Особенности дискретизации и восстановления сигналов в нелинейных системах

УДК 681.5.015

doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-6

Особенности дискретизации и восстановления сигналов в нелинейных системах

М. А. Щербаков

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия mashcherbakov@yandex.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Цифровая обработка сигналов предполагает дискретизацию непрерывных сигналов. В отличие от линейных систем, выполнение данной операции в нелинейных системах имеет ряд особенностей, связанных с расширением спектра выходного сигнала. Целью настоящей работы является исследование дискретизации сигналов в нелинейных системах при решении задач моделирования динамики системы и восстановления выходного сигнала. Материалы и методы. Рассматривается класс нелинейных систем, определяемых разложением Вольтерра. Для цифрового моделирования поведения системы используются дискретные нелинейные фильтры. Используется спектральное представление нелинейных систем через многомерные характеристики (ядра) в частотной области. Результаты и выводы. Выбор частоты дискретизации в нелинейных системах определяется типом решаемой задачи. При этом выделяются задачи идентификации динамических характеристик системы и восстановления выходного сигнала системы. Для линейного случая данные задачи тождественны, и их решение достигается выбором частоты дискретизации входного сигнала в соответствии с теоремой Котельникова. Показано, что эффект расширения спектра выходного сигнала накладывает различные требования к выбору частоты дискретизации при решении задач идентификации и восстановления выходного сигнала в нелинейных системах.

Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, нелинейная фильтрация, дискретизация сигналов, полиномиальные фильтры, ряды Вольтерра, спектр сигнала

Для цитирования: Щербаков М. А. Особенности дискретизации и восстановления сигналов в нелинейных системах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2023. № 4. С. 59-69. doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-6

Features of signal sampling and reconstruction in nonlinear systems

M.A. Shcherbakov

Penza State University, Penza, Russia mashcherbakov@yandex.ru

Abstract. Background. Digital signal processing involves sampling continuous signals. Unlike linear systems, performing this operation in nonlinear systems has a number of features associated with expanding the spectrum of the output signal. The purpose of this research is to study the sampling of signals in nonlinear systems when solving problems of modeling the dynamics of the system and restoring the output signal. Materials and methods. A class of nonlinear systems defined by the Volterra expansion is considered. Discrete nonlinear filters are used to digitally simulate system behavior. The spectral representation of nonlinear systems through multidimensional characteristics (kernels) in the frequency domain is used. Results and conclusions. The choice of sampling frequency in nonlinear systems is determined by the type of problem being solved. At the same time, the tasks of

© Щербаков М. А., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

identifying the dynamic characteristics of the system and restoring the output signal of the system are highlighted. For the linear case, these problems are identical and their solution is achieved by choosing the sampling frequency of the input signal in accordance with Ko-telnikov's theorem. It is shown that the effect of expanding the spectrum of the output signal imposes different requirements on the choice of sampling frequency when solving problems of identifying and restoring the output signal in nonlinear systems. Keywords: digital signal processing, nonlinear filtering, signal sampling, polynomial filters, Volterra series, signal spectrum

For citation: Shcherbakov M.A. Features of signal sampling and reconstruction in nonlinear systems. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2023;(4):59-69. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3059-2023-4-6

Введение

В последнее время в области цифровой обработки сигналов все шире начинают применяться цифровые нелинейные фильтры [1-3]. Причиной их использования является то, что традиционная линейная обработка сигналов не всегда приводит к приемлемым результатам на практике. В частности, необходимость использования нелинейной обработки сигналов возникает в задачах фильтрации и обнаружения сигналов при наличии мультипликативных шумов, плотность распределения которых отлична от гауссовой [1]. Известны также многочисленные примеры использования нелинейных фильтров для моделирования и идентификации сложных систем [4], управления нелинейными объектами [5], обработки сигналов и изображений [2, 6], моделирования физиологических систем [7].

