Сопряженные модели проникания твердых тел

Статья посвящена математическому моделированию нового вида артиллерийских орудий, предназначенных для решения задач строительства. Предложен комплекс сопряженных моделей, описывающих процесс проникания твердых тел в грунт и включающий в себя термодинамические и газодинамические модели, для которых также произведено сравнение результатов численных экспериментов при решении основной задачи внутренней баллистики импульсного вдавливания. Определены условия применения этих моделей с целью обеспечения необходимой точности расчетов величин проникания, скорости и пути отката, максимальных давлений в рассматриваемых частях орудий.

Исследования по созданию артиллерийских установок, предназначенных для погружения строительных элементов (анкеров, свай и т.д.) в грунт на значительную глубину проводятся в нашей стране около 30 лет [1, 2]. Впервые этой задачей на серьезной научной основе стал заниматься профессор Пермского государственного технического университета М. Ю. Цирульников. В 1980-х гг. под его руководством была изготовлена установка УЗАС-2 на основе устаревшего откатного артиллерийского орудия М-46, способная за один выстрел заглублять железобетонные сваи в глинистый грунт на глубину до 4 м [2]. При этом применялся способ свободного застреливания. Как показала практика, применение пороха в качестве топлива для решения задач строительства уменьшает себестоимость работ в 3-4 раза и повышает производительность труда в 5-6 раз по сравнению с существующими методами.

В работах [1-3] показано, что для получения наибольшего проникания необходима конструктивная возможность поглощения большой энергии отката. Одним из путей решения этой проблемы является применение сосуда с соплом, установленного на откатные части орудия, застреливающего строительные элементы. Принципиальная схема такого орудия приведена на рисунке 1.

Рис. 1 Принципиальная схема орудия с соплом: 1 - сопло; 2 - сосуд с порохом; 3 - ствол; 4 - забойник; 5 - строительный элемент ( СЭ); 6 - грунт

Введение

Задачи математического моделирования строительных пороховых машин

Задачами математического моделирования являются определение наибольшего давления в канале ствола и сосуде, законов изменения скорости и перемещения строительного элемента в грунте, скорости и пути отката, а также величины проникания. Для решения основной задачи внутренней баллистики возможны термодинамический и газодинамический подходы [4-6].

Отметим, что большая точность в решении этой задачи для машин, применяемых при строительстве, не требуется, т.к. на практике отклонение расчетных величин проникания от экспериментальных около 30% считается вполне допустимым. Поэтому нет необходимости в разработке детальных и достаточно сложных моделей внутренней баллистики.

Термодинамическая модель

На основе второго закона Ньютона движение системы «артиллерийское орудие - сосуд» будем описывать уравнением

ёУ

Здесь и в дальнейшем индекс 1 относится к орудию (нижнему), а 2 - к сосуду с соплом. В уравнении (1) используются следующие обозначения: Ур -скорость отката; М1, М2 - масса нижнего орудия и сосуда соответственно; Ф2 - коэффициент фиктивности для сосуда с соплом; Р1, Р2 - давление в стволе нижнего орудия и сосуде соответственно; ^1 - площадь поперечного сечения канала ствола; Л2 - сила отдачи, создающаяся при выбросе пороховых газов из сопла; g - ускорение свободного падения.

Уравнение движения СЭ в канале ствола имеет вид

ёУ .

тси~Г = Р1*1 + тсн g - Р

ёх

где тсн - масса строительного элемента; Уа, 1а - скорость и перемещение строительного элемента в грунте соответственно; Р - сила сопротивления грунта прониканию строительного элемента, которую, согласно работе [2],

можно, например, принять в виде Р(Уа, 1а) = 5 (а\а( + Ь) + спё1а, где 5, ё -

площадь и диаметр миделевого сечения сваи соответственно; с - удельное

трение ее боковой поверхности о грунт; а, Ь - коэффициенты, зависящие от

свойств грунта.

К системе уравнений (1), (2) добавляются естественные кинематические соотношения:

ё1Р ё1

_р = у = у

ёх Ур, ёх Уа

Кроме того, будем использовать обозначения: У = Уа + Ур, I = 1а + 1р .

Для системы уравнений (1)-(3) будем использовать следующие начальные условия:

Ур

Краевая задача (1)-(4) содержит целый ряд параметров, требующих дополнительного определения. При этом, в соответствии с теорией внутренней баллистики, процесс «выстрела» делится на три периода (фазы):

- предварительный, когда порох горит, но снаряд еще не движется;

- первый, порох горит - снаряд движется;

- второй, весь порох сгорел - снаряд движется.

