Математическое моделирование влияния линейных параметров ВТК немагнитного проводящего цилиндра

УДК 620. 179 14

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЛИНЕИНЫХ ПАРАМЕТРОВ ВТК НЕМАГНИТНОГО ПРОВОДЯЩЕГО ЦИЛИНДРА

© 2009 г. А.Л. Степанов

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет), г. Владикавказ

North Caucasian Institute of Mining and Metallurgy (State Technological University), Vladikavkaz

Оценена степень влияния воздушного промежутка между плоскостью ВТП и поверхностью объекта контроля при ВТК немагнитного проводящего цилиндра. Получены аналитические выражения, определяющие усредненный воздушный зазор между указанными поверхностями. Проанализировано влияние этого зазора на модуль относительного вносимого напряжения ВТП круглой и квадратной формы. Установлено влияние радиуса цилиндра и совместного влияния радиуса цилиндра и расстояния до объекта контроля на составляющие комплексного вносимого напряжения преобразователя.

Ключевые слова: объект контроля; линейные параметры контроля; вносимое напряжение.

In this paper given operation the level of agency of an air gap between plane eddy current probe and a surface of the antimagnetic spending cylinder. The analytical forms determining an average air slot between specified surfaces are received. Agency of this air gap on the module of added voltage of eddy current probe of the round and the rectangular form is analyzed. Agency of radius of the cylinder and joint agency of radius of the cylinder and distances up to object of the testing on making complex added voltage of eddy current probe is established.

Keywords: subject of control; linear axes of control; introduced tension.

В данной работе путем математического моделирования ВТК сплошного немагнитного проводящего цилиндра исследовали влияние его радиуса, размеров вихретоковых преобразователей (ВТП) и расстояния между ВТП и объектом контроля на выходные характеристики преобразователя. Использовали известные результаты разработки математической модели взаимодействия щелевых ВТП с многослойным проводящим цилиндром [1]. В этой работе применили частный случай такой модели.

Схема расположения накладного трансформаторного ВТП, создающего начальное однородное поперечное квазистационарное электромагнитное поле, и проводящего немагнитного цилиндра, приведена на рис. 1.

Рассматривали его как элемент щелевого преобразователя. Микромодели обмоток возбуждения ВТП в рассмотрение не включали. В качестве микромоделей измерительных обмоток взяли нитевидные контуры квадратной (рис. 1 а) или круглой (рис. 1 б) формы. При этом считали, что плоскости контуров A'BCD и MlfflFLSl перпендикулярны оси у. Эти контуры расположили симметрично относительно плоскости yoz. Вектор-комплекс действующего значения индукции начального магнитного поля B0 задали перпендикулярным плоскости каждого контура. Приняли условие

б

R < R1 и d1 < R1

Рис. 1. Схемы расположение проводящего цилиндра в однородном поле и нитевидного измерительного контура

Выражения для определения ЭДС, наводимой в контурах, приведенные в работе [1], для данного частного случая приняли следующий вид: - для прямоугольного контура

Еоп = - ./ю 4 4;

2 4d12 1 -н0 Евя п=-j ю Во

Poi+d2 1gi

- для круглого контура

Еок ="/'юлR2 Д,;

EBHK =-j ю З0R1 2л

1 -

Poi

Vp2I + R2

1 -M-0 G1

1+ Ц о G1

Re

-ц о G N

1 + Ц 0 G1 у

Ц -1 + b Ц +1 IIb ц + 1 . ». Ц -1

^01 "

Ц1

Ц1

+b

Ц1

21

V ^ + b21 ^12 +fb02 ^ + b22 - ^

Ц1

Ц1

Ц1

Ц1

b ^LZ1 + b Цк±! Ii b + b azi

b02 b22 II b02 b22

ц +1 + b ц-1

Ц1

Ц1

Im

+I b

ц +1+ь ц-1

Ц1

Ц1

-ц о G ^

1 + Цо G1

У01 "

