Множественности нейтронов, испускаемых при делении возбужденных ядер, как функции массы и кинетической энергии осколков

Вестник Омского университета, 2002. №1. С. 5-16. © Омский государственный университет

УДК 539.173

МНОЖЕСТВЕННОСТИ НЕЙТРОНОВ, ИСПУСКАЕМЫХ ПРИ ДЕЛЕНИИ ВОЗБУЖДЕННЫХ ЯДЕР, КАК ФУНКЦИИ МАССЫ И КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ОСКОЛКОВ

П.Н. Надточий, Г.Д. Адеев

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55A

Получена 30 апреля 2001 г.

A stochastic approach to fission dynamics based on three-dimensional Langevin equations was applied to calculate mass and kinetic-energy dependences of neutron multiplicities in fusion-fission reactions. The model for calculation of postscission neutron multiplicities is proposed. The results of our calculations of neutron multiplicities are in a good quantitative agreement with experimental data.

1. Введение

К настоящему времени накоплен достаточно богатый экспериментальный материал по массовым, энергетическим, угловым распределениям осколков деления. Большая часть этого материала была собрана и проанализирована в [1-3]. Наиболее детальная и систематическая инфор-

мация о коллективном ядерном движении с большой амплитудой получена к настоящему времени из экспериментов по исследованию множествен-ностей легких частиц, особенно нейтронов, испускающихся при делении составных ядер, образованных в реакциях слияния-деления. В этих экспериментах были разработаны методы, позволяющие выделить из всех легких частиц (нейтронов, протонов, а-частиц), зарегистрированных вместе с событиями деления, те, которые были испущены до разрыва перемычки, соединяющей будущие осколки. Такие частицы принято называть предразрывными [4], в отличие от постразрывных частиц, которые испускаются из уже разделенных осколков. Средняя множественность предразрывных нейтронов является мерой времени протекания процесса деления. Это своего рода «ядерные часы», которые показывают, что время деления ядер лежит в интервале времен 10-21 —10-18 с. [5,6]. Анализ предразрывных мно-жественностей легких частиц, испускаемых при делении, позволяет получить уникальную информацию о динамических свойствах ядерной материи на всех этапах процесса деления от основного состояния делящегося ядра до его разделения на

Зависимости множественностей нейтроно1вииеВтРеМеНИ эйеЛ^ЙРЯЬ6сТлКВЙ;Сы и кинетической энергии осколков деления.

С. N. Е* к8 СрГе СЬаЬ d'npost «е)

А/ Ек

215 рг 111

0.25 7.1 5.7 4.3 0.019 0.84 0.6 34 3

0.5 7.3 6 3.9 0.012 0.9 0.6 82 4.3

Ехр^ [5] 205рг 77 6.5 4.4 3.8 0.047 4.1

0.25 1.3 7 2.5 0.014 0.87 0.94 35 0.6

0.5 1.9 10 2.7 0.02 0.88 0.96 64 0.89

Ехр^ [6] 256рт 101 0 9.5 1.8 0.046 1.2

0.25 5 2.2 5.2 0.026 0.7 0.88 15 2

0.5 5.8 3.8 4.8 0.03 0.72 0.89 18 3.1

Ехр^ [5] 252 Рт 140 8.2 5.4 4.1 — 5.1

0.25 1.6 1.3 5.1 0.024 0.6 1 13 3.3

0.5 2.2 2. 4.9 0.028 0.68 0.98 15 4.0

Ехр^ [13] 0 2.4 5 — 6.95

осколки. Эти исследования в первую очередь направлены на получение информации о вязкости ядерного вещества, о ее зависимости от энергий возбуждения, деформации ядра и эффектов хаоса и симметрии [7—11]. Кроме того, в течение последних 10-15 лет экспериментально активно изучались зависимости множественности предраз-рывных и постразрывных нейтронов от массы осколков деления ((пеге(М)) и (пео5((М))) и их кинетической энергии ((прге(Ек)) и (про5((Ек))) [4-6,12,13]. Исследование данных зависимостей позволяет получать более детальную дополнительную информацию о динамике деления и о величине ядерной вязкости в зависимости от коллективных координат массовой асимметрии и параметра шейки.

В рамках стохастического подхода [14-17], основанного на уравнении Фоккера-Планка или на эквивалентной ему системе уравнений Ланжеве-на, был достигнут значительный прогресс в объяснении большого числа экспериментальных данных. Прежде всего это касается объяснения роста ширин массового и энергетического распределений осколков деления в области тяжелых ядер (с массовыми числами А > 200).

Теоретическое описание и объяснение зависимостей множественности предразрывных и постразрывных нейтронов от массы осколков деления и их кинетической энергии сталкивалось с определенными трудностями. Изучение данных зависимостей до недавнего времени проводилось в двумерных моделях [18,19], в рамках которых невозможно получить одновременно зависимости множественностей нейтронов и от массы, и от

В рамках трехмерных ланжевеновских расчетов можно получить двумерное массово-энергетическое распределение, наблюдаемое на эксперименте, которое содержит наиболее полную информацию об осколках деления и на основе которого можно исследовать различные корреляционные зависимости, в том числе и зависимости множественностей нейтронов от массы и кинетической энергии осколков деления.

Множественности постразрывных частиц, эмитирующихся из осколков деления, также являются очень важными характеристиками процесса деления. Данные множественности содержат информацию о критической стадии эволюции делящегося ядра — разрыве сплошной конфигурации на осколки. В момент разделения сплошной формы на осколки происходит распределение энергии возбуждения, которой обладает составное ядро перед разрывом между сформировавшимися осколками. Таким образом, множественности постразрывных частиц содержат информацию о моменте разрыва составного ядра и характеризуют его энергию возбуждения в момент разделения на осколки.

