Модифицированная модель Зельдовича-Неймана-Деринга и ее особенности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хитрин Л.Н. Физика горения и взрыва. М.: Изд-во МГУ, 1957.

2. Головин А.М., Песочин В.Р. О диффузионном режиме горения угольной частицы в высокотемпературной среде // Физика горения и взрыва. 1989. 25, № 6. 29-36.

3. Вильямс Ф.А. Теория горения. М.: Наука, 1971.

4. Зверев И.Н., Смирнов Н.Н. Газодинамика горения. М.: Изд-во МГУ, 1987.

5. Дельмон Б. Кинетика гетерогенных реакций. М.: Мир, 1972.

6. Смирнов Н.Н. Диффузионное горение жидкого топлива в потоке с распределенными параметрами // Физика горения и взрыва. 1984. 20, № 3. 26-35.

Поступила в редакцию 23.11.2006

УДК 534.2

МОДИФИЦИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ ЗЕЛЬДОВИЧА-НЕЙМАНА-ДЕРИНГА

И ЕЕ ОСОБЕННОСТИ

В. М. Гендугов

1. Предметом исследования работы является модифицированная модель стационарной идеальной детонации Зельдовича-Неймана-Деринга (ЗНД) [1] с плоской одномерной структурой, включающей, как и в традиционной схеме [2-4], ударную волну (УВ) и непрерывную зону горения с одной независимой реакцией. В традиционной схеме Я. Б. Зельдовича [2] горючая смесь предполагается смесью совершенных газов, а реакция, не удовлетворяющая кинетической формулировке закона действующих масс (ЗДМ), завершается так, что продукты детонации (ПД) являются инертной средой. В этих приближениях установлено, что идеальная детонация не зависит от структуры волны и распространяется в режиме Чепмена-Жуге (Ч-Ж), т.е. имеет относительно потока ПД скорость, равную замороженной скорости звука.

Анализ устойчивости этой схемы к пространственным возмущениям, проведенный в [5], показал, что модель неустойчива и имеет сингулярную особенность в точке Ч-Ж.

В отличие от приближений [2] в рамках модифицированной модели [1] предполагается, что теплоемкости компонентов горючей смеси постоянны и равны между собой, а реакция удовлетворяет кинетической формулировке ЗДМ, поэтому ПД приходят в состояние химического равновесия. В этих приближениях установлено [1], что структура волны также не накладывает ограничений на скорость идеальной детонации, которая относительно потока ПД равна теперь равновесной скорости звука. Этот вывод вступает в противоречие с исследованиями, в которых на основе изучения асимптотического поведения пересжатой детонации [6, 7] и детонации с примыкающей волной разрежения [8, 9] доказано, что самоподдерживающаяся волна распространяется в режиме Ч-Ж. Рассогласованность результатов исследований детонации в рамках модели ЗНД наводит на мысль о необходимости ее дополнительного изучения с целью выявления особенностей модифицированной схемы.

2. Пусть по покоящейся горючей смеси совершенных газов постоянного состава с постоянной скоростью О движется детонационная волна (ДВ). В системе координат, связанной с УВ, движение стационарно и описывается системой, включающей уравнения сохранения потоков массы, количества движения, энергии, а также состояния среды и химической кинетики. В пренебрежении явлениями переноса они записаны в удобной форме:

ро ио = роО = ри = К,

ф К2 ф

(1х р2 йх1

(11г К2 ф

(1х р3 йх1

р = р^Сг) = вВтду

К^=шг{у'1-У'1)е.

Эта система решается с начальными условиями на УВ (х = 0), заданными в форме соотношений на скачке уплотнения в пренебрежении изменением состава смеси [2]. Кроме того, поток реагирующей смеси за УВ асимптотически стремится к состоянию химического равновесия, которое характеризуется максимумом энтропии:

х ^ж, 5в = 0, 62в < 0.

