Моделирование неизотермической эктрузии вязкоупругой жидкости

Б. А. Снигерев, Ф. Х. Тазюков, Р. С. Шайхетдинова,

Ф. А. Гарифуллин

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ЭКТРУЗИИ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ

Ключевые слова: вязкоупругая жидкость, модель Гиезекуса, течение со свободной поверхностью.

Работа посвящена моделированию ползущего движения вязкоупругой жидкости со свободной поверхностью, реализующейся при входе полимерной жидкости в формующий канал и выхода из него. Движение жидкости описывается уравнениями сохранения массы, импульса и энергии, дополненное определяющим реологическим уравнением состояния среды Гиезекуса. На основе метода конечных элементов разработан устойчивый численный алгоритм решения задачи. Проведены численные исследования по определению формы выходной струи для различных режимов течения и формы насадки. Исследована картина распределения скоростей жидкости, давления, напряжений и температуры при увеличении степени нагрева стенки формующего канала. Получены численные результаты зависимости эффекта разбухания полимерной жидкости от параметров реологической модели и температурных факторов

Key words: viscoelastic fluid, Giesekus model, free surface flow.

Numerical simulation flow of viscoelastic fluid with free surface, which is realized in entrance and output flow in extrusion die was performed. The flow of liquid is described by equations of conservation of mass, momentum and thermal energy with rheological constitutive equation of Giesekus. On basis of finite element method the stable numerical scheme was developed to solve this problem. Different numerical experiments was performed to define the configuration of outflow jet in various regimes and construction of die. The distribution offlow velocity fields, pressure and temperature are investigated on dependence of heating the walls. The ratio of extrusion in dependence ofparameters the rheological model are investigated.

В последние годы в промышленности переработки полимеров большое внимание уделяется интенсификации существующих процессов и производств, при этом все больше внимания уделяется качеству производимых изделий. Индустрия переработки полимерных материалов базируется в основном на двух основных типах производств - литья под давлением и экструзии [1,2]. Под термином экструзия имеется в виду непрерывный процесс формования длинномерных изделий, заключающийся в придании материалу требуемой формы в результате продавливания его через профилирующий канал. Экструзия дает возможность формовать погонажные профильные изделия, прежде всего пленки во всем их многообразии и длинномерные профили, включая трубы и профильные уплотнения.

Экспериментальные и теоретические исследования [1,2] показывают, что характер течения полимерной жидкости в формующих элементах насадки (фильере) и в выходной струе определяется совокупностью факторов, которые можно разделить на две группы:

- гидродинамические и реологические факторы: расход массы в насадке, определяемый производительностью перерабатываемого оборудования; геометрические характеристики формующей насадки; физико-механические свойства полимерной жидкости (плотность, вязкость, реологические характеристики); массовые силы;

- теплофизические факторы: температурный режим экструзии (температура поступающей полимерной жидкости, температура и изоляционные каче-

ства стенок насадки и фильеры, температура окружающего воздуха) и теплофизические свойства полимерной жидкости.

В соответствии с вышеизложенным особую актуальность приобретает разработка математических моделей, методов расчета и оптимизации процесса экструзии с последующей проверкой и внедрением полученных результатов в производство.

Математическая постановка задачи

В данной работе рассматривается вытекание вязкоупругой жидкости из цилиндрической ступенчатой щелевой насадки, схема которой представлена на рис. 1. На рисунке И обозначает радиус узкого канала выходной части насадки, 4И - радиус трубы на входе, И1 =0.5 И - длина закругленной части, L - длина выходной части насадки.

4

Рис. 1 - Схема вытекания вязкоупругой жидкости из цилиндрического ступенчатого канала

Рассматривается влияние длины выходной части насадки ^ на степень разбухания полимерной

жидкости в процессе экструзии. Анализируется также влияние реологических параметров на характер истечения из насадки. Рассматриваются значения ^ равные 1_ =0, 2И, 4И, 10И.

