Оценка температуры на вершине конусного нитевидного кристалла в точке перехода к цилиндрическому росту

Физика

УДК 548.527

ОЦЕНКА ТЕМПЕРАТУРЫ НА ВЕРШИНЕ КОНУСНОГО НИТЕВИДНОГО КРИСТАЛЛА В ТОЧКЕ ПЕРЕХОДА К ЦИЛИНДРИЧЕСКОМУ РОСТУ

О.Д. Козенков, В.В. Горбунов, Л.Г. Косырева, Д.Г. Жиляков

Рост нитевидных кристаллов - многостадийный процесс, сопровождающийся гетерогенной химической реакцией. Влияние температуры на процесс роста может быть существенным. Нитевидные кристаллы растут конусными. Обычно конусность составляет 10"3-10"4 Геометрия кристалла должна учитываться при расчете температуры расплава на его вершине. Предложена модель теплообмена длинного конического нитевидного кристалла в случае стационарного роста при условии, что конусность мала и изменением диаметра можно пренебречь. Уравнение теплового баланса включает: тепловые потоки, обусловленные фазовыми переходами на границах газ-жидкость и жидкость-кристалл, тепловой эффект химической реакции и конвективный теплоотвод с боковой поверхности. Предполагается, что температура в радиальном направлении нитевидного кристалла постоянна, так как его поперечный размер меньше 100 мкм. Модель теплового баланса длинного конического нитевидного кристалла позволила оценить зависимость температуры на его вершине от радиуса кристалла и распределение температуры по его длине. При уменьшении радиуса кристалла температура на его вершине падает, приближаясь к нулю, в результате увеличения доли боковой поверхности. С увеличением конусности кристалла температура на его вершине падает за счет увеличения поверхности теплоотвода и облегчения теплопроводности при увеличении его поперечного сечения сверху вниз. Для одиночного, длинного, конусного, наноразмерного нитевидного кристалла влияние тепловых эффектов на температуру вершины не существенно

Ключевые слова: нитевидный кристалл, гетерогенная обратимая химическая реакция, конусность, тепловые потоки, тепловой баланс

Введение

Нитевидные кристаллы (НК) -квазиодномерные микро-, наноразмерные объекты, обладающие рядом уникальных свойств [1-3] и находящие практическое применение для изготовления чувствительных элементов датчиков [4] и модифицирования поверхностей [5]. НК представляют интерес как модельные объекты для изучения физико-химических процессов роста и формообразования монокристаллов по механизму пар-жидкость-кристалл (ПЖК) [1, 2, 6, 7]. Особый интерес к НК возникает в связи с перспективами их применения в интенсивно развивающихся нанотехнологиях [5, 7].

Нитевидные кристаллы могут быть получены в результате физического осаждения [6] или в системах, где рост НК сопровождается химической реакцией выделения кристаллизующегося вещества [1, 2, 7]. Независимо от способа получения НК растут по механизму ПЖК, и основные закономерности, присущие этому механизму, должны быть общими для разных способов их получения.

В любом случае на вершине кристалла происходит процесс кристаллизации связанный с

Козенков Олег Дмитриевич - ВУНЦ ВВС «ВВА им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: kozenkov w@mail.ru Горбунов Валерий Викторович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: valeris55@mail.ru Косырева Людмила Геннадьевна - ВУНЦ ВВС «ВВА им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», канд. физ.-мат. наук, преподаватель, e-mail:

lyudovikxiv@yandex.ru

Жиляков Дмитрий Геннадьевич - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: zhilyakov@inbox.ru

существенным тепловым эффектом. Температура на вершине кристалла определяется различными факторами и может быть существенно выше температуры окружающей среды [8]. Повышение температуры вершины НК стимулирует термоактивируемые процессы и учет этого фактора необходим для корректного моделирования роста НК.

