Наглядные динамические образы понятий математического анализа

УДК 373.161.1

Е.А. Широкова, аспирант БГПУ, г. Барнаул

НАГЛЯДНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ ПОНЯТИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Статья посвящена проблемам понимающего усвоения старшеклассниками понятий математического анализа. Формирование наглядных динамических образов математических понятий с помощью специальных лабораторных работ является одним из условий, способствующих понимающему усвоению математики.

Ключевые слова: понимающее усвоение, визуальное мышление, наглядные динамические образы, лабораторная работа.

Воплощением личностно-ориентированной образовательной парадигмы в контексте преподавания математики в старших классах является смыслопоисковое обучение, целью которого, помимо развития личности обучаемого средствами данной предметной области, является понимающее усвоение математики.

Категория «понимание» развивается и изучается в философии, где для ее исследования выделился специальный раздел, называющийся герменевтикой. На сегодняшний момент в психологической составляющей понимания пока еще остаются тайной многие аспекты данного феномена. Анализ современных педагогических исследований показал, что методисты видят одно из решений проблемы понимающего усвоения математики в постижении учащимися смысла важнейших математических понятий. Мы разделяем трактовку термина «понимание», данную А.А. Брудным: «Понимание есть способность постичь смысл и значение объекта, явления, текста, что связано с выделением существенных элементов и их взаимосвязей. Главнейшее звено процесса понимания заключается не столько в установлении связей, но главным образом в определении значимости их» [1, с.138]. Установление существенных содержательных связей между свойствами понятий создает возможности для становления у учащихся смысла изучаемых фактов.

Многие ученые, методисты, как и А.А. Брудный, отмечают одну из возможностей раскрытия сущности перевод текста с одного языка на другой. В ходе перевода, показа различного в форме и общего по сути будет раскрываться смысл сущностных характеристик понятия, представленного в различных интерпретациях (языках). Осмысливая в разных представлениях значимые свойства изучаемого понятия, ученик будет понимать сущность факта.

Комплексному анализу проблемы понимающего усвоения математики, в частности математического анализа, посвящены работы Э.К. Брейтигам [2]. Под понимающим обучением математики Э.К. Брейтигам подразумевает выполнение следующих условий:

1) целостность и системность содержания и его знакового представления, 2) постижение различных аспектов (логико-семиотический, структурно-предметный и личностный) смысла математических понятий (фактов) и 3) направленность процесса обучения математике на приобретение личностного опыта (соотнесение нового с наличным опытом; личностное отношение к понятию, включая эмоциональный опыт; опыт оперирования с ним).

Главной проблемой организации усвоения учебного материала в смыслопоисковой системе обучения остается проблема смыслопередачи, одним из путей решения которой Э.К. Брейтигам видит в реализации принципа наглядности в обучении через использование различных форм представления информации, а также информационно-коммуникационных технологий.

В методической литературе реализация принципа наглядности в учебном процессе связана с мыслью о продуктивном характере визуального мышления, ко-

торая в настоящее время получила достаточно широкое признание. В основу нашей работы легло определение визуального мышления, данное В.П. Зинченко: «Визуальное мышление — это человеческая деятельность, продуктом которой является порождение новых образов, создание новых визуальных форм, несущих определенную смысловую нагрузку и делающих знание видимым» [3, с .207].

В.А. Далингер [4] считает сильным аргументом в пользу познавательной роли наглядного образа и самой реальности визуального мышления существование функциональной асимметрии головного мозга человека. Левое полушарие специализировано на оперировании словами и другими условными знаками, а правое — на оперировании образами реальных предметов, а также отвечает за ориентацию в пространстве и за эмоциональное состояние. Правополушарные учащиеся по ведущему каналу восприятия информации делятся на визуалов и кинестетиков. Левополушарные ученики являются аудиалами. Визуал характеризуются тем, что такой человек помнит то, что видел, обладает живой образной фантазией. Общей характеристикой кинестетика является то, что он обучается, делая; аудиал же обучается, слушая.

