Доказательство ограниченности действия тезиса Тьюринга-Черча на объектах с физическими свойствами

С.М. Крылов

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОГРАНИЧЕННОСТИ ДЕЙСТВИЯ ТЕЗИСА ТЬЮРИНГА - ЧЕРЧА НА ОБЪЕКТАХ С ФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

В статье рассматриваются особенности формально-технологического подхода к представлению различных абстрактных и реальных объектов в соответствии с объектно-ориентированной парадигмой. На основе предложенного подхода средствами формальной технологии доказывается ограниченность действия тезиса Тьюринга - Черча на объектах, обладающих физическими свойствами.

Концепция числа - одна из центральных в математике. Именно с числом в первую очередь связаны все основные математические инструменты и методы. Реальность же представляется в математике с помощью различных символических (абстрактных) объектов исключительно в количественной или в кодовой (т. е. закодированной с помощью тех же чисел или иных символов) формах, которые сами по себе лишены каких-либо физических свойств. При этом все физические свойства реальных объектов интерпретируются только через количественные (кодовые) соотношения между соответствующими количественными же (кодовыми) характеристиками самих объектов. Предпочтение при такой интерпретации отдается в первую очередь рациональным или натуральным числам - по причине их конструктивности и - соответственно - простоты использования в вычислительных операциях.

В рамках нового междисциплинарного направления, получившего название формальная технология (ФТ) и представляющего собой расширение теории алгоритмов на объекты неинформационного характера (в том числе на объекты реального мира) [1, 2, 3], любой объект al рассматривается как совокупность некоторых свойств и связанных с ним методов, обычно называемых функциональ-ностями объектов: al =<g, Ml >=<{,yn,...,gin}, {{ = jj((,>...,gik )....;Tir = jr (Yit>...>Tm Ж где Yi - список свойств yü,...,gin} объекта al (обычно отображаемых на числовую ось или на другую, заранее оговариваемую нечисловую шкалу),

Mi = {{ = jj(УlS,...,Tik);...;Tir = jr(ь...,Tmi)} - список методов, относящихся к этим свойствам, причем в качестве аргументов в функциях типа j j (yls,..., Tlk ) могут выступать как собственные свойства объекта, так и свойства объектов, соседних с данным [4]. Нетрудно видеть, что указанная запись функцио-нальностей объектов является по сути обобщением записи функциональных переходов, выполняемых отдельными объектами-клетками в клеточных автоматах фон-Неймана, Лангтона и Кодда [5, 6], а

сама концепция описания объектов очень близка к широко используемой в практическом программировании объектно-ориентированной парадигме -ООП [7, 8], а также к подходам, предложенным Дж. Клиром [9] и Е.М. Карповым [10]. Таким образом, с точки зрения ФТ, ООП, подходов Дж.Клира и Е.М. Карпова, все числа могут рассматриваться в виде некоторых очень простых абстрактных объектов, имеющих только одно нефизическое свойство - представлять некоторое количество и не имеющих никаких собственных методов (не имеющих никакой собственной функциональности). Все функциональные преобразования над числами выполняются внешним по отношению к числам формальным аппаратом, а именно - аппаратом математики. В этой связи возникает вопрос - каковы границы эффективной применимости такой классической технологии вычислительных операций над простейшими объектами - натуральными и рациональными числами - в сравнении с более сложно устроенными технологиями и объектами реального физического мира? Определенный ответ на него дает известный тезис Тьюринга - Черча и его различные философские и физические интерпретации, пытающиеся на неформальном уровне связать, например, познаваемость нашего мира и границы мыслительных способностей человека с этой математической гипотезой (см., например, [11, 12, 13]). Однако в рамках ФТ возможен и более точный ответ на этот вопрос.

Утверждение 1. Частично-рекурсивные функции над натуральными (и рациональными) числами со всеми их свойствами представимы в ФТ. Обратное неверно (то есть не все технологии со всеми своими свойствами представимы в классе частично-рекурсивных функций).

Для доказательства истинности первой части этого утверждения достаточно показать, что с помощью сравнительно простой технологии можно моделировать работу некоторой универсальной машины Тьюринга (м.Т.) и, следовательно, - процесс вычисления любой частично-рекурсивной

Доказательство ограниченности действия тезиса Тьюринга-Черча на объектах...

