Среднеквадратичный синтез цифровых систем методами Н-теории

Сер. 10. 2011. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.977.55 Е. И. Веремей

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЙ СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ Я-ТЕОРИИ

1. Введение. В настоящее время методы среднеквадратичного синтеза широко используются специалистами по вопросам цифровой обработки сигналов и дискретного управления, решающими практические задачи исследовательского проектирования сложных компьютерных систем. Эти методы получили определенное развитие для решения задач с непрерывным временем в статьях [1-5] на базе специально разработанной спектральной формы представления передаточных функций оптимальных обратных связей. Такая форма открыла новые возможности как для изучения свойств оптимальных замкнутых систем, так и для существенного снижения вычислительных затрат при их синтезе.

Наряду с идеологией среднеквадратичного подхода в последние десятилетия для решения практических задач по проектированию динамических систем управления успешно привлекается теория Д-оптимизации, что отражено во многих публикациях, например [6-11]. В частности, в работах [8, 9] были детально обсуждены некоторые вопросы общности указанных подходов, определяемые тем фактом, что среднеквадратичный синтез можно трактовать как составную часть прикладной ветви теории оптимизации по нормам пространств Харди Иж и H2. Однако прямое применение известного аппарата Д-теории для практического решения соответствующих задач вызывает ряд трудностей.

В статьях [3, 4] рассмотрена возможность преодоления этих трудностей для систем непрерывного времени с помощью специализированного спектрального подхода, базирующегося на Д-теории. Этот подход позволяет уменьшить время вычислений и объем оперативной памяти, что имеет особую значимость в тех ситуациях, когда по тем или иным причинам расчетный алгоритм синтеза используется для перенастройки в ходе функционирования цифровых систем, работающих в режиме реального времени. Но трансформация спектрального подхода для дискретных систем требует проведения дополнительных исследований, которые представлены в данной статье.

Актуальность темы определяется тем обстоятельством, что обработка сигналов и управление в темпе динамики реальных процессов в настоящее время в основном осуществляются на базе современных цифровых элементов. Естественно, что их формализованным представлением служат математические модели дискретного времени, которые представляют собой основной объект исследований в сфере современных наукоемких компьютерных технологий.

Веремей Евгений Игоревич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерных технологий и систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 110. Научное направление: теория управления и ее приложения в судостроении и энергетике. E-mail: e_veremey@mail.ru.

© Е. И. Веремей, 2011

В статье представляются новые спектральные алгоритмы оптимального и гарантирующего дискретного среднеквадратичного синтеза, базирующиеся на Д-теории, и изучаются спектральные особенности синтезируемых линейных систем с обратными связями. Принятый подход исходно ориентирован на исследование и проектирование цифровых устройств реального времени, что особо значимо для адаптивной реализации в составе различных встраиваемых систем обработки сигналов и управления.

2. Постановка задач дискретного среднеквадратичного синтеза. Рассмотрим дискретную линейную модель SISO-объекта управления

A

где u и d - скалярные процессы дискретного времени t: u - сигнал цепи обратной связи, d - внешнее возмущение, действие которого должно подавляться обратной связью; y - выходная переменная; A(q) и B(q), а также A(q) и B(-q) - взаимно простые пары полиномов степеней n и m ^ n — І от оператора q сдвига на такт вперед.

Обратную связь для объекта (l) будем формировать в виде регулятора

u = W

здесь W(q) = Wl(q)/W2(q), Wl, W2 - полиномы.

Математической моделью замкнутой SISO-системы (l), (2) служит уравнение [A(q) — B(q)W(q)\y = d, в котором d = {d[t\} - случайный стационарный эргодиче-ский процесс с заданной спектральной плотностью мощности

Sd

N и T - шуровы полиномы (все их корни находятся в открытом единичном круге D). Среднеквадратичный синтез связан с минимизацией функционала

1 N

I = I

NN

t=l

заданного при условии (3) на движениях замкнутой системы (l),(2), к = const.

