Ленгмюровская волна с двойной дисперсией в слабонеоднородной плазме с положительным градиентом концентрации

УДК 533.951

ЛЕНГМЮРОВСКАЯ ВОЛНА С ДВОЙНОЙ ДИСПЕРСИЕИ

В СЛАБОНЕОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ КОНЦЕНТРАЦИИ

© 2006 г А.И. Матвеев

The analysis of the Lengmuir wave evolution, loaded with trapped electrons in weak nonhomogeneous plasma with positive concentration gradient is made. It is shown, that its profile nearly sinusoidal, transforms to the consequence of the fragments of two waves, alternating with one another. The dispersion law is finding for each wave separately and for the combination of two waves.

В [1, 2] рассмотрена пространственная эволюция ленгмюровской волны в слабонеоднородной электронной плазме, концентрация которой медленно = увеличивается вдоль направления распространения. Показано, что в случае максвелловского распределения электронов волна превращается в последовательность чередующихся, непрерывно переходящих друг в друга фрагментов двух волн. Такой гибрид из двух волн является волной с двойной дисперсией, так как длины волн разных фрагментов изменяются с ростом концентрации по разным законам. На определенном этапе эволюции происходит укручение положительных и отрицательных горбов этих волн, принадлежащих разным фрагментам. Волна превращается в последовательность разнополярных соли-тонов, и распадается на две последовательности со-литонов разной полярности. Гибрид из двух волн можно рассматривать как чередование собственно плазменных колебаний (горбы положительной полярности) и колебаний в потоке захваченных электронов (горбы отрицательной полярности). В [1] в целях простоты профили положительных и отрицательных горбов волн разных фрагментов считаются практически синусоидальными. Здесь показано, что это утверждение верно лишь для фрагментов плазменных колебаний, колебания в потоке захваченных электронов с самого начала их возникновения обладают большим ангармонизмом.

Далее принята безразмерная форма записи, в которой время t и координата г поделены соответственно

на а 1 и &01; фазовая скорость и и скорость и электронов - на ио = ако - начальную фазовую скорость; функция распределения /о (и2/и2), нормированная на единицу, - на ко /а ; иТ - тепловая скорость электронов, концентрация электронов N - на 22

псг = та /(4пе ); плотность тока ] на еапсг / ко; электронная температура Т = ти2/2 - на ти^ ; потенциал р-на тио / е .

Плазменные и потоковые колебания рассматриваются в [1] на основе волнового уравнения

-1.

д 2ф dW2

= -ш'(ф) ,

где

9 р

2No 104кк+/Г Nofo (в 2 )dH+и ф< Но; 0 ф V2(H-V H о л/2(Н-фф Jü 0

(

Фт

Р(ф-ф>) + 2 J

фтах

fo (u 2/и2 )dH

Р

\

jü = uN

-< jT >-< jT о )-< jür > , P = I fo(U U2 ) du, H = (и-u)2/2 + ф,

(u -uY

в = и 2/(8ТА4о); Но « 2^ЛЛ о / и - значение энергии,

отделяющее электроны, захваченные в процессе включения волны (г < о), от электронов, захваченных в

области г > о; /о (и2/и2)- невозмущенная функция распределения. Первое слагаемое в (2) для р < Но -ток электронов, захваченных в процессе включения волны и ускоренных волной до скорости, равной и, второе слагаемое для р < Но) и первое слагаемое для р > Но) - ток электронов, захваченных в области г >о,

второе слагаемое в - ток резонансных пролетных электронов, (]т о ), (]т ), (]иг ) - их средние токи. Условие р < Но эквивалентно ограничению по фазе < во, где во - наименьший по величине корень уравнения Но = р(иоо). Поэтому фазовые колебания электронов, захваченных в области г < о , и электронов, которые захвачены вблизи точки г = о, ограничены интервалом < во . Их вклад в

полный ток при достаточно длительной эволюции волны становится больше вклада электронов, фазовые колебания которых совершаются вне этого интервала. Считая распределение электронов максвелловским

/о

]2

где Q(<) =

qo = No

No

exp

uNP-Jr (2ß)1/4

(m) -Ф(Но)). 4uNP^ ßTH 0 '

ß <2 <

2

qi = qol(2Ho); 42 = /о(UT2);

<0 = О +

No/o

8

uNP Л,2 ^

nuNP

í Ns/o

2T

du

этапе эволюции происходит нелинейная деформация профиля волны, которая заключается в смещении нижней части волны р <рь относительно верхней ее части вниз. Между равновесными значениями р0, (20 появляется зазор р0 - (20 = Рр.

Для нахождения самосогласованного решения вычислим адиабатический инвариант электронов в поле потенциала (6):

du-

Ao -

Н o

J =

П\4Aik2E Y, K;-11+VAk2(i) -B(e3, Ki)), 2A2 < H <

<max»

2ГД» " 24! , (X) - функция параболического цилиндра; Ф(х) -

интеграл ошибок.

Из (4) следует, что после достаточно длительной эволюции волны Но < (о , и>2 у уравнения ]\(р) =0 появляется еще один корень. В области р > Но при условии Ь1( Но ) > 1,

Ь

оно имеет два корня Р1о ~Ро - Ьо (Ро)( + Ь1 (Ро)), РЬ «Но + (Ь1(Но)-1)/Ь2(Но); значения, при которых и (р) достигает минимума и максимума,

Ьо( Н о) = б( Н о)Д-1/2 (¿20Н о), Ь2(Но) = 2№(Но )Оз/2 (¡2РНо). Неравенство (5) эквивалентно 2 < и < 2Аоот / Но , поэтому для Но < (о « Ао оно выполняется.

В области р< рЬ появляется вторая потенциальная яма, минимум которой достигается при Р2о « Но - (Ро - Но - Ьо (Но ))М (Но) -1). Решение (1) дано в [1] лишь в линейном приближении

A2K2 B(K2), Н <<

<(w) =

Ai (i + cos(^i -0 -02)) + <p, <><ъ;

A (1 - COS^2), Р<(Ъ, где Aj, A2 - амплитуды фрагментов волн; ц = J kjdz -1; ц = í k2dz -1;

01 = 2arcsin>/(^max-ръ)/(2Aj) ;

02 = 2arcsi^(ръ /(2A2); рр = Poi - Aj - величина провисания потенциала. Из (6) видно, что ръ - значение потенциала, при котором сшиваются фрагменты волн. В процессе эволюции Но = 2^AAo ju

уменьшается, вместе с Но уменьшаются и (20 , ръ. Равновесное значение (о ~ (Jt ) с ростом фазовой

скорости увеличивается. Провисание потенциала у волны появляется после достаточного увеличения фазовой скорости Н0) < (о , когда у U (р) возникает вторая потенциальная яма. В эволюции волны наступает второй этап, когда нелинейность нельзя учесть малой поправкой, как это сделано в [1, 2]. На втором

где к2 = (Н-рр)/(2А1), = Н/(2А2) - параметры захвата в пределах каждого фрагмента;

въ = аггап^ (рь -рр) /(Н - рр) ;

5(к) = (е(к) - (1 -к2) £ (к))/к2, £ (к), £(к) - эллиптические интегралы первого и второго рода. Адиабатический инвариант для электронов с энергией Н < Но равен [1]

4

J = — ил/Ак2В(к). п

В

начале второго этапа А1«А2; рр

ртах « 2А1; рь « А1; 01 « 0 ~п/2, поэтому (7) пере-

2 2 2

ходит в (8). Раскладывая =п 3 /(16Ао) в ряд по Н - ро, найдем распределение электронов в окрестности Н «ро = А1 +рр и в интервале Но <Н <рь

/Т1 = /о(вН + во), Н «Ро;

/т 2 = /о

o;

где

ßi =

п2J

8u2 Ai

dH

Н=<

ßo =(j 2(<o) - 2 J (<Po)<Po ); ß2 = u 2

i6uT Ai

8u22 Ai

С помощью найденных функций распределения эффективные потенциалы в окрестности равновесных потенциалов запишем в виде

V-max .-

UiO = Uu -4и í Nsus/r^2(H -<)dH ,

и2(<) = Uu - 4uJ ^í Nsus /t2p(H -<)dH + \<

<ma^ _ j

+ í Nsus/Tiy¡2(H - <)dH j, Ho <<<<ъ; <ъ

ч3/2

U2(<) = Uu -4u{(2V2/3)No/o(ur-2)(Ho -<)3

<ъ i-

+ í Nsus^jW-^dH, << Ho,

H,

d

i

<p

где ии = и2^(р-ро)2 .

После подстановки (9) в (1о), (11) и разложения последнего подынтегрального выражения (11) для р < Но в ряд по р , проинтегрируем с помощью [3] полученные выражения по Н

< р < ршах;

iJä^Aq < 4и2. При интегрировании (13) удобно воспользоваться разложением

U1( Pmax ) - U1( Pi) = u NP( p max- (Pi)(ßi + "3 P lX

~ ~ 2 ~2 ~2 ~2 U2 ( Pmin) - U2 (P2 ) = u NP(P min- P 2)("2 + "4P 2),

Ui(p) = u2NP {~2- giexp(-ßp -

U2(P) =

u2NP\p2 -Ä0exP -ß2 p2 JD-3/2((2p)+ci H < P <

u2NP\ ~2 + ZBmpm -b2(Ho -p)3/2 + C2

m=i

P <Ho,

где p = p -

>; gi =

4No

-JñTuNP

ßi-3/2Г(3/2) ;

B = 2No (2m - 3)!! m 4nTuNP 2m!!

2m-3

ß2 4 Г \ ^, ß H o2

pmax = pmax - Pio ~ Ai ; Pmin = P2o - Pmin ~ A2 ;

Ui(~max) = U2(~min) = W ; "i = i - gii + Pmax (gi2 - Pmaxgi3) > "3 = (gi2 - Pmax gi3) / Pmax > "2 = i + g2i + Pmin (g22 + Pming23) > "4 = (g22 + Pming23)/ Pmin . Каждый из потенциалов p, ~2 определим отдельно, подставив (i4) в

(2т - 3)!!= 1,3,...,2т - 3, -1!!=1, о!!=1;

с1 = Ъоехр- в2ръ/2р-3/2 {¡Щрь )-ё\ехр-в\рь-Ро), С2 - константы, обеспечивающие непрерывность р) в точках р = рь и р = Но. Так как /т2 убывает экспоненциально быстро, то верхний предел интеграла от этой функции был положен ж .

Дисперсионное уравнение волны запишем как условие периодичности

л = Ч'Тс1рЦш - и

ртт

потенциала р по фазе у, где рт;П, ртах - корни подкоренного выражения под знаком интеграла. Чтобы проинтегрировать (13), разложим эффективные потенциалы (11), (12) в ряды по р = р - р\о, ~2 = р - р2о в окрестности их равновесных значений Яо, р2о , ограничившись слагаемыми, пропорцио-

~4 ~4 нальными д\ , р2 :

~ 2 / ~ 2 ~3 ~

и1(р1) = и1(р1о) + и -р 1 + £12С -£13р

W = \dp\+ U(p) .

Пренебрегая медленным изменением "3, ¡л4, после интегрирования этого выражения найдем

и^ = 1' -)

Ц2- ~2 А"+" р21 + Л12

"3

,- P 2

4-Jnp^= J

d ~2

A 2 V

2K

IM2 + A 2"4

где F(g,z) - эллиптический интеграл первого рода; = arccos( ~i/Ai) ; = arccos(~2/A2 ) ;

AW <"3

AW "4

4

'2

"1 + Л1 "3 у["2 +12 "4

Так как "3 ~ £12, £13, то ангармонизм первой волны всегда мал, исключая случай и и и . С другой стороны, "4 ~ £22, Я23, поэтому ангармонизм второй

2

U2(~2) = U2(P2o) + u2 Np{ (i+g2i) ~2+g22 ~2 + g23 ~ где gii = 2 ß2 giexP(-ßiPio -ßo); gi2 = 3 ßigii;

gi3 = ii2 ß2 gii; g2i = B2 + 3 P2oB3

g22 = B3 + 4 P2oB4 -

4 }

3b

2

4 A2 3b2

i6 a23/2

волн^1 мал лишь в случае малых амплитуд A < ^ . Обращение эллиптических интегралов (16), если в ~ и ~2 положить соответственно д>ю = срр + Ai, Ф20 = А2, дает следующий потенциал волны

Ai(1 + cnf^i-0i-9Ъ Ti)) + р 2ш(в1+в2 ) + 02 <п <&i+ (2m ++в2 );

р = <

[AzG - cn(^2.T2)), 2m(0i+02)-02 <^2 <02 + 2m(0i+02), m = 0,i,2,3,...,

g23 = B4 -

9b2

32 A

5/2 '

Так как р2о <Но, то разложение и2( р2) нужно проводить для р < Но . Отметим, что £ц, £12 , £13 ~ ехр(-вр12о) и ехр(-1/4иТ2) << 1, всегда если и < 3ит . Коэффициенты В2, В3, В4, Ь2, а значит, и £21, £22, £23 имеют порядок ехр(-рН^) и ехр(^ /4ц»2), поэтому £21, £22, £23 малы лишь в случае

где у +112"3;

У2 = ^"2 +; в1, в2 - корни уравнений 11 (1 + СП (в, Т1)) = 2Л1 + рр - рь ,12(1 - сп(в2, Т2 )) = рь . Полагая в первом определенном интеграле (16) нижний предел интегрирования р = рь - А - рр, а верхний

предел интегрирования во втором интеграле ~2 = рь -12 и разбив интервалы интегрирования точками р = о, ~2 = о , после интегрирования (16) найдем

01 =Щх,ц), в2 =Ж(т2)-ЩХ2,т2), где х1 = агссоз(( А1 +рр-рь)/А1); Х2 = агссоБ((рь - А2)/ А2). Найденные фазы определяют границы фрагментов волн: -01 <^1 < 01, -02 <у/2 <02. Длины волн разных фрагментов:

Я, =-

2KT)

пу[тМ1 + А1 Мз) П ыр

Таким образом, дисперсия горбов положительной полярности отличается от дисперсии горбов отрицательной полярности. Так как /щ «1 - £11, М2 «1 + £21, то \ > . В случае малых амплитуд т ~ А1, Т2 ~ А2 дисперсия волн близка к линейной. Однако в случае Т2 «1, что эквивалентно и1 «16ит 4А\Норт{п / А|, возможен неограниченный рост длины волны горбов отрицательной полярности и их укручение. Длина всей волны равна сумме длин фрагментов волн: Л = ¡1 + ¡2 =01\/ж + 02^2/п. Зная дисперсию фрагментов волн положительной и отрицательной полярности, определим дисперсию самой волны

2K

Ф

i4np =-4- <

J2 п

K

F

I

ßi + Ai Мз

+ K

2K(T2) - F(%2,Z2)\

l

М2 + A2ß4

эволюционирующей в плазме с положительным градиентом концентрации. В случае А1 << 1, А2 << 1, полагая т « о , Т2 « о дисперсионное уравнение (18) можно упростить

UyfNP = <¡1 + —

п

.(Ai + Pp-Рь arcsin---

A

л -Jpb - A Y|

+arcsin —--

t A2 JJ

В пределе (рь ^ 2A , cpp ^ рь из последнего выражения следует дисперсионное уравнение u^NP = 2 .

Увеличение правой части вдвое по сравнению со случаем линейного дисперсионного уравнения связано с тем, что длина волны гибрида из двух волн в конце второго этапа вдвое больше длины волны каждого из фрагментов (в линейном приближении длины волн л1, л 2 фрагментов одинаковы).

Итак, на основе точно вычисленного эффективного потенциала для плазменных колебаний в слабонеоднородной плазме показано, что ленгмюровская волна, близкая в начале эволюции к синусоидальной, превращается в последовательность фрагментов двух волн. Фрагменты этих волн в виде горбов отрицательной и положительной полярности чередуются друг с другом, непрерывно переходя друг в друга. В процессе эволюции происходит укручение горбов отрицательной и положительной полярности, увеличивается их ангар-монизм. Однако если у фрагментов волны, связанной с плазменными колебаниями, в процессе эволюции профиль остаётся близким к синусоидальному, то фрагменты волны, описывающие колебания электронов в потоке, считать синусоидальными, как это предложено в [1], нельзя. Необходимо (особенно при достаточно

большой амплитуде А1 > ит) учитывать их ангармо-низм на основе точного эффективного потенциала, либо численными методами.

Литература

1. Матвеев А.И. // ЖЭТФ. 2оо5. Т. 128. Вып. 5. С. Ю85-Ю98.

2. Красовский В.Л. // ЖЭТФ. 1995. Т. Ю7. Вып. 3. С. 741762.

3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М., 1981.

Таганрогский государственный радиотехнический университет

10 апреля 2006 г.

+