К вопросу редукции ошибок нечеткого вывода в условиях неизменности исходных экспертных оценок

К вопросу редукции ошибок нечеткого вывода в условиях неизменности исходных экспертных оценок

С.М.Жиряков, К.А.Майков Кафедра программного обеспечения ЭВМ и информационных технологий

МГТУ имени Баумана kmaykov@mail. ru

При построении информационных моделей сложных систем применение классических методов математического или алгоритмического моделирования оказывается практически нереализуемым в условиях слабой формализации правил поведения исследуемого объекта.

Дополнительным фактором, определяющим выбор логико-лингвистического подхода для построения информационной модели сложной технической системы, является требование интерактивного взаимодействия с человеком в лингвистической форме. Особенно актуальна возможность лингвистической поддержки в учебных интерактивных тренажерных комплексах, осуществляющих подготовку летчиков военной и гражданской авиации, операторов ситуационных центров и сложных технических систем, в которых требуется выработка навыка эвристического анализа числовых параметров. При этом применение логико-лингвистической модели для учебной имитации работы сложной системы позволяет учитывать семантическое содержание параметров системы, правил их взаимосвязи и принятия решения, отражая экспертные эвристики поиска решения в различных начальных условиях.

В статье рассматривается алгоритм редукции ошибок в нечетких логико-лингвистических моделях сложных систем, позволяющий повысить качество получаемых решений при неизменности семантического содержания начальных экспертных определений.

Постановка задачи редукции ошибок в нечетко-лингвистической модели задачи определяется следующим образом. Пусть алгоритм нечеткого вывода решения допускает неприемлемую погрешность решения в частных случаях исходных данных, то есть формирует ошибочные прецеденты решения < Pi,Ui >, где Pi(x1,...,xN) -вектор входных данных, Ui = F(Pi) - решение, полученное в результате нечеткого вывода на основе начальной экспертной модели. Для контроля эффективности редукции ошибок на основе набора ошибочных прецедентов пусть сформировано множество контрольных прецедентов решения < р,U+ >, где U+ - решение, удовлетворяющее критериям качества. Необходимо осуществить такую модификацию начальной нечетко-лингвистической модели, чтобы для всех начальных условий р отклонение получаемого решения F(р) от контрольного

решения U+ было минимально, то есть F(р) - U+  min. Дополнительным условием

модификации является ограничение неизменности начальных продукционных правил и определений термов лингвистических переменных нечетко-лингвистической модели, сформированной на основе экспертных эвристик. Данное ограничение обеспечит сохранение семантического содержания параметров модели и, в целом, адекватность информационной модели предметной области.

В качестве основы алгоритма нечеткого вывода целесообразно выбрать алгоритм Суджено, поскольку в этом случае поверхность отклика F(P) при нечетком выводе

строится в виде линейной комбинации гиперплоскостей, образующихся на этапе логического вывода в соответствии с выражением

N

f

i=1

что дает возможность дополнительного построения детализирующих гиперплоскостей, таких что

В [1] показана возможность представления функции многих переменных в виде линейной комбинации функций одного переменного. Тогда можно полагать, что при вычислении значения целевой функции каждая определяющая переменная осуществляет вклад в итоговое значение функции независимо от других переменных, т.е. результат нечеткого вывода может быть представлен в виде

L N

F

L¥ l=1 n=1

где l - порядок (уровень) приближения, Sln (xn) - вклад переменной xn в значение F

на l-ом уровне приближения. С точки зрения формулы (3) этап логического вывода Суджено обеспечивает приближение к функции F (x1v.., xN) на первом и единственном уровне приближения при S1n (xn) = knxn в окрестности действия продукционного

правила. Для обеспечения сходимости (3) и получения приближения на уровнях l > 2 используем аналогию аппроксимации функции одной переменной с помощью базисных функций системы Фабера-Шаудера[2]. Для проведения обобщения функций Фабера-Шаудера для случая функции многих переменных необходимо обеспечить разбиение области действия Wr продукционного правила Г на зоны Wld, где l -уровень разбиения, d - индекс зоны на уровне l в соответствии с требованиями:

Wk = U Wl+

Wl+1 nW';1 =0,приi Ф j; i, j = 1,Dt

l+1-

С учетом разбиения пространства определяющих переменных (4) приближение к целевой функции F (x1v.., xN) может быть выражено

L D

F (X1,..., XN ) = )lm YYS (X1,..., XN ),

L¥ l=1 d=1

N

где Sld(Xj,...,xN) = Ykldnxn, (kldn e R) - вклад в общее значение F(x1v..,xN) в зоне Wld

n=1

Для обеспечения сходимости ряда (5) по аналогии с доказательством сходимости ряда разложения непрерывной функции по базисным функциям системы Фабера-Шаудера [3] необходимо потребовать

("L e N)(((xj,...,Xn) e WL)  ("WL,i Ф d)(Sf = 0)).

Требование (6) определяет область действия поправки 31л только в

соответствующей зоне

О'

то

есть

гиперплоскость

поправки

N

%^) = Ек'пхп, ( кап е К) при (х,,...,XN) е О, в противном случае 81л =0.

П=1

С учетом (5) и (6) обобщенная функция Фабера-Шаудера имеет вид

^ (X1,..., XN ) =

й

( N

ЕРТ(х^..,х„)• Е< • Й1(*я) ,(х,,...,XN)еО;

^=0

V п=1

о ,(х,,...,хN)г О¡,.

