Применение метода экономизации К. Ланцоша при исследовании нелинейных колебаний механических систем

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭКОНОМИЗАЦИИ К.ЛАНЦОША ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В.Г. Мельников

Рассматривается голономная стационарная механическая система с одной степенью свободы с автономными нелинейными полиномиальными характеристиками относительно фазовых переменных. Развивается метод многочленных преобразований с включением в него т-метода экономизации, который с повышенной точностью преобразует исходное уравнение к линейному виду при определенных ограничениях на константы исходного уравнения.

Рассмотрим голономную стационарную механическую систему с одной степенью свободы, движение которой подчинено автономному дифференциальному уравнению второго порядка, содержащему нелинейную функцию в виде однородной кубической формы:

q + a1¿¡ + аq + q) = 0 при Q = £qkqk2, q] е D .

k1+k2 =3

Здесь [q, q] - фазовый вектор объекта, s - малый параметр, |s| < 1, ak¿ - постоянные коэффициенты. Кубическая форма в математической модели объекта появляется в результате аппроксимации в конечной области фазового пространства нелинейных нечетных характеристик обобщенных сил или моментов сил. Развернутый вид кубической формы:

Q = а30 q3 + a21q2 q + а12 qq2 + а03 qq3.

Предполагаем, что уравнение (1) описывает движение реальной механической

2

системы неточно, с точностью до величин порядка s , и поэтому допустимо изменение нелинейной функции в малых пределах.

Считаем, что уравнение (1) задано на фазовой плоскости в квадрате D = {[q, q]:| q |< 1,| q |< l}.

Заметим, что любая прямоугольная область D1 ={[q1, q1 ]: |qj < a, |qj < b } отображается на квадрат D линейной заменой переменных вида q1 = aq, t = Ta / b . Примером динамического уравнения вида (1) может служить физический маятник в случае аппроксимации синуса угла отклонения sin ф « ф - ф3 / 6.

Корни Я12 = -a1 /2 ± i^c -

При этих условиях, применяя метод Пуанкаре-Дюлака в конечной форме, можно выполнить нелинейное преобразования переменных, содержащее кубическую форму. В результате в дифференциальном уравнении (1) исключаются однородные кубические формы порядка s, но появляются однородные формы пятой, седьмой и девятой степеней с общим множителем в2. Преобразование выполняется посредством перехода к комплексным каноническим фазовым переменным, подстановки в систему уравнений новых переменных и составления алгебраических уравнений, определяющих коэффициенты преобразования. Здесь мы выполним многочленное преобразование непосредственно в исходных вещественных переменных. При этом дополнительно внесем в

процесс преобразования процедуру аппроксимации остаточных членов однородными кубическими формами по т - методу, предложенному К. Ланцошем [1]. В результате получим скорректированный метод полиномиальной линеаризации, поскольку в преобразованных уравнениях будут отброшены существенно меньшие величины, имеющие порядок в3. Вместе с тем модифицированный метод приводит к некоторому усложнению расчетных формул для коэффициентов многочленного преобразования.

Итак, потребуем, чтобы в новых фазовых переменных [у, у ] преобразованное динамическое уравнение с точностью до членов порядка в3 было линейным,

У + Ъ1У + ¿0 У = 0,

в единичном квадрате новой фазовой плоскости

[у, у] е Б2 ={[ у, у]: | у |< 1,| у |< 1}.

Коэффициенты Ь0, Ь1 подлежат определению, они отличаются от а0, а1 на малые величины. Обобщенную координату ч свяжем с новой координатой формулой многочленного кубического преобразования

q = у+в ск1к2ук ук2 пРи к1 + к2 = 3 .

Здесь и в дальнейшем для краткости опущен знак суммирования по повторяющимся индексам, что принято в литературе. Ограничения на индексы суммирования к1, к2 указаны в формуле (5). Отметим, что единичная область Б2 на фазовой плоскости [у, у] не является точным отображением области Б .

