Тень билинейного регулярного оператора

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 3, С. 40-45

УДК 517.98

ТЕНЬ БИЛИНЕЙНОГО РЕГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА М. А. Плиев

Рассматриваются формулы проектирования на тень билинейного регулярного оператора, а также на полосу, порожденную решеточным биморфизмом.

Ключевые слова: билинейные регулярные операторы, тень оператора, решеточный биморфизм.

Введение

В последние годы возрос интерес к исследованию билинейных операторов, действующих в векторных решетках [5, 6, 11]. Как и в линейном случае, важным инструментом, позволяющим изучать структуру пространств этих операторов является порядковое проектирование. Большое количество результатов в этом направлении известно для линейных и ортогонально аддитивных операторов [1-3, 7, 8, 10]. В этой связи возникает задача — распространить на билинейный контекст результаты о порядковом проектировании известные для линейных и ортогонально аддитивных операторов. Первый шаг в этом направлении сделан в [9]. Настоящая заметка продолжает этот круг исследований.

1. Предварительные сведения

1.1. Здесь мы приведем некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего. Цель настоящего параграфа — зафиксировать терминологию, обозначения и ввести необходимые понятия. Стандартный источник для ссылок по теории векторных решеток и решеточно нормированных пространств — монография [4].

Напомним, что отображение, действующее в векторных простанствах и зависящее от двух переменных называют билинейным, если оно линейно по каждой переменной при фиксировании другой переменной. На протяжении всего текста Е, ^ и О — архимедовы векторные решетки. Билинейный оператор Т : Е х ^ ^ О называют положительным, если Т(ж, у) ^ 0 для всех х £ Е+ и у £ Разность положительных билинейных операторов называют регулярным оператором. Билинейный оператор Т : Е х ^ ^ О положителен тогда и только тогда, когда для любых х £ Е+ и у £ частичные операторы

Т

положительны. Через Вг (Е, ^; О) и В+ (Е, ^; О) обозначим соответственно множества регулярных и положительных билинейных операторов из Е х^ в О. Пусть Е, ^, О — векторные решетки, причем О порядково полна. Тогда векторное пространство Вг (Е, ^; О) является порядково полной векторной решеткой, а решеточные операции имеют вид:

© 2008 Плиев М. А.

(Т V 5)(/, д) = 8ПР Т(/, д) + 5(/, д);

I г=1 п ч

/ € Е+, 5 € / + /2 = /, Vг £ {1,..., п}, ^ д» = д; п € N I.

Г п *=1 '

(Т Л ад, д) = Т(/, д) + 5(/?, д);

I г=1 п 4

/ € Е+, д € / + / = /, Vг € {1,..., п}, ^ д = д; п € N I.

¿=1 )

Билинейный оператор Т : Е х ^ ^ С называется решеточным биморфизмом, если частичные линейные операторы Т(ж, ) и Т(-,у) являются решеточными гоморфизмами, действующими в соответствующих пространствах. Порядковые проекторы, действующие как в векторных решетках, так и в пространствах операторов, будут обозначаться маленькими греческими буквами п, р и т. д. Из контекста всегда будет ясно о каких проекторах идет речь. Пусть А — некоторое подмножество элементов векторной решетки. Через па будем обозначать проектор на полосу {А}^.

2. Проектирование на полосу, порожденную решеточным бимоморфизмом

2.1. В настоящем пункте рассмотрим важное понятие, позволяющее вычислить проекцию положительного билинейного оператора на полосу, порожденныую решеточным биморфизмом.

Пусть Е, ^ и О векторные решетки и О, кроме того, порядково полна. Тенью регулярного билинейного оператора Т € Вг (Е, ^; О) называется множество

(Т) := {5 € Вг(Е,^; О) : (Vр € Вг(Е)), (V а € )), п^^р) < пвд^)}-

Как обычно булевы алгебры порядковых проекторов в пространствах Е и ^ будут обозначаться Вг(Е) и ) соответственно. Множества конечных разбиений единичных проекторов 1е и 1 р будем обозначать Рй(Е) и Рг1(^) соответственно.

Теорема. Для произвольного билинейного оператора Т € Вг (Е, ^; О) имеют место следующие утверждения:

1) УН(Т) — полоса в пространстве Вг(Е, ^; О);

2) УН(т)=УН(|Т|) э Т±±;

3) проекция оператора 5 € В+(Е, ^; О) на полосу УН(Т) вычисляется по формуле

{п т

У^ у^ пт(рк £>гр)Б(Рк, а);

к=1г=1 ч

< Очевидно, что УН (Т) будет векторным подпространством пространства Вг(Е,^; О). Пусть 5 € УН(Е, ^; О) и р € Вг(е), а € ), ж € Е +, у € Тогда

{п п ^

У] 5(рж», ау») : 0 ^ ж» ^ ж, 0 ^ у ^ У, Уг = У; п € N > =1 =1

и, следовательно,

Таким образом, УН(Т) — векторная подрешетка. Легко видеть, что УЖ(Т) порядковый идеал. Пусть 0 ^ 5а | 5

И 5а £ УЖ (Т). Тогда

^ Пт). Таким образом,

УЖ(Е, Е; С) является полосой.

