Методика расчета устойчивости откосов по пространственным поверхностям скольжения в виде эллипсоида вращения

УДК 624.13

М.П. Саинов

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

МЕТОДИКА РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ ОТКОСОВ ПО ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ СКОЛЬЖЕНИЯ В ВИДЕ ЭЛЛИПСОИДА ВРАЩЕНИЯ

Приведены основные положения разработанной методики расчета устойчивости откосов по поверхностям скольжения в виде эллипсоида вращения. Для разбиения массива обрушения на элементарные части использован метод конечных элементов. Для определения величин сил трения использованы результаты расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) плотины, полученного методом конечных элементов (МКЭ).

Рассмотрены методические вопросы расчетов устойчивости откосов. Показана важность использования при расчетах НДС конечных элементов высокого порядка. Решение тестовых задач позволило дать рекомендации по выбору интервалов варьирования параметров формы эллипсовидных пространственных поверхностей скольжения. Установлено, что шаг главной полуоси эллипса можно принимать равным 1 % от высоты откоса. Исследования формы наиболее вероятных поверхностей скольжения показали, что при учете только сил собственного веса их форма стремится к круглоцилиндрической. При учете сейсмических сил поверхности скольжения могут иметь форму, близкую к шарообразной или даже дискообразную.

Ключевые слова: грунтовая плотина, устойчивость откосов, метод круглоци-линдрических поверхностей скольжения, метод конечных элементов, эллипсоид вращения.

Обычно при расчетах устойчивости откосов грунтовых плотин используют метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения, т.е. принимают, что форма поверхности скольжения не изменна вдоль оси плотины. Однако реальные створы, в которых возводятся грунтовые плотины, могут быть ограничены по протяженности, поэтому образование круглоцилиндрических поверхностей скольжения невозможно. Имеет смысл рассматривать пространственные поверхности скольжения.

Нами разработана методика расчета со следующими гипотезами:

1) обрушение откоса происходит в виде поворота массива обрушения вокруг горизонтальной оси, поэтому в поперечном сечении поверхность скольжения представляет собой дугу окружности,

2) в горизонтальном сечении поверхность скольжения имеет форму эллипса. Эти допущения ведут к поверхности скольжения в виде эллипсоида вращения, полученного путем вращения эллипса вокруг оси поворота массива обрушения. Метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения является частным случаем нашей методики, в котором эллипс очень вытянут в направлении вдоль гребня плотины.

Форма эллипсоида вращения характеризуется двумя характерными размерами — двумя полуосями. Одна из полуосей, которую мы назовем главной, совпадает с радиусом дуги скольжения в поперечном сечении. Вторая полуось

характеризует протяженность эллипсоида вдоль оси вращения. Если вторая полуось будет много больше, чем первая, то поверхность скольжения становится близкой к круглоцилиндрической.

Поверхность эллипсоида вращения описывается каноническим уравнением

2 2 1.2 ' ^ ' a a b

где х — координата в горизонтальном направлении из верхнего бьефа в нижний; у — высота точки; z — координата точки вдоль оси вращения эллипсоида; a, b — полуоси эллипса; х0, у0, z0 — координаты центра эллипсоида.

В случае, если обрушение откосов происходит в виде поворота массива обрушения вокруг некоторой оси, условие устойчивости записывается в виде сравнения удерживающих Мудерж и опрокидывающих Мопр моментов [1]:

Мопр — M удерж'

Для подсчета момента опрокидывающих сил массив обрушения можно разбить на ряд элементарных объемов.

Наиболее сложно подсчитать моменты удерживающих сил — сил трения и сцепления. Обычно силу предельного сопротивления грунта сдвигу R определяют из формулы Кулона

ю

где ю — площадь поверхности скольжения; оя — нормальное напряжение в скелете грунта на площадке da; ф, с — соответственно угол внутреннего трения и сцепление грунта на площадке da.

