Вывод уравнений механики тонких пластин с мягким покрытем, на основе метода асимптотического осреднения трехмерных уравнений нелинейной теории упругости

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_

2015. Vol. 90. P. 149-158.

4. Гогонин И.И. Теплообмен при испарении и кипении пленки, орошающей пакет горизонтальных труб // Теоретические основы химической технологии. 2014. Т. 48, № 1. С. 103-111.

5. Диев М.Д., Соколова Т.В. Обработка экспериментальных данных по кипению в большом объеме на улучшенных поверхностях кипения в координатах С.С. Кутателадзе // Тр. 16-й Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках». Санкт-Петербург, 21-25 мая 2007 г. Москва: МЭИ, 2007. Т. 1. С. 407-410.

6. Щелчков А.В., Попов И.А., Зубков Н.Н. Кипение жидкости на микроструктурированных поверхностях в условиях свободной конвекции // Инженерно-физический журнал. 2016. Том 89, №5. C. 1160-1169.

7. Webb R.L. Odyssey of the Enhanced Boiling Surface // Journal of Heat Transfer. 2004. Vol. 126. P. 1051-1059.

8. Drach V., Sack N., Fricke J. Transient heat transfer from surfaces of defined roughness into liquid nitrogen // Int. J. Heat Mass Transfer. 1996. Vol. 39, № 9. P. 1953-1961.

9. Christians M., Thome J.R. Falling film evaporation on enhanced tubes, part 1: Experimental results for pool boiling, onset-of-dryout and falling film evaporation // Int. J. of Refrigeration. 2012. Vol. 35, № 2. P. 300-312.

10. Fagerholm N.E., Ghazanfari A.R., Kivioja K., Järvinen E. Boiling heat transfer performance of plain and porous tubes in falling film flow of refrigerant R114 // Wärme- und Stoffübertragung. - 1987, Vol. 21. - P. 343-353.

11. Зубков Н.Н. Получение подповерхностных полостей деформирующим резанием для интенсификации пузырькового кипения // Вестник Машиностроения. 2014. №11. С.75-79.

12. Володин О.А., Печеркин Н.И. Теплообмен и кризисные явления в пленках смесей фреонов, стекающих по структурированной поверхности // Тепловые процессы в технике. 2012. Т. 4, № 2. С. 56-67.

13. Павленко А.Н., Печеркин Н.И., Володин О.А. Теплообмен и кризисные явления при кипении в пленках смесей фреонов, стекающих по оребренной трубе // Теплофизика и аэромеханика. 2012. Т. 19, № 1. С. 143-154.

14. Павленко А.Н., Печеркин Н.И., Володин О.А. Теплообмен и кризисные явления в стекающих пленках жидкости при испарении и кипении. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2016. 196 с.

15. Pecherkin N.I., Pavlenko A.N., Volodin O.A. Heat Transfer and Crisis Phenomena at the Film Flows of Freon Mixture over Vertical Structured Surfaces // Heat Transfer Engineering. 2016. Vol. 37. Iss. 3-4. P. 257-268.

16. Cerza M., Sernas V. Nucleate boiling in thermally developing and fully developed laminar falling water films // J. Heat Transfer. 1988. Vol. 110, № 1. P. 221-228.

17. Thome J.R. Enhanced Boiling Heat Transfer. New York: Hemisphere Publishing, 1990.

18. Webb R.L., Kim N.H. Principles of Enhanced Heat Transfer. 2nd ed. New York: Taylor & Fransis Group, 2005.

© Володин О.А., Павленко А.Н., Печеркин Н.И., Зубков Н.Н., Битюцкая Ю.Л., 2016

УДК 539.3

Димитриенко Ю.И., д.ф.-м.н., профессор Губарева Е.А., к.ф.-м.н., доцент Алешина А.С., магистрант Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана,

г.Москва, Российская Федерация

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ТОНКИХ ПЛАСТИН С МЯГКИМ ПОКРЫТЕМ, НА ОСНОВЕ МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Аннотация

Предложена методика построения двумерных уравнений теории тонких нелинейно-упругих пластин с

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_

мягким покрытием, основанная на применении метода асимптотического осреднения к трехмерным уравнениям нелинейной теории упругости при конечных деформациях. Модель мягкого покрытия построена на основе допущения о том, что соотношения между упругими константами покрытия и жесткого слоя имеют порядок малости одинаковый с геометрическим параметром, представляющим собой отношения толщины к длине пластины. Определяющие соотношения жесткого слоя и мягкого покрытия выбраны в виде универсальных нелинейно-упругих соотношений для изотропных сред с конечными деформациями на основе так называемых моделей А5, предложенных Ю.И. Димитриенко. Постановка задачи нелинейной теории упругости рассмотрена полностью в отсчетной конфигурации. Получены аналитические решения рекуррентной последовательности локальных задач для жесткого слоя и мягкого покрытия.