С.М. Крылов

функции. Предельно сжато истоки универсальности м.Т. можно связать с двумя возможностями - с возможностью чтения и различения символов (как минимум двух) на ее ленте, выполняющей функцию «памяти», и возможностью печати любого такого символа в нужной ячейке ленты в соответствии с программой работы машины [3, 14, 15].

В качестве подходящей технологии для моделирования работы универсальной двух символьной м.Т. можно выбрать технологию Т0 с двумя элементами в множестве А - пустым «элементом» 0 и «непустым» (например, а) и с двумя операциями: операцией Е (х )= х, повторяющей объект х, и операцией анализа (с математической точки зрения - предиката) Ра (х), принимающей значение «1», если х = а, и «0», если х = 0. Каждому из символов в моделируемой двухсимвольной м.Т. сопоставляется соответствующий элемент0 и а , а их «чтение», «различение» и «печать» новых символов из {0, а} осуществляется с помощью операций Е и Ра соответственно (подробное доказательство эквивалентности такой технологии и м.Т. приведено в [3, с. 75-76]).

Для того, чтобы показать невыполнимость обратного утверждения, рассмотрим технологию Т1 с тремя элементами в множестве А : 0, а и Ь - и тремя операциями: операцией синтеза Е, (х,у), присоединяющей (неважно каким образом) к объекту х элемент (объект) у , и операциями анализа (определения) некоторых свойств «а» и «Ь» объектов х : Ра (х) и РЬ (х), причем пусть Ра (х)="1", если объект х обладает свойством «а», в противном случае Ра(х)="0", и РЬ(х)="1", если объект х обладает свойством «Ь», в противном случае РЬ(х)="0". Для определенности будем полагать, что элемент а обладает свойством «а» (то есть а =< а > и Ра (х)="1"), а элемент Ь - свойством «Ь» Ь =<Ь > (и РЬ(х)="1"), причем функциональность обоих объектов а и Ь нас в данном случае не интересует. Ясно, что в такой технологии мы можем с помощью операции синтеза Е, (х,у) получать различные объекты (конструкции), состоящие из элементов а и Ь в различных сочетаниях, и определять их свойства «а» и «Ь». То есть в данном случае мы имеем дело с конструктивным процессом синтеза новых объектов и определением их свойств, причем этот процесс вполне алгоритми-зуем, то есть может быть выполнен автоматически действующим устройством. Тем не менее не существует такой м.Т., которая позволяла бы делать то же самое с закодированными описаниями таких

объектов (фактически - с их числовыми моделями). Действительно, если мы, например, «закодируем» элементы а и Ь в двухсимвольной м.Т. с помощью кодов «01» и «10» соответственно, то, даже «приписав» коду «01» элемента а код свойства «а», а коду «10» элемента Ь код свойства «Ь», мы не сможем научить такую м.Т. распознавать наличие реальных свойств «а» и «Ь» по моделям новых объектов (конструкций) х (например, «слов», состоящих из нескольких кодовых последовательностей «01» и «10», соответствующих элементам а и Ь), поскольку мы не знаем, как устроены предикаты Ра (х) и РЬ (х), то есть не знаем алгоритма функционирования этих предикатов, что - согласно тезису Тьюринга - Черча - не дает нам надежд на их «вычислительную» (математическую) интерпретацию. Можно в какой-то степени попытаться обойти проблему, обращаясь каждый раз, когда нужно получить заключение о реальных свойствах модели новой конструкции х , «синтезированной» в м.Т. из кодовых описаний «01» и «10» элементов а и ь соответственно, к самой технологии Т1 , воспроизводя в ней реальную конструкцию х , соответствующую ее кодовому описанию, и применяя к ней соответствующие операции анализа, - аналогично использованию в вычислительных алгоритмах концепции оракулов (см. [11, с. 379] или [12, 16]), но тогда решение проблемы вообще становится абсурдным - мы должны в моделирующей технологию Т1 машине Тьюринга обращаться к реальной технологии Т1, с тем чтобы получить в м.Т. истинную информацию о все той же технологии Т1! То есть мы вынуждены констатировать, что на самом деле м.Т. не может моделировать технологию Т1, если «устройство» свойств объектов в этой технологии неизвестно или если сама эта технология «не встроена» в м.Т. Таким образом, утверждение 1 доказано.

