Проверка адекватности граничного условия на линии зазора при расчете векторного потенциала в обмоточном окне плоскопараллельного электромагнита

УДК 519.6:621.3

Ю.А. Бранспиз, А.А. Бельченко

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ НА ЛИНИИ ЗАЗОРА ПРИ РАСЧЕТЕ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА В ОБМОТОЧНОМ ОКНЕ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТА

Розглядається плоскопаралельний електромагніт, для якого відомо аналітичний вираз розподілу векторного потенціалу в обмотувальні вікні. На основі використання цього виразу, проведено аналіз можливості адекватного розрахунку магнітного потоку з області зазору в область обмотувального вікна. Показано, що допущення про однорідному полі в зазорі вимагає коректування відповідного розрахункового вираження .Безпосереднім розрахунком визначено значення коефіцієнта, що використовується для відповідноїкорекції.

Рассматривается плоскопараллельный электромагнит, для которого известно аналитическое выражение распределения векторного потенциала в обмоточном окне. На основе использования этого выражения, проведен анализ возможности адекватного расчета магнитного потока из области зазора в область обмоточного окна. Показано, что допущение об однородном поле в зазоре требует корректировки соответствующего расчетного выражения. Непосредственным расчетом определено значение корректирующего коэффициента.

ВВЕДЕНИЕ

В работе рассматривается обмоточное окно плоскопараллельного электромагнита сердечник, которого имеет зазор (рис. 1). Такие электромагниты нашли широкое применение в отечественной и зарубежной промышленности как основа различных электромагнитный механизмов и электрических аппаратов.

бой аналитические выражения для векторного потенциала в виде бесконечного тригонометрического ряда.

фланцевый диск оомотка Рис. 1. Плоскопараллельный электромагнит

Расчет таких электромагнитов включает в себя, в качестве одного из этапов, расчет потоков проходящих в обмоточном окне электромагнитов. Этот расчет можно осуществить на основе решения для области обмоточного окна уравнения Пуассона для векторного потенциала магнитного поля. Для симметричного зазора такое решение приведено в работе [1] для несимметричного обмоточного окна такое решение приведено в работе [2].

В обеих этих работах, для границ зоны обмоточного окна (рис. 2) принимаются традиционные граничные условия:

- магнитная проницаемость железа принимается равной бесконечности (идеальное железо);

- индукция магнитного поля на поверхности обмотки, не закрытой железом направлена вдоль оси катушки и имеет постоянное значение;

- распределение электрического тока по сечению обмотки намагничивания является равномерным (плотность тока в проводниках обмотки постоянна).

При этом решение соответствующего уравнения Пуассона, проведено ив [2], ив [3] методом разделения переменных. Это дало согласующиеся ме^ду со-

Рис. 2. Плоскопараллельная модель зоны обмоточного окна

В прочем, в [2] второе из указанных граничных условий считается вносящим погрешность в расчетные выражения для магнитных потоков в обмоточном окне и их суммарной проводимости. А именно, в [2] показано, что поправка к расчетной формуле суммарной проводимости магнитных потоков составляет: -0,077цо. Однако, обоснование указанной поправки, проведено в [2] на основе использования строгого аналитического выражения для проводимости потоков выпучивания между открытыми полюсами, что, учитывая закрытый характер области обмоточного окна, очевидное, не соответствует рассматриваемому случаю. В этой связи, возникает вопрос, о влиянии второго граничного условия на результаты расчетов магнитных потоков и их проводимостей в области обмоточного окна плоскопараллельного электромагнита.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Соответственно изложенному выше, целью данной работы является исследовать погрешность, вносимую допущением о том, что индукция магнитного поля на поверхности обмотки, не закрытой железом, направлена вдоль оси катушки и имеет постоянное значение. Согласно [2], это допущения обусловлено однородностью магнитного поля в зазоре, связанной с равномерным распределением скалярного магнитного потенциала по длине воздушного зазора (в направлении х рис. 1, 2). Очевидно, что в общем случае на линии "обмотка-зазор" (линия ЕЕ рис. 2) будет иметь

место нормальная составляющая вектора магнитнои индукции не равная нулю.

Именно наличие этой составляющей и обуславливает исследуемую погрешность, связанную с наличием магнитного потока из области зазором в области обмоточного окна.

Заметим что при симметричном зазоре (5 = Ь - 2с, рис. 2) суммарный магнитный поток из области зазора в область обмоточного окна равен нулю в силу симметрии распределения векторного потенциала на линии БС (рис. 2) в этом случае [1].

