Математическое моделирование движения взаимодействующих частиц на основе функций распределения в плазме электродугового синтеза УНС

УДК 6:539.1-022.532 Профессор Г.В. Абрамов,

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра информационных технологий моделирования и управления, тел. (473) 255-38-75 доцент А.Н. Гаврилов

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра информационных и управляющих систем, тел. (473)-255-55-57

Математическое моделирование движения взаимодействующих частиц на основе функций распределения в плазме электродугового синтеза УНС

Представлена модель движения частиц в плазме электродугового разряда с учетом парных столкновений в процессе синтеза углеродных наноструктур таких, как фулле-рены и нанотрубки. Рассмотрено решение системы безразмерных уравнений Власова-Пуассона по нахождению функций распределения частиц в плазме.

The model of the motion of particles in a plasma arc discharge with binary collisions in the synthesis of carbon nanostructures such as fullerenes and nanotubes Rena. The solution of the system of dimensionless equations of the Vlasov-Poisson equations for the determination of the distribution functions of particles in the plasma.

Ключевые слова: электродуговой синтез, углеродные наноструктуры, моделирование, интеграл столкновений, функция распределения.

Открытие углеродных наноструктур (фуллеренов, нанотрубок, нановолокон) поставило задачу поиска наиболее производительного и эффективного метода их синтеза. К настоящему времени разработано значительное количество методов получения УНС, одним из которых является метод термического распыления графита в плазме электродугового разряда.

В межэлектродном промежутке графитовых стержней, находящихся в среде инертного газа (гелий, аргон), поддерживается низкотемпературный анизотропный плазменный дуговой разряд со средней энергией 0,340,43 эВ, внутри которого происходит за счет испарения перенос вещества с анода на катод.

В зависимости от режима ведения синтеза ионы углерода могут осаждаться на катоде образуя депозит, содержащий однослойные и многослойные УНТ, а могут отражаться или выбивать уже осажденные частицы из катодного депозита, формируя на стенках реакционной камеры фуллерены ряда Сб0, С70 и т.д. с достаточно высоким выходом [1].

Определение необходимых условий и механизма образования углеродных кластеров в плазме, формирующих заданные УНС, позволит более эффективно и рационально управлять этим процессом.

© Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., 2012

Использование для математического моделирования данного процесса синтеза теории ионного распыления предполагает парные столкновения частиц в плазме, которые могут иметь упругий и неупругий характер. Считается, что плазма состоит из электронов и однозарядных катионов углерода и буферного газа (гелия).

В основу модели, описывающей движения частиц в плазме с взаимодействием между ними, положены уравнения Власова, дополненные условием парных столкновений между частицами:

д^ + Зд^-^{Ё+1-[1в])дЛ = 0,

Э/ дг те с д&

dt дг тп с дЗ dt

dt

dr

mh с д& dt

где {в, /о, /к - функции распределения компоненты плазмы (в - электрон, о - ион гелия, к - ион углерода); Е, В - напряженность электрического и магнитного полей; qa,та - заряд и масса частицы (а = в,о,к); 3- поле скоростей частицы; г - координаты частицы.

NO

NO

Допуская, что в плазме электродугового разряда столкновения происходят только между частицами углерода и частицами буферного газа, интегралы парных столкновений запишем:

дА дt

СТ V

Я (//; - //)|3-3'

+

dad3,

х

dt

+

íí/х -/х)|3-3'

íí(/I/I, -ЛД)|3 -3'dads'

V

íí (/х -//)l¿ dadS',

+

СТ V

где /a /a; - функции распределения частиц до столкновения; /'a /'а; - после столкновения;

3,3' - скорости до столкновения и после столкновения молекул соответственно; da = 4R;R2 cos OdQ. - дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол dQ, зависящее от закона взаимодействия молекул; в - угол между скоростью сталкивающихся частиц и линией движения. Начальные условия при t=0:

fe{r,3,o)=f:,fc{r,s,o)=f:. Граничные условия (на аноде - А):

ге|а : /(r,3,t) = /rhv, /с(r,3,t) . = rh\

\А \А

tu (fÁt) r| = /O,

rmaksv rmaksv rO _,

где je , jc , jh - начальные распределения

для электронов, ионов углерода и буферного газа. Функция распределения Максвел-

rmaksv .

