Оптимизация многомассовых гасителей колебаний при гармоническом воздействии

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

УДК 624.042.8: 62-752.2

А. И. Шеин, О. Г. Земцова

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОМАССОВЫХ ГАСИТЕЛЕЙ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Аннотация. Рассматривается задача нахождения оптимальных параметров многомассового гасителя при гармоническом возмущении. Формулы оптимальных жесткостей для двух-, трех-, четырехмассового гасителей колебаний получены в замкнутом виде из условия минимума величины перемещения главной массы с помощью метода множителей Лагранжа. С использованием этих формул выполнен ряд численных экспериментов, на основе результатов которых построены амплитудно-частотные характеристики для систем с различными параметрами гасителей. Приведены рекомендации по подбору эффективных параметров гасителей колебаний.

Ключевые слова: оптимизация, многомассовый гаситель колебаний, гармоническое воздействие, численный эксперимент, метод конечных разностей.

Abstract. The problem of optimization of parameters multiunit vibration damper is considered at harmonious excitation. In the closed kind by means of a method of multipliers Lagrange from a condition of a minimum of size of moving of the main weight formulas optimum hardness for two-, three-, four-mass vibration dampers fluctuations are received. Numerical experiment with use of a method of final differences for representation of the equations of movements of system is executed. On the basis of results of numerical experiment recommendations on optimization of parameters of system are given.

Keywords: optimization, multiunit vibration damper, harmonious excitation, numerical experiment, method of final differences.

Введение

Современное развитие техники характеризуется значительным ростом мощности оборудования, что, в свою очередь, приводит к росту динамических нагрузок. В этой связи возникает проблема уменьшения уровня колебаний, которая связана с необходимостью выполнения условий прочности и снижения материалоемкости конструкций, а также с соблюдением технологических и санитарно-гигиенических требований.

В настоящее время для борьбы с нежелательными колебаниями существует значительный выбор методов и средств, имеющих свои области применения. Важное место среди способов снижения уровня колебаний занимают гасители благодаря высокой эффективности при относительно малых затратах и возможности их применения как на стадии проектирования, так и в процессе эксплуатации.

В общем случае гасители колебаний представляют собой дополнительные динамические устройства, присоединенные к объекту виброзащиты

с целью изменения его вибрационного состояния. Под этой общей формулировкой может быть представлено множество физических и конструктивных схем - динамические, ударные, маятниковые, плавающие гасители колебаний и т.д. [1].

Необходимым условием для эффективной работы любого вида гасителя является оптимизация его характеристик, т.е. выбор собственной частоты (настройки) и демпфирования при заданной массе гасителя (иногда оптимизируется также его масса и расположение).

1. О состоянии проблемы

Гасителям колебаний и, в частности, вопросам оптимизации их параметров и оценке эффективности посвящена обширная литература. Одним из основных считается результат оптимизации динамических гасителей колебаний с вязким трением, полученный Дж. П. Ден-Гартогом, Дж. Е. Броком и некоторыми другими авторами из условия минимума максимального перемещения главной массы при нестабильной частоте гармонического воздействия. Оптимизации параметров динамических гасителей колебаний, но в других постановках (различные критерии качества, характер воздействия), посвящены работы В. А. Баженова, В. И. Гуляева, Л. М. Резникова, Г. М. Фиттт-мана. Исследованию и оптимизации ударных гасителей колебаний уделено большое внимание в работах А. В. Дукарта и А. И. Олейника [2, 3]. В частности, ими разработан принцип подбора оптимальных параметров для двухмассового динамического гасителя с ударным звеном, а также для динамических, каскадных и пакетных гасителей колебаний в различных режимах работы. Проектированием оптимальных многомассовых динамических гасителей занимались Б. Г. Коренев, А. И. Олейник и др. А. В. Степанов в цикле своих книг провел классификацию оптимального гашения по виду колебаний. Подбор оптимальных параметров гасителей колебаний рассматривался также и рядом зарубежных авторов - К. ^апаш1, N. Popplewell, N. 08аши, А. То8Ы-Ыко и многими другими.

