Тензорный подход к усреднению поля Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной

Краткие сообщения

УДК 514.74; 514.774.8

ТЕНЗОРНЫЙ ПОДХОД К УСРЕДНЕНИЮ ПОЛЯ ЯКОБИ

ВДОЛЬ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СО СЛУЧАЙНОЙ КРИВИЗНОЙ

Д. А. Грачев1

В работе рассматривается поле Якоби вдоль геодезической риманова многообразия, на которой кривизна является случайным процессом. Вводится понятие линеаризирующего тензора, на основе которого получены уравнения для моментов 2-, 3- и 4-го порядка. Доказана теорема об общем виде моментного уравнения.

Ключевые слова: поле Якоби, дифференциальное уравнение со случайными коэффициентами, статистический момент.

The paper considers a Jacobi field along a geodesic on a Riemannian manifold on which the curvature is a stochastic process. We introduce the concept of a linearizing tensor formiung the base of derivation of the equations for 2, 3 and 4-order moments. A theorem on the general form of the moment equation is proved.

Key words: Jacobi field, differential equation with random coefficients, statistical moment.

1. Введение. Уравнение Якоби со случайной кривизной представляет интерес по нескольким причинам. В [1] это уравнение изучалось в контексте выделения общих свойств многообразий со знакопеременной кривизной. В [2, 3] оно рассматривается как модельное, позволяющее на простом примере глубже понять соотношение между численным и аналитическим подходами к исследованию решений уравнений со случайными коэффициентами (в частности, в работе [3] была обоснована возможность моделирования с помощью этого уравнения так называемого турбулентного динамо). Уравнение Якоби со случайной кривизной также описывает один тонкий кумулятивный эффект [4], впервые рассмотренный Я. Б. Зельдовичем [5] в контексте задачи о распространении света во Вселенной с неоднородностями плотности.

В перечисленных работах аналитические результаты касались поведения типичной реализации и математического ожидания поля Якоби, тогда как численные результаты — поведения не только этих характеристик, но и статистических моментов 2-го и 3-го порядка. При этом численное моделирование неожиданно показало, что требуемый для исследования моментов объем выборки статистически независимых реализаций решения чрезвычайно велик и явно недостижим в рамках прямого численного эксперимента для изучения моментов порядка выше третьего (необходимое для моделирования первых трех статистических моментов число реализаций также очень велико — порядка 106, см. [2]). Цель настоящей работы — найти общий подход, позволяющий получать явные уравнения для моментных функций поля Якоби произвольных натуральных порядков.

Изучение моментов решения уравнения со случайными коэффициентами можно проводить в различных приближениях. В частности, в ряде задач математической физики, связанных с проблемой усреднения решений эволюционных уравнений, общепринятым является подход, когда корреляционная длина для коэффициентов считается малой и детали поведения решения на соответствующих масштабах игнорируются [6-8]. Важное преимущество такого подхода состоит в том, что формальный предельный переход при устремлении корреляционной длины к нулю позволяет получить для моментных функций дифференциальные уравнения (тогда как учет эффектов памяти за счет конечности корреляционной длины приводит к интегроразностным уравнениям для моментов [9, 10], чего хотелось бы избежать). Для определенности мы будем проводить исследование в рамках этого приближения (так называемой ¿-коррелированной модели).

2. Уравнение Якоби и случайная кривизна. Дадим формальное определение поля Якоби.

Пусть на двумерном римановом многообразии М2 задано семейство геодезических 7(в,х), пересекающихся в заданной точке Р £ М2. При этом х — длина вдоль геодезических, а в — угол, отсчитываемый в точке Р от определенной базовой геодезической Г этого семейства, для которой в = 0. Тогда полем Якоби у в точке х, или геодезическим отклонением вдоль геодезической Г, называется величина

д7

1/И = м

<9=0

1 Грачев Денис Александрович — электроник 1-й категории каф. математики физ. ф-та МГУ, e-mail: gdmath@mail.ru.

Поле Якоби удовлетворяет уравнению Якоби [11], или уравнению геодезических отклонений,

у'' + К

Здесь К (ж) — гауссова кривизна, а производные берутся по расстоянию ж от начальной точки Р. Уравнение Якоби дополняется естественными начальными условиями у(0) =0 (все геодезические семейства выпущены из одной точки) и у'(0) = 1 (условие нормировки).

Как уже отмечалось, при исследовании моментов поля Якоби < ут >, т € М, мы требуем от случайной кривизны К(х) = К(х, ш) мгновенных (¿-образных) корреляций. Конструктивное построение ¿-коррелированного формализма можно провести путем предельного перехода при устремлении корреляционной длины к нулю в модели случайного процесса с обновлением [8]. Поясним, что имеется в виду.

