Определение размера дефицита товарно-материальных ценностей в вероятностной модели управления запасами

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В УПРАВЛЕНИИ ПРОИЗВОДСТВОМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРА ДЕФИЦИТА ТОВАРНО-МАТЕРИАЛЬНЫХ ЦЕННОСТЕЙ В ВЕРОЯТНОСТНОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ

ЗАПАСАМИ Т.И. Ефремкова, канд. экон. наук, доцент

Сибирский государственный индустриальный университет, г. Новокузнецк

В статье рассмотрены современные подходы к определению параметров вероятностных моделей управления запасами и предложены приближенные методы расчета дефицита товарно-материальных ценностей в условиях сложных теоретических и эмпирических распределений спроса с использованием средств MS Excel

Функционирование предприятий в условиях жесткой конкуренции предъявляет все большие требования к поиску дополнительных резервов повышения эффективности хозяйственной деятельности. Одним из важных направлений роста конкурентоспособности предприятий является совершенствование управление всеми видами ресурсов, к которым, в том числе относятся производственные и потребительские запасы. Особую актуальность проблемы повышения качества решений в области управления запасами товарно-материальных ценностей приобретают в последнее время в связи с развитием кластерной формы организации региональной экономики, так как территориальная близость предприятий, образующих кластер, позволяет получить дополнительный эффект за счет формирования оптимальной складской инфраструктуры.

Вместе с тем, вопросы определения характеристик систем управления запасами, и, в особенной степени, связанных с дефицитом товарно-материальных ценностей в условиях случайного характера спроса, до настоящего времени изучены не в полной мере. В связи с этим нами в рамках государственного заказа №10 «Концептуальные основы кластерной формы организации социально-экономического развития региона» (номер государственной регистрации НИР: 01201256551) проведено исследование методов расчета дефицита в вероятностных моделях управления запасами.

Как известно, в теории и практике управления запасами, наибольшее распространение (в силу своей простоты) получила однопродуктовая статическая модель [1], которая позволяет определить оптимальный размер заказа в зависимости от двух видов издержек: затрат на оформление заказа и затрат на хранение запаса на складе предприятия. Одним из недостатков этой модели (наряду с недостаточно полным составом учитываемых издержек) является рассмотрение интенсивности спроса на продукцию как детерминированной величины.

В современных рыночных условиях хозяйствования предприятий, характеризующихся нестабильностью спроса на продукцию, все большую актуаль-

ность приобретают вероятностные модели хозяйственных процессов, отражающие влияние различных случайных факторов на параметры принимаемых управленческих решений. Эти тенденции касаются и области управления запасами товарно-материальных ценностей.

Анализ работ таких известных авторов, как Дж. Хедли и Т.Уайтин [1], Дж. Букан и Э. Кенингсберг [2], Хэмди А. Таха [3], Ф. Хэнссменн [4], Дж. Шрайбфедер [5], Ю.И. Рыжиков [6], В.А. Лотоцкий и А.С. Мандель [7], В.А. Сакович [8], Г.В. Рубальский

[9], А.А. Первозванский [10], Н.Д. Фасоляк [11], Г.И. Феклисов [12] показывает, что, как правило, такие модели учитывают случайный характер лишь одной из наиболее важных характеристик системы управления запасами - интенсивности спроса на продукцию-и лишь в течение наиболее важного с точки зрения управления запасами периода - срока выполнения заказа. Эти (вероятностные) модели достаточно разнообразны: они различаются как составом учитываемых издержек (с учетом или без учета дефицита, инфляции, скидок, потерь от порчи товара, естественной убыли, налогов на запасы и т.п.), так и условиями применения (например, с потерями неудовлетворенных требований или без их потерь, с периодическим или непрерывным контролем уровня запасов) и составом определяемых (эндогенных) переменных (размер заказа, точка заказа, интервал между поставками...).

