Способ определения упругих податливостей s11Е, s12Е, s13Е, s33Е и пьезоэлектрических модулей d31,d33 на одном образце в виде диска
METHOD OF DETERMINATION OF ELASTIC SENSITIVITY OF S11E, S12E, S13E, S33E AND PIEZOELECTRIC MODULES D31, D33 ON ONE SAMPLE IN FORM OF DISC

Изобретение относится к области ультразвуковой и измерительной технике и может быть использовано для исследования и контроля качества пьезокерамических материалов.
Среди известных способов определения набора модулей для пьезокерамических материалов наибольшее распространение получил метод резонанса-антирезонанса, регламентированный ОСТ 11.0444-87 [ОСТ 11.0444-87. Материалы пьезокерамические. Технические условия. - Москва, 1987. - 141 с.] и американским институтом радиоинженеров [IRE standards on piezoelectric crystals, measurements of piezoelectric ceramic. - Proc. IRE, 1961. V. 49 - P. 1162].
r
a
Сущность метода резонанса-антирезонанса заключается в следующем. Из материала исследуемого состава изготавливаются образцы трех геометрических форм: круглая тонкая пластинка (d>>t, где d, t - диаметр и толщина пластинки соответственно), поляризованная по толщине, тонкий длинный призматический брусок (поперечные размеры много меньше длины l), поляризованный по толщине, и короткий призматический брусок длиной l = (2…3)d (где d - поперечный размер), поляризованный по длине, с электродами на 2-х боковых гранях. Затем в образцах возбуждают радиальную и толщинную моды колебаний круглой пластинки, продольную моду длинного и толщинную сдвиговую моду короткого призматических стержней и измеряют характерные частоты (резонанса f и антирезонанса f). По измеренным значениям характерных частот, а также емкости образцов, используя известные соотношения, рассчитывают величины всех упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических констант.
Для метода резонанса-антирезонанса определяющим условием при этом является необходимость возбуждать колебания на нескольких различных геометрических формах образцов пьезоэлементов. Флуктуация свойств при переходе от пьезоэлемента одной формы к пьезоэлементу с другой формой значительна из-за разного уровня их поляризации, разброса степени их структурной неоднородности. В результате константы, рассчитанные по резонансным частотам соответствующих мод колебаний таких пьезоэлементов, являются характеристиками того типа пьезоэлементов, на которых измерялись частоты резонансов.
Недостатками вышеуказанных способов являются:
- необходимы измерения характеристик различных типоразмеров: стержней, пластин или дисков с планарными колебаниями и колебаниями по толщине;
- сложно определить (измерить) на измерительном стенде частоты «антирезонанса» для высокочастотных толщинных колебаний из-за наличия вблизи антирезонансных частот множества других мод колебаний;
- для поляризации стержней с межэлектродным расстоянием порядка 10-20 мм часто требуются электрические напряжения до 100-200 кВ;
t
- необходима дополнительная проверка совместимости значений полного набора электроупругих констант путем сравнением значений коэффициента связи k, измеренного из толщинных колебаний и определенного расчетным путем по результатам измерений на образцах виде стержней;
- в силу того, что модули пьезокерамических материалов определяются на различных типах по форме образцов, большинство экспериментальных данных свидетельствует о существенной неоднородности физических свойств исследуемых пьезокерамических материалов, возникающих в процессе спекания и поляризации пьезоэлементов.
11
11
33
33
D
D
Наиболее близким является способ измерения констант упругости в пьезоэлектрической керамике [А.с. свид. №1193573 (СССР), В.А. Акопьян. Опубл. в Б.И. 1985, №3]. Здесь метод резонанса-антирезонанса применяется для одного образца в виде стержня прямоугольного сечения, поляризованного по толщине. Сначала возбуждают упругие колебания до получения первого пика амплитуды колебания стержня, соответствующего резонансу моды колебания по длине. Измеряют резонансную и антирезонансную частоты. Затем резко повышают частоту возбуждения колебаний стержня до толщинных высокочастотных колебаний и измеряют для этой моды колебаний толщинные резонансную и антирезонансную частоты. По измеренным четырем частотам определяют модули гибкости s, s, s, s,
Недостатками данного способа являются:
- использование высокочастотных толщинных антирезонансов из-за сложности определения высокочастотного антирезонанса на измерительном стенде, что уменьшает точность определения модулей керамики;
- определяются только четыре модуля исследуемой керамики, что недостаточно для определения полного набора всех модулей керамики;
- применение известных формул толщинного резонанса и антирезонанса для образца в виде стержня является не корректным, т.к. само понятие «толщинные колебания» соответствует колебаниям плит (пластина, диск), для которых размеры в плоскости значительно превышают перпендикулярные размеры по толщине, что не выполняется для стержня.
