Оптимальный угол наклона плоской трещины в задаче о равновесии пластины Кирхгофа-Лява

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 517.977

ОПТИМАЛЬНЫЙ УГОЛ НАКЛОНА ПЛОСКОЙ ТРЕЩИНЫ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ

ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА -ЛЯВА

Н. П. Лазарев

Аннотация. Исследуется задача о равновесии пластины модели Кирхгофа — Ля-ва с условиями непроникания в виде неравенств для наклонной плоской трещины. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. При этом в роли функционала качества выступает производная функционала энергии, а функции управления задаются углами наклона плоскости трещины.

Ключевые слова: наклонная трещина, оптимальное управление, пластина Кирхгофа — Лява, вариационное неравенство.

N. P. Lazarev. An Optimal Tilt Angle of a Flat Crack in the Equilibrium Problem for the Kirchhoff-Love Plate.

Abstract: We study the equilibrium problem for a plate in the Kirchhoff—Love model with the nonpenetration condition in the form of an inequality for a flat oblique crack. Solvability of the corresponding control problem is proven. The derivative of the quality functional serves as the cost functional and the tilt angles of the plane crack as the control functions.

Keywords: oblique crack, optimal control, Kirchhoff—Love plate, variational inequality.

Введение

Рассматривается известная вариационная постановка задачи о равновесии упругой пластины с наклонной трещиной [1]. На внешней и внутренней границах области с разрезом, соответствующей срединной поверхности пластины, заданы соответственно условия жесткого защемления и взаимного непроникания берегов трещины. Доказана разрешимость задачи оптимального управления параметром, задающим угол наклона плоской наклонной трещины. При этом найденная в [2] производная функционала энергии по параметру возмущения плоской наклонной трещины выступает в роли функционала качества.

Производная функционала энергии по длине трещины часто используется в формулировках критериев разрушения [3]. Проблема дифференцирования функционала энергии в линейных задачах достаточно широко изучена (см., например, [4,5]). Нелинейным задам с условиями непроникания в виде неравенств, анализу поведения функционала энергии и решения при возмущении длины трещины или формы области посвящены работы [6,7]. Математические модели для задач теории трещин с краевыми условиями типа Синьорини в настоящее время достаточно широко исследованы (см., например, монографии [7,8], а также обзорную статью [9]). В частности, для моделей упругих

© 2015 Лазарев Н. П.

двумерных и трехмерных тел, пластин моделей Тимошенко и Кирхгофа — Ля-ва изучены вопросы гладкости решений, обоснованы методы фиктивных областей, найдены инвариантные интегралы, изучены различные задачи оптимального управления, для некоторых задач проведен анализ зависимости решения и физических характеристик задачи от вариации коэффициентов упругости или от изменения геометрии области. Кроме того, в настоящее время имеется ряд результатов, относящихся к математических моделям неоднородных тел с жесткими включениями (см., например, [7,10,11]).

1. Постановка задачи о равновесии пластины

Пусть О С R2 — ограниченная область с гладкой границей дО. Через Гд обозначим множество |(xi,x2) | 0 < xi <l + S, x2 = 0}, S £ [—So, So], l > So > 0, описывающее в исходном недеформированном состоянии пластины пересечение трещины со срединной плоскостью.

Будем считать, что Гй0 С О. Параметр S описы-

----^^^dil вает возмущение трещины. Для каждого фиксиро-

£2_ШГ /

£ п ванного S £ [—So, So] срединная поверхность пласти-

\ ны занимает область ilg = \ Гд. Область £2о = £2 \

------ \ Г о соответствует невозмущенной трещине (рис. 1).

ч " xi\ ^

\__________! Срединная поверхность пластины лежит в плоско-

сти z = 0, а система координат (x1 ,x2 , z) считается

Рис. 1. Геометрия задачи

декартовой. Будем считать, что толщина пластины

в срединнои плоскости -1 'J

равна 2. Трещина как поверхность в R3 описывается соотношениями: x2 + z tg a = 0, —1 < z < 1, 0 < xi < 1+5, a = const, 0 < a < ao < §. Число a задает величину угла наклона трещины. Пусть х = (W, w) — вектор перемещений точек срединной поверхности пластины, где W = W(x) = (u(x),v(x)) — горизонтальные перемещения вдоль срединной плоскости, а w(x) — вертикальные перемещения.

Введем обозначения для тензоров деформаций срединной поверхности пластины [12]:

£ij{W) = +w,i), w1=u, w2 = v, i,j = 1,2,

индекс после запятой обозначает производную по соответствующей координате. Тензоры усилий выражаются формулами [12]:

aii(W) = £ii(W) + k£22(W), ^22(W) = £22(W) + keu(W),

(TiziW) = 0-21 (W) = (1 - k)e12(W), k = const, 0 < k < i. Считаем, что на внешней границе выполнены краевые условия

о

№=-^ = 1^=0 на,

дп

где п — внешняя нормаль к дО. Эти условия описывают жесткое защемление пластины.

