Стационарные и периодические режимы ламинарного обтекания вращающегося цилиндра

Том ХЬН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 5

УДК 532.527

СТАЦИОНАРНЫЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ЛАМИНАРНОГО ОБТЕКАНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА

Е. И. КАЛИНИН, А. Б. МАЗО

Произведена серия расчетов задачи ламинарного обтекания вращающегося кругового цилиндра безграничным потоком вязкой несжимаемой жидкости при числе Рейнольдса 50 < Яе <500 и безразмерной скорости вращения 0 < а < 7. Построена параметрическая карта режимов течения, где выделены две зоны стационарных и две зоны периодических решений.

Для Яе = 200 подробно изучены зависимости коэффициентов сопротивления и подъемной силы от скорости вращения. Подтверждена сходимость численного решения к известному асимптотическому для больших а.

Ключевые слова: обтекание вращающегося цилиндра, вязкая жидкость, вихревая дорожка, эффект Магнуса, периодические течения, численное моделирование.

Задаче об обтекании вращающегося цилиндра потоком вязкой жидкости посвящено большое количество научных публикаций. Решение данной задачи определяется двумя безразмерными параметрами: числом Рейнольдса Яе = ихй/V и линейной скоростью вращения а = 0й/20х (их — скорость набегающего потока; й — диаметр цилиндра; V — кинематическая вязкость

жидкости; 0 — угловая скорость вращения).

Известно (см., например, [1]), что при обтекании неподвижного цилиндра с Яе > 47 в следе за цилиндром образуется вихревая дорожка Кармана. Вращение кругового цилиндра с постоянной скоростью а сопровождается возникновением подъемной силы Магнуса, изменяет структуру нестационарного вихревого следа, а при достаточно больших а подавляет его. Одна из первых экспериментальных работ на эту тему была представлена Прандтлем в 1925 г. [2], в которой было показано, что при а>аь «2 вихревая дорожка Кармана в следе за телом угнетается, а картина течения становится стационарной. Этот вывод согласуется с многочисленными позднейшими экспериментальными [3, 4] и численными [5 — 9] исследованиями. На основе своих исследований Прандтль высказал гипотезу о том, что коэффициент подъемной силы С не может превышать значения 4п . Данное предположение об ограниченности силы Магнуса не нашло подтверждения (см., например,

[10]). Более того, в работе [11] с помощью метода возмущений было показано, что в двумерном случае при больших скоростях вращения коэффициенты сопротивления Сй и подъемной силы с стремятся к значениям, полученным в рамках потенциальной теории

КАЛИНИН Евгений Игоревич

аспирант Казанского федерального университета

МАЗО

Александр Бенцианович

доктор физико-математических наук, профессор Казанского федерального университета

циркуляционного обтекания [12]. Оказалось, что с^ ^ 0 при а ^<х>, а коэффициент подъемной силы неограниченно возрастает, с ^ 2па. Результаты расчетов [8] для Яе = 100 и а > 10 хорошо согласуются с данной асимптотикой, а полученная при таком подборе параметров картина течения близка к картине потенциального обтекания. Однако наблюдать подобное течение экспериментально, по-видимому, невозможно из-за значительного влияния трехмерных эффектов, возникающих при больших скоростях вращения. Так, в работе [13] приведены сравнительные результаты расчета двух- и трехмерной задачи ламинарного обтекания вращающегося цилиндра при Яе = 200, а = 5, качественно отличающиеся как по картине, так и по поведению интегральных характеристик течения.

Особый интерес представляет переход от стационарного решения при а ^ аь к асимптотическому при а ^ ан ^ аь. Исследование течения в диапазоне аь < а < ан представлены отдельными публикациями. В работе [14] на основе расчета течения при Яе = 200, а = 3.25 впервые было высказано предположение о возможности периодического схода вихрей для а>аь. Более поздние исследования [7] показали, что при данных параметрах интенсивность схода вихрей со временем затухает, однако, в диапазоне 4.34 < а < 4.70 действительно реализуется периодическое решение, отличающееся от известной дорожки Кармана. Аналогичный результат был получен в работе [8] для случая Яе = 100, 4.8 < а < 5.15.

