Приближение модуля полиномами Бернштейна

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

И. В. ТИХОНОВ, В. Б. ШЕРСТЮКОВ

ПРИБЛИЖЕНИЕ МОДУЛЯ ПОЛИНОМАМИ БЕРНШТЕЙНА

Получены все основные формулы, связанные с приближением функции /(х) = \2х — 1| на отрезке [0,1] полиномами Бернштейна. Проведены оценки наибольших коэффициентов в возникающих полиномах. Исследована скорость приближения для разных точек х € [0,1], выявлены качественные различия между «ближней» и «дальней» зонами точки х = 1/2. Показано, в частности, что вблизи точки х =1/2 сколь-нибудь приемлемая точность приближения достигается на полиномах, которые с практической точки зрения не вычислимы.

Ключевые слова: приближение модуля, полиномы Бернштейна.

Введение

В конструктивной теории функций, точнее, в том ее разделе, который называется теорией приближений, хорошо известны следующие общие принципы.

I. Непрерывные функции полезно приближать полиномами, контролируя при этом степени полиномов и оценку погрешности. Особую роль играют полиномиальные приближения для функций типа модуля, вроде f (х) = \х\ на [—1,1] или f (х) = \2х — 1\ на [0,1].

II. Всякую функцию, непрерывную на отрезке, можно приблизить ее полиномами Бернштейна, которые, впрочем, мало пригодны для практического использования из-за медленной сходимости к приближаемой функции.

Сочетая оба положения, естественно спросить: как выглядят полиномы Бернштейна для модуля и насколько они реально «плохи» на практике? Этот вопрос возник у нас по случайному поводу и казался вначале простой задачей, тем более, что подобный пример обнаружился в Демидовиче (№ 3130). Но приведенный там ответ удивил своей незавершенностью. Последующий анализ выявил всю сложность проблемы, причем в литературе удалось обнаружить лишь отдельные фрагменты общей картины.

Нам показалось интересным восполнить пробелы и аккуратно вывести все формулы, относящиеся к полиномам Бернштейна для модуля. Проделанная работа дала неожиданный практический итог: на отрезке [0,1], используя классические полиномы Бернштейна, не представляется возможным действительно приблизить модуль вблизи «точки излома» со сколь-нибудь приемлемой точностью. И дело даже не в том, что придется брать полиномы с большими номерами. Дело в том, что возникающие полиномы будут иметь колоссальные коэффициенты, затрудняющие моделирование до полной неосуществимости.

Прежде чем приступить к деталям, напомним основные положения общей теории.

1. Классические результаты

Пусть х £ [0,1]. Полиномы Бернштейна для функции f (х), непрерывной на отрезке [0,1], определяются по правилу

ад,х) = Vл- спхк

е/(к)ск х^ (1 х).-. к=0

где С. — биномиальные коэффициенты:

п'

Ск = т—'—ттг, п е Н, к = 0, 1, ...,п.

п к!(п - к)!

Ровно сто лет назад установлен следующий фундаментальный факт.

Теорема 1. (С. Н. Бернштейн [1], 1912 г.) Для любой функции f (х), непрерывной на [0,1], последовательность полиномов Вп(^х) при п ^ то сходится к f (х) равномерно на [0,1].

Производные В^ (f, х), конечно, не обязательно будут полиномами Бернштейна для производных f^ (х), но сам предельный переход

Вп

устойчив по отношению к дифференцированию. Этот результат, принадлежащий И. Н. Хлодовскому, первоначально обнародован лишь в устном сообщении на конференции [2], но потом стал известен и закрепился в литературе.

Теорема 2. (И. Н. Хлодовский, 1930 г.) Пусть функция f (х) имеет производную f(р)(х) порядка р ^ 1, непрерывную на [0,1]. Тогда для каждого фиксированного ] = 1, ..., р последовательность Вп\/, х) при п ^ то сходится к f ^(х) равномерно на [0,1].

Для функции, имеющей в точке х0 £ (0,1) вторую производную, можно указать точную асимптотику приближения (2) в точке х0.

Теорема 3. (Е. В. Вороновская [3], 1932 г.) Пусть функция f (х) непрерывна на [0,1], и в точке х0 е (0,1) существует вторая производная /''(х0). Тогда

В,,

2п п

где ап(х0) ^ 0 при п ^ то.

Как видно из (3), там, где f''(х0) = 0, скорость приближения f (х) полиномами Бернштейна имеет порядок 1/п, независимо от наличия у f (х) любых последующих производных. Если же f"(х0) = 0, то порядок приближения более высокий. Однако, как мы покажем в дальнейшем, практическое использование оценки (3) бывает затруднено, поскольку гарантированной малости величины ап (х0) иногда удается добиться лишь при очень больших значениях п. До тех же пор оценка (3) бесполезна.

Для произвольной непрерывной функции f (х) скорость сходимости последовательности х) к f (х) можно оценить через модуль непрерывности

^(М) = , тах \f (х) — f (у)1,

\х-у\< д

где х, у € [0,1].

Теорема 4. (Т. Поповичу [4], 1935 г.) Пусть функция f(х) непрерывна на [0,1]. Тогда

\Вга

с некоторой универсальной константой К > 0, не зависящей от выбора f, п, х. В частности, для функций, удовлетворяющих условию Липшица

^

с константой Ь > 0, можно утверждать, что

\В

п

где Q = КЬ. На классе липшицевых функций оценка (6) точна по порядку: порядок приближения 1/^/п достигается, например, на функции f (х) = \2х — 1\.

Первоначально Поповичу дал оценку (4) со значением К = 3/2. Затем было установлено, что допустимо К = 5/4 (см. [5, теорема 1.6.1]). Наименьшее возможное значение К нашел Сиккема [6], получивший удивительный и, видимо, окончательный результат:

К = Ко - =

Впрочем, вопрос о точности констант в оценках (4) и (6) имеет, на наш взгляд, лишь академический интерес. Как будет показано далее, полиномы Бернштейна, извлекаемые, например, из оценки (6) по весьма грубой погрешности е = 0,01, могут оказаться «необозримыми», даже если наилучшее значение Q специально вычислить для индивидуальной функции f (х).

Полные доказательства перечисленных теорем и другую информацию, связанную с полиномами Бернштейна, можно найти в монографиях [5; 7-16]. Из оригинальных работ, близких по тематике, отметим статьи [17-25]. Функции типа модуля часто возникают в контексте полиномов Бернштейна в виде различных иллюстративных примеров. Наиболее интересны, на наш взгляд, финальные замечания из работы Поповичу [4, с. 53-54]; см. также [8, с. 110-111] (откуда, кстати, заимствован № 3130 в задачнике Демидовича); [10, с. 16-17; 11, с. 127; 13, с. 17; 14, с. 103; 16, с. 261-262; 17, с. 51; 20, с. 340; 21, с. 25-26; 24, с. 628; 25, с. 270]. Но все эти упоминания эпизодичны, связаны с конкретными обстоятельствами и не дают целостной картины.

Ликвидируем пробелы и изложим вопрос о полиномах Бернштейна для модуля столь полно, сколь это возможно. Для определенности остановимся на каноническом отрезке [0,1], взяв функцию |2х - 1| с вершиной в середине отрезка. Другой популярный пример |х - 1/2| получается из нашего «делением всех формул на два». Случай |х| на [-1,1] требует, строго говоря, отдельных разбирательств. Далеко не все факты, связанные с полиномами Бернштейна, устойчивы к замене интервала. Вот только две иллюстрации:

1) для функции |2х - 1| на [0,1] все коэффициенты полиномов Бернштейна — целые числа, а для функции |х| на [-1,1] это уже не так;

2) для функции |х| на [-1,1] все коэффициенты с нечетными номерами обращаются в нуль, а для функции |2х - 1| на [0,1] действует гораздо менее очевидное правило.

Впрочем, многие другие свойства похожи, и общая качественная картина получается примерно одной и той же. Некое техническое преимущество перехода к отрезку [-1,1] обсуждается в заключительном § 12.

2. Явная запись младших полиномов для модуля

Итак, пусть f (х) = |2х - 1| на [0,1]. Полиномы Бернштейна для такой f (х) коротко обозначаем через Вп(х). По правилу (1) получаем

Вп(х) = £

к=0

2к

- — 1

п

сп хк

Ясно, что В^ (х) = 1. Дальнейшие прямые вычисления дают

В2(х) = Вз(х) = 1 - 2х + 2х2,

В4(х) = В5(х) = 1 - 2х + 4х3 - 2х4,

Вб(х) = В7 (х) = 1 - 2х + 10х4 - 12х5 + 4х6,

Вв(х) = Вд(х) = 1 - 2х + 28х5 - 56х6 + 40х7 - 10х8,

В10(х) = Вц(х) = 1 - 2х + 84х6 - 240х7 + 270х8 - 140х9 + 28х10,

В12(х) = В1з(х) = 1 - 2х + 264х7 - 990х8 + 1 540х9 - 1 232х10 + 504х11 - 84х12.

Некоторые закономерности явно просматриваются, но математически всё не так очевидно. Например, несомненно действует правило В2т(х) = В2т+1(х), однако в каждом конкретном случае оно реализуется через свою цепочку громоздких арифметических вычислений. Удобно сразу закрыть этот вопрос, твердо установив, что достаточно брать лишь полиномы с четными номерами.

3. Свойство попарного склеивания

Под попарным склеиванием понимаем следующий факт. Предложение 1. При каждом т е N имеем В2т(х) = В2т+1(х).