Пусть подпространство H^

пространства Н2(0,5) состоит из функций, обращающихся в нуль на дО вместе со всеми первыми производными. Введем обозначение

Н) = Н^(О,) х Н 1'°(05) х Н2'°(05).

Условие непроникания для наклонных трещин перепишем в следующем виде [1]:

М + ^я а > |[м,2 ]| на Г,,

где [V] = V + — V- — скачок функции V на Г,, V + = V|г+, V- = V|г- обозначают следы на положительном и отрицательном берегах кривой Г, (в соответствии с направлением оси ж2). При а = 0 в (2) получаем хорошо известное условие непроникания для пластин с вертикальными трещинами (см. [6-8]). Для фиксированных параметров 6 € [—5°, 5°], а € [—а°,а°] рассмотрим множества допустимых перемещений

К (а, 6, = {х = (Ж, ад) € Н (05) | х удовлетворяет (2)}.

Рассмотрим для фиксированного 6 € [—6°, 6°] функционал энергии пластины

П

где Р = (/1,/2,/з) & С1 (О) — заданный вектор внешних сил, а билинейная форма В,(, ) определяется по формуле

В$

где Ъ(ад, ад) = ии,и +™,22 гй,22 +кги,и ^,22 + км,22™,11 +2(1—/г)гу,12 «7,12 - Справедливы неравенство Корна [13]

ClIIW HHi.ocn, )2 <J *г3 (W (W ) dfiÄ

и неравенство, полученное с помощью двукратного применения неравенства Пуанкаре [7]:

с2У^УН2,0(П5) < В,

с постоянными с1 > 0, с2 > 0, не зависящими от ад, Ж. На основании предыдущих двух неравенств можно сделать вывод об эквивалентности в Н(О,) стандартной нормы и нормы, введенной с помощью следующего выражения:

^<тц

Задачу о равновесии пластины, решение которой удовлетворяет условиям (1) и (2), можно сформулировать как задачу минимизации функционала энергии на множестве допустимых перемещений

min n

Хек

Как известно, для фиксированных 6 £ [-6о, ¿о], а £ [—ао, ао] решение х0 задачи (5) существует, причем единственно [1]. Кроме того, задача минимизации (5) эквивалентна следующему вариационному неравенству (см. [1]):

1 ^-(И^еуС^-И^) с1П8 > I Р(х"Х?) X е К(а,6,Пв).

Заметим, что при условии достаточной гладкости решения вариационного неравенства (6) задача эквивалентна следующей дифференциальной постановке (см. [1]):

= /г в Од, г = 1, 2, А2^ = /з в )] = [¿(ад)] = НИ] = 0 на Гд, ^а + -¿И=0, ) = 0, ) > |тИ| на Гд,

[«] + [ад] tg а > |[ад,2]| на Гд, (-^22(^) - то(ад))([«] + [ад^ а + [ад,2]) = 0 на Гд, (-022^) + то(ад))([«] + [ад^ а - [ад,2]) = 0 на Гд, где величины ¿(ад), то(ад) определяются на Гд по следующим формулам: д { д2ад\ д2ад

= д^[Аи, + {1~к)Щ)' тН = + (1 -к)Щ-

Для задачи (5) в [2] найдена следующая формула, выражающая производную функционала энергии по параметру возмущения трещины 6:

£(а,Хо) = "

д=о д^0 6

= -Ц 0,1

Оо

-Ц 0,2 + (1 + А>0>0,1 + (1 -

Оо

- У К,^ + адоа22Р<22 + к«11Р2 + ^оа22Ро1) + 2(1 - к)^о,12Р3) ^

Оо

+ Ц 0,1Ь

где

Р1 = 20,1 wj.11 + 0,11 <1, Р2 = 20,2 ада,12 + 0,22 Р3 = 0,1 ада, 12 + 0,2 wa.11 + 0,12 ад0а,1.

В формуле (7) вспомогательная функция 0 £ С^(О) выбрана так, что 0 = 1 в окрестности точки ж; = (1,0), 0 = 0 в окрестности точки жо = (0,0) и

/9,2 = 0 на ГЙ0. Заметим, что с помощью этой функции устанавливается взаимно однозначное соответствие между областями Oo и Og:

У1 = - 59(x1 ,Ж2), У2 = Х2,

где y = (y1, y2) G Oo, (x1, x2) G Og. Кроме того, если x(x) G K(a, 5, fig) — произвольная функция, то функция x(y), определенная равенством x(y) = x(x), где ж = x(y,5), принадлежит множеству K(a, 0,0о). Справедливо также обратное включение: из условия принадлежности произвольной функции x(y) множеству K(a, 0, Оо) следует включение x(x) G K(a, Og) [2].

3. Задача оптимального управления

Для удобства в обозначении решения задачи (6), соответствующего параметру 5 =0, далее будем опускать индекс 0, т. е. положим Хо = xa В соответствии с результатами разд. 2 заметим, что функция G(a, xa) определена равенством (7) для всех a G [—ao, ao].

Сформулируем теперь задачу оптимального управления. Требуется найти число a* G [—ao,ao] такое, что

G

a£[-ao,ao]

Теорема. Задача оптимального управления (8) имеет решение.

