Анализ устойчивости систем многоальтернативного управления на основе декомпозиции

УДК 519.71

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

НА ОСНОВЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ

С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев

Рассматривается задача стабилизации систем многоальтернативного управления на примере структурно неустойчивого объекта. На основе декомпозиции исходной модели на подсистемы с выделенной неизменяемой частью определён класс допустимых управлений, обеспечивающих указанную стабилизацию при произвольном законе переключения альтернатив

Ключевые слова: многоальтернативные системы, структурная неустойчивость, декомпозиция, стабилизация объектов

1. Постановка задачи

Реализация принципов многоальтернативности в системах автоматического регулирования предусматривает достижение цели управления на основе некоторого множества алгоритмов, используемых в соответствии с текущим состоянием объекта [1-7]. Порождаемое указанным подходом разнообразие режимов функционирования многоальтернативной системы управления приводит к задаче анализа её устойчивости в следующей постановке [8,9]:

будет ли система, устойчивая отдельно с каждым из используемых алгоритмов управления, устойчивой при произвольном переключении этих алгоритмов в процессе работы;

каким должен быть класс допустимых управлений, гарантирующих устойчивость таких систем, в том числе и в случае, когда объект управления является структурно неустойчивым, то есть остаётся таковым при любых значениях своих параметров.

Поставленные задачи могут быть решены на основе теории гибридных систем, в рамках которой в предлагаемой работе рассматривается решение второй из сформулированных выше задач: нахождение класса законов стабилизирующего многоальтернативного управления структурно неустойчивым объектом. В качестве примера такого объекта используется модель обратного маятника.

2. Модель объекта управления

Рассмотрим модель обратного маятника, установленного на опоре, горизонтально перемещаемой с некоторым трением под действием внешней управляющей силы. Расчётная схема маятника представлена на рисунке [10].

На рисунке обозначены: т1, т2 - массы опоры и сосредоточенная масса маятника соответственно; Ь - длина маятника; х - координата, характеризующая горизонтальное положение опоры маятника; а -угол отклонения мятника от вертикали; g - ускорение свободного падения; ю -угловая скорость; ц -коэффициент сухого трения опоры; ¥тр - сила сухо-

Подвальный Семён Леонидович - ВГТУ, доктор техн. наук, профессор, e-mail: spodvalny@yandex.ru Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, тел. 7(473)243-77-76

го трения; ¥ - внешняя сила, приложенная к подвижной опоре; ¥ст - сила, действующая вдоль стержня маятника.

m2g

Расчётная схема объекта управления

Опишем движение объекта в координатах х и а в виде уравнений Лагранжа:

'_дК + d_ dE = f _ рт ;

dx dt dX тр'

dE d dE

---1---г = m2 gL sin а,

da dt da

где Е - кинетическая энергия системы:

2

E = mi + m2 X2 + m2,L a2 — m^LXa cos a. 2 2 2

Подставив (2) в (1), получим: l(mj + m2)X _ m2L(a cos a — a2 sin a) = F _ Fmp; [ — X cos a + Lot = g sin a. Силу Fmp сухого трения определим в виде: Fmp = ^(mig + FCm cos a) sign(X), где продольная сила Fcm:

Fcm = m2g cos a — m2Xsina — m2<a2L. В итоге, движение рассматриваемого объекта полностью опишется системой уравнений:

• 2

(mi + m2)X — m2L(acosa—a sina) = F — Fm

Fmp = /u\nig + m2cosa|g • cosa — Xsina— á — Xcosa + Lá — g sina = 0,

g •<

-1 * mp>

á2L)sign

определяющей в качестве регулируемых величин угловое положение а(/) маятника и координату х(/) его подвижной опоры, а также общий порядок объекта, равный четырём.

х

3. Анализ устойчивости объекта

Примем за положение равновесия координаты х = x = 0 и а =ас = 0 (перевёрнутое вертикальное положение маятника) и перепишем систему (4) для малых отклонений около этого положения в автономном режиме:

(mi + Ш2)х - m2La = 0;

I •• 2 ..

