Характеристики обнаружения сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции

А.Н. Лукин, Г .В. Степанов,

доктор физико-математических наук, ОАО «Вега» г. Воронеж

профессор

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА УПРАВЛЯЕМОГО ПАССИВНОГО РАССЕИВАТЕЛЯ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИИ

DETECTION SIGNAL CHARACTERISTICS OF CONTROLLING PASSIVE SCATTERING WITH UNKNOWN PARAMETERS OF THE PHASE MODULATION

Представлены характеристики обнаружения оптимального приёмника сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции. Получены соотношения для расчёта характеристик обнаружения сигнала приёмника при его многоканальной реализации с произвольным числом каналов.

The characteristics of detection of the optimal receiver signal controlling passive scattering with unknown parameters ofphase modulation are obtained. The formulas for calculating the characteristics of detection of a signal of the receiver with his multichannel realization with any number of channels are created.

Управляемые пассивные рассеиватели являются перспективными устройствами для создания беспроводных систем передачи извещений с датчиков охранной сигнализации. Эти устройства представляют собой систему параметрической радиолокации [1]. Одной из составляющих в параметрической радиолокации является радиоприёмное устройство. Для определения энергетического потенциала системы параметрической радиолокации, содержащей управляемые пассивные рассеиватели, осуществляющие фазовую модуляцию переизлучённого сигнала, необходимо найти характеристики приёмника-обнаружителя сигнала для случая неизвестных параметров фазовой модуляции. Неизвестные параметры фазовой модуляции, такие как индекс модуляции m и начальная фаза модулирующего сигнала Ф, могут быть неизвестны как вследствие разброса электродинамических параметров рассеивателей, так и в силу нестабильности фазы генератора модулирующего сигнала. Кроме того, в теории обнаружения сигналов остаётся открытым вопрос о применении известных соотношений для характеристик обнаружения сигналов с неизвестными параметрами [2] к многоканальным приёмникам с произвольным числом каналов и, в том числе к приёмникам со значительно разряженным числом каналов.

Цель работы — вычисление характеристик обнаружения оптимальных приёмников сигналов управляемых пассивных рассеивателей с неизвестными параметрами фазовой модуляции, а также получение соотношений для расчёта характеристик обнаружения сигнала многоканального приёмника- обнаружителя с произвольным числом каналов по неизвестным параметрам модуляции.

Структура алгоритма обнаружения сигнала управляемого пассивного рассеивателя в случае неизвестных параметров фазовой модуляции ^ = (иг,Ф) приведена в работе [3]

лт< 12 1

41 (?)<?!

-1

тТ

где

матрица- с *

К

^(3)1

7<0.<

(СОЕ ]

151П]

¡^ДТ!

1 / ^ 1с1)\Я1

Ф&.

(Ищу <?й>\

• ; - I. ..  I- — | '.

Гипотеза Н]: в принятой реализации ч(г) присутствует фоновый гармонический сигнал с неизвестной амплитудой и начальной фазой и с центральной частотой и белый гауссовский шум, у=1, Р1 = 1. Гипотеза Нг: в принятой реализации£(0 присутствует фоновый гармонический сигнал, сигнал управляемого пассивного рассеивателя, также с неизвестными амплитудой и начальной фазой и с неизвестными параметрами фазовой модуляции ш и Ф, *?) = ^ Ф) и белый гауссовский

шум, у=2, Р2 = 2.

Найдем характеристики приёмника-обнаружителя сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции построенного по алгоритму (1). Для этого, следуя работе [2], найдем отношение сигнал-шум на выходе приёмника (1). Отношение сигнал-шум определим как квадрат сигнальной функции к дисперсии шумовой функции в точке истинного значения неизвестных параметров модуляции[2]. Подставим £(0

где *о; = ^<аГО!'<Р<И'Уа = ^01 > — истинные значения амплитуды и фазы

сигнала/-переизлучателя; р„ — истинное число слагаемых в сигнале, ц=1,2, в (2), (3), и

получим где /уО?(Ь

\ К

'с: *

матрица размером

1 X

с элементами

I гг кЧОр

;-1

Рд

Ю’1

;-г

сс'

матрица размером

1 X

с элементами

ЛГд (о)) 2 гт , _ , г г ,

да=^/о ?) 1*^3 г“°г  * 1

Найдем среднее значение, сигнальную функцию 5 (/0, q), выходного напряже

ния приёмника максимального правдоподобия построенного по алгоритму (1). Для это го подставим (7) в (1) и перепишем среднее от (1) в виде

