Психологические основы дифференцированного подхода к математическому образованию студентов технических вузов

УДК 372.851

С. Н. Дорофеев, Т. В. Таненкова

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ПОДХОДА К МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

Аннотация. В статье исследуются проблемы реализации дифференцированного подхода к математическому образованию студентов. Различия в восприятии математических понятий и терминов студентов с преобладающим развитием правого полушария и студентов с доминирующим развитием левого полушария составляют концептуальную основу реализации дифференцированного подхода к математическому образованию студентов технических вузов. Разработана методическая система, способствующая повышению уровня математической образованности студентов.

Ключевые слова: дифференциация обучения, математическое образование, визуальное восприятие, слуховое восприятие, чувственное восприятие.

Abstract. The article considers the problem of differentiating approach to teaching mathematics to students from the psychological viewpoint. The authors propose in the basis of individual perception of the environment by any person, as both left and right hemispheres participate in any psychic function. It is the difference of perception of mathematic categories and terms by right-hemisphere and left- hemisphere students that the authors suggest using when practicing differentiating approach in hacking mathematics.

Keywords: differentiated approach, mathematical education, left and right hemispheres, activity of visual, oral and tactile channels.

Современный этап развития математического образования студентов можно охарактеризовать как этап интенсивного внедрения в учебный процесс дифференцированного подхода. В настоящее время разработаны основы дифференцированного обучения по уровням усвоения математического материала и по степени успешности обучения студентов математике. Проведенный нами анализ научных публикаций и диссертационных исследований, посвященных проблемам дифференцированной подготовки студентов, показал, что многие из них строятся на принципе запоминания формул и фактов в соответствии с заданными требованиями. К сожалению, больше половины учебного времени преподаватели расходуют на обучение студентов механическому воспроизведению заученного материала [1]. При таком обучении студентов математике создаются условия, в которых каждый студент должен достигнуть планируемых результатов. Однако, как показывают наши наблюдения, количество студентов, достигающих эти результаты, в последние годы значительно уменьшается. Уровневая и профильная дифференциация обучения позволяет в рамках единого образовательного стандарта использовать варианты программ, отличающиеся разной сложностью содержания («разноуровневые»), объемом (программы с углубленным изучением отдельных предметов) и профильной направленностью. Обычно дифференциация обучения заключается в том, что преподаватель предлагает студентам разноуровневые задания: попроще - на «три», чуть сложнее - на «четыре», еще сложнее или, в редких случаях, нестандартные задания - на «пять». К сожалению, мы не всегда задумываемся над тем, почему один легко и сразу пони-

мает новый материал, а другому приходится объяснять несколько раз одно и то же, а положительного результата как такового не получается [2].

Математика изучает не столько сами объекты природы и реальные явления, сколько их абстрактные структуры, которые обычно называют математическими моделями. В определенной степени они являются отражением действительности. Так, например, производную можно интерпретировать как скорость изменения, интеграл - как работу силы и т.д. Однако смысл и содержание математического понятия существенным образом отличаются от его конкретного наполнения.

Изучение абстрактных математических объектов требует постоянной и интенсивной работы ума, развитой памяти, пространственного воображения, проявления функциональных особенностей мозговой деятельности каждого индивидуума. Как известно, в проявлении любой психической функции принимает участие как левое, так и правое полушария. Однако разные мозговые структуры и разные полушария выполняют различную роль в осуществлении каждой психической функции. Можно выделить два основных типа обучаемых: к первому типу отнесем студентов, у которых доминирует правое полушарие, а ко второму - тех, у кого преобладает развитие левого полушария.

Для студентов с развитым правополушарным восприятием необходимо делать упор на социальную значимость того или иного вида деятельности, так как у них высоко выражена потребность в самореализации. Для студентов этого типа характерна ориентация на высокую оценку и похвалу, они проявляют большой интерес к эстетической составляющей исследуемого явления. Студентов этой группы привлекает сам процесс усвоения знаний.

