Сходимость метода редукции и совместность бесконечных систем

УДК 512.6:519.61 Ф. М. Федоров, О. Ф. Иванова, Н. Н. Павлов

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА РЕДУКЦИИ И СОВМЕСТНОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ

Известно, что бесконечная система линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем преобразованием Гаусса сводится к системе с гауссовой формой. Поэтому рассматриваются бесконечные системы в гауссовой форме. В этом случае матрица данной системы не содержит нулевых диагональных элементов, а все элементы матрицы ниже диагонали равны нулю. Предлагается решать такие системы методом простой редукции, т. е. редукцией в узком смысле. Показано, что если гауссовы бесконечные системы совместны, то метод простой редукции сходится всегда. Доказано существование особого частного решения гауссовых систем, к которому сходится метод простой редукции. Эти решения названы строго частными решениями, и они получены в замкнутом виде. Следовательно, бесконечная система совместна тогда и только тогда, когда существует строго частное решение данной системы. Это частное решение бесконечной системы имеет особые свойства: во-первых, это единственное частное решение, которое выражается формулой Крамера; во-вторых, оно не содержит как аддитивное слагаемое нетривиальное решение соответствующей однородной системы; в-третьих, хорошо известное главное решение бесконечной системы, на самом деле, совпадает со строго частным решением.

Полученные для гауссовых систем результаты обобщены в общие бесконечные системы. Указаны признаки несовместности бесконечных систем.

Ключевые слова: бесконечные системы, линейные алгебраические уравнения, решение системы, совместность системы, преобразования Гаусса, гауссовы системы, метод редукции, главное решение, строго частное решение, формула Крамера.

F. M. Fyodorov, O. F. Ivanova, N. N. Pavlov

Convergence of the Method of Reduction and Consistency of Infinite Systems

It is known that nonzero determinant infinite system of linear algebraic equations with Gauss transformation is reduced to a system in the Gaussian form. Therefore endless systems in the Gaussian form are examined. In this case the matrix of this system does not contain zero diagonal elements, and all the elements of the matrix below the diagonal are zero. It is proposed to solve such systems by the method of simple reduction, i. e. the reduction in the narrow sense. It is shown that if the Gaussian infinite systems are compatible, simple method of reduction always converges. The existence of special private decisions of Gaussian systems to which simple method of reduction converges has been proved. These solutions are called strictly private solutions and they are obtained in a closed form. Therefore, infinite system is consistent then and only then, when there is a strictly private solution of this system. This particular solution of an infinite system has special characteristics: firstly it is the only private solution which is expressed by the Kramer formula; secondly it does not contain nonzero solution of the corresponding homogeneous system as an additive component; thirdly a well known main solution of an infinite system, in fact, coincides with strictly private solution.

Received results for Gaussian systems have been summarized in the general infinite systems. Incompatibility signs of infinite systems have been indicated.

Key words: infinite systems, linear algebraic equations, solution of a system, consistency of a system, transformation of Gauss, Gaussian systems, the method of simple reduction, the main solution, strictly a private solution, Kramer formula.

ФЕДОРОВ Фома Михайлович - д. ф.-м. н. главный науч- Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of ный сотрудник НИИ математики СВФУ им. М.К. Аммосова. Differential Equations, the Institute of Mathematics and Informatics, E-mail: foma-46@mail.ru the North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov.

FYODOROV Foma Mikhailovich - Doctor of Physical and E-mail: O_buskarova@mail.ru

Mathematical Sciences, Chief Scientific Researcher of the Math ПАВЛОВ Никифор Никитич - к. ф.-м. н., доцент кафед-

Research Institute, the North-Eastern Federal University named ры информационных технологий Института математики и after M.K. Ammosov. информатики СВФУ им. М.К. Аммосова.