Сложность заключается в том, что необходимо знать распределение напряжений оя вдоль поверхности скольжения. При решении плоских задач чаще всего используют способ Терцаги [2], в котором принимают гипотезу отвердевшего массива обрушения и получают, что напряжения в нормальном направлении оя можно выразить через вертикальные нормальные напряжения оу и угол а наклона площадки к горизонту:

an =су cos а.

Как известно [3—6], способ Терцаги не удовлетворяет условиям равновесия сил, действующих на массив обрушения, что снижает точность решения. Разработано множество других способов расчета [3—6], в которых напряжения находят из рассмотрения предельного равновесия массива обрушения. При этом форма поверхности скольжения может оказаться не круглоцилин-дрической [7].

Однако все эти способы довольно сложны.

Нами предложено использовать другой подход, который заключается в том, чтобы определять распределение напряжений вдоль поверхности скольжения не для случая предельного равновесия, а для реального напряженно-деформированного состояния (НДС) рассматриваемой плотины. В этом случае любые условия равновесия массива обрушения будут соблюдены.

Решить задачу об НДС плотины можно методом конечных элементом [8]. Это позволит в любой точке плотины узнать все компоненты напряжений.

Через компоненты напряжений можно определить нормальные напряжения sя на произвольной площадке [9]:

=°хтх + сту ту + 2 стху тхту + 2 стхг тх тг + 2 °уг ту ,

где о, о , о — нормальные осевые напряжения в точке; о , о , о — касатель-

х у г г г ' ху хг^ уг

ные напряжения в точке; тх, ту, тг — направляющие косинусы площадки по отношению к осям координат.

Чтобы подсчитать интеграл (3) можно использовать метод численного интегрирования, разделив поверхность скольжения на элементарные площадки.

Итак, для подсчета моментов необходимо разделить массив обрушения на элементарные части, а поверхность скольжения — на элементарные площадки. Если для определения НДС использовать метод конечных элементов, то разбивку конструкции на конечные элементы можно использовать и для дискретизации массива обрушения.

В итоге получаем следующее выражение для подсчета коэффициента запаса устойчивости откоса: N

ы.

, _ удерж _ 2=1__

X

1=1

где у, N — соответственно номер элементарной площадки поверхности скольжения и их общее количество; ¡, К — соответственно номер элементарного объема в составе массива обрушения и их общее количество; о — напряжение в скелете грунта на у-й элементарной площадке поверхности скольжения в направлении нормали к площадке; фу, с. — соответственно угол внутреннего трения и удельное сцепление грунта, попадающего на у-й элементарной площадке в поверхность скольжения; ъу — площадь у-й элементарной площадки поверхности скольжения; г. — плечо центра у-й элементарной площадки относительно оси вращения; О. — вес грунта в 7-м элементарном объеме массива обрушения; Я^. — плечо силы тяжести 7-го элементарного объема относительно оси вращения; 8 — горизонтальная (сейсмическая) сила в 7-м элементарном объеме массива обрушения; г. — плечо силы 8 относительно оси вращения.

Формула (6) позволяет определить коэффициент устойчивости для конкретной поверхности скольжения, но не позволяет оценить устойчивость откоса в целом, так как форма наиболее вероятной поверхности скольжения не известна заранее. Чтобы найти опасную поверхность, нужно рассмотреть множество поверхностей скольжения с разными центрами (х0, у г0) и разными полуосями (а, Ь) и выбрать из них ту, которая имеет минимальный коэффициент запаса. В наших расчетах заранее задавался шаг главной полуоси а и соотношение полуосей Ь/а.

Такова идея разработанной методики расчета устойчивости откосов по пространственным поверхностям скольжения. Она реализована в вычислительной программе Otkos_N, составленной автором.

Разработанная методика является приближенной, так как при решении используются численные методы. Поэтому нам было необходимо оценить по-

} ^ ф } + °з) ,г,

ы

опр X |>г, + sIrSI ]

лучаемую точность решения и установить пределы применимости методики. С этой целью был решен ряд тестовых задач. Тестовые задачи решались как для простых расчетных схем (однородная плотина), так и для более сложных.

