Кольцо Чжоу фундаментальных форм

Секция 1. Фундаментальные вопросы

УДК 512.734.3

Кольцо Чжоу фундаментальных

форм

В. С. Куликов

Введение

В алгебраической геометрии 19-го века важную роль играла теория соответствий для алгебраических кривых. Понятие соответствия обобщает понятие отображения. Соответствие между элементами двух множеств С\ и С2 задается подмножеством Г С С\ х С2 в их произведении. Тогда элементу х € С\ соответствуют элементы множества рг2((т х С2) П Г) С С2. Если Ci и С2 — алгебраические многообразия, то соответствие называется алгебраическим, если Г есть алгебраическое подмногообразие. В случае алгебраических кривых для получения численных результатов нужна теория пересечений на алгебраической поверхности С\ х С2. Простейший случай соответствий между точками двух прямых Р1, которые задаются кривыми на Р2 или на Р1 х Р1, рассматривался еще Шалем (М. Chasles, 1864). Двумерным обобщением соответствий между точками прямой Р1 являются соответствия между точками плоскости Р2 ([1] , Гл. IV, § 2 ). В этом случае «правильная» точка зрения состоит в том, что соответствие Г — это не многообразие

7

пар точек (P,Q) G Р2 х Р2, а многообразие «фундаментальных форм». Фундаментальной формой называется тройка (P,Q,l), где Р, Q точки в Р2, а / С Р2 прямая, причем, если Р ф Q, то / — прямая, соединяющая Р и Q, а если Р = Q, то / — произвольная прямая. Другими словами, с современной точки зрения это означает, что фундаментальные формы параметризуются точками многообразия W = В1д(Р2 х Р2), полученного раздутием Р2 хР2 вдоль диагонали Л. В [1) рассматриваются одномерные и двумерные соответствия между точками плоскости Р2, то есть кривые и поверхности в W. Для получения численных результатов нужна теория пересечений на W, то есть знание кольца Чжоу A'{W) многообразия W. Вычислению кольца A'(W) и посвящена эта работа.

Вычисление колец Чжоу раздутий многообразий, даже в простейших случаях, далеко не тривиальная задача. Вычисление A(W) для W = В\%Х, раздутия X вдоль Z, в общем случае получено в [2] (в контексте К-теории) и в [3], |4]. В § 1 мы напоминаем устройство кольца Чжоу проективного расслоения и описываем алгоритм вычисления кольца A'(W). В § 2 в качестве модельного примера вычисляется кольцо A'(W) раздутия проективного пространства X = Р" вдоль подпространства Z = Рг. В § 3 вычисляется кольцо Л(В1д(Р2 х Р2)) двумя способами. Дело в том, что В1д(Р2 х Р2) имеет также структуру Р1 х Р1-расслоения. Наконец, в § 4 теория соответствия для плоскости Р2 рассматривается в терминах кольца A(W).

1. Кольцо Чжоу раздутия подмногообразия

1.1. Структура раздутий

Пусть X — неособое проективное многообразие, a Z С X — неособое подмногообразие коразмерности codim^X = т. Пусть

8

I = I(Z) С Од- — пучок идеалов подмногообразия Z, a N = = (Z//2)* = Nz/x — нормальное расслоение Z в Л'.

Обозначим W = Bl/X -A X — раздутие X вдоль Z (= a-процесс ъХс центром в Z). Имеем коммутативную диаграмму

PiV = Е — ----- W = B1ZX

*Е а ш

Z ----:--- X,

I

где Е — исключительный дивизор, а г и j — вложения.

Как известно, Е = PiV — проективизированное нормальное расслоение, а нормальное расслоение

Ne/w = Орлг

где Орлг(—1) — тавтологическое подрасслоение в 7Tg(iV). Поэтому мы должны начать с напоминания устройства колец Чжоу проективных расслоений.

1.2. Кольцо Чжоу проективного расслоения

Пусть N — векторное расслоение ранга rk N = т на многообразии Z. Пусть 7г : РN — Z — соответствующее проективное расслоение, причем PiV понимается в классическом смысле, PiV = Proj (SymiV*). Тавтологическое подрасслоение S С 7r*iV есть Орлг(—1). Имеем эпиморфизм n*(N*) —> S* —> 0 на двойственное расслоение S* = Орлг(1), который дает изоморфизм H°(iV*) ~ Н°(0РАг(1)).

Отображение 7г* : A'(Z) —»• A'(PN) определяет на A'(PN) структуру Л'(£)-модуля, причем кольцо Л'(PiV) изоморфно факторкольцу

Л-

где

C = Ci(<Wl))€ Л1 (PiV). 9

В частности, как Л'(2Г)-модуль

А{?N) ~ A

При этом, если а € A(Z), то

7Г

а, если i = т — 1, О, если i < т — 1.

1.3. Ключевая формула

Пусть теперь N = Nz/x — нормальное расслоение Z в X, РN = Е. Кольцо Чжоу A{\V) строится из колец Л'(Х) и А(Е). Имеются естественные гомоморфизмы -ф = (a*,j,) : Л(АГ) 0 А(Е) —> A{W) и г, : A(Z) —> А(Х). Однако гомоморфизм прямого образа не является гомоморфизмом колец. Чтобы исправить положение, нужно в кольцах A'(Z) и А(Е) изменить мультипликативную структуру.

Пусть г : Z <— X вложение неособого подмногообразия коразмерности codim^A = га, а N = Nz/x ~ нормальное расслоение Z в X. Тогда для z <Е Aa(Z) имеем

Из этой ключевой формулы («Key formula») сразу следует, что дзя z\ € Aa(Z) и z2 € Ab(Z) имеем

Эта формула выражает произведение в Л (А) для циклов, носители которых лежат в подмногообразии Z, через произведение в A'(Z).

Введем в кольце Чжоу A{Z) новую мультипликативную структуру. Положим

i4i,z) = Z - CmiN) е Aa+m(Z).

i*Z\ • i,z2 = t,

Zi * Z2 = Zi • Z2  Cm(N) .

10

Группа A(Z) с этим новым законом умножения превращается в коммутативное, ассоциативное кольцо без единицы. Обозначим его A(Z)n. Теперь гомоморфизм г, : A(Z)n —> А(Х) является гомоморфизмом колец.

