Движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости

УДК 629.7; 531.36

ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА, СОДЕРЖАЩЕГО ПОЛОСТЬ С ЖИДКОСТЬЮ БОЛЬШОЙ ВЯЗКОСТИ

© 2007 А.В. Алексеев

Самарский государственный аэрокосмический университет

Рассматривается пространственное движение вокруг центра масс спутника-гиростата с полостью, содержащей жидкость, при малых числах Рейнольдса. На основании теоремы об изменении кинетического момента строится математическая модель движения системы несущего тела с жидкостью и трех роторов. Для случая гиростата с одним ротором, основываясь на методе Пуанкаре, определяется приближенное аналитическое решение динамических и кинематических уравнений движения. Делается вывод о диссипативных свойствах жидкости.

Введение

Динамика движения твердых тел и космических аппаратов (КА) с полостями с жидкостью исследовалась в работах Жуковского Н Е. [1], Черноусько Ф.Л. [2], Моисеева Н.Н. [3], Рабиновича Б.И. [4, 5], Нариманова Г.С., Докучаева Л.В. [6] и других авторов. К настоящему времени глубоко изучено движение твердых тел с полостью, содержащей жидкость различной вязкости, заполняющей полость полностью либо частично, в линейной и нелинейной постановках, и получены важные результаты по оценке устойчивости различных режимов возмущенного движения. Исследованию движения систем тел с жидкостными компонентами не уделено должного внимания. Поэтому ставится задача исследования движения таких систем. Решение данной задачи важно с прикладной точки зрения при изучении движения спутников-гиростатов и КА с гироскопической стабилизацией.

Математическая модель движения

Рассмотрим движение трехроторного гиростата с полостью в несущем теле, содержащей жидкость большой вязкости, который в дальнейшем будем называть гиростатом с полостью с жидкостью. Введем следующие системы координат [7, 8] (рис. 1): OXYZ - ке-нигова система координат; Оху р. и Oxyz - системы координат, связанные с роторами 1-3 и несущим телом 4, соответственно. Оси Ox, Oy, Oz являются осями вращения роторов (тела 1-3). Положение несущего тела относительно системы OXYZ будем характеризо-

вать эйлеровыми углами: щ, в, р.

Угловая скорость несущего тела ю = (р, q, г) представлена в проекциях на оси Oxyz, а векторы угловых скоростей роторов ю. = (pг, q, г.) - на оси собственных связанных систем координат Охур (г = 1,3). Относительное движение роторов характеризуется углами и скоростями относительного закручивания 8г = ог (рис. 1).

Компоненты векторов угловых скоростей роторов ю , выраженные через компоненты р, q, г угловой скорости тела-носителя, имеют вид:

Рис. 1. Схема гиростата с полостью и используемые системы координат

Pl = Р + a

q1 = q cos^1 + r sin ô1,

Г = r cos^1 - q sin ô1,

p2 = p cosd2 - r sin Ô2,

q2 = q + a 2,

r2 = r cosd2 + p sin 82,

p3 = p cos^3 + q sin ô3, q3 = qcosd3 - p sin ô3,

r3 = r + a3.

где Е - единичная матрица, D - постоянная величина.

Кинетический момент системы относительно центра масс равен векторной сумме кинетических моментов несущего тела К4, роторов К. (г -1,3 ) и гиростатического момента жидкости L относительно точки О:

K 0 K г + L .

г-1

Вычисляя производную кинетического момента системы как суммы кинетических моментов тел и жидкости, используя при этом локальные производные в связанных системах Охуг,, и Охуг, уравнение (3) можно за-

Для получения уравнений движения системы тел воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента, выбирая в качестве полюса О центр масс системы:

dKn .. ге

-К-- мО •

Пусть рассматриваемая система включает в себя три одинаковых динамически симметричных ротора и динамически несимметричное тело-носитель с полостью с жидкостью. Главные моменты инерции роторов (тела 1-3), вычисленные в своих связанных системах координат Охуг. (. -1,3), обозначим А В., С , а моменты инерции тела-носителя в системе координат Охуг - А В4, С . Введенные моменты инерции не являются центральными, так как начала связанных с телами систем координат совпадают с центром масс системы четырех тел. Осевые моменты инерции роторов равны друг другу:

А! = В2 = С3= 1

Пусть жидкость внутри полости имеет большую кинематическую вязкость v(v>> 1), что соответствует малым числам Рейнольд-са Re ~ V"1 << 1. Введем малый параметр, характеризующий величину числа Рейноль-дса л - —V-1 << 1, где с - плотность жидкости. Полость с жидкостью характеризуется тензором 6 - } [2], который зависит лишь от ее формы и определяет диссипацию энергии за счет вязкости жидкости. Компоненты Р.. вычисляются в системе координат, связанной с несущим телом. Пусть полость является сферической, тогда указанный тензор записывается следующим образом: I) - РЕ,

писать в системе Oxyz

Z ».

i=1

d K i dt

+ ю, x K,.

