Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами

Раздел I. Теоретические аспекты математического

моделирования

А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Ю.С. Бондаренко

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ НА ОСНОВЕ СХЕМ С ВЕСАМИ

В прикладных задачах часто возникает необходимость решать уравнение диффузии. Наиболее эффективными методами решения подобного рода задач являются сеточные методы, которые, тем не менее, обладают погрешностями аппроксимации. В данной работе рассмотрено линейное уравнение диффузии с переменными коэффициентами, для которого получена оценка погрешности дискретизации. Полученная оценка погрешности аппроксимации служит для выбора шага по времени при моделировании диффузионных .

-

погрешности аппроксимации по временной переменной.

Уравнение диффузии; схемы с весами; погрешность аппроксимации.

A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, J.S. Bondarenko

ERROR ESTIMATION FOR THE DIFFUSION EQUATION SOLUTION BASED ON THE SCHEMES WITH WEIGHTS

In applied problems it is often necessary to solve diffusion equation. The most efficient methods for solving such types of problems are grid methods that, nevertheless, have an approximation error. In the given paper a linear diffusion equation with variable coefficients is considered, for which an estimation of approximation error is obtained. The resulting estimate of the error approximation is used to select the time step in the modeling of diffusion processes. In modeling applied problems often it is necessary to solve diffusion-convection equation and to take into account acquired estimate of the approximation error in the time variable in addition.

Diffusion equation; schemes with weights; approximation error.

Постановка задачи. Рассмотрим трехмерное уравнение диффузии [1,2]

уравнение (1) по пространственной переменной, при этом будем использовать равномерную прямоугольную сетку, в результате чего получим:

УДК 519.6

с начальным условием

c(t, x, y, z) = (p(x, y, z), при t = 0,

в котором источник f задан кусочно-постоянной функцией. Аппроксимируем

c = [ucx )x + [Uc- )z + [ucz )z + f ,

і С — с с — с

( ,, \ ,, і +1,і,к і,і,к і,і,к і —1,і,к

где (/Ж )х |} = Ж+1/2,і,к---------72--------Ж—1/2,і,к-----72------ - дискретный

аналог оператора диффузии.

Данное выражение можно записать в матричной форме

с' = —Ас + /п, ї є[ їп, Ґ+1],

где А - самосопряженный, положительно определенный оператор (А = А* > 0).

Оценим погрешность для уравнения (2). Для этого разложим векторы с и / по ортонормированному базису, составленному из собственных векторов оператора А:

С = Т,«,х,, Г = X $х,,

і і

где Xі - собственный вектор оператора А, для которого справедливы следующие выражения:

1, і = і,

АХі = ^ІХ1, (X;,X,Х = йп , 8(. =,

і і і у 1 і} і ,і і ,і 10, і Ф і.

С учетом (3) выражение (2) примет вид

Хах, =-АХах,+1А"х,•

I I I

Подставим (4) в выражение (5), в результате чего получим:

Еа'х<=Е Ыа)*,- •

Воспользуемся ортогональностью векторов Х{ в выражении (6):

а=-Ла , I

Таким образом, решение исходной задачи (1) сводится к решению дифференциальных уравнений (7).

Аналитическое решение уравнения диффузии. Найдем решение уравнения

(7).

переменных а и I

* іаі х

Проинтегрировав данное выражение, имеем:

1па = -Л+1пс.

, : а =св~л11.

Частным решением неоднородного уравнения является

а:

а. = -—.

1 Л

,

а (<) =

а

Л

-Я, (< —<n) +pn

Л

а (<n ) =

а

P- e

' У

On — 1 Л Pn—1

—n Pi__ „—AK. Pi______

< є[ <n, <n+1],

Л

e l< +-

i J

Л

Подставим (8) в выражение (3). В результате чего получим решение задачи (2) Ґґ ™ Л

є~л (t —<n) + P_ Л

Xt, < є[<n, <n+1].

V V ' I / "I J

Следует отметить, что расчет собственных векторов оператора Л более тру, , -пользован для оценки погрешности численного решения уравнения (2).

Численное решение уравнения диффузии. Для аппроксимации уравнения

а '~а =-Л

Л

Л >0, 2Б-Л>0,

где Б - диагональная часть оператора Л. Оператор Б оценим максимальным значением

С \

+1/2,],к + М1-1/2,],к , М,]+1/2,к + М,]-1/2,к , М,],к+1/2 + М,],к-1/2

D < max

i, j ,k

£ .

