Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с полидисперсными частицами разных материалов и размеров

УДК 532.529:534.2

РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ С ПОЛИДИСПЕРСНЫМИ ЧАСТИЦАМИ РАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ И РАЗМЕРОВ

Д. А. ГУБАЙДУЛЛИН, Ю.В. ФЕДОРОВ

Учреждение российской академии наук Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань

Изучено распространение акустических волн в двухфракционных смесях газа с полидисперсными частицами разных материалов и размеров. Представлена математическая модель, получено дисперсионное соотношение, рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние размеров частиц и параметров дисперсной фазы для двухфракционной газовзвеси с полидисперсными частицами алюминия и льда на диссипацию и дисперсию малых возмущений.

Ключевые слова: двухфракционная газовзвесь, полидисперсные частицы, дисперсионное соотношение.

Значительный интерес к проблемам и задачам механики многофазных сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике, например в энергетике и машиностроении [1]. При этом наиболее распространенными процессами в многофазных средах являются волновые процессы, носящие нестационарный характер. Учет влияния полидисперсного состава взвеси на распространение монохроматических возмущений в однокомпонентных смесях газа с частицами или пара с каплями выполнен в работе [2]. Авторами [3] исследованы особенности распространения монохроматических волн в двухкомпонентных полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости. Распространение сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями рассмотрено в статье [4]. Получена общая дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз. В работе [5] изучен аномальный эффект немонотонной зависимости диссипации слабых гармонических и импульсных возмущений от массовой концентрации капель т в монодисперсных аэрозолях с тепломассообменом. Достаточно полное изложение линейной теории распространения плоских возмущений в моно- и полидисперсных двухфазных смесях газа с паром и каплями жидкости дано в работе [6].

Реальные дисперсные системы представляют собой смеси газа или жидкости с частицами, каплями или пузырьками разных веществ, часто с существенно различными теплофизическими свойствами, поэтому изучение волновых процессов в таких системах имеет особое значение. Ранее было исследовано распространение звуковых волн в двухфракционных смесях [7], когда каждая из фракций является монодисперсной газовзвесью. Однако исследование нестационарных волновых процессов в дисперсных смесях газа с твердыми частицами обычно осложняется необходимостью учета полидисперсного состава (неодинаковости размеров включений) взвеси, поскольку реальные газовзвеси являются существенно полидисперсными. При описании движения таких систем следует учитывать реальное распределение © Д.А Губайдуллин, Ю.В. Федоров Проблемы энергетики, 2011, № 5-6

диспергированных включений по размерам, а также межфазный обмен массой, импульсом и теплом. В настоящей работе впервые изучена дисперсия и диссипация акустических волн в двухфракционных смесях газа с полидисперсными частицами разных материалов и размеров.

Основные уравнения

Система линейных интегро-дифференциальных уравнений возмущенного движения двухфракционной газовзвеси с полидисперсными частицами может быть получена интегрированием линеаризованных уравнений сохранения массы, импульса и энергии для отдельной фракции по радиусу капель и имеет вид:

Ф1 + Р + Р о

+ Р1О0—= °, т от г

°Рк+р +еЩ -оДк+е*Ц - о,

* Р2°\ От г /а ' д Р20\ дг г /ь '

д!+_!_ М

д Р10 дг

+ тп

П- "2 а

+ тЬ

у - у2 ь

*

\ ХУЬ ,

= О,

^2 а Ч- "2 а °>2Ь Ч- "2Ь

01

' о

хгЬ

+ ^ + - О,

д р1ОСе1 д \ хГ1а /а \ ТГ1Ь 1ь

Р10ср1

Д гг'Г гг'Г у/

дт2а , т2а - ТЪа

дt

Дт' т' т'