Прежде всего, необходимо было исследовать, как на точность решения влияет подробность дискретизации массива обрушения на элементарные части. Ведь в разработанной методике в пределах каждого из конечных элементов поверхность скольжения принимается плоской, а напряжения — постоянными. Понятно, что чем на большее количество элементарных площадок будет разбита поверхность скольжения, тем точнее будут определены силы сопротивления сдвигу и тем точнее будет решение. В вычислительной программе поверхность скольжения разбивается на столько элементарных частей, сколько конечных элементов она пересекает. Поэтому точность решения зависит от количества конечных элементов, на которые разбита плотина.

Для решения задач о НДС грунтовой плотины вполне достаточно, если размер конечных элементов составит 5.. .10 % от высоты плотины1. В этом случае в поперечном сечении плотины количество конечных элементов составит от 300 до 1000. Для решения задач устойчивости такого количества будет не достаточно, так как количество пересекаемых кривой скольжения конечных элементов будет невелико. При заглубленных пологих кривых оно будет исчисляться десятками, но при неглубоких кривых — не более 10.

Чтобы повысить точность вычислений, нами было принято решение делить конечные элементы с квазилинейной или нелинейной функцией перемещений на части по числу точек интегрирования, в которых известны значения напряжений. Для интегрирования энергии в элементах с квазилинейной функцией перемещений требуется в плоском элементе как минимум 4 точки интегрирования, а в пространственном — 8. При квадратичной функции потребуется соответственно 9 и 27 точек. Во столько же (от 4 и более) раз возрастет подробность сетки МКЭ для решения задач устойчивости откосов. Такое увеличение количества элементарных частей существенно повышает точность вычислений. Однако, как показали тестовые расчеты, это не всегда обеспечивает достаточную точность.

Тестовые расчеты проводились для плотины высотой 200 м, расположенной в створе шириной 400 м. Плотина выполнена с ядром из суглинка и упорными призмами из гравийно-галечникового грунта. Поперечное сечение плотины было разбито на 357 конечных элементов, общее количество конечных элементов в пространственной сетке МКЭ составило 4284. При расчетах устойчивости откосов плоское сечение было разбито на 3213 частей, а плотина пространственной формы — на 115668 частей.

Расчет напряженно-деформированного состояния плотины производился по вычислительной программе NDS-N, разработанной автором. Она позволяет вести расчет в упруго-пластической постановке, для чего используется модель грунта профессора Л.Н. Рассказова [2].

1 При этом имеется в виду, что применяются не простейшие элементы (с линейной аппроксимацией перемещений внутри элемента и постоянными деформациями, напряжениями), а элементы более высокого порядка.

ВЕСТНИК

МГСУ-

При расчетах устойчивости учитывалось снижение угла внутреннего трения гравийно-галечникового грунта с 47° до 34° при росте напряжений (табл. 1).

Табл. 1. Свойства грунтов тела плотины, использованные в расчете

Плотность, т/м3 Удельное сцепление, кПа Угол внутреннего трения

№ Наименование грунта В сухом состоянии В водона-сыщенном состоянии При нулевых напряжениях При напряжениях 2 МПа

1 Суглинок 1,78 2,14 25 20° 20°

2 Гравийно- галечниковый грунт 2,20 2,36 0 48° 36°

3 Горная масса 2,03 2,27 0 54° 34°

4 Песок со щебнем 1,80 2,13 0 34° 34°

Расчеты устойчивости низового откоса проводились для основного и особого сочетаний нагрузок. Сейсмические силы определялись по линейно-спектральной методике с использованием 50 форм собственных колебаний плотины. Сейсмическое ускорение основания было принято равным 0,48g (9 баллов по шкале MSK-64).

Расчет показал, что периоды форм собственных колебаний в пространственных условиях существенно ниже, чем в плоских, они ближе к резонансным (табл. 2). Это привело к тому, что ускорение гребня русловой плотины в пространственной задаче (0,44g) оказалось на 20 % больше, чем в плоской задаче (0,36g).