Если функция Sd(eJW) известна, то решается задача об оптимальном регуляторе, доставляющем минимум функционалу (4) на множестве стабилизирующих регуляторов (2). Если же указанная функция не задана, но известна ее принадлежность множеству

Re = Sd

то рассматривается задача о гарантирующем регуляторе для функционала (4) с учетом допустимого множества (5).

Приведем формализованные постановки указанных задач в рамках Д-теории. Введем множество RL рациональных дробей p(z) без полюсов на единичной окружности, а также гильбертово пространство RL2 правильных функций p(z) Є RL со скалярным произведением (pi, Р2) = ~ /^ /Оі(е"'ш)/02(е~"'ш) dui и индуцированной им нормой

ІИІ2 = ж fo |/°(eJW)|2 du- Справедливо представление RL2 = RH2  RH2, где пространство RH2 содержит все функции p(z), аналитические в круге D, а его дополнение RH^r - вне этого круга. Введем также пространство RLX С RL правильных дробей, имеющих норму ||р||то = sup \p(z)\ = max Ip(ej^)I.

Rez'^l w£[0,w]

Из пространства ЯЬЖ выделим подпространство ДНТО, включающее все его элементы, аналитические вне круга В Оно является полным, т. е. банаховым.

На указанных пространствах зададим два функционала

) = ||Н(г, Ш)5\\\1, если Н(г, Ш) е ЯЩ,

2 (6) ,]^(Ш) = \\Н(г, Ш)||^ , если Н(г, Ш) е ЕНЖ,

где Н(г,Ш) - обобщенная передаточная функция замкнутой системы, определяемая выражением

Н

Здесь Ну(г, Ш) = \/[Л(г) — В(г)Ш(г)], Ни(г, Ш) = Ш(г)/[А(г) — В(г)Ш(г)] - передаточные функции этой системы по выходу и по управлению соответственно.

Учитывая, что если Н е ЯН2, то и НБ1 е ЯН2, поставим следующие оптимизационные задачи (переменная г здесь опущена):

12

^

В работах [3, 4, 8] показано, что первая из них эквивалентна задаче о синтезе оптимального регулятора для функционала (4), а вторая - задаче о синтезе гарантирующего регулятора с учетом множества (5).

3. Параметризация множества допустимых решений. Как следует из (6) и (7), функционалы .12 и в задачах (8) и (9) нелинейно зависят от функций Ш, что существенно затрудняет их поиск. В рамках Д-теории эта трудность снимается переходом к параметризации множества стабилизирующих регуляторов, которая выполняется методами, указанными в работах [3, 4, 9].

Следуя [4], введем варьируемые функции-параметры Ф(г) формулами

Ф

где а(г) и в (г) - любые заданные полиномы, для которых полином Q(г) - шуров. Формула (10) и тождество АНу — ВНи = 1 дают взаимную однозначную связь

и/ = ь*(ф> = штт,  ф = (11>

а также следующие выражения для передаточных функций замкнутой системы:

ВФ + в АФ — а

Ну = ну

Введем в рассмотрение два множества функций Ф(г), все полюсы которых находятся внутри единичного круга: Пф = Ь^—1(0.2), = Ь—1^^).

Очевидно, что оптимизационные задачи (8) и (9) эквивалентны задачам

12 = 12

I™ = I™(Ф) = J™^^)) = llH(Ф)Ц^ ^ mill

ФЄП*

в которых функция Н(Ф) = Н(г, Ф) определяется тождеством

Н

Здесь и далее черта над дробью означает замену аргумента «г» на «г-1».

Используя тождество (15) и формулы (12), нетрудно показать, что функционалы І2(Ф) и Іж(Ф) ((13) и (14)) однозначно представляются в виде

ЫФ) = 1 J [|Ті(е^)-Т2(Є^)Ф(Є^)|2+^2|Т3(Є^)|2] Sd{ui)dw,

0

™(Ф) = max \Tlj) — T2(ej“Mj )\ + k2 \T3(e^)\ uE[0,*] L1 ill

Здесь Tl, T2 и T3 - рациональные дроби с шуровыми знаменателями

_ к2 а.А — (ЗВ G 1_

1 QG ’ 2 Q’ 3 G’

где полином G(z) - шуров результат факторизации

k2AA + BB = GG.

