О реконструкции управлений в параболических уравнениях при неточно известной правой части

О РЕКОНСТРУКЦИИ УПРАВЛЕНИЙ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ПРИ НЕТОЧНО ИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТИ*

В.И. Максимов

Рассматривается обратная задача — задача восстановления неизвестных управлений, действующих на параболическое уравнение. В предположении, что в достаточно частые моменты времени измеряется (с ошибкой) фазовое состояние, конструируется алгоритм решения этой задачи. Алгоритм основан на известном в теории некорректных задач методе А.Н. Тихонова, а также на методе динамического обращения.

Ключевые слова: параболическое уравнение, реконструкция.

1. Введение

Изучается задача устойчивого динамического восстановления неизвестных управлений, действующих на нелинейное параболическое уравнение. Содержание рассматриваемой задачи таково. Заранее управление и решение уравнения не заданы, но известно множество, ограничивающее допустимую реализацию входа. В процессе движения наблюдается фазовое состояние. Наблюдения, вообще говоря, неточны. Требуется построить алгоритм приближенного восстановления входа, обладающий свойствами динамичности и устойчивости. Свойство динамичности означает, что текущие значения приближения входа вырабатываются “в реальном времени”, свойство устойчивости — что приближение сколь угодно точно при достаточной точности наблюдения.

Обсуждаемая задача относится к классу обратных задач динамики управляемых систем с распределенными параметрами и в более общем контексте вкладывается в проблематику теории некорректных задач [1; 2]. В апостериорной постановке — в отсутствие требования динамичности алгоритма восстановления — теория подобного типа задач развита достаточно глубоко [3]. Требование динамичности — особенность рассматриваемой постановки — проявляется в ситуациях, когда текущие значения входа используются для принятия решений по ходу процесса.

Представляемая в данной работе методика идейно следует теории устойчивого динамического обращения, развитой в [4-7]. Последняя осно-

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 03-01-00474), Программы поддержки фундаментальных исследований Президиума РАН “Управление механическими системами” и Программы поддержки ведущих научных школ России.

вана на соединении методов теории некорректных задач [1; 2] и теории позиционного управления [8]. Суть этой теории состоит в том, что алгоритм восстановления представляется в виде алгоритма управления некоторой вспомогательной динамической системой — моделью; такой алгоритм, выходом которого служит, в частности, реализация управления в модели, по своему определению является динамическим. Управление в модели адаптируется к результатам текущих наблюдений таким образом, что его реализация во времени подпадает под условия какого-либо принципа регуляризации; тем самым обеспечивается устойчивость алгоритма. Предлагаемый ниже алгоритм управления моделью основан на модифицированном принципе сглаживающего функционала, трактуемого как подходящий функционал типа Ляпунова. Управление в модели строится таким образом, чтобы обеспечить малую скорость возрастания этого функционала.

2. Постановка задачи. Алгоритм решения

Рассматривается квазилинейная параболическая система, описываемая уравнением

ж4

в тхп = д, т = [о, 1?]

с начальным

Х

и граничным

х{1)\т = в2и2{1), гет

условиями. Здесь П С Кп — ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, А — оператор Лапласа, /

— линейные непрерывные операторы, 11\ и 112 — равномерно выпуклые банаховы пространства. На систему действуют неизвестные входные воздействия «].(•) И и2(-), и(1) = {щ(1),и2(1)} (г /’ /’| • /'1* при п. в.

I € Т, Р\ С С/х, Р2 С и2 — выпуклые ограниченные и замкнутые мно-

жества. В дискретные достаточно частые моменты времени

т¿ € Т, п = Тг_1 + 5, I € [1 : т - 1], т0 = 0, тт = §

замеряются (с ошибкой) фазовые состояния системы (1)-(3) — х(ц,г]) = х(тц 0, жо, «(•)) € Н = Ь2{0). Результаты измерений — элементы £* = £(7*) € Н — удовлетворяют неравенствам

|Сг - х(п)\н < К

где h — параметр точности измерения. Требуется указать алгоритм динамического восстановления неизвестного входного воздействия и*(-) = {«*(•),«2(0} е Р(-) = {«(•) = {«!(•),«2(-)} е ЫТ-U) : щ(t) G Puu2(t) G p2 при п. в. t G T}, порождающего неизвестный выход х(-), т. е. требуется найти и*(0 такое, что отвечающее этому уравнению решение ж(-; 0, xq,u*(-)) совпадает с х(-). Здесь U = U\ х U2 — пространство управлений, символ х{-; 0, ха, и*(-)) означает решение уравнения (1) с начальным (2) и граничным (3) условиями, а также управлением и() = и*(). Точное определение решения будет дано ниже.

