Особенности неустановившейся фильтрации при наличии предельного градиента давления

УДК 356.22

ОСОБЕННОСТИ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ПРЕДЕЛЬНОГО ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ

В. М. Зайченко, В. Н. Сокотущенко

FEATURES OF UNSTEADY FILTRATION IN THE PRESENCE OF THE LIMITING PRESSURE GRADIENT

V. M. Zaichenko, V. N. Sokotushchenko

При эксплуатации реальных скважин месторождений геотермальных вод и газоконденсата, а также в результате экспериментальных исследований процесса фильтрации двухфазных смесей углеводородов метанового ряда наблюдается возникновение неустойчивости расхода и колебательного режима фильтрации. Полученные авторами в рамках модели локального термодинамического равновесия результаты качественно описывают эти неустойчивости. Существуют альтернативные методы описания процесса фильтрации, основанные на представлении о принципах неравновесности фазовых переходов пар-жидкость [1-3].

Известны экспериментальные исследования и теоретические результаты, показывающие возможность возникновения неустойчивостей течения и периодических режимов фильтрации двухфазных флюидов (пар-вода, смесь углеводородов, газонасыщенные жидкости и т. д.) в пористой среде. Подобные режимы возникают при фильтрации двухфазных флюидов в определенном диапазоне термодинамических условий, газосодержащих жидкостей вблизи линии насыщения, пароводяных смесей и т. д. Существует также комбинация термодинамических и гидравлических условий (проницаемость пористого пространства, вязкость газовой и жидкой фаз, область фазовой диаграммы исследуемой смеси или чистого вещества, скорость образования газовой и конденсации жидкой фаз), при которой возбуждаются автоволны расходов и содержания пара-жидкости в общем расходе флюида.

В данной статье рассмотрена одномерная задача неустановившейся прямолинейно-параллельной фильтрации неньютоновской жидкости в упругой пористой среде, на примере течения двухкомпонентной углеводородной смеси и получено решение на подвижной границе фильтрации - фронте перемещения жидкости в пласте. Это решение по времени оказывается не монотонным. Одной из причин возникновения колебательного характера на фронте фильтрации может быть неравновесность неустановившегося фильтрационного течения, когда давление до фронта и после не успевает выровняться и относительно подвижной системы координат обнаруживается режим биений (пульсаций) [4-6].

фазовые равновесия, углеводородная смесь, конденсация углеводородов, подвижная граница

During the operation of real wells of geothermal waters and gas condensate, as well as as a result of experimental studies of the filtration process of two-phase mixtures of hydrocarbons of the methane series, instability of flow and oscillatory mode of filtration is observed. The results obtained by the authors in the framework of the model of local thermodynamic equilibrium qualitatively describe these instabilities. There are alternative methods for describing the filtration process, based on the concept of the non-equilibrium principle of vapor-liquid phase transitions [1-3].

There are experimental studies and theoretical results showing the likelihood of flow instabilities and periodic filtration modes of two-phase fluids (steam-water, a mixture of hydrocarbons, gas-saturated liquids, etc.) in a porous medium. Such regimes arise when filtering two-phase fluids in a certain range of thermodynamic conditions, gas-containing liquids near the saturation line, steam-water mixtures, etc. There is also a combination of thermodynamic and hydraulic conditions (permeability of the porous space, viscosity of the gas and liquid phases, the area of the phase diagram of the mixture under investigation or of a pure substance, the rate of formation of gas and condensation of the liquid phases), at which the autowaves of the flow and the vapor-liquid content are excited in the total fluid rate.

