Обзор и исследования срочной структуры процентных ставок на китайском рынке облигаций

Обзор исследования срочной структуры процентных ставок на китайском

рынке облигаций

Ван Цзян

Аспирант 2-го года обучения Национальный Исследовательский Университет

«Высшая Школа Экономики»

Аннотация: Статья посвящена построению срочной структуры процентных ставок на китайском рынке облигаций. В статье рассматривается бывшие исследовании этой темы с 1997 года по 2010 году. На базе данных от Центрального государственного депозитария облигаций Китая строится модель кривой бескупонной доходности с помощью интерполяции Эрмита.

Annotation: The article deals with the research of construction of the term structure of interest rates on the China’s bond market. The article provides an overview of the exist research from 1997 to 2010. Based on the data from China Central Depository & Clearing (CCDC), article gives the computer simulation result of the Hermite interpolation.

Ключевые слова: Китай, рынок облигаций, срочная структура процентных ставок, кривая доходности.

Key words: China, bond market, term structure of interest rates, yield curve

В области финансов кривая доходности - графическое изображение того, как изменяются процентные ставки в зависимости от сроков погашения ценных бумаг на определенный момент времени. Продолжительность сроков обращения ценных бумаг откладывается по оси абсцисс, а показатели доходности к моменту погашения - по оси ординат. Кривые доходности постоянно изменяются, так как доходности ценных бумаг, учтенных в каждой кривой, варьируются ежедневно. Математическое описание этой зависимости - срочная структура процентных ставок.

Данная область является частью теории инструментов с фиксированной доходностью. Обычные примеры инструментов с фиксированной доходностью - это облигации и депозиты. Мы будем понимать под облигацией любое долговое обязательство, оформленное в виде рыночной ценной бумаги, платежи по которому определены в номинальных или реальных величинах. В связи с использованием государственных облигаций для макроэкономического планирования и валютной политики, вопрос о создании точной модели срочной структуры процентных ставок уже более 30 лет исследуется в Америке и в западных странах.

В настоящий момент, среди наиболее часто применяемых моделей на практике в Европе, можно выделить два классических параметрических подхода: модель Нельсона-Зигеля (Nelson-Siegel, 1987) и модель Свенссона (Svensson, 1994). На самом деле, модель Свенссона является модификацией модели Нельсона-Зигеля.

Если рассмотреть статические исследования срочных структур процентных ставок, то непараметрические (сплайновые) методы более популярны в США и в Японии, сплайновый метод был предложен J. МсСшПоск В работе МсСшПоЛ (1971) «Measш'mgtheTermStractш'eofInterestRates» автор предложил использовать квадратичные сплайны. Недостаток этого подхода в излишних колебаниях форвардной

кривой доходности. Чтобы избежать этих колебаний, он увеличивал порядок функций, составляющих сплайн. Далее данный подход был расширен I. A. Cooper(1976) иG. S. Shea(1984). В 1991 году, J. Stelly предложил метод, основанный на B-сплайнах. В 1995 году Fisher, Nychka и Zervos предложили использовать сглаживающие сплайны: они предложили добавлять так называемый штраф за негладкость для оптимизации целевой функции, которая контролирует гладкость и параметры метода generalcross-validation. В 1997 году, Waggoner предложил использовать различные штрафы за негладкость для различных сроков. Anderson и Sleath сделали шаг вперёд: они использовали непрерывную функцию для представления гладкости параметров.

В последние годы рынок облигаций Китая интенсивно развивался. Объем выпуска облигаций в конце 2011 года достиг 6962,51 миллиардов китайских юаней (CNY), а объем торговли в 2011 году достиг 67758,55 миллиардов китайских юаней (CNY). Но в Китае литературы об исследовании теории срочной структуры процентных ставок сравнительно немного, что обуславливает актуальность темы.

В 1997 году, Ян Дакайи и Ян Яун первоначально указали, что исследования кривой доходности казначейских облигаций стали одним из центральных вопросов в области финансов в Китае. В своей статье

«AbouttheResearchonChina’sBondMarketYieldCurve» китайские исследователи впервые использовали данные SSE (Шанхайская фондовая биржа) по облигациям (31 декабря, 1996, 21 февраля и 11 апреля 1997 года) для построения кривой доходности облигаций на рынке ценных бумаг Китая.

Ян Дакай и Ян Яун использовали фундаментальную формулу для ценообразования облигаций:

Где P - цена облигации, C - купонный платёж, F - номинальная цена облигации, у - доходность облигации, n - срок погашения.