Предполагается, что операторы В\ и В2, а также функция Ф известны

неточно. Именно, известны семейства линейных непрерывных операторов Bh

и в\, а также функций Ф/j такие, что

\Bi - Si |£(t/bL2(n)) < h, IВ2 - В%\c(Ul,L2(r)) ^

|Ф(ж) - Фн(х)\н < h, Væ G L2(ü).

Пусть определено отображение Дирихле а

_ , Г A h = 0 в fi,

^ “ I Л = «2 в Г, и2 G Ь2(Т),

а : непрерывно Ь2(Г) —Н.

Введем функцию

t -»• p(t; -, -, 0 : Н х L2(T; U) х С(Т; Н) -»• С(Т; Я),

t

p(t; xq, u(-), z(-)) = S(t)xo + A j S(t — t)oB2u2{t) dr +

о

t

S(t — r){/(r) + + Ф(г(т))} dr, t Ç. T.

0

Здесь Л/i = Ali,liG X>(A) = ff?(fi) П H2(Çl) — генератор сжимающей полугруппы линейных непрерывных операторов > 0} на Н.

Под решением уравнения (1)—(3), отвечающим управлению и{) G Р{ 0, будем, следуя [9], понимать единственную функцию ж(0 =

ж(-; 0, xq, и(-)) G С(Т;Н), удовлетворяющую интегральному уравнению

z(t) = p(t; xq, u(-), z{-)) Vî€T.

Опишем алгоритм восстановления u*() = u*(-;x()). Пусть выбрано семейство {A/j} разбиений t¿ = b¿, m = mh, tq = 0, tm =

д отрезка Т с диаметрами S = S(h), а также вспомогательная система, называемая в дальнейшем моделью. В качестве модели возьмем линейную систему, описываемую параболическим уравнением

wt

ги(0, ту) = wq(t]) в fi с граничным условием Дирихле

w(t)\r = B$v%(t), te T.

Под решением (5), порожденным управлениями vfO)} € Р(') и

^з(-) G 1,2(Т;Н), будем понимать функцию wh(-) = w(-;0,wo,vh(-)) G С(Т;Н), vh(•) = {у1}(•), wf (•); v3 (')}) определяемую равенством [10; 11]

t

*0

t

+ J S

о

Как известно [10], при vh(•) G P(-) x /. x //) такое решение существует и единственно.

До начала работы алгоритма фиксируется величина Л G (0,1) и разбиение Afi = rj = Tfii, m = rrih, с диаметром 5 = 5(/i) = ¿(Д/J.

Работа алгоритма разбивается нат-1 однотипных шагов. В течение г-го шага, осуществляемого на промежутке времени Si = [ц,ц+1], с помощью отображения Vh вычисляется управление

wn,Ti+1

vi{t) = vib 1 e h, 2{s*,A^lBiVij)H + ot{h)\vii\2lh < mî{2(s*, A^1 Bivi)h + а(К)\ю1^иг ' v\ G Pi} + hS,

v2(t) = v*{t — 4) ПРИ п. в. t G Si,

г

2 / (¿Л 1‘5'(5 ^ «)«11Г5 ^2-у*(«))ь + «(Л) I \п*(я)\Ь2^ <

дп 4 / «II, ^ .V >)ЫТ)

о о

г г

< т£{2 J (^-А~18(6 - 8)8^\г,В2у(з)^+ а(Н) ^ \у(з)\12ёз:

0 о «(«) € Р2 при п. в. 5 € [0,5]} + М,

5? = А_1

^з

После этого фазовая траектория модели под действием управления переходит ИЗ СОСТОЯНИЯ ЦО^(т{) В состояние 'ШЛ'^+1) =

гш1г(щ), (•))• Процесс заканчивается в момент 1?.

Пусть (рх(-) — модуль непрерывности функции I ^ х{Ь) 6 Я на Т,

т. е. срх(8) = зир{|^(ж(*1)) - ср(х(12))\ : ¿1, ¿2 € Т, (¿1 - ¿2| < и{х{-)) —

множество всех управлений из Р(-), совместимых с выходом х(-), т. е.