й й й

V у

В силу данных выражений можно получить оценку максимального собственного числа оператора Л

Г \

М+1/2, ],к + -1/2, ],к М1, ]+1/2,к + /Ц, _/-1/2,к М1, ] ,к+1/2 + М1, ] ,к-1/2

Amax < 2max

i, j ,k

V

h2

:

С учетом (12) а запишем

(1З) (7):

h2

<=л—.

/ / /

а = а—.

t т t

h2

t / Л Pn (а)T = ——L-а +- l

.

я г я

max max

, ,

/

а

- )= а, (-)—Л-

1' /

В

а также аппроксимацию данного уравнения с учетом схем с весами в тех же обозначениях

а”+1 -а" А

к 1 ' ч" /l' Л

і і

+

+

Следует отметить, что явная схема (С = 0) монотонна при hT< 1, устойчива при Нт < 2 .

Выражение (16) может быть записано в следующей форме: an+l -an = —— haan -(1 -а)-— han + h-

1 — - — - - —

max max max

ИЛИ

an+1 =

Л

і+Л т

max У

hi

a +

pi

/L

1+~л~Т

где а"+1 - приближенное значение функции а(х) на текущем временном слое,

а - на предыдущем.

Погрешность численного решение уравнения диффузии. Значение погрешности на П -М временном слое через точное а [т" ) И приближенное аа значения функции поля может быть выражено функцией:

= а -а

" -

меньше либо равна max ^

i

:

z=itK

(l7) (l9):

an =an -l + - X

iJ

(lS) (20), :

1 -

X

(1 + X&J

-l + a

l—

X

-a It" ) +

X

к Л j

.

Полученное выражение с учетом (15) примет вид

n-l

(i-l) pi

X

(1 + X&J

v:-l+

a1

Л

г /

l

X-------------e~X

(1 + X^J

.

Погрешность на П -й итерации примет вид

¥ =

X

1 + х&.

¥Ґ +

а

-і\ %

Л

'і /

1 —

X

с

+

а

1 + Ха

п-Л %

1—

ж

^ 1 + Ха/

-1 V

1

V

Л

¥

X

а

%

'-2 \

Л

і /

1 - , Х . - еХ

\\

УУ

„-Х

1 —

X

1 + Х°

і У \ґ

а

V

(1 + Х&) і (2) %

у

Х

\ п-1 Ґ

1+ Х°

о Л

а(0 )-Т

V Л У

+

Л

-2 Л { ст-1 \\ Ґ

а, (п-1)-%

'і / V

Л

'і у у

Получим оценку погрешности численного решения исходной задачи:

V

¥п < тах

к=0,п -1

а

%

Л

тах

Х[<>Л]

Х

1+ Ха

п-1

Е

к =0

Х

к

1+ Ха

<

к / \

< тах а. (тк)-%- тах |1- Х 1 - еХ

к =0,п -1 Л хФЛ\ 1 1+ Х°)

к Ґ \

= тах а (тк)-%- тах Г1- Х ^ - еХ

к =0,п-1 Л хФА] 1 1 + Xа )

к =0

Х

к

1+ Ха

1+ Ха

X

Вернемся к переменной НТ . Относительно данной переменной погрешность может быть записана так:

Н< тах

і, _л 1

к =0,п-1

а

(*к )-%Л

тах

х[Л]

(г

1

Х

1+ Ха

л л е~Х У

1+ Ха

Х

,

.

Найдем значение относительной погрешности

М

Ф-

тах а(тк)-%

к =0,п -1 1 Л

тах

хФЛ]

1 --

Х

1+ Ха

1 1 1 + Ха

У X

и оценим порядок погрешности аппроксимации

^ „ х2 , х3 ,л/„л11 + Х<7

1 = тах

хфл]

1

V

-1+Х—^+О (X ).

1 + Х& 2 6 у ' І х

= тах

хФл_

-1-

1 -Х+Х

2 6/

= тах

х[0А]

Х(-0.5) +

X2

ьО (х3 ) О (X3).

Таким образом, получили ожидаемый результат: в случае О = 0,5 схемы с весами имеют второй порядок погрешности аппроксимации, а в остальных случа-.

