Математическое моделирование движения двухполосного автотранспортного потока, регулируемого светофором

Механика

УДК 532.5:534.1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДВУХПОЛОСНОГО АВТОТРАНСПОРТНОГО ПОТОКА, РЕГУЛИРУЕМОГО СВЕТОФОРОМ

А. Б. Киселев, А. В. Кокорева, В. Ф. Никитин, Н. Н. Смирнов

В работе предлагается математическая модель регулирования движения нестационарного двухполосного транспортного потока светофором. Модель основана на континуальном подходе и описывает динамику изменения режима движения как в направлении потока, так и между соседними полосами в зависимости от дорожных условий. Модель учитывает главное свойство автотранспортных потоков — свойство самоорганизации — и позволяет качественно и количественно описывать условия обеспечения максимальной пропускной способности за счет регулирования циклов работы светофора, а также возникновение и эволюцию "подвижных пробок" при подъезде к светофору.

В первых математических моделях [1-6] движение автотранспорта рассматривалось с точки зрения механики сплошной среды только на основе одного уравнения неразрывности. Соответствующие исследования обобщены в монографии [7]. В работах [8-11] было предложено дополнительно ввести в рассмотрение дифференциальное уравнение движения, учитывающее ограничения транспортного потока на скорость и ускорения, технические характеристики транспортных средств (ТС) и особенности реакции водителя на изменение дорожной обстановки. В такой постановке задача о движении потока транспорта не имеет прямой гидродинамической аналогии. В работе [11], кроме того, исследовано вызываемое потоком машин загрязнение атмосферного воздуха в автомобильных тоннелях, а в работе [12] — движение автотранспортного потока по однополосной дороге с учетом основных элементов регулирования дорожного движения (светофоры, "лежачие полицейские").

В данной работе предлагается дальнейшее развитие модели [8-12]. В частности, вводится переменная скорость распространения малых возмущений навстречу потоку и учитывается возможность перестроений автомобилей из ряда в ряд.

Модель движения транспортного потока по автомагистрали. Рассмотрим сначала однонаправленный поток машин по однополосной дороге. Введем эйлерову систему координат х вдоль автомагистрали в направлении движения потока и время Среднюю плотность потока р(х, ¿) определим как отношение площади полосы движения, занятой ТС, к площади всего рассматриваемого участка полосы движения:

¿Нг Нп1 п1

Р = Т = "/¡Г = Т'

где к — ширина полосы движения, Ь — длина контрольного участка дороги, I — средняя длина ТС с минимальным расстоянием между стоящими автомобилями, п — количество ТС на контрольном участке. Так введенная плотность — безразмерная величина, изменяющаяся от нуля до единицы.

Введем скорость потока г>(ж,£), которая может изменяться от нуля до г>тах — максимально разрешенной скорости движения на магистрали вне систем регулирования дорожного движения. Из определений следует, что максимальная плотность р = 1 соответствует ситуации, когда машины располагаются практически вплотную ("бампер в бампер"). В этом случае естественно принять и = 0, т.е. на дороге образовалась "неподвижная пробка".

ь

Условно называя "массой", сосредоточенной на участке длины Ь, величину т = / рйх, можно запи-

о

сать закон изменения последней на автомагистрали. Для непрерывного потока машин будет иметь место уравнение неразрывности

др/гЛ + д

Запишем уравнение динамики транспортного потока, точнее, уравнение изменения режима движения. Режим движения ТС на дороге определяется следующими основными факторами: реакцией водителя на изменение дорожной обстановки и предпринимаемыми им активными действиями, откликом ТС на действия водителя и техническими характеристиками ТС. При разработке модели динамики ТС были сделаны следующие основные предположения.

18 ВМУ, математика, механика, №4

Модель призвана описывать усредненное движение множества ТС, а не движение каждого автомобиля в отдельности. Вследствие этого модель оперирует усредненными характеристиками ТС, не учитывая индивидуальных различий мощности, инерции, тормозного пути и т.п.

Модель предполагает в среднем адекватную реакцию всех водителей на изменение дорожной обстановки, а именно предполагается, что, видя красный сигнал светофора, или знак ограничения скорости, например перед "лежачим полицейским", или скопление машин перед ним, водитель замедляет движение до полной остановки или до допустимой скорости, а не продолжает ускоряться, чтобы впоследствии применить режим экстренного торможения.

