Взаимодействие крепи с массивом пород вблизи прямолинейной границы полуплоскости

вестник 6/2012 6/2012

удк 622.83

Д.Н. Низомов, А.А. Ходжибоев

ИГССС АН РТ, ТТУ им. акад. М.С. Осими

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КРЕПИ С МАССИВОМ ПОРОД ВБЛИЗИ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЫ ПОЛУПЛОСКОСТИ

Исследовано напряженно-деформированное состояние контуров конструкций подземных сооружений, находящихся на разных расстояниях от границы полуплоскости. Дается численное решение метода граничных уравнений задачи отверстия с крепью от действий равномерного внутреннего давления и растягивающего напряжения, направленного параллельно границе полуплоскости. Для подкрепленного отверстия, находящегося в полубесконечной области, с учетом заданной нагрузки на участке поверхности полупространства, из теоремы о взаимности работ получено тождество Сомильяны. Это уравнение определяет компонент перемещения в точке, расположенной в области кольца, упругого полупространства и линии поверхности. Контуры расчетных моделей, условий совместности и равновесия на контактной границе представлены дискретно, и на этой основе получена система алгебраических уравнений. Результаты численных экспериментов подтверждают сходимость и точность разработанного алгоритма.

Ключевые слова: полубесконечная область, подкрепленное отверстие, контактная граница, концентрация напряжений, глубина заложения, деформируемый массив, численный эксперимент, граничный элемент.

Практический интерес представляют задачи, связанные с исследованием напряженного и деформированного состояния подкрепленных отверстий произвольной формы, расположенных вблизи прямолинейной границы полубесконечной области. несущая способность основных элементов многих конструкций обычно представляется напряженным состоянием и условиями прочности в местах концентрации напряжений, где наступает предельное состояние и разрушение. для оценки прочности важно выяснить более точную картину распределения напряжений и деформаций в зоне концентрации напряжений для характерных состояний материала: упругого, пластического и в случае деформаций ползучести [1].

исследование напряженного и деформированного состояния подземных конструкций, расположенных на небольшой глубине от поверхности земли, имеет практическое значение. крепи горных выработок, обделки подземных сооружений взаимодействуют с деформируемым массивом горных пород и составляют с ним единую деформируемую систему «крепь-массив» [2]. глубина заложения подземной конструкции определяется рядом факторов, главными из которых являются назначение сооружения, геология и гидрогеология местности [3]. на основе технических требований устанавливают поперечное сечение сооружения и глубину заложения подземной конструкции от поверхности земли и назначают материал конструкций.

рассмотрим взаимодействие с массивом пород крепи горизонтальной выработки произвольного сечения, находящейся на небольшой глубине от горизонтальной поверхности полубесконечной области (рис. 1). для полубесконечной области с подкрепленным отверстием, где на участке поверхности Г0 может быть задана нагрузка, тождество сомильяны [4], полученное исходя из теоремы взаимности работ, без учета объемных сил, записывается в тензорном виде

ui= j u*

г г

где Г = Гк +Г0, Гк =Г +Г2, Ц, Г2 — контуры кольца подкрепления, u* (X, x), p* (X, x) — фундаментальные решения Миндлина для полупространства и Мелана для полуплоскости [5].

68

© Низомов Д.Н., Ходжибоев А.А., 2012

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве

ВЕСТНИК

-МГСУ

Уравнение (1) определяет компонент перемещения в точке расположенной в области П1 + + Г0. При устремлении точки к границе Гк из (1) получаем граничное интегральное уравнение, которое в случае гладкой поверхности представляется в матричной форме [6]

0,5[Е]{и} + \ [Р*]{и}

Г Г2 Тк

где [Е] — единичная матрица; {и}, {Р}— векторы искомых перемещений и напряжений, соответствующие контурам кольца подкрепления; {Р°} — вектор заданных напряжений.

Дискретное представление контуров расчетной модели и условий совместности и равновесия на контактной границе позволяет из (2) получить систему алгебраических уравнений, решения которых дают искомые перемещения и напряжения.

Рис. 1. Полубесконечная область с подкрепленным отверстием

В качестве тестовой задачи рассмотрим подкрепленное отверстие круглого сечения, которое находится на небольшой глубине ( от поверхности земли (см. рис. 1). Кольцо с внутренним радиусом г0 и внешним г1, модулем упругости Е0 взаимодействует с деформируемым массивом горных пород. Задача рассматривается для двух случаев нагружения: нормального давления д*, действующего на внутренней поверхности кольца, и растягивающего напряжения рх, направленного параллельно прямолинейному краю. Для обоих случаев нагружения, возникающие на внутреннем контуре кольца и на свободной от нагрузки границе напряжения, сопоставляются с результатами аналитического решения Джеффри [7] и Миндлина [8] для отверстия без подкрепления.

