Генерация когерентного излучения в ближнем рентгеновском диапазоне в каскадном ЛСЭ с двухчастотным ондулятором

СТАТЬИ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Генерация когерентного излучения в ближнем рентгеновском диапазоне в каскадном

ЛСЭ с двухчастотным ондулятором

К. В. Жуковский"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

Статья поступила 09.09.2017, подписана в печать 12.10.2017.

Исследуется генерация рентгеновского излучения в каскадном лазере на свободных электронах (ЛСЭ) с самоусилением спонтанного излучения (ССИ, SASE FEL) с использованием двухчастотного ондулятора. Для этого разработана феноменологическая модель однопроходного ЛСЭ, учитывающая все основные потери в реальных ЛСЭ: разброс энергий электронов в пучке, расходимость, дифракция. Учитывается также, что высшие гармоники ЛСЭ испытывают большие потери по сравнению с излучением на основной частоте. Математическая модель ЛСЭ реализована в программе Mathematica и откалибрована по эксперименту на действующей установке SPARC и по сложным трехмерным численным симуляциям. С помощью феноменологической модели анализируется динамика ЛСЭ для получения рентгеновского излучения большой мощности на относительно короткой длине. Предлагается использовать двухчастотный ондулятор для начальной группировки электронов и последующее умножение частоты в каскадном ЛСЭ с усилением высших гармоник (HGHG). Указаны преимущества двухчастотного ондулятора для группировки электронов на высших гармониках ондуляторного излучения (ОИ). Смоделирована работа нескольких типов ЛСЭ с умножением частоты затравочного лазера в двух и в трех каскадах для получения мягкого рентгеновского лазерного излучения. Предложено использование затравочного лазера с длиной волны 11.43 нм, соответствующей пику отражения зеркальных покрытий с MoRu/Be, для получения интенсивного рентгеновского лазерного излучения с длиной волны Л ~ 1.27 — 3.87 нм. При этом мощность насыщенного излучения достигает 50 МВт уже на длине 35 м, а само излучение обладает хорошей временной когерентностью, соответствующей характеристикам затравочного лазера меньшей частоты и малой мощности.

Ключевые слова: ондулятор, гармоники, лазер на свободных электронах, рентгеновское излучение. УДК: 539.12.01. PACS: 41.60 m, 41.60.Ap, 41.60.Cr.

ВВЕДЕНИЕ

Ондуляторное излучение (ОИ) было впервые предсказано Гинзбургом [1] и открыто Мотцем (H. Motz) в 1952 г. [2]. Интерес к этому явлению не ослабевает и в XXI веке; сейчас он обусловлен в основном развитием лазеров на свободных электронах (ЛСЭ) [3-8] и их продвижением в рентгеновский диапазон [9-13], что позволяет использовать ЛСЭ для изучения процессов на масштабе нанометра [14]. На столь коротких волнах обычные зеркала для оптического резонатора в ЛСЭ неприменимы, так как их отражательная способность ограничена > 102 нм. Поэтому на частотах рентгеновского диапазона перспективным является использование однопроходных ЛСЭ с самоусилением спонтанного излучения (ЛСЭ с ССИ или SASE FEL). Однако и в таких конструкциях требуются источники электронов высоких энергий и многопериодные ондуляторы и их цепочки; при этом масштабы всей установки достигают сотен метров. Имеющиеся на сегодняшний момент установки X-FEL [15], LCLS [16],

а E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru

[17], 8АСЬА [18] — высокозатратные не только при их конструировании, но и в обслуживании, и в эксплуатации. Хотя на рентгеновских частотах весь комплекс параметров ЛСЭ не позволяет сделать его компактным [19], в настоящей работе мы покажем, что возможно сократить размеры ЛСЭ и получить высоко качественное и мощное рентгеновское лазерное излучение мощностью в десятки мегаватт уже на длине - 35 - 40 м.

Для генерации высокочастотного излучения на относительно короткой длине можно использовать высшие гармоники ОИ. Для этого хорошо подходят двухча-стотные ондуляторы, где к основному периодическому магнитному полю добавлено второе, более слабое периодическое магнитное поле с коротким вторым периодом. Двухчастотный ондулятор позволяет усиливать или ослаблять отдельные гармоники ОИ; для этого требуется высокое качество электронных пучков и самих ондуляторов, а также компенсация магнитных полей напряженности не менее 10-4 амплитуды периодического магнитного поля ондулятора [20-25]. Еще более жесткие требования к качеству предъявляются при конструировании ЛСЭ. В ЛСЭ с ССИ отсутствуют

оптические элементы, выделяющие моды; кроме того, без затравочного лазера излучение генерируется из начального шума со случайной фазой и его временные характеристики оказываются невысокими.

