Методика определения констант и параметров модели накопления повреждений с изотропным и кинематическим упрочнением

УДК 620.172

Методика определения констант и параметров модели накопления повреждений с изотропным и кинематическим упрочнением

Д.И. Федоренков, Д. А. Косов, А.В. Туманов

Институт энергетики и перспективных технологий, Федеральный исследовательский центр «Казанский научный центр» РАН, Казань, 420111, Россия

Описание эффектов циклической пластичности материалов сопряжено с экспериментами по определению констант, фигурирующих в структуре разрешающих уравнений. В данной работе описана методика определения параметров и констант модели накопления поврежденности типа Lemaitre на примере роторной стали Р2М. В модели реализованы законы изотропного упрочнения Voce и кинематического упрочнения Armstrong-Frederick. Алгоритм идентификации констант и параметров основан на проведении стандартных испытаний на одноосное растяжение для описания изотропного упрочнения и испытания на малоцикловую усталость для определения констант модели накопления повреждений и параметров кинематического упрочнения. Методика применима для всех сплавов, закономерности поведения которых можно описать предложенными модельными представлениями. На основе найденных констант и параметров с помощью метода конечных элементов смоделировано циклическое нагружение цилиндрических образцов и получена кривая выносливости для стали Р2М. Достигнута высокая степень корреляции прогнозируемой долговечности с экспериментом.

Ключевые слова: модель Lemaitre, поврежденность, кинематическое упрочнение, изотропное упрочнение, эффект Баушингера

DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_6_63

A method for determining the constants and parameters of a damage accumulation model with isotropic and kinematic hardening

D.I. Fedorenkov, D.A. Kosov, and A.V. Tumanov

Institute of Power Engineering and Advanced Technologies, FRC Kazan Scientific Center RAS, Kazan, 420111, Russia

The description of cyclic plasticity effects in materials is coupled with experiments to determine the constants appearing in the structure of the resulting equations. This paper describes the methodology for determining the parameters and constants of a Lemaitre-type damage accumulation model using P2M rotary steel as an example. The model implements the Voce isotropic hardening law and the Armstrong-Frederick kinematic hardening law. The algorithm for identifying the constants and parameters is based on standard uniaxial tension tests to describe isotropic hardening, and low-cycle fatigue tests to determine the constants of the damage accumulation model and kinematic hardening parameters. The method is valid for all alloys whose behavior can be described by the given model representations. Using the obtained constants and parameters, finite element simulations are performed to model cyclic loading of cylindrical specimens and to plot an endurance curve for P2M steel. The predicted endurance correlates well with the experiment.

Keywords: Lemaitre model, damage, kinematic hardening, isotropic hardening, Bauschinger effect

1. Введение

Усталость материалов, подверженных переменным нагрузкам, вызывается сложным физическим процессом, который характеризуется зарождением, слиянием и ростом микротрещин. В свя-

© Федоренков Д.И., Косов Д.А., Туманов А.В., 2022

зи с этим ряд работ посвящен разработке моделей, позволяющих прогнозировать поведение развивающихся трещин на основе механики поврежденной среды.

С момента введения Л.М. Качановым [1] скалярной переменной поврежденности и ее физическим обоснованием Ю.Н. Работновым [2] модели накопления поврежденности получили дальнейшее развитие [3-19].

Наибольшее распространение получили феноменологические модели пластического изотропного накопления повреждений, предложенные Lemaitre и Chaboshe [11-13]. Эти модели основаны на гипотезе эквивалентности деформаций, в которой деформационное поведение поврежденного материала представлено конституционными законами материала без повреждений с заменой истинного напряжения эффективным напряжением [3]. Lemaitre постулировал закон, в котором стандартное определение параметра повреждения с точки зрения уменьшения несущей поверхности заменяется путем уменьшения модуля упругости в идеально изотропном случае. Эта теория была дополнена [13], а эффекты старения были позже включены в работу [14]. Позже оригинальная модель была расширена Lemaitre [15] для учета анизотропии тензора повреждений.

При циклическом деформировании происходит накопление пластической деформации и, следовательно, смещение положения поверхности текучести в пространстве главных напряжений. Если поверхность текучести изменяется в размерах, то такое упрочнение называется изотропным (рис. 1, а). Радиус поверхности текучести описывается функцией упрочнения, которая связывает деформации и напряжения, аппроксимируя диаграмму одноосного растяжения. Функция упрочнения может принимать различный вид в истинных и условных координатах напряжение-деформация: билинейная аппроксимация, экспоненциальный закон Voce, степенной закон Ramberg-Osgood [20] и др. Если размер поверхности теку-

чести не изменяется, а изменяется лишь ее положение, то такое упрочнение называется кинематическим (рис. 1, б). Расстояние смещения центра поверхности текучести называют обратным напряжением.

