Универсальная теория автотрансформатора

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

DOI 10.5862/JEST.219.11 УДК 621.313

М.А. Шакиров

универсальная теория автотрансформатора

M.A. Shakirov

UNIVERSAL THEORY OF AUTOTRANSFORMER

Разработаны основы новой теории двухобмоточного автотрансформатора с получением универсальной 4Т-образной схемы замещения. Универсализм проявляется в отображении в схеме всех магнитных потоков как в окне, так и в магнитопроводе автотрансформатора. С ее помощью показано, что в магнитопроводе короткозамкнутого автотрансформатора возникают сверх-и антипотоки (в сравнении с потоком холостого хода), которые могут существенно превышать соответствующие потоки в короткозамкнутых трансформаторах

АВТОТРАНСФОРМАТОР; ПЕРВИЧНАЯ И ВТОРИЧНАЯ ОБМОТКИ; МАГНИТНЫЙ ПОТОК; КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ; СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ; ХОЛОСТОЙ ХОД.

The paper presents the foundations of a new theory of the two-winding autotransformer with obtaining the universal T-shaped equivalent circuit. The Universalism of the circuit is manifested in mapping the magnetic fluxes in the window and in the yoke of the autotransformer. This shows that the magnetic circuit of a short-circuited autotransformer experiences super — and antifluxes compared to the fluxes when idling. It is proved that these fluxes can be substantially higher than the respective fluxes in the short-circuited transformers.

AUTOTRANSFORMER; PRIMARY AND SECONDARY WINDINGS; MAGNETIC FLUX; SHORT CIRCUIT; EQUIVALENT CIRCUIT; IDLING.

Введение

При небольших коэффициентах трансформации напряжений в линиях электропередач, применяемых, в частности, для связи высоковольтных сетей смежных напряжений (например, 110 и 220 кВ или 220 и 500 кВ и т. д.), оказывается экономически более выгодным использовать вместо трансформаторов силовые автотрансформаторы. Объясняется это тем, что при одинаковой проходной мощности автотрансформатор имеет меньшие размеры и более высокий КПД по сравнению с трансформатором.

Вместе с тем автотрансформаторам присущ и ряд недостатков, что может привести к потере

их электродинамической устойчивости там, где обычный трансформатор будет более надежным. Для выяснения этих обстоятельств необходимо иметь ясную физическую картину процессов, возникающих в автотрансформаторе в любых условиях его работы, в том числе при коротких замыканиях (КЗ). Однако до настоящего времени теория автотрансформаторов разработана недостаточно. Как любая несостоявшаяся теория, она характеризуется бессистемностью, что проявляется в следующем:

отсутствии схем замещения автотрансформаторов в основных учебниках по теории электрических машин [1, 2];

несогласованности схемных моделей (если они приводятся): в [3] схема замещения построена относительно тока нагрузки, а в [4] — относительно входного тока автотрансформатора;

отсутствии даже упоминания об автотрансформаторах там, где, казалось бы, они должны быть одной из целей рассмотрения наравне с трансформаторами, так как отличаются от них лишь дополнительными электрическими связями [5, 6];

несогласованности в обозначениях чисел витков обмоток и коэффициентов трансформации: каждый из авторов учебников [1—4, 7] использует свои, отличные от других, обозначения этих величин, что наблюдается также в статьях [8, 9];

чрезвычайно слабом представлении о физических процессах в короткозамкнутых автотрансформаторах.

К этому следует добавить, что все рассуждения в существующей литературе по автотрансформаторам основаны на представлении о раздельных потоках рассеяния каждой из обмоток, что в действительности не имеет места, о чем предупреждали многие авторы начиная с [10], а также [11, 12].

Между тем в настоящее время все эти трудности могут быть преодолены, так как стало более ясным понимание распределения магнитных потоков в силовых двухобмоточных трансформаторах в любом режиме их работы, в том числе возникновения сверх- и антипотоков в коротко-замкнутом трансформаторе [13—15].

Сверхпотоком КЗ в какой-либо части маг-нитопровода называется ее поток при установившемся КЗ, если он превышает магнитный поток холостого хода (ХХ) в ней при одном и том же напряжении на зажимах трансформатора в обоих режимах, а антипотоком КЗ — если он оказывается направленным встречно потоку ХХ. Таким образом, при КЗ в разных частях магни-топровода одновременно сосуществуют встречно направленные потоки.

Рис. 1. Электрическая схема повышающего автотрансформатора

Поскольку в автотрансформаторе имеются те же магнитные связи, что и в трансформаторе (рис. 1), то аналогичные потоки при КЗ должны, очевидно, возникать и в нем. Причем с большей силой ввиду существенно меньшего его внутреннего сопротивления, т. е. сопротивления КЗ ( 2КЗ ).

Цель данной работы — вывод соотношений для определения сверх- и антипотоков в корот-козамкнутом автотрансформаторе, что важно для оценки его электродинамической устойчивости в этом состоянии. Достоверное решение этой проблемы возможно только для автотрансформатора со строгим математическим описанием его геометрии. Поэтому здесь, как и в [14, 15], рассматриваются однофазные двухобмоточ-ные броневые автотрансформаторы с концентрическими броневыми ярмами при обычно принимаемом допущении: в пределах обмоток и канала между ними магнитные линии параллельны оси стержня. Это близко к реальности при условии, когда высота обмоток

Ноб = Нокн = Н ,

где Нокн — высота окна магнитопровода (рис. 2, а). Вначале строятся точные схемы замещения для идеализированного автотрансформатора (Исталь = м , активные сопротивления обмоток Ra = Rb = 0), после чего они приспосабливаются для реального автотрансформатора с учетом насыщения. Для определенности рассматривается повышающий автотрансформатор.

Принцип обозначения величин, характеризующих работу автотрансформатора

Для удобства используется нейтральная по отношению к существующим система обозначений числа витков и коэффициентов трансформации, а также других величин, исключающая путаницу при сравнении и переводе получаемых здесь соотношений на язык обозначений, принятых в различных учебниках. В основу положены индексы а и Ь, совпадающие с обозначениями толщин соответственно внутренней и внешней обмоток (рис. 2). В частности: wa — число витков внутренней обмотки толщиной а ; wa — число витков внешней обмотки толщиной Ь ;

„Ь = VЬ . „ = ™а .