Обычно при чтении лекций многие преподаватели предпочитают абстрактный, линейный стиль изложения информации, неоднократное повторение учебного материала, что обусловливает развитие левого полушария. Следует отметить, что такой подход к образованию тормозит развитие правополушарных студентов, поскольку они вынуждены самостоятельно связывать абстрактную информацию с реальностью за значительно короткие промежутки времени. Если способы преподавания не совпадают с психофизиологическими возможностями студентов, то возникает внутренний конфликт: способ изложения информации не совпадает с типом восприятия этой информации [3].

Современные педагогические методики в основном ориентированы на обучение студентов и школьников с достаточно развитым левополушарным восприятием. Таким образом, правополушарные студенты оказываются в невыгодном положении, так как нуждаются в другой манере изложения материала.

Преподаватель может модифицировать задания таким образом, чтобы адаптировать их ко всем студентам. В этом случае процент слабо успевающих студентов резко снижается, а положительные результаты значительно возрастают.

Так, например, преподавателям математики необходимо учитывать различие между особенностями алгебры, математического анализа и геометрии, которые оказывают существенное влияние на процесс подготовки студентов к профессиональной деятельности с разным типом межполушарного восприятия. Так, студенты с развитым правополушарным восприятием более успешны в изучении пространственных форм, благодаря их наглядной природе, а студенты с развитым левополушарным восприятием преуспевают в

изучении абстрактных форм, алгебраических методов и методов дифференциального и интегрального исчисления, благодаря природным задаткам к восприятию приемов абстрактно-логического мышления. В процессе обучения студентов с развитым правополушарным восприятием основам математического анализа мы рекомендуем использовать различные интерпретации в виде процессов, протекающих в реальном мире. Например, при изучении непрерывных функций полезно, помимо вывода формул и формулировок определений, напомнить, что к этому абстрактному понятию человек пришел, наблюдая динамику окружающих его сплошных сред. Так как расстояния между элементарными частицами, составляющими эти тела, настолько малы по сравнению с объемами изучаемых сред, то многие явления можно достаточно хорошо изучить, если считать массу изучаемой среды непрерывно распределенной, без всяких просветов в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины (гидродинамика, аэродинамика, теория упругости).

Разрывные же функции в математике отображают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. Например, при ударе скорость тела меняется скачкообразно. Кроме того, многие качественные переходы сопровождаются скачками. Например, зависимость между температурой одного грамма льда и количеством калорий находящегося в нем тепла, при изменении температуры от -10 °С, до +30 °С, если допустить, что при t = -10 °С Q = 0. Тогда зависимость можно записать так:

f0,5t + 5, -10 < t < 0,

Q(t) = \

[t + 85,0 < t < 30.

Таким образом, получаем, что функция Q(t) в точке t = 0 терпит разрыв.

При изучении темы «Производная и интеграл» правополушарным студентам мы считаем необходимым предлагать задачи, имеющие широкое прикладное значение. В качестве таких задач можно использовать задания следующего типа:

1. По оси Ох движутся две материальные точки, имеющие законы дви-

2

жения: Х1 = ln sin t и Х2 = tg t. С какой скоростью удаляются эти точки друг

от друга в момент времени, когда координаты этих точек совпадают?

2

2. Закон движения точки задан уравнением 5 = 3sin . В какой момент времени t скорость движения точки совпадает с ее ускорением?

3. Тело массой 4 кг движется по закону х = sin2(3t - 2). Определить его кинетическую энергию в момент времени t = 5 с.

4. Закон движения материальной точки имеет вид х = л/9г - 3Г+2 . В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?

t2 +1

5. Даны законы движения двух материальных точек: х = —------------- и

t2 -1

х = t + 3 . Найти длины пройденных путей в момент времени, когда скоро-(t -1)2 сти точек равны.

3 _з

6. Дан закон движения материальной точки 5 = 2х . Найти максимальную скорость движения этой точки.

7. Тело движется прямолинейно со скоростью V пропорционально квадрату времени. Найти зависимость между пройденным путем и временем, если известно, что в начальный момент времени t = 0 пройденный путь равнялся 80 м.

8. Сжатие пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при сжатии пружины на 6 см, если сила, равная 2 Н, сжимает ее на 1 см.

9. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса г = 2 м и высота Н = 5 м.

10. Определить давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

11. Материальная точка движется с ускорением, заданным законом

а = t • еt. Определить путь, пройденный данной точкой через 5 с после начала движения.

