Анализ влияния дискретности цифрового регулятора положения на точность воспроизведения сигнала задания в позиционно-следящем электроприводе

УДК 621.92

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ДИСКРЕТНОСТИ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА ПОЛОЖЕНИЯ НА ТОЧНОСТЬ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ СИГНАЛА ЗАДАНИЯ В ПОЗИЦИОННО-СЛЕДЯЩЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ

© 2016 В.Е. Лысов, Я.И. Пешев, И.С. Сидоров

Самарский государственный технический университет

Статья поступила в редакцию 13.10.2016

В статье рассматривается вопрос о влиянии дискретной природы цифрового регулятора положения на точность воспроизведения заданной траектории подвижными органами прецизионного металлорежущего станка применительно к высокоскоростным операциям шлифования и фрезерования. Анализ логарифмической амплитудно-частотной характеристики замкнутого цифрового контура положения выявил закономерность изменения ошибки позиционно-следящего электропривода (разность между заданной траекторией и воспроизведённой траекторией позиционно-сл едящим электроприводом) в зависимости от периода квантования цифрового регулятора положения. На основе представленных теоретических исследований разработан алгоритм динамического изменения периода вызова подпрограммы цифрового регулятора положения в зависимости от параметров обрабатываемого контура детали, который позволяет обеспечить требуемую точность механической обработки с минимальной вычислительной нагрузкой на микропроцессор устройства числового программного управления (УЧПУ). Эффективность разработанного алгоритма доказывается путём проведения экспериментального исследования на реальном металлорежущем станке модели 2440СФ4 с УЧПУ фирмы «Балт-Систем».

Ключевые слова: дискретность, цифровой регулятор положения, экстраполятор нулевого порядка, прецизионный металлорежущий станок.

Необходимость повышения уровня эффективности авиастроения требует от механообраба-тывающего оборудования внедрения технологий высокоскоростной и повышенной точности растачивания, шлифования, фрезерования. Это в свою очередь требует высокопроизводительных станков с системами числового программного управления (ЧПУ). Обеспечение точности обработки при увеличении контурной подачи является актуальной задачей, как для нового оборудования, так и для эксплуатируемого на авиационных предприятиях. Все современные металлорежущие станки оснащены системами автоматического управления (САУ). САУ прецизионными металлорежущими станками (САУ ПМС) на сегодняшний день представляют собой полностью цифровые вычислительные платформы, построенные по принципу систем с подчинённым регулированием [1] и включают в себя устройство числового программного управления (УЧПУ) и модули сервоусилителей [2, 3]. В предполагаемой статье анализируется влияние дискретности цифровой части ЧПУ, реализующего программу движения подвижного органа станка,

Лысов Владимир Ефимович, доктор технических наук, профессор кафедры «Электропривод и промышленная автоматика». Е-mail: 67lysov@mail.ru Пешев Ярослав Иванович, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Электропривод и промышленная автоматика». Е-mail: yarpv14@yandex.ru Сидоров Игорь Сергеевич, аспирант кафедры «Электропривод и промышленная автоматика». Е-mail: sidoov@rambler.ru

на точность воспроизведения сигнала задания. Дискретность определяется экстраполятором нулевого порядка, входящего в состав цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) цифрового регулятора положения (ЦРП).

Расчетная структурная схема САУ настроенная на технический оптимум [4] показана на рис. 1. Дискретность ЦРП, вносимая экстрапо-лятором, будем оценивать относительно непрерывной САУ, которая служит эталоном.

Рис. 1. Структурная схема электропривода

Оценка погрешности, вносимая экстраполятором, является важной составляющей в погрешности воспроизведения заданной траектории движения электропривода Хзд (р). Это особенно важно для прецизионных позиционно следящих электроприводов, которыми оснащаются, например, координатно-расточные станки особо высокой точности. Например для станков класса С при перемещениях подвижного органа станка до 1250 мм погрешность должна составлять до 2 мкм [5]. При обработке сложной поверхности следящий электропривод должен воспроизводить гармонический сигнал [6]. При этом в процессе обработки нужно поддерживать постоянную скорость подачи инструмента (УЗД), заданную для данного технологического процесса. Связь между

круговой частотой юЗД, УЗД и ХЗД устанавливается зависимостью:

ЗД •

Ш3(г) _

5(г) __(г -1)(г - й)_

Xд (г) _ (г -1)( г - й) + К[ г(Гт - Т + Щ) + ?1(1- й) - ¿Тт ]

зд _

Хз

Анализ погрешности, вносимый экстрапо-лятором нулевого порядка, будем проводить с помощью передаточной функции системы по ошибке в форме 7-преобразования с последующим переходом в область псевдочастот X с использованием билинейного преобразования