Результатом большинства исследований в области оптимизации являются числовые таблицы оптимальных параметров гасителей при различных характеристиках системы.

В настоящее время широкое распространение получают каскадные, пакетные и каскадно-пакетные гасители. Их основой являются типовые элементы в виде многомассовых гасителей. В связи с этим в данной работе решается задача нахождения оптимальных параметров многомассовых гасителей в замкнутом виде из условия минимума величины перемещения главной массы. Для одномассовых гасителей есть известное классическое решение: величина перемещения основной массы равна нулю при жесткости гасителя, равной

сгас _ тгас ' ю ,

где сгас - коэффициент жесткости упругой связи гасителя; тгас - масса гасителя; ю - частота, подлежащая гашению.

Однако попытка перейти от многомассовой к статически эквивалентной упругой системе гасителей ожидаемых результатов не дает.

2. Замкнутое решение задачи оптимизации многомассовых гасителей колебаний

Рассмотрим вынужденные колебания упругой системы «основная масса -многомассовый гаситель». Для удобства преобразований уравнений движения воспользуемся случаем гармонической возмущающей нагрузки с фиксированной частотой воздействия.

Пусть на систему с массой ш1 и коэффициентом жесткости с действует сила К системе присоединен многомассовый гаситель, состоящий из

(п - 1) масс т/ (/ = 2, ..., п), последовательно соединенных упругими связями с коэффициентом жесткости С/.

Уравнения движения такой системы будут иметь вид [4]

\С1У1 - с2 (У2 - Уі) + т1У1 = Н 8ІПю,

С(У] - У]-1) - С] +1(У] +1 - У]) + т]У) = 0, ] = 2,..., П,

где у/ - перемещение /-й массы, отсчитываемое от положения равновесия; Ш\ - колеблющаяся масса; т2, т3, ., тп - массы многомассового гасителя.

Для установившихся колебаний система уравнений (2) может быть преобразована к виду

(сі + с2 - тіЮ )^і - с2^2 = Н,

(с ] + с ]+і - т] ю2) А] - с ]А]-і - с .+і А.+і = 0, ] = 2,..., п.

Пусть А/ = X/ и сп - свободные переменные. В оптимальной системе перемещение основной массы должно быть минимальным. Чтобы исключить область отрицательных значений, запишем целевую функцию в виде квадрата минимизируемой величины. Величину перемещения основной массы ограничим пределами [а, Ъ].

Г хі ^ а,

{хі > -Ь.

Таким образом, получаем задачу оптимизации в виде

тіп /о = хі ,

/і = (Сі + С2 - тію2)хі - С2Х2 - Н = 0,

/] = (С] + С]+і - т]ю2)х] -С]х]-і -С]+іХ]+і = 0, ] = 2,..., /п+і =-хі -Ь /п+2 = хі - а ^ 0

где / - целевая функция; /1, / - ограничения типа равенств, полученные из системы уравнений (3); /_ь /-2 - ограничения типа неравенств, полученные из системы (4).

Для решения данной задачи используем метод множителей Лагранжа, расширенный теорией Куна-Таккера [5]. Функция Лагранжа

п+2

Ф = /0(х]) + 2Х ]/] (х] ) + 2 Х/(х]) ]=і І =П+і

имеет условия стационарности вида:

ЭФ

= 0;

Эх]

/

Добавляя к полученным уравнениям условия дополняющей нежесткости

Х/

и неотрицательности

Хі >0,

получаем систему разрешающих альтернатив относительно х, Х] и сп, при решении которой находим оптимальные параметры гасителя.

