Логические исследования. 2015. Т. 21. № 2.

| | | | |
| --- | --- | --- | --- |
| Логические исследования. 2015. Т. 21. № 2. | | | |

СОДЕРЖАНИЕ

СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

In this article we prove a theorem on the definitional embeddability of the combinatory logic into the first-order predicate calculus without equality. Since all efficiently computable functions can be represented in the combinatory logic, it immediately follows that they can be represented in the first-order classical predicate logic. So far mathematicians studied the computability theory as some applied theory. From our theorem it follows that the notion of computability is purely logical. This result will be of interest not only for logicians and mathematicians but also for philosophers who study foundations of logic and its relation to mathematics.
Keywords: combinatory logic, definitions, definitional embedding, predicate logic, computable functions

In this article we prove a theorem on the definitional embeddability into first-order predicate logic without equality of such well-known mathematical theories as group theory and the theory of Abelian groups. This result may seem surprising, since it is generally believed that these theories have a non-logical content. It turns out that the central theory of general algebra are purely logical. Could this be the reason that we find them in many branches of mathematics? This result will be of interest not only for logicians and mathematicians but also for philosophers who study foundations of logic and its relation to mathematics.
Keywords: elementary theory, algebraic theory, groups, Abelian groups, definitions, definitional embedding, predicate logic

В настоящей статье вводятся и обосновываются некоторые основные элементы методологического подхода, характеризуемого применением топологических средств анализа и представления сущностей посредством актуализации произвольной явной схемы дифференциации (схемы различения). Последняя понимается в качестве множества правил, именуемых критериями дифференциации, выделяющих специфические инварианты (симметрии) исследуемой сущности. Вводится понятие инвариантов дифференциации как символических представителей последних и показывается, что во всех случаях проведения дифференциации на множестве упомянутых инвариантов может быть индуцирована топологическая структура. Отправляясь от полученных результатов, в дальнейшем даем теоретические рамки представления и обращения с объектами логических теорий и систем, а также представления их свойств и взаимоотношений с использованием формальных средств топологии, с целью их описания в терминах топологических свойств. Изложение предложенного метода дано через его применение, в качестве результата которого получается топологическое представление материальной импликации и правила вывода modus ponens.
Ключевые слова: дифференциация, инварианты дифференциации, дельта-функция Кронекера, топологическое пространство, топологическое представление, топологические инварианты, материальная импликация, modus ponens

НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

In 1979 D.E. Over proposed game theoretical semantics for first-degree entailment formulated by Anderson and Belnap. In order to extend this approach to include other systems of relevant logc (e.g., R) we have two promoting facts. Firstly, there is Routley-Meyer’s situational semantic for system R of relevant logic. Secondly, this semantics shows some resemblance with Wójcicki’s situational semantic of non-fregean logic for which the situational game semantics was developed by author exploiting essentially the notion of non-fregean games. In the paper an attempt is done to give a partial account of these results and some conception of situational games developed which laid down into foundation of the game theoretical semantics of relevant logic R.
Keywords: situational semantics, relevant logic, dialogue games, situational games

In 1995, Sette and Carnielli presented a calculus, I1, which is intended to be dual to the paraconsistent calculus P1. The duality between I1 and P1 is reflected in the fact that both calculi are maximal with respect to classical propositional logic and they behave in a special, non-classical way, but only at the level of variables. Although some references are given in the text, the authors do not explicitly define what they mean by ‘duality’ between the calculi. For instance, no definition of the translation function from the language of I1 into the language of P1 (or from P1 to I1) was provided (see [4], pp. 88–90) nor was it shown that the calculi were functionally equivalent (see [13], pp. 260–261). The purpose of this paper is to present a new axiomatization of I1 and briefly discuss some results concerning the issue of duality between the calculi.
Keywords: weakly-intuitionistic logic, paracomplete logic, I1, paraconsistent logic, Sette’s calculus, P1

The general aim of the present paper is to provide the analysis of the connection between proof-theoretical and functional properties of certain logical matrices. To be more precise, we consider the class of three-valued matrices that induce the classical consequence relation and show that their operations always constitute a subset of one of the maximal classes of functions, which preserve non-trivial equivalence relations. We use a matrix with the single designated value as a sample for in-depth analysis, and generalize the results to suit other cases. Furthermore, on the basis of obtained results we conclude the paper with methodological considerations concerning the nature and interpretation of the truth-values in logical matrices.
Keywords: classical propositional logic, three-valued logics, consequence relation, maximal classes of functions, logical matrices

В этой работе мы предлагаем аналитико-табличные аксиоматизации ряда логик. Этими логиками являются такие расширения известной паранепротиворечивой и параполной логики Par из [1], которые сами являются паралогиками, то есть паранепротиворечивыми или/и параполными логиками. Согласно [2] существуют всего четыре паралогики, включающие логику Par. Для каждой из этих паралогик мы описываем просто устроенную аналитико-табличную аксиоматизацию, удобную для организации поиска доказательства. Правила редукции во всех этих аксиоматизациях одни и те же, как и принципы построения аналитических таблиц. Исчисления отличаются друг от друга только определением замкнутого множества маркированных формул. Аналитико-табличные построения проводятся в стиле Фиттинга (см. [4]). Следуя [4], мы рассматриваем два маркера для формул. Эти маркеры — T и F. Главное отличие набора предлагаемых здесь правил редукции от набора правил редукции, используемых в [4], состоит в том, что мы используем наряду с обычными правилами редукции, которые удаляют отдельные логические связки, правила редукции, удаляющие целые комплексы логических связок. Итак, здесь исследуются все логики, язык каждой из которых есть определяемый ниже пропозициональный язык L, каждая из которых включает известную паранормальную логику Par и является паранепротиворечивой или/и параполной логикой. Цель работы — для всякой такой логики описать адекватное ей и удобное для поиска вывода аналитико-табличное исчисление.
Ключевые слова: паралогика, паранормальная логика, паранепротиворечивая логика, параполная логика, аналитическая таблица, маркированная формула, замкнутое множество, аналитико-табличная аксиоматизация