,-^г^ ^ [ С '')Q~ífтC ") ♦

”)) ЯГ ) VС ") 1 / С ') *

Подставим в (9) значение функции модуляции и представим (8) в матричном виде

где к02 — [^02* ^пгт] — блочная матрица-строка с блоками, ^ОіА- = II *0x11, 1*02у — ІІУоіМ-І — 1(2-

£

о

Хс2гЙ0,’) - ЬоСт») /”(№,)] '

— блочная матрица с блоками — функция Бесселя нулевого порядка,

. ... :::. : о ,

где

ХніМ 0 о $с2і(Яо>*

21У

т

«о

— блочная матрица с блоками

[/с(то

>

Подставим (12), (13) в (11) и ,выполнив преобразования, получим

= _ 7А

-ЇЙ

где = А\{1

В точке истинного значения сигнальная функция (14) равна

Значение

шумовой

составляющей

алгоритма

дисперсии

найдем через значение корреляционной функции, определенной в работе [3] при выполнении гипотезы Н2:

— л

[1 ІІ

[1 №

т>

г2 і 1(11

+1

(1) т2

Положим в (16) ^ — *7о и найдем отношение сигнал-шум на выходе приёмника

г —

к

-/о'

+ 2

Как видно из (17), отношение сигнал-шум зависит от истинного значения индекса модуляции и не зависит от фазы модулирующего сигнала. Отсюда, индекс модуляции является энергетическим параметром [2].

Исследуем поведение отношения сигнал-шум (17) в зависимости от значения индекса модуляции. График зависимости отношения сигнал-шум от истинного значения индекса модуляции показан на рис. 1

Рис.1. Зависимость отношения сигнал-шум от индекса модуляции Отношение сигнал-шум для сигнала рассеивателя 2г =40

Как видно из рис.1, начиная с индекса модуляции т > значение отношения сигнал-шум осциллирует около постоянного значения, отклоняясь от него не более чем на 16%.

При больших значениях индекса модуляции т0 ? 1;J'^(m0') 0 отношение

сигнал-шум (17) равно ' .2

. - - -Г - .

Из (18) видно, что отношение сигнал-шум при больших значениях индекса модуляции не зависит от его значения, т.е неизвестные параметры т и Ф — неэнергетические [2].

При « \ ,72 ~ 1/2.

Последнее соотношение связано с моделью сигнала источника. Согласно (15) сигнальная функция отлична от нуля даже при сколь угодно малой амплитуде сигнала управляемого рассеивателя. Однако, как показано в работе [4], источник со сколь угодно малой амплитудой не может быть обнаружен при конечной температуре приёмника. Отсюда, определение сигнальной функции как среднего значения выходного напряжения (11) нуждается в корректировке на величину постоянного слагаемого р2-р1.

В сигнальную функцию следует включить лишь первое слагаемое (11). Тогда отношение сигнал-шум на выходе приёмника (1) равно

При больших значениях индекса модуляции, упомянутых выше, (19) можно переписать в виде ^ ^

Для обеспечения высокой апостериорной вероятности обнаружения и обеспечения оптимальности метода максимального необходимо потребовать, чтобы ¿2>>1, которое выполняется если 1'‘г> 40. Отсюда, источник сигнала существует, если он обнаруживается или его амплитуда меняется от некоторого порогового значения А0, А > А0, если А < А0, то источника сигнала нет.

Характеристикой приёмника-обнаружителя, в соответствии с критерием Неймана — Пирсона, считаем вероятность правильного обнаружения в при заданной вероятности ложной тревоги а.

Для определения порогового значения напряжения найдём вероятность ложной тревоги. Вероятность ложной тревоги при обнаружении сигнала с неизвестным неэнергетическим параметром определяется, согласно [2], соотношением I — ехр\—1ехр(-и2/2)/(2тт)^ * 1-^2]г и > — 1

- 1

П. . где Ь = і.^ГЇ, V— объём априорной области изменения параметров; £2— определитель матрицы, составленной из вторых производных сигнальной функции, вычисленной в точке истинного значения параметров; и = й/г— нормированный порог; ц — размерность пространства неизвестных параметров сигнала.

В отношении формулы (21) сделаем замечание. Корреляционная функция шумового поля №(і^), вычисленная при выполнении гипотезы Ні, приведена в работе [3]:

К

н-1

где 012 — т/т1 + т2 ~ '¿т1т2соЕ(Ф1 — Ф2).

