Определение фильтрационных и теплофизических параметров слоистого пласта по результатам термогидродинамических и гидродинамических исследований вертикальных скважин на основе теории регуляризации

УДК 532.546

Е. Р. Бадертдинова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ И ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СЛОИСТОГО ПЛАСТА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ТЕРМОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ВЕРТИКАЛЬНЫХ СКВАЖИН НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Ключевые слова: проницаемость, кривая изменения давления, кривая изменения температуры, метод регуляризации.

Решается задача об определении фильтрационных параметров слоистого пласта, вскрытого вертикальной скважиной. Предложены два численных метода решения обратной коэффициентной задачи на основе методов регуляризации. В качестве исходной информации в первом методе используются текущие дебиты и забойные давления, замеренные в каждом пропластке, а во втором - кривые изменения температуры, снятые в стволе вертикальной скважины после ее пуска.

Keywords: permeability, pressure build-up curve, curve of temperature change, regularization method.

The problem about determination of filtrational parameters of the layered layer penetrated with a vertical well is solved. Two numerical methods of the solution of the inverse coefficient task on the basis of regularization methods are proposed. As the initial information in the first case the current production rates and bottomhole pressure measured in each layer, and the second curve of temperature variation, taken in a vertical well after starting.

Введение

Многие нефтегазовые месторождения, как правило, имеют слоистое строение. Для решения многих практических задач разработки таких залежей бывает необходимо знать фильтрационные параметры каждого вскрытого пропластка. Эту задачу можно решить с помощью методов установившихся отборов и восстановления давления. Для этого необходимо измерять дебиты этих пропластков при установившихся и неустановившихся процессах фильтрации [1, 2]. Проведение таких промысловых экспериментов для малодебитных скважин весьма затруднительно. По кривой восстановления давления, снятых в вертикальных скважинах, одновременно

эксплуатирующих несколько пропластков без учета неустановившегося притока жидкости из каждого пропластка в отдельности, могут быть определены только некоторым образом осредненные фильтрационные характеристики пласта в целом.

Гидродинамические исследования вертикальных скважин, вскрывающих слоистые пласты

При изучении вопроса о течении жидкости к эксплуатационным скважинам в многопластовой системе приходится учитывать возможные ее перетоки из одного пропластка в другой. Первые исследования течения жидкости в многопластовой системе принадлежат А.Н. Мятиеву и Н.К. Гиринскому. Ими же впервые предложен приближенный метод решения аналогичных задач, который называется схемой Мятиева - Гиринского. По схеме Мятиева - Гиринского пласт в вертикальном разрезе состоит из нескольких пропластков (слоев), где хорошо проницаемые слои чередуются со слабо проницаемыми. В хорошо проницаемых пластах пренебрегают вертикальной составляющей скорости фильтрации и течение полагают горизонтальным (вдоль пропластка), а в слабо проницаемых пластах пренебрегают

горизонтальной составляющей скорости и течение полагают перпендикулярным к направлению напластования. Учитывая, что толщина пропластка мала по сравнению с размерами в горизонтальной плоскости и что кровля и подошва пласта непроницаемы, можно провести осреднение по пропласткам с учетом перетоков через слабопроницаемые перемычки и таким образом перейти от трехмерного уравнения к системе двумерных уравнений. При этом считается, что процесс фильтрации, описываемый этими уравнениями, происходит в некоторой многосвязной области, ограниченной внешним контуром, соответствующим границе пласта и внутренними контурами, соответствующими эксплуатационным и нагнетательным скважинам.

Задача об определении коэффициента гидропроводности многослойного нефтяного пласта принадлежит к классу обратных задач подземной гидромеханики. Исходными данными для решения этой задачи являются дебиты скважин и соответствующие им забойные давления, значения функции давления на границе области фильтрации и приближенные значения коэффициента

гидропроводности, известные из технической документации месторождения.

Обратная задача состоит в нахождении с>=(а1,а2.....с>2п_1), когда процесс фильтрации в

многопластом объекте описывается следующей системой:

Lp = 0,

Mp = Q, Np = 0, p|s = po.

Здесь p = ( pi, p2.....pn),

(L + /E -m^E 0

-a/ L2 + m^E + m2E -m2E

L =

Ln-i + m„-2E + mn-E -m„-E -mn ,E L„ + mn ,E

Lp = -div fa-gradp), M = {mM}, N = {nkl}

матрицы nхm с элементами m = (а _ds =q

k J 2kdn '

d

nk = dT

= 0, Q = {qM} - матрица дебитов,

k = 1,2.....n , I = 1,m, а2

H2k-1 - коэффициент

2к-1' ' '2к-1

гидропроводности и толщина хорошо проницаемых пропластков; Юк = с2к/Н22к, с2к, Н2к - коэффициент

гидропроводности и толщина слабо проницаемых перемычек, 0| - окружности радиуса гт.

