К возможностям дифференциально- геометрического метода описания упругой среды в кристаллах с топологическими дефектами

УДК 53 ББК 22.37

К ВОЗМОЖНОСТЯМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА ОПИСАНИЯ УПРУГОЙ СРЕДЫ В КРИСТАЛЛАХ С ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ДЕФЕКТАМИ

О.В. Бабурова, Е.Н. Крутцова, И.В. Разумовская, Б.Н. Фролов

Аннотация. В рамках геометрической теории упругости рассматривается дифференциально-геометрический метод описания топологических дефектов, таких как дислокации и дисклинации, на основе использования постримановых пространств с кривизной и кручением. Предложен метод построения скаляра свободной энергии и рассмотрены различные подходы к описанию движения фононов в упругой среде с дефектами.

Ключевые слова: геометрическая теория упругости, топологические дефекты, дислокации, дисклинации, постримановы пространства, кривизна, кручение, движение фононов.

Summary. Within the framework of the geometrical theory of elasticity the differential geometrical method of the description of topological defects, such as dislocations and disclinations, is considered on the basis of post-Rieman-nian spaces with curvature and torsion. The method of construction of a free energy scalar is offered and various approaches of the description of phonons motion in an elastic continuum with defects are considered. 207

Keywords: geometrical theory of elasticity, topological defects, dislocations, disclinations, post-Riemannian spaces, curvature, torsion, phonons motion.

1. Введение

Дефекты структуры в значительной степени определяют физические свойства реальных твердых тел: механические, электрические, оптические. Вакансии и в целом свободный объем участвуют в вязком течении, пластичность кристалла связана с дислокациями. Трещины и дефекты, на которых они образуются, ответственны за разрушение. Вакансии в ионных кристаллах имеют заряд и являются носителями при проводимости этих кристаллов. Одновременно они, как и атомы примеси в полупроводнике, могут рассматриваться как водородопо-добные системы с соответствующим дискретным спектром энергии электрона. Поэтому в ионных кристаллах нарушение их стехиометрического состава при* Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 14.B37.21.0380.

208

водит к окрашиванию кристалла. Применительно к примесям поправки в формулах Бора для радиуса основной орбиты и ее энергии учитывают диэлектрическую проницаемость полупроводниковой матрицы и замену массы электрона на его эффективную матрицу. Именно эти факторы приводят к сравнительно небольшой энергии ионизации примесей в полупроводнике и возможности их участия в проводимости при сравнительно низких температурах.

Современная техника во всех ее приложениях все больше использует функциональные и многофункциональные материалы. По самой природе этих материалов они имеют достаточно сложную иерархически выстроенную структуру. Отдельные ее элементы, с одной стороны, являются неотъемлемой частью структуры, с другой, при определенных условиях, оказываются дефектом или источником развития дефекта. Например, для трековых мембран система калиброванных микро- или наноотверстий в этой полимерной пленке определяет ее фильтровальные свойства. Однако при механическом воздействии на этих порах возникают микротрещины, причем, как было показано в работах [1; 2], существенное значение имеет взаимодействие полей упругих напряжений около близко расположенных пор.

Таким образом, для оценки эксплуатационных, в первую очередь механических свойств современных материалов необходимо развитие соответствующих математических методов. Несмотря на десятки монографий и тысячи статей, фундаментальная теория дефектов в настоящее время отсутствует. Одним из перспективных методов создания такой теории является дифференциально-геометрический метод моделирования структуры дефектов в кристаллах и описания движения нанообъектов в кристаллах с учетом их дефектов.

2. Римановы и постримановы геометрические структуры

В середине XIX в. немецкий математик Б. Риман открыл новый для того времени тип геометрических структур — римановы пространства, характеризуемые заданием бесконечно малого расстояния между его точками. Для трехмерного пространства это расстояние задается следующим образом: ^2 = , ц ,у = 1,2,3.

Здесь по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Геометрическая величина gцv называется метрическим тензором пространства.

