Вариационный метод расчета тонкостенных стержней закрытого профиля

М. Н. Серазутдинов

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗАКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

Ключевые слова: тонкостенный стержень, напряжения и деформации, принцип Лагранжа, вариационный метод.

В статье представлены элементы теории тонкостенных стержней закрытого профиля, изложен вариационный метод, позволяющий с использованием простейших соотношений для компонент деформаций представить принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено из прямолинейных и криволинейных.

Keywords: thin-walled rods, stresses and deformations, Lagrange principle, variational method

The article presents the elements of the theory rods with a thin-walled closed profiles , the method, which allows to present principle Lagrange for rods with cross sections consisting of rectilinear and curvilinear sectors based on the simple relations for components of deformation.

В данной статье приведены основные формулы вариационного метода расчета тонкостенных стержней закрытого профиля, основанного на применении функционала Лагранжа. Используются основные положения метода [1-4], ранее использованного для определения напряженно-

деформированного состояния стержней различной формы. Учитываются сдвиги и депланация, возникающие при деформациях изгиба и кручения. Принимаются основные допущения теории стержней Тимошенко и теории тонкостенных стержней закрытого профиля Уманского [5-7].

Для описания напряженно-

деформированного состояния стержней используются следующие гипотезы:

1. Справедлив закон Гука.

2. При деформировании, продольные волокна стержня не взаимодействуют друг с другом в перпендикулярных к ним направлениях (гипотеза нена-давливания).

3. Поперечные сечения стержня, плоские до деформации, после деформации изгиба и растяжения-сжатия остаются плоскими.

4. Напряжения и деформации, связанные с изгибом в плоскости, проходящей через главную ось поперечного сечения стержня, постоянны по ширине сечения.

5. Составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к профилю поперечного сечения (к срединной поверхности) стержня равны нулю (гипотеза безмоментности).

6. Составляющие касательных напряжений, параллельные касательной к профилю поперечного сечения стержня, постоянны по толщине стенки (гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений).

7. Профиль стержня в плоскости поперечного сечения при кручении перемещается как абсолютно твердое тело (гипотеза неизменяемости контура).

8. При кручении появляются перемещения в направлении продольной оси стержня, возникает депланация поперечного сечения.

Для описания напряженно-деформированного состояния стержня введем декартовую систему координат Охуг, с осью Ох, перпендикулярной к

плоскости поперечного сечения (рис. 1). Обозначим через /, у, к - орты этой системы координат

На срединной поверхности поперечного сечения стержня, введем локальную декартову систему координат, с осями Мх{, Му1, М і(, направленными по касательной и по нормали к профилю стержня (рис. 1). Обозначим орты этих осей іх , і , П . Полагаем П = і х іх .

В системе координат Оуі,

ї = їу}+їІ к , п = пу] + п1к .

Здесь їу, їІ , Пу, П1 - направляющие косинусы осей Му( , Мі(.

Справедливы равенства: їу = } • ї, їІ = к • ї , пу = } • П, пі = к • П,

пу = іі, Пі = ~ іу,

у _ Ум + Ytty + htz  dy dy _ dz

dyt dzt ’

z _ ZM + yttz -ztty >

dz dy dz

tz _

ds dzt

dyt

Для описания перемещений и деформаций используем векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения стержня:

u = и1(х)/ + U2 (x) у + и3( x )k;

ф = ф1

где и1(х), и2(х), и3(х) - перемещения в направлении осей Ох, Оу, Ог, ф1(х), ф2(х), ф3(х) - углы поворота поперечных сечений стержня относительно этих осей.

С учетом равенств (3) и принятых гипотез, возникающие при изгибе и растяжении - сжатии перемещения точек в поперечном сечении стержня ии (х, у, г), Vи (х), ми (х) в направлении осей Ох, Оу, Ог, определяются по формулам: и и (х, у, г) = и1( х) + гф2 (х) - уфз (х) ,

Vи

При кручении, в плоскости поперечного сечения стержня возникают перемещения V(х, у, г), связанные с поворотом и перемещения ик (х, у, г) в направлении продольной оси Ох, обусловленные с депланацией сечения.

