Почти эквивалентное дискретное моделирование трехмерных пористых тел сложной формы на основе смешанных моделей

УДК 539.3 АД. Матвеев

ПОЧТИ ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ПОРИСТЫХ ТЕЛ СЛОЖНОЙ

ФОРМЫ НА ОСНОВЕ СМЕШАННЫХ МОДЕЛЕЙ

Предложено почти эквивалентное дискретное моделирование трехмерных однородных упругих пористых тел сложной формы, которые имеют систему полостей малых размеров. Данное моделирование сводится к построению почти эквивалентных дискретных моделей упругих тел с применением смешанных конечноэлементных моделей. Предлагаемые смешанные модели тел проектируются на основе базовых моделей (построенных с применением регулярных разбиений) при совместном использовании одно- и двухсеточного моделирования тел. Размерности почти эквивалентных моделей значительно меньше размерностей базовых. При этом решения, построенные для почти эквивалентных дискретных моделей тел, отличаются от решений, отвечающих базовым моделям, на заданную малую величину.

Ключевые слова: трехмерные пористые тела, почти эквивалентные дискретные модели, метод конечных элементов.

A.D. Matveev

ALMOST EQUIVALENT DISCRETE MODELING OF THE THREE DIMENSIONAL POROUS SOLIDS OF THE COMPLEX SHAPE ON THE BASIS OF THE MIXED MODEL

Almost equivalent discrete modeling of three dimensional elastic porous solids of the complex shape with the small size cavity structure is proposed. Given modeling is reduced to build almost equivalent discrete models of the three dimensional elastic porous solids on the basis of the mixed finite element models. The suggested mixed models of solids are designed on the basis of the base models (which are built by means of the regular partitioning) at the combined utilization of one- and twogrid solid modeling. Dimensions of the almost equivalent discrete models are less than the basic dimensions. So the solutions built for the almost equivalent discrete models differ from the solutions corresponding to the base models, by the given small value.

Key words: dimensional porous solids, almost equivalent discrete models, method of the finite element models.

Введение. При исследовании трехмерных упругих однородных пористых тел сложной формы широко применяют метод конечных элементов (МКЭ) [1,2]. Однако конечноэлементный анализ трехмерных тел сложной формы сводится к построению дискретных моделей высокого порядка [1]. Применение суперэлементов [2] и нерегулярных разбиений для построения дискретных моделей малой размерности малоэффективно. Кроме того, матрицы систем уравнений МКЭ, отвечающие нерегулярным разбиениям, могут быть плохо обусловленными. Как известно [3], достоинство регулярных разбиений (перед нерегулярными) состоит в том, что они порождают системы уравнений МКЭ, матрицы которых являются хорошо обусловленными. Для учета сложной формы тел возникает необходимость использовать мелкие регулярные разбиения, которые имеют очень высокую размерность. Это создает определенные трудности при реализации МКЭ, которая требует большого объема памяти ЭВМ и больших временных затрат для решения системы уравнений МКЭ.

На практике представляется возможным на основе регулярных разбиений строить дискретные модели малой размерности. В связи с этим для изучения свойств таких дискретных моделей и для удобства рассуждений введем следующие определения.

Определение 1. Конечноэлементную модель Vq упругого тела, которая построена с применением

регулярного разбиения, будем называть базовой. Если тело является композитом, то регулярное разбиение базовой модели учитывает его структуру.

Определение 2. Будем говорить, что конечноэлементная модель Vh тела почти эквивалентна (по

норме) его базовой модели F0A (будем обозначать: Vh ~ ), если величина є , вычисляемая по формуле

*='^4 <«)

її«; її

мала; где 0 < є « ; nh- вектор функций перемещений модели Vh; и* - вектор функций перемещений базовой модели V0h; ||uA ||,||uq ||< о. Если є = >, то будем говорить: дискретная модель Vh эквива-

лентна (по норме) базовой модели V0 . Дискретную модель тела, которая почти эквивалентна базовой, будем называть почти эквивалентной.

Определение 3. Будем говорить, что решение uh почти эквивалентно (по норме) решению uh, если для этих решений в равенстве (а) е есть малая величина; О < s « .