Па = ^

пЬ =

^ + ^ь

Верхнее ^стыковое ярмо

б)

окн

Боковое ярмо

¿1:

,Бак

Нижнее стыковое ярмо

Рис. 2. Магнитная система

wh

N =-

+

Удобство состоит в том, что здесь нет выделения первичной обмотки, которой обычно присваивается индекс 1. Любая из обмоток далее может рассматриваться как первичная с последующим присвоением ей индекса 1. Из этих соотношений следует:

1

1 + пЬ

пьа =—-1; п =-

1

1 + пЪ

N =1 - пь'

N = --1;

пъ =1 - пъ;

ПЬ ПЬ = па

(3).

Аналогичный принцип используется для обозначений магнитных потоков и потокосцеп-лений:

Ф ст — магнитный поток в стержне (индекс « ст » от слова «стержень»);

Ф бок — в боковом ярме (индекс « бок » от слов боковое ярмо);

Ф Я — в стыковом ярме со стороны обмотки

;

Фв — в стыковом ярме со стороны обмотки

4а — потокосцепление обмотки ; 4 — потокосцепление обмотки жь .

Магнитные потоки в кольцевых каналах окна автотрансформатора снабжены индексами, совпадающими с соответствующей шириной каналов (рис. 2, б):

Ф 51 — в канале шириной между стержнем и внутренней обмоткой;

Ф 5 2 — в канале шириной 82 между боковым ярмом и внешней обмоткой;

Ф 5 — в канале шириной 8 между обмотками;

Ф а — в толще внутренней обмотки шириной а;

Фв — в толще внешней обмотки шириной Ь.

Очевидно, что сумма этих потоков равна потоку в окне:

Ф =ФХ, + Ф + ФХ + Ф,, +Фхт .

окн о1 а ^о ^Ь о 2

Магнитные потоки между трансформатором и баком:

Ф 0я, Ф 0Я — между баком и соответствующими частями стыковых ярем;

Ф д — в канале между баком и боковым ярмом.

Магнитные сопротивления кольцевых каналов в окне:

» м = "51 ="

И0 551

" М =

"52 =

И0

КМ =

=

"5М = н

Н

.

И-О^а Й-О^й

где нижний индекс в обозначении площади совпадает с обозначением ширины соответствующего кольцевого канала и его потока (рис. 1, б):

п

а

п

Ь

Л51

= п(Рст + 81 )§1;

5а = = пБаа ; ^8=п-°12«12; 5ь = 52=пГ>ьь; 582 =п(:Вь +В + 82 )82 .

Внутренняя индуктивность (индуктивность КЗ) трансформатора:

1КЗ — со стороны внутренней обмотки (индуктивность КЗ, приведенная к обмотке wa);

¿КЗ — со стороны внешней обмотки (индуктивность КЗ, приведенная к обмотке wb).

Уравнения для магнитных величин идеализированного автотрансформатора

По конструкции магнитопровода автотрансформатор тождественен трансформатору при одинаковом расположении обмоток. Поэтому при записи связей между магнитными потоками для автотрансформатора можно воспользовать-

ся соотношениями для соответствующего трансформатора (рис. 2, б) или его развернутой полной схемой замещения (рис. 3, а), на которой одновременно с электрическими величинами (1а, 1Ь, иа, иь) и индуктивностями , L8 Lb) представлены и магнитные величины, т. е. по-токосцепления обмоток (Та , ), магнитные потоки (Фст, Фа, Фая и т. д.). Явно локализированы в виде четырех поперечных стрелок потоки в магнитопроводе (Фст, Фая, Ф\, Фбок), что стало основанием в [14] назвать модель (рис. 2, а) не-приведенной 4Т-образной схемой замещения идеализированного трансформатора. Смысл индук-тивностей раскрыт в табл. 1, где приведены также соотношения для потоков и потокосце-плений ^¥а (), (t). Эти связи, в отличие от выражений на рис. 3, представлены для мгновенных значений потоков, что удобно при исследовании переходных процессов.

Левую и правую подсхемы на рис. 3, а разделяет идеальный трансформатор, характеризуемый матричным уравнением

—г

/ / I 1Ь° !

. ^ 1  * (

б)

/

1„

№

/ I ' ! / II) / "2^/

II I 1 / \

3

\ \ \ \ \

/

я

И

Рис. 3. Неприведенные 4Т-образные схемы замещения идеализированных трансформатора

где квадратная матрица представляет собой проходную матрицу идеального трансформатора, играющего роль конвертора [16]. Все уравнения для потоков можно получить из схемы рис. 3, а, используя только второй закон Кирхгофа.

Переход к 4Т-схемной модели идеализированного автотрансформатора

Для этого достаточно в схеме (рис. 3, а) повторить электрические соединения из схемы рис. 1, что и выполнено на рис. 3, б для случая повышающего автотрансформатора с нагрузкой ZH. Полученная таким образом модель является развернутой полной схемой замещении автотрансформатора. Ее также можно назвать непри-веденной 4Т-образной схемой замещения идеализированного повышающего автотрансформатора. Для ее расчетов можно перейти к схеме, в кото-

Таблица 1

Соотношения для индуктивностей, потоков и потокосцеплений идеализированного трансформатора

Зона окна Потокосцепление Потокосцепле-

Индуктивность Поток обмотки (через элемент ние обмотки

индуктивности)

Внутренняя обмотка V2 т а а 3ДаМ w 2 Т г Ь а 32аМ Ча = Па Ча Фа(,). 2 V.С) 2 *а Фа 0 )-2 Ц'> ) 2 Щ ^а С ) — — ^аФст«) - ^ ^а Фст (Т ) - ^а Фа (Т ) 3

Между обмотками V 2 та "а Ч - М КЪ ф5 (, ) - Ъ « ) а - -

тв Ч = м К5 ф5 (, ) — (< ) ^Ь

ТВ = пЬ2 та Ч5 = па Ч5

Внешняя обмотка V 2 т в Ь 3ДЬМ w2 Т' а ъ 32м Чъ = пь Чъ ФвС)« 2Ме) 2 ™в Ф. 0 )-2 Ц,а (') 2 ^ ^Ь С) — — ^бокС ) + ^ ^ЬФбок (Т ) + , ЧФв (Т) 3

Окно та — т + та + т' Чкз — Ча + Ч5 + Ч Чкз — Ча + Ч5 + ЧЬ Фокно

тЬ — пЬ 2 та ^кз "а ^кз Фокно

рой идеальный трансформатор : 1) заменен парой зависимых источников, т. е. источником тока, управляемым током,

1ъ — < /а ,

Входной ток автотрансформатора выражается через токи трансформатора следующим образом:

/—1а +Д— -Ь—-а.