E-mail: foma-46@mail.ru E-mail: pnn10@mail.ru

ИВАНОВА Оксана Федотовна - к. ф.-м. н., доцент PAVLOV Nikifor Nikitich - Candidate of Physical and

кафедры дифферениальных уравнений Института математи- Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of ки и информатики СВФУ им. М.К. Аммосова. Information Technology, the Institute of Mathematics and Informatics,

E-mail: O_buskarova@mail.ru the North-Eastern Federal University named after M.K. Ammosov.

Ivanova Oksana Fedotovna - Candidate of Physical and E-mail: pnn10@mail.ru

Введение

Исследование бесконечных систем линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных начало разрабатываться с конца XIX в. усилиями таких великих математиков, как Пуанкаре, Фредгольм, Гильберт и др. Интерес к таким системам возник и развился в связи с теми приложениями, которые они имеют в вопросах разложения функции в ряд, интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, в теории интегральных уравнений и, в особенности, при решении краевых задач математической физики. Естественно, такой широкий спектр приложений бесконечных систем не мог не вызвать интерес к ним математиков всего мира. За более чем сто лет изучения бесконечных систем накопилась обширная литература [1; 2]. До сих пор, однако, теория бесконечных систем не получила вполне законченного вида. Эта теория, с одной стороны, оказалась чрезвычайно сложной, с другой стороны, имеет очень богатое содержание. В настоящее время практически полностью изучен только десяток частных классов бесконечных систем: нормальные системы, регулярные и вполне регулярные системы, мультипликативные системы, системы с разностными индексами и другие [3; 4]. Однако на много лет исследования по бесконечным системам серьезно затормозились. В настоящее время благодаря нашим усилиям [3-9] данный вопрос сдвинулся с места.

В данной работе речь пойдет об особом частном решении бесконечных систем, которое всегда существует, если исходная система совместна. Целью предлагаемой статьи является доказательство существования особого решения общих бесконечных систем и найти представление этого решения.

Сходимость метода редукции и строго частное решение

Напомним, что бесконечной системой линейных алгебраических уравнений с бесконечным множеством неизвестных называется система уравнений [1]:

11X1 1 2 *х 2 1 • • • + а1,пХп + • • = Ь1>

1X1 + а 2 X 1 • • • + а2,пХп + • • = Ь2>

ап,1 Х1 + ап,2 Х2 + • • • + ап ,пХп + • . = ь п

где а.к - известные коэффициенты, Ь. - свободные члены и хк - неизвестные из поля F.

Совокупность численных значений величин Х1 , х2, ... называется решением системы (1), если после подстановки этих значений в левую часть равенств (1) мы получим сходящиеся ряды и все эти равенства будут удовлетворены, в противном случае система не имеет решений.

В случае разрешимости бесконечная система называется совместной, в противном случае -несовместной.

Под бесконечной матрицей понимаем таблицу коэффициентов бесконечной системы (1):

а,

1,1

а

1,2

а

2,1

а

'2,2

а„

а

а

1,п

а

а

которая называется (основной) матрицей системы (1).

Выделив элементы, содержащиеся в первых п столбцах и первых п строках матрицы А, образуем из них определитель п-го порядка:

О,,..., ]п )

а ...а

2,у2 п,]п

Значение этого определителя, очевидно, зависит от числа п, т. е. от порядка составленного таким образом определителя. Его называют главным определителем п-го порядка, порождаемого матрицей А [1].

Если при неограниченном возрастании порядка п главного определителя | Ап | матрицы А его значение стремится к определенному пределу | А | , то говорят, что существует бесконечный определитель, образуемый матрицей А, и что | А | есть значение этого определителя [1]. Ниже рассматриваются бесконечные системы с ненулевым бесконечным определителем.

