Исследование погрешности определения параметров гармонического сигнала на основе метода разложения на собственные числа

УДК 519.873

В. В. Козлов, Е. А. Ломтев, Б. Н. Маньжов

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА НА ОСНОВЕ МЕТОДА РАЗЛОЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Аннотация. Рассматривается влияние различных факторов на определение параметров гармонического сигнала на основе метода разложения на собственные числа. Приводятся зависимости результата моделирования метода. Оцениваются погрешности измерения амплитуды и частоты сигнала и формулируются некоторые рекомендации по их уменьшению.

Abstract. It is considered influence various factors on determination parameters harmonic signal on the basis of a decomposition on own numbers method. Dependences result modeling a given method. Errors measurement amplitude and frequency of a signal, formulated and estimated some recommendations about their reduction.

Ключевые слова: метод разложения на собственные числа, виртуальный измерительный прибор, параметрические методы обработки информации, аппроксимация сигналов, авторегрессионная модель со скользящим средним.

Key words: decomposition on own numbers method, virtual measuring device, parametric methods of measurement information processing, signals approximation, autoregressive moving - average model.

Одной из тенденций развития информационно-измерительной техники является переход от прямых методов измерения к косвенным и совокупным. При этом основная тяжесть в решении проблем переносится с аналоговых методов обработки измерительной информации на цифровые. Такой переход позволяет исключить из состава автоматизированных систем сложные и дорогостоящие аналоговые измерительные преобразователи.

Применение цифровых методов делает также возможным использование персонального компьютера, оснащенного стандартным АЦП, в качестве универсальной измерительной станции, способной совместить процессы получения и обработки измерительной информации. Такая станция может заменить целый ряд универсальных измерительных приборов. Часто ее называют виртуальным прибором.

Процесс измерения представляет собой оцифровку электрического напряжения и обработку по определенным алгоритмам полученных значений.

Во многих областях науки и техники перед исследователем возникает задача, как на основе данных, полученных на конечном интервале времени, сформировать максимально достоверное представление об основных характеристиках исходного сигнала [1]. Развитие цифровой вычислительной техники значительно расширило сферы применения численных методов к оценке параметров сигнала.

Наиболее распространенные и простые в реализации методы спектрального оценивания, такие как БПФ и подход Блэкмана-Тьюки, не дают необходимой точности. Исследования метода быстрого преобразования Фурье показывают, что погрешность определения амплитуды и частоты гармонического сигнала составляет 1,5-2 % [2]. Подход, часто называемый оценкой СПМ Блэкмана-Тьюки, имеет плохое разрешение даже для слабозашумленных сигналов [3]. Поэтому для определения параметров сигнала с высокой точностью необходимо использовать методы, которые лишены или хотя бы менее подвержены этим недостаткам.

К одним из таких методов оценивания параметров сигнала принадлежит метод разложения на собственные числа, который основан на анализе собственных значений автокорреляционной матрицы или одной из матриц данных. Этот метод обеспечивает лучшие характеристики разрешения и оценивания параметров, чем другие параметрические методы, особенно при низких отношениях сигнал/шум, когда эти методы не в состоянии различить близкие по частоте синусоиды или другие узкополосные спектральные компоненты.

Алгоритм метода разложения на собственные числа, в своем оригинальном виде, требует сложных математических вычислений. В частности, самой трудоемкой задачей является определение минимального собственного числа автокорреляционной матрицы сигнала и соответствующего ему собственного вектора. Однако при современном развитии вычислительной техники представляется возможность реализовать данный алгоритм в некоторых программных средах. Моделирование проводилось в системе Ма1;ЬаЬ 7.0.

При моделировании входные параметры амплитуды варьировались в диапазоне от 0,1 до 1, а число периодов за время измерения - от 1 до 250. В связи с ограничением данного метода значение фазы сигнала определить не представляется возможным, несмотря на это в обучающей выборке значение фазы изменялось от 0 до п. Для оценки точности выбора параметров модели будем использовать значения относительной погрешности таких параметров сигнала, как амплитуда и частота. Необходимо учесть условие, что все расчеты должны быть выполнены в относительных единицах.

