К теории взаимодействия движущегося заряда с металлом

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 21-27

УДК 537.872

К ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА С МЕТАЛЛОМ1

В. И. Кесаев, И. Н. Малиев

Получены новые формулы для потенциала и тангенциальной компоненты электрического поля, являющегося откликом металла на пролет заряженной частицы. Получена оригинальная формула для силы «трения» между зарядом и поверхностью металла.

Ключевые слова: движущийся точечный заряд, диэлектрическая проницаемость, поверхность металла, низкочастотное приближение, потенциал, сила «трения».

1. Поскольку уравнения электромагнитного поля являются линейными, то взаимодействие посредством такого поля внутри многочастичной системы можно исследовать с помощью принципа суперпозиции. Применение этого принципа требует знания решения уравнений Максвелла для одной частицы в каждой прикладной электродинамической задаче. Решению одной из таких проблем — взаимодействию движущейся заряженной частицы с поверхностью металла посвящено значительное число научных работ (см., например, прекрасно написанные обзоры [1, 2]). В нашей недавней работе [3] было изучено взаимодействие линейной цепочки зарядов, движущихся параллельно поверхности металла, в идеальном случае, т. е. когда диэлектрическая проницаемость металла !е(ш)! ^ то.

Ясно, что в приложениях существенный интерес представляет учет свойств реального металла, которые в макроскопической электродинамике определяются двумя интегральными характеристиками — диэлектрической е(ш) и магнитной ц,(ш) проницаемостями.

Далее нас будет интересовать отклик металла на электрическое поле пролетающего над ним заряда, поэтому мы ограничимся вопросом о выборе функции е(ш). При решении неоднородного волнового уравнения для скалярного потенциала электрического поля р, описывающего упомянутое взаимодействие, исследователи в основном рассматривают модель Друде (высокочастотное приближение), в которой в(ш) = 1 — Шр/Ш2, где шр — плазменная частота электронов проводимости (значение шр порядка 1014 сек-1), и низкочастотное приближение, в котором предполагается, что е(ш) = 1 + гАпа/ш, г — мнимая единица, а — удельная проводимость металла (значение а порядка 108 сек-1).

Используя преобразование Лапласа по переменной г, подобно тому, как это было сделано в [3] для случая идеального проводника, можно показать, что часть решения упомянутого выше волнового уравнения, содержащая отклик металла на пролет точечного заряда над его плоской поверхностью, имеет вид:

7-1

/

о

о

© 2010 Кесаев В. И., Малиев И. Н.

1 Работа выполнена при поддержке Федерального агенства по образованию в рамках тематического плана Северо-Осетинского государственного университета.

Здесь y(9) = л/1 - в2 cos2 9 — «модифицированный» фактор Лоренца, в2 = V2/с2, где V, с — скорости заряда и света соответственно, векторы r = {x,y,z}, R = {x — Vt,y}, k = {k cos 9, k sin 9}. Точечный заряд, величина которого q, движется вдоль прямой линии

у = 0, z = zo > 0, x = Vt в вакууме, металл занимает полупространство z ^ 0, а его

плоская поверхность совпадает с плоскостью xy. Отклик металла описывается величиной

А

Чтобы подтвердить справедливость (3.1), напишем одно из уравнений Максвелла

div D

где электрическая индукция

t СО

D

—o 0

а диэлектрическая проницаемость среды e(t) рассматривается как ядро интегрального оператора. Здесь, по определению, электрическое поле

Цг,0 = —tfar.t) - ,

с dt

и все остальные обозначения имеют стандартный смысл (см., например, [4]), а именно: р — скалярный потенциал, A — векторный потенциал, причем из свойств градиентной инвариантности уравнений поля мы можем потребовать выполнения условия

div A + 1 ^ = 0,

с dt

которое называется лоренцевской калибровкой. С учетом траектории движения заряда r0(t) = {Vt, 0,z0} плотность заряда p(r,t) = q5(r — r0(t)), где S(r) — функция Дирака.

Применяя обычную процедуру перехода в обратное пространство волновых векторов и частот, т. е. полагая справедливым для любой физической величины

+О +О

f

— О —О

и вводя обозначение

СО

е

о

находим, после подстановки (3.4) и (3.5) в (3.3), с учетом (3.6), (3.7), (3.8), уравнение для Фурье образа потенциала ф(к,г,ш):

- д2 ^ ]

2 ’ ' ф

_ дz* + Х (к'и\

где

+о _ _

ф(k,z,и) = (Щі J dxdydt e—i(-kR—wt)ф(К, z,t),

— О

2q.

g

Здесь к = {к1, к2}, К = {х, у}, х2 = к2 — ш2/е2, а

е

где И(х) — функция Хевисайда, а е(ш) — диэлектрическая проницаемость металла (3.8), для которой обычно принимаются те модели, о которых мы говорили выше.

Уравнение (3.9) можно решить с помощью преобразования Лапласа для ф по переменной г (так как нас интересует решение для вакуума, то г ^ 0). На границе металл-вакуум (т. е. в плоскости г = 0) потенциал непрерывен вместе с тангенциальными производными фх, фу, а нормальная производная фх испытывает разрыв первого рода такой, что е(г ^ +0)фг(+0) = е(г ^ — 0)фх(—0).

С учетом сказанного, находим

ф(к, z, ш) = — 5(к\ V — ш) X

,-x\z-z0 \ + 1 е

' +1 + е(ш) 6

Решение (3.12) состоит из двух слагаемых — первое описывает потенциал собственного поля заряда, которое становится бесконечно большим при г = г0, а второе — потенциал поля, созданного индуцированными поверхностными зарядами (электронами проводимости) металла — потенциал «изображения». Подставляя второе слагаемое из (3.12) в формулу для обратного преобразования Фурье

= / — f dkidk2 ei

y_n j 2n J 1 + е

y_n K J

ФшеЛх,у^,г)

y_n

—о — о

)(q$(kiV — ш) _ e—(z0+z)^k2—w2/c2

\/k2 — ш2/c2 y_n

после интегрирования по частоте ш находим (в полярных координатах к, 9: к\ = к cos 9, к2 = к sin 9) формулу (3.1).

В нерелятивистском случае в2 ^ 1 и на линии нахождения источника металлом индуцируется потенциал

со 2п

фтег

nn

Нужно отметить, что формула (3.14), полученная нами, совпадает вплоть до обозначений с формулами из [1, 2] для случая параллельного равномерного движения нерелятивистского (y(9) ^ 1) заряда над плоской поверхностью металла.

В низкочастотном приближении имеем

со 2п

in Г С d9 eik(x—Vt) cos 9

Фт«

0

где А = V/2п о — характерная длина задачи. Формула (3.15) далее обычно исследователями преобразуется к виду, содержащему функцию Макдональда [1, 2] (это достигается тем, что в двойном интеграле вначале интегрирование производится по переменной к).

Целью данной заметки является вычисление (3.15) в виде, позволяющем исследовать поведение фтег как функцию скорости частицы. Приведение (3.15) к форме, которая

нетривиальным образом отличается от имеющихся в литературе, достигается явным вычислением интеграла по углам.

2. Рассмотрим интеграл

2п

/pikacos 9

----п-----T^dd,

i + kb cos в ' 1

о

как функцию двух переменных ка, кЬ. Идея вычисления (3.16) заключается в составлении для I дифференциального уравнения по переменной а (а £ Ж) и его решения. Так как I(0, кЬ) = — 2п/л/Г I к Ь , I(ка, 0) — 2п3о (ка), где 30 (х) (функция Бесселя

нулевого индекса, нетрудно получить:

I(ka, kb) = —2nea/b

±a/b

1 ^ I J0 (kbt) eTt dt

Vl + k2b2

0

где верхний знак справедлив для a > 0, а нижний — для случая a < 0.

Покажем справедливость (3.17). Прежде всего заметим, что выражение (3.16), хотя и содержит мнимую единицу, вещественно (в этом легко убедиться, разделяя область интегрирования в (3.16) на два равных отрезка [0, п], [п, 2п], и заменяя переменную в во втором интеграле на в + п, получающаяся сумма двух интегралов оказывается вещественной). Очевидно, подынтегральная функция и ее частная производная по а в выражении (3.16) являются непрерывными функциями по переменным a и в для вещественных ka и kb. Поэтому, следуя теореме дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, справедливо выполнение операции дифференцирования по a (a G R) под знаком интеграла по в в (3.16). Именно,

2п

QI { д ( eika cos 9 \

— = —i ^l-------ri----тт de = {далее предполагаем b = 0}

da J da \i + kb cos в/

0 2п

= bj егЫcos 9 (1в +bi (ka,kb).

0

Здесь предполагается, что a > 0. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

^ — Ъ1 = TJo

Решая (3.19) методом вариации произвольной постоянной, с учетом представленных выше значений I(ka, 0) и I(0, kb), находим решение

I(ka,kb) = C(ka,kb)ea/b = ea/b 2п J J0(kbt)e 1 dt —

a/b

Osrr

t , 2п

Vl + k2b2 _

Действуя подобным образом для случая а < 0, находим вид дифференциального уравнения

д1 Г 2п

— 7 1 =----г~ 30(к|а|)-

Так как функция Бесселя ,1о (ж) четна, можем написать

= -2пеа/Ь

_л/1 + к2Ь2

— 2п ! <1о(кж)е+х/ь ((ж/Ь) + со о

—а/Ь

^ + J /0(Ш)е* (М

о

Таким образом, обе формулы (3.20) и (3.21) можно написать в виде (3.17), что и требовалось.

Подставляя (3.17) в (3.15) и интегрируя по переменной к, находим первую основную формулу нашей работы, которая описывает потенциал электрического поля, создаваемого электронами проводимости металла на линии движения источника в низкочастотном приближении.

Ртєі(ж, 0, го, і) = — 2-еа/х [ е ((и .

2хо .1 у/1 + А2и2

а/Х

Здесь а — х — УЬ, \/2хо — Л — характерный параметр задачи.

Зависимость потенциала от х позволяет найти тангенциальное электрическое поле <Х — (—Ур)х и, соответственно, силу «трения» Рх — д<х. Вычисляя <х с помощью формулы (3.22), находим, что

Ех(ж, 0,го,і) = —

д X

(2го)3

еа/Х

а/Х

ие и (и (1 + А2и2)3/2'

Это вторая основная формула нашей работы. Отсюда получаем, что сила трения в месте нахождения заряда-источника равна

д2У

е и ёи

(2го)32па о (1 + А'2и2)з/2'

Отметим, что интегралы в (3.22) и (3.23) могут быть выражены через функции Вебера и Неймана нулевого индекса от Л. Покажем это, используя альтернативное представление поля (3.23):

Ех(ж, 0, го,і) = —

д

2го X

1

е

а/Х

л/1 + (я/2го)2 •/ у/1 + А2 и2

а/Х

Тогда из (3.24) легко найти значение индуцированного поля в точке нахождения источника

Ех (а) |а=о = —

д

2го X

1

е и (и у/1 + А2и2

где интеграл может быть выражен в виде [5]:

СО СО

Г е—и (и = 1 [ — -х-іЗІгг о л/1 + Х2и2 А о

п ~ ~

(г = — [Ео(1/ А) + Мо(1/А)],

О

О

О

О

О

где Ео(х) и Жо(х) — функции Вебера и Неймана соответственно. Поэтому для силы трения находим точное выражение

г—— ^ {2Л [Ео

которое можно считать третьей основной формулой нашей работы.

Из формулы (3.28) несложно получить предельные случаи малых (у ^ 0, т. е. У/Апохо ^ Г) и больших скоростей (у ^ то, т. е. У/Апохо > Г) движения источника.

В случае медленного движения, используя асимптотику функции Вебера и Неймана при больших значениях аргумента [5]

2/19 \

Ео(х) + №°(х) *_ - ^ — ?

находим в главном порядке по скорости

Р — _ —____________У

2хо А Г6пох3 ’

что в точности совпадает с формулой (40) из работы [6]. При больших скоростях движения, для которых еще справедливо нерелятивистское приближение, нетрудно получить, имея в виду асимптотику функций Вебера и Неймана [5] (с. 194, 285),

Ео(х) + Жо(х) ~----( х + 1п —] , |х| ^ Г.

п \ ^х /

7 — постоянная Эйлера, следующее выражение, справедливое в главном порядке по скорости

р — _ — — пд2о

2хоА хоУ '

3. Формулы (3.22), (3.23) и (3.28), хотя и относятся к хорошо изученному динамическому взаимодействию заряда с металлом [1, 2], в приведенной нами форме, насколько нам известно, никем не устанавливались, и поэтому являются оригинальными. На наш взгляд, они важны не столько сами по себе, сколько при использовании в многочастичной задаче, когда вблизи поверхности металла движутся пучки заряженных частиц или нейтральных атомов со спонтанными дипольными моментами и могут пользоваться при нахождении суммарного поля принципом суперпозиции. При этом формулы (3.22) и (3.23) становятся основой для построения решения и их замкнутый вид является, по-видимому, преимуществом.

Литература

1. Дедков Г. В., Кясов А. А. Электромагнитные и флуктуационно-электромагнитные силы взаимодействия движущихся частиц и нанозондов с поверхностями. Нерелятивистское рассмотрение. (Обзор) // ФТТ.—2002.—Т. 44, вып. 10.—С. 1729-1751.

2. Дедков Г. В., Кясов А. А. Флуктуационно-электромагнитное взаимодействие нейтральной движущейся частицы с поверхностью конденсированной среды: релятивистское рассмотрение. (Обзор) // ФТТ.—2009.—Т. 51, вып. 1.—С. 3-27.

3. Кесаев В. И., Малиев И. Н. Взаимодействие цепочки движущихся зарядов с идеальным проводником // Владикавк. мат. журн.—2009.—Т. 11, вып. 3.—С. 10-14.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.—М: Наука, 1982.—622 с.

5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.—М: Наука, 1977.—342 с.

6. Дедков Г. В., Кясов А. А. Флуктуационно-электромагнитное взаимодействие движущихся частиц с плоской поверхностью // ФТТ.—2001.—Т. 43, вып. 1.—С. 169-176.

Статья поступила 1 апреля 2010 г.

Кесаев Виктор Иванович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры теоретической и мат. физики РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 24

Малиев Игорь Нохович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры теоретической и мат. физики РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 24

ON THE THEORY OF INTERACTION BETWEEN A MOVING POINT CHARGE AND A METAL Kesayev V. I., Maliev I. N.

New formulas for the potential and the longitudinal projection of an electric field induced by a metal in vacuum are derived in the case of nonrelativistic point charged particle is uniformly moving above a plane metallic surface parallel to it. Also it is obtained an new expression for the «friction» force between the charge and the metal is also obtained.

Key words: moving point charged particle, plane surface, dielectric susceptibility, low-frequency approximation, potential, «friction» force.