Операторное описание параксиальных световых полей

В.В. Котляр1, С.Н. Хонина1, Я.Ванг2 1 Институт систем обработки изображений РАН, г .Самара 2 Пекинский технологический институт

Аннотация

Дано описание параксиального светового поля, распространяющегося в свободном пространстве или среде с параболическим показателем преломления, с помощью операторов-инвариантов. Приведено интегральное преобразование (аналогичное преобразованию Френеля), описывающее распространение света в среде с параболическим показателем преломления. Приведены результаты численного и натурного экспериментов по формированию мод Гаусса-Эрмита с помощью фазовых ДОЭ. Отличие экспериментальных результатов от теоретических составило около 12%.

Введение

В [1] описана алгебра операторов симметрии уравнения Шредингера. В данной работе, пользуясь связью уравнения Шредингера с уравнением параксиального распространения светового поля, рассмотрена оптическая интерпретация операторов-инвариантов. Показано, что действие оператора эволюции светового поля в свободном пространстве эквивалентно преобразованию Френеля, а действие оператора эволюции в среде с параболическим показателем преломления также эквивалентно некоторому интегральному преобразованию, аналогичному преобразованию Френеля.

В [2] предложен метод формирования мод Га-усса-Эрмита (ГЭ) с помощью фазовых ДОЭ, функция пропускания которых равна знаковой функции от многочлена Эрмита заданного порядка. Такой ДОЭ должен освещаться плоской волной, ограниченной диафрагмой определенного размера.

Очевидно, что фазовый ДОЭ с конечной апертурой не может идеально точно сформировать амплитудно-фазовое распределение, описывающее моду ГЭ. Ниже с помощью численного моделирования для одномерного случая показано, что в рамках данного метода [2] можно формировать моды ГЭ с номерами от 1 до 5, отличающиеся от идеальных мод, в среднем, на 10-18%. Причем после пространственной фильтрации этих мод в Фурье-плоскости в плоскости изображения ДОЭ также формируются моды ГЭ, отличающиеся от идеальных, в среднем, уже на 5-12%. При этом энергетическая эффективность любой моды - не ниже 78% (для одномерного случая).

Также приведены результаты эксперимента по формированию двухмодового инвариантного пучка ГЭ с помощью бинарного ДОЭ, рассчитанного методом частичного кодирования [3]. Среднеквадратичная ошибка поперечного распределения интенсивности в фокальной плоскости от предсказанного теоретически составила около 12%.

1. Операторы-инварианты

Параксиальное уравнение распространения

(

2ik д + дz

д2 д —Т- + -

2

E( x, у, z) = 0,

дх2 ду2 у

где к - волновое число света, г - координата вдоль оси распространения света, можно записать в операторной форме:

ОЕ=0,

базис алгебры симметрии имеет 9 операторов [1]:

А д

2к дг

которого

K2 = -

z [ д д

-----1 x----+ у—

2k ^ дx ду

2k

+i

22 x + у

K 2 = 2k—, _2 дz

Px = дд ,

x дx

Bx

M

z д ix „ z д іу

=------------+—, B у =------------I—,

2k дx 2 у 2k ду 2

д д д д д

- x-----у—, D = x---------+ у-----+ 2z---+1,

ду дx дx ду дz

E = i.

Операторы (2) имеют следующие коммутационные соотношения:

[Б,К ±2 ]=±2К ±2, [Б,Бх,у ]= Бх,у,

Крх,у] = -Рх,у, К,М] = 0, [М,К±2] = 0,

[РХ,М] = Ру, [РУ,М]=-РХ, [БХ,М]= Бу,

[ву>М ]=-Бх , [К2,К-2 ] = В,

[К2,Бх,у ]= 0, [к-2,Бх,у ]=-Рх,у ,

[к-2,Рх,у]= 0, [Рх,у,К2]= Бх,у,

[Бх,у>Рх,у ]= ] = [Рх,у>Бу,х>]= 0

где [а, б ]= АБ - БА .