В работе [9] предложена модель роста нитевидного кристалла, контролируемого гетерогенной химической реакцией, которая позволила объяснить некоторые закономерности роста НК и получить удовлетворительное согласование с экспериментом [10, 11]. Изменение температуры роста НК должно приводить к существенному изменению скорости химической реакции и состава газовой фазы вблизи реакционной поверхности.

До настоящего времени не созданы модели, позволяющие установить температуру на вершине НК в зависимости от геометрии кристалла и технологических параметров процесса роста. Более того, вопрос об изменении температуры вершины НК в процессе роста даже не обсуждался в ряде обобщающих работ [1, 2, 6, 7].

В работе [12] рассмотрена задача о температуре на вершине НК, растущего из молекулярного пучка в результате физического осаждения. Авторы пренебрегли теплом, уходящим с боковой поверхности кристалла, и тепловыми эффектами фазовых переходов, рассматривая задачу о передаче тепла от подложки через тело НК к его вершине, с которой тепло уходило в виде теплового излучения. Хотя, возможно такой подход оправдан для высокой плотности кристаллов на подложке.

В работе [13] проведены оценки температуры

нанокапли на вершине углеродного нановолокона. Для оценки температуры авторы пренебрегли теплоотводом с боковой поверхности кристалла, учитывая только передачу тепла за счет теплопроводности по телу кристалла, что допустимо при высокой плотности расположения кристаллов на подложке.

В работе [8] предложена модель теплового баланса бесконечно длинного нитевидного кристалла, рост которого сопряжен с гетерогенной химической реакцией выделения

кристаллизующегося вещества [9]. Данная модель в стационарном случае роста цилиндрического НК позволила проанализировать основные моменты, приводящие к разогреву вершины кристалла в отсутствие тепловой связи с подложкой и оценить температуру на вершине кристалла.

Известно [14], что НК растут конусными. Увеличение диаметра НК, от вершины к основанию, увеличивает площадь его боковой поверхности и площадь поперечного сечения, что приводит к интенсификации отвода тепла и снижению сопротивления теплопроводности. По этой причине представляет интерес рассмотрение теплового баланса конусного НК.

В данной работе рассмотрен тепловой баланс, возникающий в процессе роста конусного НК с длинной, обеспечивающей отсутствие теплового взаимодействия между кристаллом и подложкой.

Результаты и их обсуждение

Рассмотрим бесконечно длинный конусный нитевидный кристалл, растущий по механизму ПЖК на вершине которого находится жидкая капля сплава кристаллизующегося и вспомогательного вещества, образующего жидкую фазу при температуре роста.

Конусность НК в соответствии с рис. 1 определим, как изменение радиуса кристалла, приходящееся на единицу его длины.

К = /яг = §,

а1

где К - конусность НК, у - угол наклона касательной к боковой поверхности НК, /я у - равен производной от радиуса НК по его длине.

Рост НК по ПЖК механизму сопровождается выделением кристаллизующегося вещества на поверхности расплава с последующей его кристаллизацией в малом объеме жидкой фазы на границе жидкость-кристалл, что сопряжено со значительным тепловым эффектом [8]. Если рост НК определяется гетерогенной химической реакцией [9-11], то влияние температуры на кинетику роста и формообразование кристалла может быть существенным.

На рис. 1 приведена экспериментальная зависимость радиуса НК кремния, выращенного в открытой проточной системе SiQ4 + Н2, от его длины. В области I, по мере роста НК его радиус уменьшается. При этом конусность кристалла не остается постоянной. По мере уменьшения радиуса

НК его конусность растет и достигает максимального значения в области перехода от области I к области II. Однако, в области II, при достижении определенного поперечного размера радиус НК перестает меняться, и кристалл растет «цилиндрическим». Для данного случая, найдем температуру НК, в точке перехода к цилиндрическому росту считая, что тепловой поток в эту точку постоянен за счет постоянства радиуса НК на участке цилиндрического роста. Это допущение возможно для достаточно больших промежутков времени, так как рост НК в области II может продолжаться более часа. Будем считать, что этого времени достаточно для достижения стационарного режима. Кроме того, предположим, что конусность НК в области I постоянна.

