Динамика и устойчивость упругого элерона крыла при дозвуковом обтекании

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

УДК 533.6.013.42

А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. Б. Захарова

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО ЭЛЕРОНА КРЫЛА ПРИ ДОЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ1

Аннотация.

Актуальность и цели. При проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с потоком газа, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации. С одной стороны, воздействие потока может приводить к отрицательным эффектам, являющимся причиной нарушения необходимых функциональных свойств упругих конструкционных элементов, вплоть до их разрушения (например, приводить к состоянию неустойчивости вследствие увеличения амплитуды или частоты колебаний до критически допустимых значений). С другой стороны, для функционирования некоторых технических устройств явление возбуждения колебаний упругих элементов при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Целью данной работы является исследование динамики и динамической устойчивости упругого закрылка (элерона) крыла с учетом обтекания дозвуковым потоком идеального газа (жидкости).

Материалы и методы. Воздействие газа или жидкости (в модели идеальной несжимаемой среды) на конструкции определяется из асимптотических линейных уравнений аэрогидромеханики. Для описания динамики упругого элерона используется линейная теория твердого деформируемого тела. При указанных предположениях построена математическая модель крыла с упругим элероном с учетом обтекания дозвуковым потоком газа или жидкости.

В модели учтена упругая связь элерона с крылом и переменная толщина элерона. Модель описывается связанной системой дифференциальных уравнений в частных производных, содержащей как уравнения движения газожидкостной среды, так и уравнение динамики деформируемого элерона, для двух неизвестных функций - потенциала скорости газа и деформации элерона. На основе методов теории функций комплексного переменного удалось исключить из системы уравнений потенциал скорости и свести решение задачи аэрогидроупругости к исследованию интегродифференциального уравнения, содержащего только неизвестную функцию деформации элерона. Исследование устойчивости проведено на основе построения положительно определенного функционала, соответствующего полученному интегродифференциальному уравнению с частными производными. Определение устойчивости упругого тела соответствует концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Решение уравнения для функции деформации элерона строится на основе метода Га-леркина с проведением численного эксперимента.

Результаты. Построена математическая модель крыла с упругим элероном переменной толщины с учетом обтекания дозвуковым потоком газа или жидкости. Рассмотрен случай упругого закрепления одного конца и свободного другого конца элерона. Исследована динамическая устойчивость элерона. На основе построенного функционала получены достаточные условия динамической устойчивости, налагающие ограничения на скорость потока газа, изгиб-ную жесткость элерона и другие параметры механической системы. Проведе-

1 Работа выполнена в рамках государственного задания № 2014/232 Минобрнауки

России.

22

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

но исследование динамики элерона переменной толщины методом Галеркина. Для конкретных примеров механической системы построены графики деформаций упругого закрылка при различных законах изменения толщины пластины и различных скоростях набегающего потока.

Выводы. Полученные достаточные условия устойчивости, налагающие ограничения на параметры механической системы, обеспечивают устойчивость колебаний упругого элерона, а именно: малым деформациям элерона в начальный момент времени (т.е. малым начальным отклонениям от положения равновесия) будут соответствовать малые деформации и в любой момент времени. Для параметров, не удовлетворяющих этим условиям, нельзя сделать определенных выводов об устойчивости колебаний элерона, что продемонстрировано на конкретных примерах механических систем.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, устойчивость, динамика, упругий элемент, дозвуковой поток.

A. V. Ankilov, P. A. Vel'misov, A. B. Zakharova

DYNAMICS AND STABILITY OF THE ELASTIC AILERON OF AN AIRCRAFT WING IN A SUBSONIC STREAMLINE

Abstract.