Другой основной геометрической величиной риманова пространства является связность, представляющая собой закон параллельного переноса вектора в этом пространстве вдоль некоторой кривой по правилу

8и" = —Г "'^и^сЫ.

Здесь 8м" - изменение вектора и" при параллельном переносе. Величины ГяV носят название коэффициентов аффинной связности. Они определяют также правило вычисления ковариантной производной геометрических величин. Например, для вектора имеем:

ух=ЭХ+Г1Х и,

Из общего класса римановых пространств выделяют понятие пространства Римана в узком смысле. В этом случае метрический тензор определяет все свой-

ства пространства: кроме определения расстояния между точками и правила образования скалярного произведения векторов он задает также связность пространства. В пространстве Римана коэффициенты аффинной связности равны

Г" = Г" =1 г"р(д £ +Э г -д £ ) Г" = Г"

х /V х /IV ^ <5 \У u£>vp 1 ^^цр ^ ¡IV VII

2'

и называются символами Кристоффеля. В пространстве Римана имеем для метрического тензора:

V £ = д £ - Гр £ - Гр £ = 0

ко/V До/V цк орv vД о цр

В этом случае говорят, что тензор неметричности равен нулю. Римановы пространства по сравнению с евклидовым пространством обладают новой геометрической характеристикой, описываемой тензором кривизны Я = -ЯХ",ц. Геометрический смысл тензора кривизны состоит в том, что этот тензор определяет изменение вектора при его параллельном переносе вдоль замкнутого контура:

8иД = Я/ и"йБц.

Здесь тензор йБц описывает величину и направление площадки, натянутой на замкнутый контур. В пространстве Римана (и Римана-Картана, см. далее) длина вектора при этом не изменяется, вектор испытывает поворот на некоторый угол, являющийся мерой кривизны в данной точке пространства.

В настоящее время в физике используются римановы пространства с более сложной структурой, чем пространство Римана [3—6]. Известные математики Г. Вейль, Э. Картан и И. Схоутен показали, что пространства могут характеризоваться не только кривизной, но также другими фундаментальными тензорами, такими как тензоры кручения и неметричности. Условия, накладываемые на тензоры кривизны, кручения и неметричности, могут служить инструментами усложнения структуры пространства. Данные обобщенные римановы пространства получили название постримановых пространств.

Существуют несколько используемых в настоящее время различных возможностей априорного выбора геометрических свойств пространства (см. рис. 1). Это пространство Римана с кривизной, но без кручения и неметричности (геометрическая арена общей теории относительности - ОТО); пространство Римана-Картана с кривизной и кручением, но без неметричности (геометрическая арена теории гравитации Эйнштейна-Картана и ее обобщений); пространство Вайценбека абсолютного параллелизма с кручением, но без кривизны и неметричности; пространство Картана-Вейля с кривизной, кручением и неметричностью вейлевского типа; общее аффинно-метрическое пространство с кривизной, кручением и неметричностью общего типа.

В постримановых пространствах коэффициенты аффинной связности Г/ в общем случае являются структурами, зависящими не только от метрического тензора, но определяющимися также тензорами кручения и неметричности.

Тензор кручения пространства Т/ определяется антисимметричной частью коэффициентов аффинной связности: Т/ = ГДц - Г/ =-Г/ . Геоме-

209

210

Рис. 1. Возможности априорного выбора геометрических свойств пространства В скобках «+» или «-» обозначают наличие или отсутствие тензоров неметричности Q, кривизны R, кручения у Q - вектор Вейля

трический смысл тензора кручения состоит в том, что этот тензор определяет при обходе по замкнутому контуру величину разрыва проекции этого контура на касательное пространство.

Тензор неметричности равен с обратным знаком ковариантной производной от метрического тензора: Его геометрический смысл состоит в том, что этот тензор определяет при параллельном перенесении вектора по замкнутому контуру изменение длины этого вектора. Для пространства Картана-Вейля тензор неметричности имеет более простой вид: = (1/4)gflVQл Это условие носит название условия Вейля, а вектор Qx -вектора Вейля.