4. Синтез оптимальных среднеквадратичных регуляторов. Представление (16) минимизируемого функционала 12(Ф) позволяет найти оптимальную функцию-параметр Ф02(г), а затем и передаточную функцию Ш0 = ЬФ(Ф02).

Теорема 1. На множестве ПФ существует единственная функция-параметр Ф02(г), обеспечивающая минимум функционала 12(Ф), причем

Ф

02

(к2аА - zn-mf3B)S1 - RQ GGS\

где знак «~» обозначает обратный полином [12\,

G(z) k2A(gi)S1(gi) z ~ 9i B{gi)G'{gi) ’

R(z ) = J2

дг (г = 1 ,п) - простые корни полинома С(г).

Доказательство. После подстановки (18) в (16) имеем

I2

(*«А-РВ_ G V QG Q

+ k2

Si

G

Преобразуем первое слагаемое в (21), учитывая, что \G(e )/G(eju)\ = 1:

k2aA — eB G

QG

k2aA — eB G\ G r,

-------^--------------Ф —Si

QG Q ) G 1

= HMS\ — LФS1|

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

где М = [к2аА — вВ] / \^С\; Ь = G/Q. Разложим МБ1 е ЯЬ2 в сумму ортогональных элементов с помощью теплицева Ом и ганкелева Гм операторов с индексами М:

\\М5\ — ЬФБ1\\2 = \\вм(Б\) + Гм(Б\) — ЬФБ1\\22 = ||Ом(Б\) — ЬФ5\\\2 + ||Гм(Ь\)\\2,

поскольку (Ом(Б1) — ЬФ^1)±Гм(Б^. Для нахождения функций Ом(Б1) и Гм(Б-\) сепарируем дробь М(г)Б1(г), предварительно записав ее через обратные полиномы

к2аА — вВ N _ к2а(г)А(г) — г п-тв (г) В (г) N (г) _

Мух)Б 1(2;) ..* Ттт" = \ * гг/ =

№ Т Q

_дад_ ад 1 ;

“ С}(г)Т(г) С(гУ

откуда следует, что Ом (Б1) = Ml/QT, Гм (Б1) = Я/СС.

Для построения полинома Я(г) приведем правую часть (22) к общему знаменателю, получая тождество к2а(г)А(г^(г) — гп-тв(г)B(г)N(г) = М1(г)С}(г) + Я(г^(г)Т(г), откуда имеем

к2а{д1)А{д1)М{д1) - <7Г”№№№<) = * = 1^-

Из факторизации (19), сводящейся к виду к2АА + гп-тВВ = СС, следует, что

дГтВШ = -к2А

Подставляя равенство (24) в (23), с учетом (10) получаем

Д

Зная числа Я(д^), с помощью интерполяционной формулы Лагранжа находим полином Я(г) (20). Теперь, поскольку этот полином известен, из (22) вытекает, что

Ом

Обращаясь к функционалу (21) Ь(Ф) = \\Ом(Б1) — ЬФБ1\\2 + ||Гм(Б1)\2 +

к2 || Б1 /С\2, замечаем, что второе и третье слагаемые не зависят от параметра Ф. Тогда минимум функционала достигается при условии Ом (Б1) — ЬФБ1 = 0, причем выполнение этого равенства обеспечивается единственной функцией Ф = Ф02 = Ом (Б1)/ЬБ1 -отсюда с учетом (26) следует (20).

