Обратные задачи теплопроводности и теплофизический эксперимент

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

А.И. ИЛЬИНСКИЙ, д. т. н., профессор кафедры физики МГУ На

Базовой операцией теплофизического эксперимента является определение тепловых потоков на границах модели по результатам измерений температуры на заданном множестве точек области пространства-времени. Выполнение указанной процедуры связано с решением обратной задачи теплопроводности (ОЗТ) - используя модель теплопроводной системы, по некоторой экспериментальной информации об изменении температуры оценить распределение тепловых потоков на границе системы. Обратные задачи теплопроводности относятся к классу некорректных задач по Адамару.

Согласно Адамару, задача определения решения г = 11(11) из метрического пространства 2 (с расстоянием рг {z^, г2)) по исходным данным и из метрического пространства и (с расстоянием ри(их, и2)) называется корректно поставленной на паре пространств (2, 17), если:

а) для всякого и е II существует решение г е2\

в) решение определяется однозначно; с) задача устойчива на пространствах (2’, 17), что означает:

для всякого е > 0 существует такое 5(8) > 0, что для любых мь мг е [/ из неравенства ри{и\, мг) < 5(е) следует неравенство Рг{?\, 22) < е, где = 11(и\), г2 = Я(и2).

По мнению Адамара всякая математическая модель, описывающая физический процесс, должна быть корректной. В первую очередь, это было связано с трудностью интерпретации результатов математического моделирования, когда бесконечно малым изменениям входного сигнала соответствует сколь угодно большие изменения выходного сигнала.

Разрешение этой проблемы невозможно путем уменьшения погрешностей измерений температуры, так как основным ис-

точником генерации погрешности идентификации теплового потока является сама некорректная математическая модель. Даже использование «идеальных» температурных данных приводит к совершенно неудовлетворительному хаотическому решению за счет чрезвычайно высокого усиления ошибки дискретизации из-за конечной разрядности машинного слова.

Однако, прикладная важность и практическая направленность ОЗТ требуют разработки новых математических методов обработки экспериментальной информации при идентификации тепловых нагрузок [5,7].

Естественным подходом к построению приближенного решения некорректной задачи является переопределение метрических пространств и и 2 и/или неограниченного оператора Я.

Рассмотрим операторное уравнение 1-го рода

Аг = и,

где А - непрерывный оператор, действующий из метрического пространства 2 в метрическое пространство 17, а множество М компакт в 2. Пусть задача решения уравнения является некорректной по Адамару.

Основой метода построения приближенного решения некорректной задачи является понятие условной корректности по Тихонову, сужающее множество искомых решений и заменяющее условия корректности по Адамару [7].

Следуя методу квазирешений, предложенному В.К. Ивановым [6], изменим понятие решения так, чтобы задача его нахождения стала бы корректной при выполнении определенных дополнительных условий.

Согласно [6] квазирешением уравнения (1) называется элемент гк, минимизирующий невязку \\Аг -м|| на множестве М

При выполнении дополнительных условий о выпуклости компакта М и существовании только тривиального решения уравнения Аг = 0, квазирешение (2) операторного уравнения (1) существует, единственно и непрерывно зависит от и. Это составляет основу для построения устойчивых решений широкого класса обратных задач. Используя априорную информацию о решении задачи (1), возможно построить некоторый компакт М, на котором проводится минимизация невязки. Метод квазирешений справедлив также для непрерывных нелинейных операторов, однако вопрос единственности решения нелинейного уравнения (1) с точной правой частью должен быть тщательно исследован. К существенному недостатку метода квазирешений относится зависимость найденного решения и, следовательно, точности метода от выбора компакта М на основании доступной априорной информации.

Существует широкий класс задач, когда:

а) множество возможных решений 2 не является компактом;

б) оператор А~] не является непрерывным на А2;

в) приближенные значения и не принадлежат множеству А2.

Эти задачи получили название существенно некорректных задач.