и{х{-)) = {«(•) е р(-) ' ж(-) = ж(-; о, хо, «(•))}•

Иными словами,

и{х{-)) = {«(•) = {«1(-),«2(-)} е Р(-) ' - <5(*)ж0 -

*

- J 5(* - г){/(г + Ф(х(т))}ёт = о

1 I

= А У ¿>(£ — т)аВ2и2(т) ёт + J 8{Ь — т)В\и1{т) ёт У£бТ}. о о

Легко видеть, что это множество выпукло ограниченно и замкнуто в Ь2(Т; 17). Поэтому оно содержит единственный элемент «*(•) = и*(-;ж(-)) = {«!*(•), «2*(-)} минимальной Ь2(Т; ?7)-нормы.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия согласования параметров

8{К) ^ 0+, а{К) ^ 0+, {¿(Л) + Л. + 9?ж(5(Л))}а_1(/1) ^ 0 при ¡г ^ 0.

Начальное состояние е Н модели таково, что

\хо - гор |я < /г.

Тогда имеет место сходимость

{«гО),«гО)} -»• «*(•;»(•)) =

в Ь2{Т-и) при /г^О.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, приведем вспомогательные утверждения. Нетрудно видеть, что имеют место

Лемма 1. Решение уравнения (5) обладает, полугрупповым свойством, т. е. для любых £ € (0,19), Д£ > 0, £ + Д£ < 1?, у(-) Е Р(-) х /. х //) имеет место равенство

го(£ + Д£; 0, адо, «(•)) = го(£ + Д£; «^(¿), «(•))•

Лемма 2. Пучок решений уравнения (1) (3) Хт = {ж(-; 0, жо, «(•)) : «(') € Р(-)} ограничен в метрике пространства С(Т;Н).

Справедливость леммы вытекает из ограниченности множества Р(-), липшицевости функции Ф, неравенства (3.14) [11]

\АБ(1)аВ2и2\н < а^7^\В2и2\12(г)7 t > 0, и2 Е 112

и сжимаемости полугруппы {¿>(£);£ > 0}.

Пусть Р3(-) С /- х //) — произвольное ограниченное множество. Аналогично лемме 2 доказывается

Лемма 3. Пучок решений уравнения

]¥т = {«;(•; 0, и)0, у(-)) : у(-) = {«!(•), г!2(-),«з(-)} € Р{’) х Д?(')}

ограничен в С(Т;Н).

Для решения задачи оценим следующий функционал типа Ляпунова: е(г) = ¡а-1^11^) -х(Щ2н +

*

+ а(/г) J{|г;£(в)&2 + - |«2*(в)1ьг2 “ 1ад1*(«)11'1}

о

где управление

ун

находится по правилу

для ф(-) € И'т-

Лемма 4. Равномерно по всем, £(•) € Н/1(ж(-)), ф(-) € ’Еь('Ф('))> ^ £ (0,1) и разбиениям А = отрезка Т с диаметрами 8 < 1 справедливо

неравенство

е* = е(тг) < Щ + Н + (рх(д)), ъ € [1 : т]. Доказательство. В силу леммы 1

£¿+1 = - х(п)) +

г

+ А [ Б(8 - т)а (^В2у2(ц + г) - В2и2*(ц + т)) <^т +

о

г

где

Лг = Ыя, = А-1^)^^) - ж(т*)),

г

3% = 2 (5г>У £(<5 - Т)(Т(-В2г!2(^ +т) - В2и2*(п +1-)^

о

г

</зг = 2^«г, А-1 J Б(8 - т)(^В^1(п +т) - В1Пи(п + т)^

о

г

о

J5i = 3 j| j S(5 - т)а(в%ю2{п + г) - В2и2*(ц + т)) йт)\ о

S

+ IА^1 f S(S — т) + г) - BiUu{n + т)) с1т\

2 .

11 1

О

S

+ I A-1 J S(S-t){v^ - Ф(х(п + т))}ёт\2ну о

Так как полугруппа > 0} сжимающая, оператор А-1 комму-

тирует с S(S), а функция Ф(-) липшицева, то справедливы неравенства

Jii < \A~1

J4i < 2SL\A^1

< k0S(h + (px(S)).