- О, дть+ Т2Ь - Тъь - О,

тТ 2а

дt

тТ 2Ь

Ср1

Т1- Ч а

*

тТ 1а

+ тас2а

7^9

22а - ТЪа

*

ТТ 2а

- 0, ср1

т1- тъ ь

*

тт 1Ь

+ тЬс2Ь

2Ь - ТЪЬ

*

тт 2Ь

- О,

е1 -

/-2

Ч Р' + р10 Т, -Р1+^~ Т1

У1аю т10

1 +

1 - ч

42

-1

>тгЬ - тгЬ

1 +

1 -1

-1

т* _ 1 а10 тА,1а тт 1а - т г"

3 а 2а 1 + ^1а

* 1 а10 тШ

тТ1Ь - Т-Т"-

3 а2Ь 1 + ЧЬ

* 1 Г3Ч - (3 + 1

Т - "3Чк-—2-^ к - 2а,2Ь

3 ч

1 -1

1

(у )2,

у - 1а,1Ь,2а,2Ь

т

2 о 1.2 о 2 о. 2

_ _ 2 Р2дд _ _ 2 Р2ЬЬ _ _РоЬ

тш _ п »мЬ _ п »и.1а »ти.1Ь _

9 щ 9 щ ^ щ ^ щ

_ к"»Ч] _ ^к] »(7 _ 1»2)» «а _ —»«Ь _ — » к] к] р]с/ Р1 Р1

_ ХГ2] + 2/ тГ1 ] »(7 _ а»Ь) Ср1

<*>7 _ //»4 _ 3ч/3Р2]»(/ _ а»Ь) Р20 " 3

Система уравнений (1) при значениях параметров 0 _ 0 описывает плоские волны в декартовой системе координат» при 0 _ 1 -цилиндрические волны в цилиндрической системе координат» при 0 _ 2 -сферические волны в сферической системе координат.

Переменные с индексом "1" относятся к несущей фазе» а с индексом "2" - к дисперсной. Индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию. Переменные с индексом "я" относятся к частицам алюминия радиуса а» с индексом "Ь" - к частицам льда радиуса Ь» " Е " - к поверхности раздела. Здесь р

- приведенная плотность; Р° - истинная плотность; V - скорость; а - объемное

содержание; р - давление; С - скорость звука в газе; ер - теплоемкость при

постоянном давлении; Т - температура; т - относительное массовое содержание частиц; тг -время релаксации температур; тv -время релаксации скорости; ц,1

- коэффициент динамической вязкости несущей среды.

Система уравнений (1) замкнута и может быть использована для исследования распространения акустических возмущений в двухфракционных смесях газа с полидисперсными твердыми частицами разных теплофизических свойств и размеров в плоском» сферическом и цилиндрических случаях.

Исследуем решения этой системы уравнений» имеющих вид прогрессивных волн для потенциала скоростей фаз » когда

V; _дф-» г _ 1»2а»2Ь » г дг

где фг имеет вид:

Фг _ Лф1 ехр[г(К*г - ю*)] - для плоских волн (г _ х)»

Афг

Фг _ —ехр[г( К*г - ю*)]- для сферических волн» г

Фг _ Аф|^01)(К*г)ехр(-гю*) - для цилиндрических волн»

К * _ К + 1К ** » С р _ — » ст _ 2 ч ——» * р к к

где Н01}( К*г) - функция Ханкеля; Лф1 - амплитуда; К * - комплексное волновое число; К** - коэффициент затухания; ю - частота колебаний; Ср - фазовая скорость; ст - декремент затухания.

Простым дифференцированием легко убедиться» что для всех типов волн имеет место соотношение

д Фг ,0 дФг

_- К*Ч-.

дг2 г дг

Исключая Т£а и Т£ь из системы (1)» получим

1т{ - т

дТ1 - 1 дР1 + тас2а / т1 - т2а\ + тЬс2Ь _

СР1 \ ТТа /а СР1 \ тТЬ

2Ь

д* Ср1Р°0 д*

_ 0,

а г * ТЬ I Ь

Выражая р1 » v2а» v2ь» р1» Т{ » Т2а » Т2ь через ф'1 и подставляя полученные выражения в (3)» получим дисперсионное соотношение в виде

С1 К* ^

ю

_ V (ю)Я(ю)»

где V (ю) _ 1 +

т

тЬ

1 - гют.

