Эффекты сверхстарения в неравновесном критическом поведении двумерной XY-модели

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 4. С. 48-52. УДК 539.2

П.В. Прудников, В.В. Прудников, И.С. Попов

ЭФФЕКТЫ СВЕРХСТАРЕНИЯ В НЕРАВНОВЕСНОМ КРИТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ ДВУМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ*

В неравновесном поведении двумерной ХУ-модели выявлены эффекты старения при температурах замораживания, соответствующих низкотемпературной фазе. Показано, что критическая релаксация двумерной ХУ-модели из низкотемпературного начального состояния определяется низкоэнергетичными спин-волновыми возбуждениями, а роль высокоэнергетичных вихревых возбуждений является малой. Выявлено, что присутствие дефектов структуры вызывает эффекты сверхстарения.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, двумерная ХУ-модель, неравновесное критическое поведение, явление сверхстарения.

Известно, что вблизи критической точки возникают аномально большие, долгоживущие и сильно взаимодействующие флуктуации основных термодинамических величин. При этом релаксационные процессы существенно замедляются, что проявляется в эффектах критического замедления. Системы в критической точке оказываются примерами систем с медленной динамикой [1], изучение которых вызывает значительный научный интерес. Связано это с наблюдаемыми в них эффектами старения и нарушения флуктуационно-диссипативной теоремы [2].

Старение - это эффект замедления релаксационных процессов при увеличении времени, прошедшего с момента приготовления образца, - его «возраста» или времени ожидания tw [3]. Проявляется старение через динамические зависимости двухвременных характеристик систем, таких как автокорреляционные функции С(^ш) и функции отклика В процессе

старения данные функции зависят не от разности времен а от t и tw в отдельности, т. е. происходит нарушение однородности процесса релаксации во времени. Старение сопровождается нарушением флуктуационно-диссипативной теоремы [3], связывающей динамические зависимости автокорреляционной функции и функции отклика системы.

Неравновесные релаксационные процессы вызывают особый интерес в критическом поведении двумерной ХУ-модели, в которой осуществляется топологический фазовый переход Березинского-Костерлица-Таулесса [4; 5] при температуре Твкт. Фазовый переход связан с диссоциацией связанных пар вихрь-антивихрь в точке перехода. Особенностью данной системы является аномально сильная пространственная и временная корреляция состояний системы во всей низкотемпературной фазе Т < Твкт, характеризуемая степенным законом спадания [6], в то время как для термодинамических фазовых переходов второго рода эффекты сильной корреляции осуществляются лишь вблизи критической точки. Это позволяет наблюдать медленную динамику двумерной ХУ-модели не только вблизи критической точки, а во всем низкотемпературном диапазоне Т<Твкт. Двумерная ХУ-модель используется для описания поведения и свойств целого ряда физических систем [7].

* Работа поддержана грантом Российского научного фонда, проект № 14-12-00562.

© Прудников П.В., Прудников В.В., Попов И.С., 2016

Рис. 1. Неравновесный процесс аннигиляции пары «вихрь» (о) - «антивихрь» (•) на временных этапах 300, 400, 500$

МОБ/э [шаг Монте-Карло на спин]

Если статические свойства двумерной XY-модели можно считать достаточно хорошо изученными, то исследование неравновесного критического поведения таких систем и влияния на него структурного беспорядка остается актуальной задачей. Ожидается возникновение особенностей в неравновесном критическом поведении планарных магнитных систем, описываемых двумерной XY-моделью, связанных с явлением пин-нинга вихрей и антивихрей, а также их пар в низкотемпературной фазе на дефектах структуры (рис. 1).

Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели осуществляется из двух существенно различных начальных неравновесных состояний - высокотемпературного с начальной температурой Т0>>ТВКТ и низкотемпературного с Т0=0. В системе при Т0>>Твкт имеется высокая концентрация свободных вихревых возбуждений, что позволяет рассматривать такое состояние, как начальное вихревое состояние при изучении неравновесной динамики модели при температурах замораживания Т8 ^ Твкт. При эволюции из низкотемпературного начального состояния с Т0 = 0 основную роль в динамике играют спин-волновые возбуждения. Данный выбор начальных состояний позволяет подробно исследовать влияние вихревых возбуждений и спин-волновых эффектов на неравновесную критическую динамику системы.

Представим ниже результаты численного исследования эффектов старения в двумерной XY-модели при эволюции из различных начальных состояний и влияния на них замороженных дефектов структуры.

Гамильтониан структурно неупорядоченной двумерной XY-модели имеет следующий вид:

3

где Б- - классический планарный спин, р -случайные числа заполнения, J - обменный интеграл, суммирование ведется по всем парам ближайших соседей. Дефекты распределяются по решетке равномерно с вероятностью Стр=1-р, где р - спиновая концентрация. В работе были рассмотрены следующие спиновые концентрации: р = 1,0 (чистая беспримесная система), 0,9 и 0,8. Значения температур перехода Березинского-Костерлица-Таулесса для данных систем Твкт(р): Твкт(р = 1,0) = 0,893(2), Твкт(р = 0,9) = 0,679(7), Твкт(р = 0,8) = 0,485(4), были определены в работе [8]. Температура задается при этом в единицах обменного интеграла ^ Поведение системы исследовалось во всей низкотемпературной фазе Березинского с Т < Твкт. Моделирование проводилось на квадратной решетке с линейным размером Ь = 256 с использованием алгоритма Метрополиса, реализующего диссипативную динамику.