па пь

Элементы правой части схемы (рис. 3, б) могут быть перенесены через идеальный трансформатор (пА :1) в ее левую часть по правилам, изложенным в [17]. В результате получим приведенную 4Т-модель идеализированного повышающего автотрансформатора (см. Приложение).

Свернутые схемы замещения повышающего идеализированного автотрансформатора

Расчет схем (рис. 3, а, б) является тривиальной процедурой. В частности по любой из них можно составить следующую систему уравнений:

ФЯ + МЬ. + ¿5 )1а — и а;

фЯ + ]ьь 1 ь + ин—и а;

1а — < 1Ь •

№(4% + "А^5 + к, )Л Н :

Ь 2

= (1 + пЬ )йа ^ ^ , у ' N

ЧЪ а

и источником напряжения, управляемым напряжением, (ИНУН). Чтобы не вводить новые переменные на схеме, напряжения обозначены через магнитные потоки; поэтому ИНУН представлен уравнением

которое с учетом соотношений табл. 1 может быть переписано в виде

+ L5+ Lb) 1Ь +йН — ^,

п„

или

jaLъJb +ин — ^ .

Этому результату можно поставить в соответствие схему замещения (рис. 4, а), согласующуюся со схемой, приведенной в [3, с. 131]. Из нее следует

1ъ —

иа

^а

Подставив 1Ь в уравнение (15), нетрудно получить поток

ФЬ — я

/ю//, + Zн

па 0'Цз +

-1

иа

Если после подстановки I ъ — пА 1а в уравнение (15) и умножения этого уравнения на Пь — ка / къ сложить его с (14), то получим выражение

]ю(Та + Т5 + <% )Iь + <ин —

йа

= (1 + пА )иа ^ ^, п

После подстановки в уравнение (14) правой части (16), умножения его на коэффициент пАЬ — м;Ь / м'а и в результате последующего сложения с уравнением (15) получим выражение

которое с учетом соотношений табл. 1 может быть переписано в виде

/юЦ + /5+ Ц) I а +йН =

Я

пЪ

а)

М^Ь^Ь

б)

/ю^ ф8

Рис. 4. Упрощенная схема замещения повышающего автотрансформатора относительно тока 1Ь

а

или

}ЪЦIIа + иН = ^ ,

где иН — напряжение нагрузки, приведенное к внутренней обмотке,

иан = п£ин = п^ь = П Zн

Здесь введено сопротивление нагрузки, приведенное к внутренней обмотке:

7а = па2 7

7 Н = пЬ 7 Н .

Этому результату соответствует схема замещения (рис. 4, б). Из нее следует

1а =

и

+ 7а + 7 Н

Подставив Iа в уравнение(14), получаем поток в виде

( \ jъLa + jъLa8

Фь =

я

1 --

+

Н

и „

Подставив в выражение I = Iа +1 ь правые части из соотношений для I а и I ъ, в результате несложных преобразований получаем

I =

и

п1 (+ 7Н )'

или

I =

и

!(№

+ 7

Н

Первому из этих соотношений соответствует схема замещения (рис. 5, а), а второму — схема (рис. 5, б).

Используя найденные по этим схемам величины, далее по схемам (рис. 3, б, в) можно найти все потоки в стали и окне автотрансформатора. Например, для потока в толще обмотки wa имеем

3 2

откуда

1Фа = ^¡а ,

3 13 1 •

Ф = 3 L 10- = - Ь —I =

а т а т а а

2 ™а 2

= 3ц 1

и

(+ 2<Н

и т. д.

Родственно эквивалентные схемы замещения автотрансформатора

Представленные свернутые четыре схемы замещения (рис. 4 и 5) могут быть получены одна из другой в силу того, что, если известна одна из них, то ей можно поставить в соответствие бесчисленное множество «родственных» эквивалентных схем. Это утверждение можно представить в виде следующей леммы.

Лемма. Пусть в качестве исходной задана схема (рис. 6, а), в которой при действии на входе напряжения и протекают токи Iт, I п, I 0 и сопротивление Zн находится под напряжением ин . Выберем произвольные два числа п и , не равные нулю. Назовем родственной схему, в которой приложенное напряжение больше в п раз, а все сопротивления увеличены в раз (рис. 6, б). В родственной схеме все напряжения увеличатся в п раз, все токи — в (п / ^ ) раз, а все мощности — в п2 / ^ раз. Родственная схема эквивалентна исходной в том смысле, что по ней можно простым алгебраическим пересчетом найти все токи, напряжения и мощности исходной схемы.

ь

2

а)

Рис. 5. Упрощенная схема замещения повышающего автотрансформатора относительно тока I с индуктивностью КЗ хКз

а) .

б) ц. ^ ^ Д;

о^->Н I—|—1 I-

Рис. 6. Преобразование схемы (а) в родственную эквивалентную

схему

Все схемы на рис. 4 и рис. 5 родственно эквивалентны. Чтобы показать это, выберем в качестве исходной схему на рис. 4, а. Коэффициенты п и % , превращающие ее в остальные схемы, представлены в табл. 2. Исходной схеме соответствуют, очевидно, коэффициенты п = 1 и % = 1.

Таблица 2

Синтез родственно эквивалентных схем замещения идеализированного автотрансформатора

п % Родственная схема

замещения

1 1 Рис. 4, а

па Па 2 пЬ Рис. 4, б

1/Па 1 Рис. 5, а

Па / пь па2 Рис. 5, б

Па Рис. 7, а

На рис. 7, а синтезирована схема, в которой входные напряжение и ток совпадают с соответствующими величинами на входе автотрансформатора. Очевидно, схемы на рис. 4, а и б, а также рис. 7 а эквивалентны по мощностям.

Дубликаты схем замещения автотрансформатора

В схеме на рис. 7, а величина 1Ъаз — индуктивность КЗ, приведенная к обмотке с числом

витков жъ. Используя подстановку Цазз = пьа2£1кз, получаем эквивалентную схему (рис. 7, б), в которой 1ааз — индуктивность КЗ, приведенная к обмотке с числом витков wa. Все напряжения и токи остаются прежними. Очевидно, таким же образом можно получить дубликаты схем (рис. 4 и рис. 5), что весьма важно при сопоставлении схемных моделей автотрансформаторов, приводимых различными авторами. Для этой же

цели полезно на схемах штрихованные величины в выражениях 1ааз и 1Ъаз заменять нештрихован-ными. Согласно табл. 1 можем записать

Ьак3 = Ц + 4+ па%;

Ьъкз = пЪ2Ьа + Ь\+ Ц .

Сравнение свернутых схем замещения со схемами в учебниках

В схеме на рис. 7, б продольную индуктивность можно представить следующим образом:

пьКз = ПЬ1а + пШ> + ПЬ (пЬ 21Ь ).

