О сходимости решения разностной схемы в математической модели генерации тепловой энергии

9. Antony C. Copeland, Gopalan Ravichandran, Mohan M. Trivedi Localized Radon Transform - Based Detection of Ship Wakes in SAR Images, In: IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 1, January 1995. v.33, No. 1, P. 35^5.

10. Грузман И.С., Новиков К.В. Быстрый алгоритм сегментации анизотропных изображений на основе локальных спектральных моментов // Радиоэлектроника. - 2005. -№ 3. - С. 50-56.

Суров А. Н., Игизьянова Н.А., Потапов В. И.

О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГЕНЕРАЦИИ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ

В данной работе проводится анализ устойчивости разностной схемы, которая гарантирует сходимость ее к решению исходной дифференциальной задачи.

При электрошлаковом наплавлении (ЭШП) сплошных или полых слитков большого диаметра появляется неоднородность температурного поля в шлаковой ванне. Эта неоднородность особенно существенна при наплавлении полых слитков большого диаметра. Если при наплавлении сплошных слитков шлаковая ванна достаточно компактна по объему и конвективные потоки относительно выравнивают температурное поле, тогда как при наплавлении полых слитков этого не происходит. '

Формирование температурного поля происходит вследствие выделения тепловой энергии при прохождении электрического тока в жидком проводнике - шлаковой ванне с большим сопротивлением. В межэлектродном промежутке канала выделение энергии будет распределенное, так как распределенной будет сила тока. Если пренебречь теплообменом стенок канала с окружающими средами (стенками кристаллизатора, зеркалом жидкометалличес-кой ванны, воздухом), то распределенное выделение энергии по длине канала и определит температурное поле. Можно утверждать, что каждой точке шлакового пространства будет соответствовать точечный источник энергии. Неоднородность температурного поля приводит к неравномерности оплавления торца расходуемого электрода, неравномерности теплообмена с окружающими средами. Поэтому изучение анизотропности температурного поля в шлаковом пространстве представляет как научный, так и практический интерес.

В данной работе рассматривается оценка анизотропии энергетического поля в шлаковом

пространстве при ЭШП. При этом исходили из следующих допущений: так как при ЭШП энергия для переплава генерируется в шлаковой ванне электрическим током, то за основу были взяты фундаментальные законы электромагнитной динамики; теплообмен шлаковой ванны с окружающими средами, который искажает температурное поле, создаваемое источниками энергии, рассмотрен отдельно [1] и в данном случае не учитывается; теплообмен между каплями жидкого металла, стекающими с торца расходуемого электрода, и шлаком незначителен по сравнению с общей энергетикой процесса; процесс электродинамический считается осесимметричным. установившимся.

Исходя из принятых допущений, за основу были взяты уравнения Максвелла, адаптированные для данного процесса [2]. Уравнения, описывающие электромагнитные процессы в электроде, шлаковой ванне, имеют вид:

Поле потенциала в шлаковой ванне описывается уравнением Лапласа:

д2и 1 ди д2и

ôr2 г ôr dz2

= 0.

Граничные условия имеют вид: в области входа электрода в шлаковую ванну -

дС =

ст

в области свободной поверхности шлаковой ванны -

{r,z:0<r<r0,z = d) -f- = -—;

oz

8U

{r,z:r3<r<R,z = d} -^- = 0;

cz

в области дна шлаковой ванны -

{r,z:0<r<ri,z = c} U= 0;

д U

{r,z:r.. </•< /г.с = с} = 0;

на боковой поверхности шлаковой ванны -

д!1

{г,г:г = 0,с<г<</} ^- = 0;

дг

д11

{/•,<::/• = Л, с< г <</} — = 0. (5) дп

Напряженность электрического поля Ё определяется из уравнений:

дп дг

Е - ЁЕ. Е -М.

Плотность электрического тока в шлаковой ванне вычисляется из соотношении: У - аЁ.

