Формирование математической компетентности в основной школе

НОВАЯ! ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ I ПОЛИТИКА1

1УДК 372.851 ББК 74.262.21

ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

А. Л. Семенов, С. Л. Атанасян

В работе рассмотрены вопросы развития математической компетентности в основной школе, которые вытекают из основных положений Концепции математического образования России. Математическая компетентность формируется в математических дисциплинах, а также и в других предметах, например в информатике и физике, что согласуется и с общими тенденциями развития метапредметных компетентностей. В работе обосновывается потребность в фиксации и описании уровня математической компетентности с указанием ее новых элементов по завершении каждого класса школы.

Рассмотрен тезис о том, что математическая компетентность проявляется в умении решать задачи, доказывать теоремы, проверять гипотезы и моделировать реальные ситуации. Такие умения образуют математическую компетентность.

Применение математики связано с цифровыми технологиями. В работе обосновывается тезис: математическое образование не сводится к этому, прикладному ее значению. Решение задач без использования компьютера должно оставаться основным видом деятельности на уроках математики, что не исключает применение ИКТ так же, как и при изучении других предметов, и должно использоваться при формировании элементов математической компетентности в курсах математики и информатики.

Ключевые слова: образовательный процесс, математическое образование, концепция развития математического образования, математическая компетентность, формирование математической компетентности, цифровые технологии.

FORMATION OF MATHEMATICAL COMPETENCE AT MIDDLE SCHOOL A. L. Semenov, S. L. Atanasyan

The article deals with the questions of development of mathematical competence at middle school which arise from the basic regulations of the Concept of mathematical education in Russia. Mathematical competence is formed in mathematical disciplines as well as in other subjects, such as informatics and physics, which accord with the General trends of development of interdisciplinary competences. In the paper the need for fixation and description of the level of mathematical competence indicating new elements at the end of each grade is proved.

In the article the thesis is considered that mathematical competence is indicated by the ability to solve the problems, to prove the theorems, to test the hypotheses and to model the situations. These skills form mathematical competence.

The application of mathematics is related to digital technologies. In the article the thesis is proved that mathematical education is not limited to this applied meaning. Solving problems without using computer should be the main activity at the lessons of mathematics, but it does not exclude the use of ICT either in mathematics or in other subjects. That should be used when forming the elements of mathematical competence in the courses of mathematics and informatics.

Keywords: educational process, mathematical education, the concept of development of mathematical education, mathematical competence, formation of mathematical competence, digital technologies.

В соответствии с указом Президента Российской Федерации В. В. Путина разработана и на заседании Правительства России 23 декабря 2013 г. утверждена Концепция развития математического образования в Российской Федерации [1]. В соответствии с этой концепцией определяются особые требования к программно-методическим документам, относящимся к математическому образованию и результатам его реализации. Мы не будем рассматривать основные идеи Концепции, они достаточно подробно изложены в ряде работ, в частности в [2]. Рассмотрим вопросы развития математической компетентности в основной школе, которые вытекают из основных положений концепции.

Общие положения

Предъявляя требования к системе образования, мы фиксируем уровень математической компетентности, которой учащиеся должны обладать в соответствующие периоды образовательного процесса. При этом мы исходим из (несколько огрубляющей) кумулятивной, суммирующей (интегрирующей) модели, где считается, что все элементы этой компетентности постоянно суммируются и не теряются в дальнейшем.

Математическая компетентность формируется в основном в математических дисциплинах, но также формируется и используется в других предметах, и не только традиционно объединяемых областью математики, к которым относятся информатика и физика. Внутри самой математической области формирование тех или иных умений также происходит в различных предметах, например, умение проводить алгебраические преобразования формируется и в алгебре, и при решении геометрических задач. Поэтому имеет смысл говорить о математической компетентности, а не о результатах прохождения курса геометрии или физики. Формирование математической компетентности является сферой ответственности, «совместного ведения» нескольких учителей одной образовательной организации, авторских коллективов нескольких учебников. Эта ситуация согласуется и с общими тенденциями современного (в частности, российского) образования, относящимися к метапредметным ком-петентностям, системам учебников и т. д. [3-4].