Настоящая статья посвящена подробному параметрическому исследованию стационарных и периодических режимов ламинарного обтекания вращающегося цилиндра в широком диапазоне изменения параметров Яе и а.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

В качестве определяющей системы уравнений была выбрана двумерная безразмерная система Навье — Стокса в переменных функция тока у — завихренность ю:

дЮ + УУю = -^ Лю,

дt Яе ’ w

дуу дух ду ду

Лу = -ю, »=^-^7- =-ду , Гу = -^,

где t — время; х, у — декартовы координаты; ух, Уу — компоненты вектора скорости V; Яе = V, V — кинематическая вязкость.

Для моделирования безграничного обтекания была использована прямоугольная область О = [-Ь, Ь] х [-Ь, Ь] с помещенным в ее центр цилиндром единичного диаметра (рис. 1). На границе обтекаемого тела у задавались условия прилипания с учетом вращения цилиндра против часовой стрелки с линейной скоростью а:

X у еу: у = С ^), ^ = а

где п — внешняя к у нормаль. Для определения функции С (^) был использован подход, предложенный в [15], основанный на дополнении постановки задачи нелокальным граничным условием

^--^I» Iйу = 0,

дt Яе дп 1

у

полученным с помощью интегрирования соотношений Пирсона [16]:

ду„ 1 др

х’ у еу: 1Г = я?л”*-аг

где 5 — касательная к контуру у; р — давление.

Рис. 1. Область расчета

Моделировался мгновенный старт вращения и поступательного движения цилиндра из состояния покоя у = 0, ю = 0. При этом касательная скорость жидкости на контуре у задавалась формулой у = -И ^ )а, а граничное условие (4) принимало вид:

•дН У = - Яе Ла5(t),

У

где И — функция Хевисайда, а 5 — функция Дирака.

Во входном сечении задавался безвихревой поток жидкости с расходом Q = 2Ь при отсутствии поперечной составляющей скорости:

х = -Ь : = 0, ю = 0,

дп

у = ±Ь: у = у, ю = 0.

Последнее из условий (7) моделирует условие идеального скольжения на горизонтальных границах расчетной области.

В выходном сечении х = Ь записывались конвективные граничные условия [17]:

, дю п ду п

х = Ь: + и • V» = 0, -¡т- + и -Уу = 0,

дt дt

где и = (1, 0) — средняя по потоку скорость. Условия (6) — (8) при достаточном удалении границ расчетной области обеспечивают отсутствие заметного влияния граничных условий на численное решение.

Гидродинамические силы давления Яр и трения и соответствующие интегральные коэффициенты сопротивления и подъемной силы вычислялись по формулам:

ЯР(0=2р(0. яГ(0=¿“(0.

сй =|ЯРпхй^ сй =|Япуй^ сй = сй + Сй ,

У У

с1р = I ЯРпуйу, с( = IЯ^пхйу, с1 = ср + с(.

Здесь l — длина дуги, отсчитываемая от лобовой точки цилиндра; пх , Пу — косинусы

углов между нормалью к у и соответствующими осями. Для определения распределения давления p по контуру у, входящего в соотношения (9), решалась краевая задача для переменной Бер-

Для определения единственного решения вырожденной задачи (10) задавалось давление p = 0 (В = 0.5) в одной точке входного сечения.

Основная трудность решения системы (1), (2) с граничными условиями (3), (5) — (8) состоит в наличии нелокального соотношения (5) в постановке задачи, которое используется для вычисления значения С функции тока на у. Чтобы выразить искомые гидродинамические функции через С, для уравнения переноса завихренности (1) была записана двухслойная линеаризованная схема с шагом т по времени:

где ) = ю( t -т).

