Преобразование продольной волны деформации на границе сопряжения стержней с упругим элементом

УДК 539.3

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ НА ГРАНИЦЕ СОПРЯЖЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ С УПРУГИМ ЭЛЕМЕНТОМ

© 2011 В. К. Манжосов, И. А. Новикова

ГОУ ВПО «Ульяновский государственный технический университет»

Рассмотрен процесс преобразования продольной волны деформации на границе разнородных стержней с линейным упругим элементом. Изложена процедура численного расчета процесса преобразования волны деформации в стержневой системе. Результаты моделирования сопоставлены с аналитическим решением для тестовой задачи.

Волна деформации, преобразование волны деформации, трансформация волны деформации, сопряжение стержней, стержневая система, моделирование.

Введение

При нанесении продольного удара по стержневой системе в последней формируется распространяющаяся волна деформации [1, 2]. Если в стержневой системе имеются сопряжения разнородных участков, то на границе сопряжения возникают процессы, связанные с отражением и трансформацией волн. Эти процессы наиболее изучены для идеальных границ, когда сопряженные сечения участков имеют одинаковые перемещения и скорости [3, 4], а трансформация волн связана лишь с разной площадью поперечных сечений сопрягаемых участков и различием физико-механических свойств материалов этих участков.

Менее изучены процессы преобразования волн деформаций в стержневой системе, имеющей такие сопряжения, когда перемещения сопряжённых сечений различны из-за наличия между ними промежуточных деформируемых тел. Из известных работ можно отметить исследования Алпеевой В. А. [2], Манжосова В. К., Новиковой И. Н. [5, 6], Саруева Л. А., Слистина А. П., Авдеевой А. И. [7, 8].

1. Постановка задачи

В данной работе представлены результаты моделирования процесса преобразования продольной волны деформации с убывающей интенсивностью на границе разнородных стержней с линейным упру-

гим элементом. Схема стержневой системы изображена на рис. 1.

Рис. 1. Схема стержневой системы при падающей волне деформации:

1, 2 - стержни системы; 3 - упругий элемент

Два разнородных стержня в сечении х = 0 разделены упругим элементом с жёсткостью к . На границу х = 0 со стороны стержня 1 падает прямая волна, описываемая функцией / (а^- х), где а1 -скорость распространения волны в стержне 1. Требуется определить формируемую

в сечении х = 0 прямую волну /2 (а2^ - х), распространяющуюся в направлении оси х по стержню 2 (а2 - скорость распространения волны в стержне 2), и обратную волну (р1 (а1ї + х), распространяющуюся по стержню 1 в обратном направлении.

Полагаем, что на процесс прохождения волны через упругий элемент граничные условия на левом конце первого стержня и на правом конце второго стержня не оказывают влияния, т. е. стержни являются полуограниченными. Начало координат совмещено с положением упругого элемента.

Движение поперечных сечений рассматриваемой динамической системы описывается волновыми уравнениями

Э2ul(x,t) 1 Э2и1(x,t) _0

Эx2 а2 Эt2 _ ’

Э2u2(x, t) 1 Э2и2(x, t) _ 0

Эx2 от Э*2 _ ’

где и1(x, г), м2(х, t) - перемещения сечений соответственно 1-го и 2-го стержней, а1, а2 - скорости распространения волн деформаций в стержнях.

Начальное состояние системы описывается равенствами: при г _ О и1

Эи1

Эг Эг

Граничные условия рассматриваемой динамической системы имеют вид: для х _ 0

ЕАШй _ Эи^сад,

1 1 2 2 "ч 5 \ у

Эх Эх

ЕЛ __4[„1

Эх

для х _ -¥

Еа1 Эи1(_”’г) _ 0,

11-4 ’

Эх

E2 a = 0

Эх

где

к - жёсткость упругого элемента;

Е1, Е2 - модули упругости материалов стержней;

А1, А2 - площади поперечных сечений

стержней.

Продольная деформация в сечении для х= 0 Эи1

Эх

: - f1

^^(М = - f’2(a2t - 0). Эх

Используя формулы (9) и (10) в граничных условиях (5) и (6) и полагая, что

при г _ 0 перемещения сечений х _ 0 в стержнях равны нулю, получим

'2^±2

E A

f2(a2t)+f1,(ait),

f2

E2 A2 • Г'

E2 A2

где

r=EA _a_

- отношение волновых

а2 Е2 А2

сопротивлений стержня 1 и стержня 2.

Из формулы (12) при дифференцировании по г имеем

/Да2?) _ _ к}\+1) /2

E2 А2 • r '

E2 A2 a2

2. Построение решения

Решение дифференциального уравнения (13) строится методом последовательных приближений. Учитывая, что

г

а2/2(а2г) _ а2/2,0 + |а22/Д а2г) Ж,

г0

а также выражения

Л'/ = /2,0 + a2 J

t0 E2 A2

2 ^ /;-

a0

i+1

/;,-i

где

f'0 - значение функции f2/(a2t) при

t = 10, i = 1, 2, 3, ... - число последовательных приближений.

