Функциональные модели в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Пример 2. Этапы составления технологической схемы для обучения алгоритмам

Этап

1. Подготовительный

2. Этап обучения алгоритму

3. Этап диагностики

Содержание этапа

Данный этап включает в себя

V

V

V

вила,

V

отбор теоретического содержания, формулировку цели,

выполнение логико-математического анализа пра-

разработку в случае необходимости алгоритмического предписания,

^ разработку содержания этапа актуализации знаний, необходимых для обоснования необходимости и введения алгоритма.

Непосредственно обучению алгоритму. Происходит закрепление алгоритма, правильное воспроизведение действий, шагов алгоритма.

В данной статье были рассмотрены, во первых основные понятия теорем алгоритмов; во-вторых психолого-дидактические теории обучения правила и алгоритмам, такие, как теория поэтапного формирования умственных действий по П.Я. Гальперину и сущность технологическое обучение. В третьих за основу в теории обучения правил и алгоритмов по П.Я. Гальперину были взяты ТПФУД разработки и его ученики. В четвертых, с учетом специфики данного исследования в качестве ориентировочной основы действий выбрана ориентировочная основа действия второго типа. В пятых рассматриваемые нами теории являются полностью равноправными и пригодными для обучения правилам и алгоритмам. Выбор теории обучения целиком и полностью зависит от учителя. В шестом приведены примеры, демонстрирующие необходимость и целесообразность исследования правил и алгоритмов как инструменты обучения пошаговому применению математических действий.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.- 4-е изд., испр. - М.: Мнемозина , 2001.

2. Подходова, Н.С., Ложкина, Е.М. Введение в моделирование. Математическое моделирование в естествознание (биология, химия, экология): Учеб. пособие для вузов, СПб.: Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2009.

3. Стефанова, Н.Л., Подходова, Н.С. Методика и технология обучения математики. Лабораторный практикум: Учеб. пособие для вузов, М.: Дрофа, 2007.

4. Философский словарь / Под ред. И.Т. Фролова - 4-е изд. М.: Политиздат, 1981.

5. Фридман, Л.М., Кулагина, И.Ю. Психологический справочник учителя. - М.: Просвещение, 1991.

Н. Е. Ляхова, И. В. Шевченко

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ

Аннотация. В статье представлены методические аспекты затруднений учащихся при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений, предложены пути преодоления этих затруднений.

Ключевые слова: непрерывные функциональные модели, наибольшее и наименьшее значения функции.

N. E. Lyakhova, I. V. Shevchenko

FUNCTIONAL MODEL IN THE TASK OF FINDING THE MAXIMUM AND

MINIMUM VALUES

Abstract. The article presents the methodological aspects difficulties of students when solving problems of finding maximum and minimum values and the ways of overcoming these difficulties.

Key words: a continuous functional model, the maximum and minimum values of the function.

Российский математик XIX в. Пафнутий Львович Чебышев отмечал, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». Задачи подобного рода носят общее название - задачи на оптимизацию.

В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наименьшее или наибольшее значение. Такие задачи известны как задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения.

При решении таких задач на первом этапе на основе реальной ситуации, составляется математическая модель:

— выявляется оптимизируемая величина;

— записывается функция (закон), по которому эта величина зависит от переменной;

— указывается область изменения этой переменной, исходя из условия задачи.

На втором этапе исследуется полученная функция одной переменной на области ее определения и находится ее наибольшее или наименьшее значение в зависимости от поставленного вопроса.

Далее, возвращаясь к реальной ситуации, дается ответ на поставленный в задаче вопрос. Составление и исследование аналитических моделей является достаточно актуальным вопросом для современной школы. Так в спецификации КИМ профильного уровня ЕГЭ 2016 г. по математике содержится сразу три задания на проверку навыков решения подобных задач. В заданиях № 7 и № 12 требуется исследовать готовые модели, а задание № 17 предполагает проверку умений составления модели по сюжетной практико-ориентированной задаче, ее исследования и способность делать выводы с учетом реальных ограничений.

Отметим, что задание № 17 на составление модели по текстовой задаче экономического содержания появились в контрольно-измерительных материалах с 2015 года. В прошлом году и в демоверсии на 2016 год фигурируют задачи на составление дискретных моделей. Но в материалах для экспертов по проверке заданий с развернутым ответом отмечается, что наряду с дискретными моделями в качестве задач № 17 могут быть представлены и задачи на непрерывные функциональные модели.

Таким образом, задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции широко представлены в контрольных измерительных материалах ЕГЭ по математике. Как же справляются выпускники с этими заданиями?

