Идентификация плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 158-169 Механика

УДК 539.3:534.26

Идентификация плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю *

С. А. Скобельцын

Аннотация. Предложено решение задачи определения плотности упругого цилиндра по рассеянному полю плоской звуковой волны. Решение строится на основе измерений давления в линейной системе акустических датчиков. Представлены результаты некоторых численных экспериментов.

Ключевые слова: звуковые волны, дифракция, упругий цилиндр, идентификация параметров, обратная задача рассеяния.

Рассеяние гармонических звуковых волн на бесконечных круговых упругих цилиндрах исследовалось в ряде работ. На основе решений задач для сплошных упругих цилиндров [1-7] решен ряд задач для упругих цилиндров с полостями [8-19].

В большей части работ решается задача определения параметров рассеянного акустического поля на основе известных параметров падающей волны, геометрических параметров препятствия и свойств материала содержащей среды, упругого цилиндра и среды, находящейся в полости.

Для практики существенный интерес представляют задачи определения параметров упругого препятствия по полностью или частично известному рассеянному акустическому полю. В данной работе рассматривается задача определения плотности упругого цилиндра по рассеянному полю плоской гармонической звуковой волны.

Предполагается простейшая модель дифракции монохроматической плоской звуковой волны невысокой частоты сплошным однородным упругим цилиндром с круговым сечением, погруженным в жидкость. Волна распространяется по нормали к образующей цилиндра. Параметры рассеяния звука цилиндром фиксируются небольшим количеством точечных датчиков звукового давления.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

П,

I I

р

4

I I

у2Х

Уу>

Рис. 1. Геометрия задачи и схема измерений

На рис. 1 схематично показана геометрия задачи. Здесь окружность -нормальное сечение внешней поверхности цилиндра. Датчики расположены симметрично относительно оси цилиндра с постоянным шагом на отрезке длиной 2Н на линии пересечения некоторой плоскости ГЦ (плоскости рисунка) ортогональной оси цилиндра, далеко отстоящей от концов цилиндра, и плоскости П2 (перпендикулярной плоскости рисунка), параллельной плоскости фронта падающей волны и расположенной на расстоянии Ь от оси цилиндра со стороны противоположной источнику звука. На рисунке точка О - точка пересечения плоскости ГЦ и оси цилиндра, символом и стрелками обозначена падающая волна (стрелки указывают направление распространения волны). Маркерами вида "х" и подписями У\, Уч, ... показаны точки расположения датчиков (для примера показан вариант с 7 датчиками).

Предполагается, что сами датчики не вносят искажений в процесс рассеяния звука. Кроме того реальная высота цилиндра много больше длины волны источника звука. Поэтому рассматривается модель бесконечного по высоте цилиндра.

Решение задачи определения плотности цилиндра строится на основе аналитического решения задачи о рассеянии плоской звуковой волны упругим цилиндром [4] с использованием моделей идеальной жидкости [20] и линейной упругой среды [21]. Рассмотрим основные элементы этого решения.

Пусть окружающая цилиндр жидкость характерезуется плотностью ро и скоростью звука со [20]. А параметрами упругого материала цилиндра являются: плотность р и модули упругости Ламе А, /х [21]. В окружающей жидкости распространяется плоская гармоническая звуковая волна с частотой ш.

Для математической формулировки и решения задачи введем декартову систему координат х, у, г так, чтобы ось х совпадала с осью цилиндра, а ось х совпадала с направлением распространения звуковой волны. Начало координат О выберем так, чтобы плоскость Щ совпадала с плоскостью хОу.

Тогда точки Vi, V2, ... на рис. (2) будут иметь координаты x = L, z = 0, а координаты y будут принимать значения: —H, —H + h, ..., H — h, H; где h = 2H/(K — 1), K - число точек измерения давления. При K = 1 предполагается, что единственная точка измерения имеет координаты (L, 0, 0).

C декартовой системой свяжем цилиндрическую систему координат r, ф, z. Тогда поверхность цилиндра будет определяться уравнением r = a, где a - радиус цилиндра.

