Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе

УДК 517.977.56

С. Л. Подвальный1, В. В. Провоторов2

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 3

СТАРТОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ГРАФЕ

1 Воронежский государственный технический университет, Российская Федерация, 394026, Воронеж, Московский проспект, 14

2 Воронежский государственный университет, Российская Федерация, 394006, Воронеж, Университетская площадь, 1

В работе затронут достаточно широкий круг вопросов, относящихся к теории управления дифференциальными системами, описываемыми дифференциальными уравнениями с распределенными параметрами на графе. Рассматривается распространенный в приложениях случай стартового управления и финального наблюдения для дифференциальной системы, состояние которой описывается обобщенным (слабым) решением начально-краевой задачи с распределенными параметрами на графе. Хотя применение методов демонстрируется для указанных управления и наблюдения, используемые приемы обладают большой общностью и после незначительных технических изменений применимы к другим видам управлений и наблюдений, например граничным. Наибольшее внимание уделено вопросам слабой однозначной разрешимости начально-краевой задачи в разных пространствах и непрерывной зависимости слабых решений от исходных данных задачи, т. е. поискам условий корректности задачи по Адамару, определяемых тем функциональным пространством, к которому принадлежит слабое решение. С помощью достаточно эффективных методов анализа решений начально-краевых задач получены необходимые и достаточные условия существования (определения) оптимального управления в терминах соотношений, связующих состояние системы с ее сопряженным состоянием. При этом проведен исчерпывающий анализ управляемости исходной дифференциальной системы. Все приемы и методы можно применить для численного решения рассматриваемых задач оптимального управления. Библиогр. 24 назв.

Ключевые слова: начально-краевая задача, распределенные параметры на графе, слабые решения, оптимальное управление, управляемость.

S. L. Podval'ny1, V. V. Provorotov2

START CONTROL OF PARABOLIC SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS ON THE GRAPH

1 Voronezh State Technical University, 14, Moskovskii prospect, Voronezh, 394026, Russian Federation

2 Voronezh State University, 1, Universitetskaya square, Voronezh, 394006, Russian Federation

The paper is raised a fairly wide range of issues, related to the theory of differential control systems is described by differential equations with distributed parameters on the graph. It is considered the common in applications the case of a start control and final observation for a differential system whose state is described by a generalized (weak) solution of the initial-boundary value problem with distributed parameters on the graph. Although the use of these

Подвальным Семен Леонидович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: spodvalny@yandex.ru

Провоторов Вячеслав Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: wwprov@mail.ru

Podval'ny Simon Leonidovich — doctor of technical sciences, professor, head of the chair; e-mail: spodvalny@yandex.ru

Provorotov Vyacheslav Vasil'evich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: wwprov@mail.ru

methods is demonstrated for the specified control and observations, the used methods have great generality and after minor technical changes are applicable to other types of control and observation, for example the boundary. The most attention was paid to the weak unique solvability of initial-boundary value problem in different spaces and continuous dependence of weak solutions from the initial data of the problem, i. e., to the search of correctness conditions of Hadamard are determined by the function space, to which a weak solution belongs. Having sufficiently effective methods of analysis of solutions of initial-boundary value problems, it is obtained the necessary and sufficient conditions for the existence (determining) of the optimal control in terms of the relations linking the state of the system with its adjoint state. In this case, it was analyzed exhaustively the controllability of the original differential system. All of techniques and methods can be applied to the numerical solution of optimal control problems under consideration. Refs 24.

Keywords: boundary value problem, distributed parameters on the graph, weak solutions, optimal control, controllability.

1. Введение. В работе изучается случай, когда состояние дифференциальной системы с распределенными параметрами на графе определяется как обобщенное (слабое) решение начально-краевой задачи на графе, воздействие на систему осуществляется в начальный момент времени и является стартовым, наблюдение за состоянием системы осуществляется в конечный момент времени, являясь финальным. При этом рассматривается след функции, описывающий состояние системы на графе при фиксированной временной переменной. Сопряженное состояние системы определяется обобщенным (слабым) решением начально-краевой задачи на графе с финальным условием. Получены условия существования единственного стартового управления и управляемости дифференциальной системой. Работа продолжает исследования, приведенные в [1-8].

2. Основные понятия и предложения. Используется произвольный связный ограниченный ориентированный граф, допускающий наличие циклов (петель), при этом сохраняются обозначения, принятые в [9; 10, с. 114]. Обозначим через дГ множество граничных узлов £, J(Г) — множество внутренних £ узлов графа Г и пусть Го — объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, дИ,е — множество всех граничных ребер (ребер, содержащих граничные узлы £ £ дГ); Гт = Г0 х (0,Т) (Г = Го х (0,4)), д Гт = дГ х (0,Т) (д Г г = дГ х (0,4)). Каждое ребро 7 графа Г ориентировано, параметризуется отрезком [0,1] и параметром х £ [0,1], граничные узлы параметризованы числом 1 [10]. Введем необходимые пространства: Ьр(Г) (р = 1, 2) — банахово пространство измеримых на Го функций с конечной нормой ||м||ьр(г) = (/ир(х)ё,х)1/р (аналогично определяются пространства Ьр(Гт),

-^py

Г

т1(

р = 1, 2); Ш2(Г) — пространство функций из ¿2(Г), имеющих обобщенную производную 1-го порядка также из ¿2(Г), норма в Ш2(Г) устанавливается скалярным произведением = / (и(х)у(х) + ^^^ ^х; ¿2,1(Гт) ~~ пространство

т

функций из Ь\(Гт) с нормой ||м||ь2Д(Гт) = /(/и2(х, ^¿х)1'2¿1; Ш2'°(Гт) — про' о г

странство функций и(х, 4) £ ¿2(Гт), имеющих обобщенную производную 1-го порядка по х, принадлежащую Ь2(Гт), норма в Ш2'°(Гт) вычисляется соотношением

1Н1^.о(Гт)= / («(М)2 + <ь&.