На сайте Федерального института педагогических измерений ежегодно размещаются аналитические отчеты по результатам ЕГЭ. Последние два года эти отчеты представляют собой методические рекомендации, авторы - И.В.Ященко, А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий. Из анализа «Методических рекомендаций для учителей, подготовленных на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2015 года по математике» видно, что задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений аналитических моделей (это задания № 8, № 14, № 19 в ЕГЭ профильного уровня 2015 года) имеют относительно невысокие проценты выполнения по сравнению с другими заданиями. В «Методических рекомендациях для учителей, подготовленных на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2016 года по математике» отмечается, что задания 7 и 12 проверяли навыки применения производной к исследованию функции. Выполнение каждого задания - около 45%. Эта величина почти не меняется в течение пяти лет.

Авторы в обоих отчетах отмечают, что при изучении начал математического анализа следует смещать акцент с формальных вычислений на понимание базовых понятий.

С целью выяснения причин столь низких показателей выполняемости указанных заданий при сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня был проведен анализ теоретического и задач-ного материала основных школьных учебников базового уровня, рекомендованных Федеральным перечнем учебников на 2016-2017 учебный год, и 87 прототипов заданий открытого банка заданий ЕГЭ по математике по данной теме.

В процессе проводимого исследования были поставлены следующие задачи:

— выявить основные типы функциональных моделей, возникающих при решении задач на наибольшее и наименьшее значения в школе;

— выявить основные методы исследования функциональных моделей (а именно - изложить основные теоретические факты, лежащие в основе различных способов (алгоритмов) нахождения наибольшего или наименьшего значений на различных промежутках);

— показать эффективность применения различных способов (алгоритмов) при решении заданий контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции, заданной на некотором промежутке;

— выяснить: достаточно ли полно эффективные методы исследования функциональных моделей представлены в школьных учебниках?

Заметим, что при решении сюжетных задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения на первом этапе - этапе создания модели возникает, как правило, функциональная модель одного из следующих типов.

1. Множество X есть отрезок [а;Ь] и функция f (x) непрерывна на отрезке [а;Ь].

2. Множество X - произвольный промежуток (отрезок, интервал, полуинтервал, луч, вся числовая прямая); функция f (x) непрерывна и имеет на нем единственную точку экстремума x0.

3. Множество X - один из промежутков: [а;Ь], [а;Ь) , (а;b],[a; +да), (-да;Ь] и функция f (x) монотонна на X .

На втором этапе - этапе исследования функциональной модели используется один из следующих фактов, который может быть сформулирован в виде соответствующего алгоритма нахождения наибольшего или наименьшего значения функции.

Утверждение 1. Множество X есть отрезок [а;Ь] и функция f (x) непрерывна на отрезке [а;Ь] . Тогда, если функция f (x) на отрезке [a;Ь] имеет критические точки x1 ,...,хк и не имеет других критических точек, то наибольшее значение функции f (x) на отрезке [a;Ь] равно наибольшему из чисел f (a), f (хД..., f (хк), f (Ь) , а наименьшее значение этой функции на отрезке [а; Ь] равно наименьшему из этих чисел.

Утверждение 2. Множество X есть отрезок [а;Ь] и функция f (х) непрерывна на отрезке [а;Ь]. Тогда, если функция f (х) на отрезке [а;Ь] имеет локальные максимумы в точках X,...,хк и локальные минимумы в точках х1,...,хт и не имеет других точек локального экстремума, то наибольшее значение функции f (х) на отрезке [а;Ь] равно наибольшему из чисел f (а), f (х1),..., f (хк), f (Ь), а наименьшее значение этой функции на отрезке [а;Ь]равно наименьшему из чисел f(a), f(Хl),..., f (Хт), f (Ь).

Утверждение 3. Множество X - произвольный промежуток (отрезок, интервал, полуинтервал, луч, вся числовая прямая); функция f (х) непрерывна и имеет на нем единственную точку экстремума х0. Тогда, если х0 - точка максимума, то f (х0) - наибольшее значение функции; если х0 - точка минимума, то f (х0) - наименьшее значение функции на этом промежутке.

Утверждение 4. Множество X - промежуток [а;Ь], или [а;Ь), или [а; +да) и функция f (х) возрастает (убывает) на X. Тогда на этом промежутке функция имеет наименьшее (наибольшее) значение f (а).

Утверждение 5. Множество X - промежуток [а;Ь], или (а;Ь], или (-да;Ь] и функция f (х) возрастает (убывает) на X. Тогда на этом промежутке функция имеет наибольшее (наименьшее) значение f (Ь).

Эффективность того или иного алгоритма зависит от конкретной модели и выбирать алгоритм лучше в процессе исследования функциональной модели в зависимости от выявляемых свойств функции и возникающих технических трудностей. Поясним это на примерах.

