Мультифрактальная модель распространения трещин в поликристаллах при ударных нагрузках

УДК 001.57; 539.3

© Р.К. Халкечев, 2012

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН В ПОЛИКРИСТАЛЛАХ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

В представленной работе, разработана математическая модель, позволяющая определить управляющий параметр, характеризующий процесс движения микродефектов к трещине в поликристаллах. В зависимости от значения данного параметра наблюдается или стохастическое ускорение или квазипериодическое движение микродефектов по направлению к трещине.

Ключевые слова: поликристалл, ударные нагрузки, движение микродефектов, управляющий параметр, трещина, стохастическая динамика.

Разрушение при ударе происходит в результате взаимодействия волн напряжений и деформаций, являющихся следствием динамического или внезапного приложения нагрузок [1]. В свою очередь определяющим фактором при разрушении является распространение трещин и наличие дефектов. Точечные и линейные дефекты могут перемещаться в твердых телах как целые образования под действием волн напряжений и деформаций, порожденных ударными нагрузками, и движение которых может осуществлять массоперенос в кристалле. В то время как устойчивые дефекты в форме поверхностей не могут перемещаться как целое в твердом теле под воздействием внешних факторов. Нет на сегодняшний день не экспериментальных, не теоретических работ, которые опровергали бы это утверждение. Отсюда, как следствие, трещина также не может перемещаться в поликристаллах как целое. Это связано с тем, что трещина является поверхностным дефектом. Поэтому трещина может только увеличиваться в размерах, что обычно интерпретируют как распространение трещины. Причем это увеличение происходит в основном с конца трещины, который и является наименьшим размером трещины, обеспечивающим его пребывание на атомном уровне. Отсюда очевидно, что распространение трещины возможно только за счет движения точечных и линейных дефектов к ней, которое ведет к массопе-реносу от трещины. Причем в первом случае имеем рост трещины, связанный с движением точечных дефектов (хрупкое разрушение), во втором — рост затупленной трещины, который связан с движением дислокаций и, как следствие, с пластической деформацией в ее вершине. Это связано с тем, что наименьший размер хрупкой трещины обеспечивает ему пребывание на уровне, где находятся точечные дефекты. В то время

как наименьший размер вязкой трещины обеспечивает пребывание на уровне дислокаций.

Итак, трещина находится как минимум на двух иерархических уровнях.

Решенные задачи синтеза позволяют дать более общее определение понятию «трещина». Большое число похожих и не похожих друг на друга определений понятия «трещина» означает, что общепринятого определения еще нет. Более того, нет даже четкого понимания сути этого явления, хотя потребность в нем уже назрела.

Понятие трещина используется при исследовании всех процессов разрушения. При этом актуальным становится вопрос о возникновении трещины и ее эволюции. Здесь без определения понятий уже не обойтись. Выбор определения зависит от аппарата и цели исследования, иными словами, определение должно быть конструктивным, т. е. пригодным для использования в рамках аппарата. Предполагая об использовании аппарата теории иерархии фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов, с учетом решенных задач синтеза и существующих определений понятия «трещина», было сформулирована следующее более общее определение. Трещина — это иерархически организованная полость, наименьший размер которой (вершина) обеспечивает обязательное присутствие на атомном уровне, и распространяется за счет движения точечных и линейных дефектов к вершине [2]. Но данное определение не учитывает фрактальности трещины, в то время как, если вновь образованные поверхности при разрушении становятся поверхностями трещин, то они являются фрактальными поверхностями, на что указывали многие авторы: Мандельброт Б. Б., Пассоджа Д. И., Пауллей А.Дж. Более того при изучении распространения трещин мы сталкиваемся с явлениями, требующими расширения понятия фрактала на сложные структуры с более чем одним показателем скейлинга. Трещина характеризуется целым спектром показателей скейлинга — на каждом уровне свой показатель, и поэтому является мультифракталь-ным объектом. С учетом этого можно дать следующее конструктивное определение трещины: Трещина — это мультифрактально организованная полость, наименьший размер которой (вершина) обеспечивает обязательное присутствие на атомном уровне и распространяется за счет движения точечных и линейных дефектов к вершине.

Поскольку в данной статье решается задача о распространении трещины в поликристалле, то речь должна идти, в первую очередь, о кончике трещины, который находится на уровне атомов в случае хрупкого разрушения и на уровне кристаллической структуры при вязком разрушении. Прорастание кончика трещины при хрупком разрушении связано с движением точечных дефектов, а при вязком — с движением дислокаций.

Из решения задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности можно заключить, что к уровням нахождения кончика трещины и, как следствие, к уровням, на которых находятся точечные и линейные дефекты, не применимы методы механики сплошной среды. Отсюда, как следствие, на этих уровнях неопределимы такие макроскопические величины, как напряжение и связанные с ним силы, деформация, плотность и т.п. Поэтому эти величины не могут быть использованы при математическом моделировании распространения трещин.