Применение цифровой нелинейной фильтрации для обработки непрерывных сигналов сопряжено с их предварительной дискретизацией и последующим восстановлением. В связи с этим целесообразно рассмотреть особенности выполнения данных операций в нелинейных системах, связанные с расширением спектра входного сигнала, а также сформулировать требования к выбору частоты дискретизации в зависимости от типа решаемой задачи.

Для наглядности ограничимся рассмотрением класса одномерных нелинейных систем S. Пусть имеется непрерывная система с нелинейностью степени M, допускающая представление в виде отрезка функционального ряда Вольтерра вида [8]:

MM " m

y

m=0 m=0 j=1

где x(t) и y(t) - входной и выходной сигналы системы соответственно; ym(t) -составлявшая выходного сигнала от нелинейности m-го порядка; hm(l\, ..., Tm) -нелинейная импульсная характеристика (ядро) m-го порядка.

Тогда соотношение для цифрового нелинейного фильтра, моделирующего зависимость (1) для дискретизированшго процесса x(nT), имеет вид [9]:

M M " " m

y'

m=0 m=0 nj=0 nm =0 j=1

где T - шаг дискретизации. 60

При решении вопроса о выборе шага дискретизации в (2) необходимо исходить из целей моделирования. При этом можно выделить следующие типы задач:

— моделирование динамических характеристик системы таким образом, чтобы его выходной сигнал у (пТ) совпадал с дискретизированным сигналом у(пТ) непрерывной нелинейной системы S;

— восстановление выходного сигнала у(0 системы S по дискретному выходному сигналу у' (пТ) цифрового моделирующего фильтра.

Следует заметить, что в линейном случае (при М = 1) данные задачи тождественны и их решение достигается выбором частоты дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова [10], что обеспечивает возможность последующего восстановления как выходного сигнала у(0 системы, так и импульсной характеристики М(т). Присутствие нелинейности в системе и связанный с ней эффект расширения спектра выходного сигнала накладывают, как будет показано ниже, различные требования на выбор частоты дискретизации при решении задач восстановления выходного сигнала у(0 системы и ее нелинейных импульсных характеристик Нт(Т\, ..., тт), т > 1.

Задача моделирования динамики нелинейной системы

Рассмотрим сначала задачу моделирования динамики системы. Частотное представление для составляющей ут(0 от нелинейности т-го порядка в разложении (1) имеет вид [11]:

1 » ( т \ т

¥т

(2п)т ^

г=1

/

j=1

где Х(ю) и 7т(ю) - преобразования Фурье сигналов х(0 и ут(0.

Как известно [10], дискретизация сигнала во временной области приводит к суммированию его спектров в частотной области, сдвинутых на величины кО, кратные частоте дискретизации О = 2п/Т. В результате спектры дискретизированных входного х(пТ) и выходного у(пТ) сигналов системы будут представлять собой периодические функции вида

— 1 ~

Х

к=—»

_ М _ 1 М ~

У

т=0 т=0 к=—»

Здесь и далее черта сверху используется для обозначения спектров дискретизированных сигналов.

В качестве примера на рис. 1 показано формирование спектра дискре-тизированного сигнала согласно выражениям (4) и (5) на выходе нелинейной системы второго порядка (т = 2). При этом значение спектра сигнала у2(пТ) на некоторой частоте О0 представляет собой сумму значений спектра непрерывного процесса у2(0 на частотах ±(кО — ю0), полученных путем интегрирования произведения Н2(\,2)Х(\)Х(2) вдоль прямых о + О = ±(кО — Ю0).

