Синергетический синтез нелинейных электромеханических осцилляторов

Заключение

В данной статье был рассмотрен синтез законов синергетического управления ЭЭС, состоящей из турбогенератора, работающего на энергосеть ограниченной мощности, и описываемой уравнениями (6). В качестве нагрузки рассматривалась эквивалентная трехфазная нагрузка. Проведено моделирование замкнутой системы.

Проанализировав результаты моделирования, можно сделать вывод, что законы управления (9) обеспечивают:

• стабилизацию частоты и! = и-'о и угла <5 = <5о;

• стабилизацию выходного напряжения генератора;

• асимптотическую устойчивость замкнутой системы в целом;

• апериодический характер переходных процессов.

Литература

1. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М: Высшая школа, 1984.

2. Михневич Г. В. Синтез структуры системы автоматического регулирования возбуждения синхронных машин. М.: Наука, 1964.

3. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994. .

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

А.Н. Попов, Ал.А. Колесников Таганрогский государственный радиотехнический университет

Исследуя окружающий мир, человек постоянно сталкивается с явлениями и процессами, обладающими определенной периодичностью. Это позволяет сказать о том, что режимы регулярных и хаотических колебаний не просто характерны и естественны для природных систем, но и играют в них доминирующую роль. С другой стороны в современных системах искусственного происхождения существует целый ряд технических задач, требующих организации цикличного изменения переменных (радиотехнические и акустические системы, грохота, абсорбирующие агрегаты и т.д.). Ярким примером подобного рода осциллирующих систем являются вибромехани-ческие установки, в которых частота колебаний приближается к частоте резонанса [1]. Под действием вибрации - быстрых движений в таких нелинейных колебательных системах возникают новые эффекты: вибрационное перемещение; изменение физико-механических свойств тел; стабилизация или, наоборот, дестабилизация положения равновесия; вибрационное поддержание вращения и самосинхронизация неуравновешенных роторов, имеющая аналогию в поведении небесных тел, и т.д. В последнее время также разрабатываются виброреологические установки, служащие для оценки изменения реологических характеристик тел под действием вибрации. К таким характеристикам относятся эффекты псевдосжижения, изменение коэффициентов вязкости материалов, виброползучесть, возникновение виброкипящего слоя и т.д. Таким образом, проблема построения эффективных осцилляторов - генераторов колебаний является актуальной для многих областей техники и технологии.

Реализация механических колебательных процессов, как правило, обеспечивается соответствующей электромеханической системой (ЭМС) - электроприводом. При этом основную роль в организации колебательного режима играет именно механическая часть ЭМС, что, естественно, отражается на габаритах и стоимости оборудования, а также сопровождается дополнительными потерями энергии. В этой связи наиболее перспективным направлением создания механических осцилляторов является построение таких управляемых ЭМС, в которых осциллирующий характер механического движения организуется исключительно самим двигателем за счет соответствующего управления.

Рассмотрим применение методики синергетического синтеза [2,3] для реализации на базе электроприводов постоянного и переменного тока различных типов электромеханических осцилляторов.

В отличие от типовых задач стабилизации частоты вращения и позиционирования, регулятор должен обеспечивать колебательный характер изменения механических координат ЭМС (скорости и угла поворота). С точки зрения обобщенной процедуры синергетического синтеза регуляторов ЭМС постоянного и переменного тока, описанной в [4,5], естественным шагом для реализации подобного режима является приведение уравнений механического движения вала двигателя:

7(0 =

ш(г) = м -ми

к виду одной из известных автоколебательных систем второго порядка (Ван дер Поля, Рэлея, Пуанкаре и т.п.). Такая трансформация производится на последнем этапе динамической декомпозиции путем выбора соответствующих «внутренних» управлений, которые будут присутствовать во втором уравнении системы (1) в качестве составляющих электромагнитного момента (обычно тока и магнитного потока). Далее, подставив найденные таким образом «внутренние» управления в полученные на ранних этапах процедуры выражения для «внешних» управлений, можно решить поставленную задачу синтеза электромеханических осцилляторов. В этом случае аттрактором замкнутой системы будет предельный цикл, расположенный в фазовом пространстве объекта на пересечении вводимых инвариантных многообразий.

Далее будут приведены примеры реализации электромеханических осцилляторов на базе управляемых ЭМС, которые проиллюстрируют кратко описанную выше методику.

Пример 1. Электромеханический осциллятор на базе электропривода постоянного тока (ЭППТ) с колебательным режимом Ван дер Поля.