The paper discusses a one-dimensional problem of unsteady straight-linear-parallel filtration of non-Newtonian fluid in the elastic porous medium, using the example of a two-component hydrocarbon mixture flow, and a solution has been obtained at the mobile filtration boundary - the front of the fluid movement in the reservoir. Time-wise, the solution is not monotonous. One of the reasons for the occurrence of oscillatory nature at the filtering front can be a non-equilibrium of an unsteady filtration flow, when the pressure before and after the front does not have time to even out, and the mode of beats (pulsations) is detected relative to the moving coordinate system [4-6].

phase equilibria, hydrocarbon mixture, hydrocarbon condensation, moving boundary

ВВЕДЕНИЕ

Экспериментально установлено, что при малых скоростях фильтрации сила трения значительно меньше сил межфазного взаимодействия, не зависящие от скорости и определяются только свойствами контактирующих фаз [ 1, 2, 7]. В результате такого взаимодействия жидкость в пористой среде образует на её свободной поверхности пленки, которые частично перекрывают поры. Для существования фильтрационного течения необходим отличный от нуля перепад давления, соответствующий такой скорости фильтрации, с которой флюид смог бы преодолеть закупорку пор. Таким образом, флюиды в пористых средах при малых скоростях фильтрации могут образовывать неньютоновские системы. При этом вне контакта с пористой средой жидкость может не проявлять аномальных свойств.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОГО РЕЖИМА

ФИЛЬТРАЦИИ

Наличие предельного градиента давления ДР0, при достижении которого начинается фильтрация флюидов в пористой среде, обнаружено и сформулировано в виде закона А. Х. Мирзаджанзаде в виде [7]:

gradP = — ^  w — АР0  ^ при w > 0; gradP < ДР0 при w = 0,

где Р - давление; и/ - скорость фильтрации; ¡л — коэффициент динамической вязкости; к — проницаемость.

Причем параметр ДР0 определяется в лабораторных и промысловых экспериментах.

Используя (1), уравнение неразрывности рассматриваемого фильтрационного потока, а также уравнение состояния, основное уравнение упругого режима примем в виде [7]:

ус = *-сИу 1--^- -дгайР , дгааР >АР0, Х = к[1.р,

где /? — коэффициент упругоемкости пласта.

ЗАДАЧА ФИЛЬТРАЦИИ Рассматривается прямолинейно-параллельная фильтрация жидкости при упругом режиме пласта (рис. 1). В начальный момент времени t = 0 на границе пласта х = 0 начинает происходить закачка флюида с заданным расходом фо. При этом в пласте образовываются две области: область фильтрации и невозмущенная область, где течение отсутствует, граница раздела между которыми перемещается со временем по закону I С , причем 10 = 0 . Вне области фильтрации при X ^ I С . Р X, £ Рвых.

Рис. 1. Схема движения флюида в керне. Область фильтрации и невозмущенная

область

Fig. 1. Flow pattern of the fluid in the core. Filtering area and unperturbed area

Давление в области фильтрации удовлетворяет уравнению (2). В рассматриваемой задаче уравнение (2) примет вид:

£ = о<х<и.

дх дх

На границе х = I £ выполняются условия: Р I £ = Р

1 1 вых»

дР 1,г

— = *Р0.

В области 0 <х <1 С требуется найти решение уравнения (3), определить расход С и закон изменения I t при условиях (4) на подвижной границе фильтрации и начальном и граничном условиях: Р х 0 = Р Р < Р

1 Л, и 1 вых, I вых -V. 1 ВХОд»

Р0Д=Рвход.

Решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4) и (5), имеет вид:

р Х,г =РВЫх-Д^0- 1-Х + РВХОД-Рвых + ЬРо-1  1-у2,

при этом расход определяется по формуле:

к дР к 1-т

¡X " дх ц " " ™ ~вых  - » ' I

где А — площадь поперечного сечения керна.

Для определения 1(£) воспользуемся интегральным соотношением, характеризующим условие материального баланса [2]:

т 11 дР дР х,г

о 0

С учетом (6) и (8) , а также удовлетворяя условию 10 = 0, находим

трансцендентное уравнение относительно I С :

Р — Р 2 Р — Р

.» . 1 вход 1 вых , 1 вход 1 вых ,

3  К  Ь = --  1п '

АРо Рвход—Рвых + АР0 • I С

корни которого получаем численно на каждом шаге по времени.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА В качестве модельной смеси для расчета взята смесь метан-бутан с мольными долями: 0,78/0,22 (рис. 2). При этом из термодинамической части задачи находим:

критическая точка: 291,72 (К), 14,288 (МРа), 279,39 ^/тА3); крикондентерм: 341,09 (К), 8,1384 (МРа), 94,539 (к§/шА3); криконденбар: 297,04 (к), 14,334 (МРа), 267,07 ^тАз).

