Витгенштейн и платонизм в математике

ФИЛОСОФИЯ, СОЦИОЛОГИЯ И КУЛЬТУРОЛОГИЯ

УДК 1

ВИТГЕНШТЕЙН И ПЛАТОНИЗМ В МАТЕМАТИКЕ

© Евгения Евгеньевна МЕДВЕДЕВА

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра философии, e-mail: sem.23@mail.ru

Выявляются особенности философии математики Витгенштейна, выражающиеся в критическом отношении к платонизму как школе мышления. Доказывается, что в поздний период своего творчества Витгенштейн опровергает онтологическое значение у математических высказываний через отрицание их референциальной функции. Математика является набором социальных правил, сетью норм с их практическим применением, а не наукой о сверхчувственных объектах.

Ключевые слова: Людвиг Витгенштейн; философия математики; платонизм; математическое предложение; вычисление; математический объект; социальная практика.

Выдающегося австрийского мыслителя Людвига Витгенштейна (1889-1951) почти неизменно интерпретируют как заступника определенной формы конструктивизма в философии математики, однако мнения относительно природы данного конструктивизма разнятся. Обычно его имя связывают с фундаментальной программой строгого фини-тизма [1] - методологической установкой в математике, направленной на устранение из доказательных рассуждений принципов, основанных на допущении актуальной бесконечности. В литературе встречается также точка зрения, согласно которой Витгенштейн не принимал участия ни в каком теоретическом споре, а скорее был критиком всех существующих школ в философии математики. Эту точку зрения поддерживают, в частности, Г. Бейкер и П. Хакер [2, р. 345]. Подобные заявления основываются, как правило, на общем анализе концепции философии Витгенштейна, а не на конкретном истолковании его отдельных замечаний о природе математического знания. Некоторые исследователи обнаруживают параллели между Витгенштейном и интуитивизмом [3]. В представленной статье предпринята попытка выявить особенности философии математики Витгенштейна, которые обнаруживаются через отношение австрийского мыслителя к платонизму как одному из направлений в философии математики. Проведенный ана-

лиз позволяет осуществить более адекватную реконструкцию философских воззрений австрийского мыслителя на природу математики.

Витгенштейн воспринимал математику по сути как алгоритмическую деятельность, а именно как вычислительную деятельность высшего порядка. Он придерживался этой «алгоритмической» точки зрения уже в своем главном произведении раннего периода -«Логико-философском трактате» (1921), -где им была предпринята попытка редуцировать арифметику к теории «операций», а также разработать таблицы истинности в качестве процедуры решения.

«Алгоритмическая» точка зрения доминировала у Витгенштейна и в переходный период его творчества. Он говорил: «Я убежден, что математика, коль скоро конфликту по вопросу о ее основаниях подошел конец, будет выглядеть так же, как в начальной школе, где применяются счеты. Способ занятия математикой в начальной школе является абсолютно строгим и точным. Он не нуждается в каком-то усовершенствовании. Математика всегда есть механизм, исчисление. Исчисление ничего не описывает» [4, р. 106].

В работах переходного периода Витгенштейн акцентировал различие между «вычислением» (Ка1ки1) и «прозой» (Рггеа), на что обратили внимание некоторые витген-штейноведы [5]. Но комментаторы обычно упускают из поля зрения тот факт, что под

2бб

словом «вычисление» Витгенштейн подразумевает также слово «алгоритм». В своей работе «Философская грамматика» (1974) он писал следующее: «Математика состоит

полностью из вычислений. В математике все есть алгоритм, и ничто не имеет значения; даже тогда, когда это не выглядит так и нам кажется, что слова употребляются для разговора о математических вещах. Именно эти слова употребляются для построения алгоритма» [6, р. 468].

Хорошо известно, что Витгенштейн часто сравнивал математические предложения с правилами грамматики; он утверждал, например, что арифметика есть грамматика чисел. Однако такое утверждение не следует интерпретировать буквально, будто предложения арифметики являются правилами грамматики в строгом смысле, поскольку подобное прочтение способно вызвать противоречивое расширение концепта ‘правило грамматики’. Витгенштейн вывел данное утверждение, по-видимому, для того, чтобы подчеркнуть фундаментальное измерение в применении предложений арифметики.