Конструкции ЛСЭ с усилением высших гармоник (НОНО ББЬ) позволяют повысить частоту излучения ЛСЭ по сравнению с частотой его затравочного лазера, стабилизировать фазу и улучшить временные характеристики излучения. При этом используется пучок электронов меньших энергий по сравнению с ЛСЭ с ССИ, что позволяет уменьшить размеры всей установки. Ниже мы проведем моделирование излучения некоторых каскадных ЛСЭ с умножением частоты и усилением высших гармоник.

1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОДНОПРОХОДНОГО ЛСЭ

Для анализа динамки мощности излучения ЛСЭ нами разработана феноменологическая модель ЛСЭ, учитывающая линейную и нелинейную генерации высших гармоник ОИ и соответствующие потери в реальных устройствах. Оптимизация параметров Твисса [26] и фокусировки пучка электронов не рассматриваются; предполагается уже оптимизированный пучок.

Основы феноменологической модели ЛСЭ были заложены Д. Даттоли (например, [27]). Впоследствии модель была усовершенствована нами и ее результаты сравнивались с экспериментом на установке SPARC в работе [28]. Приведенная нами ниже модель содержит дальнейшее развитие по сравнению с [29-31], которое заключается в учете начального шума излучения электронного банча и разной интенсивности излучения для разных гармоник ОИ в зависимости от разброса энергий, дифракции и расходимости пучка. Описанная ниже модель учитывает, что высшие гармоники ОИ более чувствительны ко всем факторам, вызывающим уширение спектральных линий ОИ. Кроме того, модель теперь учитывает, что ЛСЭ состоит из сегментов — отдельных ондуляторов — и в ее рамках возможно моделирование каскадных ЛСЭ, в которых последующие секции настроены на гармоники предыдущих секций.

Основным параметром, определяющим работу ЛСЭ, является параметр Пирса, pn =

= 27 (41Гг (A«keff/n) J , где y — релятивистский параметр, A„ — период ондулятора, м, keff — эффективный ондуляторный параметр для двухча-стотного ондулятора [25] (keff = к для обычного ондулятора), /п — коэффициенты Бесселя, по существу представляющие значения соответствующих обобщенных функций Бесселя для каждой гармоники n (например, [24, 28], J — плотность тока электронного пучка, А/м2, i = 1.7045 х 104 — ток Альфвена, А. Параметр Пирса определяет длину усиления каждой

гармоники ЛСЭ Ьп,д = Аи/ (4п%/3п1/3рп) и мощность

ее насыщения Рп^р = ^П (пут) , где = ^рЛ — мощность насыщения основного тона, Ре — мощность электронного пучка. При выполнении условий для разброса энергий и эмиттанса пучка, £х,у < А0/4п, ае ^ р/2, мощность гармоник первой секции ЛСЭ стабильно растет от затравочной мощности Р0,п до мощности насыщения Рп, которая достигается на длине насыщения Zs = 1.066Ь1;д 1п(9Рр/Р0) [24]:

Pb,n (z) = Po,n

A (n, z) exp (0.223z/Zs) 1 + (A (n, z) - 1) Po/Pn,F'

A (n,z) = 9(3 + 2 cosh (z/i,niJ +

+ 4co4v/3y2LnJ cosh (z/2Ln,J).

Последующие секции ЛСЭ используют уже сгруппированный электронный пучок и мощность излучения предыдущего каскада Р0,п2, если они настроены на соответствующую гармонику; при отсутствии излучения на резонансной частоте, например на четной гармонике плоского ондулятора, эквивалентная мощность обеспечивается группировкой электронов в предыдущем каскаде. Мощность экспоненциально растет по длине следующим образом [26]:

P (z) = P0,n2F (n,z) PL,n2 (z) = -;-

, 1 + F (n,z) Pi

F

1 z z z 2 cosh —--cos —--cosh

L

n,g2

2L

n,g2

2L

n,g2

где индекс 2 означает вторую секцию ЛСЭ. Перенормировка для различных гармоник в соседних секциях обеспечивает непрерывность банчинга множителем (р1,вес 1/р1,вес2)Р, где р — отношение гармоник в секциях. Приведенные выше формулы (1)-(3) описывают генерацию излучения в линейном режиме. Кроме того, в ЛСЭ присутствует генерация гармоник в нелинейном режиме, который развивается ближе к длине насыщения ЛСЭ, Zs,n ~ Zs. В таком режиме ближе к концу ЛСЭ высшие гармоники индуцируются основной гармоникой ЛСЭ и их мощность пропорциональна п-й степени мощности основной гармоники [24, 32]:

