Адаптивные методы прогнозирования состоянии производственных систем

НЕЙРОШФОРМАТИКА ТА ШТЕЛЕКТУАЛЬШ СИСТЕМИ

НЕЙРОИНФОРМАТИКА И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

NEUROINFORMATICS AND INTELLIGENT SYSTEMS

УДК 681.324: 519.713

В.П. Авраменко, В.В. Калачева, A.B. Цурихин

АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Исследуются адаптивные методы прогнозирования состояний рабочих систем, процессы в которых описываются динамическими рядами. Состояние системы определяется конечноразностными уравнениями, подобными дифференциальным уравнениям Лагранжа первого рода. Спецификацию прогнозирующей модели состояний выполнено на моделях типа ARMA и ARMAX. На основе стохастического вектора состояний разработана обобщенная векторно-матричная модель и предложен рекуррентный метод прогнозирования калмановского типа. Предложенный метод прогнозирования состояний внедрено в системы поддержки принятия решений для оперативного управления производственными процессами.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Важной задачей оперативного управления производством является формирование последовательности управляющих воздействий, которая обеспечит желаемое поведение системы. Применение традиционных методов выработки управляющих воздействий наталкивается на серьезные трудности, связанные с изменением во времени принятых исходных предпосылок и отсутствием достаточного количества информации о свойствах управляемых объектов и условиях их функционирования.

В этой ситуации актуальной становится задача применения адаптивных методов идентификации параметров и состояний управляемого объекта по наблюдениям за входными и выходными сигналами. Математическое описание входных и выходных сигналов управляемого объекта принято представлять стохастическими моделя-

ми гипотетически линейных дискретных систем, на выходе которых формируются процессы с аналогичными корреляционными свойствами из поступающего на вход некоррелированного шума.

Под состоянием производственной системы подразумевается совокупность существенных значений переменных и параметров, характеризующих основные технические, технологические и экономические показатели производственной системы в конкретный момент времени. Если в исследуемой задаче основными показателями выступают производственная мощность предприятия Р, численность работающих К и наличие ресурсов 5, обеспечивающих выпуск продукции М, то состояние системы $$(£1) в момент времени ^ можно описать неизменным параметром Р, значениями показателей К(^), $

$$(^) = <р, к(^), $(£1), М(^)>,

а в момент времени £2 - показателями Р, КС^), $(¿2), М(^) и вектором состояния

$$(£2) = <Р, К(£2), §(£2), М(£2)>.

Изменение вектора состояния системы $$(£) во времени £ можно рассматривать как фазовую траекторию системы в пространстве состояний. Начало траектории может совпадать с состоянием системы в момент принятия плана. На основании начального состояния

можно найти прогнозируемые значения параметров R(t), S(t), M(t) будущих состояний SS(t) и определить последовательность желаемых управляющих воздействий на систему. Конечное состояние системы обычно определяется конечной целью принимаемого решения.

Предположим, что производственная система состоит из объекта управления в виде «черного ящика», устройства управления с прогнозирующей моделью и блока формирования цели управления. Величины, участвующие в исследовании «черного ящика», разобьем на две группы: выходные переменные Y = [Y(1), Y(2), ..., Y(k)]T £ e Rk, характеризующие состояние объекта управления, и входные переменные, которые подразделяются на управляющие X = [X(1), X(2), ..., X(s)]T e Rs и возмущающие Р = [Р(1), Р(2), ..., P(q)]T e Rq воздействия. Внутренние свойства объекта преобразуют управляющие X(t) e Rs и возмущающие P(t) e Rq воздействия в выходной сигнал Y(t) = Rk, характеризующий состояние объекта в момент времени t.

АНАЛИЗ РАБОТ ПО АДАПТИВНОМУ ПРОГНОЗИРОВАНИЮ СОСТОЯНИЯ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Первые практические применения методов статистического моделирования относятся ко временам А. М. Ле-жандра и К. Гаусса, которые дали научное обоснование метода наименьших квадратов и метода максимального правдоподобия. Методы статистического описания нелинейных динамических процессов, представленных временными рядами, получили свое развитие в работах Дж. Бокса и Г. Дженкинса [1].

