Бифуркационный механизм затягивания частоты в двухмодовом генераторе с индуктивно связанными контурами

ФИЗИКА

УДК 517.9

С.В. Астахов, О.В. Астахов, В.В. Астахов

БИФУРКАЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМ ЗАТЯГИВАНИЯ ЧАСТОТЫ В ДВУХМОДОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ С ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ КОНТУРАМИ

Исследуется бифуркационный механизм затягивания частоты в генераторе Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром. Показано, что явление бистабильности, наблюдаемое в системе, определяется двумя бифуркациями: суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа и субкритической бифуркацией Неймарка-Сакера. При этом границы бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов определяются устойчивыми и неустойчивыми инвариантными многообразиями седлового двумерного тора.

Автоколебания, многомодовые генераторы, бифуркации, формирование мультистабильности, гистерезис

S.V. Astakhov, O.V. Astakhov and V.V. Astakhov

BIFURCATIONAL MECHANISMS OF FREQUENCY ENTRAINMENT IN A TWO-MODE OSCILLATOR WITH INDUCTIVELY COUPLED CIRCUITS

The bifurcational mechanism of frequency entrainment in the Van der Pol oscillator with additional oscillatory circuit is studied in this paper. It is shown that the bista-bility phenomenon observed in the system is based on two bifurcations: the super-critical Andronov-Hopf bifurcation and the sub-critical Neimark-Sacker bifurcation. The attraction basin boundaries are determined by stable and unstable invariant manifolds of the saddle two-dimensional torus.

Self-excited oscillations, multimode generators, bifurcations, multistability formation, hysteresis

Введение

Для автоколебательных систем с большим числом степеней свободы, так называемых много-модовых генераторов [1-4], примерами которых являются различные генераторы СВЧ диапазона [5-7], лазеры [8-11], различные механические автоколебательные системы [12], характерны такие явления как синхронизация мод [13], мультистабильность и затягивание [14-16].

Простейшим, классическим, давно и хорошо известным примером двухмодовой автоколебательной системы является генератор Ван дер Поля с дополнительным колебательным контуром [14,15]. Эта система детально исследована и её описание вошло во многие монографии и учебники по теории колебаний (см., например, [5-7, 13, 17]). В таких генераторах с двумя степенями свободы основным является явление затягивания. При одних и тех же значениях управляющих параметров, в зависимости от выбора начальных условий или предыстории движения по параметру расстройки между собственными частотами контуров, могут наблюдаться два режима автоколебаний, различающихся амплитудами и частотами. При плавном изменении расстройки переход с одного режима на другой происходит жестким образом. Бифуркационные значения, при которых происходят перескоки с увеличением значений управляющего параметра и с уменьшением его значений, не совпадают. Наблюдается гистерезис. Явление затягивания существует при разных типах связи между контурами: и при индуктивной, и при емкостной (см., например, [17] и [5], соответственно).

Вестник СГТУ. 2015. № 3 (80)_

Вопрос о структуре фазового пространства в режиме затягивания был поставлен и рассмотрен для генератора с двумя контурами, связанными через ёмкость, в работе Скибарко и Стрелкова [16]. Задача была сведена к уравнениям для амплитуд и на фазовой плоскости были исследованы неподвижные точки и их устойчивость. Однако вопрос о бифуркационном механизме затягивания частоты, то есть в результате какой последовательности бифуркаций формируется бистабиль-ность, приводящая к гистерезису и в результате к затягиванию частоты, остается открытым.

Следует отметить, что обычно появление мультистабильности и гистерезиса связано с седлоузловыми бифуркациями предельных циклов. В фазовом пространстве рождаются пары устойчивых и седловых циклов, в расширенном пространстве координат и параметров системы появляются линии складок и точки сборки. Ниже будет показано, что появление затягивания, гистерезиса и бистабильности в двухмодовом генераторе с индуктивно связанными контурами обусловлено другим бифуркационным механизмом, иная последовательность бифуркаций состояния равновесия и предельных циклов приводит к явлению затягивания.

