Метод переменных направлений с экстраполяцией по времени для параболических задач со смешанными производными

Вычислительные технологии

Том 1, № 2, 1996

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ *

В. Ф. ФОРМАЛЕВ Московский государственный авиационный институт, Россия

Предложен экономичный, абсолютно устойчивый метод переменных направлений численного решения параболических задач со смешанными дифференциальными операторами, сводящийся к скалярным прогонкам по координатным направлениям и отличающийся от классического метода Писмена—Рэчфорда неявной аппроксимацией всех дифференциальных операторов с заменой некоторых значений сеточной функции экстраполяционными по времени, что делает метод абсолютно устойчивым и применимым к задачам с любой размерностью по пространству.

Разработанные в конце 50-х — начале 60-х годов академиком Н. Н. Яненко и его школой методы дробных шагов [1] оказались плодотворными не только при решении громадного класса задач механики сплошных сред, но и стали побуждающим фактором для поиска новых экономичных, полностью неявных методов численного решения указанного класса задач [2].

В данной работе рассматривается один из таких методов, развиваемых на кафедре "Вычислительная математика и программирование"Московского авиационного института под руководством автора применительно к решению многомерных параболических задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы.

Существо этих методов заключается в более полном использовании информации о решении как на нижних временных слоях, так и в нижних пространственных узлах верхних временных слоев, то есть в существенной степени используется параболичность уравнений.

При определенных условиях, накладываемых на значения сеточной функции в узлах правых пространственных сечений на верхних временных слоях, девятнадцатиточечный шаблон в трехмерном случае можно свести к скалярным прогонкам по координатным направлениям. В рассматриваемом методе находится компромисс между стремлением, с одной стороны, сделать схему полностью неявной и, следовательно, абсолютно устойчивой, а с другой — экономичной, то есть использовать только скалярные прогонки.

Идею метода и теоремы об аппроксимации и устойчивости рассмотрим на примере следующей двумерной начально-краевой задачи теплопроводности с тензором теплопроводности (распространение на пространственные задачи не представляет затруднений):

ди = ¿ '

р,д= 1 р ^

*© В. Ф. Формалев, 1996.

u

u

kpq = kr«rp^rq, = 1, 2.

r=1

На пространственно-временной сетке

^ь^.т = {Х1» = гйь г = 0,1; х, = ^2, = 0,7;

Г = пт, п = 0, 1, 2, ...}

дифференциальная задача (1)-(4) аппроксимируется следующей схемой на девятиточечном шаблоне:

п + 1 /2 п

= Лимга+1/2 + 2Л 12ип+1/2 + Л 22ига+1/2,

un+1/2 _

т/2

Л11и + / =

2Д, oU"+1/2 = 2k12 Ги™+1/2 _ u™+1/2 _ f,™+1/2 + u™+1/2 2л12u = 4h1h2 \"i+1 /+1 Ui+1 /-1 - /+1 + Ui-1 /-1

л22Un+1/2 = ^ (л/1/2 _ 2un+1/2 + <+1/2) ,

Us/+1 - 2Un/ + 1 Us j + 1 , S - i 1, i, i I 1;

Un+1 _ Un+1/2

---= Л11 un+1 + 2Л12 un+1 + Л 22Un+1,

т/2

k

Л 11Un+1 = | (un+11/ _ 2<+1 + un+j ,

2 Л,oUn+1 = 2k12 Л~.п+1 _ Un+1 _ Un+1 + Un+1 A

2 ^12« = 4h1h2 i+1 /+1 +1 /-1 Ui-1 /+1 + Ui-1 /- '

k

Л 22U-+1 = | (un++1 _ 2<+1 + un+Л) ,

Un+1 = 2Un+1/2 _ un s = j _ i j j II

Лг+1 s = 2Ui+1 s Ui+1 s , s = j 1 , J + 1-

n+1/2 n+1/2 n+1/2

В подсхеме (о) из девяти значений сеточной функции значения ui-1 / , Uj/ , ui+1 / являются искомыми, определяемыми из скалярных прогонок в направлении переменной

n+1/2 n+1/2 n+1/2 n+1/2 n+1/2 n+1/2

x1, значения ui-1 /-1, ui/-1 , ui+1 /-1 — уже известны, а значения ui-1 /+1, uj/+1 , ui+1 /+1 c порядком 0(т2) определяются экстраполяцией по двум предыдущим временным полуслоям (они затем уточняются в прогонке вдоль координатных линий x2/+1 = (j + 1)h2 = const, j = 1, J _ 3).