Предполагается, что подавляющее большинство водителей соблюдают правила дорожного движения, в частности не превышают максимально допустимого скоростного режима, разрешенного на дороге, и выдерживают безопасный интервал между ТС в зависимости от скорости движения.

Тогда уравнение изменения скорости запишется в следующем виде:

dv/dt = a; а = тах {— а~; min {а+; а'} } ,

где

/ (1 -<г) * f , л , V(p) -v к2 dp

а = аарН--—— J ap{t,y)dy-\----, =

X

Здесь а — ускорение транспортного потока; а+ — максимально возможное ускорение разгона; а~ — ускорение экстренного торможения; величины а+ и а~ положительны и определяются техническими характеристиками ТС; А — характерная видимость впереди по потоку, зависящая от погодных условий; а — безразмерный параметр (0 < а < 1), характеризующий "вес" локальной ситуации по отношению к ситуации, имеющей место на некотором расстоянии впереди автомобиля. Параметр т в (3) имеет смысл времени задержки, обусловленной конечностью скорости реакции водителя на изменение дорожной обстановки и техническими характеристиками транспортного средства. Этот параметр отвечает за стремление водителя привести скорость автомобиля в соответствие с максимально безопасной скоростью движения V(p) для плотности потока р [8-10]. В зависимости от того, требуется ли для достижения максимально безопасной скорости V (р) притормаживать или разгоняться, значение параметра т может быть различным:

ir+, V(p)<v-\r", V(p)^v.

Таким образом, в выражении для ускорения транспортного потока (3) первое слагаемое отвечает за влияние локальной ситуации, второе — за влияние ситуации перед автомобилем на расстоянии, меньшем или равном характерной видимости А , а третье — за подстройку скорости автомобиля к максимально безопасной для текущей плотности потока р.

Параметр к является, как было показано в работах [8-10], скоростью распространения малых возмущений ("скоростью звука") в транспортном потоке. В этих работах в качестве первого приближения он считался постоянным. В данной работе предполагается, что ТС требуется время Тр для реакции на изменение дорожной обстановки впе-Рис. 1 реди по потоку: к = I /тр, где Тр — время

реакции водителя, I — расстояние между ТС (рис. 1). По определению плотности к = к\/р, где к\ = 1/тр.

Анализ наблюдений за движением показал, что при небольшой плотности потока возмущения распространяются с постоянной скоростью. Тогда скорость распространения малых возмущений можно вычислять по формуле

(ki/p при p^ph = ki/k0,

Нр) = S ;

[ ко при р < рк.

Если в (3) принять (7 = 1 и пренебречь последним слагаемым в выражении для ускорения а , то при Р ^ Рк получим следующую систему двух квазилинейных уравнений в частных производных:

dp dp dv dv dv к\ dp

dt V дх ^ дх ' dt V дх p3 dx

Ее характеристиками в плоскости (ж;£) являются С+ и С-, и условия вдоль С^ соответственно следующие: г1х/гМ = V ± к\/р, рг1и = рдьр. Характеристики С+ и С~ несут информацию об изменении дорожной обстановки соответственно по потоку и против него. Отличительной чертой транспортных потоков является то, что распространение информации происходит однонаправленно — навстречу потоку. Для волн, распространяющихся влево и навстречу потоку с постоянными параметрами, имеет место интеграл Римана, полученный из соотношения на характеристике С+:

V — Уо = к\ ( - —— ) .

\Р Ро/

В предложенной модели принимается, что V = 0 при р = 1. Таким образом, получаем следующую зависимость для скорости потока:

При р < рк приходим к следующей системе двух квазилинейных уравнений в частных производных:

др др ду ду ду Щ др

сЯ У дх Р дх ' сЯ У дх р дх

Ее характеристиками в плоскости (ж;£) являются С+ и С-, и условия вдоль С^ соответственно следующие: г1х/гМ = и±ко, рг1у = =рА;о с1р. Для волн, распространяющихся влево навстречу потоку с постоянными параметрами, имеет место интеграл Римана, полученный из соотношения на характеристике С+:

у — VI = ко 1п ( — ) .