Математическая модель ЭППТ с независимым возбуждением хорошо известна и имеет вид:

±і(і) = х2;

іг(*) = (^з^4 - ті) 021;

Із (і) = (их ~ х2Хі - азіХз) а32; ±і{Ь) ~ [и2 - хА) о4і;

Здесь в относительных величинах обозначено: х\ — 7» - угол поворота вала двигателя; х.'1 — и, - частота вращения двигателя; хз = I, - ток якоря; = Ф» -магнитный поток; щ = Иа, - напряжение на обмотке якоре; и2 = ие„ - напряжение на обмотке возбуждения; т; = М;* - момент сопротивления нагрузки на валу двигателя; /1(2:4) - функция, характеризующая процесс насыщения магнитной системы двигателя и обратная известной кривой намагничивания; - положительные коэффициенты, связанные с параметрами двигателя.

Анализируя математическую модель ЭППТ, можно заметить, что управляющие воздействия и входят в правые части дифференциальных уравнений, отражающих

динамику изменения тока якоря и магнитного потока. Поэтому целесообразно выбрать параллельную совокупность инвариантных многообразий следующего общего вида:

фх = х3 + ы(х1,х2) = 0; ^

Ф2 — ха 4- Ь2(х1,хг) = 0.

Таким образом, функции У\(х\,х2) и «2(2:1, #2) есть «внутренние» управления, которые будут определять характер изменения тока якоря и магнитного потока на пересечении инвариантных многообразий фх — 0 и ф2 — 0.

Решив систему основных функциональных уравнений метода АКАР [2]:

Тхфх(1) + фх = 0;

•

+ гр2 — 0.

в силу дифференциальных уравнений (2), можно найти векторный закон управления, обеспечивающий перевод изображающей точки замкнутой системы из произвольных начальных условий в некоторой допустимой области на пересечение фх — 0 и Ф2 = 0:

\fdvi dvi \

- — я—Х2 + -Г—(2:30:4 - Ш()а21 ;

аз2 \дхх дх2

\ \ 1

и і = ( азі - —---- 2:3 + х2ха - ------VI

Тха32/ ТхаЪ2 -о, ч —^ —с / , ,

, , Ч 1 , Ч 1 9^2 <9«2 , . 4

«2 = /1(2:4) - тр-----(2:4 +у2)------=—Х2 + д—(2:32:4 - ті)а21

-12а41 а41 \С'3;1 02:2

В соответствии с основополагающим принципом синергетической концепции управления - принципом сжатия фазового объема синтезируемых систем [2], динамика ЭППТ на пересечении инвариантных многообразий будет описываться следующей системой дифференциальных уравнений:

Ххф{і) = Х2ф,

х2ф(і) - {уху2 - т1)а2х-

Уравнение

х

описывающее осцилляторы различной природы, известно как уравнение Ван дер Поля. Характерной особенностью данного дифференциального уравнения является возникновение при определенных значениях є режима устойчивых автоколебаний. Условие приведения декомпозированной системы (6) к уравнению (7) имеет следующий вид:

«21

Пусть г>2 = —2:4

Х4 V а21

Этим функциям соответствует набор инвариантных многообразий:

Фі = х3 - -4 \ ТЩ + —((є - х\)х2 - Хх) ) =0;

Х4 \ о21 )

І>2 — Х4 - Х° = 0.

а синтезированные законы управления, реализующие подобный электромеханический осциллятор, имеют следующий вид:

УхУ2 = ГП1 +—

*2

XI

Рис. 1. Фазовый портрет замкнутой системы в пространстве Х1Х2Х3

Рис. 2. Фазовый портрет замкнутой системы

10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

Рис. 3. Переходые процессы

10 20

Рис. 4. Переходные процессы при £ = 0, 7

30

40

1

аЛГ,

4^Ю32

ГП[

иі = ^а31 - і х% + Х2Х4 + а,21 (дтгц 1 , 2Л ,

+ —п----- я + ----------'^£ ~ Х1> Хі ~ ~

а^а32 \дх2 021 )

021

((с

1

£4021032

Х\)Х2 - Хі)

(2X1X2 + 1)32

И2 = іі(ха) -

Т2О41

(хі - х°).

На рис. 1-3 приведены результаты моделирования замкнутой системы (2), (10) при й21 = 0,5, азі = 0,002, о32 = 0,041= 1, 7, г = 0,12, х\ = 1,Гі=Г2= 0,5, и моменте нагрузке: пц = 0,ож2. На рис. 1 представлен фазовый портрет замкнутой системы в пространстве координат Х1Х2Х3. Более четко предельный цикл на пересечении инвариантных многообразий можно наблюдать в проекции на плоскость ХіХ2 - рис. 2. На рис. 3 показаны переходные процессы координат и управления.

