Трехпараметрическая бифуркационная задача о прогибе удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа

МАТЕМАТИКА

УДК 517.988.67

Т. Е. Бадокина

ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИОННАЯ ЗАДАЧА О ПРОГИБЕ УДЛИНЕННОЙ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

Аннотация.

Актуальность и цели. Задачи аэроупругости, являющиеся по существу бифуркационными, начали изучаться в конце 30-х гг. прошлого века, однако для их исследования методы теории бифуркаций не применялись. В работе предложен прием, позволяющий исследовать дивергенцию удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа с соответствующим нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка, зависящим от бифуркационных в точной постановке. В работе исследуется краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающая статическую потерю устойчивости при обтекании упругой пластины сверхзвуковым потоком газа. Предлагается алгоритм, позволяющий исследовать в точной постановке задачу о дивергенции тонкой гибкой упруго опертой удлиненной пластины, сжимаемой (растягиваемой) внешними краевыми усилиями, подверженной малой нормальной нагрузке. Зависимость дифференциального уравнения от бифуркационных параметров выражается через корни соответствующего характеристического уравнения линеаризованной задачи, которые вычисляются с любой степенью точности. Такое представление позволяет найти критические бифуркационные поверхности и кривые, в окрестности точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам отклонения бифуркационных параметров от их критических значений. Таким образом, мы определяем соответствующие малые по норме функциональных пространств решения, в отличие от многих работ, дающих либо качественную картину решений, либо применяющих сеточные методы.

Материалы и методы. Метод Ляпунова - Шмидта теории ветвления решений нелинейных уравнений впервые применен к задачам о дивергенции удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа. Фредгольмовость линеаризации доказывается построением функций Грина, которое для задач такого типа выполнено впервые.

Результаты. Исследована задача о дивергенции удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа, описываемая нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка, зависящим от бифуркационных параметров. Определены критические многообразия, в окрестностях точек которых стоится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам отклонения бифуркационных параметров от их критических значений рядов. Фредгольмовость линеаризованной задачи доказана построением функций Грина.

Выводы. Развиваемые в работе методы позволяют вычислить точную асимптотику ответвляющихся стационарных или осцилляционных решений

в моделях аэроупругости в виде сходящихся рядов по малым отклонениям от бифуркационных параметров.

Ключевые слова: прогиб пластины, аэроупругость, бифуркация, уравнение разветвления

T. E. Badokina

THREE-PARAMETER BIFURCATION PROBLEM OF ELONGATED PLATE IN A SUPERSONIC GAS FLOW

Abstract.

Background. Aeroelasticity problems that are essentially the bifurcation ones, began to be studied in the late 30-ies of the last century, but for their investigation the methods of the bifurcation theory were not applied. The author proposes a technique that allows to explore divergence of an elongated plate in a supersonic gas flow with the corresponding nonlinear ODE of the fourth order, depending on the bifurcation parameters in the exact formulation. In this paper the boundary value problem for a fourth-order differential equation describing the static buckling of the flow around an elastic plate supersonic flow is investigated. The author also proposes an algorithm that allows to explore in the exact formulation the problem of the divergence of a thin flexible elongated elastic simply supported plate, compressed (stretched) by external boundary strains under a low normal load. The dependence of the differential equation on the bifurcation parameters is expressed in terms of the roots of the characteristic equation of the linearized problem, which can be calculated with any degree of accuracy. This representation allows to find the critical bifurcation surfaces and curves in the points’ area of which there is developed the asymptotics of branching solutions in the form of converging in the small parameters of the bifurcation parameter deviations from their critical values. Thus, the corresponding small-norm solutions of functional spaces are determined in contrast to many studies that give a qualitative picture of either making or applying the element methods.

Materials and methods. The Lyapunov-Schmidt method of the branching theory of nonlinear equations is for the first time applied to problems of divergence of an elongated plate in a supersonic gas flow. Fredholmness of linearization is proved by constructing the Green's function, which is performed for the first time for this type of problems.

Results. The problem of divergence of an elongated plate in a supersonic gas flow, described by a nonlinear ODE of the fourth order, depending on the bifurcation parameters, is investigated. The critical manifolds are determined. In the points’ area thereof the asymptotics of branching solutions in the form of converging in the small parameters of the bifurcation parameter deviations from their critical values is constructed. The Fredholmness of the linearized problem is proved by constructing the Green's function.

