Решение стационарного уравнения теплопроводности с химическим источником тепла при граничных тепловых условиях 3-го рода в бесконечной круглой трубе

УДК 536

Р. Р. Кантюков, М. С. Тахавиев, С. А. Лившиц, Р. В. Лебедев, С. В. Шенкаренко

РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ХИМИЧЕСКИМ

ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА ПРИ ГРАНИЧНЫХ ТЕПЛОВЫХ УСЛОВИЯХ 3-ГО РОДА

В БЕСКОНЕЧНОЙ КРУГЛОЙ ТРУБЕ

Ключевые слова: моделирование, ламинарное течение, граничные условия, цилиндрическая система координат, области прогрессивного нарастания температуры, условие устойчивого течения.

В данной статье приводится исследование критических режимов течения химически активной жидкости в бесконечно круглой трубе при тепловых граничных условиях третьего рода. Исследуются условия прогрессивного нарастания температуры при течении ньютоновской жидкости.

Keywords: Model operation, laminar flow, boundary conditions, cylindrical frame, self-ignition condition, condition of a steady current.

In this article research of the critical modes of a current of reactive liquid is given in the infinite round pipe at thermal boundary conditions of the third sort. Conditions and the modes of self-ignition, and also stability condition of a current of the Newtonian liquid are investigated.

Исследования в области прогрессивного нарастания температуры за последнее время получили широкое развитие в связи с решением задач, как фундаментального, так и прикладного характера. Эти исследования имеют большое значение для развития таких фундаментальных областей знания, как химическая кинетика и теория теплопередачи.

Для явления прогрессивного нарастания температуры характерно, выделение тепла, скорость которого экспоненциально возрастает с температурой. В теории обычно рассматривают источники тепловыделения, связанные с химическими превращениями (экзотермическими реакциями), и именно в химии явление прогрессивного нарастания температуры имеет широкое распространение.

В то же время известно, что условия, необходимые для прогрессивного нарастания температуры могут возникать при протекании других, чисто физических процессов как за счет выделения внутренней энергии, запасенной в веществе, так и благодаря диссипации энергии внешних воздействий.

В работе приведено исследование критического режима течения реакциоспособной жидкости в бесконечной круглой трубе при действии химического источника тепловыделения. При построении математической модели процесса используются следующие допущения [1]:

- скорость химической реакции, описываемая законом Аррениуса и зависит только от температуры (изменением свойств жидкости от температуры и пр. можно пренебречь);

- теплопроводность стенок бесконечна;

- предвзрывной разогрев мал сравнительно с температурой стенок;

- тепловые граничные условия 3-го рода, т.к. разогревом стенок из-за теплопроводности конденсированной фазы пренебрегать нельзя.

Учитывая используемые допущения, стационарное уравнение теплопроводности для исследуемого процесса имеет вид:

е~ ^ К0О0 + + Т'

где E - энергия активации химической реакции; R0 -универсальная газовая постоянная; г - координата от оси трубы; Т(г) - абсолютная температура; К0 -константа скорости химической реакции; Q0 -тепловой эффект химической реакции; X -коэффициент теплопроводности.

Тепловые граничные условия 3-го рода для цилиндрической трубы имеют вид:

Т'

T(r1 ) = -

Ife)

Nu :

где г! - радиус трубы; № - число Нуссельта (для цилиндрической трубы №=3.659).

Все вычисления выполнены с использованием пакета МАТНЕМАТ1СА [3-5] .

Для упрощения дальнейших вычислений проведем нормировку (1), (2), (3):

е(г )> о,

где Т(г1) - температура стенки без конвекционного разогрева.

г

X = -,

г1

0 < X < 1.

С учетом принятого нормирования стационарное уравнение теплопроводности для исследуемого процесса (1) и тепловые граничные условия третьего рода (2) и(3) примут вид:

e

°T(ri)l+0(x))KoQo -(V + ^ + 9"(x) = 0 , (6) T("i ) x

0'(О) = 0, е(1)+^ = 0.

Nu

Введем обозначения:

р=RTEk)'

5 = КА:

г1

1(р1 )Х'

то (6) преобразуется к виду:

5е- 1^)KoQo?

Решить (11) при (7) и (8) аналитически точно не удалось.

