Моделирование процесса оптимального управления системой с распределенными параметрами

_05.13.00 ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

05.13.06

УДК 517.977.56:004.942

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМОЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

© 2019

Юлия Олеговна Савельева, аспирант

Самарский государственный технический университет

Аннотация

Введение: эффективность как отдельных автономных объектов, так и производственно-технологических комплексов в целом, существенным образом определяется системами управления. Особое внимание необходимо уделять температурному режиму: тепловыделение измерительных устройств, воздействие внешних тепловых потоков и т. д. Актуальной задачей является разработка системы температурного управления и стабилизации. Материалы и методы: в основу решения краевой задачи положен метод конечных интегральных преобразований с использованием функции Грина, предварительная параметризация управления осуществлялась с помощью принципа максимума Понтрягина. Определение оптимального управления осуществлялось на основе альтернансного метода в условиях интервальной неопределенности, вычислительный эксперимент был проведен в программном пакете Matlab.

Результаты: в рамках данной статьи построена функционально-ориентированная на управление упрощенная математическая модель температурного состояния пластины.

Обсуждение: дальнейшие перспективы определяются, прежде всего, ориентацией на определенную область промышленного использования, особенно важно для сфер, где техника работает в интервале высоких температур. Несмотря на актуальность изучения теплофизики процессов и технологий, фундаментальный ряд исследований влияния температурного фактора в системах с распределенными параметрами, большинство которых получило практическую апробацию, вопрос моделирования и оптимизации температурного состояния систем с распределенными параметрами в настоящее время остается в недостаточной степени раскрыт. Заключение: практически значимые задачи управления температурным полем автономного объекта могут быть решены с помощью условного разделения его на объекты канонической формы и вычислительных процедур, соответствующих описанной в статье методике.

Ключевые слова: альтернансный метод, метод конечных интегральных преобразований, оптимальное управление, параметризация, принцип максимума Понтрягина, система с распределенными параметрами, термодеформация, функция Грина, функция температурного распределения, Matlab.

Для цитирования: Савельева Ю. О. Моделирование процесса оптимального управления системой с распределенными параметрами // Вестник НГИЭИ. 2019. № 1 (92). С. 5-15.

SIMULATION OF THE PROCESS OF OPTIMAL CONTROL OF THE SYSTEM WITH DISTRIBUTED PARAMETERS

© 2019

Julia Olegovna Saveleva, the post-graduate student of

Samara state technical university, Samara

Abstract

Introduction: the efficiency, both separate autonomous objects, and production and technological complexes in general, essentially depends on control systems. Special attention should be paid to the temperature conditions: heat generation of measuring devices, the effect of external heat fluxes, etc. The development of the system of temperature control and stabilization is relevant.

Materials and Methods: the solution of the boundary-value problem is based on the finite integral transformation method with use the Green's functions method, the tentative parameterization of the control was carried out using the Pontryagin's maximum principle. The optimal control was determined on the basis of the alternance method in conditions of Indeterminacy, the simulation experiments was carried out in the software package Matlab.

Results: the control-oriented simplified mathematical model of the plate temperature conditions is constructed in this article.

Discussion: further prospects of this work are determined, first of all, by focusing on a specific field of industrial use, it is especially important for areas where the equipment operates in the range of high temperatures. Despite the relevance of studying the thermo physics of processes and technologies, fundamental researches of the influence of the temperature factor in systems with distributed parameters, most of which have received practical approbation, the question of modeling and optimizing the temperature condition of systems with distributed parameters is unresolved. Conclusion: practically significant problems of controlling the temperature field of an autonomous object can be solved using its conditional partition into canonical form objects and computational procedures corresponding to the method described in this article.

Key words: alternance method, finite integral transformations method, optimal control, parameterization, Pontryagin's maximum principle, distributed parameter system, thermal deformation, Green's functions method, temperature distribution function, Matlab.

For citation: Saveleva Ju. O. Simulation of the process of optimal control of the system with distributed parameters // Bulletin NGIEI. 2018. № 1 (92). P. 5-15.