Ключевые слова

Тонкие мягкие покрытия, нелинейная теория упругости, конечные деформации, метод асимптотического осреднения

Тонкие мягкие покрытия на основе эластомеров широко применяют для различных инженерных конструкций. Для расчета напряжений в таких покрытиях обычно применяют приближенные аналитические методы [1,с.34], так как применение прямого конечно-элементного анализа в трехмерной постановке для расчета тонких покрытий мало эффективно [2, с.275]. В настоящей работе представлены результаты вывода уравнений механики тонких мягких покрытий с помощью асимптотического осреднения трехмерных уравнений теории упругости с конечными деформациями. Этот метод эффективно применялся для расчета тонких упругих пластин и оболочек при малых деформациях [2-6].

Исходная задача нелинейной упругости при конечных деформациях

Обозначим эйлеровы (декартовы) координаты материальных точек в отсчетной и актуальной

о

конфигурациях как: х их, а лагранжевы координаты как X' , их будем полагать совпадающими с

. о ' о

декартовыми X ' = х' . Рассмотрим многослойную пластину из N слоев, все слои Vр,/3 = 1...Ж которой в

о

отсчетной конфигурации ортогональны оси Ох , Полагаем, что слои связаны между собой условиями идеального контакта, являются нелинейно-упругими и их деформирование описывается обобщенной моделью Ап , предложенной Ю.И. Димитриенко для сред с конечными деформациями.

Задача нелинейной теории упругости в лагранжевом описании в общей формулировке, предложенной в [7,8], для многослойной имеет вид

о . о

V'Рр = о, X' еV3,

(п) о о

Р{ = F/

Fkl = 8Ы + 81п Vт икр, X' е Ур иЕр ,

о

р?=г±=-~Р±ръ;

Р'2 = о, XгеZb,/ = 1....Ж,

икр = и' , X еЕт , 33 = 1...N

Здесь: (1) - уравнения равновесия, (2) - определяющие соотношения нелинейно-упругой среды, (3) -

о

кинематическое соотношение, (4) - условия идеального контакта на поверхностях раздела Е рр ' /' -ой и /

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_

0 о

-ого слоев пластины, (5) - граничные условия на лицевой и тыльной поверхностях Ii и 2n пластины,

0 3 0 з

которые заданы уравнениями

Ii = {XJ =-h /2}; 2n+i = {Xj = h /2}; (6) -граничное условие на

о

боковой поверхности пластины

I, = {X2 = ±b/2}; (7) - граничное условие на торцевых поверхностях

о i

пластины It = {X1 = 0,L}; h,b, L- толщина, ширина и длина пластины (размеры вдоль координатных

направлений X ,X ,X ).

Введены обозначения для компонент векторов и тензоров, которые отнесены к неподвижному

0

'k - отсчетной конфигурации K ; p ß

ортонормированному базису - отсчетной конфигурации K; Pi - тензора напряжений Пиолы-

усилий, u'e - вектора заданных перемещений поверхности, V i =-- - набла оператора, F JJ (F^) -

Кирхгофа, Fp - тензора градиента деформаций, и^ - вектора перемещений, - вектора поверхностных

0 $

дХ1

тензора определяющих соотношений нелинейно-упругих компонент композита, который для моделей Ап упругих сред с конечными деформациями имеет сложный неявно-заданный вид и зависит от компонент

градиента деформаций Fk [7,8]. Для случая квадратичная модель Ап [7,8], то определяющие соотношения

имеют следующий вид:

рЦ= Fц) = Рр ^

где 11р , 4 р Р = 1...^ - константы упругости слоев, Е ^ - компоненты тензора энергетической

эквивалентности [7,8], зависящие от градиента деформаций Fß , а CT - компоненты симметричного

тензора энергетических деформаций [7,8], которые также являются функциями от Fkl [7,8].

р , " ^р

ГЛ/ГТТ АТ £

Принимаем основное допущение № 1, состоящее в том, что давление Р+ на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет порядок малости O(K'i)т.е.

