Прямые и межъямные экситоны в гетероструктурах на основе редкоземельных полупроводников

Известия Тульского государственного университета Серия Естественные науки 2008. Выпуск 1. С. 126-135

ФИЗИКА

У. IК 624.315.592

Ю.Ф. Головнев, А.Б. Лаковцев

Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

ПРЯМЫЕ И МЕЖЪЯМНЫЕ ЭКСИТОНЫ В ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Аннотация. В рамках модели магнитного экситона, проведен расчет энергии и силы осциллятора прямых и межъямных экситонов в сверхрешетке на основе ферромагнитного полупроводника ЕиБ. Построена схема энергетических уровней экситонов.

Для расширения частотного диапазона современной спектроскопии и методов диагностики качества наноструктур исследуют экситонные состояния в сверхрешетках. Экситонные спектры имеют различный характер в зависимости от структуры, чистоты и совершенства кристалла, наличия внутренних или внешних полей, ширины запрещенной зоны и характера оптических переходов.

Большинство современных как экспериментальных, так и теоретических работ в области низкоразмерных наноструктур в большинстве своем связаны с изучением свойств гетеросистемы А1-Оа-Ая. в различных ее конфигурациях. Однако, в последнее время, стало появляться все больше статей, посвященных рассмотрению полупроводниковых сверхрешеток, тем или иным образом содержащих ферромагнитные полупроводники. В одних случаях, в гетероструктуре имеет место ферромагнитная примесь (структуры типа С(1Те:Мп2+). в других же ферромагнетик выступает непосредственно в качестве одного из компонентов, составляющих сверхрешетку. Но, в связи с тем, что в последние годы все большее внимание к себе привлекают сверхструктуры на основе редкоземельных элементов, мы остановимся на рассмотрении сверхрешеток, составленных из моносульфидов европия, самария и свинца. Указанные халькогениды кристаллизуются в структурном типе ХаС1 с необычайно малым (~0.05 %) рассогласованием решеток. При этом полупроводники с рассогласованием параметра решетки менее 0,5 %

© Головнев Ю. Ф., Лаковцев А. Б., 2008

считаются наиболее перспективными с точки зрения создания гетероструктур. Если учесть существенную разницу зонных структур и, в частности, положение 4/- уровней, становится очевидным интерес, который может представить исследование сверхрешеток на основе ЕиБ, РЬБ и БтБ [1,2].

Модель магнитного экситона

Экситонный ферромагнетизм объемного кристалла ЕиБ хорошо изучен в работах Т. Касуя и А. Яназе. В рамках приближения Хартри - Фока построена схема энергетических уровней экситонных состояний (рис. 1). Установлено, что сдвиг края поглощения в экситонном спектре обусловлен с? — / обменным взаимодействием. Расчеты показали аномально высокие значения энергии связи и силы осциллятора экситонов. Величина обменного интеграла оказалась равной 461 см-1 [3-5].

Е,-------------------------------

1 е> 4 1 > ^ 4/"УР°вни

///////////> пиНтк уштштип

Ет ( 5

Рис. 1. Образование «обычного» (1) и магнитного (2) экситона в объемном кристалле сульфида европия

Время жизни, энергия связи и сила осциллятора существенно возрастают в системах пониженной размерности. Поэтому для изучения экситонов в сульфиде европия, подобрана соответствующая гетеропара и сконструирована сверхрешетка ЕиБ/РЬБ/ЕиБ.

Перейдем к детальному рассмотрению экситонных состояний в указанной гетеросистеме. Особый интерес в данной ситуации возникает ввиду того, что в запрещенной зоне сульфида европия находятся недозаполненные 4/оболочки. Поэтому для дальнейших рассуждений необходимо учесть два способа образования экситона:

1. Электрон переходит из валентной зоны на 5с?- уровень, который находится под дном зоны проводимости и кулоновским притяжением образует с дыркой экситон (рис. 2а). Энергия связи такого образования мала, так как 5с?- уровни находятся очень близко к зоне проводимости, образованной смешиванием 5с?- и 6з- состояний. При подобном образовании, 4/- электроны

способствуют тому, что экситон оказывается в синглетном состоянии, следовательно резко уменьшается его время жизни. Такие экситоны являются «рыхлыми» и экспериментальное наблюдение их представляет большие сложности. 2. Электрон переходит с 4/—состояния в зону проводимости и

Рис. 2. Образование прямого и межъямного магнитного экситона. Показано расщепление зоны проводимости на минизоны сверхрешеточным потенциалом

образовывает с дыркой оптически активный магнитный экситон (рис. 26). В трехмерной системе такая ситуация привела бы к тому, что покинувший 4/- уровень электрон стал бы электроном проводимости без образования связанного состояния. В сверхрешетке же дополнительный периодический потенциал расщепляет зону проводимости на разрешенные и запрещенные минизоны. В таком случае, даже при переходе электрона в зону проводимости он кулоновским притяжением связывается с дыркой в экситон. Рассмотрим эту ситуацию более детально.

