Решение начально-краевой задачи о колебаниях балки Тимошенко с упруго прикрепленным твердым телом

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

вытянутого осесимметричного гиростата средствами символьно-численного моделирования // Космические исследования. 2015. Т. 53. № 5. С. 414-420.

2. Символьные вычисления в моделировании и качественном анализе динамических систем / А.В. Банщиков и др. // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19. № 6. С. 3-18.

3. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Итоги науки и техники. Исследование космического пространства. М. : ВИНИТИ АН СССР, 1978. Т. 11. 223 с.

4. Сарычев В.А., Мирер С.А., Дегтярев А.А. Динамика спутника-гиростата с вектором гиростатического момента в главной плоскости

инерции // Космические исследования. 2008. Т. 46. № 1. С. 61-73.

5. Гутник С.А., Сарычев В.А. Динамика осесимметричного спутника-гиростата. Положения равновесия и их устойчивость // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 3. С. 356-368.

6. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

7. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 390-397.

УДК 517.98 Баргуев Сергей Гавриилович (Ганжурович),

к. ф.-м. н., доцент, кафедра высшей математики и общепрофессиональных дисциплин, Бурятский институт инфокоммуникаций (филиал), Сибирский университет телекоммуникаций и информатики,

тел. 89503808172, e-mail: barguev@yandex.ru

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ БАЛКИ ТИМОШЕНКО С УПРУГО ПРИКРЕПЛЕННЫМ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ

S. G. Barguev

THE SOLUTION OF THE INITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM OF THE VIBRATIONS OF TIMOSHENKO BEAM WITH ELASTICALLY ATTACHED SOLID

Аннотация. В статье приводится методика решения начально-краевой задачи для колебаний двухпролетной балки Тимошенко с упруго прикрепленным твердым телом. Концы стержня имеют жесткое закрепление. Применены идеи и наработки, предложенные автором в предыдущих работах. Ставится задача определения поперечных смещений балки в зависимости от продольной координаты и времени, а также смещения твердого тела в зависимости от времени. Начальные условия ставятся в виде задания в начальный момент времени значений поперечных смещений балки в зависимости от продольной координаты и смещения твердого тела. Выводится условие типа ортогональности собственных форм колебаний, что подразумевает получение линейной комбинации интегралов от произведения поперечных смещений балки, произведения первых производных поперечных смещений балки, а также произведений амплитуд твердых тел при разных значениях собственных частот, принимающей определенное значение при совпадении частот и нулевое значение при несовпадении частот. Решение ищется в виде разложения в ряд Фурье по собственным формам колебаний системы с учетом полученного условия ортогональности.

Ключевые слова: собственные частоты, собственные формы, условие ортогональности, начально-краевая задача, ряд Фурье.

Abstract. The technique of the solution of an initial boundary value problem for fluctuations of a double Timoshenko beam with elastically attached solid body is given in the article. The ends of a core have rigid fixing. The ideas and practices offered by the author in the previous works are applied. The task of definition of cross shifts of a beam depending on the longitudinal coordinate and time, as well as shift of a solid body depending on time is set. Entry conditions are laid down in the form of setting in an initial timepoint ofpreset values of cross shifts of a beam depending on the longitudinal coordinate and shift of a solid body. The condition of orthogonality type of its own forms offluctuations that means receiving a linear combination of integrals from work of cross shifts of a beam, work of the first derivative cross shifts of the beam, and also works of amplitudes of solid bodies at different values of its own frequencies accepting a certain value at coincidence offrequencies, and zero value at discrepancy of frequencies is derived. The solution is looked for in the form of decomposition in Fourier series in its own forms offluctuations of the system taking into account the received orthogonality condition.

Keywords: generalization, own frequency, own forms, orthogonality condition, initial boundary value problem, Fourier series.

Введение

Под начально-краевой задачей понимается задача поиска закона движения изучаемой механической системы в зависимости от времени при известных ее начальном положении и скоростях. Решение задачи предполагает знание собственных частот и форм колебаний данной системы.

Получение условия ортогональности

Рассматривается механическая система в виде двухпролетной балки Тимошенко с упруго прикрепленным твердым телом, изображенная на рис. 1.

