Формулы обращения для полусферического преобразования в R3

структуры и моделирование 2014. №2(30). С. 20-31

УДК 517.968

ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОГО

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В Я3

Аннотация. Рассматривается следующая задача интегральной геометрии: требуется восстановить функцию, заданную на сфере Б2, если известны интегралы от этой функции по полусферам. Получены формулы обращения для искомой функции различными способами: с помощью разложения в ряд по сферическим функциям; редукцией задачи к интегральному уравнению Абеля в «стиле» Функа; использованием формулы обращения А.В. Погорелова.

Ключевые слова: интегральная геометрия, геометрическая томография, полусферическое преобразование, формула обращения, сферические гармоники, уравнение Абеля.

Введение

Задачи восстановления функции через интегралы от неё по семейству подмногообразий относятся к задачам интегральной геометрии. Общая постановка задач интегральной геометрии состоит в следующем [6,13]. Пусть П — гладкое многообразие в Яп и — семейство подмногообразий, зависящее от век-

торного параметра в = (в^ в2,..., вп). Пусть известны интегралы от некоторой функции и(х), х Е Яп по семейству подмногообразий

где — элемент меры на Q(s). Требуется по функции f (в) найти функцию и(х). Исследование задач интегральной геометрии предполагает получение ответов на следующие вопросы: определяется ли однозначно функция и(х) по функции f (в)?; для каких функций f (в) решение задачи существует?; как по функции f(в) найти функцию и(х), желательно в замкнутой аналитической форме? Заметим также, что задачи интегральной геометрии являются некорректными, поэтому важное значение имеют оценки устойчивости решения.

Задачи интегральной геометрии в случае, когда несущее многообразие является сферой, рассматривались в работах [4, 10, 14, 15]. Минковский с помощью разложения по сферическим функциям в [14] показал, что чётная на сфере функция однозначно определяется её интегралами вдоль больших кругов. Позднее Функ [15] свёл решение этой задачи к интегральному уравнению

В.Н. Степанов

к.ф.-м.н., доцент, e-mail: stpnv@yandex.ru

Омский государственный технический университет

Абеля и получил решение в замкнутой форме. Далее, А.В. Погорелов в [10] получил формулу обращения, рассматривая проблему конструктивного описания плоских метрик в трёхмерном пространстве. Другие задачи интегральной геометрии на сфере рассматривались в работах [2-4,16,17]. Задачи интегральной геометрии на сфере имеют многочисленные приложения: геометрическая томография, теория выпуклых поверхностей, теория радиолокационного распознавания объектов — и с этой точки зрения являлись предметом исследования в работах [1-3,9,16,17].

В данной работе рассматривается следующая задача интегральной геометрии: требуется восстановить функцию, заданную на сфере S2, если известны интегралы от этой функции по полусферам. Получены формулы обращения для искомой функции различными способами: с помощью разложения по сферическим гармоникам; редукцией задачи к интегральному уравнению Абеля в «стиле» Функа; использованием формулы обращения А. В. Погорелова из [10].

1. Постановка задачи и основной результат

Пусть п,р, д — точки на единичной сфере Б2 = {х е Я3 : |х| = 1};

— скалярное произведение векторов п и р; 52(п) = {р е 52 : (п,р) > 0}

— полусфера; Г(п) = {р е Б2 : (п,р) = 0} — окружность большого круга, ортогонального вектору п; А — оператор Лапласа-Бельтрами на Б2 [5]. г+(п) = 1/2[г(п) + г(—п)], г-(п) = 1/2[г(п) — г(—п)] — соответственно чётная и нечётная части функции г(п),п е Б2; (7, т) и (0,^) — сферические координаты точек п и р соответственно относительно полюса д. Для функции г(0, точки р(0,<^) на сфере Б2 через Ц0,д) обозначим результат применения оператора усреднения и к функции г(0, по переменной то есть

1

Рассмотрим задачу интегральной геометрии: найти аналитическую на сфере 52 функцию и(п), если известна функция

/

2п J в2

Из (2) получаем уравнения для чётной и нечётной части искомой функции:

/+

Первое из уравнений (3) не определяет однозначно чётную часть и+(р) функции и(р). Действительно, функция и(р) = и+(р) + г(р), где г(р) — любая чётная на Б2 функция, среднее значение которой равно нулю, также удовлетворяет этому уравнению. Поэтому целесообразно ставить задачу определения по функции /(п) только нечётной части функции и(р), то есть функции и-(р). Это равносильно рассмотрению класса нечётных на сфере Б2 функций и(р). При

этом функции f (п) также принадлежат классу нечётных на сфере функций. В дальнейшем это условие для уравнения (2) предполагается выполненным.