На рис. 1 представлены функции зависимости относительной погрешности аппроксимации ф от шага Нт в случаях О = {0;0,5;1}. Из рис. 1 видно, что кри-, О = 0, 5,

кривых.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.3 0.$ 0.7 0.4 0.0

Рис. 1. Фущкция зависимости относительной погрешности аппроксимации от НТ в случаях: 1 - о = 0; 2 - о = 1; 3 - О = 0,5

На рис. 2 представлена функция зависимости относительной погрешности аппроксимации ф от шага Нт в случае О = 0,5.

Рис. 2. Фущкция зависимости относительной погрешности аппроксимации от НТ

О= 0, 5

Из рис. 2. видно, что погрешность составляет менее 1 % в случае, если шаг Нт меньше 0,38.

Выводы. Полученная оценка погрешности аппроксимации служит для выбора шага по времени при моделировании диффузионных процессов. При моделировании прикладных задач, например транспорта веществ [3], гидродинамики мелководных водоемов [4-5], аэродинамики [6], волновых гидродинамических процессов [7], акустики [8] и т.д., часто возникает необходимость решать уравнение -,

погрешности аппроксимации по временной переменной.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. СамарскийА.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983.

2. Сух иное А.И. Двумерные схемы расщеплен ия и некоторые их приложения. - М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

3. . .

транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97).

- С. 75-82.

4. Сух иное А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко ЕМ. Численная реализация трехмерной модели

// -

тическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 3. - С. 3-21.

5. Алексеенко ЕМ., Сидоренко Б.В., Колгунова ОМ., Чистяков А.Е. Сравнительный анализ классических и неклассических моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 6-18.

6. . ., . ., . .

ветровых течений и распространения загрязняющих примесей в условиях городского рельефа местности с учетом k-е-модели турбулентности // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 49-65.

7. . .

// . . - 2010. - 6 (107).

- . 95-102.

8. . ., . . -

// . . - 2010.

- 6 (107). - . 168-174.

. .- . ., . . .

Сухинов Александр Иванович

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: sukhinov@gmail.ru.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

.: 88634310599.

Руководитель ТТИ ЮФУ; д.ф-м.н.; профессор.

Чистяков Александр Евгеньевич

E-mail: cheese_05@mail.ru.

Тел.: 88634371606.

Кафедра высшей математики; ассистент.

Бондаренко Юлиана Сергеевна

E-mail: juliana_bond@mail.ru.

.

Sukhinov Alexander Ivanovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: sukhinov@gmail.ru

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634310599.

The Head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.

Chistyakov Alexander Evgenjevich

E-mail: cheese_05@mail.ru.

Phone: +78634371606.

The Department of Higher Mathematics; Assistant.

Bondarenko Juliana Sergeevna

E-mail: juliana_bond@mail.ru.

Phone: +78634371606.

Postgraduate Student.

УДК 519.86

А.И. Сухинов, B.K. Гадельшин, Д.С. Любомищенко

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИЙ МЕТОДА СТОУНА

В работе приведены теоретические и практические оценки эффективности параллельной версии алгоритма неполного LU-разложения Стоуна (SIP) для суперпроизводи-тельной вычислительной системы. В качестве базового подхода распараллеливания используется метод декомпозиции области моделирования на подобласти (domain decomposition). :

учета общего волнового фронта; двумерная декомпозиция по данным с учетом общего ; -та и пакетной организацией обменов.

,

оцениваемых параллельных версий дает алгоритм одномерной декомпозиции c учетом общего волнового фронта. Приведены оценки оптимального размера пакета передачи.

; .

A.I. Sukhinov, V.K. Gadelshin, D.S. Lyubomishchenko

TEORETICAL AND PRACTICAL EFICIENCY ASSESSMENT OF PARALLEL VERSION OF STONE METHOD

In the paper there are theoretical and practical efficiency assessments of parallel method of incomplete factorization of Stone (SIP) for supercomputer. Domain decomposition is used as background parallel method. 2D data decomposition without wave front,2D decomposition with wave front and 1D data decomposition with wave front and pocket data exchange are considered. The best results among three algorithm versions of parallel realization are achieved for wave front algorithm and 1D domain decomposition. The assessment of optimal package size is given.

Stone Implicit Procedure (SIP); efficiency assessment for MPP system.

Для решения задач атмосферного моделирования очень важным аспектом является выбор параллельного алгоритма. Процесс построения параллельной программы не всегда может быть ограничен простой переделкой последовательных линейных конструкций в параллельное представление. Такой подход может дать параллельный аналог алгоритма, который при масштабировании на большое коли-