Алгебраический криптоанализ однораундового S-AeS

раскрытия. Трудоемкость механизма отзыва инкапсулируется внутри группы и не делегируется третьей стороне по отношению к группе, а следовательно, и к организации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев П. Н., Артамонов А. В., Маховенко Е. Б. Классификационная схема групповых подписей для построения распределенных приложений // Научно-технические ведомости СПбГПУ. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2010. С. 71-77.

2. Shacham H. New paradigms in signature schemes // http://hovav.net/dist/thesis.pdf,

2005.

3. Delerablee C. and Pointcheval D. Dynamic fully anonymous short group signatures // LNCS.

2006. V. 4341. P. 193-210.

4. Bellare M., Shi H., and Zang C. Foundations of group signatures: the case of dynamic groups // LNCS. 2005. V. 3376. P. 136-153.

5. Shacham H. A Cramer —Shoup encryption scheme from the linear assumption and from progressively weaker linear variants // http://eprint.iacr.org/2007/074.pdf.

УДК 519.7

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИПТОАНАЛИЗ ОДНОРАУНДОВОГО S-AES1

Р. И. Воронин

Advanced Encryption Standard (AES) — симметричный алгоритм блочного шифрования, принятый в США в качестве стандарта шифрования. AES проектировался как алгоритм, который может эффективно противостоять различным методам криптоанализа. Но в 2002 г. Николя Куртуа и Йозеф Пипджик высказали предположение о возможности алгебраической атаки на шифры с подобной AES структурой [1]. Алгебраическая атака нацелена на анализ уязвимости в математических частях алгоритма и использование его внутренних алгебраических структур. Однако об эффективности такой атаки мало что известно.

В работе исследуется применимость алгебраической атаки к упрощенному варианту S-AES, разработанному в [2]. Длина шифруемого блока и ключа равна 16 битам. Число раундов шифрования равно двум. Для анализа используются соотношения, подобные тем, которые получены в [1] для AES. Точнее, для S-блоков шифра выполнено

Vx = 0 1 = x * y,

Vx x = y * x2,

z = Ay ф b,

где x, z — входной и выходной векторы S-блока длины 4; y — обратный вектор к x в поле GF(24) с порождающим многочленом А4 + А + 1; A — некоторая фиксированная матрица и b — фиксированный вектор. С помощью данных уравнений строится система относительно битов открытого текста р, шифртекста c и ключа шифрования k, полностью описывающая процесс шифрования однораундового S-AES:

15 15 15 15 15 15

aijmpicj ф aijmpikj ф aijmkicj ф aijmkikj ф fîimpi ф ^imki ф Tm — °

i,j=0 i,j=0 i,j=0 i,j=0 i=0 i=0

где m = 0,... , 31; aijm,eim,Ym ^ {0,1} определяются только структурой шифра и не зависят от выбранных значений р, c, k.

1 Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект №11-01-00997).

По сравнению с ранее предложенными в [1, 3, 4] атаками, наш подход отличается использованием двух различных пар открытых текстов/шифртекстов (p,c) и (p/,c/) при одном и том же ключе k, что позволяет получить систему из небольшого числа уравнений, а именно

15 15 15 15

Y aijm(pi©p'i)(cj0cCj) 0 Y aijm(pi0pi)kj0 Y ajmh(cj 0cCj) 0 Y вт(pi0pi) = 0, (1) i,j=0 i,j=0 i,j=0 i=0

m = 0,... , 31, которая является линейной относительно неизвестных битов ключа. Система содержит 32 уравнения с 16 неизвестными.

Будем говорить, что вектор длины 16 обладает дефектом, если при разбиении его на четыре подвектора длины 4 хотя бы один из них является нулевым.

Теорема 1. Пусть ключ k случаен и фиксирован. Тогда верны предложения:

(i) При случайном равновероятном выборе открытых текстов p, p/ система уравнений (1) непротиворечива с вероятностью 0,6074.

(ii) При фиксированном p/, таком, что p/ 0 k не имеет дефекта, и случайном равновероятном выборе открытого текста p система уравнений (1) непротиворечива с вероятностью 0,7725.

Однако непротиворечивость системы еще не означает существования единственного решения. Использование столь небольшого количества уравнений позволяет в конкретных случаях проанализировать фактическую эффективность алгебраической атаки. Например, для ключа k = 1010111111001000 и p/ = 0110010101010101 найдено 44 747 (68,28%) открытых текстов p, таких, что система (1) имеет единственное решение — ключ k.

