Двумерная нестационарная задача упругой диффузии для изотропной однокомпонентной полуплоскости

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 157, кн. 4 Физико-математические науки

2015

УДК 539.3

ДВУМЕРНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА УПРУГОЙ ДИФФУЗИИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

А.В. Земсков, Д.В. Тарлаковский

Аннотация

Рассмотрена двумерная нестационарная задача для изотропной упругой полуплоскости с учётом диффузии. Использована локально равновесная модель упругой диффузии, включающая в себя связанную систему уравнений движения упругого тела и уравнение массопереноса. Решение найдено в интегральной форме с помощью преобразований Лапласа по времени и Фурье по пространственной координате. Обращение преобразования Лапласа искомых функций сведено к вычислению оригиналов рациональных функций. Для обращения преобразования Фурье использованы квадратурные формулы.

Ключевые слова: механодиффузия, упругая диффузия, нестационарные задачи, полуплоскость, преобразование Лапласа.

Введение

В работе рассматривается двумерная нестационарная задача для упругой полуплоскости с учётом диффузии. Среда - твердый однокомпонентный раствор, в котором при определённых условиях возникает явление самодиффузии, то есть случайное перемещение частиц среды без изменения её химического состава. Для математического описания указанных выше процессов используется локально равновесная модель упругой диффузии, включающая в себя связанную систему уравнений движения упругого тела и уравнение массопереноса.

Решение задачи ищется в интегральной форме, которая представляет собой свёртку функций Грина с правыми частями граничных условий. Используются интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по пространственным координатам. При этом основную сложность здесь представляет вопрос, связанный с обращением трансформант Лапласа. Эта проблема является общей для целого класса нестационарных задач механики деформируемого твёрдого тела. Сложность решения возрастает по мере увеличения размерности задач, а также за счёт учёта связанности полей различной физической природы. В ряде случаев возможно построение решений вышеназванных задач с помощью синус- и косинус-преобразований Фурье. В этом случае, как показано в работах [1-3], трансформанты Лапласа являются дробно-рациональными функциями, что существенно упрощает вопрос, связанный с их обращением.

Ниже приводится решение одной из задач данного класса.

1. Постановка задачи

Рассматривается однородная упругая изотропная полуплоскость, ограниченная прямой Х2 = 0, где Ox 1x2хз - прямоугольная декартова система координат.

103

104

А.В. ЗЕМСКОВ, Д.В. ТАРЛАКОВСКИЙ

Полагается, что физико-механические процессы в нем без учёта температурных эффектов не зависят от координаты Х3 и описываются следующим уравнением [1—4]:

d2u дп

(А + р) grad div u + pAu = р^тт + a grad p, DAp = — + ЛД (div u),

dt2 dt

где t - время; u = {ui (xi, Х2), U2 (xi, Х2), 0} - вектор перемещений; p = n — no -приращение объёмной концентрации веществ n относительно начальной концентрации no; А и р - упругие постоянные Ламе; р - плотность среды; a - коэффициент объёмного расширения, связанного с массопереносом; D - коэффициент самодиффузии; R - универсальная газовая постоянная; To - температура среды; Л = noDa/ (RTo).

На границах полуплоскости задано касательное напряжение <712 и перемещение U2 , а также диффузионный поток J2 :

712 I ж2 =0 f1 (x1,t) , u2 I ж2=0 f2 (x1 ,t) , J2\x2 = 0 f3 (x1,t) •. 712 = O (1) , U2 = O (1), J2 = O (1) (x2 ^ ж) ,

где

7ij = ASijdivu + р ( du + J — aSijp, Ji = Л3ц3.

д2 uk

cidxj

дп

4l3jk ^ D3ij ^ .

dxidxj dxj

В начальный момент времени полуплоскость находится в невозмущенном состоянии.

Далее везде будут использоваться следующие безразмерные параметры (при одинаковом написании они обозначены штрихом, который в дальнейшем изложении опущен):

xi

xi = —, u'

i L’ i

ui

Ct ~L1

C 2 = А + 2р

Р ,

п'

X

no’

А'

А

рс,

р'

р

рС2,

a

'

no a

рс,

Л

CLno,

fi

fi Р ,

f2'

f f' = f3 L , f3 = CDno,

Соответствующий безразмерный аналог указанной выше начально-краевой задачи записывается в виде (точками здесь и далее обозначены производные по безразмерному времени т):

ui = AiM (ui) + L12 (u2) — L13 (p), U2 = L12 (ui) + AMi (u2) — L23 (p),

П = —L3i (ui) — L32 (u2) + Add (p);

