Гомоморфные образы абелевых групп

Т.А. Ельцова

ГОМОМОРФНЫЕ ОБРАЗЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

В работе для некоторых классов абелевых групп дается ответ на вопрос, когда объединение гомоморфных образов группы является подгруппой другой группы. В связи с этим выделяются некоторые классы гомоморфно устойчивых групп.

Известно, что пересечение любого числа подгрупп группы является подгруппой группы. Но для объединения подгрупп это утверждение неверно. Следующее предложение дает ответ на вопрос, в каких случаях объединение подгрупп является подгруппой группы.

Предложение 1. Для группы А следующие условия эквивалентны:

1) объединение двух подгрупп группы А есть снова подгруппа группы А;

2) объединение любого семейства подгрупп группы А - подгруппа группы А;

3) группа А изоморфна подгруппе некоторой ква-зициклической группы 2(р>а).

Доказательство. а) 1) ^ 2). Пусть в группе А объединение двух подгрупп есть снова подгруппа группы А. Рассмотрим объединение произвольного семейства подгрупп (А.}ш группы А: С = иА1 .

1е1

Пусть а, Ь е С . Тогда существуют такие индексы] и к из множества индексов I, что а е А1, Ь е Ак.

Пусть С'= А1 и Ак. Элементы а и Ь принадлежат

С’, следовательно, произведение аЬ— принадлежит С', так как С' - подгруппа группы А. Значит, аЬ- е С, и поэтому С - подгруппа группы А.

Ь) 2) ^ 3). Пусть в группе А объединение любого семейства подгрупп есть снова подгруппа группы А . Возьмем элементы а и Ь из группы А такие, что а Ф Ь . Рассмотрим циклические подгруппы (а) и (Ь), порожденные этими элементами. Пусть С = (а) и(Ь) . Так как С - подгруппа, то элемент аЬ принадлежит С. Имеем два случая:

I. Элемент аЬ принадлежит (а ) . Тогда существует целое число г, такое, что аЬ= аг. Отсюда Ь = аг—1 и

1 г—1 г г—1 1

аЬ = аа = а = а а=Ьа .

II. Элемент аЬ принадлежит (Ь). Тогда существует целое число к, такое, что аЬ= Ьк. Отсюда а = Ьк—1 и аЬ= Ьк—1 Ь= Ьк = ЬЬк—1 = Ьа .

Следовательно, группа А абелева. Переходя к аддитивной записи, имеем: а = (к — 1) Ь или Ь = (г — 1) а . Так как элементы а и Ь выбраны произвольно, то любые два элемента группы А линейно зависимы. Следовательно, ранг группы А равен единице. Покажем, что А - периодическая группа. Пусть а е А . Тогда циклическая подгруппа (а) группы А не может быть бесконечной, так как в противном случае объединение двух подгрупп (2а) и (3а) не является подгруппой. Следовательно, порядок элемента а конечен, и группа А - периодическая. Известно, что ранг абелевой группы не превышает единицы тогда и только то-

гда, когда эта группа изоморфна подгруппе группы р или подгруппе некоторой группы 2(р>а) [1. С. 105]. Так как группа А - периодическая, то она изоморфна подгруппе некоторой группы 2(р>а).

с) 3) ^ 1). Пусть группа А изоморфна собственной подгруппе группы 2(р>а). Группа 2(р“) - квазицикли -ческая группа с образующими с1,..., сп ,..., которые связаны следующими соотношениями: рс1 = 0,.,

рсп = сп—1,. , где порядок каждого образующего ск равен рк.

Все собственные подгруппы группы 2(рГ) - конечные циклические группы порядка рп, п е N . Эти подгруппы образуют цепь по отношению включения: 0 с (сх)с — с (сп) с — , где {ст) - циклическая подгруппа группы 2(ра) порядка рт, порожденная элементом ст, те N .

Имеем А = (ск) для некоторого к е N. В группе {ск) подгруппы образуют цепь по включению: 0 с (сх) с — с (ск). Следовательно, в группе (ск ), а значит, и в группе А объединение двух подгрупп -снова подгруппа.

