Энергетическая функция для А-диффеоморфизмов поверхностей с одномерными нетривиальными базисными множествами

УДК 517.938

Энергетическая функция для

А-диффеоморфизмов поверхностей с одномерными нетривиальными базисными множествами

В. 3. Гринес, М. К Носкова, О. В. Починка

Национальный Исследовательский Университет Высшая Школа Экономики 603155, Нижний Новгород.

Аннотация. В настоящей работе устанавливается существование энергетической функции для А-диффеоморфизмов, заданных на замкнутых ориентируемых двумерных многообразиях, не имеющих циклов и имеющих нетривиальные базисные множества только размерности один. Известно, что каждое базисное множество такого диффеоморфизма является либо аттрактором, либо репеллером и локально устроено как декартово произведение канторова множества на интервал. Несмотря на сложную топологию неблуждающего множества, построенная энергетическая функция является функцией Морса вне нетривиальных аттракторов и репеллеров, и является константой на базисном множестве. Ключевые слова: диффеоморфизмы поверхностей, энергетическая функция, функция Морса.

Введение и формулировка результатов

Вопрос о существовании гладкой функции Ляпунова с множеством критических точек, совпадающим с неблуждающим множеством структурно устойчивого диффеоморфизма (энергетической функции) восходит к работе Д. Пикстона [5]. В этой работе было доказано, что структурно устойчивые дифеоморфизмы с конечным неблуждаюющим множеством (диффеоморфизмы, Морса-Смейла) на двумерных многообразиях обладают энергетической функцией. Однако даже простейшие такие диффеоморфизмы на 3-многообразиях не обладают в общем случае такой функцией. В. 3. Гринес, Ф. Дауденбах и О. В. Починка [1] выделили класс трехмерных диффеоморфизмов Морса-Смейла, для которых существует энергетическая функция Морса. В работе [3] предъявлен метод построения энергетической функция для любого структурно устойчивого 3-диффеоморфизма, неблуждающее множество которого содержит растягивающийся двумерный аттрактор (при этом построенная функция является функцией Морса вне аттрактора). В работе [4] доказано существование энергетической функции для А-диффеоморфизмов на 3-многообразиях, неблуждающее множество которых состоит из двумерных базисных множеств. Настоящая работа посвящена построению энергетической функции двумерных диффеомрфизмов, все нетривиальные аттракторы и репеллеры которых являются одномерными. Более детально.

В работе рассматриваются А-диффеоморфизмы / на гладких замкнутых ориентируемых 2-многообразиях М. Для А-диффеоморфизмов (то есть диффеоморфизмов, чье неблуждающее множество ЫШ(/) гиперболично и является замыканием периодических точек) имеет место теорема С.Смейла о спектральном разложении, согласно которой ЫШ(/) единственным образом представляется в виде конечного объединения попарно непересекающихся множеств ЫШ(/) = и и • • • и Пп, называемых базисными, каждое из которых является компактным инвариантным и топологически транзитивным.

© В. 3. ГРИНЕС, М. КНОСКОВА, О. В. ПОЧИНКА

При этом М = У Ши(П^), и каждое базисное множество П^, % = 1,... ,п представляет-1=\

ся в виде конечного объединения непересекающихся компактных множеств называемых периодическими компонентами, которые циклически переходят друг в друга. Типом базисного множества П называется пара чисел (а, Ь) таких, что а = Ш'и, Ь = х € П. Базисное множество называется нетривиальным, если оно отлично от периодической орбиты. Очевидно, что все нетривиальные множества диффеоморфизмов поверхностей имеют тип (1,1). Циклом называется набор базисных множеств П,..., Пк, Пк+1 = П со свойством Ш. П Ш'и. , = % = 1,... ,к.

Рис. 1. (А) Структурно устойчивый диффеоморфизм из класса О. (В) Диффеоморфизм из класса О, не являющийся структурно устойчивым

Мы рассматриваем класс С, состоящий из А-диффеоморфизмов f: М ^ М, не имеющих циклов и имеющих нетривиальные базисные множества О только размерности один. Согласно [7], О являются либо аттракторами, либо репеллерами1. Класс С совпадает с множеством П-устойчивых диффеоморфизмов и, соответственно, содержит как структурно устойчивые системы (см. рис. 1(А)), так и не являющиеся таковыми (см. рис. 1(В)).

