Конвекция в горизонтальном цилиндрическом слое насыщенной пористой среды Бринкмана

КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЕ НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ БРИНКМАНА

Р.Р. Сираев1, В.И. Якушин2 1 Пермский филиал Нижегородской академии МВД России.

2Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Методом конечных разностей в приближении Буссинеска исследованы структуры конвективной фильтрации в горизонтальном цилиндрическом слое насыщенной пористой среды Бринкмана. Температуры ограничивающих плоскостей полагались постоянными, причем температура внутреннего цилиндра больше, чем внешнего. Обнаружены как симметричные (относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндров), так и асимметричные решения уравнений конвективной фильтрации. Исследовано их возникновение, области существования и устойчивость в широком диапазоне значений чисел Грасгофа, Прандтля и Дарси. Рассмотрен предельный переход к конвекции в горизонтальном цилиндрическом слое обычной жидкости.

Ключевые слова: горизонтальный цилиндрический слой, пористая среда, конвекция, асимметричные движения.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование естественной конвекции в насыщенных пористых средах представляет интерес для решения как инженерных, так и научных проблем в различных областях геофизики и экологии. Наиболее полный обзор экспериментальных и теоретических работ представлен в [1].Теоретическое изучение проводилось преимущественно на основе модели Дарси насыщенной пористой среды, справедливой для достаточно малой скорости фильтрации. Как

© Сираев Р.Р., Якушин В.И., 2007

правило, авторы ограничивались наблюдением серповидного движения, представляющего собой два симметричных вихря, образованных потоками, поднимающимися вблизи нагретой внутренней поверхности и опускающимися возле холодной внешней границы. Основное внимание уделялось установлению зависимости теплопередачи от определяющих параметров задачи.

В тонких слоях и в слоях умеренной толщины (отношение радиусов цилиндров Я > 0.2) наблюдались также симметричные движения с несколькими дополнительными вихрями в верхней части слоя. Исследование переходов между симметричными движениями с различным числом вихрей в приполярной области тонкого цилиндрического слоя обычной жидкости псевдо-спектральным методом проведено в [2].

Наряду с известными симметричными решениями в виде двух или другого четного числа вихрей ранее авторами для насыщенной пористой среды Дарси были найдены новые асимметричные решения уравнений конвективной фильтрации [3, 4]. Одно из них представляет собой структуру с несимметричными вихрями в приполярной области. Другое решение реализуется при больших числах Грасгофа в виде конвективного факела, отклоненного от вертикали. Возникновение асимметричного факела сопровождается сильными пульсациями температуры в верхней части слоя, амплитуда которых убывает с расстоянием от вертикальной оси.

Разнообразие природных и искусственных пористых материалов обусловливает использование различных моделей пористой среды. Если скорость фильтрации не мала (число Рейнольдса, определённое по размеру поры, больше единицы), для высокопористой среды часто используют модель Бринкмана, в которой уравнение переноса импульса наряду с силой сопротивления Дарси имеет силу вязкого трения. В известном смысле эта модель является промежуточной между моделью насыщенной пористой среды Дарси и обычной жидкостью.

Представляет интерес изучение условий возникновения асимметричных конвективных движений (спонтанного нарушения симметрии течения) для насыщенной пористой среды Бринкмана. Интерес может быть обусловлен еще и тем, что уравнения конвективной фильтрации в этой среде обладают более "слабой" нелинейностью по сравнению с уравнениями конвекции в обычной жидкости.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим слой пористой среды, ограниченный твердыми цилиндрическими поверхностями с радиусами Я1 и Я2. Слой заполнен вязкой несжимаемой жидкостью с плотностью р^ и теплоемкостью (с )^. Границы цилиндрической полости поддерживаются при различных температурах: внутренняя имеет температуру Т1, внешняя - Т2 < Т1.

Пористый материал слоя характеризуется коэффициентом пористости ф и проницаемостью К .

Уравнения конвективной фильтрации жидкости в приближении Буссинеска для среды Бринкмана имеют вид [1]:

Ваф-1 — = -Ур - V + DaАv + ОгТу ,

дt

Ь — = — АТ - vVT. Э/ Pr

В системе уравнений (1.1), (1.2) использованы общепринятые обозначения для скорости фильтрации и температуры. В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости фильтрации, температуры и давления выбраны соответственно Я2, Я2/V , V/Я2, Т - Т2, ржV2 /К , где V - вязкость жидкости, а рж - ее плотность.

Уравнения содержат несколько безразмерных параметров -числа Грасгофа От , Прандтля Рг , Дарси Ба , отношение радиусов Я и параметр Ь , представляющий отношение теплоемкостей среды и жидкости:

Ог = gP(T1 - Т2) Я2К рг = ^_

Ба = -Кг, Я = ^-, Ь = Я2 Я

(РсР

(Рср

V

С

Здесь Сер - температуропроводность среды, Ь - коэффициент теплового расширения, g - ускорение силы тяжести.

