Анализ локализации корней интервального полинома в заданном секторе

Замечание 6.3. Все построения в данной статье в силу (3.5) проведены в предположении, что из рассмотрения исключается случай

а = А3 А4 - А А3 = 0 « тъ лт4 = 0,

когда точка А принадлежит фокусной конике К\2 плоскости ЦШ2, а также случай Я7“=0, когда плоскость Д касается поверхности ¿2, описываемой точкой А.

Замечание 6.4. В силу (6.6) или в случае, когда плоскость Ь\ касается поверхности ¿2 в точке А, отображение /2:Ц^-Ь2 становится неопределенным.

Замечание 6.5. Из определения (4.4) и результатов данного пункта вытекает следующая схема взаимосвязи многообразий V", V!?, %, ^2 и ^22а (рисунок).

Замечание 6.6. Классификацию многообразий ^д, указанную на рисунке, будем называть классификацией Коши-Римана.

Замечание 6.7. Результаты, изложенные в данной статье для двумерного семейства центрированных плоскостей в четырехмерном евклидовом пространстве, является ответом на замечание в [1, С. 9].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивлев Е.Т, Глазырина Е.Д. О двумерном многообразии центрированных 2-плоскостей в многомерном эвклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. -2003. -Т. 306. -№ 4. -С. 5-9.

2. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. -432 с.

3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.

4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. -Т. 2. -С. 275-382.

5. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

6. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. -Томск: Томский гос. ун-т, 2002. - 510 с.

7. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга // Известия вузов. Сер. Математика. -1957. - № 1. - С. 9—19.

8. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). -1962. -№ 2. -P. 231-240.

УДК 681.5

АНАЛИЗ ЛОКАЛИЗАЦИИ КОРНЕЙ ИНТЕРВАЛЬНОГО ПОЛИНОМА В ЗАДАННОМ СЕКТОРЕ

С.А. Гайворонский, С.В. Замятин

Институт "Кибернетический центр" Томского политехнического университета E-mail: saga@cc.tpu.edu.ru

Анализируется отображение параметрического многогранника полинома в сектор Гт корневой плоскости, определяемый числом m интервальных коэффициентов. Находятся (2m—2) вершин многогранника, отображение которых в сектор Гт гарантирует локализацию в нем всех корней интервального полинома. Формулируются критерии локализации корней в заданном секторе Г при различных соотношениях его угла с углом сектора Гт.

Введение

Одной из основных проблем современной теории робастного управления является разработка методов исследования динамических свойств интервальных систем [1, 2]. В частности, необходим эффективный инструмент для оценки гарантированных показателей качества системы управления при интервальной неопределенности ее параметров.

В [3] подобная задача сформулирована как анализ робастной относительной устойчивости, предусматривающей различные варианты локализации корней интервального характеристического полинома (ИХП). Очевидно, что их принадлежность определенной области комплексной плоскости корней обуславливает тот или иной уровень робастного качества управления в интервальной системе.

Для анализа робастной относительной устойчивости широко применяются алгебраические и час-

тотные методы [1]. При этом значительно меньше внимания уделяется использованию корневых методов. Однако, согласно [4-6], робастное расширение корневого подхода, основанное на свойствах корневых годографов, может быть достаточно эффективным, а в некоторых случаях и наилучшим, для решения указанной задачи.

1. Постановка задачи

В данной статье рассматривается открытый сектор Г в левой полуплоскости корней, задающий область допустимой колебательности интервальной системы. Будем считать, что если корни ИХП располагаются в области Г, то интервальная система обладает заданной робастной секторной устойчивостью. Для ее анализа можно использовать результаты работы [7], где показано, что границы областей локализации корней являются образами оп-

ределенных ребер многогранника интервальных коэффициентов. Однако такой подход является достаточно трудоемким, поскольку связан с итеративной процедурой нахождения граничного реберного маршрута и дальнейшим анализом его отображения в сектор Г. Поэтому представляет интерес разработка более простых в применении критериев локализации корней, предусматривающих проверку не ребер, а только определенных вершин параметрического многогранника ИХП.

