Оптимальное робастное управление космическим аппаратом с избыточным количеством электродвигателей-маховиков

Конопльов К. Г., Олейшченко Н.Н. Новий метод розрахунку вищих гармошк при iмпульсному регулюваннi синхронних reHepaTopiB.

Отримано анал'1тичн'1 вирази фазноУ напруги генераторе i коеф1'ц1'ент1в несинусодальност'! залежно вд форми ¡мпульсв напруги збуджень i вищих гармон1к.

Ключов'1 слова: синхронний генератор, ¡мпульснерегулювання збудження, вищ1 гармонки напруги.

Konoplyov K., Oleynichenko N. New method of higher harmonics calculation at pulse control of synchronous generators.

Analytical expressions are derived for generators phase voltage and unsinusoidality coefficients

depending on the form of excitation voltage pulses and higher harmonics.

Key words: synchronous generator, excitation pulse control, voltage higher harmonics.

УДК 621.3

Л. Н. Канов канд. техн. наук Севастопольский национальный технический университет

БЕЗЫТЕРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕАКТИВНОСТЯМИ

Предлагается методика расчета динамических режимов электрических цепей, содержащих нелинейные индуктивности и емкости. Методика основана на явных методах интегрирования дифференциальных уравнений и требует на каждом шаге решения просчета линейной цепи, что сокращает время расчета по сравнению с обычно применяемыми итерационными методами. Методика иллюстрирована расчетом процесса включения трансформатора.

Ключевые слова: безитерационный расчет, электрические цепи, динамический режим, нелинейная реактивность, явные методы интегрирования, включение трансформатора.

Введение

Расчеты динамических режимов в нелинейных электромагнитных цепях применяются при проектировании и моделировании электротехнических систем. Для таких расчетов в сложных цепях с крутыми характеристиками нелинейных элементов используются зарубежные и отечественные программные продукты, такие как NAP, PSpise, MatLab Simulink, COLO [1] и др., решение в которых производится на основании неявных методов интегрирования дифференциальных уравнений. В этих методах вычисления на каждом шаге расчета сопровождаются итерационным процессом определения переменных, скорость сходимости которого зависит от начальных приближений и свойств цепи. Время расчета, поэтому может быть большим. Неудачный выбор начальных приближений приводит к отказу решения. Явные методы в таких расчетах имеют меньшую точность. В обычной ситуации отсутствия или невозможности получения нормальной формы дифференциальных уравнений на каждом шаге здесь также возникает необходимость итерационного расчета нелинейной цепи постоянного тока, как и при применении неявных методов.

© Л. Н. Канов 2010 р.

Вместе с тем, существует круг задач, для решения которых применение явных методов оправдано. Эти задачи связаны с расчетом режимов в цепях, содержащих только реактивные из нелинейных элементов. К таким задачам относятся, например, расчеты переходных процессов в трансформаторах, реакторах [1, 2]. В этих условиях для нежестких задач явные методы мало уступают неявным, и в них отсутствуют отмеченные затруднения, характерные для неявных методов.

В жестких задачах подобного типа явные методы применяются совместно с неявными для получения начальных приближений итерационного процесса на каждом шаге. Кроме того, явные методы позволяют получать значения переменных на нескольких первых шагах расчета, без которых неявный многошаговый метод не может стартовать.

Отличительными особенностями применения явных методов к рассматриваемым задачам является возможность безытерационного расчета процесса на шаге, что сокращает время расчета, и отсутствие необходимости составления дифференциальных уравнений цепи. Эти особенности связаны с построением и последующим расчетом линейных схем постоянного тока, число

которых определяется принятым явным методом интегрирования.

Целью статьи является обоснование применения явных методов для численного безытерационного расчета динамических режимов электромагнитных цепей, нелинейность которых обусловлена лишь реактивными элементами.

Материалы исследования

Покажем применение одношагового явного метода, основанного на разложении правой части уравнения х ' = /(х, ?) в ряд Тэйлора [3]. Решение х(?) в момент /п+1 имеет вид:

x(tn+1) = x(t

n ) + h(P(xn, tn, h),

к к2

где Ф(х, к) = х' (?) + "2! х"(Г) + — х"'(/) +.... Номер N

последнего удерживаемого слагаемого в (1) определяет порядок метода и его точность О к). Затруднением в применении метода является необходимость вычисления производных от правой части ф(х, к). В [4] предложен способ рекуррентного вычисления слагаемых, входящих в функцию Ф , однако в условиях отсутствия нормальной формы уравнений цепи применение этого способа затруднено.

