Математика как органон: формализации, алгоритмы, модели

В.С. Авдонин

МАТЕМАТИКА КАК ОРГАНОН: ФОРМАЛИЗАЦИИ, АЛГОРИТМЫ, МОДЕЛИ1

Введение

В дискуссиях и публикациях о трансдисциплинарных органонах-интеграторах как комплексах или системах методологических знаний, выражающих тенденцию интеграции и гомогенизации современной науки, математика занимает особе место [Метод, 2014; Метод, 2015]. Вполне очевидны как процессы растущей математизации самых разнообразных научных дисциплин, расширение области применения ее методов, так и развитие самой математики, ее теорий и приложений. В связи с этим представляется важным попытаться концептуализировать математику в качестве органона или трансдисциплинарного методологического знания, способствующего интеграции науки. Отчасти этот вопрос уже был затронут в наших прошлых дискуссиях, где, в частности, обсуждалась идея сближения математического и семиотического подходов и возможности применения к методологическому анализу математики аппарата семиотики [Математика и семиотика... 2014; Дорфман, Сергеев, 2014]. Были выдвинуты также гипотезы методологического «очищения» органона [Трансдисциплинарные органоны. 2015] и его метаязыковых свойств [Авдонин, 2015], которые рассматривались определенным образом и на материале «чистой» математики. Разумеется, эти дискуссии были далеко не исчерпывающими, вопросы в основном лишь намечались, а предлагавшиеся ответы носили достаточно общий характер.

Дальнейшее обсуждение, на наш взгляд, предполагает фокусировку внимания на анализе конкретных методологических средств математического органона с точки зрения их трансдисциплинарных возможностей и познавательных перспектив. В нашем случае речь пойдет о таких разви-

1 Работа выполнена в рамках проекта «Разработка интеграционных методов и методик фундаментальных социально-гуманитарных исследований» (грант РФФИ № 13-06-00789).

90

тых в математике процедурах, как формализации, алгоритмы, модели. Понятно, что здесь мы вступаем на достаточно сложный и рискованный путь, учитывая весьма развитую и обладающую большими традициями область методологической саморефлексии этой науки, в которой названные нами средства обсуждаются на своем специфическом языке [Клини, 1957; Расе-ва, Сикорский, 1972].

Пройти мимо этого в нашей концептуализации математики невозможно, ибо это ее существенно обедняет. Но, с другой стороны, - невозможно и входить в детали этой области, используя язык математической саморефлексии (в основном - это язык математической логики), для чего требуются специальные навыки владения этим языком. В качестве выхода предлагается опираться в нашем обсуждении методологических средств математического органона в основном на язык методологии, философии и истории науки, в рамках которого обычно находят компромисс между ча-стнонаучной методологией (в данном случае - методологией математики или метаматематикой) и общенаучной [Швырев, 1984; Лебедев, 2010; Лекторский, 2009]. По этому пути идут и многие известные математики, которые стараются объяснить специфику ее методов на языке методологии и философии науки [Успенский, 2008; Вейль, 1968; Вейль, 1989 и др.].

1. Чистая и прикладная математика

Интеграционные процессы в науке часто связывают с математикой, с математизацией различных дисциплин на основе использования в них единых математических методов. Эта идея имеет огромную традицию, идущую от Античности через естествознание Нового времени к современной науке. В собственно рефлексивном плане она стала осмысливаться с конца XIX - начала ХХ в. на фоне невиданных ранее успехов естественных наук в познании природы. Говоря об успехах естествознания того периода, лидер европейских математиков Давид Гилберт связывал их с развитием формальных наук - математики и логики, с тем, что они смогли дать другим наукам успешные и эффективные средства познания, среди которых были аксиоматический метод и правила логического вывода [Гилберт, 1998, с. 55]. С того периода собственно и формируется рефлексивный методологический дискурс относительно того, что же представляет собой математика как универсальный метод или органон наук, позволяющий получать новое и поразительно точное знание о мире. Этот дискурс возникает и развивается как в самой математике - в виде методологического анализа математики и ее метода логико-математическими средствами (метаматематика), так и в более широком философско-методологическом контексте в виде философии математики, где проблемы осмысливаются с учетом философских, теоретико-познавательных традиций [Целищев, 2002; Канке, 2011]. Отмечая эти тенденции, известный математик-алгебраист

91

Гельмут Хассе писал, что после периода бурного развития и успехов математики в XVIII-XIX вв. наступает период их рефлексивного осмысления, подведения итогов и обдумывания путей дальнейшего развития [Хассе, 1953]. И в этот процесс, учитывая значимость математики, вовлекаются как сами математики, так и представители других наук, а также философы и историки науки.

Важным аспектом этого осмысления стало и разделение математики на чистую (фундаментальную, теоретическую) и прикладную. С этой дихотомии начинает свою знаменитую работу «Лекции о развитии математики в XIX столетии» Феликс Кляйн [Кляйн, 1937], а в хорошо известной российскому читателю книге «Математическое мышление» Герман Вейль говорит о нем уже на первых страницах. «Под математическим способом мышления я понимаю, во-первых, особую форму рассуждений, посредством которых она проникает в науки о внешнем мире - физику, химию, биологию, экономику и т.д. и даже в наши размышления о повседневных делах и заботах, во-вторых, ту форму рассуждений, к которым прибегает в своей собственной области математик, будучи предоставленным самому себе» [Вейль, 1989, с. 6].

