Распространение нелинейной электромагнитной волны поперёк сильного магнитного поля в плазме

УДК 533.9

Распространение нелинейной электромагнитной волны поперёк сильного магнитного поля в плазме

В. Б. Красовицкий*, В. А. Туриков^

* Отдел кинетических уравнений Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН Миусская пл., д. 4, Москва, Россия, 125047

^ Кафедра экспериментальной физики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

В работе рассмотрено распространение в плазме электромагнитной волны большой амплитуды поперёк внешнего магнитного поля. В таком взаимодействии электроны ускоряются продольным электрическим полем до релятивистских энергий. С увеличением амплитуды волны система переходит в режим сильной нелинейности, и форма колебаний отличается от гармонической. Показано, что в сильном внешнем магнитном поле вблизи плазменного или циклотронного резонансов существует решение в виде со-литона огибающей. Найденное решение качественно подобно ленгмюровскому солитону в плазме без магнитного поля.

Ключевые слова: магнитоактивная плазма, необыкновенная волна, резонансные электроны, нелинейный сдвиг частоты, солитон огибающей.

1. Введение

Мощные короткие лазерные импульсы, создающие большие градиенты электрического поля в плазме, могут быть использованы для возбуждения электростатической кильватерной волны и ускорения электронов [1,2]. Эффективность ускорения определяется амплитудой возбуждаемой волны и длиной ускоряющего промежутка в плазме. Оба эти параметра зависят от реально существующего в плазме внешнего или самогенерируемого магнитного поля, существенно изменяющего условия взаимодействия светового импульса с плазмой [3-7].

В работе [3] показано, что величина пондеромоторной силы возрастает в условиях циклотронного резонанса, если волна распространяется поперёк магнитного поля в плазме и является огибающей волнового пакета необыкновенных волн. Возбуждение колебаний в плазме градиентом высокочастотного давления светового импульса фиксированной геометрии рассмотрено в [4]. Магнитное поле волны модулирует сильное внешнее магнитное поле и параметрическое ускорение электронов в скрещенных полях качественно аналогично нарастающим колебаниям механического маятника с вибрирующим подвесом. Одномерный распад необыкновенной волны аналитически и численно исследован в работе [5]. Обратное воздействие возбуждаемых колебаний на лазерный импульс определяется системой нелинейных уравнений, состоящей из уравнения огибающей электромагнитной волны и уравнения для потенциала в плазме [6-9].

Эффективность кильватерного ускорения определяется длиной пробега светового импульса в плазме и значительно возрастает, если несущая частота и амплитуда приближаются к параметрам уединённой волны. В настоящей работе показано, что волны с необходимыми для ускорения параметрами являются со-литонами огибающей и существуют в сильном поперечном магнитном поле вблизи плазменного и циклотронного резонансов. В первом из них расширение волнового пакета из-за дисперсии компенсируется нелинейной самофокусировкой, так что параметры электромагнитного импульса близки к параметрам ленгмюровского солитона [10]. Увеличение амплитуды поля сопровождается захватом электронов

Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г. Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-02-01302.

плазмы продольным полем световой волны и ускорением их до релятивистских энергий.

Решение второго типа существует в слабо релятивистской плазме малой плотности, когда несущая частота солитона близка к гирочастоте электронов. Ускорение электронов на переднем фронте импульса сопровождается релятивистским уменьшением гирочастоты и расфазировкой электронов с волной. Поэтому электроны, достигающие центра импульса, смещаются в область замедляющих фаз и отдают энергию заднему фронту волны (динамический солитон [11]). В сильно нелинейном режиме поперечный электромагнитный импульс распространяется в плазме со скоростью света и может быть использован для эффективного возбуждения колебаний в условиях параметрического резонанса [4].

2. Линейное дисперсионное уравнение

Распространение электромагнитной волны Е = (Ех, 0, Ег) и В = (0,Ву, 0) поперёк постоянного магнитного поля Во = (0, Во, 0) в плазме (необыкновенная волна) описывается системой релятивистских уравнений гидродинамики

д д \

Ж + Уг дг) Рх = еЕ'х - е/3х

д д \

01 + Уг ~дг) Рг = еЕ* - е/3х

(р, 7 = л/1 + р2 /т2с2 и V = р/т7 = ф — импульс, энергия и скорость электрона) и уравнениями Максвелла для поля

д2Ах 1 д2Ах 4тте

7й2Г =--

дг2 с2 дЬ2 с х'

дЕг дп дп V*

дЕ = 4-

где Ех = —дАх/сдЬ и Ву = дАх/дх, Ах — векторный потенциал.

