Расчет взаимодействия косого скачка уплотнения с ударной волной перед цилиндром

Том XXXVI

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 200 5

№ 1 — 2

УДК 533.6.011.72

РАСЧЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОСОГО СКАЧКА УПЛОТНЕНИЯ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ ПЕРЕД ЦИЛИНДРОМ

И. А. КОНДРАТЬЕВ,

Предложен простой способ для расчета четвертого типа взаимодействия косого скачка уплотнения с ударной волной перед цилиндром, который основан на уравнениях неразрывности течения, не требует расчета всего возмущенного течения и позволяет обойтись без эксперимента.

Г. И. МАЙКАПАР

Среди различных случаев взаимодействия ударных волн особое внимание привлекает случай появления двух точек пересечения трех скачков (тройных точек) внутри возмущенного

течения (рис. 1) . Между внешней и внутренней тройными точками образуется высокоэнтропийная струя, и если критическая линия тока не выходит за ее пределы, то в критической точке цилиндра максимальные величины («пики») давления и теплового потока намного превышают таковые для изолированного цилиндра. Впервые это было обнаружено в эксперименте [1] и впоследствии получило название четвертого типа взаимодействия. Есть простой метод расчета этих пиков, но он полуэмпирический, так как геометрия скачков берется из теневых фотографий. В [2] предложен аналитический метод расчета геометрии скачков, однако он основан на двух ошибочных допущениях.

Предполагается, что внутренняя ударная волна такая же, как и перед изолированным цилиндром при числе М] за падающим скачком, а так как угол наклона ее во второй тройной точке определяется прошедшим скачком, то сразу находится и положение этой точки. Положение первой тройной точки определяется пересечением прошедшего скачка с падающим. Ошибочность этого предположения очевидна из рис. 2, 3, на которых приведены результаты эксперимента и расчета всего возмущенного течения. Только для одного положения приходящего скачка (д) внутренняя ударная волна близка к волне перед изолированным цилиндром (рис. 3). Учет влияния части струи, уходящей вниз, также основан на неверном предположении, что в расчетном сечении (М = 1) ив струе скорость звуковая. В

Рис. 1. Теневая фотография четвертого типа взаимодействия скачков уплотнения:

М = 6, 5 = 15° , Ху = 1.51 , Яе = 0.45 • 106

* Для рис. 1 — 4 использованы материалы авторов статьи [4].

Рис. 2. Эксперимент (М=6, 5 = 15°): а) х7 = 0.62; б) х7 = 0.656; в) х7 = 0.889; г) х7 = 1.46; д) х7 = 1.8

действительности в обеих частях струи у поверхности цилиндра скорость значительно больше звуковой [3], это видно из рис. 4.

Метод расчета взаимодействия, избавляющий от полуэмпиризма и значительно менее трудоемкий, чем численный расчет всего течения (уравнения Эйлера), полезен для получения формул расчета «пиков» теплового потока, анализа влияния на них формы цилиндра и более сложных трехмерных течений. Ниже предлагается такой метод. Его расчетная схема приведена на рис. 5. Из расчетов [4] следует, что углыр 3 , ф4 мало изменяются в диапазоне 1.1 < х7 < 1.5 и близки к соответствующим углам для цилиндра; этот диапазон соответствует «пику» теплового потока в области критической точки цилиндра (х7 — координата точки пересечения косого скачка с осью х, определяющая его положение по отношению к цилиндру).

Ударные волны задаются уравнениями:

х = УзсгёФз -х3(Уз -У) +

х3 - х1 (Уз - У)2

2 Уз - У1

х = -

У=П4Лё Ф4-^4

у4 -у2

2 П4-П2

-А

5 \

М=6

У \

1 х

у/Ч»4 у/

Волны проходят через точки 3, 4 (рис. 5), углы наклона их в этих точках равны углам наклона скачков при числах М = 1 за волнами. Углы наклона волн в точках 1, 2 определяются из расчета тройных

М,=4

М=1

?4

\\\\\ \ \ Рис. 5. Расчетная схема скачков

Рис. 3. Численный расчет уравнения Эйлера при М = 6, 5 = 15°:

а) х7 = 0.777; б) х7 = 1.022; в) х7 = 1.136; г) х7 = 1.285; д) х7 = 1.767; е) х7 = 1.97 Ударные волны перед цилиндром при: о — М = 6, 5 = 15°;^ — М1 = 4 — за падающим скачком

Рис. 4. Расчет при М = 6, 5 = 15°, х7 = 1.577:

— линии равных чисел Маха; — х — граница струи

точек. В первом приближении угол наклона волны в точке 1 можно принять равным 90° в уравнении равенства давлений на линии раздела течений за волной и за скачком 1—2, тогда

sin2 Є, =

і 2yM2

і-

число

Y + і 2yM2 -

Y - і 2yM2 sin2 Є -

Маха, = 1.4

— отношение

тепло-

где М — емкостей.

Более точно угол наклона волны в точке 1 определяется из условия равенства углов наклона линий тока (5) на линии раздела во втором приближении

1 + ^—1м2 0, =П-(51 -5)------2------.

2 2 ^ ^ М2 -1

Так же рассчитывается и вторая тройная точка. Ударные волны, рассчитанные по приведенным уравнениям, совпадают с полученным численным расчетом [5] для изолированного цилиндра.

Тройные точки 1, 2 являются точками пересечения падающего и прошедшего скачков с волнами и определяются уравнениями:

Х7 - Л y3

Уі = 7 , і з, Хі = Ху - Уі ctg e,

a! = ctg фз

x3 + x,

-, Ьі = ctg e-

Хз+ Хі.

