Об условиях применения моделей типа Пэриса-Эрдогана к расчетам живучести элементов авиаконструкций при случайных нагрузках

УДК 629.7.02:512.2

ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ТИПА ПЭРИСА-ЭРДОГАНА К РАСЧЕТАМ ЖИВУЧЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ АВИАКОНСТРУКЦИЙ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ НАГРУЗКАХ

В.В.НИКОНОВ, В.С.ШАПКИН

В настоящей работе приводится обоснование возможности применения в расчетах длительности роста трещин при случайном нагружении линейных моделей типа Пэриса-Эрдогана.

Ключевые слова: случайные циклические нагрузки, перегрузки, пик-фактор, длительность роста трещины.

Введение

При теоретических расчетах наиболее часто применяют два подхода к оценкам длительности роста трещин при случайных нагрузках. Первый основан на замене случайных нагрузок последовательностью детерминированных блоков. Наиболее часто при формировании блоков (блок-программное нагружение) случайные процессы схематизируются методом дождевого потока. Затем с использованием линейных и нелинейных моделей проводится расчет и, при необходимости, экспериментальная проверка [1]. Второй подход основан на гипотезе о возможности использования в расчетах длительности роста трещин эмпирических уравнений типа Пэриса-Эрдогана с параметрами, определенными при постоянной амплитуде нагружения. Случайный характер нагружения учитывается путем введения некоторого эквивалентного размаха коэффициента интенсивности напряжений ДКэкв. При таком подходе расчет ДКэкв проводится с использованием статистических характеристик случайного нагружения. Так в работах [2,4] ДКэкв рассчитывается через постоянный размах напряжений Доэкв. В работе [5] ДКэкв определяется как независимая случайная величина, в работе [6] - функционал случайной функции. В настоящей статье авторами сделана попытка ответить на три вопроса. Первый - применимы ли модели типа Пэриса-Эрдогана для расчетов длительности трещин в принципе и каковы области их применения. Второй - как рассчитывать ДКэкв. Третий - какова точность расчетов.

Испытания при случайном нагружении

Материалы и образцы

Выбор материалов для экспериментальных исследований осуществлялся на основании анализа конструкции крыла самолетов гражданской авиации. В табл. 1 приведены основные силовые элементы крыла самолета Ил-86, характерные диапазоны изменения толщин, используемые конструкционные материалы. Материалы типа Д16чАТ и Д16чТ обладают повышенными значениями долговечности и циклической трещиностойкости и применяются для нижних панелей крыльев, наиболее подверженных усталостным разрушениям. Верхние панели в полетных режимах нагружаются циклическими нагрузками сжатия и выполняются из более прочного, но менее трещиностойкого материала В95АТВ.

Таблица 1

Материалы, используемые в силовых элементах фюзеляжа самолета Ил-86

Тип конструктивного элемента крыла самолета Материал Характеристики, толщина, мм

Верхняя панель обшивки В95чТ, В95чТ2 3...10

Нижняя панель обшивки Д16чТ, Д16чАТ 3...8

Нервюры Д16 2.7

Лонжероны Д16Т, В95 0 2

Стрингеры Д16 2.7

Для уточнения механических характеристик материалов проводились испытания образцов лопаток (рис. 1 а) на растяжение. Результаты статических испытаний сведены в табл. 2.

Таблица 2

Механические характеристики исследуемых материалов

Материал Толщина проката, мм Е, МПа о02, МПа ов, МПа

Д16чАТ 8 69820 336 452

Д16чАТ 3 73360 333 474

В95АТВ 3 70480 412 516

Для экспериментальных оценок характеристик живучести при случайных режимах нагружения использовались плоские образцы из сплавов В95АТВ и Д16чАТ с толщинами 3 и 8 мм, характерные для обшивки крыла. Образцы представляли собой пластины размером в плане 450x100 мм с центральным сквозным надрезом (рис. 1 б). С целью исключения влияния технологии изготовления на характеристики трещиностойкости образцы вырезались из одного листа вдоль направления проката. При этом первоначальный размер образца равнялся 450x105 мм. Затем производилась фрезеровка до ширины 100 мм, что позволило исключить влияние наклепа, полученного при изготовлении образцов на гильотинной установке, а также обеспечить чистоту боковой поверхности образцов, необходимую для нанесения разметки.