Существует потребность в фиксации и описании уровня математической компетентности по завершении каждого класса школы. При этом следует понимать, что имеет место такая ситуация, при которой во время реализации различных образовательных программ элементы такой компетентности могут достигаться не одновременно, а в различные промежутки времени.

Описание по классам состоит в указании новых элементов компетентности, приобретаемых к завершению очередного класса. Имеет смысл формулировать достигаемые уровни математической компетентности и по уровням образования. В частности, необходимо явно описать уровень, достигаемый по завершении начального образования (это описание также должно быть включено в образовательную программу начального образования). К нему в описании по классам добавляется описание новых элементов компетентности, достигаемых после 5-го, 6-го и последующих классов и суммарное описание компетентности, достигаемой по завершении основной школы.

Особенность математического образования, ясно выраженная в преподавании математики в российской школе, состоит в том, что математическая компетентность проявляется в умении решать задачи. При этом в понятие решения задачи включается и доказательство теорем, и проверка гипотез и моделирование реальности и др. Такой деятельностный характер результатов является российской традицией и достоинством российской школы. Это достоинство должно быть сохранено и расширено за счет повышения веса моделирования: умения строить модели реальных или гипотетических ситуаций, решать математические задачи, полученные в результате моделирования, и интерпретировать найденные решения. Все вместе эти умения образуют математическую компетентность. Особо подчеркнем, что декларируемая в течение десятилетий важность моделирования все это время не наращивалась, а снижалась, даже в отношении «текстовых» задач. Лишь в последние годы радикальной, и притом конструктивно воспринятой учителем, мерой изменения ситуации стало введение реальной математики в государственную итоговую аттестацию за 9-й класс.

Ключевым событием в направлении выявления требований к достигаемой математической компетентности стало введение ЕГЭ, за которым последовало даже более существенное введение государственной итоговой аттестации за основную школу. ГИА ежегодно задает требования к выпускникам 9-го класса явным предъявлением соответствующих заданий. Этот мощный и эффективный механизм, однако, обладает рядом существенных недостатков:

• Модель деятельности учащегося ограничена используемым форматом: невозможность коллективной работы, закрытость задания, жесткое ограничение времени и т. д.

• Шкала оценивания заданий не отражает их относительную сложность в различных естественных смыслах.

• Реальные экзаменационные материалы в значительной степени аналогичны демонстрационным материалам, объявляемым девятиклассникам в начале учебного года. Тем самым реализуется (не являющаяся неминуемым следствием ГИА или ЕГЭ) опасность «натаскивания» на ГИА - решения серий задач того типа, который предлагается «демоверсией».

Некоторые недостатки преодолеваются, в частности, применением олимпиад, как альтернативного оценивания результатов, и интеграцией различных форм оценивания результата в портфолио.

Важным элементом в формулировании требований к математической компетентности является формирование открытого банка заданий по математике, из которого могут браться все задания для ГИА. В существующем виде, однако, реализован только банк заданий государственной итоговой аттестации. Необходимо создание банка всех заданий различных типов, задания должны быть снабжены эффективными описаниями, решениями, возможными последовательностями прохождения материала (почасовым планированием и т. д.).

Наличие ГИА и открытого банка заданий не снимает проблемы создания нормативно-методических документов, характеризующих необходимый уровень математической компетентности выпускников основной школы, на основе которых строятся, в частности, так называемые кодификаторы [5]. Коллектив разработчиков,

собранный А. М. Кондаковым вокруг издательства «Просвещение», создал ряд документов, которые могут быть использованы для харак-теризации важных достигаемых элементов математической компетентности по классам.

