Индексы подгрупп степеней в АТ-группе почти без кручения

ИНДЕКСЫ ПОДГРУПП СТЕПЕНЕЙ В АТ-ГРУППЕ ПОЧТИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ

Е.Л. Первова*

Челябинский государственный университет

Вычислены индексы подгрупп степеней в АТ-группе почти без кручения. Изучается строение множества ее степенных подгрупп, получаемых возведением в одну и ту же степень, но в различном порядке. Оказалось, что, в отличие от построенного ранее примера, это множество всегда состоит только из одного элемента.

Ключевые слова: А Т-группа, степенная подгруппа,

1. Введение

В настоящее время класс не локально конечных финитно аппроксимируемых групп стал изучаться во многих направлениях. От отдельных примеров исследователи переходят к осознанию внутренней структуры групп этого класса. В связи с этим большой интерес представляет детальное изучение свойств упомянутых групп. Среди наиболее доступных изучению примеров выделяется класс АТ-групп [1], или групп автоморфизмов однородных деревьев.

До сих пор не было ни одной работы, где бы изучался ряд степеней АТ-группы. Поскольку АТ-группы имеют неограниченный период, интерес представляет, насколько быстро растут индексы их подгрупп степеней. Так как при возведении в степень мы работаем только с вершинами у " корня1' дерева, то не имеет значения, периодична ли исследуемая АТ-группа или нет. Поэтому в работе рассматривается АТ-группа (почти без кручения), имеющая наиболее простой геометрический вид порождающих.

Основным результатом работы является то, что степенная подгруппа не зависит от порядка возведения в степень, что является несколько неожиданным. Кроме того, индексы указанных степеней растут максимально медленно. Точнее, они имеют тот рост, меньше которого он быть не может в силу чисто геометрических соображений, связанных с заданием АТ-группы как группы автоморфизмов бесконечного дерева.

Следует отметить, что предложенная техника вычислений применима и к другим АТ-группам.

В работе используются обозначения из [1; 3].

* Работа поддержана РФФИ (грант №99-05-96017).

2. АТ-группа почти без кручения

Рассмотрим дерево Т над последовательностью циклических групп Z3 и подгруппу его автоморфизмов, порожденную автоморфизмами с, d.

с={ с(0) = тг, c(tt) = l|u ф 0},

d = {¿(и) = 7Г, d(«) = 1|« = (0, 0, ..., 1), V Ф и},

где ж = (0, 1, 2) — циклическая подстановка ребер, выходящих из данной вершины. Нетрудно видеть, что с3 = d? = la, группа д = gr(c,d) — АТ-группа над локально конечным деревом и поэтому бесконечна и финитно аппроксимируема. Отметим также, что она имеет тривиальный центр.

Пусть и - вершина дерева Т. Тогда Т^ - поддерево с начальной вершиной V . Деревья Т и Т^ естественным образом изоморфны. Пусть

- указанный изоморфизм, который мы будем обозначать id'n\ если важна только длина п вершины v. Указанный изоморфизм естественным образом задает изоморфизм

Aut Т Ant T{v)

групп автоморфизмов деревьев, который мы будем обозначать теми же символами id'") и id'™' .

Если X < AutT, V — некоторое подмножество вершин дерева Т, то но определению

st*(V)= П st*H> costjf(V) = rp( U ^x(T\T[v))),

- стабилизатор и костабилизатор множества V соответственно. Нетрудно видеть, что cost(f ) <1 st(t>) и при и < v

st(v) < St(tl), cost(t») < cost(u).

Кроме того, при несравнимых и и v , костабилизаторы cost (и) и cobt(v) поэлементно перестановочны.

Пусть |v|— длина вершины v , тогда по определению

st(n) = P| st(w),cost(ra) = гр ( [J cost(u)).

Если £ £ st(v) , то сужение автоморфизма x на поддерево T^ будем обозначать Х(„) и называть v - . Если х 6 st(n), то автоморфизм х

однозначно определяется своими г>-срезками, = п, и естественно отождествление

х = (...,£(„),...) о id(n), |г;| = п.

