Исследование коэффициента пропускания оптических фильтров на основе многослойных диэлектрических покрытий и фотонных кристаллов

УДК 623.4.055

О. А. Голованов, В. Я. Савицкий, А. Д. Пимкин

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОПУСКАНИЯ ОПТИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ И ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ

Аннотация. Предложены трехмерные электродинамические вероятностные модели оптических фильтров на основе многослойных диэлектрических покрытий и на основе фотонных кристаллов. Проведено сравнение результатов расчета спектральной зависимости коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра a -Si/SiO2 с экспериментальными данными. Исследовано влияние дефектов структуры упаковок наносфер на характеристики оптического фильтра. Установлены предельные значения погрешностей изготовления наноэлементов: высот неровностей слоев диэлектрических покрытий и диаметров наносфер двуокиси кремния.

Ключевые слова: электродинамические вероятностные модели, оптические фильтры, многослойные диэлектрические покрытия, наносферы.

Abstract. The authors suggest three-dimensional electrodynamic probabilistic models of optical filters on the basis of multilayer dielectric coverings and photon crystals. The researchers have compared the results of calculating spectral dependence of transmission factor of twelve layer cutting back light filter a Si/SiO2 with experimental data. The article investigates the influence of structure defects of nanosphere packings on characteristics of optical filter. The authors reveal the limit values of inaccuracies of nanoelements formation such as heights of unevennesses of layers of dielectric coverings and nanosphere diameters of silicone dioxide.

Key words: electrodynamic probabilistic models, optical filters, multilayer dielectric coverings, nanospheres.

Введение

Многослойные диэлектрические покрытия применяют для получения высоких коэффициентов отражения (зеркальные покрытия), для увеличения пропускания и контрастности (просветляющие покрытия), для спектрального и энергетического разделения и сложения оптических сигналов и их хроматической коррекции (узко- и широкополосные отрезающие фильтры), для изменения поляризации излучения (интерференционные поляризаторы). В настоящее время математическое моделирование многослойных диэлектрических покрытий проводится на основе метода лучевой теории. Численные исследования физических явлений и эффектов в многослойных диэлектрических покрытиях требуют развития новых подходов к математическому моделированию, учитывающему рассеяние света на неоднородностях толщин покрытий.

Научный и практический интерес в развитии нанотехнологий представляет также разработка и создание оптоэлектронных устройств на основе фотонных кристаллов. Анализ отечественной и зарубежной научной литературы показывает, что к перспективным структурам класса 3,0-фотонных кристаллов относятся опаловые матрицы из кубических упаковок наносфер двуокиси

кремния [1]. Опаловые матрицы характеризуются возможностью изменения диаметров наносфер в широком диапазоне, возможностью получения массивных образцов и сравнительно простой технологией изготовления. Существующие коммерческие пакеты моделирования Comsol Multiphysics (используется метод конечных элементов для решения уравнений Максвелла), RSOFT Fullwave (использует метод конечных разностей) позволяют проводить расчет зон пропускания и непропускания фотонного кристалла, но не пригодны для расчета коэффициентов отражения и пропускания оптических фильтров.

Цель данных исследований состояла в разработке декомпозионного подхода к математическому моделированию оптических фильтров на электродинамическом уровне строгости, учитывающему рассеяния электромагнитных волн на неоднородностях структур диэлектрических покрытий и фотонных кристаллов, а также в выявлении закономерностей изменения коэффициента пропускания данных фильтров.

1. Декомпозиционный подход к решению задач дифракции на диэлектрических многослойных покрытиях и на фотонных кристаллах

Технология получения многослойных диэлектрических покрытий основана на методе электронно-лучевого испарения [2], который на длину поверхности покрытия в ^ = 300 нм обусловливает неравномерность по толщине покрытия 3.. .5 нм. На рис. 1 показано многослойное диэлектрическое покрытие с неоднородными по толщине слоями и его декомпозиция на автономные блоки. Аппроксимация неоднородности по толщине диэлектрического слоя ступенчатая. Ступенчатая модель приближается к своему плавному прообразу по мере увеличения количества автономных блоков в плоскости входного сечения £1 или S2 .

Область многослойного диэлектрического покрытия разбита условными границами на автономные блоки (рис. 1) в виде прямоугольных параллелепипедов с диэлектрическим включением и виртуальными каналами Флоке на гранях. Автономные блоки рассматриваются как волноводные трансформаторы, для которых определяются дескрипторы - математические описания в виде матриц проводимости или рассеяния. Решение задачи дифракции в целом ищется как объединение (рекомпозиция) дескрипторов автономных блоков [3]. Коэффициенты отражения и прохождения оптического фильтра определяются из дескриптора автономного блока многослойного диэлектрического покрытия.