Если изотропное упрочнение связано с плотностью дислокаций, то кинематическое упрочнение — с состоянием внутренней концентрации микронапряжений, и его проявление становится значимым в момент изменения действия направления нагружения по отношению к исходному упругопластическому деформированию. Процессы упрочнения и разупрочнения материала, наблюдаемые при циклическом нагружении (рис. 2), могут быть описаны законом кинематического упрочнения [21]. Типичным проявлением данного упрочнения является эффект Баушингера, который описывает явление уменьшения предела упругости при изменении знака нагружения (сжатия), если до этого имела место малая пластическая деформация [22]. При циклическом деформировании у материалов в основном наблюдается комбинация изотропного и кинематического упрочнения.

В ранних работах при описании кинематического упрочнения использовались в основном линейные функции [23, 24]. Линейное кинематическое упрочнение является простейшим видом кинематического упрочнения и способно представить эффект Баушингера, но не способно вызвать накопление пластической деформации при наличии среднего напряжения. Это связано с тем, что кривые «напряжение - деформация» в процессе циклического нагружения имеют форму замкнутых петель гистерезиса [25]. В работе [26] был разработан нелинейный закон кинематического упрочнения, в основе которого заложен закон Prager с учетом обратных напряжений.

Рис. 1. Изотропное упрочнение (а) и кинематическое упрочнение с эффектом Баушингера (б) в пространстве главных напряжений

Рис. 2. Циклическое разупрочнение

В зависимости от свойств материала и температуры на протяжении одного испытания определенные этапы циклического нагружения могут сопровождаться уменьшением, увеличением и постоянством сопротивления упругопластическим деформациям. Модель [27] позволяет объединить различные законы кинематического упрочнения для описания различных этапов циклического деформирования. Она требует проведения большого количества испытаний при циклическом нагру-жении и высокой степени профессионализма операторов. Более того, однозначная интерпретация полученных данных также требует высокой квалификации исследователя и интуитивного понимания происходящих вследствие кинематического упрочнения процессов. Одними из основных достоинств нелинейных кинематических моделей являются учет эффектов пошагового накопления деформаций и стабилизация петли упругопласти-

ческого гистерезиса при мягком несимметричном циклическом нагружении, а также релаксация средних напряжений при жестком несимметричном циклическом нагружении [28].

Правильная идентификация параметров упрочнения является очень актуальным вопросом [2936]. Тем не менее ряд работ, основанный на подобных формулировках поврежденности и упрочнения, практически не акцентирует внимание на алгоритме идентификации констант и параметров, ссылаясь при численном исследовании, как правило, на одни и те же статьи, в которых метод идентификации описан неоднозначно. Другие работы описывают различные нестандартные и сложно реализуемые испытания.

В данной статье реализован алгоритм, основанный на наборе разрешающих уравнений и объединяющий экспоненциальный закон изотропного упрочнения, закон кинематического

упрочнения Armstrong-Frederic и модель накопления повреждений Lemaitre. Данный алгоритм был реализован в виде динамически подключаемой библиотеки пользовательского материала программного комплекса расчетов по методу конечных элементов ANSYS. Структура разрешающих уравнений алгоритма включает константы, которые являются характеристикой материала для заранее оговоренных условий нагружения.

Целью данной работы являлась верификация метода идентификации параметров, используемых в законах изотропного упрочнения, кинематического упрочнения и в модели накопления повреждений, на основе двух стандартных испытаний на одноосное растяжение и малоцикловую усталость.

2. Модельные представления

2.1. Изотропное упрочнение

Выбор модели изотропного упрочнения сводится к выбору функции, аппроксимирующей диаграмму одноосного растяжения. В данном исследовании в качестве аппроксимирующей функции диаграммы одноосного растяжения использован экспоненциальный закон упрочнения (закон Voce). Основным его преимуществом является возможность аналитического дифференцирования по эквивалентной пластической деформации sp без привлечения итерационных методов:

ст = сто +^nf[! "exP(-YOL

где о0 — предел текучести материала; Rinf — асимптотический предел временного сопротивления; у — показатель упрочнения материала.