Целью настоящей работы является изучение предразрывных, постразрывных и полных мно-жественностей нейтронов, корреляционных зависимостей данных множественностей от массы и кинетической энергии осколков, а также изучение влияния различных факторов на данные множественности. В настоящей работе предпринята попытка оценить соотношение (прГе) и (прГе) (число нейтронов, испаренных до седловой

точки и на спуске от седла до разрыва) и исследовать влияние отношения (прГ^ / (прге) на корреляционные зависимости (прге(И)) и (прге(Ек)) .

Для изучения в данной работе мы выбрали хорошо экспериментально изученные реакции: 36Аг +169 Тт ^205 Ег (ЕгаЪ = 205 ИвУ) [6]; 180 +197 Аи ^215 Ег (Еаъ = 159 ИвУ) [5]; 20Ыв +232 ТН ^252 Ет (Е1аЪ = 215ИвУ) [1з]; 180+238и ^256 Ет (ЕгаЪ = 159ИвУ) [5]. 180+208 РЬ ^224 ТН (ЕгаЪ = 130, 110, 90, 83 ИвУ) [20]. Также расчеты для некоторых из данных реакций были проведены ранее в двумерных моделях [18,19].

2. Модель. Результаты расчетов двумерного МЭР, средних мно-жественностей предразрывных и постразрывных нейтронов

Динамическая модель, используемая нами в расчетах, подробно описана в наших предыдущих работах [21,22], поэтому здесь мы лишь кратко опишем некоторые основные особенности модели, а также метод расчета множественности постразрывных нейтронов.

Эволюция делящегося ядра рассматривалась в стохастическом подходе [14-17], при этом эволюция коллективных координат, определяющих форму ядра, рассматривается по аналогии с движением броуновской частицы, помещенной в термостат, образованный всеми остальными степенями свободы ядра. Для описания формы поверхности ядра использовался слегка измененный вариант хорошо известной (с, Н, а) — параметризации [23]. Нами был введен [22] параметр массовой асимметрии а', связанный с а масштабным преобразованием а' = ас3. В качестве коллективных координат выбирались параметры формы ядра q = (с, Н, а'). Для расчета потенциальной энергии ядра У использовалась модель жидкой капли, учитывающая диффузность поверхности ядра и ограниченность действия ядерных сил [24, 25]. Начальная форма ядра предполагалась сферической qo = (с = 1, Н = 1,а' = 0). Мы ограничивались ситуацией, когда налетающая частица и мишень полностью сливаются, образуя статистически равновесное компаунд-ядро. Предполагалось, что ядро разделяется на осколки, когда радиус шейки, соединяющей два осколка, становится равным 0.3Ко [14,23,26,27], где Ко — радиус ядра в сферическом состоянии. Данное условие определяет предразрывные формы ядра.

Для расчета множественности постразрывных нейтронов необходимо знать энергию возбуждения осколков, образовавшихся после раз-

деления составного ядра. Энергии возбуждения осколков можно найти, используя закон сохранения энергии, записанный в виде

Qf + E* - Eevap

где Qf — энергия реакции, вычисляемая как разность масс составного ядра и образующихся осколков; E* — энергия возбуждения составного ядра в начальный момент времени; Eevap(ts с) — энергия возбуждения, унесенная испаряющимися частицами до разделения составного ядра на осколки; Ek — кинетическая энергия осколков, которая складывается из энергии кулоновского отталкивания и ядерного притяжения между ними; eIX и E^X^ — энергии возбуждения осколков, которые складываются из энергий деформа-

„ „(1) „(2) ций Ede'f и Edef и внутренних энергий осколков

E^i и E(nt. В процессе динамической эволюции составного ядра из основного состояния до разделения его на осколки энергия возбуждения E * представляется в виде суммы энергии коллективного движения ядра Ecoii, внутренней энергии Eint и потенциальной энергии V (q).

В модели ферми-газа температура ядра связана с его внутренней энергией соотношением T = \JEint/а, где а — параметр плотности уровней. При разделении ядра на осколки считается, что температуры составного ядра перед разрывом и температуры осколков сразу после разрыва равны между собой: Tcn = Ti = T2 .В силу этого условия можно получить следующие равенства:

Eint

... jEn = Eint

где Ai, A2, Acn — массы осколков и составного ядра; Eint(tsc)- внутренняя энергия возбуждения составного ядра перед разрывом. Как видно из данных уравнений, внутреняя энергия оказывается пропорциональной массе ядра. Теперь закон сохранения энергии (1) с учетом (2) и (3) можно переписать в виде

Qf + Ecoll

Условие сохранения энергии, записанное в виде (4), накладывает ограничения на сумму энергий деформации осколков, но не позволяет их однозначно определить. Для расчета E^f и E^f обычно привлекаются дополнительные условия. Одним из таких условий является условие сохранения числа частиц при разрыве шейки, соединяющей будущие осколки [28-30]. Как правило, предполагается, что осколки обладают эллипсоидальными деформациями [28,29]. В работе [29]

Рис. 1. Зависимость средних множественностей предразрывных (квадраты), постразрывных (круги) нейтронов и полной множественности нейтронов (треугольники) от энергии возбуждения для ядра 224ТЬ. Открытые символы - экспериментальные данные [20], закрашенные символы - результаты расчетов