Qn (z) = Pn,c

exp

1 + (exp (nz/Lg) - 1) Pn,o/Pn,F '

где Ьд = Ь1д, Р0,п = ¿пЫРп^ — эквивалентная затравочная мощность, Ьп — коэффициенты группировки, и ¿3 « 8, ¿5 « 116. Полная мощность излучения высших гармоник ЛСЭ складывается из мощности их линейной и нелинейной генераций, Рп = Рь,п + Цп, подобно тому как это происходит в усилителе. Математически мощность гармоники с номером п зависит от коэффициента Бесселя /п. Для обычного плоского ондулятора с магнитным полем Н = (0, Н0 sin(kдz), 0),

где кА = 2п/Аи, Н0 — амплитуда магнитного поля в ондуляторе, присутствует только одна компонен-

та поляризации и fn

= Jn-i (—— Jn+i (—

£ = -кр I + кт^ , к — ондуляторный параметр. Для плоского ондулятора с двоякопериодическим магнитным полем [20, 21]

H = (0, H0(sin(kAz) + dsin(hkAz)),0), h G Z, d, h = const,

fn, x = + 1П+1 + h (4+ + ([21, 22]) и

= Г x

0

x cos

2n n0 +

k2

1+ f2

(a+ee + &+eo

kefT = k 1 + T

ei =

sin 20

4 '

ee = —

£з = —

dsin ((h +1)0) h(h + 1) :

dsin

e4 = 4h

NL,„

1 + Si,2(n,z)/50 '

Si(n,z) =

cosh -

L„

— cos

20Ln

cosh

2i„

Pn ^ PD,'

Pn

1/3'

где Ап — длина волны гармоники излучения, м; ^Ъеаш = £&и/п = Ре/(пЕе77) — Гауссово сечение электронного пучка, м2; Ре — его полная мощность, Вт; Ее = тес2 = 0.511 х 106 — энергия

электрона, эВ; 1 = /о/^ии — плотность тока пучка, А/м2; /0 — электронный ток, А. Таким образом, меняется значение коэффициентов группировки: теперь Ьп = (Р0/9РеуРод)п/2. Разброс энергий в пучке нарастает по длине ЛСЭ, так как включает, помимо начального разброса энергий ае,0, также и индуцированный самим ЛСЭ разброс энергий арЕЬ (¿), вызванный взаимодействием электронов с излучением [26]:

^

+ а

FEL

(z),

FEL

PD,iPo A

>P^Pn,i ,

Pe

1 + 1.24Po

A(1,z)| ^ — 1

V ' ' I p ?PD, 1

Pi,F П

Высшие гармоники ОИ более чувствительны к качеству пучка ([20, 21, 25, 33, 34]); это учитывается в коэффициенте потерь для разброса энергий:

= 2п2/3а

Ф

n(Me, n) = exp ( — (Ф(м£; n) — v) Ф(ме, n)) +

Спиральный двухчастотный ондулятор дает эллиптическую поляризацию излучения, но предоставляет меньше возможностей для регулирования его интенсивности и нами не рассматривается; соответствующие выражения для коэффициентов Бесселя были получены в работе [24]. Для обычного плоского ондулятора достаточно положить d = 0. Учет вклада начального шума в генерацию лазерного излучения может быть произведен с помощью следующей приближенной формулы:

РкоГЗЕ,п#1,2(п, ¿)/9

+ V2

Ф(Ме,п) — V v^(Me,n))3

V = 0.9, w = 1.062.

Разброс энергий и расходимость пучка, учитываемая посредством параметра С, который для идеального пучка равен единице, и для хорошо подогнанного пучка варьируется в пределах ( « 1 — 1.1, увеличивают длину усиления ЛСЭ и уменьшают максимальную мощность гармоник ЛСЭ:

Ln,g ^ Ln,gФ(Ме

г), Pn,F ^ Pn,FП

где Ршке п — мощность шума электронного банча, которую можно рассчитать, например, по справочнику по ЛСЭ [26] или с соответствующей программой.

Учет потерь включает дифракцию, разброс энергий и расходимость. Дифракция меняет параметр Пирса [32]

Более точный учет формы пучка в каждом конкретном случае может быть произведен с помощью параметров Твисса (см., например, [26]).

Описанная выше феноменологическая модель ЛСЭ c учетом генерации излучения из шума (7) и коэффициентов потерь (11)—(13), зависимых от номера гармоники n, была откалибрована по эксперименту SPARC [35]. Модель полностью воспроизводит динамику мощности излучения всех гармоник ЛСЭ в эксперименте. Так, пятая гармоника не была зафиксирована по всей длине ЛСЭ 14.7 м, а нижний предел измерений мощности составлял 1 Вт — мощность затравочного лазера. Рост мощности гармоник и учет шума (7) в феноменологической модели (рис. 1, а) полностью согласуются с результатами, полученными при сложном трехмерном численном моделировании ЛСЭ SPARC в [35].

