Тензорная методология в информационных коммуникациях

УДК 519.872.5, 621.391

Д. Ю. Пономарев

ТЕНЗОРНАЯ МЕТОДОЛОГИЯ В ИНФОРМАЦИОННЫХ КОММУНИКАЦИЯХ

Предложен метод оценки вероятностно-временных характеристик сетей массового обслуживания с использованием математического аппарата тензорного исчисления, позволяющего исследовать указанные сети при их большой размерности.

Ключевые слова: информационно-коммуникационные сети, качество обслуживания, тензорный анализ, среднее время задержки пакета.

Одна из актуальных задач развития современных информационно-коммуникационных сетей — исследование вероятностно-временных характеристик IP-узлов, так как именно данные характеристики позволяют оценить качество обслуживания (QoS — Quality of Service) информационных потоков в этих сетях. Оцениваемыми параметрами при этом являются [1, 2] вероятность потери пакета, среднее время его задержки в системе, дисперсия времени задержки пакета. Однако проектирование рассматриваемых сетей может быть осложнено трудоемкостью расчетов параметров оборудования, позволяющего обеспечить необходимый уровень качества обслуживания, а также топологией сетей и использованием дополнительных протоколов обработки информационных потоков на различных уровнях модели взаимодействия открытых систем (ВОС) [3].

В настоящей статье для оценки вероятностно-временных характеристик (ВВХ) сетей связи предлагается применить математический аппарат преобразования координат (т.е. тензорный анализ сетей), при этом сети рассматриваются как геометрические объекты, проекции которых в различных системах координат различны, но физические свойства самих объектов не изменяются.

Основоположником тензорного анализа сетей является Г. Крон, который впервые использовал тензорный анализ и применительно к теории электрических сетей [4]. Дальнейшее развитие идеи тензорного анализа, в том числе и для информационных систем, получили в работах А. Е. Петрова, А. Е. Арменского, М. Н. Петрова и др. В теории Г. Крона основополагающими являются два постулата, смысл которых заключается в следующем: во-первых, объединение элементов не вносит никаких новых физических явлений, не наблюдаемых в примитивном элементе, а уравнение, описывающее поведение сложной системы, записывается аналогично уравнению состояния примитивного элемента, но в матричном виде; во-вторых, при изменении структуры сложной системы изменяются только элементы матричного уравнения, а переход к описанию новой структуры осуществляется с помощью матрицы перехода C (или A ) [4].

Для использования тензорного подхода в задачах информационных коммуникаций необходимо определить модели процессов и систем исследуемых сетей. В соответствии с работой [3] и общей моделью взаимодействия открытых систем можно определить следующие уровни, на которых необходимо исследовать схемы связи элементов сети: физический, канальный, сетевой. Следовательно, можно выделить несколько различных структур, которые в совокупности будут определять общую модель обработки информационных потоков в исследуемой сети.

Развитие технологий пакетной коммутации привело к тому, что основой для построения современных информационно-коммуникационных сетей является протокол IP, а концепция построения сетей следующего поколения получила название IMS (IP Multimedia Subsystem —

система обработки разнородных информационных потоков с использованием IP) [5]. В сети IMS основными элементами являются функциональные объекты (ФО) управления соединениями (CSCF — Call Session Control Function): прокси P-CSCF (Proxy-CSCF), взаимодействия I-CSCF (Interrogating-CSCF) и обслуживания S-CSCF (Serving-CSCF); различные серверы (в том числе, HSS — Home Subscriber Server: сервер пользовательской базы данных); ФО распределения ресурсов среды (MRF — Media Resource Function). Взаимодействие ФО позволяет определить политику обработки информационных потоков и обеспечить заданное качество обслуживания.

Рассматривая интерфейсный уровень взаимодействия узлов, любое устройство IP-сети можно представить в виде сети массового обслуживания, каждая система которой будет моделировать отдельный физический интерфейс устройства передачи информации. Этот интерфейс, в свою очередь, можно представить в виде одноканальной системы массового обслуживания (СМО) с условными потерями. Пример модели такого устройства представлен на рис. 1, а.

