Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда

УДК 538.1

А. В. Силантьев

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИЧЕСКИХ ФЛУКТУАЦИЙ К МОДЕЛИ ХАББАРДА

Аннотация. Разработан метод статических флуктуаций применительно к модели Хаббарда. Показано также, что данный метод применим при исследовании наноструктур. В приближении статических флуктуаций вычислены антикоммутаторные функции Грина для двухподрешеточной модели Хаббарда, а также для гексагона, пентагона и димера. Показано, что концентрация электронов на узлах разных подрешеток двухподрешеточной модели Хаббарда различна.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, наноструктуры, гексагон, пентагон и димер.

Abstract. The author has developed a method of statical fluctuations applied to Hubbard model and nanosystems. The given model enables to calculate anticommutator Green functions of Hubbard for two sublattices model, hexagon, pentagon and dimer. It is shown that a concentration of electrons for sites of different Hubbard two sublattices model is distinguished.

Key word: Hubbard model, Green functions, energy spectrum, nanosystems, hexagon, pentagon and dimer.

Модель Хаббарда [1] широко используется для теоретического описания сильно коррелируемых электронных систем (СКЭС). Например, эта модель применяется для описания магнитных явлений [2-4], переходов металл-изолятор [5], свойств высокотемпературных сверхпроводников [6] и органических сверхпроводников [7, 8]. В настоящее время большое число теоретических исследований посвящено изучению наноструктур. Наряду с такими моделями, как модель Хюккеля [9], для описания свойств наноструктур также используется модель Хаббарда [10, 11].

Для исследования физических свойств СКЭС в рамках модели Хаббарда используются разнообразные приближенные методы, например: приближение самосогласованного поля, приближение хаотических фаз, метод континуального интегрирования [12].

Целью данной работы является изучение модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций, которое было предложено в работе [13] при исследовании модели Гейзенберга. Как известно, гексагон и пентагон являются структурными элементами фуллеренов и углеродных нанотрубок [11], а димер является структурным элементом K — (ET ^ X и Q-(ET^2 X солей

[8]. В данной работе покажем также на примере гексагона, пентагона и димера, что метод статических флуктуаций применим и при исследовании наноструктур.

Рассмотрим двухподрешеточную модель Хаббарда, гамильтониан которой запишем в виде

где сіа, сіа - операторы рождения и уничтожения электронов со спином а на узле і; піа - оператор числа частиц со спином а на узле і; єг- - собственная энергия электрона на узле і; ґу - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла і на узел у; Vі - энергия кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на і-м узле; а = —а .

Запишем уравнение движения оператора с/а(т), заданного в представлении Гейзенберга:

= £/С+/а + X V с/ + и/с/ап/а ,

і

где т = іґ.

Решение уравнения (2) будем искать, используя метод статических флуктуаций. Следуя этому методу, оператор числа электронов пуа на узле у

со спином а запишем в виде

п/а = ^пра) / Апуа ,

где (п/а) - среднее число электронов на узлеусо спином а; Апу^ - оператор флуктуации числа электронов на узле / со спином а, причем предполагается, что оператор Апуа не зависит от времени.

После подстановки (3) в (2) уравнение движения для оператора с у а (т) примет вид

-суа , _ , ,

-т = ас/а + X ґі/сіа + иус/аАп/а ,

і

где ЕУ а=Е/ + и/{п/а).

Умножим (4) на оператор А пуа и учтем, что

(Апу0) = <ху~аАпу~а + Руд, где ауа =1 — 2^пу0), Руа=^пуОі 1 — {|пу5^

В результате получим

-

-т

'

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для оператора , с+ Апу^Ап^.

Обозначим две подрешетки, из которых состоит решетка через А и В, а операторы о}0, относящиеся к подрешеткам А и В, обозначим через а}0 и

Ь} 0 соответственно. Запишем в виде системы уравнения движения для опе-152

рат°р°в а у а, Ъ/ а, а+уаАпЛа, Ъ/аАпВа, а/ аАпВа, Ъ/ аАпЛа, а/ аАпЛаАпВа,

Ъ/аАпВаАпЛа :

-а уа

—т _ £Лаа/а + X ґуаіа + X ґіуЬіа + иЛа/аАпЛа ;