Так как трещина является иерархически организованной системой, что предполагает пребывание ее по крайней мере на двух иерархических уровнях конструкционного материала, с обязательным пребыванием на нижнем (атомарном или кристаллическом) уровне, то математическая модель должна учитывать это.

Таким образом, уточненная структура изучаемого объекта состоит из трещины и совокупности точечных и линейных дефектов. Причем существенными для проводимого исследования свойствами трещины является его иерархическая организованность и обязательное пребывание на атомарном уровне или уровне кристаллической структуры, а для точечных и линейных дефектов — их движение. Причем движение, в основу которого заложен атомный механизм, не предполагает участия характеристик, определяемых в рамках сплошной среды.

Для дальнейшего уточнения содержательной модели и определения управляющих параметров, изменение которых определяет характер процесса, в качестве имеющейся информации используем ряд экспериментальных фактов, лежащих в основе механики разрушения.

A. Ударные нагрузки. При больших скоростях нагружения и достаточно высоком уровне напряжений конструкционные материалы, как правило, раскалываются на много частей, то есть разрушение происходит сразу по нескольким поверхностям. Две первые стадии процесса разрушения — накопление микроповреждений и равновесный рост трещин при ударных нагрузках вообще не наблюдается; весь процесс разрушения состоит лишь из одной стадии — неравновесного роста трещин с околозвуковой скоростью [3].

Б. Распространение трещины. Имеется много экспериментальных данных, подтверждающих предположение о том, что распространение трещины представляет по существу дискретный процесс, и что период колебаний уменьшается, когда увеличивается скорость трещины [4].

B. Движение дислокаций. Исследование трещин в тонких пленках из алюминия и сплавов алюминия с 4 % медью с помощью электронной микроскопии позволили авторам различить типы разрушения, каждый из которых включает быстрое движение дислокаций [5].

Г. Трещина на атомном уровне. При изучении динамики распространения трещин на атомном уровне обнаружено, что распространение трещины сопровождается появлением дислокаций вблизи вершины трещины через регулярные промежутки времени и их распространением [6];

Д. Макроразрушение. Сколь бы ни было велико число испытываемых образцов в серии, тождественные изломы не наблюдаются. Это наблюдение может быть квалифицировано как существенная зависимость от начальных условий (при сколь угодно малом изменении начальных условий опыта происходит неадекватно большое изменение конечного результата в виде перестройки «портрета» излома) — основная черта, присущая стохастическим динамическим системам.

При математическом моделировании необходимо иметь в виду, что существуют принципиально нелинейные объекты (в том числе явления), для которых применение линейных моделей приводит к грубым искажениям. Существенно нелинейной является задача об изучении околокритического состояния объекта, зависящего от параметров, при изменении которых устойчивость сменяется неустойчивостью или один тип движения другим. Во всех этих случаях надо применять методы нелинейного математического моделирования.

Из вышеприведенных рассуждений и экспериментальных фактов можно сделать следующие уточняющие выводы, которые необходимы при построении математической модели: распространение трещин в конструкционных материалах обусловлено взаимодействием вершины трещины с ансамблем микродефектов, каждый из которых находится в быстром движении под действием внешних нагрузок. Как следствие система «трещина — ансамбль дефектов» является термодинамически открытой; рассматриваемая задача о распространении трещин в иерархической среде является существенно нелинейной, и применение линейных моделей недопустимо; динамические уравнения, описывающие системы, дискретны, нелинейны и должны быть исследованы в рамках стохастической динамики. Параметрами, однозначно характеризующими данную систему, являются длина и скорость распространения трещины, скорость и расстояние между движущимися микродефектами.

Следует также отметить, что формально математическая теория хрупкого и вязкого разрушения является одинаковой. Под действием внешних ударных нагрузок возникают волны напряжений и деформаций, которые способствуют дрейфу микродефектов, размерами которых мы пренебрегаем. Поскольку скорости микродефектов распределены хаотически, можно сказать, что число микродефектов, движущихся в одном направлении примерно равно числу микродефектов, движущихся в противоположном направлении. Это означает, что у вершины трещи-

ны будут поглощаться те микродефекты, скорость которых направлена навстречу трещине.

Рассмотрим следующую математическую модель. Пусть l — первоначальное расстояние от микродефекта до трещины; A — амплитуда волны в окрестности рассматриваемой трещины. Предполагается, что длина трещины намного больше, чем амплитуда. Пусть tn есть момент n -го столкновения микродефекта с волной, T - ее период. Введем понятие фазы при n -м столкновении в виде

4 = tn / T,

то есть область изменения 4 е (0,1). Обозначим через x(t) координату осциллирующих частиц среды на волне, отсчитываемой от дефекта к трещине. Из способа введения x(t) следует, что она имеет дискретную природу, и поэтому при изучении системы «трещина — ансамбль микродефектов» необходимо использовать нелинейные модели в виде дискретных отображений.