При моделировании производственных процессов актуальной становится задача оценивания параметров и состояний управляемого объекта по наблюдениям за входными и выходными сигналами. В качестве математического описания входных и выходных сигналов часто используются стохастические модели гипотетических линейных дискретных систем, на выходе которых формируются процессы с аналогичными корреляционными свойствами из поступающего на вход некоррелированного шума [2-3].

Исследование временного ряда традиционно предусматривает построение трендовой, сезонной, циклической и стохастической составляющих композиционной модели производственного процесса. Трендовая составляющая отражает длительные изменения выборочного среднего или дисперсии временного ряда. Во временных рядах могут содержаться сезонные колебания, которые завершаются в течение одного года. Если период колебаний составляет несколько лет, то временной ряд содержит циклические колебания. Составляющая временного ряда, оставшаяся после вычитания из него трендовой, сезонной и циклической компонент, представляет собой стохастическую составляющую, называемую рядом остатков [4-5].

Стохастическая составляющая временного ряда часто описывается моделью типа «черного ящика», на выходе которой создаются стохастические процессы с корреляционными свойствами, аналогичными производственным процессам, из поступающего на вход некоррелированного шума. Различие стохастических моделей ряда остатков определяется свойствами случайных последовательностей и правилами их обработки. Если независимые импульсы

e(t) являются случайными нормально распределенными

2

величинами с нулевым средним и дисперсией oe, то их последовательность e(t), e(t— 1 ), ... называется «белым шумом». Белый шум e(t) можно трансформировать линейным фильтром в стохастический сигнал v(t) с желаемыми свойствами [6-7].

ИССЛЕДОВАНИЕ МНОЖЕСТВА СТРУКТУР

МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМОГО ОБЪЕКТА

Приступая к моделированию производственных процессов, представим модель производственной системы в виде «черного ящика», на вход которого поступает управляющий сигнал u (t), а на выходе которого наблюдается контролируемый сигнал y (t), зашумленный некоторым неконтролируемым сигналом помехи v(t). Требуется найти зависимость выходного сигнала y (t) от управляющего сигнала u (t) в виде отображения y (t) = = {u (t), v(t)}.

При моделировании динамики производства часто используются стационарные линейные модели, соответствующие идеализированному описанию реально протекающих производственных процессов. Если управляющее воздействие u(t) и контролируемый сигнал y(t) относятся к дискретным моментам времени tf, = kT (k = 1, 2, ...), то динамические свойства стационарной линейной неза-шумленной системы определяются соотношением:

У

k = 1

где g (k) - весовая функция, формирующая реакцию системы в виде выходного сигнала y (t) на скалярный входной сигнал u (t).

Если ввести оператор сдвига назад вида:

q 1u(t) = u(t - 1), q 2u(t) = u(t - 2), q mu(t) = u(t - m),

то входно-выходное уравнение системы (1) можно записать как

y

k = 1

или

y

где G (q ) - передаточная функция по управлению, отражающая взаимосвязь между выходной {y (k)} и входной {u (k)} последовательностями вида

G

k = 1

При наличии аддитивной помехи, приложенной к выходу управляемого объекта, динамические свойства линейной стационарной системы описываются соотношением:

У

k = 1

y (t) = G( q) u( t) + v( t),

где \(£) - сигнал помехи в момент времени £, значение которого заранее неизвестно, однако на основании прошлого поведения системы можно сделать обоснованный вывод о его будущих значениях.

Во многих случаях имеются основания считать, что сигнал помехи \(£) представляет реакцию некоторого фильтра

v

k = 0

О (д), Н (д) и функции плотности распределения вероятности /е () помехи е (£).

При выборе структурного описания множества моделей будем исходить из предположения о наличии желательных свойств в передаточных функциях, основным из которых является рациональность, обеспечивающая представление каждой из передаточных функций правильной дробью. Числитель и знаменатель такой дроби должен описываться конечным набором чисел, т. е. должны отсутствовать нули числителя и полюсы знаменателя передаточных функций.