Увеличение г ведет к росту амплитуды и изменению формы колебаний. Нарис. 4 приведены переходные процессы координат и управляющих воздействий при тех же параметрах системы, той же нагрузке и £ = 0,7.

Пример 2. Электромеханический осциллятор на базе ЭППТ с колебательным режимом Рэлея.

Другим примером осциллирующей системы является уравнение Рэлея:

х{і) - т]

Чтобы декомпозированная система (6) приняла вид (11), необходимо выполнение условия:

у}у2 = т, + —

021

Пусть Ь’2 — ~х, тогда согласно (12):

VI - —\

х4 \ °21 /

Обобщенные законы управления, реализующие такой осциллятор, имеют следующий вид:

Щ = ( а31 - —) х3 + х2х4 + —- (ті + — (77(1 - х2)х2 - хг) ) +

V ТіОзг/ х\Тха32 V “21 )

+ + ^

х°а32 \ дх2 *') х\а21а32

«2 = /1(2:4) - - Х°)'

Переходные процессы в замкнутой системе (2), (13) при Тг = 0,5, Т2 = 2.x” = 1, ?7 = 4, ш; = 0,5x2 приведены на рис. 5, а фазовый портрет замкнутой системы в пространстве ХіХ2Х3 на рис. 6. Изменение т] влияет на форму колебаний. При больших значениях колебания становятся релаксационными.

Пример 3. Электромеханический осциллятор на базе асинхронного электропривода (АЭП) с колебательным режимом Ван дер Поля.

Математическая модель асинхронного электропривода с короткозамкнутым ротором во вращающейся системе координат, ориентированной по направлению вектора потокосцепления ротора имеет вид:

Х\(*) = х2;

. 3 р2Ьт р

Х2(і) = 2~ЛГХзХ'° ~ 7т';

. Гг

Хз{і) - ^ГХі ~ ТгХз;

• т _ (ГгЦп + Г,Ц.)Х4 + Гг^тХ3 ТТЬт X2 Ліг

хі\Ч —........ , т ТІЛ ^ Х2Хь "*-г—~~ + ~Г~т-ГГи1’

ЬгуЬ3Ьт ‘-‘т) Ьг Х3 Ь3ЬГ Ьт

. /,\ ^з^г^Хъ “Ь ^г1/тХ3Х2 Тг1;т Х4Х5 1іг

5(Г) = ---------ГТГт------Г2І-------- + Х2Х4 + ~Р----------+ Т~т-------7Ти 2-

ЬГ(Ь3ЬГ - Ьг х3 Ь3ЬГ - Ь^

Здесь х\ и х2 - угол поворота и скорость вала двигателя; х3 - потокосцепление ротора; 14 и Х5 - проекции тока статора на оси вращающейся системы координат; г*і и и2 - проекции напряжения статора; то* - момент сопротивления нагрузки на валу двигателя.

Согласно процедуре метода АКАР [2,3] зададим первую совокупность инвариантных многообразий:

фі = /Зі(х4 - ь\) + £2(2:5 - и2) = 0;

Ф2 = |^з(2:4 - VI) + £4(2:5 ~ у2) = 0.

О 10 20 30 40 50 0 10 20 30

Рис. 5. Переходные процессы

40 50

3 х*

Рис. 6. Фазовый портрет замкнутой системы

Далее, решая систему функциональных уравнений вида (4) в силу уравнений модели (14), можно найти вектор управления, обеспечивающий попадание изображающей точки замкнутой системы на пересечение инвариантных многообразий.

Движение вдоль этого пересечения описывается уравнениями декомпозированной системы:

•^1 фі (І) Х2фх

3 р2Ьт р

Х2фі(ї) — 2 хіфі^2 ~ Jm^’

(,\ _ Гг

3*>1 *.4 -- у ^1 г фг •

Чтобы декомпозировать данную систему до второго порядка, введем еще одно инвариантное многообразие фз = хз — а^з = 0, которое представляет собой электромагнитный инвариант, связанный со стабилизацией потокосцепления ротора. Решение функционального уравнения Тз'фз^) + щ — 0 есть внутреннее управление г^.

На втором этапе динамической декомпозиции получаем систему второго порядка:

£іЙ2'(і) — Х2ф2 і й = 3 Р Ь

2 Л,.

то Р хи3у2 - -ти

41

I Г П. !; :

I” ' Тг'1'7

11 -з

I

О 10 20 30 40 50 О 10 20 30 40 50

Рис. 8. Переходные процессы

которую соответствующим выбором функции 1>2 можно преобразовать к одной из известных автоколебательных систем. Так, например, функция

^ Х'2ф2(у£ ~~ Х1^2) JXlxp.:^ ^рТП,1^)1^г

61 3 р21тх1

трансформирует систему (17) в уравнение Ван дер Поля (7).

