Разработка котлованов (каналов) воздействием импульсной силовой нагрузки

гидравлика. инженерная гидрология.

гидротехническое строительство

УДК 624.134 DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.924-930

разработка котлованов (каналов) воздействием импульсной силовой нагрузки

К.Н. Анахаев

Высокогорный геофизический институт (ВГИ), 360030, Нальчик, пр. Ленина, д. 2

АННОТАцИЯ. В работе дано новое гидромеханическое решение задачи формирования профилей котлованов и каналов путем воздействия импульсной (взрывной) силовой нагрузки на поверхность однородного грунтового массива, например, при разработке твердых горных пород, мерзлых грунтов и т.д. Грунт в данном случае рассматриваем как идеальную тяжелую жидкость, пренебрегая его прочностными и пластическими свойствами. Решение данной задачи получено методом последовательных конформных отображений физической области течения (в виде комплекса Кирхгоффа) на область комплексного потенциала (в виде прямоугольника). Использована новая методика построения геометрического образа последнего при наличии в области течения фокусной точки со скачкообразными изменениями напорной функции и направления скорости потока и представлением эллиптического синуса Якоби элементарными функциями.

Полученные аналитические зависимости позволяют определить очертание воронки выброса грунта и все необходимые гидромеханические характеристики потока: напорную функцию, функцию тока, скорости течения и др. При этом профиль воронки выброса грунта (для тестовой задачи) полностью совпадает с частным результатом известного строгого решения Лаврентьева-Кузнецова.

КЛЮчЕВЫЕ СЛОВА: разработка котлованов, воронка выброса, импульсное воздействие, потенциальный поток, комплекс Кирхгоффа, область комплексного потенциала, конформные отображения

ДЛЯ цИТИРОВАНИЯ: Анахаев К.Н. Разработка котлованов (каналов) воздействием импульсной силовой нагрузки // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 8 (107). С. 924-930. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.924-930

EXCAVATION OF PITS (CHANNELS) BY IMPACT OF PULSE POWER LOADING

K.N. Anakhaev

High-Mountain Geophysical Institute (VGI), 2 Lenin prospect, Nalchik, 360030, Russian Federation

ABSTRACT. The paper provides an innovative hydromechanical solution of the problem of profiles development of pits and channels by impact of pulse (blasting) power load on a surface of homogeneous soil mass, for example, when ^ excavating solid rocks, frozen soil, etc. Thus, soil would be considered as an ideal heavy liquid (disregarding its mechanical

strength and plastic properties). The solution of this problem is achieved by the method of consecutive conformal mappings of physical flow region (in the form of Kirchhoff complex) on the region of complex potential (in the form of a rectangle). w Thus, the new technique of geometrical image generation of the latter in the presence in the flow region of a fixed point

with discontinuous variations of pressure head-flow function and the direction of speed of flow and representation of an elliptic sine of Jacobi by means of elementary functions are used. The received analytical functional dependencies allow to determine an outline of a funnel of the soil ejection and all the required hydromechanical characteristics of flow (head-flow function, function of flow, speed of flow, etc.). Thus, the soil ejection funnel outline (for a benchmark problem) completely coincides with subproduct of the known rigorous solution of Lavrentyev-Kuznetsov.

Л tû

<N

KEYWORDS: excavation of pits, soil ejection funnel, pulse impact, potential flow, Kirchhoff complex, region of complex potential, conformal mappings.