Применяя это к вложению j : Е W исключительного дивизора, получаем кольцо А(Е)н>, где N' = Ne/w = Ое(— 1)? в котором произведение элементов г\ и z'2 6 А(Е) устроено так

z[ * 4 = -zi  z2 • С,

где С = C!(Ofi(l)).

1.4. Кольцо Чжоу раздутия как факторкольцо

Рассмотрим группу А(Х)  А(Е)н' — прямую сумму групп А(Х) и А(Е). Введем в ней умножение, превращающее ее в кольцо. Умножение в А(Х) обычное, а в А(Е)^> определено выше. Наконец, умножение «крест на крест» таково: для х € € А{Х) и г' € А{Е)Ы.

(*. 0)  (0. z') = (0,7Г*Ei*{x) • z').

Теперь рассмотрим гомоморфизмы групп

<p:A{Z)N-+A{X)A

<p(z) = (г.(г), -7Гд(г) • Cm-i{Q)), где Q — универсальное факторрасслоение на Е = WN, и

il>:A

Ф{х,г') = а‘(х) + j.(z').

Класс Чженя Cm-\(Q) находим из универсальной точной последовательности

0 —> Opjv

11

где Орлг(—1) = S — тавтологическое подрасслоение, a Q — универсальное факторрасслоение, rkQ = тп — 1. В силу (10) имеем c(Q) = откуда

Cm-l

Теперь мы можем (см. [2]) описать структуру кольца Чжоу раздутия W = Bl^A'.

Теорема 1.1. (г) Гомоморфизмы ip и ip являются гомоморфизмами колец относительно умножения, определенного выше. Кроме того, <p(A(Z)ц) является идеалом.

(гг) Имеем точную последовательность градуированных групп

0 -----^ A(Z)N —р—у A(X)A(E)N> —P—t A(W) --------у 0,

где имеется в виду градуировка по размерности, А(Х) = А.(Х). В частности, компонента j, гомоморфизма гр повышает градуировку по коразмерности на 1. Кроме того, последовательность (*) расщепима и идеал <p(A(Z)fl/) является прямым слагаемым (как аддитивная группа).

Эта теорема позволяет вычислить кольцо Чжоу A'(W) как факторкольцо — коядро гомоморфизма <р. Для этого мы должны знать:

(1) Группы A(Z) и А(Х) и гомоморфизм г, : A(Z) —У -у А(Х).

(2) Нормальное расслоение N и его классы Чженя Cj(N) € € A(Z).

Тогда для Е = FN мы можем построить группу А(Е) и гомоморфизм п*Е : A(Z) —У А(Е). Именно, А(Е) определено в (2),

(3), а 7Гд — вложение A(Z) на слагаемое A(Z)£°.

Далее, мы можем построить гомоморфизм : A(Z) —у А(Х) ф А(Е). Для этого нужно знать класс cm^i(Q)€ Ат~1(Е), см. (11). После этого мы находим группу A(W) = Coker tp.

12

Для вычисления умножения в A'(W) мы должны знать следующие структуры:

(3) Умножение в A(Z) и А(Х).

(4) Гомоморфизм г* : А(Х) —> A(Z).

Тогда мы можем построить кольца A(Z)N и А(А')  А{Е)^> (так, что <р есть гомоморфизм колец) и тогда кольцо A'(W) = = Coker ip.

1.5. Задание A(W) образующими и соотношениями

Мы можем применить последовательность (*) для описания A(W) с помощью образующих и соотношений. Группа A(W) порождается а*(А(Х)) и j,(A(E)). Образующими в A(W) являются образы образующих в А(Х) и А(Е). Будем обозначать элементы сг*(х) G а*(А(Х)) также как элементы А(Х), просто х, а элементы j.(z') G j,(A(E)) также как элементы А(Е), ставя над ними волну, например, j,(z') = z'. Отметим, что о* является гомоморфизмом колец и сохраняет градуировку по коразмерности, a j, увеличивает эту градуировку на 1.

Правила умножения в кольце A'{W) записываются так:

1. <7* — гомоморфизм колец, а*(хх)(т*(х2) = cr*(xiX2);

2. если z[, z2 € j+(A(E)), то

z\ • z'2 = -j.

3. умножение «крест на крест»: если х G о*(А{Х)), z' G G j.{A{E)), то

х • z' = j.

После того, как вычислены произведения аддитивных образующих (т.е. образующих группы), мы можем часть из них взять в качестве мультипликативных образующих (т.е. образующих кольца) и выразить аддитивные образующие через мультипликативные.

13

Соотношения в A(W) получаются из в ip(A(Z)) и порождаются соотношениями

o*

где z — образующие A(Z).

Применим теперь эти общие факты для вычисления кольца Чжоу фундаментальных форм. Для начала рассмотрим модельный пример, представляющий самостоятельный интерес. Именно, рассмотрим раздутие проективного пространства вдоль проективного подпространства.

2. Кольцо Чжоу Л (В1дРп) раздутия проективного пространства Рп вдоль линейного подпространства А С Рп

2.1. Раздутие как замыкание графика проекции

Пусть Р" = РК — проективное пространство, где V ~Сп+1, а А С Г - проективное подпространство А ~ Рг-1, соответствующее линейному подпространству L С V, L ~ Сг. Как хорошо известно, раздутие W = В1дР" пространства Р" вдоль подпространства А можно рассматривать как график рационального отображения ргл : Р" —* Р"~г = f(V/L) — проекции Р" из центра Л, которая соответствует проекции V ~ Cn+1 —> —> V/L ~ Cn'r+1, и которая точку р 6 Р”, соответствующую прямой р С V, переводит в точку ргл(р), соответствующую прямой р modL в V/L. В неинвариантных терминах (не канонически) проекцию ргл можно описать так. Выберем подпространство Г С Р", Г ~ Р"-г, не пересекающее Л, что соответствует выбору подпространства М С V, М ~ V/L, дополнительного подпространству L С V, V = L ф А/, так что

14

Г С Р" соответствует вложению М С V, Г = РМ. Тогда ргЛ : Р" \ Л —> Г = рп_г переводит точку р € Р" \ Л в точ-ку q = Л,рП Г € Г. Таким образом, мы можем описать ВЦП5" как

Ж = {(р)9)бРяхГ:рбЛ^},

а отображение раздутия а : W -> Р” проективного пространства Р" вдоль подпространства Л, является ограничением на W проекции на первый множитель. Имеем диаграмму

Е С W —------- Р"-г

где Е = <7-1(Л) — обозначает исключительный дивизор Е = = Рг~1 х Р"-г раздутия вдоль подмногообразия Z = Л, а 7Г — ограничение на W С Г х проекции на Рп-Г.