с помощью (4) и условия максимума энтропии системы двух осколков находились эксцентриситеты осколков. В работе [28] дополнительным условием для нахождения параметров формы осколков являлось условие сохранения размеров системы по оси г сразу после разрыва перемычки, соединяющей будущие осколки. Условия сохранения числа частиц и размеров системы по оси г можно рассматривать [30] как сохранение моментов распределения ядерной плотности при разделении исходного составного ядра на осколки. В данной работе мы параметризовали форму осколков на основе формы составного ядра. Сплошная предразрывная форма ядра разделялась на два осколка плоскостью, которая проходила перпендикулярно оси г при минимальной толщине шейки. Однако такой способ параметризации форм осколков гарантирует сохранение всех моментов плотности системы до и после разрыва шейки, в то время как в [30] постулируется сохранение лишь нескольких низших моментов плотности. В силу такой параметризации формы осколков, рассчитанные энергии деформации не удовлетворяют закону сохранения энергии (4), сумма Е^) + Е^2) оказывается больше левой части уравнения (4). Поэтому энергии деформации уменьшались, чтобы удовлетворить закону сохранения энергии (4) и при этом удовлетворить условию Е(2)/Е(2еу = Е(2)/Е%) , где Е

и Е^2) — уменьшенные значения энергии деформации, удовлетворяющие закону сохранения энергии (4). Таким образом, энергия возбуждения осколка определялась по формуле

Е« = Е({) + Е

?(Ц) ¿1) ,

1, 2.

Число испущенных постразрывных частиц находилось при помощи статистического кода [31] с входными параметрами А , Zi, Е(Х).

Далее мы представляем результаты расчетов для двух значений коэффициента редукции вклада от формулы стены: кя = 0.25 и кя = 0.5. Данные значения кя не противоречат значению кя = 0.27, найденному из анализа ширин гигантских резонансов [32] и интервалу значений 0.2 < кя < 0.5, найденному в [33] из сравнения рассчитанных средних значений кинетической энергии осколков с экспериментальными данными. Результаты наших предыдущих расчетов показывают, что рассчитанные параметры МЭР и средней множественности предразрывных нейтронов находятся в хорошем количественном согласии с экспериментальными данными для компаунд ядер 205^У и 215^У при значениях 0.25 < кя < 0.5, а для компаунд ядер 252Еш и 256Еш при значениях кя ~ 0.25.

На рис. 1 представлена зависимость средних множественностей предразрывных и постразрывных нейтронов от начальной энергии возбуждения составного ядра для реакции 180 +208 РЬ ^224 ТН (Е1аЬ = 130, 110, 90, 83 МеУ). Данный рисунок, экспериментальные данные и наши теоретические расчеты, проведенные с однотель-ным механизмом ядерной вязкости, показывают, что вне зависимости от начальной энергии возбуждения составного ядра средняя множественность постразрывных нейтронов остается практически неизменной. Энергия возбуждения осколков деления, приходящаяся на нуклон, лежит в пределах 0.18 — 0.26 МэВ/нуклон, в то время как энергия возбуждения, приходящаяся на нуклон, для составного ядра изменяется в пределах 0.16—0.33 МэВ/нуклон. Это подтверждает вывод, сделанный ранее в [4] на основе анализа большого числа экспериментальных данных о том, что в момент разрыва ядро оказывается достаточно холодным, т. е. значительная часть энергии возбуждения составного ядра уносится предразрывными нейтронами до разделения составного ядра на осколки.

Таким образом, на основе изучения зависимостей средних множественностей предразрывных и постразрывных нейтронов от энергии возбуждения можно сделать вывод о том, что деление - достаточно медленный процесс, сопровождающийся большим трением. Большая часть энергии

12

10

чО 8

О4

С б

>н

4

2

4.5

4.0

ш

(Г> У, 3.5

3.0

а

И 2.5

2.0

1.5

1.0

Л 00

х^ШхХххХх>СХХХхХххх>сЩй1(х

« • * • •

! ....................г .

35 70 105 140 175

Масса осколка

Рис. 2. (а) - массовое распределение и зависимость средней множественности нейтронов от массы осколка {п.рГе(М)}. Сплошная толстая линия - массовое распределение, полученное на эксперименте [5], сплошная тонкая линия и пунктирная линия - результат

теоретических расчетов массового распределения с к3 = 0.25 и к3 = 0.5 соответственно. Закрашенные круги - экспериментальная зависимость (прГе(М)}. Закрашенные квадраты и открытые квадраты -результат теоретических расчетов (прГе(М)} с кз = 0.25 и кз = 0.5 соответственно. Кресты - результаты расчетов с (пр^е(М)) = 0. (б) - зависимость средней энергии испаряющихся нейтронов {Еп(М)} и среднего времени деления от массы (tf (М)) . Закрашенные круги -экспериментальная зависимость средней энергии испаряющихся нейтронов от массы осколков. Закрашенные квадраты - результаты теоретических расчетов с к3 =0.5. Открытые треугольники -рассчитанное среднее время деления в зависимости от массы осколков к3 =0.5. Закрашенные треугольники -рассчитанное среднее время деления в зависимости от массы осколков, полученное в расчетах, где испарение до седловой точки было запрещено

возбуждения уносится предразрывными нейтронами до разделения составного ядра на осколки.

