Числа Фибоначчи и оценка состояния силовых трансформаторов

молния, согласно данным дистанционного зондирования с использованием пространственных и временных соотношений между пожарами и молниями. Определены зависимости числа пожаров, вызванных молниями от географической широты и времени. Было установлено, что наибольшее число пожаров от молний происходит в летние месяцы и в интервале широт 55-60°с. ш., что согласуется с данными литературных источников. Также большое количество пожаров от молний было зафиксировано на территории Енисейской равнины. Наибольшее число пожаров было обнаружено на 6-7 день после регистрации молнии. Большинство пожаров, причиной которых могла стать молния, было зарегистрировано при 3 классе пожарной опасности по условиям погоды.

Библиографический список

1. Иванов, В. А. Пожары от молний в лесах Красноярского Приангарья / В. А. Иванов, Н. А. Коршунов, П. М. Матвеев ; Сиб. гос. техн. ун-т. Красноярск, 2004. 132 с.

2. Столярчук, Л. В. Грозы, вызывающие лесные пожары / Л. В. Столярчук, В. А. Раков, А. Ю. Белая // Лесные пожары и борьба с ними : сб. науч. тр. Л. : ЛенНИИЛХ, 1989. 145 с.

3. Советский союз. Геогр. описание : в 22 т. Восточная Сибирь / отв. ред. С. В. Колиников, В. Ф, Павленок. М. : Мысль, 1969. 813 с.

4. Сухинин, А. И. Система космического мониторинга лесных пожаров в Красноярском крае / А.И. Сухинин // Сибирский экологический журнал. 1996. Т. 3. № 1.

5. Листов, А. А. Лесные пожары от гроз в лесах Севера / А. А. Листов // Лесное хозяйство. 1967. N° 5. С. 38-40.

6. Иванов, В. А. Возникновение лесных пожаров от гроз на Енисейской равнине / В.А. Иванов // Лесные пожары и борьба с ними : сб. науч. тр. М. : ВНИИЛМ, 1988. 226 с.

7. Белая, А. Ю. Грозовой пожарный максимум в Красноярском Приангарье / А. Ю. Белая, Л. В. Столярчук // Лесные пожары и борьба с ними : сб. науч. тр. Л. : Лен-НИИЛМ, 1986. 156 с.

8. Иванов, В. А. Грозоактивность и лесные пожары / В. А. Иванов // Лесные пожары и борьба с ними : сб. науч. тр. М. : ВНИИЛМ, 1987. 294 с.

E. G. Shvetsov, A. I. Sukhinin, E. I. Ponomarev

STUDY OF SPATIAL AND TEMPORAL CORRELATIONS BETWEEN LIGHTNING STRIKES AND FOREST FIRES IN EASTERN SIBERIA

Spatial and temporal correlation between fires during 2002-2005fire seasons and lightning strikes in Eastern Siberia is analyzed. A method for determination of lightning-caused fires using remote sensing data is developed. Ratios between the number of lightning-caused fires and latitude/month during fire season were developed.

Принята к печати в ноябре 2006 г.

УДК 621.314.222.6

Т. М. Чупак, А. Ю. Южанников ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ОЦЕНКА СОСТОЯНИЯ СИЛОВЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ

На определенном этапе развития электротехнических систем в их организации и функционировании проявляются ценологические свойства, которые описываются Н-распределениями. Идеальное (гармоничное) распределение видов в ценозе описывается пропорциями золотого сечения. Рассмотрены примеры проявления данных свойств при оценке состояния силовых трансформаторов.

Своевременная диагностика технического состояния силовых трансформаторов позволяет предупредить возникновение аварийных ситуаций в электрической системе. При этом значительно снижаются затраты на ремонты, появляется возможность оценки действительного состояния электрооборудования с определением запаса его работоспособности (что особенно актуально для оборудования, отработавшего более 25 лет).

Для решения вопросов дальнейшей эксплуатации трансформаторов возникает необходимость анализа их действительного технического состояния, которое определяется целым рядом диагностируемых параметров, характеризующих состояние активной части, изоляции, ус-

тройства переключения ответвлений, вводов высокого напряжения, системы охлаждения ит.п. [1].

Переход от планово-предупредительных ремонтов к ремонтам по техническому состоянию предопределяет внедрение новых и развитие традиционных методов диагностики.

