О роли многоквантовых переходов в поуровневой колебательной кинетике

И. А. Пасынкова

ПРЕЦЕССИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА,

НЕЦЕНТРАЛЬНО УКРЕПЛЕННОГО В УПРУГИХ ОПОРАХ

Введение. В работах [1-3] было установлено, что динамически и статически неуравновешенный жесткий ротор, укрепленный вертикально в нелинейных упругих опорах так, что его центр масс находится на равном расстоянии от опор, может иметь стационарный режим вращения, который представляет прямую синхронную прецессию, при этом характер прецессии (цилиндрическая, коническая или ги-перболоидальная) определяется видом поверхности, которую заметает ось вращения ротора в пространстве. Опоры предполагались центрально симметричными. В силу указанных допущений о симметрии в постановке задачи оказалось возможным записать уравнения движения ротора в комплексной форме и установить существование симметричных форм прецессий, когда радиусы орбит концов оси вращения ротора (шипов) одинаковы. При этом в аналитической форме были получены амплитудно- и фазово-частотные характеристики прецессий, найдено точное представление множества нелинейных резонансов и по уравнениям первого приближения найдены условия потери устойчивости и определены границы возникновения автоколебаний.

В данной работе, предложенные ранее [1, 2] идеи и методы развиваются на случай нецентрального крепления ротора в опорах.

1°. Уравнения движения ротора. Как и ранее, рассматривается динамически симметричный жесткий ротор, имеющий массу М, длину Ьг, моменты инерции ,1р (осевой) и ^ (экваториальный). Ротор статически и динамически неуравновешен. Статический эксцентриситет равен е. Динамический эксцентриситет характеризуется величиной 6 и фазовым сдвигом е. Ротор приводится во вращение двигателем, способным поддерживать постоянную угловую скорость вращения П. В пренебрежении перемещением ротора вдоль оси вращения его можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы. В качестве обобщенных координат выбираются декартовы координаты из, 03 (у = 1, 2) у-го конца оси ротора (шипа) в плоскости, перпендикулярной оси подшипников. Упругие опоры предполагаются обладающими центральной симметрией. В этом случае реакция опоры имеет только радиальную составляющую, равную ^ = -^ (БЗ |) п. Здесь = иу + г — смещение у-го шипа от равновесного положения (в комплексной форме), п — орт направления , а функции Ез (|Бз- |) непрерывно-дифференцируемые и Е3 (0) = 0. Учитываются силы внешнего сопротивления, пропорциональные абсолютной скорости, ИЗ 5) = -Де Б3 .

Пусть Ь — расстояние между опорами и ротор укреплен таким образом, что расстояние его центра масс от у-й опоры равно е3 Ь, т. е. всегда справедливо е\ + е2 = 1. Введем в рассмотрение характерный линейный размер Н, например, эксцентриситет е или величину Ь6, и характерную угловую скорость и>о, выбор которой зависит от вида функций Е3. В комплексной форме после перехода к безразмерным переменным 8з = = сио I и безразмерной угловой скорости О, = 0,/и>о уравнения движения

© И. А. Пасынкова, 2006

примут вид

е2 s'l + ei s2 + Me («1 + S2) + /i(|si|)-rn‘ + /2(|s21)t~t = di ехр(Шт),

S2 - Si - i Q \

+ kl(e2 /2(Is21)t~t - ei /1 (I-s 11)7—Ц-) = ld2si2 exp(* (Пт - e)).

Is21 Isil

Здесь дифференцирование ведется по безразмерному времени т и безразмерные силы задаются следующим образом:

fj (Sj |) = Fj (hlsj I)/(hMu20).

Остальные параметры, которые можно назвать конструктивными, имеют следующий смысл:

, ML2 , jp , 1 ,

к — —------—, А——, I — 1 — Л,

(Jt - Jp) (2) _ e _ LS _ jle 1 _ h’ 2 “ h ’ Mluo'

Уравнения движения жесткого ротора в линейных упругих опорах и без учета сил сопротивления приводятся в [4, 5].

