Операторы Лапласа на пара-эрмитовых пространствах с псевдо-ортогональной группой движений

УДК 517.98

Операторы Лапласа на пара-эрмитовых пространствах с псевдо-ортогональной группой

9

движений 9

© С. В. Цыкина

Ключевые слова: симплектические многообразия, псевдо-ортогональные группы, операторы Лапласа

Мы рассматриваем пара-эрмитовы симметрические пространства G/H, для которых группа G есть псевдо-ортогональная группа SO0(p,q). Наша цель в данной статье состоит в описании алгебры D(G/H) дифференциальных операторов на G/H, инвариантных относительно G, в указании образующих в этой алгебре - так называемых операторов Лапласа - и в явном вычислении радиальных частей этих операторов Лапласа.

We consider para-Hermitian symmetric spaces G/H with the pseudo-orthogonal group G = SO0(p,q). In this article we describe the algebra D(G/H) of differential operators on G/H invariant with respect to G, determine generators in this algebra - the so-called Laplace operators - and write explicit expressions for their radial parts.

Мы рассматриваем пара-эрмитовы симметрические пространства G/H, для которых группа G есть псевдо-ортогональная группа SO0(p, q). Все такие пространства (с данной G) получаются факторизацией из "самого большого" пространства G/H с H = SO0(p — 1, q — 1) х SOo(1,1). Отображение накрытия не более чем четырехкратно. Размерность всех этих пространств G/H равна 2п — 4, где п = p + q, сигнатура есть (п — 2, п — 2), а ранг равен 2.

Наша цель в данной статье состоит в описании алгебры D(G/H) дифференциальных операторов на G/H, инвариантных относительно G, в указании образующих в этой алгебре - так называемых операторов Лапласа - и в явном вычислении радиальных частей этих операторов Лапласа. Эти результаты не зависят от указанной выше факторизации, поэтому мы возьмем наиболее удобное для наших целей пространство G/H, а именно такое, которое является G-орбитой в присоединенном представлении группы G.

9Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

§ 1. Псевдо-ортогональная группа и ее алгебра Ли

Введем в пространстве К™ следующую билинейную форму:

П

[х,у} = ^2А ХіУі,

і=і

где Аі = ... = Ар = -1, Ар+і = ... = Хп = 1, и Х = (Х1,.. .,ХП), у = (уі,... ,уп) -векторы из Кп. Пусть О есть группа ЯО0(р, о) - связная компонента единицы в группе линейных преобразований с определителем 1 пространства Кп, сохраняющих билинейную форму [х,у]. Мы рассмотрим общий случай р > 1, о > 1. Мы будем считать, что О действует в Кп справа: х ^ хд, так что векторы х из Кп будем записывать в виде строки.

Алгебра Ли 0 группы О состоит из вещественных матриц X порядка п, удовлетворяющих условию X'I + IX = 0, где I = diag {А1,..., Ап}, штрих означает матричное транспонирование. Возьмем в 0 матрицу

Мы сейчас записываем матрицы п-ого порядка в блочном виде, отвечающем разбиению п = 1 + (п — 2) + 1. Стационарная подгруппа Н матрицы Z0 в присоединенном представлении состоит из матриц

где а2 — в2 = 1, V Е ЯО(р — 1,д — 1). Группа Н состоит из двух связных кусков. Связная компонента единицы Не состоит из матриц (1.1), где а = сЫ, в = вЫ. Следовательно, Не = ЯО0(1,1) х ЯО0(р — 1,д — 1).

Наше многообразие О/Н есть О-орбита в алгебре 0, содержащая Z0. Оператор ad Z0 имеет три собственных значения: — 1, 0, +1. Алгебра Ли 0 распадается в прямую сумму соответствующих собственных подпространств

0 = ц + Ь + ц+,

где ^ есть алгебра Ли группы Н. Подпространства q и q+ состоят соответственно из матриц

здесь £,п - векторы-строки из Кп 2, р* обозначает 11^/, где

Іі = diag {А2,..., Ап-і}.

Размерность обоих пространств q± равна n — 2. Подгруппа H сохраняет оба подпространства q- и q+ при присоединенном действии:

Z ——> h-1Zh, Z Є q, h Є H.

Пусть h Є H имеет вид (1.1). При действии (1.2) координаты е Є q- и п Є q+ преобразуются следующим образом

е ^ С =

Возьмем в G подгруппы Q- = exp q- и Q+ = exp q+.