150

450

- "

50 20,

Г

Рис. 1. Образцы: а - для статических испытаний; б - для испытаний на циклическую трещиностойкость

Технология проведения эксперимента при случайном нагружении

Испытания при случайном нагружении проводились в две стадии. Сначала трещина проращивалась при отнулевом нагружении с омах =70 МПа и частотой 10 Гц до 6 мм, затем проводились испытания при случайных нагрузках. Это обеспечивало идентичность начальных условий для всех образцов перед испытаниями при случайном нагружении.

При испытаниях со случайным нагружением воспроизводились стационарные гауссовские процессы с нормированной корреляционной функцией вида

Я(і) = ехр(-а | і |)[соб со0і + (а/ со0) бій со0 | і |].

-і

В соотношении (1) центральная частота процесса ю0 выбиралась постоянной ю0=62.8 с Параметр а в процессе испытаний варьировался для получения случайных процессов различной сложности (с различной широкополосностью). Степень сложности численно характеризуется коэффициентом широкополосности ж. Он определяется отношением ж = п0/ птах, где п0 - среднее число положительных пересечений процессом своего среднего значения (положительные нули процесса); птах - количество максимумов процесса.

а

Для моделирования случайных гауссовских процессов с корреляционной функцией (1) была разработана специализированная управляющая программа. Алгоритм программы, оценка точности подробно изложены в работе [7].

Путем варьирования в формуле (1) коэффициента а от 1 с-1 до 75 с-1 были получены «контрастные» по своей сложности структуры случайных процессов нагружения. Этот факт отражают рис. 2 и 3. Корреляционная функция (рис. 2) и спектральные плотности (рис. 3) существенно отличаются. Использование в испытаниях «контрастных» процессов позволяет обобщить полученные результаты на широкий класс процессов. Для визуального контроля воспроизведенные в испытаниях случайные нагрузки выводились на двухкоординатный самописец. На рис. 4 а, б приведены узкополосный и широкополосный процессы соответственно. Для узкополосного процесса (рис. 4 а) циклы ярко выражены и имеют практически одну частоту. Амплитуды «сильно» коррелированны, а процесс хорошо схематизируется. Широкополосный процесс имеет более сложную структуру (рис. 4 б) и при схематизации дает в два раза больше циклов, чем узкополосный.

Влияние стандартного отклонения процесса 8 и математического ожидания М на скорость роста трещины очевидны. Поэтому в испытаниях эти два параметра не варьировались и принимались равными 8=30 МПа и М=70 МПа.

а б

Рис. 2. Корреляционные функции для двух гауссовских процессов (линии - теоретические значения, точки - статистические оценки): а - корреляционная функция узкополосного процесса а = 1 с-1, ж =0.94; б - корреляционная функция широкополосного процесса а = 75 с-1, ж = 0.52

20 25

Частота,Гц

б

Рис. 3. Спектральные плотности для двух гауссовских процессов: а - спектральная плотность узкополосного процесса а = 1 с-1, ж =0.94; б - спектральная плотность широкополосного

процесса а = 75 с-1, ж = 0.52

а

б

а

Рис. 4. Реализации узкополосного и широкополосного процессов: а - узкополосный процесс; б - широкополосный процесс

При моделировании достаточно длинной реализации существует вероятность появления

/*' и и и р\ и

достаточно больших значении уровней напряжении а;. В то же время мощность конкретной испытательной установки ограничена. Поэтому в испытаниях на усталость и циклическую тре-щиностойкость целесообразно устанавливать уровни ограничения случайного процесса "сверху" и "снизу". Кроме того, по результатам испытаний образцов при гармоническом нагружении с единичными перегрузками можно ожидать влияния уровня срезки на длительность роста трещин. В этой связи введем понятие срезанного процесса и коэффициента срезки.

Процесс будем называть "срезанным" с коэффициентом срезки Кр, если его значения "сверху" и "снизу" ограничены уровнями М± Кр8. Рис. 5 иллюстрирует применение операции "срезки". Коэффициент Кр будем называть коэффициентом срезки или пик-фактором.

