Математическая модель многоскоростного Bpp трафика с учётом приоритетов

Математическая теория телетрафика

УДК 621.39

Математическая модель многоскоростного BPP трафика с

учётом приоритетов

Г. П. Башарин, А. М. Коннон

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

В данной работе исследован BPP(Binomial-Poisson-Pascal)-трафик с приоритетными заявками. Построена математическая модель с учётом динамического алгоритма распределения канального ресурса на основе пороговой стратегии доступа. Распределение каналов происходит в зависимости от приоритета заявок и загруженности системы. Такой алгоритм обслуживания позволяет обеспечить лучшее качество обслуживания (QoS) в многоскоростных мультисервисных сетях. Разработан алгоритм расчёта основных ВВХ системы.

Ключевые слова: BPP-трафик, многоскоростной эластичный трафик, многоскоростной неэластичный трафик, пороговая стратегия доступа, приоритетные заявки.

1. Введение

В последние годы в связи с очередным этапом развития многоскоростных сетей с новыми мультимедийными услугами увеличилась реальная потребность в обобщении результатов теории телетрафика на новые постановки классических задач. Так, в странах Евросоюза появился ряд публикаций, основанных на понятии односкоростного БЕГ (Binomial-Poisson-Pascal) трафика, охватывающего большую группу потоков трафика из трёх основных и ряда подвидов с различными названиями [1, гл. 8], [2]. В русскоязычной литературе используют и другие названия, включая чисто случайные (пуассоновские) нагрузки первого, второго, третьего типа и несколько подтипов [3,4].

В первом разделе статьи построена математическая модель многоскоростного БРР трафика с учётом приоритетов. Второй раздел посвящён разработке алгоритма расчёта соответствующих ВВХ. В третьем разделе приведён иллюстративный пример.

2. Построение математической модели

Рассмотрим функционирование СМО, в которой имеется С единиц канального ресурса (ЕКР) для обслуживания К различных классов заявок. Для удобства описания примем, что после группировки и упорядочивания классов заявок существуют целые числа К\, и Кз такие, что 1 ^ К\ ^ ^ Кз = К. Определим множества Ж = {1,2,... ,К\}, Ж2 = {К\ + 1,К\ + 2,... ,К2} и Кз = {К2 + 1,К2 + 2,..., Кз} мощностью К = Къ |Ж2| = К2 - Ки |Жз| = Кз - К2. Тогда Ж и К2 и Кз = Ж — множество всех классов заявок в системе мощностью |Ж | = К.

Пусть каждая ^-заявка имеет Ьк различных значений Ьы требуемой ширины полосы пропускания (ШПП) [3], причём Ък\ >   > Ьы >    > Ькьк > 0. Также для ^-заявки задаются Ьк пороговых значений Сы, Сы = 1,С, I = 1,Ь^, к Е Ж. Обозначим через Рк долю неприоритетных ^-заявок, {¿к Е [0,1], к Е Ж.

На основе введённых обозначений интенсивности входящих потоков задаются, как показано в табл. 1.

Статья поступила в редакцию 8 октября 2010 г.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант 10-07-00487-а).

Таблица 1

Таблица классификации заявок

Заявки Binomial к £ K1 Poisson к е К Pascal к £ K3

Неприоритетные ¡Зк (Sk - пк,)ек Ак^к ¡Зк (Sk + nk»)lk Ьк е {Ьк1,Ьк2,. . . ,bkLk}

Приоритет-ные (1-Рк)(Sk -пк,)£к (l-^fe)Afe (1 - /3k)(Sk + nk,)jk Ьк е {bki,bkLk}

малочувствительные к задержкам данные трафик реального времени допускающие задержки данные

В табл.1:

Lk

1) Пк» := ^^ пкI — число fc-заявок в состоянии N с разными Ькi ЕКР, генериру-

1=1

емых Sk источниками, Ек — интенсивность поступления от одного источника fc-потока, к Е K1;

2) Хк := Хк(пк») = const — интенсивность поступления пуассоновского потока, Пк» — суммарное число fc-заявок в состоянии N, к Е K2;

Lk

3) Пк• := ^ Пкi — число fc-заявок в состоянии N, параметр Як позволяет опреде-

=1

лить суммарную интенсивность поступления при Пк• = 0, 7к — интенсивность поступления от одного источника fc-потока, к Е K3 [1], [4, § 2.2].