§ 2. Конус

Пусть C - конус \x, x\ = 0, x = 0 в Rn. Группа G действует на нем транзитивно. Возьмем в конусе две точки

s- = (1,0,...,0,—1), s+ = (1,0,...,0,1).

Рассмотрим следующие сечения конуса (проходящие через эти точки соответственно):

Г- = {x1 — xn = 2}, Г+ = {x1 + xn = 2}.

Они пересекаются один раз почти с каждой образующей конуса C. Поэтому линейное действие группы G на конусе порождает соответствующие дробнолинейные действия на Г- и Г+. Стационарными подгруппами в группе G точек s- Є Г- и s+ Є Г+ служат максимальные параболические подгруппы P+ = Q+H и P- = Q-H, соответственно. Группы Q- и Q+ действуют просто транзитивно на Г- и Г+, соответственно. Это позволяет ввести координаты на Г- и Г+ с помощью координат е = (е2,..., Єп-1) из q- и п = (п2,..., пп-1) из q+, а именно, для точек u Є Г- и v Є Г+ положим:

u = u

v = v^) = s+eYv =

где (^,ф) обозначает билинейную форму в Rn-2 с матрицей I1:

n- 1

(^,1Ф) = ^2 лі^і^і. i=2

Отметим, что

\u,v\ = —2N

где

N

§ 3. Пространство О/Н

Реализуем пространство О/Н следующим образом. Представим прямое произведение С х С конуса на себя как множество двустрочечных матриц

X \ (XI ... хп

у / \ У1  Уп

где х,у Е С. Обозначим через 2 множество матриц г, для которых [х, у] = —2.

Это множество содержит матрицу г0, отвечающую паре (в-, в+):

г0=

Группа О действует на множестве 2 умножениями справа: г ^ гд. Назовем две матрицы эквивалентными, если одна получается из другой умножением слева на диагональную матрицу второго порядка с определителем единица:

г ~

Множество 2 = 2/К* классов эквивалентности есть как раз наше многообразие О/Н. Стационарной подгруппой точки г0 служит Н.

Рассмотрим еще одну реализацию пространства О/Н. Сопоставим паре (х, у) из С х С матрицу

т / *

и = 1у X = у X,

где у* = 1у', матрица I указана в § 1. Множество таких матриц есть множество М матриц г ранга 1, удовлетворяющих условиям:

г1г' = 0, г'1г = 0.

След матрицы и равен [х,у]:

^ и = [х, у].

Линейное действие (х, у) I—> (хд,уд) группы О на С х С превращается на множестве М в присоединенное действие:

и ^ д-1ид.

Пространство О/Н можно отождествить с многообразием П матриц и из М, удовлетворяющих условию

^ и =1.

Действие (3.4) сохраняет П. Поэтому мы можем взять многообразие П в качестве реализации пространства О/Н.

Связь этих двух реализаций пространства О/Н - следующая: матрице г, см. (3.1), отвечает матрица

у* х

и

[х,у]

из П. В частности, начальной точке г° отвечает матрица

и

-1(в+)*8-2 ;

( 1/2 0

0

0

00

-1/2 0

0 -1/2 ^ 00

00

0 1/2 )

Поскольку сечения Г± пересекаются по одному разу почти с каждой образующей конуса С, прямое произведение Г- х Г+ вкладывается в О/Н. А именно, паре (£, п) ^ Г- х Г+ отвечает матрица

г =

и

Следовательно, £,п являются локальными координатами в О/Н.

Касательное пространство к О/Н в начальной точке г0 можно отождествить с пространством q = q- + q+ в алгебре Ли 0. Пусть Б^) - пространство многочленов на q. Действие (1.3) группы Н вызывает действие ее в Б^). Пусть Б^)я обозначает алгебру многочленов из Б^), инвариантных относительно Н.

Теорема 3.1 Алгебра Б(ц)н порождается двумя многочленами

{£,п), {£,£ ){п,п).

Доказательство. Как следует из [1], алгебра многочленов от £ и п, инвариантных относительно подгруппы ЯО(р — 1, о — 1) группы Н, имеет своими образующими три многочлена: {£, £), {п, п), {п, £). При действии (1.3) эти многочлены умножаются соответственно на (а + в)2, (а — в)2, 1. Так как а + в = (а — в)-і, то для всей группы Н алгебра инвариантов имеет в качестве образующих указанные в теореме многочлены.