Наиболее широко распространенным высокоэффективным методом решения существенно некорректных обратных задач является метод регуляризации, предложенный и математически обоснованный А.Н. Тихоновым в 1963 г. [7]. Предположим, что оператор А известен точно. Согласно методу регуляризации исходный неограниченный оператор аппроксимируется семейством непрерывных операторов, зависящим от параметра регуляризации. При стремлении параметра к нулю непрерывный оператор стремится к неограниченному. Таким образом, решение некорректной задачи сводится к компромиссу между уменьшением ошибки аппроксимации оператора и усилением шумов в исходных данных.

Дадим определение регуляризующего оператора [8]. Оператор R(u, а) из U в Z, зависящий от параметра а, называется регуля-ризующим оператором для уравнения Az = и в окрестности и = ит, если он обладает свойствами:

а) существует такое число ô i > О, что оператор R(u, а) определен для всякого а > 0 и любого и& eU, для которого ру(ы5,мг)<0<01;

в) существует такая функция от Ô, а = а(6), что для любого в > 0 найдется число 6(е) < 5) такое, что если u&eU и Р£/(*/5, мг)<0<0,, то рz(z6,zT), где z5 =я(и8,<х(8)).

Если р„(м8, иг)<8, то в качестве приближенного решения уравнения Az = и с приближенно известной правой частью щ можно брать элемент za=R(ub, а), полученный с помощью регуляризирующего оператора R(u, а), где а = а(5) согласовано с погрешностью исходных данных щ.

Построенное подобным образом решение операторного уравнения Az = и называется регуляризованным решением некорректной задачи, а числовой параметр а называется параметром регуляризации.

Следовательно, задача построения регуляризованного решения сводится к нахождению регуляризующего оператора и определению величины параметра регуляризации по имеющейся априорной информации.

Одним из наиболее широко распространенных методов построения регуляризующего оператора является вариационный принцип, использующий свойства стабилизирующих функционалов [5, 8, 10].

Введем сглаживающий функционал для некорректной задачи, как

Ma\z, ub] = ç>l(Az, ws)+aQ[z], (3) где Q - заданный стабилизирующий функционал.

Тогда регуляризованное решение некорректной задачи находится путем миними-

зации сглаживающего функционала, например, решая соответствующее уравнение Эйлера для функционала Ма\г,и&\, а параметр регуляризации ос находится из дополнительного условия, использующего имеющуюся априорную информацию о погрешности задания правой части операторного уравнения

Р и

Рассмотрим случай простейшего сглаживающего функционала в виде

Ма

где а - параметр регуляризации.

Уравнение Эйлера для регуляризую-щего функционала (5) при вариационной постановке задачи решения операторного уравнения (2) может быть представлено в виде

аг + А* Аг = А*и,

где А* - оператор сопряженный с А.

При согласовании скорости стремления к нулю параметра регуляризации а(5) с величиной погрешности 5 приближенное решение уравнения Эйлера (6) сходится к точному при 6 —» 0.

Величина параметра регуляризации может быть определена по априорной информации с помощью условия (4).

Если стабилизирующий функционал

Ма [г, м5] имеет вид

где Вг - производная Фреше стабилизирующего функционала О [г].

В случае выбора стабилизирующего функционала в виде

[г] =

для величины параметра регуляризации а, определяемого по критерию невязки (4), в литературе [8] рекомендованы следующие оценки:

\\А'АА~'А

а <

а <

А и8 А\-]А

Л 5

а <

а<

О,

Другой важный класс методов решения некорректных задач образуют итерационные методы [3, 4, 5]. Рассмотрим итерационный процесс решения операторного уравнения Аг = ив следующей форме:

г. =2„_, +\х{А*и-А*Агп_\ п =1,2, ...,

гй = \хАи,

где А* - оператор, сопряженный с А, а ц -положительное число.

Элемент г„, определяемый после п итераций, представим с помощью оператора /?„, выражаемого как

где Яп = \1^{е - \\А*А] А*; Е - единичный

1 = 0

оператор.