15

дает простейший (и нетривиальный) пример раздутия вдоль подмногообразия положительной размерности.

Полученное выше описание W показывает, что слой тг-1(д) = Л, g = Р*-. Таким образом, проекция 7г : W —> Р"'г является Р'-расслоением. Найдем (г + 1)-мерное расслоение N на Р"_г, для которого РN = W.

2.2. Раздутие ЕИдР” как проективное расслоение

Пусть, как выше, Р" = Р(К), А = Р-1 = Р(£), Г = Р-г = = Р(М), где L С V — г-мерное подпространство, а М С V — дополнительное (тг — г + 1)-мерное подпространство. Тогда слой 7г_1(д) С W, q € Г, соответствует подпространству, порожденному L и прямой q С М, соответствующей точке q G Г. Здесь L фиксировано, а одномерные подпространства q пробегают все прямые в М. Это подсказывает, что W есть проективи-зация (г + 1)-мерного расслоения N = 5©Lpn-r, где S С А/рп-г тавтологическое подрасслоение постоянного расслоения А/рп-г, Р_г = Р(М), a Lpn-r — постоянное расслоение на Р-г ранга г. Или, в терминах пучков, N = Орп-г(—1) ф (L <8> Ор«-г). Отсюда получается теорема

Теорема 2.1. Пусть L С V — r-мерное подпространство (п+1)-мерного линейного пространства V, a i : W Р х хр*~г — график проекции Р(У) из подпространства F(L), так что ограничение на W проекций на сомножители есть раздутие и проективное расслоение соответственно (см. диаграм-му (*i)). Пусть

N — Орп-г

векторное расслоение ранга г + 1 на Рп-Г = Р(V/L), a f : РN — Рп_г — соответствующее проективное расслоение. Тогда отображение б : РN —* Р", определенное полной линейной

16

системой |CW(1)|, и ft дают замкнутое вложение ip : РN <-4 Р" х Рп_г, образом которого является W,

рп х рп-г. ^ рдг

I

W

Ж

Ж

Р"~г ,

К)

и при этом а соответствует о, аж соответствует ж.

Следствие 2.2. Пусть W С Г х Г'г — раздутие (г — 1)-плоскости Л С Р". Если q u( G AX{W) обозначают обратные образы классов гиперплоскостей в Рп-Г и Р” соответственно, то

A

При этом класс исключительного дивизора Е = сг-1(Л) равен

[Е}= С-а.

Доказательство. Кольцо Чжоу проективного пространства д (рп-г-) _ 2[а]/(оп_г+1). Полный класс Чженя c(N) =

= с(Орч-г(—1)) = 1 — где С = Ci(CW(l))- Но в силу теоремы 2.1 при изоморфизме W ~ PiV пучок 0рлг(1) соответствует пучку сг*0рп(1) и С = сг*0рп(1) — прообраз класса гиперплоскости в Р". Структура кольца Чжоу в (15) следует из (2). Класс С представляется прообразом гиперплоскости h в Р". Если гиперплоскость h содержит Л, то ее полный прообраз состоит из исключительного дивизора Е и собственного прообраза Н, который представляет класс а. Поэтому С = [£] + с*.

В частности, для раздутия Р3 вдоль Р1 Тюлучаем.

Теорема 2.3. Кольцо Чжоу A'(W) раздутия BlPiР3 проективного пространства Р3 вдоль прямой А = Р1 С Р3 является факторкольцом

A

где £ = o*{h), h — класс плоскости в Р3, a a = 7Г*(pt) G AX(W) — класс слоя Р2-расслоения ж.

17

2.3. Кольцо Чжоу раздутия ВЦР*

Теперь вычислим кольцо Чжоу А'(В1дР") с помощью алгоритма, описанного в пункте 1.5. Для простоты рассмотрим раздутие Р3 вдоль прямой А = Р1 С Р3. Имеем диаграмму

Е С W —-—- Р1 = Г

где Г = Р1 С Р3 — прямая, не пересекающаяся с A, W С Р3 х Г, а а и 7Г индуцированы проекциями.

Пользуясь описанием W как графика проекции, то есть как замыкания множества {(Р, Q) G (Р3\А) х Г : Q = А, РпГ}, мы можем описать ситуацию геометрически. Имеем

W = {(P,Q) € Р3 х Г : Р е ATQ} .

Пучок плоскостей Hq С Р3, Q € Г, проходящих через прямую А, после раздутия А, превращается в множество слоев проекции 7г. Плоскость Н, пересекающая А в точке Ро, превращается в поверхность Я - линейчатую поверхность Хирцебруха Fi над прямой Г. Поверхность Я получается раздутием Я в точке Pq. Пучок прямых Я П Яд, проходящих через точку Р0, превращается в множество слоев поверхности Я. Это показывает, что поверхность Я представляет класс С = Ci(Op/v(l)), где

т = w.

Перейдем к алгоритму вычисления A'(W). В обозначениях §1, Х = Р3, Z = A = P*.

1) Вложение г, : A(Z) —> А(Х).

Кольцо Чжоу

.4 (Р3) = Z[h]/(h4) = Z 0 Z/г 0 Z/i2 0 ZА3,

где h — класс плоскости Я С Р3. Кольцо Чжоу A'(Z) = = ^'(Р1) = Z[^]/(qr2) = Z © Zq, где q — класс точки Р G Р1.

18

Имеем

г.

г*(1) = 1, i*(h) = q.

2) Нормальное расслоение N = Nz/x-

Мы можем вычислить нормальное расслоение N = Nz/x и его классы Чженя исходя из точной последовательности 0 —> TPi —> -> г*Трз - N -4 0. Имеем с(ТРз) = (14- /г)4, с(ТР>) = (14- q)2. Отсюда c(N) = =14-2q. Таким образом, C\(N) = 2q.

Этот же результат можно получить проще. Поскольку прямая Z = Р1 является пересечением двух плоскостей в Л' = = Р3, то N = 0Pi(l) ф 0Pi(l). Поэтому

cl

3) Кольцо Чжоу А'(Е).

