Исследование дифракционного поля, формируемого совокупностью идентичных источников тороидальных волн

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ПОЛЯ, ФОРМИРУЕМОГО СОВОКУПНОСТЬЮ ИДЕНТИЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТОРОИДАЛЬНЫХ ВОЛН А.В. Нелепец, А.В. Тарлыков, В.А. Тарлыков

Рассмотрены особенности формирования дифракционного поля для объекта, представляющего собой регулярную систему пересекающихся окружностей; построена структура дифрагированного поля, описаны положения плоскостей Тальбота; представлены результаты экспериментального исследования дифрагированного поля.

Введение

В настоящее время проявляется интерес к использованию регулярной структуры оптического излучения в биологии и медицине, в частности, в вопросах лазерной биостимуляции [1]. Одним из аспектов такого применения является наличие плоскостей саморепродукции [1, 2], появляющихся при освещении периодической структуры когерентным излучением. Структура дифрагированного поля определяется видом рисунка.

Обычно для формирования регулярной структуры оптического поля используются сеточные структуры с ортогональной системой расположения экранов или отверстий малого диаметра. При этом предполагается, что отверстия не пересекаются. Но, наряду с такими системами, можно использовать и многосвязные элементы.

В работе для формирования регулярной структуры дифрагированного поля была исследована система пересекающихся круговых колец, образованных путем радиальной трансляции базового элемента и путем ортогональной трансляции базового элемента [3]. Кольца смещались друг относительно друга на половину диаметра. Для такого вида базового элемента, с точки зрения геометрической теории дифракции, результирующее дифракционное поле образуется в результате интерференции дифрагированных тороидальных волн.

Один из способов создания рисунка - трансляция исходной фигуры по двум направлениям (в частном случае - ортогональным) или в радиальных направлениях, принимая за центр исходную фигуру. Транслируемая фигура сама может иметь периодическую структуру. В этом случае в дифракционной картине (ДК) появятся интерференционные структуры, отвечающие как за периодичность структуры объекта, так и за период трансляции.

Рис. Фрактальный дифракционный элемент

Цель работы - расчет Фурье-спектра фрактального дифракционного элемента, имеющего радиальную симметрию, и выявление основных закономерностей изменения ДК в зависимости от уровня фрактальности.

Геометрическая структура фрактального дифракционного элемента для 8 направлений представляет собой совокупность пересекающихся окружностей (рис. 1). На каждом этапе формирования структура строится из самоподобных элементов изменяющегося масштаба, что позволяет говорить о фрактальности геометрической структуры дифракционного элемента.

Основным (базовым) элементом, из которого строятся все последующие уровни, является кольцо. Элемент первого уровня фрактальности представляет собой совокупность 5 исходных колец. При его построении базовое кольцо помещается в центре, и к нему добавляются четыре кольца, смещенные вправо, влево, вверх и вниз относительно центра на величину радиуса кольца. Полученная фигура обводится еще одним кольцом, радиус которого в два раза больше радиуса исходного кольца. Всего получается 6 колец.

Элемент второго уровня фрактальности состоит из 27 колец. Он строится по той же схеме, но вместо исходного кольца берется элемент первого уровня фрактальности. Полная картина узора, состоящая из 112 колец, строится точно так же, но уже из элементов второго уровня фрактальности. Для 8 направлений число колец в рисунке равно 376.

Фурье-преобразование кольца

Расчет ДК можно выполнить, используя быстрое преобразование Фурье. Но в этом случае построить тонкую структуру дифракционного спектра практически не представляется возможным в силу необходимости задания очень мелкого разбиения элементов исходного рисунка. Поэтому для расчета ДК всего узора мы в качестве базового элемента использовали Фурье-спектр кольца и теорему о переносе.