Рис. 5. Иллюстрация к введению операции срезки: а - исходный процесс; б - срезанный процесс Результаты экспериментальных исследований

а

На рис. 6 приведены графики роста усталостных трещин в образцах сплавов д16чАТ. Здесь же приводится огибающая максимумов процесса. Пунктирными линиями отмечены уровни ограничения процесса, соответствующие различным коэффициентам срезки. Образцы нагружались случайными процессами, отличающимися лишь коэффициентами срезки Кр. Заметим, что введение коэффициента срезки существенно не меняет основных статистик процессов и их корреляционных функций. Процессы с различными коэффициентами срезки можно считать статистически эквивалентными и, следовательно, неразличимыми с точки зрения статистики.

t-i *2 5000 10000 t3 t4i5000 Время,с

Рис. 6. Влияние коэффициента срезки Kp на длительность роста усталостных трещин

Из рис. 6 видно, что появление экстремальных значений напряжений в моменты времени t1 и t2 приводит к существенному уменьшению скорости роста трещин в образце, нагруженном случайным процессом с коэффициентом срезки Kp =5. Сопоставление графиков развития трещины и огибающей процесса нагружения свидетельствует о взаимосвязи скорости роста трещин и значений максимальных напряжений в соответствующие моменты времени. Сглаживание огибающей за счет уменьшения коэффициента срезки ведет к изменению формы кривых роста трещин. Так графики, полученные при случайном нагружении с коэффициентами срезки Kp = 2 и 2.5, различаются отсутствием локального изменения кривизны. Длительность роста трещин при этом минимальна. Таким образом, длительность развития трещин определяется, с одной стороны, интегральными параметрами спектральной плотности случайного процесса, определяющими количество подведенной в единицу времени энергии, а с другой, - распределением ординат процесса в области экстремальных значений и упругопластическими свойствами материала. При этом распределение подведенной энергии по частотам (для случайных процессов определяется коэффициентом нерегулярности) становится характеристикой второстепенной, что подтверждают графики роста трещин при различных значениях ж, приведенных в работе [7].

Уменьшение коэффициента Kp приводит к срезке плотности распределения ординат процесса. На рис. 7 представлены плотности распределения воспроизводимых в испытаниях гауссовских процессов распределения. Для узкополосных гауссовских процессов плотность распределения экстремумов аппроксимируется плотностью распределения Рэлея (кривая 1 на рис. 7). Как видно из рис. 7, операция срезки приводит к последовательному исключению редких экстремальных значений, способных создать в вершине трещины развитые области остаточных пластических деформаций, приводящие к торможению роста трещины в процессе дальнейшего нагружения. Поэтому остаточная долговечность при случайном нагружении существенным образом связана со значением коэффициента срезки Kp. Сопоставимые (имеется в виду возможность проведения аналогий между блок-программным и случайным нагружениями) результаты приведены в работе [8]. В этой работе исследовалось влияние высоких уровней напряжений в типовых блок-программах нагружения типа TWIST и FALSTAFF на циклическую трещино-стойкость образцов из сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6.

о

о

л

I-

о

о.

ф

со

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

1*. Ч

3 ' 1 > 4 \

а / / , р Л ' ' V г \ \ > \ \ ' ^ ч

"О II 1 го / 1 / ,ч / 4 ' 1 ' \ N . \ \ \ 4 \ Ь ’ ^КР=2 а 1Кр=3

/ р / / / / ' / / \\ ° ч чч V

Г. ЙГ- У у У ? / ''58

-2 -1 0 12 3 4

Нормированные максимумы (ав&'МуЭ

Рис.7. Плотность распределения максимумов случайных гауссовских процессов с различными коэффициентами широкополосности: 1 - ж = 0,94, 2 - ж = 066, ж = 0.52

Процессы с коэффициентом срезки Кр=2 будем называть базовыми. Как видно из приведенных результатов и данных работ [7,9,10], испытания при базовых процессах нагружения дают максимальные скорости роста тещин. Расчет длительности роста трещин идет в запас. Этот факт очень важен при расчетах высоконадежных машиностроительных конструкций и, в частности, конструкций самолетов гражданского назначения. В связи с этим лабораторный эксперимент по оценке живучести образцов конструкций при случайных режимах нагружения целесообразно проводить с применением срезки уровнями М± КрБ. Это позволит экспериментально получить характеристики живучести и параметры циклической трещинностойкости для критической оценки длительности развития трещины в эксплуатационных условиях. Введение операций срезки позволяет представить результаты эксперимента в виде общепринятых диаграмм циклической трещиностойкости с линейными участками, поскольку эффекты локального изменения скорости минимальны.

