Двухуровневое моделирование накопления поврежденности в высокопрочных нагруженных материалах

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 245-263

ФизикА

УДК 539.4.669.017

Двухуровневое моделирование накопления поврежденности в высокопрочных нагруженных материалах

В. П. Баранов, В. Э. Степанова

Аннотация. Построена двухуровневая (микро-, мезо) модель накопления поврежденности в высокопрочных нагруженных материалах. Выполнен анализ микроразрушения и определены энергии образования микронесплошностей на основе дискретноконтинуальной модели образования зародышей разрушения, порождаемых заблокированными скоплениями дислокаций. Установлена реономная зависимость общей плотности микродефектов для двухфазной системы. На основе модифицированного алгоритма Хошена-Копельмана построена модель накопления микроповреждений и их перколяции. Предложен критерий микро-мезо перехода в процессе деструкции материала. Проведен численный анализ для среднелегированной конструкционной стали 30ХГСА.

Ключевые слова: иерархическое моделирование, накопление микроповреждений, перколяция, микро-мезо переход, высокопрочные материалы.

1. Введение

В современном материаловедении, включая наноструктурные материалы, основным стратегическим направлением исследования поведения нагруженных твердых тел является многоуровневый подход, который получил интенсивное развитие в рамках нового научного направления - физической мезомеханики материалов. Согласно этому подходу, твердые материалы, находящиеся под нагрузкой, превышающей предел упругости, рассматриваются как многоуровневая иерархическая система дефектов структуры, эволюция которой направлена на минимизацию внешнего воздействия на всех масштабных уровнях [1, 2].

В качестве классификационного признака для подразделения многоуровневых моделей на классы выберем число масштабных уровней деформации и разрушения. Полная иерархическая модель должна включать четыре масштабных уровня с соответствующими характерными

размерами длины («пикселами»): наноуровень (~ 0,1-1 нм), микроуровень (~ 1 мкм), мезоуровень (~ 0,01-1 мм), макроуровень (> 1 мм).

Наномеханика использует модели молекулярной динамики, микромеханика -модели дислокационной динамики, мезомеханика - физические теории упруговязкопластичности, макромеханика - модели линейной механики разрушения.

Существующие подходы к построению иерархических моделей подразделяются на две группы [3, 4]: односторонние (снизу вверх либо сверху вниз) и двухсторонние (конкурирующие, параллельные), в которых модели соседних уровней связаны итерационными процедурами. Модели, основанные на движении от низших масштабов к более высоким, обычно используются при анализе зарождения и эволюции поврежденности материала вплоть до разрушения. Модели с передачей информации с больших масштабов к меньшим - при проектировании материалов и конструкций их них. Второй класс моделей применяется для анализа многомасштабных процессов трещинообразования (особенно композитов), формирования полос сдвига, проектирования функциональных элементов.

На современном этапе построение многоуровневой модели деформируемого твердого тела находится на начальной стадии своего развития, несмотря на значительное число публикаций, посвященных иерархическому моделированию. Подавляющее большинство используемых в настоящее время многоуровневых моделей относится к двухуровневым (мезо-, и макроуровни), которые используют различные подходы к описанию развития уже существующих в материале нарушений сплошности (микропор, микротрещин). В качестве основного структурного элемента в таких моделях выбирается, как правило, зерно. В тоже время количество публикаций, посвященных трехуровневым моделям (с добавлением микроуровня), в которых анализируются процессы зарождения микронесплошностей, незначительно.

2. Двухуровневая (микро-, мезо) модель накопления поврежденности в нагруженных материалах

Рассмотрим далее двухуровневую (микро-, мезо) модель накопления поврежденности в нагруженных материалах на примере одноосного статического нагружения высокопрочных металлических сплавов ниже предела текучести (замедленное разрушение).

2.1. Модели мезоскопических зерен поликристаллических агрегатов. Как известно, процесс разрушения материалов при любом виде нагружения начинается с локализации пластической деформации вблизи структурных неоднородностей и концентраторов напряжения. Важную функциональную роль для локализации пластической деформации в иерархически организованных конденсированных средах играют планарные подсистемы, к которым относятся поверхностные слои и все внутренние

границы раздела [5]. В них нарушена трансляционная инвариантность, возникает «шахматное» распределение растягивающих и сжимающих нормальных и касательных напряжений, сильно выражена кривизна

кристаллической структуры, что определяет в них термодинамическую неравновесность. Далее в качестве внутренних границ раздела будем рассматривать границы зерен, которые в поликристаллах при не

очень высоких температурах можно считать двухуровневыми. Границы зерен, являясь планарными дефектами в стуктурно-неоднородной среде, представляют барьеры для распространения пластических сдвигов в нагруженном твердом теле. В границах зерен развиваются процессы

зернограничного скольжения, которые зарождаются в тройных стыках зерен, где возникают мощные концентраторы напряжений. Распределение нормальных и касательных напряжений на границе смежных зерен

имеет периодическую модуляцию. В ходе фронтального зернограничного скольжения в зонах растягивающих нормальных напряжений развиваются локальные структурные превращения, которые генерируют в объем зерна периодические плоские скопления дислокаций. Эстафетное зарождение мезополосовой структуры в виде плоских скоплений дислокаций, эмитированных с границы зерна, подтверждено экспериментально для различных поликристаллических сплавов [5]. Дальнейшая эволюция этих скоплений определяется степенью разориентации зерен. Для границ с «малой» разориентацией (< 5°) полосы скольжения, образованные винтовыми и краевыми дислокациями, проходят через границу без образования дефектов и просто вызывают скольжение в смежном кристалле. В случае границ «средней» (5-20°) и «большой» разориентации полосы, образованные винтовыми дислокациями проходят сквозь границу, но полосы, образованные краевыми дислокациями блокируются, создавая зернограничное упрочнение.

