О трехмерном вторичном отрыве при сверхзвуковом обтекании угла сжатия

Том ХЫ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010

№ 6

УДК 532.526.5.011.7

О ТРЕХМЕРНОМ ВТОРИЧНОМ ОТРЫВЕ ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ УГЛА СЖАТИЯ

В. В. ШВЕДЧЕНКО

На основе численного решения уравнений Навье — Стокса исследованы особенности вторичного отрыва для трехмерного случая: потеря устойчивости двумерного и формирование трехмерного течения.

Ключевые слова: угол сжатия, отрыв, сверхзвуковой поток, вторичный отрыв.

К настоящему времени изучению отрывного течения на пластине с отклоненным щитком в задней ее части (рис. 1) посвящено большое количество теоретических, расчетных и экспериментальных работ. Обзор и наиболее полное изложение результатов теоретических исследований для малых зон отрыва содержатся в книге [1].

Для зарождающихся или малых зон отрыва используется подход, связанный с использованием интегральных уравнений пограничного слоя [2]. Для развитых отрывных течений, в которых существует область почти постоянного давления (область «плато»), обычно применяется подход с использованием критерия Чепмена — Корста [3, 4]. В рамках асимптотической теории

свободного взаимодействия [5 — 8] расчеты обтекания угла сжатия с углом поворота 0 ~ Яе-1^4 проводились во многих работах [8—11].

Современные численные методы решения уравнений Навье — Стокса позволяют провести моделирование (например, [12, 13]) при параметрах течения, когда течение в области отрыва не описывается асимптотической теорией свободного взаимодействия. Особый интерес представляет исследование явления вторичного отрыва [11, 14—18].

В работах [14, 15] выявлено сильное влияние температурного фактора Т(отношения температуры тела к температуре торможения набегающего потока) на длину зоны отрыва, структуру отрывного течения и аэродинамические характеристики. При достаточно больших углах

0 = 10 + 20° (для значений чисел Рейнольдса Яе = 106 и Маха М = 5) наблюдались вторичный отрыв, поперечные составляющие градиента давления и вихревые структуры.

В работах [15 —17] проведено детальное численное исследование влияния числа Рейнольдса на структуру двумерного отрывного сверхзвукового течения (М = 5) в угле сжатия. Показано, что параметр подобия =0(Яеу^(М2 -1)) [1] является определяющим

при образовании как первичного, так и вторичного отрыва. При больших значениях параметра подобия ^м происходит значительное усложнение течения в области отрыва: образование вторичного отрыва, появление поперечных составляющих градиента давления, стационарных и нестационарных вихревых структур. Выявлено существенное влияние температурного фактора на структуру вторичного отрыва. Проведена классификация состояний области двумер-

ШВЕДЧЕНКО Владимир Викторович

начальник установки ЦАГИ

Рис. 1. Поле плотности р для угла 0 = 20° (М =5, у =5/3, Re = 8-10, Тк = 0.1) и поле чисел М во внутренней области отрыва при вторичном отрыве А и Б типа

ного отрыва по характерным признакам, каждое из которых удобно разделить на начальную и развитую стадии: а) безотрывное течение; б) 1—2-я стадия — возникновение и развитие стационарной отрывной зоны без вторичного отрыва; в) 3—4-я стадия — появление и развитие стационарного вторичного отрыва; г) 5—6-я стадия — появление и развитие нестационарности вторичного отрыва.

Влияние числа M на значение числа Re, при котором образуются первичный и вторичный отрывы, исследовано в работах [15, 17]. Определены значения параметра подобия ^м для различных чисел M и значений температурного фактора.

В работах [14—17] также показано значительное влияние разрешения сетки на качество получаемых результатов, особенно при больших значениях параметра подобия ^м .

Особый интерес представляют работы по численному исследованию трехмерного отрывного течения для сверхзвукового обтекания угла сжатия при наличии вторичного отрыва [15, 18]. В [15] установлено, что при увеличении числа Re течение в области отрыва из двумерного переходит в трехмерное. В настоящей работе детально изучается структура вторичного отрыва для трехмерного случая в предположении, что течение всюду ламинарное.

Сравнение расчетных и экспериментальных исследований по параметру подобия.

Рассмотрим более детально результаты расчетных и экспериментальных исследований при сверхзвуковом обтекании угла сжатия для значений параметра подобия ^м , при которых в численных решениях существует вторичный отрыв.

В работах [15, 17] определены значения числа Re и параметра подобия ^М, при которых происходит зарождение первичного и вторичного отрыва (рис. 2) для следующих параметров течения газа: показатель адиабаты у =1.4, число M = 3^ 10, угол сжатия 0 = 5, 10, 15, 20°, два значения температурного фактора Тк = 0.1 и 1, число Прандтля Pr = 0.7. Использовался степенной закон вязкости ц~ Тю с ю = 0.75. Эти параметры близки к параметрам для воздуха. Число Re рассчитано на единицу длины от начала пластины до угловой точки. Решения, полученные с использованием формулы Сазерленда для вязкости, несущественно отличаются от решений со степенным законом вязкости.