На каждом временном слое t функция С постоянна, а система дифференциальных уравнений (2), (11) линейна по у, ю. Поэтому искомые функции зависят от константы С линейно:

где У1, ю и У2, 2 — решение задачи (2), (11) с граничными условиями (3), (6) — (8) для двух фиксированных значений Сь С2. Чтобы определить константу Е, (или С), достаточно подставить решение (12) в нелокальное граничное условие (5) и решить линейное уравнение:

Далее приводится краткое описание итерационного решения системы уравнений (2), (11) с краевыми условиями (3), (6) — (8) при заданном значении С.

До начала итераций находились значения у, ю в выходном сечении с помощью аппроксимации граничных условий (8):

В качестве начального приближения итерационного процесса использовались функции у, ю с предыдущего временного слоя.

На ^м шаге итерационного процесса вначале определялась функция тока как решение уравнения Пуассона (2) с граничными условиями (6), (7), (13) и значением ю с предыдущей итерации в правой части:

нулли B = p + v2 /2 (см. [9, 16]):

ДВ = Уу • Ую -ю2,

МЕТОД РЕШЕНИЯ

V

т Яе

V

ю=Ею1 +(1 Ч)^ У = ЕУ1 +(1 — Е) У2, С = ЕС1 +(1 — Е) С2,

у

У

V

V

5ю 5у

х = Ь : ю = ю-т-дх, У = У-т_дХ'

5ю

Ду^ =ю^, х,у еу: уk = С.

Далее определялись граничные значения завихренности юь на контуре у с использованием условий Неймана (3) (см. [18]):

к „к ду х, у є у: &ъ = —Лу , — = а.

Затем решалось уравнение переноса завихренности (11) с краевыми условиями (6), (7), (13), (15). Для ускорения сходимости итерационного процесса применялась релаксация граничных значений (15):

х, у єу: <вк =1>Ь +(1 -С)ъ 1.

Критерий выхода из итераций был принят в виде

тах

у

ду

дп

— а

<8.

При коэффициенте релаксации 0.5 выполнение критерия (17) для 8 = 10 6 достигалось в два-три шага.

Пространственная аппроксимация дифференциальных уравнений (11), (14), (15) осуществлялась методом конечных элементов [16, 19] на неструктурированной сетке билинейных элементов. При аппроксимации конвективного слагаемого применялся TVD-подход [20] с ограничителем Superbee. Производные ду/дп, дю/дп в соотношениях (5), (9) и (17) вычислялись по методике [19]. Полученные в результате конечно-элементной аппроксимации системы линейных уравнений решались алгебраическим многосеточным методом [21].

Полученная схема имеет первый порядок аппроксимации по времени и второй — по пространству с условием устойчивости типа Куранта.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Проводилось численное моделирование ламинарного обтекания вращающегося цилиндра в диапазоне изменений параметров 50 < Яе < 500, 0 < а < 7. В результате серии тестов было выявлено, что для этих значений достаточно использовать сетку с пространственным шагом 0.002 вблизи контура у и шагом по времени т = 0.001; при выборе Ь > 100 влияние выходных граничных условий на решение задачи становится незначительным.

Расчеты показали, что в зависимости от скорости вращения а наблюдаются как стационарные, так и периодические режимы течения. Ниже представлены некоторые результаты моделирования для Яе = 200.

ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ПРИ НЕБОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ

Периодическое обтекание неподвижного (а = 0) цилиндра при Яе > 47, сопровождающееся срывом вихрей с верхней и нижней щеки цилиндра и образованием дорожки Кармана (рис. 2, а), подробно изучено и описано в литературе. Ниже приводятся основные характеристики данного течения с целью последующего сравнения со случаями положительных а.