Для описания механических свойств поликристаллических материалов в областях, непосредственно примыкающих к границам зерен, используют композитные модели зерна, в частности, для мезоскопического размера зерна - модели Кокса-Хирта [6, 7], Коневой [8] (является развитием модели Кокса-Хирта), Муграби [9]. Композитные модели основаны на представлении зерна размером (I в виде двух областей: (I = йх + г!у, где йх - размер приграничной упрочненной зоны с сопротивлением деформированию тх, йу -размер внутренней части зерна с сопротивлением деформированию ту < < тх. В случае дислокационного упрочнения приграничных областей можно использовать композитную модель Муграби, согласно которой каждое зерно рассматривается как двухфазный композит, состоящий из приграничной зоны с высокой и внутренней области с низкой плотностью дислокаций. В этой модели граница и приграничная зона не разделяются (в отличие от модели Кокса-Хирта и Коневой), а объединены в стенку с высокой дислокационной плотностью. Толщина приграничной упрочненной зоны для мезозерен составляет несколько микрометров [10].

Для ультрамелкозернистых материалов разработана модель, основанная на упрочнении стыковыми дисклинациями, неравновесными дислокациями в границе зерен и внутренними полями напряжений, авторами которой являются Валиев, Романов и др. [11]. В этой модели дефектное строение неравновесных границ зерен, содержит решеточные дислокации, одна часть из которых скользит вдоль границы зерна, а другая часть -сидячие дислокации. В стыках зерен расположены дисклинации различной мощности, упругие поля которых простираются в приграничную область. Эти искажения постепенно затухают с переходом в тело зерна. Данная модель может быть использована для поликристаллов как микро-, так и мезоуровня.

Большинство исследований деградации твердых тел рассматривают различные подходы (от континуального до молекулярной динамики) для описания развития уже существующих в материале нарушений сплошности. В то же время количество работ, в которых анализируются процессы зарождения несовершенств, незначительно.

В процессе нагружения в твердых телах возникают локальные нарушения трансляционной инвариантности кристаллической структуры, которые проявляются в виде дефектов различного типа: вакансий и межузельных атомов, атом-вакансионных нанокластеров различных конфигураций, дислокаций, дисклинаций, двойников, мезо- и макрополос локализованной деформации, трещин и др. На ранних стадиях деформации, соответствующих процессам деградации материала на микроуровне, максимальную концентрацию имеют несплошности субмикроскопического размера. Установлено в целом ряде работ, что в различных металлических материалах (сталях, титановых сплавах, чистых поликристаллических металлах - алюминии, никеле, серебре и др.) наибольшую плотность имеют повреждения в виде субмикротрещин, размер которых составляет 0,1... 3 мкм.

В качестве модели зерна в данной работе рассмотрим смешанную композитную модель Муграби-Валиева с границей, непроницаемой для дислокаций (рис. 1).

2.2. Дискретно-континуальная модель заблокированноного скопления дислокаций. Барьерное торможение мезополосовой структуры в виде плоского скопления краевых дислокаций, эмитированных с границы зерна, опишем с помощью дискретно-континуальной модели в соответствии с работами [12, 13]. В этой модели п краевых дислокаций с векторами Бюргерса Ь, расположенных в общей плоскости скольжения у = 0, прижаты касательным напряжением т* к барьеру, находящемуся в плоскости ожидаемого скола х = 0. Физическим прообразом такой схемы является предвестник зернограничного разрушения - линия скольжения, упирающаяся в границу зерна.

Рис. 1. Схема зерна в модели Муграби-Валиева. Треугольники на стыках трех зерен обозначают дисклинации разной мощности. Контактные напряжения на границе раздела поликристалла имеют периодическую

модуляцию

Корректное описание начальных стадий разрушения требует учета дискретности головной части скопления и структуры ядер лидирующих дислокаций. Поэтому первые две ведущие дислокации В1 и В2 описываются дискретно, а оставшаяся часть скопления В3 - континуально (рис. 2). Прямые многоатомные расчеты [14] показали, что в ОЦК металлах ядра дислокаций некоторых кристаллографических направлений раскрываются преимущественно в плоскости раскалывания дислокации, являющейся продолжением ее экстраплоскости. При сближении краевых дислокаций происходит перестройка их ядер и переход к раскрытию преимущественно в плоскости раскалывания. Зарождение разрушения состоит в образовании сверхдислокации мощности 2Ь клиновидной формы за счет слияния головных дислокаций, а развитие разрушения - в образовании субмикротрещины за счет поглощения всех дислокаций скопления.

