Математическая модель фильтрации грунтовых вод, контактирующих с многолетнемерзлыми породами

УДК 551.345 + 539.3

А.А. Папин, Л.А. Гагарин, А.Н. Сибин, Д.П. Хворых, В. В. Шепелев

Математическая модель фильтрации грунтовых вод, контактирующих с многолетнемерзлыми породами*

A.A. Papin, L.A. Gagarin, A.N. Sibin, D.P. Khvorykh, V.V. Shepelev

Mathematical Model of Filtration of Ground Waters in Contact with Permafrost

Исследуется математическая модель процесса внутренней эрозии грунта при напорном движении вод в окрестности русла реки.

Ключевые слова: многофазная фильтрация, фазовый переход, пористая среда, суффозия, разрушение грунта.

БОЇ 10.14258/І2Уави(2013) 1.2-06

The mathematical model of process of an internal erosion of a ground is considered under the pressure of water motion near the river channel.

Key words: multiphase flow, phase transition, porous media, internal erosion, destruction of soil.

Введение. Рассматривается движение подземных вод в межмерзлотном водоносном горизонте, который соприкасается с промерзшим песчаным грунтом. В процессе оттаивания грунта и при достижении определенной величины скорости фильтрации происходит вынос частиц грунта из области течения и образование подземных полостей. В результате увеличения и достижения критических размеров этих полостей происходит обрушение свода многолетнемерзлых пород. На поверхности грунта формируются провальные формы рельефа (суффозионные воронки) [1-4].

Математическая постановка задачи связана с изучением фильтрационных течений [5-7], процессов суффозии [8-13] и обрушения грунта [14-16]. Особенностью задачи является наличие заранее неизвестных границ, которые определяются из решения задачи Стефана.

1. Упругие мерзлые породы. На любом непрерывном движении сплошной среды, описываемой интегральными законами сохранения массы, импульса и энергии, существуют непрерывно дифференцируемые поля симметричного тензора напряжений Р и вектора потока тепла д, с которыми интегральные законы сохранения равносильны системе дифференциальных уравнений, справедливых для любой точки (ж, £) £ \¥, где

\¥ = { (ж, £)|£ (= г, х (Е С Д4(ж, £) четырех-

*Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства №1.3820.2011, гранта РФФИ 13-08-01097 и программы стратегического развития Алтайского государственного университета.

мерное пространство [17, 18]:

Рг + У- Ур+рУ-V = 0, р(щ + (у-V)#) = сИуР + р/,

р{Иг + V  VII) = Р : Б + сИу

где р - плотность; V - скорость; и - удельная внутренняя энергия; в - абсолютная температура; Р = \{% + (!§)*) - тензор скоростей де-

формации; ее - коэффициент теплопроводности; г - источник тепла; (ж, £) - переменные Эйлера. При этом вектор напряжения, действующего на площадку с нормалью п, дается формулой р*п = Р < п >, а плотность потока тепла через такую площадку - формулой </„ = </• п.

Для упругого тела удобным является лагран-жево описание: фиксируется некоторое положение По среды в момент £о и рассматривается ее переход в положение 0.1 в момент времени £ > £о-Лагранжевы переменные (£, £) вводятся как решение задачи ж4 = £), х\г=г0 = £• Вводится

вектор перемещения ш = х — £, тензор дисторсии Т = I + лагранжев и эйлеров тензора дефор-

мации: 2е = Т*  Т — /, 2е = I — Т*-1 • Т-1. Свободная энергия ^(е, в) = II — в Б и коэффициент теплопроводности ае(е, в) являются изотропными

п с) т-ч

тензорами тензора £, энтропия Ь = — В ли-нейном варианте теории величины в —во, Т — I малы (во - температура естественного состояния), и

Рр)

= р^г для тензора напряжений скелета мерзлого грунта Рвг принимается закон Дюамеля-Неймана

Рьг = (—7(в—во)+Х1\(е))1+2^е, 2е = т^+ ’

где 7, Л, ц - постоянные коэффициенты; /1(е) = (Игш.

В рассматриваемом случае мерзлый грунт есть пористая среда с пористостью т. Поэтому в уравнениях (1) в качестве р берется приведенная плотность скелета ра = (1 — т)р, где рР3 - истинная плотность скелета грунта. Уравнение энергии (1) можно переписать в виде

Рэ [С<г№ + 1’ • V#) +

где СЕ = — в,^вв - коэффициент теплоемкости при постоянной деформации. В качестве тензора напряжений Р естественно принять Р = (1 — т)Рвг-\-тРг, где Ря - тензор напряжений твердого скелета; Р' - тензор напряжений среды, заполняющей поровое пространство (лед или воздух и лед). Система уравнений (1), (2) описывает движение мерзлого грунта в областях Оз (рис.).

