Резонансное возбуждение радиальных колебаний в корональных магнитных трубках

УДК 523.947 ББК 22.652

Д.Б. Бембитов, Б.Б. Михаляев

РЕЗОНАНСНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ РАДИАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОРОНАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ТРУБКАХ

Аннотация. Рассмотрена модель корональной петли в виде магнитной трубки, содержащей два продольных электрических тока с взаимно противоположным направлением. Радиальные колебания трубки могут привести к формированию токового слоя. Подобное поведение корональной магнитной трубки можно рассматривать как механизм инициирования простой петельной вспышки. Показано, что радиальные колебания могут возбуждаться в результате нелинейного резонансного взаимодействия торсионных колебаний трубки.

Ключевые слова: Солнце, корональные петли, колебания и волны, взаимодействие волн.

D.B. Bembitov, B.B. Mikhalyaev

THE RESONANCE EXCITATION OF FAST SAUSAGE WAVES IN CORONAL MAGNETIC FLUX TUBES

Summary. A model of coronal loops that consists of a cylindrical core with axial magnetic field and coaxial annulus with purely azimuthal magnetic field is studied. The principal mode of fast sausage waves in the current-carrying coronal loops is able to produce a current sheet. Such behaviour of the coronal magnetic flux tube can be considered as a mechanism of initiating of the simple loop flare. It is shown, that the sausage mode can be excited by the nonlinear resonance interaction of torsional oscillations of the tube.

Key words: Sun, coronal loops, oscillations and waves, waves interaction.

Источником энергии простых петельных солнечных вспышек принято считать продольные электрические токи, протекающие вдоль петель от одного основания к другому. В качестве непосредственной причиной инициирования вспышки принимают запирание тока в вершине петли [1-3], природа которого до конца не ясна. Было показано, что магнитная трубка с двумя продольными электрическими токами противоположного направления допускает линейные радиальные колебания, при которых происходит сжатие областей с токами. Такое поведение трубки можно рассматривать как возможный механизм инициирования петельных вспышек [4-5]. В связи с этим становится актуальной проблема генерации радиальных колебаний в корональных магнитных трубках с электрическими токами.

Радиальные колебания магнитной трубки представляют собой осесимметричные быстрые магнитозвуковые моды цилиндрической магнитной трубки, для которых мы рассматриваем нелинейный резонансный механизм генерации в результате взаимодействия торсионных мод [6-7]. Объектом нашего изучения является составная цилиндрическая магнитная трубка радиуса а, состоящая из двух коаксиальных областей. Во внутренней области (r<b), называемой шнуром, находится однородное магнитное поле с продольным вдоль трубки направлением. Во внешней области в виде цилин-

дрического кольца (Ъ<г<а), называемой оболочкой, имеется потенциальное поле с чисто азимутальным направлением [5-6]. На границах шнура и трубки имеются продольные поверхностные токи на обеих границах, причем полный продольный ток в трубке равен нулю.

Торсионные (крутильные) моды трубки локализованы в шнуре и описываются азимутальной компонентой скорости плазмы

уф(г) =

_[

ікг-івХ

0,

г < Ъ, Ъ < г,

где величина А есть постоянный амплитудный множитель, У - произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию У(0)=0. Частота т и волновое число к связаны между собой дисперсионным уравнением [8]

(О1 - угмк2 _ 0.

уг(г)_

Основная радиальная мода определяется радиальной компонентой скорости [9-10]

А . (кг) е‘ь-‘ш, к = ^а2/ У^-к2, г < Ь,

а г

-АеК (Xг]е‘ь-ш‘, Х = у1 к2-ю2/У20, а < г.

Здесь А;, А1, А2 и Ае есть постоянные коэффициенты, связанные между собой, УА - альвеновская скорость в шнуре. Дисперсионное уравнение [9-10], ввиду его громоздкости, мы приводим только в интересующем нас длинноволновом приближении

1п

со2 --

-V2 к

У А0 к

0.

