Использование функций Сплайн-Виленкина-Крестенсона для построения аналитических моделей радиосигналов

X МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

УДК 621.391

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ СПЛАЙН—ВИЛЕНКИНА—КРЕСТЕНСОНА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАДИОСИГНАЛОВ

С. Н. Агиевич,

канд. техн. наук, старший научный сотрудник В. Л. Беспалов,

адъюнкт

Военная академия связи им. С. М. Буденного

Рассматриваются возможности использования базисов функций сплайн—Виленкина—Крестен-сона для построения аналитических моделей радиосигналов с целью повышения скорости их цифровой обработки. Излагаются основы современной теории сплайн-гармонического анализа. Определяются понятия свертки и корреляции для функций сплайн—Виленкина—Крестенсона. Производится оценка скорости цифровой обработки радиосигналов, полученных на основе представленных моделей.

We study the use of spline-Vilenkin-Chrestenson functions for the construction of analytical models of radiosignals in order to increase the speed of their digital processing. Fundamentals of the modern theory of spline-harmonic analysis are given. For the spline-Vilenkin-Chrestenson functions the notions of convolution and correlation are defined. Finally, we give some estimates for the speed of digital processing of the radiosignals based on the proposed model.

В настоящее время вопрос использования негармонических функций для передачи радиосигналов в системах связи большей частью был вне поля зрения специалистов. Для этой цели широко используются экспоненциальные функции [1]. Они обладают важными достоинствами: во-первых, являются гладкими (бесконечно дифференцируемыми), а во-вторых, при приеме таких радиосигналов с использованием средств цифровой обработки сигналов (ЦОС) для нахождения спектральных коэффициентов, осуществления фильтрации, нахождения корреляционных функций в базисе дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) [2] используются быстрые алгоритмы, например быстрое преобразование Фурье (БПФ). Между тем ДЭФ, лежащие в основе БПФ, являются частным случаем функций Виленкина—Крестенсона (ВКФ). Скорость быстрых преобразований на основе этих функций может быть существенно выше за счет меньшего модуля представления чисел. Однако гладкие (несколько раз дифференцируемые) аналоги для ВКФ до недавнего времени отсутствовали. Ситуация изменилась с появлением множества систем новых базисов [3] на основе сплайн—Виленкина—Крестенсона функций

(СВКФ). СВКФ являются гладкими (положительное свойство экспоненциальных функций), для них имеются быстрые алгоритмы, причем эти алгоритмы для разложения сигналов по СВКФ в общем случае выполняются значительно быстрее, чем вычисляется БПФ (положительное свойство быстрых алгоритмов в базисе ВКФ). Это позволяет разрабатывать практически новые средства связи на базе существующих с меньшими вычислительными затратами на формирование сигналов и обработку в процессе их приема методами ЦОС.

Кратко поясним суть теории сплайн-гармони-ческого анализа (СГА). В ее основе лежат теоремы и следствия, представленные в работах [3-5]. Для сигналов PalSp(t) из пространства PalGp периодических сплайнов с упорядочением по Пэли [2] (здесь Pal - значок упорядочения по Пэли,p - порядок сплайна дефекта 1, n - номер базисной функции) справедливо:

Теорема 1. Обобщенный ряд Фурье-сигнала из Palпредставляется:

V TTP<t\ - Y C Palmn

Pal SP (t)= Y Pal Cn PalTn(t) - Y PalCn p ,

n=-<~ n--~ Pal un

где

Pal Cn Pal Fn (z);

Pal Up (t) = ^

Pal un

Pal mn

p (t) = ТтЕ Pal(n, k)Mp |tв tk I, Ц —

N

мо-

дуль представления чисел, в — сдвиг по модулю Ц,

tk =| —+ k I/N, N — количество и длина базисных

функций;

p

= PalFn (Mp) = 1/NЕ Pal(n, k)Mp (tk);

Pal

Fn(z) = ^ЕPal(n, k)zk, Pal(n, k) = wi=1

Е ni+i-iki

, w =

= exp(/2n/^), Z — число разрядов представления числа по модулю ц, Pal (n, k) — комплексно-сопряженное Pal (n, k).

