Моделирование отклика сверхпроводящей пленки на переменное магнитное поле и оценка возможности определения лондоновской глубины проникновения

УДК 538.945

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКЛИКА СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ ПЛЕНКИ НА ПЕРЕМЕННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

И ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОНДОНОВСКОЙ ГЛУБИНЫ ПРОНИКНОВЕНИЯ

П. И. Безотосный, С.Ю. Гаврилкин, О. М. Иваненко, К. В. Мицен, А. Ю. Цветков

В работе рассматривается наглядная "электротехническая" модель для вычисления распределения индукционных токов в сверхпроводящей пленке, вблизи которой расположена измерительная катушка, создающая локальное переменное низкочастотное магнитное поле. В рамках модели рассчитано изменение индуктивности катушки под влиянием сверхпроводника с заданной лон-доновской глубиной проникновения магнитного поля. Показана возможность определения глубины проникновения по экспериментальным данным; рассмотрена чувствительность предлагаемого подхода для пленок различной толщины, а также для различной геометрии задачи.

Ключевые слова: лондоновская глубина проникновения магнитного поля, сверхпроводящие плёнки, индукционная методика.

Введение. Индукционные методики, основанные на анализе отклика образца на переменное магнитное поле, являются мощным инструментом для бесконтактного исследования параметров сверхпроводников. В зависимости от условий эксперимента они могут быть использованы как для определения плотности критического тока и вольт-амперной характеристики (нелинейные методики), так и для изучения магнитных свойств материала, таких как магнитная восприимчивость и глубина проникновения магнитного поля А (линейные методики). Последний параметр, а особенно его температурная зависимость А (T), интересен также для получения информации о микроскопических свойствах сверхпроводящего конденсата.

ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: bezpi@sci.lebedev.ru.

С точки зрения простоты технической реализации наиболее привлекательно выглядит низкочастотная линейная индукционная методика, в которой анализируется влияние сверхпроводящего образца (тонкой пленки или пластины) на индуктивность измерительной катушки, расположенной в непосредственной близости от поверхности пленки, при этом ось катушки перпендикулярна плоскости образца. Изменение индуктивности измерительной катушки АЬ определяется распределением индуцированных в пленке сверхпроводящих токов, которое, в свою очередь, связано с глубиной проникновения магнитного поля Л образца. В данной работе для моделирования данного распределения и установления связи между изменением индуктивности АЬ и глубиной проникновения Л предложена наглядная "электротехническая" модель, за основу которой взят подход, описанный в работах [1, 2], где проводилось моделирование отклика сверхпроводящей пленки в нелинейном режиме и его сравнение с экспериментальными результатами.

Образец

т

т

Рис. 1: Эквивалентная схема эксперимента.

Описание модели. Рассмотрим систему, состоящую из образца в виде тонкого сверхпроводящего диска и соосно-расположенной над его поверхностью измерительной катушки, при этом предполагается, что радиальный размер диска гораздо больше ради-

уса катушки. При пропускании через катушку синусоидального переменного тока в образце индуцируются круговые токи. Для описания неоднородного распределения токов в образце мысленно разобьём его на N = N • изолированных коаксиальных круговых контуров (с радиусами г и шириной dг) с центрами, находящимися на оси катушки возбуждения (при этом N - число контуров в радиальном направлении, а Nz -по толщине пленки). Для достаточно тонких пленок, толщина которых не превышает долей Л, можно принять Nz = 1 ("одномерная" модель, Ш). В общем случае применяется "двумерная" (2В) модель с Nz > 1, позволяющая получать распределение плотности тока по глубине. Считаем, что эти контуры индуктивно связаны как с измерительной катушкой, так и между собой. Эквивалентная схема эксперимента приведена на рис. 1.

