Учет остаточной намагниченности в трансформаторе при моделировании переходных процессов

УДК 621.314.21.018.782.3.013.1 ББК З27-016:3261.8

АЛ. СЛАВУТСКИЙ

УЧЕТ ОСТАТОЧНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ В ТРАНСФОРМАТОРЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Ключевые слова: электрические цепи, переходные процессы, нелинейные элементы, трансформатор, взаимная индуктивность, гистерезис.

Предложена методика расчета переходных процессов в цепях с нелинейной индуктивностью. Представлен подход к учету нелинейной индуктивности в схеме, позволяющий применять различные методы описания характеристик намагничивания магнитных сердечников. Дан анализ эффективности различных методов учета характеристик намагничивания сердечников при моделировании электрических схем. Приведены результаты моделирования переходных процессов в трансформаторе с учетом остаточной намагниченности.

A. SLAVUTSKIY

ACCOUNTING THE RESIDUAL MAGNETIZATION IN THE TRANSFORMER FOR THE MODELING OF TRANSIENTS

Key words: electrical circuits, transients, nonlinear elements, transformer, mutual inductance, hysteresis.

Methodology for calculation transients in the circuits consisting the nonlinear inductance is suggested. The methodology allowing use the different ways to define the characteristics of ferromagnetic cores. The efficiency of different ways to define the characteristics for modeling transients in electrical circuits is shown in article. Results of modeling of transients in transformer with nonlinear core is shown.

При моделировании переходных процессов в энергосистеме, в частности в узлах комплексных нагрузок, актуальна задача учета магнитных свойств силового трансформатора. Влияние насыщения и остаточной намагниченности в сердечнике трансформатора особенно сказывается при коммутациях трансформатора относительно сети [8, 4]. Броски тока намагничивания имеют большую амплитуду и длительность протекания [3], что может привести к повреждениям обмоток самого трансформатора. Кроме того, токи намагничивания трансформатора имеют сложный гармонический состав, что, в свою очередь, может влиять на связанное с трансформатором оборудование и на работу узла нагрузки в целом, а также на питающую его сеть [4, 15, 21]. Модели трансформаторов в виде схемы замещения [6, 7] плохо подходят для моделирования переходных процессов вследствие большого количества допущений. Они предназначены для учета трансформаторов при расчете статических режимов электрической сети в целом. В [4] продемонстрирована методика моделирования процессов в силовом трансформаторе с учетом конфигурации магнитной системы. В этой работе применен подход, при котором магнитная система представляется в виде магнитной цепи. При расчетах проводится аналогия между электрическим током и магнитным потоком, электрическим напряжением и напряженностью магнитного поля в участках магнитного сердечника. Составляется схема замещения магнитной цепи, которая затем рассчитывается методами теории электрических цепей. Электрическая и магнитные цепи трансформатора рассчитываются совместно. Такой подход к моделированию трансформатора лишен недостатков моделей в виде схем замещения, на которые указано в [5]. К данным недостаткам, в частности, относится необходимость

приведения параметров схемы к уровню напряжения или числу витков одной из обмоток. Однако методика, показанная в [4], не учитывает ферромагнитных свойств сердечника, таких, как насыщение сердечника и магнитный гистерезис. Метод моделирования переходных процессов в трансформаторе, учитывающий нелинейные свойства сердечника, подробно рассмотрен в работе [5]. Следует отметить, что указанные методы описания динамических моделей трансформаторов избыточны для задачи расчета переходных процессов в узлах нагрузки. Моделирование переходных процессов в узлах нагрузки не ставит задачу высокой детализации процессов внутри трансформатора, поскольку это может отрицательно сказаться на производительности расчетов, требующих решения дополнительных систем уравнений.

В данной статье представлена модель трансформатора, учитывающая насыщение и гистерезис в характеристике намагничивания сердечника трансформатора при расчете переходных процессов. Методика отражает свойства трансформатора как элемента с магнитной системой, учитывает преобразование уровней напряжения и при этом не приводит к усложнению топологии исследуемой схемы. В модели принято допущение об однородности магнитного поля в магнитной системе и ряд других, являющихся общепринятыми допущениями в большинстве моделей трансформаторов [3, 6, 7].

