Вариационно-разностный подход в решении контактной задачи для нелинейно-упругого неоднородного основания. Плоская деформация. Результаты расчета часть 2

При дальнейших экспериментальных исследованиях деформируемых образцов необходимо для увеличения информативности измерений повысить коэффициент излучения поверхности образца, например ее зачернением, теплоизолировать поверхность образца, а измерение температур в наиболее нагретых зонах параллельно с ИК-термографированием проводить с помощью пленочных и других термопар.

В Ы В О Д

Разработана методика исследования процесса зарождения и развития разрушения в деформируемых растяжением элементах арматурных изделий с использованием теплоты механического деформирования, и выполнен термографический анализ работы различных типов арматурных изделий.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Инфракрасное излучение, возникающее при деформации и разрушении металлов / К. В. Абрамова [и др.] // Журнал технической физики. - 1988. - Вып. 4, т. 58. -С. 817-821.

2. Экспериментальная механика: в 2 кн. / под ред. А. Кобаяси. - М.: Мир, 1990. - Кн. 2. - 552 с.

3. Мейз, Дж. Теория и задачи механики сплошных сред / Дж. Мейз; пер. с англ. под ред. М. Э. Эглит. - М.: Мир, 1974. - 319 с.

4. Мойсейчик, Е. А. Определение расчетного сопротивления статически нагруженных элементов стальных конструкций с учетом эффекта термомеханического деформирования материалов / Е. А. Мойсейчик // Меха-ника-99: II Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике, 29-30 июня 1999 г. - Минск: БелНИИС, 1999. - С. 82-88.

5. Мойсейчик, Е. А. Энергетическая характеристика разрушения металлических конструкционных материалов / Е. А. Мойсейчик, М. К. Балыкин // Актуальные проблемы расчета зданий, конструкций и их частей: теория и практика. - Минск: Технопринт, 2002. - С. 112-117.

6. Термомеханические эффекты при деформировании конструкционных материалов: отчет о НИР / Е. А. Мой-сейчик [и др.] // № ГР 2001315. - Минск: БНТУ, 2002. -162 с.

Поступила 07.07.2008

УДК 624.072.21.7

ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ ПОДХОД В РЕШЕНИИ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО НЕОДНОРОДНОГО ОСНОВАНИЯ. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА*

ЧАСТЬ 2

Докт. техн. наук, проф. БОСАКОВ С. В., КОЗУНОВА О. В.

Белорусский национально-технический университет, Белорусский государственный университет транспорта

Вначале решается задача в линейной постановке. По вычисленным значениям перемещений 7-й узловой точки мг (х), (у) с помощью геометрических уравнений (4) и конечно-разностных соотношений (11) определяются

* О к о н ч а н и е. Начало см. «Вестник БНТУ» № 1 с. г.

интенсивность деформаций (3) и интенсивность напряжений в центрах ячеек (2).

Имея значения напряжений и перемещений, полученные в результате решения задачи в первом приближении, определяем касательный

модуль деформации (5) для каждой ячейки и решаем задачу во втором и последующих приближениях. Итерационный процесс заканчивается, как только разница между последующим и предыдущим приближениями будет соответствовать требуемой точности решения задачи.

Критерием сходимости служит условие, чтобы максимальная поправка д г по искомой

функции f (x, y) за один обход сетки не превосходила малой величины , зависящей от шага сетки и полной осадки штампа. Для нашей задачи критерий сходимости имеет следующий вид:

Лп) _ Лп-1)

bf - -/max !

f J m

max

где /тах, Утах _ максимальные значения искомой функции (n) и (n - 1) итераций.

Для реализации указанного подхода составлена программа на языке Mathematica 6.0 и проведена ее числовая апробация для двухслойных оснований. В численный счет использовались следующие исходные параметры:

1-й слой основания (песок средней плотности) - ctvi = 0,2 МПа; Vi = 0,3; E0l = 25 МПа;

2-й слой основания (суглинок) — gV2 = 0,25 МПа; v2 = 0,33; Е02 = 30 МПа; железобетонная плита (бетон марки В15) - Р = 90000 Н; / = 1,2 м; h = = 0,5 м; Е5 = 2,35 • Ю10Па.

