Ренормгрупповое описание влияния дефектов структуры на фазовые переходы первого рода

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 4. С. 98-104.

УДК 544.344

В.В. Прудников, В.В. Дубс

РЕНОРМГРУППОВОЕ ОПИСАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПЕРВОГО РОДА*

Осуществлено ренормгрупповое описание влияния дефектов структуры на фазовые переходы первого рода в кубических кристаллах ТЬЛ^\ ТЬР, ТЬБЬ в рамках однопетлевого приближения с использованием е-разложения.

Ключевые слова: ренормгрупповое описание, дефекты, фазовые переходы.

Магнитные фазовые переходы из парамагнитного в ферро- или антиферромагнитное состояние являются прекрасными примерами фазовых переходов второго рода. Однако к настоящему времени известно большое число примеров магнитных фазовых переходов, которые по соображениям симметрии и критериям, характерным для теории Ландау [1], могли бы быть фазовыми переходами второго рода, в действительности же оказываются фазовыми переходами первого рода. Было выявлено, что флуктуации параметра порядка, нарастающие по мере приближения к температуре фазового перехода второго рода, могут превратить непрерывный фазовый переход в скачкообразный. Более того, в работах [2-9] было показано, что в ряде случаев флуктуации делают переходы второго рода вообще невозможными, т. е. переход является скачкообразным при любых значениях параметров задачи. К этому виду относятся переходы в МпО, и02, ТЪЛэ и т. д. На основе данных исследований был сделан вывод о том, что вблизи критической температуры аномально большие флуктуации могут как сохранять осуществление фазового перехода второго рода в системе, так и приводить к флуктуационному срыву к фазовым переходам первого рода. Исследование устойчивости набора неподвижных точек ренормгрупповых уравнений системы позволяет однозначно ответить на данный вопрос.

Целью данной работы является выявление возможности стабилизации фазовых переходов второго рода посредством введения в систему дефектов структуры. Исследование проводится с использованием ренормгрупповых методов описания фазовых переходов в однопетлевом приближении на примере фазовых переходов первого рода в кубических кристаллах ТЪЛэ, ТЪР, ТЪБЪ.

Для достижения поставленной цели, в данной работе в начале решается задача получения ренормгрупповых уравнений для структурно неупорядоченной системы, а затем задача нахождения неподвижных точек этих уравнений и исследования их устойчивости.

Интерес к данному исследованию обусловлен тем, что введение дефектов структуры в систему должно привести к появлению в эффективном гамильтониане дополнительной вершины взаимодействия флуктуаций параметра порядка за счет их рассеяния на потенциале дефектов, а следовательно, к возникновению дополнительного по

* Работа поддержана грантами Минобрнауки 2.1.1/13956 и 2010-1.1-121-011-047 и грантом РФФИ 1002-00507.

© В.В. Прудников, В.В. Дубс, 2011

сравнению с однородным материалом уравнения в системе уравнений ренорм-группы и дополнительных примесных неподвижных точек, среди которых могут быть обнаружены устойчивые. Кроме того, дефекты могут оказать влияние на неустойчивые неподвижные точки однородной системы, вызвав изменение их устойчивости. На возможность стабилизации фазовых переходов посредством ввведения в систему дефектов структуры указывают численные исследования одной из базовых статистических моделей -модели Поттса с тремя и четырьмя состояниями, которая в отсутствие дефектов демонстрирует фазовый переход первого рода, а в структурно неупорядоченном состоянии, начиная с некоторой концентрации дефектов, - фазовый переход второго рода [10; 11].

Для теоретического описания критических явлений удобно применять сочетание метода ренормализационной группы, диаграммной техники Фейнмана и метода £-разложения [12-14]. Метод ренормализационной группы позволяет исследовать ряд наиболее трудных проблем современной физики. Эти проблемы включают в себя отдельные вопросы релятивистской квантовой теории поля, теорию критических явлений, эффект Кондо и другие задачи. Все они характеризуются тем, что здесь существенным образом проявляет себя большое число степеней свободы. Многие проблемы, с которыми приходится сталкиваться в физике конденсированного состояния, связаны с учетом очень большого числа степеней свободы. Например, кристаллы или жидкости содержат более 1023 электронов/см3, а каждая координата электрона является отдельной степенью свободы.

Большинство же теоретических методов «работает» лишь тогда, когда мы имеем дело только с одной независимой переменной, т. е. в случае одной степени свободы.

