Математическая модель динамики прибора, установленного на транспортном средстве

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

УДК: 621.01

Аль барри Самоал Хасан, В. М. Бородин, В. И. Гаркушенко

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ПРИБОРА, УСТАНОВЛЕННОГО НА ТРАНСПОРТНОМ СРЕДСТВЕ

Ключевые слова: математическая модель прибора на подвижном основании, транспортное средство, моделирование движения.

Рассматривается механическая система с управляемым прибором в кардановом подвесе, установленном на транспортном средстве с упругим основанием. Получены уравнения динамики пространственной модели механической системы, приведены результаты моделирования движения прибора с учетом возмущений, вызванных неровностью дорожного покрытия.

Keywords: mathematical model of the device on a mobile basis, vehicle, motion modeling.

Studying mechanical system with a controlled device in gimbals, mounted on a vehicle with an elastic base. achieved dynamical equations of the spatial model of the mechanical system, are the results of modeling the motion of the device based on disturbances caused by irregular road surface.

Введение

Задача моделирования динамики транспортного средства с учетом упругости подвесной системы рассматривалась во многих работах [1-3]. В тоже время в литературе отсутствуют математические модели динамики подобных механических систем, с установленными на них приборами в кардановом подвесе, предназначенными для слежения за подвижными объектами. Необходимость построения математической модели полной механической системы связана с взаимным влиянием упругого основания и движения прибора. По результатам моделирования динамики механической системы с учетом возмущений, вызванных неровностью дорожного покрытия, формулируются требования к системе управления прибором с учетом точностных и динамических характеристик режимов его работы.

Уравнения динамики механической системы

Рассматривается пространственная модель механической системы (рис. 1), состоящей из семи тел: первые 4 тела (переднее левое, переднее правое, заднее левое, заднее правое колёса с мостами, массы которых посредством четырёх , шг1, шгг соответственно) - неподрессоренная масса; пятое тело - кузов автомобиля массы тк ; шестое тело - вилка телескопа массы тв; седьмое тело - телескоп массы тТ .

Упругость колес моделируется пружинами, коэффициенты упругости которых одинаковы и равны Ки. Связь неподрессоренной массы с кузовом осуществляется посредством четырёх пружин и демпферов с коэффициентами упругости К^ и демпфирования В^

передней части кузова, и Вг, Кг задней части кузова, соответственно.

Вилка телескопа, установленная на кузове, поворачивается с помощью электропривода вокруг оси перпендикулярной основании кузова. Телескоп, установленный в вилке, поворачивается с помощью элек-

тропривода относительно вилки вокруг оси перпендикулярной её оси вращения.

Рис. 1 - Пространственная модель механической системы

Приняты следующие системы координат.

С землей связана неподвижная абсолютная система координат S0 (х0, у0, z0) (рис. 1).

ОсиХ0^0 расположены в плоскости горизонта, ось 20 направлена вертикально вверх. Система координат принимается инерциальной, т.е. не учитывается суточное вращение Земли.

Правая система координат (хи, уи, zu) связана с неподрессоренной массой с началом в её центре масс Ои (автомобиль неподвижен на горизонтальной земле в положении статического равновесия); оси хи,уи лежат в горизонтальной плоскости (ось хи параллельна продольной оси автомобиля), ось zu вертикальна (рис. 1).

Правая система координат 8к (хк, ук, zk) связана с кузовом автомобиля (подрессоренной массой). Начало координат выбрана в точке ОК кузова; оси хк, ук лежат в плоскости параллельной палубе кузова (основание горизонтально, когда

автомобиль неподвижен на горизонтальной земле в положении статического равновесия); ось хк параллельна продольной оси автомобиля; ось 2к перпендикулярна основанию кузова (рис. 1).

С вилкой связана система координат (хв, ув, гБ), причем оси 2к, гв параллельны, а ось 2в является её осью вращения (рис. 1). Положение вилки относительно кузова определяются углом а между осями хк, хв и ук, ув .