Существует несколько математических формализмов описания римано-вой геометрии: метрический формализм, тетрадный формализм, формализм внешних форм [3—6]. В физических приложениях в настоящее время наиболее популярным является тетрадный формализм, в котором основной независимой переменной является репер (х). Данный репер связывает компоненты метрического тензора риманова пространства и метрического тензора касательного пространства, которое в нашем случае будет 3-мерным евкли-

довым пространством с метрическим тензором (в декартовой системой координат), равным 8у = &а§(+ + +). Данная связь задается соотношением

gvV=8ye\

Координаты векторов в касательном пространстве будем обозначать буквами латинского алфавита.

В тетрадном формализме вводятся два типа коэффициентов связности: указанные выше величины 1 цу, с помощью которых производится параллельный перенос векторов, заданных своими компонентами в координатном пространстве, и коэффициенты ю'уц так называемой 5О(3)-связности, с помощью которых производится параллельный перенос векторов, заданных своими компонентами в касательном евклидовом пространстве, структурной группой которого является группа трехмерных вращений БО(3).

3. Дифференциально-геометрический метод моделирования структуры дефектов в кристаллах

Для описания движения частиц в упругой среде кристалла можно использовать два подхода. Первый состоит в описании движения частиц в определенных потенциальных полях. Второй подход — дифференциально-геометрический.

Геометрическое описание упругих сред изложено в монографии [7]. Согласно этому подходу, кристалл рассматривается как непрерывная упругая среда, которая без деформации описывается как 3-х мерное евклидово пространство с введенной в нем декартовой системой координат, в которой метрика равна 8т = &а§(+ + +).

Если в кристалле имеют место только упругие напряжения, то векторное поле смещений непрерывно и дифференцируемо. После деформации точка среды с координатой уц, ц V = 1,2,3 приобретет другую координату уц ^ хц (у) = уц + иц (х) где иц(х) = иц (у(х)) - вектор смещения. При этом тен-

Уравнения равновесия упругой среды при малых деформациях [8]:

д уац" + / ц = 0, = Х8терр + 2цеЦ\

- тензор напряжений, а X, ц - коэффициенты Ламе. При надлежащих граничных условий решение этих уравнений единственно.

После деформации пространство остается евклидовым, но система координат деформируется и становится криволинейной. Метрический тензор видоизменяется, его новое значение включает в себя тензор малых деформаций:

g (х) = -у-д— 8 ~ 8 — д и — д и =8 — 2е .

Ц дх Ц дх V V V ц ц ц

При этом геометрия пространства остается евклидовой, нет физической причины введения кривизны и кручения. Математический аппарат теории

зор малых деформаций равен £ =— (дuuv + дуиц), д иц < 1.

211

212

использует только тензорный анализ в криволинеиных системах координат в трехмерном плоском евклидовом пространстве.

Если же кристалл содержит дефекты (дислокации и дисклинации), то векторное поле смещений будет иметь разрывы. Для случая упругих сред, содержащих в общем случае дислокации и дисклинации, внутреннее пространство кристалла уже не является евклидовым, и для его описания был предложен математический аппарат постримановой геометрии с кривизной и кручением — геометрии Римана-Картана [9-12].

Дислокации — дефекты кристалла: линии, вдоль и вблизи которых нарушено характерное расположение атомных плоскостей. Для простейших дислокаций эти линии называются осями дислокации. На осях дислокации происходит разрыв вектора смещения. Тогда при интегрировании вектора смещения вдоль замкнутого контура C вокруг оси дислокации его концы не совпадут и будут отличаться на Ъ' (вектор Бюргерса):

f dx *д*и' (x) = -f dx*d* У (x) = -Ъ'.

C C

В геометрическом подходе основной независимой переменной является репер e'* (x), который в случае дислокации определяется следующим образом [12]:

i д У вне разреза,

e' *(x) = 1г а '

[lim д* y на разрезе.

f e'*dx* = ff (d*e'v -dve'*)dS*v = V.