В данной работе исследуется бифуркационный механизм затягивания частоты в двухмодовом генераторе с индуктивно связанными контурами. Рассматривается как полная система уравнений в виде двух связанных осцилляторов, так и система укороченных уравнений для амплитуд и фаз. Установлено, что бистабильность формируется в результате последовательности из двух суперкритических бифуркаций Андронова-Хопфа для состояния равновесия и субкритической бифуркации Ней-марка-Сакера для седлового предельного цикла. В режиме затягивания в фазовом пространстве системы сосуществуют два устойчивых предельных цикла, границу бассейнов притяжения которых определяет седловой двумерный тор с его устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. При проведении бифуркационного анализа использовался специализированное программное обеспечение ХРРаи [20].

Рис. 1. Принципиальная схема классического генератора Ван дер Поля с дополнительным контуром

Исследуемая система

Схема классического генератора Ван дер Поля с дополнительным контуром [14, 15] представлена на рис. 1. Запишем уравнения для напряжений и токов этой схемы согласно законам Кирхгофа:

(1С й1 й1 йи йи

- I Ш + Ш + 1— = М—— + М1 —-г,

dt

и

du dt

= ^J ¿dt,

dt

d¿- 1С d¿

1 с

u1 = — I ¿1dt. C-i J

Задавая вольтамперную характеристику I = f(u) кубическим полиномом I = I0 + S 0u преобразуем систему уравнений (1) к осцилляторному виду:

fd2u Rdu 1 M „ du M1C1d2u1

, + ~r—r" + T^u = — (Sn — 3S2u2) — +  dt2 L dt LC LC 2 J dt

LC dt2

d2u1 Ru du1 + ---:—+

u1 =

M1Cd2u

S2u3,

й12 Ь1 йЬ Ь1С1 Ь1С1 й12 Перейдем к новому времени т = ь/ЛС, проводя нормировку времени Ь на величину, равную периоду собственных колебаний в контуре генератора. Система уравнений (2) примет вид

d2u ICdu M

dr2 JLdr VLC

{S0-3S2U2) — +

du M1C1d2u1

d2u1 ,— R1du1  + VLC---;--+

LC

dr2 ' L1 dr L1C1 Сделав замену переменных и параметров

u1 =

dr LC M1Cd2u L1C1 dr2 '

dr2

u 3MS-

x =

Щ.

_2 =u_

Vlc ,X1 u0.

¡3MS2 С MS0

— (u0 = 1V),2a = RlI,A = —,

LC

M1C1 f—R1 2

,У =

M1C L1C1

получим уравнения в виде двух связанных осцилляторов:

(х + 2ах + х = (А — х2)х + у1х1, * х1 + 2а1х1 + х1 = ух. Полагая А — 2а = £ и у1 = у, перепишем уравнения (4) в виде стандартной динамической системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

х' = (1 — у)у

у' = (£- #2)у

Г(2&1У1 + р2#1),

#1 = (1- У2)/1, у1 = -2&1/1 - р2#1 + У0(- - х2)у - x).

В данной работе при исследовании бифуркационного механизма затягивания частоты в двух-контурном генераторе мы рассматриваем не только полную систему (4) или (5), но и укороченные уравнения для амплитуд и фаз этой системы. В квазигармоническом приближении, когда параметр возбуждения генератора и параметр диссипации в дополнительном контуре близки к нулю, связь между генератором и дополнительным контуром слабая и собственная частота дополнительного контура близка к собственной частоте генератора (|е| << 1, la^] < 1,1(1 << 1,р ~ 1), динамика полной системы и амплитудно-фазовая динамика укороченной системы находятся в строгом соответствии.

