Математическое моделирование турбулентной диффузии дисперсной фазы в пограничном слое двухфазного потока

Вестник ДВО РАН. 2004. № 5

А.В. СЕМЕНЮК

Математическое моделирование турбулентной диффузии дисперсной фазы в пограничном слое двухфазного потока

Рассматривается проблема использования теории турбулентной миграции для прогнозирования процессов осаждения взвешенных в потоке мелких частиц на ограничивающие поверхности. Вводится понятие о границе стока частиц. Отмечается существенное влияние мелкомасштабных пульсаций среды на эффективность осаждения при расположении границы стока в непосредственной близости от стенки. Предложена методика определения скорости осаждения частиц с учетом масштабного и энергетического спектров пульсаций.

The mathematical modelling of disperse phase turbulent diffusion in a flow boundary layer.

A.V.SEMENYUK (G.I.Nevelskoy Maritime State University, Vladivostok).

The problem ofapplying the turbulent migration theory for prediction of small-dispersed particles deposition on confining surfaces has been considered. The notion of particle discharge boundaries has been introduced. It has been shown that small-scale pulsation of a flow influences deposition when the discharge boundary is adjacent to a surface. The method of estimating the particles deposition velocity, taking into account the large-scale and energetic spectra of pulsation, has been suggested.

Твердые или жидкие частицы вещества, взвешенные в газовом потоке (аэрозоли) или в воде (гидрозоли), широко распространены в природе и непрерывно образуются в результате человеческой деятельности. В ряде случаев они оказывают существенное влияние на природные и технологические процессы. Содержание частиц аэрозолей в среде непосредственно влияет на светопреломление и тем самым на работу оптических приборов различного назначения. Дым и пыль в городах и промышленных центрах, промышленные и бытовые стоки в водные бассейны неприятны для населения, они представляют серьезную угрозу здоровью.

Большое значение имеют процессы отрыва, переноса и отложения твердых частиц под действием ветров в атмосфере или подводных течений в морях и реках. Взвешенные в воде или воздухе микроорганизмы сохраняют в присутствии коллоидальных субстратов свою жизнеспособность в течение длительного времени.

СЕМЕНЮК Анатолий Васильевич - кандидат технических наук (Морской государственный университет им. адм. ГИ.Невельского, Владивосток).

Многие технологические процессы в металлургической, химической, пищевой промышленности, извлечение ценных частиц из потока газа, очистка промышленных газов от вредных веществ перед выбросом их в атмосферу связаны с переносом аэрозольных частиц в каналах и трубах.

Для решения проблем газодинамики гетерогенных сред требуется создание адекватной математической модели, поскольку прогнозирование процессов массо-переноса в подобных системах открывает широкие возможности не только для повышения эффективности эксплуатации энергетического оборудования, но и для расчетов конструкций различных элементов в объектах проектируемой техники.

В техническом аспекте наибольший интерес представляют турбулентные двухфазные потоки, изучению структуры и процессов массообмена в которых посвящено много работ [2, 5, 6, 8, 9]. В силу широкого интереса к дисперсным потокам исследование некоторых вопросов проводится с частных позиций, причем наибольшее разнообразие подходов наблюдается при описании турбулентности газовой фазы и физического обоснования осаждения дискретных частиц из несущей среды на стенки каналов. В данной статье развивается теория турбулентно-миграционного перемещения дисперсной фазы в пограничном слое турбулентного потока, основы которой изложены в работе [5].

Согласно этой теории плотность потока частиц J, осаждающихся на стенке, определяется следующим образом:

где V - скорость турбулентно-инерционного осаждения; Vm - скорость турбулентной миграции частиц примеси; фг и ф - локальная и средняя по сечению

концентрации дисперсной фазы; цр2 - степень увлечения частиц диаметром dp пульсациями газа; т+ = ррdp2u*2/(18рv2) - безразмерное время релаксации частицы; V - среднеквадратичное значение поперечной составляющей пульсацион-ной скорости; v+ = Vu*/v - безразмерная пульсационная скорость; u* - динамическая скорость; V- коэффициент кинематической вязкости; у+=уи*^- безразмерная координата по нормали от стенки; рр и р - плотность частицы и среды соответственно.