В рамках термодинамической модели сила отдачи Л2 при установившемся истечении газа через сопло, согласно [4], удовлетворяет уравнению

Л2 =х1Ркр Р2,

где х = 0,85; £, = 1,89 (для наибольшего значения тяги); Ркр - площадь критического сечения сопла [4].

Определим понятие «большого сосуда» и «малого отверстия». На основе работ [4-6] можно заключить, что сосуд считается большим, а отверстие малым, если выполняются неравенства

ё • пЬё2 •

ёсос ^ -Ш2П, %2 ^----—, Ь >> 1

сос 0,2 02 0,16 1

где ёсос - диаметр сосуда; ётщ - диаметр отверстия в сосуде; Ь - высота сосуда; 11 - максимальный линейный размер зерна пороха; ^02 - объем сосуда.

Согласно работе [4], давление в сосуде при истечении порохового газа из большого сосуда через малое отверстие для первого периода выстрела меняется согласно закону

/ю2

р2 =-------------------------------------------------т ^-,

^02 —^

где / - сила пороха; Ю2 - масса заряда; ^2 - относительная часть сгоревшего пороха в сосуде; ^ - относительная часть пороховых газов, выброшенная через отверстие; 8 - плотность пороха; а - коволюм пороховых газов.

Величина ^ удовлетворяет уравнению, полученному на основе экспериментов [4]:

ё ц = фРтш К0

ёх т \0,5,

“2 /Тср ) ,

здесь х - время; ф = 0,95; тСр = 0,9 [4]; Рт]п - площадь отверстия, через которое вытекает пороховой газ; величина К0 задается равенством

1

/

^0 =

к +1

0,5

где к - показатель адиабаты порохового газа [4].

Кроме того, для трубчатого зерненого пороха справедливо соотношение [4]

—Т~ = г1р1 , Г1 =Т~,

ёх 1р

У!

где !р, - импульс пороха, ! = 1,2.

Начальными условиями для уравнений (7), (8) являются следующие:

Ц

где величины Тг0 - относительные части сгоревшего пороха во время предварительного периода, которые вычисляются по известным формулам (см. например [4]). Во втором периоде выстрела для верхнего сосуда просто полагаем Т 2 = 1.

Для определения величины р1 в первом периоде выстрела воспользуемся законом сохранения энергии.

Энергия Е, выделяемая порохом при горении, идет на совершение следующих работ и получения энергий:

- работы А1, идущей на преодоление силы трения строительного элемента о грунт (только при импульсном вдавливании и полузастреливании [1, 2]):

1а

А = |Р(Уа, 1а )ё1а,

где Р - сила сопротивления грунта движению СЭ;

- на сообщение кинетической энергии СЭ:

т У2

'*‘Т'Н г п

2

2

- на сообщение кинетической энергии системе «АО - сосуд»:

(М1 +ф2 М 2)Ур 2

Аз =--------~---------—;

3 2

- энергии, затраченной на преодоление силы тяжести системы:

1р

А4 = | (т +Ф2 м 2) gёlp;

0

- работы по преодолению силы отдачи, создаваемой в верхнем сосуде:

А5 = | Л^ё-К,

0

где т1 - масса откатных частей нижнего орудия, коэффициент фиктивности

т 1 ю2

Ф2 = 1 +---------------.

2 з(т + м 2)8

0

Кроме того, сила тяжести сама совершает работу А6, которая задается

соотношением Аб = тсн8Їа.

Так как Е - энергия пороховых газов, за счет которой совершаются ра-

5

боты Аі, А2, Аз, А4, А5, то очевидно равенство Е = 2 А' - Аз-

г=1

Известно [4], что величину Е можно аппроксимировать в следующем

виде:

где Wтl - свободный объем каморы нижнего орудия при сгорании в нем части заряда; ^1, 0 - показатель адиабаты пороховых газов без единицы; Ю1 -масса заряда в нижнем орудии; I - относительный путь строительного элемента по каналу ствола.

На основе закона сохранения энергии, приравнивая записанные энергии Е друг другу, выражая величину р1 и дифференцируя ее по параметру х, получим дифференциальное уравнение для вычисления давления в нижнем орудии в первом периоде выстрела. Оно будет иметь вид

В формуле (10) величина а1 для трубчатого зерненого пороха удовлетворяет соотношению [4]:

где р10 - давление форсирования - давление в стволе орудия в конце предварительного периода.

