Операторная и вариационная постановки краевой задачи расчета трехмерной конструкции с кусочно-постоянными физикогеометрическими параметрами по основному направлению в рамках дискретно-континуального подхода

ВЕСТНИК 4/2Q11

ОПЕРАТОРНАЯ И ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТРЕХМЕРНОЙ КОНСТРУКЦИИ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ

В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДА

OPEARTIONAL AND VARIATIONAL FORMULATIONS OF BOUNDARY PROBLEM OF ANALYSIS OF THREE-DIMENSIONAL STRUCTURE WITH PIECEWISE-CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS IN BASIC DIRECTION WITHIN DISCRETE-CONTINUAL APPROACH

П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, B.H. Сидоров, А.Ю. Герман Pavel A. Akimov, Marina L. Mozgaleva, Vladimir N. Sidorov, Anna Yu. German

ГОУ ВПО МГСУ

Рассматриваются операторные и вариационные постановки краевой задачи о статическом расчете трехмерной конструкции с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по некоторому координатному направлению (так называемому основному направлению) в рамках дискретно-континуального подхода.

Operational and variational formulations of boundary problem of analysis of three-dimensional structure with piecewise-constant physical and geometrical parameters in so-called basic direction within discrete-continual approach are under consideration in the distinctive paper.

Введение.

В настоящей статье рассматриваются операторная и вариационная постановки краевой задачи о статическом расчете трехмерной конструкции в рамках дискретно-континуального подхода. В отличие от работ [3, 4] здесь допускается переменность физико-геометрических параметров объекта по основному направлению, в частности, исследуется случай их кусочного постоянства. В качестве расчетной модели конструкции принята трехмерная задача теории упругости [5, 6].

1. Некоторые предварительные обозначения.

Введем следующие обозначения: x3 - переменная, соответствующая основному направлению (т.е. направлению вдоль которого физико-геометрические характеристики конструкции изменяются кусочно-постоянно (заметим, что по переменным и x2 физико-геометрические характеристики конструкции могут изменяться произвольно)); Sn - область, занимаемая «поперечным» по отношению к основному направлению сечением конструкции (постоянно вдоль x3); l3 - длина конструкции по основному

направлению (х3 е [0, /3]); х3к, к = 1,..., пк - координаты сечений, в которых задаются

граничные условия (в частности, координаты сечений, где происходит «скачкообразное» (разрывы первого рода) изменение характеристик конструкции); 0.к, к = 1,..., пк -1 - соответствующие фрагменты, на которые разделяется объект,

пк = К^х3):

Гк, к = 1,..., пк -1 - соответствующие границы перечисленных фрагментов; вк =вк (х1, х2, х3) - характеристическая функция области 0.к; 8гк =5гк (х1, х2, х3) -дельта-функция границы Гк = д&.к [5, 6],

1, (x1, Х2, хз) еП к

в, (х,х.,х) = )„' V 2' К ъ $г ь(х,,х,х) = /дп, ; к 1 0, (х1,х2,х3) к; 1 2 3 к к

пк = [ пк1 пк2 пк3 ]т - вектор составляющих нормали к границе ; сок, к = 1,...,пк -1

- расширенные области, окаймляющие соответствующие фрагменты, в частности, например, можно выбрать

к = {Ор х2, хз): х1 ^^ х2 ^^ хз',к < хз < хз',к+1};

Ьк - оператор задачи в расширенной области а>к относительно перемещений на интервале (хзд, x3,k+1),

д'*Мк32 ^¡Дк^2 53&д2

53 52Дк53 5'А53

58 =5 / 5х5, 5* = -5 / 5х5, ^ = 1,2,3 ; Хк и Дк - параметры Ламе, определенные на расширенной области сок эйк и равны нулю вне ^к, т.е.

_ А = ЗА; мк = окмк;

¥к - соответствующий вектор правых частей на интервале (хьзк, х'к+1); ¥1 и - составляющие вектора правых частей по направлению оси Ох1 внутри и на границе области ; йк - вектор перемещений на интервале (х^к, х^к+1) с компонентами

3 " 1 0 0"

1к = X5 д. 0 1 0 +

7=1 0 0 1

дЛ д1 9 2 дЛд 3

д2Лкд! д2£кз2 52^к53 аа2 53А53

;

,(к) ) „(к).

«3, е„ - компоненты г.. тензора деформаций на интервале (х^, х^+1); ст

г«

- компоненты ст.тензора напряжений на интервале

Д = [ ^ ^Г ; 4 ^ ; «к = [ «;к)

«2к) «3к'Г ;

4к> = 0.5 • (5и(к) + 5«к>); <> = 5,\е(к> + .

2. Представление определяющего оператора краевой задачи с выделением основного направления.