Введение

Неравномерное и нестационарное тепловыделение измерительных устройств автономного объекта, а также внешние тепловые потоки, направленные на него, могут вызвать термодеформацию, что влечет за собой не только погрешности измерений, но и может привести к авариям или катастрофам [1; 2], поэтому особую значимость представляет точное определение температурного режима и оптимальное управление процессом нагрева. Любой отдельный элемент конструкции автономного объекта можно представить объектом (или совокупностью объектов) канонической формы, что позволит упростить процедуру вычисления функции температурного распределения объекта. Реальные технические объекты имеют пространственную протяженность, которую необходимо учитывать при моделировании наряду со временем, поэтому оптимальное проектирование и управление системами с распределенными параметрами (СРП) намного сложнее, чем системами с сосредоточенными параметрами (ССП) [3; 4; 5].

Теория решения краевых задач теплопроводности методом разделения переменных (метод Фурье) наиболее полно изложена в работах А. В. Лыкова. Оптимизация систем с распределенными параметрами отражена в трудах А. Г. Бутковского и А. А. Фельдбаума, А. И. Егорова, Ю. В. Егорова. Применение функции Грина, использующейся при расчетах, - Э. Я. Рапопорт, В. А. Диткин и А. П. Прудников, Г. Карслоу и Д. Егер. Альтер-нансный метод, использующийся для СРП, - работы Э. Я. Рапопорта, М. Ю. Лившица, Ю. Э. Пле-шивцевой.

Данная статья посвящена вычислительным алгоритмам и методикам расчета температурного

состояния объекта управления с распределенными параметрами. Решения краевой задачи осуществляется на основе метода конечных интегральных преобразований (широко применяющегося в инженерных расчетах) с использованием функции Грина, связанного с методом разделения переменных. Для параметризации управления используется принцип максимума Л. С. Понтрягина. Вычислительный алгоритм поиска распределенного управления базируется на альтернансном методе [6], который реализован в программной среде Matlab.

Материалы и методы Постановка задачи оптимального управления В данной работе в качестве объекта управления рассматривается пластина без внутренних источников тепла с граничными условиями второго рода [7], процесс нагрева изображен на рисунке 1.

Рис.1. Нагрев пластины Fig. 1. Heating plate

Объект управления:

ôt(х, t) . a2т(x, t) . cy—-—--л-4—- = 0,

ôt

ôx2

при t g (0; œ).

Дополняем уравнение (1) начальным и граничными условиями:

T

где

dT

dx

= T0 w = 0 .

dT

dx

dT

= 0;

x=0

dx

q

Уравнение (3) - условие симметрии относительно центра х = 0 пластины толщиной 2L, которое позволяет рассматривать только половину тела, т. е. x е (0; L) . Желаемое температурное распределение

ГТ1**

равно T .

Управление нагревом осуществляется по граничным условиям, имеет ограничение:

" Umax < U = q

Критерий оптимальности записан в интегральной форме, рассматривается задача оптимального быстродействия:

I = J dt

= t ^ min,

где гк - конечное время нагрева.

Необходимо найти оптимальное управление и (г) и соответствующее ему оптимальное пространственно-временное распределение температуры Т *( х, г) .

Аналитический метод расчета теплопроводности

Преобразуем уравнение (1):

дТ

dt

cy dx2

dT

дг дх2

Представим функцию состояния T(x,t) в виде уравнения с помощью метода разделения переменных (метод Фурье) [8]:

T (x, t) = ^ Zn (t р„ (x),

где (г) - функция, зависящая только от времени, (рп (х) - функция, зависящая от пространственных

координат.

Подставим (9) в уравнение (8):

Z (t )р( x) = az (t)V 2р( x) и запишем в виде:

Z

= a-

z

P

Разделим обе части уравнения (11) на

z(t Жx):

1 dz

= a

z(г) Лг ((х) dx при г > 0, 0 < х < Ь.

Левая часть равенства (12) зависит только от времени или может быть константой, правая часть зависит от координат или может быть константой, следовательно, равенство выполняется, если правая и левая части уравнения равны некоторой постоянной к

Составим систему: dz

= kz(t),

dt

d V(x) , ( л a ——;— = kp( x),

dx

t > 0

0 < x < L

dz

= k;

= kdt; z(t) ;

ln( z(t)) = kt; z(t) = D  ekt. Пусть k = —p2, тогда:

z

Из уравнения (18) следует, что константа k должна быть отрицательной, иначе решение (9) будет возрастать во времени, что, касательно процесса распространения тепла теплопроводностью, не возможно из физических соображений.

