Исследование динамики системы управления объектом второго порядка с учетом расположения действительных полюсов

Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies, 2018, 11(5), 500-511

yflK 681.5

Study of the Dynamics of the Object Control System of Second Order with Respect to the Placements of the Real Poles

Andrey P. Prokopev*, Vladimir I. Ivanchura and Rurik T. Emelyanov

Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia

Received 06.03.2017, received in revised form 21.01.2018, accepted 06.05.2018

The paper explored study of the dynamics of the control system with the controller designed by the proposed method of parametric synthesis of PID controller for second order objects. As a theoretical basis for the methodology used modal method for linear systems taking into account the location of the actual poles. The numerical example of application of the methodology. The dependences of the transient response in the implementation methodology with variation of values a valid set of poles.

Keywords: the study of dynamics, automatic control system, synthesis, PID control, the modal method, the actual poles, transfer characteristic.

Citation: Prokopev A.P., Ivanchura V.I., Emelyanov R.T. Study of the dynamics of the object control system of second order with respect to the placements of the real poles, J. Sib. Fed. Univ. Eng. technol., 2018, 11(5), 500-511. DOI: 10.17516/1999-494X-0049.

Исследование динамики системы управления объектом второго порядка

с учетом расположения действительных полюсов

А.П. Прокопьев, В.И. Иванчура, Р.Т. Емельянов

Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79

Рассмотрено исследование динамики системы управления с регулятором, спроектированным по предлагаемой методике параметрического синтеза ПИД-регулятора для объектов второго порядка. В качестве теоретической основы методики использован модальный метод для линейных систем с учетом расположения действительных полюсов. Приводится числовой пример применения методики. Получены зависимости переходной

© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: prok1@yandex.ru

характеристики при реализации методики с варьированием значений задаваемых действительных полюсов.

Ключевые слова: исследование динамики, система автоматического управления, параметрический синтез, ПИД-регулятор, модальный метод, действительные полюсы, переходная характеристика.

Введение

По многочисленным источникам научной и технической литературы можно выделить следующие методы синтеза ПИД-регуляторов [1-10]: эмпирическая настройка; методы Зиглера-Никольса [1] и производные методы [2]; алгебраические методы; методы модального синтеза; методы синтеза в частотной области; методы оптимального синтеза; метод оптимальной ПФ замкнутой системы (технический и симметричный оптимумы). Основные тенденции развития методов синтеза ПИ- и ПИД-регуляторов - в книге Aidan O'Dwyer, 2006 [7] (443 метода синтеза ПИД-регуляторов) и в издании Aidan O'Dwyer, 2009 [8] (1731 метод синтеза ПИД-регуляторов).

Одним из методов синтеза ПИД-регуляторов, активно развиваемым учеными, является модальный метод [3, 9]. В научных работах, посвященных синтезу регуляторов, отсутствуют соотношения, связывающие значения переходной характеристики и коэффициентов объекта управления с учетом расположения действительных полюсов.

При теоретическом описании мобильных, строительных и дорожных, дорожно-строительных машин как объектов управления наиболее распространеннымиявляются математические моделивторого и бклте ъысопогогкфэдка [9-13].

Исходное математическоео писаниесистемы и постановка задачи

Рассматрсвается линейнаясистема авдоматичеакого управлинияс передаточной функцией (ПФ)объекта второго порядка.

Передаточные функции объекта управления второго порядка и ПИД-регулятора таковы:

Ь0ь' + Ьх

W0 (s) =-

a0 s2 + ayS + a2

W (s)=K + -t- + K+ =

Ki „ Kds s + Kps + Kt

тк   -лео

где s - -В,, р п^- ^оэб^ф^ив^^е^а^лб1КЪнатвтственно пропорциональности,

интегрированияи рир ф£^]ре^нц иръкткпЯ;

При последоламельнои сеодиненоиПФобъеокаиПИД-регулятора образуют разомкнутую системусПФ следующего вида:

К, Ъ0в3 р (КЪ р КвЪ.)в2 Р (Кр0 Р КЬЛв р К р.

НТрв) = Т(в)Т (в) -^-2-—-— •

о0в р о.в р о2в

Передаточная функциязамкнутой системы управлениясединичной обратной связью

- еа1 -к

к (8) = w (*) р к А *3 + (к л + кръ0)*2 + (к р+кр )*+к рх

* 1 + W (*) (а, + къ)*3 + («1 + къ + кръ0)*2 + (а 2 + кро + крЪх)* + к &

Исходными данными для синтеза ПИД-регулятора САУ являются ПФ объекта управления второго порядка и заданные показатели качества: перерегулирование и время регулирования.