Не нарушая общности, x(t) представим в виде квадратичного отображения:

x

Из (2) следует очевидные соотношения: x(0) = x(T) = 0, x(0,5T) = A .

Закон изменения скорости частиц среды на волне получается дифференцированием x(t):

V

Пусть v(t) - скорость микродефекта, vn - ее скорость перед n -м столкновением:

Vn = v(tn - 0).

Эту величину удобно записать в безразмерной форме:

un = Vn / V0.

Предположим, что

A /1«1.

Исходя из этого предложения, можно записать уравнения движения микродефекта в виде отображения:

Un+1 = un + 2(1 - 24);

4+1 =4 + TT

2 AUn+1

N = — > 1,

д

Вычисление Якобиана J =-"+" "+' = 1, показывает, что пере-

дКЕ„) Р

менные (и,Е) являются канонически сопряженной парой.

Отсюда следует, что существует условие локальной неустойчивости 21

Ли2

при котором проявляется стохастичность, т.е. наблюдается стохастическое ускорение микродефектов, что ведет к неустойчивому распространению трещины и, наоборот, условие N < 1 является условием устойчивости или квазипериодического движения. Решение (6) позволяет получить аналитическую зависимость для определения скорости микродефектов, которая имеет вид:

и < V21 / Л .

Параметр N играет в теории разрушения такую же роль, какую в гидродинамике играют число Рейнольдса при переходе от ламинарного к турбулентному течению; число Релея — при развитии конвективной неустойчивости, число Тейлора — при течении жидкости между вращающимися цилиндрами.

Поскольку волна охватывает большую часть разрушаемого материала, разрушение происходит сразу по нескольким поверхностям. Если волновой вектор продольной волны направлен вдоль трещины, то трещина будет расти без разветвлений; если же волновой вектор направлен также, но поперечной волны, то будем наблюдать при распространении трещины разветвления. Но так как поликристалл является неоднородной средой, на границе зерен продольная волна индуцирует и поперечную волну. В свою очередь поперечная волна возбуждает продольную. Таким образом, при ударных нагрузках в поликристалле независимо от возбуждаемой волны распространяется как продольная волна, так и поперечная одновременно. Поэтому в разрушаемом поликристалле при ударных нагрузках наблюдается чередование разветвления с прямолинейным распространением трещин.

Необходимо отметить, что данная нелинейная математическая модель охватывает процессы, протекающие на всех незавершенных и завершенных иерархических уровнях, определяемых масштабами трещин, что в свою очередь соответствует реальному явлению разрушения. Причем соответствующие уравнения и их решения являются фрактальными, позволяющими их отнести к масштабно-инвариантному множеству. В результате разработана мультифрактальная модель стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в поликристаллах на различных уровнях разрушения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение. — М.: Мир, 1984. — 624с.

2. Халкечев К.В. Иерархия случайно-фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т.13, вып.3, 2006, с.409-433.

3. Халкечев К. В., Халкечев Р. К. Математическая модель разрушения поликристаллов при квазистатических и ударных нагрузках.- М.: Изд-во «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск -Методы математического моделирования в горной промышленности), №12, 2011. — С. 22-26.

4. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. В кн.: Разрушение II под редакцией Любовица Г., М., Мир, 1975, Т2, с. 521 — 615

5. Forsyth P.J.E., Wilson R.N., J. Inst. Metals, 92, 1963, 82.

6. Weiner J.H., Pear M. Crack and dislocation propagation in an idealized crystal model. — J. Appl. Phys., 46, 1975, 2398.

УДК 004.942; 539.3; 549.08 © Р.К. Халкечев, 2012

РАЗРАБОТКА АРХИТЕКТУРЫ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ГАЗОСОДЕРЖАЩИХ ПОРОДНЫХ МАССИВОВ

В представленной работе разработана архитектура комплекса программ, основанная на мультифрактальной математической модели газосодержащего породного массива. Данная архитектура позволяет разработать комплекс программ, определяющий деформационные свойства газосодержащего породного массива.

Ключевые слова: архитектура, комплекс программ, подсистема, мультифрак-тальная модель, газосодержащий породный массив, деформационные свойства.

Математическая модель, разработанная в [1], не удобна для определения деформационных свойств газосодержащего породного массива на практике. В первую очередь это связано с тем, что данная модель, являясь мультифрактальной, очень сложна по своей структуре и функциональности. Поэтому, применение на практике полученной математической модели сопровождается проведением многих расчетов, которые должны производиться в режиме реального времени и с минимумом погрешностей.