С телескопом связана система координат 8т (хт, ут, 2Т), причем оси ут, ув параллельны, а ось

ут является его осью вращения, ось хт направлена вдоль его оптической оси. Положение телескопа относительно вилки определяются углом 9 между осями хт , хв и 2т , 2в (рис. 1).

Математическую модель механической части рассматриваемой системы будем строить в форме уравнений Лагранжа второго рода; при этом считаем, что неподрессоренная масса с кузовом совершает в проекции на горизонтальную плоскость (х0О0у0) заданное плоскопараллельное движение как показано на рис. 2, а именно, заданы в виде функций времени координаты Х0 (V), У0 (7) точки Ои и угол поворота .На рис. 2 приняты обозначения: I/ - расстояние от центра масс рамы до оси переднего колеса; 1Г -расстояние от центра масс рамы до оси заднего колеса; 2V - расстояние между задними колесами или между передними колесами.

Рис. 2 - Координаты заданного движения транспортного средства

В качестве обобщённых координат принимаем: Zjl, , 2г1, 2ГГ - вертикальные перемещения осей колёс

(переднего левого, переднего правого, заднего левого, заднего правого) отсчитываемые от их положений статического равновесия; z -вертикальное перемещение точки Ок от её статического положения равновесия; ф - угол поворота кузова вокруг оси хк; £ -угол поворота кузова вокруг оси ук ; угол а , определяющий положение вилки относительно кузова; угол 9 положение телескопа относительно вилки. Таким образом, рассматриваемая система имеет девять степеней свободы.

Кинетическая энергия системы равна:

т = тн + тк + тв + тт ,

где тн = т^ + т^г + тн + тгг - кинетическая энергия

неподрессоренной массы, представляющая собой сумму кинетических энергий колёс (переднего левого, переднего правого, заднего левого, заднего правого); тк - кинетическая энергия кузова; тв -кинетическая энергия вилки; тт - кинетическая энергия телескопа.

Кинетическая энергия переднего левого колеса:

1 2 1

т/ = 2 тАУл + -

J,

( V' ^

* Л

ку

А

R

V /

+ ^ V2

где

Уц =?ои + Ан 0Я/7 Ук0

вектор скорости центра масс переднего левого колеса, в которую входят: тои = [Х0(/),У0(()]т -вектор, определяющий положение точки Ои не-подрессоренной массы в неподвижной системе координаты S0(х0, _у0, z0);

Ано =

(СОБу -БШу 0^ БШу СОБу 0

0

0 1

системы координат

матрица перехода от

(Хи , уи , ^ ) к систе-

(

ме ¿0( x0, Уo, z0);

=

0 zfl - у/1

- zfl 0 ХА

у/7 - ХА 0

Л

матрица

координат центра масс переднего левого колеса; к0 - орт оси oz0; V' - вектор, являющийся проекцией вектор Ур на плоскость х0О0у0; Зку, -

моменты инерций одинаковых колес относительно собственной оси вращения и любой другой оси перпендикулярной к ней; Я - радиус колеса.

Таким образом, кинетическая энергия (2) счётом (3) и выше упомянутых обозначений примет вид:

тА = 1 /А + 2А ,

где заданные функции времени

/л =

/ /I = Х 0-

/2 /I = % -

Кинетические энергии остальных колёс, а именно Г^, тн ,тгг получаются с использованием

выражений (4)- (7) заменой нижних индексов "/7", "А", "тГ, "г" соответственно. Кинетическая энергия кузова

тк = 2 ткУо2к + тк^1яТскАокУок + 2 ^окЩ ,

где

Уок = [ X0(0 ^(О г ] -

вектор скорости точ-

Ок

системе

^0(х0, >"0, Zo) ;

в

Г™ Л

V

Г ф соб4 - у соБфБш^Л

4 + У sinф ф БШ^ + У СОБфСОБ^

скорости

Кек -

кузова

/

осях

вектор угловой (х* > У*. %);

0 2с* - Ус*

- 2с* 0 хс*

Ус* - хс* 0

постоянная матрица коор-

динат центра масс кузова (точка С*) в осях

(х* > у* >%); 4)*- ААА - матрица перехода от

осей Я0(х0,_у0, х0) к осям Я* (х*,у,2к) с сомножителями

Гсоб4 0 -БШ^Л Г10 0 Л

А -

А -

0 1 0 БШ^ 0 С0Б4 Г СОБу БШу 0^ -БШу СОБу 0

А -

0 СОБф sinф 0 -sinф СОБф

Jok -

0

Т,.