Выразим производные q, q через у, у, применяя соотношение (3) и переобозначая индексы суммирования к1, к2 на к'1 , к'2, чтобы использовать индексы к1, к2 в конечных формулах. Получим

Ч = у + вск, к,2к\ ук1-1 ук'2+1 - вск 1 к,2к\ ук 1 ук'2-1 (¿оу + Ьу) Окончательно,

q = у + вс1к1к2 ук ук2 при к + к 2 = 3,

где

^ = (к1 + 1)1 Ск1+1,к2-1 - Ь1к2Скк2 - ¿0 (к2 - 1) Ск!-1,к2+1 (7) По аналогии с (6)-(7) составляем выражение для второй производной:

q = у + в с2 ук ук2 при к! + к2 = 3,

кА ^ ^ * 1 2

где

с ;,к2 =

В выражениях (7), (8) следует приравнивать нулю все константы, имеющие хотя бы один отрицательный индекс, например, с^+1 к -1 = 0 при к2 = 0 .

Преобразуем многочлен Q к новым переменным путем подстановки в него выражения (5), (6) и удержания членов порядка в . Получим приближенное выражение

Q

к1+к2=5

В каждом одночлене однородной формы пятой степени Q5, зависящей от двух переменных, непременно имеется одна из переменных третей степени - либо ч 3, либо Ч 3. Поэтому многочлен Q5 можно разбить на два многочлена:

Q5 = у3к ЭД^ ук2+ ук1ук2 при [у, у ]е Д.

Применим т - метод К. Ланцоша [1-3], позволяющий аппроксимировать полиномы высоких степеней полиномами меньших степеней, связанный со среднеквадратичными аппроксимациями П. Л. Чебышева. В данном случае применим аппроксимации

3 3 1 3

у = - у + -со8(3агсео8 у) * - у при у е [-1,1];

4 4 4

у3 * 3у при у е [-1,1].

По существу, приближение (12) есть гармоническая линеаризация величин у3 и у3 на единичных интервалах. Подставим среднеквадратичную аппроксимацию (12) в выражения (10), (11) и приведем подобные члены. Получим окончательно представление кубической формы, входящей в уравнение (1), в новых переменных:

Q

Подставим выражение (13) в уравнение (1). Получим математическую модель механического движения, где s -малые величины аппроксимированы в классе функций (4), содержащем подлежащие определению константы:

q + aiq + а0q + s £

k1+k2 =3

Затем подставим в полученное на этом этапе динамическое уравнение выражения в новых переменных (5), (6), (8), приведем подобные члены и приравняем нулю коэффициенты при каждом одночлене третьей степени, а также учтем уравнение (3). Получим нелинейную замкнутую систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов преобразования (5), содержащую линейную часть и нелинейные члены в виде произведений искомых величин. Если в системе отбросить члены порядка s2, то система становится линейной с существенно не равным нулю определителем при выполнении условия (3). Решение такой линейной системы известно в комплексной форме [3-5]. Приближенное решение нелинейной алгебраической системы находится посредством решения соответствующей линейной системы и однократной итерации.

Модифицированный метод полиномиальной линеаризации уравнения (1) содержит процедуры подстановки многочленов в многочлен, упрощения выражений, конкатенацию матриц и решение алгебраической системы. Эти процедуры выполняются в пакете Symbolic Math систем Maple, Mathematica, Matlab. Изложенный метод применен при исследовании нелинейных колебаний одностепенной механической системы.

Литература

1. Ланцош К. Параметрические методы прикладного анализа. М.: Физматлит, 1961.

2. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1968.

3. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

4. Брюно А.Д. Нормальная форма дифференциальных уравнений с малым параметром. // Матем. заметки, 1986. 40. Вып.3. С. 385-392.

5. Климов В.Ю. Методы теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1996.

6. Мельников В. Г. Полиномиальная линеаризация систем модального управления и ее применение / Научно-технический вестник СПбГТМО(ТУ). Вып.3. 2001. С.17-19.

7. Melnikov V.G. Analysis of transient performance of system with unknown inertia load. // Prepr. 8-th International Student Olympiad on Automatic Control. St.Petersburg, 2000. P.167-171.

8. Параметрические критерии фильтрационных свойств систем управления. // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. №3. C. 25-28.