Доказательство. Нужный результат можно извлечь из одного общего факта, подмеченного Бонни Авербах и относящегося к полиномам Бернштейна для кусочно линейных выпуклых функций (опубликовано в [19, с. 253], изложение см. в [11, теорема 6.3.4], обобщение — в [16, теорема 7.3.4]). Но нам представляется полезным дать независимое элементарное доказательство, основанное лишь на биномиальных соотношениях.

Для сокращения записей используем стандартное обозначение

Рщк

учитывая, что

Рп,и-к

Определение (7) коротко запишем в виде

п

Вп(х) =

к=О

2к

- — 1

п

Рп,к (х), п € N.

Для полиномов с четными номерами имеем

/ к \ ^ /к \

Р2т

к=0 ^ ' к=т+1 ^ '

Первая и вторая суммы тесно связаны. Обозначим первую сумму через

к=О

Для второй суммы получаем

т-1 / к\

А2т

к=0 V Ш/

2т / к \ т-1 / / \

- — 1 Р2т, к (х)= { к = 2— — /} = £ I1 — " Р2т, 2т-7 (х) =

к=т+1 ^ ' 1=0 ^ '

т-1 / / \

= { свойство

7=0 \ Ш /

В результате

В2т

где А2т (х) из формулы (11).

Аналогично для полиномов с нечетными номерами имеем

т ' 2к \ _ 2к

В2т+1(х) = ^ 1 — +^ Р 2т+1, к (х) + ^ +" — 1 ) Р2т+1,к (х).

2т +1/ у 2— +1

к=0 4 7 к=т+1

Обозначим

т / 2к \

А2т+1

к=0 ^ + '

Тогда

2m+1 , 2k \

i - — 1 j P2m+1;k (x) = | k = 2m +1 — /, затем свойство (9) |

k=m+1 ^ m + '

m / 2/ \

E 1 — P2m+1, 1 (1 — X) = A2m+1 (1 — x).

7=0 \ + /

2m + 1

1=0 4 В результате

B2m+1

где A2m+1(x) из формулы (14).

Сопоставим (13) и (15). Для завершения доказательства остается установить, что A2m(x) совпадает с A2m+1(x) для любого m Е N. Используя очевидное тождество

xk (1 — x)2m-k = xk (1 — x)2m+1-k + xk+1 (1 — x)2m-k,

имеем

^1 / k \

A2m(x) = E 1 — JCL xk (1 — x)2m-k = k=0 m

= E (1 — m) °L xk (1 — x)2m+1-fc + E (1 — m) Cm xk+1 (1 — x)2m-k• k=0 m k=0 m

В первой сумме выделим слагаемое с k = 0 и добавим нулевое слагаемое с k = m. Во второй сумме заменим суммирование по k от 0 до m — 1 на суммирование по k от 1 до m. Получим

x) = (1 - xr"^ + > 11 - - ) CL xk (1 - +

A2m(x) = (1 — x)2m+1 + E Л — ^ Ckm xk (1 — x)2m+1-k

k=1 ^

+ E f1 — —) Ckm1 xk (1 — x)2m+1-k m

k=1 v y

m

(1 — x)2m+1 + E

—x

k=1

Справедливы соотношения

m

i — k — 1 | сfc-1 xfc

m

k=1

' \ / 7„ 1 \ 1

xk (1 — x)2m+1-k•

m г ' k N k / k — 1 » k_ 1

1 — ™ C2m + ( 1 ~~~~ C2m

mm

k k — 1 2k

Ck i /^»k-1 _ syk Ck \ __1 ^k-1 __.^k

C2m + C2m = C2m+1, ^ C2m + _ C2m = r> i 1 C2m+1,

m m 2m + 1

первое из которых общеизвестно, а второе — элементарно проверяется. Поэтому

^к к /•-( \2т+1-к _

m

A2m(x) = (1 — x)2m+1 ^ U — 2—у C2km+1 xk (1 — x)2

k=1 ^ + '

= E (1 — Ckm+1 xk (1 — x)2m+1-k = A2m+1(x).

k=0 2m + 1

1 - --- \ „к (л ™Л2т+1-к _

ч 2т + 1

к=0

Итак, сумма А2т(х) тождественна сумме А2т+1 (х). Тем самым, предложение доказано.

Соотношения (13) и (15), полученные в процессе доказательства, показывают, что полиномы Вп(х) являются симметричными относительно середины отрезка [0,1] в том смысле, что

Вп

В силу симметрии все геометрические свойства, связанные с полиномами Вп (х), можно изучать на половинном отрезке [0, 1/2].

Конечно, свойство симметрии (16) есть прямое следствие симметричности функции f(х) = \2х — 1\ на [0,1]. Может показаться, что свойство склеивания тоже как-то связано с симметричностью приближаемой функции. Но дело совсем не в этом.

Коротко обсудим ситуацию «со склеиванием». Напомним (см. [9, с. 35]), что для линейной функции а + Ьх полиномы Бернштейна совпадают с а + Ьх и, тем самым, склеиваются по всем п € N для функции х2 на [0,1] полиномы Берн-штейна имеют вид

х2 + х(1 — х), п € N

п

и никакого склеивания не происходит. Но тогда, если взять функцию (2х — 1)2, симметричную относительно точки х = 1/2, то для ее полиномов получим представление

(2х — 1)2 + 4х(1 — х), п € N, п

тоже, разумеется, без всякого склеивания.

С другой стороны, выражения Ап(х), определенные формулами (11) и (14), суть полиномы Бернштейна для функции

[1 — 2х, 0 ^ х ^ 1/2, #(х) = <

|0, 1/2 ^ х ^ 1.

Функция $(х) явно «несимметрична», но, как установлено при доказательстве предложения 1, полиномы Бернштейна для $(х) попарно склеиваются: А2т(х) = А2т+1(х) при каждом ш € N. Свойство попарного склеивания сохранится и для линейной комбинации

Л,(х) = а + Ьх + сд(х), а, Ь, с € К,

т. е. для любой двухзвенной ломаной с вершиной при х = 1/2. Это согласуется с упоминавшейся уже теоремой Бонни Авербах про полиномы Бернштейна для кусочно линейных выпуклых функций (см. [11, теорема 6.3.4]). Представляется, впрочем, что соображения выпуклости здесь не по существу, и некий аналог свойства склеивания будет справедлив для произвольной многозвенной ломаной на [0,1], абсциссы вершин которой рациональны.

Было бы интересно закрыть проблему и дать полное описание всех функций f (х), чьи полиномы Бернштейна обладают свойством склеивания в тех или иных сочетаниях. Здесь, кстати, может пригодиться общая формула Авербах [15, теорема 4.1], выражающая разность Вп+1(^ х) — х) через конечные разности второго порядка от порождающей функции f (х).

4. Общее явное представление для В2т

По понятным причинам для функции f (х) = \2х — 1\ на [0,1] далее изучаем полиномы Бернштейна с четными номерами.

Явные записи младших полиномов, представленные в § 2, имеют характерную структуру. Вначале у всех В2т(х) идет общая часть 1 — 2х, совпадающая с f (х) на промежутке [0, 1/2]. Но на промежутке [1/2, 1] надо «перейти» к 2х — 1. Видимо, для этого в полиноме В2т(х) возникает группа старших слагаемых, содержащих степени с хт+1 по х2т, коэффициенты при которых оказываются целыми четными числами, быстро растущими с номером 2—.

Дадим теперь общее аналитическое выражение для В2т (х).

Предложение 2. Пусть ш € n и пусть В2т(х) — полином Бернштейна для функции f (х) = \2х — 1\ на [0,1]. Тогда

т-1 _(—1)к хк_

ш! ^ (ш + 1 + к) (ш + к) к! (ш — 1 — к)!

В2т

к=0

= ^2х т-1

—! к=о (— +1 + к) (ш + к) к! (ш — 1 — к)!' 1 ;

Коэффициенты полинома при старших степенях хт+1, хт+2, ..., х2т являются целыми четными числами.

Доказательство. Для получения представления (17) потребуется несколько соотношений с биномиальными коэффициентами. Прежде всего, из очевидного тождества

(2т — к) С2т = 2—С'2т_1, к = 0, 1, ..., 2т — 1,

получаем

Справедлива формула свертки:

¿

к=р

применимая при р = 0, 1, ... , п — 1 и q = р, р + 1, ..., п — 1. Формула (19) элементарно проверяется индукцией по д. Сочетая (18) и (19), нетрудно вывести соотношение

т_ 1

£

к=р

верное при р = 0, 1, ..., т — 1.

Вернемся к основному. Вновь используем обозначение (8) и формулу (10), выражающую В2т(х). Запишем

V- V к Ч ^ / к Ч

В2т(х)^(1 - т) Р2т,к (х) + £ ^ - Л Р 2т, к (х) =

к=0 ^ ' к=т+1 ^ '

/ к ч / к ч

= Е(1 - т Р2т,к (х) + 2 £ ^ - 1 Р 2т, к (х).