Схематическое движение подземных вод в условиях мерзлого грунта. Ох - мерзлый грунт с температурой 0 ~ —0, 2 С°, Оз - область фильтрации талого грунта; в ~ +0,2 С°, Оз - мерзлый грунт с температурой 0 ~ —0,2С'°; О4 - талый грунт с температурой

в га 0 С°

В области П2 движения грунтовых вод, имеющих положительную температуру, в общем случае присутствуют, помимо скелета, подвижные твердые частицы грунта и воздух. Система уравнений трехфазной фильтрации состоит из обобщенного закона Дарси для каждой из фаз, уравнений неразрывности фаз и условий капиллярного равновесия [19]

щ - и3 = -к^1’ ^*=1,2, 3,

3

(тр°в*)( + У(р°щ) =0, ]Г з.!, = 1,

Ъ= 1

РЗ ~ Р1= Р1(в 1, во), Р2~ РЗ = А(« 1, «2)-

Здесь к - проницаемость; т - пористость; в* - насыщенность (доля пор, занятых фазой); /х* - вязкость; /* - относительная фазовая проницаемость;

Рг - давление; щ - скорость фильтрации г-й фазы; и8 - скорость скелета; Pf - капиллярное давление; Р°1 = Р^(Рг> @ъ) ~ истинные плотности фаз.

Уравнения сохранения энергии имеют вид [20]

сг,(тв.;Дй + щ  У0*) = V • (тА*в*У0*) - с;дц  е*Ур*,

где с* - теплоемкость г-й фазы при постоянном давлении; А* - коэффициент теплопроводности; е* - коэффициент дросселирования.

Давление фильтрующихся фаз определяется как среднее:

з

Р! 1>! = '

1=1

2. Фазовый переход. Пусть ро, г?о, Ш, во,

Ро, £о - соответственно плотность, скорость, перемещение, температура, тензоры напряжений и деформаций мерзлого грунта, удовлетворяющие уравнениям (1), (2). Граница Г между мерзлым грунтом и областью подземных вод определяется фазовой диаграммой мерзлого грунта во = в*(ро), ро = ^ЬгРо- На фазовой поверхности непрерывны перемещения, скорости, температуры: сио = со, щ = V = й, во = в = в г. Из сохранения

массы, импульса и энергии на фазовой границе

Г = {(ж,#)| 1г(х,1) = 0} следуют соотношения

[20, 21]

Ро(щп - АО = (1 - т)р3(г’п - Вп)+ з

+ '52т^Р°Ып - Аг),

1=1

Ро < п > —(1 — ш)Ря* < п > —тР* < п >= 0,

дво дв

о-^— = оп оп

где п = - внешняя (в сторону П2) нормаль к

поверхности Г; ип = г?-п, || = п-Ув, Вп =

3. Суффозия. Явление выноса мелких частиц породы в процессе фильтрации жидкости называется суффозией.

В серии работ о промачивании суффозионных грунтов [8, 9] используется балансовая изотермическая модель процесса совместного движения воды и так называемых неструктурных частиц. Существенно используется понятие критической скорости фильтрации.

В работах о моделировании внутренней эрозии [10, 11] пористая среда рассматривается как упорядоченная структура. Вводится понятие эрозионного потока, который определяется через касательное критическое напряжение. В основе моделирования лежит метод гомогенизации.

При практическом подходе проводятся лабораторные испытания грунтов на суффозионную

устойчивость [12], выделяются основные принципы оценки суффозионной устойчивости грунтов и необходимые условия возникновения суффозии.

В модели суффозии как многофазной среды [13] исследуется объем V сплошной среды, в котором выделяются три области: неподвижный грунт, вода, подвижные частицы грунта (область суффозионного потока), обладающие скоростью щ = 0, = -kf(^yp+pg) и щ = Лг/2 ; А € (0,1), кг

коэффициент фильтрации соответственно. Вводится пористость ф = , где Уу - объем, зани-

маемый суффозионным потоком, и концентрация с = у ^_у , где Vff— объем, занимаемый жидкостью; Vfs - объем, занимаемый подвижными частицами грунта.

Приведенные плотности для каждой области записываются следующим образом: р\ = (1—ф)ра, Р2 = (1 - с)фра, рз = сфра, где р/ и ра - истинные плотности жидкой и твердой фаз соответственно. Общая плотность р является суммой плотностей. Суффозионный поток то определяется следующим образом: = тр-

Причем

о.ра( 1 - ф)сф\щ - щ\, 1^21 > |4|; о, 1^2 I < |^|.

