Исследование динамики колебаний и движения в колебательной системе при параметрической накачке

Вестник Челябинского государственного университета. 2009. № 8 (146). Физика. Вып. 4. С. 17-24.

Ф. Ф. Асадуллин, Л. Н. Котов, В. С. Власов, С. М. Полещиков,

В. В. Коледов, В. Г. Шавров

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОЛЕБАНИЙ И ДВИжЕНИЯ

в колебательной системе при параметрической накачке

Исследовано возникновение поступательного движения в системе связанных в кольцо нелинейных механических осцилляторов. Проведен анализ численного решения дифференциальных уравнений для широкого интервала частот и амплитуд возбуждения. Построены фазовые портреты и частотные спектры колебаний механической системы. Описан механизм перехода от колебательного к поступательному движению в зависимости от изменения константы нелинейности и параметра затухания.

Ключевые слова: связанные осцилляторы, фазовый портрет, частотный спектр, константа нелинейности.

В последнее время заметно возрос интерес к изучению динамического поведения нелинейных связанных колебательных систем. Исследования динамики нелинейных систем, к которым относится подавляющее большинство физических, химических и других объектов, имеет большое фундаментальное значение. Отсутствие развитых методов решения нелинейных уравнений долго сдерживало прогресс в описании динамики этих систем, ограничивая его рамками линейного приближения, дающего анализ их состояния лишь вблизи положения равновесия при малых внешних возмущениях. Недавние достижения в области математической физики (в частности, успехи теории солитонов [1]), а также интенсивное использование современных вычислительных компьютерных систем для численного решения нелинейных задач позволили выявить ряд общих закономерностей в сложном поведении нелинейных систем. Причем общность этих закономерностей для различных физических явлений, как оказалось, не уступает общности результатов гармонического приближения, хотя и является гораздо более многообразной.

Точное описание процессов, обусловленных нелинейной динамикой связанных колебательных систем, возбуждаемых параметрическим методом, очень важно, т. к. выявленные особенности поведения могут быть применены в робототехнике и при разработке радиотехнических устройств (например, электронных преобразователей). Непосредственным техническим применением колебательного движения связанной системы с различной частотой может быть поступательное движение всей колебательной системы в целом или ее отдельных частей.

В настоящей работе исследуется динамика колебательной системы на основе численного моделирования и выясняются оптимальные условия возникновения поступательного движения системы связанных осцилляторов.

Эта задача возникла в связи с необходимостью описания наблюдаемого экспериментально поступательного движения доменной структуры (ДС) в тонких ферритовых пластинах YIG [2-5] и в других ферромагнитных образцах [6]. Исследовался образец с намагниченностью в основных доменах, направленной вдоль одной из легких осей. Домены располагались в плоскости образца. Внешнее поле от катушек индуктивности было направлено вдоль вектора намагниченности в основных доменах. Явление однонаправленного движения ДС удавалось наблюдать в широком диапазоне частот (102-106 Гц) и амплитуд внешнего переменного магнитного поля (3-20 Э). Было отмечено, что зарождение новых доменов происходит вблизи дефектов на одной стороне кристалла, одновременно происходит уничтожение домена на другом краю пластины во время движения коллектива ДС. Было указано на строгую периодичность такого процесса. Направление движения доменов изменяется на противоположное при переходе через критическую частоту. При большой амплитуде поведение доменов становится полностью хаотическим. Они начинают зарождаться и уничтожаться по всему кристаллу произвольно по времени. При этом нарушается пространственная периодичность доменной структуры. Наблюдаются окна стабильности доменной структуры при определенных частотах и амплитудах переменных

полей. В окне стабильности доменные границы колеблются с малой амплитудой на частоте внешнего поля около устойчивых положений равновесия. Вне этих окон начинается процесс направленного движения доменов. При определённых значениях поля наблюдается также частотная модуляция колебаний доменной структуры. Место зарождения новых доменов определяется наличием дефектов кристаллической структуры или имеющейся неоднородностью пластинок (например, на краях кристаллов). В пластинах с искусственной неоднородностью, а также возникшей при выращивании кристаллов, зарождение доменов в переменном поле наблюдалось не на краю кристалла, а вблизи неоднородностей (внешних деформаций и полос роста). Авторы статьи [2] определяют режим поступательного движения как автоколебательный и связывают его с наличием непрерывной подкачки энергии от внешнего источника и процессов диссипации в образце. Учитывая очевидную грубость наблюдаемого эффекта, авторы делают предположение, что наличие режима однонаправленного движения связано с неоднородными деформациями в образце, определяющими градиент эффективного поля, в которых происходит движение ДС.