В.С. Ротенберг, С.М. Бондаренко отмечают [5], что образы для школьников с «образным» и «смешанным» типами мышления — это опора и поддержка сложных процессов запоминания и понимания. Таким школьникам просто необходимо давать специальные «образы-опоры». У школьников-«аналитиков» необходимо развивать образные компоненты не только для более полного усвоения знаний, но и, как пишут авторы, во имя гармоничного развития личности и обеспечения ее ресурсами психической устойчивости. Таким образом, один из путей обучения школьников с разным складом ума — это введение элементов образности в абстрактный материал и установление смысловых связей в изучаемом.

Остановимся подробно на вопросе выяснения природы наглядных образов и особенностей их формирования. А.В. Славин определяет образ как систему «определенным способом упорядоченных элементов знания, в которой с известной степенью адекватности воспроизводится не только общий принцип организации элементов объекта отражения, но и его качественная определенность (содержание)» [6, с. 127]. Данная трактовка образа гармонично вписывается в контекст понимающего усвоения математики, так как именно такой образ будет раскрывать сущность математического понятия.

Л.М. Фридман считает, что внешним условием формирования наглядного образа некоторого объекта является познавательная деятельность, направленная на его создание [7]. Таким образом, наглядные образы возникают в процессе познавательной деятельности в результате взаимодействия субъекта и объекта.

Мы занимаемся исследованием проблемы понимающего усвоения старшеклассниками понятий школь-

ного курса начал анализа. Безусловно, характер данной предметной области будет накладывать определенные особенности на формируемые у учащихся наглядные образы изучаемых понятий. Математический анализ возник и используется как средство для описания физической картины мира, процессов движения макротел, их взаимодействия, а также произвольных процессов изменения, развития. Идея движения, динамики изначально заложена в понятиях анализа. Изложение и усвоение начальных разделов рассматриваемой дисциплины затруднено сложностью базисных понятий, основанных на идее развития в бесконечных структурах.

А.А. Леваков и группа авторов [8] в работе «Начала анализа в наглядном изложении» широко используют метод переменного масштаба, который позволяет воспринимать в динамическом плане один и тот же объект, поданный в серии чертежей с разной степенью детализации. Авторы таким образом решают проблему визуализации идеи движения, являющейся основной для анализа.

Согласно вышеизложенным аспектам, постижение идеи, смысла и значения понятий математического анализа в контексте понимающего усвоения обеспечивается формированием соответствующего наглядного динамического образа, адекватного сущности познаваемого понятия.

Таким образом, создание наглядного динамического образа у старшеклассников является одним из условий понимающего усвоения понятий математического анализа. При этом под наглядностью образа подразумевается визуализированное представление некоторого понятия в виде обобщенных иллюстраций, обнажающих его существенные свойства. Динамичность формируемого образа понимается нами в следующих аспектах: 1) развитие и усложнение образа понятия по мере нарастания уровня строгости в изложении понятия; 2) конкретизация образа понятия в связи с увеличением объема понятий; 3) представление изучаемых понятий математического анализа в виде анимационных моделей, наглядно демонстрирующих идею движения. Третий аспект динамичности наглядных образов отражает специфику понятий математического анализа, сущностная идея которых состоит в динамике, развитии.

Как же формируется образ? В.А. Далингер выделяет следующие важнейшие этапы формирования образа [4]: умозрительное введение термина; геометрическая интерпретация символа; общие и частные случаи действия в конкретных ситуациях; примеры содержательной демонстрации изучаемого понятия. При этом автор большое внимание уделяет следующим специальным приемам введения и преобразования изучаемого материала: расчленение на отдельные фрагменты; визуально ясное оформление; постоянное взаимодействие трех языков знаковой информации.

Начиная с некоторого момента, у обучаемых возникает способность вовлекать в процесс мышления визуальные образы, которые служат «проводниками» в рассуждениях. Эти образы снимают жесткую логику и чрезмерную абстрактность многих учебных идей и понятий, одновременно позволяя углублять и расширять представления о них.