Падающую звуковую волну можно характеризовать потенциалом Фо скорости движения частиц Vp в ней таким, что

Vp = VФp,

где V - оператор Гамильтона.

Характер распространения волны и введенные системы координат позволяют записать потенциал ФР в виде

ФР = A0 exp[i

где A0 - множитель, определяющий амплитуда потенциала и возможный

фазовый сдвиг; t - время; k0 =--волновое число.

С0

При сделанных предположениях — о характере падающей волны, конфигурации и свойствах материала препятствия, а также об отсутствии влияния датчиков — в указанных системах координат задача о рассеянии звуковой волны становится двумерной (все параметры движения не зависят от координаты z).

Заметим, что в установившемся режиме рассеяния звука компоненты движения, зависящие от времени, будут иметь зависимость от времени такую же, что и в возбуждающей волне (2), т.е. — exp(—iut). Этот множитель будем опускать, но учитывать при операциях дифференцирования по t.

Потенциал скоростей в суммарном акустическом поле, формируемом в результате дифракции волны ФР на цилиндре, обозначим Ф0. Потенциал Ф0 должен удовлетворять уравнению Гельмгольца [20]

ДФ0 + k^0 = 0.

Представим потенциал Ф0 в виде линейной комбинации потенциала скоростей ФР в падающей волне и так называемого потенциала скоростей рассеянной волны Ф5:

Ф0 = ФР + Ф,.

В силу линейности рассматриваемой модели движения потенциал Ф5, как и Ф0 в целом, с учетом (2) должен удовлетворять уравнению, аналогичному

(3):

ДФз + = 0.

Потенциал скоростей рассеянной волны Ф. должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности [22]

дФ. дг

- гко^!

— 01 -I

Ф.

1

= О — . (6

Упругие колебания в цилиндре будем выражать через потенциал смещений в продольной упругой волне — Ф, и векторный потенциал смещений в поперечной упругой волне — Ф — Фгг ( - орт оси г) так, что вектор смещений частиц в цилиндре и представляется в виде [21]

и — УФ + Ух Ф.

При этом потенциалы Ф и Ф должны удовлетворять волновым уравнениям [21]

ДФ + к2Ф — 0

ДФ + к2 Ф = 0,

(8

Iй Iй

где к[ —--волновое число продольных упругих волн; кТ —--волновое

С1 Ст

число поперечных упругих волн; с\ - скорость продольных упругих волн

2 Л + /2 С1 — - ; сТ - скорость поперечных упругих волн I сТ — — . Кроме

того, потенциалы Ф и Ф должны удовлетворять условиям ограниченности при г = 0.

На поверхности цилиндра должны выполняться граничные условия, которые заключаются в равенстве нормальных составляющих скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений:

г — а : —шиг — Уг, ггг — —р, гг„ = 0.

Нормальная составляющая скорости Уг и давление р в жидкости выражаются через потенциал Фо (Ф.) соотношениями

Уг =

дФо = д Фр + Ф. дг

дг

р

ро-

д_Фо дг

— грош

Нормальная составляющая смещения иг и компоненты тензора напряжения в упругом цилиндре в соответствии с (7) и законом Гука [21] выражаются через потенциалы Ф, Ф выражениями

дФ 1 дФ

иг = тг + ~1Т,

дг г др

Ггг — 2

(д! _ М

\дг2 2у

Ф+1 /д — Л дФ

г \дт г ) др

г

г^

—

\( д _ л дФ _ (_ к2

г \дт г) др \ дг2 2

Ф

г

г

г

Таким образом, математическая постановка задачи о дифракции плоской звуковой волны упругим цилиндром формулируется так: найти решения уравнений (5), (8), удовлетворяющие граничным условиям (9), условиям излучения на бесконечности (6) и условиям ограниченности для Ф и Ф.

