Подходы к моделированию динамики лесной растительности на основе теории катастроф

ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДИНАМИКИ ЛЕСНОЙ РАСТИТЕЛЬНОСТИ НА ОСНОВЕ

ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

Г.П. БЫСТРАЙ,

кандидат физико-математических наук, профессор, Уральский государственный университет им. А.М. Горького Н.С. ИВАНОВА,

кандидат сельскохозяйственных наук, старший научный сотрудник, Ботанический сад УрО РАН

Ключевые слова: математическое моделирование, теория катастроф, восстановительно-возрастная динамика, смена древесных видов, травяно-кустарничковый ярус, мощность почв.

Проблема динамики лесной растительности широко обсуждается в литературе [1, 2]. Накоплен огромный фактический материал по особенностям динамики древесных видов для разных континентов, климатических зон и ле-сорастительных условий. Однако анализ этого экспериментального материала из-за многообразия и сложности лесных экосистем и множества факторов, влияющих на их динамику, затруднён. Необходима формализация знаний об объекте. Особое значение в связи с этим приобретает математическое моделирование. Особенно важно оно для выявления причин наблюдаемых в лесах смен и оценки устойчивости развития. В формировании лесов в большинстве случаев участвует несколько древесных видов. Выявлено, что их доли в составе формирующихся лесов не остаются постоянными и часто изменяются резко, скачком (проявляя дискретность) при плавном непрерывном изменении абиотических факторов [1]. Такие явления описываются моделями теории катастроф Р. Тома [2]. Попытки применения теории катастроф для качественного моделирования лесной растительности имели место [1, 3]. Наибольшее количество работ посвящено качественному анализу динамики растительности на экотоне (переходной полосе между двумя альтернативными подсистемами - метастабильной зоне) [1, 4] и поиску предельных (критических) значений внешних и внутренних факторов [5]. Однако последовательный подход, связанный с количественным описанием, отсутствовал.

Цель исследований

На примере построения обобщённой математической модели формирования лесной растительности на вырубках показать возможности подходов теории катастроф для описания динамики лесов.

Работа выполнена по Программе Президиума РАН «Биологическое разнообразие» и гранта РГНФ 09-02-00561 а «Безопасность критичных инфраструктур и их влияние на развитие хозяйственного комплекса территории».

1. Математическая модель

В качестве примера применения теории катастроф для описания динамики лесной растительности построим обобщённую модель формирования лесной растительности на сплошных вырубках. После сплошных рубок возможно несколько альтернативных линий развития растительности. Из всего разнообразия возможных вариантов смен древесных видов рассмотрим только взаимоотношения берёзы (Betula pendula Roth. и B. pubescens Ehrh.) и сосны (Pinus sylvestris L.) - наиболее распространённых на Урале и в Зауралье древесных видов - в процессе зарастания вырубок и формирования нового древостоя. В качестве базовых объектов выберем сплошные вырубки, расположенные на территории южно-таёжного округа Зауральской холмисто-предгорной провинции.

Управляющие параметры. При достаточном обсеменении вырубок наиболее значимыми факторами, определяющими направление лесовос-становительных процессов в рассматриваемом районе, являются лесорас-тительные условия и интенсивность развития травяного покрова (главного конкурента древесной растительности в первые годы жизни). Эти факторы являются управляющими параметрами в обсуждаемой модели.

Т - безразмерная характеристика интенсивности развития травянистого яруса:

T = (Po-Pm Po ,

где Po = (Ps + pB ): 2 - средняя

суммарная масса (плотность) сосны (Pinus sylvestris) и берёзы (Betula pendula и B. pubescens);

Pm - масса трав (плотность); P - характеристика, описывающая интенсивность возобновления древесной растительности: плотность (масса) подроста сосны (Pinus sylvestris) и подроста берёзы (Betula pendula и B. pubescens).