1 + 2 = ю0

Рис. 1. Формирование спектра выходного сигнала квадратичной системы в результате дискретизации

Выходной спектр Y '(ю) нелинейного фильтра (2) равен

M

Y'(ю) = 2 Ym (ю).

m=0

Можно показать, что при шаге T дискретизации выражение, определяющее спектры отдельных составляющих фильтра, будет выглядеть следующим образом:

m—1

I T 1 га/2 Г % (ю) = ) ] ] ^ юm )5

ю

- 2 Ю П Х

¿=1 ) ]=1

Из данного выражения следует, что в дискретном случае на значение спектра Y'm (ю) оказывают влияние лишь составляющие, находящиеся в ограниченной области интегрирования, представляющей собой гиперкуб со стороной равной П. Как хорошо видно из рис. 1, для нелинейности второго порядка эти составляющие образуются путем интегрирования вдоль отрезков А и В, находящихся внутри выделенного пунктиром квадрата. Для нелинейно-

стей высших порядков формирование спектра осуществляется аналогично в области, ограниченной га-мерным кубом. Следует подчеркнуть, что рассмотренное явление частотного наложения, обусловленное расширением спектра входного сигнала, присуще лишь нелинейным системам и отсутствует в линейных.

Относительно спектров У (ю) и У '(ю) дискретных выходных сигналов у(пТ) системы и у (пТ) моделирующего фильтра справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Если частота О дискретизации выбрана из условия О > 2Ох, где Ох — верхняя граничная частота входного сигнала х(0, то

спектр У

тогда и только тогда, когда преобразования Фурье ядер моделируемой системы и дискретного фильтра совпадают в частотном диапазоне входного сигнала, т.е.

Hm («!,..., a>m ) Hm

для —Ох < Юг < Ох, г = 1, ..., га и га = 1, ..., М.

Доказательство. Подставляя выражение (4) для спектра X (ю) дискретизированного входного процесса в (6), получим

О/2 С т \

1 Г Ч ^ Г

Ym(Ю)=-—тт=й:J ч2 IHm(Ю1,. .,Ют)6 Ю-2ю

(2П) T Ч2

i=1

X

х 2 ••• 2 ПX(> + kjЧd.

k1=-L km =-L j =1

Используя подстановку вида X, = ю,- + к,О и учитывая периодичность частотной характеристики Н'т (Х1,..., Хга) фильтра, преобразуем (8) к виду

1 ~ ~ с Ч 2 (.

Ym

X

х5

m

)—2 X + 2 к О П X (X,-) .

г=1 г =1 / -=1

Значение спектра У'т (ю) не изменится, если в выражении (9) га-кратное суммирование заменить на сумму по к = к + ... + кт:

О/ 2

1 г Ч 2 .

Ym

(2n)m 1 Tk=-L J"42J

X

' т ^

х5 ю-уХг- + кЦ

г=1

т

П X

у=1

Так как спектр входного процесса ограничен частотой Цх < Ц/2, бесконечные пределы интегрирования в (3) можно заменить на ± Ц/2. На основании (5) получаем следующее выражение для спектра Ут (ю):

- 1 " .Ц2

Ут (ю) = . .т-1 Т У 1 Ц2 1Ят С!, — Ют )х

' т Л т

х5 ю-У юг- + кЦ ПX

V г=1 ) у =1

Выражения (10) и (11) отличаются лишь частотными ядрами. Следовательно, если выполняется условие (7), суммарные спектры У (ю) и У '(ю) будут равны. Справедливость обратного утверждения легко доказывается методом от противного.

Полученное утверждение дает необходимое теоретическое обоснование для выбора частоты дискретизации при идентификации динамических характеристик нелинейных систем по дискретным данным. Выберем частоту дискретизации по входному сигналу из условия Ц > 2ПХ и допустим, что в результате идентификации системы нелинейные импульсные характеристики Ит (п{Т,..., птТ) моделирующего фильтра определены таким образом, что реакция фильтра у' (пТ) совпадает с дискретизированным выходным сигналом у(пТ) непрерывной системы. В этом случае выходные спектры У(ю) и У '(ю) также совпадают, и на основании утверждения 1 можно заключить, что частотные характеристики дискретного фильтра Нт ((•>[,...,ют

) будут равны

соответствующим ядрам Нт(ю\,...,ют) непрерывной системы в диапазоне частот входного сигнала.