Рассмотрим полином

D

где все или только часть коэффициентов, имеющих непрерывную последовательность индексов, являются интервальными. Пусть число таких коэффициентов равно m. Их последовательность может быть записана в виде [ajf”-1, je{0,1,2,...n-m+1}. Образуемый этими коэффициентами многогранник Pm представляет собой прямоугольный гиперпараллелепипед с вершинами V, q=1,2m. По аналогии с [7] ребра Pm обозначим Rq, где i - индекс интервального коэффициента, q - индекс вершины, из которой по ребру изменяется а. Заметим, что при m=2 многогранник Pm является прямоугольником, все ребра которого отображаются на границы областей локализации корней ИХП. Поэтому зададим 3<m<n+1.

В [7] доказано, что если Pm образован коэффициентами к]Г-1, je{0,1,2,...n-m+1}, 3<m<n+1, и область S, re 1,n локализации комплексного корня ИХП лежит в секторе Tm с углом n±n/(m-1), то границами Sr являются непересекающиеся образы ребер Pm. Основываясь на этом утверждении, в статье ставится задача: для ИХП порядка n, интервальные коэффициенты которого образуют последовательность [a]4"-1, je{0,1,2,...n-m+1}, 3<m<n+1, путем анализа отображения вершин Pm в сектор Tm разработать условия локализации корней ИХП в секторе Г с углом л±у.

2. Основное фазовое соотношение

В соответствии с [7] отображение Rq образует реберную ветвь RSq корневого годографа с узлами Ut на концах. При этом угол выхода RSiq из комплексного узла Ut при увеличении at находится по формуле

q = 180° -X ©г +©0,

g=1

а при уменьшении ai

©q = -jr © g + i©o,

^=1

где ©g и ©0 - углы между вещественной осью и векторами, направленными из Ut соответственно к g-ому полюсу и к i-ым нулям, имеющим одинаковые координаты (0;g0). На основании (2.1) и (2.2) доказано следующее утверждение.

Утверждение 1. Если последовательность интервальных коэффициентов [a;]j+m_1, je{0,1,2,...n-m+1},

3<т<и+1, задана чередующимися пределами, то углы выхода ЯЗ? из и? образуют последовательность [0?]+тЧ, где 0?>0?+1,}<1<}+ш-2.

Доказательство. Пусть дана последовательность -а+^^а+З,... При изменении коэффициентов, имеющих минимальные значения в V?, углы выхода из соответствующих реберных ветвей на осно-

вании (2.1) определяются формулой

У = п +

г=1

где (/+£) - индекс интервального коэффициента, £=0,2,4,..., 1=0,1,2,3,... Для коэффициентов с индексами (/+£+1), имеющих максимальные значения в V?, в соответствии с (2.2) имеем

0]+^ =

г=1

Предположим, что выполняется неравенство

0? > 0? +1 > 0?+ 2 > 0?+ 3 > ... > 0?+ 1.

Учитывая, что изменение угла на 2п не меняет расположение образующего этот угол луча, на основании (2.3),(2.4) представим (2.5) парами неравенств

,=1 , = 1

2п+

г = 1 г = 1

где £=0,2,4,... Из (2.6) и (2.7) после преобразований получаем условие: 00<п, при выполнении которого справедливо соотношение углов (2.5).

Пусть для противоположных пределов ограничений интервальных коэффициентов также имеет место соотношение (2.5). Аналогично оно может быть представлено парами неравенств

(У + к)0о - ¿0, + 2п > (У + к + 1)0о - ¿0, + п;

г=1 г=1

п + (У + к +1)00-¿0 г > (У + к + 2)00-¿0,.

г=1 г=1

В этом случае из каждого неравенства также получаем 00<п. Так как расположение комплексных корней ИХП в верхней полуплоскости соответствует условию 00<п, то для любого из них будет выполняться соотношение углов (2.5). Выражение (2.5) назовем основным фазовым соотношением.

3. Анализ отображения вершин многогранника

коэффициентов

Для по формулам (2.1), (2.2) можно определить т значений углов 0?, ;'е0,и, и расположить их в порядке возрастания: 01,02,...,0т_1,0т. Тогда, согласно [7], и будет принадлежать границе Зг при выполнении условия:

0шах -0шт < 180°,

где 0тах 0т, 0тп 01.