В случае же несимметричного зазора магнитный поток из области зазора в область обмоточного окна не равен нулю. Его определение по известному распределению векторного потенциала, как показано в [3], дает результаты, практически совпадающие с результатами вычислительного эксперимента, осуществленного с помощью программного продукта БЕМЫ [4, 5], для плоскопараллельного электромагнита с учетом его геометрии (рис. 1). При этом в [3] показано, что для магнитных потоков в железных участках ограничивающих обмоточное окно (участки БЕ, ЕС, СВ, АВ, АБ на рис. 2), их расчет на основе использования аналитического выражения для векторного потенциала практически совпадает с результатами вычислительного эксперимента для полной модели плоскопараллельного электромагнита (рис. 1). Такое совпадение свидетельствует, что допущение о постоянстве касательной составляющей индукции на поверхности обмотки в области зазора, является вполне допустимым и не требует полной компенсации потока из зазора в окно, как это предлагается делать в [1].

Как следствие, вопрос о погрешности, вносимой рассматриваемым допущением должен решаться лишь для потока из зазора в окно, наличие которого может влиять на общую проводимость потока рассеяния. В данной работе предлагается решать этот вопрос сравнением аналитических результатов расчетов потока из зазора в окно при равных соотношениях размеров с результатами эксперимента (вычислительного), в котором область обмоточного окна и зазора связаны ме^ду собой непосредственно. В этой связи, заметим, что сравнение аналитических расчетов с использованием векторного потенциала, с расчетами по известному методу Ротерса, как это сделано в [1], не является корректным, поскольку сам метод Ротерса является приближенным.

Поскольку влияние рассматриваемого граничного условия на результаты расчетов потока из зазора в обмоточное окно можно исследовать и на симметричном зазоре (при этом, конечно, в силу симметрии следует рассматривать лишь половину зазора), то задачу работы можно сформулировать следующим образом:

- аналитическое определение магнитного потока из зазора в окно (для половины зазора);

- сравнения результатов расчетов по полученному выражению для разных размеров обмоточного окна с результатами вычислительного эксперимента для полной модели рассматриваемого плоскопараллельного электромагнита при тех же соотношений обмоточного окна;

- определения необходимой коррекции полученного аналитического выражения.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОТОКА В ОБЛАСТИ ОБМОТОЧНОГО ОКНА Согласно тому, что изложено выше, рассматриваем плоскопараллельный электромагнит с симметричным зазором (рис. 3), для которого распределение векторного потенциала Аг(х, у) в области обмоточного окна (0 < х < Ь; 0 < у < а) при указанных выше допущениях определяется с точностью до константы выражением вида [3] (здесь ] - плотность тока в обмотке; ц0 - магнитная постоянная):

АГ(—у) = -°.5Ц0А—2 -Ь2 “

- 2^ 0 (пл)"

п=1

-1 { пж а

4 2 соб| пж — I стпж —

Ь

Ь

- 8т| пж — Ь I { Ь

Рис. 3. Модель зоны обмоточного окна плоскопараллельного электромагнита с симметричным зазором

Используя (1) несложно получить аналитическое выражение для искомого магнитного потока из зазора в окно (т.е. потока Ф§/2 через линию ЕО, рис. 3). А именно, для удельного значения этого потока (равно разности значений векторного потенциала в точках Е и О [6]) Ф5/2 = Аг(с, а) - А(с + 0,55, а) с учетом (1), можно записать следующее выражение

аЬ2

фъ/2 = 2Н- 0 А— х о

с + 0,55

Гь

- СОБ| пп

п=1

ск

(пп)2

sh

БШ! пп

с + 5

- Б1П| пп — \ Ь

СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТА ПОТОКА Ф5/2 С ДАННЫМИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Вычислительный эксперимент проводился с применением программного продукта ГЕММ для плоскопараллельного электромагнита, эскиз которого представлен на рис. 4. При этом и для вычислений по формуле (2) и для компьютерного эксперимента брались следующие соотношение размеров: Ь = 100 мм; а/Ь = 0,25-1; 5/Ь = 0-1.

Значение плотности тока принималось равным } = 1 А/мм2; магнитная проницаемость материала маг-нитопровода электромагнита принималась равной

с

Ь

с

Ь

105ц0 (Н-о = 4я-10~7 Гн/м), чтобы смоделировать ненасыщенное магнитное состояние полюсов при бесконечной магнитной проницаемости их материала.