3. Корреляционные зависимости

множественности предразрывных нейтронов как функции массы и кинетической энергии осколков деления

В работе [5] было показано, что для событий симметричного деления испаряется большее число предразрывных нейтронов, чем для событий асимметричного деления, в то время как энергии испаряющихся нейтронов не зависят от массы осколков. Данная тенденция оказалась практически не зависящей от массы делящегося компаунд ядра. Зависимость (прГе(И)) может быть

Рис. 3. Зависимость среднего числа испаряющихся нейтронов от координаты удлинения с для ядер и

252^ш. Стрелки указывают на положение седловых точек для соответствующих ядер

аппроксимирована параболой [4]

где (п3) и И3 — средняя множественность нейтронов и масса осколка для симметричного разделения ядра. На рисунке 2а также представлены рассчитанные и экспериментальные зависимости (прГе(И)), которые аппроксимировались параболами на основе метода наименьших квадратов. Результаты расчетов срГе представлены в таблице. В таблице приводятся следующие данные: компаунд ядро (С. К.); энергия возбуждения (Е*); коэффициент редукции вклада формулы стены (к3 ); коэффициенты Срге, сюг, апр°а± , характеризующие зависимость от массы осколков предразрывной, полной и постразрывной мно-жественностей нейтронов соответственно; коэффициент, характеризующий зависимость полной множественности нейтронов от Ек (); отношение числа нейтронов, испаренных до седло-

вой точки, к полному числу нейтронов ( ( рге) );

\прге/

отношения средних времен для симметричного

зут\ /

$ ) и асимметричного деления (под асимметричным делением понимается деление с отношением масс, осколков равным 0.7); среднее время деления ()); средняя множественность предразрывных нейтронов ((прГе)). Уменьшение множественности нейтронов с увеличением массовой асимметрии является следствием уменьшения времени деления . На рисунке 2б показаны рассчитанные значения среднего времени достижения поверхности разрыва делящимися ядрами в зависимости от массы осколков ((И)). Как видно из рис. 2б, средние времена деления

для симметричного и асимметричного разделения ядра различаются почти в два раза. При объяснении характера зависимости (ирг1(М)) вопрос о том, где испаряются нейтроны, имеет принципиальное значение. На рисунке 3 представлен процентный выход (от общего числа) множественности предразрывных нейтронов в зависимости от координаты удлинения с. Наши расчеты показывают, что большая часть нейтронов, как и других частиц, испаряется из области основного состояния, до седловой точки. К сожалению, прямых экспериментальных данных о количестве предразрывных частиц, испаряющихся на разных стадиях процесса деления, не существует. В некоторых экспериментальных работах [20, 34, 35] авторы пытались с помощью различных модельных представлений определить число легких предразрывных частиц, испаряющихся до седловой точки и на спуске от седла до разрыва. Однако результаты подобных попыток сильно зависят от набора параметров конкретной модели, применяемой для анализа. Результат, подобный нашему, был получен ранее в работе [36], для реакции 16С +197 Ли ^213 й- (Е*ст. = 120 МеУ) было получено, что до седловой точки нейтронов испаряется в среднем 50% от общего числа. Разногласие между результатами, полученными в нашей работе и в [36], объясняется тем, что мы рассматриваем три коллективные координаты, а в [36] рассматривалась только координата удлинения. Вблизи основного состояния потенциальная энергия слабо зависит от координат Н, а' и ланжевеновские траектории блуждают в трехмерных расчетах вблизи основного состояния гораздо дольше, чем в одномерных, соответственно и число нейтронов, испаренных до седловой точки в трехмерных расчетах, больше, чем в одномерных. В силу слабой зависимости потенциальной энергии от коллективных координат Н, а' в области основного состояния кинетические энергии нейтронов, испаряющихся до седловой точки, не будут зависеть от массовой асимметрии (см. рис. 2). Вследствие случайности процесса блуждания ланжевеновских траекторий в пространстве коллективных координат разные траектории будут достигать поверхности гребня за разное временя. Траектории, которые быстро достигли области седловых конфигураций и при этом испарили малое количество частиц, будут сохранять большую часть энергии возбуждения и таким образом иметь возможность быстро достигнуть поверхность разрыва и при этом иметь большую массовую асимметрию. Напротив, те траектории, в процессе эволюции которых из области основного состояния успевает испариться большое число частиц, теряют значительную часть энергии возбуждения,

и после прохождения поверхности гребня они способны лишь медленно спускаться к разрыву вдоль дна жидкокапельной долины деления при массовой асимметрии, примерно равной нулю, и неспособны забираться по поверхности потенциальной энергии в область больших массовых асимметрий. Таким образом, можно сделать вывод о том, что конечная массовая асимметрия и время деления ядра зависят от характера его динамической эволюции в области основного состояния. Чем меньше частиц испарится из ядра в области основного состояния, тем больше будет вероятность у ядра быстро достигнуть поверхность разрыва при большой массовой асимметрии, т. е. отношение (ирЯ2) / (прг1) определяет доступное фазовое пространство для траектории на спуске от седла до разрыва. Другими словами, частицы, достигающие поверхность разрыва при большой массовой асимметрии, имеют меньшее время деления ()(М)) (см. рис. 2), что связано с большими коллективными энергиями, которыми они обладают на спуске от седла до разрыва.

Для проверки этой гипотезы нами были проведены расчеты, в которых мы запрещали ядру испарять частицы до седловой точки, все легкие частицы испарялись из ядра только на спуске от седла до разрыва {иряГ1 (М)) . Это эквивалентно ситуации, когда все ланжевеновские траектории достигают области седловых конфигураций примерно с одинаковой энергией возбуждения. Как видно из рис. 2б, в этом случае среднее время деления () (М)), а, как следствие, и (ирг1(М)) фактически перестают зависеть от М (срг1 = 1.2 х 10-4).