Лесное хозяйство

Г>

620134, г. Екатеринбург, ул. Билимбаевская, д. 32а; тел. 8-9028712327; e-mail: i.n.s@bk.ru

Чем больше масса трав, тем меньше Т.

Управляющий параметр H - характеристика богатства лесораститель-ных условий (мощность почвы, см). Мощность почвы - комплексный фактор, характеризующий запас в почве элементов минерального питания и влаги и широко используемый в лесной типологии [6].

Математическая модель. Рассмотрим следующую модель формирования лесной растительности на сплошных вырубках в зависимости от двух управляющих параметров (интенсивности развития травянистого яруса и мощности почв): структура T (безразмерная характеристика равномерно распределённого травянистого яруса), объединяясь с двумя величинами (характеристика, описывающая древесную растительность: сосна + берёза), приводит к образованию трёх величин . В то же время величины и Т влияют на почвообразовательный процесс H. В свою очередь, H влияет на формирование древесного () и травянистого яруса (T). Данные процессы протекают как в прямом, так и в обратном направлении. Это формализуется следующей схемой протекания процессов:

Т 3p

T <Ht H

В скобках указаны константы скоростей прямых и обратных процессов. Это приводит к следующему дифференциальному уравнению:

где - некоторые другие параметры экосистемы, которые следует определить [7].

Эта модель описывает степень угнетения формирующейся древесной растительности травянистым ярусом и влияние лесорастительных условий

Mathematical modeling, catastrophe theory, forest restoration, change of tree species, herb layer, edaphic factor.

Лесное хозяйство

на темпы роста древесных растении. Чем меньше Т, тем сильнее древесная растительность угнетается травами. Чем больше Т (меньше фитомасса трав), тем больше появляется и вы-

живает всходов древесных видов, интенсивнее их рост, соответственно, плотность древесных видов растет быстрее. Увеличение Н (мощности почв) приводит к угнетению сосны в большей степени, чем берёзы.

Для перехода к канонической (без-размернои) форме умножим левую и правую части уравнения (1) на ,

где рс - некоторый масштаб плотности: плотность древеснои растительности в критической точке, в которой плотность сосны и берёзы равны (смешанный древостоИ). В результате получаем из (1) безразмерное уравнение:

dp ~dt

Р" - ё~ Р k p

Ы р

-р- H*

Рисунок 1. Потенциальная функция для уравнения состояния формирующейся на вырубке лесноИ растительности: 1 - при равновесии; 2 - метастабильное состояние одного из видов

Рисунок 2. Бифуркационные кривые системы берёза - сосна - трава: а - Т=0.95; б - Т=0.356; в критической точке Э плотности берёзы и сосны равны; изменением И* можно скачком изменить соотношение берёзы и сосны (фазовыИ переход I рода); при прохождении критической точки имеем случаи фазового перехода II рода; верхняя ветвь - вид с большеИ плотностью (сосна или берёза), нижняя - вид с меньшей плотностью

^--Т-

Формулы перехода от кубического уравнения X +схХ +/Х+/=0 к кубическому уравнению П+ац+Ь* = 0 следующие:

х = ц-а:3, а =-о2:3+в, Ь =2а:3) -ар-.Ъ+у.

В результате уравнение (2) может быть записано в канонической форме, то есть без квадратичного члена [8]:

I з * .Л и п = дГ

— = -

где Е* = ^: ^0 - потенциальная функция катастрофы сборки, которая определяет энергетическую характеристику в приведённом виде [7]:

d п

д F •

Принимая во внимание, что в критической точке экосистемы р=р0=рс (р*=1, р0*=1), Н*=1 неопределённые константы уравнения (2) могут быть выражены через масштабные величины to и рс: = 3: t0, \k2\ = 3: toPc, \къ\ = 1: t0pp.

Тогда \k\ =Pc :Hcto. Здесь t =t:t0, p*=p:pc, to =1: |кз|pp, H'=H:Ho.

