Дислокационная пластичность в вершине самозалечившихся трещин

УДК 539.3

ДИСЛОКАЦИОННАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ В ВЕРШИНЕ САМОЗАЛЕЧИВШИХСЯ ТРЕЩИН

© Ю.И. Тялин, В.А. Федоров, Т.Н. Плужникова, В.А. Куранова

Tjalin Y.I., Feodorov V.A., Plushnikova T.N., Kuranova V.A. The dislocation plasticity in the tip of self-healed cracks. The plastic flow in the tip of a stopped crack in the LiF single crystal is investigated by numerical modelling. The two stages of dislocation structure formation in the tip of the crack are discussed. The first stage is the formation of gliding lines in the moment of crack stop. The second one is their evolution and partial crack healing. The situation and quantity of dislocations in gliding line according to both loading effort and stress of friction are determined. It is shown, that under the condition of unloading a few dislocations move out of crystal on the crack plane under affect of mutual repel and forces of

reflection. As a result of the process, the dislocation density i location tree area near the crack tip.

Разрушение большинства кристаллических твердых тел сопровождается пластической деформацией, интенсивность и степень локализации которой зависят от темпа движения трещины [1, 2]. В случае быстрого скола следы пластического течения обнаруживаются лишь в тонких поверхностных слоях плоскостей разрушения. При частичной или полной остановке трещины формируются легко наблюдаемые пластические зоны, структура которых определяется типом разрушающей трещины, геометрией образца, свойствами материала. Относительная простота дислокационной структуры является следствием низкой плотности активных источников дислокаций в объеме материала [1, 3], в результате чего релаксация упругих напряжений осуществляется эмиссией дислокаций по небольшому числу благоприятных кристаллографических направлений.

В данной работе анализируется пластическое течение в вершине незавершенной трещины скола в момент ее остановки, и после разгрузки образца применительно к кристаллам фтористого лития.

Рассмотрим случай самопроизвольной остановки трещины. Экспериментальная процедура получения таких, в терминологии [1], непродвигающихся трещин состоит в инициировании зародыша и последующем скачкообразном продвижении его внутрь образца до требуемой длины приложением импульсной нагрузки. Картина травления (рис. 1) показывает преимущественное течение по полуплоскостям, прилегающим к трещине (приведенная на рис. 1 картина пластического течения в вершине характерна для ~70 % образцов). Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением узких пластических зон только в этих полуплоскостях.

Представим пластическую зону одиночными симметричными линиями скольжения так, как это показано на рис. 2. Будем различать два этапа формирования дислокационной структуры в вершине трещины - образование линий скольжения в момент остановки трещины, когда образец остается нагруженным, и эволюцию их после снятия нагрузки и частичного залечивания вершины.

Предположим, что трещина расположена в плоскости (010) и двигалась до остановки в направлении [100].

; maximal at some distance from the crack tip. There is a dis-

Рис. 1. Дислокационная структура в вершине трещины.

Рис. 2. Схема пластического течения в вершине трещины.

При составлении уравнений равновесия дислокаций в плоскости скольжения следует учитывать напряжения, действующие со стороны трещины, взаимодействие дислокаций и сопротивление кристалла сдвигу. Для схемы пластического течения рис. 2 уравнения равновесия будут иметь следующий вид

тт

где тТ (хп) - напряжения, создаваемые в плоскости скольжения трещиной, т0 (хп,х} ) - напряжения, дей-

ствующие на п -ю дислокацию со стороны у -той ей сопряженной, - напряжения трения решетки.

Ограничимся случаем малых пластических зон, когда длина линий скольжений I гораздо меньше длины трещины а .

(«а .

где А = ОЬ/4 71

В приближении линейной теории упругости справедливо асимптотическое представление напряженного состояния в вершине трещины нормального разрыва [4]:

2 2х,

W о ~) >

Xn~Xj (хп2+хП2

К 0 п  6 . 30

—¡=cos — Г1 -sm — sin—1. 4їг 2 2 2

к, 0 . 0 . 30

—í=cos— 1 + sm—sin—1. 2 2 2

0.0 30

AL

4ir

ст,л/ =“7¿=rCos— sm—eos — •v 2 2 2

где ax,, ay, <зху - компоненты тензора напряжений, kx - коэффициент интенсивности напряжений, г

и 0 - полярные координаты, связанные с вершиной трещины. В плоскости скольжения дислокаций напряжения (3) создают в соответствии с формулой преобразования компонент тензора напряжений:

т =

касательные напряжения — 1 А', .л к

тт (х):

----~sm— = —¡=.