Также среднее время деления () (М)) и средняя множественность предразрывных нейтронов (ирг1(М)) оказались независимыми от М для компаунд ядра 252 Ет при энергии возбуждения Е* = 140МэВ (срг1 = 1.6 х 10-4), в то время как для близкого компаунд ядра 256 Ет, но при энергии возбуждения Е* = 101МэВ значение срг1 =5 х 10-4. Такое поведение зависимости (ирг1(М)) связано с различной энергией возбуждения ядер 256 Ет и 252 Ет. Для ядра 252 Ет испарение легких предразрывных частиц не может значительно сократить доступное фазовое пространство для траекторий на спуске в силу большой энергии возбуждения и малого времени деления. Энергия возбуждения для ядра 256 Ет меньше, чем для 252Ет, и в этом случае наблюдается параболическая зависимость () (М)) и (Прп(М)) .

Экспериментальные данные и наши расчеты показывают, что (ирг1(М)) не зависит от М для компаунд ядра 205 Ег, в то же время энергия возбуждения для него меньше, чем для 215 Ег, и, казалось бы, для него тоже можно ожидать

А

XI,,

j

д (б) "

1 л i

>? 6 4 2

9

8

7 о ^ 6

3 5

4

3

100 150 200

Ек

Рис. 4. (а) - энергетическое распределение и зависимость

средней множественности нейтронов от кинетической энергии осколков (прГе(Ек)}. Сплошная толстая линия -

энергетическое распределение, полученное на эксперименте [5], сплошная тонкая линия и пунктирная

линия - результат теоретических расчетов энергетического распределения с ks = 0.25 и ks = 0.5, соответственно. Закрашенные круги - экспериментальная

зависимость

Открытые треугольники - рассчитанное с ks = 0.5 среднее время деления в зависимости от кинетической энергии осколков

параболическую зависимость (ПрГе(И)). Однако ядро 205Ег является нейтронодефицитным и в процессе деления из него испаряется очень мало нейтронов по сравнению с 215Ег. Средняя множественность предразрывных нейтронов для 205Ег составляет примерно единицу. В силу этого обстоятельства все траектории на спуске будут иметь примерно одинаковую энергию возбуждения, поскольку испарение предразрывных частиц является единственным фактором, формирующим распределение траекторий по энергии возбуждения, а соответственно и оказывающим влияние на доступное для траекторий фазовое пространство на спуске от седла до разрыва.

В работе [19] в рамках двумерной модели, основанной на классических уравнениях Эйлера-Лагранжа, и с использованием комбинации одно-тельной и двухтельной вязкости [37] исследовалась зависимость (прГе(И)). В [19] было получено, что для воспроизведения в расчетах наблюдаемой на эксперименте зависимости (прге(И)) необходимо сильно уменьшить величину вязкости в зависимости от координаты массовой асимметрии, домножив компоненты фрикционного тензора на ехр(—К * а * а), где К = 161 ± 3. Такое уменьшение вязкости искусственно приво-

Рис. 5. Зависимость потенциальной энергии ядра 256Ргп от координаты массовой асимметрии а' на спуске от седла до разрыва при Н = 0. Линии потенциальной энергии проведены для параметра с, изменяющегося от 1.3 до 2.0 с шагом 0.07

дит к уменьшению времени деления с увеличением массовой асимметрии, что в итоге и позволило воспроизвести в расчете [19] параболический вид зависимости (прГе(И)). Наблюдаемая на эксперименте зависимость (прГе(Ек)) [5] демонстрирует значительный рост

'pre

(Ек ) ) с увеличением Ек . Однако после применения к этим результатам процедуры пересчета, учитывающей эффекты отдачи [5], (прГе(Ек)) фактически перестает зависеть от Ек . В наших расчетах среднее время деления (1$ (Ек)), а как следствие и (прге (Ек)), в пределах погрешности оказались почти не зависящими от Ек , и только в области малых Ек наблюдается небольшой спад в зависимостях (у (Ек)) и (прГе(Ек)) (см рис. 4). Потенциальная энергия на спуске от седла до разрыва для ядра 256Е т в зависимости от Н и а' показана на рис. 5 и 6. Верхние кривые на данных рисунках примерно соответствуют сед-ловым конфигурациям, а нижние - разрывным. Как видно из рис. 5 и 6, потенциальная энергия на спуске от седла до разрыва значительно слабее зависит от Н, чем от а'. Более того, при приближении к разрыву жесткость потенциальной энергии по а' возрастает, а по Н наоборот уменьшается. Поэтому даже траектории с малой энергией возбуждения имеют возможность блуждать в достаточно широком диапазоне изменения параметра Н , который фактически определяет значение Ек . Таким образом, значения Ек оказываются слабо зависящими от энергии возбуждения, которой обладала траектория в области седловых конфигураций или, что то же самое, от

Рис. 6. Зависимость потенциальной энергии ядра

от координаты Н на спуске от седла до разрыва при а' = 0 . Линии потенциальной энергии проведены для параметра с, изменяющегося от 1.3 до 2.0, с шагом 0.07

соотношения (пряГ1^ и (пряГ1). Небольшой спад зависимости (прге(Ек)) в области малых Ек объясняется все возрастающим вкладом событий с большой массовой асимметрией с уменьшением Ек, что следует из общего характера двумерного МЭР. Следует особо подчеркнуть, что в наших трехмерных ланжевеновских расчетах с использованием модифицированного механизма ядерной вязкости удается гораздо лучше воспроизвести экспериментальную зависимость (прге( Ек)), чем в двумерных расчетах [18] с использованием двухтельного механизма ядерной вязкости.

