Математическая модель трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии как компонента электрической цепи

УДК 621.3

математическая модель трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии как компонента электрической цепи

В.Г. МАКАРОВ, Г.Ф. КРОПАЧЕВ, И.Р. ХАЙРУЛЛИН Казанский государственный технологический университет

Излагается методика формирования математической модели трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии с точки зрения компонентного подхода. Рассматривается математическая модель, построенная с использованием аппарата теории графов. Предлагаемая модель основывается на выявлении матрично-топологических соотношений. Отличительной особенностью предлагаемой модели является то, что переключающие функции вентильных элементов введены непосредственно в топологические матрицы.

Ключевые слова: математическая модель трехфазного преобразователя, теория графов, топологическая матрица.

Статические преобразователи электрической энергии широко используются в современных энергетических установках, а также в системах автоматизированного электропривода. Основные трудности, возникающие при расчете электрических цепей, содержащих вентильные элементы, связаны с тем, что через определенные моменты времени переключаются определенные группы вентилей, вызывая изменение структуры силовой цепи. В связи с этим при анализе процессов в статических преобразователях электрической энергии достаточно часто приходится рассматривать в совокупности коммутационную и электрическую, а в некоторых случаях и магнитную системы. Упростить задачу создания математической модели и последующего анализа электромагнитных процессов в статических преобразователях позволяет математический аппарат теории графов.

Основой для математического анализа любого электротехнического устройства является электрическая цепь. Любое электротехническое устройство можно представить в виде электрической цепи, состоящей из нескольких компонентов. Включение каждого компонента в электрическую цепь осуществляется посредством его полюсов, физически реализованных в виде выводов [1].

С позиций компонентного подхода преобразователь электрической энергии можно представить в виде электрической цепи, состоящей из трех компонентов:

1) преобразователя параметров электрической энергии (ПЭЭ);

2) электрической сети с первичными параметрами электрической энергии (ЭС1);

3) электрической сети с вторичными параметрами электрической энергии (ЭС2).

Электрические сети могут быть связанными или несвязанными. В связанных электрических сетях имеется путь для протекания тока, минуя преобразователь, по нейтральному проводу (О1-О2). В несвязанных электрических сетях преобразователь является проходным компонентом электрической цепи, так как множество полюсов преобразователя разбивается на два непересекающихся подмножества, в пределах которых полюсные токи удовлетворяют первому закону Кирхгофа. В этом случае преобразователь содержит два канала. Первый канал образован множеством полюсов A1.N1, связанных с первичной сетью, а второй канал образован множеством полюсов А2...М2, связанных с вторичной сетью (рис. 1).

Рис. 1. Преобразователь электрической энергии с точки зрения компонентного подхода

С точки зрения компонентного подхода весьма удобным для анализа электрических цепей является математический аппарат теории графов, использующий соотношения между топологическими матрицами. Первые работы по исследованию топологических свойств электрических цепей путем использования свойств матриц относят еще к временам Кирхгофа и Максвелла. Применение теории графов к анализу электрических цепей рассмотрено в работах [2 - 4, 5, 6]. Исследование полупроводниковых преобразователей с помощью теории графов рассматривается в [5]. Таким образом, предлагаемая в данной статье математическая модель обобщенного преобразователя электрической энергии базируется на хорошо известном аппарате теории графов и отличается от всех перечисленных математических моделей тем, что переключающие функции, описывающие состояние силовых вентилей, введены непосредственно в топологические матрицы. Кроме того, с использованием переключающих функций могут быть записаны законы изменения всех напряжений преобразователя при любом способе управления силовыми вентилями.

На рис. 2 показан полюсный граф преобразователя для случая связанных электрических сетей.

Рис. 2. Полюсный граф преобразователя электрической энергии

Определение матрично-топологических соотношений между параметрами электрической энергии преобразователей позволяет формализовать процесс записи уравнений электрического состояния, что снижает трудоемкость подготовительных операций на этапе создания математической модели. Формализация процесса записи уравнений состоит в следующем. Известные методы расчета сложных цепей - метод контурных токов и метод узловых напряжений - требуют умения выбирать независимые контуры или напряжения между узлами. Теория графов позволяет без предварительных преобразований получить уравнения системы на основании матрично-топологических соотношений, что особенно важно при работе с такими математическими пакетами как ЫмЬаЬ и МаСаЛ.

