Построение адаптивного нечеткого комбинированного регулятора в многосвязных системах

нализ и синтез систем управления

УДК 658.012.011.56

ПОСТРОЕНИЕ АДАПТИВНОГО НЕЧЕТКОГО КОМБИНИРОВАННОГО РЕГУЛЯТОРА В МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМАХ1

Ю. И. Кудинов, И. Ю. Кудинов

Липецкий государственный технический университет

Рассмотрено построение регулятора, состоящего из многопозиционного и широтно-импульсного регуляторов. Показано, что многопозиционный регулятор реализует управление, квазиоптимальное по быстродействию, а широтно-импульсный — импульсное управление, обеспечивающее требуемую точность регулирования. С помощью нечеткого алгоритма параметрической адаптации и предложенного регулятора получено высокое качество регулирования в условиях изменения динамических характеристик объекта и взаимного влияния управляющих воздействий.

ВВЕДЕНИЕ

Стабилизация нескольких выходных переменных в одном объекте с помощью нескольких взаимосвязанных управляющих переменных относится к числу довольно сложных задач управления. Ее сложность существенно возрастает, если управляющие переменные являются двухпозиционными, а объект — нестационарным, с меняющимися во времени статическими и динамическими характеристиками: коэффициентом передачи, инертностью и временем запаздывания по каналам управления.

В настоящей работе предлагается «физический» подход к построению релейной адаптивной системы управления многосвязными тепловыми объектами, опирающийся на нечеткую логику и учитывающий фундаментальные закономерности теплопередачи.

Рассмотрим схему многосвязного теплового объекта (рис. 1) и дадим ему краткую характеристику. Объект содержит т взаимосвязанных входов ы, и т соответствующих выходов у,, i = 1, т . Связь ы — у, будем именовать контуром управления или просто контуром. Начнем с анализа переменных ы,, у, в ^м контуре теплового объекта с самовыравниванием. Выходной, регулируемой переменной у, (/) является температура, а управляющей ы(Р) — физическая величина (напряжение электричес-

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ по проекту 06-08-00227-а.

кого нагревателя, подача пара в теплообменник и т. д.), изменяющая поступление тепла от какого-либо источника.

В непрерывных системах управление u(t) принимает

r min max п

значения из интервала [ u , , u f ], а в релейных — из

min max

множества {u i , u / }, содержащего два элемента. При

min max

ut = u / подводится минимальное, а при uf = u i —

максимальное количество тепла. В целях упрощения

min

изложения переидем от физических значении ui и

max

ui управления u((t) к нормированным значениям 0 и 1,

min max min

например, по формуле (uz(t) — u i )/(u i — u i ), и Щ yx

u2 ч „sc'7" ✓ - " " N ^ / - .»

um V N ^ " S4 4 / . ' ✓ x ^ S ^ > С s ' ^ V S ^ S 4\n et_ ^ л У m

Рис. 1. Схема объекта

будем считать, что при м,(/) = 1 нагреватель включен, а при м,(/) = 0 — выключен. Свойство самовыравнивания теплового объекта с непрерывным управлением м,(/) состоит в том, что каждому постоянному значению и, соответствует установившееся значение температуры у,. Задача стабилизации или автоматического регулирования температуры сводится к определению управления и,, при котором полученная установившаяся температура у, была бы близка к заданной у0, т. е. выполнялось

условие е I 1 |у / — у, |, где е I — допустимое значение

ошибки регулирования.

Другими словами, тепловое равновесие в объекте или равенство прихода и расхода тепла достигается при

О \_/  1-

У, = Уi , ^ 1 т.

1. ПОСТРОЕНИЕ НЕЧЕТКОГО КОМБИНИРОВАННОГО РЕГУЛЯТОРА

В традиционной релейной системе, содержащей инерционный объект с запаздыванием и работающей по отклонению, как правило, возникают незатухающие колебания с довольно большой амплитудой. Поэтому достижение близости заданного у0 к текущему значению у,(/) выхода возможно лишь для его среднего значения

у |. Амплитуду колебаний можно существенно снизить, если от релейного регулирования перейти к импульсному управлению с принудительным переключением и,(О, показанным на рис. 2.

