Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в прямоугольный волновод по коэффициенту прохождения и отражения

МАТЕМАТИКА

УДК 519.634

М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА, ПОМЕЩЕННОГО В ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ПРОХОЖДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ

Аннотация. Рассмотрены два итерационных метода определения диэлектрической проницаемости. Получены результаты, показывающие сходимость методов. Представлены графики зависимости значения диэлектрической проницаемости от числа итераций для тел сложной геометрической формы.

Ключевые слова: электромагнитная задача дифракции, эффективная диэлектрическая проницаемость, итерационный метод.

M. Y. Medvedik, Y. G. Smirnov

RESTORATION OF DIELECTRIC PERMITTIVITY OF A HETEROGENEOUS BODY PLACED INTO A RECTANGULAR WAVEGUIDE ACCORDING TO TRANSMISSION AND REFLECTION COEFFICIENTS

Abstract. The aticle consideres two iteration methods for permittivity determination and presents the results demonstrating convergence of the methods. The authors adduce the graphs of dependences of the permittivity value on the number of iterations for bodies with complex shape.

Key words: electromagnetic diffraction problem, effective permittivity, iteration method.

Введение

Последнее время характеризуется развитием электродинамических методов в задачах определения диэлектрических и магнитных параметров материалов. Интерес к этим задачам вызван разработкой новых образцов нано-композитных материалов и изучением их свойств. Экспериментальное измерение параметров материала в связи с их композитными свойствами является труднодоступным, поэтому эффективным является применение методов математического моделирования для решения представленных задач. Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного материала является классической в электродинамике. Данной тематикой занимались многие авторы, предлагавшие различные численно-аналитические и экспериментальные методы решения задачи. В статье [1] рассматривается один из экспериментальных способов восстановления диэлектрической и магнитной проницаемости для секции прямоугольного волновода, заполненного метаматериалом. Метод определения коэффициента преломления, импеданса и диэлек-

трической и магнитной проницаемости по данным прохождения и отражения указан в [2]. В работе [3] теоретически анализируются характеристики передачи электромагнитных волн в метаматериале, помещенном в волновод. В статье [4] рассматривается восстановление комплексной диэлектрической проницаемости композитов на основе диэлектрических матриц. В статье [5] приводится численно-аналитический метод определения коэффициентов отражения и прохождения электромагнитной волны через многослойную структуру.

Следует отметить, что большинство авторов ограничиваются исследованием свойств материалов, имеющих несложную геометрию. В данной работе предлагается метод, позволяющий определять диэлектрическую проницаемость образцов материала, имеющих сложную геометрическую форму.

Постановка задачи

Пусть объемное тело Q расположено в прямоугольном волноводе

Р = {х: 0 < Х1 < а,0 < Х2 < Ь, - <™< Х3 < ^},

поверхность волновода дР идеально проводящая. Данное тело характеризуется постоянной магнитной проницаемостью Ц0 и положительной (3 X 3)-матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости ё(х). Компоненты е(х) представляют собой ограниченные функции в области Q,

Граница дQ области Q является кусочно-гладкой. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок волновода, дQ п дР = 0 . В области Р \ Q среда является изотропной и однородной, при этом £о (> 0), Цо (> 0) являются постоянными (рис. 1).

e е L(Q), а также е 1 е L^ (Q).

ъ

Рис. 1. Волновод

Выберем параметры волновода так, чтобы л/а < £0 <к/Ь . В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода. Пусть

известное падающее поле (мода в волноводе); Ау+' - (известная) амплитуда

падающей волны; Yj =

,2 К „ „

К0-----2 ; e2 - второй орт в декартовой системе ко-

а

ординат. Требуется определить диэлектрическую проницаемость неоднородного материала по значению поля внутри материала и коэффициенту прохождения или отражения. Задача по определению электромагнитного поля Е внутри тела Q, расположенного в прямоугольном волноводе Р, представлена в [6].