Активное и целенаправленное использование визуального мышления в процессе обучения основано на выработке устойчивых стандартных наглядных образов основных учебных понятий. Стандартные образы важнейших математических понятий: функция — график, линейная функция — прямая, квадратичная функция — парабола, колебательный процесс — синусоида, производная — наклон касательной, экстремум — горб или впадина, интеграл — площадь.

М.И. Башмаков, Н.А. Резник [9] ведущий способ формирования наглядного образа видят в решении определенной совокупности специальных задач, предназначенных для формирования визуального образа, помогающего разрешить возникающие проблемы.

Опираясь на работы М.И. Башмакова, В.А. Далин-гера, Н.А. Резник мы под формированием наглядных динамических образов будем понимать выполнение следующих условий: 1) решение системы визуализированных задач; 2) выделение содержательных связей между элементами понятия и установление содержательных связей с другими понятиями; 3) использование различных способов предъявления информации, перевод изучаемых фактов с одного языка представления на другой; 4) интерпретация понятий.

Для формирования у старшеклассников наглядных динамических образов понятий математического анализа необходима специальная форма организации учебного процесса, которая бы позволяла выполнять все вышеперечисленные условия и учитывать особенности функциональной асимметрии головного мозга учащихся.

Мы полагаем, что искомым средством организации понимающего усвоения, способствующим целенаправленному формированию у старшеклассников наглядных динамических образов понятий начал анализа, являются лабораторные работы. Будучи одной из форм организации самостоятельной деятельности учащихся, лабораторные работы помогают ученикам работать над выявлением существенных свойств изучаемых понятий, что способствует постижению структурно-предметного аспекта понятия и формированию наглядного динамического образа понятия, отражающего его содержание, а также включает изучаемое понятие в субъективный опыт ученика (реализация личностного аспекта категории «смысл»), что способствует управлению процессом становления изучаемого понятия. Так, в процессе исследования содержательных свойств понятий, организованного с помощью наглядных средств обучения, будут учитываться особенности восприятия визуалов; ки-нестетики смогут реализовать себя в ходе исследовательской деятельности, а объяснение учителем этапов проведения эксперимента и завершающее обобщение результатов работы будут способствовать успешному усвоению материала аудиалами.

Таким образом, лабораторные работы по математике являются одним из средств формирования наглядных динамических образов абстрактных математических понятий и становления структурно-предметного и личностного аспектов смысла изучаемых понятий, что способствует понимающему усвоению старшеклассниками понятий начал анализа.

Исследовательская деятельность учеников организуется учителем с помощью соответствующей визуализированной задачи. Выбор задачи определяется целью проведения лабораторной работы, а именно: 1) изображение основных математических понятий,

2) визуализация свойств математических понятий и операций над ними, 3) иллюстрация связей между понятиями.

Цели проведения лабораторных работ, а именно необходимость реализации идеи движения, заложенной в понятиях анализа, и задача формирования наглядного образа абстрактного математического понятия натолкнули нас на мысль обратить наше внимание на возможности средств информационных технологий.

Использование компьютера позволяет формирование большинства математических объектов, фактов представить в виде разворачивающегося во времени процесса, в динамике, «от нуля» до готового образа. Ученику дается возможность увидеть и технологию пост-

роения, и некоторые второстепенные детали, которые в готовом образе уже нельзя будет обнаружить.

Рассмотрим принцип организации системы лабораторных работ на примере двух понятий: предела функции в точке и производной. Первое понятие, в отличие от последнего, не является ведущим в курсе алгебры и начал анализа. В связи с этим на изучение предела функции в точке отведено совсем мало учебных часов. Значением данного понятия является операция предельного перехода, а его структурно-предметный аспект заключается в идее изменения, стремления, близости. В связи с указанными выше характеристиками данное понятие изучается в школе, как правило, на наглядно-иллюстративном уровне.

Значит, в процессе изучения понятия предела необходима лабораторная работа, направленная на формирование у обучаемых наглядного динамического образа на уровне распознавания. Для раскрытия же сущности метода предельного перехода нужна также работа, использующая прием интерпретации понятия предела на нескольких конкретных примерах, желательно знакомым ученикам из других предметных областей.