Полагаем

V

Выполняя операцию векторного умножения, находим

V = [п-е

Приравнивая правые части соотношений (5), (6), получаем

^ (X у м, ім) Ї + п (X у м, ім) П = = [ті-0(Ім - 1р)]] +[ + е[ум -ур)] ] .

Умножая это уравнение скалярно на вектора і и П , определяем перемещения в направлениях осей у{ и і:

^ ^, ум , 1м) = = [п-0 (ім - 1р)]] •] +[+0 [ум - ур)] ] •],

п (х, у м, ім ) = [п-е (ім - ір )] і • П +

+ и + е(ум - ур)] к• п.

С учетом формул (1), (2) находим

^ (Хум, 1м) = П іу + 5 іі +

+ е [м - ур) іі - (ім - 1р ) іу ]

где V(х, у, і), п(х, у, і) - перемещения в направлении осей Му( и Мі{ (рис.1).

В соответствии с гипотезой неизменяемости контура, при кручении тонкостенный стержень в плоскости поперечного сечения поворачивается как абсолютно жесткое тело. Следовательно, для точек М(ум , ім) профиля (на линии пересечения срединной поверхности стержня с поперечным сечением) вектор V = V і + п П может быть представлен в следующем виде [7]:

V = V р + е х К рм.

Здесь Vр =п і + | к - вектор перемещения точки Р(ур, ір) поперечного сечения (рис. 2), которая называется центром кручения; п, I - компоненты вектора в системе координат Оуі; е = е і - вектор углов поворота сечения вокруг оси проходящей через полюс Р (уР, іР) и параллельной оси Ох,

Йрм = (Г - Гр) = (ум - ур) і + (ім - ір) к - вектор, проведенный из полюса р в точку М профиля.

м

-0 [ (У м - ур ) 1у + (гм - гр ) 1г ]

В дальнейшем полагаем, что полюс Р(ур, гР) совпадает с началом системы координат Оxyz. Следовательно

0 = ф1(х),

л = и2(х), ^ = из(х) .

С учетом этих равенств формулы (7) принимают следующий вид:

v (х ум, гм ) = и2(х) 1у +

+ из( х) 1г +ф1( х) [ум [г - гм 1у ]

м

- из( х) (у -ф1( х) [ум (у + гм (г ]

Так как принята гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений по толщине стенки, можно считать, что перемещения

V (х, у, г), м (х, у, г) точек Мп (у, г), лежащих на оси Мг{ (у{ = 0), такие же, как и для точки

б)

М

О1

М( у м, гм) . Следовательно, для точек, координаты которых вычисляются по формулам

у = ум + г1

полагая в левой части формул (8) ум = у , гм = г ,

получим

V (х, у, г) = и2 (х) (у + из(х) (г +

+ ф1( х) [у м уг - гм (у ]

W (X, y, Z) = U2( X) tz - U3( X) ty --Фі(x) [yM ty + zm tz ]

Считаем, что модули упругости и сдвига материала являются переменными величинами, зависящими от длины дуги S линии (рис.2):

E(s) = E0 e\s), G(s) = G0g \s).

В соответствии с теорией тонкостенных стержней Уманского [5-7] депланация сечения при кручении описывается функцией

uK

где ß(x) - функция меры депланации;

I * s

(y,z) = a (s) = a(s) --X{—

ds

Q o g

Здесь ^_Jp ds _|p ds (L - периметр профиля), 0

p_p(s) _ RPM . n _ _ yM ny + zM riz _ yM tz - zM ty -

длина перпендикуляра, проведенного из начала координат Оxyz к касательной к линии OM в точке

* /L ds

M (рис. 2); Ix _Q2 ;-------- - осевой момент

/ 0 g

инерции поперечного сечения при кручении, h(s) -

M s

толщина стенки; ю (s) _ Jp ds _ Jp ds - сектори-

O,, o

альная характеристика (площадь) профиля.