^9v¡ 9 v Л

—-+v¡ —

91 ¡9 x ¡

¡ J

9P 9t¡

9x; 9x¡

9 v¡

9 x¡

= 0,

v o ^ 1 f 9v¡ 9

T¡ _т*+2г^ D¡j_ i 9^+sx

V j

SJ 9t

j i uk 9Т, 9V k TV

St 9t

+ v

9 xk 9x,

Jkj - Jik

9Vk

9 x,.

Tv +tSj¡L +^TV2 _2r D T¡ + Я^Г +---T¡j _ 2 rvDij,

St Г

f 9T 9T I 92 T

p c-iâr+vjáx:l_k 927: +

В системе уравнений (1) - (5) V ¡ - компоненты скорости жидкости, P - давление, J, - девиатор

V гг,

напряжения, Tjj - вязкоупругая часть напряжения, T

- температура жидкости, r¡V ,rN - динамические вязкости полимера и растворителя соответственно, Ср - теплоемкость жидкости при постоянном давлении, к - коэффициент теплопроводности, Я - время релаксации напряжений полимерной жидкости, OG -

безразмерный параметр реологической модели Гиезекуса [3-5]. Для зависимости вязкости и времени релаксации от температуры используется соотношение Аррениуса [1,2]

Г (T) _Гоа(Т), Я (T) _Я a(T),

а _exp[|(1/T- 1/To)], К

где индекс 0 означает, что значение параметра вычисляется при температуре То, Е - энергия активации, Я

- универсальная газовая постоянная.

Граничные условия имеют вид:

Б^ = У2(Х2>, XV =< (Х2), Т = То (Х1); Б2:у|= 0; Б3:у2 = 0,9у2/дх1 = 0 , Т = Т2 ;

Б4:у2 = 0, хУ2 = 0, дТ/дх2 = 0 ; Б5^х|/^=у|, п.х.п,- (Р- Р0) п | = (1/ар)2К, п,хл1,= 0 ,

кдТ/дп = -ар(Т-Т0).

Здесь П| - компоненты единичной нормали и каса-

тельной к поверхности Б5, Р0 - давление над свободной поверхностью, Ср - коэффициент поверхностного натяжения, К - кривизна свободной поверхности, а -коэффициент теплоотдачи с окружающей

средой, Т1 - температура стенок канала, Т0 - температура жидкости на входе, Т2 - температура окружающей среды.

Исходная система уравнений (1) - (5) преобразуется в безразмерный вид. В качестве безразмерных переменных используются параметры

х* = х,/Ц V* = 1* =11І0/І_, Р*=Р/(г|и0/1_),

х ;=х,/ (ли0/1_), е=(т-т0)/ (т -т0),

где ио - средняя скорость жидкости на входе, і -

характерный размер, равный полуширине канала Л (далее звездочка над безразмерными величинами опущена).

Безразмерная форма уравнений (1) - (5) запишется в виде

(

Re

9v(.

9t

9v і

'9 x

Л

_-9P .Él.., 9V± _ o,

j

9 x, 9 x,

9 x,

Tj _T +2PDh ,

t V + We

¡j St

Stv о G We

(1-P) T¡¡

v2 _2(1-P)D¡,

і 9T 9T ï 92T

Pe I—+v¡---I _ ——+ Br It( -DJ

я* j я a2 v ^ ¡k kj '

д^ 1 дд^ " Г1к _к1/

Здесь определяющими являются безразмерные комплексы: Ре = Рв0а(0), Ре = рЦ,Ь/( +пм) - число

Рейнольдса, Ре = рср и0 Ь/к - Пекле,

We = We 0 а (0), We =Х и0 / Ь - Вайссенберга,

Вг = Вг0 а(0), Вг = ^и2 /к(Т, -Т0) - Бринкмана,

Р=Р а 0), р = Лы / (Лы + Лы) - параметр ретардации.