В табл. 1 приведена сводка параметров течения в угле сжатия для некоторых экспериментальных и расчетных работ [18—23]. В последней колонке приведены соответствующие значения параметра подобия ^м , которые можно сравнить со значениями на рис. 2. Отдельно проведенный анализ расчетных результатов показал хорошее согласие с экспериментом для решений с зарождающейся отрывной областью и удовлетворительное при дальнейшем развитии отрывной области. С появлением вторичного отрыва различия в размерах отрывной зоны экспериментальных и расчетных результатов становятся существенными.

Сводка исследований течения в угле сжатия по параметру подобия

Автор Год 0° M Re T 1 w Особенности ^М

Chapman [19] 1958 20 3 13 000 1 ламинарный режим 2.22

3 27 000 2.66

3 40 000 2.94

25 2.7 33 000 3.71

10 2.7 1 050 000 1 переходный режим 3.53

1.4 330 000 4.23

15 1.7 58 000 3.47

2.6 330 000 6.75

2 440 000 8.54

Holden [20] 1978 4 2 •I* 5 14.1 104 000 0.097 ламинарный режим 1^2

5 •I* 8 11.7 170 000 0.179

12 +15 15.6 136 000 0.155

14 +18 18.9 181 000 0.133

Базовкин [23] 2009 30 ± 3 21 39 000 0.25 боковое стекание 1.07

Simeonides [21] 1995 15 14.1 455 000 0.12 двумерный расчет 1.81

15 6 320 000 720 000 1 800 000 0.4 полосчатые структуры 2.56

3.14

3.94

Бражко [22] 1991 30 6 300 000 0.37 полосчатые структуры 5.04

15 5 600 000 0.43 3.29

Stemmer [18] 2004 11.5 5 1 123 000 0.8 трехмерный расчет 2.94

В работе [19] приведены результаты для трех режимов течения в области отрыва: ламинарного, переходного и турбулентного. Численные расчеты для переходного режима (м > 3) свидетельствуют о присутствии вторичного отрыва (см. рис. 2). Результаты [19] для турбулентной формы отрыва (м ~ 10) получены при наличии в начале пластины специального турбулизатора.

Рис. 2. Значение параметра подобия ^м при зарождении первичного и вторичного отрыва (у =1.4) для различных значений угла сжатия 0, числа М и температурного фактора Тк

Отметим, в эксперименте всегда существуют неучтенные в расчетах факторы, влияющие на область отрыва: влияние конечных продольных и поперечных размеров модели, стенок камеры и т. д. Наиболее существенный фактор — это боковое стекание. В работе [23] экспериментально показано наличие существенного бокового стекания даже для начальных стадий развития отрыва (м ~ 1). По-видимому, это приводит к уменьшению размеров области отрыва и более

позднему развитию стадий отрыва по числу Яе. Конечная длина щитка (продольное стекание) также может способствовать уменьшению области отрыва, что существенно при больших размерах области отрыва и для малых размеров щитка.

Заметим, что использование в расчетах недостаточно подробных сеток приводит к значительному занижению реального размера области отрыва [15 —17, 21], вплоть до его отсутствия на очень грубых сетках. В эксперименте факторы бокового и продольного стекания также способствуют снижению размеров отрывной области. При желании, в расчетах можно даже достичь хорошего согласования неверифицированных решений с результатами эксперимента. Но эти решения уже не являются проверенными на сходимость по сеткам. Для хорошего согласования результатов эксперимента и верифицированного расчета необходимо решать задачу для реальной трехмерной геометрии с учетом конечного продольного и поперечного размера модели и других определяющих факторов.

В экспериментах [21, 22] с помощью различных методов визуализации течения в области точки присоединения слоя смешения при сверхзвуковом обтекании угла сжатия наблюдались характерные полосчатые структуры. В численных двумерных решениях при этих условиях (м > 2.5) присутствует вторичный отрыв (см. рис. 2). Это указывает на существенную перестройку течения для условий эксперимента, при которых в расчетах существует вторичный отрыв и на необходимость трехмерного моделирования.

Методика численного исследования для трехмерного случая. Уравнения Навье — Стокса в случае трехмерной задачи, решаемой в произвольной криволинейной системе координат ^, п, С, записываются в дивергентной форме:

дО дЕ дС дЕ _ 0

~дТ +а^+аП+'дс_ .