Комплексная диагностика начинается с данных хроматографического анализа растворенных в масле газов (ХАРГ), так как это испытание проводится наиболее регулярно (как минимум два раза в год) и наиболее «чутко» позволяет следить за процессами, происходящими в маслонаполненном оборудовании. На сегодняшний день этот метод является одним из основных и эффек-

тивных методов оценки состояния силовых трансформаторов, одной из главных задач которого является поддержание их в состоянии, обеспечивающем длительную эксплуатацию.

Кафедра «Электроснабжение и электрический транспорт» Красноярского государственного технического университета исследует новый техноценологический подход к проблеме прогнозирования состояния силовых трансформаторов по статистическим данным анализа растворенных в масле газов.

Законы развития техники, включающей отдельные элементы, и живой природы, состоящей из отдельных особей, имеют много общего. Поэтому представляется возможным описывать объекты электрической системы на основе ценологических понятий. Подобные системы рассматриваются в других направлениях науки как ценозы (биогеоценозы, техноценозы и т. д.).

В 1877 г. Клаус Фердинанд Мебиус ввел понятие биоценоза как совокупности живых организмов, обитающих на определенном участке, где условия внешней среды определяют его видовой состав.

Термины «техноценоз» и «ценологический подход» в 1974 г. предложены Б. И. Кудриным, где техноценоз определяется как сообщество всех изделий, включающее все популяции, ограниченное в пространстве и времени, имеющее слабые связи и слабые взаимодействия элементов (изделий), образующих систему искусственного происхождения, которая характеризуется несопоставимостью времени жизни ценоза и особи. Устойчивость системы обусловлена действием законов энергетического и информационного отборов по аналогии с живыми системами, где действует закон естественного отбора [2].

Б. И. Кудрин предложил использовать модель Н-рас-пределения для математического описания видового и рангового распределения техноценозов. Данная теория предполагает существование идеального распределения элементов ценоза.

В технике существует понятие «Золотое сечение» -деление отрезка на две части, при котором длина отрезка так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. Гармония и идеальное распределение ценоза как системы, выполняющей свое функциональное назначение, подчиняются «Золотому сечению» и числам Фибоначчи.

2500 лет назад Пифагор показал деление единичного отрезка на две части в пропорции: 1/х = 1,618 03... Единичный отрезок АВ (0,382 + 0,618 = 1) делится точкой С в соответствии с пропорцией

1: 0,618 = 0,618: 0,382 = 1,618.

Такое отношение принято называть золотой пропорцией, а соответствующее деление отрезка - золотым делением [3].

В 1202 г. итальянский купец и математик Леонардо (1180-1240 гг.), известный по имени Фибоначчи, получил последовательность чисел, где последующее число равно сумме двух предыдущих чисел: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34ит.д. Отношение последующего члена ряда к предыдущему с ростом последовательности стремится к коэффициенту золотого сечения Ф = 1,618.

Если взять числовой ряд 1,0; 0,62; 0,38; 0,24; 0,15; 0,09 и т. д. (что очень напоминает шкалу мощностей трансформаторов), состоящий из чисел с коэффициентом 1,618 («Золотое сечение»), то этим числовым рядом можно описывать при ранжировании в ценозе соотношение количества видов и численности каждого вида (рис. 1) [4].

0 -I-----------------------------1------------------------1------------------------1-----------------------1-----------------------1--------------- 1 ’

1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 1. Числовой ряд и аппроксимационная кривая

На основании техноценологического подхода к описанию результатов, полученных при контроле силовых трансформаторов, предлагается новый метод диагностики силовых трансформаторов электрических сетей.

Предлагаемый метод диагностирования включает следующие этапы:

этап 1. Ценоз выделяется в пространстве и времени как некоторая система. Этап по определению ценоза представляет собой процедуру выделения системы, состоящей из отдельных изделий, изготовленных по разной технической документации, не связанных друг с другом сильными связями;

этап 2. Из ценоза выделяется семейство (особь) элементарных объектов, далее не делимых;

этап 3. Строятся математические модели структуры цензов по мере убывания исследуемого параметра - ранговое распределение;

этап 4. Проводится обработка результатов известными методами.

Для построения рангового распределения особи-элементы ранжируют в порядке убывания исследуемого параметра.

В электрической системе в качестве вида выделены 19 трехобмоточных трансформаторов напряжением 110 кВ с РПН, номинальной мощностью 10 000 .40 500 кВА, со сроком эксплуатации от 16 до 43 лет, со свободным дыханием.

