Периодические решения параболических уравнений с разрывными нелинейностями

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Исследуется задача о существовании периодических решений у параболических уравнений с разрывными нелинейностями и однородным граничным условием Дирихле. Предполагается, что коэффициенты дифференциального оператора не зависят от времени, рост нелинейности на бесконечности подлинейный в нерезонансном случае, а в резонансном случае она ограничена. Операторная постановка задачи сводит ее к проблеме существования неподвижной точки у выпуклозначного компактного отображения. Получена теорема существования обобщенного и сильного периодического решения в нерезонансном и резонансном случаях.

Ключевые слова: периодические решения, параболические уравнения, разрывные нелинейности, резонансный случай.

Введение

Пусть П — ограниченная область в RN с границей дП класса C2,

N

Lu(x) = -^2 (aij(x)uXi)xj + c(x)u(x) — i,j=l

равномерно эллиптический дифференциальный оператор в П [1, с. 29] с коэффициентами aij £ С1'^(П), aij(x) = aji(x) в П, c £ С0,^(П), 0 < ^ < 1.

Исследуется проблема существования решения параболического уравнения

ut + Lu

в цилиндре Qt = П x (0,T), T > 0, удовлетворяющего однородному граничному

условию Дирихле

u

и условию периодичности

u

В уравнении (1) A — вещественный параметр, f £ L2(Qt), а нелинейность g(x,t,u) удовлетворяет D-условию, т. е.:

a) g ' QTxR ^ R борелева (mod 0) [2, с. 166], что означает существование множества l С Qt x R, проекция которого на Qt имеет меру нуль, и боре-левой на QT x R функции, совпадающей с g(x,t,u) на (QT x R)\l;

b) для почти всех (x,t) £ Qt сечение g(x,t, •) имеет на R разрывы только первого рода и для произвольного u £ R имеет место включение g(x,t,u) £ [g-(x,t,u), g+(x,t,u)], где

g+(x,t,u) = lim sup g(x,t,n),

д-(х,Ь,и) = Ишт£ д(х,Ь,п).

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию и € W2’l(Qт), удовлетворяющую условиям (2), (3) и для почти всех (х,Ь) € (^т включению

f

Замечание 1. Для функции и € W2’1(QT) равенства (2), (3) можно рассматривать в смысле следа функции.

Определение 2. Сильным решением задачи (1)-(3) назовем функцию и € W2’1(QT), удовлетворяющую условиям (2), (3) и для почти всех (х,Ь) € QT уравнению (1).

Определение 3. Будем говорить, что для функции f (х,Ь) в уравнении (1) выполнено Л1-условие, если существует не более чем счетное семейство гиперповерхностей {Sj, ] € /}, = {(х,Ь,и) | и = (х,Ь), (х,Ь) € QT}, € ^2 ‘^ое^Т ),

такое, что для почти всех (х,Ь) € QT неравенство д-(х,Ь,и) = д+(х,Ь,и) влечет существование ] € /, для которого и = <fij (х,Ь) и либо

либо

дlpj/дЬ + L<£j(х, Ь) — \ifij(х, Ь) + д(х, Ь, ^pj(х, Ь)) = f (х, Ь).

Замечание 2. Неравенство

нарушается.

В зависимости от значения параметра Л выделяются два случая:

1. Задача

Lv

имеет только нулевое решение и для почти всех (х, Ь) € Qт

1д

где а — положительная константа, Ь € L2(Qт), 0 < а < 1 (нерезонансный случай);

2. Задача (6) имеет ненулевое решение и для почти всех (х,Ь) € Qт

1д

где Ь € L2(QT) (резонансный случай).

Основные результаты данной работы — следующие две теоремы.

Теорема 1. В нерезонансном случае задача (1)-(3) имеет обобщенное решение для любой f Е L2(QT), а если для f (x,t) выполнено Al-условие, то обобщенное решение будет сильным.

Теорема 2. В резонансном случае задача (1)-(3) имеет обобщенное решение, если для f Е L2(QT) выполняются условия Ландесмана — Лазера: для любого ненулевого решения v(x) задачи (6) верно неравенство

j l+

v>0 v<0 Qt

где g (x,t) = liminf g(x,t,u), ~g_(x,t) = limsup g(x,t,u). Обобщенное решение

-+ u^+<x u^-ж

будет сильным, если для f выполнено Al-условие.