Ядра ведущих дислокаций, представляющиеся клиновидными

полостями с взаимодействующими берегами, описываются такими

распределениями бесконечно малых раскалывающих дислокаций с

плотностями, соответственно П1 (у) и П2(у) на участках [-Н1, 0] и [— Н2, 0],

о

что / пг (у)^у = В г, где Н - протяженности ядер 2-ой дислокации скопления

-Нг (2 = 1, 2).

Интенсивность взаимного притяжения противоположных берегов раскрывающегося ядра 2-ой дислокации определяется функцией дг (иг), где

у

раскрытие ядра иг (у) = / щ (у)dy (2 = 1, 2). Конфигурация оставшейся

Нг

\

Ь

ё1М

І2 *

Рис. 2. Дискретно-континуальная модель заблокированного дислокационного скопления [13]

части Вз скопления в интервале [1\, 12] оси Ох определяется плотностью распределения р(х) скользящих краевых дислокаций, удовлетворяющих

условию / р(х)ё,х = Вз, где 11 и 12 - начало и конец хвостовой части

скопления.

Система уравнений равновесия такого дислокационного скопления на основе известных соотношений механики дислокаций [15] представляется в виде [13]

где О = С/[2 • п • (1 — V)], С - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона; т* = т — т - эффективное напряжение сдвига, т - сопротивление трения решетки; Ь\ = 0 и Ь2 = Ь - координаты центров тяжести дислокаций В1 и В2 соответственно, 7п - нормальное напряжение к плоскости раскалывания. Силы взаимодействия (на единицу длины) ^В1 В2 ведущих дислокаций и FBзв2 дислокации В2 с хвостовой частью скопления определяются по

(у - і)  [3  Ь2 + (С - у)2]

[ь2 + (С - у)2]2

\

формулам

О О 2 2

В = ! ш

— — Ь.2

12 О 2 2

^Вэ,В2 = ^ Р

1 — 2

Первое уравнение системы (1) определяет равновесную конфигурацию ядер элементов Б\ и В2 в поле нормальных к их плоскостям раскалывания напряжений, второе - уравнение равновесия хвостовой части В3 в поле касательных к плоскости скольжения напряжений, третье - уравнение баланса сил, действующих на подвижную дислокацию В2.

В работе [13] на основе подробного анализа системы (1) получен критерий зарождения разрушения в виде сверхдислокации вследствие слияния головных решеточных дислокаций скопления:

пт * = 0,308

где дт - максимум отнесенной к единице площади силы взаимодействия

реальных атомных плоскостей по обе стороны от плоскости раскалывания дислокации, ап - параметр неоднородности силового поля ядра лидирующей дислокации скопления.

Силу взаимодействия ведущих дислокаций скопления после преобразований приближенно можно найти по формуле

РВ1В2

где х(() = (8/9)( 1 _ ^1 _ (9/8) С—2 . Здесь £ = Ь/Ьс, Ьс - максимальный

размер ядра лидирующих дислокаций, Нс = 2Н0, Н0 = 2ЬБ/(апдт _ ап) -размер ядра дислокации при отсутствии скопления.

Формула (5) содержит, помимо установленной в макроскопической теории дислокаций [15] компоненты взаимного отталкивания одноименных дислокаций, определяемой множителем ОЬ2/Ь, составляющую их взаимного притяжения, обусловленную взаимодействием ядер (выражение в квадратных скобках). Эта составляющая становится преобладающей при малых расстояниях между дислокациями. Наличие компоненты притяжения порождает немонотонность изменения силы взаимодействия дислокаций с уменьшением расстояния между ними, что обусловливает возможность неустойчивости положения В2 в голове скопления. Как следствие, критерий (5) является заметно более мягким по сравнению с первоначальным критерием Стро [16] и его дальнейшими уточнениями [17, 18], которые

требуют достаточно мощного скопления дислокаций для обеспечения требуемой концентрации напряжений в вершине скопления.

Описание следующего этапа эволюции заторможенного скопления, связанного с ростом дислокационной трещины, отличается от предыдущего тем, что головным элементом теперь будет клиновидная дислокационная трещина - сверхдислокация мощности Б* = 2Ь с невзаимодействующими берегами.

Критерий сваливания следующей (третьей) дислокации в зародышевую трещину можно представить в виде

п  т* = 3, 35

СО

Здесь 7с = 1 J д(и)^« - работа разрушения сколом (ит - точка

ит

экстремума функции д(и)). По формуле Орована 7с = д!т Ь/Е, где дт = д(ит) = 0,18Е, Е - модуль упругости.

Из результатов работ [19, 20] следует, что после заталкивания в зародыш разрушения третьей дислокации наступают неустойчивость скопления в целом и его практически безбарьерное сваливание в распространяющуюся дислокационную трещину до полного исчерпания скопления. Это приводит к образованию неспособной к залечиванию субмикротрещины протяженностью 0, 5П2Ь и шириной ПЬ.