Пусть А изоморфна группе 2(рх). Тогда для группы 2(рГ) имеем цепь её собственных подгрупп

0 с (сх)с • • • с (сп) с • • • . Следовательно, в группе 2(рт), а значит, и в группе А объединение двух подгрупп - снова подгруппа.

При изучении абелевых групп интерес представляет вопрос, в каких случаях объединение подгрупп со специальными свойствами (вполне характеристических, сервантных, гомоморфных образов фиксированной группы) является подгруппой.

При рассмотрении гомоморфизмов абелевых групп Л. Фукс в монографии [1. С. 215] отмечает, что если А - периодическая группа, то объединение и !т а гомоморфных образов, где а пробегает всю группу Нот (А, С), является подгруппой для любой абелевой группы С. Однако существуют такие группы А без кручения, для которых аналогичный факт не имеет места. Введем следующее определение.

Определение. Группа А называется гомоморфно устойчивой относительно группы В, если объединение гомоморфных образов группы А в группе В является подгруппой группы В, то есть если

и м а - подгруппа группы В.

аеНот

Класс гомоморфно устойчивых групп замкнут относительно прямых сумм.

Теорема 2 [2. С. 31]. Пусть(А.}е1 - семейство абелевых групп, каждая из которых гомоморфно устойчива относительно группы В. Тогда группа © а

1е1

также гомоморфно устойчива относительно группы В.

Докажем, что при некоторых дополнительных условиях прямые слагаемые гомоморфно устойчивых групп являются гомоморфно устойчивыми.

Теорема 3. Пусть А = © Д и пусть для группы В

.е1

и для всякого индекса /еI выполнено условие: для

любых трех гомоморфизмов Р,1, рй, Ра из группы А/ в группу В и любых гомоморфизмов ук из групп Ак в группу В (к е I \{/}), пересечение

(ЬпРд + Ьпр,2 + Ьпр.з) п ( ^ Imyк ) равно нулю. Ток е1,

к Ф /

гда, если группа А является гомоморфно устойчивой относительно группы В, то и каждое прямое слагаемое А. гомоморфно устойчиво относительно В.

Доказательство. Пусть . - произвольный индекс из множества индексов I, и 5, t е и !т а . Су-

аеНот

ществуют такие гомоморфизмы / и ф из группы Нот(Aj,В), что 5 = faj и t =фЬj для некоторых

элементов aj и Ь. из группы Aj. Гомоморфизмы f и ф можно продолжить до гомоморфизмов f * и ф*, принадлежащих группе Нот (А, В), которые действуют по такому правилу: для всякого элемента с е А ^ ( с ) = f (П.с) и ф* ( с ) = ф (П jC), где п. - проекция

группы А на группу А,. Тогда получаем, что f *а, и

Ф*Ь, принадлежат множеству и !т а . Так как

аеНот

группа А является гомоморфно устойчивой относительно группы В, то и разность f *а, —ф*Ь, принадлежит этому множеству. Значит, существует такой гомоморфизм 5 из группы Нот( А, В), что

f *а, — ф*Ь, = 5ё , для некоторого элемента ё из группы А. Так как элемент ё принадлежит группе А, то его можно представить в виде суммы:

ё = ё. + ёк + • • • + ёк (ё. е А., ёк е А, , ..., ёк е А, ),

. к1 кп у . ’ к1 к1 ’ ’ кп кп

где каждый элемент, за исключением, быть может, ё., отличен от нулевого. Гомоморфизм 5 принадлежит группе Нот(А,В), где А = ©А. и поэтому по теоре-

/е1

ме 43.1 [1. С. 213] его можно представить в виде 5 = (... 5. ...), где 5. е Нот( Д, В). Тогда, учитывая,

что ^ (а. ) = f а. и ф* (Ь.) = ф Ь., имеем /'а. —фЬ. —5. ё. =5к1 ёк1 + ••• + §кп ёкп . Так как пересечение (ЬпР^ + ImPг 2 + Ьтр^) п ( ^ Imyk) = 0 для

к е1,

к Ф /

любой абелевой группы В, произвольного индекса / е I , любых трех гомоморфизмов Рд, Р,2, Ра из группы

А/ в группу В и любых гомоморфизмов у к из групп Ак

в группу В (к е I \{/}), то faj —фЬ. — 5.ё. =0. Тогда

faj —фЬ. = 5 .ё,. Так как 5.ё. е и Ша, то мы

аеНот

получили, что группа А. гомоморфно устойчива относительно группы В. Так как индекс . был выбран про-

извольно, то каждое прямое слагаемое А. (/ еI) гомоморфно устойчиво относительно группы В.