Задача (1)-(3) в случае гладкой или каратеодориевой нелинейности изучалась многими авторами. В [3] Ю. С. Колесов методом верхних и нижних решений доказал теорему существования классических периодических решений квазилинейных параболических уравнений с граничными условиями Дирихле. Этот подход получил дальнейшее развитие для других граничных условий в работе

H. Amman [4]. В [5] И. И. Шмулев доказательство существования классических периодических решений квазилинейного параболического уравнения с неоднородным граничным условием Дирихле провел методом Лере — Шаудера на базе полученных априорных оценок решения. В монографии [6, с. 495-498] Ж.-Л. Ли-онса проблема существования сильных периодических решений квазилинейных параболических уравнений атакуется методом монотонных операторов, а также рассматривается подход А. Пуанкаре, который сводит эту проблему к отысканию неподвижных точек специально построенного отображения. В [7] задача

Ws Е R. Получен критерий существования классического периодического решения уравнения (1). В совместной работе H. Brezis, L. Nirenberg [8] устанавливается существование сильного решения задачи (1)-(3) в резонансном случае с каратеодориевой нелинейностью g(x,t,u) как следствие общей теоремы существования в гильбертовом пространстве, полученной авторами. Для уравнения (1) с каратеодориевой нелинейностью g(x, t, u) проблемы существования устойчивых и неустойчивых периодических решений и наличие более одного периодического решения при различных граничных условиях изучались в работах [9-13].

В отличии от работ других авторов в данной статье непрерывность g(x, t, u) по переменной u не предполагается. Предлагаемые в работе операторные постановки задачи (1)-(3) сводят наличие у нее обобщенного решения к проблеме существования неподвижной точки у построенного выпуклозначного компактного отображения в L2(Qt). Доказательство существования неподвижной точки проводится по схеме Лере — Шаудера. Затем доказывается, что если для f выполнено Al-условие, то обобщенное решение будет сильным.

1. Операторные постановки задачи

Дифференциальный оператор Ь с граничным условием (2) порождает

О

в Ь2(П) линейный оператор Ви = Ьи Уи Є О (В) = Ш22(П){Л (П). Известно [14,

с. 203], что его спектр Аі ^ А2 ^ ... чисто точечный, Ап ^ и все собственные

значения оператора В имеют конечную кратность. Положим

О(А) = {и Є 1^2’1^т) | иІзт = 0, и(х, 0) = и(х, Т)}

и определим линейный оператор А в Ь2^т) равенством

Аи = Пі + Ьи(х, і) Уи Є О(А).

Спектр этого оператора такой же, как и у оператора В, и для каждого Ак соответствующие собственные подпространства операторов А и В совпадают, причем резольвента оператора А компактна [15].

Поскольку д(х,ї,и) удовлетворяет О-условию и верна оценка (7) в нерезонансном случае и (8) в резонансном, то оператор Немыцкого О, определяемый равенством

Ои = д(х,і,и(х,ї)), Уи Є Ь2^т), действует из Ь2^т) в Ь2^т). При этом справедливы неравенства

в нерезонансном случае и

\\Ои\\ ^ \\Ь\\ Уи Є Ь2^т)

в резонансном случае. Здесь и далее || || -норма в Ь2^т). Пусть

О°и = Р) сісо {г = Оь I \\ь — и\\ < є]

£>0

овыпукливание оператора О [2, с. 173]. В [2, с. 174] показано, что Оаи = {г: Qт ^ К | г(х,і) — измеримая по Лебегу функция на Qт и для почти всех (х,і) Є Qт значение г(х,і) Є [д-(х,і,и(х,і)),д+ (х, ї, и(х, ї))]] для любого и Є Ь2 ^т). Отсюда следует, что если и Є О(А) удовлетворяет включению

f — Аи + Аи Є Опи,

то и — обобщенное решение задачи (1)-(3).

