Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений

А. Ф. Заусаев, А. А. Заусаев, А.Г. Ольхин

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ (МЕРКУРИЙ-ПЛУТОН) И ЛУНЫ С УЧЕТОМ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Проведено численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны на интервале времени с 1950 по 2000 гг. В уравнениях движения Луны от несферичности Земли учитывались лишь зональные гармоники. Результаты вычислений для внутренних планет (Меркурий-Марс) сопоставлены с радиолокационными наблюдениями. Получено вполне удовлетворительное согласие численной теории с результатами наблюдений.

В настоящее время имеется ряд высокоточных численных теорий движения больших планет, согласующихся с радиолокационными наблюдениями [1-4]. Наиболее точной из них является теория планетных и Лунных эфемерид БЕ405. Однако точные положения планет охватывают лишь интервал времени с 1600 по 2200 гг. В численной теории движения планет и Луны БЕ406 координаты планет вычислены на интервале времени с 3000 г. до н.э. по 3000 г. н.э. Недостатком, на наш взгляд, данной теории является большой объем внешней памяти (около 200 мегабайт), в которых хранится информация об эфемеридах планет в форме полиномов Чебышева на интервале времени 6000 лет. Целью наших исследований является получение в дальнейшем банка данных координат больших планет на интервале времени порядка 20 и более тысяч лет и применение этого банка данных к исследованию эволюции орбит комет и астероидов.

Точность вычисления элементов орбит комет и астероидов значительно ниже, чем элементов орбит больших планет, поэтому нет необходимости в получении координат планет с той же степенью точности, как в БЕ405 или БЕ406. Тем не менее, ошибки в координатах и скоростях больших планет на исследуемом интервале времени не должны быть значительными. Вследствие того, что при исследовании эволюции орбит малых тел Солнечной системы учитываются, в основном, гравитационные взаимодействия, а также релятивистские эффекты, следует оценить величину ошибок, которые могут возникнуть в процессе интегрирования больших планет путем сопоставления координат с радиолокационными наблюдениями.

Радиолокационные наблюдения планет, проведенные как в СССР, так и в США [5-7], позволили значительно уточнить величину астрономической единицы, а также построить численные теории движения внутренних планет и Луны, на два-три порядка превосходящие по точности теории, основанные на оптических наблюдениях.

Радиолокационный метод позволяет измерить топоцен-трическое расстояние центра видимого диска планеты и радиальную скорость изменения этого расстояния.

Полагаем, что электромагнитное излучение покинуло передающую антенну в момент ?1 , достигло центра видимого диска планеты в момент ?2 и, отразившись, вернулось на Землю к приемной антенне в момент ?3 (рис. 1). Обозначая векторами // (^), г2 (?2) и г3 (?3) положение передающей антенны, центра масс планеты и приемной антенны, центра масс планеты в соответствующие моменты времени в гелиоцентрической системе координат, получим полное время распространения волн (А? = ?3 - ?1) по формуле [7]:

А? = 1

С

где с-скорость света в вакууме, Я-радиус поверхности планеты.

Полагая

Г12 = "Т'|/2(?2) - /1(?1)|, Г23 = ~Т\Г3(?3) - /2(?2),

ш т

Р и с. 1. Путь падающего (АВ) и отраженного (ВС) лучей при радиолокации. Вследствие малости угла АВС принято

АВ @ |г2(?2) - - К,

ВС @ |гз(?з) - г2(?2) -К.

определим полное доплеровское смещение частоты сигнала как

А/ = /3 - f @ /

/*12 + Г2з

+ -

r2 Л

&23

где f -частота начального излучения.

На основе радиолокационных наблюдений как в нашей стране, так и в США сотрудники ИТА РАН г. Санкт-Петербурга составили банк данных радионаблюдений Меркурия, Венеры и Марса [4]. Основные сведения, содержащие результаты измерения времени излучения, времени запаздывания, доплеровского смещения; координаты передающей и приемной антенны были любезно предоставлены нам Г.А.Красинским. На основании имеющихся радиолокационных данных для каждой из планет (Меркурий, Венера, Марс) был создан банк радиолокационных наблюдений.