Теорема 4. Если группа А гомоморфно устойчива относительно группы В, то А гомоморфно устойчива относительно любого прямого слагаемого группы В.

Доказательство. Пусть группа А гомоморфно устойчива относительно группы В = В1 © В2. Докажем, что группа А гомоморфно устойчива относительно группы В1, то есть, что объединение гомоморфных образов и !т 5 является подгруппой группы

5еНот

В1. Возьмем два элемента с и ё из объединения гомоморфных образов и !т 5 . Надо доказать, что

5еНот

их разность также лежит в этом объединении. Так как элементы с и ё лежат в объединении и !т 5,

5еНот

то существуют гомоморфизмы а и р из группы А в группу В1 и элементы а и Ь из группы А такие, что с = а а и ё = р Ь . Так как гомоморфизмы а и р принадлежат группе гомоморфизмов из группы А в группу В1, следовательно, гомоморфизмы а и р принадлежат группе гомоморфизмов из группы А в группу В. Следовательно, элементы с = аа и ё = рЬ лежат в

объединении и !т5 . А так как группа А го-

5еНот

моморфно устойчива относительно группы В, то есть объединение и !т 5 является подгруппой

5еНот

группы В, то и разность с — ё = аа — рЬ лежит в этом объединении. То есть существует гомоморфизм у из группы А в группу В и элемент 5 из группы А такие, что с — ё = аа — рЬ = у5. Так как у? принадлежит группе В = В1 © В2, то его можно записать в виде у 5 = Ь1 + Ь2, где Ь1 - элемент из группы В1, Ь2 - из В2. Рассмотрим два естественных гомоморфизма п1 : В ^ В и п2 : В ^ В2. Тогда Ь1 =п1у 5 и Ь2 = п2у 5. Обозначим п1 у = у1, п2 у = у2. Тогда имеем следующее: а а — рЬ = у1 5 + у2 5. Отсюда получаем а а — рЬ — у1 5 = у2 5. С левой стороны равенства получаем элемент из группы В1, а с правой - из группы В2. Так как пересечение этих групп равно нулю, то получаем, что а а — рЬ — у1 5 = 0, то есть а а — р Ь =у1 5, где у1 - гомоморфизм из группы А в группу В1, а 5 - элемент из группы А. Следовательно, группа А гомоморфно устойчива относительно группы В1.

Напомним, что группа без кручения А называется жесткой, если ее группа эндоморфизмов ЕМ(А) изоморфна некоторой подгруппе группы Q [3. С. 148].

Следующая теорема дает полный ответ на вопрос, когда жесткая группа является гомоморфно устойчивой.

Теорема 5. Для жесткой группы А следующие условия эквивалентны:

1) А гомоморфно устойчива относительно некоторой абелевой группы, содержащей прямое слагаемое, изоморфное А © А ;

2) A гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы без кручения;

3) A гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы;

4) ранг группы A не превосходит единицы.

Доказательство. а) 1) ^ 4). Доказательство проведем методом от противного. Пусть A - жесткая группа, гомоморфно устойчивая относительно некоторой абелевой группы B, содержащей прямое слагаемое, изоморфное A © A . Предположим, что r (A) > 1. Тогда, по теореме 3, группа A гомоморфно устойчива относительно группы Bj = A © A . Тогда по теореме 43.2 [1. С. 214] Hom(A, B1) = End A © End A (*). Выберем элементы a и b из группы A так, чтобы они были линейно независимыми. Подействуем некоторым гомоморфизмом а на элемент а и некоторым гомоморфизмом в на элемент b (а,РеHom(A,B1)). Тогда аа, pb принадлежат U Im у . Учитывая,

yeHom

что A - жесткая группа, и в силу формулы (*) получаем а а = (ma , -а), Р b = (rb , -b), где m, k, r, v e Z ;

vn ’ l ' ’ ' vt ’w'’ ’ ’ ’ ’

n, t, l, w eN . Имеем а a - P b = (ma - rb , ka - vb).