2 Гт

Пусть далее ^(Гт) — множество всех функций и(х,4) £ Ш^'^Гт) с конечной нормой

ЦмЦа.Гт = тахт\\и

21

сильно непрерывных по Ь в норме ¿2(Г), т. е. таких, что \\и(х, Ь + ДЬ) — и(х, Н¿2(г) 0 при ДЬ ^ 0 равномерно на [0, Т]. Рассмотрим билинейную форму

V) = I

г \ /

коэффициенты а(х), Ь(х) в (2) — фиксированные измеримые ограниченные на Го функции, суммируемые с квадратом: а* ^ а(х) ^ а*, |Ь(х)| ^ в, х € Го (а*,а*,в — фиксированные положительные постоянные). Из леммы 2 [10, с. 72] следует, что в пространстве Ш ^(Г) есть множество О функций и(х) € С (Г) (С (Г) — пространство

непрерывных на Г функций), удовлетворяющих соотношениям ^ а(1)73—=

1, еяЮ ' Х

а(0)ъ во всех узлах £ € .1(Г) (здесь Д(£) — множество ребер, ориенти-

и

рованных «к узлу £», г(£) — множество ребер, ориентированных «от узла £»; через и(-)7 обозначено сужение функции и(-) на ребро 7). Замыкание в норме Ш^(Г) множества функций из О обозначим через Ш^(а, Г). Пространство Ш\ 0(а, Г) состоит из элементов, для которых и € О равны нулю во всех узлах £ € 9Г.

Пусть далее Оо(а, Гт) — множество функций и(х,Ь) € У2(Гт), чьи следы определены на сечениях области Гт плоскостью Ь = Ьо (Ьо € [0,Т]) как функции класса Ш1 о(а, Г) и удовлетворяют соотношениям

Е = Е а

для всех узлов £ € . (Г). Замыкание множества Оо(а, Гт) по норме (1) обозначим через У2'°(а, Гт). Если в приведенном определении класс Ш1 о(а, Г) заменить на Ш 1(а, Г), то получим пространство У21,о(а, Гт): У2'°(а, Гт) С У21,о(а, Гт) С Ш^(Гт). Другим подпространством пространства Ш1 'о(Гт) является Ш2 '(а, Гт) — замыкание в норме Ш2 'о(Гт) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (3) для всех узлов £ € .(Г) и для любого Ь € [0,Т], а также равных нулю вблизи 9Гт. Отличием элементов пространства У^'о(а,Гт) (У21 'о(а,Гт)) от элементов ш2 'о(а,Гт) является отсутствие у последних непрерывности по переменной Ь, соотношение (3) имеет место почти всюду на (0,Т). По мере необходимости будут введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

Лемма 1. Справедливы следующие утверждения, связывающие введенные пространства :

а) Ш2 о(а,Гт) плотно в Ь2(Гт),

б) У2 ^ о (а, Гт) С Ш 2 ; о(а, Гт), Ш 2 ,о(а, Гт) С Ш 2 ^(а, Гт),

в) Ь2(Гт) С ¿2 д(Гт)•

Доказательство. Первые два утверждения следуют из самих определений пространств. Пусть далее / € Ь2д(Гт), оценим норму \\/1(Гт), используя неравен-

т Рт

ство Коши-Буняковского: \\ f \\^21(Гт) = /(/ 12(х,

^¿х)1/2^ < а/Т,////2(

х, Ь)с1хсМ =

' о г У о г

^Т\\1\\ь2{тт)- Из полученного неравенства ||/||ь21(гт) < у/Т\\1\\ь2(гт) вытекает последнее утверждение леммы.

В пространстве Ш10(а,Г) рассмотрим спектральную задачу — (а(х)+ Ь(х)и(х) = Ли(х), т. е. множество таких чисел Л, каждому из которых соответствует по крайней мере одно нетривиальное решение и(х) £ Ш2 °(а,Г), удовлетворяющее тождеству £(и,п) = Л(и,п) при любом п(х) £ Ш1 °(а,Г) (здесь и всюду ниже через (•, •) обозначено скалярное произведение в Ь2(Г)). Последнее соотношение выражает тот факт, что и(х) есть обобщенная собственная функция класса Ш2(Г) задачи

-£{а

а Л — соответствующее ей собственное значение [9, 11]. При этом собственные значения вещественные и имеют конечную кратность, их можно занумеровать в порядке возрастания модулей с учетом кратностей: {Л„}„^1; соответственно нумеруется и множество собственных функций: {и„(х)}„^1.

Теорема 1 [9]. Система обобщенных собственных функций {ип(х)}п^2 образует ортогональный базис в пространстве Ш1 °(а, Г) (и в пространстве Ь 2(Г) в силу плотности Ш2 °(а, Г) в Ь 2(Г)).

Замечание. Утверждение теоремы остается справедливым и для спектральной задачи (4), где краевое условие заменено на ^^ + аи(х)\дг = 0 (постоянная а своя для каждого граничного узла графа Г — замечание 2 к теореме 2); обобщенная собственная функция в этом случае принадлежит пространству Ш1 (Г) и удовлетворяет тождеству

£

Седг

при любом п(х) £ Ш2(а, Г) (Л — собственное значение).

Далее рассмотрим эволюционную задачу с распределенными параметрами на графе и соответствующие ей задачи управления в пространствах У2, °(а, Гт) и У2' °(а, Гт) (пространства состояний): У21 'о (а, Гт) используется при анализе 1-й краевой задачи, У2Х ' °(а, Гт) — 2-й и 3-й краевых задач. При этом пространство допустимых управлений (пространство стартовых условий) и = ¿2(Г).

3. Начально-краевая задача, однозначная разрешимость. Рассмотрим в области Гт уравнение

Ч^-тЬ

представляющее собой систему дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на каждом ребре 7 графа Г. Состояние системы (5) в области Гу определяется решением у(х, 4) уравнения (5), удовлетворяющим соотношениям (3), начальным и краевым условиям

у |ж£дг =0, 0 <1<Т;

выбор функций у(х) в (6) определяет стартовые условия начально-краевой задачи (5)-(7). Предположения относительно функций а(х), Ь(х) остаются теми же, что и в п. 2; /(х,1) £ Ь2,1(Гт), «(х) £ ¿2(Г).