Табл. 2. Периоды низших форм собственных колебаний плотины с преобладающим направлением колебаний вдоль русла

Плоская Номер 1 3 4 5 7 9 11 12 14 15

Период,с 0,973 0,536 0,488 0,445 0,388 0,344 0,312 0,299 0,282 0,269

Пространст- Номер 1 3 4 5 7 8 9 11 16 17

венная Период, с 0,683 0,520 0,494 0,436 0,419 0,405 0,399 0,381 0,343 0,340

Для сравнения были выполнены две группы расчетов. В обоих случаях общее количество элементов в сетке МКЭ для расчетов устойчивости совпадало. Отличие состояло в используемой аппроксимации перемещений внутри элементов при расчетах НДС. В одной группе расчетов использовались квазилинейные элементы, а в другой — квадратичные. Попутно исследовалось влияние шага полуосей на точность решения.

Расчеты плотины в плоской постановке (для плоского сечения) показали, что коэффициент устойчивости низового откоса составляет при основном сочетании нагрузок 1,715, при особом — 1,458. Кривые скольжения были довольно заглубленными (рис. 1). Коэффициенты устойчивости и опасные кривые скольжения для расчетов с использованием квазилинейных и квадратичных элементов не отличались друг от друга. Такой результат был получен при

шагах радиусов 0,5, 1, 2 м. При шаге радиусов 4 м происходило некоторое завышение минимального коэффициента устойчивости — на 0,005.

Рис. 1. Результаты расчета коэффициента устойчивости в плоской постановке задачи: а — при основном сочетании нагрузок; б — при особом сочетаниях нагрузок

При расчетах по пространственным поверхностям скольжения было выявлено различие в результатах, получаемых при использовании линейных и квадратичных элементов. Если расчет устойчивости проводился на основе НДС, полученного при применении квадратичных элементов, были получены следующие значения минимальных коэффициентов устойчивости: для основного сочетания нагрузок — 2,103, а для особого — 1,401. Опасная поверхность скольжения при расчетах на основное сочетание нагрузок захватывала довольно большой массив грунта, а при расчете с учетом сейсмических сил — только небольшую часть гребня плотины в русловом сечении (рис. 2, 3). При варьировании величины шага радиусов полученное решение сохранялось.

Рис. 2. Результаты расчета коэффициента устойчивости по пространственным поверхностям скольжения: а — при основном сочетании нагрузок; б — при особом сочетаниях нагрузок

МГСУ-

4/2013

Рис. 3. Сравнение результатов расчета устойчивости по пространственным поверхностям скольжения при основном (серый цвет) и особом (пунктир) сочетании нагрузок: а — поперечный разрез; б — вид с ВБ; в — вид сверху

Расчеты, проведенные на основе НДС, полученного с помощью квазилинейных конечных элементов, давали очень заниженные коэффициенты устойчивости. При этом опасные поверхности скольжения заглублялись в плотину лишь на небольшую глубину (6 м и менее). Когда мы ограничили минимальное заглубление поверхности скольжения в плотину величиной 8 м, то были получены величины коэффициентов устойчивости примерно такие же, как и при использовании квадратичных элементов. Оказалось, что при использовании в расчетах НДС квазилинейных элементов было получено очень неравномерное, «пилообразное» распределение напряжений в приоткосной зоне плотины. Квазилинейные элементы, деформации внутри которых распределяются по линейному закону, не смогли отразить сложный пространственный характер распределения напряжений в плотине. Как известно [1, 10], в плоской задаче наблюдается арочный эффект, когда центральная часть плотины «зависает» на приоткосных зонах, происходит перераспределение напряжений между ними — в приоткосных зонах напряжения увеличиваются, а в центральной зоне — незначительно уменьшаются. В пространственной же задаче наблюдается двойной эффект «зависания», добавляется зависание всей плотины на прочных скальных бортах. Особенно сильно эффект двойного зависания проявляется именно в приоткосных зонах, именно его не смогли верно отразить квазилинейные конечные элементы.

Этот пример показал, что для получения решения достаточной точности необходимо, чтобы изменение поля напряжений в плотине было довольно

плавным или монотонным. Так как в приоткосных зонах плотины обычно наблюдается резкое изменение напряжений, то в этой части плотины необходимо либо использовать подробную конечноэлементную дискретизацию, либо элементы с квадратичной аппроксимацией перемещений.

