Вычисление характеристик гистерезисного трения в закритически сжатом элементе переменного поперечного сечения

ВЕСТНИК

МГСУ-

УДК 534.1

В.А. Смирнов

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ГИСТЕРЕЗИСНОГО ТРЕНИЯ В ЗАКРИТИЧЕСКИ СЖАТОМ ЭЛЕМЕНТЕ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Предложен метод вычисления коэффициента потерь в корректоре жесткости виброизолятора квазинулевой жесткости, предназначенного для виброизоляции высокоточного оборудования от низкочастотных колебаний основания. Корректор жесткости представляет собой балку переменного поперечного сечения с начальной кривизной, нагруженной в середине поперечной нагрузкой. Начальная кривизна балки определяется из решения задачи осевого деформирования балки переменного поперечного сечения при нагрузке, превышающей критическую эйлерову силу. Коэффициент потерь в материале корректора жесткости определяется в соответствии с энергетической теорией, разработанной Я.Г. Пановко. Для этих целей определяется форма упругой оси корректора жесткости, нагруженного поперечной силой, а также потенциальная энергия изгиба балки корректора, соответствующая этому состоянию. Путем деления приведенного коэффициента поглощения материала корректора жесткости на потенциальную энергию его изгиба определяется величина коэффициента потерь для различных типов поперечных сечений балок корректора. Для определения приведенного коэффициента потерь материала корректора жесткости проводятся опытные эксперименты, в которых путем аппроксимации виброграммы затухающих колебаний определяются коэффициенты аппроксимирующей функции.

Ключевые слова: виброизоляция, коэффициент потерь, сжато-изогнутый стержень, большие деформации, гистерезисное трение, внутренние потери, рес-сорно-пружинная сталь, корректор жесткости, энергетическая теория.

В статье предлагается метод вычисления коэффициента потерь корректора жесткости виброизолятора квазинулевой жесткости, предназначенного для защиты высокоточного оборудования от низкочастотных колебаний основания. Расчетная схема корректора жесткости виброизолятора, разработанная в [1, 2], приведена на рис. 1.

Корректор жесткости по рис. 1 представляет собой балку с начальной поги-бью, нагруженную в середине массой т. Начальная погибь балки образована за счет деформирования первоначально прямолинейного стержня осевыми силами Р, превышающими критическую эйлерову силу.

Как известно из теории виброизоляции [3, 4] для борьбы с резонансными колебаниями в систему необходимо вводить демпфирование, рассеивающее энергию колебаний. Наиболее широко применяемыми в практике проектирования виброзащитных систем являются жидкостные демпферы [5], в которых за счет гидравлических потерь в специальных клапанах происходит снижение

Рис. 1. Расчетная схема корректора жесткости

амплитуд колебаний. Сочетая в себе простоту в эксплуатации и расчете, жидкость в таких системах со временем высыхает, а при отсутствии должного контроля вытекает через неплотности или повреждения конструкции [6]. Однако одними из основных недостатков жидкостных демпферов принято считать увеличение амплитуд колебаний в зарезонасной области. Частично эту проблему устраняют активные демпферы, в которых предусматривается механизм обратной связи с акселерометром, способным изменять вязкость жидкости по специальной программе [7].

В работах Коловского, Бидермана, Писаренко и Ривина [4, 8—10] указывается, что наилучшими характеристиками потерь обладает гистерезисное или внутреннее трение в материале колеблющейся системы. Одним из основных преимуществ гистерезисного трения перед вязким является возможность снижения как резонансных, так и зарезонансных колебаний виброизолируемой системы. К сожалению, до сих пор не создано адекватной математической модели, учитывающей гистерезисное трение в материале конструкции. Широко применяемые модели Фохта, Максвелла или Пойтинга — Томпсона непосредственно непригодны для решения задач о колебаниях тел с гистерезисным трением. В [4, 10] было отмечено, что любая модель вязкоупругого тела имеет существенную зависимость площади петли гистерезиса от частоты процесса циклического деформирования. При этом эксперименты показывают, что у реальных материалов такая связь отсутствует в весьма широком диапазоне значений амплитуд напряжений. Как показали опыты, площадь петли гистерезиса остается практически неизменной вне зависимости от скорости процесса циклического деформирования.

Как показывают результаты исследований, описанные в [11—13], при увеличении нагрузки на центрально нагруженный стержень свыше критической эйлеровой силы в нем происходит резкое увеличение гистерезисных потерь. Однако [11, 12] не подкреплены экспериментальными данными. В [13, 14] определяется коэффициент потерь для сжатых стержней различного поперечного сечения. При этом при изменении формы поперечного сечения набор испытаний приходится проводить заново. Таким образом, для инженерных расчетов необходимо иметь относительно простую и точную методику определения коэффициента потерь в сжато-изгибаемых элементах различного переменного поперечного сечения.