В подсхеме (7) значения и™/-, и*/1"1, иП+|11 являются искомыми, определяемыми из скалярных прогонок в направлении переменной x2, значения и™-1/^ и™-]1/, и™+11/+1 — уже известны, а значения Un+11/-1, Un+L1/, U™+11/+1 c порядком 0(т2) определяются экстраполяцией по двум предыдущим временным полуслоям (они затем уточняются в прогонке вдоль координатных линий x1 i+1 = (i + 1)h1 = const, i = 1,1 _ 3).

2

Экстраполяция на верхний временной полуслой в подсхемах (6) и (7) осуществляется таким образом, что значения первой производной по времени на верхнем временном полуслое сохраняются такими же, как на нижних временных полуслоях, примыкающих к верхнему.

Для исследования аппроксимационных свойств схемы (6), (7) прибавим и вычтем в

к22 п+1/2 2к1

n+1/2 / n+1/2 n+1/2 \

подсхеме (о) выражение —у, ,, I ui+1 j+1 — ui-1 , а в подсхеме (7) — выраже-

h2 4h1h2 V /

k11 n+1 2k12 / n+1 n+1 \

ния —2ui+1 j, ,, (ui+1 j+1 — ui+17-J; получим эквивалентную схему h1 4h1 h2

u

n+1/2 — u'n

t/2

= Лип+1/2 + Г 22Un+1/2 + 2Г 12un+1/2

2Г 12Un+1/2 „ , 12 4h1h2

Лига+1/2 = (Лц + Л22 + 2Л12) un+1/2,

Г22u™+1/2 = fun+1/2 — un+1/2^ 2^12

h2 VUij+1 uij+1 )

-ra+1/2 n+1/2

ui+1 j+1 ui+1 j+1) (ui-1 j+1 ui-1 j+1

n+1/2 n+1/2

un+1 — un+1/2

t/2

= Лип+1 + Г11 un+1 + 2Г 12un+1,

Лип+1 = (Лц + Л22 + 2Л12) un+1

Г11 u

n+1

k

11 (V,n+1 — un+1 h2 v"i+1 j ui+1 j

2Г 22un+1

2k

12

4h1h2

К

u

П+1 — un+12 А — Л-П+1

'i+1 j+1 Ui+1 j+1;

n+1

Ui+1j-1 Ui+1j-1

-1;

Для "осколочных"операторов Г22, Г12, Г 11; Г22 в подсхемах (8), (9) справедливы следующие выражения (Au/т = Ли):

Г22Un+1/2 = — ^Т

Г11U

n+1

^ Л2ип+1 + O2 42

Г 12un+1/2 = O3 ( Т- + И ; Г

h h2

Исключая из (8), (9) вектор un+1/2, получим

^22 =

кцт h1 ;

=h1+h2

к22Т h2 ;

^11

un+1 — un

г

Л— ТЛ2 — Таи (В— ТЛ^Л2 — 4 8 V 2

— 8^22 (в — 2^2Л2 — 64^11^22 (в — 2Л) ЛЧ un+1+

т2 т2

+ h21

откуда следует аппроксимация дифференциальной задачи (1)-(4) с порядком О ^т + ^ +

Хотя аппроксимация является условной по [1], в частных Т- шаг т значительно быстрее стремится к нулю, чем Л, так как числа Куранта а11, а22 остаются примерно постоянными при т, Л ^ 0 (например, если шаг Л уменьшается вдвое, т уменьшается в четыре раза). Для доказательства устойчивости рассматривается

Лемма: "Осколочные"операторы С11 = —Г 11, С22 = —Г22 положительно определены.