Выражение для Фурье-образа кольца (1) можно получить как разность Фурье-образов двух окружностей:

И) = а2 ^-

ар (а - И)р

Здесь а - радиус кольца, И - толщина линии кольца. Для уменьшения времени счета более целесообразно воспользоваться приближенной формулой, полученной с использованием предельного перехода. Математически очень узкую кольцевую щель можно описать, используя понятие дельта-функции

Хг)=5

Это радиально-симметричная функция, и ее Фурье-образ можно получить, осуществляя преобразование Фурье-Бесселя по переменной г:

го го

^(р) = 2пj г/(г) (2ягр))г = 2пj гЬ(г - а0 ))0 (2гор)г =

о о

= 2па0 J0 (2па0р) = aJ0 (ар),

где Jo - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, - параметр, характеризующий размер объекта (радиус кольца). Особенностью полученной зависимости является отсутствие какой-либо связи амплитуды и фазы Фурье-образа с толщиной линии. Численные расчеты показали, что отличие в положении минимумов функции зависит не от абсолютного значения толщины линии И, а от соотношения толщины линии и размера кольца.

Результат с использованием формулы, полученной на основе 5-функции, дает точное положение первого минимума в предельном случае при стремлении толщины

линии И к нулю. Если принять как допустимую величину ошибки 1%, то можно считать, что полученная формула применима при отношении диаметров окружностей, равном 0,98 и более (при относительной толщине (зазоре) кольца, равной 0,01).

Влияние амплитудного множителя вида а в приближенной формуле проверено путем построения зависимости амплитуды центрального максимума 0 точной формулы от радиуса кольца при фиксированной толщине линии. При толщине линии И, равной 0,01, и при а>1 выполняется критерий применимости приближенной формулы по положению экстремумов.

Расчет ДК фрактального элемента

Расчет ДК всего узора производился поэтапно, в соответствии со схемой построения узора. Безразмерный параметр а выбран равным 1. Соответственно, для колец большего радиуса, описанных вокруг элементов первого, второго и третьего уровня фрактальности, параметр а равен 2, 4 и 8.

Наблюдаемая ДК фрактального элемента (8 направлений, число уровней (клонов) 3) имеет ярко выраженную симметрию и наличие фрактальных элементов. Симметрия рисунка фрактального дифракционного элемента: ось симметрии - 8, плоскость симметрии - 8, центр симметрии (Ь88РС); симметрия ДК: ось симметрии - 16, плоскость симметрии - 16, центр симметрии (Ь1616РС).

к 4 . ff' * _ • -Ч1-' • _ Ч - * *

Чг lir&teÜHÜSSte  .i

; г : 'Í ¿A ':

* > : Г А' * " & ' ' *

í > "-'г ! V •; < í

- Л?.4 V. ' . ч. . I - - - Í . . Г.- .4., -

1 .Jí- ; w. + s -ij, •

.'.«.',. V . ' V -!- Л * , * - -1

a

b

Рис .2. а) распределения интенсивности в дифракционной картине;

Ь) центр дифракционной картины

Благодаря большому числу регулярно расположенных однотипных элементов на рисунке фрактального дифракционного элемента происходит формирование регулярной спекловой картины, промодулированной дифракционными картинами колец. Выделенная область центра ДК (рис. 3) позволяет более наглядно увидеть разнообразие форм, образуемых при интерференции дифрагированных волн.

Экспериментальное исследование ДК фрактального дифракционного элемента

Дифракционный элемент помещался в сходящемся пучке лучей. Диаметр исследуемого топологического модуля 23 мм, расстояние от исследуемого модуля до экрана 3 м, размер экрана (размер наблюдаемой ДК) 210x300 мм. Фотографирование ДК производилось цифровым фотоаппаратом марки Кэнон EOS 20D с матрицей 8 мегапикселей. Наблюдаемые ДК имеют четко выраженную спекловую структуру. Спекловая

структура имеет регулярный фрактальный характер. ДК имеет восьмилучевую структуру, что соответствует рисунку топологического элемента и результатам расчета.