Они выбрали семь казначейских облигаций для вычисления доходности. На графике они отметили точки, отражающие доходность и срок до погашения каждой облигации. Ян Дакай и Ян Яун получили кривую доходности с помощью линейной интерполяции.

Яао и Лян в 1998 году так же выбрали шесть облигаций из Шанхайской биржи и получили шесть точек после вычисления с помощью фундаментальной формулы для ценообразования облигации.Получив свою кривую, Яао и Лян в первый раз сделали макроэкономический анализ для финансовой среды с помощью кривой доходности.

В 2004 году, У Янь (WuYan) в своей работе предложила, что вычисление доходности является сложным процессом, поэтому для вычисления можно использовать финансовый калькулятор или использовать следующую упрощенную формулу:

C + (F -Р)/Т У ~ (F + P)/2

Она выбрала восемь казначейских облигаций 26 декабря, 2002, 2 апреля и 22 октября 2003 и построила три срочных структуры процентных ставок линейной интерполяцией по этим восьми точкам. В результате, она указала, что, несмотря на то, что кривые доходности сильно колебались, они имели возрастающую тенденцию. Кроме того, неправильная форма кривой доходности показала, что рынок облигаций в Китае был несовершенным и незрелым в то время. Для развития рынка она предложила увеличить число типов облигаций или выпуск производных на облигации.

Чжэн и Линь (ZhangZheng-ling, LinHai, 2003) отдельно использовали метод Bootstrapping и сплайновый метод для оценки доходности. Их сплайновая формула:

г

0,0 < т < dj_±

fj(rn) =

2(dj-

1

,dj <m< dj+1

2

V

0, 0 < m < dk_1

fk(m) = j (m-dk_1)2 d {2 (mn-dk_1)’

, dk_1 < m < mn

[j_i]

Где dj = mj + 0(m1+1 - mj), mj = 0 =

На практике они использовали реальные данные от 13 декабря, 2002 года из Шанхайской биржи при ситуации, когда k=3 и k =4 для сплайнового метода. В результате, выводы следующие: оценка метода Bootstrapping и оценка сплайнового метода при k=4 очень близки, поэтому эти оценки ближе к правде. Но при k=3 оценки сплайнового метода были относительно хуже, чем прежние.

Ян и Ли (B.C. YangиB. Li, 2004) начали объединять кубический сплайн и обобщённый метод Bootstrapping для построения кривой доходности для казначейских облигаций.

Они определили, что существуют K облигаций. И i-я облигация описывается какВ^ = [ni,Ci,ti,Pi],i = 1, ...,К,гдещ: количество купонных платежей,^: - купонная цена, вектор времени купонных оплат: tt = [ti ±,..., ti n.] и tl n± < t2,„2 < — < tKnR.

Таким образом, фундаментальная формула для ценообразования облигации превращается в следующую формулу:

Пі

Pi + Аі = exp(-r7- * tUj) + Fjexp(-rnj * tj,n.) ,i = 1,...,K

;=i

ГдеРі: - чистая цена, Л;: -начисленные проценты с даты последнего платежа на текущую дату, Ft: - номинальная цена, и г;-: -мгновенная процентная ставка в момент tj.

Если количество неизвестных мгновенных процентных ставок N равняется К, то задача решается с помощью традиционного bootstrap метода, но если N больше чем К, то задача решается с помощью дополнительных уравнений. Они выбрали функции кубической интерполяции:

CS(t) =

RA1T, t < t2,r RA2T,t2,n2 < t < t3 ns RA3T,t3 n3 <t< t4 n4

<RAk-l^,^K-l,nK_1 < t < £K,nK

ГдеR = [rx, r2,..., гк]доходности этих К облигаций и

Ai =

ai , , а7* , cXj

11Х 1\,2} 1\,Ъ} ‘•1,4

й/ , й/ , СХ/ , CXj

*2,1' ^2,2' ^2,3' ^2,4

,i = 1,2, ...,tf- 1,7 = [1,t,t2,t3]

-aife,l,aife,2,aife,3,aifc,4-

Используя объединенные уравнения формулы ценообразования и сплайновые функции CS(t), можно решить проблему традиционного метода bootstrap.