В известном смысле это деление, разумеется, имело место и раньше, более того - оно прослеживается на протяжении всей истории математики, начиная с глубокой древности. В древнегреческой математике, например, важное место занимала идея противопоставления чистой математической науки практической или вычислительной математике, идущей от древних египтян и вавилонян. В математике Нового времени тоже встречались подобные противопоставления [Шибасов, Шибасова, 2015]. Но в более четком и рефлексивном плане выделение этих частей или ориентаций математической науки стало происходить именно в конце XIX в., приобретая значимость для осмысления итогов развития математической науки и определения ее перспектив.

Определение чистой математики означало исключительную ориентацию математики на исследование мира математических объектов (чисел, фигур, групп, множеств и др.), их отношений и операций над ними или «своей внутренней жизни как чистой науки» («Eigenleben der Mathematik als einer reinen Wissenschaft») [Хассе, 1953]. Соответствующим образом определялись и ее приоритетные методы, которые связывались, прежде всего, с изучением этих абстрактных объектов и отношений. А прикладная математика понималась как ориентированная на выход за пределы мира чистой математики, на возможности использования (приложения) полученных ею знаний к объектам и процессам реального мира, изучаемого также различными науками [Рузавин, 1983; Самарский, Михайлов, 2001].

Осмысление этой дихотомии математического знания порождало и порождает определенные проблемы, которые можно сгруппировать вокруг двух тенденций: к подчеркиванию особенностей и преимуществ соответственно чистой либо прикладной математики. В первом случае проблемы

92

возникают ввиду особой абстрактной природы объектов и понятий чистой математики и вытекающих из этого способов оперирования ими, а также процедур получения в ней знаний и их характера. Без рефлексивного осмысления и учета всех особенностей соответствующих объектов, методов и процедур математическое знание не может получить статуса вполне точного и строго обоснованного, а также служить основой для дальнейшего развития математической науки. Этим не отличается прикладная математика, задачи которой экзогенны, ориентированы не на математическую науку, а на предметы и области, лежащие вне ее. Исходя из этого, в ней иногда видят «не вполне» математику, «приближенную математику», что вызывает к ней соответствующее отношение со стороны «чистых» мате-матиков1.

В свою очередь и у прикладной математики имеются свои резоны, так как именно она позволяет применять математические знания в науках и практике. В самом общем виде ее претензии к чистой математике могут сводиться к чрезмерной абстрактности и оторванности от конкретных практических и познавательных задач, к замкнутости на собственных критериях и проблемах, с трудом понимаемых и принимаемых за ее пределами. На этом фоне подчеркиваются преимущества прикладной математики, а сфере чистой математики отводят некую обслуживающую прикладные исследования функцию.

Разумеется, жесткие противопоставления здесь являются крайностями, а более признанной является идея единства математики. Канке, например, считает даже, что прикладной математики как таковой вообще нет [Канке, 2008]. Но рамка единства не исключает самых разных версий и вариантов отношений чистой математики и прикладной - от тесного сближения до автономии и конкуренции [Рузавин, 1984; Гусев, 2001; Лебедев, 2010].

Для нашей темы, связанной с изучением органонов-интеграторов научного знания, включая рассмотрение в их числе и математического органона, деление математического знания на «чистое» и «прикладное» может приобрести важное эвристическое значение. Оно имеет некоторое концептуальное сходство с идеей выделения чистых (очищенных) и насыщенных или предметных органонов, предложенной в ряде предшествующих публикаций [МЕТОД, 2014; МЕТОД, 2015]. В этом плане концепту чистого (математического) органона может быть уподоблена в каких-то своих аспектах чистая математика, а предметному органону - прикладная. Разумеется, это уподобление достаточно условно и требует различных пояснений, которые мы попытаемся представить ниже. Тем не менее попробуем все же его придерживаться при анализе математики как трансдисциплинарного органона, а также, возможно, и использовать при изучении других органонов-интеграторов.

1 В этом ключе, например, может быть понята полемика К. Якоби и Ж. Фурье, упоминаемая Д. Гильбертом [Гильберт, 1998, с. 57].

93

2. Формализация аксиоматического метода

Важной вехой в становления чистой математики может считаться утверждение в ней аксиоматического метода. В своем первоначальном виде он был реализован уже в «Началах» Евклида и состоял в том, чтобы получать математические знания из некоторого ограниченного набора определенных интуитивно очевидных умозрительных истин (аксиом) путем логических доказательств. Но с середины XIX в. усилиями многих математиков и логиков, среди которых обычно упоминаются Д. Буль, Г. Фреге, К. Дедекинд, Д. Пеано, Б. Рассел и др., эта версия аксиоматического метода стала пересматриваться и получать новую трактовку [Бурбаки, 1963; Пер-минов, 2001 и др.].

В обобщенном виде методологическая рефлексия аксиоматического метода в математике была представлена, в частности, в работах Гильберта, где была предложена концепция его формализации [Гилберт, 1998]. В контексте формализации стало возможным различать содержательную и формализованную аксиоматику. Например, аксиоматика геометрии Евклида является содержательной и рассматривается как частный случай более общей, формализованной аксиоматики геометрии, предложенной Гильбертом [Гильберт, 1948]. При формализации в качестве аксиом берутся уже не некоторые самоочевидные истины умозрения, а утверждения, удовлетворяющие правилам их развертывания в формализованной системе. В числе этих правил Гильберт особенно выделяет консистентность (непротиворечивость, согласованность), а также полноту и независимость [Гильберт, Бернайс, 1982]. Если эти правила (особенно первое) соблюдены, а также выполнены некоторые технические условия, связанные с символическими обозначениями, то система аксиом может производить новое знание в виде доказанных в ней утверждений (теорем). Конечно, это знание является формализованным, абстрактным, отвлеченным («очищенным») от содержания и не похожим на содержательные знания опытных наук. Но оно представляет собой знание более точное и обоснованное, чем у этих последних. При этом оно может быть проверено, уточнено и развито в рамках аксиоматической системы [Гильберт, Бернайс, 1982, с. 124-166, 320].