Здесь матрица состояния системы

Пи Пи . . niLi (0)L*-Ll" "nr

N = П21 П21 . . «2L21 (0)L*-L2 = П2

-ПК1 ПК 1 . . nKLK (0)L*-Lk. .ПК.

имеет размерность dim (N) = К  L*, L* = maxЬк [5,6], пы — число fc-заявок на

кеК

обслуживании, каждая из которых занимает Ь^ ЕКР в состоянии N, т.е. число (к, ¿)-заявок.

Далее в работе примем

' ( Lk \

(Sk - Xj nik \£к,

Л к := ^к, = const к Е К2,

к Е Ki,

Sk + Щк\ , к Е Кз

ч i=i J

При поступлении ^-приоритетная заявка принимается и занимает Ь^г ЕКР до конца обслуживания, если имеется Ь^г свободных ЕКР, в противном случае она занимает Ькьк ЕКР.

Для обслуживания неприоритетной fc-заявки учитывается число v ЕКР, занятых в системе в момент её поступления и пороговые значения Cki, I = 1,Lk, к £ K. Поступающая неприоритетная fc-заявка будет принята в систему с bki ЕКР, когда Ck(i-r) <v < Ci, I = 1,Lk, к £ K.

Время занятия fc-заявкой bki ЕКР распределено по экспоненциальному закону с параметром ^k = const, к £ K (многоскоростной неэластичный трафик), и Цы, I = 1,Lk, к £ K U K (многоскоростной эластичный трафик). При этом для эластичного трафика средняя длительность обслуживания увеличивается, когда уменьшается выделяемое число ЕКР для обслуживания, т.е. < у—2, <    , I = 1, Lk, к £ K U K и всегда выполняется условие эластичности [6,7]:

bki  Ц-1 = const, I = 1,Lk, к £ K U K3.

По завершению обслуживания ^-заявка одновременно освобождает все занятые ей Ьк1 ЕКР, к £ К. Если в момент поступления любой к—заявки, к £ К в системе оказалось занято больше, чем (С — Ькьк) ЕКР, то поступившая ^-заявка получает отказ и теряется, не оказывая дополнительного влияния на интенсивности поступлений породившего её потока.

При определении пороговых значений целесообразно выбрать Ск(ьк-1) = С — Ьк1 (см. рис. 1).

Рис. 1. Принцип функционирования модели, к G K

Для описания модели необходимо задать три матрицы: матрицу требований к ШПП В = (Ьы, матрицу пороговых значений С = (Сы, матрицу

С —1, — ' — 1,—

интенсивностей обслуживания = (^ыIи вектор долей неприоритетных

Т -

заявок р = [^1 • • • Рк] . Элементы ЬыI = СкI = 0 при I = Ьк + 1,Ь*, к £ К.

3. Расчёт ВВХ системы 3.1. Ступенчатый марковский процесс

Пусть п = (пк1, ••• ,Пкьк, (0)- -Ьк) — к-ая строка матрицы состояния К, а Ь = (Ьк1, • • • , Ък-к, (0)- -Ьк) — к-ая строка матрицы В, к £ К. Тогда

к

и

к—1

— общее число занятых ЕКР в состоянии К, т.е. мгновенный коэффициент использования канального ресурса.

Функционирование системы может быть представлено в виде К  Ь*-мерного СтМП.

"Хц (г) Хц(1) . . Х1ьг (г) (0)Ь*-ЬГ

Хф = Х21 (г) Х21Ф . . Х2Ь21№ (0)Ь*-Ь2

X К1(1) ХК1^) . . Х КЬк (0)Ь*-Ьк_

Здесь Хи I(¿) — число ( к, ¿)-заявок.

Для определения пространства состояний П процесса X (¿) введём матрицы Е иI, I = 1, к £ К размерности КЬ*, где элемент, находящийся на пересечений строки к и столбца I, равен 1, а остальные — нули.

Е

Ы =

0

0 0

0

0 0 1 0

0

00

0

00

00

00

I = 1,Ьк, к £ К.