Аппроксимируем падающую волну /1 ступенчатыми участками постоянной интенсивности. На рассматриваемом малом интервале времени

/1= const. В результате приходим к выражению

fL = Л',0 +

2’° E2 А2 2

2 ^ f / f1+11 f2;i-1

а2 r V /

At,

где At = t - t0 .

к

Число последовательных приближений / _ 1, 2, 3,... определяется выполнением неравенства

/2л _ /2л _1

<

А/,

2,і

где

к - отношение жёсткости упругого элемента к продольной жёсткости стержня 2 длиной А1.

Используя введённые обозначения, преобразуем выражение (14): к

А/ - относительная величина, характеризующая степень приближения.

После того, как будет найдено значение /2, используя (11), находим

ИЧа1г) _ _^/,2(а2г) + /1(а1г) .

Е1А1

Рассмотрим случай, когда изменение падающей волны /1/(а1г _ 0) описывается линейной функцией с отрицательным угловым коэффициентом (волна имеет треугольную форму):

е 0

Е2 А2

-а2 •Аі = к • Т-АіГ.

/' _ /2% + к • ?•

2 ^ /1' -

а,,

Ям

Аі •

/ГЦі) =

£„ --?-• і, 0 < і < Т,

Т

3. Результаты расчёта

Осуществлена реализация предложенного алгоритма при моделировании процесса преобразования продольной волны на границе разнородных участков стержней, разделённых линейным упругим элементом. Результаты моделирования сопоставлены с результатами расчёта по аналитической зависимости, полученной в работе[6]:

0,

1 - -, Т

0,

0 <-< 1, Т

/2(а2г) =

' 2 V 2

2г а1

г +1 а2

1 + -

(г +1)  Т  к

— > 1, Т

0 <-< 1;

Т

где

е0 - максимальное значение модуля /2'(а2і) = /2'(а2Т) • ехр

деформации в падающей волне;

Т - длительность действия падающей волны /1(а1г); г - время.

Формулу (14) представим в безразмерных величинах параметров:

(г +1) • к • Т

Т

-1

-> 1.

Т

В табл. 1 представлены результаты расчёта параметров трансформированной

волны //(а2г) по формулам (15), (16).

& _ /2,0 +

к

е2 а

1 + -г

V У

/%2 ,і

/2,і /2,0

', /2,0 _ _ , /2,і-1

Я-1

/2'і-!

е 0

е 0

к% _

Обозначим к •АІ

е2 а

Т _

т_

АТ

Аі

А% _ —, Т

где

А/ - единица длины стержня 2,

АТ _ А/ / а2 - время, в течение которого волна // (а2г _ х) пройдёт расстояние А/;

0

е

0

Таблица 1. Результаты расчёта параметров трансформированной волны /2

Время, г / Т Падающая волна, ДаО Трансформированная волна /2

Расчёт по формулам (15), (16) Моделирование Расчёт по формулам (15), (16) Моделирование

к = 1 к = 2

0 1,0 0 0 0 0

0,1 0,9 0,172 0,169 0,312 0,305

0,2 0,8 0,294 0,290 0,488 0,480

0,3 0,7 0,376 0,372 0,573 0,565

0,4 0,6 0,426 0,421 0,597 0,590

0,5 0,5 0,448 0,443 0,581 0,574

0,6 0,4 0,448 0,443 0,536 0,531

0,7 0,3 0,430 0,425 0,474 0,470

0,8 0,2 0,397 0,392 0,399 0,396

0,9 0,1 0,352 0,348 0,316 0,314

1,0 0 0,297 0,293 0,227 0,225

1.1 0 0,243 0,240 0,152 0,152

1,2 0 0,199 0,197 0,102 0,102

1,3 0 0,163 0,162 0,0684 0,0694

1,4 0 0,133 0,133 0,0458 0,0469

1,5 0 0,109 0,109 0,0307 0,0317

1,6 0 0,089 0,089 0,0206 0,0214

1,7 0 0,073 0,073 0,0138 0,0144

1,8 0 0,060 0,06 0,0092 0,0097

1,9 0 0,049 0,049 0,0062 0,0066

2,0 0 0,04 0,04 0,0041 0,0044

При моделировании строились диа- - скорости распространения волн

граммы падающей волны %, сформиро- а1 = а2;

ванной в сечении х = 0 прямой волны /2' - отношение жёсткости упруг°г° эле-

мента к продольной жёсткости единицы

и обратной волны л . Отдельные диа-

„ длины стержня 2 к е (1, 2, 4, 5, 6, 8, 10).