Введем следующие обозначения: Ь0 - индуктивность измерительной катушки, Ьк -полная индуктивность к-го контура (сумма магнитной Ь^1^ и кинетической индуктив-ностей Ь|1П), Мк - взаимная индуктивность к-го контура и измерительной катушки, М^к - взаимная индуктивность ¿-го и к-го контуров (при г = к совпадает с магнитной частью индуктивности Ь^1^),1к(¿) - индуцированный ток к-ого контура.

Полные потоки через измерительную катушку Фо и модельные контуры Фк могут быть записаны в виде:

N

Фо(*) = LoIo(t) + Y, MiIi(t),

i=1

N

Ф,к(t) = MkIo(t) + £ МгкIi(t).

i=1

При этом выражение для напряжения на выводах измерительной катушки имеет вид:

E

E(t) = —dT = -Lo~dT ^ Мг^~'

г=1

где второе слагаемое представляет собой отклик образца ДЕ(t).

В данной работе рассмотрим линейный случай, когда амплитуды плотностей индуцированных токов заведомо меньше критической, образец находится в сверхпроводящем состоянии, и сопротивление всех контуров имеет чисто реактивный характер. При этом закон Ома для k-го контура имеет вид:

dФk

г kin dIk

L

dt dt 32

а ток может быть найден из выражения

г kin dIk

i= 1

Внося левую часть данного уравнения под знак суммы, можно получить выражение для производных токов модельных контуров в матричном виде:

dIk

dt

-W

Mk ^

k dt

где выражения в квадратных скобках обозначают вектор-столбцы, составленные из соответствующих элементов, а W = [Мгк + 5гкЬк1П]-1 - матрица, обратная матрице взаимных индуктивностей контуров (8гк - символ Кронекера). Таким образом, выражение для производной тока к-го контура имеет вид:

N

dIkw_ WikMi.

dt dt

i=1

Следовательно, напряжение отклика образца выражается формулой

N N

dt

dI (t) N N AE(t) = -£ Mk £ WikMi,

k=1 i=1

JV JV

где величина

АЬ = - ^ М^ ЖгкМг к=1 г=1

представляет собой изменение индуктивности измерительной катушки под влиянием образца.

В предположении однородности распределения магнитного поля по сечению модельного контура (что справедливо при dz << Л) возможно использование следующей простой формулы для связи кинетической индуктивности с глубиной проникновения Л [3]:

Гк1п _ 2п^0Л2Гк

Ьк --7 7 •

drdz

Таким образом, изменение индуктивности измерительной катушки может быть рассчитано как функция глубины проникновения Л. С другой стороны, АЬ может быть определена из эксперимента, что даёт возможность оценки величины Л.

Результаты численных расчетов. Была проведена серия расчетов для оценки чувствительности метода 7 — —-— в зависимости от толщины образца d, глубины проник-

dЛ

новения магнитного поля Л, величины зазора между катушкой и пленкой к и различных

геометрических параметров измерительной катушки (внутренний радиус Я1, внешний радиус К2, высота катушки Н, число витков N). В табл. 1 указаны значения индуктивности катушки в отсутствие образца Ь0 и приведены оценки чувствительности 7 для пленок толщиной 50 нм с Л = 48 нм (что соответствует КЬ при 4.2 К [3]) и Л = 630 нм (соответствует УБаСиО при 77 К [4]) для различных измерительных катушек, при этом Н = 0.1 мм.

-78 Н-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

А,, пгп

Рис. 2: Зависимости изменения индуктивности катушки № 2 (см. табл. 1) ДЬ от глубины проникновения магнитного поля Л для пленок различной толщины d (50, 100 и 1000 нм) .

На рис. 2 представлены зависимости изменения индуктивности ДЬ катушки № 2 от глубины проникновения магнитного поля Л для пленок различной толщины (50, 100 и 1000 нм) при одинаковом зазоре Н = 0.1 мм. Видно, что чувствительность возрастает с уменьшением толщины образца. В частности, для образца толщиной 50 нм с Л = 48 нм она составляет около 0.6 нГн/нм, а для образца той же толщины и Л = 630 нм - около 7 нГн/нм.