Примем в качестве оптимизируемого параметра жесткость ]-й массы гасителя. Тогда система разрешающих уравнений примет вид

эф 2

---= 2хі + Хі (сі + С2 - ті ) - X2С2 = 0,

Эxl

ЭФ 2

Эх~=_Х]-іС] + Х] (с] +С]+і- т] ) - Х]+іС]+і =0,

ЭФ

= /] (х]) = а

ЭХ ]

ЭФ

— = х]-іх]-і - Х]-іх] + Х]х] - Х]х]-і = 0,

Эс

ХП +і (хі + Ь ) = 0, ХП +і > 0 Хп+2(хі - а) = 0, Хп+2 > °.

Для одномассового гасителя (п = 2) решение системы (іі) дает известный результат (і). Решение этой системы в общем виде позволяет получить формулы для многомассового гасителя.

При решении задач с многомассовым гасителем для удобства вычислений примем в качестве оптимизируемого параметра коэффициент жесткости связи последней (настроечной) массы гасителя сП. Все остальные характеристики системы, кроме перемещений масс, будем считать известными.

Вводя обозначение т]2=с]°, получаем решения системы уравнений в случае многомассового гасителя в виде

сп = с° • к, к = к (С], с°), ] = 2,..., П.

Результаты решения системы нелинейных уравнений, составленной по вышеуказанному пути, представлены в табл. 1.

3. Численные эксперименты

Приведенные выше результаты получены из условия оптимизации параметра жесткости упругой связи последней массы. На эффективность работы многомассового гасителя помимо жесткости его звеньев оказывает влияние целый ряд факторов. Однако увеличение числа оптимизируемых параметров приводит к значительному усложнению математической модели. Для того чтобы количественно показать влияние этих факторов и подобрать оптимальные значения величин, проведем ряд численных экспериментов.

1. Рассмотрим упругую систему с массой Ш\ и коэффициентом жесткости с под действием возмущающей силы Ъ/. К системе присоединен многомассовый гаситель, состоящий из (п - 1) последовательно соединенных упругими связями с коэффициентом жесткости с масс т. (] = 2, ..., п).

Для проведения расчетов воспользуемся конечно-разностным представлением уравнений движения (2) по временной координате:

У1,/-1 - 2 Л,/ + У1,/+1 + ( ) ъ

т1—----------2----------------------------------- + С1У1,/ - С2 (У2,/ - У1,/) = Р/,

А/

. У^+1 + С! (У^ - У ) - с.+1(у.+1/- у . /) = o, ] = 2,..., п.

А/

Система уравнений (13) позволяет на каждом шаге по времени определять координаты масс системы для момента времени / + А/. Решение системы уравнений (13) имеет вид

уи+і =

-тіУц-і + 2тіУі,г - сіУцАі2 + с2У24Аі2 - с2Уі,гАі2 + ріАі 2

ті

~т]У],і-і + 2т]У],і - С]У]-иАі2

т]

+ СїУи Аі 2 - сз+і У] +У Аі 2 + с]+і У и Аі2 2 П

т]

где У]і - перемещение ]-й массы в момент времени і; ^ - значение возмущающей силы в момент времени і.

2. С помощью полученных в символьном виде выражений определим перемещения Уі,і+і основной массы и построим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) для системы со следующими параметрами: ті = і0 кг, сі = і0 Н/м, Е(= Ніп(і), Н = і0 Н. Тогда собственная частота системы: 0 = і рад/с. Для гасителей с учетом данных табл. і примем: для одномассового - т2 = 2 кг, с2 = 2 Н/м; для двухмассового - т2 = т3 = 2 кг, с2 = і Н/м, с3 = 0,667 Н/м; для трехмассового - т2 = т3 = т4 = 2 кг, с2 = с3 = і Н/м, с4 = 2 Н/м.

