Математическое моделирование в технологии профилирования дисковых затыловочных инструментов

УДК 621.9.02

Математическое моделирование в технологии профилирования дисковых затыловочных инструментов

Ю. М. Панкратов

Описано математическое моделирование при проектировании дисковых инструментов для изготовления червячных фрез с помощью разработанного автором метода, для чего требуется составить только функцию преобразования, что намного проще, чем, например, при использовании метода профильных нормалей или кинематического метода.

Ключевые слова: профилирование, дисковый инструмент, червячная фреза, профильный угол, задний угол, режущая кромка, абразивный круг.

Профилирование дисковых инструментов для затылования червячных фрез (обычно ими являются абразивные круги) относится к одной из наиболее сложных обкатных задач. Объясняется это тем, что в процессе за-тылования каждого зуба межосевое расстояние а между затыловочным инструментом и фрезой изменяется, вследствие чего изменяется форма контактной линии между кругом и зубом фрезы. Поскольку точность фрезы определяется ее режущей кромкой, то для каждой точки режущей кромки необходимо найти такой угол обката, при котором постоянно изменяющаяся по форме контактная линия пересечет эту точку. Решать эту задачу методом профильных нормалей сложнее, так как ось дискового инструмента при обработке каждого зуба становится «плавающей», поскольку межосевое расстояние при обработке каждого зуба изменяется. При решении этой задачи кинематическим методом скорость относительного движения также станет переменной из-за изменения межосевого расстояния. Ниже изложено решение этой задачи аппроксимационным методом [1, 2 ], для чего потребуется составить только функцию преобразования, которая тоже будет зависеть от межосевого расстояния а, но составить ее гораздо проще.

Решение этой обкатной задачи для заты-лования червячных фрез для нарезания цилиндрических зубчатых колес не очень актуально, поскольку они, как правило, являются линейчатыми, имеют большие диаметры и, как следствие этого, небольшие углы подъема. Разность углов подъема винтовой нарезки на головке и ножке зубьев у них также небольшая. Совсем другая ситуация у червячных фрез для нарезания червячных колес. Объясняется это тем, что размеры фрез должны копировать червяки, которые будут находиться в зацеплении с этими колесами, и размеры их могут быть относительно малыми, а углы подъема, особенно у многозаход-ных фрез, — большими. Кроме того, у всех этих фрез разность углов подъема спирали на головке и ножке зубьев также весьма значительная.

Уже давно используемое для нарезания червячных колес архимедово зацепление ZA [4] потому и получило такое широкое распространение, что оно является линейчатым, что намного упрощает его изготовление и контроль, хотя нагрузочная способность такой червячной передачи самая низкая. Более высокую нагрузочную способность имеет эвольвентное зацепление ZI. Трехзаходная червячная фреза для нарезания червячных колес с эвольвент-

Рис. 1

Рис. 2

ным зацеплением показана на рис. 1. Хотя сама эвольвентная винтовая поверхность и является линейчатой, но у червячных фрез с большими углами подъема винтовой нарезки и большими углами наклона стружечной канавки режущие кромки являются существенно нелинейными пространственными кривыми и поэтому вполне обоснован подход к ним уже как к нелинейчатым зацеплениям.

Еще более высокую нагрузочную способность имеют червячные передачи с тороидальными зацеплениями ZT1 и ZT2 [4], превосходящую архимедово зацепление в 1,5-2 раза, что уже доказано как теоретически, так и практически. Червячная фреза для нарезания червячных колес с тороидальным зацеплением ZT1 показана на рис. 2. Их широкое внедрение также сдерживается тем, что они

являются нелинейчатыми, что усложняет их изготовление и контроль, а также расчет и точную установку инструментов второго порядка для их затылования. Поэтому задача точного профилирования затыловочных кругов для нелинейчатых червячных фрез, особенно для нарезания червячных и спироид-ных колес, является актуальной.

