Математические модели волновой динамики автомобильных дорог

УДК 624.04

Д. В. Артамонов МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОЛНОВОЙ ДИНАМИКИ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ

Аннотация. При исследовании волновой динамики автомобильных дорог предлагается использовать математическую модель для оценки собственных частот колебательной системы, состоящей их абсолютно твердой пластины, укрепленной на пружинах; математические модели дорожного полотна для исследования стационарных колебаний и при воздействии импульсных возмущений.

Ключевые слова: автомобильная дорога, модель, твердая пластина, стационарные колебания, импульсные возмущения.

Abstract. In the study of wave dynamics of road it is proposed to use a mathematical model to estimate the natural frequencies of the oscillating system consisting of an absolutely rigid plate mounted on springs; mathematical model of the roadway for the investigation of stationary oscillations, and when exposed to pulsed perturbations. Keywords: road, the model, solid plate, stationary oscillations, pulse perturbation.

Введение

Управление процессами разрушения гетерогенных структур дорог в настоящее время является важной и актуальной задачей в области дорожного строительства и дорожного материаловедения при строительстве, ремонте и реконструкции дорожного полотна, применении новых технологий и материалов, получении новых прочных и долговечных дорожных покрытий.

Разрушение гетерогенных структур дорог, которое представляется сложным, плохо изученным в настоящее время процессом, может быть вызвано, на наш взгляд, причинами двух основных типов: от воздействия статических нагрузок и от воздействия знакопеременных циклов напряжений [1].

Причины первого типа связаны с длительным воздействием постоянных во времени нагрузок. В результате воздействия таких нагрузок в слоях гетерогенной структуры происходят необратимые пластические деформации, приводящие к изменению геометрической формы и механико-технологических свойств слоев [2]. Проявлением такого типа разрушения является колей-ность, возникающая на протяженных свободных участках дороги в результате интенсивного движения транспортных средств, особенно если нагрузка на ось превышает допустимое значение. В зонах колеи слой асфальтобетона истончается, что приводит к уменьшению площади поперечного сечения и к снижению прочности на сжатие и на изгиб. При дальнейшей эксплуатации дороги в зонах колеи могут образовываться выбоины, расположенные цепочкой.

Причины второго типа связаны с приложением нагрузок, быстро изменяющихся во времени, характеризующихся наличием ускорения, что приводит к появлению перегрузок [2]. Перегрузки снижаются за счет упругодиссипативных свойств, присущих гетерогенной структуре дорожного полотна. При приложении нормальных знакопеременных нагрузок к многослойной гетерогенной структуре упруго-диссипативные свойства структуры моделируются комплексной жесткостью по Сорокину. Действительная часть комплексной жесткости характеризует упругие свойства, а мнимая - дисси-

пативные. Упругие свойства многослойной гетерогенной структуры в нормальном направлении определяются коэффициентом жесткости эквивалентной пружины, который увеличивается с ростом числа слоев. Диссипативные свойства определяются коэффициентом сопротивления диссипативных сил: вязкого, сухого или конструкционного трения. В гетерогенных структурах, включающих слои с дискретной границей фаз, превалируют силы сухого либо Кулонова трения, кроме того, эти силы проявляются только в фазе сжатия, приводя к переуплотнению слоев, а в фазе растяжения - полностью отсутствуют. В результате колебаний происходит отслаивание верхних слоев асфальтобетона, и они начинают «хлопать». Проявлением такого типа разрушения является растрескивание и выкрашивание дорожного полотна в зонах интенсивного торможения и разгона: остановок, перекрестков, поворотов, пешеходных переходов. Наиболее интенсивно эти процессы проявляются на обочинах дорог.

Ввиду сложности и разнообразности перечисленных причин для решения задачи управления разрушением гетерогенных структур и получения достоверных результатов необходимо использовать математические модели разной степени сложности.

Для оценки собственных частот (одной из основных характеристик процесса колебаний) предлагается использовать математическую модель колебательной системы, состоящей из абсолютно твердой пластины, укрепленной на пружинах [3]. Упругие свойства системы «слой асфальтобетона - подушка из щебня» моделируются приведенным коэффициентом жесткости.

Математическая модель представлена уравнениями Лагранжа второго рода в обобщенных координатах. Рассматриваются малые колебания горизонтальной прямоугольной пластины массой т и размерами а х Ь относительно главных центральных осей (рис. 1). Толщина пластины бесконечно малая. Пластина абсолютно твердая, опирается своими углами на четыре одинаковые пружины жесткости с. Система имеет три степени свободы: поступательное перемещение вдоль вертикальной оси г, вращательные - вокруг осей х и у.

