РАЗРАБОТКА И ВНЕДРЕНИЕ НОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫХОДНЫХ УСТРОЙСТВ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ

Энергетическое, металлургическое и химическое машиностроение

УДК 621.515 doi: 10.18698/0536-1044-2020-6-17-35

Разработка и внедрение новой математической модели тангенциальных выходных устройств центробежных компрессоров*

А.А. Дроздов, Ю.Б. Галеркин, А.А. Уцеховский

Объединенный научно-технологический институт ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»

Development and Implementation

of a New Mathematical Model of the Tangential Exit

Nozzles in Centrifugal Compressors

A.A. Drozdov, Y.B. Galerkin, A.A. Utsekhovskiy

Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education — Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

Для оптимального газодинамического проектирования центробежных компрессоров применяют различные инженерные подходы. К их числу относится разработанный в Санкт-Петербургском политехническом университете Петра Великого Метод универсального моделирования, представляющий собой набор компьютерных программ. Тангенциальные выходные устройства являются элементами проточной части центробежного компрессора. Анализ результатов исследований тангенциальных выходных устройств на основе текущей версии математической модели показал необходимость ее усовершенствования. В основу новой модели положены следующие положения: проходное сечение определяется с использованием уравнения расходов на входе и выходе в выходное устройство (причем полученные размеры следует увеличить на 25...35 % согласно известным отечественным рекомендациям); реальный характер течения потока газа в выходном устройстве учитывается введением эмпирического коэффициента в уравнение расходной составляющей скорости; выходной диффузор профилируется с учетом оптимального угла раскрытия эквивалентного конического диффузора; язык улитки смещается из сечения с углом раскрытия 0° в сечение с углом раскрытия 30°, что способствует выравниванию параметров потока газа по окружности и уменьшает суммарные потери. Для упрощения процесса расчетов в математической модели принята постоянная плотность газа по длине улитки. Окружная составляющая скорости потока также рассчитывается приближенно по уравнению постоянства циркуляции без учета вязкости. В улитках и сборных камерах потери вычисляются в радиальной и меридиональной плоскостях. В радиальной плоскости главными являются потери напора трения,

* Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда в рамках проекта № 18-79-10165.

в меридиональной — потери напора расширения. Для трапециевидной улитки эти потери напора определяются в зависимости от угла ее раскрытия. В нерасчетных режимах работы к указанным потерям добавляются потери напора вследствие ударного обтекания языка улитки. Предложенная модель применена в новой версии Метода универсального моделирования. Модель была идентифицирована по результатам приемосдаточных испытаний турбодетандерных агрегатов и турбонагнетателей двигателей внутреннего сгорания.

Ключевые слова: ступень центробежного компрессора, тангенциальное выходное устройство, улитка, сборная камера, математическая модель, коэффициент потерь

Various engineering techniques are used for optimal gas-dynamic design of centrifugal compressors. This includes a universal modelling method that consists of software programs developed at Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University. Tangential exit nozzles are elements of the centrifugal compressor flow path. The analysis of the results of the tangential exit nozzle calculations using the current mathematical model showed a need of improvement. The following main provisions formed a basis for a new model: the size of the passage is determined using the flow rate equation at the entrance and exit of the output unit (the calculated cross sections should be increased by 25-35% according to the recognized recommendations by Russian experts); the real nature of the flow in the output unit is taken into account by introducing an empirical coefficient in the equation of the circumferential component of velocity; the output diffuser is designed taking into account the optimal angle of expansion of an equivalent conical diffuser; the scroll tongue is shifted from a section with an angle of expansion of 0° to a section with an angle of expansion of 30°, which aids levelling the circumferential flow parameters and reduces total losses. To simplify the calculation process, a constant density along the scroll length is adopted in the mathematical model. The circumferential component of velocity is also determined approximately using the flow continuity equation without taking viscosity into account. Losses in scrolls and annular chambers are calculated in the radial and meridional planes. In the radial plane, the main losses are friction losses, whereas in the meridional plane, the main losses are due to expansion. For a trapezoid scroll, these pressure losses are determined depending on the scroll's expansion angle. In the off-design operating modes, incidental losses due to impact flow around the scroll tongue are added. The presented model was implemented in the new version of the universal modeling method. The mathematical model was identified by the results of the commissioning test of the turboexpanders and turbochargers.

Keywords: centrifugal compressor stage, tangential exit nozzles, scroll, annular chamber, mathematical model, loss coefficient

Назначение выходного устройства центробежной ступени заключается в том, чтобы собрать поток газа (далее поток) в кольцевом сечении 4 на выходе из диффузора и подвести его к сечению К-К на выходе из компрессора.

Решение этой задачи демонстрирует рис. 1, где приведена схема улитки компрессора при ширине ее проходного сечения, равной таковой в кольцевом сечении 4 (b = b4). Там же показаны основные размеры улитки, направление движения потока в ней и профили скорости в ее спиральной части (СЧ). Введены следующие обозначения: c, cu и cr — абсолютная скорость потока, ее окружная и радиальная (расходная) составляющие соответственно; cu4 и cr4 — окружная и расходная

скорости потока в сечении 4 на выходе из диффузора; г — радиус (расстояние от оси ротора); к — высота проходного сечения улитки; 9 — центральный угол; а4 — угол потока в сечении 4 на выходе из диффузора; ю — угловая скорость вращения ротора; 9яз — значение центрального угла, на котором расположен язык улитки; г4 — радиус в сечении 4 на выходе из диффузора.

Выходные устройства концевой ступени центробежного компрессора подразделяют на два типа:

• улитки, характеризуемые увеличением сечения с возрастанием угла охвата;

• сборные камеры, имеющие постоянное сечение вдоль выходной окружности.

Рис. 1. Схема улитки при ширине ее проходного сечения Ь = Ь4

В СЧ улитки поток собирается по окружности диффузора ступени и движется в выходной диффузор (ВД). Трапециевидное сечение улитки снижает диаметральный габарит проточной части, являясь более эффективным благодаря меньшим поверхностям трения. На рис. 2 показаны выходные поперечные сечения СЧ трапециевидной улитки с углом раскрытия V = 30, 45 и 60°.

Рис. 2. Модели выходных поперечных сечений СЧ трапециевидной улитки с углом раскрытия v = 30

Согласно данным работы [1], такие улитки имеют очень небольшой коэффициент потерь. Проблема заключается в том, что трапециевидные улитки создают значительную окружную неравномерность параметров потока (скорости, давления и т. д.) в начальном сечении — сечении выхода из диффузора. Неравномерность распространяется вниз по потоку и достигает выхода из рабочего колеса (РК).

Окружная неравномерность, определяемая зависимостью статического давления в сечении 2 за РК от угла раскрытия улитки, вызывает нестационарность обтекания лопаток и нестационарное (переменное во времени) воздействие сил на РК и ротор в целом. При больших давлениях, особенно в нерасчетных режимах,

п

__

Рис. 3. Схемы трапециевидной (а) и внутренней боковой (б) улиток

Рис. 4. Схема внутренней боковой улитки: 1 — язык; Лн и Яви — наружный и внутренний диаметры улитки; Л — радиус выхода из диффузора; Ь — ширина диффузора; Лвн27о и Йш90 — внутренние диаметры улитки с центральным углом 6 = 270 и 90°

эти нагрузки могут быть опасными. По этой причине широко распространенные в прошлом трапециевидные улитки уступают место боковым (рис. 3) [1].