2 + 1п

Здесь УА0 есть альвеновская скорость в шнуре, которую мы выбираем равной альвеновской скорости во внешней среде УАе.

Процедура описания нелинейного взаимодействия предполагает решение слабонелинейных уравнений для радиальной и азимутальной компонент скорости, которые получены в работе [6],

эч

VI. ъ2

Г—1—г +—\ _

Эг г Эг Эг2 г

У

Ґ л.. \

Эг2

IЭЧ±

Эх

1 э г Эч±.

г Эг Эг

Эу

Эг

т 1 Э Эу

I-----г—-.

г Эг Эг

Эг

дУг

т Э\ т Э і Э

I—г+1--------ТУГ

Эг Эг г Эг

- VI-

э Ч

ЭгЭг2

ЭЧ_

Эг

1 Э Эчф

-----г—- +

г Эг Эг

1 Э 3у —=-1-----------г—!

Эг г Эг Эг

Ф УФ

т Э ч т Э 1Э 1—г + т----------Ч

Эг Эг г Эг

V Э Ч

— _г_т _____Ф_

Эг2

Решение этих уравнений мы рассматриваем только в области г<Ь в виде линейных решений (1) и (3) с добавлением поправок второго порядка,

у (г,г,1) _ єЛ3І1(кг)еіік'2 іЩ‘ +є2м>г (г, г,1) + с.с.,

у (г, г, і) _ вЛ1Г1 (гУКг-Ш11 + єЛ171 (гУ^-^' +

^2 % (г, г, і) + с.с

г

где е есть малый параметр, амплитуды Ар А2 и А3 есть функции медленно меняющихся переменных 2=е1, Т=е1. Решение представляет собой совокупность двух торсионных мод с параметрами А1, ю1, кх и А2, т2, к2 и одной радиальной моды с параметрами А3, т , к3. Частоты и волновые числа удовлетворяют условиям синхронизма ю3=ю1+ю2, к3=к1+к2 .

С помощью выражений вида (7)-(8) из нелинейных уравнений (5)-(6) получают уравнения для поправок второго порядка [11-12]

VA dt2

Э 1 э

---------r -

Эг r Эг

Эг2

w = 2i

Щ ЭА3 + k ЭА

VA Эт 3 ЭZ

Jleik ^1 + k.c. + Rr

1 Э2 w

v2 эt2

Э2

w.

Эг2

= 2i

^ ox ЭА ЭА

—7—+ к,—1 Y,e V2 ЭТ 1 Э2

ikyZ-iCOit

(

2i

(о2 ЭА2

V2 ЭТ

+ к*

ЭА2

~dZ

Y2e

к -iGfy

+ k.c. + R„1

где Яг и Кф содержат члены, квадратичные по амплитудам. Для разрешимости уравнений (9)-(10) необходима ортогональность правых частей решениям соответствующих сопряженных однородных уравнений, которые равны комплексно-сопряженным выражениям для (1) и (3). Ортогональность приводит к уравнениям трехволнового взаимодействия

?А

и ' ' ^ _ слл’

ЭТ

ЭТ

ЭТ

VAi k ЭА1

ЭZ

VAi к ЭА2

(02 ЭZ

VA кз ЭАз

<а3 ЭZ

С, С S’ S , и Сз

= С Аз А*.