і і

—(ауаАпЛа) / \ + +

—Т = (Ла ( иЛаЛа )а)аАпЛа + X ґіҐаіаАпЛа +

і

+X ґіуЬіаАпЛа + иЛРлі5а/а ; і

—

—Т _ £Лаа/аАпВа + X ґіуаіаАпВа + X ґіуЬіаАпВа + иЛа/аАпЛаАпВа ;

— (ауаАпЛсАпВа) ( , \ + +

—Т _ ( £Ла Ла ) ауаАпЛаАпВа + X ґіуаіаАпЛаАп,

і

+X ііуЬіаАпЛаАпВа + иЛРЛаа/аАпВа ;

Во +

—Ъ

—Т = ^ВаЪ/а + X ґіуаіа + X ґіуЬіа + иВЪ/аАпВіа ;

г г

— (ЪуаА^Ва) / \ + +

— _ (Ва ( иВаВа )уаАпВа + X ґіуаіаАпВа

—Т

+X уіаЬпиа + иВРВаЪ/а ; І

I

2 г*+

—

" = ^ВаЪ/аАпЛа + X ґіуаіаАпЛа + X ^уЪаАпЛа + иВЪ/аАпВаАпЛа ;

—Т

(во иВаВа)уаАпВаАпЛа + ґуаіаАпВаАпЛа +

й Т

I

уЧу^Ь1оДпВоДпА5 у иВРВоЬ }оДпАо, г

где Дпао , аАо, РАО, Дпво, аВ5, Рво - величины, относящиеся к произвольному узлу подрешетки А и В соответственно.

После преобразования Фурье afа=(2/N)12 ^afa exp{—ikRy ),

k

bfa = (2/ N ) ^ af a exp (ikRf ) система уравнений (6) примет вид

k

daka _{ '

d T

(£Aa k KAA (k))aka k KAB (k)bka k UAakaAnAa ;

diakaAnAa\ ) f /4\f /\f 2 f

-----dT----= (a + UAaAa k KAA (k jjakaAnAak KAB (k)bkaAnAa k UA$Aaaka ;

d(akaAnBa) ^

dT _ (eAa k KAA (k j)akaAnBa k KAB (k)bkaAnBa k UAakaAnAaAnBa ;

diakaAnAaAnBa\ ) t \ f

-------dT--------= (a + UAaAa k KAA (k))akaAnAaAnBa k

kKAB (k )bkaAnAaAnBa k UA^Aa akaAnBa ; ka = (a k KBB (k jbka k KBA (k)aka k UBbkaAnBa ;

d T

d (kaAnBa

: (eBak Ubава k KBB (k))bkaAnBa

d T

+kba (k)akaAnBa k UB$Babka ;

d\blaAnAa)

-----dT-= (Ba k KBB (k))bkaAnAa k KBA (k)akaAnAa k UBbkaAnBaAnAa ;

d((nBaAnAa) , , , v f

-------dT--\eBa+ UBава k KBB (k)jbj^aAnBaAnAa k

kKBA

где

K

АА {к) = (АА X еХР(( ДАА )) КАВ {к) = (АВ X еХР((к, ДАВг )) ;

ДАА1 ДАВ{

КВВ

Дввг- ДВА{

Дху, - это вектор, идущий от произвольного узла х, принадлежащего подре-шетке Х, к ближайшему узлу у, принадлежащему подрешетке У, а суммиро-154

вание производится по всем ближайшим к узлу х узлам у; - интеграл пе-

реноса, описывающий перескоки электронов с произвольного узла, принадлежащего подрешетке Х, на ближайший узел, принадлежащий подрешетке У.

Система уравнений (7) является замкнутой и имеет точное аналитическое решение. Поскольку решение данной системы уравнений является громоздкими, то мы его здесь не приводим.

