О минимальных схемах для линейных булевых функций

Краткие сообщения

УДК 519.95

О МИНИМАЛЬНЫХ СХЕМАХ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Ю. А. Комбаров1

Заметка посвящена реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х&су, х V у, ж}. Основным результатом является описание структуры всех минимальных схем, реализующих линейные булевы функции.

Ключевые слова: схема из функциональных элементов, линейная булева функция, минимальная схема, стандартный блок, стандартная редукция.

The paper is devoted to realization of linear Boolean functions by circuits of functional elements in the basis {x&cy,x V y,x}. The main result is a structure description of the minimal circuits realizing linear Boolean functions.

Key words: circuit of functional elements, linear Boolean function, minimal circuit, standard block, standard reduction.

Введение. Одними из наиболее изученных булевых функций с точки зрения их реализации схемами [1] являются линейные функции, представляемые в виде f (x\,... ,xn) = Со ф c\xi ф ... ф cnxn, где Ci = 0,1(i = 0, ...,n), а ф означает сложение по модулю два [2]. Важный результат был установлен еще в 1952 г. Кардо [3]: для реализации линейной булевой функции (существенно зависящей) от n переменных контактной схемой необходимо и достаточно 4n — 4 контактов. Дальнейшие исследования касались сложности реализации линейных функций схемами из функциональных элементов в различных функционально полных базисах. Под сложностью реализации L(f) булевой функции f в том или ином базисе, как правило, подразумевалось наименьшее возможное число функциональных элементов, достаточное для реализации функции f схемой в заданном базисе. Было установлено [4], что L(c ф xi ф ... ф xn) = 4n — 4 в базисе {ж&у, х V у, ж} и L(c ф Х\ ф ... ф хп) = 7п — 7 в базисах {ж&у, ж} , {ж V у, ж} (с — произвольная булева константа). Дальнейшие результаты в этом направлении: L(xi ф ... ф xn) = 4n — 4 в базисе {ж&у}[5]; L{xi ф ... фж п) — 4п — 4 в базисе {ж — у, ж} [6]; L{x\ Ф ... Ф хп Ф 1) — 4п — 4 при четных п и L(x\ ф ... Фж,г) = 4п — 4 при нечетных п в базисе {ж&у,ж} (см. [7]). В работах [4-7] устанавливается сложность реализации линейных функций, но не затрагивается вопрос об устройстве и структуре соответствующих минимальных схем. В заметке [8] для любого c Е {0,1} доказано, что L(cфxi ф.. .фxn) = 3n — 3 в базисе {ж^у,ж&у}, и, кроме того, устанавливается определенная блочная структура минимальных схем. Настоящая работа посвящена исследованию структуры минимальных схем для линейных функций в базисе {ж&у, ж V у, ж}.

Основные определения и формулировка результата. Будем рассматривать схемы из функциональных элементов в базисе Б = {x&y, х\/у,х}. Для схемы S через L(S) обозначим число функциональных элементов в S; число L(S) будем считать сложностью схемы S. Для произвольной булевой функции f положим L(f) = min L(S), где минимум берется по всем схемам (в рассматриваемом базисе), реализующим f. Если схема S реализует функцию f и L(S) = L(f), то эту схему будем считать минимальной (для рассматриваемой функции f). Схему, показанную на рис. 1, а, назовем стандартным блоком первого типа, а схему, показанную на рис. 1, б, — стандартным блоком второго типа; на этих рисунках через vi и V2 обозначены входы блоков, а через w — их выходы (используемые здесь определения схемы, входов и выходов схемы можно найти в книге [1]). Заметим, что на выходе стандартного блока первого типа реализуется сумма по модулю 2 функций, поданных на его входы, а на выходе стандартного блока второго типа реализуется отрицание такой суммы.

Рис. 1

1 Комбаров Юрий Анатольевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yuri.kombarov@gmail.com.

Будем говорить, что стандартный блок В (первого или второго типа) входит в схему Б правильно, если выход элемента Е\ (блока В) соединен в схеме Б только со входом элемента Е3 (этого блока), а выходы элементов Е2 и Е3 соединены только со входами элемента Е4. В работе доказывается следующая

Теорема 1. Любая .минимальная схема Б в базисе Б = {х&у, х\/у,х}, реализующая линейную булеву функцию Ф ••• Ф %и Ф с, где п ^ 2, а с €{0,1}, разбивается на п — 1 непересекающихся стандартных блоков, каждый из которых входит в Б правильно.

Теорема доказывается в предположении, что на входы (модифицированных) схем наряду с переменными Х\, ...,хп можно подавать еще и константы 0 и 1; нетрудно заметить (как это делается в работе [4]), что утверждение теоремы будет справедливо и для случая, когда на входы (обычных) схем разрешается подавать только переменные (в приведенной выше формулировке теоремы подразумеваются обычные схемы, но всякую обычную схему можно рассматривать и как некий частный случай модифицированной схемы, в которой входы элементов с "константными" входами схемы не соединяются).

Вспомогательные определения и утверждения. Стандартный блок В в схеме Б будем называть верхним, если он правильно входит в схему Б и его входы и г>2 являются двумя различными входами схемы Б, с которыми в Б соединены только входы соответствующих элементов из В.