Используя метод Ван дер Поля (метод усреднения), колебательное решение системы (4) ищем с общей, пока неизвестной частотой 5 и медленно меняющимися комплексными амплитудами A(r) и A^r), а именно,

1

Í

x(r) =20A(r)e9:T +A*e~9:T), x1(r) = ^[A1(r)e9:; + A*1e~9:r).

Решения для производных x(r) x1(r) записываются в виде

x(r) =1(j5A(r)e9:T -j5A*e-J:r),

t

4(r) — 0j5A1(r)e9:; - j5A1e-9:;).

Тем самым вводятся дополнительные условия

? А(т)е9ШТ + А*(т)е~9ШТ = 0, [А1(т)е9шг + А1(т)е~9шг = 0.

Подставим решение (6)-(7) в систему уравнений (4), предварительно вычислив вторые производные с учетом дополнительных условий (8). Полученные выражения разделим на е1ШТ и проведем усреднение за период Т = 2в/5 с учетом того, что комплексные амплитуды являются медленно меняющимися величинами. В результате получим следующую систему уравнений

( . 1 — 52 £ 1 . 5

А — ] — А = ^А — 8 \А2\А + уА1 + ¡у-^А!

A1

25

22 р2 - 52

j =

5

-&1A1 + yA+ jyjA.

Преобразуем систему (9) к виду

(1 — у2)А = С1—у2)А =

а-^Ы1

5

5

25

-&1 + >

(

5

5

25

+ ^2 А1+(

р2

-&1+>25

А + у (£ 1л 1

А1 А.

Перейдем к новому времени т' = 1 = 2. Обозначив — = (...)', запишем уравнения для ком-

плексных амплитуд двухконтурного генератора с индуктивной связью

А' =

А' =

а-У)

+>

1 — 5 25

5

+ Г2Т

/р2 — 52 _ 5 ~а1 ] ( 25 +(2

2

А1 + (

а + у(—&1 + >2)5 ]А1,

2 1 1 {2 — 81А2)+>25.

А.

Представим комплексные амплитуды в виде А = ре9<,А1 = р1е9<1. Тогда из системы (11) двух дифференциальных уравнений для комплексных амплитуд получим систему четырех дифференциальных уравнений для действительных амплитуд и фаз

р'={-—8р2)р

у

р2

а1 cos

25

р1,

ф =

1 — 52

5

25 2

р1 = —а1р1 + у

+ У22) + У 1

— ф) — &1 sinСwl — ф)

р1 р'

р,

р2 — 52 у25

(£ 1 Л 1

1 (2 1 Л

— ф) — [2 — ^Р2) sinСФl — Ф)

р

р1

Для описания фазовой динамики будем рассматривать разность фаз ф = ф1 — ф. Из второго и четвертого уравнения системы (12) получим уравнение для разности фаз

Ф' =

р

25

1 1 р р2 р1

^^\2.5р1 25 р ^

+у

а

р \2 8й /р^

sinф

в виде

Проанализируем первое слагаемое в правой части уравнения (13): -—1. Его можно переписать

2:

р2-1

. Как уже отмечалось, мы полагаем, что собственные частоты генератора и

2: 2:

дополнительного контура близки (р~1). Тогда и частота, на которой совершает колебания система,

также близка к ним, то есть 5~1 и Откуда получаем выражение для частоты автоколебаний

2:

Р+1 ^

5 = . В результате укороченные уравнения принимают следующий вид:

р' = (2—\р2)р р1 = —а1р1 + ур

Ур1

а1 cos ф +

р

^тф

' = Ср — 1) + у

р + 1

(2 1Л 1

\- — -р2 \cosZ +--тsinф

\2 8Н ) ^ р + 1 ^

1 р 1

р1 2 1 2 р 1 р 2 р1

\ал--\- — -р2 ) —)smф +---I--р2 — )cosф

\1р \2 8н)р1) ^ р + 1\р1 р/

Далее рассмотрим эффект затягивания частоты, появление бистабильных состояний и их бифуркации в полной системе уравнений (5) в виде двух связанных осцилляторов и в укороченной системе уравнений (14) для амплитуд и фаз.