Для того чтобы найти спектр элементарных возбуждений в системе, прежде всего вычислим фурье-образы антикоммутаторных функций Грина

[14]:

где

(ЕЛка\) = (ЕВка2) = ^ \к){Л (к) —єВ (к) + и1 — и2 + у4 (к));

(ЕЛка2) = (ЕВкаі) = — ^ ^)(™а)ЛЛ (к) — ЕВ (к) + и1 — и2 — у4 (к));

(ЕЛказ) = (ЕВка4) = — ^ (к) {0 — {пЛа)))Л Л) — ЕВ (к) + и1 + у3 (к));

{?Лка4) = {ЕВказ) = ) 0 —

(ЕЛка^ = (ЕВкав) = 2 I, ) 0 — (пВа))(ЕЛ (к( — ЕВ (к) — и2 — ^2 (к));

2у2

(ЕЛкав) = (ЕВка^ = — 2—(к)(О — (пВа)){ЕЛ (к) — ЕВ (к) — и2 + у2 (к));

2у2

І^Лкаї) = (ЕВка&) = ^ \к) {0 — {пЛа) — (пВа) + 1)(еЛ (к) —єВ (к)у V (к));

(ЕЛка%) = { ЕВкаї) = — 2у^(к ) ((М'а) — ( пЛа) — (пВа) + 1) х

х

Ек1 = 2(л (к) + еВ (к)у и1 + и2 +у4 (к));

Ек2 = 2(£Л Л) + ^В (к)у и1 + и2 — у4 (к));

Ек3 = 2 (а (к ) + £В (к ) + и1 +у3 (к )), Ек 4 = 2 (а (к ) + £В (к ) + и1 - у3 (к ); Ек 5 = 2 ( ( ) + ЕВ {к ) + и2 - у2 {к ^ Ек6 = 2 ( ( ) + ЕВ {к ) + и2 + у2 {к ));

Ек7 = 2

/ 2 \1/2 V (к) = ||^е а {к)-ЕВ (к)] +4 • Кав {к)-Ква (к)) ;

I 2 \1/2

у2 (к) = [|^еА (()-ЕВ (()- и2 ] +4 - КАВ (к)- КВА (к)) ;

1 2 а/2

у3 (к) = [[еА ()-ЕВ (К и1 ] +4 - КАВ (к)- КВА (к)) ;

I 2 \12

у4 (к) = [[еА (к)-еВ (кК и1 - (2 ] +4 - КАВ (к)- КВА (к)) ;

ЕА

Энергетический спектр определяется полюсами Ек1 - Ек8 функций Грина (9). Для того чтобы найти спектральный вес каждого энергетического состояния, необходимо, как видно из соотношений (10), вычислить (^ё), {рАа), (пВё). Используя спектральную теорему [14] и функции Грина

(9), мы получим

/+\8 /+\8

\@к<зак<з! =

т =1 т=1

где /е (х) - функция распределения Ферми.

Проинтегрируем соотношения (13) по первой зоне Бриллюэна:

(«Аа) = 2 {{*ё) [ Е (Е1) + Е (Е2) + 01 (Е1)-&(Е2 )] -

-()-( Пао))[_ Е (Ез) + Е (Е4) + 02 (Ез)-02 (Е4 )] -

ПВё))\_Е (Е5 ) + Е (Е6 )- °3 (Е5 ) + °3 (Е6 )] +

+ ^№о)^пАё)~{пВё) + 1)|^Е

("Вё) = 2«™ё) [ Е (Е1) + Е (Е2)-01 (Е1) + 01 (Е2 )] --()-(ПАё)) Е (Е3) + Е (Е4)-02 (Е3) + 02 (Е4)] -

-(0-(пБо))\_Р)Е5) + Р(Е6) + бз (Е5)- бз (Е6)] +

+ пЛа)~

где

б ^е. )=| *[ел

& &ьга[ЕЛ

в

вз ( 1) Г а у2 (к) /( к);

б4 ЕГ | [Е л М ^

В (16) интегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна, а а - объем первой зоны Бриллюэна. Аналогичным образом можно получить выражения для (пда}, {пб^) , {пЛапЛа), (пЛапЛъ), (пБёпЛа), (пЛапИа) . ИспользУя эти корреляционные функции, а также соотношения (14) и (15), можно получить следующую систему уравнений: 2( пло) = Ы [ Р (Е,) + Р (Е2) + б, (Е,)-б, (Е2 )] --()-( плъ)» Е (Ез ) + Р (Е4 ) + б2 (Ез )-б2 (Е4 )] --(0-( пБа))\_ Р (Е5 ) + Е (Е6 )- б3 (Е5 ) + Яз (Е6 )] + + ((^а)-(пЛа)-(пБа) + 1)[Р(Е7 ) + Е(Е8 ) + в4 (Е7 )- в4 (Е8 )] ; 2( пбс) = Ы [Р (Е1) + Р (Е2)-Я (Е1) + в (Е2 )] --()-( пЛ5»[ Р (Ез ) + Р (Е4 )-б2 (Ез ) + б2 (Е4 )] --^и'а)^пБа))\_Р(Е5 ) + Р(Е6 ) + вз (Е5 )- вз (Е6 )] + + ((^а)-(пЛа)-(пБа) + 1)[Р(Е7 ) + Р(Е8 )- в4 (Е7 ) + в4 (Е8 )] ; 2(плс) = Ы[Р(Е1) + Р(Е2) + в (Е1)-в1 (Е2)] --()-(пЛ^)[ Р (Ез ) + Р (Е4 ) + в2 (Ез )-в2 (Е4 )^ -