’ ’ ’ r vn t ’ I W '

С другой стороны, разность а a - р b должна принадлежать объединению U Im у (так как груп-

yeHom

па A является гомоморфно устойчивой относительно абелевой группы B1 = A © A). Значит, существует элемент с из группы A такой, что

а a - р b = 5(c) = (у с , Uс), где х, z е Z ; у, и е N . Отсюда имеем

ma-r-b = хс;

n t у

-a --b = zc .

I w и

Приводя каждое из этих равенств к общему знаменателю и вычитая одно из другого, получаем

где m’ =mty; r’ =rny ; x' = xnt; k’ = kwu ; V =vlu ; z’ = zl w.

Какова бы ни была подгруппа Q’ группы Q, которой изоморфна группа End (A), числа m, -, , —

a m v kr

принадлежащие Q', можно выбрать так, что-------.

n w l t

Это гарантирует нам выполнение неравенств:

m’z’ - k’x’ Ф 0 и VX - r’z’ Ф 0. Из равенства

вытекает, что элементы a и b линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, ранг группы A не превосходит 1.

b) 4) ^ 3). Если r(A) = 0, то есть A - нулевая группа, то утверждение тривиально. Пусть A - жесткая группа ранга 1. Тогда A - вполне разложимая группа. Применяя теорему 3 [2. С. 32], получаем, что группа A - гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

c) 3) ^ 2). Пусть A - жесткая группа, гомоморфно устойчивая относительно любой абелевой группы. Следовательно, она будет гомоморфно устойчивой относительно любой абелевой группы без кручения.

d) 2) ^1). Пусть A - гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы без кручения. Так как группа A - жесткая, то группа A © A является группой без кручения. Следовательно, группа A - гомоморфно устойчива относительно группы A © A .

Теорема 6. Для всякого натурального числа n отличного от единицы, существует абелева группа без кручения ранга n, не являющаяся гомоморфно устойчивой относительно любой абелевой группы, но всякая ее подгруппа меньшего ранга является гомоморфно устойчивой относительно любой абелевой группы.

Доказательство. Возьмем произвольное натуральное число n > 2. Для этого числа существует группа без кручения A ранга n со следующими свойствами: 1) все подгруппы группы A , имеющие ранг n - 1, свободны; 2) кольцо эндоморфизмов группы A изоморфно группе Z [3. С. 153].

Пусть A’ - произвольная подгруппа ранга k такой группы A (k < n ) и

ax, a2, ... , ak

- линейно независимая система элементов группы A'. Вложим систему элементов (I) в максимальную линейно независимую систему элементов

a^ a2 , ... , ak , ak+1,•••, an

группы A. Рассмотрим систему элементов

a1, a2, . , an-1 (III).

Система (III) линейно независима, и поэтому подгруппа A” = (at, • , an_^* имеет ранг n -1. Имеем

A”- свободная подгруппа и A’ с A". Так как всякая подгруппа свободной группы свободна [1. С. 91, теорема 14.5], то A’ - свободная группа. По теореме 3 [2. С. 32] A' - гомоморфно устойчива относительно любой абелевой группы.

Рассмотрим группу A. Так как End A = Z , то группа A - жесткая. Ранг группы A больше 1, и поэтому по теореме 5 группа A не является гомоморфно устойчивой относительно любой абелевой группы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир. 1974. Т. 1. 335 с.

2. Гриншпон С.Я., Ельцова Т.А. Гомоморфно устойчивые абелевы группы // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 31 - 33.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1977. Т. 2. 416 с.

Статья представлена кафедрой алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в на-

учную редакцию «Математика» 12 мая 2005 г.