Динамика пространственного движения роторной системы в задачах динамической диагностики

УДК 519.248.6

ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ РОТОРНОЙ СИСТЕМЫ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ

М.В. ЧУВЕЙКО

Рассмотрено применение кватернионной кинематики для построения математической модели роторной системы, осуществляющей пространственное движение.

Ключевые слова: динамика роторных систем, кватернионы, параметры Родрига-Гамильтона.

Введение. При построении систем динамической диагностики узлов трения в роторных системах типичной задачей является выяснение взаимосвязи изменяющейся геометрии контактирующих поверхностей с наблюдаемыми координатами. Для этого, прежде всего, необходимо создать математическую модель динамики диагностируемого объекта. Рассмотрим методику построения модели роторной системы.

В большинстве случаев роторные системы представляют собой тела (валы), имеющие две различные точки закрепления в подшипниках. Для математического описания роторной системы, совершающей пространственное движение, необходимо задать две системы дифференциальных уравнений: систему, определяющую динамику движения центра масс, а также динамику сферического движения.

Уравнение Эйлера в параметрах Родрига-Гамильтона. Обозначим неподвижную прямоугольную систему координат как X = [х1 х2 х3 ], где X - орты соответствующих осей (рис. 1).

Кроме того, свяжем с валом подвижную прямоугольную систему координат Y = [ у у2 у3 ], где у - орты соответствующих осей. Причем, выберем Y так, чтобы начало системы координат совпадало с центром масс вала С, а оси совпадали с главными осями инерции вала в точке С. Тогда, в соответствии с теоремой о движении центра масс [1], первая система уравнений примет вид:

тСХ = рх, * = 1,3 ,

где сХ - координаты точки С (центра масс) в X; рХ - проекции главного вектора внешних сил Р на оси в X; т - масса вала.

Рис. 1. Обобщенная роторная система 44

Вторая система дифференциальных уравнений, определяющая сферическое движение твердого тела, как известно, описывается уравнениями Эйлера [1]:

.Т^сЬ^ + ю^(Т — Т2)_ м—,

«ТЬ>2 + Ь Юз (Т— — Тз) = М2,

/ зЬ з

где М;, ю; - проекции соответственно главного вектора внешних моментов М и угловой час-

тоты на оси У ; Ji - моменты инерции.

Очевидным недостатком уравнений (2) является то, что они представлены в подвижной системе координат. Кроме того, из них явным образом не следуют динамика положения вала, так как задает лишь его «скорость изменения». Для устранения последнего недостатка необходимо задать способ представления вала в пространстве, т. е. такую систему переменных, которая бы однозначным образом определяла ориентацию вала, и выразить через данную совокупность переменных. Существуют различные способы решения данной проблемы. В качестве таких переменных нами использованы так называемые параметры Родрига-Гамильтона.

В соответствии с теоремой Эйлера-Даламбера, абсолютно твердое тело из произвольного начального положения может быть переведено в любое другое положение

3

может быть описано посредством кватерниона Л = А0 + ^iiА,., где А,. - параметры Родрига-

i=1

Гамильтона, ii - кватернионные единицы. Кватернионные единицы могут быть ассоциированы с ортами X, х2, х3, т. е. будет иметь место = ii. При этом говорят, что кватернион представлен в базисе X. В дальнейшем рассмотрены лишь кватернионы в X. В кватернионной кинематике на параметры Родрига-Гамильтона налагают условие нормировки:

а2 +а?+а2+а32 = 1.

Для любого вектора V, представленного координатами Ух в неподвижном базисе X, можно найти его координатное представление в базисе У по формуле:

У; = РУХ,

где Р - матрица направляющих косинусов, определенная как

Р —

а2 +а;—а 2—а2

2 (А—А 2 + ^о^з ^ 2 (А—Аз — ^о^з ^

2 (А—А2 — Ао Аз) А0 — А + А 2 — А3 2 (А2 Аз +А оА— ^

2 (А1Аз + АоА 2) 2 (А2 Аз — АоА—) А о — А— — А2 +А3

Установим связь между проекциями вектора угловой частоты ю на подвижные оси У и параметрами Родрига-Гамильтона. Для этого используем кинематическое уравнение Пуассона:

где символ « о » обозначает операцию кватернионного умножения.

Используя матричное представление кватернионов [2], можно получить координатную запись данного выражения:

Ь — 2 (АоА— — А— А о —А 2А з + АзА2 ^, 2 (Ао А 2 — А2А о + А—А з — Аз А — ^, 2 (Ао А з — А—А 2 + А2 А— — Аз А о ^.