Предположим, что дробно-рациональные передаточные функции О(д) и Н(д) описываются соотношениями:

g< q) = Ш н( q) = •

где В(q), C(q) и F(q), D (q) - полиномы числителя и знаменателя, равные

v(t) = H(q)e(t) ,

где Н (к) - дискретная весовая функция к (к) на входную последовательность {е (£)} взаимно независимых одинаково распределенных случайных величин с некоторой функцией плотности вероятности; Н (д) - передаточная функция фильтра помехи, равная

H(q) = £ h (k) q

k = 0

H(q) = 1 + £ h(k)q

k = 1

-k

y (t) = G( q) u (t) + H( q) e( t),

B (q) = 1 + Ö1q~1 + ... + b q

C( q) = 1 + c1q + ... + cnq c;

F( q) = 1 +f q— + ... + anß"f;

-1 -nd

D(q) = 1 + d1q + ... + an q ,

Вместо традиционного фильтра помех с передаточной функцией Н(д) и нулевым индексом суммирования (к = 0) на практике часто используется монический фильтр помех, у которого составляющая передаточной функции Н(к) при индексе к = 0 равна единице, т. е. = о = 1, а суммирование составляющих передаточной функции начинается с индекса к = 1

тогда множество структур моделей линейной стационарной динамической системы (11) для дробно-рациональных передаточных функций (12) и (13) совпадает с множеством структур моделей Бокса-Дженкинса [1]

?

Ч) О

У( t) = FFxq) u( t) + e (t )•

Уравнение линейной стационарной динамической системы (6) с учетом сигнала аддитивного помехи (10) примет вид [2]:

Частным случаем множества структур моделей Бокса-Дженкинса (18) для дробно-рациональных передаточных функций вида

G

H( q) = Ш,

где {е (£)} - последовательность взаимно независимых случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией.

Соотношение (11) принято трактовать как множество структур моделей, из которых для заданной совокупности наблюдений необходимо выбрать наиболее предпочтительное структурное описание. Выбор конкретной структуры модели линейной динамической системы определяется характеристиками передаточных функций

где А (q) - операторный полином знаменателей G (q) и H (q), равный

-1

A

является множество структур моделей ошибки уравнения

У( t) = Aig u( f + Ш e (t

и

k

и

которое принято записывать в виде

A( q )y( t) = B ( q) u ( t ) + C ( q ) e ( t ).

В качестве обобщенного множества модельных структур линейной стационарной динамической системы (23) используется уравнение

A( q ) y( t) =B(1\ u ( t ) + Df{ e ( t ),

F

которое позволяет реализовать 32 различных варианта множества структурных моделей в зависимости от того, какие из пяти многочленов А (д), В (д), С(д), П (£) и Г (д) включены в модель для реализации желаемых динамических свойств модели. Многообразие модельных структур (27) можно расширить введением блоков запаздывания, нелинейности, нестационарности и критериев статистического оценивания и робастности по отношению к исходным предпосылкам моделирования, внутренним возмущениям и проявлениям внешней среды [2].

СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ АДАПТИВНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Построение математической модели временного ряда начинается с выбора класса структур моделей-претендентов, затем осуществляется выбор предпочтительной структуры из отобранных структур и оценивание параметров модели. Задача спецификации математических моделей состоит в том, чтобы из некоторого множества моделей-претендентов выделить составляющие, допускающие самостоятельное их использование.

Существуют различные способы выбора предпочтительной структуры модели временного ряда из класса отобранных структур. Эти подходы связаны с особенностями реализации выбранного класса моделей и представления случайного процесса. При построении моделей оперативного управления производством наиболее общим классом моделей-претендентов является класс АЫМАХ-моделей, компоненты которого могут самостоятельно использоваться как авторегрессионные, стационарные, нестационарные, нелинейные и робастные к различным проявлениям среды модели.

В качестве отправной точкой для спецификации моделей прогнозирования состояний системы примем АЫ-МАХ-модель операторного уравнения у (£) = О (д) и (£) + + Н (д)е (£) линейной разностной динамической системы с фильтром помех. Если стационарный процесс сигнала помехи V(£) = Н(д)е(£), где {е(£)} - белый шум с дисперсией у, имеет рациональную передаточную функцию Н (д) = С (д)/А (д), где С (д) и А (д) - полиномы числителя и знаменателя передаточной функции Н(д), равные

1

C ( q ) = 1 + c1q + ... + cnq

A ( q) = 1 + a1q + ... + t

то уравнение помехи представляет собой ARMA(na, nc)-модель вида:

v( t) + a1v( t- 1) + ... + anv( t-na ) = = e(t) + c1e(t- 1) + ... +cne(t-nc).

