Численное решение задачи охлаждения полых металлических заготовок цилиндрической формы продольными потоками воды

УДК 536.24:519.63

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОХЛАЖДЕНИЯ ПОЛЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ЗАГОТОВОК ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРОДОЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ ВОДЫ

ЛИПАНОВ А.М., МАКАРОВ С.С.

Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. Рассмотрена математическая модель охлаждения полой металлической заготовки цилиндрической формы продольными квазистационарными потоками воды. Приведен алгоритм численного решения задачи, а также результаты расчетов параметров теплообмена цилиндра и потоков среды. Определение температур охлаждаемого цилиндра производится с учетом времени релаксации тепловых напряжений и внутренних источников тепла, вызванных полиморфными превращениями.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическая модель, охлаждение, полый цилиндр, параметры теплообмена, поток воды, полиморфные превращения, численный расчет.

ВВЕДЕНИЕ

При изготовлении металлических осесимметричных заготовок деталей машиностроения, таких как трубы, валы, оси, втулки, пальцы, пружины и т.д., применяют упрочняющие технологии термической обработки. Важным этапом получения заданных физико-механических свойств материала заготовки является охлаждение. Распространенными охладителями являются потоки воды. Назначение требуемых режимов подачи сред во многом зависит от условий взаимодействия среды с поверхностью заготовки. Условия определяются интенсивностью отвода тепла, зависящей от многообразия факторов процесса охлаждения. В связи с этим исследование изменения параметров полой металлической заготовки цилиндрической формы при охлаждении потоками воды, определение температур и скоростей охлаждения является актуальной задачей.

В работе [1] авторами приведен численный алгоритм и решение задачи охлаждения высокотемпературного сплошного металлического цилиндра. Приведены два расчетных случая: первый — нестационарный теплообмен между цилиндром, состоящим из однородного материала (металла) и окружающей средой, и второй — нестационарный теплообмен между цилиндром, состоящим из двух материалов - металла и жидкости и окружающей средой. Численные результаты получены при условии постоянства коэффициента теплоотдачи с поверхностей охлаждения и отсутствия конвекции в слое жидкости.

В дальнейшем, в работе [2], авторами разработан численный алгоритм и решена задача охлаждения сплошного цилиндра для исследования нестационарного теплообмена высокотемпературных металлических тел в продольных квазистационарных потоках воды и воздуха. Получены результаты расчетов параметров теплообмена цилиндра и потока среды в зависимости от геометрии, теплофизических свойств и времени процесса.

Данная работа является продолжением исследований и связана с разработкой численного алгоритма и решением задачи нестационарного теплообмена высокотемпературных полых металлических заготовок цилиндрической формы охлаждающими потоками воды. Решение задачи определения температур охлаждаемого цилиндра производится с учетом времени релаксации тепловых напряжений и внутренних источников тепла.

На рис. 1 приведена расчетная схема полой металлической заготовки цилиндрической формы. Заготовка ограничена внешним радиусом гт, внутренним радиусом г0 и длиной Ь. Полый цилиндр обтекают квазистационарные потоки воды, двигающиеся продольно оси х между радиусами гт и г1 со скоростью ¥1 и температурой Т11 во внутреннем канале цилиндра радиусом г0 со скоростью У2 и температурой Т12. Движение потоков может происходить как в одном направлении, так и противотоком.

Рис. 1. Расчетная схема цилиндра, охлаждаемого потоками воды

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Распределение температур в металлической заготовке находится решением уравнения теплопроводности, в котором удельная теплоемкость с = с (T ), плотность р = p(T ), теплопроводность l = l(T ) зависят от температуры:

dT

ср— = div (lV T ). dt

Здесь t — время процесса, Т — температура.

При условии симметричного распределения температур относительно оси х уравнение (1) примет вид:

ср

dT 1 d

rl

dr

+ -

д_ dy

dx

Э? г Эг

Здесь г, х — пространственные координаты, вдоль которых рассматривается процесс теплопроводности.