На основании условия (3.1) доказано следующее утверждение.

Утверждение 2. Если последовательность заданных предельными значениями интервальных коэффициентов [а;]+”_1,уе{0,1,2,...и-т+1}, 3<т<и+1, можно разделить на две последовательности: [а.-1 и [а,-]^“1, уе{1,2,...т_1}, в которых четные и нечетные коэффициенты имеют противоположные пределы, то комплексный корень ИХП в секторе Гт является граничным корневым узлом области локализации соответствующего корня.

Доказательство. Разделить последовательность ара+1,а+т_1 указанным образом возможно в двух случаях, если:

1) коэффициенты ИХП заданы строго чередующимися пределами;

2) только два рядом стоящих коэффициента ИХП заданы однотипными пределами.

Для первого случая на основании утверждения 2 и выражений (2.1), (2.2) углы 0шах и 0^ при 0о<пи минимальном значении а. находятся по формулам

©max = П + j0 -X? + 2П g =1

min = O' + m - 1)0 -

g=1

а при максимальном a}

©max = j0 -^ g + 2nl;

Совпадение или противоположность пределов ограничений а+_ и а. определяется четностью т. В (3.8) это может быть учтено слагаемым (т-2)п. В результате преобразования (3.8) получаем неравенство

О' + т _ 1)0о - '0о + п(т _ 2) > 0,

решением которого является

0о > (п_ -ПП-).

т _1

Таким образом, при (п ——) < 0о < п имеет мест _1

то соотношение углов

q >q , > ... >q , >q > .

j +r j + г +1 j +m -1 j

>©+r -1,

В =1

'0о _

При (3.2) и (3.3) условие граничности (3.1) принимает вид

п+ '0о -

а при

'0о _

После преобразований (3.6) и (3.7) получаем 0о > (п ——). Таким образом, (п ——) < 0о < п, что

т-1 т _1

соответствует для первого случая ИХП выполнению (3.1) в секторе Гт.

Пусть во втором случае однотипные пределы ограничения имеют коэффициенты а+_ и а+г, ге{1,2,...т-1}, и между ними проходит граница разделения последовательности арар1,а+„_1 на две последовательности коэффициентов. Им соответствуют последовательности углов: 0],0]+1,...,0+_1 и 0+,0?+ж,...,0?+т_1. Поскольку коэффициенты а.,а+1,а1+„_1 заданы чередующимися пределами, то при 0о<п выполняется неравенство 0р-0?+1>...>0?+м. Аналогично для второй последовательности имеем 0? >0? > >0?

^]+г>^]+г+\>...>^ ]+т-1.

Пусть 0?+т_1>0|. Определим диапазон 0о, при котором выполняется неравенство

0?+т_1 _0? > 0.

г е {1,2...т _1}.

Крайние углы (3.9) соответствуют двум рядом стоящим в ИХП интервальным коэффициентам с однотипными пределами. Разность этих углов равна 00. Так как 0о< п, следовательно корневой узел и для второго случая ИХП является граничным в секторе Гт.

Из вершин Рт выделим существенные, которые соответствуют приведенному в утверждении 2 требованию к последовательности координат. Для этого составим таблицу, строками которой будут коэффициенты в порядке возрастания их индексов. Правило составления таблицы следующее. В первой строке записываются строго чередующиеся пределы коэффициентов, начиная с любого предела а. В каждой следующей строке по сравнению с предыдущей изменяется предел только одного коэффициента (по очереди, начиная с первого). После получения в т+1 строке пределов, противоположных первой строке, изменение пределов повторяется в том же порядке. В качестве примера ниже приведена таблица существенных вершин для ИХП третьего порядка, все коэффициенты которого являются интервальными.

Таблица. Существенные вершины

Номер вершины Координаты вершины

1 Оо а1 °2 а3

2 а0 а1 °2 а3

3 а0 а1 °2 а3

4 ао а1 а2 а3

5 ао а1 а2 а3

6 а1 а1 а2 а3

7 ао а1 а2 а3

8 ао а1 а2 а3

Так как в двух соседних строках таблицы оказываются координаты вершин одного ребра Рт, то можно заключить, что данная таблица задает замк-

нутый реберный маршрут из 2т граничных ребер, связывающих 2т вершин Рт.