Найдем собственную функцию задачи Штурма-Лиувилля с учетом того, что ядро ((р, х) должно удовлетворять однородным условиям [9]:

a d <р(р,x) = —x), 0 < x < L dx •

dp(u, 0) = 0 dp(p, L) = 0 '

dx

dx

d 2р(ц, x) u2 .

-2-=--~P(U, x).

Лх а

Решение уравнения (20) обозначим как М и

Пусть известно М(р, х) = оо8(-р х) , тогда:

л/а

М1 (р, х) = М (р, х)| М (р, х)Лх =

= С08(-р х) [-—-=

^ 008^ х) л/а

= С08(р х) * - гg(р). л/а р -4а

л/а

x=L

0

n=1

а

М

м (м, х) =-б1п(^= х).

М

Обозначим С = —а С':

4а

, л/а .

М М

М

ср(х) = С' — х) + Д соб(^= х) =

М

"л/а

= С 81п(^= х) + Д соб(^= х). л/а л/а

Определим собственные функции и собственные значения, используя формулы (2.495-2.496) в

[3]:

р(М,х) =

дм1

дх

-М (м, х) --

дх

М1

= сов'(М х0) = -М В1п(М х0); (25) ох л/а л/а л/а

дМ1(м,х0) ыа . , , М ч / М ч

-= ~ 81П'

ох М у/а л/а

р

л/а л/а л/а С учетом симметричности нагрева распределение температуры должно описываться четной функцией:

р(М, х) = соз(-М х);

ыа

М этСм X) = 0.

л/а

Определяем:

М„ =-ли, и = 1,2,3...

Мо = о, и = о

,х

р (м , х) = соб(— ли), и = 0,1,2,3...

Находим квадрат нормы собственных функций - множитель Еп:

Е_ =

1

\Р

Е =\

и

Находим:

—, и = 1,2,3... 12а

и = 0.

1

Ри (Ми, х) = ~етр (Ми, х);

Е

12а х

рп

V X X

Ро(Мо, х) = -1 р'СМ х);

Е

а

п'

Ри (Ми , х) = ,/-, и = 0,

уравнения (35) и (37) - система нормированных собственных функций.

Конечное интегральное преобразование:

_ х1

Т (мп, х) = | Т (х, t )р(м, х)г (х)дх. (3 8) х0

Искомое конечное интегральное преобразова-

ние:

— ь 1 х

Т

аЕ Ь

Применяя интегральное преобразование к уравнению объекта (8) с краевыми условиями (3-4), получаем дифференциальное уравнение по переменной t в пространстве изображений:

оТи ^, о =-мп2Т и

дХ

При рх= 0

g1 = )/1

1

И(м ) = С( х)г(х) = а — = 1 , находим функцию

а

Я(М„, Х) - слагаемое, определяемое граничными условиями, по формуле:

я

Ро

ДМ, Х) = ^ Ь

Искомое значение функции R:

Я

ДМ, Х) = 0;

Дм, Х)=^ )=Цит1;

Rl(Мо,Х) =

д

X 1

Управление:

«1(Х) = ^). Коэффициент при ^ (Х):

= ^^ Ри (Ми, х1);

Р

д1и =

ад

Р

2а ,х

Ри

о

о

Найдем функцию Грина Оп [4; 10; 11], которая является решением уравнения (40):

G+р G * = ^ ).

ат

После применения преобразования Лапласа к уравнению (51) получим:

рвп *

Из (52) получим изображение Лапласа функции Грина:

1

Gn (Pn , Р) =

2 '

Р + Р

Оригинал функции Грина:

* 2 G

Gn(p0,t) = 1, n = 0. Функция температурного состояния:

T ( xt ) = Z Tn (P, t M (P, x);

да f

T

+To(0)(Pn )Gn'(Mn, t ));

T ( x, t ) = ф0 (р0, x )f *(P,

,t)G0 (р0,t-T)dT +

0

L

V0 (P,x) fT0(0) (—G (р, t)^0 (P,—)r(—)d— +

0

да t

+ Z ^n (Pn , x)f Ä(Pn , t)GJ (Pn , t - T)dT +

n=1 0

да L

Z?n (P, x)f T^—GÏP, t )Pn (Рп —r —)d—

n=1 0

T ( x, t ) = .