Для малых возмущений ехр1(шЬ — к г) из уравнений (1)-(4) следуют соотношения

ш£е и2 ее еАх ^ Шп ш£еАх и = —о се 7, ц =__Е__х Е =__Е___х

и г — ь uх, и х — о 2 , Ег — о 2

шеЕ ш2 — ш2аН тс ш2 — ш2аН с

где еЕ = 1 — ш^/ш2, ше = л/4тге2по/т и шсе = еВо/тс — ленгмюровская и циклотронная частоты, шии = — верхнегибридная частота. Зависимость

показателя преломления п = ск/ш от частоты ш для необыкновенной волны в плазме определяется дисперсионным уравнением [12]

п2 = 1 --Лг

Ш2 — Шии\ Ш

Электромагнитная и электростатическая компоненты связаны из-за вращения электронов плазмы во внешнем магнитном поле Во в плоскости (х, х).

Уравнение (6) определяет зависимость частоты от фазовой скорости = с/п для двух электромагнитных волн

2 - п2 + ц Т\!

2

где ц =

со_

и +1

ш

(ц + 1) ш.

+

определяют низкочастотную ш-

п2_ 1 = ^ Л

1 — П2

I 2 2 1^ 2

\шр - Ш I « Шсе

и высокочастотную

п2 = 1 -

I 2 2 I ^ 2 - > Шр

электромагнитные волны со скоростями, близкими к скорости света.

2

'М2 — ш2.

3. Нелинейная электромагнитная волна

Переходя в уравнениях (1)-(4) к автомодельной переменной -ф = шр (£ - г/урн), получаем следующую систему нелинейных уравнений в полных производных [4]:

С - ^ ' С' = ^ ^аЕ +В2 (1 - Р-) А'' - [ЗрН^ = 0

где введены безразмерные переменные

А = еАх/тс2,

О, = -лК = ^а2 -

Q = шсе/шр, @рН = урь/с = п~О = р/тс — безразмерный импульс электрона.

Для малых периодических возмущений Ат ^ 1 значение ¡Зрн = ш/ск определяется из линейной теории (9), а асимптотическое поведение для большой амплитуды поля Ат ^ 1 задаётся формулой [ЗрН = 1 + О;2 /\^2Ат [4].

Проанализируем возможность существования солитонного решения системы уравнений (11). Учитывая, что на периферии уединённой волны ф = колебания отсутствуют: а =1 и Л = А! = £ = 0, можно представить интеграл энергии в виде [4]

1 - л'2 + с21 ++ О = ^.

рН

а + ррнК 1 + №

В центре электромагнитного импульса все величины достигают экстремальных значений:

А'

Полагая в (11) Q' = 0, получаем

Пх = —\/ат — 1 , R = flph.am, а из а' = 0 и (15) следует:

Ат = (1 + Q/am) \/а?т — 1, (т = —(Я/а^л/а^ — 1. Подставляя (15) и (16) в (13), получаем условие

4

+Q —1) = 0'

которое выполняется только для солитона "нулевой" амплитуды: ат =1 и Ат = Ст = 0 и, следовательно, автомодельная система уравнений (11) не имеет соли-тонного решения.

Рассмотрим волну, распространяющуюся со скоростью света ¡Зрн = 1, в условиях, когда действие электромагнитной силы полей волны скомпенсировано силой Лоренца и электроны плазмы находятся в поперечном равновесии с волной

Пх = — A — QC = 0. Интегрируя, получаем уравнение

а' = VН — (1 + а2) /2ат, решение которого с помощью подстановки:

а = Н + л/Н2 — 1 cos р, Н = (1 + а/2ат приводится к неполному эллиптическому интегралу второго рода:

ф = 2^ [Е(к) + Е(<р/2,к)], к = \[а где Е(х, к) = / л/1 — к2 sin2 ж ёж и Е(к) = Е (тг/2, к).

ат ат ,

Максимальная и минимальная амплитуды соответственно равны атах = ат и

аШт = ат, а нелинейный период колебаний есть

т = 4^атЕ (к).

Колебания малой амплитуды а = ат — 1 ^ 1 близки к гармоническим с периодом Т ^ 2тт [1 + (3/16) а2]. Релятивистская добавка к частоте совпадает с аналогичным выражением для продольной волны в незамагниченной плазме [10]. Однако рассматриваемая волна является электромагнитной и её поперечное электрическое поле определяется формулой (18):

Ех = —<№2Ег.

