Исследование влияния функций относительных проницаемостей на погрешности каждой из двух осредненных моделей двухфазной неизотермической фильтрации с помощью вычислительного эксперимента

УДК 532.546

С. П. Плохотников, О. И. Богомолова, Е. Н. Белова, В. А. Богомолов, А. С. Климова

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ФУНКЦИЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ НА ПОГРЕШНОСТИ КАЖДОЙ ИЗ ДВУХ ОСРЕДНЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ДВУХФАЗНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Ключевые слова: неизотермическая фильтрация, фазовые проницаемости, вычислительный эксперимент, осредненная

модель.

В работе проведен сравнительный анализ численных решений осредненных двумерных моделей с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями и лабораторными фазовыми проницаемостями, а также трехмерных моделей при неизотермической двухфазной фильтрации нефти в слоистых пластах.

Keywords:filtration, phase permeability.

The comparative analysis of two-dimensional models with the modified relative phase permeability and not modified relative phase permeability has done. Three-dimensional models are also carried out at not isothermal two-phase filtration of oil in stratified beds.

Введение

Осредненные модели традиционно применяют в численных расчетах, что позволяет снизить размерность рассматриваемой задачи на различных участках слоистого месторождения, что приводит к значительному упрощению численных

гидродинамических расчетов. Особенно в условиях недостатка достоверной геофизической информации на межскважинном пространстве.

В некоторых работах [1-8] при расчетах используют среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость и относительные фазовые проницаемости, полученные лабораторным путем.

Широко используют модель, основанную на схеме струй, впервые описанную в условиях двухфазной изотермической фильтрации для случая линейных лабораторных относительных

проницаемостей фаз В.Я. Булыгиным [9]. Позднееэта модель обобщена на общий случай нелинейных проницаемостей в работах [10-12]. При этом используют среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость и модифицированные проницаемости фаз, полученные с помощью поправочных коэффициентов.

В работе изучается двухфазное неизотермическое вытеснение нефти водой в рамках модели Баклея - Леверетта [9,10,11] при площадном заводнении в слоистом пласте. Рассматривался полосообразный пласт, который разрабатывается тремя скважинами, при этом нагнетательная - 1, а эксплуатационные - 2, если задан перепад давлений. При этом вычисления были проведены на основе трехмерной модели и двух осредненных по толщине пласта двумерных моделей слоистого пласта [10-12].

Цель работы - изучить погрешность каждой из двух осредненных двумерных моделей двухфазной неизотермической фильтрации в слоистых пластах относительно эталонных трехмерных решений при различных функциях исходных лабораторных

относительных проницаемостей фаз воды и нефти. Изучить численные решения осредненной двумерной модели со средними абсолютными проницаемостями и лабораторными

относительными проницаемостями фаз, а также -модели с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями, которые были получены раньше, при этом учтена модель струйного течения для равномерного вероятностного законараспределения абсолютной проницаемости пропластков изучаемого слоистого пласта. С помощью ВЭ (вычислительного эксперимента) провести сравнительный анализ и оценку погрешности двух осредненных моделей путем сравнения трехмерных и двумерных решений при двухфазной неизотермической фильтрации отдельно для горячего и холодного заводнений. При этом результаты численного решения трехмерных моделей принимаем как эталонные. Исследовать величину влияния вида функций лабораторных относительных проницаемостей на погрешности каждой из двух осредненных моделей двухфазной неизотермической фильтрации.

Представление математических моделей

В данной статье будем рассматривать двухфазное неизотермическое вытеснение нефти водой в рамках модели Баклея-Леверетта при площадном заводнении в полосообразном слоистом пласте. В нем - одна нагнетательная скважина в центре прямоугольника, а на противоположных краях - 2 добывающие скважины симметрично. В публикациях [10-12] представлены математические выражения модифицированных проницаемостей фаз для модели В, являющейся осредненной, двухфазной неизотермической фильтрации, которые основаны на поправочных коэффициентах струйного течения,кроме того, для модели C, широко применяемой в вычислениях. При помощи вычислительного эксперимента здесь исследуем величину погрешности этих двух осредненных

моделей в сравнении с эталонными трехмерными решениями - A7,A8 при горячем заводнении, а также и при закачке в пласт холодной воды. Все рисунки, приведенные здесь, отображают кривые только этих двух граничных эталонов, несмотря на то, что вычисления проводились для каждого из 8 эталонов, детально описанных в публикациях [11,12Ошибка! Источник ссылки не найден.].