Граничные условия в безразмерных переменных имеют вид:

г = Я : V = 0; Т = 1; г = 1: V = 0; Т = 0.

Как следует из уравнения (1.1), относительная величина вкладов в перенос импульса силы Дарси и вязкости зависит от параметра Дарси Ба : чем больше Ба , тем ближе характеристики конвективной фильтрации в среде Бринкмана к таковым для конвекции в обычной жидкости.

Основные расчеты проводились в двумерной постановке. Решение уравнений (1.1), (1.2) проводилось в полярных координатах г, 0 для переменных: температура, функция тока у и вихрь X скорости фильтрации

1 Эу Эу ..

у„ =------ , у0 =-----, X = -Ау.

г г Э0 0 Эг 4 ^

Сформулированная краевая задача решалась численно методом конечных разностей с использованием явной и неявной схем. Основные расчеты проводились на равномерных сетках с шагом по радиальной координате 0.005 и по полярному углу 1.8°; параметр Ь полагался равным единице, пористость среды ф= 0.3.

2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

В рассматриваемой модели насыщенной пористой среды, как и в модели Дарси [4], существуют как симметричные (£) относительно плоскости 0 = 0 , так и асимметричные (А ) конвективные движения. При малых числах Грасгофа возникает конвективное течение £1, состоящее из двух серповидных вихрей [4]. Оно существует в широком диапазоне значений параметров задачи. С увеличением числа Грасгофа над внутренним цилиндром образуется конвективный факел, а вблизи границ полости формируются пограничные слои.

Структура другого симметричного движения £2 (линии тока и изотермы) изображена на рис. 1, а, с. Помимо двух серповидных вихрей течение содержит дополнительные конвективные ячейки в приполярной области цилиндрического слоя. Причиной образования этих дополнительных вихрей является неустойчивость рэлеев-

ского типа: в относительно тонких цилиндрических слоях жидкости тепловые условия в верхней части становятся похожими на таковые в плоском слое, подогреваемом снизу. В слоях умеренной толщины, например с Я = 0.3 , существует только одно симметричное решение такого вида с двумя дополнительными вихрями. В более тонких слоях существует несколько такого рода решений с разным числом вихрей: с двумя, четырьмя и т.д. Так, для модели Дарси течение с четырьмя дополнительными вихрями реализуется в слое с Я = 0.8, а с шестью вихрями - для Я = 0.9 .

Рис. 1. Линии тока

Симметричное движение £2 возникает жестким образом при конечном числе Грасгофа и существует в ограниченном диапазоне

его значений. В толстых слоях (Я < 0.2) многовихревых решений не существует, и наблюдается только серповидное течение. Симметричные стационарные движения с ростом числа Грасгофа при значениях Ог > Ог* теряют устойчивость и становятся нестационарными. После некоторого переходного процесса нестационарная конвекция трансформируется в движения с нарушенной симметрией. Значение критического числа Грасгофа Ог* зависит от толщины слоя и значений чисел Прандтля и Дарси.

Рис. 2. Линии тока

Одно из асимметричных решений (А2) показано на рис. 1, Ь, й. Это движение по характеру близко к решению £2, но отличается от него потерей симметрии относительно плоскости 0 = 0 : интен-

сивности вихревых движений в левой и правой половинах слоя становятся различными, причем более интенсивное движение реализуется в любой половине случайным образом (спонтанное нарушение симметрии). Данное решение возникает в слоях умеренной толщины с Я > 0.3 и существует, как и симметричное решение £2 , в ограниченном интервале значений числа Грасгофа.

Особый интерес представляет потеря устойчивости основного режима £1 с двумя серповидными вихрями, которая происходит в достаточно толстых слоях для Я < 0.7 . Переход структуры конвективного движения от симметричного к асимметричному факелу (решение А1 ) представлен на рис. 2.

Отклонение факела от геометрической плоскости симметрии слоя в ту или иную сторону происходит скачкообразно случайным образом и может быть интерпретировано как спонтанное нарушение симметрии конвективного течения. Величина угла отклонения факела от вертикальной оси составляет примерно 40°.

Как было отмечено, относительная величина вкладов в перенос импульса силы сопротивления Дарси и вязкости жидкости зависит от параметра Дарси Ба . На рис. 3 представлены структуры симметричных ( £1 ) и асимметричных движений ( А1 ) движений в насыщенной пористой среде с большой проницаемостью.

Рис. 3. Линии тока конвективного движения в цилиндрическом слое для Я = 0.3, Рг = 15, Ба = 10, Ог = 107

Сравнение значений параметров задачи, приведенных на рис. 2 и рис. 3, показывает, что с ростом числа Дарси (переход к конвекции в обычной жидкости) увеличиваются также и критические зна-

чения чисел Прандтля и Грасгофа возникновения асимметричного факела. Характер этих зависимостей для значений Ба = 10-6, 10-3 представлен кривыми 1 и 2 на рис. 4, а, для Ба = 10-1, 1 - кривыми 1 и 2 на рис. 4, Ь.