При решении методом простой редукции [1] предельный переход от решений конечных систем к решению бесконечных систем осуществляется с помощью мажорантных систем. Но известно [2], что общая бесконечная система мажорируется системой, для которой найти решение или соответствующим

п

образом оценить его нелегко и, чаще всего, невозможно (решение мажорантной системы

соизмеримо с решением самой системы). Кроме того, урезанная система решается с помощью

приближенных методов, чаще всего методом

последовательных приближений, условия сходимости которого накладывают дополнительные условия на сходимость метода редукции. Поэтому необходимо применение нетрадиционного способа предельного перехода. Первым этапом такого подхода может быть преобразование исходной бесконечной системы к бесконечной системе, урезанная конечная система которой решалась бы точно. Точное решение урезанной системы для каждого п играет определяющую роль в сходимости метода простой редукции. Действительно, по предположению (| А |= А = 0 т. е. Дя = 0 для любого п) единственное решение урезанной системы выражается формулой Крамера, п Д11

Т. Є. Xj = -

лі)

n

Д„

где

д

определитель

д..

lim Xj =

lim А

А

btJ =0 для

матрицей, в которой все Ь^ ^ = 0 и всех }>і. Отметим что, если все диагональные элементы матрицы В равны единице, то получим метод исключения Гаусса (алгоритм Гаусса).

Таким образом, не нарушая общности, предполагаем, что рассматриваемые бесконечные

системы допускают гауссову форму [3-5].

Пусть дана следующая неоднородная бесконечная система в гауссовой форме в краткой записи:

p=0

j+pxj+p

= bj, j = 0,1,2,...

Формально разделив все уравнения системы (3) на диагональные элементы а^ j. (так как аj j ^ 0), можно представить бесконечную систему (3) соответственно со следующими коэффициентами и свободными членами:

- _ - _ аиі - Ь.

ао,о =1, аі, j = ——

bj =

a

j , j

aj ,j

Следовательно, основная матрица А бесконечной гауссовой системы (3) запишется так:

котором j-ый столбец заменен столбцом свободных членов первых n уравнений системы (1). Тогда по определению бесконечных определителей имеем

lim A

т. е. в случае сходимости

метода простой редукции мы в праве получить частное решение бесконечной системы (1), которое выражается формулой Крамера, причем, очевидно, оно является единственным таким решением.

Естественно, таким преобразованием было бы обобщение преобразования Гаусса для конечных систем (алгоритма Гаусса) на бесконечный случай. Такое преобразование осуществлено нами в работе [3]. В ней показано, что любая бесконечная матрица А исходной бесконечной системы с отличным от нуля бесконечным определителем разлагается в произведение двух бесконечных матриц А=ВС. Здесь С является гауссовой матрицей, в которой все диагональные элементы не равны нулю и с1  =0 для всех j < I, а В является треугольной

a0,1 *3 | а0 a0,4 a0,n

a0,0 a0,0 а0,0 а0,0 а0,0

1 а1,2 а1,3 а1,4.

а1,1 а1,1 а1,1 ' а1,1

0 1 а2,3 а2,4 a2,n

0 0 0 0. а ч n—1,n an,n

0 0 0 0. 1

.

Очевидно, бесконечный определитель | А |= Д, порождаемый матрицей А, существует и он равен единице, т. е. А=1ф 0.

В работах [4, 5] гауссова система (3) решена методом редукции в узком и широком смыслах. Здесь систему (3) урезаем в соответствии с методом редукции в узком смысле (методом простой редукции), т. е. в ней оставляем п+1 уравнений с п+1 неизвестными:

г-j

Е

р=о

aj ,j+Р

xj+p = bj

aj,j

0,

j = 0, n.

Напомним, что классический способ решения конечных систем с верхней треугольной матрицей заключается в следующем. Очевидно, что последнее уравнение системы (6) дает значение для п-го неизвестного

1

в

X = . Подставляя это значение xn в предыду-

a

n ,n

щее уравнение системы (6), найдем из него xn-1. Продолжая таким образом, получим решение конечной гауссовой системы. Хотя мы найдем точное решение конечной системы (6) для любого п, данное решение очевидным образом не обобщается

в бесконечный случай, поскольку нам неизвестно

b

значение предела lim—п . Вторым этапом нового а

п,п

подхода является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть задана урезанная от системы (3) по методу редукции в узком смысле конечная гауссова система (6). Тогда решением конечной системы (6) будет выражение:

Xj = Bn_ j, j = 0,1,..., n,

где

B„-j = ^ - J] ^ Bp, B0 = A_, j = 0, n-1.

a. . p=0 a. . a

j ,j p=0 j ,j n,n

Доказательство. Вводим новый параметр B, определяемый рекуррентно следующим образом. Последнее уравнение системы (6) дает

n b

Xn = -n- = B0.

an,n

Из предпоследнего уравнения получим

a„

Xn—1

_ bn_ 1

a,

'n—1,n—1 an—1,n—1

Bo = B1.

