Исследование устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил

УДК 532.69

О.Л. Миронова, А.Г. Петрова

Исследование устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил

Рассматривается модель движения эмульсии под действием микрогравитации и термокапиллярных сил, предложенная в работе [1]. Устойчивость пространственно-однородного состояния эмульсии, движущейся с постоянной скоростью, исследовалась в работе [2], где получены условия устойчивости в некоторых предельных случаях, в частности, в условиях невесомости. Данная работа посвящена исследованию устойчивости простейшего решения, соответствующего случаю нулевой относительной скорости движения фаз, когда градиент температуры и вектор микроускорений коллинеарны и термокапиллярные силы уравновешиваются силами плавучести. Показано, что н первом приближении равновесное состояние неустойчиво по отношению к двумерным и трехмерным возмущениям. Найдены необходимое и достаточное условия устойчивости по отношению к одномерным возмущениям. Рассмотрены вопросы устойчивости простейшего разрывного решения, соответствующего случаю, когда эмульсия находится в равновесном состоянии, а чистое вещество, находящееся по другую сторону плоской поверхности разрыва, неподвижно.

1. Постановка задачи

Движение эмульсии под действием микрогравитации и термокапиллярных сил описывается системой уравнений

0(1-с) dt

+ div 1(1— c)v I = О

PdC{w + “ ' V“) +Pm(l - с) ( ^ + V- Vv ) =

= -Vp+div\pm(l +cJV)(VtT+(V5)*) +

+Pdcg+Pm( 1 - c)g,

P*\dc\ ^+u.Vrj+/>mAm(l-c)(^+t7-VT) =

= сМ кп

и — V = Кд + ЬЧТ,

Здесь с - концентрация дисперсной фазы

(с << 1); Т - общая температура; и и V -

осредненные скорости дисперсной и несущей фаз соответственно; р - давление. Индекс d будем использовать для обозначения параметров дисперсной фазы, т - несущей; е ~ плотность, р -динамическая вязкость, А - удельная теплоемкость, к - удельная теплопроводность, от и И - положительные константы. Постоянные /V, К, М, Ь определяются соотношениями

2Д2(рл - рт)[р-т

Зрт[2рт "Ь ^Pd)

N =

Рт + 5/id/2 Pm + Pd '

К =

., 3

2кт + kd '

L =

2RkmaT

Эта модель была предложена О.В. Воиновым и В.В. Пухначевым в 1996 г. [1]. Устойчивость пространственно-однородного состояния эмульсии с постоянной относительной скоростью движения фаз исследовалась в работе [2], где получены условия устойчивости в некоторых предельных случаях, в частности, в условиях невесомости. В работе [3] исследовалась устойчивость соответствующего разрывного решения с плоскостью разрыва эмульсия - чистое вещество. В данной работе в п. 2 мы будем исследовать устойчивость равновесного состояния эмульсии, занимающей все пространство, соответствующего нулевой относительной скорости, когда постоянный градиент температуры и вектор микроускорений коллинеарны и термокапиллярные силы уравновешиваются силами плавучести, т.е.

Kg + LVT0 = 0, с = с0, и0 = uq = О,

Vpo = (р</Со + £m(l - с0))д - const. (1.6) Систему координат выберем так, чтобы V7o = (G,0,0), д = (5,0,0).

15

Кроме того, в п. 3 будут рассмотрены вопросы устойчивости разрывного решения, когда соотношения (1.1)—(1.5) выполнены при ж > 0, а полупространство х < 0 занято неподвижной средой, представляющей собой основную составляющую эмульсии без дисперсных включений.

2. Устойчивость равновесного состояния эмульсии

Линеаризуя уравнения (1.1)—(1.5) на решении

(1.6), получим следующую систему для малых возмущений концентрации с, скоростей дисперсной и несущей фаз и и V , давления р и температуры Т:

дс _ .

— + с0(1гм = О,

9

устойчиво, случай Яеа > 0 соответствует неустойчивому возмущению. Аналогично [2], анализ проводится с использованием асимптотических разложений а и А$ по малому параметру со. В результате получаем следующие значения для вещественных частей корней а (корень, соответствующий вязким возмущениям, имеет кратность 3):

Яеа\ = —

@ГП Аг

-\0\2 + О(со),

Яеа-г — — |Д|2 + 0(с2),

И.еаъ = со

ЬСддп

ді

+ (1 - с0)сііуії = О,

дії . .дії = — Ур + //т(1 +caN)Aії+ (вл - Єт)с9,

Очевидно, что при малой концентрации для любых векторов Д имеют место неравенства Леа1 < 0, Яеаг < 0.

Перейдем к исследованию знака Леад. Принимая во внимание соотношение

А <7 -|- иЧТа — 0

иА-со(?-+<г^То)+Ат(1-во)(^-+«-УГо) = и ВИД зависимости коэффициента К от разнос ' '01 ' ти плотностей, приходим к выводу, что пр>

=- кт( 1 — Мсо)АТ — ктМЧТа  Ус,

й — V = [уЧТ.