Р±=^Р±

Это допущение, как правило, соответствует реальным условиям нагружения тонких пластин. Допущение № 2: рассмотрим случай тонкой пластины, для которой малым является отношение толщины пластины h к ее длине L, т.е можно ввести малый параметр

к = к /L << 1,

Рассмотрим далее случай 2-х слойной пластины N = 2, один из которых назовем "мягким" (слой с индексом р = 1), а другой -"жестким" (слой с индексом р = 2). Примем допущение № 3: модули упругости

мягкого 1а1 и жесткого 1а2 слоев сильно различаются своими значениями, т.е удовлетворяют следующему соотношению

1-^ = тпаки\ та=0

1а2

Введем обозначения: 1а2 = С 2 •> Кл = 1 <2=1,2 . тогда от констант упругости

/ ^ 1 > 2 можно перейти к приведенным константам упругости 1а\' ^/2

L\ = KL\ > Li а = \,2

Подставляя (12) в (8), получаем следующее представление определяющих соотношений для мягкого и жесткого слоев:

P'j = к Р" И = И 1 1 ' 2 2

= iuc;p))ssq+i2ß cklsskslq)

р ± р V-1 р / ^ У1\р ч-чч^/? 1 1гр ^р ^хк^и}.

Волну над величинами далее будем опускать.

Асимптотические разложения для тонкого мягкого покрытия на жесткой пластине

Введем безразмерные лагранжевы глобальные X' и локальную лагранжеву % координаты: % =

X3

к

V'-Х'

X = —— ' =1,2,3. Координата % по толщине пластины изменяется в диапазоне —о.5 < % < о.5, мягкому покрытию соответствуют значения

о.5 — \<%< о.5 , а жесткому слою пластины: —о.5 <%< о.5 —

где И = И / И относительная толщина мягкого покрытия.

Решение задачи (1)-(7), (13) относительно вектора перемещений будем искать в виде асимптотических разложений по малому параметру к

икр = ик

Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами 1,3, К, L принимают значения 1,2, а индексы

', У, к, I - значения 1,2,3. Дифференцирование функций (23) осуществляем по формальным правилам дифференцирования сложной функции, тогда с учетом (22) имеем:

^ ик = ик' + -и^ 3, ик К = —=~к ик

к ол од

Подставляя (15) в (5) с учетом (16), находим асимптотическое разложение для градиента деформации

Т» = Fkk¡ (о)( X1,%) + (1)( X1,%) + к2 Fkk¡ (2)( X1,%) +..., (17) где

ТкI(о) _ Як1 к (о) ЫЫ к(1) Ы3 Т7к1 (1) _ и к (1) ЫЫ к(2) Ы3

г р = ° +ир ,ы° +ир /3° > гр = ир ,ы° +ир /3° >

Тк1 (2) _ к(2) ЫЫ к(3) Ы3 Тк1 (3) _ к(3) ЫЫ к(4) Ы3

г р = ир ,Ы° + ир /3° > г р = ир ,Ы° + ир /3°

Учитывая зависимость Ыр г + (X , %) от аргументов X1,%, 9 компонент каждого градиента

деформаций Т^1 (г) можно разделить на 4 группы, следующим образом

ТКЬ(о) _ ЯКЬ иК(о)яш ТК3(о) _ иК(1) Т33(0) _ л и3(1) Т3Ь(о) _ иЪ(о)яш

гр =° + им ° , гр = и^/3 , Гр = I + ир/3 гр = и,Ы °

ТКЬ(г) _ иК(г)ЯЬЫ ТК3(г) _ иК(г+1) Т33(г) _ и3(г+1) ТЗЬ(г) _ и3(г) яЬЫ

Гр ир,Ы ° 5 Гр ир/3 5 Гр ир/3 Гр иР,Ы°

г=1,2,3,...

Подставляя разложение (17) в (14) и, используя формулу Тейлора, находим асимптотические разложения определяющих соотношений и тензора Пиолы -Кирхгофа

рj = кР1 1] (1) (х1,4) + к2 р tJ (2) (X1,4) + к3 р tJ (3) (X1,4) +... ри = ри (0)( х1,4) + кр (1)( х1,4) + к2 Pi (2)( х1,4) + к3 р* (3)( х1,4) +...