Исключительный дивизор Е = ст_1(Л) = Л х Г является квадрикой Р1 х Р1. В представлении линейчатой поверхности РN в виде проективизации двумерного расслоения, расслоение N определено с точностью до умножения на линейное расслоение (обратимый пучок). Это меняет 0Ptv(1) и его класс Чженя. В нашем случае Е = PN, где N = 0Pi(l) ф 0Pi(l), C\(N) = 2q и из (2) получаем, что

а-(е) = а(гш2+ы) = щя,тя2,е+г«о,

где £ = Ci(0PAf(l)) € А1(Е). Обозначим q = 7г*E(q) 6 А1(Е) класс слоя = /. Так как / • £ = 1, то £2 = —2. Мы

видим, что £ — это не сечение s расслоения Р1 х Р1 = Л х Г, а £ = s — /. Если вместо образующей £ выбрать s = £ 4- /, то мы получим, что А (Е) = Z[q, s]/(q2, s2).

4) Аддитивные образующие A{W) и их произведения. Выпишем образующие группы A(W). Имеем A(W) = А0^1© А2 А3, А0 = Z[W] ~ Z, А3 = Z-/i3 ~ Z. Из пункта 1.5 получаем

А1 = Pic W = Z/i 4- Ze,

19

где h = <7*(/i), e = j,(l) = [i?] — класс исключительного дивизора;

A2 = Z/ + Z/ + Zf,

где 1 = h? — класс a*(J) для прямой l С P3, / = j./ = j^siQ) — класс слоя поверхности E в 1У, £ = j.(£) — класс «сечения» поверхности Е в W.

Вычислим теперь произведения образующих, применяя формулы (12) и (13). Получаем h-e = = j,(q) = j.(/) =

= /; e2 = e • e = — j,(£) = —Итак, для спаривания A1 x А1 -э —» А2 имеем

h2 = l, h-e = f, e2 = —

или

l = h2, f = h-e, f- = — e2 .

Далее, h • I = h3 = h  f = h  j.{f) = j,(7rj^*(/i) • тг£(д)) = = ,7,(g2) = 0. Итак, h • / = 7i2e = 0. Далее, h • £ = h  j,(£) = = = 1 и, следовательно, ft-e2 = —1. Далее, el = e/r = 0;

e • / = J.(l) • j.(/) = ~j,(f • 0 = “I- Наконец, e • f = j.(l) • .),(£) = — j,(£2) = j*{2q£) = 2. Таким образом, для спаривания А1 х А2 —> А3 имеем

/г. / = h3 = 1, h  f = h2e = 0, /г| = -be2 = -1,

е -l = eh2 = 0, е • / = he2 = — 1, е • £ = —е3 = 2.

5) Соотношения в кольце А (И7).

В нашем случае элемент Cm-i(Q) € Am_1, то есть c\(Q) € А1, в силу (11) и (18), равен

Ci(Q)=Z + cl(N)=f; + 2q.

В силу

где z € A(Z) = А(РД.

20

Для z — 1 элемент i,(l) = l, cr*(i,(z)) = /, и мы получаем соотношение

i=i+2f,

и в силу

К2 — 2he + е2 = 0.

Поскольку h — е = а, мы получаем соотношение

а2 = 0,

где а — класс собственного прообраза плоскости Н, проходящей через Л = Р1, или класс слоя Р2-расслоения 7г.

Для z = q имеем. Элемент it(q) = h3, o*(i,(q)) = h3. Элемент irE(q) • (£ 4- 2q) = q£ + 2q2 = q£. Применяя формулу (13), получаем

зЛяО = зЛ*е(яЮ =  О = h • I = ~~he2-

Таким образом, при z = q из формулы (21) получаем соотношение

h3 + he2 = 0.

Покажем, что это соотношение равносильно соотношению — с*С2 в (16). В силу теоремы 2.3 элемент £ = cr*(h) = h. Поэтому (3 — а£2 = /г — ah2 = h3 — (h — e)h2 = h2e. С другой стороны, умножая соотношение а2 = 0, то есть h2 — 2he + е2 = О, на h, получаем h3 — 2h2e + he2 = 0, что в силу(23) равносильно h2e = 0.

Таким образом, мы вычислили кольцо A'(W) — получили представление (15) — с помощью алгоритма вычисления кольца Чжоу раздутия.

3. Вычисление кольца Чжоу фундаментальных форм

Нашей целью в этом параграфе является вычисление кольца Чжоу A(W) раздутия W = В\ЕХ многообразия X = Р2 х

21

хР2 вдоль диагонали Z = Д. В данном случае г : Z = Р2 —> X — диагональное вложение,

i : Р (Р, Р), Д = i(Z) = {(Р, Р) € Р2 х Р2 : Р € Р2} .

Ситуация с раздутием диагонали в Р2 х Р2 подобна раздутию BlprP" проективного пространства вдоль проективного подпространства в том смысле, что В1д(Р2 х Р2) также можно рассматривать как график рационального отображения и как пространство локально тривиального расслоения, именно Р1 х Р1-расслоения. Поэтому кольцо Л (ИД можно вычислить двумя способами: с помощью алгоритма вычисления кольца Чжоу раздутия, описанного в §1, и с помощью непосредственного применения описания кольца Чжоу проективного расслоения в (2). Для сравнения мы применим оба способа. Начнем с раздутия.

3.1. Вложение г* : A

Как известно,

Л'(РГ) ~ Z[h]/{hr+1) = Z  Zft Ф • •  0 Ш,

где h — класс гиперплоскости.

С другой стороны, известно, что для колец Чжоу Л'(А') алгебраических многообразий нет формулы Кюннета для произведения многообразий. Однако для проективных пространств такая формула есть ([3], [4]).

Теорема 3.1. Кольцо Чжоу произведения

Л‘(РГ х Г) ~ Л’(РД Л'(РД,

или

Л (РГ х Г) ~ Z[a, £]/(ar+1, /?,+1),

где а и (3 (= Л^Р1- х Ps) — обратные образы классов гиперплоскостей относительно проекций.

22

Для диагонали ДсГхГ методом неопределенных коэффициентов получаем

[А] = аг + аг~'р + • • • + а0г~1 + рт € Лг(Рг х Г).

В частности, для Z — Р2 (г = 2) имеем:

Л^Р2) ~ Z[A]/(A3) = Z © ZA 0 ZA2 ,

где А — класс прямой, а А2 — класс точки.