0 1

- Т

х*у*

- т

V чч

J - J

х*У*

J - J

У* УШ

J J

УП ч

постоянная матрица

инерции кузова относительно точки О* . Кинетическая энергия вилки:

1 2 _т т — 1 _т _

ТВ - 2ШВУоВ + тВ™ВКеВА1лКв + ^WBJoBWB ' где Уав - АокУок + R0вWk - вектор скорости точки <°в

в системе (х* > .у* >%);

Г 0 2ов - Уов

Кв - - 2ов 0 хов - постоянная матрица коор-

V уов - хов 0 У

динат точки <в в системе Я* (х*, >-*, );

Г 0 2св - Усв ^

- св - 2св 0 хсв - постоянная матрица коор

V Усв - хсв 0 J

динат центра масс вилки (точка Св) в системе

(ХВ ' ?в ' ^в ) ;

г

А*в -

соБа sinа 0Л - sinа соБа 0 0 0 1

матрица перехода от осей

(х* > У* >%) к осям Яв (хв > Ув > 2в);

Wв - А*^* + Wв - вектор угловой скорости в собственных осях; - [0 0 а ]т - вектор угловой скорости вилки относительно корпуса;

Г г г г Л

-

Jхв - Т хвУв -Т хв^в

-Т хвУв ТУв -Т Увгв

-Т хв2в -Т Увгв

постоянная матрица

инерции вилки относительно точки <в . Кинетическая энергия телескопа

1 2 _т т — 1 _т _

Тт - 2тт¥от + тт^КтАвтКт + 2' где Кот - АквУов + RoTWB - вектор скорости точки

<т

Яв (хв, ув, 2в ) ; RoT -

в

Г 0 2от - .Уот

- 2от 0 хот

V .Уот - хот 0

системе

Л

- постоян-

ная матрица координат точки От в системе коор-

" ^ст .Ус! Л

динат Яв (хв, .Ув, ^в); Rcт -постоянная матрица координат центра масс теле-

0 2ст -Уст

- 2ст 0 хст

•Уст - хст 0

скопа

(точка

Ст)

Л

Ят („т, »Ут, ^т); Авт —

в

СОБ0 0 - Л 0 1 0 чsin0 0 СОБ0 у

системе

матрица

перехода от осей Яв (хв, ув, 2в) к осям Бт (хт, ут, 2т); Wт - Ав^в + у^т - вектор угловой скорости телескопа в собственных

осях; -0 0] - вектор угловой скорости телескопа относительно вилки;

- т хтУт л хт2т

- - т хтУт ТУт - т Ут2т - постоянная мат

- т V хт2т - т Ут2т Тт V

рица инерции телескопа относительно точки <т .

Потенциальная энергия силы упругости колёс равна:

\2 / \ 2

и - К-

икы - 2

-5А

+ (2г1 - 5гг(/))2 +(-8ГГ(Г))2]

+

где Ки - коэффициент упругости одинаковых колёс; 5р (/),5р (г),5г/ (/),5ГГ (/) - перемещения обозначающие неровности дорожного покрытия под соответствующими колёсами.