Чаще всего мы будем пользоваться им при п = 1 , опуская в обозначении idW индекс (1). В этих обозначениях получаем d = (d, с, 1) о id .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. 1 Щ.Пусть G - АТ-группа над деревом Т. Тогда st(w)(u) ~ G(n), |w| = п, где G(n) — АТ-группа над деревом T(n¡. В нашем случае группа G(n) = G о id= 1,2,...

Кроме того, группа G транзитивно действует на множестве вершин длины п дерева Т. Более точно, для любых двух вершин u, v дерева Т найдется элемент g А Т-группы G такой, что и9 = v, и для любой вершины ш поддерева имеет место равенство (uw)3 = (иго). (Образно говоря, автоморфизм g перемещает поддерево Т^ на место поддерева

не шелохнув ни единой веточки.)

Доказательство. Первое утверждение составляет содержание yiBep ждения 3 4.1 [3], а вюрое — утверждения 3.4.2

ТЕОРЕМА 2.1. Для группы G = gr(c,d) имеют место соотношения.

1) коммутант группы G имеет индекс 9;

2) cost(íi)(u) = G о id(n), |м| = щ

3) st(2) = cost(l);

4) коммутант G" группы G не имеет кручения.

Доказательство.

1. Покажем вначале, что индекс коммутан!а ipynnbi G равен 9. Посколь ку ее порождающие имеют порядок 3, то больше 9 он быть не может. Равенство же будет установлено, если мы убедимся, что некоторая ее факгор-группа имеет комму гант индекса 9. Для этою рассмотрим фактор-группу G = G¡ st(2), порожденную элементами с, d. Они полу чаются, если у изображенных выше порождающих с, d оставить только 4 верхние вершины дерева Т и соохветственно 12 ребер, а остальные стереть.

Так как подгруппа gr(d,c~ldc,cdc~1) абелева и имеет порядок 27, то порядок всей фактор, группы G равен 81. Поскольку коммутант рас сматриваемой фактор-группы является нормальным замыканием коммутатора [с, [d\ и имеет порядок 9 , ю \G : G'\ — 9. А стало быть, таков же индекс и коммутанта группы G. . „

2. Докажем теперь утверждение 2). В принятых нами обозначениях имеем

й = (<1,с, 1) о 1(1, <1С = с"1 ¿с = (1,(1, с) о ¡(1 .

Поэтому

[

Так как стабилизатор э1;(1) = gт(d,dc,dc2) изоморфен подпрямой степе_^

ни группы бсис! и соз1;(1) <1 зЦ1), |м| = 1, то совЦи)^) > [с, d} спс1, =

1. Здесь - нормальное замыкание множества X в группе С. Так как группа С двупорожденная, го ее коммутант совпадает с нормальным замыканием коммутатора от ее порождающих С = [с, .

3. Чтобы доказать совпадение сов1;(и)(щ) = С сис[, |и| = 1, заметим, что при \и\ = 1 соб^и) < и сов^и)^ > Ссис1. Поэтому рассмотрение мы можем вести в фактор-группе (абелевой) в1;(1)/Х, где X = (СхСг'х С')о1с1. Всякий элемент у этой фактор-группы может быть представлен в виде

у = = {<Рс,,й<3са,Рс?)о1&Х.

Если две первые координаты элемента у равны 1, то в силу свойства 1) получаем, что daс7, dí3, следовательно а = ¡3 = 7 = О(тоёЗ). Следовательно и d1cí) £ С. Поэтому сов1;(1) = X.

4. Отметим, что элемент [¿/С,с?] из равенства (1) принадлежит коммутанту групы С, поэтому (соб1(и) П (?')(«) = С о ¡с!. Следовательно, сов^и)^ = С о и при \и\ — п > I ж утверждение 2) доказано.

5. Докажем равенство 3). Очевидно, зЦ2) > «^(Д) = X. Из описания (2) элементов у подгруппы 1) ле1ко видегь, чю если у £ то а = (3 = 7 = 0(тос13) и поэтому у £ собЦ!).