Пусть 1\ и 12 — классы прямых на сомножителях Р2 х Р2, а а и Р их обратные образы в А(Х), а = [/i х Р2], /3 = [Р2 х 12\. Тогда

А

0(Za2 0 Zap 0 Zp2) 0 (Za2P 0 ZaP2) 0 Za2P2 = Z[P2 x P2]0

0(Z[Z! x P2] 0 Z[P2 x /2]) 0 (Z[P x P2]0

ez[/i x /2] © Z[P2 x Q]) 0 (Z[P x l2} 0 Z[h x Q]) 0 Z[P x Q],

где P и Q — точки на P2. Поверхность li x l2, изоморфную P1 x P1, мы будем называть квадрикой.

Для вложения г диагонали А = {(Р, Р)} ~ Р2 имеем

i.

t.

г,(А2) = а2р2 е A\X) = Z.

Кроме того, при гомоморфизме колец i* : Л'

3.2. Нормальное расслоение N = Nz/x и его классы Чженя

Для вычисления полного класса Чженя c(N) мы можем воспользоваться точной последовательностью

О —* Tz —> Tx\z —tN—t 0.

23

Имеем c(Tz) = c(7pj) = 1 + ЗЛ + ЗА2 и

с{Тх) = с(ГР 2ХР2) = c(p\(Tpt)P2{TP2)) = с{р\(ТР2))-с(р\{ТР2)) =

= (1 + За + За2)(1 + 30 + 302) =

= 1 + 3(а + 0) + 3(а2 + 3а0 + (З2) + 9(а20 + а02) + 9а202 . Из (26) получаем

с{Тх , J = i*(c(Tx)) = 1 + 6А + 15А2,

и, наконец,

(— С^х\г) _ 1 + 6А + 15А2 ^ c{Tz) ~ 1+ЗА + ЗА2

(1 + 6А + 15А2)(1 - ЗА + 6А2),

откуда

c(N) = 1+ ЗА + ЗА2,

cj

В данном случае нормальное расслоение N = Nz/X находится проще. Известно, что пучок дифференциалов Sllz многообразия Z совпадает с конормальным пучком диагонального вложения: flz = NZjX = г*(/д//д), где i:Z—¥&cZxZ — вложение. Поэтому N = Nz/X =Tz — касательный пучок на Z и c(N) = c{Tz) = 1 + ЗА + ЗА2.

3.3. Кольцо Чжоу Л'

Для проективного расслоения Е = РN имеем

.4

где С = сДОргЛ1))-

Перечислим аддитивные образующие в кольце А'(Е) = = A'(Z) + A (Z)C = А0 ф А1  А2  А3. Мы, как обычно, одинаково обозначаем цикл и его класс в кольце Чжоу. Для того,

24

чтобы отличить элементы z € A(Z) от их образов при вложении 7Tg, мы будем использовать «шапочку» (hat), например обозначать 7Г^(Л) = Л; А — класс линейчатой поверхности над прямой А = Р1. Обозначим 7г^(А2) = А2 = А2 = /; / ~ Р1 — это слой расслоения 7ге или слой линейчатой поверхности А. Элемент С = Optz(1) можно понимать как «сечение» расслоения 7Ге, так как индекс пересечения с каждым слоем равен единицы, С • / = / • С = 1. Наконец, 7г£(А)С = АС = Са; Са — это «сечение» линейчатой поверхности А. Имеем

А0 = Z[Е], А1 = ZA+ZC, А2 = Z/+ZCa, А3 = ZA2C ^ Z.

Выпишем произведения образующих. Для спаривания А1 х хЛ1 -4 А2:

Для спаривания А1 х А2 —> А3 = Z:

А./ = А3 = 0, А-Са =

Последнее равенство следует из того, что С * Са = С2А = (—ЗАС — -ЗА2)А = —ЗА2С = -3.

Для тройных произведений образующих А и С G А1(Е), комбинируя предыдущие равенства, получаем

3.4. Аддитивные образующие A{W) и их произведения

Выпишем образующие группы A(W). Имеем Л (И7) = Л°  Л1 Ф Л2  Л3  Л4, Л° = Z[W], Л4 = Zа2/?2 ~ Z. Используя образующие (29) в А(Е) из пункта 3.3, и соглашение для обозначений из пункта 1.5, получаем:

Л1 = Pic W = Za + Zfi + Ze,

25

где е = j.(l) = [£] — класс исключительного дивизора

Л2 — Zot2 + ZaP + Zp2 + ZA -+ ZC •

A3 = Za2P + Zap2 + Zf + Z(fA .

Вычислим теперь произведения образующих, применяя формулы (12) и (13). Имеем а-е = a-j,(l) = • 1) = А;

е2 = —jtС = —С- Таким образом, для спаривания Л1 х Л1 —> А2 имеем

а • а = а2 , аР = аР, а  е = А, Р • е = А, е2 = — С •

Это позволяет выразить образующие А и ( через образующие а, Р п е

\ = а • е = Р • е, С =-е2.

Далее, a • А = (7г^г* (о;) • А) = j.(A2) = j.(/) = /. Аналогично,

Р • А = /. Имеем a • С = j»(А • С) = J.(Ca) = Са- Имеем е • а2 = = а2 • е = j*(А2  1) = j,(/) = /. Аналогично, в силу (26) e-аР = = е • Р2 = /. По формуле (12) получаем е • А = j,(l) • j*(A) =

= -j*(}С) = -J.(Ca) = -Са и е • с = i.(l) -i*(0 = -МС2) = = j*(ЗАС + ЗА2) = j*(3Ca + 3/) = ЗСа + 3/. Таким образом, для спаривания Л1 х Л2 -* Л3 имеем

a• a2 = 0, а-аР = а2р, а-Р2 = ар2, о• А = /, a • С = Са ,

Эго позволяет выразить образующие / и Са через образующие а, Р и е

f = е • а2 = е • ар = е  р2, Са = — <*е2 = —Ре2.

Вычислим еще произведения Л1 х Л3 — Л4 = Z и Л2 х х Л2 — Л4 = Z. Поскольку а3 = О, Р3 — 0, а2Р2 = 1, и в силу (13) имеем а2Ре = аР2е = 0, то остается найти а2е2, аРе2, ае3,

26

е4. Имеем а2е2 = -а2( = -a2j,(Q = -j,(A2C) = -1. Аналогично, а/?е2 = —1. Из формул (12) и (32) получаем

ае3 = ае • е2 = -Л • С = -j»(A) • i*(C) = j.(AC2) = -3 •

Аналогично, из формул (12) и (32) получаем

е4 = е2 • е2 = j,(С)  j.(C) = ~j.(C3) = -6.