Для высокоинтенсивных нестационарных тепловых процессов, происходящих при термообработке металлических заготовок, необходим учет времени релаксации тепловых напряжений и теплоты внутренних источников. В этом случае уравнение (2) примет вид гиперболического уравнения теплопроводности [3]:

ср

эг dt +Tr dt2

1 _d_ r dr

rl

dT

dr

+ -

d_ dx

l

dT_ dx

+ 4v

d4v dt

где тг — время релаксации тепловых напряжений; — теплота внутренних источников.

Как и в работе [1] рассмотрим сначала одномерный случай для пространственной координаты г, тогда уравнение (3) запишем так:

ср

dT dt +tr dt2

1 _d_ r dr

rÀdT_ dr

+ 4v

d4v dt

Примем переменными параметры с, р,1 и шаг Аг интегрирования по г. В разностной форме по неявной схеме уравнение (4) будет иметь вид:

(Р1 г1 (%+0=(ср)п, {%+1] т -(ср)]-1 %тп-1+^А1Гл.л(т- т -+1)+

Dt

i

+-

DL

Dr,

l

I rpn+1 rpn +1 n+1 [Âi+1 " Ti

Dr

)( rpn +1 rpn+1 \

__l+1 V T - T-1 )

i+1

Dr

+€ +t

qn+1- qn

Dt

i-

2

2

Здесь Т-Г, Т"+1, Т++1 — температура в предыдущем, искомом и последующем расчетном узле на (п +1)-м временном слое; Т", Т"~1 — температура в искомом узле на п -м

и (п -1) -м временном слое; Лг — расчетный шаг по времени; Лгг =

Дт+1 + Лг-

2

, где Лг.,

Лг

.+1 шаг между расчетными узлами по пространственной координате г в искомом г -м и

последующем (г +1 )-м узле.

Уравнение (5) можно записать в искомом г -м узле в виде [4]:

АТ++1 - с ТП+1 + ВТ-+1 = -1п.

Двумерная нестационарная задача теплопроводности решается методом расщепления, записав разностные уравнения по радиусу г и по пространственной координате х, в виде неявной схемы [5]:

по

1

радиусу г:

коэффициенты при температурах в точках определятся формулами:

Лг1 1 Лг1 1

А = —^ + , ч; В = —^- , Лг1 ч

Лг-Лг+1 г

С =(ср), ГТ +1) + г v ; г V Лг У ЛГ

1 1 1 1

Л

2 +__2_

Лгг+1 Лг-

т Лг

У

1 = Мг

Л?

+1

Тг -Ып-1 Т-Тгп-1 +

Л?

по

1

координате х :

коэффициенты при температурах в точках определяться выражениями:

Г 1

Т+1

V Л? у

\ п+1

IV .

Лг1 1 Лг

А = 1 + 2 • ^ =_

А = Лх2 ; С1 =

1 1 +1 1

V 1 + 2 1 - 2 У

Лг1 1

Лх

2

+(ср), (тг+11; В =

Лг

Лг

Лх2

1=( ср) 1(Т+1У Т1 -(ср)п2 ТгТ1"-2+(тг+ч *

где Лх — шаг интегрирования по пространственной координате х .

Полученные системы уравнений (6) решаются методом прогонки.

Начальные условия для заготовки: Т(х,г,0) = Тт0 при хе [0,/], ге [г0, гт].

Краевые условия:

ЭТт

Эх

= 0 при х = 0, х = /; аХх (Тт -Тп )=-1

ЭТт

Эг

а

2 х

(Тт - Т 2 )=-1

ЭТт

Эг

при г = г0 .

пРи г = гт;

Начальные условия для потока: Т11 (х, г,0) = Т1, У1 (х, г,0) = V при х е [0,/], г е[гт, гг ]; Т2(х,г,0) = Т, V(х,г,0)= V при хе [0,/], г е [0,г0];

ЭТ, ЭТ п

Краевые условия: Т/1 = Т и Т2 = Т при х = 0; —= 0 при х = Ь ; —— = 0 при г = г{.