\Р/

В предложенной модели принимается, что V = ко — к\ при р = р^. Таким образом, имеем следующую зависимость для скорости потока:

' Р

v = ко — к\ — ко In

V Рк

Тогда, учитывая ограничение на максимальную скорость потока (v < fmax), можно получить следующую

зависимость для максимально безопасной для данной плотности р скорости потока:

ПРИ Р>Рк'

(ко - ki) - fco In £ при p < pk

Оценка величины скорости распространения малых возмущений ко сделана в [8-10] исходя из следующих соображений. Пусть, начиная движение из состояния покоя (и = 0, р = 1) и ускоряясь до скорости г^тах) поток достигает при этом максимально допустимой плотности р*, гарантирующей безопасность движения. Под безопасной плотностью понимается такая плотность, при которой расстояние между машинами не меньше тормозного пути Х(и). Тогда

р* = (1 + Х(г>тах) /1)-1, к0 = г>тах 1п-1 (1 + Х(г>тах) /I).

При г>тах = 80 км/ч тормозной путь автомобиля ВАЗ составляет 45 м, что при средней длине автомобиля (с учетом минимального расстояния между стоящими автомобилями) I = 5 м дает скорость распространения слабых возмущений ко = 35 км/ч. Для такой величины г^тах максимально возможная безопасная плотность потока равна р* = 0,1. Величины максимальных ускорений для автомобилей данного класса составляют а+ = 1,63 м/с2 и а~ = 5,5 м/с2. Оцененная таким образом "скорость звука" ко хорошо согласуется с экспериментальными данными [3, 4].

Величина скорости определялась экспериментально следующим образом: осуществлялись прямые наблюдения и велись замеры времени между моментами, когда загорался зеленый сигнал и когда начинали движение автомобили, удаленные на расстояние ¿1 = 40 м и ¿2 = 70 м от светофора. Фиксировалось соответственно время начала движения в точках ¿1 и ¿2> что позволяло определить среднюю скорость распространения сигнала. В расчетах использовалось среднее арифметическое значение = 4,8 / ~ 17 км/ч.

Р1 0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

Р 0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

Таким образом, для описания динамики автотранспортного потока по однополосной дороге из (1) и (2) получается система двух квазилинейных уравнений в частных производных в дивергентной форме:

др д(ру) <9£ дх

0,

д

т

+

д (ру2 дх

= ра,

У

0 200 400 600 800 Х,М ' 200 400 600 800 Х,М

1 = 70 с

( = 135 с

Р"

0,8-

0,6-0,4-0,2-

У

Р" 0,8-

0,6-

0,4"

0,2-

0 200 400 600 800 Х,М ' 0 200 400 600 800 Х,М

/ = 125 с (= 150 с

Р1 Г\ Р"

0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

0,0

У

0,6-

0,4-

0.2-

200 400 600 800

^ 133 с

200 400 еоо воо х,м 175 с

где ускорение а определяется формулами (2), (3).

Граничные условия на концах рассматриваемого участка магистрали 0 < х < Ь выбирались следующим образом. На входе потока при х = 0 возможны два варианта граничного условия. В условиях отсутствия "пробки" задаются плотность потока и скорость, равная максимально безопасной для данной плотности:

р(0,£)=ро, V (0, *) = У(р0) •

В условиях подвижной или неподвижной "пробки", примыкающей к входному участку дороги х = 0, ставится условие равенства нулю градиента плотности, а скорость равна максимально безопасной для данной плотности:

др/дх\х=0 = о, у(о,1) = у(Р).

Наличие или отсутствие "подвижной пробки", примыкающей к левой границе расчетной области х = 0, определяется после расчета очередного шага по времени на основании следующего критерия. Если

др/дх|ж=0 > 0, р>ро,

то имеется "подвижная пробка".

На выходе потока при х = Ь ставится условие "свободного выхода"

р др/дх = 0; ду/дх = 0.

В качестве начальных условий примем, что на участке длиной жо, считая от входа х = 0, магистраль занята потоком машин плотности ро, движущимся со скоростью У(ро), а при Хо < х < Ь магистраль свободна от машин (р = 0, у = 0).