Для операторов 5, Т £ Вг(Е, Е; С), 5 ^ Т включение УЖ(5) С УЖ(Т) очевидно. Кроме того, Т+, Т- £ УЖ(Т) ПУЖ(|Т|). Отсюда получаем, что УЖ(Т) = УЖ(|Т|). Если оператор 5 £ {|Тто 5 = 8ир{п|Т| Л 5}. Таким образом, для любых пар проекторов р £ Вг(Е), о £ Вг(Е) и любых (х, у) х £ Е+, у £ Е+ справедлива формула

П5(рж,сту) = 8иР{п(п|Т|Л5)(рж,СТу)} ^ иР{пга|т} = П|Т|(рж,сту) • Таким образом, {|ТС УЖ(Т) установлено. Пусть

{га т ^

Е!>т

Для доказательства утверждения (3) необходимо установить следующие факты:

a) 0 ^ йт (5) < 5;

b) йт(йт(5)) = йт(5);

c) йт(5) = 5 ^ 5 £ УЖ(Т);

^ йт — линейный оператор, действующий в пространстве Вг(Е, Е; С). Для любых разбиений (р&)П=1 £ Рй(Е), (ог)™1 £ Рй(Е) оператор 5(р&,07) является осколком оператора 5. При измельчении разбиений (р&) и (о) этот осколок уменьшается. Таким образом, йт(5) будет пределом убывающей сети осколков 5(р&,0г). Формула (а) очевидна. Для доказательства соотношения (с) рассмотрим следующую цепочку выражений:

га т

йт(5) = 5 ^ V (рк)П=1 £ Рй(Е), V (ог£ РИ(Е) ^ £пт(№е,^)5 о (рк  ог) = 5

к=1 г=1

га т

= Е Е 5 о (Рк  о)) ^ (Ур £ Вг(е)), (^ £ Вг(Е)) 5(р, о) = к=1 г=1

= Пт(р(Е),^))5 о (р  о) ^ ^ (Vр £ Вг(е)), (^ £ Вг(Е)) п^е),^)) < Пт(р(е),^))•

Если Т1, Т2 ^ 0, то для произвольных разбиений (рк), (р£) £ Рг^Е), (о^) , (от) £ Рй(Е) можем написать:

Е Е ПтКЕ,^)51 о

^ Е Е Пт(р*) (51 + 52) о (рк <8> о)) = Е Е Пт(р^Е,^)51 о (рк  ог)) + Е Е Пт(р^Е,^)52 о (рк <8> °г)).

Здесь под (рр) £ Рй(Е), (оу) £ Рг^Е) понимаются разбиения более мелкие, чем (р^), (р£) и (оП), (от). Переходя к инфинуму, получаем

йт (51) + йт (52) = йт (51 + 52).

Докажем теперь формулу (Ь). Пусть Ш = Кт(Б) и Б £ В+(Е, ^; О). Для любых р £ Вг(Е), а £ ) справедливо равенство:

п т

Ш

{п т т п Л

Е Е ПТ(ркЕ,а1Е)Б 0 (Рк  а0; Е Рк = р',Еа = а' Г ' к=1 г=1 к=1 г=1 J

Таким образом, Ш(р, а) ^ пт(Р(Е),а(Е))Б(р, а) для любых р £ Вг(Е), а £ ). Это

означает, что Б £ УН(Т). Используя уже доказанное утверждение (с), получаем, что Ш = Кт(V). >

2.2. Векторная решетка Е называется пространством Рисса — Фрейденталя (Е £ ), если для любых е > 0, е £ Е+, х < е существуют а £ Ж, р^ £ Вг(Е), г = 1,..., п, такие, что имеет место формула

п

Е-

г=1

< ее.

Пусть Е £ . Это означает, что дизъюнктные элементы в Е можно разделить проекторами. Иначе говоря, для любого х £ Е найдется р £ Вг(Е) такой, что х+ = рх. Для решеточного биморфизма Т, действующего в паре пространств Рисса — Фрейденталя, полосу УН(Т) удается описать более точно.