Решение тестовой задачи позволило решить еще один важный методический вопрос — о величине шага полуосей. Результаты расчетов, выполненных для двух разных шагов главной полуоси (радиуса) 1 и 2 м практически не отличались друг от друга. Таким образом, шаг главной полуоси поверхностей скольжения, составляющий 1 % от высоты плотины является достаточным и не требует уточнения.

Еще один важный методический вопрос при расчете по пространственным поверхностям скольжения — это определение границ и шага варьирования второй полуоси эллипсов Ь. В наших расчетах варьировались значения не самих Ь, а соотношения Ь/а. Минимальное значение Ь/а принималось равным 1/3, а каждое последующее значение Ь/а увеличивалось по сравнению с предыдущим на 20 %. Это дало возможность довольно подробно исследовать, какую геометрическую форму имеют наиболее вероятные эллипсоидные поверхности скольжения.

На рис. 4—7 для двух геометрических центров поверхностей скольжения показано изменение коэффициента устойчивости в зависимости от соотношения Ь/а и размера главной полуоси а. Точка 1 (рис. 4, 6) находится довольно близко к поверхности откоса (47 м), а точка 2 (рис. 5, 7) — наоборот на большом удалении (261,6 м).

5.8 рд |.м | , м , , м , , , т

5.6 [ 14. М Нг И-Н Н--1 М-Ж-НЧ-Ж ггг И1 —I—I—I

5.4 5.2 5 4.8 4.6 4.4 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4

0

Рис. 4. График изменения коэффициентов устойчивости в точке 1 в зависимости от соотношения Ь/а и размера главной полуоси а при расчете на основное сочетание нагрузок

Рис. 5. График изменения коэффициентов устойчивости в точке 2 в зависимости от соотношения Ь/а и размера главной полуоси а при расчете на основное сочетание нагрузок

Рис. 6. График изменения коэффициентов устойчивости в точке 1 в зависимости от соотношения Ь/а и размера главной полуоси а при расчете на особое сочетания нагрузок

На рис. 4 и 5 показано изменение коэффициентов устойчивости при расчете для основного сочетания нагрузок. Видим, что кривые скольжения, в которых главная полуось а больше Ь, т.е. Ь/а < 1 не являются наиболее вероятными. В интервале Ь/а > 1 изменение коэффициента устойчивости происходит очень плавно и малозаметно. В точке 1 коэффициенты устойчивости уменьшаются

по сравнению с коэффициентом устойчивости шаровой поверхности (Ь/а) не более, чем на 6 %, а для точки 2 — не более, чем на 1 %. Минимум коэффициента устойчивости для обоих точек приходится на интервал Ь/а = 1,5.. .2,5 (см. рис. 4, 5). На обоих рисунках заметно, что при больших радиусах имеется ограничение на максимум Ь/а. Поверхности скольжения с большим Ь/а невозможны, так как плотина ограничена скальными бортами. В точке 2 таких ограничений больше, чем в точке 1. В точке 2 минимальный коэффициент устойчивости имеет поверхность с большой главной полуосью (а = 322,5 м) (см. рис. 5). Ее форма оказалось шаровой формой (Ь/а = 1), так как поверхности с большим Ь/а оказались невозможны. Можно сказать, что наиболее опасные поверхности стремятся к круглоцилиндрическим, но таковые не всегда возможны.

На рис. 6 и 7 показано изменение коэффициентов устойчивости при расчете с учетом сейсмических сил. Видим, что наиболее опасными являются поверхности с малым соотношением полуосей Ь/а. В точке 1 опасные поверхности скольжения имеют соотношение примерно Ь/а = 1.1,5 (рис. 6). При этом изменение коэффициента в интервале Ь/а = 1.2 очень мало (не более 3 %). Для точки 2 наиболее опасными кривыми являются те, в которых главная полуось а больше Ь: Ь/а = 0,4.0,9 (рис. 7). Это объясняется значительной удаленностью точки 2 от откоса плотины. Поверхности скольжения стремятся захватить только центральную (русловую) часть плотины, в которой действуют максимальные сейсмические нагрузки. Чем больше величина а, тем меньше соотношение Ь/а у опасных поверхностей скольжения. Таким образом, при действии сейсмических сил поверхности скольжения откосов не стремятся к круглоцилиндрическим, они «сплюснуты» в направлении створа плотины.

