Анализ методов учета нелинейности магнитопровода и потерь в стали в математической модели асинхронного двигателя

В. Г. Макаров, В. А. Матюшин

АНАЛИЗ МЕТОДОВ УЧЕТА НЕЛИНЕЙНОСТИ МАГНИТОПРОВОДА

И ПОТЕРЬ В СТАЛИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Ключевые слова: математическая модель, асинхронный двигатель, насыщение магнитопровода, потери в стали, обобщенная электрическая машина.

Основными допущениями для математической модели асинхронного двигателя являются предположения об отсутствии насыщения магнитопровода и потерь в стали. Предлагается методика формирования математической модели асинхронного двигателя с позиций теории обобщенной электрической машины с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали. Показано, что применение предлагаемой модели позволяет повысить точность расчетов.

Key words: mathematical model, asynchronous motor, magnetic system saturation, losses in

steel, generalized electrical machine.

One of the basic assumptions for the mathematical model of asynchronous motor is the assumption of absence of magnetic system saturation and losses in steel.

The technique of formation of mathematical model of the asynchronous motor based on the generalized electrical machine theory taking into account nonlinearity magnetic system and losses in steel is offered. It is shown that application of offered model allows to raise the accuracy of simulation.

Для исследования асинхронного двигателя (АД) наиболее часто применяются математические модели в фазных осях, не учитывающие потери в стали и эффект насыщения магнитной системы. В некоторых режимах это приводит к существенным количественным и качественным отклонениям расчетных динамических и статических характеристик привода от реальных. Отметим, что насыщение по основному магнитному потоку влияет на параметры и свойства АД, но не препятствует реализации возможностей АД в регулируемых электроприводах. Потери в стали оказывают влияние на величину и взаимную ориентацию обобщенных векторов электромагнитных переменных АД (напряжения, токов, по-токосцеплений) в статических и динамических режимах работы. Важность задачи учета потерь в стали определяется существенным вкладом этих потерь в суммарные потери машины. Так, для АД серии 4 А потери в стали могут составлять более 20% от полных потерь номинального режима и более 50% от полных потерь холостого хода. [1] Для построения эффективных алгоритмов управления частотно-регулируемого асинхронного электропривода необходимо учитывать насыщение магнитопровода АД и потери в стали, которые подразделяются на потери от гистерезиса и вихревых токов..

В [2] учет влияния вихревых токов в сердечниках статора и ротора в переходных процессах реализуется путем введения в схему замещения двух интегральных контуров вихревых токов, т. е. математическая модель асинхронного двигателя с двумя обмотками

на статоре и роторе и круговым полем в воздушном зазоре состоит из четырех обмоток по осям неподвижной системы координат. Параметры интегральных контуров вихревых токов обычно определяют экспериментально, что не всегда выполнимо в условиях производства; следует также иметь в виду, что экспериментальный метод не дает возможности раздельно определить параметры вихревых токов для сердечников статора и ротора.

Существует метод учета потерь в стали путем введения в систему уравнений Парка-Горева угла потерь, что позволяет не увеличивать общего количества дифференциальных уравнений системы. [3] Однако данный подход обладает существенным недостатком: при частотном управлении угол потерь является функцией не одной, а как минимум двух переменных. Алгебраические уравнения связи потокосцеплений и токов при этом оказываются довольно громоздкими.

Использование традиционных методов учета потерь в стали [4, 5] путем включения дополнительных сопротивлений параллельно либо последовательно цепи намагничивания эквивалентной Т-образной схемы замещения фазы АД приводит к тому, что при частотном управлении эти сопротивления также являются функциями как минимум двух переменных.