Категория «производная некоторой функции» имеет два значения — число и функция, ее структурнопредметный аспект заключается в идее линеаризации и скорости изменяющегося процесса. Двойное значение ведущего понятия «производная» скрыто в одном термине: число — производная функции в точке и функция — производная функция. Это различение играет большую роль в прикладном аспекте, так как каждое из значений используется при решении определенного круга задач. Кроме того, формирование понятия производной предполагает усвоение целого ряда понятий: линейная функция, секущая некоторой кри-

вой и касательная к графику функции, скорость изменения некоторой величины. Итак, производная имеет богатый арсенал содержательных связей с другими математическими понятиями. В связи с указанными особенностями понятия для его изучения отводится большое количество часов.

Таким образом, до введения понятия производной некоторой функции в точке нужно сначала сформировать у учащихся образ касательной к графику функции как предельного положения секущей. Далее необходима работа, направленная на различение двойного значения рассматриваемого понятия. И наконец, нужна серия лабораторных работ, связанных с исследованием свойств функции с помощью производной: монотонность, экстремумы и выпуклость графика функции.

Значит, количество и содержание лабораторных работ в масштабах определенной темы или раздела учебного материала определяются главным образом ролью изучаемого понятия в курсе начал анализа, его значением, структурно-предметным аспектом и объемом содержательных связей с другими понятиями.

Итак, формирование наглядного динамического образа математического понятия является одним из необходимых условий понимающего усвоения старшеклассниками сложных по своей структуре, абстрактных математических понятий. Лабораторные работы являются не только эффективным средством формирования таких образов, но возможностью ребятам реализовать свои психологические особенности в процессе учебной деятельности. Такая форма обучения способствует воплощению всех условий понимающего усвоения и использованию преимуществ визуального мышления с наибольшей полнотой.

Библиографический список

1. Брудный, А.А. Психологическая герменевтика / А.А. Брудный. — М.: Лабиринт, 2005.

2. Брейтигам, Э.К. Проблемы смыслопоискового обучения математике в школе и вузе / Э.К. Брейтигам // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «1_Х Герце-новские чтения», посвященную 210-летию РГПУ им. А.И. Герцена / Под ред. В.В. Орлова. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007.

3. Зинченко, В.П. Психологические основы педагогики (Психолого-педагогические основы построения системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина— В.В. Давыдова): учеб. пособие / В.П. Зинченко. — М.: Гардарики, 2002.

4. Далингер, В.А. Теоретические основы когнитивно-визуального подхода к обучению математике: Монография / В.А. Далингер. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 2006.

5. Ротенберг, В.С. Мозг. Обучение. Здоровье: кн. для учителя / В.С. Ротенберг, С.М. Бондаренко. — М.: Просвещение, 1989.

6. Славин, А.В. Проблема возникновения нового знания / А.В. Славин. — М.:Наука, 1976.

7. Фридман, Л.М. Наглядность и моделирование в обучении / Л.М. Фридман. — М.: Знание, 1984.

8. Леваков, А.А. Начала анализа в наглядном изложении / А.А. Леваков, Н.В. Пыжкова, Л.П. Черенкова; Под ред. Ю.С. Богдано-

ва. — Мн.: Выш. школа, 1982.

9. Башмаков, М.И. Информационная среда обучения / М.И. Башмаков, С.Н. Позняков, Н.А. Резник. — СПб.: Свет, 1997.

Статья поступила в редакцию 15.11.08.

УДК 373.1.013

Р.Н. Афонина, доц. БГПУ, г. Барнаул

СОДЕРЖАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ УЧЕБНО-ТВОРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ

В статье описаны особенности современного естественнонаучного образования, задачи и ориентиры его развития в контексте формирования умений учебно-творческой деятельности будущих учителей. Под умениями учебнотворческой деятельности понимаются способы учебно-познавательной деятельности обучающихся на основе мотивированной и целенаправленной системы действий в изменяющихся условиях.

Ключевые слова: учебно-творческая деятельность, естественнонаучное образование, научное мировоззрение, мировоззренческие качества личности, совершенствование современной педагогической системы