Важнейшие положения, имеющие отношение к предметному развитию математической компетенции

Применения математики в современном мире практически всегда связаны с цифровыми технологиями. Исключение составляет работа профессионального математика-теоретика, который получает новые результаты (исследует новые математические закономерности, вводит определения и доказывает теоремы), где компьютер занимает сегодня периферийную роль. Безусловно, роль математического образования никак не может быть сведена к чисто прикладному его аспекту. Поэтому решение задач без использования компьютеров по-прежнему должно оставаться основным видом деятельности на уроках математики, и она должна поощряться. При этом для почти всех типов заданий учащийся должен получить опыт применения компьютера для их выполнения. Разумно, чтобы компьютерные инструменты давали возможность учащемуся получить как «школьное» решение, доказательство и т. д., так и принципиально иное, если это имеет смысл. При этом учащийся должен получить опыт решения с помощью компьютеров и более сложных задач. Наиболее очевидными областями применения компьютера являются:

• динамическая геометрия (точное построение чертежа и измерений его элементов, возможность непрерывной трансформации конфигурации на экране);

• решение алгебраических уравнений и их неравенств и их систем, другие элементы компьютерной алгебры;

• визуализация - в частности, построение графиков и их преобразования;

• обработка больших массивов числовых данных;

• вероятность (экспериментальная демонстрация частот и т. д.);

• создание и выполнение программ, прежде всего - в визуальной среде.

Современное содержание курса математики и информатики начального образования, отраженное в ФГОС, базируется на их фундаментальных понятиях: совокупности («множества», где элементы могут повторяться) и цепочки (конечной последовательности), основных операций над ними, логических понятий (истинность, всеобщность, существование), понятия алгоритма и конструкций построения алгоритма. Эти понятия используются постоянно, в частности и понятие целого числа подкрепляется: наглядным образом совокупности (мешка), площадью фигуры на клетчатой бумаге, представлением числа цепочкой его десятичной записи, процессом пересчета. Понятие подстановки (одного выражение в другое, вместо какого-то символа, имени) естественно в контексте операций с цепочками и т. д. В начальной школе постоянно решаются задачи построения совокупностей и цепочек, удовлетворяющих определенной системе условий. Среди этих задач имеются и классические задачи школьной комбинаторики, причем подсчет числа получаемых объектов соответствует традиционным постановкам: «число сочетаний» и т. д. В основной школе естественно продолжить эту линию в пятом классе, при этом будет закрепляться содержание начальной школы, в частности, числовые навыки. Данная область комбинаторики в математике естественно продолжается в теорию вероятностей. «Школьные» задачи этой теории можно решать непосредственно вслед за повторением комбинаторики, как одно из применений осваиваемого инструмента дробей (обыкновенных и десятичных) и инструмента деревьев из начальной школы.

Элементы современной математики, закладываемые в начальной школе, могут в основной школе все годы развиваться в линии «занимательных», олимпиадных задач различного уровня сложности. Тогда курс информатики, например, 7-9-х классов будет сосредоточен на серьезном опыте построения алгоритмов, реализуемых компьютерными программами, и концептуально значимых теоретических определениях и результатах.

Важное место в математической компетентности, формируемой во время обучения в основной школе, занимают элементы, примене-

ние (и тем самым - освоение) которых традиционно начинается на уроках физики. В современном курсе физики активно используются понятия перпендикулярности, параллельности, вектора (и «откладывания вектора от точки»), операций над векторами (в частности, разложения вектора по двум осям), тригонометрических функций (угла, меньшего развернутого), производной (скорости изменения), подобия (в частности - в оптике). Основным примером соответствия между функцией, ее производной, ее первообразной в школе является соответствие между положением тела, скоростью, ускорением изменения этого положения (полностью это соответствие изучается в случае движения с постоянным ускорением). Все это необходимо для изучения важнейших разделов физики, осваивается там при решении «текстовых задач».