Замечание 3. Неравенство 10(11) влечет для произвольного и Є Ь2^т) и любого г Є Оп(и) неравенство

И ^ а\\и\\а + \\Ь\\

1.1. Нерезонансный случай

Пусть Л принадлежит резольвентному множеству оператора А, т. е. Л = Хи для любого к Е N. Тогда оператор (А — XI)-1 (I — тождественный оператор) компактный и включение (12) равносильно включению

и Е (А — Л1)-1(1' — СПп) = Фи

в Ь2^т). Докажем, что значения Ф — выпуклые компакты. Значения — ограниченные выпулые и замкнутые множества, а оператор (А — XI)-1 — линейный и компактный. Поэтому значения Ф — выпуклые и предкомпактные множества в Ь2^т). Чтобы доказать компактность Фи, достаточно установить замкнутость этого множества. Пусть (гп) С Фи и гп ^ г в Ь2^т). Тогда существует последовательность (уп) С Сии такая, что гп = (А — XI)-1уп для любого натурального п. Из ограниченности О^и в Ь2^т) следует существование подпоследовательности (упк), слабо сходящейся к некоторому у в Ь2^т). Так как О^и — замкнутое выпуклое множество, то у Е О^и. В силу компактности (А — XI)-1 имеем Хпк = (А — XI)-1 упк ^ (А — XI)-1у. С другой стороны, гпк ^ г, и, значит, г = (А — XI)-1у Е Фи. Замкнутость Фи установлена.

Покажем полунепрерывность сверху отображения Ф на Ь2^т), т. е. что для любого и Е Ь2^т) и произвольного открытого множества V, содержащего и, найдется окрестность и точки и, для которой Фи С V. Допустим противное. Тогда найдутся и Е Ь2^т) и открытое множество V 3 Фи такие, что для любого натурального п существуют ип с \\ип — и|| < п-1 и гп Е Ф(un)\V. Каждый элемент гп представляется в виде гп = (А — XI)-1ьп, ьп Е О^(ип). Так как последовательность (ип) ограничена в Ь2^т), а отображение переводит ограниченные в Ь2^т) множества в ограниченные, последовательность (ьп) ограничена в Ь2^т). Поэтому из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность (упк) к некоторому V в Ь2 ). Поскольку ипк ^ и и Упк ^ V

(ьпк Е Оиипк), то V Е Оии [16]. Так как (А — XI)-1 — линейный компактный оператор, то гпк = (А — XI)-1vnk ^ (А — XI)-1v Е Фи. Поскольку V — открытое множество и Фи С V, то гпк Е V для достаточно больших к, что противоречит выбору гп. Полунепрерывность сверху отображения Ф на Ь2^т) доказана.

Многозначный оператор переводит ограниченные множества из Ь2^т) в ограниченные, а линейный оператор (А — XI)-1 компактный. Поэтому образ любого ограниченного множества из Ь2^т) при отображении Ф предкомпактен.

Итак, существование обобщенного решения задачи (1)-(3) равносильно наличию неподвижной точки у отображения Ф, полунепрерывного сверху, переводящего ограниченные множества в предкомпактные, значения которого — выпуклые компакты.

1.2. Резонансный случай

Пусть X принадлежит спектру оператора А, т. е. совпадает с некоторым Лk. Поскольку все собственные значения оператора А изолированные, то найдется е > 0 такое, что полуинтервал [X — е, X) целиком лежит в резольвентном множестве оператора А. Тогда, как отмечалось выше, резольвента С = (А — (X — £)I) 1

компактна, а (12) равносильно включению и Е С / + еи — О^и^ = Ф1и в Ь2^т). Так же, как в пункте 1.1., доказывается, что Ф1 — полунепрерывное сверху отображение, значения которого — выпуклые компакты, причем образы ограниченных множеств при отображении Ф1 предкомпактны.

2. Доказательство основных результатов

2.1. Доказательство теоремы 1

Для доказательства непустоты множества неподвижных точек у выпуклозначного компактного отображения Ф достаточно установить ограниченность множества решений семейства включений и Е тФи, 0 < т < 1 [17, с. 107]. Допустим противное. Тогда существуют последовательности (тп) С [0,1) и (ип) С Ь2^т) с ||ип|| > п такие, что ип Е тпФ(ип) для любого натурального п.

Последнее равносильно равенству

ип = (А — ^) 1(тп/ — тпгп),

где гп Е О^ип. Делим обе части последнего равенства на ||ип|| и полагаем VII = ип||ип|| , в результате получим

Vn = (А — XI)-1 (тп/Ы-1 + тп2п||ип||-1) .