Граничные условия в безразмерной форме примут вид: Б^ = У2^), XV = х”^), 0= 0 ;

Б2 : у| = 0; Б3: у2 = 0,ду2 / дх, = 0 , 0 = 1 ;

Б4:у2 = 0, х^ = 0, д0/дх2 = 0; Б5 :

6X1 /61 = V,, п|х1п1- (1/Са)2К =0 , П(. хД- = 0 , д0 / д п = - В I (0-00), где Са =^и0 / стр - число капиллярности, В1 = а р Ь / к - параметр Био.

Численный метод решения

Аппроксимация уравнений (6) - (8) и вычисления проводятся методом конечных элементов (МКЭ) второго порядка на нерегулярных сетках, сгущающихся к зоне истечения полимера из насадки. Для расчетов строилась последовательность сгущающихся сеток ПЕ 9-узловых четырехугольных элементов (число узлов 5000, 18400, 26700). Для скоростей применяется квадратичная аппроксимация Ф ={фм1 = 1,9} и билинейная у = { ,1 = 1,4} для

давления, напряжений, температуры. После применения стандартной процедуры метода конечных элементов к уравнениям движения получаем матричные уравнения для нахождения скоростей и давлений следующего вида

М|Х+1 + АХ+1 -Блрп+1 = М|Х + С|^п + Сцхп ,

¡j j ¡j r j -T vn+1-

ET vn+1 _ 0,

P

где М|1 - матрица масс, Ещ - дискретизация оператора дивергенции, ЕТ - транспонированная матрица оператора дивергенции, Ащ - сеточный аналог оператора Лапласа, Сщ - дискретизация конвективного члена. Для их вычисления применяются следующие формулы Мц= 1ф;ф^мх2,

«Е

Е11 =/(^уI )Ф1 сцс!^ ,

«Е

А|1 ^ Сх2 ,

«Е

Си = 1 уп

«Е

Интегралы на четырехугольнике вычисляются с помощью 4-х точечной квадратурной формулы Гаусса [6]. Компоненты напряжений и температура находятся раздельно, после определения поля скоростей из решения матричных уравнений (9)-(10), с помощью следующих соотношений

Мцхп+1 = Мцхп -Сц^/п) + Бц

Мц 0п+1 = М,0п - Сц

где М8 - матрица масс, Сщ, Бщ - дискретизации оператора верхней конвективной производной и конвективных слагаемых соответственно, ^ , Р - порождены дополнительными членами в уравнениях для энергии и напряжений. Данные матрицы находятся через

С|1=1 ,(уп )У | У1 С Х1 СХ2 ,

«Е

Б|1=1 Уп СХ1 СХ2 ,

«Е

Б|1=1 уп СХ1 СХ2 ,

«Е

Р|1 = 1(У|)2 У1СМХ2

«Е

Для свободной поверхности, описываемой уравнением Г(х I ) = 0 , выполняется кинематическое соотношение д Б

—+у| VБ = 0

д 1

Местоположение деформируемой свободной поверхности находится из аппроксимации кинематического условия (13) методом конечных элементов, затем сетка конечных элементов вблизи нее перестраивается для получения решений матричных уравнений (9)-(12), с помощью которых находится поле скоростей, давлений, напряжений и температур на новом временном слое Г+1 =(п + 1)Д 1. Стационарное положение формы выходящей струи находится методом установления эволюционной задачи с использованием традиционных для уравнений данного класса алгоритмов [6,8].

Результаты численного моделирования

Для изотермического обтекания значения всех параметров рассматриваются при температуре Т0 = 303К. В случае неизотермического обтекания рассматривается истечение полимерной жидкости из насадки с нагретыми стенками, температура которых

повышается до Т2 = 323К, 373К соответственно. Расчеты проводились при следующих значениях теплофизических свойств полимерной жидкости р= 924 кг /м3, л= 104 Па-с, ср = 2300 Дж/ (кг-К), к = 0.26 Вт/(м-К), А = 2000 К, стр = 3-10 2 н/м, ар = 102 Вт / (м2-К). Характерные параметры рассматривались следующие И=10 2 м, и0 =4-10-3 м/сек. Время релаксации напряжений жидкости изменялось в пределах от Л= 0.1 до 10 сек. Получены следующие значения безразмерных критериев Ре=10-5, а = 0.33, Р=0.11, Ре = 180,

Вг=2-10 2, Са=1.4-103, В|=3.8 , а число We изменяется в пределах от 0.1 до 5.0.