Кроме того, необходимо разнообразить деятельность студентов по отработке умений и навыков вычисления пределов, производных и интегралов, используя следующий прием. Студентам предлагается определенное количество заданий с несколькими вариантами ответов, каждый из которых соотнесен с определенной буквой. При правильном решении всех примеров студент должен составить фамилию некоторого известного математика. Например, при выполнении заданий следующего вида:

‘ ' + с ; Р. 2совл/х ; Э. _2совл/х + с;

2

1) f sin ; ответы: А. — cosVx + с ; Р. 2cosVx ; Э. -2cos>/x-

J vx 2

ex - 1

-dx ; ответы: Й. ln(4 + ex) + с ; К. arctgex + с ; О. ex H-------H с;

4+e^ ^ 4

1 + 2x2 тл і / 2 4ч тт — тх — 3 — 5

—------jdx ; ответы: е. ln(x + x ) + с; Л. arctgx----------Hс ; И. —x +— x + с ;

x2 + x4 x 3 5

xdx 3 x 1 2

—---; ответы: П. arcsin-----------H с ; О. ln(6x - 2) + с ; Е. —ln(3x - 2) + с;

3x2 - 2 2 6

dx ; ответы: В. ln(1 + ln2 x) + с ; Р. arctg ln x + с ; С. —1---------H с

2) і

3) і

5) і- 2 ,-.. ,

' х(1 + 1п2 х) 1 + 1п X

студент, получая правильные ответы, выписывает соответствующие им буквы. Выполнив правильно все задания и выбрав нужные буквы, он получит фамилию: ЭЙЛЕР. Однако выполнение задания на этом еще не закончено. Как известно, наши студенты слишком слабо знают выдающихся математиков. Поэтому в продолжение данного задания мы выдаем ему для самостоятельной работы задачу реферативного характера, связанную с описанием основных этапов жизни и научной деятельности Леонарда Эйлера. Данный пример не имеет прикладного значения, но у студентов проявляется интерес к решению таких задач. Кроме того, можно взять несколько рисунков, выполненных на однородном материале одного цвета и одного размера, например, изображение правильного тетраэдра, куба, правильной четырехугольной

призмы и т.д., разрезать их на равные части, каждой части присвоить свой номер. Затем, аналогично предыдущему примеру, каждому предполагаемому ответу присвоить номер. Студент, вычисляя интегралы (производные, пределы), выбирает верный, по его мнению, ответ и берет часть рисунка с соответствующим номером. Правильность решения показывает получившийся рисунок. Например, с целью контроля качества усвоения знаний студентов по теме «Предел функции» мы рекомендуем использовать следующие задания:

х3 + 1

1) lim -----------------; ответы: 3. 7; 8. 3; 17. 0;

x^-1tg

2) lim —3х^—— ; ответы: 7. —; 12. 0; 24. °° ;

*—- 4х3 + х4 +10 4’ ’ ’

3) -у/2х-2 -Vх + 1 1 7 2 7

3) lim— ---------- -; ответы: 1. —; 15. —; 26. -7;

х—3 х3 - 2х2 - 3х 48 3

1- 3х2 -12х +12 7 3

4) lim---------------; ответы: 5. —; 9. 0; 19. —;

х—2 (х3 - 8) • 3 4 8

5) л/3хП - 2 2 2 3 8

5) lim —----------; ответы: 2. — ; 11.----------------; 27. 8;

х —1 х2 - 6 х + 5 — 76

2х

6) lim (4х + 13)х+3 ; ответы: 18. e73; 13. e-73 ; 16. e4 ;

х———3

х | lg ( х + 3 ) - lg ( х - 3 ) | ; ответы: 6. Г6

х—<х>

2+3 х

8) lim (1 + sin2х) х ; ответы: 25. 78; 14. е4 ; 21. е2 ;

7) lim х[lg(х + 3)-lg(х -3)] ; ответы: 6. е6 ; 20. 6lge; 23. 6;

х—0

9) lim ----г-; ответы: 4. 0; 10. —; 22. 20.