Применительно к верхнему блоку В схемы Б введем операцию стандартной редукции, заключающуюся в том, что один из входов блока В (и схемы Б) отождествляется с выходом блока В и оставляется как вход редуцированной схемы Б' (получающейся из Б), а все остальные вершины (включая второй вход) и все элементы блока В удаляются из Б; типом блока В определяется и тип редукции. Несложно заметить, что из определения стандартной редукции вытекают следующие утверждения.

Лемма 1. Если схема Б реализует линейную функцию от п переменных и к ней применяется операция стандартной редукции, то 'редуцированная схема Б' реализует линейную функцию от п — 1 переменной.

Лемма 2. Если в редуцированную схему Б' правильно входят некоторые стандартные блоки В1,..., В^, то эти же блоки правильно входят и в исходную схему Б.

Схему, изображенную на рис. 2,а, назовем специальным блоком первого типа, а схему на рис. 2,б — специальным блоком второго типа. Заметим, что обе эти схемы имеют по 4 входа, на рис. 2 символами г1,г2 помечены входы блоков, которые мы будем называть главными.

а б

У] У]

Рис. 2

Применительно к схемам, реализующим линейные булевы функции и содержащим специальные блоки, введем операцию специальной редукции. Пусть схема Б реализует линейную функцию от п переменных и содержит специальный блок О (первого или второго типа). Под операцией специальной редукции (соответственно первого или второго типа) будем подразумевать всякое преобразование исходной схемы Б, при котором из Б удаляются все четыре элемента специального блока О и, быть может, изменяются соединения остающихся элементов так, что получающаяся из Б редуцированная схема Б' реализует линейную функцию от п — 1 переменной. Заметим, что если на главные входы специального блока подаются переменные (скажем, Х1 и Х2), то операция специальной редукции первого типа эквивалентна подстановке вместо Х1 нуля, а операция специальной редукции второго типа — подстановке вместо Х1 единицы.

Лемма 3 (основная). Всякая минимальная схема в базисе Б, реализующая линейную функцию Х1 Ф ... Ф Хп Ф с, где п ^ 2, а с €{0,1}, допускает операцию стандартной редукции хотя бы одного типа или операцию специальной редукции как первого, так и второго типов.

Доказательство леммы проводится при помощи метода забивающих констант, предложенного в [4] и использовавшегося также в работах [5-9]. Из-за своего значительного объема доказательство основной

леммы в настоящей заметке не приводится. Заметим еще, что при доказательстве теоремы 1 используется следующий установленный в статье [4] факт.

Теорема 2. Для любых n ^ 2 и с g{0, 1} верно 'равенство L(xi  ...  xn  c) = 4n — 4.

Доказательство теоремы 1. Пусть S*™" — произвольная минимальная схема, реализующая линейную функцию xi  ...  xn  с, где n ^ 2, c G{0,1}. По теореме 2 схема S™" содержит 4n — 4 элемента. В случае n = 2 нетрудно убедиться, что S™1" может быть только стандартным блоком. Далее будем считать, что n ^ 3. К схеме S^1" применим следующую процедуру пошаговой редукции. На i-м шаге, i = 1, 2,... ,n — 2, применим (если это возможно) к схеме S^^^+i операцию стандартной редукции (первого или второго типа), в результате которой получится некоторая минимальная схема S^f-", реализующая линейную булеву функцию от n — i переменных; если операция стандартной редукции невозможна, то выполняем операцию специальной редукции первого типа и получаем опять же некоторую минимальную схему Snü" для линейной функции от n — i переменных. Возможность выполнения указанной процедуры гарантируют основная лемма 3 (проведение операции редукции), лемма 1 и теорема 2 (получение после каждого шага процедуры минимальной схемы, реализующей линейную функцию).

Предположим, что на некоторых шагах описанной процедуры удалялись специальные блоки и последний специальный блок B был удален при переходе от S™n к Sj™". Поскольку при переходе от S™" к S™" удален специальный блок из четырех двухвходовых элементов, а далее на каждом шаге удаляли стандартный блок, содержащий ровно три двухвходовых элемента, и в "остатке" получили стандартный блок S™1", то в схеме S™1" должно быть 3k — 2 двухвходовых функциональных элемента и к — 2 инвертора. По лемме 3 в схеме Sj1" наряду со специальным блоком B первого типа выделим еще и специальный блок B' второго типа.

Пусть R™" — схема, которая получается (в результате операции специальной редукции второго типа согласно лемме 3) из Sj1" после удаления блока B'. Схема R™" реализует линейную функцию от к — 1 переменной, минимальна и содержит 3к — 6 двухвходовых элементов (на 4 элемента меньше, чем S™1"). Используя лемму 3, построим последовательность схем Rfi,...^™1". При каждом переходе (т.е. при каждой операции редукции) в этой последовательности из схемы удаляются три двухвходовых элемента при стандартной операции и четыре двухвходовых элемента при специальной операции и если выполняется хотя бы одна операция специальной редукции, то в схеме R™" должно быть более чем 3к — 6 двухвходовых элементов. Но R™1! содержит ровно 3к — 6 двухвходовых элементов, следовательно, при переходе от R™" к Rf), от R™" к R™" и т.д. удалялись только стандартные блоки (и в "остатке" остается стандартный блок R™1").