Полагая, что импульсное управление по аналогии с релейным регулированием является периодическим с периодом т,, на интервале времени t е [0, т,] можно

1 о

определить такие длительности импульсов т - и пауз ти, соответственно, такое импульсное управление м,(/) =

= {и,(т-, т0)}, j = 1, дI, при котором ошибка е,(^ = = у0 (0 — у,(0 будет удовлетворять ограничению

или находиться в области D, = {е,(/)|— е0 < e(t) < е0 }.

Теперь сформулируем общие принципы управления тепловыми объектами, используя ошибку регулирования е,(0 = у0 (0 - у,(0 и ее скорость ие,(0 = е,(0 - e,(t- 1).

Если ошибка е,(/) положительна, то имеет место переохлаждение, а если отрицательна — перегрев. Положительная скорость ошибки ое,(0 соответствует снижению, а отрицательная — возрастанию температуры. В зависимости от значения ошибки е,(^, ее скорости ое,(0 и положения относительно области следует использовать два закона управления, осуществляемых, соответственно, двумя регуляторами.

Рис. 2. Импульсное управление

Если ошибка е(0 находится за пределами области D,, то многопозиционным регулятором (МПР) реализуется квазиоптимальный по быстродействию закон управления, при котором скорость ошибки ие,(/) должна быть направлена к области D, и снижаться по мере приближения к ней для предотвращения перерегулирования. С этой целью диапазон изменения ошибки е,(/) надо разбить на несколько нечетких интервалов, характеризующих ее отклонение относительно области D, и имеющих лингвистические значения: N5 — большое отрицательное, ЛМ — среднее отрицательное, N5 — малое отрицательное, Р5 — малое положительное, РМ — среднее положительное, РВ — большое положительное.

Аналогичными лингвистическими значениями можно описать нечеткие интервалы изменения скорости ошибки ие,(^.

Введем также два интервала ЛЕ и РЕ, определяющие диапазон импульсного управления, совпадающий вначале с областью D,. В результате получим два терм-множества, характеризующие ошибку = {N5, ЛМ, N5, ЛЕ, РЕ, Р5, РМ, РВ} и ее скорость Ре = {^N7, NM, N5, Р5, РМ, РВ}, где ^N7 — произвольное значение скорости ошибки. Интервалы N5 и РВ задают допустимые пределы отрицательной (перегрева) или положительной (переохлаждения) ошибки, где при любой (^N7) скорости ое,(^ должен быть соответственно отключен (и, = 0) или включен (и, = 1) нагреватель.

Согласно квазиоптимальному по быстродействию закону управления на лингвистических интервалах ^М, N5, Р5, РМ) ошибка е,(0 ее скорость ое,(0 принимает значения, приведенные в строке «» табл. 1 в соответствии с рекомендациями работы [1].

Если ошибка е,(0 с небольшой скоростью ^М, N5, Р5, РМ) попадает в интервалы NE, РЕ (строка «+» табл. 1), то происходит переход к импульсному управлению, вырабатываемому широтно-импульсным регулятором (ШИР).

И, наконец, при скоростях ошибки, больших (строка «•») или меньших (строка «О»), чем квазиоптимальные (строка «»), МПР, соответственно, включает (и, = 1) или отключает (и, = 0) нагреватель. Более наглядную графическую трактовку режима работы системы управ-

Рис. 3. Управляющие интервалы многопозиционного регулятора

Рис. 4. Функции принадлежности, характеризующие:

а — ошибку e

ления при увеличении (I) и уменьшении (//) ошибки и ее скорости иег(/) дает рис. 3.

Исходя из табл. 1 и рис. 3, МПР для всех интервалов ошибки £;(/) и ее скорости иег(/) может:

• оставить неизменным управление иг-(/) = иг-(/ — 1) ();

• перейти к импульсному управлению (+);

• включить нагреватель «(t) = 1 (•);

• выключить нагреватель «(t) = 0 (О).