Решение линеаризованной системы будем искать в виде

0 = А0ехр(аі + І0  ж),

где Ао - постоянный вектор; а - комплексный декремент; а Д- вещественный волновой вектор. Подстановка (2.1) в систему для возмущений приводит к алгебраической системе для определения комплексной частоты а и коэффициентов

А-О- „

Аса + %соАи  0 = 0,

-Аса + *(1 - со)А„  0 = 0,

елсоАиа + ет(1 - са)А„а =

= -1АрР -Цт{ 1 + МсО)А„\0\* + Ае(вл - ет)д,

влХлсоАта + £тАт(1 — с0)Лга+

-¥(>11^11соАи  УТ + £тАт(1 — со)А„  ^7То =

-кт( 1 - Мсо)АТ\0\2 - {АсктМЧТ0  Д,

Аи-Аь = ИАтР-

Исследование устойчивости сводится к анализу знаков вещественной части комплексной частоты: если все решения удовлетворяют условию Леа < 0, то рассматриваемое решение

при

01 < |ДР, т.е. в случае многомерных возмущений, кеаз > 0, следовательно, равновесное состояние неустойчиво по отношению к многомерным возмущениям.

Случай одномерных возмущений, колли-неарных градиенту температуры, требует отдельного рассмотрения. В этом случае 01 = 0 и система (2.2) стандартным приемом ([1]) редуцируется к системе двух уравнений

Аса — со(1 — со )ЬАт02 — 0,

РйА^со Ата + етАт(1 — с0)Ата+

-И'со(1 — Со)(ел^<1 ~ втЬт)ЬАтС0+

+*т

Здесь уже нет необходимости использовать асимптотические разложения для анализа знаков вещественных частей 0. В случае равенства коэффициентов теплопроводности компонент эмульсии (М = 0) система (2.3) имеет при любом 0 два семейства решений:

1. Ат = 0, а = 0, Ас - произвольная комплексная константа, и

2. Ат фО, Ас = »со(1 — со)ЬАт02/а,

»ср

кт( 1 - Мсо)Ат02

Первое решение соответствует нейтральной устойчивости равновесного состония эмульсии в первом приближении по отношению к стационарным чисто концентрационным возмущениям. По отношению к возмущениям общего вида, описываемым вторым решением, равновесное состояние устойчиво.

В общем случае (М / 0 ) решение первого типа уже невозможно, поэтому, выражая Ас из первого уравнения системы (2.3) и подставляя во второе, получим:

[дл\лСо + 6т Ат (1 — Со))а2 +

+(»'с0(1 - С0)(ва^ - етЬт)ЬС0+

+кт{1 - Мса)/32)а -I- ИстМСЬс0(\ - с0)Д3 = 0.

В случае

М(етАт(1 + Л/)-0<*А,*+2Л/со(£<<;^-0т,\т)) < о

оба корня ах и а? имеют отрицательные действительные части при любых ненулевых вещественных /?, следовательно, решение устойчиво.

В случае

М(етАт(1 + М)-^А^+2Мсо(^Ай-ртАт)) > О

произведение действительных частей корней отрицательно, следовательно, решение неустойчиво. Равенство

М [дт\т(\ + М) — са(ел^<1 — втКп)) — 0

соответствует нейтральной устойчивости в первом приближении и определяет в пространстве параметров эмульсии некоторое критическое множество значений.

Заметим, что равновесное состояние газожидкостной смеси в поле микроускорений и термокапиллярных сил неустойчиво, поскольку для такой смеси М = 3/2, ел — 0 и неравенство (2.4) равносильно с0 > 5/6 , тогда как одним из основных предположений рассматриваемой модели является малость концентрации дисперсной фазы.

Итак, многомерные решения неустойчивы; условие (2.4) является достаточным условием устойчивости одномерных возмущений, а условие (2.5) - условием неустойчивости.

3. Устойчивость простейшего разрывного решения

Выберем систему координат так же, как и в п.1, и предположим, что плоскость х — 0 разделяет эмульсию (находящуюся для определенности справа) и чистую несущую фазу. Эмульсия

находится в равновесии, т.е. так же, как и в п.1,

Кд + ЬЪТо = 0, с = с0, и0 = Но = 0,

Уро = (е<*с0 + рт(1 - с0))<7,

чистое вещество также неподвижно.

Отметим, что аналогичная задача для случая движущейся плоскости раздела рассматривалась в работе [3]. Поскольку, как показано в п. 2, равновесие по отношению к многомерным возмущениям (точнее, возмущениям, неколлинеарным вектору микроускорений и градиенту температуры) неустойчиво, то мы ограничимся рассмотрением одномерных возмущений

с

в эмульсии (область х I 0);

Г

в чистом веществе (область х | 0 ); и

5

для границы раздела х = 0. Амплитудные функции считаются ограниченными в соответствующих областях. Используя стандартные соотношения на границе раздела ([4]) и линеаризуя уравнения и граничные условия, получим следую- , щую задачу для возмущений:

V.