-(0 - (пБо))\_Е(Е5 ) + Е(Е6 )- бз (Е5 ) + бз (Е6 )] + + (О (ПАа)~{пБа} + 1)_Е(Е7 ) + Е(Е8 ) + в4 (Е7 ) - в4 (Е8 ° ;

2(ПБс) = (™о)_ЕЕ) + Е(Е2)- в (Ех) + в (Е2)] --()-(ПА^)_ Е (Ез) + Е (Е4)-б2 (Ез) + б2 (Е4)] -

-(0-(ПБо))\_Е(Е5 ) + Е(Е6 ) + Яз (Е5 )- вз (Е6 )] +

+ 0-{пАо)-Ы) + 1)_Е

((Е1) + Е(Е2) + в (Е2)-в (Е1 ))(*ъ)--((Е5) + Е(Е6) + вз (Е5)-вз (Е6 ))0-( Пбо)) =

= ( (Е1) + Е(Е2) + в1 (Е2)-в (Е1 )){*а)--((Е5) + Е(Е6) + вз (Е5)-вз (Е6))()-( Пбо»;

( (( + ((Е2)-в1 (Е2) + в1 (Е1 + (вз Ш - вз (Е6)-Е (Е5)-Е (Е6 ))0-( Пбо)) =

= ( (Е1) + Е (Е2) + в1 (Е2)-в (Е1 ))^а) +

+

Система уравнений (18) представляет собой систему шести линейных уравнений с шестью неизвестными: , (пАа), {пБа), , ^Аа), {^Ба) .

Решая данную систему, можно найти эти неизвестные. Поскольку решение является громоздким, то мы здесь его не приводим. Проанализируем эти решения. Из полученных решений следует, что

(™а)=(™а), (пАа) = (пАа), (пБа)= (пБа) ';

Таким образом, полученное решение соответствует парамагнитному состоянию системы, причем концентрация электронов на узлах решетки А отличается от концентрации электронов на решетке В. Поэтому уравнение на химпотенциал будет иметь следующий вид:

где п - средняя концентрация электронов в системе.

Приведенный выше метод статистических флуктуаций можно распространить и на наносистемы, описываемые моделью Хаббарда. Для этого сле-

158

дует написать уравнения движения (2) и (5) для каждого узла системы. Подобно тому, как было получено уравнение движения для оператора е/аАп/а,

можно получить уравнения движения для операторов е+аАп/а, е+аАп/аАп^а .

В результате можно получить замкнутую систему уравнений, решив которую можно вычислить антикоммутаторные функции Грина, спектр элементарных возбуждений, а также средние значения физических величин. В качестве примера рассмотрим наносистему, состоящую из N эквивалентных узлов и будем считать, что оператор флуктуации числа электронов не зависит от номера узла Ап/а _ Ап^ . Тогда, для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, достаточно записать уравнения (2) и (5) для всех узлов наноструктуры:

ёе

' />

_ е/ае+а + X *,/е,а + и/е+аАпа

ё Т

ё [е+/аАп/а )_, ,

ё т

(/а + и/а/а }е/а

Апа + X *і/еіаАпа + и/ Р/а

'/ а,

где / = 1, N , N - число узлов наносистемы.