Следует указать на некоторые проблемы, ограничивающие использование миграционной теории для математического моделирования процессов выпадения дискретных частиц из турбулентных потоков: 1) недостаточная информация о турбулентных характеристиках дисперсных систем, в частности об амплитудно-частотных параметрах пульсационных составляющих; 2) отсутствие сведений о влиянии давления, градиентов продольной скорости и интенсивности внешней турбулентности на скорость турбулентного осаждения частиц; 3) неопределенность локальной концентрации ф ; 4) отсутствие экспериментальных и теоретических данных по влиянию энергетических спектров турбулентности на увлечение частиц пульсациями среды в непосредственной близости от стенки (в вязком подслое).

С целью частичного разрешения вышеперечисленных задач проанализируем современное состояние вопроса и рассмотрим некоторые пути совершенствования модели турбулентно-миграционного осаждения частиц.

J = Уос ф = ф, / ф,

d V'

’

у'+=у'/и*

0

20

40

60

80

Рис. 1. Распределение среднеквадратичного значения поперечной составляющей пульсационной скорости вблизи стенки

На рис. 1 приведены профили поперечной пульсации скорости, полученные экспериментально Лауфером и вычисленные по эмпирическим зависимостям, предложенным различными исследователями. Как видно из графиков, несмотря на то что каждая из формул дает неплохое приближение к действительности в некоторых зонах, ни одна из них не может обобщить распределение пульсаций по толщине пограничного слоя. Особенно погрешности аппроксимации отражаются на произведении функции распределения V+ и ее производной, составляющих основу уравнения миграционного движения (2):

Результаты расчетов по этой формуле для различных аппроксимаций распределения пульсаций в пограничном слое и отдельно в вязком подслое (рис. 2) показывают, что скорость миграции принимает минимальные значения в над-слое (при>+>150, Ут-^ 0) и наиболее существенна в буферной зоне (у+ = 5...30) на границе с вязким подслоем. Причем пиковые значения Ут отличаются по величине и приходятся на различные расстояния от стенки, а именно >+=5,1; 12,67; 9,45, если применялись формулы Дэвиса, Медникова, Горбиса соответственно. Отметим, что коэффициент турбулентной диффузии среды 0+, значения которого принимаются равными коэффициенту турбулентной вязкости 0+= V = у/у, наоборот, увеличивается с ростом расстояния от стенки и имеет наибольшую величину в центральной части канала. Экспериментальные исследования ряда авторов, в том числе и Лауфера, показали, что в ядре потока отношение безразмерных величин турбулентной вязкости и радиуса трубы Я+ изменяется незначительно [5]:

Р = V+д V +/ду+.

у+=(0,06...0,08)Я+ .

3 1

У

Уш

Рис. 2. Пульсационный множитель в буферном слое (а) и в вязком подслое (б) для различных представлений поля пульсационных скоростей

Таким образом, несмотря на совместное действие механизмов турбулентной диффузии и миграции по всему сечению канала, первый является определяющим в ядре потока, второй - вблизи стенки. Следовательно, процесс миграции частиц, обусловленный сдвиговым полем поперечной пульсации скорости, является посредником в процессе переноса дискретной фазы из ядра потока на ограничивающие поверхности.

Миграционный поток частиц на стенку следует определять по параметрам уравнения (2), значения которых соответствуют положению частицы перед последним миграционным шагом, когда в течение очередного полупериода пульсационного движения к стенке она приблизится к поверхности на расстояние и осядет на ней. Координату у+= г+, соответствующую вышеуказанному положению, будем называть координатой границы безвозвратного стока.