1 + ™ г-71 О

2 _- [7]. Это в свою очередь позволяет ис-

1 - ^

пользовать логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики для исследования системы. Передаточная функция по ошибке в форме 7-преобразования имеет вид:

Ж5

^ Xзд

В (2) передаточная функция системы в форме 7-преобразования в разомкнутом состоянии представлена зависимостью:

ш

" / П/

В (3) принято: К - коэффициент передачи системы, ТРП - период дискретности регулятора положения привода подачи прецизионного

ТРП

станка, й _ е Т , Т1- постоянная времени апериодического звена. С учетом (3) зависимость (2) представим в виде:

Аналитическое исследование зависимости (4) в общем виде не представляется возможным. Поэтому используем численный метод для оценки погрешности вносимой экстраполятором. Дадим ряд значений периода дискретности Т РП, которые

определяют частоту квантования (00 _-: ТРП

ТРП

=0,04 с; Трп=0,08 с; Трп=0,16 с; Трп=0,3 с; Трп=0,4 с. Результаты расчетов сведены в табл. 1.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика аналоговой САУ, принятой за эталон определяются передаточной функцией: 5

р) _

Хзд (р) 1 + (р) 0,012 р2 + 0,147 р +1"

На основании полученного выражения проведем расчет необходимых параметров для построения ЛАФЧХ:

20^0,147 _ -16,8дб; 1

0,08 1

0,109

_ 12,5с-1; ^12,5 _ 1,1дек _ 9,17с-1; 9,17 _ 0,96дек -

По расчетным данным табл. 1 и аналоговой системы на рис. 2 представлена логарифмическая амплитудно-частотная характеристика по ошибке позиционно-следящего электропривода.

Анализ амплитудно-частотной характеристики показывает, что при увеличении периода

-ив V

Рис. 2. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика по ошибке

со2 =

Таблица 1. Результаты расчетов

Период дискретности регулятора положения ТРП 'С Передаточная функция разомкнутой системы ^ с*) =х( Х3Д (г) Передаточная функция по ошибке системы ^ и =5( *> хзд (г) Амплитудно - фазовая частотная характеристика системы по ошибке Т w8 ) X ,с_1; X ,дек; К, дб; Трп ,с.

0,04 0,05(1,17 +1) I - 0,6 0,147 /Х(\ + Д0,08) Т 0 08,

(I -1)(7 - 0,6) °,0544(г +1) + (I - 0,6) г -1 0,01162( Д)2 + 0,125 /Х + 1 Т2 = 0,108. А,1 = — = 12,5; 1в12,5 = 1,1. с ^ 0,58 1 Т X 2 = -1 = 9,26; 1Е9,26 = 0,966. 2 т2 201g К = 20^0,147 = -16,8

0,08 0,143(1,397 +1) I - 0,366 0,147 /Х(\ + Д0,086) Т _

(I -1)(1 - 0,366) 1 37у +1 (I 0,366) + 0,145( ' ) 0,112 2 (./Я)2 + 0,1136 /Х +1 Т2 = 0,112. Х1 = 1 = 11,63; 1g 11,63 = 1,06. 1 Т с ^ 0,52 X 2 = -1 = 8,93; Ы93 = 0,95. 2 т2 201g К = 201g 0,147 = -16,8

0,16 0,325(1,881 +1) (I -1)(1 - 0,134) I - 0,134 0,147/1(1 + /Я0,1) т 01

(I 0,134) + 0,326(1'8752 +Ь 2 2 т1 - 0,1; 0,1162( /X)2 + 0,092 /1 +1 Т2 = 0,116. Х1 = — = 10; 1g10 = 1. с ^ 0,4 1 Т X 2 = -1 = 8,62; ^8,6 = 0,93. 2 т2 201g К = 201g 0,147 = -16,8

0,3 0,48(3,0971 +1) I - 0,023 0,146/1(1 + /10,157) Т_ 0157;

(I -1)(1 - 0,023) 3 09/ +1 (I 0,023) + 0,48( ' ) г -1 0,1092 (Д)2 + 0,075Д +1 1 Т2 = 0,108. А, = 1 = 6 , 37; 1g 6,37 = 0,8. с = 0,347 1 Т X 2 = ± = 9,26; 1g 9,26 = 0,96. 2 Т2 20 ^ К = 201g 0,146 = -16,8

0,4 0,52(4,2И +1) I - 0,0066 0,147 Д(1 + Д0,2) Т 02

(I -1)(1 - 0,0066) 4 21! +1 (I 0,0066) + 0,52( ' ) Т Т Т — 0,2; 0,069 2 (/X) + 0,069/Х +1 Т2 = 0,069. Х1 = - = 5; 1g 5 = 0,7. с = 0,347 1 Т X 2 = — = 14,5; 1Е14,5 = 1,16 2 Т2 201g К = 201g 0,147 = -16,8

0,5 Система неустойчива

дискретности регулятора положения, существенно возрастает динамическая ошибка в воспроизведении заданной траектории движения. Это особенно важно для приводов прецизионных КРС класс С. Для КРС особо высокой точности при обработке сложных профилей с закруглениями предъявляются вполне определенные требования по скоростям движения приводов подачи [6].