Доказательство. Пусть {an} — максимизирующая последовательность, соответствующая задаче (8). В силу ограниченности интервала [—ao, ao] можно считать, выделяя при необходимости подпоследовательность, что {an} сходится к некоторому числу a* G [—ao, ao]. В соответствии с утверждением доказанной ниже леммы можно выделить подпоследовательность (с прежним обозначением) такую, что при n ^ то выполняются соотношения: an ^ a*, x"n ^ xa сильно в пространстве H(Oo). Для этой последовательности в силу сильной сходимости справедливо соотношение

G(a„,xa") ^ G(a*,x*) при n ^ то. Значит, a* — решение задачи оптимального управления (8). Теорема доказана.

Лемма. Пусть an ^ a*. Тогда из последовательности {an} можно выделить подпоследовательность с прежним обозначением, для которой

xan ^ xa при n ^ то

сильно в пространстве H (Oo).

Доказательство. В самом деле, имеют место соотношения

J ац(Wa)£j(Wa) dOo + Bo(wa,wa) = J Fxa dOo, a G [-ao,ao]. Отсюда нетрудно получить равномерную оценку

llxaN < с,

где С > 0 не зависит от а € [—ао, ао]. В силу вышеуказанной оценки и рефлексивности пространства Н(Оо) из последовательности {ха"} можно выделить подпоследовательность (с прежним обозначением), сходящуюся слабо в Н(Оо) к некоторой функции х при ап ^ а*.

Докажем далее, что х € К (а*, 0,0о). В силу слабой сходимости ха" к х в Н(Оо), выбирая при необходимости подпоследовательность, имеем ха" ^ х сильно в Ь2(Го)3, г,^ г, а сильно в Ь2(Го) при ап ^ а* (см. [14, теорема 5.19]). Еще раз, если нужно, выделяя подпоследовательность, можно считать что х"" ^ Х и г,О" ^ г&,2 п. в. на Го при ап ^ а*. Стало быть, переходя к пределу при ап ^ а* в неравенствах

] + [га"^ап >|[г£" ]| на Го,

выведем

[£] + [гй^а* > |[г,2 ]| на Го. Это означает, что х € К (а*, 0, Оо).

Убедимся в том, что для любой пробной функции П) = (Т, г) € К (а*, 0, Оо) существует последовательность П)а такая, что П)а € К (а, 0, Оо) и П)а ^ П сильно в пространстве Н(Оо). Для этого достаточно рассмотреть функции вида

= (Та,га) = (0,г^ а* - а), 0).

Легко проверить, что построенная функция удовлетворяет необходимым свойствам. В самом деле, выполнение включения € Н(Оо) очевидно. Проверим условие непроникания. По построению имеем [£>"] = [V] + [г]^а* — tgа), [г,2 ] = [г«,2], [га] = [г] на Го. Поэтому

[«"] + [г«а] tg а = [V] + [г«](tg а* — tg а) + [г«] tg а

= [V] + [г«] tgа* >|[г«,2 ]| = |[г«,а ]| на Го.

Сильная сходимость ^ П) в пространстве Н(Оо) очевидна. Таким образом, построенная последовательность {?)"} удовлетворяет требуемым свойствам.

Теперь можем доказать, что х = ха . Для этого подставим пробные функции вида в вариационные неравенства (6) с 6 = 0, соответствующие ап, п = 1, 2,..., и перейдем к пределу при п ^ то. В итоге получим

Во(ад,г) — й)+У (Т — Т ¿Оо ^() — х№,

Оо Оо

П) = (Т,« € К (а*, 0,Оо).

Принимая во внимание однозначную разрешимость вариационного неравенства (10), получим х = ха . В силу слабой сходимости имеем

Иш /

Оо

= Иш /¿Оо = /¿Оо.

п—

Оо Оо

Последнее равенство в силу эквивалентности стандартной нормы и нормы, введенной с помощью выражения (4) в пространстве Н(О^), влечет сильную сходимость ха" ^ х" при п ^ то в пространстве Н(Оо). Лемма доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. С. 164—174.

2. Лазарев Н. П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2003. Т. 3, № 2. С. 62-73.

3. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

4. Мазья В. Г., Назаров С. А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и конических точек // Тр. Моск. мат. о-ва. 1987. С. 79-129.

5. Ohtsuka K. Generalized J-integral and its applications. I. Basic theory // Japan J. Appl. Math. 1985. V. 2. P. 329-350.

6. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 2. С. 430-445.

7. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

8. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT-Press, 2000.

9. Хлуднев А. М. Теория трещин с возможным контактом берегов // Успехи механики. 2005. Т. 3, № 4. С. 41-82.

10. Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. DOI: 10.1007/ s00033-014-0488-4

11. Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142-151.

12. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

13. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

14. Байоки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988.

Статья поступила 25 января 2015 г. Лазарев Нюргун Петрович

Научно-исследовательский институт математики

Северо-Восточного федерального университета им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 nyurgunSngs.ru