Background. At designing of constructions and devices interacting with a stream of gas, it is necessary to solve the problems connected with research of stability, demanded for their functioning and reliability of operation. On the one hand the influence of a stream can lead to the negative effects which causes infringement of necessary functional properties of elastic constructional elements, up to their destruction (for example, lead to a condition of instability owing to increase in amplitude or frequency of fluctuations to critically admissible values). On the other hand the phenomenon of initiation of fluctuations of elastic elements at the aerohydrody-namic influence, stated above as negative, is necessary for functioning of some technical devices. The purpose of this work is to research dynamics and dynamic stability of the elastic flap (aileron) of a wing taking into account a flow a subsonic stream of ideal gas (liquid).

Materials and methods. Influence of gas or liquid (in a model of ideal incompressible environment) on constructions is defined from the asymptotic linear equations of aerohydromechanics. For the description of dynamics of the elastic aileron the linear theory of a solid deformable body is used. According to the specified assumptions the mathematical model of a wing with the elastic aileron taking into account a flow of a subsonic stream of gas or liquid is constructed. In the model the elastic communication of the aileron with a wing and the variable thickness of the aileron are considered. The model is described by the related system of differential equations in partial derivatives containing both the equations of movement of the gas-liquid environment and the equation of dynamics of the deformable aileron for two unknown functions - the potential of gas velocity and deformation of the aileron. On the basis of methods of the theory of complex variable functions it was succeeded to expel the potential of velocity from the system of equations and to consolidate the solution of the aerohydroelasticity problem to research the integro-differential equation containing only the unknown function of deformation of the aileron. Research of stability was conducted on the basis of creation of the positively certain functional corresponding to the received integro-differential equation with partial derivatives. Determination of stability of an elastic body corresponds to the concept of stability of dynamic systems by Lyapunov. The solution of the equation

Physical and mathematical sciences. Mathematics

23

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

for the function of deformation of the aileron was constructed on the basis of Ga-lerkin's method with carrying out a numerical experiment.

Results. The mathematical model of a wing with the elastic aileron of variable thickness taking into account a flow of a subsonic stream of gas or liquid was constructed. The case of elastic fixing of one end and free fixing of another end of the aileron is considered. Dynamic stability of the aileron was investigated. On the basis of the constructed functional the sufficient conditions of dynamic stability imposing restrictions on velocity of a stream of gas, flexural rigidity of the aileron and other parameters of mechanical system were received. Research of dynamics of the aileron of variable thickness by Galerkin's method was conducted. For the concrete examples of mechanical systems the schedules of deformations of the elastic flap at various laws of plate thickness change and various velocities of a running stream were constructed.

Conclusions. The received sufficient stability conditions, imposing restrictions on parameters of the mechanical system, provide stability of fluctuations of the elastic aileron, namely: small deformations of the aileron in the initial timepoint (i.e. small initial deviations from the position of balance) will correspond to small deformations at any timepoint. For the parameters which aren't meeting these conditions, it is impossible to make certain conclusions about stability of fluctuations of the aileron that is shown by concrete examples of mechanical systems.

Key words: aerohydroelasticity, stability, dynamics, elastic element, subsonic flow.

Введение

При проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости упругих элементов, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.

В статье рассматривается задача обтекания крыла с элероном, который моделируется упругой пластиной переменной толщины, дозвуковым потоком газа или жидкости (в модели идеальной несжимаемой среды). Исследуется случай упругого закрепления с крылом одного конца элерона и свободного другого конца. Ранее были рассмотрены случаи других закреплений концов упругих элементов конструкций [1-6], в [7] исследовалась динамика и устойчивость упругого элерона постоянной толщины.

1. Постановка задачи

Пусть на плоскости xOy, в которой происходят совместные колебания упругого закрылка (элерона) и дозвукового потока идеального газа (жидкости), крылу соответствует на оси Ox отрезок [a, b], а закрылку - отрезок [b,c] (рис. 1).

В бесконечно удалeнной точке скорость газа равна V и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ox . Будем считать, что прогиб (деформация) упругого закрылка и возмущение однородного потока малы.

Введем обозначения: w(x, t) - функция прогиба упругого закрылка; ф(x, y, t) - потенциал скорости возмущенного потока газа.