ла Та :

maksv

m„

3 ^ 2

^ 2лкТ

exp

ma-3

2nkT

где k - постоянная Больцмана; Т - температура частиц в плазме.

При переходе к безразмерным величинам используется соотношение X = Ых • Хг,

где Мх - масштаб размерной величины X;

Хг - безразмерная величина X. В качестве масштабов было выбрано следующие: радиус Дебая, скорость теплового движения частиц, концентрация частиц в невозмущенной плазме, потенциал, возникающий при разделении зарядов в дебаевской сфере, и производные от них величины.

Уравнения (1) в декартовой системе координат с учетом сделанных предположений в работе [2] можно записать в виде:

+ Za E d/

dr 2sa

Er

д3„

= Q/a,

fa

dt , , ,, где

Q/a= K a 1 1 G'^a + С ^ + Ra\'= e, i, h

Ga =

2 u d3¿

d2 gei , ПТ d2 gu

d32 2

+

8

d33

2

d3

a = e,

d2 gti , ; d2g

+

Ca =

d33 8 d33'

d2ghh + _L d2gu d33 4s~e d32

; dca

a = e,

a = i,

a = h,

Se d3r

; dc„

vs d3r

; dca

Js. d3r

a = i,

a = h,

Ca =

z2(;-_) с /

_ Jl 3r-3'r (; - у) f fe

-,d3', a = e,

z2 J|3r -31 (; - у) г /

Z2 ^h

3 -3'

d3'r, a = i,

d3', a = h,

Ra =

- 4k

(

" 1 - k+_)f f 8. У J 1 S ^

L ,a = e

4ж

4к

Ka =

_ / In Da

+ / i

+ /„

Ji, a=i,

Jh, a = h

пп = М3Мп,

1 У 'О Ь п'

где Хр = д, XI - заряд иона, е - заряд электрона; та - масса частицы сорта а; т„

У = —, Р = и h . те

Уравнения (1) с целью нахождения параметров электромагнитного поля были дополнены системой уравнений Максвелла, описывающих самосогласованное поле [3].

Для решение исходной системы уравнений (1) применяется модификация метода расщепления [4,5], согласно которой исходная задача разбивается на две вспомогательных. Данное разбиение можно осуществить, переписав уравнение (2) в следующем виде:

./'а

дг

где

= Qlfa + Q2fa ,

Q2.fa=KA-Gí

д3г

IS E f 2s„ r d3

1

2 ад32.

С

63„

IL

Правая часть уравнения (3) представляет собой сумму двух операторов, первый из которых Q1 /а - отвечает за перенос частиц, второй

Q2/а - за столкновения заряженных частиц. В

результате образуются следующие задачи, которые решаются последовательно: - первая задача:

(г А, О

dt

wa(r,3, t) = fa(r,3, tn ), n = 0,...N -1,

fa(r,3r, tn ) = f^ ,a= e, i, h,

вторая задача:

dsa(r,3r, t) dt

= Q2Wa{rA-t)-a=e-í-¡

8а

Первая задача (4) представляет собой систему безразмерных уравнений Власова-Пуассона. Для ее решения применяется метод крупных частиц [б]. Вторая задача (5) решается с использованием метода сеток [5, 7].

Решением первой задачи является функция У>а(г,3г, ), п = 0,...М, которая дает

начальное условие для второй задачи. Решая вторую задачу, находим функцию яа(г,3г,^п),п = 0,...М, которая определяет решение /'а (г, 3г,1п ), а = в, /, п исходной системы

для рассматриваемых моментов времени п = 1,...У,

Блок-схема алгоритма численного решения рассматриваемой задачи представлена на рис. 1.

Рис.1. Алгоритм численного решения

Для реализации данного алгоритма была разработана программа «Cadpic» [8] на языке программирования Python 2.6 для операционных систем семейства GNU Linux. Разработанная программа позволяет проводить параллельные вычисления с целью сокращения времени расчета.

Пример графического представления расчета распределения скоростей ионов углерода и гелия для заданного момента времени на разных поперечных сечениях оси межэлектродного пространства представлен на рис. 2.