Воспользуемся для этих целей энергетической теорией Пановко, разработанной им в [15]. В ней фундаментальное значение имеет следующий опытный факт: энергия ¥0, рассеиваемая за цикл в единице объема данного материала, зависит только от амплитудного значения е0 деформации. Обычно вместо рассеиваемой энергии ¥0 используется ее безразмерная величина, называемая коэффициентом поглощения и равная отношению к наибольшей потенциальной энергии цикла: 2^ 0

То =

Коэффициент поглощения, как правило, зависит от амплитудного значения деформации е0. Кривизна оси балки в состоянии наибольшего отклонения определяется приближенным выражением

ВЕСТНИК

Х = А

Л

ёх2

где ^(х) — форма колебаний балки; А — ее амплитудное значение. На основании закона Гука и выражения (2) можно получить [16]

)

ё2 w

ёх

Следуя методике, представленной в [15], дальнейшие выкладки опираются на конкретный вид зависимости (о0) для материала. Различные способы задания функции (<з0) широко рассмотрены в [15, 17, 18]. Будем использовать следующую зависимость:

^0 = Р<,

где в и п — постоянные материала.

Получить зависимость (4) возможно из результатов анализа огибающей и дальнейшей аппроксимации экспериментальной кривой затухающих колебаний образца [15, 18]. На рис. 2, а приведена экспериментальная установка для определения характеристик внутреннего трения в материале корректора жесткости — стали 65 Г.

а б

Рис. 2. Общий вид экспериментальной установки

В ходе эксперимента в образце возбуждались колебания фиксированной амплитуды и с помощью акселерометра записывалась виброграмма затухающих колебаний. Серия из шести испытаний проводилась для четырех различных величин начальных амплитуд. Опытная виброграмма аппроксимировалась зависимостью вида (4) и определялись, в соответствии с методикой [15], величины параметров в и п для материала.

В соответствии с (4) формула (1) примет вид ш

УоК) = П = 2Р£аГ,

по

_2

где П 0 = -£

2Е

представляет собой удельную потенциальную энергию в состоянии наибольшего деформирования [16]. Чтобы найти всю рассеиваемую за цикл энергию,

подставим в выражение (4) напряжение о0 данное соотношением (3) и проинтегрируем результат по всему объему. Получим

Y = Jy 0 dV = p(£A)"+1 J * j

V 0

l

где J * = J (n) = JJ

d2 w

dx

dx,

\y\n+l dFdx.

Важно отметить, что фигурирующее в правой части выражение зависит не только от свойств материала — коэффициентов в и п, но и от конструкции в целом и, более того, от возбужденной формы колебаний. Для того чтобы получить приведенный коэффициент поглощения нужно выражение (7) разделить на потенциальную энергию балки, относящуюся к состоянию крайнего отклонения от положения равновесия. В нашем случае оно имеет вид [16]

П = -2

1 i 2 J

EF

dx

dw dx

EI

( d2 w ^

dx

где и(х) — горизонтальные смещения точек балки до и после деформации; Е(х) и 1(х) — функция изменения, соответственно, площади поперечного сечения и момента инерции вдоль длины балки.

После деления на получим приведенный коэффициент поглощения для всей балки корректора. Коэффициент поглощения, как правило, зависит от свойств материала — константы Е, в, п; рассматриваемой формы колебаний, которая определяется видом производной функции ^(х); геометрических характеристик поперечного сечения корректора — функции Е(х) и 1(х); а также от амплитуды колебаний А, входящей в выражение (7). Форма колебаний балки корректора совпадает с кривой статического изгиба от сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета, которая определялась в соответствии с [19].

В ней представлены результаты расчетов гистерезисных потерь для стержней постоянного и переменного поперечного сечений. На рис. 3 в безразмерном виде построены кривые у-А для балки корректора жесткости с линейно изменяющейся шириной, где п — отношение ширины противоположных концов балки корректора.

*ю!

:

О 0,5 I 1,5 2 2,5 3 3.5 А 4,5 5 А к10!

а б

Рис. 3. Зависимость коэффициента потерь от амплитуды: а — ns = 1; б — ns = 1,5

ВЕСТНИК

МГСУ-

На рис. 4 в безразмерном виде построены кривые у - А для балки корректора жесткости с шириной поперечного сечения, изменяющегося по закону квадратной параболы. Вид поперечного сечения изображен на рис. 4 над графиком.