Может быть поставлен вопрос: о чем это знание? Что является его объектом? В самом общем виде здесь можно сказать, что это знание о формализованных символьных системах, которые образуются путем формализации аксиоматики, их свойствах и особенностях функционирования и развертывания, а применительно к математике - это знание о формализованных системах аксиоматически заданных математических объектов1.

1 Вопрос об онтологическом статусе объектов математического знания является одним из центральных в философии математики. Ему посвящена огромная литература [Пер-минов, 2001; Целищев, 2002 и др.]. Но в данном случае мы его не касаемся, а ограничиваемся методологическим подходом к формализмам чистой математики, характерным для

94

Можно также добавить, что разработка формализованных аксиоматик различных областей математической науки была частью так называемой программы Гильберта по обоснованию математики, предполагавшейся к осуществлению с помощью формально-логических средств и финитных математических суждений [Hilbert, 1900; Светлов, 2006]. Логико-математический комплекс этих методологических знаний получил затем название метаматематика.

Формализация аксиоматики позволяет отвлекаться от содержания, которое кодируется в символической форме, и переносить акцент на формальные правила вывода в процессе оперирования символами, отслеживая, прежде всего, консистентность и полноту, выраженную в этих операциях. У Гильберта, который в философском плане отталкивался от Канта, эта формализация математического метода в чем-то напоминает кантов-скую трактовку познания a priori [Смирнова, 1997]. У Канта оно осуществляется без обращения к опыту посредством активности «чистых» (априорных) способностей сознания: чувственных интуиций и категориального мышления [Кант, 1964]. У Гильберта оно тоже априорно, но он идет дальше, отвлекаясь не только от опыта, но и от содержательных интуиций (благодаря которым у Канта возможна математика) и перенося акцент на формальные правила аналитических суждений и их непротиворечивость. Здесь его подход иногда сопоставляют с тенденциями философии логического эмпиризма, представленного Л. Витгенштейном, Р. Карнапом и др. [Витгенштейн, 1994; Карнап, 1971]. Хотя в данном вопросе есть и более острожные мнения, в том числе и сближающие трактовку содержательной интуиции у Гильберта и Канта [Смирнова, 1997; Целищев, Хлебалин, 2014].

Тем не менее акцент на формализацию аксиоматического метода в методологии математики, идущей от Гильберта, вполне очевиден. А это приводит к приоритетному рассмотрению в его подходе, прежде всего, правил вывода или логического синтаксиса формализованных аксиоматических систем в отвлечении от их семантики. Получаемые в результате развертывания таких систем «очищенные» от содержания знания имеют статус семантически не интерпретированных. Имеется в виду неопределенность их семантики, что предполагает возможность их различных семантических интерпретаций применительно к разным содержательным предметным областям. В дальнейшем процесс семантизации формализованных аксиоматик или исчислений был рассмотрен в теории моделей, предложенной Тарским [Tarski, 1944; Тарский, 1948].

В предельно упрощенном смысле можно сказать, что теория моделей позволяет интерпретировать или «переводить» консистентность (согласованную непротиворечивость) формализованного исчисления (аксиоматической системы) в область значений истинного и ложного. Интерпретация представляет собой функцию, приписывающую значения

той традиции, где они рассматриваются как мысленные конструкции [Рассел, 1996; Гильберт, Бернайс, 1982 и др.].

95

всем формулам формализованного языка на так называемой области рассмотрения. В области рассмотрения символьным выражениям формализованного языка сопоставлены объекты, подчиняющиеся преобразованиям по правилам истинности. Возможной моделью М формального языка Ь считается область значений функции I (интерпретация), где объекты области рассмотрения принимают истинные значения. Считается, что при интерпретации формальной системы истинные значения принимают все ее аксиомы, которые и образуют ее логико-семантическую модель [Робинсон, 1967, с. 27-44].

С точки зрения исследования проблематики трансдисицплинарных органонов рассмотренные выше аспекты методологии чистой или теоретической математики могут иметь определенное эвристическое значение. Так, процедура «очищения» от предметности в рамках трансдициплинар-ного органона и формирования его чистой или очищенной версии может быть в какой-то мере уподоблена созданию формализованных аксиоматик в математике. В процессе очищения органона, например, могут быть выделены и изучены моменты перехода от его неаксиоматизированного понимания к содержательно аксиоматизированому, а от этого последнего к частично или полностью формализованному. В ходе этого перехода в нем будут меняться статусы предметного содержания в плане «очищения» и, соответственно, методы получения знаний. На стадии перехода к формализации будет возрастать роль формальных методов, усиливаться роль правил преобразования формализованных объектов и критериев получения из них выводов. В этом плане «чистый» трансдисцплинарный органон может быть понят как совокупность такого рода правил и критериев формализованной системы, позволяющих получать в ней «чистое» или неин-терпретированное знание. В математике роль чистого органона может выполнять совокупность формализованных аксиоматик ее различных областей, включая сюда также попытки (пока не осуществленные) строительства на этой основе и некоей общей аксиоматики математики. Они поставляют в математике «чистое» (неинтерпретированное) математическое знание или знание о синтаксисе ее формализованных систем, исчислений или языков, которые семантически интерпретируются в области содержательных объектов.