Принятые обозначения: р, р, Л, в, е — давление, плотность, энтальпия, энтропия и скорость реакции смеси; х — координата; и — скорость потока относительно УВ; Я — абсолютная газовая постоянная; N — число компонентов смеси; г — номер компонента (г = 1,...,^; сРг, Н°, шг, Сг — теплоемкость при постоянном давлении, энергия образования, молекулярная масса и массовая концентрация г-го компонента; V, — стехиометрические коэффициенты г-го компонента до и после реакции; индексом "о" обозначены параметры перед УВ;

N N ,0 N

1 сг ^л СгЛг сргсг

— = 2^—; Я = —^ = V ——•

ш шг шг шг

г=1 г=1 г=1

Преобразуем исходную систему. Разделим каждое уравнение (5) на соответствующий коэффициент перед е, а затем вычтем первое уравнение из остальных. В результате получим N — 1 однородных уравнений, каждое из которых интегрируется так же, как (2) и (3). С учетом начальных условий на УВ и уравнения (1) первые интегралы приводятся к виду

К2 К2 К2 к2

-= Ро +-, Ъ + —¿=¡10 +

Р Ро 2Р2 2р0

—Vг)

Сг ~ СМ = фг(С1 ~ Сю), I = 2, . . . , N - 1, ф{ -

Ш1

Исключая Сг из функций р, в и е, приведем их к виду, зависящему от Л, р и С1 .В частности, (4) запишется так:

ч _р{с-ро +Р(С1 - сю))_

р = р

\шо ^ /

а уравнение для концентрации примет вид

йс1 Ш1(у'{ — )е

-К-= Р^,Р,С1)-

N,0 N 1 N

Здесь Ср0, <Уо) пт>о — параметры, вычисленные при С\ = сю, Ц = У -, Р = У -> — = / —•

^шг ^ шг ц тг

г=1 г=1 г=1

Запишем теперь (6) в дифференциальной форме, а затем преобразуем с учетом (2) и (3):

(1Р ,л ™2л-1,

и

Здесь М; = — — число Маха потока, рассчитанное по замороженной скорости звука а*, которая в переменных Л, р, С1 имеет вид [10]

а2 р\дл; Р,С1 \др; Н,С1

Из условия непрерывности градиентов функций в зоне горения следует, что если в ней существует критическая поверхность (КП), то на КП выполняются соотношения

= 0,

дси р,к

м2 = 1-

Подставим (8) в уравнения (2) и (3), после чего приведем их к форме

р3

(х

р-р

йр р2 р• 1 ;

Заметим, что система дифференциальных уравнений (7), (8) и (11), (12), описывающая зону горения, представлена в нормальной форме. При этом она является также автономной.

3. Задача теории состоит в определении условий устойчивости по Ляпунову зоны горения и в выводе замкнутой системы уравнений для вычисления скорости ДВ. В этой связи напомним теорему Ляпунова об устойчивости автономной системы [11]. Пусть для х > 0 существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция V, такая, что функция Ш = ^гаё V, Е) удовлетворяет неравенству Ш < 0. Тогда решение автономной системы уравнений устойчиво, притом асимптотически. В нашем случае V = V(Н,р,С\); Е = [Е^,Ер,ЕС}.

Рассмотрим производство энтропии в зоне горения (а), которое, как известно, является определенно положительной функцией. Поэтому при К > 0

а К

(в (х

дв дК

Р,С1

сИг (дв (1х \др

к,С1

(р (х

Используя термодинамические соотношения

дК)

Р,С1

1

т'

дР/1г,С1

дв дс1

1

рТ

р,к

(с1 (х

> 0-

и уравнения (2), (3), легко показать, что сумма первых двух членов в правой части (13) равна нулю. Следовательно, имеет место условие

а ( дв\ (с1

К \dcij р,н (х

> 0-

При этом а = 0, что равносильно уравнению ЗДМ и является необходимым условием, определяющим

дв

состояние химического равновесия ПД. Тогда ( —— ) =0.