Предположим, что в схеме S™" содержится h стандартных блоков первого типа и соответственно к — 2 — h стандартных блоков второго типа. Тогда число конъюнкторов в ней равно h + к — 2. Это означает, что в Sj1" содержится h + к — 1 конъюнктор, а в R™!" содержится h + к — 4 конъюнктора. С другой стороны, если схема R™" содержит, скажем, h' стандартных блоков первого типа, то в ней h' + к — 2 конъюнктора. Получаем h + к — 4 = h' + к — 2, откуда следует, что h' = h — 2. Последнее равенство означает, что число стандартных блоков второго типа (реализующих x  y  1, т.е. эквивалентность) в схемах S™" и R™" отличается на 2, а поэтому эти схемы реализуют одну и ту же линейную функцию. Вместе с тем при удалении из S™" блока B на некоторый вход схемы S™" подается константа 0, а при удалении из S™" блока B' на тот же самый вход подается константа 1, но в таком случае схемы S™" и R™!" должны реализовывать различные функции. Получаем противоречие, исключающее наше исходное предположение о вхождении в процедуру хотя бы одной операции специальной редукции. Если же на каждом шаге процедуры удаляется стандартный блок, то в этом случае утверждение теоремы вытекает из леммы 2. Теорема 1 доказана.

В заключение приношу глубокую благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редькину.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 11-01-00508, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения", проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

3. Cardot C. Quelques rézultats sur l'application de l'algèbre de Boole a la synthèse des circuits a relais // Ann. Telecomm.

1952. 7, N 2. 75-84.

4. Редькин Н.П. Доказательство минимальности некоторых схем из функциональных элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 83-101.

5. Редькин Н.П. О минимальной реализации линейной функции схемой из функциональных элементов // Кибернетика. 1971. 6. 31-38.

6. Шкребела И.С. О сложности реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> у,х} // Дискретная математика. 2003. 15. 100-112.

7. Редькин Н.П. О минимальных и асимптотически минимальных схемах для некоторых индивидуальных булевых функций // Мат-лы IX Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения", посвященного 75-летию со дня рождения академика О.Б. Лупанова (Москва, 18-23 июня 2007 г.). М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ, 2007. 11-19.

8. Комбаров Ю.А. О минимальных реализациях линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> y,x&¿y} // Тр. VIII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Москва, 6-9 апреля 2009 г.). М.: МАКС Пресс, 2009. 145-149.

9. Редькин Н.П. О минимальной реализации двоичного сумматора // Проблемы кибернетики. Вып. 38. М.: Наука, 1981. 181-216.

Поступила в редакцию 07.02.2011

УДК 512.8

НОВЫЙ ПРИМЕР МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ С ДРОБНОЙ ЭКСПОНЕНТОЙ

С. С. Мищенко1

В статье доказано, что в случае поля нулевой характеристики многообразие, порожденное простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа W2, имеет дробную экспоненту.

Ключевые слова: бесконечномерная алгебра Ли картановского типа, тождество, рост коразмерностей, экспонента многообразия.

In the case of characteristic zero, the variety generated by a simple infinite-dimensional Lie algebra of Cartan type W2 has a fractional exponent.

Key words: infinite-dimensional Lie algebra of Cartan type, identity, growth of the codimen-sions, exponent of the variety.

Пусть V — многообразие линейных алгебр над полем Ф нулевой характеристики и F (V) — относительно свободная алгебра счетного ранга многообразия V, порожденная элементами Xi,X2,   . Так как характеристика основного поля равна нулю, многообразие V полностью задается своими полилинейными тождествами. Пусть Pn(V) — подпространство полилинейных одночленов от xi,...,xn в F(V). Обозначим cn(V) = dim Pn(V). Рост числовой последовательности cn(V) называют ростом многообразия V.

Для любого многообразия V, рост которого не выше экспоненциального, т.е. последовательность cn(V) мажорируется экспонентой an для подходящего а, существуют нижний и верхний пределы последовательности ycjy), которые называют нижней и верхней экспонентами многообразия V и обозначают EXP(V), EXP(V) соответственно. Если нижняя и верхняя экспоненты совпадают, то это число называют экспонентой многообразия V и обозначают EXP(V). Договоримся в случае отсутствия скобок считать, что они расставлены левонормированным способом, т.е. abcd = ((ab)c)d Все неопределяемые понятия можно найти в монографиях [1, 2].

В случае многообразий ассоциативных алгебр экспонента всегда является целым числом [3]. В общем случае в работе [4] для любого действительного а > 1 построен пример многообразия, экспонента которого равна а Впервые пример многообразия алгебр Ли с дробной экспонентой был построен более

1 Мищенко Сергей Сергеевич — асп. ф-та математики и информационных технологий Ульяновск. гос. ун-та, e-mail: eagle@simix.ru.