Будем обозначать: кратко nh - и* и более подробно nh - и* + г ||и* ||. Первая запись означает: «решение uh почти эквивалентно (по норме) решению uh0». Вторая запись читается так: «решение uÄ почти эквивалентно решению uh и решение u отличается (по норме) от решения uh на величину е ||и* II».

Для практики наиболее интересны почти эквивалентные дискретные модели, размерности которых значительно меньше размерностей базовых моделей. При этом ширина лент матриц систем уравнений (СУ) МКЭ почти эквивалентных дискретных моделей меньше (или по крайней мере не больше) ширины лент матриц СУ МКЭ базовых моделей, а величина е в формуле (а) может быть сколь угодно малой.

Согласно теории МКЭ для любого 8 > ) существует такой шаг h узловой сетки регулярного разбиения базовой модели , что [3]

IK-uy

IK II

где 8 - относительная погрешность для решения Uq ; u0- точное решение.

Рассмотрим условия, при выполнении которых относительная погрешность £ - U0 - lh II / II U0 II решения uA удовлетворяет той же оценке 8, какой удовлетворяет относительная погрешность 8 решения u h. Используя неравенство треугольника для норм, имеем

к - .JLK- .gil | '|ug - .JUKII КII ||u0 II к II К If

Обозначим

« -Ш. №

llu.ll ' ’

Согласно теории МКЭ [3] при h —» : 11 и 0 — и * 11—> , а тогда при /г —> : 11 и* ||—» 0Н’т'а

lim а — при /г —> .

Учитывая (a), (b), (d) в (с), получаем

1К-М£.+Га

II«, II ..........

sas,J^=l_b

11«о II

Пусть

Используя (,§) в (/), для относительной погрешности £ получаем оценку

,*)

II «о II

Итак, в случае выполнения для £ 2 условия (,§-) относительная погрешность £ решения иА, построенного для почти эквивалентной дискретной модели тела, удовлетворяет той же оценке 8, какой удовлетворяет относительная погрешность 8 решения и* отвечающего базовой модели. Отметим, что оце-

нить порядок величины 8 = >—1|и0 -ин0 ||/1|и0 ||= > - > с помощью тестовых расчетов расчетов сложно, так как построение по МКЭ решения и*, которое мало отличается (по норме) от точного, т.е. II и0 - и* || » ), связано с большим объемом вычислений.

Рассмотрим построение приближенной оценки для относительной погрешности £ решения иА, при использовании мелких разбиений в базовых моделях.

Пусть для заданного е > ) выполняется условие

Отметим, что если значение относительной погрешности 8 приближенного решения задачи упругости удовлетворяет условию 8 « % , то в расчетах можно принять 8 - ). В связи с этим в (/) задаем

е« ),01 (т. е. е « %). Поскольку для мелких разбиений в силу (е) имеем а » , то при

е « % можно считать £ 1 « %. Так как величина е -х « %, то в правой части неравенства (/) принимаем £ 1 - ), и тогда для относительной погрешности £ решения 11А получаем

8 ^N«0 — «И II/IIи01|< >., где 8к < ).

Почти эквивалентное дискретное моделирование упругих тел сводится к построению (на основе базовых моделей) почти эквивалентных дискретных моделей [4]. В данной работе показана процедура построения класса Ф почти эквивалентных дискретных моделей, которые обладают следующими свойствами:

1) Размерность дискретной модели е » многократно (на несколько порядков) меньше размерности базовой модели V0А , на основе которой построена дискретная модель V. Ширина ленты матрицы системы уравнений (СУ) МКЭ, отвечающей модели V, меньше (по крайней мере не больше) ширины ленты матрицы СУ МКЭ, которая построена для базовой модели Vh .

2) Перемещения дискретной модели е » тела отличаются (по норме) от перемещений базовой модели на малую величину е (см. формулу (/)), которая не больше заданной 8, т.е. ег < >. При этом величина е может быть сколь угодно малой, причем имеем зависимость ег = ('(1г,р1,...,ра), где И -шаг регулярного разбиения базовой модели; рх,...,ра- параметры, связанные с разбиением модели Ук, т.е. изменение величины £ достигается путем варьирования параметров: к,р1,...,ра.

