Тождества кривизны многообразий Кенмоцу

ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ МНОГООБРАЗИЙ КЕНМОЦУ

А. Р. Рустанов, С. В. Умнова

Аннотация. В работе получены некоторые тождества тензора римановой кривизны и тождества тензора Риччи, а также вычислены явные выражения этих тензоров.

Ключевые слова: многообразие Кенмоцу, тензор римановой кривизны, тензор Риччи.

Summary. In the article some identities of tensor of Riemannian curvature and identity of a tensor of Ricci are received. Obvious demonstrations of these tensors are calculated as well.

Keywords: Kenmotsu manifolds, tensor of Riemannian curvature, tensor of Ricci.

Пусть М - нечетномерное гладкое многообразие, dim M = 2n + 1. В данной работе мы придерживаемся терминологии и обозначений, принятых в [1].

В 1972 г. Кенмоцу [2] ввел в рассмотрение новый класс АС-структур, характеризуемый тождествами

Vх

Vxi = X -ц(х£; X,Y е X(M) ' 233

Такие структуры, например, естественно возникают в классификации Тан-но связных почти контактных метрических многообразий, чья группа автоморфизмов имеет максимальную размерность [3]. АС-структуры, характеризуемые тождеством (1), называются структурами Кенмоцу. Они обладают рядом замечательных свойств. Например, они нормальны и интегрируемы, но не являются контактными, а значит, и сасакиевыми. Известны примеры структур Кенмоцу на нечетномерных пространствах Лобачевского кривизны (-1). Такие структуры получаются с помощью конструкции перекошенного (warped) произведения Cn х f R в смысле Бишопа и ОНейла [4] комплексного евклидова пространства и вещественной прямой, где f (t)= e t [см. 2]. Более того, всякое конформно-плоское многообразие Кенмоцу, а также всякое локально-симметрическое многообразие Кенмоцу локально эквивалентно многообразию Кенмоцу такого типа [2]. Исчерпывающее описание многообразий Кенмоцу, а также многообразий Кенмоцу постоянной кривизны (-1) и многообразий Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны дается в [5]. То есть доказаны следующие теоремы.

234

Теорема 1 [5]. Класс многообразий Кенмоцу совпадает с классом АС-многообразий, получаемых из косимплектических многообразий каноническим конформным преобразованием косимплектической структуры.

Пусть М2п+1 - многообразие Кенмоцу. Положим в (1) X = Е, тогда

У^

В частности, У^ (ф)Е = 0, а значит, шестой структурный тензор ([1], [6]) равен нулю.

Положим в (1) У = Е , тогда

У х

Согласно (2) и (3) третий, четвертый и пятый структурные тензоры примут вид:

1) Б(Х)= 0; 2) ^(X)= 0; 3) Е(Х)=-Ф2 (X)= X -л (х)Е; X,У е X(м).

Из (1:2) получим У^т^У = (X,У) -л ^лУ); X,У е X(м) . Если в (1) положить У = ФУ, то

У(Ф)ФУ = (ФX,ФУ)Е = (X,У)Е - Л^)лУ)Е; X,У е X(м). Подействовав оператором Ф на обе части полученного тождества, имеем:

Ф О У^у

Сделаем замены X ^ ФХ, У ^ ФУ в (1), тогда

у^(ф)фу = ^ф2X,ф^Е =(ФX,у)Е; X,уеX(м).

В полученном равенстве также сделаем замены X ^ ФX, У ^ ФУ , тогда

уф2(ф)ф2у = (ф3X,ф2У)Е =-('Фх,ф2уЕ ,УЕ; X,уеX(м).

Из последних двух тождеств получим:

Уф2х

С учетом (4) и (5) для первого и второго структурных тензоров имеем: 1) В(X,У)= 0; 2) С(X,У)= 0; X,У е X(М). Итак, доказано следующие предложения.

Предложение 1. Пусть Б = (л,Е,Ф,Я) - АС-структура на многообразииМ. Тогда следующие утверждения равносильны:

(1) Б - структура Кенмоцу;

(2) В = С = Б = Е1 = ^ = 0, Е = Ф ;

(3) Б — АС-16-структура, причем Е0 =Ф.

Предложение 2. На многообразии Кенмоцу выполнены следующие тождества:

1) Уе (ф)X = 0; в частности Уе (ф)Е = 0;

2) у (ф)фу = (ФX, фу)е = (х,y)Е - л (л^л (У)Е;

3) У X (Ф)Е =-ФX;

4) У ф 2 (Ф)Ф 2 У = У фх (Ф)ФУ = Е ^, У);

5) У X (л) У = (X, У) - л (г)п (У); X, У е X (м).