Эти действия позволяют сконструировать управляющие правила. В качестве примера приведем управляющие правила для ошибки e..(t), находящейся в нечетком интервале NB (I),

Rpi j: если e..(t) есть NB, ue..(t) есть ANY, то «(t) := 0, и нечетком интервале NM

2

Rp 1 j: если e..(t) есть NM, ue/t) есть PS, то «.(t) := «.(t — 1),

з

Rp 1 j: если e..(t) есть NM, ue..(t) есть PM, то «¿о := «.(t - 1),

4

Rp 1 j: если e..(t) есть NM, ue..(t) есть PB, то «(t) := 1.

Аналогичным образом можно записать остальные 26 правил и представить МПР в следующей компактной форме:

Rp 1 j: если e..(t) есть EP01, j, ue,(t) есть и Ере1,

то

где яД е Те1, ияД е Т^, ие = {1, 0, и,</- 1)}, 9 = 1, 30 .

Элементам терм-множеств Т^ и Т^е соответствуют

функции принадлежности, изображенные на рис. 4. Для обеспечения требуемой точности регулирования

/1 0 \

предлагается импульсное управление ид т j, т ^), состоящее из импульсных последовательностей иг(п), которые в зависимости от номера п имеют различные длительности

импульсов т1 и пауз т0, представленные в табл. 2. Отметим, что по мере увеличения номера п растет относитель-

ное суммарное время нагрева т] (n) =

тi, n(n) J =l ',J

где т П(п) и т у(п) — длительности последовательности и у-го импульса. Следовательно, чем больше п, тем больше тепла подводится к объекту и тем выше его средняя температура. Поэтому алгоритм функционирования ШИР заключается в выборе таких импульсных последовательностей и(п) из табл. 2, при которых выполняется условие (1). Переход от одной импульсной последова-

Таблица 1

Режимы работы многопозиционного регулятора

e NB NM NS NE PE PS PM PB

ue PM,, PS PS — — NS NM, NS —

+ ue — — — PM, PS, NM, NS PM, PS, NM, NS — — —

• ue _ PB PM, PB PB PB PB, PM, PS PB, PM, PS ANY

О ue ANY NB, NM, NS NB, NM, NS NB NB NB, NM NB —

Таблица 2

Импульсные последовательности

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА АДАПТАЦИИ

n u (n) 1 т

1 0 1 0 0 — 0,25

2 0 0 1 — — 0,33

3 0 0 1 0 1 0,4

4 0 1 0 1 - 0,5

5 1 0 1 0 1 0,6

6 1 1 0 — — 0,67

7 1 1 1 0 — 0,75

Переменные ШИР

Таблица 3

е uEp2 dne

1 NE NM

2 NE NS

3 NE PS

4 NE PM 1

5 PE NM

6 PE NS

7 PE PS 1

8 PE PM 1

Рассмотрим ряд особенностей процесса регулирования, позволяющих правильно сконструировать критерий и эффективный алгоритм параметрической адаптации.

В процессе двухпозиционного регулирования могут установиться несимметричные колебания выходной величины с преобладанием положительной е+ (?) = у0 (?) —

— У,-(?) > 0 или отрицательной ег- (?) = у0 (?) — у;(?) < 0 ошибок. Тогда произойдет довольно значительное смещение средней температуры у, относительно заданной

у0 , а средней ошибки е, (?) — относительно области _0..

Кроме того, при ярко выраженных несимметричных колебаниях (когда практически отсутствует положительная или отрицательная ошибка) крайне сложно удержаться в области _0;, т. е. реализовать качественное импульсное управление. Поэтому для оценки и последующего устранения несимметричности и снижения амплитуды колебаний следует воспользоваться критериями, полученными усреднением на к-м интервале

времени ? е [(к — 1)т, кт] отрицательного А ег- (?) = ег- (?) + + е0 < 0, Аег (?) = у0 (?) - у1(?) < 0,

тельности к другой осуществляется в зависимости от ошибки e;(?) и ее скорости ue;(?), принимающих лингвистические значения Ep2 ; и uEp2 ; из соответствующих

терм-множеств Te2 = {NE, PE} и T^e = {NM, NS, PS,

PM}.

Широтно-импульсный регулятор представляет собой набор нечетких правил, определяющих номер n последовательности

Р2, і: если Є;(?) естЬ ЯД, i, ие;(?) естЬ и Ep2, г ,

где 0 = 1,

то и;(?) := и;(? — 1) + dn ,

0

Ep02, і є T2 , U Ep°2; і є .