Ас(х)  а + со(1 — са)1А'т{х) = 0 при х > 0;

(е^А^со + £тАт(1 — Со))Лг • «+

-}-Со(1 Со)(е<1^Н 9т^т) ЬА'г (х)Сг

-кт(1-с0)Ат(х)+ктМСА'с(х) = 0 при х > 0;

&тп А т Ар(х) - а кт Ар (х) — 0 при х < 0,

Лр(0) = ЛТ(0) + 5Мс0С,

л;(0) - (1 - соММИО) + \fGAci0) = 0,

Задача (3.1) представляет собой спектральную задачу относительно а.

В силу однородности уравнений системы решения будем искать в виде

Ас{х) = С{ехр(6{ • х)у

1

3

Ат(х) = XI ^ехр(6{ • х);

РтАт А • а — &т А • 7^,

Х> = £в„

1 1

2 3

^ 1 Д'7< = } ’ В< ' I 1 1

3

(1-с0)£]Гв,<5, = 5а.

1

2

ар(*) = ' ехр(у>  х)<

1

где <5,- (* = 1,2,3) и 7,- (г = 1,2) - комплексные числа такие, что

Лей, < 0, Де7| > 0.

Подставляя эти выражения в систему обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями (3.1), получим следующую алгебраическую систему для определения коэффициентов В,-, С,-, Д, 5 :

С,- • а + с0

(вл^лсо + £>тАт(1 — со))В,  а+

+С0(1 Со)(р^А^ ()т Ат) ЪНхСзбх -кт(1 - со)В,6?+

+ктМСС{6{ = 0,

етАт А • а = kmDi • 7?,

2 3

X Д = X В{ + БМсов, (3.5) 1 1

2 3

X д7, - (1 - Сом) X в,6,+

1 1

3

+МС^С,й = О,

1 3

1

Условием устойчивости решения по отношению к возмущениям рассматриваемого вида является отсутствие у системы (3.2)-(3.7) нетривиальных решений 5, В,, Д, С,-, «5,-, 7,-, удовлетворяющих условиям

Ле <5,- < 0, Ле 7,- > 0

для любых значений а с неотрицательной вещественной частью.

Случай М—0, как и раньше, требует отдельного рассмотрения. В этом случае система (3.2)-

(3.7) приобретает вид

С, • а + с<

(е<(А<*со + етАт(1 - со))В, • а+

Ч"С0(1 — со)(е<(Ай ^тАт)ЬВ{0 • 8{

-*тВ,"^ = 0,

Нетрудно убедиться, что для а, имеющих положительную вещественную часть, нетривиальных решений не существует. Однако при а = 0, так же, как и в случае равновесия эмульсии, заполняющей все пространство, система имеет решение В,- = Д = 5 = 0, С,- - произвольные комплексные постоянные, соответствующие чисто концентрационным возмущениям. Это случай нейтральной устойчивости задачи первого приближения.

В случае М ф 0 чисто концентрационных возмущений быть не может, поэтому уравнения (3.2), (3.3) приводят к следующему соотношению, связывающему а и <5, :

Заметим также, что уравнение (3.4) при любом а имеет единственный корень у с положительной вещественной частью, таким образом один из коэффициентов Д равен нулю. Отсюда следует, что кубическое уравнение (3.8) должно иметь, как минимум, два корня с неположительной вещественной частью. В противном случае система (3.2)-(3.7) окажется переопределенной. Принимая во внимание тот факт, что при старшей степени уравнение (3.8) имеет малый параметр, и используя асимптотические методы [5], приходим к выводу, что в случае выполнения неравенства Мб > 0 система будет неустойчивой как по отношению к коротковолновым, так и к длинноволновым возмущениям.

Итак, необходимым условием устойчивости простейшего разрывного решения является выполнение неравенства Мб < 0.

Работа выполнена при поддержке программы Совета ведущих научных школ Российской Федерации (грант №> 5И-902.2003).

ктМСЬс0( 1 - с0) • <^3 + а • кт(1 - Мс0) • <5?-

а • с0(1 со)(^^А^ £тАт)Ь(л • <5*

-а2 •

Литература

1. Pukhnachov V.V., Voinov O.V. Mathematical model of motion of emulsion under effect of thermocapillary forces and microacceleration // Abstracts of Ninth European Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Physical Sciences. Berlin, 1995.

2. Гудзь О.А., Пухначев В.В. Устойчивость однородного состояния эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// Механика невесомости. Перспективы фундаментальных исследований гравитационночувствительных систем: Сб. трудов VII Рос. симп. М., 2002.

3. Pukhnachev V.V., Voinov O.V., Petrova A.G. and others ’’Dynamics, Stability and Solidification of an emulsion Under the Action of Thermocapillary Forces and Microgravity” // Lecture Notes in Physics. Interfacial Fluid Mechanics in Physico-Chemical Processes. Springer Verlag, 2002.

4. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М., 1981.

5. Найфе. Введение в теорию возмущений: Пер. с англ. М., 1984.