Теорема 1. Для любой аналитической нечётной на сфере функции ¡(и) существует единственное нечётное аналитическое решение уравнения (2). При этом имеют место следующие формулы обращения:

= - 2_ Г ЦЩ^;

1(р,д)>0 (Р Ю

u(q) = - ^-п

i d г fX U \M\d*

2п dt J(p,g)2>t Л/(p,q)2 - t

t=0

u _r

Jo cos 0

Г n

u

0

Доказательство существования и единственности решения уравнения (2) дано в разделе 2. Там же доказана формула обращения (4). В разделах 3 и 4 получены формулы обращения (5), (6) и (7).

2. Формула обращения для полусферического преобразования. Метод сферических гармоник

Пусть (0, ф) — сферические координаты точки p относительно полюса q, Yk(p) — сферическая гармоника порядка k. Покажем, что среднее значение Yk(0,q) сферической гармоники Yk(p) равно:

Yk (0, q) = Pk (cos 0)Yk (q),

где Pk (cos 0) — полиномы Лежандра порядка k = 0, i, 2,... . Действительно, подставляя в (1) выражение

k

Yk(p) = ^^ pkm)(cos 0)[«km) cosтф + bkm) sinтф]

m=0

для сферической гармоники Yk(p), где Pkm) (cos 0) — присоединённые полиномы Лежандра, Pk0)(cos0) = Pk(cos0), получаем:

k

1 ['П 1 k РП

Yk (0,q) = 2П / Yk (0,ф^ф =2tE/ Pkm)(cos 0)[akm) cos тф+

П -n m=0 -n

2W-n ^^ 2n

+ bk ) sinтф^ф = Pk(cos 0)a¿

Полагая в этом равенстве 0 = 0 и учитывая, что Yk(0,q)\e=0 = Yk(q), Pk(i) i, получаем ak° = Yk(q).

Лемма 1. Собственные значения уравнения (2) равны

= (—1)к

(2к + 2)11'

Собственное подпространство, соответствующее собственному значению А2к+1, состоит из всех сферических гармоник порядка 2к + 1.

Доказательство. Пусть Ут(р) — сферическая гармоника порядка т. Принимая точку д е Б2 за полюс и подставляя в правую часть уравнения (2) выражение

2к+1

^+1(р) = £ р2(Й1(с°8 0)[4Й1 с°й + &^

т=0

для сферической гармоники У2к+1(р), получаем

1 „ 2*+1 1

0 . ^+1 ^ р2(т+н1(с°8 0)[а2т+1 с°й + ь2тт) 1

2П ^Ш>0 т=0 2П ^-п ¿0

г П

эт 0^0 = а2<к)+^ / Р2к+1(с°в 0) эт 0^0.

0

Так как [7]

} Р2*+1(с°8 0)8Ш 0^0 = ! РаН-^Э =(—1) (2к + то

2П !р„)>0^^= (—1)к га «е.-

Выше показано, что «2°+ = У2к+1(д). Таким образом,

2П / ^(р)^ = (—1)* + 1)11!У2*+1(д), (р,«)>0 (2к + 2)11

то есть сферические гармоники У2к+1(д) являются собственными функциями уравнения (2), а соответствующие собственные числа равны (—1)*((2к+2))!!!. Поскольку сферические функции нечётных порядков образуют полную систему в подпространстве нечётных суммируемых на Б2 функций, то других собственных функций уравнение (2) не имеет.

Лемма 2. Уравнение (2) имеет аналитическое на сфере Б2 решение и(р) тогда и только тогда, когда функция аналитическая на Б2.