В работе [7] теоретически подтверждена возможность поступательного движения доменной структуры магнитной пленки как целого во внешнем периодическом поле. Асимметрия, необходимая для возникновения такого движения, задается начальными условиями, в которых предполагается наличие ненулевой и некомпенсированной скорости хотя бы одной из доменных стенок в начальный момент включения внешнего переменного поля. Наличие такой асимметрии скоростей ДС объясняется рассчитанным различием колебания стенок на самом краю магнитного образца и стенок, расположенных ближе к его центру. Попытки смоделировать динамику доменной структуры проводились также в работе [8]. Автор рассматривал поступательное движение ДС в циркулярно поляризованном магнитном поле, которое увлекает за собой спины, локализованные в центре ДС, и они вслед за ним совершают вращательное движение, а возникающая диссипативная реакция приводит к поступательному движению.

Для анализа динамики доменной структуры, доменные стенки представлены в виде механических осцилляторов, расположенных на кольце

(рис. 1). На таком кольце может реализовываться поступательное и колебательное движение.

Рис. 1. Модель цепочки механических осцилляторов

Точное описание нелинейной динамики доменной структуры является сложной задачей и требует совместного учета достаточно большого количества параметров, поэтому в основу анализа поступательного и колебательного движений доменов взята система дифференциальных уравнений для замкнутой цепочки, в которой расположены N шариков, соединенных между собой пружинами. При написании дифференциальных уравнений учитывались следующие свойства цепочки:

— шарики с пружинами (взаимодействующие между собой домены и доменные стенки) представляются в виде осцилляторов, которые характеризуются собственными частотами;

— взаимодействие осцилляторов друг с другом учитывается только на ближнем расстоянии (с ближайшими соседями) через упругие силы;

— внешнее воздействие на систему выбирается в виде параметрического возбуждения;

— зарождение и уничтожение доменов учитывается периодическими граничными условиями;

— потери в системе объясняются силой трения, пропорциональной скорости движения.

С учетом сделанных предположений и свойств цепочки дифференциальные уравнения, описывающие движения шариков, могут быть записаны в следующем виде [5]:

У + РУ + С(У - УN -10 + 2п)[1 + а1(У1 - УN-10 + 2п) + +«2(У - УN - 10 + 2П)2] + - У2 + 10) Х

X [1 +«1( У1 - У 2 + 10) + «2( У1 - У2 + 10)2] = °

У +Р У1 + к0-1( Уi - Ум - 10)[1 +«1( Уi - Ум - 10) +

+«2(У - У -1 - 10)2] + К(У - Ум + 10) Х х [1 + а1(У - Ум + « + а2(У - У/+1 +10)2] = 0 УN +Р УN + kt1(УN - У N-1 - 10)[1 + а1 (У N - У N-1 - - +

+а2 (УN - УN-1 - « ] + к0 (УN - У1 + ¡0 - 2п) Х

Х[1 + а1

где у— набор N независимых координат (значений центральных углов); в = у / т, у — коэффициент

трения или затухания; к0 = [1 + (-1) '-1 A cos pt]

= k / m, /0 = 2п / N, А — коэффициент, определяющий глубину модуляции параметра (параметр модуляции); циклические граничные условия задаются в форме замкнутости цепочки на 2п.

Вычисление осуществлялось с использованием языка программирования Фортран, а графическое изображение выполнено в математической системе Map/e.