х—-2 (3х + 6)cos( х + 2) 6

Выполнение каждого задания связано с выбором соответствующего ответа, отмеченного некоторым числом. Выбирая часть рисунка, соответствующего этому числу, и располагая их в нужном порядке, студент должен получить полное изображение. В качестве самостоятельной работы, связанной с усвоением новых знаний, мы предлагаем студенту продолжить работу по совершенствованию качества усвоенных знаний. Одним из направлений совершенствования математических знаний студентов могут служить задания, в которых требуется описать группу симметрий соответствующей геометрической фигуры. В процессе самостоятельного выполнения данного задания студенты знакомятся с основными видами движений плоскости и пространства и их свойствами. Выполнение таких заданий «левополушарными» студентами способствует развитию их пространственного воображения, а выполнение заданий подобного рода «правополушарными» студентами обусловливает у них развитие аналитического мышления, поскольку они умеют лучше сопоставлять и соединять, на первый взгляд, совершенно несоединимые вещи.

Такой подход к процессу математического образования «правополушарных» студентов снижает уровень стрессовой ситуации в том случае, ко-

гда им необходимо усваивать абстрактные методы решения математических задач. Как известно, эти же студенты достигают успеха на занятиях, где стандартные задачи подаются в прикладном виде.

«Левополушарные» студенты редко имеют большие проблемы на занятиях, так как многое дается в абстрактно-логической форме. В худшем случае, они могут оказаться в затруднении из-за математической задачи в картинках или некоторых видов самостоятельной работы. Они не могут видеть за частями целого, не умеют выводить правила, предпочитают, чтобы правила им показали.

К сожалению, по сложившейся традиции в обычном вузе по стандартной программе с традиционной методикой ее реализации легко учиться студентам с низкой функциональной асимметрией полушарий (равнополушарным), т.е. тем, которые при обучении способны использовать не только левополушарные, но и правополушарные стратегии.

В группах, где преобладают учащиеся правополушарного типа, вне зависимости от учебных предпочтений педагога, любая деятельность превращается в синтетическую. В этом случае «левополушарные» студенты попадают в группу риска. Напротив, в группах с преобладанием «левополушарных» учащихся студенты правополушарного типа мышления «вязнут» в деталях, особенно если преподаватель также относится к аналитическому типу.

Но из данных различий можно извлечь большую выгоду. Так, если объединить «разнополушарных» студентов в группы, то студент правополушарного типа мышления может показать своему «левополушарному» товарищу такие способы, как синтез, применение схем, выделение сути, поиск известной информации и сопоставление фактов. «Левополушарный» же студент может поделиться со своим партнером способами выделения нужных деталей, выявления различий, создания категорий.

К сожалению, в последнее время прогресс в обучении связывали с постепенной заменой освоения учащимися практических навыков накоплением теоретических знаний: увеличилось число теоретических курсов, повысился уровень абстрактности в изучении учебного материала. В результате снизилась общая эмоциональность изложения, уменьшилась доля ярких выразительных примеров, которые сами по себе активизируют эмоциональную и непроизвольную память. Иными словами, при обучении акцентируются механизмы левого полушария при одновременном ослаблении вовлеченности правого полушария.

Это привело к тому, что школьники, а за ними и студенты (бывшие школьники) могут только грамотно воспроизводить выученный материал, но оказываются беспомощными в практическом применении знаний. Таким образом, современное образование является теоретическим, а не практическим. Востребованным оказывается логический компонент мышления. В западных же странах образование ориентировано на практическое применение получаемой информации.

Перед преподавателем стоит задача организовать работу таким образом, чтобы обратить результат предыдущей деятельности студента в эмоциональный стимул, в осознанный мотив для выполнения следующего задания. Педагог имеет установку на поиск ошибок, учащийся - как можно меньше их сделать. Это приводит к формированию исполнительского стиля у студента и

дидактичности у педагога. Подобное положение чревато множеством негативных последствий.

Тем не менее, итог учебной работы обычно сводится к оценке. Преподаватель оценивает грамотность, аккуратность, рациональность решения и т.д. Студент же надеется, что оценят не только итог, но и его усилия. При выборе методов проверки знаний учащихся необходимо учитывать межпо-лушарную асимметрию головного мозга. Для «левополушарных» студентов наиболее предпочтительными будут: решение задач, письменные опросы с неограниченным сроком выполнения, тестирование. Письменное решение задач позволяет «левополушарным» проявить свои способности к анализу, а на вопросы тестов они успешно подберут ответ из предлагаемых вариантов. Для «правополушарных» учащихся подойдут методы устного опроса, задания с вопросами без возможных вариантов ответов, с фиксированным сроком выполнения. Вопросы дают им возможность проявить творческие способности, продемонстрировать собственный развернутый ответ.