Боковые улитки могут быть расположены со стороны всасывания (как показано на рис. 3, б) или нагнетания в зависимости от компоновки проточной части. Тот факт, что вызывающая окружную неравномерность потока СЧ отделена от выхода из диффузора осесимметричным криволинейным каналом, уменьшает отрицательное влияние улитки на равномерность потока на выходе из РК. Это одно из преимуществ боковых улиток, получивших большое распространение.

Рост проходных сечений СЧ внутренней боковой улитки происходит при постоянном наружном диаметре, что уменьшает диаметральный габарит проточной части (рис. 4) [2]. Рост проходных сечений СЧ внешней боковой улитки происходит при постоянном внутреннем диаметре, примерно равном диаметру конца диффузора.

В соответствии с изменением движения потока по закону Си ~ Си4 п/т наружные СЧ являются диффузорами, а внутренние — конфузо-рами при любой форме поперечного сечения.

В боковой улитке расходная составляющая абсолютной скорости потока Ст 4 меняет направление, и поток начинает вращаться по окружности со скоростью ст в поперечных сечениях СЧ и ВД (рис. 5, а). Как показали исследования [2], в СЧ и ВД поток движется по винтовым траекториям (см. рис. 5, а и б).

Есть основания полагать, что центробежная сила от вращательного движения потока со скоростью Ст , прижимая его к стенкам каналов, препятствует его возможному отрыву. Это положительный фактор. Форму поперечных сечений боковых улиток следует по возможности приближать к окружности. Когда поток приобретает вихревой характер течения его кинетическая энергия Ст2 /2 полностью преобразуется в тепло, поэтому в целом боковые улитки при прочих равных условиях уступают по эффективности трапециевидным.

Рис. 5. Схемы меридионального течения потока в боковой (а-г) и симметричной (д-з) улитках круглого сечения при различных значениях центрального угла: а, д — 0 = 90°; б, е — 0 = 180°; в, ж — 0 = 270°; г, з — 0 = 360°

При высоких давлениях на выходе из улитки опасность повреждения ротора из-за окружной неравномерности потока возрастает настолько, что в них вместо внутренних боковых улиток применяют кольцевые сборные камеры (КСК). У них постоянное по центральному углу 0 поперечное сечение. Конструктивная схема КСК показана на рис. 6.

Течение потока в кольцевой части КСК неупорядоченное, так как через одинаковые поперечные сечения в зависимости от центрального угла 0 проходит разное количество газа. Однако в нерасчетных режимах возможность выравнивания параметров потока по окружности больше, чем в спиральных камерах улиток с поперечным сечением, переменным по центральному углу 0.

Разделительное ребро 1, показанное на рис. 6, выполняет роль языка улитки. В компрессорах высокого давления его обычно не делают. Это уменьшает окружную неравномерность, но коэффициент потерь становится еще больше. Правила профилирования улиток и сборных камер изложены в работах [1, 2]. Основные положения этих правил следующие:

Рис. 6. Конструктивная схема КСК: 1 — разделительное ребро; Вк — наружный диаметр КСК, Вк = 2п<; Аг — высота поворотного колена на входе в КСК; Ввн — внутренний диаметр КСК, Ввн = 2гвн (гвн — внутренний радиус); & — радиус диафрагмы

• для определения размеров проходного сечения улиток в зависимости от центрального угла 6 используют выражение

- 6 _ йт

тб =-- трасч Си 4 Т4 I Ь—,

360° т

Т4

где т6 и трасч — массовый расход газа и его расчетное значение; р — плотность газа; (здесь и далее индекс «расч» соответствует расчетному режиму);

• при расчете сечения КСК в соотношении (1) центральный угол 6 = 360°;

• реальный характер течения потока учитывают введением эмпирического коэффициента К = 1,25.„1,35 в уравнение окружной составляющей скорости:

= _!_ г±.

Си Си4 ;

К т

• ВД профилируют с учетом оптимального угла раскрытия эквивалентного конического диффузора, определенного в работе [3];

• язык улитки смещается из сечения 6 = 0° в сечение 6 = 30°, что способствует выравниванию параметров потока по окружности и уменьшает суммарные потери.

Работами в области моделирования и расчета тангенциальных выходных устройств (ТВУ) занималась научная группа А.А. Мифтахова [4-7].

Цель работы — разработать простую и достоверную математическую модель расчета параметров потока в ТВУ.

Метод универсального моделирования. Центробежные компрессоры играют важную роль в промышленности развитых стран. Задача газодинамического проекта — создать проточную часть, обеспечивающую заданное отношение давлений при заданном расходе газа и максимальном коэффициенте полезного действия (КПД), чтобы снизить главную составляющую эксплуатационных расходов — стоимость энергии на привод компрессора.

Для решения этой задачи применяют разные подходы. Одним из самых эффективных является использование специализированных инженерных программ и методов. Инженерные методы основаны на упрощенной схеме движения газа (на физической модели) и описании этой схемы алгебраическими уравнениями полуэмпирического характера, т. е. на создании математической модели (ММ).

Такими методами пользуются все крупные производители компрессоров и инжиниринговые компании. Информация об этих моделях является коммерческой тайной, сведения о них публикуются на уровне рекламных материалов [8].

Самыми известными и широко описанными являются следующие три ММ. Модель потерь Agile engineering [9-12] оперирует приемами теории пограничного слоя. В модели потерь, приведенной в работах [13-15], их расчет в межлопаточных каналах осуществляется на основании эмпирических формул для прямых диффузоров, но с учетом кривизны канала и других особенностей. Результирующие коэффициенты потерь учитывают влияние чисел Маха и Рейнольдса с помощью эмпирических соотношений. Учет конечного числа лопаток выполняют по эмпирической формуле А. Стодолы.

В Санкт-Петербургском политехническом университете Петра Великого (СПбПУ) на протяжении десятилетий проводились исследования компрессоров динамического действия, процессов и явлений, протекающих в них, разрабатывались методы проектирования расчета, выполнялось газодинамическое проектирование центробежных компрессоров разного назначения [1].

В результате сформулирована концепция рационального газодинамического проектирования и расчета центробежных компрессоров, создана ММ потерь напора в проточной части и пакет программ, получивший название Метода универсального моделирования (МУМ). Эта ММ описана в работах [17, 18]. Математические модели, лежащие в основе МУМ, непрерывно развиваются и совершенствуются, последние результаты исследований в этом направлении приведены в работах [19-30].

Программы МУМ, широко применяемые при расчете и конструировании центробежных компрессоров и компрессорных ступеней, доказали свою высокую эффективность. В 2000-х годах с их помощью было создано новое поколение центробежных нагнетателей и сменных проточных частей для газовой промышленности, получившее высокую оценку производителей и потребителей. С учетом проектов, выполненных специалистами СПбПУ, в промышленности РФ и других стран работает почти 500 центробежных компрессоров общей установленной мощностью более 5,5 млн кВт [31].

Текущая версия ММ ТВУ (модель № 1). Текущая версия модели расчета потерь в ТВУ была разработана и внедрена создателем МУМ Ю.Б. Галеркиным более 30 лет назад. Изложим основные положения этой ММ.