йРі

йї

/ ЮіГі рі - 0Р (Уа, 1а )va - 0тснУ^^ - 0 (ті + Ф2М 2 ) 8Ур

+

+ SlЇ

+ SЇl

- Рі

+ SlЇ

где Wol - объем камеры в нижнем орудии.

Начальным условием для уравнения (10) является

р1(0) = Рl0,

Во втором периоде выстрела для нижнего орудия давление определяется из соотношения

p1=Pkl-—),

где pk1 - давление в канале ствола; lk - относительный путь СЭ в стволе; 1^=1 -приведенная длина свободного объема камеры в конце первого периода выстрела; 1 + е - показатель политропы.

Таким образом, рассмотренная нами термодинамическая модель за-стреливания строительных элементов в грунт предполагает следующие допущения:

1. Ствол артиллерийского орудия опущен вниз под углом 90° к поверхности грунта, что обеспечивает вертикальное заглубление строительного элемента.

2. Ствол без нарезов, т.е. рассматриваются гладкоствольные системы, которые обеспечивают движение строительного элемента в грунте без вращения относительно его продольной оси.

3. Не учитывается работа, затрачиваемая на перемещение газов и заряда. Это можно сделать, приняв во внимание то, что вес заряда в рассматриваемых случаях мал по сравнению с весами откатных частей пушки и строительного элемента, а следовательно, кинетическая энергия заряда будет пренебрежимо мала по сравнению с кинетическими энергиями откатных частей и строительного элемента.

4. Давление газов на дно канала ствола и строительный элемент одинаковы.

5. Рассматривается порох с постоянной поверхностью горения.

6. Закон скорости горения пороха и выражается формулой и = щр [4-6], где U1 = const; р - давление пороховых газов.

7. Состав продуктов горения не меняется, и величина силы пороха /и коволюма пороховых газов а постоянны.

8. Показатель политропы 0 + 1 принимается постоянным, равным некоторому среднему значению.

9. Предполагается, что строительный элемент стоит на месте, пока давление газов не достигает величины давления форсирования рю.

10. Движение строительного элемента по каналу ствола рассматривается до момента прохождения его днища через дульный срез.

11. Растяжением стенок ствола при выстреле и прорывом газов через зазоры между строительным элементом и каналом ствола пренебрегается.

12. Сила сопротивления грунта описывается гладкой функцией от времени, модуль производной которой ограничен не очень большим числом.

13. Застреливаемый строительный элемент - недеформируемое тело.

14. Истечение газа из сосуда с соплом происходит через малое отверстие.

15. Тяга рассчитывается в предположении об установившемся движении газа.

16. Коэффициент фиктивности для нижнего откатного орудия равен единице.

Термодинамический подход для описания процесса истечения пороховых газов из сосуда с соплом и определения силы отдачи, возникающей при этом, требует проведения значительного количества экспериментов, что не совсем удобно. Существующие методы термодинамического подхода основаны на определении тяги при условии установившегося движения пороховых газов, что наблюдается, например, в ракетах [4, 7], и истечения газа через малое отверстие из большого сосуда. При этом критическое сечение предполагается неизменным. Так как во время горения артиллерийских порохов истечение образующихся пороховых газов далеко от установившегося и диаметр критического сечения сопла является переменным, то необходима общая газодинамическая модель, которая хотя бы приближенно, снимая вышеперечисленные недостатки, позволяет решать комплексную задачу динамики системы «пороховая машина - свая - грунт».

Газодинамическая модель истечения газа из сосуда с соплом

Рассмотрим газодинамическую модель, позволяющую ослабить ограничения п. 14, 15 и вычислять силу отдачи R2 более корректно. Предположим, что внутри соплового блока ударные волны отсутствуют, что справедливо, например, при быстром горении пороха в сосуде. Согласно работе [8], соотношения, описывающие истечение газов для трубчатого зерненого пороха в предположении отсутствия ударных волн, начинающихся в конечной части диффузора, определяются системой гиперболических уравнений:

dpms dpmsV

дt дх

= sG;

дpmsv дpmsvV ди

------+---------= -ms---------stw + sGV„;

дt дх дх w p

m = 1 -aЛо(І-Y), a = const; дpms£ + дpmsєV = d(pmsv + (1 - m) sVp) +

дt дх дх

)2'

Q +---------+ stw (v - Vp);