Обсуждение результатов экспериментальных исследований

Идея, положенная в основу расчетов длительности роста трещин при случайных нагрузках, заключается в следующем. Поскольку при базовых режимах скорости роста трещин максимальны, а эффекты взаимодействия циклов минимальны, то на первом этапе имеет смысл провести расчет долговечности по линейным моделям при базовых нагрузках. Если при расчетах по линейным моделям включать пиковые нагрузки, то оценки получатся слишком консервативными. На втором этапе можно повести уточнение расчетов путем учета экстремальных нагрузок с использованием нелинейных моделей.

В настоящей работе проводилась проверка возможности использования в расчетах длительности роста трещин уравнения Пэриса-Эрдогана с использованием эквивалентного коэффициента интенсивности напряжений

а / ж = сак

т

экв

АК „в =АОкв„РпF

В соотношениях (2): С и т-параметры модели; F - поправочная функция, учитывающая

геометрические особенности образца; I - длина трещины; А&экв - эквивалентный размах напряжений. Эквивалентный размах напряжений рассчитывался по трем формулам: 1) через стандартное отклонение процесса - А&Жв = 2^2£; 2) через среднее значение размахов случайного

процесса - А&экв ~А&сх; 3) через среднеквадратичное отклонение размахов процесса -

А&экв = л/а^сх . Под размахами процесса А&сх понимаются размахи, полученные схематизацией случайного процесса методом дождя.

ДКе™,МПа м

АКеЧу,МПа м

а

б

Рис. 8. Диаграмма циклической трещиностойкости при случайных базовых нагрузках и соответствующих нагрузках с постоянной амплитудой: а - случайное нагружение и нагружение с постоянной амплитудой: • узкополосный процесс; о широкополосный процесс;  гармоническое

нагружение А^эк. = 2425 ; б - случайное широкополосное нагружение и нагружение с постоянной амплитудой: • о широкополосный процесс;  гармоническое нагружение; • а°э. ='1А°1; О А^экв =А^сх ; в - случайное узкополосное нагружение и нагружение с постоянной амплитудой: • о узкополосный процесс;  гармоническое нагружение; • Ааэкв =^АаСх ; о А&Жв = Аасх

в

На рис. 8 приведены экспериментально полученные диаграммы циклической трещиностойкости образцов толщиной 3 мм из сплава Д16АТ при базовых случайных режимах нагружения и

нагружения с постоянной амплитудой. При построении диаграмм по А&Жв = 2^2£ (рис. 8 а) число циклов N отождествлялось с числом «положительных нулей» процесса (рис. 4). При построении диаграмм по А ^экв А °сх и А°эКв = л[АК число циклов N отождествлялось с числом полных циклов, полученных схематизацией методом «дождя». Для наглядности экспериментальные зависимости на рис. 8 аппроксимированы сплошными линиями. Как показал анализ изломов разрушенных образцов, точки перелома на графиках соответствуют смене механизма разрушения в процессе развития трещины усталости (переход от условий преимущественно плоского деформированного состояния (трещины нормального отрыва) к плоскому напряженному состоянию).

На рис. 8 приведены диаграммы циклической трещиностойкости базовых узко- и широкополосных случайных процессов и статистически эквивалентного (в смысле равенства, формально подсчитанного стандартного отклонения) гармонического нагружения. В этом случае для режимов случайного нагружения размах КИН вычисляется по формуле (3). Диаграмма циклической трещиностойкости для гармонического нагружения построена по результатам испытаний образцов при амплитуде оа= 40 МПа ~ л/25. Сравнение диаграмм показывает, что этот метод расчета дает верхнюю оценку скорости роста трещин. Развитие усталостных трещин при эквивалентном нагружении с постоянной амплитудой оа проходит в 1,2...1,5 раза интен-

сивнее, чем при узкополосном случайном и в 1, 7-2 раза интенсивнее, чем при широкополосном режиме нагружения.