Геоцентрические координаты приемной и передающей антенны вычисляются по формулам [8]:

xl = р0 cos j'cos 5, yl = p0 cos j'sin 5, Zl = p0 sin 5 , где p0 sin j' = (5 + 0.1568 10—6 h)sin j, p0 cos j' = (c + 0.1568 10—6h)cos j ,

tgj'= (0.993307 + 0.0011 10—6h)tgj, 5m = 50 + m + ¡1 (m +1),

50 = 6h40m185.130 + 8640 1 845.635T' + 05.0929T/2.

Здесь T' = d'/36525, d' = JD(T0) — JD 2433282.5, T0 - всемирное время, 1 - долгота пункта наблюдения в часовой мере, m - местное среднее время: m = T0 +1, 1 = 0.00274379093.

Для удобства сопоставления данных наблюдений с теоретическими данными время излучения из всемирного переведено в эфемеридное и представлено в юлианских днях. В качестве единицы измерения временной задержки использовалась 1 мкс, при этом имеет место следую -щее соответствие: 6 мкс » 1 км.

Построение численной теории движения больших планет можно разбить на ряд самостоятельных этапов: а) определение начальных орбит или начальных данных координат и скоростей планет; б) численное интегрирование уравнений движения; в) сопоставление координат и скоростей планет, полученных из вычислений, с наблюдениями. Начальные данные координат планет были согласованы с данными координат, полученными на основе теории движения больших планет (Меркурий-Нептун), разработанной французским бюро долгот [9], где координаты и скорости вычислялись с помощью полиномов Чебышева. Выбор начального момента интегрирования был обусловлен тем, что вблизи этой даты имеются высокоточные радиолокационные наблюдения Меркурия, Венеры и Марса.

В таблице приведены начальные данные экваториальных координат и скоростей больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны на начальный момент интегрирования, приведенные к эпохе 1950.0. Данным значениям координат и скоростей планет соответствуют следующие значения их обратных масс:

Меркурий - 6023600.0;

Венера - 408523.5;

Земля - 332945.662;

Марс - 3098710.0;

Юпитер - 1047.355;

Сатурн - 3498.5

Уран - 22869.0

Нептун - 19314.0

Плутон - 13 5200000. 0

Луна - 27069007.13

В дифференциальных уравнениях движения внутренних планет наряду с ньютоновскими членами учитывались релятивистские эффекты. Гелиоцентрические релятивистские уравнения в матричной форме имеют следующий вид [10]:

X

X = -k2 (1 + m) — + ^ k

- X X.^

k2Í

„k2 „X2 „ХГ^ „XX ^

2—X - 2—X + 3-— X + 2—- X r r r r

где X - матрица-столбец с элементами х, у, I; Xi - матрица-столбец с элементами xi, у., I.; т, х, у, I - масса и гелиоцентрические координаты возмущающей планеты; т., х. - массы и гелиоцентрические координаты возмущающих планет; г, А., г. - расстояния, вычисляемые по

формулам: r2 = x2 + y2 + z2,

A2 = (x, -x)2 + (y, -y)2 + (z, -z)2

2 , 2 2

:xt + y, +zt ;

c -

12 23

2

c

c

2

r

: xx + yy + zz; x, y, z - проекции скорости;

скорость света в пустоте; X = х + / + ^ ; XX : время, входящее в уравнение (3), координатное.