-1 -0.5 0 0.5 1

х

Рис. 2. Проекции фазовых портретов системы (5) при фиксированных значениях - = 0.1,а = 0.1, а1 = 0.01,у = 0.2 и различных значениях параметра расстройки: (а) р = 0.6 - в фазовом пространстве наблюдается один устойчивый предельный цикл С1, (Ь) р = 1.1 - в фазовом пространстве сосуществуют два устойчивых предельных циклаС1 и С2, (с) р = 1.6 -наблюдается один устойчивый предельный цикл С2. Точка Е - неустойчивое состояние равновесия в начале координат

Исследование эффекта затягивания в полной системе

Рассмотрим эффект затягивания в двухконтурном генераторе с индуктивной связью (5). Зафиксируем значения управляющих параметров: £ = 0.1, а1 = 0.01, у = 0.2; и, изменяя параметр расстройки р, пронаблюдаем за режимами двухконтурного генератора. На рис. 2 представлены проекции фазовых портретов автоколебательной системы (5) при трех различных значениях р.

При р = 0.6 в системе существует устойчивый предельный цикл Съ проекции которого на плоскости (х — у) и (х — х1) представлены на рисунке 2(а). Перекрестная проекция (х — х^ предельного цикла С показывает, что колебания в генераторе и в дополнительном контуре близки к синфазным. С увеличением расстройки до величины р = 1.1 наблюдается плавное изменение размера предельного цикла С1 без каких-либо бифуркаций. При переходе через точку р = 1.1043 происходит жесткое переключение с одного режима автоколебаний на другой режим, соответствующий устойчивому предельному циклу С2 (рис. 2(с)). Данный режим автоколебаний характеризуется другой частотой и другой амплитудой. Перекрестная проекция предельного цикла С2 показывает, что колебания в генераторе и в дополнительном контуре близки к противофазным. Дальнейшее увеличение параметра расстройки до значения р = 2 не приводит к качественным изменениям в динамике системы и влияет только на размеры предельного цикла С2. Движение по параметру р в обратном направлении проявляет эффект гистерезиса: при р = 1.1043 не происходит обратного жесткого перехода от С2 к С1, этот переход осуществляется лишь при достижении значения р = 0.9329. Анализ влияния начальных условий на стационарные режимы системы (5) показывает, что в области гистерезиса сосуществуют устойчивые предельные циклы С1 и С2 (рис. 2(Ь)).

Таким образом, в рассмотренном сечении пространства параметров существует интервал значений расстройки по собственным частотам контуров генератора (от р = 0.9329 до р = 1.1043), в котором наблюдаются бистабильность и гистерезис. В фазовом пространстве системы сосуществуют два устойчивых предельных цикла С1 и С2. Здесь при одних и тех же значениях управляющих параметров в зависимости от выбора начальных условий или предыстории движения по параметру расстройки между собственными частотами контуров могут наблюдаться два режима автоколебаний, различающихся амплитудами и частотами.

Рассмотрим результаты бифуркационного анализа эффекта затягивания и формирования би-стабильности в двухконтурном генераторе с индуктивной связью. В сечении пространства параметров (2 = 0.1, а1 = 0.01, у = 0.2, характерные режимы для которого представлены на рис. 2) вне интервала бистабильности существует устойчивый предельный цикл (слева от интервала - С1, справа -С2) и неустойчивое состояние равновесия. Точка Е является седло-фокусом с двумерным устойчивым и двумерным неустойчивым многообразиями.