Conclusions. The methods, developed in the article, allow to calculate the exact asymptotics of branching stationary or oscillatory solutions in models of aeroelastic-ity as convergent series in small deviations from the bifurcation parameters.

Key words: buckling, aeroelasticity, bifurcation, branching equation.

Введение

Многие задачи аэроупругости носят бифуркационный характер, когда при переходе определяющих параметров через их критические значения меняется картина решения. Если от тривиального решения ответвляются стати-

ческие, то говорят о дивергенции (прогибе) пластин и оболочек. Имеющиеся решения такого типа задач либо численные, либо носят качественный характер, поэтому актуальным является аналитическое решение задач аэроупругости в точной постановке.

Стационарные бифуркационные задачи аэроупругости для удлиненной пластины [1, 2], описываемые краевыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) четвертого порядка, содержат сложную зависимость уравнений от бифуркационных параметров. Для определения их критических значений предлагается прием выражения бифуркационных параметров через корни характеристического уравнения линеаризации, которые считаются известными, поскольку могут быть определены с любой степенью точности. Это дает точную постановку бифуркационной задачи. Равенство нулю определителя матрицы граничных условий определяет бифуркационные многообразия, кривые или поверхности при наличии более двух бифуркационных параметров, в окрестности точек которых строится асимптотика малых по норме соответствующих функциональных пространств разветвляющихся решений.

1. Постановка задачи

В безразмерных переменных задачах о дивергенции упруго опертой удлиненной пластины, сжимаемой/растягиваемой внешними краевыми усилиями, подверженной малой нормальной нагрузке £3 • q (x), описывается ОДУ четвертого порядка:

X

w

,/2\3/2

1

= kK (w', M, к) + Qw''j

- Tw" + во w + £^q( x) =

1 + w'

/2

1/2

dx .

Общий подход к решению такого типа задач рассматривается на примере граничных условий - левый край жестко закреплен, правый свободен:

^(0) = ^'(0) = 0, w"(0) = w(3)(0) = 0 .

Здесь w = w(x) - прогиб пластины, 0 < Xl < d, —^ < уі < ^ , x =

x± d ’

0 < x < 1 - прямоугольные координаты;

K (w,, M, к) = 1-при одностороннем обтекании;

K ^', M, к) =

і к-1 Ъ/Г , 1 +----Mw

2к

2к

к-1

, к-1 , ^ . к-1 , к-1 , ^ .

1 + Mw 1 Mw

_ 2 _ _ 2 _

2к

к-1

2

л 2 И Т qd „ 1

при двустороннем обтекании; % =-----——, Т = —, У =--------------— и

12(1 -ц2)—2 ЕИ 1 -ц2

к = Р0— (— - ширина пластины, И - ее толщина, Е - модуль Юнга, ц - коэф-

ЕЙ

и

фициент Пуассона); М =— - число Маха (и - скорость потока газа, -

скорость звука в невозмущенном газе); к - показатель политропы; во - коэффициент жесткости основания; £зq( х) - малая нормальная нагрузка. Интегральное слагаемое учитывает дополнительное усилие в срединной плоскости при прогибе.

Для вычисления малых изгибных форм в окрестностях критических значений бифуркационных параметров (число Маха М = Мд +£1, сжимающее (растягивающее) усилие Т = Т0 +£2, £зq( х) - малая нормальная нагрузка) применяются методы теории бифуркаций [3]. Однако следует отметить, что наличие малой нормальной нагрузки не характерно для задач аэроупругости.

В данной статье метод Ляпунова - Шмидта применяется к нелинейной задаче (1)-(2) в окрестностях критических значений параметров Мо, Тд и £3 = 0. При исследовании уравнения разветвления (УР) Ляпунова - Шмидта в случае наличия малой нормальной нагрузки используются методы теории катастроф [3, § 35]. Фредгольмовость линеаризованной задача доказывается построением соответствующей функции Грина, выполненным по стандартной схеме монографии [4], где возникающие трудности преодолеваются приемом, выражающим бифуркационные параметры через корни характеристического уравнения. В известном справочнике по функциям Грина для задач механики [5] отмечено, что для задач аэроупругости они пока не построены.