Здесь Q — вектор консервативных зависимых переменных задачи; Е, С, Е — векторы потоков в криволинейной системе координат связаны с соответствующими векторами Qc, Ес,

Сс, Ес в декартовой системе координат х = х(^, п, С), У = У(^, П, С), ? = ?(, П, С) формулами:

б

где / = —)-------------г — якобиан преобразования,

П С)

Е = /Ес § + С с | + Ес I

Е = /Е дС, С д£ Е Е = /| Ес гх + Сс ~ду + Ес а? г

Декартовы компоненты Ос, Ес, С с, Ес для трехмерных уравнений Навье — Стокса имеют вид:

Qc

р ри ру ру

ри Ри 2 + Р-тхх риу -Тух р ^ - Тгх

ру , Ес = риу -Тху , С с = ру2 + Р - Туу Е = ’ с р^ - X ?у

рw Puw -Тхг р^ - X у? рw2 + р -х22

е риН - Гх + Ях + - р р^ - Г + Яг

где р — плотность; u, v, w — декартовы компоненты вектора скорости V; p — давление; e _р(суТ + (u2 +v2 +w2 ^)!2) — полная энергия на единицу объема; H _ cpT + (ы2 + v2 + w2 )2 — полная энтальпия; Cp и cv — удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме; X —

коэффициент теплопроводности; ц — динамической коэффициент вязкости; т — тензор вязких напряжений с компонентами:

(_ ды 2 Л ( ду 2 Л ( дм 2

т” = Ц[2Их ~ )• тя- = Ц|, 2Иу“ 3*^J• т“_ц[ 2-& “

ды ду \ (ды дм ^ (ду дм

тху _тух _^ау+дх > т« _т- _Ц[& + & ) туг _тгу _ц[&+1у

.дТ . дТ . дТ

ц — вектор теплового потока с компонентами _ —"дх’ Уу _ —"ду"’ _ —"д”, а для г-век-

тора гх _ ытхх + утху + мтхг, Гу _ ытух + утуу + мтуг, Г _ ытгх + утгу + мтгг .

Система уравнений замыкается уравнением состояния для совершенного газа

р _ рЯТ/т,

где Я — универсальная газовая постоянная, т — молярная масса газа.

Для динамического коэффициента вязкости используется степенная зависимость от температуры ц/ц2 _ (Т/Т2)ю , а число Прандтля принимается постоянным Рг _цср/Х.

После введения безразмерных переменных (используемых далее) х _ х/Ь, у _ у/Ь,

г _ ГЬ, и _ ы/ы^, V _ у/ых, м _ м/ых , 7 _ ШХ1Ь, р_р/р*,, р _ р/р^ы2, Т _ Т/Тх ,

Р2 _ V^^2, Ц _ ц/ц2 _ Т “ и числа Яе _ р°°ы<2Ь, где Ь — расстояние от начала пластины до уг-

Ц2

ловой точки, безразмерное напряжение трения в плоскости х — у записывается в виде:

Сг _т _

т ху _ Ц (ды ду

г х р«ы2 Яе дх

Численное исследование проводилось на основе пакета программ решения уравнений Навье — Стокса для ламинарных течений методом установления по времени, разработанного в ЦАГИ для двумерного [24—26] и трехмерного случаев [27], с применением методики динамических адаптивных сеток [28], подробно изложенной в [15, 16].

Начально-краевая задача решалась численно методом установления по времени на основе интегро-интерполяционного метода (метода конечного объема). При аппроксимации конвективной составляющей векторов потоков в полуцелых узлах использована неявная монотонная схема типа Годунова и приближенный метод Роу решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. Для повышения порядка аппроксимации до второго при интерполяции зависимых переменных на грань элементарной ячейки использован принцип минимальных производных. При аппроксимации диффузионной составляющей векторов потоков на грани элементарной ячейки применена разностная схема с центральными разностями второго порядка точности. Для решения нелинейных сеточных уравнений использовался модифицированный метод Ньютона — Раф-сона. Решение системы линейных алгебраических уравнений осуществлялось при помощи метода минимальных невязок ОМЯЕ8(к).

В расчетной области (см. рис. 1) начало координат (х = 0) совпадает с началом неотклонен-ной части пластины, точка отклонения угла расположена при х =1, правая граница расчетной области х = 5 (х, у — декартовы координаты). На левой границе ставились граничные условия невозмущенного набегающего потока. Верхняя граница расчетной области выбиралась так, чтобы граничные условия также являлись условиями набегающего потока. Правая граница бралась на

достаточно большом расстоянии, чтобы ошибка в мягких граничных условиях на этой границе (дЕ/дЕ, = 0, Е = и, V, ^, р, Т, где Е, — нормаль к правой границе) практически не влияла на решение задачи в окрестности зоны отрыва. На твердой поверхности выполнялись условия прилипания для скорости и = 0, V = 0, ^ = 0, а для давления и температуры граничные условия др/дп = 0,

Т = Т№ (1 + 0.5(у- 1)М2), где п — нормаль к поверхности, а Т№ — значение температурного фактора. На границах расчетной области по ^-направлению использовалось периодическое граничное условие с перекрытием на одну ячейку, которое включает в себя как частный случай граничное условие для реализации двумерного течения (дЕ/дz = 0, Е=и, V, ^, р, Т).