На рис. 3 представлена бифуркационная диаграмма неподвижной точки и предельных циклов в зависимости от параметра р. При малых значениях параметра (например, р = 0.3) существует устойчивый предельный цикл С1 и неустойчивая неподвижная точка Е. Она имеет две пары комплексно-сопряженных собственных значений с двумя положительными действительными частями и двумя отрицательными. С увеличением р неподвижная точка претерпевает бифуркацию. При пересечении р = 0.8889 действительные части еще одной пары собственных значений переходят через ноль из отрицательной области в положительную. Происходит суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа, в окрестности неподвижной точки рождается неустойчивый предельный цикл С2. Он имеет четыре мультипликатора щ & = 1, 2, 3,4), один из которых равен 1, два мультипликатора являются комплексно-сопряженными по модулю больше единицы, четвертый мультипликатор является действительным по модулю меньше единицы. То есть родившийся седловой цикл С2 имеет двумерное неустойчивое многообразие и одномерное устойчивое многообразие. При дальнейшем увеличении р седловой цикл С2 претерпевает бифуркацию и становится устойчивым. За точкой р = 0.9329 пара комплексно сопряженных мультипликаторов цикла входит в единичную окружность на плоскости 01т(у.) — Яе(у.)1, цикл С2 приобретает устойчивость. Система становится бистабильной, в фазовом пространстве сосуществуют два устойчивых предельных цикла С1 и С2. Далее с ростом параметра р устойчивый предельный цикл С2 никаких бифуркаций не претерпевает. Появление правой границы области гистерезиса связано с поведением предельного цикла С1. При переходе через точку р = 1.1043 он теряет устойчивость. Пара комплексно сопряженных мультипликаторов цикла С1 выходит за единичную окружность на плоскости 01т(а) — Ке(щ)1. Цикл не исчезает, он становится седловым с двумерным неустойчивым и одномерным устойчивым многообразиями. В его окрестности никаких новых устойчивых режимов не рождается. Такая ситуация соответствует субкритической бифуркации Неймарка-Сакера, когда седловой двумерный тор влипает в устойчивый предельный цикл, после чего он становится седло-вым. При дальнейшем увеличении расстройки р размер седлового цикла С1 уменьшается и при р = 1.277 цикл стягивается в неподвижную точку Е. Состояние равновесия из неустойчивого по всем направлениям превращается в седловое с двумерным устойчивым и двумерным неустойчивым многооб-

1 -1-1-1-1-1-г

1

С1 с2

0.5

0 0.5 Е АН2\ \ АН1

1

0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8

Р

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма неподвижной точки Е и предельных циклов С1,С2 в зависимости от параметра р при фиксированных значениях 2 = 0.1,а1 = 0.01,у = 0.2

Р

Рис. 4. Линии бифуркационных значений на плоскости параметров (у — р) для неподвижной точки и предельных циклов при 2 = 0.1,а1 = 0.01

разиями. В фазовом пространстве существуют устойчивый предельный цикл С2 и седловая неподвижная точка Е.

Итак, результаты бифуркационного анализа состояния равновесия и предельных циклов указывают на то, что формирование мультистабильности, области гистерезиса и появление эффекта затягивания обусловлено следующей последовательностью бифуркаций. При вариации параметра р в точках АНг и АН2 на бифуркационной диаграмме рис. 5 происходят суперкритические бифуркации Андронова-Хопфа. Из седловой неподвижной точки Е рождаются седловые предельные циклы С1 и С2, соответственно. При входе в область гистерезиса (в точках N Б1 и N 52 на бифуркационной диаграмме рис. 3) седловой цикл претерпевает субкритическую бифуркацию Неймарка-Сакера, в его окрестности рождается седловой двумерный тор и предельный цикл становится устойчивым. Седловой тор с его устойчивыми и неустойчивыми многообразиями определяют границы бассейнов притяжения сосуществующих устойчивых предельных циклов С1 и С2. При выходе из области гистерезиса седловой тор стягивается в предельный цикл (С1 или С2 в зависимости от направления движения по параметру), цикл становится неустойчивым, что приводит к жесткому переходу с одного автоколебательного режима на другой.

