Синтез линейных MIMO-систем квазиинвариантного управления методами распознавания образов

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 388-393

УДК 519.71

СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ М1МО-СИСТЕМ КВАЗИИНВАРИАНТНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДАМИ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ

© 2014 г. И.В. Котельников, Л.Г. Теклина

НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

teklina2010@yandex.ru

Поступила в ридаицию 20.05.2014

Представлен новый подход к синтезу многомерных систем квазиинвариантного управления на основе постановки и решения задачи синтеза в качестве проблемы распознавания образов. Возможности и особенности применения нового подхода проиллюстрированы на примере двух математических моделей систем управления.

Ключивыи слова: динамическая система, квазиинвариантное управление, распознавание образов.

Введение

Работа посвящена проблеме синтеза систем управления, которые должны не устранять возникающие ошибки, а предотвращать их, сделав объект управления невосприимчивым (инвариантным) к внешним воздействиям. Идея синтеза таких систем прошла сложный путь: от полного отрицания возможности их создания (дискуссия по поводу инвариантного регулятора Г.В. Щи-панова в 1939 г.) до попыток отыскать зерно истины (введение понятий е-инвариантности и квазиинваринтности) и найти методы расчета таких систем. Об истории этого вопроса и существующих путях решения проблемы инвариантности можно прочитать в книге [1].

В данной статье рассматривается задача параметрического синтеза линейных многомерных систем квазиинвариантного управления с регулированием по ошибке управления, которая не является экстремальной и отличается от таковой как по постановке, так и по методам ее решения. Она является естественным продолжением предыдущих работ [2, 3], в которых изложен новый подход к решению задачи синтеза линейных одномерных систем квазиинвариантного управления, описываемых моделью вида А( р) х = -В( р)(и + !#)), С (р)и = Б(р)х, где р = , А(р), В (р), С(р), Б(р) - действительные полиномы, Е,(?) - ограниченное неизвестное возмущение в объекте и управлении, х и и - одномерные переменные объекта и управления, свойства и функциональные возможности которого изучены в работах Ю.И. Ней-марка [4-6]. Этот подход основан на постановке

и решении задачи синтеза методами распознавания образов с активным экспериментом. Из решения задачи статистическими методами следует существенная особенность такого исследования: результаты решения имеют статистический характер с оценкой степени их статистической достоверности.

Постановка задачи

Расширим постановку задачи путем рассмотрения объектов управления вида

А( р)х(?) = -В( р)и(?) + Р( рШ), где р = , А(р), В(р), Р(р) - матричные полиномы размерностей п х п, п х т и п х I соответственно, х(?) е Ип, ц(?) е Ит, е И' -многомерные переменные объекта, управления и внешнего возмущения.

Ставится задача построения управляющей функции вида

С( р)ц(0 = Б( р)х( ?), где С (р), Б(р)- матричные полиномы размерностей т х т и т х п , чтобы ошибка управления в установившемся режиме удовлетворяла условию |х..(?) <е при ?> Т (Т- длительность

переходного процесса) для т из п управляемых переменных.

Условие физической реализуемости накладывает на синтезируемую систему следующие требования:

- матрицы С-1(А,), А-1(^) и (А(А,) + В(А,) х х С-1 (А,)Б(А,))-1 существуют;

- все элементы матриц А-1(А,)В(А,), А-1(А,) х хР(Ь) и (А(А,) + В(А,)С-1(А,)Б(А,))-1 Р(Ь) - правильные рациональные функции.

Замкнутая система (А(р) + В(р)С~'(р) х хБ(р))х(?) = устойчива.

Синтез управляющей функции сводится к поиску неизвестных коэффициентов полиномов, входящих в матрицы С (р) и Б(р), чтобы система управления отвечала требованию квазиинвариантности для неизвестного, но ограниченного по величине внешнего возмущения \(Х) при заданных начальных условиях. Решение этой задачи не единственно. Ставится задача отыскания и описания не всех возможных значений неизвестных параметров, а хотя бы некоторого их подмножества достаточно простой конфигурации, но определяемого с заданной высокой степенью статистической достоверности и отвечающего условию достаточности меры робастной устойчивости по определяемым параметрам. Мы предлагаем использовать для их поиска методы распознавания образов, работающие в пространствах большой размерности и позволяющие найти нужную область искомых параметров с заданной степенью статистической достоверности. Задача синтеза решается при условии, что описание объекта управления и начальные условия заданы.