В соответствии с формулой (26) нетрудно показать выполнение равенств

(к2аА — гп-твВ)Б1 — ЯQ

= 0, г = 1,п,

z=gi

т. е. числитель функции Фо2(г) нацело делится на полином (С(г). Но поскольку С(г) и N (г) - шуровы полиномы, то и знаменатель Ф02 (г) - шуров полином. Кроме того, при условии Ф = Ф02 функционал 12(Ф) принимает конечное значение 12(Ф02) =

2

Я/С + к2 \Б1/С\2 = ||Я/С||2 + к2 ЦБ^С^, следовательно, конечна и величина \\Н(Ф^!^, т.е. РНг02 е ПФ, что и доказывает теорему.

На базе теоремы 1 легко найти решение задачи (8) в виде передаточной функции Wо оптимального регулятора, а также исследовать ее существенные спектральные особенности.

Теорема 2. Регулятор (2) с передаточной функцией

Wo

A

B

является единственным решением задачи (13). При этом деление на полином О(г) в (27) осуществляется нацело; выражение Л0(г) = —М(г)О(г) дает характеристический полином замкнутой системы (1) (2); минимум функционалов (8) и (4) определяется формулой

J20 = min J2(W) = WR/GW2 + k2 \\S\/G\\22.

W ЄП2

Доказательство. Очевидно, что передаточная функция W0 = ЬФ(Ф02) оптимального регулятора (2) определит единственное решение задачи (8):

Wo

AФo2 — а

BФ

o2

в

(k2аAA — zn-meAB)N — ARQT — аG(CN

/G

(k2аBA — zn-meBB)N — BRQT + eGGN /G -q (atr + zn-mBn) / G

—Q [BTR — k2 AN) /G

откуда непосредственно следует формула (27).

Учитывая (25), найдем значения выражений ART+BN и BRT — к2AN при условии, что z = gi (i = 1, п):

A(gi)T (gi)R(gi)+ gn-m^(gi)N (gi) = N (gi)[k2A(gi )A(gi)+g?-mN (gi)^(gi)]/B(gi) = 0, B(gi)T (gi)R(gi) — k2A(—gi)N (gi) = k2A(—gi)N (gi) — k2A(—gi)N (gi) = 0.

Полученные равенства определяют делимость нацело на полином G(z) в формуле (28). Построим характеристический полином Ao(s) замкнутой системы

До = AW02 — BW01 = (ABTR — к2 A AN )/G — (BATR + zn-mBB N )/G = = —N [k2AA + zn-mBB]/G = —NGG/G = —N (z)G(z).

И, наконец, формула (28) для минимального значения среднеквадратичного функционала непосредственно определяется равенством

J20 = min J2W) = J2W0) = 12(^02).

W е^2

Теорема доказана полностью.

5. Синтез оптимальных гарантирующих регуляторов. Перейдем к задаче (9), которая эквивалентна задаче ^^-оптимизации (14). Для ее решения будем искать такую функцию Ф(z) G , которая обеспечивает выполнение условия

Іж(Ф) = WH(z, Ф)||^ < 7,

где 7 > 0 - заданное вещественное число. Очевидно, что минимально достижимое 7 определяет решение задачи (14), для которой, согласно (17), справедливо представление

\\H

wG[0,^j L

где T1(z), T2(z) и T3(z) - функции, задаваемые равенствами (18).

Тогда задача (29) состоит в поиске такой функции Ф^) € , для которой

1Ж

wG[0,^j L

Для решения задачи

wG[0,^j wG[0,^]

В соответствии с [3, 8] будем говорить, что в задаче (31) с учетом (30) имеет место регулярная ситуация, если для любых Ф(z) € выполняется условие 1Ж(Ф) > Ig. Если же существуют такие функции Ф(z) € , что 1Ж(Ф) = Ig, то ситуацию будем

называть вырожденной.

Теорема 3. В регулярной ситуации задача (31) об ограничении Нх-нормы обобщенной передаточной функции Н(z, Ф) замкнутой системы сводится к задаче о поиске такой функции Ф(z) € , чтобы выполнялось условие ||(Ti + T2Ф) P||^ ^ 1, где

P(z) € ЕНЖ - весовой множитель, однозначно определяемый начальными данными.