^"(п, а ,Ь)=4П + ^  П +Ь П,

П = Р - Тр*

Здесь т]=Р'Рс -Тр0 -рс - параметр

порядка, характеризующий отклонение плотности растительности (древесноИ и травянистоИ) при фиксированноИ величине Т, близкоИ к единице, от некоторого среднего значения плотности сосны и берёзы р0 = (р,, + рв): 2 , где

Рс

плотность в критической точке;

константы а*, Ь * - параметры;

р„* = 1^1:3 |*з р .

Таким образом, сделан переход к новоИ переменноИ п и управляющим параметрам а* и Ь*:

а* =-3

где р0 представляет собоИ среднюю плотность сосны и берёзы.

Параметр Ь* =-н* + Н* можно представить как сумму внешнего поля и собственного самосогласованного Н* = 3Трр - 2Тър03. При Ь* = 0 , н * = Н*.

Равновесное уравнение состояния возникает из (3) после приравнивания правоИ части нулю:

П + а*п + Ь* = 0

Полученная модель соответствует так называемоИ катастрофе сборки [8].

Условия равновесия. Равновесию древесноИ и травянистоИ раститель-

Рисунок 3. Травянистый ярус развит слабо: а - потенциальная функция; б - изменение параметра порядка; в - скорость роста древесноИ растительности; Т = (р0-рт) : р0 =0,99;

Лесное хозяйство

F*

-2

-2  7}

Рисунок 4. Травянистый ярус развит сильно; переход к новой точке равновесия: а - потенциальная функция; б - изменение параметра порядка; в - скорость роста древесноИ растительности; Т=0,95; р0* = 1,227

ности соответствует симметричньш потенциал Ь* = 0 (рис. 1):

_ * , * , 1 4 1 * 2

Р

Экстремумам симметричного потенциала соответствует

Ь* = -Н* + 3Тр -2Тгр*3 = 0.

В результате получаем уравнение п(п +а ) = 0, из которого следует

л=±4-7 =,13(Т2р0*2 - 1) . так как

* * * П = Р - ТР** . a

-3(ТР2 -1), то полу-

ная, или глобальная устоИчивость текущего состояния системы определяется видом потенциальноИ функции Р*. На рисунках 3а и 4а представлены частные случаи исследования устоИчи-вости текущих состояниИ. Для локально устоИчивых состояниИ один из минимумов выражен слабо. Это соответствует метастабильному состоянию.

Другие свойства модели Росток катастрофы формирующейся лесной растительности. Возмущение. В потенциале Р* величина

п

4 является ростком катастрофы, а

Р^фа^Ь') = 4п4аемадве+ Ьетви линии равновесия для 4 лес2ноИ растительности:

р = Т(р*0 3(рр-1) ,

Т = (р0-рт ): р0 , (8) где Т - безразмерная характеристика интенсивности развития травянистого яруса;

р0 = (р, + рв): 2 - средняя суммарная масса сосны и берёзы; рт - масса трав;

р - характеристика, описывающая

интенсивность роста древесноИ растительности: плотность (масса) сосны и берёзы.

Здесь плюс соответствует древесному виду с большеИ плотностью.

Чем меньше масса трав, тем быстрее растёт плотность (масса) древес-ноИ растительности. Со временем на вырубках среднее значение плотности берёза - сосна растёт:

(рис. 2а). В критическоИ точке плотности сосны и берёзы становятся равными - имеем случаИ смешанного древостоя, когда нельзя выделить преоб-ладающиИ вид. Далее плотность более конкурентоспособного древесного вида (сосны или берёзы) растёт интенсивно. С увеличением Т (уменьшением массы травяного покрова) бифуркационная кривая лежит выше, травя-нистыИ ярус существенно меняет динамику сосны и берёзы (рис. 2б). Устойчивость состояний. Локаль-

. * 1 * 2 величина Щ = Ь П+ ^а П - произвольным возмущением [8].