Потенциальная энергия силы упругости передней левой пружины подвески кузова: К,

иА - "у

Л

где - величина деформации пружины, вектор которой может быть представлен в виде 0 0

- + 5 А

+ АКН^

Г ф Л

^СОБф 4sinф

при этом Акн - - матрица перехода от осей Я0 (х0' >"0' г0) к осям Яи (хи > Уи , 2и );

*

, w , ,

V J

в

' 0 * zfl * A - Ул Q = [ МД1, МД 2,0,0,0,0,0,0,0]T - вектор

R'fl = * - zfl 0 * xfl - постоянная матрица коорди- щенных возмущающих сил; q = [9 а z ф % zfl zfr zrl zrr ]T

* V УА * - xfl 0 - вектор

нат точки крепления конца " /" пружины на кузо-

ве( У/ = У/1 = х/ = х/ =1/ )•

Заметим, что если считать углы ф и £ малыми (деформация пружины мала) и ограничиться в выражении (9) членами второго порядка малости, то получим

Ufl =-

K,

*2f2 *2 2 / * * ^ \2 zfl % + zfl ф +[улф - f+z - zfl j

Потенциальные энергии сил упругости остальных пружин подвески кузова получаются заменой в приведенных выражениях нижних индексов " /" на" /г"," г1"," гг" соответственно.

Потенциальная энергия силы тяжести кузова:

ик = тк8 [^ + А-(А ] • где 2ск - вектор, определяющий положение центра масс кузова в системе координаты 8к (хк, ук, 2к).

Потенциальная энергия силы тяжести вилки: ив = т^ [г + А— ((гоВ + А^а )к0 ], где гсВ - вектор, определяющий положение центра масс вилка в системе координаты Бв (хв, ув, 2в).

Потенциальная энергия силы тяжести телескопа: ит = mтg [( + А- (!ов + Ак-в(20т + А-Т2сТЖ ], где ~(ов - вектор, определяющий положение точка Ов в системе координаты Бк (хк, ук, 2к); 2оТ - вектор, определяющий положение точка ОТ в системе координаты Бв (хв, ув, 2в); ~2сТ - вектор, определяющий положение центра масс телескопа в системе координаты 8Т (хТ, уТ, 2Т).

Диссипативная функция демпферов переднего левого, переднего правого, заднего левого, заднего правого колёсасоответственно имеет вид:

f 2 z*fl2

f 2 ,*2 zfr

Br. 2 *2 zrl

Br *2 zJ

2

2 t 2 *2 • 2 / * • * t • \2 ,% + zfl ф +^ф - f + z - zfl j

212 *2 • 2 / * • * t . V -% + zfr Ф +Vf^ - xfr%+z - zfr j

212 *2 • 2 / * • * t • \2 !% + zrl Ф +{Уг1 Ф - xrl % + z - zrl j

*212 *2 • 2 i *

Согласно уравнениям Лагранжа второго рода, динамика системы описывается системой уравнений:

d_ dt

í QT A

V lj /

— = -QU-QD+Qf, j = i*.

Qq Qq Qq j

1j

где T = Tfl + Tfr + Trl + Trr + TK + TB + TT U = Ufl + Ufr + Url + Urr + UK + UB + UT . D = Dfi + Dfr + Drl + Drr.

щенных координат.

Для раскрытия уравнений (10) использовался пакет символьной математики Wolfram Mathematica. С помощью полученных уравнений в системе MatLab проводится моделирование динамики механической системы.

При проектировании системы управления прибором важно иметь упрощенную динамическую модель с учетом малых перемещений присущих механической системе для различных режимов ее работы.

С этой целью рассмотрим равномерное прямолинейное движение машины, полагая большими коэффициенты жесткости пружин и демпфером для снижения влияния неровности дорожного покрытия. Предполагая малым отклонение телескопа (Ав  1) относительно положения равновесия телескопа 9 = 0 , будем считать sin 9 « 9 , cos 9 «1. Аналогично для малого углового отклонение вилки (Аа  1) относительно положения равновесия телескопа а = 0, будем считать sin а « а , cos а «1. Также считаются малыми перемещения z , % , ф , для которых sin % и % , cos % и 1, sinф и ф, cosф и 1 и можно пренебречь членами выше первого порядка малости. Для простоты также будем считать, что ^=0,

Y = 0 Y0 = 0, X0 = 0.

