Теоремы существования решений задачи об обобщенном собственном векторе пары нелинейных операторов

2. Elaydi S. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems. // J. Math. Anal. Appl. 1994. №181. P. 483-492.

Kulikov A.Yu. SOME STABILITY CONDITIONS OF NONAUTONOMOUS DELAY DIFFERENCE SYSTEM

New conditions for stability of the nonautonomous difference system are presented as some estimates of Cauchy matrix (fundamential equation).

Key words: delay difference equations; stability.

УДК 517.988.57, 515.164.3

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ ОБОБЩЕННОМ СОБСТВЕННОМ ВЕКТОРЕ ПАРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ © О.В. Кунаковская

Ключевые слова: нелинейные операторы; топологические индексы.

Излагается конструкция топологических индексов пары (-1, —) нелинейных операторов в банаховом пространстве. Указываются свойства построенных индексов. Приводятся варианты теорем существования решений задачи -2(х) = А—1(х) об обобщенном собственном векторе пары операторов.

В докладе излагаются результаты исследования задачи об обобщенных собственных векторах пары нелинейных операторов, действующих в бесконечномерном пространстве. К рассмотрению собственных функций нелинейных операторов в свое время привели задачи о нелинейных колебаниях, об устойчивости сжатых стержней и др. Возникновение этой задачи обычно связывается с работами А.М. Ляпунова. Задача о собственных векторах нелинейных операторов в функциональных пространствах, впервые, видимо, рассматривалась Дж. Биркгофом и О. Келлогом.

В настоящей работе предлагается метод исследования условий существования обобщенных собственных векторов пары нелинейных операторов, действующих в сепарабельном БСг -гладком ( г ^ 2 ) банаховом пространстве Е с базисом (в частности, в гильбертовом), основанный на конструкции топологических индексов особенностей пары гладких сечений векторных расслоений, обобщающей конструкцию индексов краевых индексов 1-форм (векторных полей) В.И. Арнольда. Работа была начата под руководством проф. Ю.Г. Борисовича, первый цикл публикаций — [1]—[5]. На основе разработанной теории топологических индексов получены достаточные условия существования решений уравнений

-1

-2

-2

в выбранном (+)-допустимом множестве X С Ш пар операторов описываемых ниже типов С—Ъ—2)- Здесь Ш — область в Е с БСГ -гладкой границей [6]. Пусть

Б+(-1,-2) = 0(-1) и 0(-2) и 0+(-1,-2),

2565

где O+(F1,F2) = {x G dM I ЗА ^ 0 : F2(x) = AFi(x)},

O(Fi ) = {x G W I Fi (x) = 0}, г = 1, 2.

Каждой паре нелинейных C2 -гладких операторов вида (F1, F2) = (^1 1 + K1, ц2 1 + K2) (где K1,K2 — вполне непрерывные операторы, ц1 < 0, ц2 > 0, а оператор F1 предполагается невырожденным на dW ), заданных на W, корректно сопоставляется конечный набор целых чисел, являющихся топологическими индексами всех компонент множества S+(F1,F2) и однозначно определяющих значение индекса g(F1,F2', C) для любой системы компонент C множества S+(F1, F2), а значит, определяющих значение индекса g(F1,F2', X) для любого (+)-допустимого множества X (т. е. такого, что

X+ '= X П S+

состоит из полных компонент множества S+(F1 ,F2) ). Проблема вычисления индексов во многом упрощается благодаря их естественной гомотопической инвариантности.

Теорема1. Если (+) -допустимое множество X пары операторов (F1, F2) таково, что g(F1,F2; X)=0, то X+ =

Теорема 2. Если X С W есть (+) -допустимое множество упорядоченной пары (F1, F2) и g(F1,F2; X) = 0, то каждое из множеств X, W \ X содержит решение хотя бы одного из уравнений (1) — (3), где А ^ 0.