Как видно из (22) корреляционная функция не совпадает с сигнальной функцией (14). Поэтому в качестве определителя Q в (21) следует взять определитель матрицы, составленный из вторых производных корреляционной функции (22). Действительно, при получении формулы (21) в [2] использовалась формула распределения выбросов шумовой функции за высокий уровень. Естественной характеристикой случайного процесса — шумовой функции, является его корреляционная функция, которая в данном случае не совпадает с сигнальной функцией. Условие, накладываемое на корреляционную функцию случайного процесса, для применения аппроксимации распределения его выбросов за высокий уровень [2], для корреляционной функции шумового поля (22) выполнено. Действительно, как видно из (22) при ш»1, > при

? <'. Вычислив вторые производные от корреляционной функции (22) по индексу модуляции и фазе модулирующего сигнала, найдём Q и, подставив его в (21), при ц=2 получим

и2/2)/{2тт)3' и > 1 и < 1

где J 1(т)— функция Бесселя первого порядка.

По соотношению (23) можно найти значение нормированного порога по заданной вероятности ложной тревоги а, по величине априорной области у=Дш ДФ, где Дт априорная область изменения индекса модуляции и ДФ — априорная область изменения фазы модулирующего сигнала, и по истинному значению индекса модуляции Ш=Шо.

Вероятность правильного обнаружения в может быть найдена на основании соЛ

отношений приведённых в [2] как $ ~ 1 — Д, где $—вероятность пропуска сигнала.

и >

где Ьн — ^дгЛ'О!, — объём априорной области неизвестных параметров за минусом

объёма области высокой корреляции шумовой функции; ~ -О — функция

параболического цилиндра [5].

Принимая во внимание вышеприведённое замечание о несовпадении сигнальной функции (14) и корреляционной функции шумового поля при выполнении гипотезы Н2 (16) найдем вторые производные корреляционной функции шумового поля для нахождения определителя Q и, подставив его в (24), при р=2 получим

1

\ 2л

ехр

тфло/,2<

Г

ехр *—сю 4

и.

4г,и > 1

Выполним преобразования в

1-а) _

ит

[т)ехр(,— и2

2 п

[1^1

т

Подставим (26) в (25), и если область высокой корреляции составляет малую часть априорной области V, то Ун/У П 1, а также при т » 1 и а « 1 получим

и > 1

1 I   .

1, и > 1

Из (27) видно, что характеристика обнаружения приёмника зависит от отношения сигнал-шум ъ и от величины порогового напряжения и. Непосредственно неизвестные параметры сигнала в характеристику обнаружения не входят, они влияют лишь на величину порога. Этот вывод совпадает с выводами, приведёнными в работе [2].

Применим полученные характеристики обнаружения (23),(27) для обнаружения сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции к многоканальному приёмнику. Полученные характеристики обнаружения справедливы в непрерывном пространстве параметров, т.е. при любом интервале между каналами. Как показано в работе [3], точное воспроизведение реализации случайного процесса в пространстве параметров — индекс модуляции ш фаза Ф возможно, если расстояние между каналами выбрать не меньше 1/2БШ , где Бш — верхняя частота спектра мощности случайного процесса по соответствующему неизвестному параметру. Точное воспроизведение реализации по отсчётам в каналах приводит к достижению максимального значения отношения сигнал-шум. С увеличением интервала дискретизации сверх величины 1/2БШ уменьшится отношение сигнал-шум за счёт шумов дискретизации и другим станет пороговое напряжение и.

Найдем зависимость отношения сигнал-шум от интервала дискретизации. Для этого запишем отношение сигнал-шум (17) как функцию текущего канального значения параметра и его истинного значения

Подставим в (28) выражения (14) и (16) и получим

Ы [/в(ро> -Л(швМт}]1/з|

72(ч»,ч) =

г

При ш » 1, ш0 » 1, ^2 » 1, в окрестности точки истинного значения, (29) можно записать в виде

X2!

- у2]21 А?.і0 і

'0.

Пусть фаза модулирующего сигнала совпадает с истинным значением тогда сечение (30) по индексу модуляции имеет вид

у2

— .,2/2

Выразим в

/о'

: через спектр мощности

= *о

Здесь согласно [3]

Гґ-і

И5»1

2{ш/2 — 1), О < ш < 2  - _ , где ^г(ш2/2 — 1) — функция Лежандра первого рода[5]. Подставим (32) в (31) и получим

(30) Ф = Ф0?

