Измерение параметров частотных компонент измерительных сигналов на основе методов параметрического анализа

Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль

УДК 621.391

А. В. Терехина, А. А. Селезнев, Г. С. Глухов, М. В. Каширин, Б. В. Цыпин

ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЧАСТОТНЫХ КОМПОНЕНТ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

A. V. Terekhina, A. A. Seleznev, G. S. Gluhov, M. V. Kashirin, B. V. Tsypin

MEASUREMENT OF PARAMETERS OF FREQUENCY COMPONENTS OF MEASURING SIGNALS ON THE BASIS OF METHODS OF THE PARAMETRICAL ANALYSIS

Аннотация. Рассмотрен модифицированный алгоритм измерения параметров колебательных компонент измерительных сигналов на основе метода Прони. Определены погрешности измерения параметров частотных компонент сигналов. Даны рекомендации по применению предложенного алгоритма в информационно-измерительных системах.

Abstract. In article the modified measuring algorithm of parameters oscillatory components of measuring signals on the basis of Proni's method is considered. Errors of measurement of parameters frequency a component are defined. Recommendations about application of the offered algorithm in information and measuring systems are made.

Ключевые слова: измерительный сигнал, информационно-измерительная система, метод Прони, метод экстремальной фильтрации.

Key words: measuring signal, information and measuring system, Proni's method, method of an extreme filtration.

В настоящее время измерения параметров частотных компонент измерительных сигналов имеют широкое применение в составе современных информационно-измерительных систем (ИИС): измерение напряжения, в том числе гармонических составляющих многочастотного спектра; измерение параметров линейных цепей с сосредоточенными параметрами; измерение добротности; измерение частоты электромагнитных колебаний; измерение фазы; измерение амплитудно-частотных характеристик четырехполюсников; измерение параметров спектра; измерение параметров модулированных сигналов и т.д.

Наиболее мощным аппаратом для всестороннего анализа сигналов в цифровой обработке является спектральный анализ [1].

Методы спектрального анализа случайных сигналов делятся на два больших класса — непараметрические и параметрические. В непараметрических методах используется только информация, содержащаяся в отсчетах анализируемого сигнала. Параметрические (parametric) методы предполагают наличие некоторой статистической модели случайного сигнала, а процесс спектрального анализа в данном случае включает в себя определение параметров этой модели [2].

Значительная роль в анализе сигналов принадлежит комплексному преобразованию Фурье:

Формулы 1 и 2 можно назвать парой преобразований Фурье, второе соотношение позволяет найти спектр, т.е. совокупность гармонических составляющих, образующих в сумме и (V), первая формула - вычислить и (V), если заданы гармоники [3].

Однако использование аппарата преобразования Фурье на практике приводит к довольно значительному искажению параметров исходного сигнала. Это связано с такими негативными особенностями классического преобразования Фурье, как «размывание» частотной информации из-за эффекта конечной длины и, как следствие, невозможность точного измерения частоты; ограничение частотного разрешения, т.е. способности различать спектральные линии двух или более составляющих; явление «утечки» - просачивание на соседние гармоники, что приводит к искажению спектра [4].

Среди методов параметрического анализа можно выделить метод наименьших квадратов (МНК) Прони, в основу которого заложена модель (3), представляющая собой сумму колебательных составляющих разной частоты с соответствующими амплитудами, фазами и затуханиями, наиболее естественно описывающая свободные и вынужденные колебания. Применение метода позволяет проводить с высокой точностью измерение параметров колебательных компонент (амплитуд, частот, коэффициентов затухания) на фоне действия шумов и помех:

где р - порядок модели; q - число колебательных и/или инерционных составляющих сигнала; и - амплитуды; а - затухания; / - частоты; ф - фазы; а - коэффициенты авторегрессионной модели; At - шаг дискретизации.

Использование метода Прони позволяет проводить измерение амплитуд и частот сигнала с погрешностью менее 0,5 %. Однако важным вопросом применимости метода в ИИС является вопрос реализуемости данного метода в микропроцессоре с использованием необходимого порядка аппроксимирующей модели. Было установлено, что реализация метода Прони в микропроцессоре - крайне сложная процедура [5]. Вследствие этого необходимо создание методов, в состав которых входит процедура Прони, удовлетворяющих требованиям точности ИИС и возможности их реализации в микропроцессоре, входящем в состав той или иной ИИС.

Для упрощения практической реализации метода Прони предложено использовать еще один метод современной цифровой обработки сигналов - метод экстремальной фильтрации.

Метод экстремальной фильтрации состоит в разложении исследуемого сигнала на знакопеременные составляющие, каждая из которых может быть отнесена к определенной полосе частот [6, 7]. Оценка порядка модели исследуемого сигнала осуществляется по количеству частотных составляющих, каждой из которых соответствует второй порядок.

Принцип разделения сигнала на знакопеременные составляющие строится на том факте, что экстремумы сигнала несут информацию о самой высокочастотной узкополосной составляющей [8]. После удаления (фильтрации) из сигнала этой составляющей мы получим сглаженную кривую, экстремумы которой несут информацию о следующей узкополосной составляющей [9, 10].