FOR CITATION: Anakhaev K.N. Razrabotka kotlovanov (kanalov) vozdeystviem impul'snoy silovoy nagruzki [Excavation О of Pits (Channels) by Impact of Pulse Power Loading]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil

H Engineering]. 2017, vol. 12, issue 8 (107), pp. 924-930. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.924-930

О

В работе дано новое гидромеханическое ре- и сотни тысяч атмосфер) в последней возникают

^ шение задачи формирования профилей котлованов инерционные силы, значительно (в тысячи и более

S и каналов путем воздействия импульсной (взрыв- раз) превосходящие ее внутренние физико-механи-

I- ной) силовой нагрузки на поверхность однород- ческие связи. Поэтому указанную область грунта,

ного грунтового массива, например, при разработ- пренебрегая его прочностными и пластическими

О Ф

ке твердых горных пород, мерзлых грунтов и т.д. свойствами, рассматриваем как идеальную тяже-(рис. 1). При взрывной нагрузке на грунт (в десятки лую несжимаемую жидкость [1], в которой значе-

924

© Анахаев К.Н., 2017

С.924-930

ния импульсных скоростей потока V превышают некоторую критическую (минимальную) скорость V характерную для данного вида грунта.

Решение рассматриваемой задачи с определением очертания воронки выброса и гидродинамических характеристик потока получено в плоской постановке методом последовательных конформных отображений физической области течения ^ = х + /у (см. рис. 1, также 2, а), представленной в виде комплекса Кирхгоффа = + ¿ПК (рис. 2, б), на область комплексного потенциала W = ф + /у (рис. 3, а), где х, у и ПК — текущие координаты областей ^ и ф и у — напорная (потенциальная) функция и функция тока.

С учетом симметричности области течения рассматривается только правая половина воронки выброса ABCPD с расположением осей координат х и у по рис. 1. При этом имеем следующие граничные условия [1, 2]:

• вдоль очертания криволинейного участка воронки выброса DPC значение полной скорости потока Vравно критической скорости V= Vкр, соответственно, внутри области воронки выброса V> Vкр и снаружи V< К;

• по линии осевой симметрии (непроницаемой границы) AD и очертанию криволинейного участка воронки выброса DPC функция тока равна нулю у = 0;

• напорная (потенциальная) функция ф на линии заряда АВ равна полному (единичному) напору

Н (ф = Н =1, в усл. ед.), а на выходном участке ВС (линии выброса грунта) ф = 0.

Для принятых граничных условий построение геометрического образа области комплексного потенциала W = ф + /у (прямоугольника) осложняется наличием в физической области течения ^ = х + /у фокусной точки В со скачкообразными условиями изменения потенциала (от единицы до нуля) и направления скорости потока (на противоположное). Указанная трудность преодолевается введением в непосредственной близости от точки В некоторой огибающей кривой т-п [2] (см. рис. 2, а), очертание которой в области комплекса Кирхгоффа = + /'пК (см. рис. 2, б) соответствует полуокруж-1

ности радиуса г << — = qк(кv).

Изложенное позволяет получить образ комплексного потенциала W = ф + /у в виде прямоугольника AmnCD (см. рис. 3, а) шириной Н = 1 и высотой, равной полному значению функции тока у = ц, определяемого в процессе решения задачи.

Область комплекса Кирхгоффа является обратной величиной области годографа сопряженной скорости V

1

г . 1

?к = цк + =-= = =

Ък ^К 1к ^ V V - V

где Vx и Vy — горизонтальная и вертикальная со ставляющие полной скорости V, равные

^к . \/ _ ПК

V =-

^к +пК

^ V, =

Й +пК

V .

Рис. 1. Расчетная схема потенциального потока в воронке выброса грунта: 1 — линия импульсного (взрывного) воздействия; 2 — однородное тело (грунтовый массив); 3 — очертание воронки выброса; 4, 5 — эпюры входных значений функций тока у и скорости V, по линии Ат; 6, 7 — эпюры выходных значений функций тока у и скорости V по линии пС; 8, 9 — эпюры напорной функции ф и скорости V по осевой линии AD; 10,11,12,13 — эпюры напорной функции ф и скоростей V, V,, Vсоответственно вдоль криволинейного воронки БРС

00

Ф

0 т

1

*

О У

Т

0

1

м

В

г

3

у

о *

8

О

ч

Всякий вектор, проведенный из центра координат области комплекса Кирхгоффа = + 'ПК к рассматриваемой точке, показывает направление скорости в этой точке в физической области течения г = х + /у, а длина вектора численно равна обратному значению модуля скорости [2, 3]. Образ же области течения г = х + 1у представляется в области комплекса Кирхгоффа = + 'ПК в виде правого полукруга радиуса ^К(кр) = с «вырезанным» в центре малым полукругом радиуса г << ^К(кр) (см. рис. 2, б).