Теоретическому исследованию таких систем посвящены работы В. А. Якубовича, А.В. Проскурникова [7, 8]. Доказано, в частности, что для существования квазиинвариантного, или приближенно универсального по свойству инвариантности (в терминологии авторов), управления необходимы:

- устойчивость системы управления;

- размерность и(?) не меньше числа регулируемых переменных.

Решение задачи методами распознавания

Для постановки задачи в виде проблемы распознавания образов в качестве пространства признаков выбираем пространство неизвестных параметров й, представляющих собой коэффициенты полиномов, образующих матрицы С(р) и Б(р). За распознаваемый образ принимается область й в пространстве признаков. Очевидно, й* с й0 с й, где й0 - область устойчивости синтезируемой системы. В общем случае область устойчивости - область невыпуклая и несвязная, но мы ставим задачу выделения и описания хотя бы части й0 с й0 этой

области, полагая ее связной и выпуклой.

Решение задачи распознавания в пространстве й - построение в этом пространстве ло-

кального решающего правила достаточно простого вида (набор параллелепипедов, сфер, эллипсоидов и т.п.), описывающего искомую область параметров й* с й*, при условии минимизации числа ошибок второго рода для распознаваемого образа и максимизации меры робастной устойчивости для множества параметров Й . С целью ускорения процесса ищется решение не оптимальное, но удовлетворяющее требуемой надежности распознавания P0 и необходимой мере робастной устойчивости по определяемым параметрам Я(Й ) > R0.

Синтез системы управления складывается из последовательного поиска областей Й0 и й*, причем если область й0 определяется системой управления и не зависит от величины и вида внешнего возмущения, то область й* зависит и от характера внешнего воздействия. В соответствии с этим решение задачи методами распознавания реализуется в два этапа:

I. Построение области параметров, удовлетворяющей условию устойчивости системы управления.

II. Построение области параметров, удовлетворяющей целевому условию управления.

Каждый этап складывается из решения трех задач:

1. Поиск точки с координатами значений параметров, удовлетворяющих целевому условию этапа.

2. Формирование обучающей выборки в пространстве параметров на базе найденной точки с применением гипотезы компактности.

3. Построение решающего правила, отвечающего заданной степени статистической достоверности.

На первом этапе в задаче 1 поиск w0 е й0 ведется путем решения задачи минимизации min Л(ш), где Л(ш) = max(Re Xi), Xi - корни

w i

характеристического полинома, причем процесс минимизации заканчивается, как только выполнится неравенство Л(ю) < 0. На втором этапе в

задаче 1 для выбора w* ей*с й0 используется решение задачи min F(w), где F(w) =

о>ей0

t>T 11

~x(t, w) - решение системы в

части управляемых переменных, отвечающее набору параметров ш. Процесс минимизации заканчивается при выполнении неравенства

Г(ш) < е .

В ходе решения задачи 2 формируется обучающая последовательность путем случайного

выбора параметров на основе равномерного распределения из некоторой области G, представляющей собой окрестность найденной точки. Требования к области G состоят в том, что она должна включать как точки со значениями параметров, удовлетворяющими цели этапа, так и точки, не удовлетворяющие поставленной цели. Это сделать не сложно простым расширением области G.

При построении решающих правил (задача 3) проводится оценка их надежности на независимой контрольной выборке. В случае несоответствия результата проверки заданной степени статистической достоверности P0 обучающая выборка пополняется новыми данными, и процесс обучения продолжается.

Примеры синтеза систем квазиинвариантного управления

Проиллюстрируем возможности применения методов распознавания на двух примерах: синтез квазиинвариантного управления гироплат-формой (пример взят из работы [9]) и гашение колебаний высотных сооружений [10]. При решении задач распознавания использовались методы, основанные на применении оптимальных тупиковых нечетких тестов [11]. Синдромаль-ные решающие правила представляют собой покрытие искомой области параметров множеством параллелепипедов, причем каждый синдром можно рассматривать как некоторое решение задачи. Выбор единственного решения определяется заданием критерия качества в виде меры робастной устойчивости для множества

параметров ñ*.