Справедлива следующая теорема [5].

Теорема 1. Пусть параметр ц положителен и меньше, чем 2|/4*/1|)Г . Если целочисленная положительная функция п(8) такова, что и(5) —»+оо и «(5)5 —»0 при 5 -» 0, то

Из теоремы следует, что при согласовании числа итераций с точностью задания правой части операторного уравнения итерационный процесс сходится к точному решению при уменьшении погрешности задания правой части 8 —» 0. Таким образом, при решении некорректной задачи итерационными методами ре-гуляризующим параметром процедуры является число итераций, которое определяется точностью определения функции и.

Одним из перспективных направлений в разработке методов решения некорректных задач являются проекционные или спектральные методы [5, 12]. Проекционные методы дают приближенное решение в виде конечномерной линейной комбинации некоторой системы функций. В качестве системы линейно независимых ортогональных функций возможно использование системы ортогональных собственных функций оператора А или непрерывного положительного самосопряженного оператора А'А, собственные

элементы которого образуют ортонормиро-ванный базис по теореме Гильберта-Шмидта. Использование спектрального метода накладывает более сильные условия на систему базисных функций при построении приближенных решений. Информация о структуре приближенного решения некорректной задачи должна быть классифицирована как априорная информация, доступная из дополнительных физических соображений об общем характере решения задачи.

Рассмотрим линейный непрерывный оператор А, заданный на паре сепарабельных гильбертовых пространствах (2, Ц). Пусть операторное уравнение Аг = О имеет только нулевое решение. Тогда для точной правой части и существует решение г операторного уравнения

Аг = й,

которое ищется в виде конечномерной линейной комбинации

/V

2 = *°.

¡ = 1

где ф; - выбранная линейно независимая система элементов в 2. Необходимо найти неизвестные значения размерности N подпространства, натянутого на систему элементов ф(. и коэффициенты а(. проекции точного решения г на базисные элементы <р(..

Пусть элемент й задан приближенно, то есть заданы «{и5, такие, что ||и6 - й\\ < 5. Зададим множество в пространстве 2 в виде

= ^ = ХС/Ф;» Иг-ИвЦ^5 >

где с,. - действительные числа, а ц > 1.

Имеет место следующая теорема, которая гарантирует сходимость множества приближенных решений к точному [5].

Теорема 2. Существует 50 > 0, такое, что п(Ь) - N для 0 < 5 < 50 и

8ир||г-г|—»0; г е при 5-»0.

Вопрос о выборе системы элементов Ф, в случае отсутствия априорной информации о структуре приближенного решения может быть решен выбором ортонормиро-

ванного базиса собственных элементов оператора А* А{ф;}.

А'Лу; =Я.,.ф,., А.,. >0, / = 1,2,...

Сходимость приближенного решения к точному при выборе в качестве базисных функций собственных элементов непрерывного положительного самосопряженного оператора А* А обеспечивает теорема [5].

Теорема 3. Если базис собственных элементов А*А упорядочен по невозрастанию собственных значений, то при S —> 0

Приведенные математические сведения о некорректных задачах и методах нахождения их приближенных решений составляют теоретическую базу для анализа и синтеза методов идентификации теплообмена путем решения ОЗТ.

Существующие ОЗТ могут быть разделены на классы при использовании различных признаков классификации, которая представлена в таблице.

Ниже приведен анализ граничных ОЗТ и коэффициентных ОЗТ, связанных с идентификацией источникового члена. Подробный обзор российской и зарубежной литературы по ОЗТ приведен в монографиях [1,2, 11].

Постановка ОЗТ определяется в значительной степени возможностями теплофизического эксперимента и точностью измерительной техники, в первую очередь, погрешностью измерений температуры и пространственно-временным разрешением измерений непрерывного поля температуры в теплофизическом эксперименте.