Формирование нижнего вихря, имеющего положительную завихренность, сопровождается возникновением застойной зоны вблизи нижней щеки и донной части ближнего следа, что приводит к повышению давления в этой зоне. Как следствие, повышаются коэффициенты подъемной силы и сопротивления. Образование верхнего вихря с отрицательной ю также сопровождается ростом с^, однако, сг при этом снижается. Таким образом, значения сг и с^ совершают синусоидальные колебания во времени (см. кривые а = 0 на рис. 3); частота колебаний с^ в два раза больше, чем частота колебаний сг.

а)

б) ЯШ

Рис. 2. Мгновенное поле завихренности

оН-------1-------1-------1— I-1-1--1—

20 40 60 I 20 40 60 t

Рис. 3. Изменение коэффициентов сопротивления са (слева) и подъемной силы С1 (справа) со временем при Re = 200 для небольших скоростей вращения а

Вращение цилиндра нарушает симметрию течения. Верхний вихрь при смещении в сторону вращения в случае а > 0 более интенсивно тормозит внешнее течение, в то время как нижний — менее интенсивно, поскольку он «спрятан» за цилиндром (рис. 2, б). Поэтому определяющую роль в автоколебаниях с^ играет срыв верхнего вихря. Этот эффект иллюстрирует расположение локальных минимумов кривой а = 0.5 на рис. 3 (моменту А соответствует срыв верхнего вихря, Б — нижнего). Более того, при а > 0.6 срывы вихрей снизу не приводят к появлению локальных минимумов функции с^ ^). Коэффициент сопротивления при этом вновь изменяется по синусоидальному закону, но, в отличие от течения около неподвижного цилиндра, его частота равна частоте колебаний с1 (см. кривые а = 1 и 1.8 на рис. 3).

СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПРИ УМЕРЕННЫХ СКОРОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ

Периодический режим обтекания цилиндра реализуется при скорости вращения, меньшей критического значения а <аь. В работах [5, 6, 9] и многих других показано, что для Яе > 100 значение аь слабо зависит от выбора числа Рейнольдса и примерно равно двум. Наши расчеты подтверждают эти выводы. Так, для Яе > 200 критическая скорость вращения а ь = 1.9.

Если а незначительно превышает аь, то дорожка Кармана за цилиндром образуется сразу после мгновенного старта вращения, однако, со временем она угнетается; таким образом, количество вихрей, сошедших с цилиндра в данном режиме, конечно. Подавление вихрей в следе сопровождается затуханием колебаний коэффициентов сопротивления и подъемной силы (кривые а = 2 и 2.2 на рис. 4). Соответствующая установившаяся картина течения, представленная на рис. 5, а, характеризуется наличием зоны с замкнутыми линиями тока.

Рис. 4. Изменение коэффициентов сопротивления са (слева) и подъемной силы с (справа) со временем при Re = 200 для умеренных скоростей вращения а

Рис. 5. Поле завихренности

С увеличением скорости вращения сокращается количество сходящих с цилиндра вихрей до момента установления, одновременно уменьшается размер зоны с замкнутыми линиями тока. Для а > 2.7 с цилиндра сходит только стартовый вихрь. Это можно видеть по монотонному характеру установления значений с^ и с начиная с ^ = 25 (кривые а = 3 на рис. 4). При а > 3.2 исчезает и область замкнутого течения (рис. 5, б). При этом около цилиндра образуется единственная точка торможения — точка пересечений линий тока, характерная для потенциального решения задачи при а > 2.

При дальнейшем увеличении скорости вращения (а > 3.8) установление коэффициентов с^ и с вновь сопровождается угасающими колебаниями (см. кривые а = 4.2 на рис. 6), что свидетельствует о сходе нескольких вихрей с момента старта вращения до выхода на стационарный режим обтекания. С ростом а количество сошедших вихрей увеличивается, а в диапазоне 4.3 < а < 4.6 реализуется уже периодическое обтекание.