Учитывая кусочно-постоянный характер изменения характеристик конструкции по основному направлению (вдоль х3), можем записать:

Ьк = 5 2 д 3 + 1к,ии, где 1к,т ьк ш - 1ки ; к,« =

Мк 0 0 " 0 0 д'Л

1к„ = 0 Мк 0 ; ^к и 0 0

0 0 Як + 2Дк _ 3 2Дк 0

^;

2

2 ' 1 0 0 " 3>*3, 0" з *ЛЗ! з*лз 2 0

Ь, д*. к ,ии ^^^ ]' к ] 0 1 0 + з >*з 2 0 + з ¡Л5! з *А5 2 0

1-1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Здесь Ь* % - сопряженный с Ьк т дифференциальный оператор, а Ькш - кососиммет-

ричный оператор.

Операторы (2.1)-(2.3) можно представить в виде разложений

Ь1- .... — Ь1- .„. 1 + Ь1- .„. т; ^

где

Ь , = 5,

* ,иу,1 1

= ЬКй ,1 + Ьк,„,2 > ьк = Ь, к ,ии к ,ии ,1,1 Н Ьк,„„, ,2 ^ Ьк,ии,2,1 + Ьк,ии,2,2,

' 0 0 X "0 0 0

0 0 0 Ьк ,т,2 = 3 2 0 0 К >

А 0 0 0 А 0

' 0 0 А "0 0 0 "

0 0 0 3, ; Ьк,vй,2 _ 0 0 А з 2;

А 0 0 0 К 0

Ь

к,ии,1,1 1

Л + 0 0 А 0 0

з* 0 А 0 з. Ьк,ии,2,2 З2 0 Л + тцк 0

0 0 А_ 0 0 А

" 0 К 0" " 0 А 0"

Ь ,,=д* к,ии,1,2 1 0 0 3 2 ; Ьк,ии,2,1 _ 3 2 Л 0 0 дх.

0 0 0 0 0 0

52;

3. Операторная постановка задачи с выделением основного направления.

Операторная постановка задачи имеет вид:

Ькйк = Кк,  е

Рассмотрим произвольное к -е уравнение системы (3.1). Учитывая (2.1), можем переписать его следующим образом:

- Ь, 82и, + Ь, д,й, + Ь, й, = К .

к ,уу 3 к к ,ыу 3 к к ,ии к к

Вводя обозначение

V = [ Vк> Vк> у3к>]г = [ дги?> дги?> дги?>]т =53йк = й[, переходим от (3.2) к уравнению

- Ьк^к + Ьк,иЛ + ЬкйЛ = Кк, где VI = д3^к. Объединяя (3.3)-(3.4), получим следующую систему:

~Е 0 " ик

0 Ьк,„

0

Е

Ьк Ь

к ,ии ки

Г«к " 0 " и'к

— или =

рк _

0

Ь-1 Ь.

k,vv к,ии

ь;1 ь.

к ,уу к ,и

Гик

[ук _ К„Кк

где Е - тождественный оператор. Окончательно имеем:

и;= ь*о к + s к

где Ьк =

ь; и

к,уу к,ии

Ш Ьк

; К =-

; ик =

; и:=д,ик =

дйк -_. -

ик

_з3ук _

0

0

и

к

V

к

Уравнения (3.6) следует дополнить граничными условиями, задаваемыми в сечениях с координатами х^, к = 1,..., пк. Эти граничные условия представимы в виде

хЬк -0) + Б1йк

ВЫ

где Бк, Б;, к = 2,..., пк -1, Б1+ и Б" - матрицы коэффициентов граничных условий, 4-го порядка; к = 2,..., пк -1, и - векторы правых частей граничных ус-

ловий, четырехмерные.

Объединяя (3.6), (3.8) и (3.9) получаем операторную постановку многоточечной краевой задачи с выделением основного направления:

и'к = -~кик + ~, х е_(х3к,х3к+1), к = п -1

б;^.^ -0) + Б+кик

ь

х3,1

'3,к ' 3,к+1 >

,ь

к к 3, к

БЫ!(х^,! + 0) + Б-иП1 _х(х' -0) = я; + .

4. Вариационная постановка задачи с выделением основного направления.

Непосредственно из операторной постановки задачи следует вариационная, определяемая функционалом

Пк-1

Ц

или с учетом (2.1) и (3.3) после преобразований получим

Цк (Щ , Ук ) = 0.5 • [(4,Л , ) + 2(Ьк ^к , Щ ) + (Ь^Щ , Щ )] ~ (^ , /к ) . (4.2) Функционал Лагранжа на каждом из фрагментов 0.к (к = 1,..., пк -1), как известно, имеет вид:

1

цк(Йк) = - ах - ик)аХ .