Из требования выполнения закона сохранения количества движения следует, что струя, выходящая из канала должна сужаться. Этот эффект известен для низкомолекулярных жидкостей, не проявляющих высокоэластических свойств. Для полимерных систем реализуется упругое разбухание, обусловленное высокоэластическими деформациями. Увеличение диаметра выходной струи характеризуется параметром И,, равным отношению диаметра струи к диаметру канала и называемым эффектом разбухания струи. Для тестирования правильности работы алгоритма рассматривалось ползущее изотермическое истечение ньютоновской жидкости из цилиндрического и щелевого каналов. Значения И,, полученное в [7], составляет И, = 1.127. В данной работе получено значение И, = 1.127 для цилиндрического,

И, = 1.190 для щелевого канала соответственно [8]. В таблице 1 сравниваются экспериментально замеренные значения степени расширения выходной струи И , ньютоновской жидкости с расчетными данными для различных чисел Рейнольдса Ре и числа капиллярности Са . Следует отметить, что наблюдается вполне удовлетворительное согласие расчетных данных с экспериментальными результатами, имеющими погрешность приблизительно ±0,01.

Таблица 1 - Сравнение экспериментальных и расчетных данных по степени разбухания И, выходной струи

Кв Са ^ [7]

0,0 0,0 1,135 1,128

4,09 0,0627 1,096 1,081

12,5 0,1696 0,998 0,989

17,2 0,1411 0,979 0,971

27,3 0,0888 0,959 0,947

47,4 0,2803 0,925 0,913

На рис. 2 представлена картина течения для насадки с размером выходного канала равным L = 0 в виде изолиний линий тока (рис. 2а), первой разности главных напряжений Ы, =ст, -ст2 (рис. 2б), изолинии

осевой компоненты скорости (рис. 2с) для изотермической экструзии при We = 3.0. На этих рисунках видно, что как только полимерная жидкость проходит выходное сечение и попадает в зону свободного течения, давление и напряжения начинают немедленно релаксировать. Процесс релаксации происходит до тех пор, пока накопленная высокоэластичная деформация не уменьшится до значения, соответствующего эластической деформации полимера, находящегося в состоянии стационарного течения.

Рис. 2 - Линии тока / (а), изолинии Ы1 (б), изолинии осевой компоненты скорости (с) при We = 3.0 для насадки с длиной 1_ = 0

Перестройка профиля скорости приводит к возникновению продольных деформации растяжения или сжатия. Из требования выполнения закона сохранения количества движения следует, что струя, выходящая из канала должна сужаться. Этот эффект известен для низкомолекулярных жидкостей, не проявляющих высокоэластических свойств и составляет 0.87. Для полимерных систем реализуется упругое разбухание, обусловленное высокоэластическими деформациями. На рис. 3, где приведены профили скоростей жидкости по 5 поперечным сечениям для насадки 1_=0, продемонстрировано влияние вязкоупругих свойств жидкости на характер истечения из насадки. При малых значениях числа We поведение полимерных жидкостей, вследствие незначительного проявления вязкоупругих свойств, близко к ньютоновскому (рис. 3 а). Распределение скорости поперек сечения носит монотонный характер. При увеличении вязкоупругих свойств жидкости структура потока в струе значительно изменяется. Профиль скорости поперек потока, при этом, носит немонотонный характер, максимальная скорость на центральной оси потока уменьшается по мере приближения к границе, но затем вблизи поверхности, снова начинает увеличиваться (рис. 3б). Увеличение длины насадки приводит к стабилизации профиля скоростей в выходной струе. Приведена зависимость степени разбухания И , выходящей струи полимерной жидкости от значения числа We для различных насадок. Формы насадок различаются длиной узкой выходной части изменяющейся от 0 до 10^. Результаты показывают, что степень разбухания И , струи увеличивается при

