Нижняя оценка среднего расстояния между сопряженными точками на геодезической со случайной кривизной

УДК 514.74

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА СРЕДНЕГО РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СОПРЯЖЕННЫМИ ТОЧКАМИ НА ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СО СЛУЧАЙНОЙ КРИВИЗНОЙ

В. Г. Ламбурт, В. Н. Тутубалин

Рассматриваются нижние оценил для расстояния между сопряженными точками на геодезической, кривизна вдоль которой предполагается случайным процессом с обновлением. В асимптотике стремящейся к нулю кривизны задача сводится к изучению пересечения уровня некоторым диффузионным процессом с отражением.

Введение

Еще в 1960-е гг. Я. Б. Зельдович обратил внимание на то, что концентрация вещества во Вселенной в отдельные небесные тела и связанные с этим флуктуации кривизны не только вносят небольшой шум в космологические тесты, но и приводят к некоторому систематическому эффекту. В недавней работе [1] показано, что эффект Зельдовича можно описать как возникновение эффективной кривизны, входящей в описание распространения света во Вселенной. Отличие эффективной кривизны от усредненного значения кривизны космологической модели связано с наличием флуктуаций кривизны. Грубо говоря, оказывается, что Вселенная, плотность которой в среднем равна критической, кажется наблюдателю имеющей слегка отрицательную кривизну пространственного сечения.

Задача об учете влияния неоднородностей кривизны на распространение света во Вселенной исходно является задачей о поведении геодезических в четырехмерном псевдоримановом пространстве. Однако Зельдович показал, что в силу высокой степени однородности и изотропии Вселенной эта задача сводится к изучению сети геодезических на двумерной пленке в пространственном сечении, натянутой на проекции двух близких изотропных геодезических.

Существует еще один эффект, возникающий при распространении света во Вселенной с неоднород-ностями. Он состоит в том, что на геодезической, вдоль которой кривизна флуктуирует, рано или поздно возникают сопряженные точки, или, говоря физическим языком, гравитационные линзы, связанные с кумулятивным действием небольших неоднородностей кривизны. В настоящей работе мы производим некоторые оценки снизу для среднего расстояния между такими сопряженными точками.

1. Постановка задачи

Рассмотрим двумерное риманово многообразие, на котором выделена некоторая геодезическая

Механико-математический факультет МГУ.

с фиксированной точкой О. Пусть х — расстояние вдоль этой геодезической, отсчитываемое от точки О. Как известно, разбегание геодезических, близких к данной и проведенных через ту же точку О, описывается уравнением Якоби

y" + k

где k(x) — (переменная) кривизна, а начальные условия имеют вид у(0) =0, у'(0) = 1.

Недавно была предложена модель, в которой кривизна k(x) считается случайным процессом [1]. Интуитивно в это понятие вкладывается тот смысл, что значения кривизны в далеко отстоящих друг от друга точках являются статистически независимыми. Именно считается, что существует длина S, такая, что значения случайного процесса k(x) на интервалах вида [хп,хп+\], где хп = п5, п = 0, 1,2,..., статистически независимы.

Такая форма гипотезы помещает вопрос об асимптотическом исследовании решения уравнения (1) при х-)оо в рамки известной теории Ферстенберга, относящейся к произведениям независимых случайных матриц [2-4]. Одним из глубоких результатов этой теории (который обычно и называется «теоремой Ферстенберга») является вывод об экспоненциально быстром росте длины вектора (у(х), у'(х)) при х —> ос.

Поскольку при k(x) = из2(х) > 0 уравнение (1) совпадает с уравнением гармонического осциллятора с переменной случайной упругой силой, то ранее этот вывод интерпретировался как экспоненциально быстрый рост энергии такого осциллятора. Для осциллятора не представляют особого интереса точки х, для которых у(х) = 0, т.е. осциллятор проходит через положение равновесия. Но для геометрии такие точки интересны: это точки, сопряженные с начальной точкой О; сопряженные точки сопоставляются с гравитационными линзами.

Как это принято в теории Ферстенберга, исследуемый вектор (у, у') сначала переписывается в полярных координатах у = г cos ф, у' = г sin ф, так что

значения полярного угла ф(хп) в точках обновления образуют эргодичеекую марковскую цепь на окружности. Что же касается полярного радиуса г(х), то простое вычисление показывает, что приращение логарифма

А1пг

является функцией от пары ['ф(хп),В(хп,хп+\)}, где В(хп,х,j+i)— фундаментальная матрица на отрезке [хп,хп+\], статистически не зависящая от ф(хп). Предполагая стационарность процесса k(x), т.е. одинаковое распределение всех матриц В(хп,хп+\), получаем, что такие пары тоже образуют эргодичеекую марковскую цепь. Таким образом, значение Inг(хп) является суммой случайных величин (2), функционально зависящих от состояния эргодиче-ской цепи Маркова. Известно, что (при широких и естественных условиях) это приводит к асимптотической нормальности In г(хп) при и-)оо с параметрами вида (па,<ул/п). Теорема Ферстенберга утверждает, что а> 0. Таким образом, г(хп) растет экспоненциально быстро, причем можно доказать, что при п —> оо величины г(хп) и ф(хп) делаются статистически независимыми.

