Радиационный нагрев полупрозрачной среды

УДК 536.33 А. М. Тимофеев

РАДИАЦИОННЫЙ НАГРЕВ ПОЛУПРОЗРАЧНОЙ СРЕДЫ

Построена и численно реализована математическая модель поля излучения и температуры в полупрозрачной среде, формирующегося под действием падающего коллимированного и диффузного излучения. Для решения радиационной задачи разработан подход на основе модифицированного метода средних потоков (СП-метода). Приведены результаты анализа влияния на теплообмен различных факторов: рассеяния излучения, оптической толщины слоя, показателя преломления, конвекции на внешней границе.

Ключевые слова: радиационно-кондуктивный теплообмен, полупрозрачная среда, коллимированный, рассеяние.

А. М. Timofeev

Radiative heating of semitransparent medium

It is constructed and numerically implemented a mathematical model of the radiation field and temperature in a semi-transparent medium, which is formed under the action of the incident collimated and diffuse radiation. For solution of the problem of radiation it is developed an approach based on a modified method of mean flow (SP method). The results of analysis of the effect on heat transfer of various factors are given: the scattering of radiation, optical thickness, refractive index, convection at the outer boundary.

Key words: radiative and conductive heat transfer, semi-transparent medium, collimated, scattering.

В настоящей работе проводится численный анализ поля излучения и температуры в слое полупрозрачной среды, на границы которой падает коллимированный (узконаправленный) и неколлимированный (диффузный) радиационный поток. В слое полупрозрачного материала происходят процессы поглощения, переизлучения и рассеяния света, отражения его на границах среды. Падающее излучение испытывает на поверхности раздела сред отражение и преломление (рис.1).

Постановки таких задач имеют место, например, при исследовании кристаллизации тугоплавких оксидов, нагреваемых с помощью лазерного излучения [1, 2]. Лазеры как источник света используются для изучения дисперсных биологических объектов, таких как кровь человека [3]. Тепловое состояние водоемов определяется падающим солнечным потоком, также представляющим собой коллимированное излучение [4].

Для точной количественной оценки термической структуры полупрозрачного материала необходимы надежные методы расчета поля излучения в излучающих, поглощающих, рассеивающих средах. В ряде работ [2-4] поле излучения рассчитывалось по экспоненциальному закону Бугера. Более сложная

ТИМОФЕЕВ Айал Михайлович - д. ф.-м. н., доцент кафедры теплофизики и теплоэнергетики ФТИ СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: fz_tam@ysu.ru

модель поля излучения, состоящего из коллимированной и диффузной части, рассматривалась в работе А. Ю. Воробьева и др. [1], но при этом не учитывалось рассеяние среды.

В работе Даниеля и др. [5] было проведено сравнение нескольких методов определения поля излучения для характерных условий в водоемах. Исследования были продолжены в работе [6], где авторами была поставлена цель разработать метод решения, который бы учитывал физические особенности переноса излучения в водных суспензиях и в то же время минимизировал бы объем вычислительных работ. Предложенный метод трех потоков показал хорошее согласие результатов с более точным методом дискретных ординат и с экспериментальными данными. Однако в вышеназванных работах [5, 6], не учитывалось собственное излучение среды.

В настоящей работе для решения радиационной задачи использован подход, разработанный на основе модифицированного метода средних потоков (СП-метод). Данный метод своими широкими возможностями для учета оптических свойств среды и границ, наряду с относительной простотой численного алгоритма, хорошо зарекомендовал себя для исследований радиационного и комбинированного теплообмена [7, 8].

Рассмотрим стационарную краевую задачу переноса тепла теплопроводностью и излучением в плоском слое поглощающей, излучающей и рассеивающей среды:

/////////////////// Рис.1. Физическая схема и система координат

+

од

+ ^ Ру(Г,Г<)К(0)Є 4п

0 <Т < тоУ,

1 <у < 1

с граничными условиями

п2 , , ,

Т = 0: 1+ (У) = Р(У)Ц(Г) + -£-(І - Р(У ))!. (/)’

ПУ

У > 0,

1

^ = ^ : /- (У) = ЄуПІ! Ьу (Т) + 2г„ | (/+ (Г)Г + )ЛУ,

0

У < 0.