Численные решения для двумерного случая. Отработанная методика получения надежных решений для двумерных уравнений Навье — Стокса [14—17] позволяет перейти к исследованию трехмерного течения при сверхзвуковом обтекании угла сжатия. В качестве тестового варианта для исследования трехмерного течения взят один из наиболее изученных для двухмерного случая вариант с параметрами течения из работ [15, 16]: у = 5/3, 0 = 20°, М = 5, Тк = 0.1, ю = 0.5,

Рг = 2/3, Яе = 104 ^ 105 (2—4-я стационарные стадии отрыва).

При получении решения в трехмерном случае значительно возрастает необходимое количество расчетных узлов сетки. Поэтому, предварительно, на двумерной сетке с количеством узлов 301 х 71 были получены решения, практически не отличающиеся от решений на сетке 1600 х 200 (рис. 3).

Зарождение вторичного отрыва происходит при Яе ~(2 — б)-104 и зависит от значения температурного фактора Тм, (рис. 4). При зарождении вторичный отрыв имеет протяженный вид

Рис. 3. Распределение давления р (а) и напряжения трения с = с^ Яе12 (б) по х-коор-

динате поверхности угла 0 = 20° для Т№ = 0.1, Яе = 1, 3, 10 • 104 (кривые 1, 2, 3 соответственно) решений, полученных на сетках 1601 х 201 (сплошная) и 301 х 71 (пунктир); кривая 4 — для 0 = 0, Яе = 105

Рис. 4. Зависимость числа Яе при зарождении вторичного отрыва от температурного фактора Тк и области существования различных типов вторичного отрыва (А, Б, В) и гистерезиса А-Б (НГ и ВГ — нижняя и верхняя граница существования вторичного отрыва А и Б типа). Зарождение первичного отрыва происходит при Яе ~ 1000, ^м и 0.9

(тип А) с небольшими осцилляциями, увеличивающимися с ростом числа Яе. Для большого температурного фактора (Тк = 1) характерен протяженный вид вторичного отрыва. Для малых температурных факторов при увеличении числа Яе была обнаружена неединственность решений с развитым вторичным отрывом, т. е. при одинаковых условиях возможны две формы вторичного отрыва (см. рис. 1): протяженная с «одним вихрем» (тип А) и с «двумя вихрями» (тип Б). Тип отрыва, реализуемый в решении, зависит от пути его получения по числу Рейнольдса и температурному фактору (рис. 4). Начиная с некоторого числа Яе, вторичный отрыв имеет форму трех и более вихрей (тип В) с более сложными гистерезисными состояниями.

Для Т№ = 0.1 область А — Б-гистерезиса Яе = (5.3 — 7.8) 104. Использование более грубых сеток приводит к небольшому смещению значений числа Рейнольдса зарождения и границ гистерезиса. Поэтому для Т№ = 0.1 в решении на сетке 301 х 71 при Яе = 6 • 104 отсутствовал гистерезис, а при Яе = 8 • 104 — присутствовал. Зарождение вторичного отрыва на адаптивной сетке 301 х 71 наблюдалось при Яе = 2.56 • 104 (^М = 1.995). При использовании сетки 301 х 71 без адаптивного сгущения в области слоя смешения размеры зоны отрыва заметно занижались. Значение числа Рейнольдса при зарождении вторичного отрыва возрастало до Яе = 3.1 • 104, а гистерезис вторичного отрыва не наблюдался до значения Яе = 105.

Численные решения для трехмерного случая. В качестве начального приближения использовались полученные решения для двумерного случая, продублированные по ^-координате (( = 97) с равномерным шагом Д2 = 0.0075. В расчетах использовались динамические адаптивные сетки, полученные из предварительной ортогональной сетки (одинаковой для всех чисел Яе и Тм,) методом одномерного эквираспределения с весовой функцией, усредненной по всем ^-сечениям (т. е. с одинаковыми двумерными адаптивными сетками для всех Ы2 сечений). Методика применения динамических адаптивных сеток подробно изложена в [15, 16]. Двумерные решения доводились до стационарного решения с разницей полей между временными итерациями

_7

не выше в ~ 10 . Временной шаг между счетными итерациями был Дt = 0.01, а между итерациями (д = 1) по динамической перестройке адаптивной сетки составлял Дt = 0.04.

Сделаем важное замечание. Если существует трехмерное решение, а начальное приближение — двумерное, то переход в трехмерное решение по времени будет проходить через стадию отклонений (возмущений) от двумерного решения. В противном случае будет сохраняться дву-мерность течения.