Отметим, что возможности программного продукта ГБММ позволяют определять магнитные потоки с любой выделенной плоскости (линия на плоскости экрана) [5]. Причем, чтобы получить удельное значение магнитного потока результат расчета по ББММ необходимо делить на задаваемую единицу длины.

Рис. 4. Эскиз модели электромагнита в программе БЕММ

Результаты проведенных расчетов удельного значения (на единицу длины электромагнита) потока Ф&/2 (10-4 Вб/м) для принятых отношения параметров электромагнита представлены в табл. 1.

Таблица 1

S/b a/b

0.25 0,5 1

Расчет Ф8/2, 10 4 Вб/м

по FEMM по

0,1 3,88 6,99 7,85 13,6 15,4 29,5

0,2 3,97 6,93 7,80 13,7 15,6 26,2

0,3 3,96 6,89 7,60 13,1 15,5 26,2

0,4 3,80 6,72 7,26 12,5 14,2 25,3

0,5 3,51 6,41 6,64 11,7 13,1 23,2

0,6 3,16 5,89 5,88 10,6 11,5 21,1

0,7 2,62 5,12 4,88 9,20 9,80 18,4

0,8 2,01 4,05 3,82 7,40 7,59 14,7

0,9 1,25 2,59 2,43 4,80 4,85 9,53

1 0 0 0 0 0 0

Как видно из полученных результатов (табл. 1), расчет потока Ф8/2, в самом деле, дает существенную погрешность, которая практически не изменяется во всем диапазоне возможных значений зазоров (0<5<Ь). Целью дальнейшего было осуществить коррекцию этой погрешности, которая заметим будет тем меньше влиять на общий поток рассеивания через обмоточное окно, тем меньшую долю в этом суммарном потоке будет составлять поток Ф8/2.

КОРРЕКЦИЯ РАСЧЕТНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПОТОКА Ф5/2 Относительно данных, приведенных в табл. 1, можно заметить, что отношение данных, полученных расчетом по (2), к данным, полученным при компьютерном расчете (ГЕММ), приблизительно постоянно, как это видно из данных (табл. 2), в которой приведе-

но указанное отношение для соответствующих соотношений размеров обмоточного окна.

Таблица 2

S/b a/b

0.25 0,5 1

0,1 1,80 1,66 1,92

0,2 1,75 1,75 1,68

0,3 1,74 1,73 1,74

0,4 1,77 1,72 1,78

0,5 1,83 1,77 1,77

0,6 1,86 1,81 1,83

0,7 1,95 1,89 1,88

0,8 2,03 1,93 1,93

0,9 2,06 1,99 1,99

Как следствие, несложно заметить, что требуемую коррекцию расчетного выражения (2) можно осуществить простым делением этого выражения на корректирующий коэффициент к, равный среднему арифметическому числовых значений приведенных в табл. 2. Соответствующий расчет дает для указанного коэффициента значение к = 1,8.

На рис. 5 приведены результаты расчетов удельного потока Ф8/2 с указанной корректировкой. На этом же рисунки приведены графические результаты расчета Ф5/2 с помощью программного продукта FEMM. Как видно, сравнение этих результатов позволяет сделать вывод о том, что предлагаемая коррекция является достаточной.

На рис. 5, кроме указанных результатов расчетов, приведены результат расчета потока Ф5/2 по (2) с коррекцией значения этого потока по рекомендации из [1], заключающийся в уменьшении расчетного значения потока Ф8/2 по (2) на величину

-0,077^0 • jab . (3).

Выражение (3) получено умножением на магнитодвижущую силу обмотки (jab) на величину корректирующей проводимости для потоков рассеяния в обмоточном окне, полученную в [1].

В связи с этой коррекцией заметим, что она не зависит от зазора и может приводить к отрицательному значению потока Ф8/2, как это видно, из соответствующих графиков на рис. 5.

Что же касается предлагаемой коррекции с помощью к = 1,8, то она приемлема на всем возможном диапазоне изменения зазора для широкого диапазона изменения соотношения размеров обмоточного окна a/b. Это решает задачу определения практического метода расчета поля рассеяния при а/5 < 3, поставленную в [1].

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Рис. 5. Расчет потока Ф5/2: А - по формуле (2) с коррекцией по (3);  - компьютерный расчет с применением программного продукта БЕММ;  -по формуле (2) с коррекцией на коэффициент k = 1,8

ВЫВОДЫ

1. Расчет магнитного потока рассеяния из зазора в обмоточное окно плоскопараллельного электромагнита по известному распределению векторного потенциала в области обмоточного окна, полученному при допущении о равномерном распределении скалярного потенциала в зазоре, дает завышенное значение этого потока.