Математическая постановка задачи имеет вид

9xx + Фyy =0,

24

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

ф+

lim фy (x, y, t) =

y^+0 ^

Vf± (x), X є (a, b),

Wt (x, t) + Vwx (x, t), x є (b, c),

I Vф|І = (ф2х +ф;У +фг2)те = 0 ;

M (x) W (x, t) + (D( x) w "(x, t)) + во (x) w( x, t) + Pj (x) W (x, t) + (((x)W " (x, t)) =

= р

здесь и в дальнейшем индексы x, y, t снизу обозначают частные производные по x, y, t; штрих обозначает производную по x и т , а точка - производную по t; р - плотность газа; D(x) - изгибная жесткость закрылка; M (x) - погонная масса закрылка; Pj(x), Рх(x) - коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования; Р0( x) - коэффициент жесткости основания; f+ (x) - функции, определяющие форму верхней (+) и нижней (-) недеформируемых частей профиля крыла.

1 V l y y = f+(x) y = w(x, t) I

__ 1

ь— m- _ j-

_0 V a y = f-(x) b c x

Рис. 1. Крыловой профиль

Изгибная жесткость и погонная масса закрылка в работе вычисляются по формулам

Fh3

D

12

где h(x) - переменная толщина закрылка; F , pn - модуль упругости и плотность материала закрылка; V - коэффициент Пуассона.

Используя методы теории функций комплексного переменного [6], решение задачи можно свести к исследованию интегродифференциального уравнения для неизвестной функции прогиба W закрылка:

M (x) W (x, t) + (D( x) w'( x, t)) + Р0 (x) w( x, t) + Pi (x) W (x, t) + ((x)W ' (x, t)) =

c c

= -— Г [W f, t) + VW'(т, t)] ](т, x)dт - V— Г [wf, t) + Vw'(x, t)J dт +

kj n J dx

b b

V 2— b

+—— Г[f+

Physical and mathematical sciences. Mathematics

25

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

где

K (т, x) = 2ln

.у/

у]

^J(x—aj(c—xj + y|(T—aj<c—:Tj ^

G (т, x) = —----, =^=--------------, т Ф x .

sj

Если профиль крыла симметричный, т.е. f+ (x) = -f-(x), то получим однородное уравнение:

M (x) w (x, t) + (D( x) w" (x, t)) + во (x) w( x, t) + Pj (x) w (x, t) + ((x) w" (x, t)) =

= -P f

n J dx

b b

Граничные условия на концах элерона при x = b и x = c имеют вид

w

что соответствует упругому закреплению левого конца и свободному правому концу. Число a - коэффициент жесткости упругой связи между крылом и элероном.

Зададим также начальные условия:

w

которые должны быть согласованы с краевыми условиями.

2. Исследование устойчивости

Получим достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения интегродифференциального уравнения (7) по отношению к возмущениям начальных условий. Введем функционал

c

Ф = j"{

b

J

pV

n

2 c c

—f dx fw'(x, t) w'(% t) K (т, x) d т.

b b

Найдем производную от Ф по t

c

Ф = f{2M (x)ww + 2D( x)w"w№ + 2в0( x)ww+dx + b

26

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

+2aD(b) w'(b, t )W' (b, t) + I(t) + J (t).