В описанной модели меняется роль примесных 4/— уровней. Обменное взаимодействие между электроном магнитного экситона и 4/—электронами сульфида европия существенно определяет спектр магнитного экситона. В частности, межъямный экситон находится в триплетном состоянии. Это связано с тем, что электрон, находящийся в синглетном с дыркой состоянии, оказывается на малом расстоянии от 4/—электронов

плотностей триплетных экситонов, при которых они связываются Ван-дер-Ваальсовским притяжением в молекулы и появляется возможность наблюдения фазового перехода экситонный газ - экситонная жидкость.

Вероятность экситонного перехода

Для накопления экситонов необходимо, чтобы он был самым нижним возбужденным состоянием системы [6]. Магнитный экситон является статическим образованием, поэтому его оптически активный электрон должен обладать 7Р- симметрией вместе с 4/— дыркой и локализовываться в точке *3.

Возмущение физической системы приводит к переходу ее из одного состояния в другое. Вероятность такого перехода можно определить следующим образом:

Wnm = 27Г/Г1 \итп\2 S

где Umn- возмущение системы, переводящее ее из состояния Еп в состояние Е

-*-^т •

В рассматриваемой модели магнитного экситона возбуждение электрона в зону проводимости происходит с 4/- уровня, что соответствует представлению Г25- Базисные функции в этом случае имеют вид:

£i=yz, £2 = xz, ¿з = ху.

Переход будет разрешен, если

где 1\- порядок группы; \п (Г*). \ (Л), \"1 (Г*) - характеры соответствующих представлений.

Разрешенными будут переходы Г^І'і и Г^Гі2, что соответствует экси-тонному переходу 4/ —>• 6s и 4/ —>• öd соответственно.

Таким образом, экситон образуется зонами 6s и 5с/, однако переход 4/ —>• 6s не дает выигрыша в энергии, а, следовательно, не является оптически активным.

Волновая функция

Волновую функцию свободного экситона в сверхрешетке [7] можно представить в виде:

^ = S-1/4e

где S- площадь образца в плоскости интерфейса; Zej, — координата электрона или дырки; Фe,h ~ волновые функции электрона в (1- зоне или дырки на 4/ - уровне; р- двумерный вектор с координатами хе — Х},. уе — уВолновая функция электрона в d- зоне имеет вид:

Фе

где | А'з. 5) — волновая функция электрона со спином 5 = ±| в точке Х>,: У:>,1) — волновая функция относительного движения; <рех3 {%е) — огибающая волновой функции в сверхрешетке, имеющая вид:

<РехЛ2е) = 5-1''2е^^/

где / {г/(.) — блоховская часть огибающей <рех3 {%е)\ 5' площадь образца.

Для определения энергии экситона, необходимо решать систему уравнений:

Я Ф = Е Ф,

где

ф

Фх

ф2

ф

N

Для построения пробных функций Фі в уравнении (8) можно воспользо ваться оператором проектирования

1 ЦхгГ.

Р

к

Г

где Г — операция симметрии; \ г — характер этой операции в соответствующей точечной группе; I — размерность неприводимого представления; к — порядок группы, суммирование осуществляется по всем операциям симметрии точечной группы. Однако подобный подход приводит к значительным математическим трудностям. В частности для с? — состояний

шс

у'З

базисные функции представления Гі2 пространственной группой 0,!

, используя

5

Фі

1

2 -*- / 2 I 2\

2 - О

ф;

пробные функции имеют вид

1 Фі 0

Кн = С^1 0 0 + С24З2 0 -ф2 + Сз(рз (є2 + іє і) іє з/уД

0 0 0

+

о

(1/л/15) ІЄ3

—

где базисные функции єі, є2. £:>, представления І'2л- имеющие вид

г/г2т,-7/2

+ Сдірд

Фі = г/Гіг13/2,02

З фіЄ г2 ' ’Ф3

Хе-г/г

г1г'лг:>) 7/2 . сь С‘2- сз, С4- константы, удовлетворяющие условию нор-

4

мировки c‘i = 1-

г=1

Для /— оболочки подход, основанный на соображениях симметрии осложняется еще и тем, что при рассмотрении иона Ки2+ мы имеем дело с нечетным числом электронов, что приводит к появлению двузначных представлений точечной группы [9].