Сз А1А2 •

Коэффициенты взаимодействия С1, С2 и С3 определяются выражениями [13]

С = -

2(Oj

V2

'Ai 0

и и

J Yj rdr J DjYjrdr, j = 1, 2, 3, Y3(r) = Jl(Kr),

D3 = k1k2

1 1

----+-------

со, a>2

±y?2 -

dr

k.

k1 k2

щ

03

2Y1Y2

D, 2 =

(o3

_3_

dr

Jy(krr )Y2, +

/ (кз к2 д Л к2 "1

(кз + к2>1) +-^

V С0з со2 . V з 2,1 > J

J!(krr)~rY21 r dr

Уравнения (4) имеют первые интегралы, называемые соотношениями Мэнли-Роу: N. - sign(C,)sign(C3) N3 = const, i = 1,2, где N. = B*B. пропорциональны плотности энергии волн. Характер поведения волн определяется соотношением знаков коэффициентов взаимодействия. В длинноволновом приближении, учитывая дисперсионные уравнения (2) и (4), для коэффициентов взаимодействия получаем приближенные выражения

1 Э2

\

/

С Щ (к1 -кз) Сз лтг 1

При этом условия синхронизма выполняются, если к1>0, к2<0, к3>0 коэффициенты имеют следующие знаки: С1<0, С2<0, С3>0. Из первых интегралов следует N + Ж3=сош1, 7=1,2. Это означает, что с уменьшением амплитуд торсионных мод происходит возрастание амплитуды радиальной моды. Результат трактуется как возбуждение радиальной моды при взаимодействии торсионных мод или, наоборот, распад радиальной моды на две торсионные. Из уравнений (14) для амплитуды радиальной моды получаем уравнение

откуда при малых t следует A~sin(a t)~at, где коэффициент а определяет скорость возрастания амплитуды радиальной моды. Возбуждение и распад радиальной моды происходит периодически. Известно, что аналогичным свойством обладают волны на воде [14].

Таким образом, мы показали, что возбуждение радиальных колебаний в вспышечных корональных магнитных трубках может происходить в результате нелинейного резонансного взаимодействия торсионных волн. Торсионные возмущения, в свою очередь, могут быть вызваны конвективными возмущениями оснований корональных петель. Дальнейшее развитие рассматриваемого механизма инициирования петельных вспышек предполагает изучение нелинейного поведения радиальных колебаний, описывающих колебания трубки конечной амплитуды. Это является предметом нашего дальнейшего исследования.

Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки Российской Федерации 201з г. для Калмыцкого государственного университета (тема 775).

Список литературы

1. Alfven H., Carlkvist P. // Solar Physics. - 1967. - V 1. - P. 220.

2. Зайцев В.В., Степанов А.В. // Успехи физических наук. - 2008. - 178. - № 11. -

3. Степанов А.В., Зайцев В.В., Накаряков В.М. // Успехи физических наук. - 2012. -Т. 182. - № 9. - С. 999.

4. Bembitov D.B., Mikhalyaev B.B. / Second UK-Ukraine Meeting on Solar Physics and Space Science, 16-20 September 201з, Kiev. Program and Thesises. - 201з. - P. 58.

5. Бембитов Д.Б., Михаляев Б.Б. // Вестник Калмыцкого ун-та (в этом номере).

6. Михаляев Б.Б. // Вестник Калмыцкого ун-та. - 2007. - № з. - С. 55.

7. Михаляев Б.Б., Рудерман М.С. Колебания и волны в солнечной короне. - Элиста: Изд-во Калм. ун-та, 2012.

8. Spruit H.S. // Solar Physics. - 1982. -V. 75. -P. з.

9. Михаляев Б.Б., Хонгорова О.В. // Письма в Астрономический журнал. - 2012. -Т. з8. - № 10. - С. 746.

10. Khongorova O.V., Mikhalyaev B.B., Ruderman M.S. // Solar Physics. - 2012. -V. 280. - P. 15з.

11. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

7-Сз (с а+С2 а |),

С. 1165.

12. Вильхельмссон Х., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. - М.: Мир, 1974.

13. Хонгорова О.В., Михаляев Б.Б. // Известия ВУЗов. Физика. - 2012. - Т. 55. - С. 114.

14. Филлипс О.М. Взаимодействие волн / В кн. «Нелинейные волны», С. Лейбович, А. Сибасс (ред.). - М.: Мир, 1977.