Разобьем, как это принято в традиционной теории, индуктивность 1д между обмотками, отнеся некоторую ее часть (Х1д) к обмотке м>а, а другую часть (1 - Х)1д — к обмотке ж ъ , где X — любое число, не равное нулю. Тогда можно записать

п2^ = п^ + Хп2^ + (1 - ХК2^ + пУа 2Ьа =

= п2На +Щ) + (1 -Х)пЬ2па2Ьаъ +п2п<а%. Обозначив

1а =

и учтя, что

4 = (1 -X) ^ъ+ьъ

пЬ ПЬ = па , ПЪ = 1 - ^

продольную индуктивность в схеме на рис. 7, б перепишем в виде

«ЬКз = (1 - па )2 «X.

Этот результат показывает, что схема на рис. 7, б совпадает со схемой, представленной в [7, стр.79, рис. 3—4, к], если в ней переобозначить к' = па . Тот факт, что этот вывод не зависит от выбора числа X, подчеркивает бессмысленность разбиения индуктивности 1 между обмотками,

а) /£оЗ-ЖИ<

^ьпаФь М^>ъпафь

И» ¿1

,2 Г4

и/^Н!

б)

Рис. 7. Упрощенная схема замещения повышающего автотрансформатора относительно входных величин тока I,йа с индуктивностью КЗ п

а вместе с этим и слабую обоснованность традиционной теории автотрансформаторов.

Схема на рис. 7, б совпадает также со схемой замещения для повышающего автотрансформатора, приведенной в учебнике [4, с. 224], в котором продольное сопротивление представлено формулой под номером (11—23):

7э = 1кк2 = (7п + 7 / к2 )к2 = = k ^п + ^ / kA )2 Z.

Выполнив переобозначения К = па , 7П = jюLs ,

кА=па

Z =

7к = ^к

ее можно переписать в виде

7э = У««^ = -/«(«Х + («а /<)2А>

или

или

или

ческим величинами определять потоки в окне автотрансформатора.

Режим холостого хода идеализированного автотрансформатора

В режиме ХХ сопротивление нагрузки ZН = ^ , и согласно любой схеме замещения

2 -ХХ -ХХ -ХХ п

2 1а = 1Ь =1 =

Поэтому и потоки в окне будут нулевыми:

Фхх = Ф 5х = Фхх = 0 • Фхх = 0

а 8 Ь окн

С учетом этого по схемам замещения на рис. 3, б, в убеждаемся, что все потоки ХХ в маг-нитопроводе одинаковы:

Ф = Ф^ = Фа =ФЬ = ФХ5 =

хх ст я я бок

и

.

7э = МпУъ2ЬаКз = ]ю(п2Ц + (папь„ )2Ц

7э = МПъПЪ )2Цз = ^

что отличается от уравнения (33) лишь множителем ую и подтверждает тождественность схем замещения авторов работ [7] и [4]. Данный пример подтверждает сложность и разнобой в обозначениях, применяемых различными авторами учебников. Совпадение схем замещения на рис. 7, б со схемами в учебниках свидетельствует о достоверности последних только для идеализированного автотрансформатора. Вместе с тем схемы на рис. 7 информативнее учебных, поскольку позволяют одновременно с электри-

Для напряжений по этим схемам имеем

йГ = пьъйъ = %=^ иа

пъ

w„

йН = йа + йЬХХ = йа = -й^~ Н а Ь п 1 - п

Можно также записать

ТТЖ =

иН =

их

й?

пЪпъ

Режим короткого замыкания

Анализ установившегося режима КЗ автотрансформатора при номинальном напряжении а на входе важен как для понимания физических основ его работы при перегрузках, так и для выявления сверх- и антипотоков в магнитопро-воде при ZН = 0 . В этом случае для токов КЗ согласно (23), (18) и (25) можно написать

п

ъ

I кз _ 1 и а

пъ МЮК

-кз _ а -кз _ 1 иа 1а _ N1 „ _

Ъ1 а „ . тъ

Па

(

"V -1

п Т"

V акз

-1Ф

п" х

1 кз _

и „

П2а]^ЬЬкз

Фк3 _ М-La 1Г ,

откуда для потока в толще обмотки wa получаем 3 1кз 3 и

Фкз _ 31 _ 31 _-а__

а а >*\ а . та

2 ^а 2 nъJULaк3Wa

_ ^ _ 3-1 Ф

пъ 2ЮКЗ juwa пъ 2ЮКЗ " или в относительных единицах

• кз Фкз 3 L

фк3 _ а _ La

~а Ф П 2 Та

^хх пъ 2Ткз

Найдем аналогичное соотношение для потока в стержне Ф^ . Пользуясь вторым законом Кирхгофа по схемам на рис. 3, б, в, имеем

-Та 1к3 + ^^аФкз _ иа ,

или

ФСТ _ -а + М 2кI? _

т -т  1т 1 иа

_ иа + К

2 пъ МКз После сокращений и деления обеих частей

равенства на JWWa получаем

(

Фкз _

1 1 4

1 + - а

V пъ 2Ьак3,

иа

\ 1 4 ^

1 +---

V пъ 2Ьак3,

Таким образом,

Ф* кз ^^

-ст_ ф~ "

хх

' 1 4 Л

1 +---

V пъ 2Ьак3,

кз

Ф

хх

Чтобы найти поток КЗ Фя , воспользуемся его общим выражением (19), положив сопротивление нагрузки равным нулю:

Фькз _

(

УПа]Ткз у

и а

(

и

-1

п Т"

V а кз у

и а

]<та па

откуда

Ф якз

^ а

• "кз ФЯ 1 Ф _ —7я— _ —

Непосредственно из схем рис. 3, б, в следует

3 2

Ф

1 ц

п Т"

V' а Ткз

1 Ц

П" Юз

.

Аналогичным образом нетрудно получить и другие потоки автотрансформатора при КЗ (табл. 3).

Как и следовало ожидать, при КЗ имеет место следующее равенство для действующих значений потоков:

фкз _фкз +фкз окн ст бок

Для расчета потоков КЗ по формулам табл. 3 необходим предварительный расчет отношения индуктивностей к индуктивности КЗ, что нетрудно сделать, воспользовавшись соотношениями табл. 1 и формулами (1), (3)—(5). Например,

ц 4

та ткз Тъ ткз 111 К . < . <

ЪВМ

^а _ aDa

aDa + ЗaD5 + ЪDЪ

Если принять Da ~ Dg ~ Dъ , то после сокращений получаем приближенное выражение

к. 1

Та ткз Тъ ткз

а

а + 3а + ъ

Аналогично получаются приближенные выражения для отношений остальных индуктив-ностей (табл. 4).

