Тепловая раскачка капиллярных волн

ТЕПЛОВАЯ РАСКАЧКА КАПИЛЛЯРНЫХ ВОЛН

Д.В. Любимов, А.Е. Самойлова

Пермский государственный университет,

614990, Пермь, Букирева, 15

Рассматривается плоский горизонтальный слой жидкости при наличии поперечного градиента температуры. Нижняя граница слоя считается твердой, верхняя граница - свободной деформируемой. Учет эффектов плавучести производится за рамками приближения Буссинеска. Ранее была обнаружена колебательная неустойчивость при нулевом числе Марангони для отрицательных значений параметра Буссинеска. С целью выяснения факторов, влияющих на механизм данной неустойчивости, решается модельная задача. Аналитически исследуется устойчивость бесконечного плоского слоя невязкой жидкости, поверхностное натяжение которой не зависит от температуры. Обнаружена неустойчивость при нагреве со стороны свободной поверхности.

Ключевые слова: плоский слой жидкости, капиллярные волны, поперечный градиент температуры.

Корректное описание эффектов плавучести при деформируемой свободной поверхности возможно лишь ценой отказа от приближения Буссинеска. В [1] предложена модель учета влияния плавучести на неустойчивость Релея - Бенара - Марангони, в которой плотность среды зависит от температуры, и эта зависимость учтена в уравнениях и граничных условиях. В [2] исследована линейная устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя жидкости со свободной деформируемой верхней границей и твердой нижней границей относительно колебательных возмущений в широком диапазоне изменения параметров жидкости и внешних условий. Обнаружена колебательная неустойчивость при нулевом числе Ма-рангони для отрицательных значений параметра Буссинеска.

© Любимов Д.В., Самойлова А.Е., 2009

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

С целью выяснения факторов, влияющих на механизм описанной выше колебательной моды неустойчивости при нулевом значении числа Марангони в случае невесомости, рассматривается модельная задача. Изучается бесконечный плоский слой жидкости при наличии поперечного градиента температуры. С одной стороны слой ограничен твердой изотермической поверхностью, с другой - свободной деформируемой границей, на которой задано условие фик-сированности теплового потока.

Уравнения конвекции для изотермически несжимаемой жидкости в случае невесомости (§ = 0) дополняются граничными условиями: на твердой границе выполняется условие прилипания, температура постоянна; на свободной границе - условие баланса нормальных и касательных напряжений (без учета эффекта Марангони, поверхностное натяжение не зависит от температуры), кинематическое условие и условие теплоотдачи Био (Ві = 0 ). Задача для малых возмущений имеет вид:

р

—+(vV)v dt К !

= -Vp + rAv +1 rV divv,

Pcp

dJ I W\ (1 -+(vV)J

= kAJ,

dp + div(pv) = 0 ,

z = 0: -p + r | 2— + 2div v | = aAC, dz 3

rT n dC dJ

div v = 0, -E- = w, — = 0,

dt dz

z = - H : v = 0, J = 0.

В (1.1), (1.2) сделаны следующие упрощения: жидкость считается невязкой, cp = const, р0 = const, возмущения плотности являют-

ся функциями только температуры, слой считается бесконечно глубоким. При этом уравнения для нормальных возмущений таковы:

= -ур,

1$ + Aw = %Д$,

рХт$ = div V ,

г = 0 : р = ак, Л£ = w, $ = 0 .

Здесь А - градиент температуры в основном состоянии. После исключения из (1.3), (1.4) скорости получаем следующую задачу:

Др ,

рйХЧ-Ap' = РoЯ%ДJ, г = 0: р01 р = -ак2р', $ = 0.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ

Несмотря на то, что уравнения (1.5), (1.6) не содержат переменных коэффициентов, записать решение в простом аналитическом виде не удается. Поэтому делаем еще одно упрощение: считаем, что жидкость плохо сжимаема. Тогда коэффициент теплового расширения Ь можно рассматривать как малый параметр в данной задаче. Амплитуды возмущений давления, температуры, а также инкремент разложим в ряд по степеням /3 .

В нулевом порядке задачи для давления и температуры расцепляются. Для давления получается обычная задача для капиллярных волн на поверхности бесконечно глубокого бассейна:

р0 = ек, 1 = іа>, со1 = к3,

Р0

$0 = аек + Ье9, q2 = к2 + — , а = кА = —А-, Ь = -ак.