£ ат+£ J4 a

d—+

+ ±ßa cos^an)J

n=i V L L n Я V L

n=1 > L L 0

Последнее слагаемое в (59) равно 0, т. к.:

0 L

Te — cos—ж)*1 d—.

'— cos(—, L L

1

a

L (Z LE.

f cos(—m)d— = — sin(—^n) J T. m L

= L (sin(^n) - sin(0)) = 0.

Поэтому температурное распределение имеет

вид:

+ -

T ( x, t ) = — f q(T)dT + T0 +

Lcr 0

да y ^

Z cos(— ш)(-1) ne J q(j)eP"TdT.

Loy n=1 L

Поиск оптимального управления

Поставлена задача оптимального быстродействия при min tk и s =s2ad =£0 [12; 13; 14]:

T|t = Tzad ± Szad , где Tzad = T"

Используем для определения оптимального

*

управления u1 (t ) по граничному условию принципа максимума Понтрягина.

Функция Понтрягина в общем виде:

N

H

n=0

N

н

п=1

где /0(Т, и, г) = 1.

Принцип максимума [15]. Если и*(г) и Т* -решение (1-5) на минимум функционала (6), то существуют такие не равные одновременно нулю константа у0 (г) < 0 и решение

у* (г) = (у * (г), У * (г),.. .у/ (г)) сопряженной системы, при и(г) = и* (г) , что в каждый момент времени г е [0, гк ], кроме точек разрыва и* (г) , функция Н(и) = Н(Т *, и, у , У, г) переменной и достигает

максимума на допустимом множестве при u = u : max

u eU

— * * * —к * * к //""ОЧ

H

Модальное описание ОРП на основе уравнения (3.9) в [16]:

dTn [р 't) =-Pn2Tn (Pn, t) + а^Щ (t). (64) dt

Из уравнений Эйлера:

=-z

dt j=0 dT n

Находим нашу сопряженную систему уравне-

ний:

d^0 _ д

dt dT0 0 dT 0 j '

d^j = 9(1) d(-Pn TnPt) + dinui(t))^ (67) dt dT 0 dTn j

Сопряженные функции находятся из дифференциальных уравнений:

dyj 9H 2

= -^Т = Р, Vi.

dt ÔTn rj j Сопряженные переменные находятся из уравнения (67):

Vn

n=0

L

0

0

2

0

Линейная относительно управляющего воздействия функция Понтрягина:

~ — N 2 —

Н

N

+ '"и (Хк-Х)^1ии1 (Х).

п=О

Условие

при и* (Х) приводит к определению управления в форме релейной функции времени:

и.

и (Х) = -^(1 + sigпMN (Х)),

где MN (Х) = ¥1е ^-) дщ .

Принцип максимума, который сводится к по*

иску параметров \уп (параметризация) [17; 18; 19],

не дает точное решение при бесконечном числе неизвестных интервалов управления, т. к. объект бесконечномерный.

Постановка минимаксной задачи

Сведение задачи к пространству параметров приводит к тому, что теперь необходимо искать не само оптимальное управление, а количество интервалов N и их длительности Аг-, , = 1, N , что реализуется с помощью альтернансного метода. Э. Я. Рапопортом был разработан метод, который опирается на принцип максимума Понтрягина, но решает задачу с подвижным правым концом траектории в негладкой области (для задач, в которых хотят «попасть» не в конечную точку, а в область, заданную минимаксом; рассматриваемая задача по быстродействию эквивалентна задаче по точности (по максимальному отклонению, т. е. минимакс) и имеет релейный характер) [6]. Время процесса нагрева (критерий оптимальности (6)) представляет собой сумму длительностей интервалов постоянства оптимального управления. К параметризуемым управляющим воздействиям и неопределенным факторам формальная постановка минимаксной задачи, базирующаяся на задаче математического программирования, сводится к виду:

N

шт

п =

I (А1) = £А, ^

¡=0

0 < А < ю,, = 1

АЛГ еП

Ф(А) =

шах

<еп

Т ( х, ) - Т *

х е

Уравнения (72-73) называются также задачей параметрической оптимизации.

Уравнение (71) определяет кусочно-постоянную структуру алгоритма оптимального управления по граничным условиям с точностью до числа N и длительностей Аг интервалов:

q(т) = и/(Х) = ^(1 + (-1) П

1-1 ] _

при < Х <ХА„, 1 = 1, N, А о = 0.