C S

Постулируется, что

b' = ff T'*vdS*v, T*v = d*eiv + cdJ*eiv - v),

S

где T'*v - тензор кручения, ю'j* - 50(3)-связность. Оба выражения для Ъ' совпадают при ю j* = 0. Поверхностная плотность вектора Бюргерса

интерпретируется как тензор кручения.

Дисклинации — дефекты спиновой структуры среды, под которой понимается заданное в каждой точке единичное поле направлений n' (x). Примерами сред со спиновой структурой являются ферромагнетики и жидкие кристаллы.

Спиновая структура задается полем ю' (x) = -ю1 (x) инфинитезимальных операторов вращений от некоторого начального направления к направлениям векторов n' (x). Образуем интеграл

Q' = f dx*d*a«

вдоль замкнутого контура С. В среде без дисклинаций этот интеграл равен нулю. При наличии дисклинаций этот интеграл по контуру, охватывающему линию дисклинации, отличен от нуля.

Дисклинацию характеризует вектор Франка 0,. = £ißQJk (£iJk - полностью антисимметричный тензор, £ 123 = 1). Длина вектора Франка равна углу поворота вектора П (х) при обходе вокруг дисклинации. Вводится поле, отождествляемое со 50(3)-связностъю [12]:

д вне разреза,

I lim dßw'J на разрезе.

О = Ц

Я'ц = дЮV + (ЮцЮV — (Ц^ V).

Поверхностная плотность вектора Франка интерпретируется как кривизна связности Я'ц.

С математической точки зрения дислокации и дисклинации характеризуются значениями интегралов вдоль произвольных замкнутых линий, охватывающих оси дислокаций или дисклинаций. В математической теории многообразий значения таких интегралов определяют топологические характеристики многообразий. В этом смысле дислокации и дисклинации называются топологическими дефектами кристаллов.

4. Вариационный формализм при геометрическом описании теории упругости

Уравнения равновесия упругой среды выводятся вариационным образом из условия минимума ее свободной энергии. Свободная энергия равна интегралу от некоторого скаляра, в данном случае зависящего от инвариантов тензоров кривизны и кручения. Применим метод получения инвариантов, основанный на понятии неприводимых тензоров.

В 3-мерном пространстве тензора кручения и кривизны могут быть представлены как суммы тензоров, каждый из которых преобразуется по неприводимому представлению ортогональной группы БО(3) - группы ковариантности геометрических объектов касательного пространства [5].

Тензор кривизны в 3-мерном пространстве Римана-Картана следующим

образом разлагается на неприводимые части:

» — »(1) _1_ О _1_ »(3) Кщ = К Ш] + К Ш] + К иц ,

R1 щ = 2(5,[tR]j) -5ЛД;и)-|(5,№51]j -5j[t5,V)R;

R<2)= 2(5¡[Д,]j] -5дД,],]),

R (\ = 7 (5 k51 j -5j[k51 ],)R.

213

1

61

Отсюда следует, что тензор кривизны в 3-мерном пространстве Римана-Картана выражается только через тензор Риччи Яу = Я'¡у и скаляр кривизны Я = 8«Яу [3]:

1

Я% = 2(8Я ] — 8ЛкЯЩ1 ]) — 2(8Ау— 88) Я.

Тензора кручения в 3-мерном пространстве Римана-Картана разлагается по правилу

Т — Т(- _1_ Т _1_ Т Т — Я Т Т — о Т*

1Щ- 1 к] + 1 к] + 1 ] 1 к]-3 к ц1] ] , 1 V -е

на бесследовый тензор 1 (1)и/ и два тензора 1 (2)к] и 1<3)к], определяемые, соответственно, вектором следа Т - Ткк и скаляром псевдоследа 1 * - (1/ 6)е к]Гк]. Бесследовый тензор обладает свойствами: Т (1>кк - 0, е и]1 <У1и] - 0.

По аналогии с решением аналогичной задачи в постримановой теории гравитации [13], в качестве искомого скаляра предлагается взять сумму всех неприводимых частей кривизны и кручения с произвольными (подлежащими уточнению) коэффициентами и дополнить эту сумму первой степенью скаляра кривизны (е — det еЦ):

1 3

-I - - х Я + У (т Я(г\шЯ(г)Ш] + рГ(г\]кГ(г)]к).