= 2-Г<Г1Ут(^)сО5Ш(ш0

4тг

При ™ (34) имеет вид

г| ї-иі 4тт ‘

Как видно из (33), спектр мощности И^гп{£^>)ограничен частотой са=2. Отсюда верхняя частота спектра = І/11".Тогда для получения максимального значения отношения сигнал-шум (35) необходимо брать интервал между каналами по индексу модуляции не более = тг/2 При увеличении интервала между каналами в г

раз (г > 1) отношение сигнал-шум на выходе приёмника уменьшится в соответствии с выражением

4тг "’0

Найдем второе главное сечение поверхности (30), положив ш=1По, тогда

Л т2

[2т05ІТі(Ф(| — :

Запишем периодическую функцию /¿12/^X171 (Ф0 - Ф)] рез дискретный спектр мощности Лп [3]. Тогда (37) принимает вид

О < п < 2т п > 2т

с периодом 2р че-^8)

При Ф — Ф0 из (38) следует

г2

Как видно из (39), дискретный спектр функции ограничен значением п = 2т. Тогда для получения максимального отношения сигнал шум в (40) необходимо брать расстояние между каналами по фазе не больше £Ф = 1/2^ = тг/2т. При увеличении этого интервала в 9 раз (в > 1) отношение сигнал-шум (34) будет меньше максимально возможного и равно

На рис. 2 приведена зависимость изменения отношения сигнал-шум (36) от кратности уменьшения числа каналов т по индексу модуляции. Как видно из рис. 2, сокращение числа каналов в два раза уменьшает отношение сигнал-шум на 40%, в три раза — почти на 60%.

На рис. 3 представлен график изменения отношения сигнал-шум (41) в зависимости от кратности уменьшения количества каналов 0 по фазе. Как видно из рис. 3, при снижении числа каналов в 1,25 раза, отношение сигнал-шум снижается на 20%, при уменьшении числа каналов в два раза — на 40%.

\

\

\ V

-

\

о

1,25

Рис. 2. Изменение отношения сигнал-шум в зависимости от кратности уменьшения количества каналов т по индексу модуляции

Рис. 3. Изменение отношения сигнал-шум в зависимости от кратности уменьшения количества каналов 0 по фазе

Для определения влияния числа каналов на значение порога запишем (26) в виде

<г1г = Inn + vms/i2(m)/2irin(l — tr)_1 [l -/02(т)]

Пренебрегая значением функции Бесселя ( /о(т) « 1) в знаменателе (42) при ш » 1 и используя асимптотическое выражение для функции Бесселя при

больших значениях аргумента [5] получим

— Ігш + ДФДт[сої3

-і

Отношение h = ДФДт/(тт2/т) определяет количество элементов разрешения, которые укладываются в априорной области v неизвестных параметров сигнала [2]. Учитывая интервал между каналами = п:/2и <5Ф = и/2ш, величину h можно рассматривать как четвёртую часть количества каналов N = 4АтАФ/5т5Ф, обеспечивающих максимальное значение сигнал-шум h = Af/4. Если расстояние между каналами увеличится сверх <5тйФ на т0, то увеличится и элемент разрешения в пространстве параметров на эту величину. Отсюда, запишем (43) в виде

и2/2 — hin + Nftros"

Как видно из (44), пороговое значение напряжения, обеспечивающее заданное значение вероятности ложной тревоги, растёт с уменьшением вероятности ложной тревоги и с увеличением числа каналов. Этот вывод совпадает с предложением о вычислении порога в многоканальном приёмнике в предположении независимости отсчётов напряжения в соседних каналах [6].

На рис. 4 приведены графики рабочих характеристик приёмника, построенные для 48-канального приёмника при = 3,Дт = 6,ДФ = = 4, Лгф = 12 по фор-

муле (27) для порогов, вычисленных по формуле (44). При числе каналов приёмника 48 и выше для упомянутых параметров модуляции сигнала обеспечивается достижение максимального значения отношения сигнал-шум.

Р

0.3

- £

0.4

UJ

/у • 7

! ) /

1 ^ /•;/ ;

/.'7 ,7

7

4 6 8 10 *

Рис.4. Вероятность правильного обнаружения многоканального приёмника р в зависимости от отношения сигнал-шум: сплошная линия — вероятность ложной

тревоги а = 10-3, пунктирная линия а=10-4, штриховая линия а=10-5

Рис. 5.Зависимость вероятности правильного обнаружения от кратности уменьшения числа каналов % по индексу модуляции: штриховая линия

у

сплошная линия

Вероятность ложной тревоги а. — 10 4

^ = 30, = 50.