Вырожденные точки для экосистемы. Согласно теореме Тома, для катастрофы сборки вводятся следующие особые (в математическом отношении) точки:

1 1 L

ь*

G }

-0.5

еш

Рисунок 5. Сепаратриса BGS формирующейся на вырубке лесной растительности; управляющие параметры зависят от И* - внешнего поля (мощности почв) - и параметра травянистого

яруса T: a* --3(Т2Рр -1); b* = -н* + зтр* - 2Т3р0*3; Р* = 122 ;

т - 0,85 НО; И* = 0,08. Двумя точками отмечена область метастабильных состояний

dF* dn

= 0 , n3 + a*n+ b* - 0

вырожденные точки (соответствуют экстремуму потенциальной функции F);

dn2

= 0, 3n2 + a* = 0

дваж-

ды вырожденные точки, расположенные по линиям ВЭ, ЭЭ (решения, соответствующие двум экстремумам потенциальноИ функции, становятся равными);

3.

dJ F drf

-- 0 , 6 n =0 - трижды вырож-

денная точка Э (решения, соответствующие трём экстремумам потенциаль-ноИ функции, равны 0).

Из совместного решения 1 и 2 следует уравнение для сепаратрисы.

Энергетический потенциал. Энер-гетическиИ потенциал для формирую-щеИся на вырубке лесноИ растительности в общем случае несимметричен и имеет вид (рис. 1):

Деформация потенциала. Под деформацией потенциальной функции будем понимать последовательные

Рисунок 6. Восприимчивость роста параметра порядка от роста среднеИ плотности древостоя до и после критическоИ точки Э; в критическоИ точке имеет место сингулярность

d2 F*

Рисунок 7. Восстановительно-возрастная динамика суммарной плотности сосны и берёзы; точки - экспериментальные данные; линия - результат решения уравнения (1): а - сосняки брусничниковые на крутых склонах южной экспозиции с мелкими каменистыми почвами (Н=10-15 см) (две последние точки на линии - прогноз на 9 и 15 лет);

коэффициенты уравнения: к1=2,22*10-6, к2Т=2,06*10-5, к3=1,44*10-9, к4Н=222,22; б - березняки разнотравно-вейниковые в нижних частях пологих склонов с мощными (Н более 50 см) дренированными почвами (две последние точки на линии - прогноз на 5 и 10 лет); коэффициенты уравнения: к1=0,013, к2Т=1,36*10-5, к3=1,44*10-10, к4Н=140

Рисунок 8. Динамика скорости роста суммарной плотности сосны и берёзы для сосняков брусничниковых на крутых склонах южной экспозиции с мелкими каменистыми почвами (Н=10-15 см):

точки построены по экспериментальным данным; линия - производная по времени от р

изменения вида потенциальной функции: переход рисунка 3 к рисунку 4 и наоборот. Эта деформация осуществляется за счёт внешнего поля, то есть за счёт изменения управляющего параметра Н* при а*<0.

Сепаратриса уравнения формирующейся на вырубке лесной растительности:

3

0

является предельной для мета-стабильных состояний древесного и травянистого ярусов (рис. 5). Восприимчивость. Восприимчивость для уравнения

3 * тт * тт *

П + а п + = Н характеризует изменение переменной п при изменении внешнего поля И":

При приближении к критической точ-

* 1 *

ке а = Ь = п ^ 0 и восприимчивость

стремится к бесконечности (рис. 6).

Особенности. Произвольное возмущение может изменить местонахождение и ориентацию сепаратрисы, однако оно не может изменить её вида. Другими словами, особенность в отображении проектирования устойчива относительно возмущений. Особенности присутствуют лишь в отображении проектирования на плоскость управляющих параметров.

Наследственное свойство. Возмущение в точке, где имеет место наследственное свойство (устойчивая точка), качественно на это свойство не влияет. Возмущения же в неустойчивой точке будут приводить к значительным изменениям.

