Решетка мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Гутлянский В. Я. О некоторых классах однолистных аналитических функций // Теория функций и отображений, Киев: Наук, думка, 1979, Т. 194, С, 85-87,

2, Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов в подклассах однолистных функций // Выч, методы и программирование, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1985. С. 55-64.

3, Васильев А.Ю. Взаимное изменение начальных коэффициентов однолистных функций // Мат. заметки. 1985. Т. 38, №1. С. 56-65.

УДК 519.4, 519.8

В.В. Розен

РЕШЕТКА МАЖОРАНТНО СТАБИЛЬНЫХ ПОДМНОЖЕСТВ УПОРЯДОЧЕННОГО МНОЖЕСТВА

1. Напомним, что подмножество упорядоченного множества называется мажорантно стабильным, если вместе с каждым элементом оно содержит и больший его элемент. Пусть < А, и > - упорядоченное множество. Отображение, которое каждому подмножеству В С А ставит в соответствие множество его мажорант и (В), является операцией замыкания, замкнутыми относительно которой будут, в точности, все мажорантно стабильные подмножества упорядоченного множества < А, и >. Поэтому семейство всех мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества < А, и > образует полную решетку относительно включения; она обозначается далее через < М(и), С>. Эта решетка обладает «хорошими» алгебраическими свойствами, в частности, она является вполне дистрибутивной и монокомпактно порожденной [1]. Двойственная ей полная решетка минорантно стабильных подмножеств есть < М(и-1), С>. Отображение, которое каж-

В

теоретико-множественное дополнение Весть антиизоморфизм первой решетки на вторую. Указанные полные решетки являются важными производными структурами упорядоченного множества, которые встречаются в различных разделах математики, связанными со структурой порядка. Приведем несколько примеров, относящихся к задачам принятия решения с упорядоченным множеством исходов.

Пример 1. Антагонистическая игра с упорядоченными исходами представляет собой систему вида О =< X, У, А, и, Г >, где X есть множество стратегий игрока 1, У - множество стратегий игрока 2, А - множество исходов, упорядоченное отношением порядка и, Г: X х У ^ А - функция реализации. Для антагонистических игр с упорядоченными исходами некоторые их аналоги, заимствованные из классической теории антагонистических игр с функциями выигрыша (оптимальные стратегии игроков, цена игры и

др.), обладают рядом аномалий. Например, свойство стратегии «быть оптимальной» не сохраняется при изотопном преобразовании порядка или при добавлении несущественных исходов; игра может иметь цену, а двойственная ей игра - нет и т. п. В работе автора [2] показано, что указанные аномалии исчезают при «погружении» первоначального упорядоченного множества исходов игры < А, и > в полную решетку < М(и), С> ее мажорантно стабильных подмножеств.

Пример 2. В ряде задач принятия решений с упорядоченным множеством исходов возникает проблема продолжения упорядоченности на множество вероятностных мер. Обладающее «хорошими» математическими свойствами так называемое каноническое продолжение ш порядка и на множество вероятностных мер Рш (А) задается формулой

д V ^ (У<£ е Со (и)) ^(д) < Тр(и),

где д, V е Р^(А), С0(и) есть множество всех изотонных отображений упорядоченного множества < А, и > в действительную прямую К, (/? - продолжение отображения ^ на множество вероятностных мер: ^р(д) = / ^¿д. В рабо-

А

и

вероятностных мер может быть задано в явном виде следующим образом:

д V ^

Формула (1) показывает, что упорядочение по каноническому продолжению ш «учитывает» лишь мажорантно стабильные подмножества упорядо-

< А, и > .

Пример 8. С помощью мажорантно стабильных подмножеств может быть дано описание всех изотонных отображений конечного упорядоченного множества в числовую прямую [4]. Припишем каждому мажорантно стабильно-

В < А, и >

рый неотрицательный вес А(В). Тогда отображение ^: А ^ К определенное формулой

?

аеВ

является изотопным. Обратно, любое изотопное отображение упорядоченного множества < А, и > в К может быть представлено в виде

< А, и > К

константы.