Ц1

У21 "

Ц1

ц +1,». Ц1-1 iL Ц1-1. Ц1 +1

'02 "

Ц1

j22 "

Ц1

Ц +1 «. Ц -1

^01 "

Ц1

У21 "

Ц1

Ц1 + 1 + b Ц1 -1

02 ^ 22

Ц1

Ц1

'02 "

Ц1

22 "

Ц1

Ц1 +1 + b Ц1-1 iL Ц1-^ Ц1 +1

'01 "

+b

Ц1

21

Ц1

Ц +1 «. Ц -1

'01 "

Ц1

У21 "

Ц1

Ц1+1 + b Ц1-1

02 22

Ц1

Ц1

где

где Е0П, £0К и £ВН п, ЕВН к - соответственно начальная и вносимая ЭДС ВТП прямоугольной и круглой формы, ц0 - магнитная постоянная, j = л/-1 -мнимая единица, р01 - расстояние от плоскости ВТП до оси г , 01 - комплексная функция, зависящая от геометрических размеров и электрофизических параметров объекта контроля, а также от частоты ю синусоидального поля. Развернутый вид этой функции в виде рекуррентного выражения, содержащего модифицированные функции Бесселя, приведен в работе [1]. Используя известную связь этих функций с функ-

1 - Н0

циями Кельвина [2], можно представить -1 в

1 + Но 6.1

виде мнимой и действительной составляющих. В частном случае, для сплошного проводящего цилиндра получим

b01 = ber (k1R1), b02 = bei (k1R1), b02 = ber2 (k1R1) , b22 = bei2 (k1R1) , k1

y1, ц1 - соответственно, удельная электропроводность и относительная магнитная проницаемость материала цилиндра.

В данной работе в качестве выходных характеристик ВТП выбрали зависимости относительного вносимого напряжения преобразователя прямоугольной (П или 1) и круглой (К или 2) формы от

параметров контроля U вн =-

U-

вн

\Un

^вн = Евн,

и0 = -Е0, а также чувствительность ВТП к изменению электропроводности £у и радиуса цилиндра

sr1 —у

S„ у, S =^вн R1.

9у

ÖR1

Поскольку объект контроля имеет криволинейную замкнутую поверхность, то для оценки влияния воздушного промежутка на указанные характеристики ВТП ввели в рассмотрение понятие об усредненном воздушном зазоре hср (Приложение к данной работе).

Анализ результатов расчета Иср показывает, что с * *

ростом размеров контура R' или ¿1 (нормировка 1

* *

приведена в Приложении) параметры и'ср к и к'ср п

возрастают. Эта закономерность справедлива как для первого условия эквивалентного сравнения измерительных контуров разной формы

* *

К = ¿1,

*

так и для равновеликих контуров по площади Б'к

(второе условие эквивалентного сравнения) (рис. 2в, г) * * 0 * 0

£ ' к =я К 2 = 4d12. При любом условии изменение размеров контуров сохраняет соотношение между величинами И' ср к и

И'ср п (кривые 1 и 2 на рис. 2 а,в) И' ср К < И' ср П .

2

2

+

+

2

2

b

2

2

1,Е+00

1 ,Е+00

г о *

S' k

Рис. 2. Зависимость к ср от размеров ищмерительных контуров квадратной (П или 1) и круглой (К или 2) формы

Как при увеличении 'к, так и при увеличении ^' ) снижение относительного вносимого напряже-

ния преобразователя

U вн

(рис. 3 а,в) обусловлено

преимущественным ростом Ё0 \, поскольку при любом условии эквивалентного сравнения с ростом линейных параметров растет площадь ВТП и пропорционально растет эта ЭДС. На указанных рисунках за