В частности, если нелинейные частотные характеристики системы являются финитными функциями в частотной области и выполняется условие Нт (с,..., ют ) = 0 при |юг| > Цн , I = 1, ..., т и т = 1, ..., М, то, выбирая верхнюю граничную частоту входного сигнала Ц > Цн и частоту дискретизации Ц > 2Цс, можно осуществить полную идентификацию системы, т.е. определить частотные характеристики системы во всем частотном диапазоне.

Таким образом, выбор частоты дискретизации по входному сигналу при условии Цх > Цн обеспечивает возможность восстановления ядер Ит(Т\, ..., Тт) непрерывной нелинейной системы по дискретным характеристикам И'т (п{Т,..., птТ) моделирующего фильтра. В то же время, в отличие от линейных систем, такой выбор частоты дискретизации не позволяет восстановить выходной сигнал системы у(0 по дискретному процессу у (пТ) на выходе фильтра.

Действительно, согласно выражению (6) значения спектра Ут (ю) формируются путем интегрирования вдоль плоскостей ю1 + ... + ют = ю в области,

ограниченной гиперкубом со стороной, равной Ц. При этом выбор частоты дискретизации по входному сигналу приводит к наложению спектров, обусловленных нелинейными составляющими различного порядка. Для наглядности рассмотрим это явление на примере квадратичного фильтра, выходной спектр которого может быть представлен в виде

1 ГЦ2 - -

У2(ю) =—— I ( IН2(ю1,Ш2)8(ю-ю1 -ю2)Х(ю1)X(ю2)аю1аю1 =

2пТ1 -Ц/2 •>

1 Ц2 _ _

=- I Н2

2пТ

-Ц/ 2

где подынтегральное выражение является периодической функцией по каждой из частот ю1, ю2 с периодом Ц.

Формирование спектра согласно (12) иллюстрируется рис. 2. Здесь периодичность подынтегрального выражения приводит к тому, что на величину выходного спектра У2(ю) на частоте ю = юо, получаемую путем интегрирования вдоль прямой ю1 + ю2 = юо на отрезке I, накладывается значение, определяемое интегрированием по отрезку II, которое соответствует величине спектра на частоте юо - Ц. Еще раз подчеркнем, что рассмотренное явление частотного наложения, связанное с расширением спектра входного сигнала, присуще лишь нелинейным системам и отсутствует в линейных.

Задача восстановления выходного сигнала нелинейной системы

Для восстановления выходного сигнала у(0 нелинейной системы по дискретным отсчетам у (пТ) на выходе фильтра частота дискретизации должна выбираться по отношению к выходному сигналу у(0 и удовлетворять условию Ц > 2Цу, где Цу - верхняя граничная частота сигнала у(0. Из выражений (1) и (3) следует, что для нелинейной системы порядка М справедливо неравенство Цу < МЦХ. Поэтому, выбирая частоту дискретизации по отношению к входному сигналу (как это делается для линейных систем), в общем случае мы не сможем восстановить выходной сигнал у(0 нелинейной системы из-за перекрытия выходных спектров нелинейных составляющих.

Из рис. 2 можно видеть, что для квадратичной составляющей нелинейной системы избежать наложения спектра, обусловленного интегрированием вдоль отрезка II, можно, увеличив частоту дискретизации в два раза. При этом подынтегральное выражение в (9) будет отлично от нуля лишь в опорной области, представляющей собой квадрат, обозначенный на рис. 2 пунктирной линией.

Полезно выделить также частный случай, в котором не происходит расширения спектра входного сигнала (Цу = Цх). Это будет наблюдаться тогда, когда опорная область будет ограничена контуром ЛБСОЕО, т.е. выполняется условие Н2(ю1 + 002) = 0 при | ю1 + ю2| > Цн, и можно положить Ц > 2ЦН.