В работе [1] приведена гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая движение данной механической системы:

Механика

Рис. 1. Балка Тимошенко с твердым телом

д4u(x,0 yk д4и(х,^ ^ у д2u(x,^

дx4 FG дx2дt2

EJ дГ

= — (z(t) - u( x, t))5( x - a) + Ы

B

Л2

+ р2( z (t) - и(а, t)) = 0

д4V (х) 2 Уk (2V(х) 2 У т„ Л

-т^ + ю —--т^ -ю —1— V (х) =

дх4 ГО Лх2 EJ

= е( А - V(х))5(х - а) +

+н8(х - а),

-ю2А + р2(А - V(а)) = 0,

с и В где е =-, Н1 = —^.

EJ EJ Предположим, что найдены собственные частоты ю1, ю2,..., ю ,••• и соответствующие им формы колебаний V1(x),V2(x),...,Vi(х),... рассматриваемой механической системы.

Запишем систему (2) для частот и ю, :

где р = —, п - жесткость упругой связи (пружи-т

ны), т - масса твердого тела, и(х, t) - поперечные смещения точек балки с координатой х в момент времени t, z(t) - смещение твердого тела, а - координата точки крепления пружины к балке, а1 - координата шарнирной опоры, р - объемная плотность балки, у - масса единицы длины балки, Е, О - модуль Юнга и модуль сдвига балки, J - момент инерции поперечного сечения балки, к - фактор сдвига, 8 - дельта-функция Дирака, В^) = В^п^ + %) - реакция в опоре с

амплитудой В .

Решение системы ищем в виде и(х, t) = V (x)sin(юt + %), z(t) = Asin(юt + %),

где V (х) - амплитудная функция (амплитуда точек балки), А - амплитуда твердого тела, ю -частота, % - начальная фаза. После подстановки в (1), получаем систему

д V

-ю,.

ук

-ю2^- V (х) = Ы '

дх4 ' ГО (х2 = е(А - V (х))8(х - а) + +н8(х - а), -ю2 А + р 2( А1 - V (а)) = 0

д% (х) 2 Ук Л ^ (х) 2

-V- + ю, ---3---ю2—V,(х) =

дх 1 ГО Лх2 1 Ы 1

= е( А - V (х))8(х - а) +

+н8(х - а),

-ю2А + р2(А, - V,(а)) = 0 Домножим первое уравнение системы (3) на V (х) и проинтегрируем по х . В результате полу-

]

чим

№ ^ *-ю2 ЛЬ

1

-ю2^^

0

Домножим первое уравнение системы (4) на V (х) и проинтегрируем по х . В результате получим

(2) ¡^^^к^хЛ

1

-ю^^

0

Умножим (5) на (-1) и сложим с (6). В результате получим

( i i \ (W - W) -Xp\v'j(x)v;(x)dx + (x)V,(x)dx

Разделив обе части уравнений (13) и (14) на ф (t) , получим

= _e

Выразим A и A. из вторых уравнений (3) и (4):

p V

А, + p\A, - V (a)) = 0 yk ф; (t) d2

A =

A =

2 2 ' P -W

p2Vj (a) 2 2 '

P

Домножим (8) на Vj (a), а (9) на V (a) и

подставим в (7). В результате после некоторых преобразований получим:

С i i

1К_ JV'(x)V'(x)dx + -МVj (x)V(x)dx +

Фг

£ V. (x)^ fr V, (x) -

dx FG ф.(t) dx

c

= — (A, - V, (x))5(x - a) + EJ

+—— 5(x - a),

EJ 1 Обозначив

Фг (t) 2

= -ю, ,

У Фг

Фг

К2 -Ю2 )

получим

FG-

+e-

p2V

(p2 -W2)(p2 -Ю2) j

= 0.

-w2A, + p2(a. - V(a)) = 0

d dx4

yk 2 d2 —W —V FG dx2

У „2.

EJ

Или, учитывая (8-9), получим

( i i

—V,, (x) V,. (x) —=

c b = — (A - V,(x))S(x - a) +—S(x - ax),

EJ ii EJ 1

+4 AA

x«

FG

v o

A

= 0

J; x)V( x)dx+^\Vj (x)V (x)dx

Таким образом, парциальное движение является синусоидальным с частотой юг со смещением

Ф,

которое получается в результате решения диффе-

FG-

Отсюда получаем условие ортогональности ренциального уравнения Ф (t) + ю^ф(t) = 0, вы-

Jv; (x)V'(x)dx ^-XJV; (x)V (x)dx + 4 AA; =

0

0, í Ф ;

I I

Ц|№))2¿X\х)ёх+4Л2,; = ] (11) 0 0 Р Решение начально-краевой задачи Решение системы (1) ищем в виде разложений в ряды Фурье

7 = |>; (?) Л1 , и( X, Г) ф; «К- (X) (12) ;=1 ;=1 Подставляя в (1), получим

ф

й4 у к •• Й2 V **

ф; С )-тг V;. (X) --V- ср, с)—V;- (X)(?) = ах рЬ ах Ы

текающего из (16).