Одной из таких достаточно простых вероятностных моделей, которая может быть использована в условиях относительно невысокой загрузки мощностей производственных предприятий, или при незначительных сроках выполнения заказа, или сбытовыми предприятиями-монополистами, является, модель без потерь неудовлетворенных требований (заявок). Эта модель, разработанная Хедли и Уайтином в 1970ых годах [3], позволяет определить оптимальные значения точки заказа (R) и размера заказа (q) с учетом случайного характера спроса за время выполнения заказа исходя из минимизации суммы трех видов издержек: затрат на оформление заказа (Cj ), затрат на хранение запаса на складе (C2 ) и потерь от дефицита продукции (C3). Согласно [3, с. 577-580], общие из-

держки системы управления запасами в единицу времени (Собщ), рассчитываемые по этой модели, имеют вид:

Собщ(^) = С1+С2+С3 ->шп, К-/л

СМ) = -

ч

С2№ч) = ь- ч+я—м{х}

2

С3(Я;д) =

Р'М

Я

где К - затраты по оформлению заказа, ден.ед./партию;

¡1 - математическое ожидание интенсивности спроса в единицу времени, нат.ед.; q - размер заказа, нат.ед.;

к - затраты по хранению единицы продукции на складе в единицу времени, ден.ед.;

Я - точка заказа, нат.ед.;

х - значение интенсивности спроса за время выполнения заказа, нат.ед.;

М{х} - математическое ожидание интенсивности спроса за время выполнения заказа, нат.ед.;

£ - средний размер дефицита продукции в цикле,

нат.ед.

тах

Б= |(х-Я) -Г(х)ёх ;

где /(х) - плотность вероятности интенсивности спроса за время выполнения заказа, доли ед.;

Хтах - максимальное теоретическое значение

интенсивности спроса в единицу времени (для законов распределения, неограниченных сверху по области определения хтах = со), нат.ед.

Одной из задач практической реализации этой модели является вычисление среднего размера дефицита продукции в цикле (£) для различных вариантов распределения интенсивности спроса за время выполнения заказа. Проблема заключается в том, что точное значение £ может быть получено только для простых теоретических законов распределения, имеющих точную аналитическую запись функции распределения. Например, для таких как равномерный, экспоненциальный законы, закон Пуассона. В случае же более сложных теоретических распределений интенсивности спроса: нормального, логнормального и т.п., которые имеют не меньшее распространение на практике, значение дефицита продукции в цикле (£) аналитическим методом может быть рассчитано лишь приближенно.

Если же интенсивность спроса на продукцию не соответствует известным теоретическим законам (что также не редкое явление) и характеризуется эмпирическим распределением, то применение формулы (5) без дополнительных преобразований вообще невозможно.

Обзор литературных источников прошлых лет [1-12] показал, что вопросы практического определения значения среднего размера дефицита продукции в цикле (£) для сложных вариантов распределения интенсивности спроса на продукцию, как правило, не рассматриваются. Авторы либо задаются определенной степенью удовлетворения дефицита посредством создания страхового запаса [5, с.132-139; 11, с. 194199], либо ограничиваются теоретическим описанием модели (1) и выводом формул для заданных значений точки и размера заказа [1, с. 186-192], либо приводят формулы расчета £ для условий простых законов распределения, например, равномерного [2, с. 205; 3, с. 580,], показательного [2, с. 206; 6, с. 169; 9, с. 221227], законов Пуассона и Эрланга [6, с. 169; 9, гл. 2;

12, с. 57-63] или для простых условно заданных (линейных) распределений [8, с. 114-115]. При этом в отдельных случаях [9, 10] авторами выводятся формулы расчета лишь управляемых переменных (точка и размер заказа), а определение промежуточных составляющих, в том числе и размера дефицита, опускается в виду кажущейся простоты [10] или по причине совместного учета издержек дефицита и хранения [9].

В современных научных трудах [13-21] также отсутствует доступное широкому пользователю решение этой задачи. В отдельных источниках (работы А.В. Волкова [13], В.Ю. Ивашкевича [14], Р.В. Мельникова [15]) не смотря на то, что при определении параметров управления запасами производится учет случайного характера спроса (в том числе и по сложным законам распределения), однако ставится задача его удовлетворения с определенной степенью вероятности за счет страхового запаса (аналогично источникам [5, 11]). Таким образом, как и в модификациях однопродуктовой статической модели, вероятностный характер спроса учитывается лишь на последних этапах расчетов, что отражается на точности получаемых результатов.