2

2

а

2

w

z

z

z

ЛиЛп

Рис. 1. а — Рост мощности по длине ЛСЭ в феноменологической модели, моделирующий эксперимент SPARC: n = 1 — красная линия, n = 3 — зеленая линия, n = 5 — синяя линия. Учет начального шума показан штриховыми линиями; б — смоделированный рост мощности в каждой секции ЛСЭ в идеальном случае без потерь — пунктирные линии; рост мощности по длине всего ЛСЭ в идеальном случае без потерь — сплошные линии

Отметим, что без учета зависимости потерь от номера гармоники в (11), (12), (13) результаты моделирования мощности третьей гармоники оказываются примерно в 10 раз выше измеренной, а для пятой гармоники расчетное значение мощности на 14.7 м составляло бы 1 кВт, в то время как она не была вообще зарегистрирована. Более того, расчетная длина насыщения для ЛСЭ без учета каких-либо потерь, (рис. 1, б) была бы на ~ 5 м короче, чем длина, рассчитанная в рамках нашей феноменологической модели с учетом всех потерь и зафиксированная в эксперименте [35]. Таким образом, введенная нами коррекция и учет потерь имеют фундаментальное значение для правильного описания работы ЛСЭ.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ МЯГКОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ЛСЭ С УСИЛЕНИЕМ ВЫСШИХ ГАРМОНИК ОИ ДВУХЧАСТОТНОГО ОНДУЛЯТОРА

Использование основной гармоники ондулятора для получения лазерного излучения в рентгеновском диапазоне требует электронов высоких энергий из ускорителя и установку больших размеров. Более того, использование однопроходного ЛСЭ с ССИ не позволяет получить стабильную фазу и хорошую временную когерентность излучения, которое генерируется из случайного шума. Использование затравочного лазера для стабилизации фазы сложно реализовать ввиду отсутствия оптических элементов для работы в нанометро-вом диапазоне; обычные лазеры имеют длину волны >100 нм. Ниже мы продемонстрируем возможность использования каскадного ЛСЭ для генерации мягкого

рентгеновского излучения с затравочным лазером на длине волны 13.51 нм, соответствующей пику (~70%) реальной отражающей способности специального многослойного покрытия из Mo/Si для зеркал.

Требуемая энергия электронов для двухступенчатого ЛСЭ с усилением гармоник двухчастотного ондулятора — группирователя электронов (банчера) — составляет E ~ 1 ГэВ. Благодаря наличию второго периодического поля двухчастотный ондулятор дает более сильное излучение высших гармоник ОИ. Ранее в работе [28] нами было показано, что излучение высших гармоник двухчастотного ондулятора на длине волны ~ 5 нм при условии хорошего качества электронного пучка и ондулятора может достигать ~ 100 кВт; группировка электронов на длине волны высших гармоник в двухчастотном ондуляторе в десять раз лучше, чем у обычного плоского ондулятора. Кроме того, независимый рост мощности высших гармоник в нем на порядок сильнее, чем рост, индуцированный основной гармоникой вдали от насыщения. По этой причине двухчастотный ондулятор идеально подходит для группировки электронов в первом каскаде ЛСЭ (в банчере). Интенсивный независимый рост мощности гармоник приводит к группировке электронов на длинах волн самих гармоник Àn = \q/u, а не только на длине волны основного тона àq , что приводит к интенсивному лазерному излучению этих гармоник независимо от основного тона. В обычном плоском ондуляторе это не так и почти все излучение высших гармоник идет за счет группировки электронов на длине волны основного тона àq [28]. Простейшая модель однопроходного ЛСЭ с усилением высших гармоник (HGHG FEL) включает банчер-группирователь электронов и усилитель излучения одной из высших гармо-

10

20

30

z, м

40

Рис. 2. Рост мощности двухкаскадного ЛСЭ с двухчастотным ондулятором-банчером

ник банчера. При этом сама гармоника не обязательно должна излучаться банчером: достаточно того, что на ее длине волны происходит интенсивная группировка электронов, а индуцированный основной гармоникой разброс энергий электронов остается при этом малым. По указанным выше причинам выберем для банчера-группирователя электронов двухчастотный ондулятор; его параметры таковы: к = 2.133, Н = 3, d = —0.5, Аи,1 = 2.8 см. Усилитель-излучатель в ЛСЭ настроим, например, на третью гармонику двухчастотного ондулятора; его параметры — к2 = 1, Аи,2 = 1.25 см. Более сильные ондуляторы с коротким периодом и большим к дали бы меньшую длину усиления и меньшие размеры ЛСЭ, но здесь мы специально выбрали для моделирования параметры существующих, сравнительно легко реализуемых ондуляторов. Эволюция разброса энергий электронов по длине банчера показана на рис. 3. Длина банчера аккуратно подобрана для стабильной работы ЛСЭ так, чтобы индуцированный разброс энергий (10) электронного пучка на выходе банчера не превышал значения параметра Пирса в усилителе: а£ ^ р8ес 2/2.