При растяжении-сжатии, изгибе и кручении тонкостенного закрытого профиля в направлении нормали к поперечному сечению возникают перемещения вызванные растяжением-сжатием, изгибом и депланацией сечения при кручении:

и (x, y, z) _ и и (x, y, z) + и к (x, y, z) .

Подставляя в это равенство выражения (4), (11), находим

и(x,y,z) _ и,(x) + z<f>2(x) - уфэ(x)- P(x)a (s). (13) Деформации и напряжения будем вычислять в системе координат Mytzt. Используем формулы теории упругости:

du du dv

є x _—; У xY _Y xs _ —+— .

x dx xyt dyt dx

Обратим внимание на то, что по формулам (14) вычисляются деформации в фиксированной точке M и в фиксированной локальной системе координат Mytzt. В этом случае, в точке M

д д

ds = dyt (рис. 1, 2), следовательно ------=------. С

dyt ds

учетом этого равенства и выражений (2), (12), (10), (13) получаем du = du1( X) + zdф2( x) ydф3( x) dß( х) dx

dx

- + z-

dx

- y-

dx

dx

a (s).

du dz dv

д =Ф2(x)d Фз(x)dy -

dyt dyt dyt

- ß

ds

-ß

p(s) -

Ix

Q g

dv

dx

du2(x) t + du3(x) t + dx y dx z

+ dфі« fy y - z t ] dx

Подставляя формулы (15) в (14), находим выражения для компонент деформаций

6 x = —ui(x) + z—S2Íx) - y^^ - —ж a s),

dx

dx

dx

dx

v = du2 (x) . + du3(x) t +

I xv< - - L 7

+

xyt dx y dx

dфі

dx

[ y y yz zm ty ] '

+ ф2

p(s) -

Ix

Q g

CT x = E є x

Учитывая принятые гипотезы безмоментно-сти и неизменяемости контура, следует полагать

г = Gy = 0, г = Gy = 0. хі, Іхі, ’ у,і, Іу,і,

В соответствии с гипотезой ненадавлива-ния, продольные волокна стержня не взаимодействуют в нормальном по отношению к ним направлениям, следовательно, нормальные напряжения в направлении осей М уі , Міі равны нулю:

сту = ст7 = 0 . уі іі

Таким образом, в поперечном сечении тонкостенного стержня возникают напряжения

Формулы (16), (17) справедливы для точек поперечного сечения стержня, лежащих на оси М іі , т.к. для них также выполняется равенство д д

ду( де '

Координаты точек, лежащих на оси Мі, (уї = 0) вычисляются по формулам (9). Координаты некоторой фиксированной точки на линии уі = 0 обозначим через (уі, іі), а длину дуги, которая соответствует точке М ( у мі , імі ) - еі . В соответствии с равенствами (9) -

уі = у мі + іі іі, іі = і мі - іі іу. Следовательно, с

учетом соотношений (16), (17) для точек (Yj, Zj ), лежащих на оси Mzt

ст х

s x (x, Yl, z) =^T + z'—x

- ydfeM - ФМ a s),

dx dx

y (xy . z.) _ dLI2(x) t + CU3(x) t +

У xy( (x, y, z ) _ dx ty + dx tz

^Фі( x ) dx

[ yмі Уz zMi ty ] '

+ Ф2

p(s i) -

Ix

Q g

Для расчета напряженно-деформированного состояния стержневой системы может быть использован вариационный принцип Лагранжа:

Ьи-8W = 0 .

Здесь Ьи - вариация потенциальной энергии деформации системы, 5W - вариация работы внешних сил.

Потенциальная энергия деформации стержня в точках

1

ил (х у ¡, г/) = ^[ст х(x, у/, г/) 8 х(x, у^ г)+

+ тху, (х,у/,г/) Уху, (х,у,г/)]-

Вариация потенциальной энергии деформа-

Ьид(х,у,,г/) = [стх(х,у/,г,) 8ех(х,у,,г,) + 1 (20) + т ху,(x, у/, г/ )8Уху( (x, у/, г/ )\-

В точках ( х, у , г ), вариация работы внешних сил, распределенных по длине и по площади поперечных сечений стержня

ции

8 Wa (x, у і , z ,) _ qu (x, y і , z, )5и(x, y ,, z,) + + qQ (x, yh z , )Sv (x, y,, z ,) +

+ qQ

где qA, q^ - проекции внешних сил, действующих в поперечном сечении с площадью A, на оси координат Ох , Myt, Mzt.

