Трехмерные многообразия малой сложности, обладающие геометриями S3 и Nil

ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ МАЛОЙ СЛОЖНОСТИ, ОБЛАДАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЯМИ S3 И

В работе построены нижние оценки числа замкнутых ориентируемых многообразий сложности ^ к, обладающих геометриями S3 и Nil. Эти оценки оказались точными для всех к ^ 12, что позволило потенциально точно оценить снизу число многообразий с геометриями S3 и Nil, имеющих сложность 13.

Ключевые слова: трехмерные многообразия, сложность, геометрические

многообразия.

Введение

Хорошо известно, что для любого к Е Z+ существует только конечное число замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности k. С. В. Матвеев и В. В. Таркаев табулировали все такие многообразия до сложности 12 включительно. Оказалось, что более половины (61%) из 36833 табличных многообразий обладают геометрической структурой [4; 7].

Напомним, что трехмерное многообразие называется геометрическим, если оно допускает полную локально-однородную риманову метрику. У. Терстон классифицировал все трехмерные геометрии, и их оказалось восемь: E3, S3, S2 х R, H2 х R, SL2R, Nil, Sol, H3 [1; 2]. Трехмерное многообразие может обладать не более чем одной из них.

Обозначим через Ф(к) и Ф(к) числа замкнутых ориентируемых многообразий сложности ^ к, обладающих геометриями S3 и Nil, соответственно. Их значения для 5 ^ к ^ 12 можно извлечь из теоремы 7.4.1. [7] (см. таблицу). В данной работе на основе известных верхних оценок сложности многообразий строятся нижние оценки для чисел Ф(к) и Ф(к), являющиеся точными для всех к ^ 12. Это позволяет потенциально точно оценить снизу число многообразий с геометриями

S3

и Nil, имеющих сложность 13.

Значения Ф(к) и Ф(к) для 5 ^ к ^ 12

к 5 6 7 8 9 10 11 12

ф(к) 61 122 239 453 867 1665 3247 6365

Ф(к) 0 7 17 31 46 61 76 91

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00162) и программой фундаментальных исследований ОМН РАН.

1. Геометрии на многообразиях Зейферта и верхние оценки сложности

Все компактные многообразия, обладающие геометриями первых шести типов (из вышеперечисленных 8), являются многообразиями Зейферта. Каждое замкнутое многообразие Зейферта M можно полностью описать при помощи приведенных параметров особых слоев:

M = {F, (Pi,Qi),(Pn, Qn), (1,t)),

где F — связная замкнутая поверхность, pi > qi > 0 для всех i и t ^ -n/2. Приведем топологическую классификацию замкнутых ориентируемых многообразий, обладающих геометриями S2 х R, E3, S3 и Nil [1]. Геометрия S2 х R наименее интересная из них. Существует ровно два многообразия, обладающих этой геометрией: S2 х S1 и RP3#RP3.

Существует ровно шесть плоских (т. е. обладающих геометрией E3) замкнутых ориентируемых многообразий:

{S2, (2,1), (3, 1), (6, 1), (1,-1));

{S2, (2,1), (4, 1), (4, 1), (1,-1));

{S2, (3,1), (3, 1), (3, 1), (1,-1));

{S2, (2,1), (2,1), (2,1), (2,1), (1, -2)) = {K2, (1,0));

{T2, (1,0));

{RP2, (2,1), (2,1), (1,-1)).

Все эти многообразия имеют сложность 6, а их базами являются поверхности с неотрицательными эйлеровыми характеристиками: сфера S2, проективная плоскость RP2, тор T2 и бутылка Клейна K2.

Замкнутое ориентируемое многообразие обладает геометрией S3 тогда и только тогда, когда оно является либо линзовым пространством (включая многообразия S3 и RP3), либо многообразием Зейферта с базой сфера S2 и тремя особыми слоями такими, что тройка (pl,p2,p3) первых параметров особых слоев содержится в следующем списке: (2, 2, m), где m ^ 2; (2, 3, 3); (2, 3, 4); (2, 3, 5).

Замкнутое ориентируемое многообразие обладает геометрией Nil тогда и только тогда, когда оно является одним из нижеследующих многообразий.

1) Многообразие Зейферта с базой S2 и тремя особыми слоями такими, что тройка (pl,p2,p3) первых параметров особых слоев совпадает с одной из трех троек: (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3). При этом многообразие не должно входить в список многообразий с геометрией E3.