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 2410-6070

где обозначены члены асимптотического разложения для мягкого слоя

/г(1) = аЕ°^(^;/(0)Х/п (ЦСГ(0))Ж? +/21

ру

^ 1 = кГ 1 ' 1 1 = кГ 1 + кМп^ 1 М

р1

М = кГ 1 + кШп\ 1 "М + ^ 1 М / + Ыттр 1 "М М

Аналогичный вид имеют члены асимптотического разложения для жесткого слоя

^(0) = = е°^(/>/(0))(/12 (^(с*(0)м? + /22 с2и

ру О) _ лу Ры

2 ^ ЫГ2 > 2 ^ кГ2 + ЫптГ2 Г2

р1

2 2 И 2 2 ЫтпУ 2 2 2 2 / 2 кМшр 22 2

где обозначены тензорные производные

Я ^ 1 Я2 ^

# _ ° р~У(ркН0)\ лу _ 1 ° Т7~У(Т7ЩЬ)\

^ри ^рЩО) Р ^ Р '> рЫтп 2 ^рЩО)^ртп(О) Р ^ Р

1 Я3 ^ >4? =1___/7

^рЫттр ^ ^рк1(0)^ртп(0)^р$р(0) Р ^ Р >

Заметим, что Р1(0) = 0 .

Формулировка локальных задач для жесткого и мягкого слоев

Подставляя разложения (20) в (1), с учетом правила дифференцирования (16), получаем асимптотическое разложение уравнений равновесия для жесткого и мягкого слоев

1Р2Т+(рт+Р33(1))+Р33(2))+^2(р?2)+р33(3))+...=0

К

р;1 (1)+к{р1(1)+р31 (2))+к2(р}2)+р131 (3))+...=0

, ,

Подставляя разложения (20) в граничные условия (5) с учетом (13), получаем на лицевой поверхности

0

£1 = {£ = 0.5} мягкого слоя

£ = 0.5: кр31

+

0

и на тыльной поверхности

£ 2 = {£ = -0.5} жесткого слоя

£ = — 0.5: р31

0 _

Подставляя разложения (20) в условия контакта (4), получаем на поверхности £12 = {£ = 0.5 — к}: раздела мягкого и жесткого слоев

£ = 0.5 —

-р3

Приравнивая в уравнениях равновесия (23), (24) члены при к 1 к нулю, а при остальных степенях от л- г,'(0) г,»(1) г„К2) ~ ,

К к некоторым величинам к , к , к , не зависящим от £ , (и поэтому совпадающим для жесткого и мягкого слоев), аналогично, приравнивая в граничных условиях (25)-(28) к нулю члены при разных степенях

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_

параметра к , после сборки соответствующих членов в разных уравнениях, получим рекуррентную последовательность локальных задач для мягкого и жесткого слоев.

Локальная задача нулевого приближения для жесткого слоя имеет вид

P33

ру{) = V

fKL(0) _ ¿KL uK(0) сLM FK3(0^ _ uK(1) F33(0) _ . 3(1) F3L(0) _ 3(0) cLM

F2 = д + UM д , F2 = U2/3 , F2 = 1 + U2/3 , F ß = UM д ,

0

4 = -0.5 : P23j(0) = 0, E12: P23j(0) = 0, < u2k(1) >2 = 0;

Локальная задача Lц первого приближения для мягкого слоя имеет вид

P3j(1) _ h'(0) -M/3 = п '

pvi 1) =

fKL

F1 =d + U,M д , F1 = U1/3 ,

33(0) 3(1) 3L(0) 3(0) LM

F1 = 1 + U1/3 F1 = U,M д

0

4 = 0.5: P3j (1) = 0, 212: uk (1) = u

2

Задачи -02 и Ьц связаны друг с другом за счет условия нормировки < и () > = о и решаются совместно.

Локальная задача первого приближения для жесткого слоя имеет вид

12

Р1У

1 2,1 +1 2/3 "

ру(1) _ А Тк10) ^ 2 Л2 Ы1 2 '

ТКЬ(1) _ иК(1)оЬЫ ТК3(1) _ иК(2) т330) - и3(2) Т3Ь(1) - и30)ЛЬЫ

1 2 М 2,Ы ° ' '2 М 2/3 ' ^ 2 М 2/3 ^ 2 М 2,Ы° '

о

% = —о.5: Р23у(1) = о, Е!2: Р23у(1) = р3у(1), < и2к(2) >2 = о;

Локальная задача второго приближения для мягкого слоя имеет вид

р1]

г1,1 + Г1/3 = "

р'у (2) = А'у Тк1 (1) 1 1 к1 1 7

J?KL

Г1 =u 1,M д > Л =м:

1/3 '

F133(1) = 1 + u32 F13 L(1) = u13M)dLM,

% = о.5: рр3у(2) = о, Е12: ик(2) = и2к(2).