к=0 V / к=т+1 V /

Первая сумма в последней строке есть полином Бернштейна номера 2т для функции 1 - 2х. Поскольку такая сумма совпадает с 1 - 2х (см. [9, с. 35]), то

В2т

Здесь

2т , к 4 т-1 , 1 4

^т

к=Г+Лт / 1=0 V тУ

согласно преобразованию (12). Эту последнюю сумму и будем вычислять. Обозначая I снова через к и переходя к явной записи, получаем

^т(х) = Е (1 - -) Р2т, к (1 - х) = ^ (1 - С^ (1 - х)к х2т-к =

к=0 ^ т ' к=0 ^ т'

т- 1

^ ]>]

Разложим по биному:

Тт+1

х ^ Л ' ' 4 ^ук ~,т— 1—к

т

к=0

(1 - х)к = £ С (-х)к-р = £ (-1)к-р СР хк-р р=0 р=0

после чего

т— 1 к

хт+1

^2т(х) = (т - к) С2кт хт-1-к ^ (-1)к-р хк-р

к=0 р=0 т- 1

Е(т - к) С2кт Е (-1)к-Р С

Тт+1

Е > - к) Е (-1)к-р С хт-1-Р т к=0 р=0

Стандартное преобразование повторной суммы:

г к г г

Е Е ак,Р = Е Е ак,Р к=0 р=0 р=0 к=р

при г = т — 1 дает выражение

т— 1 т— 1

тт+1

— Е (—1)-Р хт-1-р ^ (—1)к (т — к) Скт Ск. р=0 к=р

Внутренняя сумма находится по формуле (20). В результате

хт+1 т-1 .

^2т(х) = ~Т. (—1)т-1-Р СРт С2тт-12--Рр Х2-1-Р = { р = т — 1 — к } р=0

„т+1

т1

Х_ \ Л /_ 1 ^к /^т-1-к г^к к

™ 1) С2т Ст-1+к х

т ^

к=0

Элементарный подсчет показывает, что

1 г<т-1-к г<к — (2т)!

Со™ С

т 2т т-1+к т! (т +1 + к) (т + к) к! (т — 1 — к)!

Подставив это в ^2т(ж), а затем 52т(ж) — в разложение (21), получаем заявленное представление (17). То, что полином 52т(ж) непременно имеет целые коэффициенты, можно понять, сопоставляя формулы (18) и (22). Но тогда полином 252т(ж), входящий в (21), будет иметь целые четные коэффициенты. Предложение 2 полностью доказано.

1

Доказательство предложения 2 можно несколько сократить, если использовать известную общую формулу (см., например, [16, теорема 7.1.1]), выражающую полиномы Бернштейна через конечные разности приближаемой функции. Но прямой вывод представления (17), не использующий специфической техники конечных разностей, показался нам более предпочтительным.

Наличие явной формулы сильно упрощает изучение полиномов Бернштейна для функции f (х) = |2х — 1|.

5. Представление для В2'т

Внимательно посмотрев на формулу (17), замечаем, что она должна хорошо «реагировать» на двукратное дифференцирование.

Предложение 3. Пусть т € N и пусть В2т(х) — полином Бернштейна для функции f (х) = |2х — 1| на [0,1]. Тогда

В2т

откуда

х 4

В2т

00

Доказательство. Два раза дифференцируя формулу (17), получаем

= 2 (2т)! т-1 (-1)к хт-1+к = 2 (2т)! 1 т-1 (-х) В2т(х) т! к! (т _ 1 _ к)! т!

т! к! (т 1 к)! т! к! (т 1 к)!

к=0 к=0

= 2(2т)! хт-1 1 т-1 Ск (_х)к = 2т (2т)! хт-1 (1 _ х)т-1 =

т! х

к=0

= 2тС2т(х(1 - х))т-1, что и есть (23). Формула (24) следует из (23) с учетом «условий Коши»

В2т(0) = 1, В2т(0) = -2, т € N

прямо вытекающих из (17).

Почему при двукратном дифференцировании происходят такие упрощения? Дело в том, что вторая производная от исходной функции f (х) = |2х - 1| в интуитивно понятном «обобщенном» смысле представляет собой простейший объект типа 48(х - 1/2), т. е. учетверенную 8-функцию, сосредоточенную в точке х = 1/2. Перенося теорему Хлодовского (теорема 2, § 1) в область обобщенных функций, естественно предположить, что полиномы

£т

совпадающие с В2'т(х), образуют 8-образную последовательность, сходящуюся к 48(х - 1/2). Покажем, что это действительно так.

Базовые геометрические свойства очевидны: полиномы Дт(х) неотрицательны на [0,1], строго положительны на (0,1), симметричны относительно середины отрезка и имеют центральный максимум в точке х = 1/2. (Случай т = 1 является вырожденным, ибо Д1(х) = 4.) Остальное заключено в следующем утверждении.

Предложение 4. Последовательность полиномов Дт(х), определенных формулой (25), обладает на [0,1] характерными свойствами 8-образной последовательности :

1. Дт(1/2) — то при т — то.

2. Дт(х) — 0 при т —У то для любого х € [0,1], х = 1/2.

1

3. J Дт(х) ^х = 4 при всех т € N. 0

Доказательство. Точки из [0,1] запараметризуем в виде х = х^ = (1 + С)/2 при -1 ^ С ^ 1. Поскольку х? (1 - х?) = (1 - С2) /4, то

Дт(х?) = 2тС2т 2-2(т-1) (1 - С2)т-1 = 8т  2-2т С^ (1 - С2)т-1

к

Формула Стирлинга

е

дает известную асимптотику

а! ~ л/2ла

Ст ~ т ^то.

л/пт

Поэтому

) ~ 8 л/ т (1 - С 2)т-1, т ^ то.

п

Если С = 0, то Дт(ж0) = Дт(1/2) ^ то при т ^ то, подобно 8у/т/п. Если же 0 < |СI ^ 1, т. е. во всех остальных точках из [0,1], то ) при т ^ то будет

стремиться к нулю.

Интеграл вычисляется через бета-функцию:

1 1 J Ят(ж) ^ = 2т С2™ J жт-1 (1 - ж)т-1 = 2т С2т В(т, т) =

00

= 2т (т ~ 1)!(т ~ 1)! = 2т  = 4.

2т (2т - 1)! т  т

Доказательство завершено.

Итак, формула (23), выражающая В2'т(ж), имеет простой математический смысл, связывая происходящее с ^-функцией. Интересно, что впервые подобную формулу (для |ж| на [— 1,1], причем из других соображений и без упоминаний про ^-функцию) записал Поповичу [4, с. 54]. Он, видимо, исходил не из явных представлений для полиномов Бернштейна от модуля (как у нас), а из неких универсальных соотношений, выражающих производные от общих полиномов Берн-штейна (1) через конечные разности от приближаемой функции.

Поповичу указал там же без каких-либо технических подробностей, что формула типа (23) связана с удивительным разложением для самого полинома Бернштейна от модуля.

6. Разложение Поповичу

Попросту говоря, Поповичу заметил, что полиномы Бернштейна для функций типа модуля совпадают с частичными суммами их «тейлоровских» разложений. В нашем случае разложение имеет вид

|2ж - 1| = л/(2ж - 1)2 = у/1 - 4ж(1 - ж) =

= 1 - 2ж(1 - ж) - ^ (2к-3)!! 2к (ж(1 - ж))к = к=2 !

те

= 1 - Е ^^ЗГ

к=1

и справедливо всюду на [0,1], точнее, даже при |ж(1 — ж)| ^ 1/4. Отмеченная связь интересна тем, что именно такие разложения используются для полиномиальных приближений модуля в известном доказательстве Лебега теоремы Вейер-штрасса (см., например, [5, § 1.2] или [8, с. 101-102]). Оказывается, в этом классическом рассуждении речь фактически идет о приближении модуля полиномами Бернштейна.

Предложение 5. Пусть т € N и пусть В2т(ж) — полином Бернштейна для функции f (ж) = |2ж — 1| на [0,1]. Тогда

т

В2т

к=1

что совпадает с частичной суммой ряда (28). Коэффициенты

= 2^1 С2к, к € N

являются целыми четными числами и образуют последовательность

а = ^2 = 2 < аз < < ... < < ак+1 < ... ,

подчиненную рекуррентному правилу

ак =^4 — ^ ак-1, к ^ 2.

Доказательство. Обоснуем разложение (29). Первоначальный способ самого Поповичу (никаких подробностей в [4] нет) был, возможно, связан с использованием формулы типа (23) для В2'т(ж). Этот подход элементарен, но технически громоздок. Проще исходить из явного представления (17).

Заметим, что при т =1 формула (29) верна, ибо, согласно § 2, имеем

#2 (ж) = 1 — 2ж + 2ж2 = 1 — 2ж(1 — ж),

что и совпадает с (29) при т =1. Чтобы доказать формулу (29) в полном объеме, надо установить, что каждый последующий полином В2т+2(ж) получается из предыдущего В2т(ж) вычитанием выражения

2к — 1

Но

1 С* (ж(1 — ж)/

к=т+1 2т + 1

С2т+2

ч \ т+1

1 с т+1 _ 2 с т

СО™-1-9 — : Г С9

2т + 1 2т+2 т + 12т' Следовательно, требуется доказать рекуррентное соотношение:

2

#2т+2

т +1

1

Вычислим разность В2т(ж) - В2т+2(ж). По формуле (17) в обозначениях (21) имеем

(ж) - В2т+2(ж) = 2(^2т(ж) - 5^+2(ж)),

где

т: —'

и, аналогично,

т! (т + 1 + к) (т + к) к! (т - 1 - к)!

_ (ж) = (2т + 2)! +2 ^ _(-1)к жк

52т+2(ж) = (т + 1)! ж (т + 2 + к) (т + 1 +

(т +1)! (т + 2 + к) (т + 1 + к) к! (т - к)!

(2т)! т+1 ^ 2(2т + 1) (-1)к+1 жк+1

„ V

т! (т + 2 + к) (т + 1 + к) к! (т - к)!

ж

(2т)! т+1 ^ 2(2т + 1) (-1)к жк

ж

£

т! 1 (т +1 + к) (т + к) (к - 1)! (т +1 - к)!