Примечание. PalUp(t),Palmp(t) — базисные СВКФ. Они получены с использованием сплайнов дефекта 1 и обладают их свойствами.

Следствие 1. При ц = N справедливо:

Pal

sp (t) - дэфsp (t) = Е cpup (t).

n=-^

Следствие 2. При ц = N и р ^ ^ имеем ряд

Фурье: lim PalSp(t) - Y Cpe2njnt.

ц-N n--“

Следствие 3. При ц = N и р = 1 справедливо: S1(t) - Y CnU^t), где PalUp(t) — ДЭФ.

П--Ж

Пример системы базисных функций Pal Up (t) с модулем ц = 4, порядком сплайна дефекта 1 p = 3 показан на рис. 1, а, система ВКФ, из которой функции Pal Up(t) получены, продемонстрирована на рис. 1, б.

Теорема 2. Обобщенный ряд Котельникова для сигналов Pal Sp (t) из пространства непериодических сплайнов Pal Gp может быть представлен с помощью вырaжения

Pal

Sl> (t) = Е Zk PalL (вtk ),

\ M

где

Pal

1 Fmaxl2 і

L"(в)= F— J Pall f,

F I ~f

-£’max iPal

Up (t)df,

max -Fmax/2

f и Fmax — текущая и максимальная частоты в базисах,

Pal Up (t) =

Pal

mf

Pal uf

Pal

m

N

k=-«

mW'©'

\ m

k ,

Pal

k=-^

Mp (tk).

Следствие 1. При ц = N <Sp(^) представляется кардинальными сплайнами: Бр(Ь) = ^ (Ь-Ч),

к=—ж

1 ^ шах/2

хр(ь—ьк)=-=— / е-2п1т/рш**ир(ь)а/.

шах —^ шах/2

Следствие 2. При ц = N и _р ^ ^ получаем классический ряд Котельникова: Ра 5р (Ь) =

= ^ ^ п(ь — )^Шах

/г“о к — Ьк )^шах .

M=N

p^~

Замечание. В обозначениях работы [6] ядро

Pal

Lp-1 f t © tk 1 можно записать следующим обра-

зом:

: Pal Lp-1 (t © tk )= Е Pal (N-1)- Mp-1 (t ©tk.

keZ

Проанализируем приведенные выше формулировки теорем и следствий к ним с точки зрения возможности построения на их основе аналитических моделей сигналов.

Теорема 1 и следствия к ней позволяют констатировать следующее.

Во-первых, СВКФ в отличие от ВКФ, приобрели свойство гладкости, определяемое параметром p, которым их наделили сплайны. Следовательно, на их основе возможна реализация радиосигналов (т. е. сигналы, сформированные на основе СВКФ, могут передаваться по радиоканалу).

Во-вторых, существует бесконечный набор систем базисных СВКФ, полученных путем свертки ВКФ и базисных сплайнов (рис. 2). Следовательно, если СВКФ пригодны для формирования радиосигналов, то сменой базисов (которых бесконечное количество) в процессе передачи информации может быть решена задача адаптации сигнала под конкретные условия функционирования системы связи.

В-третьих, частными случаями функций СВКФ являются классические непрерывные экспоненциальные функции. Из этого следует, что на основе СВКФ возможно получение обобщенных аналитических моделей сигналов, частными случаями которых являются известные классические модели на основе sin (t), cos (t). Средства связи, в основе построения которых будут лежать обобщенные аналитические модели, получают возможность функционирования как в рамках СВКФ, так и

k

k

k

k

а) ІЩ-

0-

1-

4-

5-

6-

7-

8-

9-

ю-

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Номер отсчета

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Номер отсчета

0 1 2 3 4 5

9 10 11 12 13 14 15

Номер отсчета

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Номер отсчета

Рис. 1. Функции (модуль 4, длина функции N = 16): а — СВКФ; б — ВКФ

классического экспоненциального базиса. Тем самым может быть заложено важное свойство сопря-гаемости существующих и предлагаемых к разработке средств и систем связи.