При j=n-2 имеем

Xn—2

n—2

a

—2,n—1

a

—2,)

an—2,n—2 an—2,n—2

a

B0 - B2.

n—2,n—2

Продолжая таким образом, по индукции заключаем, что

где

Bj =

_ n-j

a„

j-i

a . ^=0 a . .

n—j ,n-j p=0 n—j ,n— j

B -

n^œ a

p=j +\uj ,j

-, a n^œ p=j+luj,j

n—p

в выражении (8) допустим предельный переход почленно, тогда предельное Вф является частным решением бесконечной системы (3).

Доказательство. Допущения теоремы позволяют, переходя в выражении (8) к пределу, получить следующее равенство для каждого у.

b.

B

a ,j p-j+i au

Отсюда, поскольку aj j / 0 следует соотношение:

X pB(p)=bj •

Производя в выражениях (9), (10) замену индекса у на п-/, получим соответственно соотношения (7) и (8).

Пусть в выражении (8) допустим предельный переход почленно, т. е. выполняется соотношение:

а,. „ ^ а,

Теорема 2. Пусть существует предел lim Bn_ j = B(j), причем не все B(j)=0. Пусть

Сличая выражения (3) и (12), убеждаемся, что x=B(j), т. е., Bj) является частным решением неоднородной бесконечной системы (3), если не все B(j)=0.

Определение. Частное решение xj=B(j) неоднородной гауссовой бесконечной системы (3) называется строго частным решением системы (3).

Заметим, что впервые понятие строго частного решения неоднородной гауссовой бесконечной системы было введено в работе [4].

Из вышеприведенных рассуждений непосредственно вытекает лемма 1.

Лемма. Условие существования предела lim Bn_ j = B( j), такого, что не все B(j)=0 является

необходимым условием существования строго частного решения гауссовой системы (3).

Теорема 3. Пусть выполняется условие леммы. Предельный переход в выражении (8) возможен тогда и только тогда, когда совокупность чисел B(j), j=0,1,... является строго частным решением гауссовой системы (3).

Доказательство. Необходимость. Пусть предельный переход возможен. Тогда по теореме 2 совокупность чисел B(j) является строго частным решением системы (3).

Достаточность. Пусть совокупность чисел B(j), j=0,1,... является строго частным решением гауссовой системы (3), т. е. выполняются равенства (11). Меняя индекс суммирования и переходя к пределу в выражении (8) с учетом условия леммы, получим выражение (13). Вычитая из равенства (11) равенство (13) имеем:

а.

lim ^ —^ Вп_р = ^ В{р) = ^ iimВп_р,

р=j+i -j j - -

p=}++ aj, j

p=j+i aj,j '~<x>

кроме того, поскольку Бф являются строго частным решением, то не все они равны нулю, получили то, что требовалось доказать.

Совместность бесконечной системы и строго частное решение

Теорема 4. Неоднородная гауссова система (3) совместна тогда и только тогда, когда существует ее строго частное решение.