Решается задача определения значений коэффициентовПИД-регулятора КА Кр, К, обеспечивающих заданные показатели качества по заданным ПФ объекта управления второго порядка ^(з) и значениям действительныхполюсов = -ты = -т|2, = —т|з ПФ лымьыхтой системы управления.

Вывод основных сооткошений методикя параметрисеского синтеза регулятора и определение составляющих переходной характеристики Н(Г) замкнутой системы управления с ПИД-регуляторомпри задании действительных полюсов подробноописаны в работе [14].

Методика! синтез а ПИД-р ег улятора дляслу чая действительных полюсов

Значения всех заданных трех полюсоо ясояюисодействительсошс:

= ; «г = -тъ; •?3 = -ти

13 работе [14] в результате аналитических преобразований получены следующие равенства:

а+КА + крьо

= -Л1-Ы12 + л;

ao + КА a2 + КА+крьх

ao + KA

= бз

(A

= 616263-

ao+KA

Представимравенства (1)в системы уравнений, в которой неизвестны значения коэффициентов ПИД-р егул ятора:

К  - П

-"КбоЛ) + КА = « 0П1П 2% Введем обозначения с целью представления системы уравнений (2) в матричной фор-

Ai ^i-^oOii+Tb +113); A2 =bo; Ai3 = °; <м = ао(111+112-й11з)-i ;

A21 = ~Ь0

A = = Л ^к ; A32 =0 ; ) = bi ; с = aii пзп 3-С учетомобозначений(З) сформируемматрицы

- 50:2-

Ч 4 V [ с ^ С ^ 1

ЛД = Ч2 Ч3 ; С = С2 ; К = к

Ч32 Ч 3 1 сз;

где Л, и С, - матрица и вектор-столбец известных параметров объекта управления и заданных значенийдеРствитереоыу полюсов соответсеоенно; К1 - вектор-столбец искомых значений коэффициентов ПИД-регулятора.

Матричноеуравнениедля определения иско мых значений коэффициентов регулятора:

(Л, • Ю = Са, а егоуашение тираа

К) = ЛчИер.

Система уравнений Л1) значительно упрощается при Ь0 = 0:

а +кЛ

а2 +кръх

= 1л1+112+ Пз;

= 11з(111+ ^2)+^;

къ

= П1П2 Пз-

В этот тлучте формулы для определения значений коэффициентов ПИД-регулятора име-ютеследующий вид:

к сл ао(тЪ пП2 пПз)-«1 .

к ~Т~-1-.

р1 р1

к с2 а о[[ (+1пп 2)+П лП 2 ]

Къ=Г-

к т =1та01(1 П 2П 3

Рл

Р Р

Получены выражения для расчета коэффициентов ПИД-регулятора, включающие коэффициенты ПФ объекта второго порядка при заданных значениях действительных полюсов. Выполненапроверкарассмотреннойметодики наконкретномпримере. Пример.Заданобъект управлениявторогопорядка сПФ:

0,015 + 0,7

а0и 2+а15 + а2 0,0452 + 0,122 5 +1

Требуется синтезировать ПИД-регулятор, который обеспечит переходную характеристику безперерегулирования, авремя регулирования ¿р = 1 с.

Для реализации метода синтеза применены зависимости, опубликованные в работе [14], и зависимости (4). Расчеты выполнены в среде программы MathCAD. Исходные данные для действительных значений полюсов:

0

змачение Й1 опееделеносу четом же лаемого време ни регулирования, равного 1 с, и расчета по известной приближеннойформу ле [15-17]

где Re(5) - действительная часть полю са, наиболее приближенного к мнимой оси корневой плоско сти; значения т|2 и т|3 онределяютсс из трсбедмого зоачения перересумированиииилияния этих полюсов на полюс 1=

П = 3;т12 = 4; г|а = 5; р =0,7; Ь0 =0, 01; а0 =0,04; а1 =0,12; ан =1,0.

Для заданных действительных полюсов определены коэффициенты ПИД-регулятора

г ^ 05,783 >

еза = K = а 32,51 7 ; Kd = 5,783; Kp = 32,517; K = 53,0

k-J V53 7

Установившееся значение hstab = 1.

Выполненомоделирование переходного процесса для периода времени t = 0, 0.001..3.