§ 4. Корневое разложение для пространства О/Н

В этом параграфе мы будем записывать матрицы из О и 0 в виде блочных матриц соответственно разбиению п =1 + 1 +(п — 4)+ 1 + 1 числа п на 5 слагаемых.

Всякая максимальная абелева подалгебра в ц, состоящая из полупростых элементов, имеет размерность 2. Это означает, что ранг пространства О/Н равен 2. В качестве такой подалгебры возьмем подалгебру а, состоящую из матриц

А

і —

( 0 0 0 Іі 0

0 0 0 0 І2

0 0 0 0 0

Іі 0 0 0 0

0 І2 0 0 0 )

где Ь = (Ь1,Ь2) Е К2. Сопряженное к а пространство а* состоит из линейных функций от Ь = (Ь1;Ь2). Такие функции мы будем отождествлять с векторами Л = (Ль Л2) из К2 и записывать в виде скалярного произведения:

(Л,Ь) = Л1Ь1 + Л2^2-

Алгебра а расщепима: вся алгебра Ли 0 распадается в прямую сумму корневых подпространств для пары (0, а):

0 = 00 + ^ 0а, а=0

подпространство 0а состоит из таких X Е 0, что [АЬ,Х] = (а,Ь)Х. Множество ненулевых корней состоит из следующих 8 векторов из а*:

(±1, ±1), (±1, 0), (0, ±1),

знаки ± берутся во всех комбинациях. Это - система корней типа В2. Кратности корней равны соответственно 1, п — 4, п — 4.

В качестве упорядочения в а* возьмем лексикографическое упорядочение по координатам. Множество положительных корней состоит из векторов: (1, ±1), (1,0), (0,1).

Пусть п обозначает подалгебру в 0, образованную положительными корневыми подпространствами, а з - отрицательными. Размерность каждой из них равна 2п — 6. Алгебра 0 распадается в прямую сумму: 0 = п + 0О + 3. Подалгебра п состоит из матриц

0 х+у а 0— х+ у \

—х — у 0 в х+у 0

X = а* в* 0 —а* —в* ,

0 х+у а 0— х+ у

\ —х + у 0 в х—у 0 /

где х,у Е К, а, в - - векторы-строки из К™ -4 Ъ * а в * = 12 е Л Л ад й тЗ

Обозначим А = ехр а, N = ехр п.

§ 5. Операторы Лапласа на О/И

Дифференциальный оператор О на О/И называется инвариантным относительно О, если он перестановочен со сдвигами на элементы д Е О, то есть

О ◦ Я

где Я(д) - сдвиг многообразия О/И на элемент д: Я(д)х = хд. Напомним, что О/И есть пространство правых классов смежности х = Ив, в Е О, так что хд = Ивд.

Множество всех дифференциальных операторов на О/И, инвариантных относительно

О, образует алгебру, обозначим ее через 0(0/И). Как следует из [3], эта алгебра находится во взаимно однозначном соответствии с алгеброй Б(я)я многочленов на пространстве q С 0, инвариантных относительно И.

Это соответствие устанавливается так. Оператор О из 0(С/И) вполне определяется тем, как он действует в начальной точке Ие пространства О/И. Возьмем в q координаты £,п, те же переменные являются локальными координатами в многообразии П, которое служит реализацией пространства О/И, см. § 3. Начальной точкой в П является матрица ш0, см. (3.5), с координатами £ = 0, п = 0. Пусть Р(£, п) - многочлен из Б^)я. Обозначим через Р(д/д£, д/дп) дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, который получается из Р заменой и пі соответственно на д/д£і и д/дщ, то есть

/ д_ д_ \ = / __________________д

ід^ дп) \д6, ’ ’ ’, д£га_1, дп2, ” ’, дпп-1

Многочлену Р Є Б(ц)я отвечает оператор О Є 0(С/И) такой, что

г\ гч

О )(ш0) = Р(тет)ї <-">

5=ч=0

В другие точки ш Є П оператор О можно разнести с помощью условия перестановочности (5.1). А именно, пусть д - какой-нибудь элемент из О, переводящий точку ш0 в точку ш с координатами £,п. Тогда

(Ор I )(£,п) = Ор (ЯШ )(0,0).

Обозначим через Д2 и Д4 образующие в 0(С/И), соответствующие образующим (£,п) и (£,£)(п,п) в алгебре Б(q)я, см. теорему 3.1. Эти операторы являются дифференциальными операторами второго и четвертого порядка соответственно.