На практике Ян и Ли использовали данные от 21 января, 2002 года и 21 марта 2002 года из Шанхайской биржи и получили свою кривую. В результате они нашли, что

у кривых доходностей по облигациям со сроком погашения 4-10 лет были сильные

колебания. На самом деле в это время большинство китайских казначейских облигаций имели срок погашения 5-10 лет. Подробные методики также сделали Тань, Су и Ху.

В 2003 году ЧжуФэн (ZhuFeng, 2003) в своей работе сравнил известные параметрические методы, такие как модель Нельсона-Зигеля и модель Свенссона, со сплайновыми. Чтобы сравнить параметрические и сплайновые методы, ЧжуФэн формализовал функции ценообразования облигации следующим образом:

Где, Су: - денежный поток по облигации номера /, Ьт - срок погашения после т раз купон платёжки, ^і(£т) - приближение функции, которая зависит от Ьт ,Ьі -неопределенные коэффициенты. Для выбора ^^(Ст)ЧжуФэн предложил использовать В-сплайновый метод, который также широко используется после 90-ых годов (например, модель Fisher-Nychka-Zervos (FNZ) была создана на базе В-сплайнов). s-ая сплайновая функция gs (і) может быть записана так:

ЧжуФэн разделил реальные торговые данные облигации из Шанхайской биржи на 2 части. Первая часть: данные от 30 августа, 2001 года по 8 октября, 2002 года, вторая часть: данные от 9 октября, 2002 года по 29 января, 2003 года. Затем он отдельно построил кривые доходности казначейских облигаций, используя модель Свенссонаи

5+4 5+4

І = 5 у = 5 ,]фі

модель FNZ.

Автор сравнил эти 2 метода с помощью показателей среднеквадратической ошибки (RMSE): RMSE = ~В]У/ы и средней абсолютной ошибки (МАЕ):

_В'\

МАЕ= ^7=1 \ } . Результаты: две модели были близки, но обе имели чрезмерную точность (overfitting).

Сравнив с кривыми доходностями развитого рынка облигации, ЧжуФэн указал, что получил значительный разрыв из-за данных Шанхайской фондовой биржи. На биржевом рынке было недостаточное количество типов казначейских облигаций.

В работе Тан и Чжу (R.G.TangandF.Zhu, 2003) используется метод главных компонент (РСА) для построения кривой доходности. Авторы предположили, что изменения кривой доходности, в основном, объясняются тремя компонентами: уровнем (41.67%), склоном (32,29%) и кривизной (16,88%).Чжан и Сюй (Z.Y.ZhangandT.Xu, 2006) использовали метод главных компонент для исследования кривой доходности на реальных данных китайского рынка за 2004 года и выяснили, что колебание облигаций, у которых срок до погашения средний, относительно больше, чем у краткосрочных и долгосрочных. Они утверждают, что метод главных компонент может упростить исследование изменений кривой доходности и помогает понять срочную структуру процентных ставок.

Чжэнь и Ли (^ ОДепДЛ. Li, 2005) сравнили метод МсСиПос^ подход на основе В-сплайнов и модель Nelson-Siegel, после сравнения они заключили, что у метода МсСиИо^ недостаточная степень точности, но он менее чувствителен к выбросам в данных. Поэтому они на базе метода МсСиИо^ разделили все облигации на 2 части: облигации со сроком до погашения менее трех месяцев и облигации, у которых до погашения больше чем 3 месяца.

Таким образом, функция дисконтирования описывается следующим образом:

Более того, Чжэнь и Ли предположили, что цена дисконтной функции равняется 1 при t = 0. Т.е.,

( 1 + + а2£2, Ь < 0.25

D(t) = Ь 1 1 ~\ ( 1 1~\ -о

(д — 16 + 16 + \ 1 + 2^2 - 2^/ + Ь2 С > 0.25

Подставляя дисконтный фактор в уравнение ценообразования облигации (Р = ЕГ=1 £^(0) была получена следующая модель:

Р ^Сі а±( ^ С^ + ^ СґН + а2( ^ С^2 1б ^ + 2 ^

ґ Ч<0'25 ґ>0'25 / \ґ<0'25

С'с+ І с‘

сл

^<0.25 ґ>0'25

ь2

ґ>0'25

ґ>0'25

ґ>0'25

ґ>0'25

Функцию дисконтирования можно оценить с помощью метода наименьших

квадратов. Чтобы удовлетворять требованиям независимых и одинаковых

распределений, Чжэнь иЛи использовали подход Vasicek, они определили:

„ 02Р

= ----------т

Где D - срок до погашения облигации иг(Ь) - внутренняя норма доходности. Далее они использовали формулу: £(£) = (1 + ^)~* и получили мгновенную процентную ставку.