Рис. 1. Зависимость радиуса НК кремния, выращенного в открытой системе 8Ю4 + Н2, от его длины

С учетом сделанных допущений и предположений на рис. 2 представлена модель теплового баланса «бесконечно» длинного нитевидного кристалла для стационарного случая.

Рис. 2. Схема тепловых потоков, возникающих в процессе роста НК, и геометрии кристалла

На рис. 2 показаны тепловые потоки, возникающие в процессе роста бесконечно длинного конусного НК.

Приходящий тепловой поток Qп, связанный с ростом НК, можно записать в виде:

= = ^

где j - плотность потока атомов вещества, закристаллизовавшегося на фронте кристаллизации НК - границе жидкость-кристалл, S = пЯ -

площадь фронта кристаллизации НК, R - радиус кристалла, qп, qх, qгж, qжк - тепловые эффекты на атом закристаллизовавшегося вещества, а именно: полный тепловой эффект, тепловой эффект химической реакции, теплота фазового перехода газ-жидкость, теплота фазового перехода жидкость-кристалл соответственно.

Так как поперечный размер жидкой фазы сравним с диаметром НК и достаточно мал (менее 100 мкм), а ее теплопроводность близка к теплопроводности металлов, будем считать, что температура в ее объеме постоянна. По тем же причинам будем считать, что температура в радиальном направлении поперечного сечения НК постоянна. Это предположение сводит задачу к одномерной.

Приняв температуру окружающей среды Тср равной нулю, запишем тепловой поток, уходящий с поверхности жидкой фазы:

Qж = а^ж,

где а - коэффициент теплоотдачи, который включает все способы теплоотвода с поверхности НК, Т - температура жидкой фазы на вершине НК, Sж = 2лЯ2 - площадь поверхности жидкой фазы.

Распределение температуры вдоль нагретого с вершины НК аналогично распределению температуры в тонком стержне, ось которого совпадает с осью х (рис. 2). Задача сводится к решению дифференциального уравнения, при записи которого температуру окружающей среды полагаем равной нулю:

d 2T dx2

= a 2T,

где Тср = 0, а - коэффициент, который записывается в виде:

a2 = -.

AS

Здесь а - коэффициент теплоотдачи, P = 2nR - периметр поперечного сечения НК, S = nR2- площадь поперечного сечения НК, X - коэффициент теплопроводности, T - температура элемента НК.

Для конусного НК, при условии tgy = const (рис. 1), коэффициент (5) примет вид:

2 2а 1

a =--,

A R0 + x • tgy

где R0 - радиус НК на границе жидкой и кристаллической фаз, tgy - конусность НК. Тогда с учетом (6) уравнение теплопроводности (4) примет вид:

d 2T 2а

T

dx

.2

A R0 + x • tgy

= 0.

Найдем решение уравнения (7) для бесконечно длинного НК с граничными условиями:

Tx = 0 = T1

T = 0

где Т - температура жидкой фазы на вершине НК при х = 0. Второе граничное условие отражает тот факт, что при х ^ да температура кристалла стремится к температуре окружающей среды, принятой

за нуль.

В уравнении (7) сделаем замены и запишем в

виде:

d2T

A

dx2 B + x

-T = 0.

где

A =

B = -

2a

A • tgy

Rl • tgy

Сделаем замену

T (x) = zF (z),

где

7 = 2^1 А

Найдем первую и вторую производные от

+ -

Выражение (13) - модифицированное уравнение Бесселя первого порядка с общим решением

F

где Iх(7) - модифицированная функция Бесселя первого рода или функция Инфельда, К1(7) -модифицированная функция Бесселя второго рода или функция Макдональда.

Асимптотическое поведение функций Бесселя:

11( z)'

при Z ^ с

при Z ^ ж .