Действительно, на основании неравенства [3]

А = —Л > 0,

где Л — пространственный конечно-разностный оператор в задачах с однородными граничными условиями первого рода, и соотношений (10)-(12) заключаем, что утверждение леммы верно.

Тогда на основании (13) и (14) получаем (остаточный член (13) отброшен) равенство

^ = —.А {е +4 А + 8(е + 2 А) А+

+ 8^22

откуда видно, что на основании утверждения леммы, оператор в фигурных скобках положительно определен, и так как каждое слагаемое положительно определено, то этот оператор больше единичного, откуда следует

мга+1 —

< —Амга+1.

Умножая скалярно левую и правую части (16) на и = (ига+1 — ига)/т и используя тождество ига+1 = (ига+1 + ига)/2 + (ига+1 — ига)/2, получим энергетическое неравенство

в котором, в силу Е + 0.5тА > 0, первое слагаемое положительно и, если его опустить, то знак неравенства в (17) усиливается, то есть

Вводя норму в энергетическом пространстве [3]

на основании (18), получаем принцип максимума

являющийся достаточным признаком устойчивости конечно-разностной схемы (6), (7). А поскольку на числа Куранта не накладывалось никаких ограничений, то схема (6), (7) является абсолютно устойчивой.

При выводе энергетического неравенства (17) использовалось условие самосопряженности оператора и условие коммутативности скалярного произведения.

Это же подтверждает и тестовый пример, в котором проведены сравнительные расчеты по данному методу (МПНЭ) и методу переменных направлений (МПН). Результаты для узла г = 1, ] = 3 приведены в табл. 1-3.

Таблица 1. Схема МПН (т = °.°5 с).

£ 0 0.025 0.05 0.1 0.15 0.2

«13 0 0.4109 0.8449 0.8739 0.9728 0.9887

£ 0.25 0.5 1.0 10.0

«13 0.9996 0.9999 1.0 1.0

Таблица 2. Схема МПН (т = 1.° с).

£ 0.0 0.05 1.0 2.0 3.0 4.0

«13 0.0 0.9037 1.1379 1.0499 0.9647 0.8157

£ 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

«13 0.4729 -0.3857 -2.5870 -8.2708 -2.2986 -6.1133

Таблица 3. Схема МПНЭ (т = 1.° с).

£ 0.0 0.05 1.0 2.0 3.0 4.0

«13 0.0 0.4921 0.6396 0.8102 0.921 0.9692

£ 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

«13 0.9882 0.9961 0.9986 0.9996 0.9997 0.9999

На границе квадрата со стороной °.2 м принималось постоянное значение функции «(х,у, £), равное 1, в момент времени £ = ° = °, к11 = к22 = °.°°°5, к12 = к21 =

°.°°°3, ^ = й2 = °.°2/6.

Как видно из этого примера, схема МПНЭ устойчива и при больших шагах счета по времени, в то время как классическая схема МПН выведена при этих шагах из условия устойчивости.

Список литературы

[1] ЯНЕНКО Н. Н. Метод дробных шагов решения задач математической физики. Наука, Новосибирск, 1967.

[2] ЯНЕНКО Н. Н. Очерки. Статьи. Воспоминания. Наука, Новосибирск, 1988.

[3] САМАРСКИЙ А. А. Теория разностных схем. Наука, М., 1983.

Поступила в редакцию 25 июня 1996 г.

Правила для Авторов

1. Статья должна быть представлена в редакцию в одной из двух форм:

1.1. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + файлы рукописи в формате LTEX или AmS-LTEX + файлы рисунков на дискете;

1.2. Два экземпляра рукописи, отпечатанных на одной стороне листа стандартного формата A4 (297x210 мм) + электронная версия рукописи, набранная в текстовом формате Microsoft Word (RTF) + файлы рисунков на дискете.