Определение диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения

Запишем дополнительное асимптотическое уравнение в форме [7]:

'Ф)

--1

-o

E

где Vio =

"2 k2

~2 ko a2

Коэффициент прохождения Qj ' считается известным из измерений. Требуется определить диэлектрическую проницаемость е(х),хе Q посредством серии измерений. Поскольку количество измерений должно быть конечным, то и неизвестных параметров также должно быть конечное число. Поэтому будем предполагать, что тело Q состоит из N подобластей Qj та-

ки^ что Q = у Qj, ^ ^ = 0, / Ф j . Мы предполагаем, что е(х) = е(^

)

при х е Qj , т.е. в каждой подобласти диэлектрическая проницаемость постоянна. Тогда общее число неизвестных параметров будет равно N .

При измерениях изменяются частоты ю(1),ю(2),...,ю(N) (происходит сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле

¿0° =ю(гУ£0Ц0 .

Будем предполагать, что тело имеет форму параллелепипеда Q = {х: а1 < х1 < а2, Ь1 < х2 < Ь2, с < х3 < С2} . Выберем равномерную прямоугольную сетку в Q , образованную элементарными параллелепипедами

Пк1т = {х : х1,к < х1 < х1,к+1, х2,1 < х1 < х2,1+1, х3,т < х3 < х3,т+1} ,

а2 - а1 , , Ь2 - Ы с2 - с1

х1к = ал + —----- к, х2! = Ь + —---1, х3т = с + —-------- т,

1,к 1 N1 2,1 1 N2 3,т 1 N3

где к = 0,...,N1 -1, I = 0,...,N2 -1, т = 0,...,N3 -1. Перенумеруем эти элементарные параллелепипеды с помощью одноиндексной нумерации П5, 5 = 0,...,N0 -1, N0 = N1N2N3 .

Если тело имеет сложную геометрическую форму, то необходимо ввести вектор геометрии Ж, заполнить вектор геометрии единицами или нулями. Если элементарный параллелепипед Пг- принадлежит телу сложной геометри-

ческой формы, то Ж равен единице, иначе нулю. На каждой итерации будем перемножать поэлементно значение поля Е на вектор геометрии Ж [8].

Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной задачи по формулам:

п (х) _ 1П_1

е0

In (x) =

In (x)Jn (x)- k0 JG(xy)Jn (y)dy-

Q

-graddiv JG

Q

En

F=A+k2 abfO Jsin

Q

где

F = ^qi(+) , A = aa(+), Лп (x):

£n (x) — 1 £0

^n

По этим формулам вычисление производится следующим образом. Сначала выбираем начальное приближение £q (х) = £е (п = 0), где £e = £ef,

£eff - эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как

решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью [9]. Нельзя взять в качестве £е =£о, так как по формуле (5) нельзя

определить электрическое поле. По формуле (3) вычисляется значение £,о (х) .

Далее по формуле (4) определяется ток Jn (х) как решение интегро-дифференциального уравнения методом коллокации. Затем по формуле (5) по току определяем электрическое поле En (х) на сетке. Данную процедуру

проводим N раз при различных значениях ko = ko(1),ko = ko(2),...,ko = ko(N). Таким образом, получаем N значений полей E^\E^V..,EnN) при различных ko(1),ko(2),...,ko(N). На этом заканчивается вычисление на первом «слое».

На втором «слое» по известным значениям полей E^ (х) (i = 1,...,N) из формулы (6) определяем новое значение ^п+1 (х ). Для этого потребуется

произвести решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), составленной из уравнения (6), относительно неизвестных параметров. При

этом «коэффициенты прохождения» Fj = F (^°) находятся с помощью измерений. Считаем, что А(+) = 1.

Мы предположили выше, что цп (х ) = лП/ ) при х е Qj . Кроме того, пусть подобласти Qj состоят из объединения элементарных параллелепипедов сетки Qj = и П/ . Мы будем считать также, что Enг') (х ) = ^) при /

хе П/, т.е. поле аппроксимируется некоторой постоянной внутри элементарных параллелепипедов.