V2Z

С учетом обозначений (10), (12) решение

уравнения (9) для конического НК примет вид:

Т (х ) = С1Л/ А( В + х) 11(2у/ А( В + х)) +

+ С2У1 А(В + х) К1(2Л]А(В + х)).

Для граничных условий (8) с учетом (15) решение (16) примет вид:

T

4лвк1

Тепловой поток, уходящий с боковой поверхности кристалла, определяется выражением:

dQк = аТ

где Т(х) - решение (17), Р(х) - периметр НК на расстоянии х, который определяется выражением:

Р

С учетом (17), (19) проинтегрируем (17) по х от 0 до да и найдем тепловой поток, уходящий с боковой поверхности НК:

А

2к = а2ж • tgy TiJ

Определенный интеграл (20) может быть вычислен для заданных параметров.

Z

e

—Z

n -e

Введем обозначение:

J A

/ = J(B + x )-

dx.

0 VAB • Kj

Используя (21) запишем выражение для теплового потока (20) в виде:

QK = «2^ ígr TjI.

В стационарном случае, приходящий тепловой поток (2), равен сумме, уходящих тепловых потоков, и тепловой баланс, возникающий в процессе роста бесконечно длинного НК, запишется:

Qn = Q>K + Q..

Используя (2), (3), (22), (23) найдем температуру Т1 на поверхности жидкой фазы в зависимости от радиуса кристалла R:

Tj =-

Мп R

.

2аЯ£ + 2а1яу1

Оценим температуру на вершине НК с помощью (24), используя экспериментальные данные [15] для НК кремния, выращенных с использованием меди в качестве инициирующей примеси.

Известно [16], что при температуре роста НК (1300-1400 К) теплопроводность кремния А31 ~ 23 Вт/(м^К). Для температуры Т = 1323 К, при скорости роста НК V = 1 мкм/с, плотность потока атомов кремния составит величину} = 5 1022 с-1^м-2.

Известно [16], что ягж = 6,3610-19 Дж, дж = 0,83 10-19 Дж, ях = - 0,332 10-19 Дж, следовательно, Яп = 6,858 10-19 Дж. Возьмем коэффициент теплоотдачи от твердой поверхности через газовую фазу а = 0,25 Втм-2К-1 [10].

Зависимость температуры на вершине бесконечно длинного НК, для различных значений конусности, от его радиуса показана на рис. 3. Температура на вершине НК определяется скоростью роста, радиусом на вершине Я0, условиями теплоотдачи и конусностью.

Обычные значения конусности для НК кремния К ~ 10-3 [14]. Как видно из рис. 3, для кристалла с такой конусностью температура вершины НК на порядок ниже, чем для цилиндрического кристалла. При уменьшении конусности температура вершины НК приближается к предельному значению, соответствующему цилиндрическому кристаллу.

Найдем распределение температуры по длине бесконечно длинного конусного НК, для чего учтем (24) в решении (16).

т

2сЯ2 + 2саёу  I ^АВК1 2Л/АВ

Оценим распределение температуры на вершине НК с помощью выражения (25) считая, что, как и для зависимости температуры от радиуса на вершине кристалла (рис. 2), V = 1 мкм/с, а = 0,25 Втм-2К-1, Я0 = 30 мкм.

На рис. 4 показано распределение температуры по длине бесконечно длинного НК с

различной конусностью. Как следует из рис. 4, с увеличением длины НК превышение его температуры над температурой окружающей среды уменьшается, стремясь к нулю. Для выбранных значений параметров длина НК, при которой его температура практически сравнивается с температурой среды, составляет ~ 22 см. Вид кривых на рис. 4 определяется скоростью роста НК, его радиусом на вершине и коэффициентом теплоотдачи [9].

Увеличение конусности НК приводит к интенсификации теплоотвода и, следовательно, к снижению температуры на вершине НК (кривые 2, 3, 4 рис. 4).