4 л/х 8 Л/х

ёпп '

<3xJ2 1

2х,

SnJ

-Р-(—):]} +

+ Re{

Зх;2Є ,<Р

2/х, x, -

---1----{1-(^)2е-,ф}]}.

(х„ -іхЛ

Входящее в (1) напряжение трения считается постоянным и принимается равным стартовом}' напряжению движения дислокаций.

Для получения замкнутой системы уравнений необходимо сформулировать условие для определения величины т, входящей в (1). Проанализируем прежде простейшую ситуацию одной дислокации в линии скольжения. На последнюю действуют напряжения (4) и напряжения изображения

Для призматического образца с краевой трещиной длины а, расклиниваемой перпендикулярно сколу усилием р, коэффициент интенсивности равен [5]:

. 2л/зра

к, =-------— , где ш - ширина, а 2 п - высота образца.

со (И)2

Численное значение р может быть рассчитано по критерию Гриффитса, если принять, что условия остановки и старта трещины совпадают. Тогда, следуя [6], получим

где Е - модуль упругости, у - величина поверхностной энергии.

При определении напряжений, действующих на п -ю дислокацию со стороны остальных дислокаций, воспользуемся результатами работы [7]. В соответствии с(1)в[7]

?°(Х„,Х;)=Л (£„,-+£„/),

Т°(х,х) = -—.

Зависимости напряжений трещины и изображения в функции расстояния от вершины трещины представлены на рис. 3. Для больших х тт (х) > т° (х.х) , но

при приближении к вершине напряжения изображения увеличиваются гораздо быстрее напряжений от трещины и превосходят их по абсолютной величине на малых расстояниях от вершины. Поэтому на кривой 3, являющейся алгебраической суммой обеих величин, имеет место максимум, положение которого определя-

* (2А)2

ется координатой х* = I I . Очевидно, что при

х < х * не может быть равновесных дислокаций. Дислокация будет удаляться от трещины до тех пор, пока не выполнится условие

К А п

--------= 0,

*1

причем X! > х * . При испускании трещиной следующих дислокаций величина максимальных напряжений.

тах

1 <¡<17

<

для ПВР-итерации, где е1 и в2 - требуемые точности вычислений.

Конкретные расчеты проводились в следующей последовательности. Допустим, что уже определено равновесное состояние скопления из т-дислокаций. За приближенное положение (т+ 1)-й дислокации принимался корень уравнения

К

У=1

Рис. 3. Напряжения в плоскости скольжения. 1 - от трещины. 2 - изображения. 3 - суммарные.

стремящихся удалить дислокацию от вершины, будет уменьшаться за счет запирающего действия предшествующих дислокаций. Эмиссия дислокаций прекратиться, когда напряжения:, инициирующие пластическое течение, не станут в точке х * меньше напряжений трения

К

У=1

Точка х = х * будет при этом ограничивать снизу положения в линии скольжения дислокаций, эмитти-руемых вершиной трегцины и удерживаемых сипами трения.

Система уравнений (1) решалась численно методом последовательной верхней релаксации (ПВР)-Ньютона [8]. В методе 1ТВР-Ньютона для определения прибли-

женного решения Хг г-го уравнения

ДхГ1, ...,х,1к+1,хьх1+1к,...,хпк)=0.

Используются итерации по Ньютону

хУ1=х^-Д^)/дД/'‘),] = 0, 1, ...,

где

к\

. х„ ),

к+1

а затем в качестве х, оерется выражение

Х,кг] = х/ + q(Xi -*/),

где д - релаксационный параметр. Вычисления прекращались по критерию сходимости

тах

1 < / < я

к,} +1 к.;

X, ' -X:

<8,

заключенный в интервале (х*,хт ). Величина хш+1 и т остальных координат использовались в качестве начального приближения для скопления из т-<- 1 дислокаций и уточнялись затем в общем итерационном процессе (7) и (8). Таким образом, начиная с т = 1 ( х] в этом случае корень уравнения (5)), последовательно рассчитывались равновесные скопления с увеличивающимся числом дислокаций. Считалось, что итоговая конфигурация соответствует линии скольжения с таким т = Лг, при котором выполняется (6).

Величины, входящие в расчетные выражения, имели следующие значения: С = 5,15-Ю10 Н/м2, Ь = 2,85-КТ10 м. V = 0,187, р = 5 Н, со = 0, 0004 м, /; = 0,005 м, а = 0,15 м,

Ту = 1,2-106 Н/м2. Расстояние между соседними дислокациями монотонно возрастает по мере \гвеличения расстояния между трещинами. Плотность дислокаций р(х) = АЛ,Г/ Ах (см. также кривую 1 рис. 4) наиболее велика в хвостовой части линии скольжения, примыкающей к трещине, и составляет «¡106 м'1. В области головных дислокаций ее величина уменьшается более чем на порядок.