В общем случае путь 1+, пройденный частицей за полупериод движения к стенке, складывается из радиуса частицы, величины миграционного смещения Ду+ и пути торможения £+, определяемым локальным масштабом турбулентности X, местным среднеквадратичным значением пульсационной скорости V + и временем релаксации т+, т. е.:

1+~Ау+

где

8+=^р2 т+ у,+ ,

ЛУ+ = ^+Т+=^ Т№у'+/ЭУ+,

Т+=Тu*2/v - безразмерный период пульсаций, X - масштаб пульсаций.

На рис. 3 показано влияние поперечной координаты и значения динамической скорости на основные составляющие, от которых зависит положение границы стока. Как видно, с увеличением расстояния от стенки и ростом динамической скорости 1+ принимает большие значения, причем в области вязкого подслоя влияние инерционного фактора 5+ существенно снижается. Однако именно в этой области суммарный пробег частицы сравнивается с ее начальной координатой, т. е. выполняется условие достижения частицей стенки 1+ = г+, в связи с чем необходимо особое внимание уделить распределению параметров турбулентности в подслое. В частности, некорректное определение пульсационной составляющей V и ее градиента вызывает изменение V в несколько раз (см. рис. 2). Кроме того, дляу+< 5 ни одна из существующих эмпирических формул не дает совпадения с экспериментальными данными. Эти формулы не позволяют учесть влияние режимных параметров, так как задают распределение пульсаций только в функции комплекса у+=yu*/v. Тем не менее измерения показывают существенное влияние на них интенсивности внешней турбулентности, осредненной скорости потока и числа Рейнольдса [1, 4, 11].

Для того чтобы получить более точное приближение к реальному распределению пульсационной скорости, аппроксимируем экспериментальный профиль Лауфера в подслое касательными к нему в точках, соответствующих границе стока. Крайние касательные в начале и конце толщины вязкого подслоя выразятся линиями V+= 0,15у+ (у+= 0...0, 17) и V+= 0,047у+-0,075 (у+= 5), а промежуточные функции будут зависеть от положения границы стока (рис. 4). В свою очередь, дислокация границы стока г+ в значительной степени определяется временем релаксации частицы т+ (см. формулы 5-7), которое можно принять в качестве кри-

Рис. 3. Инерционный пробег (а), степень увлечения и время релаксации (б) частиц диаметром 2 мкм

Рис. 4. Аппроксимация экспериментального профиля Лауфера (кривая 5) в вязком подслое по версиям: 1 - Дэвиса, 2 - Горбиса, 3 - Медникова, 4 - Билла [4], 6, 7 - касательные в точках у+= 0 и у+= 5,0

терия подобия при исследованиях скорости осаждения частиц, и построить в диапазоне г = 0.. .5,0 зависимость пульсационного множителя от безразмерного времени релаксации Р = _Дт+). Такая функция представлена на рис. 5 в виде составляющих:

Р1 = 6-10-5ехр

Р2 = 0,016 т+- 0,075, г+= 1,0 5,0.

Если же координата границы стока превышает значение г+ = 5,0, то величина пульсационного множителя остается равной пиковому значению, вычисленному по формуле Дэвиса, которая в этой области дает наилучшее приближение к действительности и по величине, и по градиенту пульсационной скорости V + (см. рис. 1, 2).

Из рис. 5 понятно, что при т+ < 1,0 граница стока расположена внутри подслоя очень близко к поверхности, куда крупномасштабные вихри не проникают [11]. Следовательно, коэффициент увлечения частиц необходимо рассчитывать исходя из предположения, что в данном случае их носителем являются вихревые образования внутреннего масштаба турбулентности Я.

Для того чтобы определить внутренний масштаб, воспользуемся понятием локально изотропной турбулентности, введенным А.Н.Колмогоровым.

Как известно, энергия крупномасштабных пульсаций постепенно переходит к более мелкомасштабным вихрям, причем для масштабов, малых по сравнению с энергоемкими вихрями, пульсации становятся изотропными. Согласно теории Кол -могорова, суммарная энергия таких пульсаций с масштабом <Я пропорциональна Я23. Эта закономерность остается справедливой, пока переход энергии к более мелкомасштабным пульсациям не сопровождается заметной диссипацией (переходом в теплоту) энергии, т. е. для масштабов, больших по сравнению с некоторой критической величиной Я0 (внутренним масштабом турбулентности). В области же Я < Я0 убывание энергии при переходе к более мелкомасштабным пульсациям идет значительно скорее.