Уравнения Лагранжа второго рода для полученной системы имеют следующий вид:

где г, фх, фу - обобщенные координаты системы; г, фх, фу - обобщенные скорости; Т - кинетическая энергия пластины; Qx, Qy, Qz - обобщенные

С учетом значений моментов инерции и выражений для обобщенных сил уравнения Лагранжа второго принимают следующий вид:

1. Математическая модель дорожного полотна для оценки собственных частот

& ^ дг ) дг

г

\ ^ У  \ ' -У )  -У

силы.

г + — г = 0; Фх +-----------------------------Фх = 0; ф у +------------------------ф у = 0.

ИЯ И/} Ї-И '

У

Рис. 1. Колебательная система, состоящая из абсолютно твердой пластины, укрепленной на пружинах

Собственные частоты колебаний:

К =<]— , кх = ку =-л— V т \ т

2. Математическая модель дорожного полотна для исследования стационарных колебаний

Обычно в качестве модели дорожного полотна для исследования стационарных колебаний выбирается бесконечная балка на упругом основании, по которой с постоянной скоростью движется нагрузка.

Дифференциальное уравнение упругой линии статически нагруженной балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании, имеет вид

ЕЛ

д 4 х д2 4

+ сх = /(z),

где х - прогиб балки; ЕЛ - жесткость поперечного сечения балки при изгибе; с - коэффициент упругости основания (коэффициент «постели»); Ат) - интенсивность внешней нагрузки.

Интенсивность сил взаимодействия между балкой и упругим основанием принята пропорциональной прогибу балки в данной точке.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний балки без учета сил сопротивления имеет вид

ЕЛ

д 2 х

д 4 х

+ т0ТГ

дz ді

+ сх = /(z, і),

д2 х

где то—— - интенсивность сил инерции собственной массы балки; то -дг2

масса единицы длины балки.

z

Если постоянная по величине нагрузка движется вдоль оси т балки с постоянной скоростью V , то с такой же скоростью перемещаются прогибы х вдоль оси балки:

х = х(Т - VI) .

Прогиб стремится к бесконечности при приближении скорости движения нагрузки к критическому значению, одновременно меняется и вид упругой линии.

При скоростях движения, близких к критической, прогибы с удалением от точки приложения силы затухают медленнее, чем при статической нагрузке.

Значительное возрастание прогибов имеет место, когда скорость движения нагрузки приближается к скорости распространения бегущей волны.

В действительности при приближении скорости движения нагрузки к критической прогибы балки резко возрастают, но сохраняют конечное значение из-за наличия затухания в упругом основании. Энергия, необходимая для поддержания колебаний при наличии затухания, сообщается системе самой движущейся нагрузкой - при наличии затухания касательная к упругой линии балки в месте приложения силы уже не является горизонтальной, и сила получает составляющую, направленную по движению.

Колебания, возникающие в многослойных гетерогенных структурах дорог вследствие совпадения скорости движения нагрузки со скоростью распространения бегущей волны, представляют реальную опасность.

3. Математическая модель поверхности дороги при воздействии импульсных возмущений

При дефектах поверхности дороги типа прямого синусоидального коноида имеют место в зависимости от скорости транспорта и длины волн различного рода импульсные возмущения в структуре дороги.

При определении движения системы под действием периодических импульсов необходимо учитывать внутреннее трение в системе.

Учет частотно-независимого внутреннего трения в задачах о свободных колебаниях диссипативных систем реализуется с использованием гипотезы комплексной жесткости:

тТ(() + (а + \Ь)ст($) = 0, где т(^) - комплексное перемещение; I - мнимая единица;

1 -а2 , 2а у

а =----2, Ь =-----2, а = —,

1 + а 1 + а 2

у - коэффициент внутреннего трения, связанный с коэффициентом потерь,

У

1 -у2 /4

Подстановкой г = Лвр1 получается характеристическое уравнение:

2 2 I С

р + (а + Ь ро = 0 , где ро = Л — .

т

* * 2 —1/2 Оно дает два корня р = ±/(1 + /'а)р , где р = (1 + а ) ро .

Тогда г = (А — /В)е ар1е1р1, откуда вещественное решение г = Яе г равно

- X Рі

Z = е 2 (А 008 рі + В 8ІП рі).