граммы представлены на рис. 2 для следующих параметров стержневой системы:

- падающая волна треугольной формы длительностью Т = 1,

- отношение волновых сопротивлений г= 1,

а) диаграмма волны % при г = 0

б) диаграммы волн %, %, ф[ при 0 < г < Т

в) диаграммы волн %, ф[ при г = Т

%' ф' г = 2Т

г) диаграммы волн 2 , 1 при

Рис. 2. Диаграммы прямых волн И, к и обратной волны ф[

На рис. 3 представлены диаграм- относительной жёсткости к. Относительное

р _ , / ГГт

мы падающей % и трансформирован- время Г =г /1 . ной % волн для различных значений

к = 1

к = 2

к = 4

£

к = 6

к = 8

Рис. 3. Диаграммы волн Ки К для различных значений жесткости к

Анализ полученных диаграмм показывает, что трансформация волны более существенна при меньших значениях жёсткости упругого элемента к .

Обратимся к формулам (15), (16).

г

имеют равные волновые сопротивления, то при к  ¥

При к ¥ слагаемые

(г +1)-Т • к

0

К(а2г) = _%2(а2г) = 0,

1 - — Т

= ,//(а1г- 0)  г

0 <-< 1; Т

Т

> 1.

и ехр

г +1

\

• к • Т • —

г Т

для расчёта /2(а2г) принимают вид

2г а

./;/(а2г) =

г +1 а2

0 <-< 1;

Т

Т

>1 .

Полученные формулы описывают формируемую в стержне 2 волну деформации в случае идеального сопряжения стержней. Если стержни изготовлены из одного материала (а1 = а2) и

Это означает, что при к ¥ прошедшая в стержень 2 волна деформации

//(а2г - 0) полностью воспроизводит падающую волну /[/а^г -0) .

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» (2009-2013 гг.), ГК № П1122.

Библиографический список

1. Алимов, О. Д. Распространение волн

деформаций в ударных системах [Текст] / О. Д. Алимов, В. К. Манжосов,

В. Э. Еремьянц - М.: Наука, 1985. - 354 с.

г

2. Алпеева, В. А. Возбуждение и

преобразование волн деформаций в ударных системах машин для испытаний изделий [Текст] / В. А. Алпеева // дисс.... канд. техн. наук. - Фрунзе: ФПИ, 1990. - 281 с.

3. Дворников Л. Т., Жуков И. А. Продольный удар полукатеноидальным бойком. - Новокузнецк. -2006. - 80 с.

4. Малков О. Б. Динамика стержневых систем с внутренними граничными поверхностями. - Омск, 2000. - 112 с.

5. Манжосов В. К. Продольный удар. - Ульяновск: 2006.- 358 с.

6. Манжосов В. К., Новикова И. А. Преобразование волны деформации ли-

нейной формы на границе сопряжения стержней с упругим элементом // Вестник УлГТУ. 2008. - № 3.С. 35 - 48.

7. Саруев Л. А. Передача энергии по ставу штанг при продольном импульсном воздействии / Л. А. Саруев, А. П. Слистин, А. И. Авдеева. - Томск, 1995. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.11.95, № 3164-В95.

8. Слистин А. П. Расчет параметров процесса передачи продольного ударного воздействия по стержням: автореф. дисс. канд. техн. наук / А. П. Слистин // Томск, 1990. - 18 с.

TRANSFORMATION OF LONGITUDINAL DEFORMATION WAVE AT THE BOUNDARY OF CONJUGATION OF BARS WITH AN ELASTIC ELEMENT

© 2011 V. K. Manzhosov, I. A. Novikova Ulyanovsk State Technical University

The paper deals with the process of transformation of longitudinal deformation wave at the boundary of heterogeneous bars with a linear elastic element. The procedure of numerical computation of deformation wave transformation process in a bar system is presented. The results of modeling are compared with the analytical solution for a test problem.

Deformation wave, deformation wave variation, transformation of deformation wave, conjugation of bars, bar system, modeling.

Информация об авторах

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика». Ульяновский государственный технический университет. Область научных интересов: динамика механических систем переменной структуры, продольный удар в стержневых системах, преобразование продольных волн деформаций в механических волноводах. E-mail: tpm@ulstu.ru;

v.manjosov@ulstu.ru.

Новикова Ирина Александровна, старший преподаватель кафедры «Измерительно-вычислительные комплексы». Ульяновский государственный технический университет. Область научных интересов: продольный удар в стержневых системах неоднородной структуры, преобразование волн деформации при продольном ударе. E-mail: nia@ulstu.ru.

Manzhosov Vladimir Kuzmich, doctor of technical sciences, professor, head of the department “Theoretical and applied mechanics”, Ulyanovsk State Technical University, tpm@ulstu.ru, v.manjosov@ulstu.ru. Area of research: dynamics of mechanical systems of variable structure, longitudinal impact in bar systems, transformation of longitudinal deformation waves in mechanical waveguides.

Novikova Irina Alexandrovna, senior lecturer of the department “Measuring-computing complexes”, Ulyanovsk State Technical University, nia@ulstu.ru. Area of research: longitudinal impact in bar systems of heterogeneous structure, transformation of deformation waves under a longitudinal impact.