Варианты последовательностей построения конфигурации Дезарга

инженерная геометрия и компьютерная графика

УДК 514.18

А.в. Нващенко, Е.П. знаменская

СФГА, НИУМГСУ

варианты последовательностей построения конфигурации дезарга

Аннотация: представлен алгоритм последовательности построения конфигурации Дезарга, разработанный на основе анализа ее основных свойств, который позволяет осуществлять построения сложных архитектурных объектов, состоящих из ряда простых пересекающихся форм, в архитектурном и дизайн-проектировании с помощью компьютерной графики.

Ключевые слова: алгоритм, конфигурация, проективная геометрия, компьютерная графика, отрезок, прямая, коллинеарные точки, отношение инцидентности

DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.130-139

Конфигурация Дезарга является основой для теоретических построений проективной геометрии [1-11] и проективографии [12], а с точки зрения практического применения, — для теории перспективы, поэтому она широко используется для решения разнообразных задач (построение теней в перспективе, построение прямой, инцидентной недоступной в пределах чертежа точки схода, и т.д.) [13-16].

В статье подробно рассмотрен алгоритм построения конфигурации Дезарга с применением компьютерных технологий [17-20].

Компьютерная реализация теоретических положений отдельных аспектов проективной геометрии и проективографии уже рассматривалась ранее применительно к многогранникам Джонсона в [21-23].

Как любую фигуру, конфигурацию Дезарга можно построить различными способами. Точки и прямые, входящие в конфигурацию, связаны определенными отношениями инцидентности, однако на начальных стадиях построения у пользователя имеется некоторая свобода в их выборе.

Первая точка конфигурации назначается пользователем совершенно произвольно, но следует иметь в виду, что наилучшее ее местоположение, с точки зрения дальнейшего построения, находится в центральной части экрана. вторая точка также выбирается произвольно, при этом тем не менее следует учитывать, что она не должна находиться слишком близко от первой назначенной точки, иначе программа посчитает такие точки совпадающими, что может привести к вырождению конфигурации. Степень «близости» двух точек определяется расстоянием между ними: если оно меньше заложенного в программе значения, точки считаются совпадающими, даже если они визуально различимы на экране (необходимо учитывать специфику представления графической информации на экране монитора с учетом масштабирования и смещения от некоего центра, так называемого начала координат).

Уже на этом этапе возникают различные интерпретации отношения этих двух точек: либо они составляют отрезок, либо являются несмежными. Тем не менее особенности конфигурации Дезарга позволяют перейти к выбору третьей точки без существенного анализа дальнейшего ветвления.

третья точка обязательно составит отрезок с одной из точек, назначенных на предыдущих шагах. Это связано с тем, что в пределах конфигурации Дезарга не существует тройки попарно несмежных точек. Иными словами, из трех произвольных точек конфигурации Дезарга две из них входят в один отрезок (рис. 1).

Таким образом, после назначения трех точек возможны следующие их интерпретации (см. рис. 1):

• три точки составляют вырожденный треугольник (тройку коллинеарных точек), например, А, В, Е. Нужно отметить, что этот вариант реализуется, если пользователь умышленно выбирает третью точку, лежащую на продолжении отрезка, составленного из первых „ , т, , „ ,

^ ' ^ Рис. 1. Конфигурация Дезарга (плоскостной

двух точек. Следует сказать, вариант)

что степень «близости» точки

от прямой также определяется расстоянием между этой точкой и точкой пересечения прямой с перпендикуляром от заданной точки, и если это расстояние меньше заранее определенного в программе, точка считается лежащей на прямой, даже когда визуально она не лежит на этой прямой;

• три точки составляют невырожденный треугольник (например, А, В, С);

• три точки составляют два отрезка, имеющих общую точку, но не составляющие треугольник (например, А, В, Н);

• три точки составляют отрезок и несмежную с ним точку (например, А, В, I).

Видно, что варианты представленных интерпретаций в точности соответствуют приведенной выше классификации соотношения отрезка и точки.

начиная с этого шага, уже возможно появление некоторых ограничений пользователя на дальнейший выбор четвертой точки. Так, например, если три предыдущие точки образуют вырожденный треугольник (являются тройкой коллинеарных точек), то четвертая точка не должна принадлежать прямой, на которой лежат эти три точки, поскольку в рамках невырожденной конфигурации Дезарга это невозможно.