В [6] предлагается метод учета потерь в стали, основанный на разделении составляющих потерь на потери от гистерезиса и вихревых токов. Это осуществляется введением в модель двигателя двух постоянных коэффициентов: коэффициента потерь от вихревых токов Rqq (Ом) и коэффициента потерь от гистерезиса kfr (Гн). Определение коэффициентов Rec, kh для конкретного типа двигателя осуществляется по значениям потерь в стали (рассчитанным или экспериментально определенным по известным методикам) в двух точках рабочего диапазона частот в режиме холостого хода двигателя.

Результирующий ток магнитной цепи схемы замещения можно найти по формуле:

00 — m ^ h Lc ,

где Im - вектор тока взаимоиндукции, Ih - составляющая результирующего тока магнитной цепи, учитывающая потери в стали от гистерезиса, Iec - составляющая результирующего тока магнитной цепи, учитывающая потери в стали от вихревых токов.

Составляющая Ih = j^m/^h формирует фазовое запаздывание потокосцепления взаимоиндукции от результирующего тока магнитной цепи. При этом полагается, что гистерезис влияет только на фазу тока и не влияет на его форму. Однако, данная математическая модель содержит систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, решение которой возможно только с использованием численных методов.

Известен подход [7] к учету потерь в стали от вихревых токов путем включения параллельно цепи намагничивания Т-образной схемы замещения двигателя эквивалентных Ж-цепей с сосредоточенными параметрами, отдельных для описания процессов в стали статора и ротора. Основные недостатки данного метода: во-первых, он учитывает только одну составляющую потерь в стали, тогда как потери от гистерезиса, в частности, в двигателях серии 4А на номинальных частотах соизмеримы с потерями от вихревых токов, а на частотах, меньших номинальной, потери от гистерезиса могут существенно превосходить потери от вихревых токов. Во-вторых, существует серьезная проблема, связанная с определением параметров данных эквивалентных цепей, особенно индуктивности. Предложенный в [7] метод основан на использовании дополнительной измерительной обмотки, встраиваемой в двигатель, что само по себе неудобно, а также на сомнительном допущении, что во всех режимах работы коэффициент отношения индуктивного и активного со-

противлений эквивалентной цепи потерь в стали постоянен и равен 0,6. Это соотношение, введенное Л.Р.Нейманом, было использовано в [8] для случая массивного ротора и распространено в [7] на шихтованные сердечники. Строго говоря, это допущение можно считать справедливым только при явно выраженном поверхностном эффекте, при котором dmin ^2А, где dmin - минимальный геометрический размер массивного участка магни-топровода; А - эквивалентная глубина проникновения.

Для электротехнических сталей при частоте 50Гц А = (1...2)мм. То есть для шихтованных стальных сердечников с толщиной листа 0,5мм это условие не выполняется [1].

Для описания динамических процессов АД с учетом эффекта насыщения цепи намагничивания широко используются два метода: метод статических индуктивностей, в котором индуктивность намагничивания задается своей статической зависимостью [9] и метод динамических индуктивностей [10]. Последний является существенно более сложным и применяется реже. Сравнение результатов расчета переходных процессов прямого пуска АД, выполненного с использованием обоих методов при прочих равных условиях [2], показывает их близость друг к другу.

В [11] считается, что насыщение проявляет себя только в изменении коэффициента, связывающего главный магнитный поток (полезный поток в зазоре) с намагничивающим током (током в намагничивающем контуре схемы замещения), а связь между потоками рассеяния статора и ротора и соответствующими токами остается такой же, как и в ненасыщенной машине и характеризуется постоянными индуктивностями рассеяния статора и р°тора Ца и L2a .

Аналогичный подход используется и в [12]. Однако, и в [11], и в [12] принято допущение, что потери в стали отсутствуют.

Проведенный анализ показывает, что предлагаемые методики обладают рядом недостатков, ограничивающих их применение.