Следует иметь в виду, что при получении измерительной информации всегда присутствует неопределенность. Так, часто при измерении теплового баланса тонкого теплопроводного элемента, измерения температуры возможны только на одной из сторон тонкого слоя. Для замыкания задачи необходимо использование правдоподобных допущений типа адиабатических условий на противоположной стороне, равенства температуры на двух сторонах и тому подобных.

Таблица

Классификация типов ОЗТ

Тип ОЗТ Заданные величины Искомые величины

Граничные ОЗТ Коэффициентные ОЗТ Ретроспективные ОЗТ Коэффициенты уравнения, начальные условия, поле температуры Граничные условия, начальные условия, поле температуры Коэффициенты уравнения, граничные условия, поле температуры Граничные условия Коэффициенты уравнения Начальные условия

Существующие методы решения ОЗТ были ориентированы, в первую очередь, на использование контактных методов измерения температуры и на восстановление тепловых нагрузок меняющихся во временной области. Методы идентификации во временной области могут быть разделены на три группы в зависимости от использования измерительной информации [11].

1. Методы использующие информацию о поле температур только до текущего момента времени. Используется только текущая информация с единственного временного слоя и минимизируется невязка между измеренными и рассчитанными данными. Метод отличается простотой, но обладает чрезвычайно высокой чувствительностью к ошибкам измерений температуры. Для повышения устойчивости восстановления тепловых потоков необходимо использовать крупные шаги по времени между измерениями. Подобная шаговая регуляризация приводит к уменьшению разрешения во временной области.

2. Методы, использующие информацию в нескольких шагах по времени, получили название последовательных методов. Последовательные алгоритмы обладают более высокой устойчивостью и более высоким разрешением во времени при более низкой чувствительности к погрешностям измерений температуры.

3. Методы, использующие информацию во всей временной области, являются наиболее мощными и обеспечивают как высокое пространственное разрешение, так и низкую погрешность восстановления тепловых потоков. К этой группе относятся методы вариационной и итерационной регуляризации. К

недостаткам указанной группы следует отнести сложность используемых алгоритмов и высокую трудоемкость вычислений, значительно снижающих быстродействие методов этой группы.

Важной характеристикой теплофизического эксперимента являются свойства погрешностей измерения температуры. В задачах параметрической идентификации тепловых нагрузок обычно предполагают, что статистические характеристики погрешностей измерения температуры удовлетворяют ряду условий, что позволяет использовать для анализа экспериментальных данных мощные методы регрессионного анализа.

Обычно предполагается выполнение стандартных условий:

- аддитивные погрешности измерений температуры в,- некоррелированы и распределены нормально с нулевым средним и постоянной дисперсией а2;

- время измерений, координаты датчиков температуры, размеры и конфигурация анализируемого объекта и его теплофизические свойства точно известны;

- априорная информация об идентифицируемом пространственно-временном распределении теплообмена по поверхности опытного участка отсутствует.

Для нахождения решения ОЗТ часто более удобным является переход от дифференциального описания процесса теплообмена с начальными и граничными условиями к интегральной форме, используя метод суперпозиции и интеграла Дюамеля, метод функции Грина или тепловых потенциалов. Переход к интегральному описанию особенно эффективен для линейных задач и тел классической

формы. Температурное поле в области Я, вызванное тепловыми потоками распределенными по граничной поверхности 51, определяется уравнением [1]

Т

где Ст(М, Р, і - £,)- функция Грина для рассматриваемой области и заданных граничных условий. Методы построения функции Грина, например с помощью решения спектральной задачи Штурма-Лиувилля, являются для тел канонической формы классической задачей аналитической теории теплопроводности твердых тел.

Таким образом, решение ОЗТ равносильно решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода [8], то есть по известному распределению температуры Т\М, і) в объеме К необходимо определить подынтегральную функцию <7(Р, £,), определенную на поверхности 51.