1. Авторегрессионная модель na-zo порядка AR(na)-модель имеет вид:

v

где v(t),v(t- 1 ), ...,v(t-na) - отсчеты, представляющие собой текущее v(t) и прошлые v(t- 1 ), ... , v(t-na) значения случайного процесса; na - количество отсчетов, определяющее число переменных и искомых коэффициентов модели (порядок или структуру модели); ц - константа, отражающая начальные условия; а^, ..., an -коэффициенты модели.

Авторегрессионная AR(na)-модель представляет собой частный случай ARMA(na, nc) -модели при nc = 0. Если e(t) является белым шумом, то AR(na)-модель описывает авторегрессионный процесс na-re порядка. Текущее значение авторегрессионного AR(na)-процесса выражается как смещенная на ц совокупность предыдущих значений процесса v(t) и импульса e(t). AR(na)-модель содержит na + 2 искомых параметра ц, а^, а2, ..., an , о2, которые вычисляются по результатам наблюдений, где о2е -дисперсия белого шума e(t).

2. Модель скользящего среднего nc-го порядка MA(nc)-модель имеет вид:

v(t) = ц + e(t) + c1e(t- 1) + ... + cn e(t-nc),

из которой следует, что текущее значение процесса является комбинацией константы ц, текущего е(£) и всех прошлых е(t- 1), ... , е(t-nc) значений случайной величины е(£), являющейся по предположению белым шумом.

Модель скользящего среднего МА(ис) представляет собой второй частный случай АКМА(ий, ис)-модели при па = 0. Если е (£) является белым шумом, то МА(ис)-мо-дель описывает процесс скользящего среднего МА(пс)-процесс пс-го порядка. Для построения МА(пс)-модели необходимо определить пс + 2 неизвестных коэффициента: ц, С1, с2, ..., сп , О2. Если в выражении (27) ц = 0, то имеет место чистый МА(пс)-процесс скользящего среднего пс-го порядка.

Модели скользящего среднего предпочтительнее использовать в сочетании с авторегрессионными процессами. Это позволяет сосредоточить внимание на самых последних наблюдениях (в отличие от процессов чистой авторегрессии). Прогнозирование следующего наблюдения с помощью скользящего среднего основывается на оценке текущего случайного шума е (£). За пределами следующего наблюдения наилучшим прогнозом является оценка долгосрочного среднего ц, поскольку процесс скользящего среднего забывает все свое прошлое, за исключением последнего наблюдения.

3. Авторегрессионная модель со скользящим средним (na, пс)-го порядка ARMA(na, пс)-модель имеет вид:

v(t) + a1v(t - 1) + ... + anv(t - na) = = ц + e(t) + c1e(t - 1) + .. + cn e(t - nc).

временных рядов различных производственных процессов.

5. Авторегрессионная модель выходного сигнала у (£) (па, щ)-го порядка АКХ(па, щ)-модель, расширенная управляющим и (£) и возмущающим е (£) воздействиями

которая сочетает в себе процессы авторегрессии и скользящего среднего. Память АКМА(па, пс)-процесса содержит в себе память процесса авторегрессии и память процесса скользящего среднего. В результате получается процесс авторегрессии с улучшенной краткосрочной памятью.

Количество параметров АКМА(па, пс)-модели равно па + пс + 2, из них па коэффициентов авторегрессии, пс коэффициентов скользящего среднего и два параметра шумовой последовательности ц и о^. Варьированием значений коэффициентов а\, ..., ап и с^, ..., сп можно выбрать модель, которая достаточно хорошо опишет любой стационарный производственный процесс набором данных временного ряда.

Многие реальные процессы имеют нестационарный характер, проявляющийся в том, что средние значения и дисперсии стохастических рядов изменяются во времени. Несмотря на то, что средние, относительно которых происходят флуктуации процесса, для определенных интервалов времени могут быть разными, общее поведение рядов с учетом различий относительно средних может оказаться сходным. Для математического описания нестационарных процессов используются авторегрессионные интегрированные модели скользящего среднего АЫМА(па, й, пс), где й - порядок разностного оператора, превращающего нестационарный процесс в стационарный.