Для варианта фильтра на фотонном кристалле область опаловой матрицы расчленяется условными границами на автономные блоки в виде однотипных прямоугольных параллелепипедов с включениями в виде фрагментов диэлектрических наносфер и виртуальными каналами Флоке на гранях (рис. 2). Автономный блок II типа можно получить из автономного блока I типа путем вращения его влево или право на угол 180° и наоборот. Следовательно, для построения математической модели фотонного кристалла можно использовать только один автономный блок - I типа или II типа.

В обоих случаях (рис. 1, 2) для автономного блока формулируется краевая задача дифракции для определения матрицы проводимости.

»у:

Рис. 1. Декомпозиция многослойного диэлектрического покрытия на автономные блоки: c+i), ci-i), ci-2) - амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн в каналах Флоке; Nx XNy X Nz - количество автономных блоков

В области автономного блока V0 электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла:

rotH = iro£o£aE, rotE = -iro^o^aH,

где E, H - векторы напряженности электрического и магнитного полей; ю -частота; £о, Ц-о - электрическая и магнитная постоянные; £a, |la - относи-

тельная диэлектрическая и магнитная проницаемость среды автономного блока; £а = £2, Ма = М-2 в области V; £ а = £1, ца = М в области V - V.

I тип II тип

Рис. 2. Декомпозиция на автономные блоки опаловой матрицы фотонного кристалла

На гранях параллелепипеда электромагнитное поле удовлетворяет условию неасимптотического излучения [4]:

£

Sа Sa

где ек(а), hk(а) - электрическая и магнитная составляющие компонентов собственных волн каналов Флоке; к - номер моды волны; а - номер грани параллелепипеда; ак(а), Ьк(а) - коэффициенты рядов Фурье представления касательного электрического и магнитного полей на гранях параллелепипеда:

Еа = ^ ак(а) ек(а) , к=1

На = ^ Ьк

к=1

Используя тождество векторного анализа Ь го! а - а го! Ь = &у(а X Ь) и формулу Остроградского - Гаусса, из краевой задачи дифракции получаем интегральную проекционную форму:

ф (Н XЁ*к) • ё$ = i ю е0 | £а Ё • Ё*к ёУ - i юк ц0ц | Н • Щ ёУ,

$1. Уо Уо

ф

Б1, Уо Уо

где Уо - основная область параллелепипеда; = Б и и... и - поверх-

ность граней параллелепипеда; {Ёк} , {Нк} - электрические и магнитные собственные функции прямоугольного резонатора с объемом Уо и однороднопериодическими краевыми условиями на гранях; Юк - собственные круговые частоты прямоугольного резонатора.

Методом Галеркина из интегральной проекционной формы получаем систему алгебраических уравнений в матричном виде:

N • а - d • а - В • Ь = 0,

М Ь-А• а^• Ь = 0,

и • Ь=Ь,

где d, N В, М, А, и - матрицы с элементами: ё¡п = iЮk^¡п ;

(в) = | (/ (р) XН* )• ёУ ;

к1 (в) = Ч(в) х/7 к ^«°р

Вкп = 7ЮЦ1бкп + /ЮЦ0 ( -Цт )[Нп • Нк }ёУ :

У

Вкп = ^ЦАп + *'ЮЦ0 (Ц2 -Ц1) У

У

Мк1 (Р) = I ((Р)х Ёк )• ёУ ;

БР

Акп = /Ю^бкп + ¿Ю£0 (£2 - £1 )У( ( • Ёк)УУ ; и ц(а)п = | ((а) х Нп ) • У

а, Р = 1,2,..., 6; к, п = 1,2,..., N; ц, / = 1,2,..., Ь.

Здесь N - количество базисных функций, учтенных в объеме Уд параллелепипеда; Ь - количество базисных функций, учтенных на гранях параллелепипеда. Векторы а, Ь , а, Ь составлены из коэффициентов рядов Фурье {ап } , {Ьп } представления решения в объеме параллелепипеда; {а/(р)} ,

{а/(Р)} - на гранях параллелепипеда. Исключая векторы а, Ь из системы алгебраических уравнений, получили матрицу проводимости автономного 164

блока в виде прямоугольного параллелепипеда с диэлектрическим включением и каналами Флоке на гранях:

у = (и • О-1 • М -1)-1 • и • О-1 • А • с)-1 • N ,

где О = С - А • С-1 • В ; I - единичная матрица.

Матрица рассеяния может быть получена из матрицы проводимости Я = ( + у )-1 (I - У).

