Конечные группы с заданными примарными и максимальными подгруппами

УДК 512.542

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ ПРИМАРНЫМИ И МАКСИМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ

С.В. Путилов, Д.В. Передельская, Е.Е. Мошенко

В первой части исследуется конечная группа с условием, что каждая примарная подгруппа в этой группе является абнормальной или субнормальной. Такие конечные группы будем называть Б3 -группами. Во

второй части исследуются конечные 2МЫ8 -группы. 2МЫ8 -группой называется конечная группа, в которой каждая максимальная подгруппа является МЫ8 -группой.

Ключевые слова: конечная группа, примарная подгруппа, субнормальная подгруппа, абнормальная подгруппа, МЫ8 -группа.

Исследование конечных групп, в которых определенные системы подгрупп обладают некоторыми теоретико-групповыми свойствами, является одним из основных направлений в теории групп. В [1-6] устанавливается строение конечных групп с теми или иными системами подгрупп, обладающих свойствами субнормальности и абнормальности. В [6] рассматривается конечная группа G, в которой каждая примарная подгруппа является нормальной или абнормальной подгруппой в G. Такая конечная группа в [6] называется Б -группой. Следуя [6] Б3 -группой назовем конечную группу с условием, что каждая примарная подгруппа в этой группе является субнормальной или абнормальной. Первая часть данной работы посвящена исследованию конечных Б3 -групп. Очевидно, что любая конечная Б -группа является Б3 -группой. Однако обратное утверждение неверно. Примером Б3 -группы, не являющейся Б -группой, служит знакопеременная группа А4 на четырех символах.

В [7] М. Ашбахер вводит понятие скрученной подгруппы. Пусть К -подмножество с единицей в конечной группе G. Тогда К называется скрученной подгруппой в G , если для любых элементов х, у из К элемент хух принадлежит К. В [8] подмножество К с единицей в конечной группе G называется скрученным подмножеством, если для любых элементов х, у из К элемент хух принадлежит К. Так же в [8] конечную группу называют перекрученной группой, если каждое скрученной подмножество этой группы является подгруппой. В [8] описываются конечные минимальные неперекрученные группы, которые называются М№ -группами. Конечную группу, в которой каждая максимальная подгруппа является М№ -группой, назовем 2МЛГ£ -группой. Во второй части данной заметки исследуются конечные 2М№ -группы. Приведем обозначения. Если G - конечная группа, то |G| - порядок G; (А, Б) -

подгруппа G, порожденная подгруппами А и Б группы G, т.е. наименьшая подгруппа группы G, содержащая А и Б; ж (^) - множество всех простых чисел, каждое из

которых делит ; А • G - подгруппа А нормальна в группе G; АлБ - полупрямое произведение подгруппы А на подгруппу Б группы G, т.е. А < G и А пБ = 1; 1 - по смыслу текста или единичный элемент, или единичная подгруппа; ^: А| - индекс

подгруппы А в группе G . Все неприведенные обозначения и определения можно найти в [9-10].

Лемма 1. Пусть G - конечная Б5 -группа. Тогда справедливы утверждения: (1) Любая подгруппа и факторгруппа группы G являются Б3 -группами;

(2) В группе О каждая подгруппа субнормальна или абнормальна.

Доказательство. Первое утверждение доказывается непосредственной проверкой условий определения В5 -группы для произвольных подгруппы и факторгруппы группы О.

Пусть Н - произвольная подгруппа из О. Если Н содержит хотя бы одну примарную подгруппу абнормальную в О, то Н абнормальна в О. Следовательно, все примарные подгруппы из Н субнормальны в О. Тогда по теореме 7.3 [9] каждая примарная подгруппа из Н субнормальна в Н . Значит, подгруппа Н нильпотентна. Если Р и Q - соответственно силовская р -подгруппа и силовская q -подгруппа из Н для

простых р, q из ж (О), то по теореме 7.5 [9] ж -холлова подгруппа PQ = (Р, Q) из Н

будет субнормальной подгруппой в О, где ж = {р, q}. Допустим, что PQ - собственная подгруппа в Н. Тогда в Н есть силовская г -подгруппа Я и Е -холлова подгруппа РО^ = (PQ, Я из Н по теореме 7.5 [9] субнормальна в О, где Е = {р, q,г}. Продолжая

этот процесс далее получим, что Н субнормальна в О . Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть О - конечная В5 -группа. Тогда любая нециклическая силовская р -подгруппа группы О нормальна в О , для р е ж (О) .

Доказательство. Пусть Р - нециклическая силовская р -подгруппа из О . Тогда в Р есть, по крайней мере, две максимальные подгруппы Р1 и Р2. Так как Рг ^ МО (р.), г = 1,2, то Р будут неабнормальными подгруппами группы О. Значит, подгруппы Р субнормальны в О , г = 1,2 . Тогда по теореме 7.5. [9] подгруппа Р = (Р1, Р2) субнормальна

в О , что влечет нормальность Р в О . Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть О - конечная В5 -группа. Тогда группа О разрешима. Доказательство. По лемме 2 группа О = АлВ, где подгруппа А равна прямому произведению нециклических силовских подгрупп из О , а каждая силовская подгруппа из В будет циклической. Ясно, что факторгруппа О А изоморфна подгруппе В, которая разрешима по теореме 1У.2.9 [10]. Тогда из нильпотентности А следует разрешимость группы О . Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Пусть О - простая конечная В5 -группа. Тогда |О| = р , где р - простое

число.