Поэтому

В

В2т

Здесь

= (т - к)(т +1 - к) + 2к (2т + 1),

причем формула для корректно работает и при к = 0, к = т, к = т +1,

когда возникающие «лишние» слагаемые просто обращаются в нуль. Раскрыв скобки и сгруппировав по-другому, устанавливаем, что

= (т + к)(т + 1 + к), к =0, 1, ..., т +1.

Подставив найденные выражения в (34) и проведя сокращения, видим, что

В (ж) В (ж) = 2 (2т)! (-1)к жк

Я2т(ж) - В2т+2(ж) = ж к=о к! (т +1 - к)!

= 2 (2т)! т+1 1 (1 ж)т+1 = 2 Ст (ж(1 _ ж))т+1

= т! ж (т + 1)! ж) = т +1 °2т 1ж(1 ^ '

Полученное равенство эквивалентно рекуррентному соотношению (33). Итак, разложение (29) обосновано.

Осталось разобраться с коэффициентами разложения, т. е. с числами ак из формулы (30). То, что а1 = а2 = 2, ясно из определения. То, что остальные ак целые и четные, следует из элементарного тождества

1

2к~ 1

_ ^ ^ук _ /1/^к— 1 г\/-ук-1

ак = п С2к = 4С2к- 2 — 2С2к- 1,

которое проверяется непосредственно. Рекуррентное правило (32) легко установить при явной записи ак и ак—1 через факториалы. Понятно также, что если к ^ 3, то

6

2 ^ 4 — - < 4. к

В частности, при к ^ 3 множитель в (32) заведомо больше единицы, и ак > ак—1, т. е. последовательность ак действительно выглядит так, как указано в (31). Предложение 5 полностью доказано.

Разложение (29) выглядит весьма неожиданно, и связь полиномов В2т(ж) с «тейлоровским» рядом (28) представляется немного загадочной. Между прочим, это наблюдение Поповичу осталось практически незамеченным, и последующих обсуждений в литературе нам не попадалось. Принципиальное достоинство разложения (29) заключено в его «стабильном» характере, т. е. в том, что коэффициенты разложения, раз возникнув, не изменяются далее при увеличении номера полинома. Польза от подобных разложений несомненна. Оставляя для отдельного исследования разбор более глубоких следствий, отметим то, что лежит на поверхности. Следующие геометрические свойства можно, конечно, извлекать из общей теории, но с учетом (29) они очевидны.

Предложение 6. Пусть т € N и пусть В2т(ж) — полином Бернштейна для функции f (ж) = |2ж — 1| на [0,1]. Тогда В2т(ж) строго убывает на [0, 1/2], строго возрастает на [1/2, 1] и имеет строгий минимум в точке ж = 1/2. Кроме того,

#2т

для любого т € N.

Доказательство. Заявленные свойства прямо следуют из (29) с учетом поведения на [0,1] функции ж(1 — ж). Свойство (35) согласуется также с общими принципами, регулирующими поведение последовательности полиномов Бернштейна для произвольной выпуклой функции (см. [11, теорема 6.3.4] или [18]).

Формула (29) и ее рекуррентный аналог (33) удобны и с практической точки зрения. С их помощью можно, в частности, легко вычислить все полиномы В2т(ж), представленные в § 2, причем рекуррентные расчеты проходят намного «приятнее», чем по исходному определению (7). Кстати, несколько первых коэффициентов (30), т. е. чисел

а1 = 2, а2 = 2, аз = 4, а4 = 10, а5 = 28, ае = 84, ат = 264,

наглядно «отражаются» в явной записи полиномов В2т(ж) из § 2. Разумеется, при значительном увеличении т формула Поповичу (29) уже не спасает — коэффициенты начинают стремительно возрастать, увеличиваясь на каждом шаге по правилу (32) почти в четыре раза.

Максимальные коэффициенты полиномов В2т(ж) растут еще быстрее, делая явную алгебраическую запись полиномов, основанную на (17), просто необозримой. Обсудим эту проблему подробнее.

7. Максимальный коэффициент и его рост

Используя представление (17), можно вычислить (или хотя бы оценить) любой из коэффициентов в общем выражении полинома В2т(ж), в частности, наибольший из них (по модулю). Глядя на записи младших полиномов, данные в § 2, замечаем, что максимальный по модулю коэффициент находится примерно в середине главной части среди степеней жт+1, жт+2, ... , ж2т. Оказывается, так будет всегда — максимальный коэффициент наделен номером, ближайшим к 3т/2, точнее, его номер совпадает с 3т/2, если т четное, или с (3т + 1)/2, если т нечетное.

Для формулировки результата введем подходящие обозначения. Запишем

2(2т) т-1 В2т(ж) = 1 - 2ж + ^ жт+1 V (-1)к Ь 2т(к) Ж* =

т!

к=0

2т

= 1 - 2ж + £

^'=т+1

где, согласно (17), положили

Ь2т

(т +1 + к) (т + к) к! (т - 1 - к)!' ' ' ' ' К ;

а затем

2 (2т)!

в2т0') = , Ь2т(7 - т - 1), 3 = т +1, т + 2,..., 2т. (38) т!

Общая часть 1 - 2ж повторяется во всех полиномах (36) и не представляет интереса. Сосредоточим внимание на числах в2т(0), т. е. на литерных коэффициентах в главной части полинома В2т (ж), взятых без учета знака. Требуется найти максимальную величину такого коэффициента, т. е. значение

^2т = тах в 2т

а также оценить рост ^2т при увеличении номера п = 2т.

Предложение 7. Пусть т € N и пусть величина ^2т определена формулой (39) с учетом (37), (38). Тогда, если т — четное число, то

= я (3т\ = 4 (2т)!

^2т = в2т V= 3

а если т — нечетное число, то

= в (3т +1 N = 8 (2т)!

^2т в2т^ 2 )

причем соответствующие значения ^2т достигаются только на коэффициентах в2т(?), указанных в (40), (41). Независимо от четности т верна асимптотика

4^ „зт

9пт2

и справедлива оценка

23т, т ^ то,

0, 8 1

23т ^ ^2т ^ 23т, т € N

(2т)2 (2т)2

локализующая значение ^2т при каждом т € N.

Доказательство. При т =1 и т = 2 для полиномов В2(ж) = 1 — 2ж + 2ж2 и #4 (ж) = 1 — 2ж + 4ж3 — 2ж2 всё проверяется непосредственно. Займемся общим случаем с фиксированным т ^ 3. Для того чтобы найти максимальный среди коэффициентов в2т(?), достаточно найти максимальное среди чисел Ь2т(к), определенных при к = 0, 1, ..., т — 1 посредством (37). Затем надо осуществить элементарный переход по формуле (38). Так и будем действовать. Для к = 1, . . . , т — 1 рассмотрим разности

Ь 2т (к — 1) — Ь 2т(к) =

(т + к) (т — 1 + к) (к — 1)! (т — к)! (т + 1 + к) (т + к) к! (т — 1 — к)!

=

где

<^т

Последовательность <£т(к) строго возрастает с ростом к, к = 1, ... , т — 1. Покажем, что при этом последовательность <^т(к) изменяет знак с «минуса» на «плюс». Удобно разделить два случая.

Случай 1 («четный»). Пусть т = 2р, где р € N р ^ 2. Тогда <£т(к) = 2к2 + 2рк + 2р — 4р2, к = 1, ..., т — 1.

При этом

^т(р — 1) = 2(р — 1)2 + 2р(р — 1) + 2р — 4р2 = 2 — 4р = 2(1 — т) < 0, <£т(р) = 2р2 + 2р2 + 2р — 4р2 = 2р = т > 0.

1

1

Учитывая найденное и обращаясь к (44), заключаем, что

Ь 2т (к - 1) - Ь 2т(к) < 0, к =1,...,р - 1, Ь 2т (к - 1) - Ь 2т(к) > 0, к = р, . . . , Ш - 1, или, другими словами,

Ь2т(0) < Ь2т(1) < . . . < Ь2т(р - 1), Ь2т(р - 1) > Ь2т(р) > . . . > Ь2т(ш - 1).

Таким образом, при ш = 2р максимальным среди чисел Ь2т(к) будет то, у которого к = р - 1 = (ш/2) - 1. Соответствующий максимальный коэффициент в2т(?) находится по правилу (38) с учетом связи ] - ш - 1 = (ш/2) - 1. Отсюда ] = 3ш/2 с максимальным коэффициентом

/3ш\ 2(2ш)! / ш \

в2Ч= Ь^"2 - ^ .

Проводя элементарные подсчеты, основанные на (37), и вспоминая определение (39), получаем итоговое соотношение (40). Формула Стирлинга (26), примененная к (40), без труда дает асимптотику (42).

Оценку (43) также удобно установить отдельно для четного ш = 2р. Отталкиваясь от (40) и (42), запишем

_ _ 2 (4р)! л/2 26р

^2т^

Обозначим

^2т = ^ = 3 (3р - 1) (2р)!(р!)2  эЛ^", р

Ъ ~ ^4р 26р 2 26р

Тогда 7р ^ л/2/(9п) при р ^ то. Рассмотрим отношение 7р+1 _ 26р(4р + 4)! (3р - 1) (2р)! [(р - 1)!]

2

7р 26р+6 (4р)! (3р + 2) (2р + 2)! (р!)2

= (4р + 1) (4р + 2) (4р + 3) (4р + 4) (3р - 1) = = 26 (3р + 2) (2р + 1) (2р + 2) р2 =

= (4р + 1) (4р + 3)(3р - 1) = 48р3 + 32р2 - 7р - 3 = 16 (3р + 2) р2 = 48р3 + 32р2 .