В-четвертых, основой формирования СВКФ являются дискретные Виленкина—Крестенсона функции (ДВКФ). ДЭФ — частный случай ДВКФ. Для ДВКФ существуют быстрые алгоритмы, подобные алгоритму БПФ. Следовательно, возможно создание универсального модуля формирования сигналов на основе СВКФ. При этом смена базиса может осуществляться чисто программными изменениями или сменой коэффициентов. А скорость цифровой обработки радиосигналов, сформированных на основе СВКФ, может быть существенно увеличена по сравнению со скоростью ЦОС, построенных на основе экспоненциальных функций. Это связано с модулем представления функций ц [2].

В-пятых, СВКФ — в общем случае несинусоидальные функции. Следовательно, возникает возможность борьбы с гармоническими помехами.

Теперь перейдем к теореме 2 и следствиям к ней.

Из указанных утверждений следует, что раз существует бесконечный набор систем базисных СВКФ, то существует и бесконечный набор соответствующих ядер, полученных путем свертки соответствующих дискретных и непрерывных СВКФ. Частными случаями этих ядер являются фундаментальные сплайны (ядра Котельникова для сплайнов) и классическое ядро Котельникова. Бесконечный набор ядер — бесконечный набор импульсных характеристик фильтров. Следовательно, если СВКФ пригодны для формирования радиосигналов, то в процессе передачи и приема таких излучений всегда возникает необходимость фильтрации. Выбор импульсной характеристики, соответствующей выбранному базису, может способствовать адаптации системы связи под конкретные условия функционирования.

Приведенный выше анализ теоретических результатов теории СГА показал, что на ее основе

возможно создание аналитических моделей сигналов, реализация которых позволила бы повысить качественные показатели мобильных систем персонального радиосервиса. Поэтому ниже остановимся на получении этих моделей и проанализируем возможность повышения скорости цифровой обработки радиосигналов при осуществлении их регистрации.

Как известно, в качестве модулируемого колебания в классических системах связи обычно используются функции sin (t) или cos (t). Другими словами, это мнимая и реальная части экспоненциальной функции. Будем придерживаться такого подхода и при использовании функций СВКФ. Тогда аналитическое выражение для частотно-манипулированного (ЧМ) сигнала может быть записано в следующем виде:

PS (t) - A PT (t, ф), n = 1 ... R, 0 < t < T,

д = 2...r, T< т < Тд ,

где А — амплитуда сигнала; ф — фаза — произвольная константа; n — номер базисной функции (физический смысл — частота в базисе СВКФ); R — размерность сигнала (количество функций, используемых для формирования сигнала); Т — длительность символа сигнала; Тд — длительность передачи информации в пределах фиксированного базиса.

При этом, естественно, если модуль представления числа д равен длине базисной функции N (д = N) и гладкость функции (порядок сплайна дефекта 1) p-1 ^^, то приходим к классическому аналитическому выражению радиосигнала [1] в терминах экспоненциальных функций:

lim Pal SP (t) - lim A Re[ Pal Up (t, cp)] ^

ц-N ц-N

^ Acos

Аналогично можно представить выражение для фазоманипулированного (ФМ) сигнала:

PS (t) - A PT (t, фг), i = 1...R, 0 < t < T,

д = 2...r, T < т < Tц,

где фi = 2ni/R — фаза сигнала. Естественно, что при ц = N и p приходим к классической аналитической модели для фазоманипулированного сигнала [1]:

lim Pal Sp (t) - lim A Re^ Up (t, фi)] ^

p^^ p^^

ц-N ц-N

^ Acos

Выражения (1) и (3) - это аналитические модели сигналов, на основе которых возможно формирование радиосигналов для передачи и приема информации. Проанализируем эти выражения c точки зрения скорости ЦОС этих радиосигналов.

При осуществлении радиоприема методами ЦОС часто возникает необходимость фильтрации, определения спектральных характеристик, нахождения корреляционных функций. При радиосигналах, построенных с использованием классических моделей, для достижения этих целей может использоваться алгоритм БПФ. Поэтому целесообразно произвести оценку скорости ЦОС радиосигналов, сформированных на основе (1), (3), сравнительно с БПФ. Однако, прежде всего, необходимо определить, каким образом свертка, корреляция определяются в терминах СГА при обработке дискретных отсчетов. В этом нам помогут следующие теоремы.