Рис. 5. Поля трансверсальной скорости в плоскости 7 — у внутри области отрыва: слева при х = 1 для:

и для различных значений Яе, Тм и типа вторичного отрыва А, Б в линейной стадии (б) Яе = 4 • 104;

(в, г) 8-104 А, Б; (д, е) 105 А, Б ( = 0.1); (ж, з) Тм = 0.01, 0.2; справа сечения для х = 0.5 +1.6,

Яе = 6 -104, Тм = 0.1 = 1000) (размеры приведенных сечений: Дг = 0.72, Ду = 0.1; справа от ри-

сунков — ограничивающий диапазон шкалы м)

Так, при Яе < 3 • 104 сохраняется двумерность течения, а при Яе = 4 • 104 наблюдается медленное развитие трехмерного течения (^м = 2.23). При больших числах Яе развитие трехмерного течения по времени происходит более интенсивно. При сохранении двумерности течения поля функций в различных сечениях г — у будет равномерны по ^-направлению, а при развитии трехмерного течения наблюдаются периодические отклонения от равномерности (рис. 5). Процесс перехода из двумерного течения в трехмерное разделяется на две характерные стадии: линейную — когда в целом сохраняется двумерность течения, а по ^-направлению развиваются малые возмущения газодинамических функций (см. рис. 5), и нелинейную — когда происходит разрушение двумерного течения и идет процесс установления трехмерного течения (рис. 6). Трехмерное течение в линейной стадии удобно представить в виде практически постоянного двумерного поля основного течения (в плоскости х — у) и двумерного поля среднеквадратичных отклонений (рис. 7).

В начальной (линейной) стадии после некоторого времени «задержки», необходимого для формирования периодических в пространстве по ^-направлению малых возмущений (например,

м' ~ 10_8), на фоне стационарного двумерного течения наблюдается экспоненциальный рост с одинаковой скоростью (наклоном) среднеквадратичных отклонений от средних значений для всех газодинамических функций Е = и, V, м,р, Т, р (рис. 8). Заметим, что картина поля малых возмущений (см. рис. 5) и среднеквадратичных отклонений (см. рис. 7) сохраняется по времени, а увеличивается только их абсолютная амплитуда. Соответственно и пространственное положе-

Рис. 6. Поля чисел М в плоскости г — у внутри области отрыва при Яе = 6 • 104, Тк = 0.1: слева в диапазоне М = [0; 0.5] при х = 1 для момента времени М0 = 1000 — линейной и М0 > 1100 — нелинейной стадии; справа для момента времени М0 = 1600 при х = 0.6 +1.2 (размеры приведенных сечений: Аг = 0.72,

Ау = 0.1)

0.2'

0.1

0.2

0,1

0.2

0.*

0 2 0.1

0 2 0 1

0 2 01

0.2'

0.1

м а) Яе = 4104

» = 2500

и' <*

V •к ^—’’ <«

р

г

р'

Т75------------------------------------ГО-------------------------------------Г5“

0.5 0 2

0.1

0

-6 0 2

0.1

-7

-5.71 0 2

0.1

-7

-5.94 0 2

0 1

-7

-6.64 0.2

01

-7

-4.66 0 2

0 1

-7

-4.91 0 2

0 1

-7

и

М б) Яе = 6104 ^1

И'' N0 = 500 ^

И'' ^ 1 800

М в) Яс = 8104А

700

М г) И.с = 8- Ю4Б ^1

и»' 700

0.5

о

-6.97

-7

-7

0.5

0

-3.06

7

0.5

О

-2.35

0’5 -------------------------ГО-------- 1 5

-7

Рис. 7. Поля чисел М и десятичного логарифма среднеквадратичных отклонений Е газодинамических функций Е = и, V, м>, р, Т, р внутри области отрыва (Тк = 0.1) в линейной стадии в момент времени Кп для (а) Яе = 4-104;

ние точек с максимальной амплитудой отклонений в линейной стадии практически не меняется по времени и отличается для различных газодинамических функций (см. рис. 7). Поля возмущений для различных функций имеют сложный характер, но в целом зона максимальных отклонений расположена в области интенсивной возвратной струи внутри зоны отрыва и в области вторичного отрыва.

При увеличении числа Яе увеличивается скорость (наклон) роста этих возмущений по времени (см. рис. 8). Зависимости скорости роста возмущений от Тм, (в диапазоне 0.01 +0.2) и типа

Рис. 8. Временная зависимость максимального среднеквадратичного отклонения Е' газодинамических функций Е = и, V, м>, р, Т, р от своего среднего значения для значений числа Яе = 4, 6 -104

вторичного отрыва (А или Б) не наблюдается, однако заметно различаются времена «задержки», что может быть связано со значительными отличиями двумерных решений.