Педагогу необходимо учитывать, что студенты с разной межполушар-ной асимметрией делают разные количественные и качественные ошибки. Наиболее грамотными являются «равнополушарные» студенты. Левое полушарие у них берет на себя основную работу по организации переработки зрительной и слуховой информации. Написав контрольную работу, студенты этой группы замечают и исправляют почти все допущенные ошибки.

Любой педагогический процесс двухсторонний. Его успех одинаково зависит как от педагога, так и от студента, от их типа функциональной организации мозга. Если же у преподавателя возникают проблемы при обучении, то он на подсознательном уровне связывает их не с выбором методики, не со своей способностью научить, а с особенностями отстающего [4].

Кроме того, следует различать людей по типам восприятия окружающего мира. Как известно, усвоение материала начинается с восприятия, которое предполагает согласованную деятельность зрительного, слухового и тактильного анализаторов. Но если у человека доминирует по скорости и качеству переработки информации один из анализаторов, то речь идет об особом виде восприятия: визуальном (зрительном), аудиальном (слуховом) или кинестетическом (чувственном).

Не является секретным тот факт, что в практике обучения чаще используются словесные методы, реже наглядные и в исключительных случаях тактильные. При таком обучении более успешными будут студенты с аудиаль-ным типом восприятия информации, менее успешными - с визуальным и, естественно, крайне неуспешными - с кинестетическим типом. В то же время преподавателю необходимо с целью повышения количественного и качественного уровня математических знаний на лекционных и практических занятиях апеллировать сразу ко всем органам чувств студента, предлагая на математических занятиях словесное объяснение для слухового восприятия; цифры, фигуры, таблицы, графики - для зрительного восприятия; использование и изготовление моделей геометрических тел - для вовлечения в умственную деятельность тактильных анализаторов.

Обобщая научные исследования психологов, педагогов и методистов по проблеме изучения психофизиологических особенностей обучаемых, приведем краткую характеристику студентов, относящихся к определенному типу восприятия.

Студенты с хорошо развитым визуальным восприятием учебной информации познают окружающий мир, в большей степени концентрируя внимание на зрительной информации. Их внимание естественным образом обращено на видимые признаки объектов, такие как цвет, форма, размер. При этом они обладают прекрасной зрительной памятью, описывая слайд, страницу учебника, восстанавливая мельчайшие подробности конспекта: цвет, форму, размеры и расположение объектов. Такие студенты информацию при запоминании записывают, составляют конспекты, рисуют картины в уме, подчеркивают важные места в книге. Так как в основном они предпочитают молчать и работать индивидуально, то речь у них развивается слабо. При объяснении материала студенту с визуальным типом восприятия педагогу полезно сопровождать рассказ зрительным видеорядом: иллюстрацией, схемой, таблицей, опорным конспектом. Математические термины лучше выписывать на доске или использовать плакаты, иначе на слух такие студенты термины могут воспринять с искажениями, что приведет в дальнейшем к ошибкам в устной и письменной речи.

Зная, что студенты с хорошо развитым визуальным восприятием учебной информации испытывают трудности в восприятии информации на слух, педагогу стоит строже относиться к своей устной речи во время объяснения, речь должна быть акцентирована, иметь четкие смысловые периоды и паузы. Качество восприятия информации зависит также от тона и высоты голоса преподавателя, эмоциональной окрашенности и других нюансов речи.

Студентам с хорошим визуальным восприятием после объяснения полезно прочитать в учебнике или на доске определение, формулировку теоремы или правило. При первичном закреплении полезно предложить ему инструкцию по выполнению задания, план и образцы решения и оформления задач. Студенты с визуальным типом восприятия при контроле знаний более успешны при тестировании, написании контрольной работы или сдаче письменного зачета, так как при этом информация подается в наглядной форме, и менее успешны при устных ответах и выполнении математических диктантов, где задания воспринимаются на слух.