максимальное значение

U вн

принята ее величина

U вн

ливым соотношение

* *

U внк > U внп

с/вн

с/вн

1.05

0,95

0,85

0,75

0,65

0,55

Свнп

t^BHK

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 *

* k

б

и вн

U вн

1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

f/внп

i/внк

0 0,2 0,4 0,6 0

при £' к = 0,00001 (рис. 3 а) и при R' = d1 = 0,01 (рис. 3в). Влияние кср выражено значительно слабее и сказывается, только на степени снижения зависимостей

Рис. 3. Влияние размеров измерительных контуров на вели-

чину

U в

: 1, 2, 3 - круглый контур; 4, 5, 6 - квадратный

(рис. 3 б, г). При этом всегда остается справед-

Кроме этого, чем меньше р^ (всегда должно выполняться условие р ' 01 >1), тем сильнее проявляется влияние кср для измерительного контура любой формы.

*, *, *,

контур; 1, 4, 7 - р 01 = 2; 2, 5, 8 - Р 01 =1,5; 3, 6, 9 - р'01=1

Итак, для измерительных контуров указанной

*

формы кср влияет на и вн подобным образом. Поэтому далее рассмотрели влияние линейных параметров контроля на выходные характеристики только прямоугольного ВТП. Его ширину задали равной 2 d1, а длину - равной 1. Это равносильно условию, что длина ВТП неограниченная, а ЭДС рассматривали, на единице длины контура. Поскольку линейные параметры d1, R, р01 не входят в аргумент функций

Кельвина % = kjRi (1), (2), их изменение не влияет не

только на фазу Uвн , но и на фазовый угол чувстви-тельностей Sу и SR1. Поэтому график зависимости

у = arg (Sу ISR1) остается неизменным при любом значении d1, R и р01 > R1 (кривая 1 на рис. 4а). В то же время величина р01 и характер ее изменения существенно влияет на |Sу| и |SR1|. На |Sу| и |SR1| влияние оказывают также изменения d1 и R . Однако отношение | Sу SR11 оказывается не зависящим от

этих линейных параметров и график данной зависимости остается неизменным при любом изменении d1 , R и р01 > R1 (кривая 2 на рис. 4 а).

arg-

О -10

-20 -30 -40

III IUI

V ч и

\ \

1 \

\

\ \

\ w

л ¡11 \

и

1

0,1

0,01

—у

rl\

0,001

0

-7

-14

Sy -21

arg—L ' -28

-35

-42

-49

о" о а 8 s 100Ю

ü

\ 1 \ 1 С 2

V

0,0001

0,35

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0

—у

На рис 4 б приведены зависимости тех же составляющих отношения SyjSR1 , иллюстрирующие особенности их изменения в окрестности точек экстремумов. Известно, что раздельный контроль у1 и R1 амплитудно-фазовым методом необходимо осуществлять при возможно большем значении arg

[3, 4]. Зависимости на рис. 4 позволяют наглядно проиллюстрировать это условие. Известно также [3], что

lim [arg (S у/ Sr1)]= 0; lim [arg (S у/ Sr1)]=-45°. ß0 ^ 0 " ß0 ^^ "

Точку на кривой 1 (точка A на рис. 4 а, б), в которой с ростом ß'0 величина arg (S jSR1) уменьшается

до значения -45°, можно считать нижней границей оптимального интервала изменения ß0 для осуществления этого метода контроля. Установлено [3], что в точке A

ß0 > 3,81.

Контроль R1 желательней осуществлять при возможно большем значении Р0. Например, при

ß0 > 15,0

0 1 2 3 4 5 6

ß'0 б

Рис. 4. Зависимости составляющих отношений |s у|/ |S.R1| от величины обобщенного параметра контроля ß'0 :

1 - arg (S,jsr1 ); 2 - \s^

На графике зависимости arg (SSR1) имеется участок, на котором с ростом ß'0 происходит существенное изменение угла у между линиями влияния у1

* *

на Uвн и R1 на Uвн . Дальнейший рост ß0 оставляет значение этого угла практически неизменным. При малых значениях ß0 зависимость |S у|/ |SR1| сохраняет

практически постоянное отношение этих величин. С ростом ß0 это отношение монотонно уменьшается до нуля и при ß0 > 15 влияние у становится несущественным.