Для получения замкнутого решения задачи в виде V = /(Ж) последовательно отобразим области = + /'пК (см. рис. 2, б) и Ж = ф + щ (см. рис. 3, а) на единую связующую полуплоскость 6 = 01 + /62, используя для этого нижеследующие промежуточные комплексные области с соответствующими отображающими функциями:

1) при конформном отображении области комплекса Кирхгоффа = + 'ПК на полуплоскость 6 = 61 + /62: 5 = 51 + /52, т = т1 + /'т2,

г = г1 + Иг, 6 = 61 + /62, 0 = 01 + Ю2

с функциями

8 = т = 5 +1 г = г 5 т

Ь

гг2-(а2 -Ь2)'

' = 01 - /62;

где «плюс» при t > 0, «минус» при t < 0;

2) при конформном отображении области комплексного потенциала Ж = ф + /у на полуплоскость 6 = 01 + /62 (прямоугольника на полуплоскость); при этом, как известно, используется эллиптический синус Якоби. Однако возникающие при этом

N О

со

о >

с во

N ^

2 О

н *

О

X 5 I

н

о ф

Рис. 2. Последовательные конформные отображения области течения на связующую полуплоскость: а — физическая область течения г = х + гу; б — область комплекса Кирхгоффа = + г'т|К; в-е — промежуточные комплексные полуплоскости 5 = 51 + г'52, т = т1 + гт2, t = t1 + и2 и 0 = 01 + г'02, соответственно; ж — связующая полуплоскость 6 = 61 + г'62

С.924-930

математические сложности затрудняют получение общего решения задачи в координатах физической области течения. В связи с этим ниже используется новая методика конформного отображения прямоугольника области Ж = ф + /у на полуплоскость 0 = 0 + /02 (с погрешностью << 1 %) [2, 3, 4]:

Ж1 = Ф1 + /у 1, у = у1 + /у2, ст = ст1 + /ст2,

£ = 81 + /82, ^ = | + (см. рис. 3, б-е) с функциями

W1 = — {Ж -0,5Н), у = бШЖ1,

? =1 Н8+1 ], ё = 0„^,

ст = Х, Я

8 = 1, ст

в которых

^ =

{а + Ь)Х-0„ {а + Ь) -Х0я

= 0,5 +

{а + Ь)Ь

0,5^0,25- {а2 -Ь2) '

2Я

1+Я2

, я = сН , а = 1, Ь = ±,

?К(кр) Г

а =—— +-

?К

Н

Р =

а

^К

^К

В формулах (3) очертание эллипсовидной кривой DPC в области t = t + ^ принято по полуэллипсу с полуосями а и Ь (как в работе [5]).

Аналитическую взаимосвязь = /(Ж) между областями комплекса Кирхгоффа = + 'ПК и комплексного потенциала Ж = ф + /у устанавливаем с учетом значений функции Ж,у,ст,8,0,0,т,5, определяемых по зависимостям (3) и (4) в виде

N = 2

в которых

0 = 0т

Б =-

5 = £ + щ =-г (N -а0-^0г - {а + Ь)2

а + Ь

0,5 (8 + 8-1) + ^ 1 + 0,5^(8 + 8), R

БИЛ

Н

( - о,5н;

БШ

Н

(+ ¡у-0,5Н

Разделяя в (6) и (7) действительную и мнимую части и преобразовывая, получим окон-