В результате дальнейшего анализа отображения существенных вершин доказано следующее утверждение.

Утверждение 3. Если последовательность интервальных коэффициентов [ а]*"-1, уе {0,1,2,... и-т+1}, 3<т<и+1, задана чередующимися пределами, то комплексный корень ИХП является граничным корневым узлом области локализации только в секторе Гт.

Доказательство. Пусть рассматриваемый корень ИХП является внутренним корневым узлом. Тогда разность 01Ш_01тппри выполнении (3.2) и (3.3) задает неравенство

п + у0о _ (у + т _ 1)0о + п(т _ 2) > п,

а при

У0о _(У + т _ 1)0о + п(т _1) >п

Решением обоих этих неравенств является условие 0о < (п ——), при котором комплексный кот _1

рень ИХП лежит вне сектора Гт. Таким образом, с учетом утверждения 2 образ рассматриваемой вершины Рт является граничным корневым узлом только в секторе Гт.

4. Критерии локализации корней в заданном секторе

Очевидно, что анализ отображения всех граничных ребер Рт позволяет оценить робастную секторную устойчивость ИХП. Однако авторами установлено, что сделать это можно с меньшими вычислительными затратами путем рассмотрения только некоторых из существенных вершин Рт. Основанием для такого вывода служат следующие два утверждения.

Утверждение 4. При отображении q>:Gjf^S реберные ветви могут пересекаться с особым лучом, выходящим из начала координат под углом т = п _^-п—Т, только в одной точке.

\/-а

Доказательство. Пусть реберная ветвь пересекается с особым лучом в двух точках: з1=а+ур, sг=n+jp. Это, согласно [7], означает, что соответствующее ребро грани О/ пересекают две параллельные особые прямые, отображающиеся в ^ и з2. Пусть указанные прямые описываются уравнениями

П /а = р/р.

аА Яе + а/ Яе я/ + Яе

аА Яе я2 + а/ Яе + Яе

Е +Е аРя2

= о;

= о,

для которых выполняется условие параллельности Яе/Яея2/ = Яе^ /Яе¿2.

Принадлежность ^ и з2 особому лучу определяется условием

На основании (4.2) можно записать: ^1=в((а/в)+у), я2=р((а/р)+у). Тогда соотношение (4.1) примет вид

Яе

Яе

После преобразований (4.3) получаем

Равенство (4.4) при справедливо только при в=р. Тогда, согласно (4.2), а=п, из чего следует ^1=^2.

Таким образом, реберная ветвь может пересекать особый луч только в одной точке, и тогда ее граничные корневые узлы будут лежать по разные стороны от луча.

Утверждение 5. Если координатами вершины Уч являются чередующиеся пределы интервальных коэффициентов, то соответствующий корневой узел и не может один лежать вне сектора Гт.

Доказательство. Если только один корневой узел области локализации комплексного корня лежит за пределами сектора Гт, то согласно [7] он должен быть граничным. Так как рассматриваемый узел и на основании утверждения 3 является граничным только в секторе Гт, то не может один лежать вне сектора Гт.

Утверждение 4 позволяют при анализе локализации корней ИХП в секторе Гт перейти от отображения реберного маршрута к анализу расположения образов существенных вершин. На основании утверждения 5 из этих вершин достаточно рассмотреть (2т-2) вершин, у которых в последовательности интервальных координат только два рядом стоящих коэффициента заданы однотипными пределами. Назовем такие вершины проверочными и обозначим V?*.

Попадание корней з^-а+ур, ;е 1,и, в заданный сектор Г будем оценивать по углам у;=агс1£(в/а;). В

п

зависимости от соотношения углов у и гт =-----------

т _ 1

справедливы следующие критерии локализации корней ИХП.

Необходимый и достаточный критерий. Если интервальные коэффициенты ИХП и-го порядка образуют последовательность [а]*-1, у'е{0,1,2,...и-т+1}, 3<т<и+1, то для локализации корней ИХП в секторе Г с углом пфу, 0<у<ут, необходимо и достаточно, чтобы вершины V? отображались в левую полуплоскость и для их образов з^-а+ур, ;е1,и, выполнялись неравенства у<у.