Отсюда видно, что 0 < 7Р+1/7Р < 1, т. е. последовательность 7Р строго убывает к своему пределу >/2/(9п). Но тогда

/2

дП < 7р ^ 71, р е N.

Прямое вычисление по формуле (46) дает 71 = 1/16, а элементарные прикидки на калькуляторе приводят к оценке л/2/(9п) = 0.050017.. . > 1/20. В результате

1 р 2 1 20 <^р ^ ^ 26Р ^ 16 ре

что эквивалентно

Заменяя 2р на т, убеждаемся в справедливости оценки (43). Итак, «четный» случай полностью разобран. «Нечетный» случай исследуется по той же схеме, но с некоторой технической спецификой. Поступим честно и приведем все необходимые выкладки.

Случай 2 («нечетный»). Пусть т = 2р - 1, где р € N р ^ 2. Вновь рассматриваем числа <^т(к) из формулы (45). Запишем

^т(к) = 2к2 + (2р - 1)к + (2р - 1) - (2р - 1)2, к = 1, ..., т - 1.

При этом

1т

^т(р - 1) = 2(р - 1)2 + (2р - 1)(р - 1) - 4р2 + 6р - 2=1 - р = < 0,

^т(р) = 2р2 + (2р - 1)р - 4р2 + 6р - 2 = 5р - 2 = 5т2+ 1 > 0.

Рассуждая как в первом случае, заключаем, что при т = 2р - 1 максимальным среди чисел Ь2т(к) будет то, у которого к = р - 1 = (т - 1)/2. Соответствующий максимальный коэффициент в2т(0) находится по правилу (38) с учетом связи 0 - т - 1 = (т - 1)/2. Отсюда 0 = (3т + 1)/2 с максимальным коэффициентом

( 3т +1 \ 2 (2т)! ( т - 1

в 2т ; = Ь 2Ч ~2~

Подсчеты, основанные на (37), дадут соотношение (41). Применяя к (41) формулу Стирлинга (26), вновь приходим к асимптотике (42). Ясно, что эту асимптотику можно теперь использовать в общем случае, без учета четности т.

Займемся, наконец, оценкой (43) для произвольного нечетного т = 2р - 1. Исходя из (41) и (42), запишем

^2т = ^4Р-2 = (3р - 2) (3р - 1) (2р - 1)![(р - 1)!]2 ~ 18п (2р - 1)2, р ^ ^

= 2 (4р - 2)! л/2 26р

"2 ~ (3р - 2) (3р "

Обозначим

* = (2р - 1)2 =2_(4р - 2)! (2р - 1)__„

7р " ^4р-2 26р 26р (3р - 2) (3р - 1) (2р - 2)! [(р - 1)!]2, р €

Тогда 7р ^ -\/2/(18п) при р ^ то. Кроме того,

т£+1 _ 26р(4р + 2)! (2р + 1) (3р - 2) (3р - 1) (2р - 2)! [(р - 1)!]

2

7* 26р+6

2

= (4р - 1) (4р) (4р + 1) (4р + 2) (2р + 1) (3р - 2) (3р - 1) = = 26 (2р - 1) (3р + 1) (3р + 2) (2р - 1) (2р) р2 =

(16р2 - 1) (2р + 1)2 (3р - 2) (3р - 1) = (16р2 - 1) (36р4 - 19р2 - р + 2) 16р2 (2р - 1)2 (3р + 1) (3р + 2) = 16р2 (36р4 - 19р2 + р + 2) '

Числитель меньше знаменателя. Отсюда видно, что 0 < 7р+^7р < 1, т. е. последовательность 7р строго убывает к своему пределу л/2/(18п). Но тогда

^<7р ^ 71, р € N. При этом 7* = 1/32, а >/2/(18п) = 0.025008... > 1/40. В результате

1 ^ *- (2р - 1)2 . 1 40 < 7р = ^4р-2 26р ^ 32, р €

что эквивалентно

26p < ^p-2 ^ ^-26p, p G N.

40(2p - 1)2 ^ 32(2p - 1)2

Заменяя 2p — 1 на m, а 6p на 3m + 3, убеждаемся в справедливости оценки (43). «Нечетный» случай тоже разобран, и предложение 7 полностью доказано.

Дадим простой иллюстративный пример к предложению 7. Рассмотрим полином Бернштейна B100(x), отвечающий значению m = 50. По доказанному максимальный коэффициент полинома B100(x) имеет номер j = 75 и выглядит так:

„ __ 4  100! , ,

в 100(75) = 3  148  50!  (25!)2 ( = ^'

Вычислять такой коэффициент совсем не хочется. Применима ли при m = 50 асимптотика (42) и, если да, то с какой точностью, тоже a priori непонятно. Выручает оценка (43), которая при m = 50 дает ограничения

0.8  10-4  2150 ^ ^100 = в 100

Развивая мысль, замечаем, что 210 = 1024 > 103, откуда 2150 = (210)15 > 1045. Аналогично 213 = 8192 < 104, откуда 2150 = 27  (213)11 < 128  1044. В частности, можно гарантированно утверждать, что

8  1040 ^ ^100 = в 100(75) ^ 128  1040,

и, следовательно, коэффициент в 100(75) содержит в десятичной записи от сорока одного до сорока трех знаков. Впрочем, используя десятичные логарифмы, нетрудно вывести из (47), что знаков будет ровно сорок два, т. е. оценка (47) является весьма информативной.

Итак, коэффициент в 100(75) огромен. Остальные коэффициенты в 100(j) тоже, естественно, не маленькие. Ясно, что эффективно работать с подобными полиномами в сколь-нибудь разумном смысле невозможно. При этом полином B100(x) не решает и своей основной задачи — приближать на [0,1] функцию f(x) = |2x — 1|. Оказывается, вблизи точки x = 1/2 уклонение |B100(x) — f(x)| всё еще весьма велико. Дадим теперь точное описание скорости приближения модуля полиномами Бернштейна.

1

8. Оценки максимального уклонения

Функции типа модуля наглядно демонстрируют плохую пригодность полиномов Бернштейна для практических приближений. Соответствующие примеры независимо приводили многие авторы, начиная еще с Поповичу [4, с. 53-54] и Каца [17, с. 51]. Интуитивно ясно, что наиболее проблемной при приближении полиномами Бернштейна оказывается точка излома модуля. Обычно ограничивались тем, что в этой точке вычисляли величину уклонения или давали какие-то оценки. Но почему точка излома является наихудшей и что происходит в других точках, в строгих математических терминах не обсуждалось. Теперь, используя наработанный материал, можно достаточно полно обрисовать ситуацию.

Итак, пусть снова f (ж) = |2ж — 1| на [0,1], и Вга(ж) — полином Бернштейна для f (ж) с номером п £ N. Будем изучать поточечное уклонение Вп(ж) от f (ж), т. е. величину

Я„(ж) = |Вга(ж) — f (ж)|, 0 ^ ж ^ 1,

и максимальное уклонение

Mn = max Rn(x).

0<x<1

Поскольку В2т(ж) = В2т+1(ж), то М2т = М2т+1, и основной интерес представляют четные п = 2т. Напомним, что f (ж) и В2т(ж) являются симметричными относительно середины отрезка [0,1] (см. (16) или (29)), и можно проводить исследование только на половинном отрезке [0, 1/2], где f (ж) = 1 — 2ж. Из представления (24) для полинома В2т(ж) сразу следует, что В2т(ж) ^ f (ж) всюду на [0, 1/2], а значит, и всюду на [0,1]. При этом

t

, m— 1 , .1

R2m

00

При возрастании x от нуля до 1/2 величина R2m(x), очевидно, строго возрастает и принимает максимальное значение в точке x = 1/2, а в ней f (x) обращается в нуль. Тем самым, для максимального уклонения M2m справедлива формула

M2m = max R2m(x) = max ^2m(x) = B2m(x) l1/2 .

Значение B2m(1/2) элементарно вычисляется. Подобные вычисления для функций типа модуля неоднократно проводились ранее (см. [10, с. 16-17; 11, с. 127; 13, с. 17; 16, с. 261-262; 24, с. 628]). Для полноты изложения дадим точный результат применительно к нашей ситуации.

Предложение 8. Пусть m £ N, и пусть B2m(x) — полином Бернштейна для функции f (x) = |2x — 1| на [0,1]. Тогда

M2m = max |B2m

1

При этом

M2m ~ _, m —У то.

x

Доказательство. Соотношение М2т = В2т(1/2) уже обосновано. Вычислим теперь В2т(1/2). Проще всего воспользоваться подходящими биномиальными тождествами. Так, при р Е N индукцией по д = 0, 1, ... , р элементарно проверяется,

что

- 2к) Ср = (р - д) Ср.

к=0

Выберем р = 2т, а д = т. Тогда из (51) следует, что

т т— 1

£(2т - 2к) С2т = 2 £(т - к) С*т = тСт,

к=0

к=0

и, тем самым,

т1

2

— > (т -т

к=0

Е(т - к) С2т = С

т 2т.

Тождество (52) имеет прямое отношение к вычислению В2т(1/2). В самом деле, исходя просто из определения (7), находим

В

2т

2т

Е

к=0

- - 1

т

С2т

1

т1

1\к / 1^ 2т—к

2т

22

2—2т т £ (т - к) С2т + ^ (к - т) С

\к=0 к=т+1

т— 1 т— 1

2—2т - £(т - к) С2т + £(т - 1) С \к=0 1=0 2 т— 1

2—2т - - к) с2т = 2—2т С2т.

2т

2т-1

к=0

Вспоминая про (27), получаем асимптотическую формулу (50). Предложение доказано.