В уравнениях (1-7) приняты обозначения: и - потенциал. Ь\ г. г - координаты точек пространства шлаковой ванны, м: у'э -

плотность тока на пятне электрода. кА/м2: ст-удельная проводимость шлака, (Ом • м '): с, координаты границ шлаковой ванны; п - нормаль боковой поверхности ванны.

По известному вектору плотности электрического тока в каждой точке шлакового

пространства вычисляется сила тока: /= ]>.

Интегрирование распространяется на всё поперечное сечение л проводника (шлака). Плотность постоянного тока одинакова по всему сечению 5 проводника. Поэтому для постоянного тока.

-н

-Дг . -1+1

1=]5.

Решение уравнений (1-7) проводилось численным методом конечных разностей. Заменили частные производные в уравнениях (1-7) приближенными разностными производными в направлении переменных г, г, получили разностные уравнения. Схема дискретизации пространства шлаковой ванны в однофазной и бифилярной схемах включения печи ЭШП приведена на рис. 1. Был использован шаблон разностного уравнения по явной схеме. Для вычисления значения разностного решения на (/' + 1 )-м слое используются значения искомого решения на двух предыдущих слоях: /'-м и (/'- 1 )-м. При этом при /' = 0 и / = 1 используются граничные условия (2-5).

В качестве сетки при дискретизации шлакового пространства принята совокупность прямых г = и Аг,: = тИ, где и = 1. 2,.... к т = 0. 1,2,...,/; Дг>0;Л>0.

Производные в уравнениях (1-7) заменили разностными аналогами вида: и = (2Дг)-1[и(тИч (и + 1)Дг) - ЩтИ, (и - 1)Дг];

игг = Аг 2[и(т1и (и + 1 )Дг) -

- 2 Щт/и и А г) + ЩтИ, (и - 1)Дг)];

и. = (2Л) "'[{/(т + 1 )Л. иАг) - Щт - 1 )Л, мДг)];

С/„ = /г[(/((т+ 1)Л, иАг) - '

- 2Ь'СтИ. иАг) + £/((т - 1 )Л, »А/ )].

При такой дискретизации шлакового пространства /) шаг по г определяет цилиндр радиуса г., а шаг по г - слой высотой Л. Для упрощения вычислительной схемы расчета приняли шлаковую ванну при бифилярном включении электродов в виде сектора тора.

а)

б)

Рис. 1. Схема дискретизации пространства шлаковой ванны: а - при однофазном включении цепи; б - при бифилярном

После дискретизации уравнений (1-7) была получена система алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функций в узлах сетки. Если £/(тА, иАг) обозначить Vйт, то дифференциальное уравнение примет вид С/"*1 -211" -1/"~1 С/и+1-ии'1

и т «и т ^ т т

Дг*

2мДг

IIй -in" + гIй

| ит-1 т + Um 1 _Q

А2

Для оценки погрешности вычислений рассмотрим определение устойчивой разностной схемы из работы [3]. Пусть для приближенного вычисления решения и дифференциальной краевой задачи

Lu =/

составлена разностная схема

LhW') = /">,

которая аппроксимирует задачу (8) на решении и с некоторым порядком Л*. Это значит, что невязка б/'1'

+ ¥"\

возникающая при подстановке таблицы [u]h решения и в уравнение (9). удовлетворяет оценке вида

h

где С, - некоторая постоянная, не зависящая от Л.

Будем называть разностную схему (9) устойчивой. если существуют члены А0 > 0 и 5 > 0, такие, что при любом А < А0 и любом г(/,) е Fh, ||£«а>|| < 5 разностная задача

Л

LM>.) = yt« + Ew

полученная из задачи (9) добавлением к правой части возмущения е"". имеет одно и только одно решение г"", причем это решение отклоняется от решения г/А) невозмущенной задачи (9) на сеточную функцию z(J"-u"0, удовлетворяющую оценке

ц_-<*><||с<1

где С - некоторая постоянная, не зависящая от А.

Теорема. Пусть разностная схема ЬуН) = =/'" аппроксимирует задачу Ьи =/на решении и с порядком А* и устойчива. Тогда решение разностной задачи = сходится к [м]А, причем имеет место оценка

где С и С, - числа, входящие в оценки (10) и (12).