В уравнениях движения Луны следует учитывать возмущение от несферичности Земли. Потенциал для Земли вычисляется по следующей формуле [8]:

k2 да

r

\ /

1 -X Jn r Pn (sin j) + XX Г рk)(sin j)[k cosЫ + snk sin

n= 2 к =1

* r

V /

где да - масса Земли; г0 - средний экваториальный радиус, р, 1 - широта и долгота соответст-

венно. Pn и Pn^k) - полином и присоединенная функция Лежандра, причем

dn (z2 -1)n 2n! dzn

P

^ dkPn (z) dzk

Коэффициенты Jn, cnk, snk зональных и тессеральных гармоник зависят от формы и распределения масс. Численные значения этих коэффициентов до шестнадцатого порядка включительно приведены в работе [11]. Система дифференциальных уравнений (3) с учетом (4), (5) являлась основной при изучении движения больших планет и Луны. Численное интегрирование уравнений движения проведено методом Эверхарта 23 порядка с шагом интегрирования 3 дня [12].

Основной целью при решении данной задачи являлось: получить точные координаты планет и Луны с помощью единого алгоритма, а также согласовать численную теорию движения планет как с радиолокационными наблюдениями, так и с данными BDL, которые, как известно, периодически корректировались на различные моменты времени.

Результаты представления разностей вычисленных и наблюденных запаздываний отраженного сигнала показаны на рис. 2-4, где ось абсцисс - время, а ось ординат - расстояние в километрах. Поверхности планет: Меркурия, Венеры и Марса - аппроксимированы сферами с радиусами 2439, 6050 и 3394 км соответственно. Величина астрономической единицы принималась равной 149597875 км, скорость света в вакууме с=299792,456 км/с. Ошибки в координатах планет в процессе эволюции могут складываться из погрешностей начальных смещений, неучтенных сил взаимодействия, погрешности метода.

Как видно из рис. 2-4, у Меркурия и Венеры отклонения вычисленных значений запаздывания отраженного сигнала от наблюденного на интервале времени 1964-1984 гг. находится в основном в пределах от -40 до +40 км, а для Марса - от -80 до +80 км. Если это расхождение с 1964 по 1970 гг. можно объяснить погрешностями, связанными с точностью радиолокационных наблюдений, то после 1970-го года точность наблюдений значительно возросла. По-видимому, полученные расхождения вычисленных и наблюденных запаздываний отраженного сигнала связаны либо с погрешностями начальных смещений в координатах и скоростях, либо с неточностью теории движения Луны, поскольку в процессе численного интегрирования от несфе-ричности Земли учитывались лишь зональные гармоники. В заключение следует отметить, что полученные результаты являются предварительными и будут уточняться с устранением отмеченных недостатков.

60

40

20

•

9 9 • * • • • * • • •

•• • 9 • •• • * • • • • • - • • • • • • • • •

64 19 9 . * •• 69' • 19 • • 74*.. ... 19 • • 79 * 19 • • 84 * •

9 • • • 9 • 9 • • • • •

•

! 0 19

-20

-40

U

Р и с. 2. Меркурий, время запаздывания, 1964-1986 гг.

40

30

20

10

0

1

-10

-20

-30

-40

-50

• • чЧг • • •• •• А. 9

• . * А,- • • * • 9

• • • * • • • • • % -•• • • • .* •

• • • • • * • л • • , • • • • . » • ф»

•• • •• \ • •» • 9 • • * » 9 • 9 • * • 9 •* :

361 * * •* 19 • • • • - * • ' 66 Л ’.'•’.19 • • • • • 71 • 19 V V '* ч • • _ • 76 . . 19 • 81 •, 19  9 * . • 86 • • •

• • • • •• » • • • * • • • • • • » • • • • 9 • • 9 9 9 9 9 • • • 9 * • 9 *• 9 •• • • •

Р и с. 3. Венера, время запаздывания, 1964-1986 гг

80 -

60 -

40 -

20 -

і 019 -20 -

-40 -

-60 -

-80 -

Прямоугольные координаты и скорости планет и Луны

Планеты Координаты, а.е.