С учетом сделанных допущений линеаризованные уравнения динамики можно представить в виде:

A0q+Aq+a2q = Bu,

где u = [МД1 МД2 Sf¡ 5fr 5rf 5rr ]Г .

A02 = diag {mfl. mfr. mrl. mrr) .

A0 =

A01 05x4

0 A

. 4x5 л02

Ненулевые коэффициенты симметричной матрицы А01 - 5 х 5 имеют вид:

аи = О у + тТ (х1 + 22с1 ) , а12 = + тТ (ус{ + у1) (с1, а13 = тТха > а14 = -Оху - тТха (Уъ + Уа + У1) >

2Ь2М + 2~ + 2^2,

a15 = Jy + mT [xct (xb + xct + Xt) + zbzct + zCí + zctzt ] . a22 = Jbz + Jz + mB [ XCb + У2 ]+ mT (Xct + X)2 +

+ mT (yct + yt) , a23 = 0,

a24 = Jbxz + Jtxz + mB Xcb (zb + zcb ) +

+ mT (Xct + Xt)(zb + zct + zt X a25 = Jbyz + Jtyz + mB [zb (ycb + yct) + ycbzcb ] +

+ mT [ytzb + zct(yct + У) + zt(Уа + yt)] , a33 = mB + mK + mT ,

a34 = -mKyck - mB(Уь + ycb) - mT(УЬ + yct + yt): a35 = mKXck + mB (xb + Xcb ) + mT (xb + Xct + X) ,

2

*

а44 - Т*х + ТЬх + Тгх + тК (Ус* + 4 ) + + тв [(Уь + Усь)2 + ^ ] + ттУь + + 2ттУьУсг + тт (Лг + У )2 +

+ тт (2ь + )2 + 2ттЧ2с1 +

+ тт (2сг + )2 + 2тт1-ь11,

а45 - ТЬху - Т*ху - Лху - (тв + тт )хЬ.Уь -

-ттхьУь - твхсЬ.Уь - ттЛ (хсг + хг) -

-твУсЬ (хь + хсь ) - тКХс*Ус* - ттУсг (хь + хсг) -

-ттхгУс1 - тт.Уг(хь + хсг + хгX

а55 - Тьу + Т1у + ТУ + тв (хь + хсь )2 +

+ ткх^* + 2ттхь (хсг + хг) + тт (хсг + хг)2 + + тт2*ь + тв (2сь + 2ь )2 + ГП^Л + 2тт2ь2сг + + тт (2сг + 2г )2 + 2тт2ь21.

Ненулевые симметричные коэффициенты матрицы А1 - 9 х 9 имеют вид:

ьзз - 2вА + 2вг, ьз5 - -2в/1/ + 2вг/г, ьзб - -в, , ьз7 - -в/ , ьз8 - -вг, ьз9 - -вг, ь44 - 2в^2 + 2в^2, ь46 - -в^, ь47 - -в^, ь48 - -в^, ь49 - -в,^, ь55 - 2в/2 +2вг/г2 , ь56 - в,/,, ь57 - в,/, , ь58 - -вг/г,

ь59 --вг/г,

ь66 - вА ' ь77 - вА ' ь88 - вг ' ь99 - вг ;

при этом ь2 - ттzcísin(у), ь21 - -ь12 .

Ненулевые коэффициенты симметричной матрицы А2 имеют вид: с11 - , с15 - ,

с24 - -Ятьхсь - £тгхсг - 8тгхг с25 - -8тьУсь - £тг.Усг - £тгУ с

сзз - 2К, + 2 К,

35 - -2КА/А + 2К*Л ' с36 - -КА '

с37 - КА ' с38 - К*г ' с39 - Кя- '

с42 - -8тьхсь - 8Щхсг - £тгхг '

с44 - 2К^ТМ'2 + 2К^2 + 8ть2ь + Ятг2ь +

+ &ть2сь + + 8т12с1 + £тг2'

с46 - -К^ ' с47 - К^ ' с48 - -К^ ' с49 - К^ ' с55 - 2К,// + 2КЯ + £ть2ь + Ятг2ь +

+ &ть2сь + ^П^с* + 8Щ2сг + £тг2' с56 - КА/А ' с57 - КА/А ' с58 - -К*Л ' с59 - -КА ' с66 - КА + Ки ' с77 - КА + Ки ' с88 - + Ки ' с99 - + Ки .

