Метод стандартных элементов в расчёте магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами

объекту страхования в форме исходных данных имитационной модели «Оценка и управление основной деятельностью страховой компании» необходимо задать значения входных параметров. Форма с исходными данными представлена на рис. 1

Значение размера страхового тарифа, при котором достигается баланс страховщика и страхователя при указанных значениях входных параметров равно 1,03 %, что представлено на рис. 2. При этом средняя тарифная ставка, используемая страховой компанией при страховании рисков объектов агропромышленного комплекса, по результатам моделирования составляет 2,6178 %.

Страховые тарифы, используемые страховой компанией, являются завышенными. Для

увеличения количества заключаемых договоров страхования рисков объектов агропромышленного комплекса, а также для получения лучших значений финансово-экономических показателей целесообразно снизить размер страховых тарифов.

Стоит отметить, что полезность программного обеспечения «Оценка и управление основной деятельностью страховой компании» заключается не только в определении размера страхового тарифа, при котором достигается баланс интересов страхователя и страховщика, но и в определении условий страхования при заданной стратегии. Важным является то, что модель может быть использована при страховании рисков объектов любого происхождения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грищенко Н.Б. Основы страховой деятельности: Учеб. пособие. Барнаул: Изд-во Алтайского ун-та, 2001.

2. Хохлов Н.В. Прогнозирование эффективности страхования с точки зрения предпринимателя // Страховое дело. 1998. № 7. С 41-49.

3. Цветкова Л. Концепция трактовки понятия «страховой риск» как атрибута страхового продукта // Страховое дело. 2000. № 3. С. 48-51.

4. Орланюк-Малицкая Л.А. Платежеспособность страховой организации. М.: Анкил, 1994. С. 31-33.

5. Карпов В.И., Мышенков К.С. Моделирование систем: Курс лекций. М.: Издат. комплекс МГУПП, 2004.

6. Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов // Под ред. А.А. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2002.

7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем // Под ред. Е.К. Масловского. М.: Мир, 1978.

УДК 519.632.4

А.В. Пашковский

МЕТОД СТАНДАРТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЁТЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДВИГАТЕЛЯ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ

Результаты численных экспериментов, полученные в [1]-[3] для модельных краевых задач, подтвердили высокую эффективность разрабатываемого автором метода стандартных элементов на основе рядов Фурье (МСЭФ). Метод показал высокую точность расчётов и стабильность при варьировании структуры кусочно-однородной среды (КОС), наличии в ней узких включений, особен-

ностей решения в угловых точках среды, варьировании её магнитных характеристик и осцилляции решения. Однако до сих пор не были оценены эффективность и точность метода в прикладных расчётах. В связи с этим исследуем МСЭФ на примере задачи полевого расчёта линейного двигателя (ЛД) с постоянными магнитами асинхронного тягово-подъёмного устройства.

Одной из краевых задач, которая может быть эффективно решена МСЭФ, является задача расчёта магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами Q2 с намагниченностью M, расположенными в области Q0 с проницаемостью ц0, в присутствии ферромагнитных тел Q1 (рис. 1). Использование прямоугольных СЭ, введённых в [4], при линейной зависимости В(Н) тел Q1, позволяет применить МСЭФ для ЛД без его комбинирования с другими численными методами. При этом, сложность структуры расчётной области, количество СЭ, пропорции в соотношении количеств ферромагнитных и неферромагнитных СЭ, их взаимное расположение не играют определяющей роли.

Рассмотрим плоскопараллельное магнитное поле в области Q1 магнитных систем, в области Q2 постоянных магнитов и во внешней области Q Пусть свойства стали в каждой точке магнитной системы Q1 и области постоянных магнитов Q2, задаются материальными операторами H — F(B) и H — FM(B) соответственно. Магнитное поле при этом описывается системой уравнений:

rot H = 0, H — F(B) в Q1, rot H = 0, H — FM(B) - M в Q2,

rot H = 0, B = ц0 H в Q0,

div B = 0

в Q0 u Q1u Q2.

На границе Г = Г1и Г2 раздела сред выполняются условия:

n 1Г n 1Г ' т 1Г т IГ

Ti

Рис.1. К постановке задачи расчёта магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами

Вводя векторные потенциалы A = (x,y)ez равенством B = rot A для поля магнитной индукции

B и AM — AM(xy)ez равенством M = rot AM для поля намагниченности постоянного магнита M, из (1) имеем:

Д А = 0

rot F = 0

z

rot F - ДА = 0

z M M

Из условий (2) следует:

A+| = A~\ , г lr

в Q0

в Q,

в Q2.

