Математическое моделирование механического поведения каркаса аппарата внешней фиксации

Математическое моделирование механического поведения каркаса аппарата внешней фиксации

П.А. Люкшин, Ю.В. Осипов

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Описана математическая модель каркаса аппарата внешней фиксации «Универсал», который рассматривается как упругая пространственная стержневая система и рассчитывается методом конечных элементов. Разработанная модель учитывает предварительное натяжение спиц и позволяет рассчитывать жесткость каркасов в различных вариантах сборки при действии любых нагрузок. Для проверки адекватности математической модели приводятся экспериментально полученные данные.

Mathematical modelling of mechanical behavior of external fixation frame

P. A. Lyukshin and Yu.V. Osipov

In the paper a mathematical model of a frame of a medical external fixator “Universal” is shown. The frame is considered as an elastic three-dimensional rod system and is calculated by a finite element method. The proposed model takes into account prearranged wire tension and allows us to calculate the frame stiffness for different variants of construction and loading. To verify correctness of the model experimental findings are used.

1. Введение

При лечении переломов с использованием аппарата внешней фиксации Илизарова или его модификаций значительные трудности возникают при изменении жесткости фиксации костных отломков. Управляет жесткостью аппарата внешней фиксации, натягивая спицы, хирург, опираясь на общие рекомендации, собственный опыт и интуицию. Анализ современной литературы, посвященной разработке новых систем фиксации переломов и исследованию их механического поведения, показывает, что в настоящее время наиболее распространены экспериментальные методы исследования и сравнительного анализа механического поведения аппаратов внешней фиксации [1-3]. Возможен более экономичный подход.

Каркас любого аппарата внешней фиксации представляет собой сложную пространственную стержневую систему. Системы такого типа подробно изучаются в строительной механике [4-6].

В работе исследуется аппарат внешней фиксации «Универсал», основное отличие конструкции которого от наиболее широко известного аппарата Илизарова заключается в том, что в его каркасе применены опорные

кольца шестигранной формы (рис. 1), позволяющие собирать каркасы квазителескопического типа без дополнительных деталей. В остальном каркасы схожи и состоят из соединенных между собой стержнями-стойками четырех опорных колец и закрепленных на них перекрестно проведенных через кость спиц. Место перелома заключено между верхней и нижней парами колец. Спицы при установке на опорные кольца предварительно натягиваются специальным натяжным устройством до уровня 900-1100 Н.

2. Математическая модель упругой пространственной стержневой системы

Напряженно-деформированное состояние и жесткость такой стержневой системы рассчитывается методом конечных элементов в представлении, что каждый стержень является линейным конечным элементом. Каждый узел этой стержневой системы имеет шесть степеней свободы: три перемещения вдоль осей х, у, г и соответственно три угла поворота вокруг этих осей.

Совокупность линейных алгебраических уравнений, описывающих напряженно-деформированное со-

© Люкшин П.А., Осипов Ю.В., 2004

стояние стержневой системы в глобальной системе координат, имеет вид:

[К] {д} = {Р},

где [К ] — матрица жесткости стержневой системы; {д} — вектор перемещений; {Р} — вектор сил в глобальной системе координат х, у, г.

Матрица жесткости стержневой системы получается в результате процесса ансамблирования матриц жесткости отдельных конечных элементов, входящих в стержневую систему. Уравнение связи между вектором узловых усилий {^} и вектором узловых перемещений ^} в локальной системе координат с учетом влияния осевой растягивающей силы (предварительного натяжения спиц) имеет вид:

{*} = [К + 5] • {Я},

где [К] — матрица жесткости стержня, имеющего двенадцать степеней свободы (по шесть в каждом узле), а [5] — так называемая геометрическая матрица, в которой учтено действие осевой растягивающей силы [5].

