Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных луп Муфанг

4. Алгебра и геометрия

УДК 512.554.5

Л . В. Бадеев

БЕСКОНЕЧНАЯ НЕПРИВОДИМАЯ СИСТЕМА ТОЖДЕСТВ КОММУТАТИВНЫХ ЛУП МУФАНГ

В работе строится бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных луп Муфанг (КЛМ). Для получения результата используется связь между КЛМ и коммутативными альтернативными алгебрами.

Ключевые слова: альтернативная алгебра, лупа Муфанг, многообразие алгебр, тождество.

A.V. Badeev

AN INFINITE INDEPENDENT SYSTEM OF IDENTITIES OF COMMUTATIVE MOUFANG LOOPS

In the paper an infinite independent system of identities of commutative Moufang Loops (CML) was built. This system constructed by using connection of CML with commutative alternative algebras.

Keywords: alternative algebra, Moufang Loop, variety of algebras, identity.

Введение

Алгебра называется альтернативной, если в ней выполнены тождества правой и левой альтернативности:

x2y = x(xy), yx2 = (yx)x.

По теореме Артина алгебра альтернативна тогда и только тогда, когда любая ее подалгебра, порожденная двумя элементами, ассоциативна [1]. Кроме того, известно, что коммутативные альтернативные алгебры неассоциативны только над полем характеристики 3.

Бесконечная система тождеств называется конечно базируемой, если все ее тождества следуют из некоторой конечной подсистемы. В противном случае, называется неприводимой. В теории многообразий алгебр заметное место отводится вопросам конечной базируемости систем тождеств различных многообразий, таких как многообразие ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр. Проблема конечной базируемости тождеств многообразий разрешимых альтернативных алгебр была сформулирована А.М.Слинько в «Днестровской тетради» [2].

Пусть М - многообразие коммутативных альтернативных алгебр над полем Ф характеристики 3 с тождествами

x3 = 0, [(x1x2 • x3x4)(x5x6)]x7 = 0.

В работе [3] автором построен пример коммутативной альтернативной супералгебры А над полем характеристики 3, такой, что Грассманова оболочка G(A) супералгебры A является M-алгеброй с бесконечной системой тождеств

(x^2n • x^2n) • x02n-1x = 0.

В настоящей работе доказывается неприводимость этой системы.

Теорема 1. Система одночленов

fl8n+3 ' (xx1... x6n-2 • xy1 ••• y6n-2 ) • xz1 ... z6n+3x

неприводима в многообразии М.

Лупа, в которой выполняется тождество

x2 •yz = xy •xz,

называется коммутативной лупой Муфанг (КЛМ) [4].

Ассоциатор [x, y, z] элементов x, y, z КЛМ определяется равенством

xy • z = x[x, y, z] • yz .

Коммутативные альтернативные алгебры тесно связаны с коммутативными лупами Муфанг (КЛМ). Эта связь заключается в легко доказываемом утверждении: множество обратимых элементов коммутативной альтернативной алгебры образует КЛМ относительно умножения в алгебре. Благодаря этому результат о бесконечной базируемости многообразия коммутативных альтернативных алгебр можно перенести и на многообразие КЛМ. Автором построен соответствующий пример бесконечно-базируемого многообразия КЛМ.

В многообразии КЛМ определим индуктивно ассоциатор

[Хі , X2 , X2n+l] — [Х , X2 , Х2п-1], X2n , X2n+l] .

Теорема 2. В многообразии КЛМ с тождеством х3 — 1 следующая система тождеств

Ь8п+3 := [[Х, Хl , ..., Х6n+2], [x, У1 , ..., У6п-2], [Х, Zl , ..., Z6n-1 , Х]]

является неприводимой.

1. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3

Теорема 1. Система одночленов

І~18п+3 = (х^6п-2  Щ6п-2)  Х0бп+зХ

неприводима в многообразии М.

Доказательство.

Покажем, что ^8п+3 не имеет на алгебре G(A) следствий высших степеней. Достаточно показать, что специализация x ^ лу приводит к нулю одночлен Х  хп)  x0, где ^, п, 0 - операторы умножения длины больше нуля, т.е. достаточно показать, что

(ху^  луп)  ху0 — 0.

Действительно, для произвольного оператора умножения в силу линеаризованного тождества альтернативности, получим

хуф= ± хфу ±ущ (тойР}

Перерабатывая, таким образом, каждый сомножитель требуемого одночлена, получим многочлен ± (хЬу  хпу ± хЬу  уцх ± усх  ЩУ ± У^Х  упх)  (х0у ±у0х) — 0, который равен нулю. Покажем теперь, чтоЛ8п+3£ Т(М).

Имеем,

І18п+3 ((0)е1, ЬХі , ..., hЛl8n) — [(6п-2)е  (6п-2)е]  (6п+4)е ^1 ... Лі8п.

Последнее отлично от нуля. В самом деле,

[(6п-2)е  (6п-2)е]  (6п+4)е — ± (4+6, 4)е  (4)е —

— ± [(8+6, 4)е +(4+6, 8)е - (6+6, 6)е ] (0)е —

— ± (4+6, 8)е  (0)е — ± (4+12, 2)е  (0)е — ± ж Таким образом, система тождеств /;8п+3 неприводима в многообразии М.

Теорема доказана.

Определим индуктивно ассоциатор

(х1 , х2 , ..., Х2п+1} ((х1 , х2 , ..., Х2п-1}, х2п , Х2п+1} .

Следствие. В многообразии коммутативных альтернативных алгебр с единицей над полем характеристики 3 следующая система тождеств

ё18п+3 = ((х, Хі , ..., Хбп+2), (х, Хбп+3 , ..., Хі2п), (х, Хі2п+1 , ..., Хі8п-1 , Х)) является неприводимой.

Доказательство.

Покажем, что тождестваЛ8п+3 и g18n+3 совпадают на G(A). Для этого докажем сначала следующие соотношения, справедливые в G(A).

Л. (х^  щд  Х0т+2Х — - (х^+2  щд  х0шх - (х^  хпг+2)  х0шх . s2. (Х^2п+2  Щ2п)  Х02п-3Х — 0.

Доказательство я1. В любой правоальтернативной алгебре выполняется тождество

(х^, у, z) — (х, у, z)w + x(w, У, z) - (х, w, [у, z]).

Отсюда получим, что для и, V є ^2(М}

uvyz = uyz  V + V- uyz.

Применяя это соотношение, получаем

(х^  ХПг) ^тКСУт+^К^т+І^ — (Х^  Щі) -Х^тХКУт+дК^т+і) —

— - (х^  Хnг)К(Уm+l)К(Zm+2) 'Х^тХ —

— - (х^ Я(ут+1)К^т+2)  Щі) Х0тХ - (Х^  ХПК(Ут+1Жгт+2)) Х0тХ для операторов умножения ^, п, 0 длины больше нуля.

Отсюда в силу кососимметричности по хі, уі, Zi одночленов из последнего соотношения получим требуемое.

Доказательство s2. Имеем в силу я1 и кососимметричности по Хі

(Х^іп+2  ХПіп)  Х0іп-зХ — -(Х^2п Щіп+2}Х02п-зХ - (х^ ХЦ2п}Х02п-1Х —

— - (Щ2п+2  Х^2п)  Х02п-зХ — - (Х^2п+2  ХП2п}  Х02п-зХ.

Отсюда, (xt,2n+2 * Щ2п) * Х$2п-3Х = 0.

Свойства Л и s2 доказаны.

Заметим, что

(x, xi , ..., x2k) = (x, x1 , x2)x3 ... x2k = x^2k - x1x2 ... x2kx (mod F2)).

Перерабатывая, таким образом, каждый из ассоциаторов

в составе g18n+3 , получим

g18n+3 (x^ 6n+2 , xn6n-2 , x06n-1x).

В силу s1, s2

(x^6n+2 * xn6n-2) • x06n-1x (x^6n+4 * xn6n-2) • x06n-3x (x^6n+2 * x^6n) * x06n-3x (x^6n+4 * xn6n-2) * x06n-3-

Отсюда в силу кососимметричности по xi и x, s1, s2

((xn6n-2 * x^6n-1x)*x^6n+2 (x^6n-2 *xn6n)*x06n+1x

= - (x^6n *x^6n) *x06n-1x - (x^6n-2 *x^6n+2) *x06n-1x =

(x^6n-2 *xn6n+2) *x06n-1x (x^6n+2 * xn6n-2) * x06n-1x

(x^6n+4 * xn6n-2) * x06n-3x .

Следовательно,

g18n+3 = (x^ 6n+2 , Щ6п-2 , x06n-1x) =

(x^6n+2 * xH6n-2) * x06n-1x (xH6n-2 * x06n-1x') * x^6n+2 (x^6n+4 ' xn6n-2) ' x06n-3x (x^6n-2 ' xn6n-2) ' x06n+3x f18n+3 .

Теперь достаточно заметить, что тождества являются собственными, т.е. обращаются в нуль при подстановке вместо одной из переменных единицы. Значит, указанная система тождеств неприводима на алгебре G(A)#, полученной из G(A) внешним присоединением единицы.

Следствие доказано.

2. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных луп Муфанг Теорема 2. В многообразии КЛМ с тождеством x3 = 1 следующая система тождеств

h18n+3 • [[x, x1 , ..., x6n+2], [x, x6n+3 , ..., x12n], [x, x12n+1 , ..., x18n-1 , x]]

является неприводимой.

Доказательство.

Легко проверяется, что множество обратимых элементов коммутативной альтернативной алгебры с единицей образует КЛМ относительно операции умножения в этой алгебре.

Рассмотрим алгебру с присоединенной единицей G(A)#, где G(A) - построенная ранее вспомогательная коммутативная альтернативная алгебра над полем характеристики 3.

Пусть G(A)* - множество элементов алгебры G(A)# вида b+1, где b е G(A). Ясно, что G(A)* замкнута относительно операции умножения. Кроме того, (b+1)3 = b3 +1=1 в силу того, что еИагФ=3, а G(A) -ниль-алгебра индекса 3, т.е. каждый элемент множества G(A) обратим. Следовательно, G(A) является КЛМ относительно умножения в G(A)# с тождеством x3 = 1.

Покажем, что система тождеств {h18n+3} неприводима в лупе G(A) . Для этого достаточно показать, что тождества g18n+3 и h18n+3+1 совпадают на G(A)* как на подмножестве алгебры G(A)#. Тогда ввиду следствия теоремы 2 будет справедлива теорема 3. Как было показано, обратными для элементов множества G(A)* являются их квадраты. Тогда в G(A)#

[x, y, z] = (xyz * (yz)-1) * x"1 = (xyz * (yz)2)* x2 = (xyz * y2z2) * x2 =

222 222 2 2 2 i = - xyzy z x - xyzzyx = - xyzyzx - 1.

Отсюда для x, y, z е G

[x+1, y+1, z+1] = -(x+1)(y+1)(z+1)(y+1)2(z+1)2(x+1)2 - 1 =

= - (x+1)(y+1)(z+1)(y2-y+1) * (z2-z+1)(x2-x+1) - 1 =

= - xyz + xzy + yzx - zyx + 1 + A1 =

= (z, x, y) + 1 + A1 = (x+1, y+1, z+1)+ 1 + A1 , где A1 - многочлен полистепени большей, чем полистепень (x, y, z).

Используя последнее, получим для элементов из G

h18n+3 = [ [x, x1 , ..., x6n+2], [x, x6n+3 , ..., x12n], [x, x12n+1 , ..., x18n-1 , x] ] —

= ((x, x1 , ..., x6n+2), (x, x6n+3 , ..., x12n), (x, xUn+1 , ..., x18n-1 , x)) + 1+ A2 =

= g18n+3 +1+ A2 ,

где A2 - многочлен, определенный на G(A), полистепени большей, чем полистепень gl8n+3 . Многочлен gl8n+3 совпадает на G(A) с одночленом fl8n+3 . Ввиду максимальности полистепени одночлена fl8n+3 в М имеем A2=0 и, следовательно, на G(A) выполняется hl8n+3 = gl8n+3+1.

Теорема доказана.

Заключение

В настоящей работе удалось перенести некоторые результаты о тождествах коммутативных альтернативных алгебр на тождества коммутативных луп Муфанг. Это позволяет в некоторых случаях рассматривать коммутативные альтернативные алгебры как инструмент для исследования тождеств КЛМ.

Литература

1. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. - М., Наука, 1978. - 432 с.

2. Днестровская тетрадь, - Новосибирск, 1982.

3. Бадеев А.В. Грассманова оболочка коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики 3. - Вестник БГУ. - Улан-Удэ, 2008.

4. Bruck R.H. A survey of binary systems. Berlin: Springer Verlag, 1958.

Бадеев Александр Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры Бурятского государственного университета, тел. 65-58-34, e-mail: badeev@mail.ru

Badeev Alexander Valerievich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of algebra, Buryat State University.