I - m2Lx + m2L а - m2Lga = 0.

Представим (5) в виде:

Aq + Bq + Cq = 0

в котором q=[x a]T - вектор координат состояния;

A =

m+m2 ~m2l

- m2 L m2L2

"0 0" "0 0 "

; b = ; с =

0 0 0 - m2 Lg

Формальный анализ асимптотической устойчивости положения равновесия объекта (6) проведём с помощью характеристической матрицы

/(Л) = АЛ2 + БЛ + Cq , одно из собственных значений которой:

Л =

0 0

ylmlLg

T

ш^Ь ш^Ь

остаётся положительным при любых значениях параметров ть т2 и Ь, т.е. объект структурно неустойчив.

4. Декомпозиция исходной модели Введём в (6) возможность многоальтернативного позиционного управления Са^Са(Г) ={СЬ

С2,..., См} с некоторым неизвестным законом ст(Т) переключения N альтернатив:

Aq + Бq + Са{ф = о.

Использование этой модели для анализа устойчивости системы вторым методом Ляпунова предполагает существование общей функции Ляпунова для всех N альтернатив (7) с разными .

Условием существования такой функции Ляпунова является коммутативность матричных коэффициентов ВР}=Врк г = ; ]' = , [9]: 0 I

D =

- A"1CCT(i) - A~lB

где I - единичная матрица.

Для рассматриваемой задачи получаем:

DtDj = -А

-1

С,

B

- BA~lC, С - BA~lB

DjDj = -A

-1

С

B

- BA'C С - BA~lB

Из сопоставления (8) и (9) вытекает, что условие выполняется только при равенстве С=С, исключающем наличие альтернатив.

Для определения условий многоальтернативной стабилизации системы (7) выделим из неё две изолированные подсистемы, т.е. осуществим декомпозицию [9,12]:

AZ + Bz = 0; BV + Ca(t)V = 0 .

Представив (11) в виде:

v = -B Xca{t)v >

получим, что в (12) условие коммутативности альтернативных матричных коэффициентов выполняется:

B~xCi  B~lCj = B~lCj  B'C

так как для любого невырожденного C, можно найти JC, при котором справедливо (13).

Отсюда следует, что для всех альтернативных подсистем (11) существует общая функция Ляпунова и появляется возможность осуществить анализ устойчивости системы (7) вторым методом Ляпунова.

5. Анализ устойчивости системы

Воспользуемся теоремой [9]:

если подсистема (10) асимптотически устойчива;

и все подсистемы (11) асимптотически устойчивы и для них существует непрерывно дифференцируемая общая однородная второго порядка функция Ляпунова, удовлетворяющая условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости;

то при достаточно значительном доминировании скоростных компонент Bq положение равновесия q = q = 0 системы (7) экспоненциально устойчиво при произвольном законе переключения a(t).

Проверим условия теоремы для рассматриваемого случая [12].

Для асимптотическая устойчивости (10) достаточно положительной определённости квадратичной

формы функции Ляпунова Vj(z) = z Az и отрицательной определённости её производной V(z) = —2zTBz .

Положительная определённость V1(z) в соответствии с критерием Сильвестра подтверждается положительностью главных диагональных миноров матрицы А :

Aj = (mj + m£) > 0,

2 2 2 2

A2 = (mj + m2)m2L — m= mm2L > 0,

сохраняемой при любых значениях параметров объекта.

Условие отрицательной определённости

T

V(z) =—2z Bz требует положительности главных миноров матрицы В, из чего следует что в систему (7) должны быть введены скоростные компоненты bxx и baà , например, в виде:

B =

bxx 0

0

baà_

с достаточно большими коэффициентами Ьх и Ьа , обеспечивающими доминирование скоростных компонент управления.

Асимптотическая устойчивость подсистемы (11) требует положительной определённости квад-

т

ратичной формы ^2(у) = V Бу и отрицательной

т

определённости её производной Р2(у) = ~2у Са^ )У.