В работе применяли известную математическую постановку трехмерной (х.у^-задачи двухфазовой неизотермической фильтрации с известными краевыми условиями работы [13]. Численные расчеты проводили на сертифицированном гидродинамическом симуляторе «Tempest» фирмы Roxar [14]. При численном решении задачи в целях сохранения «чистоты эксперимента» не учитывали потери тепла на подошве и кровле пласта.

Численные решения были сделаны для 8типов эталонной трехмерной модели и 2-х осредненных двумерных моделей. На всех приведенных рисунках № 1 - 4 имеются кривые двух вариантов решений трехмерной модели, определяющиеограничения сверху и снизу для данного показателя разработки.

Рассматриваемыетрехмерные (x,y,z) - модели:

1. ^4^-модель (с изолированными пропластками) - эталонное численное трехмерное решение задачи для десятислойного пласта с изолированными, с абсолютной проницаемостьюподчиняемой равномерному закону распределения. Было задано 10 пропластковс высотами Hi = H2 = H3 = H4... Ню = 1 м, которые изолированы один от другого непроницаемыми перемычками;

2. ^т-модель (с неизолированными пропластками) - повторяет предшевтсвующее решение, но уже с неизолированными пропластками. Были заданы 10 пропластков,которые гидродинамически взаимосвязаны, расположеных снизу - вверх так, - лучший (максимальное значение абсолютной проницаемости) рядом с худшим (минимальное значение абсолютной проницаемости), лучший из оставшихся рядом с худшим из оставшихся снизу-вверх и т.д.

Распределение абсолютной проницаемости по слоям в этих моделях приведено в таблице 1.Лабораторные функции относительных фазовых проницаемостей слоистого пласта KB

задаем в общем случае нелинейными, и они имеют параболический вид Кв $>Ква- f,

К„ P)=/V 1-5,7 Р) ^

Используемосредненные двумерные (x,y) -модели:

1. С-модель, и задача решалась с линейными и квадратичными и лабораторными относительными проницаемостями - Ke(S), KH(S) вида Ошибка! Источник ссылки не найден. и средней K =0.5дарси в двумерной постановке. Задавался по вертикали 1 пропласток, высотой H= 10м;

2. 5-модель, и задача была решена с модифицированными относительными

проницаемостями K^ (S), K% (S) вида (2) и средней

К=0.5дарси для равномерного закона распределения абсолютной проницаемости K(z) изучаемого слоистого пласта по пропласткам. Был задан 1 пропласток, высотой H= 10м.

K Ç)=KB ё>[1 + V-Jb- 1-Sn$) Л, K Ç)=Kh p>[1-V-fï-SnÇ)\,

sn £)= p-5. y ).

Вычислительный эксперимент

При численных расчетах внутри пласта использовались следующие модели:

трехмерные (x,y,z) - модели с равномерным распределением абсолютной проницаемости по пропласткам (таблица1);

двумерные осредненные модели со средней абсолютной проницаемостью.

Таблица 1 - Распределение проницаемости по слоям для трехмерных моделей для равномерного закона распределения, мдарси

Kl K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K Ki

45 55 35 65 25 75 15 85 5 95

При численном двумерном решении использовали конечно - разностную сетку из блоков, размерности 11x5x1, а при трехмерном решении -размерности - 11x5x10.

Значения расчетных физических параметров: 128 -начальное пластовое давление, атм; 30 - температура пласта, С;

100 (или 22) - температура закачиваемой воды, С;

1230 - глубина пласта, м;

50 - давление насыщения, атм;

1000 - плотность воды, кг/м3;

850 - плотность нефти, кг/м3;

55 - забойное давление на добывающей скважине, атм.;

170 - забойное давление на нагнетательной скважине, атм.

Рассматриваемые пласты имели следующие физические параметры:

КВ0=0.5 - максимальная ОФП (относительная фазовая проницаемость) воды; КН0=0.7 - максимальная ОФП нефти;

=0.8 - максимальная водонасыщенность на нагнетательной скважине;

5*=0.3 - минимальная остаточная

водонасыщенность; 5 - водонасыщенность, ^^^ 5 ; иН = 15.1 МПа - вязкость нефти; Ив = 0.77 МПа - вязкость воды; т= 0.2 - пористость.

В вычислениях внутри пласта была использована сетка из блоков: 11x5x10 (х,у^) для трехмерного случая, и 11x5x1 для двумерного случая.

Для слоистых пластов были взяты следующие физические параметры Н =10 м, ^ = 1 м

(у = 1Д0) , £ = 300 м., /С*= 0.5мкм2, (30°С) = 0, 77

мПа с, цн(30° С) = 15.1 мПа с, т = 0.3, 5* = 0.8,

8* = 0.3, с в = 1000

Яв =100 (Ккал/мс град), Ян = 75, Сн= 750 (Ккал/м3град), сп = 650,

увеличивает значения эталонов. График модели В представляет собой нижнее ограничение.