Потери напора в ТВУ складываются из потерь напора обтекания поверхности спиральной камеры, потерь напора вследствие ударного обтекания языка улитки, потерь напора, обусловленных радиальным подводом массы газа, индуктивных потерь и потерь в выходном патрубке [3]. Формула для расчета потерь КПД в ТВУ имеет вид

Д^ =

1

1 + Ртр +Рпр 2^

^ (1+X12M x13)( 1-

x14

Re x15

х

х 1

eF ву c

ВУср

яФг,2

-x1

1 + x 2

+ x 4

+ x 6tg

1,25 ,

1 -

Дc 9

cВУср ,

tg a5

tg a 5P ^5

Ьсргср J

ВУ

cr4 +

eF ву c

ВУср

-x 7

+ c

9к

1-

x 9

+ xxotg x11 ^ (1 - —

2 l СВД

sin

2

1ср — средняя длина тангенциального выходного устройства в радиальной плоскости; уэкв — эквивалентный угол раскрытия диффузора.

Здесь и далее надстрочная черта означает, что параметр отнесен к характерному параметру. В частности, скорости потока, отнесены к окружной скорости РК на выходе.

Потери напора обтекания поверхности спиральной камеры приняты пропорциональными коэффициенту сопротивления, представленному как функция замедления потока

eFвy c

ВУср

-xi

1 + x2

c ВУср

ВУ

Потери напора вследствие ударного обтекания языка ТВУ рассчитываются по разности скоростей над и под языком:

x4

f

tg a5 tg a5

\x5

расч J

Результаты экспериментов показывают, что при Ф > Фрасч (Фрасч — коэффициент расхода в расчетном режиме) наблюдается значительный рост потерь. Это учтено множителем tg а5 ^ а5расч, который отражает несимметричный характер кривой С, = f (Ф), где £ — коэффициент потерь, относительно ее минимума, соответствующего Ф = Фрасч

Потери напора в меридиональной плоскости, описываемые в уравнении (2) выражением

где ^ — КПД в ТВУ; Ртр — коэффициент дискового трения; Рпр — коэффициент протечек в лабиринтных уплотнениях; — коэффициент теоретического напора; x1,..., x15 — эмпирические коэффициенты; M — число Маха; Re — число Рейнольдса; e — отношение плотностей; Fsy — площадь поперечного сечения ТВУ; ёВУср — безразмерная средняя скорость потока в тангенциальном выходном устройстве; Ф — условный коэффициент расхода; r2 — наружный радиус РК; ДТ9 — изменение скорости в радиальной плоскости ТВУ; F^ — площадь поперечного сечения спиральной камеры; е9к и c9s — скорость потока над и под языком ТВУ; a5 — угол потока на входе в ТВУ; а5расч — угол потока на входе в ТВУ в расчетном режиме; сВд — замедление потока в ВД; v э m — эквивалентный угол раскрытия меридионального сечения; ca — коэффициент подъемной силы;

x6tg1,

2

1 —

b5r5

7 2

<-г 4 >

пропорциональны кинетической энергии, рассчитанной по расходной составляющей скорости сг4. При этом скорость вихревого вторичного течения зависит от степени раскрытия меридионального сечения.

Индуктивные потери напора, возникающие вследствие радиального градиента давления в ТВУ, учтены в формуле (2) с помощью соотношения

^ВУ c ВУср

яФг22

-x7-

Потери напора в выходном диффузорном патрубке выделены в отдельную составляющую. Это связано с отличием профиля потока на входе в патрубок от такового в СЧ канала, а также со сложным пространственным харак-

v

э m

c

тером потока. Потери трения и расширения потока в этом элементе определяются выражением

^9к

1 _ ± |-—-

n2 J sin

+ —10tg —11 —|1 _ -2 I n

Влияние критериев Маха и Рейнольдса учтено обобщенно для всех составляющих потерь в ТВУ.

ММ содержит 15 эмпирических коэффициентов —1,..., —is, представленных в формуле (2). Большое количество эмпирических коэффициентов и упрощения, используемые в этой модели привели к необходимости создания новой ММ.

Новая версия модели ТВУ (модель № 2). На

основании обобщения накопленного опыта и анализа экспериментальных данных разработана новая версия модели (модель № 2) ТВУ (улиток и сборных камер). В ней применены подходы к математическому описанию параметров потока в ТВУ, отличные от использованных в модели № 1.

В начале расчета ТВУ осуществляется выбор их размеров. Если размеры ТВУ не заданы пользователем, то они должны быть автоматически согласованы с расчетным режимом работы центробежной компрессорной ступени.

Размеры тороида КСК — это размеры максимального сечения аналогичной круглой улитки. В СЧ улитки составляющая скорости, определяющая массовый расход потока через элемент проточной части — это скорость си (см. рис. 1). На рис. 1 показана внешняя улитка, СЧ которой расположена выше радиуса окончания диффузора.

Размеры сечений СЧ ТВУ определяются из уравнения расхода (1).

Для расчета гвн, определяющего размер сечения, надо знать зависимости параметров р, b, cu от радиуса r. Точное решение не имеет смысла, так как по проверенным экспериментами рекомендациям А.А. Мифтахова, точно рассчитанные проходные сечения следует увеличить на 25...35 % [2]. Приближенное определение этих зависимостей допустимо, если точное решение потом огрубляется в таком широком пределе.

Для ММ принято р = р4 = const, где р4 — плотность газа в сечении 4 на выходе из диффузора. Это позволяет вести расчет не по массовому, а по объемному расходу на выходе из

диффузора, Уэб0 = V = Си4 яА^, где Уэб0 и У4 — объемный расход потока в выходном сечении и в сечении 4 на выходе из диффузора.

Окружная составляющая скорости также определяется приближенно по уравнению постоянства циркуляции без учета вязкости

СиТ = Си4 Т4 = СОП81.

Для расчета размеров выходного сечения СЧ принято, что скорость в нем (6 = 360°) равна средней окружной составляющей скорости в этом сечении. С учетом того, что в работе [2] рекомендовано увеличивать проходные сечения СЧ на 25...35 %, введен сомножитель 0,8 в выражение для расходной скорости, по которой рассчитывается размер выходного сечения:

срасч360 0,8си4расч

D>4

D

360ср

где -0360ср — средний диаметр выходного сечения; надстрочная черта означает, что линейный размер отнесен к наружному диаметру РК .

Внешняя круглая улитка. Размеры выходного сечения СЧ внешней круглой улитки показаны на рис. 7.

Средний диаметр выходного сечения внешней круглой улитки определяется выражением

^360ср = Б4 + й-360 ,

где й360 — диаметр меридионального сечения улитки.

Рис. 7. Внешний вид и размеры выходного сечения СЧ внешней круглой улитки

У360 = срасч360 """"й360 = ^Б4Ь4 Ст4 расч

Из уравнения расхода

л 4

получаем

й360 = д/5Ь41§ 4расчБ360ср

Это уравнение применяют для проектирования всех круглых улиток и КСК.

Из уравнения (4) следует, что

— = 5Ь4^ га4расч

"360 =--+

_2_

4расч )2 + 4 • 5ь41д ^ 4 расч Б 4

2 .

Диаметр выходного сечения

^360 = ^4 + 2^360 .