Исходными данными для нее являются

заданные дебиты qk|, значения забойных давлений

рк^) = рк0 = 0, замеренные на скважинах, и

значения функций давлений на границе области фильтрации. Эта обратная задача порождает некоторый неявно заданный нелинейный оператор.

Ас = Р *, (3) где а = (а1,а2.....с2п-1), Р * = {р%»] - матрща

забойных давлений. Обычно матрица Р* известна

неточно: р -р I <;, где

норма в евклидовом

пространстве Rnm, 8 - погрешность измерений. Решение операторного уравнения (3) с приближенной правой частью осуществляется на основе минимизации функционала [3, 4].

2n-1 2

где п

параметр

регуляризации, согласующийся с погрешностью измерений, а0 - приближенные значения

коэффициентов гидропроводности.

Построение итерационного процесса для минимизации сглаживающего функционала производится по схеме, предложенной в [4]. Последовательные приближения а" строятся следующим образом: в окрестности а" при фиксированном значении параметра регуляризации а = а" нелинейный оператор А а представляется в виде

Аа = Аа" + Аа [а" )(а-а") + О (||а - а" ||) где Аа [а") - некоторый линейный оператор, а Аа (а")(а-а") - дифференциал Фреше в точке а". Функционал

Ma"

является квадратичным и его экстремаль находится из уравнения Эйлера.

Дифференциал Фреше вычисляется на основе теории возмущений и имеет вид

Аа (*)(*-*) =

V А n1

А

1m

где

A j = (8a1gradp1, grad%) +... + (а-gradpn, gradpn) -

+Ё(<5(721-2/Н22-2 )Г(р1 - р1+1, ~Р\ )+ ( Р1+1 - р1- р'+11)] -1=1

(а, Ь) = | а (х, у) Ь (х, у) dxdy- скалярше

о

произведение, р - решение задачи (1)-(2), когда коэффициент гидропроводности равняется С, р-решения сопряженных задач:

/>11 + а>1 (р I - р 1 ) = 0,

12 р21 + (р21 - р1,) + ё2 (^ - р31) = 0 +п-1 (рШ - рП-11 ) = 0 ,

с граничными условиями

Ьdjds=;,-*

dn

дт

= 0, j = 0, k = 1.n-1 = 1.m,

символ

где =-№ (с2к-19ГаФ'к1 ),

Кронекера.

Для нахождения с при фиксированном а применяется процедура Гаусса-Ньютона [4].

Температурные исследования вертикальных скважин, вскрывающих слоистые пласты

В последние годы по мере развития вычислительной техники и технологи^ 1глу бинных измерений подземные температурные процессы в нефтегазоносных пластах оказались доступными для непосредственных измерений. Информация о термогидродинамических процессах, происходящих в пласте, может быть получена путем глубинных измерений температуры и давления в стволе скважины. Изменение температуры в стволе скважины является интегральным показателем

термогидродинамических процессов, происходящих как в пласте, так и в самой скважине. Задачи интерпретации результатов термогидродинамических исследований скважин принадлежат к классу обратных задач подземной гидромеханики. Типичной задачей является проблема восстановления неизвестных коэффициентов теплоемкости и теплопроводности [5].

Изучение температурных явлений, связанных с фильтрацией флюида в пористых средах были начаты Б. Б. Лапуком в 30-х годах прошлого столетия. При изучении термодинамических эффектов фильтрации рассматривается система

дифференциальных уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями, которая выводится из уравнений неразрывности, движения, энергии [6]. Возрастающий интерес к проблемам термогидродинамических исследований скважин и пластов вызван необходимостью решения практических задач нефтедобычи для месторождений с трудноизвлекаемыми запасами [7, 8].

Естественное температурное поле вокруг действующей скважины бывает нарушено за счет теплообмена движущегося в ней потока жидкости с окружающей средой. После остановки скважины

G

G

начинается процесс восстановления давления температуры. Он зависит от многих факторов, прежде всего от предыстории эксплуатации скважины. При постановке обратной задачи об интерпретации кривой восстановления температуры необходимо знать распределение температуры в пласте перед остановкой скважины. Поэтому рассматривается задача интерпретации результатов термогидродинамических исследований после пуска скважины. Для этого продолжительность простоя скважины должно быть больше, чем продолжительность цикла измерений.