Численное решение показывает, что параметрическое возбуждение в отсутствии нелинейности упругих сил (о^ = а2 = 0) для наименьшего количества связанных осцилляторов (N = 2) вызывают модуляционные колебания координаты и скорости системы при любом параметре модуляции А и частоте возбуждения р (рис. 2а). Значительная амплитуда колебаний возникает при условии параметрического резонанса ш = р ~ 2w0/n (n = 1, 2, 3 ...) (рис. 2b).

Рис. 2. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и параметра модуляции (а) и частотный спектр (Ь) для системы из двух осцилляторов

Как видно из рис. 2Ь, колебания наиболее интенсивны на частоте р = ю = 0,4ю0, близкой к 1-й зоне параметрического возбуждения. Диссипация уменьшает собственную частоту колебаний и, соответственно, частоту параметрического резонанса. На рис. 3 приведен характерный фазовый портрет затухающих колебаний с параметрической накачкой. Можно отметить

0.015:

0.01:

0.005: г 0:

-0.005:

-0.01:

-0.015:

-0.0016 -0.0012 -0.0008 -0.0004 0

У

Рис. 3. Фазовый портрет колебательного движения для системы из двух осцилляторов

скачкообразное изменение координаты и скорости осциллятора при параметрической накачке. Причем затухание колебаний идет с перескоками с одной затухающей траектории на другую. Количество затухающих спиралей равно количеству вложений энергии за период собственных колебаний Т0 / Т = 0,4, где Т0 = 2п/ю0, Т = 2п/ю. Это свидетельствует о том, что использование системы из двух осцилляторов не позволяет описать сложные зависимости изменения доменной структуры от частоты и амплитуды переменного поля (или параметра модуляции).

Качественное изменение спектра собственных колебаний, амплитудных и частотных зависимостей происходит при количестве осцилляторов, начиная с трех и больше. Из вида решения системы (1) следует, что в спектре колебаний системы возникает большое число мод колебаний (рис. 4). На рисунке приведен частотный спектр колебаний системы для разного количества осцилляторов N в цепочке.

2<л>0/ю

2 - * • .

* * •

. * • * .

1 - • * . *

• • •

*

* Ф •

о -I-,--,----^---.--,---,--,---.--,----,--,---------.-,ТчГ

2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 20 30 50

Рис. 4. Спектр колебаний при изменении количества осцилляторов

Размеры кружочков пропорциональны значениям амплитуды колебаний. Видно, что основные моды расщепляются на высокочастотную и низкочастотную ветви. При большем

количестве осцилляторов значительно увеличивается количество мод, при этом энергия всех мод выравнивается. Так, при частоте параметрической накачки ю = р = 1,04ю0 в решении системы возникают спектральные составляющие с частотами ю0/ю ~ 1,43; 2,3; 2,99; 7,5 (рис. 4). При увеличении параметра модуляции (амплитуды накачки) А от 0,1 до 0,6 эти частоты сдвигаются при увеличении амплитуды накачки А: одни увеличиваются, другие уменьшаются (рис. 5-8). Значения частот колебаний смещаются от диапазона параметрического резонанса из-за диссипации энергии и нелинейности осцилляторов. Причем наиболее интенсивные колебания смещаются в область высоких частот (рис. 5Ь и 6Ь). При изменении частоты накачки (А = 0,56) в спектре колебаний возникают еще и дополнительные слагаемые (рис. 8Ь, 9Ь). Зависимость от частоты накачкир может иметь островковый характер.

Рис. 5. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и параметра модуляции (а) и частотный спектр (Ь) для системы из трех осцилляторов

Учет нелинейности упругих сил (а1, а2 Ф 0) для двух и трех связанных осцилляторов не приводит к существенным изменениям колебаний в интервале амплитуд А = 0,1-0,6.

Фазовые портреты при увеличении количества осцилляторов перестают иметь характер квазигармонических колебаний (рис. 7, 10). Кроме того, они имеют больший разброс амплитуд скоростей (кинетических энергий) при одних и тех же координатах (или потенциальной энергии) колебаний. Для них характерна нелинейная

Рис. 6. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и частоты параметрического воздействия (а) и частотный спектр (Ь) для системы из трех осцилляторов

Рис. 7. Фазовый портрет колебательного движения для системы из трех осцилляторов

накачка, имеющая резкий подъем и быстрый спад. При очень большом параметре модуляции (А > 0,92) квазипериодические колебания переходят в хаотический режим.