уменьшении длины выходного участка. Видно, что значения И , зависят от кинематики предшествующего

деформирования - скорости сдвига и длины выходной части капилляра. Это можно трактовать тем, что пост-экструзионное разбухание при переработке полимеров обусловлено высвобождением упругой энергии, запасенной при предшествующем течении в канале. Вязкоупругие жидкости являются средами, обладающими наследственной памятью. Наследственная жидкость помнит предысторию, то есть изменение поля скоростей в предшествующие моменты времени. Длительность памяти характеризуется временем релаксационных процессов X , что определяется параметром We . Видно, что при увеличении значения числа We степень разбухания увеличивается для всех насадок. Результаты исследования влияния реологического параметра модели Гиезекуса а С на процесс разбухания при изотермическом течении показано на рис. Приведена зависимость степени разбухания выходящей струи полимерной жидкости от значения числа We для насадки с длиной 1_=0 при увеличении параметра а С модели Гиезекуса. Увеличение данного параметра для вязкоупругих жидкостей означает, что они обладают большей аномалией вязкости при увеличении скорости сдвига. Жидкости не обладающие аномалией вязкости описываются реологическим уравнением Олдройда [5], что соответствует а С =0 в модели Гиезекуса. Видно, что для упруговязких жидкостей, проявляющих большую аномалию вязкости, степень разбухания уменьшается при изотермическом выдавливании из насадки. Это объясняется тем, что упругие свойства жидкости играют значительную роль в увеличении диаметра выходной струи. Для малых значений времени релаксации напряжений (соответственно We ) поведение полимерной смеси близко к ньютоновской жидкости, когда значение И, не превышает 1.18 [8]. Показана зависимость И, от числа We при неизотермической экструзии для ступенчатой формующей насадки с размером выходной части Ь=0 в зависимости от температурного напора между стенкой и потоком полимерной жидкости. Приведена аналогичная зависимость для насадки с размером 1_ = 2И . Видно, что нагрев стенки на Д Т = 70К (кривая -3) на обоих графиках приводит к уменьшению диаметра выходной струи. Отметим при этом, что для более длинной насадки с ростом числа We и температурного напора выявлен немонотонный характер увеличения И , . При небольших числах We (We < 1 ) происходит уменьшение степени разбухания. Приведены профили скоростей жидкости по пяти поперечным сечениям для неизотермической экструзии при увеличении температурного напора стенки на 70 К. При малых значениях числа We поведение полимерных жидкостей близко к ньютоновскому, когда неизотермичность потока полимерной жидкости приводит к уменьшению степени разбухания И, от И, = 1,12 при Т2 =

303К, до И, = 1,07 при Т2 = 373К. Из проведенных

расчетов видно, что температурная аномалия вязкости в выходной струе не приводит к изменению характерных закономерностей по распределению скоростей, а именно, при увеличении температурного напора на Д Т = 70К сохраняется монотонное увеличение скорости вдоль поверхности струи до установившегося значения. Значительное отличие проявляется в профиле скорости, когда параболический профиль трансформируется в более затупленный на выходе из насадки. Показано влияние увеличения температурного напора, вязкоупругих свойств на степень разбухания и характер перераспределения скорости после выхода из насадки. Нагрев стенки формующей головки на Д Т = 70К приводит к уменьшению степени разбухания с И, = 1,94 при Т2 = 303К, до И, = 1,55 при Т2 = 373К. Температурная аномалия вязкости приводит к тому, что выходной профиль скорости при ъ = 0 становится более затупленным, но по мере удаления профиль становится опять параболическим. Температурная неоднородность выходного потока сохраняет нелинейные особенности распределения скорости в выходной струе, проявляющиеся вследствие проявления вязкоупругих свойств полимерной жидкости. Имеющая место для изотермической экструзии, нелинейная особенность распределения скорости вдоль поверхности струи, при увеличении не-изотермичности потока проявляется сильнее, что иллюстрирует. К ней добавляется нелинейная особенность распределения скорости вдоль оси, заключающаяся в том, что уменьшение скорости вдоль центральной оси до установившегося значения происходит немонотонно.