Обратная задача определения

коэффициентов проницаемости пропластков к, Джоуля-Томсона £, адиабатического расширения Г) сводится к минимизации функционала-невязки [9, 10]: ^

^{в) = )[р{1)-Г, {Ьрг,г)с1г,

0

где ф(1;) - наблюдаемые значения температуры,

Т (¡-рг,;) - вычисленные значения температуры в

стволе скважины, когда нестационарный процесс тепломассопереноса в стволе скважины с учетом присоединенной массой описывается следующей системой уравнений:

dv N *w> ki p

dz m j dr

0 < z < L,

dpi (\dv vw, —^ = pv\ 2— + — v Oz I Oz 8 1

pg

0 < z < l ,

Oh dt

X mp

(OTi dpi

Oz Oz

\

a N

— -p^rW,

cp

\

-л

p

,=i

p = Ot

-h), 0 < z < L,

0 < t < te.

exp y

с начальными

Ti

и граничными условиями pi

r = -

fi. z <L. l2 ],

0 < z < L i = i, N .

[0, z i[L, L2 ],

где в = (кг ,s,v) , 0 < a0 < в < b° (a,0, b,° = const), p = pi (z), T = h (z,t), v = v (z,t) - давление,

температура и скорость движения в стволе скважины, p2 = p2 (r ) - давление в i -го пропластке,

Wf - скорость фильтрации жидкости в пропластке,

N - количество пропластков, T2 = T2 (r, z, t) -

температура среды, Cp, p - удельная теплоемкость

и плотность жидкости, G - геотермический градиент, x - периметр ствола скважины, m -

площадь поперечного сечения ствола скважины, ^ -коэффициент гидравлического сопротивления, а -коэффициент теплопередачи ствола скважины, L -

длина ствола скважины, te

время работы

скважины, Т0, р0 - температура и давление при ; = 0 на уровне расположения прибора, -

координаты подошвы и кровли / -го пропластка, ¿рг - координата прибора, гК - радиус скважины.

Система уравнений (5) - (9) получается из законов сохранения массы, импульса и энергии [11-13]. Коэффициенты теплопередачи а и гидравлического сопротивления ^ вычисляются по формулам для ламинарного течения [13]

Математическое моделирование

распределения температуры и давления флюида по стволу скважины связано с определением поля давления и скорости потока в пласте, температуры в пласте и в окружающих породах.

Процессы тепломассопереноса в окружающих горных породах и в многопластовом нефтяном объекте описывается следующим уравнением [6, 10]:

с dT

Ot

= ЛА( r ot

PC Ёг

r dr I dr

dp2 к, dp. m+ —— \ dt j dr I dr

21 dT2

.M

dr

rw < r < Rk, 0 < t < te,

0 < z < L,

p- "f2 = LlLr dp2

M dt

i Afki

r dr\j

dr

r < r < Rk

0 < t < te.

exp y

с начальными

T2 (r,z,0) = T0 + G(Lpr - z), 0 < z < L, rw < r < Rk

p2 (r,0) = p20, rw < r < Rk,

и граничными условиями

-Яг Oh

dr

0 < t < texp

= r.,

'-PC Ёг

w.

0 < z < L,

T2 R,z,t) = T0 + G(Lpr - z), 0 < z <,

= q + Cw

w dt

0 < t < te.

0 < t < texp ,

2.±HAr p.

i~i U dr

г =rwell

p2

где Я = Я +(i ~г)ЯГоск , Яоск , Яenv - коэффициенты теплопроводности горных пород и нефтяного пласта, с = rC +(i-r)C , , C ,, C - объемная

' w / ^env ~ v ' ) rock ' lock ' ^env

теплоемкость горных пород и нефтяного пласта, Rk

- радиус контура питания, Cw - коэффициент

влияния объема ствола скважины, q - дебит

скважины, p* - упругоемкость пласта.

Итерационная последовательность для минимизации функционала-невязки (4) строится на основе метода Левенберга-Марквардта. Сходимость

i=i

предложенного алгоритма и его устойчивость относительно погрешности входной информации исследовались на модельных задачах. Результаты расчетов показывают, что итерационный процесс сходится за 15-20 итераций.

Результаты расчетов

Скважина №2046 вскрыла терригенные тульские (в интервале 1101 - 1105 м) и бобриковские (в интервале 1112,5 - 1123 м) отложения. Общий дебит скважины #=13,9 м3/сут.

Гидродинамические исследования

проводились как при одновременном дренировании двух пластов, так и при раздельной их эксплуатации. Разобщение пластов осуществлялось с помощью установки для одновременно-раздельной эксплуатации двух пластов, установленной на глубине 1110 м (нижний конец). В результате проведенных исследований получены данные, приведенные на рис. 1.

Рис. 1 - Измерения давления при одновременной эксплуатации двух пластов (1), раздельной эксплуатации тульского (2) и бобриковского (3) горизонта

По индикаторной диаграмме, построенной по результатам исследований тульского горизонта (рис. 1, кривая - 2), коэффициент продуктивности г)т =2,7 м3/ МПа сут. По коэффициенту продуктивности г)Т можно получить оценку дебита, который дает тульский горизонт при одновременной эксплуатации двух пластов.