Переходная характеристика /г (h) при ваданнеех действительных полюсах,составляющих h-(П), Xiл (0, П(0, обусловлены) действмтеттмыми поеюсами хр = u^ii $2 = s3 = -ц3, определяется по зависимостям, полученным в работе [14].

При t = 0 охлуорм Н(0) = Н^ + Н, ЯК)) + НЛ2 (г) + Н% (В = Н-0(809 + 1,876 -1,132 = 0,935.

Начальное значение hinit [14] переходной характеристики h

h. .t = Kb = 0,935.

«о + KA

На рис. 1 представлен график переходной характеристики h(t) замкнутой САУ с синтези-рованнымипараметрамиПИД-регулятора.

В рассмотренном примере начальное значение hinit переходной характеристики h(t) замкнутой САУ (рис. 1) входит в 5%-ю зону с оценкой времени регулирования, равного 0,04 с. В примере требования по качеству динамических характеристик могут быть повышены.

При известном значении b0, заданных параметрах объекта второго порядка и действительных полюсов в рассмотренном в примере время переходного процесса, исходя из условия 5%-й зоны установившегося значения, равно 0,04 с при желаемом 1 с.

Исследование влияния расположения действительных полюсов при реализации методики параметрического синтеза ПИД-регулятора [14] является актуальной задачей.

Исследование динамики управления объектом второго порядка для случая действительных полюсов

Для исследования влияния на динамику процесса управления объектом второго порядка действительных полюсов выполнено моделирование в среде MathCAD.

Задана ПФ объекта управления второго порядка

t, s

Рис. 1. График переходной характеристики синтезированной системы с заданными действительными полюсами

Fig. 1. Grafofstepresponseofthe synthesizedsystem withgivenrealpoles

V+b - 0,0C*+ °>7 .

0 a0s2 +-аг1,у-ьа2 0,04s2+0 , 12 s + 1

Требуетря исследовать систему управления с синтезярввзвныш ПИД-регулятором объ-eicroM второго порядка. Звданы варьируемые значения времени регулирования tP, действитель-

НЫХПОЛЮСХОВ Tji, Т)2, Т-з.

Икхоздавье сононошения твмшьюя——лыгу моделирураыиь с учетом практике водлльвого управления в среде MothCAD.

3 з n пп

ВР «-, t)j = Re(s), te «—; ПР var 0,5...1.5; —=И...5, ззшандм 1; —л =1...5, зшандм 1.

Re(s) ill ill ni

В соответствии с заданными соотношениями варьируемых переменных сформированы исходные данныедевятиопытов (табл.1).

Для реализации метода синтеза применены зависимости (5). Расчеты выполнены в среде программы MathCAD. Получены графики переходной характеристики: h^t) при tP=0,5 с; h2(t) при tP=1,0 с; А3(1)при tP=1,5 с.

Результаты моделирования переходной характеристики представлены: опыты 1,2- рис. 2; опыты 3, 4 - рис. 3; опыты 5, 6 - рис.4;опыты7,8 -рис.5;опыт9 - рис. 6.

Обозначение на графиках: h1.01(t) - переходная характеристика при tP=0,5 с, опыт 1; h2.01(t) - при tP=1,0 с, опыт 1; h3.01(t) - при tP=1,5 с, опыт 1. Аналогично во всех графиках в индексе меняется номер опыта.

Моделирование переходной характеристики замкнутой САУ с синтезированным по рассмотренной методике ПИД-регулятором, в заданном диапазоне времени регулирования от 0,5 до 1,5 с, соотношений действительных полюсов n2 / "Hi = 1. 5, П3 / П = 1. 5 показало следующие результаты:

- динамическийпроцесс имеет апериодический характер;

Таблица 1. Исходные данные для исследования Table 1. Background data for the study

Показатели

Номер опыта Время регулирования tP, с Полюс Г|ь с-1 Полюс п2, с-1 Полюс Г|3, с-1

1 2 3 4 5

0,5 6 6 6

1 1,0 3 3 3

1,5 2 2 2

0,5 6 6 12

2 1,0 3 3 6

1,5 2 2 4

0,5 6 12 12

3 1,0 3 6 6

1,5 2 4 4

0,5 6 12 18

4 1,0 3 6 9

1,5 2 4 6

0,5 6 18 18

5 1,0 3 9 9

1,5 2 6 6

0,5 6 18 24

6 1,0 3 9 12

1,5 2 6 8

0,5 6 24 24

7 1,0 3 12 12

1,5 2 8 8

0,5 6 24 30

8 1,0 3 12 15

1,5 2 8 10

0,5 6 30 30

9 1,0 3 15 15

1,5 2 10 10

- перерегулирование практически отсутствует или имеет очень небольшое значение;