Под математической моделью преобразователя как компонента электрической цепи понимают систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных все независимые величины и позволяющую, в случае заданных законов изменения одной половины независимых величин каждого канала, определять аналогичные законы, относящиеся к другой половине этих величин. Таким образом, математическая модель преобразователя должна состоять из взаимно независимых уравнений, число которых равно числу независимых полюсов. Кроме независимых величин компонента (внешних переменных), в уравнения его математической модели могут входить и другие неизвестные - внутренние переменные, функционально связанные с внешними переменными. В этом случае система независимых уравнений, составленная относительно внешних переменных, должна быть дополнена до числа внутренних переменных, содержащихся в данной модели. В случае оптимальном, с точки зрения компактности, в математической модели компонента должны содержаться только внешние переменные и отсутствовать какие-либо внутренние переменные. При таких условиях число уравнений математической модели минимально и равно числу независимых полюсов компонента.

Математическая модель преобразователя формируется на базе выбранной системы независимых величин. Особенно удобной оказывается радиальная система, отличающаяся тем, что в качестве базисной вершины в графах сторон всех каналов выбраны вершины, соответствующие зависимым полюсам. Такую систему принято называть нормализованной. Практическое удобство нормализованной системы независимых переменных состоит в том, что она может быть выбрана для всех без исключения компонентов электрической цепи независимо от их внутреннего строения. Выбранную по тем или иным соображениям систему независимых переменных отображают с помощью полюсного графа. Полюсный граф, являясь деревом структурного графа, несет в себе информацию о системе независимых (внешних) переменных и используется для записи полюсных уравнений

преобразователя [1].

На рис. 3 представлена эквивалентная схема трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии. На основании этой схемы на рис. 4 построен его полюсный граф.

Рис. 3. Эквивалентная схема трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии В схеме на рис. 3 вентильные элементы показаны в виде идеальных ключей 31-S6, внутренние активные сопротивления которых учитывают резисторы Л1-Л6. Идеальный ключ представляется двухпозиционным переключателем, который переходит из одного фиксированного состояния в другое, принимая поочередно положения «отключено» и «включено».

Рис. 4. Полюсный граф трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии

Определенные состояния ключей 31-36 вызваны управляющими воздействиями, которые описывают с помощью соответствующих переключающих функций. В зависимости от текущего состояния вентильного элемента переключающая (коммутационная) функция может принимать следующие значения:

(1, если вентиль открыт 0, если вентиль закрыт,

где I - номер вентильного элемента.

Из общего количества полюсных токов только (т +1 к ^ являются

независимыми, где т - число полюсов компонента преобразователя, к - число каналов компонента преобразователя. Считая зависимым полюс N имеем следующую систему независимых полюсных токов (токов ветвей графа):

[[ п ] =

1о Ч Ч '1а 1Ъ '1с

где I - знак транспонирования матрицы.

Принимая в качестве исходной радиальную систему независимых напряжений, измеренных относительно зависимого полюса N имеем следующую систему полюсных напряжений (напряжений ветвей графа):

и0 и<1 иа иЪ ис

[и П ] =

Радиальную систему полюсных напряжений в дальнейшем будем называть системой фазных напряжений преобразователя.

Полюсные уравнения преобразователя можно записать в различных формах, однако наибольший интерес имеют только две. Если известными величинами являются полюсные напряжения, то в этом случае полюсные уравнения должны быть записаны в явной форме относительно этих напряжений:

[[ П ] = [п [ П ]

где [п ] - матрица полюсных проводимостей преобразователя.

Если известными величинами являются полюсные токи, то в этом случае полюсные уравнения должны быть записаны относительно этих токов:

[и П ] = [ ПI/ П ]

[ I

где I П ^ - матрица полюсных сопротивлений преобразователя.