Управление гироплатформой. Рассматривается задача управления гироплатформой, описываемой уравнениями ' ql + 400q1 + 0.342q3 + 0.94q4 - 940q3 + 342q4 = 0, q2 + 400q2 + 0.866q3 + 0.5q4 - 500q3 + 866q4 = 0, 803q1 + 154q2 + 100q3 + 754q3 + 1130q4 = u1 + -718<q1 - 1070q2 + 200qq4 -867q3 -754q4 = u2 + §2, где q1, q2 - углы прецессии гироскопов, q3, q4-проекции абсолютной угловой скорости площадки на её оси, щ,u2 - вращательные моменты двигателей стабилизации (управления), ^j, - возмущающие моменты. Управляемые переменные: q1, q2 (n > m = 2 ).

Введением нового вектора переменных q = col(q1,...,q6), где q5 = q1 и q6 = q2, система принимает вид q = Gq + Hu + , где G, H, F -действительные матрицы размерностей 6 x 6 ,

6 х 2 и 6 х 2 . Управляющая функция и = = col(ul, и2) ищется в виде:

ЦМ = alql + a2q2 + a3q3 + a4q4 + a5q5 + q6,

цм = a6ql+а7 q2+a8qз+ад+а^5+q6, (ц1, ц2, а1,..., а10) - параметры искомой управляющей функции.

Требования к синтезируемому управлению: при нулевых начальных условиях е = 0.0001 и достоверность результатов Р > 0.99.

В результате последовательного решения двух задач распознавания получены область устойчивости й0 = 51 и область параметров синтезируемого квазиинвариантного управления й = 52 для возмущений вида Е>1(() = = 4108т5? + 565ео87?, £,2 (?) = 5658т5/ + 4108т7/ и заданной точности е :

-1.49517 < а1 < 1.5007 -7.09756 < а2 <-2.40291 1.05437 < а3 < 6.46303 1.22797 < а4 < 5.08305 -6.51364 < а5 < -3.82711 -5.55764 <а6 <-1.34704 0.17228 < а7 < 3.07653 -3.8029 < а8 <-0.830425 -1.31383 < а9 < 1.70776 - 5.2641 < а10 <-0.588345 0.000898011< Ц1 < 0.000917982 0.000405016 < Ц2 < 0.000423339 -0.738997 < а1 < 1.49579 "

-7.0884 < а2 <-3.09489 1.05928 < а3 < 5.73474 1.23225 < а4 < 4.37749 -6.51137 <а5 <-5.1191 -5.06619 <а6 <-1.36378 0.175958 < а7 < 2.72088 -3.79739 < а8 <-1.25109 -1.00515 < а9 < 1.69514 -3.68745 < а10 <-0.597218 0.00089807 < Ц1 < 0.000915319 0.000405028< ц2 < 0.0004222318 51 и 52 представляют собой 12-мерные синдромы (параллелепипеды), синдром 51 получен на обучающей выборке из 50000 объектов с достоверностью Р =0.9998, синдром 52 получен на обучающей выборке из 10000 объектов с

^2 =

хЮ5

t

Рис. 1. Ошибка управления

достоверностью Р =0.9988. Результаты проверены на независимых контрольных выборках таких же объёмов.

Результат управления представлен на рисунке 1.

Гашинии иолибаний высотных сооружиний. Рассмотрим задачу синтеза квазиинвариантных регуляторов для активного гашения колебаний высотного сооружения, описываемого математической моделью вида [10]:

Х1 = -2рХ1 - 2ах1 + РХ2 + ах2 + и1 -

xs = -2pxs - 2axs + P-^s-i + axs-1 + + Pxs+1 +axs+1 + us

x = -Px - ax + Px , + ax , + u - E,

n r n ni n-1 n-1 n

где xt - координата i-й материальной точки относительно основания, ut - управляющая сила, приложенная к i-й материальной точке, E -внешнее возмущение. Управляемыми являются переменные x = col(x1,...,xn), т.е. m = n , управляющая функция - u = col(u,,...,un).

