Математическая модель электромагнитного поля

Боровиков Михаил Алексеевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электропривод и автоматизация промышленных установок» УлГТУ, действительный член Академии электротехнических наук РФ. Окончил Томский политехнический институт. Имеет статьи и монографии по вопросам повышения качества автоматизированных электроприводов разных классов.

Петрова Марина Валерьевна, кандидат технических наук, окончила энергетический факультет УлПИ, доцент кафедры «Электропривод и автоматизация промышленных установок» УлГТУ. Имеет статьи и доклады по вопросам компенсации реактивной мощности.

УДК 537.8 Е. Н. МЕНЬШОВ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Проводится анализ уравнений классической электродинамики на соответствие физическому смыслу, и обнаруживаются противоречия их математических операторов с физическим смыслом. Обосновывается корректировка этих уравнений. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Уравнения Максвелла составляют фундамент классической электродинамики. Когда классические науки - электродинамика и механика - натолкнулись на непреодолимую для них трудность, обусловленную неспособностью решить проблему устойчивости модели атома Резерфорда, то теоретическое естествознание пошло по пути абстрактного формализма и математизированных теорий. В результате современная теоретическая физика утонула в пучине идеалистических категорий: отрицание детерминизма, признание возможности нарушения закона сохранения энергии, признание реальностями различных сингулярностей. Классическая электродинамика также приводит в ряде случаев к физически противоречивым результатам, например, в релятивисткой области преобразования Лоренца указывают на бесконечность физических характеристик.

Проблемы электродинамики побуждают многих исследователей предлагать оригинальные теории электромагнитного поля. Однако авторов новых концепций и парадигм ожидают непреодолимые трудности, обусловленные или абстрактным формализмом, или субъективным постулированием. 64 Вестник УлГТУ 1/2001

моделирования, базирующееся на строгой математике, фундаментальных принципах теории естествознания и общей теории динамических систем.

Любая математическая модель в общем виде представляет определенный математический оператор, который устанавливает взаимосвязь между физическими переменными, характеризующими состояние исследуемого объекта. Адекватность моделирования достигается выполнением определенных важных требований [1].

ОГРАНИЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ МАКСВЕЛЛА

Уравнения Максвелла связывают величины, характеризующие состояние электромагнитного поля (ЭМП), с его источниками. Рассмотрим первое и второе уравнения Максвелла для вакуума:

rtrt В = С"*

гаt Б = - {д В fdt).

Здесь Е и В - векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции. Они являются реальными величинами, так как определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, и

выступают специфическими сторонами единого электромагнитного явления -электро-магнитного поля, с - скорость света.

Каждое уравнение Максвелла (1) и (2) состоит из двух составляющих: справа - воздействующая составляющая; слева - возбуждаемая составляющая. Это очевидное положение вытекает непосредственно из физического смысла каждого уравнения [2]. Первое уравнение есть дифференциальная форма закона полного тока, второе уравнение является дифференциальной формой закона электромагнитной индукции. Этими законами реально подтверждается факт наличия в электромагнитных явлениях двух самостоятельных причинно-следственных отношений между физическими величинами В и Е. Тогда каждое отдельное уравнение (1) или (2) выражает на бесконечно малом интервале времени самостоятельный элементарный акт причинно-следственного взаимодействия в общем электромагнитном процессе.

Правая часть каждого уравнения представляет собой дифференциальный оператор д /dt над переменной, выступающей в качестве воздействия (причины в акте взаимодействия). Левая часть каждого уравнения представляет собой пространственную производную, называемую ротором (или вихрем), над переменной, выступающей в качестве возбуждаемой величины (следствия в акте взаимодействия).

Математический оператор rot вычленяет вихревую составляющую возбуждаемого векторного поля [3]. Значит векторы rotB и rotE, характеризуя структуру - вихревую структуру - возбуждаемых полей, тоже являются следствиями воздействующих величин. Но при этом математические операторы уравнений (1) и (2) допускают бесконечные значения каждого вектора votB и rotE в случае скачков Е и В соответственно.

Исследуем вопрос: могут ли с физической точки зрения rotB и rotE принимать бесконечные значения? Для этого умножим скалярно обе части уравнения (1) на вектор Е , и аналогично - уравнения (2) на вектор В:

Здесь w3 и wM - соответственно плотности энергии электрического и магнитного полей, - магнитная постоянная вакуума. Из (3) и (4) следует, что величины ErotB и BrotE приравнены соответственно характеристикам мощности электромагнитной энергии. Так как в природе невозможны бесконечные .мощности, то величины rotB и rotE не должны принимать бесконечные значения. Приходим к выводу, что такие физические ограничения не выражаются математически в уравнениях Максвелла. Таким образом, математические операторы уравнений Максвелла сужают область отображения физически непротиворечивой картины ЭМП.