Операторы симметрии Ь в уравнении (2) и любая их линейная комбинация переводят одно решение уравнения (1) в другое решение и удовлетворяют условию:

[ь, о^адо,

д д2 д2

где О = 21к----1-----ч----------— оператор Шредингера,

дг дг2 дУ2

Я(х) - функция, которая может зависеть и от Ь. Уравнение (1) можно представить в виде

д^

2ik— = iK_ 2E ,

дz '

д

где K _ 2 = 2k— = i

дz

fd 2

д

2 А

дг2 ду2

решение которого

в операторной форме имеет вид:

E (x, у, z) = exp| — K-2 IE0 (x, у), где E^x^) - функция E (x.^z) при z=0.

z

4

+

Оператор ехр| — К-2 2к

оператор, описы-

вающий распространение светового поля вдоль оси г. Поэтому операторы симметрии из уравнения (2), которые коммутируют с оператором К2, будут также коммутировать с оператором (6):

ехр| і к-2 у аі

К п

п!

то есть являются инвариантами распространения.

Можно показать, что действие оператора распространения (6) эквивалентно преобразованию Френеля:

ехр|2к^- 2Е х у )=

п-0

( д2

з2 Л

^(Х -£, у -г])<Сп = ТІ 1 (п!) 1

п=0У 2к )

дх 2 ду

№ (а, в)(2 + Р2) ехр[- г(ха+ ур)асір

-і—Х2 +в2) 2кК ’

х ехр[- і[ха + уР~)]асСр =

= 1| Ео (§, П)ехр 2- [(х [ + (у - п)2 ]]сП

где ^(х,у) - дельта-функция Дирака, Е(а,р) - Фурье-образ функции Е^, п).

Из уравнения (3) видно, что имеются пять операторов-инвариантов. Операторы Рх и Ру описывают малые смещения светового поля по осям х и у соответственно (операторы сноса пучка [4]). Оператор К_2 описывает дифракционную расходимость светового поля. Оператор М определяет малые повороты вокруг оси г и может быть назван оператором углового момента [5]. Оператор Е определяет тождественное преобразование и связан с сохранением энергии светового поля при его распространении. Из этих пяти операторов-инвариантов с помощью линейных комбинаций можно образовать и другие инвариантные операторы.

Остальные четыре оператора из (3) не являются инвариантами распространения, но тоже имеют наглядный физический смысл. Операторы Вх и Ву при г=0 описывают малый наклон светового поля вдоль оси х и у соответственно. Оператор К2 при г=0 описывает малую квадратичную фазовую задержку светового поля. Оператор Б при г=0 описывает малые растяжения (сжатия) светового поля по осям х и у.

Можно показать, что действия перечисленных операторов определяются следующими формулами: ехр( М)Е0 (г, р) = Е0(г,р + в), ехр[ Б(0)]Е0(х,у) = ес Е0 (ес х, ес у

ехр[Ь К2 (0)]?0 (х, у) = ехр ехр[ Вх (0)]Е0( х у) = ехр

іЬ\х

4

Е0 (x, у ),

іСх

ехр[а рх ]е0( х у) = Е0 (х + а, у).

Базис операторов симметрии уравнения (1) при г=0 имеет вид:

2 2

к 2 (0) = і^, Вх (0) = 2, В у (0) = 2,

д ^ д д д —, Р,, =—, М = х--------------------------------------------у—,

дх у ду ду дх

Операторы (10) подчиняются тем же коммутационным соотношениям (3). Операторы (2) и (10) связаны между собой формулами:

Ь(г) = ехрГ2к К-2 ) Ь(0) ехр|- 2к К_2 ,.

Оптический смысл оператора К2(г) в том, что он описывает изменение эффективного радиуса светового поля, определенного как момент второго порядка по интенсивности при распространении вдоль оси г. Действительно,

со

И Е* (х, у)к2Е0 (х, у) СхСу =

-да

да

= І! Е * (х, у, г ) (0) Е хх, у, г) СхСу

-да . да

= 4 !!(х2 + у2)(х, у, г) Г СхСу =

2да

г-Л

) І іе0 х у)-2е0 ху) схсу -

-да

) 11Е* х у) (0) Е0 х у)СхСу

4 ІК+у2 )Е0 (х, у) |2 СхСу

-да

Независящие от г интегралы в уравнения (12):

со

11 Ео (х, у)К-2Е0 (х, у)й х а у,

-да

со

ІІЕ0 (х, у)Б(0) Е0( х, у)<1 х а у

описывают расходимость светового поля из-за дифракции и смещение с оптической оси, соответственно.