Замечание 1. В случае бесконечно тонких обмоток (а _ 0, ъ _ 0) имеем

4 / 4кз _ 0 , 4 / 4кз _ 1 , цъ / Ткз _ 0 , и из табл. 3 следует, что в этом случае магнитные потоки при КЗ будут такими:

фкз _фа _ф ст я хх

ФкОк _ф"якз _-<Фхх

Ф кз _ Ф кз _ о

а ъ

Таблица 3

Магнитные потоки в идеализированном автотрансформаторе в режиме КЗ

Область (участок) автотрансформатора

Поток ^го участка, отнесенный к потоку ХХ

( ФКз ^

фк =

ф

Примечание

Стержень

, 1 La ф = 1 +---—

^.кз - ст

пь 2Ц

так как фКЗ > ф

ст ^ ^хх

Левый участок стыкового ярма

- акз 1 L

фЯ = 1 - таг

пь Кзз

Правый участок стыкового ярма

ф'кз = -i

"Я пь Цз

Боковое ярмо

кз

фбок = —

_! А

Пь 2Ц

, \

фКОк — антипоток,

Внутренняя обмотка

кз фк

фкз =а

3 Ца

ф хх Пь 2ЦаКЗ

Коридор между обмотками

кз

^ КЗ ф§

ф8 =

Та

Т8

фхх Пь1"кз

Внешняя обмотка

жкз ф фЬ =

3 Т'ь

фхх Пь 2Ц

Окно

кз фкз 1

фкз = ^окн = _!_ фокн ^

фхх Пь

1+^ 2ЦКЗ

л

Поток в окне больше

сверхпотока в стержне: фкз > фкз > ф

^окн ^ ^ст ^ ^хх

Отношения индуктивностей при йо5 = А,

Таблица 4

Относителльная величина Формула Приближенная формула

Та Т'а "»а а

Т" Ть кз кз "»а + 38»§- а + 38 + Ь

Та Ть 35D§ 38

Та Ть кз кз aDa + 38D§- а + 38 + Ь

Ц' Ць ъ

Та Т' кз кз aDa + 38D§- а+ 38 + '

кз

Ф5КЗ =ФККн —Фхх =(1 + <)Фхх . пЬ

Из этих формул следует, что даже в случае тонких обмоток в боковом ярме при КЗ внешней обмотки возникает внушительный антипоток, существенно (при больших = (wa + wb )/wb ) превышающий поток ХХ ( Фхх ) со стороны обмотки wa . Это объясняется тем, что последовательная обмотка ( wb ) при КЗ , как и первичная ( wa ) обмотка, оказывается включенной непосредственно на входное напряжение a , что приводит к появлению в боковом ярме потока ФКЗЗк = Ф^ , где Ф^ — поток ХХ со стороны обмотки wb , равный

Фь = _Ua_

хх

^ = ф

^хх nb

jawb jowa wb

В соответствии с (44) оба потока (со стороны стержня и бокового ярма) устремляются в межобмоточное пространство, создавая тем самым сверхпоток в окне между обмотками —

ФКз = (1 + пЦ )Ф хх. Учет конечной толщины обмоток еще более усиливает эти эффекты.

Пример. Рассмотрим идеализированный повышающий автотрансформатор АТ1, построенный на базе трансформатора Тр1 [18], со следующими данными: wa = 535, wb = 161, а = 10 мм, b = 3 мм, 8 = 0 , Ноб = Нокн . Из этих данных следует

w

535

ni = — = 3,32;

wb

w

161

161

пь =-— =- ^ = 0,

b wa + wb 535 +161

-1 = -L = 4,32 nb 0,23

= 0,231

В режиме ХХ

ихх = А=IL.=о,зиа

b ni 3,32 ' а

U Н = —а— = = 1,3Uа

1 - nb 1 - 0,231

Для расчета режима КЗ определяем следующие величины:

L

10

= 0,77 :

La (а + 38 +В) 10 + 3-0 + 3 ' '

IL« b = 3

La a + 38 + b 10 + 3-0 + 3

кз

= 0,23 ;

L8

38

= 0

La a + 38 + b

кз

расчеты потоков представлены во второй колонке табл. 5 для обмоток заданной толщины. Как видно, во всех рассматриваемых участках магнитопровода и окна, за исключением промежутка между обмотками (в силу его отсутствия, т. к. 8 = 0 ), при КЗ имеет место значительное превышение магнитного потока ХХ. Антипотоки возникли и в участках стыковых ярем с заходом во внутреннюю обмотку. Превышение этих потоков над потоком ХХ дает основание называть их антисверхпотоками.

Во второй колонке табл. 5 приведены экспериментальные данные, найденные с помощью измерительных витков, намотанных на стержень и боковое ярмо АТ1. Поток в окне получен суммированием значений потоков в стержне и боковом ярме. Погрешность расчета и эксперимента не превышает 17 %.

В третьей колонке табл. 5 представлены результаты расчета потоков для случая тонких обмоток. Их сравнение с данными первой колонки показывает, что в общем случае значения потоков при КЗ весьма существенно зависят от геометрии магнитопровода и обмоток.

4Т-образная схемная модель реального автотрансформатора

В отличие от идеализированного, в реальном автотрансформаторе имеют место потери в меди обмоток и стали магнитопровода с конечной магнитной проницаемостью. Их можно учесть приближенно путем наращивания полученных выше схем замещения идеализированного автотрансформатора (см. рис. 3) активными сопротивлениями Ra ,Rb обмоток, а также поперечными ветвями для учета активных и реактивных потерь в стали, включая участки между баком и частями магнитопровода, как показано пунктиром на схеме (рис. 8, а), образованной из модели на рис. 3, б. В ней нелинейные индуктивности и включенные параллельно с ними активные проводимости соответствуют следующим элементам:

Laa , g'a — части стыкового ярма, примыкающей к стержню;

а

Таблица 5

Магнитные потоки в идеализированном автотрансформаторе Ат1 в режиме КЗ

Область

Стержень  кз 0 77 ФКЗ = 1 + 4,32 = 2,66 _ст '2 2,77 1

Левый участок стыкового ярма - «кз ФЯ = 1 - 4,32 • 0,77 = -2,32 — 1

Правый участок стыкового ярма Ф Якз = 4,32 • 0,23 - 3,32 = -2,32 — -3,32

Боковое ярмо ФкОк = ^3,32 + 4,32 ^) = -3,82 -3,03 -3,32

Внутренняя обмотка Факз = 3 • 4,32 • 77 = 4,99 —а 2 — 0

Коридор между обмотками ФКз = 0 — 4,32

Внешняя обмотка Фкз = 3 0'23 = 1,49 ~ъ 0,231 2 — 0

Окно ,кз ..j. 0,77 + 0,23 ^ Фокн = 4,32 V1 + 2 1 = 6,48 5,8 4,32

б)

i

t°  h TiViUJ /Ъ '. J

2

j<£Wa фнАЛ

i rr

joowa Фа

г' If J

' jl'

/ \ \

ЛРЯ1 1

К

-Щ \

) j<a% I tier) i. 1/1) Ы i' .