Время прохождения издательского цикла для рукописей, представленных в форме 1.1, минимально, а для рукописей в форме 1.2 — максимально.

2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5" формата 1440 Кбайт. Возможна пересылка файлов по электронной почте jct@ict.nsc.ru в виде *.zip архива. Текстовые файлы и файлы TX представляются в кодировке CP866 (MS-DOS).

3. Статья предваряется аннотацией, содержащей не более 300 знаков. На отдельной странице прилагаются на русском и английском языках название статьи, имена авторов, аннотация и ключевые слова.

4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail автора, с которым будет вестись переписка.

5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного файла следующая информация:

о Фамилия, имя, отчество о место работы и должность о почтовый адрес о ученая степень и звание о год рождения

о телефоны с кодом города

6. Рекомендации по оформлению статьи в LaTeX.

Оформление статьи в LTEX 2.09 Оформление статьи в LTEX 2е

7. Все материалы следует направлять по адресу: редакция журнала "Вычислительные технологии", Институт вычислительных технологий СО РАН, проспект Ак. Лаврентьева 6, 630090, Новосибирск, 90, Россия, Пестунову Игорю Алексеевичу (отв. секретарь) — тел.: +7(3832)343785, Митиной Галине Григорьевне (зав. РИО).

Оформление статьи в LT^X 2.09

Стиль журнала jctart.sty.

Для представления статей на английском языке используйте стиль jctart-e.sty.

Структура файла формата LaTeX должна быть следующей: \documentstyle{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} ^^^{<НАЗВАНИЕ CTАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<^ О. Фамилия первого автора>}\\

\^{<Место работы первого автора>}\\[2mm] \sc{<^ О. Фамилия второго автора>}\\ \^{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Текст аннотации> \end{abstract} <Текст статьи> \begin{thebibliography} <Библиография (\item-список)> \end{thebibliography} \end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps). Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью следующих команд:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<сдвиг рисунка по горизонтали в мм>шш} \special{em:graph <имя файла рисунка>} \vspace*{<BbicoTa рисунка в мм>шш} \caption{<Подрисуночная подпись>} \end{figure}

Оформление статьи в ЖГеХ 2е

Для представления статей на английском языке используйте опцию english: \documentclassEenglishKjctart}.

\documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm} \usepackage{amsmath}

\begin{document} \pagestyle{myheadings}

\markboth{<^ О. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} \title{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} \author{\sc{<И. О. Фамилия первого автора>}\\

\it{<Место работы первого автора>}\\[2mm] \sc{<И. О. Фамилия второго автора>}\\ \it{<Место работы второго автора>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Текст аннотации> \end{abstract} <Текст статьи> \begin{thebibliography} <Библиография (\iteш-список)> \end{thebibliography} \end{document}

<Перевод названия статьи на английский язык (или на русский, если статья на английском)> <аннотации на английский язык (или на русский, если статья на английском)>

Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

[1] Иванов И. И., Иванова И. И. К вопросу о вычислительных технологиях // Вычислительные технологии. 1999. Т. 11, №11. С. 1123-1135.

[2] Иванов И. И. Что такое вычислительные технологии? Новосибирск: Наука, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Следует учитывать, что иллюстрации будут воспроизводиться в масштабе 1:1 с разрешением 300 dpi. Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы черно-белых растровых рисунков в форматах .pcx, .bmp, .tif или векторном формате PostScript (.eps). Иллюстрации вставляются в текст с помощью следующих команд:

\includegraphics{<имя файла рисунка>}

Instructions für Authors

1. The paper may be submitted to the editorial board in one of the following forms:

1.1. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript in LTEX or AmSLTX + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below);

1.2. As two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) + figures on separate sheets + file with electronical manuscript (saved as RTF-format) with (or without) formules + files with figures, created in one of the appropriate graphics formats (see below).

