тп1^, 2тсУ?2/2 и получим

с, и *

Для цилиндров при Ь/Л > 1 получим аналогичные приближенные формулы с точностью .до 1/1*:

' : ^+г=псоУсо1^Ь-,

У' . Р+1 = 2/и/г~,/2ЛГ+1/ Гп;

Р—1 = л3/2 «Л~1/2 УУ+ ^8;

Сг 12 (т132/16 + 1/ 1^п)(2 Й»)-1. (9>

Результаты расчета по приближенным формулам (5) и (9) нанесены на

фиг. 1 и 2 пунктиром. Из сравнения видим, что погрешность формулы

при /,>3 и формулы (9) при £ > 5 составляет 3—596.

Аэродинамические коэффициенты сопротивления тел, летящих друг за другом на некотором расстоянии I. На фиг. 4 приведены результаты расчета методом Монте-Карло отношения коэффициента суммарного сопротивления сх двух простейших тел (двух квадратных пластин, двух круглых пластин, двух конусов с полууглом раствора р=45° при вершине, двух сфер) к коэффициенту сопротивления С] 1 одного тела при /оо. В расчетах принималось 5С)0 = 7;5И,=

= 7^2,5; 5М = я£)2/4 для круглых тел и 5М = О2 для квадратных пластин.

Результаты исследований. Силы, обусловленные интерференцией, при полете двух тел рядом убывают по мере увеличения расстояния между телами. Если учесть, что в реальном случае 5ц, > 1, то получим, что силы и моменты, обусловленные интерференцией, при зеркальном отражении значительно больше, чем при диффузном. Силы интерференции в направлении, перпендикулярном

скорости Ут, больше, чем в направлении, параллельном скорости У^. Интерференция двух цилиндров происходит более интенсивно, чем двух сфер. При малых Э силы интерфереции для двух конусов больше, чем для двух сфер. Для двух конусов, летящих рядом, коэффициент боковой СИЛЫ Сг 12 при зеркальном отражении и при (5<11° больше, чем коэффициент полного сопротивления двух конусов.

Хорошее согласование результатов расчета поперечных сил интерференции двух сфер и для двух цилиндров по приближенным формулам и методу Монте-Карло показывает, что для оценки интерференции при £>1 вполне достаточно учета двух столкновений молекул, летящих из бесконечности.

При полете двух тел друг за другом, отношение поперечных и продольных размеров которых к диаметру миделя порядка единицы, их общее сопротивление мало зависит от формы тела, а влияние их друг на друга, довольно значительное при малых //£>, практически исчезает при //О >15-5-20.

Автор приносит искреннюю благодарность М. Н. Когану, В. С. Галкину и В. А. Перепухову за внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука“,

1967.

2. Бунимович А. И., Каган М. Л. Свободномолекулярное течение газа в плоских каналах и решетках. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 3.

3. Davis D. Н., Levenson L. L., Milleron N. Theoretical and experimental studies of molecular flow trough short duets. „Rarefied gas dynamics proc. of the second internat. symposium on rarefied gas dynamics*. New York and London, 1961.

4. Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. E. Применение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик тел сложной формы в свободномолекулярном потоке. „Журн. вычислит, матем. и матем. физики", т. 8, № 6, 1968.

5. Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. Е. Применение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик тел в свободномолекулярном потоке. Труды ЦАГИ, вып. 1227, 1970.

6. Закиров М. А. Газодинамические параметры свободномолекулярного потока перед выпуклыми и вогнутыми телами. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 6, 1971.

Рукопись поступила 1/VII 1971