Здесь 1^ - спектральная интенсивность излучения, 1у и I у - интенсивности излучения в нижнюю ( у > 0) и верхнюю ( у < 0) полусферу:

я")

ддг

ду і ду) ду

дт

у = 0 : - Л— = а

ду

у = I ; Т = То.

Поле излучения состоит из двух частей: коллимированного и неколлимированного излучения:

Интенсивность коллимированного определяется законом Бугера:

,-?у/Гс

излучения

IV (Ту) = IV (0)е

- интенсивность

1 1 и

І їу

у - косинус угла между направлением распространения излучения и осью координат х, 1Ьу (Т) - функция Планка излучения черного тела, Ту = ку X и Т0у = ку I -спектральная оптическая глубина и толщина слоя, I

- толщина слоя (характерный размер), ку =ССУ + (Зу -спектральный коэффициент ослабления, ау и Д, -спектральные коэффициенты поглощения и рассеяния, (у = вУ / ку - спектральное альбедо однократного рассеяния (число Шустера), п- спектральный показатель преломления, £у и гу - спектральная полусферическая диффузная излучательная и отражательная способности нижней границы, связанные между собой соотношением £у = 1 — гу , ру - спектральная индикатриса рассеяния, которая постулируется в виде [10]:

где II(0) = (1 - р(в:))Г; , падающего на границу коллимированного излучения, Ус = соъ(6с ) , угол падения Ос и преломления

дс коллимированного излучения связаны между собой законом Снеллиуса,р(9с )- коэффициент отражения на границе раздела сред определяется из закона Френеля.

Поле неколлимированного излучения определяется уравнением переноса:

/ У1'’П +1(т,.,г) =

и Тл.

Ру (Уо) = Ца1Р1 (у0 ) ,

I=0

где уо - косинус угла между падающим у' ( ус) и рассеянным у лучами, Р1 - полином Лежандра порядка I. Запишем систему (1)-(3) в безразмерном виде:

Э 20 ЭФЕ е

/ 8к ^т/// = 0 / 0 <д< 1

Э?

э#

£ = 0 : - дв = В

І = 1: в = 1

коэффициенты переноса, которые являются функционалами решения и находятся в процессе

итерационного решения, £ | р(у)7^7

п21

~ /14 пу1 Ьу

- среднии косинус угла рассеяния, ф 0у =

т

Здесь £ = у/1 и в =------безразмерная координата и - безразмерная плотность потока равновесного

т

— т

температура, в„ = — , Т - определяющая температу-

4пТ31 а!

ра (Тд = Т(1) ), 8к = —и Бі = — - числа Старка и Био.

Эквивалентная уравнению (6) система уравнений СП-метода имеет вид [9]:

й

йту

(Ф+ - ф-) + а - ч Ж+Ф+ - т-ф-) =

= (1 - юу )Ф 0Г +0)УФСУ / Гс

dтx,

(т+ЗуФ++ - т-Д-Ф;) + а - 0)уду )(Ф+ - Ф- ) = 0)удуФ

*2 *2 N .._ ~ пу

излучения,

Ф ° = -

4аГп4

4аГп4

— =

т0 ~ГКУТ0

безразмерная плотность потока коллимированного излучения в слое,

£ КС

Ф г =-

Граничное условие (7) на поверхности раздела сред учитывает пропускание падающего потока и отражение в двух зонах: в области полного внутреннего отражения и внутри конуса преломления [11]:

тг = 0: Ф+ =

пу пу

На нижней границе учитывается собственное излучение поверхности и диффузное отражение падающих потоков коллимированного и некол-лимированного излучения (9):

4< 4<

безразмерная плотность потока коллимированного излучения, падающего на границу раздела. Значение коэффициента РУ может быть рассчитано по формуле Уолша-Данкла для полусферической отражательной способности идеальной поверхности [12]:

„ =1

Ру~ 2 6

8п4

+ ^---1—1п

(п2 + 1)(п4 — I)2 (п2 + I)3 п + 1

где п = пу / пу .