4. Авторегрессионная интегрированная модель скользящего среднего (па, й, пс)-го порядка АК1МА (па, й, пс)-модель имеет вид:

\(г) - у(г - 1) = а1У(г - 1) + ... + ап\(г - па) + + ф[у( г -1) -\( г - 2)] + е (г) + с1е (г -1) + ... + спе (г - пс),

С

которая получается путем суммирования модели авторегрессии па-го порядка, модели скользящего среднего пс-го порядка и модели принудительного интегрирования временного ряда, обладающего й-м порядком гладкости.

В АЫМА-процессе содержится информация о том, где он находится, как он попал в это состояние, а также о части предыдущего шумового компонента. АЫМА-процесс может служить моделью временного ряда, который является очень гладким и медленно изменяет свое направление. АЫМА-процесс является нестационарным, поскольку его состояния получается суммированием состояний АИМА-процесса. С течением времени такой ряд удаляется все дальше от своего исходного состояния. АЫМА-модели находят свое широкое применение для математического описания поведения нестационарных

y (t) + a1y (t - 1) + ... + any (t - na) = = b1u(t - 1) + ... + cn u(t - nb) + e(t),

в которую входит белый шум е (£) как непосредственная ошибка, поэтому АИХ(па, п^)-модель часто называют моделью ошибки уравнения. Если па = 0, то выходной сигнал у(£) описывается моделью с конечной памятью. Такие модели широко применяются при обработке различного рода сигналов. Для построения АИХ(па, п^)-модели необходимо определить па + щ настраиваемых параметров.

6. Авторегрессионная АКМАХ(па, пь, пс)-модель выходного сигнала у(£) со скользящим средним помехи е (£) (па, пь, пс)-го порядка

у

включает в себя авторегрессионную составляющую по выходному сигналу у(£), инкрементную (экзогенную) составляющую по управляющему воздействию и (£) и шумовую составляющую в виде скользящего среднего помехи е (£). АИМАХ-модели стали неутвержденным стандартом построения моделей производственных и экономических процессов. При построении АИМАХ-мо-дели необходимо оценить па + пь + пс настраиваемых параметров модели.

7. Авторегрессионная АК1МАХ(па, й, щ, пс)-модель выходного сигнала у(£) с интегрированным скользящим средним помехи е(£) (па, й, щ, пс)-го порядка, обладающая й-м порядком гладкости исходных данных.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ

АШМА-ПРОЦЕССОВ

С помощью АШМА-процессов, наблюдаемых на выходе линейных статистических моделей, можно достаточно точно описывать поведение временных рядов самых различных производственных процессов. АШМА-процессы образуются из совокупности трех составляющих: процессов авторегрессии, процессов интегрирования и процессов скользящего среднего. Каждая составляющая АШМА-процесса видоизменяет структуру и параметры АШМА-модели.

Построение АЫМА-модели предусматривает выбор конкретного типа модели и оценивание параметров модели на основании исходных данных. АЫМА-модель описывает поведение временного ряда минимальным количеством параметров и позволяет определить, в какой

мере каждое наблюдение влияет на будущее и сколько новой полезной информации содержится в каждом наблюдении. Прогнозируемое значение процесса может содержать тренд и сезонный компонент.

Алгоритм адаптивного прогнозирования состояния динамических процессов содержит следующие этапы [8-10]:

1. Предварительный анализ и сглаживание уровней временных рядов производственных процессов.

1.1. Выявление и устранение аномальных значений уровней временного ряда с использованием критерия Ирвина.

1.2. Определение наличия во временном ряду тренда с использованием метода Фостера-Стьюарта и определение степени его гладкости.

1.3. Выявление наличия во временной ряду сезонных колебаний путем проверки на случайность остаточного ряда.

1.4. Фильтрация компонент временного ряда путем выделения из исходного ряда трендовой компоненты, сезонной компоненты, циклической компоненты и случайной компоненты с использованием метода Четверикова.

2. Модели прогнозирования производственных процессов.

2.1. Трендовые модели на основе кривых роста.

2.2. Оценка адекватности и точности трендовых моделей.

2.3. Прогнозирование динамики производства на основе трендовых моделей.

3. Адаптивные модели прогнозирования.

3.1. Модели экспененциального сглаживания Брауна.

3.2. Модели авторегрессии типа AR(p).

3.3. Модели скользящего среднего типа MA(q).