Теорема. Пусть Е, ^ £ , О — К-пространство. Тогда для любого решеточного биморфизма Т £ Вг(Е, ^; О) выполнено равенство УЖ(Т) = {ТКроме того, для любого оператора Б £ В+(Е, ^; О) справедливы формулы проектирования:

{п т

ЕЕпт

к=1 г=1 J

{п т

ЕЕпт

(0 ^ х ^ е, 0 ^ у ^ ]).

< Прежде всего отметим, что для любого оператора Б £ УЖ(Т) справедлива формула

Б

Действительно,

пт

+ Б(рхх, ау) + Б(рх, аху) + Б (рхх, аху)) = Б (рх, ау).

Последнее равенство справедливо в силу того, что справедлива цепочка неравенств

пЯ

ипр°ект°ры ПТ(р(Е),а(Р)), ПТ(р^(Е),а(Р)), ПТ(р(Е),а^(Р)), ПТ(р±(Е),а: ±(Р)) попарно дизъюнктны. Пусть 5 £ УН + (Т) и Т Л 5 = 0. Для произвольных е £ Е+, / € ^ + и р £ Вг(Е), а £ ) справедлива формула

п

Т(е,/) Л 5(е,/) < Е ПТ(р}(Е),а{(Р))Т(е,/) + ПТ(р2(Е),^(Р))5(е,/);

7=1

Vг £ {1,..., п} (Р')2=! £ ГГ1(Е); (аг)П=1 £ ГГ^). Используя теперь формулу (4), имеем

Т(е, /) Л 5(е, /) < ^ ПТ(р1(Е),^(Р))Т(е> /) + ПТ(р?(Е),^4(Р))5(е> /) ?

= Т(р1е,а/) + 5(рг2е,а/)1 = (Т Л 5)(е,/).

Тем самым для любых ж £ Е+, у £ и и > ж, V > у будет ¿"(ж, у) Л Т(и, V) = 0, что означает 5(х, у) = пт(е,р)5(ж, у) = 0. Отсюда получаем, что УН(Т) = {Т Формула (2) есть следствие теоремы 2.1. Пусть 0 ^ ж ^ е, 0 ^ у ^ /. Справедлива следующая цепочка равенств

ПТ (е,/)ПТ(рк(Е),а1(Р)) = пТ(рк е,^/)ПТ(рк (Е),а1(Р)) + ПТ(р^:в,а1/)ПТ(рк(Е),а1 (Р)) +ПТ (рк е,^^-{)ПТ (рк (Е)МР)) + ПТ(р^е,а^ )ПТ (рк (Е)МР)) = пТ(рк (е)М/))-пт(е,/)пт5(х,у) = йирПпЯ(е,/)(пТ Л 5)(х,у) = 8ир(пТ Л 5)(ж,у) = Пт5(ж, у).

пп

Теперь можем написать

п т

ПТ 5 (ж,у) = ПТ (е,/) ПТ 5(ж,у) = ^ ^2ПТ(е,/)ПТ (рк Е,а{Р )5 (Рк ж, а у) }

к=11=1

п т

= 1п£{Е Епт(рке^/)5(ркж,агу)}; (рк )П=1 £ (а £ Гг^). >

к=1г=1

Литература

1. Колесников Е. В. Разложение положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1989.—Т. 30, № 5.— С. 77-79.

2. Колесников Е. В. Несколько порядковых проекторов, поржденных идеалами векторной решетки // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 6.—С. 1342-1349.

3. Колесников Е. В. В тени положительного оператора // Сиб. мат. журн.—1996.—Т. 37, № 3.—С. 592598.

4. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

5. Кусраев А. Г. Ортосимметричные билинейные операторы в векторных решетках // Исследования по современному анализу и математическому моделированию.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.— С. 186-225.

6. Кусраев А. Г., Шотаев Г. Н. Билинейные мажорируемые операторы // Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2004.—С. 241-262.

7. Плиев М. А. Проекция положительного оператора Урысона // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, вып. 4.—С. 22-39.

8. Плиев М. А. Порядковое проектирование в пространствах операторов Урысона // Владикавк. мат. журн.—2006.—Т. 8, вып. 4.—C. 22-39.

9. Плиев М. А., Табуев C. Н. О проекциях положительного билинейного оператора // Исследования по математическому анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008.—С. 166-176.

10. Aliprantis S. D., Burkinshaw O. The components of the positive operator // Math. Z.—1983.—Vol. 184, № 2.—P. 245-257.

11. Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on products of the vector lattices: A survey // Positivity / Eds. Boulabiar K., Buskes G., Triki A.—Basel a.o.: Birkhauser, 2007.—P. 97-126.

Статья поступила 3 декабря 2007 г.

Марат Амурханович Плиев Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН 362027, Владикавказ, РОССИЯ E-mail: plimarat@yandex.ru