г

ю2 —

г

ю—

Подставив уравнения (6) в уравнения динамики сферического движения (2), получим систему уравнений динамики сферического движения в параметрах Родрига-Гамильтона. Причем условие нормировки (3) необходимо рассматривать в качестве одного из первых интегралов движения. Однако полученная система имеет неудобную форму для проведения численного моделирования. Получим более компактную форму. Из формулы (6), а также из условия нормировки, несложно видеть, что имеет место:

0 " Х0 Х1 Х2 Хз " Х

&У = 2 —Х1 Х0 Хз Х2 Х

о2 —Х2 —Хз Х0 Х1 Х

ю2 — Х3 Х2 —Х1 Х0 _ Х

г 0 " (

У У

Ш3 ^2 УУ = 4

О Ш3

У У

02 ^1 V

10 0 о!Г х,

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Х0

— Х

—X

0 Х1 Х2 Х3

—Х1 Х0 Х3 —Х 2

2 Х — —Х3 Х0 \

—Х3 Х2 —Х1 Х0

Х1 Х2 Хз " Х 0

Х0 Х3 —Х 2 Х1

—Х3 Х0 Х1 Х 2

Х23 —Х1 Х0 _ Х з

X^

где под символом « • » подразумевается операция поэлементного умножения.

Операция поэлементного умножения определяется следующим образом: если А = [а. ] и

В = [ь. ], то матрица, определенная как С = А • В, будет состоять из элементов с.. = а..Ьр. Продифференцировав (7), с учетом (3) получим:

0 Х0 Х1 Х2 Хз Х

о У = 2 —Х1 Х0 Х3 Х2 Х

<ь У Х2 —Х3 Х0 Х1 Х

о У — Х3 Х2 —Х1 Х0 _ Х

—Мп

где М0 - вспомогательное обозначение, определяемое следующим образом:

М 0 =

-2 (х0 + х2 + х 2 + х3) 0 0 0

Введем следующие обозначения:

Х =

Х0 Х0 Х1 Х2 Хз

Х1 , л = —Х1 Х0 Хз —Х2

Х 2 Х2 —Хз Х0 Х1

Хз _—Хз Х2 —Х1 Х0

Г0 0 0"

, к = 1 0 0

0 1 0

0 0 1

т =

Г1 0 0 0" Г1 0 0 0" Г1 0 0 0"

0 0 0 1 0 0 0 0 3 — 3 0 0

С'І II 1 , G = 4 з 2

0 1 0 0 0 0 12 0 0 0 1 — 1 °1 ° з 0

_0 0 1 0 _0 0 0 1 _ _0 0 0 і —

0

3

0

3

0

3

т

Тогда, с учетом вышесказанного, уравнение Эйлера (2) в параметрах Родрига-Гамильтона будет иметь вид:

JAX + G [

или в неподвижной системе координат X :

Х = ЛTJ-

Уравнения движения обобщенной роторной системы. Обозначим точки закрепления вала в

3 3

подшипниках как а = ^х{а{ и Ь = ^ хр1. (рис. 2). Кроме того, будем полагать, что а3 и Ь3 оста-

ются неизменными независимо от вращения основного вала. Обозначим вектор силы, порождаемый динамической связью (силовой функцией), в точках а и Ь соответственно Ра и Ръ, а суммарный момент трения - МаЬ. Принимая I за длину вала и используя матрицу Р, несложно получить значения координат а и Ь :

а1 = С1 + , 2

I

х; — х; — х 2 + х32

а2 = С2 + Л 2

I

Х0 — х; — х2 + х32

аз = с3 +1 /2

К = с —

I

х2—х2—х2+х32:

I

х0—х2—х2+х32

Ъ3 = сз — I /2.

Рис. 2. Обобщенная роторная система

г=1

г=1

и

Будем считать, что на основной вал действует суммарный, внешний по отношению к роторной системе, момент М¥ и сила Р¥. Тогда, учитывая, что суммарный момент, действующий на основной вал, можно определить по формуле:

М = М¥ + МаЪ + а X Ра + Ь X РЪ ,

и используя (12), получаем:

Мх = L(РЪ — Ра)+ М¥ + МаЪ ,

где

М¥, МаЪ, РЪ, Ра - вектор-столбцы с координатами соответствующих векторов в X; Ь - матрица длин, определяемая как

Ь =

0

—/

21 (Х;Хз — Х0Х1 ) Хд — Х1 — Х2 + Х3

/

31

"х;—х2—х 2+х3

2/

х0—х2 —х2+х;

2/

Х0 — Х1 — X 2 + Х3

0

Исходя из вышесказанного получим систему уравнений, определяющих динамику роторной системы:

X = Лт1

- (кр г ь (

Ь (РЪ —

Ра)+ МаЪ + мг ]+м 0 — G _(тлХ) • (тт лХ)_),

с = — (РЪ + Ра + Р¥ ).