1 у ф= ф + пу

1" • т

я *

1 • /

| с ' о . Л \

0 Н= 1 I

" V,

1Щ

И

-л/2 0

IV - (р + /у

71/2

у- У = Т, +

^^ ( Г*\ /г

1 Л^ ИГ* Г' С О >Й>Л т,

-я -1 о 1 л

«-5+Л1

А О 4

00

ф

0 т

1

*

О У

Т

0

1

м

В

г

3

у

о *

8

Рис. 3. Схема последовательных конформных отображений: а — область комплексного потенциала (прямоугольника) Ж = ф + /у ; в-е — промежуточные комплексные полуплоскости у = у1 + /'у а = а1 + /а, S = S1 + iS2 и ^ = + /'П

соответственно

О Ч

R

г

г

Г

чательные выражения для определения значений текущих координат комплекса Кирхгоффа

= ^к

где

51 = 1Т1 + А1- 52 = 1Т2 + В1'

A =

щ22 + B2 + л2 = üa¡ + в2 - a2

a2 = т' Т2 4, b2 =

т =

1 t2 +t2

'1 Tí2

2 12 +12

'1 Tí2

t=

a91 ± bA3 a + b

(«плюс» при 01 > 0, «минус» при

a62 + bB3

9 < 0), t2 =--2-3

a + b

Лз =

UA[+B¡ + л4

B3 =

шйв - Л4

2 3 V 2

Л4 = 6j2-92 - (а + b)2, B4 = 29192, 9 =9 (1 + F £)( F + £) + F п2

1 = » (1 + f£)2 + (Fn)2 ,

92 =-n а-Я(1 -F) 2 , (91 =91, 92 =-92),

2 '(1 + F£)2 + (F£)2 V 1 1 2 2'

£ = ^L 2

S =

1+(S2 + S22 )-1 , n = | 1 -(S12 +S22 )-1

CT1 +CT2

S2 = Г

~ Y1

CT1 =-,

1 R

Y 2

N О

со

о >

с

tt

<n

S о

н >

О

X

s

I h

О ф

d y d ф

dx

dy

очертание воронки выброса, которые полностью совпадают с имеющимися результатами решения Даврентьева—Кузнецова [1, 7]. В отличие от последнего, предложенное решение позволило также получить и гидромеханические характеристики потенциального потока:

• значение полного расхода д = 1,257 и эпюры распределения функций тока у по линиям заряда Ат и выходного участка пС воронки выброса (см. рис. 1, кривые 4, 6);

• значения напорной функции (потенциала) ф в характерных точках D и Р, равные фв = 0,5018 и ФР = 0,3344 , а также эпюры распределения напорной функции ф по осевой линии АD и очертанию воронки выброса DРС (см. рис. 1, кривые 8, 10);

• значения скоростей потока V, V и Vв ха-

А х1 у

рактерных точках А, D, Р, С , равные для точек:

А ^ V = 0, К = -0,5516; D ^ К = 0, К = -0,0955; Р ^ V = 0,09У55, V = 0; С ^ V = 0, V0.0955, и

у у

распределение их по линиям заряда Ат, выходного участка пС, осевой линии АD и очертанию воронки выброса грунта DРС (см. рис. 1, кривые 5, 7, 9 и 11-13 соответственно).

При решении задачи использовалась следующая методика расчета для отдельных участков рассматриваемой области.

Участок Ат (линия заряда). Тут

у = 0; 0 < х < 1; ф= Н = 1;

0<у< я; Ух = 0; >.

^ у

Из известного [3] равенства V = —- в интер-

вале 0 < x < l имеем

x. = í dx = í4 — dш. ' Jo jo V

dx

ст2 = —, y1 = sinф1с^ш1, y2 = cosф^Шх,

R

п п

Ф1 = — (Ф-0,5Я), Ш1 = —y.

H H

Полученное решение рассматриваемой задачи в виде аналитической взаимосвязи V = f (W) с учетом известных зависимостей для движения потенциального потока [6]:

V = —И = —^ - vx = V2— и V = V

dx dy d ф у d ф

позволяет определять как геометрические размеры и очертание воронки выброса грунта, так и все необходимые гидромеханические характеристики потенциального потока в ней: напорную функцию (потенциалы), функцию тока, скорости потока и др.