Из чего заключаем, что vn ^ 0 в Ь2^т), поскольку в силу оценки (13) из замечания 3 гп||ип||-1 ^ 0 в Ь2^т). С другой стороны, |^п|| = 1. Поэтому сильная сходимость (Vп) к нулю невозможна. Полученное противоречие доказывает существование неподвижной точки у отображения Ф и, значит, существование обобщенного решения задачи (1)-(3). Предположим теперь, что для функции / в уравнении (1) выполнено А1-условие и и — обобщенное решение задачи (1)-(3). Покажем, что тогда и удовлетворяет почти всюду на Qт уравнению (1) и, следовательно, является сильным решением задачи (1)-(3). Действительно, для почти всех (х,Ь) Е Qт, для которых д-(х,Ь,и(х,1)) = д+ (х,Ь,и(х,1)), верно (1), так как в этом случае [д-(х,1,и(х,1)),д+(х,1,и(х,1))} = [д(х,1,и(х,1))}. Для почти всех (х,Ь) Е Qт, для которых д-(х,Ь,и(х,1)) = д+(х,1,и(х,1)), в силу А1-условия либо

/

либо верно (1). Так как и(х,Ь) удовлетворяет (4) почти всюду на Qт, (14) возможно лишь на множестве меры нуль из Qт. Теорема 1 доказана.

2.2. Доказательство теоремы 2

Чтобы доказать существование неподвижной точки у выпуклозначного компактного отображения Ф1, достаточно установить ограниченность множества решений семейства включений и Е тФ1и, 0 < т < 1 [17, с. 107]. Допустим противное. Тогда существуют последовательности (тп) С [0,1) и (ип) С Ь2^т) с ||ип|| > п такие, что ип Е тпФ1 (ип) для любого натурального п. Последнее включение равносильно равенству

ип = С

где zn Е Ga(un). Делим обе части последнего равенства на ||un|| и полагаем

II 11—1

Vn = Un || Un 11 1, в результате получим

vn C

Так как ||un|| ^ +то, то f 11un|—1 ^ 0 и z^lu^l ^ 0 в L2(Qt) (в силу оценки (13) в замечании 3). Поскольку ||vn|| = 1 и (тп) С [0,1), существует возрастающая последовательность Пк натуральных чисел такая, что vnk слабо сходится к некоторому v в L2(Qt), а Tnk ^ т, т Е [0,1]. Так как C — компактный линейный оператор, то из (16) следует, что vnk ^ Ctev в L2(Qt). Из чего заключаем, что ||v|| = 1 и v = Ctev. Последнее равенство, с учетом того что C = (A — (А — e)I)-1, перепишем в виде

Av = (А — (1 — т)e) v•

Отсюда, поскольку v — ненулевая функция, т Е [0,1] и полуинтервал [А — Е, А) лежит в резольвентном множестве оператора A, следует, что т = 1 и v — собственная функция оператора A, отвечающая собственному значению А, т. е. Av = Av. Перепишем равенство (15) в виде

Aun A‘un + (1 Tn)un + Tnzn Tnf,

умножим последнее равенство на v и проинтегрируем по Qt . В результате получим

Qt Qt Qt

поскольку интегрированием по частям с учетом условий (2) и (3) для un(x,t) и условия (2) для v(x) легко проверить, что

/ (Aun(x, t) — Аun(x, t)) v(x) dxdt = un(x, t) (Lv(x) — Av(x)) dxdt = 0.

Qt Qt

Так как lim j vnk (x, t)v(x) dxdt = f v2(x) dxdt = 1, то для достаточно больших k

кQt Qt

/ unk (x,t)v(x) dxdt = ||unk || • / vnk (x,t)v(x) dxdt

Qt Qt

больше нуля. Отсюда, с учетом включения Tn Е [0,1) и сходимости Tnk ^ 1, из

(17) следует неравенство

/ f (x,t)v(x) dxdt ^ liminf znk(x,t)v(x) dxdt ^

I к^-ж I

Qt Qt

^ liminf ij g-(x,t,unk(x,t))v(x) dxdt + J g+ (x,t,unk(x,t))v(x) dxdt J ^

\>0 v<0 /

^ liminf I g-(x,t,unk(x,t))v(x) dxdt + liminf / g+(x,t,unk(x,t))v(x) dxdt. (18) k^i J k^i J