Ядро интегрального преобразования определяется функцией Грина, которая зависит от абсолютных значений координат точки Р действия теплового потока q (причина) и точки наблюдения М температуры (следствие) обладает симметричностью относительно пространственных переменных, а для временных переменных зависит только от разности времен между моментом действия теплового потока q (причина) и моментом наблюдения температуры (следствие).

в{м, р, г - 4)=с{р, м, і-%).

Таким образом, теплопроводный элемент представляет собой распределенную систему инвариантную во временной области и неинвариантную в пространственной области. Это обстоятельство затрудняет прямой перенос существующих методов решения ОЗТ во временной области для нахождения приближенных решений ОЗТ в пространственной области.

Сравним основные характеристики методов приближенного решения ОЗТ.

Прямые методы используют принцип шаговой регуляризации и интегральную форму постановки обратной задачи [1]. Простран-

ственно-временная область покрывается равномерной сеткой с временным шагом Ат и пространственным шагом Ах. Конечноразностная аппроксимация интегрального уравнения (19) сводит исходную задачу к решению системы N линейных алгебраических уравнений

АаЯм ~ Уы ,

где N - мерный вектор; - конечномерное приближение непрерывного пространственно-временного распределения тепловых потоков; Ум - ТУ-мерный вектор измеренного распределения температуры; Ад - квадратная матрица треугольно-блочной структуры размерности Элементы матрицы Аа могут быть рассчитаны единственный раз для заданных значений временного и пространственного шагов Ат и Ах, а затем храниться в файле.

В литературе рассматривался вопрос о минимальной величине пространственного и временного шагов, при которых система линейных алгебраических уравнений является хорошо обусловленной. Его величина определяется формой тела, положением установленных температурных датчиков, типом граничных условий и величиной погрешности температурных измерений. Если величину временного шага Ат выразить в виде числа Фурье, используя в качестве характерного размера глубину заделки а? датчика температуры и коэффициент температуропроводности а материала стенки, то Алифанов [1] рекомендует неравенство в виде

аАт/с12 > 1.

С другой стороны, можно воспользоваться критериями выбора оптимального шага при численном дифференцировании. Так для временного шага получаем величину из критерия нахождения первой производной температуры по времени, а для пространственного шага оптимальную величину находим путем вычисления второй производной по координатам, то есть оператора Лапласа.

Ат = 2(6/М2)1/2; Ах = 2(35/М4)1/4, (23) где 5 - погрешность температурных 'измерений; М2, МА - максимальное значение второй производной по времени и четвертой про-

изводной по координате в области дискретизации.

Увеличение шага дискретизации ведет к увеличению систематической погрешности, то есть ошибки аппроксимации краевой задачи. Уменьшение шага приводит к резкому усилению влияния погрешности измерения температуры, то есть усилению шумового компонента погрешности идентификации тепловых потоков. При выполнении условий (23) ошибка аппроксимации равна вкладу шумового компонента температурных измерений, что приводит к минимизации полной погрешности идентификации тепловых нагрузок прямым методом, используя естественную шаговую регуляризацию.

Как отмечает Алифанов [1], чувствительность прямого метода идентификации тепловых потоков к погрешностям измерений температуры проявляется сильнее для двумерной постановки, нежели в одномерном случае. В большей степени проявляются эффекты сглаживания и запаздывания при дополнительной погрешности аппроксимации по пространственной переменной. Следовательно, эффективность использования прямых методов идентификации тепловых потоков в пространственно-временной области значительно ниже, чем для одномерного случая временного восстановления тепловых потоков. Это приводит к возможности идентификации прямыми методами только тепловых нагрузок с невысокими пространственными градиентами для малодинамичных процессов теплообмена.

Возможна модификация прямого метода идентификации теплового потока путем использования методов регрессионного анализа. Используя метод наименьших квадратов можно обработать данные температурных измерений, полученные с высоким временным разрешением. Речь идет о методе последовательного оценивания. Основные положения метода можно сформулировать следующим образом [11]:

1. Для моментов времени ¡м, ¿л/ + л + 2, ..., Гм + г - 1 задается функциональная форма теплового потока <7(0 (при / < ¡м - \ плотность теплового потока известна).