е г-1

Можно убедиться, раскрывая конкретные выражения для неприводимых частей кривизны и кручения, что по сравнению с работой [12], где решалась аналогичная задача, предложенный скаляр содержит дополнительные инварианты кривизны.

Для конкретизации произвольных коэффициентов в данном скаляре И.В. Воловичем и М.О. Катанаевым (см. [12]) предложено принять во внимание следующие частные случаи:

Должны существовать решения только с дислокациями:

ящ - о, т> о.

Должны существовать решения только с дисклинациями:

214 К * о, К-о.

Должны существовать решения для среды без дефектов:

Я' - о, Т' - 0.

: 7 цу

В результате удовлетворения данным условиям скаляр упростился и принял вид:

-1 -- х я + 1гЯА1Ял". е

Здесь Я (е) - скаляр кривизны, построенный из реперов без учета кручения, ЯА] (е,ю) - Я ] - антисимметричная часть тензора Риччи с кручением:

я - я% + ял9 +1 яз9.

Напомним, что в тетрадном формализме описания геометрии Римана-Картана независимыми переменными являются репер еЦ и 50(3)-связность (о'Ц, по которым и следует производить варьирование скаляра свободной энергии для получения условий равновесия.

5. Клиновая дислокация в теории упругости

Клиновая дислокация — это бесконечная упругая среда, совпадающая с евклидовым пространством Я3, из которого вырезается клин с углом — 2п9 (острие клина совпадает с осью Z). Затем края разреза сдвигаются и склеиваются. Затем среда под действием упругих сил переходит в равновесие. Клин в среду вставляется при положительном угле дефицита 2п9 и клин вырезается при — 1 <9 < 1 (см. рис. 2 [12]).

В геометрическом подходе задача сводится к решению 3-мерного уравнения Эйнштейна для реперов в пространстве, окружающем дислокацию с источником в виде дельта-функции на разрезе [12]:

~ 1 2П

я —1Я = Т , Т = ^Пвд{1)(х,у).

цу ^^ Ц Ц у 22

Правая часть уравнения описывает одну клиновую дислокацию с источником в начале цилиндрической системы координат. Решение этого уравнения имеет вид:

&2 = а/2 + ¿ь2, А!2 = г29 (( + г 2Ар2).

Далее делается преобразование полученной метрики так, чтобы она удовлетворяла в нелинейной теории упругости упругой калибровке, фиксирующей произвол в диффеоморфизмах [12]:

А!2 =| -

я

\2П —2 (

Аг2 +——Ар' 71

у 1 =-9Ь + л19 2Ъ2 +1+9

Ъ = -

о

2(1 -о У

а = 1 + 9.

215

216

Аналогичная задача для клиновой дислокации может быть решена также стандартными методами в теории упругости [12]. Полученная при этом метрика имеет следующий вид:

1 — 2а, г \ 2 2 (, Л — 2а. г 1 \ 2 йг2 + г |1 + 0--1п— + 0-- йф.

А'2 =|1 + 1п— , . .

^ 1 — а Я ^ 1 — а Я 1 — а

В линейном приближении, то есть при условии

1 — 2а

у

у1 -1+е- ,

2

рассмотренные две метрики совпадают. Вместе с тем метрика (1) имеет более простой вид и получена более простым способом. Она описывает нелинейную теорию упругости. Предсказания данной геометризованной нелинейной теории упругости могут быть проверены экспериментально.

6. Упругие колебания в кристалле с дефектами

Для определения упругих колебаний в упругой среде без дефектов необходимо найти векторное поле и' (?, х), являющееся решением волнового уравнения в евклидовом пространстве [8]:

р0и' — ц&е)и' — (Л + ц)д'дуиу = 0 ,

где А(е) = д'д' - оператор Лапласа в евклидовом пространстве в декартовой системе координат. В среде с дефектами колебания считаются малыми по сравнению с напряжениями, создаваемыми дефектами дци' < еЦ [12].