Пусть К (х) теряет память в дискретных точках х, разделенных интервалом 5 (случайный процесс с обновлением, полное описание см., например, в [4] или [8]). Параметр 5, который берется в качестве масштабной единицы, называется корреляционной длиной, сам же отрезок принято называть интервалом обновления (условие обновления позволяет избежать проблемы, связанной с усреднением статистически зависимых случайных сомножителей К(х) и у). При этом мы используем представление кривизны в виде К(х) = К + к(х), где К — среднее значение кривизны многообразия, а член к(х) описывает случайные флуктуации. Требование мгновенных корреляций процесса К(х) означает, что мы пренебрегаем деталями поведения решения (1) на масштабах, сопоставимых с величиной 5, что формально выражается в предельном переходе при 5 ^ 0. Для того чтобы вклад К(х) в эволюцию решения при таком предельном переходе не обратился в нуль, выполняется перенормировка, т.е. считается, что величина < К252 > имеет конечный предел К при 5 ^ 0. По сути, это означает, что флуктуации к (ж) остаются значительными при 5 ^ 0, а сама величина К при этом имеет физический смысл некоторого эффективного значения [4].

Отметим, что ранее в математической литературе дифференциальные уравнения, имеющие в качестве коэффициентов 5-коррелированные случайные процессы, исследовались в основном на материале уравнений в частных производных (см., например, [12]).

3. Решение проблемы моментов. Теорема об общем виде моментного уравнения. Запишем уравнение (1) в виде системы линейных уравнений для двухкомпонентного вектора-строки z с компонентами 21 = у, 22 = у':

I=.(;-?*>). *<°>=°. <2>

Введем фундаментальную матрицу В(в,х) системы (2), т.е. матрицу, обладающую свойством z(ж) = z(s)B(s,x) при в < х. Установим с ее помощью связь между векторами z(ж + 5) и z(ж). Для этого выразим В через мультипликативный интеграл и воспользуемся представлением последнего в виде бесконечной суммы соответствующих аддитивных интегралов [13]. Непосредственное вычисление облегчается тем, что его достаточно вести лишь с точностью до членов порядка квадрата кривизны. В результате получаем следующую формулу:

^ж + 5)= z

Далее нам потребуется эквивалентное выражению (3) индексное представление вида

+ где Р=

5 ^ 0

Отметим, что в (4) верхний индекс у Р, по которому ведется суммирование, является номером строки, а нижний — номером соответствующего столбца. Введем ключевое понятие настоящей работы. Определение. Тензор

2Ик...р = 2г212к • • • 2р,

где г, I, к,. — некоторые т индексов, каждый из которых независимо от других принимает значения 1 и 2, назовем линеаризирующим тензором поля Якоби т-го порядка.

Объект (5) является тензорным произведением т двумерных векторов z из (2) (отметим, что z принадлежит вспомогательному плоскому двумерному линейному пространству, поэтому при его записи можно не различать верхние (контравариантные) и нижние (ковариантные) индексы).

Поскольку каждая компонента линеаризирующего тензора представляет собой произведение некоторой степени дважды дифференцируемой функции y на соответствующую степень ее первой производной, объект (5) можно продифференцировать по x:

Zilk...p(x + 5) - Zilk...p{x) Zi (x + 5) - Zi(x) , Zp(x + 5) - Zp(x) ----— = ZiZk ... Zp---+ ... + ZiZiZk    —-g---+ £ük...p,

где Eiik...p ^ 0 при 5 ^ 0 (последняя формула является следствием формального тождества dZak...p/dx = (d Zi/dx) Zi Zk  •••  Zp + Zi(dZi /dx^Zk  •••  Zp + •• • + Zi Zi Zk  •••  (dZp/dx)). Подставим в правую часть этого выражения, используя (4), сомножители вида (Zi(x + 5) — Zi(x))/5. Затем усредним полученную формулу и, учитывая, что каждое из m слагаемых при усреднении расщепляется на произведение среднего тензора (5) и средней матрицы Р, перейдем к пределу при 5 ^ 0:

d

< Zük...p > = < Zalk...p > G"+ < Zißk...p > Gi + . . . + < Zük...-у > G^,

где

ё^о \1 0

Итак, мы доказали следующее свойство линеаризирующего тензора поля Якоби. Справедлива

Лемма 1. Среднее < Zilk...p > удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами.

Очевидно, что перебором индексов г,1, к, ...,р уравнение (6) может быть записано в виде системы линейных скалярных уравнений первого порядка для усредненных компонент Zilk...p. Следующая лемма связывает число уравнений в этой системе с числом различных компонент (которых в силу симметричности (5) будет гораздо меньше, чем 2т) соответствующего тензора.

