Динамический режим зажигания энергонасыщенного материала при граничных условиях третьего рода

Р. Ш. Гайнутдинов

ДИНАМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ЗАЖИГАНИЯ ЭНЕРГОНАСЫЩЕННОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ТРЕТЬЕГО РОДА

Ключевые слова: зажигание, температурное поле, температура, уравнение теплопроводности, граничные условия, коэффициент теплообмена, время зажигания, плотность теплового потока, коэффициент теплопроводности, теплоемкость,

плотность материала.

Аналитически решена динамическая задача зажигания энергонасыщенного материала конвективным тепловым потоком, когда коэффициент теплообмен а(t) и температура среды Tc(t) являются степенной функцией времени. Исследованы критические условия теплового зажигания вещества в зависимости от температуры окружающей среды и коэффициента теплообмена. Рассмотрены частные случаи зажигания энергонасыщенного материала при динамических режимах. Предложен инженерный метод расчета основных параметров теплового зажигания материала.

Keywords: ignition, a temperature field, temperature, the equation of heat conductivity, boundary conditions, factor of heat exchange, time of ignition, density of a thermal stream, factor of heat conductivity, a thermal capacity, density of a material.

The dynamic problem of ignition of an explosive material is analytically solved by a thermal stream when factor heat exchange and (t) and temperature of the environment Tc (t) are sedate function of time. Critical conditions of thermal ignition of substance depending on an ambient temperature and factor of heat exchange are investigated. Special cases of ignition of an explosive material are considered at dynamic modes. The engineering method of calculation of key parameters of thermal ignition of a material is offered.

Введение

Исследование процессов зажигания конденсированных энергонасыщенных материалов (ЭНМ) тепловыми источниками имеет практическое значение, поскольку результаты этих исследований применяются в артиллерийской и ракетной технике, при решении задач технологической безопасности. Зажигание конденсированного вещества обычно осуществляется достаточно мощными внешними источниками тепла. Процесс зажигания происходит в двух режимах: нединамическом и динамическом. В первом случае параметры, входящие в граничные условия, такие, как температура на поверхности вещества, температура поджигающей среды, плотность теплового потока, коэффициент теплообмена, явно от времени не зависят. В динамических режимах зажигания эти параметры являются функциями времени. Некоторые динамические режимы зажигания при граничных условиях первого и второго рода исследованы в работах [1-5] и др. Динамические режимы зажигания вещества при граничных условиях третьего рода

изучены недостаточно. В связи с этим в данной работе исследуется зажигание реагирующего вещества при граничных условиях третьего рода, когда коэффициент теплообмена и температура среды изменяются во времени по степенному закону. Постановка задачи. Пусть реагирующее твердое вещество в форме полуограниченного тела с открытой поверхности нагревается внешним конвективным тепловым потоком, где коэффициент теплообмена и температура среды зависят от времени. В процессе нагрева вещества внешним тепловым источником в его конденсированной фазе развивается экзотермическая химическая реакция - в веществе появляется внутренний химический источник тепла. В работе рассматривается химическая реакция нулевого порядка, скорость которой определяется уравнением Аррениуса (Arrenius). В рамках тепловой теории зажигания предполагается, что основные процессы, приводящие к зажиганию, развиваются в конденсированной фазе.

Цель работы - исследовать математическую модель задачи зажигания при граничных условиях третьего рода, когда коэффициент теплообмена и температура среды во времени изменяются по степенному закону, и получить инженерные формулы для вычисления основных параметров зажигания.

В соответствии с теорией исследуется одномерная тепловая модель зажигания конденсированного химического вещества в форме полуограниченного тела.

При сделанных предположениях математическая модель задачи зажигания предста-вляется уравнением теплопроводности

( E ^

, Q v k 0 exp----------

dT

dt dx 2 cp ,

при краевых условиях

а о t m

dx

= 0

dx

T

В уравнении (2) a(t) = a0tm и Tc(t) = T0 + Tmtn. Приведенная математическая модель точного аналитического решения не имеет. Для ее решения могут быть использованы численные расчеты на ЭВМ или приближенно-аналитические методы. Для инженерной практики большей привлекательностью обладают приближенно-аналитические методы. В связи с этим для аналитического решения системы уравнений (1)-(4) в данной работе используется приближенный метод, развитый в работах [1- 3, 6,7]. Суть метода основана на допущении о том, что зажигание вещества происходит тогда, когда скорость тепловыделения за счет химической реакции в конденсированной фазе становится больше скорости теплоприхода от внешнего источника. При этом за критическое условие зажигания принимается равенство этих величин. На основе приближенного метода из уравнения теплопроводности (1) исключается химический тепловой источник. Тогда математическая модель задачи зажигания вещества в приближенной постановке имеет уравнение теплопроводности для плоского инертного тела

ат а2т

— = а—т,

зі ах2

при краевых условиях (2)-(4).