Для функции w(x,t), являющейся решением уравнения (7), это равен-

ство примет вид

Ф = j"{-2W (D(x)ww) +Pq(x)w + ві(x)W + (P2 (x)W") b L

+

+P j(W(T, t) + VW'(t, t))K(t, x)dt + Vp j(W(T, t) + Vw\x, t))dK (T’x) dт П n J dx

dK

+

+ 2D

Проведем интегрирование по частям с учетом условий (8):

c ,г ' с С '

j (D(x)w") Wdx = (D(x)w") W - j (D(x)w") W'dx = -D(x)w"w\b + b b b

С c

+j*D( x)w>>W№dx = D(b)w "(b, t )W' (b, t) + j*D( x)w"w"dx = b b

С

= aD(b) w '(b, t )W' (b, t) + j*D (x) w'W'dx,

b

c c c

J(P2(x)W") Wdx = (P2(x)w') W - J(2 (x)w") W'dx = b b b

С

= —P2 (x)W"W'\b + jP2 (x)W2dx = P2 (b)w'(b, t)w (b, t) +

b

С c

+jP2

b b

Тогда с учетом (13) для Ф получим

c

Ф = j<! —2W

j (W (т, t) + VW'(т, t)) K(т, x)dт+VP j( W (t, t)+Vw'(t, t))dK (T’x) dт J % J dx

dK

dx

—2p2 (x)W'2 — 2p1 (x)W2} dx — 2ap2 (b)W2 (b, t) + І(t) + J(t) <

Physical and mathematical sciences. Mathematics

27

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

c

<-1 <

b

-2w

Р f(і(t, t) + Vw'(t, t)) )(t, x)dt + Vp Г(w(t, t) + Vw'(T, t)) dt

n J dx

Ж

-2 ^ inf P2 (x) j w'2 - 2 ^ inf Pj(x) j w2 j dx -

-2a^inf P2

Рассмотрим краевую задачу для уравнения yIV (x) = цу(x), x є [b, c] с краевыми условиями (8) [7]. Эта задача является самосопряженной и полностью определенной при условии

a>0.

Действительно, интегрируя по частям, нетрудно убедиться, что

c c c

Juv""dx = Mv^lb - Juv"dx = -uv'ic + Ju'v'dx = u (b, t)v"(b, t) + u V|) -

b b b

c c

- Ju'v'dx = au'(b, t )v '(b, t) - u "(b, t )v\b, t) - u^b + Ju""vdx =

b b

c c

= au'(b, t)v'(b, t) - au'(b, t)v'(b, t) + Ju""vdx = Ju""vdx,

b b

c

u u

*dx =

u u

c

b

b

c c

= u'(b, t)u'(b, t) + Ju'2dx = au,2 (b, t) + Ju"2dx > 0

b b

для любых функций u(x) и v(x), удовлетворяющих рассматриваемым краевым условиям и имеющих на [b, c] непрерывные производные четвертого порядка. Для функций w (x, t) и w( x, t) запишем неравенства Рэлея:

c c

Jw

b b

c c

Jw

b b

где Ц1 - наименьшее собственное значение рассматриваемой краевой задачи.

28

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014 Физико-математические науки. Математика

Вычисляя интеграл в левой части (16) и (17) по частям аналогично (13), получим неравенства

С С

Jw "2 (x, t )dx + aw'2 (b, t) > Ц Jw2 (x, t) dx,

b b

c c

Jw" 2

b b

Пусть выполняется условие

inf

x

тогда с учетом (18) получим

jf-2 ^inf p2

w

-2a I in:

inf P2 (x) ] W'2 (b, t) < -2 inf (Ц1Р2 (x) + P1(x)) Jw2dx < 0.

Из (14)следует

Ф < -2w

b

J(w(T, t) + Vw '(t, t)) K (t, x)d t

+

+VP J(m>(t, t) + Vw'(t, t))dK(T’x) dT п і dx

> + I(t) + J (t).

Изменяя порядок интегрирования, используя условия (8) и учитывая, что K (t, c) = 0, проведем интегрирование по частям:

Jdx

b b

dK (t, x) dx

d T =

= Jd tJw

b b

dx

d T-

x=b

-Jd t Jw'

b b

b b

c

b

Physical and mathematical sciences. Mathematics

29

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

В последнем равенстве поменяли местами переменные интегрирования x и т (учитывая, что K(т, x) = K(х, т)).