В этом случае колебания с^ и с не гармонические, их амплитуда и период существенно больше, чем в дорожке Кармана при а<аь (см. кривые а = 4.3, 4.5на рис. 6). Картина течения также отличается от показанной на рис. 2, б. При высоких скоростях вращения вся вихревая структура в ближнем следе смещается к верхней щеке цилиндра, и срывы вихрей также происходят оттуда. Периодический процесс, представленный на рис. 7, состоит в постепенном накоплении положительной завихренности над цилиндром (рис. 7, а — в) и ее отрыве (рис. 7, г — е), сопровождающемся резким падением коэффициента сопротивления и одновременным ростом коэффициента подъемной силы (кривые а = 4.3, 4.5 на рис. 6).

Рис. 6. Изменение коэффициентов сопротивления са (слева) и подъемной силы С1 (справа) при Re = 200 со временем в случае периодических режимов для больших скоростей

вращения а

Рис. 7. Срыв вихря при периодическом режиме обтекания Re = 200, а = 4.5

Рис. 8. Мгновенное поле завихренности

Рис. 9. Отрыв вихря при течении Re = 200, а = 4.4, визуализированный с помощью трассеров

В дальнем следе за обтекаемым телом (рис. 8) положительная завихренность сконцентрирована в круговых областях А, возникших в результате быстрого отрыва, а отрицательная завихренность размазана внутри вытянутых вихревых зон Б, которые образуются за более длительное время формирования положительного вихря. На рис. 9 данный периодический режим обтекания визуализирован с помощью трассеров, выпускаемых с поверхности цилиндра.

СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ

При больших скоростях вращения а > ан «4.6 решение задачи вновь дает стационарную картину течения, представленную на рис. 10, а, б. Вокруг цилиндра при этом образуются яйцевидные замкнутые линии тока с точкой торможения, расположенной строго над цилиндром. Линии тока этого течения близки к известному [12] решению задачи в рамках потенциальной теории (рис. 10, в). Коэффициент сопротивления при этом оказывается равным нулю, что совпадает с асимптотикой для больших скоростей вращения [11]. Установление коэффициентов са и сг

Рис. 10. Поле завихренности

100 200 300 400 t 35 100 200 300 400 t

Рис. 11. Изменение во времени коэффициентов сопротивления cd (слева) и подъемной силы ci (справа) при Re = 200 в случае стационарных режимов для больших скоростей

вращения а

Рис. 12. Распределение сил давления (а) и эпюры скорости (б) вдоль контура

цилиндра при а = 5:

---------результат расчета для Яе = 200;....— потенциальное решение

после мгновенного старта вращения и схода стартового вихря носит монотонный характер (рис. 11); время установления существенно превышает время выхода на стационарный режим при умеренных а и увеличивается с ростом скорости вращения.

На рис. 12, а представлено распределение Яр по у. При больших скоростях вращения давление отрицательно вдоль всего обтекаемого контура (напомним, что за ноль принято давление

во входном сечении). При этом абсолютные значения Яр у нижней щеки цилиндра существенно больше, чем у верхней, поэтому равнодействующая сил давления направлена вниз. Полученная

картина распределения Яр для вязкого обтекания качественно совпадает с потенциальным решением, однако заметно отличается по величине. Качественно похожи и эпюры скорости на границе цилиндра (рис. 12, б). У верхней щеки, где набегающий поток противоположен направлению вращения, скорость жидкости резко убывает с удалением от цилиндра, у нижней — напротив, скорости вращения и набегающего потока складываются, скорость жидкости при этом убывает менее интенсивно, а в некоторой области внутри пограничного слоя даже превосходит скорость вращения а = 5.

КОЭФФИЦИЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ

Смену режимов обтекания с ростом а удобно изобразить на фазовой диаграмме (рис. 13), где по оси абсцисс отложен коэффициент сопротивления, а по оси ординат — коэффициент

подъемной силы. Замкнутые кривые на ней соответствуют изменению сё и с1 в случае периодических решений, точки — их установившимся значениям при стационарных режимах. Видно, что при втором периодическом режиме диапазоны изменений этих коэффициентов существенно шире, чем в случае дорожки Кармана при а<аь.