При рассмотрении изображения ДК при уменьшенном времени выдержки наблюдается фрактальная структура, составленная из отдельных спеклов.

Рис. 3. Экспериментально наблюдаемые ДК Анализ структуры дифракционного поля

Учитывая свойства линейности и интерференции Фурье-преобразования, очевидно, что вид и структура ДК определяются, в основном, двумя явлениями:

1. взаимодействием излучения, дифрагированного кольцами различного диаметра, что приводит к изменению периода и модуляции интенсивности колец в ДК;

2. смещением колец из центра узора и образованием периодических структур из колец, что приводит к появлению модуляции ДК в виде полос Юнга.

ДК каждого кольца в отдельности представляет собой совокупность концентрических колец, ширина и период которых в радиальном направлении зависит от размера кольца. Число колец на рисунке зависит от их диаметра. Интенсивность света, дифрагированного каждым кольцом, является функцией его диаметра. При дифракции на двух кольцах ДК представляет собой ДК от окружности, промодулированную полосами Юнга в соответствии со свойством интерференции Фурье-спектра. Полосы Юнга ориентированы перпендикулярно линии, соединяющей центры окружностей.

a b c

Рис. 4. a) ДК от двух колец; b) четырех колец; с) первого структурного элемента

Добавим еще два кольца. Такой элемент можно рассматривать как две пары колец. В структуре ДК возникает еще одна система полос Юнга, перпендикулярная уже

существующей, с тем же периодом. Две системы полос с равными периодами, наклоненные на углы +450 и -450 к вертикали, создают сетку, ячейками которой являются квадраты.

Добавление к получившейся структуре окружности радиуса 0, помещенной в центре узора, приводит к появлению еще одной сетки, образованной двумя системами полос Юнга, ориентированными горизонтально и вертикально. Эти системы полос возникают вследствие взаимодействия окружностей, смещенных от центра узора, с центральной окружностью. Последним этапом построения базового элемента узора с 4 направлениями является добавление окружности радиусом 2 0 (рис. 4.с). Отличия структуры ДК от предыдущего варианта обусловлены появлением модуляции интенсивности колец в результате интерференции световых полей, дифрагированных кольцами разного диаметра.

При переходе ко второму и третьему уровням построения (клонам) все изменения структуры узора сводятся к тому, что увеличивается количество взаимодействующих элементов в каждом направлении. Новых направлений и новых пар взаимодействующих элементов не появляется. Периоды (минимальные расстояния между взаимодействующими одинаковыми элементами) не изменяются, поэтому и периоды модуляции ДК остаются прежними. Сохраняется и наличие двух наборов зон, структура поля в которых различна. Однако структура ДК становится более тонкой, и на третьем этапе построения ДК от всего узора представляет собой фактически набор изолированных точек.

Оценка фрактальной размерности узоров и их ДК

Наиболее распространенным подходом к определению фрактальной размерности узора является подсчет так называемой сеточной размерности [4]. С увеличением количества направлений в узоре рост фрактальной размерности замедляется. Если при переходе от 4 направлений к 8 дробная часть фрактальной размерности увеличивается приблизительно в два раза, то при переходе от 8 направлений к 16 дробная часть размерности увеличивается уже только приблизительно в 1,5 раза. При дальнейшем росте числа направлений фрактальная размерность, очевидно, должна стремиться к 2,0.

Фрактальная размерность узора, построенного по второй схеме, равна 1,89. ДК представляется в виде полутонового изображения. В трехмерном пространстве профилю интенсивности соответствует некая поверхность. Для объектов такого типа можно ожидать фрактальную размерность, находящуюся в интервале (2;3). Для определения фрактальной размерности поверхности использовался метод, предложенный в [5].