Определение 1. Обобщенным (слабым) решением класса У2 ' °(а, Гт) начально-краевой задачи (5)-(7) называется функция у(х, 4) £ У2" '°(а, Гт), удовлетворяющая

интегральному тождеству

¡у(х,г)г](х, г)(1х + / (-у(х,г)дг,<£'^ ) ¿хЛ + £г(у,г]) =

г гЛ у

= / у(х)'ц(х, 0)йх + / /(ж, Ь)п(х, 1)йхв;Ь г г

для любой п(х,~к) € Ш2 ,о(а, Гт) и при любом Ь € [0,Т]; ¿¡(у,п) — билинейная форма, определенная соотношением

= I (а(х) дУ8Хх'г) дп(дхг) + Кх)у{х^)'П{х^)) ¿хА.

Определение 2. Обобщенным (слабым) решением класса Ш2 '0(а, Гт) начально-краевой задачи (5)-(7) называется функция у(х,Ь) € Ш2 '°(а,Гт), удовлетворяющая интегральному тождеству

г^т 7

= § у(х)ц(х, 0)с1х + f /(х,1)п(х,1)3,хА г гт

для любой п(х,£) € Ш2 °(а, Гт), равной нулю при Ь = Т.

Вначале докажем разрешимость задачи (5)-(7) в пространстве Ш2 '°(а,Гт), затем покажем, что каждое такое решение фактически принадлежит пространству У\'°(а, Гт). Завершим исследование анализом задачи стартового управления системой (5) в пространствах У\'°(а, Гт), V1 '°(а, Гт).

Теорема 2. Начально-краевая задача (5)-(7) имеет по крайней мере одно обобщенное решение в пространстве Ш1'°(а, Гт).

Доказательство. Из определения 2 вытекает, что множество обобщенных решений задачи (5)-(7) линейно. Возьмем систему обобщенных собственных функций {и„(х)}„^1 С Ш2 ,°(а,Г), ортонормальную в Ь2(Г) (последнее возможно из-за Ш1 о (а, Г) С Ь 2 (Г) и утверждения теоремы 1). Будем искать приближенные реше-

N

ния yN(х,Ь) в виде yN(х,Ь) = ^ сг(Ь)иг(х) (с^(Ь) — абсолютно непрерывные на [0,Т]

г=1

функции с'г(Ь) € Ь2(0,Т)) из системы соотношений

+ /

и равенств

с?

Соотношения (10), (11) суть задача Коши на интервале [0,Т) для системы N линейных дифференциальных уравнений относительно (г = 1, М). Так как свободные члены являются суммируемыми функциями на (0,Т) (/(х,Ь) € Ь2д(Гт)), N-матрица || (иг, и)|| — неособенная, то задача Коши (10), (11) имеет единственное решение с^ (Ь) (г = 17ЛГ).

Получим оценки для yN(х,Ь), не зависящие от N. Умножив соотношение (10) на Сг(£), просуммировав по г = 1, Ж и интегрируя по Ь от 0 до Ь ^ Т, получим равенство

Ж(ХМ12(Г) + I (Ф0()2 + ъ(х)(у»(х,г))А ¿хА =

'ЬгСГ) "г ^ —ШГ

= ±\\ум(х\ 0)|||2(г) + / /(х,г)у"(х,г)сЬ<и, г*

называемое в литературе (см., например, [12, с. 161]) уравнением энергетического баланса. Для него справедливы оценки

Далее, учитывая Цу11|) = ° Ь1(х,4)|Ц2(г^ < 1 ^(х, т)||Ь2(г), находим

оценку при 4 £ [0, Т]:

12

11

< 2ргг2(1) + г(1)Цу1 (х, 0)||Ыг) + 2г(4)||/||ь2>1(г,),

здесь Цу1 |||2(г)) заменено на 4г2(4), Цу1 (х, 0)|^2(г) — на г(г)Цу1 (х, 0)||Ь2(г) и г (г) тах Цу1 (х,т)|^2(г). Отсюда вытекают два неравенства

°<т <г

^(4) = 2!31г2(1) + г(4)Цу1 (х, 0)||Ыг) + 2г(±)Ц/Ц^))),

из которых следует оценка

.,ЛГ|| _ , II VIII ^ (л , 1

11^112,г, = г{Ь) + ||^||ь2(г4) < (1 + <

;) (уШ\\ь

или для 1 = 1* < К1+а^)2

< (1 + (уШ\\у"Ьъ + (НзЛ*,о)|и2(г) + 2||/||ь2,1(Г4))1/2 \\УМ\\У1

Цу1Ц 2 ,г) ¿2

Представим отрезок [0,Т] в виде объединения отрезков, имеющих длину, меньшую Ь*. Для каждого из этих отрезков справедлива оценка (12), значит, учитывая соотношение Цу1 ||ь2(г) < Цу11|2,г) для любого 4, получим неравенство

Цу11|2' г) < с

справедливое для 4 £ [0,Т]. Функция С(4), 4 £ [0,Т], определяется значением величины Т и зависит от постоянных а*, в. Учитывая (11), имеем Цу1 (х, 0)Ц^2(г) =

N Г1ч

ИХ; («,щ)щ(х)ЦЬ2 (г) <4/2 1(«,и^1 < |М|ь2(г), откуда и из неравенства (13) следует

¿=1 у ¿=1

Цу11|2< с

и в силу ограниченности функции С(4) на [0,Т] вытекает оценка

Цу1Ц2,гт < С*

с независящей от N постоянной С*.

Рассмотрим последовательность {yN}N>1 с ограниченными в совокупности элементами ум, как это следует из неравенств (15). Из последовательности можно выделить подпоследовательность {у^}слабо сходящуюся по норме

;:0(а, Гт)({у^ }й>1

Ш1 '0

вместе с к у). Остается показать, что элемент у{х,Ь) является решением задачи (5)—(7). Умножим соотношение (10) на абсолютно непрерывную на [0,Т] функцию (¿¿(4) ((¿¿(Т) = 0), просуммируем по « = 1результат проинтегрируем по 4 от 0 до Т. После интегрирования первого слагаемого по частям по Ь получим тождество

= /yN(х,0)У(х,0^ + / ¡(х,г)У(х,г)ахйь, Г Гт

N

где У (х,Ь) = 2 d¿(t)u¿(x). Обозначим через Я множество всех функций У(х,Ь) с про-¿=1

извольными d¿(t), обладающими указанными выше свойствами, и произвольными натуральными N. Множество Я плотно в подпространстве функций, принадлежащих Ш1 о(а, Гт) и равных нулю при Ь = Т. Это следует из плотности множества {мп(х)}п>1 в Ш1 о (а, Г), непрерывности У (х,Ь) € Я по Ь € [0, Т] и У (х,Ь) € Ш ^ 0(а, Г) для каждого фиксированного Ь € [0,Т]. Зафиксируем в (16) функцию У (х,Ь) = У*(х,Ь) € Я

N *

(У*(х,Ь) = 2 (Ь)щ(х)) и по выбранной выше подпоследовательности {у1 пе-¿=1 ^ рейдем к пределу, начиная с номера Nk ^ N *. В результате получим соотношение (9) для предельной функции у(х,Ь) при г/(х,Ь) = У * (х,Ь), значит, в силу плотности множества Я в подпространстве функций, принадлежащих Ш^ о (а, Гт) и равных нулю при Ь = Т, у(х, Ь) — обобщенное решение из '0(а, Гт) начально-краевой задачи (5)-(7). Теорема доказана.

