Вейвлет-анализ фрактальных свойств составляющих GPRS-трафика

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ

УДК 621.396.67

Вейвлет-анализ фрактальных свойств составляющих GPRS-трафика

О.И. Шелухин, С.Б. Матвеев

Рассмотрена оценка самоподобия FR-, FTP-, FTP DATA-, HTTP-, SMTP-, ICMP- и WAP- составляющих GPRS-трафика с использованием вейвлет-анализа.

In clause research of self-similarity GPRS of the traffic on the basis of reports FR-, FTP-, FTP DATA-, HTTP-, SMTP-, ICMP- и WAP-wevelet by a method.

Постановка задачи

С развитием сервисных услуг в сотовых сетях связи, обладающих фрактальными свойствами [1], возникает необходимость в усовершенствовании основных транспортных сетей передачи данных, а зная поведение сетевого трафика, можно судить о степени соответствия данной конфигурации сети поставленным требованиям. Проектирование трафика является одной из основных задач, стоящих перед разработчиками современных сервисов. Оценка производительности трафика для мобильных услуг с пакетной передачей является сложной проблемой, поскольку должны учитываться не только пуассоновские характеристики трафика и динамическое поведение протоколов высоких и низких уровней, но также наличие фрактальных свойств, влияющих на основные показатели качества обслуживания сервисов (QoS).

В статье рассматриваются составляющие GPRS-трафик протоколы, передаваемые в реальном масштабе времени. Исследуемый экспериментальный трафик с пакетной коммутацией состоял из множества мультиплексированных потоков, передаваемых с различными скоростями и методами кодирования.

Разложение сигналов по вейвлет-базису

Вейвлет-анализ [3] выполняется путем разложения выборки X(t): {x(t0), x(ti),...x(tN_i)} объема

п0 = 2/тах , (п0 < N на функции детализации различного масштаба. Здесь /тах=[^2Ж]— максимальное число масштабов разложения; [log2N] — целая часть числа [^2Ж]. Значение индекса масштаба 1 = 0 соответствует случаю максимального разрешения — самой точной аппроксимации, которая равна исходному ряду Х(1), состоящему из п0 отсчетов. С увеличением j (0 < j < /тах) происходит переход к более грубому разрешению. При заданных скейлинг-функции ^ и материнском-вейвлете ^ коэффициенты аппроксимаций а^ и коэффициенты деталей 1 дискретного вейвлет-преобразования для процесса Х(1) определяются следующим образом:

где ф м = 2—1 /2ф(2—Ч — к );у м = 2—1 /2у(2—Ч — к).

В соответствии с положениями вейвлет-анализа временной ряд Х(1) может быть представлен в виде

Х (I) = Х/ (I) + ¿£1 (I),

1=1

п0 /2 / —1

где Х/ () = £а/ кф/к () -функция начальной

к = 0

аппроксимации, соответствующая масштабу /

(//тах); а/к = ^Х(|),ф/ ^ - масштабный коэффициент, равный скалярному произведению исходного ряда У(() и масштабной функции «самого грубого» масштаба /, смещенной на к единиц масштаба вправо от начала координат;

п0/21 —1

Б, (I) = £ К, ку 1 к (I) -функция детализации 1-го

к =0

масштаба, = (Х(I),у ,к ) - вейвлет-коэффи-

циент масштаба 1, равный скалярному произведению исходного ряда Х(1) и вейвлета масштаба 1, смещенного на к единиц масштаба вправо от начала координат.

Материнский вейвлет ^(1) можно представить в виде полосового фильтра с граничными частотами Ш 1 и Ш 2, которые являются соответственно нижней и верхней отсечками частоты для ^(1). В результате коэффициенты деталей 1 можно рассматривать как процесс на выходе полосового

фильтра. Квадрат процесса деталей грубо измеряет энергию около момента времени I = 2;кД и частоты 2"; Ш 0, где А - принятый единичный интервал времени; Ш 0 = (ю1+ю2)/2. Дисперсии процессов деталей К- на всех масштабах {21} (когда такие процессы являются стационарными) это характеристики 2-го порядка процесса Х(0, которые определяют вид «вейвлет-спектра».