В известных нам работах к бифуркационным задачам аэроупругости, как правило, применяется метод Галеркина. Прогиб удлиненной пластины при учете только одного бифуркационного параметра - числа Маха - рассматривался в работах П. А. Вельмисова и Б. В. Логинова [6], П. А. Вельмисова и С. В. Киреева [7], в которых применялся метод групповых преобразований, позволяющий сводить двухточечные граничные задачи для ОДУ четвертого порядка к задаче Коши. В работе [8] исследована наиболее простая модельная бифуркационная задача для удлиненной пластины с двумя бифуркационными параметрами (сжатие/растяжение и число Маха) при использовании стандартных методов теории ветвления решений нелинейных уравнений [3].

2. Вычисление разветвляющихся решений

Разложение нелинейности в ряды по степеням малого по норме решения ^ в окрестности критических значений бифуркационных параметров дает линеаризованную двухточечную граничную задачу на собственные значения

%2^

с граничными условиями (2), которой отвечает характеристическое уравнение

Х2^4 - TIі +с^ + р0=0.

Здесь множитель 1(2) в параметре а соответствует одно(дву-)-сторон-нему обтеканию пластины сверхзвуковым потоком газа.

Соответствующая сопряженная линеаризованная задача строится стандартными методами [4, 9] и имеет вид

При исследовании алгебраического уравнения (4) с тремя параметрами ^2, и ^2 использован метод Штурма разделения корней алгебраическо-

го уравнения. Установлено, что уравнение (4) может иметь корни одного из следующих видов:

A. -у±б! , У±б2/ ( У, 61,62 > о, 62 >61);

B. -а1, -а2, у±6/ (а1,а2,у,6>0);

C. -а±рь а±р2(а,рьР2 >0, Р2 <Р1 <а);

А-В. -а, -а, а±6/ (а,6> 0); В-С. -а, -2у + а, у, у (а, у> 0, у<а<2у).

Вид корней характеристического уравнения выбран с учетом равенства нуля суммы корней таким образом, что в невырожденных случаях все искомые коэффициенты и функции являются функциями трех аргументов, в вырожденных случаях - двух аргументов.

Замечание 1. Корни характеристического уравнения соответствующей сопряженной задачи совпадают по модулю с корнями характеристического уравнения прямой задачи, и в вещественном случае отличаются от них только знаком.

Асимптотика разветвляющихся решений по малым параметрам £1, £2, £3 в точке бифуркации (Тд,Мо, 0) вычисляется для случаев существования бифуркационных кривых.

Линеаризованная в точке бифуркации задача (1)-(2) определяет фред-

гольмов оператор В: С4+а [0,1] ^ Са [0,1] с одномерным подпространством нулей N (В) = (ф( х)} и дефектным подпространством N *(В) = {у(х)}.

Применение к уравнению (1) в разложении аналитической нелинейности

%2ю(4) -TЫ - сю' + Р0ю =0;

с граничными условиями:

ю(0) = ю' (0) = 0,

Х2Ы (1) - T ю(1) = 0, Х2ю(3)(1) -TЫ(1) -сю(1) = 0 .

Х Х Х

+ 3w ''3 + 9w' w'' w''' I +

У Г 2

+£^''-1(2)кк^'£2 -£э#(х) + —w'' I w' —х -

2 •*

0

к к(к +1) М02w + к к(к +') М0£2 w + к ** +') М03w '3

к к( к+1) М0У '3 +"'

6 0

(верхняя (нижняя) строка отвечает одностороннему (двустороннему) обтеканию пластины потоком газа) регуляризатора Шмидта [3] представляет его в виде системы Bw = Я(w, £) + ^г, ^-(w, у) = 0. В аналитическом случае решение первого уравнения представляется в виде ряда

w = ^000^ + ^100^ + w0010£2 + ^’0001£3 + ^ .

Подстановка его во второе уравнение системы дает УР Шмидта ¿(^, £) = ^-( w(£), у^ = 0, эквивалентное уравнению (1) в том смысле, что оно имеет то же количество малых решений, представимых в виде сходящихся рядов по тем же дробным степеням малых параметров £1, £2, £3 .