Нетрудно заметить, что наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции при определенных условиях может быть найдено разными способами.

В соответствии с алгоритмом, основанным на утверждении 1, который присутствует во всех школьных учебниках, наибольшее или наименьшее значения следует искать среди значений функции на концах отрезка и в критических точках.

В то же время в соответствии с утверждением 2, например, наибольшее значение следует выбирать среди значений на концах отрезка и значений в точках локального максимума. Второй подход в отличие от первого требует исследования знака производной, но уменьшает количество вычислений значений функции, что становится весьма актуальным в случае нахождения значений в иррациональных точках или необходимости сравнения иррациональных значений функции.

Эти преимущества хорошо видны на следующем примере. Сравним два способа решения задания из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

Прототип задания 12 (№ 77494). Найдите наибольшее значение функции

у = —2tg х + 4х — ж - 3

ж ж на отрезке [-у

Решение (первый способ). Этот способ основан на утверждении 1.

1) Найдем значение функции на концах отрезка:

ж ж ж г- 4ж г- 7ж

f(— -) = —2tg(— -) + 4• (—) — ж — 3 = — 2(-л/3) — —— ж — 3 = 2 У3 — —— 3 «—6,86;

f (ж) = ^ (ж) + 4 • (ж) - ж- 3 = -2Тз + ^ - ж- 3 = -2л/з + у - 3 «-5,42. 2) Найдем значение функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу

(- у;у). 33

2 I со*2 X-1 (со*X-^)(со*X + f Ч X) =--— + 4 = 4(1--2—) = 4(-г-2) = 4--

со* X со* X со* X со* X

Интервалу (-у) принадлежат две критические (стационарные) точки: x1 =-У и

ж ж ж 4ж /(--) = -2tg(--) + 4 • (--) - ж - 3 = -2(-1)---ж - 3 = 2 - 2ж - 3 «-7,28;

J \ 4) 4) \ 4) '4

ж ж ж 4ж

/ (—) = -2tg (—) + 4 • (—) - ж- 3 = -2 +--ж- 3 = -2 + ж- ж- 3 = -5.

4 4 Ч4У 4

3) Из найденных четырех значений выберем наибольшее значение

I (ж) = -5. 4

Ответ. -5.

Решение (второй способ). Этот способ основан на утверждении 2.

1) Функция определена на всем отрезке [-ж;ж].

2) Выше было установлено, что интервалу (- ж;ж) принадлежат две критические точки:

жж

^ =- "4 , ^ = 7.

„ „ ж ж ж ж ж ж

Определим знаки производной на интервалах (-—; -—), (- — ;—), (~;у), используя ме-

тод интервалов.

/'(X):

„ ч ж ж ж ж

/ (X): — — — — х

3 4 4 3

По знаку производной выясним поведение функции на указанных интервалах. Учитывая непрерывность функции и интервалы ее монотонности, можно сделать вывод, что наибольшее

жж

значение может достигаться функцией в точках —— или — .

Найдем значения функции только в этих двух точках и сравним только два значения, одно из которых является рациональным, а другое иррациональным.

ж ж ж г- 4ж г- 7ж

/(—) = ^(—) + 4 • (—) - ж - 3 = -2(-73) - —— ж - 3 = 2 У3 - —— 3 «-6,86;

ж

2

4

+

ж ж ж 4ж

/ (—) = -2tg (—) + 4 • (—) - ж- 3 = -2 +--ж- 3 = -2 + ж- ж- 3 = -5.

4 4 4' 4

Из найденных значений выбираем наибольшее значение

/ (ж) = -5. 4

Ответ. -5.

Второй способ решения, в отличие от первого требует меньше вычислительной работы. При отсутствии калькулятора на ЕГЭ это важно. Отметим также, что во втором способе, учитывая поведение функции, нет надобности находить значение функции на правом конце промежутка и в точке минимума. Выбор второго способа решения как раз и позволяет при изучении начал математического анализа смещать акцент с формальных вычислений на понимание базовых понятий.

В следующем примере рассмотрим функциональную модель, в которой функция монотонна на определенном промежутке. Отметим, что учебники не рассматривают эту модель особо, но задания на исследование такой модели в открытом банке присутствуют. При этом функции являются монотонными на отрезках и школьники, скорее всего, будут решать подобные задачи по известному алгоритму, основанному на утверждении 1 и представленному во всех школьных учебниках.

Прототип задания 12 (№ 26706). Найдите наибольшее значение функции

у = 3х - 3tg х - 5

ж

на отрезке [0;—].