Приведенные результаты расчетов процесса экструзии вязкоупругой жидкости из ступенчатых формующих насадок с разной длиной выходной части показали, что степень разбухания выходной струи увеличивается для коротких выходных формующих каналов. Данные результаты подтверждают вывод о том, что одним из факторов влияющих на степень разбухания для наследственных вязкоупругих сред является время релаксации напряжений. Неизотер-мичность потока полимерной массы, определяющаяся разностью температур стенки и основного потока, приводит к уменьшению диаметра выходной струи. Выявлено, что при увеличении температурного напора наблюдается уменьшение диаметра выходной струи с ростом числа We на начальном этапе. Данный характер немонотонного поведения степени разбухания свидетельствует о том, что температурная аномалия вязкости оказывает существенное влияние на форму выходящей струи.

Выводы

Результаты численного моделирования истечения вязкоупругой жидкости из насадки на основе модели жидкости Гиезекуса показали, что для моделирования эффекта разбухания жидкости необходим

выбор нелинейных вязкоупругих моделей, учитывающих первую и вторую разность нормальных напряжений в сдвиговом течении. Существование нормальных напряжений также является одной из причин разбухания струи или Баррус-эффекта. Результаты данной работы позволяют получить некоторые качественные оценки по форме свободной поверхности и распределению нормальных и сдвиговых напряжений в потоке экструдата. На основе проведенных численных исследований обнаружены и выделены следующие основные отличия в особенностях распределения скорости в выходной струе для осесимметричных формующих насадок: а) для вязкоупругих сред характерен немонотонный профиль скорости поперек сечения в выходной струе, в отличие от ньютоновских, когда скорость жидкости монотонно увеличивается от поверхности к середине струи; б) в отличие от ньютоновской среды, когда происходит монотонное увеличение скорости вдоль поверхности струи, вязкоупругая среда демонстрирует немонотонное изменение величины скорости на поверхности по мере удаления от выхода; с) рост температурного напора со стороны стенок формующей насадки приводит к немонотонному уменьшению скорости вдоль оси струи до установления стационарного значения. Полученная информация будет полезной при инженерном прогнозировании технологического процесса переработки полимеров. Явления эластического восстановления и разбухания струи экструдата очень сложны и многообразны, поэтому для адекватности математического описания необходимо также обращаться к эксперименту. Литература

1. Чанг Дей Хан. Реология в процессах переработки полимеров. М.: Химия, 1979, 368с.

2. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров. М.: Химия, 1977, 467с.

3. Giesekus H. A simple constitutive equation for polymer fluids based on the concept of deformation dependent tensorial mobility//! Non-Newtonian Fluid Mech, 1982, Vol.11. №1. -P.69-109.

4. Назмеев Ю.Г. Гидродинамика и теплообмен закрученных потоков реологически сложных жидкостей. М.: Энер-гоатомиздат, 1996, 304с.

5. Гарифуллин Ф.А. Макромолекулы и реологические уравнения. Том 1. Казань, КГТУ, 2008, 536c.

6. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с

7. Gear R.L., Keentok M, Tanner R.I. The shape of Newtonian jet // Phys. Fluids. 1983 ,Vol. 26(1), p.7-11.

8. Снигерев БА., Тазюков ФХ., Кутузов А.Г., Амер Аль Ра-ваш Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2007. №1. С.86-93.

9. Мануйко Г.В., Аминова Г.А., Дьяконов Г.С., Бронск5ая В.В. Моделирование периодического процесса полимеризации бутадиена на модифицированном литиевом катализаторе с учетом изменения его активности. // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2012. - Т. 15, №1. С.79-86.

© Б. А. Снигерев - канд. техн. наук, ст. науч. сотр. ИММ КазНЦ РАН; Ф. Х. Тазюков - д-р техн. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ; Р. С. Шайхетдинова - д-р техн. наук, проф. каф. технология конструкционных материалов КНИТУ; Ф. А. Гарифуллин - ст. препод. той же кафедры, rami21@yandex.ru