Основным результатом данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1. Для каждого диффеоморфизма f € С существует энергетическая функция, являющаяся функцией Морса вне нетривиальных базисных множеств.

1 Компактное f-^гоариантное множество A С M называется аттрактором диффеоморфизма f, если

оно имеет компактную окрестность Ua такую, что f (Ua) С int Ua и A = П fk(Ua). Окрестность Ua

k>0

при этом называется захватывающей. Репеллер определяется как аттрактор для f ISSN 0203-3755 Динамические системы, 2015, том 5(33), №1-2

1. Граничные периодические точки и связки

Приведенные в этом разделе сведения можно прочитать, например, в [6]. Речь будет идти о нетривиальных аттракторах, но аналогичные факты применимы и к нетривиальным репеллерам.

Так как аттрактор О содержит в себе своё неустойчивое многообразие, то каж-

/

логическую размерность не менее единицы. Если размерность О равна двум, то /диффеоморфизм Аносова, несущее многообразие М является двумерным тором, и О М

ставляет интереса для изучения. Мы будем рассматривать другой случай: ё1шО = 1. Аттрактор при этом будет растягивающимся2 аттрактором коразмерности 1. Каждая точка х € О делит свое устойчивое многообразие на две компоненты связности, причем хотя бы одна из этих компонент всюду плотна в некоторой периодической компоненте О^. Точки, у которых вторая компонента связности множества \ х не пересекается

ОО ненулевое число граничных периодических точек.

Определение 1. Пусть 5 — некоторая область многообразия М. Точка х € дБ называется достижимой точкой границы области Б, если существует дуга, лежащая в Б, одна

х

Б

Определение 2. Пусть О — растягивающийся аттрактор диффеоморфизма /: М ^ М и Б = М\О. Совокупность В = {С1, С2,   , Ск} компонент связности достижимой изнутри границы области Б называют связкой степени к (или к-связкой), если эти компоненты можно расположить в таком порядке, что С^ж Со, а также С^ и С1+1, г = 1,    ,к — 1, могут быть соединены замыканиями открытых дуг одномерных устойчивых многообразий,

М\О

О

/: М ^ М, то достижимая изнутри граница области Б = М \ О состоит из конечного числа связок, причем каждый элемент любой из них содержит граничную точку. Более того, граничные точки каждой связки имеют одинаковый период и связки могут иметь любую степень. (Рис.1).

2. Построение окрестности нетривильного базисного множества диффеоморфизма из класса С

В этом разделе мы покажем, что для каждого нетривиального базисного множества коразмерности один (следовательно, аттрактора или репеллера) А-диффеоморфизма поверхности можно найти его захватывающую окрестность, граница которой будет состоять из конечного числа простых замкнутых кривых. Построим такую окрестность для некоторого растягивающегося аттрактора. Для произвольного репеллера построение будет аналогичным.

2 Аттрактор диффеоморфизма / называется растягивающимся, если его топологическая размерность совпадает с размерностью неустойчивого многообразия его любой точки. Растягивающийся аттрактор диффеоморфизма f-1 называется сжимающимся репеллером диффеоморфизма f.

А

b

с

Рис. 2. Граничные периодические точки и связки аттрактора: а — 1-связка, b — 2-связка, с — 8-связка

Пусть О — растягивающийся аттрактор коразмерности один диффеоморфизма / € О; Б — некоторая т-связка аттрактора О, содержащая граничные периодические точки Р1,Р2,    ,Рт, к — период связки Б. Для каждой точки Хг € ШрЦ., г = 1,... ,т существует единственная точка уг+г € , г = 1,...,т, ут+г = уг,рт+г = Рг, такая что открытая дуга (Х,уС граница которой состоит из точек х и у, не пересекается с О. Выберем точки Х\, Х2,   , хт таким образом, чтобы Хг и уг принадлежали разным компонентам связности множества \ Рг- Рассмотрим замкнутую кривую

т

Ьб = [](Хг,уг+1)3 и [уг+1 ,Хг+г]и, ут+1 = у1,Хт+1 = Х1, гдв [уг+1,Хг+1\а — Замкнутая г=1