2) {S2, (2,1), (2,1), (2,1), (2,1), (1,t)), где t ^ -1.

3) {T2, (1,^),где t ^ 1.

4) (RP2, (2,1), (2,1), (1,t)), где t ^ О.

5) (K2, (1,t)),где t ^ 1.

Для потенциально точных нижних оценок чисел Ф(^ и Ф^) нам понадобятся верхние оценки сложности многообразий Зейферта, построенные в работах [3; 5; б]. Обозначим через S(p, q) сумму всех неполных частных в разложении числа p/q в непрерывную цепную дробь.

Определим на множестве всех замкнутых ориентируемых многообразий, обладающих геометриями E3, S3 и Nil, целую неотрицательную функцию c*. Для каждого многообразия M мы находим значение c*(M) по следующему правилу:

(i). Если M является линзовым пространством Lp,q, то c*(M) = S(p,q) — З.

(ii). Если M = (Т2, (1, t)) или M = (K2, (1, t)), где t ^ О, то c*(M) = min^+t, 6}.

(iii). Если M = (S2, (2,1), (3,1), (m, 1), (1, —1)), где m ^ Б, то c*(M) = m.

(iv). Если M = (S2, (2,1), (n, 1), (m, 1), (1, —1)) и M не относится к случаям (i)-

(iii), то c*(M) = n + m — 2.

(v). Если M = (F, (p1,q1),..., (pn,qn), (M)) и M не относится к случаям (i)-(iv), то

n

c*(M) = max {О, t — 1 + x(F)} + 6(1 — x(F)) + ^ (S(pi, qi) + 1).

i=1

Обозначим через c(M) сложность многообразия M. Следующая теорема описывает два важных свойства функции c*.

Теорема 1. Пусть M — замкнутое ориентируемое многообразие, обладающее геометрией одного из следующих типов: E3, S3 или Nil. Тогда c(M) ^ c*(M). Более того, если c(M) ^ 12, то c(M) = c*(M).

Доказательство. Неравенство c(M) ^ c*(M) было доказано отдельно для линзовых пространств, многообразий Зейферта вида (Т2, (1,t)) и , и для

всех остальных многообразий Зейферта в работах [б], [3] и [5], соответственно. Доказательство второго утверждения теоремы было проведено В. В. Таркаевым путем компьютерного перебора всех б4б2 многообразий сложности c ^ 12, обладающих геометриями E3, S3 и Nil, и сравнения для каждого многообразия M значений c(M) и c*(M).

2. Нижние оценки числа многообразий с геометриями 3 и

Цель этого параграфа состоит в построении нижних оценок числа многообразий с геометриями S3 и Nil, сложность которых не превосходит числа k. В качестве таких оценок мы возьмем, соответственно, числа '-p(k) и ^(k) замкнутых ориентируемых многообразий с геометриями S3 и Nil, на которых функция c*

принимает значение ^ к. Следующая теорема показывает корректность выбранных нами нижних оценок, а также их точность для любого числа к ^ 12.

Теорема 2. Для любого натурального числа к справедливы неравенства:

р(к) ^ Ф(к) и ф(к) ^ Ф(к).

Более того, если к ^ 12, то р(к) = Ф(к) и ф(к) = Ф(к).

Доказательство. Пусть M — замкнутое ориентируемое многообразие, обладающее геометрией S3. Если c*(M) ^ к, то в силу теоремы 1 справедливо неравенство c(M) ^ к. Поэтому р(к) ^ Ф(к).

Далее предположим, что к ^ 12. В этом случае из теоремы 1 следует равенство c(M) = c*(M). Поэтому неравенство c(M) ^ к влечет неравенство c*(M) ^ к. Это означает, что Ф(к) ^ р(к). Таким образом, если к ^ 12, то р(к) = Ф(к).

Неравенство ф(к) ^ Ф(к), а также равенство ф(к) = Ф(к) для всех чисел к ^ 12 доказываются аналогично.

Далее мы представим явные формулы для вычисления нижних оценок р(к) и ф(к) числа многообразий с геометриями S3 и Nil.

Теорема 3. Справедливы следующие утверждения:

к

1. р(к) = 14к + 3 • 2к-1 — 51 + 2^2 2[ г~] для любого числа к ^ 8.

i=8

2. ф(к) = 15к — 89 для любого числа к ^ 9.