Ван и Чжан (J.Q.Wang,P.Zhang, 2006) в своей работе сделали подробный анализ и предположили, что дисконтная функция имеет такой вид:

F(t) =

^(0 = а± + + у-^2 + Я-^3, С е [0, г^]

^2(0 = а2 + + у2с2 + ^3, £ е [^, с2]

ЖО = а1 + № + у* С2 + 5^3, С е [^, £,]

Где а^,Р1,у1,81: неизвестные параметры, которые следует оценивать. Чтобы обеспечить непрерывность кусочно заданных функций, были наложены следующие ограничения:

№д = Р;+1

иF1(0) = 1. Таким образом, связь между ценой облигации и мгновенной процентной ставкой можно записать так:

Р =

С

+

С

С

+

+ - +

С

+

На практике, авторы выбрали данные 10 октября, 2005 года и разделили

функциюF(t)на 3 части:

( F1(t) = ах + + у-^2 + Я-^3, С е [0,3]

F(t) = | F2(t) = а2 + Д2С + у2С2 + 52С3, С е [3,5]

(/з(0 = + № + у3С2 + 53С3, С е [5,10]

Т.к. F(0) = 1, они получили, что а^ = 1 и:

F1(t) = 1 + + УхС2 + 5^3, С е [0,3]

F2(t) = 1 + р^Ъ + у^2 + ^[С3 — (С — 3)3]

F(t) И +52(С —3)3де [3,5]

F3(t) = 1 + ^ + у^2 + ^[С3 — (£ — 3)3]

.+52[(С — 3)3 — 82(Ь — 5)3] + 63(Ъ — 5)3,1 е [5,10]

Неизвестные параметры можно найти с помощью множественной линейной

регрессии. Авторы использовали обобщенный метод наименьших квадратов и

получили следующие результаты:

р! = —0.0598,7! = 0.0197,= —0.00307, б2 = 0.00154, 53 = 0.00131

Подставив эти значения параметров в формулу для F(t) и используя связь

между функцией дисконтирования и бескупонной процентной ставкой: Д(0 = 1

—-1п^(С)], Ван и Чжан построили свою срочную структуру процентных ставок. С помощью этой кривой они показали, что долгосрочная кривая доходности стремится к горизонтальной асимптоте. Ли и Мао и УР.Мао, 2008) в своей работе также разделили функцию на 2 части:

(Ог&) = аг + а2Ь + а3Ь1 + а4С3, С е [1,5]

Ш2(0 = Ьх + Ь2Ь + Ь3С2 + Ь4С3, Ь е [5,20]

;^1

£>!(°(0 = 1

Так как ] 1 _ ^ , согласно предыдущим работам, ах = 1, Ь± = 1 и

цену облигации можно записать так:

5 5 5 5

р1 = 1с(5) + ! С(5)а2С + ^ С(5)а3С2 + С(5)а„£3

N=1 N=1 N=1 N=1

Или Рх = хх + а2х2 + а3х3 + а4х4

20 20 20 20

Р2 = ^ с(5) + ^ С(5)а2С + ^ С(5)а3Ь2 + ^ С(5)а4[с3 — ^ — 5)3]

N=5 N=5 N=5 N=5

20

N=5

Используя линейный регрессионный анализ, Ли и Мао получили: р — хх = —0.04964480293х2 + 0.0049328018х3 — 0.0005333643134х4

с коэффициентами R2 = 0.972239, R = 0.969715.

Таким образом, функция дисконтированиязаписывается как

fD1(t) = 1 - 0.04964480293t + 0.0049328018t2 + -0.0005333643134ts, t e [1,5]

I D2(t) = 1 - 0.04964480293t + 0.0049328018t2 - 0.0005333643134ts

( +0.00949553(t - 5)3t e [5,20]

Шао и Ян (R.P.Shao, J.X.Yang, 2008) в своей работе использовали формулу McCulloch дисконтной сегментации: Tj = Th. + Qj (rh.+i+Th^J, гдеhj = [j * ^ - hjj, j = 1,2, ...,k- 1, M - количество облигаций, N - количество отрезков. На практике они выбрали 28 облигаций от 13 марта, 2008 года, поэтому здесь К = [ V28] = 5,функция дисконтирования: B(s, t) = /(s - t,/?),где вектор /? можно записать так:

B0(t) = d0 + c0t + b0t2 + a0t3,t e [0.000,1.298]

Bx(t) = d± + cxt + bxt2 + axt3, t e [1.298,2.738]

B2(t) = d2 + c2t + b2t2 + a2t3,t e [2.738,3.694]

B3(t) = d3 + c3t + b3t2 + a3t3,t e [3.694,7.734]

B4(t) = d4 + c4t + b4t2 + a4t3,t e [7.734,15.100]

Используя схожий процесс для сокращения количества неизвестных параметров, было получено, что

B0(t) = 1 + Cgt + bgt2 + Я-qt3,t e [0.000,1.298]

Bx(t) = 1 + c0t + b0t2 + a0t3 + ax(t - 1.298)3,t e [1.298,2.738]

B2(t) = 1 + c0t + b0t2 + a0t3 + ax(t - 1.298)3 + a2(t - 2.738)3,t e [2.738,3.694]

B3(t) = 1 + c0t + b0t2 + a0t3 + ax(t - 1.298)3 + a2(t - 2.738)3 + a3(t - 3.694)3, t e [3.694,7.734]

B4(t) = 1 + c0t + b0t2 + a0t3 + a±(t - 1.298)3 + a2(t - 2.738)3 + a3(t - 3.694)3 + a4(t - 7.734)3,t e [7.734,15.100]

Упрощённо уравнение цены облигации можно записать так:

Pt = М + х±с0 + х2Ь0 + х3а0 + х4ах + х5а2 + х6а3 + х7а4 + ^

Решив это уравнение с помощью метода наименьших квадратов, Шао и Ян получили свою модель. В LM тесте (тест множителей Лагранжа) R2 = 0.998625, поэтому авторы утверждают, что точность их модели высокая, хотя существуют некоторые отклонения для некоторых реальных облигаций. Подробный метод также реализовал Чжэн (X.R.Cheng, 2010).

Чжэнь и Шэнь (F.F.Chen, C.Z.Shen, 2006) в своей работе использовали модель Нельсона-Зигеля для функции мгновенной форвардной процентной ставки облигации:

ЯО = До + A exp

Т.е. функция мгновенной процентной ставки облигации записывается как

С f(s)ds

R(t)=° / = lo+li

1-exp

1-exP (-£) t

--------t---------exp

— T1

В модели существуют четыре параметра: До,^1,Д2,т1 , Чжэнь и Шэнь рассматривали эти параметры, как переменные величины и использовали их, чтобы найти эмпирическое значение процентной ставки. Затем они минимизировали следующую целевую функцию для определения параметров Ро,Р\,Р2.

п

} = '^^1(р,тЛ1 — Р,тк1)'

1=1

Где п - количество облигаций, р1тй1 -теоретическая цена ьой облигации, p^mkt

- соответствующая рыночная цена. ^ - вес ьой облигации. В этой модели они

положили вес облигации обратно пропорциональным дюрации, что дало больший вес краткосрочным облигациям.

Чжэнь и Шэнь предположили, что если yt(x) - доходность казначейской облигации в момент t, у этой облигации срок до погашения т и прогнозированная доходность yt+h/t. Далее они сравнили 2 модели прогнозирования: модель случайного блуждания yt+h/t = yt(T), которая предполагает, что лучший прогноз процентной ставки остается неизменным, и модель авторегрессии (AR(1)) Pi^+h/t = + YjPit, i =

1,2,3.

На практике Чжэнь и Шэнь использовали данные по 698 дням из Шанхайской биржи с 4 января, 2002 года по 29 декабря, 2004 года и различные шаги h=1, h=30, h=60,h=90 дней.

Средняя абсолютная ошибка (MAE) модели Нельсона-Зигеляна для 698 торговых дней получилась 2.39961 CNY, а средний квадрат ошибки в цене (MSE) -

0.02951 CNY. Соответственно, средняя абсолютная ошибка модели AR(1) - 8.58E-06 и средний квадрат ошибки в цене - -4E-05.

Чжэнь и Шэнь показали очевидное превосходство модели AR(1). Кроме того, по результату сравнения MAE и MSE для разных шагов h Чжэнь и Шэнь указали, что минимум MAE и MSE достигается при h = 90.

В работе Ван и Цянь (K.F.Wang, X.H.Qian, 2009) были построены кривые доходности, далее авторы использовали различные мгновенные процентные ставки для оценки колебания и риска рыночной цены в гауссовском методе HJM.