На рис. 1 представлены результаты решения рассматриваемой задачи для частного случая при заданных исходных значениях ширины заряда

0 3

I = 1, критической скорости V = = 0,0955 и ра-

р п

диуса г = 0,01<;К(кр). При этом определены местоположения характерных точек D (х1) = 0; у1) = -1,4437), Р (хр = 1,3760; ур = -2,2902), С (хс = 3,5; ус = 0) и

Подсчитывая значение Vy по формулам (2) и (8) при текущих значениях 0 < у <д (и задаваемых д), определяем из условия равенства по (10) х. = I = 1 полный расход д = 1,247, при этом зависимость

— = / (у) выражается полиномом пятой степени (с достоверностью в единицу):

— = -2,0442у5 + 8,9782у4 - 14,5880у3 +

+ 9,4788у2 -0,2334у+ 1,8124.

Из (11) находим скорость в точке А (при = 0), равную К(А) = -0,5517.

Подставляя значения — из выражения (11) в

(10) и интегрируя, получим эпюру распределения функции тока х = _Ду) вдоль участка Ат (см. рис. 1, кривая 4 слева), совместный учет значений которой с данными зависимости Vy = _Ду) позволяет получить (исключая ф) на рассматриваемом участке эпюру входных скоростей Vy = Ах) (см. рис. 1, кривая 5).

Участок пС (выходной участок воронки выброса грунта). Для него

t

2

а

2

у = 0, 1 < х < хС, Ф = 0, д > у > 0, Ух = 0, Уу = Укр = 0,0955.

Для рассматриваемого участка по результатам подсчетов по формулам (2) и (8) при ф = 0 и

д > у > 0 величина — = / {у) выразится полиному

мом пятой степени (с достоверностью 1): 1

— = -14,593у5 + 62,053у4 - 105,930у3

+ 93,705у2 - 45,481у +10,468. 1

Подставляя значения — из выражения (12) в

Уу

(10) и интегрируя, получим эпюру распределения функции тока х = / {у) вдоль выходного участка воронки выброса nC (см. рис. 1, кривая 6 слева), причем при значении у = 0 находим ширину последней, равную хпС = 2,5 , что полностью совпадает с результатами работы [1, 5].

Совместный учет зависимостей х = /(у) и Уу = / {у) позволяет получить (исключая ф) по линии пС эпюру распределения выходных скоростей V = /(х) (см. рис. 1, кривая 7) с значением в точке С, равным V = V = 0,0955.

Г у кр '

Участок AD (осевая линия воронки выброса).

Тут

х = 0, у в <у < 0, у = 0, фв <Ф<1, Ух = 0, УКр < |Уу| < УА.

Для рассматриваемого участка из известного

ё ф „ [3] равенства У = — в пределах у в < у < 0 имеем

ёу

у=Гёу=Гу-ё ф-

1 = [-1,7770ф2 +3,5460ф-1,2194]-1.

по осевой линии AD эпюру распределения скоростей Уу = /{у) (см. рис. 1, кривая 9) с значениями в точках А и D, равными УА =-0,5516 и V = К1 = -0,0955.

Участок DP (нисходящий криволинейный участок воронки выброса грунта). Тут для точки D

ув =-1,4437, фв = 0,5018; для точки Р

0<х<хр, фв >ф>фР, 0<V, <Ур = V , V > |У| > 0.

кр I У I

Для рассматриваемого участка из известных [3] зависимостей движения потенциального потока

ёх

ёу

Ух = У — и У = У — выразим:

ё ф

ё ф

х. = 1 р ёх = -11 фр У ёф,

' ->0 у 2 V х

у< = Г ёу = 772 Р ууё ф.

-1 уп V •'фп '

полная ско-

По результатам подсчетов по формулам (2) и

Уу

выразится полиномом второй степени (с достоверностью 0,998):

Потенциал в точке D фD = 0,5018 находим из условия равенства значения скорости в этой точке ее критическому значению Уу = Укр = 0,0955.