т=0 т=0

Если допустимая величина е0 = е0 (У) в (72-73), решение ищется последовательно для ряда значений У = 1,2,3... , где число N интервалов постоянства равно V . Минимальное из возможных значений требуемой точности е0 в (72-73) обозначим через е^

- максимальная точность нагрева (минимакс).

Альтернансные соотношения

Нужно определить форму кривой температурного распределения Т(х, А) для различных значений е0 (72-73), последовательно убывающих, начиная с е^ к еы из системы [6]:

е

8Ш1П > еШ1П > ... > еШ1П > еШ1П > ... > ешп

где ем предельно достижимая точность нагрева в классе кусочно-постоянных управлений вида (74) с любым числом интервалов постоянства.

Для N = 2 (двухинтервальное управление) получаем следующие альтернансные соотношения в виде системы уравнений:

\Т

|Т(хехХгет ' А(1 ) ' А(2 ) ) - Тгад\ = 80 '

Т (I, а(10), а(20)) - = -е

дТ(хеххгет , а10) , а^) дх

= 0.

Управление и форма кривой при двух интервалах показаны на рисунке 2.

Запишем уравнение (60) в виде:

I

Т (х, Х) = а | q(т)dт + То +

+ — £ соб^ ли)(-1) и | q(т)e-т) дт.

ЬХ и=1 ^ 0

С учетом соотношения (74) получим:

Хк А1 А1+А2

| q(т)dт=j ишах 0Т+ | 00Т = ишах А1; 0 0 А1

>к А1 |q(т)e-т)ёт = е-МnгCАl+Аг) |и^е^ёт +

А1+А2

| 0*еМтдт= -ша^-е-1) =

-(е-

М„

- е-

М„

е-Ми2(А1+А2) | — еМи2тдт = е~Ми2(А1+А2) ишах еМпт

Ми

Мп

(еМи2А1 -1).

0

о

о

е

А

2

А

0

0

е

2

Рис. 2. Граничное управление и температурное

распределение при N = 2 Fig. 2. Boundary control and temperature

distribution with N = 2

Искомое температурное распределение при двухинтервальном управлении:

T '(X, t) =a * "max* А, + To +

+ 77 Z °OS(T mi)(-l)K

LA n=i L

u„

Mn

_

Результаты Скрипт для двух интервалов управления в Ма11аЬ Ввод исходных данных (данные взяты из [16, с. 109]: paramл=100;

param.a=8.3e-6;

param.lambda=35;

param.L=0.2;

param.alpha1=260;

param.Tmax=1600;

param.T0(1:100)=20; %распределение для 100-а точек

param .umax=param .alpha1 *(param.Tmax-

param.T0(1));

param.Tzh=960;

param.N=2;

param.epsmin=0.05; %ожидаемое значение epsi-lon_min

param.delta(1)=1000; %длительность первого интервала

param.delta(2)=2000; %длительность второго интервала

Основная программа:

clear

param_param; T=0;

k=0;

delta(1)=param.delta(1); delta(2)=param.delta(2); %Вычисление зависимости Т от Х for X=0:param.L/10:param.L k=k+1;

T_all1(k)=temperaturnoe_raspred2(X, delta, param); end

X=0:param.L/10:param.L;

figure;

hold on;

plot

0 0 02 0 04 0 06 0 08 0.1 0.12 0.14 0 16 0 18 02

Рис. 3. Зависимость температуры от координаты Fig. 3. The dependence of temperature on the coordinates

2

Внутренняя функция для вычисления температурного распределения:

function T=temperaturnoe_raspred2(X, delta, param) T2_sum=0; for n=1:param.n

mu_n=sqrt(param .a)*pi* n/param.L; T1_sum=0; Tch_1=0; for j=1:param.N Sum_delta=0; for m=j :param.N Sum_delta=delta(m)+Sum_delta; end

T1_sum=(param.umax/((mu_n)A2)) * (exp((-mu_nA2)*param.delta(2))-exp((-mu_nA2)*(param.delta( 1)+param .delta(2)))); Sum_delta1=0; for m=1:param.N