а)

Входные интерфейсы

б)

Выходные интерфейсы

Рис. 1

На следующем уровне можно рассматривать уже не только физические соединения, существующие между узлами, а учитывать направления передачи информации к узлам сети. Каждое направление задается СМО, тип которой определяется дисциплиной обслуживания реальной системы обработки информационных потоков. Кроме того, необходимо отметить, что основные зависимости исследуемых показателей являются функциями от загрузки системы: вероятность потерь Рп = f (р) и время задержки Тз = ф(р) , т.е. достаточно знать загрузку системы для определения искомых ВВХ.

На рис. 1, б представлена модель обработки информационных потоков на сетевом уровне модели ВОС для сети IMS, где СМО 1 моделирует процесс обслуживания ФО P-CSCF; СМО 2, 4, 5 — ФО I-CSCF, S-CSCF и MRF соответственно, а СМО 7 — обработку запросов в сервере HSS.

Значения ВВХ можно использовать для определения показателей качества обслуживания на следующем уровне, так как в реальной сети распределение потоков по узлам подчиняется таблице маршрутизации. В целях расчета ВВХ для каждого маршрута можно записать:

Рп РП! (при малых потерях); Тз = ^ Тзг- , где т определяется числом систем, состав-

г=1 г=1

ляющих данный маршрут передачи информации.

Тензорный анализ ВВХ информационно-коммуникационных систем основан на следующих предположениях.

1. Поток вызовов с одной и той же интенсивностью (Л,) поступления определяет при неизменной интенсивности обслуживания одинаковую загрузку ( р ) устройств при изменении структуры сети; таким образом, можно считать, что будет выполняться соотношение (инвариант) [6, 7]:

рХ = рТ,

2

1

7

4

5

где переменные р^ соответствуют одной (исходной) структуре сети, а р ' X' — другой (примитивной).

2. Объединение систем в единую сеть не вызывает никаких изменений процесса обслуживания информационного потока, т.е. анализ любой сложной системы (сети) связан с определением простейшего элемента, его свойств и переносом алгоритма анализа на сложную систему (сеть) в целом.

3. Изменение структуры сети не предполагает качественного изменения основных соотношений между физическими величинами, описывающими простейший элемент, а определяет только их численное изменение [4, 6—8].

Исходя из уравнения (1) и применяя соотношение между интенсивностями исходной и примитивной сетей: X' = СX, можно записать: р' СХ=рХ, где С — матрица перехода.* Далее,

_ —т_г

находим соотношение между загрузками примитивной и исходной сетей как р=С р' или р' = ((СТ ) р . Следовательно, подставив полученное соотношение в выражение р = ХТ, получим ((Ст) р=Т 'СX. Таким образом, можно записать р=СТТ 'СX и окончательно

Ст р ' =

Далее, решая полученное уравнение относительно X, находим коэффициенты использования устройств в исходной сети. Применительно к сетям связи, исходя из решения уравнения (2), можно найти как вероятность потерь пакетов и время их задержки (и его девиацию), так и оценить пропускную способность сети в целом.

На рис. 2 представлена модель взаимодействия двух коммутаторов (физический уровень), при этом задержки канала связи не учитываются как величины, несоизмеримо малые относительно времени задержки в интерфейсах и в коммутационных элементах. На данном рисунке: СМО 1 и 5 (СМО 7 и 9) обозначают интерфейсы подключения внешних пользователей к исследуемой сети; СМО 3 и 8 являются моделями внутренних коммутационных элементов; СМО 2 и 4 образуют интерфейс подключения к одному коммутатору, а СМО 6 и 10 — к другому, при этом СМО 4 и 6 — входящие интерфейсы, а СМО 2 и 10 — исходящие. Пути передачи информации: 5-3-1 или 5-3-2-6-8-9, 7-8-9 или 7-8-10-4-3-1.

Рис. 2

Для применения контурного метода тензорного анализа ВВХ вводятся контурные интенсивности Xа, X¿, Xc, необходимые для определения связей между СМО в исследуемой сети. В данном случае, задавая направление контурных интенсивностей, определяем матрицу

Здесь и далее черта над символами означает матрицу.

перехода С как соотношение между контурными интенсивностями и интенсивностями в ветвях. Тогда, используя выражение (2), можно записать матричное уравнение, позволяющее определить распределение интенсивностей потоков в сети:

'р2 +р3 +р4 +рб +р8 +р10 ^ ( т g -T - T6 -T4 - T10 ' (X al

р1 - р2 - р6 + р7 = -- -Т2 - Т6 T + T2 + T6 + T7 0 X b

v -р4 + р5 + р9 - р10 , l"T4 - T10 0 T + T5 + T9 + T10 , lX c)

где Tg = T2 + Тз + T4 + T + T + T10 .

