Квантовые осцилляции в анизотропных мезоскопических кольцах в вихревом электростатическом поле

УДК 535.14

КВАНТОВЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ КОЛЬЦАХ В ВИХРЕВОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

А. К. Звездин

Исследованы квантовые свойства малого проводящего кольца (или кольцевой молекулы), пронизанного магнитным полем, линейно зависящим от времени. Показано, что в случае, когда длина окружности кольца меньше длины свободного пробега электрона и энергия электрона в кольце является периодической функцией азимутального угла, магнитное поле возбуждает в кольце квантовые осцилляции тока (и магнитного момента) блоховского типа, частота которых типично порядка 109 — 10п Гц, в зависимости от радиуса кольца и скорости изменения магнитного поля.

Квантовые свойства металлических и полупроводниковых колец микронных и субмикронных размеров издавна привлекают к себе большое внимание [1 - 15]. К этому же типу объектов относятся и кольцевые молекулы, например, бензол [17]. Из недав них впечатляющих открытий отметим гигантское молибденовое колесо - нанокластер. содержащий 154 атома Мо и обладающий симметрией [18].

Основная проблема, которая волновала физиков в этой области, - существование спонтанных токов в металлических кольцах микронных размеров при низких температурах. Хотя успешные эксперименты были произведены уже сравнительно давно (см. [16] и приведенную там литературу), в последние годы интерес к этой проблематике снова возрос - возникли новые идеи и планы новых экспериментов, центральным пунктом которых является макроскопическая квантовая когерентность (МКМ), т.е. когерентность волновой функции вдоль всей окружности образца (или молекулы).

Металлические кольца и аналогичные молекулы могут быть интересны также с точки зрения квантовой информатики как кандидаты на роль материальных носителей квантовой информации.

Целью настоящей работы является исследование когерентных квантовых явлений в анизотропных металлических кольцах и кольцевых молекулах, происходящих под де-й-ствием электростатического вихревого поля. Последнее создается с помощью внешнего магнитного поля, пронизывающего кольцо и растущего (или убывающего) линейно про порционально времени. Анизотропия кольца, в данном контексте, означает, что энергия электрона в кольце периодически зависит от азимутального угла (¿>, например, как cos Основанием для такой постановки задачи является то, что нарастающее (спадающее) поле создает вращающий момент, действующий на орбитальный момем i образца, и таким образом индуцирует новые квантовые особенности в поведении проводящих колец.

Рассмотрим сначала невзаимодействующие электроны в тонком металлическом кольце. Предполагается, что электроны могут двигаться только вдоль окружности кольца, т.е. кольцо является одномерным. Предполагается также, что длина свободного пробега электрона / превышает длину окружности кольца (баллистический режим). По следнее условие не является экзотическим для искусственных образцов (не говоря уже о молекулах), т.к. при низких температурах некоторые металлы и полупроводники (2D электронный газ) имеют I Ю-4 см. Пусть В = (0, 0, B(t)) есть внешнее магнитное поле, ось z декартовой системы координат направлена по нормали к плоскости кольца Представим B(t) в виде

B

г

где Bi и г - характеристики процесса возрастания поля. Согласно уравнению Максвелла rotE = — ^В, поле B(t) создает азимутальное поперечное поле

Ev = -—fill,,,

где - единичный вектор цилиндрической системы координат, направленный по каса тельной к кольцу. Следует подчеркнуть, что поле является вихревым (div Еv = 0) и статическим, поэтому величину jm = называют иногда "магнитным током \ что

оправдывается известным принципом перестановочной дуальности уравнений Максвел ла [21]. Кроме того, будем считать, что кольцо является в отмеченном выше смысле анизотропным. Потенциальная энергия анизотропии Ua(f) может быть создана при

помощи подходящего распределения электрического поля. В случае кольцевых молекул она может быть результатом взаимодействия молекулы с анизотропной подложкой. Интересна возможность создания электрически управляемой анизотропии. Суть этого предложения сводится к следующему. Металлическое кольцо делится на два полукольца с туннельной связью между ними. Разность потенциалов на полукольцах обеспечивае необходимую анизотропию

£%) = 1° при0<^<7Г'

[ и при 0 < 7Г < (¿> < 27Г.