Формализацию иногда называют «обоюдоострым» инструментарием. Это значит, что ее сильные стороны имеют и свою противоположность, порождающую проблемы. Хорошо известны такие свойства формализованного знания, как точность терминов, доказательность, аподиктичность, проверяемость, эффективность, адаптивность к формализованным языкам компьютерного программирования, а также возможность распространения на самые различные предметные области (содержания) и многие другие. В то же время их оборотной стороной являются упрощение, негибкость терминов, возможность доказательства фикций, некорректные переносы из одной области в другие, скрытые или неявные допущения и т.д. Кроме

96

того, применительно к математике возможности формализации обнаружили свою ограниченность ввиду доказательства теоремы Геделя о неполноте. Согласно ему, в формальных системах всегда можно выявить вполне корректно сформулированные на их языке положения, которые не могут быть доказаны их же средствами. И для их доказательства необходимо обращение уже к другой системе [Успенский, 1982; Тарский,1972].

3. Генетический (алгоритмический) метод в математике

Критические моменты, связанные с формализацией чистой математики, стимулировали дискуссии вокруг ряда ее идей и концептов. Одним из таких критических течений стало конструктивистское (конструктивное) направление. Обычно его определяют как течение, акцентирующее присутствие в математике конструктивных объектов и конструктивных процессов [Марков, 1962]. В самом общем виде под этим понимается включение в математические исследования лишь объектов с ясно указанными способами построения. Считается, что конструктивизм вырос из критики формального аксиоматического метода, в частности присутствующих там многочисленных «теорем существования», допускающих доказанность (непротиворечивость) существования формальных объектов, которые невозможно построить за конечное количество шагов. Ему он противопоставляет так называемый «генетический метод» в математике, требующий обязательного указания при доказательстве процедуры построения (генезиса) математического объекта [Вейль, 1989, с. 21-22]. Одной из теоретических основ (в качестве источников также называют интуитивизм Л. Брауэра) конструктивной математики считается появившаяся в середине ХХ в. теория алгоритмов [Марков, Нагорный, 1984]. В ней давалась математически уточненная трактовка понятия алгоритма как дискретного (пошагового) формализованного и детерминированного процесса преобразования определенного набора исходных данных, ведущего к определенному результату. Результативность алгоритмического процесса предполагала его конечность, а применение этого понятия к математическим объектам позволяло понять их как результаты определенных алгоритмов, обнаруживая тем самым их конструктивную природу.

Такая трактовка построения математических объектов (конечность, детерминированность, результативность) вызвала расхождение конструктивной математики с традиционной (или теоретико-множественной) по ряду вопросов. В частности, вместо признания актуальной бесконечности конструктивисты признавали лишь потенциальную (абстракция потенциальной осуществимости), в логике оспаривался закон исключенного третьего ^ейшш поп datur) и вводилась особая конструктивная логика, критиковалась теорема выбора из теории множеств и другие [Новиков, 1977; Игошин, 2008]. При этом в конструктивном направлении отношения

97

к традиционной математике различаются в интервале от противопоставления до сближения. В целом считается, что решения и доказательства в конструктивной математике являются более сложными и громоздкими, что связано с дополнительными построениями в ее «генетическом методе» по сравнению с аксиоматикой традиционной математики, а одной из проблем является сложность вычисления алгоритмов. В то же время полученные результаты могут быть более точными и тонкими, чем в традиционной математике, позволяя давать более точные описания формализованных математических систем [Непейвода, 2011, 2012]. В целом, развиваясь в рамках чистой математики, конструктивное направление активнее ориентировалось на вычислительные возможности своих построений, на определение границ и эффективности вычислений, их результативность. Это сближало ее с проблематикой прикладной вычислительной математики, а алгоритмизация - с компьютерными науками и информатикой.

Для нашей концептуализации математического органона и его процедур идеи и само появление конструктивной математики могут представлять существенный интерес. В методологическом плане они развивают и дополняют идеи формализованных аксиоматик, о которых было сказано выше, своими генетическими или конструктивными построениями. В ней формализуются не только процессы развертывания аксиоматических систем, но и процедуры построения их объектов, что нашло отражение в дополнении формального синтаксиса формальными грамматиками. В области методологии математики это привело к расхождениям и спорам, но, вероятно, обогатило математику в целом, создав в ней альтернативы, драйверы напряжения, и вместе с тем породило тенденцию к поиску сближения конструктивистского и традиционного подходов [Мартин-Леф, 1975]. Вейль, например отмечает, что часто построения современной математики представляют собой «искусное сочетание конструктивного и аксиоматического подходов» [Вейль, 1989, с. 41], хотя и относится к этому скорее критически.

Также и в нашей концептуализации математического органона можно было бы рассмотреть генетические формализации конструктивной математики как дополнения аксиоматических формализаций традиционной. Тогда, например, процедуру его «очищения» от предметного содержания, выше сопоставленную с формализацией аксиоматики, можно было представлять в альтернативном или взаимно дополняющем виде. Включая туда также «генетическое» или «порождающее очищение» и имея под ним в виду формализацию способа построения (порождения) объектов исследования.

В методологии конструктивной математики такое построение осмысливается через понятие «конструктивного процесса» («конструктивной системы»). В самом общем виде оно означает некий порождающий процесс, в котором заданы: определенный набор исходных, не разложимых далее элементов; перечень их потенциально возможных комбинаций; правила, регулирующие образование таких комбинаций исходных элемен-

98

тов, которые ведут к определенному результату. Результат является конструктивным объектом; а регулирующие правила, если они носят предписывающий характер и осуществляются за конечное количество шагов, -порождающим этот объект алгоритмом [Ершов, 2009].