Увеличение числа Рейнольдса и уменьшение температурного фактора уменьшает пространственный период по ^-направлению этих возмущений в линейной стадии (см. рис. 5). Например,

если для размера расчетной области Д^ = 0.72 при Яе = 4 и 6-104 (Тм = 0.1) и при Яе = 10-104

шесть. Для Тм = 1 двумерное течение сохранялось до Яе < 105, а при Яе = 105 наблюдалось три периода возмущений.

Отметим, что в линейной и в начале нелинейной стадии частота пространственной периодичности сохраняется во всех сечениях г — у области отрыва (см. рис. 5, 6). Амплитуда пространственных возмущений в области начала отрыва на несколько порядков ниже, чем в зоне вторичного отрыва и в области присоединения (см. рис. 5, 7).

При достижении амплитудой этих возмущений некоторого значения (например, для сече-

I —2

ния г — у из угловой точки м ~ 10 ) происходит разрушение двумерного течения и наступает нелинейная стадия формирования трехмерного течения (см. рис. 6). Первоначально стационарная двумерная (однородная по ^-координате) возвратная струя (осциллирующая в плоскости х — у) распадается на ряд струек пульсирующих в пространстве (в плоскости г — у) и по времени. На поверхности угла сжатия в области присоединения формируются характерные полосчатые структуры (рис. 9) вызванные сложным пространственным течением внутри области отрыва. Наблюдаемые осцилляции теплового потока в области точки присоединения составляют ~10% от среднего значения.

На рис. 10 приведено распределение параметров течения по ^-координате в области максимальных отклонений для сечения г — у из угловой точки при окончании линейной и в некоторый

-05

Рис. 10. Распределение давления р и скорости м

(Яе = 6 -104, Тм = 0.1) на линии максимальных возмущений в сечении г — у (х =1) для линейной = 1000) и

Рис. 9. Визуализация поверхностного напряжения трения (а) и теплового потока (б) по поверхности угла при

Яе = 6 -104, Тм = 0.1 для двумерного и трехмерного течения в момент времени ND = 0 и 1600 соответственно

момент начала нелинейной стадии. Периодические возмущения давления и скорости м для на той же линии для нелинейной стадии

да. Возмущения давления и трансверсальной

скорости в начале нелинейной стадии значительно выше и сохраняют первоначальную периодичность по г-координате.

В проведенных расчетах не удалось достичь формирования стационарного трехмерного течения. Получение, анализ и верификация по сеткам окончательного стационарного решения требуют значительно большего расчетного времени (для Яе = 6 -104 — ND > 5000) и являются темой отдельного исследования. Также открытым остается вопрос об эволюции пространственной периодичности для различных сечений области отрыва.

Верификация численных решений для трехмерного случая. Результаты трехмерных численных исследований показали, что так же, как и в двумерном случае, на полученное решение значительно влияет диссипация, связанная с разрешением используемой в расчетах сетки. Отдельный интерес представляет ее проявление в трехмерном случае при изменении количества узлов по г-направлению. Для верификации результатов для линейной стадии в качестве базового

был выбран вариант без гистерезиса Яе = 6 • 104, Тм = 0.1 с размером расчетной области Аг = 0.72 и шагом сетки Аг = 0.0075 (г = 97) в г-направлении (вариант б4 в табл. 2). На рис. 11 приведены решения для линейной стадии развития тестовых вариантов из табл. 2 с вариацией размера расчетной области (Аг = 0.72, 0.48, 0.27, 0.135) и шага расчетной сетки (Аг = 0.01, 0.0075, 0.005, 0.0025).

При уменьшении размеров расчетной области наблюдается пропорциональное уменьшение количества периодических возмущений в линейной стадии. Уменьшение шага расчетной сетки А г при фиксированном размере расчетной области практически не влияет на размеры периодических возмущений. Влияние размеров расчетной области на период возмущений по г-коорди-

Дг= 0.0050

Рис. 11. Поля трансверсальной скорости для линейной стадии в плоскости г — у внутри области отрыва при х =1 решений, полученных при Яе = 6 • 104 для различных сеток из табл. 2, и сравнение периодических структур (а, б, в, г, д, е) при размере расчетной области больше длины периода и меньше

в 2 раза для Яе = 4, 6, 8 А, Б, 10 А, Б-104

нате сводится к следующему: если в полный г-размер области не укладывается целое количество периодов, то размер периодических структур немного увеличивается (варианты а3, б3, в3 в табл. 2). Изменение размеров расчетной области в г-направлении практически не влияет на скорость роста возмущений. При использовании более грубой расчетной сетки увеличивается время «задержки» перед началом линейной стадии и уменьшается наклон в экспоненциальном законе роста возмущений для линейной стадии (рис. 8, г). При размере области в 1—2 периода наблюдается небольшой разброс около кривой роста возмущений, связанный со значительно меньшей статистикой усреднения и незначительным изменением положения области максимальных возмущений.