Рассмотрим для примера гексагон. Запишем систему уравнений (21) для всех узлов гексагона:

ёе

ё т

еае1а + *{е6а + е2а ) + ие1аАпа ;

ё І е1аАпа) і \ і \

ёТ _ (а ( иааіе1аАпа + *\е6аАпа + е2аАпа ) иРае1 а ;

ёе

ёТ

1{е2аАп\

ёт (а ( иаа )е2аАпа + * {^1аАпа + езаАпа ) иРае2а ;

~Єза _ г'аЄза + * (а + е4а ) + иезаАпа ;

ё I <^^аАп-а) / \ / \

ёТ _ (а ( иаа]езаАпа + *\е2аАпа + е4аАпа ) иРаеза ;

ёе

ёТ

еае4а + * (за + е5а ) ие4аАпа ;

ё I е(Апа) ) , , ,

ёТ _ (а ( иаа1е4аАпа + *\езаАпа + е5аАпа ) иРае4а ;

&ае5 а + ^(е4о + е6о) + ие5аАпа ;

й I е5аАп-а) , . . ,

йТ _ (а ( иаа)е5аАпа + ^\е4аАпа + е6аАпа ) иР5е5 а ;

йе.

&ае6а + ^|е5о + е1 а ) ие6аАпа ;

й I е£аАп-а ) )

т---- =

Система уравнений (22) является замкнутой и имеет точное аналитическое решение. Поскольку решение является громоздким, то мы его здесь не приводим.

Для того чтобы найти спектр элементарных возбуждений в системе, прежде всего вычислим фурье-образ антикоммутаторных функций Грина [14]:

]а

» =- 1

Не 2к 6

2па

- +

2

+ -

1 - па

- +

1 - па - +-------------------а— +

Е - Е1 +гИ Е - Е2 + гЬ, Е - Ез + 1И

, па , 2

2па

где

Е - Е4 +1И Е - Е5 +1И Е - Е6 + Ж Е - Е7 + Е - Е8 + Ж

Е1 = & +1 + и, Е2 = &-1, Ез =£ + 21, Е4 =£ + 21 + и,

Е5 =£- 2t, Е6 = &-1 + и, Е7 =£ + 21 + и, Е8 =£ +1.

Энергетический спектр определяется полюсами Е1 - Е8 функций Грина (2Э). Для того чтобы найти спектральный вес каждого энергетического состояния, как видно из соотношения (2Э), необходимо вычислить (па) . Для того

чтобы найти (па), воспользуемся спектральной теоремой [14] и функциями Грина (2Э):

па = 6|2па/Е (Е1 ) + 2(1 -па)/Е (Е2 ) + (1 -па)/Е (Ез ) + па/Е (Е4 ) +

+

па = 6|2па/Е (Е1 ) + 2(1 -па)/Е (Е2 ) + (1 -па)/Е (Ез ) + па/Е (Е4 ) +

+

где /е (х) - функция распределения Ферми.

160

Решив систему уравнений (25) и (26), получим

па_ па_ (2ІЕ (Е2 ) (е (Ез ) + (Е (Е5 ) + 2/е (Е8 )) и

и [/Е (Ез и~ /е (Е4 и + /е (Е5 и~ /е (Е7 и +

+2

Запишем еще условие на химпотенциал:

па + па _ п ,

где п - концентрация электронов.

С учетом соотношений (27) и (28) выражение (25) можно записать

в виде

па = 6|п/Е (Е1) + 2^ - 2^/Е (Е2 ) + (^ - 2]/Е (Ез ) + 2/Е (Е4 ) +

+ ^ - 2^/Е

Приведем еще результаты вычислений для пентагона и димера. Фурье-образы антикоммутаторных функций Грина для пентагона и димера имеют следующий вид:

'Iа

_ і 1 Е 2п 5

1 - па

__________________________________2

Е - Е1 +ік Е - Е2 + ік Е - Ез + ік

2па

2па

2 (1 - пд)_______________________________

Е - Е4 + ік Е - Е5 + ік Е - Е6 + ік

Е1 _ £ + 2*, Е2 _£ + 2* + и, Ез _£ + *(1 + л/5)2,

Е4 _ є+ *

(с+а є]0}'і

і 1 І 1 - па

1 - па +--------------------а— + -

Е 2п 2 І Е - Е1 +ік Е - Е2 + ік Е - Ез +ік Е - Е4 + ік Г

Е1 — £ + І, Е2 — £ — * + и, Ез — £ — *, Е4 — £ + І + и.

Энергетический спектр пентагона и димера определяется полюсами функций Грина (з0) и (з1) соответственно.