В конструктивной математике исследования конструктивных процессов, как правило, ведутся на основе задания различных формальных алфавитов и правил образования из их буквенных сочетаний «слов» или формул, имеющих определенное значение [Марков, 1962, с. 8-9]. Правила получения имеющих значение «слов» являются алгоритмом. В математике, например, алгоритмом считается способ задания исчислимых функций. Но таким же образом, т.е. как область получения значимых суждений, может быть представлена и любая область науки, а ее фундаментальные понятия - как порождающие процессы, а при определенных условиях и как алгоритмы. Тогда «конструктивным» или «порождающем очищением» в нашем понимании могло бы быть «очищение», которое в рамках чистого органона заменяет предметное содержание наук не столько схемой его развертывания, сколько схемами его порождения (конструирования) в различных науках.

4. Построение математических моделей

Для дальнейшей концептуализации математики как трансдисциплинарного органона может быть полезно еще раз обратиться к проблематике моделей и моделирования в математике. Выше мы уже коснулись вопроса о построении моделей в чистой математике. Соответствующая теория объясняет их как результаты семантической интерпретации формализованных систем в области определенных математических объектов [Робинсон, 1967]. Но помимо этого понимания модели есть и другое, которое в духе общего понятия определяет математическую модель как некоторое представление (подобие) реальности, создаваемое математическими средствами [Самарский, Михайлов, 2001]. В этом случае из сферы методологии чистой математики мы скорее попадаем в область прикладной, где, как уже отмечалось, приоритетными являются вопросы приложения математического знания к внешнему миру, опытным наукам и практике, а задачи по созданию математических моделей различных фрагментов реальности считаются едва ли не главными в прикладной математике. Тогда и применительно к нашей трактовке математики как органона проблематика построения математических моделей могла бы быть соотнесена скорее с его прикладной или предметной версией, а в ее анализе преобладал бы предметно ориентированный подход, направленный, например, на изучение особенностей математических моделей в отдельных предметных областях. Но, судя по всему, положение дел здесь не столь однозначно, и при по-

99

строении математических моделей на роль чистой и прикладной математики можно взглянуть и с точки зрения их взаимосвязи [Охлопков, 2010].

Во-первых, обычно отмечается, что для построения математической модели какой-либо предметной области непременным условием является ее предварительная хотя бы частичная формализация1. Уже должна иметь место некоторая достаточно развитая содержательная теория, которая бы представляла изучаемые объекты и отношения в абстрактном и частично формализованном виде. И уже на этой стадии возможно использование в данной теории математики, прежде всего прикладной, в качестве ее вспомогательного средства, но не в качестве модели реальности, ибо такой моделью, по существу, является сама содержательная теория, которую математика еще не может вполне заместить2.

С этим связано второе обстоятельство, которое также активно обсуждается. Это - выделение различных видов и классификаций математических моделей [Рузавин, 1984, Мышкас, 2007; Айшапп, 2006; Айшапп, Кирреге, 2011 и др.]. При этом используются разные основания, в том числе и вытекающие из особенностей предметных теорий, используемых методов моделирования, глубины и познавательного статуса моделей и т.д. Для нас может представлять интерес выделение так называемых дескриптивных и объяснительных математических моделей [Лебедев, 2010], что позволяет лучше понять познавательную роль математики как чистого органона в моделях. В дескриптивных моделях, ориентирующихся на внешние эмпирические аспекты предметной области и использующих преимущественно готовые методы прикладной математики, эта роль сравнительно невелика. Но и познавательные возможности этих моделей в основном ограничены уточнениями и определениями количественных параметров предмета содержательной теории. Иное дело в объяснительных или проективных моделях. Здесь важнейшую роль играет математический язык, который претендует на замещение представленной в содержательной теории реальности, а следовательно, и проблематика строения, функционирования и развития этого языка, представленная в чистой математике.

В этом собственно состоит третье отмечаемое обстоятельство связи чистой и прикладной математики при построении математических моделей. Это - проблематика осмысления математики в качестве, прежде всего, языка таких моделей, которые позволяют объяснять и проектировать (т.е. моделировать) реальность. А это уже область чистой математики или, в нашей трактовке, чистого органона. И существенным здесь оказывается

1 Опыт предварительной формализации теории на доматематическом уровне применительно к макроистории анализирует Н.С. Розов [Розов, 2011].

2 Примеры такого моделирования в трудно формализуемых научных областях были не раз представлены в МЕТОДе [Моделирование исторической динамики, 2011; Золян, 2012; Ахременко, Петров, 2014 и др.] и в других публикациях [Ахременко, Петров, 2012, Fiorina, 1975 и др.].

100

вопрос: как, в силу чего формализованный язык чистой математики может становиться языком моделей, способных «замещать» реальность и к тому же давать расширение знания?

Ответ здесь в общих чертах может быть примерно следующим. Во-первых, математическая модель «замещает» не реальность, а уже формализованную в той или иной степени содержательную теорию. И степень этой формализации имеет значение: чем она выше, тем выше возможности математической модели служить познавательному расширению этой теории, повышению ее эффективности.

Во-вторых, термин «замещает» здесь, скорее, метафора. В более точном смысле в контексте построения модели используются понятия изоморфизма и гомоморфизма. Имеется в виду, что формализованный язык чистой математики и частично формализованный язык содержательной теории приводятся в модели к сходству или подобию «с точностью до изоморфизма или гомоморфизма». Точнее говоря, они не заменяют или замещают друг друга, а приводятся к изоморфному или гомоморфному соответствию, действующему на определенном «интервале абстракции» [Новоселов, 2000; 2003].