О 0,5 ] 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 А *Ш5

б

Рис. 4. Зависимость коэффициента потерь от амплитуды

Анализ результатов расчетов показывает, что наибольшим коэффициентом поглощения обладает балка с симметричным переменным поперечным сечением, изображенная на рис. 4, а. Наименьшим коэффициентом поглощения — балка с кососимметричным сечением на рис. 4, б. Можно также отметить, что коэффициент поглощения оказывается большим у тех балок, площадь сжатой зоны в которых оказывается больше. Так, кососимметричные балки обладают меньшей площадью сжатой зоны вследствие разных размеров концов, участок балки с меньшим поперечным сечением оказывается больше нагружен сжимающей силой. При этом симметричные сечения имеют более равномерное распределение сжимающих нагрузок по своей длине. Хотя переменное косо-симметричное поперечное сечение балок обладает меньшим коэффициентом поглощения, жесткостные характеристики таких балок могут оказаться более удобными для некоторых приложений. В таком случае синтез наилучшей системы виброзащиты будет представлен оптимизационной задачей, в которую характеристики демпфирования можно взять из представленных расчетов. Это является практически значимой задачей при расчетах сложных виброзащитных систем высокоточного оборудования [20].

Энергетическая модель для определения внутреннего трения в балках позволяет учитывать не только свойства материала балки, но и особенности ее закрепления и работы. Для данного расчета не требуется многочисленных экспериментальных исследований, что является несомненным плюсом указанного подхода. Представленный метод позволяет определить величину коэффициента поглощения в корректоре жесткости виброизолятора для любой его формы и размеров, что предоставляет инженеру простой и эффективный метод при вариантном проектировании виброзащитных систем.

Библиографический список

1. Смирнов В.А. Нелинейный виброизолятор для целей кинематической виброзащиты объектов, чувствительных к вибрации // Вестник МГСУ 2011. Т. 1. № 3. С. 107—112.

2. Смирнов В.А. Разработка нелинейных виброзащитных систем нового поколения // Итоги диссертационных исследований : матер. III Всеросс. конкурса молодых ученых. Миасс, 2011. С. 122—128.

3. Crandall S.H. The role of damping in vibration theory // Journal of sound and vibration. 1970. Vol. 11. No. 1. Pp. 3—18.

4. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М. : Наука, 1966. 320 с.

5. Рекомендации по виброзащите несущих конструкций производственных зданий / Центр. н.-и. и проект.-эксперим. ин-т комплекс. пробл. строит. конструкций и сооружений им. В. А. Кучеренко. М. : ЦНИИСК, 1988. 217 с.

6. Miyamoto H.K., Gilani A.S.J., Wada A., Ariyaratana C. Limit states and failure mechanisms of viscous dampers and the implications for large earthquakes // Earthquake engineering & structural dynamics. 2010. Vol. 39. No. 11. Pp. 1279—1297.

7. Бригаднов И.А. Модель активного демпфера на основе магниточувствительных материалов. Проблемы машиноведения и машиностроения // Межвуз. сб. Вып. 39. СПб. : СЗТУ 2009. С. 51—57.

8. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М. : Высш. шк., 1972. 400 с.

9. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. Киев : АН Укр. ССР, 1962. 436 с.

10. Rivin E.I. Passive vibration isolation. N.Y. : ASME Press, 2003. 426 p.

11. Юрьев Г.С. Состояние совершенной неупругости твердого тела // Изв. СО АН СССР : сер. техн. науки. 1988. № 11. С. 101—105.

12. Родионов А.И., Юрьев Г.С. Об аномальном росте гистерезисных потерь в продольно-сжатых элементах стержневых виброизоляторов при стремлении сжимающих к критическому значению // Вопросы динамики механических систем : сб. науч. тр. / Но-восиб. эл.-тех. ин-т ; отв. ред. Г.С. Мигиренко. Новосибирск : НЭТИ, 1989. С. 107—112.

13. Liang Dong, Roderic Lakes. Advanced damper with high stiffness and high hysteresis damping based on negative structural stiffness // International Journal of Solids and Structures. 2013. Vol. 50. Pp. 2416—2423.

14. Audenino A.L., Calderale P.M. Measurement of non-linear internal damping in metals: processing of decay signals in a uniaxial stress field // Journal of sound and vibration. 1996. Vol. 198. No. 4. Pp. 395—409.

15. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М. : Физмат-гиз, 1960. 198 c.

16. Baker W.E., Woolam W.E., Young D. Air and internal damping in thin cantilever beams // Int. J. Mech. Sci. 1967. Vol. 9. No. 11. Pp. 743—766.