Вычислительные эксперименты проведены для десятиэтажного здания (n = 10, размерность фазового пространства к = 20) со значениями параметров в описании объекта управления a = 1, P = 0.1. Путем введения нового вектора

переменных x = col( x1,..., x10, x11,..., x20), где x10+i = x¡, система приводится к каноническому виду линейной системы управления x = Gx +

+Ни + ^ , где О, Н, Р - действительные матрицы размерностей 20 х 20, 20 х10 и 20 х1. При выборе вида функции управления было принято решение проверить гипотезу об автономности управляемого многосвязного объекта, состоящую в предположении, что управление движением .-й материальной точки не зависит от движений всех остальных материальных точек, т.е. щи,- = Х1 + d¡x¡. В этом случае имеем 20-мерное пространство признаков й = {ц1,...,ц10, d1,..., d10)}. Построение области устойчивости й0 в

этом пространстве дало неожиданные результаты: очень большое пересечение областей изменения для параметров ц1,ц2,...,ц10 и для параметров d1,d2,...,d10. Это послужило поводом к проверке гипотезы об еще более простом виде управляющих функций, а именно: ци.. = Х1 + ск1, что отвечает двумерному пространству признаков: Й = {(ц, d)}.

При таком выборе вида управляющей функции и при условии, что система управления удовлетворяет требованию: с достоверностью Р0 = 0.99 при нулевых начальных условиях и

< 100 должна быть достигнута точность

управления е < 10-4, - были получены следующие результаты: при выборе в качестве области устойчивости й0 параллелепипеда (синдрома) " 596.966 < d < 644.445 " - 0.0006762 <ц<-0.00053

^ =

-21-

0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

200 100 3 0 -100 -200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Рис. 2. Ошибка управления, функция управления и внешнее возмущение

5 =

- £ 2 =

при этом е < 10

заданной точности и заданной достоверности отвечают параметры из области й*, описываемой параллелепипедом

"598.014 < 0 < 640.496 "

- 0.000616003 < ц < -0.000591252

При проверке полученных результатов рассматривались возмущения различного вида, в частности:

- £ = 10081§п(8т10?), при этом е = 10-4; |0, если ? < 0, [100, если ? > 0,

- £3 = 508тШ + 50^тШ| , при этом е < 10 , и др.

На рисунке 2 приведены графики внешнего возмущения, функции управления и ошибки управления для £ = ^ .

Отметим, что при отсутствии управляющего воздействия на г-ю материальную точку величина ошибки управления |х..(?)| резко возрастала, незначительно изменялись |х..-1(?)| и |х..+1(?)| , все остальные величины оставались неизменны.

Заключение

Предлагаемая работа имеет целью показать, что проблема синтеза систем квазиинвариантного управления может плодотворно рассматриваться как задача распознавания, и на этом пути возможно существенное продвижение в ее решении. При этом новый подход к синтезу систем управления не отвергает теорию квазиинвариантного управления, а основывается на ней.

Результаты проведенных экспериментов указывают на возможности использования методов интеллектуального анализа данных для изучения свойств и возможностей квазиинвариантного управления, для выбора вида управляющей функции, для синтеза робастных систем и систем управления с заданными свойствами, характеризующими и установившийся режим, и переходный процесс.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках базовой части.

Список литературы

1. Труды научного семинара «70 лет теории инвариантности». Москва, 2 июня 2008 г. / Под ред. С.Н. Васильева. М.: Изд-во ЛКИ, 2008.

2. Неймарк Ю.И., Теклина Л.Г. Постановка обобщенной задачи синтеза динамического объекта как задачи распознавания образов с активным экспериментом // В сб.: Математические методы распознавания образов. Доклады 15-й Всероссийской конференции ММРО-15. М.: МАКС Пресс, 2011. С. 200-202.

3. Теклина Л. Г., Котельников И. В. Синтез линейной системы квазиинвариантного управления минимальной сложности методами интеллектуального анализа данных // В сб.: Интеллектуализация обработки информации ИОИ-2012. Доклады 9-й Международной конференции. М.: Изд-во ТОРУС ПРЕСС, 2012. С. 152-155.

4. Неймарк Ю. И. О парадоксе и идеальном регуляторе Щипанова // Вестник Нижегородского уни-верститета им. Н.И. Лобачевского. 2006. Вып. 3(32). С. 83-88.