Расписывая (1) на пространстве присоединенной g-структуры получим:

Предложение 3. На пространстве присоединенной G-структуры компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма многообразия Кенмоцу имеют вид:

1 ) Ф \ = ФЪ п =Фb п = 0- 2) Ф0П = ФЪ п =Фb п = 0/ a,0 a,0 a,0 > ' ^а,0 ^а,0 ^а,0

3) Ф 1ъ =Фcab =Фib = 0; 4) Ф0 г =ФС , =Ф= 0;

' a,b a,b a,b ' ' a,b a,b a,b '

5) Ф0,a = Ф0,a = 0; Ф(),a = ^5Ъ - 6) Ф^ = Ф%ъ = 0; Ф?ъ = V-I5 7) Ф ca,b = Ф a,b = 0; Ф a,b = Ob; 8) Ф 0,a = ф0, a = 0; Ф 0,a = V-15

В работе [7], была получена полная группа структурных уравнений многообразий Кенмоцу на пространстве присоединенной g-структуры, а также были получены спектры тензора кривизны и тензора Риччи. Приведем их.

1) da = 0;

2) daa =-9ba л 9 b - 5aab л a;

3) daa = 9b л ab - 5bab л a;

4) d9ba =-9ca л9ъс + Afcac лad;

5) dAbcd + Ahd9a + Aah9d - A&t - A^h = 4a>h + 4d4 -2Abacda,

где {bd} - семейство функций на пространстве присоединенной g-структуры,

симметричных по верхним и нижним индексам. Они образуют чистый тензор на M2n+1, называемый тензором Ф-голоморфной секционной кривизны [1].

Кроме то^ Aba{Ch] = Ab« = 0 .

Тензор A: L x L x L ^ L задается соотношением

A(X,Y,Z)= AldcXhYcZdza + AbcdXbYcZdza . (8) 235

Непосредственным подсчетом легко проверить, что тензор Ф-голоморфной секционной кривизны обладает свойствами:

А

В самом деле,

A^X,Y,Z) = Aabdc ^X)bYcZdea + A¡d(ФX)ъYcZdea =

= 4-1A<fcXhYcZdza -4-1AhddXbYcZdza =

= AabdcXb ^Y)cZd e a + AbcdXb ^Y)cZd e a = A(X, ФY, Z).

Аналогично,

A^X ,Y, Z) = Abad ^X)b YcZde a + Abacd ^X)b YcZd e a =

= 4-\AldXhYcZdea -4-1AhacdXbYcZde a = -AfcXbYc(ФZ)dea -

-AbcdXbYc(ФZ)dea =-A(X,Y,ФZ), X,Y,Z eX(M).

236

Для тензорных компонент формы римановой связности на пространстве присоединенной б-структуры имеем:

1) е Ъ = еъ = 0;

2) еа =^Ф а,, * = заъ;

3) еа = -^-ТФ^,** = 5аЧ;

4) е0 = -Т—гФа,** =-5ъаь;

5) е0 = Т—ГФ * = -5 аъ.

' а а,* Ъ

Дифференцируя эти соотношения внешним образом, получим: 1) = 0; 2) с©? = 0;

3) се0а = -еЪа лъ -5ьаъ а;

4) се0а = еаь л ъ - 5ь ъ л ;

5) се а0 = -еъ л ъ + 5ъ ъ л ;

6) сеа0 = е ъа л ъ + 5 ъаъ л .

Расписывая вторую группу структурных уравнений римановой связности [1]

1 2

ае) + ек ле) =1 щк1к л 1,

где {я^*} - компоненты тензора Римана-Кристоффеля, на пространстве присоединенной б-структуры, получим:

1) <Ъ0 = -5ь ; 2) Яаьс = лЦ -5^; 3) Я^ = 5£

и компоненты, полученные с использованием свойств симметрии тензора Римана-Кристоффеля. Остальные компоненты равны нулю.

Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве присоединенной О-структуры имеют вид:

1) Б00 =-2«; 2) Баъ = Бъа = лаьсс -2п5¡,

остальные компоненты нулевые. Тогда скалярная кривизна равна

X = 2Л% - 4п2 - 2« .

Отсюда

ЛаЪ = Х + 2п2 + п .