Поставляя значения — из выражения (14) в

Уу

(13) и интегрируя, получим эпюру распределения напорной функции (потенциала) ф вдоль осевой линии AD (см. рис. 1, кривая 8 слева). При этом ординату точки раздвоения воронки выброса D, равную ув = -1,4437 , находим по ранее полученному значению его потенциала фв = 0,5018.

Совместный учет зависимостей у = /

'ув ' У •'фп

В формулах (15) У = ^Ух + Уу2 рость течения, равная на данном участке значению критической скорости V = Vк¡]. По результатам подсчетов по формулам (2) и (8) при у = 0 и фс > ф > фр величины Ух = / {ф),и Уу = / {ф) выразятся полиномами второй и первой степеней (с достоверностью 0,999):

Ух = 0,5705^/-ф2 + 0,6688ф- 0,0838,

Уу = -0,5363ф + 0,1898.

По зависимостям (16) значение потенциала в точке Р, равное фР = 0,3344, найдем из условий равенств V = V или V = 0.

х кр у

Подставляя значения Vx и Vy из выражения (16) в (15) и интегрируя, получим эпюру распределения напорной функции (потенциала) ф вдоль участка DP (рис. 1, кривая 10 слева). При этом координаты точки Р, равные хр = 1,376 и ур = -2,2902, определяются по ранее полученному значению фр = 0,3344.

Совместный учет значений функций х = / {ф), у = / {ф) и Ух = / {ф), Уу = / {ф) вдоль нисходящего криволинейного участка — очертания воронки выброса DP — позволяет построить (исключая ф) эпюры распределений скоростей V, Vy и V в зависимости от текущих координат х и у (см. рис. 1, кривые 11-13). При этом имеем V = V = 0,0955 на всем участке DP; V = 0, V = -0,0955 — в точке D и

^ 7 х У

V = 0,0955, V = 0 — в точке Р.

х 'у

Участок РС (восходящий криволинейный участок воронки выброса грунта). Тут для точки Р

хр = 1,3760, ур =-2,2902, фр = 0,3344; для точки С

уС = 0, фС = 0, хр < х < хС, фр > ф > 0,

V > V > 0, 0 < V < V .

кр — X — ' — у — кр

Для рассматриваемого участка по результатам подсчетов по формулам (2) и (8) при у = 0 и фр > ф > 0

00

ф

0 т

1

*

О У

Т

0

1

м

В

г 3

у

о *

8

О

ч

величины V. = Аф) и V = У(ф) выразятся полиномами ем V = Укр = 0,0955 на всем участке РС; V, = 0,0955, второй степени (с достоверностью 0.999):

V = -0,6147ф2 +0,4986ф-0,001,

Уу = -0,7915ф2 -00242ф + 0,096.

Подставляя значения V х и V, из выражения (17) в (15) и интегрируя, получим эпюру распределения напорной функции (потенциала) ф вдоль участка РС (см. рис. 1, кривая 10 слева). Совместный учет значений функций х = / (ф), у = / (ф) и Ух = / (ф), V = / (ф) вдоль восходящего криволинейного участка — очертания воронки выброса РС — позволяет построить (исключая ф) эпюры распределения скоростей V, V и Vв зависимости от текущих координат х и у (см. рис. 1, кривые 11-13). При этом име-

V = 0 — в точке Р и V = 0, V = 0,0955 — в точке С .

у х у

В целом, очертание воронки выброса грунта ADPC, подсчитанное на основе предлагаемых расчетных зависимостей для тестовой задачи (при исходных данных I = 1 и Vк¡] = 0,0955), дало полное совпадение с частным результатом строгого решения Лаврентьева—Кузнецова [1, 7]. Кроме этого, предлагаемый новый метод решения указанной задачи позволяет определять также все гидромеханические характеристики потенциального потока в области воронки выброса грунта, в т.ч. напорную функцию (потенциалы), функцию тока, значения полной скорости и ее составляющих (горизонтальную и вертикальную) и др.

