Методика расчета упругих параметров наноэлементов

УДК 539.2: 539.3

МЕТОДИКА РАСЧЕТА УПРУГИХ ПАРАМЕТРОВ НАНОЭЛЕМЕНТОВ

A.B. ВАХРУШЕВ, A.A. ШУШКОВ

Институт прикладной механики УрО РАН, Ижевск, Россия

АННОТАЦИЯ. Разработана методика расчета упругих констант наноэлементов методом согласования перемещений составляющих их атомов с полями перемещений упругих "эквивалентных" элементов при различных видах нагружения. Приведены результаты расчетов модуля упругости наночастиц, нагруженных растягивающими сосредоточенными силами. Получены расчетные зависимости модуля упругости Юнга от диаметра наночастиц.

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что при изменении характерного размера наноэлементов (нановолокон, на-нотрубок, наночастиц и т.д.) их физико-механические характеристики: прочность, модуль упругости, деформационные и другие параметры, - изменяются на порядок [1,2,4,5]. Расчетные и экспериментальные исследования показывают, что это обусловлено, в первую очередь, существенным изменением (причем не обязательно монотонным) структуры и формы наноэлемента [8-11]. Экспериментальное определение механических характеристик наноэлементов представляет технически сложную и трудоемкую задачу, вследствие малости размеров данных объектов. Поэтому моделирование является альтернативным и перспективным способом установления данных характеристик наноэлементов [3,6,7].

Целью настоящей работы являлась разработка методики расчета упругих констант наноэлементов и анализ их изменения в зависимости от характерного размера наноэлемента.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим наноэлемент объёмом и поверхностью Б, состоящий из N атомов (рис.1 -1), и подобный ему по форме и размерам "эквивалентный" упругий элемент (рис.1 -2),

нагруженные одинаковой системой уравновешенных внешних поверхностных/^ и объёмных/^о сил (Рис. 1).

Рис. 1. Наноэлемент

Введём определение "эквивалентного" упругого элемента. Материал данного элемента тела считаем однородным и изотропным, следовательно, его упругие свойства определяются двумя константами [14]. Следует отметить, что в общем случае свойства наноэлемента могут быть неоднородными (возможную анизотропию свойств в данной работе не рассматриваем). Это обусловлено изменением атомной структуры наноэлемента в области его поверхности [7,9,11]. Поэтому понятие упругого "эквивалентного" элемента основывается на одинаковом отклике наноэлемента и упругого элемента на заданную систему нагрузок. Иными словами - изменение формы и размеров упругого "эквивалентного" элемента и наноэлемента должны быть равными при действии одинаковой заданной системы нагрузок.

Деформирование наноэлемента будем рассчитывать методом молекулярной динамики, согласно которому движение системы атомов, входящих в наноэлемент, определяется системой дифференциальных уравнений

И у ^ — — — /7 у —

> О)

М у'=1 Ш

где т1,г{ = - масса и радиус- вектор /-го атома, соответственно;

Г~ 2 2 2

г- — д'(х,- — Х-) + (у. — у •) - радиус - вектор между атомами / и у;

Л>/7)- сила взаимодействия между атомами I и у; Ъ{ - коэффициент "трения";

Т7 = + - суммарный вектор внешних сил; /¡{() - случайная сила, действующая на /-ый атом, определяемая из распределения Гаусса со следующими свойствами: среднее значение случайной силы /ДО равно нулю; она не коррелирует со скоростью

рассматриваемого атома, так что < 7/(0^/(0> равно нулю и < //(0// ()>= 2квТ0Ь1т^). Здесь кв - постоянная Больцмана; с>(/) - дельта функция Дирака; - температура.

Как правило, сила взаимодействия между атомами определяется соотношением

дГ

Яг,)- * ,

и и

где К(г;у) - потенциал.

Постановка задачи статического расчета упругого изотропного тела включает:

- дифференциальные уравнения равновесия

V *<т = О,

_

- уравнения связи между тензором деформаций 8 и вектором перемещений и

8 = —(и  V + V (8) и), 2 7

определяющие уравнения упругого тела

СТ = В

где В (х) - матрица упругих констант материала.