В пористых средах с малой проницаемостью (Ба = 10-6) образование асимметричного факела возможно даже для значений Рг < 1, однако при достаточно больших критических числах Грасгофа. Для Рг > 1 кривая 1 на рис. 4, а хорошо аппроксимируется формулой Ог* = 30 102 / Рг . Графики зависимостей Ог* (Рг) для других значений параметра Дарси имеют левые концевые точки, то есть переход к асимметричному течению А1 возможен только при Рг > Рг*.

0г*10-

0г*10-

Рис. 4. Зависимость критического значения числа Грасгофа от числа Прандтля для Ба = 10-6 и 10-3

5

а

Следует заметить, что потеря устойчивости симметричного факела в насыщенной пористой среде происходит при значительно меньшем числе Прандтля, чем аналогичная неустойчивость в коаксиальном цилиндрическом слое обычной жидкости, исследованная экспериментально в работах [5, 6]. В этом случае асимметричный факел возникает для значений Рг > 11.

Численные исследования показали, что большое изменение величины Рг* имеет место при Ба = 10-3. Этот вывод следует также из сравнения графиков, изображенных на рис. 4. Из анализа представленных зависимостей можно заключить, что переход от модели

Бринкмана насыщенной пористой среды к обычной жидкости в рассматриваемой задаче происходит для Da » 1.

Заключение. В работе методом конечных разностей в приближении Буссинеска исследованы структуры плоских конвективных движений в горизонтальном цилиндрическом слое насыщенной пористой среды Бринкмана в широком диапазоне значений параметров Грасгофа, Прандтля и Дарси. Температуры ограничивающих твердых поверхностей полагались постоянными, причем температура внутреннего цилиндра была больше, чем внешнего. Обнаружены новые асимметричные решения уравнений конвекции. Исследованы их возникновение, области существования и устойчивость. Одно из них представляет собой многовихревую структуру с несимметричными вихрями в приполярной области. Преимущественная циркуляция жидкости в несимметричных вихрях возможна как по часовой, так и против часовой стрелки и возникает случайным образом (спонтанное нарушение симметрии).

Другое несимметричное решение реализуется при больших числах Грасгофа в виде конвективного факела, отклоненного от вертикали. Пороговое значение числа Грасгофа образования асимметричного факела зависит от числа Прандтля, толщины цилиндрического слоя и параметра Дарси. Возникновение асимметричного факела сопровождается пульсациями температуры в верхней части слоя, амплитуда которых быстро убывает с расстоянием от оси симметрии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Nield D.A., Bejan A. Convection in Porous Media. Springer -

Verlag, 1992. 408 p.

2. Mizushima J., Hayashi S., Adachi T. Transitions of natural convection in a horizontal annulus // Int J. Heat Mass Transfer. 2001. Vol. 44. P. 337-349.

3. Siraev R.R., Yakushin V.I. Spontaneous breakdown of the symmetry of convective motion in the horizontal cylindrical layer of the saturated porous medium // Proc. Int. Conf. "Advanced Problems in Thermal Convection". Perm, Russia, 24-27 November 2003 / Perm St. Un-ty. Perm, 2004. P. 73-78.

4. Сираев Р.Р., Якушин В.И. Конвекция в горизонтальном цилиндрическом слое насыщенной пористой среды Дарси // Гидродинамика. Вып. 14 / Пермь: Перм. ун-т, 2004. С. 228-238.

5. Иванова А.А. Об устойчивости конвективного течения в слое между горизонтальными коаксиальными цилиндрами // Конвективные течения / Пермь: Перм. пед. ин-т, 1988. С. 25-33.

6. Иванова А.А., Козлов В.Г. Устойчивость конвективного течения в горизонтальном коаксиальном зазоре в зависимости от числа Прандтля // Конвективные течения... / Пермь: Перм. пед. ун-т, 2003. С. 30-40.

CONVECTION IN THE HORIZONTAL CYLINDRICAL LAYER OF THE BRINNKMAN’S SATURATED POROUS MEDIUM

R.R. Siraev, V.I. Yakushin

Abstract. The present study deals with the convective motion in a horizontal cylindrical layer of the saturated porous medium. A numerical experiment has been performed with the help of a fi-nite-difference method for Brinkman’s model of porous medium in Boussinesq approximation in a wide interval of dimensionless parameters Grashof, Prandtl and Darcy. Temperatures of restricting surfaces relied with stationary values, and the temperature of the interior cylinder is more, than exterior. New unsymmetrical solutions of the equations of a convective filtration are found out. Their occurrence, areas of existence and stability is explored. One of them represents the multivortex structure with the asymmetrical vortexes in subpolar area. Other asymmetrical motion is implemented as a convective plume, refracted from a vertical. Both solutions arise the strong fashion and exist in a restricted interval of values of Grashof number.

Key words: horizontal cylindrical layer, porous medium, convection, unsymmetrical flows.