на этом этапе уже необходимо наличие плана, по которому строится конфигурация Дезарга, а это возможно лишь в следующих случаях: во-первых, после мысленного представления ее состава (т.е. строим мы ее, либо традиционным способом, либо на основе двух пятисторонников, либо используем другие подходы), и, во-вторых, после интерпретации введенных точек в рам-

ках выбранного подхода. От этого зависит, на каком шаге появляются ограничения в дальнейшем вводе точек, а также определение, какие именно точки и прямые будут построены автоматически.

В связи с тем, что в рамках статьи невозможно подробно проследить все варианты ветвления алгоритма, ограничимся тремя подходами:

• конфигурация Дезарга в традиционном определении;

• конфигурация Дезарга как состоящая из полного четырехвершинника и полного четырехсторонника (полный четырехсторонник — это четыре тройки коллинеарных точек, каждые две из которых имеют общую точку);

• конфигурация Дезарга как два вписанных и описанных пятисторонника.

Кроме того, конфигурацию Дезарга можно воспринимать как состоящую

из трех треугольников, связанных определенными отношениями прямой и точки, а также как десятисторонник, самовписанный и самоописанный.

Конфигурация Дезарга в традиционном определении. Здесь возможно воспринимать одну и ту же конфигурацию Дезарга в десяти различных вариантах, как это показано на рис. 2.

Рис. 2. Варианты традиционного восприятия конфигурации Дезарга

в дальнейшем не оговаривается специально, но подразумевается, что все назначаемые пользователем точки различны. Кроме того, пользователь должен избегать определения прямых, параллельных уже имеющимся на чертеже.

Выражение «пространство трех прямых» следует понимать не как ограниченный этими прямыми треугольник, а как множество точек, принадлежащих либо первой, либо второй, либо третьей прямой.

Варианты хода построения конфигурации Дезарга в традиционном определении могут быть следующими.

Вариант 1. Заданием четырех точек общего положения, которые воспринимаются как центр проекций и вершины одного из треугольников, определяются стороны первого треугольника и проецирующие лучи. Этими четырьмя точками (по сути, полным четырехвершинником) пользователь назначает стороны первого треугольника и проецирующие лучи.

Ввод пятой точки сопровождается определенными ограничениями, причем в зависимости от ее интерпретации эти ограничения меняются. Например, пятая точка может принадлежать либо второму треугольнику, либо прямой Дезарга. В случае если пятая точка принадлежит второму треугольнику, являясь его вершиной (случай А), она должна лежать на проецирующих лучах, а свобода назначить пятую точку ограничена пространством трех прямых. В случае если вторая точка принадлежит прямой Дезарга (случай Б), она должна принадлежать прямой, на которой лежит одна из сторон первого треугольника, и свобода назначить точку ограничивается другими тремя прямыми.

Проследим дальнейшее построение для случая А. После выбора пятой точки также возможны ветвления: пользователь может либо начать строить второй треугольник, либо определить точку на будущей прямой Дезарга. Если пользователь пошел по пути построения второго треугольника, то он выбирает шестую точку, ограниченную пространством двух оставшихся прямых — проецирующих лучей. При этом определяется первая сторона второго треугольника и первая точка на прямой Дезарга как точка пересечения двух прямых, содержащих соответственные стороны треугольников, т.е. седьмая точка на конфигурации Дезарга. Дальнейший ввод восьмой точки, которую можно назначить либо как вершину второго треугольника (т.е. лежащую на третьем проецирующем луче), либо как принадлежащую прямой Дезарга, но не как принадлежащую конфигурации, а только как определяющую прямую по двум точкам, завершает построение, так как девятая и десятая точки определяются уже автоматически.

Если пользователь определил пятую точку как принадлежащую прямой Дезарга, то он может определить шестую точку конфигурации как принадлежащую пространству двух прямых первого треугольника, которые имеют смысл при построении конфигурации Дезарга. Седьмая точка определится автоматически, также как и первая сторона второго треугольника — она будет проходить через пятую и шестую точки, поэтому ситуация построения становится аналогичной только что описанной.

Рассмотрим дальнейшее построение в случае Б. Пятая точка выбирается в пространстве трех прямых первого треугольника, шестая — в пространстве трех прямых (проецирующих лучей). Тем самым определяется первая сторо-

9/2016

на второго треугольника, а седьмая точка получается автоматически в пересечении этой стороны с соответствующим проецирующим лучом, который должен соответствовать той вершине первого треугольника, которая была инцидентна стороне с пятой точкой конфигурации. остается назначить восьмую точку конфигурации либо лежащую на третьем проецирующем луче, либо как определяющую направление прямой Дезарга, как было показано в рассмотренных выше случаях, а построение конфигурации заканчивается уже автоматически.