17. Mondrus V.L., Smirnov V.A. Application of energy method for determining loss factor in dynamic systems with hysteretic damping // Applied materials research. 2014. Vols. 580—583. Pp. 2978—2982.

18. Wai-Fah C., Atsuta T. Theory of beam — columns. Vol. 1: In-Plane behavior and design. N.Y. : J. Ross Publishing, 2008. 513 p.

19. Смирнов В.А. Метод расчета сжатого изгибаемого упругого элемента переменного поперечного сечения при больших перемещениях // Жилищное строительство 2014. № 6. C. 53—55.

20. Мондрус В.Л., Смирнов В.А. Численное моделирование нелинейной системы виброзащиты трансмиссионного электронного микроскопа // ACADEMIA. Архитектура и строительство. 2012. № 3. C. 125—128.

ВЕСТНИК лцчплл

МГСУ_12/20^4

Поступила в редакцию в ноябре 2014 г.

Об авторе: Смирнов Владимир Александрович — аспирант кафедры строительной механики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, belohvost@list.ru.

Для цитирования: Смирнов В.А. Вычисление характеристик гистерезисного трения в закритически сжатом элементе переменного поперечного сечения // Вестник МГСУ 2014. № 12. С. 98—105.

V.A. Smirnov

HYSTERESIS DAMPING CHARACTERISTICS CALCULATION IN AN OVERCRITICALLY COMPRESSED MEMBER WITH VARIABLE CROSS SECTION

The article focuses on calculating the loss factor in the stiffness corrector of quasi-zero stiffness vibration isolator, designed for precision equipment vibration isolation from low-frequency base vibrations. Stiffness corrector is a beam with a variable cross-section and an initial curvature loaded in the middle with the transverse load. The initial curvature of the beam is determined by solving the problem of the axial deformation of the beam of variable cross-section with an axial load exceeding the critical Euler force. The loss factor of the stiffness corrector's material is determined in accordance with Panovko energy theory. For these purposes, the elastic shape of the stiffness corrector loaded with transverse force is calculated and potential energy of the corrector, which corresponds to the prescribed elastic shape, is obtained. Loss factor is calculated by dividing the absorption coefficient of the stiffness corrector material by its potential energy for various types of cross-sections of corrector's beams. Determination of stiffness corrector's material loss factor is performed through several experimental investigations, in which the coefficients of the approximating function are obtained via approximation of specimen of damped oscillations.

Key words: vibration isolation, loss factor, beam column, large deformations, hysteresis damping, internal friction, spring steel, stiffness corrector, energy theory.

References

1. Smirnov V.A. Nelineynyy vibroizolyator dlya tseley kinematicheskoy vibrozashchity ob"ektov, chuvstvitel'nykh k vibratsii [Nonlinear Vibration Isolator for Kinematic Isolation of High-Sensitive Equipment]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, vol. 1, no. 3, pp. 107—112.

2. Smirnov V.A. Razrabotka nelineynykh vibrozashchitnykh sistem novogo pokoleniya [Development of Nonlinear Vibration Isolation Systems of the New Generation]. Itogi disser-tatsionnykh issledovaniy: materialy III Vserossiyskogo konkursa molodykh uchenykh [Materials of the 3rd All-Russian Contest of Young Scientists "Results of PhD Researches"]. Miass, 2011, pp. 122—128.

3. Crandall S.H. The Role of Damping in Vibration Theory. Journal of Sound and Vibration. 1970, vol. 11, no. 1, pp. 3—18. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-460X(70)80105-5.

4. Kolovskiy M.Z. Nelineynaya teoriya vibrozashchitnykh system [Nonlinear Theory of Vibration Isolation Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 320 p.

5. Rekomendatsii po vibrozashchite nesushchikh konstruktsiy proizvodstvennykh zdaniy. [Recommendations on Vibration Protection of Bearing Structures of Industrial Buildings]. Tsentral'nyy nauchno-issledovatel'skiy i proektno-eksperimental'nyy institut kompleksnykh problem stroitel'nykh konstruktsiy i sooruzheniy imeni V. A. Kucherenko [Central Research and Experimental Design Institute of Complex Problems of Building Structures and Constructions named after V.A. Kucherenko]. Moscow, TsNIISK Publ., 1988, 217 p.

6. Miyamoto H.K., Gilani A.S.J., Wada A., Ariyaratana C. Limit States and Failure Mechanisms of Viscous Dampers and the Implications for Large Earthquakes. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2010, vol. 39, no. 11, pp. 1279—1297. DOI: http://dx.doi. org/10.1002/eqe.993.