Теорема о спектре свертки двух сигналов.

Пусть

Pal Sp (t) - N N^qkMp (t © tk)-N £zkLp (t © tk )p;

N k-0 \ ц / N k-0 \ ц /

N-1 I \ i N-1

N £ akMb (t©tk)-N £

N k-0 \ ц / N k-0 \ ц

N-1

£<

k-0

pal Sb (t) = -N 1 akMb (t © tk) = -11 yL ftO tk )ab;

1 N-1

PalFp

тогда:

1) Palsp('k)* PalS (')є aР+Ь — свертка сплайнов порядкаp и Ь есть сплайн порядкаp + Ь (здесь * — знак свертки);

1 - N-1

2) N SP (tk )* PalSb (tk ) = 1 PalFn (У) PalFn (z)x

N Pal * p=0

N-1

xPal(p, k) = 1 Pal Fp (a)pal Fp (q)palmp+b (p, k) — спжгр

n=0

комплексно-сопряженной свертки двух сигналов (сплайнов) есть произведение спектров этих сигналов (здесь — знак комплексного сопряжения). Доказательство 1:

PalSP(tk )* PalSt (t) = 1 PalSP (tk )Pal^ (t©tk ) =

* tk=0 \ * /

N-1 / \

= 1 qkMP (tk )akMb (t © tk ) = tk=0 \ * /

N-1 і \

= 1 qkakMP+ (t © tk )є ap+b.

tk=0 "

Доказательство 2:

N-1

-1

ti=0

Pal sp

PalSb (tk © 'і ). * t=0 \ * >

Пусть tk = k, ti = i, тогда:

N-1 /

£ Pal SP (i)Pal Sb (k ©i i-0 \ ц

- £-1 Pal Sp (i)£ Pal Fp (a)Pal mbn (©i

i-0 p-0 ' ц

-£ Pal Sp (i)£ Pal Fp (a) Pal mPp (k)Pal(n, i) -

i-0 n-0

- £ Pal Sp (i)£ Pal Fp (a) Pal Up Pal(n, k)Pal(n, i) -

i-0 n-0

- £ Pal Fn (a) Pal Up £ qkMp (i)Pal(n, i)Pal(n, k) -

n-0 i-0

N-1 ______ ____ _____ ___________

- N £ Pal Fp (a) Paj up Pa! Fp (q) Pal up Pal(n, k) -

n-0

N-1--------------------------------

- N £ Pal Fp

p-0

Перейдем в исходном и конечном выражениях к комплексно-сопряженным функциям:

1 N-1

N PalSP (tk )* PalSb (tk ) - £ Pal Fp (y)Pal Fp (z)Pal(n, k) -

N ц P-0

N-1

- Pal Fp (a)Pal Fp (q)Pal mP (n, k).

p-0

Таким образом, спектр комплексно-сопряженной свертки двух сигналов, описываемых сплайнами, есть произведение спектров этих сплайнов.

Из теоремы следует, что при свертке двух сигналов (сплайнов) результирующий сигнал есть сплайн, у которого порядок равен сумме порядков сплайновp + Ь. Вместе с тем, если, например, сигнал и импульсная характеристика фильтра описываются сплайнами порядкаp и Ь соответственно, то на выходе фильтра будет последовательность, описываемая сплайном порядка p + b, но для ее получения в спектральной области достаточно перемножить спектры сигналов в базисе ВКФ.

Теорема 3. Спектр взаимокорреляционной функции BSpSb (i) сигналов PalSp(t) в соответствии с (5) и PaiSb(t) в соответствии с (6) определяется следующим образом:

N-1 _____

BSP, Sb (i) - N £ Pal Fp (y)Pal Fp (z)Pal(n, i) -

p-0

N-1

- N £ Pal FP (a) Pal FP (q)Pal тр+Ь (n, i).

p-0

№ 3, 2007 "X.