Моделирование перестроений автотранспортных средств на двухполосном участке дороги. Рассмотрим двухполосный участок дороги при подъезде к светофору. Движение регулируется светофором. Основные параметры работы светофора — длительность зеленого сигнала (ЗС) ¿1 и красного (КС) ¿2- Во время работы ЗС разрешен проезд по обеим полосам, во время работы КС проезд по обеим полосам запрещен. Плотность потока на каждой полосе рк(х) = р\}к + р2,к, гДе % — координата вдоль полосы по направлению движения, — плотность ТС, которым не требуется сворачивать на соседнюю полосу, и р2,к — плотность тех ТС, которые должны перестроиться до светофора. Тогда уравнение баланса ТС на двух соседних полосах с индексами к, т имеет вид

+ (р1,к^к) = Шкт (р2,т, Рк) , др1,т д

~дЬ--~дх ~ Штк Рт>'

^ ~дх = ~Штк Рт) '

<Эр2,;

м

д , + ^

г) — —1'¿кт

Здесь итк — поток транспорта с полосы к на полосу т. Он определяется следующим образом. Рассчитывается условие перестроения по близости к светофору: если г^тъ-+ А^ > Ь\—х, то перестраиваться. Рассчитывается условие по плотности до светофора (если первое не выполнено): если рк (Ь\ > Х\ > х) > р^, то перестраиваться. В случае выполнения условия поворота рассчитывается итк-

^тк

(р2,к (1 ~ Рт)) п г

~г, — характерное время перестроения; Л,, — дополнительная дистанция; //,, — критическая плотность на полосе, на которую осуществляется перестроение; параметр ()|, отвечает за интенсивность потока; /. | — координата светофора. Плотности ТС на полосах в начальный момент времени вычисляются по следующим формулам:

0.8-

0.6-

0,4-

0.2-

0.0

0,8-

0,6-

0.4-

0,2-

& = - ш)р0'

л

Р%к

Р 100

т,

п°

1'1 ,т

V 100

200 400 600 800 Г = 70 с

0,0

200 400 Г =

600 800 х,м 182 С

Ро,

Р'2,т — 1

- Р ) 100/

Ро,

р — процент ТС, которые должны оказаться на полосе г/% до светофора.

Результаты численных расчетов. Численное решение поставленных задач осуществляется методом ТУБ со вторым порядком точности [13]. Число узлов расчетной сетки N = 200.

При расчетах использованы следующие параметры: Ь = 1000 м — длина расчетной области; = 100 м — длина участка, занятого движущимся транспортом в начальный момент времени I = 0; = 1000 м — место расположения (координата) светофора; //,, = 0,05 : 0,2 — плотность потока автотранспорта на входе в расчетную область # = 0; (',„;,:< = 25 м/с — максимальная скорость движения на основном участке дороги; к0 = 9,7 м/с —> скорость распространения малых возмущений в потоке автотранспорта; а,+ = 1,5 м/с2 -максимальное ускорение потока; а = 5 м/с2 — максимальное (экстренное) ускорение торможения потока; аг = 1,5 м/с2 — стандартное ускорение торможения; А = 50 м — характерная видимость вперед по потоку; а = 0,5 — "вес" локальной ситуации; т~ — оо, т+ = 3,3 с скорость движения; = 40 -т- 350 с, % = 50 с

0.8-

0,6-

0,4-

0.2-

0.0

0.8-

0.6-

0,4-

0,2-

0.0 н

У

0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

200 400 600 800 Х,М Г = 125С

0,0

200 400 600 800 Х,М Г = 305 с

0,8-

0,6-

0,4-

0,2-

200 400 600 800 Х,М I = 160 с

0.0"

200 400 600 800 х,м (= 323 с

Рис. 3

время задержки подстройки под безопасную длительности циклов работы светофора; //,, = 0,8 — критическая плотность на полосе, на, которую выполняется перестроение; л, = 5 с — характерное время перестроения; А^. = 20 м — дополнительная дистанция; = 0,01. В расчетах варьировалась плотность вхо-

дящего потока ро (а значит, и его скорость) и длительность работы 30 светофора /1.

Результаты расчетов представлены на рис. 2-4.

На рис. 2 даны распределения плотности р транспортного потока в зависимости от координаты х расчетной области в различные моменты времени. При этом длительность работы ЗС светофора = 50 с, р = 30, а начальная плотность транспортного потока ро = 0,08. Время на рис. 2 соответствует следующим моментам Цикла работы Светофора: % = 70 с — зеленый период первого цикла; ¿2 = 125 с — красный период первого цикла; I \ = 133 + 175 С — 4 последовательных момента зеленого периода второго цикла. Как видно ш этих графиков, при

Р

0,14

0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 О

0

50

100

150 200

Рис. 4

250

300

350

и

ро = 0,08 появляется участок повышенной плотности, вызванный перестроениями из ряда в ряд, после включения КС плотность повышается до своего максимального значения и образуется неподвижная пробка, но за время работы ЗС зависимость плотности от координаты приобретает свой первоначальный вид, о чем свидетельствует последний график рис. 2. В этом случае "подвижная пробка" с течением времени не образуется.