Mi (ui,u2)|x2=o = fi (xi,T), u2\2=o = f2 (xi,T),

М2 (ui,u2,p)|x2=o = f3 (xi,T),

Mi (ui,u2) = O (1), u2 = O (1), М2 (ul,u2,п)= O (1) (x2 ^ ж);

ui \t=o = ui \t =o = p\i

Здесь

д2 д2

Дав = adxf + edx2, Li2 =

дгщ du

д2

dxidx2 '

0.

r = д = дДав

Li3 — a ^ , L3i —

dxi

dxi

д

Л

Mi (ui,u2) = д— + d—, М2 (ul,u2,п) = д— [YMi (ui,u2) — p], Y = d.

д x j д x i д x 2 D D

o

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА УПРУГОЙ ДИФФУЗИИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ 105

2. Метод решения

Пусть Gim = ui и Озт = ц (m = 1, 2, 3, i = 1, 2) - функции Грина задачи (1)—(3), а именно решения задач, включающих в себя уравнения (1), начальные условия (3) и следующие граничные условия:

Mi (Gim, G2m)\x2 =0 = SmlS (xi) S (т), G2m\x2=0 = Sm2S (xi) S (t),

M2 (G1m, G2mj G3m)\x2=0 = Sm3S (x1) S (t ) ,

M1 (G1m, G2m) = О (1) , G2m = O (1) , М2 (G1m-, G2mj G3m) = O (1) (x2 ^ Ж) ,

где S (x) — дельта-функция Дирака, Sij — символ Кронекера.

Тогда решение задачи (1)—(3) имеет вид (звездочки обозначают свертки по времени т и координате xi):

33

ui ^ ' Gim * *fm: ц ^ ' G3m * *fm-

m=1 m=1

Применим теперь к задаче (1)—(3) преобразование Лапласа по времени и Фурье по переменной xi (s — параметр преобразования Лапласа, индекс “ L” обозначает его трансформанту; w — параметр преобразования Фурье, индекс “ F” обозначает его трансформанту):

/11 (uFL) — iw (X + i) l12 (uFL) + iwanFL = 0,

—iw (X + i) I12 (uFL) + /22 (uFL) + al 12 (nFL) = 0, iw/3i (uFL) +112 [I31 (u^)] + /33 (nFL) = 0; mi (uFL,uFL)|X2=0 = fFL (w,s), uFL\X2=0 = fFL (w,s),

m2 (uFL,uF,LvnFL)\X2=0 = fFL (w,s);

mi (uFL, uFL) = О (1), uFL = О (1), m2 (uFL, u^^L, nFL) = О (1) (x2 ^ те) .

Здесь

lii (u) = Ki (w, s) u — iu", /22 (u) = K2 (w, s) u — u", /12 (u) = u',

/31 (u) = Л (u" — , /33 (u) = K3 (w, s) u — Du'',

Ki (w, s) = w2 + s2, K2 (w, s) = iw2 + s2, K3 (w, s) = Dw2 + s, mi (ui, u2) = u'i + iwu2, m2 (ui, u2, ц) = Y (u'2 + iwui) — ц .

Решения uFL и nFL задачи (6)—(8) представляем в следующем виде:

uFL = Ui + <^i, nFL = H + ф.

где функции vi и ф выбираются таким образом, чтобы правые части граничных условий (7) были нулевыми и при этом выполнялись соотношения (8). Для этого во втором условии (7) полагаем

V2 (w,x2, s) = e-X2 f[L.

106

А.В. ЗЕМСКОВ, Д.В. ТАРЛАКОВСКИЙ

Тогда для функции pi и ф из первого и третьего равенств в (7), (8) с учётом (10) получаем следующие соотношения:

(pi + iuf[Le-X2)|x2=0 = f[L, (ivYPi + lf2Le-X2 - ф')\Х2=0 = fsL-

Удовлетворяя соотношениям (8), переписываем эти равенства следующим образом:

F L X2 F L X2 F L X2 F L X2

pi + ivf2 e = f1 e , ivY/pi + Yf2 e - ф = J3 e

Интегрируя их последовательно, получаем выражения для pi и ф:

Pi (ш,Х2, s) = - (f[L - ivf[L) e-X2,

ф (v, X2,s) = - [iwjf[L + Y (v2 + 1) fFL - f[L] e-X2

Соответственно, уравнения (6) с учётом (9)—(11) принимают вид

lii (Ui) — iv (Л + л) U2 + ivaH = Fi,

-iv (Л + л) U[ + I22 (U2) + a.Hr = F2, ivl31 (Ui)+ I3i (U2) +133 (H) = F3;

mi (Ui,U2)lx2=0 = 0y U2 lx2 = 0 = 0y m2 (Ui,U2,H)lx2=0 = 0y

m i (Ui,U2) = O (1), U2 = O (1), m2 (Ui,U2,H ) = O (1) (X2 ^ ж),

где

Fi = {(к i - aYv2 - л) f[L + iv [aY (v2 + 1) - Л - кi] f[L - iavf[L} e-X2,

F2 = {iv

F3 = {ivYsfFL + [sy (v2 + 1) - Лш2 (v2 - 1)] f[L + (D - кз) gL} e-X2.

Для решения полученной системы уравнений используем синус- и косинуспреобразования Фурье (их изображениям соответствуют верхние индексы “ C” и “ S ”):

СЮ

Ui (v,X2,s) = J UC (v,p,s) cospx2 dp, 0

U2 (v,X2,s) = J US (v,p,s) sinpx2 dp,

0

OO

h {,.,Х2,.) = ] h C px2 dp.

0

Аналогичным образом записываем и правые части уравнений в (12):

СЮ

Fi (v,X2,s) = J FC (v,p,s) cospx2 dp,

0

СЮ

F2 (v,X2 ,s) = J F2 (v,p,s) sin pX2 dp,

0

F3 (v,X2 ,s) = J F3 (v,p, s) cospX2 dp,

0

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА УПРУГОЙ ДИФФУЗИИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ 107

где в соответствии с

СЮ

FC (ш,p, s) = — Fi (ш, Х2, s) cospx2 dx^

П J

П (p2 + 1) '

{(«1 - apu2 - p) f[L + iu [oy (u2 + 1) - A - Ki] f[L - iauf3FL} ,

СЮ

Ff (u,p, s') = F2 (u,X2, s) sinpx2 dx2 =

n J

2p

n

x {iu

2

СЮ

F^ (u,p, s) = 2 J F3 (u,X2, s) cospx2 dx2

П

x {iuYsf[L + [sy (ш2 + ^ - Лш2 (u2 - 1)] fFL + (D - k3) f[L} .

2

В результате получаем следующую систему уравнений:

k 1U'C - ipu (A + p) Uf + iuaHC = FC, ipu (A + p) U'C + k2Uf - apHC = F2S, -Лк4 (iuUC + pUf) + k3HC = fC,

где

ki (u,p, s) = Ki + p2p, k2 (u,p, s) = K2 + p2, кз (u,p, s) = K3 + Dp2, k4 (u,p) = Ki (u,p).

В силу формул (12) функции UC, US, HC как решения этой системы есть линейные комбинации функций f^L. Следовательно, согласно (9)—(11) таковыми являются и функции uFL и pFL, и равенства (5) с учётом свойств преобразований Лапласа и Фурье приобретут вид

F LC

ззз

EnFLC rFL FLS = ST' s'iFLS rFL „FLC = nFLC rFL

Gim Jm , u2 / j G2m Jm , Ч / u G3m Jm ,

m=i m=i m=i

riFLC

Glm (u,p,s) = —^~(-Г, l = 1, 3 G2m (u,p,s) = —^~(-T,

nP

i

где

P (u,p, s) = [s2 + p (u2 + p2)} П [k4 (u,p) , s] ,

П (x, s) = s3 + Dxs2 + xs + (D - аЛ) x2,

Pii (u,p, s) = -2p kk3 - ap2k4) , Pi3 (u,p, s) = -2iDau [p2 (A + p) - k^ ,

Pi2 (u,p, s) = -2iu [p2 (A + p) (ak4 - k3) - k2 (ak4 - Ak3)] ,

P2i (u,p, s) = 2ipup [k3 (A + p) - ak4], P23 (u,p, s) = 2aDp [ki - u2 (A + p)] , P22 (u,p, s) = 2p \L-2pau2k4 + ki (k3 - ak4) - u2 (A + p) (ak4 - Ak3^ ,