Моделирование проведено на персональном ком-

0.00100 0.00070 0.00050

0.00030

0.00020 0.00015

0.00010

0

10

15

20

25 30

z, м

Рис. 3. Рост разброса энергии электронов по длине двухча-стотного банчера в ЛСЭ

пьютере в программе Mathematica. Время исполнения программы составило ^ 1c. Результат моделирования мощности ЛСЭ с усилением высшей гармоники банчера-группирователя показан на рис. 2. Мы учитывали вклад шума электронного банча и затравочного лазера мощностью 1 Вт с длиной волны 13.51 нм, соответствующей пику отражения многослойных покрытий из Mo/Si. С усилителем пятой гармоники банчера на длине волны Àsec2 = 2.71 нм в рентгеновском диапазоне мы получили с хорошим моноэнергичным пучком с ae = 0.0001 мощность насыщения P ~ 50 МВт на длине Ls « 40 м (рис. 2). Более того, третья гармоника излучателя-усилителя имеет длину волны менее нанометра: À3 = 0.9 нм. Как видно на рис. 2, она достигает мощности 30 кВт на ~ 35 м; она полностью индуцирована основным тоном усилителя.

Некоторые данные и результаты моделирования приведены ниже:

pn,i = {0.000967389,0.000889685,0.000784383}, pn,2 = {0.000441053,0.000251954,0.000127184}, Y = 1860, PE = 92.4 ГВт, ae = 0.0001, Pnoise = 80 Вт, J = 9.96188 x 109 A/м2, Sbeam = 3.10633 x 10-9 м2, 10 = 97.2163 A, z =1.05, k = 2.13306, h = 3, d = -0.5, Àu>1 = 2.8 см, Ls = 31.2762 м, Lgain = 1.40744 м, k2 = 1, ÀU)2 = 1.25 см, Ls,2 = 10.4145 м, Lgain, 2 = 1.63683 м, Àsec1 = 13.5086 нм, Àsec2 = 2.70985 нм, Àsec3,n=3 = 0.903284 нм, Àsec1 /Àsec2 = 5.

С использованием более сильных ондуляторов с коротким периодом возможно получить такое же рентгеновское излучение на еще более короткой длине ЛСЭ. Сильные ондуляторы со сверхкоротким периодом требуют сверхсильных магнитов, сверхпроводящих технологий; их реализация уже становится возможной.

0

5

......

- п =

г п= 1 п = 3, L п = 3, N1 п = 3, Ns 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

н 10 PQ

fC

10 0.1 0.001

0

10

15 20

п = 1 п = 3, L п = 3, N1 п = 3, Ns

25

30 35

z, м

Рис. 4. Рост мощности в каскадном ЛСЭ с умножением частоты; умножитель и усилитель настроены на третьи гармоники предшествующих каскадов, а группирователь электронов (банчер) выполнен на двухчастотном ондуляторе

5

В качестве затравочного лазера возможно использование ЛСЭ с оптическим резонатором из материалов MoRu/Be на 11.43 нм, Mo/Si на 13.51 нм или из других инновационных материалов для многослойных зеркал в диапазоне X-UV и в ближнем рентгеновском диапазоне. При этом мощное когерентное рентгеновское излучение на выходе такого двухкаскадного ЛСЭ будет иметь хорошие пространственно-временные характеристики, повторяющие характеристики затравочного лазера с его пространственными модами оптического резонатора, и стабильную фазу [19].

группировки электронов на длинах волн высших гармоник ОИ. Третья гармоника от умножителя на длине волны основного тона усилителя Л8ес3 = 1.27 нм достигает мощности ~ 1 кВт. Она усиливается в заключительном каскаде излучателя-усилителя до насыщения Р ~ 50 МВт на длине Ь8 и 35 м (рис. 4). Смоделированный нами ЛСЭ короче, чем представленный в [37] ЛСЭ, который имеет длину насыщения Ь8 и 45 м, большую длину волны Л = 1.5 нм и меньшую мощность ~ 40 МВт.