Чт=Лт Др=Г1т (Рпл-Рз) =11,1 м3/сут. Здесьрпл = 6,566 МПа, рз = 2,466 МПа (рис. 1, кривая - 1). Отсюда оценка дебита бобриковского горизонта: #Б= # - = 2,8 м3/сут.

В табл. 1 приводятся результаты расчетов. При расчетах использовалась схема «изолированных» пропластков, т.е. фильтрация в перемычках отсутствует.

Таблица 1 - Результаты расчетов гидродинамических исследований

Далее приводятся результаты

интерпретации термогидродинамических

исследований скважины № 2046.

Термогидродинамические исследования

проводились при одновременном дренировании

двух пластов. Результаты замеров изменения забойного давления и температуры приведены на

Рис. 2 - Результаты исследования скв. № 2046

Интерпретация результатов этих исследований приводятся на рис. 3 - 4 и табл. 2. На рис. 3 - наблюдаемые и вычисленные кривые изменения температуры, на рис. 4 - наблюдаемые и вычисленные кривые изменения давления. В расчетах учитывается коэффициент влияния ствола скважины. Из полученных результатов следует, что тульские отложения в районе расположения скважины № 2046 имеют высокую проницаемость и соответственно основной приток жидкости в скважину поступает из этого пропластка.

Рис.3 - Кривые изменения температуры. • - наблюдаемая, -- - вычисленная кривые

0.03 0.30 3.00 30.00

Рис. 4 - Кривые изменения давления: • - наблюдаемая, -- - вычисленная кривые

РплБ МПа РплТ МПа РзБ МПа РзТ МПа Яб м3/сут Ят м3/сут кБ мкм2 кт мкм2

6,123 6,19 2,339 2,433 2,8 11,1 0,018 0,213

Таблица 2 - Результаты расчетов термогидродинамических исследований

k мкм2 k2 мкм2 £ K/МПа V K/МПа q1 м3/сут q-i м3/сут

0,029 0,231 0,479 0,295 3,75 10,13

1 - бобриковские, 2 - тульские отложения

Оценки коэффициентов проницаемостей пропластков, полученные по результатам интерпретации гидродинамических и

термогидродинамических исследований хорошо согласуются.

Выводы

Предложены два численных метода для определения коэффициентов проницаемостей слоистого пласта по результатам гидродинамических и термогидродинамических исследований вертикальных скважин.

Литература

1. Р.мл. Эрлагер, Гидродинамические методы исследования скважин. Институт компьютерных исследований, Ижевск, 2007. 512 с.

2. С. Г. Каменецкий, В.М. Кузьмин, В.П. Степанов, Нефтепромысловые исследования пластов. Недра, Москва, 1969. 221 с.

3. Е. Р. Бадертдинова, Вестник КГТУ, 4. 236-242 (2006).

4. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач. Наука, Москва, 1986. 287 с.

5. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Вычислительная теплопередача. Едиториал УРСС, Москва, 2003. 784 с.

6. Э.Б. Чекалюк, Термодинамика нефтяного пласта. Недра, Москва, 1965. 238 с.

7. Р.С. Хисамов, Высокоэффективные технологии освоения нефтяных месторождений. ООО «Недра-Бизнесцентр», Москва, 2004. 628 с.

8. Е.Р. Бадертдинова, Х.Э. Харлампиди, И.Т. Салимьянов, Вестник КГТУ ,2. 91-97 (2011).

9. Е.Р. Бадертдинова, М.Х. Хайруллин, М.Н. Шамсиев, ТВТ, 49, 5. 795-798 (2011).

10. Р.С. Хисамов, Р.Г. Фархуллин, М.Х. Хайруллин, Е.Р. Бадертдинова, М.Н. Шамсиев, В.Р. Гадильшина, Нефтяное хозяйство, 9, 28-30 (2013).

11. Е.Ф. Афанасьев, Ю.К. Васильев, А.А. Славянский, В сб. 129, МИНХ и ГП им. Губкина, Москва, 1977. С. 6-14.

12. В.И. Марон, Гидродинамика однофазных и многофазных потоков в трубопроводе: учебное пособие. МАКС Пресс, Москва, 2009. 344 с.

13. И. А. Чарный, Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. Недра, Москва, 1975. 296 с.

© Е. Р. Бадертдинова - к.т.н., доц. кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ, badertdinova@yandex.ru.

© E. R. Badertdinova - Ph.D, associate Professor, Department of Computer Science and Applied Mathematics, KNRTU, badertdinova@yandex.ru.