Используя метод разделения переменных [23] решения уравнений (5), (8) найдем в виде разложений искомых функций по цилиндрическим функциям Бесселя:

Ф5 =2^ АтИт

т=те те

Ф^ ^ Вт,]т

те

Ф= 7, Ст'Ут

т=

где Ит(х) - функция Ханкеля первого рода порядка т; <1т(х) - функция Бесселя первого рода порядка т.

Тип функций Бесселя в решениях определяется условиями излучения на бесконечности и условиям ограниченности. Коэффициенты Ат, Вт, Ст в рядах (14)-(16) определяются из граничных условий (9) с учетом (10)-(13). Для этого требуется также разложить по функциям Бесселя потенциал скоростей в падающей волне (2): [22]

те

Фр = ^ Чтткот)ехр(т<р),

т= те

где тт(2 — 50т)гт; 5пт - символ Кронекера.

Давление в итоговом акустическом поле будет определяться в соответствии с (10) суммой

те

р = грои ^ Ьт^кот) + АтИт

т= те

Заметим, коэффициенты Ат, вычисленные на основании граничных условий (9), будут зависеть от плотности упругого материала цилиндра р, которая входит в выражения для волновых чисел к\ и кт уравнений (8). Эта зависимость не выражается явным образом, но может быть продемонстрирована путем вычисления (17) при разных значениях р при условии, что остальные параметры задачи будут сохраняться неизменными. Пример расчета давления в точке пересечения плоскости П2 с осью х (соответствует точке У4 на рис. 1) для случая упругого цилиндра, рассматриваемого в примерах ниже, в зависимости от плотности показан на рис. 2. На нем плотность р указана в кг/м3, а давление р представлено отношением к звуковому давлению в падающей волне.

т=

Такую связь будем использовать для идентификации плотности р по известным (измеренным) значениям давления р в точках измерения ¥2,

Для определения полости цилиндра по известному рассеянному акустическому полю воспользуемся подходом, использованным в работах [24, 25], где предлагается вариационная постановка обратной задачи рассеяния звука при определении параметров упругого препятствия.

Предполагается, что выполняется измерение акустического давления в процессе рассеяния плоской звуковой упругим цилиндром в соответствии со схемой, приведенной на рис. 1. Измерения проводятся при нескольких фиксированных значениях частоты падающей волны щ (у = 1,2,..., 3). Почти все параметры задачи заданы, а о плотности р* материала цилиндра известно только то, что она заключена в интервале [рх, ръ]. Требуется найти плотность

р*. Здесь введено обозначение действительной плотности материала через р*-

Обозначим вектором Р совокупность измеренных значений давления Р^к при частоте в точке V*., т.е.

Через р^к{р) или просто р^к будем обозначать теоретическое значение давления в точке V*., рассчитанное для частоты и некоторой, произвольно зафиксированной, плотности материала цилиндра р. Значение р]к(р) рассчитывается по формуле (17). Очевидно, что в случае отсутствия ошибок измерения

Рзк=Рзк{р*).

В общем случае измеренные значения Р^к включают погрешность, которая может быть связана как с погрешностями используемых измерительных приборов, так и с приближенным характером модели. Кроме того, сами рас-

четные (теоретические) значения давления pjk (р) могут содержать ошибки из-за неточности задания параметров модели. Отнесем все погрешности в расчетах к измеренным значениям давления Pjk, представляя их в виде суммы

Pjk = Pjk

где е - некоторая случайная величина с нулевым математическим ожиданием (предполагается отсутствие систематической ошибки) и средним квадра-тическим отклонением ео. При численных экспериментах полагалось, что е имеет нормальное распределение N(0; е0).

Совокупность рассчитанных значений pjk при заданной плотности р будем представлять вектором р(р) или просто p:

P = (Pll,Pl2, • • -,P1K ,P21, • • •,PJK),

построенным аналогично (18).

Близость выбранного для расчетов значения плотности р к действительной р* можно характеризовать нормой

6(р) = \\P - p\l

Очевидно, что при р = р* в случае отсутствия ошибок (ео = 0) получаем § = \\P - р(р*)\\ =0.