v> 0 v< 0

Заметим, что из оценки (8) следует конечность всех пределов в (18). Поскольку vnk ^ v в L2(Qt), то, не теряя общности, можно считать, что vnk(x,t) ^ v(x) почти всюду на Qt, переходя при необходимости к подпоследовательности. Отсюда, учитывая, что ||unk || ^ +ж, следует, что почти всюду на множестве {(x,t) Е Qt | v(x,t) > 0} ({(x,t) Е Qt | v(x,t) < 0}) um (x,t) = ||unk || vnk (x,t) ^ +ж (unk(x,t) ^ — ж). С учетом этого осуществим предельный переход под знак интеграла в правой части неравенства (18), основываясь на лемме Лебега — Фату

[18] (последнее правомерно в силу оценки (8)). В результате получим

jf (x,tMx) dxdt » / <ЪЛ + / -g-(*Л)ф) dxdt,

Qt v>0 v<0

что противоречит неравенству (9) в условии теоремы 2. Из чего делаем заключение о существовании неподвижной точки у отображения Ф1 в L2(Qt). Последнее равносильно существованию обобщенного решения задачи (1)-(3). То, что при выполнении Al-условия обобщенное решение задачи (1)-(3) является ее сильным решением, было доказано в п. 2.1. Теорема 2 доказана полностью.

Список литературы

1. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1964. — 540 с.

2. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. — М. : Наука, 1983. — 272 с.

3. Колесов, Ю. С. Об одном признаке существования периодических решений у параболических уравнений / Ю. С. Колесов // Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 170, № 5. — С. 1013-1015.

4. Amann, H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations, in «Nonlinear Analysis. A collection of paper in honor of E. Rothe» (L. Cesari, R. Kannan, H. F. Weinberger, eds.) / H. Amann — N. Y. : Academic Press, 1978. — P. 1-29.

5. Ш^мулев, И. И. Периодические решения первой краевой задачи для параболических уравнений / И. И. Шмулев // Мат. сб. — 1965. — Т. 66(108), № 3. — С. 398-410.

6. Лионс, Ж!.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. — М. : Мир, 1972. — 587 c.

7. Castro, A. Results on periodic solutions of parabolic equation suggested by elliptic theory / A. Castro, A. C. Lazer // Bollettino U.M.I. — 1982. — Vol. B1. — P. 10891104.

8. Brezis, H. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems / H. Brezis, L. Nirenberg // Ann. Scuola Norm. Pisa. — 1978. — Vol. 5, № 2. — P. 225-325.

9. Danser, E. N. On stable solutions of quasilinear periodic - parabolic problems / E. N. Danser, P. Hess // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CL. Sci 4e serie. — 1987. — Vol. 14, № 1. — P. 123-141.

10. Hirano, N. Existence of stable and unstable solutions for semilinear parabolic problems with a jumping nonlinearity / N. Hirano, W. S. Kim // Nonlinear Anal. — 1996. — Vol. 26, № 6. — P. 1143-1160.

11. De Coster, C. Unstable periodic solutions of a parabolic problem in the presence of non-well-ordered lower and upper solutions / C. De Coster, P. Omari // J. of functional Anal. — 2000. — Vol. 175. — P. 52-88.

12. Kim, W. S. Multiple existence of periodic solutions for similinear parabolic equations with large source / W. S. Kim // Houston J. Math. — 2004. — Vol. 30, № 1 — P. 283295.

13. Kim, W. S. Existence of multiple periodic solutions for semilinear parabolic equations with sublinear growth nonlinearities / W. S. Kim // J. Korean Math. Soc. — 2009. — Vol. 46, № 4 — P. 691-699.

14. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М. : Наука, 1989. — 464 c.

15. Дубинский, Ю. А. Периодические решения эллиптико-параболических уравнений / Ю. А. Дубинский // Мат. сб. — 1968. — Т. 76, № 4. — С. 620-633.

16. Павленко, В. Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями / В. Н. Павленко // Укр. мат. журн. — 1994. — Т. 45, № 6. — С. 729-736.

17. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович [и др.]. — М. : КомКнига, 2005. — 216 c.

18. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. — 624 c.