Рис. 8 б, в иллюстрируют экспериментальную проверку возможности применения расчетных

методов, основанных на вычислении ДКэкв через а&ж. = А&сх и А&экв =у]А&Сх . Диаграмма циклической трещиностойкости при нагружении с постоянной амплитудой построена по результатам испытания образцов оа= 20 МПа (рис. 8 б) и оа= 30 МПа (рис. 8 в), как наиболее близко соответствующих среднеамплитудным значениям схематизированных широко - и узкополосного случайных процессов соответственно. Результаты свидетельствуют, что для узкополосного процесса

применение в расчетах ДКэкв соотношения А ^экв А °сх дает хорошую оценку скорости роста трещин при случайном нагружении. Для широкополосного процесса верхнюю границу скорости

роста трещин дает соотношение А°эКе =л1А^2 , а нижнюю - соотношение А@'экв А^сх .

Заключение

В целях устранения неопределенности результатов испытаний и обеспечения их единообразного представления в виде диаграмм циклической трещиностойкости рекомендуется случайные нагрузки ограничивать уровнями М±2Б. Такие нагрузки предлагается называть базовыми. Базовые нагрузки дают консервативные оценки длительности роста трещин. Для оценок длительности роста трещин при базовых процессах нагружения возможно использование линейных моделей кинетики трещин типа Пэриса-Эрдогана с введением эквивалентных размахов коэффициента интенсивности напряжений. Использование при расчетах ДКэкв размаха напряжений А&жв = 2^2£ дает верхнюю оценку в скорости роста трещин как для узкополосного, так и для широкополосного процессов. Накопление повреждений в этом случае проходит в 1,2.2 раза интенсивнее. Для узкополосных процессов хорошие результаты (погрешность порядка 5. 10% в лабораторных условиях) дают расчеты при эквивалентном размахе напряжений через

среднеамплитудное значение случайного процесса А^экв = А^сх соответственно. Для широкополосных процессов расчеты длительности роста трещин при использовании линейных моделей с вычислением скорости роста трещин по числу циклов дают меньшую точность по сравнению с узкополосными процессами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Злочевский А.Б., Левин О.А., Махутов Н.А. Оценка роста скорости трещины при воздействии случайных нагрузок // Заводская лаборатория, 1984. - Вып. 28. - №12.

2. Болотин В.В. О критической длине трещины под действием случайных нагрузок // Известия АН СССР Механика твердого тела, 1980. - Вып. 29. - №1.

3. Стреляев В.С., Никонов В.В., Бойков В.М. Экспериментальное исследование роста усталостных трещин под воздействием усталостных нагрузок в элементах конструкций с начальным повреждением // Заводская лаборатория, 1987, - №12.

4. Никонов В.В. Влияние случайных нагрузок в спектре случайного нагружения на развитие трещин усталости // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2007. - №123.

5. Broek D. and Smith S.H. The production of fatigue crack growth under flight-by-flight loading // Engineering Fracture Mechanics 11 (1978).

6. Okamura H., Sakai S. and Susuki I. Cumulative fatigue damage under random loads Fatigue & Fracture of Eng. Mat. & Structures. 1 (1979).

7. Progress in flow growth and fracture toughness Testing ASTM STP 536 (1973).

8. Chaudhury G.K. and Dover W.D. Fatigue analysis of offshore platforms subject to sea wave loading. Int. J. Fatigue 17 (1985). - №1.

9. Schjve J., Vlutters A.M., Ichsan, Provo Kluit J.C. Crack growth in alluminum alloy sheet material under flight-simulation loading Int. J. Fatigue 17 (1985). - № 3.

10. Nikonov V.V. Crack growth life under random loading. Second International Conference on Material and Component Perfomance under Variable Amplitude Loading (2009), Volume 1.

USING MODELS OF PARIS-ARDOGAN FOR PREDICTION OF AIRCRAFT STRUCTURES FAILURE

Nikonov V.V., Shapkhin V.S.

This paper dealing with problems of crack propagation and linear models of failure.

Key words: crack propagation, cyclic loads, linear models of failure problems.

Сведения об авторах

Никонов Валерий Васильевич, 1953 г.р., окончил МГУ (1976), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой двигателей летательных аппаратов МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - прочность и живучесть летательных аппаратов.

Шапкин Василий Сергеевич, 1961 г.р., окончил МИИГА (1984), доктор технических наук, профессор, Генеральный директор ГосНИИ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - эксплуатация воздушных судов, прочность летательных аппаратов.