1 ^; ;l (  fl №4

Рис. 8. Эвристическая схема замещения реального автотрансформатора

¿я

«Я ( ¿Я

^ЯЬ ) — части стыкового ярма,

примыкающей к боковому ярму; ¿ст, Яст — стержню;

¿бок > Ябок ( ¿бок. Ябок ) — бОкОвОму ярму.

Последовательно присоединенные к ним линейные индуктивности

т = ^058К,,2 т-оЯ = Ию^ „,2 т81 = ¡Г" ^а , Ьа = ,оЯ ^ ,

А

/0

оЯ

-Ч =

1\

оЯ

Wh

т =^0^52 ^2 т82 = А

т = Ма^2

тА = , ^Ъ

А

коЯ

введены для учета магнитных потоков ф5^ ф

фЬя, ф52, фА (см. рис. 2), возникающих вследствие конечной магнитной проницаемости стали или ее насыщения (смысл значений площадей $0Я

„оЯ

оЯ гоЯ

и длин 1а , 1а очевиден из рассмотрения потоков фая, ф^я). Штрихами отмечены величины в схеме рис. 8, б, приведенные к обмотке wa.

Примечание. Добавление поперечных ветвей основано на известном из теории магнитных цепей положении, согласно которому ферромагнитному сердечнику катушки (с числом витков w ), в котором протекает поток фк, на схеме замещения катушки соответствует активная проводимость и нелинейная индуктивная проводимость Ьк, удовлетворяющие соотношениям

Р

8к =

2

Ьк =

1

юЦ

где Р,

- активные потери в сердечнике (здесь в ^м

2

участке магнитопровода) и Цк (Фк) =

линейная индуктивность; RМ(Фk) — нелинейное магнитное сопротивление стали на ^м участке магнитопровода.

Поперечная ветвь, состоящая из элементов Х1, L81, нарушает пропорцию между напряже-

ниями на продольных индуктивностях (-Ьа / 2) и (3Ц / 2), имевшую место в исходных схемах (см. рис. 3). Поэтому на рис. 8, а явное представление напряжения на индуктивности (-Ца /2) через поток фа /3 устранено. По аналогичной причине устранено представление через поток фъ /3 напряжения на индуктивности (-Цъ /2) и на индуктивности -Ц / 2. Несмотря на полуэвристический характер полученной 4Т-образной схемы (рис. 8, а), уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для напряжений, показанных на схеме стрелками, в точности соответствуют соотношениям для магнитных потоков (см. рис. 2).

Приведенная 4Т-образная схема замещения реального автотрансформатора (рис. 8, б), построена на базе приведенной схемы для идеализированного автотрансформатора (см. рис. 10 в Приложении).

Эта же схема с выделенным общим током намагничивания I 0 показана на рис. 9. В принципе ее среднюю часть можно преобразовать в эквивалентную звезду или треугольник. Из нее могут быть выведены Т-, П- и Г-образные схемные модели.

Заключение

Изложенная работа имеет практическую направленность в свете весьма печальной статистики о росте повреждений и выходе из строя автотрансформаторов в аварийных ситуациях [21]. Из нее следует, что принимаемые до сих пор попытки повысить электродинамическую стойкость автотрансформаторов путем устранения дефектов производственного характера, т. е. улучшением механических характеристик обмоток или изоляции и применением новых, нетрадиционных материалов, недостаточны. Необходимы шаги по усовершенствованию теории автотрансформаторов в силу отсутствия в тра-

Рис. 9. Приведенная 4Т-схема замещения с общим током намагничивания

диционнои теории адекватных схем замещения, способных отобразить реальные физические процессы в аварийных ситуациях.

Предложенная 4Т-схема замещения чрезвычайно наглядна, однако степень ее приемлемости для описания изменений потоков в переходных процессах требует тщательной проверки путем сравнения с результатами расчета по другим схемным моделям автотрансформатора, которые могут быть получены на

основе 2Т-схем замещения трансформаторов [19] или по еще более точным магнитоэлектрическим схемам их замещения [20]. В целом достоверность разработанной теории подтверждается практическим совпадением экспериментальных измерений магнитных потоков в стали опытного образца автотрансформатора с результатами их расчетов на основе 4Т-образной схемы замещения в режиме установившегося КЗ автотрансформатора.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приведенная 4Т-схема замещения идеализированного повышающего автотрансформатора

Левая и правая части неприведенной схемы замещения (рис. 3, б) разделены конвертором в виде идеального трансформатора N = wa / wb). Эту схему можно преобразовать, перенеся по очереди элементы правой части (3Ц / 2, -Ц /2 и ZН) через конвертор в левую часть. Общие принципы переноса элементов схем через 2х2-полюсники сформулированы в [17]. В нашем случае достаточно знать следующее правило:

при переносе продольной индуктивности или сопротивления через идеальный трансформа-

а2

тор справа налево они умножаются на щ ; при этом напряжения на них «увеличиваются» в п1 раз при «уменьшении» тока во столько же раз (мощность, выделяемая на этих элементах после переноса остается без изменений); место, где располагались продольные элементы закорачивается.

На рис. 10, а показаны первые два этапа реализации этого правила для элементов схемы, изображенной на рис. 3, б.

Сначала перенесена индуктивность 3Ц /2, кото-

а2

рая после умножения на Щ превратилась в новую индуктивность

а2 3

3

< -2 Ь — 2

с напряжением на ней

^ьфьп"а = ]0>^ьп1 )фь — ^афь ,

при этом поперечное напряжение за ней превратилось в следующее:

Лфбок4 = /«К4 )фбок — фбок .

На втором этапе перенесена индуктивность -Ц /2, в результаты чего образовалась схема на рис. 10, а. Здесь же удобства ради для осуществления следующего этапа сопротивление нагрузки ZН пред-

ставлено в виде продольной ветви. Пунктиром показано напряжение за нагрузкой, совпадающее с входным напряжением автотрансформатора йа.