Матрица жесткости [К + 5] в уравнении (2) в развернутом виде имеет вид:

[Т ] =

"[/] 0 0 0

0 [/] 0 0

0 0 [/] 0

0 0 0 [/]

В свою очередь, [/] — матрица ориентации локальной системы координат х, у, z относительно общей сис-

Значения направляющих косинусов в (5) определяются следующим образом:

темы координат х, у, г

/ хх /ху /хг

[/] = / ух /уу /уг

/гх 1гу

х і - х,-

/ - =-!._______і

а

/ху

У і - У і

а

и =-

а

где а = ^ (х і - Хі )2 + (у і - Уі )2 + (г] - Zi У — длина стержня.

EF

\2EIy 6Ы

----+ —

а 5а

12ЕГ 6Ы

-----Ї---1------

а 5а

0 0 0

0 0 6ЕІ —^ + а %| 2

0 - 6Е1г N 0

2 а 10

ОЬ 0 0

а

4Е1г + 2аЫ 0

а 15

- EF

0 - 12Е1у _

а3 5а

4Е1у 2аЫ а 15

0

EF

00

- 6Е1у N

10

0

12ЕГ 6N

а 5а

6ЕІг N

~аГ + 10 0

0

12£І_ 6N

----і----1-----

а 5а

0

0

0

0

ОК

0

0

0

6ЕГ N

2 +Ї0 0

а

6Е1у N ^+10

- 12ЕІг _ _6^ 0 - 6ЕІг _ N 0

а3 5а а2 10

0 0 0

2ЕГ аЫ

0 -----------*-------- 0

а 30

4ЕІг 2аЫ а 15

2Е1у аЫ

а 30 0

- 6Е!у _

а2 10

0

0

4Е1у 2аЫ а 15

где N— осевая продольная сила, действующая на стержень (сила предварительного натяжения спиц); а—длина стержня; Е — модуль упругости первого рода; G — модуль упругости второго рода материала стержня; I и І2 — осевые моменты инерции поперечного сечения стержня; 1к — полярный момент инерции.

Матрица жесткости [К + 5] при переходе к глобальной (общей) системе координат изменяется по формуле:

[К] = [Т]т[К + S] [Т],

где [Т] — матрица преобразования, которая равна:

Остальные шесть направляющих косинусов в матрице [/] определяются из известных геометрических соотношений:

/2уХ + /у2у + /2У2 - 1,

/ - + / - + / - = 1

1гх 1 1гу 1 1,

/ХХ/ух ^ /Ху/уу ^ /хг/уг ~ 0,

/ХХ/гХ ^ ^ху^гу ^ /хг/гг ~ 0,

при этом / = ^ Р, /уу = cos у.

Рис. 1. Расчетная схема квазителескопического варианта сборки аппарата внешней фиксации (слева) и классического (справа). Цифра в звездочке — номер узла стержневой системы, цифра у стержня — номер конечного элемента

После того как получена матрица жесткости для элемента в глобальных координатах, проводится процесс включения ее в матрицу жесткости всей стержневой системы (ансамблирование).

При задании граничных условий система линейных алгебраических уравнений (1) становится замкнутой и решается методом Гаусса. В результате решения системы получается вектор перемещения узлов стержневой системы в глобальных координатах.

Для показательного расчета были взяты два варианта каркаса аппарата внешней фиксации:

- призматическая (классический вариант каркаса) стержневая система с шестигранными опорными кольцами содержит 62 элемента и 36 узлов (рис. 1);

- телескопическая (квазителескопический вариант каркаса) стержневая система с шестигранными кольцами содержит 74 элемента и 48 узлов (рис. 1).

Соответственно этим случаям число алгебраических уравнений в разрешающей системе равно 216 и 288.

Граничные условия заданы в узлах 9 и 13 в виде жесткого защемления по всем степеням свободы. Моменты и сжимающая нагрузка прикладываются в узлах 36 и 48 соответственно. В результате решения разрешающей системы уравнений могут быть получены для каждого узла три перемещения вдоль осей х, у, г и

три поворота вокруг этих осей. На практике наиболее важными являются перемещения и углы поворота узла 27 относительно узла 18 в классическом и узла 39 относительно узла 26 в квазителескопическом аппарате внешней фиксации, так как они соответствуют смещениям и поворотам концов костных отломков в месте перелома. В расчетах закладывались натуральные геометрические размеры стержней-стоек, опорных колец и спиц.