3) Относительная погрешность е решения иА, которое построено для дискретной модели е » тела (при таком выборе параметров к,р1,...,ра, что £ « % , см. формулу (/)), удовлетворяет оценке 8 , которая не больше оценки 8 {8Ь < >), какой удовлетворяет относительная погршность 8 решения и £, отвечающего базовой модели Vh , т.е. если

1П1 .. * _ 1|и0 -«о II

¿Г = 1 й » "< 101 и 8Ь= —У------------------------->

' К II 11»о II

тогда

II «О -И* II

N«0 II

где 8Ь < ), 8 = и0 - I* II/IIи0 ||.

Отметим, что на практике интересны максимальные перемещения (напряжения) тела. Пусть

1“о I

где ит - максимальное значение сеточных перемещений и (V, w) дискретной базовой модели тела;

и0 - точное значение.

Тогда, проведя рассуждения, которые аналогичны рассуждениям построения условий (И), получим

оценку

\и0-ит\

>.

где ит - максимальное значение сеточных перемещений и (V,w) почти эквивалентной дискретной модели, которой отвечает £ « ),01 (т. е. £ « %), где £ = и™ - Г I /1 и™ |.

При этом в (а) - (/) вместо векторов перемещений и И, иА, и0 используем соответственно значе-

т

ния перемещений и0 , и , и, а норму заменяем модулем.

Здесь показана процедура построения почти эквивалентных дискретных моделей трехмерных однородных изотропных упругих тел сложной формы, которые имеют систему полостей малых размеров. Реализация процедуры сводится к построению смешанных моделей трехмерных тел. Смешанные модели состоят из однородных КЭ первого порядка формы куба и двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) формы прямоугольного параллепипеда [5]. Область тела, которая включает границу сложной формы либо границу крепления, представляется однородными КЭ первого порядка, а остальная часть области тела покрывается ДвКЭ. Для проектирования однородного ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда используются две вложенные трехмерные ортогональные узловые сетки: мелкая и крупная. При этом для каждого перемещения и, V, w по правилам МКЭ (на мелкой и крупной сетках) строятся две аппроксимирующие функции. Мелкая сетка порождена базовым разбиением ДвКЭ, которое состоит из однородных КЭ первого порядка формы куба и учитывает сложную форму данного ДвКЭ. Крупная сетка определяется так, что полости лежат между узлами крупной сетки. Общее число узлов крупной сетки существенно меньше числа узлов мелкой. Построение ДвКЭ сводится к исключению параметров МКЭ во всех узлах мелкой сетки (не совпадающих с узлами крупной сетки) с помощью аппроксимирующих функций, построенных на крупной сетке. Размерность ДвКЭ многократно меньше размерности его базового разбиения. Существуют два типа ДвКЭ [5]. У ДвКЭ первого типа [6] крупная сетка определяется только на границе его базового разбиения. Крупная сетка ДвКЭ второго типа определяется на всей его области. Здесь кратко изложены алгоритмы построения однородных ДвКЭ второго типа и связующих ДвКЭ, которые используются в дискретных смешанных моделях.

Достоинства почти эквивалентных дискретных моделей трехмерных тел сложной формы заключаются в том, что такие модели учитывают сложную форму тел. При этом размерности почти эквивалентных дискретных моделей меньше размерностей соответствующих базовых моделей. Реализация МКЭ для почти эквивалентных дискретных моделей требует меньше времени счета и объема памяти ЭВМ, чем для базовых. Приведен пример расчета трехмерного пористого тела сложной формы.

1. Процедура построения трехмерных однородных двухсеточных конечных элементов. Рассмотрим процедуру построения трехмерного изотропного однородного ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда размерами ах >х 1, который расположен в декартовой системе координат х1у1г1 и имеет регулярную систему полостей малых размеров (на рис. 1 а = 2/г, Ь = 1 = <Н). Полости ДвКЭ размерами /г х I х г лежат в области к< :х< \к , к < < 'к, к < ^ < 'к и расположены в шахматном поряд-