В геометризованной теории упругости наличие дефектов интерпретируется как наличие кривизны и кручения в среде. При этом постулируется, что уравнение упругих волн в пространстве вне дислокаций и дисклинаций принимает следующий вид:

р0и' — цАи' — (Л + Ц)У'Ууи' = 0 ,

где поле смещений и' = е' ц иц задано относительно базиса касательного пространства, а в ковариантном операторе Лапласа А = V'V', V' = е' цУЦ — обычные производные заменены ковариантными производными по пространственным переменным.

Разлагая поле смещения с помощью ковариантных производных на поперечную и продольную составляющие: и' = ит' + и1', V ит' = 0, V'и] — V и^ = 0 , получаем, что ковариантное волновое уравнение для упругих колебаний эквивалентно двум уравнениям для поперечных и продольных колебаний:

—и1' —Нит' = 0, с2 =Ц,

сТ Т Р о

-1 и-—А и" = 0, с] =Л+^Ц .

с] ' Р о

Фононами в твердом теле называются квазичастицы, возникающие при вторичном квантовании данных уравнений [12].

Физико-математические науки 7. Рассеяние фононов на клиновой дислокации

Общепринята гипотеза, что при описании движения фононов может быть использовано приближение геометрической оптики (представление о фронтах волны и лучах). Тогда в высокочастотном приближении фононы будут распространяться вдоль лучей, совпадающих с экстремалями для 4-метрики, а форма лучей определяется экстремалями для 3-метрики: = — Г рцх" хр. Для среды, содержащей клиновую дислокацию, была получена метрика

g U V

( r2Y-2

R^

0 0

0

у2 R 0

2у-2

0

1

V /

Для данной метрики вычисляем символы Кристоффеля и подставляем в уравнение экстремалей. В результате получаем следующие уравнения:

У-1.2 а2 .2 .. 2у . . .. _

г =--г +--гф , ф=—- гф, 2 = 0.

г у г

Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений получим два интеграла. Для любой метрики уравнения для экстремалей имеют интеграл (квадрат скорости):

а

g xиxV = const, r2"'-2r2 +— r>2 = C0 = const > 0.

и V у2

Инвариантность метрики относительно вращения вокруг оси Z приводит к другому интегралу: r21ф = C1 = const r2гф=С1 =const. Из этих уравнений находим [12]:

Г = ±r 2/+1

Co r 2Y-a Ci2

ф = С/ .

217

а2 r2Y

0

8. Непрерывное распределение дислокаций и дисклинаций

Дислокации и дисклинации описывались дельтообразными функциями по

аналогии с описаниями элементарных частиц и узлов в кристаллах при микро-

скопическом описании физических явлений в кристаллах. При этом простран-

ство, окружающее дислокации и дисклинации, являлось плоским, и наличие

упругих деформаций описывалось деформациями метрики путем перехода в кри-

волинейную систему координат, оставаясь в плоском евклидовом пространстве.

Но так же, как и в теории сплошных сред, в которой происходит путем

усреднения переход к непрерывному континууму, так и в ряде задач в физи-

ке кристаллов при большой плотности дислокаций и дисклинаций удобно

перейти путем усреднения к их непрерывному распределению в простран-

стве кристалла. При таком подходе можно ставить задачу о влиянии дефек-

тов кристалла на его макроскопические свойства, такие как вязкость, элек-

трическое сопротивление и др.

218

В этом случае пространство кристалла описывается в геометрической теории упругости как постриманово пространство Римана-Картана, что приводит к переосмыслению некоторых положений геометрической теории упругости.

Так, фононы должны описываться при вторичном квантовании не уравнений (2), а уравнений, обобщающих эти уравнения на пространство Римана-Картана, в которых ковариантные производные VЛ и лапласиан А = VЛ VЛ пространства Римана заменены на ковариантные производные VЛ и лапласиан А = VЛ VЛ, содержащие в общем случае кручение.