3.4. Модели атторегрессии и скользящего среднего типа ARMA(p, q).

3.5. Модели атторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего ARIMA(p, q).

4. Алгоритм построения ARMA-модели.

4.1. Проверка временного ряда на стационарность.

4.2. Построение автокорреляционных функций временных рядов.

4.3. Выбор нескольких ARMA-спецификаций, исходя из анализа автокорреляционных зависимостей, и определение наилучший из них.

4.4. После выбора наилучшей ARMA-модели применить ее для прогнозирования.

АКТУАЛЬНОСТЬ И НОВИЗНА

ПОЛУЧЕНННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Выполненные исследования показали актуальность и важность проблемы адаптивного прогнозирования в задачах оперативного управления производством. Проанализированы основные типы структур моделей прогнозирования, к которым относятся авторегрессионные ARX-модели с управляющими воздействиями, авторе-

грессионные АИМАХ-модели выходного сигнала со скользящим средним помехи, авторегрессионные АЫ-МАХ-модели выходного сигнала с интегрированным скользящим средним помехи, робастные авторегрессионные ИАЫМАХ-модели, т. е. АЫМАХ-модели, устойчивые к отклонениям исходных предпосылок.

Разработанные адаптивные методы прогнозирования состояний производственных систем весьма удобны для оперативного управления производством в режиме реального времени. По описанному алгоритму разработана программа синтеза модельной зависимости диаметра кристалла от температуры расплава в зоне кристаллизации и скорости вытягивания.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. - М.: Мир, 1974, вып. 1, 406 е., вып. 2, 197 е.

2. Льюнг Л. Идентификация еиетем. Теория для пользователя. - М.: Наука, 1991. - 432 е.

3. Вероятноетно-етатиетичеекие методы обработки данных в информационных еиетемах / Ю. В. Бородакий и др. -М.: Радио и евязь, 2003. - 264 е.

4. Иванов В. В. Анализ временных рядов и прогнозирование экономичееких показателей. - Харьков: ХНУ им. В. И. Каразина, 1999. - 230 е.

5. Ханк Дж. Э., Уичерн Д. У., Райтс А. Дж. Бизнее-про-гнозирование. - М.: Вильяме, 2003. - 656 е.

6. Лук'яненко ¡. Г., Городн/ченко Ю.0. Сучаен економетри-чш методи у фшанеах. - К.: Л1тера, 2002. - 352 е.

7. Тихомиров Н. П., Дорохина Е. Ю. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2003. - 512 е.

8. ер/на А.М. Статиетичне моделювання та прогнозування. -К.: КНЕУ, 2001. - 170 е.

9. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткоерочного прогнозирования временных рядов. - М.: Финанеы и етатиетика, 2003. - 416 е.

10. Авраменко В. П., Кротюк И. Г., Петренко В. H. Спецификация прогнозирующей модели для еиетемы оперативного управления производетвом / Нов1 технологи. Нау-ковий в1еник ¡нетитуту економти i нових технологш ¡м. Ю.к Кравченка, вип. 2 (3), 2003. - С. 11-17.

Надшшла 10.05.2004 Шсля доробки 19.11.2004

Досл1джуються адаптивн методи прогнозування статв виробничих систем, процеси в яких описуються динамгчни-ми рядами. Стан системи визначаеться скгнченноргзнице-вими ргвняннями, подгбними до диференцгйних ргвнянь Лагранжа першого роду. Виконано специфжащю прогно-зуючоЧ модел1 статв на моделях типу ARMA та ARIMAX. На основ1 стохастичного вектора статв розроблена уза-гальнена векторно-матрична молель i запропоновано рекурентний метод прогнозування калматвського типу. Запропонований метод прогнозування статв впроваджено в системи тдтримки прийняття рШень для оперативного управлiння виробничими процесами.

Adaptive methods for operational systems status forecasting, where processes are described by dynamic series, are investigated in the article. System status is defined by finite-difference equations like Lagrange first-order differential equations. System status predictive model specification is made on ARMA and ARMAX models. Generalized vector-matrix model, which is based on stochastic state vector, is worked out by the authors and Kalman's type recurrent forecasting method is suggested in the article. Proposed status forecasting method is introduced in the expert support systems for manufacturing process on-line control.