дуга неустойчивого многообразия точки Рг+1, соединяющая точки уг+г и Хг+г- Отступим от неустойчивого многообразия аттрактора па маленькое расстояние, сгладим кривую и получим простую замкнутую кривую Ьб (Рис.3). Для каждого множества связок Б, /(Б),..., /к-1(Б) мы всегда можем выбрать кривые Ьб, Ьf(б),   , Ь^к-1(Б) так; чт°

Ук = 1, 2,... ,к - 1: Ь{к (б) = / ~к(ЬБ )•

Построим такие кривые для каждой связки аттрактора, рассмотрим Pix объединение

L = U Ьб- L будет границей захватывающей окрестности аттрактора Q. Чтобы получить в

саму окрестность, рассмотрим для каждой связки B кольцо Кб, заключенное между

+оо

кривыми Ьв и fк (Ьв), и множество Ub = clos({J f кг(Кв )) Тогда искомая захватываю-

i=1

щая окрестность аттрактора П будет объединением всех таких множеств Uq = |J Ub-

бс Q

p

У

х

Рис. 3. Кривая Ье

3. Построение энергетической функции в захватывающей окрестности растягивающегося аттрактора или сжимающегося репеллера

Пусть / € С и О — расстягивающийся аттрактор коразмерности 1 диффеоморфизма /. Построим непрерывную в окрестности Цп аттрактора О и гладкую на множестве Цп \ О функци ю фл Рассмотр им т-связку В периода к, такую ч то У к = 1, 2,...,к — 1 : Ь^ (В) = /к (Ьв ) В силу гипотезы кольца3 Кв можно расслоить на окружности, а следовательно и Цв \ О можно расслоить на окружности. Тогда существует диффеоморфизм Нв: и в \ {О и дЬв} ^ М2 \ О, который переводит каждую кривую /пк(Ьв), п = 1, 2,... в окружность радиуса 2п с центром в начале координат. Рассмотрим функцию флЕ(ху): М2 \ О ^ (0, \), фп(х,у) = \(—кр), где р — расстояние от точки (х,у) до начала координат (р = л/х2 + у2). Для каждого множества связок В,/ (В),...,/к-1 (В) со свойством Ук = 1, 2,...,к — 1 : Ь^ % (в) = /к (Ьв) определим к-1

функцию фв(г: и Цр(в) ^ [0; \] следующим образом:

г=0

ФБП (w) =

ф(Нв(w)), если w Е Üb \{Q U dLB};

тел и w Е dLB; 0 тел и w Е Üb П Q;

2-кФвп(f-l(w)Wiи w Е fк(üb), k = 1,2,

,k~ 1;

к-1

Определим функцию фп: Цп ^ [0; ^]: если ш € У ЦЦр(в) ^ Цп, то фп(ш) = фвп(ш).

i=0

Функция фп является функцией Ляпунова для диффеоморфизма / в окрестности ат-

3 Гипотеза кольца. Пусть ЯЩ 1, S2,1 1

непересекающиеся (п — 1)-сферы (п > 2), цилиндрически вложенные в п-сферу Я". Тогда замыкание области в Бп, ограниченной сферами Я"-1Я"-1 теть п-кольцо.

О

делим окрестность аттрактора таким образом, чтобы границей этой окрестности была одна из линий уровня функции фп- Тогда границей новой окрестности и С и будет ф—1(2-(к+1"))1 где к — наибольший из периодов связок, и функция фп будет отображать и в отрезок Из работы [4] следует, что существует гладкая функция д: [0,1] ^ [0,такая что фп = 9 ◦ (2к+1фп) — энергетическая функция диффео-/

тической функции будет выступать фп: ип ^ [—1,0^ фп = —д ◦ (—2к+1фп), причем фп(О) = 0, фп(дип) = —1.

4. Построение энергетической функции для диффеоморфизмов из класса С

Пусть / € О — диффеоморфизм из класса О, О1,   , О^^ — его базисные множества,

причем Ока, Ока+1,   , О^— седловые орбиты, расположенные в порядке, не противо-

ф / ф

ф(Ог) = 0 Ог

ф(Ог) = к + 1, если Ог — репеллер, и ф(Ог) = г — ка, если Ог — седловая орбита.