6. Докажем, что коммутант С не имеет кручения. Сделаем это индукцией по длине элеимента у 6 С. Если у = [с, d} = (й, й~гс, с-1) о1ё, то, так как порядок элемента с/"1 с бесконечен, бесконечен и порядок элемента у. Пусть для всех элементов у £ С длины, меньшей п, доказана бесконечность порядка. Если элемент у принадлежит подгруппе э1(2), то все его координаты лежат в коммутанте Со1<1'2\ имеют длину, меньшую п, и поэтому либо единичные, либо имеют бесконечный порядок.

Если же элемент у не принадлежит подгруппе 81,(2), то рассмотрим его образ в фактор-группе С/ соэ1(1). Эта фактор-группа абелева и порождается образами элементов Поэтому

всякий ее элемент может быть записан в виде

и если он не единичный, то имеет бесконечный порядок из тех же соображений, что и элемент вида cad^3,a(3 ф. 0(то<13).

3. Основная теорема

Докажем теперь основную теорему об АТ-группе, описанной выше.

ТЕОРЕМА 3.1. В группе G выполняются следующие равенства:

к

„ д. _?

|6':6'3 1 = 3^^.

Доказательство. Докажем сначала утверждение теоремы при k = 1. Рассмотрим элементы группы G (c_1<¿)3 = (cd,dc,cd)oid, (cc¿)3 = (cd,dc,dc)o id . Так как G3 - нормальная подгруппа группы G, и

• {c~ldy3\cdf = (l,l,[¿,c])oid,

ш G3 > cost(J) [1].

Поскольку с3 = d3 = 1, то G3 < G". Поэтому

(st(l))3 < (G3,G3,G3) < cost(l).

Если же x (z G, x = ch или x = c~~lh, h G st(l), ro x3 - hc lhch или x-3 = hchc~1h. Поэтому x3 — (cada ,cada ,cada)(modcost(l)). Таким образом, G'3 = gr((c¿)3) cost(l).

Обозначим группу из формулировки 1еоремы Hi. Покажем, что Н\ =

G3. Поскольку cost(l) = (TJjd7clKÍdG = (c-4)~3(cdf\то G3 < Нх. Для доказательства обратного включения *аметим, что (c~1d)3, (cd)! 6 G3 и G'J - нормальная подгруппа.

Для дальнейшего нам потребуется некоторая информация о структуре подгрупп Л/с- Введем обозначения:

тк = {с~хdy3k{cdfk,к > О,

1к = (са)-э\(1с)3\к> о.

Поскольку

(с~Ч)зк = ((ей)3*-1, (¿С)3*'1, (ей)3*"1) о 1(1, (Ы)3* = ((с^)3*-1, (¿с)3*-1, (¿с)3*-1) о (^^((¿с)3*"1,!^)3*"1,^)3*"1) 01(1,

то •

ША; = (1,1, 1 ) О 1(1, и = /¡"^,1)0 1(1 _

при к > 0. Положим Ьк = ^ . Тогда пЦУ" — (Ьк-1 х Ьк~\ х ¿¿-1) 0 хс! -Обозначим через А^ = гр((с<2)3 )Шк°.

ЛЕММА 3.1. Выполняется равенство

Мк =

Доказательство.

1. Докажем индукцией по /г, что Ь\ < [Х^+ьС]. Пусть к = 0. Так как

¿о = С, = ([^МГГГ^Т^, то ^ = (О')3 < (С3 х С3 х С3) о ¡с!.

_

Поскольку [С, С] = 73 = с],«?], [[с?, с], с] , нетрудно убеди 1ься, что [¿ьб1] > (7а X 73 X 73) о ¡с]. Поэтому достаточно показать, чго О3 < 73. Но поскольку

[[</,<:],<*] = (1,[<*,С],1)о1<1,

J

[[</, с], с] = (¿с, , ей) О 1(1,

выполняется равенство 73 = Н\ = С3. База индукции закончена.