Расчет переходных процессов в электрических цепях в данной работе производится помощью алгоритма Доммеля [10-13, 17]. Этот алгоритм позволяет рассчитывать переходные процессы в электрических цепях сведением задачи к расчёту цепи постоянного тока в каждый момент времени с заданным шагом. Указанный алгоритм позволяет моделировать переходные процессы во временной области. Рассмотрим возможность учета характеристики намагничивания сердечника трансформатора при использовании этого алгоритма.

Расчёт цепей с элементами, нелинейность которых задается через ВАХ, применительно с используемому алгоритму, рассмотрен в [11, 12]. Цепь с индуктивностью, где нелинейность обусловлена магнитной проницаемостью сердечника, должна рассчитываться несколько иначе [13]. Напряжение на нелинейной индуктивности описывается уравнением

Пь 0ь) = Ь

т

где иь, гь - напряжение и ток; Ь(/ь) - нелинейная индуктивность.

Для уравнения (1) задание ВАХ напрямую оказывается затруднительно, поскольку кроме нелинейной зависимости Ь(/ь) присутствует первая производная от тока. Следует отметить, что для цепей с взаимной индуктивностью задание ВАХ напрямую вызывает еще больше сложностей.

В данной работе подход к учету нелинейности в индуктивных элементах основан на учете их физических особенностей. Ферромагнитные материалы, как известно, имеют сложную зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля В = ДН). Если известны параметры сердечника и задана его характеристика В(Н), то можно получить значение индуктивности Ь(/ь) при заданном токе [2]. Для этого необходимо учесть параметры обмоток и физические, геометрические параметры сердечника.

Согласно алгоритму Доммеля, применяемому для расчета переходных процессов, в данной работе индуктивность на каждом шаге дискретизации учитыва-

L

ется, как показано на рис. 1. Здесь ыЬп+1 -напряжение на индуктивности на (п + 1)-м шаге расчета по времени; 1Ьп - ток в индуктивности на п-м шаге расчета по времени; Н - временной шаг дискретизации.

Для цепи с взаимной индуктивностью влияние связанной ветви учитывается внесением соответствующей ЭДС и сопротивления в рассматриваемую ветвь. Применяя данный подход, можно найти текущий режим работы цепи.

Используемая методика расчета переходных процессов позволяет сводить расчет к цепям постоянного тока на каждом шаге дискретизации по времени. Это позволяет уточнить режим работы цепи с учетом нелинейности элементов при использовании итерационных методов [9]. Следует отметить, что характеристика задается для каждого нелинейного элемента в отдельности. В цепи может быть несколько таких элементов.

Взаимная индуктивность между обмотками в цепи

Рис. 1. Схема замещения индуктивности для алгоритма Доммеля

M12 =

W101

M21 =

Ц>202

I2 Ii

где w1, w2 - количество витков первой и второй связанных обмоток; Ф1 - магнитный поток второй обмотки, участвующий в потокосцеплении первой; Ф2 -магнитный поток первой обмотки, участвующий в потокосцеплении второй обмотки; I1 и I2 - токи первой и второй обмоток, соответственно. Зная магнитный поток, находим напряженность магнитного поля в сердечнике, затем из кривой намагничивания находим магнитную индукцию. После нахождения магнитной индукции нетрудно найти уточненное значение индуктивности на данном шаге.

Таким образом, взаимная индуктивность также оказывается нелинейной. При расчете нелинейной цепи с взаимными индуктивностями на каждом временном шаге уточняются 4 параметра. Этими параметрами являются индуктивности L1, L2, а также взаимные индуктивности M12 и M21. Взаимные индуктивности при сходимости итерационного расчета должны стремиться к одной величине, поскольку в сердечнике протекает общий магнитный поток. Коэффициент связи обмоток необходимо учитывать при расчете взаимных индуктивностей на каждой итерации.

Для учета остаточной намагниченности в сердечнике трансформатора автором применена математическая модель описания магнитного гистерезиса Джилса-Атертона (Jiles-Atherton) [1, 16, 18, 20]. Она позволяет получить значение остаточной намагниченности в сердечнике путем решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка относительно остаточной намагниченности. При этом используется форма кривой намагничивания без учета гистерезиса. Помимо данной модели широко используется модель Прейзаха (Preisach) [19]. Модель Прейзаха основана на описании гистерезиса путем суммирования множества элементарных функций

(гистеронов). Эти элементарные функции, по сути, являются функциями гистерезиса с различными коэффициентами возврата. По мере изменения входной величины гистероны суммируются c различными весовыми коэффициентами. Сравнение этих моделей приведено в [14]. Автором использована модель Джилса-Атертона (далее - J-A), поскольку она основана на физических свойствах ферромагнитных материалов и дает более высокую вычислительную производительность [14], нежели феноменологическая модель Прейзаха.