В работе Су, Яао и Ли (Y.P. Su, B.C. Yao,D.L. Li, 2011) проведена оценка параметров некоторого обобщения модели Нельсона-Зигеля при помощи генетических алгоритмов.

Модель Нельсона-Зигеля оценки мгновенной процентной ставки облигаций

можно записать в таком виде:

С f(s)ds R(t) = Jo'(/ = &+&

Т.е. цена облигации

1-exp

+ Р2

1 - exp

t

т2

exp

*2

п

P + A = ^ Сехр

1=1

Где Р - чистая цена облигации, А - накопленный процентный доход, С - цена купона, F - номинальная стоимость облигации, п - количество остаточных платежей купона, Гі - доходность, di - функция дисконтирования. Су, Яао и Ли указали, что часто используются нелинейные алгоритмы со строгими ограничениями для поиска вектора параметров: Д = [Д0, Рі, Дг,ті,т2] , которые оказываются слишком

чувствительными и нестабильными, более того, эти методы часто находят локальные решения, и это влияет на глобальную точность.

Сначала, Су, Яао и Ли предположили, что целевая функция для оценки вектора

Р: Р, записывается следующим образом:

^ 1/Dt

ZiV 1/,

(ШіЄі)2,Ші =

і=і Lj=і

Є = P — P , cl rl rl

-/=1 1/^7

Где N - количество облигаций, Dj -дюрацияМаколея, Р1 - оценка цены, веса

1

= —. Для минимизации этой функции необходимо следующее условие:

0 < R(xmin),0 < R(^),exp[-R(Tk),Tk] > exp[-R(xk+1),Tk+1] Vrk < т тогда генетический алгоритм можно записать в следующем виде:

Р* = min fitness

max,

Су, Яао и Ли отметили, что по сравнению с традиционными оптимальными

методами, генетический алгоритм уменьшает объем вычислений и делает результат более стабильным. Они сделали эмпирическое сравнение метода bootstrap на базе кубической интерполяции, метода Нельсона-Зигеля и генетического алгоритма. Их результаты показывают, что у последнего метода качество оценки кривой доходности выше. Они использовали этот метод на реальных данных и показали, что кривая доходности имеет значительные различия в начальной стадии финансового кризиса, в промежуточной стадии и в конце на основе данных последнего финансового кризиса.

Если мы рассмотрим методику построения кривой бескупонной доходности, используемую Центральным государственным депозитарием облигаций (CCDC), то можно выделить три этапа:

1) Исследовательский этап (1999 - 2001): CCDC совместно с компанией Reuters создали первую в Китае официальную модель кривой доходности. Исходными данными были данные по сделкам. Котировки, хотя они и доступны, использованы не были.

2) Этап разработки (2002 - 2005): Четыре типа кривых доходностей государственных облигаций были разработаны CCDC. На этом этапе применялся метод интерполяции полиномами второй степени. В качестве исходных данных использовались цены сделок, котировки и экспертные оценки. В то же время на разных рынках появились различные методы оценки кривой доходности по государственным облигациям.

3) Сравнительно развитый этап (2006 - текущий момент): CCDC

использует несколько разных кривых доходностей: кривая доходности к погашению, кривая мгновенных процентных ставок и некоторые другие. В настоящее время эта тематика является предметом интенсивного изучения.

В текущий момент Китайский центральный государственный депозитарий облигаций пользуется следующим алгоритмом для построения кривой бескупонной доходности.

Если погашения 0 = хх < х2 = 30 лет, (х1,У1)и(х1+1,у1+1) известны, 1,1 + 16 [1,30] Ухг < х < хп, то функцию доходности можно записать так:

у(х) = у^ + У1+1Н2 + ^Н3 + ^+1Я4

где

___ -V \ 2 / -V. _ у \ 3

1 + 1 л \ ~ ( л1+1 л

Н1 = 3 1^---------------------1 -2

хі+1 хі' ^хі+1 хі

/ X — Х, \2 ( X — Хі \3

Н2 = 3(------------М — 2(----------------М ,

\Х^+і Xі/ '^і + 1 хі'

н = (хі+1 — х)2 (хі+1 — х)3

хі + 1 — хі (хі+1 — Хі)2

(х — Хі)3 (х — Хі)2

н4 =

(Хі+1 хі) хі + 1 хі

Для исследования и построения таких кривых бескупонных доходностей используются следующие данные:

(1) Цены сделок, заключенных на внебиржевом рынке облигаций.