Достаточный критерий. Если интервальные коэффициенты ИХП и-го порядка образуют последовательность [а;]у'+т~1, у'е{0,1,2,...и-т+1}, 3<т<и+1, то для локализации корней ИХП в секторе Г с углом шу, ут<у<90°, достаточно, чтобы вершины V* отображались в левую полуплоскость и для их образов ^=-а+урь ;е 1,и, выполнялись неравенства у<ут.

Заключение

Для анализа гарантированной колебательности интервальной системы, ИХП которой имеет т интервальных коэффициентов, разработаны критерии локализации корней ИХП в заданном секторе Г. Показано, что для их применения нет необходи-

мости сканировать границы областей локализации всех корней с использованием метода реберной маршрутизации. Для этого достаточно проверить только корни (2т-2) вершинных полиномов, у которых в последовательности интервальных коэффициентов только два рядом стоящих коэффициента заданы однотипными пределами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). Анализ с использованием интервальных характеристических полиномов // Известия АН СССР Техническая кибернетика. —1991. — № 1. — С. 3-23.

2. Поляк Б.Т, Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 с.

3. Вукосавич С.Н., Стоич М.Р Достаточные условия робастной относительной устойчивости линейных непрерывных систем // Автоматика и телемеханика. —1996. — № 11. — С. 84—91.

4. Корневые методы исследования интервальных систем / Под ред. ГВ. Римского. — Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1999.

5. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H. Root location of an entire polytope polynomials: it suffices to check the edges // Proc. Amer. Contr. Conf. - Minneapolis: MN, 1987.

6. Вадутов О.С., Гайворонский С.А. Определение границ областей локализации нулей и полюсов системы с интервальными параметрами // Известия Томского политехнического университета. -2003. -Т. 306. -№ 1. -С. 64-68.

7. Вадутов О.С., Гайворонский С.А. Применение реберной маршрутизации для анализа устойчивости интервальных полиномов // Известия РАН. Теория и системы управления. -2003. - № 6. -С. 7-12.

УДК 621.37

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СВЕРХШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ ПУТЕМ ЛИНЕЙНОГО КОМБИНИРОВАНИЯ ОТКЛИКОВ ОБЪЕКТА НА ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ ТЕСТОВЫЕ СИГНАЛЫ

Э.В. Семёнов

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: edwardsemyonov@narod.ru

Рассмотрено исследование нелинейности преобразования детерминированных сигналов объектом путем последовательного воздействия на него двумя линейно зависимыми сигналами и регистрации линейной комбинации откликов объекта на эти сигналы. Показана возможность при таком подходе выделить нелинейную составляющую отклика объекта, вносящего линейные искажения сигнала со сложной частотной зависимостью (в том числе изменяющиеся во времени), на детерминированные сверхширокополосные (в том числе импульсные) сигналы со сплошным спектром.

Введение

Применение сверхширокополосных сигналов для исследования нелинейных свойств объектов позволяет исследовать нелинейные свойства устройств в сверхширокополосных системах связи и локации по отношению к сигналам, с которыми такие системы реально работают (нелинейность объектов проявляется по-разному при воздействии на них разных сигналов). В [1] показаны преимущества многочастотного сигнала в нелинейной локации, это вызывает интерес и к исследованию особенностей применения сверхширокополосных сигналов в качестве зондирующих для нелинейной локации.

Цель данной статьи — рассмотреть исследование нелинейности преобразования сигналов объектом с применением сверхширокополосных тестовых сигналов.

1. Постановка задачи

Линейное преобразование описывается уравнением:

ы

где х(а) — спектр тестового сигнала, ы(а) — спектр отклика объекта, а — круговая частота, К(а) — постоянный для конкретной частоты комплексный коэффициент, а знак равенства понимается как тожество относительно х(а). Перебор всех возможных х(а) практически неосуществим, поэтому доказательство линейности преобразования не представляется реальным, но если обнаруживается нарушение (1) хотя бы для некоторых х(а), то это свидетельствует о нелинейности преобразования. Как отмечено в [2], для любого ы(а)^С не существует К(а), обращающего (1) в равенство, только в том случае, если х(а)=0. Поэтому, для того чтобы отличить не-