Сила взаимодействия между сверхдислокацией Б* и дислокацией Б*, отстоящей от нее на расстояние Ь* = ^ _ Ь, находится по формуле [21]

FB (С)— 2

Db2 1

1 >B2^' h

*

1 - Тб W%2

+ O

где Х(С) — (16/9)С

1 -^ 1 - (9/16)С-2

С — L*/h

h* — (4D7c/аП) (1 - \J1 - 2ban/ya) , w — 2(7c/ban)(1 - л/1 - 2Ьст„/7с), li —

— bD/т *.

Из анализа критериев (4) и (6) следует, что в зависимости от напряжения ап доминирующей в процессе разрушения может стать либо стадия зарождения, либо стадия роста дислокационной трещины. Из условия равенства этих критериев найдем граничное относительное значение локального напряжения, разделяющее эти стадии:

апд — 0, 3

где апд — 3, 086апд/Е. Если принять ап — 0, 9, то апд w 0, 013Е.

При ап < апд критерий микроразрушения контролируется условием роста зародыша разрушения (6). В этом случае зарождение сверхдислокации мощности 2b не влечет за собой ее самопроизвольный рост, а образование субмикротрещины, как это следует из формулы (6), требует либо увеличения мощности скопления n, либо - эффективного сдвигового напряжения т*.

При ап > (гпд общий критерий разрушения на микроуровне как потери устойчивости дислокационного скопления регламентируется более жестким условием (4) образования зародыша разрушения, который, едва возникнув, будет самопроизвольно расти за счет поглощения до полного исчерпания дислокаций скопления.

Анализ микроразрушения проведем для высокопрочных конструкционных сталей на примере среднелегированной стали 30ХГСА с механическими свойствами: Е = 2,1  105 МПа, С = 7,87  104 МПа, ав = 1450 МПа, 0о;2 = 1270 МПа, £5й = 7 %, ф = 19 %. Для этой стали апд = 2730 МПа. Нормальные напряжения ап определяются макроскопическим напряженным состоянием материала, зависящим, главным образом, от уровня приложенного растягивающего напряжения и его ориентации относительно плоскости скола, а также остаточных напряжений первого рода (~ 0, 2оо,2). При статическом нагружении ниже предела текучести в инактивной среде напряжения ап не достигают граничных значений апд, в результате зародыши разрушения будут иметь вид пор, а характер разрушения будет вязким. Реальные материалы имеют конструктивные концентраторы напряжений и исходную дефектную технологическую поврежденность, которые даже в сталях средней прочности могут породить нормальные напряжения ап, превышающие пороговые. В этом случае при достижении критической плотности микроповреждений дефектная структура материала переходит в неравновесное состояние самоорганизованной критичности. Это состояние представляет промежуточную между микро- и мезоуровнями стадию предельной микроповрежденности, на которой происходит самоорганизованная перестройка материала на новый механизм диссипации энергии путем слияния микроповреждений, вследствие чего возникает геометрический фазовый переход к образованию дефектов мезоуровня -микротрещин. При этом характер разрушения будет более хрупким и, как правило, интеркристаллитным. Таким образом, переход процесса деструкции на мезоуровень определяется плотностью зарождающихся на микроуровне дефектов, которую можно рассматривать в качестве параметра порядка термодинамического процесса самоорганизации микроповреждений.

2.3. Модель накопления поврежденности на основе кинетической термодинамики. Как известно, пластическая деформация и накопление повреждений в нагруженном материале являются диссипативными процессами, причем в высокопрочных материалах основным механизмом релаксации напряжений (диссипации энергии) на микроуровне является рост плотности дефектов в условиях их сильного взаимодействия. Поэтому одним из наиболее перспективных методов изучения замедленного разрушения высокопрочных материалов является метод их испытания на релаксацию напряжений. Следуя работе [22], рассмотрим эволюцию плотности дефектов в процессе деструкции материала на основе кинетической термодинамики, начального участка машинной

кривой релаксации приложенного к образцу напряжения и предположения, что этот участок соответствует процессу накопления повреждений на микроуровне. Этот процесс сопровождается изменением во времени свободной энергии материала (функции Гиббса). Для удельной (отнесенной к единице объема) функции Гиббса используем кинетическое уравнение

Дед = Дя

где ДЯ (£) и Д£ (£) - соответственно изменение удельных энтальпии и энтропии, £ - время нагружения, Т - абсолютная температура.

Термодинамический подход, основанный на введении времени в термодинамику, развит в работе [23], что привело к созданию кинетической термодинамики, подходы которой оказались чрезвычайно плодотворными для описания процессов термодинамической самоорганизации (самосборки).

В уравнении (9) величина дС определяет ту часть внутренней энергии, которую система отдает при переходе из одного состояния в другое, а ТД£ -часть внутренней энергии, которая остается в системе (связанную энергию). Энтальпийный фактор дя характеризует увеличение внутренней энергии в процессе нагружения материала, а энтропийный Д£ - стремление системы к беспорядку, который по мере накопления повреждений также возрастает.

Изменение удельной энтальпии для конденсированных сред при изобарно-изотермическом процессе соответствует изменению внутренней энергии системы, являющейся аддитивной функцией состояния. На микроуровне величина ДЯ равна изменению плотности энергии микроструктуры. Последнюю в силу аддитивности можно представить в виде

п

Дит

г=1

где п - число типов дефектов микроструктуры, Р^, и^ - плотность и энергия образования г-го типа дефекта.

На ранних стадиях деформации, соответствующих процессам деструкции материала на микроуровне, как было показано выше, наибольшую концентрацию имеют зарождающиеся несплошности в виде пор и субмикротрещин с плотностями рр(£) и р5(£). Тогда дефектную структуру можно рассматривать как двухфазную с общей плотностью дефектов Р^(£) = Рр(£) + Рз(£). Используя обычное правило смеси для многофазных систем, вместо (10) можно записать

Дит

где ар, а3 - объемные доли пор и субмикротрещин.

Изменение энтропии определим на основе теории гетерогенного образования зародышей разрушения как энтропию смешения [24]:

Дед = к  рй(£)  {1 _ 1п[рй(£)/па]}.

Здесь к = 1, 38  10-16 эрг/° К - постоянная Больцмана, па - число атомов в области концентрации напряжений.

Подставим (11) и (12) в (9) и приравняем ДС(£) текущей удельной работе пластической деформации, затраченной на образование дефектов к моменту £. Последнюю определим по формуле

ЛЛ = Дст

где Дст(£), е(£) - текущие релаксация напряжений и пластическая деформация, Дст(£) = ст0 _ ст(£) ^ 7РЕе(£), ст0, ст(£) - начальное и текущее напряжения релаксации, 7Р - относительная податливость образца. В условиях чистой релаксации напряжений (при абсолютно жестком закреплении образца) 7Р = 1. В общем случае [25]

7р = 1 + А

Здесь А - коэффициент податливости упругих связей, который изменяется от нуля (абсолютно жесткое закрепление) до бесконечности (бесконечно податливая система закрепления); I, - длина и площадь поперечного сечения образца в начальный момент.

Из равенства (9) и (13) получим трансцендентную зависимость общей плотности дефектов от времени:

р

Л (1 _ а5)ир + а8и8 _ к  Т  1п[па/рй(£) _ 1] ’

2.4. Энергии образования дефектов микроуровня. Определим энергии образования дефектов ир и и5. Из анализа зависимости (5) следует, что удельная сила ЕВЬ£2, действующая на отрезке длиной Ь, в области ( > 1 имеет немонотонный характер, а именно быстро возрастает при небольших £, достигая максимума при £ = Ста, а затем убывает по закону £-1.

Решение задачи об экстремуме функции (5) имеет вид

Ста = 3[1 + 32

А = (9/32)  (Нс/Ь)2  (т*/^)2,

ЕВ1,В2 = ЕБ1,Б2

Энергию образования сверхдислокации мощности 2Ь определим как работу, которую необходимо затратить для слияния ведущих дислокаций скопления, находящихся на расстоянии Ь друг от друга. Разложим функцию Х(С) по малому параметру (9/8) С-2, удерживая члены не выше линейных. Тогда рь2/нс) с-1 [1 _ (1/4)С-2], а искомая энергия будет равна

с

ир = [ЕБ1Б2

Сс

Здесь (е = Ье/Не = (3/2\/2) [1 _ (9/8)(Но/Ь)2(т*/Д)2] 1/2, где Ье определяет местоположение второй дислокации в момент достижения неустойчивости, приводящей к ее слиянию с ведущей дислокацией; Р(С, Се) = (С2 + ССе + Се*) / (С3С3). При малом значении параметра А (при т* ^ Д) можно принять £е ~ Ст.

Энергию образования субмикротрещины найдем по формуле, аналогичной (18). Разложение функции х(С) по малому параметру с сохранением только линейных членов дает оценку

(9/16Х-2

Е *

ЕВ1>В1

(2ДЬ2/Н*) С-1 1 _ (9/64К

-2

Тогда

ич = Н*

1 _ 32Ш

В1 ,В2

т

где <с(С, Ст) = (V2 + ССт + С^) / (СЧ3), Ста = (3/8)л/3й - точка максимума функции (7).

Вычислим энергии ир и и для стали 30ХГСА. Примем V = 0, 28, Ь = = 2, 88  10-10 м, Ь = 5Ь. Тогда Н0 = 2ЬД/(апдт _ стп) ^ 1, 04Ь (с учетом, что

стп ^ ап дт), С ~ 2 5.

Эффективное сдвиговое напряжение т* связано с приложенным растягивающим напряжением ст и сопротивлением деформированию ст, через ориентационный фактор Шмида М: т* = (ст _ ст,)/М (для ОЦК металлов М = 2, 9). Напряжение ст, можно найти из уравнения Холла-Петча

стт = ст, + ку 1-1/2,

где стт - предел текучести, ку - «параметр блокировки», характеризующий вклад границ зерен в упрочнение (торможение дислокаций). Соотношение (20) экспериментально подтверждается для широкого интервала размера зерен от 10-8 до 10-2 м. При этом долгое время считалось, что коэффициент к не зависит от размера зерна. В более поздних экспериментальных исследованиях, смещенных в область ультрамелких зерен и нанозерен, убедительно доказано, что коэффициент к зависит от размера зерна и, как правило, убывает с уменьшением его размера [10].

Для высокопрочных сталей в условиях сильной блокировки при мезоскопическм размере зерна I = 10 мкм примем значение ку = 0,8 МПа-м1/2 [10]. Для стали 30ХГСА сопротивление деформированию составит ст, = 470 МПа. При уровне растягивающих напряжений ст = 0,8сто,2 эффективное сдвиговое напряжение т* = 188,3 МПа. Из (16) определим £т ~ 1,1. Подставляя значения параметров в (18), найдем энергию образования сверхдислокации (поры): ир = 0, 87  10-18Дж.

Вычисление по формуле (19) для энергии образования субмикротрещины дает значение и8 = 1, 8 • 10-17 Дж, которое более чем на порядок превышает энергию ир.

2.5. Экспериментальные исследования релаксационной стойкости стали 30ХГСА. Для описания кинетики накопления микронесплошностей по формуле (15) были проведены исследования релаксационной стойкости сухих точеных образцов стали 30ХГСА при одноосном напряженном состоянии на рычажной установке, работающей по компенсационному принципу сброса нагрузки [26]. Цилиндрические образцы (1 = 200 мм, (Л = 8 мм) вырезались из арматурных стержней периодического профиля диаметром 10 мм, прошедших высокотемпературную механическую обработку (ВТМО). Механические свойства стали устанавливали на универсальной испытательной машине Z-20. Результаты испытаний представлены на рис. 3, из которого следует, что в зависимости от уровня растягивающего напряжения кривые релаксации через некоторое время выходят на стационарный режим. Последнее свидетельствует о стабилизации деструкционного процесса и дефектной структуры материала, которая представляет совокупность изолированных микронесплошностей (пор и субмикротрещин) и перколяционных кластеров различной мощности. Возможность образования микротрещины (перколяционного кластера мезоскопического размера) определяется плотностью микронесплошностей, образовавшихся к моменту стабилизации релаксации напряжений.

АО,

1 1 1 1 » 4 \

5

1 I / |// / 1 \ 1 1 1 1

Г ^ I I I I I

О 20 40 60 80 100 1, мин

Рис. 3. Зависимость релаксационного эффекта от уровня напряжения для стали 30ХГСА: 1 - ао = 0,95ао,2; 2 -ао = 0, 9ао,2; 3 - ао = 0,8ао,2;

4 - ао = 0,7ао,2; 5 - ао = 0, 6ао,2

Если принять а = 0, 8а0,2, то (Да)* = Да(£* = 60 мин)= 14 МПа (см. рис. 3). Значение па в (15) равно числу атомов в активационном объеме аа (~ 5Ь3), соответствующим области концентрации напряжений в голове скопления дислокаций: па = Nаа/Ут. Здесь Ыа = 6,02 • 1023 - число Авогадро, Ут = 1,17 • 10-18 мм3 - молярный объем. Для принятых значений

параметров, входящих в (15), имеем (1 — а3)иР + а3и3 ^ к • Т • 1п[па/р^(Ь) —

— 1]. Тогда зависимость общей плотности дефектов от времени представится

в виде Д 2

Р^

Примем тР = 1. Тогда общая плотность зародившихся к моменту Ь* дефектов при изменении а3 от 0 до 1 будет находиться в пределах от ртах = 1015 мм-3 (вязкое разрушение) до ртах = 5 • 1013 мм-3 (хрупкое разрушение).

2.6. Модель динамической перколяции микроповреждений.

Для оценки возможности образования дефектов мезоскопического размера проводилось компьютерное моделирование процесса динамической перколяции микроповреждений, предоставляющее возможность исследования эволюции их кластерной структуры.

Основу для построения модели перколяции составили:

1. Управляющее уравнение модели, в качестве которого использовалась реономная зависимость (21). Параметром порядка является плотность дефектов ра(Ь), а управляющим параметром, определяющим внешнее воздействие, - релаксация напряжений Да(Ь). Объемная доля субмикротрещин а3 зависит от плотности концентраторов напряжений на границе зерна. При а3 = 0 разрушение происходит по вязкому механизму, при а3 = 1 - по хрупкому, а при 0 < а3 < 1 - по смешанному.

2. Размеры повреждений, возникающих в процессе разрушения на микроуровне. Размер поры 1Р = 2Ь ~ 0,6 • 10-3 мкм. Протяженность и ширина субмикротрещины зависят от числа дислокаций в скоплении:

13 = 0, 5п2Ь, Н3 = пЬ. Вычисление п по формуле континуальной модели (йс -длина скопления) [24, 27]

пйс (1 — у)т *

п

2СЬ

дает значения порядка 102 ^ 103. В реальности длина скопления включает в себя небольшое число дислокаций (п = 20 ^ 30), далеко отстоящих друг от друга, которые плохо представимы в континуальной модели. Примем п = 25. Тогда 13 0,1 мкм, Н3 0, 008 мкм.