Для расчета энергии экситонов методом спин-гамильтониана необходимо построить базис волновых функций, включающий в себя спины электрона и дырки [10]. При этом главным образом необходимо учесть четыре варианта взаимной ориентации спинов электрона и дырки:

где к — волновой вектор экситона; г/2 - «л — константы, определяемые из решения уравнения Шредингера (7).

Наконец, для анализа спектра прямых и межъямных экситонов целесообразно подбирать волновые функции в виде линейной комбинации одночастичных состояний с определенной локализацией электрона и дырки:

где амплитуда вероятности обнаружения электрона и дырки с соответствующей волновой функцией ф.

Гамильтониан системы

Для определения энергетического спектра экситонов в сверхрешетке необходимо решать уравнение (7), причем вид гамильтониана системы зависит от выбора пробных волновых функций.

При выборе (4) в качестве волной функции оператор Гамильтона имеет вид

Здесь Hq (к)- гамильтониан, определяющий спектр вблизи точки Л'з.

11 (г) = — ^г- кулоновский потенциал, е- диэлектрическая проницаемость,

2- суммарный заряд на 4/ - уровне. Для гетеросистемы Ки8 РЬ8 Ки8 Гамильтониан Но можно представить в виде:

р,2ь,2 ь.2ь,2

Но (А)=£0(г) + _| + _^ +

О

О

где кг = — г Ео (,; ) — энергетическое положение точки Л';>,: О константа,

описывающая кр- взаимодействие.

Следует заметить, что использовать (15) для расчета энергетического спектра экситонов в сверхрешетке Ки8 РЬ8 Ки8 неудобно, ввиду того, что гамильтониан не учитывает напрямую обменное 4/—5с? взаимодействие, главным образом определяющее экситонный спектр в заданной гетеросистеме. Для его учета в (15) необходимо раскрывать константу кр- взаимодействия, имеющую вид матрицы 8x8, что осложнит математические вычисления.

Использование базиса (12) в качестве волновых функций позволяет учесть спиновые ориентации электрона и дырки. При наличии внешнего магнитного поля на спин электрона и дырки будет действовать эффективное магнитное поле

о -1-1Е^Д7/^Д0

*9е,Ь,Р г

где Но- внешнее поле. Причем, прямое действие Но на электрон и дырку оказывается гораздо меньше (Только в том случае, если внешнее магнитное поле Но меньше некоторого критического значения ЯКр). чем (15). В этом случае, гамильтониан можно представить в виде

Н = ле5е + Анвэ^ф + де/ЗН0зе + дн/ЗН0зэкфф + ^,ьзэффзе ,

Ае,Н = 5

где зе — спин электрона; — эффективный спин дырки, 7 = Je^ —

константа обменного взаимодействия; пе^ — среднее число ионов европия, с которыми эффективно обменное взаимодействие для дырки и электрона [10].

Использование волновых функций в виде (12) и гамильтониана в виде (17) позволяет построить схему энергетических уровней экситона, расщепленных обменным взаимодействием.

Как отмечалось выше, для анализа спектра экситонов волновую функцию удобно использовать в виде (11). В этом случае гамильтониан для прямых экситонов имеет вид

Нг = -

£ЕиБ \ге - П»

где га.* ь — эффективная масса; ге^ — координаты, — спин электрона и дырки; ££из — диэлектрическая проницаемость сульфида европия.

Для межъямных экситонов выражение (19) преобразуется с учетом диэлектрической проницаемости и ширины слоя РЬБ, разделяющего ба-

рьеры

е2

Й2 = -

ЕрЬв{<12 + \Ре,Ь-Ш/

Расчет энергии экситонных состояний

Вначале построим схему энергетических уровней экситона, расщепленных обменным взаимодействием.

В качестве исходных волновых функций выберем базис (12). Тогда, действуя на него гамильтонианом (17) находим его собственные значения

Е1 = \ [3/27 - {ЗАк + Ае)} ,£4 = 5 [3/27 - {ЗАк + Ае)]

1/‘2\ .

2 2'

(.Ае — А/г) + 4J2

Выражения (21) имеют такой вид, если в (17) не учитывать внешнее магнитное поле. Схема энергетических уровней экситона приведена на рис. 3.