Таким образом, определив временные параметры Ti, i = 1___10, и предварительное распределение загрузок Pi, i = 1 _ 10, находим одно из возможных распределений интенсивностей в сети как интенсивность ветви: = СX, где XT = (Xa Xb Xc ). В данном случае для

размерности множества контурных интенсивностей, равной трем, тензорный подход позволяет получить множество решений, характеризуемых различным распределением загрузки узлов. Далее, используя известные дисциплины обслуживания (M/M/1, M/D/1, M/M/s/N, M/D/1/N и т.д.), можно найти ВВХ отдельной СМО, а следовательно, и вышеуказанных маршрутов передачи информации в целом.

Для решения задачи обеспечения качества обслуживания и управления распределением потоков рассмотрим на примере сети IMS узловой метод тензорного анализа информационно-коммуникационных сетей, основанный на условии X = др (где д — интенсивность обслуживания пакетов в СМО). Ранее [6] было показано, что, определяя соответствие между загрузками исходной ( р ) и примитивной ( р') сетей через матрицу перехода А как р' = Ар и используя выражение (1), можно записать: Х'Ар = Хр . Далее, находим соотношение между

интенсивностями примитивной ( X') и исходной ( X ) сетей как X' = (АТ ) X. Следовательно, вектор интенсивностей поступления вызовов в примитивной сети можно определить как

—т \-1 — _—_

А ) X = дАр . Окончательно уравнение для узлового метода будет иметь вид

АТX' =

Решая полученное уравнение относительно р, находим коэффициенты использования узлов в сети (при загрузке ветвей рв = Ар ), что позволяет определить качественные показатели (например, время задержки для маршрута) и распределение интенсивностей потоков по узлам сети как X в = дв рв.

Преобразуем модель, представленную на рис. 1, б, к узловому виду (рис. 3): в местах образования контуров произведем „размыкание" связей между СМО, но в дальнейшем необходимо учитывать равенство интенсивностей поступления вызовов в соответствующих ветвях, для чего введены мнимые СМО 3 и 6; зададим „узловые загрузки". Узловые загрузки рa _рg ,

представленные на рис. 3, являются элементами вектора р, относительно которого решается уравнение (3). Связь загрузок pi, i = 1_10, и узловых загрузок рa _рg устанавливается матрицей перехода А. Находя соответствие между загрузками в исходной и примитивной сетях, определяем матрицу А согласно [9] (ввиду большой размерности здесь не приводится). При этом левая часть уравнения (3) преобразуется к виду (с учетом X1 = X2 + X4 + X5,

X7 = X3 + X 4 + X6 и X 2 = X3, X5 = X 6)

АТ X' = (0 X2 -X2 0 X5 -А5 X7 )Т .

Кроме того, так как генератором трафика является СМО 1, то все интенсивности поступления вызовов в остальные СМО могут быть определены через Xj. С этой целью в уравнение вводятся коэффициенты pi, определяющие долю трафика, поступающего на i СМО. При этом, исходя из структуры модели сети, необходимо учитывать, что Р2 + Р4 + Р5 = 1. Используя вектор управления, содержащий вероятности разделения нагрузки по узлам (Р2 Р4 Р5 ) , можно управлять распределением трафика по узлам сети в целях обеспечения определенного значения среднего времени задержки по заданному маршруту при установленном значении интенсивности потоков. Например, при заданном Xj, определенных значениях интенсивности обслуживания в каждой системе и использовании интерфейса системы массового обслуживания вида М/М/1 в качестве модели можно, изменяя значения коэффици-

7 1V

ентов Р2, Р4 и Р5, определить общее среднее время задержки в сети как Тз = V ——— (без

_ i=ij -Pi

учета мнимых ветвей); pi определяется как загрузка узлов ру = Ар согласно решению уравнения (3) относительно р. Следует отметить, что зависимость распределения загрузки от Xj можно получить выбором другого базиса (набора других „узловых загрузок").