Нам может показаться очень сильным заявление Витгенштейна, что в математике «все является вычислением, и ничто не имеет значения»: мы действительно используем слова нашего обыденного языка в процессе занятий математикой, даже в тот момент, когда проводим доказательство математических выражений. В самом деле, существенной особенностью математических доказательств является то, что они инкорпорируют слова нашего повседневного языка. Эти слова являются тем, что Витгенштейн называл «повседневной прозой, сопровождающей вычисление» [4, р. 129]. Витгенштейном рассматривалось различие между «прозой» и «вычислением» как ключевое в философии математики [4, р. 149].

Согласно Витгенштейну, появление прозы с необходимостью обусловлено тем фактом, что математическое доказательство показывает нам то, что не может быть сказано, следовательно, оно является нашей потребностью выразить невыразимое. Введение прозы в математику является главным образом демонстрацией того, что Витгенштейн мог бы назвать «бегством за границы языка»: «Доказательство позволяет нам увидеть нечто. Однако то, что оно показывает, нельзя

выразить посредством предложения. Поэтому невозможно также утверждать «Аксиомы являются твердыми». (Самое большее, что мы можем сказать «Существует бесконечное множество чисел». Это есть повседневная проза.)» [4, р. 137].

Думать, что математика включает в себя нечто большее, чем вычисления со знаками, значит полагать, что знаки могут быть осмыслены как представители для «описания» чего-то. В противоположность подобной склонности мышления Витгенштейн настаивает на том, что не существует математической или логической деятельности, рассматриваемой как «описание объектов». Скорее сами знаки «делают» математику: «Давайте помнить, что в математике сами знаки делают математику, они не описывают ее. Математические знаки подобны костяшкам на счетах» [7, § 157]. «Мы не можем описать математику, - говорит Витгенштейн, - мы можем только заниматься ею» [7, § 159].

Свой вывод об алгоритмической природе математики Витгенштейн вынужден противопоставить распространенному убеждению, что деятельность математика состоит в описании предзаданных абстрактных структур. Такую позицию Витгенштейна в философии математики принято называть «антиплатонизмом». Согласно исследователю Мэтью Мэрион, можно выделить две формы антиплатонизма: умеренный и радикальный [8, р. 12-13]. В соответствии с установкой умеренного антиплатонизма, математические структуры первоначально могут быть созданы нами самими. Тем не менее, они обретают определенную «автономию»: когда мы создаем ряды натуральных чисел, то обнаруживаем об этом факты. Такая форма антиплатонизма была репрезентирована Фридрихом Вайсманом в его лекциях, прочитанных в Оксфорде в 1950-е гг., где он заявил: «Мы генерируем числа, до сих пор у нас нет выбора действовать иначе. Уже существует нечто, что направляет нас. Таким образом, мы делаем и не делаем математику. ...Мы не способны контролировать математику. Творение сильнее ее творца» [9, р. 33].

Несомненно, Витгенштейна следует характеризовать как противника платонизма, как «антиплатониста». Сам он подчеркивал, что математик является «изобретателем, а не открывателем» [10, с. 52].

В декабре 1929 г. Витгенштейн напомнил Шлику и Вайсману: «То, что мы обнаруживаем в книгах по математике есть описание не чего-то, но самой вещи. Мы создаем математику» [4, р. 34]. Из данной цитаты можно уяснить, каким образом антиплатонизм Витгенштейна связан с его «алгоритмической» точкой зрения. Данная форма антиплатонизма является более радикальной, нежели у Вайсмана, поскольку Витгенштейн настаивал на том, что мы никогда не обнаруживаем факты об уже спроецированных нами структурах: всякая новая теорема на деле является новым расширением математики. В последнем случае он мог бы добавить, что «в математике невозможно ничего открыть, как и в грамматике» [4, р. 63]. Радикальная форма антиплатонизма пронизывает всю философию математики Витгенштейна. Особенно это проявляется в его критике понятия числовой эквивалентности, которое играет важную роль в логицистском определении натуральных чисел. Также антиплатонизм Витгенштейна связан с его знаменитым аргументом «следования правилу» [11], который частично направлен против платонист-ского представления о «правиле в виде рельса» [12, с. 167].