Для любых круглых улиток и КСК безразмерная площадь выходного сечения из СЧ имеет вид

^360 = й360.

Скорость потока на выходе из СЧ С360 определяется с помощью уравнения неразрывности кВ4Ь4СТ4 = р360с360. Для всех трапециевидных и круглых улиток и КСК и всех режимов (не только расчетного) справедлива формула

С360 =

4В4Ь4 ф4

-р?60

Рис. 8. Внешний вид и размеры выходного сечения СЧ внутренней круглой улитки

круглой улитки (рис. 8) определяются соответствующими выражениями:

Б360 = Б4 + 2тН4> б360ср.вн = Б4 + 2Т4 — ^360 ,

где ты — наружный радиус поворотного колена.

Из уравнения (4) следует, что

-т = —5Ь41§ га4расч й360вн =--+

+

л/сзь! 4расч )2 + 4 • 5Ь41д а4расч ( + 2тм) 2

Произвольная круглая улитка, заданная пользователем. У произвольной круглой улитки средний диаметр выходного сечения С360ср.пр определяется неравенством С360ср.н > С360ср.пр >

> П

360ср.вн,

где Б

360ср.н

средний диаметр вы-

ходного сечения наружной круглой улитки. Все размеры этой улитки задает пользователь. Пример схемы одного из вариантов произвольной круглой улитки приведен на рис. 9.

Трапециевидная улитка. Внешний вид и размеры трапециевидной улитки приведены на

где ф4 — коэффициент расхода в сечении 4 на выходе из диффузора.

Внутренняя круглая улитка и КСК. Внешний и средний внутренний диаметры внутренней

Рис. 9. Схема произвольной круглой улитки

Рис. 10. Внешний вид и размеры выходного сечения СЧ трапециевидной улитки

рис. 10. Равенство объемных расходов на входе и выходе СЧ Р360срасч360 = кВ4Ь4сг 4, средняя скорость потока на выходе из СЧ в расчетном режиме

срасч360 °,8с«4расч ^

В,

Отсюда

360 ср

А,

р _ ^360 ^360ср Р360 =-= 5В4Ь4tg а4расч-=""

В\

в,

Площадь поперечного сечения трапециевидной улитки — сумма площадей прямоугольника и трапеции в сечении 360°:

^360

р360 =

В2

0,95

п

2Ь, ( - В,) + tgV((60 " В, )2

Здесь сомножитель 0,95 учитывает уменьшение площади из-за радиусов скругления. Приравнивая уравнения (6) и (7), получаем

0 95 — — — V — — 2

— 2Ь, (В360 - В,) + tg-(В360 - В,) п 2

^^ , В360ср = 5В4Ь4tg а,расч —=-.

Согласно экспертной оценке, принимаем

В

360ср

"ВТ

= 0,7(В360ср - В,).

Тогда

- = 11,6В4Ь4tgа,расч -2Ь, -

В360 =--Ь В .

V

«2

Безразмерная площадь поперечного сечения рассчитывается по формуле (7), скорость потока на выходе из СЧ — по выражению (5).

Выходной диффузор. Согласно анализу экспериментальных данных, скорость на выходе из ступени принимаем равной 15 % окружной скорости потока на выходе из РК, ск = 0,15и2. Тогда

ск = 0,15. Отношение скоростей в ВД . = 0,15

сВД = ——.

с360

Угол раскрытия ВД определяется из выражения

V 0,5

V экя \ /

2

ВД

где Рк — площадь поперечного сечения на выходе из ВД; 1вд — длина ВД. Отсюда

1ВД --

0

,5 ((

Ч К«

tg-

2

Согласно работе [3], оптимальный (обеспечивающий минимальный коэффициент потерь) угол раскрытия при проектировании эквивалентного диффузора Vэкв = 8°.

Площадь на выходе из ВД рассчитывается исходя из того, что скорость потока на выходе из ВД равна скорости потока на входе в ступень:

^кск Ек ^нсн Ен,

где ск и сн — скорость потока на выходе из ВД и на входе в ступень; Ек и Ен — отношение плотностей газа на выходе из ВД и на входе в ступень; Рн — площадь поперечного сечения на входе в ступень.

Плотность газа на выходе из ВД принимаем равной плотности на выходе из диффузора. Тогда

Р = Р

Ек

После определения размеров ТВУ рассчитываются потери в его элементах.

Модель потерь ВД выполнена аналогично с ММ, описанной в работе [3]. Коэффициент сопротивления ВД определяется суммой коэффициентов трения и расширения:

Свд = -Ц-

2

где Я — коэффициент трения поверхности.

Эта формула справедлива для круглого диффузора с равномерным потоком на выходе. Приведенные в работе [3] поправочные коэффициенты для неравномерного потока и некруглых сечений получены из экспериментов с другими объектами. Их использовать нерационально. Поэтому вместо них в ММ внесены эмпирические коэффициенты, значения которых будут определены в процессе идентификации ММ.

При числе Рейнольдса Re > 4000 коэффициент трения гладкой поверхности [3]

1

(1,8^е —1,64) Для круглых улиток и КСК число Рейнольд са в ВД

Си4й360

Reвд =

Ц*0

= Си 4^360 Reu,

где ц0 — динамическая вязкость газа^еи — условное число Рейнольдса.

Для трапециевидной улитки гидравлический диаметр равен учетверенному отношению площади к периметру:

й

360тр

2Ь4 +(Сэ60 — Б4 )р^/2) +

•0«0 Б 4

СО8

Коэффициент трения шероховатой поверхности рассчитывается по формуле Муди [33]

1

21р^0 —1,14

2 '

так как йг/кш = йг/кш, где йг — гидравлический диаметр; кш — шероховатость поверхности.

Расчет потерь в СЧ. В радиальной плоскости определяющими являются потери напора трения. Они рассчитываются так же, как и для трубы, но гидравлический диаметр, сечение, скорость и плотность являются переменными величинами:

к

360 С2 й С2 I

л Щ _ ^ср л

- ср —

0 2 йг 2

г.ср

где к„ трСЧ — потери напора трения в СЧ; й — диаметр средней линии улитки; сср — средняя абсолютная скорость потока; Яср — средний коэффициент трения поверхности; I — протяженность улитки в радиальной плоскости; йг.ср — средний гидравлический диаметр;

Принимаем с?р = 0,5(с| + с|60), йг.ср = 0,5йг360 , Яср = / (Recч), где с4 — абсолютная скорость потока в сечении 4 на выходе из диффузора; Recч — число Рейнольдса в СЧ. Коэффициент трения в СЧ

ССЧ =ясч0,5 ^ (1 + %

йг.ср V С4

Здесь ЯСЧ — коэффициент трения поверхности, рассчитываемый по формуле (9) или (10) в зависимости от шероховатости и числа Рей-нольдса

Recч = 0,5Reвд,

так как средний гидравлический диаметр в 2 раза меньше выходного гидравлического диаметра.