Определив «внутренние» управления У\ и г>9, можно найти теперь «внешние» управления и 1 и щ, гарантирующие формирование в фазовом пространстве замкнутой системы аттрактора типа «предельный цикл» и, следовательно, обеспечивающие работу АЭП в режиме генерации механических колебаний. На рис. 7 и 8 представлены результаты моделирования замкнутой системы, иллюстрирующие достижение требуемого эффекта осцилляции. Моделирование проводилось при следующих параметрах АЭП: г4- = 0,03, гг = 0,0172, Ьт = 0,0154,1*= 0,0158,7= 0,968, р = 2, /31 = 02 = /33 = /34 = 0, 7з = 1, х — 1, е — 1 и моменте нагрузки гщ = Юхг-В рассмотренных выше примерах эффект осцилляции проявлялся на пересечении инвариантных многообразий. Движение же изображающей точки замкнутой системы на это пересечение соответствует решению системы основных функциональных уравнений метода АКАР (4) и имеет асимптотически устойчивый характер.

В [2,3] показано, что процедура синергетического синтеза допускает использование разнообразных функциональных (эволюционных) уравнений, что позволяет изменять характер траекторий на начальных этапах движения. Применительно к решаемой в данном разделе задаче механической осцилляции, колебательный режим работы ЭМС может быть обеспечен за счет использования в качестве функциональных уравнений  уравнений автоколебательных систем (Ван дер Поля. Рэлея и т.д.;. Так, на рис. 9 представлен фазовый портрет (проекция на пространство Л’гЛ'зА'^

2 Х3

Рис. 9. Фазовый портрет замкнутой системы

замкнутой системы с ЭППТ, законы управления которым синтезированы методом АКАР по принципу «внешнего» предельного цикла. Иначе говоря, в качестве системы функциональных уравнений была выбрана система Ван дер Поля:

Фі(і) = "025

ф2{і) = (г-фї)гр2 -Фґ,

а в качестве инвариантных многообразий - поверхности стационарных значений тока якоря и магнитного потока:

Щ = х3

0;

ф2 = Х4 - = 0.

Естественно, можно совместить колебательное движение изображающей точки замкнутой системы относительно пересечения инвариантных многообразий и колебательное движение на этом пересечении. Для этого в процедуре синергетического синтеза необходимо использовать функциональные уравнения типа (18) (организация «внешнего» предельного цикла), а инвариантные многообразия должны назначаться исходя из условия трансформации декомпозированных систем (6) или (17) в автоколебательные («внутренний» предельный цикл).

Ниже приведен закон управления ЭППТ позволяющий построить подобный каскадный осциллятор на базе уравнений Ван дер Поля (т.е. в процедуре синтеза использовалось функциональные уравнения (18) и инвариантные многообразия (9).

_1_ (^21 (Ші +

&32 V ж4 \ х2 а21

иі = апх3 +12*4 + — ( ТЗ1 I + — (^2 - Я?) ) (х3х4 - ті)-

х2

«2 = /1(2:4) +

&41

Єї - 1 Хз - ~о

(х4 -х°) - Хз + ^тг -1- ~ ((£2 -х\) Х2 - *0^ •

XI

Рис. 10. Фазовый портрет замкнутой системы

Рис. 11. Переходный процессы

На рис. 10 и 11 представлены результаты моделирования замкнутой системы (2), (20).

Сочетание различных автоколебательных систем на внешнем и внутреннем этапах синтеза и варьирование их коэффициентов (например, 61 и £2) дает возможность строить на базе электроприводов переменного и постоянного тока нелинейные осцилляторы принципиально нового класса, генерирующие механические колебания различной формы, частоты и амплитуды. Разумеется, предельные значения указанных параметров колебаний будут определяться инерционностью объектов и ограничениями на координаты и управление.

Литература

1. Блехман И.И. Вибрационная механика. М: Наука, 1994.

2. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М: Энергоатомиздат, 1994, 344с.

3. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления/Под ред. А.А. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. Ч.

II, 559с.

4. Колесников А.А., Веселов Г.Е., Попов А.Н., Колесников Ал.А.. Кузьменко А.А. Синергетическое управление нелинейными электромеханическими системами. М.: Фирма «Испо-Сервис», 2000, 248 с.

5. Колесников А.А., Веселов Г.Е., Попов А.Н., Колесников Ал.А. Синергетическая теория управления нелинейными взаимосвязанными электромеханическими системами. Таганрог; Изд-во ТРТУ, 2000. 182 с.