Третий этап после переноса ZН через конвертор представлен на рис. 10, б. В результате заданное напряжение йа оказывается приложенным непосредственно к правым зажимам идеального трансформатора, что, очевидно, делает известным и напряжение слева от него, которое схема воспринимает как ЭДС, равную п1йа. Поэтому схему на рис. 10, б можно также изобразить с дополнительной ЭДС справа, как показано на схеме рис. 10, в, в которой зависимый источник тока 1Ъ, имитирующий правую ветвь идеального трансформатора, перемещен в начало схемы.

На схеме рис. 10, в наглядно представлены все те же электрические и магнитные величины, что и на исходной схеме рис. 3, б с четырьмя магнитными потоками в стали. Поэтому она может быть названа приведенной 4Т-образной схемой замещения идеализированного повышающего автотрансформатора. Мощность, потребляемая в нагрузке п^ ZН, равна мощности, потребляемой нагрузкой Zн в исходной цепи (рис. 3, б, в).

Для расчета тока 1а схему на рис. 10, в можно упростить, отбросив зависимый источник тока (рис. 11). Далее тривиальным объединением всех ин-дуктивностей, а также суммированием ЭДС

и а + ПаЦ1а = (1 + < )иа = иа пь

получаем свернутую схему замещения (см. рис. 4, б), в которой также можно увидеть магнитные потоки ф Я и фЯ. Для этого в ней следует провести поперечные стрелки от центральной индуктивности ¿8. Очевидно, левая стрелка будет соответствовать напряжению j«wa фЯ + прйа, а правая—напряжению j«wa фья + пдйа.

В отличие от схемы рис. 4, б схема замещения на рис. 11 «физичнее». Во-первых, тем, что в ней отображаются все магнитные потоки. А во-вторых,

\. Тбок

\, I I /«жьФ»

" 7«1И'аФп

в)

-^/оои^ Фа

~з-7оои^фй

—

}--К1ь

/ / ^ /

7оам>аФст ^оои^Ф , 1 1

Рис. 10. Схема замещения идеализированного автотрансформатора после переноса через конвертор справа налево индуктивных элементов

Рис. 11. Приведенная развернутая схема автотрансформатора относительно тока I а

прямой демонстрацией преимущества автотрансформатора, состоящего в передаче мощности в нагрузку двумя путями, электромагнитным и электрическим. Электромагнитная (или трансформаторная) мощность передается от левого источника ЭДС с напряжением = а . Она равна

\ = и л а = та,

эм а а а

а электрическая — от правого источника ЭДС с напряжением п1йа. Она равна

= (П1иа )1 а = и(П°а 1а ) = Ц1Ь .

В сумме они образуют мощность, подводимую к входным зажимам автотрансформатора:

5 = 5эм + 4 = йа +йь = й(1а + 1\ ) = й1 .

Из схемы на рис. 11 следует, что мощность, потребляемая нагрузкой, равна

= (Паъиъ - Паъиа )1а = Ц-иа )(п"аI а ) = ЦДь .

Если положить все индуктивности равными нулю, то 5 = 5н, чем и обусловлено название 5 как проходной мощности.

Преобразуем схему (рис. 10, в) с помощью леммы, задавшись коэффициентами Ц = пъ и ^ = . В этом случае согласно лемме токи изменятся в п/\ = 1/Ч раз:

/—^;

п

———=1ъ-; 1а —^=1;

II

пъп;

ъпъ

п

ь

Рис. 12. 4Т-образная схема замещения идеального автотрансформатора, родственно-эквивалентная схеме на рис. 11

И родственно эквивалентная схема примет вид (рис. 12). В ней все индуктивности увеличены в \ = раз. Аналогичным образом изменено сопротивление нагрузки:

пЪ^н ^ пЪпЪ^н = (пЪпЪ )2н = «X •

Все напряжения увеличены в п = пъ раз. В частности, для напряжения на нагрузке имеем

прн ^ пьпрн = (пьпаь )ин = паин.

Аналогично для напряжения на правом источнике ЭДС запишем

Пра ^ ПъПра = (ПЪПа )иа = Па,^

Точно также преобразовано поперечное напряжение:

]мпьа^ }<ьпъпаъ= Мпьпаъ ^ = ]ша= паиъ.

Для определения тока I схему можно упростить, отбросив источник тока и объединив в ней источники ЭДС:

ПЪиа + Паиа = (пЪ + Па Ра = иа

После чего схема на рис. 12 почти совпадет со схемой на рис. 7, б. Для полного совпадения следует при записи напряжений на индуктивностях учесть, что

™аПЪ =

bna

Все схемы на рис. 10—12 эквивалентны по мощности, потребляемой в нагрузке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вольдек А.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1974. 840 с.

2. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 928 с.

3. Петров Г.Н. Электрические машины. Ч. 1: Трансформаторы. М.: Энергия, 1974. 240 стр.

4. Важно в А.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1968. 708 с.

5. Сергеенков Б.Н., Киселев В.М., Акимова Н.А. Электрические машины: Трансформаторы / Под ред. И.П. Копылова. М.: Высшая школа, 1989. 352 с.

6. Лейтес Л.В., Пинцов А.М. Схемы замещения многообмоточных трансформаторов. М.: Энергия,

1974. 192 с.

7. Васютинский С.Б. Вопросы теории и расчета трансформаторов. Л.: Энергия, 1970. 432 с.

8. Конов Ю.С. Насыщение магнитопроводов трансформаторов и автотрансформаторов при коротком замыкании // Электротехническая промышленность. Сер.: Аппараты высокого напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы. 1976. Вып. 11 (67).

9. Григоров И.Б. Потоки в магнитопроводах мощных силовых трансформаторов и автотрансформаторов с учетом потока рассеяния // Электротехника.

1975. №4. С. 20-25.

10. Boyajian A. Resolution of transformer reactances into primary and secondary reactances // AIEE Trans. Jun. 1925. P. 805-810.

11. Cherry E.C. The duality between interlinkend electric and magnetic circuits and the formulation of transformer equivalent circuits // Proceedings of the Physical Society. Vol. (B) 62, Feb. 1949. P. 101-111.

12. Blume L.F., Boyajian A., Gamilly G., Lenox T.C. Minnec S. Montsinger M.V. Transformer Engineering: A treatise on the Theory, Operation and Application of Transformer. New York: Wiley, 1951. 239 с.

13. Александров Г.Н., Шакиров М.А. Трансформаторы и реакторы: новые идеи и принципы. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. 204 с.