Этот график является рабочей характеристикой приёмника построенного по алгоритму (1), которая показывает значение отношения сигнал-шум, необходимое для достижения заданной характеристики обнаружения при заданной, через порог, вероятности ложной тревоги.

При уменьшении числа каналов отношение сигнал-шум уменьшается, что приводит к ухудшению рабочей характеристики приёмника.

На рис. 5 представлен график зависимости вероятности правильного обнаружения, построенный по формуле (27) при сокращении числа каналов по индексу модуляции. Порог вычислялся по соотношению (44), а отношение сигнал-шум — по формуле (36). Как видно из рис. 5, уменьшение числа каналов приводит к уменьшению вероятности правильного обнаружения. Компенсировать ухудшение характеристик обнаружения при сокращении числа каналов можно за счёт повышения отношения сигнал-шум управляемого пассивного рассеивателя (%\ — сплошная линия на рис. 5).

Выводы.

1. Получена рабочая характеристика приёмника-обнаружителя сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции сигнала.

2. Получена рабочая характеристика многоканального приемника-обнаружителя с произвольным числом каналов.

3. Показано, что уменьшение числа каналов сверх предельного значения приводит к уменьшению отношения сигнал-шум. Получены формулы для вычисления отношения сигнал-шум при уменьшении числа каналов приёмника для сигнала с неизвестными параметрами фазовой модуляции.

4. Вычислена рабочая характеристика приёмника при уменьшении числа каналов и показано, что её ухудшение может быть компенсировано увеличением отношения сигнал-шум управляемого пассивного рассеивателя

ЛИТЕРАТУРА

1. Гридин Ю.И., Лукин А.Н., Струков И.Ф. Устройство регистрации радиоголограмм и радиоизображений в реальном масштабе времени // Приборы и техника эксперимента. — 1986. — №°4.

2.Теория обнаружения сигнала / П.С. Акимов [и др.]; под ред. П.А. Бакута. — М.: Радио и связь, 1984. — 440 с.

3. Лукин А.Н., Степанов Г.В. Оценка числа каналов приёмника-обнаружителя сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции // Вестник Воронежского института МВД. — 2013. — №°4. — С.132—148.

4. Лукин А. Н., Мальцев А. В., Слепченко Р. А. Отношение сигнал-шум на выходе интегрирующей цепи для сигнала бесконечной длительности // Вестник Воронежского института МВД. — 2011. — №°2. — С.14—18.

5. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган; пер. с англ. под ред. В.А. Диткина, Л.Н.Карамазиной. — М.: Наука, 1979. — 832с.

6. Вайнштейн Л.А., Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. — М.: Сов.радио,1960. — 447 с.

REFERENCES

1. Gridin Yu.I., Lukin A.N., Strukov I.F. Ustroystvo registratsii radiogologramm i radio-izobrazheniy v realnom masshtabe vremeni // Priboryi i tehnika eksperimenta. - N 4. - 1986.

2. Teoriya obnaruzheniya signala / P.S. Akimov, P.A. Bakut, V.A. Bogdanovich i dr.: pod red. P.A. Bakuta. - M.: Radio i svyaz, 1984. - 440 s.

3. Lukin A.N., Stepanov G.V. Otsenka chisla kanalov priyomnika-obnaruzhitelya signala upravlyaemogo passivnogo rasseivatelya s neizvestnyimi parametrami fazovoy modulyatsii // Vestnik Voronezhskogo Instituía MVD. - 2013. — N 4, - S. 132-148.

4. Lukin A.N., Maltsev A.V., Slepchenko R.A. Otnoshenie signal-shum na vyihode in-tegriruyuschey tsepi dlya signala beskonechnoy dlitelnosti // Vestnik Voronezhskogo Instituta MVD. - N 2. - 2011. - S. 14-18.

5. Spravochnik po spetsialnyim funktsiyam / pod red. M. Abramovitsa, I. Stigan; per. s angl. pod red. V.A .Ditkina, L.N. Karamazinoy. - M.: Nauka, 1979. - 832 s.

6. Vaynshteyn L.A., Zubakov V.D. Vyidelenie signalov na fone sluchaynyih pomeh. -M. : Sov. radio, 1 960. - 447 s.