В качестве видообразующего параметра исследуются результаты ХАРГ (содержание Н2, СН4, С2Н2, С2Н4, С2Н6, СО2, СО) за 5 лет.

Для определения принадлежности исследуемой совокупности данных по результатам анализов к статистике тех-ноценологического типа, на первом этапе сформированы матрицы табулированного рангового параметрического распределения. Ранговое параметрическое распределение углекислого газа в виде трехмерного графика показано на рис. 2 (дальнейшие результаты расчетов и графический материал представлен для углекислого газа).

Проверка на принадлежность критериям Н-распре-деления сводится к анализу совместного выполнения двух критериев: 1) выборка является взаимосвязанной (по кри-

териям корреляционного анализа); 2) выборка является негауссовой, т. е. с ростом объема выборки среднее и стандарт изменяются значимо (по критериям максимума правдоподобия и Хинчина-Гнеденко) [9].

су л А р (г) = -т,

позволяющую подойти к проблемам прогнозирования (рис. 4) [8].

Методика прогнозирования ресурсов техноценоза основывается на теории структурно-топологической динамики ранговых параметрических распределений. Суть прогнозирования сводится фактически к прогнозированию параметров объектов, относящихся к ноевым, пойнтер и саранчовым кастам Н-распределения [5].

замера

Рис. 2. Трехмерная ранговая поверхность техноценоза

Все вычисления проводились с использованием пакета прикладного программного обеспечения Mathcad 11с использованием методики [5; 6].

В результате расчетов выяснено, что данные не принадлежат нормальному закону распределения, все коэффициенты статистически значимы, а это значит, что исследуемый объект является ярко выраженным техноценозом. Данный вывод позволяет при обработке статистических данных по ХАРГ использовать методологию рангового анализа [8].

Для аппроксимации эмпирических ранговых распределений в качестве стандартной задаем двухпараметрическую гиперболическую форму, которая наилучшим образом описывает совокупность точек [2]

Рис. 3. График результирующей аппроксимационной кривой

Содержание газа

где А - значение параметра соответствующего первому рангу; в - коэффициент, характеризующий степень крутизны кривой ^-распределения, г - ранг объекта.

Выбор формы объясняется традиционно сложившимся подходом среди исследователей, занимающихся ранговым анализом, и обладает тем достоинством, что сводит задачу аппроксимации к определению всего двух параметров: А и р.

Аппроксимация осуществлялась методами наименьших модулей (МНМ) и методом наименьших квадратов (МНК). В данном случае метод наименьших модулей дал более точный результат.

Для зависимости (1) получаем наилучшие параметры (рис. 3), равные

А 8,407 х103

Рис. 4. Прогнозирование параметров

Определяем границы кастовых зон (ноевой, пойнтер, и саранчовой). При этом используется критерий равного распределения ресурсов между кастовыми зонами, являющийся следствием закона оптимального построения техноценозов [2].

Представим деление параметрического распределения техноценоза на кастовые зоны, где а = 3,75 (нижняя) и Ь = 9,40 (верхняя) границы пойнтер касты (рис. 5).

Содержание газа, %

0,4

0,2

Р (г) = -в = _

Г г где г = 1, 2, ..., 19.

Как показывает многолетний опыт исследования техноценозов, наилучшим является состояние, при котором в выражении (1) параметр в находится в пределах

0,5 <Р< 1,5 [3].

Совокупность ранговых распределений трансформаторов за 10 замеров (дважды в год) задает ранговую поверхность Н-распределения - динамику первого рода

Ноевая Саранчовая

каста V Пойнтер - каста каста.

Ранг 16 18 объект

Рис. 5. Деление рангового параметрического распределения на кастовые зоны

Для прогнозирования содержания газа объектов ноевой касты (у которых содержание газа наибольшее) используются многочлены вида

^ (г, п) =

4

,.р

А] (п) = а ] о + £<

г

где Ау(п) - содержание газа нау-ом этапе предыстории; п - номер замера; ау - г-й коэффициент многочлена на у-ом этапе предыстории.

При прогнозировании содержания газа объектов пойнтер- (со средним газосодержанием) и саранчовой (с малым содержанием газа) каст, значение к-го объекта [2, 8] составляет

А = ] ^ Лг ~ ] ^ Лг, (4) 0 ' 0 '

где А0 и А0к - значение электропотребления для первой точки распределения соответственно с учетом и без учета к-го объекта в инфраструктуре; в и в - соответствующие значения рангового коэффициента.