Итак, для максимальных уклонений справедлива формула

М2т = М2т+1 = 2 2т С^

2т

(2т)! (т!)2

1 3 5

2 ' 4 ' 6

2т - 1 2т

Несколько первых значений вычисляются непосредственно. Например,

М2 = Мз = 1,

3

М4 = М5 = -, 8

5

М6 = М7 = —, 6 7 16'

35 63

М8 = М9 =-, М10 = М11 =-,

8 9 128 10 11 256'

М12 = М13

231 1024.

При дальнейшем увеличении номера удобнее уже применять двусторонние оценки для величины 2—2т С2т, основанные на асимптотике (27). Наиболее точный результат, пригодный при всех т Е N состоит в следующем.

1

2

Предложение 9. Справедлива оценка

0.88

'пт

<

1

т

^ 2 С2т <

'пт

те N.

Доказательство. Обозначим

(2т — 1)!!

^т = 2-2т С2т>/т = ^-^г1 >/т, т £ N.

(2т)!!

Из асимптотики (27) следует, что ^ 1/л/п при т ^ то. Последовательность строго возрастает к пределу. Действительно,

Ут+1 2т +1 т + 1

2т + 1

2т + 2 V т 2^ т(т + 1) для любого т £ N. Таким образом,

4т2 + 4т + 1 4т2 + 4т

> 1

VI < ^2 < ... <ит < ^т+1 <

<

Но V! = 1/2 > 0.88/^, ибо (2  0.88)2 = (1.76)2 = 3.0976 < п. Поэтому

0.88

< ^ ^ Vm = 2-2т ст -т < —=, т £ N.

Разделив на \[ш1 приходим к оценке (53).

Другое, элементарное доказательство подобной оценки, не использующее асимптотику (27), и потому с чуть более худшей верхней границей, чем в (53), можно найти в [26] (см. там задачу 141 и ее решение на с. 249-251). Отметим также, что с увеличением номера т нижняя граница в (53) допускает дополнительные уточнения. Например, справедливы оценки

0.9 ,/пт

0.99 л/пт

-2т т

2т <

< 2 т ст

1

-2т т < 2 С2т <

пт 1

/пт'

т ^ 2, т > 13.

И вообще, при фиксированном р £ N можно утверждать, что

с

пт

-2т т < 2 с2т <

пт

т ^ р,

где с(р) — произвольная константа, меньшая, чем vv^fП = 2 2р Ср у/пр.

1

1

В самом деле, из (54) сразу следует, что

1

Vp ^ vm < —=, m ^ p.

'П

Затем, с учетом неравенства c(p) < v^y7^, записываем оценку

-p) < vm = 2-2m cm -m < —=, m ^ p.

П А/П

После деления на -у/т получаем (57).

В частности, при р = 2 вычисления дают ^^/п = 2—4 С42 ^ = 0.93998 ..., и можно взять с(2) = 0.9. При р = 13 имеем = 2—26 С3 лЛ3Л = 0.99043 ... ,

и возможен выбор с(13) = 0.99. Подставляя данные значения в (57), получаем соответственно (55) или (56).

Как следствие, возникают весьма точные оценки максимальных уклонений полиномов Бернштейна от функции f (х) = |2х - 1|. Например, совмещая (49) и (56), видим, что

0.99 1

' < М2т — тах |В2т

Vnm o^x^i ^/пт

Эту оценку естественно использовать при больших номерах. Общий же результат, справедливый при любом m £ N, выглядит так.

Предложение 10. Пусть m £ N, и пусть B2m(x) — полином Бернштейна для функции f (x) = |2x — 1| на [0,1]. Тогда

0 88 1 1 ' < —— ^ M2m = max |Bm

упт 2^/ т упт

Доказательство. Ср. формулы (49) и (53).

Предложение 10 служит полезной иллюстрацией к теореме Поповичу, цитированной в § 1, поскольку из (59) легко извлекается хорошая двусторонняя оценка максимального уклонения Мп через 1 /\/п, пригодная при любом номере п ^ 2. Действительно, при п = 2т из (59) получаем

, 2 0.88 1 , -

0.88 J--- = < M2m < = W^T^.

n

При n = 2m + 1, используя элементарное неравенство

2 1/3

< ^ \ Т.-г, me N,

2m + 1 y/m V 2m + 1

получаем

2 0. 88 1 3

0.88 J < ^ < M2m+1 = M2m < < \

n

Соединяя (60) и (61), приходим к оценке

0.88

< М„ = тах |£га(ж) — f (ж)| <

несколько огрубляющей (59), но формально верной при любом п ^ 2. Случай п =1 особый, ибо В1(ж) = 1, и максимальное уклонение М1 = 1 не попадает в интервал, указанный в (62). При увеличении п верхнюю и нижнюю границы в (62) можно дополнительно уточнять. Поскольку функция f (ж) = |2ж — 1| является липшицевой, т. е. удовлетворяет условию (5) с константой Ь = 2, то на (62) можно смотреть как на вариант общей оценки (6), конкретизированный под нашу ситуацию.

Все эти детали имеют теоретический интерес, а вот что происходит на практике. Рассмотрим полином В100(ж), о котором шла речь в конце § 7. Здесь т = 50, и оценка (58) приобретает вид

(ср. [26, задача 142]), т. е. значение В100(ж) в точке ж = 1/2 отличается от истинного значения f (1/2) примерно на 0.079, или, условно говоря, на семь-восемь процентов от общей амплитуды функции f (ж) на [0,1]. Такая точность явно недостаточна. Зазор между f (ж) и В100(ж), возникающий вблизи точки ж = 1/2, будет виден «невооруженным глазом» на распечатке графиков f (ж) и В100(ж), если, конечно, полином В100(ж) удастся реально вычислить, а его график — построить.

9. Оценки уклонения в «ближней зоне»

Проблема точности приближения возникает не только в самой точке ж =1/2, но и в соседних с ней точках. Казалось бы, при ж =1/2 у функции f (ж) = |2ж — 1| существует вторая производная f''(ж), причем f''(ж) = 0, и по теореме Вороновской (теорема 3, § 1) гарантирована относительно высокая скорость стремления к нулю уклонения Яга(ж) = Вп(ж) — f (ж). Но дело представляется более тонким: вблизи точки ж =1/2 асимптотическая формула (3) начинает действовать лишь при больших значениях п, а до тех пор поведение уклонения Яга(ж) остается примерно тем же, что и в самой точке ж = 1/2. Дадим довольно грубый, но наглядный результат, хорошо применимый в «ближней зоне» при не самых больших значениях п = 2т.

Предложение 11. Пусть т £ N и пусть В2т(ж) — полином Бернштейна для функции f (ж) = |2ж — 1| на [0,1]. Тогда

0.0789 <

< 0.0798

Я2т(ж) = В2т(ж) — f (ж) ^ 2-2т С^ — 25

при |ж — 1 /21 ^ 5 с фиксированным 5 £ (0, 1/2).

Доказательство. Для проверки (63) достаточно вспомнить, что x = 1/2 — точка минимума для B2m(x), причем B2m(1/2) = 2-2m C22 (см. предложения 6 и 8). Поэтому при |x — 1/2| ^ 6 получаем

R2m(x) = B2m(x) — f (x) ^ 2-2m C2 — |2x — 1| ^ 2-2m C™ — 26,

что и требовалось показать.

Поскольку B2m(x) ^ f (x) при 0 ^ x ^ 1, то неравенство (63) представляет интерес лишь для малых 6 > 0, когда 26 < 2-2m C22 Но проще сформулировать результат в представленной выше форме, а затем использовать его для получения соответствующих оценок в «ближней зоне» точки x = 1/2. Приведем для образца такое утверждение.

Предложение 12. Пусть m £ N, и пусть B2m(x) — полином Бернштейна для функции f (x) = |2x — 1| на [0,1]. Тогда

0 8

R2m

л/nm

при |ж - 1 /21 ^ 52т, где ^2т — 0.04/л/пт.

Доказательство. Обращаясь к общему неравенству (63) и вспоминая про (53), замечаем, что при |ж - 1 /21 ^ ^2т с указанным ^2т справедлива оценка

Й2т(ж) = В2т(ж) - f (ж) ^ 2-2т С^ - 2^т ^ 0.88 ^ 0.8

/пт упт упт что и совпадает с (64).

Если т ^ 13, то, полагая #2т — 0.045/^пт и используя (56) вместо (53), аналогично получим

0.9

Й2т

пт

при |x — 1/2| ^ 62m. Простое сопоставление (65) с предыдущей оценкой (58) показывает, что в окрестности |x — 1/21 ^ 62m отклонение полинома B2m (x) от истинных значений функции f(x) будет практически тем же, что и в самой точке x = 1/2.

Например, если снова взять m = 50 и полином B100(x), то элементарные прикидки, основанные на (65), гарантируют, что

0 9

B100(x) — f (x) ^ > 0.07 при |x — 1/2| < 0.0035,

5v 2n

ибо 6^ = 0.045^v/5ün = 0.003590... > 0.0035. Согласно (35) зазор между предыдущими полиномами B2(x), B4(x), ... , Bgg(x) и функцией f (x) = |2x — 1| на множестве |x — 1 /21 < 0.0035 будет еще больше. Таким образом, погрешность аппроксимации заведомо превышает 7/100, хотя номера полиномов достигают n = 100, т. е. асимптотическая формула Вороновской (3) просто не применима к первой сотне полиномов Бернштейна функции f (x) = |2x — 1| для точек x из множества 0 < |x — 1 /21 < 0.0035.

В отличие от «ближней зоны» на некотором удалении от точки х = 1/2 картина радикально меняется.