0

8

4

т+

0

4

8

12

Рис. 5. Влияние критерия подобия т+ на пульсационную характеристику Р, коэффициент увлечения частиц вихрями внутреннего и энергоемкого (верхняя кривая) масштабов турбулентности; внутренний масштаб Х+; положение границы стока г+; динамическая скорость и* для условий эксперимента Земеля [9].

Верхний предел частоты, свойственный мелкомасштабным пульсациям с масштабом Х, можно примерно определить [7] как отношение пульсационной скорости у' = ^г) к масштабу X = ^3/е) j :

где г - скорость диссипации энергии турбулентности.

Круговую, или иначе - угловую, частоту ю (рад/с) можно представить следующим образом:

где к=2п/Х - волновое число (рад/м), Т - период пульсаций, п - частота колебаний, Гц. Очень часто на практике используется волновое число, выражающее число колебаний на единице длины, с размерностью м-1, т. е. К=1/Х.

В некоторых случаях [7], если рассматривается высокочастотная область спектральной функции, для анизотропного сдвигового течения может быть правомерной гипотеза Тейлора, справедливая для однородной турбулентности:

Для локальной изотропности, исходя из равенства осредненных квадратов градиентов продольной и' и поперечной у' составляющих пульсационной скорости, выражение (10) представим в следующем виде:

пХ= V/X = (г^)1/2 ,

ю=2пп=2п/Т=2пу' /Х=кУ,

пХ= у'/Х = (г^)1/2=151/2(Эу7Эу) =3,873 (Эу Щ).

Далее, поскольку г=п^, то параметры Колмогорова можно преобразовать следующим образом:

у' = ^г) j =

Как уже отмечалось, профиль среднеквадратичного значения поперечных пульсаций скорости вблизи стенки достаточно хорошо аппроксимируется линейными зависимостями

у '+=Ку+ + В,

т. е. у'=Ku*2y/v + Бы*, в которых коэффиценты являются функциями координаты границы стока, т. е. К = /(г+), Б = /(г+). Отсюда

ду'/ду=Ки*2Ы; nX=3,873Ku*2/v ; Х=0,5Ы

Поскольку из выражения (15) следует К = ду'+/ду+, то безразмерный внутренний масштаб турбулентности однозначно определяется безразмерным градиентом пульсационной скорости, величину которого в вязком подслое предварительно можно оценить по профилю (рис. 1) у'+ = 0,9у+/(у++4).

Полагая динамическую скорость и*=Пс105 и коэффициент трения с/=0,0263Яе~117 [3], получим:

пХ=0ДКЦ2/

Таким образом, в формуле для коэффициента увлечения частиц пульсациями среды [5]

Мр2= 1/

в случае расположения границы стока в непосредственной близости от стенки (г+< 1,0) частоту энергоемких пульсаций юЕ следует заменить частотой мелкомасштабных пульсаций пХ, вычисляемой по формуле (17).

В диапазоне г+ = 1,0... 15,0 необходимо использовать выражение для верхнего предела крупномасштабных пульсаций, частота которых определяется отношением осредненной скорости потока и к диаметру трубы, т. е. ю0 = П/Б. И лишь при г+ > 15 частицы могут преодолевать расстояние до стенки за счет инерционного выброса из наиболее энергоемких вихрей с частотой пульсаций юЕ = 20ы */Б в результате их торможения в буферном слое [11].