Круговая частота затухающих колебаний р < ро и логарифмический декремент 8, не зависящий от частоты, равны соответственно

Р = -

Ро

І

8 = лу.

При начальных условиях т

-У р*

z = е 2

Zо 008 рі + эт р-

V р 2 V

При приложении импульса к неподвижной системе в момент - = о

о ^

при начальных условиях то = о, V) = —, соответствующих приложению им-

т

пульса, получим т =------е ^ .

тр

Для конечного числа (п + 1) периодических импульсов с периодом То решение строится наложением функций с разными началами отсчета времени:

$0

п

Zn = ^ Ъ

тр Г=0

-У Р

8ІП р(і - гТо),

где тп - перемещение, которое достигается спустя п периодов То, так что время -, отсчитываемое от момента приложения первого импульса, заключено в пределах пТо < t < (п + 1)То, п = о соответствует одному импульсу.

Вводя относительное время -* = -—пТо (о < t* < 0), получаем

Т1

= $0 е-у^і* тро

(Ап 8Іп 2пі * + Вп 008 2пі*),

где

Ап = Ъ е Ьк 008 а к =

-Ъ' /

е - 008 а

- е-пЪ 008(П + 1)а' + е-(п+1)Ъ'

сое па

к=0

2

Вп = Ъ

к=0

-Ъ'к  / 8Іп а - е пЬ 8Іп(п + 1)а' + е (п+1)Ъ 8Іп па'

е 8іп а'к =------------ 4 7

2

а = 2л9, 0 = —, Ъ' = ¥710 , п - г = к .

При небольшом п решение описывает неустановившиеся колебания системы:

7тах = «0 е-УЧк /л2 + В2 "п ^ у-^п' п ’

тро

о о 1 2 Ап уВп

где ^о - наименьшее положительное значение tо =— аге1^----------------

2^ 2 Вп + УАп

При малой диссипации у ^ 0,1 ^ппах = «0 л/ А% + В% .

тро

Глобальный максимум устанавливается из п значений ^^. При

Т

— = N наступает импульсный резонанс:

Т1

тах _ «0 1 - е-Т’А'(”+1>

тро 1 - е-Наибольший из г™* соответствует N = 1.

При достаточно большом п колебания будут практически установив-

« 1

шимися. В случае п ^тах = —0----------N.

тр0 1 -

Собственные частоты колебаний ю могут быть определены аналитически на основе теории колебаний фундаментальных и континуальных систем.

Полученные значения собственных частот могут использоваться для определения действительной части комплексной жесткости гетерогенной структуры дорожного полотна по Сорокину для исследования резонансных режимов колебаний при непрерывном движении транспортных средств и условий возникновения импульсного резонанса при воздействии мгновенных периодических импульсов в результате торможений и разгонов.

Заключение

Вопрос о поведении гетерогенной многослойной структуры в результате многократно повторяющегося импульсного воздействия остается неисследованным. Однако учет частотно-независимого внутреннего трения в системе при воздействии мгновенных периодических импульсов может быть, на наш взгляд, реализован с использованием гипотезы комплексной жесткости.

Список литературы

1. Артамонов, Д. В. Системный анализ процессов разрушения дорожного полотна / Д. В. Артамонов, В. В. Смогунов, Р. В. Умрихин, А. И. Вдовикин // Системный анализ, управление и обработка информации : научно-технический сборник статей. - Вып. 1. - Пенза, 2006. - С. 19-26.

2. Смогунов, В. В. Динамика гетерогенных структур. Фундаментальные модели / В. В. Смогунов, О. А. Вдовикина, В. Н. Решилов [и др.]. - Пенза, 2003. - 598 с.

3. Смогунов, В. В. Динамика гетерогенных структур. Виброударозащита гетерогенных структур / В. В. Смогунов, О. А. Вдовикина, И. П. Климинов [и др.]. -Пенза, 2005. - 497 с.

Артамонов Дмитрий Владимирович

кандидат технических наук, доцент, кафедра автономных информационных и управляющих систем, заместитель декана факультета систем управления и информационной безопасности, Пензенский государственный университет

E-mail: dmitrartamon@yandex.ru

Artamonov Dmitry Vladimirovich Candidate of engineering science, associate professor, sub-department of autonomous informational and control systems, vice-dean of department of information security and control systems,

Penza State University

УДК 624.04 Артамонов, Д. В.

Математические модели волновой динамики автомобильных дорог / Д. В. Артамонов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 135-141.