Итак,

а4 = а3Р = ар3 = /?4 = 0, а2/32 = 1, а2ре = а/32е = 0, а2е2 = а/Зе2 = р2е2 = — 1, ае3 = Ре3 = — 3 , е4 = — 6.

3.5. Соотношения в кольце A

В нашем случае элемент Cm-i(Q) 6 Am-1, то есть C\(Q) 6 € А1, в силу (11) и (27) равен

ci(Q) = С + ci(N) = С + ЗЛ.

Вейлу

где z € A{Z) = А(Р2).

Для 2 = 1 элемент г,(1) = [Д] и мы получаем соотношение о;2 + otP -+- р2 = £ ЗА,

и в силу

а2 + с*Р + Р2 + е2 — ^-

Для 2 = Л имеем: в силу (25) элемент г, (А) = а2Р + а/З2; в силу (30) и (37) j.{А(С + ЗА)) = j.(Ca + 3/) = Сл + 3/ = -\{а 4- Р)с2 + + е(а2 + а^ + Р2). Получаем соотношение

а2р + ар2 = — ^

27

Для z = А2 имеем. В силу (25) элемент г. (А2) = а2/32. Далее, тг^(А2)-(С+ЗА) = А2(С+ЗА) = А2С = тт^(А2)С = ^г*(«2)С или 7т^.г* (ог/3)С- По формуле (13) и (34) получаем j*(7i£(A2) • (С + + ЗА)) = ^.(тг£**(а2)С) = <*2С = — с*2е2. Получаем соотношение

<*2/32+а2е2 = 0, или о;2/32+/32е2 = 0, или а2/?2+а/?е2 = 0.

Подведем итог. Мы доказали теорему

Теорема 3.2. Для многообразия W = Bl^X— раздутия Л=Р2х х Р2 вдоль диагонали Z — кольцо Чжоу A'(W) = Ъ[а,/3,е\/1, где идеал I порожден элементами а3, /З3,

а2+а/3+/32+е2-^-(а+Р)е, а2Р+а/32+^-(а+Р)е2-е(а2+аР+Р2),

а2(32 + а2е2, а2/?2 + /32е2, а2/?2 + а/Зе2 .

3.6. Многообразие W = В1д(Р2 х Р2) как график рационального отображения

Рассмотрим рациональное отображение 7г0 : Р2 х Р2 —» Р2,

сопоставляющее паре точек (Р, Q) 6 Р2 х Р2 соединяющую их прямую I = PQ. Как обычно, мы рассматриваем прямую I С Р2 также как точку I € Р2 двойственного пространства. Если Р £ 6 Р2, то Р обозначает прямую в Р2 — пучок прямых, проходящих через Р. Отображение 7г0 определено на Р2 х Р2 \ Д. Пусть

W С Р = Р2 х Р2 х Р2

график рационального отображения 7Г0, то есть замыкание графика регулярного отображения 7Го : Р2 хР2\ Д —» Р2. Ясно, что

w = {(P,Q,i)eF:Pel,Qei}.

28

Рациональное отображение 7Г и подмногообразие W С С Р2 х Р2 х Р2 мы можем задать явно уравнениями. Пусть

(х0 : Xi : х2; Уо : У\ : у2; «о : «1 : «2) € Р

координаты в Р. Очевидно, если Р = (x§ : х° : х°), Q = (у§ : : : у°) € Р2, то прямая PQ задается уравнением

Хо Х\ х2

г0 _0 _0 х о х j х 2

Уо У? У

= 0,

или

хо „о Х1 х2

У? У2

£о +

го то

х2 х0

У2 Уо

Xj +

Хо я?

Уо У?

х2 = 0.

Поэтому отображение 7г : Р2 х Р2 —> Р2 задается формулами

а0 =

Xj х2 У1 У2

1 «1 =

, а2 =

Х0 Х\ Уо У1

х2 Хо Уг Уо

а подмногообразие W С Р коразмерности два задается любыми двумя уравнениями из трех:

«о

х2 х0 Х\ х2 Xq Х\ х2 Xq

= а 1 , «1 = «2

У2 Уо У\ У2 Уо У\ У2 Уо

Х\ х2 Хо Х\

«2 У1 У2 = ос0 Уо У\ *

Обозначим г = 1,2,3, проекции Р на сомножители, а Pi2 — проекцию Р на Р2 х Р2, и соответственно pi3 и р23. Рассмотрим диаграмму

Е С W —------- Р2 D т

где

Д С Р2 х Р2,

29

Прямые (и их классы) на диагонали Д = {(Р, Р) 6 Р2 х х Р2} ~ Р2 мы обозначаем Л. Исключительный дивизор

Е = а'ЧД) = {(Р,Р,1) :1эР} = {(Р,Р, Р), Р е Р2}

изоморфен проективизированному касательному расслоению, Е = РТД, причем Тд ~ N = A^z/x- Таким образом, <т = p12|w есть раздутие Р2 х Р2 вдоль Д.

Рассмотрим вторую проекцию 7г = p3|w. Ее слой над точкой / € Р2

тг_1({0) = {(Р, Q, I) : Р € /, Q 6 /} = I х / х {/} ~ / х / с Р2 х Р2

есть квадрика, а 7г является Р1 х Р1-расслоением над проективной плоскостью Р2.

3.7. Образующие группы Al{W) = Pic W

Еще раз вернемся к вопросу об образующих A(W) (см. раздел 3.4), принимая во внимание наличие на W структуры Р1 х Р1-расслоения.

На W имеется 4 естественных дивизора (и соответствующих им класса дивизоров). Три из них соответствуют классам прямых на трех сомножителях Р = Р2 х Р2 х Р2, а четвертый — это исключительный дивизор Е. Именно, обозначим Н\, Я2 и Л/ дивизоры, которые высекаются на W дивизорами 1\ хР2 хР2, Р2 х /2 х Р2, Р2 х Р2 х т, где /2, т — это прямые. Пусть Hi = lix Р2, Я2 = Р2 х /2, т = Р С Р2. Тогда

Hi = , Я2 = <т_1(Я2), Л/ = 7г~1(т).