Доказательство. Введем обозначение 7 = е + Ig, где е > 0 - число, достаточно большое, для того чтобы нашлись функции Ф(z) € , обеспечивающие (31), что

эквивалентно

\Т1

Согласно (32), имеет место неравенство 7 — к2 \Т3(в^ш)\2 > 0 Уш е [0,п], поскольку 7 > 1д. Тогда существует такая рациональная дробь Ь1 (г), что

L (enf = 7 - k2 \T3 (ej“)\2 , ^ € [0,^], Ь7 (z)Lj (z-1) = 7 -

в

ад - Щ-

где полином Щ со всеми корнями внутри круга Б определяется факторизацией

Е1

\ \2 \ \2

Подставляя (34) в (33), имеем выражение \Т1(в1Ш) — Т2(в1Ш)Ф(в1Ш)\ ^ \Щ(еош)/С(е°ш)\ Уш е [0,п], которое можно представить в следующем виде:

\\

где

Р = Р{г 7) =

2

k

Теорема 3 позволяет вместо задачи (31), а следовательно, и вместо (14) решать эквивалентную задачу о поиске такой функции Ф(г) Є , чтобы выполнялось соотношение

I

где

Я (г, 7, Ф) = Р (г, 7) [Ті(г) — Т2(г)Ф(г)\,

причем функция Р(г, 7) однозначно определяется формулами (36), (35) и (19) с учетом соотношений (20).

Теорема 4. Задача о поиске функцииФ(г) Є , удовлетворяющей соотношениям

(37), имеет решение для таких и только для таких величин 7 > 1д, для которых знакоположительна эрмитова матрица Ь(-у) = {I^(7)}, построенная для корней ді полинома С(г)\

к] — (1 — А/%)/(1 — 1 ІЯіЯі)і Рі — —77 \~Б~/ V *’•?' — ^,п'

ВЫ

А

Доказательство. Подставляя выражения (18) и (36) в (37), получим

ад.

Н7

к а

Я

Ф

откуда с учетом равенства С(д*) = 0 следует, что Z(д*,7,Ф) = —В(д*)/ [Л(д*)Щ(д*)], поскольку из (19) имеем к2А(д*) = —В(д{)В(д{)/А(д{). Тогда, согласно (38), /?* = Z(gi), '1 = 1, п, причем |<^| > 1, и на основании (37) функции Ф должны обеспечить условия

НадНоо^1- *=!,«,

которые определяют задачу Неванлинны-Пика [7] о поиске функции Z е КНЖ. Необходимым и достаточным условием существования ее решения является неотрицательная определенность эрмитовой матрицы Пика Ь(7), что и доказывает теорему.

Теорема 5. Пусть Z(г, 7) - любое решение задачи Неванлинны-Пика

1№,т0|и<1,й, А = -А^ш.

при заданной величине 7: ж > 7 > 1д. Тогда для этого решения существует единственная функция Ф = Ф(г,7) е , определяемая формулой

= -г

( ’ 0 С(г)С(г) ’ 1 ‘

для которой Р(г, 7) [Т1(г) + Т2(г)Ф0(г, 7)] = Z(г, 7).

Доказательство. Пусть задано некоторое конечное число 7 > 1д, для которого Ь(7) ^ 0, и по известным алгоритмам [7] найдено решение задачи (41). Тогда, в соответствии с (39),

<«>

Из (43) следует формула (42). На основании (10), (19) и (41) нетрудно показать, что числа д* не входят в состав полюсов Ф, поскольку одновременно являются и нулями этой функции. Согласно (31), имеем 1ж(Ф(г, 7)) = \\Н(г, Ф(г, 7)||^ < 7 < ж, т. е. Н е ИНЖ, и Ф(г,7) е .

Легко убедиться в том, что минимальное число 7 = 70 ^ 1д, обеспечивающее условие (29), может быть найдено как минимальное вещественное решение уравнения

5шт

на интервале [1д, ж), где £тт - минимальное собственное значение матрицы Ь

Я

причем ш\(г) = ш2(г), где т2(г) - шуров полином.