\дс1/ р,Н

Введем функции Ляпунова следующим образом:

V =

1 дв

Ш =

(V

2 \dcij(х Затем с учетом вида вектора Е представим Ш в форме

I

Ш =

дв дс1

р,Н

grad

V

дс1 )р,Н

1 д2з д2з \ \да) р дс\дН дс\др) 1 — М2

/

дв

дс1 / р,н

(с1

(х

Предварительно с привлечением (14) выполним преобразование 1 д2 {дз\

р дс2 \дк)р>С1 + Л>С1

( др_ \

р2Т\дс1/ >

позволяющее записать функцию Ш так:

Ш =

1

-М2 /92§\ / дз \ (кг

1-М2 \ дс{) „Ада) н (1х

2

1

и

Здесь Ме =--число Маха, рассчитанное по равновесной скорости звука ае при неравновесных пара-

метрах потока, которая определена по формуле

а2 а2 \дс\)р Л УЩу

-1

тождественной формуле ае в химически равновесной смеси [10]. Обратим внимание на то, что если состояние реагирующей смеси экстремальное, т.е. выполняется (9), то ае = af .В остальных случаях ае < af,

так как для газовой смеси ( —т ) < 0 [12]. Имея в виду это неравенство и неравенство (15), приведем

\дс1/ р, н

условие устойчивости (Ш < 0) к виду

1 - М2

г <16>

Условие (16) замыкает систему уравнений для определения скорости стационарной самоподдерживающейся детонации с устойчивой по Ляпунову зоной горения. Напомним, что в пренебрежении изменением состава смеси на УВ поток за скачком является дозвуковым по отношению к замороженной скорости звука. Поэтому в силу (16) в окрестности УВ зона горения устойчива, если она дозвуковая и относительно равновесной скорости звука. Данное ограничение присуще всем рассматриваемым типам ДВ.

4. Назовем стационарную самоподдерживающуюся детонацию слабой, если она, имея дозвуковую зону горения по отношению к равновесной скорости звука, распространяется относительно равновесного потока со скоростью, равновесной скорости звука. Структура такой ДВ устойчива по Ляпунову. Поскольку соотношения между начальными и равновесными параметрами горючей смеси выписываются вне зависимости от структуры волны, последняя не накладывает ограничений на скорость слабой детонации. Эта скорость вместе с равновесными параметрами ДВ является решением уравнений, собранных в замкнутую систему и записанных в форме

1 , ч ( 1 . Л „ ч ( да \

2 \Ро Р/ \дсг/ р,н

р-ро = -К2(--—), М2 = 1.

Р Ро е

Эта система имеет ясную геометрическую трактовку. Действительно, первые три ее уравнения задают

(Ро Р \ й

в плоскости —, — равновесную адиабату, которая для смеси совершенных газов является монотонно

V Р Ро/

убывающей кривой [1]. Четвертое уравнение задает прямую Михельсона, условием касания которой равновесной адиабаты является последнее уравнение [1]. Отметим в дополнение к многочисленным расчетам равновесной адиабаты, что ее участок, заключенный между точками Ш (точкой Вильямса, где Ме = 1) и Р (точкой Ч—Ж, где Mf = 1), соответствует неустойчивым состояниям, включая точку Р. Поэтому в дальнейшем этот участок исключается из рассмотрения. На рис. 1 схематически изображены структура слабой детонации и вид уточненной равновесной адиабаты в плоскости (—,— ). Напомним теперь,

Р Р о

что характеристики в реагирующем потоке распространяются с замороженной скоростью звука. Поэтому возмущения в зоне горения приводят к изменению скорости слабой детонации и как следствие этот тип ДВ оказывается неустойчивым к возмущениям потока, хотя зона горения и устойчива по Ляпунову.