Параметры k и Л удовлетворяют соотношению k(1 - А) > 0. Если ротор представляет собой динамически сжатое тело, тогда Л > 1 и, следовательно, k < 0. Если ротор является динамически вытянутым телом, то А< 1 и k > 0.

2°. Прямые синхронные прецессии и их свойства. Система (1) допускает точное решение вида

Sj = Rj ехР

где Rj ,Vj —вещественные постоянные и Rj > 0. Величина Rj —это радиус круговой орбиты j-го шипа, а Vj — угол сдвига фазы относительно возмущающей силы. Это решение представляет собой прямую синхронную круговую прецессию ротора. Характер прецессии можно установить по соотношению фаз Vj. Для гиперболоидальной прецессии фазы могут быть произвольными, при равных фазах гиперболоидальная прецессия вырождается либо в цилиндрическую (если Ri = R2), либо в коническую (если Ri = R2) с вершиной конуса вне опор. Наконец, если фазы различаются на п, то будет иметь место коническая прецессия с вершиной конуса между опорами, и соотношение между радиусами может быть любым.

Подставив решение (3) в систему (1), получим линейную неоднородную систему алгебраических уравнений относительно величин exp (i Vj)(j = 1, 2), разрешив которую, получим

Q2

exp

Rj Ares

Ares = A - k ^Q2 + i i^eQ (k ез—j Aj + Bj) = 0,

j=i,2

A = AxB2 + A2 Bu Aj = _ ез-jSl2, Bj = к ej Щ - П2.

Rj Rj

Свойство | exp(i^j)| = 1 позволяет установить, что существует самоцентрирование ротора на больших угловых скоростях, и найти предельные значения радиусов орбит, шипов и фаз:

Rj оо — \Jd'i + [ej dn)~ + (-I)'5 2 €j di d2 cose,

tgVj

( —1)J+1 ej do sine di + (-1)j ej d2 cose

Из формул (5) видно, что самоцентрирование ротора определяется только параметрами дисбаланса.

Введем новые переменные

X = Q , yj = fj (Rj )/Rj .

В силу свойств функций Fj, а, следовательно, и fj, преобразование (6) неособое, и существует обратное преобразование Щ = gj (yj).

В пространстве переменных {х,у1,у2} (х € Д+,ух € Н+,у2 € Д+) величины Aj, Bj принимают вид

Aj yj eз—jx, Bj к ej yj x,

и множество нелинейных резонансов Д = А1 В2 + А2 В1 = 0 (см. [1]) представляет собой гиперболический конус с вершиной в начале координат (рис. 1):

(yi - е2 x)(ke2 У2 - x) + (У2 - ei x)(kei yi - x) = 0.

Рис. 1.

В сечении этого конуса плоскостью x = const гиперболы имеют асимптоты

yj

1 + 4-j к к

Множество нелинейных резонансов построено для следующих значений параметров: е\ = 0.5, в2 = 0.5, к = 0.8.

Для динамически вытянутого ротора (к > 0) и для динамически сжатого, но с большим значением |к| > тах(1/е2,1/е2), гиперболический конус состоит из двух частей,

для динамически сжатого, но с небольшими |k| , множество нелинейных резонансов состоит из одной части. Вблизи каждой части резонирует либо цилиндрическая, либо коническая составляющие прямой синхронной прецессии. Большие значения |k| для ротора типа «диск» соответствуют тонкому диску, который уже не может рассматриваться как твердое тело, поэтому можно заключить, что динамически сжатый ротор не проявляет тенденции к конической раскачке.

Используя свойство | exp(i^j )| = 1, можно разделить переменные yj и ipj, и получить уравнения

Vl

для определения величин yj как функций x, а затем определить фазы <pj и установить характер стационарного движения. В общем случае получить решение уравнений (9) относительно yj в аналитической форме не возможно.

