Моделирование процесса GARCH (1,1) для анализа волатильности при международной диверсификации портфеля акции

УДК 339.72

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА GARCH (1,1) ДЛЯ АНАЛИЗА ВОЛАТИЛЬНОСТИ ПРИ МЕЖДУНАРОДНОЙ ДИВЕРСИФИКАЦИИ ПОРТФЕЛЯ

АКЦИИ

Кисилевский Станислав Олегович, соискатель ученой степени, stas710@rambler.ru,

ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва.

The article is devoted to modeling of process of GARCH (1,1) volatility index (the dispersion of the portfolio return) for the developed and developing countries. The need for diversification to reduce the level of volatility in the securities portfolio. Formation of an international portfolio of stocks with the lowest average volatility. A comparative analysis of countries with different measures of volatility to identify an optimal structure of a diversified portfolio of securities.

Статья посвящена моделированию процесса GARCH (1,1) показателя волатильности (дисперсия доходности портфеля) для стран с развитой и развивающейся экономикой. Необходимость диверсификации для снижения уровня волатильности при формировании портфеля ценных бумаг. Формирование международного портфеля акции с наименьшим средним показателем волатильности. Сравнительный анализ стран с различными показателями волатильности для выявления оптимального состава диверсифицированного портфеля ценных бумаг.

Key words: securities market, volatility, diversification

Ключевые слова: рынок ценных бумаг, волатильность, диверсификация

Лучший способ оценки выгод от диверсификации за счет акций зарубежных компаний - изучение влияния такой диверсификации на измеримый риск инвестирования в акции с помощью традиционного мерила риска, а именно волатильности (дисперсии доходности). Те же показатели можно использовать для оценки ожидаемых доходов от инвестирования за рубежом, потому что предпосылка к этому такова: одна и та же ожидаемая доходность относится и к зарубежным, и к отечественным инвестициям в акции. Результаты не будут одинаковыми, но при решении вопроса о стратегических распределениях средств надежнее всего полагать, что нельзя знать заранее, какой из рынков акций, скорее всего, обеспечит максимальную доходность.

Существует мнение, что предпочтение отдается развивающимся рынкам, поскольку предполагается, что они обеспечат более высокую доходность, чем развитые рынки. Это предположение было бы обоснованным, если бы новые рынки обеспечивали подверженность более высокой степени систематического риска, чем акции на торгах развитых рынков. Одна лишь повышенная волатильность (как правило, следствие меньшей диверсификации) не является достаточной причиной для такого предположения, как и твердая уверенность в том, что развивающаяся экономика будет расти быстрее [4].

Одна из характерных черт финансовых рынков - это то, что присущая рынку неопределенность изменяется во времени. Как следствие, наблюдается «кластеризация волатильности». Под этим имеется в виду возможность чередования периодов, когда финансовый показатель ведет себя непостоянно и относительно стабильных периодов.

Моделирование волатильности доходности активов возможно на основе понятия гетероскедастичности. Гетероскедастичность - это свойство стохастической компоненты регрессии, выражающееся в том, что их дисперсия (а, следовательно, разброс значений ошибок) не является постоянной, т.е. величина дисперсии изменяется во времени.

Следствие гетероскедастичности - найденные оценки коэффициентов регрессии больше не представляют собой наилучшие оценки с наименьшей дисперсией. В результате значение критерия проверки значимости коэффициентов будет искажено: при отрицательном смещении дисперсий он будет неосновательно завышен, при положительном - занижен, что повлечет за собой неверные выводы о значимости оценок коэффициентов регрессии. Для отражения изменчивости дисперсии во времени был разработан Инглом (1982) процесс ARCH [1, 2]. Сначала моделируется условная средняя, как модель авторегрессии

r = a 0 + а1 r - 1 + £t (1).

На основе полученных остатков моделируется авторегрессионная условная гетероскедастичность

h? = Ро + £ Р1 • (г-1)2 (2).

i=1

Одна из проблем, связанных с формулировкой ARCH, - это то, что величины a0,ai (1) всегда должны быть неотрицательны для того, чтобы условная дисперсия всегда была положительной (2). Однако при включении большого числа лагов, что требуется для моделирования некоторых процессов, ограничение неотрицательности может быть нарушено.

За последние двадцать лет были разработаны многочисленные модификации базовой модели Ингла, в частности M-ARCH, F-ARCH, T-ARCH, и примеры применения ее к

финансовым и макроэкономическим временным рядам. В результате выделился целый набор более совершенных моделей, позволяющих отказаться от предположений о независимости волатильности от своих предыдущих значений и учесть автокорреляцию в них.

Боллерслев (1986) обобщил модель ARCH путем включения предыдущих значений условной дисперсии, чтобы избежать длиннолаговой структуры ARCH(q), назвав ее GARCH (p,q) (generalized autoregressive conditionally heteroskedasticity) [1, 2].

Таким образом, модель GARCH

В данной модели параметры

•во (во >0) - отвечает за безусловное значение волатильности;

•Рг (вг -0) - за реакцию текущего значения волатильности на предыдущий

шок;

•а (а-0) - отвечает за «сохранение эффекта», т.е. насколько

продолжительными будут периоды высокой (низкой) волатильности. Если отобразить на временной оси значение доходности какого-нибудь финансового ряда (доходность акции), можно увидеть эффект кластеризации периодов высокой (низкой) волатильности. Этот эффект и пытается уловить GARCH модель.

•ги12- - предыдущие квадраты остатков из уравнения условной средней;

•ht-12 - предыдущие значения условной дисперсии.