Однако при современном построении программ основной школы соответствующий материал изучается в курсе математики в ряде случаев после того, как он используется в курсе физики. Таким образом, его изучение в курсе математики логически представить как «теоретическое осмысление», как систему определений и доказательств для понятий, содержательно уже освоенных. Хотя в случае понятий математического анализа такая возможность подвергается сомнению. Такое положение должно быть отражено в описании элементов математической компетентности по годам обучения. Разумеется, из него вытекает и специфика процесса освоения этого материала, учебной деятельности учащихся, работы учителя, материала учебников математики и физики.

Альтернатива может состоять в построении курсов физики и математики, существенно отличающихся от основных ныне существующих. При таком построении, в частности, «векторная» физика начинается только в 9-м классе (или второй половине восьмого), а весь геометрический материал, подготовительный к «векторной» геометрии, проходится до «векторной» физики или, в некоторых частях (что даже предпочтительнее), параллельно с «векторной» физикой. Наконец, есть и еще одна альтернатива - более раннее изучение разделов геометрии, обеспечивающее «теоретическую» базу для физики. Указанные альтернативы могут быть предусмотрены

при описании новых элементов математической компетентности по классам.

Российский курс математики в своей основе построен, как курс решения задач. Задачи занимают существенное место и в курсе физики, как отмечено выше. Российский курс физики предполагает также важную роль эксперимента. Эту роль в последние десятилетия удалось сохранить, несмотря на материальные трудности, которые испытывала школа. Возможности для эксперимента даже расширились за счет применения современных цифровых технологий. С одной стороны, появилась возможность для виртуальных экспериментов, когда учащийся создает экспериментальную установку на экране компьютера и далее имеет возможность фиксировать ход процесса. С другой стороны, что не менее ценно, появилась возможность для автоматизированного сбора данных. Сбор данных, их обработка и визуализация с использованием цифрового оборудования возможны в широком спектре школьных предметов: от биологии до истории, обще-ствознания и литературы. Эти данные должны использоваться при формировании элементов математической компетентности, относящихся к статистике (математическому анализу данных) в курсах математики и информатики. Возможность цифрового измерения и визуализации данных является мощным средством в формировании элементов математической компетентности, относящихся к соответствию между реальными изменениями и их представлением на графике. Установлена эффективность в таком формировании опыта, приобретаемого учащимся при физическом перемещении собственного тела или какого-то предмета и измерении расстояния до цифрового ультразвукового датчика. Возможным местом «предметной локализации» данного блока содержания может быть курс информатики.

Одним из основных применений числовой математики, с которым выпускник школы сталкивается в профессиональной деятельности, являются динамические («электронные») таблицы. Работа с ними может рассматриваться как не процедурное программирование и осваиваться в курсе информатики. Структуры данных и алгоритмов, традиционно осваиваемые в курсе информатики, определения их

сложности, как и доказательства невозможности в теории алгоритмов, безусловно, относятся к математическому образованию и должны быть представлены в рассматриваемой математической компетентности.

В заключение о значении одного из наиболее сложных и важных разделов школьной математики - курса геометрии для развития математической компетентности учащихся. Российское школьное образование, в отличие от систем образования многих стран, сохранило традиции преподавания этого курса как отдельного предмета, оснащенного полными комплектами учебно-методических материалов. Геометрия в системе российского образования остается уникальным школьным предметом, в котором развиваются способности учащегося к логическому мышлению и точной коммуникации при поддержке визуальной средой. Ее содержание и преподавание должно строиться с учетом уникального двухтысяче-летнего источника и последующей интеллектуальной традиции, драмы идей, в которую имеет возможность погрузиться учащийся, особой красоты геометрических фактов, построений и доказательств. К этому курсу наиболее подходит отмеченное ранее высказывание: обучение математике в российской школе основывается на решении задач, в том числе и на доказательстве теорем. В курсе геометрии необходимо предоставить каждому учащемуся возможность максимально освоить опыт самостоятельного доказательства утверждений и решения задач, в том числе и на построение, а также развить у него навыки формульных вычислений, в частности, с повышенными (за счет геометрической интерпретации) возможностями контроля правильности результата. В курсе геометрии решаются задачи обоснований ее приложений к физике. Все вышесказанное определяет набор компетенций, необходимых для освоения учениками в процессе изучения геометрии.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Концепция математического образования в Российской Федерации [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://bda-expert.ru/ doc/2013-12-24-koncepciya-math-obrazovaшe-rf.zip (дата обращения: 20.10.14).