Решение (первый способ). Используется утверждение 1.

1) Найдем значение функции на концах отрезка:

f (0) = 3 • 0 - 3tg 0 - 5 = 0 - 3 • 0 - 5 = -5;

f (ж) = з •ж-3^Ж-5 = -3 1 -5 = 3ж-8 «-5,645.

4 4 4 4 4

ж

2) Критических точек, принадлежащих интервалу (0;—), функция не имеет, так как

1 1 2

f Чx) = 3 - 3—— = -3(-2--1) = -3tg 2 x < 0

cos x cos x

во всех точках этого интервала.

3) Из найденных значений функции выбираем наибольшее. Наибольшим является значение f (0) = -5.

Ответ: -5.

Решение (второй способ). Используется утверждение 4. Производная функции

1 1 2

f Чx) = 3 -= -3(-2--1) = -3tg2x < 0

cos x cos x

ж ж

на интервале (0;—). Учитывая непрерывность функции на отрезке [0;—], делаем вывод, что

ж

функция убывает на отрезке [0;—]. Следовательно, наибольшее значение функция принимает на

левом конце отрезка f(0) = -5 . Ответ. -5.

При данном способе решения нам не пришлось находить значение выражения, содержащего иррациональные слагаемые и сравнивать приближенные значения. Понятно, что способ решения с использованием утверждения 4 существенно короче.

Аналогично обстоит ситуация с моделью, когда функция имеет единственную точку экстремума на промежутке. В случае, когда точка является точкой максимума, функция принимает в этой точке наибольшее значение, если же точка является точкой минимума, то наименьшее. Школьные учебники рассматривают алгоритмы исследования таких моделей только для интервалов, и не рассматривают примеры других промежутков. Поэтому школьники в случае, если промежуток является отрезком, не раздумывая, применяют алгоритм, основанный на утверждении 1. И как показывает следующий пример, выбор такого способа решения тоже не всегда является рациональным.

Прототип задания 12 (№ 26714). Найдите наименьшее значение функции

y = 3x - ln( x + 3)3

на отрезке [-2,5;0].

Решение (первый способ). Используется утверждение 1. 1) Найдем значения функции на концах отрезка.

f (-ад = и-2,5)- ^ад+3f = -7,5 - ln<o,5)S = -V - 3ln1 »-Mi

/ (0) = 3-0 - 1п(0 + 3)3 = 0 - 1п(3)3 =-31п3 «-3,3.

2) Найдем значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу (-2,5;0).

1 X + 2 / \ X) = 3 - 3— = 3 .

X + 3 X + 3

Критическая точка X = -2 принадлежит интервалу (-2,5;0).

/ (-2) = 3 • (-2) - 1п((-2) + 3)3 = -6 - 1п(1)3 = -6 - 0 = -6.

3) Из найденных значений выбираем наименьшее / (-2) = -6. Ответ. -6.

Решение (второй способ). Используется утверждение 3. Найдем производную функции

1 X + 2 / \ X) = 3 - 3— = 3 .

X + 3 X + 3

Заметим, что отрезку принадлежит единственная критическая точка X = -2 . При -2,5 < X < -2 /XX) < 0, при -2 < X < 0 /XX) > 0. Таким образом, функция на отрезке имеет единственную точку экстремума, а именно точку минимума и, следовательно, в этой точке функция принимает наименьшее значение /(-2) = -6 - 1п(1)3 = -6 на отрезке [-2,5;0]. Ответ. -6.

Следует отметить, что некоторые функции с помощью элементарных методов (то есть без применения производной) исследуются гораздо проще, чем с использованием производной.

Эти методы не рассматриваются в учебниках, с их помощью могут быть решены всего лишь шесть прототипов. Но сравнение решения такого прототипа при помощи производной и без производной говорит в пользу второго.

Прототип задания 12 (№ 245180). Найдите наибольшее значение функции

у = ^5(4 - 2x - X2) + 3. Решение (первый способ). Используется утверждение 3.

1) Найдем область определения функции из неравенства 4 - 2X - X2 > 0. Областью определения является интервал (-1 - -\/5; -1 + л/5).

2) Найдем производную функции:

-2 - 2^ -2

/(^ = ? ^ ^ = ? ^ е .

Так как е > 0 и 4 - 2X - X2 > 0на области определения, то / (X) = 0 в точке X = -1. Далее, рассматриваем знаки производной на интервалах (-1 -45;-1) и (-1; -1 + -\/5). / (X): + -

-О-

-1 -л/5 Л -1 \ -1 + л/5 х

f (x):

и делаем вывод: x = -1 — единственная точка экстремума функции на промежутке (-1 -45; -1 + 45), а именно, точка максимума. Следовательно, в этой точке функция принимает свое наибольшее значение

f (-1) = log5 (4 - 2 • (-1) - (-1)2) + 3 = log5 (4 + 2 -1) + 3 = log5 5 + 3 = 1 + 3 = 4. Ответ. 4.