Радикальное противостояние платонизму в философии математики является для Витгенштейна очень существенным. Чтобы убедиться в этом, обратимся к осмыслению его критических заметок о метаматематике Гильберта. Витгенштейн всегда настаивал на том, что «вычисление с буквами не является теорией». Он утверждал, что проза в случае с метаматематикой Гильберта способна стать лишь приводящей к путанице попыткой обеспечить нас теорией (эту явную ошибку допускает последователь платонизма). Согласно Витгенштейну, не должно существовать такой вещи, как фундаментальная «теория». Он считает, что теория множеств является «вычислением», которое окружают «облака мыслей». А философия, в свою очередь, является деятельностью, разгоняющей эти «облака». Поэтому, несмотря на то, что Витгенштейн заявляет, что система исчисления «Принципов математики» Б. Рассела является «надежной», он в то же время добавляет, что сама мотивация, стоящая за построением исчисления, «ошибочна»: «Конечно, когда Рассел строил свое исчисление, он не наме-

ревался просто развивать игру в шахматы, а стремился воспроизвести с помощью своего исчисления то, что в действительности означает слово «бесконечность» при его употреблении. Но в этом он ошибался» [4, р.114].

Несмотря на то, что Витгенштейн отказался от жесткой критики теории оснований математики, тем не менее, он способствовал распространению сомнения относительно ее философской значимости. Витгенштейн не стремился поставить под вопрос бесспорность теории множеств, а лишь хотел прояснить путаницу, окружающую данную теорию. По Витгенштейну, результатом философской деятельности должно стать не обнаружение «технической» ошибки и не создание нового исчисления, а просто достижение ясности. Следствием ясности будет отказ от некоторых фундаментальных программ и связанных с ними исчислений, таких как логицизм и система «Принципов математики».

Таким образом, позиция Витгенштейна в философии математики представляется поначалу в виде здравого смысла: не дело философа как философа вмешиваться в «техническую» сторону теории, например теорию множеств, поскольку философ не обладает достаточной квалификацией, чтобы заниматься этим. Но такая интерпретация слишком далека от реконструкции полной картины витгенштейновского аргумента. В действительности следует сказать об одном важном измерении теории, а именно - ее прозе. Данное измерение является немаловажным, поскольку с ним связаны замешательства, порождаемые в прозе. Последняя ответственна за создание самого исчисления, и если элиминировать замешательства, то надобность в вычислении отпадает, даже если вычисление корректно. Таким образом, согласно концепции Витгенштейна: «В связи с математикой возможно исследование, совершенно аналогичное нашему исследованию в психологии. Это исследование столь же мало математично, сколь мало в нашем случае оно - психологично. В таком исследовании нет вычислений, так что оно не является, например, логистикой. Его можно было бы назвать исследованием «оснований математики» [12, с. 319].

Считаем, что Витгенштейн верил, что можно просто критиковать «Принципы математики», не навязывая в итоге принятие

ревизионистской точки зрения: результат философского прояснения можно сравнить с удалением раковой опухоли, при этом само тело остается как бы незатронутым. Согласно Витгенштейну, итогом подлинно философского исследования ключевых понятий, обнаруживаемых в прозе математики, будет прояснение некоторых характерных путаниц, устранение определенных, вводящих в заблуждение, представлений, с которыми связаны эти понятия. Ничто не мешает нам верить, что можно ввести более совершенное понимание новых понятий, ведущих к дальнейшим математическим (или логическим) исследованиям [8, р. 19]. Но Витгенштейн считал, что поиск концептуальной ясности может привести к снижению роста числа теорий. Именно таков смысл параграфа из его «Философской грамматики»:

«Что будет отличать математиков будущего от математиков настоящего - это более значительная восприимчивость; и это будет -как бы - вырезанная математика; так как люди будут больше стремиться к абсолютной ясности, а не к открытию новых игр. Философская ясность будет иметь такое же влияние на рост математики, какое имеет солнечный свет на рост картофельных побегов» [6, р. 381].