10. Оценки уклонения в «дальней зоне»

По-прежнему рассматриваем функцию f (х) = |2х — 1| на [0,1], ее полиномы Бернштейна В2т(х) и поточечные уклонения Я2т(х) = В2т (х) — f (х). Как уже отмечалось в § 8, максимальное уклонение (49), достигаемое в точке х = 1/2, неоднократно вычислялось и оценивалось. На концах отрезка полиномы Берн-штейна всегда совпадают с приближаемой функцией, и потому

Я2т(0) = Я2т(1) = 0, Ш € N.

В остальных точках х € (0,1), х = 1/2, никаких специальных исследований не проводилось. Неявно предполагалось, что картина приближения будет примерно той же, что и в самой точке х = 1/2. Так, один из результатов работы Виденско-го [21] дает равномерную оценку

0 <Я2т

л/2ш

справедливую при всех х € (0,1). Покажем, что на некотором удалении от точки х =1/2 подобные оценки слабо отражают существо дела, поскольку истинное стремление В2т(х) к функции f (х) = |2х — 1| является там экспоненциальным. Например, при х € (0, 1/4] и [3/4, 1) можно гарантированно утверждать, что

3 / 3\т

0 < Я2т

\ 4 /

Начнем с общей двусторонней оценки уклонения для индивидуальной точки х = 1/2. Для упрощения доказательства получим результат в ослабленной формулировке с немного огрубленной нижней границей.

Предложение 13. Пусть ш € н, и пусть В2т(х) — полином Бернштейна для функции f (х) = |2х — 1| на [0,1]. Тогда

0-4 ^ — х))"'+1 « Й2т

(ш + пш (2х — 1)2 (ш + пш

при всех х € (0, 1/2) и (1/2, 1).

Доказательство. В силу симметричности ситуации достаточно получить нужную оценку лишь для х € (0, 1/2). Из представления (48) следует, что

х 4

2С2Т Д2т(х) = Ш ! СИ £ (т(1 — Т))т ' ст, 0 < х < 2.

В оценках интегралов при фиксированном р ^ 0 (для р = т - 1 и р = т) используем преобразование

(s(1 — *))p =

p+1

помня, что числитель

p+1

(p +1)(1 — 2s) (s(1 — s))J

неотрицателен при 0 ^ s < 1/2. Также учитываем неравенства

0 < 1 — 2x ^ 1 — 2t ^ 1 — 2т ^ 1, верные при 0 ^ т ^ t ^ x< 1/2. Принимая во внимание сказанное, имеем

x t

x t

R2m(x) = m I dt I (т(1 — т))2 1 dT = ¡ dt

2

2 C2m

(т (1 — т))?

1 - 2т

dт <

00

dt

00

x

1 — 2t J

00

(т (1 — т))'

dт =1 «L—iT dt = . 1 - 2t

1

t

2 +1

m + 1 J (1 — 2t)2 0

dt <

1

(m + 1) (1 — 2x)2

t

2 +1

dt

1

(m + 1) (1 — 2x)2

x

2 +1

Аналогичная оценка снизу выглядит так:

x t

2

2 C2m

R2m(x) = dt

(т (1 — т))'

1 - 2т

00

x t

x dт ^ J dt j 00

(т (1 — т))'

dт

t(1 — t) 2 dt

1

x

t

2 +1

m +1

1 - 2t

dt >

1

m + 1

t

2 +1

dt = -

t m +1

x

2 +1

В результате для x £ (0, 1/2) получаем

o r^m 9 /^2

2C2m ^\m+1 ^ o í„Л ^ 2 C2m

m +1

(x(1 — x))m+1 ^ R2m(x) ^

(m + 1) (1 — 2x)2

s

s

1

T

t

x

x

x

t

t

1

x

t

x

Неравенство (53) гарантирует, что

2т о 2т

0.8 < С™ < , т € N.

^/Пт 2т ^/Пт'

Используя (70) в оценке (69) и учитывая, что

22т+1 (х(1 - ж))т+1 =2 (4х(1 - х))т+\

приходим к требуемому соотношению (68). Предложение доказано.

Формула (68) позволяет квалифицированно оценить уклонение в любой точке, достаточно удаленной от 1/2. Например, для х =1/4 элементарные подсчеты, основанные на (68), дают ограничения

3 1 / 3\т „ / 1 \ 3 1 / 3\т ^

^ 1 ^ 3 ^ , 1 ^ Л , т € N.

10 (т + 1) ^/Пт \4/ 2 (т + 1) V/Пm V4

Отсюда ясно виден экспоненциальный характер стремления к нулю уклонения Д2т(1/4) при т ^ то. Верхняя граница в (71) отличается от нижней всего в пять раз, т. е. точность формулы вполне очерчена. Понятно также, что при х = 1/4, а значит, и во всех точках х € (0, 1/4] и [3/4, 1) полиномы В2т(х) обеспечивают высокую степень близости к истинным значениям f (х) уже при довольно малых т. Например, если взять т = 10, то из (71) легко получить, что Я20(1/4) < 0.0014. Между прочим, это почти в сто шестьдесят раз меньше значения, извлекаемого из прежней оценки (66).

Поскольку основной интерес в (68) представляет оценка сверху, удобно иметь в распоряжении упрощенный вариант такой оценки, применимый сразу на всем множестве х € (0, 5] и [1 — 6, 1) с фиксированным 6 € (0, 1/2).

Предложение 14. Пусть т € N и пусть В2т(х) — полином Бернштейна для функции f (х) = |2х — 1| на [0,1]. Зафиксируем число 6 € (0, 1/2) и обозначим д = д(6) = 4б(1 — 6). Тогда 0 < д < 1 и

0 < Я2т

1 — д 2т упт

при всех х € (0, 6] и [1 — 6, 1).

Доказательство. Рассматриваем только х € (0, 6]. Из интегрального представления (48) следует, что 0 < Я2т(х) ^ Я2т(6) для всех таких х. Оценим сверху уклонение Я2т(6) по правилу (68), заменяя в знаменателе т +1 на т и используя сокращенные обозначения

46(1 — 6) = д, (26 — 1)2 = 1 — д.

В итоге придем к нужному соотношению (72).

В частности, при 5 =1/4 имеем q = 3/4, и из (72) следует заявленное ранее в качестве примера соотношение (67).

Разумеется, вблизи точки x =1/2 ценность полученных оценок снижается. В самом деле, если брать 5 слишком близко к 1/2, то значения q = q(5) = 45(1 — 5) становятся близки к единице, а коэффициент q/(1 — q) уходит «в бесконечность». Истинный экспоненциальный характер оценки (72) проявится лишь при очень больших номерах. При номерах же «не слишком больших» придется учитывать эффект «ближней зоны», в которой уклонение R2m(x) до поры до времени не слишком отличается от 1 /^/nm (см. § 9).

Отметим, кстати, что верхние границы в оценках (68) и (72) являются в определенном смысле точными и не могут быть существенно улучшены. Так, используя вместо интегрального представления (48) разложение Поповичу (29), можно полностью устранить зазор между верхней и нижней границами в (68) и доказать асимптотическую формулу

R2m<x») - г—1ib  q

верную при m ^ то для любого фиксированного x0 £ (0, 1/2) U (1/2, 1). Эта асимптотика выявляет истинный характер остатка a2m(x0) в формуле Воронов-ской (3) для функции f (x) = |2x — 1|. Аккуратный вывод максимально точных оценок уклонения R2m(x) и асимптотической формулы (73) требует особых рассмотрений и будет опубликован отдельно.

11. Тестовый пример

Установленные результаты позволяют давать весьма полные ответы на основные вопросы, связанные с полиномами Бернштейна Bn(x) функции f (x) = |2x — 1| на [0,1]. Рассмотрим для примера задачу о равномерном приближении f (x) полиномами Бернштейна с наперед заданной точностью:

|Bra(x) — f(x)| ^ е, 0 ^ x ^ 1.

В качестве тестовой погрешности выберем рабочее значение е = 0.01.

Как было показано, основную трудность при приближении доставляет точка x = 1/2. Воспользуемся оценкой (58) для максимального уклонения M2m, согласно которой

0." < M2m = B2mf ^ = 2-2™ C2 < -¿L, m ^ 13.

1/пга \ 2 у 1/пга

Для нахождения номера полинома, гарантирующего точность е = 0.01, решаем неравенство ^ 0.01, что дает

104

т ^ - = 3183.0988 ... .

п

С другой стороны, заданная точность е = 0.01 заведомо не будет достигнута, если

0.99/^пт ^ 0.01, т. е. для номеров

992

т ^ - = 3119.7551... .

п

Таким образом, полиномы Вп(х) с номерами п = 2т ^ 2 • 3119 = 6238 еще не годятся, а с номерами п = 2т ^ 2 • 3184 = 6368 уже удовлетворяют поставленной задаче. Возьмем первый «гарантированный» полином В6368(х), у которого т = 6368/2 = 3184. Согласно предложению 7 максимальный коэффициент такого полинома стоит при степени х4776 и имеет абсолютную величину ^6368, удовлетворяющую оценке

°.8 09552 ^ ,, ^ 1 09552 2 ^ ^6368 ^ ,пппа\ 2 2 ,

(6368)2 (6368);

что следует из формулы (43). Вычислив десятичные логарифмы, получим

2867.7336 ... ^ lg ^6368 ^ 2867.8305 ... ,

т. е. число ^6368 имеет в десятичной записи ровно 2868 знаков. Понятно, что явная алгебраическая запись для В6368 (х), основанная на формуле (17), просто не реализуема на практике.