Доказательство. Предположим сначала, что /(р) аналитическая на Б2 функция и

те те 2к+1

/ (р) = £ ^2*+1 (р) = £ £ ^+1^1 (р), (8) к=0 к=0 т=—2к— 1

п

1

2

где

4к + 3 г

= —:- / /

4п ./52

её разложение по ортонормированной системе сферических функций нечётного порядка (/(р) — нечётная функция). В силу леммы 1 решение и(р) уравнения (2) можно записать в виде ряда

и

*=0 1

Докажем, что и(р) — аналитическая на 52 функция. Для этого оценим члены её разложения по сферическим гармоникам. Так как /(р) — аналитическая функция, то существуют постоянные с > 0 и п > 0 такие, что [12]

|^*+1(р)|< се-п* ,р е 5 2,к = 0,1, 2,....

Поэтому

(2к + 2)''

< с1в-П1*, р е 52, к = 0,1,2,

при некоторых постоянных с1 > 0 и п1 > 0. Таким образом, члены разложения функции и(р) в ряд по сферическим гармоникам убывают по экспоненциальному закону. Следовательно, и(р) — аналитическая на 52 функция [12].

Обратно. Пусть и(р) — аналитическая на 52 функция. Разлагая её в ряд по сферическим гармоникам

те те 2*+1

и(р) = £ ^+1(р) = £ £ СЙ^р),

*=0 *=0 т=-2*-1

где

— 4к + 3 г

^+1(5) = —;- / «^^^Жр^^

и пользуясь леммой 1 получаем следующее разложение для /(р):

В силу аналитичности и

|^+1 (р)|< се-^ * ,р е 52, к = 0,1, 2,...,

где с > 0 и с > 0 — некоторые постоянные. Поэтому для членов разложения функции имеют место неравенства

< |С2*+1 (р)| < се-п*, р е 52, к = 0,1, 2,... . Это и означает аналитичность на [12].

Докажем формулу обращения (4). Разложим левую часть уравнения (2) в ряд (8) по сферическим гармоникам, при этом решение представляется рядом (9). Подставим разложение (8) в интеграл

1 Г А/

Чм)>0

воспользуемся равенством

i , . d,,, 2п J>0

АУ"2й+1 (р) = -(2к + 1)(2к + 2)У2й+1 (р),

почленно проинтегрируем, перейдём к сферическим координатам относительно полюса д и используем равенства [7]:

^+1(0, <?) = Р2к;+1 (сОв 0)У2й+1(?), 1: ^* =<-!>* ^ -к = 0.1.2..... Последовательно получаем

2п

А/(p) , 1

-d,„ = ——

(p,q)>0

2п

Г ае Г=0 Y2k+i(p)]

2п

E

fc=^(p,9)>0

Ai

fc=0

(p,q)>0

Y2fc+1

2п

E

I J 2fc+o('0 ^ Sin^d^d^ + 1)(2k + 2)-

fc=0

fc=0

1 Г — Y2fc+1(Q,^)d^

sin Q cos Q

dQ = E

fc=0

2 P2fc+1(COSQ) .

sin QdQ

YWi

fc=0

P2fc+1

dt

cos Q

YWq) = E(2k + 1)(2k + 2)-

0

00

fc=0

xfc (2k)!! v ^^(2k + 2)!!

(-1)k (2Í-+TH-! w> = »—ч

Y2fc+1(q).

Ввиду (9) формула (4) доказана, вместе с этим доказано существование и единственность решения уравнения (2).

1

1

7=Т пп

1

2

0

1

t

0

3. Редукция полусферического преобразования к уравнению Абеля

Пусть (y, т) и (Q,<^) — сферические координаты точек n и p соответственно относительно полюса q, тогда точки n и p имеют следующие прямоугольные координаты:

n = n(Y, т) = (sin y cos т, sin y sin т, cos y), 0 < y < п, —п < т < п; p = p(Q, = (sin Q cos sin Q sin cos Q), 0 < Q < п, —п < ^ < п.