2.2. Кинематическое упрочение

Кинематический закон упрочнения описывает характер изменения петли гистерезиса. В данной работе использовалась модель Armstrong-Frederick, получившая наибольшее распространение при моделировании циклического нагружения [37, 38]. Модель основана на физическом механизме деформационного упрочнения и динамического восстановления, обладает способностью достаточно хорошо представлять формы петель гистерезиса и имеет небольшое количество констант [34]. В статье [39] авторы показали способность модели достаточно хорошо моделировать эксперименты при одноосном растяжении, включая накопление пластической деформации во время циклического нагружения. В исследовании [38]

была продемонстрирована возможность использования модели для прогнозирования обратной пластичности при циклическом нагружении толстостенных цилиндрических и сферических сосудов при различных комбинациях термических и механических нагрузок. Кинематический закон упрочнения Armstrong-Frederick в современной литературе имеет множество модификаций, существенно расширяющих области его применения [40-44].

В традиционной формулировке закон имеет вид

где (3 — скорость изменения тензора обратных напряжений; a и b — искомые константы материала; S p — скорость накопления тензора пластической деформации; в — тензор обратных напряжений; S p — скорость накопления общей эквивалентной пластической деформации.

2.3. Модель поврежденности Lemaitre

Согласно традиционной модели Lemaitre, скорость накопления повреждений определяется на основе термодинамической теории и зависит от уровня накопленных пластических деформаций и их скорости. В общем виде модель Lemaitre описывается в следующем виде [11]:

. . 1 i-Y4

со = у

1 -с

-Y = -

R =-

2 E(1 -с)2

(1 + v) + 3(1 - 2 v)-

eq

где со — скорость роста параметра поврежденности; у — скорость накопления пластических деформаций; У — скорость выделения энергии деформации повреждений; Е — модуль упругости первого рода; V — коэффициент Пуассона; г, s — искомые параметры материала; — функция трехосности; р — гидростатическое напряжение. Отношение р/сеч является параметром трехосности напряжений. Оно учитывает влияние многоосности нагружения на процесс накопления повреждений.

Параметр поврежденности существует в диапазоне 0< ю < 1, и в случае ю = 0 материал не имеет повреждений, а при ю = 1 считается разрушенным.

Рис. 3. Образцы для статических испытаний

Модельные представления, описанные уравнениями (1)-(5), были объединены в общую структуру разрешающих уравнений и заложены в ко-нечно-элементый комплекс А^УБ в виде динамически подключаемой библиотеки пользовательского материала.

3. Экспериментальные исследования

В данной работе для верификации предлагаемой методики использовались образцы для испытаний на одноосное растяжение и малоцикловую усталость роторной стали Р2М (рис. 3). Экспериментальное исследование проводилось с целью определения механических свойств материала при комнатной температуре. В рамках разработанных модельных представлений на универсальной испытательной машине УТС 111.2-50-23 были проведены испытания на одноосное растяжение согласно ГОСТ 1497-84 при скорости изменения деформации 1 мм/мин. Измерение деформаций осуществлялось с помощью навесного измерителя деформаций ТС 703-3549-025М-050-БТ.

В результате испытаний была получена диаграмма одноосного растяжения материала (рис. 4), а также его основные механические характеристики (табл. 1).

Испытания на малоцикловую усталость при комнатной температуре и мягком нагружении (постоянная амплитуда напряжений при циклическом деформировании) с коэффициентом асимметрии R = -1 и частотой 10 Гц были проведены на машине для испытаний конструкционных ма-

0"f-1-1-1-1-1—

0 5 10 15 20 25 Деформация, %

Рис. 4. Диаграмма одноосного растяжения стали Р2М

Таблица 1. Основные механические свойства стали Р2М

Модуль упругости Е, МПа Предел текучести о0, МПа Предел прочности аеф МПа Условное напряжение при разрушении о&, МПа Относительное удлинение 5, % Относительное сужение V, %

211000 353 618 433 25 62

териалов Zwick/Roell НА 100 согласно ГОСТ 25.502 (с учетом ГОСТ 25.505, АБТМ Е 606). С помощью навесного измерителя деформаций ТС 703-3549-010-050-БТ производилась регистрация петель гистерезиса. В результате была получена кривая усталости стали Р2М (рис. 5).

4. Определение констант используемых моделей

4.1. Определение констант изотропного упрочнения

Как уже было отмечено, изотропное упрочнение учитывает расширение поверхности текучести, аппроксимируя диаграмму монотонного на-гружения.

Экспоненциальный закон изотропного упрочнения (1) включает две искомые константы и у. Параметр характеризует асимптотический предел временного сопротивления, к которому стремятся напряжения вплоть до истинного напряжения отрыва Sk (рис. 6). Параметр у учитывает угол наклона кривой «напряжение - деформация» при стремлении к

Для определения констант необходимо перейти от экспериментальной диаграммы одноосного растяжения в координатах «условное напряжение - деформация», представленной на рис. 4, к диаграмме в координатах «истинное напряжение - истинная деформация»:

8 ед = 1п[1/(1 )],

Рис. 5. Кривая усталости стали Р2М при комнатной температуре

аед = а

сопё(1 ^ 8ед).