Замечание 1. Краевое условие (7) может быть неоднородным: у(х,Ь) = ф(х,Ь), х € дГ, 0 < Ь < Т (ф(х,Ь) |хе^ = ф^(Ь) для каждого узла С € дГ), и доказательство теоремы дословно повторяет приведенные рассуждения. При этом предварительно вводится новая неизвестная функция и(х,Ь) = у(х,Ь) — Ф(х,Ь) € Ш2 '°°(а,Гт), удовлетворяющая однородному краевому условию, здесь Ф(х,Ь) — произвольная функция из Ь2(Гт), имеющая обобщенную производную € Ьг(Гт) и удовлетворяющая (почти всюду) лишь неоднородному краевому условию. Правая часть уравнения (5) для и(х, £) принимает вид = /(ж, £) —ЪФ — в правой части соотно-

шения (9) определения 2 для обобщенного решения и(х, Ь) добавляется слагаемое — f b(x)Ф(x,t)n(x,t)dxdt + § а(х)Фх(х,Ь)г/х(x,t)dxdt.

Гт Гт

Замечание 2. Утверждение теоремы остается справедливым и для начально-краевой задачи со смешанными краевыми условиями: условие (7) заменяется на

(постоянная а своя для каждого граничного ребра 7: а = а7, 7 С дИе). Обобщенное решение у(х, Ь) такой начально-краевой задачи определяется в пространстве Ш2 ,0(а, Гт) и удовлетворяет тождеству

т

/ {-у(х^)аг,<й'*1 <1х& + £т{у, 'П) + 2 а7] у(х,г)г](х,г)\х=1е7(И = гт ТеЭЯе о

= § у(х)ц(х, 0)с1х + f /(х,Ь)ц(х,Ь)^& г гт

для любой п(х,Ь) € Ш1 о (а, Гт), равной нулю при Ь = Т; обобщенные собственные функции принадлежат пространству Ш 1(а, Г) и удовлетворяют тождеству, приведенному в замечании к теореме 1.

Покажем далее, что обобщенное решение задачи (5)-(7) является элементом пространства У2> о (а, Гт), при каждом фиксированном Ь € [0, Т] принадлежит пространству Ш2 о (а, Г) и непрерывно зависит от Ь в норме Ш1 о(а, Г), а значит, и в норме

Ь2(Г).

Для анализа используем метод Фурье и систему обобщенных собственных функций задачи (4), плотную в Ш2 о(а,Г) и ортонормированную в Ь2(Г) (теорема 1). Рассмотрим ряд

у

п=1 г

({Ап}п^1 — множество собственных значений задачи (4)). Отметим, что сумма любого из его конечных отрезков есть обобщенное решение системы (5), удовлетворяющее краевому условию (7). Дальнейшее заключается в исследовании характера сходимости ряда (17), которое основано на анализе норм ||у(х,Ь)||т2(г), ||уг:(х,Ь)||ь2(г) (Ь € [0,Т]) (см. также [12, с. 180]):

Цу

- —1 п=1

В силу у(х) € Ь2(Г) имеем £ ап = ||^(х)||^2(г), и ряды, стоящие в правых ча-

п=1

стях (18), равномерно сходятся относительно Ь € [0,Т]. Значит, сумма у(х,Ь) ряда (17) является обобщенным решением задачи (5)-(7) из пространства У^^(а, Гт). Действительно, из указанной сходимости следует, что функция у(х,Ь) принадлежит У1 '^(а, Гт) и удовлетворяет интегральному тождеству (8). Последнее вытекает из следующего: сумма yN(х,Ь) первых N членов ряда (17) удовлетворяет этому тождеству

N

с функцией у(х) = £ апип(х) и в нем можно перейти к пределу при N ^ ж.

п=1

Далее пусть Ао такое, что Ао < Ло = шш{ —в, А]}. Для скалярного произведения = — Ао(ц,и) в Ь 2(Г) получаем [и„,ига] = £(ип,ит) — Ао(ип,ит) = (Ап —

Ао)<т (Зт — символ Кронекера), значит,

[у

п=1

Так как

(Ап — Ао)в-2Хп4 < а(Ь) (п = 1, 2,...), где а(Ь) = вир (А — Ао)в-2Ап4 является ограниченной функцией на любом отрезке

Ае[Ао,+то)

[е, Т] (е > 0), то в силу соотношения (19) обобщенное решение у(х,Ь) есть элемент

пространства Ш2 о (а, Г) при любом Ь € (0,Т] и непрерывно зависит от Ь в норме Ш2 ,о(а,Г). Таким образом, справедлива

Теорема 3. Обобщенное решение у(х,Ь) € У2'о (а, Гт) начально-краевой задачи (5)-(7) при любом Ь € (0,Т] принадлежит пространству Ш^ о(а, Г) и непрерывно зависит от Ь в норме Ш^ о(а,Г).

Покажем, что задача (5)-(7) не может иметь два различных решения. По выбранной в теореме 2 подпоследовательности {у^}к>1 перейдем к пределу в неравенстве (14), начиная с номера Nk ^ N*. Учитывая не зависящую от номера N оценку (15) для у^ (х,Ь), получим

Пусть у1,у2 € У21 'о (а, Гт) — два различных решения задачи (5)-(7), тогда у = у1 — у2 € У^'°(а, Гт) — решение задачи (5)-(7) с нулевыми исходными данными: / = 0, V = 0. Неравенство (20) завершает доказательство следующего утверждения:

Теорема 4. Начально-краевая задача (5)-(7) имеет единственное обобщенное решение у(х,Ь) € У2, '°(а, Гт), непрерывно зависящее от исходных данных /(х,Ь) и v(x).