При одностороннем обтекании главная часть УР, определяемая методом диаграммы Ньютона [3], имеет вид

£) = ¿2000^ + ¿0001£3 + ¿1001^£3 + ¿1100^£1 + ¿1010^£2 + "• = ^

¿2000 = к к( К +1) Мо( ф'2, у) , ¿0001 = -( ^ V) ,

¿1100 ^

( Г = В-1, В-1 = В + (•, у) 2,

где у и 2 - биортогональные системы к фе N(В) и Vе N *(В) соответ-

1

ственно [3]). Здесь и далее (а,Ь) = |а(х)Ь(х)—х.

0

При ¿2000 Ф 0 замена Л = ^ + ¿1100£1 + ¿010£2 + ¿1001£3 сводит УР

¿2000

к виду

2

П +а = 0,

где

2

а = ¿0001£3 + ¿0101£1 + ¿0011е2 + ¿0002£3 £

а =---------------------- -----------------------------£3 —

¿2000 ^¿2000

№ 2 (30), 2014 Физико-математические науки. Математика

В окрестности точки ветвления О = 0, £1 = 0, £2 = 0, £3 = 0 имеем

П=±л/-а .

Возвращаясь к ^, £, £2, £3 , находим

w( x) =

L1100£1 + L1010£2 + L1001£3 ±

L

2000

2 ^

L0001e3 + (L0101e1 + L0011e2)e3 + L0002e3

4L2000 1/2 Л

L2000

Замечание 2. При £3 = 0 и ¿2000 Ф 0 решение задачи представляется рядом, сходящимся в малой окрестности £1 = 0, £2 = 0 :

w( х) =-А10£1+ ¿101£ 2 ф( х) + 0 (|£1|,|£2|).

¿200

Следовательно, имеет место транскритическая бифуркация.

При двустороннем обтекании пластины сверхзвуковым потоком газа главная часть УР имеет вид

¿

где

¿3000 = кК(К +1) М0 (ф'3, V) -

-х 2(3 ф'2ф(4)+3ф'3 + 9Ф»", ^ --2^ ф'{ ф'2—^ V;

¿2000 = 0, ¿0001 =-(^, ¿1001 = 0,

¿1100 = -('ЧЛ V) , ¿1010 =а0 (ф,, V) , а0 = 2ккМ0.

При использовании замен

а = ¿1100£1 + ¿1010£2 и в= (¿0101£1 + ¿0011£2)£3 + ¿0001£ 3 ¿3000 ¿3000

при ¿3000 Ф 0 уравнение (6) перепишется в виде

¿

2

При а> 0 уравнение не имеет вырождения, так как ¿ (О) = 3^ +а > 0 .

23

Поэтому будем считать, что а = —ц и в = и , и уравнение (7) сводится к О3-Оц2 +и3 =0.

Дискриминантная кривая определяется решением системы

|^3 -Оц2 +и3 =0, _ 3О2-ц2 = 0.

Решение системы имеет вид ц = ±^3^ и и = 21/3О, т.е. и = ±Вц

о1/3

B = -

1/2

< 1

Плоскость параметров (ц, и) разбивается на две области Б і и Б 2. В области Б і уравнение (7) имеет три решения, в области Б 2 - одно решение. На границе областей - прямых и = +-Вц - два решения (рис. 1).

Рассмотрим область Б і, в которой

< 1. Считая 0, разделим

3 ^ и

уравнение (7) на ц и введем новые переменные П = _ и ^ = —. Уравнение

Ц

Ц

(7) перепишется в виде

п3 -п+А3 =0 .

По теореме об обратной функции, п является аналитической функцией от X3 . Это уравнение имеет три решения, соответствующих значению Х = 0 :

п = 0, п = 1, п=-1.

Применение метода диаграмм Ньютона определяет асимпотику этих решений при малых значениях X :

П = Х3 +X9 + 3Х15 +12Х21 + O

П = 1 -1 А3-3 А6 +O

А

П = -1 +1 А3-3 А6 +O

А6

Возвращаясь к переменным О, ц и и, получаем разложение функций в ряд Тейлора - Лорана - Пюизе внутри некоторого угла с проколотой вершиной:

и „9 ..15 ..21

(. и и ..и

°= —+— + 3—+12 -21 + "., ц3 ц9 ц ц21

или

^=е+Ё.+3 Pi+1^_eL+

? а а4 а7 а10 ’

^ = Ц-

и3 3и6

2ц2 8ц5

+ ” ,

или

2а 8

5/2

+ ”..

£=-Ц-

и3 3и6

- + -

2ц2 8ц5

+ ”

или

? = _(_а)|/2 +JL 3в

- + ”.