Затем необходимо выделить на начальном участке упрочнения диаграммы одноосного растяжения в координатах «истинное напряжение -пластическая деформация» вблизи предела текучести малую линейную область (рис. 6). Далее задается приближенное значение и рассчитывается величина у,- для каждой /-й точки внутри выделенной малой линейной области с координата-

ми 8 р/ и ог-

у =-

1п[1 - (а, -ар)/ЯТ

Здесь и далее п — шаг итерации.

Следом определяются среднее значение уп на выделенной области и уровень напряжения при пластической деформации разрушения 8 р

1 т

уп = - !у П,

т,=1

аП = а0 + ЯТ[1 - ехр

В случае если значение напряжения, найденного по (10), не совпадает со значением изменяется Ядт и итерационный процесс (8)-(12) повторяется до тех пор, пока разница не достигнет заданного значения

-3

пП+1 _ пп _

Riпf = ^пТ ^ЩТП

а

г ЯТехр(-у п 8 *)"

Рис. 6. Схематическое изображение экспоненциального закона упрочнения

4.2. Определение констант закона накопления повреждений Lemaitre

Эволюцию параметра поврежденности J. Lemaitre описывает с помощью диаграммы одноосного растяжения следующим образом [45] (рис. 7). До предела текучести материала в области упругих деформаций поврежденность отсутствует. Как только возникнет пластическая деформация, уровень поврежденности начинает возрастать. Однако до напряжения, равного временному сопротивлению материала aeq, этот уровень будет пренебрежимо мал. После преодоления aeq в материале увеличиваются значения параметра поврежденности ю (этот момент сопровождается образованием у образца шейки) вплоть до разрушения при напряжении разрушения afr и критическом параметре поврежденности юс. Несмотря на теоретический предел юс = 1, в действительности разрушение происходит при 0.2 < юс < 0.5. При этом критическое значение поврежденности выступает в качестве свойства материала при заданной температуре.

Определить критический параметр поврежден-ности возможно, зная значения временного сопротивления и условных напряжений при разрушении:

aeq

Юс = 1

Рис. 7. Схематическое изображение эволюции параметра поврежденности в ходе испытания на статическое растяжение

Закон Ьетайге (3) описывает кинетику накопления поврежденности при помощи показателя степени £ и амплитудного параметра г. На рис. 7 изображен линейный характер развития поврежденности при £ = 1.

При условии, что материал является идеально пластичным для каждого уровня напряжений в случае одноосного растяжения, уравнение (3) примет следующий вид:

ю = 8

Л5

а„

2 Er (1 -ю)2

При монотонном нагружении, интегрируя (14) по пластической деформации и предполагая, что материал изотропный, а поврежденность изменяется от нуля до критического значения 0< ю < юс во время изменения пластической деформации от ее значения при временном сопротивлении до значения при истинном напряжении разрушения 8рд <8Р < 8рг* , получим: .2 " £

Ю =

а

eq

2 Er

V У

= 2(1 -Vï

8?„* = 2

где у — относительное сужение образца в процессе испытания на статическое растяжение.

Интегрирование уравнения (14) по одному циклу N пренебрегая изменением ю в течение цикла, приводит к

j Ю dt = 2

1cycle

V

а.

Л8 Р.

2 Ег (1 -ю)\

где ДеР — прирост пластической деформации, соответствующей напряжению атах.

Интегрируя уже уравнение (17) по количеству циклов, начиная с цикла, на котором начинается

s

X

<D *

s: Он

G ей X

<U О X Л

ц

ей X s S

о Д

___ ---? "  —f—

ГГТ 1 : /' / / / / /

/ /

±_ [ / _л- ил

//7 "7 .'//// 1 / 4-1 / —-1- 1 1

/ 1 ; 1 ! /

Деформация

Рис. 8. Схематическое изображение диаграммы циклического деформирования в первом цикле и распределение обратных напряжений

рост повреждении, до последнего цикла перед разрушением с одноИ стороны, и от 0 до шс, с другоИ, можно наИти:

г ™ \т

8 Р

Nfr = 11 2А8Р

Oeq" ад -CTf

ад

O max — Of

2s

+

1 -

2 s+1

'eq

V O max у

2

где Gf — предел выносливости, определяемый из испытаний на малоцикловую усталость.

