Математический аппарат для приоритизации проектов

1

УДК 005.8 Петелин К.С.

Пензенский государственный университет

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ДЛЯ ПРИОРИТИЗАЦИИ ПРОЕКТОВ

Аннотация. В статье ставится задача выявления наиболее удобного и наименее затратного способа приоритезации проектов - одного из этапов подготовке мультипроекта к выполнению. Автор предлагает рассмотреть некоторые математические аппараты применительно к данной задаче. В результате анализа рассмотренных подходов, предложен способ, позволяющий удобно и достаточно объективно производить оценку альтернатив по отдельным критериям.

Ключевые слова: управление проектами, мультипроектное управление, приоритезация, альтернативы, критерии.

Одна из основных задач при планировании мультипроекта является задача оптимального распределения материальных и нематериальных ресурсов на мультипроект. Для успешного выполнения представленной задачи предлагается произвести приоритезацию проектов, входящих в состав мультипроекта.

В статье представлен анализ подходов, предлагаемых для применения в проведении приоритезации проектов. Приведено их краткое описание, механизм работы и эффективность их работы по данной задаче.

Предположим, что мультипроект является онтологической моделью предприятия. Предприятие рассматривается в качестве подсистемы экономической системы. Таким образом, внутренние параметры экономической системы являются внешними для мультипроекта. Предположим, что существует модель, описывающая зависимость выходных параметров мультипроекта от входных параметров. Следовательно, проблема оценки величины и степени неопределенности выходных параметров мультипроекта определяется оценкой соответствующих показателей для внешних его параметров. В свою очередь внешние параметры мультипроекта делятся на макро- и микроэкономические. Эти параметры могут быть оценены как статистически, с построением математических экономических моделей, экспертным методом, или созданием сценариев. [1]

Использование статистических методов затрудняется отсутствием статистических данных или малым размером выборки по некоторым из критериев мультипроекта, чем подтверждается его уникальность. Кроме того, с помощью этих методов нельзя выявить изменение параметров, вызванное изменением внешних условий, так как предпосылкой использования статистических методов является неизменность внешних условий.

Математические экономические модели в настоящее время еще не могут обеспечить точность, существенно превышающую точность метода экспертных оценок, но их применение обходится несколько дороже последнего.

Вышеуказанное объясняет популярность методов экспертных оценок и анализа сценариев в проектировании мультипроекта, однако применение в рамках этих методов традиционных математических подходов существенно снижает результативность их использования.

Для выявления наиболее удобного и экономически выгодного математического аппарата необходимо произвести их глубокий анализ. Выделяется ряд критериев, по которым можно оценить пригодность использования того или иного математического аппарата к решению проблемы оценки мультипроекта:

1. Использование данного аппарата должно предполагать минимальное количество априорных предположений, жестко заложенных в данной модели и независящих от оценок эксперта.

2. Аппарат должен позволять извлечь из эксперта максимум информации, которой тот обладает на сознательном и подсознательном уровне.

3. Процедура получения информации от эксперта должна быть максимально простой и понятной для тестируемого.

4. Математический аппарат должен позволять легко производить быстрые компьютерные расчеты.

5. Математический аппарат должен позволять учитывать как можно большее число сценариев развития ситуации.

Метод экспертных оценок обычно используется на основе традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом, которые неадекватны решаемой задаче. Проблема состоит в том, что в теории вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому распределению (обычно распределению Гаусса). В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, например, при моделировании физических процессов, но совершенно необоснованно в экономике. Следовательно, указанный подход не удовлетворяет по крайней мере трем критериям, принятым за основу оценки: минимума априорной информации, полного использования информации, имеющейся у эксперта, и простоты и понятности процедуры оценки.

Из публикаций видно, что предпринимались неоднократные попытки приспособить традиционную теорию вероятности к выполнению этих условий, но они не дали ожидаемых результатов. Согласно данному подходу эксперту предлагается сравнить исходы между собой попарно, затем для каждой пары исходов сравнить вероятность наступления объединения этих исходов с каждым из оставшихся простых исходов, затем провести подобное сравнение для троек исходов, и т.д. После того, как эксперт произведет все указанные сравнения, появляется возможность, используя предположение о том, что мы описали множество всех возможных исходов, рассчитать вероятности исходов. Несложно подсчитать, что в случае наличия n исходов, от эксперта требуется произвести сравнение,

п-1

(п-1) + £СЩ x(n-к) ш

к = 2

где Ск - число сочетаний из n по к.