Анализ произведенных расчетов показывает, что применение гасителя значительно снижает амплитуду колебаний основной массы при заданной частоте возмущающей нагрузки и практически вдвое уменьшает ее на выбранном частотном участке. Однако присоединение гасителя расширяет

спектр собственных частот. Поэтому на амплитудно-частотной характеристике (рис. 1) появляются значительные боковые пики, которые могут сыграть отрицательную роль, например, возможно появление резонансных колебаний системы «сооружение - гаситель» в пуско-остановочном режиме. Для устранения этого недостатка традиционно используют демпферы.

Таблица 1

п Оптимальная жесткость сп

2 с1

3 о , -с2 + с2 1 о . о -с2 + с2 + с3

4 о о 0,00 о с2с3 - с2с3 - с2с3 - с3с3 + с2с3 с4 ‘ 4 о о о . о о о о . о о с2с3 - с2 с3 - с2с3 - с3с3 + с2 с3 - с2с4 - с3с4 + с2 с4

5 о с2с3с4 - с3с4с2 - с2с4с3 - с3с4с3 - с2с3с4 -с5 ' ^ о о о о о о . о о . с2сзс4 - сзс4с2 - с2с4сз - сзс4сз - с2сзс4 - с2с4с4 - сзс4с4 + с4с2сз + о о . о о . -с2с4с4 - сзс4с4 + с4с2 сз +  о о . о о . оо, о о о о о і о і о, +сзс2 с4 + с4с2 с4 + с2сз с4 + сзсз с4 — с2 сз с4 + с2сзс5 + с2с4с5 + . о о . о о . о о . о о о о о +сзс2 с4 + с4с2с4 + с2сз с4 + сзсз с4 - с2 сз с4 о о о о о о о о о , о о о +сзс4с5 - с2сз с5 - сзс2с5 - сзсз с5 - с4с2с5 + с2сз с5

3. Дифференциальные уравнения движения многомассового гасителя с демпфирующими элементами, записанные в конечно-разностной форме, имеют вид

У\,г-\ - 2Уи + У\,г+\ , , ч ,

т1---------------2-+ с1 Уи - с2 (У її - Уи) +

дг

+ а2

( хи - х1,і-1 х2і - х2,і-1 ^

Ді

Ді

=к,

т

У] і -1 - 2 У] ,г + У] ,г+1 , ч

-------+ с] (У] ,г - У]-1,і) - с]+1 (У]+1,Г - У] ,г) +

Ді

+ а.

( хі і - х] і-1 х]-1,і - х] -1,і-1 ^

Ді

Ді

+ а

і+1

х] ,і х] ,і-1 х ]+1,і х] +1,і-1

Ді

Ді

= 0, ] = 2,..., п,

где О] - коэффициент сопротивления движению]-й массы гасителя.

Анализ АЧХ (рис. 1) показывает, что использование демпфирующих устройств значительно уменьшает амплитуду колебаний на собственных частотах полной механической системы «основная масса - гаситель».

4. Рассмотрим влияние параметра относительной массы гасителя на эффективность его работы. Построим амплитудно-частотные характеристики

для упругой системы с принятыми значениями т1, с1, ^ при различных соотношениях суммы масс гасителя и основной массы (рис. 2). Как слишком малая, так и слишком большая относительная масса значительно снижают эффективность использования гасителя. Если при значении этого параметра, равном 1/15, размах колебаний снижается на 50,4 %, то при 1/20 и 1/2 - всего на 25,1 и 29,1 % соответственно.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Рис. 1. АЧХ системы с оптимальным двухмассовым гасителем с трением

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Рис. 2. АЧХ системы с двухмассовым гасителем при различных значениях относительной массы гасителя

5. При исследовании работы гасителя необходимо учитывать и расположение демпфирующего элемента в многомассовой системе.

Для двухмассового гасителя оптимальным является расположение демпфирующих устройств при обеих массах (рис. 3) - уменьшение общего размаха колебаний происходит на 83,3 %, при этом демпфер, установленный только для второй массы, снижает этот показатель лишь на 28 %.