Взяв две точки на кривой усталости, в каждой из которых известны прикладываемое напряжение отах, количество циклов до разрушения и ширина петли первого цикла Д8Р, определяются значения констант £ и т.

Из уравнения (15) следует, что существуют некие парные значения параметров £ и г, удовлетворяющие постоянному шс. Следовательно, -2 (

2 E

юс

4.3. Определение констант кинематического упрочнения

Константы кинематического упрочнения в уравнении (2) определяются в зависимости от целей и задач последующей интерпретации результатов. Если целью является моделирование только монотонного нагружения, то идентифицировать а и Ь возможно методом наименьших квадратов, взяв за основу выражение [46]

р = а —ау = - 1 -exp

Если целью является моделирование кинетики накопления пластической деформации при циклическом нагружении, то определение параметров несколько усложняется. Необходимо знать зависимость изменения ширины первой петли в первом цикле от номинального напряжения (рис. 8) из испытаний на малоцикловую усталость, благодаря которым была получена диаграмма Веллера.

Далее из полученной совокупности первых циклов при различных уровнях циклического на-гружения вычисляется величина смещения центра поверхности текучести — обратные напряжения. Из определения эффекта Баушингира следует, что материал при разгрузке из состояния максимального осевого напряжения ведет себя упруго до точки, где разница между максимальным

Рис. 9. Схематическое изображение определения обратного напряжения из первого цикла циклических испытаний

напряжением и пределом пропорциональности на сжатие равна удвоенной величине предела текучести. Величина обратного напряжения есть разница между максимальным осевым напряжением и пределом текучести при сжатии (рис. 9). Значение предела пропорциональности на сжатие определялось из условия изменения производной в 2 раза, т.е. когда тангенс угла наклона касательной к кривой в 2 раза меньше модуля упругости на сжатие.

Таким образом была получена зависимость обратных напряжений от пластической деформации стали Р2М при комнатной температуре (рис. 10).

При одноосном растяжении в уравнении (2) скорость накопления тензора пластической деформации совпадает со скоростью накопления общей эквивалентной пластической деформации. Запишем (2) в приращениях напряжений и деформаций и разделим обе части уравнения на d8p:

dp = ad8 p — bp d8 p,

dp/ d8 p = a — bp.

Рис. 10. Зависимость обратных напряжений от пластической деформации стали Р2М

х

Рис. 11. Скорость изменения обратных напряжений от изменения пластической деформации в зависимости от обратных напряжений стали Р2М

Представим зависимость обратных напряжений от пластической деформации в виде функции dß/ de p = f (ß) (рис. 11). Тогда угол наклона кривой f(ß) однозначно определяет a, сдвиг по оси абсцисс — b.

Таким образом были получены параметры изотропного упрочнения Voce, кинематического упрочнения Armstrong-Frederick и модели поврежденности Lemaitre для роторной стали Р2М (табл. 2).

5. Результаты и обсуждение

Для верификации найденных характеристик поведения стали Р2М было проведено численное исследование с использованием динамически подключаемой библиотеки пользовательского материала в программном комплексе расчетов по методу конечных элементов ANSYS. Объектом численных исследований выступал цилиндрический образец (рис. 3, б). Моделировалось испытание на малоцикловую усталость при мягком на-гружении. Расчетная схема метода конечных элементов была сформирована из восьмиузловых элементов второго порядка. Задача моделировалась в осесимметричной постановке с приложением циклической нагрузки с коэффициентом асимметрии R = -1. Образец считался разрушенным при достижении критического параметра поврежденности юс = 0.299 (табл. 2).

Рис. 12. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных при моделировании долговечности гладких цилиндрических образцов стали Р2М при комнатной температуре

На рис. 12 представлено сопоставление расчетных (синие ромбы) и экспериментальных данных (красные квадраты) при моделировании малоциклового нагружения стандартных цилиндрических образцов из стали Р2М.

Необходимо акцентировать внимание на том, что в данной работе использовалось упрощенное представление циклического нагружения, когда параметры модели изотропного упрочнения определяются из диаграммы при статическом нагру-жении. Таким образом, циклическое нагружение в данном случае представляется через набор повторных статических нагружений с учетом циклического кинематического упрочнения. Это позволяет существенно сократить необходимое количество проведенных испытаний для определения параметров обобщенной модели в ущерб ее точности. Тем не менее такой упрощенный подход позволяет получить приемлемую точность в необходимом диапазоне диаграммы усталостной долговечности. В рамках данной работы было получено приемлемое совпадение в диапазоне от 200 до 2000 циклов нагружения (рис. 12). В случае когда точность модели оказывается недостаточной, необходима подстановка именно цик-

Таблица 2. Искомые свойства и параметры стали Р2М при комнатной температуре

E, МПа о0, МПа r, МПа 5 Rinf, МПа Y a, МПа b Юс

211000 353 1.3 1.5 850 6.46 82877 428.81 0.29

лических параметров как изотропного, так и кинематического упрочнения в исследуемом диапазоне долговечности. Однако данный шаг приведет к необходимости проведения дополнительных испытаний при циклическом нагружении.