Пусть А; > 0 и Ь\_х < [Ьк, С]. Из определения Ьк, в частности, следует, чго Ьк < (Ьк-1 хЬк-1 х1к-1)о1<1. Поэтому Ь\ < (Ь3к^ хЬ\__х х Ьк^)3о

---о

¡а < ([Ьк, С) X [Ьк, О] X [Ьк, С]) о 1(1. А так как Ьк+\ — (1к, 1к , 1)ок1 , то > ([Х^б'] х [Ьк-С] х [Х&,&']) о 1<1, что и требовалось.

2. Докажем теперь, что элемент х = (а'х, «2, жз)о1(1 6 1 тогда и только Ю1да, когда х!,х2,жз € Ьк и хт,хгх3 е [Х^С].

Как было отмечено ранее, Ьк+1 < (X* х Ьк х Ьк) о 1(1 и [Х^+ьС] > ([Х^С] X [ХЬС] X [Хь6'])о1с1. Так как Ь3к < [Ьк+1,в] < [Ьк,С'}, индекс |Ьк : [Ьк, = 3. Поэтому факюрчрупна [Ьк+1,0}/([Ьк,С} X [Ьк,С] X [Х^, С])о1(1 изоморфна подгруппе в ZзxZзX порожденной элементом (1, —1,0) и его циклическими сдвигами. Отсюда и следует искомое.

180 I' Е.Л. Первова

3. Включение Ик < Нк очевидно. Для доказательства обратного достаточно показать, что ^ <1 б, а для этого, в свою очередь, достаточно показать, что [гр((сй)3 ),С] < Ьк (в силу включения Ьк < гщ°).) Докажем по индукции. База индукции - к = 0 - была проверена раньше. Предположим, что [гр((сй)3 ), С] < Ьк-\. Достаточно показать, что [(се/)3 ,с],[(сс?)3 ,с1} € Ьк- Имеется равенство:

[(ей)3", с] = (И)-3*"1 (¿с)3*-1, (¿с)-3*-1 И)3"1,1) о ¡а =

- ([И)3"1,с],[(¿с)3'"1,41)0¡а.

По предположению индукции все координаты принадлежат а их произведение равно 1 и, значит, тем более принадлежит [Ьк-\,0]. В силу пункта 2 настоящей леммы [(с<1)зк,с\ € Ьк- Для коммутатора

о к

[(со?) , б?] имеем равенство:

[И)3\<*] = ([(«03*Л4[(^с)3*~\с],1)сп<1 =

Вычет этого элемента по подгруппе Ьк равен элементу ([(с!с)3 1, с?], [(ей)3 \ с], 1) о ¡с1, который принадлежит Ьк в силу вышесказанного.

Таким образом, Л^ <1 С и ]$к = Нк- Лемма доказана.

Теперь для доказательства первого равенства теоремы достаточно показать, что II % — Нк+1- В самом деле, б3 > Нк-

Произвольный элемент х 6 Нк имеет вид х = {ей)3 /2, /з)°]с1, /г 6 Ькг, г — 1,2,3. Заметим, что (се?)3^1 6 Ьк, поэтому е = 0,-1,1. Включение (Ы)3^1 £ Ьк следует по индукции из того, что {ей)3 € С и < [Ьк,й\ <

Ьк-

Если 5 = 0, то х3 < (Ь3кх х о 1с1 < ([Ьк,0] х х

[Ьк, С]) о 1с1 < Ьк+1 < Поэтому достаточно доказать х3 6 Нк+1 при

Х = И)±3*(/ъ/2,/з)0 1<1. В таком случае

а-3 = (С(1)±зк+1 (Д, /2, * (/ь /2, (Л, /2, /з) о ¡с!.

Поэтому достаточно доказать, что для любого / 6 Ьк-\ элемент

ЛЕММА 3.2. Для любого / е выполняется включение

/М^/М^/е!*.