Другими авторами (Н.М. Калинин [16], Д.Н. Кузнецов [17]) задача, подобная рассматриваемой нами, с тем отличием, что в ней допускается потеря неудовлетворенных требований, решается при случайном спросе (в том числе и для нормального закона распределения спроса) методом имитационного моделирования. Таким образом, авторами не приводятся аналитические формулы расчета оптимальных значений параметров системы управления запасами (в том числе и размера дефицита), так как при выбранном методе исследования (имитационном моделировании) необходимость в таких формулах отсутствует.

Заслуживает внимания и исследование, проведенное Е.В. Чаусовой [18], в котором для различных стратегий управления запасами разработаны аналитические формулы расчета оптимальных значений точки и размера заказа, учитывающие нестохастическую неопределенность в данных и основанные на интервальном задании значений спроса. Однако, такой подход не позволяет учесть вероятность принятия случайной величиной (интенсивностью спроса или поставок) различных значений из заданного интервала, а следовательно, его (подхода) применение оправданно лишь в условиях отсутствия этой информации, например, на стадии проектирования объекта. Для реально же существующих систем, относительно которых возможен сбор статистической информации, в случае невозможности подбора теоретического закона, достаточно точно характеризующего распределение случайных параметров модели управления запасами, на наш взгляд, вместо интервального способа задания возможных значений этих параметров целесообразно использовать их (параметров) эмпирические распределения.

Несмотря на то, что в работе А.И. Лосева [19] рассматривается другая стратегия пополнения запасов (пополнение до базового уровня, в то время как в рассматриваемой нами модели анализируется стратегия пополнения запасов на постоянную величину) и термином «дефицит в I-м цикле» автором обозначается размер заказа в следующем цикле [19, а 81], тем не менее сходство решаемой задачи определяется тремя аспектами: во-первых, размер заказа (дефицита) является случайной величиной; во-вторых, дефицит удовлетворяется в следующем цикле, то есть «отложенный» спрос прошлого периода включается в величину заказа текущего периода); в-третьих, автором рассмотрен случай распределения спроса по сложному теоретическому закону (усеченному нормальному) [19, а 86]. Однако, определяя средний размер дефицита в цикле (оптимальный размер заказа), А.И. Лосев получает формулы, содержащие неберущиеся точным методом интегралы, и решает поставленную задачу приближенно, используя допущения об определенном соотношении значений математического ожидания и среднего квадратического отклонения спроса [19, а 87], что естественно сужает область применения полученных автором аналитических зависимостей.

Несомненный интерес представляет работа М.Г. Гасратова [20], в которой рассматриваемая нами модель (МУЗ со случайным спросом с учетом неудовлетворенных требований) (наряду со многими другими) исследуется методами теории игр в условиях олигополистического рынка [20, с. 15]. Однако определение оптимальных значений параметров системы управления запасами (в первую очередь, размера и точки заказа) осуществляется М.Г. Гасратовым с помощью математических пакетов типа Maple 11, Matlab 7, что,

конечно, препятствует широкому практическому применению этих моделей сотрудниками экономических служб отечественных предприятий в силу отсутствия у большинства из них навыков работы с пакетами подобного типа.

Результаты подробного исследования методологических основ прикладной теории управления запасами в цепях поставок изложены в работе В.В. Лу-кинского [21]. В том числе им приводятся общие формулы расчета затрат вероятностной модели управления запасами, включающих, в числе прочих составляющих, и потери от дефицита [21, с. 87]. В своем исследовании автор рассматривает два подхода к определению размера дефицита в случае отложенного спроса. Первый подход основан на аналитическом расчете размера дефицита, второй - на статистическом. В рамках статистического подхода [21, с. 206209] размер дефицита определяется в виде доли от величины страхового запаса с учетом функции потерь от дефицита, значения которой в свою очередь определяются по нормальному закону в зависимости от задаваемой степени удовлетворения спроса. Однако при таком подходе к расчету дефицита задачи обоснования оптимальных значений размера и точки заказа решаются отдельно. В рамках аналитического подхода [21, с. 153, с. 280-285] автором выводятся формулы расчета дефицита при условии «отложенного спроса», однако размер дефицита в них определяется исходя из предположения о равномерности истощения текущего запаса и условии детерминированности спроса.