- увеличение значений действительных полюсов от п2 = Пз = П до П2 = Зп и Пз = 4 приводит к постепенному уменьшению времени регулирования и улучшению динамики переходного процесса;

- для варианта задания времени регулирования 0,5 с и 1 с переходная характеристика й(/) в опытах 4, 5, 6 имеет удовлетворительное соответствие желаемому значению;

- хорошее соответствие заданию получено в опыте 6 при п2 = 3-т|ь П3 = 4"Ль

- 506 -

1.5

- 0.5

I — h1.01(t) .....h2.01(t) ...... h3.01(t) .......h1.02(t) -h2.02(t) h3.02(t) --1.05 ---0.95

Ii.. ## F ' ; \

t, s

Рис. 2. График переходной характеристики

0

0

1

2

3

4

5

1.2 1

0.8 t 0.6 0.4 0.2 0

0 1 2 3 4 5

t, s

Рис. 3. График переходной хзрактеристики

V

h it *

h1.03(t) .....h2.03(t) ...... h3.03(t) .......h1.04(t) -h2.04(t) h3.04(t) --1.05 ---0.95

1.2 1

0.8 § 0.6 0.4 0.2 0

0 12 3

t, s

Рис. 4. График переходной 4арактерис тики

/1_ , 1 1 _ 1 ~ II """

1'/

h1.05(t) .....h2.05(t) ...... h3.05(t) -------h1.06(t) -h2.06(t) h3.06(t) --1.05 ---0.95

1.2r

0.8

0.6

0.4

0.2

____ " " ----

i f — h1.07(t) .....h2.07(t) ...... h3.07(t) .......h1.08(t) -h2.08(t) h3.08(t) - --1.0X ---0.9X

t, s

Рис. 5. График переходной характеристики

1

0

1

2

3

1.2r

0.8

0.6

0.4

0.2

j ; *-"„*----- —--------- ------ ..........................

// .......

!;

ij h1.09

.......1.05 -0.95

0.5

t, s

Рис. 6. График переходной характеристики

1.5

0

- в опытах 7, 8, 9 наблюдается постепенноеуменьшение времени регулирования и улуч-шениепереходного процестб Уез птенрегеливоенния;

- при всех значениях варьируемого значения полюса п переходная характеристика находится в 5%-й зоне.

Заключение

Рассмотрена методика модального синтеза параметров ПИД-регулятора по заданным значениям параметров объекта второго порядка и действительных полюсов замкнутой системы управления. Методика реализована в программной среде MathCAD.

Исследование динамики переходного процесса САУ объектом второго порядка с параметрами ПИД-регулятора, полученными по предлагаемой методике синтеза, показало работоспособность в рассмотренном диапазоне динамических характеристик.

Для дальнейших научных исследований особенностей методики параметрического синтеза ПИД-регулятора и реализации положений методики для инженерного применения с учетом современных вычислительных возможностей компьютерной техники планируется разработка методики модального синтеза с размещением комплексных полюсов, выполнение задачи оптимизации назначения полюсов при исходном задании первого полюса по известным зависимостям по времени регулирования с проверкой на положительные значения коэффициентов ПИД-регулятора, устойчивости системы управления по алгебраическому критерию Рауса.

Список литературы

[1] Ziegler J. G., Nichols N. B. Optimum settings for automatic controllers, Transactions of the American society of mechanical engineers, 1942, 64, 759-768.

[2] Astrom K. J., Hagglund T. Advanced PID Control. Research Triangle Park, North Carolina: The Instrumentation, Systems, and Automation Society, 2006. 354 p.

[3] Вадутов О. С. Синтез ПИД-регулятора в системах с запаздыванием методом условной оптимизации с ограничениями на размещение полюсов. Известия Томского политехнического университета. Информационные технологии, 2014, 325(5), 16-22. [Vadutov O. S. Design of PID controller for delayed systems using optimization technique under pole assignment constraints. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta. Informatsionnye tekhnologii, 2014, 325(5), 16-22 (in Russian)].