Ненулевые коэффициенты матрицы в имеют вид:

й?11 - ^22 - 1 , ^63 - ^74 - ^85 - ^96 - Ки .

Моделирование динамики механической системы

средство движется с постоянной скоростью Кх - Х0, при этом Мд - Мд2 - 0. Неровность дорожного покрытия моделируется выступом, перемещения передних 5^ (г) =5,г (г) и задних

8г1 (г) - 8ГГ (г) колес описываются выражениями:

5А (г)- А, БШ(ж¥хг//,)[1(г-гг)-1(г-г2)],

8г1 (г (г-Т8),

где А, - амплитуда выступа, /, - ширина выступа, т,-(// + /г)/Кх, г2 -гх + /, /^х.

Для принятых параметров транспортного средства и прибора, имеющего смещение центра масс от оси вращения, также заданы значения:

¥х - 8,3м/с, /, - 1м, т8 - 0,37 с, г1 - 0,96с.

Моделирование механической системы показало, что реакции движения прибора по углу местад-ля линейной модели (11) и нелинейной модели (10) практически совпадают при малых перемещений А5 - 0,05 м. При значении А5 - 0,5 м реакция линейной и нелинейной модели существенно отличаются по углу места, как показано на рис. 3.

Рис. 3 - Реакция по углу места при А5 - 0,5 м:

1 - нелинейная модель

Заключение

Таким образом, получена математическая модель движения прибора, установленного на транспортном средстве. Из результатов моделирования механической системы следует, что при больших возмущающих воздействиях со стороны дорожного покрытия линейная модель дает заниженные значения угловых отклонений прибора по углу местаот положения равновесия. Поэтому при синтезе законов управления прибором по линейной модели, как это обычно принято, необходимо учитывать динамические возмущения, связанные с нелинейной динамикой механической системы. Подавление динамических и других видов воздействия на прибор является самостоятельной задачей и будет рассмотрена в дальнейшем.

С целью проверки динамических свойств механической системы проведем моделирование нелинейной модели (10) илинейной модели (11) для различных возмущающих воздействий, вызванных неровностью дорожного покрытия.

Для простоты будем полагать, что транспортное

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-08-05575.

Литература

1. Abe Masato, Vehicle Handling Dynamics: Theory and Application Butterworth-Heinemman, 2009. 286 p.

2. Anil Shirahatti, P. S. S. Prasad, PravinPanzade and M. M. Kulkarni. : Optimal Design of Passenger Car Suspension for Ride and Road Holding. Journal of the Braz. Soc. of Mech.

Sci. & Eng., XXX, No.1 / 67, January-March (2008). 3. Ayman A. Aly, and Farhan A. Salem, Vehicle Suspension Systems Control: A Review International Journal of Control, Automation and Systems. Vol.2. No. 2 July 2013. pp. 46-54.

© Аль барри Самоал Хасан - аспирант кафедры «Автоматика и управления» КНИТУ-КАИ; В. М. Бородин - канд. техн. наук, доцент кафедры «Кафедра теоретической и прикладной механики и математики» КНИТУ-КАИ; В. И. Гаркушенко -канд. техн. наук, доцент кафедры «Автоматика и управления» КНИТУ-КАИ, romanova_rg@mail.ru.

© Al Barry Samoal Hassan - PhD student of the department "Automation and control" KNRTU-KAI; V.M. Borodin - Candidate of Technical Sciences, associate professor of the department "Department of Theoretical and Applied Mechanics and Mathematics" KNRTU-KAI; V. I. Garkushenko - Candidate of Technical Sciences, associate professor of the department «Automation and control» KNRTU-KAI, romanova_rg@mail.ru.