Тп = 70= 30°

С. Вязкости фаз

= 650, Я = 50,

выглядят следующим образом [1] ЦНТ)= 151/ Г- 20;, МвТ> 351 Г+15,7!

Их численные характеристики приводятся в таблице 2..

Таблица 2

Т (°С) ¡лн {мПа с] Мв {мПа с] Мн1 Мв

21 151 0.96 157.3

22 75.5 0.93 81.2

25 30.2 0.86 35.1

30 15.1 0.77 19.6

60 3.8 0.46 8.3

100 1.9 0.30 6.3

150 1.2 0.21 5.7

200 1.84 0.16 5.3

Результаты вычислений при горячем заводнениис температурой воды 100°С и при начальной температуре в пласте 30°С

На рис.1 и 2 приводятсякривые зависимости коэффициента нефтеотдачи от времени разработки для случаев линейных и квадратичных лабораторных проницаемостей фаз вида (1).

П

0.6

0.5

0,4 -

0.2

0.0

У/ // ✓ / / / / т ' 1 4

/ ш ш / / / / А 4

в

Я / ^модель модель

А,- А модель не и зал.

А - А модепь изоп.

О 100 200 300 400 500 600 700

Рис. 1 - Коэффициент нефтеотдачи, равномерный закон, горячее заводнение, линейные проницаемости фаз

На рис.1 и 2 графики эталонных трехмерных решений образуют множество, граничными значениями которого являются эталонное решение А8 - ограничение снизу, и решение А7 - ограничение сверху. Аналогичные результаты наблюдаем на графиках зависимости коэффициента нефтеотдачи и при кубических лабораторных фазовых проницаемостях.

В вилку, образованную графиками осредненных двумерных решений, хорошо вписываются кривые множества эталонов. В тоже время график модели С представляет собой верхнее ограничение и

п

0.5-

с > ш

/// Л // {¿¿л

// / в

/ С-« лодфль

/ в-модогц.

/ Аг А модель не нэол

/ А»" А ыадс'пь н:юп

О 200 400 €00 600

-..су '

Рис. 2 - Коэффициент нефтеотдачи, равномерный закон, горячее заводнение, квадратичные проницаемости фаз

Итоговая средняя нефтеотдача при отключении эксплуатационных скважин при достижении доли воды в потоке 98% для линейного, квадратичного и кубического случаев, рассчитанная по среднему значению границ эталонов, равна соответственно -48%, 42% и 38%. Это определяет достаточно большую зависимость коэффициента нефтеотдачи от исходного вида функций лабораторных относительных фазовых проницаемостей при горячем заводнении. При этом среднее значение коэффициента нефтеотдачи по двум осредненным моделям во всех трех случаях отличается от средней нефтеотдачи эталонов не более чем на 2%. Это дает возможность рекомендовать обе осредненные модели в совокупности для приближенных гидродинамических расчетов при горячем заводнении. В том числе и для проведения сравнительного анализа при различных видах лабораторных функций относительных фазовых проницаемостей.

Результаты вычислений при холодном заводнении с температурой воды 22°С и при начальной температуре в пласте 30°С

На рис.3 графики эталонных трехмерных решений образуют множество, граничными значениями которого являются эталонные решения А8, - ограничение снизу, и решение А7 - ограничение сверху. Аналогичные результаты наблюдаем на графиках зависимости коэффициента нефтеотдачи при нелинейных квадратичных лабораторных фазовых проницаемостях, - рис.4.

В вилку, образованную графиками осредненных двумерных решений, хорошо вписываются кривые множества эталонов. В тоже времяграфик модели С представляет собой верхнюю границу и увеличиваетт значения эталонов. График модели В представляет собой нижнее ограничение. Эти результаты для холодного заводнения полностью аналогичны результатам при горячем заводнении, приведенным выше.

Итоговая средняя нефтеотдача при отключении эксплуатационных скважин при достижении доли воды в потоке 98% для линейного, квадратичного и кубического случая, рассчитанная по среднему значению границ эталонов, соответственно равна -39%, 36% и 35%. Это определяет небольшую зависимость коэффициента нефтеотдачи от лабораторного вида функций относительных фазовых проницаемостей при холодном заводнении. При этом среднее значение коэффициента нефтеотдачи по двум осредненным моделям во всех трех случаях отличается от средней нефтеотдачи эталонов не более чем на 2%. Это дает возможность рекомендовать обе осредненные модели в совокупности для приближенных

гидродинамических расчетов в слоистых пластах и при холодном заводнении.