Sum_delta1=delta(m)+Sum_delta1; end

Tch_1=param .umax*param .delta( 1); end

T2_sum=((-

1)An)* cos(X*pi*n/param .L)*T1_sum+T2_sum; end

T=(param.a/(param .L*param .lambda))* Tch_1+param .T 0(1)+(2* param.a/(param .L*param .lambda)) * T2_sum;

end

Альтернансный метод

param_param; %%Альтернансный метод options = optimset('Display','iter'); %вывести все итерации поиска для решения, нет ли стопора, т.е. все ли правильно выбрано F=@(p) [temperaturnoe_raspred2(0,[p(1),p(2)],param)-param.Tzh+p(3);

temperaturnoe_raspred2(p(4),[p(1),p(2)],param)-param.Tzh-p(3);

temperaturnoe_raspred2(param.L,[p(1),p(2)],param)-param.Tzh+p(3);

(temperaturnoe_raspred2(p(4)-1e-3,[p(1),p(2)],param)-temperaturnoe_raspred2(p(4),[p(1),p(2)],param))/1e-3;];% 1e-3- дельта

%p(1),p(2) - deltal и delta2, p(3) - epsilon_min, p(4) -x_extrem

p=fsolve(F,[5160 600 40 param.L],options); % пред-положители наши параметры Qk0=param.Tzh-p(3); %температура в конце процесса в середине пластины Qk0_1=param.Tzh+p(3); t_end=p( 1)+p(2);

В Workspace открываем значения параметров p (таблица 1).

Таблица 1. Значения параметров Table 1. Parameter values

p(1) - deltal p(1) - delta2 p(3) - epsilon_min p(4) - x extrem

5160 600 40,0143595360590 0,200511399598423

Альтернансный метод N=2 / Alternance method N=2

514

512 510 508 506

500 ---'---1---'---1---1-1----'-'---1-'

0 0.02 0.04 0.06 0 08 0.1 0.12 0 14 0.16 0.18 02

Рис. 4. Результат применения альтернансного метода Fig. 4. The result of applying the alternance method

В данной статье используется двухинтерваль-ное управление, величина ошибки равна 40 (таблица 1, третий параметр), для ее дальнейшего уменьшения можно применить трёхинтервальное управление (на практике число интервалов управления обычно 2 или 3), но в рамках данной задачи, позволяющей наглядно видеть алгоритм вычисления [20] оптимального управления объектом, это вполне удовлетворительный результат.

Обсуждение Изучение процессов теплопроводности представляет собой большой интерес для многих областей науки и техники. Сведения о параметрическом распределении температур - одно из требований промышленной эффективности. Для обеспечения желаемых температурных кондиций объекта, необходимо разработать систему управления с адекватным отображением результирующего температурного поля с учетом всех конструктивных особенностей, внешних и внутренних воздействий. Автор данной статьи опирается на исследования представителей научной школы, основателем которой явля-

ется Э. Я. Рапопорт (Самарский государственный технический университет), в области управления системами с распределенными параметрами. Реальные технологии зачастую ставят перед инженерами и исследователями специфические задачи, что требует особенностей применения даже канонических методов моделирования.

Заключение Данная статья наглядно показывает процедуру моделирования и исследования системы с распределенными параметрами на примере объекта канонической формы (пластины без внутренних источников тепла). Поиск оптимального управления осуществлялся альтернансным методом Э. Я. Рапопорта для задачи по быстродействию (равно как и для задачи на максимум точности). Учет температурного режима автономного объекта (или отдельных элементов конструкции) может быть реализован за счет представления его в качестве объекта (совокупности объектов) канонической формы и проведения вышеописанных расчетов. Вычисления проводились в программе МайаЬ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Деревянов М. Ю., Лившиц М. Ю., Копытин С. А. Распределенное оптимальное управление объектами технологической теплофизики // Материалы 4-й Всероссийской мультиконференции по проблемам управления. Т. 2. Таганрог : Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. С. 99-102.

2. Деревянов М. Ю., Лившиц М. Ю., Копытин С. А., Давыдов А. Н. Стабилизация температурного поля несущих конструкций автономных объектов // Труды 9 Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2013. Том 2. С. 47-52.

3. Вакуненков В. А., Жуков Л. В. К вопросу разработки новых конструктивно-технологических решений специальных фортификационных сооружений МО РФ // Строительные и дорожные машины. 2017. № 1. С. 54-56.

4. Бутковский А. Г. Структурная теория распределенных систем. М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977. 320 с.