Решение системы уравнений (3)-(5) позволит вычислить вектор перемещений, тензор деформаций и тензор напряжений в упругом "эквивалентном" элементе, которые зависят от матрицы упругих констант. Согласование решений задачи молекулярной динамики и теории упругости осуществляем по векторам перемещений в точках, совпадающих с положением атомов нанообъекта

где ие>ит(1 ~ векторы перемещений упругого "эквивалентного" элемента и наноэле-мента, соответственно.

Для выполнения условия (6) осуществляется варьирование упругих констант упругого "эквивалентного" элемента, таким образом, чтобы суммарная ошибка, определяемая разностью векторов перемещений, была минимальна.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

В качестве примера, поясняющего разработанную методику, приведем расчет модуля упругости наночастицы, нагруженной осевыми растягивающими силами (рис.2). В расчетах использован потенциал Леннарда-Джонса

V(re) = 4e

Г \12 СУ

Г-

\У

Г \6

с

v^yy

Здесь 8 - глубина потенциальной ямы; с - значение т{-, при котором У{ги) равно ну-

v

лю.

Для интегрирования системы уравнений (1) и (4) используем алгоритм Верле [12,13].

Рассмотрим использование предложенной методики на примере наночастиц цинка. Количество атомов в наночастицах варьировалось от 216 до 9261. Диаметр равновесных наночастиц цинка при этом принимает значения от 12 до 50 ангстрем.

Величина силы растяжения составляла = 2.086 * 10"11Н и подбиралась таким образом, чтобы атом, к которому она прикладывается, не отрывался от частицы. Основным результатом расчета деформирования наночастицы является зависимость

радиальных перемещений атомов и от расстояния до центра масс наночастицы г (рис.3).

Рис- 2. Равновесная наночастица (1) и упругий "эквивалентный" элемент (шар) (2), растягиваемые сосредоточенными силами

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

Рис. 3. Зависимость перемещений и от расстояния г до центра масс наночасти-цы цинка, содержащей: а - 512, Ь - 3375, с - 8000 атомов, соответственно; и иг приведены на графике в ангстремах

Задача расчета упругого "эквивалентного" элемента (шара) при растяжении сосредоточенными силами имеет аналитическое решение [14]:

и

(1 + V) Я

00

2 лг0Е п=0

Е(4л + 3>

(со8а)-2"+1(С°8а) + к2/7 + 1)р 2п + \ 1

-2

я(2и-1)-у(4л + 1)]

*

(сска)! 2/7+1 тп I

где г0 - радиус шара; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; (соб а,) - полиномы Лежандра; р — г/г0 < 1; /<] - величина растягивающей силы. Функция тп определяется из выражения:

тп = (1 + у)(4 п + Х)п + п + \

1 10

-11

5 10

-12

МО

-11

5-10

-12

Г, М

О

и, м : ГИ 2 1

\ 1 т % м

о

5-10

-ю

1 10

-9

а)

б)

Рис. 4. Зависимость перемещений и от радиуса г: 1 - для упругого шара, 2 - для наночастицы, состоящей из 2197 атомов;а) Е = 9.5*1010 Па, Ьб) Е= 5.25* 1010 Па

На рис.4-а-1 сплошной линией представлена зависимость перемещений от расстояния до центра "эквивалентного" упругого элемента для модуля Юнга

Е = 9.5*\0{0 Па и коэффициента Пуассона V = 2.1. На этом же графике (рис.4-а-2) приведена зависимость радиальных перемещений атомов иа от расстояния до центра масс наночастицы г. Видно, что указанные зависимости не совпадают. Поэтому, изменяя модуль Юнга, добиваемся слияния данных кривых (рис. 46). Критерием этого является среднеквадратичная ошибка, изменение которой в зависимости от модуля Юнга приведено на рис.5. Из данного графика видно, что среднеквадратичная ошибка имеет ярко выраженный минимум, которому соответствует наилучшее совпадение векторов перемещений. В данной точке и определяется модуль упругости наночастицы.

Выполняя данную процедуру для наночастиц различного диаметра, строим зависимость модуля Юнга от диаметра наночастицы (рис.5). Очевидно, что модуль Юнга увеличивается при уменьшении размера наночастиц, и это качественно совпадает с экспериментальными данными [1].

По аналогичной методике построены расчетные зависимости модуля Юнга от радиуса наночастиц цезия и магния. На рис.7 приведена зависимость относительного мо

дуля Юнга Е от радиуса г для наночастиц из различных материалов. В качестве относительного модуля выбрано отношение модуля Юнга к асимптотическому его значению при максимальном диаметре наночастицы.