Средние (па), (п-а) для пентагона и димера имеют следующий вид:

5- "2](Е (Е1и + 2(Е (Е2и + 2^ - п)(Е (Ези +

+2

п„= «5= 2 {(1 - 2 ) /е (Е1) + -2 /е (Е2) [1 - 2 ) /е (Ез) + п /е Е

где п - концентрация электронов. Условие на химпотенциал дается соотношением (28).

Отметим, что функции Грина (2Э), (Э0) и (Э1) при t = 0 переходят в функцию Грина модели Хаббарда в атомном пределе [15]:

E =е, Е2 =£ + U.

Таким образом, предложенный в работе метод вычисления антикоммутаторных функций Грина и корреляционных функций позволяет определять не только спектр элементарных возбуждений, но исследовать концентрацию электронов в подрешетках в зависимости от параметров системы. Кроме того, данный метод позволяет вычислять антикоммутаторные функции Грина и корреляционные функции наносистем в рамках модели Хаббарда.

Список литературы

1. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. - 1963. - V. 276.- P. 238-257.

2. Nagaoka, Y. Ferromagnetism in a Narrow Almost Half-Filled s-Band / Y. Nagaoka // Physical Review. - 1966. - V. 147. - P. 392-405.

3. Tasaki, H. The Hubbard model - an introduction and selected rigorous results / H. Tasaki // Journal of Physics: Condensed Matter. - 1998. - V. 10. - P. 4353-4378.

4. Tasaki, H. From Nagaoka's Ferromagnetism to Flat-Band Ferromagnetism and Beyond / H. Tasaki // Progress of Theoretical Physics. - 1998. - V. 99. - P. 489-548.

5. Gebhard, F. The Mott Metal-Insulator Transition: Models and Methods / F. Gebhard. - Berlin, Springer, 1997. - P. 379.

6. Зайцев, Р. О. Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и ферромагнетизма / Р. О. Зайцев. - М. : УРСС, 2004. - С. 175.

7. Kino, H. Phase Diagram of Two-Dimensional Organic Conductors: (BEDT-TTF)2X/ H. Kino, H. Fukuyama // Journal of the Physical Society of Japan. - 1996. - V. 65. -P. 2158-2169.

8. McKenzie, R. H. A strongly correlated electron model for the layered organic superconductors k-(BEDT-TTF)2X / R. H. McKenzie // Comments on Condensed Matter Physics - 1998. - V. 18. - P. 309-317.

9. Haddon, R. C. Electronic structure, conductivity and superconductivity of alkali metal doped (C60) / R. C. Haddon // Accounts of Chemical Research. - 1992. - V. 25. -P. 127-133.

10. Иванченко, Г. С. Проводимость двухслойных углеродных нанотрубок в рамках модели Хаббарда / Г. С. Иванченко, Н. Г. Лебедев // Физика твердого тела. -2007. - Т. 49. - С. 183-189.

11. Мурзашев, А. И. Исследование углеродных наносистем в модели Хаббарда / А. И. Мурзашев // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2009. -Т. 135, № 1. - С. 122-133.

12. Изюмов, Ю. А. Магнетизм коллективизированных электронов / Ю. А. Изю-мов, М. И. Кацнельсон, Ю. Н. Скрябин. - М. : Наука, 1994. - С. Э67.

13. Нигматуллин, Р. Р. Корреляционные функции для анизотропной модели Гейзенберга в нулевом магнитном поле / Р. Р. Нигматуллин, В. А. Тобоев // Теоретическая и математическая физика. - 1986. - Т. 68. - С. 88-97.

14. Тябликов, С. В. Методы квантовой теории магнетизма / С. В. Тябликов. -М. : Наука, 1975. - С. 527.

15. Кузьмин, Е. В. Физика магнитоупорядоченных веществ / Е. В. Кузьмин, Г. А. Петраковский, Э. А. Завадский. - Новосибирск : Наука, 1976. - С. 288.

Силантьев Анатолий Владимирович старший преподаватель, кафедра общей физики, Марийский государственный университет

Silantyev Anatoly Vladimirovich Senior lecturer, sub-department of general physics, Mari State University

E-mail: kvvant@rambler.ru

УДК 5Э8.1 Силантьев, А. В.

Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда /

А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № з (19). - С. 151-16Э.