Т аблица 2

Параметры расчетных сеток для верификации решения Ке = 6 • 104, Т„ = 0.1

Варианты 1) Аг = 0.135 2) Аг =0.27 3) Аг =0.48 4) Аг =0.72

а) А2 = 0.0050 а1 (28) а2 (55) а3 (97) —

б) А2 = 0.0075 б1

в) А2 = 0.0100 в1

г) А2 = 0.0025 г 1 (58) — — —

Примечание. В скобках приведено количество узлов сетки N2 в 7-направлении.

При размере расчетной области Аг в два раза меньше, чем наблюдаемый период возмущений, происходит формирование возмущений с периодом, равным размеру расчетной области (см. рис. 10). При этом заметно уменьшается скорость роста этих возмущений по времени:

в 1.5—2 раза для Яе = (10 — 6) • 104 соответственно, а для Яе = 4 -104 развитие возмущений

практически останавливается на уровне м' ~ 10-11. При дальнейшем уменьшении размера расчетной области Аг (0.2 от периода возмущений) для Яе = (6 —10) •Ю4 развитие возмущений

также останавливается на уровне м' ~ 10-9 10-10 и сохраняется двумерность течения.

При получении трехмерного решения проводились итерации по динамической перестройке адаптивной сетки, что может быть возможным источником для генерации возмущений. Поэтому для тестовых вариантов в начале и середине линейной стадии фиксировалась трехмерная адаптивная сетка и проводилось сравнение с результатами при динамической адаптации. Результаты между собой полностью совпадали. При расчетах с изначально фиксированной адаптивной сеткой решения также практически совпадали. Дополнительно была проверена независимость получаемых результатов при использовании более высокой степени сходимости на временном шаге

в ~ 10-10 и при уменьшении расчетного шага по времени в два раза.

Возникновение в решении периодических по г-координате трехмерных структур имеет простое объяснение. Так же, как и в двумерных расчетах, в решении существуют малые счетные погрешности в ~ 10-10 10-14, перемещающиеся внутри области отрыва вместе с медленным замк-

нутым круговым течением для стационарного решения. Если в двумерном случае это происходит в одном сечении, то в трехмерном в различных сечениях. Если при низких числах Яе (или малых размерах расчетной области Аг) сохраняется двумерность течения, то при больших числах Яе появляется некоторая свобода в перемещении этих возмущений в различных сечениях. По-видимому, при этом решается задача устойчивости трехмерного плоского решения к присутствующим малым расчетным возмущениям и при потере устойчивости плоского решения происходит переход от двумерного решения к трехмерному. Эти расчетные возмущения фактически являются аналогом физических возмущений в эксперименте.

Отметим, что использование более грубых сеток может значительно затормозить процесс развития в решении периодических возмущений, вплоть до сохранения двумерного решения на очень грубых сетках. Использование расчетных сеток без адаптивного сгущения в слое смешения существенно тормозит развитие трехмерности течения, а двумерность течения сохраняется до

заметно большего числа Яе = 105. Также отметим, что для корректного сравнения экспериментальных результатов и трехмерных расчетов необходимо максимально точно воспроизвести геометрию для условий эксперимента, чтобы полностью учесть влияние бокового и продольного стекания на формирование трехмерного течения в области отрыва, а также возрастающие требования к количеству узлов расчетной сетки с увеличением числа Рейнольдса для решений со вторичным отрывом.

Заключение. Таким образом, для сверхзвукового обтекания угла сжатия развитие решения с вторичным отрывом при увеличении параметра подобия существенно различается в двумерном и трехмерном случаях. Если для двумерного течения характерен гистерезис и усложнение формы вторичного отрыва, то в трехмерном случае при достижении некоторого значения параметра подобия (ниже, чем значения при гистерезисе) возникает неустойчивость двумерного

течения в области отрыва и формируется сложное трехмерное течение. В численных решениях на поверхности угла сжатия в области присоединения присутствуют характерные полосчатые структуры аналогично тому, что наблюдается в эксперименте. Исследовано влияние сеточной вязкости на получаемое решение в трехмерном случае. Полученные результаты дают представление о линейной и нелинейной стадиях развития решения с трехмерным вторичным отрывом и позволяют более качественно и целенаправленно проводить дальнейшее его численное исследование.

Автор выражает признательность за поддержку, творческое обсуждение и ценные замечания Нейланду В. Я. и Соколову Л. А., а также Егорову И. В. и Иванову Д. В. за предоставленные коды вычислительных программ.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 07-08-000124а и 10-08-000274а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я., Боголепов В. В., Дудин Г. Н., Липатов И. И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. — М.: Физматлит. 2004, 456 с.

2. Crocco L., Lees L. A mixing theory for the interaction between dissipative flows and nearly isentropic streams // J. Aeron. Sci. 1952, N 19, p. 649—676.