2

‘ ue •

Уровень приращения dn и соответствующие лингвистические значения г, и г переменных е;(?) и ое;(?) из правил (3) приведены в табл. 3. Функции при-

22

надлежности элементов терм-множеств Те и Тие определены на рис. 4. В условиях нестационарности и различия динамических характеристик по каналам управления нуждаются в уточнении параметры функции

принадлежности e; = (е; j, ..., е; 6, ое; j, ..., ое; 4), i — 1, m , входящие в МПР и ШИР и позволяющие повысить качество регулирования. Из состава вектора е, можно

удалить скорости ошибки ое^., j — 1, 4 не оказывающие столЬ значителЬного влияния на процесс регулирования, как е^.

1

kx

Ii (k) = -Ь Z Ае-(?),

Tk, і t = (k - 1)т

положительного Ае+ (?) = е+ (?) + е0 > 0, Ае+ (?) = у0 (?) —

Уі(?) > 0,

i+(k) - -4-

kx

+ Z

Tk, і t = (k - 1)t

А е+ (?),

и абсолютного отклонений относительно области D

I“(k) -

1

k Ті

Z Z

Z (Tk, і + Tk, і)і = 11 = (k - 1)Ti i = 1

где Хк і И Хк і — промежутки времени, на которых выполняются условия Аеі (?) < 0 и Ае+ (?) > 0, соответственно.

Сформулируем задачу параметрической адаптации МПР и ШИР. Пусть задан или построен некоторый комплексный критерий I, сконструированный на

основании критериев Іі (к), 1+(к), 1м(к) и Іі (к + 1),

1+(к + 1), 1м(к + 1), рассчитанных на к-м и (к + 1)-м интервалах времени, и позволяющий оценить изменение качества регулирования на (к + 1)-м интервале. Тогда задача адаптации заключается в определении алгоритмом

е

m

m

Рис. 5. Функции принадлежности, характеризующие критерии

т— т+

по данным к-го интервала времени / е [(к — 1)т, кт]

такого вектора параметров е

(е-у), / = 1, т ,

j = 1, 6, 0 = 1, 9, при котором на (к + 1)-м интервале достигается более высокое качество регулирования.

Теперь перейдем к построению критерия I и алгоритма адаптации у.

Критерий I содержит бинарные операции сравнения,

связывающие соответствующие критерии I,- (к), 1+(к),

!м(к) и 1, (к + 1), 1+(к + 1), !м(к + 1) на к-м и (к + 1)-м интервалах и выдает значение «истина» (И), если на (к + 1)-м интервале достигается более высокое качество регулирования, чем на к-м, и значение «ложь» (Л), в противном случае. При этом возможны две неоднозначные ситуации: желательная

Р : I-

или нежелательная

Р : ^

и две противоречивые ситуации:

Р : /-

или

Р, : I-

Противоречивые ситуации можно разрешить, используя условие:

Я : 1м

с модульными критериями (6), определяющими ошибку выхода по всем контурам. Действительно, если имеет место противоречивая ситуация (10) или (11), то выполнение условия (12) подтверждает повышение качества переходного процесса на (к + 1)-м интервале в целом для всех контуров. Объединение условий (8)—(12) дает критерий, реализующий требуемую логическую функцию I = [Р, л О,] V {[(Р, л О,) V (Р , л О)] л В}.

Алгоритм адаптации вектора параметров е, задающих границы интервалов #М, N5, ЖЕ, РЕ, Р5, РМ, является также нечетким, реагирующим на значения

критериев I, и !+, рассчитанных по формулам (4) и (5).

Пределы изменения каждого критерия I, и !+ можно разбить на три нечетких интервала N5, ЖМ, N5 и Р5, РМ, РВ соответственно (рис. 5).