а)

г~

500

д-да V*, м/с

б;

щ

т-П"

150

"П

300

м/с

Рис. 2. Функции распределения ионов углерода (а) и ионов гелия (б) в поперечном сечении оси электродугового разряда при: х = 410-4 м и Х2 =8^10-4 м

Анализ приведенных зависимостей показывает, что ионы углерода в плазме имеют более высокие скорости, чем частицы гелия. При этом максимум функции распределения у частиц углерода при движении вдоль оси х смещается к максимальной скорости частиц в плазме, а у ионов гелия максимум функции распределения приходится на скорости меньше средних.

С точки зрения синтеза углеродных наноструктур наибольший интерес представляет определение зон возможного их формирования. Углеродные нанотрубки получают из катодного депозита, а фуллерены образуются в межэлектродном зазоре.

Исследование изменения функций распределения углерода в прикатодной области (рис. 3) показало, что при синтезе нанотрубок условия в начальный момент (первая секунда) могут образовываться в центре катода, а затем зона возможного формирования образуется в виде кольца с внутренним диаметром 0,4а?эл и внешним 0^эл ^эл - диаметр электрода). При синтезе фуллеренов такого кольца не образуется.

IV, 1 М -0,16  0.14

о;12 -0,1  0.00  0,06  0;04

о,ог -

тб

ада

йде

&Д2

Щ -

ЙР

3-,06 -

0М оЩ* о

б)

—г~ -4

-2

2: 4 6

IV, 10~3 м

Рис. 3. Функция распределения ионов углерода в прикатодной области по радиусу электрода для режима синтеза нанотрубок (а), фуллеренов (б) и времен синтеза, с: /1 = 0,5; /2 = 1; tз = 1,25 ; /4 = 50

После минуты с начала процесса зоны возможного образования наноструктур практически не изменяются, и процесс является установившемся.

По функции распределения ионов углерода можно определить зоны вероятного формирования кластерных групп в плазме, образующих УНС, путем расчета концентрации ионов:

N (г, /) = { /с (г ,3, X)di,

V

где V - скорости ионов углерода, удовлетворяющие энергетическому условию образования связей между ионами углерода.

По концентрации ионов углерода можно определить зоны, в которых расстояния межу атомами достаточно для образования связи С-С или С=С, так как эти ковалентные связи отличаются длиной и энергией связи, то должно выполняться условие:

Nc (7, /) > 4т,

Я

Фестнщ<ВТУМЩ№2, 2012

где Н - единица объема межэлектродного пространства; R - длина связи между атомами углерода.

Исследование параметров модели показало, что вероятность образования кластерных групп в плазме при синтезе фуллеренов на порядок выше, чем в режиме синтеза нано-трубок.

Анализ модели позволяет оценивать влияние таких параметров, как сила тока, давление и род буферного газа на скорость роста катодного депозита.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов, Г.В. Влияние газоплазменной струи в процессе электродугового испарения графитового электрода на формирование углеродных нанотрубок [Текст] / Г.В. Абрамов, А.Н. Гаврилов, Е.С. Татаркин // Вестник ВГТА. - 2010. - № 2(44). -С.60-63.

2. Кудрявцева, И.А. Моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами в случае плоского зонда [Текст] / И.А. Кудрявцева, А.В. Пантелеев // Вестник МАИ. Прикладная математика, механика, физика. - 2009. - Т. 16. - № 2. - С. 114-120.

3. Абрамов, Г.В. Уравнения Власова-Максвелла в моделировании динамики движения заряженных частиц в плазме электродугового разряда при синтезе углеродных наноструктур [Текст] / Г.В. Абрамов, А.Н. Гаврилов, Е.С. Татаркин // Вестник ВГТУ.- 2011. -Т. 7. - № 4. - С. 209-212.

4. Ковеня, В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики [Текст] / В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1981. - 304 с.

5. Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах [Текст] / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. - М.: Высшая школа, 2006. - 480 с.

6. Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент [Текст] / О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. - М.: Наука, Физматгиз, 1982.

7. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст] / В.М. Вержбицкий. - М.: Высшая школа, 2002. - 840 с.

8. Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., Пологно Е.А., Татаркин Е.С. Информационная система управления синтезом наноструктурированного материала методом термического распыления графита. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2011613275, 2011.