Общий прогноз содержания газа в целом осуществляется на основе интерполяции основных параметров рангового распределения:

А = 1^^

0

где А0п и Рп - прогнозные параметры распределения, определяемые на основе анализа временных рядов либо с использованием вторичного рангового анализа [2].

Средняя ошибка прогноза (рис. 6) составила 10,7 %, для пойнтер-касты - менее 4 %, для саранчовой - 10,6 %.

Содержание

ГЛЧЛ , % -1

1.о- Vх *

0,8- \

0.6-|\Д 0,4 0,2 0

Рис. 6. Графики сравнения фактических значений с прогнозными: 1 и 2

Одной из аналитических процедур рангового анализа является интервальное оценивание параметрического распределения [5]. Оно позволяет определить, у каких объектов техноценоза превышено значение содержания газа. Если точка на ранговом распределении входит в доверительный интервал (рис. 7), значит концентрация газа ниже граничного значения. Если точка находится выше или ниже интервала, то на соответствующем объекте имеет место развивающийся дефект. Именно на эти объекты в первую очередь должно нацеливаться углубленное обследование. Средства, выделенные для проведения обследований, будут расходоваться более эффективно, и при этом повышена эксплуатационная надежность состояния силовых трансформаторов.

Таким образом, объектов с рангами 1, 5, 6, 7, 15, 19 (рис. 7), что соответствует объектам в исходной базе данных под номерами 2, 1, 17, 10, 3, 11, предположительно развивается дефект. Следует иметь в виду, что СО2 образуется в масле трансформатора при нормальных рабочих температурах в результате естественного старения изоляции. Содержание СО2 в масле зависит от срока работы трансформатора и способа защиты масла от окис-

ления. Если отношение СО2 / СО меньше 5 или больше 13, следует считать, что повреждением затронута твердая изоляция [11].

о----- » ..................... ...

’о 2 4 6 3 10 12 14 16 18 20

Ранг объекта

Рис. 7. График, иллюстрирующий попадание точек в доверительный интервал

Когда концентрация газа не превышает граничного значения, степень опасности развития дефекта можно установить по относительной скорости нарастания газа. Если относительная скорость нарастания газа превышает 10% в месяц, то это указывает на наличие развивающегося дефекта в трансформаторе. Необходимо данные трансформаторы ставить под контроль с целью дальнейшего более детального обследования.

На значение концентрации двуокиси углерода большее влияние оказывает срок эксплуатации трансформатора, нежели его тип, погодные условия, загрузка. Для объектов данной электрической сети значения концентраций СО2 на 15-30 % меньше значений граничных концентраций газов, определенных по интегральной функции распределения в РД 153-34.0-46.302-00. Это говорит о том, что граничные значения концентрации газов для каждой энергосистемы должны быть индивидуальными в зависимости от определенных климатических условий и срока службы. Завышенные значения, а это 0,8 для трансформаторов со свободным дыханием, не позволяют своевременно выявить зарождение медленно развивающегося дефекта, который со временем может перерасти в быстроразвивающийся дефект.

Предложенная методика прогнозирования содержания газов в масле является более «чуткой» при определении технического состояния силового маслонаполненного оборудования.

Библиографический список

1. РД 34.45-51.300-97. Объем и нормы испытаний электрооборудования. 6-е изд. М. : ЭНАС, 1988.

2. Кудрин, Б. И. Ценологическое определение параметров электропотребления многономенклатурных производств / Б. И. Кудрин, Б. В. Жилин, О. Е. Лагуткин. Тула : Приок. кн. изд-во, 1994. 122 с.

3. Коробко, В. И. Золотая пропорция и человек / В. И. Коробко, Г. Н. Коробко. М. : Изд-во междунар. ассоциации строит. вузов, 2002. 394 с.

4. Южанников, А. Ю. Золотое сечение, числа Фибоначчи и ценологические параметры электропотребления промышленного предприятия / А. Ю. Южанников // Вестник Ассоциации Выпуск КГТУ. Вып. 12 / под ред.

А. А. Михеева. Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2005. С. 165-169.

5. Гнатюк, В. И. Закон оптимального построения техноценозов / В. И. Гнатюк. [Электронный ресурс] / электрон. дан. Режим доступа : http://www.baltnet.ru/~gnatukvi/ ind.html. Загл. с экрана.