5. Назовем стационарную самоподдерживающуюся детонацию сильной, если она в устойчивой по Ляпунову зоне горения содержит КП, на которой одновременно осуществляется переход от дозвукового течения за УВ к сверхзвуковому за КП. Сильная детонация распространяется относительно потока КП в режиме Ч—Ж и является недосжатой. Наличие в устойчивой зоне горения критической поверхности требует выполнения на ней условий (9) и (10), образующих вместе с уже выписанными уравнениями замкнутую систему

1 , ч ( 1 1\ „ ч ( др\

Л--Л-0 = Т;(р-РО)[ — + - Ь Р = Р(Ь,р,С1), ( — ) =0,

f ~ 1

р-ро = -К2[-~ — ), М2=1.

Р Ро

На геометрической трактовке этой системы остановимся подробнее. Первые три уравнения задают адиабату равных скоростей звука (или адиабату экстремальных состояний), поскольку третье уравнение (условие экстремальности) означает равенство равновесной и замороженной скоростей звука. Четвертое уравнение задает прямую Михельсона, условием касания которой адиабаты равных скоростей звука является последнее уравнение. Докажем это утверждение. Выпишем уравнения адиабаты равных скоростей звука в дифференциальной форме:

dh = ( - + — ) dp + ^ (р — ро) d ( -

2 VР Ро/

вместе с условием ее касания прямой Михельсона

dp p -Ро

í1) 1 1

w Р Po

= - K 2

Рис. 1. Схема, иллюстрирующая структуру слабой детонации: A — точка начального состояния; ABC — ударная адиабата Гюгонио; W — точка Вильямса, соответствующая условию Me = 1; KW — дозвуковая (My < Me < 1) ветвь равновесной адиабаты; P — точка Ч—Ж, соответствующая условию My = 1, не принадлежащая равновесной адиабате; PL — сверхзвуковая (1 < My < Me) ветвь равновесной адиабаты; AWC — прямая Михельсона, касающаяся равновесной адиабаты; CW — участок, соответствующий дозвуковой (My < Me < 1) зоне горения

Рис. 2. Схема, иллюстрирующая структуру сильной детонации: A — точка начального состояния; ABC — ударная адиабата Гюгонио; G — точка, соответствующая критической поверхности, где My = Me = 1; EGM — адиабата равных скоростей звука; PL — сверхзвуковая ветвь равновесной адиабаты; AGC — прямая Михельсона; CG — дозвуковая по отношению к замороженной и равновесной скоростям звука зона горения, заключенная между ударной волной и критической поверхностью; GL — сверхзвуковая область зоны горения

/1\ йр

Подставим (19) в (17), а затем, исключив — получим равенство (11г = —. С помощью данного

равенства, условия (19) и определения замороженной скорости звука в переменных р, Л, в\ запишем

d

уравнение (18) в форме

dp

d

2 2 2тТ2

= —p üf = р U .

Из этого соотношения следует условие М2 = 1, доказывающее утверждение. Применим полученные в общем виде результаты к анализу детонации в смеси совершенных газов, выяснив предварительно ограничения, накладываемые на модель популярным допущением о равенстве теплоемкостей компонентов смеси (срг = ср^ср) [1]. В этом случае уравнение состояния и его производные приводятся к виду

pcv

R{h + Qo + q

др\ =__P_

9ci)p,h ih + Qo + q

= 0.

Из (8) и (20) следует, что на КП имеет место сингулярная особенность, а дозвуковая зона горения детонации неустойчива по Ляпунову, так как в ней существует область, где нарушается условие (16). В этой области, примыкающей к КП, 1 > Mf и Ме > 1. Отсюда следует, что допущение о равенстве теплоем-костей компонентов смеси исключает существование решения для сильной детонации, сохраняя только решение для слабой детонации. В случае, когда не все теплоемкости компонентов смеси равны, уравнение состояния (6) приводится к квадратному уравнению относительно (с1 — сю), решения которого имеют вид

р. fh + Qo ¡3p q f-\

где

G =

1( h + Qo

p í

¡3p_ Rp

+ q V q (h + cP°p + > o то/ p\ p Rp moJ ^

Поскольку

\дР/ р,н \дс1/р,н О = 0. Иначе говоря, уравнение расщепляется на равенства

cí - cío

р Íh + Qp _ (Зр_ q \ 2q\ р Rp то J

G = 0.