Из решения задачи определяются плотность интегрального суммарного потока излучения:

Т =т0у: Ф - = £уФ 0к/4 + г„ (Ф + + Ф ; ) .

1

2п 11У (т,у)уйу

Здесь Ф± (т) = ±-

о<-и

безразмерные плотности полусферических потоков,

1

11У (ту ,у)іу

т; (Ту) =

0

1

Х±(Т\- 0<-1> и °у (Ту ) = ~^

11у (ТУ ,7)7^7

^

І Іу (Т ,7)72 ііу

0___________________

(0- -

І Іу (Т ,7)і7

ФЕ = } (Ф, + Фсу )йУ

и дивергенция суммарного потока падающего излучения:

^ф1- ~

—-----= - ){ПІф оу -

ёт і

-

где Фк = Ф+ — Ф- - плотность результирующего спектрального потока неколлимированного излучения.

Краевая задача (11)-(13) решается конечноразностным методом по неявной схеме со вторым порядком аппроксимации. Ввиду ее нелинейности используется также метод итераций. Метод решения радиационной задачи (14)-(17) подробно описан в работе [9].

_ Т

7

-

Расчеты выполнены для гипотетического полупрозрачного материала при следующих значениях определяющих параметров задачи: Тд = Т* = -20°С, дс = 600 Вт/м2, д = 300 Вт/м2, в* =30°, тд = 1, г = 0.1, 8к =1, Ы =10. Выбранные значения определяющих параметров типичны, например, для мелких водоемов, снежных и ледяных покровов, находящихся под воздействием солнечного и рассеянного атмосферного излучения в средних широтах. Предполагается, что среда является оптически серой, рассеяние изотропным. Результаты, полученные для данных «стандартных» условий, будут служить базисом для дальнейшего параметрического анализа.

На рис. 2-3 показано влияние рассеяния среды на температурное и радиационное поле соответственно. Видно, что с увеличением доли поглощения по сравнению с рассеянием в ослаблении излучения в среде (с уменьшением значения альбедо рассеяния ю), температура внутри слоя значительно возрастает. При этом рассеянное излучение высвечивается в верхних слоях в направлении падающего излучения. В результате неколлимированный радиационный поток имеет отрицательное значение, и суммарный поток излучения с увеличением ю уменьшается. Эти результаты показывают важность учета собственного излучения среды. Кроме того, они качественно согласуются с фактом высокой отражательной способности снежных покровов, где отражение обусловлено в основном объемным рассеянием.

Рис. 4 демонстрирует влияние внешнего конвективного теплообмена на распределение температуры в слое. С увеличением значения коэффициента теплообмена (числа Ы) температура на верхней границе слоя приближается к температуре внешней среды. При уменьшении числа Ы и, соответственно, ослаблении конвективного охлаждения радиационный нагрев начинает играть определяющую роль

Рис. 2. Влияние рассеяния на температуру

в формировании температурного поля, что проявляется в значительном повышении температуры в верхних слоях. Здесь можно привести в качестве при-мера наблюдения известного мерзлотоведа П. Ф. Швецова, когда в Центральной Якутии ранней весной при интенсивной солнечной радиации имело место образование внутриобъемных ледяных прослоек в толще снега; при этом таяние на поверхности не регистрировалось, а температура воздуха даже днем была около -20 оС [13].

С увеличением оптической толщины слоя т0 и, соответственно, увеличением взаимодействия излучения и теплопроводности нагрев полупрозрачной среды возрастает (рис. 5). Увеличение показателя преломления среды приводит к некоторому снижению температуры в слое в результате более сильного отражения на верхней границе (рис. 6).