5. Гейда А. С., Лысенко И. В. Автоматизация решения задач исследования потенциала систем и эффективности их функционирования // Труды СПИИРАН. 2012. № 3 (22). С. 260-281.

6. Рапопорт Э. Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М. : Наука, 2000. 336 с.

7. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. // 2 т.: под ред. А. А. Померанцева. М. : Издательство «Наука», 1964. 488 с.

8. Лыков А. В. Теория теплопроводности: Учебное пособие для теплотехнических специальностей вузов. - М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

9. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений : учеб. пособие для ун-тов. М. : Высш. шк., 1991. 303 с.

10. Дилигенский Н. В., Темников А. В., Девяткин А. Б., Слесаренко А. П. Современные методы математического моделирования теплопроводности в теплоэнергетике и машиностроении. Самара : СамГТУ, 1995. 335 с.

11. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М. : Государственное издевательство физико-математической литературы, 1961. 524 с.

12. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. Серия «Теоретические основы технической кибернетики». М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978. 463 с.

13. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление // Изд. 2-е, испр. и доп. М. : Едиториал УРСС, 2004. 160 с.

14. Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М. Основы оптимального и экстремального управления : учеб. пособие для студентов вузов. М. : «Высшая школа», 1969. 296 с.

15. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М. : «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 392 с.

16. Рапопорт Э. Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами : Учеб. пособие. М. : Высш. шк., 2009. 677 с.

17. Копылов М. В., Татаренков Е. А., Ткачев О. А., Горбатова А. В. Оптимизация процесса отжима растительного масла методом математического моделирования // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. 2017. Вып. 79. № 1 (71). C. 28-33.

18. Егоров Ю. В. Необходимые условия оптимальности управления в банаховых пространствах // Математический сборник. 1964. Т. 64. № 1. С. 79-101.

19. ЕгоровЮ. В. Оптимальное управление в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1963. Том 150. № 2. С.241-244.

20. Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Методы теории автоматического управления. М. : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971. 744 с.

Дата поступления статьи в редакцию 7.11.2018, принята к публикации 17.12.2018.

Информация об авторе: Савельева Юлия Олеговна, аспирант

Адрес: Самарский государственный технический университет, учебный корпус № 6, 443010, Россия, Самара, ул. Галактионовская, 141 E-mail: Savelieva_yu_ol@mail.ru Spin-код: 7827-5616

Автор прочитал и одобрил окончательный вариант рукописи.

REFERENCES

1. Derevyanov M. Yu., Livshic M. Yu., Kopytin S. A. Raspredelennoe optimal'noe upravlenie obektami tekh-nologicheskoj teplofiziki [Distributed optimal control of technological thermophysics objects], Materialy 4 Vserossijs-koj mul'tikonferencii po problemam upravleniya [Proceedings of the 4th all-Russian multi-conference on management], Vol. 2. Taganrog: Publ. TTI YUFU, 2011. pp. 99-102.

2. Derevyanov M. Yu., Livshits M. Yu., Kopytin S. A., Davydov A. N. Stabilizatsiya temperaturnogo polya nesushchih konstruktsij avtonomnyh ob'ektov [Stabilization of the temperature field of the supporting structures of autonomous objects], Trudy 9 Vserossijskoj nauchnoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem «Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi» [Proceedings of the 9th all-Russian scientific conference with international participation «Mathematical modeling and boundary value problems»], Samara, 2013, Vol. 2. pp. 47-52.

3. Vakunenkov V. A., Zhukov L. V. K voprosu razrabotki novyh konstruktivno-tekhnologicheskih reshenij special'nyh fortifikacionnyh sooruzhenij MO RF [On the development of new design and technological solutions of special fortifications of the Ministry of defense of the Russian Federation], Stroitel'nye i dorozhnye mashiny [Construction and road machines], 2017. No. 1. pp. 54-56.

4. Butkovskij A. G. Strukturnaya teoriya raspredelennyh system [Structural Theory of Distributed Systems]. Moscow: Publ. «Nauka», 1977. 320 p.

5. Gejda A. S., Lysenko I. V. Avtomatizaciya resheniya zadach issledovaniya potenciala sistem i ehffektivnosti ih funkcionirovaniya [Automation of the solution of problems of research of potential of systems and efficiency of their functioning], Trudy SPIIRAN [Proceedings of SPIRAN], 2012. No. 3 (22). pp. 260-281.