+ sG

/1 \ n дТ I7 дТ S0

P (1 -«p) = 0pe^ — + Vp — = -0- uk, дt y дх Л0

где р - плотность пороховых газов; т - пористость смеси «пороховые частицы - пороховые газы»; 5 - переменная площадь поперечного сечения сосуда; ї - время; х - координата; О - газоприход в единице объема (для каморы сгорания он определяется формулой О = а5о§М£, вне каморы сгорания - равен нулю); V - скорость движения пороховых газов в сосуде с соплом; є - внутренняя энергия единицы массы пороховых газов; р - давление пороховых газов в сосуде; а - счетная концентрация зерненых пороховых элементов; ¥ -

относительная часть сгоревшего пороха; щ - скорость горения пороха; Ло, Sо - начальные объем и поверхность горения порохового зерна соответственно; Q - теплотворная способность пороха, У = V - Ур.

Начальные условия для решения системы уравнений (13) имеют вид [5, 6]

1. О < х < ЬкМ,

г = 0: У(0) = 0, р(0) =

Ґ / 1 ^

—+ а—

V Р0 8

т(0) = 1 -Д, а =——— 8 Л08^02

, Д =

Ю2

02

2. х = 0, г > 0: V = Ур.

В соотношениях Ькм - длина сосуда.

Теория, на которой основаны уравнения (13), согласно [5, 6], описывает процесс движения газа за снарядом в канале ствола. В нашем случае соотношения на границе, определяемой перемещением снаряда в стволе, заменим уравнениями

йт^„ й ,

---= рл,—1п

йг йг

г1 л к

Рэ а

V рэ )

-* йх

= 0,Рэ

где ^ - скорость движения границы порохового газа со стороны, ближайшей к концу диффузора сопла; рэ, р8 - давление и плотность порохового газа на этой границе; Ьэ - суммарная длина сосуда и сопла; р0 - атмосферная плотность; к - показатель адиабаты порохового газа; хэ - расстояние от дна сосуда до границы порохового газа.

Начальные условия для решения задачи Коши (15) имеют вид

Vs (0) = 0, Рэ (0) = Р0, Рэ (0) = Р(0), хх (0) = Ькм.

Необходимо отметить, что систему уравнений (15) необходимо решать до тех пор, пока выполняется неравенство хэ < . В этом случае для выходной части диффузора сопла можно принять следующие граничные условия:

дv Эр Эе

— = 0, — = 0, — = 0, где п - нормаль, направленная к днищу сосуда.

дп дп дп

Согласно работе [7], силу отдачи Я2 для нестационарного процесса можно принять в виде

0

п Г йэ

К2 = рдн эдн + J р йх +

й О

йг

, О =

0

где рдн, 5дн - давление в сосуде у днища и площадь днища; О - собственный импульс пороховых газов.

Анализ численных экспериментов

Для рассмотренных выше моделей численное решение осуществлялось с помощью схемы Эйлера-Лагранжа [6] (газодинамическая модель истечения

Х

газа из сосуда с соплом) и метода Рунге-Кутта второго порядка для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Верификация математической газодинамической модели на основе натурных экспериментов показывает, что относительная погрешность отклонения основных внутрибаллистических расчетных характеристик от опытных не превышает 15%.

В таблице 1 приведены значения основных внутрибаллистических параметров для пороха ВТМ. Они получены на основе термодинамической и газодинамической моделей импульсного вдавливания при технических характеристиках пороховой машины и сваи, помещенных в таблице 2. Рассматривался глинистый грунт с консистенцией 0,3, общий вид силы сопротивления прониканию для которого приведен выше.

Таблица 1

Значения основных внутрибаллистических характеристик

Характеристика Термодинамическая модель Газодинамическая модель

Максимальное давление в канале ствола (Па) 25630000 25000000

Максимальное давление в сосуде (Па) 27000000 13000000

Дульная скорость отката (м/с) 4,38 6,50

Дульный откат (м) 0,11 0,25

Заглубление в грунт (м) 2,79 2,60

Таблица 2

Технические характеристики строительной пороховой машины с соплом и застреливаемой сваи