Суть метода J-A заключается в решении дифференциального уравнения

dM = 1 Man — M + с dMan

dH 1 + с 5k — a(Man -M) 1 + с dH где M — остаточная намагниченность сердечника; H — значение магнитного поля, воздействующего на сердечник (А/м); с — постоянная упругого смещения доменных границ; Man — намагниченность без учета гистерезиса (А/м); Man = f(H); 5 — знак производной dH/dt (характеризует направление изменения магнитного поля в сердечнике); k — постоянная необратимой деформации доменных стенок (А/м); a — параметр, учитывающий эффективную напряженность магнитного поля в сердечнике. ПараметрMan = f(H) имеет вид функции Ланжевина [18]:

Man = Ms (coth(He / a)—a / He), где Ms — намагниченность при насыщении материала (А/м); He — эффективное магнитное поле в сердечнике He = H + aM; a — параметр, характеризующий плотность границ доменов в магнитном материале (А/м).

Решая ДУ (2) на каждом шаге уточнения индуктивностей обмоток с начальными условиями, полученными на предыдущем шаге моделирования, получаем не просто нелинейную зависимость индуктивности от тока в обмотках, но и учет остаточной намагниченности и истории перемагничивания сердечника на всем протяженности моделирования по времени. Форма петли гистерезиса зависимости B(H), полученной при использовании метода J-A, приведена на рис. 2.

B

0.8 0.6 0.4 0.2 Е 0

ш

-0.2 -0.4 -0.6

-0.8 -1

J----

/ .'X X • Ж / • / / • ш

/ ' м • /ш • if

* // • /1

/ • / •

/ • / • У

/ * I У • ж / • / /;. /

-по методу J-A * без гистерезиса i

-0.5

0.5

0

H,(A/m) х 10

Рис. 2. Кривые намагничивания материала сердечника

^ ^ Следует отметить, что использо-

ванная методика моделирования петли гистерезиса учитывает наличие внутренних петель, что уточняет результат при различных амплитудах сигналов. Моделирование процессов во временной области не накладывает ограничений на форму сигналов источников и спектр выходных сигналов модели.

Для примера применения данной методики проведено моделирование схемы рис. 3. Следует отметить, что параметры модели взяты исключительно для демонстрации работы методики.

Параметры модели: Е = 100 В, Я = 1 Ом, количество витков обмоток: Wl = w2 = 2200, Ян = 10 Ом, Яы = 1 Ом, ЯЬ2 = 1 Ом, = 10-4 м2, длина средней линии сердечника I = 0,1 м. Индуктивности обмоток не указаны, так как они уточняются в процессе расчета на каждом шаге. Значения параметров модели 1-Л: с = 0,1,М = 0,7 А/м, к = 5000 А/м, а = 10-3.

Результаты моделирования схемы с трансформатором при учете насыщения сердечника приведены в [13]. Проведем сравнение результатов моделирования для одной и той же цепи с учетом гистерезиса кривой намагничивания (кривая 1 на рис. 2) и без учета гистерезиса (кривая 2 на рис. 2).

Графики на рис. 4, 5 иллюстрируют переходный процесс при включении трансформатора с тороидальным сердечником на нагрузку. На графиках хорошо видно, что при данных параметрах цепи и заданном напряжении источника происходит магнитное насыщение сердечника трансформатора, вызывающее существенные искажения сигналов тока и напряжения в его обмотках. Проведем сравнительный анализ результатов, полученных с применением различных подходов к моделированию нелинейной индуктивности.