Рис. 2. Фазовая диаграмма P-T Fig. 2. Phase diagram P-T

Далее, задавая параметры керна и смеси СН4-С4Н10 (табл. 1), получим характер изменения давления, расхода на фронте фильтрации в керне за время одной прокачки (рис. 3, 4), а также мольные доли компонентов смеси на движущейся границе фильтрации (рис. 5, 6) и насыщенность жидкой фазы (рис. 7) во время эксперимента.

Таблица 1. Параметры керна и смеси Table 1. Core and mixture parameters

Параметры Значения

Длина керна L, м 3

Диаметр поперечного сечения керна d, м 0,01

Пористость m, idem 0,3

Проницаемость k, мЛ2 1E-13

Начальная температура T, K 291

Давление на входе PBX, ПА 1,317E+07

Давление на выходе PBbIX, ПА 8,106E+06

Коэффициент сжимаемости смеси на входе в, 1/Па 9,86923E-06

Коэффициент динамической вязкости смеси на входе ц, Па*сек 1,00E-05

Массовый расход смеси поступающей (закачиваемой) на входе в керн ^^вход. масс^ кг/сек 2,00E-05

8,90 8,85 8,80

<

3 8,75 ё 8,70

Давление на фронте фильтрации

и

(D

ч «

8,65 8,60 8,55

—РФ, МПА- ХРф, МПА

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

Время эксперимента, мин

12,0

14,0

Рис. 3. Давление на фронте фильтрации и разность давлений до и после фронта Fig. 3. The pressure at the filtration front and the difference in pressures before

аnd after the front

н и

1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40

ч о

x

с

а р

« «

о

сс 0,20

а

^ 0,00

Л

А — Ц1фмасс, г/ мин

/ \

/ \

/ V.

1

6 8 10

Время эксперимента, мин

12

14

Рис. 4. Расход жидкой фазы на движущейся границе фильтрации Fig. 4. The flow rate of the liquid phase at the moving boundary of the filtration

0,9248

0,9246

0,9244

о 0,9242

a 0,9240 н

Gch4

— Lc4h10

0,58

0,578

0,576

0,574

0,572

0,57

0,568

0,566

4 6 8 10

Время эксперимента, мин

12

14

Рис. 5. Мольные доли Gch4 и Lc4h10 на движущейся границе фильтрации Fig. 5. Mole fractions of Gch4 and Lc4h10 at the moving boundary of the filtration

0

2

4

0

2

0,077 0,077 0,076 0,076 0,076 0,076 0,076 0,075 0,075

\ — 3c4h10

\ — _ch4

1 у

\ /—s ¡S. /X /V

'S

ч

4 „ 6 8

Время эксперимента, мин

10

12

0,434

0,42

14

0

2

Рис. 6. Мольные доли Gc4h10 и Lch4 на движущейся границе фильтрации Fig. 6. Mole fractions of Gc4h10 and Lch4 at the moving boundary of the filtration

0,141 0,140 0,139 0,138

5L

/ (О N

/ / ч ч

68

Время эксперимента, мин

10

12

14

0

2

4

Рис. 7. Насыщенность жидкой фазы на движущейся границе фильтрации Fig. 7. Saturation of the liquid phase at the moving boundary of the filtration

Время одной прокачки в данной задаче равно времени перемещения подвижной границы (фронта) области фильтрации х от 0 до 3 м. При заданных параметрах смеси и режиме подачи смеси в керн время одной прокачки составило 12,34 мин. Эти пульсации фиксируют датчики давления на установке в процессе первой, второй и последующих прокачек смеси при фильтрации.

Уравнения с учетом подвижной границы, которые были использованы при решении задачи, дают подобные колебания и при t >12,34 мин, т. е. при второй и последующих прокачках смеси через керн (рис. 8, 9).