Определим параметры затыловочного движения на примере зуба нелинейчатой фрезы, например типа ZT (рис. 3), хотя все нижесказанное можно полностью перенести на любой профиль. Задний угол аа для фрез обычно задают на окружности выступов фрезы с радиусом га (рис. 4). Для расчета параметров затылования требуется знание заднего угла ап в нормальном сечении к профилю. В качестве нормального сечения обычно принимают сечение, ортогональное к линии винтовой нарезки на делительном цилиндре, если он известен. В противном случае радиус такого цилиндра можно принять равным некоторому среднему радиусу гт точки т, разделяющей высоту профиля пополам:

га + г

I

где гI — радиус впадин профиля.

Рис. 3

Рис. 4

г = 'т

2

Зная профильный угол в в точке m, нормальный задний угол an можно определить как

r

tg an = — tg aa sin |P|.

rm

Здесь и далее используется модуль профильного угла в, так как для правой стороны профиля он будет отрицательным.

Падение затылка в нормальном к профилю сечении должно быть (см. рис. 4):

2 prm Kn = tg a z10

n

где ^10 — число зубьев фрезы.

Для достижения большей универсальности выводимых зависимостей будем рассматривать наиболее общий случай затылования, а именно — косое затылование, направленное под углом х к оси уъ (см. рис. 3 и 4). Падение затылка косого затылования должно быть:

Kn

K = n

cos m

где m = Р/2 - (t + |в|).

После подстановки m получим:

K=

K

Радиальная Kp и осевая Кос составляющие косого затылования будут соответственно:

Kp = Kcos t; Кос = Ksin t.

Pp =

rm tg an sin

cos t; Poc =

rm tg an sin

sin t.

Перейдем теперь непосредственно к выводу функции преобразования в профильную плоскость затыловочного круга. Пусть известен исходный профиль гь основного червяка в произвольном сечении под углом 1 к торцу фрезы (см. рис. 3). Запишем этот профиль в систему Б^ связанную с торцевым сечением: гг = Млгъ, где Мл — матрица перехода от системы Бъ к системе Бг,

Mtb =

После преобразований (см. рис. 3):

cos l 0 - sin l 0

0 1 0 0

sin l 0 cos l 0

0 0 0 1

xt = Хь cos l;

yt = уь ;

zt = Xb sin l.

По аналогии с винтовым параметром р введем понятие параметра затылования как величину падения затылка К, приходящуюся на 1 рад поворота фрезы. Тогда параметры радиальной Рр и осевой рос составляющих за-тылования будут соответственно:

p = p = Koc Z01 .

PP 2 p ; Poc 2 p .

Подставим в (4) выражения (3), (2) и (1):

Свяжем с основным червяком систему Б1 (рис. 5). Тогда поверхность основного червяка можно записать как г1 = М^г^, где М^ — матрица перехода от системы Бг к системе Б1,

M1t =

р — винтовой параметр нарезки основного червяка фрезы.

В изображенных на рисунках примерах для правой винтовой нарезки основного червяка параметр р положительный, для левой нарезки — отрицательный. После преобразований:

cos j - sin j 0 0

sin j cos j 0 0

0 0 1 Pj

0 0 0 1

Х1 = xt cos j - yt sin j; У1 = xt sin j + yt cos j; Z1 = zt + p j.

Режущая кромка, лежащая на основном червяке, представляет линию пересечения основного червяка и прямого геликоида передней поверхности. Обычно для чистовых фрез винтовая линия передней поверхности ортогональна винтовой нарезке основного червяка на делительном цилиндре радиусом г. Зная винтовой параметр нарезки фрезы р, вычис-

лим угол ут наклона винтовои нарезки фрезы на среднем цилиндре радиусом гт:

У т = гт /Р.

Тогда винтовой параметр стружечной канавки, которая для чистовых фрез ортогональна винтовой нарезке основного червяка на делительном (или среднем) цилиндре,

Рг = Р ^§2Ут.