3. Результаты расчетов и испытаний.

Результаты экспериментальных испытаний, взятые из [3], двух вариантов сборки аппарата внешней фиксации «Универсал» показывают нелинейное поведение каркасов (рис. 2, кривые А), вызванное нелинейным поведением тонких спиц. Математические модели дают линейные результаты, так как изначально построены исходя из физической модели упругой пространственной стержневой системы. Однако, как можно видеть, расхождение результатов эксперимента и расчета незначительно при задании элементам, соответствующим спицам в аппарате, растягивающего усилия 980 Н (рис. 2, линии В). Это говорит о пригодности рассмотренной модели для расчета поведения реальных аппаратов внешней фиксации.

U, мм U, мм

Рис. 2. Зависимости осевых перемещений и от нагрузки Р для классического варианта сборки каркаса диаметром 190 мм (слева) и квазителе-скопического варианта сборки каркаса с диаметром опорных колец 190-165-140-118 мм (справа) при осевом сжатии. А — экспериментальная кривая каркаса с предварительно натянутыми спицами силой 980 Н; В — расчет каркаса без предварительного натяжения спиц; С — расчет каркаса при значении предварительного натяжения 980 Н

Рис. 3. Зависимости углов закручивания а от приложенных моментов М для каркаса аппарата внешней фиксации «Универсал» при изгибе моментом вокруг оси X(а), изгибе моментом вокруг оси Z (б), кручении моментом вокруг оси У (в). На всех графиках обозначены линии: А — классический вариант сборки каркаса без натяжения спиц, В — классический вариант сборки каркаса при предварительном натяжения спиц 980 Н, С — квазителескопический вариант сборки каркаса без натяжения спиц, D — квазителескопический вариант сборки каркаса при натяжения спиц 980 Н

Как видно, предварительное натяжение спиц значительно влияет на жесткость каркасов аппарата внешней фиксации при осевом сжатии. Та же тенденция наблюдается для кручения каркаса вокруг оси (рис. 3, в) и, в меньшей степени, для изгиба каркаса в двух плоскостях (рис. 3, а, б).

Сравнение жесткости классического и квазителеско-пического каркасов показывает существенное преимущество последнего при осевом сжатии. В условиях изгиба жесткость квазителескопического каркаса выше, но незначительно. При кручении это преимущество значительно в случае отсутствия предварительного натяжения спиц, однако, с ростом натяжения оно уменьшается и при уровне натяжения 980 Н классический вариант

сборки каркаса становится немного жестче квазителескопического (рис. 3, в).

Литература

1. Chao E.Y.S., Aro H.T. Biomechanics of fracture fixation. Basic orthopaedic biomechanics // Van C. Mon and Wilson C. Hayes. - New York: Raven Press Ltd., 1991. - P. 293-336.

2. Orbay G.L., Frankel V.N., Kummer F.J. The effect of wire configuration on the

stability of the Ilizarov external fixator // Clinical Orthopaedics and Related Research. - 1992. - No. 279. - P. 299-302.

3. Kummer F.J. Biomechanics of the Ilizarov external fixator // Clinical Ortho-

paedics and Related Research. N280, 1992, p-p 11-14.

4. Карлов A.B., Лихачев B.H., Осипов Ю.В. Механика аппарата внешней фиксации «Универсал»: эксперимент и оптимальное проектирование // Гений ортопедии. - Курган, 1996. -№ 2-3. - С. 89-90.

4. СабоннадъерЖ.К., КулонЖЛ. Метод конечных элементов и САПР. - М.: Мир, 1989. - 192 с.

6. Ржаницын A.P. Строительная механика. - М.: Высшая школа, 1982. - 400 с.