Алгебра операторов (2), (3) описывает не только распространение светового поля в свободном пространстве, но также распространение его в волноводе с параболической зависимостью показателя преломления:

Ґ

п2(г) = П02

1 - 2Д-

'0 )

где п0 - показатель преломления на оси, Д - параметр дисперсии показателя преломления, г0 - радиус волокна.

Параксиальное уравнение, описывающее световое поле в среде (13) имеет вид:

п

2

п

СО

оо

п

п

+

-да

со

со

со

2

' д д2 д2 2 х2 + у2)

2/к— + —-+—--а 2-------

дг дх2 ду2 4

Е

где а = 2л/2Д — .

г0

В операторном виде уравнения (14) можно записать

дЕ

2ік = іЬ3б Е,

дг

где Ь3б = К-2 -а2К2 (0).

Замкнутая алгебра операторов Ь3а, Б(0) и Ь 2б = К-2 +а2К2 (0) имеет вид:

[а , Д(0)] = 2Ь2а, [а, ^(0)] = 2^,

[ Еза]= 2а2 Б

Решение уравнения (15) можно записать в операторном виде

"7 \

Е(x, ^, г) = ехр^^к Ьзб ^0(X У).

Можно показать, что для оператора распространения в среде с параболическим показателем преломления (13) имеет место соотношение:

ехр

2к

а = -а tg( г), Ь =

єт

где

2а

а

.

с = 1п[соє( г)] а = —

2к

Из (18) с учетом (8) и (9) следует:

ехр[ "2к Ьзб )Е0( x, у)=

а

х ехр

4п і 8Іп

“ г) (2 + у 2 )х

4

іа

[ 4 sin

х[( +П2)соз(юг) - 2(хЕ, + уп) ^б,dп

Уравнения (20) является аналогом преобразования Френеля (8) в среде (13). Из уравнения (20) видно, что при 2т=(л12+шл)о)1 в среде будет формироваться Фурье-спектр исходного поля, а при 2т=тла>1 будет формироваться изображение исходного поля.

Заметим, что так как оператор углового момента М коммутирует с операторами К_2(0), К2, Б(0), то из уравнения (18) следует, что оператор М также коммутирует с оператором распространения в среде с параболическим показателем преломления

ехр^2кЬзб ^ . Поэтому можно утверждать, что угловой момент светового поля при распространении в такой среде сохраняется.

Действие операторов симметрии ехр(аЬ) на решение уравнения (1) Е(х,у,г) эквивалентно действию операторов Т, определенных матрицами

Т

где

а в у 8

аЗ-ву=1.

Действие оператора Т описывается соотноше-

нием:

ТГ в)Е( х, у,г) =

ехр

ів

4и

Е

х у у+аг/2к

где и = 8 +----в .

2к

Для конкретных операторов уравнения связи (21) имеют вид:

хр(аК-2 ) = Т |а 1 |, ехр(ЬБ(0)) = Т

/ Ч

хр(сЬ3 ) = т|

І 8Іп

(еЬ 0 ) V0 еЬу

ехр(СК2 (0)) = Т

1 с 0 1

где Ьз = К_2 -К2.

Формулы (23) дают связь операторного и матричного описаний светового поля.

2. Формирование инвариантных пучков

Примером решения уравнения (1) могут служить моды Гаусса-Эрмита и Гаусса-Лагерра [6]. Они инвариантны к действию оператора распространения в свободном пространстве с точностью до масштаба.

В работах [2, 7] предложен простой метод расчета фазовых ДОЭ для эффективного формирования одномодовых гауссовых пучков, основанный на пропорциональности функции пропускания ДОЭ знаковой функции соответствующего полинома. Например, для мод Гаусса-Эрмита:

ехр[і Рпт (х> у)] =

где Нп(х) - полином Эрмита, а - параметр, характеризующий эффективную ширину моды ГЭ.

При освещении фазового ДОЭ (24) плоской или гауссовой волной в спектральной плоскости сформируется световое поле с комплексной амплитудой, близкой к заданной моде. Сохранение структуры формируемого пучка на различных расстояниях подтверждает его модовый характер [8].