ке в плоскостях, которые параллельны плоскостям х1Оу1, ххОгх, ухОгх. На рисунке 2 показано сечение области ДвКЭ при х1 = ,5к, сечение закрашено. Функции перемещений, напряжений и деформаций тела удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши [7]. Область ДвКЭ представляем базовым разбиением, состоящим из однородных односеточных КЭ VИ первого порядка формы куба со стороной И [1], в каждом узле которых параметрами МКЭ являются значения перемещений и,у,м>\ у = М - общее число

КЭ . Для рисунка 1 М = ?68. Базовое разбиение ДвКЭ учитывает его сложную форму и порождает мелкую трехмерную ортогональную узловую сетку Ун размерности т1 х п2 х ч3 с шагом к по осям Охх, Оух, Ог1. Для рисунка 1 имеем тх= З,т2=т3= >. На мелкой сетке V™ определяем крупную

размерности щ х \2 х ¡3 и с шагами:

трехмерную ортогональную узловую сетку V” размерности щ х \2 х ¡3 и с шагами: Нх по оси Охх, Н

по оси Оу} и Н по оси Ог1

Рис. 1. Мелкая и крупная сетки ДвКЭ

Сетка У£ вложенав сетку У”', при этом Нх = ЛЬ,Н1 = 1И,Н1 = ЛИ, где ку,к2,к3 -целыеи к1,к2,к3> На рисунке 1 узлы крупной сетки отмечены точками, Нх= >к, Н2= Ч3 = 1к,

щ = п2 = п3 = », кл= 1, к2—к3—

Потенциальную энергию П ДвКЭ представим [8]

я. =2 ЧТ,[К,]<\, - |,Р,),

где [К. ] - матрица жесткости;

Р., - векторы узловых сил и неизвестных элемента VИ ,

Т - транспонирование.

Уі

8h

h

8h

Рис. 2. Сечение области ДвКЭ

z

С помощью полиномов Лагранжа [8] на крупной сетке УЦ определяем аппроксимирующие функции для перемещений и, V, ^ ДвКЭ, которые соответственно обозначим через мн , Ун , '№н . Эти функции представим в виде [8]

п0 п0 п0 ин=Т.Кр'1ир' ун=Екр11> ^н=Екр'й

р л р л р л

где Ыр - базисная функция /?-го узла крупной сетки УЦ] qu/3,qv/3,q^ - значения функций

ин,Ун, м?н в /5 -м узле сетки Уд\ р - ,...,и0; п0 - \п2пъ.

Считаем, что в узлах мелкой сетки У£ выполняются равенства

Щ{2г) =

где - I -й узел мелкой сетки; щ, ^- аппроксимации соответственно перемещений и, V, ^

ДвКЭ, построенные на мелкой сетке V™; /= ,...,т1т2т3.

Обозначим я = ,<7™,... ,<7™ }Т - вектор узловых параметров МКЭ крупной

сетки УЦ, т.е. вектор узловых неизвестных ДвКЭ. Используя (2) и (3), для вектора узловых перемещений КЭ уь построим равенство

Ч,-=4-]Чя.

где [ А ] - прямоугольная матрица.

Подставляя (4) в выражение (1), из условия дПе /дцн = ) получаем уравнение

[Книн= ?я.

где

м м

[Кн] = £ ]г [К; 1^]; ¥н = £ [Л. ]г Р. ,

[Кн ], ¥н - матрица жесткости и вектор узловых сил трехмерного однородного ДвКЭ формы прямоугольной призмы, который обозначим через У/ ; е - порядковый номер.

2. Построение трехмерных однородных связующих двухсеточных конечных элементов. Расчеты трехмерных тел сложной формы с применением ДвКЭ показывают, что при построении дискретной модели тела целесообразно использовать совместно однородные односеточные КЭ первого порядка формы куба [1,2] и ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда [5]. Область У тела представим V = \+ 10, где

область у тела включает границу сложной формы, которая закреплена. При дискретизации тела область У представляем однородными КЭ первого порядка, а остальную часть области У0 покрываем ДвКЭ. В результате получаем смешанную дискретную модель тела, в которой связь разбиения области у с разбиением области у осуществляется с помощью связующих ДвКЭ. Для простоты изложения считаем, что все

ДвКЭ имеют одинаковые геометрические размеры, регулярные системы полостей, мелкие и крупные узловые сетки.