Математическое моделирование турбулентно-миграционного движения частиц в пограничном слое с учетом предложенных положений об определении границы стока, более точная аппроксимация экспериментального профиля поперечной составляющей пульсационной скорости и предположение о влиянии высокочастотной области спектральной функции турбулентности на степень увлечения частиц пульсационным движением среды позволили максимально приблизить расчетные и экспериментальные характеристики турбулентного осаждения (график 3 на рис. 6). Как видно из графиков, игнорирование зависимости коэффициента |Лр2 от частотного спектра турбулентности, особенно в области низких и*, дает значительную погрешность миграционной модели Медникова (кривая 2) по отношению к измеренным значениям. Результаты расчетов по некоторым из других существующих моделей теоретического определения скорости осаждения (кривые 4-8) также не приводят к удовлетворительному согласованию с экспериментальными данными Земе-ля [10]. Причиной несоответствия является наличие в формулах эмпирических ко-

ю

о

1

,1

и

и

1 1,5 2 2,5 3

Рис. 6. Сравнение результатов теоретических расчетов скорости турбулентного осаждения аэрозоля с размером частиц йр = 2 мкм, = 1500 кг/м3 в трубе диаметром В = 5,3 мм с экспериментом [9]. 1 -

скорость турбулентного осаждения (опыты Земеля), 2 - скорость осаждения по формуле Медникова, 3 - скорость осаждения по теории автора, 4 - теория Фридлендера, 5 - теория Оуэна, 6 - теория Дэвиса, 7 - теория Билла, 8 - теория Земеля

эффициентов, справедливых только для частных условий турбулентного течения аэрозолей, на основании которых они были получены.

Заключение

1. Дополнение теории миграции взвешенных в потоке дискретных частиц понятием о границе стока позволяет построить универсальную математическую модель турбулентного осаждения мелкодисперсных примесей на ограничивающие поверхности.

2. Существующие эмпирические профили пульсационных скоростей не отражают действительного распределения пульсаций в вязкой области пограничного слоя, что приводит к значительной погрешности результатов расчета по отношению к опытам.

3. Разработана методика определения положения границы стока с учетом фактического распределения поперечной составляющей пульсационной скорости потока и пространственной структуры турбулентности. Предложен простой способ оценки внутреннего масштаба турбулентного пограничного слоя.

4. Результаты расчетов скорости турбулентного осаждения частиц аэрозоля в трубе в соответствии с изложенными принципами показали наилучшее согласование с экспериментальными данными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Глушко ГС., Бронштейн В. И., Юдаев Б.Н. Влияние градиента давления и турбулентности внешнего потока на течение в пограничном слое // Инж.-физ. журн. 1978. Т. 34, № 6. С. 1100-1109.

2. Дейч М.Е., Филиппов ГА. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энергия, 1968. 423 с.

3. Дейч М.Е. Техническая газодинамика. М.: Энергия, 1974. 592 с.

4. Зимонт В.Л. Экспериментальное исследование турбулентной диффузии в каналах переменного сечения // Изв. АН СССР. МЖГ 1968. № 3. С. 151-157.

5. Медников Е.П. Турбулентный перенос и осаждение аэрозолей. М.: Наука, 1981. 176 с.

6. Поваров О. А. и др. Проблемы солеотложений и износ элементов геотермальных энергетических установок // ЦНИИТЭИТяжмаш: Обзор. М., 1991. 44 с. Сер. 3. Вып. 2. Энергетическое машиностроение.

7. Рейнольдс А.Дж. Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия, 1979. 408 с.

8. Семенюк А.В. Осаждение мелкодисперсных частиц на входных кромках лопаточных аппаратов турбомашин // Вестн. МЭИ. М., 2003. № 4. С. 29-33.

9. Теверовский Е.Н., Дмитриев Е.С. Перенос аэрозольных частиц турбулентными потоками. М.: Энергоатомиздат, 1988. 160 с.

10. Sehmel G.A. Aerosol deposition from turbulent air stream in vertical conduits // Pacific Northwest Lab. BNWL-578. Richland, Washington, 1968. P. 117-123.

11. Thole K.A., Bogard D.G. High freestream turbulens effets on turbulent boundary layers // Trans. ASME. 1996. Vol. 118. P. 276-284.