Нсферические частицы: сопротивление и некоторые параметры обтекания в неограниченном объеме

Том ХЬЇЇ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 6

УДК 533.1/.2

НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ: СОПРОТИВЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ПАРАМЕТРЫ ОБТЕКАНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕМЕ

А. М. ЛИПАНОВ, А. Н. СЕМАКИН

Рассмотрено обтекание вязким газом несферических частиц в неограниченном объеме на примере косинусоида, сфероида и сфероида с отверстием. Указан метод расчета гидромеханических параметров течения в окрестности несферических частиц. Представлены результаты параметрических расчетов. Проведено их сравнение с имеющимися эмпирическими зависимостями.

Ключевые слова: вязкий газ, несферические частицы, коэффициент сопротивления.

Движение частиц и их обтекание играют важную роль во многих технических процессах и природных явлениях. Например, горение порошкового угля, пневматическая передача гранулированных материалов, перенос загрязняющих веществ в атмосфере и осадочных пород в реках, движение волоконной суспензии в процессе формирования бумаги и т. д. При моделировании таких процессов чаще всего предполагают, что рассматриваемые частицы имеют сферическую форму [1, 2]. Однако в действительности форма частицы обычно отличается от сферической, что значительно влияет на параметры течения. Если же рассматривается обтекание одной частицы, то и в этом случае обычно ограничиваются простой геометрией поверхности (сфероид, куб, цилиндр и т. д.) [3].

В данной работе численно моделируется обтекание вязким газом частиц как с простой, так и с более сложной геометрией, рассмотрение которых до сих пор не проводилось.

1. НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ЧАСТИЦЫ

Рассматриваются три вида частиц (г, 0,

Ф — сферическая система координат):

1. Тело вращения с поверхностью косинусоидальной формы

г = 0.5 - |И| + И со8

Данная частица получается из сферы, если вырезать у нее несколько кольцевых каналов с поперечным профилем косинусоидального вида. Параметры уравнения имеют следующее значение: 2И — глубина кольцевых каналов частицы, к/ 2 — количество каналов.

Пример данной частицы (И = 0.1, к = 8) приведен на рис. 1, а.

ЛИПАНОВ Алексей Матвеевич

доктор технических наук, академик РАН, директор ИПМ Уральского отделения РАН

СЕМАКИН Артем Николаевич

кандидат физикоматематических наук, младший научный сотрудник ИПМ Уральского

..лп юли

Рис. 1. Примеры рассматриваемых частиц: а — косинусоид; б — сфероид с отверстием

2. Сфероид

г =

8Ш2 (0) +

-С082

где а — полуось, перпендикулярная набегающему потоку газа; с — полуось вдоль набегающего потока. Г еометрическим параметром подобия сфероида служит коэффициент сжатия Е = с/а.

3. Сфероид с цилиндрическим отверстием, расположенным вдоль оси по направлению набегающего потока. Пример данной частицы с коэффициентом сжатия сфероида Е = 0.5 приведен на рис. 1, б.

Сферическая система координат г, 0, ф задается относительно декартовой х, у, г следующими уравнениями:

X = г С08 Ф8ІИ 0 , У = г 8ІИ ф8ІИ 0 , г = г С08 0.

Ориентация введенных систем координат относительно частиц представлена на рис. 1. Там же показано направление движения набегающего потока газа со скоростью V.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Течение газа описывается системой уравнений гидромеханики, записанной в симметричной безразмерной форме:

5р 1 ( др др др дри дру дрм> ^ г 1 и — + у— + ™ 1 1 1

ді

ду дг дх ду

дг

ди 1( ди ди ди ди2 диу дuw ^ 1 (д2и д2и д2и

------\— и---------+ у-----+ w------\--------\-------\-----

ді 21 дх ду дг дх ду дг

р Яе

—Ц- ^+1 и • аІу (V)+—^~—аІу (V),

ркМ2 дх 2 3р Яе дх

дх2 ду2 дг2

ду 1( ду ду ду диу ду2 дvw ^

-------\— и----------\ у-------\ w------\----------\---------\-------

ді 21 дх ду дг дх ду дг

1 ( д2 у д 2у д 2у 1 р Яе

д

дх2 ду2 дг2

—^ \1 у • аІу (V )\——- аІу (V), ркМ2 ду 2 3р Яе ду

1

с^ ~дґ

д^

дх

дТ

~дґ

д^ дw дuw дvw дм

-у-------------------------------------\ w-\-\-\-

ду дг дх ду дг

2 Л

1

( ^2

д w д

дх2 ду2

р Яе

—х— др \1 w • аІу (V )\—^—аІу (V), ркМ2 дг 2 3р Яе дг

дТ дТ дТ диТ дуТ д^Т

'-------\ у-----------\ w-----------------------------\-\-\-----

дх ду дг дх ду дг

\

2

д w дг 2

(д 2Т д 2Т

р ЯеРг

дх ду

д 2ТЛ дг 2

- (к-1) раІу (V)\ 1 т • аІу (V)\ к (к ^ М

21 — дх

С ду'^

ду

21

дг

Ґ ди ду 1 (ди дw 12 (ду дw

ду дх

дг дх) I дг ду

- з (^іу (V ))2

Здесь V = (и,V, — вектор скорости; р, р, Т — давление, плотность и температура; Яе —