Однако у теории вероятности имеется существенное преимущество: с помощью задания распреде-

лений вероятности можно учесть все возможные сценарии. Таким образом, можно констатировать, что традиционная теория вероятности плохо приспособлена к решению задач методом экспертных оценок. [2]

Альтернативным является подход на основе анализа чувствительности, согласно которому рассчитывается чувствительность проекта по всем внешним параметрам как частная производная дис-

2

контированной прибыли по каждому из параметров. Затем параметры ранжируются экспертами по степени субъективной вероятности изменений. На параметры, вероятность изменения которых велика и велико их влияние на прибыль проекта, подлежат самому детальному анализу. Этот метод выгодно отличается простотой вычислений и понятностью задачи приоритезации; к его существенным недостаткам относятся априорное неправдоподобное предположение независимости изменения параметров. Этот недостаток устраняется в методе сценариев, когда эксперты предлагают различные сценарии совместного изменения нескольких показателей, и вычисляется дисконтированная прибыль для данного сценария. К недостаткам метода относятся произвольность выбора изменений в рамках сценария, отсутствие механизма оценки вероятности реализации каждого из сценариев, длительность обсчета всей совокупности сценариев, и, главное, возможность анализа только ограниченного числа сценариев. Этот метод наиболее часто используется в силу его простоты, что, однако, не может быть решающим аргументом в его пользу. [3]

Метод анализа иерархий (МАИ) предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение (ЛПР). В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками по шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.

По характеру связей между критериями и альтернативами определяется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинаковым числом и функциональным составом альтернатив под критериями). Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными числом и функциональным составом альтернатив под критериями).

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. На рисунке 1 приведен общий вид иерархии, где Elj - элементы иерархии, A - альтернативы.

Рисунок 1 - Пример общего вида иерархий

Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс - их порядковый номер.

Существует несколько альтернативных способов графического отображения иерархии. На рис.2 приведены три варианта отображения одной иерархии

3

Рисунок 2 - Варианты отображения иерархии

Первый вариант - конкретизация (декомпозиция) заданного множества элементов (в частности, критериев). Второй вариант противоположен первому и предполагает синтез более общих элементов из заданных частных. Третий вариант - упорядочение предварительно заданного множества элементов на основе их попарного сравнения.

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала относительной важности (значимости), представленная в таблице 1. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Таблица 1 - Шкала относительно важности

Степень важности Определение Объяснение

i 2 3

i Одинаковая значимость Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели

3 Некоторое преобладание значимости одного действия перед другим (слабая значимость) Опыт и суждение дают лёгкое предпочтение одному действию перед другим

5 Существенная или сильная значимость Опыт и суждение дают сильное предпочтение одному действию перед другим

7 Очень сильная или очевидная значимость Предпочтение одного действия перед другим очень сильно. Его превосходство практически явно

9 Абсолютная значимость Свидетельство в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени предпочтительны

2, 4, 6, 8 Промежуточные значения между соседними значениями шкалы Ситуация, когда необходимо компромиссное решение

Обратные величины приведённых выше чисел Если действию i при сравнении с действием j приписывается одно из приведённых выше чисел, то действию j при сравнении с i приписывается обратное значение Обоснованное предположение

Рациональные значение Отношения, возникающие в заданной шкале Если постулировать согласованность, то для получения матрицы требуется n числовых значений

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или если этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 - объекты равнозначны; 2 - предпочтение одного объекта над другим.

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяются элементы двух типов: элементы-родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы (Таблица 1).