7, 8]:

d L

dt

+ ю x L

где знак "~" обозначает локальную производную в соответствующей подвижной системе координат, K. = (Ap,, Bqq, Cri), K4 = (Ap B4q, C4r) - кинетические моменты твердых тел, »i ( i = 1,3) - матрицы перехода от систем координат Oxyz. к системе Oxyz (поворот на угол д вокруг соответствующей оси), ô4 = E, ю 4 = ю.

С учетом (1) система (3) в скалярном виде запишется следующим образом:

Ap + (C - B)qr + Ia1 +I(qa3 - ra2 ) = mx,

Bq + (A - C )pr + Ia2 +I (ra1 - pa3 ) = my, Cr + (B - A)pq + Ia3 +1(pa2 - qa1 ) = mz,

где А - £ Аг , В - £ В, , С - £ Сг . Правые

г-1 г-1 г-1

части уравнений (4) представляют собой проекции момента сил, действующих на несущее тело со стороны полости с жидкостью:

m

d L

dt

+ ю x L

Гиростатический момент жидкости, следуя работе [2], будем определять по формуле:

L--—II• ю --цРЕ• ю

V

где ю - (р, ц, г) - вектор углового ускорения несущего тела. В этом случае выражение (5) можно переписать в виде:

m = -p,

где m = (mx, my, mz f , а

g =

р + qr - rq q + гр - рг г + pq - др

Уравнения относительного движения роторов, соответствующие углам относительного закручивания д. также могут быть получены из теоремы об изменении кинетического момента каждого из роторов:

1{р + О, ) = Мх, 1(4 + ) = Му, 1(г + 03 ) = М2,

где Мн (н = х, у, - момент, действующий со стороны несущего тела на ротор, установленный вдоль соответствующей оси. Будем рассматривать движение при отсутствии указанных моментов взаимодействия тел. Тогда система (7) приводится к следующему виду:

О =

p, а = ^ а = -г.

Для определения момента действия жидкости на несущее тело (6) поступим аналогично процедуре, указанной в работе [2]. В силу малости числа Рейнольдса будем искать указанные моменты с точностью до величины порядка м. Из уравнений (4) выразим компоненты углового ускорения ю = (р, 4, Г) с учетом соотношений (8):

. _ [(С - В)дг +1(403 - О] - ^;

р = 4 =

Г = -

[

[(В - А)рд +1(рст2 - да,)]

- В 2;

- В3.

Продифференцировав выражения (9), найдем вторые производные компонент угловой скорости. Для краткости запишем вторую производную только одной компоненты:

р = ( А -1 )-1[(В - С \дг + дг)+

+.1

1 (да3 + 403 -га2 - г02 )]- 1Щ\.

рости не выше первого порядка.

Выражения (4) и (8) представляют собой динамические уравнения движения свободного гиростата (моменты внешних сил равны нулю), состоящего из несущего тела со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью, и трех свободно вращающихся роторов. Система динамических уравнений (4), (8) замыкается известными кинематическими уравнениями Эйлера.

Приближенное аналитическое решение уравнений движения

Рассмотрим систему двух соосных динамически симметричных тел, в одном из которых находится сферическая полость, заполненная вязкой жидкостью. Внутренний момент, действующий на ротор, отсутствует. Уравнения движения такой системы получаются из уравнений движения системы с тремя роторами и полостью, полученных ранее:

Ар - (А - С)дг + 1да = (Сг + 1а)р,

v А

Ад + (А - С)рг - 1ра = (Сг + 1а)д,

v А

I

v

I (г + а) = 0,

где ^ = [(А - С)г - 1о]А_1 - новая переменная.

Систему (14) после интегрирования последнего уравнения и алгебраических преобразований можно привести к виду:

р-яд = -АА-с р^с2я-1 (го +Оо)]

д + = — 1 д*[С2я -1 (го + ао )]

V А А - С

2

С.

—я = - - В*(р2 + д2) А - С2 V А 4 '

Подставляя выражения (10) в формулу (5) и оставляя слагаемые, порядок малости которых не больше л , получим зависимость момента, действующего со стороны жидкости, от производных компонент угловой ско-

Перейдем к безразмерным величинам и

р В С9ю0

введем малую величину г =---2——

V А А - С,

P - SQ = sPS

Q + SP = sQS

S - -L (R0 + X 0) C 2 _

S - -L

S = —s

^ - C^2 V C2 J

S

p <o> — s <o>q <o> = o

Q <o>+ S <o> p <o>= o,

S <o> = o,

решение которой:

P <o> = Po cos S or + Qo sin S oz

Q <o>= Qocos S o^- Posin So^

S <o>= S o.

Система для поправок принимает вид:

P<!> S<o>q<l> S<1>q<0> _

_p<o> s <o>

S <o> - IC

1 (ro + xo )1

q<1> + sp<!> + s<1>p<> _

-r<o>

s <o>- ic2-1 (ro + xo )1

= q<0> s<0>

s <1> = -(a - c2 )2 c2-2s <0>[(p<°>)2 +(q<0>)2

.