Таким образом, анализ литературных источников показывает, что в настоящий момент отсутствует доступный широкому пользователю инструментарий решения задач управления запасами в условиях сложного характера распределения спроса и допущения дефицита. Обусловлено это обстоятельство, на наш взгляд, двумя причинами:

1) неразработанностью приближенных методов расчета дефицита товара;

2) отсутствием прикладных программных средств (аналогичных пакетам анализа данных, таких как SPSS, Statistica, Econometrics Views, Stata, Gauss, PcGive, STAT GRAFIX и т.п.), предназначенных для решения задач управления запасами.

В данной работе нами предлагается один из подходов к приближенному расчету размера дефицита товара (S) в условиях сложных теоретических (таких как нормальный и ему подобные законы) и эмпирических распределений спроса. Реализация этого подхода относительно сложных распределений спроса в настоящий период (в отличие от 70 -ых гг. - периода разработки соответствующих моделей) становится возможной благодаря наличию статистических функций распределений и функций решения задач математического программирования в элементарных про-

граммных средствах. Например, задача минимизации функции общих издержек системы управления запасами (формула (1)) может быть решена средствами MS Excel, что позволяет в свою очередь рассматривать значения S, выраженные более сложными способами.

Таким образом, предметом нашего исследования является задача определения среднего размера дефицита продукции в цикле для двух условий распределения интенсивности спроса на продукцию в течение времени выполнения заказа:

1) сложного теоретического закона распределения (т.е. распределения, не имеющего точной аналитической записи функции распределения);

2) эмпирического распределения.

Определение размера дефицита продукции в условиях сложного теоретического закона распределения интенсивности спроса на продукцию

Если интенсивность спроса на продукцию за время выполнения заказа приближенно (с достаточной степенью точности) описывается теоретическим законом распределения, не имеющим точной аналитической записи функции распределения, то интеграл в формуле определения S (формула (5)) будет вычисляться приближенно, то есть величину S нельзя в этом случае выразить точной аналитической формулой.

Учитывая то, что интеграл по своему смыслу выражает операцию бесконечно дробного суммирования, можно сделать вывод, что задача расчета среднего размера дефицита продукции в цикле (S) сводится к определению суммы достаточно большого (для обеспечения требуемой точности расчета) количества возможных значений дефицита продукции в цикле (x-R), взвешенных на плотности вероятности соответствующих значений интенсивности спроса на продукцию за время выполнения заказа f(x). Значение последней для сложных законов распределения может быть приближенно рассчитано с использованием значений функций распределения этих законов F(x), получаемых с помощью современных средств вычислительной техники и программного обеспечения (например, посредством встроенных в MS Excel статистических функций, таких как НОРМРАСП(...), ЛОГНОРМРАСЩ...) и т.п.).

Достаточность количества слагаемых при приближенном расчете дефицита продукции в цикле, обеспечивающая требуемую точность его определения зависит от двух факторов:

1) выбранного диапазона изменения значений интенсивности спроса за время выполнения заказа (х);

2) шага изменения этих значений.

Для определения диапазона изменения значений х, принятого в расчете размера дефицита, в случае нормального закона распределения можно руковод-

ствоваться правилом «трех сигм», для других же законов распределения, имеющих неограниченную снизу или сверху область определения, нижняя граница диапазона изменения значений интенсивности спроса на продукцию за время выполнения заказа может быть определена как значение, при котором функция распределения (F(x)) не значимо отличается от нуля, а верхняя граница - как значение, при котором F(x) достаточно близко к единице.

Что касается второго фактора - шага изменения значений спроса, - то его значение можно установить путем подбора, ориентируясь на степень изменения рассчитываемого значения размера дефицита в цикле (S) при одном и том же значении точки заказа (R).