2. Отмеченное завышение имеет практически регулярный характер, что позволяет достаточно точно определять магнитный поток рассеяния из зазора в обмоточное окно на всем диапазоне изменения отношения его размеров, если уменьшать в 1,8 раза расчетный результат, получаемый при использовании известного аналитического выражения для векторного потенциала в рассматриваемом случае.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Долинский Ю.М. К расчету втяжных электромагнитов / Ю.М. Долинский // ВестникХПИ. - 1968. - № 28(76). - С. 56-62.

2. Бранспиз Ю.А. Расчет векторного потенциала в обмоточном окне плоскопараллельного электромагнита с несимметричным зазором / Ю.А. Бранспиз, А.А. Бельченко // Техническая электродинамика: Тем. выпуск "Проблемы современной электроники". - 2010. - Ч. 1. - С. 21-24.

3. Загирняк М.В. Исследования распределения магнитных потоков в обмоточном окне плоскопараллельного электромагнита / М.В. Загирняк, Ю.А. Бранспиз, А.А. Бельченко // Електромеханічні і енергозберігаючі системи. - 2011. - Вип. 2/2011 (14) - С. 116-120.

4. Meeker D. Flnlte element method magnetlcs: User’s manual

[Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://femm.berllos.de.

5. Буль О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов: Магнитные цепи, поля и программа FEMM.

- М.: Изд. центр "Академия", 2005. - 336 с.

6. Нейман Л.Р. Теоретические основы электротехники. В 2-х т. Т. 2./ Л.Р. Нейман, К. С. Демирчян. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.

Bibliography (transliterated): 1. Dollnsklj Yu.M. K raschetu vtyazhnyh 'elektromagnltov / Yu.M. Dollnsklj // Vestnlk HPI. - 1968. - № 28(76). - S. 5662. 2. Bransplz Yu.A. Raschet vektornogo potenclala v obmotochnom okne ploskoparallel'nogo 'elektromagnlta s neslmmetrlchnym zazorom / Yu.A. Bransplz, A.A. Vel'chenko // Tehnlcheskaya 'elektrodlnamlka: Tem. vypusk "Problemy sovremennoj 'elektronlkl". - 2010. - Ch. 1. - S. 21-24. 3. Zaglrnyak M.V. Issledovanlya raspredelenlya magnltnyh poto-kov v obmotochnom okne ploskoparallel'nogo 'elektromagnlta / M.V. Zaglrnyak, Yu.A. Bransplz, A.A. Vel'chenko // Elektromehanichni і energozberigayuchi slsteml. - 2011. - Vlp. 2/2011 (14) - S. 116-120. 4. Meeker D. Flnlte element method magnetics: User's manual ['Elek-tronnyj resurs]. - Rezhlm dostupa: http://femm.berHos.de. 5. Bul' O.B. Metody rascheta magnltnyh slstem 'elektrlchesklh apparatov: Magnltnye cepl, polya l programma FEMM. - M.: Izd. centr "Akademlya", 2005. -336 s. 6. Nejman L.R. Teoreticheskle osnovy 'elektrotehnlkl. V 2-h t. T. 2./ L.R. Nejman, K. S. Demlrchyan. - L.: 'Energolzdat, 1981. - 416 s.

Поступила 20.09.2011

БранспизЮрийАдолъфович, д.т.н, проф.,

Бельченко Анна Александровна

Восточноукраинский национальный университет им. В. Даля кафедра "Прикладная физика"

91034, Луганск, кв. Молодежный, 20-а тел. (0642) 500829, e-mall: bransplz@mall.ru

Branspiz Yu.A., Velchenko A.A.

Verification of boundary conditions adequacy on the gap line in calculating a vector potential in parallel-plane electromagnet window space.

A parallel- plane electromagnet wlth a known analytlcal expres-slon for vector potentlal dlstrlbutlon ln the wlndow space ls consldered. Wlth thls expresslon appllcatlon, adequate calcula-tlon posslbllltles for the gap - wlndow space magnetlc flux are analyzed. It ls shown that the assumptlon of the gap unlform fleld requlres correctlng of the correspondlng expresslon. The correctlve coefflclent ls speclfled through dlrect estlmatlon.

Key words - electromagnet, window space, vector potential, adequate calculation.