Вариант 2. Вводятся точки прямой Дезарга и центр проекций. Особенность этого варианта в том, что при вводе третьей точки прямой Дезарга необходимо соблюсти условие коллинеарности трех точек таким образом, чтобы уже при вводе третьей точки ограничить пользователя в выборе. Четвертая точка вводится без особых ограничений. Пятая точка (вершина одного из двух треугольников) тоже вводится без ограничений, после чего уже будет задан первый проецирующий луч.

Начиная с этого момента возможны следующие ветвления алгоритма: либо мы строим шестую точку на этом проецирующем луче — начинаем строить второй треугольник, либо продолжаем строить первый треугольник, и тогда шестая точка должна принадлежать прямой, соединяющей пятую точку с одной из имеющихся точек прямой Дезарга.

Конфигурация Дезарга, как состоящая из полного четырехвершинника и полного четырехсторонника. В рамках этого подхода возможно воспринимать одну и ту же конфигурацию Дезарга в пяти различных вариантах, показанных на рис. 3.

Рис. 3. Варианты восприятия конфигурации Дезарга, составленные из четырехсторонника и четырехвершинника

Алгоритм построения конфигурации Дезарга в этом варианте представления опишем более обобщенно.

Основных вариантов построения два: либо сначала строится полный четырехсторонник, а затем — четырехвершинник, либо, наоборот, сначала полный четырехвершинник, а затем полный четыресторонник. Построение полного четырехвершинника аналогично приведенному выше при разборе вариантов построения конфигурации в традиционном определении.

Построение полного четырехсторонника начинается с построения тройки коллинеарных точек, в связи с чем уже при вводе третьей точки пользователь ограничен в выборе, поскольку третья точка должна лежать на прямой, инцидентной первым двум точкам. Таким образом задается первая прямая четырехсторонника. Четвертая точка вводится без специальных ограничений. Соединив ее с двумя любыми точками на первой прямой, получим соответственно вторую и третью прямые. Пятая точка выбирается в пространстве этих двух прямых, а соединяя ее с оставшейся «незадействованной» точкой на первой прямой, получим четвертую прямую четырехсторонника. Шестая точка получается автоматически.

Конфигурация Дезарга как два взаимно вписанных и описанных пяти-сторонника. Воспринимать одну и ту же конфигурацию Дезарга возможно в виде шести вариантов, показанных на рис. 4.

Рис. 4. Варианты восприятия конфигурации Дезарга, составленные их двух пяти-сторонников

Особенность построения конфигурации Дезарга в таком варианте интерпретации заключается в том, что первые пять точек, составляющие один из замкнутых пятисторонников, вводятся без специальных ограничений, так что пользователь достаточно долго сохраняет полную свободу на их ввод.

Шестая точка (начало построения второго замкнутого пятисторонника) вводится с учетом того факта, что она должна быть инцидентна прямой, содержащей одну из сторон первого пятисторонника, иными словами, должна дополнять любую пару смежных вершин первого пятисторонника до тройки

коллинеарных точек. После построения этой шестой точки автоматически строятся шестая и седьмая прямые конфигурации Дезарга и на пересечении этих прямых с уже построенными находятся седьмая и восьмая точки конфигурации. Дальнейший выбор пользователя, в сущности, невелик — он может выбрать между двумя альтернативами построениями девятую точку, а десятая точка и оставшиеся прямые построятся автоматически.

В рамках небольшой статьи невозможно во всех подробностях проследить разветвления алгоритма построения конфигурации Дезарга, однако и выполненный неполный обзор позволяет оценить многовариантность подходов к этой основополагающей для проективной геометрии конфигурации, а предложенные варианты построения дают возможность использовать ее при проектировании сложных архитектурных и дизайн-объемов с помощью современных средств компьютерной техники [20].

Вывод. Рассмотренный в статье алгоритм возможных вариантов построения конфигурации Дезарга позволит широко использовать ее при проектировании сложных архитектурных и дизайн-объемов с помощью современных компьютерных технологий.

Библиографический список

1. Исаева М.А., Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В. Введение в действительную проективную геометрию. М. : Изд-во МГОУ, 2010. 138 с.

2. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии / под ред. Н.В. Ефимова. 4-е изд. М. : URSS, 2009. 185 с.

3. Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В. Элементы проективной геометрии. М. : МГОУ, 2010. 134 с.

4. Цахариас М. Введение в проективную геометрию / под ред. С.А. Богомолова ; пер. с нем. О.А. Вольберга. 2-е изд. М. : ЛИБРОКОМ, 2010. 96 с.

5. Смирнов С.А. Проективная геометрия. М. : Недра, 1976. С. 10-11.

6. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М. : Просвещение, 1969. С. 98-104.

7. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. 2-е изд., испр. и доп. М. : Высшая школа, 1963. С. 42-57.

8. Горшкова Л.С., Паньженский В.Н., Марина Е.В. Проективная геометрия. 2-е изд. М. : URSS, 2007. С. 56-62.

9. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии / пер. с англ. Е.Б. Шабат, под ред. И.М. Яглома. М. : Мир, 1970. 160 с.

10. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики / пер. с англ. Л.И. Головиной ; под ред. и с предисл. И.М. Яглома. 2-е изд., испр. М. : URSS, 2010. С. 26-29.

11. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия / пер. с англ. Е.Г. Шульгей-фера. М. : Иноиздат, 1955. 400 с.

12. Гамаюнов В.Н. Проективография : Геометрические основы художественного конструирования для аспирантов, слушателей ФПК и студентов художественно- графического факультета. М. : МГПИ, 1976. 26 с.

13. БержеМ. Геометрия : в 2-х тт. / пер. с фр. М. : Мир, 1984.

14. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия / пер. с нем. С.А. Каменец-кого. М. ; Л. : ОНТИ, 1936. 304 с.

15. Юнг Дж.В. Проективная геометрия / пер. с англ. под ред. В.Ф. Кагана. М. : Иноиздат, 1949. 184 с.

16. Иващенко А.В., Знаменская Е.П. Конфигурация Дезарга в архитектурном и дизайн-проектировании // Вестник МГСУ. 2014. № 9. С. 154-160.

17. Стивен Скиена. Алгоритмы. Руководство по разработке / пар. с англ. С. Тара-нушенко. СПб. : БХВ-Петербург, 2013. 720 с.

18. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия : Применение в проектировании и на производстве / пер. с англ. Г.П. Бабенко, Г.П. Воскресенского. М. : Мир, 1982. 304 с.

19. Препарата Ф., ШеймосМ. Вычислительная геометрия : введение / пер. с англ. С.А. Вичеса, М.М. Комарова ; под ред. Ю.М. Баяковского. М. : Мир, 1989. 478 с.

20. Иващенко А.В., Знаменская Е.П., Особенности компьютерной реализации построения плоскостной конфигурации Дезарга // Вестник МГСУ. 2015. № 9. С. 168-177.

21. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографический анализ многогранников Джонсона // Вестник МГСУ. 2013. № 5. С. 226-229.

22. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Автоматизация получения проективогра-фических чертежей тел Джонсона // Вестник МГСУ. 2014. № 6. С. 179-183.

23. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективные конфигурации на проективо-графических чертежах // Вестник МГСУ. 2015. № 5. С. 141-147.

Поступила в редакцию в апреле 2016 г.

Об авторах: Пващенко Андрей викторович — кандидат технических наук, дизайнер, Столичная финансово-гуманитарная академия (сфга), 109383, г. Москва, Шоссейная ул., д. 90, стр. 17, комн. 206, ivashchenko_a@inbox.ru; Союз архитекторов москвы, 123001, г. Москва, Гранатный пер., д. 7;

знаменская Елена Павловна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский московский государственный строительный университет (НПУ мгСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: Иващенко А.В., Знаменская Е.П. Варианты последовательностей построения конфигурации Дезарга // Вестник МГСУ. 2016. № 9. С. 130-139. DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.130-139

A.V. Ivashchenko, E.P. Znamenskaya

SEQUENCE VARIANTS IN THE CONSTRUCTION OF THE CONFIGURATION

OF DESARGUES

Abstract: The article presents the results of the analysis to assess the multi-variant approaches to constructing the Desargues configuration which is the fundamental to projective geometry and projective graphics. From the practical point it is the basis for the theory of perspective and is widely used to solve various tasks, such as constructing shadows in perspective, a direct, incidentally out of the rich within the drawing of the vanishing point, etc. The authors present the algorithm of the possible variants of construction of the Desargues configuration using computer technologies. The computer implementation of theoretical provisions of separate aspects of projective geometry and graphics has previously been considered as applied to Johnson polyhedrons. As any other figure the configuration of Desargues may be constructed by different methods. The authors consider the choice of points and directs included into the configuration and different interpretations of the relations of the point.

The considered algorithm of the possible variants of the Desargues configuration construction will allow widely using the configuration in design of complex architectural and design volumes, consisting of a series of simple overlapping forms, by means of modern computer technology.