После выбора диапазона изменения значений интенсивности спроса за время выполнения заказа (х) и установления шага изменения этих значений для определения среднего размера дефицита продукции в цикле (S) требуется выделить интервалы значений х

(обозначим их - Ах;) и вычислить следующие характеристики:

а) середину каждого интервала значений интенсивности спроса за время выполнения заказа - Д х;,

і = 1, к (при этом для определенности обозначим нижнюю границу этого интервала х;, а верхнюю -

^і+1 ’ ^к+1 ^*тах ’

б) значение функции распределения интенсивности спроса на нижней и верхней границе каждого интервала Дх;: соответственно F(xi) и Р(хі+1)(как уже отмечалось выше, эти значения могут быть получены с помощью встроенных в MS Excel статистических функций);

в) значения дефицита продукции в цикле, соответствующие нижней и верхней границам интенсивности спроса (S; и S1+1);

г) среднее значение размера дефицита продукции в цикле соответствующее середине i-го интервала значений интенсивности спроса на продукцию за время выполнения заказа:

Ах -R, если Aх >R

S - : _;

если

Дх, <R

д) вероятность принятия дефицитом продукции в цикле (или, что то же самое, интенсивностью спроса за время выполнения заказа) значения из і-го интервала:

Р(Д8І) = Р(8І<8<8І+1) = Р(Дхі) =

= Р(хг < X < х1+1) = Д*,.+1) - Д*,.) ’

е) вклад значения дефицита продукции в цикле из каждого і-го интервала (Б1) в среднюю величину

(математическое ожидание) размера дефицита продукции в цикле (Лт): ^ • Р( А £г.) ;

ж) сумму вычисленных составляющих среднего размера дефицита продукции в цикле на всем диапазоне значений интенсивности спроса за время выполнения заказа:

к __

5,).

г=1

Результаты расчета среднего размера дефицита продукции в цикле в условиях сложных законов распределения интенсивности спроса на продукцию могут быть представлены в виде таблицы.

Определение среднего размера дефицита продукции в цикле в условиях сложных законов распределения

интенсивности спроса на продукцию

Номер интервала группирования значений СВ Х, і Границы i-го интервала значений СВ Х, нат.ед. Сере- дина i-го интервала значений СВ X, AxtH ат.ед. Границы i-го интервала значений дефицита продукции в цикле, A S¿, нат.ед. Сере- дина і-го интервала значений дефицита продукции в цикле, Д8І, нат.ед. Значение функции распределения СВ Х, F(x), доли ед. Вероятность принятия СВ Х значения из і-го интервала, P(A x¡) (она же PCAS^X доли ед. i-ое слагаемое среднего размера дефицита продукции в цикле, ASr^ASa нат. ед.

Ниж няя гра- ница, x Верх няя гра- ница, ХІ+1 Ниж няя гра- ница, Si Верх- няя гра- ница, Si+1 на нижней границе, F

1 xi Х2 Axj Si S2 А^ F(xi) 4 x 2 Р( A S¡)= Р(АХ]) AVPCASJ

2 Х2 X3 Ах2 S2 S3 А82 ч x 2 F

і xi XI+1 AXj Si S[+1 А F

к Xk v max Axk Sk S max А^ F

Итого k ^St. Р(Д 5,.) i=1

Определение размера дефицита продукции в условиях эмпирического распределения интенсивности спроса на продукцию

Если интенсивность спроса на продукцию за время выполнения заказа (СВ Х) не соответствует (в достаточной степени) ни одному из теоретических законов распределения и характеризуется эмпирическим распределением, как показано на рис. 1, то формула расчета среднего размера дефицита продукции в цикле (формула (5)) может быть заменена ее приближенным эмпирическим аналогом:

к _

8 = £ в,-щ

І=П

или, если учесть, что ^ = 0 при і — \п : к _

8 = ][>,-<г>,.

1=1

где Ш- - относительная частота попадания интенсивности с проса за время выполнения заказа (СВ Х) в і-й интервал группирования, доли ед.;

п - номер интервала значений интенсивности спроса за время выполнения заказа, при превышении которого образуется дефицит продукции.

Частота, Ш. доли. ед.

шк +

ш,

Ах1

Ах-

й:

АХ;

Ьі

Ахі

хтах Интенсивность спроса

за время выполнения заказа, х, нат. ед.

Рис. 1. Эмпирическое распределение интенсивности спроса за время выполнения заказа

Так как значения шг в формулах (9) и (10) задаются эмпирическим распределением СВ X, то задача расчета среднего размера дефицита продукции в цикле

сводится к определению значений Б1 (среднего размера дефицита в цикле при условии, что интенсивность спроса за время выполнения очередного заказа примет значение из I-го интервала группирования).

Для решения этой задачи нами предлагается использовать представление эмпирического распределения интенсивности спроса за время выполнения заказа на каждом из выделенных интервалов ее изменения ДХ; кусочно-линейными функциями, ординаты которых соответствуют значениям относительных

частот интенсивности спроса Ші (х;) (на рис. 1 выделены жирным). Обозначим нижнюю границу каждого такого интервала за а1 (нат. ед.), а верхнюю - Ь1

(нат. ед.) (то есть Ах1 = Ьі — а;. і = \к).

Зависимость размера дефицита в цикле от значения интенсивности спроса на і-м интервале изобразится прямой линией (как это показано на рис.

2):

Б =

0,

если х,-Я< 0

Интенсивность спроса за время выполнения заказа, х, нат. ед.

Рис. 2. Зависимость размера дефицита в цикле от значения интенсивности спроса на I-м интервале

0

При этом минимальное значение дефицита в цикле (£т1П ), равное нулю, будет достигаться при уровне спроса, меньшем или равном точке заказа, то есть если Х| е а максимальное значение

(Л'|Т1 .|Х ), равное Я - при принятии интенсивностью спроса на I-м интервале максимального значения в размере Ь •

Так как в случае представления эмпирического распределения спроса интервальным рядом группирования частота принятия интенсивностью спроса любого значения из і-го интервала (то есть из интервала Ах;) рассматривается как величина постоянная, равная йт; , то и возможные значения дефицита в цикле, соответствующие этому уровню спроса, а именно: О < 81 <Ъг-Я, также равновероятны. Распределение размера дефицита в цикле представлено на рис. 3.

Рис. 3 • Эмпирическое распределение дефицита продукции в цикле при принятии интенсивностью

спроса значения из I-го интервала

Тогда средний размер дефицита в цикле при принятии интенсивностью спроса значениий из I-го интервала составит:

- К S = —

+ ^тахг _ 0 + (Ьі -К) _ ІТ -R

2

2

2

Результат формулы (4) вполне согласуется со здравым смыслом: средний размер дефицита в цикле тем выше, чем меньше точка заказа и больше верхняя граница интенсивности спроса на продукцию.

Подставляя результат формулы (12) в формулу

(10) получим:

8 =

і=1 г=1

2

Так как в рассматриваемой вероятностной модели точка заказа R выступает в качестве эндогенной переменной (величиной, определяемой наряду с размером заказа), то при решении задачи с помощью программных средств (например, посредством функции «Поиск решения» MS Excel) в расчет дефицита продукции в цикле по формуле (13) следует прини-

мать только положительные разности ). Этот

учет легко осуществить путем введения соответствующего логического условия.

Выводы:

1. В статье рассмотрены сложившиеся к настоящему времени подходы к определению размера дефицита в вероятностных моделях управления запасами.

2. Выявлено отсутствие доступного широкому пользователю инструментария решения поставленной задачи в условиях сложных теоретических и эмпирических распределений спроса.

3. Предложены приближенные методы расчета дефицита товарно-материальных ценностей в указанных условиях.

4. Применение разработанных автором подходов позволит снизить трудоемкость прогнозирования точки и размера заказа в условиях сложных распределений спроса, а также повысить точность прогноза этих параметров в сравнении с использованием детерминированных моделей управления запасами.

Литература

1. Хедли, Дж. Анализ систем управления запасами [Текст] / Дж. Хедли, Т. Уайтин. - М.: Наука, 1969. - 510 с.

2. Букан, Дж. Научное управление запасами [Текст] / Дж. Букан, Э. Кенингсберг. - М.: Наука, 1967. - 423 с.

3. Таха, Х. А. Введение в исследование операций [Текст]: пер. с англ. / Х. А. Таха. - 6-е изд. - М.: Вильямс, 2001. - 912 с.