Техническая характеристика Значение характеристики

Масса нижнего орудия (кг) 3600

Масса сосуда (кг) 100

Масса заряда в нижнем орудии (кг) 2

Масса заряда в сосуде (кг) 25

Объем камеры нижнего орудия (м3) 0,014

Объем сосуда (м3) 0,1

Диаметр минимального сечения сопла (м) 0,2

Диаметр сосуда (м) 0,5

Длина конфузора сопла (м) 0,1

Длина диффузора сопла (м) 0,2

Диаметр конечной части диффузора (м) 0,5

Калибр ствола (м) 0,170

Масса сваи (кг) 360

Диаметр миделевого сечения сваи (м) 0,4

Анализ таблицы 1 позволяет утверждать, что расчетные максимальные давления в канале ствола и сосуде и величины проникания, полученные при помощи термодинамической теории, больше, чем вычисленные на основе газодинамической модели, а значения дульной скорости отката, дульного отката меньше. Это объясняется большей силой отдачи, рассчитанной при помощи первой теории по сравнению со второй, максимальное значение которой определяется наибольшим давлением в сосуде.

В таблице 3 приведены максимальные относительные отклонения внутрибаллистических характеристик, полученные при помощи термодинамической модели выстрела, от характеристик газодинамической модели. Эти результаты основаны на 250 численных экспериментах при различных параметрах заряжания и выражены в процентах. Таблица 3 показывает, что первую теорию можно применять для определения заглубления строительного элемента в грунт, максимального давления в канале ствола нижнего откатного артиллерийского орудия, коэффициента полезного действия пороховой машины. Максимальное давление в сосуде, полученное при помощи термодинамической теории истечения пороховых газов из сосуда с соплом, отличается от соответствующего давления, рассчитанного на основе газодинамической модели на величину порядка 250%.

Таблица 3

Максимальные относительные отклонения решений основной задачи внутренней баллистики при использовании термодинамической и газодинамической моделей выстрела

Н

4,90 9,24 6,43 5)9,37 5500,0

Примечание. Максимальные отклонения в процентах для Н - заглубления в грунт; Ртах - максимального давления в канале ствола; КПД - коэффициента полезного действия пороховой машины [3]; Урд, Ьрд - дульной скорости отката и пути отката соответственно.

Для определения массы зарядов, объемов камеры и сосуда, импульсов применяемых порохов с целью достижения заданной величины проникания строительных элементов в грунт необходимо решение обратной задачи внутренней баллистики [4], общей методики которой не существует. Применяемые способы основаны на алгоритмах перебора параметров заряжания и требуют большого машинного времени. Приведенный сравнительный анализ двух моделей проникания ценен тем, что, например, для подбора масс зарядов при условии достижения заданного заглубления нет необходимости решать газодинамическую задачу сразу, т.к. она требует большого машинного времени. Величины зарядов рекомендуется определять исходя из термодинамической теории, требующей на два порядка меньше этого времени. Полученные таким образом массы можно уточнять, исходя уже из газодинамической модели выстрела.

Список литературы

1. Основы импульсной технологии устройства фундаментов / А. А. Бартоломей, В. Н. Григорьев, И. М. Омельчак, О. Г. Пенский. - Пермь : Изд-во ПГТУ, 2002. -175 с.

2. Пенский, О. Г. Импульсно-тепловые машины в строительстве / О. Г. Пенский. -Пермь : Изд-во Перм. гос. ун-та, 2000. - 95 с.

3. Пенский, О. Г. Термодинамическая оценка применения специальных импульсно-тепловых машин в строительстве / О. Г. Пенский. - Пермь : Изд-во Перм. гос. ун-та, 2003. - 105 с.

4. Серебряков, М. Е. Внутренняя баллистика ствольных систем и пороховых ракет / М. Е. Серебряков. - М. : Оборонгиз, 1962. - 715 с.

5. Хоменко, Ю. П. Математическое моделирование внутрибаллистических процессов в ствольных системах / Ю. П. Хоменко, А. Н. Ищенко, В. З. Касимов. - Новосибирск : Изд-во СО РАН, 1999. - 256 с.

6. Русяк, И. Г. Внутрикамерные гетерогенные процессы в ствольных системах / И. Г. Русяк, В. М. Ушаков. - Екатеринбург : Изд-во УрО РАН, 2001. - 259 с.

7. Орлов, Б. В. Термодинамические и баллистические основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе / Б. В. Орлов, Г. Ю. Мазинг. - М. : Машиностроение, 1979. - 390 с.

8. Пенский, О. Г. Расчет динамических характеристик сосуда с соплом, предназначенного для заглубления строительных элементов в грунт / О. Г. Пенский // Вестник машиностроения. - 2005. - № 4. - С. 83-85.