Вейвлет-метод оценки самоподобия

Пусть Х(0 будет стационарным в широком смысле процессом. Тогда его вейвлет-коэффициенты 1 могут быть найдены из уравнения [4]

МК,к2] =|/

где /(1) и ¥(1)—спектр мощности для V вейвлет-функции у 0 (•), соответственно.

На основании (1) получаем

М [ 12]~21

где С (Н, у0) —постоянная, зависящая от Ни у 0.

Если длина выборки V равна п, тогда доступное число вейвлет-коэффициентов в октаве 1 равно п, = 2—п. В результате

1 nj

т, = м [,2] — ¿|ки|2.

п1 к=1

Здесь величина ^ является несмещенной и состоятельной оценкой для М[К(;к)2].

Формула (2) описывает возможный способ оценки показателя Херста долговременно зависимых (ДВЗ) процессов в следующем виде:

^2 т 1 ~ (2 Н —1) 1 + с = о/ + с ,

где С =СОШ1.

Это означает, что, если V(I) является ДВЗ с показателем Херста Н, то график зависимости ^2(ц,) от 1, называемый логарифмической диаграммой (ЬБ), имеет линейный наклон (2Н — 1) и масштабный показатель а = (2Н — 1) может быть получен путем оценки наклона графика функции ^2(ц,) от 1. Как показано в [3], можно найти взвешенную оценку а для а на интервале [Д; 12]:

а=Е 1-,

1

С=Е у}у},

Здесь

У1 = log2(т 1) — ё(1),ё- =у(п-/2)/1п2 — (п,/2);

= ¿1 — ¿1 . = .У 2 —1^1

^ {УУТ—УЩ ’(уу2—3^2 ’

где У = ¿^1/012 ; У = £ - /а ,2 ; У2 = £ -2 /а,2 ;

1 = -1 1 = -1 1 = -1

а2 =

2/(п1.1п2 2), п- - число коэффициентов-деталей

на соответствующем уровне разложения,.

При практическом использовании изложенной процедуры оценки показателя Херста должна быть определена нижняя граница масштабирования.

Результаты исследований

Полученные экспериментальные данные ОРЯ8-трафика были разложены на его составляющие по протоколам согласно сетевой иерархии модели 081. Результат исследований на основе вейвлет-анализа (рис. 1-13) показал наличие сложной многомасштабной структуры сетевых составляющих трафика. На этих рисунках представлены следующие зависимости: а - реализация исследуемого трафика; б - автоматический выбор границы масштабирования; в - оценка показателя Херста в предположении монофрактального трафика; г -оценка показателя Херста в предположении муль-тифрактального трафика; д - гистограмма распределения исследуемого трафика; е - коэффициент корреляции исследуемого трафика.

На рис. 1 и 2 изображены входящий и исходящий БЯ-трафики, полученные в результате работы алгоритма автоматического определения об-

ласти масштабирования. Сплошной линией показана «зона быстрого роста», а пунктиром - «зона равновесия». На рис. 1,6 и 2,6 точкой обозначены «границы раздела» между кратковременными и долговременными корреляциями в данных. Если производить оценку по всем доступным масштабам [2], то показатель Херста будет подвержен сильному влиянию кратковременных корреляций (H > 1) и это уменьшит достоверность результата.

На рис. 1,в и 1,г приведены логарифмические диаграммы полученных данных с аппроксимацией, выполненной с учетом выбранной области масштабирования. Полученные графики указывают на наличие двух масштабных областей, в которых выполнены оценки самоподобия. На рис. 2,д представлены гистограммы реальных данных, по которым видна асимметричная форма распределения и медленно убывающей зависимости. Для исследуемых трасс (рис. 1,е и 2,е) были построены коэффициенты корреляции, по графикам которых можно увидеть, что присутствует кратковременно-зависимые процессы, а также, что значение исследуемого ряда являются приблизительно некоррелированными.

На рис. 3 и 4 показаны входящий и исходящий FTP-трафики. По рис. 3,а и 4,а определяем границы раздела между долговременными и кратковременными корреляциями в данных, а по рис. 3,е,г и 4,е,г находим показатель Херста: для ДВЗ - H=0,670 (0,440) и КВЗ - H=0,640 (0,702) соответственно. Наклон графика на всех временных интервалах рис. 3,е,г и 4,е,г определяется масштабным показателем а, где а = (2H — 1). Из рис. 3,д и 4,д видно, что корреляционная функция входящего FTP-трафика имеет более ярко выраженную изменяющуюся ребристую структуру, поэтому можно сказать, что с увеличением показателя Херста корреляционная функция является более коррелированная. Полученные гистограммы также имеют асимметричную структуру (как и у FR-трафика).