Для учета влияния химического источника тепла на процесс зажигания вводится условие зажигания в виде

а0 tm ( To + Тmtn - T(0, t)) = 4,2

X Qv k0 exp--------------------- —— .

v 0 ^ RT(0,t)J E w

Значение температуры на поверхности вещества T(0,t), входящее в условие зажигания, определяется из решения системы уравнений (2)-(5). Удобнее решать эту систему, если начальное условие равняется нулю. С этой целью вводится разностная температура U = = T— T0 и математическая модель приводится к виду

au a 2 и

— = a----г,

at ax2

а0 tm

ax

= 0

ax

U

Точное решение математической модели (7)-(10) для произвольной зависимости a(t) получить не удается. Разработаны лишь различные приближенные методы в работах [8 - 13] для определения температурного поля в общей постановке. Однако полученные в этих работах результаты представляют определенные трудности для инженерных

расчетов. В связи с этим для решения поставленной задачи нами предлагается относительно простой метод, развитый в работе [14]. Согласно этому методу граничное условие (8) в первом приближении представляется в виде

а 0Tm t m+n =-хММ

ax

Решив систему уравнений (7), (11), (9), (10) операционным методом Лапласа получим следующее выражение для температуры на поверхности вещества,

соответствующее первому приближению

U,

1 0 m X n

Подставив значение (12) в (8), будем иметь второе приближение для граничного условия в виде

а0Tm t m+n - а02 Tm — n

0 m 0 m X n(m + n + 0,5) ax v 7

Решив математическую модель при граничном условии (13), получим значение температуры на поверхности для второго приближения

и

2

Вводя последующие приближения в граничное условие (8), можно получить следующую формулу для определения температуры на поверхности тела

^

_. а 0 1 т 4аХ П

где I/ =--------------критерии Тихонова; к 1 =------------------; к 2 = к 1---------------;

X П

к з _ к 2 П(3т + п +1) ; к 4 _ к з П(4т + п +15); к5 _ к 4 П(5т + п + 2) ;

П

к к П

к 6 _ к 5 —------------——; к 7 _ к 6-

П

Представляет интерес сравнить результаты расчетов, полученные из формулы (15), с литературными данными. Для частных случаев при т = 0 и п = 0, 0,5 и 1,0 для температуры на поверхности можно получить точные решения. Выяснено, что результаты точного и приближенного методов практически совпадают. Это обстоятельство дает основание считать, что и при других значениях т и п из уравнения (15) получатся достоверные результаты. Уравнение (15) представляет собой знакопеременный степенной ряд. Поэтому для получения более точных результатов при значениях Т/^1 количество членов ряда необходимо увеличивать. После того как получили выражение (15) для определения температуры на поверхности тела, можно вычислить основные параметры зажигания из (6) методом итерации. Значения £ и Т(0,(), удовлетворяющие уравнению (6), рассматриваются как время задержки зажигания и температура зажигания Т^ Запас тепла в прогретом слое, входящий в критерий зажигания, определяется интегралом

0з = '|#)Л = /а0 1 т

0 0

Подставляя значение Ц(0^) из уравнения (15) в (18) и проведения элементарных преобразований, получим следующее выражение для интегрирования

Оз =а0Тт(|(1 р - к 1 Т1 1 т+05+р + к 2 Т^ 1 2т+1+р- к 3 Т^ 1 3т+15+р + к 4 Т/ 1 4т+2+р

0

- к 5 Т15 1 5т+25+р + к 6 Т16 1 6т+3+р- к 7 Т17 1 7т+35+р)Ь1

После интегрирования выражения (19), получим

р+1

1

Ті к 1

Ті 2 к

Ті 3 к

Ті 4 к

р +1 т +1.5 + р 2т + 2 + р 3т + 2.5 + р 4т + 3 + р

Ті 5 к

+ -

Ті 6 к

Т і7 к 7

5т + 3.5 + р 6т + 4 + р 7т + 4.5 + р

+...

В уравнении (20) Значения и Т(0Д2) определяются из уравнения (6).

2

3

4

5

6

Пример. Для иллюстрации приведем численный пример. Необходимо определить основные параметры зажигания энергонасыщенного материала при следующих исходных данных: Т0 = 300, К; т _ 1; п _1; Л = 0.1254, Вт/(м-К); с _ 1254, Дж/(кг-К)| ; 0¥к0 _ 2.61028, Вт/м3; ЕМ _ 24250, К; р _ 1500, кг/м3; а0 _ 20, Вт/(м2-с1+ш ; Тт _ 2000, К/сп .

Значения теплофизических и кинетических параметров энергонасыщенного материала взяты из работы [4]. Результаты расчетов следующие: время задержки зажигания = 1,32с, температура зажигания Т(0Д2) = 622 К и запас тепла в прогретом слое 0г =30666 Дж/м2.

Заключение

Таким образом, предлагается приближенный аналитический метод решения задачи теплового зажигания конденсированного химического вещества при граничных условиях третьего рода, когда коэффициент теплообмена и температура среды являются степенной функцией времени. Рассмотрен тепловой механизм зажигания конденсированного вещества, в котором основная роль отводится химическим реакциям в конденсированной фазе. Показано, что в литературе динамические режимы зажигания при граничных условиях третьего рода изучены недостаточно. Предложены инженерные формулы для определения основных характеристик зажигания, как температура зажигания, время задержки зажигания, запас тепла в прогретом слое. Приведен численный пример.

