Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного шарнирного робота-манипулятора

МАШИНОВЕДЕНИЕ, СИСТЕМЫ ПРИВОДОВ И ДЕТАЛИ МАШИН

УДК 531.133.1

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ ДЛЯ ШЕСТИЗВЕННОГО ШАРНИРНОГО РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА

Д.С. Воронкин

Описана последовательность действий, необходимых для решения прямой задачи кинематики, ориентированной на шестизвенного шарнирного робота-манипулятора.

Ключевые слова: метод, система координат, угол, расстояние, ось, параметры, звенья, манипулятор, робот, схват, вектор, матрица.

Прямая задача кинематики заключается в расчете координат положения и ориентации системы координат, связанной со схватом или рабочим инструментом, при заданном наборе обобщенных координат манипулятора.

Известно, что положение и ориентация твердого тела в пространстве однозначно определяется шестью координатами: тремя линейными (Декартовыми) и тремя угловыми (углами Эйлера). Использование метода, предложенного в 1955 г. учеными Жаком Денавитом и Ричардом Хартен-бергом, позволяет сократить это число до четырех параметров, называемыми параметрами Денавита-Хартенберга. Такое упрощение достигается с помощью стандартизированного алгоритма привязки систем координат к звеньям манипулятора.

Согласно методу Денавита-Хартенберга решение прямой задачи кинематики состоит из следующих этапов: привязки систем координат к звеньям робота, определение параметров Денавита-Хартенберга, построение матриц однородного преобразования.

Привязка систем координат осуществляется последовательно и по порядку, начиная с осей и заканчивая У;.

Для расстановки оси необходимо, чтобы ось совпала с осью вращения последующего сочленения Ь + 1. Это означает, что относительное расположение смежных звеньев (систем координат) будет определять-

236

ся именно переменной вокруг этой оси. Кинематическая схема рассматриваемого манипулятора состоит из шести вращательных сочленений, поэтому оси 11 будут совпадать с осями вращения данных сочленений.

Рис. 1.Кинематическая схема шестизвенного робота-манипулятора.

Рис. 2. Выбор осей

Для выбора оси Х^ необходимо, чтобы выполнялись два следующих условия:

1) Ось Х^ должна быть перпендикулярна оси

2) Ось Х1 должна пересекает ось

Рис. 3. Выбор осей Х1

Для выбора оси У^ необходимо, чтобы система координат, заданная единичными векторами X, У, 1 была правой.

237

же»

Рис. 4. Выбор осей У^

Метод Денавита-Хартенберга позволяет сократить количество координат, однозначно определяющих систему координат в пространстве, с шести до четырех, известных как параметры Денавита-Хартеберга:

а^ — расстояние вдоль оси от до г^;

(XI — угол вокруг оси XI от до г^;

— расстояние вдоль оси от до х¿;

(¿1 — угол вокруг оси от до х^.

Параметры щ и а^ всегда являются константами для всех кинематических схем и обусловлены конструкцией манипуляторов. Что касается оставшихся параметров и среди них только один параметр является постоянным, а другой — переменным в зависимости от типа сочленения: в случае вращательного — угол (¿1 переменный, смещение постоянное.

Параметры Денавита-Хартенберга для шестизеенного шарнирного робота-манипулятора

Параметр Описание Звенья

параметра 1 2 3 4 5 6

0 ¿2 0 0 0 0

а.1 72 0 72 "72 72 0

$ ¿1 0 0 ¿4 0 ¿6

41 42 <7з + 72 <?4 Чб 46

Очевидно, что при решении ПЗК рассматриваются 2 системы координат: базовая, связанная с основанием О0Х0У0Е0, и итоговая, связанная со схватом или рабочим инструментом ОпХпУпЕп. Расположение этих двух систем друг относительно друга определяется двумя наборами координат: тремя линейными и тремя угловыми координатами, объединённые матрицей однородного преобразования.

Ап—Матрица однородного преобразования, определяющая связь систем координат О0Х0У020 и 0пХпУп2п. Она несёт в себе информацию о линейном смещении и пространственной ориентации одной системы относительно другой:

А0 -

71 —

< ^ О

Р°п

я

Рп

ю О О и Ю 1] w

Векторы и выражают направление осей и соот-

ветственно, относительно системы координат О0Х0У0Е0, — матрица вращения системы О0Х0У0Е0 относительно ОпХпУпЕп, — вектор линейного смещения начала координат системы ОпХпУпЕп относительно ОоХ0У020.

Ранее были получены четыре параметра Денавита-Хартенберга для каждого звена манипулятора. Теперь из них необходимо построить соответствующие матрицы однородного преобразования следующим образом:

= Аг,в1 * * щ * Ах а. =

гд

п

* * 7

. 0 1. .0 1. .0 1 .