Несмотря на то, что Витгенштейн верил, что таким способом можно критиковать фундаментальные программы на концептуальном уровне, что сами по себе математические теории могли бы оставаться свободными от всяких «вырезаний», он также был убежден в том, что подобная деятельность на самом деле способна привести к снижению их роста.

Цель Витгенштейна в его «Замечаниях по основаниям математики» заключается не в преумножении математического знания, а в изменении способа его рассмотрения [10, с. 112]. Философия математики не добавляет новых теорем или доказательств к языку математики, а проясняет употребление существующих знаков, показывает их взаимосвязь друг с другом и областями применения.

Чтобы понять смысл математических предложений, требуется пристальное внимание к контексту, потому что правильное понимание математического высказывания не гарантируется его изолированной словесной формой выражения. Легко допустить ошибку

при описании математической языковой игры. «Описания, которые непосредственно приходят в голову, вводят нас в заблуждение - так, в этой области, устроен наш язык» [10, с. 116]. Традиционные подходы к философии математики способны ввергнуть нас в «плутни мифотворчества» [10, с. 82], т. к. исследуют математические предложения абстрактно или оперируют ограниченным понятием употребления осмысленного предложения. И в «Философских исследованиях» и «Замечаниях по основаниям математики» Витгенштейн убеждает нас в том, что предложения могут быть осмысленными лишь при их употреблении для описания действительности. «Чтобы решить эту философскую проблему, надо сравнить между собой такие вещи, сравнивать которые еще никому всерьез не приходило в голову» [10, с. 179]. Главная рекомендация «Замечаний по основаниям математики» Витгенштейна заключается в том, чтобы мы сравнивали математические предложения с правилами, а не с описаниями фактов. Акцент на регулятивном характере этих предложений призван избавить нас от основных ошибочных концепций, которые оказывают влияние на наше мышление в этой области [10, с. 146-147].

Первой, широко распространенной ошибочной концепцией в философии математики является миф платонистского реализма. Согласно Витгенштейну, последователь платонизма мыслит математическую науку как естественную историю математических объектов. Математические предложения конструируются как теоретические описания вневременных абстрактных сущностей. «При этом нам смутно представляется, будто эта реальность - нечто абстрактное, очень общее и очень жесткое. Логика - своего рода ультрафизика, описание «логического строения» мира, воспринимаемого путем своеобразного ультраопыта» [10, с. 8].

Этот отрывок напоминает нам заметки Витгенштейна о великом зеркале мира в его «Логико-философском трактате» [13; 14]. В нем представлен онтологический компонент витгенштейновской ранней философии логики. Следует отметить, что собственные симпатии к платонизму у раннего Витгенштейна были значительнее слабее, чем у Б. Рассела и Г. Фреге. В «Философских исследованиях» и «Замечаниях по основаниям математики»

Витгенштейн полностью порывает с платонизмом. Он опровергает «миф» платонизма, что математические высказывания являются описаниями математических объектов, и что математическое исследование есть изучение их закономерных связей.

Витгенштейн организует фронтальную атаку на платонизм через опровержение, что математические предложения выражают ассерторические суждения. На самом деле математические теоремы не устанавливают факты, даже те sui generis (особого рода) факты, к которым обращается последователь платонизма. В области математики не существует знания объектов, т. к. не существует ничего из того, к чему такое знание могло бы быть приложено. Аппарат логики и математики лишается онтологического статуса через отрицание референциальной функции логических и математических высказываний. «...Даже тогда, когда доказанное математическое предложение, казалось бы, указывает на реальность вне себя самого, тем не менее оно выражает лишь признание новой меры (меры реальности)» [iG, с. S3]. Предложение, обоснованное посредством доказательства, служит правилом или нормой, а не описанием. Математика является набором правил, набором техник, сетью норм с их практическим применением, а не наукой о сверхчувственных объектах, доступных только умозрению. Антифрегианский характер этих замечаний Витгенштейна становится очевидным, когда он заявляет, что «математик является изобретателем, а не открывателем» [iG, с. 52].