Общее число дислокаций в линии скольжения (в расчетах не учитывалось изменение времени напряжений в вершине трещины, поэтому приводимые ниже значения являются оценкой сверху) зависит от нагружающего усилия в момент остановки трещины и напряжений

для Ньютоновой и

Рис. 4. Плотность дислокаций в линии скольжения. 1 нагруженный образец; 2 - после разгрузки.

Рис. 5. Число дислокаций в линии скольжения в зависимости от расклинивающих усилий. 1 - /' = 6 Н; 2 - Р = 5 Н; 3 - Р - 4 II (кривые 4, 5, 6 соответственно после снятия нагрузки).

трения и может изменяться в широких пределах (см. рис. 5). В общем случае N увеличивается при уменьшении сил сопротивления со стороны кристалла движению дислокаций. Это естественно, поскольку в таком случае лидирующие дислокации удаляются от трещины на большие расстояния, уменьшая тем самым величину запирающих источник напряжений. При неизменном число дислокаций в линии скольжения растет с увеличением расклинивающей силы р, т. е. в кристаллах с большей поверхностной энергией у следует ожидать и более интенсивного пластического трения за счет увеличения напряжений в вершине трещины.

Длина линий скольжения I

примерно также зависит от величин р (или у ) и .

При используемых в расчетах значениях усилий и напряжений фения пробег головной дислокации меняется от десятков микрон до *2-10'3 м.

Интересным представляется то обстоятельство, что

в голове скопления тт (х) меньше напряжений трения, т. е. в пробег лидирующих дислокаций больший вклад вносит взаимное отталкивание дислокаций в линии скольжения, нежели напряжения сдвига от трещины. Действительно, если размер пластической зоны ограничить условием тг (х) = , то для определения дли-

ны скопления £ * будем иметь выражение I* =

. Рассчитанные по нему значения і * приве-

дены на рис. 6 (кривые 4, 5, 6). Видно, что I * всегда меньше і , причем различие возрастает с увеличением длины скольжения (или числа дислокаций в нем).

Отмеченный выше факт обладает, очевидно, достаточной общностью и будет иметь место при зарожде-

нии дислокаций на любых неоднородностях структуры, создающих локальную концентрацию напряжений. Размер пластической области в этом случае контролируется не пространственным распределением напряженного состояния, а амплитудным значением касательных напряжений [9].

Далее рассматривалась вторая стадия формирования дислокационной структуры в вершине трещины -трансформация рассчитанного выше скопления после снятия внешней нагрузки и частичного залечивания трещин. Дислокациям представляется возможность перемещаться из исходного состояния под действием сил отталкивания и изображения (процедура вычислений на этом этапе расчета аналогична использованной в [10]). Неподвижными считаются дислокации, для которых абсолютная величина действующих сил не превосходит сил трения. Часть дислокаций может покинуть кристалл и выйги на поверхность трещины, если они в процессе движения приблизятся к ней на

.4

расстояние г = — , где силы изображения превышают

Ч

силы трения. Таким образом, в процессе релаксации скопления происходит не только изменение пространственного положения отдельных дислокаций, но может меняться и их число.

Расположение дислокаций в голове скопления (дислокации с номерами / < 37 ) сохранилось прежним. В области же, примыкающей к трещине, число дислокаций уменьшилось, одновременно изменились расстояния между ними. Существенно изменилось и распределение плотности дислокаций по длине скопления (рис. 4, кривая 2). Зависимость р от х уже не является монотонной, а имеет сложный вид с экстремумом на значительном расстоянии от вершины трещины. Причем максимальное значение плотности дислокаций равно »2-105 м'1.

Информация о числе дислокаций, остающихся в кристалле после разгрузки, представлена на рис. 5 (кривые 4, 5, б). Общая ситуация соответствует выходу на поверхность трещины »40 % дислокаций, т. е. наряду с односторонним течением имеет место заметная

Ts,10° Н/м

Рис. 6. Зависимость длины линий скольжения от напряжений трения. 1-Р = 6Н;2-Р = 5Н;3-Р = 4Н (кривые 4. 5, б соответственно после снятия нагрузки).

доля обратимой пластической деформации. Если принять во внимание, что эмиссия или выход дислокации в системе скольжения <110> {110} на плоскость скола приводит к образованию или исчезновению поверхностной ступеньки, то это означает одновременно и то. что при разгрузке образца вскрытие трещины уменьшается на величину' 8 = у[2 пф, где щ - число дислокаций, выходящих на поверхность. Таким образом, после снятия нагрузки берега трещины частично смыкаются, остаточное же вскрытие пропорционально числу остающихся в кристалле дислокаций.