В связи с этим предлагается учесть потери в стали статора и ротора за счет введения эквивалентных обмоток потерь в стали (рис. 1). При этом необходимо учитывать зависимость сопротивлений данных обмоток от частоты. Следует отметить, что мощности потерь на гистерезис пропорциональны частоте перемагничивания в первой степени, а мощности потерь на вихревые токи пропорциональны частоте перемагничивания во второй степени

где к г, квт - коэффициенты увеличения потерь в связи с вращательным перемагничива-нием, нарушением изоляции и наличием механических повреждений; а, с - удельные потери на гистерезис и вихревые токи при переменном перемагничивании на частоте 50 Гц и индукции 1 Тл; Вт - амплитудное значение магнитной индукции; т - масса магнито-провода.

Применяя формулы (1) определяем мощности потерь в стали статора и стали рото-

где Рг1, Рг2 - мощность потерь на гистерезис в магнитопроводах статора и ротора; РВТІ5 Рвт2 - мощность потерь на вихревые токи в магнитопроводах статора и ротора.

Для учета влияния нелинейности магнитопровода предлагается использовать статическую и динамическую магнитные проводимости.

[13]:

ра:

Р 01 = Р гі + Рвті;

Р02 = Рг2 + Рвт2>

Рис. 1 - Пространственная модель трехфазной асинхронной электрической машины при введении обмоток потерь в стали

Согласно теории трансформатора предполагаем, что магнитный поток обобщенной электрической машины, сцепленный с каждой фазой обмотки, состоит из двух слагаемых: первое - это проекция вектора основного магнитного потока на ось фазы, а второе - магнитный поток рассеяния, пропорциональный соответствующему току. Для учета нелинейности магнитопровода будем считать, что амплитуда магнитодвижущей силы (МДС) по расточке статора связана с основным магнитным потоком нелинейной зависимостью -кривой намагничивания. Для того чтобы аналитически задать зависимость Ф = f (F), можно воспользоваться выражением вида:

Ф = bF - cj(f - F°) + a2 + cj(o)2 + a2 ,

где a, b, c, F° - эмпирические константы.

Запишем систему уравнений АД с позиций теории обобщенной машины:

_ ^  . dФd . , di1d ( Ф . , . ). uid _Ri4d + w3~df~+L\o~dT"m-1 w3Фq + Lla'lq>.

_ . dФ^ , di1q

u1q _ R1'1q + w3~dir + L1<J~W + a1(( + LJJ1d);

— dФd ~ d/id I ~ ~ \

0 _ R1/1d +w +LJ~dr" 1(w эфq+LJilq);

— dФq ~ d~1q i ~ ~ \

0 _ R1i1q + w^~df + L1J~dT + 1 ^э1^ + L1 j/1d);

dФ d di 2d I \

0 _ r2 12d + wэ~~^- + L2j ~dT" a2 wэфq + L2j1 2qb

-Ф d ~ d¡2d І ~ ~ \

0 - R2¡2d + wэ“-Т + L2a~dT " 2 wэФд + l2ct¡2q b

0 - R2¡2q + w3 —¡f + L2<r -df + ю2 (ф- + L2a'2d ) ;

~ ~ djq ~ d¡2q i ~ ~ \

0 - R2¡2q + wэ“-р + L2^~-f + о2 wЭФ- + L2ct¡2d);

+ w э dt 2ct' dt Мэ - Pnwэ (jd( 1q + ¡1q)- jq (/id + ¡id));

JX¡-^ = Рп (мэ - Mс ),

где Uid, Uiq - напряжения фаз обмотки статора; ¡id, ¡iq, ¡2d, ¡2q - токи фаз обмоток статора и ротора; ¡id, ¡iq, ¡2—, ¡2q - токи фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора и ротора; Ri, R 2 - активные сопротивления фаз статора и ротора; Ri, R 2 - активные сопротивления фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора и ротора; Li, L2 - индуктивности фаз статора и ротора; Li, L2 - индуктивности фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора и ротора; w э - эффективное число витков фазы обмотки; Мэ -электромагнитный момент; Мс - статический момент; рп - число пар полюсов; J^ -суммарный момент инерции подвижных частей; щ - частота вращения системы координат d, q; (02 - частота скольжения (ю2 =©! -ю); о - частота вращения ротора, эл.рад/с.