Сопряженная точка х образуется, если ф(х) = = ±7г/2. Лишь с вероятностью, равной нулю, такая точка х может совпасть с одной из точек обновления хп. Но если значения ф(хп) и ф(хп+\) марковской цепи устроены так, что ф(хп) лежит по одну сторону диаметра, соединяющего точки окружности ±7г/2, а ф{хп+\) — по другую сторону этого диаметра, то в силу непрерывности решения уравнения (1) на интервале между точками хп и хп+\ обязательно имеется хотя бы одна сопряженная точка.

В настоящей работе мы занимаемся задачей о малых возмущениях изначально нулевой кривизны (т. е. такой асимптотической постановкой, когда sup \k{x)\ -л 0).

2. Основные уравнения модели

Уравнение (1) перепишем в виде системы двух уравнений первого порядка относительно вектора-строчки г = \гi, z2) и введем безразмерные переменные г\ = у, z2 = y'8, t = x/S, v = kS2, так что

d /N/0 -u(t)\

0 j-

Начальные условия теперь имеют вид 2i(0) = 0,

z2(0) = S.

Эту систему будем изучать с помощью перехода к полярным координатам г\ = рсоъф, z2 = ръ'тф. Значения случайного процесса v(t) теперь обновляются в целочисленных точках / = 0,1,2,...; значения ф(0), ф(\),... образуют марковскую цепь на окружности. Легко видеть, что если отождествить

ПрОТИВОПОЛОЖНЫе ТОЧКИ ОКруЖНОСТИ ф и ф + Ж,

то марковский характер блуждания сохраняется.

Иными словами, можно считать, что ф{1) блуждает по отрезку [—7г/2,7г/2], причем концы этого отрезка отождествлены. В момент t = 0 блуждание начинается из точки 7г/2 (в силу начальных условий).

Внутри интервала (—ж/2,ж/2) сделаем замену

КООрДИНаТЫ и = \£ф. В СИЛу (3) U = Z2(t)/Z\(t), и используя это соотношение, нетрудно вывести дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет u(t) на прямой —оо < u(t) < оо (т.е. при условии —ж/2 < ф(1) < ж/2). Для этого нужно заметить, что при малом At справедливо соотношение

z

Из уравнения (4) нужно выразить разность

z2(t + At)/z\(t + At) - z2{t)/z\(t) = uit + At) - u(t),

разделить ее на At и перейти к пределу при At —>-0. В результате получается уравнение следующего вида:

du/dt = -

Будем условно называть безразмерную переменную t «временем», тогда (5) естественно называть «динамической системой».

Мы предлагаем следующую асимптотическую постановку задачи исследования этой системы. Пусть дано, что безразмерная кривизна v(t) ограничена, \v(t)\ ^ 6, где в дальнейшем будет е —> 0. Пусть v(t) является стационарным случайным процессом с обновлением в точках t = 0,1,..., причем среднее Ev{t) = 0, а дисперсия интеграла v{t) dt имеет вид be2, где b> 0 и не меняется при е—>-0. Пусть также длина S промежутка между точками обновления не меняется при е—>-0. В начальный момент ф(0) = ж/2. В этой точке координата и = igф не существует, но через сколь угодно малое время At оказывается, что ф(А£) < ж/2, и из уравнения (5) видно, что при и > у/е скорость du/dt отрицательна. Если бы нулевая кривизна не возмущалась случайной кривизной v(t) (т.е. кривизна равнялась бы нулю тождественно), то u(t) приближалось бы к нулю сверху, никогда его не достигая. Однако случайные неоднородности v(t), которые в силу условий Ev(t) = 0, b> 0, бывают как положительными, так и отрицательными, как оказывается, неизбежно перебрасывают u(t) через нулевой уровень, причем достигается и уровень u(t) = —л/i. После этого начинается монотонное движение u(t) к —оо, и за конечное время соответствующая точка фЦ) достигает точки — ж/2 (которая отождествлена с ж/2). В этот момент и появляется сопряженная точка.