Минимальный размер области, в которой свойства вещества в достаточной степени передают свойства макроскопического образца, называется корреляционной длиной. Размер этой области £ определяется состоянием системы. Для газа корреляционная длина £ зависит от давления и температуры. При обычных обстоятельствах она имеет порядок всего лишь 1-2 средних межатомных расстояний. Когда корреляционная длина £ так мала, существует ряд методов определе-

ния свойств системы: вириальные разложения, теория возмущений, метод Хар-три-Фока и т. д. Эти методы включают в себя различные приближения, однако все они имеют одну общую особенность: в них предполагается, что во всем объеме свойства материи определяются малыми группами атомов (кластерами). Кроме того, эти методы включают еще некоторые дополнительные предположения, так как даже группа только из трех атомов содержит слишком много степеней свободы, чтобы проблему можно было решить без значительных упрощений.

В особых случаях корреляционная длина гораздо больше межатомного расстояния. Первым примером такого рода является фазовый переход с некоторой выделенной критической точкой. Переходы жидкость - газ, ферромагнитные переходы, переходы порядок - беспорядок в сплавах и т. д. - все они имеют критические точки при определенных значениях термодинамических переменных. Если говорить точно, то в критической точке корреляционная длина £ бесконечна, а в окрестности критической точки велика.

Существует, таким образом, некоторый класс проблем, включающий критические явления и характеризующийся тем, что в области с размерами порядка корреляционной длины имеется очень большое число степеней свободы. Очень большое означает не просто 3 или 4, а тысячи или миллионы, если не бесконечное число. Кроме критических явлений, другими проблемами того же рода являются проблема Кондо (магнитные примеси в металле), образование связей в больших молекулах и, наконец, все задачи релятивистской квантовой теории поля.

Переход, основанный на ренормализационной группе, ставит перед собой две цели. Первая из них - практическое упрощение работы по нахождению решения систем с большим числом степеней свободы в области с размерами порядка корреляционной длины. Основная идея здесь такая же, как в гидродинамике. В гидродинамике вводят новые переменные, которые представляют собой средние по исходным микроскопическим степеням свободы. В гидродинамических уравнениях все микроскопические флуктуации исключены, т. е. предполагается, что в функции р(х) проявляются только макроскопические флуктуации. В действительности это означает, что гидродинамическими степенями свободы являются

величины р(х) в макроскопически отдаленных друг от друга точках. Таким образом, гидродинамических степеней свободы в единице объема гораздо меньше, чем первоначальных микроскопичесикх.

Метод ренормализационной группы сходен с гидродинамическим подходом в том, что здесь исходные микроскопические степени свободы заменяются на меньший набор эффективных степеней свободы. Делается это последовательно, причем на каждом этапе линейная плотность степеней свободы уменьшается в Ь > 1 раз.

Вторая цель подхода, основанного на методе ренормализационной группы, состоит в том, чтобы объяснить, как возникают качественные особенности кооперативного поведения. В рамках метода ренормализационной группы эти качественные особенности являются результатом её итерационного характера. А именно существует преобразование Я, которое превращает Н0 в Н1, Н1 в Н2 и т. д. Преобразование это одно и то же, как при построении Н1 из Н0, так и Н2 из Н1; причем в каждом случае происходит уменьшение числа степеней свободы в Ь раз. Единственное различие, которое, однако, легко устранимо, заключается в шкале длины. Следовательно, у нас есть преобразование Я, которое можно применять повторно:

Я( Н о) = Н1, Я( Н1) = Н 2, Я( Н 2) = Н 3,

и т. д. Это преобразование должно быть проитерировано п раз, где величина 2п Ь0 порядка £ Когда величина £ велика, велико также число итераций п.

Если у нас имеется преобразование Я, которое многократно повторяется, то простейший результат, получаемый в этом случае, заключается в том, что последовательность Н1 сходится к неподвижной точке (Н.Т.) преобразования Я, а именно к взаимодействию Н , удовлетворяющему уравнению

Я( Н *) = Н *.

Наличие неподвижной точки является свойством только самого преобразования Я, т. е., чтобы найти возможные неподвижные точки (гамильтонианы Н*), необходимо решить уравнения для неподвижной точки. Эти уравнения не имеют ни-

какого отношения к выбору исходного гамильтониана Н0. Таким образом, возможные типы кооперативного поведения системы при описании их методом ре-нормализационной группы определяются возможными неподвижными точками Н * преобразования Я. Исследование стабильности набора неподвижных точек ре-норм-групповых уравнений позволяет сделать вывод о том, какого рода фазовый переход реализуется в системе.