величина £ у | становится весьма малой, и улучшаются условия отстройки от влияния Р0 > 15,0 . Контроль Р0 > 15,0 желательней проводить при возможно меньшем значении Р0 из этого интервала, так как в этом случае можно еще обеспечить достаточно высокую чувствительность у| к изменению данного параметра (кривая 2 на рис. 4 а, б). Например, при Р0 = 3,81 величина £у|/£и| = 0,163, т. е. остается

еще достаточной для осуществления двухпараметро-вого метода контроля у .

Фазовый метод выделения полезной информации не столь критичен к величине угла у (в известных пределах), но для него важным обстоятельством является монотонность изменения этого угла [3, 4]. Полученные зависимости позволяют определить наиболее подходящие условия контроля у! этим методом. Анализ зависимости £у|/|£Я1| = f (Р0) показывает, что

lim S у Sr1 = 0,25 ß0 ^0 11

lim

ß 0 ^

s у/ Sr1=0.

При этом на графике данной функции (кривая 2 на рис. 4 б) можно выделить две характерные точки:

точку В, в которой £у|I£Я1| = 0,27 - достигает максимального значения (этой точке соответствует значение Р0 = 2,072 и у = 28,9°) и точку С, которой

£у|/снижается до значения 0,25 (этой точке

соответствует значение Р0 = 2,723 и у = 36,1°). Эти точки определяют участок кривой 2 (участок В - С на рис. 4 б) с относительно высокими значениями £ у |/1. Ему соответствует участок на кривой 1 (участок В' - С') с монотонным изменением угла у .

Поэтому при фазовом методе контроля у1 желательным является выбор Р0 в интервале

2,072 <Р0 < 2,723.

Использование нормировки 2 позволяет проана-

*

лизировать раздельное влияние параметров R1 и Р0, связанных с обобщенным параметром р'0 соотношением

Р0 = я1р<).

Так R1, прежде всего, влияет на величину кср,

причем противоположным, по отношению к изменению d1, образом. Как следует из анализа зависимостей на рис. 2, с ростом R1 уменьшается кср и, следо-

вательно, увеличивается

U вн

Кроме этого R1 вхо-

дит в аргумент функций Кельвина (% = k1R1), т. е. его

изменение влияет на

U вн

составляющие Sу и на S

какая из величин R1 или Р0 является аргументом, а какая - параметром. То есть графики указанных зависимостей полностью совпадают между собой, если

*

заменить аргумент R1 на Р0 и сохранить те же зна-

*

чения прежнего параметра для R1. Это обстоятельство указано на рис. 5 а, б, в виде двух возможных ар*

гументов R1 (Р0) по оси абсцисс и двух возможных

*

параметров р0 (R1) для каждого графика.

на arg U вн , а также на

На рис. 5 а приведены зависимости составляющих

*

отношения S jSR1 от R1 при изменении последнего

параметра в достаточно широких пределах. Характер зависимостей подобен соответствующим зависимостям этих составляющих от р'0. Увеличение Р0, как параметра, приводит к перемещению участков графиков с интенсивным изменением у (кривые 1 - 5 на рис. 5 а), а также участков с интенсивным изменением

|sу|/|SR1| (кривые 6 - 10 на рис. 5 а) в сторону мень-

*

ших значений R1. Одновременно возрастает интенсивность изменения указанных составляющих S jSR1 . Последнее обстоятельство также иллюстрирует ход графиков, приведенных на рис. 5 б, которые характеризуют зависимости arg

при изменении аргумента в относительно небольших пределах.