Рис. 3. Зависимость температуры на вершине бесконечно длинного НК с различной конусностью от его радиуса. 1 - К = 0; 2 - К = 10"5; 3 - К = 10"4; 4 - К = 10"3

Рис. 4. Распределение температуры по длине бесконечно длинного НК с различной конусностью. 1 - К = 0; 2 - К = 10-5; 3 - К = 10"4; 4 - К = 10"3

Полученные расчетные значения значительно превышают максимальную длину НК, выращенных экспериментально, которая составляла величину не более 1 см. Таким образом, для получения достоверных сведений о температуре на вершине конусных НК, необходимо учитывать тепловое взаимодействие растущего кристалла с подложкой, особенно на начальных стадиях роста.

Для достаточно тонких (наноразмерных) НК рост доли боковой поверхности приводит к значительной интенсификации теплоотвода за счет роста доли поверхности при уменьшении радиуса кристалла.

Выводы

Предложена модель теплообмена бесконечно

длинного, конусного, не связанного тепловым взаимодействием с подложкой нитевидного кристалла, для случая стационарного роста, которая строится на основе экспериментальных данных о зависимости радиуса НК от его длины.

Уравнение теплового баланса включает подвод тепла к вершине кристалла за счет фазовых переходов на границах газ-жидкость и жидкость кристалл, а также теплоты химической реакции выделения кристаллизующегося вещества на поверхности жидкой фазы и отвод тепла с боковой поверхности за счет конвекции. Предполагается, что температура в радиальном направлении НК постоянна, так как поперечный размер НК мал.

Установлена зависимость температуры на вершине конусного бесконечно длинного НК от его радиуса и распределение температуры по длине кристалла. С уменьшением радиуса НК температура его вершины падает, стремясь к нулю, в результате роста доли поверхности кристалла. С ростом конусности НК интенсифицируются процессы теплопроводности и конвекции за счет увеличения его радиуса от вершины к основанию, что приводит к существенному снижению температуры на вершине кристалла. Температура вершины конусного кристалла мало отличается от температуры окружающей среды для НК кремния, выращенных экспериментально.

Для наноразмерных конусных НК, не связанных тепловым взаимодействием с подложкой, влияние тепловых эффектов на рост кристаллов не существенно.

Литература

1. Вагнер, Р. Монокристальные волокна и армированные ими материалы / Р. Вагнер. - М.: Мир, 1973. - 464 с.

2. Гиваргизов, Е.И. Рост нитевидных и пластинчатых кристаллов из пара / Е.И. Гиваргизов. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

3. Антипов, С.А. Релаксационные явления в нитевидных кристаллах полупроводников / С.А. Антипов, А.И. Дрожжин, А.М. Рощупкин. - Воронеж: ВГУ, 1987 - 192 с.

4. Дрожжин, А.И. Преобразователи на нитевидных кристаллах Р-Si <111> / А.И. Дрожжин; ВПИ. - Воронеж,

1984. - 241 с. Деп в ВИHИTИ 29.06.83, № 6606-84 Деп.

5. Spinelli, P. Broadband omnidirectional antireflection coating based on subwavelength surface Mie resonators / P. Spinelli, M.A. Verschuuren, A. Pullman // Nature Communication. - 2012. - 3:692 dol: 10.1038/ncomms1691.

- Р. 1-5.

6. Дубровский, В.Г. Полупроводниковые нитевидные нанокристаллы: синтез, свойства, применения / В.Г. Дубровский, Г.Э. Цырлин, В.М. Устинов // Физика и техника полупроводников. - 2009. - T.43. - Вып. 12. С. 1585-1628.

7. Иебольсип, ВА. Рост нитевидных кристаллов/ ВА. Иебольсип, A.A. Щетинин. - Воронеж: ВГГУ, 2003.

- 620 с.

8. Козенков, O^. Модель теплового баланса бесконечно длинного нитевидного кристалла / O^. Козенков, В.В. Горбунов // ^органические материалы. -2015. - T. 51. - № 5. - С.576-580.

9. Козенков, O^. Модель роста нитевидного кристалла, лимитируемого гетерогенной химической реакцией / O^. Козенков // ^органические материалы. -

2014. - T. 50. - № 11. - С. 1-5.