Диаграммная техника является наглядным и эффективным способом описания взаимодействия в квантовой теории поля (КТП). Метод был предложен Р. Фейнманом в 1949 г. для построения амплитуд рассеяния и взаимного превращения элементарных частиц в рамках теории возмущений. Существуют так называемые правила Фейнмана, которые сопоставляют каждому элементу диаграммы Фейнмана определенные математические объекты (величины и операции), так что по диаграмме Фейнмана можно однозначно построить аналитическое выражение. Применение диаграммной техники в описании критических явлений с помощью метода ренормализационной группы позволяет наглядно получить систему ре-нормгрупповых уравнений, соответствующую гамильтониану поставленной задачи.

Совокупность правил для вычисления произвольной диаграммы можно представить в следующем виде [9; 12]:

1. Линиям каждой вершины сопоставляются импульсы, причем предполагается, что они все «входящие».

2. Импульсы, соответствующие внутренним линиям, изменяются от Ь_1 до 1, а импульсы, соответствующие внешним линиям, от 0 до Ь-1.

3. Каждой внутренней линии сопоставляется пропагатор

2 ’ д +г

здесь д1 , д2 - два импульса, приписываемые этой линии.

4. Каждой вершине сопоставляется множитель

и(2п)л 8Л (д1 + д2 + д3 + д4).

5. Каждой внешней линии сопоставляется спиновая переменная

,д = £"°"2д .

6. Интеграл берется по всем внутренним и внешним импульсам согласно правилу 2.

Метод £-разложения - метод приближённого вычисления критических показателей в статистической физике (или аномальных размерностей в квантовой теории поля) с помощью разложения корреляционной функции и других физических величин вблизи критической точки по степеням малого параметра s = 4 - d, где d - размерность пространства системы. s-разложение обычно реализуется в рамках метода ренормализационной группы с использованием теории возмущений и диаграммной техники Фейнмана. Для получения результатов, имеющих физический смысл (d =3) и сопоставимых с результатами эксперимента и численных исследований, £-разложение рас-

сматривают как экстраполяционную схему и в конце вычислений обычно полагают s = 1.

В качестве исследуемой системы в данной работе рассматриваются кубические кристаллы TbAs, TbP, TbSb, имеющие пространственную группу Fm3m. Возникающая магнитная структура принадлежит к типу 11 антиферромагнетиков в ГЦК решетке. В ней ферромагнитные слои (111) с направлением спинов [111] чередуются, образуя антиферромагнит-ный порядок. Волновой вектор такой

структуры f2’1’Ц образует четырехлу-

чевую звезду

k l2’2’2 I’kl

k3 =

( - ^ 111 л ? ^ ? /-Ч

2 2 2

v у

, k4

-

1 1 1 2 2 2

v у

f -\

1 1 1 2 2 2

v у

Поскольку атомные спины параллельны волновому вектору, структура описывается одномерным представлением группы Ок , а фазовый переход характеризуется четырехкомпонентным параметром порядка и гамильтонианом

H =j ddx\ £ ,-nl +(V,n)2

+ U-,

ЧЛ=1

Л=1

Для исследования возможности стабилизации фазовых переходов второго рода посредством влияния дефектов структуры в гамильтониан однородной

системы (1) необходимо добавить энергию взаимодействия флуктуаций параметра порядка с дефектами. Гамильтониан структурно неупорядоченной системы можно представить в виде:

H = H о + H mt,

H„=1J ddxV (x) f£,

2 v^=1

dv

Ml axa

R / \R

U-i

U,

“x:

x:

a —i— a

v I

чб Р—Р

Рис. 1. Обозначения для вершин взаимодействия

Применяя примесную диаграмную технику, получим следующие графические выражения для перенормированных вершин:

. ц1Я = 48 щ2 XIX + 24 г(1 игХ]Х +

+ ...

+из2/4 XIX

= зб и22 XIX+48 ui u2 XIX

74 XIX

l2 R

+ ...

• u3R =48u1u3y^(

Рис. 2. Вклады в перенормированные вершины в случае однородной системы

U1R = 48 щу

U2R ~ 4&U2V

XI

XI

• u3R =48%г + ...