Рассмотрим процедуру построения связующих ДвКЭ, которые обозначим через У^. Пусть область У трехмерного тела содержит границу сложной формы (на рис. 3 левый торец тела имеет сложную форму). Разбиение области у состоит из однородных КЭ УИ первого порядка формы куба со стороной И. Отметим, что КЭ У И используются при построении базовой модели тела. Таким образом, область У представляется КЭ базовой модели тела. Связующие ДвКЭ У* проектируются на основе ДвКЭ У/ , т.е. ДвКЭ У* имеют такие же мелкие и крупные сетки, как и ДвКЭ У/ .

Рис. 3. Расчетная схема трехмерного тела: А -ДвКЭ У^; В -ДвКЭ У9

Пусть, связующий ДвКЭ У^ по границе , которая лежит в плоскости ухОгх (рис. 1), соприкасается с границей области У1. На рисунке 3 при х > 2/г показано разбиение тела на ДвКЭ У^ и У9. Заметим, что на границе узловая сетка разбиения области Уг содержит узлы крупной сетки У” ДвКЭ У£. Потенциальную энергию ДвКЭ V^ представим в матричной форме [8]

1 2

пі = >(х:№;пх:- кук,

где \К'1 ] - матрица жесткости базового разбиения Ук ДвКЭ У^; РА“ - вектор узловых сил и X“

- вектор узловых неизвестных разбиения Ун.

Вектор X" имеет структуру

х; = Х",Чя,Х"}г,

где X" - вектор значений перемещений тех узлов мелкой сетки V™ ДвКЭ У£, которые лежат на

границе и не совпадают с узлами крупной сетки У"\ X" - вектор значений перемещений остальных

узлов сетки У^, не совпадающих с узлами сетки УЦ; <\н - вектор узловых неизвестных крупной сетки.

Используя (2), между векторами X“ и (\н установим связь

х;=в„]4я,

где [Оа 1 - прямоугольная матрица.

С помощью (7), (8) построим равенство

Хаь = Ва№н,

где

Чя= ХГ,Чя)Г.

ГЩ] о 1

[Ва]= О [Е2] ¡, [Е^],[Е2] -булевы матрицы,

і о [А, и

q“ - вектор узловых неизвестных ДвКЭ У^, который граничит с областью У1.

Применяя (9) в (6), из условия дП8а / д(\ан = ) получаем формулы вычисления матрицы жесткости [К1а] = 5а]г[К“][£а] и вектора узловых сил ^ = Ва]гР" ДвКЭ У^. Итак, ДвКЭ У£ связывают разбиение области у с разбиением области У0 и поэтому они называются связующими. В данном случае параметры МКЭ узлов мелкой границы , не совпадающие с узлами крупной сетки У” (т.е. компоненты вектора X"), не исключаются и, следовательно, становятся узловыми неизвестными связующего ДвКЭ.

Замечание. Обозначим через и0 вектор узловых перемещений базовой модели тела, которая состоит из однородных КЭ У^ первого порядка формы куба со стороной к. Пусть ||ио - и° ||< > , где ио-точное решение, и пусть 11 и° - иА 11 < ), где иА - вектор узловых перемещений смешанной (т.е. почти эквивалентной) дискретной модели тела, состоящей из однородных односеточных КЭ уь и двухсеточных

КЭ К/. Тогда имеем || ио — ид ||< > , где ё0 - + >. Погрешность 8 определяется базовым раз-

биением тела. Факторы, влияющие на эту погрешность, изучены в теории МКЭ [1,3]. Расчеты показывают, что погрешность д зависит от размеров подобласти тела, которая представлена однородными односеточными КЭ первого порядка, и от выбора шагов мелких и крупных узловых сеток ДвКЭ У/ .

3. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим в декартовой системе координат хух решение по МКЭ модельной задачи упругости для трехмерного однородного изотропного тела, которое имеет сложную форму (см. рис. 3). При х = ) имеем и = у = ч>= ), т.е. тело закреплено. Граница крепления на рисунке 3 показана мелкой штриховкой. Базовая модель тела, состоящая из однородных КЭ УА первого порядка формы куба со стороной И [1,2], учитывает его сложную форму и порождает узловую сетку у. Для узлов сетки Ук введена целочисленная система координат ук, рисунок 3 (пх = '3, п2 -п3 - ’5). Тело нагружено сосредоточенными силами qy = ),825, которые приложены в узлах сетки Ук с целочисленными координатами (/',25, £), где /' = ;5,37,49,61; к = ,9,17 . Силы ^ схематично показаны на рисунке 3.