Если при остановке трещины пластичность в ее вершине незначительна, то после выхода части дислокаций на поверхность трещины, ее берега могут сблизиться на расстояния, достаточные для восстановления ионных связей. В этом случае произойдет залечивание.

Исследовалось также изменение характеристик пластического течения в вершине трещины для случаев, когда деформированная зона представлялась набором из нескольких линий скольжения. Предполагалось, что линии скольжения расположены на незначительном расстоянии друг от друга, так, что взаимодействие какой-либо дислокации с дислокациями в соседних плоскостях можно учесть увеличением вектора Бюр-герса пропорционально количеству линий скольжения. Суммарный вектор Бюргерса дислокаций в линии скольжения примерно сохраняется = Ь2Л'2 2 ЛзМ, т. е. пластическое раскрытие трещины не будет зависеть от того, моделируем ли мы пластическую зону дискретными решеточными дислокациями или супердислокациями с вектором Бюргерса В = пЬ. Длина линий скольжения уменьшается с увеличением вектора Бюргерса дислокации так, что 1Х > £ 2 > £ з. Относительное уменьшение размера пластической зоны также невелико, в частности, при увеличении вектора Бюргерса дислокации в три раза длина линии скольжения уменьшается на »10 %.

Отметим, что расстояние Л-й дислокации от вершины трещины гораздо больше расстояния между ею и N - 1-й дислокацией, т. е. в непосредственной близости от вершины трещины имеется ограниченная зона, свободная от дислокаций. Существование таких зон было показано в [ 11 ] дня сдвиговых трещин. Для объяснения экспериментально наблюдаемых особенностей распределения дислокаций у вершины трещины [12] авторы

рассмотрели модель пластического течения в виде линии скольжения на продолжении трещины. В отличие от модели течения в [13], не прогнозирующей существование свободной от дислокаций зоны, авторами [11] было предположено, что эмиссия дислокаций трещиной прекращается при уменьшении коэффициента интенсивности напряжений в ее вершине до заданного значения (в [13] это нулевое значение). Таким образом, фактически была рассмотрена линия скольжения в вершине трещины, число дислокаций в которой недостаточно дтя запирания вершины трещины как источника дислокаций. В рамках предложенного подхода существование зоны, свободной от дислокаций, является естественным следствием разгрузки образца, когда часть дислокаций выходит на поверхность скола под действием сил отталкивания и изображения.

ЛИТЕРАТУРА

I. Тетелъмен А. Пластическая деформация у вершины движущейся

трещины // Разрушение твердых тел. М Металлургия, 1967 С. 261-301. ‘ ‘

2 Орлов А.Н., Инденбом В.Л. Долговечность, накопление поврежде-

ний и хрупкое разрушение /' Физика хрупкого разрушения: С б Ч. 2. Киев, 1976 С. 18-28.

3. Гилман Дж. Источники дислокаций в кристаллах // Дислокации и механические свойства кристаллов: Сб. М.- ИЛ. 1960 С. 438-455.

4. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения

Под редакцией Г. Либовица / Разрушение Т. 2. М/ Мир. 1975 С. 83-203. ’

5. Райс Дж. Математические методы в механике разрушения Под

редакцией Г. Либовица// Разрушение. Т. 2. М. Мир. 1975 С. 204335. J

6. Gilman J.J. Surface energies of crystals//J. Appl Phys 1960. V. 31 №12. P. 2208-2218

7. Atkinson C., Kannmen M. F. A simple representation of crack tip plasticity: the inclined strip yield superdislocation model // Int. Y. Fracture. 1977. V. 13. №2. P. ¡51-163.

8. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.. Мир, 1975. 558 с.

9. ХиртДж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 599 с

10. Владимиров В. И., Ханнанов UJ.X. Распределение дислокаций в заторможенной полосе скольжения // ФММ. 1970. Т. 30. .Vs2. С. 281-288.

II. Dai Shu-Ho, Li Y. C. M. Dislocation - free zone at the crack tip .' Ser met 1982. V 16. № 2. P. 183-188

12. Kobayashi S., О hr S.H. In situ fracture experiments in b.c c. metals // Phil. Mag 1980 V 42. №6. P 763-772

13. Bilby B.A., Cottrell A.H., Smnden K.H. The spread of plastic yield from a notch /V Proc. Roy. Soc. London. 1963. A272. P. 304-314

Поступила в редакцию 9 февраля 1999 г.