10. Козенков, O^. Зависимость скорости роста нитевидного кристалла, лимитируемого гетерогенной химической реакцией, от состава газовой фазы / O^. Козенков, Л.Г. Косырева // ^органические материалы. -

2015. - T.51. - № 11. - С. 1255-1259.

11. Козенков, O^. Конусность нитевидного кристалла, обусловленная гетерогенной химической реакцией / O^. Козенков // ^органические материалы. -

2016. - T. 52. - № 3. - С. 279-284.

12. Сибирев, КВ. Кинетические модели роста полупроводниковых нитевидных нанокристаллов: автореф. дис. ... капд. физ.-мат. паук: 01.04.07 / КВ. Сибирев. - Санкт-Петербург, 2007. - 20 с.

13. Фисенко, С.П. Hуклеация в каталитической нанокапле и рост паповолокоп / С.П. Фисенко, ФК Боровик // Журнал технической физики. - 2009. - T. 79. -№ 2. - С. 83-89.

14. Козенков, O^. O копуспости нитевидных кристаллов кремния / O^. Козенков, Ai. Козьяков, A.A. Щетинин // Известия вузов, Физика. - 1986. - T. 29. - № 9. - С. 115-117.

15. Даринский, Б.М. O зависимости скорости роста нитевидных кристаллов от их диаметра / Б.М. Дарин-ский, O^. Козенков, A.A. Щетинин // Известия вузов, Физика. - 1986. - T.32. - № 12. - С. 18-22.

16. Смитлз, К. Дж. Металлы / К. Дж. Смитлз. - М.: Металлургия, 1980. - 447 с.

Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж Воронежский государственный технический университет

MEASURING TEMPERATURE ON THE TOP OF THE CONE WHISKER AT THE POINT OF

TRANSITION TO CYLINDRICAL GROWTH

O.D. Kozenkov1, V.V. Gorbunov2, L.G. Kosyreva3, D.G. Zhilyakov4

'PhD, Associate Professor, Zhukovski-Gagarin Air Force Academy, Voronezh, Russian Federation, e-mail: kozenkov w@mail.ru

2PhD, Associate Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation

e-mail: valeris55@mail.ru 3PhD, Tutor, Zhukovski-Gagarin Air Force Academy, Voronezh, Russian Federation e-mail: lyudovikxiv@yandex.ru

4PhD, Associate Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation

e-mail: zhilyakov@inbox.ru

The growth of whiskers is a multi-stage process, accompanied by a heterogeneous chemical reaction. The temperature effects on their growth process can be significant. Filamentous crystals grow as conical structures. Normally, their taper comprises 10-3 to 10-4. The geometry of the crystal must be taken into account when calculating the temperature of the melt at its apex. Proposed is the model for the heat transfer of a long conical whisker in the case of its steady growth, provided that the taper is small and its diameter can be neglected. The heat balance equation includes: heat fluxes due to phase transitions at the gas-liquid and liquid-crystal boundaries, the thermal effect of the chemical reaction, and the convective heat sink from the lateral surface. It is assumed that the temperature in the radial direction of the whisker is constant, since its transverse dimension is less than 100 ^m. The model of the thermal balance of a long conical filamentary crystal makes it possible to estimate the temperature dependence at its vertex from the radius of the crystal and the temperature distribution along its length. As the radius of the crystal decreases, the temperature at its apex drops, approaching zero, as a result of an increase in the proportion of the lateral surface. With an increase of the whisker taper, the temperature at its apex decreases as a result of the heat sink increase in the surface and in facilitating thermal conductivity with an increase in its cross section from top to bottom. For a single, long, conical, nanoscale filamentary crystal, the effect of thermal effects on the temperature of the vertex is not significant

Key words: whisker, heterogeneous reversible chemical reaction, whisker taper, heat flux, heat balance

References

1. Wagner R. "Monocrystalline fiber and fiber reinforced materials" (" Monokristal'nye volokna i armirovannye imi materi-aly"), ed. A.T. Tumanov. Moscow, Mir, 1973, 464 p.