литература

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М. : Наука, 1977. 407с.

2. Анахаев К.Н. Гидромеханический расчет потенциального потока при ударе плиты о воду // Доклады Академии наук. 2012. Т. 445. № 4. С. 407-411.

3. Анахаев К.Н. О расчете потенциальных потоков // Доклады Академии наук. 2005. Т. 401. № 3. С. 337-341.

4. Анахаев К.Н. Об определении эллиптических функций Якоби // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. 2009. № 2. С. 90-95.

Поступила в редакцию в феврале 2017 г. Принята в доработанном виде в июле 2017 г. Одобрена для публикации в августе 2017 г

5. Анахаев К.Н. О фильтрационном расчете перемычки // Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 2. С. 148-158.

6. Павловский Н.Н. Собрание сочинений. Т. 2: Движение грунтовых вод. М.; Л. : Изд-во АН СССР, 1956. 771 с.

7. Кузнецов В.М. О форме воронки выброса при взрыве на поверхности грунта // Прикладная механика и техническая физика. 1960. № 3. С. 152-156.

Об авторе: Анахаев кошкинбай Назирович — заслуженный деятель науки Кабардино-Балкарской республики, доктор технических наук, профессор, заместитель директора по селевой проблематике, Высокогорный геофизический институт (ВГИ), 360030, Нальчик, пр. Ленина, д. 2; anaha13@mail.ru.

references

N

о

со

х

о >

с

10

N ^

2 о

н >

о

X S I h

О ф

1. Lavrent'ev M.A., Shabat B.V. Problemy gidrodin-amiki i ikh matematicheskie modeli [Problems of Hydrodynamics and Their Mathematical Models]. Moscow : Nauka Publ., 1977. 407 p.

2. Anakhaev K.N. Gidromekhanicheskiy raschet potentsial'nogo potoka pri udare plity o vodu [Hydromechan-ical Calculation of the Potential Flow When the Plate Strikes Water]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2012, vol. 445, no. 4, pp. 407-411.

3. Anakhaev K.N. O raschete potentsial'nykh potokov [On the Calculation of Potential Flows]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2005, vol. 401, no. 3, pp. 337-341.

4. Anakhaev K.N. Ob opredelenii ellipticheskikh funktsiy Yakobi [On the Definition of the Elliptic Jacobi Functions]. VestnikRUDN. Seriya: Matematika, informatika,

Received in February 2017. Adopted in revised form in July 2017. Approved for publication in August 2017

About the author: Anakhaev Koshkinbai Nazirovich — Honored Scientist of the Kabardino-Balkarian Republic, Doctor of Technical Sciences, Professor, Deputy Director for the Mudflow Problems, High-Mountain Geophysical Institute (VGI), 2 Lenin prospect, Nalchik, 360030, Russian Federation; anaha13@mail.ru.

fizika [Bulletin of the Peoples' Friendship University of Russia. Series: Mathematics, Computer Science, Physics]. 2009, no. 2, pp. 90-95.

5. Anakhaev K.N. O fil'tratsionnom raschete peremych-ki [On the Filtration Calculation of a Bridge]. Matematiches-koe modelirovanie [Mathematical Modeling]. 2011, vol. 23, no. 2, pp. 148-158.

6. Pavlovskiy N.N. Sobranie sochineniy. T. 2: Dvizhe-nie gruntovykh vod [Collected Works. Vol. 2: Groundwaters Movement]. Moscow; Leningrad : Academy of Sciences of the USSR Publ., 1956. 771 p.

7. Kuznetsov V.M. O forme voronki vybrosa pri vzryve na poverkhnosti grunta [On the Shape of the Ejection Funnel in the Explosion on the Soil Surface]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Applied Mechanics and Technical Physics]. 1960, no. 3, pp. 152-156.