.

С учетом требования (6) преобразуем (5) к виду

£ й

¥

'=1 ^=1

N

где %(xl,...,XN) = Ек',пхп, ( к'а,п е Ф V(xl,...,^) е К £ °° - поправка

п=1

в решение в области зоны ,

pld(х1,...,) = J1,(Xl,...,)е О, - признак необходимости учета [0, иначе.

поправки 31л в итоговом решении. Тогда классическая формула этапа логического вывода Суджено zi = k0 + к1х1 +... + kNxN может рассматриваться как частный случай формулы (8) при

единственном уровне поправки (£ = 1) и единственной зоне решения О0.

Используя обобщение функции Фабера-Шаудера осуществим следующую модификацию этапа логического вывода Суджено.

Рассмотрим реализацию контрольного прецедента < р,и+ >. Пусть требуемое значение поправки 8i нечеткого вывода ¥ (р) определяется выражением, дг = ¥(Рг) - и+, а результат нечеткого вывода определяется этапом композиции в

соответствии с выражением ¥

Е

а

. Тогда требуемое значение нечеткого

вывода и+ определится выражением

и+=р (р)=

Е

а

Еа(2] +дг) ~

-=т),

Е

а

где Р (Рг-) - модифицированный нечеткий вывод в части этапа логического вывода, в котором каждому значению решения zi, полученного из г-ого правила нечетко-лингвистической модели, добавлено требуемое значение поправки Зг. Используя возможность аппроксимации функции согласно (8), можно полагать, что значение

N

zi = Ек1х1 является первым уровнем приближения к требуемой поверхности отклика

1=0

Р (р). В этом случае появляется возможность дополнить базу знаний ЭС дополнительными правилами расчета поправки, не связанными с начальными экспертными определениями лингвистических переменных и правил, что позволит сохранить их исходное семантическое содержание и одновременно осуществить редукцию ошибок. С учетом (9) и данного замечания введем следующую модификацию этапа логического вывода Суджено для формирования результата zi

при обработке продукционного правила Г

N Ь

^XN ) = ^ + ЕкгХг + Е~

° I N ,

Е Л(хр..^ xN) • ^ о+к1, Е И ,г • а(х

г=1

г=1

1=1

ЕР,

а=1

где аг , - значения степеней истинности для каждого терма переменной хг левой части правила Г;

г - коэффициенты влияния переменных хг на выводимую переменную Ъ в зоне О1,;

z0 — базовая поправка; в случае, если в окрестностях входных данных отсутствуют сведения о коррекции решения, то z0 = с - константа, определяемая видом терма переменной хг;

Р, - определяет принадлежность точки входных данных

, XN) к области поправки О1, 1-ого уровня,

1 1

zd ,0 - базовая поправка зоны О, ;

К а - общий коэффициент влияния переменных на выводимую

переменную Ъ в зоне О1,. Введение коэффициентов влияния У1,, г и К,

позволяет провести

сравнительную оценку влияния каждой определяющей переменной из левой части правила на формирование значения выводимой переменной. При У, i  0 переменная

х1 оказывает малое влияние на значение выводимой переменной 2 в зоне . Тогда в правилах вывода, определяющих значение решения в области определения зоны ,

можно исключить х1 из левой части без потери качества решения.

Для осуществления поправки решения в соответствии с (10) и сохранении начальных экспертных определений нечетко-лингвистической модели необходимо построить дополнительную модель редукции ошибок. Дополнительная модель редукции строится на основе данных о контрольных прецедентах < Р1 ,и+ > и содержит 4 вида продукционных правил:

((Rxi = T% ) a... a (RxN = TrN )) ^ (Gk = TG ), k = 0, N

(G0 = <) A... A (GN = T^ ) ) ^(W = TW),

( (W = T¿Í ) A (DXi = TD1 ) A... A (DXN = TDn ) ) ^ (Di = TDl ),

( (D = TD1) a... a ( Dl = TDl )) ^ (D = dx +... + dL),

Т1 У,к - термы селекции ребер зоны Wld , Т^ - термы селекции граней Ок к = 1, N зоны , Т,d - терм зоны , 11 ^ - терм поправки в зоне для переменной х,

TDl - терм поправки на уровне l, Dl - лингвистическая переменная поправки на уровне l, D - лингвистическая переменная общей поправки, d - четкое значение

sj sj т-х

лингвистической переменной Dl .

Правила (11) и (12) - правила локализации зоны поправки, обеспечивающие проверку условий попадания точки входных данных в область поправки решения. Правила (13) и (14) - правила поправки, обеспечивающие вычисление величины поправки, формируемой в соответствующей зоне Wld. Правило (14) обеспечивает сложение поправок каждого уровня и формирование значения итоговой поправки. Приведенные формализованные правила редукции ошибки нечеткого вывода могут быть использованы при построении алгоритмического и программного обеспечения интерактивных тренажеров с практически приемлемой точностью решений.

Список литературы

1. Castro, J.L.; Delgado, M. Fuzzy systems with defuzzification are universal approximators // IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics. - April 1995. - vol. 25, №4. - P. 629-635.

2. Круглов В.В., Дли М.И. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети.-М.: Физматлит,2001 .-224с.

3. Кашин Б.С., Саакян А. А. Ортогональные ряды.-М.:АФЦ,1999.- 560с.