Математика характеризуется Витгенштейном как нормативная наука, но слово «норма» не равнозначно и «идеалу» [iG, c. 2GG]. Позиция Витгенштейна в этом случае прямо противоположна позиции Гуссерля в его «Пролегоменах», где последний доказывает, что математика является по существу теоретической наукой об идеальных объектах и только производно сетью норм [І5, p. І34].

Витгенштеновское наступление на ассерторический характер математических высказываний есть отрицание онтологического реализма Фреге и интенционалистского концептуализма Гуссерля. Устремляясь к формальному различению, сторонник платонизма в философии математики обращается к материальной дистинкции, признавая, что

математические предложения не являются эмпирическими. Но при этом он ошибочно допускает, что математические предложения по своей природе являются сверхэмпириче-скими, что они относятся к области вечных и неизменных объектов, недоступных эмпирическому исследованию.

В «Замечаниях по основаниям математики» Витгенштейн пытался опровергнуть платонизм через сопоставление математических предложений с правилами. Но сами правила в качестве таковых есть измерительный инструмент. То, что придает правилу значение, есть факты нашего повседневного опыта [10, с. 170-171]. Хотя факты опыта весьма существенны для применения математических предложений, они не конституируют их семантический контекст. Витгенштейн противостоит мнению, что предложения математики имеют функцию эмпирических предложений. Однако применение математики, в особенности арифметики, основано на эмпирических условиях. Витгенштейн стремится деонтологизировать логику, не сводя ее при этом к социальной психологии.

Другая ошибочная концепция, которую критикует Витгенштейн в «Замечаниях по основаниям математики», может быть названа антропологизмом. Философия математики повинна в антропологизме тогда, когда трактует математические высказывания как описания математического поведения. «Являются ли предложения в математике антропологическими предложениями, которые говорят нам о том, как мы, люди, умозаключаем и вычисляем?» [10, с. 100-101]. Техника исчисления зависит от определенных общих фактов опыта, а выражения, используемые при этих вычислениях, не относятся к этим фактам. Если определенные факты были бы в целом различными, то правила математики могли бы потерять свое применение, а вместе с этим потерять свое значение. Отвергнув эмпирицистскую философию математики в классическом смысле, Витгенштейн в «Замечаниях по основаниям математики» выдвигает требование обращать особое внимание на проблемы факта. «Эмпирическая регулярность лежит за пределами математического закона» [16, р. 134].

Витгенштейновское требование разграничивать математическое предложение и его полезное применение уравновешивается за-

27G

явлением, что математика имеет применение. Не всякое принятие правила определяется как ход в математической игре. Математические высказывания имеют статус правил, но правила должны применяться, чтобы иметь значение и представлять для нас интерес. Принцип употребления правил математики есть нормативный критерий исчисления. Нормативные критерии исчисления предоставляют стандарты правильности операций вычисления в нематематических контекстах [15, р. 135].

Будучи нормами, они не являются предметами факта, но если бы определенные факты изменились, то вычисление могло перестать быть полезной деятельностью. Здесь полезна аналогия с измерительными инструментами. Если бы линейки вели себя как нечто быстродвижущееся, а не стабильная мера длины, то они оказались бы бесполезными для измерения длины объектов. Принять измерительный инструмент - значит молчаливо положиться на определенные черты мира, которые остаются относительно постоянными. Конвенциальная свобода при выборе альтернативных норм измерения компенсируется полезным выбором, основанным на фактах принуждения.