15 0 Щ 1 1.5 2

Ат

Рис. 3. Зависимость энергетических уровней экситона от соотношения Ае/А}1. С учетом Боровского радиуса экситона для ближайшего узла положено А}1 = 5 мэВ, </ = —0,3 мэВ

При условии, что число ионов европия, с которыми эффективно обменное взаимодействие электронов равно такому же числу ионов европия, с которыми эффективно обменное взаимодействие дырок, уширение экситон-ной полосы составляет 20 мэВ. При дальнейшем повышении концентрации ионов Ки“+ наблюдается сильное размытие экситонных полос.

Теперь обратимся к расчету энергии экситона. Воспользуемся волновыми функциями в виде (11). В качестве базисных функций можно использовать

2\ —§ / / (-* ч _ ( К -П»Г

ф

где а - вариационный параметр; ф

Н\ = - (2т:)“1 («Уе)2 - (2т;)“1 (¿ЙУЛ)2 -

е2 - е

£ЕиБ \ге - Ги

Н2 = -(Шеу [(2т*е)-1+ (2гп1У

_2

£РЪБ (б?2 + | ге,}1 - Г к |)1/2

Л

где — спин электрона и дырки; А — обменный интеграл; р — ферромагнитная область.

В уравнениях (23) и (24) О (г € р) принимает вид:

0

4 ! [0, при г > р. 4 '

Теперь, переписав (7) для прямых и межъямных экситонов в виде

г] | Н\ \фпт) | фпт) — 0,

I ^2 \Фпт) {lфij | Фпт) — 0, можно определить их энергии

= П2к2 _ ре2п-2 _ А(зе + зн),

2(ш*+ш*) 2Н2£2Еи3 2 '

Величина энергии отсчитана от дна зоны проводимости и ее абсолютное значение при к =0 равно энергии связи электрона и дырки в покоящемся экситоне. Как видно из формулы (27), она возросла на величину энергии обмена.

Силу осциллятора прямого экситона можно определить по формуле:

где N — число ионов, способных возбуждаться; а — коэффициент поглощения; V — частота света. Для сверхрешетки Ки8 РЬ8 Ки8 сила осциллятора прямого экситона оказалась равной / =~ 0,02.

Таким образом, для увеличения энергии связи и силы осциллятора целесообразно использовать гетероструктуры на основе ферромагнитных редкоземельных полупроводников. Обменное взаимодействие в них приводит к понижению экситонных уровней и способствует тому, чтобы межъямный экситон оказался в триплетном состоянии.

1. Алферов Ж.И. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии / Ж.И. Алферов. УФН -2002. -Т.172.

2. Дидик В.А. Исследование диффузии европия в монокритсаллическом сульфиде самария / В.А. Дидик [и др.]. // Письма в ЖТФ. -2004. -Т. 30. -JV 05.

3. Yanase A. Mechanisms for the Anomalous Properties of Eu-Chalcogenides Alloys / A. Yanase, T. Kasuya. // Phys. Soc. Japan. -1968. -V. 25.

4. Yanase A. Anomalous Transport Phenomena in Eu-Chalcogenide Alloys / A. Yanase, T. Kasuya. // Rev. Mod. Phys. -1968 -V. 40.

5. T. Kasuya. Theory of Impurity Conduction / T. Kasuya. // Phys. Soc. Japan. -1958.

6. Верцимаха A.B. Межъямные экситоны в полумагнитных полупроводниках двойных квантовых ямах во внешнем магнитном поле / A.B. Верцимаха, С.Б. Лев, В.И. Сугаков. // ФТТ. -2004. -V. 46.

7. Ивченко Е.Л. Обменное расщепление экситонных уровней в сверхрешетках типа I и II / Е.Л. Ивченко, А.Ю. Каминский, И.Л. Алейнер // ЖЭТФ. -1988. -V. 104.

8. Бир Г.Л. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках / Г.Л. Бир, Г.Е. Пикус. - М.: Наука, 1972. - 584 с.

9. Loudon R. Magnon-Magnon and Exciton-Magnon Interaction Effects on Antiferromagnetic Spectra / R. Loudon. // Adv. Phys. -1968. -V. 17.

10. A.B. Комаров Гигантское магнитное расщепление экситонной полосы отражения в кристалле ZnTe:Mn / A.B. Комаров // Письма в ЖЭТФ. -1978. -Т. 27.

Библиографический список

V. 13.

Поступило 11.02.2008