Рис.7 иллюстрирует общую тенденцию увеличения модуля Юнга, однако у различных материалов она неодинакова. Относительный модуль цинка увеличивается более чем в 6 раз, а модуль цезия только в 1.5 раза.

2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0' 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

Рис.5. Зависимость среднеквадратичной ошибки XV от модуля Юнга Е упругого

"эквивалентного'' элемента; £2197~ М°ДУЛЬ Юнга (Па) наночастицы, содержащей 2197 атомов

0 5 10 15 20 25

Рис.6. Зависимость модуля Юнга Е (Па) от радиуса г (А) наночастиц цинка

11 имо1

\

\

Е2197

\д/ -10 ЕЮ

ЕЛО11

♦

!

ш 1

-1

♦

♦ ♦

---; ♦ :

г

Рис. 7. Зависимость относительного модуля Юнга Е от радиуса г (А) для нано-частиц из различных материалов: 1- цезий, 2-магний, 3- цинк

ВЫВОДЫ

Разработана методика определения модуля упругих констант наноэлементов. Проведенные расчеты позволили выявить основные закономерности зависимости модуля Юнга от размера наночастиц. Численные расчеты показали, что модуль Юнга увеличивается при уменьшении размера наночастиц цинка, цезия, магния.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Qing-Qing Ni, Yaqin Fu, Masaharu Iwamoto. Evaluation of Elastic Modulus of Nano Particles in PMMA/Silica Nanocomposites // Journal of the Society of Materials Science, Japan. -2004. -v.53. -N9. -pp.956-961.

2. Ruoff R. S., Pugno Nicola M. Strength of nanostructures // Mechanics of the 21st Century. Proceeding of the 21-th international congress of theoretical and applied mechanics. - Warsaw: Springer, 2004.- p.p.303-311.

3. Diao J., Gall K., Dunn M. L. Atomistic simulation of the structure and elastic properties of gold nanowires // Journal of the Mechanics and Physics of Solids.- 2004.- V. 52.- N. 9.-p.p. 1935-1962.

4. Dingreville R., J. Qu, Cherkaoui M. Surface free energy and its effect on the elastic behavior of nano-sized particles, wires and films // Journal of the Mechanics and Physics of Solids.- 2004.- V. 53.- N. 8.- p.p. 1827-1854.

5. Duan H.L., Wang J., Huang Z.P., Karihaloo B.L. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress // Journal of the Mechanics and Physics of Solids.- 2005.- V. 53.- N.7.- p.p. 1574-1596.

6. Лагунов B.A., Синани А.Б.. Компьютерное моделирование деформирования и разрушения кристаллов // Физика твердого тела. - 2001.-Т.43.- N4.- С.644-650.

7. Вахрушев А.В. Моделирование статики и динамики кластеров на макро -, мезо - и микроструктурных уровнях // Вестник ИжГТУ: Периодический научно-теоретический журнал. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2001.- № 1.- С. 25-29.

8. Гусев А.И., Ремпель А.А. Нанокристаллические материалы. - М.: Физматлит., 2001. - 224с.

9. Заводинский В. Г. Атомная структура и электронное строение нанометровых систем на основе кремния: Дисс. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.04.07. - 1997.

Ю.Петрунин В.Ф., Зеленюк Ф.М. и др. Особенности атомной структуры ультрадисперсных систем// Физикохимия ультрадисперсных систем: Матер. I Всес. конф. -М., 1987.-С. 60-67.

11 .Hoare M.R. Structure and dynamics of simple microclusters // Adv. Chem. Phys. - 1979.-v.40.- p.p. 49-135.

12.Д.В. Хеерман. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. - М.: Наука, 1990.-176с.

13.В.А. Полухин, В.Ф. Ухов, М.М. Дзугутов. Компьютерное моделирование динамики и структуры жидких металлов. М.: Наука, 1981.

14.В.И. Блох. Теория упругости. Харьков, 1957.-465с.

SUMMARY. The calculation procedure of nanoelement elastic constants by a method of the displacements atoms coordination with elastic displacements fields of elastic "equivalent" elements at different loading type have developed. The results of elastic nanoparti-cles modulus calculations are represented. Dependences of an elastic modulus on nano-particles diameter are obtained.