Отклонение фазовой скорости волны от скорости света сопровождается возникно-

-2

рН

1 — д

вением поперечных колебаний электронов |П2| > 0. В предельном случае

1 и сильном внешнем магнитном поле Я2 ^ 1, опуская в (11) малые слагаемые ~ П2, получаем

а' = С + № № + А), С' = 1—

а 2а2

<

(1 -Р-)А>' + Q Q + А) = 0.

Исключая А из последнего уравнения и используя равенство (аС,)" = -а' + а"(,, находим

В сильном магнитном поле ^ ~ 1, опуская в (23) старшие производные, получаем уравнение

[

которое в линейном приближении а - 1 ^ 1 соответствует дисперсионному уравнению

Подстановка у = 1 - а-2 преобразует (24) в уравнение

р + (1 - у)-3/2

У

.

Разложим левую часть уравнения (25) по степеням у ^ 1:

(р + 1)У + ~^у2 + 5 у3

8'

и представим решение в виде

у = y1 cos Пф + у2 cos 2Пф.

Приравнивая коэффициенты для гармоник частоты П, получаем систему алгебраических уравнений для амплитуд

П2 [(1 + р) У! + (3/4) У1У2 + (15/32) у3] = уъ 4П2 [(1 + р) У2 + (3/8) у2] = У2,

}2 [(1 + р) у2 + (3/8)" 2 определяющую частоту нелинейных колебаний

1

П2 (т) =

1 + р

-, 3(1 + 5р)о о

1 32(1 + р)2Й

Возвращаясь к исходной переменной yi = 2ai и П = ш/шр, получаем

(1 + = ш2 f1 - a(p)a2] , а(ц) = -

3 1 + 5р

8 (1 + р)2 '

В предельном случае р ^ 1 решение (25) совпадает с асимптотикой (20), а при

р ~ 1 решение линейного уравнения у = уо cos (р-1/2ф) соответствует колебаниям электронов в сильном магнитном поле

а =

1 - уо cos р

-1/2

2

Уо = 1 - ат .

4. Солитон огибающей

Найденное выше соотношение

А(г — удехр [гф(£, х)]. Полагая в (30) = ш/ск, получаем следующее нелинейное дисперсионное уравнение

определяющее зависимость частоты ш от волнового числа к и амплитуды волны а?.

Нелинейное дифференциальное уравнение для амплитуды волнового пакета (волны огибающей) может быть найдено с помощью (32). Для этого представим волновое число и частоту в виде

шо, ш = шо + Дш, Дш = уд Дк

и разложим линейную часть уравнения по степеням Д к:

ш2

шр

—УдУрнД к + ш2 — —---+ ш

1 + Мо

где уд = (с2/ури) ш2°е>/ш2аК — групповая скорость волны, а остальные обозначения

есть:

_ / ч 3ш0 ( ш°\ ( с2к§\ 2 шо

ао = а

йш2 V ш°/ V шо / ко

^~р \ ~р

Полагая в (34) Д к = г, £ = 2 — идЬ [8], получаем следующее уравнение:

ё2а? + ш°

ш2

шр 2 1--^-\ + аоа°

^2 УдУрН

Рассмотрим область частот шо и волновых чисел ко:

а1 = 0.

шр2

С = ^^—Г — 1 > 0, ао > 0.

ш2 (1 + м) , о

и представим (36) в безразмерных переменных

у" — У + У3 = 0,

ж = * ——шо^ У=\ а°а1.

у УриУд V С

Решение уравнения (38), удовлетворяющее граничному условию у' = у = 0, является солитоном. Возвращаясь к размерным переменным, получаем

а

V ао V шсе су

Амплитуда волны в точке £ = 0 равна а1т = л/2С/ао, а1т = ат — 1. Из этого равенства следует нелинейное дисперсионное уравнение

п2 — 1 =

ш

ш

1- ^ (1-

ш

ао 2 ^ 2а?т)

2

обобщающее формулу линейной теории (7). Подставляя п = ск0/ш0, находим выражение для нелинейной частоты плазмы

ш2нь (ко, ai) =

ш.

uh

2 2 7 2 , 4 ШсеС к2 + Щ4

(l - 2aoaL^

Солитонное решение (39) существует, если несущая частота солитона удовлетворяет неравенствам ш0 < ш^ь (к0, 0) и ш0 < у/5шр/2. По определению ai = — vz/с, а остальные компоненты волны определяются формулами линейной теории.