В меридиональной плоскости потери напора определяются следующим образом. Для трапециевидной улитки примем потери напора расширения в зависимости от угла раскрытия улитки V ул

к = 0 5с2 • 3 91"р"1,25 ^ мер и> 4 о ^ *

По аналогии с формулой (8) коэффициент сопротивления такой улитки

С

К

мер.тр = п г 2 = 8Ш2 4 • 3,21р1,25 ——

0,5с2

2

В круглой улитке и КСК скорость потока С4 переходит в скорость вращения потока в СЧ и будет полностью потеряна, т. е. преобразована в тепло. Но вращение потока подавляет потери напора расширения в СЧ, и кинетическая энергия меридионального потока теряется не вся. Тогда коэффициент потерь в круглой улитке

Смер.кр = Х1 4 ,

где XI — эмпирический коэффициент, XI < 1.

Суммарный коэффициент потерь в ТВУ рассчитывается по следующим выражениям: • для трапециевидной улитки

Стр.ул ( СсЧ + Смер.трап + СВД ) Хул ;

• для круглой наружной и произвольной улиток

Скр.ул = ( (СЧ + Смер.кр + СВД ) Хул ;

• для круглой внутренней улитки

Скр.вн.ул ((СЧ Ь Смер.кр Ь СВД Ь 0,5Сп.к ) Хул,

где Хул — эмпирический коэффициент улитки; Спк — коэффициент потерь в поворотном колене.

Так как в состав улитки входит только половина поворотного колена, коэффициент потерь во всех КСК

СкСК = ХКСкСтр.ул ,

где X кск — эмпирический коэффициент,

Хкск > 1.

Все приведенные формулы предназначены для определения размеров и потерь в ТВУ при расчетном режиме работы ступени.

Для улитки с размерами, заданными пользователем, осуществляется поиск оптимального режима ее работы. Перебором условного коэффициента расхода решается задача поиска Ои,расч по уравнению (3).

Ударные потери в улитке рассчитываются по методике МУМ для обтекания лопаток РК, лопаточного диффузора и обратно направляющего аппарата. Скорость, определяющая ударные потери, имеет вид

f

Дсуд.ул — ф4

cu4 ф4

1

Л

tg ая

где аяз — угол языка улитки.

Ударные потери КПД Д^уд и коэффициент потерь С уд в ТВУ при положительных и отрицательных углах атаки рассчитываются по следующим выражениям:

при ДСуд.ул < 0

ДЛуд — ^22 1 + X23

X58

Дс2

С уд — X2:

при Дс.

уд.ул

1 + X23 (А.2 С4 ) > 0

X58

2^т

Дс2

уд.ул

ДЛуд — X24 (1 + X25^2С4

т

Дс

уд.ул

Суд — X24

где Х22,...,Х25 и Х58 — эмпирические коэффициенты; Х2 — скоростной коэффициент на выходе из РК.

В модели № 2 присутствует 10 эмпирических коэффициентов, что в 1,5 раза меньше, чем в модели № 1. Так как эмпирические коэффициенты в уравнениях ММ призваны учитывать различия между реальным и схематизированным характерами течения, их меньшее количество указывает на большую корректность применяемых уравнений, расчеты по которым не нуждаются в корректировке с помощью эмпирических коэффициентов. Разработанная ММ была применена в 8-й версии программ МУМ.

Идентификация разработанной модели ТВУ.

Идентификация разработанной ММ проведена на основании газодинамических характеристик модельных ступеней семейства 21CV, разработанных К.В. Солдатовой [34]. Выбраны следующие диапазоны параметров проектирования этих ступеней: расчетный коэффициент расхода Фрасч = 0,0100...0,0225; расчетный коэффициент теоретического напора ^трасч = 0,37.0,69; условные числа Маха Mu = 0,50.0,60 и Рей-нольдса Reu = (5,0...6,0)-106.

В ступенях семейства 21CV применяют все рассмотренные типы ТВУ (улитки и сборные камеры). Таким образом, эта выборка является репрезентативной для получения корректных значений эмпирических коэффициентов, входящих в разработанную ММ.

Идентификация ММ проведена с помощью специально разработанной программы IDENT. Под идентификацией понимается подбор значений эмпирических коэффициентов, при которых рассчитанные характеристики модельных ступеней — участников идентификации — максимально близки к экспериментальным КПД.

Процесс идентификации осуществлялся путем перебора эмпирических коэффициентов с расчетом КПД и сравнением с экспериментальными значениями. Отбирались такие значения Xj, при которых средняя погрешность расчета КПД минимальна [35]:

Z

Е| л эксп л расч

d-Цср — -----> о,

где лэксп и лрасч — экспериментальный и расчетный КПД; Z — число испытаний, по которым проводилась идентификация.

В результате проведенной идентификации новой ММ получены следующие результаты:

средняя погрешность моделирования расчетного (максимального) КПД — 0,94 %, средняя погрешность по пяти точкам (за исключением точки наибольшего расхода) — 1,13 %.

Лр асч> Лэксго Ч*г расч> У г' эксп

__^ Лрасч

- —-----

- Л ЭКСП

- V/ эксп

1 1 1 V/ расч" ^^^ 1 г 1 ^

В то время как предыдущая версия модели ТВУ показала для тех же ступеней среднюю погрешность моделирования расчетного (максимального) режима КПД 1,04 %, среднюю по-

асч> Лэксп> V; расч> V; эксп

Рис. 11. Зависимости расчетных и экспериментальных коэффициентов внутреннего напора расч, эк и политропных КПД ^расч, Лэксп от условного коэффициента расхода Ф, рассчитанные по математическим моделям № 2 (слева) и № 1 (справа), для ступени, оснащенной ТВУ разного типа: а — внешней КСК; б — внешней круглой улиткой; в — внутренней КСК

тГ

- 1л • \ \\ \\

\ Ч\ Ч\

*<\ \ \ \ \ ч \ \ V

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 т, кг/с

Рис. 12. Расчетные (сплошные линии) и экспериментальные (точки) зависимости

политропного КПД л* от массы т компрессора 140Э при окружной скорости и2 = 150

Рис. 13. Расчетные (штриховые линии) и экспериментальные (сплошные линии) зависимости относительного КПД л* /"^ах и коэффициента внутреннего напора ^ от условного коэффициента расхода Ф разных компрессоров ТДА: 1 — ТК-1; 2 — ТК-14А; 3 — ТК-8; 4 — ТК-11А; 5 — ТК-4-410П; 6 — ТК-4-410Т; 7 — ТК-3;

8 — ТК-4-390; 9 — ТК-15

грешность по пяти точкам (за исключением точки наибольшего расхода) 1,72 %.

Пример сопоставления результатов расчета ступеней с разными ТВУ показан на рис. 11, а-в, где расч, эксп и лрасч, л*ксп — расчетные и экспериментальные коэффициенты внутреннего напора и политропные КПД соответственно.

Верификация разработанной модели (сопоставление расчетных и экспериментальных га-

зодинамических характеристик объектов, не участвующих в идентификации) проведена для компрессора 140Э турбонагнетателя и компрессоров турбодетандерных агрегатов (ТДА) двигателя внутреннего сгорания, спроектированных Ю.Б. Галеркиным.

Сравнение расчетных и экспериментальных характеристик приведено на рис. 12 и 13. На рис. 12 приведены расчетные и экспериментальные зависимости политропного КПД л* от массы т компрессора 140Э при окружной скорости и = 150, 200, 250 и 300 м/с [36].

На рис. 13 верхняя группа кривых — расчетные и экспериментальные зависимости относительного КПД л*/л^ах от массы т разных компрессоров ТДА [37]. Нижняя группа прямых — экспериментальные зависимости коэффициента внутреннего напора от массы т разных компрессоров ТДА [37].