Заметим, что при ТРП=0,04 с или (О0 = 157 С-1 имеем хорошее совпадение с погрешностью аналоговой системы, которая при заданных параметрах имеет полосу пропускания в разомкнутом состоянии шс = 7 с-1, 2(Ос = 14 С-1. Поэтому хорошее совпадение дискретной системы с непрерывным аналогом реализуется, если:

2„

157 14

= 11,2 . Поэтому для достижения вы-

сокой точности необходимо, чтобы Ш0 > 2шс в 12 раз.

Моделирование системы в среде МаЙаЬ подтверждает полученные расчетным путем выводы. Графики отклонения ошибки 5(г) дискретной системы от аналогового прототипа показаны на рис. 3 при входном воздействии 1ф.

Основываясь на проведённое теоретическое исследование был разработан алгоритм автоматического изменения периода Tm в зависимости от диаметра воспроизводимой окружности и линейной скорости её обхода. Очевидно, что с увеличением значения периода ГРП будет снижаться точность воспроизведения криволинейных траекторий подвижными органами станка. Чрезмерное уменьшение ГРП вызовет неоправданный расход процессорного времени ЧПУ. Алгоритм позволяют выбрать наиболее оптимальное значение периода TРП при котором обеспечивается требуемая точность воспроизведения окружности.

Экспериментальные исследования, подтверждающие эффективность разработанного

алгоритма, проведены на прецизионном коор-динатно-расточном станке модели 2440СФ4 с УЧПУ ЫС-310 фирмы «Балт-Систем». В качестве измерительных элементов положения стола и салазок использовались фотооптические инкрементальные линейки типа ЛИР-7 фирмы СКБИС. Точность данных фотооптических линеек - 0,5 мкм. Каждая интерполирующая координата исследуемого стенда-станка прошла процедуру юстировки, которая обеспечивает точность позиционирования подвижного органа на уровне 2,5 мкм, что соответствует классу точности С.

Описанное в данной статье экспериментальное исследование проводилось при программном задании отработки эталонных траекторий, в качестве которых использовались эталонные окружности диаметром 2 мм, 4 мм, 6 мм, 8 мм и 10мм. Линейная скорость обхода всех эталонных окружностей постоянна и равняется VЭО =1000 мм/мин.

Учитывая дискретную природу САУ ПМС, для дальнейшей математической обработки результатов эксперимента, каждую эталонную окружность целесообразно представить в виде одномерной матрицы RЭО. Любой элемент данной матрицы представляет собой мгновенный радиус эталонной окружности на Ьтом шаге интерполяции. Размерность данной матрицы находится как:

о _ДЭ0

кэо I — ~2~ ,

где VЭО - линейная скорость отработки эталонной окружности, DЭО - диаметр эталонной окружности, TИ - такт интерполятора УЧПУ.

Значение каждого элемента матрицы RЭО определяется по следующей формуле:

я -°30

КЭ0 I — .

Для оценки реально полученной траектории использовался независимый цифровой самописец (НЦС), который считывает данные с линейки

Рис. 3. Отклонение ошибки 5(г) дискретной системы от аналогового прототипа: кривая 1 - ТРП= 0,04 с; кривая 2 - ТРП = 0,08 с; кривая 3 - ТРП = 0,16 с

стола и линейки салазок. Полученная с НЦС при отработке эталонной окружности одномерная матрица данных характеризует реально полученную окружность, указанную матрицу обозначим как ^р0. Значение каждого элемента данной матрицы представляет собой мгновенный радиус реально полученной окружности на /-том шаге интерполяции и находится как:

R

= Xf+Y:2

POÎ

где XI - мгновенное значение, считанное НЦС с линейки стола на /-том шаге интерполяции, У1 -мгновенное значение, считанное НЦС с линейки салазок на /-том шаге интерполяции.

Матрица, полученная в результате вычитания одноименных элементов матрицы Я^ и матрицы Яро, является по существу динамической погрешностью ДЭо воспроизведения эталонной окружности, которая и характеризует качество воспроизведения заданной траектории подвижными органами прецизионного металлорежущего станка:

^эо = Яэо _ Яро

Элемент Д^

матрицы Дэ0, имеющий мак-

ЭО MAX ^^ЭО'

симальное значение, является максимальным значением погрешности воспроизведения эталонной окружности.