где щ - критическая скорость (заданное значение) . В результате приходим к следующей модели относительно неизвестных ф, с, р:

— ((1 - с)фр{) - сМу({1 - с)р{к{[\/р + рд)) = О, д

— (сфра) - (ііу(сра\кї(\/р + рд)) = -/1},

3

где 2^ - интенсивность перехода неподвижного грунта в область суффозии; р - давление.

4. Обрушение. Существует множество инженерных подходов моделирования деформации грунтов с подземными полостями [14]. В одном из таких подходов грунт рассматривается как упругая среда [15, 16].

Предполагается, что полость расположена горизонтально на глубине Н от поверхности земли и имеет круглое сечение. Задача сводится к рассмотрению упругой пластины, имеющей круглый вырез радиуса До и подверженной равномерному сжатию. Для рассматриваемой задачи в полярной системе координат уравнения равновесия и совместности имеют вид [17]:

д2 1д_ 1 Э2

дг2 г дг г2 дв2 т

+ ав) = 0,

где

ди

дт

и і

дг ’ в г гдв ’

1гв =

дщ

гдв

—

ди2

дг

£в

М2

г

— [ад - ь"7г

— Тг

С г

Граничные условия берутся в виде

(а

г )г = Н0

О, (аг

=н

-7Я.

где аг, ад, тгд - соответственно нормальная компонента напряжения в радиальном направлении, нормальная компонента в окружном направлении и касательная компонента напряжения; ед, ег - деформации в окружном и радиальном направлениях; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; б'иД - компоненты объемной силы в кольцевом и радиальном направлениях.

При симметричном относительно начала координат распределении напряжений можно считать Б = Я = 0, тгд = 0, а ад и аг зависящими только от г. Из (3)-(5) следует:

— + 2 С,

од

С =

где постоянные А = —ЩН3^/(Н2 — Д;

Н3'^/

А С, г

даг

1ь +

1 да6 г дв

1 д тг,

дв

дтг

аг — ад

+ Д — 0,

'—Тг,

дг

+ ^ = 0;

Последнее соотношение можно применять для оценки объема суффозионной воронки, образовавшейся в результате «исчезновения» полости.

Библиографический список

1. Шепелёв В.В. Надмерзлотные воды криоли-тозоны. - Новосибирск, 2011.

2. Фельдман Г.М. Термокарст и вечная мерзлота. - Новосибирск, 1984.

3. Фельдман Г.М. Передвижение влаги в талых и промерзающих грунтах. - Новосибирск, 1988.

4. Хусайнова 3.J1. Теоретическое исследование процессов термоэрозии и термокарста многолетнемерзлых пород: дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Уфа, 2007.

5. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. - М., 1971.

6. Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. - Барнаул, 2009.

7. Васильев В.П., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. - М., 1997.

8. Поляков B.J1. О механической суффозии грунтов под действием цилиндрического стока переменной интенсивности // Прикладная гидромеханика. - Киев, 2006. - Т. 8, № 4.

9. Кузнецов А.Ю., Пославский С.А. Исследование математической модели механической суффозии // Вестник Харьковского национального университета. Сер.: Математика, прикладная математика и механика. - 2009. - №875.

10. Golay F., Bonelli S. Numerical modeling of suffusion as an interfacial erosion process // European Journal of Environmental and Civil Engineering. - 2010.

11. Bonelli S., Marot D. On the modelling of internal soil erosion // The 12th International

Conference of International Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics (IACMAG). - 2008.

12. Гекомендации по методике лабораторных испытаний грунтов на водопроницаемость и суф-фозионную устойчивость. - Л., 1983.

13. Vardoulakis I. Sand-production and sand internal erosion: Continuum modeling // Alert School: Geomechanical and Structural Issues in Energy Froduction. - 2006.

14. Суриков В.В. Механика разрушения мерзлых грунтов. - Л., 1979.

15. Борисов А.А. Механика горных пород и массивов. - М., 1980.

16. Цитович Н.А. Механика мерзлых грунтов. - М., 1973.

17. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М., 1975.

18. Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред. — Новосибирск, 1976.

19. Зазовский А.Ф. Трехфазная фильтрация несмешивающихся жидкостей // Итоги науки и техники. Сер.: Комплексные и специальные разделы механики. - М., 1991.

20. Хабиров В.В., Хабиров С.В. Разработка га-зогидратов современными технологиями // Труды Института механики УНЦ РАН. - 2010.

21. Ципкин Г.Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов, сосуществующих с газом в пластах // Доклады РАН. - 2001. - Т. 381, №1.