Количество направлений в узоре 2 Фрактальная размерность

узора ДК

1,24 2,82

4 1,33 2,50

8 1,64 2,26

16 1,92 2,15

Таблица. Фрактальная размерность узоров и ДК от них Периодические пространственные структуры апликаторов и плоскости Тальбота

В структуре узоров, образованных путем радиальной трансляции базового элемента по четырем направлениям, можно выделить, по меньшей мере, три периодические структуры различного масштаба (рис. 4). Эти структуры состоят из окружностей, расположенных в узлах воображаемых решеток. Каждой из этих структур может соответствовать определенный набор плоскостей Тальбота, в которых происходит саморепродукция изображения структуры при освещении ее когерентной плоской волной.

abc

Рис. 5. Три периодические структуры различного масштаба для узора, образованного путем радиальной трансляции базового элемента по четырем направлениям

Структура первого уровня (рис. 4.a) состоит из 64 окружностей, выстроенных в 8 рядов по 8 окружностей. Радиус окружностей - минимальный в данном узоре - равнял/2

ется ао. Период структуры T = T = T = а ——. Расстояние до n плоскости Тальбота

х у 0 2

2T2 а2 а2

z1 =-n = —n . Расстояние между плоскостями Тальбота Az1 = —. Структура второ-

n ДА Я

го уровня (рис. 4.b) состоит из 16 окружностей, выстроенных в 4 ряда по 4 окружности. Радиус окружностей равняется 2а0. Период структуры T = T = T = a0V2. Расстояние

2T2

до n плоскости Тальбота zn = ——n = 4aLn. Расстояние между плоскостями Тальбота

Я

Я

а

Д^ = 4—Структура третьего уровня (рис. 4.с) состоит из 4 окружностей, выстроен-X

ных в 2 ряда по 2 окружности. Радиус окружностей составляет 4ао. Период структуры

^ = Шп = 16^п. Рас-

T = T = T = а0  . Расстояние до n плоскости Тальбота

Я

Я

стояние между плоскостями Тальбота д^111 = 16

Я

Первая плоскость Тальбота для структуры второго уровня совпадает с четвертой плоскостью Тальбота для структуры первого уровня, а первая плоскость для структуры третьего уровня - с шестнадцатой плоскостью для первого уровня. Таким образом, в плоскостях Тальбота с номерами 16, 32, 48 и т. д. должны наблюдаться изображения всех трех периодических структур.

Детальный анализ рисунка показывает, что в структуре фрактального дифракционного элемента с уменьшением масштаба формируются две структуры: периодическая решетка и фрактальная структура, причем в узоре одновременно присутствуют структуры разных поколений.

Заключение

Формирование тонкой структуры дифракционных спектров обусловлено, в основном, двумя процессами - модуляцией интенсивности колец ДК из-за наличия элементов различного размера и модуляцией интенсивности в виде полос Юнга, обусловленной взаимным смещением окружностей. Установлено, что фрактальная размерность ДК тем меньше, чем больше фрактальная размерность узора, на котором происходит дифракция.

В структуре фрактальных узоров присутствуют периодические структуры различных периодов, что позволяет предположить существование нескольких наборов

плоскостей Тальбота, в которых самовоспроизводятся различные компоненты узоров.

Литература

1. Физика лазерной биостимуляции / Ю. В. Аграфонов [и др.]. M.: MeDia, 2000.

2. Коряковский А.С., Mарченко ВМ., Прохоров A.M. Дифракционная теория метода Тальбот-интерферометрии и диагностики широкоапертурных волновых фронтов. // Труды ИОФАН. 19В7. Т. 7. С. 33-92.

3. Пат. 220096В РФ. Оптический фрактально-матричный фильтр и применение оптического фрактально-матричного фильтра для защиты глаз / И. Н. Серов; опубл. 2003.03.20.

4. География и мониторинг биоразнообразия / Колл. авторов. M.: Изд. Научного и учебно-методического центра, 2002.

5. Xie H., Wang J. Direct fractal measurement of fracture surfaces // International Journal of Solids and Structures. 1999. V. 36. №20. Р. 3073-30В4.