число Рейнольдса; Рг — число Прандтля; М — число Маха; к — отношение изобарной ср и

„,•/,74 ди дv дм изохорной с^ теплоемкостей и ШУ ( V) =-------1----1-------дивергенция скорости.

дх ду дг

Безразмерное уравнение состояния:

р = рт .

За масштабные величины при вычислении безразмерных комплексов и размеров областей берутся: к0) — диаметр миделевого сечения частицы; V — модуль вектора скорости на входной границе объема; р0 — давление на выходной границе объема; р0 — плотность на входной границе объема.

Граничные условия:

1) на входной границе — и = V = 0, м = 1, р = 1;

2) на выходной границе — р = 1;

3) на поверхности частицы — и = V = м = 0, дТ / д£, = 0.

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Движение вязкого газа описывается системой уравнений гидромеханики, включающей уравнение неразрывности, три уравнения импульса и уравнение энергии. Гидромеханические переменные рассчитываются численно с помощью разработанного авторами метода конечных объемов, который подробно изложен в [4, 5]. Для расчета обтекания газом частиц несферической формы к имеющемуся набору конечных объемов, представленному в [5], был добавлен еще один (криволинейный конечный объем), полностью охватывающий пространство около несферической частицы, за исключением цилиндрического отверстия. При его построении был использован подход, изложенный в [6] и позволяющий с единых позиций рассматривать частицы с разнообразной геометрией поверхности. В нем вводится следующая криволинейная система координат:

2Я (п, $

$ = агС^ — \ пк

где х, у, г — локальная декартова система координат; г = Я(0, ф) — уравнение поверхности обтекаемого тела в сферической системе координат, связанной с данной декартовой системой

г

х

координат; п = ^, ? = Ф- Тогда в системе координат ^, п, ? криволинейный конечный объем представляется в виде прямоугольного параллелепипеда 0.5 А, 0 < п < п, 0 2п, где А —

константа, выбираемая из условия, что минимальное расстояние от начала координат до точек внешней границы объема составляет 15.6 радиусов миделевого сечения частицы.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Расчеты проводились при следующих значениях безразмерных комплексов: Яе = 100, Рг = 1, к = 1.4, М = 0.1. Последнее означает, что влияние сжимаемости незначительно, и результаты расчетов можно сравнивать с данными, полученными для несжимаемой жидкости. Число

Кнудсена равно Кп = М/Яе = 10-3. Оно находится на границе области значений Кп, для которых справедливы уравнения гидромеханики с традиционными граничными условиями. Согласно результатам работы [7], где приведено сравнение различных моделей течения газа в диапазоне

10-3 < Кп < 103 с кинетической «^-моделью, при Кп = 10-3 результаты расчетов по гидромеханической модели с традиционными граничными условиями прилипания хорошо соответствуют результатам расчетов по кинетической ^-модели.

В работе использовалась разностная схема второго порядка точности по времени и четвертого — по пространственным переменным. При проведении методических расчетов исследовалась сходимость решения в зависимости от количества узлов разностной сетки для коэффициентов сопротивления давления, трения и полного сопротивления сферы, сфероида (Е = 2) и косинусоида (к = 0.1, к = 8). Использовались сетки с количеством узлов 30 000 и 80 656. Разница между рассматриваемыми величинами на этих сетках не превосходит 1% для сферы и сфероида и 4.5% для косинусоида. Поэтому при проведении остальных расчетов использовалась сетка с числом узлов 30 000 (без учета цилиндрического отверстия).

Основные результаты работы представлены в виде табл. 1—3 и рис. 2. Здесь Е = е/а — коэффициент сжатия сфероида (а = 0.5); Ь — радиус цилиндрического отверстия в сфероиде; (к, к) — параметры косинусоида. В данной работе были получены: ер — коэффициент сопротивления давления; с^ — коэффициент сопротивления трения; ех = Ср + е^ — коэффициент полного сопротивления; Ь — длина вихря за частицей; аи — угол отрыва потока; а р — угол минимума давления на частице, отсчитываемые от задней критической точки. Для сравнения в табл. 1—3 приведены значения сх и Ь, полученные по аппроксимационным формулам из [8, 9], и результаты расчетов из [10, 11].