Особенно интересно было бы реализовать эту возможность для 1Б электронного газа.

Итак, одноэлектронный Лагранжиан имеет вид

/(¿2 еа2

С = -^-иА{ч>) + —В{1)ф,

где J = та2, т - масса электрона, а - радиус кольца. Последнее слагаемое в (3) представляет собой вклад энергии взаимодействия электрона с вихревым электрическим полем 61У = — ^гА, где вектор-потенциал А = |[Вг], г - радиус-вектор электрона. Лег ко видеть, что с точностью до полной производной по времени лагранжиан (3) может быть представлен в ином виде

Г ТТ ( \ еа*В1 ¡л\

С = --иА{ч>)--—

Следует специально отметить, что переменная определена здесь на множестве V ве щественных чисел (<р £ Я1). Последнее в данной задаче представляет собой тривиальн расслоение пространства ¿^(О < (р < 2тг), которое является базой этого расслоенного пространства V. Это замечание представляется важным в данном контексте, так каь наличие поля Е^ нарушает симметрию относительно преобразования ф —> + 2тгп, где п - целое число, поэтому обычно используемое в подобных задачах пространство 5'1 должно быть расширено до V.

Системы с потенциальной энергией типа "стиральной доски" II(х) = 11{(х) + Ъх где 11\{х) - периодическая функция х,Ь - константа, а именно таковой является потен циальная энергия в (4), ранее уже исследовались. В качестве примеров можно указать движение электрона в кристалле в постоянном электрическом поле [20] или динами ку перехода Джозефсона при протекании через него постоянного электрического тока

[22]. Поэтому можно ожидать проявления некоторых свойств рассматриваемых в дан ной работе анизотропных колец и кольцевых молекул, пронизываемых "магнитным то ком", аналогичных свойствам приведенных выше систем. Одним из таких характерных свойств являются блоховские осцилляции [20]1.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Обобщенный импульс, соответствующий коор динате который является в данном случае моментом количества движения, рав< н Рч> — щ, = Тогда, гамильтониан системы Н = р^ф — С можно представить в виде

2с я) + иА{ч>\

где Рц, = Калибровочное преобразование Ф^у?) —> Ф((р)ев^,г\ где 0 =

приводит уравнение Шредингера к виду

г/гФ

ч>.

Собственными состояниями гамильтониана (4) являются функции Блоха

Фя

где т - произвольное вещественное число, 5 - номер энергетической полосы. Параметр т естественно назвать квазимоментом, (ср. с квазиимпульсом для зонного электрона ) По аналогии с термином "зарядовые состояния", используемым для характеристик! подобных состояний в теории эффекта Джозефсона, можно определить (7) как "непре рывные орбитальные состояния". Известно, что проекция орбитального момента огра ниченной квантовой системы на выделенное направление квантуется. В рассматривае мой ситуации "квазимомент" является произвольным вещественным числом (т € Я )2 Различие между этими двумя типами состояний может быть пояснено следующим образом. Квантованные орбитальные состояния заданы в пространстве 51 (0 < у < 2к). при

1В работах [19] отмечена возможность наблюдения блоховских осцилляций в малом кольце, про низанном линейно изменяющимся во времени магнитным полем. В отличие от рассматриваемой в настоящей работе ситуации (кольца с искусственной анизотропией Иа^)), авторы [19] указали на "обычные" блоховские осцилляции, обусловленные периодичностью кристаллической структуры. Оче видно, что их значительно более трудно наблюдать на эксперименте.

2Волновые функции (7) и спектр (8, 9) формально близки к таковым из [16]. Однако, вместо коорди наты в [16] фигурирует поток магнитного поля Ф. пронизывающий кольцо, а вместо квазимомен 1 1 т величина 2Ф/Фо, где Фо = - квант магнитного потока.