дА+ ЭА4

ЭА^ ¿У

Эу ' дх ЭА+

Г1

1 ЭА~ Эп

) -1Мм + дх „„ |Х Эп

Г2

Г2

1 ЭА" ц0 Эп

Г2 '

где Г1 и Г2 - границы раздела областей Q1 и Q2 соответственно. Потенциал поля намагниченности AM определён только в области Q2 и на её границе.

С точки зрения (3) и (4), рассмотрим SERECD1234m - стандартный элемент в виде прямоугольника, с условиями Дирихле на границах (рис. 2), представляющий собой постоянный магнит с намагниченностью M. Аналогично [5], в качестве допущения, примем, что постоянные магниты имеют цм = const и равномерную намагниченность. Тогда плоскопараллельное магнитное поле непосредственно в СЭ - постоянном магните, с учётом (3) описывается уравнением:

1/цДА = ДАм

ах «2

Рис. 2. Стандартный элемент - постоянный магнит

Рассмотрим rot AM

дх

дх ду

i j к

д д д

Эх dz

к К А,

дА„,

-I -

+

гаг

ду

В силу решения плоскопараллельной задачи счи-ЭА, ЭА„ „ . дА„ - дАи -

-J. Если

таем: -

— = 0, и rot A,. = - . ^ дхду мдудх

считать, что вектор намагничивания М — т^Л- m1 j

ЭА„

-I -

ЗА„ -

дх

J, то -

постоянный, то M = rot A,. = -

м ду

ЭАМ ЭА„

тг— = да,, —— = -m„ и A.. = -m„x + m,y + с. Учиты-

ду 1 дх 2 м 2 1

вая, что вектор намагничивания параллелен той или иной координатной оси, что обычно следует из расположения магнитов, например, оси оу, получим: m1 = 0. Окончательно запишем:

AM = -m2X + С

Таким образом, уравнение (5) примет вид: 1/цДА = 0.

С учётом (6), можно заключить: дА

1. Производная —— отлична от нуля только

дп

на боковых частях магнита.

2. Постоянная m2 выбирается из учёта численного значения вектора намагничивания М.

Вернёмся к рассмотрению выражения, полученного в [4], определяющего алгоритм построения матриц системы уравнений относительно коэффициентов Фурье функции решения в методике МСЭФ на основе формулы Грина: b (n) =

норм S2 ' 1

nkf

х[42с/10(1-(-1)п) + ^2сМкУ

*=i

]-

1

nkf _/_1\(и+*)\

x[V2c/20

л/2

д/Ь2 - bx  д/а2 - al sh(nn(a2 - ax )/(b2 - bx)) x (ch(nn(a2 - ax )/(b2 - b{)) -1 )c/30 +

nkf

x ^ csh(k, n)cf3 (k)-k=1

(~1)'V2_

л/^2 " V«2 -a{sh(niz(a2 - ax )ЦЬ2 - bx)) x (ch(nn(a2 - ax )/(b2 -bj)-1 )c/40 -

(—1)"ШГ

nkf

х^У csh(k,ri)cfA{k). k=1

X

Отметим, что левая часть выражения (8) представляет собой коэффициенты разложения нормальной производной потенциала А на стороне 52 СЭ в ряд Фурье по синусам. Для постоянного магнита, с учётом представления (4) нормальной производной функции А на соответствующей его границе, получим:

Йнорм,2 (») = 2/4^ -

в12 ОП

дА +

(ппу/фг-Ь^,

т. е. для учёта намагниченности, в выражение, определяющее алгоритм построения матриц системы уравнений краевой задачи при рассмотрении сторон «склейки» СЭ-постоянных магнитов,

дА"

вводится лишь добавочное слагаемое ——1„ .

дп Г2

Таким образом, МСЭФ на основе формулы Грина с использованием коэффициентов Фурье может быть применен к расчёту магнитного поля в СЭ как постоянных магнитов, т. к.:

1. Введённая в ранних работах постановка задачи Дирихле для уравнения Лапласа имеет место в постановке (4), (7).

2. Условия «склейки» для склеиваемых немагнитных СЭ не претерпевают изменений.