В-третьих, универсальный и формализованный язык чистой математики, используемый для построения моделей, не статичен, он продолжает изменяться и развиваться логико-математическими средствами в рамках самой математики, о чем свидетельствует появление там новых неклассических направлений, например рассмотренной выше конструктивной математики, а также в сфере неклассических логик. Иногда эти изменения характеризуются как развитие теории формализаций и формальных языков ad Ьоттет1 [Новоселов, 2003], что ведет их к сближению с содержательными языками науки и естественными языками2. При построении математических моделей это способствует росту соответствия формальных и содержательных языков, расширяя их познавательные возможности [Арнольд, 2004; Зайцев, 2006; Лебедев, 2010].

В этих возможностях объяснительных математических моделей обычно отмечается несколько моментов. Формализованный математический язык модели позволяет расширять концептуальное содержание теории за счет его распространения на значительно более широкую эмпирическую область, выходящую далеко за пределы непосредственного и экспериментального опыта. То же относится и к проективным, эвристическим возможностям математических моделей - в них присутствует формальная полнота объяснения, что дает возможность предсказывать новое,

1 Ad Иоттет (лат.) к человеку; с точки зрения человека.

2 На эту же тенденцию применительно к семиотике указывает С. Золян [Золян, 2014], а в публикации в этом выпуске он отмечает значение семиотического подхода в развитии математики [Золян, 2016]. В этом же русле идут публикации Т. Шияна [Шиян, 2012], С. Семеновой [Семенова, 2015], Ю. Манина [Манин, 2008] и др.

101

еще не обнаруженное в опыте. Еще одна возможность - изменение семантики математической модели, в этом случае формальная сторона модели сохраняется, но выступает как частный случай формализма более общей модели.

Таким образом, в целом математическая модель может выступать как бы центральным звеном нашей концептуализации математики как трансдисциплинарного органона. Его чистая и насыщенная (прикладная) версии выполняют здесь определенные функции, помогая обеспечивать эффективное и интегрирующее взаимодействие сферы абстрактного математического знания с содержательным миром опытных наук.

5. Концептуальная схема математического органона

Сказанное можно попытаться проиллюстрировать концептуальной схемой математического органона, приведенной ниже.

Математика как трансдисциплинарный органон

"Насыщение1

Прикладная математика

Измерения Вычисления

Объекты и теории предметных наук

Содержательные теории ^^

Использование ]

<2

Очищение"

Чистая математика

Рефлексия Формализация

Математические объекты и формализованные системы

Язык моделирования

Математические модели

О

На ней в схематической форме представлен математический органон как некоторая функционально организованная совокупность его основных элементов и процессов. В структуре математики, как было сказано выше,

102

выделяются два основных сегмента - чистая и прикладная математика, которые концептуально сопоставлены двум версиям математического органона - очищенной (чистой) и насыщенной (прикладной). В схеме каждая из них характеризуется двумя главными свойствами - объектными и процессуальными. В объектном плане чистый органон, прежде всего, ориентирован на область самой математической науки - математические объекты и все, что с этим связано. В процессуальном плане - его ведущими свойствами являются «очищение» от содержательной стороны предмета и сведение его изучения к формальной стороне, а также логико-математическая рефлексия этого процесса, представленная в метаматематике. На схеме это обозначено как «формализация» и «рефлексия». Это значит, что в рамках чистого органона математические объекты изучаются, прежде всего, как формализованные символьные системы, с их свойствами и правилами, а также происходит рефлексия этого процесса. В «насыщенной» или прикладной версии математического органона объектная сторона обозначена как «объекты и теории предметных наук». Это означает, что здесь математика отвлекается от проблематики своих собственных математических объектов, а используется как метод познания объектов других наук. В процессуальном плане - это свойство обозначено как «вычисление», поскольку главной сферой прикладной математики является решение вычислительных задач, связанных с изучением количественных аспектов в различных областях науки и практики. В этой части схемы также есть стрелка с надписью «использование», показывающая связь чистой и прикладной математики в этой фазе. Она означает, что в прикладных вычислениях в качестве готовых методов используются отдельные системы исчисления, установленные в чистой математике.

Но главным и наиболее продуктивным в познавательном плане действием математического органона, в котором представлены компоненты и чистой, и предметно насыщенной версий является, как уже сказано, построение математических моделей. На схеме это обозначает элемент «математическая модель». К ней ведут две стрелки от объектных областей чистой и прикладной математики. На схеме они показывают, что первая представляет собой формальный язык математической модели, а вторая -его семантическую интерпретацию в сфере содержательной теории. В случае нахождения адекватного соответствия формального языка модели и ее предметного содержания она способна служить расширению знаний в различных предметных областях, что также показано на схеме.

Заключение

Таким образом, математика как трансдисциплинарный органон, способствующий расширению знания, в самом общем виде может быть понята преимущественно в аспекте способа или способности построения мате-

103

матических моделей в различных областях науки. В предлагаемой трактовке чистый математический органон (чистая математика) находит место в статусе источника универсального языка (совокупности языков) такого моделирования, а насыщенный органон (в данном случае прикладная математика) - в статусе средства содержательного наполнения («насыщения») этих моделей. Главная особенность этого языка / языков - представленность в виде формальной знаковой системы, отвлеченной от содержания, но способной давать формальные (непротиворечивые) знания с неопределенной семантикой. Они важны для моделирования, так как предполагают возможность семантической интерпретации или «насыщения» посредством соотнесения с областью некоторых содержательных суждений. В математике они интерпретируются в области математических объектов, но возможна их интерпретация и за ее пределами - на содержательных теориях различных наук. Для этого, как мы знаем, нужна, с одной стороны, предварительная формализация содержания этих теорий, позволяющая применять к ним математический язык, с другой - осуществляющая это прикладная математика. В этом смысле в модели она является как бы связующим звеном между формальным языком чистой математики и содержательным языком предметных теорий. Эта связь может быть более либо менее глубокой и полной, отличая степень математизации различных наук, но она всегда остается отношением изо- или гомоморфного подобия, а не чем-либо другим.