Локальная задача Ь22 второго приближения для жесткого слоя имеет вид

pIj

1 2,I + 1 2/3 П

pij

1 2 = Л2 kr 2 + Л2 klmn 2 ^2

FKL

J2 = д + M2,M д ' J2 = M2/3 '

F33(2) i u3(3) F3L(2) _u3(3^LM

2 = i + W 2/3 J2 =M 2,Md '

0

4 = -0.5: P23j(2) = 0, 212: P23j(2) = рj(2), < u2k(3) >2 = 0;

Локальная задача L31 третьего приближения для мягкого слоя имеет вид

plj

Г1,1 ^ M/3 = ''

pij

1 = klr 1 T klmn 1 M

FKL

F1 = S + U1,M S , F1 = U1/3 ,

33(2) 3(3) 3L(2) 3(2) LM

F1 =1u1/(3) F1 () = uMs ,

0

^ = 0.5: P3J(3) = -pXJ(0), S12: uk(3) = uk(3).

Локальная задача L32 третьего приближения для жесткого слоя имеет вид

P1J(2) , P3J(3) _ hi(2) J 2,1 ^ J 2/3 = n

piJ

2 2 kl 2 2 klmn\ 2 2 2 2 /2 klmnsp 222

2 = о + м 2,М о ' 1 2 = м 2/3 '

р233<3) = 1 + и™ Р «3) = ,

0

£ = —0.5: р23^(3) = — р_Р231 (0), £12: р23 1 (3) = р31 (3), < и2к(4) >2 = 0;

Локальная задача четвертого приближения для мягкого слоя имеет вид

р1

Г\,1 + Г1/3 = п

ру

Г1 = М1 1 + Ытп\ 1 7 1 +7 1 7 1 / +

, АУ рЫ

+ Ыттр1 1 1 1 7 1 '

рК1

Г1 =а +и 1,м с , = и 1/3 ,

р33(3) _ ^ и3(4) р31(3) _ и3(3) о 1Ы

Г1 =1 + и 1/3 = и 1,м о ,

0

£ = 0.5: р31

и т. д. Здесь обозначены операции осреднения по толщине пластины

0.5—к 0.5

< и1

—0.5 0.5—к

1 05—к1 1 0.5

и2(1) =< и2(1) >2 = I и(1)С£ и1(1) =< и1(1) >1 = 1 | и1(1)С£

"1 —0.5 "1 0.5—к

Решением локальной задачи нулевого приближения (29) - являются функции и

(1) рк((0),р11 (0) , они

зависят от локальных координат £ и входных данных этой задачи - перемещений и) . Решением задачи

1 „,

функции и , Р , , р - неизвестные, а и , Р г ,р - входные данные и т.д.

Уравнения равновесия (32), (33) после введения функций к(0), к(1), к1 (2 , не зависящих от локальной лагранжевой координаты £, принимают вид

hi

и совпадают для жесткого и мягкого слоев.

Решение локальной задачи LQ2 нулевого приближения для жесткого слоя

Задача (29) является нелинейной, одномерной, в ней все функции зависят только от %, тогда можно найти формальное решение этой задачи. Интегрируя уравнения равновесия в системе (29), получаем, что

напряжения P2^(0) постоянны по толщине жесткого слоя : P2j0) = C = const, где C2 - постоянные

о

интегрирования. Из граничных условий % = —0.5 : (0) = 0, и £12 : P2 ^( ^ = 0 следует, что C21 = 0. ,

т.е.

р23 У

Из 3-го и 6-го уравнений системы (29) следует, что из 9 компонент градиента деформаций (о) от

с 1 грк 3

координаты % зависят только 3 компоненты г 2 , а остальные 6 - г 2 не зависят от % и совпадают с

Т7кЬ

компонентами осредненного градиента г

Т3

Тогда, подставляя (4о) в (39), с учетом 2-го уравнения в (29), получаем систему 3-х нелинейных алгебраических уравнений, которую можно рассматривать относительно 3-х компонент 3(о):

(п) _

. Формальное решение этой системы может быть представлено в виде

(п) _

Т2к 3

Поскольку ТкЬ - не зависят от %, то из (54) следует, что 3(о) также не зависят от %. Подставляя в формулу (41) выражение (4о), получаем систему 3-х обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

- ик

относительно перемещений "2 , которую легко интегрируем

(п) _ _

и2к

Плоскость % = — И / 2 является срединной плоскостью жесткого слоя, поэтому выражение

^ к (1) ^ (Л

удовлетворяет условию < «2 >2 = о .