Шаг 1. Обозначим через А1,.. , ЛкА (Я1,   , ЯкЕ) нетривиальные одномерные аттракторы (репеллеры) диффеоморфизма /.Пусть ил1,   , илкА (ип1,   , ипкп) захватывающие окрестности аттракторов (репеллеров), построенные в разделе 2. Положим

А = А1 и •••и ЛкА, Я = Я1 и •••и Якю ил = иА1 и^^и илкА, ип = ип1 и •••и ипкя,

и и = ил и ип Обозначим через О дизъюнктное объединение 2-дисков в числе, равном числу компонент связности множества ди. Положим ММ = М \ и и N = МЛ ия О, где д : ди ^ дО — диффеоморфизм. Обозначим через п : ММ и О ^ N естественную проекцию.

Шаг 2. По построению N — гладкая поверхность без края, допускающая диффеоморфизм /м : N ^ N с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством, совпадающий с диффеоморфизмом п/п-1 па множестве п(и) и имеющий по одной периодической гиперболической точке (стоковой или источниковой) на каждой компоненте связности множества п(О). Согласно [2], для диффеоморфизма /м существует энергетическая функция Морса фм : N ^ [0, к + где к — количество седловых орбит, такая, что ф(Ог) = 0, если Ог — сток, ф(Ог) = к + 1, если Ог — источник, ф(Ог) = г — ка, если Ог — седловая орбита, и п(диА), п(диП) — множества уровня функции фм- Определим на многообразии М функцию фм : МЛ ^ [0, к + 1] формулой фм = фмп. Положим

сл = фМ(дил) и сп = фм(дип)-

Шаг 3. В разделе 3 мы построили энергетическую функцию фп. для диффеоморфизма / в окрестности ип. нетривиального базисного множества Ог.

{слфп.(ад), если г € ил; к + 1 — (к + 1 — сп)фп. (м), если г € ип, ф^, тел и г € М; По построению функция ф : М ^ [1, к/] является искомой.

Список цитируемых источников

1. Grines V.Z., Laudenbach F., Pochinka О. V. Dynamically ordered energy function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds / / Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics-2012-V.278 (1). - P.27-40.

2. Митрякова T.M., Починка О.В., Шишенкова А.Е. Энергетическая функция для диффеоморфизмов поверхностей с конечным гиперболическим цепно рекуррентным множеством // Журнал СВМО.-2012.-Т.14, Nl.-C.l-9.

Mitryakova Т.М., Pochinka O.V., Shishenkova А.Е. Energy function for diffeomorphisms on surfaces with finite hyperbolic chain recurrent set// Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva-2012.- V.14, No.l.-P.l-9.

3. Гринес B.3., Носкова M.K., Починка О. В. Построение энергетической функции для трехмерных каскадов с двумерным растягивающимся аттрактором // Труды Московского математического общества,- 2015.-Т.76, N 2.-С.271-286.

Grines V.Z., Noskova М.К., Pochinka O.V. Construction of an energy function for 3-dimensional cascades with 2-dimensional extended attractors// Transactions of the Moscow Mathematical Society.-2015.-V.76, No.2.-P.271-286.

4. Гринес B.3., Носкова M.K., Починка О.В. Построение энергетической функции для А-диффеоморфизмов с двумерными базисными множествами на 3-многообразиях// Журнал СВМО.-2015.-Т.17, N З.-С.154-159.

Grines V.Z., Noskova М.К., Pochinka O.V. Construction of an energy function for A-diffeomorphisms of two-dimensional non-wandering sets on 3-manifolds//Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva.-2015.-V.17, No.3.-P.154-159.

5. Pixton D. Wild unstable manifolds // Topology. - 1977. - V.16(2). - P. 167-172.

6. Гринес В. 3. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах I // Труды Московского математического общества.-1975.-Т.32,- С.35-60.

Grines V.Z. The topological conjugacy of diffeomorphisms of a two-dimensional manifold on one-dimensional orientable basic sets. I // Transactions of the Moscow Mathematical Society-1975-V.32.-P.35-60.

7. Плыкин P.В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов на поверхностях // Мат. сб.- 1974.Т. 23.-С.223-253.

Plykin R.V. Sources and sinks of a-diffeomorphisms of surfaces // Mat.Sbornik.-1974.-V.23, No. 2.-P. 223-253.

8. Плыкин P.В. О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов// УМН.-1984.-Т.39, N 6(240). - С.75-113.

Plykin R.V. On the geometry of hyperbolic attractors of smooth cascades // Russin Math. Surv.-1984,- V. 39, N6(240).- P.75-113.

Получена 01.06.2015