Доказательство. Достаточность очевидна. Пусть {Уi )о° - некоторое частное решение неоднородной гауссовой системы (3). Существование строго частного решения доказывается совершенно аналогично доказательству необходимого условия основной теоремы работы [7], при этом применяем метод редукции в широком смысле, т. е. урезаем систему (3), оставляя в ней п уравнений с п+1 неизвестными. В результате убеждаемся, что рассматриваемое решение у. выглядело бы так:

* = В/) -

№

к=0

ь 7 Ь7+1 Ь7+2 Ьп-1

а. . 7>7 а7+1,7+1 а7+2,7+2 е 1- п ап

а. 7, 7+1 1 0 . . 0

а 7>7

а7,7+2 а7+1,7+2 1 . 0

а 7, 7 а7+1,7+1 . 0

7+7 а7+1,7+7 а 7+2,7+7 . 0

а J,J а7+1,7+1 а 7+2,7+2

а 7, п-2 а7+1, п-2 а 7+2,п-2 . 0

а J,J а 7+1,7+1 а7+2,7+2

а 7, п-1 а7+1,п-1 а7+2,п-1 . 1

а J,J а 7+1,7+1 а7+2,7+2

где Cg=const.

Но второй член в правой части выражения (13) является нетривиальным решением (если оно существует) однородной системы (3), как на это указывает основная теорема работы [7]. Отсюда следует, что В(ф) действительно является решением исходной гауссовой неоднородной системы (3), причем полученной методом редукции, т. е. на самом деле является строго частным решением.

Замечание 1. Если гауссова система (3) совместна, то предел в выражении (7) стремится к строго частному решению Бф системы (3), на что указывают теоремы 2-4. Отсюда следует, что метод редукции (в узком и широком смыслах) сходится всегда, если только гауссова система (3) совместна.

Но из соотношений (11) принципиально нельзя найти пределы Бф, поскольку решение системы уравнений (11) соизмеримо с решением исходной гауссовой системы (3). Соотношения (11) показывают только возможность предельного перехода от конечных к бесконечным системам. Следовательно, необходимо найти и применить другое соотношение. Для этого из коэффициентов и свободных членов системы (3) составляем бесконечную матрицу

Бесконечная матрица (14) получена из основной матрицы А системы (3) следующим образом. Заменяем ф+1 -й (помня, что ф начинается с нуля) столбец матрицы (5) столбцом свободных членов системы (3) с учетом обозначения (4). Затем вычеркиваем первые ф столбцов и ф строк. Транспонируя таким образом преобразованную матрицу, получим бесконечную матрицу (14). Исключая первую строку в матрице (14), при этом не нарушая общности,

полагая, что а=1, можно составить конечный

’ и ’

определитель А (ф ) п-го порядка:

а7,7+1 1 .. 0 0

а1,1+2 ау+1,1+2 . . 0 0

а1,1+п-1 а]+1,]+п-1 .. а1+п-2,1+п-1 1

а7,7+п а7+1,7+п .. а]+п-2,]+п а 1+п-1,1+п

Из главных миноров определителя Апф составим определители А() р-го порядка, при этом полагаем, что А ф=1. Таким образом, получим бесконечную

последовательность

40')=а = А1 со

<

4( Л =

определителей:

а1,7+1 1 а7,7+1 а 7,7+2

а],7 +2 а7+1,7 +2 1 а7‘+1,7+2

Адф=1,

= АТ (7),

А( j ) =

V, j+1

V, j+2

j, j+3

"j+1, j+2

"j'+1, j+3

0

1

a j+2, j+3

= AT

где Ар (j) - определители соответствующих транспонированных матриц.

Последовательность определителей (16) в работах [4, 5] названа характеристической последовательностью гауссовой системы (3). Но в этих работах определители Арф не зависят от j.

Теорема 5. Характеристическая последовательность (16) рекуррентно вычисляется соотношением:

A (j )=Ё(-1) p-'-

к=0

а

j+к, j+p к

A

An(j) aj+n-l, j+nAn-l An-V

где А'п_х есть определитель последняя строка заменена определителя А и)

Следовательно, по индуктивному предположению справедливо:

П—2

4!-,

n-2—k

а

j+k, j+n k

Ak

Bn-j ^n-j+1

b. b b. - .. b

j j+1 j+2 n

aj, j+1 1 0 . .. 0

aj, j+2 aj+1, j+2 1 . .. 0

aj, j + j a /+1,j+j aj+2, j+j . .. 0

aj ,n-l aj+1,n-1 1- S ¥ j a .. 0

aj ,n a.j+1,n S + j a . 1

Доказательство. Выражение (17) легко

доказывается индукцией из (15). Действительно, при р=1 очевидно, что соотношение (17) выполняется. Пусть выражение (17) справедливо при р=п-1, докажем ее при р=п. Прежде всего заметим, что разложение (17) является как бы разложением определителя А() по последней строке по главным минорам А() (15) порядка к<р-1. Разлагая определитель А(]) порядка п по последнему столбцу, имеем:

4,-i( J), в котором последней строкой

Вычисление определителя (18) осуществлено в работе [8] и получено:

Bn-j = С

p=0

где Ap (j) рекуррентно вычисляется соотношением (17).

Переходя к пределу в выражениях (7) и (19), вычислим

lim xj = Xj = \imB„-j = B(j) = ^(-1) PAp (j)bj+p „ j = 0,..., ^

n——то n——то p=o

тем самым найдем строго частное решение гауссовой системы (3). Переходя в выражении (19) к пределу, определим бесконечные определители, значения

которых равны B(j). На самом деле ряды в (20) являются бесконечными определителями | A(7+1) |

матрицы A, в которой j+1-ый (¡=0,1,2,...) столбец заменен столбцом свободных членов.

Поэтому в матрице A

системы (3) и рассмотрим ее определитель D(k):

k=0 1 a0,1 a0,2 a0,k-2 b0 a0,k a0,n-1

тем самым показали справедливость разложения (17). 0 1 а1,2 ai,k-2 b1 a1,k a1,n-1 .

Теорема 6. Пусть гауссова система (3) совместна, 0 0 1 a2,k-2 b3 a2,k a2,n-\

тогда строго частное решение системы (3) выра- д(*) =

жается формулой Крамера. 0 0 0 1 bk-2 ak-2,k ak-2,n-1 .

Доказательство. Согласно замечанию 2 необходимо 0 0 0 0 bk-1 ak-1,k ak-1,n-1 .

найти предел lim B _.. Для этого из бесконечной п^ж n . 0 0 0 0 bk 1 ak,n-1 .

матрицы (14) составляем специальный определитель

Дт+1 порядка ш+1, при этом, не нарушая общности, положим а,=1 . Согласно работе [7] выражение (8) на самом деле определяет определитель А пч+1, т. е. В . = А , где

п—] п—у+1

при п- > 0:

n- j +1

D1 = B0 = b,

порядка и

В работе [9] показано, что бесконечный определитель (21) равен ряду в выражении (20). Так как определитель А матрицы А равен единице (поскольку по допущению а. =1), то

ю — О'+О

хі = ВЦ) = =^{-\)р Ар Ц)ьі+Р = ——, .] = 0,1,...сю

р=0 —

т. е. получили формулу Крамера.

Замечание 2. Теорему 6 можно доказать и проще, а именно с помощью рассуждения, приведенного в начале статьи, но в этом случае ряд в (22) выпадет, т. е. определитель Д(-і+1'> останется не раскрытым.

3. О необходимых условиях существования решений

Теперь найдем признаки несовместности гауссовой системы (3). Для этого на основании теоремы 4 достаточно найти условия существования строго частных решений системы 3.

Из определителей Ар (у) составляем вектор

aj = Н(Л-40'),...,(-1)РЛ(Л-.} и вект°р

Ь ={Ь , Ь+1, Ь+2,...} , і ^ о

6 можно переписать следующим образом:

Теорема 6’. Пусть неоднородная гауссова система (3) совместна, тогда ее строго частное решение х^ равно скалярному произведению векторов

a] и Ь] :

х, = В

Следующие теоремы дают критерии несовместности гауссовой системы (3) с ненулевым бесконечным определителем.

Теорема 7. Если ряд в (20) расходится хотя бы для одного ]=]№ т. е. скалярное произведение векторов aj0 и Ь ^ , не ограничено, то гауссова система (3) несовместна.