7. Brigadnov I.A. Model' aktivnogo dempfera na osnove magnitochuvstvitel'nykh materi-alov [The Model of Active Damper Based on Magnetosensitive Materials]. Problemy mashino-vedeniya i mashinostroeniya. Mezhvuzovskiy sbornik [Problems of Mechanical Engineering and Machine Science. Interuniversity Proceedings]. No. 39, Saint Petersburg, SZTU Publ., 2009, pp. 51—57.

8. Biderman V.L. Prikladnaya teoriya mekhanicheskikh kolebaniy [Applied Theory of Mechanical Vibrations]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1972, 400 p.

9. Pisarenko G.S. Rasseyanie energii pri mekhanicheskikh kolebaniyakh [Dissipation of Energy by Mechanical Vibrations]. Kiev, AN Ukrainskoy SSR Publ., 1962, 436 p.

10. Rivin E.I. Passive Vibration Isolation. N.Y., ASME Press, 2003, 426 p.

11. Yur'ev G.S. Sostoyanie sovershennoy neuprugosti tverdogo tela .[State of Perfect Inelasticity of Solids]. Izvestiya SO AN SSSR: seriya tekhnicheskie nauki [News of the Academy of Sciences of the USSR : Technical Sciences Series]. 1988, no. 11, pp. 101—105.

12. Rodionov A.I., Yur'ev G.S. Ob anomal'nom roste gisterezisnykh poter' v prodol'no-szhatykh elementakh sterzhnevykh vibroizolyatorov pri stremlenii szhimayushchikh k krit-icheskomu znacheniyu [Anomalous Growth of the Hysteresis Loss in Longitudinally Compressed Elements of Vibration Isolators when Compressing above The Critical Value]. Voprosy dinamiki mekhanicheskikh sistem : sbornik nauchnykh trudov. Novosibirskiy elek-trotekhnicheskiy institut [Questions of Dynamics of Mechanical Systems : Collection of Scientific Articles. Novosibirsk State Electrotechnical Institute]. Novosibirsk, NETI Publ., 1989, pp. 107—112.

13. Liang Dong, Roderic Lakes. Advanced Damper with High Stiffness and High Hysteresis Damping Based on Negative Structural Stiffness. International Journal of Solids and Structures. 2013, vol. 50, pp. 2416—2423.

14. Audenino A.L., Calderale P.M. Measurement of Non-Linear Internal Damping in Metals: Processing of Decay Signals in a Uniaxial Stress Field. Journal of Sound and Vibration. 1996, vol. 198, no. 4, pp. 395—409. DOI: http://dx.doi.org/10.1006/jsvi.1996.0578.

15. Panovko Ya.G. Vnutrennee trenie pri kolebaniyakh uprugikh system [Internal Friction in Oscillations of Elastic Systems]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960, 198 p.

16. Baker W.E., Woolam W.E., Young D. Air and Internal Damping of Thin Cantilever Beams. Int. J. Mech. Sci., 1967, vol. 9, no. 11, pp. 743—766. DOI: http://dx.doi. org/10.1016/0020-7403(67)90032-X.

17. Mondrus V.L., Smirnov V.A. Application of Energy Method for Determining Loss Factor in Dynamic Systems with Hysteretic Damping. Applied Materials Research. 2014, vols. 580—583, pp. 2978—2982. DOI: http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMM.580-583.2978.

18. Wai-Fah C., Atsuta T. Theory of Beam — Columns. Vol. 1: In-Plane Behavior and Design. N.Y., J. Ross Publishing, 2008, 513 p.

19. Smirnov V.A. Metod rascheta szhatogo izgibaemogo uprugogo elementa peremen-nogo poperechnogo secheniya pri bol'shikh peremeshcheniyakh [A Method for Calculating a Flexible Beam-column with Variable Cross Section in Case of Large Displacements]. Zhil-ishchnoe stroitel'stvo [Housing Construction]. 2014, no. 6, pp. 53—55.

20. Mondrus V.L., Smirnov V.A. Chislennoe modelirovanie nelineynoy sistemy vibroza-shchity transmissionnogo elektronnogo mikroskopa [Numerical Simulation of Nonlinear Vibration Isolation System for Electrone Microscope]. ACADEMIA. Arkhitektura i stroitel'stvo [ACADEMIA. Architecture and Construction]. 2012, no. 3, pp. 125—128.

About the author: Smirnov Vladimir Aleksandrovich — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU),

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; belohvost@list.ru.

For citation: Smirnov V.A. Vychislenie kharakteristik gisterezisnogo treniya v zakritiches-ki szhatom elemente peremennogo poperechnogo secheniya [Hysteresis Damping Characteristics Calculation in an Overcritically Compressed Member with Variable Cross Section]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 12, pp. 98—105.