Запишем уравнение прямого геликоида передней грани, которую для чистовых фрез обычно изготовляют с нулевым передним углом. Тогда в качестве образующей этой грани примем вектор и, направленный вдоль оси у* системы с которой свяжем переднюю поверхность фрезы (рис. 5). В системе Б* образующую перед ней поверхности можем записать как

0

и 0

В системе 81 уравнение передней поверхности запишем как

Рис. 5

= М

1*'

где — радиус-вектор передней поверхности в системе основного червяка 81 (верхним индексом * будем обозначать принадлежность к передней грани фрезы в отличие от аналогичных обозначений для основного червяка в той же системе 81); М^ — матрица перехода от системы к системе 81,

М1* =

ф* — угловой параметр передней поверхности.

сов ф* - вш ф * 0 0

вШ ф* сов ф* 0 0

0 0 1 - Рг ф*

0 0 0 1

После преобразований:

х£ = - и вт ф*;

у1 = и сов ф*;

= - Рг Ф* .

Поскольку, как уже отмечалось выше, режущая кромка представляет линию пересечения основного червяка г1 и передней поверхности '1*, то приравняем левые части уравнений (7) и правые части уравнений (8) '1 = г*:

Х1 = - и вш ф*; у1 = и сов ф*;

г1 = - Рг ф* .

Избавимся от параметра ф*. Из первых двух равенств (9) вычислим угол ф* как

tg ф* = -

х1 У1

Подставив его в третье равенство (9), получим уравнение, трансцендентное относи-

тельно угла j, поскольку зависит от j [см. формулы (7)]:

Z1 = - Pz arctgl -

Xл

У1

Разрешив уравнение (10) относительно угла ф каким-либо итерационным методом и подставив ф в уравнения (7), вычислим координаты режущей кромки в системе используя которые можно продолжить формирование функции преобразования в профильную плоскость затыловочного инструмента.

Запишем координаты режущей кромки Г1 в промежуточную систему йа, совершающую затыловочное движение при обработке каждого зуба фрезы (рис. 6). Обозначим угловой параметр затыловочного движения как фз. При фз = 0° начало 0а координатной системы йа совпадает с осью У1 системы Будем считать, что при этом ось У1 проходит через расчетное сечение фрезы. Напомним, что при проектировании любых червячных фрез размеры профиля зуба обычно задают в расчетном сечении, проходящем на угловом рассто-

Линия затылочного движения центра 0а системы S,

янии (0,2 0,3)6 от передней грани так называемой новой фрезы, т. е. ни разу не переточенной, где угол 6 — торцевой центральный угол, приходящийся на один зуб фрезы. Будем сначала придерживаться этого правила и в нашем случае, хотя более подробно поговорим об этом позднее.

При фз = 0° примем расстояние между началами 01 и 0а систем Й1 и йа соответственно как начальное межосевое расстояние а. Его ориентировочное значение можно вычислить как

a = rf 1 +

Ra 0

cos 181

Рис. 6

где rfi — радиус впадин червячной фрезы в расчетном сечении (нижний индекс 1 указан потому, что червячная фреза в данной задаче является изделием, а не инструментом); Rao — наружный радиус проектируемого дискового инструмента (задается в исходных данных); 8 — угол скрещивания осей дискового инструмента и фрезы (более подробно будет рассмотрен ниже) (см. рис. 6).

При возрастании угла jз межцентровое расстояние будет увеличиваться на величину р^Ц>3 (см. рис. 6), а начало 0^ системы S^ будет смещаться вдоль оси Zi относительно начала 0a системы Sa на величину (p ± рос)j^ Здесь и далее в местах двойного знака верхний относится к правой стороне профиля, нижний — к левой. Правой стороной профиля будем считать профиль с положительным профильным углом в (см. рис. 4 и 6). Все рисунки и формулы выполнены для правого направления винтовой нарезки фрезы, для левого направления во всех формулах необходимо изменить знаки на противоположные перед винтовым параметром р и параметром осевой составляющей затылова-

ния Рос.