5. Неймарк Ю. И. О квазиинвариантном управлении // Дифференциальные уравнения. 2007. № 11. С. 1-6.

х 10

2

>- 0

100

-100

6. Неймарк Ю.И. Синтез и функциональные возможности квазиинвариантного управления // Автоматика и телемеханика. 2008. № 10. С. 48-56.

7. Проскурников А.В., Якубович В.А. Приближенное решение задачи об инвариантности системы управления // Доклады РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 750-754.

8. Проскурников А.В., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления по части выходных переменных // Доклады РАН. 2006. Т. 406. № 1. С. 30-34.

9. Хлебников М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: линейный динамический регулятор по выходу // Автоматика и телемеханика. 2011. № 4. C. 27-38.

10. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007.

11. Kotel'nikov I.V. A Syndrome Recognition Method Based on Optimal Irreducible Fuzzy Tests // Pattern Recognition and Image Analysis. 2001. V. 11. № 3. P. 553-559.

SYNTHESIS OF LINEAR MIMO SYSTEMS OF QUASI-INVARIANT CONTROL USING PATTERN RECOGNITION METHODS

I.V. Kotel'nikov, L. G. Teklina

A new approach is presented to the synthesis of MIMO systems of quasi-invariant control on the basis of the synthesis problem statement and solution as a pattern recognition problem. Possibilities and features of the new approach are illustrated by the examples of two mathematical models of the control systems.

Keywords: dynamic system, quasi-invariant control, pattern recognition, MIMO systems.

References

1. Trudy nauchnogo seminara «70 let teorii invari-antnosti». Moskva, 2 iyunya 2008 g. / Pod red. S.N. Va-sil'eva. M.: Izd-vo LKI, 2008.

2. Nejmark Yu.I., Teklina L.G. Postanovka obob-shchennoj zadachi sinteza dinamicheskogo ob"ekta kak zadachi raspoznavaniya obrazov s aktivnym ehksperi-mentom // V sb.: Matematicheskie metody raspoz-navaniya obrazov. Doklady 15-j Vserossijskoj konfer-encii MMRO-15. M.: MAKS Press, 2011. S. 200-202.

3. Teklina L.G., Kotel'nikov I.V. Sintez linejnoj sis-temy kvaziinvariantnogo upravleniya minimal'noj slozhnosti metodami intellektual'nogo analiza dannyh // V sb.: Intellektualizaciya obrabotki informacii I0I-2012. Doklady 9-j Mezhdunarodnoj konferencii. M.: Izd-vo TORUS PRESS, 2012. S. 152-155.

4. Nejmark Yu.I. O paradokse i ideal'nom regulyatore Shchipanova // Vestnik Nizhegorodskogo universtiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2006. Vyp. 3(32). S. 83-88.

5. Nejmark Yu.I. O kvaziinvariantnom upravlenii // Differencial'nye uravneniya. 2007. № 11. S. 1-6.

6. Nejmark Yu.I. Sintez i funkcional'nye vozmozhnosti kvaziinvariantnogo upravleniya // Avtomatika i telemekhanika. 2008. № 10. S. 48-56.

7. Proskurnikov A.V., Yakubovich V.A. Priblizhennoe reshenie zadachi ob invariantnosti sistemy upravleniya // Doklady RAN. 2003. T. 392. № 6. S. 750-754.

8. Proskurnikov A.V., Yakubovich V.A. Zadacha ob invariantnosti sistemy upravleniya po chasti vyhodnyh peremennyh // Doklady RAN. 2006. T. 406. № 1. S. 30-34.

9. Hlebnikov M.V. Podavlenie ogranichennyh vneshnih vozmushchenij : linejnyj dinamicheskij regulya-tor po vyhodu // Avtomatika i telemekhanika. 2011. № 4. C. 27-38.

10. Balandin D.V., Kogan M.M. Sintez zakonov upravleniya na osnove linejnyh matrichnyh neravenstv. M.: Fizmatlit, 2007.

11. Kotel'nikov I.V. A Syndrome Recognition Method Based on Optimal Irreducible Fuzzy Tests // Pattern Recognition and Image Analysis. 2001. V. 11. № 3. P. 553-559.