А

18

16

*

10

14

12

6

4

2

8

<а/ю0

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

1,8

2

Рис. 3. АЧХ системы с двухмассовым гасителем при различном положении демпфирующих устройств: 1- демпфирование первой массы;

2 - демпфирование второй массы; 3 - демпфирование обеих масс

Для трехмассового гасителя применение демпфирующих устройств для первой или второй массы сравнительно малоэффективно - 40-49 %. Лучшим показателем является размещение демпферов при всех трех массах (77,8 %о). Применение демпфирования только третьей или первой и третьей масс также дает значительное снижение амплитуд (65,3 и 72 %о соответственно); учитывая экономический и технологический факторы, такое размещение демпфирующих устройств следует считать рациональным.

6. Для гасителей с трением существенным показателем является коэффициент сопротивления движению а. Для примера рассмотрим двухмассовый гаситель с демпфированием обеих масс.

Увеличение коэффициента сопротивления движению до некоторого значения (а = 3-3,5) уменьшает размах колебаний (рис. 4). Дальнейшее его возрастание (а = 4-6) уже неэффективно.

А

8

6

4

2

оо/оо,

Проведенные численные эксперименты влияния различных факторов на работу одномассового и многомассовых гасителей для системы с указанными характеристиками позволили рекомендовать некоторые параметры гасителей, приведенные в табл. 2. Указанные рекомендации выбраны по критерию наименьшего общего размаха колебаний системы.

Таблица 2

Гаситель Относительная масса,

Одномассовый 1/10 В одном звене 1,0-1,5

Двухмассовый 1/15 Во всех звеньях 3,0

Трехмассовый 1/15 Во всех звеньях, (допустимо: в третьем звене, в первом и втором звеньях) 4,5

Рассмотренный путь вычислений дает возможность получить конкретные оптимальные параметры для систем с другими характеристиками и сравнить эффективность использования различных видов гасителей.

Заключение

Ряд сооружений имеет спектр свободных колебаний с достаточно близкими значениями нескольких основных частот. Увеличение диапазона подлежащих гашению частот можно достигнуть, используя многомассовые гасители колебаний. Для эффективной работы этих гасителей необходимо осуществить оптимизацию их параметров. В данной работе получены формулы для вычисления оптимальной жесткости упругой связи последней (настроечной) массы многомассового гасителя. Проведенные теоретические исследования подтверждены результатами численных экспериментов.

Список литературы

1. Справочник по динамике сооружений / под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. -М. : Стройиздат, 1972. - 511 с.

2. Дукарт, А. В. Задачи теории ударных гасителей колебаний / А. В. Дукарт. -М. : Изд-во АСВ, 2006. - 205 с.

3. Дукарт, А. В. Оптимизация параметров и эффективность пакетных гасителей колебаний с многомассовыми типовыми элементами / А. В. Дукарт, А. И. Олейник // Известия вузов. Строительство. - 2002. - № 3. - С. 26-32.

4. Вибрации в технике : Справочник : в 6 т. Т. 1. Колебания линейных систем / под ред. В. В. Болотина. - М. : Машиностроение, 1978. - 352 с.

5. Шеин, А. И. Основы оптимизации строительных конструкций / А. И. Шеин. -Пенза : ПГАСА, 2000. - 106 с.

Шеин Александр Иванович доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительной и теоретической механики, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

E-mail: sitm@gasa.penza.com.ru

Земцова Ольга Григорьевна

ассистент, кафедра строительной и теоретической механики, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

E-mail: sitm@gasa.penza.com.ru

Shein Alexander Ivanovich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of structural and theoretical mechanics, Penza state University of Architecture and Construction

Zemtsova Olga Grigoryevna Assistant, sub-department of structural and theoretical mechanics, Penza state university of architecture and construction

УДК 624.042.8 : 62-752.2 Шеин, А. И.

Оптимизация многомассовых гасителей колебаний при гармоническом воздействии / А. И. Шеин, О. Г. Земцова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 1 (13). -С.113-122.