X У 2

Меркурий 0.276782484324 -0.266310923043 -0.171054299101

Венера -0.556233837151 -0.433477751614 -0.160197180274

Земля 0.770853666014 -0.603168291797 -0.261560397747

Луна 0.773020767753 -0.604552503210 -0.262407129501

Марс -0.705414981930 -1.228088178385 -0.544766502473

Юпитер 1.315251047781 4.515557687907 1.905038796205

Сатурн 9.245711130382 -2.499274047073 -1.433026177260

Уран -17.635147608060 4.333491971666 2.147945785814

Нептун -19.889669767840 -21.351321821290 -8.245616118940

Плутон -26.231756160300 20.561529778100 14.443690294800

• 9

А» % • • •

• % . 9* . • • • • •

• •• » » %И •• • / • г •» • 9 9

• • 65 Р 19 • .•* * 70 ~ *'*..19 • Ч" 75 19 80 19 • 85 '

• • • • V • • ' Щ

• # . • - -? И • 9

9 • *”л:* ф 9 9

Р и с. 4. Марс, время запаздывания, 1964-1988 гг.

Планеты Скорости, а.е./сутки * 100

x y z

Меркурий 1.548861897091 1.832079085761 0.821989341228

Венера 1.277015710772 -1.398792934761 -0.710976610121

Земля 1.087920376471 1.194908746617 0.518183941944

Луна 1.120669335550 1.237479538506 0.535092025352

Марс 1.293747728378 -0.470640434995 -0.250769890492

Юпитер -0.737746303257 0.206046599656 0.106426463933

Сатурн 0.133676565283 0.494197114637 0.198555281780

Уран -0.107650915515 -0.364505590120 -0.158192143258

Нептун 0.234294794744 -0.186442474920 -0.082268481545

Плутон 0.131572184319 -0.261983661854 -0.042705125436

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Standish E.M. The observational basis for JPL’S DE200 the planetary ephemeredes of the Astronomical Almanac // Astronom Astrophys. 1990. 233. Р. 252-271.

2. Standish E.M., NewhallX.X., Williams J.G. andFolkner W.E. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403 // JPL IOM. 314. 1995. Р. 10-127.

3. StandishE.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403 // JPL IOM. 312. 1998. Р. 1-18.

4. Красинский Г.А., Питьева Е.В., Свешников М.Л., СвешниковаЕ.С. Уточнение эфемерид внутренних планет и Луны по радиолокационным, лазерным и мередианным измерениям 1961-1980 гг. // Бюлл. ИТА. XV. №3(166). 1989. С. 145-164.

5. Александров Ю.Н., Кузнецов Б.Н., Петров Г.М., Ржига О.Н. Методика радиолокационных астрономических наблюдений. // Астрон. Журнал, Т.49, 1972, с. 175-185.

6. КисликМ.Д., Комока Ю.В., акад. Котельников В.А., Петров В. Ф. Определение орбит Земли и Венеры, астрономической единицы и радиуса Венеры на основе радиолокационных наблюдений Венеры в 1962-1977 гг. // ДАН. 241. №5. 1978. С. 1046-1049.

7. Котельников В.А. и др. Результаты измерений времени запаздывания и доплеровской поправки, полученные в радиолокационных наблюдениях Венеры в 1962, 1964, 1969, 1970 и 1972 гг. // Астрон. Журнал. Т. 50. Вып. 5. 1973. С.836-848.

8. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука. 1979. 584 с.

9. Dretagnon P. Teorie du movement de l’ensemble des planets solution VSOP82 // Astronom Astrophys. 1990. 114. Р. 278-288.

10. БрумбергВ.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука. 1972. 383 с.

11. ГрушинскийН.П. Основы гравиметрии. М.: Наука. 1983. 351 с.

12. EverhartE. Implist single methods for integrating orbits // Central Mechanics. 1974. 10. Р. 35-55.

Поступила 25.11.2003 г.