По осям d, q (на один воздушный зазор) действуют МДС, первые гармоники которых имеют следующие амплитудные значения

Fd -2wsin

2 2 ksin

Fq - 2wsin tiq + M + ¡2q + ¡2q )-^~^~diq + M + ¡2q + ¡2q),

где wsin - число витков фазы синусной обмотки статора или ротора обобщенной электрической машины, ksin - n¡4 - 0,7854 - обмоточный коэффициент синусной обмотки.

Основной магнитный поток Ф имеет направление, совпадающее с направлением вектора магнитного напряжения стали Um , и величину, являющуюся нелинейной функцией от Uм. Компоненты магнитного потока Ф по осям d, q определяются равенствами:

Fd Fq

ф d-F ф ; ф q - F ф .

Результирующая МДС определяется равенством:

F - Ui + RgФ + U2 - Um + RsФ, где Ui, U2 - векторы магнитных напряжений стали статора и ротора.

Рассматривая схему замещения (рис. 2), запишем равенства

Ф--^== Um ¡Fd + Fq2 ; Ф, - У Um Jf2 + Fq .

i75

Рис. 2 - Схема замещения магнитной цепи обобщенной машины, где ВС - векторный сумматор; МП - магнитопровод

Рис. 3 - Пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков обобщенной машины

В уравнениях системы (2) фигурируют производные по времени от компонент магнитного потока Ф . Для них справедливы равенства

СФб _ Фс СРс + Фс СРя а ~ рС а + Ря а

СФ

я

Ф

я СРб

а

Фя СРя

Рб а Ря а

Продифференцировав равенства (3), (4), получим:

СРб _ ™вт (С'1<С + С/1<С

СИ

2

си

бР

я

\м

СИ

С~1д

+ С2С + С/2С).

а 2 4 а а

Найдем частные производные

2 2 Фб Ря Ф Рб сф .

СИ С 2д

а

а

С~2д

а

).

Ф С

Рс

Ф

Р

2 Р

Р

2 бР

Ря

РбРя бФ Ф

“ТТ"( Ср ' Р).

я

РС ф

р,

р,

+ -

я СФ

Ф

я РСРя СФ

яР

2 Р р 2 бР

Р

я

Р

2 бР

Ф

Р

+

+

+

Подставляя выражения (8), (9) в равенства (5) получаем 2 2

dOd = АФ + 'd^dFd. + FdFq dO Ф^dFq ;

di

dOq = FdFq

dt F 2

Равенства (10), (11) с учетом равенств (6), (7) можно представить в виде:

2 2 ~ ~ dOd = (Fl.Ф + FddOЧ^sin(d/¡d + did + d/2d + di2d Ч+

dt (F 2 F F 2 dF ’ 2 ( dt dt dt dt 4

FdFq dO Ф wsin di1q di1q di2q di2q x , ч

+-----—

F 2 KdF Г 2 v dt dt dt dt ^ ;

dOq = FdFq dO Ф Ч wsin (di1d + djd + di2d + d~2d Ч + dt F 2 (dF " F4 2 ( dt dt dt dt 4

2 2 i i Fd Ф Fq dO wsin diiq diiq di2q di2q x , ч

+

F2 F F2 dF 2 dt dt dt dt

На основании анализа схемы замещения

введем статическую Л с и дифференциальную Л д магнитные проводимости, приходящиеся на один воздушный зазор:

Ф dO

Л с= F; Л д " dF'

Дифференциальная магнитная проводимость учитывает изменение величины вектора Ф , а статическая магнитная проводимость - изменение вектора Ф при его вращении с сохранением величины.