Как уже отмечалось, предикаты Ра (х) и РЬ (х) в доказательстве утверждения 1 можно ассоциировать с концепцией оракулов, введенных еще А. Тьюрингом [16], поскольку принцип выполнения ими функций определения свойств «а» и «Ь» нам неизвестен - как и принцип принятия решения оракулом (см. [11, с. 381] или [12, 16]). Отметим, что сама концепция оракула как раз и была введена для того, чтобы обойти ситуации, когда математика в силу своих технологических ограничений не позволяет получить ответ на поставленный вопрос. В формальной технологии такого рода ограничения снимаются введением соответствующих операций

Естественные науки

анализа, причем в [3] показано, что существуют такие (полные) системы операций анализа для объектов нечисловой природы, которые дают потенциально неограниченный объем информации о свойствах самих объектов, получаемых в рамках той или иной технологии (например, операции «случайного стационарного отображения» в [3, с. 55-64]), несмотря на отсутствие каких-либо сведений о внутреннем механизме (алгоритме) функционирования таких операций.

Важное и очевидное заключение, которое следует из вышеприведенного доказательства, - вывод о вторичности математических знаний, а именно: на математические конструкции и структуры может быть переложено то, что мы уже «поняли», что мы уже «знаем» о реальном физическом мире. То есть наше знание (понимание) всегда идет за нашим опытом. И поскольку наше понимание окружающего мира (пока) ограничено - то по крайней мере настолько же ограничены и возможности математики, как «вычислительной технологии», в описании окружающих нас процессов и явлений.

Возвращаясь к рассмотренной выше формально-технологической модели, отметим, что уже в технологии Т1 мы можем ожидать появление некоего нового «неожиданного» (эмерджентного) свойства, отличного и от «а», и от «Ь», у некоторой непустой конструкции у, состоящей из нескольких элементов базы - например, свойства Ра (у) = РЬ (у)="0". Поскольку все элементы множества А , из которых состоит такая непустая конструкция, обладают свойством либо «а», либо «Ь», то одновременное и полное «исчезновение» обоих этих свойств имеет смысл отнести к такому неожиданному (эмерджентному) свойству. Нетрудно привести соответствующие примеры - например, полной компенсации одинаковых положительных (свойство «а») и отрицательных (свойство «Ь») зарядов в электростатике. Применяя в технологии Т1 операции анализа Ра и РЬ к новой конструкции х и получая в обоих случаях нулевые значения, мы очевидным образом обнаруживаем такое эмерд-жентное свойство.

Другие теоремы, отличающиеся по содержанию от утверждения 1, но также доказывающие неэквивалентность некоторых формально-технологических (в том числе реальных физических) систем и системы частично-рекурсивных функций, на основе которых сформулирована гипотеза (тезис) Тьюринга - Черча, рассмотрены в работах [11, 12, 17, 18, 19, 20, 21].

Таким образом, вычислительная математика как «технология» рациональных чисел на самом деле имеет вполне конкретные ограничения, связанные со специфическим контекстом формулировки тезиса Тьюринга - Черча, тогда как собственно математические принципы и методы могут с успехом применяться (в формально-технологической трактовке) к гораздо более широкому классу объектов.

В заключение подчеркнем, что, хотя первые концепции формальной технологии разрабатывались в рамках теории алгоритмов, в итоге выяснилась ее достаточно тесная связь с тектологией Александра Богданова. В своем фундаментальном труде «Тектология: Всеобщая организационная наука»

[22] Богданов постоянно подчеркивает «математич-ность» своего подхода, не приводя при этом ни одной математической формулы или хотя бы достаточно строгого математизированного доказательства выдвигаемых им положений. Тем не менее он дает определение математики в рамках тектологии, чрезвычайно созвучное рассматриваемой теме: «математика - это тектология нейтралъныгх комплексов» (под комплексом Богданов понимал нечто, весьма близкое к концепции конструкции в ФТ). Если перевести это определение на формально-технологический язык, то оно будет звучать так: «математика - это формалъная технология «нейтралъныгх» (нефизических, чисто количественныгх) конструкций». Утверждение 1 подтверждает и уточняет это определение.