5. Численное моделирование

Для подтверждения приведённых выше теоретических результатов было проведено численное моделирование процесса распространения электромагнитных волн поперёк внешнего сильного магнитного поля. Поле излучения в вакуумной области задавалось в виде линейно поляризованной волны с вектором электрического поля, перпендикулярным направлению магнитного поля. Моделирование проводилось с помощью электромагнитного релятивистского PIC кода 1D2V в постановке задачи аналогичной [5-7]. В начальном состоянии плазма считалась холодной. Начальная форма импульса в вакууме имела вид волны огибающей с областью постоянной амплитуды и плавными передним и задним фронтами, ширина которых была значительно меньше размера области постоянной амплитуды. Длительность импульса равнялась 100 периодам колебаний лазерной волны. Длина волны лазерного излучения полагалась равной 1 мкм. Интенсивность варьировалась от 1016 до 1018 Вт/см2. Ионы плазмы считались неподвижными.

Для описания результатов численного моделирования удобно использовать следующие безразмерные параметры

теш0с

%

Щр

шо;

qc

Шо'

Проведённые численные эксперименты показали, что в случае поперечного распространения в плотной замагниченной плазме широкий электромагнитный импульс возбуждает нелинейную ленгмюровскую волну, описываемую аналитическим решением (20). На рис. 1 приведён результат численного моделирования процесса распространения электромагнитной волны большой амплитуды ( = 2.0) на плазменной частоте (др = 1.0) поперёк сильного магнитного поля (с[с = 5.0). Продольное поле Ег и поперечное поле Ех выражены в единицах начальной амплитуды импульса в вакууме. Продольный и поперечный импульсы электронов иг, их - в единицах тес.

Рис. 1. Нелинейная электромагнитная волна на плазменной частоте при наличии сильного магнитного поля, др = 1, дс = 5, е = 2: (а) — продольное поле Ег; (б) — поперечное поле Ех

Было также подтверждено существование решений в виде солитонов огибающей, описываемых выражением (39). На рис. 2 представлен процесс самомодуляции электромагнитного импульса и образование квазиленгмюровских солитонов в плотной плазме в случае д2 = дс.

Рис. 2. Самомодуляция электромагнитного импульса и образование

солитонов в сильном магнитном поле с qp = qc, qp

t = 1000; (б) - t = 3000

2.1, qc = 5, £ = 0.7: (а) -

6. Заключение

Распространяющаяся поперёк внешнего магнитного поля эллиптически поляризованная необыкновенная волна является суперпозицией электростатической и электромагнитной мод, связанных из-за вращения электронов. Для малых возмущений разделение ветвей колебаний происходит вблизи плазменного или циклотронного резонансов. В обоих случаях фазовая скорость волны близка к скорости света. Резонансные электроны ускоряются в поле волны и нелинейность уравнений движения проявляется уже при малой амплитуде поля. Проблема взаимодействия резонансных электромагнитных импульсов с плазмой выходит за рамки линейной теории и требует нелинейного рассмотрения в каждом диапазоне параметров волны и плазмы.

Автомодельное решение системы представляет собой нелинейную электромагнитную волну (20), распространяющуюся поперёк магнитного поля со скоростью света. Действие электромагнитного поля на частицы скомпенсировано поперечной проекцией силы Лоренца, так что плазма находится в безразличном поперечном равновесии с волной (18). При этом электроны ускоряются продольным электростатическим полем до релятивистских энергий [4]. С увеличением амплитуды поля система переходит в режим сильной нелинейности, и форма колебаний отличается от гармонической. В отличие от электромагнитной волны, распространяющейся вдоль магнитного поля [8,10], необыкновенная волна эллиптически поляризована из-за перестройки поперечного движения электронов в продольное под действием силы Лоренца. Если фазовая скорость волны отличается от скорости света, то в плазме возникают нелинейные продольно-поперечные колебания.

Солитонные решения существуют в сильном магнитном поле шсе ^ шр вблизи плазменного или циклотронного резонансов. В обоих случаях фазовая скорость волны близка к скорости света. Нелинейное смещение ленгмюровской частоты в слабо нелинейной плазме Ат ^ 1 описывается параболическим уравнением (36). Найденное решение качественно аналогично ленгмюровскому солитону в немагнитной плазме [10].