Подставляя в (21) выражения для перемещений (10), (13), получим

8 WA (х, уi, z i) = q^ (x, y 1, z i)[Su, (x) + z ^ (x) -

- У/8фз(x) -8P(x)a (s i)] +

+ q^ (x, у,, z i )[8u2 (x) ty + 8U3 (x) tz + + 8Ф1(x)(YMi tz - zMi tY )]+ + q^ (x,уi, zi)[8U2 (x) tz - 8U3 (x) ty --8Ф1(x)(yMi ty + zMi tz )]-Учитывая, что 12 +12 = 1, а величины AAA

qu , qv , qw являются проекциями внешних сил

q^, q%, qQ на оси координат Ox , Oy , Oz по формулам qQ _ qQ ,

qQ _ qA ty+q% t

у 1 43 ‘г>

ЯД = Яд (г - Яд (у , вариацию работы внешних (22) можно представить в следующем виде:

8 Wд(х,у/, г/) = qд(х,у,,г,) [8^(х) + г,Ьф2 (х) -

- у/8фз(х) - 8р(х) а (в,)] +

+ qд(x,у/,г ,) [8и2(х) -8ф1(х)гм/ ] +

+ qд(х,у„г1 )[(х) + 8ф1(х)ум! ]

.

Для стержня длинной 1С, с площадью поперечного сечения д ,

ьи = | Ц ьид бД СИ ,

1с Д

5W = | Ц 5WД бД СИ.

1с Д

Интегралы Ц 5иД бД , Ц 5WД бД будем Д Д

вычислять с использованием численного интегрирования. При этом

ЦьиДСД = ]Г ьиД(x,у,, г,)д, ,

Д !=1

Л 8WдdД = ]Г8 Wд

Д /=1

Здесь д - весовые множители, зависящие от используемой для численного интегрирования квадратурной формулы, размеров и формы поперечного сечения.

С учетом равенств (23), (20), (24) (25), получается

ьи = |{е ьид(х у/, г,) д/1 С1 =

_ Ц Z[ctx(x, У п zі) 8єx(x, У n zі) + lc I i=1

+ T xyt

8W 8 WA(x,y „z-,)gi j dl _

JIZ {qA (x, У і, z і )[8и, (x) + z,^2 (x) -

lc 1і = 1

- У/8фз(x) -8P(x) a (s)] +

+ q2 (x, yi, z i) [8U2 (x) - 8Ф1 (x) zmi ] + + qA (x, y 1, z i )[8 U3 (x) + 8Ф1 (x) yMi ]} 9/ } dl. Полагая в последнем выражении F1 (x) = JJqA (x)dA = ]TqA (x,y/,z ,)g, ,

і_і

I

f2 (x) _ JJqQ(x)dA _ ZqQ(x,y ,,z ,)g ,,

А i_1

F3 (x) _ JJqQ(x)dA __ ZqA(x,У ,,z ,)g ,

i=1

+

А

А

ті (х) = Ц (цА (х)у - цА (х)і)бА =

А

І {яз (x, у І, {) у мі - ЦА(х у і, і і) імі} 9/, і=і

I

тг(х) = ЛЯ*(х)іСА = Іц*(х,у і,і і)і і д,

=і

/

т3(х) = ЛцА(х)усА = -ІцА(х,у¡,і і)у і д ,

А

=і

/

тв (х) = ЛqДl (х)а(в) СД = £ qДl (х, у „ г,) а (в,) д , , л ,=1

вариацию работы распределенных по длине стержня внешних сил ^ ,Р2,Рз , моментов т1,т2,тз и

бимомента тв можно представить в следующем виде:

5^ = | [р (х )5и1 (х) + Р2 (х)5и2 (х) + Р3 (х )5и3 (х) -

ІС

+ т1 (х )5ф1 (х) + т2 (х )5ф2 (х) +

+ т.