Более того, используемые в данной статье разрешающие уравнения зависят от приложенного напряжения, истории нагружения, температуры, скорости деформации и других факторов [47]. Приведенные в табл. 2 характеристики материала справедливы в оговоренных пределах их определения. В случае изменений условий нагружения рекомендуется проверка полученных параметров и констант с помощью других видов испытаний, например циклического испытания на изгиб, даже несмотря на то что в работе [30] авторы пришли к выводу, что при применении циклического испытания на изгиб необходимо опираться на обратные методы оптимизации, в то время как при испытаниях на растяжение/сжатие искомые параметры определяются непосредственно из эксперимента.

6. Выводы

Модельные представления, объединяющие экспоненциальный закон изотропного упрочнения Voce, кинематического упрочнения Armstrong-Frederic и модели накопления повреждений Lemaitre, реализованы в виде динамически подключаемой библиотеки пользовательского материала для программного комплекса расчетов по методу конечных элементов ANSYS.

Разработан метод идентификации констант материала, используемых в законах изотропного упрочнения Voce, кинематического упрочнения Armstrong-Frederic и в модели накопления повреждений Lemaitre.

Проведена верификация полученных констант на примере роторной стали Р2М при моделировании циклического нагружения методом конечных элементов. В области от 200 до 2000 циклов численные результаты хорошо совпадают с экспериментом.

Методика, разработанная в рамках данной работы, применима для всех сплавов, закономерности поведения которых можно описать заложенными в модельные преставления уравнениями. Сталь Р2М использовалась исключительно в качестве верификационного материала и не замыкает на себе область применения.

Литература

1. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. - М.: Наука, 1974.

2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - Наука, 1966.

3. De Souza Neto E., Peric D., Owen D. Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications. -Chichester: Wiley, 2008. - https://doi.org/10.1002/ 9780470694626

4. Azinpour E., Ferreira J.P.S., Parente M.P.L., Cesar de Sa J. A simple and unified implementation of phase field and gradient damage models // Adv. Model. Simul. Eng. Sci. - 2018. - V. 5(1). - P. 15. - https:// doi.org/10.1186/s40323-018-0106-7

5. Rice J.R., Tracey D.M. On the ductile enlargement of voids in triaxial stress fields // J. Mech. Phys. Solids. -1969. - V. 17. - No. 3. - P. 201-217. - https://doi.org/ 10.1016/0022-5096(69)90033-7

6. Gurson A.L. Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth: Part I—Yield criteria and flow rules for porous ductile media // ASME. J. Eng. Mater. Technol. - 1977. - V. 99(1). - P. 2-15. -https://doi.org/10.1115/L3443401

7. Tvergaard V., Needleman A. Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar // Acta Metall. - 1984. -V. 32. - No. 1. - P. 157-169. - https://doi.org/10. 1016/0001-6160(84)90213-X

8. Kachanov L.M. Time of the rupture process under creep condition // Izv. Akad. Nauk. SSSR. Otd. Tekhn. Nauk. - 1958. - P. 26-31.

9. Rabotnov Y.N. On the Equation of State of Creep // Conf. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. -1963. - V. 178(1). - Paper 68. - P. 2-122. -https://doi.org/10.1243/PIME_C0NF_1963_178_030_ 02

10. Leckie F.A., Hayhurst D.R. Creep rupture of structures // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1974. - V. 340. -P. 323-347. - https://doi.org/10.1098/rspa.1974.0155

11. Lemaitre J. A continuous damage mechanics model for ductile fracture // J. Eng. Mater. Technol. - 1985. -V. 107(1). - P. 83-89. - https://doi.org/10.1115/1.32 25775

12. Chaboche J.L. Continuum damage mechanics: Part 1— General concepts // J. Appl. Mech. - 1988. - P. 5559. - https://doi.org/10.1115/1.3173661

13. Chaboche J.L. Continuum damage mechanics: Part II— Damage growth, crack initiation, and crack growth // J. Appl. Mech. -1988. - P. 55-65. - https://doi.org/10. 1115/1.3173662

14. Marquis D., Lemaitre J. Constitutive equations for the coupling between elasto-plasticity damage and ageing // Rev. Phys. Appl. - 1988. - V. 23. - P. 615-624. -https://doi.org/10.1051/rphysap:01988002304061500