аЪ 2

Рассмотрим некоторые тождества на тензор Риччи. Из равенства ¿о 0 = -2« следует, что Б(Е,Е)=-2п, т.е. (3(е)=-2и. Распишем равенство Б0а = 0, т.е. Б (Е ,е а )= 0. Поскольку {ё а } является базисом подпространства Бф"1, а проектором на бФ- является эндоморфизм п = О о I = -г(ф2 + л/—Гф) [1], то ,Ф2X + Т—ТФ^) = 0, X е X(м). Выделяя действительную и мнимую части равенства, получим тождество

Б

Описанная процедура называется процедурой восстановления тождества [1; 8]. С учетом равенстваФ2 =-1 + л  Е получим-Б(Е,X)+л(X)Б(Е,Е)= 0, X еX(М) . С учетом Б (Е ,Е )= -2п окончательно имеем

Б

В частности, если в (18) сделать замену X ^ ФX , то получим

Б(Е, ФX)= 0, X е X(М ).

Аналогично расписывая равенство БаЪ = 0 , получим Б(X,У)- Б((Ф¥,ФУ) = л (X)Б(Е ,У) + л (у)Б(X,Е) + 2«л (X) л(У). С учетом (18) последнее равенство перепишется в виде

Б

В частности, если в (19) сделать замену X ^ ФX , то получим

Б(X,ФУ)+ Б^,У )= 0, X,У е X(М). Прежде чем распишем равенство Баъ = Бъа = Л£С - 2п5£ , введем обозначе-

ние

Aa = Ласс . Тогда оператор A(X)= АъаХагb + A^X^ b обладает свойствами: 1) Aba = ( Л(е а),«

2) Ф о Л = Л о Ф;

3)л о Л = 0;

4) (Л(Ф¥),ФУ) = {Л^у); X,7еX(м).

РавенствоБаъ = Бъа = Лас - 2п5ъ запишем в видеБ(еа,еь) = (Л(еь),еа) - 2п(еа,еь) .

Поскольку {е а}, {е а} являются базисами подпространств ^Ф"1 и Б,-,^, а проекторами на эти подпространства является эндоморфизмы

п = О о I = -Г(ф2 + V—Гф) и п = О о I = Г(-Ф2 + л/-Гф), соответственно [1], то 237

s(- Ф 2 х + V-ГФх, Ф 2 у + V-ГФу)^ л(Ф 2 у + л/-ГФу),-Ф 2 х + V-ГФх) -

- 2^ Ф 2у + V-гфу ,-Ф 2 x + л/-1Фх^; x ,y е x (м). Выделяя действительную часть последнего равенства, получим:

s(o 2 X, Ф 2 у)+S (ФХ, ФУ )= ^ л(ф 2 у), ф 2 Х^ + (л(фу), ФХ) -

- 2^Ф2У,Ф2Х^ - 2и(ФУ,ФХ); X, У е X(м).

С учетом равенства Ф2 = -I + n  Е и тождеств S(Е ,Е )=-2и , (18), (20), предыдущее тождество перепишется в виде:

S (X ,У )+ S (ФХ, ФУ )= 2 А (У ) X) -

- 4и

Из (19) и (21) получим

S(X,У)= (X, А(У) - 2п(У,X); X,У е X(M).

238

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Тензор Риччи многообразия Кенмоцу удовлетворяет следующим тождествам:

1) 5(;&)= -2п; 2) 5(;,X)=-2«лX); 3) 5£,ФХ)= 0;

4) 5(X,7) - 5(ФХ,ФУ) = -2пп(х)п(У); 5) 5(X,ФУ)+ 5(ФХ,У)= 0;

6) 5(X,У) + 5(ФХ,ФУ) = 2X, А(У)) - 4и(Х,У) + 2пц(х)п(у);

7) 5 (X ,У) = (X, А(7))- 2п(Х ,У);

8) 5 (X, ФУ) = 2 X, Ф о А (у)) - 2п(Х, Ф(у)) ; X ,У е X (ы).

Рассмотрим теперь тождества кривизны, которым удовлетворяет тензор римановой кривизны многообразия Кенмоцу.

1) Применим процедуру восстановления тождества ([1], [8]) к равенствам

<0а = 0 = §= 8а , 4оа = 0 = 8а, т.е. ^а = 81 т.е. м,Еа^}' =(еаУ. Поскольку {ё а} является базисом подпространства -ф-, то

,Ф2 + Т-Тфх); =Ф2 + Т-ТФХ; XеХ(ы). Выделяя действительную часть последнего равенства, получим тождество

, Ф 2 X); = Ф 2 X; X е Х

Так как ,;); = 0, то используя равенство Ф2 =-id + п  окончательно получим

Я

2) Применяя описанную процедуру к равенствам: В-0аь = 0, В^аЬ = 0, В^аЬ = 0, т.е. к равенствам В0аь = 0, т.е. В(еа,е/); = 0 , получим тождество

В

Поскольку Ф2 = - <1+ п  \ , то В(- X + п(Х),-У + п(у))£ = В(ФХ,ФУ);, т.е.