На основании векторной диаграммы (рис. 3) можем записать

Fd Fq 1 . FdFq

cos/ = F; sin/ = F; 2 S|n2^ = ~Fr •

Тогда уравнения для компонент магнитного потока будут иметь вид dd (  2 . а 2 Wsin ,d'ld , di\d di2d , di2d N ,

— = (sin Г + Л Acos rhj-W + ~dT ^~dT + ~dT) +

+£!П2!

2 v д 2 K dt dt dt dt ’ v '

d°q _ sin2^ (Л Л )wsin di1rf di1d A di2d . di2d4 A dt 2 (Лд' c) 2 ( dt dt dt dt W

+

v c r д n 2 K dt dt dt dt *

Подставляя (14), (15) в уравнения системы (2), получаем систему дифференциальных уравнений относительно токов i 1d , i1d, i 1q, i1q, i2d, i2d, i2q , i2q • Видно, что в

каждое уравнение входят производные от всех восьми токов. При численном решении их можно найти из системы (2), (14), (15), рассматривая ее сначала как систему линейных алгебраических уравнений относительно этих производных.

Таким образом, система (2) в совокупности с уравнениями (14), (15) представляет собой математическую модель обобщенной электрической машины на базе АД с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали. Применение данной модели позволяет повысить точность расчетов при моделировании, а также строить более эффективные алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода с АД.

Литература

1. Виноградов, А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока /

A.Б. Виноградов. - ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет им.

B.И. Ленина». - Иваново, 2008. - 298с.

2. Копылов, И.П. Математическое моделирование электрических машин. / И.П. Копылов. - М.: Высшая школа, 2001. - 327с.

3. Якимов, В.В. Проблемы учета потерь в стали при расчете переходных процессов в электрических машинах переменного тока / В.В. Якимов // Тез.докл. II Международной конференции по электромеханике и электротехнологии, Часть 1. - Крым, 1996. - С. 172-174.

4. Проектирование электрических машин: учебник для вузов / И.П. Копылов [и др.]. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: Высшая школа, 2002. - 757с. : ил.

5. Домбровский, В.В. Асинхронные машины: Теория, расчет, элементы проектирования. / В.В. Домбровский, В.М. Зайчик. - Л.: Энергоатомиздат. Ленинг.отд-ние, 1990. - 368с.

6. Виноградов, А.Б. Учет потерь в стали, насыщения и поверхностного эффекта при моделировании динамических процессов в частотно-регулируемом асинхронном электроприводе /

A.Б. Виноградов // Электротехника. - 2005. - №5. - С. 56-61.

7. Вейц, В.Л. Динамика управляемого электромеханического привода с асинхронными двигателями / В.Л. Вейц [и др.]. - Киев: Наук.думка, 1988. - 272с.

8. Куцевалов, В.М. Асинхронные и синхронные машины с массивными роторами. /

B.М. Куцевалов. - М.: Энергия, 1979. - 160с.

9. Шрейнер, Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты / Р.Т. Шрейнер. - Екатеринбург: УРО РАН, 2000. - 654с.

10. Фильц, Р.В. Дифференциальные уравнения напряжений насыщенных неявнополюсных машин переменного тока / Р.В. Фильц // Электротехника. Известия вузов. - 1966. - №11. - С. 1195-1203.

11. Соколовский, Г.Г. Электроприводы переменного тока с частотным регулированием: учебник для студ. высш. учеб. заведений / Г.Г. Соколовский. - М. : Издательский центр «Академия», 2006. - 272с.

12. Браславский, И.Я. Энергосберегающий асинхронный электропривод: уч.пособие для студ. высш. учеб. заведений / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов, В.Н. Поляков. - М.: Academa, 2004. -202с.

13. Шуйский, В.П. Расчет электрических машин / В.П. Шуйский; пер. с нем. - Л. : Энергия, 1968. -732с.

© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, доц., зав. каф. электропривода и электротехники КГТУ, electroprivod@list.ru; В. А. Матюшин - студ. КГТУ.