На эффекты старения при неравновесной критической эволюции двумерной XY-модели из начального низкотемпературного состояния с Шо=1 основное влияние оказывают спин-волновые возбуждения. Данные возбуждения проявляются прежде всего в особенностях двухвременной зависимости автокорреляционной функции О^,^):

Е рД с )Д

С(Г, ) =

р? ЕрД )/

рё ЕрД (с)/

,

в которой в отличие от случая эволюции из начального высокотемпературного состояния существенную роль начинает играть вторая составляющая автокорреляционной функции Отт(^):

рё I рД1,

ре I рД1)у

н = -3 Е ,

Был проведен расчет автокорреляционной функции О(1,^) для двумерной XY-мо-дели со спиновыми концентрациями р = 1,0, 0,9 и 0,8 для различных температур замораживания в низкотемпературной фазе с Т8 ^ Твкт(р). В качестве примера на рис. 2 приведены графики автокорреляционной функции для р = 1,0 и р = 0,8 при температурах Т = Твкт(р) и Т = 0,1. Эффекты старения наглядно проявляются через зависимость автокорреляционной функции от «возраста» системы ^ на временах наблюдения tw и характеризуются замедлением корреляции в системе с увеличением ее «возраста». Из представленных графиков также видно, что с ростом концентрации дефектов (уменьшением спиновой концентрации р) происходит усиление эффектов старения. Отметим, что в

случае высокотемпературного начального состояния [9; 10] замедление корреляции на одну и ту же величину происходит на порядок больших временах наблюдения, чем в случае низкотемпературного начального состояния.

Рис. 2. Неравновесная зависимость автокорреляционной функции от времени наблюдения t—tw для систем с p = 1,0 и T = Tвкт = 0,89 И, p = 0,8 и T = Tвкт = 0,49 (Ь), p = 1,0 и T = 0,1 И, p = 0,8 и T = 0,1 для различных времен ожидания t_w при эволюции из низкотемпературного начального состояния

Сзв^^) и Стт^^) начинают совпадать, приводя к взаимной компенсации в полной автокорреляционной функции, хотя для структурно неупорядоченной системы эта компенсация составляющих происходит на больших временах наблюдения, чем для «чистой» системы. В данных эффектах проявляются существенные различия в неравновесном поведении двумерной ХУ-модели и трехмерной модели Изинга [12], обусловленные отсутствием спонтанной намагниченности в двумерной ХУ-модели по сравнению с трехмерной моделью Изинга.

10 100

и

е

и

' '1 ........1 '''1

р = 0.9; Г-0.3

-

10

20 _

"(Ь)   | ........1 ..... 50

Наиболее наглядно влияние дефектов проявляется в сильном замедлении эффектов корреляции в структурно неупорядоченных системах по сравнению с «чистой» системой. Мы связываем эти сильные изменения в поведении автокорреляционной функции с процессом кластерной фрагментации, происходящим при эволюции двумерной ХУ-мо-дели из низкотемпературного состояния, -один большой кластер при то = 1 фрагменти-руется на более малые. Введение в систему дефектов приводит к аномальному замедлению процесса кластерной фрагментации [11]. На это указывают графики для двух составляющих автокорреляционной функции в (2), которые мы обозначили как С88(1^) и Стт^^) (3) и представили на рис. 3 для "чистой" системы и системы со спиновой концентрацией р = 0,9, соответственно. Из графиков видно, что для «чистой» и структурно неупорядоченной системы на временах наблюдения ^ значения составляющих

I 10 1011 £000

. МСЙ/я

Рис. 3. Сравнение временных зависимостей для составляющих автокорреляционной функции

Css(t,tw) « и C

mm(t,tw ) ~ <S(t)><S(tw)>

при концентрации спинов p = 1,0 и p = 0,9

Двухвременную зависимость автокорреляционной функции С^^) можно охарактеризовать обобщенной скейлинговой формой [3]:

^) = - С ))],

где п - величина аномальной размерности системы (критический индекс Фишера), значения которого для неупорядоченной были рассчитаны в работе [10], §(11) - временная зависимость корреляционной длины. В случае эволюции из начального низкотемпературного состояния [3;13].

О

и

ЧМ 1111 1 1 ....... 1 1 1 1 1II 1| .........