Доказательство. 1. Докажем сначала, что

[¿Ь Ьк] < [Ьк+

Сделаем это индукцией по к. При к = 0 требуется доказать, что С" < [ЬиС].

Выше было отмечено, что [Ь\, О] > (73X73X73)01(1. Так как |6" : 731 = 3 И [/ЬС] = {[с,й},[(1,с}2,[с,(1}) 0 1(1, то

[Ьг, С] = гр(([с,<¿1, [с,с?], [с, ¿)) о 1(1)(7з х 73 х 7з) о 1(1.

Так как С порождается элементами [<1,с](1асР, а,/3 € {0,-1,1}, то С" есть нормальное замыкание множества

[КсГЛКсГ^],

а,/3,а1,/?1 6 {0,-1,1}. Непосредственным вычислением проверяется, что все такие элементы содержатся в [¿1,6*], откуда и следует искомое.

Пусть теперь к > 0 и [¿к~\,Ьк-1] < [Ьк,С\. Тогда

[Ьк,Ьк] < ([Ьк-и1к-1} X [1к-1Лк-1] X [Ьь-гЛк-х]) < < ([Ьк,С] х [1к,0} х [Ьк,С]) о 1(1 < [Ьк+иС].

2 Докажем теперь утверждение леммы индукцией по к, Пусть сначала

_£

к — 1. Так как 0',Ь\ <3 О, С/Ь\ абелева и С = [с/, с] достаточно доказать включение для / = [с?, с]. Соответствующее выражение равно: ([¿, с], [г. (1}с , 1) о 1 с1. Этот элемент, очевидно, содержится в Ь\.

Теперь, пусть к > 1 и /6 Ьк-Аналогично, так как Ьк <1 О, Ьк-\/Ьк

_

абелева и Ьк-л — , то достаточно доказать утверждение при / =

= иЛ_2 1к-2 1к-2,1к-2 1к-2 1к-2) 01(1

182 Е.Л. Первова

По предположению индукция все срезки принадлежат Чтобы доказать, что рассматриваемый элемент принадлежит Ьк, нужно показать, что произведение его срезок содержится в [Ьк-1,С!]- Но

.(¿с)8*-1*2,^)3*-1, Г(<И8*-1*аГ(*:)3*-,._1 _

4-2 4—2 24-2 4-2 4-2 ~

_ гГ(^)3"-1 .-(«к)3*"1*2, . г,-^)3*-1'2,-^)3*"1 ,-1 1 ~ 14-2 '4-2 ^ * 1.4-2 4-2 '4-2-1-

Этот элемент содержится в [Ьк~2, ¿¿-г]! который содержится в , (?]. Лемма доказана.

Первая часть утверждения теоремы прямо следует из только что доказанной леммы. Докажем теперь вторую часть, а именно, найдем индексы

|<з •• Нк\.

Выше было показано, что |Нк  х Ьк-\ х Ьк-\) о|<11 = 3. Поэто-

му

\G :Нк\ = \G : cost(l)| *

\G:Lk-i\3 | G-.L

13

З7 З3

а потому достаточно найти индексы : Ьк\.

Выше отмечалось, что фактор-группа Ьк/([Ьк^\,С]х[Ьк-\, (?]х[Х^_1,С])о 1(1 изоморфна подгруппе в х Zз х Zз, порожденной элементом (1, -1,0) и его циклическими сдвигами. Поэтому \Ьк : 1, <?]X[£^-1 > С] X[Ьк-\, С])о 1 = 9. Но имеет место

\С : (, С] х , О] х , С]) о 1с11 =

Так как < < [¿/с,С], то 1 : = 3. Поэтому оконча-

тельно

|Г М = I6,: X [1>к-1,С\ х о ¡(11 = \G-.Lk-A3

Теперь утверждение теоремы получается простыми вычислениями.

Список литературы

1. Рожков A.B. К теории групп алешинского типа// Мат. заметки. 1986. Т. 40, №5, С. 572-589.

2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп 4-е изд., М.: Наука, 1996.

3. Рожков A.B. АТ-группы Учеб. пособие/ Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1998.