Покажем возможность применения метода ряда Тейлора к рассматриваемому кругу задач. Уравнение нелинейной индуктивности имеет вид:

Li' = u(i, t),

где ь = Щ)- дифференциальная индуктивность. Необходимые производные /', I", I'",...,¡(N) в выражении (1) получаем путем последовательного дифференцирования уравнения (2):

и' = L'i' + Li";

,," Т " 41 I Т Т 14" I Т •

и = L i + 2L i + Li ,

и" = L" i" + 3L" i" + 3L ' i" + Li

и далее по аналогичной структуре с биномиальными коэффициентами. В выражениях

L' = Lii; L" = Lii  (i')2 + Lii"; L"' = Liii  (i')3 + 3Liii' i" + Lii"'; ...

d 2 L

вычисляются в соответ-

г с1Ь где и =-г; Ьп = 2 . л си2

ствии с принятой аппроксимацией вебер - амперной характеристики. Аналогичные соотношения имеют место для нелинейной емкости с уравнением Си' = ', где С = С (и) - дифференциальная емкость.

Напряжения на индуктивностях иь и токи емкостей 'с и их производные в момент определяются путем последовательных расчетов исследуемой цепи, в которой индуктивности заменяются источниками

тока, численно равными 'ь, 'ь, 'ь,... а емкости - источниками ЭДС ис, и'с, и'С, ... . В линейных индуктивностях и емкостях ь' = Ь'' =... = 0; С = С' =... = 0.Ис-точники тока и ЭДС заменяются постоянными источниками, равными своим значениям и производным

соответствующего порядка в момент .

Таким образом, для расчета процесса на шаге следует N раз рассчитать линейную схему постоянного тока, что снижает затраты времени по сравнению с итерационной процедурой и делает расчет независимым от выбора начальных приближений переменных. Алгоритмы автоматизированного расчета линейных схем постоянного тока реализуются простыми программными средствами. Приемлемая точность решения достигается при N = 4...5 [5]. Ввиду простой структуры

уравнений (3), (4) N может быть увеличено.

Среди явных методов, в которых не требуется вычисления производных (3), (4), выделим метод Дорма-на-Принса [4], который предоставляет возможность управления шагом. В соответствии с этим методом для нелинейной индуктивности (2) на каждом шаге необхо-

киь ('ьп, ) .

димо вычислить 7 коэффициентов: ki =-

L

= huL (Т^Ь tn + 0,2h) . k = huL (iLn2, tn + 0,3h) . k2 =-~—:- . k3 = _

k4 =

k« =

L

huL

huL

L

8

k5 =

huL ^^ tn + 9 h)

L(iLn5) iLn1 = iLn + 0,2k1 ;

k7 =

L

L

iLn2 = iLn +

где

3k1 + 9k2 40

44к 56к2 32к3

'ьп3 = 'ьп +-----1--; остальные значения

ьп 45 15 9

приведены в приложении А. Окончательная величина тока ¡ь на шаге определяется значением ¡ьп7 , также

приведенным в приложении. Величина ¡ьпб служит для управления шагом. Аналогичные соотношения справедливы для нелинейных емкостей.

Для расчета напряжений на нелинейных индуктив-ностях и токов в нелинейных емкостях на каждом шаге необходимо последовательно рассчитывать 7 линейных

8

ISSN 1607-6761

«Електротехтка та електроенергетика» №2, 2010

схем постоянного тока, в которых индуктивности заменяются источниками тока со значениями

1ьп, ,..., 1ьпв , а емкости - источниками ЭДС иСп, иСп1,.., иСпв . Источники тока и ЭДС учитывают -ся постоянными значениями в моменты: tп ; tп + 0,2П; 8 ,

t„ + 0,3П ; + 0,8И ; tп +—п ; /п+1; /п+1. Точность ме-

9

тода оценивается 0(П5).