Здесь L — постоянная Липшица функции Ф(-). Кроме того, в силу ограниченности множеств Р\ и Р2 и включений A-1 € С(Н;Н), а € С(Ь2(Г); Н), имеем

Jfn < kiS2,

где к\ — const € [0, +оо). Заметим, что t

A j S(t — s)xds = S(t)x — х Vi 6 Я.

о

Поэтому

\A^1{S

Далее в силу (4), (9), (16) и лемм 2, 3 имеем

N - s*\h = |A_1{,S'

Следовательно,

s

J2i <2 (s*, J S(S - t)o(b%v2 in + r) - B2u2*(n + т)) dT^j H +

о

+k^S{h + 5}.

Известно [4], что

а*Б

дп

Таким образом, в силу

т»+1

кг + аЩ J {\у^(.з)\12 - |«2*(в)1ьг2}йв ^ о

ч

<а{Ь) !сЬ +

+ */(±л-^-.кь^ + .»-Мп + .,

О

т»+1

Л/-„м2

«(^) / {М5)1г72 - |«2*(5)Ь2}^ + <

<

о

Аналогично, воспользовавшись (16), леммами 2, 3 и ограниченностью в ¿осДТ;?/) множества Р(-), выводим

т»+1

.Л/„М2

^ + аЩ у (1«! (в)|*7! - |«1*(в)к} Ж» =

о

г

= 2^, А^1 [ Б

я

т»+1

Л/"оМ2

о

г

< 2^, А^1 [ В^

я

ч+\

+ а{К) J {\у^(8)\ц1-\ии(.з)\ц1}ё.з + к4(52+ И) < о г

< 2^, Л-1 J В^(у^(п + т) -«1*(^ + г))йг)я +

0

4+1

+ а{К) [ <],.э + к56(6 + /г) +

+ «(Л) ]

о

Отсюда и из (8) выводим

т»+1

^¿ + а(Л) J (ЬгЫ&х - 1«1*(«)1ьг1}<*5 <

о

ч

< а{К) J— |«1*

о

Объединив оценки (12), (13)—(15), (20) и (21) и учитывая леммы 2 и

3, получим

ег+1 < ег + к^8{к + <Рх{$)) + к^8{8 + К) < £о + &й(5 + к + 9?ж(5)). Таким образом,

£г < 1^- 1(жо — гоо)|я + к%(8+Ь, + 9?ж(5)) <

<&

Лемма доказана.

Введем множество

иЛх{')) ={«(') = {«1(-)>'и2(-)} е р{') ' А^1{х(1) - Б(1)хо -г

£(* - Г)ШГ) + ф(х(т))}<1т} =

о

I I

= [ ¿>

Лемма 5. Справедливо равенство U(x(-)) = U\{x{-)).

Доказательство. Доказательство приведем для случая В\ = 0. Пусть и(-) = «i(-) G U\{x{-)). Тогда в силу (3.13) [11], а также включения a Е L(L2(F); L2(Q,)) имеем

t

t-¥ A J S

о

Воздействовав оператором А на правую и левую части равенства (23) и воспользовавшись (24), получим ui(-) Е U{x{-)). Обратное утверждение доказывается аналогично.

Лемма 6. Пусть xqj xq в Н, л 0+; Vi(-) = {w^(-); v2i(')} ио(') =

{«i(0,«2(-)} слабо в L2{T-U), tH(-) Е Р(-), г&(-) -> Ф(ж(-)) в 12(Т;Н) при

г оо,

sup\A^lx

teT

где — решение уравнения (5) при Vj(-) = Vjj(-), j E [1; 3]. Тогда спра-

ведливо включение

и0(-) E U{x{-)).

Доказательство. Введем функцию

x*{t) = A^lp(t;x0,u0(-),x(-)).

Имеем

teT teT

+ sup Iyi(t) - A^lx(t)\H, Vi(t) = A^lWi(t).

teT

В силу условия леммы второе слагаемое в правой части неравенства (26) стремится к нулю при i ^ оо. Докажем, что это свойство верно и для первого слагаемого. Предполагая противное, заключаем, что на некоторой