2. Givargizov E.I. "The growth of steam made whiskers and lamellar crystals" ("Rost nitevidnykh i plastinchatykh kristallov iz para") Moscow, Nauka, 1977, 304 p.

3. Antipov S.A., Drozhzhin A.I., Roshupkin A.M. "Relaxation phenomena of semi-conductor whiskers" ("Relaksatsionnye yavleniya v nitevidnykh kristallakh polu-provodnikov"), Voronezh, Voronezh State University, 1987, 192 p.

4. Drozhzhin A.I. "Converters on P-Si <111>] whiskers" ("Preobrazovateli na nitevidnykh kristallakh P-Si <111>"), Vornezh, All-Russia Institute of Scientific and Technical Information, 1984, no.6606-84, 241 p.

5. Spinelli, P. "Broadband omnidirectional antireflection coating based on subwavelength surface", Mie resonators. Nat. Commun. 3:692 doi: 10.1038/ncomms1691, 2012.

6. Dubrovskij V.G., Cyrlin G.EH., Ustinov V.M. 'Semiconductor nano-whiskers: synthesis, features and application" Physics and Technology of Semiconductor, 2009, vol. 43, no.12, 1585-1628 pp.

7. Nebolsin V.A., Schetinin A.A. "The growth of whiskers" ("Rost nitevidnykh kristallov"), Voronezh, Bulletin of the Voronezh State Technical University, 2003, 620 p.

8. Kozenkov O. D., Gorbunov V. V. "A Model for the Heat Balance of an Infinitely Long Whisker" ("Model' teplovogo bal-ansa dlinnogo nitevidnogo kristalla"), Inorganic Materials, 2015, vol. 51, vol. 5, 520-524 pp.

9. Kozenkov O. D. "A Model for Whisker Growth Limited by a Heterogeneous Chemical Reaction" ("Model' rosta nitevidnogo kristalla, limitiruyemogo geterogennoy khimicheskoy reaktsiyey"), Inorganic Materials, 2014, vol. 50, vol. 11, 1146-1150 pp.

10. Kozenkov O. D., Kosyreva L. G. "Effect of Vapor_Phase Composition on the Whisker Growth Rate Limited by a Heterogeneous Chemical Reaction" ("Zavisimost' skorosti rosta nitevidnogo kristalla, limitiruyemogo geterogennoy khimicheskoy reaktsiyey, ot sostava gazovoy fazy"), Inorganic Materials, 2015, vol. 51, vol. 11, 1163-1167 pp.

11. Kozenkov O. D. "Whisker Taper Induced by Heterogeneous Chemical Reaction" ("Konusnost' nitevidnogo kristalla, obuslovlennaja geterogennoj himicheskoj reakciej"), Inorganic Materials, 2016, vol. 52, vol. 3, 279-284 pp.

12. Sibirev N.V. PhD Thesis, SpB, 2007, 20 p.

13. Fisenko S.P., Borovik F.N. "Technical Physics Journal" ("Zhurnal tekhnicheskoj fiziki"), 2009, vol. 79, no. 2, 83-89 pp.

14. Kozenkov O. D., Koziakov A.B., Schetinin A.A. "On taper of silicon whiskers" ("O konusnosti nitevidnyh kristallov kremnija"), Proceedings of the Universities, Physics, 1986, vol. 29, 115-117 pp.

15. Darinskii B.M., Kozenkov O.D., Schetinin A.A. Dependence of the rate of growth of whiskers based on their diamter rates ("O zavisimosti skorosti rosta nitevidnykh kristallov ot ikh diametra"), Proceedings of the Universities, Physics, 1986, vol. 32, vol. 12, 18-22 pp.

16. Smitlz C.J. "Metall", Moscow, "Metallurgy", (Ref. ed), 1980, 447 p.