2. В связи с приведенными выше примерами представляет интерес нахождение различных числовых характеристик упорядоченного множества

< М(и), С>. Как известно, важнейшими числовыми характеристиками конечного упорядоченного множества являются число его элементов, длина, ширина и размерность. В данной статье даются оценки указанных величин. При этом основную роль играет следующая

< А, и >

имеющее наименьший элемент, 0. Пусть (С^е - семейство цепей, образующих покрытие множества А, причем каждая цепь С\ содержит 0. Тогда, упорядоченное множество < М(и-1), С> изоморфно вкладывается в прямое произведение указанного семейства цепей, снабженное покомпонентным упорядочением,.

Доказательство теоремы основано на следующем утверждении, доказательство которого содержится в [5].

У

тов упорядоченного множества < X, <>, имеющего наименьший элемент. Рассмотрим разложение множества У в объединение цепей (^к)кЕк-, каждая из которых содержит наименьший элемент: У = У Zk Определим при каждом к отображение : X ^ Zk равенств ом: (х) = яир{у Е Zk: у < х}. Тогда отображение у(х) = (рк(х))кЕк является изоморфным вложением упорядоченного множества < X, <> в прямое произведение семейства цепей (^к)кЕк-) снабженное покомпонентным упорядочением.

Перейдем к доказательству теоремы 1. Возьмем в условиях леммы в качестве < X, <> упорядоченное множество < М(и-1), С> (при этом пу-

М

том). Неразложимыми в объединение элементами упорядоченного множества < М (и-1), С > являются элементарные срезы и-1 < а >, гдеа Е А. (Заметим, что в алгебраической терминологии М(и-1) есть множество идеалов

< А, и > и-1 < а >

в точности, его главные идеалы.) Так как соответствие а ^ и-1 < а > явля-

< А, и >

А

цепей (С{)гЕ1 будет соответствовать разложение в объединение цепей множества главных идеалов, то есть разложение в объединение цепей подмножества неразложимых в объединение элементов решетки < М(и-1), С>. В силу леммы, отображение у (В) = В )){Е1, где В) = вир{а Е С: а Е В}, будет изоморфным вложением упорядоченного множества < М(и-1), С> в прямое произведение семейства цепей (С 1)^1, снабженное покомпонентным порядком. Теорема доказана.

Для получения оценок числовых характеристик решетки < М(и-1), С> воспользуемся наиболее «экономным» представлением упорядоченного мно-< А, и >

гласно [6], наименьшее число цепей, в объединение которых разложимо упорядоченное множество, равно его ширине (то есть максимальной мощности его антицепи). Назовем такое разложение дилуорсовским.

В качестве следствий теоремы 1 можно получить оценки числовых ха-

m

рактеристик решетки < M(и), С>. Пусть A = У C{- дилуорсовское разло-

i=1

жение упорядоченного множества < A, и >. Тогда справедливы следующие оценки.

Следствие 1. (оценка числа элементов решетки < M(и), С>5 то есть числа мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества < A, и >): | M(и) |< ПТ=1 I Ci | .

Следствие 2. (оценка длины l упорядоченного множества < M(и), С>):

км (и)) < e:=I i(Ci).

Следствие 3. (оценка размерности dim упорядоченного множества < M(и), С>): dimM(и) < m, где m - ширина упорядоченного множества < A, и >

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розен В. В. Игры с упорядоченными исходами и монокомпактно порожденные решетки // Упорядоченные множества и решетки. Сб. науч. тр. 1978. Вып. 5. С. 90-97.

2. Розен В.В. Порядковые инварианты и проблема «окружения» для игр с упорядоченными исходами // Кибернетика и системный анализ. 2001. №2. С. 145-159.

3. Розен В.В. Вложения упорядоченных множеств в упорядоченные линейные пространства //Изв. вузов. Сер. Математика. 1998. №7 (434). С. 32-38.

4. Розен В.В. Представление изотонных отображений в виде сумм весов мажорантно-стабильных подмножеств // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2001. Вып. 3. С. 110-113.

5. Розен В. В. Кодирование упорядоченных множеств // Упорядоченные множества и решетки. Сб. науч. тр. 1991. Вып.10. С. 88-96.

6. Айгнер М. Комбинаторная теория. М,: Мир, 1982.

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

О СВОЙСТВАХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ВТОРОГО ПОРЯДКА, КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОТОРОГО ЛЕЖАТ НА ПРЯМОЙ

Рассмотрим в пространстве [0,1] пучок операторов L(A), определяемый однородным дифференциальным выражением

%,A) := y(2) + Apiy(1) + А2р2У

ее