На рис. 3 представлены графики относительной чувствительности -р-. Видно, что

Ьо

для большинства рассмотренных катушек изменение относительной чувствительности незначительно, поэтому выбор оптимальной геометрии должен быть сделан, исходя из

Рис. 3: Зависимости относительной чувствительности — от глубины проникнове-

Ьо

ния магнитного поля Л для катушек, представленных в табл. 1. На рисунке указаны номера катушек.

абсолютного значения измеряемой индуктивности Ь0, величины ее изменения АЬ и разрешающей способности измерительной аппаратуры.

Таблица 1

Геометрические параметры, величина собственной индуктивности и оценка чувствительности метода для различных измерительных катушек

N Я1? мм Я2, мм Н, мм N Ь0, мкГн 7, нГн/нм

Л = 48 нм Л = 630 нм

1 1 1.7 0.7 600 966 2.2 28

2 0.3 1 0.7 600 279 0.57 6.9

3 0.3 1 0.4 340 108 0.31 3.9

4 0.3 0.6 0.3 110 9.25 0.029 0.32

5 0.3 0.7 0.7 340 68.2 0.12 1.5

6 0.8 2.5 0.7 1540 6300 12 150

7 0.15 0.9 0.8 600 173 0.32 3.7

0.20-

| 0.15-

Я а

§ 0.10

0.05-

\\ с/ — 200 П1Т1

\\

с1 = 500 пш

\

с1= 1000 пгп

с!= 2000 пт

100

200 300

/г, цш

400

500

Рис. 4: Зависимости производной изменения индуктивности катушки № 7 (см. табл. 1) от величины зазора Н для различных значений X.

Оценим влияние изменения величины зазора между катушкой и пленкой Н на чувствительность метода. На рис. 4 приведены зависимости производной изменения индук-

¿АЬ ЛГ„ , Л

тивности —-— катушки №7 от величины зазора Н для различных значений X. Можно аН

видеть, что для Н = 0.05 мм изменение величины зазора на АН ~ 1 нм приводит к изменению АЬ на величину порядка 0.2 нГн. Следовательно, если требуемая точность измерения глубины проникновения магнитного поля X составляет ~10 нм, то точность измерения АЬ должна быть ~40 нГн. Тогда погрешность установки зазора катушка-образец АН не должна превышать значение ~0.2 мкм, что налагает высокие требования к качеству подготовки поверхности измеряемого образца и контролю величины зазора Н в процессе измерения. Отметим, что учет погрешности установки зазора особенно важен при измерениях температурной зависимости Х(Т) в широком интервале температур.

Заключение. Основные результаты данной работы можно сформулировать следующим образом:

- рассмотрена наглядная "электротехническая" модель для вычисления распределения индукционных токов в сверхпроводящей пленке, вблизи которой расположена

измерительная катушка, и предложен метод оценки величины лондоновской глубины проникновения магнитного поля Л;

- проведена оценка чувствительности предложенного метода и сформулированы некоторые требования к геометрии эксперимента.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 16-32-00586).

ЛИТЕРАТУРА

[1] С. Ю. Гаврилкин, О. М. Иваненко, К. В. Мицен, А. Ю. Цветков, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(2), 26 (2014).

[2] С. Ю. Гаврилкин, О. М. Иваненко, К. В. Мицен, А. Ю. Цветков, Сборник трудов 2-й Национальной конференции по прикладной сверхпроводимости НКПС-2013, Москва. (НИЦ "Курчатовский институт", Москва, 2014, электронное издание), стр. 123.

[3] В. В. Шмидт, Введение в физику сверхпроводников (М., МЦНМО, 2000).

[4] D. Feinberg and C. Villard, Phys. Rev. Lett. 65, 919 (1990).

Поступила в редакцию 27 октябоя 2016 г.