подпоследовательности {?/*•(•)} € Уг(')} ПРИ некоторых ^ —г> € Т (при

^ оо) справедливо неравенство

О < е < |х*{Ц) ~ уфз)\Ъ =

8(^^т){в1{и1(т)^и1у(т) + Ф(х(т))^у^.(т)}ёт^,х4^)^уу(^)У^ <

Ь

< ^А_1{5(^)(ж0 - х0 у) + А J 5(^' - т)оВ2{и2{т) - и2у(т)}йт +

о

15о - т)^В1{щ(т) - ищ(т) +

Ф

Пусть К = Бир |ж*(^) — Уг(£)|я) К\ = вир |5^)|дя-я)- Из (27) получаем

*еТ,г <еТ

О < е < \x4tj) - уф^\н < \С(н-н)\щ - х0у\н +

~ т)аВ2)*(х*(1з) - уфз)),, (и2(т) - «24,-(т))) с1т

и2 о Ь

((Л_15(^- - т)В1)*{х^з) ~ А-1^-)), («1(г) - «иДт))) <*т

Ь

+ К\А^1\С{Н.Н) ! \Ф(х(т)) - ущ(т)\н (1т. (28) о

Однако, учитывая условия леммы, а также непрерывность полугруппы {<?(£); £ > 0} и функций ж*(£), А_1ж(£) в 1?, заключаем, что правая часть неравенства (28) стремится к нулю при > оо. Полученное противоречие позволяет заключить

яир |ж*(£) — А_1ж(£)|я = 0,

*ет

т. е.

р(-;х0,и 0(-),ж(-)) = х(-).

Значит, щ(-) G U(x(-)). Лемма доказана.

Доказательство. Доказательство теоремы 1 проводится по схеме доказательства соответствующих утверждений работ [4-7]. Докажем, что для произвольной последовательности hj —> 0+ при j —> оо, любого семейства {А^.} разбиений интервала Т с диаметрами S(hj) {S(hj) + hj + ipx(ö(hj))}a^l(hj) 0 при j —> оо и любых ^hj () G (ж(-)) имеет место сходимость

«*

Здесь управления v^-(-) и у^(-) определены по правилу (8), (10) при h = hj, £(•) = С^(')- Предполагая противное, заключаем: найдется подпоследовательность последовательности Vj(-) = {^(-), v^-)} (обозначим ее для простоты тем же символом Vj(-)) такая, что

»?

слабо в L2(T;U) при j ^ оо.

Как нетрудно видеть из леммы 4, при выполнении условий теоремы можно указать последовательность {jj}, 7j ^ 0 при j —> 0 такую, что справедливо неравенство (25). Поэтому из леммы 6 следует неравенство

\щ

Кроме того, в силу известных свойств слабого предела

lim \vj

j^oo

Из леммы 4 следует также неравенство

\vj{-)\l2(T-,u) ^ !«*(•;(0)||2{т-и) + k{S(hj) + hj + tpx(S(hj)}/a(hj),

где

!«*(•; (0)Il2(T;17) = \uI*(''ix('))\l2(T-,Ui) + \U2* ('! ж('))\l2(T-U2) ’

Значит,

Из (31)—(33) выводим

vj

Однако в равномерно выпуклом банаховом пространстве из слабой сходимости функций и сходимости их норм следует сильная сходимость. Поэтому, учитывая (30) и (34), заключаем, что имеет место сходимость (29). Теорема доказана.

Список литературы

1. А. N. Tikhonov, V. Arsenin. Solutions of ill-posed, problems. Wiley, New York, 1977.

2. H. W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer. Regularization of inverse problems. Kluwer, Netherlands, 1996.

3. H. T. Banks, K. Kunisch. Estimation techniques for distributed parameter systems. Birkháuser, Boston, 1989.

4. А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов. О моделировании управлений в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 51-60.

5. А. V. Kryzhimskii, Yu. S. Osipov. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Gordon and Breach, London, 1995.

6. Ю. С. Осипов, А. В. Кряжимский, В. И. Максимов. Динамические обратные задачи для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, V'1 5. С. 579-597.

7. V. I. Maksimov. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2000.

8. Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

9. I. Lasiecka and R. Triggiani. Exact controllability of semilinear abstract systems with application to waves and plates boundary control problems // Appl. Math, and Optim. 1991. Vol.23, №2. P. 109-154.

10. I. Lasiecka. Boundary control of parabolic systems: regularity of optimal solutions 11 Appl. Math, and Optim. 1978. Vol. 4, №4. P. 301-328.

11. I. Lasiecka. Unified theory for abstract parabolic boundary problems — a semigroup approuch ¡I Appl. Math, and Optim. 1980. Vol. 6, №6. P. 287-334.

Институт математики и механики, Уральское отделение РАН maksimov@imm.uran.ru