На рис. 5 представлен FTP DATA-трафик, объем которого значительно меньше, чем у FTP-

трафика с границей раздела масштабирования j=2. Значения показателя Херста на КВЗ (H=0,708) на один порядок выше, чем на ДВЗ (H=0,606), отсюда видно, что интервал ДВЗ имеет более изменяющуюся структуру, чем интервал КВЗ с учетом аппроксимаций. Наклонный показатель а для КВЗ равен 0,416 и для ДВЗ равен 0,213 с выборочной функцией Q(j) = 1—fj—2 (V(j)), численное значение

которой составляет 1,2-10"4.

На рис. 6 и 7 представлены входящий и исходящий HTTP-трафики, объем которых значительно превышает объемы остальных протоколов. Это показывает, что пользователи сети GPRS в основном пользуются интернетом, используя телефон как модем. Из рис. 6,е,г и 7,е,г видно, что значение показателя Херста на ДВЗ превышает его значение на КВЗ. Построенные гистограммы имеют асимметричную форму и показывают присутствие долговременной зависимости «тяжелого» хвоста. Корреляционная функция с более высоким показателем Херста имеет более гладковыраженную структуру.

На рис. 8-11 представлены входящие и исходящие трафики почтовых протоколов ICMP и SMTP. Из графиков видно, что объемы входящих трафиков превышают объемы исходящих, также увеличивается и значение показателя Херста. С учетом масштабирования границы раздела двух сред составляет j = 4. Из графиков видно, что с увеличением показателя Херста корреляционная функция имеет менее изменяющийся характер, т. е. она обладает долговременной зависимостью.

На рис. 12 и 13 представлен WAP-трафик с границей масштабирования j = 5. Из графиков видно, что корреляционная функция имеет экспоненциальную зависимость по сравнению с другими протоколами, а значение показателя Херста также на порядок выше.

Численные значения усредненного показателя Херста, характеризующего степень самоподобия исследуемых видов трафика, представлены в таблице.

Таблица. Значения показателя Херста, полученного с помощью вейвлет-анализа

Вид трафика FR

Значение Показателя Херста, H 0,864 <N 0 СЛ о" 0 о чо о" 0,702 6 0 чо ,0 0,854 4 8 О, ,0 0,516 4 4 ,0 0,832 0,816 8 5 40, ,0 0,872

Рис. 1. Входящий трафик Frame Relay

Рис. 2. Исходящий трафик Frame Relay

Рис. 3. Входящий трафик ИР

Рис. 4. Исходящий трафик ПР

Рис. 5. Входящий трафик FTP DATA

Рис. б. Входящий трафик HTTP

Рис. 7. Исходящий трафик HTTP

Рис. 8. Входящий трафик ICMP

Рис. 9. Исходящий трафик ICMP

Рис. 10. Входящий трафик SMTP

Рис. 11. Исходящий трафик SMTP

Рис.12. Входящий трафик WAP

Рис.13. Исходящий трафик WAP

Анализ представленных экспериментальных данных указывает на наличие сложной многомасштабной структуры трафика. Полученные значения показателя Херста доказывают, что сетевой трафик, разложенный по протоколам согласно сетевой модели 081, обладает самоподобной структурой.

Из графиков видно, что при увеличении показателя Херста корреляционная составляющая сетевого трафика стремится к распределению по экспоненциальному закону, т. е. имеет долговременную зависимость.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин A.B. Фрактальные процессы в телекоммуникациях / Под ред. О.И. Шелухина - М.: Радиотехника, 2003.

2. Шелухин О.И., Осин, A.B., Ахметшин P.P. Оценка самоподобности речевого трафика вейвлет-методом. - Электротехнические и информационные комплексы исистемы, 2007, т.3, №1.

3. Шелухин О.И., Осин A.B., Арсеньев A.B. Моделирование моно- и мультифрактального телекоммуникационного трафика с помощью вейвлетов. - Электротехнические и информационные комплексы и системы, 2007, т.3, №2.

Поступила 11. 01. 2008.