Таблица 1

Коэффициент сопротивления сфероида

Е СР СГ сх Сх, [10] Сх, [11]

0.5 1.489 0.635 2.124 1.779 1.925 1.848 2.030

0.75 0.792 0.598 1.390 1.306 1.335 — —

1.0 0.527 0.589 1.116 0.960 1.094 1.121 1.105

1.5 0.304 0.591 0.895 0.957 — — —

2.0 0.214 0.624 0.838 0.885 — 0.810 —

Т аблица 2

Параметры течения около сфероида

Е Ь Ь,[10] аи а р

0.5 1.378 1.319 78 88

0.75 1.110 — 66 92

1.0 0.877 0.852 52 92

1.5 0.551 — 27 92

2.0 0.311 0.323 14 92

Параметры течения около косинусоида

(ь, к) ср сУ сх н Ь

(0.000, 0) 0.527 0.589 1.116 0.960 0.877

(0.025, 4) 0.641 0.603 1.244 1.206 0.931

(0.050, 4) 0.839 0.608 1.447 1.393 1.019

(0.100, 4) 1.554 0.625 2.179 1.817 1.131

(0.025, 8) 0.694 0.556 1.250 1.279 0.834

(0.050, 8) 1.089 0.478 1.567 1.523 0.869

(0.100, 8) 2.270 0.380 2.650 2.061 0.894

Коэффициент сопротивления сх вычисляется по формулам:

8 1 <х 8 1

сх с р + с /,

СР =

п кМ2(і

Ах

2ЛЛР’

С/ =

п Яе і

где й — диаметр эквивалентной по объему сферы; Ар — сила сопротивления давления; Щ —

сила сопротивления трения.

В работе [8] приведена корреляционная формула для коэффициента сопротивления частиц произвольной формы любого положения относительно набегающего потока:

1

16 1

1

__ , ,-0.42-100-4( 1ёф)°'2-^,

Яер^ФІ ЯеР4Ф ТЯер ф3/4 ф±

где Яер = і • Яе — число Рейнольдса частицы; Ф = пі /А^ — сферичность (учитывает форму

частицы); Ф± = 0.25пі2/АрГ^ — поперечная сферичность (учитывает ориентацию частицы относительно набегающего потока); А^ — площадь поверхности частицы; А^ — площадь миде-левого сечения частицы. Формула справедлива при Яер < Яер сгі1, где Яер сгі1 — критическое число Рейнольдса.

Рис. 2. Значения сх, су, ср для сфероида с отверстием

сх =

Согласно [9] для сплюснутых сфероидов (0.5 < Е < 1) с осью вращения вдоль набегающего потока, сх можно определить по формулам:

cx = cxcshape,

1 + 42500

0.42

1.16 ’

*

./shape

Данные соотношения справедливы при Яер < Яер,сгй.

Для сферы (Е = Ф = Ф± = 1) среднее отклонение выражений (12) и (13) от стандартной кривой коэффициента сопротивления [11] на интервале 1 < Яе < 1000

составляет 6.6 и 3.9% соответственно, а максимальное — 18.9 и 10.2%. Погрешность формулы (12) больше по сравнению с (13), но она значительно проще по структуре и не имеет каких-либо ограничений на форму и положение частиц в потоке.

Среднее отклонение расчетных данных от значений, полученных по аппроксимационной формуле сх из [8], равно 13.5%, а максимальное — 48.9% (для сфероида Е = 0.5 с отверстием Ь = 0.3). При этом в [8] говорится, что среднее отклонение полученных по приведенной формуле значений от экспериментальных данных составляет 14.4%, а максимальное — 88%. Среднее отклонение расчетных данных от данных, полученных из других источников [9—11], равно 5.1%, максимальное — 14.9%. Для величины Ь отклонения получаются меньше: 3.7% (среднее) и 4.5% (максимальное). В [12] приводятся результаты сравнения различных аппроксимационных формул сх с экспериментальными данными. За небольшим исключением, средняя погрешность получается не меньше 10%. Поэтому можно сделать вывод, что полученные отклонения расчетных данных являются удовлетворительными.

Далее подробнее рассмотрим результаты расчетов. Из табл. 1, 2 и рис. 2 видно, что с ростом коэффициента сжатия Е (при удлинении сфероида в направлении набегающего потока) коэффициент сопротивления уменьшается, т. е. требуется меньше затрат сил для сохранения текущего положения тела. Но Ср и с^ ведут себя качественно по-разному. Если Ср монотонно падает, то

с ^, перейдя через минимум, начинает снова расти, и, следовательно, увеличивается доля трения

в силе сопротивления с 30 до 74% при Ь = 0 и с 51 до 91% при Ь = 0.3. Сама точка минимума с^

с увеличением Ь смещается в сторону больших Е. При увеличении Е точка отрыва потока приближается к задней критической точке, хотя точка минимума давления остается на прежнем месте, при этом аи <ар, что соответствует теории пограничного слоя. Значения аи и ар не зависят

от величины Ь.