ФИЛОСОФСКАЯ ЛОГИКА

В статье обосновывается возможность рассматривать императив как предложение, описывающее побуждающую к действию стратегию, которая реализуется одним рациональным агентом в отношении другого. Отстаивается тезис, что такого рода стратегии, выступающие основанием практических умозаключений, могут быть описаны средствами модальных логик, в частности, средствами stit-логики. Дается изложение основ семантики stit-логики и предпринимается исследование, связанное с поиском модальной формулы, наилучшим образом отражающей множество свойств императива и соответствующего ему действия рационального агента. Особое внимание уделяется формулам, в которых различные модальные stit-операторы стоят в суперпозиции. На том основании, что обычно суперпозиция таких операторов лишает агента-адресата выбора, а агента-адресанта — незнания о том, будет ли успешным его побуждающее действие, вносится предложение использовать в определениях истинности различные точки соотнесения для различных по типу операторов, что позволяет сохранить основные свойства императива в отношении данных формул, теряемые в обычном случае. В заключении показывается, что для таких формул невозможно возникновение парадоксов, обычных для предлагаемых ранее императивных логик.
Ключевые слова: stit-логика, императив, логика императивов, логика действий

В данной статье рассматривается истинность в том виде, в котором она задается в диалоговой логике Пауля Лоренцена и Куно Лоренца и в теоретико-игровой семантике (GTS), предложенной Яакко Хинтиккой и разрабатываемой Габриелем Санду. В ходе рассмотрения выявляются и сравниваются основные характеристики семантических концепций, присущих теоретико-игровому подходу (GTS) и диалоговой логике. Таким образом, в статье рассматриваются две концепции истинности, а именно: истинность в теоретико игровой семантике (GTS) и в диалоговой логике. Истинность формулы в обоих подходах определяется как наличие выигрышной стратегии для игрока, отстаивающего данную формулу. Связь между ними заключается в возможности преобразования выигрышной стратегии для игроков в рамках одной системы в выигрышную стратегию для соответствующих игроков в другой посредством строго определенного и конечного алгоритма. Результат данного сравнения позволяет получить определенное представление об отношении между теоретикомодельным подходом и подходом в рамках теории доказательства.
Ключевые слова: диалоговая логика, теоретико-игровая семантика, истинность, интуиционистский диалог с гипотезами, истинность на модели, валидность

ИСТОРИЯ ЛОГИКИ

Льюисом Кэрроллом была построена оригинальная силлогистическая теория, отличная от традиционной силлогистики. Причем, он строил свою систему изначально как негативную, т.е. содержащую в списке логических символов ее алфавита терминное отрицание. Это позволило Л. Кэрроллу не рассматривать частноотрицательные высказывания (SoP) как отдельный вид высказываний, так как они, по его представлению, эквивалентны частноутвердительным высказываниям с отрицательным предикатом (SiP′). В предлагаемой статье осуществлена реконструкция силлогистики Льюиса Кэрролла, доказана погружаемость построенной системы в исчисление предикатов посредством «кэрролловской» интерпретации категорических высказываний. Доказательство основано на полученном нами ранее результате погружаемости системы Негативной фундаметнальной силлогистики в систему Обобщенной позитивной силлогистики а также на факте погружаемости последней в исчисление предикатов.
Ключевые слова: силлогистика, негативные термины, категорические высказывания, аксиоматизация, погружающая функция

В статье на основе архивных документов рассказывается о начальном этапе возрождения преподавания и изучения логики в СССР в первой половине 1940-х гг. Рассматриваются: беседа Сталина с директором Института философии АН СССР П.Ф. Юдиным о создании учебника логики в 1941 г., ход и итоги обсуждения учебников логики В.Ф. Асмуса и Э.Я. Кольмана в Институте философии АН СССР в 1943 г., обсуждение вопроса о переиздании учебника логики Г.И. Челпанова в Институте философии АН СССР в 1943 г., работа Курсов для подготовки преподавателей логики в вузах и школах Минвуза СССР в 1946 г.
Ключевые слова: логика, советская философия, Институт философии, сталинизм

С развитием символической логики в XX веке в зарубежной литературе возник новый подход к трактату Боэция «О гипотетических силлогизмах». Были предприняты попытки представить гипотетическую систему Боэция как вариант логики высказываний. В результате этих попыток модернизации учения Боэция развернулась дискуссия, суть которой в решении вопроса о том, развивал ли Боэций стоическую логику, которая считается предшественницей логики высказываний, или же логику перипатетиков, построенную на иных принципах. В статье рассмотрены подходы К. Дюрра (K. Durr), В. и М. Нилов (W. Kneale and M. Kneale), Дж. Барнса (J. Barnes), Э. Штумп (E. Stump), К. Мартина (C. Martin), Э. Спеки (A. Speca), Дж. Маренбона (J. Marenbon) и др. Задача статьи состоит в сопоставлении основных точек зрения в этой научной дискуссии, а целью исследования автора является уяснение сущности и специфики учения Боэция о гипотетических силлогизмах.
Ключевые слова: логика Боэция, логика Аристотеля, логика Стоиков, учение о гипотетическом силлогизме, логика высказываний, учение о выражении

ИСПРАВЛЕНИЯ