Уравнение окружности Г(п) в сферических координатах запишется в виде:

sin y sin в cos

Найдём пределы изменения координаты ф переменной точки р(в, ф) окружности Г(п). Из уравнения (10) получаем:

ф = т ± п ^ arccos(cot в cot y) ,

то есть координата ф меняется в пределах от т — п + s до т + п — s, где через s(e,Y) обозначен arccos(cot в cot ф). Тогда уравнение (2) в сферических координатах принимает вид:

/ (%т

/02-y sin в /-п и(в, ф)^ф de +7 sin в /;_+;+_; и(в, ф)^Ф de, если 0 < y < 2,

п п _y r+п s

jx_Y sin и(в, Ф)dФdв + /7__ sin в /Г"^ss и(в Ф)dФ

если п < y < п.

2

Рассмотрим функцию

г в(т) Г т+п—s

h(Y,r ) = / sin 0 /

J a(Y) Jt—п+s

где a (y ), в (y ) и s = в(0,ф) - непрерывно дифференцируемые функции. Применяя к функции h(Y, т) оператор усреднения по т, переходя во внутреннем интеграле к новой переменной n = T, где k = ^^ и учитывая периодичность функции z(0, ф) по переменной ф, последовательно получаем:

~ 1 1'п ( ГГ\ Гe(Y) 1

h(Y, q) = — / / sin вdв / z(в,ф)dф Ыт = sin вdв--

2п ,/_п ^./afr) Л—п+s y Ja(Y) 2п

dW г(в,ф^ф = sin вdв — dW г(в,кп + т )dn

'—п Jt—п+s / ./a(7) \2n •/—п •/—п

Гв(7) / k Гп Гп \ Гe(Y) k íП

= sin 0d0 — dW z

•/a(7) V2n «/—п «/—п / Ja(Y) 2n ,/—п

/п+fcn Г в(т) / Г п /1 Г п

z(0,A)dA = sin 0dqH dn — z(0,A)dA п+fcn *Уа(7) V •/— п \2n J —п

Гв

= k sin 6z(6,q)l dn)d0 = 2/ (n - s(0,Y))¿(0,q)sin 0d0.

•/a

Полученную формулу (12) используем для усреднения уравнения (11). Имеем:

7(Y'q) = ¿<

2п /02 +Y w(Q, q) sin QdQ + 2/1+ (п — s(Q,y))«(Q,q) sin QdQ

, о г2 +7,

если 0 < y < 2;

3п_ Y

2п /3П_Y w(Q,q) sin QdQ + 2 /7-_Y(п — s(Q,Y))Ut(Q,q) sin QdQ,

<r y <r п

2

гп

^ _Y

если п < Y < п

или

/:((Y'q) = 2Л ^

2п /02 +Y w(Q, q) sin QdQ — 2 /f2_+7 s(Q, y)íí(Q, q) sin QdQ,

_Л ллл о Г2 +Y

если 0 < y < П;

2п п w(Q,q) sin QdQ — 2 /7__Y s(Q,Yq) sin QdQ,

< Y < п

2

п

'Y_ 2

если 2 < Y < п

где s = arccos(cot0coty).

Продифференцируем уравнение (13). Применяя известную формулу дифференцирования интеграла по параметру и равенство

ds $Y

cos Q

sin

sin y — cos2 Q

получаем

«Y,q> = 2í

1 í —2 P +Y w(Q,q)—sin9cos9d9 , 0 < y < п;

^ J J2 _Y V ' ^sin Y у/sin2 y_cos2 9 ' " ' " 2'

sin 9 cos 9 d9

2 "Y

3n _y

О Г 2 ' ^(ü уЛ sin 9 cos 9d9 п

— 2J Y_ n u(Q,q)"-/ . 2 2fl ' 2

' 2 sin y ysin2 Y_cos2 9

, п < Y < п.