Для приближенного аналитического решения (11) при (7) и (8) аппроксимируем первое слагаемое в (12) методом разложения экспоненты методом Франк-Каменевского [6]:

0'(х).

+—+ 0" (х ) = 0. x

где V = 5e р.

Общее решение (12) имеет вид:

4е14е2хс1-2

1п

01 (х ) = -

Р

1п

01(х) = -

4кД2хк1-2

Р

При этом общее решение (14), (15) преобразуются при выполнении (1) - (2) к виду:

1п

0(х) = 01 (х ) = 02 (х ) = •

8с2

Р

Уравнения (1) - (3) преобразуется при подстановке в него (16) к виду:

1,09319 1 + с2ур

+ 1п

8с2

(х2 + с2ур)2

= 0.

Точного аналитического решения (17) найти не удалось. Для анализа обозначим (17) как функцию:

/ \ 1,09319 ,

Ыс2 )= —:-+ 1п

К2' 1 + с2ур

8с2

Графики q(c2) при различных у р приведены

на рис.1.

Рис. 1 - Вид q(c2) при различных ур

Результат анализа графиков изображенных на рис.1 позволяет сделать вывод что:

1. (17) может не иметь решений, если qmax<0.

2. (17) может иметь одно решение, если

^ах=0 .

3. (17) может иметь два различных решения, если qmax>0. Исследование на экстремум (18) показывают:

/ ч 1,68623

С 2

т.е. (18) не будет решений при условии:

ур > 1.244.

При выполнении (20) с2 не является вещественным и (12) не имеет частных решений.

Выражение (18) будет иметь одно решение при условии:

При выполнении (21) с2кр =1.352 и (12) имеет единственное частное решение.

1п

0кр (х) = -

10,84

(1,68623 + х2 )2

р

Зависимость (18) будет иметь два различных решения при условии:

ур < 1.244.

Т.к. (18) при условии (23) аналитически решить не удалось, то используем численные методы, для чего выполним локализацию корней (18):

0(С2)>0 если С2=С2тах.

q(c2)<0 если с2 является корнем уравнения

1п

8с 2

= 0.

Результат локализации корней (18) получим:

- 4 + ур + 2^4 - 2ур

1,68623

у2р 2

1,68623

ур

ур

4 - ур + 2^4 - 2ур

у2р 2

Результаты численного решения (18), полученные комбинированным методом (метод секущих [2] и метод Ньютона [2]) приведены в таб.1

< с22 <

Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №9 Таблица 1 - Результаты численного решения

№ vp С21 С22 y № vp С21 c22 y

1 1,245 1,355 1,355 0,000 18 1,075 0,742 3,340 0,412

2 1,235 1,148 1,626 0,100 19 1,065 0,731 3,455 0,424

3 1,225 1,076 1,764 0,141 20 1,055 0,720 3,572 0,436

4 1,215 1,026 1,882 0,173 21 1,045 0,711 3,692 0,447

5 1,205 0,986 1,991 0,200 22 1,035 0,701 3,815 0,458

6 1,195 0,953 2,095 0,224 23 1,025 0,692 3,942 0,469

7 1,185 0,925 2,197 0,245 24 1,015 0,684 4,072 0,480

8 1,175 0,900 2,297 0,265 25 1,005 0,675 4,205 0,490

9 1,165 0,877 2,397 0,283 26 0,995 0,668 4,342 0,500

10 1,155 0,857 2,497 0,300 27 0,985 0,660 4,484 0,510

11 1,145 0,839 2,597 0,316 28 0,975 0,653 4,629 0,520

12 1,135 0,822 2,698 0,332 29 0,965 0,646 4,779 0,529

13 1,125 0,806 2,801 0,346 30 0,955 0,639 4,933 0,539

14 1,115 0,792 2,905 0,361 31 0,945 0,632 5,093 0,548

15 1,105 0,778 3,010 0,374 32 0,935 0,626 5,257 0,557

16 1,095 0,765 3,118 0,387 33 0,925 0,620 5,427 0,566

17 1,085 0,753 3,228 0,400 34 0,915 0,614 5,602 0,575

Функция у21(уР), аппроксимирующая столбец 021 из таблицы 1, обладает следующими свойствами:

1. У21

у21(0)=с21(уР) кр,

где У ^

У21

4,16179 - 5,95к0 - 2,79606к1 - 1,3685к2 = 0

.Цс21

9,81473 - 13,4883к0 - 5,95к1 - 2,79606к2 = 0

Корнями системы

В результате подстановки (29) в (26) получим:

v21 (у) = 1,355 - 2,07689у + 1,39324у2 (30) Результат подстановки (27) в (30): v21Гvp)= 3,08882 -1,39324 vp

- 2,07689 71124445^ур '

при 0,904454 < vp < 1,24445.