На рис. 11 показано, как происходит перекачка энергии из одной моды в другую при переходе от одного осциллятора к следующему (в данном случае рассмотрены 2-й и 3-й осцилляторы, слева и справа от числа шариков в цепочке соответственно).

Устойчивое колебательное движение при любых, но одинаковых (для 1-го и 2-го осциллятора) нелинейных параметрах реализуется лишь для системы из двух связанных осцилляторов. Для систем с большим числом (Ы > 3) осцилляторов могут реализовываться различные режимы:

У1

Рис. 8. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и параметра модуляции (а) и частотный спектр (Ь) для системы из девяти осцилляторов

Рис. 9. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и частоты параметрического воздействия (а) и частотный спектр (Ь) для системы из девяти осцилляторов

-0.004 -0.002 0 0.001 0.0020.003

У

Рис. 10. Фазовый портрет колебательного движения для системы из девяти осцилляторов

1) устойчивые колебательные движения;

2) неустойчивые колебания (колебания с постоянно растущей амплитудой и изменением частоты колебаний системы).

2- • •

О -I-1---,-1--.-1-,-1---.-1-,-1---.-1-. N

4 5 6 7 8 9 10

Рис. 11. Вид спектра при изменении количества N и номера осциллятора:  — 2-й;  — 3-й

Таким образом, для более точного описания нелинейной динамики доменных стенок в уравнениях необходимо учитывать, по крайней мере, три осциллятора. При большем количестве связанных осцилляторов экспериментальные данные лучше описываются этой моделью.

Для двух (Ы = 2) связанных осцилляторов не существует нестабильного режима колебаний с возрастающей амплитудой (до А < 0,99) при любых значениях остальных параметров. Для большего числа осцилляторов (Ы > 2) такой режим возникает, если амплитуда колебаний превышает некоторое пороговое значение. Это пороговое значение задается параметром модуляции, константой затухания, степенью расстройки частоты поля и собственной частоты.

При наличии нелинейности упругих сил (а1 Ф а2 Ф 0 ) нестабильность колебаний возникает при меньших параметрах модуляции, при больших частотных расстройках и больших параметрах затухания. Эта нестабильность колебаний перерастает в поступательное движение (рис. 12): поступательное движение наступает по прошествии определенного времени из-за наличия диссипации и накопления нелинейности системы (рис. 12а-15а).

Таким образом, необходимое условие возникновения поступательного движения — наличие градиента силы упругости, например, градиента магнитной анизотропии в образце. Поступательное движение возникает при некотором параметре модуляции Апор, но при больших А колебания соседних осцилляторов становятся хаотическими и движение прекращается. Поступательное движение существует только в ограниченной области амплитуд. Пороговое

значение А в зонах параметрического резонанса

пор гг г

определяется константой затухания у и константой нелинейности а1. Необходимо отметить, что при прошествии большего времени существования возбужденных колебаний осцилляторов пороговая амплитуда уменьшается. На рис. 16 и 17 приведены фазовые портреты для поступательного и поступательно-колебательного движения осцилляторов.

Рис. 12. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и 1-й константы нелинейности (а) и частотный спектр (Ь) для системы из девяти осцилляторов

Рис. 13. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и параметра модуляции (а) и частотный спектр (Ь) для системы из девяти осцилляторов при колебательном режиме с возрастающей амплитудой

Рис. 14. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и частоты параметрического воздействия (а) и частотный спектр (Ь) для системы из девяти осцилляторов при колебательном режиме с возрастающей амплитудой

Рис. 15. Зависимость координаты 1-го осциллятора от времени и параметра затухания у (а) и частотный спектр (Ь) для системы из девяти осцилляторов при колебательном режиме с возрастающей амплитудой

Рис. 16. Фазовый портрет поступательно-колебательного движения с возрастающей амплитудой

Рис. 17. Фазовый портрет для поступательного движения

На рис. 18, построенного для первой зоны параметрического резонанса (п = 1) изображены области существования поступательного движения для различного числа осцилляторов. Положение области I поступательного движения зависит от количества осцилляторов: с ростом количества осцилляторов область смещается в сторону больших амплитуд, и система становится более инертной.

