Использование схематического чертежа при решении задач на движение в одном направлении

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СХЕМАТИЧЕСКОГО ЧЕРТЕЖА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ

Р. Р. Рабаданов

Аннотация. В статье рассматривается роль схематического чертежа в решении текстовых задач в одном направлении алгебраическим и арифметическим способами решения задач.

Ключевые слова: схематический чертеж, текстовая задача, алгебраический способ решения задач, арифметический способ решения задач.

Summary. The article examines the role of the schematic drawing in solving text problems in one-way direction by means of algebraic and arithmetic ways of solving problems.

Keywords: schematic drawing, text problem, algebraic way ofsolving problems, arithmetic way of solving problems.

Программа по математике начальной школы требует развития самостоятельности у детей в решении текстовых задач. Каждый ученик должен уметь кратко записать условие задачи, иллюстрируя его с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновать каждый шаг в анализе задачи и в ее решении, проверить правильность решения. Однако на практике эти требования выполняются далеко не полностью, что приводит к серьезным пробелам в знаниях и навыках учащихся.

Наши наблюдения, анализ результатов проведенной работы, беседы с учителями и учащимися позволяют сделать вывод о том, что одна из основных причин допускаемых детьми ошибок в решении текстовых задач - неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жиз-

ненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее предметного или графического моделирования. Как правило, в процессе анализа используются лишь различные виды краткой записи условия задачи или готовые схемы, а создание модели на глазах у детей или самими детьми в процессе разбора задачи применяется крайне редко. К тому же при фронтальном анализе и решении задачи учителя нередко ограничиваются правильными ответами двух-трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого их понимания.

Главное для каждого ученика на этом этапе - понять задачу, то есть уяснить, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми и т.п. Для этого необходимо с первого класса учить детей разбивать текст задачи

247

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

248

на смысловые части и моделировать ситуации, отраженные в задаче.

Предметное и графическое моделирование математической ситуации при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике, но часто многие учителя неправильно полагают, что наглядность обязательно должна быть только на начальном этапе обучения, а с развитием абстрактного мышления у детей она свое значение теряет, а основным средством наглядности при анализе задач становится краткая запись условия задачи и лишь изредка применяются готовые схемы и таблицы. А между тем наглядность, особенно графическая, нужна на всем протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий.

Мы хотим рассказать о возможностях использования схематического чертежа (модели) в процессе решения текстовых задач на движение в одном направлении и о его роли в поисках разных способов решения.

Практика показывает, что моделирование следует применять и при обучении по системе Л. В. Занкова. Она помогает увидеть разные способы решения.

Текстовые задачи на движение в одном направлении (движение вдогонку) включены в программу и учебники развивающего обучения [1]. Однако, как показывают наблюдения за работой учителя и учащихся, решение задач этого типа вызывает большие затруднения в практике обучения.

Задачи на движение обычно разбиваются на три группы: встречное движение; движение в противоположном направлении; движение в одном направлении. При решении задач первых двух видов скорость движения

Преподаватель XX

определяют действием сложения, а в задачах третьего вида действием вычитания и здесь возникают трудности. Эти трудности связаны с тем, что в первых двух случаях движение в противоположных направлениях, а в третьем случае движение в одном направлении, т.е. при движении в одном направлении расстояние между движущимися телами уменьшается.

В данной статье мы попытаемся проанализировать затруднения, возникающие у учителей и учащихся в практике обучения при решении задач на движение в одном направлении, и предложить некоторые рекомендации для их преодоления.

Поясним сказанное на примере задач вдогонку [1].

Задача 1. "В 7 часов утра из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 660 км/ч. Через сколько часов самолет догонит поезд?'

Решение. В данной задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но начинается оно в разное время. Известны скорости поезда и самолета, а также время начала их движения. Требуется найти время, через которое самолет догонит поезд.

Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. Требуется найти время, через которое самолет догонит поезд.

Чтобы найти расстояние, которое прошел поезд до момента вылета самолета, надо подсчитать, сколько времени находился в пути поезд. Умножив время на скорость поезда, получим расстояние, пройденное поездом до момента вылета самолета. Итак, арифметическое решение выглядит так:

-1 / 2012

Рис. 1-2. Модель движения поезда и самолета, демонстрирующая одновременность их движения и сокращение расстояния между движущимися телами

1) 24 - 7 = 17 (ч);

2) 17 + 13 = 30 (ч);

3) 60 • 30 = 1800 (км);

4) 660 - 60 = 600 (км/ч);

б) 1800 : 600 = 3 (ч) - время, через которое самолет догонит поезд.

Текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, то есть построить ее математическую модель (выражение или уравнение). Но чтобы облегчить поиск математической модели, нужны модели вспомогательные. Они могут быть графическими (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж), знаковыми (краткая запись, таблица) и др.

Разъясним суть этих моделей на примере задачи на движение в одном направлении одновременно из разных пунктов.

При решении данной задачи большинство учащихся испытывают затруднения, которые обусловлены тем, что в ней трудно определить одновременность движения и выбор действия вычитания.

Предвидя эти затруднения, учитель выполняет условный рисунок (рис. 1-2).

Такая модель отражает жизненную ситуацию с достаточной наглядностью, можно показать одновременность движения в 13 часов следующего дня (рис. 3).

Такая модель демонстрирует сокращение расстояния между движущимися телами, то есть выбор действия вычитания скоростей. Поэтому необходимо смоделировать ее условие в виде схематического рисунка и, опираясь на рис. 1, фиксируем одновременность движения самолета и поезда (в 13 ч следующего дня), находящихся в различных точках.

Итак, второй способ.