Лемма 2. Число дифференциальных уравнений в скаляризованной системе для усредненных компонент линеаризирующего тензора (5) равно числу различных компонент этого тензора.

Для доказательства теоремы об общем виде моментного уравнения нам потребуется еще один факт, известный из курса обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [14]).

Лемма 3. Система уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами вида

й п

-^9% 0*0 = ац9э (х), г = 17га,

3 = 1

сводится к линейному уравнению для одной из функций дДх) (без ограничения общности для функции д\ = д!(х)), причем порядок этого дифференциального уравнения не превосходит п.

Сформулируем центральный результат настоящей работы.

Теорема. Момент < ут > решения уравнения (1) с 5-коррелированным коэффициентом К(х) удовлетворяет линейному уравнению с постоянными коэффициентами, причем порядок этого уравнения не превосходит числа различных компонент соответствующего тензора (5).

Доказательство. Проведем процедуру скаляризации тензорного уравнения (6). В результате получим систему линейных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами, в которой, согласно лемме 2, число различных уравнений равно числу неизвестных функций, т.е. числу различных усредненных компонент линеаризирующего тензора. Одной из них будет являться компонента < ут >, соответствующая набору индексов г = I = к = ... = р =1. Применение леммы 3 для функции д\ = < ут > завершает доказательство.

Нетривиальность утверждения доказанной только что теоремы состоит в том, что уравнение для т-й степени решения

удовлетворяет уравнению

2УУ'' - (У')2 + 4К(х)У2 = 0, в чем несложно убедиться, умножив левую и правую части (1) на у' ф 0 и преобразовав затем с помощью очевидных формул уу' = (у2)'/2, у'у'' = ((у')2)'/2 и (у')2 = ((у2)') /4у2 полученное выражение.

В заключение приведем явные уравнения для моментов поля Якоби 2-, 3- и 4-го порядка, полученные на основе предлагаемого тензорного подхода:

<у2 >" +(4ТГ - |/С) < у2 > = О,

< у3 >'"

< у4 >,,,/

^ 1 2

- < у3 >" +9(К - I/C)2 < у3 > = 0,

2

-¡/С)2<у4> = 0.

Автор приносит глубокую благодарность профессорам Д. Д. Соколову и В.Н. Тутубалину за прочтение рукописи и сделанные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-02-00127).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. Поля Якоби вдоль геодезической со случайной кривизной // Матем. заметки. 2003. 74, № 3. 416-424.

2. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной // Астрон. журн. 2005. 82, № 7. 584-589.

3. Artyushkova M.E., Sokoloff D.D. Modelling small-scale dynamo by the Jacobi equation // Magnetohydrodynamics. 2006. 42, N 1. 3-19.

4. Lamburt V.G., Sokoloff D.D., Tutubalin V.N. Light propagation in a Universe with spatial inhomogeneities // Astrophys. and Space Sci. 2005. 298. 409-418.

5. Зельдович Я.Б. Наблюдения во Вселенной, однородной лишь в среднем // Астрон. журн. 1964. 41. 19-24.

6. Зельдович Я.Б., Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Перемежаемость в случайной среде // Успехи физ. наук. 1987. 152, № 1. 3-32.

7. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. The Almighty Chance. Singapore: World Scientific, 1991.

8. Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в случайном потоке // Успехи физ. наук.1985.145, № 4. 593-628.

9. Kleeorin N., Rogachevskii I., Sokoloff D. Magnetic fluctuations with zero mean field in a random fluid with a finite correlation time and a small magnetic diffusion // Phys. Rev. E. 2002. 65. 303-307.

10. Грачев Д.А. Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями // Вестн. Моск. ун-та. Физика. Астрономия. 2008. № 1. 16-19.

11. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.

12. Семенов Д.В. Усреднение параболических дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами // Матем. заметки. 1989. 45, № 3. 123-126.

13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.

14. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2000.

Поступила в редакцию 30.10.2009

УДК 519.218

РЕКУРРЕНТНОСТЬ МАТРИЧНЫХ КОЦИКЛОВ М. Е. Липатов1

Рассматриваются измеримые коциклы со значениями в подгруппе SL(2, C) диагональных и антидиагональных матриц над эргодическим преобразованием, сохраняющим вероятностную меру. Доказывается рекуррентность таких коциклов при некоторых условиях, а также эквивалентность двух определений рекуррентности.

Ключевые слова: рекуррентность, коцикл, консервативное преобразование, косое произведение.

This paper considers measurable cocycles with values in the subgroup of SL(2, C) of diagonal and skew-diagonal matrices over an ergodic, transformation preserving the probability

1 Липатов Максим Евгеньевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: maxim.lipatov@gmail.com.