Математически этот недостаток выражается дефектом операторов традиционных уравнений, заключающимся в понижении порядка производной, по времени в левой части каждого уравнения относительно правой части. В математике уравнения с такими свойствами называются вырожденными уравнениями.

ОБОСНОВАНИЕ НОВЫХ УРАВНЕНИЙ Для исключения «дефекта» необходимо ввести в уравнения Максвелла .временные производные <УГ величин rotB и rotE соответственно. Новая математическая модель примет следующий вид:

Ti ВУ di) + rot В - с'~

-i2

где Т] и т2 - некоторые постоянные времени. Такая структура уравнений учитывает неотъемлемое природное свойство в причинно-следственных отношениях - наличие локального эффекта запаздывания между следствием и причиной. Поскольку электромагнитное поле описывается системой двух уравнений, то необходимо говорит* о локальном эффекте запаздывания. Так как «эффект локального запаздывания» не замечен на опыте,

то нужно полагать, что величины Т] и т2 слишком малы, поэтому он может быть заметен только при очень высоких частотах колебаний ЭМП.

Для обоснования количественных соотношений между параметрами Т| и проведем анализ уравнений (-5) и (6) на предмет получения их общего  волнового решения для монохроматического поля. Применяя преобразование Фурье по временной переменной к (5) и (6), имеем:

¡агс^гаСВ ) + ют В - ¡акт'2 Ё ,

1ЮТ1<10Е Ё ) + кй К = - мой. Перейдем по традиционной, методике к волновому уравнению, например относительно комплексного вектора В, с учетом фундаментального соотношения divB=0:

Здесь коэффициент распространения к равен:

Из (10) следует, что его знаменатель не может быть комплексным, иначе коэффициент распространения будет иметь вещественную составляющую. Это приводит к диссипативной или абсолютно неустойчивой электромагнитной волне в вакууме, что противоречит физическому смыслу. Для избежания этого противоречия необходимо положить следующее условие:

Знак минус умозрительно присвоен величине Т] для того, чтобы производные по времени от В и Е присутствовали в уравнениях

(5) и (6) с одинаковыми знаками. Ниже это свойство будет обосновано строго.

При этом условии получаем дисперсионное уравнение (10) для вакуума, из которого следует-выражение для фазовой скорости волны в вакууме:

БАЛАНС ЭНЕРГИИ ВИХРЕВОГО ЭМП В ВАКУУМЕ Вычитая из уравнения (5), умноженного скалярно на Е, уравнение (6), умноженное скалярно на В, имеем:

-т (ЕюгдШВ* + Вг+ (Е rot В - В rot К) = ^ fe ШЖ /51+ В ¿¡В Щи*).

Здесь

Е rot В - В rot Е « - div [Е W]; (е^Е £Е /Зн- В ЭВ /St/щ) = a (w,+ wwy3t.

Тогда уравнение баланса энергии вихревого ЭМП в вакууме примет вид

-1 (Е rat3B/dt + II гЫйЕ/aty Ип  diV fE(BjK>] = a (w,4 wKydt. (5

ОБОСНОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ И ПОЛНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Здесь будем учитывать источники электромагнитного поля, находящиеся в вакууме. Из (5) и (6) следует:

Принимаем во внимание фундаментальное свойство непрерывности силовых линий магнитного поля, выражаемое уравнением Максвелла:

div В =

Оно правомерно потому, что экспериментально не был обнаружен магнитный заряд. Переходим как обычно к выражению векторного потенциала.

Подставляя (17) в (15), приходим к выражению

ГО£(т0Е/ан £ + 3AJDt) KI,

из которого следует уравнение, устанавливающее связь между напряженностью электрического поля Е и векторным потенциалом А:

Е - dAfdl - grad ф,

где ф - некоторая скалярная функция.

Приведем по традиционной методике уравнения (14) и (15) к волновым уравнениям относительно величин Е и В соответственно:

^

Непосредственно из волнового уравнения для В получим волновое уравнение для А, подставив при этом (17) в (20) и воспользовавшись следующим тождеством A(rot А) = rot (ДА), имеем выражения

-а .—- - g -V» ULrj'jnnM UM^iHMlvrUIA

+ ДА -+ ^

где \|/ - некоторая скалярная функция.

Теперь получим волновое уравнение для А из выражения (18), устанавливающего связь между вектором Е и А. Сначала в (14) подставим (17), потом продифференцируем по времени и умножим на т:

*tc(rdt rot А У St I- rot rot А - JJ<> j -НС"1 (д Е /Si), -тЩтrat АУЭГ + гЩтыroi А№ -тдоДО +хс2д2¥./о*1.