Эх Эг

Системы основных уравнений для потоков воды приведены так же, как показано в работе [2].

2

г -

1 - 2

Система уравнений для потока воды

dp Пт

уравнение движения: — =--;

уравнение энергии:

dp Пт

dx F

dT 1 П (

dx clF

т + дут-

V Р а

где cl — удельная теплоемкость несжимаемом жидкости.

а1х = 0,0268—Яе05 х~2 , Яе0 < 6-104

Замыкающие зависимости

В уравнения (7) и (8) входят величины т, а. Будем считать, что потоки сред однофазны. По экспериментальным оценкам [6], допущение справедливо, если толщина стенки цилиндра из конструкционной стали не превышает 12 - 14 мм, а скорость натекания потока воды, как отмечается в [7], составляет от 10 м/с и более.

Значение локального коэффициента теплоотдачи на внешней поверхности цилиндра будем определять как при течении полуограниченной струи жидкости вдоль пространственной координаты x выражением [8]:

ЛТ> -15 — 2

Ч

Здесь Л1 — теплопроводность жидкости; Ь0 = г1 _ гт — поперечный размер потока;

Vb _

Яе0 = 1 0 — приведенный критерий Рейнольдса; V — кинематическая вязкость; x = х/Ь0 — V

относительная текущая координата.

Для охлаждения потоком воды внутренней полости примем соотношение для коэффициента теплоотдачи как в [6]:

а2 х = 0,0356Л ЯемРг0,\

x

где Яе = У2d¡V — число Рейнольдса; d = 2г0 — внутренний диаметр канала; V — кинематическая вязкость; Рг — число Прандтля.

Для учета теплообмена излучением коэффициент теплоотдачи аъ рассчитывается как сумма: а2 = ах + а'х — конвективного коэффициента ах, рассчитываемого по уравнениям (9), (10) и коэффициента теплоотдачи излучением а'х, который определяется так:

г = &0е£Ттх _ Т1х ) пп

ax = [Т _ т ) ,

V mx 1Ьс )

где <70 = 5,67 -10_8 Вт!(М • K4) — постоянная Стефана-Больцмана; £ — степень черноты заготовки; Ттх и Тх — температура поверхности цилиндра и среды в расчетных точках по длине цилиндра (считаются по шкале Кельвина).

Величину тм, касательного напряжения трения при движении потока вдоль внешней поверхности, определим из соотношения [8]:

2

2 12 ^ 14 ^ _15

т^ = р^2 • 0,09Яе015 X 13

1 + 0,0088X 13 V J

При течении во внутренней полости примем:

Яе0 < 6 104.

Т2 w =11 PV¿,

d 2

где Л — коэффициент гидравлического сопротивления. При ламинарном режиме течения Л = -64, при турбулентном Л = 0,3164 . Критическое значение Яе= 2300 .

яе ^яе

Последовательность решения численного алгоритма

При начальном условии решается уравнение двумерной нестационарной задачи теплопроводности (3). В качестве граничных условий на охлаждаемых внешней и внутренней поверхностях задаются коэффициенты теплоотдачи, значение которых для каждого шага интегрирования по времени и продольной координаты х получаем решением уравнений (9) - (11). Величины касательных напряжений определяются решением уравнений (12) и (13). Температуры охлаждающих сред Т вдоль поверхностей охлаждения находятся решением систем уравнений (7), (8). Дифференциальные уравнения решаются методом Рунге-Кутты.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Рассмотрим охлаждение осесимметричной заготовки. Заготовка из стали 30ХГСА. Внутренний радиус канала цилиндра г0 = 0,005, наружный радиус цилиндра гт = 0,017, радиус поверхности потока воды г1 = 0,022. Скорость потока воды ¥1 = 10 м/с на внешней границе цилиндра и У2 = 10 м/с во внутреннем канале цилиндра. Длина Ь = 200 мм. Начальная температура цилиндра Тт = 950 °С, потока воды Т = 20 °С. Расчетное время ? = 10 с, шаг по времени А? = Ю^с. Теплофизические свойства воды приняты согласно [9], а стали согласно [10]. В расчетах принимается коэффициент теплоотдачи (Хъ. Степень черноты материала заготовки е = 0,8.