Общепринято полагать, что в пространстве Римана лучи света распространяются по геодезическим, которые представляют из себя экстремали, то есть кривые, реализующие экстремум функционала собственного времени в данном пространстве (обобщенный принцип Ферма) [3]. В пространстве Римана экстремали совпадают с автопараллелями, под которыми понимаются кривые, касательный вектор к которым переносится параллельно самому себе по отношению к связности пространства. Движение вектора скорости вдоль автопараллели описывается уравнением:

и "V Л и ц= 0.

Также по геодезическим двигаются любые пробные бесспиновые частицы. Но частицы со спином уже не двигаются по геодезическим, их движение определяется уравнениями Матиссона-Папапетру (см., например, ссылки в [14]).

В пространстве Римана-Картана экстремали совпадают с экстремалями пространства Римана, но автопараллели уже не совпадают с экстремалями. Лучи света и бесспиновые частицы двигаются и в этом случае по экстремалям (3), которые совпадают с геодезическим пространства Римана.

Но по поводу движения в пространстве Римана-Картана частиц со спином существует разброс мнений. Так, в работе [15] утверждается, что в этом случае пробные частицы со спином двигаются по автопараллелям согласно уравнению

и и ц = 0,

где V - ковариантная производная по отношению к связности пространства Римана-Картана.

Вместе с тем в работе [14] на основе законов изменения тензоров энергии-импульса и спина в пространстве Римана-Картана обосновывается, что частицы со спином (а также и фононы как частицы с целым спином) в пространстве Римана-Картана должны двигаться согласно уравнениям:

и^ЛПц = —(1/2)т^аРЯарцуиУ —ПЛТ ЛЦvuV,

ши^ ЛБ ц = —иЦБУ

Пц = ш(ц — У \ Бц = (1/П^Б^

где Пц- обобщенный импульс, Бцу - тензор спина, Sц- 4-мерный вектор спина Паули-Любаньского, пЦ0фт - совершенно антисимметричный тензор Леви-

Чивита. Уравнения (5) более сложны, чем (4), и явно учитывают взаимодействие спина частицы с кривизной (тем самым с дисклинациями), а импульса частицы с кручением (тем самым с дислокациями). Тогда траектории фононов должны описываться трехмерным аналогом уравнений (5).

9. Заключение. Другие возможные типы дефектов в кристаллах

Был описан дифференциально-геометрический метод описания упругой среды в кристаллах с топологическими дефектами, к которым относятся дислокации и дисклинации. Дислокации являются достаточно распространенным дефектом и в геометрической теории упругости описываются тензором кручения. Дисклинации описываются тензором кривизны и, как правило, не возникают в трехмерных кристаллах, так как этот тип дефектов требует слишком много упругой энергии. Пространство с кручением, но без кривизны носят название пространства Вайценбека и обладает рядом интересных особенностей, например, свойством «дальнего параллелизма»: в таком пространстве параллельный перенос векторов происходит так же, как и в евклидовом пространстве вне кристалла.

Возникает следующий вопрос. Так как общий случай постримановых пространств согласно И. Схоутену описывается тремя фундаментальными тензорами — кроме тензоров кривизны и кручения возникает также тензор неметрич-ности (см. п. 2), — то существуют ли такие типы дефектов в кристалле, которым соответствует в геометрической теории упругости тензор неметричности.

Этому вопросу посвящен обзор [11], в котором указывается, что тензору неметричности соответствуют дефекты типа «лишнего вещества», то есть вкрапления в структуру кристалла элементов вещества со свойствами, отличающимися от свойств основного вещества кристалла. Примерами могут служить вкрапления вещества с другим коэффициентом объемного расширения при нагревании, или вкрапления со свойствами ферроэластичности, в результате чего могут возникать спонтанные упругие напряжения ниже температуры Кюри. К этому же случаю относятся так называемые «конформные кристаллы» [11]. Пространство кристалла с такого рода дефектами будет описываться геометрией Картана-Вейля с тензором неметричности, подчиняющимся условию Вейля (см. п. 2).