Уравнение (14) может быть сведено к уравнению Абеля. С этой целью, записывая его в виде

2 J 2 ад(9, q) sin 9 cos 9d9 2 J" 2 +Y M(9> ?) sin 9 cos 9d9 0 < y < n ;

-.1 2 Y sin y\/sin2 Y_cos2 9 2 sin Y\/sin2 Y_cos2 9 ' 2 '

a f 2 u(9, q) sin9 cos9d9 r> Г12 Y ut(9,q)sin9 cos9d9 п ^ ^

— 2 JY-n — 2 Jn „:_.../„:_2., .„„^' 2 < Y < п

Y 2 sin Y\/sin2 Y_cos2 9 2 sin Y\/sin2 Y_cos2 9 ' 2

и переходя к новым переменным t = sin2 y, 0 < y < п, y = cos2 Q, 0 < Q < п, получим уравнение Абеля:

F

( Л Vt—y'

где F(t) = — 2^v^t/'(arcsin лД), 0 < t < 1; v(y) = w(arccos Vy)-íí(arccos — ^У), 0 < y < 1. Для непрерывно дифференцируемой функции F(t) уравнение Абеля (15) имеет единственное непрерывное решение, которое даётся формулой [11]

1 Г F/(t)dt

v

п J 0 vy — t

где

d

dY

=arcsin y/t

——^/'(arcsin —/t) — — ^ ^/"(arcsin л/t).

Возвращаясь к переменным 7,0 и к функции и(0,д), получим следующее представление для решения уравнения (14):

f

Jo y cos2 в — sin2 y

При в = 0 значения f((arccos | cos в |), q) и f(arccos(—| cos в|) равны значениям u в полюсах q и —q соответственно. Следовательно, из (17) получаем:

u

2 U

Таким образом, нечётная на S2 функция u(q) определяется однозначно из уравнения (2). Формула обращения (6) получена.

4. Применение формулы А.В. Погорелова

В работах [4,10,15] получена формула обращения для уравнения

F

2п JГ

где z(p) — чётная функция на S2, Г(х) - окружность большого круга сферы, ортогонального вектору x G R3. Формула обращения уравнения (19) из [10] имеет вид:

z (p) =__1_ d f F (x)|x=q |(p,q)|da9

2п dt J(n,p)2>t v/(n,p)2 — t

.

t=0

Редуцируем уравнение

f (n) = 7T I u(P)d^P

2п ./ S2

к уравнению (19).

Продолжим функцию /(п) на все значения х е Д3, х = 0, полагая /(х) /(|Х|), то есть

/(х) = тт I и(Р^р.

2п о (х,р)>0

Так как

df (x) 1 f

то, воспользовавшись формулой обращения (20), получим равенства

, i = 1, 2, 3.

t=0

2n J(P,9)2>t Л/(П,Р)2 - ¿ Умножая эти равенства на а затем суммируя их, получим:

u(q) = -тт~

2W(p,q)2>t Л/(П,р)2 - Í

t=0

Здесь ^^|Х=Р = (дга^/(х),д)|х=р производная по направлению д, |д| = 1, вычисленная в точке р.

Найдём выражение для производной по направлению в сферических координатах (г, в,<^). Градиент функции в сферических координатах имеет вид [8]:

\ д/. 1 д/. 1 д/-grad/(x) = — ir + -—^ + ———^

dr r dp r sin у д^

где ir, ie, — локальный ортонормированный базис сферической системы координат. Воспользуемся формулами перехода от локального базиса ir, i9, i^ к базису прямоугольной декартовой системы координат i,j,k [8].

Если p = pii + p2j + p3k = _p1ir + p2i9 + p~3i^ — разложения вектора p по базису i,j,k и ir, i9, i^, то его координаты p1,p2,p3 и p1,p2,p3 преобразуются по формулам [8]:

p1 = p1 sin P cos + p2 sin P sin ^ + p3 cos P,

= p1 cos P cos ^ + p2 sin ^ cos P — p3 sin p3 = -p1 sin + p2 cos

Используя эти формулы и учитывая, что r = 1 на сфере S2, df = 0 (так как /(x) — однородная функция степени ноль), получим следующее выражение для производной по направлению в сферических координатах:

д/(p) д/ 1 д/

= — (q1 cos P cos + q2 sin ^ cos P - q3 sin P) +—r-^ — (-q1 sin ^ sin P+

д^ д^- ' ,2 ^ r ^ ^ —, , sin2 P д^

/ь /) + д/М,

д0 (q,p9) + sin2 P д^'

+ q2 sin P cos p) = /^p9) + /^p'J = Д/ (p,q)),

где А1 — первый дифференциальный параметр Бельтрами [5]. Если точка д — полюс сферической системы координат, то производная по направлению запишется в виде:

д/ А (/ в) • в/М

— = Аl(/, С08 в) = - 81П в ^ .