Были проведены численные эксперименты при различных разбиениях контуров, и установлена сходимость численного решения. На рис. 2 показаны графики распределения тангенциальных напряжений вдоль контура незакрепленного отверстия круглого сечения от двух случаев нагружения при различных значениях глубины заложения ( Эти результаты удовлетворительно совпадают с аналитическим решением [9]. Можно увидеть, что при (/ г0 = 15 мы получаем решение Кирша от действия растягивающих напряжений (кривая 1) и а5 = д* от гидростатического давления (кривая 3). С уменьшением ( возрастает влияние полуплоскости на характер распределения тангенциальных напряжений (кривые 3 и 4). При ( = 1,34г0 максимальное напряжение а5 = 4,817д* от гидростатического давления возникает в сечениях к и т, а наибольшее сжимающее напряжение а5 = -3,326д* — в узле п. От действия растягивающего напряжения максимальное напряжение а5 = 5,499рх соответствует точке п (кривая 2).

ВЕСТНИК

МГСУ

6/2012

4. oS/qn, d/r0 - 1,34 - — 1 "Л k / n- у m

3. oS/q*, d/r0 - 15

V /

'чч u*  s

r\ / Л A \

* ••

у

/ J

I1. ЧР* d/r0 15 P*

--12. GS/px, d/r0 - 1,34 J-=3

17 25 33 41 49 Число элементов

57 65

9

Рис. 2. Распределение тангенциальных напряжений на контуре отверстия без подкрепления

| 1 °sp d/ r 0 - 1,5 - r1 \ n /- /r0 = 1, ^0 G = •

3. oS /qn, d/r0 - 1,5 G

k m

/F vV 4 /"

A д%

1 / \

\ / /

#7 / i L %

/ 4. ajq*, d/rn - 15 J\ I

s n 0

2. a7p , d/rn - 15 S * x 0

17 25 33 41 49 57 65 число элементов

Рис. 3. Распределение тангенциальных напряжений на контуре отверстия с подкреплением

В качестве тестовой задачи рассматривалась расчетная модель, приведенная на рис. 1, и получены результаты распределения нормальных тангенциальных напряжений на контурах кольца и массива для двух случаев нагружения при различных значениях глубины заложения конструкции и соотношений модулей сдвига кольца и массива. В частности, когда подкрепленное отверстие удалено от прямолинейного края полуплоскости на величину d = 15r0 и G0 = G1, тангенциальные напряжения на внутреннем контуре кольца а5 = 1,01 qn от гидростатического давления практически совпадают с аналитическим решением. На рис. 3 показаны графики распределения тангенциальных напряжений на внутреннем контуре кольца при r1 = 1,2 r0, G0 = 2G1 и различных значениях d. При этом максимальное напряжение а5 = 5,617px возникает в точке n.

Сравнительный анализ показывает, что концентрация напряжений на контурах кольца и массива в значительной степени зависит от соотношения модулей сдвига крепи и породы горной выработки и глубины заложения конструкции.

Библиографический список

1. Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М. : Наука, 1981. 141 с.

2. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. М. : Недра, 1982. 272 с.

3. Барбакадзе В.С., Мураками С. Расчет и проектирование строительных конструкций и сооружений в деформируемых средах. М. : Стройиздат, 1989. 472 с.

4. Новацкий В. Теория упругости. М. : Мир, 1975. 872 с.

Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве ВЕСТНИК

_МГСУ

5. Бреббия К., ТеллесЖ., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М. : Мир, 1987. 524 с.

6. НизомовД.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2000. 282 с.

7. Jeffery G.B. Plane stress and plane strain in bipolar coordinates, Trans. Roy. Soc. (London), Ser. A 221, 265—293 (1920).

8. Mindlin R.D. Stress distribution around a hole near the edge of a plate under tension, Proc. Soc. Exptl. Stress. Anal. 5, 56—68 (1948).

9. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 575 с.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Низомов Джахонгир Низомович — доктор технических наук, профессор, член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, заведующий лабораторией теории сейсмостойкости и моделирования, Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан (ИГССС АН РТ), 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, д. 267, +992 919 35 57 34; tiees@mail.ru;

Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой строительной механики и сейсмостойкости сооружений факультета строительства и архитектуры, Таджикский технический университет (ТТУ) имени академика М.С. Осими, 734042, Республика Таджикистан, г. Душанбе, проспект академиков Раджабовых, д. 10, +992 918 89 35 14, hojiboev@mail.ru.

Для цитирования: Низомов Д.Н., Ходжибоев А.А. Взаимодействие крепи с массивом пород вблизи прямолинейной границы полуплоскости // Вестник МГСУ 2012. № 6. С. 68—72.

D.N. Nizomov, A.A. Khodzhiboev

INTERACTION BETWEEN THE IMMEDIATE SUPPORT AND THE ROCK MASSIF CLOSE TO RECTILINEAR BOUNDARIES OF THE HALF-PLANE

In the article, the authors analyze the stress-strain state of structural contours of subterranean structures located at different distances from the boundary of the half-plane. The authors provide a numerical solution through the employment of the method of boundary equations. The problem represents reinforced holes exposed to uniform internal pressure and tensile stress in the direction that is parallel to the boundary of the half-plane. If the pre-set load applied to a particular section of the half-space is taken into account, the reciprocal theorem is used to derive Somigliana's identity for a reinforced hole located in the semi-infinite domain. This equation identifies the component of displacement in a point within the ring, within the elastic half-space or the ground line. Contours of simulation models, conditions of compatibility and equilibrium alongside the contact boundary are discrete, and the system of algebraic equations is derived on their basis. Results of numerical experiments substantiate the accuracy and convergence of the proposed algorithm.

Key words: semi-infinite domain, reinforced hole, contact boundary, stress concentration, depth of subterranean space, deformable massif, numerical element, boundary element.

References

1. Mavlyutov R.R. Kontsentratsiya napryazheniy v elementakh aviatsionnykh konstruktsiy [Concentration of Stresses in Elements of Aircraft Structures]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 141 p.

2. Bulychev N.S. Mekhanika podzemnykh sooruzheniy [Mechanics of Subterranean Structures]. Moscow, Nedra Publ., 1982, 272 p.

3. Barbakadze V.S., Murakami S. Rascheti proektirovanie stroitel'nykh konstruktsiy i sooruzheniy v deformiruemykh sredakh [Calculation and Design of Building Structures and Constructions in Deformable Media]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1989, 472 p.

4. Novatskiy V. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Mir Publ., 1975, 872 p.

5. Brebbiya K., Telles Zh., Vroubel L. Metody granichnykh elementov [Methods of Boundary Elements]. Moscow, Mir Publ., 1987, 524 p.

6. Nizomov D.N. Metod granichnykh uravneniy v reshenii staticheskikh i dinamicheskikh zadach stroitel'noy mekhaniki [Method of Boundary Equations Employed to Solve Static and Dynamic Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2000, 282 p.

7. Jeffery G.B. Plane Stress and Plane Strain in Bipolar Coordinates. Trans. Roy. Soc. (London), Ser. A 221, 265—293 (1920).

ВЕСТНИК 6/2012

6/2012

8. Mindlin R.D. Stress Distribution around a Hole near the Edge of a Plate under Tension. Proc. Soc. Exptl. Stress. Anal. 5, 56—68 (1948).

9. Timoshenko S.P., Goodyear J. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 575 p.

About the authors: Nizomov Dzhakhongir Nizomovich — Professor, Doctor of Technical Sciences, Associate Member, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan; Director, Laboratory of Theoretical Seismic Resistance and Modeling, Institute of Geology, Antiseismic Construction and Seismology, Dushanbe, Republic of Tajikistan; 267 Ayni St., Dushanbe, 734029, Tajikistan, tiees@mail. ru; +7 (992) 919-35-57-34;

Khodzhiboev Abduaziz Abdusattorovich — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Chair, Department of Structural Mechanics and Seismic Resistance of Structures, Tajik Technical University named after academic M.S. Osimi, 10 Akademikov Radzhabovyh St., Dushanbe, 734042, Republic of Tajikistan; hojiboev@mail.ru; +7 (992) 918-89-35-14.

For citation: Nizomov D.N., Khodzhiboev A.A. Vzaimodeystvie krepi s massivom porod vblizi pryamo-lineynoy granitsy poluploskosti [Interaction between the Immediate Support and the Rock Massif Close to Rectilinear Boundaries of the Half-Plane]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 68—72.