15. Lemaitre J., Desmorat R., Sauzay M. Anisotropic damage law of evolution // Eur. J. Mech. A. Solids. -2000. - V. 19. - P. 187-208. - https://doi.org/10.1016/ S0997-7538(00)00161-3

16. Murakami S., Ohno N. A Continuum Theory of Creep and Creep Damage // Proceedings of the IUTAM Symposium on Creep in Structures / Ed. by A.R.S. Pon-ter. - Berlin: Springer, 1980. - P. 422-443. -https://doi.org/10.1007/978-3-642-81598-0_28

17. Junhe L., Yuan F., Sebastian M. A modified Lemaitre damage model phenomenologically accounting for the Lode angle effect on ductile fracture // Proc. Mater. Sci. - 2014. - V. 3. - P. 1841-1847. - https://doi.org/ 10.1016/j.mspro.2014.06.297

18. Armero F., Oller S. A general framework for continuum damage models. I. Infinitesimal plastic damage models in stress space // Int. J. Solids Struct. - 2000. -V. 37. - P. 7409-7436. - https://doi.org/10.1016/ S0020-7683(00)00205-5

19. Zehsaz M., Tahami F.V., Akhani H. Experimental determination of material parameters using stabilized cycle tests to predict thermal ratchetting // UPB Sci. Bull. D. - 2016. - V. 78(2). - P. 7-13.

20. Ramberg W., Osgood W.R. Description of StressStrain Curves by Three Parameters: Technical Note No. 902. - Washington: Nat. Advisory Comitte for Aeronautics, 1943.

21. Halama R., Sedlak J., Sofer M. Phenomenological modelling of cyclic plasticity // InTech. - 2012. - P. 329354. - https://doi.org/10.5772/35902

22. Badnava H., Pezeshki S.M., Fallah Nejad Kh., Far-houdi H.R. Determination of combined hardening material parameters under strain controlled cyclic loading by using the genetic algorithm method // J. Mech. Sci. Technol. - 2012. - V. 26(10). - P. 3067-3072. -https://doi.org/10.1007/s12206-012-0837-1

23. IshlinskiiA.Yu. General theory of plasticity with linear strain hardening // Ukr. Mat. Zh. - 1954. - V. 6(3). -P. 314-325.

24. Prager W. A new method of analyzing stresses and strains in work-hardening plastic solids // J. Appl. Mech. - 1956. - V. 23(4). - P. 493-496. - https://doi. org/10.1115/1.4011389

25. Rezaiee-Pajand M., Sinaie S. On the calibration of the Chaboche hardening model and a modified hardening rule for uniaxial ratcheting prediction // Int. J. Solids Struct. - 2009. - V. 46(16). - P. 3009-3017. - https:// doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2009.04.002

26. Frederick C.O., Armstrong P.J. A mathematical representation of the multiaxial Bauschinger effect // Mater. High Temp. - 2007. - V. 24(1). - P. 1-26. - https:// doi.org/10.3184/096034007X207589

27. Chaboche J.L. On some modifications of kinematic hardening to improve the description of ratchetting effects // Int. J. Plasticity. - 1991. - V. 7(7). - P. 661678. - http://doi.org/10.1016/0749-6419(91)90050-9

28. Крыжевич Г.Б., Филатов А.Р. Модель упругоплас-тического деформирования алюминиевых сплавов и критерии малоцикловой усталости конструкций // Труды Крыловского государственного научного

центра. - 2018. - Т. 2. - С. 85-95. - http://doi.org/10. 24937/2542-2324-2018-2-S-I-85-95

29. Peroni M., Solomos G. Advanced experimental data processing for the identification of thermal and strain-rate sensitivity of a nuclear steel // J. Dyn. Behav. Mater. - 2019. - V. 5. - P. 251-265. - https://doi.org/10. 1007/s40870-019-00207-w

30. Eggertsen P., Mattiasson K. On the identification of kinematic hardening material parameters for accurate spring back predictions // Int. J. Mater. - 2011. -Form 4. - P. 103-120. - https://doi.org/10.1007/ s12289-010-1014-7

31. Coppieters S., Kuwabara T. Identification of post-necking hardening phenomena in ductile sheet metal // Exp. Mech. - 2014. - V. 54. - P. 1355-1371. - https:// doi.org/10.1007/s11340-014-9900-4

32. Wolff M., Suhr B., §im§ir C. Parameter identification for an Armstrong-Frederick hardening law for supercooled austenite of SAE 52100 steel // Comput. Mater. Sci. - 2010. - V. 50(2). - P. 487-495. - https://doi. org/10.1016/j.commatsci.2010.09.009