Оценим точность, достигнутую при решении дифференциального уравнения разностным методом по принципу Рунге.

Пусть нам известно, что порядок погрешности решения при помощи разностей шага Л есть п, т.е. погрешность еп(>\ z) в какой-либо точке (г, г) может быть приближенно представлена так:

еЛ(г, :) « k(r, z)h\ где функция k(r, z) от А не зависит.

Пусть мы имеем приближенные решения С/,Л(/\ г) и Uh(r, z) шага 2Л и Л. Тогда, обозначая точное решение через м(г, г), имеем:

и{г, -) = С/Д(г, г) + еа(г, г), к(г, г) = Uh(r, z) + еА(г, г), откуда, вычитая, получим:

С/,,(г, :) - С/М(г, г) = ejr, г) - еА(г, г); и так как

то

ejr, z) « k(r, z)2"hn ~ 2"еА(г, г),

1/„(г. г) - UJr, z) * et(r, z)[2" - 1],

откуда

Uj,{r,z)-U2h(r.z) 2" -1

IIK-I/X. ¿(CC.) h\

Из этой формулы вытекает следующее правило для приближенной оценки погрешности решения с разностями шага А.

Следует взять в соответствующих точках разности решений при шаге Л и при удвоенном шаге. Будучи поделены на 2" - 1, где п-н порядок погрешности, эти разности приблизительно дадут абсолютные погрешности решения шага Л.

При решении уравнения Лапласа в квадратной сетке шага А с исправлением граничных значений по Коллатцу погрешность будет иметь порядок А2 и, значит, будет приблизительно равна одной трети разности решений при шагах /г и 2А.

Рассмотрим разностное уравнение:

а и . + Ь и + с и = (,

п п п п И+1 п'

п = 1, 2, ..., /V- 1,

во внутренних точках 0 < п < /V сеточного отрезка 0 < п < /V, где сеточная функция {г/; } принимает заданные значения

"о = Ф- "v = V-

Определение [3]. Разностная краевая задача

(14), (15) с коэффициентами ап, Ьп, са, ограниченными в совокупности. |aj, \bj, |rj < M хорошо обусловлена, если при всех достаточно больших N она имеет одно и только одно решение {«} при произвольных правых частях ф. у и >J'n\ и если числа м0, м,, ... их, образующие решение, удовлетворяют оценке:

где M - некоторое число, не зависящее от N.

Критерием хорошей обусловленности задачи с переменными коэффициентами, ограниченными в совокупности |aj, |6J, |cn| < М и ни при каком п одновременно не могут быть малыми, т.е.

¿=тах{|я|, \Ьп\, \ся\}>В>0, где М и В не зависят от N и п. является теорема.

Теорема. Пусть коэффициенты задачи (14),

(15) удовлетворяли условиям

к-1

\ak-a\<D^] ,\bk-b,\<D

N

\ck-c,\<D

k-l

N

, D > 0. со > 0.

2 Л

CSS

!h

и'т=и"пЛ--. Тогда разностное уравнение

OS

примет вид:

1 + — 2 и)

UUA-2U" +

'"я

Проверим все условия для хорошей обусловленности задачи:

"-H'^'-ib0'

V/t,/: 1+-

-i-.-Jj-2 к 2/|

---U ^ z>|

к-/ ~ЛЧ

что соответствует (17). Для уравнения 1 Л

1 + —

2и)

Uu+i -2U" +

1 2и

г/«-'= о

корни ^,2=1±—, т.е. удовлетворяют усло-2 и

вию (19). Значит, критерий хорошей обусловленности выполняется и решение {IIт") исходной задачи удовлетворяет оценке: [3]

\U"\< М max

as

,max

З/Дг

has

Л

Тогда для хорошей обусловленности задачи (14). (15) необходимо и достаточно, чтобы корни , и с/, квадратного уравнения

ап + Ьпд + спцг = 0,0 <n<N, (18) удовлетворяют условию

где 0 > 0 - некоторое число, не зависящее от N и п.