Полученные результаты показали достаточную точность моделирования газодинамических характеристик для проведения инженерных расчетов.

Выводы

1. Проведен анализ ТВУ различного типа, применяемых в центробежных компрессорах. Предыдущая версия математической модели ТВУ имела ряд значительных упрощений и большое число эмпирических коэффициентов. Это приводило к значительной погрешности результатов расчетов, а в некоторых случаях к необходимости варьирования значений эмпирических коэффициентов, определяющих потери напора в ТВУ.

2. Для устранения этих недостатков предложена и внедрена в программы МУМ математическая модель № 2, которая по сравнению с моделью № 1 показала меньшую погрешность расчета газодинамических характеристик. Для модельных ступеней семейства 21 СУ погрешность моделирования расчетного режима уменьшилась на 10 %, характеристики по пяти точкам для расчета параметров потока в ТВУ — на 35 %.

3. Верификация разработанной модели подтвердила ее эффективность.

Литература

[1] Рис В.Ф. Центробежные компрессорные машины. Ленинград, Машиностроение, 1981. 351 с.

[2] Мифтахов А.А., Зыков В.И. Входные и выходные устройства центробежных компрессоров.

Казань, Фэн, 1996. 198 с.

[3] Идельчик И.Е. Аэрогидродинамика технологических аппаратов: (подвод, отвод и распреде-

ление потока по сечению аппаратов). Москва, Машиностроение, 1983. 350 с.

[4] Мифтахов А.А., Селезнев К.П. Экспериментальное исследование аэродинамики улиток цен-

тробежных компрессоров. Труды КХТИ, 1971, вып. 49, с. 40-54.

[5] Никитин А.А., Яминов В.Г. Расчет выходных устройств центробежного компрессора. По-

вышение эффективности паровых и газовых холодильных машин и процессов тепломас-сопереноса. Сб. тр., Ленинград, ЛТИХП, 1989, с. 58-65.

[6] Никитин А.А., Цукерман С.В. Результаты исследования выходных устройств унифициро-

ванных центробежных компрессорных машин (УЦКМ). Конструирование, исследование, технология и организация производства компрессорных машин. Сб. тр., Сумы, ВНИИ-Компрессормаш, 1976, с. 60-66.

[7] Мифтахов А.А., Воронов Г.Ф. Выходные устройства центробежных компрессоров: проекти-

рование и расчет. Компрессорная техника и пневматика, 1996, вып. 1-2 (10-11), с. 5-9.

[8] PCA Engineers Limited. URL: https://www.pcaeng.co.uk/software (дата обращения 15 января

2020).

[9] Japikse D. Agile design system in the age of concurrent engineering. JANNAF Conference, Albu-

querque, 1996, December, pp. 331-345.

[10] Japikse D., Bitter J. Effective two-zone modeling of diffusers and return channel systems for radial and mixed-flow pumps and compressors. Proceedings of the 11th International Symposium on Transport Phenomena and Dynamics of Rotating Machinery, 2006, vol. 2, pp. 511-520, doi: 10.1063/1.5122102

[11] Japikse D., Dubitsky O. Vaneless diffuser advanced model. Proceedings of the ASME Turbo Expo, 2005, vol. 6 pt. B, no. GT2005-68130, pp. 823-834, doi: 10.1115/GT2005-68130

[12] Qiu X., Japikse D., Zhao J., Anderson M.R. Analysis and Validation of a Unified Slip Factor Model for Impellers at Design and Off-Design Conditions. Journal of Turbomachinery, 2011, vol. 133(4), no. 041018, doi: 10.1115/1.4003022

[13] Дроздов А.В., Лунев А.Т. Применение методов идентификации и многорежимной оптимизации при проектировании центробежных компрессоров. Потребители-производители компрессоров и компрессорного оборудования. Тр. 19-го Междунар. симп., Санкт-Петербург, СПбПУ, 2015, с. 69-73.

[14] Лунев А.Т. Структура метода проектирования и испытания проточной части нагнетателей для перекачивания природного газа. Компрессорная техника и пневматика, 2001, № 10, с. 4-7.

[15] Лунев А.Т. Разработка высокоэффективных сменных проточных частей центробежных

компрессоров газоперекачивающих агрегатов. Дис. ... канд. техн. наук. Казань, 2005. 123 c.

[16] Галеркин Ю.Б. Формирование взглядов на рабочие процессы и современное состояние газодинамических методов проектирования промышленных центробежных компрессоров. Компрессорная техника и пневматика, 2000, № 2, с. 9-14.

[17] Galerkin Y., Danilov K., Popova E. Design philosophy for industrial centrifugal compressors. Institution of Mechanical Engineers (IMechE) Conference Transactions, International Conference on Compressors and Their Systems, London, City University, 1999, pp. 465-480.

[18] Данилов К.А. Создание математической модели и программных комплексов для оптимального газодинамического проектирования холодильных центробежных компрессоров. Дис. ... канд. техн. наук. Санкт-Петербург, 1999. 176 с.

[19] Galerkin Y., Drozdov A. New generation of Universal modeling for centrifugal compressors calculation. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2015, vol. 90(1), no. 012040, doi: 10.1088/1757-899X/90/1/012040

[20] Galerkin Y., Rekstin A., Soldatova K., Drozdov A. Universal modeling method — the instrument for centrifugal compressor gas dynamic design. ASME Gas Turbine India Conference, 2015, no. 119665, doi: 10.1115/GTINDIA2015-1202

[21] Drozdov А., Galerkin Y. Modeling the non-incidence inlet flow rate coefficient in a centrifugal compressor impeller. AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 2007, iss. 1, no. 030052, doi: 10.1063/1.5051913

[22] Rekstin А., Popova Y., Ucehovscy A. Centrifugal compressor stages efficiency analysis by means of the approximate algebraic equations. AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 2007, no. 030036, doi: 10.1063/1.5051897

[23] Rekstin A.F., Drozdov A.A., Solovyeva O.A., Galerkin Y.B. Two mathematical models centrifugal compressor stage vaneless diffuser comparison. AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 2007, no. 030035, doi: 10.1063/1.5051896

[24] Galerkin Yu.B., Rekstin A.F., Solovyeva O.A. Vaneless diffuser of the centrifugal compressor stage design method. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030007, doi: 10.1063/1.5122057

[25] Galerkin Yu.B., Rekstin A.F., Soldatova K.V., Drozdov A.A. Analysis of geometric and gas-dynamic parameters of centrifugal compressor stages in tenfold range of design flow rate. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030018, doi: 10.1063/1.5122068

[26] Rekstin A.F., Galerkin Yu.B., Soldatova K.V. Computer programs application for development a primary design recommendations of low-flow rate centrifugal compressor stages. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030032, doi: 10.1063/1.5122082

[27] Rekstin A.F., Galerkin Yu.B. The primary design method development of centrifugal compressor impellers based on the analysis of the geometrical parameters. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030052, doi: 10.1063/1.5122102

[28] Rekstin A.F., Soldatova K.V., Galerkin Yu.B. Experience of application the computer program based on a simplified mathematical model for industrial centrifugal compressors candidates. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2019, vol. 604, iss. 1, no. 012045, doi: 10.1088/1757-899X/604/1/012045

[29] Galerkin Y., Drozdov A., Rekstin A. Centrifugal compressor impeller loading factor analysis. E3S

Web of Conferences, 2019, vol. 124, no. 01005, doi: 10.1051/e3sconf/201912401005

[30] Rekstin A.F., Soldatova K.V., Galerkin Yu.B., Popova E.Y. Verification of a simplified mathematical model of centrifugal compressor stages. E3S Web of Conferences, 2019, vol. 124, no. 01005, doi: 10.1051/e3sconf/201912401007

[31] Галеркин Ю.Б., Солдатова К.В. Моделирование рабочего процесса промышленных центробежных компрессоров. Научные основы, этапы развития, современное состояние. Санкт-Петербург, Изд-во СПбПУ, 2011. 327 с.