Для нашей дискуссии о трансдисциплинарных органонах такая трактовка математики (как моделирующего посредством формальных знаковых систем предметное содержание науки органона) может быть интересна следующим. Во-первых, она позволяет лучше представить возникающие здесь познавательные эффекты и ограничения. Что и почему математическая модель может дать познанию, обеспечив его расширение, а что она дать не может. Во-вторых, акцент при анализе математического органона на построении математических моделей может помочь лучше понять способ взаимодействия в нем чистой и прикладной (насыщенной) версий, т.е. расширить и наши методологические знания об этом процессе. Так, например, в нашем изложении определенное подтверждение находит ранее предложенная гипотеза о метаязыковых свойствах чистого органона по отношению к его предметной версии. В-третьих, анализ построения математических моделей может лучше показать и раскрыть отношения между математикой и другими органонами, прежде всего семиотикой и морфологией, о чем много говорилось в наших обсуждениях. Например, знаковые системы математики и их роль в математических моделях могут быть сопоставлены или дополнены анализом знаковых систем в семиотике, с учетом, разумеется, их специфики. Также и возникающие в математических моделях отношения изоморфизма и гомоморфизма формальных и содержательных систем (языков) познания могут определенным образом дополнительно изучаться средствами общей или сравнительной морфологии.

104

Список литературы

Авдонин В.С. Методологическая интеграция в науке // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2014. - Вып. 4: Поверх методологических границ / Ред. и сост. вып. М.В. Ильин. - С. 12-32.

Авдонин В.С. Методы в «вертикальном» измерении (метатеория и метаязыки-органоны) // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. - М., 2015. - Вып. 5. - С. 265-278.

Арнольд В.И. Жесткие и мягкие математические модели. - М.: МЦНМО, 2004. - 32 с.

Ахременко А.С., Петров А.П. Политические институты, эффективность и депривация: математическая модель перераспределения политического влияния // Полис. - М., 2012. -№ 6. - C. 81-100.

Ахременко А. С., Петров А.П.Ч. Институциональное инвестирование и эффективность общественной системы: опыт математического моделирования // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2014. - Вып. 4: Поверх методологических границ; Ред. и сост. вып. М.В. Ильин. - С. 62-82.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Иностранная литература, 1963. - 292 с.

Вейль Г. Математическое мышление. - М.: Наука, 1989. - 400 с.

Вейль Г. Симметрия. - М.: Наука, 1968. - 192 с.

Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. II: Замечания по основаниям математики. - М.: Гнозис, 1994. - 612 с.

Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1 / Пер. Ю.А. Данилова. - М.: Изд-во «Факториал», 1998. - 575 с.

Гилберт Д. Познание природы и логика // Знание сила. - М., 1998. - № 1. - С. 55-63.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. - Т. 2: Теория доказательств. - М.: Наука, 1982. - 652 с.

Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. И.С. Градштейна. - М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1948. - 491 с.

Смирнова Е.Д. Кант и гильбертовская теория доказательств (роль идеальных образцов у Д. Гильберта и И. Канта) // Логические исследования. - М.: Наука, 1995. - Вып. 3. - С. 5-15.

Кант И. Критика чистого разума // Сочинения. - М.: Мысль, 1964. - Т. 3. - 799 с.

Гусев C.C. Математизация науки. // Энциклопедия эпистемологии и философии науки. -М.: «Канон+»: РООИ «Реабилитация»: И.Т. Касавин, 2009. - 1248 с.

Дорфман Я.Г., Сергеев В.М. Формальная логика как знаковая система // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2014. - Вып. 4: Поверх методологических границ / Ред. и сост. вып. М.В. Ильин. - С. 44-61.

Ершов С.С. Элементы теории алгоритмов: Учебное пособие. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2009. - 64 с.

ЗайцевВ.Ф. Математические модели в точных и гуманитарных науках. - СПб.: ООО «Книжный Дом», 2006. - 112 с.

Золян С.Т. Логика предпочтений и решение конфликтов: (На примере Карабахского конфликта) // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2012. - Вып. 3: Возможное и дей-

105

ствительное в социальной практике и научных исследованиях / Ред. и сост. вып. М.В. Ильин. - С. 17-35.

Золян С.Т. Модальная семиотика: основания и обоснования // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2014. - Вып. 4: Поверх методологических границ / Ред. и сост. вып. М.В. Ильин. - С. 97-121.

Золян С. Т. Семиотика как органон гуманитарного знания: возможности и ограничения. -В печати.

Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов - М.: Изд центр «Академия», 2008. - 448 с.

Ильин М.В. Методологический вызов // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2014. -Вып. 4: Поверх методологических границ / Ред. и сост. вып. М.В. Ильин. - С. 6-11.

Канке В.А. Философия математики, физики, химии, биологии. - М.: КНОРУС, 2011. - 368 с.

Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. - М.; Л.: ГОНТИ, 1937. - Ч. 1. - 432 с.

Карнап Р. Философские основания физики. Введение в философию науки. - М.: Прогресс, 1971. - 390 с.

Клини С.К. Введение в метаматематику. - М.: Издательство иностранной литературы, 1957. - 527 с.

Круглый стол «Математика и семиотика: две отдельные познавательные способности или два полюса единого органона научного знания?» // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2014. - Вып. 4: Поверх методологических границ / Ред. и сост. вып. М.В. Ильин. - С. 122-141.

Лебедев С.А. Структура, методы и развитие научного знания // Философия науки / Под общ. ред. Лебедева С.А. - М.: Академический проект, 2010. - С. 139-304.