На рис. 14 представлены результирующие зависимости коэффициентов сопротивления и подъемной силы от скорости вращения для Яе = 200. С ростом а коэффициент сопротивления убывает вплоть до реализации второго периодического режима, достигая при этом отрицательных значений. Зависимость с (а) носит монотонный характер и в целом близка к линейной. При определении коэффициента с роль вязких сил пренебрежимо мала по сравнению

1.0 0.5 0

-0.5 -1.0

0123456а 0123456а

Рис. 14. Зависимость коэффициентов са и с от скорости вращения а для Re = 200:

1 — наш расчет; 2 — потенциальное течение; 3 — расчет [7]; 4 — составляющая сил давления ср, ср в значениях сл и с1

с силами давления, в то время как для с^ эти силы имеют одинаковый порядок, а при а>аь направлены в противоположенные стороны.

Приведенные численные результаты хорошо согласуются с результатами [7] за исключением значений са для больших а (второй стационарный режим). В этом случае в наших расчетах

с^ ^ 0, с ^ 2 па, что подтверждает асимптотику [11].

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ КАРТА ТЕЧЕНИЙ

На рис. 15 приведена параметрическая карта режимов течения. Кривая, отделяющая зону 1 с периодической дорожкой Кармана, согласуется с бифуркационной кривой (на рисунке показана маркерами I), полученной в работе [5]. Диапазоны а, при которых реализуется второй периодический режим (4.34 < а < 4.7 для Яе = 200) и (4.8 < а < 5.15 для Яе = 100), указанные в работах [7] и [8] соответственно, показаны на рис. 15 (маркеры II, III) и хорошо ложатся в построенную по результатам расчетов зону 3.

Расчеты показали, что вторая периодическая зона может быть получена для тех же условий на число Рейнольдса, что и первая (Яе > 47), при этом условия на скорость вращения практически не зависят от числа Рейнольдса при Яе > 200.

Рис. 15. Параметрическая карта режимов течения (периодические зоны заштрихованы):

1 — периодическая зона с образованием дорожки Кармана; 2а — стационарная зона с положительным сл; 2б — стационарная зона с отрицательным сл;

3 — вторая периодическая зона; 4 — вторая стационарная зона

Также на карте выделена область, для которой коэффициент сопротивления принимает отрицательные значения. Отрицательные с^ встречаются во многих альтернативных численных исследованиях задачи об обтекании вращающегося цилиндра [5, 7, 8]. Вопрос о причинах возникновения подобного эффекта требует отдельного изучения, однако стоит отметить, что, в отличие от неустойчивых зон 1 и 3, область с сё < 0 существует и для малых чисел Рейнольдса Яе < 47.

ВЫВОДЫ

В работе представлены результаты численного моделирования двумерной задачи об обтекании вращающегося цилиндра потоком вязкой несжимаемой жидкости. Для решения нестационарных уравнений Навье — Стокса в переменных функция тока — завихренность совместно с дополнительным нелокальным граничным условием предложен алгоритм, основанный на методе конечных элементов.

На основе произведенных расчетов в диапазоне 50 < Re < 500, 0 < а < 7 построена параметрическая карта режимов течения. Оказалось, что особенности смены режимов течения слабо зависят от числа Рейнольдса при Re > 100. В зависимости от скорости вращения а выявлено два стационарных и два периодических решения задачи.

При незначительных а в следе за телом образуется несимметричная вихревая дорожка. С достижением а критического значения аL « 2 дорожка подавляется и реализуется стационарное решение. Дальнейший рост а ведет к увеличению коэффициента подъемной силы и уменьшению коэффициента сопротивления, который может достигать даже отрицательных значений.

В небольшом диапазоне в районе а « 4.3 течение вновь становится периодичным, при этом срыв вихрей происходит с верхней кромки цилиндра, а коэффициент сопротивления возрастает.