Таким образом, задачу определения плотности цилиндра можно сформулировать следующим образом: найти такое значение р из интервала [р1,р2], при котором совокупное отклонение расчетных значений акустического давления p от измеренных значений P будет минимальным, или формально

§

pe[pi,p2]

Задача (20) является нелинейной задачей оптимизации. Ее решение р = р' является оценкой действительной плотности материала р*.

Для проверки схемы идентификации плотности препятствия был проведен ряд численных экспериментов для упругого цилиндра, со следующими значениями параметров материала: р* = 2Л  103 кг/м3, Л = 5-3  1010 Н/м2, ß = 2^6  1010 Н/м2; находящегося в воде (р0 = 103 кг/м3, с0 = 1485 м/с).

Полагалось, что наблюдается рассеяние плоской звуковой волны с такими частотами w1, u2, ..., uj, что параметр ka изменяется в интервале [1, (ka)2] с постоянным шагом Aka = 0^ или Aka = 025. При этом в большей части экспериментов (ka)2 полагалось равным 3.0.

Расстояние до плоскости размещения датчиком было фиксированным — L = 2a, параметр H принимал значения 2a или 4a. Количество датчиков K полагалось равным 5 (только в одной серии экспериментов для сравнения использовалось K = 10).

Параметр е0, определяющий входную ошибку измерения давления, задавался отношением к амплитуде давления в падающей волне и принимал значения из интервала [0^002, 0Ш0]. Оказалось, что при значениях е0, больших

0.01, идентификация плотности в условиях предложенной схемы измерений невозможна.

Рис. 3. Зависимость 6(р) при е0 = 0.005

Определение значения р', дающего решение (20) (минимум 5(р)), выполнялось поиском минимального значения в дискретном ряду значений 5(р), вычисленных при изменении р на равномерной сетке с числом точек 100 в интервале от р1 = 0.5р* до р2 = 1.5р*. Для уточнения р использовалась интерполяция многочленом второй степени значений §(р) в окрестности минимума.

Рис. 4. Зависимость б(р) при е0 = 0.002

На рис. 3 и 4 представлены зависимости §

Рис. 5. Гистограмма распределения частот значений погрешности £

отмечено минимальное значение, соответствующее найденому р. Заметим, что рис. 4 наглядно показывает, как уменьшение ошибки измерения давления приводит к приближению графика 5(р) к идеальной зависимости и

/ >к

уменьшению погрешности определения плотности р — р*.

В качестве характеристики точности метода идентификации плотности рассматривалась безразмерная величина £ - относительная погрешность определения р*

£ =

р — р

Р2 — Р1

На рис. 5 показана гистограмма распределения частот значений ошибки £. Гистограмма построена для общего числа экспериментов равного 500 при е0 = 0.01. График показывает, что форма распределения £ близка форме нормального распределения с небольшим смещением в строну больших значений.

Для оценки влияния параметров схемы измерений на точность проведен ряд экспериментов для различных сочетаний значений параметров К, Н, (ка)2, Ака, е0. При каждом наборе значений параметров проводилась серия из 100 экспериментов с псевдослучайными значениями е в (19). Определялись выборочные значения математического ожидания М [£] и среднего квадратического отклонения а[£]. Заметим, что М[£] показывает систематическую ошибку серии, а а[£] характеризует погрешность предложенного метода идентификации плотности.

Результаты численных экспериментов

№ К Н 2 Ака ео М [£], % *[£], %

1 5 2а 3.0 0.50 0.0050 -0.09 0.99

2 10 2а 3.0 0.50 0.0050 -0.15 0.74

3 5 4а 3.0 0.50 0.0050 0.15 1.27

4 5 2а 4.0 0.50 0.0050 0.03 0.81

5 5 2а 3.0 0.25 0.0050 0.05 0.83

6 5 2а 3.0 0.50 0.0025 0.03 0.52

Рттгттт тоттт ^т^Рттаптти ттттпп ттгла тт^шчпттйтттт т I шо^тгтттто ТТ^глпо ст лтпАт^с

потребоваться для разнесения датчиков, с целью уменьшения их влияния на акустическое поле. Получен неожиданный результат — погрешность определения давления возросла на 28%. Возможно, это связано с тем, что в этом случае датчики в среднем оказываются расположенными дальше от цилиндра, где его влияние на поле акустического давления оказывается меньше.