Для матрицы В указанное требование выполняется при положительности коэффициентов Ьх > 0 и Ьа> 0, обеспечиваемой знаком отрицательной обратной связи управления по координатам X и а .

Положительность главных диагональных миноров матрицы Са(() предполагает введение в систему (7) компонент позиционного управления сх,а(0Х и са,а(г)а в виде:

0

C,

а

cx,o

0 ca,a(t) - m2Lg

из которого вытекает, что на позиционные компоненты стабилизирующего управления накладываются требования преобладания над потенциальными силами в объекте сх а(1) > 0 и саа(1) > m2Lg для всех вариантов многоальтернативного управления.

6. Заключение

Показано, что для стабилизации рассматриваемого структурно неустойчивого объекта достаточно введения многоальтернативного управления, содержащего позиционные и скоростные компоненты, отвечающие условиям доминирования скоростных составляющих и преобладания позиционных сил управления над потенциальными силами, действующими в объекте.

Стабилизация объекта в указанном классе воздействий обеспечивается при произвольном законе переключения альтернативных управлений.

Литература

1. Подвальный, С.Л. Многоальтернативные системы: обзор и классификация [Текст] / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии. -2012. - № 2. - С. 4-13.

2. Подвальный, С.Л. Многоальтернативное управление открытыми системами: концепция, состояние и перспективы [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев //

Управление большими системами.- М.: ИПУ РАН, 2014. -№ 48. - С. 6-58.

3. Подвальный, С.Л. Многоальтернативное поведение в критических режимах как модель биологического процесса принятия решений [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. - 2015. - № 2. - С. 105-113.

4. Подвальный, С.Л. Обобщенная модель системы многоальтернативного управления [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014): сб. тр. VII Междунар. конф. -Воронеж: Научная книга, 2014. - С. 280-282.

5. Подвальный, С.Л. Многоальтернативное управление в критических ситуациях [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // Современные проблемы горнометаллургического комплекс: материалы XI Всерос. науч.-практ. конф. - Старый Оскол: СТИ НИТУ «МИ-СиС», 2014.- С. 289-294.

6. Подвальный, С.Л. Интеллектуальные системы многоальтернативного управления: принципы построения и пути реализации [Текст] / С.Л. Подвальный, Е.М. Васильев // XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. - М.: ИПУ РАН, 2014. - С. 996-1007.

7. Васильев, Е.М. Робастная стабилизация многомерных объектов в системах с переменной структурой [Текст] / Е.М. Васильев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т.8, № 11. - С. 24-26.

8. Васильев, С.Н. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов [Текст] / С.Н. Васильев, А.А.Косов // Автоматика и телемеханика.- 2011.- № 6.- С. 27-47.

9. Александров, А.Ю. Об устойчивости и стабилизации механических систем с переключениями [Текст] / А.Ю. Александров, А.А. Косов, Я. Чэнь // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 6. - С. 5 -17.

10. Васильев, Е.М. Нечёткое управление структурно неустойчивыми объектами [Текст] / Е.М. Васильев, Д.М. Прокофьева // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т. 8, № 10.1. -С. 8-12.

11. Пятницкий, Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами [Текст] / Е.С.Пятницкий //Докл. АН СССР.- 1988.- Т.300, № 2.- С. 300-303.

12. Зубов, В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования [Текст] / В.И. Зубов. - Л.: Машиностроение, 1974. - 336 с.

Воронежский государственный технический университет

ANALYSIS OF THE STABILITY MULTIALTERNATIVE CONTROL SYSTEMS BASED ON THE DECOMPOSITION

S.L. Podvalny, E.M. Vasiljev

The problem of stabilization systems multialternative control on the example of the structural instability of the object. Based on the decomposition of the original model to the subsystem with a dedicated unchanging part defines a class of admissible controls to ensure stabilization in the specified arbitrary law of alternate switching

Key words: multialternative system, structural instability, decomposition, stabilization of objects