(х )5фз (х)- т*в (х )5Р( х)] СІ.

Аналогично, для сил сосредоточенных сил ^1к, ^2к, ^ , приложенных в точках продольной оси стержня с координатой хк и моментов, Мц, М2 у, Мз у, Мв У , действующих в точках с координатой ху, вариация работы сосредоточенных

внешних сил К

к=1

+1 [М1 і 5ф1 (ху) + М2 і 5ф2 (ху) -і=1

Мз у 8фз (хУ ) - Мву 8Р( х у)]  Следовательно, вариация работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил

5W = | [р| (х)Ьи1(х) + Р2 (х)Ьи2(х) + Ез (х)Ьиз(х) +

ІС

+ т1 (х )5ф1 (х) + т2 (х )5ф2 (х) +

+ т

,(х )5фз( х)- тв (х )5Р( х)]

СІ

+

К

+ I [ 5и1(хк ) + Р2к 5и2( хк ) + Р2к 5и2 (хк )] + к=1

Л

+ I [М1 і 5ф1(хі ) + М2 і5ф2 (хі ) + і=1

+ М3і5ф3 (хі ) - Мв і5Р(хі)] .

Для выбранной системы координат Охуі, усилия и моменты в поперечных сечениях стержня вычисляются по формулам:

N = ЦстхбА = Л ЕєСА,

А А

Оу "Я’ т'усА = Я^ т<>сА •

Оі =Дт ііЛА =

А А

Му = ЦстхіСА = ЛЕєхібА ,

А А

Мі =Цст хубА = Л Еє хубА,

А А

Мх = Л -тху;іУі)СА=

А

= ЯG(єхуМ -єху,іуі)СА.

Эти величины являются интегральными характеристиками и вычисляются достаточно точно при использовании соотношений для деформаций в виде (16).

Нормальные напряжения ст х в поперечных сечения стержня можно вычислять на основе закона Гука по формуле:

стх = ЕоЄ

сіи^ х) + ісСф2

-------- + і-------

сх

сх

-уСі^м - сіт а

сх

сх

Использование же закона Гука (17) для определения касательных напряжений позволяет определять достаточно точно только интегральные характеристики.

Для более точного вычисления значений касательных напряжений тху в точке М поперечного

сечения стержня (рис. 2,3) следует использовать формулу, полученную на основе уравнений равновесия выделенного элемента стержня. В частности, в монографии [7] представлена формула для вычисления тху( в случае, когда оси Оу, Оі являются

главными центральными осями поперечного сечения и полюс Р (рис. 2) совпадает с центром изгиба -центром кручения.

Литература

1. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля.// Вестник Казанского технологического университета. 2013 г. Т. 16, № 5. С. 216 - 223.

2. Серазутдинов М.Н. Расчет усиливаемых нагруженных конструкций вариационным методом /М.Н. Серазутдинов, М.Н. Убайдуллоев, Х.А. Абрагим // Известия вузов. Строительство. 2010. № 7. С. 118 -123.

3. Серазутдинов М. Н., Абрагим Х.А. Несущая способность стержневых элементов конструкций, усиливаемых в напряженном состоянии. / Серазутдинов М.Н.

//Вестник Казанского технологического университета. 2010 г. № 9. С.512 - 518.

4. Серазутдинов М.Н. Метод расчета криволинейных стержней. / М.Н. Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1991. № 5. С. 104 - 108.

5. Уманский А. А. Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций. - М.: Оборониз, 1939. - 112 с.

А

А

А

А

6. Уманский А.А. О нормальных напряжениях при круче- 7. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные

нии крыла самолета. - Техника воздушного флота, 1940, основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциа-

№ 12 ции строительных вузов, 2005. - 736 с.

С. 48 - 65.

© М. Н. Серазутдинов - д-р физ. мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, serazmn@mail.ru.