Доказательство. Обозначим через f *(i) число замкнутых ориентируемых многообразий, обладающих геометрией S3, на каждом из которых функция c* принимает значение i. Оказывается, для любого i ^ 8 число f *(i) задается формулой

f *(i) = 14 + 3 • 2г-2 + 2[^]-1.

Действительно, проанализировав псевдоминимальные специальные спайны линзовых пространств [7], смоделированные на незамкнутых цепочках, несложно показать, что число линзовых пространств, параметры которых являются решениями уравнения S(p,q) — 3 = i, для любого i ^ 1 находится по формуле 2г-1 + 2([~]-1). Аналогично многообразия Зейферта с базой сфера и тремя особыми слоями такими, что тройки (p1,p2,p3) первых параметров их особых слоев содержатся в списке: (2, 2,m), где m ^ 2; (2, 3, 3); (2, 3, 4); (2, 3, 5), для каждого i ^ 8 вносят в f *(i) вклад, равный 2г-2 — 1, 3, 4, 8, соответственно для каждой тройки. Отметим, что ограничение i ^ 8 нужно лишь для того, чтобы избежать несущественного усложнения формулы для f*(i).

В силу теоремы 2 и таблицы имеем p(7) = Ф(7) = 239. Теперь можем написать формулу для вычисления числа р(к), справедливую для любого числа к ^ 8:

кк р(к) = p(7) + £ f *(i) = 14к + 3 • 2к-1 — 51 + 2£ 2[ ^

г=8 2 г=8

Докажем второе утверждение теоремы. Из классификации многообразий, обладающих геометрией Nil, и определения функции с* следует, что для каждого к ^ 9 существует ровно 15 замкнутых ориентируемых многообразий с данной геометрией, на каждом из которых функция с* принимает значение к:

1) S2 1) (2 (3 1) (6 1) (1 к 9) ;

2) (S2 1) (2 (3 1) (6 5) (1 ?г 9) 1

3) (S2 (2 1) (3 2) (6 1) (1 к 9) 1

4) (S2 (2 1) (3 2) (6 5) (1 ?г 9) 1

5)

6)

7) (S2 1) (2 3) (4 3) (1 ?г 8) 1

0?

9) (S2 1) (3 (3 1) (3 2) (1 ?г 1

10) (S2 1) (3 (3 2) (3 2) (1 ?г i

11) (S2 2) (3 (3 2) (3 2) (1 к i

12) (S2 1) (2 (2 1) (2 1) (2 1) к (1

13

14

15

RP2 , (2 ,1) ,(2 , 1 T2,(1,к - 5)); K2, (1,к - 5)).

(1 , к - 6));

Так как ф(8) = Ф(8) = 31, то для любого числа к ^ 9 справедлива формула ф(к) = ф(8) + 15(к - 8) = 15к - 89.

Теперь мы можем потенциально точно оценить снизу число многообразий с геометриями 5 3 и Nil, имеющих сложность 13.

Следствие 3.1. Число замкнутых ориентируемых многообразий сложности 13, обладающих геометриями S3 и Nil, не меньше, чем 6222 и 15, соответственно для каждой геометрии.

Список литературы

1. Скотт, П. Геометрии на трехмерных многообразиях / П. Скотт. — М. : Мир, 1986. — 168 с.

2. Терстон, У. Трехмерная геометрия и топология на трехмерных многообразиях / У. Терстон. — М. : МЦНМО, 2001. — 312 с.

3. Anisov, S. Toward lower bounds for complexity of 3-manifolds: a program /

S. Anisov // arXiv:math.GT/0103169, 2001. — 43 p.

4. Fominykh, E. Atlas of 3-manifolds / E. Fominykh, S. Matveev, V. Tarkaev. — available from www.matlas.math.csu.ru.

5. Martelli, B. Complexity of geometric 3-manifolds / B. Martelli, C. Petronio // Geometriae Dedicata. — 2004. — Vol. 108. — P. 15-69.

6. Matveev, S. V. Tables of 3-manifolds up to complexity 6 / S. V. Matveev // Max-Planck-Institute for Mathematics. Preprint Series. — 1998. — № 67. — 50 p.

7. Matveev, S. Algorithmic topology and classification of 3-manifolds (Algorithms and Computation in Mathematics) / S. Matveev. — Springer Berlin Heidelberg, 2007. — 492 p.