В отдельности, зависимости Sу = f (Р0) и

Sr1 = f (Ро); Sу = f (R1) и SR1 = f (R1), построенные

на комплексной плоскости имеют отличный друг от друга характер изменения их графиков [3]. Однако отношение составляющих S у/ SR1 не зависит от того,

Рис. 5. Зависимости составляющих отношения |Sy|/|S.R1| от величины параметров R1 и ро при их раздельном влиянии:

I-5 — arg (S,JSR1) соответствуют значению параметра

Р0( R1) = 25; 10; 1; 0,25; 0,1; 6 - 10 — |Sy|/|SR1| соответствуют значению параметра Р0 (R1) = 25; 10; 1; 0,25; 0,1;

II-13 — arg (Sy/ Sri ) соответствуют значению параметра

Р0( R1) = 0,5; 2,5; 5

Установленная особенность позволяет, во-первых, достаточно просто обеспечить выполнение условий (3) - (5), подбирая с помощью частоты ю поля и размеров ВТП (R или dj) необходимое значение

Р0 = d1S]a у ц0 (Р0 = R^/ю у ц0) или с помощью размеров ВТП (R или d1) необходимое значение * *

R1 = R1/d1 или R1 = R1/R (возможен вариант одно*

временного варьирования R1 и Р0). Во-вторых, дока-

зывает, что анализ и выбор области оптимальных (по чувствительности к контролируемому параметру) параметров ВТК можно проводить, используя рассмотренные зависимости £ у// £Я1 .

Однако приведенные выше условия выбора параметров режима контроля (3) - (5) являются недостаточными и нужно провести уточняющий машинный анализ и выбор оптимальных параметров контроля еще по таким критериям, как степень отстройки от основных подавляемых факторов, линейность и чувствительность преобразования «контролируемый параметр - носитель полезной информации» и другим [4]. Тем не менее, указанные условия можно использовать при машинном проектировании как первый этап выбора оптимальных параметров контроля.

Одним из достоинств накладных и щелевых ВТП по сравнению с проходными преобразователями является возможность установки требуемого воздушного зазора.

В связи с чем рассмотрели одновременное влияние линейных параметров Я1 и р01 на величину

*

и вн. Даже при относительно небольших значениях

«, * * * *

Я 1тах и р01 линии влияния Я1 на и вн (кривые 1, 3,

5, 7, 9 на рис. 6 а) уже существенно отличаются от

* *

*

линий одновременного влияния Я1 и р01 на ивн (кривые 2, 4, 6, 8, 10 на рис. 6 а). При этом для последних кривых уменьшается угол у между ними и

линией влияния Р0 на IIвн (кривая 11 на рис. 6 а).

**

*

Линии влияния Я1, Я1 и р01, Р0 пересекаются в

точке с одинаковыми для них значениями Я1,

**

р01, Р0. Увеличение Я 1тах приводит к усилению

*

различия между линиями влияния Я1 (кривая 15 на

*

рис. 6б) и линиями одновременного влияния Я1 и

*

*

р01 (кривые 12 - 14) на и вн. При этом все точки,

*

соответствующие одному и тому же значению Я1 и

Р0, лежат на одной прямой (штриховые линии на рис.

*

*

6б). То есть изменение р01 не меняет фазу и вн также

*

независимо от величины Я 1тах . Существенно увели*

чив Я 1тах , можно добиться практически полного

*

совпадения кривой одновременного влияния Я1 и

*

р01, и кривой влияния Р0 в окрестности точки их пересечения (кривые 12 и 16 с точкой пересечения D

на рис. 6 в). Следовательно, одновременное изменение

*

*

Я1 и р01 позволяет реализовать еще один канал регулирования (управления) выходных характеристик ВТП, что, безусловно, расширяет функциональные возможности ВТК таких объектов.