Подпространства Пи I приёма ( к, I)-заявок имеют следующий вид:

Пк1 = {К : 0 < и(К) <С - Ьк1} Пы = {К : Ск(1 -1) < и (К) < Сы } , I = 2Ьк, к £ К.

Пространство всевозможных состояний процесса X (¿) можно записать в виде:

П = ^ : 0 < и

Заметим, что когда к-заявка принимается в состоянии N £ Пи, I = 1,Ьк, к £ К значение и (К) увеличивается на Ьк1. Поэтому в определении П необходимо учитывать подпространства ПкI и {К + Ек г£ Пы}, охватывающие все возможные состояния, в которых имеются заявки с Ьк1 ЕКР, I = 1,Ьи, к £ К.

Определим подпространства Пи приёма и Пи блокировки к-заявок:

Пи = {К : 0 <и(К) <С - Ьиьк} , Пк = П\Пи = {К : С - Ъиьк < и (К) < С}

Введём функцию-индикатор 5иI ( ь) приёма к-заявок с Ьы ЕКР в состоянии V,

к £ К.

Г1, Ък1 С,

41

1 0, в противном случае;

5ы(V) = { 1, Си(1 -1) + Ьы < V < Ск1 + Ьы,1 = 2,Ьи [0, в противном случае.

3.2. Равновесное распределение вероятностей

Для рассматриваемого процесса не выполняется свойство мультипликативности по критерию Колмогорова [8]. Таким образом, точный расчёт ВВХ может

0

быть выполнен лишь с помощью составления и решения СУГБ, что весьма трудоёмко при больших значениях структурных параметров. Поэтому на основе работ [2,9] мы предлагаем следующий модифицированный рекуррентный алгоритм.

Предположим, что выполняется частичный баланс между соседними состояниями системы и q(v) — макровероятность того, что в системе занято ровно v ЕКР.

Прежде всего, невозможно напрямую использовать рекуррентный алгоритм типа Кауфмана-Робертса для расчёта макровероятностей, так как q(v) зависит от интенсивности предложной нагрузки, которая в своей очереди зависит от состояния системы v при к £ K1 U K3 (см. табл. 2). Поэтому рассмотрим сначала распределение Эрланга числа занятых ЕКР в отдельности.

Распределение Эрланга: при pki = \к/ры = const имеет место

1 Lk

l(v) = 1 Y Y bkiPkiq(v - bki)Ski(v), v = 1,C, 1 = 1, Lk, к £ K2. (10) keK 2=1

Существование частичного баланса позволяет вычислить [2,9] среднее число всех к ¿-заявок в состоянии v, v = 0, C, к £ K2, I = 1, Lk:

nfY | л f Pki q(v - bki )/q 1

E

0, в противном случае.

Распределение Энгсета: pki = Sk/ры.

Предположим, что предложенная ( к, ¿)-нагрузка в состоянии V, V = 0, С, эквивалентна нагрузке, предложенной от бесконечного числа источников (как в случае Эрланга) с постоянной интенсивностью выры, т.е.:

Ры(v) ~ SkPki = const, v = 0,C, l = l,Lk, к £ K1. Тогда примем на основе (11), что: Lk Lk

nk.

i=\ i=\

Распределение Паскаля: ры = 7k/ры •

Аналогично предыдущему случаю примем, что:

Lk Lk

nk.

i=i i=\

Тогда ненормированные макровероятности системы удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:

Lk

vq(v) = Y Sk - E(Xk,\v))pkiq(v — bki)Ski(v)+

keKj i=i

Lk Lk

+ bkiPkiq

keK2 1=1 k€K3 1=1

С целью уменьшения погрешности из-за сделанных упрощений, воспользуемся следующим итерационным рекуррентным методом.

