Математическое моделирование космологической эволюции вырожденной ферми-системы со скалярным взаимодействием

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3

УДК 530.12:531.51; 537.8; 533.9

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ВЫРОЖДЕННОЙ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ СО СКАЛЯРНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

© Р.Ф.Мифтахов

В статье рассматривается космологическая ситуация, когда материя представлена двухкомпонентной самосогласованной системой, состоящей из массивного скалярного поля и частиц, имеющих скалярный заряд, с помощью которого статистическая система может управлять фундаментальным скалярным полем. Получены численные решения уравнений Эйнштейна-Клейна-Гордона для вырожденной Ферми-системы со скалярным взаимодействием частиц.

Ключевые слова: скалярное поле, статистическая система, уравнения Эйнштейна-Клейна-Гордона, релятивистская космология.

1. Введение

В статье, показано, что корректное введение скалярного взаимодействия частиц в кинетическую теорию приводит к изменению эффективных масс частиц:

т* = m + дФ|,

где q - скалярный заряд частиц, Ф - потенциал скалярного поля. Этот эффект может привести к существенному влиянию скалярного поля на уравнение состояния статистической системы. В свою очередь статистическая система может оказывать обратное воздействие на скалярное поле через скалярный источник, впервые введенный в работе .

2. Космологическая вырожденная плазма со скалярным взаимодействием Рассмотрим космологическую ситуацию, когда материя представлена лишь вырожденной Ферми-системой со скалярным взаимодействием частиц. В этом случае самосогласованная система уравнений Эйнштейна и Клейна-Гордона со скалярным источником в метрике ds2 = принимает вид:

dt2 - a2

В этой метрике

Из закона сохранения частиц получим вместо интеграла энергии интеграл импульса: apF = Const.

Как известно, (см., например, [1]), в метрике (8) независимые уравнения Эйнштейна имеют форму:

.2

£

^a о о а 3^T=S^; 3— =--

P

Полагая

ф = ф(І); ^ E — E^); P — P(t),

получим структуру суммарного тензора энергии-импульса скалярного поля в форме тензора энергии-импульса идеальной жидкости с

макроскопической скоростью V и плотностью энергии ES и давлением PS :

2ф 2);

Es =— (Ф2 s Snv

P =— |1Ф2 -^2Ф2 s Sn і 3

В качестве статистической системы мы рассмотрим полностью вырожденный односортный Ферми-газ, состоящий из массивных частиц со

спином у [2]. В этом случае интегрирование

макроскопических плотностей представимо в элементарных функциях:

E,

m,

Sn

4

Pf

24п

T = E, - 3P, =

q • m,

/1 +/

4

m^ w1+/2 -in

//1 + / - in

где / — p F / | m *| - отношение импульса

Ферми к эффективной массе.

Уравнение скалярного поля рассмотрим, без учета конформного члена и кубической нелинейности, в виде :

2 4п

Ф + ^Ф — ------------— qT,

Из уравнений (3), (4) можно получить

соотношение:

Р.Ф.МИФТАХОВ

Р* —~ Е; -

т*

24л2

4//Т + /2 - 31п

Легко видеть, что для Ферми-частиц и скалярного поля соответственно выполняются неравенства:

0 < Рг < - Ег; Рх < - Ех.

ї з ^ * з -

В результате найдем:

)—з -

4//Ї + /2 - 31п

-4п//Ф2

2/ х -.

24^

Таким образом, для исследуемой системы всегда выполняется соотношение:

^-1 <к

т.е., случай квинтэссенции исключается.

О — ^ - 2 (1 + 3*),

1

3. Численное решение уравнений Эйнштейна для вырожденной плазмы со скалярным полем

Как видно из выражений для макроскопических плотностей (7)-(10), все эти выражения с учетом интеграла (3) с точностью до умножения на конформный множитель

1/ а 4 являются элементарными функциями лишь одной безразмерной функции ^ :

4

т* —

Ґ 0 \4 а0 Р F

Ру — а Р/; Е/ — а Е/; а — а а.

Аналитические функции полученные асимптотическим приближением выражений для плотности энергии, давления и плотности зарядов имеют вид:

2/

3

2\( 38

8/

2

15 3/2

15

4/

15

Т — -

2\ ( 38

15 3/2

8/

15

2

1 +

4/

15

5

2/2

1 +

Отклонения полученных аналитических выражений от точных выражений для макроскопических плотностей, на

рассматриваемом отрезке из области определения, стремятся к нулю. Ниже приведены графики сравнения точных выражений и аналитических выражений, полученных асимптотическим приближением.

Рис. 1. Эволюция плотности Е; энергии относительно времени в логарифмическом масштабе. График точного выражения - пунктирная линия, график асимптотического приближения - сплошная линия

V а¥ у

Это факт позволяет найти интерполяционные выражения для соответствующих конформных плотностей:

-.4 п . 77__4 17 . ~___4 ,

..................................

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Рис.2. Эволюция давления Р относительно времени

в логарифмическом масштабе. График точного выражения - пунктирная линия, график асимптотического приближения - сплошная линия

В результате, космологическая ситуация описывается двумя уравнениями, относительно функций Ф (/), а(Ї). Уравнением скалярного поля и уравнением Эйнштейна:

- /и2Ф — -4па

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

3 ааї — 8пє. а

С использование средств компьютерной математики было изучено поведение двухкомпонентной космологической модели при различных значениях параметров системы. Ниже приведен один из результатов численного решения, эволюция космологического ускорения в зависимости от скалярного заряда фермионов:

S2

висимости от скалярного заряда фермионов: пунктирная линия q=0; разреженная пунктирная линия q=0,3; сплошная линия q=1; сплошная жирная линия q=5.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

2. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле // Изв. ВУЗов. Физика. - Казань. - 1983. - Т.24. - №8. - С.15.

MATHEMATICAL MODELING OF COSMOLOGICAL EVOLUTION OF DEGENERATE FERMI SYSTEMS WITH SCALAR INTERACTION

R.F.Miftakhov

The article deals with a cosmological situation when the substance is presented by two-componential selfcoordinated system consisting of a massive scalar field and particles with a scalar charge, with which the statistical system can control the fundamental scalar field. Numerical solutions of the Einstein-Klein-Gordon equation for a degenerate Fermi system with a scalar interaction of particles were received.

Key words: scalar field, statistical system, Einstein-Klein-Gordon equation, relativistic cosmology.

Мифтахов Рустем Фаридович - аспирант кафедры геометрии и математического моделирования Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета.

E-mail: rustor@bk.ru