[32] Селезнев К.П., Галеркин К.П. Центробежные компрессоры. Ленинград, Машиностроение,

1982. 271 с.

[33] Галеркин Ю.Б., Рекстин Ф.С. Методы исследования центробежных компрессорных машин. Ленинград, Машиностроение, 1969. 303 с.

[34] Солдатова К.В. Создание новой математической модели проточной части центробежных компрессоров и базы данных модельных ступеней. Дис. ... докт. техн. наук. Санкт-Петербург, 2017. 357 с.

[35] Галеркин Ю.Б. Турбокомпрессоры. Санкт-Петербург, Изд-во КХТ, 2010. 650 с.

[36] Галеркин Ю.Б., Рекстин А.Ф., Дроздов А.А., Каминский Р.В., Сибиряков С.В., Турегу-лов Т.И., Усенко А.Е. Опыт создания низконапорного турбокомпрессора для наддува ДВС с применением современной версии Метода универсального моделирования. Компрессорная техника и пневматика, 2019, № 2, с. 2-10.

[37] Galerkin Yu.B., Semenovskiy V.B., Soldatova K.V. Creating model stages of centrifugal compressor based on experimental data. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030026, doi: 10.1063/1.5122076

References

[1] Ris V.F. Tsentrobezhnye kompressornye mashiny [Centrifugal compressor machines]. Leningrad,

Mashinostroenie publ., 1981. 351 p.

[2] Miftakhov A.A., Zykov V.I. Vkhodnyye i vykhodnyye ustroystva tsentrobezhnykh kompressorov

[Input and output devices of centrifugal compressors]. Kazan, Fen publ., 1996. 198 p.

[3] Idel'chik I.E. Aerogidrodinamika tekhnologicheskikh apparatov: (podvod, otvod i raspredeleniye poto-

ka po secheniyu apparatov) [Aerohydrodynamics of technological devices: (inlet, outlet and flow distribution over the cross section of devices)]. Moscow, Mashinostroyeniye publ., 1983. 350 p.

[4] Miftakhov A.A., Seleznev K.P. Experimental study of aerodynamics of scrolls of centrifugal com-

pressors. Trudy KKHTI, 1971, iss. 49, pp. 40-54 (in Russ.).

[5] Nikitin A.A., Yaminov V.G. Calculation of the output devices of a centrifugal compressor. Povysh.

effektiv. parov. i gazov. kholod. mashin i protsessov teplomassoperenosa. Sbornik trudov [Improving the efficiency of steam and gas refrigeration machines and heat and mass transfer processes. Collection of works]. Leningrad, LTIKHP publ., 1989, pp. 58-65 (in Russ.).

[6] Nikitin A.A., Tsukerman S.V. The research results of the output devices of unified centrifugal

compressor machines (UTsKM). Konstruirovaniye, issledovaniye, tekhnologiya i organizatsiya proizvodstva kompressornykh mashin. Sb. tr. [Design, research, technology and organization of production of compressor machines. Collection of works]. Sumy, VNII-Kompressormash publ., 1976, pp. 60-66 (in Russ.).

[7] Miftakhov A.A., Voronov G.F. The output devices of centrifugal compressors: design and calcula-

tion. Kompressornaya tekhnika i pnevmatika, 1996, iss. 1-2 (10-11), pp. 5-9 (in Russ.).

[8] PCA Engineers Limited. Available at: https://www.pcaeng.co.uk/software (accessed 15 January

2020).

[9] Japikse D. Agile design system in the age of concurrent engineering. JANNAF Conference, Albu-

querque, 1996, December, pp. 331-345.

[10] Japikse D., Bitter J. Effective two-zone modeling of diffusers and return channel systems for radial and mixed-flow pumps and compressors. Proceedings of the 11th International Symposium on Transport Phenomena and Dynamics of Rotating Machinery, 2006, vol. 2, pp. 511-520, doi: 10.1063/1.5122102

[11] Japikse D., Dubitsky O. Vaneless diffuser advanced model. Proceedings of the ASME Turbo Expo, 2005, vol. 6 pt. B, no. GT2005-68130, pp. 823-834, doi: 10.1115/GT2005-68130

[12] Qiu X., Japikse D., Zhao J., Anderson M.R. Analysis and Validation of a Unified Slip Factor Model for Impellers at Design and Off-Design Conditions. Journal of Turbomachinery, 2011, vol. 133(4), no. 041018, doi: 10.1115/1.4003022

[13] Drozdov A.V., Lunev A.T. The use of identification methods and multi-mode optimization in the design of centrifugal compressors. Potrebiteli-proizvoditeli kompressorov i kompressornogo obo-rudovaniya. Tr. 19 mezhdunar. simp. [Consumer manufacturers of compressors and compressor equipment. Proceedings of the 19th international symposium]. Sankt-Petersburg, SPbPU publ., 2015, pp. 69-73.

[14] Lunev A.T. The structure of the method for designing and testing the flow of the superchargers for pumping natural gas. Kompressornaya tekhnika i pnevmatika, 2001, no. 10, pp. 4-7 (in Russ.).

[15] Lunev A.T. Razrabotka vysokoeffektivnyh smennyh protochnyh chastey tsentrobezhnyh kompressorov gazoperekachivayushchih agregatov. Kand. Diss. [Development of high-efficiency replaceable flow parts of centrifugal compressors of gas pumping units. Cand. Diss.]. Kazan, 2005. 123 p.

[16] Galerkin Yu.B. Formation of views on work processes and the current state of gas-dynamic methods for designing industrial centrifugal compressors. Kompressornaya tekhnika i pnevmatika, 2000, no. 2, pp. 9-14 (in Russ.).

[17] Galerkin Y., Danilov K., Popova E. Design philosophy for industrial centrifugal compressors. Institution of Mechanical Engineers (IMechE) Conference Transactions, International Conference on Compressors and Their Systems, London, City University, 1999, pp. 465-480.

[18] Danilov K.A. Sozdaniye matematicheskoy modeli i programmnykh kompleksov dlya optimal'nogo gazodinamicheskogo proyektirovaniya kholodil'nykh tsentrobezhnykh kompressorov. Kand. Diss. [Creation of a mathematical model and software systems for optimal gas-dynamic design of refrigeration centrifugal compressors. Cand. Diss.]. Sankt-Petersburg, 1999. 176 p.