С другой стороны, формальную технологию можно рассматривать как еще одну попытку реализации сформулированной М. Бунге программы разработки базовых концепций научной онтологии

[23]. Хотя первая попытка, предпринятая самим М. Бунге и основанная на использовании математического аппарата теории групп, была не слишком корректной и эффективной - как следует из критических замечаний в работе [24], вторая - имея в виду полученные в рамках ФТ результаты, может оказаться в этом плане более удачной. Определенной предпосылкой к такому заключению служит также то обстоятельство, что основы формальной технологии гораздо ближе к фундаментальным основаниям математики, чем теория групп, а потому в своем развитии ФТ может гораздо чаще и эффективнее использовать наработанные в ходе развития математики самые разнообразные ее концепции и методы, включая все ту же теорию групп. Ряд примеров такого рода заимствований приведен в работах [1, 2, 3].

С.М. Крылов

Доказательство ограниченности действия тезиса Тьюринга-Черча на объектах..,

Список использованной литературы:

1. Крылов С.М. Формальная технология и универсальные системы I // Кибернетика, 1986, №4, С. 85-89.

2. Крылов С.М. Формальная технология и универсальные системы II // Кибернетика, 1986, №5, С. 28-31.

3. Крылов С.М. Формальная технология в философии, технике, биоэволюции и социологии. - Самара: СамГТУ, 1997. - 180 с.

4. Крылов С.М. Элементы теории свойств и функциональности объектов, тезис Черча и модели простейших химических функцио-нальностей в виде слабоструктурированных гетерогенных автоматов. СамГТУ: Самара, 2001. - 22 с. Деп. в ВИНИТИ 23.02.01 №466-В2001.

5. Фон-Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. Пер. с англ. - М.: Мир, 1971. - 284 с.

6. Langton C. G. Self-reproduction in cellular automata. // Physica D, 1984, Vol. 10, pp.135-144.

7. Бадд Т. Объектно-ориентированное программирование в действии.- СПб.: Питер, 1997. - 464 с.

8. Object-Oriented Technology. ECOOP'99 Workshop Reader, ECOOP'99 Workshops, Panels, and Posters, Lisbon, Portugal, June 14-18, 1999, Proceedings. / Moreira A.M.D., Demeyer S. (Eds.). // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 1743, Springer, 1999.

9. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. Пер. с англ. М.А. Зуева под ред. А.И. Горлина. - М.: Радио и связь, 1990. - 540 с.

10. Карпов Е.М. Об алгебре физических взаимодействий. В кн.: Математическое обеспечение САПР (Межвуз. сб. научн. трудов). Куйбышев: КуАИ, 1989, с. 20-29.

11. Penrose R. Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness. - Oxford, New York, Melbourne: Oxford University Press, 1994. - 457p.

12. Copeland, B.J Turing's O-machines, Searle, Penrose and the Brain.// Analysis, 1998, 58, pp128-138.

13. Copeland, B.J.. The Church-Turing Thesis. In: E. Zalta, ed., The Stanford Encyclopaedia of Philosophy, 1998. http://plato.stanford.edu/

14. Машины Тьюринга и рекурсивные функции / Г.Д. Эббинхауз, К. Якобс, Ф.К. Манн, Г. Хермес. - М.: Мир, 1972. - 264 с.

15. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М.: Наука, 1965. 392 с.

16. Turing A. M. Systems of Logic defined by Ordinals. // Proc. Lond. Math. Soc., ser. 2, 1939, V45, pp.161-228.

17. Крылов С.М. Модели универсальных дискретно-аналоговых машин на основе машины Тьюринга // Электронное моделирование, №3, 1982., С. 6-10.

18. Kampis G. Self-Modifying Systems in Biology and Cognitive Science. - Oxford, Pergamon, 1991. - 544 p.

19. Stewart I. Deciding the Undecidable. // Nature, 1991, V352, pp.664-665.

20. Stannett, M. X-Machines and the Halting Problem: Building a Super-Turing Machine. // Formal Aspects of Computing, 2, 1990, pp.331-341.

21. Siegelmann, H.T. Computation Beyond the Turing Limit. // Science, 268, 1995, pp. 545-548.

22. Богданов А.А. Тектология: Всеобщая организационная наука. В 2-х кн. - М.: Экономика, 1989. Кн. 1 - 304 с.; Кн. 2 - 351с.

23. Bunge, M. The Furniture of the World. Vol.3 of the Treatise on Basic Philosophy. - D.Reidel Publ. Company: Dordrecht and Boston, 1977.

24. Van Rootselaar B. On Bunge's theory of things // Int. J. of General Systems, 1977, V.3, pp.175-180.