Модуль Юнга тела равен 1, коэффициент Пуассона - 0,3; к = ),25.

Левый торец тела имеет три выреза: вертикальный размерами 8/г х Ак х 4/г и два одинаковых горизонтальных размерами 5к х бкх 1/г, которые порождают границу сложной формы. В связи с этим в области У1 (см. рис. 3), т. е. при О < г < 2/г, используем разбиение, состоящее из однородных КЭ Ул первого порядка (формы куба со стороной к). Остальная часть тела, т.е. при 12к < ;< '2к, представлена ДвКЭ Уед и У£ размерами 12 кх 1 кх 1 к (см. рис. 1), е= ,...,30; а - которые имеют одинаковые мелкие и крупные сетки. Узлы крупной сетки ДвКЭ У/ на рисунке 1 отмечены точками. На рисунке 3 показано разбиение тела на ДвКЭ У/ и У^.

Таблица 1

\ k \ 1 13 25 37 49 61 73 V УИ

25 1 9,982 10,137 29,453 27,856 45,199 43,626 62,057 60,391 78,930 77,070 89,127 88,986 *0 *И

9 9,270 9,349 24,645 23,970 39,902 39,239 56,380 55,632 73,070 72,172 86,818 86,390 *0 *И

17 8,297 8,413 23.960 22.940 41,554 39,963 57,782 56,155 74,368 72,552 84,543 84,446 *0 *И

Таблица 2

У г \ х 0,5Л 1,5Л 3,5Л 4,5Л 6,5Л 16,5Л сг

2,193 1,958 1,458 1,294 1,080 0,771 СГ

2,192 1,957 1,458 1,293 1,080 0,783 СГ

0,5Л

1,992 1,990 1,575 1,396 1,144 0,748 сг

0,5Л 1,5Л 1,992 1,989 1,575 1,396 1,144 0,773 сг

1,986 2,030 1,773 1,604 1,243 0,698 СГ

3,5Л 1,985 2,029 1,772 1,603 1,242 0,707 СГ

2,106 2,019 1,762 1,718 1,739 0,648 СГ

4,5Л 2,105 2,018 1,761 1,716 1,736 0,653 СГ

Анализ результатов показывает, что максимальное значение перемещений смешанной модели

тела (т.е. модели, состоящей из одно- и двухсеточных КЭ) отличается от перемещений у0 базовой модели

на 0,15% (см. табл. 1, /= '3, _/ = 15, к— ). Эквивалентные напряжения сг смешанной дискретной модели и сг базовой вычисляем в центре тяжести КЭ V1. по четвертой теории прочности [9]. Максимальное значение сг отличается от сг на 0,04% (см. табл. 2, х= >= := ),5к).

Базовая дискретная модель тела содержит 114282 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 1956. Смешанная (т.е. почти эквивалентная) дискретная модель тела имеет 24834 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 3567 и занимает в 2,5 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. Время реализации МКЭ для смешанной модели тела в 2,3 раза меньше, чем для базовой модели.

Литература

1. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975.

2. Постнов, В.А. Численные методы расчета судовых конструкций / В.А. Постнов. - Л.: Судостроение,

1977.

3. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. - М.: Мир, 1977.

4. Матвеев, А.Д. Почти эквивалентное дискретное моделирование упругих тел. Построение двусторонних оценок погрешностей конечноэлементных решений / А.Д. Матвеев. - Красноярск, 2001. - 52 с.

- Деп. в ВИНИТИ № 2990-В2007.

5. Матвеев, А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / А.Д. Матвеев; Институт вычислительного моделирования СО РАН. - Красноярск, 2000. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00.

6. Матвеев, А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения / А.Д. Матвеев // ПМТФ. - 2004. - № 3. - С. 161- 171.

7. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1970.

8. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де-Фриз. - М.: Мир, 1981.

9. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. - Киев: Наук. думка, 1975.