Границы а,. р Ь,. х интервалов N5, Р5 — это допустимые значения I, = а,. х, ^+ = Ь,. х критериев I, (к), !+(к). Обозначим через Ае^. приращение параметра е^к) в моменты времени t = кт, к = 1, 2, ... Введем терм-множества ТА = {N5, NM, N5} и Тв = {Р5, РМ, РВ} с элементами — лингвистическими значениями, характеризующими критерии I, и !+, соответственно. Тогда получим нечеткие правила, связывающие лингвистические значения Ае е ТА и В0 е Тв критериев с приращениями Ае^. параметров е^к):

В- : если I, есть Ае, ^+ есть Ве, то ел(к + 1) = ея(к) + Ае-!, ..., е,.6(к + 1) = е,.6(к) + Ае6,

0 = 179 ; / = 173 .

Значения приращений Ае^. — положительные числа ар а2, ..., а4, приведены в табл. 4. Значение и знак приращения Ае,^ в табл. 4 зависит от характерных особенностей технологической установки и процесса регулирования. Ограничивающие допустимые режимы работы установки минимальное ея и максимальное е,6 значения ошибки е,. не подлежат изменению, т. е. приращения Аея и Ае,.6 равны нулю. Если преобладающее значение критерия I, отрицательное 11, | > !+, то необходимо изменять е,2 и е,3, т. е. Ае,2, Ае,3 ф 0, а если положительное

1+ > 11, |, то необходимо изменять е,4 и е,.5, т. е. Ае,4, Ае,.5 ф 0. При достаточно больших значениях обоих

критериев I, . I, , !+ . !+ изменяются все параметры е^, j = 2, 5 из-за приращений Ае,2, Ае,.3 ф 0 и Ае,4, Ае,.5 ф 0. Таким образом, получим вектор параметров адаптации е. = (е.2, е.3, е.4, е.5).

Рассмотрим работу алгоритма адаптации (7) как нечеткого автомата, воздействующего на многосвязный объект управления. Направленный граф работы такого автомата показан на рис. 6. Алгоритм адаптации параметров в 0-м правиле /-го контура условно разбит на два

оператора: изменения параметров отрицательной у и

Таблица 4

Приращения параметров

0 А0 в0 Аех Де2 Ае3 Ае4 Ае5 Аеб

1 Ш Р3 0 0 0 0 0 0

2 ым Р3 0 а1 а2 0 0 0

3 ыв Р3 0 а3 а4 0 0 0

4 Ш РМ 0 0 0 —а2 -а1 0

5 ым РМ 0 а1 а2 —а2 -а1 0

6 ыв Рм 0 а3 а4 —а2 -а1 0

7 N3 РВ 0 0 0 —а4 —а3 0

8 ым РВ 0 а1 а2 -а4 —а3 0

9 ыв РВ 0 а3 а4 —а4 —а3 0

Рис. 6. Граф параметрической адаптации

положительной реакций у [2]. Стрелками отмечены переходы от одного оператора к другому, рядом приведены события, вызывающие эти переходы. Выбор 0-го правила из совокупности (13) осуществляется в блоке ВП и заключается в проверке принадлежности текущих значений ошибки ег(/) и ее скорости оег.(/) к нечетким

множествам Ле и Ве. Например, пусть ег-(/) есть ЫИ и иег(/) есть РИ, тогда согласно табл. 4 0 = 5. В алгоритме

у предлагается менять или определять параметры еу(к + 1) на (к + 1)-м шаге в соответствии с данными

табл. 5 по формуле

е0, (к + 1) = е0, (к) + А е0, (д),

і = 1, т, j = 2, 5 , д = 1, 6,

где д — номер варианта изменения параметра на вели-

А 0 а

чину А е / или —А е /.

Число и номера уточняемых параметров, определенных в табл. 5, задаются кодовыми числами р = 5, 9, 14, найденными из соотношения

р = {ЕіАе0/ * 0, і є [2, 5]|}.

Предположим, что на к-м интервале времени для 0-го правила с кодовым числом 5 < р < 10 и варианта 1 < д < 6 не произошло улучшение переходного процесса, т. е. I = Л.

Тогда на интервалах к + 1, к + 2, ... в соответствии с табл. 5 будут меняться номера вариантов д + 1, д + 2, ... и значения параметров, рассчитанных по формуле (14). Такого рода циклические вычисления будут продолжаться до тех пор, пока на интервале к* > к не будет найден вариант д* > д и соответственно значение приращения А е / (д*), при котором произойдут улучшение качества процесса регулирования (I = И) и переход к +

оператору у .