Фронт движения границы области фильтрации представлен в виде ступенчатой матрицы (табл. 2).

Талица

2. Распределение давления (МПА) по длине установки (м) и времени Pressure distribution (MPa) along the length of the installation (m) and time

T, мин^, м 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,20 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

0,00 8,61

0,82 13,1 11,1 9,73 8,88

1,64 13,1 11,7 10,5 9,62 9,0 8,67

2,47 13,1 11,9 10,9 10,1 9,4 8,98 8,7

3,29 13,1 12,1 11,2 10,4 9,8 9,28 8,92 8,69

4,11 13,1 12,2 11,3 10,6 10 9,54 9,15 8,85 8,6

4,93 13,1 12,3 11,5 10,8 10,2 9,76 9,35 9,03 8,7 8,65

5,76 13,1 12,3 11,6 11,0 10,4 9,95 9,54 9,19 8,93 8,74 8,6

6,58 13,1 12,4 11,7 11,1 10,5 10,1 9,70 9,35 9,06 8,85 8,6

7,40 13,1 12,4 11,8 11,2 10,7 10,2 9,84 9,49 9,19 8,96 8,7 8,6

8,22 13,1 12,5 11,9 11,3 10,8 10,3 9,97 9,62 9,32 9,07 8,8 8,7 8,6

9,05 13,1 12,5 11,9 11,4 10,9 10,4 10,0 9,741 9,43 9,17 8,9 8,7 8,6

9,87 13,1 12,5 12,0 11,4 11,0 10,5 10,1 9,849 9,54 9,27 9,0 8,8 8,7 8,6

10,69 13,1 12,5 12,0 11,5 11,0 10,6 10,2 9,949 9,64 9,37 9,1 8,9 8,8 8,6

11,51 13,1 12,6 12,1 11,6 11,1 10,7 10,3 10,04 9,73 9,46 9,2 9,0 8,8 8,7 8,6

12,34 13,1 12,6 12,1 11,6 11,2 10,8 10,4 10,12 9,82 9,55 9,3 9,1 8,9 8,7 8,6 8,6

Рис. 8. Давление на движущейся границе фильтрации при t >12,34 мин Fig. 8. Pressure at the moving boundary of the filtration at t > 12,34 min

Рис. 9. Массовый расход на движущейся границе фильтрации при t >12,34 мин Fig. 9. Mass flow at the moving boundary of the filtration at t> 12,34 min

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При наличии предельного градиента давления фильтрация флюида между двумя точками пласта отсутствует, если перепад давления между этими точками меньше предельного. В связи с этим, если при отборе газа через скважину из пласта, находившегося первоначально при давлении Рвых, прекратить отбор, то давление восстановится не до пластового, а до более низкого значения, которое определяется тем, что вблизи скважины распределение давления соответствует достижению предельного градиента. Для того чтобы началось фильтрационное движение, приложенный перепад (на единицу длины образца) должен превысить некоторое критическое значение Д Р0. Время одной прокачки в данной задаче равно времени перемещения подвижной границы (фронта) области фильтрации х от 0 до 3 м. При заданных параметрах смеси и режиме подачи смеси в керн время одной прокачки в лабораторном эксперименте составило 12,34 мин. Уравнения с учетом подвижной границы, которые были использованы при решении задачи, дают подобные колебания и при t >12,34 мин, т. е. при второй и последующих прокачках смеси через керн.

Таким образом, решение задачи на подвижном фронте фильтрации закачиваемой смеси в керн с учетом предельного градиента давления является немонотонным. Колебания возникают на подвижной границе подаваемой в керн смеси, при этом амплитуда и частота колебаний зависит от ее параметров и режима. Одной из причин возникновения колебательного характера на фронте фильтрации может быть неравновесность неустановившегося фильтрационного течения, когда давление до фронта и после не успевает выровняться и относительно подвижной системы координат обнаруживается режим биений (пульсаций).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Басниев, К. С. Подземная гидромеханика / К. С. Басниев, И. Н. Кочина, В. М. Максимов. - Москва: Недра, 1993. - 416 с.