На рис. 7-9 приведены результаты расчета осадок основания и плиты, распределение реактивных давлений в контактной зоне плиты и вертикальных напряжений в верхнем слое основания под плитой для первых трех итераций. Из графиков следует, что итерационный процесс сходится быстро, особенно при расчете напряжений: а) результаты 1-й и 2-й итераций расчета вертикальных напряжений практически совпали (8а = 0,58 %); б) реактивные напряжения имеют самую малую поправку в критерии сходимости (8^ = 0,18 %), практически полное совпадение результатов (линейный расчет) и последующих итераций, что отличается от сходимости осадок (5v = 0,93 %).

Отметим, что несложно по найденным значениям вертикальных перемещений узловых

(п-1).

тах

точек наити внутренние усилия в сечениях плиты.

-0,01055

s

g -0,0110 !

э

о

о

-0,0115 î

Линейный ¡расчет 1

2

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0 х, м

Рис. 7. Осадки основания и плиты в контактной зоне (линейный расчет): 1 - первая итерация; 2 - вторая итерация

Ру, Па"

-100000'

-2002000000

-300000'

0 5 1 Линейный 0 1, расчет 5 0 х, м

\

\

Рис. 8. Эпюра реактивных давлении в контактной зоне

-50050000

а$. Па

-100000

-150000

0,5

1,0

1,5

22,.00 х, м

Линейны шрасчет

Рис. 9. Эпюра вертикальных напряжений в верхнем слое основания

Результаты вычислений внутренних усилий приведены на рис. 10. Эпюра Qy кососиммет-рична и достигает максимума под крайними внешними силами, действующими на плиту. Эпюра Мх симметрична и максимальна под средней внешней силой. Вид и характер эпюр

полностью соответствуют результатам теоретических расчетов [1, 2].

а

150000

ву, Н 100000

50000 -50000 --100000 -150000

:

0 ,5 1 ,0 2,0 х

б

0 5 11.,0 0 1, 22.0, х 0

\

Х

Рис. 10. Эпюры внутренних усилий в сечениях плиты: а - поперечная сила; б - изгибающий момент

На рис. 11 и 12 в сравнении показано распределение вертикальных напряжений (вторая итерация) в верхнем слое основания под плитой по ее ширине на разной глубине основания. С ростом глубины основания максимальные к

напряжения о уменьшаются и опасные сечения в горизонтальном срезе под плитой перераспределяются.

Рис. 11. Эпюры напряжений (вторая итерация) под подошвой плиты на глубине: а) А = Ду/2; б) /г = ЗДу/2; в) А = 5&у/2

-60000

О V • Па

-100000 120000

-140000

/ 3 ^ /

2

— -г

1

0,0

0,5

1, 0

1,5

2,0

Рис. 12. Объединенная эпюра напряжений под подошвой плиты на глубине: 1 - А = Ду/2; 2 - /г = ЗЛ>>/2; 3 - /г = 5Ау/2

Распределение вертикальных напряжений (рис. 13) по глубине расчетной области подтверждает то, что с ростом глубины основания значения напряжений уменьшаются. На рис. 13 наблюдается резкое изменение значений напряжений на границе слоев: а) о7 =

88339 Па, 099 = 59562 Па (на 48,8 % по сравнению с аналогичным в упругих слоях); б) 1-й слой о43=104525 Па, о71 = 88339 Па (на 18,3

%);

в) 2-й слой о99 = 59362 Па, о^27 = 53144 Па (на 11,7 %).

-100000 О* . Па -140000

-60000

О* . Па

-100000 12001 20000 0

-60000

О* . Па

-100000

1-й ряд

2-й ряд

3-й ряд

0,0

0,5

1,0

1,5 х, м 2,0

у, м -1

4000000

80000 100000, С* Па

Рис. 13. Эпюра напряжений по глубине расчетной области (вторая итерация): вертикальный срез, к = 15, 43, 71, 99, 127, 155

На рис. 14 и 15 в сравнении показано распределение вертикальных напряжений в упругих слоях основания по ширине расчетной области (вторая итерация). С ростом глубины основания происходит трансформация эпюры

х, м

а

б

в

вертикальных напряжений от выпуклой вверх (седлообразной) до выпуклой вниз (параболической), что подтверждается экспериментами

[2, 3].