Таблица изменений интенсивности предложенной нагрузки

Таблица 2

к\у С к! < v < СцЬк_ 1) Ск{1-1) ^ v < Сы 1 = 2, Ьк — 1 < г) < С

рк1

к е Ж\ {Як-пк!) — Рк1 (1-Л) / \ & (я,- Е п*)^ / \ ^ - Е ~ V ^ у№

к е Ж2 А к Рк Рк А к Рк

к е Ж, (Зк + пкх) — Цк1 / ьк-1 \ (1 - Рк) Я + Е пы V í=l У / \ V ^ у№

М р>

В р

V

к и

т

а я

о и и

о

и >

к

к н

о й (и й №

и

о ч о

о §

V о о н и о

Модифицированные интенсивности поступления

Таблица 3

к\ь 0 < V < Ск1 < V < С)!г(ьг£_1) Сщ-1) ^ V < С^г, 1 = 2, Ьк - 1 Ск(ьк-1) < г> < С

РЫ

к е Ж с Рк 1 Ры с Ры

к е Ж А к Рк Рк А к Рк

к еЖ3 ¿(¡г- Рк1 РкЯк — ры ¿(¡г- ры

3.3. Рекуррентный алгоритм расчёта макровероятностей

1. Предполагаем, что интенсивности предложенной нагрузки, как в случае пуас-соновского потока, не зависят от числа заявок в системе для всех к-потоков, к Е К. Тогда табл. 2 примет упрощённый вид, показанный в табл. 3. Приняв д(и) = 0, V < 0, вычисляем для V = 1, С макровероятности:

Lk Lk

v<l(v) = Е YSkPkl q(v - bki) Ski (v) + E E bkl Pkl q(v - bkl) Skl(v) + fceK 1=1 keK 1=1

Lk

+ E YSkPklq

k€K3 1=1

2. Используя формулы (11)-(13) и (15) для v = 1,C, находим E(0)(Xk,lv,Sk) — начальное условие итерации, к Е Ж1 U Ж3.

3. На шаге г = 1,2,... вычисляем макровероятности q'(r)(v), v = 1,C с помощью рекуррентной формулы:

vq'(r\v) = £ £ (Sk - E(r-1)(Xk.lv))pkiq'(r\v - bki)Ski(v) +

keK 1=1

+ E E bklPklq'(r\v - bkl)Skl(v) +

keK 1=1

+ E E(Sk + E(r-1)(Xk.lv))pkiq' (v - bkl)Ski(v).

k€K3 1=1

4. Получив q'(r\v), r = 1,2,3,..., находим E(r)(Xk | v, Sk), к Е K U K3, повто-

ряя шаг 3 до выполнения неравенства E

E

< S, к Е U K3.

Здесь S определяет порядок точности вычисления. 5. Вычисляем нормирующую константу и нормированное распределение

с ( . _

С = £ д'(у), ф):= ^= 0, С.

у=0

Теперь легко вычислить следующие ВВХ:

с

= Е

вероятности потерь по времени к-заявок, к Е K,

с

UTIL = ^ vq

V=1

— среднее число занятых ЕКР в системе.

V = C— bkLk +1

4. Пример

В качестве иллюстративного примера рассмотрим систему, в которой имеется С = 8 ЕКР. Пусть система поддерживает К = 2 класса услуг, причём Ж = {1},

K = {2}. Пусть Li =3, L2 = 1, B =

C

3 4 6 7 0 0

P

4 3 2 1 0 0

Тогда Ь* = 3. На рис. 2 показана схема приёма заявок на основе пороговой стратегии доступа.

0, 7 0, 7

Рис. 2. Принцип функционирования модели для примера, к G {1, 2}

Пространство П возможных состояний и пространства П блокировки ^-заявок имеют соответственно следующий вид:

П = ^ : и (К) = 078}, П1 = ^ е П : и (К) = 7,8}, П2 = ^ е П : ^ (К) = 8}.

Данный пример позволяет сделать вывод о том, что приоритет ^-заявок учитывается, когда определено как минимум 3 пороговых значения ЕКР (т.е. ^ 3,

к е Ж).

В рассматриваемой модели допускается обслуживание приоритетных ^-заявок с минимальным требованием Ькьк, чтобы снизить их вероятность потерь (в примере минимальная потеря у 2-заявок, так как 621 = 1). В случае трафика, допускающего задержки, применение такой схемы обслуживания не влияет на QoS, но для трафика реального времени она приведёт к ухудшению качества восприятия пользователем.