Формула (6) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы

г (// ^ N ,М0 , N N

Е = ^2 • E^ размера NхN0 и Н = \Н/,- [ размера N0 хN, где

I- н=\,/=1 1 ]/=^ 1 =1

Н^ = 0 при / таких, что П/ ^ Qj. Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей

AN = ЕН размера N х N:

^ Ли+1 = В,

которая решается относительно неизвестных ^и+1 = (лП+1,. ., лП+1)Т . Здесь и ниже мы будем отождествлять (кусочно-постоянную) функцию

Ли+1 = Ли+1(х) и вектор (^П+1,...,л£^+?)Т , так как они однозначно определяют

друг друга.

Выпишем коэффициенты матрицы AN и правой части В в случае изотропного неоднородного тела. Они вычисляются по формулам:

= Е e2 • Eи,/)Нц ;

/:П/ cQ;

Г ( —У } iy3J(k0O)2-^

J sin Je ^ a dyxdy20У3;

Hli = I sin

_{Fi _ A)ab U _

' _

Значение интеграла по параллелепипеду П/ можно вычислить аналитически:

xl0 +¥2У10 +h2/2 zl0 +h3/2 / \ izt а0°)2 — 1

, ¡ ¡ ¡ sin íHl Vй ) a2 • • • h2a

2

ч a J I 2

xlo-V2Лo-h2/2 zio-h3/2 i— (k(i))2- —

;(zi 0+f У(k° ))2 -—2 - ;(zi 0 - f У(k° ))2 -O?

v

i—'(k0 ) - O2

Далее проверяется выполнение неравенств гП+1 -rff <8 (/ = 1,..., N) с заданной точностью 8(> 0) . Если требуемая точность достигнута для каждого гП+1 (i = 1,. ., N), то вычисления прекращаются. Если требуемая точность не достигнута, то ^n+i(x):=r„+1 (х), п := п + 1, и вычисления повторяются с формулы (4).

В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлек-

£п(х) . .

трической проницаемости —= rn (х) +1.

е0

Определение диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения

Аналогично, как и в первом случае, будем предполагать, что дополнительное асимптотическое уравнение имеет вид [9]:

q(-) = —Т2Тísin {~)е”гу( ^'Узrn+1 (х)En (y)• e2dy,

iaby1 ' q V a )

где Yj =

*2-±

*0 •

a2

Коэффициент прохождения Q ’ считается известным из измерений. Требуется определить диэлектрическую проницаемость e(x), хе Q , посредством серии измерений.

При измерениях изменяются частоты ю(1),ю(2),...,ю(N) (происходит сканирование по частоте); при этом волновое число изменяется по формуле

к() =m(i)^£0|i0 .

Пусть тело имеет форму параллелепипеда Q = {х: oj < xj < a2, ¿1 < X2 < ¿2, С < X3 < c2i . Выберем равномерную прямоугольную сетку в Q , образованную элементарными параллелепипедами

Пklm = {х : x1,k < х1 < x1,k+1, x2,l < xl < x2,l+1, x3,m < x3 < x3,m+1},

°2 - a1 7 7 b2 - Ы c2 - c1

x1,k = a1 +-k, x2,l = b1 +-------------l, x3,m = c1 +--------m

n n n

где k, l, m = 0,..., n -1.

Если тело имеет сложную геометрическую форму, то необходимо ввести вектор геометрии W . Заполнить вектор геометрии единицами или нулями. Если элементарный параллелепипед Пг- принадлежит телу сложной геометрической формы, то W равен единице иначе нулю. Производя описанные ниже вычисления на каждой итерации будем перемножать в каждой формуле поле E на вектор геометрии W [8].

