Кинетическая нелинейная модель развития единичного двойника

Aptukov V.N., Romanov P.V., Skryabina N.E. CALCULATION OF PLASTIC FLOW UNDER EQUAL CHANNEL ANGULAR EXTRUSION USING VARIATIONAL METHOD

In this work an approximate continuous solution of material flow under angular extrusion in the place of channels connection

was obtained by using of the variation methods. Accumulated plastic strain of different material points was analyzed.

Key words: equal channel angular extrusion; variation methods; plasticity.

УДК 539.3

КИНЕТИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ЕДИНИЧНОГО ДВОЙНИКА

© О.М. Остриков

Ключевые слова: механическое двойникование; кинетические уравнения.

Разработана кинетическая модель развивающегося единичного двойника. Получена система нелинейных кинетических уравнений, описывающих процесс двойникования кристаллов.

Двойникование наряду со скольжением является основным каналом пластической деформации твердых тел [1]. Однако в отличие от скольжения двойникование является более сложным процессом, связанным с поворотом кристаллической решетки. Поэтому развитие теории двойникования в современной науке происходит более медленно, чем теории дислокаций [2].

Процесс двойникования деформируемых твердых тел может быть описан кинетическими уравнениями, т. к. двойникованию присущи все свойственные кинетическим процессам особенности. Процесс формирования единичных двойников связан с истощением источников двойникующих дислокаций.

Кинетическое описание известно для групп полных дислокаций [3], но кинетическая теория двойникования отсутствует.

Целью данной работы стала разработка кинетической модели единичного клиновидного двойника с использованием нелинейных уравнений.

На рис. 1 схематически показан клиновидный двойник, у устья которого находится источник двойни-кующих дислокаций, из которого генерируются двой-никующие дислокации, формирующие границы двойника. Для удобства разобьем данный источник на два источника, каждый из которых генерирует дислокации только для одной двойниковой границы.

Тогда такой процесс, как и в [3], можно описать системой уравнений:

— + Vj1 = k1P„1 + (a1 - в1 К + T1P32 - «А , dt

Ф2

dt

dt

+ Vj2 = k 2P и 2 +(a 2 - в 2 К 2 + Y 2P 22 - 8 2P 2>

= - k1P„1,—= -k2PH2. dt

где t - время; р1 и р2 - плотности двойникующих дислокаций на двойниковых границах; ри1 и ри2 -определяют количество двойникующих дислокаций в их источниках; к1 и к2 имеют физический смысл скоростей генерации двойникующих дислокаций источниками двойникующих дислокаций; а1 и а2 - коэффициенты размножения двойникующих дислокаций на неоднородностях структуры у первой и второй границы двойника соответственно; Р1 и в2 - коэффициенты убыли двойникующих дислокаций из-за их выхода на поверхность; у1 и у2 - коэффициенты генерации двойникующих дислокаций на двойниковых границах; 51 и 52 - коэффициенты аннигиляции двойникующих дислокаций на первой и второй границе двойника соответственно; ]1 и ]2 - потоки двойникующих дислокаций; 01 и Б2 - коэффициенты диффузии.

j1 = D1VP1, j2 = D2VP 2 =

Рис. 1. Схематическое изображение клиновидного двойника в виде совокупности двух источников двойникующих дислокаций и двойниковых границ

и1

1903

Система (1) может быть дополнена следующими

N1 N2

очевидными соотношениями: p1 =----, p2 =-----,

L1 L2

N1 =H1, N2 =H2

H1

a

H

h = H + H2, P1 = —1

aL1

p2 = —— (здесь N1 и N2 - число двойникующих aL2

дислокаций на двойниковых границах; L1 и L2 - контуры двойниковых границ; H - ширина клиновидного двойника у устья; H1 и H 2 - ширина источников двойникующих дислокаций; a - межплоскостное расстояние в плоскости, перпендикулярной плоскости двойникования). Не трудно показать, что

L1 =1

2

L2 =

где / (;) и /2 (;) - функции, описывающие формы

двойниковых границ; Е, - параметр интегрирования; і -длина двойника (расстояние от устья двойника до его вершины).

Решение системы уравнений (1) часто объемно. Поэтому удобно следующее упрощение этой системы:

— = k1 N,1 + (1 - в К + Y Nf - *1N12 dt

dN 2 dt dN

= kN + (a - в )n + Y n!/2 - * N2,

2 и2 2 2 2 2 2 2 2

1 dN2

1 = -kN ,,-------1 = -kN

1 и1? 2 и

dt dt

dN

-f =-(k1 + k2 )Nh dt

dN1 dt dN 2 dt

k1 N ,

1 и -

= k2 N .

2и

Интегрирование (5) дает

N и (t )=(N и )max Є ^

и и max

/и) и max

k

1 V и / п

k1 + k 2

k2 (nи L

1 - e

-(1+k2 N

k1 + k 2

1 - e

-(1 +k2 N

Здесь (nh

и max - начальное количество двойникующих

дислокаций в источниках.

Таким образом, показано, что для описания процесса двойникования может быть использована система нелинейных кинетических уравнений, которая является математической основой нелинейной кинетической модели двойникования деформируемых твердых тел.

ЛИТЕРАТУРА

5. Косевич Л.М., Бойко B.C. Дислокационная теория упругого двой-никования кристаллов // Успехи физических наук. 1971. Т. 104. № 2. С. 101-255.

6. Остриков О.М. Механика двойникования твердых тел: монография. Гомель: Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет им. П.О. Сухого», 2008. 301 с.

7. Малыгин Г. Л. Дислокации как линейные топологические дефекты // Физика твердого тела. 2001. Т. 43. № 5. С. 822-82б.

Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.

Полагая NH1 = Nh2 = NH и пренебрегая аннигиляцией двойникующих дислокаций, их генерацией на двойниковых границах, при отсутствии выхода двой-никующих дислокаций на поверхность получим систему линейных кинетических уравнений:

Ostrikov O.M. KINETIC NONLINEAR MODEL OF DEVELOPMENT OF INDIVIDUAL TWIN

The kinetic model of individual twin developing is created. The system of the nonlinear kinetic equations describing twining process of crystals is received.

Key words: Mechanical twin; the kinetic equations.

1904