Л

Рис. 3 - Коэффициент нефтеотдачи, равномерный закон, холодное заводнение, линейные проницаемости фаз

П

Рис. 4 - Коэффициент нефтеотдачи, равномерный закон, холодное заводнение, квадратичные проницаемости фаз

ВЭ в данной работе был проведен для равномерного и экспоненциального вероятностных законов. Результаты вычислений и выводы для экспоненциального закона получились

аналогичными со случаем равномерного закона с

той лишь разницей, что границы вилок и для эталонных решений, и для осредненных решений получились более широкими. Это объясняется значительным различием в значениях коэффициента вариации слоистой неоднородности. Так, для равномерного закона он равен 0.57, а для экспоненциального - 0.94.

Выводы

Проведенный в работе ВЭ и его результаты позволяют рекомендовать обе осредненные модели в совокупности для приближенных гидродинамических расчетов двухфазной неизотермической фильтрации в слоистых пластах при площадном заводнении и проведения на их основе сравнительного анализа.

Литература

1. Слабнов В.Д. Методы математического моделирования и численного решения задач прогнозирования и оптимального регулирования процесса извлечения нефти (обзор) / Слабнов В.Д.// Вестник технологического университета: ж. КГТУ.- Казань, 2015 г., Т. 18, № 6, с.198-209.

2. Плохотников С.П. Методика построения модифицированных относительных фазовых проницаемостей в моделях трехфазной фильтрации в слоистых пластах/ Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Богомолов В.А., Белова Е.Н., Харина М.В., Низаев Д.Д.// Вестник Казанского технологического университета, 2013, т. 16, № 21, с. 287-289.

3. Плохотников С.П. Математическое моделирование неизотермической двухфазной фильтрации с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями/ Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Богомолов В.А., Плохотникова О.Р., Нурсубин М.С.// Вестник Казанского технологического университета. -

2013. - т. 16. -№ 21. -с. 122-124.

4. Плохотников С.П. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 1. - с. 63-67.

5. Плохотников С.П. Модифицированные ОФП в осредненных моделях фильтрации при закачке в пласт поли- мерных растворов различной концентрации / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И. // Вестник Казанского технологического университета. -2012.- т. 15.- № 1. - с.55-58.

6. Плохотников С.П. Оценка погрешности двух осредненных моделей при двухфазной неизотермической фильтрации для экспоненциального закона распределения/ Плохотников С.П., Богомолова О.И., Белова Е.Н., Богомолов В.А., Низаев Р.Х.// Вестник Казанского технологического университета. -

2014. - т. 17. - № 21. - с. 390-393.

7. Плохотников С.П. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению/ Плохотников С.П., Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 4. - с. 99-102.

8. Галимянов Ф.А. Численная реализация уравнения движения, кончика роста аксона нейрона, и выражения

для нахождения распределения концентрации вещества, в межнейронном пространстве/ Галимянов Ф.А., Гафаров Ф.М., ЕмельяноваН.А..//Вестник Казанского технологического университета. - 2014. - т. 17. -№ 23. -с. 397-399.

9. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта/ В.Я. Булыгин - М.: Недра, 1974. - 232 с.

10. Плохотников С.П. Осреднение трехмерной модели двухфазной фильтрации при закачке в пласт полимерно-дисперсных систем/ Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012.- т. 15. - № 1. -с. 63-67.

11. Плохотников С. П. Модифицированные офп в осредненных моделях фильтрации при закачке в пласт полимерных растворов различной концентрации/

Богомолов В .А., Белова Е.Н., Богомолова О.И.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 1. - с. 55-58.

12. Плохотников С.П.Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 4. - с. 99-10267.

13. Методические указания по созданию постоянно действующих геолого- технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений. (Часть 2. Фильтрационные модели). - М.: ВНИИОЭНГ, 2003. -228с.

14. Tempest - MORE. Руководство пользователя, версия 6.3, Roxar, 2006. - 373с.

© С. П. Плохотников - д.т.н. проф. каф. ИПМ КНИТУ, plokhotnikov@kstu.ru; О. И. Богомолова - асс. той же кафедры; Е. Н. Белова - асп. той же кафедры; В. А. Богомолов - к.т.н., доц. той же кафедры, bogomolov@kfti.knc.ru; А. С. Климова -к.т.н., доц. той же кафедры.

© S. P. Plohotnikov - doctor of technical sciences, professor, Department of Informatics and Applied Mathematics, KNRTU, plokhotnikov@kstu.ru; O. 1 Bogomolova - assistant, the same Department; E. N. Belova - post-graduate student, the same Department; V. A. Bogomolov - PhD, associate professor, the same Department, bogomolov@kfti.knc.ru; A. S. Klimova - - PhD, associate professor, the same Department.