The duration of the publishing cycle for the manuscripts, submitted in the second form is the longest one and for the manuscript in the forms first - the shortest.

2. All files should be submitted on a 3.5" floppy disc (1440 Kbytes) or sent by e-mail jct@ict.nsc.ru as a *.zip - archive. All text-files and TeX-files in Russian must be submitted in CP866 (MS-DOS) Code Page.

3. The "hard copies"must be typed neatly with a fresh black ribbon. The typing should be double-spaced and lettered as neatly as possible. Any material that cannot be typed such as symbols and formulae should be inked carefully in black meeting the existing standards. The drawings must be printed on a laser or high-quality ink-jet printer or drawn directly in Indian ink on a sheet of a strong (bond) white paper.

4. Each paper must be preceded by an abstract of no more than 300 characters. The title of the paper and its abstract in English should be submitted on a separate sheet accompanied by the list of the key words (not more than 20) in Russian and English as well as the AMS/ZBL classification codes.

5. Authors are required to obtain permission for the publication from the company or institution at which the scientific results presented in the paper had been obtained. The accompanying letter should contain the communicating author, his mail address, telephone number(s), e-mail address.

6. The following information pertinent to every author have to be submitted as a separate file:

o First name, Second name, Last name o Affiliation data: Institution/Organization, Position o Scientific degree, Title o Address

o Telephone numbers, including the area code, Fax number, E-mail address, Homepage URL o Scientific Interests

7. Submission in LaTeX — Case (3). Recommendations.

Using IATEX 2.09 Using LTEX 2e

8. All materials should be mailed to the following address: Journal of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia, Ph. D. Igor A. Pestunov — Phone +7(3832)343785, Galina G. Mitina.

Writing paper in English in LT^X 2.09

Journal style jctart-e.sty

Writing paper in Russian using L-TX 2.09

Journal style jctart.sty.

In this case LaTeX file structure should look like this: \documentstyle[jctart]

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm}

\begin{document}

\pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm] \sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Text of the abstract> \end{abstract} <Body of the paper> \begin{thebibliography} <References(\item-list)> \end{thebibliography} \end{document}

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file. The illustrations are inserted into the text by the following commands:

\begin{figure}[htbp]

\hspace*{<horizontal shift of the drawing in mm>mm} \special{em:graph <name of the drawing file>} \vspace*{<height of the drawing in mm>mm} \caption{<caption>} \end{figure}

Writing paper in LT^X 2e

Writing paper in English use the option english: \documentclass[english]{jctart}. \documentclass{jctart}

\setlength{\textwidth}{170mm}\setlength{\textheight}{240mm} \usepackage{amsmath}

\begin{document} \pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of the author(s)>}{<SHORT TITLE(LESS THAN 40 SYMBOLS)>} \title{<TITLE OF THE PAPER>\footnote{<Name of the supporting institution (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\[2mm] \sc{<Name of the second author>}\\

\it{<Affiliation of the second author>}\\[2mm] ...} \maketitle \begin{abstract} <Text of the abstract> \end{abstract} <Body of the paper> \begin{thebibliography} <References (\item-list)> \end{thebibliography} \end{document}

<Russian translation of the paper title for papers in Russian> <Abstract in Russian>

The list of references should only include works that are cited in the text and should be sorted in the order they appear in the text. Here is a short example of the style of references:

[1] Ivanov 1.1., Ivanova 1.1. On computational technologies. Computational technologies // 1989. V. 11, No. 11. P. 1123-1135.

[2] Ivanov 1.1. What is computational technology? Novosibirsk: Nauka, 1995.

[3] Ivanov 1.1. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1998. P. 225-229.

The preferred representation of figures (along with the hard copy) are the files of black and white or greyscale drawings (resolution = 300 dpi) in the raster formats (.pcx, .bmp, .tif) or as a vector graphics in Encapsulated PostScript format (.ps, .eps). File names for the figures should contain the figure number. Figure captions should be included in the text not in the figure file.