Объединим (22) с первым уравнением системы (I). Затем, исключив Н, получим уравнение адиабаты равных скоростей звука (адиабаты экстремальных состояний) в форме

р_

po

р {В л/В2 - 4А2С\

ро

-п

2A2

.

Здесь

p_QR. л 2

~ ~ а ' Л ~

ро РР г _ Р | hp + Qo

mo

q

R

2p¡3 Ро

2poq

1 + — -1

Po

B = ГА —

R

2p¡3

1 + ^1+2^; PoJ в

l + С = Г2 —

р

4 hp + Qp p 2po / p0\ q rilo Poq V P )

2рв

Эта адиабата имеет две ветви — детонационную с вертикальной асимптотой в точке — =--1 и

\PoJ * R

дефлаграционную. В данной работе рассмотрена только детонационная ветвь, которая была рассчитана для чистого озона при нормальных начальных условиях. На рис. 2 изображена структура сильной детонации в плоскости (—,— ), включающая ударную адиабату (ABC), сверхзвуковую ветвь равновесной

V P PoJ

адиабаты (РЬ) и адиабату равных скоростей звука (ЕОМ). Для озона детонации 2 746 м/с.

4, а расчетная скорость

1

р

р

2

*

6. Проведенные исследования модифицированной модели ЗНД выявили возможность построения решений для двух типов самоподдерживающихся ДВ с устойчивыми по Ляпунову зонами горения — для слабой и сильной детонаций. При этом скорость слабой детонации относительно равновесного потока ПД, не зависящая от структуры волны, равна равновесной скорости звука. Сильная же детонация является недосжатой и распространяется в режиме Ч—Ж. Именно на этот режим выходят пересжатые детонационные волны и детонация с примыкающей волной разрежения. Отметим также, что предположение о равенстве теплоемкостей компонентов смеси или о том, что смесь является совершенным газом, ограничивает модель, исключая решение для сильной детонации.

Работа выполнена при поддержке МНТЦ, проект № 2992, и РФФИ, проект № 06-08-00029.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вильяме Ф.А. Теория горения. М: Наука, 1971 (Пер. с англ.: Williams F.A. Combustion Theory. London: Palo Alto, 1964).

2. Зельдович Я.Б. К теории распространения детонации в газообразных системах У У Журн. эксп. и теор. физ. 1940. 10, вып. 5. 542-568.

3. Neumann J. Theory of detonation waves У У Office of Scientific Research and Development Rept. 1942. N 549.

4. Daring W, Burkhard G. Contribution to the theory of detonation У У Techn. Rept. Wright-Patterson Air Force Base. Dayton, 1949.

5. Пухначев В.В. Об устойчивости детонации Чепмена-Жуге У У Докл. АН СССР. 1963. 139, № 4. 798-801.

6. Черный Г.Г. Асимптотический закон распространения плоской детонационной волны ^ Докл. АН СССР. 1967. 172, № 3. 559-560.

7. Левин В.А., Черный Г.Г. Асимптотические законы поведения детонационных волн У У Прикл. матем. и механ. 1967. 23, вып. 3. 393-401.

8. Гриб A.A. Влияние места инициирования на параметры воздушной ударной волны при детонации взрывчатых газовых смесей ^ Прикл. матем. и механ. 1944. S. 148-160.

9. Kirkwaad J.G., Waad W.W. Structure of a steady-state plane detonation wave with finite reaction rate ^ J. Chem. Phys. 1954. 22. 1915-1921.

10. Гендугов В.М. О скорости звука в реагирующей смеси газов ^ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 4. 51-53.

11. Тихонов А.Н., Быков В.И., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

12. Миркес Е.М., Быков В.И. О выпуклости термодинамических функций для неизотермических условий У У Журн. физ. хим. 1986. GO, № 3. 732-734.

Поступила в редакцию 11.12.2006