Некоторые данные и результаты моделирования приведены ниже:

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОКАСКАДНОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ЛСЭ

Теперь проведем моделирование генерации рентгеновского излучения в трехкаскадном ЛСЭ с усилением высших гармоник и умножением частоты; принцип действия такого ЛСЭ описан в [36]. Гармоника группирователя-банчера становится основным тоном умножителя; высшая гармоника последнего, в свою очередь, выделяется и усиливается до насыщения в каскаде излучателя-усилителя. Моделирование выполнено в программе МаМвтаИоа; время исполнения программы составило ~ 1с. Результат моделирования роста мощности по длине каскадного ЛСЭ представлен на рис. 4. Шумом электронного банча можно пренебречь, как и случае предыдущего ЛСЭ на рис. 2, поскольку влияние шума сказывается в начале каскада ЛСЭ, а не в точках разрыва между различными каскадами. Вклад шума изображен длинной штриховой линией во втором каскаде умножителя частоты. Длина волны затравочного лазера выбрана равной 11.43 нм, что соответствует максимуму отражения покрытия из МоЯи/Бе. Умножитель — второй каскад — настроен на третью гармонику банчера, выполненного на двухчастотном ондуляторе с целью максимальной

/пД = {0.685264, 0.526172, 0.421396},

/п>2 = {0.84022, 0.423535, 0.21593},

/п>э = {0.925447, 0.323519, 0.088156},

Рп,1 = {0.00109387, 0.000917229, 0.000791017},

Рп,2 = {0.000644354, 0.000408121, 0.000260458},

Рп,з = {0.000287043, 0.000142444, 0.0000598706},

7 = 2022, РЕ = 92.4 ГВт,

3 = 1.10688 х 1010 А/м2,

ЕЬеаш = 2.57171 х 10-9 м2, /о = 89.4275,

С = 1.03, а£ = 0.0001, к = 2.13306, Н = 3,

d = -0.5, ЛиД = 2.8 см, Ь8 = 26.2958 м,

^ат = 1.17604 м, к2 = 1.4,

Ли,2 = 1.57303 см, .в>2 = 13.4351 м,

.ёшп,2 = 1.12161 м, к3 = 0.8,

Ли,3 = 0.786517 см, £в>3 = 14.5083 м,

.ёат,3 = 1.2589 м, Л8ес1 = 11.4307 нм,

Л8ес2 = 3.809 нм, Л8ес3 = 1.26967 нм,

ЛБес1 = \ес2 = 3 Л8ес2 /Л8ес3 = 3.

Параметры ондуляторов выбраны достаточно сильными, чтобы обеспечить максимально короткую длину

Рис. 5. Индуцированный ЛСЭ разброс энергии электронов в банчере

усиления каскадов ЛСЭ и уменьшить размеры последнего. Действительно, на такой же длине в ~ 35 м, как и в двухкаскадном ЛСЭ (рис. 2), теперь генерируется излучение той же мощности с длиной волны в ~ 2 раза короче: 1.27 нм, с примерно таким же затравочным лазером на 11.43 нм. Возможно использование имеющихся более слабых ондуляторов, что приведет к увеличению общей длины ЛСЭ.

Коэффициент умножения частоты в рассмотренном трехкаскадном ЛСЭ равен девяти. Длины каскадов аккуратно подобраны с учетом индуцированного ЛСЭ разброса энергий электронов в каждом каскаде и вклада предыдущих каскадов. Проведено сравнение с параметрами Пирса соответствующих гармоник и выбрано отношение длин каскадов, дающее минимальную полную длину ЛСЭ и наиболее короткий усилитель как самый сложно исполнимый и дорогой элемент ЛСЭ. Точки разрыва также подобраны с целью максимально использовать группировку электронов в двухчастотном банчере. Формулы из инженерных справочников по ЛСЭ при этом не дают хороших результатов. Зависимость разброса энергий пучка по длине каскадов показана на рис. 5.

Отметим, что использование банчера и умножителя позволяет получить высокочастотное излучение от пучка электронов сравнительно невысоких энергий и использовать затравочный лазер со значительно более низкой частотой. Двухчастотный ондулятор-банчер также позволяет сократить длину короткопериодного излучателя по сравнению с той, которая бы понадобилась для работы ЛСЭ с ССИ (8А8Е БЕЬ) на той же частоте. Это происходит потому, что в излучатель подается хорошо сгруппированный электронный пучок, а в ЛСЭ с ССИ значительная часть длины того же ондулятора-излучателя была бы использована для группировки электронов. Эта группировка была бы менее эффективна, чем в двухчастотном банчере. Кроме того, без затравочного лазера невозможно получить хорошую временную когерентность лазерного излучения, так как в ЛСЭ с ССИ (8А8Е БЕЬ) оно генерируется из шума со случайными фазами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нами построена феноменологическая модель однопроходного каскадного ЛСЭ с учетом самоусиления спонтанного излучения, усилением затравочного лазерного излучения и учетом потерь, связанных с разбросом энергий, расходимостью и дифракцией пучка, в зависимости от гармоники. Модель реализована в программе Mathematica, она апробирована и отка-либрована с экспериментом ЛСЭ на установке SPARC. Она точно воспроизводит динамику ЛСЭ для каждой гармоники в условиях эксперимента и согласуется со сложными трехмерными симуляциями. Время симуляции на персональном компьютере составляет ~ 1с. Предполагается, что пучок электронов согласован с ондулятором; расчет параметров Твисса нами не рассматривался.