2. Результаты математического моделирования оптических фильтров на основе многослойных диэлектрических покрытий

Построим вероятностную имитационную математическую модель дифракции ТЕМ-волны на структуре неоднородных диэлектрических слоев оптического фильтра. Принимаем, что геометрические размеры

/1 , к , /2, ^2,.., /N, ^ автономных блоков являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону:

( г, ( г,

/к (к) =—^=ехр О/. Л/ 2П

(к - к0)2 2ок

к

// (/у) =—^=ехр О/. V 2п

(/, - /°)2 2о2

где /к (к), // (/. ) - плотности распределения.

Используя генераторы случайных чисел, распределенных по нормальному закону, для имитации геометрических размеров /1 ,к ,/2,/2,...,^,кN автономных блоков и решая задачу дифракции для оптического фильтра, получаем реализации случайного коэффициента отражения и пропускания ТЕМ-волны. По электродинамическим реализациям случайного коэффициента отражения и пропускания оптического фильтра находились математическое ожидание и дисперсия коэффициента пропускания и отражения [5].

На рис. 3 показаны реализации случайного коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра а ^/8Ю2 при среднеквадратическом отклонении размеров /1 ,/_ ,/2,/2,...,^,кN автономных блоков Ок = О/ = 4 нм.

На рис. 4, 5 показана спектральная зависимость коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра а ^/8Ю2, полученная различными методами и из эксперимента. Результаты расчетов длины волны отрезания фильтра (X = 1,0 мкм) совпадают для метода лучевой теории [6], электродинамической вероятностной модели и эксперимента. Метод лучевой теории дает более широкую полосу непропускания (Х = 1,0...1,8 мкм), чем электродинамическая вероятностная модель и эксперимент (Х = 1,0...1,4 мкм) (рис. 4). При длине волны Х = 1,1 мкм значения отличаются почти на порядок (рис. 5).

Следует отметить, что принятое при моделировании среднеквадратическое отклонение О/. = О/ = 4 нм соответствует значениям высоты неровностей покрытий для технологического процесса изготовления на основе метода электронно-лучевого испарения. Графическая интерпретация результатов математического моделирования представлена 12-ю реализациями. Дальней-

шее увеличение числа реализаций незначительно изменяет значения математического ожидания коэффициента пропускания.

Рис. 3. Реализации случайного коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра а -81/8Ю2: а = Ь = 300 нм; пё = Х/4 = 0,320 мкм;

^ = I2,25 ; ^Ю2 = 2,13 ; Nх = Nу = 10 ; = 6 ; °й,. = = 4,0 нм

— _ _ _ метод лучевой теории;.......электродинамическая вероятностная модель;

эксперимент

Рис. 4. Спектральная зависимость коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра а -8і/8і02 [2]

3. Результаты математического моделирования оптических фильтров на основе фотонных кристаллов

На рис. 6 показана спектральная зависимость коэффициента пропускания оптического фильтра на основе фотонного кристалла (опаловой матрицы) при различных диаметрах диэлектрических наносфер, на рис. 7 - результаты эксперимента из [7] для коэффициента отражения. Количество наносфер по толщине фотонного кристалла бралось Ы2 = 16. Наблюдается совпадение ре-

зультатов математического моделирования с экспериментом по экстремальным значениям и ширине полос отражения (непропускания).

......метод лучевой теории; — _ _ _ электродинамическая вероятностная модель;

— эксперимент

Рис. 5. Спектральная зависимость коэффициента пропускания двенадцатислойного отрезающего светофильтра а -8і/8і02 в логарифмическом масштабе [2]

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 ^, мкм

Рис. 6. Спектральная зависимость коэффициента пропускания оптического фильтра на основе фотонного кристалла; кривые 1 - 2г = 200 нм, 2 - 2г = 240 нм,

3 - 2г = 290 нм, = 16, Єї = 1, Є2 = 4,6 — і4 -10 4, Ц = Ц2 = 1

Построим вероятностную имитационную математическую модель дифракции ТЕМ-волны на структуре фотонного кристалла, состоящего из неоднородных по диаметру диэлектрических наносфер. Предполагаем, что размеры диаметров наносфер 2^ фотонных кристаллов распределены по нормальному закону

/ (2г) =

1

гехр

( (2г - 2Г0)2 ^

2°2г

2г 2п

где / (2г) - плотность вероятности распределения.