С учетом вышесказанного запишем режущую кромку в систему Sa: ra = Ma1r1 где Ma1 — матрица перехода от системы S1 к системе Sa,

М„1 =

сов фз вШ фз 0 0

- вш фз 0

сов фз 0

0 1

0 0

0

-

(Р ± Рос ) Фз 1

После преобразований:

сов у р 0 вт у р 0

0 1 0 0

- вт у р 0 сов у р 0

0 0 0 1

М0У — матрица перехода от системы Бу к системе $0,

М0 у =

сов 8 вт 8 0 0

- вт 8 сов 8 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ха = XI соЭфд - У1 эт ф3; У а = XI ф 3 + у-1 соб ф 3 - (а + рр ф3); (11) ^а = + (Р ± Рос ) Ф3 •

Введем в рассмотрение систему Бу, позволяющую реализовать одну из станочных наладок — разворот дискового инструмента на угол Ур (см. рис. 6).

Запишем режущую кромку в эту систему: г у = Муага, где Муа — матрица перехода от системы Ба к системе Бу,

Муа =

После преобразований:

^0 = Ху сов 8 + у у вш 8; У0 = -Ху вш 8 + у у сов 8;

г0 = гу.

Подставив вычисленные в (7) координаты режущей кромки в уравнения (11) и (13) и варьируя угол фз в (11) в некотором диапазоне, в системе Б0 дискового инструмента получим семейство траекторий для всех точек режущей кромки. Отобразив их круговой проекцией на профильную плоскость Бп дискового инструмента, получим семейство траекторий в профильной плоскости:

После преобразований:

2 + г0'

Ху = Ха сов у р + г,а вш у р; Уу = Уа;

гу = - Ха вт у р + га сов у р.

На некоторых затыловочных станках реализована еще одна станочная наладка — угол 8 скрещивания осей дискового инструмента и оси фрезы (см. рис. 6), которая позволяет уменьшить подрезание профиля, улучшить условия резания, увеличить стойкость, толщину и, следовательно, прочность затыловочных инструментов, особенно абразивных. Для придания большей универсальности выводимой функции преобразования включим в нее и угол скрещивания 8. С дисковым инструментом свяжем систему координат Б0, которая повернута вокруг оси гу на угол скрещивания 8. Для правой стороны профиля угол 8 будем считать положительным, для левой — отрицательным. Тогда режущую кромку в системе Б0 можно записать как Г0 = М0уГу, где

Используя подпрограмму аппроксимаци-онного профилирования, можно вычислить координаты профиля дискового затыловочно-го инструмента в профильной плоскости, при этом варьируемым угловым параметром при построении траекторий будет уже не угол ф, а угол фз. Варьируя его от начального фз.нач до конечного фз.кон значений с некоторым шагом Нз ф, на экране будут построены траектории.

Итак, окончательно функция преобразования для этой обкатной задачи для построения траекторий будет состоять из последовательности уже выведенных нами формул (6), (7), (10), (11), (12), (13) и (14):

Хг = Хь сов 1; Уг = Уь;

гt = Хь вш 1;

Х1 = Хг сов ф - Уг вш ф; У1 = Хг вш ф + Уг сов ф; г1 = гг + рф.

Вычислим угол ф из трансцендентного урав-

Х1 У1

нения г1 = - рг агс1§1 -

х0 = Xg cos8 + Уу sin8; íxn = x0;

Уо = -xgsin 8 + Ууcos 8; \уи = У + Z; z0 = zg;

*a = соэфз - i/iSinpg;

ya = sin<p3 + yx совф3 ~(a + Pp<f>3); 2a = 21 +(Р±Рос)Фз;

Xg = xa cos уp + za sin уp; Уу = Уа;

zy =- xa sin уp + za cos уp.