6. Rapoport Eh. Ya. Al'ternansnyj metod v prikladnyh zadachah optimizatsii [Alternance method in optimization applications]. Moscow: Nauka, 2000. 336 p.

7. Karslou G., Eger D. Teploprovodnost' tverdyh tel [Thermal conductivity of solids]: per. s angl., Vol. 2, In A. A. Pomerantseva (ed.). Moscow: Publ. «Nauka», 1964. 488 p.

8. Lykov A. V. Teoriya teploprovodnosti [Heat conduction theory], Uchebnoe posobie dlya teplotekhnicheskih special'nostej vuzov. Moscow: Vysshaya shkola, 1967. 600 p.

9. Bibikov Yu. N. Kurs obyknovennyh differencial'nyh uravnenij [Course of ordinary differential equations]: ucheb. posobie dlya un-tov. Moscow: Vyssh. shk, 1991. 303 p.

10. Diligenskij N. V., Temnikov A. V., Devyatkin A. B., Slesarenko A. P. Sovremennye metody matemati-cheskogo modelirovaniya teploprovodnosti v teploenergetike i mashinostroenii [Modern methods of mathematical modeling of thermal conductivity in heat and power engineering]. Samara: SamGTU, 1995. 335 p.

11. Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Integral'nye preobrazovaniya i operacionnoe ischislenie [Integral transformations and operational calculus]. Moscow: Gosudarstvennoe publ. fiziko-matematicheskoj literatury, 1961. 524 p.

12. Egorov A. I. Optimal'noe upravlenie teplovymi i diffuzionnymi protsessami [Optimal control of thermal and diffusion processes], Seriya «Teoreticheskie osnovy tekhnicheskoj kibernetiki». Moscow: Publ. «Nauka», 1978. 463 p.

13. Zelikin M. I. Optimal'noe upravlenie i variacionnoe ischislenie [Optimal control and calculus of variations, 2-e isd., ispr. i dop. Moscow: Editorial URSS, 2004. 160 p.

14. Olejnikov V. A., Zotov N. S., Prishvin A. M. Osnovy optimal'nogo i ehkstremal'nogo upravleniya [Basics of optimal and extreme control], ucheb. posobie dlya studentov vuzov. Moscow: Vysshaya shkola, 1969. 296 p.

15. Pontryagin L. S., Boltyanskij V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Matematicheskaya teoriya op-timal'nyh processov [Mathematical theory of optimal processes]. 4-e izd., Moscow: «Nauka», Glavnaya publ. fiziko-matematicheskoj literatury, 1983. 392 p.

16. Rapoport Eh. Ya. Optimal'noe upravlenie sistemami s raspredelennymi parametrami [Optimal control of systems with distributed parameters], Ucheb. posobie. Moscow: Vyssh. shk., 2009. 677 p.

17. Kopylov M. V., Tatarenkov E. A., Tkachev O. A., Gorbatova A. V. Optimizaciya processa otzhima rasti-tel'nogo masla metodom matematicheskogo modelirovaniya [Optimization of oil extraction process by the method of mathematical modeling], Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta inzhenernyh tekhnologij [Proceedings of the Voronezh State University of Engineering Technologies], 2017, Vol. 79, No. 1 (71), pp. 28-33.

18. Egorov Yu. V. Neobhodimye usloviya optimal'nosti upravleniya v banahovyh prostranstvah [Necessary conditions for optimal control in Banach spaces], Matematicheskij sbornik [Mathematical collection], 1964. Vol. 64, No. 1. pp. 79-101.

19. Egorov Yu. V. Optimal'noe upravlenie v banahovom prostranstve [Optimal control in the Banach space], Dokl. AN SSSR [Report of the USSR Academy of Sciences], 1963, Vol. 150, No 2. pp. 241-244.

20. Fel'dbaum A. A., Butkovskij A. G. Metody teorii avtomaticheskogo upravleniya [Methods of automatic control theory]. Moscow: Publ. Nauka», 1971. 744 p.

Submitted 7.11.2018; revised 17.12.2018.

About the author: Julia O. Saveleva, the postgraduate student

Address: Samara State Technical University, building № 6, 443010, Russia, Samara, Galaktionovskaia Str., 141 E-mail: Savelieva_yu_ol@mail.ru Spin-code: 7827-5616

Author have read and approved the final manuscript.