В случае геометрических пространств с неметричностью скаляр свободной энергии целесообразно формировать в соответствии с методом, развитым в работе [13] и описанным в п. 4, согласно которому данный скаляр следует строить как сумму инвариантов неприводимых частей тензоров кривизны, кручения и в данном случае также тензора неметричности. При этом проекцию от тензора неметричности общего вида к тензору неметричности пространства Картана-Вейля следует производить с помощью вариационного метода неопределенных множителей Лагранжа. Результат следует сравнить с результатами, полученными другими методами теории упругости.

Как было отмечено в п. 8, не нашел своего окончательного решения также вопрос об уравнениях движения частиц со спином (а следовательно и фо-нонов) в пространстве кристалла с дефектами.

219

Таким образом, дифференциально-геометрическая теория описания упругой среды в кристаллах с топологическими дефектами имеет давнюю историю, представляется перспективной, но имеет ряд нерешенных до конца вопросов и требует дальнейшего изучения и развития.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Разумовская, И.В. Влияние пор в трековых мембранах на их прочность [Текст] / И.В. Разумовская и др. // Преподаватель XXI век. — 2009. - № 1.

- С. 206-215.

2. Гумирова, В.Н. Влияние пор и их фрактального распределения на прочность трековых мебран [Текст] / В.Н. Гумирова // Перспективные материалы (специальный выпуск). — 2008. - № 5. — С. 650-655.

3. Дубровин, Б.А. Современная геометрия: Методы и приложения [Текст] / Б. А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 760 с.

4. Пономарев, В.Н. Геометро-динамические методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий [Текст] / В.Н. Пономарев, А.О. Барвинский, Ю.Н. Обухов. - М. : Энергоатомиздат, 1985. — 168 с.

5. Hehl, F.W. Metric-Affine Gauge Theory of Gravity: Field Equations, Noether Identities, World Spinors, and Breaking of Dilaton Invariance [Text] / F.W. Hehl et al. // Phys. Rep. - 1995. - V. 258. - P. 1-171 (gr-qc/9402012).

6. Бабурова, О.В. Математические основы современной теории гравитации : Монография [Текст] / О.В. Бабурова, Б.Н. Фролов. — М. : Прометей, 2012.

- 132 с.

7. Седов, Л.И. Механика сплошной среды : в 2 т. [Текст] / Л.И. Седов. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983-1984. Т. 1. - 1983. - 528 с.; Т. 2. -1984. - 560 с.

8. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости [Текст] / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

220 - 248 с.

9. Kondo, K. RAAG Memoirs of the unifying study of the basic problems in physics and engineering science by means of geometry [Text] / K. Kondo. - Tokio : Gakujutsu Bunken Fukyu-Kay, 1952-1955. - V. 1. - 1952 ; V. 2. - 1955.

10. Кадич, А. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций [Текст] / А. Кадич, Д. Эделен. - М. : Мир, 1987. - 168 с.

11. Miri, M.F. Continuum elasticity with topological defects, including dislocations and extra-matter [Text] / M.F. Miri, N. Rivier // J. Phys. A: Math. Gen.

- 2002. - V. 35. - P. 1727-1739.

12. Катанаев, М.О. Геометрическая теория дефектов [Текст] / М.О. Катана-ев // Успехи физических наук. - 2005. - Т. 175. - № 7. - С. 705-733.

13. Бабурова, О.В. Вариационный принцип в постримановых теориях гравитации [Текст] / О.В. Бабурова и др. // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2013. - Т. 56. - № 6. - С. 103-104.

14. Babourova, O.V. Interaction of the 4-rotational gauge field with orbital momentum, gravidiamagnetic effect, and orbital experiment «Gravity Probe B» [Text] / O.V. Babourova, B.N. Frolov // Phys. Rev. D. - 2010. - V.82. -P. 027503 (3) (gr-qc/1004.1790).

15. Mao, Y. Constraining Torsion with Gravity Probe B [Text] / Y. Mao et al. // Phys. Rev. D. - 2007. - V. 76. - P. 104029 (26) (gr-qc/0608121v3).