О полноте собственных функций дифференциального пучка второго порядка, корни характеристического уравнения которого лежат на одной прямой

Перейдем к доказательству достаточности. Согласно лемме каноническое отображение п из А в А/ер является гомоморфизмом структуры предпочтений (А,р) на фактор-структуру предпочтений (А/ер, р/ер). Как известно, факторизация отношения по отношению его взаимной достижимости приводит к ациклическому отношению (см. напр. [1]), поэтому фактор-структура (А/ер, р/ер) будет ацикличной и по теореме 2 функция высоты h будет ее представлением в числовую прямую. Тогда композиция этих отображений ^ = h о п будет представлением структуры предпочтений (А, р) в числовую прямую.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. М.: Наука, 1974.

2. Розен В.В. Цель - оптимальность — решение. М.: Радио и связь, 1982.

3. Розен В.В. Представления целевой структуры задачи принятия решения в числовую прямую // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 118-121.

УДК 517.927.25

В.С. Рыхлов

О ПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ВТОРОГО ПОРЯДКА, КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОТОРОГО ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ

Рассмотрим в пространстве [0,1] пучок операторов L(Л), определяемый однородным дифференциальным выражением

l(y, Л) := y(2) + Лр1у(1) + Л2Р2У

и двухточечными однородными краевыми условиями

Uv(y, Л) = Uvo(y, Л) + Uvi(y, Л) :=

:= («viy(1)(0) + Ло^у(0)) + iy(1)(1) + Л^уМ) =0, v = 1, 2,

где pj ,avj, @vj Е C. В случае av 1 = /3v 1 = 0 считаем, что краевое условие имеет вид о^2У(0) + &2У(1) = 0.

Обозначим через ы2 корни характеристического уравнения ы2 + p1^+ +p2 = 0 и будем считать, что выполняется основное предположение: корни

, ы2 отличны от нуля и лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, по разные стороны от этого начала. Не нарушая общности, можно считать:

10) w2 < 0 < wi.

Обозначим т := |w2|/w1 (очевидно, т > 0), у1(ж,Л) = exp(Aw1x), у2(х,Л) = ехр(Лы2ж). Для определенности считаем av1 = 0, 1 = 0. В остальных случаях рассуждения принципиально не отличаются. Введем следующие обозначения: vvj = Uv0(yj,Л)/Л, wvj = ехр(-Л^)UV 1(yj-,Л)/Л, где v,j = 1,2, и Vj = (v1j,v2j)T, Wj = (wj,w2j)T (j = 1,2). Пусть = det(Ws, Wk), as-k = det(Vs, Wk), afk = det(Ws, Vk), a-fk = det(Vs, Vk).

Характеристический определитель пучка операторов имеет вид

A(^ = det(Uv (y ,Л))^.=1 =

= Л2{а12 + eAwi a12 + eA^2 a12 + eA(wi+W2)a12} = Л2До(Л).

Предположим, что всюду в дальнейшем выполняется условие

20) a12 = 0, a12 = 0, a12 = a12 = 0.

При этом условии

До

и, следовательно, рассматриваемый пучок Ь(Л) не является регулярным [1, с. 66-67] и более того не является нормальным в терминологии работы [2].

Решается задача нахождения условий на параметры пучка Ь(Л), при которых имеет место или отсутствует двукратная полнота системы собственных и присоединенных функций пучка Ь(Л) в пространстве L2[0,1]. При отсутствии такой полноты естественно ставить вопрос о двукратной полноте в пространстве L2[0,a] при 0 < а < 1 или об однократной полноте в пространстве L2[0,a].

Отметим, что в случае 0 < < ы2 и при условиях a12 = 0, a12 = 0, a12 = a12 = 0 свойства собственных функций (с.ф.) (однократная полнота и неполнота, минимальность, базисность Рисса) детально исследовались в [3], а при условии 20 в [4]. В случае же 10 и 20, но при дополнительном условии 0 < < |ы2| до сих пор исследовалась [5] только двукратная полнота системы с.ф. пучка Ь(Л) в пространстве L2[0,a].

Из (1) следует, что уравнение Д0(Л) = 0 имеет счетное число корней, которые выражаются формулой

Л}, = (2kni + d0)/w1, k Е Z,

где d0 := ln0 c0 (ln0 есть фиксированная ветвь натурального логарифма, такая что ln0 1 = 0), c0 := — ax2/a12.