4. Корреляционные зависимости

множественности постразрывных нейтронов как функции массы и кинетической энергии осколков

Важными источниками информации о динамической эволюции ядра перед его разделением на осколки являются корреляционные зависимости постразрывной множественности нейтронов от массы осколков (проя1 (М)) и их кинетической энергии (проя1 (Ек)). Рассчитанные зависимости (прояг (М)) и (прояг (Ек)) для ядра 205Ег представлены на рис. 7 и 8. Как видно из рис. 7, проя1 зависит от М практически линейно. Такой вид зависимости (проя1 (М)) является следствием того факта, что внутренняя энергия составного ядра в разрыве фактически не зависит от массовой асимметрии и при разделении составного ядра распределяется между осколка-

Рис. 7. Зависимости множественностей нейтронов от массы осколка для ядра 205Рг рассчитанные с к3 = 0.5. Закрашенные квадраты - предразрывная множественность нейтронов, открытые круги -множественность постразрывных нейтронов, закрашенные треугольники - полная множественность нейтронов

ми пропорционально их массам. Как видно из рис. 9 и 10, внутренняя энергия значительно превосходит энергию деформации осколков, определяя таким образом общий характер зависимости (прояЬ (М)) .

Энергия деформации осколков зависит от их массы нелинейно. Такой вид зависимости определяется, главным образом, поведением величины Q) в уравнении (1), при расчете которой проводился учет оболочечных эффектов. Как видно из рис. 9 и 10, максимумы энергии деформации в зависимости от масс осколков могут приходиться и на симметричное деление, как в случае ядра 252 Ет, и на несимметричное, как в случае ядра 215 Ег [38]. Таким образом, энергия деформации определяет отклонение от линейной зависимости от М полной энергии возбуждения осколков. Аналогичный результат был получен ранее в работе [29] для реакции

4Не +209 Ы

213

А (Еыъ = 45 МеУ). Резуль-

таты наших расчетов подтверждают вывод, сделанный в работе [29], о том, что при расчете энергий возбуждения осколков необходимо учитывать влияние оболочечных эффектов на Q). Также стоит отметить, что результаты наших расчетов качественно хорошо согласуются с результатами, полученными в [29], где энергии деформации осколков находились из условия максимума энтропии системы осколков. Этот факт указывает на то, что предлагаемый нами метод расчета энергии деформации осколков является неплохим приближением метода нахождения

Рис. 8. Зависимости множественностей нейтронов от кинетической энергии осколков для ядра 205 Рг, рассчитанные с к3 = 0.5. Закрашенные квадраты -предразрывная множественность нейтронов, открытые

круги - множественность постразрывных нейтронов, закрашенные треугольники - полная множественность нейтронов

Рис. 9. Зависимость энергии возбуждения осколков Еех (закрашенные круги) для ядра 215Рг от массы осколков. Открытые круги — внутренняя энергия возбуждения составного ядра. Открытые квадраты и треугольники — внутренняя энергия возбуждения и энергия деформации осколков соответственно

экстремума энтропии системы осколков. Кроме того, он требует гораздо меньшего объема вычислений, что делает его использование, по крайней мере для оценочных расчетов, более предпочтительным по сравнению с методом нахождения экстремума энтропии системы осколков.

Рассчитанные и экспериментальные зависимости (проя1 (М)) апроксимировались прямыми. Коэффициенты наклона данных прямых приводятся в таблице. Как видно из таблицы, общий характер зависимости (проя1 (М)) удается неплохо воспроизвести в рамках трехмерной Ланже-веновской динамики с однотельным механизмом ядерной вязкости. Причем коэффициенты наклона расчетных кривых (проя1 (М)) оказываются практически не зависящими от кя .

Полная множественность нейтронов в зависимости от массы осколков рассчитывается по формуле

(прояь(М)) + (проЯь(Аам - М)).

Зависимость (по(М)), как и (прг1(М)), апрок-симируется параболой с коэффициентом со. Как видно из уравнения (7), чем ближе зависимость (проя1(М)) к прямой, тем меньше коэффициент со будет отличаться от срг1. Как показывают наши расчеты, отличие (проя1 (М)) от прямой в основном определяется энергией деформации. Для тех ядер, у которых максимум энергии деформации приходится примерно на симметричное разделение ядра, ^^ > срг1, по-

скольку множественность (проя1(М)) имеет слабый максимум для симметричного деления. И наоборот, для тех ядер, у которых максимумы энергии деформации приходятся на несимметричное деление, со < срг1.

Рассчитанные и экспериментальные зависимости (проя1 (Ек)) для ядра 205Ег представлены на рис. 8. Как видно из данного рисунка, с ростом Ек множественность проЯ1 уменьшается. Такой вид зависимости (про^ (Ек)) следует из закона сохранения энергии (4). Как видно из уравнения (4), с ростом Ек полная энергия возбуждения осколков уменьшается, а следовательно, уменьшаются и средние множественности постразрывных нейтронов. Полная множественность нейтронов в зависимости от Ек также уменьшается с ростом Ек , поскольку множественность предразрывных нейтронов практически не зависит от Ек , и таким образом поведение (щ_о1 (Ек)) определяется главным образом зависимостью (проя1 (Ек)).