На рис. 3 приведены данные для длительности работы ЗС светофора ¿i = 50 с, р = 30 и начальной плотности ро = 0,1. Время на рис. 3 соответствует следующим моментам работы светофора: t\ = 70 с — зеленый период первого цикла; ¿2 = 125 с — красный период первого цикла; ¿1 = 160 с — зеленый период второго цикла; ¿2 = 182 с — красный период второго цикла; ¿2 = 305 с — красный период третьего цикла; t\ = 323 с — зеленый период четвертого цикла. В этом случае за время работы ЗС плотность не успевает вернуться к своему первоначальному значению. В случае ро =0,1 образуется "подвижная пробка", перемещающаяся против потока; скорость движения автомобилей в ней существенно уменьшается.

Результаты исследования зависимости величины предельной начальной плотности потока Pq, при которой не образуется "подвижная пробка", от длительности ЗС светофора t\ и р приведены в таблице. Остальные исходные параметры фиксированы. Зависимость Pq от t\ хорошо описывается формулой Pq = aln(ti) + b, где a, b — параметры, обусловленные многими факторами, включая длительность красного сигнала ¿2- Для рассмотренных исходных данных значения a, b также приведены в таблице, соответствующие графики представлены на рис. 4.

Заключение. Проведенные расчеты позволяют сделать вывод, что предельная начальная плотность потока не зависит от процента машин, которые должны проехать перекресток в левом ряду. Это объясняется тем, что совокупное количество автомобилей, выполняющих перестроение, не зависит от этого процента. Однако в целом перестроения снижают пропускную способность магистрали в 2 раза (см. [11]). Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Москвы (грант ГА-137/04).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lighthill M.G., Whitham G.B. On kinetic waves II. A theory of traffic flow on ring crowded roads // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1955. 229, N 1178. 317-345.

2. Richards P.L. Shock waves on the highway // Oper. Res. 1956. 4, N 1. 42-51.

3. Greenberg H. An analysis of traffic flow // Oper. Res. 1959. 7, N 1. 79-85.

4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

5. Prigogine I., Resibois P. On a generalized Boltzmann-like approach for traffic flow // Bull. cl. sei. Acad. roy. Belg. 1962. 48, N 9. 805-814.

6. Солдатов Г.П. Момент образования ударной волны в двустороннем транспортном потоке // Прикл. матем. и механ. 1970. 34, вып. 1. 135-137.

7. Луканин В.Н., Буслаев А.П., Трофименко Ю.В., Яшина М.В. Автотранспортные потоки и окружающая среда. М.: Инфра-М, 1998.

8. Смирнов H.H., Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Юмашев М.В. Математическое моделирование автотранспортных потоков. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1999.

9. Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Смирнов H.H., Юмашев М.В. Неустановившиеся движения автотранспорта на кольцевой магистрали // Прикл. матем. и механ. 2000. 64, вып. 4. 651-658.

10. Смирнов H.H., Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Юмашев М.В. Математическое моделирование автомобильных потоков на магистралях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. N 4. 39-44.

11. Киселев А.Б., Кокорева A.B., Никитин В.Ф., Смирнов H.H. Математическое моделирование автотранспортных потоков на регулируемых дорогах // Прикл. матем. и механ. 2004. 68, вып. 6. 1035-1042.

12. Смирнов H.H., Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Асташова Е.Г., Асташов H.A. Математическое моделирование динамики автотранспортных потоков и вызываемого ими загрязнения атмосферного воздуха в автомобильных тоннелях // Наукоемкие технологии. 2003. 4, N 9. 29-43.

13. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990.

Поступила в редакцию 11.07.2005

ti р0 а Ъ

р = 0%

50 0,06 0,011 0,0165

150 0,07

250 0,08

350 0,08

р = 10 %

50 0,07 0,011 0,0265

150 0,08

250 0,09

350 0,09

р = 30 %

50 0,08 0,011 0,0365

150 0,09

250 0,1

350 0,1

р = 50 %

50 0,11 0,0107 0,0705

150 0,13

250 0,13

350 0,13