Влияние величины связи на эффекты бистабильности и затягивания характеризует рис. 4. Здесь на плоскости параметров (у — р) построены линии бифуркационных значений АН1,АН2 (суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа, рождения седлового предельного цикла С1 и С2, соответственно) и NS1,NS2 (субкритической бифуркации Неймарка-Сакера, рождения седлового тора из седлового предельного цикла). Из рисунка видно, что увеличение коэффициента связи ведет к уширению области гистерезиса. Чем сильнее связь, тем шире полоса затягивания.

Здесь необходимо сделать следующее замечание. Представленный вывод о механизме формирования бистабильности сделан на основании результатов бифуркационного анализа неподвижной точки и предельных циклов. Еще необходимо исследовать эволюцию седлового тора в фазовом пространстве системы при вариации параметров в области затягивания. Эта задача применительно к полной системе уравнений (5) является очень сложной. Однако, учитывая, что эффект затягивания наблюдается в двухконтурном генераторе и для квазигармонических режимов, для её решения мы можем обратиться к укороченным уравнениям для амплитуд и фаз (14).

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма неподвижных точек и предельных циклов укороченной (14) в зависимости от расстройки по частоте р при фиксированных значениях параметров £ = 0.1,а1 = 0.01,у = 0.2. ЗдесьЕ0,Е1,Е1,Е2,Е2 -состояния равновесия; точки РВ12 - точки бифуркации вил состояния равновесия Е0; точки АН122,АН[2 - точки бифуркаций Андронова-Хопфа состояний равновесия Е12 и Е[2, соответственно; С12 и С12 - предельные циклы, родившиеся в результате бифуркаций Андронова-Хопфа АН122,АН[2, соответственно

Бифуркационный анализ укороченной системы уравнений для амплитуд и фаз

Перед тем как представлять результаты бифуркационного анализа укороченной системы, напомним, что в ней неподвижная точка с нулевыми координатами соответствует состоянию равновесия полной системы, неподвижные точки с отличными от нуля координатами соответствуют предельным циклам, предельные циклы - двумерным торам, бифуркация вил соответствует бифуркации Андронова-Хопфа, а бифуркация Андронова-Хопфа соответствует бифуркации Неймарка-Сакера.

На рис. 5 представлена бифуркационная диаграмма неподвижных точек и предельных циклов укороченной системы уравнений для амплитуд и фаз (14). Данная динамическая система имеет трехмерное фазовое пространство, состояния в котором определяются тремя динамическими переменными р, р1,-ф.

При р = 0.3 в фазовом пространстве системы существуют неустойчивая неподвижная точка Е = 0 (седло с двумя отрицательными и одним положительным действительными собственными значениями) и два устойчивых узла Е1 и Е1 (рис. 6а).

С увеличением параметра р седловая неподвижная точка Е0 претерпевает еще одну бифуркацию. В точке РВ2 (при р = 0.873) наблюдается суперкритическая бифуркация вил. При переходе через р = 0.873 еще одно собственное значение переходит через ноль и точка Е0 становится седлом с двумя положительными и одним отрицательным действительными собственными значениями. В окрестности т. Е0 рождается пара симметричных друг другу неподвижных седловых точек Е2 и Е2' с двумя положительными и одним отрицательным собственными значениями (рис. 6Ь). С ростом р они расходятся друг от друга и до точки бифуркации АН1 (при р = 0.92) превращаются в седло-фокус с одним действительным отрицательным собственным значением и двумя комплексно-сопряженными с положительными действительными частями. При р = 0.92 комплексно-сопряженные собственные значения становятся чисто мнимыми. Затем действительные части комплексно-сопряженных собственных значений становятся отрицательными, состояния Е2 и Е2' превращаются в устойчивый фокус, и в их окрестности рождаются седловые предельные циклы С2 и С2, соответственно (рис. 6с). Они имеют один мультипликатор, равный единице, один по модулю меньше единицы и один по модулю больше единицы. Происходит субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа. В области затягивания при р < 1 фазовый портрет представляют седловая точка Е0, четыре устойчивые неподвижные точки Е1, Е1' , Е2, Е2' и два седловых предельных цикла С2, С2' . Проекции фазового портрета изображены на рис. 6с. Обратим внимание, что на рис. 6с и 6<1 циклы, возникшие в результате бифуркации Андронова-Хопфа, не охватывают состояния равновесия, в окрестности которых они появились. Это результат применения преобразования координат. При построении проекций фазовых портретов системы на плоскости (ф, р1) или (ф, р) состояния равновесия оказываются строго по центру соответствующих циклов.