Появление отверстия в частице и рост его поперечного радиуса Ь сопровождаются увеличением сх и с^ (увеличивается площадь соприкосновения частицы и потока газа за счет появления

канала), но уменьшается ср (сокращается площадь миделевого сечения). Когда Ь = 0.1, газ, вы-

24

Рис. 3. Поле скоростей за сфероидом с отверстием, E = 1, b = 0.1

Рис. 4. Поле скоростей около косинусоида, h = 0.1, к = 8

ходя из отверстия в кормовом пространстве сфероида, наталкивается на расположенный за ним вихрь и увлекается этим вихрем вдоль поверхности частицы к точке отрыва, т. е. вихрь за кормой частицы играет роль препятствия на пути вытекающей из отверстия струи газа и заставляет ее растекаться по поверхности сфероида (рис. 3). При b = 0.2 такая картина течения наблюдается уже только для E < 1, в остальных случаях за сфероидом вихря нет, струя движется прямо. Когда b = 0.3, струя движется только прямо при всех E.

Длина вихря L и расстояние от центра частицы до крайней точки отрывной зоны c + F + L уменьшаются с удлинением сфероида и увеличением радиуса отверстия, но расстояние от задней критической точки до вихря F, пройдя через минимум в окрестности точки E = 1, начинает снова расти.

В табл. 3 представлены результаты расчетов для косинусоида, а на рис. 4 приведен пример поля скоростей в одном из сечений. С усложнением формы частицы (ростом h и к) увеличиваются cx и L. Рост cx обеспечивается в основном силами давления, поскольку ср также увеличивается, тогда как cf либо остается практически постоянным при к = 4, либо уменьшается при к = 8. Такое различие в поведении cf объясняется наличием вихрей в каналах при к = 8 (см. рис. 4) помимо основного вихря за частицей и их отсутствием при к = 4. Эти вихри вращаются против набегающего потока и увеличиваются с ростом h, что и приводит к уменьшению c f .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрено течение вязкого газа около частиц несферической формы, определен характер течения, приведены основные интегральные и точечные характеристики. Для проведения моделирования представлен метод, позволяющий рассматривать обтекание частиц произвольной формы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00118).

ЛИТЕРАТУРА

1. Liu G. High resolution modeling of transport in porous media: PhD thesis. — Baton Rouge, 2002, 108 p.

2. Guo G. The effects of local hydrodynamics on mass transfer in disordered porous media: PhD thesis. — Baton Rouge, 2002, 99 p.

3. Hölzer A., Sommerfeld M. Lattice Boltzmann simulations to determine drag, lift and torque acting on non-spherical particles // Computers & Fluids. 2009. V. 38, Issue 3, p. 572—589.

4. Липанов А. М. Метод численного решения уравнений гидромеханики в многосвязных областях (первое сообщение) // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 12, с. 3 — 18.

5. Липанов А. М., Семакин А. Н. Математическое моделирование течения вязкого газа в двухсвязном объеме с перфорированными стенками // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51, № 4, с. 48—56.

6. Русяк И. Г., Горохов М. М., Колосов С. М. Постановка задачи пространственного течения несжимаемой жидкости в криволинейных координатах // Интеллектуальные системы в производстве. 2006. № 1, с. 68—93.

7. Никитченко Ю. А. Сравнение различных моделей течения газа в широком интервале чисел Кнудсена // Математическое моделирование. 2004. Т. 16, № 8, с. 77—93.

8. Hölzer A., Sommerfeld M. New simple correlation formula for the drag coefficient of non-spherical particles // Powder Technology. 2008. V. 184, Issue 3, p. 361—365.

9. Loth E. Drag of non-spherical solid particles of regular and irregular shape // Powder Technology. 2008. V. 182, Issue 3, p. 342—353.

10. Clift R., Grace J. R., Weber M. E. Bubbles, drops, and particles. — New York: Academic press, 1978, 380 p.

11. Горохов М. М. Математическое моделирование обтекания и горения гранул твердого топлива в турбулентных потоках: Дис. на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук. — Ижевск, 2005, 258 с.

12. Chhabra R. P., Agarwal L., Sinha N. K. Drag on non-spherical particles: an evaluation of available methods // Powder Technology. 1999. V. 101, Issue 3, p. 288—295.

Рукопись поступила 15/XII2010 г.