Разработка и применение моделей дискретной оптимизации при формировании тестов по информатике

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 173-175.

УДК 519.8

А.А. Колоколов, Л.В. Ларина

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ТЕСТОВ ПО ИНФОРМАТИКЕ

Представлен подход к компьютерному тестированию знаний студентов, основанный на использовании задач и методов дискретной оптимизации. Предлагаются математические модели для решения задачи построения оптимального теста, возникающей при контроле знаний по дисциплине «Информатика». Приводятся результаты экспериментальных исследований по этим моделям.

Ключевые слова: модели дискретной оптимизации, разработка теститующих систем, компьютерное тестирование.

Введение

В настоящее время во многих учебных заведениях широко используются рейтинговые системы оценки знаний студента, которые являются важной составляющей новых образовательных технологий и направлены на повышение эффективности процесса обучения. Рейтинговые системы применяются с целью формирования личностноориентированного процесса обучения, стимулирования регулярной работы студентов, раскрытия их творческих способностей. Такие системы способствуют развитию целостного представления об учебной дисциплине и её межпредметных связях, создают основу для построения новой системы оценки качества знаний.

Использование рейтинговых систем повышает объективность, достоверность и «прозрачность» оценки уровня подготовки студентов. Для получения рейтинговой оценки необходимо пройти несколько этапов контроля (текушдй, промежуточный, рубежный, итоговый), каждый из которых проводится с целью систематической проверки и оценки уровня знаний и практических навыков студента. Наиболее популярной формой промежуточного и рубежного контроля является тестирование, позволяющее дать объективную оценку знаний студентов по изучаемой дисциплине, снизить неоднородность предъявляемых требований и повысить производительность труда преподавателя [4; 5; 9].

Перспективным направлением в данной области является развитие и использование систем компьютерного тестирования, которые позволяют существенно сокращать затраты времени при обработке результатов, формировать базы данных об успеваемости, проводить математическую обработку результатов, обладают рядом других преимуществ по сравнению с традиционным подходом. В отличие от контроля в форме опроса, устного экзамена или зачета, который требует много времени, компьютерное тестирование проводится для студентов всей группы или подгруппы одновременно, тем самым направляя учебный процесс в сторону усиления самостоятельной работы студентов. Именно с помощью компьютерных технологий и заданий в тестовой форме можно создать современные обучающие и тестирующие системы.

© А А. Колоколов, Л.В. Ларина, 2011

174

А.А. Колоколов, Л.В. Ларина

Важное место в разработке тестирующих систем занимает задача формирования оптимального теста, состоящая в отыскании набора вопросов (заданий), который «проверяет» все элементы знаний рассматриваемой дисциплины и является наилучшим с точки зрения определенных критериев. Подбор указанных заданий в рамках традиционной технологии выполняется эмпирически на основе знаний и опыта преподавателя. Вместе с тем для решения этой задачи могут быть применены математические модели и методы.

В Омском филиале Института математики им. Соболева СО РАН и Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского развивается подход к построению систем компьютерного тестирования знаний студентов, основанный на использовании дискретной оптимизации [3; 4; 6-8]. В случае обязательной проверки всех элементов знаний некоторой дисциплины формирование оптимального теста сводится к решению известной задачи о наименьшем покрытии множества или её обобщений [2].

В настоящее время создается тестирующая система для дисциплины «Экономико-математические методы», проводится апробация указанной разработки в учебном процессе, ориентированном на студентов экономического факультета ОмГУ [3; 4]. Кроме того, указанный подход используется для контроля знаний студентов по дисциплине «Информатика» на юридическом факультете этого же университета [6-8].

В данной работе построены модели дискретной оптимизации для решения задачи формирования оптимального теста по учебному курсу, содержащему разделы «MS Excel» и «MS Word», проведены экспериментальные исследования, которые указывают на перспективность рассматриваемого подхода.

Постановка задачи

и математические модели

Дадим математическую постановку задачи. Пусть n - число вопросов, на основе которых формируется тест, m - число элементов знаний рассматриваемой дисциплины. Построим двудольный граф G = (V, W,E) с множествами вершин V = {v1,...,vn}, W = {w1,...,wm} и множеством дуг E е {(vj,w): i = 1,...,m; j = 1,...,n}; вершина vj соответствует вопросу j, а вершина Wj отвечает элементу знаний i, i = 1,...,m; j = 1,...n; V- множество вопросов, W- мно-

жество элементов знаний (см. рис.). Дуга (у,-,^) принадлежит множеству Е, если вопрос У проверяет элемент знаний I

V W

Вопросы Элементы знаний

Граф в =

Подмножество вершин V ^ V называется покрытием, если для любой вершины из V в множестве Е найдется входящая в нее дуга с началом в некоторой вершине множества V. Предположим, что заданы числа с,> 0 (оценка в баллах }-го вопроса),, = 1,..,П и а - число вопросов в тесте. Требуется найти покрытие, имеющее максимальную суммарную оценку и состоящее из а вершин (вопросов).