Замечание. Доказательство единственности обобщенного решения в пространстве У2> 'о(а, Гт) ничем не отличается от приведенного выше. При этом следует учесть замечание 2 к теореме 2, а также заменить в определении 1 пространство У^ '°(а, Гт) на У2> 'о(а, Гт) и соотношение (8) на

J y(x,t)r](x,t)dx + / (—у(х^)Щ^)с1х& + £г{у,'п) + г г^ 7

г

+ Е а11 у(х,Ь)П(х,Ь)|х=1е7^ =

YeдRe о = / v(x)n(x, 0)dx + / /(x,t)n(x,t)dxdt Г Г

для любой п(х,Ь) € Ш2 о(а, Гт) и при любом Ь € [0,Т].

Далее для дифференциальной системы

и У21 'о(аГт).

4. Стартовое управление. Остановимся на анализе задачи управления в пространстве состояний У2 о(а, Гт) (анализ в пространстве У^ 'о(а, Гт) аналогичен). Состояние у(х,Ь) € У2 'о (а, Гт) системы (5), определяемое как обобщенное решение задачи (5)-(7) с начальным условием v(x) € и, очевидно, зависит от функции v(x), являющейся стартовым состоянием системы (5)-(7). Поэтому всюду ниже обозначение у(х,Ь) будет заменено на у^)(х,Ь).

Пусть С : У2 (а, Гт) ^ ¿2(Г) — линейный непрерывный оператор (оператор наблюдения, Ь2(Г) — пространство наблюдений), для определенности будем считать, что наблюдением является у^)(х,Т) (Су^)(х,Ь) = у^)(х,Т)), называемое финальным (см., например, [13, с. 119]), возможны и иные типы наблюдений; J— функционал, требующий минимизации на выпуклом замкнутом множестве И С И, имеет вид

JИ = Цу^)(х, Т) — го(х)Ц12[г) + (т, ^и,

где N : U ^ U — линейный непрерывный эрмитов оператор; (Nv,v)u ^ я\\v\\u (я > 0 — фиксированная постоянная); z°(x) € Ь2(Г) — заданное наблюдение. Присутствие слагаемого (Nv, v)u в представлении функционала J(v) гарантирует коэрцитивность квадратичной компоненты функционала J(v) [10, с. 158].

Задача стартового управления. Задача стартового управления системой (5) состоит в отыскании min J(v). Элемент v* G Ug назовем оптимальным

vEUg

управлением системы (5), если он доставляет минимум функционалу J(v) на множестве Ug •

Теорема 5. Задача стартового управления системой (5) по стартовым состояниям v(x) € U имеет единственное решение v* € Ug, т• е•

J(v*) = min J(v).

vEUg

Доказательство.В силу утверждения теоремы 4 линейное отображение v ^ y(v) пространства стартовых состояний U в пространство состояний V^°(а, Гт) системы (5) непрерывно. Функционал J(v) определяется с помощью следующих операторов: 1) оператора v ^ y(v) перехода от стартового состояния v к состоянию y(v) системы (5), 2) оператора y(v) ^ Cy(v) перехода от состояния y(v)(x, t) к наблюдению

Cy(v) = y(v)(x,T).

Преобразуем функционал J(v) к такому виду:

J(v) = \\C[y(v) - y(0)] + Cy(0) - zcy|2(r) + (Nv,v)u = = n(v,v) - 2l(v) + \\Cy(0) - го\\2ЫГ),

где

n(u, v) = (C[y(v) - y(0)], C[y(v) - y(0)]) + (Nu, v)u,

l(v) = (zo - Cy(0),C[y(v) - y(0)]).

Доказательство завершается применением утверждения теоремы 1.1 [13, с. 13], при этом учитывается очевидное неравенство \\Cy(0) - zo\\L2(r) ^ 0.

5. Соотношения, определяющие управление. Предварительно докажем вспомогательное утверждение для состояний y(v) € V^'0°(а, Гт). Лемма 2. Для любых v,u € Ug имеет место соотношение

y'

в котором y'(u) — производная по стартовому состоянию u(x) функции состояния

y(u)(x,t)•

Доказательство. С одной стороны, из соотношения (8) (t = T) для произвольных фиксированных v,u € Ug вытекает

/ [y(v)(x,T) - y(u)(x,T)] n(x,T)dx + г

+ / (c[y(v)(x,t)-y(u)(x,t)}^^^dxdt + eT(y(v)-y(u),r])=0

для любой n(x,t) € W1 0(a, Гт).

С другой стороны, соотношение (8) (Ь = Т) дает

/ [у(и + в^ — и))(х, Т) — у^)(х, Т)] п(х, Т)dx +

Г

Гт

+ 1т (у(и + в^ — и)) — у^), п) = 0

для любой п(х,Ь) € Ш1 о(а, Гт). Деля обе части полученного соотношения на в и вычисляя предел при в ^ 0, приходим к соотношению

§ у'(и)(х,Т)п(х,Т)dx + Г

+ /

Гт дг

+ 1т(у'(и^(х) — и(х)] ,п) =0

для любой п(х,Ь) € Ш2 о(а, Гт).

Сравнивая левые части соотношений (22) и (23), учитывая принадлежность у'(и) пространству Ь2(Гт), плотность Ш2 , о(а, Гт) в пространстве Ь2(Гт) (лемма 1), а также произвольность п € Ш2 о(а, Гт), получаем соотношение (21). Лемма доказана.

Теорема 6. Для того чтобы элемент и(х,Ь) € Ид был оптимальным управлением системы (5), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

/ y(u)(x,t)п(x,t)dx + Г

Г* 4 у

= / и(х)п(х, 0)dx + / /(x,t)п(x,t)dxdt

(Ш € [0,Т],Уп(х,Ь)€ Ш1 о(а,Гт)), !(у(и)(х, Т) — го(х))(у^)(х, Т) — у(и)(х, Т))dx +

Г

+ (^и^ — и)и > 0 (^ € Ид),

где у (и) € У2'°(а, Гт).