Для окончательного построения модели роторной системы, как видно из (15), необходимо задать ЕЬ, ¥а, МаЬ, М¥, Е¥. И если последние два параметра являются произвольными функциями, определяющими некоторое внешнее воздействие на систему, то первые три параметра определяются динамической связью, входящей в состав роторной системы. Очевидно, что они являются функциями состояния роторной системы Х. и с. Задание этих функций определит

окончательный вид математической модели роторной системы. В частности, ЕЬ, ¥а, МаЬ можно определить, основываясь на рассмотрении подшипниковых креплений ротора как трибосистем, по аналогии с тем, как это сделано в исследовании [3].

Приведем в качестве примера результат моделирования (рис. 3). При этом рассматривалось, что ротор закреплен в низкоскоростных подшипниках скольжения, а в качестве внешнего источника момента был использован двигатель постоянного тока. Качественный вид сечений ротора и статора в контактах а и Ь приведен на рис. 4 (в контакте а наблюдается импульсный дефект ротора и статора).

120 60 72.3898

/ 72 3698 \

150 / \ 31) 72 3490 N. \ 72 3298 ' \ \

\

^^^зоо

а) б)

Рис. 3. Результаты моделирования: а- движение ротора в плоскости д1д2 в контакте а ; б - зависимость частоты вращения ротора от его угла поворота

48

0

Контаю- а Контакт Ь

Рис. 4. Качественный вид ротора и статора в подшипниковых узлах

Из рис. 3 видно, что наличие импульсного дефекта оказывает существенное влияние не только на движение ротора в плоскости контакта a, но и на угловую частоту вращения ротора. Кроме того, виден периодический характер влияния дефекта в зависимости от угла поворота вала а . Выводы. Предложенная формула Эйлера в параметрах Родрига-Гамильтона, позволяет осуществлять математическое моделирование пространственного движения твердых тел. При этом рассмотрение осуществляется в неподвижном базисе, что облегчает использование данной формулы. Кроме того, с точки зрения численного моделирования, ее несомненным преимуществом является отсутствие тригонометрических функций.

На основе формулы Эйлера в параметрах Родрига-Гамильтона построена модель роторной системы, позволяющая анализировать ее динамические свойства. Подобная модель может быть использована для решения различных задач, в частности задач технической диагностики.

Библиографический список

1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики: учеб. для техн. вузов / А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - 8-е изд., стер. - СПб.: Изд-во «Лань», 2001. - 768 с.

2. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения / Ю.Н. Челноков. - М.: Физматлит, 2006. - 512 с.

3. Чувейко М.В. Применение стробоскопического отображения Пуанкаре для диагностирования дефектов узлов сопряжения роторной системы / М.В. Чувейко // Вестн. Донск. гос. техн. ун-та. - 2011. - Т.11, №1(52). - С. 37-42.

Материал поступил в редакцию 05.12.2011.

References

1. Yablonskij A.A. Kurs teoreticheskoj mexaniki: ucheb. dlya texn. vuzov / A.A. Yablonskij, V.M. Nikiforova. - 8-e izd., ster. - SPb.: Izd-vo «Lan'», 2001. - 768 s. - In Russian.

2. Chelnokov Yu.N. Kvaternionny'e i bikvaternionny'e modeli i metody' mexaniki tvyordogo tela i ix prilozheniya. Geometriya i kinematika dvizheniya / Yu.N. Chelnokov. - M.: Fizmatlit, 2006. -512 s. - In Russian.

3. Chuvejko M.V. Primenenie stroboskopicheskogo otobrazheniya Puankare dlya diagnostirova-niya defektov uzlov sopryazheniya rotornoj sistemy' / M.V. Chuvejko // Vestn. Donsk. gos. texn. un-ta. -2011. - T. 11, #1 (52). - S. 37-42. - In Russian.

DYNAMICS OF ROTOR SYSTEM SPATIAL MOTION IN DYNAMIC DIAGNOSTICS

M.V. CHUVEYKO

The application of the quaternion kinematics for building a mathematical model of the rotor system engaged in three-dimensional motion is considered.

Keywords: dynamics of rotor systems, quaternions, Rodrigues — Hamilton parameters.