Мы занимаемся оценкой среднего времени перехода полярного угла ф{1) от точки ж/2 до точки —ж/2 (что после умножения на расстояние между точками обновления S дает среднее расстояние между сопряженными точками). Несмотря на

простоту уравнения (5), задающего динамическую систему, исследование этой системы затруднительно потому, что система является цепью Маркова лишь в моменты обновления I = 0, 1,... . Хотелось бы свести задачу в асимптотической постановке (т.е. при 6 —) 0) к диффузионному процессу, как это обычно делается в математической физике. Такое сведение наталкивается на некоторые трудности, и в результате мы получаем не точное (в диффузионном приближении) выражение для среднего времени перехода, а лишь его оценку снизу. Нетрудно показать, что среднее время перехода от значения <^(0) = тг/2 к такому значению ф', что и> = = л/е, имеет порядок величины С\/л/е, где С\ — некоторая константа. Аналогично после достижения системой (5) состояния и = и" = —\/ё. сопряженная точка появляется через среднее время порядка Сг/т/в- В настоящей работе мы выводим нижнюю оценку среднего времени перехода системой (5) от точки т/б до точки —л/е, и эта оценка оказывается величиной порядка е^2//3 >> С/у/ё. Следовательно, основная часть времени перехода от одной сопряженной точки до другой определяется временем пересечения системой (5) интервала [—т/ё,л/е]. Далее мы будем рассматривать движение системы (5) лишь на этом интервале (и только внутри этого интервала строить различные диффузионные приближения).

3. Нижняя оценка

Проведем доказательство высказанного выше утверждения о нижней оценке. Рассмотрим некоторое число а, удовлетворяющее неравенствам 1/2 < а < 1, и среднее время перехода от уровня еа до уровня —6° для несколько измененной в сравнении с (5) динамической системы щ (1). А именно положим

йщ/

причем наложим дополнительное условие, что система щ (1) при пересечении снизу уровня еа испытывает отражение траектории от этого уровня. Поскольку скорость системы (6) в любой точке интервала [—е", е"] ограничена сверху скоростью системы (5), да еще и добавлено условие отражения, которого нет для системы (5), то ясно, что траектория системы (6), исходящая из точки еа, достигает уровня —6° быстрее, чем траектория системы (5). Оценим это среднее время для системы (6) с помощью аппроксимации диффузионным процессом.

Поскольку в силу условий К0| ^ 6,2а > 1 система (6) за единицу времени сдвигается на величину порядка е, а нужно пройти путь 2еа, речь идет о числе шагов не менее 2еа-1 —> ос при 6 —> 0. В целочисленные моменты времени I положение системы щ (I) отличается от ее начального положения на сумму случайных величин & = ^ плюс сУмма такого же числа по-

стоянных слагаемых, равных е2а. Поскольку число временных шагов стремится к бесконечности, при-

менима центральная предельная теорема, которую мы сформулируем как возможность приближенной замены уравнения (6) следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

dti2 = sjD^dwt — e2adt,

где — стандартный винеровский процесс.

Мы приняли, что £)£>• = Ье2, а следовательно, система (7), аппроксимирующая систему (6), является диффузионным процессом с коэффициентом диффузии а2 = Ье2 и коэффициентом сноса а = —е2а. Обозначим через д(х) среднее время достижения границы —6° таким процессом, начинающимся в точке х € [—еа,еа]. Хорошо известно, что функция д(х) удовлетворяет уравнению

Ав = -\,

где оператор А = (а2/2)(с12/с1х2) + а(с1/с1х) является инфинитезимальным оператором диффузионного процесса, причем условие отражения от правой границы 6° состоит в том, что ¿(х) = 0 при х = еа, а на левой границе, очевидно, еа) = 0. Решая уравнение (8), получаем

g(x) = С\ + С2 ехр[(—2а/а2)х] —х/а.

После подстановки указанных значений сноса а и диффузии а2 и определения констант из граничных условий получаем формулу

g(е°) = 2е^а - ф/2)е2^° 1 - ехр

-

Для любого а из интервала (1/2, 1) выражение (9) представляет собой нижнюю оценку. Выберем теперь а так, чтобы выражение (9) имело (как функция б) наибольший возможный порядок величины. Нетрудно видеть, что это достигается при а = 2/3, причем получается, что

g(б2/3) = [2 - (Ь/2)(1 - ехр(-4/6)Ж2/3 «

« (2 - Ы2)(721ъ.

(Напомним, что b ^ 1 в силу условия v(t) ^ е.) Таким образом, среднее время перехода системы (5) от уровня л/ё > б2//3 до уровня — л/ё < — б2//3 во всяком случае не менее Се^2^.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-00297).

Литература

1. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. // Ма-тем. заметки. 2003. 74. С. 416.

2. Furstenberg Н. // Ann. Math. 1963. 77. P. 335.

3. Furstenberg H. 11 Trans. Am. Math. Soc. 1963. 108. P. 377.

4. Сазонов В.В., Тутубалин В.Н. 11 Теория вероятн. и ее примен. 1966. 11. С. 3.

Поступила в редакцию 15.03.06