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Ei доминирует над элементом Е2, то клетка матрицы, соответствующая строке Ei и столбцу Е2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е2 и столбцу Ei, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е2 доминирует над Ei, то целое число ставиться в клетку,

4

соответствующую строке Е2 и столбцу Е1, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Ei и столбцу Е2. Если элементы Е1 и Е2 равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n —1)/2 суждений (здесь n - порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Ei, Е2, ..., En - множество из n элементов (альтернатив) и vi, V2, ..., Vn - соответ-

ственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [E] имеет вид:

E1 E2 En

E1 v1/ v1 V1/ V2 V1/ Vn

E2 V2/ V1 V2/ V2 V2/ Vn

En vn / v1 vn / v2 vn / vn

1 V

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т.е. aj=— , где au = — .

a„

j

v.

j j

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух

сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Приоритезация элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений E, осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы E проводится на основании равенства

EW = AmxW ,

где Anax - максимальное собственное значение матрицы E.

Для положительной квадратной матрицы E правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению Anax , с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить

по

формуле:

[Efe

lim rrF.t

ke [E] e

= CW

где e = {1,1,1,...,1}T - единичный вектор; k = 1, 2 та; Т - знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W по выражению (1) ности:

eTW‘ — Wl+1\<ц ,

3, ... - показатель степени; С - констан-производятся до достижения заданной точ-

где l - номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2; l = 3, k = 3 и т. д., ц - допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять ц = 0,01 независимо от порядка матрицы. Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

Anax = e [E]W ,

В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была бы взята для сравнения i-го элемента с j-м, aji приписывается значение обратной величины, т.е. 1

au =— . Отсюда следует, что если один элемент в «a» раз предпочтительнее другого, то последний

j aj

только в

1

«

»

a

j

раз

предпочтительнее

первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения Anax от порядка матрицы n.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (ОО) в соответствии со следующими выражениями:

ИО =Anax—n ; n — 1

ОО =

ИО

М (ИО) ,

где М(ИО) - среднее значение зом составленной матрицы парных (таблица 2).

(математическое сравнений [E] ,

ожидание

которое

индекса однородности случайным обра-основано на экспериментальных данных

5

Таблица 2 - Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

Порядок матрицы

i 0 6 1,24 и 1,51

2 0 7 1,32 12 1,48

3 0,58 8 1,41 13 1,56

4 0,9 9 1,45 14 1,57

5 1,12 10 1,49 15 1,59

В качестве допустимого используется значение ОО <0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности ОО >0,10 то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность. [4]

Описанный выше метод приоритезации, основанный на нечеткой математике позволяет удобно и достаточно объективно производить оценку альтернатив по отдельным критериям. В отличие от других методов, добавление новых альтернатив не изменяет порядок ранее ранжированных наборов. Представленная методика могла бы с успехом использоваться на научных промышленных предприятиях, для оценки приоритетности проектов. С ее помощью можно существенно оптимизировать бюджет капитальных вложений, а также повысить степень обоснованности принятия решений при оценке, анализе и отборе мультипроектов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бурков В.Н., Коргин Н.А., Новиков Д.А. Введение в теорию управления организационными системами / Под ред. чл.-к. РАН Д.А. Новикова. - М.: Ленанд, 2009.

2. Орлов А.И. Экспертные оценки. Учебное пособие. - М.: 2002. - 31 с.

3. С. Эйлон, Б. Голд, Ю. Сезан. Система показателей эффективности производства. М.: Экономика, 1980 - 191с.

4. Саати Т. Л. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы. — М.: Мир, 1973. — 302 с.

5. Системно-процессный подход в управлении промышленным предприятием/ Н.К.Юрков, К.С.Петелин // Надежность и качество: Труды международного симпозиума. В 2-х т. Под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2012. Том 2, С. 439-441

6. Кочегаров И.И. Информационные технологии проектирования РЭС: учебное пособие/ И.И. Коче-гаров.-Пенза: Изд. Пенз гос. ун-та, 2007.-96 с.

7. Информационные технологии проектирования РЭС. Единое информационное пространство предприятия : учеб. пособие / В. Б. Алмаметов, В. Я. Баннов, И. И. Кочегаров. - Пенза : Изд-во

ПГУ, 2013. - 108 с.