//X

\ ЧЧ

Ч Ре

V 4 ^

. "Ч Pc

\ . N

3_ ч

i..........^

Pf

р II

У'р-

mmmmmj

У

Рис. 3

В качестве преимущества тензорного анализа необходимо также отметить невысокую сложность вычислительного алгоритма. В соответствии с [8] мощность пространства состояний для однородных замкнутых сетей составляет 0М+-М-1 (М — число центров обслуживания, N — количество требований в сети), что естественно приводит к резкому увеличению сложности расчетов показателей работы информационно-коммуникационных сетей, особенно при современном уровне глобализации. Использование вычислительных алгоритмов позволяет снизить сложность определения исследуемых параметров. Например, в работе [8] оценка сложности итерационного алгоритма представлена как 2 NM ^ +1) арифметических операций для определения нормализующей константы, с помощью которой находятся остальные параметры: средняя очередь, среднее время задержки, стационарные вероятности. При определении вероятностно-временных характеристик сети с применением тензорного анализа вычислительная сложность алгоритма обусловливается только количеством узлов и связана с перемножением матриц в соответствии с выражением (2) или (3) в зависимости от метода. Например, при использовании контурного метода количество операций можно оце-

g

2

7

4

1

5

6

2

нить как (M - k)(2M + M -1), где k — количество контуров. Однако в отличие от вычислительных методов тензорный подход сохраняет возможность аналитического исследования информационно-коммуникационной сети и позволяет использовать полученные результаты для оптимизации сети и управления качеством обслуживания информационных потоков без ограничения на классы потоков и дисциплин обслуживания [9].

В заключение можно сделать следующий вывод: в связи с необходимостью управления большим количеством устройств и обработки множества информационных потоков с заданным качеством обслуживания решение задачи эффективного управления ресурсами сети значительно усложняется. Тензорный анализ сетей — как метод, обладающий возможностями учета взаимодействия процессов и структур и гибкостью применения, — позволяет снизить вычислительные затраты на решение задачи, уменьшить задержки при динамическом управлении информационно-коммуникационными системами и обеспечить хорошую масштабируемость сети как при внедрении новых услуг, так и при изменении структуры и технологий сети. Кроме того, тензорный анализ позволяет достаточно просто формализовать проектные процедуры в целях автоматизации процесса проектирования сетей IMS [10], что обеспечивает повышение качества обслуживания информационных потоков в сетях, работающих на базе стека протоколов TCP/IP, равномерную загрузку устройств сети и снижение времени задержки, обусловленной сетевыми приложениями в транзитных и оконечных узлах сети связи.

Работа выполнена при поддержке Президента Российской Федерации, грант МК-2070.2008.9.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клейнрок Л. Коммуникационные сети. М.: Наука, 1970.

2. Яновский Г. Г. Качество обслуживания в IP сетях // Вестник связи. 2008. № 1. C. 65—74.

3. Braun T., Diaz M., Gabeiras J., Staub T. End-to-End Quality of Service over Heterogeneous Networks. SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2008.

4. Крон Г. Тензорный анализ сетей. М.: Сов. радио, 1978.

5. Гольдштейн А. Б., Гольдштейн Б. С. SOFTSWITCH. СПб: БХВ, 2006.

6. Пономарев Д. Ю. Тензорная методология в телекоммуникациях // Системы управления и информационные технологии. 2006. 1.1(23). С. 161—165.

7. Пономарев Д. Ю. Исследование возможностей тензорного анализа сетей массового обслуживания // Имитационное моделирование. Теория и практика / ИММОД—2007: Сб. докл. Третьей Всерос. науч.-практ. конф. по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности. СПб: ЦНИИТС, 2007. Т. 1. С. 205—209.

8. Вишневский В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003.

9. Пономарев Д. Ю. Исследование возможности использования тензорного анализа сетей к управлению качеством обслуживания в сети IMS // Тр. Третьей Междунар. конф. „Системный анализ и информационные технологии", САИТ - 2009. М.: ИСА РАН, 2009. С. 722—728.

10. Пономарев Д. Ю. Исследование характеристик пакетных сетей узловым методом тензорного анализа // Программные продукты и системы. 2009. № 4. С. 65—69.

Сведения об авторе

Дмитрий Юрьевич Пономарев — канд. техн. наук, доцент; Институт инженерной физики и радиоэлектроники Сибирского федерального университета, кафедра инфоком-муникаций, Красноярск; E-mail: DPonomarev@sfu-kras.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

инфокоммуникаций 19.03.10 г.