После подстановки выражения (42) в определяющее соотношение системы (29), получаем

(п) (п) _ (п) (п) _ _ (п) _

рп 0) = р~ч

С учетом того, что компоненты Р2У(о) нулевые (уравнение (39)), в (43) ненулевых только 6 соотношений

(п) _

р1

, т^кЬ /лл\ г- И)У

зависящих от 6 компонент г . Ввиду того, что правая часть (44) не зависит от % , то и р не

ЫУ(о) Ш(о) _ ,,

зависит от %, поэтому Р2 — Р2 . В итоге получаем эффективные определяющие соотношения для жесткого слоя- соотношения (44).

Решение локальной задачи —ц первого приближения для мягкого слоя

Интегрируя уравнения равновесия в системе (30), получаем, что напряжения P^(1) в мягком слое зависят от координаты Ç : р31 (1) = C + Çh'(0), где Cf - постоянные интегрирования. Из граничных условий £ = 0.5: р31(1) = 0, следует, что С/ = —hh(0)/2 , т.е.

Рр1

Из 3-го и 6-го уравнений системы

Ff не зависят от координаты ç и совпадают с соответствующими компонентами осредненного

градиента деформации Fk , а от Ç зависят только 3 компоненты pk3

3

Тогда, подставляя (46) в (45), c учетом 2-го уравнения в (30), получаем систему 3-х нелинейных алгебраических уравнений, которую можно рассматривать относительно 3-х компонент pk3(0) :

1'\ 3/(7'J/l3("), l''kL ) = /71''"). где обозначена линейная функция от координаты £ : Р =(£-0.5)h' . Формальное решение этой системы может быть представлено в виде

(n) _

Fk 3

Подставляя в формулу (47) выражение (46), получаем систему 3-х обыкновенных линейных

дифференциальных уравнений относительно перемещений Щ ( ), которую легко интегрируем с учетом

0

V . „ k

граничного условия ^12 : Щ = Щ

ÎF (n) . —

' G,k

0.5-h 1 2 I0.5—h ^

k

Подставляя в (48) выражение (42) для Щ , получаем

(n) - 1 — h ci (n) - -

ukm =

1 —к+г

2 1 4 1£..... ^

После подстановки выражения (47) в определяющее соотношение системы (30), получаем

(п) (п) _ (п) (п) _ _

рн 1) =р~У

С учетом того, что компоненты р3 3 (1) имеют вид (45), то в (50) независимых соотношений только 6

(п) (п) _ _

рцт = р~и (0к5ркь^ркь^

Ввиду того, что правая часть (51) зависит от £ , то и р1(1) зависит от £

Решение локальной задачи р первого приближения для жесткого слоя

Аналогичным образом, решая задачу Ll2, находим компоненты градиента рк3

(п) _ _ (п) _ _

рКът = ош G2KKM

и напряжения

pij

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 2410-6070_

(п) _ (п) _ _

р

где обозначены функции

СЫ —

Ь23 =

0 = АУк з( 4_1)кА

Решение локальных задач £21 ¿22 второго приближения

Решение задачи для мягкого слоя имеет вид

где обозначены

С -(А' -А' (А_1)к А31 ) С -(А' —А' (А_1)к А31 ) 0> - А' (А_1)к

С13Ь = (Л1 3Ь Л1 к3(Л1 ) 1Л1 3ЬЛ С1КЬ = (Л1 КЬ Л1 к3(Л1 ) 1Л1 КЬ), 011 = Л1 кз(Л1 ) I

%

< Р5(1) >:%=—! РР5(1) ^%+< Р5(1) >1

о.5—И

т-^ЭЬ (1) 77-КЬ(1) , тт'кЬ £

а г 2 и г 2 являются функциями от г ,%

^««(Т-,%)=(¿Ы^)ЬА+ЛН ¿ЫНГ.г"мде"'

- 1

^»(г*,%) = + £ Н ¿Ы«Г,гкЬ,

2 * о.5—и

Выражение для напряжений Р '( ) Р2'( ) 2-го приближения жесткого и мягкого слоев имеет

следующий вид:

_ _ %

рр3У

о.5—И

_ _ %

р23'(2) = (И2 < р25(1) >2 +н < р5(1) >1)(% + о.5) — | р^

—о.5

Решение локальных задач ¿32третьего приближения

Для напряжений 3-го приближения из решения локальных задач получаем

_ _ %

рр3У

'2 ^ -1 2,I 2

о.5—И1 %

Р3 У (3)_.