Теорема 6. Решением задачи (9) гарантирующего синтеза в регулярной ситуации по отношению к функционалу (4) с учетом множества (5) является регулятор (2) с передаточной функцией

^001

^2

^ОооМ = „Г = -Ь---------------------------------;----------------,

в которой полином т2 определяется решением (45) задачи (41) при условии 7 = 70, Я1 (г) - шуров результат факторизации (35), где 7 = 70. При этом деление на полином О(г) в (46) осуществляется нацело, характеристический полином оптимальной замкнутой системы (1), (2) имеет вид А0х>(г) = —т2(г)С(г), а ее обобщенная передаточная функция Н0х>(г) = Н(г, ~№0іх,) - равномерно-пропускающая, причем справед-. .2

ливо тождество \Н0ж(взш)\ = 70.

Доказательство. Пусть найдено число 7 = 70 > 1д с помощью уравнения (44). На основании теоремы 5 и в соответствии с формулами (11) имеем передаточную функцию = Ьф(Ф0) гарантирующего регулятора

Wо0

АФо — а [—AZQR7 + к2а.АА — [ЗАВ — аСС?] / С ВФ0+/3 _ [-Вг<ЭЩ + к2аВА - /ЗВВ + рос] / <5 “

-д [Агщ + в) /с ~ -д (вгщ - к2А) / <5

с учетом (10) и (19). Вводя обратные полиномы и принимая во внимание (45), приходим к (46). В соответствии с формулами (41) и (45) получим

т2

т. е.

откуда имеем

т2(9і) А(ді)Щ(ді)дт ’

К~/[9г)- А(ді)т2(ді)дГ ’ ’

-дг1 ТпВ(ді)т2(ді)+ дп т В(ді)т2(ді) = ^,

—дп-тВ(ді)Б(ді)т2(ді)/А(ді) — к2А(ді)т2(ді) = —С(ді)С(ді)т2(ді)/А(ді) = 0,

что определяет делимость на полином О(г).

Для характеристического полинома замкнутой системы справедливы тождества

Д0то = AWx2—BWx1 = (ABm 2Ry zn—k2AAm2—BAm 2RY zn—zn-mBB m2)|G = —m2G.

И, наконец, в соответствии с формулой (45) решение задачи (41) является равномерно пропускающей (all pass) функцией, поскольку |Z(ejш)| = |m2(e-jw)| | |m2(ejw)| = 1.

Используя формулы (Т) и (46), легко показать, что таким же свойством обладает и

обобщенная передаточная функция H0TO(z), для которой |H0ж(ejш)| = y0.

6. Пример решения задачи дискретного синтеза. Рассмотрим дискретный линейный объект с математической моделью

для которого A(z) = z2 + 0.215z — 1.18, B(z) = z + 0.990, n =2, m = 1. Введем спектральную плотность мощности Sd возмущения с единичной Н2-нормой:

Sd

где N(z) = 0.301z + 0.255 и T(z) = z2 + 1.82z + 0.828 - шуровы полиномы, и будем рассматривать среднеквадратичный функционал с различными весами k Є (0, 2]

I = I (W) = (y2) + k2(

22

lim

N

1N t=1

2u2[

В частности, решая задачу (8) для значения к = 0.153, последовательно получим в соответствии с формулами (19), (20) и (27): 0(г) = -1.05z2-0.964^+0.0263, О(х) = С(х)/х2, ) = 0.0263г2 - 0.964z - 1.05, д1 = 37.7, д2 = -1.06, Е(г) = 0.0133^ - 0.509, W01 (г) = 0.506^3 + 0.194^2 - 0.75Ь - 0.474 , W02(z) = 0.506г2 + 0.902z + 0.403 .

Для объекта (47), замкнутого регулятором и = (Wol/Wo2)y, имеем следующие значения ^-норм передаточных функций и минимизирумого функционала:

k = 0.153 : Jy

3.41, J,u

\HuSl\\2 =

На

77.9, J20 1

\\HSl\\2

5.23.