Теорема 3. Пусть X, X1 — (+) -допустимые множества упорядоченной пары (F1,F2), где X1 С X С W. Если g(F1,F2; X1)= g(F1,F2; X ), то (X \ X1 ) содержит решение хотя бы одного из уравнений (1) — (3), где А ^ 0.

В качестве следствия получен известный признак М.А. Красносельского [9] существования обобщенного собственного вектора нелинейного оператора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Борисович Ю.Г., Кунаковская О.В. Об одном топологическом принципе для собственных векторов нелинейных операторов // VIII Всесоюзн. школы по теории операторов в функц. пространствах: тез. докл. Рига, 1983. С. 29-30.

2. Кунаковская О.В. Некоторые замечания к индексам особенностей 1-форм // Топологические и геометрические методы в математической физике: сб. статей. Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1983. С. 118-121.

3. Кунаковская О.В. Краевые индексы пары сечений n -мерного векторного расслоения над n -мерным многообразием с краем. Тамбовский государственный педагогический институт. Деп. в ВИНИТИ 25.07.1986, æ 6317-86. 24 с.

4. Borisovich Yu.G., Kunakovskaya O.V. Boundary indices of nonlinear operators and the problem of eigenvectors // Methods and applications of global analysis: coll. of sc. proceedings. Voronezh: Voronezh Univ. Press, 1993. P. 39-44.

5. Борисович Ю.Г., Даринский Б.М, Кунаковская О.В. Применение топологических методов для оценки числа продольных упругих волн в кристаллах // Теорет. и матем. физика. 1993. Т. 94. № 1. С. 146-152.

6. Кунаковская О.В. О гладких разбиениях единицы на банаховых многообразиях // Изв. вузов. Математика. æ 10. 1997. С. 51-58.

7. Кунаковская О.В. Глобальные и локальные краевые и обобщенные индексы особенностей пары полей и их приложения // Анализ и особенности: междунар. конф., посв. 70-летию В.И. Арнольда. М.: МИАН, 20-24 августа 2007 г. Москва: МИАН, 2007. С. 81-82.

8. Кунаковская О.В. Глобальные и локальные топологические индексы особенностей пар сечений векторных расслоений над многообразием с краем// Математические модели и операторные уравнения: сб. научн. статей. Т. 7. Воронеж: ВГУ, 2011. С. 89-148.

9. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гос. изд-во физ.-тех. лит-ры, 1956. 392 с.

2566

Kunakovskaya O.V. EXISTENCE THEOREMS IN THE PROBLEM OF GENERALIZED EIGENVECTOR OF A PAIR OF NONLINEAR OPERATORS

The construction of topological indices of a pair (Fi,F2) of nonlinear operators in a Banach space is proposed. Properties of the indices are described. Variants of existence theorems for the problem F2(x) = = AFi (x) of generalized eigenvectors of pair of operators are given.

Key words: nonlinear operators; topological indices.

УДК 517.929

ON SPECTRAL PROBLEM AND POSITIVE SOLUTIONS OF A FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION © S.M. Labovskiy

Key words: spectral problem; functional differential equation; quadratic functional.

For the singular functional differential operator

—

I I

spectral properties, positive definiteness of corresponding quadratic functional and positiveness of a Green function are considered.

Consider the forms [u,v]= ku(l)v(l) + J (pu'v' + p\uv) dx + 1 J (u(s) — u(x))(v(s) — v(x)) d£,

I I xI

and

М = [м-/ u(s)v(x) чф,

Ix I

x £ I = (0, l] , functional differential equation

pLu = —

II

and the Sturm-Liouville boundary conditions

pu'v\x=0 = 0

( W is a set, see below). It is assumed that k ^ 0 , the function p is a positive almost everywhere

on [0,l] , and 1/p is locally on (0,l] integrable, p\ is nonnegative and locally on (0, l] integrable,

and

l s

ds

p

0 0

/p(x) dx< “•

2567