X. 19

Доказательство:

N-1 _ъ і \

BsP Sb (І) = 1 Pal SP (k) Pal S ( © i) = k=0 \ * /

= 1 Pal Sp (k)1 Pal Fp (a) pal mp (©i) =

k=0 n=0

= 1 Pal Sp (k)1 Pal Fp (a) pal mp (k)Pal(p, i) =

k=0 n=0

= 1 Pal Sp (k)l1

Pal Fn (a) Pal UpPal(p, k)Pal(p, i) =

k=0 n=0

= N1 Pal Fp (a) pal Up Pal(p, i)N-1 Pal Sp ik)Pal(p, k) =

n=0 N k=0

N-1

r1

n=0

= N1 Pal Fp (a) up Pal Fp (q)pal uf Pal(p, i) =

N-1

= N £ Ра1 ?п (У) Ра1 ^п (2)Ра1(п, I) =

п=0

N-1

= N £ Ра1 *П (а)ра! ¥п (д)ра1 тр+6 (п, I). п=0

Следствие 1. Спектр автокорреляционной функции сигнала Ра1 Бр (^ определяется следующим образом:

N-1

г£

п=0

B(i) = N1 Pal Fp (z) pal Fp (z)Pal(p, i) =

N-1

= N Pal Fn (q)Pal Fn (q)Pal mn’ (p, i).

n=0

Это выражение можно трактовать как теорему Винера—Хинчина применительно к СВКФ.

Следствие 2. Спектр взаимокорреляционной функции сигналов Pal mnp (t) и Pal Sb (t) в соответствии с (б) определяется следующим образом:

N-l

BmPp, S6 (i) = N1 Pal Fp (y)Pal(p, i) =

p n=0

N-1

= N Pal Fn (a)Pal mp (p, i).

n=0

Следствие З. Спектр автокорреляционной функции сигнала Pal mpf (t) определяется следующим образом:

B(i) = Pal mp (k)* pal mp (k) =

*

= NN-1 Pal mp+p (p, i) = NN-1 (Pal uf )2 Pal(p, i).

n=0 n=0

Теорема об инвариантности энергетического спектра относительно д-сдвига.

Энергетический спектр сигнала Ра1 Бр (і) в базисе СВКФ не изменяется при его д-сдвиге, т. е.

]ГРаі 5Р ( © і )Раі 5Р ( © і ) = ^раї 11 ¥п (г) =

к=0 \ д ' \ д / п=0

N-1 _____ _____

= N £ Раї ^ («)Ра1 ^ (?)Ра1 иПр (^Ра1 иПр (к)-

п=0

Доказательство:

= 1 Pal Sp (k © i)l Pal Fp (q)pal mp (k)Pal(p, i) =

k=0 ' * 'p=0

= 1 1 Pal Fp (q)pal (k)Pal(p, i)Fp (q)pal mp1 (k)Pal(p, i) =

p=0 k=0

N-1 _____ _______ N-1 ------

= 1 Pal Fp (q)pal Fp (q)Pal(p,i)Pal(p, i) £ pa1 mp1 (k)palmp' (k) = p=0 fe=0

N-1 _____ ________ _____

= N1 Pal Fp (q)pal Fp (q)Pal(p, i)Pal(p,i)pal up1 (k)pa1 uf (k) = p=0

= N 1 Pal Fp (z)pal Fp (z) = N—Pal Fp (q) Pal Fp (q) Pal up (k) Pal Uf (k), p=0 p=0

что и требовалось доказать.

Таким образом, во-первых, результатами операций свертки, корреляции сигналов, описываемых сплайнами, являются сплайны, порядок которых есть сумма порядков исходных сигналов; во-вторых, при обработке таких сигналов методами ЦОС возможно использование алгоритма ДПФ, а следовательно, и БПФ в базисах ВКФ. Для перехода в базис СВКФ достаточно осуществить N умножений в спектральной области. Теперь имеется все для проведения оценки скорости ЦОС радиосигналов, сформированных на основе (1), (З), сравнительно с БПФ.

В качестве примера рассмотрим сигнал ФМ-4, сформированный в базисе СВКФ с параметрами: д = 4, l = 2, p = 4, p = Т (рис. З). Его спектр в базисе Фурье представлен на рис. 4, а, спектр в базисе СВКФ — на рис. 4, б. Для сравнения на рис. б показан спектр Фурье классического сигнала ФМ-4. При этом скорости передачи информации, осуществляемой обоими сигналами, одинаковы.