33. Mahmoudi A.H., Pezeshki-Najafabadi S.M., Badna-va H. Parameter determination of Chaboche kinematic hardening model using a multi objective genetic algorithm // Comput. Mater. Sci. - 2011. - V. 50(3). -P. 1114-1122. - https://doi.org/10.1016/j.commatsci. 2010.11.010

34. Wojcik M., Skrzat A. Identification of Chaboche-Lemaitre combined isotropic-kinematic hardening model parameters assisted by the fuzzy logic analysis // Acta Mech. - 2021. - V. 232. - P. 685-708. -https://doi.org/10.1007/s00707-020-02851-z

35. Горохов В.А. Численное моделирование процессов упруговязкопластического деформирования и разрушения элементов конструкций при квазистатических термосиловых, циклических и терморадиационных воздействиях: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Нижний Новгород: Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2018.

36. Eslami M.R., Mahbadi H. Cyclic loading of thermal stresses // J. Therm. Stress. - 2001. - V. 24(6). -P. 577-603. - https://doi.org/10.1007/978-94-007-27 39-7_965

37. Mahbadi H., Eslami M.R. Cyclic loading of thick vessels based on the Prager and Armstrong-Frederick kinematic hardening models // Int. J. Press. Vessel. Pip. - 2006. - V. 83(6). - P. 409-419. - https:// doi.org/10.1016/j.ijpvp.2006.02.031

38. Dafalias Y.F., Kourousis K.I., Saridis G.J. Multiplicative AF kinematic hardening in plasticity // Int. J. Solids Struct. - 2008. - V. 45(10). - P. 2861-2880. -https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2008.01.001

39. Aygun S., Wiegold T., Klinge S. Coupling of the phase field approach to the Armstrong-Frederick model for the simulation of ductile damage under cyclic load //

Int. J. Plasticity. - 2021. - V. 143. - https://doi.org/ 10.1016/j.ijplas.2021.103021

40. Agius D., Kourousis K.I., Wallbrink C. A modification of the multicomponent Armstrong-Frederick model with multiplier for the enhanced simulation of aerospace aluminium elastoplasticity // Int. J. Mech. Sci. -

2018. - V. 144. - P. 118-133. - https://doi.org/10. 1016/j.ijmecsci.2018.05.036

41. Cleja-Tigoiu S., Stoicuta N.E. Variational inequality in classical plasticity. Applications to Armstrong-Frederick elasto-plastic model // Comput. Math. Appl. -

2019. - V. 77(11). - P. 2953-2970. - https://doi.org/ 10.1016/j.camwa.2018.08.070

42. Pei X., Dong P., Mei J. The effects of kinematic hardening on thermal ratcheting and Bree diagram boundaries // Thin-Walled Struct. - 2021. - V. 159. - https:// doi.org/10.1016/10.1016/j.tws.2020.107235

43. Meyer K.A., Ekh M., Ahlstrom J. Modeling of kinematic hardening at large biaxial deformations in pearlitic

rail steel // Int. J. Solids Struct. - 2018. - V. 130. -P. 122-132. - https://doi.org/10.1016/jijsolstr.2017. 10.007

44. Lemaitre J., Desmorat R. Engineering Damage Mechanics: Ductile, Creep, Fatigue and Brittle Failures. -New York: Springer-Verlag, 2005. - https://doi.org/ 10.1007/b138882

45. Chaboche J.L., Lemaitre J. Mechanics of Solid Materials. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - https://doi.org/10.1017/CB09781139167970

46. Ellyin F. Fatigue Damage, Crack Growth and Life Prediction. - Dordrecht: Springer, 1997. - https://doi.org/ 10.1007/978-94-009-1509-1

47. Evin E., Kepic J., Burikova K., Tomas M. The prediction of the mechanical properties for dual-phase high strength steel grades based on microstructure characteristics // Metals. - 2018. - V. 242(8). - P. 1-18. -https://doi.org/10.3390/met8040242

Поступила в редакцию 04.03.2022 г., после доработки 15.04.2022 г., принята к публикации 18.04.2022 г.

Сведения об авторах

Федоренков Дмитрий Игоревич, мнс ИЭПТ, ФИЦ Казанский научный центр РАН, dif-96@mail.ru Косов Дмитрий Александрович, мнс ИЭПТ, ФИЦ Казанский научный центр РАН, dima45001@gmail.com Туманов Андрей Владиславович, к.т.н., внс ИЭПТ, ФИЦ Казанский научный центр РАН, tymanoff@rambler.ru