Студенты с хорошо развитым слуховым восприятием учебной информации при познании окружающего мира ориентируются в основном на голоса и звуки. Такие люди обычно неплохо владеют речью, любят общаться. Они хорошо запоминают математические термины, определения, формулировки теорем и условия задач сразу на занятии, после объяснения нового материала. Студенты этого типа любят участвовать в дискуссиях, отвечать устно, слушать объяснения преподавателя, хорошо воспринимают математические термины и условия задач на слух, предпочитают такие формы контроля, как математический диктант, устный зачет или устный экзамен.

Студентам с хорошо развитым чувственным восприятием учебной информации в познании окружающего мира важны тактильные ощущения, получаемые путем непосредственного прикосновения или движения. Такие люди, как правило, обладают хорошей моторикой, врожденной координацией и ориентацией в пространстве, любят активное движение. У них преобладает моторная память, т.е. запоминание путем рисования образа, записи информации, моделирования или конструирования объектов изучения. События они запоминают лучше, чем прочитанные или произнесенные тексты. Наибольшие затруднения у таких студентов вызывает необходимость длительной

концентрации внимания на одном предмете, подбор нужных слов в устных ответах, сдержанность в выражении своих чувств. Для успешного обучения таким студентам требуется более частая смена видов деятельности, включение в занятие практических работ с чертежными инструментами или измерительными приборами. По ходу объяснения материала студентам с хорошо развитым чувственным восприятием полезно фиксировать в тетради существенную информацию: определения, чертежи, формулы. На этапе контроля они оказываются более успешными в тестировании, которое не требует ни письменной, ни устной речи [5]. Степень неудовлетворенности своими учебными успехами у студентов с развитым чувственным восприятием в обучении постоянно высокая. Однако, как показывают наши наблюдения, затруднения в изучении математики у таких студентов годами не нарастают, а, скорее всего, снижаются, несмотря на то, что в процессе изучения математики уровень материала постепенно усложняется.

Дифференциация обучения студентов технических вузов в соответствии с типами восприятия необходима и на этапе контроля знаний, где для создания ситуации успеха целесообразно действовать в соответствии с индивидуальным видом восприятия, предлагая, например, каждому студенту самостоятельный выбор формы контроля.

Нет сомнения в том, что обучение математике, ориентированное на какой-то один тип восприятия, в группе, где собраны люди с различными его типами, игнорирует существенные психофизиологические природные особенности остальных студентов.

Таким образом, мы приходим к тому, что технология дифференцированного обучения студентов технических вузов математике по типам восприятия учебной информации обусловливает эффективность усвоения математических методов и способствует развитию тех видов восприятия учебной информации, которые не являются доминирующими.

Список литературы

1. Монахов, В. М. Проблема дифференциации обучения в средней школе / В. М. Монахов, В. А. Орлов, В. В. Фирсов. - М., 1990.

2. Дорофеев, Г. В. Дифференциация в обучении математике / Г. В. Дорофеев [и др.] // Математика в школе. - 1989. - № 4.

3. Сиротюк, А. Л. Обучение детей с разным типом мышления / А. Л. Сиротюк // Народное образование. - 1995. - № 1.

4. Анстази, А. Психологическое тестирование / А. Анстази, С. Урбина. - СПб. : Питер, 2001.

5. Хомская, Е. Д. Нейропсихология / Е. Д. Хомская. - М. : МГУ, 1987.

Дорофеев Сергей Николаевич доктор педагогических наук, профессор, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Dorofeev Sergey Nikolaevich Doctor of pedagogical sciences, professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

E-mail: dorofeev@tl.ru

Таненкова Татьяна Владимировна

старший преподаватель, кафедра математики, Пензенская государственная технологическая академия

Tanenkova Tatyana Vladimirovna Senior lecturer, sub-department of mathematics, Penza State Technological Academy

E-mail: TTanenkova@mail.ru

УДК 372.851 Дорофеев, С. Н.

Психологические основы дифференцированного подхода к математическому образованию студентов технических вузов / С. Н. Дорофеев, Т. В. Таненкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2010. - № 1 (13). - С. 142-151.