6. Гнатюк, В. И. Техника. Техносфера. Энергосбережение / В. И. Гнатюк. [Электронный ресурс] / электрон. дан. Режим доступа : http://gnatukvi.narod.ru/zip_files/ task_mcd.zip. Загл. с экрана.

7. Четыркин, Е. М. Вероятность и статистика / Е. М. Четыркин, И. Л. Калихман. М. : Финансы и статистика, 1982. 319 с.

8. Гнатюк, В. И. Ранговый анализ техноценозов / В. И. Гнатюк, О. Е. Лагуткин. Калининград : БНЦ РАЕН -КВИ ФПС РФ, 2000. 86 с.

9. Фуфаев, В. В. Ценологическое определение параметров электропотребления, надежности, монтажа и ремонта электрооборудования предприятий региона /

В. В. Фуфаев. М. : Центр системных исследований, 2000. 320 с.

10. Кудрин, Б. И. Введение в технетику / Б. И. Кудрин. Томск : ТГУ, 1993. 552 с.

11. РД 153-34.0.46.302-00. Методические указания по диагностике развивающихся дефектов трансформаторного оборудования по результатам хроматографического анализа газов, растворенных в масле. М. : АО ВНИИЭ, 2001.

T. М. Chupak, A. Y. Yuzhannikov

FIBONACHCHI NUMBERS AND ESTIMATION OF THE CONDITION POWER TRANSFORMERS

On determined stage of development of the electrotechnical systems in their organizations and operation the cenosical characteristics, which are described by H-distributions reveal. Ideal (harmonious) distribution types in cenosis is described by proportions of the gold section. Examples of this characteristics manifestation at estimation of the condition power transformers are considered .

Принята к печати в октябре 2006 г.

УДК 517. 91

Т. К. Юлдашев КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

С НЕЛИНЕЙНЫМИ ТРЕХТОЧЕЧНЫМИ СМЕШАННЫМИ МАКСИМУМАМИ

Рассматривается однозначная разрешимость краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с нелинейными трехточечными смешанными интегральными максимумами при заданных непрерывных условиях склеивания. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Рассматривается система нелинейных уравнений с впервые нами в работах [1-7]. В отличие от этих работ в

максимумами вида настоящей работе рассматривается краевая задача для

I 0 0 г Го —о П\ системы дифференциальных уравнений с трехточечны-

x (t) = F(t,x(5.),x(52), тах{т) Ixelô.: 5,1}, ~

w | i 2 jjy> (i) ми нелинейными интегральными максимумами.

t е t Итак, целью данной работы является изучение одно-

значной разрешимости краевой задачи для системы уравнений с нелинейными трехточечными смешанными мак-x

v ' ’ v ' ’ w симумами. При этом используется метод последователь-

где F (t,x, y, z )e С (о xX3 ) То = [°;T ], 0 < T <~, X с R" - ных приближений в сочетании его с методом сжимаю-

ограниченное замкнутое множество, x(t) е X - неизве- щих отображений.

стная "x1 -мерная векторная функция, Пусть 5. < 5, на множестве Т. и Т_и 5. > 5, на мно-

жестве Т2 иТ4. где Т = [_.;tt], i = 1,4 , t0 = 0, t4 = T,

L0

с краевым условием

8, =8

t, |K, {t,s,x{s))ds e С (r0 x R" ), 0 <8, <T, i =1,2, ^ u T2 u T3 u T4 = T0.

о , о4 , гг Однозначную разрешимость задачи (1), (2) будем изучать

о. Ф о 2 при I е Т„, исключением являются три точки ! V V ^ \ » \ > .1 .!

1 2 с помощью следующих условий непрерывного склеивания:

0 < t1 < t2 < t3 < T, при которых 81

tt, IK1 (t,, s, x(s) ) ds

= 8

( ,

ti, |K2 (t,, s, x(s) ) ds

0

i = 1,3 , Kt (t, s,x)e C(T02 xX),

х

Тогда задачи (1)-(3) на отрезке Т0 эквивалентны совокупности четырех систем нелинейных функциональноинтегральных уравнений (СНФИУ) примут вид

i = 1,2 , x0, xT - заданные конечные "x1 -мерные по- t x (t) = Д (x;t) = x° +

стоянные векторы.

Отметим, что дифференциальные и разностные уравнения со смешанными максимумами рассматривались { е Т

+| F (s, x(81), x(82),max |x(x) те [81 ; 82