а

О* . Па -50000

-100000

15001,00000 0

0*у . Па

-50000

100000

15001,000000

<4-Па

-500,00000 0

1-й ряд

8 10 х, м

2-й ряд

-100000,

3-й ряд

4 8 1 00 х, м

\ --

Рис. 14. Эпюры напряжений в верхнем слое основания по ширине расчетной области (вторая итерация) на глубине: а) /г = Ду/2 ; б) /г = ЗДу/2 ; в) Ь = 5Ау/2

Графики на рис. 12, 13 демонстрируют наличие распределительной способности грунта, т. е. деформации и напряжения возникают не только под нагруженными участками, но и в соседствующих с ними. Эта способность полностью соответствует гипотезе упругого полупространства, подтверждается экспериментами и строительным опытом.

Касательный модуль деформации (рис. 16) по глубине расчетной области уменьшает свои значения в верхнем упругом слое основания и незначительно, но увеличивает в нижнем слое. На границе слоев наблюдается скачок в сторону увеличения в связи исходными зна-

чениями начальных модулей деформаций. В верхнем слое основания итерационный процесс сходится медленнее (дБ = 0,41 %), чем в нижнем (б^ = 0,02 %).

а

о*. Па

-50000

-100000

о V • Па

: 1-й ряд

6 0 х,

-50000

-100000

2-й ряд

1100 х, м

1 X--- /1/11 1 /ГО\

а$. Па

-50000

1100 х, м

Рис. 15. Эпюры напряжений в нижнем слое основания по ширине расчетной области (вторая итерация) на глубине: а) /г = 7Ду/2; б) /г = 9Ду/2 ; в) /г = 11Ду/2

у, м

-11

-22 -3

/А" 1

................

Касательный модуль, х10\ Па

Рис. 16. Касательный модуль деформации (вертикальный срез): 1 - линейный расчет

На рис. 17 построена обратная зависимость между осадками плиты и реактивными давлениями основания, которая объясняется наличием нереально больших краевых давлений и указывает на недостатки модели упругого полупространства.

0,01165 0,01160 0,01155 0,01150 0,01145 0,01140

б

6

б

в

в

4

100000 150000 200000 250000 300000

Ру, Па

Рис. 17. Зависимость между осадками и реактивными давлениями в контактной зоне основания (вторая итерация) В Ы В О Д Ы

Вычисления показали, что:

• применение вариационного подхода в решении контактной задачи вместе с физическими итерациями по А. А. Ильюшину приводит к быстрой сходимости расчета (максимум - три итерации), особенно в напряжениях;

на скорость сходимости итерационного процесса влияет правильный выбор модели основания и вида функциональной зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций;

• с увеличением глубины упругого слоя основания происходят видоизменение эпюры напряжений и перераспределение опасных сечений в горизонтальных срезах;

• наличие распределительной способности грунта очевидно и неоспоримо, поэтому в инженерных расчетах необходим учет этой спо-

собности, особенно в условиях плотной застройки города;

характер и вид эпюр внутренних усилий в сечениях линейно-упругой плиты полностью

соответствуют гипотезам и допущениям теории упругости. Наряду с этим в силу нелинейности упругого основания нарушается прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями, и возникает не прямая, а обратная нелинейная зависимость. Это объясняется тем, что на краю плиты наблюдается так называемый «краевой эффект»: при меньших осадках -нереально большие напряжения.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Симвулиди, И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании / И. А. Симвулиди. - М.: Высш. шк., 1973. - 480 с.

2. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Ма-ликова, В. И. Соломин. - М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.

3. Федоровский, В. Г. Жесткий штамп на нелинейно-деформируемом связном основании (плоская задача) / В. Г. Федоровский, С. Е. Кагановская // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 1975. - № 1. - С. 41-44.

Поступила 09.09.2008