Запишем начальное условие

2(0) = ¿Ф,(0)A = zo, u(x,0) (0)V(x) = /ц(x) Я ш

—u (x,0) = £ф, (0)V'(x) = f2( x),

,=1

да

f (0) = ^ФЙ (0) A, = 2to,

,=1

да

/(x,0) = ^ФЙ (0)V'(x) = fs( x),

,=1

да

или

~ (А-Ф,- (t) - V (xM (t)Жx - a) + EJ

+bbKtí 5( x - a,).

dxdt

(x,0) ==£фй(0)V(x) = f4(x),

ЕФ(0)A = 2o ,

,=1

да

Хф (0)V'(x) = f1(x),

,=1

да

Хф, (0)V(x) = f2(x),

j

2

Я

1=1

Механика

]ГФй(0)a = zto ,

,=1

œ

Хфй (0)V'( X) = /з( x):

2=1

œ

Ефt,(0)V(x) = /4(x).

i=1

eA—

Умножим (19) справа на —— :

Р

œ e e

ЕФ , (0)— A1AJ =—Zo A— . 1=1 p J p J

+

+^AiAj) = ^\fl(x)V'(x)dx +

y i eA.

EJJ — p2

Ф (0) = -

ж

FG

J/^xTOife+^-J/^x^ix)^

EJ

«4

+-f Z0

XK f(F(x))2dx+-M V2(x)dxt ;J( ,( )) EJ J ' ( d p

+-2 A

чим

Ф„(0) =

fg 0_J_p_

1 1

jKj(V'( x))2 dx + 2( X)dx + e A2

0 0

Из начальных условий Ф,(0) = Фо > Ф«(0) = Фнс и (18) получим

a b = Ф,0 .

ю.

В результате

Ф

2 ю, ' ' '

Подставляя в (12), получаем решение системы (1).

Заключение

Таким образом, получено решение начально-краевой задачи для колебаний балки Тимошенко с упруго прикрепленным твердым телом. По заданным начальному положению и скорости твердого тела, а также начальному изгибу стержня, начальной смешанной производной по продольной координате балки и времени, а также начальной скорости точек балки, изложенная методика позволяет определить полностью закон движения рассматриваемой механической системы, то есть найти в произвольный момент времени смещение и скорость точек балки и закрепленного на ней твердого тела.

Методика, примененная здесь, явилась развитием подхода, предложенного в работе [2].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 15-08-00973).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Yusuf Yesilce, Oktay Demirdag and Seval Catal, Free vibrations of a multi-span Timoshenko beam carrying multiple spring-mass systems. Sadhana. 2008. Vol. 33. Part 4. РР.385-401.

2. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне // Вестн. Бурят. гос. ун-та. 2012. № 2. С. 63-68.

3. Баргуев С.Г., Аюшеев Т.В., Мижидон А.Д. Об одном обобщении для решения начально-краевой задачи о колебаниях произвольного числа осцилляторов на стержне // Вестник БГУ. Сер.: Математика и информатика. 2012. Вып.9. С.95-100.

4. Баргуев С.Г., МижидонА.Д. Исследование собственных колебаний твердого тела на упругом стержне конечной массы двумя способами и их сравнительный анализ // Вестник БГУ. Сер.: 13. Математика и информатика. 2006. Вып. 3.

5. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании. // Вестник БГУ. Сер.: 13. Математика и информатика. 2009. Вып.10.

Умножим (20) на У'(х) и проинтегрируем по длине стержня:

¿фДО^ВДРДхМх = \мху;{х)ск .

,=1 о о

Умножим (21) на V, (х) и проинтегрируем по длине стержня:

¿Ф,.

,=1 о о

Умножив (26) на , а (27) на и сло-

ГО ' EJ

жив с (25), получим

£ф, ^ХЦ}, х)У!( х)(х + 1 (х)У1 (х)(х

В силу условия ортогональности (11) в левой части останется только слагаемое при , = , . В результате получим

-.