[19] Galerkin Y., Drozdov A. New generation of Universal modeling for centrifugal compressors calculation. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2015, vol. 90(1), no. 012040, doi: 10.1088/1757-899X/90/1/012040

[20] Galerkin Y., Rekstin A., Soldatova K., Drozdov A. Universal modeling method — the instrument for centrifugal compressor gas dynamic design. ASME Gas Turbine India Conference, 2015, no. 119665, doi: 10.1115/GTINDIA2015-1202

[21] Drozdov А., Galerkin Y. Modeling the non-incidence inlet flow rate coefficient in a centrifugal compressor impeller. AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 2007, iss. 1, no. 030052, doi: 10.1063/1.5051913

[22] Rekstin А., Popova Y., Ucehovscy A. Centrifugal compressor stages efficiency analysis by means of the approximate algebraic equations. AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 2007, no. 030036, doi: 10.1063/1.5051897

[23] Rekstin A.F., Drozdov A.A., Solovyeva O.A., Galerkin Y.B. Two mathematical models centrifugal compressor stage vaneless diffuser comparison. AIP Conference Proceedings, 2018, vol. 2007, no. 030035, doi: 10.1063/1.5051896

[24] Galerkin Yu.B., Rekstin A.F., Solovyeva O.A. Vaneless diffuser of the centrifugal compressor stage design method. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030007, doi: 10.1063/1.5122057

[25] Galerkin Yu.B., Rekstin A.F., Soldatova K.V., Drozdov A.A. Analysis of geometric and gas-dynamic parameters of centrifugal compressor stages in tenfold range of design flow rate. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030018, doi: 10.1063/1.5122068

[26] Rekstin A.F., Galerkin Yu.B., Soldatova K.V. Computer programs application for development a primary design recommendations of low-flow rate centrifugal compressor stages. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030032, doi: 10.1063/1.5122082

[27] Rekstin A.F., Galerkin Yu.B. The primary design method development of centrifugal compressor impellers based on the analysis of the geometrical parameters. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030052, doi: 10.1063/1.5122102

[28] Rekstin A.F., Soldatova K.V., Galerkin Yu.B. Experience of application the computer program based on a simplified mathematical model for industrial centrifugal compressors candidates. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2019, vol. 604, iss. 1, no. 012045, doi:10.1088/1757-899X/604/1/012045

[29] Galerkin Y., Drozdov A., Rekstin A. Centrifugal compressor impeller loading factor analysis. E3S

Web of Conferences, 2019, vol. 124, no. 01005, doi: 10.1051/e3sconf/201912401005

[30] Rekstin A.F., Soldatova K.V., Galerkin Yu.B., Popova E.Y. Verification of a simplified mathematical model of centrifugal compressor stages. E3S Web of Conferences, 2019, vol. 124, no. 01005, doi: 10.1051/e3sconf/201912401007

[31] Galerkin Yu.B., Soldatova K.V. Modelirovaniye rabochego protsessa promyshlennykh tsentrobezh-nykh kompressorov. Nauchnyye osnovy, etapy razvitiya, sovremennoye sostoyaniye [Modeling the workflow of industrial centrifugal compressors. Scientific basis, stages of development, current status]. Sankt-Petersburg, SPbPU publ., 2011. 327 p.

[32] Seleznev K.P., Galerkin K.P. Tsentrobezhnyye kompressory [Centrifugal compressors]. Leningrad, Mashinostroyeniye publ., 1982. 271 p.

[33] Galerkin Yu.B., Rekstin F.S. Metody issledovaniya tsentrobezhnykh kompressornykh mashin [Research Methods for Centrifugal Compressor Machines]. Leningrad, Mashinostroyeniye publ., 1969. 303 p.

[34] Soldatova K.V. Sozdaniye novoy matematicheskoy modeli protochnoy chasti tsentrobezhnykh kompressorov i bazy dannykh model'nykh stupeney. Dokt. Diss. [Creation of a new mathematical model of the flow part of centrifugal compressors and a database of model stages. Doct. Diss.]. Sankt-Petersburg, 2017. 357 p.

[35] Galerkin Yu.B. Turbokompressory [Turbochargers]. Sankt-Petersburg, KKHT publ., 2010. 650 p.

[36] Galerkin Yu.B., Rekstin A.F., Drozdov A.A., Kaminskiy R.V., Sibiryakov S.V., Turegulov T.I., Usenko A.E. Design experience for low-pressure turbocharger based on the modern version of the Universal Modeling Method. Kompressornaya tekhnika i pnevmatika, 2019, no. 2, pp. 2-10 (in Russ.).

[37] Galerkin Yu.B., Semenovskiy V.B., Soldatova K.V. Creating model stages of centrifugal compressor based on experimental data. AIP Conference Proceedings, 2019, vol. 2141, no. 030026, doi: 10.1063/1.5122076

Статья поступила в редакцию 12.02.2020

Информация об авторах

ДРОЗДОВ Александр Александрович — кандидат технических наук, старший научный сотрудник НИЛ «Газовая динамика турбомашин». Объединенный научно-технологический институт ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Санкт-Петербург, Российская Федерация, ул. Политехническая, д. 29, e-mail: a_drozdi@mail.ru).

ГАЛЕРКИН Юрий Борисович — доктор технических наук, профессор, заведующий НИЛ «Газовая динамика турбомашин». Объединенный научно-технологический институт ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», почетный председатель Ассоциации компрессорщиков и пневматиков (195251, Санкт-Петербург, Российская Федерация, ул. Политехническая, д. 29, e-mail: yuri_galerkin@mail.ru).

УЦЕХОВСКИЙ Александр Александрович — преподаватель. Институт среднего профессионального образования ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого» (195251, Санкт-Петербург, Российская Федерация, ул. Политехническая, д. 29, e-mail: au-mail@list.ru).

Information about the authors

DROZDOV Aleksandr Aleksandrovich — Candidate of Science (Eng.), Senior Researcher of Research Laboratory for Gas Dynamics of Turbomachines. Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education — Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (195251, St. Petersburg, Russian Federation, Politekhnicheskaya St., Bldg. 29, e-mail: a_drozdi@mail.ru).

GALERKIN Yuri Borisovich — Doctor of Science (Eng.), Professor, Research Laboratory for Gas Dynamics of Turbomachines. Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education — Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Honorary Chairman, Association of Compressor and Pneumatic Engineers (195251, St. Petersburg, Russian Federation, Politekhnicheskaya St., Bldg. 29, e-mail: yuri_galerkin@mail.ru).

UTSEKHOVSKIY Aleksandr Aleksandrovich — Lecturer. Institute of Vocational Education at the Federal State Autonomous Educational Institution of Higher Education — Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (195251, St. Petersburg, Russian Federation, Politekhnicheskaya St., Bldg. 29, e-mail: au-mail@list.ru).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Дроздов А.А., Галеркин Ю.Б., Уцеховский А.А. Разработка и внедрение новой математической модели тангенциальных выходных устройств центробежных компрессоров. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2020, № 6, с. 17-35, doi: 10.18698/0536-1044-2020-6-17-35

Please cite this article in English as: Drozdov A.A., Galerkin Y.B., Utsekhovskiy A.A. Development and Implementation of a New Mathematical Model of the Tangential Exit Nozzles in Centrifugal Compressors. BMSTU Journal of Mechanical Engineering, 2020, no. 6, pp. 17-35, doi: 10.18698/0536-1044-2020-6-17-35