В «Замечаниях по основаниям математики» Витгенштейн попытался интегрировать конвенционалистский инструментализм с прагматизмом. Требование эффективного применения смягчается у Витгенштейна произвольностью выбора, сделав выбор ответственным при рассмотрении практического успеха. Трактуя математические предложения как правила, а не описания, Витгенштейн изобразил математическую деятельность как включающую предположения и решения, а не открытия. Когда мы принимаем систему предложений в качестве доказательства, то трактуем вывод доказательства как неопровержимый; мы депонируем его среди норм нашего языка. Такой подход основывается на свободном решении. Ничто не запрещает нам принять доказательство как парадигму. Философы ошибаются, требуя для математики иного основания, нежели осуществляемую нами математическую практику; математическая практика есть собственное основание математики. И здесь нам не нужна какая-то дополнительная теоретическая поддержка. «Опасность здесь в том,

что мы ищем, как мне думается, оправдание своему действию там, где этого оправдания не требуется и где мы должны просто сказать: мы делаем это вот так» [10, с. 105].

Когда предложениям логики и математики приписывают онтологическое значение, то они трактуются как особые случаи теоретического рассуждения. Подобно другим теориям они предполагают семантический анализ условий и значений их истинности. Рассуждать об основаниях - значит обращаться к области действительности, которая является источником их истинностных значений. Когда отрицается ассерторический характер математического дискурса, тогда фундаментальное исследование прекращает быть семантическим и онтологическим. Фре-гевский анализ условий истинности математического знания уступает место витген-штейновскому перечислению контекстов практических применений, к которым прилагаются предложения математики. Фундаментальное исследование становится рефлексией о повторяющихся образцах человеческой социальной практики. Если математика не является специфическим примером теоретического знания, то эпистемическое оправдание ее высказываний является неуместным. Единственным подходящим способом оценки становится практика. Так как математика имеет экстра-систематическое применение, то мы оправдываем адаптацию ее правил в терминах эффективности, простоты и целесообразности. Окончательным судом оправдания становятся наши общие формы жизни; наша повторяющаяся социальная практика, именно то, что мы делаем повсеместно и постоянно.

1. Marion M. Wittgenstein and Finitism // Synthese. 1995. № 105. P. 143-165.

2. Baker G.H., Hacker P.M.S. Wittgenstein: Rules, Grammar and Necessity. Oxford, 1985.

3. Fogelin R. Wittgenstein and Intuitivism // American Philosophical Quarterly. 1968. № 5. Р. 267-274.

4. Waismann F. Wittgenstein and the Vienna Circle. Oxford, 1979.

5. Shanker S.G. Wittgenstein and the Turning-Point in the Philosophy of Mathematics. N. Y., 1987.

6. Wittgenstein L. Philosophical Grammar. Oxford,

1974.

7. Wittgenstein L. Philosophical Remarks. Oxford,

1975.

27І

8. Marion M. Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics. Oxford, 1998.

9. Waismann F. Lectures on the Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1982.

10. Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // Витгенштейн Л. Философские работы. М., 1994. Ч. 2.

11. Медведева Е.Е. Л. Витгенштейн о «следовании правилу» // Философские традиции и современность. 2012. № 1. С. 56-65.

12. Витгенштейн Л. Философские исследования // Витгенштейн Л. Философские работы: пер. с нем. М., 1994. Ч. 1.

13. Медведев Н.В. Л. Витгенштейн и проблемы кросс-культурного понимания: автореф. дис. ... д-ра филос. наук. Тамбов, 2007.

14. Медведев Н.В. Философия Людвига Витгенштейна и проблемы понимания иных культур. Тамбов, 2009.

15. McCarthyM.H. The Crisis of Philosophy. N. Y., 1990.

16. Wittgenstein L. Remarks of the Foundations of Mathematics. Oxford, 1978.

Поступила в редакцию 6.G6.2G13 г.

UDC 1

WITTGENSTEIN AND PLATONISM IN MATHEMATICS

Evgeniya Evgenyevna MEDVEDEVA, Tambov State University after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Post-graduate Student, Philosophy Department, e-mail: sem.23@mail.ru

The features of Wittgenstein’s philosophy of mathematics are expressed, in the critical relation to a Platonism as to thinking school come to light. The author argues that during the late period of the creativity Wittgenstein disproves ontological value at mathematical propositions through denial of their referential function. The mathematics is a set of social rules, a network of norms with their practical application, instead of science about super-sensual objects.

Key words: Ludwig Wittgenstein; mathematics philosophy; Platonism; mathematical proposition; calculation; mathematical object; social practice.