В области под электродом 0 < г < г>

„ д0 Л

из граничных условии -= —- следует

дг а

Кл-Кл 7 ./ то ци _ии

В результате компьютерного моделирования были получены значения в узлах сетки: потенциала и. плотности тока у, силы тока I.

энергии выделяемой в шлаке током /. разность температур Д Т.

На рис. 2 приведены изолинии плотности тока в сечении шлаковой ванны. Расчетные данные показывают, что плотность тока в точках шлаковой ванны распределяется неравномерно: от значений, равных нулю, изолинии под номером 0 и до 10618 кА/м: на зеркале жидкометаллической ванны. Наибольшая плотность тока наблюдается при радиусе г = гм, гщ - радиус расходуемого электрода. Под электродом плотность тока более равномерная и при га<г< гк, при г = тИ, (/ = 5,10) плотность

тока нулевая, где гк - радиус кристаллизатора. В этой части пространства не наблюдается и выделение энергии, эта область есть самое холодное пространство шлаковой ванны. Конечно, в действительности происходит некоторое выравнивание выделенной энергии конвективными потоками жидкого шлака, теплопроводностью.

По найденным значениям плотности и силы тока определялась выделенная энергия в точках шлакового пространства по известному фено-

менологическому соотношению () =  /. т.е. рассчитывались элементы энергетической

матрицы Q = [#.1, / = 1, 2,.... А%у = 0, 1.2.....т,

где с/ . - это величина энергии Дж, в узлах сетки с номерами /,/

СШ ДО О.ЭС 0*2 0.15 0.19 0,31 0.2« г'м

Рис. 2. Изолинии амплитуды плотности тока

в шлаковой ванне: 0-0: 1-28.3: 2-30.5: 3^0,0;

4-50,0; 5-100,0; 6-150,0; 7-200.0: 8-300.0; 9-500.0: 10-2000,0; 11-12000,0 кА/м:

Исходя из принятого допущения, что внешний теплообмен шлаковой ванны отсутствует, тогда внутри ванны распределение тепла происходит теплопроводностью. Из соотношения для теплового потока

А г

от слоя к слою была вычислена разность температур Тт -Т = АТ.

Теплопроводность шлака Аип = 4,64 Вт/(м • К) = 0,15 м. гк = 0,26 м. Площадь поперечного сечения /-го слоя вычислялась по формуле: 5. = = П(г+] + г.)Аг. Шаг по г был принят равным 0.15 м. а по высоте ванны И = 0.005 м. Соотношение между шагами Ал, И удовлетворяет условию, при котором разностная схема устойчива, для гиперболического уравнения (1) и уравнений (2-7).

По формуле (21) была вычислена матрица температур АТ= [А^ ]/ = 1,2, = 1,2, ...,/м. На рис.3 приведено изменение ДТ при / = 5. т.е. на середине высоты шлаковой ванны. Максимальное значение температуры наблюдается в области при /• = г^ и в этой периферийной зоне электрода выделяется максимум энергии и происходит перегрев шлака. При внешнем теплообмене этот пик перегрева сглаживается, но анизотропия температурного поля остается очень значительная. Замеры температуры про-

водились путем просвечивания ванны рентгеновским лучом и по степени затемнения пятна луча на пленке определяли температуру. При этом следует заметить, что луч, проходя по диаметру ванны, дает интегральную характеристику затемнения пятна на пленке.

од» осе оо» 0.13 0. ; о.к (и* о.м г-"

Рис. 3. Изменение разности температур между слоями шлаковой ванны на половине ее глубины, по радиусу

Вычисленная среднеинтегральная температура в сечении (рис. 3) по формуле:

- 2 17

АТ = —£ А Т^Аг = 341,1 А". гк ы I

При наличии внешнего теплообмена эта температура будет ниже, и что соответствует экспериментальным данным.