2а 8(-а)5/2

Аналогично для нахождения асимптотики решения (7) в области Б 2,

где

3 О ц

< 1. Разделим уравнение на и и введем замену п =_ и Х = — . Урав-

и и

нение (7) перепишется в виде

П3-пА +1 = 0.

Это уравнение имеет одно решение, соответствующее значению Х = 0: П=—1. При достаточно малых значениях решение имеет асимптотику:

П = -1 -1 X2 +—X6 + ...

3 81

или

£ = -и-

Ц

Ц_________

3и2 81и4

+ ... .

или

3/2 3

р=_в1/3 + (-а) а +

? Р 3в2/3 81в5/3

На прямых и = ±Вц, разделяющих области Б1 и Б 2, уравнение (7) имеет вид

О3-Оц2 ±В3ц3 = 0.

О

Используя замену п = _, получаем два уравнения ц

п3 - п±В3 = 0,

(л/3 2л/3 1 ( л/э 2л/3 ^

каждое из которых имеет два решения —,---------------------и

3 3

т.е.

л . \/3 & , 2л/3 ^ 1/2

О = ±— ц и ь = ±_~ ц, если (-а) .

Замечание 3. При £3 = 0 и ¿3000 Ф 0 асимптотика сходящегося ряда-решения по полуцелым степеням £1 = 0, £2 = 0 представляется формулой

w( x) = ±

L1100£1 + L1010£2

L

3000

2 ф(x) + O(\ £1 |,| £2 |):

где знаки £1 и £2 определяются условием неотрицательности подкоренного выражения. Следовательно, при ¿3000 Ф 0 и отсутствии малой нормальной нагрузки имеет место бифуркация типа «вилки».

Заключение. При наличии малой нормальной нагрузки функции ¿(^,£) и при одностороннем, и при двустороннем обтекании не имеют в (0,0,0,0) особой точки, так как ¿(0,0,0,0) = 0, но «¿(0,0,0,0) Ф 0, поскольку

ЭДО, £) п л.

--------Ф 0, поэтому катастрофа отсутствует. В каждом отдельном случае по

Э£3

выполненному исследованию УР и найденным его решениям нетрудно выписать решение исходной нелинейной бифуркационной задачи.

3. Исследование спектральной задачи

Для возможности дивергенции следует определить случаи, когда определитель матрицы граничных условий обращается в ноль.

А. Характеристическое уравнение имеет две пары комплексносопряженных корней (-у±61/, у±62?) и общее решение линеаризованной задачи имеет вид

М/(х) = е-Х (1 С08(6х) + С2 8ш(6х) ) + е+Х (3 С08(6х) + С4 8ш(6х) ) .

1

Множество точек бифуркации определяется равенством нулю определителя А матрицы граничных условий:

Л = 5152 (у2 + 52)е 2y + (2 +б2)2y

+ sin 5-

у2-52 )4 +

+(3у4 -б^4 + 6у2б2 )б2 + 3у452 + у252 - 4у6) sin 52 +

+2У52 (б4 +(2 + 3б2 )б2 -Y2б2 - 4У4 )cos б2

+

+261 cos 61

Y (( - 352) б2 + 4у4 - б;4 - у2б2) sin 62

+

+62 ((3Y2 - б2) б12 + 7у4 + 3у2б2

Численный эксперимент на основе предложенной компьютерной программы показывает, что на всей области определения

й = {(7,61,62)1 62 >61,у > 0,61 > 0,62 > 0}

определитель А> 0, т.е. прогиб отсутствует.

B. Корнями характеристического уравнения являются два отрицательных и пара комплексно-сопряженных чисел. С учетом равенства нулю суммы корней вводится замена а1 =у + а, а1 =у-а, ае (0,у). Тогда решению

(х) = С1е-(^+а)х + С2е-(^-а)х + е^х (3 С08(6х) + С4 81и(6х)) отвечает определи-

w

тель матрицы граничных условий:

2

Л = 2аб

(2-у2) e 2y + (2 + 52) е2т

+ (а + у)2е ах

х

(4у4 -у2(2 + 3б2 ) + 4уаб2 +а2б2 -б4)sin5 +

+2б( 4у3 - ау2 - у(а2 - б2) + аб2 )cos б

- (а-у)2еа

4у4 - у2 (а2 + 3б2) -

-4уаб2 +а2б2 - б4 jsin 5 + 2б(4у3 - ау2 -у(2 - б2 j-аб2)cos б

> 0.