Im u вн

IitiC/BH

ImC/вн

12 V* тг 1

<1 = 1Ьс/ г*

К1 = 10U

16 /V\

|мтах=Ю0

О 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

ReE/вн * в

Рис. 6. Годографы йвн прямоугольного измерительного контура для немагнитного проводящего цилиндра: 1, 3, 5, 7,

9 - #1 = р01- var и Ро равно, соответственно, 1,0; 2,5; 5,0;

10,0; 50,0; 2, 4, 6, 8, 10 - R1- var; р01 = 2,0 - const и р0

равно, соответственно, 1,0; 2,5; 5,0; 10,0; 50,0; 11 - линия

* *

влияния р0 при R1 = р01 = 2,0 - const; 12 - 14 - R1 var р0 = = 0,25 и р01 равно, соответственно, R1; 1,25 R1; 1,5 R1; 15 - R1 - var и р0 = 0,25; р01 = 100; 16 - р0 - var; R1= р01= 100

Таким образом, в данной работе:

1. Изучено влияние (в определенной степени) воздушного промежутка между плоскостью ВТП и криволинейной поверхностью объекта контроля, для чего введено понятие об усредненном воздушном зазоре и получены формулы для расчета этого линейного параметра;

2. Обоснована универсальность зависимостей составляющих £ !от параметров контроля, позволяющая проводить однозначный предварительный анализ режимов и предварительный выбор оптимальных интервалов изменения этих параметров;

3. Установлена возможность влияния на характер изменения выходных характеристик ВТП путем одно-

временного изменения R1 и р01.

Приложение

Объем воздушного промежутка между плоскостью контура и поверхностью цилиндра определим как

VK= VminK+(Poi - Rl)rcR2

Vn= Vminn+(Poi - R1) 4^12

x2 + у2 = R12

или y

= V R12 -;

5 - область задания f (х)^), определяемая плоскостью круга А "В СБ' и ограниченная окружностью

z = ±^Я2—х2.

где р01 - расстояние между центром измерительного контура и осью z ; Vminк - минимально возможный объем пространства, заключенный внутри цилиндра, основаниями которого являются, с одной стороны, плоскость круглого измерительного контура A'BC'D , касающаяся поверхности объекта контроля по диаметру BD , а с другой - поверхность объекта контроля, ограниченная линией ее пересечения ABCDA с поверхностью указанного цилиндра (рис. П. 1а); Vminп - также минимально возможный объем пространства, заключенный в призме, основаниями которой являются, с одной стороны, плоскость квадратного измерительного контура M1H1FLS1, касающаяся поверхности объекта контроля по линии симметрии контура BD , параллельной его сторонам MLS1 и H1F1, с другой - поверхность объекта контроля, ограниченная линией ее пересечения ABCKDEA с боковой поверхностью призмы (рис. П 16).

Определим объем Vmin к как разность объемов цилиндров A'BCDA"B'C"D' и ABCDA"B'C"D' (рис. П. 1 а). Объем последнего можно выразить с помощью двойного интеграла

VABCDA "BC"D' = Л f (xyz)dzdx ,

s

где f (xyz) - функция, описывающая поверхность ABCD . Для произвольной точки M на этой поверхности имеем OM = OO' = A"A' = Ш и функция, f (xyz) примет вид

б

Рис. 1П. Схемы, поясняющие определение усредненного воздушного зазора

Указанный интеграл сводится к повторному интегралу

R Vr 2 - x2 i-

VABCDABCD ' = 4 J dx J VR!2 - x2 dz =

0 0

4R^(R12 -x2)(R2 -x2 )dx,

который является комбинацией табличных интегралов [П. 1]. В результате получим 4(

VABCDABCD ' = R1R2 -R1

|r1R2 -R13] K (m)+Ri|^R12 +R2] E (m)j

где K (m), E (m) - полные эллиптические интегралы

первого и второго рода, m = 1 - m1; m1 =

R12 - R2 R12

VА 'ВС БА "В С "Б ' = ^

Следовательно Гттк = ^а'ВСБА"ВСБ' - УАВСБА"В СБ' .