На графиках тока видно, что при учете гистерезиса апериодическая составляющая ниже и затухает быстрее, чем при учете насыщения сердечника без гистерезиса. Кроме того, на графиках отчетливо прослеживается разница между сигналами в момент перехода тока через нуль. Сигналы токов, полученные с учетом гистерезиса, имеют более сильное искажение. Это связано с наличием процесса перемагничивания материала сердечника. Тогда как искажение сигналов, полученных без учета гистерезиса, обусловлено только явлением насыщения. В общем случае при учете остаточной намагниченности сигналы модели искажаются сильнее, но при этом их форма в большей степени соответствует наблюдаемым на практике явлениям. Если рассмотреть ток вторичной обмотки, то можно заметить, что его форма при учете гистерезиса гораздо ближе к реальной форме тока при глубоком насыщении сердечника трансформатора. При моделировании различных режимов автором замечено большее влияние параметров нагрузки трансформатора на величину апериодической составляющей в модели, учитывающей гистерезис. Эти результаты могут говорить о большей достоверности результатов при оценке переходных процессов в цепях с нелинейными индуктивностями при учете остаточной намагниченности в сердечнике.

Рис. 3. Схема, содержащая трансформатор с ферромагнитными сердечником

Рис. 4. Кривые тока в первичной (II) и вторичной (12) обмотках трансформатора

Рис. 5. Кривые напряжения на первичной (II) и вторичной (12) обмотках трансформатора

Учет гистерезиса в материале сердечника, как видно из графиков, позволяет учесть потери на перемагничивание материала и искажение формы сигнала при насыщении сердечника. При моделировании с учетом кривой намагничивания можно отследить только искажение формы сигналов за счет насыщения, что не дает полной картины передачи энергии в трансформаторе при его работе в различных режимах. Из графиков видно, что искажение формы сигнала тока и напряжения в обмотках трансформатора сильнее выражено на кривых, полученных при учете остаточной намагниченности. Учет остаточной намагниченности предложенным способом имеет еще одно важное преимущество - данный метод позволяет учесть внутренние петли гистерезиса. Это дает возможность более полно рассматривать переходные процессы при различных амплитудах и формах входных сигналов, получать более достоверную форму сигналов при различных нагрузках трансформаторов.

Представленная модель трансформатора лишена многих недостатков: необходимости приведения параметров обмоток к одному классу напряжения, линейности характеристики намагничивания сердечника, избыточной сложности модели. В предлагаемой модели трансформатор представлен как совокупность индуктивно связанных ветвей. В модели учет магнитных характеристик сердечника производится путем непосредственного расчета зависимости магнитной индукции в сердечнике от напряженности магнитного поля с учетом остаточной намагниченности.

Используемая модель нелинейного трансформатора имеет преимущества перед моделями в виде схемы замещения без взаимной индуктивности. Преимущество заключается в том, что учитываются физические особенности процессов, протекающих в трансформаторе. Данный подход позволяет оперировать исходными характеристиками материалов, используемых при производстве. При моделировании силовых трансформаторов подход дает преимущество при оценке переходных режимов узла нагрузки, сопровождаемых большими токами первичной или вторичной стороны.

Предлагаемый алгоритм позволяет не только оценить искажения сигналов в нелинейных индуктивных элементах, но и показать их влияние на другие участки цепи. Методика позволяет учесть различные физические особенности индуктивных элементов в сети, включая остаточную намагниченность (учет гистерезиса в характеристике намагничивания сердечника). Это может быть полезно при моделировании процессов в силовых комплексах и узлах нагрузки. Экономическая целесообразность оценки и моделирования различных режимов работы узлов нагрузки с высокой точностью может быть весьма высока.

Литература

1. Баглейбтер О. Реализация модели трансформатора тока в 8гти1тк на основе теории гистерезиса Джилса-Атертона (ШебъАШеТоп) // Релейщик. 2014. № 1. С. 10-15.

2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. 9-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1996. 638 с.

3. ВольдекА.И. Электрические машины. 3-е изд., переаб. Л.: Энергия, 1978. 832 с.

4. Евдокунин Г.А., Дмитриев М.В. Моделирование переходных процессов в электрической сети, содержащей трансформаторы при учете конфигурации их магнитной системы // Известия РАН. Энергетика. 2009. № 2. С. 37-48.

5. Зирка С.Е., Мороз Ю.И., Мороз Е.Ю., Тарчуткин А.Л. Моделирование переходных процессов в трансформаторе с учетом гистерезисных свойств магнитопровода // Техническая электродинамика. 2010. № 2. С. 11-20.