Лемма 1. На множестве П = {(а,у,6)| ае (0,у),у> 0,6> 0} прогиб отсутствует.

Рассмотрим определитель

Л = 2аб

ос2 - у2) е 2Y + (у2 + 52) е2Y

+

+(а + у)2е а[Аsin5 + Bcos5] -(а-у)2еа[Сsin5 + Dcos5].

причем

А2 + B2 = C2 + D2 = ( +52) (б4 + 252(4у2 +а2) +

+(4у2 -а2) <( +52) (б2 + 4у2 + а2) ,

тогда

Л > 2аб

(2-у2) е 2т + ( +52) е2у -(а + у)2е а(2 +52) х

х(2 + 4у2 +а2|-(а-у)2еа(2 +62) (2 +4у2 +а2).

Слагаемое 2а6(2 - у2) е-2^ > 0 является малым и его можно не учитывать. Так как у >а, то

А>(2 +62) 2а6(2 +62 )е2у-

-(а-у)2еа(б2 + 4у2 +а2)-(а + у)2е а(б2 + 4у2 + а2

Разложение экспонент в ряды приводит определить к виду

Л=Z an = X

n=0 n=0

а

n!

2n+1 аб(у2 +52

-(у-а)2 (б2 + 4у2 +а2)-(-1)n (у + а)2 (б2 + 4у2 +а2

Для п нечетного очевидно, что

ап > аб(2 + 52+ + 4ау(2 + 4у2 +а2+ > 0.

Если п четное, то

ап > 2аб( +б2 +п —у2 +а2+б2 +4у2 +а2 +.

Начиная с некоторого к все члены ряда будут положительны, и в силу неограниченного возрастания функции 2п с ростом числа п: ак+\ > ак . Таким образом, все первые (к — 1) отрицательных члена компенсируются последующими, начиная с к -го. Соответственно А> 0, и, следовательно, прогиб отсутствует.

^ Характеристическое уравнение имеет два отрицательных и два положительных корня (-а ± ві, а±02), его коэффициенты имеют вид

-^2- = в2 + в2 + 2а2, -^2- = 2а(р2-в2) и = (а2-р2 +а2-в2). Таким об-

X

X

разом, в этом случае возможно только растяжение пластины. Из теоремы Ви-ета следует, что а> Р1, Р1 > Р2 . Определитель матрицы граничных условий

для w(x) = e ^(e Pix + C2e^lX) + eto (e в2x + с4ев2x ) равен

A = 4P1P2

a

-P,2 ) e" 2a+(a2

Plfe2a

Л , ía a s2\ а ч2^. Q ч2 -(ft +P2) , Q 42

4a + (Pi — P2) ) (a + Pl) (a —P2) e

+ (a-Pl) (a + P2) e

2 ePi +P2

+

+ I4a -(Pi +P2) ) (a + Pl) (a + P2) e

2 e-

+ (a-Pi)2(a-P2)2 ePl -P2

A> 0 при a> Pi > P2 •

В силу ограниченного объема статьи доказательство отсутствия прогиба не приводится.

A-B. Для вырожденного случая, когда уравнение (4) имеет отрицательный корень кратности 2 и пару комплексно-сопряженных корней (-a, -a, a±5/), линеаризованное уравнение (3) имеет решение

w(x) = e-ax (c + C2x) + eax (3 cos(5x) + C4 sin(5x)) • Определитель матрицы

граничных условий является функцией двух переменных:

A = a45e-2a + 5(a2 +52)2 e2a +a(8a4 -4a5 +3a352 -2a252 +a54 + 254) x

xsin 5 + 2a25(7a2 - 4a3 -a52 - 352)cos 5 •

Бифуркационная кривая p = p(a, 5) состоит из точек (a, 5), в которых A = 0 • Вычислительный эксперимент показывает, что в рассматриваемом случае таких точек нет.

Замечание 4. Контроль правильности вычислений определителей матриц граничных условий осуществляется предельным переходом от А при 5 ^0 либо от В при a^Y с последующим исследованием этих определителей в предельных случаях.