Составим сумму из двух последних выражений, при этом преобразовав традиционным способом (rotrot= - A+graddiv) с учетом (18), получаем:

ДА - с"2?2AIdt = - ^ (x^J/^t -J- j) +

Weffgrad divAj/ct2 + grad rtivA +cJa(grad t,

Так как волновое уравнение не должно зависеть от способа преобразования, последнее уравнение будет совпадать с (21), если скалярная функция примет следующий вид:

-V = -t^divAJ/a2 + <3ivA Н~2д

В выражении (22) содержатся две произвольные скалярные функции ф и \|у. Примем одну из них равной нулю у = 0, тогда волновое уравнение (21) упроститься, а калибровка Лоренца в новой электродинамике примет вид

-JtPfflvAYdP+divA i-c'^/ot

где ф - является скалярным потенциалом ЭМП.

Для вывода волновод уравнения ф воспользуемся (23), предварительно продифференцировав его по временной переменной и умножив на (-1):

69 Вестник УлГТУ 1/2001

гЗ*

Применим к уравнению (18) оператор div, введя обозначение divgrad(f) =Дф, и поменяв местами операции дифференцирования:

тё\уЕ = - аДОгАДО - Дф.

Выражая величину S(divA)/dt из (2.5) и подставляя ее в (24), находим:

-хЩ&ц>У&2 + А<р - С'фу/д? = -

В (26) нельзя положить традиционное уравнение div Е=р/е0, выражающее согласно постулату Максвелла связь переменного электрического поля Е с объемной плотностью электрического заряда р, распределенного в вакууме ( р выступает в качестве источника электрического поля), так как порядок временного дифференциального оператора воздействия в правой части (26) превышал бы порядок временного дифференциального оператора возбуждаемой величины ф в левой части. Тогда при скачкообразном изменении заряда нарушался бы математический баланс между начальными условиями возбуждаемой величины и начальными значениями воздействия в соответствии с теорией и практикой обобщенных функций [4].

Чтобы исключить подчеркнутый недостаток, необходимо принять в качестве новой модели уравнение следующего вида:

тЭДМдан- №Ж = р/в*

Отметим, что из (26) могут ещё следовать модели других типов для описания divE , например, модели, содержащие при divE оператор (1-т"Э !3\). Но в этом случае не удовлетворяется требование устойчивости решения предполагаемого уравнения, так как такое уравнение, допуская независимое решение по временной переменной, обладает положительным корнем характеристического уравнения. По той же самой причине выбор в разделе 3 величины \\ = -т должен оставаться только таким.

При этом (26) примет окончательный вид:

Дф - =

С учетом (27) волновое уравнение (19) для Е запишется так:

+ АН - с^Е/дС1 = + +ЯяфУеп. {29}

Раскроем новое уравнение непрерывности. Применим к уравнению (14)оператор div и учтем тождество divrotB =0, имеем следующее выражение:

^ di vj (д divK fot = ü

Применяя к нему дифференциальный оператор (1+тд/сй) и учитывая уравнение (27), получаем новое уравнение непрерывности

Итак, на основе обоснованных уравнений (14), (15), (27) и (16) запишем полную систему уравнений новой электродинамики для сплошной среды:

-lafrot ну a + rot н я j 4 (д пщ-, ъд(то\ Еу at+rotE - - (Э B/at); í3(divl>yai+- divD = р; div В = 0.

D - электрическая индукция. Новая электродинамика тродинамикой [5].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Меньшов Е. Н. Системный подход в задачах математического моделирования на основе линейных дифференциальных уравнений// Тез. докл. 28-й н.-т. конф. УлПИ, февр.1994. Ульяновск: УлПИ, 1994.4.1. С.6-8.

2.Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.

3.Математический энциклопедический словарь/ Гл.ред. Ю. В. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1998. 847 с.

4.Меньшов Е. Н. Начальные условия, обусловленные разрывным воз-действием в нелинейных системах // Адаптивные измерительно-информационные системы: Тез. докл. науч.-техн. семинара, июнь 1986 г. Ульяновск, 1986. С. 11.

5.Меньшов Е. Н. Математическое моделирование электромагнитного поля: Деп. в ВИНИТИ от 25.10.2002, №1842 - В2002. 9 с.

Меньшов Евгений Николаевич, кандидат технических наук, окончил радиотехнический фаулытет УлПИ, доцент кафедры ««Электроснабжение» УлГТУ. Имеет публикации в области математического моделирования электромагнитных элементов и систем.

будет инерционной элек-