2. Вычисляется функционал невязки J между измеренными и рассчитанными значениями температуры в г точках (% < г < ¿М + г- 1).

3. Для принятой формы теплового потока оцениваются составляющие теплового потока Чм + ь Цм + 2, ...,Цм + г-\ путем минимизации функционала J.

4. Сохраняется только первая составляющая потока qм

5. Происходит переход на следующий временной слой М + 1 и процедура повторяется.

Метод последовательного оценивания позволяет снизить чувствительность процесса идентификации теплового потока к погрешностям измерений температуры и повысить временное разрешение при восстановлении тепловых потоков. К недостаткам метода следует отнести неоднозначность функционального задания теплового потока и невозможность использования метода последовательного оценивания д(0 для идентификации пространственного распределения теплового потока.

Регуляризация вариационных постановок ОЗТ была впервые выполнена Алифановым [1]. Рассмотрим сначала восстановление тепловых потоков во временной области. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подобную (21), но с нижней треугольной матрицей А д

А^„=¥„.

Регуляризованная постановка задачи идентификации тепловых потоков вариационным методом состоит в нахождении вектора минимизирующего функционал определенный на пространстве сеточных функций, являющегося аналогом функционала

^ [?„. У, ]= Йа - У, У (Да, - У«)+

Г' и.{*] </,, ¿1 Ц:: + Ц ч ):

где Ь\,Ьг~ дву- и тридиагональные матрицы; а - параметр регуляризации; г\, г2 - положительные постоянные.

Минимизируя функционал (25) с учетом граничных условий находим конечноразностный аналог уравнения Эйлера (7) в виде

Вад„=Оы,

где Ва = л[ А& + а{гхЬ\Ьх + г2Ьт2Ь2 );

= + 8 к

Матрица {гх11х Ьх + г21т2Ь2) является конечноразностным аналогом сглаживающего оператора, а вектор gN определяется величиной производных теплового потока по времени в начальный и конечный момент временного интервала идентификации теплового потока.

Решая систему (25) при выбранном значении параметра регуляризации а получаем некоторое приближение к истинной функции с/(1).

Величину параметра регуляризации а определяем из условия согласования невязки с погрешностью измерений 8. Следовательно, критерий выбора параметра регуляризации а в случае N измерений с постоянной погрешностью 8 может быть сформулирован в виде

Результаты численных экспериментов показывают, что выбор параметра регуляризации по критерию невязки (27) приводит к «переглаживанию» приближенного решения [1]. Другой проблемой вариационного метода является априорное задание вектора gN, определяемое из интуитивных соображений о величине первой и второй производных теплового потока по времени в начальной и конечной точках временного интервала идентификации. Метод особенно чувствителен к величине второй производной при использовании в качестве сглаживающего функционала выражения построенного с помощью трехдиагональной матрицы.

Постоянное требование повышения эффективности численного решения ОЗТ приводит к необходимости постоянного усовершенствования существующих и развития новых методов построения приближенных решений ОЗТ. Одним из наиболее эффективных методов решения ОЗТ является итерационный метод минимизации критерия оптимальности [1,2].

Выберем критерий качества ОЗТ в

виде

{

Ач)= ‘¡У, .

О Л

При идентификации тепловых потоков по данным N измерений температуры интегральный критерий качества (28) заменяется конечномерным приближением в виде

, Г,) =

Следовательно, приближенное решение ОЗТ может быть сведено к решению задачи минимизации невязки расчетных и измеренных температур

= -УЫ)Т{А^М - У,/).

