Пример задачи Коши для системы со свободными членами

УДК 517.9

DOI 10.24411/2409-3203-2019-121124

ПРИМЕР ЗАДАЧИ КОШИ для системы со свободными членами

Донцова Марина Владимировна

к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Россия, г. Нижний Новгород

Аннотация: В предыдущей работе Донцовой М.В. с помощью метода дополнительного аргумента определены достаточные условия существования нелокального решения задачи Коши для одной системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами. В данной работе приведен пример задачи Коши для системы со свободными членами, которая имеет единственное нелокальное решение.

Ключевые слова: метод дополнительного аргумента, задача Коши.

AN EXAMPLE OF A CAUCHY PROBLEM FOR A SYSTEM WITH FREE TERMS

Dontsova Marina Vladimirovna

PhD, Senior Lecturer of the department of differential Equations, mathematical and numerical analysis Lobachevsky State University Russia, the city of Nizhny Novgorod

Abstract: In the previous work of M.V. Dontsova, sufficient conditions for the existence of a nonlocal solution of the Cauchy problem for one system of two first-order quasi-linear equations with free terms were determined using the additional argument method. This paper gives an example of the Cauchy problem for a system with free terms that has a unique nonlocal solution.

Keywords: method of an additional argument, Cauchy problem.

В статье [1] рассмотрена задача Коши для системы вида

б ¡и

5,г(г, х) + ^ (и, Г)дху(г, X) = / (г, х), 4 7

где и(г, х), \(г, х) - неизвестные функции, / (г, х), / (г, х), ^, - известные функции, с начальными условиями

м

на От = {(г,х)|0 <г <Т,х е (-да,да),Т > 0}.

Обозначим С1,2,2 (О-т ) - пространство функций один раз дифференцируемых по переменной г, дважды дифференцируемых по переменной х, имеющих смешанные производные второго порядка и ограниченные вместе со своими производными на от ,

Cv = max{supk(/)||i = 1,2,1 = 0,2}, Nf = max{supf|,sup|dxf |,i = 1,2},

R O O

ZK = {(u,v\u,v e [-K,K]}, где К - положительное число.

В статье [1] с помощью метода дополнительного аргумента [2], [3] при выполнении условий р1, р2 £ С 2(Я), /1(г, х), /2(г, X) £ С 2'2(ОТ), Б2 £ С1'1{1К), К = Ср + ТЫГ,

дД < 0,аД > °< °дА > 0 на/к, ((X) < 0,((X) > 0 на Я, дх/\ < ° аХ./2 > 0 на установлено, что для любого Т > 0 задача Коши (1), (2) имеет единственное решение

и(г, х), х) £ С 1Д2(ОТ).

В данной статье рассмотрим пример. Пример.

Рассмотрим систему вида

ди^, х) + „ 1, . дxu(t, х) = 1 + 1

10и"2у + Г 12х +1' пл

1 Г 1

д , х) +-;-д х) =---,

11и"3у + 7 2 ех + 8

где и(г, х), х) - неизвестные функции.

Поставим для системы уравнений

Задача (3), (4) определена на = {(г,х)|0 < г < Т,х £ (—да,да),Т > 0}.

1 1 1

Здесь ^1(и, V) =---, Б2(и, V) =---, /1(г, х) = г +-,

10и—^ + 5 11и—3v + 7 12х +1

^ / л г 1 . . 12х 1п12 . . ех „ ^ 3

f2(t,х) = 77--, дхЛ = — 7-,дх/г = 7-ъ , ((х) = ~ п 2 ,

2 е + 8 (12х +1)2 (ех + 8^ 1 + 9 х2

2 Л 54х п/ \ 16х

р2 (х)=1+4?  р1(х), Р2(х)=—Т^бх2)2,

С9 = тах{ вир р() \1 = 1,2,1 = 0,2} = 11 + -, я 2

М/ = тах{ вир Л |, вир д /1, / = 1,2} = Т +1,

— о

К = Ср + ТЫГ = 11 + — + Т 2 + Т. р Л 2

Так как (, р2 £ С2(Я), /¡(г,х),/2(г,х) £ С2'2(Ог), ^^ £ С2'2(/к),

— 1 К = 11 + — + Т2 + Т,

2

10и—2* 1п10 0 10и—22v21п10 0 11и—3v 1п11 Л

дА = —7—-° < 0, дА =^-> 0, дА = —7—-1 < 0,

I и—3v

„ 0 11и—3V 31п 11 Л д^ 2 = 7-ъ > 0 на /

I и—3v

(11и—3v + 7)2

к

3 2

(1( х) = —'—< 0, (2(х) = -—Т > 0 на Я,

1 + 9х2 1 + 4х 2

1 ^х 1 1 О х

дхЛ = — 12 " '2 < 0,дх/2 =Т^Г > 0 на От, (12х +1)2 (ех + 8)Г

1 2 2

то задача Коши (3), (4) имеет единственное решение и(г, х), v(г, х) £

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00125 мол_а.

Список литературы:

1. Донцова М.В. Условия нелокальной разрешимости одной системы двух квазилинейных уравнений первого порядка со свободными членами // Журнал Средневолжского математического общества. - 2019. - Т. 21. - № 3. - С. 317-328.

2. Иманалиев М. И., Алексеенко С. Н. К вопросу существования гладкого ограниченного решения для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Доклады РАН. - 2001. - Т.379. - №1. - С. 1621.

3. Иманалиев М.И., Панков П.С., Алексеенко С.Н. Метод дополнительного аргумента // Вестник КазНУ. Серия «Математика, механика, информатика. Спец. выпуск. -2006. - № 1. - С. 60-64.