где Л-к = Лкв ]^к = Лк , т.е. комплексно-сопряженная с Лк величина. Нетрудно установить,

что

Т/2

Предполагается, что в сигнале сложной формы содержится колебательная составляю- х 1

щая с частотой /1 = , где Д - минимальное расстояние между экстремумами сигнала.

Самая высокочастотная знакопеременная составляющая может быть выделена следующим образом:

р 1 1 1

Л = -4Уэ,-1 + ^Уэ, -4Уэ,+1,

а полученная в результате удаления этой знакопеременной составляющей сглаженная последовательность получается из уравнения

с 1 11

У, = - Уэ,-1 + 2 Уэг + 4 Уэ/+1.

Важным свойством полученных последовательностей Ур (]) (где ] - номер составляющей) является их знакопеременность, т.е. соседние элементы последовательности всегда име-

ют разные знаки [10]. Метод экстремальной фильтрации позволяет исследовать сигналы сложной формы, например, сумму нескольких гармонических колебаний, или переходные процессы. Кроме того, этот метод может использоваться и в качестве метода спектрального оценивания и позволяет достичь требуемой точности оценки спектра, в зависимости от числа итераций исходного алгоритма.

Сглаживание сигнала оператором (5) соответствует пропусканию данных через цифровой фильтр нижних частот с передаточной функцией:

в( /) = Ш1 = 0,25(е; 2л/ ^ -1«} + 2 + в] 2л('© э‘=1 -э}) [7].

Преобразование (5) соответствует пропусканию ряда экстремумов через цифровой фильтр нижних частот с передаточной функцией

в( /) = 0,5(1 + со8(2я /Д)),

а преобразование (4) - пропусканию ряда экстремумов через цифровой фильтр верхних частот с передаточной функцией

в(/) = 0,5(1 - со8(2я /Дг)),

где А т-1п(/э,'+1 tэг, ^эг ^эг'—1)*

Так как расстояние А между экстремумами в знакопеременной составляющей на каждом шаге увеличивается, фильтр, описываемый выражением (4), является полосовым по отношению к диапазону 1/2 А^.

Алгоритм разложения сигнала на колебательные и затухающие составляющие в соответствии с аппроксимативным методом экстремальной фильтрации включает следующие этапы:

1. Выбираем анализируемый сигнал, представленный дискретными отсчетами, либо регистрируем аналоговый сигнал в дискретные моменты времени.

2. Выделяем из сигнала максимальные значения функции в некоторой области, т.е. экстремумы, а также определяем интервалы времени между значениями экстремумов.

3. Удаляем высокочастотную составляющую с помощью цифрового фильтра нижних

частот: Усэ, = ° 25Уэ,- + а 5Уэ, + а 25Уэ,+! .

4. Определяем разность между измеряемым сигналом и уже выделенными составляющими с помощью (4) [7]: уэ, = Уэ, - Уэ, = -0,25Уэ,- + 0,5Уэ, - 0,25Уэ,+х.

5. По значениям экстремумов и интервалов между ними определяем параметры составляющих / = К, /2ЫА1 и о,- или применяем процедуру Прони.

Алгоритм обработки временного ряда на основе предложенного комбинационного метода приведен на рис. 1.

Рис. 1. Алгоритм обработки сигнала на основе комбинации метода экстремальной фильтрации и МНК Прони

Анализ результатов моделирования позволяет сделать выводы о том, что погрешность измерения амплитуды и частоты определяется единицами процентов (рис. 2, 3). Для стабильных значений погрешностей измерения параметров колебательных компонент необходимо исследовать как минимум 300-400 отсчетов исследуемого сигнала.

Рис. 2. Зависимость погрешности измерения частоты от длины выборки N при использовании метода экстремальной фильтрации

Увеличение числа отсчетов сигнала, отношения сигнал/шум, разрядности АТ ЦП не приводит к снижению погрешности измерения амплитуд и частот колебательных компонент сигнала.

Помехоустойчивость предложенной комбинации методов, определяемая исследованием отношения дисперсии сигнала к дисперсии шума, составляет 4-5 раз.

Оценка времени обработки сигнала зависит от аппаратной реализации, выбранной пользователем, однако наличие информации о тактовой частоте процессора позволяет определять время, затрачиваемое на обработку информации. В нашем случае, при / = 2,43 Гц, значения времени обработки сигнала при использовании комбинационного алгоритма ЕЕ + Прони приведены на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость времени обработки сигнала от количества дискретных отсчетов N

Для оптимизации выбора параметров регистрации, оцифровки и условий воспроизведения сигнала в зависимости от предъявляемой точности ИИС при определении амплитуд и частот исследуемого сигнала предложено использование номограмм - графических функциональных зависимостей от многих переменных [11].

Вследствие невозможности учета всего многообразия различных сочетаний значений влияющих факторов результаты исследований погрешностей измерения параметров колебательных компонент сигналов были приведены в наглядную компактную форму, позволяющую неподготовленному пользователю, не знакомому с особенностями метода, выбирать условия эксперимента и, соответственно, значения влияющих факторов, обеспечивающих требуемое значение погрешности [11].