В точке ш0 имеем

п-1 д2 п-1 д4

Д2=§а' Д4=|=2 а,Лішщ

Оператор Лапласа-Бельтрами на О/И совпадает с Д2.

Явные выражения операторов Д2 и Д4 в произвольной точке весьма громоздки (особенно Д4). Для работы с этими операторами вычислим их радиальные части относительно подгруппы N, определенной в § 4.

Возьмем в П множество точек и, которые получаются из и0 сдвигом сначала на элемент а = а(^, £2) из А и затем на элемент п из N, то есть

и = п_1а_1и0ап.

Эти точки заполняют некоторую окрестность точки и0. Тем самым в этой окрестности мы вводим координаты ^1,^2 и х,у, а, в из подгрупп А и N, соответственно. Пусть функция f, заданная в этой окрестности, не зависит от п Е N. Тогда она

есть функция от і = (ї1, і2): /(ш) = Г(і). Применим к / оператор О из 0(С/И). Полученная функция О/ тоже не зависит от п Є N, так что

0

О/ =О Г,

0

где О - некоторый дифференциальный оператор от і = (і1,і2). Он называется радиальной частью оператора О относительно подгруппы N. Следующая теорема аналогична теореме Карпелевича [2] для римановых симметрических пространств.

0

Теорема 5.1 Радиальная часть О оператора О Є 0(С/И) относительно подгруппы N есть дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.

Доказательство. Возьмем в А элемент Ь = а(и1,и2) и подействуем им на точку и, указанную в (5.3). Получим точку и:

и = Ь-1п-1а-1и°апЬ = Ь-1п-1ЬЬ-1а-1и° аЬЬ-1пЬ.

Подгруппа А нормализует подгруппу N, поэтому элемент Ь-1пЬ, участвующий в (5.4), принадлежит N. Элемент аЬ, участвующий в (5.4), принадлежит А: аЬ = а(Ь1 + и1, Ь2 + и2). Следовательно, точка и есть

и = гг-1а-1и0ап,

где а = а(Ь1 + и1,Ь2 + и2) Е А, п Е N.

Возьмем оператор О Е 0(0/И). Пусть, как и выше, функция f зависит

только от Ь = (£ь£2): f (и) = Е(Ь). По (5.1) имеем

в правой части оператор О применяется к f (£>) как к функции от и. В силу

0

(5.5) равенство (5.6) дает для радиальной части О соотношение:

00

0

где в правой части оператор О применяется к Е(Ь + и) как к функции от Ь.

0

Равенство (5.7) означает, что дифференциальный оператор О перестановочен со сдвигами по переменным Ь1,Ь2. Следовательно, его коэффициенты постоянны.

Далее нам удобно использовать реализацию пространства О/И как множества 2 двустрочечных матриц г, см. § 3. Пусть у нас есть две матрицы т и г,

отвечающие парам (и, у) и (х,у) из С х С. Составим матрицу второго порядка

из псевдоскалярных произведений:

в(т г) = Пи,х] К у]

( , ) V [у,х] [у, у]

Лемма 5.2 Матрица В(ш, г) не изменяется при диагональном действии группы С, т.е. В(шд,гд) = В(ш,г). Если с - матрица второго порядка: с Е СЬ(2,Е), то

В(сш, г) = сВ(ш, г), В(ш, сг) = В(ш, г)С (штрих означает матричное транспонирование).

Введем матрицу:

а \ = / -1 0 0 ... 0 10

т /V0 -10 ... 00 1

Вычислим действие на матрицу z- подгрупп A и N. Оказывается, это действие сводится к умножению z- слева на некоторые матрицы второго порядка. А именно, для матриц At Е ач, см. (4.1), и X Е n, см. (4.2), имеем

z"A‘ = ( -Г X ) z"' z"X = ( -2y 0 ) z"'

поэтому для элемента a = at = exp At из A и элемента n = exp X из N имеем

z~a = 1 ~0 e°t2 ) z- z-n =

Лемма 5.3 Параметры ti,t2 выражаются через координаты £,ц с помощью следующих формул:

e2tl = N . [a)U] . [a,v\,

eti+t2 = 1

e 2N

[a, u] [a, v]

[т, u] [т, v]

где N = N(£, n), u = u(£), v = v(n).