Построим двухслойный итерационный процесс для решения обратной задачи по формулам [9]:

In (x) =

gn+1 (у) _ 1

e0

_1

^n (x)Jn (x) = E° (x) + k0 jG(x.У )Jn (y )dy-

Q

+graddiv jG(x,y)Jn (y)dy, xє Q;

Q

En (x) ^n(x)Jn(x);

Q(_) = k°2

Q

Ky1 1 „-^Уъ

Лп+1 (x )En (y )• e2dy :

где

Лп (x) =

-n (x) e°

_ 1

^n(x) Ли (x)•

По этим формулам вычисление производится следующим образом. Сначала выбираем начальное приближение е0(у) = £е (п = 0), где ее = е/,

ее/ - эффективная диэлектрическая проницаемость тела, вычисленная как решение обратной краевой задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью. Нельзя взять в качестве ее = £о, так как по формуле (13) нельзя определить электрическое поле. По формуле (11) вычисляется значение ^0 (х) .

Далее, по формуле (12) определяется ток Jn (у) как решение интегро-дифференциального уравнения методом коллокации. Затем по формуле (13) по току определяем электрическое поле Еп (у). В соответствии с размером

сетки (Л^1 х N2 х N3), наложенной на фигуры, данную процедуру проводим N = N1 • N2 • N3 раз при различных значениях ко = к(1), ко = к(2),...,ко = к(N).

Таким образом, получаем N значений полей Е,еП2),...,еЩ^'^ при различных частотах. На этом заканчивается вычисление на первом «слое».

На втором «слое» по известным значениям полей Е?

находятся с помощью измерений.

Мы предположили выше, что Цп (х) = лП) при хе Qj . Кроме того, пусть подобласти Qj состоят из объединения элементарных параллелепипедов

сетки Qj = иП;. Мы будем считать также, что (x) = E(’1 ) при xеП/, т.е.

l

поле аппроксимируется некоторой постоянной внутри элементарных параллелепипедов.

Формула (14) приводит к конечномерной СЛАУ. Образуем матрицы

Г (il )N N Г -|N0, N

E = se? E„ ’) размера N x N0 и H =\H/ , ! размера No x N, где

L Ji=i,i=1 l -J U=1,i =1

H/j = 0 при l таких, что П/ g Qj. Тогда будем иметь СЛАУ с матрицей

An е EH размера N x N

An Лп+1 = В ’

которая решается относительно неизвестных лп+1 = | лП1-+1, , лП+1) . Здесь и

ниже мы будем отождествлять (кусочно-постоянную) функцию

( ) / (1) (N) \Т

Лп+1 = Лп+1 (x ) и вектор ЛП+1,..., ЛП+1 , так как они однозначно определяют

друг друга.

Коэффициенты матрицы An и правой части В в случае изотропного неоднородного тела вычисляются по следующим формулам:

aUj = E е2 • eN)Hi,i ;

1:П i cQ;

HU= j sin {^У-j e ^( ^ " "2 dy1dy2 dys; bi = ( ))2

''О

Значение интеграла по параллелепипеду П/ можно вычислить аналитически:

х{ о +V2 y о +V2 Z¡ о +Й3/2 , ^_ ( k(0j2 _^_

Hu = J J J sin I — I • e ' a dxdydz =

v a

xl0_h1/2 У10_V2 zl0_h3/2

Далее проверяется выполнение неравенств л

с заданной точностью 5(> 0). Если требуемая точность достигнута для каждого лИ+1 ( = 1,.., N), то вычисления прекращаются. Если требуемая точность не достигнута, то ^п (х) = ли+1 (х), п = п +1, и вычисления повторяются с формулы (12).

В качестве искомого выбирается значение для относительной диэлектрической проницаемости

^ = (х)+1.

£0

Ключевым моментом в двухслойном итерационном процессе является возможность определения £п+1 (х) по известному полю En (х). Если искомая

функция е(х) имеет N неизвестных параметров, то необходимо иметь по крайней мере результаты N различных измерений.

Поскольку размер матрицы АМ сравнительно невелик (не более нескольких тысяч) при решении системы можно воспользоваться простыми методами решения систем линейных алгебраических уравнений, например методом Гаусса с выбором ведущего элемента по всей матрице.