р и.«

[' 0.4

ИМ

ХЧ 'Г2

0»

Рис. 4. Скейлинговые зависимости для автокорреляционной функции от (Н^

для систем с р = 1,0 (а) и р = 0,8 (Ь), демонстрирующие «коллапс» полученных для различных tw данных для «чистой» системы и отсутствие «коллапса» для структурно неупорядоченной

Для подтверждения данной обобщенной скейлинговой зависимости автокорреляционной функции, задаваемой выражением (4), было осуществлено построение зависимости ^ 2С($, ^) от (1^)^. Результаты представлены на рис. 4, которые для «чистой» системы (р = 1,0) демонстрируют «коллапс» полученных данных для различных ^ на соответствующих указанным на рисунке температурам универсальных кривых, отвечающих скейлинговой функции — ^ )/¡¡(^ )]

в (4), в то время как для структурно неупорядоченной системы с р = 0,8 «коллапс» данных для различных ^ отсутствует. В предположении о реализации для структурнонеупоря-доченной двумерной ХУ-модели более сложной формы, чем в (4) скейлинговой зависимости, для автокорреляционной функции была предложена скейлинговая функция

Ф[ (I — С )/(С)] с показателем р, определяемым из требования «коллапса» данных для зависимости ^2С(I,^) от (I — ^)/(0 при различных На рис. 5 представлена реализация данной процедуры для системы с

р = 0,8 для различных температур. Установлено, что при значениях показателя р » 1 + п(Т,р) «коллапс» данных для структурно неупорядоченных систем осуществляется. Данный случай скейлинговой зависимости от времени ожидания с показателем р > 1 классифицируется как явление «сверхстарения» [14].

и

г:

р 0.8

Тк т=ол:

шиш Ч-Ши 1-1ЛЛ1 |11_иии

(Ы (х-хуг

Рис. 5. Эффект «сверхстарения» в скейлинговом поведении автокорреляционной функции в зависимости от

и р = 0,9, р = 0,8 (Ь) для различных температур при эволюции из низкотемпературного начального состояния

В заключение отметим, что при численном исследовании неравновесного поведения двумерной XY-модели были выявлены существеннные различия в поведении системы, эволюционирующей из разных начальных состояний, которые обусловлены тем, что при релаксации из низкотемпературного состояния с т0 = 1 роль в динамике высокоэнергетичных вихревых возбуждений является малой и динамика системы определяется только низкоэнергетичными спин-волновыми возбуждениями. При старте системы из высокотемпературного состояния с т0<<1 роль вихревых возбуждений и их взаимодействия являются определяющими. В неравновесном поведении двумерной XY-мо-дели выявлены эффекты старения при температурах замораживания, соответствующих всей низкотемпературной фазе XY-мо-дели. Показано, что присутствие дефектов

структуры в случае эволюции из низкотемпературного начального состояния вызывает эффекты сверхстарения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Berthier L., Kurchan J. Non-equilibrium glass transitions in driven and active matter // Nature Phys. 2013. Vol. 9. P. 310-314.

[2] Calabrese P., Gambassi A. Ageing properties of critical systems // J. Phys. A. 2005. Vol. 38. P. R133-R193.

[3] Berthier L., Holdsworth P.C.W., Sellitto M. Nonequilibrium critical dynamics of the two-dimensional XY model // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. Vol. 34. P. 1805-1824.

[4] Березинский В.Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 907-920.

[5] Kosterlitz L. M., Thouless D. J. Ordering, metasta-bility and phase transitions in two-dimensional systems // J. Phys. C. 1973. Vol. 6. P. 1181-1203.

[6] Kosterlitz J. M. The critical properties of the two-dimensional XY-model // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1974. Vol. 7. P. 1046-1060.

[7] Коршунов С.Е. Фазовые переходы в двумерных системах с непрерывным вырождением // УФН. 2006. Т. 176. Вып. 3. С. 233-274.

[8] Prudnikov P. V., Popov I. S. Non-equilibrium critical dynamics in pure and diluted 2D XY-model // J. Phys.: Conf. Series. 2014. Vol. 510. P. 012014.

[9] Прудников В. В., Прудников П. В., Алексеев С. В., Попов И. С. Исследование эффектов старения и температурной зависимости поперечной жесткости в двумерной XY-модели // ФММ. 2014. Т. 115. Вып. 12. С. 1254-1261.

[10] Прудников В. В., Прудников П. В., Попов И. С. Неравновесные эффекты старения в критическом поведении структурно неупорядоченных планарных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 101. Вып. 8. С. 596-601.

[11] Popov I. S., Prudnikov P. V., Prudnikov V. V. Non-equilibrium critical vortex dynamics of disordered 2D XY-model // J. Phys.: Conf. Series. 2016. Vol. 681. P. 012015.

[12] Прудников В. В., Прудников П. В., Поспелов Е. А., Маляренко П. Н. Эффекты старения и памяти в неравновесном критическом поведении структурно неупорядоченных магнетиков при эволюции из низкотемпературного начального состояния // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. № 3. C. 192-201.

[13] Bray A. J., Briant A. J., Jervis D. K. Breakdown of scaling in the nonequilibrium critical dynamics of the two-dimensional XY model // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 1503-1506.

[14] Henkel M., Pleimling M. Non-Equilibrium Phase Transitions, Vol. 2: Ageing and Dynamical Scaling far from Equilibrium, Theoretical and Mathematical Physics. Heidelberg : Springer, 2010. 544 p.