о

где / — номер звена, Дх>е. и а. — базовые матрицы вращения, /— единичная матрица, Р5. и Ра. — векторы линейных перемещений:

0" г ап

II 0 II 0

-Я -0-

Подставив все параметры Денавита-Хартенберга, получим 6 матриц однородного преобразования:

АЧ =

А1 =

собО^) О

51п(<71) О

О 1

О о

О О

О О

—Бт^) О собО^) О О

О 12

0 12

1 О

О

0

1

С05

0

1

А1

А1 =

"-вт <7з 0 С05 <73 0"

С05 <7з 0 5т <73 0

0 1 0 0 ?

0 0 0 1.

С05((74) 0 -втО^) 0

0 С05((74) 0

0 -1 0 ¿4

_ 0 0 0 0

239

А5 -яб —

cos(q5) 0 sin(q5) 0"

sin(qr5) 0 -cos((75) 0

0 1 0 0

0 0 0 0.

cos((76) -sin(qr6) 0 0"

sin (q6) cos((76) 0 0

0 0 1 L6

0 0 0 1J

Итоговую матрицу, связывающую все системы координат, как и в случае с матрицами вращения, можно получить последовательным перемножением матриц однородного преобразования:

— * а\ * л| * а\ * а\ * а\ —

В результате, определив итоговую матрицу Л°, состоящей из матрицы вращения Rn(q), размерностью 3 х 3 и вектора абсолютных координат Рп(ч), размерностью 3x1, можно определить ориентацию и положение системы координат, связанной со схватом или рабочим органом, в пространстве.

Список литературы

1. Бурдаков С.Ф., Дьяченко В.А., Тимофеев А.Н. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. М.: Высшая школа, 1986. 260 с.

2. Сочнев А.Н. Моделирование и исследование роботов и робото-технических систем. М., 2013. 56 с.

3. Борисов О.И., Громов B.C., Пыркин A.A. Методы управления ро-бототехническими приложениями: учебное пособие. СПб.: Университет ИТМО, 2016. 108 с.

4. ГОСТ Р ИСО 8373-2014. Роботы и робототехнические устройства. Термины и определения. Введ. впервые; дата введ. 01.07.1991. М.: Стандартинформ, 1991. 15 с.

Воронкин Денис Сергеевич, магистрант, voronckin. denisia),yandex, ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE SOL UTION OF THE DIRECT KINEMA TIC PROBLEM FOR SIX-MEMBERED ARTICULA TED ROBOTIC MANIPULA TOR

D.S. Voronkin

The sequence of actions necessary to solve the direct problem of kinematics oriented on a six — link articulated robot-manipulator is described.

Key words: method, coordinate system, angle, distance, axis, parameters, links, manipulator, robot, tong, vector, matrix.

Denis Sergeevich Voronkin, master, voronckin. denis@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.646

НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

МАТЕРИАЛОВ ДЕТАЛЕЙ СОЕДИНЕНИЯ С НАТЯГОМ

И.В. Лопа, Ч.З. Нгуен

Рассмотрено напряженно-деформированное состояние материала детали типа втулки, закрепленной на валу с гарантированным натягом. Показано, что напряженно-деформированное состояние при этом существенно неоднородно, и оценка прочности втулки наиболее целесообразна по энергетической теории прочности.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, деталь типа втулки, гарантированный натяг, оценка прочности.

Соединения с натягом широко используются в машиностроении. Они обладают рядом достоинств:

- они сравнительно дешевы и просты в выполнении, обеспечивают хорошее центрирование сопрягаемых деталей и могут воспринимать значительные статические и динамические нагрузки;

- натягом можно соединять детали не только по круговой цилиндрической поверхности, но и по сложным поверхностям, например, по призматической и др.;

- эти соединения применяют для установки на валы зубчатых колес, колец подшипников качения и других деталей. Соединения с натягом также применяют для изготовления сложных составных деталей (коленчатые валы, составные зубчатые и червячные колеса и др.). Соединяемые детали могут быть изготовлены из одинаковых или разных материалов;

- аналогом соединения с натягом можно считать различные механизмы в машиностроении, например, клиновые задвижки, затвор которых изготовлен в виде плоского «клина». В этих изделиях седла с уплотни-тельными поверхностями расположены параллельно уплотнительным поверхностям затвора и под определенным углом к направлению его движения [1].

Одним из актуальных вопросов остается расчет прессовых соединения. Учет влияния различных параметров на напряженно-деформированное состояние материалов необходим, так как позволяет повысить надежность механизма или машины. Например, при гидравлическом ударе клиновой затвор испытывает избыточное давление с одной стороны [2, 3], что может привести к нарушению герметизации трубопровода [4]. При этом может произойти изгиб винта шпинделя затвора в сечении, ослабленном резьбой [5, 6], вплоть до потери им продольной устойчивости [7, 8].