2

Принимая во внимание (1.7) и (3.3), можем записать

4к> = V«; С = 4> = 0.5 (д/к + 32«;к));

0

= С = 0.5• (а2м3к) + У2к>); 4к) = > = 0.5• (5/к) + у(к>) . (4.4) Подставляя (4.4) в (1.7), а полученные соотношения в (4.3), переписываем функционал соответствующий операторной формулировке в виде

Цк Ы) = 0.5 • (Ькик ,ик) - ,ик),

где

К =

^ =

Решением поставленной задачи является точка (функция) условного экстремума этого функционала с условием (3.3). Кроме того, разумеется, должны быть приняты во внимание граничные условия (3.8)-(3.9).

5. Об учете упругоподатливых опор.

При решении практических задач нередко имеют место случаи, когда на области 0.к, ее границе Гк или их частях заданы упругоподатливые опоры, непрерывные по основному направлению.

Вектор Як1 реактивных усилий, возникающих в опоре, имеет вид:

к

к

= [Я^Р = Скиы. где Ск., =

"к .,.1 0 0

0 0 ик,,1

к .1.2 0 п ик .,.2

0 ск ,1,3 _ ик ,1,3

;

Ск1 - матрица упругих характеристик опоры; йк1 - вектор перемещений опоры; ск.

- коэффициент отпора , -й опоры по направлению оси Ох..

Наличие упругоподатливых опор вносит корректировку в постановку (3.10) . а именно в формулу (3.7). В данном случае имеем:

с

где С =

Ь =

0 Е

Щ (ь. + с.) ь,

к.уу V к. ии к ' к.уу к.

ск , = ск, (х. х2. х3) - коэффициент отпора по направлению оси Ох1. 6. Задание некоторых типовых граничных условий.

Рассмотрим ниже задание некоторых стандартных типов граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению в форме (3.8)-(3.9) в произвольной граничной точке с координатой хь2 к. Возможно три основных варианта граничной

точки: 1) 1 < к < пк - промежуточная граничная точка; 2) к = 1 - крайняя левая (первая) граничная точка; 3) к = пк - крайняя правая (последняя) граничная точка.

Шарнирное закрепление.

Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия:

йк(Х1. Х2 . хз.к - 0) = 0 ; ик (х1. Х2. хз.к + 0) = 0 .

или в поэлементном виде

и ......ь

(х1. х2. х°к - 0) = 0. 1 = 1.2.3; и, (хг. х2. хь + 0) = 0. 1 = 1.2.3

откуда

Вк =

в; =

ёк ёк

Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:

Л (х1. х2. х\к + 0) = 0 .

или в поэлементном виде

и,(1)(х1.х2.хьг1 + 0) = 0. , = 1.2.3.

откуда

а первые три компоненты в векторах ё1 и ёп нулевые.

с

с

к .3

Для случая к = пк имеем следующие граничные условия:

-1( xl, Х2, х3л - 0) = 0,

откуда

БПк =

т.е. 0 0

^Пк-1)!

0 0 0 0 0 1

(Х1,х> - 0) = 0, I = 1,2,3,

0 0 0 0 0 0

а последние три компоненты в векторах и я нулевые. Свободный край.

Для случая к = 1 имеем следующие граничные условия:

х2,хь3к + 0) = 0; о-™

Учитывая формулы (1.7) и (3.3), можем записать:

г« - •

= = 2^к • 0.5 • (ЗХ4 + 3X4) =  (д/1 + О; = 2^ = 2Мк • 0.5 • (52и? + ди«) = ц,  (д2и? + у?);

< = 2^ = 2^ • 0.5 • (5X4 + 5и«) = ^ • (3X1

га) _ 3

= А (^ + + (Як + 2^ = А (ЗХ4 +3 2и") +

22

+ (Лк + 2цк ^и™ = Як Ди™ + 3 и>) + (Лк + 2цкК>. Следовательно, вместо (6.9) получаем:

>Ц ' ([ЗХЧ ](Х1, х2, хъъл + 0) + у?' (х1, х2, х^ + 0)) = 0 ; ц  ([32и31)](Х1,х2,хЬд + 0) + у21)(Х1,х2,хЬ,1 + 0)) = 0 ; лаах1^ Х1, х2, хЬ,1 + 0)+[5 2и21)]( Х1, х2, хЬ,1 + 0)) +

+ (Лх + 2^1)у^ (х1, х2, х3ь + 0) = 0,

т.е.

Б,+ =

0 0 м М 0 0

0 0 А5 2 0 М 0

ад 43 2 0 0 0 4 +

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

а первые три компоненты в векторах и я нулевые.