6. ИдельчикВ.И. Электрические системы и сети. М.: Энергоатомиздат, 1989. 592 с.

7. Лейтес Л.В. Электромагнитные расчеты трансформаторов и реакторов. М.: Энергия, 1981. 389 с.

8. Лурье А.И. Процесс включения трансформатора на холостой ход и короткое замыкание // Электротехника. 2008. № 2. С. 2-18.

9. Плотников П.В., ТурчакЛ.И. Основы численных методов. М.: Физматлит, 2003. 304 с.

10. Славутский А.Л. Оценка динамических характеристик измерительных органов при переходных процессах в энергосистеме // Вестник Чувашского университета. 2012. № 3. С. 167-176.

11. Славутский А.Л. Применение алгоритма Доммеля для расчета переходных процессов в электрических цепях с нелинейными элементами // Региональная энергетика и электротехника. Проблемы и решения: сб. науч. тр. Вып. VIII. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2012. С. 161-165.

12. Славутский А.Л. Применение алгоритма Доммеля для моделирования цепи с полупроводниковыми элементами и ключами с ШИМ управлением // Вестник Чувашского университета. 2014. № 2. С. 57-66.

13. Славутский А.Л. Расчет переходных процессов в цепи с нелинейной индуктивностью // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы 9-й Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2014. С. 257-261.

14. Benabou A., Leite J.V., Clenet S., Simao C., Sadowski N. Minor loops modelling with a modified Jiles-Atherton model and comparison with the Preisach model. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2008, vol. 320.

15. Brunke J.H., Frohlich K.J. Elmination of Transformer Inrush Currents by Controlled Switching - Part I: Theoretical Considerations. IEEE Transactions on power delivery, 2001, vol. 16, no. 2, April.

16. Cundeva S. A Transformer Model Based on the Jiles-Atherton Theory of Ferromagnetic Hysteresis. Serbian Journal of Electrical engineering, 2008, vol. 5, no. 1, May, pp. 21-30.

17. Dommel H. W. Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and Multiphase Networks. IEEE Transactions on power apparatus and systems, 1969, vol. PAS-88, no. 4, pp. 388-399.

18. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis. Journal of Magnetism and Magnetism Materials, 1986, vol. 61, pp. 48-60.

19. Mayergoyz I.D. Mathematical model of hysteresis. N.Y., Springer-Verlag New York Inc.,

1991.

20. Szewczyk R. Computational problems connected with Jiles-Atherton model of magnetic hysteresis. Advances in Intelligent Systems and Computing (Springer), 2014, vol. 267, pp. 275.

21. Steurer M., Frohlich K. The Impact of Inrush Curents on the Mechanical Stress of High Voltage Power Transformer Coils. IEEE Transactions on power delivery, 2002, vol. 17, no. 1, Jan.

References

1. Bagleibter O. Realizatsiya modeli transformatora toka v Simulink na osnove teorii gisterezisa Dzhilsa-Atertona (Jiles-Atherton) [Simulink implementation of the current transformer model based on the Jiles-Atherton hysteresis theory]. Releishchik, 2014, no. 1, pp 10-15.

2. Bessonov L.A. Teoreticheskie osnovy elektrotekhniki. Elektricheskie tsepi [Theoretical Foundations of Electrical Engineering. Electrical circuits]. Moscow, Vysshaya shkoloa Publ., 1996. 638 p.

3. Vol'dek A.I. Elektricheskie mashiny [Electrical machines]. Lenigrad, Eenergiya Publ., 1978. 832 p.

4. Evdokunin G.A., Dmitriev M.V. Modelirovanie perekhodnykh protsessov v elektricheskoi seti, soderzhashchei transformatory pri uchete konfiguratsii ikh magnitnoi sistemy [Power transformer transients with its magnetic system detailed modeling]. Izvestiya RAN. Energetika [Journal of RAS. Energetics], 2009, no. 2, pp 37-48.

5. Zirka S.E., Moroz Yu.I., Moroz E.Yu., Tarchutkin A.L. Modelirovanie perekhodnykh protsessov v transformatore s uchetom gisterezisnykh svoistv magnitoprovoda [Modelling of transient processes in the transformer with consideration of the magnetic core hysteresis]. Tekhnicheskaya elektrodinamika [Technical Electronics], 2010, no. 2, pp. 11-20.