Б(ю) _аю

1+-

1 - гют^

1

тас2а

Ср1 и - ¡ютТа ,

+

1

тЬс2Ь

Ср1 \1 - гютуЬ

1 +

тас2а

1

тЬс2Ь

1

Ср1 \1 - гштта/а ср1 \1 - 1ютТЬ 1

Здесь V(ю) связано с влиянием межфазного трения» а Щю) описывает

межфазный теплообмен.

Таким образом» распространение плоских» сферических и цилиндрических возмущений малой амплитуды определяется единым дисперсионным соотношением.

Асимптотики коэффициента затухания при высоких и низких частотах

Выражения для равновесной Се и замороженной С^ скорости звука могут

быть получены из дисперсионного соотношения (4) при предельных переходах соответственно ю^ 0 и » записываются аналогично [7]:

1

(

С„ _ С1

У е

^а10(1 + та + тЬ )У1

У е _

Ср1+таС2а + тЬС2Ь Ср1! У1 + тас2а + тЬс2Ь

» С/ _ С1.

Выражение для низкочастотной асимптотики К** имеет вид

К*0* (ю) = (^£3 + К0ь5,з)ю2 ; 2С2 * '

К0 = «10(У1 - 1)т1

т} аюР1 + Р2 ]

3а2 ^ 15^ 2 ]

т]°2 1 2 ——-т^ +

Ср1

2т: р2; 2т.- р2 1

+аюУ1 п - аю(У1 - 1)т2 / , (1 = а,Ь);

т1 = 1 + та + ть, т2 =

9Щ

Ср1

Ср1 + тас2а + тЬс2Ь

На диссипацию низкочастотных возмущений существенное влияние оказывают как эффекты межфазного трения, так и межфазный теплообмен. Также можно заметить, что формула для низкочастотной асимптотики носит аддитивный характер. Первое слагаемое определяется в основном свойствами первой дисперсной фазы, а второе слагаемое - свойствами второй дисперсной фазы.

Высокочастотная асимптотика К** записывается в следующем виде:

К** (и) =-

2С

[«10(71 - 1)А1 +«10^21 2 + 2( У1 -1)0.10^1^2

¿1 = К^ + Фз-,2 , Й2 = К2а3,2 + к|а-,2 ,

К/

3с2 ]т] «2 - / «10

9т.

-, (] = а,Ь ), К2 = 1

Р1И

2р2.у

2

, V ^2а

а5,3, Ь5,3, аз,2, Ьз,2 -средние радиусы, которые определяются по формуле

а ,1 =

I * -

К а>) 1 г-1 Г( 1

\ / , Ьг,1 = \ /

.(. .< 1.

1

г-7

, (а/ = ЦТХ ^0(а )аг^а , ^Ь^* N0{Ь)ЬidЬ.

При больших ю коэффициент затухания в основном определяется главным членом асимптотики и этот главный член прямо пропорционален массовому

содержанию частиц, а именно если выразить а2- / а^ через т-т0-.

Некоторые результаты

На рис. 1, 2 показаны зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний 05,3 =ютУЙ53

соответственно. Расчетные зависимости построены с помощью дисперсионного соотношения (4). Расчеты выполнены для случаев двухфракционной смеси воздуха с полидисперсными частицами алюминия и льда (сплошные линии 1) с массовым содержанием частиц алюминия та = 0,1 и льда тЬ = 0,1 и для монодисперсной смеси

1

воздуха с частицами алюминия (точечные линии 3) и частицами льда (штриховые линии 2) при одинаковом массовом содержании частиц ma = mЬ = 0,1. Радиус частиц алюминия изменялся от 10-5 до 10-4 м, частиц льда от 10-6 до 10-5 м. Следует обратить внимание на зависимость декремента затухания, а именно: ярко выражен только один максимум, связанный с влиянием частиц льда. Второй же максимум от частиц алюминия заметно разглажен.