Для оценки точности определения параметров гармонического сигнала были смоделированы различные влияющие факторы. Так как моделирование всех зависимостей проводилось параллельно, значение остальных влияющих факторов, кроме исследуемого, устанавливалось либо по результатам других экспериментов, либо таким образом, чтобы исключить влияние этого параметра.

Квантование сигнала приводит к появлению равномерного шума, а так как на входе алгоритма обработки моделируется выходной сигнал двоичного АЦП, число уровней квантования оказывает заметное влияние на точность определения параметров сигнала. Отсюда возникает задача - определить число разрядов АЦП, при котором достигаются минимальные погрешности и не изменяются в дальнейшем.

Зависимость погрешности от числа разрядов приведена на рис. 1,а, из которого видно, что 8-12 разрядов АЦП вполне достаточно, чтобы минимизировать погрешности при заданном уровне случайных помех. Использование более точного АЦП при приеме исследуемого сигнала является необоснованным в данном случае, так как увеличивает стоимость АЦП, но не приводит к повышению точности вычисляемых характеристик сигнала. При этом погрешность остается стабильной на уровне 0,02 и 0,01 % для амплитуды и частоты соответственно.

й Л

а) б)

Рис. 1. Влияние числа разрядов АЦП на погрешность измерения амплитуды и частоты

В следующем эксперименте при фиксированном числе отсчетов (V = 1000) изменялось значение шага дискретизации в диапазоне 0 <Д^ < —^ . При этом максимальный шаг принят за

Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль

единицу, и на графике (рис. 1,б) шкала Лt представлена в долях от максимального шага. Здесь опять видны ограничения частотного диапазона «снизу» и «сверху».

При исследовании влияния количества периодов за время измерения, показанного на рис. 2,а, было выявлено, что для стабильного определения параметров сигнала необходимо, чтобы количество периодов сигнала было больше пятидесяти, при таком условии погрешности определения параметров находятся на уровне 0,05 и 0,01 % для амплитуды и частоты соответственно.

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

N

а)

б)

Рис. 2. Влияние числа периодов на погрешность измерения амплитуды и частоты

Число точек на период можно исследовать другим способом, зафиксировав число периодов измеряемого сигнала и меняя число отсчетов. Зависимость погрешностей измерения амплитуды и частоты синусоидального сигнала от количества отсчетов приведена на рис. 2,6. По характеру изменения графика можно сделать вывод, что при большом числе отсчетов погрешности начинают уменьшаться. Если принять верхнюю границу равной 1000 отсчетов, то получаем 50 точек на период, а количество отсчетов, которое необходимо для обеспечения стабильно низкой погрешности, составляет 60-80. Это соответствует 3-4 точкам на период.

Значения погрешности от изменения амплитуды сигнала при обработке гармонического колебания в присутствии равномерного шума имеют вид, приведенный на рис. 3,а, при этом погрешность определения амплитуды 0,05 %, а частоты - 0,01 %.

а)

0.1

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

0

ЙА

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 і I. 1 1 1 1 1 1

№ #4

1.5

А

б)

Рис. 3. Влияние амплитуды сигнала на погрешность измерения амплитуды и частоты

0

50

100

150

0

0.5

2

2.5

3

На практике процесс измерения не синхронизирован с принимаемым сигналом, поэтому при моделировании гармоническое колебание будет с ненулевой начальной фазой. Отсюда

возникает необходимость исследовать влияние начальной фазы на точность контрольных параметров сигнала.

Из рис. 3,б видно, что момент измерения мало влияет на точность обработки полученного с АЦП временного дискретного ряда. Неравномерность кривой обусловлена, скорее всего, влиянием шума.

Сигнал принимается совместно с помехой, которая может быть представлена не только нормальным шумом, но и смесью стационарной помехи и нормального шума. Рассмотрим влияние частот неинформативных гармонических сигналов на точность определения. Стационарная помеха моделируется двумя гармоническими колебаниями. В общем случае их частота может быть и больше, и меньше частоты измеряемого сигнала. Частоту неинформативной составляющей будем задавать в диапазоне от 0,5/до 1,5/ /- частота измеряемого сигнала).

