Способы построения некоторых видов тороподобных поверхностей

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ТОРОПОДОБНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Кайдасов Ж.

Кайдасов Жеткербай - кандидат физико-математических наук, профессор,

кафедра математики, Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматриваются поверхности отрицательной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве Е3, которые по внешнему виду очень похожи на катушкообразные. Преобразованием параметрических уравнений внутренней поверхности тора определены аналитические описания некоторых видов тороподобных поверхностей и установлены их геометрические формы с использованием компьютерной графики. Вычислением полной кривизны для каждого типа установлено, что они имеют отрицательную гауссовую кривизну. Ключевые слова: поверхности вращения, поверхность тора, отрицательная кривизна, катушкообразные поверхности.

УДК 514.7

Все поверхности постоянной отрицательной кривизны, данные последних лет, получены в основном преобразованием параметрических уравнений псевдосферы или склеиванием частей других псевдосферических поверхностей [1].

Поэтому одним из методов построения псевдосферических поверхностей является преобразование уравнений известных поверхностей.

Мы хотим преобразованием параметрических уравнений внутренней части тора построить некоторые виды тороподобных поверхностей, которые по внешнему виду очень похожи на катушкообразные [2], т.е. очень похожи на псевдосферические.

Тор - поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр. Уравнения тора могут быть представлены в виде:

X = (4 + 2cos v)cosu, У = (4 + 2cosv)sinu, Z = 2sinv, 0 < v < 2л, —л <и<л.

Тор имеет внутреннюю область отрицательной кривизны и внешнюю -положительной. Если у тора «отрезать» поверхность положительной кривизны, то получится кусок поверхности отрицательной кривизны, отчасти напоминающий катушку Миндинга (Рис. 1), уравнения которой могут быть представлены в виде:

X = (4 + 2cos v)cosu, У = (4 + 2cosv)sinu, Z = 2sinv, л/2 < v < Ъл/2, —л < и < л.

Рис. 1. Внутренняя поверхность тора напоминает катушку Миндинга

Изгибая его далее, можно получить тороподобные поверхности [3]. Среди тороподобных мы остановимся на напоминающих катушкообразные поверхности.

Рассмотрим примеры построения некоторых тороподобных поверхностей. По внешному виду их можно разбить на три группы.

1. Обмотанные тороподобные поверхности.

1. Дважды обмотанная: X = (1.2cos2u — l/3cos3u)(2 — cosv),

w ч /9г7\ 71

= (1.2sin2u — l/3sin3u)(2 — cosv),Z = sin—j,0 < и < 2л,— — < v < | (Рис. 2).

По известной формуле К = (LN — М 2 ) / ((Е G — F 2 ) вычислим гауссову кривизну:

917 ( 1 \ ( 9 \ /91Л 917

^ -273cos

K = -2

400(2-eosv){(1.69-1.2eosu)[(l.44+|-0.8eosu) + (^l-)eos2(2j)]-0.04sm2usm2v}

2. Трижды обмотанная:

X = (1.2cos2u — l/3cos4u){2 — cosv),Y = (1.2sin2u — l/3sin4u)(2 — cosv),Z /9v\

= sin (—J ,Q<u<2n, -ТГ/2 < v < n/2 (Рис. 3).

Рис. 2. Дважды обмотанная тороподобная поверхность

Рис. 3. Трижды обмотанная тороподобная поверхность

Аналогично можно построить тороподобные поверхности и с большим числом обмоток.

II. Секционные тороподобные поверхности.

1.Тр ехсекцио иная : X = (1 . 6 cosu — 0. 4cos4u) (2 — cosv) ,Y = (1 . 6s inu —

0.4sin4u(2-cosv), ^=si\M(9u10), 0 <u<2jt, —jt/2<v<jt/2(Pис. 4) .

Для этой поверхности Гауссова кривизна вычисляется по формуле:

9Р ~> /9Р\ 9Р

-11.52cos

K = -2

6.5536(2-eosv){[2(l-eos3u)[0.16sin2v(17-8eos3u) + (—)cos2(yj)]]-2.56 sin23uj

2. Пятисекционная: X = (1 . 6 cosu — 0 . 2 7 cos 6u)(2 — cosv),Y = (1 . 6s inu — 0.27sin6u22—cosv), ^=sir№(9vl0), 0 <u<2 jt, — jt/2<v<jt/2(Рис. 5).

Рис. 4. Дважды обмотанная тороподобная поверхность

Рис. 5. Трижды обмотанная тороподобная поверхность

Для каждой из указанных поверхностей, чтобы сохранилась отрицательность кривизны, можно определить связь между коэффициентами при тригонометрических функции в параметрических уравнениях.

Ш.Винтовые тороподобные поверхности.

/ 0.7 \ / 0.7 \

1.Х = собу 2---— , У = бЫу 2---— ,

V Спи) \ Спи.)

1 = 0.32г7 + sin.iL, 0 < V < 47Г, —тг/2 < и < 7г/2(Рис. 6) . Для этой поверхности гауссова кривизна будет имеет вид:

Г, 0.7 „„, . 0.7СО5и(1-5/г2и) / 0.7 СОБУЛ-.

(2-0.7/С?гц){(0.495?г2ц/С?г4ц)[1+0.32(2С/^"07)2]+ еох2и}

2.Х = СоБи{ 2 — Собр), У = 5тгг( 2 — Собр),

1 = 0.5гг + я^т?, 0 < и < 37Г, —тг/2 < г? < 7г/2(Рис. 7) .

рис. б. Винтовая с малым шагом Рис. 7. Винтовая с большим шагом

Графические изображения тороподобных поверхностей построены в среде WolframMathematica.

Список литературы

1. Попов А.Г. Псевдосферические поверхности и некоторы задачи математической физики // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 11, 2005. № 1. С. 227-239.

2. Кайдасов Ж. О трех видах катушкообразных поверхностей // Достижения науки и образования, 2018. № 1 (23). С. 6-8.

3. ПутенихинП.В. Тороподобные поверхности // Квант. Маг. 10. 1101, 2013.