и

ии

и

х

х

Введение в спектральную плоскость диафрагмы, аналогично [9], позволяет получать в плоскости изображения световое поле, также близкое к заданной моде. На рис. 1 показана оптическая схема для формирования гауссовых мод.

Рис. I. Оптическая схема для формирования гауссовых мод.

Гелий-неоновый лазер L освещает DOE, фаза которого пропорциональна знаковой функции соответствующего полинома. Диафрагма DO подстраивается на оптимальный для формируемой моды размер [10]. Сферическая линза LI формирует в плоскости S пространственный спектр, из которого диафрагмой DS выделяется эффективная часть. Полученное с помощью сферической линзы L2 в плоскости I изображение имеет комплексную амплитуду, демонстрирующую модовый характер сформированного поля.

На рис. 2 и 3 показано формирование 4-й и 5-й мод ГЭ соответственно. При этом для наглядности все распределения амплитуды и интенсивности выравнены по максимальному значению, а не по энергетическим характеристикам. На рис. 2а и 3а показано распределение амплитуды идеальной моды (линия 1) и бинарная фаза ДОЭ (линия 2). На рис. 2б и 3б показано распределение интенсивности, получаемое в спектральной плоскости при освещении ДОЭ плоским пучком (линия 2) и для сравнения распределение интенсивности идеальной моды (линия 1). Положение диафрагмы здесь выделено пунктирной линией. На рис. 2в и 3в показаны распределения интенсивности в плоскости изображения (линия 3), Фурье-образа такого изображения (линия 2) и идеальной моды (линия 1). На рис. 2г и 3г приведены соответствующие фазы.

На рис. 4 приведены аналогичные результаты для 1-й, 2-й и 3-й мод ГЭ. На рис. 4а, в, д показаны распределения интенсивности в плоскости изображения (линия 3), Фурье-образа такого изображения (линия 2) и идеальной моды (линия 1). На рис. 4б, г, е приведены соответствующие фазы.

Рис. 2. Формирование 4-ой моды ГЭ с помощью бинарного фазового ДОЭ.

-7.5 7.5

Рис. 3. Формирование 5-ой моды ГЭ с помощью бинарного фазового ДОЭ.

Рис. 4. Формирование 1-ой (а, б), 2-ой (в, г) и 3-ей (д, е) мод ГЭ с помощью бинарных фазовых ДОЭ.

Из рисунков 2в, г, 3в, г и 4 видно, что сформированные световые поля имеют модовый характер, то есть сохраняется как амплитудное, так и фазовое распределение в плоскости изображения и спектральной плоскости. При сравнении фазовых распределений нужно учитывать, что после каждого преобразования Фурье моды ГЭ приобретают фазовый набег яп/2, где п - номер моды. В таблице 1 приведены фазовый набег (взятый по модулю 2п) в плоскости изображения - ^ и фазовый набег в следующей спектральной плоскости - ср58. Понятно, что для мод ГЭ, номер которых п кратен 4, фазовый портрет будет одинаковым как в плоскости изображения, так и в спектральной плоскости. Для четных мод ГЭ, но не кратных 4, комплексные распределения в плоскости изображения и в спектральной плоскости будут находиться в противофазе.

На рис. 5. показаны графики среднеквадратичного отклонения распределения интенсивности от идеальной в спектральной плоскости 8 для 4-й (линия 1) и 5-й (линия 2) мод ГЭ, а также в плоскости изображения 81 для 4-й (линия 3) и 5-й (линия 4) мод в зависимости от размера диафрагмы. Интересно отметить, что если глобальные минимумы на рис. 5 (линии 1, 2) соответствуют оптимальному размеру ДОЭ, то дополнительные (локальные) минимумы совпадают с последними нулями полиномов Эрмита.

Оптимальные размеры ДОЭ х0/а и диафрагмы в спектральной плоскости х8/а приведены в сводной таблице 1. Из таблицы видно, что среднеквадратичное отклонение распределения интенсивности в плоскости изображения от идеального 8, как правило, меньше отклонения в спектральной плоскости

8. При этом отклонение в следующей спектральной

плоскости 8 (то есть для Фурье-образа изображения) меньше, чем 8^. То есть оптическая система на рис. 1, повторяемая последовательно несколько раз, представляет собой некоторое приближение резонатора.