30. Алгоритм численного построения амплитудных кривых. В работах [l, З] было установлено, что для динамически и статически несбалансированного ротора, центрально (центр тяжести расположен в середине между опорами) укрепленного в одинаковых нелинейных упругих подшипниках с функцией F(|Sj|) = cq |Sj-1(3/2) (типа Герца) и с квазилинейной функцией F(|Sj-1) = cq |Sj-1 + ci ^ |3 при є = п/2 и при отсутствии сил сопротивления, возможно существование симметричной гипербо-лоидальной прецессии, когда радиусы орбит шипов вала равны Ri = R2, а фазы отличаются знаком у>1 = —^2. Были получены аналитические формулы амплитудно- и фазово-частотных характеристик. Диссипативные силы разрушают симметрию гипер-болоидальной прецессии. В этой ситуации, а также в случае нецентрально укрепленного ротора проведено численное решение системы (9) в пакете Maple с использованием функции fsolve(eqns, vars, interval), где eqns — система уравнений, vars — список переменных, interval — интервалы изменения переменных. Если решения в заданной области изменения переменных существуют, то функция fsolve находит только одно из них. Отметим, что для симметричной гиперболоидальной прецессии для каждого значения x может существовать от одного до пяти различных решений [l, З]. Для вычисления всех изолированных решений системы (9) в области yj Є [aj, bj] при фиксированном x была построена рекурсивная процедура на основе следующего алгоритма.

На первом шаге в прямоугольнике ABCD, определяющем область задания переменных на плоскости {yi, У2}, находится решение (yQ, yQ); на втором шаге прямоугольник ABCD полосой шириной 2 є, є > 0 — произвольное малое число, (на рис. 2 заштрихована) разделяется на два других прямоугольника. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут найдены все решения в заданной области.

Рассмотрим нелинейность типа Герца. Сначала рассмотрим ротор, центрально укрепленный (ei = О.Б, e2 = О.Б) в одинаковых опорах, т.е. fi(z) = f2(z) = f (z). Выберем h = e, uj2 = со л/ё/М, тогда d\ = 1. На рис. З для значений параметров к = 2, d2 = 3, є = п/2, це = 0.1 построены графики yi = yi(x) (жирная сплошная линия) и y2 = y2 (x) (пунктирная линия). Римскими цифрами I, II показаны резонансные зоны конической и цилиндрической прецессий. При отсутствии сопротивления и при фазовом сдвиге динамического дисбаланса є = п/2 существует симметричная гипер-болоидальная прецессия y1 = y2 = y. Для сравнения зависимость y = y(x) показана тонкой сплошной линией. В режиме самоцентрирования прецессия близка к симметричной гиперболоидальной и предельное значение y= 1.343, а радиуса R= 1.S03.

На рис. 4 при тех же значениях параметров показаны графики yi = yi(x) (жирная сплошная линия) и y2 = y2 (x) (пунктирная линия) для нецентрально укрепленного

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

ротора е\ = 0.25, е2 = 0.75. Предельные значения равны соответственно у\ж = 1*118, радиуса = 1.250, а у2<Х) = 1.569, радиуса Я2^ = 2.462. Несимметричность во

вращении ротора связана с направлением угла сдвига динамического дисбаланса относительно плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс. При замене угла п/2 на —п/2 опоры меняются ролями.

На рис. 5, 6 показаны у\ = у\(х) (сплошная линия) и у2 = у2(х) (пунктирная линия) для консольно укрепленного ротора е\ = 1.1, е2 = —0.1 в одинаковых и неодинаковых опорах при значениях параметров к = 0.8, (і2 = 0, є = п/2, ^е = 0.1. На рис. 6 опора 2 имеет коэффициент нелинейной жесткости в 20 раз меньше, чем опора 1. Предельные значения радиусов в обоих случаях ^ = 1 и Я2 ^ = 1. Как видно, даже такая большая разница в жесткости опор несущественно сказывается на резонансах. Большие максимальные значения радиуса орбиты первого шипа создают опасность разрушения подшипника.

Рис. 5. Рис. 6.

Пусть ротор укреплен в середине между опорами, т.е. e[1] = е[2] = 0.5 и опоры одинаковые. Рассмотрим нелинейность F(|Sj |) = с0 \Sj | + c1 \Sj |3. Пусть h = e, =

с0 /M, тогда / (|5j |) = |5j | (1 + c1 |sj |2). Обозначим yj = , и безразмерная реакция j-ой

опоры примет вид f(yj) = л/у] (1 + ci yj), где ci — безразмерная постоянная.