В(Х,У); -п(X), У); -п(У)В(Х,;); -п(Х)п(у)в(;,;); = В(ФХ,ФУ)т.е. с учетом

(23) и равенства ,;); = 0, получим окончательно

Я

3) Применение процедуры восстановления тождества к равенствам

0 с -

Я „ = 0, Я „ = 0, Я - = 0, дает тождество ОаЬ 0аЬ 0аЬ

В

Из (24) и (26) получим

В

Тогда используя равенства Ф2 = -id + п и

примет вид:

В

4) Расписывая равенства ^ = 0, ^ = 0, Коь = 0 , т-е- КОЬ = 0, т-е-

В(; ,е ¿) е а = 0, получим тождество

В

Используя равенства Ф2 = -id + п Вф,,;)Х = В(;,;); = 0, и (23) тождество (29) примет вид:

В

5) Далее расписывая равенства Rfl0ob = -5 % 0, ^^ = -5 „ч е = 0, = -5 % ё = 0,

т.е. R'a0ь =-5i, получим тождество

в(; , Ф 2 х)ф 2У + в(; , фх)фу = -2; (ФХ, ФУ); X ,У е X (м)-Из (29) и (31) получим

в(; , Ф 2 х)ф 2у = в(; , фх)фу = (ФХ, ФУ); X, У е X (м)-

Последнее тождество можно записать в виде:

в(; , х)у = п (у) X - X, У); X, У е X (м).

Аналогично, расписывая равенства: 6) R0bc = 0, Rdbc = 0, Rdbc = 0'

7) вОс = 0 = лЦ - 5 «5аС, В^ = - 5Ь5с, В^ = 0 = А* - 5*5с;

8) ВаЬс = -50Са = 0, <ьс = -51 = 0 В1 = -5Iе = -5& получим тождества:

1) в(х,у)г - в(х,ФУ)Фг - в(фх,у)фх - в(фх,фу)7 =

=п (х)п (г)у - п (у)п (г) х ;

2) в(х ,у) г + в(х , ФУ)Фг - в(фх ,у)Фг + в(фх , фу) г =

= 4 л(г, х , У) + п (х)п (г) у + п (У)п (г) х -

- 2 Х(У, г) + 2ФХ(У, Фг);

3) в(х ,у) г + в(х , ФУ)Фг + в(фх ,у)Фг - в(фх , фу) г =

= -2 х(у , г) + 2у(х , г) - п (х)п (г) у + п (у)п (г) х -

- 2ФХ(У, Фг) + 2Ф У(Х, Фг); х ,у , г е х (м).

Резюмируя вышеизложенное, сформулируем следующую теорему. Теорема 3. Тензор Римана-Кристоффеля многообразия Кенмоцу удовлетворяет следующим тождествам:

1) в(х,у)г - в(х,фу)Фг - в(фх,у)Фг - в(фх,фу)г =

=п (Х) п(г)у - п (У) п(г) х ;

2) в(х ,у)г + в(х , ФУ)Фг - в(фх ,у)Фг + в(фх , ФУ)г =

= 4 л(г, х , у) + п (х)п(г)у + п (У)п(г) х - 2 х(у , г) + 2фх(у , Фг);

239

3) r(x,Y)Z + R(X,ФY)ФZ + R(X,У)Ф2 - Я(ФХ,ФY)Z = = -2X{Y,Z) + 2Y(X,Z) - n(x)n(z)Y + +n (Y)n(Z)X - 2ФХ(^ Ф^ + 2Ф Y(X, ФZ); 4) r£, Xfc = X -n (X)S; 5) R(X,Y)£ = n(X)Y -n(Y)X; 6) R(£, X) Y = n(Y) X - ^ X, Y); X, Y, Z e X (m).

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003.

2. Kenmotsy K. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. - J., 24 (1972). -P. 93-103.

3. Tanno S. The automorphism groups of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. - J., 21 (1969). - P. 21-38.

4. Bishop R. L., O'Neil B. Manifolds of negative curvature // Trans. Amer. Math. Soc. - 145

- P. 1-50.

5. Кириченко В. Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу // Докл. РАН. - 2001. - Т. 380. - № 5.

- С. 585-587.

6. Кириченко В. Ф., Дондукова Н. Н. Контактные геодезические преобразования почти контактных метрических структур// Математические заметки. - Т. 80. - Вып. 2. - 2006.

- C. 209-219.

7. Умнова С. В. Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений: Дис. ... канд. физмат. наук. - М.: МПГУ, 2002.

8. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Матеем. сб. - 193:8 (2002). - С. 71-100.

240