В результате исследований, проведенных в данной работе, можно сделать следующие выводы:

• получена математическая модель генерации тепловой энергии в шлаковой ванне;

• разработана методика расчета температурного поля в шлаковой ванне; подтверждено предположение о значительной анизотропии энергетического поля в шлаке;

• выявлено наличие зоны, где энергия не генерируется, и зоны перегрева шлака на периферии торца расходуемого электрода (это и приводит к оплавлению электрода в виде конуса).

Если в работе [1] в математических моделях теплофизических процессов при ЭШП источник энергии принимался в качестве граничного условия в среде для шлаковой ванны, то при наличии модели, полученной в данной работе, можно объединить электродинамику и теплофизику при ЭШП в одну математическую модель электрошлакового переплава.

СПИСОКЛ

1. Суров, А.Н. Расчет температурных полей в полых слитках при электрошлаковом переплаве. / А.Н. Суров, В.И. Потапов, М.С. Бугаев // Вестник ЮУрГУ, серия "Металлургия". - 2006. - Вып. 7. №10.-С. 73-75.

2. Электродинамические процессы при ЭШП на постоянном токе и их математическое моделирование/ В.И. Потапов. H.A. Игизьянова. И.В.Чуманов,

Д.А. Пятыгин // Современные проблемы электрометаллургии стали: материалы XIII Междуна. Конф. / под ред. В.Е.Рошина. - Челябинск, 2007. -4.3-216 с.

3. Годунов С.К. Разностные схемы (введение в теорию): учеб. пособие/С.К.Годунов. B.C.Рябенький. -М.: Наука. 1973.

Павлов Д. А.

Алгоритм построения расширенного

УНИВЕРСАЛЬНОГО БАЗИСА ГРЕБНЕРА

Введение

Теория базисов Гребнера в настоящее время является основным алгоритмическим инструментом вычислительной коммутативной алгебры. Базисы Гребнера применяются для нахождения нормальных форм полиномов относительно идеала, решения систем полиномиальных уравнений, вычисления размерностей алгебраических многообразий и многих других задач.

Классическая теория базисов Гребнера основана на рассмотрении допустимых упорядочений мономов. То есть, любой базис Гребнера подразумевает некоторое конкретное допустимое упорядочение (или семейство упорядочений), на котором основан алгоритм редукции полиномов относительно идеала.

Однако, классическая теория может быть обобщена различными способами на некоторые другие упорядочения, не являющиеся допустимыми [1]. Мы рассматриваем т.н. слабодопустимые упорядочения, согласованные только с делением мономов. Некоторые слабодопустимые упорядочения позволяют определить базис идеала, который также может использоваться для вычисления нормальных форм полиномов. Конечные слабодопустимые упорядочения в точности соответствуют многомерным таблицам Юнга, а бесконечные — некоторым путям в графе Юнга [2]. Таким образом, комбинаторика мономиальных упорядочений тесно связана с комбинаторикой таблиц и диаграмм Юнга [3].

Обозначения

Обозначим М множество всех мономов от </переменных. Множество переменных обозначим V = {х,, ..., Мы будем рассматривать как тотальные, так и конечные упорядочения на множестве М.

Определение. Тотальное упорядочение < называется слабодопустимым, когда оно согласовано с делением мономов:

/я,, /я, е М /я, < /я2.

Определение. Тотальное слабодопустимое упорядочение < называется допустимым, когда оно согласовано с умножением:

т. /Яр /я, е А/ /я, < /я, => /я/я, < яг/я,.

Определение. Конечным слабодопустимым (допустимым) упорядочением степени п называется цепочка КГ = (/я,,.... /яя), удовлетворяющая условию слабодопустимого (допустимого) упорядочения и содержащая с каждым мономом все его делители.

Обозначим за а некоторый идеал в бесконечномерном векторном пространстве полиномов АХ\",......V,]. Обозначим за А факторалгебру

идеала а.

Множество мономов М лежит в таким образом, каждый моном /я е А/ имеет канонический образ в А.

Редуцированный базис Гребнера идеала относительно некоторого мономиального упорядочения обозначим (7(а).

Определение. Мы будем называть мономы линейно-независимыми относительно а.