В заключение следует отметить, что в настоящей работе было проведено развитие модифицированного метода средних потоков (СП-метода) применительно к задачам расчета поля излучения и температуры в полупрозрачной среде с учетом падающего коллимированного излучения. Данный метод заслуживает внимания тем, что позволяет учитывать такие важные физические процессы, как анизотропное рассеяние, отражение и преломление на границе раздела сред и при этом минимизировать объем вычислительных работ. Результаты, полученные с помощью предложенного метода, хорошо согласуются с результатами других исследователей, что подтверждает его надежность и применимость к решению широкого круга задач радиационного и комбинированного теплообмена.

Для демонстрации возможностей развитого подхода был проведен анализ влияния на поле излучения и температуры в гипотетическом полупрозрачном материале различных факторов: альбедо однократного

$

Рис. 3. Распределение радиационных потоков

Рис. 4. Влияние числа Bi на температуру

Рис. 5. Влияние оптической толщины т0 на температуру

рассеяния, оптической толщины слоя, показателя преломления, внешнего конвективного теплообмена. Выполненный анализ показал, что оптические свойства среды оказывают заметное влияние на поле излучения в полупрозрачном материале и, соответственно, на теплообмен в целом. Отмеченный факт свидетельствует о важности точной и надежной количественной оценки различных оптических факторов при решении радиационной части в задачах комбинированного теплообмена.

Л и т е р а т у р а

1. Воробьев А. Ю., Петров В. А., Титов В. Е. Быстрый нагрев и плавление оксида алюминия при воздействии концентрированного лазерного излучения // ТВТ. - 2007. -Т. 45, № 4. - С. 533-542.

2. Li J. F., Li L., Stott F. H. Comparison of Volumetric

Рис. б. Влияние показателя преломления на температуру

and Surface Heating Sources in the Modeling of Laser Melting of Ceramic Materials // Intern. J. Heat Mass Transfer. - 2004. - V. 47. - P. 1159-1174.

3. Букатый В. И., Павлова Я. В., Сакович С. И., Гаськова О. В., Устинов Г. Г. Взаимодействие низкоинтенсивного лазерного излучения с кровью человека // Известия Томского политехнического университета. - 2007. - Т. 310, № 2. - С. 121-125.

4. Snider D. M., Viskanta R. Radiation induced thermal stratification in surface layers of stagnant water // J. Heat Transfer. 1975. Vol. 97. - P. 35-40.

5. Daniel K. J., Laurendeau N. M., Incropera F. P. Prediction of radiation absorption and scattering in turbid water bodies // J. Heat Transfer. 1979. Vol. 101. - P. 63-67.

6. Incropera F. P., Houf W. G. A Three-flux method for predicting radiative transfer in aqueous suspensions // J. Heat Transfer. 1979. Vol. 101. - P. 496-501.

7. Рубцов Н. А. Теплообмен излучением в сплошных средах.- Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1984. - 277 с.

8. Рубцов Н. А., Тимофеев А. М., Саввинова Н. А. Комбинированный теплообмен в полупрозрачных средах.

- Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2003. - 198 с.

9. Тимофеев А. М. Расчет поля излучения в полупрозрачной среде с учетом падающего коллимированного излучения // Теплофизика и аэромеханика. - 2012. - Т. 19. -№. 1. - С. 67-74.

10. Evans L. B., Chu C. M., Churchill S. W. The Effect of Anisotropic Scattering on Radiant Transport // Transactions of the ASME. J. Heat Transfer. 1965. Vol. 87, No. 3. - P. 381-387.

11. Рубцов Н. А., Тимофеев А. М. О представлении граничных условий в задачах радиационного теплообмена в многослойных системах // Теплофизика и аэромеханика.

- 1998. - Т. 5, №. 4. - С. 479-485.

12. Оцисик М. Н. Сложный теплообмен. - М., Мир, 1976. - 616 с.

13. Красс М. С. , Мерзликин В. Г. Радиационная теплофизика снега и льда, Ленинград: Гидрометеоиздат, 1990. - 178 с.