Расчет вспомогательных линейных схем постоянного тока можно использовать и при применении многошаговых методов. Применение к нелинейной индуктивности (2) полуявного метода прогноза - коррекции Адамса-Башфорта-Маултона с фиксированным шагом

[в] для вычисления Ьп+1 дает выражение:

И_ 24

9иЬ

Л

' +'пк

. В правой час-

L

ти этого выражения ^ п+1 предварительно оценивает-

ся iL п+1 - 'п +

55uL

- +1

пр

где величины

¡пк, 'пр приведены в приложении А. Аналогичные соотношения выполняются для нелинейной емкости. На каждом шаге для получения прогноза

iL п+ь иС п+1 необходимо рассчитывать линейную схему, где индуктивности заменены источниками тока iLn, а емкости - источниками ЭДС исп. Затем эта схема рассчитывается еще раз с источниками iL п+ь ис п+1

для получения окончательных значений iL п+l, ис п+1. В первый раз независимые источники тока и ЭДС учитываются в момент tn, во второй - в момент /п+1. Как

показано в [4], точность метода определяется 0(Пр+1),

где р < к ; к — 4 .

Аналогично для расчета динамических режимов в цепях с нелинейными реактивностями линейные схемы постоянного тока применяются при использовании других явных методов (Рунге-Кутты, Фехлберга) с сохранением присущим им условий сходимости и точности.

Пример расчета

Рассмотрим расчет процесса подключения трансформатора к источнику питания, рис. 1, где га, гв, гс -сопротивления линии; гндВ, гнвс, гнса - сопротивления нагрузки. Магнитную систему трансформатора по фазам полагаем несвязанной; вебер-амперную харак-

теристику фазы определим выражением Ф(Р), где

МДС

ГВ

0

С

гнВС

фазы

гнСА

Р — + ; ^1, - число витков обмоток фазы;

— 2 дФ

дифференциальные индуктивности ьдф 1 — ;

2 дФ

^дф 2 — ^^ —— ; коэффициент взаимной индукции

дР

дФ

М дф — м>^2-. Напряжение на первичной обмотке

дР

фазы имеет вид и — (^ +1дф 1) С- + Мдф -С2;

на вто-

т СЬ1

ричной - и2 — (Ь52 + Ьдф 2^—7 + Мдф—Т , где

м м

, 2 - индуктивности рассеяния.

Рис. 1. Схема включения трехфазного трансформатора

Расчетная линейная схема постоянного тока изображена на рис. 2, на котором вместо индуктивностей помещены источники постоянного тока

^ АВ, вс, сА, ^2 АВ, ^2 вс, 2 сА ; взаимные индуктивности учитываются управляемыми источника-

С е1 АВ — Мдф АВ

Сь

2 АВ . е — М Сь1 АВ и — ; е2 АН — Мдф АВ— и

далее по фазам с очевидной заменой индексов. Управ -ляющие напряжения этих источников, равные производным токов, снимаются с источников тока:

сСь

и1 АВ — ^Л + Lдф1 АВ ) ^ ;и2 АВ — 2 + ^ф2 АВ ) ^

и т. д. В начальный момент времени все источники тока полагаются нулевыми, в соответствии с чем определяются индуктивности и коэффициенты взаимной индукции.

На рис. 3 изображены результаты расчета процесса включения трансформатора на трехфазное напряжение промышленной частоты при Ем — 51В . Сопротивления линии приняты по 0,1 Ом; сопротивления

Сь

2 АВ

Рис. 2. Расчетная схема постоянного тока

нагрузок по 100 Ом; первичные обмотки имеют по 100 витков, вторичные - по 150 витков; индуктивности рассеяния первичных обмоток - по 30 мГн, вторичных -по 60 мГн. Вебер-амперная характеристика магнитной цепи фазы аппроксимирована зависимостью

Ф(F) = a  агйя^) + cF при а = 3.10-4; Ь = 0,2; с = 4  10-7. Момент включения соответствует начальной фазе 0,05  п для источника eA.