Таким образом, с помощью построенной модели оператор может эффективно урегулировать динамическое распределение каналов, подбирая адекватные значения Ск1 и Ьк1, I = 1, Ьк, к е Ж.

5. Заключение

В настоящей статье построена математическая модель многоскоростного эластичного и неэластичного ВРР трафика. Обслуживание заявок организовано по принципу динамического распределения канального ресурса с учётом приоритета заявок и загруженности системы. Построен алгоритм расчёта основных вероятностно-временных характеристик системы. Модель с приоритетными заявками, в отличие от традиционных моделей пороговой стратегии доступа, позволяет учитывать качество восприятия ^оЕ) на уровне пользователя и качество обслуживания (QoS) на уровне владельца сети [3, закл.], [10, гл. 2].

Литература

1. Iversen V. B. Teletraffic Engineering Handbook. — ITU/D Study Group 2. question 16/2, 2008. — http://oldwww.com.dtu.dk/teletraffic/handbook.html.

2. Glabowski M. Modelling of State-Dependent Multirate Systems Carrying BPP Traffic // Ann. Telecom. — 2008. — Vol. 63. — Pp. 393-407.

3. Башарин Г. П. Лекции по математической теории телетрафика. — 3-е, пере-раб. и доп. издание. — М.: РУДН, 2009. — 342 с. [Basharin G. P. Lekcii po matematicheskoyj teorii teletrafika. — 3-e, pererab. i dop. издание. — M.: RUDN,

2009. — 342 s.]

4. Степанов С. Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей. — М.: Эко-Трендз, 2010. — 392 с. [Stepanov S. N. Osnovih teletrafika muljtiservisnihkh seteyj. — M.: Ehko-Trendz, 2010. — 392 s.]

5. Basharin G. B., Konnon A. M. Analytical Model of Adaptive Traffic Carrying Signal Power Control // IEEE, ICUMT. Moscow, Russia, 18-20 October. —

2010. — http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber= 5340227.

6. Клапоущак С. Н. Математическая модель соты ССПС 3G с эластичным трафиком и пороговой стратегией доступа. Автореферат диссертации к.ф.-м.н., РУДН. — 2010. [Klapouthak S. N. Matematicheskaya modelj sotih SSPS 3G s ehlastichnihm trafikom i porogovoyj strategieyj dostupa. Avtoreferat dissertacii k.f.-m.n., RUDN. — 2010.]

7. Vassilakis V. G., Moscholios I. D., Logothetis M. D. Call-Level Performance Modelling of Elastic and Adaptive Service-Classes with Finite Population // IEICE Transactions on Communications. — 2008. — Vol. E91-B, No 1. — Pp. 151-163.

8. Kelly F. P. Reversibility and Stochastic Networks. — N.-Y.: Willy, 1979.

9. Stasiak M., Zwierzykowski P., Wiewiora J. Analytical Modeling of the WCDMA Interface with Packet Scheduling // Journal of Telecommunication and Information Technology. — 2009. — Vol. 3. — Pp. 103-110.

10. Системы сигнализации в сетях с коммутацией каналов и пакетов / А. И. Летников, А. П. Пшеничников, Ю. В. Гайдамака, А. В. Чукарин. — М.: МТУСИ, 2008. — 121 с. [Sistemih signalizacii v setyakh s kommutacieyj kanalov i paketov / A. I. Letnikov, A. P. Pshenichnikov, Yu. V. Gayjdamaka, A. V. Chukarin. — M.: MTUSI, 2008. — 121 s.]

UDC 621.39

Mathematical Model of Multi-Rate BBP Traffic with Priorities

Policy

G. P. Basharin, A. M. Konnon

Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

In this paper we investigate a multi-rate elastic and non-elastic BBP (Binomial-Poisson-Pascal) traffic with prioritized calls. A mathematical model taking into account a threshold-based dynamical resource allocation scheme is developed. The allocation and service scheme are dependent on calls priority and system load. This algorithm offers new possibilities for QoS levels guaranty in multi-rate systems. The equilibrium probabilities and formulas for different parameters are derived.

Key words and phrases: BPP-traffic, multi-rate elastic traffic, multi-rate non-elastic traffic, threshold-based access control, prioritized calls.