[7 I

Следует отметить, что матрица ^ П ^ записывается при условии, что источники

\г 1

тока работают в режиме короткого замыкания, а матрица ^ П ^ записывается при условии, что источники напряжения работают в режиме холостого хода. При этом

\п 1 и [¿п 1

матрицы

являются диагональными:

Уо Уй Уч Уа Уь Ус

\ П ] = Жа8

¿о ¿аа ¿ь ¿сС

где diag означает, что элементы матрицы расположены на главной диагонали.

Кроме системы внешних переменных (полюсных токов и напряжений), являющихся токами и напряжениями ветвей дерева полюсного графа, для описания электромагнитных процессов в преобразователе необходимо выбрать систему внутренних переменных (токи и напряжения хорд структурного графа). В соответствии с эквивалентной схемой построен структурный граф трехфазного обобщенного преобразователя (рис. 5).

Рис. 5. Структурный граф трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии

Систему внутренних переменных в дальнейшем будем называть токами и напряжениями хорд. Токи хорд

п i 2 ц i5 к

х ]=[[ Напряжения хорд

\и Х1 =

«1 «2 «3 и4 «5 «6

При записи системы уравнений, описывающих электромагнитные процессы в преобразователе, используются следующие топологические матрицы: матрица инцидентности узел-ветвь [А], матрица сечений и матрица главных контуров [В].

Для структурного графа, изображенного на рис. 5, можно записать матрицу инцидентности при условии, что каждая ветвь характеризуется коэффициентом

инцидентности ^ . Если ветвь направлена к узлу, то коэффициент инцидентности отрицателен (— ^ ); если ветвь направлена от узла, то коэффициент инцидентности положителен (+ ^ ); если ветвь не инцидентна узлу, то коэффициент инцидентности равен нулю. В общем случае коэффициент инцидентности узел-ветвь является некоторой линейной или нелинейной функцией тока (напряжения) ветви. Если в ветвь включен коммутатор с независимым управлением, то коэффициент инцидентности является некоторой функцией времени, которую часто называют переключающей (коммутационной) функцией, и только в частном случае, когда в

ветви коммутатор отсутствует, коэффициент инцидентности ^ равен ±1.

Матрица инцидентности структурного графа может быть представлена в виде двух подматриц:

М=к а2 ]

\а1

Подматрица ^ и содержит коэффициенты инцидентности ветвей дерева, а

подматрица \21 - хорд структурного графа. Так как в ветвях дерева структурного

\А 1

графа преобразователя коммутирующие элементы отсутствуют, то подматрица 1 имеет следующий вид:

г

г

Б

й А В

С

1 -1 -1 -1

-1

1

1

1

1

Подматрица 1

О^ Б

й А В

С

[А2 ]

содержит коэффициенты инцидентности хорд:

3

4

5

6

[А2 ]='

Й1 ¿3 ¿5

- ¿2 - ¿4 - ¿6

- Ь ¿2

- ¿3 ¿4

- ¿5 ¿6

Условная замкнутая линия вокруг одного из узлов графа определяет сечение. Эта линия пересекает хорды и одну ветвь дерева, которые входят в данный узел или выходят из него.

Матрицу сечений запишем в следующем виде:

[Б] = [Б1Б2 ].

При составлении матрицы сечений строки нумеруются согласно номерам ветвей дерева структурного графа. Поскольку каждая ветвь дерева входит только в

одно, определяемое номером этой ветви сечение, то матрица [Б ] содержит строки только с одним положительным ненулевым элементом, который находится на главной диагонали. Так как ветви дерева графа преобразователя не содержат

коммутирующих элементов, то матрица [Б ] является единичной матрицей, порядок которой определяется числом независимых полюсов преобразователя.

Матрицу [Б2 ] можно записать, используя соотношение между топологическими матрицами [3, 6]:

Б Ы^ПА ]

[А ]-1

где 1 и - матрица, обратная матрице Обратная матрица имеет вид

[А1]

[А1]-1 =

1 1 1 1

-1

1

1

1

1

Перемножив матрицы

к]-1 и [А2 ]

получим

2

Di К

- h h2 - h3 h4 - h5 h6

- h - h3 - h5

- h - h4 - h6

- h hi

- h3 h4

- h5 h6

Матрицу главных контуров запишем также в виде двух матриц:

[В]=ВВ2 ].