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Рис. 7. График изменения коэффициентов устойчивости в точке 2 в зависимости от соотношения Ь/а и размера главной полуоси а при расчете на особое сочетание нагрузок

ВЕСТНИК AI-iMt.

4/2013

Выводы. 1. Создана методика расчета устойчивости откосов, которая позволяет учитывать пространственную форму поверхностей скольжения. Поверхность скольжения принимается в виде эллипсоидов вращения. Методика в полной мере учитывает распределение напряжений в теле плотины.

2. При расчетах устойчивости достаточный для получения достоверных результатов шаг главной полуоси (радиуса) поверхностей скольжения составляет 1 % от высоты плотины.

3. При расчете устойчивости откосов плотины на основе использования результатов решения задачи об ее НДС для получения адекватных результатов необходимо, чтобы распределение напряжений в плотине было плавным, особенно в приоткосных зонах. Если же распределение напряжений сложное, то необходимы либо очень подробная конечно-элементная дискретизация, либо использование конечных элементов высокого порядка.

4. Наиболее вероятные (с минимальным запасом устойчивости) пространственные поверхности скольжения при расчете устойчивости откосов на действие сил собственного веса стремятся к круглоцилиндрическим, соотношение полуосей b/a эллипсоида у таких кривых составляет 2 и больше. Но при этом в интервале b/a от 1 до 10 коэффициент устойчивости изменяется незначительно.

5. При расчете устойчивости откоса плотины, находящейся в узком горном ущелье, с учетом сейсмических сил, опасные поверхности скольжения могут быть близки к шарообразным или даже дискообразными, так как максимальные сейсмические силы действует только в русловой части плотины.

6. Чем дальше находится точка геометрического центра эллипсоидной поверхности скольжения, тем большее соотношение b/a будут иметь наиболее вероятные поверхности скольжения при расчете устойчивости от статических нагрузок и тем меньше b/a при расчете устойчивости с учетом сейсмических сил.

7. При расчетах устойчивости по эллипсоидным поверхностям скольжения рекомендуется рассматривать поверхности скольжения с соотношением полуосей b/а в интервале от 1/3 до 5.

Библиографический список

1. Гольдин А.Л., Рассказов Л.Н. Проектирование грунтовых плотин. М. : Изд-во АСВ, 2001. 384 с.

2. Терцаги К. Строительная механика грунта. М.-Л. : Геостройиздат, 1933. 510 с.

3. Чугаев Р.Р. Земляные гидротехнические сооружения. Ленинград : Энергия, 1967. 460 с.

4. Маслов И.А. Аналитический метод расчета устойчивости откосов // Гидротехническое строительство. 1989. № 12. С. 9—14.

5. Истомин В.И. Соответствие расчетной схемы способу расчета коэффициента устойчивости // Гидротехническое строительство. 1989. № 12. С. 17—20.

6. Бухарцев В.Н. Общий метод расчета устойчивости грунтовых откосов в рамках плоской задачи // Гидротехническое строительство. 1983. № 11. С. 28—32.

7. Бухарцев В.Н., Иванов А.Ю., Того И. Опыт использования вариационного метода в расчетах устойчивости откосов и склонов // Гидротехническое строительство. 1990. № 4. С. 46—48.

8. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1982. 446 с.

9. Теория упругости / перев. с англ. С.П. Тимошенко, Дж. Гуьер. М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975. 576 с.

10. Саинов М.П. Влияние напряженного состояния склона из однородного грунта на его устойчивость // Вестник МГСУ 2012. № 10. С. 102—108.

Поступила в редакцию в феврале 2013 г.

Об авторе: Саинов Михаил Петрович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры гидротехнических сооружений, ФБГОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(495)287-49-14, mp_sainov@mail.ru.