1) 24 + 6 = 30 (ч) двигался поезд до вылета самолета (точка П). Отсюда и начинается одновременность движения.

2) 60 • 30 = 1800 (км) прошел поезд до вылета самолета; 3) 660 - 60 = 600 (км/ч); 4) 1800 : 600 = 3 ч - время, через которое самолет догонит поезд.

Такая модель отражает математическую ситуацию более наглядно. По такой модели даже слабый ученик сможет записать решение, будет испыты-

243

Рис. 3. Схематическое изображение одновременности движения

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

250

вать меньше затруднений при решении этой или подобных задач. При таком моделировании выбор действия будет понятным и обоснованным, учащиеся не будут действовать наугад, механически манипулируя числами.

Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и поэтому более простую, чем эта реальность.

Для большинства текстовых задач приходиться строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи. Но с другой - построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

Такое моделирование, когда модель возникает на глазах у детей, имеет явное преимущество перед применением готовых рисунков и схем. И наоборот, отсутствие графической модели может привести к неправильному решению задачи.

Интересно, используя один и тот же чертеж, предложить детям решить задачу с помощью составления уравнения, а затем ту же задачу решить арифметически, с помощью отдельных действий, с тем, чтобы сопоставить оба эти подхода к решению.

Наиболее очевидный путь начала решения - взять за неизвестное число то, что нужно узнать в задаче - время, через которое самолет догонит поезд.

Так как скорости поезда и самолета известны, то взяв в качестве неизвестного величину - время, получим один вариант решения.

Получаем уравнение

660 • 1 = 60 • (1 + 6 + 24), исходя из того, что самолет и поезд прошли одинаковое расстояние или его аналог 660 • 1 - 60 • 1 = 1800.

Анализируя задачу, можно получить и еще более простое уравнение: 11 • 1 - 1 = 6 + 24, которое основано на том, что если при одном и том же пути скорость поезда в 11 раза меньше скорости самолета, то время, затраченное на путь поездом, в 11 раз больше времени самолета.

Мы предлагаем для решения задач такого класса следующий алгоритм.

1. Анализ содержания задачи.

2. Составление графической модели задачи.

3. Проследить динамику движения объектов движущихся тел вдогонку.

4. Выделить пути, пройденные телами за одинаковые промежутки времени.

5. Сравнить традиционную схему с графической моделью.

6. Решение задачи арифметическим и алгебраическим способами.

7. Сравнение и сопоставление обоих способов решений.

Решение задачи 1 служит подсказкой для арифметического решения задачи 2.

Задача 2. От пристани Марьино к пристани Алешино отправился теплоход со скоростью 24 км/ч, а за 9 часов до него в том же направлении вышел буксир со скоростью 8 км/ч, который прибыл в Алешино на 15 часов позже теплохода Найди расстояние между пристанями.

Решение. Ученики четвертого класса предложат не очень простое арифметическое решение, а вот алгебраически ее решить достаточно просто, причем несколькими способами. Задача 2 является продолжением задачи 1

Преподаватель XX

1 / 2012

Рис. 4-5. Модель движения на вдогонку и отставание и схематическое изображение модели

и задача 1 служит подсказкой арифметического решения задачи 2

Сравнение задачи 1 и задачи 2 аналогично сравнению задач на встречное и противоположное движение. Пользуясь тем, что в задачах на вдогонку и отставание (убегание) скорость определяют действием вычитания на участках, где тела догоняют и отстают друг от друга. На рисунках 4 и 5 эти участки МБ и Б2А. Алгебраическое решение наталкивает на арифметическое решение задачи 2. Время, затраченное на весь путь, обозначим через 1. Из рисунка 5 видно, что 24 • 1 = 8 • (1+9+15) или 24 • 1 - 8 • 1 = 72 + 120. Откуда, 16 • 1 = 192, 1 = 12 часов. 24 • 12 = 288 (км) расстояние между пристанями.

В 5-6 классах учащиеся знакомятся с обыкновенными и десятичными дробями и их свойствами, обозначив, расстояние между пристанями через з получим, уравнение

з : 8 - з : 24 = 9 + 15.

Откуда, 2з - з = 24 • 24, з = 288.

Арифметическое решение выглядит так:

8 • 9 = 72 (км) прошел буксир до выхода теплохода;

8 • 15 = 120 (км) прошел буксир после прибытия теплохода;

24 - 8 = 16 (км/ч) скорость движения теплохода относительно буксира;

120 + 72 = 192 (км) путь прошел буксир без теплохода;

192 : 16 = 12 (ч) время совместного движения буксира и теплохода;

8 • 12 = 96 (км) прошел буксир за 12 часов (или 24 • 12 = 288 (км) прошел теплоход);

96 + 192 = 288 (км) расстояние между пристанями.

Наши наблюдения и анализ проведенного экспериментального обучения в школах г. Махачкалы, беседы с учителями и учащимися позволяют сделать вывод, что графическое моделирование делает текстовую задачу более понятной, обеспечивает качественный анализ, обоснованный выбор необходимого арифметического действия, повышает активность и гибкость мыслительной деятельности учащихся.

Все выше изложенное дает ясное представление о том, что описанная в данной статье поэтапная работа, ориентированная на углубление работы по пониманию и анализу текста задач и вспомогательных графических моделей, направлена на предотвращение возможностей неуспешности учащихся начальных классов в формировании такой ключевой математической компетенции, как решение задач.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аргинская И. И. Математика 4 класс. -М., 2002.

2. Аргинская И. И. Методическое пособие к учебнику «Математика 4 класс (1-1У)». -Самара: Изд-во «Учебная литература», 2002.

251