X 1 Р0 ка q

В первом порядке по 3 задача для давления имеет вид:

Др1 = -р01Ь$

р01 р1 = р01 р1 + 2р01011 р1 = -ак р1 .

Воспользуемся условием разрешимости этой задачи. Получаем поправку первого порядка для инкремента в безразмерном виде:

і q2 + q - 2

і1=-, q = ^1

2 2q

+ і',

где размерность 2 принята равной комбинации wbA|k и введен безразмерный параметр 5 = w/к2 с , который имеет смысл отношения характерного теплового времени к периоду колебаний капиллярных волн.

На рис. 1, а приведена зависимость вещественной части \ от параметра 5 . Максимум лежит при 5 »1.321, т.е. эффект неустойчивости имеет место при нагреве со стороны свободной поверхности (при нормальном тепловом расширении) и максимален для данной длины волны возмущений тогда, когда характерное тепловое время сравнимо с периодом колебаний капиллярных волн.

Исследуется влияние глубины бассейна и наличия силы тяжести на данную неустойчивость.

При обезразмеривании комбинации кН = -\/5 И/5 ° ^^[5 появляется новый параметр подобия t, который имеет смысл отношения толщины слоя жидкости к толщине температурного скин-слоя 5 .

В нулевом порядке частота колебаний принимает вид:

о2 =

( — \ —к3 + gk

$акИ

V р0

Вводится еще один параметр подобия, О = kg/О .

По отдельности учет глубины слоя и силы тяжести качественно ничего не меняет, равновесие стабилизируется только в смысле уменьшения вещественной части инкремента при возрастании гравитационной силы и уменьшении глубины слоя.

Рис. 1. Вещественная часть инкремента как функция параметра S : а - бесконечно глубокий бассейн (без силы тяжести); б - сплошная кривая соответствует ? = 0.1, О = 0.1, штриховая - Ь = 0.1, О = 10-6 , штрихпунктир-ная - Ь = 1 , О = 10-6

На рис. 1, б изображены кривые зависимости вещественной части инкремента от параметра я для различных значений параметров Ь и О. Видно, что помимо уменьшения максимального значения 1 с увеличением силы тяжести и смещения максимума в сторону увеличения я при уменьшении глубины слоя, при значениях параметров Ь = 0.1, О = 0.1 в некоторой области значений я может наблюдаться устойчивость (1Г < 0).

Заключение. В работе исследуются факторы, влияющие на механизм возникновения колебательной неустойчивости в горизонтальном слое жидкости при отсутствии эффекта Марангони в условиях невесомости. Исследовано влияние на эту неустойчивость глубины слоя и силы тяжести: существенной стабилизации равновесия не обнаружено. Таким образом, механизм возникновения рассмотренной неустойчивости невязкий и связан с температурной зависимостью плотности: к развитию неустойчивости приводит эффект растекания жидкости от более нагретых мест к менее нагретым на деформируемой поверхности.

0 04

0 08

а

б

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Научнообразовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах» (грант № 08-13н-16с).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Alexander J.I.D., Lobov N.I. On the Boussinesq approximation for fluid systems with deformable interfaces // Adv. Space Res. 1998. V. 22. N 8. P. 1159  1168.

2. Лобов Н.И., Самойлова А.Е. Колебательная устойчивость плоского слоя жидкости со свободной деформируемой поверхностью // Конвективные течения... Вып. 4. Пермь: ПГПУ, 2009. С. 35-50.

THERMAL ONSET OF CAPILLARY WAVES

D.V. Lyubimov, A.E. Samoilova

Abstract. We study the linear equilibrium instability with respect to oscillatory disturbances of an inhomogeneous heated horizontal flat liquid layer. The bottom boundary is assumed to be solid and thermoconductive. The upper boundary is free and deformable and the heat transfer obeys the Biot law. Density dependence on temperature is taken to be exponential, surface tension dependence on temperature is taken to be linear. We take into account buoyancy effect beyond Boussinesq approximation.

The boundary problem is solved by fundamental system of solutions building method. Maps of stability and neutral curves are obtained. The oscillatory instability for positive and zero Ma-rangoni numbers in case of negative Boussinesq parameter were detected before. A model problem is considered for the purpose of clearing-up factors that have influence on mechanism of given instability. Stability of infinite flat inviscid liquid layer is analytically researched for constant surface tension. instability in case of heating from free surface is detected.

Key words: flat liquid layer, capillary waves, transverse temperature gradient.