Описание класса подстановок, представимых в виде произведения двух подстановок с фиксированным числом мобильных точек

Пример 1. Пусть Е — конечная верхняя полурешётка и е — система её подмножеств с нижней гранью. Тогда клон QE (е) совпадает с клоном квазимонотонных функций на полурешётке Е, введённых Г. П. Агибаловым [2], а клон Фе(е) совпадает с клоном слабосущественных квазимонотонных функций из [3].

Пример 2. Как клон сохранения некоторой с-системы можно определить любой (предполный по теореме Розенберга) клон функций из Ре , сохраняющих произвольный отличный от диагонали центральный вполне рефлексивный симметричный предикат.

Проблема полноты в слабоцентральном клоне. Из-за указанных приложений слабоцентральных клонов представляется важной проблема полноты в них.

Теорема 2. Пусть А и В — с-слабоцентральные клоны, такие, что А С В. Тогда множество Л(А, В) является безызбыточной А-критериальной системой для клона В; в частности, для произвольных предикатов р и д из Л(А, В) строгое включение В П ро1Е(р) С В П ро1Е(д) невозможно. Более того, для произвольных предикатов р и д из Л(А, В) равенство клонов В П ро1Е(р) = В П ро1Е(д) равносильно перестановочной эквивалентности этих предикатов.

Сформулированная теорема сводит задачу построения безызбыточной А-крите-риальной системы в клоне В для слабоцентральных клонов А и В к нахождению В-предельных предикатов из Л(А,В). Помимо этого, имеет место

Следствие 1. Слабоцентральный клон обладает безызбыточной критериальной системой.

Отметим также, что доказанная в [3] теорема легко обобщается как теорема о Фе(е)-полноте в клоне QE(е) для произвольной с-системы е.

ЛИТЕРАТУРА

1. Парватов Н. Г. О выделении максимальных подклонов // Прикладная дискретная математика. 2011. №1. С. 14-25.

2. Агибалов Г. П. Дискретные автоматы на полурешётках. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1993. 227 с.

3. Парватов Н. Г. Теорема о функциональной полноте в классе квазимонотонных функций на конечной полурешётке // Дискр. анализ и исслед. опер. Сер. 1. 2006. Т. 13. №3. С. 62-82.

УДК 519.7

ОПИСАНИЕ КЛАССА ПОДСТАНОВОК, ПРЕДСТАВИМЫХ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ПОДСТАНОВОК С ФИКСИРОВАННЫМ ЧИСЛОМ МОБИЛЬНЫХ ТОЧЕК

А. Б. Пичкур

Пусть Бм — группа подстановок степени N; О Е Бм; Г(О) С {1,... , N} — множество мобильных точек подстановки О; 2 ^ д ^ N; Гм(д) = {О Е Бм : |Г(О)| = д} — множество всех подстановок степени N, имеющих ровно д мобильных точек.

В данной работе описано множество всех подстановок из Гм (д)  Гм (д). Данный результат имеет практические приложения в криптографии.

В научной литературе рассматривается схожая задача описания множества подстановок, принадлежащих произведению двух или более классов сопряженных элементов из Бм (или из Ам — знакопеременной группы подстановок) [1-6].

Доказаны следующие результаты.

Утверждение 1. Если N ^ 6, 2 ^ q1 < q2 ^ N/2, то Гм(qi)  Гм(qi) С Гм(q2) x хГм (?2)-

Теорема 1. Пусть N ^ 8, 4 ^ q ^ N/2, G E SN. Если |r(G)| ^ 2q — 2, то существуют подстановки H1,H2 E Гм (q), для которых выполняется равенство G = Hi  H2.

Далее рассмотрим, какие подстановки из множеств Гм(2q — 1), Гм(2q) принадлежат произведению Гм (q)  Гм (q).

Утверждение 2. Пусть N ^ 4, 2 ^ q ^ N/2, подстановка G E Гм(2q) является произведением r неединичных циклов, длины которых равны m1 , m2,... , mr,

r

^2 тг = 2q. Подстановка G лежит в Гм(q)  Гм(q) в том и только в том случае, когда

i=1

существует такое подмножество {i1,..., ik} С {1,... , r}, что mi1 + ... + mik = q.

Утверждение 3. Пусть N ^ 4, 2 ^ q ^ N/2, подстановка G E Гм(2q — 1) является произведением r неединичных циклов, длины которых равны m1 ,m2,... ,mr,

r

'Yhmi = 2q — 1. Подстановка G лежит в Гм(q)  Гм(q) в том и только в том случае, i=1

когда выполнено условие: существует i0 E {1,... , r} и существует такое подмножество {i1,...,ifc} С {1,...,r}\{io}, что mi0 > 2 и q — mil + mi2 + ... + mik E {2,..., mio — 1}.

Итак, в теореме 1, утверждениях 2 и 3 полностью описано строение множества Гм (q)  Гм (q) при 4 ^ q ^ n/2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bertram E. Even permutations as a product of two conjugate cycles // J. Combin. Theory (A).

1972. V. 12. No. 3. P. 368-380.

2. Bertram E. and Wei V. K. Decomposing a permutation into two large cycles; an enumeration // SIAM J. Algebraic Discrete methods. 1980. V. 1. No. 4. P. 450-461.

3. Moran G. Reflection classes whose cubes cover the alternating group // J. Combin. Theory (A). 1976. V. 21. No. 1. P. 1-19.

4. Moran G. Permutations as products of k conjugate involutions // J. Combin. Theory (A). 1975. V. 19. No. 2. P. 240-242.

5. Product of conjugacy classes in groups / eds. Z. Arad, M. Herzog. Lecture Notes in Mathematics. V. 1112. Berlin: Springer Verlag, 1985. 244 p.

6. Тужилин М. Э. О порождении знакопеременной группы полурегулярными инволюциями // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11. Вып. 4. С. 938-939.

УДК 519.7

О ПРИБЛИЖЕНИИ ПОДСТАНОВОК ИМПРИМИТИВНЫМИ ГРУППАМИ

Б. А. Погорелов, М. А. Пудовкина

С 70-х годов прошлого века изучаются и строятся классы функций, максимально далёких от множества всех аффинных функций. Однако вместо множества всех таких функций можно также рассматривать симметрическую группу на конечном множестве X, а вместо множества всех аффинных функций — множество всех подстановок, сохраняющих некоторую систему импримитивности W с r блоками мощности w,