этом квантование орбитального момента естественно связано с симметрией квантовой задачи относительно поворота системы координат на 2п вокруг оси z, другими ело вами, с граничными условиями + 2тг) = Отсутствие же этой симметрии в

динамической группе симметрии лагранжиана (3) отменяет квантование орбитально го момента3. Вместо этого в расслоенном пространстве V(oo < < оо) реализуются "непрерывные орбитальные состояния", т.е. функции Блоха (5).

Пусть Ua(<p) = (1/2) AT cos 2<р, где К - константа. Тогда уравнение Шредингера для гамильтониана (5) сводится к уравнению Матье, из теории которого следует, что энергетический спектр Гамильтониана (5) имеет зонную структуру, т.е. собственные значения (5) Еп(т) есть функции, определенные в соответствующих зонах Бриллюэна. При К ~ 0 зонная структура соответствует приближению свободных электронов

„ , . h2m2 , .

Es{m) = —

с запрещенными зонами на границах зон Бриллюэна: тв = s (s = ... — 2, —1,0,2,...). В частности, вблизи края первой зоны Бриллюэна функции Es(m)(m ~ — 1) имеют вид:

= £ ± + щ

При тв = ±1 запрещенные зоны равны

Уравнения (8), (9) определяют с достаточной точностью энергетический спектр для гармонической анизотропии в пределе двух первых зон Бриллюэна. В общем случае можно воспользоваться известными в теории твердого тела формулами, например, для одномерной модели Кронига-Пенни.

Уравнение (6) изоморфно уравнению, описывающему динамику блоховского электрона в электрическом поле.

3Для того, чтобы обеспечить эрмитовость оператора Р^ можно использовать, как известно, "перио-

дические" граничные условия на бесконечности (т.е. в данном случае для достаточно больших значений

угловой переменной N2тг, а затем устремить N к бесконечности). С другой стороны, из условий, что

Р<р квантуется на кольце с длиной окружности, равной Ь — 27гаЛ/, при отображении этого большого

кольца величина кванта становится порядка 2-ка/Ь и при Ь —* оо обращается в 0. Это и означает

снятие квантования орбитального момента в 511.

Рассмотрим динамику орбитального момента р^ для случая, когда "магнитный ток 3т — достаточно мал, т.е. магнитное поле изменяется адиабатически медленно:

ее-2ст

< К.

Чтобы описать динамику орбитального момента под влиянием "магнитного тока рассмотрим волновой пакет, составленный из блоховских функций (7). Пусть ш и <р означают средние значения квазимомента и координату центра пакета, а значения Дт, А(р (Дт • Д^ ~ 1) определяют соответствующие неопределенности. Под влиянием "магнитного тока" зт сформированный при / = О волновой пакет смещается к Гранине (например, правой, т.е. тд = 1) зоны Бриллюэна, отражается от нее, его групповая скорость изменяет знак, затем распространяется до левой границы зоны Бриллюэна (тв = —1), отражается от нее и т.д. При этом происходит периодическое изменение дисперсии Дт и ширины пакета А<р. Этот процесс называют блоховскими осцилляи;; ями. Математически он описывается следующими уравнениями для средних значений т и <р:

еа

т —

Ви

2 Пет 1 дЕя

Й дт

В этом (адиабатическом) процессе система остается в состоянии с заданным 5 и наблюдаемые физические величины, например, магнитный момент кольца, являются о< ци; лирующими функциями времени с частотой

/в loch =

ea2Bi 2 Нет

Если внешнее магнитное поле имеет, кроме линейного вклада, еще гармоническую составляющую, т.е.

В = Bit/т + bsin 2ж ft,

тогда возможны резонансы на частоте / = /вloch и / = гfBloch, где г рациональное число (резонансы Штарка).

При возрастании "магнитного тока".

еа 2ст

Вг

> К

возникает туннельный эффект Зинера между соседними зонами. В частности, вероятность туннельного перехода между зонами с s — 1 и s = 2 равна

Р = fBloche

На этом одноэлектронный анализ задачи можно закончить. На следующем этапе, пользуясь рассмотренными здесь одноэлектронной волновой функцией и спектром электрона в кольце, нужно рассчитать наблюдаемые макроскопические характеристики: ток, магнитный момент, корреляционные функции и т.д. Для этого нужно вычислить плотность состояний, термодинамический потенциал, по возможности, учесть столкновения электрона с фононами и дефектами, а также электрон-электронные взаимодействия.