Условие применимости теории нарушается в плотной плазме шр ~ шсе. Несущая частота солитона смещается в область верхнегибридного резонанса ~ шиь, где малый параметр отсутствует и требуется дополнительное численное исследование.

Литература

1. Tajima T, Dawson J. M. Laser Electron Accelerator // Phys. Rev. Lett. — 1979. — Vol. 43. — Pp. 267-271.

2. Kruer W. I. The Physics of Laser Plasma Interactions. — New York.: Addison-Wesley Publishing Company.

3. Shukla P. K. Generation of Wakefields by Elliptically Polarized Laser Pulses in a Magnetized Plasma // Phys. Plasmas. — 1998. — Vol. 6. — Pp. 1363-1366.

4. Interaction of Powerful Laser Pulse with Magnetized Plasma / V. B. Krasovitskiy, V. G. Dorofeenko, V. I. Sotnikov, B. Bauer // Phys. Plasmas. — 2004. — Vol. 11. — Pp. 724-742.

5. Распадная неустойчивость лазерной волны при поперечном распространении в магнитоактивной плазме / В. Б. Красовицкий, В. Г. Дорофеенко, В. А. Ту-риков, В. И. Сотников // Физика плазмы. — 2006. — Т. 32. — С. 26-32. [Krasovitskiy V. B., Dorofeenko V. G., Turikov V. A. Decay Instability of a Laser Wave in a Transverse Direction in a Magnetized Plasma // Fizika plasmy. — 2006. — V. 32. — P. 26-32 ]

6. Krasovitskiy V. B., Turikov V. A., Sotnikov V. I. Nonlinear Dispersion of Resonance Extraordinary Wave in a Plasma with Strong Magnetic Field // Phys. Plasmas. — 2007. — Vol. 14. — Pp. 092108-1-10.

7. Красовицкий В. Б., Туриков В. А. Стохастический нагрев электронов при распространении в плазме необыкновенной волны большой амплитуды // Физика плазмы. — 2010. — Т. 36. — С. 1085-1091. [Krasovitskiy V. B., Turikov V. A. Stochastic Heating of Electrons by a Large Amplitude Extraordinary Wave in a Plasma // Fizika Plasmy. — 2010. — V. 36. — P. 1085-1091 ]

8. Красовицкий В. Б., Прудских В. В. Авторезонансный солитон в плазме // Физика плазмы. — 1994. — Т. 20. — С. 564-570. [Krasovitskiy V. B., Prudskich V. V. Autoresonant Soliton in Plasma // Fizika plasmy. — 1994. — V.20. — P.564-570 ]

9. Ren C., Mori W. B. Nonlinear and Three-dimensional Theory for Cross-magnetic Field Propagation of Short-pulse Lasers in Underdense Plasmas // Phys. Plasmas. — 2004. — Vol. 11. — Pp. 1978-1985.

10. Кадомцев Б. Б. Нелинейные явления в плазме. — М.: Наука, 1988. [Kadomtsev B. B. Nonlinear Plasma Phenomena. — Moscow: Nauka, 1988 ]

11. Красовицкий Д. В. Резонансный электромагнитный солитон в плазме // Физика плазмы. — 1986. — Т. 12. — С. 1394-1397. [Krasovitskiy D. V. Resonant Electromagnetic Soliton in a Plasma // Fizika plasmy. — 1986. — V. 12. — P. 13941397 ]

12. Ахиезер А. И. и др. Электродинамика плазмы. — М.: Наука, 1974. [Achiezer A.I. et al. Plasma Electrodynamics. — Moscow: Nauka, 1974 ]

UDC 533.9

Propagation of Nonlinear Electromagnetic Wave Across Strong

Magnetic Field in Plasma

V. B. Krasovitskiy*, V. A. TurikoV

* Department of Kinetic Equations Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Sciences Miusskaya pl., 4, Moscow, Russia, 125047

t Department of Experimental Physics Peoples' Friendship University of Russian Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

The propagation of the large amplitude electromagnetic wave in a plasma across the external magnetic field is considered. In this interaction electrons are accelerated by the longitudinal electric field up to relativistic energies. The system develops into the strongly nonlinear regime with increasing the wave amplitude. It is shown that in the strong magnetic field near plasma or cyclotron resonance the envelope soliton solution exists. This solution is qualitatively similar to the Langmuir soliton in a plasma without magnetic field.

Key words and phrases: magnetoactive plasma, extraordinary wave, resonance electrons, nonlinear frequency shift, envelope soliton.