5. Заключение

В рамках трехмерной ланжевеновской динамики нами были проведены динамические расчеты двумерного МЭР осколков деления, множественности нейтронов как функций массы и кинетической энергии осколков деления. На основе проведенных расчетов можно утверждать, что деление - достаточно медленный процесс, сопровождающийся большим трением. Проведен-

1 1 1 1 1 i < i 1 i < 2HFm 0 "

ifioo 0 % 0 0° у 0 о °°

** f^bjPP^ fc • ruffil

д

50 75 100 115 15(1 175 200

Масса осколка

Рис. 10. Зависимость энергии возбуждения осколков Еех (закрашенные круги) для ядра 252^ш от массы осколков. Открытые круги — внутренняя энергия возбуждения составного ядра. Открытые квадраты и треугольники — внутренняя энергия возбуждения и энергия деформации осколков соответственно

ные расчеты показывают, что множественности предразрывных нейтронов удается воспроизвести с использованием однотельного механизма ядерной вязкости [39] или его модифицированного варианта [32]. При такой большой величине ядерной вязкости деление проходит в режиме апериодического сверхзатухания [11], релаксация по коллективным импульсам происходит быстро и вместо «полной» системы уравнений Ланжеве-на можно использовать редуцированные уравнения Ланжевена. Большая часть энергии возбуждения ядра уносится предразрывными нейтронами. Таким образом, можно говорить, что в момент разрыва ядра оказываются достаточно холодными, с энергией возбуждения примерно 0.2 — 0.3 МэВ/нуклон. Использование двух-тельного механизма ядерной вязкости приводит к тому, что для описания средней множественности нейтронов необходимо использовать аномально большие значения коэффициентов двух-тельной вязкости, при которых не удается самосогласованно описать параметры МЭР и множественности предразрывных нейтронов [40]. К аналогичному выводу пришли и авторы работы [41]. Удовлетворительного описания значительного числа экспериментально наблюдаемых характеристик деления удается добиться в рамках модифицированного варианта однотельного механизма ядерной вязкости [32]. На основе наших расчетов можно сделать вывод о том, что для легких делящихся ядер в районе РЬ, Рт удовлетворительное согласие рассчитанных данных с экспериментом достигается при использовании

кя = 0.25 — 0.5, а для тяжелых ядер - в районе Рт при к3 = 0.1 — 0.25. Эти результаты очевидно приводят к необходимости обоснования такого поведения кя на основе микроскопических расчетов с учетом роли хаоса и эффектов симметрии [8, 9, 42] в делящемся ядре при произвольных дефформациях. Существенное различие рассчитанных значений и экспериментальных данных наблюдается только для тяжелых ядер 252 Рт и 256 Рт. Для этих ядер не удается воспроизвести одновременно и среднюю множественность предразрывных нейтронов и дисперсии массового и энергетического распределений. Такое разногласие рассчитанных характеристик с экспериментальными данными объясняется тем, что мы начинаем расчет из статистически равновесного основного состояния ядра, а для данных ядер при высоких энергиях возбуждения и больших моментах барьер деления становится настолько мал, что статистическое равновесие не устанавливается, и при проведении динамических расчетов необходимо учитывать эффекты входного канала. Тем не менее на основе проведенных расчетов можно сделать вывод о том, что нейтроны преимущественно испаряются до седловой точки. Данное обстоятельство наряду с энергией возбуждения и другими факторами оказывает влияние на доступное фазовое пространство для траекторий на спуске от седла до разрыва, и, таким образом, влияет на зависимость (прге(М)). И данный результат надо обязательно учитывать при расчете угловых распределений осколков деления [20,43,44], которые определяются как температурой в седловой точке (в седловом состоянии), так и величиной эффективного момента инерции ядра [45]. Анализ результатов расчетов при больших энергиях возбуждения (Е* > 150 МэВ или Т * > 3 МэВ) ставит вопрос о температурной зависисмости транспортных коэффициентов [46] и в первую очередь термодинамического потенциала, определяющего консервативную силу.

На основе проведенных расчетов также можно сделать вывод о том, что при расчете зависимости постразрывной множественности нейтронов необходимо учитывать влияние оболочеч-ных эффектов при расчете энергий возбуждения осколков. Проведенные расчеты показывают, что оболочечные эффекты оказывают влияние на зависимость полной множественности нейтронов от массы осколов. Стоит отметить, что предложенная нами модель расчета постразрывной множественности нейтронов дает хорошее согласие с имеющимися экспериментальными данными, и наши результаты расчетов подобны полученным ранее в работе [29], что позволяет сделать вывод о ее применимости, по крайней мере для

проведения оценочных расчетов. Однако проведение расчетов постразрывной множественности нейтронов, несомненно, надо проводить, используя для нахождения энергии деформации осколков условие максимума энтропии системы осколков. Причем данный расчет неохобдимо проводить, используя для расчета энергии взаимодействия осколков модель жидкой капли, учитывающей диффузность поверхности ядра и ограниченность действия ядерных сил, а не модель жидкой капли с резкой поверхностью ядра, как в [29]. Кроме того, параметризация формы осколков эллипоидами вращения является достаточно грубым приближением, и для адекватного описания формы осколков сразу после разрыва шейки необходимо использовать такие параметризации, в рамках которых удалось бы получить грушевидные формы.

В заключение авторы выражают благодарность А.Я. Русанову за многочисленные полезные обсуждения, а также В.Р. Шмальц за помощь в проведении расчетов.

[1] Оганесян Ю.Ц., Лазарев Ю.А. Treatise on Heavy Ion Science, 4, 3, Ed. D. A. Bromley, N. Y. Plenum, (1985).

[2] Gonnenwein F. Nuclear Fission Process, 287, Ed. C. Wagemans, Boca Ration: CRC, (1991).

[3] Иткис М.Г., Русанов А.Я. ЭЧАЯ 29, 389 (1998).

[4] Hilscher D., and Rossner H. Ann. Phys. (Fr.) 17, 471 (1992).

[5] Hinde D.J., Hilscher D., Rossner H., Gebauer B., Lehmann M., and Wilpert M. Phys. Rev. C 45, 1229 (1992); Hinde D.J., Hilscher D., and Rossner H., Nucl. Phys. A 538, 243c (1992).