Главными называют контуры, в каждый из которых входит только одна хорда. В матрице главных контуров номер каждой строки определяется номером хорды.

Очевидно, что матрица [В 2 ] имеет следующий вид:

N i hi hi h3 h4 h5 h6

Матрицу [LLi] запишем на основании соотношений, приведенных в [5, 6]

[Ll] = -[Di ]] 9

О d q a b c

[B]=

hi h1 h1

- hi hi - hi

h3 h3 h3

- h4 h4 - h4

h5 h5 h5

- h6 h6 - h6

Таким образом, по известной матрице инцидентности путем матричных преобразований можно записать матрицы сечений и главных контуров, что позволяет формализовать процесс записи систем уравнений.

Совокупность уравнений по первому закону Кирхгофа для обобщенного преобразователя может быть записана следующим образом:

[A][I ] = 0.

С учетом соотношений, приведенных в [3, 6], можно записать уравнения сечений в следующем виде:

[D ][I ] = 0.

Уравнение обобщенного преобразователя по второму закону Кирхгофа будет иметь вид

[В ][и ]=0.

С целью получения матричного уравнения обобщенного преобразователя выполним следующие действия:

1) запишем уравнение (1) в виде

\в[и ] = \_b\z ]\/ ]-№ ],

где \Е ] - матрица ЭДС; \Z ] - матрица сопротивлений. Матрицу ЭДС запишем в виде двух матриц:

где

[е ]=[е п е x ]

[Е ] [Е ]

V Ш - матрица полюсных ЭДС; ^ х - матрица ЭДС хорд.

Так как хорды структурного графа не содержат источников ЭДС, то все элементы матрицы [Ех ] равны нулю, поэтому можно записать [Е] = [Еп ]:

[Е п Н

е° еч еа еЬ ес

2) запишем матрицу полюсных напряжений как произведение матрицы полюсных токов и сопротивлений:

[и П ]=[ П [ П ]

а матрицу напряжений хорд - как произведение матрицы токов и сопротивлений хорд:

[и Х ]=[ Х[ Х ]

где [2х ] - матрица сопротивлений хорд структурного графа. [ X ]

Матрица

является диагональной и имеет следующий вид:

[г X ] = Мая 1Х

21 2 2 г 3 г 4 г 5 г 6

Применив данные преобразования, можем записать матричное уравнение преобразователя по методу контурных токов:

[В ][гп 1В ]] [IX ] = В 1еп ]+ [В2 ]([е х ]-2х ][1х ]).

Поскольку все элементы матрицы [Е х ] равны нулю, то матричное уравнение преобразователя примет вид

[в ][гП ][В1 ] [IX ] = [В1 1е п ]-[в2 ]г х II х ]

Перемножив матрицы в (2), получим матричное уравнение преобразователя по методу контурных токов (3), которое, по существу, является универсальным. С его помощью можно анализировать электромагнитные процессы как в инверторе напряжения, так и в инверторе тока. Кроме того, данное уравнение позволяет анализировать электромагнитные процессы в трехфазном мостовом инверторе, не содержащем ветви о (при отсутствии нейтрального провода). В этом случае

необходимо наложить условия, что ток ¿° бесконечно мал (¿° ^ 0), а сопротивление

г° бесконечно велико (г° ^ ж ). Такие допущения являются вполне корректными.