: -(р— + Др(% + о.5))р3У(о) + (И < Р$2) >2 + Н < Р5(2) >1)(% + о.5) — |

—о5

Др = р+ — р—

где + - перепад давлений.

Осредненные уравнения равновесия

Осредненные уравнения равновесия (38), с учетом решения локальных задач, при значениях индекса У = 3 = 1,2 имеют вид

И2 <>2 +к<Р(1) > +к2(<Р(2) > —Дрг33(о)) +... = о Н2 <P2I3(0) >2 +к<Р\3(1) > +к2(<Р\3(2) > —Дрг33(0)) +... = о

Домножим теперь уравнения равновесия (23) и (24) на + / 2)  и проинтегрируем их по толщине, а затем сложим, тогда получим следующее вспомогательное уравнение:

h < «Pj(0) >2 +

+ k(( < >2 + h < (0) >1 +Ä2 < ^ >2 + h < ^(1) >l) +

+K2

+r3(h2 < >2 + h < «TP*(2) >i + h < «Pj(3) >2 + h < TP33(3) >1)+... = 0

Преобразуя интегралы в этом уравнении с учетом граничных условий из локальных задач (29)-(33) на поверхности раздела жесткого и мягкого слоев и условия на внешних поверхностях « = ±0.5 в этих же задачах, получаем

K(< «Pf(0) > - < P3J(1) >) + K2(< TP,(1) > - < P3J(2) >) +

+ K3

где обозначено среднее давление на пластину p = 0.5(p+ + p_ ).

Введем обозначения для усилий PJ , моментов M,j и левых QJ и правых Q * перерезывающих сил в пластине:

PlJ = h2 <P2*J(0) >2 +k<PlJ(1) >+k <Pu(2) >+... MlJ =k<P(0) >+K <ÇP,J(1) >+...

Ql = k <P3l(1) >+k <P3l(2) >+..., Qtl = h2 <P2l3(0) >2 +k<Pl3(1) >+k <Pl3(2) >+... тогда система осредненных уравнений (62)-(64) для пластины может быть записана в следующем виде

PJ - ApF3J

где Ap = К Ap и p = K2p . Это искомые осредненные уравнения равновесия многослойной пластины в отсчетной конфигурации.

Соотношение между левыми и правыми перерезывающими силами

Установим соотношение между правыми и левыми перерезывающими силами Q Ф Q . Используя соотношение между тензорами напряжений Коши T и Пиолы-Кирхгофа [7] P = (det F)F 1 -T , в силу симметрии тензора Коши, получаем, что всегда должно выполняться соотношение для тензоров P и F :

F - P = Pr - FT D о

В этом уравнении имеется только 3 независимых соотношения, которые имеют вид:

FlJPklô = FljPklô Pl 3 P3

jk jk . Для выражения напряжений через достаточно рассмотреть только 2

уравнения этой системы

F*KPK 3 + Fl 3p33 = F 33P3, + F 3KPK-1

Отсюда находим искомое соотношение

PK 3 =

Подставим в это соотношение асимптотические разложения (17) и (20) для жесткого и мягкого слоя,

К

тогда, с точностью до членов порядка получаем

PK 3 + KPK 3°) = ( F ~1(0))Kl (-Fl 3(°)( P33(0) + KP33(1)) +

+F 33

Осредняя (62) по всей толщине пластины с помощью операции (37) и принимая во внимание, что согласно (40) и (46), компоненты градиентов F31(0), а F^1 (0) для жесткого и мягкого слоев не зависят от

< PK3 > < PK3(1) >= (F-1(0))KI(- < F13(0)(P33<°) + ^P33«) > +

£ , получаем

+F33

и < F33(0)(P3(0) + ^P3J(1)) > следующим

Используя теорему о среднем значении, представим интеграл v '

образом

< F33

Z7(0)3^ _ 77(0)33/гг*\ e

где F* — F (£ ), ад* - некоторое значение координаты £

Подставляя (70) в (69) и используя обозначение (64) для усилий и перерезывающих сил получаем

, между правыми и левыми перерезывающими силами

искомую формулу

Q*K —

где обозначены поперечные усилия

PI —K< FI 3

Осредненные определяющие соотношения

Подставляя в (64) выражения (44), (51) и (55) для Pj(0) и PI(1), P^ , получаем

_ _ (n _ _ (n) (n) _ _

P1J — hF/(FkL) + <F(Gk(Äff,FkL),FkL) >1 +

_ (n) _ (n) _ _

+Kh2 < CjM GM

_ n _ _ _ (n) (n) _ _

M IJ — F;3{FkL)Kh2 < £ >2 +к\ <£F 1 (G1k (hf, FkL), FkL) >1 +

_ (n) _ (n) _ _

+к% < £(C|M G-2,m (FkN) + C2kM G2KM (FkNm + h1 /2) - Ф^ (£ + 0.5)) >2 осредненные определяющие соотношения для пластины. Замкнутая осредненная система уравнений для всей пластины Система уравнений (65), (71), (73) вместе с кинематическими соотношениями