Обозначения

а=Я/(о-р) - коэффициент температуропроводности, м2/с; с - коэффициент теплоемкости, Дж/(кгК); Е- энергия активации, Дж/моль; е^(х) - функция ошибок Гаусса; е^с(х) =1 - е^(х); Н = а/X; к0 -предэкспоненциальный множитель, с-1 ; т и п - постоянные коэф-фициенты; 0з - запас тепла в прогретом слое, Дж/м2; - тепловой эффект реакции на единицу объема, Дж/м3; д - плотность

теплового потока, Вт/(м2К); - универсальная газовая постоянная, Дж/(мольК); 1 - время, с; 4

- время задержки зажигания, С; Т - температура материала, К; Тс@) - переменная температура среды, К; Т(0,Т) - температура на поверхности материала, К; Т 0 - начальная температура материала, К; и с($ = Тс@) — Т0, К; и( 0, $ = Т( 0, $ — Т0, К; Т(0,Ъ) - температура зажигания, К;

Т _ а*<[м /Л - критерий Тихонова; X - координата, м; а - коэффициент теплообмена, Вт/(м2К); а0

- коэффициент; X - коэффициент теплопроводности, Вт / (м . К); р - плотность материала, кг/м 3; П(х) - П-функция Гаусса. Индексы: с - среда; V- объем; 1 - зажигание; з - запас.

Литература

1. Аверсон, А.Э. Динамические режимы зажигания /А.Э.Аверсон,

В. В. Барзыкин, А. Г. Мержанов // ФГВ. 1968. №1. С. 20 - 32.

2. Розенбанд, В. И. О некоторых закономерностях динамических режимов зажигания / В.И. Розенбанд, А. Э. Аверсон, В. В. Барзыкин, А. Г. Мержанов // ФГВ. 1968. №4. С. 494 - 500.

3. Аверсон, А. Э. Теория зажигания / А. Э. Аверсон // - В кн: Тепломассообмен в процессе горения. Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1980. С. 16 - 35.

4. Вилюнов, В. Н. Теория зажигания конденсированных веществ / В.Н. Вилюнов// Новосибирск: Наука, 1980.

5. Любченко, И. С. Тепловая теория зажигания реагирующих конденсированных веществ / И. С. Любченко, Г.Н. Марченко // Успехи химии. 1987. Т. ЬУ1, вып. 2. С. 216 - 230.

6. Аверсон, А. Э. К тепловой теории зажигания конденсированных веществ /А. Э. Аверсон, В.В. Барзыкин, А.Г. Мержанов // Докл. АН СССР. 1966. Т. 169, №1. С. 158 - 161.

7. Лисицкий, В. И. О зажигании конденсированных веществ потоком горячего газа / В.И. Лисицкий, А. Г. Мержанов // Науч.-техн. пробл. горения и взрыва. 1965. № 2. С. 62 - 65.

8. Розеншток, Ю. Л. Температурное поле неограниченной пластины в условиях зависимости температуры внешней среды и коэффициента теплообмена от времени / Ю. Л. Розеншток // ИФЖ. 1963. Т.6, №3. С. 45-50.

9. Иванов, В. В. К расчету температурного поля в твердых телах при переменном коэффициенте теплообмена / В. В. Иванов, В. В. Саломатов // ИФЖ. 1965. Т.9, №1. С. 83 - 85.

10. Видин, Ю. В. Исследование несимметричного нагрева пластины при переменных коэффициентах теплообмена / Ю. В. Видин // Изв.АН СССР, ОТН. 1967. №3. С. 188 - 192.

11. Ильченко, О. Т. Нестационарное температурное поле твердого тела при несимметричных и переменных во времени условиях теплообмена / О. Т. Ильченко // ИФЖ. 1969. Т.17, №1. С. 118126

12. Козлов, В. Н. Решение задач теплопроводности при переменном коэффициенте теплообмена / В. Н. Козлов // ИФЖ. 1970. Т.18, №1. С. 133-138.

13. Федоткин, И. М. Применение интегральных уравнений к задачам теплопроводности при переменном коэффициенте теплообмена / И. М.Федоткин, А. М. Айзен, И. А. Голощук // ИФЖ-1975. Т.28, №3.- С. 528-532.

14. Гайнутдинов, Р. Ш. Температурное поле полуограниченного тела в условиях зависимости коэффициента теплообмена и температуры среды от времени / Р. Ш. Гайнутдинов, Л.Н. Доронина // ИФЖ. 1982. Т.42, №5. С.844.

15. Лыков, А. В. Теория теплопроводности/ А. В. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967.

© Р. Ш. Гайнутдинов - д-р техн. наук, проф. каф. оборудования химических заводов КГТУ, Grafail@mail.ru.