Доказательство. На основании теорем 6 и 6' не существует строго частного решения гауссовой системы (3), тогда по теореме 4 система (3) несовместна.

Теорема 8. Если вектор а] ортогонален к вектору

b] для любогоф, т. е.

(а і , Ь] ) = 0, ",

но для некоторого і = і, то система

несовместна.

Доказательство. На основании теорем 6 и 6' получаем, что В( j) = АІ+1 = 0 для всех і. Следовательно, по лемме 1 не существует строго частного решения гауссовой системы (3), отсюда следует

несовместность системы (3).

Заключение

В заключение приведем важнейшие свойства строго частного решения бесконечных систем:

- во-первых, бесконечная система совместна тогда и только тогда, когда существует строго частное решение. Следовательно, для исследования существования решений общих бесконечных систем достаточно доказать существование только строго частных решений;

- во-вторых, строго частное решение получено методом простой редукции. Таким образом, для совместных бесконечных систем метод простой редукции сходится всегда;

- в третьих, строго частное решение - это единственное частное решение, которое выражается формулой Крамера.

Л и т е р а т у р а

1. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. - М.: ГИТТЛ, 1952.

2. Бондаренко П. С. К вопросу об единственности для бесконечных систем линейных уравнений // Мат. сб. - 1951. - Т. 29 (71), 2. - С. 403-418.

3. Федоров Ф. М. Об алгоритме Гаусса для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. - 2012. - Т. 19, вып. 1. С. 133-140.

4. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. - Новосибирск: Наука, 2009.

5. Федоров Ф. М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. - Новосибирск: Наука, 2011.

6. Федоров Ф. М., Павлов Н. Н., Иванова О. Ф. Алгоритмы реализации решений бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. - 2013. - Т. 20, вып. 1. - С. 215-223.

7. Федоров Ф. М. К теории гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. -2011. - Т. 18, вып. 2. - С. 209-217.

8. Федоров Ф. М. Неоднородные гауссовы бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. - 2012. - Т. 19, вып. 1. - С. 123-131.

9. Федоров Ф. М. О крамеровости гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. -2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 162-170.

R e f e r e n c e s

1. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Priblizhennye metody vysshego analiza. - M.: GITTL, 1952.

2. Bondarenko P. S. K voprosu ob edinstvennosti dlja beskonechnyh sistem linejnyh uravnenij // Mat. sb. - 1951. - T. 29 (71), 2. - S. 403-418.

3. Fedorov F. M. Ob algoritme Gaussa dlja beskonechnyh sistem linejnyh algebraicheskih uravnenij (BSLAU) // Mat. zametki JaGU. 2012. T. 19, vyp. 1. - S. 133-140.

4. Fedorov F. M. Periodicheskie beskonechnye sistemy linejnyh algebraicheskih uravnenij. - Novosibirsk: Nauka, 2009.

5. Fedorov F. M. Beskonechnye sistemy linejnyh algebraicheskih uravnenij i ih prilozhenija. - Novosibirsk: Nauka, 2011.

6. Fedorov F. M., Pavlov N. N., Ivanova O. F. Algoritmy realizacii reshenij beskonechnyh sistem linejnyh algebraicheskih uravnenij // Mat. zametki JaGU. 2013. T. 20, vyp. 1. - S. 215-223.

7. Fedorov F. M. K teorii gaussovyh beskonechnyh sistem linejnyh algebraicheskih uravnenij (BSLAU) // Mat. zametki JaGU. 2011. T. 18, vyp. 2. - S. 209-217.

8. Fedorov F. M. Neodnorodnye gaussovy beskonechnye sistemy linejnyh algebraicheskih uravnenij (BSLAU) // Mat. zametki JaGU. - 2012. - T. 19, vyp. 1. - S. 123-131.

9. Fedorov F. M. O kramerovosti gaussovyh beskonechnyh sistem linejnyh algebraicheskih uravnenij (BSLAU) // Mat. zametki JaGU. 2012. T. 19, vyp. 2. - S. 162-170.