Лекторский В.А. Реализм, антиреализм, конструктивизм и конструктивный реализм в современной эпистемологии и науке // Конструктивный подход в эпистемологии и науках о человеке / Отв. ред. В.А. Лекторский. - М., 2009. - С. 4-40.

Манин Ю.И. Математика как метафора. - М.: МЦНМО, 2008. - 400 с.

МарковА.А., НагорныйН.М. Теория алгорифмов. - М.: Наука, 1984. - 432 с

Марков А.А. О конструктивной математике // Тр. МИАН СССР. - М.: АН СССР, 1962. -Т. 67. - С. 8-14.

Мартин-ЛёфП. Очерки по конструктивной математике. - М.: Изд-во «Мир», 1975. - 136 с.

Новиков П.С. математическая логика с точки зрения классической. - М.: Наука, 1977. -328 с.

Моделирование исторической динамики // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2011. - Вып. 2: Альтернативные парадигмы мирового развития. - С. 167-238.

Мышкис А.Д., Элементы теории математических моделей. - М.: КомКнига, 2007. - 191 с.

Непейвода Н.Н. Конструктивная математика: обзор достижений, недостатков и уроков. Часть I // Логические исследования. - М.; СПб.: ЦГИ, 2011. - Вып. 17. - С. 191-239.

Непейвода Н.Н. Конструктивная математика: обзор достижений, недостатков и уроков. Часть II // Логические исследования. - М.; СПб.: ЦГИ, 2012. - Вып. 18. - С. 157-181.

Новоселов М.М. Логика абстракций (методологический анализ). Ч. 1. - М.: ИФ РАН, 2000. - 191 с.

106

НовоселовМ.М. Логика абстракций (методологический анализ). Ч. 2. - М.: ИФ РАН, 2003. -155 с.

Охлопков Н.М. Исследование закономерностей развития математической картины мира и особенностей развития современной математики // Вестник СВФУ. - Якутск: СВФУ, 2010. - Том 7, № 4. - С. 139-142.

Перминов В.Я. Философия и основания математики. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. -320 с.

Философия математики и технических наук / Под общ. ред. проф. С.А. Лебедева. - М.: Академический проект, 2006. - С. 25-164, 2006. - 779 с.

Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики - М.: Наука, 1972. - 592 с.

Рассел Б. Введение в математическую философию. - М.: Гнозис, 1996. - 240 с.

Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. - М.: Наука, 1967. - 376 с.

Розов Н.С. Клиодинамика без математики: методы и средства исторической макросоциологии // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. Центр перспективных методологий социально-гуманит. исследований; Ред. кол.: М.В. Ильин (гл. ред.) и др. - М., 2011. - Вып. 2: Альтернативные парадигмы мирового развития. - С. 239-263.

Рузавин Г.И. Математизация научного знания. - М.: Мысль, 1984. - 207 с.

Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. - М.: Наука, 1983. - 300 с.

Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. -М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

Светлов В.А. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия. - М.: КомКнига, 2006. - 208 с.

Семенова С.Ю. Математика и нарратология: в поисках путей сближения // МЕТОД: Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин: Сб. науч. тр. / РАН. ИНИОН. -М., 2015. - Вып. 5. - С. 418-428.

Тарский А. Истина и доказательство // Вопросы философии. - М., 1972. - № 8. - С. 136-145.

Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики // Аналитическая философия: Становление и развитие. - М.: Дом интеллектуальной книги: Прогресс-традиция, 1998. - С. 95-114.

Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. - М.: Иностранная литература, 1948. - 326 с.

Успенский В.А. Апология математики - М.: Амфора, 2009. - 560 с.

Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте. - М.: Наука, 1982. - 112 с.

Целищев В.В., Хлебалин А.В. Интуиция, формальная онтология и семантика знаков в формализме Гильберта // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Философия. - Новосибирск: Наука, 2014. - Т. 12, Вып. 3. - С. 5-11.

Целищев В.В. Философия математики. - Новосибирск: Наука, 2002. - Ч. 1. - 212 с.

ШвырёвВ.С. Научное познание как деятельность. - М.: Наука, 1984. - 232 с.

Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. История математики - М.: Знак, 2015. - 375 с.

Шиян Т.А. Семиотический анализ математической символики: синонимия, полисемия, омонимия, антонимия, конверсия // Гуманитарное измерение меняющегося мира: Сборник статей кафедры Философии и Гуманитарных Наук. - М.: Издат. центр ЕАОИ, 2008. -C. 219-139.

Artmann S. Historische Epistemologie der Strukturwissenschaften. - München: Wilhelm Fink Verlag, 2010. - 359 S.

Fiorina M. Formal models in political science // American journal of political science. - Blooming-ton, 1975. - Vol. 19, N 1. - P. 133-159.

Hasse Н. Mathematik als Geisteswissenschaft und Denkmittel der exakten Naturwissenschaften // Studium generale. - Universitaetsbibliothek Heidelberg, 1953. - Bd. 6. - S. 392-398. - Mode

107

of access: http://www.ub.uni-heidelberg.de/helios/fachinfo/www/math/htmg/Hasse/StudGen.htm

Hilbert D. Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen MathematikerKongreß zu Paris 1900. - Mode of access: https://www.math.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/ rede.html

Küppers Bernd-Olaf, Hahn Udo, and Artmann Stefan (eds.). Evolution of semantic systems, -Berlin; Heidelberg; New York, 2013. - 232 S.

Tarski A. The Semantic conception of troth and the foundations of semantics // Philosophy and phenomenological research. - Buffalo, 1944. - Vol. 4, N 3. - P. 341-375.

108