FKL(0) _ <?KL UK(0) оLM F3L(0) _ U 3(0) oLM

2 О +11M О , Г ß и M О ,

к(0) 3(0) s^I тт-1 „

является замкнутой относительно 5 неизвестных: U U Q , зависящих от координат X . Это

и есть искомая система уравнений механики нелинейно-упругих тонких пластин с мягким покрытием, которая обобщает уравнения теории тонких пластин типа Кирхгофа-Лява на случай конечных деформаций. Выводы

С помощью метода асимптотического осреднения, примененного к уравнениям трехмерной нелинейной теории упругости с конечными деформациями, для двухслойной пластины, состоящей из жесткого слоя и мягкого покрытия, путем введения допущения о малости упругих характеристик покрытия по сравнению с характеристиками несущего жесткого слоя пластины, получены осредненные двумерные уравнения, обобщающие уравнения теории тонких пластин типа Кирхгофа-Лява.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-19-00847). Список использованной литературы:

1. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. 1983. 488 с.

2. Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин// Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. Т.20, № 2. С.260-282.

3. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой//Математическое моделирование и численные методы. 2014. № 1. C.36-57.

4. Yu.I. Dimitrienko, I.D. Dimitrienko Asymptotic Theory for Vibrations of Composite Plates// Applied

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №12-4/2016 ISSN 2410-6070_

Mathematical Sciences, 2016, № . Vol. 10, no. 60, pp. 2993-3002 HIKARI Ltd, www.m-hikari.com https://doi.org/10.12988/ams.2016.68231

5. Димитриенко Ю.И. Моделирование нелинейно-упругих характеристик композитов с конечными деформациями методом асимптотического осреднения//Известия ВУЗов. Машиностроение. 2015. № 11. с.68-77.

6. Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Д.Ю. Кольжанова Моделирование слоистых композитов с конечными деформациями методом асимптотической гомогенизации// Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 5(29). URL: (http://engjournal.ru/catalog/msm/pmcm/1405.html DOI: 10.18698/2308-6033-2015-5-1405

7. Dimitrienko Yu.I. Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Springer. 2010. 722 p.

8. Димитриенко Ю.И. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды /Механика сплошной среды.Т.2. Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2011. 560 с.

©Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Алешина А.С., 2016

УДК 539.3

Димитриенко Ю.И., д.ф.-м.н., профессор Губарева Е.А., к.ф.-м.н., доцент Шурпо А.А., магистрант Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана,

г.Москва, Российская Федерация

ЯВНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ВСЕХ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ В ТОНКИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, ПОЛУЧЕННЫЕ НА ОСНОВЕ

МЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ОСРЕДНЕНИЯ

Аннотация

Представлены соотношения в явной аналитической форме для всех шести компонент тензора напряжений в тонкой многослойной упругой цилиндрической оболочке, в виде зависимости от деформаций, искривлений срединной поверхности оболочки, а также их производных по продольным координатам. Полученные формулы позволяют рассчитывать все распределения компонент тензора напряжений по толщине в цилиндрической оболочке после того, как найдено решения двумерной задачи теории оболочек Кирхгофа-Лява. Формулы для напряжений являются асимптотически точными, поскольку получены из трехмерных уравнений теории упругости без каких либо допущений о характере распределения перемещений и напряжений по толщине оболочки.

Ключевые слова

Метод асимптотической гомогенизации, многослойные цилиндрические оболочки, тензор напряжений, оболочки Кирхгофа-Лява, касательные напряжения, поперечные напряжения

Dimitrienko Yu.I.,

Doctor of Science ( Phys@Math), professor,

Gubareva Е.А., Ph.D (Phys@Math), associate professor, Shurpo А.А., Post-graduator,

Bauman Moscow State Technical University

EXPLICITE FORMULAE FOR SIX STRESS TENSOR COMPONENTS IN THIN CYLINDRICAL SELLS ON THE BASE OF HOMOGENIZATION METHOD

Abstract

Ratios presented in a compact closed form for all six components of the stress tensor in a thin multilayer elastic