Рис. 18. Области существования поступательного движения для различного числа осцилляторов: I — зоны существования поступательного движения, II — зона отсутствия поступательного движения.

Линии соответствуют разному числу

осцилляторов:---------6 осцилляторов,

--------8 осцилляторов,---------10 осцилляторов

На рис. 18 изображены области существования поступательного движения для различного

числа осцилляторов, в первой (рисунок слева) и во второй зоне (п = 2) (рисунок справа) параметрического резонанса.

Из сравнения этих рисунков следует, что форма области существования поступательного движения зависит не только от количества осцилляторов, но и от номера зоны параметрического резонанса, причем меняется не только интервал амплитуд параметра модуляции, но и предельное значение константы затухания для возникновения поступательного движения. В ходе данной работы было исследовано возникновение поступательного движения в системе связанных в кольцо нелинейных механических осцилляторов. Показано, как изменяется переход от колебательного к поступательному движению в зависимости от параметра модуляции, константы нелинейности и параметра затухания. Поступательное движение более выражено с увеличением константы нелинейности и уменьшением константы затухания. Анализ решений и сравнение их с экспериментальными данными показывает, что для более точного описания нелинейной динамики доменной структуры в уравнениях движения необходимо брать во внимание, по крайней мере 3 и более осцилляторов. При большем количестве связанных осцилляторов данные эксперимента лучше описываются рассмотренной моделью. Эффект поступательного движения доменной структуры наблюдается только при учете нелинейности в системе уравнений, описывающей динамику осцилляторов. Это соответствует тому, что внутри магнитного материала должен существовать градиент анизотропии, что подтверждается и экспериментальными результатами.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 06-02-17302).

Список литературы

1. Тода, М. Нелинейная решетка (цепочка Тоды) // Солитоны : сборник. М., 1983. С. 262.

2. Власко-Власов, В. К. Автоколебательный режим генерации доменных границ в ферромагнетике / В. К. Власко-Власов, Л. С. Успенская // Журн. эксперимент. и теорет. физики. 1986. Т. 91.

С. 1483-1495.

3. Веселаго, В. Г Трансляционное движение доменных границ в иттрий-железистом гранате при воздействии света / В. Г. Веселаго [и др.] // Физика твердого тела. 1988. Т. 29. С. 2758-2762.

4. Cherechukin, A. A. Unidirectional self-sustained motion of magnetic domain boundaries in Yig plate in alternating magnetic field. Applications to digital optical sensors / A. A. Cherechukin, V. V. Ko-ledov, A. Yu. Kuklin, V. G. Shavrov, A. A. Tulaykova // Proc. of Intern. Forum on Wave Electronics and Its Applications, 2000. St. Petersburg, 2000. P. 426-430.

5. Памятных, Л. А. Механизм дрейфа полосовых доменов в кристаллах ферритов гранатов / Л. А. Памятных, М. С. Лысов, Г С. Кандаурова // Изв. РАН. Сер. физ. 2007. Т. 71. С. 1542.

6. Драгошанский, Ю. Н. Непрерывное поступательное движение доменной структуры в переменных полях и его влияние на величи-

ну электромагнитных потерь в сплаве Fe-3 % Si / Ю. Н. Драгошанский, Е. Б. Хан, В. А. Зайкова // Физика металлов и металловедение. 1975. Т. 39. С. 289-294.

7. Соловьев, М. М. Поступательное движение полосовой доменной структуры во внешнем переменном синусоидальном поле / М. М. Соловьев, Б. Н. Филиппов // Физика металлов и металловедение. 2004. Т. 98. С. 12-15.

8. Ходенков, Г. Е. Поступательное движение доменной границы в сильном магнитном поле, поляризованном циркулярно в базисной плоскости одноосного ферромагнетика // Физика твердого тела. 2006. Т. 48, вып. 5. С. 835-840.