Jy

со, 1/c

Рис. 1. Кривая Jy = F

рис. 1 показана кривая иу Р(^и) для оптимальных замкнутых систем с различными величинами веса к € (0,2]. Здесь же обозначена точка М2, соответствующая значениям (50). Для решения задачи (9) при тех же исходных данных (47)-(50) с весом к = 0.153 используем полученные ранее полиномы О и О с корнями д1, д2. В соответствии с (32) находим 1д = 6.18, а решение уравнения (44) приводит к гарантии 70 = 6.19.

После выполнения факторизации (35) при условии 7 = 70 строим полином Е7(г) = -2.54г2 - 2.47г + 0.0673 и полином Ш2(г) = 11.3г - 0.300 для решения (45) задачи Неванлинны-Пика (41). Далее по формуле (46) формируем функцию Woто(z) = Wтоl(z)/Wто2(z), где

Wто1 (z) = 29.1z5 + 3.64z4 - 33.3z3 - 9.9Ь2 + 0.286z, Wто2(z) = 29.Ь4 + 26.2z3 - 0.892z2 + 0.257z - 0.00671.

Соответствующая частотная характери-

I 12

стика АН1 (ш) = 1Н0ж(взш)1 представлена на рис. 2, а величины Ту, ,1и для найденного регулятора дают точку М0 на рис. 1.

Заметим, что полученные передаточные функции не являются правильными дробями, что делает невозможной их непосредственную реализацию. Однако положение может быть исправлено методами, указанными в работе [5]. В частности, в качестве приближения к оптимальной гарантии построена реализуемая передаточная функция WgМ = Wgl(z)/Wg2(z), где

Wg1 = 2.21z2 - 0.627z - 2.84,

Wg2 = z2 + 3.39z + 2.39,

с частотной характеристикой Ан2 (ш) = |Н(в°ш, Wg )|“ (рис. 2). Очевидно, что частотные характеристики Ан1 и Ан2 в достаточной мере близки между собой, а это позволяет рекомендовать приближенное решение для практического использования.

7. Заключение. В статье рассмотрен спектральный подход к решению центральных задач о построении среднеквадратичных оптимальных и гарантирующих цифровых линейных систем с обратной связью для дискретных БКО-объектов. В его основе лежит современная трактовка оптимизации линейных объектов, определяемая поиском элементов с минимальными нормами в пространствах Харди Н2 и Нж.

Спектральный подход позволил сформировать новые методы решения указанных задач, которые основаны на алгоритмах, содержащих конечное число простых алгебраических операций. Предложенные методы не используют универсальную технику Н-оптимального синтеза, связанную с решением уравнений Риккати или линейных матричных неравенств [10, 11]. Это снимает трудности, вызванные вырожденностью задачи, и позволяет существенно уменьшить вычислительные затраты, что имеет особую значимость для адаптивной перенастройки систем обработки сигналов и управления, работающих в режиме реального времени.

Литература

1. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Часть 1 // Изв. вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 10. С. 52—57.

2. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Часть 2 // Изв. вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 12. С. 33—39.

3. Ботва, Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Нж-оптимального синтеза // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. № 4. С. 88—96.

4. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Нж // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 1. С. 48—59.

со, 1/с

Рис. 2. Функции Лн1

^2

5. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем / отв. ред. Ю. З. Алешков. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. С. 24—31.

6. Francis B. A. A course in H^ control theory. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 156 p. (Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 88).

7. Doyle J., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory. New York: Macmillan Publ. Co., 1992. Vol. XI. 227 p.

8. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (H-теория) // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 3—32.

9. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 c.

10. Mackenroth U. Robust control systems. Berlin: Springer-Verlag, 2004. 519 p.

11. Basar T., Bernhard P. H-Infinity Optimal Control and Related Minimax Design Problems: A Dynamic Game Approach. Boston: Birkhauser, 2008. 412 p.

12. Волгин Л. Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. М.: Наука, 1986. 240 c.

Статья принята к печати 16 декабря 2010 г.