“I-г

-т—r- ---

vR = 32v2 (; ; + X ) +16 v2 ; +

t \

+ 24 U

->-<X *nu^"Q)(

Рис. 3. Вклады в перенормированные вершины от примесной вершины v

С учетом диаграммных разложений (рис. 2 и 3) система ренормгрупповых уравнений для неоднородной системы примет следующий вид:

и1 = ЬЄ \ и1 -

и2 = Ье <и2 -

48и2 + 24и1и2 + - 48иу

36и2 + 48и1и2 - -43- - 48м2у

К41п Ь

и3 = Ье {и3 -[48м1м3 - 48м3у]41пЬ}

V = Ьг|у-|^-8у2 + 24и1у + 12и2у ^ К41п Ь}

где Ь - масштабный коэффициент, а К4 -поверхность четырехмерной сферы единичного радиуса.

Поиск неподвижных точек проводится в рамках е-разложения, основываясь на уравнении для неподвижной точки ре-нормгруппового преобразования:

Я

Ье = 1 + е1пЬ .

Система ренорм-групповых уравнений для структурно неоднородной системы в однопетлевом приближении (6) имеет 10 неподвижных точек (однородная система имеет 5 точек [9]):

Н.Т.1 (0,0,0,0),

Н.Т.2

,0,0

Н.Т.3,4

ґ

У

Є

к 48К4 72 К4

6К

4

Н.Т.5

\

0,0,0

Н.Т.6

0,0,0, -

8К

Н.Т.7

4 У

5Є 0,0, Є

96КЛ

32 К

(

Н.Т.8

0,^,0 Є

36К/ ’12К4 у

Н.Т.9,10

5є

5є

5є

48К4 72К4 6К4 12К4 у

Для исследования устойчивости неподвижных точек (9) необходимо линеаризовать систему уравнений ренормали-зационной группы (6).

Результат линеаризации в матричной форме имеет вид:

Ам1 Аи1

Ані АИт

2 —м 2

Аи3 Аи3

Ау' Ау

К41пЬ [,(6) где Auj = ui - и*, / = 1..3, Дv = V - V*; и*,

V - значения и{, V в неподвижных точках, а М - матрица устойчивости размера 4*4.

Для того чтобы сделать вывод о характере устойчивости неподвижной точки, матрицу М нужно привести к диагональному виду:

Ь 0 0 0

0 Ьл 0 0

0 0 Ь^ 0

0 0 0 Ьд-

Если все показатели матрицы устойчивости принимают отрицательные

значения, то неподвижная точка является устойчивой. Если хотя бы одно из по-

м —

ложительно, то неподвижная точка является неустойчивой.

Результаты расчетов показателей матрицы устойчивости (11) для каждой из неподвижных точек (9) системы ренормгрупповых уравнений неоднородной системы (6) имеют следующий вид:

Н.Т.1 (0,0,0,0) :

Я Є,Я2 є,Лз є ^4 Є, ґ Є ^

Н.Т.2

0,

36К

,0,0

1 2

Я = 3Є,Я2 = -Є, Я3 = Є, Я4 = "3Є;

(

Н.Т.3,4

\

72К. 6К

,0

4

2 2

Я = З Є,Я2 = Є,Я3 = 0 Я4 = "З Є;

Н.Т.5

\

,0,0,0

Я = Є Я = 0,Яз = 0, Я4 = 3Є,

Н.Т.6

0,0,0,--

8К

4 У

Я — —5є,Я — —5є,Я — —5є,Я4 — —Є,

Н.Т.7

5є

96k

,o,o,

32 К

4 У

Л =— 2 є, Л2 = 0,Л = 0,Л = -4 є;

(

Н.Т.В

0,

5є

Л

,0,

3бК 12K

4 У

5 2

Л = —є, Л2 = —5є, Лз = 5є, Л4 = — є;

H.T.9,l0

5є

5є

5є

\

4SK. 72 К.

6K4 12 K4 у

10 2

Д =-£, Д = 5б, Д = 0, = — б;

Ранее в однородном случае [9] было получено 5 неподвижных точек ренорм-группового преобразования со следующими показателями матрицы устойчивости:

Н.Т.1

^ £

Н.Т.2

0,

3бК4

,0,0

Н.Т.3,4

f

Н.Т.З

v 48К4

72 К/ бК

4 У

Л

v 4SK4

,0,0

Четыре из пяти точек являются неустойчивыми, и имеется изотропная неподвижная точка, для которой два значения Я равны нулю в первом порядке по е. В

приближении, включающем члены второго порядка по £, эта точка распадается на 4 неустойчивые неподвижные точки.