Key words: algorithm, configuration, projective geometry, computer graphics, segment, straight, collinear points, the incidence relation

References

1. Isaeva M.A., Martynyuk A.N., Matveev O.A., Ptitsyna I.V. Vvedenie v deystvitel'nuyu proektivnuyu geometriyu [Introduction to the Real Projective Geometry]. Moscow, MGOU Publ., 2010, 138 p.

2. Vol'berg O.A. Osnovnye idei proektivnoy geometrii [Basic Ideas of Projective Geometry]. 4th edition. Moscow, URSS Publ., 2009, 185 p.

3. Martynyuk A.N., Matveev O.A., Ptitsyna I.V. Elementy proektivnoy geometrii [Elements of projective geometry]. Moscow, MGOU Publ., 2010, 134 p.

4. Zacharias M. Einfuhrung in die projektive Geometrie. Leipzig, Teubner, 1951.

5. Smirnov S.A. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. Moscow, Nedra Publ., 1976, pp. 10-11.

6. Chetverukhin N.F. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. 8th edition. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1969, pp. 98-104.

7. Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. 2nd edition, revised. Moscow, Vysshaya shkola Publ,, 1963, pp. 42-57.

8. Gorshkova L.S., Pan'zhenskiy V.N., Marina E.V. Proektivnaya geometriya [Projective Geometry]. Moscow, URSS Publ., 2007, pp. 56-62

9. Hartshorne R. Foundations of Projective Geometry. Ishi Press, 2009, 190 p.

10. Busemann H., Kelly P.J. Projective Geometry and Projective Metrics. 2005, Dover Publications, 352 p.

11. Baer R. Linear Algebra and Projective Geometry. 2005, Dover Publications, 336 p.

12. Gamayunov V.N. Proektivografiya. Geometricheskie osnovy khudozhestvennogo konstruirovaniya dlya aspirantov slushateley FPK i studentov khuzhozhestvenno-grafichesk-ogo fakul'teta [Projectography. Geometric Foundations of Artistic Design for Postgraduate Students of FPK and Students of Artistic-Graphical Department]. Moscow, MGPI Publ., 1976, 26 p.

13. Berger M. Geometriya : v 2-kh tomakh [Geometry : in 2 Volumes]. Transl. from French. Moscow, Mir Publ., 1984.

14. Hilbert D., Cohn-Vossen S. Anschauliche Geometrie. Springer; Auflage: 2. Aufl. 1996, 364 p.

15. Young. J.W., Oswald V. Projective Geometry. Boston Ginn, 1918, 370 p.

16. Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Konfiguratsiya Dezarga v arkhitekturnom i dizayn-proektirovanii [Configuration of Desargue in Architectural and Design Engineering]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 9, pp. 154-160.

17. Skiena S. The Algorithm Design Manual. Springer; 2nd ed. 2008 edition, 730 p.

18. Faux I.D., Pratt M.J. Computational Geometry for Design and Manufacture. Chichester, West Sussex, John Willey & sons, 1979, 331 p.

19. Preparata F.P., Shamos M. Computational Geometry. An Introduction. 1985, Springer-Verlag New York, 398 p. DOI: http://dx.doi.org/ 10.1007/978-1-4612-1098-6.

20. Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Osobennosti komp'yuternoy realizatsii postroe-niya ploskostnoy konfiguratsii Dezarga [Features of Computer Implementation of Constructing Planar Desargues Configuration]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 9, pp. 168-177.

21. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskiy analiz mnogogrannikov Dzhonsona [Analysis of Johnson's Polyhedra Using Projective Geometry Techniques]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 226-229.

22. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Avtomatizatsiya polucheniya proektivogra-ficheskikh chertezhey tel Dzhonsona [Automatic Receipt of Projective Geometry Drawings of Johnson Bodies]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 6, pp. 179-183.

23. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivnye konfiguratsii na proektivogra-ficheskikh chertezhakh [Projective Configurations in Projective Geometrical Drawings]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 5, pp. 141-147.

About the authors: Ivashchenko Andrey Viktorovich — Candidate of Technical Sciences, designer, Capital Academy of Finance and Humanities (SFGA), 90/17 Shosseyna-ya str., Moscow, 109383, Russian Federation; ivashchenko_a@inbox.ru; Union of Moscow Designers, 7 Granatnyy per., Moscow, 123001, Russian Federation;

Znamenskaya Elena Pavlovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83.

For citation: Ivashchenko A.V., Znamenskaya E.P. Varianty posledovatel'nostey postroe-niya konfiguratsii Dezarga [Sequence Variants in the Construction of the Configuration of Desargues]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016, no. 9, pp. 130-139. (In Russian) DOI: 10.22227/1997-0935.2016.9.130-139