Доказательство. В соответствии с утверждением теоремы 1.3 [13, с. 18] требуется показать, что неравенство

J (и + в^ — и)) — J (и) = = (Су(и + в^ — и)) — го, Су(и + в^ — и)) — го) + + N (и + в^ — и)), и + в^ — и))и — — (Су (и) — го, Су (и) — го) — (^и, и)и,

откуда вытекает

J (и + в^ — и)) — J (и) = (Су(и + в^ — и)) + Су(и), С[у(и + в^ — и)) — у (и)]) — — 2(го, С [у (и + в^ — и)) — у (и)]) + 2^и, v — и)и

Деля последнее соотношение на в, переходя к пределу при в ^ 0 и учитывая соотношение (21), получаем

Л'(и)(и - и) = 2(Су(и) - г°, С (у (и) - у (у))) + 2(Ми, V - и)„,

откуда и из (25) следует неравенство 1'(и)(и - и) ^ 0; соотношение (24) очевидно. Теорема доказана.

Введем сопряженное состояние и(у)(х,Ь) системы (5) (у(и) € У^'0°(а, Гт)), удовлетворяющее условиям (3) во всех внутренних узлах графа Г, как обобщенное решение начально-краевой задачи

дх \ ^ ' дх

и \г=т = у

и \жеаг= 0, 0 <1<Т.

Определение 3. Обобщенным решением задачи (26)-(28) называется функция и(у)(х,Ь) € Ш1 0(а, Гт), и(у)(х,Т) = у(у)(х,Т) - г0(х), удовлетворяющая интегральному тождеству

- I + еТ

Гт

для любых функций С(х,Ь) € Ш\'°°(а,Гт).

Неравенство (25) можно преобразовать с помощью сопряженного состояния и (у) системы (5), используя симметричность формы £т (р, V) и свойство пространства Ш1 о (а, Гт) сопряженных состояний и (у): на любом сечении Гт плоскостью Ь = ¿о (¿о € [0, Т]) существует след функции и(у)(х,Ь) € Ш\ 0(а, Гт) как элемент Ш1 о (а, Г) С ^(Г), причем этот след непрерывно зависит от Ь € [0,Т] как от параметра, в норме пространства Ь2(Г) [10, с. 117; 13, с. 70]. Неравенство (25) можно переписать так:

Пусть у

/ ([у(у)(х, Т) - у(и)(х,Т)]и(и)(х,Т)) йх -Г

- / [у(у)(х,г) - у(и)(х,г)}дш(-и^х'*) ¿хгМ + (31) Гт

+ £т (у (у) - у (и), и (и)) = §[у(х) - и(х)]и(и)(х, 0) йх.

Г

Учитывая вытекающее из (24) при £ (х,Ь) = у(у)(х,£) - у(и)(х,£) € У2 '°(а, Гт) С И^'о^Г т) равенство нулю выражения — / [у(у)(х, £) — у{и){х, ¿)] д^СяК'М) ¿Х<М +

' Гт

£т(у(у) - у(и),и(и)), получаем из (31) соотношение

^[у(у)(х, Т) - у(и)(х, Т)]и(и)(х, Т)йх = §[у(х) - и(х)]и(и)(х, 0) йх, ГГ

приводящее неравенство (30) (значит, и (25)) к виду

J[v(x) - и(х)]и(и)(х, 0)йх + (Ми, у - и)и ^ 0 Уу € И

Г

или в эквивалентной форме (U = ^(Г)) к

(w(u)(x, 0) + Nu,v — u)L2(r) > 0 Vv e Ua.

Таким образом, справедлива

Теорема 7. Пусть множество Юэ ограничено. Для того чтобы элемент u(x) e Юэ был оптимальным управлением системы (5), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие соотношения:

/y

= J v(x)n(x, 0)dx +f f (x,t)n(x,t)dxdt г г

для любых n(x,t) e W2 g(a, Гт) и любых t e [0,T];

- J дш{и^х'г) C{x, t)dxdt + tr{u{u), C)=0 Гт

для любых Z(x,t) e W2 'g(a,Гт);

J (w(u)(x, 0) + Nu(x)) (v(x) — u(x)) dx ^ 0 г

для любых v e Юэ.

Здесь y(u) e V^'g (a, Гт), w(u) e W2 0(a, Гт) и u(u)(x, T) = y(u)(x, T) — zg(x). 6. Управляемость системы (5). Приведем определение управляемости системы (5) в редакции, принятой в монографии [13, с. 214].

Определение 4. Система (5), состояние которой определяется как решение начально-краевой задачи (5)-(7), называется управляемой (в момент времени T), если наблюдение Cy(v) = y(v)(x,T) заметает подпространство, плотное в пространстве наблюдений Ь2(Г), когда управление v пробегает все пространство управлений Ю.

Покажем, что рассматриваемая система (5) управляема. Пусть функция p(x) из пространства наблюдений Ь2(Г) ортогональна к подпространству, заметаемому наблюдением y(v)(x,T): J-p(x)y(v)(x,T)dx = 0 для любых v e U. Рассмотрим функ-

г

цию p(x,t) e W2 g(a, Гт) как обобщенное решение начально-краевой задачи

" Ш

p

т. е. функция p(x, t) (p(x, T) = p(x), x e Г) удовлетворяет интегральному тождеству

- I Чг1C

гт

для любой Z(x,t) e W2 g(a, Гт). Доказательство однозначной разрешимости задачи (33)-(35) почти дословно повторяет рассуждения при доказательстве теорем 2 и 4.

Положим в соотношении (35) С(х,Ь) = у(у)(х,Ь) - у(и)(х,Ь) € У\ о (а, Гт) С Ш 2 о (а, Гт), тогда, учитывая соотношение (32) для у(у)(х,Ь) и у(и)(х,Ь) при Ь = Т и п(х,Ь) = р(х, Ь), получаем

° = - I 1уС°)(х^) - у(и)(х,г)]ар<д/) ¿хЛ + £т(у(у) - у{и),р) = Гт

= - I[у(у)(х, Т) - у(и)(х, Т)]р(х, Т)йх + §[у(х) - и(х)]р(х, 0)йх, ГГ

откуда в силу р(х,Т) = р(х) вытекает J[v(x) - и(х)]р(х,0)йх = 0 для любых

Г

у(х), и(х) € И. Последнее означает, что р(х, 0) = 0, и в силу единственности обобщенного решения уравнения (33) с нулевыми исходными данными — р(х, Ь) = 0, значит, как следует из первого соотношения (34), р(х) = 0 (все равенства здесь понимаются почти всюду). Следовательно, справедлива

Теорема 8. Система (5), состояние которой определяется как обобщенное решение начально-краевой задачи (5)-(7) в пространстве У 2 о (а, Гт), управляема.