Аналогично получим

c c c c

jdxjw(x,t)w'(x,t)dK(T’x) dт = IdxJ*vW(x,t)w'(t,t)dK^~x)dx = dx dx

b b b b

c c

= -jdxjw'

b b

где в последнем равенстве возвратились к прежнему порядку интегрирования. Преобразуем интегралы I(t), J(t), учитывая, что K(т, x) = K(x, т):

I

d ^ ^

—P j dx jw( x, t) W(^ t) K (т, x)d т dt nJ J

b b

J

С учетом (21)-(24) неравенство (20) примет вид

Ф<0.

Интегрируя (25) от 0 до t, получим

Ф^) < Ф(0).

Воспользуемся доказанными ранее оценками [6]:

c c

J dx J W

b b c c

J dxj w'

b b

2 2

Пользуясь очевидными неравенствами 2ab < a + b ,

2 2

-2ab >—(a + b ), симметричностью и неотрицательностью ядра K(т,x), получим

c c c c c

jdxjw

b b b b b

c c c c c

jdx jw'

b b b b b

30

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

где Kq= sup |—(t, x)dт.

xe{b,c)b

Оценим Ф(0), используя неравенства (18), (28), (29):

c

Ф

+

+

2 c c

P Idxfw(x,0)W(t,0)К(t,x)dт-Р-----Idxfw,(x,0)w'(t,0)K(t,x)dt<

n J J П j j

n b b b b

I ( R (x) I

<

Jjj sup M

+

p—0

n

wV0 + sup

D( x) +

V

M x)

^1

w02 1 dx +

f

+a sup

e0

D (x) + -

V ^1

№ tti

w'2(b,0),

где w0 = w(x,0), w0 = w(x,0), w0 = w (x, 0).

Для оценки Ф(ґ) воспользуемся неравенством Буняковского:

(z

\2

|w'(x, t)dx < |w"2(x, t)dx  j*1dx = (x - b)| w"2(x, t)dx < (x - b)| w"2(x, t)dx .

V b ) b b b b

Вычисляя интеграл в левой части, получим

c

((x,t) - w'(b,t))2 < (x-b)|w'2(x,t)dx .

b

Интегрируя это неравенство от b до c, окончательно получим

С 2 c

Iw"2

b (c -b) I

Используя неравенства (27), (30), (32), получим оценку для Ф^):

c

Ф(t) = I {М (x) w2 + D( *)w'2 +в0( x)w2|dx + aD(b)w' 2(b, t) +1 (t) + J (t) >

> inf M (x) 'j w 2 +

2inf D

x

(c - b)2

-(w'(x,t)-w'(b,t)) + [ infP0(x) Iw2-

-^—0—w'2 1 dx + a ^ inf D

+

Physical and mathematical sciences. Mathematics

31

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

+1 inf во(x) I w2(x, t) +

2п inf D(x) - p^V2 (c - b)2

4inf D

X_____

(c - b)2

-w'( X, t) w'(b, t) + -

n

__________x

(c - b)2

w'2

w'2

Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма относительно w'(x,t), w'(b,t) в (33) будет неотрицательной, если выполняются условия:

2пinf D(x) - pK0V2 (c - b)2 > 0,

x

2ninf D(x) - pKoV2 (c - b)2 I (2 + a(c - b)) - 4ninf D(x) > 0.

x ) x

Из этих неравенств получим ограничение на скорость набегающего по-

тока:

V2 <-

2na inf D

x

(c - b)pKo (2 + a(c - b)) или на коэффициент жесткости упругой связи

a>

2V 2(c - b)pK0

2п inf D( x) - V 2(c - b)2 pK0

Пусть выполняется условие

+

+

f 2n inf D( x) - pK0V2 (c - b)2

x____________________

n(c - b)2

4inf D

x

w' 2( x, t) +

inf D

+

(c - b)2

2 + a

w'

> dx >

> I

2n inf D( x) - pK0V2 (c - b)2

x__________________

n(c - b)2

4inf D

x

w '2

Для дальнейшей оценки Ф^) воспользуемся неравенством Буняков-

ского:

32

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

( X

\2

\ X

Jw'(x, t)dx < Jw'2(x, t)dx  J1dx = (x -b)Jw'2(x, t)dx < (с -b)Jw'2(x, t)dx . У b ) b b b b

Вычисляя интеграл в левой части, получим

w2 (x, t) < (с - b) Jw'2 (x, t)dx.

b

С учетом (37) из (36) получим

Ф^) ^

f 2Dn-pK0V2(c -b)2

4 D

^ w2

n(c - by

c - b

Таким образом, из (26), (31), (38) получим неравенство

f 2п inf D(x) - pK0V2 (c - b)2

x____________________

n(c - b)2

4inf D

x

w2

c - b

pKo

< J-j I supM(x) + —

w 0 + sup

D( x) +

M x)

^1

w02 f dx +

f

+a sup

x

M x).'2,

D

^1 )

из которого следует теорема

Теорема 1. Пусть выполнены условия (15), (19), (34). Тогда решение w( x, t) уравнения (7) устойчиво по отношению к возмущениям начальных

значений wo,w0, w'(b,0), если w(x, t) удовлетворяет краевым условиям (8).

3. Исследование динамики элерона

Решение уравнения (7) будем искать методом Бубнова - Галеркина, подчинив искомую функцию w(x,t) краевым условиям (8). В дальнейшем будем считать c = 0 .

Согласно методу Бубнова - Галеркина решение уравнения (7) ищется

в виде

n

w

k=1

где gk (x) - базисные функции, подобранные так, чтобы выполнялись заданные краевые условия, а функции ak (t) определяются из условия ортогональности невязки уравнения ко всем базисным функциям.

В качестве базисных возьмем функции

gk

Physical and mathematical sciences. Mathematics

33

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Коэффициенты Afc, Bfc, Cfc, Dk и параметр Yk выберем так, чтобы на каждом из концов отрезка [b, c] выполнялись следующие условия:

gk

Тогда функция w(x,t) в виде (40) будет удовлетворять условиям (8). Заметим, что уk и gk (x) - собственные значения и собственные функции краевой задачи

g IV

с граничными условиями (42). Задача (43), (42), как было показано ранее, при a>0 является самосопряженной и полностью определенной, следовательно,

система функций {gk(x)}k=i ортогональна на [b, с]. В этом случае согласно теореме о разложении любую функцию U (x), четырехкратно непрерывно дифференцируемую в (b, с) и удовлетворяющую соответствующим краевым

условиям, можно разложить в ряд U (x) = ^c^gk (x), абсолютно и равномер-

k=1

но сходящийся в (b, с).

Базисные функции (41) для краевых условий (42) примут вид

, ч , cos ykb + chy ф / . , ....

gk

sin у kb + shy kb

где уk - корни уравнения

Yk sin уф^уф - Уk cosуф^уф + a + acosуф^уф _ 0.

Условия ортогональности невязки уравнения (7) к базисным функциям {gm(x)]}_i позволяют записать систему уравнений для am(t), m _ 1,...,n :

^

k _1

Akm _ JM(x)gk (x) gm (x)dx + P J gk (T)K1m (t)dT, b b

c c

Bkm _ JP1(x)gk (x)gm (x)dx + ap2 (b)gk (b)gm (b) + JP2 (x)gk (x)g"m (x)dx

+

+—J gk (T)K1m (T)dT - PV J gk (T)K2m (x)dT.

П J П J

pV

Ckm aD(b) gk (b) gm (b) + J D( x) gk (x) gm (x)dx

+

34

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

c v2 c

+J Pc (x) gk (x) gm (x)dx -J g'k (т) K2m (T)d т

K

1m (T) = Jgm (x)K(т, x)dx, K2m (т) = Jgm (x)K(т, x)dx, m = 1,2,..., n.