?л' Яы

Минимизация задачи (30) может быть проведена с помощью метода скорейшего спуска или с помощью метода сопряженных градиентов. При минимизации целевого функционала как методом скорейшего спуска, так и методом сопряженных градиентов необходимо вычислять величину градиента функционала. Как было показано Алифановым [1, 2], задачу вычисления градиента функционала можно свести к решению сопряженной краевой задачи, получаемой из краевой задачи для ОЗТ. Таким образом, итерационную процедуру необходимо дополнить способом выбора номера итерации, при достижении которого приближенное решение следует рассматривать как решение ОЗТ. Следовательно, имеет смысл прервать итерационный процесс, когда невязка достигнет значений суммарной погрешности измерений температуры и погрешности аппроксимации конечноразностного приближения. Дополнительным регуляризирующим параметром в градиентных методах минимизации является величина итерационного шага. Как показывают численные эксперименты, число итераций для получения регуляризованного приближенного решения ОЗТ сравнительно невелико. Обычно достаточно выполнить от трех до десяти итераций в зависимости от величины погрешности в исходных температурных данных. Метод сопряженных градиентов

обеспечивает более эффективный вычислительный процесс, нежели метод скорейшего спуска, что было показано в [1].

К преимуществам итерационных методов решения ОЗТ относятся слабая чувствительность к погрешностям измерений температуры, возможность решения нелинейных задач, эффективный вычислительный процесс по сравнению с классической вариационной регуляризацией.

К недостаткам итерационного метода решения ОЗТ необходимо отнести сложность построения сопряженной краевой задачи для вычисления величины градиента функционала, особенно для многомерных задач, физическую неясность решения ретроспективной сопряженной задачи с неизвестным распределением градиента функционала в конечной точке временного интервала и отсутствия равномерной сходимости при обнулении градиента функционала при г =

Автором был разработан новый спектральный метод [12] пространственного восстановления теплового потока, использующий свойства собственных функций и собственные значения дискретного оператора Лапласа, уравнения нестационарной теплопроводности и оптимальную фильтрацию по Винеру как эффективную регуляризационную процедуру. Предложена и исследована регуляризация спектральным методом проецирования на подпространство с весами по Хэмминга для случая, когда спектральные характеристики отношения сигнал-шум при температурных измерениях не известны. Получен критерий выбора размерности спектрального подпространства по заданной априорной информации о погрешности измерений температуры для заданного прямоугольного растра обеспечивающий квазиоптимальность восстановления теплового потока.

Использование быстрых алгоритмов двумерного синус Фурье преобразования позволило значительно сократить число арифметических операций и создать высокоэффективные численные алгоритмы пространственного восстановления тепловых потоков.

Разработанная теория была использована для увеличения пространственного раз-

решения в количественной ИК термографии и практической обработки малоконтрастных тепловых изображений при низком отношении сигнал-шум, когда классические методы локального измерения теплового потока непригодны.

Хорошее совпадение результатов независимых методов подтверждает достоверность разработанного спектрального метода идентификации тепловых нагрузок и его высокую эффективность для локального измерения тепловых потоков.

Разработанный метод отличается большим объемом обрабатываемых данных и высоким быстродействием по сравнению с классическими методами, не уступая им по точности и пространственному разрешению.

Литература

1. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. -М.: Машиностроение, 1988. -280 с.

2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итерационные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988.-288 с.

4. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. -М.: МГУ, 1989.

5. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. -М.: МГУ, 1994.-208 с.

6. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // ЖВМ и МФ. -1966. - Т. 6. - № 6. - С. 1089-1093.

7. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. -1963.-Т. 151. -№3,- С. 501-504.

8. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

9. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. - М.: Наука, 1983. - 1983 с.

10. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1990. - 232 с.

11. Beck J.V., Blackwell В., St.Clair Jr C.R. Inverse

Heat Conduction.Ill-Posed Problems. Wiley-

Interscience Publication, NY, 1985.

12. Ilyinsky A. Inverse radiative heat transfer technique for heat fluxes restoration using optimal Wiener filtration. I Int.Symposium on Radiative Transfer, Cesme, Turkey, Aug. 1995.