3. Для учёта намагниченности в выражение (8), определяющее алгоритм построения матриц системы уравнений краевой задачи при рассмотрении сторон «склейки» СЭ-постоянных магнитов, вводится добавочное слагаемое дАм+/дп |

С целью сравнительной оценки точности МСЭФ на примере расчёта магнитного поля ли-

нейного двигателя (ЛД) с постоянными магнитами тягово-подъёмного модуля проведём:

1. Расчёт магнитного поля ЛД с помощью пакета ГЕММ, реализующего МКЭ, при количестве конечных элементов - 1487.

2. «Эталонный» расчёт магнитного поля ЛД с помощью пакета ГЕММ,, реализующего МКЭ при обычно не используемой высокой степени дискретизации области (444 414 конечных элементов).

3. Расчёт магнитного поля ЛД с помощью оригинального программного пакета ЖМГ, реализующего МСЭФ при количестве СЭ равном 120.

Рассмотрим оценку точности численных методов на примере расчёта плоскопараллельного магнитного поля, создаваемого постоянными магнитами линейного двигателя (ЛД) (рис. 3). Магнитопровод рассматриваемого ЛД состоит из шести пар противостоящих постоянных магнитов (область О^, закреплённых на двух стальных пластинах (область Ох). Между этими пластинами в области О0 с магнитной проницаемостью расположена трёхфазная обмотка двигателя. Пластины магнитопровода выполнены из стали 1020, а постоянные магниты имеют остаточную индукцию В = 1,1 Тл. Максимальные значения плотности тока проводников обмотки не превышают 11 А/мм2, а частота питающего напряжения не превосходит 200 Гц. В этом случае магнитное поле проводников обмотки при номинальном значении тока по своей величине пренебрежимо мало по сравнению с полем, создава-

Рис.3. Геометрия расчётной области емым постоянными магнитами. Пренебрежём вихревыми токами, индуцированными в стальных пластинах магнитопровода переменной составляющей поля. Геометрические размеры ЛД (соотношение высоты магнитов к расстоянию между противостоящими магнитами, равное 5:1) позволяют считать магнитное поле плоскопараллельным. Отступим непосредственно от границ линейного двигателя по горизонтали (на треть его длины) и по вертикали (на половину его ширины) и зададим нулевые условия на внешней границе расчётной области (Л|Г = 0). Расчётная область О имеет следующий вид (рис. 3).

Расчёт магнитного поля в О проведён методом конечных элементов с помощью пакета ГЕММ, при количестве конечных элементов в области равном 1448 (рис. 4). Для контроля и сопоставления точности методов в расчёте магнитного поля

Рис. 4. Конечно-элементная сетка пакета ГЕММ

Длина,см

Рис. 5. Программная реализация заполнения расчётной области

найдено распределение векторного потенциала в воздушном зазоре вдоль горизонтальной оси симметрии ЛД. Следует напомнить, что для сравнительной оценки погрешностей МКЭ (1448 КЭ) и МСЭФ (120 СЭ), также получено «эталонное» решение поставленной краевой задачи, с использованием пакета FEMM, при повышенной степени дискретизации расчётной области (444 414 КЭ). С учётом проведённой адаптации методики МСЭФ к СЭ, являющимся постоянными магнитами, на его основе реализован расчёт плоскопараллельного магнитного поля линейного двигателя. При этом, элементами ЛД, определяющими размеры и характер последующего разбиения расчётной области на СЭ, явились постоянные магниты полюсов ЛД. Каждый постоянный магнит заменён прямоугольным СЭ, соответствующего размера. Для полного заполнения расчётной области введено всего 120 прямоугольных СЭ (рис. 5). Как было отмечено выше, для первоначальной оценки точности методов принято, что ферромагнетик -сталь магнитопровода, имеет линейную магнитную характеристику. Это позволило провести заполнение магнитопровода прямоугольными СЭ и избежать как применения СЭ иной конфигурации, так и конечных элементов.

Для расчёта магнитного поля применён оригинальный программный пакет БЕМГ-М, реализующий МСЭФ с учётом наличия в расчётной

Рис. 6. Значения векторного потенциала

(-е-) МСЭФ; (-.-) МКЭ;

(-$-) Эталонный МКЭ

области ЛД постоянных магнитов. Результаты расчёта абсолютного значения векторного потенциала магнитного поля для некоторой части контрольных точек воздушного зазора половины длины двигателя показаны на рис. 6 и в таблице.