В операторе у+ с найденными приращениями А е / (д*) циклически вычисляются параметры ег7(к* + I),

Vу

I = 1, 2, ... по формуле

е 0/ (к* + I) = е 0/ (к* + I

1) + Д («•),

/ = 1, 2, ...

на (к*+ /)-м интервале времени, пока повышается качество процесса регулирования I = И, и не выполняется условие остановки

J = А [(I- (к) > I- ) Л (1+(к) < /+)],

/ = 1

т. е. / = Л. Окончание работы операторов у , у+ и в целом алгоритма адаптации параметров /-го контура и переход к (/ + 1)-му контуру происходят в двух случаях: когда выполнилось условие остановки / = И или исчерпались все варианты д = 1, 6 и не произошло улучшения качества процесса регулирования I = Л.

3. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ НЕЧЕТКОГО КОМБИНИРОВАННОГО РЕГУЛЯТОРА

Предлагаемая методика была использована при построении адаптивного нечеткого регулятора (АНР) для программной стабилизации температуры отжига у.(7) трансформаторной стали в колпаковой электрической печи СГВ-16-20 с допустимой ошибкой регулирования

Таблица 5

Варианты изменения управляющих параметров

р

1 2 3 4 5 6

5 е,2

9 е,4

14 е,2

Рис. 7. Схема регулирования температуры отжига

Рис. 8. Графики регулирования температуры отжига

e0 = 10 °С (рис. 7). На вход микропроцессора МП подаются значения температуры отжига y,(t) в зонах. Сумматоры и элементы запаздывания ЭЗ формируют необходимую информацию для АНР: ошибки регулирования e,(t) = y0(t) — y,(t) и их скорости изменения ue,(t) = eft) - eft - 1), i = 1, 2, 3; АНР, содержащий МПР и ШИР, вырабатывает управляющие воздействия и,, отключающие (и, = 0) или подключающие (и, = 1) напряжения к нагревателям H, i = 1, 2, 3, в соответствии с нечеткими правилами (2) или (3).

Полученные в процессе работы АНР графики отжига рулонной трансформаторной стали в трех зонах (рис. 8) после 60-ти мин параметрической адаптации практически не выходят за пределы допустимого диапазона температуры 600 ± 10 °С.

60

Средние модульные ошибки в зонах IT = I ef (t)/60,

t = 1

i = 1, 2, 3 существующей системы управления = 13,20,

/^ = 14,73 и /^ = 9,52 более чем в три раза превосходят аналогичные

показатели /^ = 3,03, /^ = 4,78 и

/31 = 3,42 разработанного адаптивного нечеткого регулятора, что подтверждает его высокую эффективность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье изложена процедура построения релейных систем управления нестационарными многосвязными тепловыми объектами. Предложена комбинация двух нечетких релейных регуляторов: многопозиционного и широтно-импульсного.

Многопозиционный регулятор за минимальное время и с небольшим перерегулированием приводит выходную переменную к заданному значению, а широтно-импульсный удерживает ее в некоторой окрестности задания. Такой комбинированный нечеткий регулятор применялся для программной стабилизации температуры трансформаторной стали в печах отжига и позволил значительно улучшить качество регулирования по сравнению с ранее используемым релейно-импульсным регулятором. Процесс стабилизации температуры сопровождался адаптацией нечеткого регулятора к изменяющимся во времени динамическим характеристикам печи отжига. Однако были задействованы далеко не все возможности адаптации, например, связанные с уточнением количества правил и параметров, изменяющих форму функций принадлежности. Следует ожидать, что нечеткий комбинированный регулятор, помимо нестационарности, способен эффективно настраиваться на другие возмущающие воздействия и сохранять в этих условиях высокую работоспособность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Braae MRutherford D. A. Theoretical and linguistic aspects of fuzzy controller // Automatica. — 1979. — Vol. 12. — P. 553— 577.

2. Растригин Л. А. Статистические методы поиска. — М.: Наука, 1968. — 376 с.

© (4742) 32-80-53

e-mail: kui_kiu@lipetsk.ru