Решение (второй способ). Этот способ основан на использовании методов исследования сложной функции без применения производной [3]. Введем обозначение:

F (x) = log5 (4 - 2 x - x2) + 3 = log5 (5 - (x +1)2) + 3. Функция f (u) = log5 u возрастающая, а функция u = 5 - (x + 1) принимает наибольшее значение при x = -1. Таким образом, сложная функция F(x) = f (u(x)) принимает свое наибольшее значение в этой же точке.

f (-1) = log5 (5 - (-1 +1)2) + 3 = log5 5 + 3 = 1 + 3 = 4.

Ответ. 4.

Итак, правильно выбранный способ исследования функции может существенно упростить нахождение ее наибольшего или наименьшего значения. Однако, анализ теоретического и задач-ного материала школьных учебников показал, что учебники для 10-11 классов по алгебре и математическому анализу базового уровня в теоретической части и в задачном материале недостаточно полно отражают алгоритмы исследования функций на наибольшее и наименьшее значения. В основном акцент делается на применение утверждений 1 и 3. Причем утверждение 3 чаще всего формулируется для интервала. Даже при наличии более общей формулировки для произвольного промежутка задачный материал не отражает всего диапазона его применения.

В то же время, для эффективного решения заданий на наибольшее и наименьшее значения из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике требуется рассмотрение большего количества алгоритмов для различных типов функций на различных множествах. Выбор эффективного алгоритма должен зависеть не от типа промежутка, а от свойств функции на этом промежутке. Поэтому исследование модели необходимо начинать с исследования свойств функции на заданном промежутке, что позволит в процессе исследования выбрать наиболее эффективный алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции.

Таким образом, изучение эффективных алгоритмов исследования функциональных моделей в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений может способствовать решению проблемы низких показателей при решении подобных заданий на ЕГЭ по математике профильного уровня.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляхова, Н.Е. Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений/Ляхова Н.Е.//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2006. № 1.— С. 73-80.

2. Ляхова, Н. Е. Тематическая ориентированность выпускных квалификационных работ бакалавров направления «Педагогическое образование» профиль «Математика»/Н. Е. Ляхова, М. Г. Макарченко, И. В. Яковенко//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. Гуманитарные науки. -2014. -№ 1. - С. 85-91

3. Ляхова, Н.Е. Использование ограниченности функций в школьном курсе математики/Н.Е. Ляхова, А.И. Гришина, И.В. Яковенко//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2015. № 1. - С. 3-10.

4. Ляхова, Н.Е. Применение производной в элементарной математике/Н.Е. Ляхова//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2010. -№ 1. - С. 49-56.

5. Кабиров, Н.Н. Выбор тематики и отбор содержания элективных курсов по алгебре/Кабиров Н.Н., Ляхова Н.Е.//Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2. - С. 102-108.

Т.К. Шульга

АКТУАЛЬНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ В КУРСАХ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Аннотация. В настоящей статье рассматривается актуальность использования межпредметных связей «математика-физика», определяются темы школьного курса, содержащие вышеуказанные связи. Рассматриваются существующие проблемы реализации межпредметных связей, предлагаются пути их решения. Также приведены примеры заданий, содержащие межпредметные связи.

Ключевые слова: межпредметные связи, «математика-физика», метапредметность, дополнительное образование, естественнонаучное образование.

T.C. Shulga

THE RELEVANCE OF THE USING INTERDISCIPLINARY RELATIONS IN MATHEMATICS AND PHYSICS COURSES IN HIGH SCHOOL

Abstract. This article discusses the relevance of the use of intersubject links of "math-physics", identifies the themes of a school course containing the above communication. Examines the implementation of interdisciplinary connections, and offers the ways of their solution. Also examples of tasks that contains interdisciplinary connections.

Key words: interdisciplinary communication, "math-physics", metasubject, additional education, natural-scientic education.

Современная наука носит метапредметный характер, поэтому образование в школе предусматривает взаимосвязь и сосуществование школьных предметов. Межпредметные связи лежат в основе методических разработок каждого из предметов, способствуют эффективному усвоению школьного материала.

Понятие межпредметных связей в педагогической литературе рассматривается с разных точек зрения, каждый из авторов пытается показать свое понимание сущности этого термина, но общего определения понятия пока не существует. И. Д. Зверев, В. Н. Максимова отмечают: «Мно-