2. Сравнение с экспериментальными данными Нами проведён для южно-таёжного округа Зауральской холмисто-предгорной провинции специальный анализ восстановительно-возрастной динамики лесной растительности после сплошных рубок. Рассмотрены два крайних варианта дренированных эко-топов: нижние части пологих склонов с мощными (более 50 см) дренированными почвами, обеспечивающими устойчивое увлажнение почвогрунтов, и крутые склоны южной экспозиции с мелкими каменистыми почвами и крайне неустойчивым водным режимом. Для исследования временных зави-

а

+

Лесное хозяйство

симостей использован комбинированный метод, при котором подбор в пространстве участков, находящихся на разных стадиях восстановительно-возрастных смен, и построение из них временных рядов дополняется многолетними наблюдениями на постоянных пробных площадях.

Изучение древесной и травянистой растительности на пробных площадях выполнено по стандартным методикам [9]. Масса лесообразую-щих древесных видов определена расчётным путём. Масса стволов рассчитана по П.П. Изюмскому [10]. Масса кроны - на основе регрессионных уравнений, учитывающих физиологически обусловленные закономерности (пайп-модель) [11].

В результате получена временная динамика плотности (массы) сосны и берёзы для двух альтернативных экодинамических рядов с давностью рубки от 4-5 до 50-55 лет: березняков разнотравно-вейниковых (нижние части пологих склонов с мощными -Н более 50 см - дренированными почвами) и сосняков брусничниковых (крутые склоны южной экспозиции с мелкими каменистыми почвами -Н=10-15 см).

На основе полученных нами экспериментальных данных, решая обратную задачу, были определены все параметры уравнения (1) (рис 7). Обратная задача решалась в программе MathCAD 2001 для двух контрастных экотопов методом последовательных приближений до достижения минимальности отклонения линии от экспериментальных точек по функционалу невязок. В результате получено два уравнения для восстановительно-возрастной динамики суммарной плотности сосны и берёзы (рис. 7а, б). Для сосняков брусничниковых на крутых склонах южной экспозиции с мелкими каменистыми почвами (Н=10-15 см) уравнение имеет вид:

<Р= -0,00000222 р + 0,0000206 рг -

аг

- 0,0000000014 4 р3 + 222 , 22

Для березняков разнотравно-вей-никовых в нижних частях пологих склонов с мощными (Н более 50 см) дренированными почвами уравнение:

ар= -0.013 р + 0,0000136 р2 -

аг

- 0,0000000008 6рг + 140

На рассматриваемом временном интервале линии (результаты решения уравнений) достаточно хорошо соответствуют точкам (экспериментальным данным). Линия на рисунке 7б для березняков разнотравно-вей-никовых (нижние части пологих склонов с мощными - Н более 50 см - дренированными почвами) более пологая и проходит существенно ниже, чем на рисунке 7а для сосняков брус-ничниковых (крутые склоны южной экспозиции с мелкими каменистыми

почвами - Н=10-15 см), что свидетельствует об угнетении на мощных почвах древесной растительности в первые годы жизни развитым травянистым ярусом. Также определена скорость роста суммарной плотности (массы) сосны и берёзы (рис. 8).

Сравнение рисунков, полученных по экспериментальным данным (рис. 7а, 8), с теоретическими (рис. 3б, в) выявляет их хорошее соответствие. Теоретические положения подтверждаются экспериментальными данными.

Заключение

Таким образом, в процессе построения обобщённой модели формирования структуры древесного яруса на сплошных вырубках нами введены основные понятия и уравнения теории катастроф, приведена последо-

вательность анализа и построения математической модели. Совмещение теоретических положений, приводимых в данной статье, с экспериментальными данными позволяет построить количественную математическую модель, учитывающую региональные и экотопические особенности динамики лесной растительности, на основе которой возможны количественные прогнозы реальных ситуаций.

Первые проведённые нами расчёты показали, что найденные закономерности в первом приближении описывают формирование структуры древесного яруса на сплошных вырубках в южно-таёжном округе Зауральской холмисто-предгорной провинции.