В 4-й строке таблицы представлено следствие увеличения диапазона [1, (ka)<2\ частот, при которых проводятся измерения давления. Значение (ka)2 в этом случае равно 4.0, что приводит к тому, что J становится равным 7 вместо 5 в опорной серии. Улучшение точности определения плотности здесь составило 18 %.

В 5-й строке показано влияние уменьшения шага изменения частот при сохранении их диапазона. Здесь полагалось Aka = 0.25, что так же как и предыдущем случае, увеличивает J (уже до 9). Это уменьшает погрешность на 16%.

Наконец, в 6-й строке таблицы демонстрируется уменьшение погрешности определения плотности на 47 % при увеличении точности измерения давления вдвое (здесь eq = 0.0025 против eq = 0.0050 в опорной серии).

Проведенный анализ показывает, что предложенная схема измерений может быть использована для идентификации плотности материала цилиндрического препятствия с удовлетворительной точностью в том случае, когда ошибка измерения давления не превышает eq = 0.005. Точность определения р* можно улучшить уменьшая eq, путем увеличения числа датчиков K или за счет увеличения числа рассматриваемых частот и\, U2, ..., uj.

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405-420.

2. Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акустический журнал. 1959. Т. 5. № 1. С. 58-63.

3. Lee F.A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. V. 13. № 3. P. 26-31.

4. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

5. Dickey J.W., Uberall H. Surface wave resonances in sound scattering from elastic cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1978. V. 63. № 2. P. 319-320.

6. Flax L., Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1980. V. 68. № 4. P. 1832-1835.

7. Li T, Ueda M. Sound scattering of a plane wave obliquely incident on a cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1989. V. 86, № 6, P. 2363-2368.

8. Doolittle R.D., Uberall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. V. 39. № 2. P. 272-275.

9. Шендеров Е.Л. Прохождение звуковой волны через упругую цилиндрическую оболочку // Акуст. журн. 1963. Т. 9. № 2. С.222-230.

10. Векслер Н.Д. Стационарное рассеяние акустической волны толстослойным круговым упругим цилиндром // Изв. Академии наук Эстонской ССР. 1986. Т. 35. № 4. С. 381-389.

11. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. Вып. 1. С. 134-138.

12. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборон. техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

13. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной транс-версально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

14. Клещев А.А. Дифракция звука от точечного источника на упругой цилиндрической оболочке // Акустический журнал. 2004. Т. 50. Вып. 1. С. 86-89.

15. Толоконников Л.А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой // Известия Тульского государственного университета. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. Вып. 3. С. 106-114.

16. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.

17. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 61-70.

18. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Приклад. математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

19. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. О дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неконцентрической полостью // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 11-17.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. 736 с.

21. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

22. Скучик Е. Основы акустики. Т.2. М.: Мир, 1976. 542 с.

23. Кошляков Н.С., Глинер Н.С., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 712 с.

24. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование задачи идентификации положения полости в упругом препятствии по рассеянному звуковому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 74-86.

25. Толоконников Л.А., Ходюшина Е.В. Определение радиуса концентрической полости упругой сферы по известному рассеянному акустическому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 211-218.

Скобельцын Сергей Алексеевич (skbl@rambler.ru), к.ф.м.-н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Identification of material density of the elastic cylinder on scattered acoustic field

S.A. Skobeltsyn

Abstract. A solution to the problem of determining the elastic cylinder density by scattered field of a plane sound wave is proposed. The decision is based on pressure measurement in a linear system of acoustic sensors. The results of some numerical experiments are presented.

Keywords: sound waves, diffraction, elastic cylinder, identification of parameters, inverse problem of scattering.

Skobeltsyn Sergey (skbl@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.10.2015