При значениях параметров p=1, q=1, модель GARCH(1,1) является популярной спецификацией, поскольку основную изменчивость волатильности во времени она улавливает. Изредка используют GARCH (2, 1), GARCH (1, 2).

Это уравнение показывает, что текущее значение условной дисперсии является функцией от константы - некоторого значения квадратов остатков из уравнения условной средней плюс некоторое значение предыдущей условной дисперсии.

Модель GARCH является альтернативной модификацией ARCH, позволяющей получить более длинные кластеры при малом числе параметров.

Процесс, который моделируется должен быть стационарным, а GARCH - модель динамики дисперсии ряда. Соответственно ряд дисперсий должен быть стационарным, то

стр. 67 из 326

есть берутся приращения цены или доходности (в последнем случае, GARCH моделирует волатильность цены), и зная, что, в частности, GARCH можно использовать для моделирования волатильности и соответственно ее оценки, смоделируем волатильность процесса.

Для исследования были взяты временные ряды (период с января 1995 года по февраль 2010 года) месячных цен закрытия 10 страновых индексов, где 5 индексов стран с развивающейся экономикой (Россия, Индия, Бразилия, Китай, Южная Корея) и соответственно 5 индексов стран с развитой экономикой (США, Великобритания, Франция, Германия, Япония). Источник данных показателей индексы стран MSCIbarra.

Определим параметры модели GARCH

\ в + в1 '

Используя математические программные компоненты и функцию для отыскания параметров множественной регрессии, отыщем искомые значения (табл. 1).

Таблица 1

Параметры модели GARCH (1,1) для 10 страновых индексов

КР Ш ВК сн SK ик РК GE JP

ь о 2,572 1,202 2,261 1,971 2,318 1,058 0,658 1,233 1,058 0,254

Ь1 0,164 0,112 0,008 0,173 0,182 0,0684 0,243 0,096 0,053 0,174

а1 -0,00061 -0,00252 -0,00481 -0,0131 -0,00906 -0,02552 -0,01719 -0,01843 -0,01006 -0,0081

Таким образом, подставляя найденные значения параметров в уравнение (4), находим условную дисперсию для 10 стран. Рассмотрим некоторые из них.

2000

1000

( * ) 0 4-

40

20

.Д-604, 0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Рис. 1. А - значение индекса RF, Б - Гистограмма значений дисперсии

стр. 68 из 326

По рис. 1 видно, что более высокий куртозис наблюдается с 40 по 50 показатель, что соответствует на тот момент кризису 1998 года, тогда индекс понизился в 10 раз (с апреля по сентябрь). Высокая степень волатильности отличался не так давно пережитый период с 161 по 175 (с мая 2008 года по настоящее время), в этот период индекс изменился в пять раз, что также сопровождается одним из свойств ARCH-процессов -кластеризацией волатильности. При помощи модели мы можем определить, что волатильность актива в долгосрочной перспективе испытывает колебания вокруг среднего. Средние значения дисперсии приведены в табл. 2.

Таблица 2

Средние значения дисперсии для 10 индексов

КР ш ВК сн SK ик РК GE JP

Меап (^ 2) 8,578 5,125 9,078 13,955 15,302 3,586 3,091 4,806 4,907 3,486

Как видно из табл. 2, максимальным значением дисперсии обладают Южная Корея, Китай (страны, относящиеся к развивающимся экономикам), что говорит о более высокой степени риска при вложении капитала исключительно в ценные бумаги данных стран. Это связано с азиатским кризисом конца 90-х, тогда страны данного региона пострадали в большей степени. Кризис 1998 года испытала на себе и экономика России. Наименьшим значением дисперсии обладает Великобритания (рис. 2), которая

относиться к развитым экономикам. Как видно из диаграммы Б, индекс обладает

низкой

1500 1 000 500

10

Рис. 2. А - значение индекса иК, Б - Гистограмма значений дисперсии

- Б

степенью волатильности, высокий куртозис наблюдается в период с мая 2008 года по февраль 2009 года, указанный период также сопровождался плотной кластеризацией. Момент высокой волатильности наблюдался в период 2001-2002 годы, по-видимому, это связано с атаками террористов 11 сентября 2001 года.

Показатель средней дисперсии для Великобритании в 5 раз ниже, чем для Южной Кореи, а также в 3 раза ниже, чем для РФ, из чего можно сделать вывод о необходимости для российского инвестора диверсифицировать свой портфель ценных бумаг за счет бумаг других стран с меньшей степенью волатильности на фондовом рынке. К сожалению, данные рынки не обладают столь высокими, как Россия показателями доходности, но если речь идет именно о сохранении капитала, то в данном контексте есть глубокая необходимость в анализе при формировании портфеля ценных бумаг с использованием международной диверсификации. Существует возможность сформировать портфель ценных бумаг, который будет включать в себя ценные бумаги той или иной страны в зависимости от показателя волатильности на данный момент, таким образом можно существенно снизить риски при значительных колебаниях на фондовом рынке.

Литература

1. Пикфорд Джеймс. Секреты инвестиционного дела. Все, что нужно знать об инвестициях. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2006.

2. Станьер Питер. Инвестиционные стратегии: руководство. Как понимать рынки, риски, вознаграждение и поведение инвесторов. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес». 2009.

3. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999.

4. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1998.

5. Салманов О.Н. Оценка финансовых активов. Учебное пособие. Часть 1, 2. М: МГУС, Институт систем управления экономикой, 2005.

6. Салманов О.Н. Информационные системы фондового рынка. М.: Изд-во ГОУВПО «МГУС», 2005.