По теоретическим оценкам время релаксации тепловых напряжений 1Г для металлов составляет 10-11 с [3]. Величина теплового эффекта превращения аустенита в перлит при охлаждении для стали с содержанием углерода 0,4 % составляет 49 кДж/кг. Будем считать, что при мартенситном превращении выделится теплота такого же порядка. Температура начала мартенситного превращения стали 30ХГСА составляет 350 °С. Движение потоков воды примем в одном направлении.

Рис. 2. Температурное поле цилиндра без учета времени релаксации тепловых напряжений

и эффекта превращения аустенита

Рис. 3. Температурное поле цилиндра с учетом времени релаксации тепловых напряжений

и эффекта превращения аустенита

По результатам расчета видно, что влияние времени релаксации тепловых напряжений и эффекта превращения аустенита незначительно сказываются на изменение теплового состояния заготовки при охлаждении. Разница температур в сопоставленных расчетных точках в объеме заготовки составляет не более 2,7 %.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенный алгоритм численного решения задачи охлаждения квазистационарными продольными потоками воды полых металлических заготовок цилиндрической формы может быть применен для расчета полей температур высокотемпературных тел и параметров охлаждающих сред как с учетом влияния времени релаксации тепловых напряжений и эффекта фазовых превращений в материале (3), так и без учета вышеназванных явлений (1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Липанов А.М., Макаров С.С. Численное решение задачи охлаждения высокотемпературного сплошного металлического цилиндра // Машиностроение и инженерное образование. 2012. № 4(33). С. 33-40.

2. Макаров С.С., Липанов А.М. Численное решение задачи охлаждения потоком воды и воздуха высокотемпературного сплошного металлического цилиндра // Машиностроение и инженерное образование. 2014. № 1(38) С. 36-41.

3. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М. : Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

4. Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы. М. : Наука, 1989. 432 с.

5. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск : Наука, 1967. 197 с.

6. Кадинова А.С., Хейфец Г.Н., Тайц Н.Ю. О характере теплообмена при струйном охлаждении // Инженерно-физический журнал. 1963. Т. VI, № 4. С. 46-50.

7. Шепеляковский К.З. Упрочнение деталей машин поверхностной заколкой при индукционном нагреве. М. : Машиностроение, 1972. 288 с.

8. Юдаев Б.Н. Теплообмен при взаимодействии струй с преградами. М. : Машиностроение, 1977. 247 с.

9. Вукалович М.П. Теплофизические свойства воды и водяного пара. М. : Машиностроение, 1967. 160 с.

10. Стали и сплавы. Марочник / под ред. В.Г. Сорокина, М.А. Гервасьева. М. : Интермет Инжиниринг, 2001. 608 с.

NUMERICAL SOLUTION OF THE COOLING OF HOLLOW CYLINDRICAL METAL BLANKS FORM OF A LONGITUDINAL FLOW OF WATER

Lipanov A.M., Makarov S.S.

Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Russia, Izhevsk

SUMMARY. The mathematical model of the cooling hollow metal cylindrical blank longitudinal quasi-steady flow of water. An algorithm for the numerical solution of the problem, as well as the results of calculations of the heat transfer cylinder and the flow of the medium. Determine the temperature of the cooling of the cylinder is made taking into account the relaxation time of the thermal stresses and internal heat sources caused by polymorphic transformation.

KEYWORDS: mathematical model, cooling, hollow cylinder, the parameters of heat transfer, the flow of water, polymorphic transformations, numerical calculation.

Липанов Алексей Матвеевич, академик РАН, главный научный сотрудник ИМ УрО РАН, тел. (3412) 20-76-58, e-mail: lipanov@udman.ru

Макаров Сергей Сергеевич, кандидат технических наук, заведующий лабораторией термодеформационных процессов ИМ УрО РАН, е-mail: ssmak15@mail.ru