Проиллюстрируем использование аппрок-симационного метода и влияние станочных наладок на примере профилирования заты-ловочных кругов для червячной фрезы тороидального зацепления ZT1 с модулем т = 5 мм, коэффициентом диаметра червяка q = 9, числом заходов = 1, углом подъема спирали на делительном цилиндре уг = 6,34° и профильным углом а0 = 20°. Как известно, исходный профиль такого зацепления задается в осевом сечении дискового инструмента, обрабатывающего основной червяк, в виде участка дуги окружности с радиусом Ро, равным

делительному радиусу r основного червяка. Контактная линия между дисковым инструментом и поверхностью основного червяка является пространственной кривой, что, кстати, и считается основным недостатком этого типа тороидального зацепления. У зацепления ZT2 контактная линия является плоской линией [4], расположенной в плоскости осевого сечения круга, что позволяет сохранять профиль основного червяка неизменным при уменьшении диаметра шлифовального круга в результате его периодической правки из-за износа. В любом случае для определения профиля основного червяка необходимо сначала решить задачу профилирования винтовой поверхности основного червяка при выбранном варианте исходного профиля дискового инструмента. После решения этой задачи считаем, что нам известен профиль основного червяка rb в нормальном сечении под углом l = 90° - Уг к торцевому сечению в виде координат точек. Поскольку профиль достаточно плавный, то, чтобы не затемнять рисунки, ограничимся 11 точками. Исходный профиль основного червяка в нормальном сечении, введенный координатами точек, представлен на рис. 7.

Профиль затыловочного круга при заднем угле aa = 11° на окружности выступов фрезы

Lambda=83.G6 Gamma=83.6G Rq=22.5 Рис. 7

Alfa=11.0 Rao=35.G Краз=1.0 Tau=0.0 Delta=0.0 Рис. 8

Alfa=0.0 Rao=35.0 Краз=1.0 Tau=Ü.Ü Delta=Ü.Ü Рис. 9

Е ТАЛ Л О ОБ РАБО Т Kj

Рис. 10

для правой стороны зуба при радиальном за-тыловании (угол т = 0°), рассчитанный одноточечным минимаксным способом, показан на рис. 8. Насколько отличается профиль затыловочного круга от профиля дискового инструмента для шлифования основного червяка, можно визуально оценить по рис. 9. Сначала на экран был выведен профиль за-тыловочного круга, как и на рис. 8, и также заштрихован. Затем на этот же экран был выведен профиль круга, но при значении зад-

него угла aa = 0°, т. е. фактически профиль круга без затыловочного движения (на рис. 9 его контур не заштрихован). И это всего при заднем угле aa = 11°, при большем угле разница будет еще больше.

Пример затылования с разворотом круга на угол 5 скрещивания осей на затыловочном станке HSF-33B Klingelnberg левой стороны профиля зуба фрезы для тороидального зацепления ZT1 показан на рис. 10.

Литература

1. Панкратов Ю. М. Профилирование обкатных инструментов. СПб.: Политехника-сервис, 2010. 158 с.

2. Панкратов Ю. М. САПР режущих инструментов. СПб.: Лань, 2013. 336 с.

3. Панкратов Ю. М. Аппроксимационное профилирование обкатных инструментов / / Инструмент и технологии. 2000. № 2-3. С. 22-23.

4. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1968. 584 с.

5. Фрайфельд И. А. Инструменты, работающие по методу обкатки. Л.: Машгиз, 1948. 252 с.

АО «Издательство "Политехника"» предлагает:

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ В ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ

И ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

под редакцией В. В. Кузнецова

ISBN 978-5-7325-1048-5 Объем 378 с. Цена 520 руб.

Монография посвящена проблемам анализа, синтеза и моделирования сложных систем различной природы. Содержание материала соответствует разделу паспорта научной специальности 05.13.01 «Системный анализ управления и обработка информации». Материалы монографии сгруппированы так, что они удовлетворяют требованиям ученых при выполнении фундаментальных и прикладных исследований.

Монография рассчитана для использования учеными, специалистами-практиками, аспирантами при выполнении исследований и анализе больших, территориально распределенных технических систем, а также сложных проектов.

Принимаются заявки на приобретение книги по издательской цене. Обращаться в отдел реализации по тел.: (812) 312-44-95, 710-62-73, тел./факсу: (812) 312-57-68, e-mail: sales@polytechnics.ru, на сайт: www.polytechnics.ru.