Сказанное легко распространяется на случай нелинейности произвольного порядка т. Если опорная область нелинейной частотной характеристики

Нт(\, ..., ограничена гиперкубом со стороной 2Он, то восстановление у(0 возможно при выборе Ох > Он и О > тОн. При ограничении опорной области дополнительным условием | Ю1 + .... + Ют1 ^ Он, например при наличии на выходе нелинейной системы фильтра нижних частот с частотой среза Он, дискретизация может выполняться согласно условию О > 2Он.

Таким образом, относительно выходных сигналов непрерывной системы y(t) и дискретного фильтра y(nT) справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Пусть нелинейные частотные характеристики определены в областях, ограниченных системой неравенств | юг- I < Од, i = 1, ..., т и I Ю1 + .... + Ют1 ^ От, m = 1, ...,M, а верхняя граничная частота входного сигнала x(t) равна Ох. Если частота О дискретизации выбрана из условия О > 2Оу, где верхняя граничная частота Oy выходного сигнала y(t) определяется как

Оy = min {MО х, M Он, max От }, 1 т J

а преобразования Фурье ядер моделируемой системы и фильтра совпадают в частотном диапазоне входного сигнала, то непрерывный сигнал y(t) может быть восстановлен из выходного сигнала y(nT) дискретного полиномиального фильтра по формуле Котельникова.

Важно заметить, что сформулированное выше требование к увеличению частоты дискретизации при восстановлении выходного сигнала y(t) нелинейной системы может быть обеспечено исключительно вычислительным путем без физического изменения шага дискретизации T. Действительно, как мы уже убедились, для определения динамических характеристик нелиней-

ной системы вполне достаточно осуществить дискретизацию исходя из верхней граничной частоты входного сигнала x(t), положив Q1 > 2Qx (Qx > Qh). Используя полученные частотные характеристики Я„(т1, ..., wm), m = 1, ..., M, и определив аналитически либо экспериментально верхнюю граничную частоту Qy выходного сигнала системы, можно пересчитать дискретный фильтр (2) для частоты дискретизации Q2 > 2Qy, достаточной для восстановления непрерывного сигнала y(t).

Для выполнения такого пересчета необходимо дополнить функции Hm(Wi, ..., Ют) нулями в диапазонах частот Qi/2 < Ю < Q2/2 , i = 1, ..., m, и вычислить обратное преобразование Фурье для определения импульсных характеристик hm(niT, ..., ПтТ) скорректированного фильтра с уменьшенным шагом дискретизации Т = 2n/Q2. Используя далее известный метод [10], можно восстановить искомый непрерывный сигнал y(t) на выходе нелинейной системы по дискретному выходному сигналу y(nT) полученного фильтра.

Заключение

Использование методов цифровой обработки сигналов сопряжено с дискретизацией непрерывных сигналов. В отличие от линейных систем, выполнение операции дискретизации в нелинейных системах имеет ряд особенностей, связанных с расширением спектра выходного сигнала системы. При этом исходя из целей моделирования можно выделить следующие типы задач:

1) определение динамических характеристик дискретного нелинейного фильтра таким образом, чтобы его выходной сигнал совпадал с дискретизи-рованным сигналом моделируемой системы;

2) восстановление выходного сигнала моделируемой системы по дискретному выходному сигналу цифрового нелинейного фильтра.

Для линейного случая данные задачи тождественны, и их решение достигается выбором частоты дискретизации входного сигнала в соответствии с теоремой Котельникова.

При решении первой задачи выбор частоты дискретизации осуществляется относительно входного сигнала нелинейной системы. Сформулированы требования к выбору частоты дискретизации, позволяющие осуществить полную идентификацию системы, т.е. определить ее частотные характеристики во всем диапазоне частот.