2. Семенов, А. Л. О концепции развития российского математического образования [Текст] / А. Л. Семенов, С. Л. Атанасян // Наука - образованию - 2013. - № 2 (4). - С. 6-22.

3. Меськов, В. С. Когнитивно-компетентност-ная парадигма образования [Текст] / В. С. Меськов, А. А. Мамченко // Школьные технологии. - 2011. - № 3. - С. 46-62.

4. Прямикова, Е. В. Компетентностный и дея-тельностный подходы к школьному образованию: проблемы и перспективы [Текст] / Е. В. Прямикова // Социально-гуманитарные знания. - 2009. - № 2. - С. 192-206.

5. Субетто, А. И. Онтология и эпистемология компетентностного подхода, классификация и квалиметрия компетенций [Текст] / А. И. Субетто. - СПб. - М.: Исслед. центр проблем качества подготовки специалистов, 2006. - 72 с.

REFERENCES

1. Kontseptsiya matematicheskogo obrazovaniya v Rossiyskoy Federatsii (The concept of mathematical education in the Russian Federation). Available at: http://bda-expert.ru/doc/2013-12-24-koncepci-ya-math-obrazovanie-rf.zip (accessed 20.10.14).

2. Semenov A. L., Atanasyan S. L. O kontseptsii razvitiya rossiyskogo matematicheskogo obrazovaniya (On the concept of development of Russian mathematical education). Nauka - ob-razovaniyu (Science - to the education), 2013, No. 2 (4), pp. 6-22.

3. Meskov V. S., Mamchenko A. A. Kognitivno-kompetentnostnaya paradigma obrazovaniya (Cognitive competence-based education paradigm). Shkolnye tekhnologii (School technologies), 2011, No. 3, pp. 46-62.

4. Pryamikova E. V. Kompetentnostnyy i deyatel-nostnyy podkhody k shkolnomu obrazovaniyu: problemy i perspektivy (Competency building and activity approaches to school education: problems and perspectives). Sotsialno-gumani-tarnye znaniya (Social and humanities knowledge), 2009, No. 2, pp. 192-206.

5. Subetto A. I. Ontologiya i epistemologiya kom-petentnostnogo podkhoda, klassifikatsiya i kvalimetriya kompetentsiy (Ontology and epis-temology of competency building approach, classification and qualimetry of competencies). Saint-Petersburg - Moscow: Issled. tsen-tr problem kachestva podgotovki spetsialistov, 2006. 72 p.

Семенов Алексей Львович, доктор физико-математических наук, профессор, академик Российской академии наук, академик Российской академии образования, ректор Московского педагогического государственного университета e-mail: alsemenov@mpgu.edu

Semenov Alexey L., Dr. Habil. in Physics and Mathematics, Professor, Member of Russian Academy of Sciences and Russian Academy of Education, Rector of Moscow State Pedagogical University e-mail: alsemenov@mpgu.edu

Атанасян Сергей Левонович, доктор педагогических наук, профессор, директор центра математического образования, заведующий кафедрой геометрии Московского педагогического государственного университета

e-mail: atnsian@yandex.ru

Atanasyan Sergey L., Dr. Habil. in Education, Professor, Director of Centre for Mathematical Education, Head of Department of Geometry, Moscow State Pedagogical University e-mail: atnsian@yandex.ru