6. Idel'chik V.I. Elektricheskie sistemy i seti [Electrical systems and networks]. Moscow, Ener-goatomizdat Publ., 1989. 592 p.

7. Leites L.V. Elektromagnitnye raschety transformatorov i reaktorov [Electromagnetic calculations of transformers and reactors]. Moscow, Energiya Publ., 1981, 389 p.

8. Lur'e A.I. Protsess vklyucheniya transformatora na kholostoi khod i korotkoe zamykanie [The process of switching transformer on off-load and short circuit]. Elektrotekhnika [Electrical Engineering], 2008, no. 2, pp. 2-18.

9. Plotnikov P.V., Turchak L.I. Osnovy chislennykh metodov [Fundamentals of numerical methods]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2003, 304 p.

10. Slavutskiy A.L. Otsenka dinamicheskikh kharakteristik izmeritel'nykh organov priperekhodnykh protsessakh v energosisteme [The estimate of dynamic characteristics of measuring elements to transient processes in power systems]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2012, no. 3, pp. 167-176.

11. Slavutskiy A.L. Primenenie algoritma Dommelya dlya rascheta perekhodnykh protsessov v elektricheskikh tsepyakh s nelineinymi elementami [Dommel algorithm application for transients calculation in nonlinear electrical circuits]. Regional'naya energetika i elektrotekhnika. Problemy i resheniya: sbornic nauchnikh trudov. Vypusk 8 [Regional Energy & Electrical Engineering: Problems and Solutions: Collected papers, issue 8]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2012, pp. 161-165.

12. Slavutskiy A.L. Primenenie algoritma Dommelya dlya modelirovaniya tsepi s poluprovod-nikovymi elementami i klyuchami s ShIM upravleniem [Аpplication of dommel algorithm for simulation of semiconductor circuits with PWM control switches]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2014, no. 2, pp. 57-66.

13. Slavutskiy A.L. Raschetperekhodnykh protsessov v tsepi s nelineinoi induktivnost'yu [Transients calculation in circuits with nonlinear inductance]. Informatsionnye tekhnologii v elektrotekh-nike i elektroenergetike: materialy 9-i Vserossiyskoy nauch.-tekhn. konf. [Proc. of 9th Russ. Conf. «Information technologies in electronics and power»]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 2014. pp. 257-261.

14. Benabou A., Leite J.V., Clenet S., Simao C., Sadowski N. Minor loops modelling with a modified Jiles-Atherton model and comparison with the Preisach model. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2008, vol. 320.

15. Brunke J.H., Frohlich K.J. Elmination of Transformer Inrush Currents by Controlled Switching - Part I: Theoretical Considerations. IEEE Transactions on power delivery, 2001, vol. 16, no. 2, April.

16. Cundeva S. A Transformer Model Based on the Jiles-Atherton Theory of Ferromagnetic Hysteresis. Serbian Journal of Electrical engineering, 2008, vol. 5, no. 1, May, pp. 21-30.

17. Dommel H.W. Digital Computer Solution of Electromagnetic Transients in Single and Multiphase Networks. IEEE Transactions on power apparatus and systems, 1969, vol. PAS-88, no. 4, pp. 388-399.

18. Jiles D.C., Atherton D.L. Theory of ferromagnetic hysteresis. Journal of Magnetism and Magnetism Materials, 1986, vol. 61, pp. 48-60.

19. Mayergoyz I.D. Mathematical model of hysteresis. N.Y., Springer-Verlag New York Inc.,

1991.

20. SzewczykR. Computational problems connected with Jiles-Atherton model of magnetic hysteresis. Advances in Intelligent Systems and Computing (Springer), 2014, vol. 267, pp. 275.

21. Steurer M., Frohlich K. The Impact of Inrush Curents on the Mechanical Stress of High Voltage Power Transformer Coils. IEEE Transactions on power delivery, 2002, vol. 17, no. 1, Jan.

СЛАВУТСКИЙ АЛЕКСАНДР ЛЕОНИДОВИЧ - магистр техники и технологии, аспирант кафедры электроснабжения промышленных предприятий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (slavutskii@gmail.com).

SLAVUTSKIY ALEXANDR - master of engineering and technology, post-graduate student of Industrial Enterprises Power Supply Chair, Chuvash State University. Russia, Cheboksary.