FG EJ0 Аналогично для коэффициентов фй (0) полу-

.

6. Мижидон А.Д., Ошоров Б.Б., Баргуев С.Г. Обобщенное решение одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Кубатур-ные формулы и дифференциальные уравнения : междунар. конф. Улан-Удэ, 2009.

7. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д. Определение собственных частот и форм колебаний одной механической системы методом разложения в ряд Фурье. Вестник БГУ. Сер.: Математика и информатика. 2011. Вып. 10.

8. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г. Краевая задача для одной гибридной системы дифференциальных уравнений // Вестник БГУ. 2013. № 9. С. 130-137.

9. Мижидон А.Д., Баргуев С.Г., Цыцыренова М.Ж. Собственные колебания двухпролетной балки Тимошенко с присоединенным осциллятором // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 4 (28). С.78-84.

УДК 629.4.027.4 Цвик Лев Беркович,

д. т. н., профессор кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: tsvik_l@mail.ru Запольский Денис Викторович, аспирант кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: zapolskey_dv@mail.ru Кулешов Алексей Владимирович, старший преподаватель кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: alex_kul@bk.ru

СНИЖЕНИЕ УРОВНЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ТРЕЩИНООБРАЗОВАНИЯ В ЦЕЛЬНОКАТАНЫХ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ КОЛЁСАХ С ПЛОСКОКОНИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ ДИСКА

L. B. Tsvik, D. V. Zapolskey, A. V. Kuleshov

REDUCING TENSIONS AND CRACKING IN THE RAILWAY WHEELS

WITH PAN-SHAPED DISCS

Аннотация. В статье рассматриваются особенности напряжённо-деформированного состояния (НДС) колёс железнодорожных вагонов, возникающего под действием эксплуатационных нагрузок. При рассмотрении учтены как вертикальные силы, действующие на поверхность катания колеса, так и горизонтальные поперечные, действующие на его гребень при прохождении кривых. Анализ расположения и характера реальной трещины в колесе с плоскоконической формой диска, соответствующем ГОСТ 9036-88, возникшей в процессе его эксплуатации, осуществлён с помощью специальной системы радиально ориентированных резов колеса, позволивших сделать поверхность трещины доступной наблюдению. Анализ показал, что её возникновение и развитие обусловлено высоким общим уровнем напряжений в очаге возникновения трещины и наличием в колесе дефекта типа «ползун». Описывается методика проектирования колеса, основанная на последовательном варьировании радиусов галтельных переходов в сечении колеса. Методика позволила повысить допускаемую осевую нагрузку на него, а также ресурс эксплуатации колеса без увеличения его металлоёмкости.

Ключевые слова: поверхность трещины, усталостные бороздки, напряжённо-деформированное состояние, математическая модель, упругое деформирование, метод конечных элементов, цельнокатаные колёса, геометрические параметры, варьирование радиусов, минимизация уровня, равномерный поиск, оптимизация профиля, усталостный ресурс.

Abstract. The article discusses the features of the stress-strain state (SSS) of wheels of railway carriages, arising under the influence of operating loads. Taken into account wheel are the vertical forces acting on the rolling surface of the wheel and horizontal transverse ones acting on its crest, while passing curves. Analysis of the location and nature of the real cracks in the wheel with panshaped disk, corresponding to GOST 9036-88, which appeared in the course of its operation, is executed with the help of a special system of radially oriented wheel cuts which made the cracks surface observable. Analysis showed that its emergence and development is caused by a high overall level of stress in the source of occurrence of cracks and the presence of wheel «slider» type of defect. Wheel design method is described based on the sequential variation offillet radii in the cross section of the wheel. The technique has improved the permissible axial load on it, as well as the operation of wheel life without increasing its metal content.

Keywords: crack surface, fatigue grooves, the stress-strain state, mathematical model, elastic deformation, finite elements method, railway wheels, geometrical parameters, variation of radii, intensity of tension, minimization of level, uniform search, optimization of a profile, fatigue resource.

Эксплуатационные усталостные повреждения

Рассмотрим цельнокатаное колесо железнодорожного вагона, соответствующее ГОСТ 9036-

88 [1-4]. Расчётная схема нагружения колеса силами, действующими со стороны рельса, соответствует прохождению кривого участка пути [5-8] и представлена на рис. 1. На этой схеме вертикаль-