Численные результаты

С использованием коэффициента прохождения и отражения были получены результаты восстановления диэлектрической проницаемости неоднородных материалов, имеющих сложную геометрическую форму. Представлены результаты сравнения двух методов.

На рис. 2 изображено тело, имеющее неоднородную диэлектрическую проницаемость. Первая половина тела, изображенная светло-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость £1 = 1,1. Вторая половина тела, изображенная темно-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость £2 = 1,4. Обе части тела имеют одинаковую форму и представляют собой прямоугольные параллелепипеды с отверстием в форме прямоугольного параллелепипеда, расположенного вдоль оси 0Z и равноотстоящим от осей 0Х и

07. На рис. 3 представлен график восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту прохождения. На рис. 4 представлен график восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту отражения. Вычисления в обоих случаях производились при волновых числах к = 1,6 и к = 1,7. Начальное приближение диэлектрической проницаемости

00

каждой половины тела равнялось £1 = 1,2 и £ 2 = 1,3 соответственно.

На рис. 5 изображено тело, имеющее неоднородную диэлектрическую проницаемость. Первая половина тела, изображенная светло-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость £1 = 1,1. Вторая половина тела, изображенная темно-серым цветом, имеет диэлектрическую проницаемость £2 = 1,6 . На рис. 6 представлен график восстановления диэлектрической про-

ницаемости тела по коэффициенту прохождения. На рис. 7 представлен график восстановления диэлектрической проницаемости тела по коэффициенту отражения. Вычисления в обоих случаях производились при волновых числах к = 1,6 и к = 1,7 . Начальное приближение диэлектрической проницаемости

каждой половины тела равнялось £0 = 1,2 и £2 = 1,5 соответственно.

Z

а

Рис. 2. Форма тела, расположенного в волноводе; а = 2, Ь = 1, с = 2, / = 1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Рис. 3. График восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного материала по коэффициенту прохождения Q

1.45 1.4 1.35 1.3 1.25 1.2 1.15

1.05

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Рис. 4. График восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного материала по коэффициенту отражения Q

------eps1

------eps2

ч...........а............№

Рис. 5. Форма тела, расположенного в волноводе; а = 2, Ь = 1, с = 2, / = 1

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 4Э 52 55 53 61 64 67 70 73 76 79

Рис. 6. График восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного материала по коэффициенту прохождения Q

1.75

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193 205 217 229 241

Рис. 7. График восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного материала по коэффициенту отражения Q

Результаты восстановления диэлектрической проницаемости однородного образца материала, расположенного в прямоугольном волноводе, представлены в работе [10].

Список литературы

1. Chen, H. Experimental retrieval of the effective parameters of metamaterials based on a waveguide method / H. Chen, J. Zhang, Y. Bai et al. // Optic Express. - 2006. -V. 14, № 26. - P. 12944-12949

2. Chen, X. Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials / X. Chen, T. M. Grzegorczyk, B.-I. Wu et al. // Physical Review E. -2004. - V. 70, № 1. - P. 016608-1-016608-7

3. Meng, F.-Y. Controllable Metamaterial-Loaded Waveguides Supporting Backward and Forward Waves / F.-Y. Meng, Q. Wu, D. Erni, L.-W. Li // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. - 2011. - V. 59, № 9. - P. 3400-3411

4. Усанов, Д. А. Комплексная диэлектрическая проницаемость композитов на основе диэлектрических матриц и входящих в их состав углеродных нанотрубок / Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Романов // Журнал технической физики. -

2011. - Т. 81, № 1. - С. 106-110.

5. Усанов, Д. А. Измерения толщины нанометровых слоев металла и электропроводности полупроводника в структурах металл-проводник по спектрам отражения и прохождения электромагнитного излучения / Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Абрамов, А. С. Боголюбов // Журнал технической физики. - 2006. -Т. 76, № 5. - С. 112-117.

6. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2011. - Т. 56, № 8. - С. 940-945.

7. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2008. - № 3. - С. 39-54.