Технической задачей изобретения является повышение точности определения и информативности модулей пьзоэлектрической керамики.
Задача изобретения решается за счет того, что возбуждают радиальные и толщинные колебания и измеряют частоты резонансов и первого антирезонанса образца, также возбуждают и измеряют частоту первого и второго обертонов радиальных колебаний и вторую частоту резонансных колебаний образца по толщине, и по этим частотам определяют модули исследуемого пьезокерамического материала.
11
12
13
33
31
33
11
12
13
33
31
33
В способе определения упругих податливостей s,s,s,s и пьезоэлектрических модулей d, d в отличие от известных методов, для повышения точности определения модулей (упругих податливостей s,s,s,s и пьезоэлектрических модулей d, d) пьезокерамических материалов, измерения резонансных частот (трех радиальных с учетом толщины диска и двух толщинных мод) и одного низкочастотного антирезонанса проводятся только на одном образце в виде поляризованного по толщине диска, а для повышения информативности дополнительно на том же образце измеряют частоту второго обертона радиальных колебаний диска и первого обертона толщинного резонанса. Измерение трех резонансных частот радиальных колебаний вместо двух повышает точность определения модулей, т.к. расчетные соотношения для определения исследуемых модулей пьезокерамических материалов являются решением уравнения радиальных колебаний образца в виде диска с учетом его толщины в отличие от известных методов, где толщина не учитывалась.
Способ определения модулей в пьезокерамическом диске осуществляется следующим образом.
r
11
12
13
Из исследуемого материала изготовляют один диск (высотой 2h, радиуса b, плотностью ρ) с соотношением сторон: диаметр/толщина не менее 20:1. Наносят электроды на торцы диска и поляризуют по толщине. Сначала возбуждают низкочастотные радиальные колебания в исследуемом образце при подаче электрического сигнала на электроды. Измеряют три первые резонансные частоты f (основной резонанс и два его обертона), а упругие податливости s,s,s (здесьи далее верхний индекс E у податливостей опущен) определяют из решения частотного уравнения радиальных колебаний диска с учетом относительной толщины диска [1]
2
0
1
ΩJ(α)=(1–ν)αJ(α), (1)
где
ν - коэффициент Пуассона;
α - волновое число;
0
1
J, J - функции Бесселя:
2
2
2
r
11
Ω = (2πbf)ρs(1–ν),
а также в неявном виде через соотношение Ω(α) входит толщинная поправка ε=h/b к определению резонансных частот диска по формуле:
2
2
2
13
33
Ω=α{1-(εαc/c)/3},
где
13,
33
с с - упругие модули керамики.
И именно этим соотношением приведенное выше частотное уравнение (1) для радиальных колебаний диска конечной толщины отличается от известного частотного уравнения для радиальных колебаний диска с «нулевой толщиной»
0
1
ΩJ(Ω)=(1-ν)J(Ω).
Введение толщиной поправки в решение известного уравнения радиальных колебаний образца в виде диска повышает точность и информативность определения модулей исследуемой керамики.
Если измерить три резонансные частоты, получим три уравнения (1) относительно трех неизвестных. Учитывая соотношения:
12
11
13
33
13
11
12
ν=-s/s; с/с=-s/(s+s),
11
12
13
из данного трехчастотного метода можно определить эти три неизвестные величины s, s, s.
33
T
Диэлектрическую константу ε свободного образца рассчитаем из измеренной емкости C для диска на частоте 1 кГц
33
T
2
ε=Ch/πb,
p
31
11
12
33
a
2
2
T
Планарный коэффициент связи k=2d/((s+s)ε) вычисляем, зная антирезонансную частоту f, из выражений [2]
p
p
1
0
1
a
11
2
2
2
2
2
(1-k)-k(1-ν)J(γ)/(γJ(γ)-(1-ν) J(γ)=0; γ=(2пbf)ρs(1-ν),
31
Пьезоэлектрический модуль d определяем по формуле
31
p
11
12
33
2
2
T
d=k(s+s)ε/2.