Нельзя не отметить, что при равной скорости передачи информации занимаемые полосы частот в базисе Фурье (см. рис. 4, а, б) обоими сигналами сравнимы. А энергия сигнала ФМ-4 (см. рис. З), рассматриваемая в собственном базисе, сосредоточена более компактно (см. рис. 4, б). Это обстоя-

Ие

ІП1

Рис. 3. Сигнал ФМ-4 в базисе СВКФ

а)

Е

б)

Е

600-

500-

400-

300-

200-

100-

0-

її 1

' У

20

40

60 80 100 120 135

Отсчеты

Рис. 4. Спектр сигнала ФМ-4: а — в базисе Фурье; б — в базисе СВКФ

Е

Отсчеты

Рис. 5. Спектр Фурье классического сигнала ФМ-4

тельство подтверждает положение о возможности передачи информации посредством использования предлагаемых аналитических моделей сигналов. Сравним вычислительные затраты, требуемые для получения спектров, представленных на рис. 4, б и 5.

Для достижения этой цели будем пользоваться подходом, предложенным в работе [2]. Из результатов, приведенных в этом источнике, вытекает следующее. Если принять, что на операцию умножения и сложения тратится одинаковое время, то предельный выигрыш по скорости обработки в условиях использования функций Уолша (в алгоритме БПУ — быстрого преобразования Уолша) будет достигать £ = 5 раз по сравнению с ис-

2, ВКФ 2, СВКФ 4, ВКФ 4, СВКФ

Рис. 6. Выигрыш в объеме вычислений БПФ при переходе от базиса ДЭФ к базисам ВКФ и СВКФ

пользованием функций ДЭФ (в алгоритме БПФ), а при использовании ВКФ по модулю 4 преимущество достигает величины £ = 3,25.

В нашем случае для получения спектра в базисе СВКФ использовался алгоритм сплайн-БПФ в базисах СВКФ [3]. Согласно этому алгоритму, на N входных точек преобразования дополнительно к стандартному объему вычислений необходимо добавить N операций умножения. Что приводит к увеличению объема вычислений по сравнению с классическими алгоритмами БПУ и БПФ в базисе ВКФ по модулю 4. Однако выигрыш в этих случаях по сравнению с использованием алгоритма БПФ все равно оказывается существенным. Используя данные об объеме вычислений при выполнении алгоритма БПФ [7] и результаты из статьи [2], покажем выигрыш в скорости ЦОС графически (рис. 6).

Литература

1. Скляр Б. Цифровая связь: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1099 с.

2. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. 208 с.

3. Агиевич С. Н. Сплайн—Виленкина—Крестенсона функции в представлении сигналов //Научное приборостроение. 2002. Т.12.№ 1. С. 79-89.

4. Желудев В. А. Периодические сплайны и быстрое преобразование Фурье // Журнал вычислительной

Таким образом, можно констатировать следующее. В работе представлены аналитические модели радиосигналов, на основе которых реально осуществление передачи и приема информации в радиоканалах систем мобильной связи. При этом излучаемые радиосигналы описываются гладкими функциями, поэтому возможно их непосредственное излучение в эфир обычным образом. Кроме того, при равной скорости передачи информации занимаемые полосы частот в базисе Фурье для классического сигнала ФМ-4 и сформированного в базисе СВКФ сравнимы. А объем вычислений в процессе ЦОС радиосигналов, сформированных и обработанных в базисе СВКФ, может быть существенно сокращен по сравнению с объемом вычислений для сигналов, основанных на классических моделях.

математики и математической физики. 1992. Т. 31. № 2.С.179-198.

5. Zheludev V. A. Periodic splines, harmonic analysis and wavelets in Signal and image representation in combined spaces, wavelet // Anal. Appl., 7 / eds Y.Y. Zeevi and R. Coifman. Academic Press, San Diego, CA,

1998. P.477-509.

6. Unser M. Splines // IEEE Signal Processing Magazine.

1999. Vol. 16. N 6. P. 22-38.

7. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 848 с.