8. Медведик, М. Ю. Применение субиерархического метода в задачах электродинамики / М. Ю. Медведик // Вычислительные методы и программирование. -

2012. - Т. 13. - С. 87-97.

9. Медведик, М. Ю. Итерационный метод определения диэлектрической проницаемости образца неоднородного материала, расположенного в прямоугольном волноводе / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52, № 12. - C. 2228-2237.

10. Смирнов, Ю. Г. Итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Е. Е. Гришина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3. - С. 3-13.

References

1. Chen, H. Experimental retrieval of the effective parameters of metamaterials based on a waveguide method / H. Chen, J. Zhang, Y. Bai et al. // Optic Express. - 2006. -V. 14, № 26. - P. 12944-12949

2. Chen, X. Robust method to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials / X. Chen, T. M. Grzegorczyk, B.-I. Wu et al. // Physical Review E. - 2004. -V. 70, № 1. - P. 016608-1-016608-7

3. Meng, F.-Y. Controllable Metamaterial-Loaded Waveguides Supporting Backward and Forward Waves / F.-Y. Meng, Q. Wu, D. Erni, L.-W. Li // IEEE Transaction on Antennas and Propagation. - 2011. - V. 59, № 9. - P. 3400-3411

4. Usanov, D. A. Kompleksnaya dielektricheskaya pronitsayemost' kompozitov na os-nove dielektricheskikh matrits i vkhodyashchikh v ikh sostav uglerodnykh nanotrubok / D. A. Usanov, A. V. Skripal', A. V. Romanov // Zhurnal tekhnicheskoy fiziki. - 2011. -T. 81, № 1. - S. 106-110.

5. Usanov, D. A. Izmereniya tolshchiny nanometrovykh sloyev metalla i elektro-provodnosti poluprovodnika v strukturakh metall-provodnik po spektram otra-zheniya

i prokhozhdeniya elektromagnitnogo izlucheniya / D. A. Usanov, A. V. Skri-pal', A. V. Abramov , A. S. Bogolyubov // Zhurnal tekhnicheskoy fiziki. - 2006. - T. 76, № 5. - S. 112-117.

6. Medvedik, M. YU. Subiyerarkhicheskiy metod resheniya zadachi difraktsii elek-tromagnitnykh voln na dielektricheskom tele v pryamougol'nom volnovode / M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Radiotekhnika i elektronika. - 2011. - T. 56, № 8. - S. 940-945.

7. Smirnov, YU. G. Primeneniye GRID-tekhnologiy dlya resheniya nelineynogo ob"yemnogo singulyarnogo integral'nogo uravneniya dlya opredeleniya effektivnoy dielektricheskoy pronitsayemosti nanomaterialov / YU. G. Smirnov // Izvestiya vys-shikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. -2008. - № 3. - S. 39-54.

8. Medvedik, M. YU. Primeneniye subiyerarkhicheskogo metoda v zadachakh elektro-dinamiki / M. YU. Medvedik // Vychislitel'nyye metody i programmirovaniye. -

2012. - T. 13. - S. 87-97.

9. Medvedik, M. YU. Iteratsionnyy metod opredeleniya dielektricheskoy pronitsayemosti obraztsa neodnorodnogo materiala, raspolozhennogo v pryamougol'nom volnovode / M. YU. Medvedik, YU. G. Smirnov // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. - 2012. - T. 52, № 12. - C. 2228-2237.

10. Smirnov, YU. G. Iteratsionnyy metod opredeleniya effektivnoy dielektri-cheskoy pronitsayemosti neodnorodnogo obraztsa materiala / YU. G. Smirnov, M. YU. Medve-dik, Ye. Ye. Grishina // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki. - 2011. - № 3. - S. 3-13.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: _medv@mail.ru

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Medvedik Mikhail Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 519.634 Медведик, М. Ю.

Восстановление диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в прямоугольный волновод по коэффициенту прохождения и отражения / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2013. - № 1 (25). - С. 5-18.