Блок-схема алгоритма экспериментального определения значения Дэо max представлена на рисунке 4. Используя вышеупомянутый алгоритм, а также задаваясь рядом значений Tpu в диапазоне 10-80 мс для эталонной окружности определим

зависимость ЛЭ0МАХ = /(ГРП).

Для получения достоверных результатов проводилось трёхкратное экспериментальное определение зависимости [8].

Заметим, что матрицы Rpo и Яэо имеют одинаковую размерность

Период Трп в УЧПУ NC-310 определяется параметром servo_tick инструкции CAS.

Такт интерполятора Ти - параметром int_tick, причём Ти =1 мс=сош^

Результат эксперимента представлен в виде се-мействаграфиков зависимости Л^оМАХ = /С^Рп) для эталонных окружностей диаметром 2 мм, 4 мм, 6 мм, 8 мм и 10 мм, при линейной скорости обхода Уэо =1000 мм/мин (см. рис. 5). Из анализа представленных выше графиков следует возможность выбора такого значения Трп, при котором обеспечивается требуемая величина максимальной погрешности Дэо MAX.

По полученным данным можно сформулировать следующие выводы, если линейный прототип удовлетворяет техническим требованиям по ошибке воспроизведения заданной траектории, то дискретный регулятор может внести дополнительную погрешность, что может привести к увеличению погрешности и неудовлетворению технических требований. В этом случае требуется либо увели-

чить частоту ю0 экстраполятора, либо увеличить быстродействие аналоговой части системы.

Экспериментально подтверждено теоретическое положение о необходимости обеспечения

неравенства — > 12,5 ...20 для обеспечения с

точности воспроизведения заданной траектории движения по классу точности С.

Экспериментально доказана возможность повышения точности воспроизведения окружности при снижении общей вычислительной нагрузки на микропроцессор УЧПУ за счёт применения алгоритма автоматического изменения периода Трп в зависимости от диаметра воспроизводимой окружности и линейной скорости её обхода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ключев В.И. Теория электропривода. М.: Энерго-издат, 2001.

Кошкин В.Л. Аппаратные системы числового программного управления. М.: Машиностроение, 1989. Manfred Weck. Werkzeugmaschinen 3: Mechatronische Systeme, Vorschubantriebe, Prozessdiagnose. Springer Berlin Heidelberg, 2006, 424 p. Рапопорт Э.Я. Системы подчиненного регулирования электроприводов постоянного тока. Конспект лекций. Куйбышев 1985. 56 с. Решетов Д.Н., Портман В.Г. Точность металлорежущих станков. М.: Машиностроение 1986. 336 с. Михайлов О.П., Орлова Р.Т. Современный электро-

3.

4.

5.

6.

Рис. 4. Блок-схема алгоритма экспериментального определения значения Дэо ^

1.

Рис. 5. Семейство графиков зависимости МдХ = /(^рп) для эталонных окружностей диаметром 2 мм, 4 мм, 6 мм, 8 мм и 10 мм

привод станков с ЧПУ и промышленных роботов. М.: Высшая школа 1989. 111с. 7. Лысов В.Е. Теория автоматического управления.

М.: Машиностроение. 2010. 500 с. Ермаков С. М. Математическая теория планирования эксперимента. М.: Наука, 1983.

ANALYSYS OF IMPACT A SAMPLING PERIOD OF DIGITAL POSITION CONTROLLER'S ON POSITIONING QUALITY

© 2016 V.E. Lysov, Y.I. Peshev, I.S. Sidorov

Samara State Technical University

The article is focused on the influence of the digital position controller's discrete nature on the accuracy of rendering the set path by the moving parts of a precision jig boring machine in relation to highspeed grinding and milling operations. An analysis of the logarithmic amplitude-frequency response of the digital position loop has revealed a pattern of variation in the servo drive position error (i.e. the discrepancy between the path set and the path rendered by the servo drive) depending on the sampling period of the digital position controller. Based on the presented theoretical studies, an algorithm has been developed for dynamic variation of the digital position controller subroutine call period as a function of the machined piece surface profile parameters. This algorithm ensures the required machining accuracy while minimizing the computational load on the microprocessor of the numerical control unit (NCU). The efficiency of the developed algorithm is confirmed by experimental testing using an actual precision jig boring machine (2440SF4 model) with an NCU by Balt-System Ltd. Keywords: digital position regulator, jig-boring machine, sampling period, zero-order hold.

Vladimir Lysov, Doctor of Technics, Professor at the Electric Drive and Industrial Automation Department. E-mail: 67lysov@mail.ru

Yaroslav Peshev, Candidate of Technics, Senior Lecturer at the Electric Drive and Industrial Automation Department. E-mail: yarpv14@yandex.ru

Igor Sidorov, Postgraduate Student, Electric Drive and Industrial Automation Department. E-mail: sidoov@rambler.ru