Следует отметить, что степень дискретизации расчётной области (120 СЭ) определена, в основном, её внутренней структурой. Тем не менее, даже при таком незначительном количестве СЭ точность МСЭФ в большинстве контрольных точек превзошла точность МКЭ. Кроме того, дальнейшее совершенствование математического аппарата «склейки» СЭ, «склейка» нескольких СЭ с общей стороной одного СЭ, позволят дополнительно сократить степень дискретизации области. Так, перспективное заполнение области линейного двигателя прямоугольными СЭ с различными длинами сторон потребует всего 33 СЭ. С другой стороны, в случае необходимости повышения точности расчёта или же учёта нелинейности свойств материала магнитопровода, степень дискретизации соответствующих частей расчётной области может быть увеличена.

Анализ результатов расчёта магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами, полученных МСЭФ (120 СЭ), МКЭ (1448 КЭ) и МКЭ (444414 КЭ), позволяет сделать следующие выводы:

Значения векторного потенциала в воздушном зазоре по длине ЛД

Номер точки Координаты точки «Эталонный» МКЭ (444414 КЭ) Значения МКЭ (1448 КЭ) Значения МСЭФ (120 СЭ) Погрешности методов, %

§МКЭ §МСЭФ

1 (0,630; 17) -0,9640 -0,6963 -1,0176 0,2777 0,0556

2 (15;17) -10,36 -10,38 -10,3384 0,0019 0,0021

3 (15;17) -19,10 -19,37 -19,0310 0,0141 0,0036

4 (45;17) -10,01 -10,03 -10,0080 0,0020 0,0002

5 (60; 17) -0,9598 -0,7364 -1,0273 0,2328 0,0703

6 (75;17) -9,821 -9,841 -9,8414 0,0020 0,0021

7 (90; 17) -18,73 -18,99 -18,7017 0,0139 0,0015

8 (105;17) -9,821 -9,840 -9,8438 0,0019 0,0023

9 (120;17) -0,9593 -0,7276 -1,0337 0,2415 0,0775

10 (135;17) -10,01 -10,03 -10,0101 0,0020 0,0000

11 (150;17) -19,10 -19,37 -19,0317 0,0141 0,0036

12 (165;17) -10,36 -10,38 -10,3378 0,0019 0,0021

13 (179.39;17) -0,9608 -0,7876 -1,0056 0,1803 0,0466

1. МСЭФ способствует резкому сокращению объёма работы по дискретизации области по сравнению с МКЭ, обеспечивая при этом высокую точность расчётов.

2. Использование формулы Грина в МСЭФ и аналитических представлений функции в виде рядов Фурье обеспечивают работоспособность и высокую эффективность МСЭФ.

3. Классические решения (аналитические формулы) краевых задач в СЭ позволяют очень точно учесть особенности поведения решения в окрестностях многочисленных угловых точек расчётной области.

4. МСЭФ не выделяет специальные элементы в окрестности точек с особенностями решения -построение системы уравнений МСЭФ относительно коэффициентов Фурье обеспечивает необходимую точность.

5. Применение МСЭФ сокращает размерность решаемой системы уравнений и повышает точность решения, не прибегая к специальным алгоритмам формирования расширенной матрицы (ленточной матрице).

6. МСЭФ не меняет методику при изменении размерности задачи, причём количество СЭ и их геометрия не являются определяющими факторами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пашковский А.В. Решение тестовых полевых задач в кусочно-однородной области методом стандартных элементов // Научно-технические ведомости СПбГПУ 2009. № 6. С. 147-151.

2. Пашковский А.В. МСЭФ в решении задач магнитостатики при особенностях в окрестностях угловых точек // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. № 1. С. 18-22.

3. Пашковский А.В., Пашковская И.В. МСЭ в моделировании стационарного поля в области с

П-образным сердечником // Изв. вузов. Электромеханика. 2009. № 2. С. 10-12.

4. Пашковский А.В., Пашковская И.В. «Склеенные» прямоугольные стандартные элементы в решении модельной полевой задачи // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 1. С. 78-79.

5. Шкуропадский И.В. Комбинированный метод конечных и комплексных граничных элементов для расчета электрических и магнитных полей в нелинейных анизотропных средах: дис. ... канд. техн. наук. Новочеркасск, 2005. 170 с.