Система ренормгрупповых уравнений для однородной системы не имеет устойчивых неподвижных точек. По критериям теории Ландау фазовый переход в однородной системе должен быть второго рода, но так как устойчивых неподвижных точек обнаружено не было, полагается, что фазовый переход в ней должен быть первого рода.

Внедрение дефектов структуры в однородную систему привело к возникновению пяти дополнительных неподвижных точек системы ренормгрупповых уравнений и увеличению размерности пространства.

Исследования матриц устойчивости пяти неподвижных точек, присутствовавших и в однородном случае, показали,

что влияние дефектов структуры характера устойчивости этих точек не изменило. Таким образом, все пять точек являются неустойчивыми неподвижными точками ренормгрупповых уравнений неоднородной системы.

Результаты исследования характера устойчивости пяти дополнительных неподвижных точек выявили то, что четыре из них являются неустойчивыми неподвижными точками, а пятая - устойчива. Ее можно рассматривать как трикрити-ческую точку, в которой параметры, описывающие взаимодействие флуктуаций u* = u* = u3* = 0, но вершина v , характеризующая взаимодействие флуктуаций через поле дефектов, отлична от нуля.

Таким образом, исследование устойчивости набора фиксированных точек ренормгрупповых уравнений системы в однопетлевом приближении выявило возможность стабилизации фазовых переходов второго рода посредством введения в систему дефектов структуры. У исследуемой системы была обнаружена трикрити-ческая точка - точка, в которой линия фазовых переходов l-го рода непрерывно переходит в линию фазовых, переходов 2го рода. Для нахождения устойчивой неподвижной точки, соответствующей фазовым переходам второго рода в неупо-

**** рядоченных системах с u1 , u2, u3, v отличными от нуля, необходимо провести дополнительные исследования в двухпетлевом приближении или даже приближениях более высоких порядков.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М. : Наука, 197б. 584 с.

[2] Люксютов И. Ф., Покровский В. Л. Фазовые переходы первого рода в системах с кубической анизотропией // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21. № 1. С. 22-25.

[3] Бразовский С. А., Дзялошинский И. Е. Переход первого рода в МпО и ренормализационная группа // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21. № б. С. 3б0-3б4.

[4] Бразовский С. А., Дзялошинский И. Е., Кухаренко Б. Г. Магнитные фазовые переходы первого рода и флуктуации // ЖЭТФ. 197б. Т. 70. № б. С. 2257.

[5] Bak P., Krinsky S., Mukamel D. First order transition, symmetry and £-expansion // Phys. Rev. Lett. 197б. V. Зб. № 1. P. 52-55.

[6] Mukamel D., Krinsky S. Physical realizations of n > 4-component vector models. I. Derivation of the Landau-Ginzburg-Wilson Hamiltonians // Phys. Rev. B. 197б. V. 1З. № 11. P.5065-5077.

[7] Mukamel D., Krinsky S. Physical realizations of n > 4-component vector models. II. £-expansion

analysis of the critical behavior // Phys. Rev. B. 1976. V. 13. № 11. P. 5078-5085.

[8] Domany E., Mukamel D., Fisher M.E. Destruction of first-order transitions by symmetry-breaking fields // Phys. Rev. B. 1977. V. 15. № 11. P. 5432-5441.

[9] Изюмов Ю. А., Сыромятников В. Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М. : Наука, 1984.

[10] Yin J. Q., Zheng B., Prudnikov V. V, Trimper S. Short-time dynamics and critical behavior of three-dimensional bond-diluted Potts model // Eur. Phys. J. B. 2006. V. 49. P. 195-203.

[11] Муртазаев А. К., Бабаев А. Б., Азнаурова Г. Я. Особенности фазовых переходов в трехмерных разбавленных структурах, описываемых моделью Поттса // ЖЭТФ. 2009. Т. 136. № 3. С. 516-520.

[12] Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и £-разложение. М. : Мир, 1975. 256 с.

[13] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантовых полей. М. : Наука, 1984. 603 с.

[14] Amit D. J. Field theory, the renormalization group and critical phenomena. New York : Acad. press. : McGraw-Hill, 1978. 333 p.