Исследуем поведение системы при обратном движении по параметру расстройки. При р = 1.6 в фазовом пространстве системы существуют неустойчивая точка Ео и два устойчивых узла Е2 и Е2 (рис. 6£). С уменьшением р при переходе через точку РВ1 седловое состояние равновесия теряет устойчивость по отношению к синфазным возмущениям. Еще одно собственное значение становится положительным. Состояние Ео претерпевает еще одну бифуркацию вил. В ее окрестности рождается пара симметричных седловых точек Е1 и Е1 (см. рис. 6е), имеющих два отрицательных и два положительных собственных значения. При дальнейшем уменьшении р седловые точки Е1 и Е1' расходятся друг от друга. Пара положительных собственных значений становится комплексно-сопряженной и их действительные части уменьшаются. В точке АН2 бифуркационной диаграммы (см. рис.5) пара собственных значений становится чисто мнимой, за этой точкой действительные части собственных значений становятся отрицательными. Седловые состояния Е1 и Е1 превращаются в устойчивые. При переходе через точку АН2 бифуркационной диаграммы происходит субкритическая бифуркация Ан-дронова-Хопфа. В окрестности Е1 и Е1 рождаются седловые предельные циклы С1 и С1, в результате чего неподвижные точки становятся устойчивыми (см. Рис. 6ф.

Заключение

Исследование простейшего двухмодового генератора, для которого характерно явление затягивания, бистабильности и гистерезиса, показало, что формирование мультистабильности происходит не привычным образом через седлоузловые бифуркации предельных циклов, когда в фазовом пространстве рождаются пары устойчивых и седловых циклов, и в расширенном пространстве координат и параметров системы появляются линии складок и точки сборки, а обусловлено другим бифуркационным механизмом, иная последовательность бифуркаций состояния равновесия и предельных циклов приводит к явлению затягивания.

В результате бифуркационного анализа полной и укороченной системы уравнений установлено, что при вариации управляющих параметров происходят две суперкритические бифуркации Андронова-Хопфа. Из неподвижной точки Е рождается устойчивый и седловой предельные циклы. При входе в область гистерезиса седловой цикл претерпевает субкритическую бифуркацию Неймарка-Сакера, в его окрестности рождается седловой двумерный тор и предельный цикл становится устойчивым. Седловой тор с его устойчивыми и неустойчивыми многообразиями определяют границы бассейнов притяжения сосуществующих устойчивых предельных циклов С1 и С2. При выходе из области гистерезиса седловой тор стягивается в предельный цикл (С1 или С2 в зависимости от направления движения по параметру), цикл становится неустойчивым, что приводит к жесткому переходу с одного автоколебательного режима на другой.

(a) 1

0.5

6 w 0

— 0.5

-1

Т-!-Г

Е[ 0

Ei

Е0 *

-1 -0.5 0 0.5 1 рсовф

(d) 1 -Т-т-Г

0.5

3 О

-0.5 -1

Л

т1

Ж_

Сг

Ео

-1 -0.5 0 0.5 1

рсовф

(b) 1 0.5

о О

о и

-0.5 -1

(е) 1 0.5

E'2 0 i Е,-

Щ E0

• oe2 i

-1 -0.5 0 0.5 1

р cos ф

3 О

-0.5 -1

oEl

• ' E[ о 1

-1 -0.5 0 0.5 1

рсовф

(с) 1 0.5

о О

о "

-0.5 -1

(f) 1 0.5

>E>2 c2 ,Ег-

E0

E> i

-1 -0.5 0 0.5 1

р COS ф

3 О

-0.5 -1

!