Задача стартового управления системой (5) в пространстве У2> 'о(а, Гт) мало чем отличается от таковой в У^ 'о (а, Гт). Все утверждения теорем 5-8 сохраняются: пространство У\'^(а, Гт) заменяется на У2 ' о(а, Гт), краевое условие (28) в задаче (26)-(28), определяющей сопряженное состояние системы (5), — на краевое условие, приведенное в замечании 2 к теореме 2, наконец, соотношение (29) в определении 3 принимает вид

_ | + £Т{и(у),С,) + £ сг7 у(х,г)г/(х,г)\х=1е7(И = о

Гт 7еЭЯе о

для любых функций £(х,Ь) € ш2 ' о (а, Гт).

7. Заключение. В работе рассмотрен распространенный в приложениях случай стартового управления у € И = ^(Г) и финального наблюдения Су (у) = у(у)(х,Т) для дифференциальной системы (5), состояние у(у)(х,Ь) которой описывается решением начально-краевой задачи (5)-(7). Хотя применение методов демонстрируется для указанных управления и наблюдения, используемые приемы обладают большой общностью и применимы к другим видам управлений и наблюдений, например граничным [8, 14, 15]. В последнем случае И = Ь2(дГт), а состояние системы (5) определяется как обобщенное решение задачи (5)-(7) с краевым условием у \зг = у вместо (7). При этом необходимо рассматривать след функции у (у) на дГт (или части дГт); сопряженное состояние системы описывается уравнениями, задаваемыми как на Гт, так и на дГт. Следует отметить, что в работах [16-21] рассмотрены другие подходы при анализе прикладных задач управления и родственных им задач оптимизации, имеющие, однако, аналогичную трактовку (в терминах сопряженного состояния) условий существования оптимального управления. Отметим также, что изучаемая задача допускает в представлении уравнения (5) особенности в виде стохастической компоненты [22] и разрывной нелинейности [23, 24].

Литература

1. Подвальный С. Л., Провоторов В. В. Оптимизация по стартовым условиям параболической системы с распределенными параметрами на графе // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 58, № 4. С. 70-74.

2. Подвальный С. Л., Васильев Е. М. Концепция многоальтернативного управления открытыми системами: истоки, состояние и перспективы // Вестн. Воронеж. гос. техн. ун-та. 2013. Т. 9, № 2. С. 4-20.

3. Подвальны/й С. Л. Особенности поисковой градиентной оптимизации сложных объектов с использованием сопряженных систем // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 56, № 2. С. 18-22.

4. Подвальный С. Л., Васильев Е. М. Модели многоальтернативного управления и принятия решений в сложных системах // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 56, № 2.1. С. 169-173.

5. Подвальный С. Л., Васильев Е. М. Многоальтернативные системы: концепция, состояние и перспективы // Управление большими системами: сб. трудов. М.: Изд-во ИПУ РАН, 2014. № 48. С. 6-58.

6. Подвальный С. Л., Васильев Е. М. Эволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 57, № 3. С. 4-8.

7. Volkova A. S., Gnilitskaya Yu. A., Provotorov V. V. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs // Automation and Remote Control. 2014. Vol. 75, N 2. P. 405-412.

8. Провоторов В. В., Гнилицкая Ю. А. Граничное управление волновой системой в пространстве обобщенных решений на графе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 3. С. 112-120.

9. Волкова А. С., Провоторов В. В. Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2014. № 3. С. 3-18.

10. Провоторов В. В., Волкова А. С. Начально-краевые задачи с распределенными параметрами на графе. Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2014. 188 с.

11. Провоторов В. В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. 2008. № 3. С. 50-62.

12. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

13. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / пер. с фр. Н. Х. Розова; под ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Мир, 1972. 414 с.

14. Провоторов В. В. Оптимальное управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 3. С. 154-163.

15. Провоторов В. В. Моделирование колебательных процессов системы «мачта-растяжки» // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 1.2 (31). С. 272-277.

16. Podval'ny S. L., Ledeneva T. M. Intelligent Modeling Systems: Design Principles // Automation and Remote Control. 2013. Vol. 74, N 7. P. 1201-1210.

17. Подвальный С. Л. Решение задач градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем // Вестн. Воронеж. гос. техн. ун-та. 2013. Т. 9, № 2. С. 27-32.

18. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных систем с запаздыванием // Сиб. матем. журн. 2012. Т. 53, № 3. С. 495-508.

19. Александров А. Ю., Жабко А. П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2006. № 9. С. 3-14.

20. Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. № 9. С. 126-137.

21. Веремей Е. И., Сотникова М. В. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 116-133.

22. Карелин В. В. Штрафные функции в задаче управления процессом наблюдения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 109-114.

23. Потапов Д. К. Оптимальное управление распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Изв. РАН. ТиСУ. 2013. № 2. С. 19-24.

24. Kamachkin A. M., Yevstafyeva V. V. Oscillations in a relay control system at an external disturbance // Control Applications of 0ptimization-2000: Proceedings of the 11th IFAC Workshop. 2000. Vol. 2. P. 459-462.

References

1. Podval'nyi S. L., Provotorov V. V. Optimizatsiia po startovym usloviiam parabolicheskoi sistemy s raspredelennymi parametrami na grafe [Optimization for starting conditions of the parabolic system with

distributed parameters on the graph]. Sistemy upravleniia i informatsionnye tekhnologii [Control systems and information technologies], 2014, vol. 58, no. 4, pp. 70—74.

2. Podval'nyi S. L., Vasil'ev E. M. Kontseptsiia mnogoal'ternativnogo upravleniia otkrytymi siste-mami: istoki, sostoianie i perspektivy [The concept of multialternative control of open systems: origins, state and perspectives]. Vestnik of Voronezh State Technical University, 2013, vol. 9, no. 2, pp. 4—20.