В случае совпадения частот измеряемого сигнала и помехи их мгновенные значения сложатся, и в результате обработки такого сигнала определятся параметры этой суммы. Из зависимости, представленной на рис. 4, видно, что применение данного алгоритма обработки данных имеет смысл при разнице частот не менее чем 0,4 от измеряемой частоты. В этом случае происходит уверенная фильтрация стационарных помех.

Рис. 4. Влияние соотношения измеряемой частоты и частоты гармонической помехи на погрешность измерения

Одной из поставленных задач является исследование помехоустойчивости обработки данных по методу разложения на собственные числа. При исследовании помехоустойчивости будем рассматривать величину, которая называется «коэффициент подавления шума». Он представляет собой отношение сигнал/шум на выходе алгоритма обработки представленных данных к тому же отношению на входе. Будем исследовать зависимость коэффициента подавления от отношения сигнал/шум. Немаловажным параметром, от которого зависит коэффициент подавления шума, является число двоичных разрядов АЦП.

Из графиков, приведенных на рис. 5, можно сделать вывод, что использовать этот метод цифрового оценивания имеет смысл уже при отношении сигнал/шум выше 30.

При достаточном количестве разрядов АЦП обработка по методу разложения на собственные числа может успешно использоваться для подавления сильных помех, а при работе со слабозашумленным сигналом, т.е. при больших значениях сигнал/шум, малого количества разрядов АЦП оказывается недостаточно, чтобы обеспечить стабильный коэффициент подавления шума. 14 разрядов АЦП достаточно, чтобы коэффициент подавления оставался стабильным и при высоких значениях сигнал/шум.

К факторам, обусловливающим погрешность определения параметров гармонического сигнала методом разложения на собственные числа, относятся параметры регистрации (длина реализации, число периодов), оцифровки (разрядность АЦП, шаг дискретизации), условия воспроизведения сигнала (амплитуда и фаза сигнала, уровень шума, частота гармонической помехи).

_____і_____і_____і_______і______

ї і і і і

0 10 20 30 40 SO 60 70 SO 90 100

SNR

а)

б0 100 1б0 200 2б0 300 3б0 400 4б0 б00

signal/noise

б)

Рис. 5. График зависимости от отношения сигнал/шум

При правильной организации процесса измерения влияние систематической помехи и случайного шума сводится к минимуму, коэффициент подавления шума устанавливается на уровне 15, что свидетельствует о хорошей помехоустойчивости метода даже при низких значениях отношения сигнал/шум.

Полученные результаты исследований подтверждают актуальность использования метода разложения на собственные числа в виртуальных измерительных приборах и открывают перспективу применения данного метода в микропроцессорах цифровой обработки сигналов.

Список литературы

1. Козлов, В. В. Применение методов цифрового спектрального оценивания в задаче измерения параметров сигнала / В. В. Козлов, Б. В. Цыпин, М. Г. Мясникова, С. В. Ионов // Измерительная техника. - 2010. - № 10.

2. Козлов, В. В. Возможность преобразования Фурье для измерения параметров сигнала /

B. В. Козлов // Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации : материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2006.

3. Марпл-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения : пер. с англ. /

C. Л. Марпл-мл. - М. : Мир, 1990. - 584 с.

30

2б

20

K 1б

10

б

0

Козлов Валерий Валерьевич

старший преподаватель,

кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: iit@pnzgu.ru

Ломтев Евгений Александрович

доктор технических наук, профессор, советник ректора,

Пензенский государственный университет E-mail:iit@pnzgu.ru.

Маньжов Борис Николаевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: iit@pnzgu.ru

Kozlov Valeriy Valer'evich

senior lecturer,

sub-department of information and measuring technique,

Penza State University

Lomtev Evgeniy Aleksandrovich

doctor of technical sciences, professor, advisor to the rector,

Penza State University

Man'zhov Boris Nikolaevich

candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of information and measuring technique,

Penza State University

УДК 519.873 Козлов, В. В.

Исследование погрешности определения параметров гармонического сигнала на основе метода разложения на собственные числа / В. В. Козлов, Е. А. Ломтев, Б. Н. Маньжов // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 1. - С. 50-55.