4. Хэнссменн, Ф. Применение математических методов в управлении производством и запасами [Текст]: пер. с англ. / Ф. Хэнссменн. - М.: Прогресс, 1966. - 372 с.

5. Шрайбфедер, Дж. Эффективное управление запасами [Текст]: пер. с англ. / Дж. Шрайбфедер. - 2-е изд. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. - 304 с.

6. Рыжиков, Ю. И. Теория очередей и управление запасами [Текст]: учебник для вузов / Ю.И. Рыжиков. - СПб.: Питер, 2001. - 384 с.

7. Лотоцкий, В. А. Методы и модели управления запасами [Текст] / В. А. Лотоцкий, А. С. Мандель.

- М.: Наука, 1991. - 188 с.

8. Сакович, В. А. Модели управления запасами [Текст] / В. А. Сакович. - Минск: Наука и техника, 1986. - 319 с.

9. Рубальский Г. В. Управление запасами при случайном спросе [Текст] / Г. В. Рубальский. - М.: Сов.радио, 1977. - 160 с.

10. Первозванский, А. А. Математические методы в управлении производством [Текст] / А. А. Первозванский. - М.: Наука, 1975. - 615 с.

11. Фасоляк, Н. Д. Управление производственными запасами [Текст] / Н. Д. Фасоляк. - М.: Экономика, 1972. - 425 с.

12. Феклисов, Г. И. Математическое обеспечение управления запасами [Текст] / Г. И. Феклисов. -М.: Статистика, 1977. - 112 с.

13. Волков, А. В. Формирование стратегии управления запасами в логистических системах с использованием методов прогнозирования [Текст]: дис. канд. экон. наук: 08.00.05 / А. В. Волков. - СПбГИЭУ «ИНЖЭКОН». - СПб., 2003. - 141 с.

14. Ивашкевич, В. Ю. Моделирование в управлении материальными оборотными средствами ком-

мерческой организации [Текст]: дис. канд. экон. наук: 08.00.13 / В. Ю. Ивашкевич. ВЗФЭИ. - Москва, 2006.

- 163 с.

15. Мельников, Р. В. Исследование проблем управления запасами непрерывного продукта в стохастической модели регенерации [Текст]: дисс. канд. физ-мат. наук: 01.01.05 / Р. В. Мельников. МИЭМ. -Москва, 2010. - 135 с.

16. Калинин, Н. М. Разработка организационной системы управления запасами в условиях многономенклатурного производства [Текст]: дис. канд. техн. наук: 05.02.22. / Н. М. Калинин. МГТУ им. Н.Э. Баумана. - Москва, 2009. - 139 с.

17. Кузнецов, Д. Н. Оптимизация затрат в системе управления запасами торгового предприятия в краткосрочной перспективе [Текст]: дис. канд. экон. наук: 08.00.13 / Д. Н. Кузнецов. ТГТУ. - Тамбов, 2007. - 193 с.

18. Чаусова, Е. В. Динамические модели систем управления запасами с интервальной неопределенностью в данных [Текст]: дисс. канд. физ-мат. наук: 05.13.18 / Е. В. Чаусова ТГУ. - Томск, 2003. -147 с.

19. Лосев, А. И. Оптимизация запаса топлива в распределительной системе АЗС [Текст]: дис. канд. экон. наук: 08.00.06 / А. И. Лосев. СПбГУЭФ («ФИНЭК»). - СПб., 2000. - 138 с.

20. Гасратов, М. Г. Теоретико-игровые модели управления материальными запасами [Текст]: авто-реф. дис. канд. физ-мат. наук: 01.01.09 / М. Г. Гасра-тов. СПГУ. - СПб., 2007. - 20 с.

21. Лукинский, В. В. Теория и методология

управления запасами в цепях поставок [Текст]: дис. докт. экон. наук: 08.00.05/ В. В. Лукинский.

СПбГИЭУ «ИНЖЭКОН». - СПб., 2008. - 291 с.

8 (473)2-43-76-67

E-mail: efremkova@yandex.ru

Ключевые слова: управление запасами, кластер, спрос, случайный характер, теоретическое распределение, эмпирическое распределение, дефицит, методы расчета.