1, А-

Л'а

20 -Н-

ид.зЬ

о К / Шч

у/^с V -10 \ /

-20---

0,05 0,10 1, с

Рис. 3, а показывает искажения формы токов первичных обмоток; в фазе А наблюдается всплеск намагничивающего тока iA . Форма магнитного потока фазы AB показана на рис. 3, б, на котором выделяются

интервалы насыщения сердечника. Расчет рассматриваемого процесса для контроля также был выполнен в среде MathCad путем непосредственного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений для фазных токов обмоток. Результаты расчета показали соответствие вышеприведенным графикам процесса. Подготовка решения, предполагающая составление уравнений в нормальной форме, требует затрат времени, быстро нарастающих при усложнении схемы.

Вывод

Для моделирования динамических режимов в электромагнитных цепях с нелинейными реактивностями на основании явных методов интегрирования предложено применение ряда линейных схем постоянного тока на шаге процесса. Это позволило исключить итерационный процесс и сократить время расчетов с использованием простых программных средств, а также избавиться от необходимости составлять дифференциальные уравнения цепи в нормальной форме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тиховод С. М. Система компьютерного моделирования динамических процессов в нелинейных магнитоэлектрических цепях // Техшчна електродинамша. - 2008. - № 3. - С. 16-23.

2. Лучко А.Р. Имитационное моделирование электромагнитных процессов в магнитосвязанных электрических цепях / А. Р. Лучко, Т. В. Попова // Електротехмка та електроенергетика. - 2009. - № 1. -С. 16-22.

3. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений ; [ под ред. Дж Холла, Дж. Уатта]. - М. : Мир, 1979. - 312 с.

4. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. - М. : Мир, 1990. - 512 с.

5. Чуа Л.О. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы / Л. О. Чуа, Пен-Мин Лин. - М. : Энергия, 1980. - 640 с.

6. Мэтьюз Д. Г. Численные методы. Использование МАТЬАВ /Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк. - М. : Издат. дом «Вильямс», 2006. - 720 с.

10

ISSN 1607-6761

«Електротехтка та електроенергетика» N°2, 2010

Приложение А

Вспомогательные величины для метода Дормана-Принса _ . 19372^ 25360k2 64448k3 212k4

iLn4 _ iLn +-----+-----

L 6561 2187 6561 729 ' _ . 9017k1 355k2 46732k3 49k4 5103k5

iLn5 _ iLn + 01,„---IT— + —,„,„

3168 33 5247 176 18656 ' _. 35k1 500k3 125k4 2187k5 11k6

iLn6 _ iLn +---+---+-----+---

Ln6 Ln 384 1113 192 6784 84 '

5179k, 7571k3 393k4 92097k5 187k6 k7

iLn7 _ iLn +-1 +-3 +-4--5 +-6+—

57600 16695 640 339200 2100 40 '

Вспомогательные величины для метода Адамса-Башфорта-Маултона

_ 5uL

ink _---'--•

L(iL

n —1 ) L

59uL (iL n—1, tn—1 ) 37uL (iL n—2 n— 2) 9uL (iL n—3' ln—3/

i _ —

'np

L

Стаття надiйшла до редакцп 15.05.2010 р.

Пiсля доробки 18.05.2010 р.

Канов Л. М. БезИ"ерацшний розрахунок динaмiчних процеав у електричних колах з нeлiнiйними реактивностями

Пропонуеться методика розрахунку динам'чних режим1в електричних кл, що мстять нел1н1йн1 ндуктивност емност . Методика заснована на явних методах нтегрування диференц -альних р1внянь i вимагае на кожному кроц виршення прорахунку лнйного ланцюга, що скоро-чуе час розрахунку в пор!внянн!' ¡з зазвичай вживаними iтерацшними методами. Методика люстрована розрахунком процесу включення трансформатора.

Ключов'1 слова: безтерационныйрозрахунок, електричнiкли, динамiчнийрежим, нелiнiйна реактивнсть, явнi методи iнтеграцн, включення трансформатора.

Kanov L. Noniterative calculation of dynamic processes in electric circuits with nonlinear reactances The procedure of calculating dynamic modes of electric circuits containing nonlinear inductances and capacitances is proposed. The procedure is based on the explicit methods of differential equations integration and requires calculating a linear circuit at every solving step, decreasing the computation time as compared to usual iterative methods. The method is illustrated by calculation of the transformer activation process.

Key words: uniterationly calculation, electric circuits, dynamic mode, nonlinear reactivity, obvious methods of integration, including of transformer.