Определим объем ^шпп как разность объемов призм М1ВН^1В81А"С"К"Е" и АВСКВЕА"С"К"Е" (рис. П. 1.б). Объем последней также можно выразить с помощью двойного интеграла

Z

2

уавсшеа"с"к"е" = /("уг) Згёх ,

где /(хуг) - функция, описывающая поверхность ABCKDE. Для произвольной точки М на этой поверхности имеем ОМ = ОО' = А"М1 = К1 и функция, описывающая поверхность, имеет вид (П. 3). Тогда

. = 4 / dz /VRI2 - x2 dx.

V.

ABCKDEA"C"K"E '

Л * К *

* _ 01 . Р'_ Л . л' , - 1

Р 01 =-; К =—; " 1 =--

К1 11 11

или к линейному параметру ВТП:

h

hep К =-

'срК

h

h ср П = -

срП

di

Этот интеграл также является табличным [П. 2]. В результате получим

х = Rlkl = Т7^ d1( RW Wo = R1ßoVH:

VABCKDEA" C "K'E " = 4

d2^/Ri2 - d2 dTR12 . d1

arcsin-

R1

V

M 1BH1F1DS1A"C"K"E '

•nw = 4d, R1

Таким образом,

УттП = УМ\BH\F\DS\A"С "К "Е" _УАВС^ЕА"С"К"Е" .

Наконец, определим усредненный воздушный зазор hср между ВТП и поверхностью объекта контроля. Для круглого ВТП его обозначим как высоту равновеликого для УК цилиндра, имеющего основаниями круги радиуса К . Для прямоугольного ВТП его определим как высоту равновеликой для УП призмы, имеющей основаниями квадраты со стороной 2 й1.

Получим для круглого и квадратного ВТП, соответственно

h

Vr

= h

ср К = п2 = "ср К mm + (Pol R1) ;

nR

Vn

"ср П = . ,9 = "ср Пmm +

4 d,

Этот и остальные параметры можно нормировать к радиусу объекта контроля

н Н

* " срК * " срП  и ср К =-, и ср П =-'

К1 К1

Х= К1к1 = КЦ/ У^0 = Р0л/^1

d1

P01 =

01

; R=

R

d1

С помощью полученных выражений рассчитали * *

величину Н'ср К ; Нср П

При этом величина эллиптических интегралов определена с использованием аппроксимирующих выражений [П.3].

Литература

1. Степанов А.Л., Дедегкаев А.Г., Пагиев К.Х. Математическая модель взаимодействия щелевых вихретоковых преобразователей и проводящих цилиндрический объектов. // Изв. вузов. Электромеханика. 2006. № 2. С. 7-14.

2. Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, И. Стиган. М., 1979. 832 с.

3. Степанов А.Л. Моделирование работы щелевого трансформаторного вихретокового преобразователя с однородным электромагнитным полем. Анализ чувствитель-ностей преобразователя (Ч.2) // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. Приложение № 3. С. 63-76.

4. Степанов А.Л., Пагиев К.Х., Дедегкаев А.Г. Моделирование работы щелевого трансформаторного вихретокового преобразователя с однородным электромагнитным полем. Возможности двухпараметровых методов контроля (Ч.3) // Изв. вузов. Сев.Кавк. регион. Техн. науки. 2006. Приложение № 11. С. 22-33

Литература к приложению

П.1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М., 1963. 1100 с.

П. 2. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов. М., 1971. 228 с.

П. 3. Справочник по специальным функциям / М. Абрамо-виц, И. Стиган. М., 1979. 832 с.

Поступила в редакцию

15 сентября 2008 г.

Степанов Александр Леонидович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Теоретическая электротехника и электрические машины», Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет), г. Владикавказ.

Stepanov Akeksandr Leonidovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Theoretical electrotechnology and electrical machines», North Caucasian Institute of Mining and Metallurgy (State Technological University), Vladikavkaz._

2

2