Ь[к1(г° + гЛ + 2а>¿1 - й2(г° + га>¿2 + ¿з(2° + 2с1 >¿3 - Й4г°^4 + й5(2° + >¿5 - К гo¿6]

к2 [- А1(г° + га >¿1 + Й2(г° + гч + га >¿2 - hзг°¿з + Й4(г° + г^ >¿4 - h5г°¿5 + кб(г0 + гч >¿6

Аз[Л1(г° + гс >¿1 - h2г°¿2 + Аз(г° + гс + гь >¿3 - К4(г° + гь >¿4 + К5(г° + гс >¿5 - К6 г°¿6]

к4 [- hlг°¿l + Й2(г° + г9 >¿2 - кз(г° + гь >¿3 + К4(г° + гч + гь >¿4 - h5г°¿5 + кб(г° + гч >¿6

А5[Л1(г° + гс >¿1 - h2г°¿2 + Аз(г° + гс >¿3 - h4г°¿4 + ь.5(г° + гс + гс >¿5 - кб(г° + гс >¿6]

К [- hг°¿l + Й2(г° + г9 >¿2 - + Й4(г° + гч >¿4 - Й5(г° + гс >¿5 + Аб(г° + гч + гс >¿6]

Ь

¿2(ео - еч + еа ) ¿212'2

¿3

¿4(ео - еч + еь ) ¿4 Z 4(4

+ ей + ес ) ¿5 Z¡i¡

¿6(ео - еч + ес ) ¿6 Z6i6

Следует отметить, что матричное уравнение преобразователя (3) может быть использовано при любом законе управления вентильными элементами, например при 120 или 180-градусном законах коммутации, а также при широтно-импульсном регулировании и широтно-импульсной модуляции.

Полученное матричное уравнение преобразователя не позволяет в явной форме

записать законы изменения напряжений иа'иь' и°' и° . Поэтому проведем ряд преобразований.

Запишем первое уравнение в (1) следующим образом:

Й1 ио + ¿1 иа + Й1 иа + Й1 и1 = 0

Второе уравнение в (1) будет иметь вид - Й2 и о + Й2 ид - Й2 иа + Й2 и 2 = 0.

Сложив (4) и (5), получим

Пренебрегая падением напряжения на силовых ключах, считаем, что и1 = и 2 = 0

Анализ эквивалентной схемы трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии (рис. 3) позволяет сделать вывод, что

и

Щ = ид = у

где и - напряжение источника постоянного тока. С учетом (7) можем записать (6) в виде

и

(¿1 + Й2 )(и 0 - и а ) = (- ¿1 + Й2 )— = 0

2

Аналогично получим:

и

(кз + ¿4 )(и0 - иь ) = (- ¿3 + ¿4 )— = 0

2,

и

(¿5 + кб )(и0 - ис )=(- ¿5 + кб )—= 0

2.

Рис. 6. Временные диаграммы переключающие функции при 180-градусном законе управления

Производя дальнейшие преобразования, условимся, что управление вентильными элементами осуществляется по 180-градусному закону коммутации, которому соответствуют переключающие функции на рис. 6.

На основании рис. 6 можем записать:

И + Й2 = 1

Из + И4 = 1

И5 + Иб = 1.

Известное условие симметрии трехфазной системы имеет вид

иа + иь + ис = 0 .

На основании выражений (8) - (10) получены законы изменения фазных и

линейных напряжений, а также напряжения и° при управлении вентильными элементами по 180-градусному закону коммутации:

и

(- И + Й2 - Из + И4 - И5 + Иб )—

6

и

= (2 И1 - 2 И2 - Из + И4 - И5 + Иб —

и

иь =(- И1 + И2 + 2 Из - 2 И4 - И5 + Иб )—

6;

и

ис = (- И1 + И2 - Из + И4 + 2И5 - 2Иб )—

6;

и

иаь =(И1 - И2 - Из + И4 —

2;

и

иьс = (Из - И4 - И5 + Иб —

и

иса =

2.

На основании временной диаграммы (рис. б), в соответствии с выражениями (11)-(17) на рис. 7, построены временные диаграммы напряжений преобразователя при 180-градусном управлении вентильными элементами. Полученные с использованием аппарата теории графов, матричной алгебры и переключающих функций кривые фазных и линейных напряжений не противоречат общеизвестным результатам. Поэтому можно утверждать, что введение переключающих функций непосредственно в топологические матрицы является корректным математическим приемом, позволяющим формализовать процесс записи уравнений электрического состояния цепей, содержащих вентильные элементы.