После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (6.16) становится числовой. Для случая к = пк аналогично имеем:

о-^ ~1)

Л Пк -1) 1

(xl, Х2, х1«к - 0) = 0;

-1)

Як-1 • ([^1иГ) ](х1, х2, Х3,Пк - 0) + У1(1) (х1, х2, Х3,Пк - 0)) = 0; Мпк-1 • ([д2и^](хх,Х2,х^ -0) + У21)(Х1,х2,х;л -0)) = 0;

,{Пк -1)

К-1 ([31и1 к" ' ](х1, х2 , х3 ,Пк - 0) + [32и1 " ' ](х1, х2, х3 ,Пк - 0)) +

+ (ЛЧ_1 + 2« _1)уГк-1)(х1,х2,хь -0) = 0

и

т.е.

в: =

0 0 0 0 0 0 "

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 Я Д пк -1 1 0 0 Я .5 2 пк -1 2 Я -А 2 0 Я -1 0 0 0 Я -> 0 0 0 Л , + 2ц , пк -1 -1 _

а последние три компоненты в векторах g1 и нулевые.

После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрица (6.21) становится числовой [1, 2].

Идеальный контакт.

Условия идеального контакта, как правило, задаются в поперечных по отношению к основному направлению сечениях, где происходят скачкообразные изменения физико-геометрических характеристик конструкции.

Для случая 1 < к < пк имеем следующие граничные условия:

^к-Л^ ^ х1л -0)=ик^ Х2, х1л+0);

Лк-1) /

(^ хз,к -0) = ^13)(^ хз,к+0);

*-(к-1) /

(х1, Х2, Х3,к - 0) = ^ (х1, Х2 , Х3,к + 0) ;

г<к"0/

ь

2' хз,к хь '"2' хз,к

ь

-2' хз,к ь

'2' ^3,к

После преобразований, аналогичных представленным выше, вместо (6.22)-(6.23) можем записать:

и\к*

цк- ([а^]^,х2,хЬ,к + 0) + у;к)(х1,х2,хЬк + 0))-

ь

2 х3,к

ь

2 х3,к

-Мк_1.([51и3к-1)](х1,х2,хь -0) + V;">(Х1,х2,хь -0)) = 0;

цк • ([52и3к> ](х, х2, х^ + 0) + > (х,, х2, х^ + 0)) -

-Мк_1 • ([52и3к-1)](Х1,х2,хЬк -0) + vГ)(Х1,х2,Х3Ьк -0)) = 0;

(к) (

'"2' ,"'3,к ' ' ^2^2 3,к

,<">1^ ^ ; сгя „<к-1)1

Як ([5и?> ](Х1, х2, хЬ,к + 0) + [52и2к) ](Х1, х2, хЬ,к + 0)) + + 2Ик )v3k> (Х1, х2, х3Ь, + 0) -

- Лк_1 ([5^-1» ](Х1, Х2, х3Ь,к - 0) - Лк_1 ([52и2к-1» ](Х1, Х2, х3Ь,к - 0) -

- (Л-1 + >3к"ЧХ1, Х2, хЬ,к - 0) = 0,

откуда

вк=-

1 0 0 0 0

А -А

в; =

0 1 0 0 0

Лк2

0 0 1

Мк-А Мк-1^ 2 0

0 0 1

Ик ^ Пк 3 2 0

0 0 0

Ик-1 0 0

0

0 0 0 0

Пк-1 0

х

0 0 0 0 0

ЛА Лк$2 g;= gk+= [0 0

А-1 + -1 00 0 0 0 0 0 0 Ик 0 0 0 Пк 0 0 0 Як + 2д

0 0 0 0 ]г.

4/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ

После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода конечных элементов матрицы (6.28) и (6.29) становятся числовыми [1, 2].

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.

2. Грант 2.3.9 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).

Литература

1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №1, 2011, с. 11-16.

2. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28.

3. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.

4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.

5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Издательство Мир, 1975. - 872 с.

6. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Издательство Наука, 1981. - 688 с.

References

1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of First-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #1, 2011, pp. 11-16 (in Russian).

2. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).

3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).

4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).

5. Nowacki W. Theory of Elasticity. Moscow, "Mir", 1975, 872 pages (in Russian).

6. Parton V.Z., Perlin P.I. Methods of Mathematical Theory of Elasticity. Moscow, "Nauka", 1981, 688 pages (in Russian).

Ключевые слова: краевая задача, операторная постановка, вариационная постановка, статический расчет, трехмерная конструкция, дискретно-континуальный подход, метод расширенной области

ВЕСТНИК 4/2011

Keywords: boundary problem, operational formulation, variational formulation, static analysis, three-dimensional structure, discrete-continual approach, method of extended domain

Авторы:

1. Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: pavel.akimov@gmail.com.

2. Мозгалева Марина Леонидовна, кандидат технических наук, доцент, профессор (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-5994; e-mail: marina.mozgaleva@gmail.com.

3. Сидоров Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: sidorov.vladimir@gmail.com.

4. Герман Анна Юрьевна, аспирант (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: ipm@mgsu.ru.

Рецензент: Белостоцкий A.M., профессор, д.т.н., генеральный директор ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО»