Штрихи к портрету

УДК 621.391.1

ШТРИХИ К ПОРТРЕТУ © 2011 г. Д.И. Трубецков

Саратовский госуниверситет им. Н.Г. Чернышевского

а^@поп1т. sgu.ru

Поступила в редакцию 27.05.2011

Дан краткий обзор классических результатов по автоколебаниям на фоне биографических данных А.А. Андронова и соавторов.

Ключевые слова: теория нелинейных колебаний, автоколебания, предельные циклы.

Современная естественно-научная картина мира основана на концепциях расширяющейся Вселенной, нелинейной науки с акцентом на самоорганизацию и представлениях о биосфере и ноосфере. Центральная концепция - нелинейная наука, основу которой составляют нелинейные колебания и волны в широком понимании этих направлений исследований. Оглядываясь назад, осознаешь, что столь важное место в науке нелинейные представления заняли благодаря их создателям, среди которых одним из первых следует назвать Александра Александровича Андронова. Настоящие заметки лишь несколько штрихов к его портрету.

1а

Как известно, задача об исследовании периодических автоколебаний в системе сводится к задаче нахождения предельных циклов и определения их параметров.

Введение предельных циклов в теорию колебаний связано с именем Александра Александровича Андронова.

А.А. Андронов с 1925 по 1929 год был аспирантом Л.И. Мандельштама в Московском университете. Его диссертация носила название «Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний». Когда Андронов работал над диссертацией, нелинейная теория колебаний еще только начиналась как самостоятельное научное направление. Правда, в 1926 году Ван дер Поль впервые графически исследовал несинусоидальные автоколебания на фазовой плоскости. Как пишет автор книги [1] о работе А.А. Андронова над диссертацией, «начало работы, по рассказу Г.С. Горелика,... было весьма скромным». И далее: «А.А. Андронов составил простейшие, идеализированные до предела математические модели динамики часов и лампового генератора. Он построил фазовые портреты этих систем, выяснил, что совокупность спиралей накручивается на замкнутую фазовую траекторию как изнутри, так и снаружи. Замкнутая кривая соответствует установившимся колебаниям (автоколебаниям), спирали - процессам установления. Несколько раньше (А.А. Андронов об этом знал) аналогичный фазовый портрет построил Ван дер Поль при аппроксимации характеристики лампы кубической кривой». Самое главное, что усмотрел Андронов - обнаруженные им и Ван дер Полем замкнутые фазовые кривые и предельные циклы, открытые в 1881 году А. Пуанкаре вне всякой связи с физикой, - одно и то же. «До А.А. Андронова математики не подозревали, что предельные циклы “живут” в прикладных задачах, а физики и инженеры, занимающиеся исследованием колебаний, не знали, что уже существует математический аппарат, необходимый для общей теории колебательных процессов. Вот слова А.А. Андронова: “Предельный цикл есть геометрический

образ, изображающий в фазовом пространстве периодическое движение автоколебательной системы; он представляет собой замкнутую кривую, к которой асимптотически приближаются соседние фазовые траектории”».

Напомним кратко предложенную Андроновым теорию лампового генератора со ступенчатой характеристикой лампы применительно к схеме на рис. 1а.

Главной для дальнейшего анализа является зависимость 1а = /). Потенциал иъ сетки

(отсчитывается от потенциала катода) определяется напряжением на индуктивности Ь’, которая имеет общий магнитный поток с индуктивностью Ь колебательного контура. Он равен и = М(¿I / Л), где М > 0 - коэффициент взаимной индукции катушек (коэффициент обратной связи), то есть амплитуда напряжения на сетке тем больше, чем больше амплитуда синусоидального тока в контуре и чем больше коэффициент обратной связи. Из законов Кирхгофа следует

г = -С —, Ш1 = и - Ь —, I = г + Т ,

Л Л а, V У

где и - напряжение на обкладках конденсатора, а остальные обозначения ясны из рис. 1а. Дифференцируя по t второе уравнение системы (1) и исключая и и /, находим, что

Ь

ж I — I „ + Я— +-- = 0.

ж ж с

ТЛ21 иЛ1 1 ШІЛ I п

Ь-------+ Я------------ҐI М — I + — = 0.

йі2 йі с I йі I с

Уравнение (3) имеет вид уравнения линейного осциллятора, где помимо слагаемого Я(й1/й1), соответствующего линейному трению, есть и слагаемое (1/С)А(МЛ1/Л(), которое можно назвать активным нелинейным трением. Сумма этих слагаемых ЯЛ/Л - (1/С)А(МЛ1/Л() характеризует баланс энергии, рассеиваемой на омическом сопротивлении и полученной от источника энергии, то есть в конечном счете определяет поведение всей системы. Очевидно, что если ЯЛ1/Л > (1/С)А(МЛ1/Л(), колебания в системе затухают, а в случае ЯЛ1/Л < (1/С)А(МЛ1/Л() амплитуда колебаний растет. В стационарном состоянии Л1/$= &/& = 0 и ток, протекающий через генератор, 1а0 = А0 (см. рис. 1б). Исследуем это состояние на устойчивость, введя отклонение от стационарного состояния г = 1 - 1 а0 . Тогда из уравнения (3) после простых преобразований следует, что

й2 і Я йі

- +

(

йі2

+ -

Ь йі ЬС

— Г

М

йі

йі

— + — = 0. (4) ЬС ЬС

Разложим функцию /(и ) в ряд вблизи

иъ = 0 и ограничимся линейным приближением; тогда

¿7 ¿/

/ (и в) = / (0) + М

йі йи„

Учитывая, что Iа = /(и„), и = М(йІ / йі),

получим

Подставляя разложение (5) в уравнение (4), находим

Рис. 1. Схема генератора Ван дер Поля с ЖС-контуром в цепи анода - а. Источником энергии служит батарея с

постоянным напряжением. Батарея, которая обеспечивает постоянное отрицательное смещение потенциала на

сетке, не изображена. Зависимость анодного тока I от напряжения и на сетке, которую Ван дер Поль апа Б

проксимировал кубическим полиномом, - б

— + р — + ю2г = 0,

Л2 Л ,

где Р = (1/Ь)(Я - аМ/С), а = [Л/(иё)/Ли%\и =0,

ю2 = 1/(ЬС).

Поскольку мы воспользовались в разложении линейным приближением, уравнение (6) описывает лишь малые отклонения тока от стационарного значения. Характер решения целиком определяется знаком коэффициента р. Если Р > 0, то колебания затухают и состояние равновесия г = 0 - устойчивый фокус; при Р < 0 состояние равновесия - неустойчивый фокус и колебания нарастают. Из определения Р следует, что условие возбуждения колебаний имеет

аМ л вид -----> 1 .

ШС

Таким образом, при должном подборе параметров а, М, Я и С стационарное состояние, при котором через генератор протекает постоянный ток, становится неустойчивым и в системе возникают колебания возрастающей амплитуды. Понятно, что амплитуда этих колебаний не мо-

жет расти беспредельно. Это связано с реальной ограниченностью функции /(МЛ / О). Действительно, при достаточно больших значениях ¿г / ¿1 линейное трение преобладает, что приводит к потере колебаниями энергии. Тогда понятно, что фазовый портрет системы в области больших и малых значений ¿г / Л имеет вполне определенный вид: на периферии

(большие Л / Л) траектории должны обладать свойством «сматывания», а в центре (малые Л / Л) - «разматывания». Это означает, что должен быть предельный цикл (картина должна быть похожа на рис. 2а). Предположим, что характеристика лампы имеет вид ступеньки: при больших положительных смещениях иъ на сетке лампа пропускает не зависящий от величины смещения ток 1ан, при и% = 0 ток 1а0 = 1ан /2, при отрицательном смещении ток равен нулю (рис. 3 а).

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию g (Л / Л) = -Iа0 /(ЬС) + /(УЛг) /(ЬС), которая тоже имеет вид ступеньки, а именно:

Рис. 2. Фазовые портреты автоколебательных систем: а - «мягкое» возбуждение; б - «жесткое» возбуждение

Рис. 3. Вид ступенчатой характеристики I = у (и ) - а, вспомогательной функции g = g(di / О) - б

g

di

dt

(ü2a = ю2 при d— > 0,

2 dt

-ю2а = -ю2 при —<0. 2 dt

а после целого оборота

d i 2ydi 2~ di

—T- + —— + ю i = y—.

dt dt dt

dt2

dt

- + ю2 L = 0,

di

L = i - а при — > 0, dt

d2/H + 2yd/H , „2

dt2

dt

н + ю2 4 = 0,

di

i2 = -(i1 + а)ЄХр --^ |-a

(7) i2 = а + <j(i + a)exd—— | + 2af exd——

yT

2

yT

2

Тогда, введя обозначение 2у = ^ / X и используя (7), вместо уравнения (4) запишем

где T = 2л/(ю2-y2)1/2

Полученное уравнение описывает линейный осциллятор, на который действует сила «активного» сухого трения. С учетом соотношений (7) перепишем уравнение (8) отдельно для верхней и нижней полуплоскостей в следующем виде:

42Ів . 2у^

/„ = і + а при — < 0.

Л

Мы получили два уравнения линейного осциллятора со смещенными в точки (+а) положениями равновесия. Эти уравнения описывают линейные затухающие колебания, то есть задача о колебаниях генератора со ступенчатой характеристикой свелась к двум, как говорят «сшитым», линейным задачам (рис. 4). Определим размер предельного цикла автогенератора.

Пусть в начальный момент ток равен \ . Тогда после половины оборота в нижней полуплоскости величина тока выразится следующим образом:

множитель exp(-yTI2) характеризует затухание за полпериода. Размер предельного цикла определим из условия замкнутости траектории \ = /2 . После элементарных преобразований находим:

1 + еЬ

1 = а sh(yT/2) '

Мы изложили самый простой метод анализа лампового генератора, в котором еще есть стремление свести нелинейную задачу к линейной. Но в решенной задаче есть самое главное для понимания автоколебаний - существование замкнутых траекторий на фазовой плоскости и их идентичность предельным циклам Пуанкаре. Поскольку аппарат отыскания предельных циклов в какой-то степени был уже разработан в математике, теория автоколебаний стала по-настоящему нелинейной. Это позволило Л.И. Мандельштаму так оценить работу А.А. Андронова: «Здесь мы имеем действительно адекватный нашим нелинейным задачам, не имеющий “линейных воспоминаний” математический аппарат... Опираясь на этот аппарат, можно будет создавать новые понятия, специфичные для нелинейных систем, можно будет вырабатывать новые руководящие точки зрения, которые позволяют мыслить нелинейно» (цит. по [1]).

С 1929-1930 годов вполне можно говорить о школе Мандельштама-Андронова. Более того, можно говорить о смещении центра исследований по нелинейной физике в СССР, в Россию, где он находится и сейчас. А.А. Андронов сделал необычайно много для нелинейной физики, многое из сделанного осталось в науке навсегда, однако особое место занимает книга «Тео-

— <

Рис. 4. К объяснению образования предельного цикла для модели генератора со ступенчатой характеристикой

рия колебаний» [2], написанная им вместе с А.А. Виттом и С.Э. Хайкиным. Ученик А.А. Андронова, профессор Н.В. Бутенин писал по этому поводу: «Вряд ли можно переоценить значение этой книги в становлении нелинейной теории колебаний как в нашей стране, так и во всем мире. Ведь, в сущности, впервые появилась книга, где с ясной теоретической позиции излагались основы теории нелинейных колебаний как сложившейся науки; эта теория иллюстрировалась многочисленными примерами из различных областей физики и техники. Исследователи получили в руки мощное оружие для решения задач, возникающих при рассмотрении нелинейных динамических систем.

Следует сказать, что в это время на Западе, а также в Америке сколь-нибудь существенных новых исследований в области теории нелинейных колебаний не было. Появление “Теории колебаний” значительно оживило исследования в области нелинейных колебаний, особенно сильный сдвиг произошел тогда, когда Минор-ский выпустил книгу, значительная часть которой является простым изложением ряда глав “Теории колебаний” (с четким указанием источника). Несколько позже в переводе книга “Теория колебаний” была издана в США».

К этому можно лишь добавить, что в 1981 году вышло третье издание книги (второе вышло в 1959 году с существенными дополнениями, сделанными Е.А. Леонтович и Н.А. Желез-цовым), тождественное первому изданию 1937 года. Книга сразу стала библиографической редкостью.

Первое издание книги вышло без фамилии Витта на обложке. Почему? Ответ находим в статье Е.Л. Фейнберга [3].

«Наступила страшная эпоха. Пошли и другие аресты. Так, исчезли два молодых очень талантливых ученика Л.И. - С.П. Шубин (который был также учеником и И.Е. Тамма) и А.А. Витт, который в соавторстве с А.А. Андроновым и С.Э. Хайкиным только что закончил фундаментальный труд, подводящий итог совместным с Л.И. работам по теории колебаний, особенно нелинейных, для которых были развиты новые методы рассмотрения необъятного круга практически важных проблем. В частности, Андроновым было введено понятие “автоколебаний” и т.п. Это был новый прорыв в важнейшем направлении физики. Отсюда и пошла школа Андронова, созданная потом в Москве и в Горьком. Но книгу нельзя было издать с именем “врага народа” Витта на обложке. Однако не издать ее было преступлением перед наукой. Пришлось пойти на тяжелую моральную жерт-

ву: оставить на ней лишь имена Андронова и Хайкина. Если эти высокоморальные люди и Л.И. пошли на такой шаг (несомненно, для них это была жертва!), то это свидетельство тому, что эта книга была нужна! После войны она была переведена и издана в США (мне кажется, без ведома авторов), а после смерти Сталина (к тому времени скончался и Андронов) переиздана у нас с восстановленным именем Витта (более чем через 20 лет после первого издания, что само по себе показывает - это классический труд, сохранивший свое значение на долгие времена). Тоже характерный эпизод из истории и нашей эпохи и школы Мандельштама. Несмотря ни на что, даже “с петлей на шее” школа Мандельштама развивалась и работала».

Об Александре Адольфовиче Витте почти ничего не написано. Но вот яркий штрих к его портрету [4].

«Известно, сколь тщательно Л.И. готовился к каждому занятию со студентами. Вспоминаю один эпизод на семинаре Л.И. Должен был быть доклад о шредингеровской теории атома водорода. Заболел докладчик. Л.И. обратился к аудитории и сказал, что он не берется сделать без подготовки доклад, но что здесь присутствует один человек, который может это превосходно сделать, и назвал Александра Адольфовича Витта. А.А. Витт смутился, однако пошел к доске и сделал блестящий доклад, продолжавшийся около двух часов. Л.И. вышел перед нами с очень довольным видом, развел руками и сказал: “Не правда ли, поразительно”. Насколько помню, раздались аплодисменты».

Чтобы понять масштаб личности А.А. Андронова, приведем слова Г.С. Горелика - одного из известных и талантливых наших физиков. Он писал следующее. «Я лично не знал и не знаю ни одного человека, который бы отличался от моего идеала хорошего человека меньше, чем А.А. Андронов. Полное бескорыстие, абсолютное отсутствие лицемерия, мелкого “ученого” самолюбия, академического чванства; бесконечная готовность жертвовать своим спокойствием, если нужно помочь товарищу или просто человеку, деятельная доброжелательность ко всему живому и талантливому!...

Он обладал обширным умом и богатой, разносторонней культурой. В круг его непосредственных научных интересов входили: вся физика, математика, техника, астрономия. Его живейшим образом интересовало все - естествознание, медицина, история, литература, живопись. Он был знатоком русской культуры. Речь А.А. Андронова была сильной, остроумной, неотразимой. Вместе с тем он был прост в

обращении, отзывчив и чистосердечен. В нем не было эгоизма и неуверенного в себе мелкого самолюбия».

Вот еще небольшой штрих к портрету А.А. Андронова. До 1931 года Л.И. Мандельштам и А.А. Андронов думали, что первыми сопоставили автоколебания с предельными циклами, но вскоре обнаружили, что интуитивно это было сделано практически одновременно с открытием предельных циклов. В дальнейшем они всегда упоминали об этом. Вот выдержка из статьи А.А. Андронова с соавторами: «...Для

того чтобы не извращать исторической перспективы, необходимо сделать предварительно следующее замечание. За десять лет до открытия радио французский инженер Леотэ (1885) изучал автоколебания в некотором устройстве автоматического регулирования, исследовал фазовое пространство этого устройства и вычертил для него интегральные кривые и предельные циклы (не давая им этого названия: он, по-видимому, не был знаком с опубликованной несколько раньше работой Пуанкаре, в которой предельные циклы впервые появились в математике). По причинам, о которых мы здесь не будем говорить, замечательные работы Леотэ были почти полностью забыты».

Схему, приведенную на рис. 1, часто называют схемой генератора Ван дер Поля. Эта схема и описывающее ее уравнение Ван дер Поля

<12 х 2 <іх

— -ц(1 - х2)— + х = 0 <ІХ ах

и сейчас, спустя более полувека после появления, служат основной моделью автоколебаний с одной степенью свободы. Уравнение (10) записано в безразмерных переменных, что важно. В какой бы области знаний ни получилось такое уравнение, уже можно связать его с автоколебаниями.

Как получается уравнение (10)? Для лампового генератора - так же, как и уравнение (3), но только зависимость /а = /(и ) аппроксимируется не ступенькой, а кубическим полиномом. Выведем уравнение (10) для достаточно общей схемы генератора, представленной на рис. 5 а. На схеме изображен ¿С-контур с линейными потерями (проводимость О) и некоторым элементом с характеристикой I = 1(Ц). Если элемент активный, но линейный, то есть I = -§Ц (где проводимость g достаточно велика), то любое возникшее в контуре возмущение будет нарастать. Однако при достаточно больших амплитудах обязательно вступит в действие один

Рис. 5. Схема колебательного контура с активным элементом и линейными потерями - а; б - вольт-амперная характеристика активного элемента

Рис. 6. Фазовые портреты, соответствующие уравнению (10) при различных значениях параметра нелинейности ц: а - квазигармонические колебания (ц = 0.1); б - сильно несинусоидальные (ц = 1); в - релаксационные

Рис. 7. Осциллограммы, иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе, описываемой уравнением (10). Они соответствуют фазовым портретам на рис. 6: а - ц = 0.1; б - ц = 1; в - ц = 10

из механизмов ограничения: проявится нелинейность в проводимости или емкости, эффект усиления возмущения сменится эффектом искажения и ограничения. Например, активный нелинейный элемент, для которого 1(Ц = +

+ g1U3, при малых амплитудах усиливает возмущение (проводимость отрицательна, то есть I = ^Ц), а при больших - это элемент с нелинейным поглощением, где 1(Ц « g1U3, и механизмом ограничения является нелинейное затухание. На рис. 5б качественно представлена вольт-амперная характеристика элемента с указанными свойствами. Уравнения Кирхгофа для схемы на рис. 5 а имеют вид

C— + GU +1 - gU + gU3 = 0, dt

Ld-l = U

dt

Дифференцируя первое уравнение системы (11) и используя второе, после простых преобразований находим

d 2U

dt2

dU

dt

-a

где а = (я -0)/С, Р = ЪglU2l(g - О), = 1 /(Щ.

Величина параметра а показывает, насколько сильно возбужден генератор (при а < 0 условия возбуждения не выполняются). Величина Р характеризует амплитуду автоколебаний: чем меньше Р, тем больше амплитуда. Вводя безразмерные параметры т = ю0?, х = Р Ц, ц = аю0, приходим к уравнению (10). На рис. 6 показано, как форма предельного цикла зависит от параметра ц. При ц = 0 система становится линейной, консервативной. При ц « 1 автоколебания мало отличаются от гармонических, а нелиней-

ное трение лишь «выбирает» амплитуду устойчивого предельного цикла. При больших ц форма колебаний может существенно отличаться от синусоидальной (рис. 7).

Предельные циклы на рис. 6 содержат внутри особую точку: для ц = 0.1 и ц = 1 эта точка является неустойчивым фокусом, а для ц = 10 -неустойчивым узлом. Форма автоколебаний при этом меняется от квазисинусоидальной до релаксационной, когда колебания состоят из участков быстрых и медленных движений (см. рис. 7).

Основные результаты работ Ван дер Поля в области нелинейных колебаний были опубликованы в Proc. IRE (1934, т. 22, № 9), а на русском языке - в виде брошюры «Нелинейная теория электрических колебаний» [5], предисловие к которой написал С.Э. Хайкин.

Даже то немногое, что написано в этих заметках об Александре Александровиче Андронове, позволяет сказать о нем словами Гамлета: «Да, он был человек во всем значении слова».

Список литературы

1. Горяченко В.Д. Андронов Александр Александрович. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2001.

2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959.

3. Фейнберг Е.Л. Родоначальник. О Леониде Исааковиче Мандельштаме // УФН. 2002. Т. 172.

С. 102-103.

4. Фабрикант В.А. О Л.И. Мандельштаме // Академик Мандельштам. К 100-летию со дня рождения. М.: Наука, 1979. С. 234.

5. Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Гос. изд-во по технике связи, 1935.

SOME TOUCHES TO THE PORTRAIT

D.I. Trubetskov

A brief review is presented of the classical results on self-oscillations in the light of biographical data of A.A. Andronov and his co-authors.

Keywords: theory of nonlinear oscillations, self-oscillations, limit cycles.