Рис. 1. Зависимость относительной скорости звука от безразмерной частоты колебаний Ог,3 для двухфракционной смеси газа с полидисперсными частицами льда и алюминия (сплошная линия), монодисперсных газовзвесей с частицами алюминия (точечная линия) и с частицами льда

сг 0,25 г

0,15

Рис. 2. Зависимость декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний Ог,3

для двухфракционной смеси газа с полидисперсными частицами льда и алюминия (сплошная линия), монодисперсных газовзвесей с частицами алюминия (точечная линия) и с частицами льда

На рис. 3 показана зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты 053 при различных массовых содержаниях частиц (1 - ma = 0,1, mЬ = 0,1;

2 - ma = 0,2; mЬ = 0,2, 3 - ma = 0,3, mЬ = 0,3). Как видно из рисунка, низкочастотная асимптотика хорошо описывает K** на частотах 05,3 <0,1.

Рис. 3. Зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний 05,3 для двухфракционной смеси газа с полидисперсными частицами льда и алюминия

Рис. 4. Зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний П53 для двухфракционной смеси газа с полидисперсными частицами льда и алюминия

На рис. 4 показана зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты П53 при различных массовых содержаниях частиц (1 - ma = 0,1, mb = 0,1;

2 - ma = 0,3, mb = 0,3; 3 - ma = 0,7, mb = 0,7). Можно заметить, что высокочастотная

асимптотика является хорошим приближением на частотах П5 3 > 10 .

Выводы

Представлена замкнутая система линейных интегро-дифференциальных уравнений движения для двухфракционной смеси газа с полидисперсными твердыми частицами разных размеров и теплофизических свойств. Выведено дисперсионное соотношение, определяющее распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений малой амплитуды. Рассчитаны дисперсионные кривые. Получены асимптотики линейного коэффициента затухания. Проанализировано влияние параметров дисперсной фазы для двухфракционной газовзвеси с частицами алюминия и льда на диссипацию и дисперсию звуковых волн.

Работа выполнена при финансовом содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (грант НШ-4381.2010.1, грант МК-1316.2010.1) по программе Президиума РАН №20П, при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-0100098) и Министерства образования и науки РФ (государственный контракт №14.740.11.0351).

Summary

Propagation of acoustic waves in two-fractional mixture of gas with poly dispersed particles of different materials and sizes is investigated. The mathematical model is presented, the dispersion relation is received, and dispersion curves are calculated. Influence of composition and parameters of a disperse phase for a two-fractional gas mixture with polydispersed particles of aluminum and ice on a dissipation and a dispersion of acoustical waves is analysed.

Key words: two-fractional gas-particle mixture, polydisperse particles, dispersion relation.

Литература

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. М.: Наука, 1987.

2. Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1988. № 5. C. 115-124.

3. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние полидисперсности на распространение звука в смесях газа с паром и каплями жидкости // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1993. № 4. С. 75-83.

4. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. С. 85-94.

5. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин Д.А. Эффект немонотонной зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей // Докл. АН СССР, 1991. Т. 316, № 3. C. 601-605.

6. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.

7. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

8. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Уткина Е.А. Акустические волны в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 1. С. 83-89.

Поступила в редакцию 22 февраля 2011 г.

Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ.-мат. наук, член-корреспондент РАН, директор Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел.: 8 (843) 236-52-89. Е-шаП: gubajdullin@mail.knc. ги.

Федоров Юрий Валентинович - инженер-исследователь Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел.: 8-960-0449566. Е-шаП: kopperfildd@yandex.ru.