Цилиндрические прецессии могут существовать, если ротор только статически неуравновешен (е = 0,5 = 0). В свою очередь, конические прецессии реализуются только в случае динамически неуравновешенного ротора (e = 0,5 = 0). Амплитудные кривые этих прецессий по виду похожи на амплитудно-частотную характеристику нелинейного уравнения Дуффинга, но в случае ротора ветви амплитудной кривой смыкаются только при достаточно больших силах сопротивлении [6]. Оценки для коэффициента сопротивления це в каждом случае легко получить. Для цилиндрической прецессии амплитудно-частотная характеристика и нелинейный резонанс A = 0 определяются формулами [3]

д/у

Разрешив уравнения (10) относительно (x, у), найдем координаты точки пересечения

16 1 /цч

Х = Г^2----> У = Г^2------------>

8^2 — с 8^2 — с

откуда получим оценку це > д/с/8. Аналогично, для симметричной конической прецессии получим оценку fie > d2 д/с/(2 к).

Численный эксперимент показал, что для полностью неуравновешенного ротора (е = 0,5 = 0) при малом сопротивлении амплитудные кривые также не ограничены, по крайней мере для разумных значений амплитуд. Характеристики с конечными значениями амплитуд удалось получить при fie > ц* = тах(д/с/8, d2 д/с/(2 к)).

На рис. 7, 8 показаны зависимости у1 = y1 (x) (жирная сплошная линия) и у2 = у2 (x) (пунктирная линия) для следующих значений параметров: к = 0.8, d2 = 2, с1 = 0.3, £ = п/2, но для разных значений коэффициента сопротивления це. Для данных параметров ц* = 0.866. Рис. 7 соответствует значению fie = 0.3, и линии y1 (x), у2(x) не ограничены. На рис. 8 /±е = 0.95. Как и раньше, для сравнения тонкой сплошной линией

Рис. 7. Рис. 8.

показана зависимость y = y (x) для симметричной гиперболоидальной прецессии в отсутствии сопротивления це = 0. Римскими цифрами /, II показаны резонансные зоны конической и цилиндрической прецессий. Предельные значения Rloo = R2 то — л/2 и

y1 то = у2 то = 2*

Интересно отметить, что резонанс конической прецессии мало зависит от статического дисбаланса, так при e = 0 (d1 = 0) и тех же значениях остальных параметров максимальное значение амплитуды при резонансе равно y^one = 16.39, что очень близко к соответствующему значению на рис. 8. И наоборот, при наличии динамического дисбаланса резко возрастает резонанс цилиндрической прецессии. При S = 0 (d2 = 0) максимальное значение амплитуды цилиндрической прецессии равно y*yi = 0.144, а на рис. 8 соответствующее значение равно 5.57.

В процессе численного построения амплитудных кривых yj = yj (x) попутно определяются и критические значения параметра угловой скорости x как точек, в которых изменяется число решений системы (9). Эти критические точки определяют границы области устойчивости прямой синхронной прецессии.

Summary

I. A. Pasynkova. Precessions of an unbalanced rotor asymmetrically supported in elastic bearings.

Steady-state motion of a rigid statically and dynamically unbalanced rotor supported in nonlinear elastic bearings is investigated. The restoring forces are considered to be with cubic nonlinear terms or varying according to the Hertz formula. The resistance forces are linear. The center of mass is located asymmetrically with respect to the bearings. A computational algorithm in Maple is suggested to find parameters of an asymmetrical hyperboloidal precession. Examples of different manner of the rotor’s support are given.

Литература

1. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

2. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1 (№1). С. 82-86.

3. Архипова И. М., Пасынкова И. А. Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб., 2000. С. 65-72.

4. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1959. 440 с.

5. Кельзон А. С., Циманский Ю.П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М., 1982. 280 с.

6. Genta G. Vibration of structures and machines: practical aspects. Springer, 1999. 586 p. Статья поступила в редакцию 1 октября 2005 г.