Условия ортогональности невязки начальных условий (9) к базисным функциям позволяют найти начальные условия am (0):

1 c 1 c c

am

6 m b °m b b

Таким образом, получили задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (45) с начальными условиями (46).

4. Численный эксперимент

Будем считать, что крыло находится в потоке воздуха (р = 1), а закрылок изготовлен из алюминия (E = 7 • 1010 , pn = 8480). Другие параметры механической системы: a = -3; v = 0,31; ^ = 4; ft = 0,4; Р2 = 0,4; а = 0,1;

Eh3(x) ,2>

M(x) = pnh(x); D(x) = -

(все значения приведены в системе СИ).

12

Начальные условия: w(x,0) = 0,01g1 (x); w(x,0) = -0,005g1(x).

С помощью математической системы Matematica получим графики 4 b + c

функции w(x, t) = ^ Wk (t)gk (x) в точке x =- и прогиб упругого элемента

k=1 2

в различные моменты времени при различных скоростях набегающего потока и различных законах изменения h(x).

I. У1 (^, t ) = 1. Согласно условию (34) для устойчивости закрылка скорость набегающего потока должна быть V < 7,4. Рассмотрим поведение закрылка при различных скоростях набегающего потока (рис. 2-4).

w

Рис. 2. Деформации пластины w( x, t) в точке x = (b + c) / 2

Physical and mathematical sciences. Mathematics

35

t

V = 5

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

w

0.01 Г015

0.0125

0.01

0.0075

0.005

0.0025

- 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2

0.8 - 0.6 - 0.4

x

w( 5,5) x

-- 8.8025

- 0.005 - 0.0075

- 0.01 ^0>Ш25

- 0.01

Рис. 3. Прогиб упругого элемента в момент времени = 1 и t0 = 5

w

Рис. 4. Деформации пластины w(x, t) в точке x = (b + c) / 2

Очевидно, что на первом графике при V = 22 наблюдается устойчивость, а на втором при V = 23 - неустойчивость колебаний упругого закрылка.

t

t

36

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

x — b

II. h(x) = 0 ,01 — 0,002-. Согласно условию (34) для устойчивости

c — b

закрылка скорость набегающего потока должна быть V < 15 . Рассмотрим поведение закрылка при различных скоростях набегающего потока (рис. 5, 6).

w

Рис. 5. Деформации пластины w( x, t) в точке x = (b + c) / 2

w

V = 23

t

Рис. 6. Деформации пластины w( x, t) в точке x = (b + c) / 2

Очевидно, что на первом графике при V = 23 наблюдается устойчивость, а на втором при V = 24 - неустойчивость колебаний упругого закрылка.

Заключение

Получены достаточные условия динамической устойчивости упругого элерона крыла при обтекании его дозвуковым потоком идеальной несжимае-

Physical and mathematical sciences. Mathematics

37

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

мой жидкости (газа). Условия накладывают ограничения на скорость однородного потока газа, изгибную жесткость упругого элемента и другие параметры механической системы. Рассмотрен случай упругого закрепления одного конца и свободного другого конца упругого элерона. Проведено исследование динамики элерона переменной толщины методом Галеркина. Для конкретных примеров механической системы построены графики деформаций упругого закрылка при различных законах изменения толщины пластины и различных скоростях набегающего потока.

Список литературы

1. Анкилов, А. В. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. - Ульяновск : УлГТУ, 2000. - 115 с.

2. Ankilov, A. V. Stability of the solutions of one class of aerohydroelasticity problems / A. V. Ankilov, P. A. Velmisov // Applications of Mathematics in Engineering and Economics. - American Institute of Physics, USA, 2008. - P. 414-426.

3. Анкилов, А. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоко-ненко, Ю. В. Покладова. - Ульяновск : УлГТУ, 2008. - 188 с.

4. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. - Ульяновск : УлГТУ,

2009. - 220 с.