В рамках феноменологической модели исследована динамика каскадного ЛСЭ с усилением высших гармоник. В качестве группирователя-банчера электронов выбран двухчастотный плоский ондулятор. Изучена генерация мягкого рентгеновского излучения в двухступенчатом ЛСЭ с усилением высших гармоник. Использование двухчастотного ондулятора позволяет получить на порядок большее значение коэффициента группировки электронов, чем в обычном плоском ондуляторе. В ЛСЭ с усилением высших гармоник (HGHG FEL) с высококачественным пучком электронов с y = 1860 и током в /0 = 97.2 А можно получить мощность в 50 МВт мягкого рентгеновского излучения с длиной волны Asec2 = 2.71 нм на длине насыщения Ls ~ 40 м. Третья гармоника излучателя при этом имеет длину волны менее нанометра (!): Asec2,n=3 = 0.90 нм, и ее мощность достигает ~ 30 кВт. Длина волны затравочного лазера 13.51 нм выбрана соответствующей пику отражательной способности Mo/Si, используемого для многослойного отражающего покрытия зеркал.

Исследована генерация рентгеновского излучения в каскадном ЛСЭ с умножением частоты. Проведено моделирование динамики мощности такого ЛСЭ

с длиной волны излучения Asec3 = 1.27 нм с высококачественным пучком электронов с y = 2022 с током /0 = 89.4 Ас затравочным лазером на длине волны 11.43 нм, соответствующей пику отражательной способности зеркального покрытия из MoRu/Be. Показано, что при этом можно получить мощное рентгеновское излучение на длине волны Asec3 = 1.27 нм, достигающее ~ 50 МВт в ЛСЭ длиной ~ 35 м.

В отличие от ЛСЭ с ССИ в каскадном ЛСЭ с умножителем частоты возможно применение затравочного лазера на частотах на порядок ниже излучаемой. Таким образом, можно использовать затравочный лазер с оптическим резонатором с оптическими модами и стабильной фазой. При этом, в отличие от ЛСЭ с ССИ, на выходе однопроходного каскадного ЛСЭ с умножением частоты получим излучение с хорошей пространственной и временной когерентностью. Более того, двухчастотный ондулятор-банчер очень эффективно группирует электроны и в излучатель попадает уже хорошо сгруппированный пучок. Это позволяет использовать более короткий излучатель, по сравнению с длиной ЛСЭ с ССИ на аналогичном ондуляторе.

Таким образом, предложенный каскадный ЛСЭ позволяет получить на относительно короткой длине ~ 35 м когерентное рентгеновское излучение большой мощности ~ 50 МВт в нанометровом диапазоне с отличными пространственно-временными характеристиками.

Авторы выражают благодарность проф. А. В. Борисову и д.ф.-м.н. А. Е. Лобанову за обсуждение и полезные предложения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гинзбург В. Л. // Изв. АН СССР. Сер. физическая, 1947.

11. P. 1651.

2. MotzH., Thon W, Whitehurst R. N. J. //Appl. Phys. 1953. 24.

P. 826.

3. Zastrau U., Burian T., Chalupsky J. // Laser Part Beams.

2012. 30. Р. 45.

4. Ziaja B., Weckert E., Möller T. // Laser Part. Beams. 2007.

25. Р. 407.

5. Lee R. W., Baldis H.A., Cauble R. C. // Laser Part Beams.

2002. 20. Р. 527.

6. Kumar S., Kang H.-S., Kim D.-E. // Laser Part Beams. 2012.

30. Р. 397.