Классы этих дивизоров в AX{W) — это

[Hi] = a, [Я2] = Р, [М] = д.

Разберем подробней геометрию этих дивизоров. Три дивизора Е, Яь Я2 определяются с помощью «проекции» ст, а М — с помощью «проекции» 7г. Посмотрим как эти дивизоры устроены

30

с точки зрения «другой проекции» и как устроены их пересечения.

1. Исключительный дивизор Е = сг-1(Д) = {(Р, Р, Z),P 6 е Р2,/ G Р} проекцией 7Г отображается на всю плоскость Р2 и при этом слой отображения Е -> Р2 над точкой I G Р2 есть диагональ (5/ квадрики Q; = 7Г-1(/) = Ixlx {/}. Мы можем рассматривать точки Р € / как прямые в Р2, проходящие через точку I 6 Р2, так что и с точки зрения проекции 7г дивизор Е является проективизацией касательного расслоения, Е = P7g»2. Напомним, что для прямой А С Д = {{Р, Р)} ~ Р2 мы обозначали А линейчатую поверхность я^^А) С Е, а А - эту же поверхность, но в W. Слой / = пЁ1({Р, Р)) при проекции тг изоморфно отображается на прямую Р С Р2 — пучок прямых в Р2, проходящих через точку Р. При этом прямой А соответствует точка А € Р2 и все прямые Р, Р € А, проходят через точку А. Мы видим, что линейчатая поверхность А — это поверхность Хирцебруха F,. Она получается из плоскости Р2 раздутием точки А, при котором стягивается (—1)-кривая {(Р,Р,Х),Р (Е А}.

2. Дивизор #i = cr-1(#i),

#1 = {(P,Q,0 € р :PeiuPel,Qel}

бирационально отображается на Hi = li х Р2 и является изоморфизмом вне прямой Ai = НХПА = {(Р, Р), Р (Е /Д. Дивизор Н\ получается из Н\ раздутием прямой Ai. При этом вклеивается линейчатая поверхность Ai. Проекция 7г отображает Н\ на всю плоскость Р2 и при этом слоем над точкой I € Р2 является прямая I, именно {(Р, Q,l) : Р = I П li, Q € /}. Таким образом, Hi является Р1-расслоением над Р2 и, как и выше, мы можем рассматривать Hi как РГр2. Пересечение

Е П Hi = {(Р, Р, /) : Р € /ь Р € /} = А,.

Для классов дивизоров это означает (см. (33)), что а  е = А.

3. Дивизор Я2 = сг-1(Я2) аналогичен дивизору Яь

н2 = {(P,Q,i) : Q е i2,P е i,Q е 1},

31

//г — Р2 х /2 , //2 П Д — {{Qi Q) € Д, Q 6 /г} — Л2 С Д,

Е П Н2 — {(Q, Q, 0 • Q 6 hi Q £ 0 — Аг .

Пересечение Я! П Н2 = /i х l2 С Р2 х Р2 и поэтому

НуП Н2 = {

— это квадрика li х /2, раздутая в точке (Я, Р), где Р = ^ П /2. При отображении на Р2 две образующие (Р х /2, /г) и (/1 х Р,1Х) этой раздутой квадрики стягиваются и получается плоскость Р2.

4. Дивизор Л/ = 7r_1(m), где т — это прямая в Р2. Прямая га С Р2 — это пучок прямых в Р2, проходящих через некоторую точку R €Е Р2, га = Я. Мы получаем, что

М = {(P,Q,l) еР:Pel,Qel,leR}.

При отображении а : W —> Р2 х Р2 дивизор М отображается в дивизор

а(М) = {(P,Q) 6 Р2 х Р2 : PQ э R}.

Дивизор <т(М) содержит диагональ Д = {(Р, Р)}, так как для любой точки Р G Р2 точка (Р, Р, РР) G М. Мы видим также что над каждой точкой из а(М) \ (Я, Я), и, в частности, над Д \ (R, R), лежит ровно одна точка из М, а над точкой (Я, R) лежит прямая а-1 ((Я, R)) ПМ = {(Я, Я, /) : / G Я}.

Выразим класс д = [М] через а, /3 и е. Для этого найдем произведения д с с*2/?, а/?2 и / € Л3(ИД.

Лемма 3.3.

д • a2/? = 1, д • а/?2 = 1, д • / = 1.

Доказательство. Если а2 = [Р х Р2] е Л2(Р2 х Р2), /? = = [Р2 х /2] € Л^Р2 х Р2), то класс а2/3 € A3(W) представляется «прямой» 12 = <т-1(Рх/2) = {(Р, QJ) : Q € l2,l = PQ}- Тогда МП/2 — это точка (Р, Q, I), где / = РЯ, a Q = РЯП/2. Легко

32

видеть, что М и 12 пересекаются в этой точке трансверсально. Поэтому ц • а2/9 = 1. Аналогично, р,  аД2 = 1.

Пусть класс / представляется «прямой» / = {(P,P,l) € € Р : / Э Р}. Тогда МП/ — это точка (Р, Р, /), где / = РР. Пересечение в этой точке трансверсально. Поэтому р • / = 1.

Следствие 3.4. Классы а, /3, е и р € A^VT) связаны соотношением

р = а + [3 — е.

Доказательство. Запишем р в виде р = ха+у/3+ze и умножим это равенство на а2Д, а/?2 и / соответственно. Тогда (44) следует из (38) и (43).

3.8. Р1 х Р^расслоение как композиция проективных Р^расслоений

Рассмотрим различные проекции произведения Р = Р2 х хр2 х р2^ СОСТоящего из троек (P,Q,l). Имеем коммутативную диаграмму

Р2 X Р2 X Р2

гдеР13((Р,д,0) = {РЛ Ы(РЛ1)) = (Q,0, p\((PJ)) =

= Рг((£?, 0) = I- Проекция р3 является композицией рз = р\ о °Pi3 = Р2 °Р23- Обозначим Vj = {(Р,О G Р2 х Р2 : Р € /} и V2 = {(<5,0 G Р2 X Р2 : Q € /}. Тогда Vx = р13(И0, V2 = p23(VP) и мы имеем коммутативную диаграмму