Ранее анализ упрощенного варианта AES проводился в [3, 4]. В [3] для анализа слегка измененного S-AES используются соотношение (15) и соотношения, полученные с помощью таблицы истинности S-блоков. В общей сложности один раунд шифра описывается системой из 150 уравнений с 24 переменными. После преобразования системы к линейному виду она содержит 3600 уравнений с 2324 неизвестными. Для проанализированной в [3] пары открытого текста и шифртекста алгоритм выдаёт в качестве решения 4 ключа, любой из которых является подходящим для данной пары.

В [4] проведён анализ шифра, аналогичного S-AES, с S-блоками по 3 бита. Анализ заключается в переборе всех 4194 304 возможных квадратичных уравнений относительно переменных S-блока, выборе тех из них, которые выполняются при всех значениях входных битов S-блока и битов выхода. Найдена система из 16 383 линейно зависимых уравнений. Из неё выбрана некоторая более удобная для анализа подсистема. После преобразования подсистемы к линейному виду получена система из 392 уравнений с 164 неизвестными. В [4] приводится её решение.

Система относительно двухраундового S-AES содержит 96 квадратичных уравнений с 32 неизвестными. Использование двух различных пар открытых текстов/шифр-текстов сокращает количество мономов с 232 до 160, что позволяет более эффективно применять методы, разработанные для подобных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Courtois N. and Pieprzyk J. Cryptanalysis of Block Ciphers with Overdefined Systems of

Equations // LNCS. 2002. V.2501. P. 267-287.

2. Mohammad M., Edward S., and Stephen W. A simplified AES algorithm and its linear and

differential cryptanalyses. // Cryptologia. 2003. No. 27. P. 148-177.

3. Kleiman E. The XL and XSL attacks on Baby Rijndael // Ms. Thesis. Iowa SU, USA, 2005.

4. Бабенко Л. К., Маро Е. А. Алгебраический анализ упрощенного алгоритма шифрования

Rijndael // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Информационная

безопасность». Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. №11 (100). С. 187-199.

УДК 512.62

ДИОФАНТОВОСТЬ ДИСКРЕТНОГО ЛОГАРИФМА

С. Ю. Ерофеев

Дискретный логарифм является важным математическим понятием в криптографии. Существует множество криптографических протоколов, основанных на трудности его нахождения. Достаточно упомянуть протокол разделения секретного ключа Диффи и Хеллмана, протоколы Масси — Омуры и Эль Гамаля. Многие протоколы аутентификации и цифровые подписи также имеют в основе дискретный логарифм.

Цель данной работы — дать представление дискретного логарифма в Zp как ди-офантова множества, а также выписать явное представление соответствующего дио-фантова многочлена. Тогда проблема нахождения дискретного логарифма будет эквивалентна проблеме нахождения решения диофантова многочлена. Поскольку по знаменитой теореме Ю. В. Матиясевича (решение 10-й проблемы Гильберта) проблема существования решения произвольного диофантова уравнения алгоритмически неразрешима [1-3], указанная задача вычислительно трудна.

Определение 1. Множество S Ç Zn является диофантовым, если существует многочлен D с целыми коэффициентами, такой, что

(ai,...,an) Є S 3xb... ,xm {D(ai,... ,an,xi,... ,xm) = 0}.

Определение 2. Функция f : Zn ^ Z является диофантовой, если ее график Г/ = {(f (b1,... , bn), b1,... , bn) : (b1,... , bn) Є dom f} является диофантовым множеством.

Теорема 1. Пусть даны i,p,n Є N, p простое. Тогда если следующая система уравнений имеет решение в натуральных числах в оставшихся аргументах, то nk = i (mod p):

x2 — (a2 — 1)y2 = 1,

u2 — (a2 — 1)v2 = 1,

s2 — (b2 — 1)t2 = 1,

v2 2 = ry2.

b = 1 + 4yo = a + qu, s = x + cu,

< t = k + 4(d — 1)y, y = k + e — 1,

(x — y(a — n) — m)2 = (f — 1)2(2an — n2 — 1)2,

m + g = 2an — n2 — 1,

w = n + h = k + /,

a2 — (w2 — 1)(w — 1)2z2 = 1,

^m = i + pj.