[6] Rossner H., Hilscher D., Hinde D.J., Gebauer B., Lehmann M., Wilpert M., and Mordhorst E. Phys. Rev. C 40, 2629 (1989).

[7] Hoffman D.J., Back B.B., Dioszegi, Montoya I., Schadmand C.P., S. Varma, Paul R. Phys. Rev. Lett. 72 , 470 (1994).

[8] Santanu P., and Makhopadhyay T. Phys. Rev. C 54, 1333 (1996).

[9] Santanu P., and Makhopadhyay T.. Phys. Rev. C 57, 210 (1998).

[10] Gontchar I.I., and Litnevsky L.A. Z. Phys. A 359, 149 (1997).

[11] Гончар И.И. ЭЧАЯ 26, 932 (1995).

[12] Rossner H., Hilscher D., and Hinde D.J. Phys. Rev. C 43, 2434 (1991).

[13] Hinde D.J., Ogata H., Tanaka M., Shimoda T., Takahashi N., Shinohara A., Wakamatsu S., Katori K., and Okamura H. Phys. Rev. C 39, 2268 (1989).

[14] Adeev G.D. and Pashkevich V.V. Nucl. Phys. A 502, 405c (1989); Адеев Г.Д., Гончар И.И., Паш-

кевич В.В., Писчасов Н.И., Сердюк О.И. ЭЧАЯ 19, 1229 (1988).

[15] Abe Y., Ayik S., Reinhard P-G., and Suraud E. Phys. Rep. 275, 49 (1996).

[16] Kramers H.A. Physica 7, 284 (1940).

[17] Fröbrich P. and Gontchar I.I. Phys. Rep. 292, 131 (1998).

[18] Tillack G.-R., Reif R., Schölke A., Fröbrich P., Krappe H. J., and Reusch H. G. Phys. Lett. B 296, 296 (1992).

[19] Dhara A.K., Krishan K., Bhattacharya C. et al. Phys. Rev. C 57, 2453 (1998); Eur. Phys. J. A 7, 209 (2000).

[20] Rossner H., Hinde D.J., Leigh J.R. et al. Phys. Rev. C 45, 719 (1992).

[21] Karpov A.V., Nadtochy P.N, Vanin D.V., and Adeev G.D. Phys. Rev. C 63, 054610 (2001).

[22] Nadtochy P.N., Karpov A.V., Vanin D.V., and Adeev G.D. Yad. Fiz. 64, 926 (2001).

[23] Brack M. et al., Rev. Mod. Phys. 44, 320 (1972).

[24] Krappe H.J., Nix J.R., and Sierk A.J. Phys. Rev. C 20, 992 (1979).

[25] Sierk A.J. Phys. Rev. C 33, 2039 (1986).

[26] Bao J, Zhuo Y, and Wu X. Z. Phys. A 352, 321 (1995).

[27] Davies K.T.R., Managan R.A., Nix J.R. and Sierk A.J. Phys. Rev. C 16, 1890 (1977).

[28] Brosa U., Grossmann S., and Muller A. Phys. Rep. 33, 167 (1990).

[29] Косенко Г.И., Ванин Д.В., Адеев Г.Д. ЯФ 61, 416 (1998).

[30] Рубченя В.А., Явшиц С.Г. ЯФ 40, 649 (1984).

[31] Iljinov A.S., Mebel M.V., Bianchi N. et al. Nucl. Phys. A543, 517 (1992).

[32] Nix J.R., and Sierk A.J. , in Proceedings of the 6th Adriatic Conference on Nuclear Physics: Frontiers of Heavy Ion Physics, Dubrovnik, Yugoslavia, 1987, edited by Cindro N., Caplar R., Greiner W. (World Scientific, Singapore, 1990), p. 333.

[33] Nix J.R., and Sierk A.J., in Proceedings of the International School-Seminar on Heavy Ion Physics, Dubna, USSR, 1986 edited by M. I. Zarubina and E. V. Ivashkevich (JINR, Dubna, 1987), p. 453; Nix J. R.. Nucl. Phys. A502, 609 (1989).

[34] Lestone J.P., Leigh J.R., Newton J.O. et al. Phys. Rev. Lett. 67, 1078 (1991).

[35] Ikezoe H., Shikazomo N., Nagame Y. et. al. Phys. Rev. C 46, 1922 (1992).

[36] Fröbrich P., Gontchar I.I., and Mavlitov N. D. Nucl. Phys. A 556, 281 (1993).

[37] Davies K. T.R., Sierk A.J., and Nix J.R. Phys. Rev. C 13, 2385 (1976).

[38] Иткис М.Г., Мульгин С.И., Околович В.Н. и др. ЯФ 53, 1238 (1991).

[39] Blocki J. et al. Ann. Phys. (N.Y.) 113, 330 (1978); Sierk A.J, Nix J.R. Phys. Rev. C21, 982, (1980).

[40] Ванин Д.В., Надточий П.Н., Косенко Г.И. и Адеев Г.Д. ЯФ 63, 1957 (2001).

[41] Blocki J., Planeta R., Brzychczyk J. and Grotovski

K. Z. Phys. A 341, 307 (1992).

[42] Ньютон Дж. О. ЭЧАЯ 21, 821 (1990).

[43] Rossner H. et al. Z. Phys. A 349, 99 (1994).

[44] Дроздов В.А. ЯФ 64, 221 (2001).

[45] Kailas S. Phys. Rep. 284, 381 (1997).

[46] Hofmann H. Phys. Rep. 284, 137 (1997).