Рис. 7. Спектры отражения широкополосного излучения галогенной лампы от образцов опаловых матриц [4]; кривые: 1 - 2г = 200 нм, 2 - 2г = 240 нм, 3 - 2г = 290 нм

Используя генераторы случайных чисел, распределенных по нормальному закону, для варьирования размеров 2г0 фотонных кристаллов и решая задачу дифракции для оптического фильтра, получили реализации случайного коэффициента пропускания ТЕМ-волны, по которым находились математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

На рис. 8 показаны результаты расчета математического ожидания коэффициента пропускания в зависимости от различных значений среднеквадратичного отклонения диаметров диэлектрических наносфер. Установлено, что с увеличением среднеквадратичного отклонения коэффициент пропускания и полоса непропускания оптического фильтра уменьшаются. При среднеквадратичном отклонении &2г = 35 нм и более происходит деградация характеристик оптического фильтра на основе фотонного кристалла из-за рассеяния электромагнитной волны на структуре из упаковки диэлектрических наносфер. Из графиков (рис. 8) видно, что оптический фильтр на основе фотонного кристалла можно реализовать, если среднеквадратичное отклонение диаметров диэлектрических наносфер не превышает С2Г = 15 нм. Важно отметить, что в России существует опытное производство наиболее высококачественных в мире образцов фотонных кристаллов на основе опаловых матриц из упаковок наносфер двуокиси кремния со среднеквадратичным отклонением диаметров наносфер не более <^2Г = 10 нм.

Заключение

Наблюдается хорошее совпадение результатов математического моделирования, полученных при помощи трехмерных электродинамических вероятностных моделей, с экспериментом.

0,45

0,475 0,50 0,525

0,55

0,575 к

мкм

10

-1

10

-2

10

10-

Т„

-3

с

5

4 ///

1

\^~3 ! 2

Рис. 8. Математическое ожидание коэффициента пропускания оптического фильтра на основе фотонного кристалла; кривые: 1 - &2г = 5 нм, 2 - О2г = 10 нм, 3 - О2Г = 15 нм; 4 - О2Г = 25 нм, 5 - О2Г = 35 нм; 2г0 = 240 нм

Электродинамический вероятностный подход к математическому моделированию взаимодействия лазерного излучения с оптическими фильтрами на многослойных диэлектрических покрытиях и на основе фотонных кристаллов является более корректным и обеспечивает более широкие возможности для практики проектирования и изготовления оптических фильтров, чем метод лучевой теории. Электродинамический подход позволяет учитывать возможности современных технологий изготовления многослойных диэлектрических покрытий, а также учитывать рассеяние электромагнитных волн на дефектах структуры опаловой матрицы. Это позволяет управлять качеством изготовления оптических фильтров с учетом особенностей современных нанотехнологий.

Список литературы

1. Ринкевич, А. Б. Нанокомпозиты на основе опаловых матриц с 315-структурой, образованной магнитными наночастицами / А. Б. Ринкевич, В. В. Устинов, М. И. Самойлович и др. // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. - 2008. - № 4. - С. 55-63.

2. Ершов, А. В. Многослойные оптические покрытия : учебно-методический материал / А. В. Ершов, А. И. Машин. - Нижний Новгород, 2006. - 99 с.

3. Голованов, О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 2006. - Т. 51, № 12. - С. 1423-1430.

4. Никольский, В. В. Вариационные методы для задач дифракции / В. В. Никольский // Известия вузов. Радиофизика. - 1977. - Т. 20, № 1. - С. 5.

5. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей : учеб. для вузов / Е. С. Вентцель. -7-е изд. стер. - М. : Высш. шк., 2001. - 575 с.

6. Яковлев, П. П. Проектирование интерференционных покрытий / П. П. Яковлев, Б. Б. Мешков. - М. : Машиностроение, 1987 -185 с. - (Сер. Библиотека приборостроителя).

7. Горелик, В. С. Оптические и диэлектрические свойства наноструктурирован-ных фотонных кристаллов, заполненных сегнетоэлектриками и металлами / В. С. Горелик // Физика твердого тела. - 2009. - Т. 51, № 7. - С. 1252-1257.

Голованов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общепрофессиональных дисциплин, филиал Военного учебно-научного центра сухопутных войск

E-mail: golovanovol@mail.ru

Савицкий Владимир Яковлевич

доктор технических наук, профессор, кафедра общепрофессиональных дисциплин, филиал Военного учебнонаучного центра сухопутных войск

E-mail: W.savis@gmail.com

Пимкин Александр Дмитриевич

заместитель командира, в/ч 38994

E-mail: W.savis@gmail.com

Golovanov Oleg Alexandrovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of interprofessional disciplines, branch of the Military Scientific Educational Center of the Ground Forces

Savitsky Vladimir Yakovlevich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of interprofessional disciplines, branch of the Military Scientific Educational Center of the Ground Forces

Pimkin Alexander Dmitrievich The second in command, military regiment 38994

УДК 623.4.055 Голованов, О. А.

Исследование коэффициента пропускания оптических фильтров на основе многослойных диэлектрических покрытий и фотонных кристаллов / О. А. Голованов, В. Я. Савицкий, А. Д. Пимкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. -№ 1 (21). - С. 160-170.