На рис. 6 приведены графики энергетической эффективности 8 (линии 1, 2) и среднеквадратичное отклонение распределения интенсивности от идеального (линии 3, 4) в зависимости от количества преобразований Фурье, к, для 4-й (линии 1, 3) и 5-й (линии 2, 4) мод ГЭ. При этом к=0 соответствует плоскость ДОЭ, к=1 - первая спектральная плоскость (см. 8s, 8$ в Таблице 1), к=2 - первая плоскость изображения (см. 8Ь 81 в таблице 1), к=3 - вторая спектральная плоскость (см. 8^ в таблице 1), к=4 - вторая плоскость изображения.

Рис. 5. График среднеквадратичного отклонения распределения интенсивности от идеального в

спектральной плоскости для 4-й (линия 1) и 5-й (линия 2) мод ГЭ в зависимости от размера ДОЭ х^/а, а также в плоскости изображения 5і для 4-й (линия 3) и 5-й (линия 4) мод в зависимости от размера диафрагмы х$/а.

Из рис. 6 видно, что после этапа низкочастотной фильтрации в первой спектральной плоскости (&=1) дальнейшие потери энергии незначительны. То есть практически вся энергия изображения, как и спектра, сосредоточена на конечном интервале, что также свойственно гауссовым модам.

Таблица 1.

Рис. 6. Графики энергетической эффективности 8 (линии 1, 2) и среднеквадратичное отклонение распределения интенсивности от идеального (линии 3, 4) в зависимости от количества преобразований Фурье, к, для 4-й (линии 1, 3) и 5-й (линии 2, 4) мод ГЭ.

3. Эксперимент

В работе [8] была экспериментально продемонстрирована возможность эффективного (65-70%) формирования одномодовых пучков ГЭ с невысокими индексами - (1,0), (1,1), (1,2) - бинарными ДОЭ с фазой (24). Однако точность формируемых мод сильно зависит от размера освещающего пучка или диафрагмы, которая его ограничивает.

В [3] был предложен метод частичного кодирования, позволяющий варьировать соотношение двух параметров - точности и энергетической эффективности - в широком диапазоне.

На рис. 7. показаны результаты эксперимента по формированию инвариантного двухмодового пучка ГЭ (0,5)+(5,0) бинарным фазовым ДОЭ с уровнем кодирования 0,5. В этом случае теоретическое среднеквадратичное отклонение от идеального распределения интенсивности в фокальной плоскости составляет около 9% при энергетической эффективности 20%.

п хо/а % х</а дь % &!, % Зад, % Ф Фад

1 2,25 10,09 85,59 3,50 12,00 85,45 6,09 П 3п/2

2 2,70 14,91 83,33 3,32 7,98 83,22 12,47 0 П

3 3,10 15,51 81,76 3,42 6,67 81,49 13,82 П п/2

4 3,42 16,70 80,50 3,57 9,32 80,03 15,20 0 0

5 3,75 18,60 79,45 3,75 12,48 78,71 15,92 П 3п/2

0131013101310131010001020123012390230123012301230123012390230102060201310131013101310131

Рис. 7. Эксперимент по формированию инвариантного двухмодового пучка ГЭ (0,5)+(5,0): бинарная фаза ДОЭ (а), теоретическое распределение интенсивности в фокальной плоскости (б), экспериментально зафиксированное поперечное распределение интенсивности на расстояниях г=900 мм (в), ъ=975 мм (г), ъ=1075 мм (д), г=1125 мм (е), г=1225 мм (ж), ъ=1350 мм (з) от плоскости ДОЭ при освещении

его сходящимся пучком.