Для решения сформулированной задачи используется следующая модель целочисленного линейного программирования (ЦЛП). Введем обозначения:

А - булева (m х n) - матрица с коэффициентами

I Г1, если вопрос j проверяет элемент i,

щ H [_0, иначе;

переменные модели:

I 1, если вопрос j включается в тест,

^ H [_0, иначе;

j=1 ,...,n.

Модель ЦЛП имеет вид:

Zcjxj ^ max

j=1

при условиях:

n

Z ajxj ^ bi >1 = 1>-> m

j=i

n

Z xj = а>

j=i

Разработка и применение моделей дискретной оптимизации

175

Xj £{0,1}, j = 1,...,n.

Целевая функция (1) состоит в максимизации суммарной оценки теста, ограничения (2) обеспечивают проверку i-го элемента знаний не менее bi раз, i = 1,...,m, условие (3) - требование включения в тест a вопросов. Значения b преподаватель может устанавливать отдельно для каждого элемента i в зависимости от его важности. Для решения задачи (1)-(4) могут применяться различные пакеты ЦЛП.

Следует отметить, что ранее нами были построены и апробированы некоторые другие модели, в частности в работе [6] использовалась задача следующего вида:

n

I xj ^ min

j=1

при ограничениях (2), (4). Целевая функция (5) означает минимизацию числа вопросов, включаемых в тест.

Результаты вычислительного

эксперимента

Ранее в работе [6] в соответствии со стандартом курса «Информатика» нами было сформировано множество из 30 элементов знаний раздела «MS Excel» указанной дисциплины. Расчеты, проведенные на основе модели (2), (4), (5), показали, что число включаемых в тест вопросов может быть заметно сокращено по сравнению с существующей практикой (ранее использовался тест из 25 вопросов). В случае bi = 1, i = 1,...,m, получено 6 вариантов теста, включавших по 9 вопросов. При увеличении коэффициентов bi по желанию преподавателя число вопросов в тесте возрастало до 13-15.

С целью апробации модели (1)-(4) были проведены вычислительные эксперименты с различными значениями a, позволившие получить более широкое множество тестов по сравнению с работой [6]. Следует отметить, что для ряда элементов знаний встречалось небольшое число вопросов, с помощью которых они проверялись, поэтому многие из таких вопросов часто входили в оптимальное решение.

Кроме того, были построены такого же типа математические модели и проведены расчеты для раздела «MS Word». В этом эксперименте множество элементов знаний состояло из 17 элементов, а число включаемых в тест вопросов сократилось с 25 до 7. При увеличении значений bi число вопросов в тесте возрастало до 1012. Поиск наилучших значений параметра a для рассматриваемой дисциплины

предполагается продолжить в дальнейших исследованиях.

Расчеты проводились с помощью программы ЦЛП, разработанной в лаборатории дискретной оптимизации ОФ ИМ СО РАН. Экспериментальные исследования показали, что развиваемый подход является достаточно перспективным для создания компьютерной тестирующей системы по дисциплине «Информатика». В дальнейшем предполагается совершенствование полученных математических моделей, их применение к другим разделам указанного курса. Планируется создание компьютерной системы контроля знаний студентов по рассматриваемой дисциплине, разработка алгоритмов и создание программного обеспечения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Емеличев В. А, Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, оптимизация. - М. : Наука, 1981. - 344 с.

[2] Еремеев А. В., Заозерская Л. А, Колоколов А. А. Задачи о покрытии и их приложения // Вычислительные методы и решение оптимизационных задач : материалы междунар. семинара. Новосибирск : ИВМ и МГ СО РАН, 2004. С. 70-76.

[3] Заозерская Л. А, Колоколов А. А, Планкова В. А. Разработка алгоритмов перебора 1_-классов для одной задачи компьютерного тестирования // Ом. науч. вестник. 2008. № 1. С. 12-14.

[4] Заозерская Л. А., Планкова В. А. Применение моделей дискретной оптимизации для разработки автоматизированной системы контроля знаний // Вестн. НГУ. Серия «Информационные технологии». 2008. Т. 6. Вып. 1. С. 47-52.

[5] Калугин К. Х, Щербаков С. М. Компьютерная система тестирования знаний как компонент информационной научно-образовательной среды вуза // Вестн. Академии. 2005. № 1 (20). С. 61-66.

[6] Колоколов А. А., Ларина Л. В. Формирование проверочных тестов по информатике с использованием дискретной оптимизации // Применение новых технологий в образовании : материалы XIX Междунар. конф. Троицк : МОО фонд новых технологий в образовании «Байтик», 2008. С. 326-327.

[7] Колоколов А. А, Ларина Л. В. Применение дискретной оптимизации для решения задач формирования тестов // Единая образовательная информационная среда: проблемы и пути развития : материалы VII Междунар. науч.-практ. конф.-выставки. Томск : Дельтаплан ; Омск, 2008. С. 118-119.

[8] Ларина Л. В. Применение дискретной оптимизации для решения задач формирования тестов по информатике // Проблемы оптимизации и экономические приложения : материалы IV Всеросс. конф. Ом. филиал Ин-та математики им. Соболева СО РАН. Омск : Полиграф. центр КАН, 2009. С. 228.

[9] Тягунова Т. Н. Культура компьютерного тестирования. Культура проектирования тестового задания : монография. М. : МгУП, 2006. 300 с.