108

А.В. ЗЕМСКОВ, Д.В. ТАРЛАКОВСКИЙ

P31 (w,p,s) = 2ipwk4 [p2 (A + p) - , P33 (w,p,s) = -2D p2w2 (A + p)2 * - ^1^2

P32

При этом для трансформант Фурье-Лапласа функций Грина в силу (14) справедливы равенства

qm

T2m

СЮ r

(w,X2, s) = /

0

СЮ r

(w,X2, s) = 1

0

yFLC Tqm 1

чFLS (w p T2m (w,p,

3. Оригиналы функций влияния

Оригиналы по Лапласу функций в (16) вычисляются по формулам

GFm

СЮ

J GFm (w,p,T)cospx2 dp, q = 1, 3,

0

СЮ

GFm (w,x2 ,т) = J GFm (w,p,T)sinpX2 dp-

0

Поскольку функции GFmC и Gfls являются правильными рациональными дробями аргумента s , переход в пространство оригиналов осуществляется с помощью вычетов. Пользуясь тем, что в реальных материалах аЛ ^ D < 1, с помощью критерия Рауса-Гурвица можно показать, что многочлен П Щ (w,p), s] имеют следующие нули: si = S2 = Y + ift, Y < 0, S3 < 0, S3 6 S, где i - мнимая единица. Для многочлена P (w,p, s) к ним добавляются чисто мнимые нули: s4 = = ?5 = ie, е2 = pk4 (w,p) . Следовательно, функции GF^ и GFm имеют следующий вид (здесь штрих означает производную по параметру s):

G

G

FC

qm

FS

2m

е<т

е<т

(Aim cos (Зт - Alm sin (Зт) + A?3meS3T

(A2m COS вт - A2m sin вт) + A2meS3T

+ A4tm COS ет - A^5m sin ет, + Aim cos ет - A55m sin ет,

где

A1

Alm

2Ъ Plm

-------T >

п P

A2

Alm

2T Plm (w,p,si) — Im “p7--------T,

п P

A3

Alm

Plm (w,p, s3) nP (w,p, s3) ’

A4

Alm

2 R Plm

Re t) ( \ , Alm Im- 73 / \

n P

l = 1, 2, 3.

Функции G^ и G^ в интегралах (17) имеют особенность при т ^ 0. Это связано со следующей асимптотикой их изображений по Лапласу при s ^ ж:

FLC

G32

2Л

п

k4 (w,p) s

i

FLC

G33

2D

---s

п

i

Поскольку оригиналом изображения s-i является функция, равная 0 на отрицательной полуоси и 1 в остальных точках [5], в правой полуокрестности точки т = 0 функции GFC и GFFC имеют разрыв первого рода. Для выделения этой особенности представляем функции G^ следующим образом (m = 2, 3):

G3m (w, x2, s) S3m (w, x2, s) + R3m (w, x2, s) ,

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА УПРУГОЙ ДИФФУЗИИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ 109

где

{и, x2: s) = J S3mC {u,p, s) cospx2 dp,

0

сю

rff {u> x2,s)=J Rimc {u,p,s) cos px2 dp,

0

qFLC { ) 2Лк4 {u,p) qFLC { ) 2D

S32 {u,p,s) =--r~<------1 , S33 {u,p,s) = —j—,-----4 ,

пкз

nFLC t \ T32 {u,p,s) nFLC t \

R32 {u,p,s) = ------ГТГ7------1 , R33 {u,p,s) =

T33 {U,p, s)

nk3 (u,p,s) P {u,p,s) " 33 nk3 (u,p,s) P {u,p,s):

T32 (u,p,s) = k3 (u,p,s) P32 (u,p,s) +2Лк4 (u,p) P (u,p,s),

T33 {u,p, s) = k3 {u,p, s) P33 {u,p, s) — 2DP {u,p, s),

Оригиналы преобразования Лапласа, а также синус- и косинус-преобразований для функций SFmC имеют вид [6]:

I 1 / 2DT x_ \ / x2

S32 {u,x2,т) = — Л\1 ^ I U +

nrD

D

33

2Dt — x2 \ exp

4D2t 2 J

/ x2

- ( Du2 т + x2

V 4Dt

х2 \ 4Dt )

Обращение преобразования Лапласа коэффициентов RFFC как рациональных функций проводится аналогично (18) с учётом того, что появляется дополнительный полюс s6 = -Dk4 (u,p). Для обращения изображений Фурье удобнее сначала найти свёртки (6) по времени с функциями (18). Далее оригиналы трансформант Фурье находятся по формулам (звёздочка обозначает свёртку по времени):

сю сю

ф{х1,Х2,т) = 2п f d^/{Gl} * dp,

где Ф - любая из искомых функций ui, п.