Доказательство. Рассмотрим матрицу В (г , г0 ап). По лемме 5.2 и формулам (5.8) имеем

В

С другой стороны, для матрицы г, заданной формулой (3.1), имеем

В

V Х2 + Хп У2 + Уп )

Если здесь заменить матрицу г эквивалентной матрицей, см. (3.3), то по лемме

5.2 матрица В (г-,г) умножится справа на матрицу diag{a,a-1}. Поэтому на

множестве классов эквивалентности матриц г корректно определены произведения элементов первого столбца матрицы В (г-, г) на элементы ее второго столбца и,

z

следовательно, корректно определен ее определитель. Сравнивая (5.9) с (5.10) получаем

в2і1 =

2єіі+і2

Х1 + хп-1 Уі + Уп— 1 х2 + хп У2 + Уп

Возьмем в качестве г матрицу (3.6). Подставляя в (5.11) и (5.12) выражения строк этой матрицы, мы получим формулы леммы.

00

Теорема 5.4. Радиальные части Д2 и Д4 операторов Д2 и Д4 даются следующими формулами:

о д2 д2 д д

Д2 = Щ + Щ + <п - 2) ей +

Д = д4 д4 д4

4 = Щ - 2 дг2 дг2 + Щ +

+ 2(п - 2)Щ - 2(п - 4)ЩдТ2 - 2(п - 2)ЩЩ +2(п - 4)Щ +

д2д2д2 + (п2 - 6п + 12)щ - 2(п - 4)(п - 2)д^;д-2 + (п2 - 14п + 36)щ -

дд

- 2

Удобно записать эти формулы следующим образом. Введем два дифференциальных оператора Ь1 и Ь2 по переменным і1,і2 второго порядка

т = д! 2 9 2

1 5^2 + дЬ1 ді2

г\ г\

= 1 ж, + +п - 3,2 -

Тогда

і = 32

т2 =

д2 д д 2 + Щ + 2дТ, - 25І2- 2

_ 2 дг2 дгм

[ к- і; + 1]2 -

0 1

Д2 = 2 Т + І2 - (п - 4)(п - 6)} 0

Д4 = Т1Т2 + 2(п — 4)3.

Доказательство теоремы 5.4. Пусть функция I зависит только от Ь1,12, то есть

I Ы = Р

где Р (^, £2) - некоторая функция от двух переменных ^1,^2. Пусть О - оператор 00 из 0(С/И) и О - его радиальная часть. Поскольку О - дифференциальный

0

оператор с постоянными коэффициентами (теорема 5.1), для вычисления О достаточно применить О к обеим частям равенства (5.15) в начальной точке £ = 0, п = 0. Мы получаем:

0

(Ш,П),Ь(С,П))\^=о,п=о

Возьмем О = Д2 и О = Д4. По (5.2) получаем:

5=0, п=0

0 ^ д2

Д2 Р = £ А» ^ Р ^ К,п),*2К,Ч))

^ к д£к дпк дЬ\ +

+ а д д^1 д^2 + д^1 д^2 \ д2р +

^ V д£к дпк дпк д£к) дЬ1 д^

. А д^2 д^2 д2Р .

+ ^ Ак д£к дПкк • д2 +

+ V А д2^ др + ^ А д212 др

^ к д£к дпк д*1 ^ к д£к дпк д^

0

и аналогичное выражение для Д4 Р. Здесь к,1 Е {2, ••• ,п - 1}, производные

функций Ь1 и Ь2 берутся в точке £ = 0, п = 0. Эти производные мы находим

00

из формул леммы 5.3. Подставляя их в выражения Д2 Р и Д4 Р мы получим (5.13),(5.14).

Эти радиальные части можно записать еще следующим образом. Полусумме положительных корней из а* отвечает следующая линейная функция:

РСО = 1 {(п - 2)^1 + (п - 4)^2}•

Обозначим

Тогда

* = д^ + д^2, * = д^ - д^2 •

Д2 = е р(* о Д* о ер(* - ^ (п2 - 6п +10), 0

Д4 = е-^ ◦ { - 2(2п - 7)Д*} о ер{1) - (п - 3)2

Литература

1. Г. Вейль. Классические группы, их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947.

2. Ф. И. Карпелевич. Геометрия геодезических и собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа на симметрических пространствах. Труды Моск. матем. об-ва, 1965, том 14, 48-185.

3. С. Хелгасон. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987.