Может показаться, что ситуация поправима при помощи формулы Поповичу (29), которая с вычислительной точки зрения выглядит более предпочтительной. Запишем разложение (29) для разбираемого случая:

3184 1

В6368

к=1

Оценивая старший коэффициент посредством (56), имеем

0.99 26368 < а — 1 с3184 < _1_ 26368

6367л/3Т84П 3184 " 6367 6368 6367v/3T84П '

Очередные несложные прикидки с логарифмами дают ограничения

1

6367

Щ1911 ^ ^ — ^»3184, Щ1912

10 < а3184 = С6368 < 10 .

Стало быть, десятичная запись старшего коэффициента в разложении (74) содержит в точности 1912 знаков1. Выигрыш по сравнению с предыдущим способом оказывается непринципиальным.

Итак, численная реализация на основе полученных формул полинома Берн-штейна В6368(х), обеспечивающего требуемое приближение, фактически исключена. Но считать вопрос полностью закрытым тоже неверно. Укажем еще одно представление для полиномов В2т(х), где численное воплощение выглядит не столь устрашающим. Это представление базируется на несколько иных принципах, позволяющих «абсорбировать» многие числовые «наросты» из прежних формул для В2т(х). Заодно станет ясно, что выбор отрезка разложения оказывает влияние на «сложность» полиномов Бернштейна.

хЗабавное, хотя и совершенно случайное совпадение с годом публикации основополагающей работы Бернштейна [1].

12. Симметричное разложение

Следующее разложение, как и разложение Поповичу (29), основано на симметричности полиномов Бернштейна В2т(х) относительно середины отрезка [0,1]. Только теперь вместо степеней выражения х(1 — х) будем использовать степени от 2х — 1.

Предложение 15. Пусть т € N и пусть В2т(х) — полином Бернштейна для функции f (х) = |2х — 1| на [0,1]. Тогда

В2т

Доказательство. Используем формулу (23) для второй производной В2'т(х). Заметим, что

х(1 — х) = 1 (1 — (2х — 1)2),

и запишем

В2т(х) = 2тС2т(х(1 — х^"1 = ^ (1 — (2х — ^Т"

т— 1

= 8т  2—2т С2т Е (—1)Р ст—1 (2х — 1)2р. р=0

Дважды интегрируя, находим с неизвестными пока коэффициентами ат, Ьт, что

т—1 (—1)р

В2т(х) = ат + ЬтХ + 8т  2—2т С2т р=0 4(2р +1)((2р + 2) ст—1 (2х — 1)2р+2

_2т т т—1 (—1)Р 2 2

= ат + Ьтх + 2 т С2тт ' т (2р + 1) (Р + 1) Ст—1 (2х — 1) Р •

р=0

Преобразуем отдельно

т—1 ( 1 )р

Е (2р + —)> +1) Ст- (2х — 1)2'+2 ={ к = Р +1}

т 1 т 1 £ (2г—-Т! ст—1 —ч* = £ ^ ст, (2*—

В итоге имеем представление

т (_1)к—1

В2т

к=1

Для нахождения коэффициентов am, bm воспользуемся условиями

В2т ( 2 ^ = 2 2т С2тт, В2т ^ Т ^ = 0.

Первое из них содержится в (49), а второе следует из того, что х =1/2 есть точка минимума полинома В2т(х) (согласно предложению 6). Поэтому из (76) получается, что

Ьт = В2т ^ 2 ) = 0' ат = В2т ^ ^ ^ = 2 ^ С2т

Подставляя в (76) найденные значения ат, Ьт, приходим к требуемому разложению (75). Предложение доказано.

Найденное разложение (75) позволяет сразу записать явную формулу для полиномов Бернштейна Вга(х) функции /(х) = |х| на [—1,1], не проводя уже отдельных вычислений. А именно, заменяя в (75) «переменную» 2х — 1 на х и переходя от отрезка [0,1] к [—1,1], получаем

/ т (_1 )к-1 \

В2т

Конечно, характер приближения модуля полиномами Бернштейна на [—1,1] будет точно тем же, что и на каноническом отрезке [0,1]. Но формулы (75) и (77) имеют весьма простую структуру и, как показывают первые прикидки, более обозримые коэффициенты, даже при довольно больших значениях т. Другими словами, выбор отрезка приближения может оказать определенное влияние на техническую сторону дела при работе с полиномами Бернштейна. Вопрос этот далеко не праздный и его следует принимать во внимание.

Представляется полезным провести подробный анализ формулы (77) и изучить новые аспекты, возникающие в связи с полиномами Бернштейна В2т(х) функции /(х) = |х| на [—1,1].

Авторы благодарны участникам семинара по теории приближений под руководством С. А. Теляковского за заинтересованное обсуждение и поддержку наших результатов. Выражаем признательность своим младшим коллегам Н. Ю. Петуховой, Д. В. Потапову и М. И. Тихоновой за выполнение некоторых стимулирующих расчетов.

Список литературы

1. Bernstein, S. Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur la calcul des probabilités / S. Bernstein // Сообщешя Харьков. мат. о-ва. Вторая серiя. — 1912. — Т. 13, № 1. — С. 1-2.

2. Хлодовский, И. Н. О некоторых свойствах полиномов С. Н. Бернштейна / И. Н. Хлодовский // Труды первого Всесоюзного съезда математиков. (Харьков 1930 г.) — М. ; Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1936. — C. 22.

3. Вороновская, Е. В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С. Н. Бернштейна / Е. В. Вороновская // Докл. Акад. наук СССР,

A. - 1932. - № 4. - С. 79-85.

4. Popoviciu, T. Sur l'approximation des fonctions convexes d'ordre supérieur / Tiberiu Popoviciu // Mathematica. — 1935. — Vol. 10. — P. 49-54.

5. Lorentz, G. G. Bernstein Polynomials / G. G. Lorentz. — Toronto : University of Toronto Press, 1953.

6. Sikkema, P. C. Der Wert einiger Konstanten in der Theorie der Approximation mit Bernstein-Polynomen / P. C. Sikkema // Numerische Mathematik. — 1961. — Bd. 3, heft 1. — S. 107-116.

7. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. — М. ; Л. : ГИТТЛ, 1949.

8. Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций / В. Л. Гончаров. — М. : ГИТТЛ, 1954.

9. Коровкин, П. П. Линейные операторы и теория приближений / П. П. Коров-кин. — М. : ГИФМЛ, 1959.

10. Rivlin, T. J. An Introduction to the Approximation of Functions / T. J. Rivlin. — Waltham ; Toronto ; London : Blaisdell Publ. Comp., 1969.

11. Davis, P. J. Interpolation and Approximation / P. J. Davis. — N.Y. : Dover, 1975.

12. Дзядык, В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В. К. Дзядык. — М. : Наука, 1977.

13. Виденский, В. С. Многочлены Бернштейна : учеб. пособие к спецкурсу /

B. С. Виденский. — Л. : ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990.

14. Макаров, Б. М. Избранные задачи по вещественному анализу / Б. М. Макаров, М. Г. Голузина, А. А. Лодкин, А. Н. Подкорытов. — М. : Наука, 1992.

15. DeVore, R. A. Constructive Approximation / R. A. DeVore, G. G. Lorentz. — Berlin ; Heidelberg ; N. Y. : Springer-Verlag, 1993.

16. Phillips, G. M. Interpolation and Approximation by Polynomials / G. M. Phillips. — N. Y. ; Berlin ; Heidelberg : Springer, 2003.

17. Kac, M. Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein / M. Kac // Studia Mathematica. — 1938. — Vol. 7. — P. 49-51.

18. Arama, O. Rroprientäti privind monotonia sirului polinoamelor de interpolare ale lui S. N. Bernstein si aplicarea lor la studiul aproximarii functiilor / O. Aramä // Studii si cercetari de Matematicä (Cluj). — 1957. — Tomul VIII, № 3-4. — P. 195-210.

19. Schoenberg, I. J. On Variation Diminishing Approximation Methods / I. J. Schoen-berg // On Numerical Approximation : proceedings of a Symposium conducted by the Math. Research Center US Army, University of Wisconsin, Madison, April 21-23, 1958 / Ed. : R. E. Langer. Madison : University of Wisconsin Press, 1959. — P. 249274.

20. Струков, Л. И. Уточнение и обобщение некоторых теорем о приближении полиномами С. Н. Бернштейна / Л. И. Струков, А. Ф. Тиман // Теория приближения функций : тр. междунар. конф. по теории приближений, Калуга, 24-28 июля 1975 г. — М. : Наука, 1977. — С. 338-341.

21. Виденский, В. С. О приближении функции |ж — c| многочленами Бернштейна и интерполяционными ломаными / В. С. Виденский // Приближение функций специальными классами операторов : межвуз. сб. науч. тр. — Вологда : Вологод. гос. пед. ин-т, 1987. — С. 25-28.

22. Теляковский, С. А. О приближении дифференцируемых функций многочленами Бернштейна и многочленами Канторовича / С. А. Теляковский // Тр. МИАН. — 2008. — Т. 260. — С. 289-296.

23. Теляковский, С. А. О скорости приближения функций многочленами Бернштейна / С. А. Теляковский // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2008. — Т. 14, № 3. — С. 162-169.

24. Теляковский, С. А. О приближении многочленами Бернштейна в точках разрыва производных / С. А. Теляковский // Матем. заметки. — 2009. — Т. 85, вып. 4. — С. 622-629.

25. Тонков, В. О. О приближении многочленами Бернштейна в точках разрыва производных / В. О. Тонков // Тр. МИАН. — 2010. — Т. 269. — С. 265-270.

26. Ш^клярский, Д. О. Избранные задачи и теоремы элементарной математики / Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. — М. : Наука, 1965.