3. Chapman D. R. An analysis of base pressure at supersonic velocities and comparison with experiment // NACA Rep. 1951, N 1051, pp. 23.

4. K o r s t H. H. A theory for base pressure in transonic and supersonic flow // J. App. Mech. 1956. V. 23, N 4, p. 593—600.

5. Нейланд В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва: Сб. аннотаций докладов 3-го Всесоюзного съезда по теорет. и прикл. механике. — М.: Наука, 1968, c. 224.

6. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 4, c. 53—57.

7. Stewartson K, Williams P. G. Self-induced separation // Proc. Roy. Soc. — London. Ser. A. 1969. V. 312, N 1509, p. 181—206.

8. Stewartson K. On laminar boundary layers near corners // Quart J. Mech. Appl. Math. 1970. V. 23, N 2, p. 137—152.

9. Нейланд В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке// Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 3, c. 19—25.

10. Smith F. T., K h o r r a m i A. F. The interactive breakdown in supersonic ramp flow // J. Fluid. Mech. 1991. V. 224, p. 197—215.

11. Korolev G. L., G a j j a r J. S. B., R u b a n A. I. Once again on the supersonic flow separation near a corner // J. Fluid Mech. 2002. V. 463, p. 173 —199.

12. Hung C. M., MacCormack R. W. Numerical solutions of supersonic and hypersonic laminar compression corner flows // AIAA. 1976. V. 14, N 4, p. 475—481.

13. Workshop on hypersonic flows for reentry problems: Proc. Pt II. Vol. 3, probl. III: Flow Over a 2D Ramp. Antibes. — France, 1991, pp. 1216.

14. Нейланд В. Я., Соколов Л. А., Шведченко В. В. Влияние температурного фактора на структуру отрывного течения в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 5, c. 39—51.

15. Нейланд В. Я., Соколов Л. А., Шведченко В. В. Структура отрывного течения при обтекании угла сжатия сверхзвуковым потоком и различных значениях температурного фактора // Успехи механики сплошных сред: к 70-летию академика В. А. Левина: Сб. научн. тр. — Владивосток. 2009, c. 540—562.

16. Шведченко В. В. О вторичном отрыве при сверхзвуковом обтекании угла сжатия // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. XL, № 5, c. 53—68.

17. Пальчековская Н. В., Шведченко В. В. Первичный и вторичный отрыв при сверхзвуковом обтекании угла сжатия // Проблемы газодинамики и теплообмена в аэрокосмических технологиях. — М.: Изд. «Дом МЭИ». 2009. Т. 1, c. 137—140.

18. Stemmer C., and Adams N. A. Investigation of supersonic boundary layers by DNS // ECCOMAS 2004 Proceedings. 2004. V. II, pp. 11.

19. Chapman D. R.Kuehn D. M.,Larson H. K. Investigation of separated flows in supersonic and subsonic streams with emphasis on the effect of transition // NACA Report 1356. 1958, p. 419—460.

20. H o l d e n M. S. A study of Flow Separation in Regions of Shock wave-boundary layer Interaction in hypersonic flow // AIAA 11-th fluid and plasma dynamics conference. Seatle. Wash. Rept. 78-1169. Jul 1978, pp. 21.

21. Simeonides G., Haase W. Experimantal and computational investigation of hypersonic flow about compression ramps // J. Fluid. Mech. 1995. V. 283, p. 17—42.

22. Бражко В. Н. Некоторые особенности поперечной периодичности течения в двумерных сверхзвуковых областях // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. 22. № 4, c. 25—32.

23. Базовкин В. М., Ковчавцев А. П., Курышев Г. Л., Маслов А. А., Миронов С. Г., Хотяновский Д. В., Царенко А. В., Цырюльников И. С. Влияние продольных структур на теплопередачу при гиперзвуковом обтекании угла сжатия // ПМТФ. 2009. Т. 30. № 4, с. 112—120.

24. Егоров И. В., Зайцев О. Л. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье — Стокса методом сквозного счета // ЖВММФ. 1991. Т. 31, № 3, c. 286—299.

25. Бабаев И. Ю., Башкин В. А., Егоров И. В. Численное решение уравнений Навье — Стокса с использованием итерационных методов вариационного типа // ЖВММФ. 1994. Т. 34, № 11, c. 1693 — 1703.

26. Башкин В. А., Егоров И. В., Иванов Д. В. Применение метода Ньютона к расчету внутренних сверхзвуковых отрывных течений // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 1, c. 30—42.

27. Башкин В. А., Егоров И. В., Иванов Д. В., Пафнутьев В. В. Пространственное ламинарное обтекание осесимметричных тел сверхзвуковым потоком газа // ЖВММФ. 2002. Т. 42. № 12, c. 123 — 133.

28. Гильманов А. Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. — М.: Физматлит, 2000, 240 c.

Рукопись поступила 12/XII2009 г.