3. Podval'nyi S. L. Osobennosti poiskovoi gradientnoi optimizatsii slozhnykh ob"ektov s ispol'zovaniem sopriazhennykh sistem [Features of the search gradient optimization of complex objects by using conjugated systems]. Sistemy upravleniia i informatsionnye tekhnologii [Control systems and information technologies], 2014, vol. 56, no. 2, pp. 18—22.

4. Podval'nyi S. L., Vasil'ev E. M. Modeli mnogoal'ternativnogo upravleniia i priniatiia reshenii v slozhnykh sistemakh [Models of multialternative control and making of decisions in complex systems]. Sistemy upravleniia i informatsionnye tekhnologii [Control systems and information technologies], 2014, vol. 56, no. 2.1, pp. 169—173.

5. Podval'nyi S. L., Vasil'ev E. M. Mnogoal'ternativnye sistemy: kontseptsiia, sostoianie i perspektivy [Multialternative systems: the concept, state and perspectives]. Upravlenie bol'shimi sistemami: sb. trudov [Control of large systems: a compilation of works]. Moscow, IPU RAN Publ., 2014, no. 48, pp. 6—58.

6. Podval'nyi S. L., Vasil'ev E. M. Zvoliutsionnye printsipy postroeniia intellektual'nykh sistem mnogoal'ternativnogo upravleniia [Evolutional principles of construction of intellectual systems of multialternative control]. Sistemy upravleniia i informatsionnye tekhnologii [Control systems and information technologies], 2014, vol. 57, no. 3, pp. 4—8.

7. Volkova A. S., Gnilitskaya Yu. A., Provotorov V. V. On the Solvability of Boundary-Value Problems for Parabolic and Hyperbolic Equations on Geometrical Graphs. Automation and Remote Control, 2014, vol. 75, no. 2, pp. 405-412.

8. Provotorov V. V., Gnilitskaia Iu. A. Granichnoe upravlenie volnovoi sistemoi v prostranstve obobshchennykh reshenii na grafe [Boundary control of the wave system in the space of generalized solutions on the graph]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2013, issue 3, pp. 112-120.

9. Volkova A. S., Provotorov V. V. Obobshchennye resheniia i obobshchennye sobstvennye funktsii kraevykh zadach na geometricheskom grafe [Generalized solutions and generalized eigenfunctions of the boundary value problems on a geometric graph]. Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Matematika [Proceedings of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2014, no. 3, pp. 3-18.

10. Provotorov V. V., Volkova A. S. Nachal'no-kraevye zadachi s raspredelennymi parametrami na grafe [Initial-boundary value problems with distributed parameters on the graph]. Voronezh, Nauchnaia kniga Publ., 2014, 188 p.

11. Provotorov V. V. Razlozhenie po sobstvennym funktsiiam zadachi Shturma-Liuvillia na grafe-puchke [The expansion in eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on a graph bundle]. Izv. vyssh. ucheb. zavedenii. Matematika [Proceedings of Higher Educational Institutions. Mathematics], 2008, no. 3, pp. 50-62.

12. Ladyzhenskaia O. A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary-value problems of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 407 p.

13. Lions Zh.-L. Optimal'noe upravlenie sistemami, opisyvaemymi uravneniiami s chastnymi proizvodnymi [Optimum control of the systems described by the equations with private derivative]. Moscow, Mir Publ., 1972, 414 p.

14. Provotorov V. V. Optimal'noe upravlenie parabolicheskoi sistemoi s raspredelennymi parametrami na grafe [Optimal control of parabolic systems with distributed parameters on the graph]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2014, issue 3, pp. 154-163.

15. Provotorov V. V. Modelirovanie kolebatel'nykh protsessov sistemy "machta-rastiazhki" [The modeling of oscillatory processes systems "mast-stretching"] Sistemy upravleniia I informatsionnye tekhnologii [Control Systems and Information Technology], 2008, no. 1.2 (31), pp. 272-277.

16. Podval'ny S. L., Ledeneva T. M. Intelligent Modeling Systems: Design Principles. Automation and Remote Control, 2013, vol. 74, no. 7, pp. 1201-1210.

17. Podval'nyi S. L. Reshenie zadach gradientnoi optimizatsii kaskadno-reaktornykh skhem s ispol'zovaniem sopriazhennykh sistem [The solving problems of gradient optimization reactor-cascaded circuits with use of conjugated systems]. Vestnik of Voronezh State Technical University, 2013, vol. 9, no. 2, pp. 27-32.

18. Aleksandrov A. Iu., Zhabko A. P. Ob asimptoticheskoi ustoichivosti reshenii nelineinykh sistem s zapazdyvaniem [On asymptotic stability of solutions of nonlinear systems with delay]. Siberian Mathematical Journal, 2012, vol. 53, no. 3, pp. 495-508.

19. Aleksandrov A. Iu., Zhabko A. P. Ob ustoichivosti reshenii odnogo klassa nelineinykh sistem s zapazdyvaniem [On the stability of solutions of a class nonlinear systems with delay]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 2006, no. 9, pp. 3—14.

20. Veremei E. I., Korchanov V. M. Mnogotselevaia stabilizatsiia dinamicheskikh sistem odnogo klassa [A multipurpose stabilization of dynamical systems of a class]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 1988, no. 9, pp. 126—137.

21. Veremei E. I., Sotnikova M. V. Stabilizatsiia plazmy na baze prognoza s ustoichivym lineinym priblizheniem [Plasma stabilization on the basis of the forecast with steady linear approach]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2011, issue 1, pp. 116—133.

22. Karelin V. V. Shtrafnye funktsii v zadache upravleniia protsessom nabliudeniia [Penal functions in a problem of management of supervision process]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2010, issue 4, pp. 109—114.

23. Potapov D. K. Optimal'noe upravlenie raspredelennymi sistemami ellipticheskogo tipa vysokogo poriadka so spektral'nym parametrom i razryvnoi nelineinost'iu [Optimal control of distributed high order systems of elliptic type with a spectral parameter and a discontinuous nonlinearity]. Izvestiya RAN. TiSU [Proceedings of RAN. TiSU], 2013, no. 2, pp. 19-24.

24. Kamachkin A. M., Yevstafyeva V. V. Oscillations in a relay control system at an external disturbance. Control Applications of 0ptimization-2000: Proc. of the 11th IFAC Workshop, 2000, vol. 2, pp. 459-462.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 30 апреля 2015 г.