5. Вельмисов, П. А. Уравнения колебаний упругих элементов системы двух крыловых профилей / П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников, Е. П. Семенова // Механика и процессы управления : сб. науч. тр. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. -

С. 17-27.

6. Анкилов, А. В. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - Саратов, 2009. - № 1 (37), Вып. 1. - С. 7-16.

7. Вельмисов, П. А. Динамика и устойчивость упругого элерона крыла при дозвуковом обтекании / П. А. Вельмисов, А. В. Анкилов, А. Б. Захарова // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза : Приволжский Дом знаний, 2011. - С. 107-111.

8. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1973. - 736 с.

9. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. - М. : Наука, 1968. -503 с.

References

1. Ankilov A. V., Vel'misov P. A. Ustoychivost’ vyazkouprugikh elementov stenok pro-tochnykh kanalov [Stability of viscoelastic elements of flow passage walls]. Ulyanovsk: UlGTU, 2000, 115 p.

2. Ankilov A. V., Velmisov P. A. Applications of Mathematics in Engineering and Economics. American Institute of Physics, USA, 2008, pp. 414-426.

3. Ankilov A. V., Vel'misov P. A., Gorbokonenko V. D., Pokladova Yu. V. Matematich-eskoe modelirovanie mekhanicheskoy sistemy «truboprovod - datchik davleniya» [Mathematical modeling of the mechanical system “pipeline - pressure sensor”]. Ulyanovsk: UlGTU, 2008, 188 p.

4. Ankilov A. V., Vel'misov P. A. Dinamika i ustoychivost’ uprugikh plastin pri aerogi-drodinamicheskom vozdeystvii [Dynamics and stability of elastic plates subject to aero-hydrodynamic influence]. Ulyanovsk: UlGTU, 2009, 220 p.

38

University proceedings. Volga region

№ 3 (31), 2014

Физико-математические науки. Математика

5. Vel'misov P. A., Reshetnikov Yu. A., Semenova E. P. Mekhanika i protsessy uprav-leniya: sb. nauch. tr. [Mechanics and control processes: collected papers]. Ulyanovsk: UlGTU, 2010, pp. 17-27.

6. Ankilov A. V., Vel'misov P. A. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tekhnich-eskogo universiteta [Bulletin of Saratov State Technical University]. Saratov, 2009, no. 1 (37), iss. 1, pp. 7-16.

7. Vel'misov P. A., Ankilov A. V., Zakharova A. B. Analiticheskie i chislennye metody modelirovaniya estestvennonauchnykh i sotsial'nykh problem: sb. st. VI Mezhdunar. nauch.-tekhn. konf [Analytical numerical methods of natural-science and social problems modeling: proceedings of VI International scientific and technological conference]. Penza: Privolzhskiy Dom znaniy, 2011, pp. 107-111.

8. Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Metody teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo [Methods of the theory of functions with complex variable]. Moscow: Nauka, 1973, 736 p.

9. Kollatts L. Zadachi na sobstvennye znacheniya [Eigenvalue problems]. Moscow: Nauka, 1968, 503 p.

Анкилов Андрей Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ульяновский государственный технический университет

E-mail: ankil@ulstu.ru

Вельмисов Петр Александрович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Ульяновский государственный технический университет

E-mail: velmisov@ulstu.ru

Захарова Александра Борисовна аспирант, Ульяновский государственный технический университет

E-mail: sasha_Karzakova@mail.ru

Ankilov Audrey Vladimirovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher mathematics, Ulyanovsk State Technical University

Vel'misov Petr Aleksandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher mathematics, Ulyanovsk State Technical University

Zakharova Aleksandra Borisovna Postgraduate student, Ulyanovsk State Technical University

УДК 533.6.013.42 Анкилов, А. В.

Динамика и устойчивость упругого элерона крыла при дозвуковом обтекании / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. Б. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2014. - № 3 (31). - С. 22-39.

Physical and mathematical sciences. Mathematics

39