Интеграл (19) находится численно с помощью квадратурных формул. Для этого удобно воспользоваться следующим представлением. Внутренний интеграл запишем в виде

ю

0

gFC

Gqm

r^Fs

G2m

* f

cospx2 sin px2

dp =

* fF

cos px2 sin px2

ж

f (gFC

“p 4 {g

* fF

cos px2 sin px2

dp,

0 a

где a - некоторая промежуточная точка.

Далее, первый интеграл вычисляется с помощью формулы средних прямоугольников. Второй интеграл заменой p = a2/ {a — v) переводится в интеграл по конечному промежутку [0, а], после чего также вычисляется с помощью тех же квадратурных формул. Аналогичным образом находится внешний интеграл в (19).

Замечание. Функции G^, G^, G^, G^, G^ являются чётными относительно и. Остальные функции - нечётные относительно и. Тогда если функции f 3 также обладают свойством чётности (нечётности), то преобразование (19) сводится к синус- и косинус-преобразованиям Фурье, что снижает объём вычислений.

110

А.В. ЗЕМСКОВ, Д.В. ТАРЛАКОВСКИЙ

Рис. 1. Зависимость изменения концен- Рис. 2. Зависимость п1 от х1 и т трации от xi и т при Х2 = 0.5 при Х2 = 0.5

Рис. 3. Зависимость п2 от х1 и т при х2 = 0.5

4. Примеры

Полагаем, что материал слоя - алюминий, имеющий следующие характеристики:

р = 2700 кг/м3, А = 5.50 • 104 * * * * * 10 Н/м2, р = 3.50 • 1010 Н/м2,

То = 773 К D = 6.70 • 10-6 м2/с, L = 1 м.

Им соответствуют следующие безразмерные параметры:

р = 0.279, А = 0.442, D = 1.06 • 10-9, а = Л0-4, Л = 1.78 • 10-6.

Предполагается, что правые части граничных условий имеют вид fi (xi ,т) = /2 (xi ,т) = 0, /з (xi ,т) = 10-3 e-0 01xi H (т),

Результаты вычислений продемонстрированы на рис. 1-3. На них показаны зависимости перемещений щ и приращений концентрации вещества п от времени т и координаты х1. Расчёты проводились для Ny = 100 точек разбиения при обращении синус- и косинус-преобразований Фурье и для Nx = 50 точек разбиения для вычисления обратного преобразования Фурье. Отметим, что при уменьшении вдвое шага разбиения графики практически совпадают.

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА УПРУГОЙ ДИФФУЗИИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ 111

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-08-01161-а) и гранта Президента РФ НШ-2029.2014.8.

Summary

A.V. Zemskov, D.V. Tarlakovskii. Two-Dimensional Unsteady-State Problem of Elasticity with Diffusion for Isotropic One-Component Half-Plane.

A two-dimensional unsteady-state problem for the isotropic elastic half-plane with diffusion effect is investigated in this paper. In order to solve the problem, the local-equilibrium model of mechanical diffusion is used. This model consists of a system of equations, which describe the law of motion and mass transfer. The solution is found with the help of sine and cosine transformation of the space variable. Additionally, the Laplace transformation of the time variable is applied. The inverse Laplace transformation is reduced to the calculation of the originals of rational functions. Quadrature formulas are used for the inverse sine and cosine transformation.

Keywords: mechanical diffusion, elastic diffusion, unsteady-state problems, half-plane, Laplace transformation.

Литература

1. Гачкевич А.Р., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Одномерная задача о нестационарной связанной упругой диффузии для слоя // Изв. Сарат. ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2013. - Т. 13, Вып. 4, ч. 1. - С. 52-59.

2. Zemskov A.V., Tarlakovskiy D.V. Approximate solution of three-dimensional problem for elastic diffusion in orthotropic layer // J. Math. Sci. - 2014. - V. 203, No 2. - P. 221-238.

3. Давыдов С.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Двухкомпонентное упруго диффузионное полупространство под действием нестационарных возмущений // Экол. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2014. - № 2 -С. 31-38.

4. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic processes in thermo-electromagneto-elastic and thermo-elasto-diffusive media // Encyclopedia of Thermal Stresses. V. 2. - Dordrecht; Heidelberg; N. Y.; London: Springer, 2014. - P. 1064-1071.

5. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волнывсплош-ных средах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с.

6. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. - М.: Высш. шк., 1965. - 586 с.

Поступила в редакцию 19.08.15

Земсков Андрей Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математическое моделирование», Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), г. Москва, Россия.

E-mail: azemskov1975@mail.ru

Тарлаковский Дмитрий Валентинович - доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией НИИ механики, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, г. Москва, Россия.

E-mail: tdvhome@mail.ru