где каждая безразмерная величина (Р, Q, R, S, X) - есть отношение соответствующей размерной к начальной угловой скорости несущего телас0 р2 + + г02 , например Р - рс0_1 - безразмерная компонента угловой скорости, т - tс0 - безразмерный параметр времени. "Точка" здесь обозначает дифференцирование по безразмерному времени.

В системе дифференциальных уравнений (16) присутствует малый параметр е, следовательно, для нахождения приближенного аналитического решения применимы асимптотические методы. Воспользуемся методом Пуанкаре [9]. Согласно методу точное решение системы аппроксимируется своим разложением в ряд по степеням малого параметра:

ТО ТО ТО

Р-^гР<г>, QQ<1>, S-£^<г>.

г-0 г-0 г-0

В данном случае ограничимся точностью аппроксимации порядка е, то есть оставим в (17) только первые два слагаемых. Подставим разложения (17) в систему (18) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. Получим порождающую систему и систему для поправок.

Порождающая система выглядит следующим образом:

S <Ь =-

С учетом порождающего решения последнее уравнение системы (2o) запишется следующим образом:

S <Ь=-( A - C2 )2 C2 -2 S o (Po2 + Qo2 ) а его решение с начальными условиями

S <b(o) = o:

2 ) C2 So (po С учетом (21) первые два уравнения системы (2o) образуют систему неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью, решение которой при начальных условиях P <1> (o) = o, Q <1> (o) = o легко найти.

Приближенное решение системы (15) для двух компонент примет следующий вид:

p(t) = po cos sot + qo sin sot + s-^-^ x

(On

-

C

(po cos sot + qo sin sot) -

-11(Po2 + qo2, C

A - C,

2 J

(t)= so -s^

f A - C V

sir = sn - s

V C2 J

(Po2+qo2).

Аналогично решается задача Дарбу. В кинематические уравнения Эйлера подставляются приближенные решения для компонент угловой скорости, и решение определяется в виде рядов (17). Из-за громоздкости полученные выражения не приводятся. Для проверки правильности полученного приближенного аналитического решения сравним его с результатами численного интегрирования системы (14). На рис. 2 показано соответствие численного и аналитического решений для проекции р угловой скорости несущего тела, на рис. 3 - для угла нутации 0. Сплошными линиями изображены аналитические решения, прерывистыми - численные.

X

s

o

2

р, рад! с

Рис. 2 Зависимость проекции p угловой скорости: сплошная линия - аналитическое решение, пунктирная - численное

В, рад

Рис. 3. Зависимость угла нутации 0 от времени: сплошная линия - аналитическое решение, пунктирная - численное

По графикам видно, что метод Пуанкаре дает довольно точный результат на небольших промежутках времени. По характеру движения можно сделать вывод о диссипативных свойствах вязкой жидкости. Амплитуда колебаний со временем уменьшается; при отсутствии жидкости такой эффект для свободной системы не наблюдается. Получается, что при движении КА жидкое топливо демпфирует его пространственное движение. Таким образом, в некоторых спутниках можно упростить активную систему демпфирования или вовсе ее не использовать.

Полученные результаты могут быть использованы для исследования движения спутников-гиростатов и КА с двойным вращением, содержащих ЖРД, на пассивных участках их орбитального движения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследо-

ваний (Грант №2 06-08-00325, грант №2 06-0100355) и программы поддержки технического образования фонда Alcoa (грант AYF 07003 s).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Собрание сочинений. Т. 2. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1949.

2. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

3. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.

4. Рабинович Б.И. Математическая модель космического аппарата с полостью, час-

тично заполненной жидкостью. Режим стационарного вращения // Полет. 2003. № 8.

5. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975.

6. Нариманов Г. С., Докучаев Л. В., Луковский И.А. Нелинейная динамика ЛА с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977.

7. АслановВ.С., Дорошин А.В. Стабилизация

спускаемого аппарата частичной закруткой при осуществлении неуправляемого спуска в атмосфере // Космические исследования. 2002. Т. 40. № 2.

8. Асланов В.С., Дорошин А.В. О двух случаях движения неуравновешенных гиростатов // Известия АН. Механика твердого тела. № 4, 2006.

9. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.

MOVEMENT OF THE SATELLITE - GIROSTATE CONTAINING A CAVITY WITH A LIQUID OF THE LARGE VISCOSITY

2007 © A.V. Alekseev

Samara State Aerospace University

The spatial movement around of the centre of weights girostate with a cavity containing a liquid of the large viscosity is considered. On the basis of the basic theorems of dynamics the mathematical model of movement of system consisting of a firm body with a liquid and three rotors is under construction. For a case girostate with one rotor, the approached analytical decision of dynamic and kinematic equations of movement is determined. Under the received decisions the influence of a liquid on movement of the satellite is determined.