3. Закон распределения микроповреждений, активируемых в рассматриваемой локальной области. В качестве модельной принималась прямоугольная область размером 10 мкмх 2 мкм между границами двух зерен, ориентированных нормально к растягивающему напряжению. В этой области методом Монте-Карло осуществлялось равномерное динамическое (в соответствии с уравнением (21)) высеивание дефектов с шагом дискретизации по времени ДЬ.

4. Шаг перколяции - критическое расстояние между дефектами, достижение которого приводит к их слиянию (область захвата). Для

системы «пора-пора» шаг перколяции Др принимался равным размеру дефекта, т. е. Др = 1р, для системы «пора-субмикротрещина» - Дрз = 21р, для системы «субмикротрещина- субмикротрещина» - Др3 = 213. Последний шаг перколяции определялся по эпюре растягивающих напряжений между ближайшими концами дефектов из условия, аналогичного критерию Новожилова [28].

Для моделирования процесса накопления повреждений и их перколяции был применен алгоритма Хошена-Копельмана (алгоритм многократной маркировки кластеров) [29], главным достоинством которого является возможность определения порога перколяции и распределения кластеров по размерам за один проход по решетке. Согласно этому алгоритму, принадлежность узла к тому или иному кластеру определяется после просмотра всей решетки. Формирование кластера производилось из произвольной точки, принадлежащей окрестности центра четырехсвязной решетки, с использованием повторной числовой маркировки ее узлов.

Для построения и анализа скелета (остова) полученного перколяционного кластера использовался принцип оптимальности, составляющий основу метода динамического программирования [30]. Применительно к задачам перколяции этот принцип может быть сформулирован следующим образом: «часть кратчайшего пути от любой его точки до начала сама является кратчайшим путем, заканчивающимся в данной точке».

Анализ распределений кластеров по размерам к моменту стабилизации релаксации напряжений для различных значений параметра а3 показывает, что соединяющий перколяционный кластер, представляющий микротрещину мезоскопического размера, образуется только при значениях а3, близких к единице (рис. 4). В условиях замедленного разрушения при комнатных температурах такая ситуация может иметь место при дополнительном воздействии внешней агрессивной среды, вызывающей охрупчивание материала, например, при воздействии водорода. В этом случае имеет место потеря устойчивости практически каждого дислокационного скопления при барьерном торможении у границы зерна, связанная с локализованным в ядрах сверхдислокаций декогезионным воздействием водорода. В результате происходит самопроизвольный рост сверхдислокаций с образованием субмикротрещин за счет поглощения (до полного исчерпания) дислокаций скопления.

а-107,м 15 10

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Ь-107м

Рис. 4. Скелет перколяционного кластера при а8 = 1

2.7. Критерий микро-мезо перехода. В качестве количественного критерия микро-мезо перехода в процессе деструкции материала предлагается критическое изменение плотности внутренней энергии микроструктуры

п

Дит = Р^Е .

г=1

Здесь р^Т - общая критическая плотность дефектов, соответствующая порогу перколяции; а, - объемная доля г-го типа дефектов. В модельном примере для стали 30ХГСА при г = 1, р^Т = ртах = 5  1013 мм-3, и^1 = и3 = = 1,8  10-17 Дж получим ДитГ = 0,9  10-3 Дж/мм3. Значение Ди^Т можно рассматривать как энергию активации перколяционного процесса образования микротрещин.

3. Заключение

В статье рассмотрена двухуровневая (микро-, мезо) модель накопления поврежденности в нагруженных материалах на примере одноосного статического нагружения высокопрочных металлических сплавов ниже предела текучести (замедленное разрушение). Проанализированы модели мезоскопических зерен поликристаллического агрегата. На основе дискретно-континуальной модели образования зародышей разрушения, порождаемых заблокированными скоплениями дислокаций, выполнен анализ микроразрушения и определены энергии образования дефектов микроуровня. На основе кинетической термодинамики и экспериментальных кривых релаксации напряжений установлена реономная зависимость общей плотности микродефектов для двухфазной системы. Построена модель динамической перколяции микроповреждений. Предложен количественный критерий микро-мезо перехода в процессе деструкции материала, которым является критическое изменение плотности внутренней энергии микроструктуры. Проведен численный анализ для среднелегированной конструкционной стали 30ХГСА, который показал, что в условиях замедленного разрушения при комнатных температурах в инактивных средах перколяционные кластеры не достигают мезоскопических размеров, т. е. микро-мезо перехода не происходит. Последний может иметь место при воздействии внешней агрессивной среды, вызывающей охрупчивание материала. В этой связи актуальной задачей является построение многоуровневой (микро-, мезо-, макро) модели деструкции нагруженных высокопрочных сталей в водородосодержащих средах.

Список литературы

1. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформационных процессов и перспективы прогноза разрушения // Физ. мезомех. 2010. Т. 13. № 5. С. 97-112.

2. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Деформируемое твердое тело как нелинейная иерархически организованная система // Физ. мезомех. 2011. Т. 14. № 3. С. 7-26.

3. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезомех. 2011. Т. 14. № 4.

С. 17-28.

4. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. 2011. Т. 14. № 5. С. 5-30.

5. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Роль локальных наноструктурных состояний в пластической деформации и разрушении твердых тел // Физ. мезомех. 2012. Т. 15. № 5. С. 5-18.

6. Kocks U.F. The relation between polycrystal deformation and single crystal deformation // Metal. Trans. 1970. V. 1. No. 5. P. 1121-1143.

7. Hirth J.P. The influence of grain boundaries of mechanical properties // Metal. Trans. 1972. V. 3. No. 5. P. 3047-3067.

8. Конева И.А., Тришкина Л.И., Козлов Э.В. Спектр и источники полей внутренних напряжений в деформированных металлах и сплавах // Изв. АН. Серия физическая. 1998. Т. 62. № 7. С. 1350-1356.

9. Mughrabi H. A two-parameter description heterogeneous dislocation distributions in deformed metal crystal // Mater. Ski. Eng. 1987. V. 85. P. 15-31.

10. Козлов В.Э., Жданов А.Н., Конева Н.А. Барьерное торможение дисловакий. Проблема Холла-Петча // Физ. мезомех. 2006. Т. 9. № 3. С. 81-92.

11. Nazarov A.A., Romanov A.E., Valiev R.Z. On the nature of high internal stresses in ultrafine grained materials // Nanostructured materials. 1994. V. 4. No. 1. P. 93-101.

12. Владимиров В.И., Ханнанов Ш.Х. Дискретно-континуальное рассмотрение дислокационных скоплений // ФХММ. 1969. Т. 27. № 6. С. 969-975.

13. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Харин В.С. Зарождение и рост микротрещин, порождаемых заблокированными скоплениями дислокаций // ФХММ. 1985.

№ 2. С. 5-16.

14. Ганеев Г.З., Кирсанов В.В. Атомная конфигурация ядра <100> краевой дислокации в а-железе // Изв. АН Каз. СССР. Сер. физ.-мат. 1978. № 2. С. 44-47.

15. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова думка, 1978.

220 с.

16. Хирт Д., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.

17. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. М.: Металлургия, 1984. 280 с.

18. Блехерман М.Х., Инденбом В.Л. Взаимодействие дислокаций на малых расстояниях и зарождение трещин // ФТТ. 1974. Т. 16. № 9. С. 2678-2688.

19. Владимиров В.И. Дислокационные механизмы разрушения. В кн.: Физика хрупкого разрушения. Ч. 2. Киев, 1976. С. 29-44.

20. Владимиров В.И., Ханнанов Ш.Х. Взаимодействие дислокационного скопления с дислокационной трещиной // ФТТ. 1969. Т. 11. № 6. С. 1667-1676.

21. Баранов В.П. Прогнозирование длительности зарождения субмикронесплошностей в высокопрочных сталях // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 3. С. 21-29.

22. Баранов В.П., Сергеев Н.Н. Фрактальная кинетика накопления повреждаемости на микроуровне в процессе замедленного разрушения высокопрочных сталей //

Изв. ТулГУ. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. 2005. Вып. 8. С. 3-9.

23. Гладышев Г.П. Кинетическая термодинамика как физико-химическая основа получения материалов в условиях самосборки // Металловедение и термическая обработка металлов. 2006. № 9. С. 8-12.

24. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1978. 352 с.

25. Лепин Г.Ф. Ползучесть металлов и критерии жаропрочности. М.: Металлургия, 1976. 344 с.

26. Кинетика накопления микроповреждений в нагруженных конструкционных сталях повышенной и высокой прочности / В.П. Баранов [и др.] // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 190-201.

27. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.

28. Мартынюк П.А., Шер Е.Н., Башеев Г.В. Численное моделирование процесса накопления и слияния микротрещин // ФТПРПИ. 1997. № 6. С. 50-58.

29. Москалев П.В. Анализ структуры перколяционного кластера // ЖТФ. 2009. Вып. 6. С. 1-7.

30. Leath P.L. Cluster size and boundary distribution near percolation threshold // Phys. Rev. B. 1976. V. 14. P. 5046-5055.

Баранов Виктор Павлович (Baranov_1955@mail.ru), д.т.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Степанова Валентина Эдуардовна (valentina_step@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Two-level modeling of damage accumulation in the high-strength loaded materials

V. P. Baranov, V. E. Stepanova

Abstract. Two-level (micro, meso) model of damage accumulation was constructed in the high-strength loaded materials. The analysis of microfractures is made and formation’s energies of microexplosions is defined on the basis of discrete and continual model of formation of fracture nucleation which is generated by the disabled dislocation clusters. Rheonomous dependence is set the general density of microdefects for two-phase system. The model of accumulation of microdamages and their percolation is constructed on the basis of Hoshena-Kopelman’s modified algorithm. The criterion of micro meso transition

is offered in the process of material destruction. Numerical experiment is made for medium-alloyed structural steel 30HGSA.

Keywords: hierarchical modeling, accumulation of microdamages, perkolya-tion, micro meso transition, high-strength materials.

Baranov Viktor (Baranov_1955@mail.ru), doctor of technical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Stepanova Valentina (valentina_step@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 16.07.2014