П2 =^і + П| ctg Єі a2^4 , ^2 =^і -(П2 -Пі)ctg eb

b2

a2 = ctg Ф4 -

^4 +^2

, b2 = ctg Єі

^4 +^2

Координаты (x, y) , (£,, n) связаны уравнениями:

^ = xcos 5-y sin 5, n = -(x sin 5 + y cos 5).

Основанием расчета служат уравнения неразрывности для газа, прошедшего через ударные волны и в частях струи, разделенных критической линией тока.

Расход газа пропорционален произведению

Y+і

m = Ml і + Y-^M2 ^ 2

Y+і

Po

2 Y

где р0 — полные давления за скачками, постоянные вдоль линий тока. Вместо кривой М = 1 в качестве контрольного сечения возьмем лучф 3, который пересекает кривую М = 1 и границу струи в точке 5 (см. рис. 5); газ, прошедший через волну (1 — 3) проходит через отрезок (г3 — г5). Примем, что на этом отрезке скорость равна скорости звука (при М ~ 1 величина т максимальна и мало изменяется) и перпендикулярна этому отрезку (это следует из [3]). Тогда для определения г5 получим уравнение:

Г =-

Уз

m

sin Фз

P,

—=і

Poo

p02

Уз - У Уз - Уі

\

і

П4 m1

sin Ф4

Pa

'P01t

і Po4

( n4-n Л

П4-П2 у

х,1г 2.0

Рис. 6. Расстояние между тройными точками: о — расчет [4]; А — предлагаемый метод; --------------расчет [2]; х — эксперимент [4]

(р01 — полное давление за приходящим скачком уплотнения, а р04 — за внутренней ударной волной).

Величины т0 и шх соответствуют невозмущенному течению и течению за падающим скачком. В струе и пристеночных частях течение безвихревое, в частях контрольных сечений (г5 — 1), (г6 — 1) линии тока — концентрические окружности [3], скорость обратно пропорциональна радиусу. В точках 5, 6 давления по обе стороны границ струй одинаковы, скорости равны скорости звука, и в то же время они определяются из этого условия через полные давления р05 и р06.

На основании этого предположения из условия неразрывности получаем уравнения для обеих частей струи, протекающих через отрезки (г5 — 1) и (г6 — 1):

с(п2 -Пі)m1 — =

P03

2 і - 2 Г P05 ^ Y-1 Y

Y-1 у + 1 1P03 у

г г

r5

r5 J 1 - 1

і

Y-1

і -

у + і

Po5

P03

1

Y-1

dr

r

—,

(1 -СТ)(П2 -Пі) m1 — =

P03 '

2 і - 2 Г P06 ^ Y-1 Y

Y-1 у + 1 1 P03 у

1 -

Y-1

1 -

P06

P03

1

Y-1

dr

r

—,

где роз — полное давление в струе за прямым скачком уплотнения перед цилиндром, р05 — полное давление за волной в точке 1, а р06 — за волной в точке 2.

Здесь о — доля расхода газа в струе, ушедшей вверх, (1 — о) — в ушедшей вниз. Величина о увеличивается с ростом х7, для определения? должен быть сделан расчет струи в области течения около критической точки, ограниченной прямым скачком уплотнения и двумя линиями М = 1 (см. рис. 4).

Для определения шести неизвестных: y3, yi, п2, n4, r5, r6 при заданных М5, х7 имеем

систему шести уравнений (1) — (6), которую можно решать, задаваясь величиной у3 и последовательно определяя yi, r5, (n2 - nO (из уравнений (1), (3) и (5), линейная зависимость от y3). Затем из уравнения (2) определяется n4 и с помощью уравнений (4), (6) — другая зависимость (n2 - П1) от y3 (тоже линейная), пересечение двух прямых дает решение — искомую величину у3 и все остальные. Проведен расчет для случая М = 6, 5 = 15°, наиболее подробно исследованного в [4], величина о взята также из материалов авторов [4]. Результаты расчета — расстояние между

п ___п

тройными точками l = —---------- — показаны на рис. 6, они близки к расчетным и

sin 0i

экспериментальным результатам [4]; расчет по методу статьи [2] дает неверные результаты *.

* Внутренняя волна близка к волне перед цилиндром для х7 = 1.767; это IV тип взаимодействия, но не максимум теплового потока.

Отметим интересную особенность: внутренние тройные точки для различных х7

располагаются на прямой y(x), другие характерные точки на волнах — на ломаных прямых (рис. 2 и 3), излом соответствует о ~ 0.5.

Углы наклона скачков в тройных точках от х7 не зависят, поэтому и давление в критической точке цилиндра с изменением х7 изменяется мало; максимума оно достигает, так же как и тепловой поток, при 5 = 15°.

Метод расчета применим в случае обтекания цилиндра со скольжением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тетерин М. П. Исследование течения газа в области падения скачка уплотнения на цилиндр, обтекаемый потоком большой сверхзвуковой скорости // Изв. АН СССР, МЖГ. —

1967, № 2.

2. Prane M. J., Lewis M. J. Analytical solution of the type IV shock interaction //

J. of Propulsion and Power. — 1997. Vol. 13, N 5.

3. Ганжело А. И., Крайко А. Н., Макаров П. Е., Тилляева Н. И. О повышении точности расчета газодинамических задач. «Современные проблемы аэромеханики». — М.: Машиностроение. — 1987.

4. Borovoy V. Ya., Chinilov A. Yu., Gusev V. N., Struminskaya I. V.,

Delery J., Chanetz B. Interference between a cylindrical bow shock and a plane oblique shock // AIAA J. — 1997. Vol. 35, N 11.

5. Лебедев М. Г., Пчелкина Л. В., Сандомирская И. Д. Сверхзвуковое обтекание плоских затупленных тел. — М.: МГУ. — 1974.

Рукопись поступила 6/VI2003 г.