Обозначим Л := {Л} : k Е Z}. Очевидно, Л \ {0} есть множество ненулевых собственных значений (с.з.) пучка Ь(Л). Точка Л = 0 может быть с.з., а может и не быть, даже если 0 Е Л.

В качестве порождающей функции для системы с.ф. пучка Ь(Л) возьмем функцию, предложенную в работе [6]:

7 (х,Л, Г) =

0 ш(ж,Л) У2(х,Л) -Г VI + б^1 Жх ^2 + б^2 ^2

Л = 0,

где вектор Г = (7ь72)т = 0 является параметром. В [6] исследовалась возможность брать в качестве Г векторы У^ и Wj (^ = 1, 2).

Далее будут использоваться альтернативные условия:

30) Ж2 = 0 или: Ж2 = 0 и а1х = 0;

40) Ж2 = 0 и а1Х = 0.

Справедливы следующие леммы о порождающих функциях.

Лемма 1. Если выполняются условия 10 -30, то функция

у

является порождающей для системы с.ф. пучка Ь(Л) при Л = 0.

Лемма 2. Если выполняются условия 10, 20 и 40, то функция

у(х, Л) := ехр(Лыхж) + Ь0 ехр(Л(ых + ы2ж)),

где Ь0 = а1Х/аХ2 = 0, является порождающей для системы с.ф. пучка Ь(Л) при Л = 0.

Обозначим Уд := (у(ж,Л) : Л Е Л}. Если Л = 0 </ Л, то система Уд совпадает с системой с.ф. пучка Ь(Л), соответствующих ненулевым с.з..

Из леммы 2 следует, что в случае выполнения условия 30 система Уд совпадает с обычной тригонометрической системой в экспоненциальной форме, и вопрос о полноте системы с.ф. пучка Ь(Л) в пространстве Ь2[0,1] в этом случае является тривиальным.

Далее считаем, что выполняется условие 40. В этом случае

у(х, Л) := ехр(Лыхж) + Ь0 ехр(Л(ых + ы2ж)) (Ь0 = 0).

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Если выполняются условия 10, 20, 40 и а = , то система Уд двукратно полна в пространстве Ь2[0, а] с возможным дефектом, не превосходящим 1. Если же а > х+т, то система Уд двукратно неполна в пространстве Ь2[0,а] и имеет в этом пространстве бесконечный дефект относительно двукратной полноты.

Теорема 2. Если выполняются условия 10, 20, 40, то для однократной полноты системы Уд в пространстве Ь2[0,а] достаточно выполнения одного из условий:

а) 0 < а < min{1,1}, 0 < т < при т = 1 должно быть b0 = ±1;

б) |bo|2 < т в случае 1 < а < у+т, т > 1;

k

в) Ы2Е |с0р < т в случае, если при некотором натуральном k выпол-

s=0

няются неравенства < а < min {1, f+f}, т > k.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-0100003).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

2. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. № 9. С. 190-229.

3. Рыхлов В.С. О полноте собственных функций квадратичных пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1992. Т. 36, № 3. C. 35-44.

4. Рыхлов В.С. О свойствах собственных функций обыкновенного дифференциального квадратичного пучка второго порядка // Интегральные преобразования и специальные функции. Инф. бюл. М.: Науч.-исслед. гр. междунар. журн. "Integral Transforms and Special Functions'^ ВЦ РАН, 2001. Т. 2, № 1. С. 85-103.

5. Rykhlov V.S. О полноте собственных функций пучков обыкновенных дифференциальных операторов // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. 2001. Vol. 11. P. 86-93.

6. Rykhlov V.S. On completeness of eigenfunctions for pencils of differential operators // Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the Seventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. 1997. Vol. 7. P. 70-73.

УДК 517.518.85

С.П. Сидоров

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ С УСЛОВИЕМ НА АЛГОРИТМ

В последнее время к задачам оптимального восстановления функционалов привлечено повышенное внимание. Достаточно подробный обзор по этой проблематике можно найти в статьях [1, 2], а также в книге [3].

В связи с ростом внимания к формосохраняющему приближению представляет интерес задача оптимальной интерполяции с использованием алгоритмов, которые обладают рядом дополнительных свойств.

Для f Е C[0,1] положим Inf = (f(xi),...,/(xn)), где 0 ^ xi < x2 < < ... < xn ^ 1.

Пусть V- некоторый конус в Rn. Обозначим An (V) класс всех линейных алгоритмов A : Rn ^ R, удовлетворяющих условию: A(y) ^ 0 для всякого У Е V.