B-C. Характеристическое уравнение имеет два отрицательных и положительный корень кратности два (-a, -2Y+a, Y, Y), соответствующее ре-

шение (3) равно w(х) = qe a + С2Є

e-(2y-a)x

+ С3ЄY + С4хе)Л . Возможные точ-

eYx

ки бифуркации определяются равенством нулю определителя:

A = y

a2 (3y3 + 2Y2(a + 4)-aY(a-2)-2a2 )e a + 2Y3(a-Y)eY

+

2a

:(a-Y)e a -y(3y3 +2Y2(a + 2) -aY(a-6) + 2a2 )eY

eY +

p-2 Y+a

На множестве П = {(а,у) | ае (у,2у), Y> 0} прогиб отсутствует, так как А> 0.

Таким образом, в работе установлено, что во всех возможных случаях распределения корней при граничных условиях (2) прогиб пластины не происходит.

Список литературы

1. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. - М. : Наука, 1967. - 984 с.

2. Болотин, В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости /

B. В. Болотин. - М. : ГИФМЛ, 1961. - 339 с.

3. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - М. : Наука, 1969. - 524 с.

4. Наймарк, М. А. Линейные дифференциальные операторы / М. А. Наймарк. -М. : Наука, 1969.- 528 с.

5. Melnikov, Yu. A. Influence Functions and Matrices / Yu. A. Melnikov. - New York, 1999. - 469 p.

6. Вельмисов, П. А. Метод групповых преобразователей и ветвление решений в двухточечных граничных задачах аэроупругости / П. А. Вельмисов, Б. В. Логинов // Дифференциальные уравнения и их приложения : материалы Междунар. конф. (Саранск, 20-22 декабря 1994 г.). - Саранск, 1995. - С. 120-125.

7. Вельмисов, П. А. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев, А. А. Кузнецов // Вестник УлГТУ. - 1999. - № 1. -

C. 44-51.

8. Loginov, B. V. Strip-plate divergence as bifurcational problem with two spectral parameters / B. V. Loginov, O. V. Kozhevnikova, A. V. Tsyganov // STAMM - 2004 : Proceedings of International Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics. - Darmstadt, Germany, 2004. - P. 22.

9. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М. : Наука, 1971. - 576 с.

References

1. Vol'mir A. S. Ustoychivost’ deformiruemykh sistem [Stability of deformable systems]. Moscow: Nauka, 1967, 984 p.

2. Bolotin V. V. Nekonservativnye zadachi teorii uprugoy ustoychivosti [Nonconservative problems of the theory of elastic stability]. Moscow: GIFML, 1961, 339 p.

3. Vaynberg M. M., Trenogin V. A. Teoriya vetvleniya resheniy nelineynykh uravneniy [The theory of branching of solutions of nonlinear equations]. Moscow: Nauka, 1969, 524 p.

4. Naymark M. A. Lineynye differentsial’nye operatory [Linear differential operators]. Moscow: Nauka, 1969, 528 p.

5. Melnikov Yu. A. Influence Functions and Matrices. New York, 1999, 469 p.

6. Vel'misov P. A., Loginov B. V. Differentsial’nye uravneniya i ikh prilozheniya: materi-aly Mezhdunar. konf (Saransk, 20-22 dekabrya 1994 g.) [Differential equations and their applications: proceedings of the Intern. conf. (Saransk, December, 20-22, 1994)]. Saransk, 1995, pp. 120-125.

7. Vel'misov P. A., Kireev S. V., Kuznetsov A. A. Vestnik UlGTU [Bulletin USTU]. 1999, no. 1, pp. 44-51.

8. Loginov B. V., Kozhevnikova O. V., Tsyganov A. V. STAMM - 2004: Proceedings of International Symposium on Trends in Applications of Mathematics to Mechanics. Darmstadt, Germany, 2004, p. 22.

9. Kamke E. Spravochnikpo obyknovennym differentsial’nym uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow: Nauka, 1971, 576 p.

Бадокина Татьяна Евгеньевна ассистент, кафедра фундаментальной информатики, Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева

E-mail: badokinate@gmail.com

УДК 517.988.67 Бадокина, Т. Е.

Трехпараметрическая бифуркационная задача о прогибе удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа / Т. Е. Бадокина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 2 (30). - С. 5-19.

Badokina Tat'yana Evgen'evna Assistant, sub-department of fundamental informatics, Ogarev Mordovia State University