7. BartnikA. et al. // Laser Part Beams. 2013. 31. Р. 195.

8. Huang H., Tallents G. J. // Laser Part Beams. 2009. 27. Р. 393.

9. McNeil B. W.J., Thompson N.R. // Nature Photonics. 2010. 4. Р. 814.

10. Zhirong H., Kwang-Je K. // Phys. Rev. ST-AB. 2007. 10. Р. 034801.

11. Emma P. et al. // Nature Photonics. 2010. 4. Р. 641.

12. Artyukov I.A., Bessonov E. G., Gorbunkov M.V. // Laser Part. Beams. 2016. 34. Р. 637.

13. Bessonov E. G. et al. // Laser Part. Beams. 2008. 26. Р. 489.

14. Frank M. et al. // IUCrJ. 2014. 1. Р. 95.

15. Altarelli M. et al. // The European x-ray free-electron laser, Technical Design Report. DESY 2006-097. Р. 1.

16. Ishikawa T. et al. // Nature Photonics. 2012. 6. Р. 540.

17. Patterson B.D. et al. // New J. Phys. 2010. 12. 035012.

18. Pile D. // Nature Photonics. 2011. 5. Р. 456.

19. Жуковский К. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон, 2017. 2. С. 29.

20. Жуковский К. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2015. 4. С. 18.

21. Zhukovsky К. // J. Electromagn. Wave. 2015. 29. Р. 132.

22. Zhukovsky K. // J. Electromagn. Wave. 2014. 28. Р. 1869.

23. Mishra G., Gehlot M., Hussain J.-K. // Nucl. Instrum. A. 2009. 603. Р. 495.

24. Dattoli G., Mikhailin V. V., Ottaviani P. L., Zhukovsky K. // J. Appl. Phys. 2006. 100. 084507.

25. Zhukovsky K. // Laser Part. Beams. 2016. 34. Р. 447.

26. Dattoli G., Ottaviani P.L., Pagnutti S. // Booklet for FEL design (Frascati, Italy: ENEA Pubblicazioni) 2007.

27. Dattoli G., Ottaviani P. L., Renieri A. // Laser Part. Beams. 2005. 23. Р. 303.

28. Zhukovsky K., Potapov I. // Laser Part. Beams. 2017. 35. Р. 326.

29. Жуковский К. В. // Изв. вузов. Физика, 2017. 60. №9. C. 155. (Zhukovsky K. V. // Russian Physics Journal, 2018. 60. №9. P. 1630).

30. Zhukovsky K. // EPL, 2017. 119. P. 34002.

31. Zhukovsky К. // J. Phys. D, 2017. 50. P. 505601.

32. Dattoli G., Ottaviani P. L., Pagnutti S. // J. Appl. Phys. 2005. 97. 113102.

33. Zhukovsky K. // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. B. 2016. 369. Р. 9.

34. Zhukovsky K. // Opt. Comm. 2015. 353. Р. 35.

35. Giannessi L. et al. // Phys.Rev. ST-AB. 2011. 14. Р. 060712.

36. Yu L.-H. et al. // Sience. 2000. 289. P. 932.

37. Zhukovsky K. // J. Appl. Phys. 2017. 122. 233103.

Generation of Coherent Radiation in the Near X-Ray Band by a Cascade FEL with a Two-Frequency Undulator

K. V. Zhukovsky

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia. E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru.

Generation of X-ray radiation in a cascade self-amplified spontaneous emission free-electron laser (SASE FEL) using the harmonics of a two-frequency undulator is studied. The advanced phenomenological model of a one-pass FEL that accounts for the main losses in real FELs is presented: the electron energy spread in the beam, the beam divergence, diffraction, and the fact that emission losses are greater at higher harmonics than in the main frequency range. The FEL mathematical model was performed using the Mathematica software and calibrated within the experiment carried out at the operating SPARC facility via complex three-dimensional numerical simulations. The phenomenological model is used to analyze FEL dynamics for generation of a high-energy X-ray emission at a relatively short length. It is proposed to use a two-frequency undulator for the initial electron grouping and subsequent frequency multiplication in a cascade FEL with higher harmonic amplification (HGHG). The advantages of the two-frequency undulator are presented for electron grouping at higher harmonics of the undulator radiation (UR). The operation of several types of FEL is simulated with amplification of the seed laser wave frequency in two and three cascades to generate the soft X-ray radiation. A seed laser with a wavelength of 11.43 nm corresponding to the peak reflectivity of mirror coatings with MoRu/Be is proposed for generating the intensive X-ray laser radiation with Л ~ 1.27 — 3.37 nm. Here, the intensive radiation power reaches 50 MW at a length of only 35 meters; the radiation shows good temporal coherence corresponding to the performance of a low-power seed laser with a lower frequency.

Keywords: undulator, harmonics, free electron laser (FEL), X-ray radiation. PACS: 41.60 m, 41.60.Ap, 41.60.Cr. Received 09 September 2017.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2018. 73, No. 4. Pp. 364-371.

Сведения об авторах

Жуковский Константин Владимирович — докт. физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@physics.msu.ru.