Дальнейшее увеличение скорости вращения (а>ан «4.5) приводит к стационарному

течению, по картине напоминающее решение задачи о циркуляционном обтекании цилиндра в рамках потенциальной теории. Коэффициент сопротивления при этом стремится к нулю, а подъемная сила неограниченно возрастает ег = 2па.

1. Zdravkovich M. M. Flow around circular cylinders. — New York: Oxford University Press, 1997, 694 p.

2. Pr andt l L. The Magnus effect and windpowered ships // Naturwissenschaften. — 1925. № 13, p. 93 — 108.

3. Coutanceau M., Menard C. Influence of rotation on the near-wake development behind an impulsively started circular cylinder // J. Fluid Mech. 1985. N 158, p. 399 — 446.

4. Lam K. M. Vortex shedding flow behind a slowly rotating circular cylinder // J. of Fluids and Structures. 2009. N 25, p. 245 — 262.

5. Kang S., Choi H., Lee S. Laminar flow past a rotating circular cylinder // Phys. Fluids. 1999. V. 11, N 11, p. 3312 — 3321.

6. Приходько А. А., Редчиц Д. А. Численное моделирование нестационарного отрывного обтекания вращающегося цилиндра несжимаемой вязкой жидкостью // МЖГ. 2009. № 6, с. 32 — 39.

7. Mittal S., Kumar B. Flow past a rotating cylinder // J. Fluid Mech. 2003. V. 476, p. 303 — 334.

8. Stojkovic D., Breuer M., Durst F. Effect of high rotation rates on the laminar flow around a circular cylinder // Phys. Fluids. 2002. V. 14, N 9, p. 3160 — 3178.

9. Мазо А. Б., М о р е н к о И. В. Численное моделирование вязкого отрывного обтекания вращающегося кругового цилиндра // ИФЖ. 2006. Т. 79, № 3, с. 75 — 81.

10. Tokumaru P. T., Dimotakis P. E. Rotary oscillation control of cylinder wake // J. Fluid Mech. 1991. N 224, p. 77 — 90.

11. Moore D. W. The flow past a rapidly rotating circular cylinder in a uniform stream // J. Fluid Mech. 1957. N 2, p. 541 — 550.

12. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Гос. изд. техн.-теор. лит-ры, 1950, 678 с.

13. Mittal S. Three-dimensional instabilities in flow past a rotating cylinder // J. of Applied Mechanics. 2004. V. 71, p. 89 — 95.

14. Chen Y.-M., O u Y.-R., Pearlstein A. J. Development of the wake behind a circular cylinder impulsively started into rotary and rectilinear motion // J. Fluid Mech. 1993. N 253, p. 449 — 484.

15. Glowinski R. F inite element methods for incompressible viscous flow. Handbook of numerical analysis. V. 9. Numerical Methods for Fluids (Part 3). — North-Holland, Amsterdam, 2003, 1176 p.

16. Флетчер К. Вычислительная гидродинамика. Ч. 2. — М.: Мир, 1991, 552 с.

17. Orlanski I. A simple boundary condition for unbounded hyperbolic flows // J. of Comp. Phys. 1976. V. 21. N 3, p. 251 — 269.

18. Мазо А. Б., Даутов Р. З. О граничных условиях для уравнений Навье — Стокса в переменных функция тока — завихренность при моделировании обтекания системы тел // ИФЖ. 2005. V. 78, N 2, с. 75 — 79.

19. Калинин Е. И., Мазо А. Б. Численное решение задач обтекания системы тел в переменных функция тока-завихренность // Уч. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. Т. 151, кн. 3, с. 144 — 153.

20. Kuzmin D., T u r e k S. High-resolution FEM-TVD schemes based on a fully multidimensional flux limiter // J. of Comp. Phys. 2004. V. 198, p. 131 — 158.

21. Trottenberg U., Oosterlee C., Schuller A. Multigrid. — London: Academic press, 2001, 631 p.

Рукопись поступила 22/XI2010 г.