Номограммы представляют собой графические функциональные зависимости от многих переменных. В качестве параметров номограмм выбраны количество отсчетов N, отношение сигнал/шум q, порядок аппроксимирующей модели p и количество периодов измеряемого сигнала п.

На пересечении прямых, соединяющих значения параметров p-n и q-N, ставим значение погрешности, полученное при моделировании при выбранных значениях p, n, q и N. Конечно, каждой точке будет соответствовать множество комбинаций. Но есть и общие закономерности: при большой длине выборки даже при малом отношении сигнал/шум можно получить такой же результат, как и при малой выборке для слабо зашумленного сигнала; при малом числе периодов для улучшения разрешения необходимо увеличить порядок, а при большом количестве периодов порядок можно и не завышать.

В результате проведенных исследований в среде MatLab установлено, что предложенный комбинационный алгоритм на основе метода Прони позволяет измерять амплитуды и частоты исследуемых сигналов с погрешностями менее 1 %, при этом скорость обработки сигнала, зависящая от аппаратной реализации, не превышает 30 с для числа отсчетов не более 1000, что предоставляет возможность использования алгоритма в ИИС, основным требованием которых является быстродействие.

Список литературы

1. Егорова, Е. В. Методы и алгоритмы вейвлетной обработки сигналов в цифровых системах связи : автореферат дис. ... канд. техн. наук : 05.12.04 / Егорова Е. В. - М.,

2010. - 186 с.

2. Сергиенко, А. Б. Обработка сигналов и изображений / А. Б. Сергиенко // Signal Processing Toolbox.

3. Филиппов, Л. И. Принципы аналитического представления и дискретизации сигналов /

Л. И. Филлипов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2000. -№ 10. - С. 95-100.

4. Кривошеев, В. И. О некоторых возможностях и проблемах современного цифрового спектрального анализа / В. И. Кривошеев, С. Ю. Лупов // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2011. - № 5. - С. 109-117.

5. Пушкарева, А. В. Использование метода декомпозиции на эмпирические моды для сжатия информации в системах контроля и диагностики технически сложных объектов РКТ / А. В. Пушкарева, И. А. Феоктистов // Датчики и системы - 2011 : сб. тр. межрег. науч.-практ. конф. молодых ученых и специалистов / под ред. акад. А. В. Блинова. -Пенза : НИИФИ, 2011. - С. 16-18.

6. Берестень, М. П. Концепция организации обработки информации в системах диагностики и распознавания / М. П. Берестень, А. Ю. Зенов // Перспективные научные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении : сб. тр. науч.-техн. конф. - Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2012. - 112 с.

7. Строганов, М. П. Обработка сигналов в системах диагностики : моногр. / М. П. Строганов, М. П. Берестень, Н. В. Мясникова ; под ред. Е. П. Осадчего. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1997. - 120 с.

8. Мясникова, М. Г. Измерение параметров электрических сигналов на основе метода Прони : дис. ... канд. техн. наук : 05.11.01 / Мясникова М. Г. - Пенза, 2007. - 181 с.

9. Мясникова, Н. В. Экстремальная фильтрация и ее приложения / Н. В. Мясникова,

М. П. Берестень // Датчики и системы. - 2004. - № 4. - С. 8-11.

10. Марпл, С. Л. (мл.). Цифровой спектральный анализ и его приложения : пер. с англ. /

С. Л. Марпл (мл.). - М. : Мир, 1990. - 584 с.

11. Мясникова, М. Г. Разработка методики измерения параметров электрических сигналов на основе номограмм / М. Г. Мясникова, А. В. Пушкарева // Методы, средства и технологии получения и обработки измерительной информации : тр. Междунар. науч.-техн. конф. «Шляндинские чтения - 2010». - Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. - С. 3S-40.

Терехина Анастасия Валерьевна

аспирант,

Пензенский государственный университет E-mail: anastacia.terekhina@gmail.com

Селезнев Анатолий Анатольевич

студент,

Пензенский государственный университет E-mail: strannik_1992_26_03 @mail.ru

Глухов Геннадий Сергеевич

студент,

Пензенский государственный университет E-mail: genok_cskamoscow@mail.ru

Каширин Максим Витальевич

студент,

Пензенский государственный университет E-mail: maksimus_kashiri@mail.ru

Цыпин Борис Вульфович

доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-измерительной те: Пензенский государственный университет E-mail: cypin@yandex.ru

Terekhina Anastasiya Valer'evna

postgraduate student,

Penza State University

Seleznev Anatoliy Anatol'evich

student,

Penza State University

Glukhov Gennadiy Sergeevich

student,

Penza State University

Kashirin Maksim Vital'evich

student,

Penza State University

Tsypin Boris Vul'fovich

doctor of technical sciences, professor, sub-department of information and measuring equipment,

Penza State University

УДК 621.391

Измерение параметров частотных компонент измерительных сигналов на основе методов параметрического анализа / А. В. Терехина, А. А. Селезнев, Г. С. Глухов, М. В. Каширин, Б. В. Цыпин / / Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2014. - № 1 (7). - С. 58-64.