14. Шакиров М.А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Часть 1 // Электричество. 2014. № 9. С. 52-59.

15. Шакиров М.А. Вектор Пойнтинга и новая теория трансформаторов. Часть 2 // Электричество. 2014. № 10. С. 53-65.

16. Практикум по ТОЭ / Под ред. М.А.Шакирова. СПб.: Из-во СПбГПУ, 2006, 252 с.

17. Шакиров М.А. Перенос элементов электрической цепи через 2х2-полюсники // Электричество, 2006, № 11. С. 45-53.

18. Шакиров М.А., Андрущук В.В., Дуань Лиюн. Аномальные магнитные потоки в двухобмоточном трансформаторе при коротком замыкании // Электричество. 2010. № 3. С. 55-63.

19. Шакиров М.А. 2Т-образные схемы замещения трансформаторов // Электричество. 2010. № 5. С. 19-36.

20. Шакиров М.А. Анализ неравномерности распределения магнитных нагрузок и потерь в трансформаторах на основе магнитоэлектрических схем замещения // Электричество. 2005. № 11. С. 15—27.

21. Левицкая Е.И., Лурье А.И., Панибратец А.Н.

Проблема электродинамической стойкости трансформаторов при коротких замыканиях // Электротехника. 2001. №9. С. 47-54.

REFERENCES

1. Voldek A.I. Elektricheskiye mashiny [Electrical machinery.] L.: Energiya, 1974. 840 s.

2. Ivanov-Smolenskiy A.V. Elektricheskiye mashiny. [Electrical machinery.] M.: Energiya, 1980. 928 str.

3. Petrov G.N. Elektricheskiye mashiny. Ch1. Trans-formatory. [Electrical machinery. Part. 1. Transformatory] M.: Energiya, 1974. 240 s.

4. Vazhnov A.I. Elektricheskiye mashiny. [Electrical machinery]. L.: Energiya, 1968. 708 s.

5. Sergeyenkov B.N., Kiselev V.M., Akimova N.A. Elektricheskiye mashiny: Transformatory [Electrical Machines: Transformers.] Pod red. I.P.Kopylova. M.: Vyssh. shk., 1989, 352 s.

6. Leytes L.V., Pintsov A.M. Skhemy zameshcheniya mnogoobmotochnykh transformatorov. [Equivalent circuit multiwinding transformers.] M.: Energiya, 1974, 192 s.

7. Vasyutinskiy S.B. Voprosy teorii i rascheta transformatorov [Theory and calculation of transformers.] L.: Energiya, 1970. 432 s.

8. Konov Yu.S. Nasyshcheniye magnitoprovodov transformatorov i avtotransformatorov pri korotkom za-mykanii. Saturation of magnetic transformers and autotransformers short-circuit. Elektrotekhnicheskaya pro-myshlennost. Ser.: Apparaty vysokogo napryazheniya, transformatory, silovyye kondensatory [Electrical industry. Ser.: Washer voltage transformers, power capacitors]. 1976. Vyp.11

9. Grigorov I.B. Potoki v magnitoprovodakh moshch-nykh silovykh transformatorov i avtotransformatorov s uchetom potoka rasseyaniya. [Flows in the magnetic powerful power transformers and autotransformers with the leakage flux. Elektrotekhnika. 1975. №4. S. 20-25.

10. Boyajian A. Resolution of transformer reactances into primary and secondary reactances AIEE Trans. Jun. 1925. P. 805-810.

11. cherry E.c. The duality between interlinkend electric and magnetic circuits and the formulation of transformer equivalent circuits. Proceedings of the Physical Society. Feb. 1949. Vol. (B) 62. P. 101-111.

12. Blume L.F., Boyajian A., Gamilly G., Lenox T.c. Minnec S. Montsinger M.V. Transformer Engineering: A treatise on the Theory, Operation and Application of Transformer. New York: Wiley, 1951, 239 s.

13. Aleksandrov G.N., Shakirov M.A. Transformatory i reaktory: novyye idei i printsipy [Transformatory and reactors, new ideas and principles]. SPb.: Izd-vo Politekhn. un-ta, 2006. 204 s.

14. Shakirov M.A. Vektor Poyntinga i novaya teoriya transformatorov. Chast 1. [Poynting vector and the new theory of transformers. Part 1. Elektrichestvo. 2014. № 9. S. 52-59.

15. Shakirov M.A. Vektor Poyntinga i novaya teoriya transformatorov. Chast 2. [Poynting vector and the new theory of transformers. Part 2]. Elektrichestvo. 2014. № 10. S. 53-65.

16. Praktikum po TOE [Workshop on SOC] / Pod red. M.A. Shakirova. SPb.: Izd-vo SPbGPU, 2006. 252 s.

17. Shakirov M.A. Perenos elementov elektricheskoy tsepi cherez 2kh2-polyusniki [Transferring the circuit elements through the 2x2-poles]. Elektrichestvo. 2006. № 11. S. 45-53.

18. Shakirov M.A., Andrushchuk V.V., Duan Liyun. Anomalnyye magnitnyye potoki v dvukhobmotochnom transformatore pri korotkom zamykanii[Anomalous magnetic fluxes in the two-winding transformer short-circuit]. Elektrichestvo. 2010. № 3. S. 55-63.

19. Shakirov M.A. 2T-obraznyye skhemy zameshcheniya transformatorov [2T-shaped equivalent circuit transformers.]. Elektrichestvo. 2010. № 5. S. 19—36.

20. Shakirov M.A. Analiz neravnomernosti raspre-deleniya magnitnykh nagruzok i poter v transformatorakh na osnove magnitoelektricheskikh skhem zameshcheniya [Analysis of the uneven distribution of magnetic loads and losses in transformers based on magnetoelectric equivalent circuits]. Elektrichestvo. 2005. № 11. S. 15-27.

21. Levitskaya Yb.I., Lurye A.I., Panibratets A.N. Problema elektrodinamicheskoy stoykosti transformatorov pri \ korotkikh zamykaniyakh [Problem withstand transformers during short circuits.]. Elektrotekhnika. 2001. №9. S. 47-54.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

ШАКИРОВ Мансур Акмелович — доктор технических наук, Заслуженный работник высшей школы РФ, действительный член Нью-Йоркской Академии наук и Академии электротехнических наук РФ профессор кафедры теоретической электротехники и электромеханики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. 195251, Россия, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. E-mail: manshak@mail.ru

AUTHOR

SHAKIROV Mansur A. — Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University. 29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russia. E-mail: manshak@mail.ru

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2015