[4] Филипс Ч., Харбор P. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 616 с. [Filips Ch., Kharbor R. Feedback control systems. Moscow, Laboratoriya bazovykh znaniy Publ., 2001, 616 p. (in Russian)].

[5] Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980. 309 с. [Voronov A. A. Fundamentals of the theory of automatic control. Automatic control of continuous linear systems. Moscow, Energiya Publ., 1980, 309 p. (in Russian)].

[6] Лукас В. А. Теория автоматического управления. М.: Недра, 1990. 416 с. [Lukas V. A. Automatic control theory. Moscow, Nedra Publ., 1990, 416 p. (in Russian)].

[7] O'Dwyer A. Handbook of PI and PID ControllerTuning Rules. London: Imperial College Press, 2006. 564 p.

[8] O'Dwyer A. Handbook of PI and PID controller tuning rules. London: Imperial College Press, 2009. 623 p.

[9] Прокопьев А. П., Иванчура В. И., Емельянов Р. Т. Синтез ПИД-регулятора для объектов второго порядка с учетом расположения полюсов, Журнал СФУ. Техника и технологии, 2016, 9(1), 50-60. DOI: 10.17516/1999-494X-2016-9-1-50-60. [Prokopiev A. P., Ivanchura V. I., Emelyanov R. T. Synthesis PID controller for objects second order with regard to the location poles. Zhurnal SFU. Tekhnika i tekhnologii, 2016, 9(1), 50-60. DOI: 10.17516/1999-494X-2016-9-1-50-60 (in Russian)].

[10] Замятин Д. В., Ловчиков А. Н. Методика синтеза оптимальных по быстродействию систем, Вестник СибГАУ, 2005, 4, 28-30. [Zamyatin D. V., Lovchikov A. N. The time optimal systems synthesis methodic. VestnikSibGAU, 2005, 4, 28-30 (in Russian)].

[11] Замятин Д. В., Ловчиков А. Н. Определение параметров корректирующего устройства для системы четвертого порядка, оптимальной по быстродействию, Вестник СибГАУ, 2006, 4(11), 18-20. [Zamyatin D. V., Lovchikov A. N. Correctional unit parameters obtaining for time optimal four order system. Vestnik SibGAU, 2006, 4(11), 18-20 (in Russian)].

[12] Замятин Д. В., Ловчиков А. Н. Синтез оптимальных по быстродействию систем высокого порядка, Вестник СибГАУ, 2013, 2(48), 24-28. [Zamyatin D. V., Lovchikov A. N. Synthesis of time optimal systems of high order. Vestnik SibGAU, 2013, 2(48), 24-28 (in Russian)].

[13] Иванчура В. И., Прокопьев А. П. Оптимизация следящей системы автоматического управления, Вестник СибГАУ, 2011, 5 (38), 44-49. [Ivanchura V. I., Prokopiev A. P. Optimization of a tracker system of automatic control. Vestnik SibGAU, 2011, 5(38), 44-49 (in Russian)].

[14] Прокопьев А. П., Иванчура В. И., Емельянов Р. Т., Скурихин Л. В. Методика синтеза регуляторов для объектов второго порядка, Вестник СибГАУ, 2016, 17(3), 618-624. [Prokopiev A. P., Ivanchura V. I., Emelianov R. T., Scurihin L. V. The technique of synthesis of regulators for objects of the second order. Vestnik SibGAU, 2016, 17(3), 618-624 (in Russian)].

[15] Ефимов С. В., Замятин С. В., Гайворонский С. А. Синтез ПИД-регулятора с учетом расположения нулей и полюсов системы автоматического регулирования, Известия Томского политехнического университета, 2010, 317 (5), 102-107. [Efimov S. V., Zamyatin S. V., Gayvoronskiy S. A. Synthesis of the PID controller with respect to the location of zeros and poles of the system of automatic control. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta, 2010, 317(5), 102-107 (in Russian)].

[16] Ефимов С. В., Гайворонский С. А., Замятин С. В. Задачи корневого анализа и синтеза систем автоматического управления, Известия Томского политехнического университета, 2010, 316(5), 16-20. [Efimov S. V., Gayvoronskiy S. A., Zamyatin S. V. Root tasks of analysis and synthesis and synthesis of automatic control systems. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta, 2010, 316(5), 16-20 (in Russian)].

[17] Удерман Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 112 с. [Uderman E. G. Root locus method in the theory of automatic systems. Moscow-Leningrad, Gosenergoizdat Publ., 1963, 112 p. (in Russian)].