С помощью аналогичных преобразований могут быть записаны законы изменения напряжений преобразователя для других законов управления

и

о

и

а

б

2

вентильными элементами.

В рассмотренном примере переключающие функции являются функциями времени, однако уравнение (3) позволяет использовать переключающие функции, являющиеся функциями токов или напряжений преобразователя. Указанное обстоятельство также подчеркивает универсальность уравнения (3).

При записи уравнений вводилось допущение об идеальности силовых ключей, однако, в состав ветвей полюсного графа могут быть введены элементы, учитывающие любую конфигурацию как нагрузки, так и источника.

Рис. 7. Временные диаграммы напряжений преобразователя при 180-градусном законе коммутации

Выводы

1. Определение матрично-топологических соотношений между параметрами электрической энергии преобразователей позволяет формализовать процесс записи уравнений электрического состояния, что снижает трудоемкость подготовительных операций на этапе создания математической модели. Это особенно важно при анализе полупроводниковых преобразователей, когда приходится рассматривать в совокупности коммутационную и электрическую, а в некоторых случаях и магнитную системы.

2. Математическая модель преобразователя формируется на базе выбранной системы независимых величин. С практической точки зрения предпочтение следует отдавать радиальной системе, соответствующей деревьям в структурных графах отдельных каналов и образованной в каждом таком графе ребрами, имеющими одну общую вершину. Особенно удобной оказывается радиальная система.

3. Выявление матрично-топологических соотношений позволяет на основании матрицы инцидентности записать матрицы сечений и главных контуров, уравнения преобразователя по первому и второму законам Кирхгофа, а также по методу контурных токов.

4. Отличительной особенностью предлагаемой модели является введение переключающих функций, описывающих состояние вентильных элементов, непосредственно в топологические матрицы.

5. Полученное матричное уравнение преобразователя по методу контурных токов, по существу, является универсальным. С его помощью можно анализировать электромагнитные процессы как в инверторе напряжения, так и в инверторе тока. При этом наличие или отсутствие нейтрального провода не накладывает никаких ограничений на применимость уравнения. Кроме того, матричное уравнение преобразователя может быть использовано при любом законе управления вентильными элементами, например при 120 или 180-градусных законах коммутации, широтно-импульсным регулировании или широтно-импульсной модуляции.

6. Полученные с использованием аппарата теории графов, матричной алгебры и переключающих функций кривые фазных и линейных напряжений при 180-градусном законе коммутации не противоречат общеизвестным результатам. Поэтому можно утверждать, что введение переключающих функций непосредственно в топологические матрицы является корректным математическим приемом, позволяющим формализовать процесс записи уравнений электрического состояния цепей, содержащих вентильные элементы.

Summary

The technique of mathematical model formation of the three-phase generalized converter of electric energy from the point of view of the componential approach has been stated. The mathematical model constructed with the use of the graphs theory device and based on revealing matrix-topological parities is considered. Distinctive feature of the offered model is that switching functions of switching elements are entered directly into topological matrixes.

Key words: mathematical model of the three-phase converter, graphs theory, topological

matrix.

Литература

1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Киев: Техника, 1975.

768 с.

2. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964. 772 с.

3. Кениг Г., Блекуэлл В. Теория электромеханических систем. М.: Энергия, 1965. 424 с.

4. Хенкок М. Матричный анализ электрических машин. М.: Энергия, 1967.

225 с.

5. Плахтына Е.Г. Математическое моделирование электромашинно-вентильных систем. Львов: Высш. шк., 1986. 164 с.

6. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М.: Высшая школа, 1988. 335 с.

Поступила в редакцию 26 октября 2007 г.

Макаров Валерий Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент кафедры Электропривода и электротехники (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел. 8 (843) 231-41-27. Е-шаП: electroprivod@list.ru.

Кропачев Георгий Федорович - канд. техн. наук, доцент кафедры Электропривода и электротехники (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел. 8 (843) 231-41-27. Е-шаП: electroprivod@list.ru.

Хайруллин Ильгиз Равильевич - аспирант кафедры Электропривода и электротехники (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел. 8-927-491-26-36.