2. Вяхирев, Р. И. Разработка и эксплуатация газовых месторождений / Р. И. Вяхирев, А. И. Гриценко, Р. М. Тер-Саркисов. - Москва: Недра, 2002. - 880 с.

3. Де Грот, С. Неравновесная термодинамика / С. де Грот, П. Мазур. -Москва: Мир, 1964. - 456 с.

4. Директор, Л. Б. Одномерная нестационарная модель двухфазной фильтрации газоконденсатной смеси / Л. Б. Директор [и др.]; препринт // ОИВТ РАН. -Москва, 2000 - № 2 (441). - 46 с.

5. Зайченко, В. М. Особенности фильтрации углеводородных смесей в пористых средах / В. М. Зайченко, И. Л. Майков, В. М. Торчинский // Теплофизика высоких температур. - 2013. - Т. 51, № 6. - С. 855-863.

6. Зайченко, В. М. Моделирование процессов фильтрации углеводородов в газоконденсатном пласте / В. М. Зайченко [и др.] // Теплофизика высоких температур. - 2009. - С. 701-706.

7. Мирзаджанзаде, А. Х. Математическая теория эксперимента в добыче нефти и газа / А. Х. Мирзаджанзаде, Г. С. Степанова. - Москва: Недра,1970. -335 с.

REFERENCES

1. Basniev K. S., Kochina I. N., Maksimov V. M. Podzemnaya gidromekhanika [Underground hydromechanics]. Moscow, Nedra, 1993, 416 p.

2. Vyakhirev R. I., Gritsenko A. I., Ter-Sarkisov R. M. Razrabotka i eksplu-atatsiya gazovykh mestorozhdeniy [Development and operation of gas fields]. Moscow, Nedra, 2002, 880 p.

3. De Grot S., Mazur P. Neravnovesnaya termodinamika [Non-equilibrium thermodynamics]. Moscow, Izd-vo "Mir", 1964, 456 p.

4. Direktor L. B., Kachalov V. V., Maykov I. L. Odnomernaya nestatsionarnaya model' dvukhfaznoy fiVtratsii gazokondensatnoy smesi [One-dimensional nonstationary model of two-phase filtration of a gas-condensate mixture]. Moscow, OIVT RAN, 2000, no. 2, 46 p.

5. Zaychenko V. M., Maykov I. L., Torchinskiy V. M. Osobennosti fil'tratsii uglevodorodnykh smesey v poristykh [Features of filtration of hydrocarbon mixtures in porous media]. Teplofizika vysokih temperatur, 2013, vol. 51, no. 6, pp. 855-863.

6. Zaychenko V. M., Maykov I. L., Torchinskiy V. M. Modelirovanie protsessov fil'tratsii uglevodorodov v gazokondensatnom plaste [Modeling of filtration processes of hydrocarbons in a gas-condensate reservoir]. Teplofizika vysokih temperatur, 2009, vol. 51, no. 6, pp. 701-706.

7. Mirzadzhanzade A. Kh. Matematicheskaya teoriya eksperimenta v dobyche nefti i gaza [Mathematical theory of experiment in oil and gas production]. Moscow, Nedra, 1970, 335 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Зайченко Виктор Михайлович - Объединенный институт высоких температур РАН (г. Москва); доктор технических наук, заведующий отделом

«Распределенных энергетических систем»; E-mail: zaitch@oivtran.ru

Zaichenko Viktor Mikhailovich - Joint Institute for High Temperatures of the Russian

Academy of Sciences (Moscow); Doctor of Technical Sciences, Head of the Division of Distributed Energy Systems; E-mail: zaitch@oivtran.ru

Сокотущенко Вадим Николаевич - Объединенный институт высоких температур РАН (г. Москва); кандидат технических наук, ведущий инженер, лаборатория распределенной генерации; E-mail: sokotushenko@mail.ru

Sokotushchenko Vadim Nikolayevich - Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences (Moscow); PhD in Technical Sciences, Lead Engineer, Distributed Generation Laboratory; E-mail: sokotushenko@mail.ru