- oE°

1 .

-1 -0.5 0 0.5 1 рсовф

Рис. 4. Фазовый портрет системы (14) при (a) р = 0.4; (b) р = 0.9; (c) р = 0.95; (d) р = 1.1; (e) р = 1.2; (f) р = 1.6

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №15-02-03061. В. Астахов благодарит за поддержку Министерство образования и науки РФ (базовая часть государственного задания высшим учебным учреждениям по проекту № 1694).

ЛИТЕРАТУРА

1. Nusinovich G.S. Mode interaction in gyrotrons // Int. J. Electronics. 1981. Vol. 51. № 4. P. 457-474.

2. Nusinovich G.S., Sinitsyn O.V., Antonsen T.M. Mode Switching in a Gyrotron with Azimuthally Corrugated Resonator // Physical Review Letters. 2007. Vol. 98. 205101.

3. McCardy A.H., Armstrong C.M. Mode selection by Application of an External Signal in an Overdamped Gyrotron Oscillator // Physical Review Letter. 1988. Vol. 61. 2316.

4. Новожилова Ю.В., Рыскин Н.М., Усачева С.А. Нестационарные процессы в генераторе с запаздывающим отражением от нагрузки // Журнал технической физики. 2011. Т. 81. Вып. 9. С. 16-22.

5. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат, 1952.

6. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1978.

7. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. М.: Сов. радио, 1978.

8. Lamb W.E. Theory of an Optical Maser // Physical Review. 1964. Vol. 134. P. 1429.

9. Wiesenfeld K. Bracikowski C., James G., Roy R. Observation of Antiphase States in a Multimode Laser // Physical Review Letters. 1990. Vol. 65. 1749.

10. Homar M., Balle S., San Miguel M. Mode Competition in a Fabry-Perot Semiconductor Laser: Traveling Wave Model with Asymmetric Dynamical Gain // Optics Communications. 1996. Vol. 131. P. 380-390.

11. Gaerba A., Cone G. Numerical Analysis of Laser Mode Competition and Stability // Physics Letters A. 2000. Vol. 269. P. 112-119.

12. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Vakakis P. Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 2004. 341 p.

13. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

14. Van der Pol B. On oscillation hysteresis in a triode generator with two degrees of freedom // Philos. Mag. Ser., 1922. Vol. 43. No. 256. P. 700-719.

15. Андронов А.А., Витт А.А. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы // Журнал технической физики. 1934. Т. 4. Вып. 1. С. 122 (Андронов А.А. Собрание трудов. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1956. С. 161-182).

16. Скибарко А.П., Стрелков С.П. Качественное исследование процессов в генераторе со сложной схемой // Журнал технической физики. 1934. Т. 4. Вып. 1. С. 158.

17. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.

18. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997.

19. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

20. Ermentrout, B. Simultating, analyszing, and animating dynamical systems: a guide to XPPAUT for researchers and students. SIAM, Philadelphia, 2002.

Астахов Сергей Владимирович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Информационная безопасность автоматизированных систем Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Sergey V. Astakhov -

Ph. D., Associate Professor Department of Information Security of Automated Systems Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov

Астахов Олег Владимирович -

аспирант кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Астахов Владимир Владимирович -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой Радиоэлектроника и телекоммуникации Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Oleg V. Astakhov -

Ph. D. Student,

Department of Dynamic Modeling and Biomedical

EngineeringSaratov State

University

Vladimir V. Astakhov -

Dr. Sc., Professor,

Head: Department of Radioelectronics and Telecommunications Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 17.06.15, принята к опубликованию 15.09.15