Лесное хозяйство - Право

Удовлетворительное соответствие теории и экспериментальных данных позволяет надеяться, что сравнение других характеристик (о которых говорилось в разделе 1) с экспериментальными данными будет проведено также успешно. Приведённая нами статистика не является полной. Мы надеемся представить в дальнейшем детальное обсуждение влияния управляющих параметров на структуру формирующихся лесов, методики определения критических точек и построения потенциальных функций.

Проведённая нами работа инициирует новый подход к изучению динамики лесной растительности, который обеспечит обоснованное прогнозирование состояния описываемых объектов.

Литература

1. Ведюшкин М. А. Моделирование пространственных переходов между фитоценозами // Математическое моделирование популяций растений и фитоценозов. М. : Наука, 1992. С. 24-30.

2. Thom R., Zeeman E. C. Catastrophe theory: its present state and future perspectives // Dynamical systems: Lecture notes in mathematics. 1975. Vol. 468. № 4. P. 366-389.

3. Володченкова Л. А., Гуц А. К. Катастрофы типа «бабочка» в эволюции лесных экосистем // Математические структуры и моделирование. 2009. Вып. 19. С. 45-67.

4. Шиятов С. Г. Понятие о верхней границе леса // Растительный мир Урала и его антропогенные изменения. Свердловск : УНЦ АН СССР, 1985. С. 32-58.

5. Усольцев В. А. Фитомасса лесов Северной Евразии: предельная продуктивность и география. Екатеринбург : УрО РАН, 2003. 406 с.

6. Колесников Б. П., Зубарева Р. С., Смолоногов Е. П. Лесорастительные условия и типы лесов Свердловской области. Свердловск : УНЦ АН СССР, 1974. 176 с.

7. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М. : Мир, 1973. 511 с.

8. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М. : Мир, 1984. T. 1. 350 с. ; T. 2. 285 с.

9. Программа и методика биогеоценотических исследований / отв. ред. Н. В. Дылис. М. : Наука, 1974. 402 с.

10. Изюмский П. П. Таксация тонкомерного леса. М. : Лесная пром-сть, 1972. 88 с.

11. Усольцев В. А. Биоэкологические аспекты таксации фитомассы деревьев. Екатеринбург : УрО РАН, 1997. 216 с.

О Iii

РАЗВИТИЕ ПРАВОВОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ АГРАРНОГО СЕКТОРА ЭКОНОМИКИ НА ИННОВАЦИОННОЙ ОСНОВЕ

P.A. ХАННАНОВ,

доктор юридических наук, профессор, заведующий кафедрой права, T.P. ХАННАНОВА,

кандидат юридических наук, профессор, заведующий кафедрой государственного и муниципального управления, Башкирский ГАУ

Ключевые слова: аграрная экономика, инновационное развитие, правовое обеспечение, юридические поступи.

Одной из основных целей социально-экономического развития страны является превращение её в государство с конкурентоспособной рыночной экономикой посредством реализации ряда национальных проектов, в частности, и в области сельского хозяйства, и в других сферах человеческой деятельности. Достижение высоких темпов хозяйствен-

ного роста, удвоение валового внутреннего продукта в ближайшую десятилетку и обеспечение должного уровня экономической свободы, готовности предпринимателей складывать деньги в бизнес объявлены в качестве первостепенных задач экономики России и её субъектов [1].

Решение поставленных задач видится на путях создания равных ус-

450001, Республика Башкортостан,  г. Уфа, ул. 50-летия Октября, д. 34; тел. 8 (347) 252-55-69

ловий конкуренции, упрочения собственности, осуществления конкретных шагов по изменению структуры экономики, приданию ей инновационного качества, привлечения инвестиций и правильного и обоснованного выбора направлений их использования, стимулирования всех видов в

Agrarian economy, innovative development, legal maintenance, legal acts.