Такой анализ мы оставим на будущее, а сейчас ограничимся численными оценками. Полагая а = Ю-4 см, К ~ ~ 1СГ3 - 1(Г4 эВ, Bi/t = 10й Э/с (эти величины представляются вполне реальными), получим /Bloch = Ю10 Гц. При этом условие адиа-батичности (11) выполняется с большим запасом. Для 2D электронного газа в GaAs длина свободного пробега электрона достигает 10 мкм, а в некоторых металлах и полуметаллах даже больше (например, при низких температурах в Bil ~ 1 мм), откуда следует, что возможность наблюдения квантовых осцилляций блоховского типа в таких материалах не выглядит фантастичной. Наконец отметим, что, хотя в данной работе рассмотрена ситуация В = const, некоторые ее фрагменты могут быть справедливы в кратковременных эпизодах - для произвольных зависимостей B(t). Автор благодарен А. М. Игнатову за дискуссии. Работа поддержана РФФИ (проект N 99-02-17830), МНТП (97- 1071).

ЛИТЕРАТУРА

[1] London F. J. Phys., Paris, 8, 379 (1937).

[2] H u n d F. Annl. Phys. (Leipzig), 32, 102 (1938).

[3] В у e r s N. and Y a n g C. N. Phys. Rev. Lett., 7, 46

[4] В 1 о с h F. Phys. Rev. Lett., 137, A787 (1965); 166, 415 (1968).

[5] А г о n о v A. G. and S h а г v i n Yu. V. Rev. Mod. Phys., 59, 755 (1987).

[6] С h a k r a b о r t у Т. and P i e t 1 ä i n e n P. Phys. Rev., В 50, 8460 (1994).

[7] W e n d 1 e г L. and F о m i n V. M. Phys. Stat. Solidi (b), 191, 409 (1995).

[8] L е V у L. Р. et al., Phys. Rev. Lett., 64. 2074 (1990).

[9] Chandrasekhar Y. et al., Phys. Rev. Lett., 67, 3578 (1991).

[10] M a i 1 у D., Chapelier C., and В e n о i t M. Phys. Rev. Lett., 70, 2020 (1993), 387 (1995).

[11] M о г p u г g о A. F. et al., Phys. Rev. Lett., 80, 1050 (1998).

[12] L о г к e A. et al., Phys. Rev. Lett., 84, 2223 (2000).

[13] Schuster R. et al., Nature (London), 385, 417 (1997).

[14] Landauer R. and В ü t t i к e r M. Phys. Rev. Lett., 54, 2049 (1985).

[15] A 1' t s h u 1 e r B. L., A г о n о v A. G., and S p i v а к В. L. Sov. Phys. JETP Lett., 33, 94 (1985).

[16] Eckern U. and Schwab P. Advances in Physics, 44, 387 (1995).

[17] Kekule A. Bull. Soc. Chem. Fr., 3, 98 (1865).

[18] Müller A. and В e n g h о 1 t C. Nature, 383, 296 (1996).

[19] Büttiker M., I m г у I., and L a n d a u e r R. Phys. Lett., 96 A, 365 (1983): G e f e n Y,Imry Y., and A z b e 1 M. Ya. Phys. Rev. Lett., 52, 129 (1984); Webb R. A., W a s b u r n S., U m b а с h C. P., and L a i b i w i t z R. B. Phys. Rev. Lett., 54, 26 (1985).

[20] Bloch F. Phys. Rev. Lett., 21, 1241 (1968).

[21] Миллер M. А. УФН, 142, 147 (1984).

[22] Аверин M. A., 3 о p и н А. Б., Л и x a p e в К. К. ЖЭТФ, 88, 692 (1985).

[23] Schön G. and Z a i к i n A. D. Phys. Reports, 198, 237 (1999).

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 19 сентября 2000 г.