При решении второй задачи частота дискретизации должна выбираться по отношению к выходному сигналу системы. Получены требования к выбору частоты дискретизации исходя из граничных частот опорных областей нелинейных частотных характеристик системы. При этом требование к увеличению частоты дискретизации при восстановлении выходного сигнала нелинейной системы может быть обеспечено исключительно вычислительным путем за счет дополнения нулями частотных характеристик моделирующего фильтра с последующим обратным преобразованием Фурье.

Список литературы

1. Pitas I., Venetsanopulos A. N. Nonlinear digital filters. Kluwer Academic Publishers, 1990. 391 p.

2. Mathews V. J., Sicuranza G. L. Polynomial signal processing. John Wiley & Sons, Inc., 2000. 452 p.

3. Щербаков М. А., Панов А. П. Нелинейная фильтрация с адаптацией к локальным свойствам изображения // Компьютерная оптика. 2014. Т. 38, № 4. С. 818-824.

4. Щербаков М. А. Управление и идентификация в системах автоматизации испытаний нелинейных объектов // Автоматизация в энергетике. 2010. № 5 (10). С. 17-25.

5. Doyle III F. J., Pearson R. K., Ogunnaike B. A. Identification and control using Volterra models. Springer, 2002. 314 p.

6. Mitra S. K., Sicuranza G. L. Nonlinear image processing. Academic Press, 2001. 455 p.

7. Мармарелис П., Мармарелис В. Анализ физиологических систем: метод белого шума. М. : Мир, 1981. 480 с.

8. Пупков К. А., Капалин В. И., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М. : Наука, 1976. 448 с.

9. Щербаков М. А. Классификация цифровых нелинейных фильтров по виду дискретных сверток // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2021. № 4. С. 108-125.

10. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М. : Мир, 1978. 848 с.

11. Щербаков М. А., Сорокин С. В. Метод синтеза цифровых полиномиальных фильтров с помощью базисных частотных функций // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2007. № 4. С. 74-86.

References

1. Pitas I., Venetsanopulos A.N. Nonlinear digital filters. Kluwer Academic Publishers, 1990:391.

2. Mathews V.J., Sicuranza G.L. Polynomial signal processing. John Wiley & Sons, Inc., 2000:452.

3. Shcherbakov M.A., Panov A.P. Nonlinear filtering with adaptation to local image properties. Komp'yuternaya optika = Computer optics. 2014;38

4. Shcherbakov M.A. Control and identification in test automation systems of nonlinear objects. Avtomatizatsiya v energetike = Automation in the energy sector. 2010;

5. Doyle III F.J., Pearson R.K., Ogunnaike B.A. Identification and control using Volterra models. Springer, 2002:314.

6. Mitra S.K., Sicuranza G.L. Nonlinear image processing. Academic Press, 2001:455.

7. Marmarelis P., Marmarelis V. Analiz fiziologicheskikh sistem: metod belogo shuma = Analysis of physiological systems: white noise method. Moscow: Mir, 1981:480.

8. Pupkov K.A., Kapalin V.I., Yushchenko A.S. Funktsional'nye ryady v teorii neli-neynykh system = Functional series in the theory of nonlinear systems. Moscow: Nauka, 1976:448.

9. Shcherbakov M.A. Classification of digital non-linear filters by descrete convolutions.

Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2021;

10. Rabiner L., Gould B. Teoriya i primenenie tsifrovoy obrabotki signalov = Theory and application of digital signal processing. Moscow: Mir, 1978:848.

11. Shcherbakov M.A., Sorokin S.V. Method for synthesizing digital polynomial filters using basis frequency functions. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2007;

Информация об авторах / Information about the authors

Михаил Александрович Щербаков доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет

Mikhail A. Shcherbakov Doctor of engineering sciences, professor, head of the sub-department of automation and remote control, Penza State University

E-mail: mashcherbakov@yandex.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 01.08.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 05.09.2023 Принята к публикации / Accepted 10.10.2023