(2) Котировки покупки и продажи межбанковского рынка.

Список литературы:

1. C.R. Nelson and A.F. Siegel, “Parsimonious Modeling of Yield Curves [J]”, Journal of Business, 1987, (60): 473-489.

2. L. Svensson, “Estimating Forward Interest Rates with Extended Nelson-Siegel Method”,SverigesRiskbank, 1995, Quart. Rev., No.3, 13-26.

3. J. McCulloch, “Measuring the Term Structure of Interest Rates [J]”, Journal of Business, 1971, 44(1), 19-31.

4. J. McCulloch, “The Tax Adjusted Yield curve”, Journal of Finance, 1975, No. 30, 811-829.

5. G. Shea, “Pitfalls in Smoothing Interest Rate Term Structure Data”, Journal of Finance, 1984, Quant. Anal 19, 253-269.

6. J. Steeley, “Estimating the Gilt-Edged Term Structure: Basis Splines and Confidence Intervals”, Journal of Business, 1991, 513-529.

7. M. Fisher, D. Nychka, and D. Zervos, “Fitting the Term Structure of Interest of Interest Rates with Smoothing Splines in Working Paper” Finance and Economics Discussion Series, 1995. (Federal Reserve Board, Washington, DC).

8. D. Waggoner, “Spline Methods for Extracting Interest Rate Curves from Coupon Bond Prices”, Federal Reserve Bank of Atlanta Working Paper, 1997, 1-23.

9. V.A. Lapshin, “On Determination of the Time Structure of Interest Rates”, in Collection of Articles of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of the Moscow State University (MAKS Press, Moscow, 2006), No. 3, pp. 92-98.

10. Yang Da-kai, Yang Yong. (About the research on China’s bond market yield curve [J]) // Journal of Finance and Economics. -1997. -Vol. 7. Pp. 14-19.

11. Yao Chang-hui, Liang Yue-jun. (Positive research on China’s bonds’ yield curve) //

Journal of Financial Research. -1998. -Vol.08. Pp. 12-18.

12. Zhang Zheng-ling, Lin Hai. (Static Approximation of China’s interest rate term structure) //The Journal of Wuhan Finance. -2003. -Vol.25. Pp. 28-37.

13. Yang Bao-chen, Li Biao. (Estimation on Treasury Bond Yield Curve with Generalized Bootstrap Method [J]) // Chinese Journal of Management Science. 1003-207(2004)06-0001-05. -2004. -Vol. 12, no. 6.

14. Xu Ying-wu. (Four-degree B-spline method for constructing theoretical treasury yield curve [J]) // Journal of Hefei University of Technology. 1003-5060(2006)05-0606-03.

- 2006. -Vol.19, no. 3.

15. Fang Yong, ShuaiMei, Lin Zhi-hang. (A Method for Constructing Hermite Spline of G2 Continuation) // Mechanical Science and Technology. 1003-8728(2000)03-0386-03. -2000. -Vol.19, no. 3.

16. Tan Zheng-xun, Su Gui-fu, Hu Zong-yi. (Method for constructing China's Zero-coupon yield curve) // Statistics and Decision. TJYJC200405042. -2004. -Pp. 74-75.

17. Wang Jian-qiang, Zhang Pu. (Zero-coupon Yield Curve Based on Treasury [J]) // Journal of Huaihua University. 1671-9743(2006)02-0086-03. -2006. -Vol.25, no.2.

18. He Guo-sheng, Deng Xiao-zhuo. (Theory Review and Practice Thinking on Zero Coupon Bond's Yield Curve for China [J]) The Theory and Practice of Finance and Economics.1003-7217(2005)02-0074-05. -2005. -Vol.26, no. 134.

19. Zhu Feng. (Estimates of Treasures Yield Curve) Securities Market Herald. ZQSCDB20030407. -2003. -Pp. 31-36

20. Liu Yanxiao. (Analysis of Bond Market Yield Curve) Technology and Market. -2009. Vol.16, no.4. -Pp. 5-7.

21. Chen Xiaoxian. (Research into Interest Term Structure of Chinese Bond

Market).1008-1569(2008)06-0112-11. -2008 -Pp.112-122.

22. Su Yun-pen, Yang Bao-chen, Li Dong. (Empirical Research on Extended Nelson-Siegel Model Based on Genetic Algorithm) // Statistics & Information Forum.

1007-31161201101-0015-05. -2011. -Vol.26, No.1. -Pp. 17-19.

23. Wang Yun-xiang, GaoXin-bo. (A Study on Term Structure of Interest Rate of National Debt in China) // Xinjiang Finance.1007-8576(2006)01-0041-03. -2006. -Vol.1. -Pp. 41-44.

24. Chen Wei, Li Yi-jun. (On the Construction of Yield Curve for RMB) // Systems Engineering. 1001-4098(2005)11-0034-04. -2005. -Vol.23, No.11. -Pp. 33-37.

25. Wang Ke-feng, Qian Xiao-hui. (The Extracting of Yield Curves and Its Application in the Parameter Estimation of Gaussian HJM Model) // Science and Technology Information. -2009. -Vol.5 -Pp. 12-13.

26. Wu Yan. (Positive Analysis on the Income Rates Curve of Public Debt of China) // Journal of Inner Mongolia Finance and Economics College. 1004-5295(2004)03-0044-04. -2004. -Vol. 3 -Pp. 44-47.

27. Zhang Zhong-yu, Xutao. (PCA on the Term Structure of Zero-coupon Yield Rates) // Statistics & Information Forum. 1007-3116(2006)01-0097-04. -2004. -Vol. 21, No.1 -Pp. 44-47.

28. Jin Bin, JiangXiao-dong.(On the Structure of Return Rate Curve of National Debt in China: Authentic Proof Research on Term Structure Based on Interest Rate) // Journal of Inner Mongolia Finance and Economics College. 1004-5295(2003)-0045-05. -2003. -Vol. 3. -Pp. 45-49.

29. Yu Jin. (China's National Debt Yield Curve Analysis and Countermeasures) // Journal of Contemporary Asia-Pacific Studies. -2004. -Vol. 11. -Pp. 47-50.

30. Guo Duo-yi, Wu Yan. (A Study on the Earning Ratio of National Debt in China) // Statistics & Information Forum. 1007-3116(2004)03-0005-03. -2004. -Vol. 19, No.3 -Pp. 5-7.

31. CaiXiu-li. (A study on Term Structure of Chinese Bond Market) // New Finance Economics. 1009-4202(2010)11-060-01. -2010. -Vol. 11. -Pp.060.

32. Chen Fang-fei, Shen Chang-zheng. Nelson-Siegel (Nelson-Siegel Model and the Yield Curve of China’s Bond Market) // Finance Forum. 1002-6487(2006)02-0133-02. -2006. -Vol. 02. -Pp.133-135.

33. Hu Yong, Chen Min. (China’s securities issue problem analysis based on national debt earing rate curve) // Journal of Chongqing Technology and Business University.

1008-6439(2003)-05-0066-03. -2003. -Vol.5. -Pp.66-68.

34. Li Fang, Mao Yu-ping. (China's Government Fixed-coupon Bond Yield Curve Research). // Journal of University of Science and Technology of Suzhou. 1672-0695(2008)04-0014-05. -2008. -Vol. 25, No.4. -Pp.14-18.

35. Zhang Lin. (A Research On the Yield Curve of China’s Bond Market). // China Business Update. -2009. -Vol. 10. -Pp. 158.

36. Cheng Xin-ran. (Positive Analysis on the Government Bond Yield Curve of China’s Bond Market). // Market Modernization Magazine. -2010. -Vol.616, No.7. -Pp. 149.

37.XieLuo-qi, Jia Ping. (Multiplicity Expectation and Research of China’s Yield Curve) // Inner Mongolia Science & Technology and Economy. -2005. -Vol. 09. -Pp. 13-14.

38. Chen Wei, Ma Jun-chi, Zhao Yao-wen. (China's Government Bond Yield Curve Research) //Shandong Economy. 1000-971X(2011) 03-0118-06. -2011. -Vol.164, No.3 -Pp. 118-123.

39. Shao Rong-ping, Yang Jun-xia. (SSE Zero- coupon Yield Curve Construction Based on Treasury) // China Business (JINGJI LILUN YANJIU). -2008. -Vol.22. -Pp. 55-56.

40. Yang Bin. (Yield Curve Function Analysis - Research Based on China’s Bond Market) // Productivity Research. 1004-2768(2010)01-0080-03. -2010. -Vol.1. -Pp. 80-82.

41. Chinabond Yield Curves Users’ Manual

http ://eyield.chinabond.com.cn/ cbweb/index.htm?lx=yc