33

w

где 7г 1з = pnlw, tt'i = p\ |v,, и аналогично, 7г23, 7г2. Все эти отображения являются Р1-расслоениями, причем Vj и V2 изоморфны проективизации касательного расслоения на Р2, Vi ~ РГ^а, V2 ~ РТр2, а 7г2з является подъемом отображения тт\ относительно 7Г2, и аналогично 7Ti3. Таким образом, Р1 х Р^расслоение | 7г : W —> Р2 является композицией двух РСрасслоений, 7г = j

= TTj о 7Г13 = 7Г2 о 7Г2з-

Дважды применяя (28), получаем вычисление кольца A'(W). Если р обозначает класс прямой m С Р2, то

А(Р2) = Ъ[р\/(р3) = Z  Ър  Ър2, а с(Тр2) = 1 + З/i + 3/г2. Следовательно, из (28) имеем

A'(Vi) = J4(P2)[a]/(a2-f Зра+Зр2) = Ъ[р, а]/(/Д а2+3да+3ц2),

и мы получаем следующий результат

Теорема 3.5. Если W = В1Д(Р2 х Р2) = {(Р, Q, I) 6 Р : Р €

€ /, Q € /} С Р2 х Р2 х Р2 раздутие Р2 х Р2 вдоль диагонали Д, то кольцо Чжоу

A'

где а,(3 и р € Al(W) обратные образы классов прямых относительно проекций на сомножители.

34

I

Из (45) получаем соотношение

а2 + /З2 + 3 ц(а + /3) + б//2 = О

в кольце A'(W).

4. Одномерные и двумерные соответствия на проективной плоскости

Как было сказано во введении, соответствия между точками плоскости Р2 — это не подмногообразия Р2 х Р2, а подмногообразия £ в В1Д(Р2 х Р2). Точки (P,Q,l) G W классически называются фундаментальными формами. В (|1) , Гл. IV, § 2 ) рассматриваются одномерные соответствия, то есть кривые £i С W, и двумерные соответствия, то есть поверхности Е2 С W. Разберем полученные там результаты с точки зрения кольца Чжоу A'{W).

4.1. Одномерные соответствия

Пусть Ei кривая в W. Мы обозначаем Et также класс этой кривой в Л3(И/). Вводятся следующие числовые характеристики:

• c*i — число форм (P,Q,l) € Ei, для которых Р лежит на данной прямой 1\;

• а2 — число форм (P,Q,l) G Еь для которых Q лежит на данной прямой /2;

• ц — число форм, для которых I проходит через данную точку R.

35

Числа (ai,a:2, А4) называются индексами соответствия Ei. Фундаментальные формы вида (Р, Р, I) называются специальными, или, коротко, совпадениями. Число совпадений соответствия Ei обозначается

В терминах кольца Чжоу введенные числовые характеристики — это

ai = Ei-o, a2 = E!-/3, /i = Е\-[М\, ^ = Т,х-е.

Теорема III ([1] , Гл. IV, § 2 ). Для одномерного соответствия Е] индексов (ai,a:2,/i) число совпадений £ равно

( = Q! + а2 - /х.

Это сразу вытекает из соотношения (44).

4.2. Двумерные соответствия

Пусть Е2 поверхность в W, а также ее класс в A2(W). Для соответствия Е2 вводятся следующие числовые характеристики:

• Qi — число форм (P,Q,l) € Е2, для которых точка Q фиксирована;

• а2 — число форм (Р, Q, /) € Е2, для которых точка Р фиксирована;

• ari2 — число форм (P,Q,l) € Е2, для которых точка Р лежит на фиксированной прямой Zi, а Q лежит на фиксированной прямой Z2;

• Д - число форм (P,Q,l) € Е2, для которых I — данная прямая.

Кроме того, рассмотрим кривую С| С Р2, состоящую из точек Р, для которых имеется форма (Р,Р,1) 6 Е2. Кривая Q

36

называется множеством совпадения (coincidence-locus) соответствия Е2. Ее степень обозначается deg С/ = £. Кривая Се С С Р2, состоящая из прямых I € Р2, для которых имеется форма (Р,Р,1) € Е2, называется обверткой совпадения (coincidence-envelope) соответствия Е2. Ее степень (она называется классом обвертки) обозначается degCe =

В наших терминах, Cj и Се — это проекции кривой С = С Е2 П Е на Р2 = Д и на Р2, С, = а(С), Се = тг(С), и

«! = Е2 • /З2, а2 = Е2 • а2 , с*|2 = Е2 • а/3,

Д = Е2 • /х2 , £ = Е2 • е • а, С = £2 • е/х.

Теорема IV ([1] , Гл. IV, § 2 ). Для двумерного соответствия Е2 индексов (»!,а2,Qj2,р.) степень множества совпадений и класс обвертки совпадений равны

(г) £ = а к - д; (гг) С = ац + <*2 + Д •

Доказательство. В наших обозначениях эти соотношения следуют из (переписываются в виде) соотношений

(г) ае = а/? — /х2; (гг) е/х = а2 + Д2 + /х2.

Докажем (г). Подставляя /х = а -I- Д — е, переписываем (г) в виде

(а + Д — е)2 — аД + ае = 0, или

а2 + Р2 + е2 + ар — ае — 2 Де = 0, или, в силу

а2 + аР + Р2 + е2 - ^(а -I- Р)е = 0, а это есть соотношение (40).

Докажем (гг). Сначала выразим соотношение (40) через образующие а, Р и /х. Подставляя е = а + Р — /х, получаем

а2 + аР + р2 + (а 4- Р - /х)2 - ^(а + Р)(а + Р - /х) =

37

= + /З)2 - а/3 + ц2 - 2(а + /3)р + + 0)р =

= \(<*2 + Р2) + ^2~\(а + Р)Р

Получаем соотношение

а2 + /З2 -I- 2ц2 - {а + р)ц = 0.

Теперь в (гг) исключим е: (а + (3 — р)р = а2 + /З2 4- /г2, или а2 + /32 + 2(л2 — (а 4- 0)р = 0. Таким образом, соотношение (гг) равносильно соотношению (47).

Список литературы

1. Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. 1 — Oxford. 1949.

2. Минин Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть  II. К-функтор в алгебраической геометрии. — М.: Изд-во МГУ. 1971.

3. Фултон У. Теория пересечений. — М.: Изд-во Мир. 1989.

4. Eisenbud D. and Harris J. 3264 and all that. Intersection theory in algebraic geometry. Preliminary version. March 30. 2012.

Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова.

E-mail: vskulikov@mail.ru.

Поступила 11 марта 2013 г.

38