Принимая точку q за полюс сферической системы координат, преобразуем формулу обращения (21).

,, 1 d Г f1 !(n,p)|dap u(q) = — —— —— —

2ndW (n,p)2>t v(n,p)2 — t

" sin ífM —ф—0

'0

2 T /'

dt 0

os \/í

t=0

2 ÍÍ

dt 0

1 d_ rarccos V cos 0 sin 0 n dt Jo Vcos2 0 — t

cos 0 sin2 0/'

í=0

arccos\/í „„„ Л „;„2 д fl

у/cos2 0 — t

d0

t=0

[sin 0/l(0, q)] cos 0 sin 0

Vcos2 0 — t

d0

í=0

—2 T dt

sin 0/l(0,q)-

•л/cos2 0 — t

5 Ví

i Vi

(sin 0/l(0, q))lVcos2 0 — td0

í=0

i Vt

j /»arccos _

2 — (sin 0/l(0,q))Vcos2 0 — td0

dt 0

^Ví

í=0

(sin 0/l(0, q))1 Vcos2 0 — t

d0

í=0

(sin 0/l(0, q))1 d0 = — r2 cos 0 f (0, q) + sin 0/ll(0,q) d0 = Г2 f q)d0— /0 cos 0 J0 cos 0 У0 ,

П

tan 0/ (0, q)d0 = /(0, q) — /(-, q) — tan 0f (0,q)d0 =

= f(q) — tan 0 f ll(0, q)d0.

0

Таким образом, формулы обращения (4), (5), (6), (7) уравнения (2) получены.

0

0

0

2

2

0

0

Литература

1. Аниконов Ю.Е. Замечания о выпуклых поверхностях // Сиб. мат. ж. 1968. Т. 9, № 6. С. 1413-1415.

2. Аниконов Ю.Е., Степанов В.Н. Формула обращения в одной задаче интегральной геометрии // Доклады АН СССР. 1991. Т. 318, № 2. С. 265-266.

3. Аниконов Ю.Е., Степанов В.Н. Геометрия выпуклых поверхностей и обратные задачи теории рассеяния // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35, № 5. С. 955-973.

4. Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука, 1967. 232 с.

5. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. М.: ОНТИ, 1935. 302 с.

6. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Сер.: Обобщённые функции. М.: Физматгиз, 1961. Вып. 5. 472. с.

7. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных и инженерных работников. М.: Наука, 1974. 832 с.

9. Небабин В.Г., Сергеев В.В. Методы и техника радиолокационного распознавания. М.: Радио и связь, 1984. 152 с.

10. Погорелов А.В. Четвёртая проблема Гильберта. М.: Наука, 1974. 78 с.

11. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982. 242 с.

12. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонин А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

14. Minkowski H. Volume und Oberfläche // Math. Ann. 1903. Bd. 57. P. 447-495.

15. Funk P. Über Flächeh mit lauter geschlossenen Linien // Math. Ann. 1913. Bd. 74. P. 283-288.

16. Falconer K.I. Applications of a result on spherical integration to the theory of convex sets // Amer. Math. Mon. 1983. V. 90, N. 10. P. 690-693.

17. Schneider R. Zonoids whose polars are zonoids // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. V. 50, N 7. P. 365-368. Computers and Math. Appl. 1990. V. 20, N. 4. P. 127-138.

THE INVERSION FORMULAS OF HEMISPHERIC TRANSFORM IN R3

V.N. Stepanov

Ph.D.(Math.), docent, e-mail: stpnv@yandex.ru

Omsk State Technical University

Abstract. The following task of integral geometry is considered: one needs to restore a function defined on a sphere S2 knowing the function's integrals over the hemispheres. The inversion formulas for the required function are obtained by several ways: using a series expansion in spherical harmonics, by reducing the task to an Abel integral equation in the Funk "style", using the inversion formula of A.V. Pogorelov

Keywords: integral geometry, geometric tomography, hemispheric transform, inversion formula, spherical harmonics, Abel equation.