Бинарный ДОЭ с фазой, показанной на рис. 7а, был изготовлен в Университете Йоенсуу (Финляндия): диаметр - 10 мм, 2000x2000 отсчетов размером 5x5 мкм. Результаты эксперимента, зафиксированные телекамерой с разрешением 8,59x8,43 мкм, при освещении ДОЭ сходящимся пучком показаны на рис. 7: поперечное распределение интенсивности на расстояниях 1=900 мм (рис. 7в), 2=975 мм (рис. 7г), 2=1075 мм (рис. 7д), 2=1125 мм (рис. 7е), 2=1225 мм (рис. 7ж), 2=1350 мм (рис. 7з) от плоскости ДОЭ. Видно, что сформированное поле демонстрирует инвариантные (с точностью до масштаба) к распространению свойства. Заметны некоторые вариации в центральной части картины там, где амплитуда не была закодирована.

Нужно отметить хорошую согласованность теоретических и экспериментальных результатов: среднеквадратичное отклонение распределения интенсивности на различных расстояниях от теоретически рассчитанного в фокальной плоскости (рис. 7б) составило следующие величины: 17,4% (2=900 мм), 15,2% (2=975 мм), 11,7% (2=1075 мм), 12,3% (2=1125 мм), 15,7% (2=1225 мм), 16,8% (2=1350 мм). Минимальная ошибка (около 12%), как и следовало ожидать, наблюдалась на расстоянии 2=1075 мм (рис. 7д), что соответствует фокаль-

ной плоскости сходящегося освещающего пучка. При этом отклонение после прохождения фокальной плоскости меньше, чем отклонение до нее. Этот эффект связан с чисто фазовым характером ДОЭ: для того, чтобы фазовое распределение под воздействием дифракции перешло в амплитудное, необходимо, чтобы световая волна преодолела определенное расстояние.

Заключение

В данной работе дана оптическая интерпретация операторов симметрии алгебры Ли параксиального уравнения распространения. Показано, что действие оператора эволюции светового поля в пространстве и в параболической среде эквивалентно интегральному преобразованию, аналогичному преобразованию Френеля.

С помощью компьютерного моделирования показано, что фазовый ДОЭ, функция пропускания которого равна знаковой функции от многочлена Эрмита п-го порядка, освещаемый плоской волной, ограниченной диафрагмой определенного размера, формирует моду ГЭ с номером 1-5, отличную от идеальной не более чем на 13%.

Приведены результаты эксперимента по формированию двухмодового инвариантного пучка ГЭ. Отличие экспериментальных результатов от теоретических составило 12%.

Благодарность

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 98-01-00894,

99-01-39012, 00-15-96114, 00-01-00031).

Литература

1. Миллер У., Симметрия и разделение переменных, М., Мир, 1981.

2. V.V. Kotlyar, S.N. Khonina, V.A. Soifer Generalized Hermite beams in free space // Optik, 108 (1), 20-26 (1998)/

3. Котляр В.В., Хонина С.Н., Сойфер В.А. Метод частичного кодирования для расчета фазовых формирователей мод Гаусса-Эрмита // Автометрия. № 6. С. 74-83. (1999).

4. Лебедев В.В., Лукьянов Ю.Н., Орлов М.И., Преображенский Н.Г., Соколовский Р.И. Амплитудно-фазовые характеристики световых пучков с минимальной расходимостью // Препринт Института теоретической и прикладной механики СО РАН. 1989. №16-89.

5. E. Abramochkin, V. Volostnikov Structurally stable singular wavefields // Proceedings of SPIE: Interna-

tional conference on singular optics. 3487. Р. 20-28 (1998).

6. Методы компьютерной оптики // под ред. В.А.Сойфера, М., Физматлит. 2000. 688с.

7. S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer Diffraction optical elements matched to the Gauss-Laguerre modes // Optics and Spectroscopy, 85 (4). Р. 636-644 (1998).

8. S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer, J. Lauta-nen, M. Honkanen, J. Turunen Generation of Gauss-Hermite modes using binary DOEs // Proceedings of SPIE: Photonics Prague'99, Device and Systems, 4016. Р. 234-239. (2000).

9. Павельев В.С., Хонина С.Н. Быстрый итерационный расчет фазовых формирователей мод Га-усса-Лагерра // Компьютерная оптика, 1997. № 17. С. 15-20.

10. Хонина С.Н. Формирование мод Гаусса-Эрмита с помощью бинарных ДОЭ // II. Оптимизация апертурной функции, Компьютерная оптика. 1998. № 18, С. 28-36.