Для цитирования: Саинов М.П. Методика расчета устойчивости откосов по пространственным поверхностям скольжения в виде эллипсоида вращения // Вестник МГСУ 2013. № 4. С. 188—200.

M.P. Sainov

METHODOLOGY OF SLOPE STABILITY ANALYSIS BASED ON SPATIAL SLIDING SURFACES IN THE FORM OF ELLIPSOIDS OF ROTATION

The author analyzes the main provisions of the methodology of slope stability analysis based on spatial sliding surfaces in the form of ellipsoids of rotation. The finite element method is used to split the collapsing rock into elementary particles. The results of the stress-strain state (SSS) analysis of the dam are employed to identify the values of friction forces.

Methodological peculiarities of the slope stability analysis are considered. The author proves the importance of high-order finite elements to be employed within the framework of the SSS analysis. The author proposes solutions to the testing tasks and provides recommendations in terms of the choice of variation intervals of shape parameters of ellipsoidal spatial sliding surfaces. The author has identified that the pace of the main semiaxis may be equal to 1 % of the slope height. Studies of shapes of most probable sliding surfaces show that if only dead weight forces are taken into account, their shape tends to become circular and cylindrical. If seismic forces are analyzed, sliding surfaces may have shapes that are close to spherical, or they may even turn disk-shaped.

Key words: soil dam, finite element method, slope stability, ellipsoid of revolution.

References

1. Gol'din A.L., Rasskazov L.N. Proektirovanie gruntovykh plotin [Design of Earth Dams]. Moscow, ASV Publ., 2001, 384 p.

2. Tertsagi K. Stroitel'naya mekhanika grunta [Structural Mechanics of Soils]. Moscow -Leningrad, Geostroyizdat Publ., 1933, 510 p.

3. Chugaev R.R. Zemlyanye gidrotekhnicheskie sooruzheniya [Earthwork Hydraulic Engineering Structures]. Leningrad, Energiya Publ, 1967, 460 p.

4. Maslov I.A. Analiticheskiy metod rascheta ustoychivosti otkosov [Analytical Method of Analysis of Slope Stability]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 1989, no. 12, pp. 9—14.

5. Istomin V.I. Sootvetstvie raschetnoy skhemy sposobu rascheta koeffitsienta ustoy-chivosti [Compliance between Pattern of Analysis and Method of Calculation of Stability Coefficient]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 1989, no. 12, pp. 17—20.

ВЕСТНИК AI-iMt.

4/2013

6. Bukhartsev V.N. Obshchiy metod rascheta ustoychivosti gruntovykh otkosov v ram-kakh ploskoy zadachi [General Method of Stability Analysis for Earthwork Slopes within the Framework of 2D Problems]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 1983, no. 11, pp. 28—32.

7. Bukhartsev V.N., Ivanov A.Yu., Togo I. Opyt ispol'zovaniya variatsionnogo metoda v raschetakh ustoychivosti otkosov i sklonov [Using Variational Method in Stability Analysis of Slopes]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering].1990, no. 4, pp. 46—48.

8. Bate K., Vilson E. Chislennye metody analiza i metod konechnykh elementov [Numerical Methods of Analysis and Method of Finite Elements]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1982, 446 p.

9. Timoshenko S.P., Gu'er Dzh. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 576 p.

10. Sainov M.P. Osobennosti chislennogo modelirovaniya napryazhenno-deformirovan-nogo sostoyaniya gruntovykh plotin s tonkimi zhestkimi protivofil'tratsionnymi elementami [Numerical Modeling of the Stress-Strain State of Earth Dams That Have Thin Rigid Seepage Control Elements]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 10, pp. 102—108.

About the author: Sainov Mikhail Petrovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; mp_sainov@mail.ru.

For citation: Sainov M.P. Metodika rascheta ustoychivosti otkosov po prostranstven-nym poverkhnostyam skol'zheniya v vide ellipsoida vrashcheniya [Methodology of Slope Stability Analysis Based on Spatial Sliding Surfaces in the Form of Ellipsoids of Rotation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 4, pp. 188—200.