33
t
t
D
Упругую константу c и коэффициент связи k определяют из первых двух измеренных резонансных частот f толщинных колебаний согласно соотношениям [2]
t
t
33
2
2
2
D
1-ktg(β)/β=0; β=(2πhf)ρ/c (2)
33
t
D
Для этого повышаем частоту возбуждения колебаний диска. Толщинный резонанс легко определяется, т.к. его амплитуда значительно превышает амплитуды сигналов других мод колебаний. Измерение второго толщинного резонанса диска повышает точность измерения параметров c и k, т.к. в отличие от известных ранее методов определения модулей керамики в рассматриваемом способе нет измерений высокочастотных антирезонансов: применение толщинных мод колебаний пластин в области антирезонансных частот для определения констант пьезокерамических материалов сопряжено с массой сложностей и поэтому нежелательно [1].
33
t
D
2
Имея два уравнения (2) с двумя неизвестными численными методами можно определить c и k. Далее используя соотношения
t
t
33
33
33
33
p
33
33
33
31
13
33
2
2
2
D
T
2
k/(1-k)=(е/с)c/(ε(1-k)); d=е/с-2dc/c,
где
33
е - пьезоэлектрическая постоянная,
33
легко рассчитать пьезоэлектрический модуль d.
11
12
13
33
33
D
По определенным модулям исследуемой керамики s, s, s/c можно рассчитать упругую податливость s.
33
t
33
33
33
13
11
12
2
D
2
с=(1-k)c; s=1/с+2s/(s+s).
Для проверки корректности методики используется численное решение краевых задач методом конечных элементов. В качестве программы, осуществляющей реализацию метода конечных элементов, используется программа, например, ANSYS [3].
При таком способе известные константы пьезокерамических материалов, например из приведенных в отраслевом стандарте (ОСТ) [4] таблиц, заносятся в программу и производится решение с помощью ЭВМ краевой задачи для пьезоэлемента выбранного типоразмера. При этом преследуются две цели:
- во-первых, по рассчитанным амплитудно-частотным характеристикам образца вычисляются определенные константы по формулам, соответствующим выбранному типоразмеру, и, тем самым, напрямую проверяются эти формулы;
- во-вторых, метод конечных элементов позволяет численно решить соответствующую краевую задачу практически с любой точностью без применения приближенных аналитических выражений и, тем самым, полностью проанализировать напряженно-деформированное состояние в образце. Таким образом, можно проанализировать, насколько правомочны приближения, положенные в основу аналитических выражений, и какой корректировки они должны быть подвергнуты. С этих позиций численные расчеты представляют собой виртуальный эксперимент, по информативности намного превышающий возможности реального эксперимента.
3
2
D
2
11
12
13
33
33
31
33
r1
r2
r3
11
12
13
a
31
Для диска из керамики PZT4 (толщина 1 мм, диаметр 20 мм, плотность ρ = 7500 Кг/м, модули s = 12,3e-12, s = -4.05е-12, s = -5.31е-12, s = 15,5е-12 м/Н, c = 15,9е10 Н/м, d = -123е-12, d = 289e-12 К/Н) с помощью ANSYS были рассчитаны первые три резонансные частоты радиальных колебаний диска: f = 114588, f = 297794, f = 496476 Гц. Определенные по предлагаемой методике методом трех частот упругие податливости для рассматриваемой керамики оказались равны s = 12,29е-12, s = -4,05е-12, s = -5,28е-12. Из первой низкочастотной частоты антирезонанса f = 133450 рассчитан пьезоэлектрический модуль d = -123е-12.
1
2
33
33
Используя рассчитанные на ANSYS первые два толщинных резонанса f = 2,02 МГц и f = 6,728 МГц, получим упругую податливость s = 15,3е-12 и пьезоэлектрический модуль d = 285,84е-12.
Ошибка в определении модулей исследуемой керамики не превышает одного процента.
Литература
1. Мадорский, В.В. Исследование методик определение констант поляризованной пьезокерамики / В.В. Мадорский, В.Н. Митько. // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2014. - Т. 14, №2 (77). - С. 36-45.
2. IRE standards on piezoelectric crystals, measurements of piezoelectric ceramic. - Proc. IRE, 1961. V. 49 - P. 1162.
3. ANSYS. Theory Ref. Rel. 8.0 / Ed. P. Kothnke / ANSYS Inc. Houston, 2003. - 292 p.
4. ОСТ 11.0444-87. Материалы пьезокерамические. Технические условия. - Москва, 1987. - 141 с.