Графики у21 и столбец с21 таб.1 приведены на рис.2.

Выполнив над с22 аналогичные вычисления, получим:

v22 (Ф) = 16,7572 -12,3766vp

- 0,0440234 ' при 0,904454 < vp < 1,24445

График у22 и столбец с22 таб.1 приведено на

рис.3.

0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 Рис. 2 - Графики V21 и столбец с21 таблицы 1

Рис. 3 - График v22 и столбец с22 табл.1

Частными решениями (12) являются: 24.7105 -11.1459vp -16,6151^1,24445 - vp

- vp(3,08882 - 1,39324vp - 2,07689/1,24445 - vp

Э1(х) " в

при 0,904454 < vp < 1,24445.

135.057 - 99.0131vp - 0,35218^1,24445 - vp

?

°2(x)= p

,

при 0,904454 < vp < 1,24445.

Графики 91(x), 02(x), 6kp(x) приведены на

рис.4.

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 4 - Графики 01

Анализ частных решений

1. Если

0кр

2. Если (ур)<(ур) кр , то 0](х)> 02(х);

3. 01(х) является неустойчивым, что доказывается:

3.1. аналитически методом малых возмущений, примененным в [6] к частным решениям (1) при граничных условиях 1-го рода;

3.2. физическими соображениями.

С возрастанием у (при возрастании и неизменном р должна монотонно возрастать 0(х), что справедливо для 02(х), но 0:(х) монотонно убывает:

е

21Л max )=е2 ()=-

134.057 - 99.0131vp - 0,352187^1,24445 - vp

ekp(x)= e2max(x).

Выводы: Исследован критический режим течения реакциоспособной жидкости в бесконечной круглой трубе при действии химического источника тепловыделения. При этом при построении

математической модели процесса показано что, единственным устойчивым решением (12) при тепловых граничных условиях (13) и (14) является (35), а условие, при котором прогрессивное нарастание температуры приводит к нефизичному состоянию (33), является (21), переходный режим описывается (36).

Литература

1. Франк - Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике - М.: Наука 1987—503с.

2. Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров М.: Наука 1968—729с.

3. Дьяконов В.П. МаШетайса 4: учебный курс - СПБ: Питер,2001 -656с.

4. ШмидскийЯ,К. МаШетайса 5. Самоучитель Диалектика 2004-580с.

5. Васильев А.Н. МаШетаИса. Практический курс с примерами

решения прикладных задач- К.:Век+,СПб.: КОРОНА- ВЕК 2008-446с.

6. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва М.: Наука 1980 478с.

© Р. Р. Кантюков, к.т.н., заместитель главного инженера по эксплуатации магистральных газопроводов, ООО «Газпром трансгаз Казань», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; М. С. Тахавиев, нач. инженерно-технического центра, ООО «Газпром трансгаз Казань», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru; С. А. Лившиц, к.т.н., доц. каф. экономики и организации производства Kroy,semen19772004@mail.ru; Р. В. Лебедев, к.т.н., начальник службы по информационному обеспечению инженерно-технического центра, ООО «Газпром трансгаз Казань», r-lebedev@tattg.gazprom.ru; С. В. Шенкаренко, зам. нач. технического отдела, ООО «Газпром трансгаз Казань», s-shenkarenko@tattg.gazprom.ru.

© R. R. Kantyukov, Ph.d in Engineering Science, deputy chief engineer for oil trunk pipelines operations, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; M. S. Tahaviev, chief of engeneering and technical center, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru; S. A. Livshits, candidate of science, docent, of Kazan state power engineering university, semen19772004@mail.ru; R. V. Lebedev, information support service chief, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», r-lebedev@tattg.gazprom.ru; S. V. Shenkarenko, technical department chief assistant, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», s-shenkarenko@tattg.gazprom.ru.

In

p