Доказательство. По лемме 3 группа О разрешима. Значит, О - простая абелева группа. Поэтому |О| = р для некоторого простого числа р . Лемма 4 доказана.

Пример. Знакопеременная группа А4 является В5 -группой, но не является сверхразрешимой группой. Так же А4 не является дисперсивной по Оре группой.

Теорема 1. Конечная группа О является В5 -группой тогда и только тогда, когда группа О нильпотентна или факторгруппа О/2 (О) будет р -нильпотентной группой с абнормальной силовской р -подгруппой порядка р и р -дополнением, совпадающим с коммутантом О 2 (О) , где р е ж (О) .

Доказательство. Необходимость. Так как по лемме 3 группа О разрешима, то в О есть нормальная максимальная подгруппа М . Тогда |О : М| = р, где р е ж (О) . Пусть Q - силовская q -подгруппа из М для простого числа q е ж(М)/{р}. Так как группа О является В5 -группой и подгруппа М нормальна в О , то подгруппа Q субнормальна в О . Поскольку подгруппа Q является силовской q -подгруппой в О, то Q нормальна в О. Тогда, если силовская р -подгруппа субнормальна в О, то группа О нильпотентна. Следовательно, силовская р -подгруппа абнормальна в О .

Пусть Р - силовская р -подгруппа в группе О. Тогда по лемме 2 Р -циклическая группа. Если Н - подгруппа в О равная произведению всех нормальных силовских q -подгрупп из О для q е ж(М)/{р}, то по теореме Цассенхауза О = НлР. Так как по теореме УI.12.2. [10] подгруппа Р является Ы-проектором, то О = О  Р, где О -коммутант группы О. Поскольку факторгруппа ОН изоморфна Р, то О/Н абелева, откуда О с Н . Значит, Н = О .

Пусть |Р| > р и Р1 - максимальная подгруппа из Р. Так как Р1 с ЫР (Р1), то подгруппа Р1 субнормальна в О . Тогда существует цепь подгрупп Р • N1 • Ы2 < .. • Ык = О . Поэтому Р с Ор(N1) с Ор(К2) с .. с Орф^) с Ор(О) с Р, откуда Р1 совпадает с Ор (О) . Тогда Р1Н = Р1 х Н , что влечет Р1 с 2 (О) = 2 .

Пусть 1 Ф х е (2 п Н). Так как х е СО (Р) с NО (Р) = Р, то пришли к противоречию с равенством Р п Н = 1. следовательно, 2 п Н = 1 и Р1= 2 . Тогда О/2 = (НлР) / 2 = (Н2 / 2)л(Р/2), где \Р/2\ = р и Н2/2 @ Н/Н п 2 = Н/1 @ Н . Кроме того, (О¡2)' = О 2/2 = Н2/2 и все доказано. Пусть |Р| = р . Так как СО (Р) = Р, то 2 с Р

. Поэтому 2 = 1. Тогда О/2 @ О. Поскольку группа О р -нильпотентна с р -дополнением, совпадающим с коммутантом группы О , и порядок силовской р -подгруппы равен простому числу р, то утверждение следует. Необходимость доказана. Достаточность очевидна. Теорема 1 доказана.

Определение. Конечная группа О называется минимальной не В5 -группой, если

группа О не является В5 -группой, а любая собственная подгруппа в О будет В5 -группой.

Пример. Знакопеременная группа А5 на пяти символах является неразрешимой минимальной не В5 -группой.

Рассмотрим конечные разрешимые минимальные не В5 -группы.

Лемма 5. Пусть О - конечная группа Шмидта с самонормализуемой ненормальной силовской подгруппой. Тогда О является В5 -группой.

Доказательство. Пусть О - группа из условия леммы 5. Тогда ж (О) = {р, q} и О = Рл(2, где Р - нормальная силовская р -подгруппа в О, а Q - циклическая силовская q -подгруппа в О .Так как Q = NО (Q), то Q - ненормальная максимальная подгруппа в группе О и Q абнормальна в О. Поэтому Р будет минимальной нормальной подгруппой в группе О . Ясно, что любая подгруппа из Р субнормальна в О . Пусть Q1 - максимальная подгруппа из Q. Тогда Р х Q1 - максимальная нормальная подгруппа в О, откуда Q1 нормальна в О. Следовательно, любая подгруппа из Q отличная от Q субнормальна в О. Получили, что О является В5 -группой. Лемма 5 доказана.

Лемма 6. Пусть О - конечная группа Шмидта с несамонормализуемой ненормальной силовской подгруппой. Тогда О не является В5 -группой.

Доказательство. Так как ненормальная силовская подгруппа Q будет несамонормализуемой в конечной группе Шмидта О, то Q не является абнормальной в О. Подгруппа Q не может быть субнормальной в О по определению группы Шмидта. Следовательно, О не является В5 -группой. Лемма 6 доказана.

Теорема 2. Конечная разрешимая группа О , в которой каждая максимальная подгруппа нильпотентна, является минимальной не В5 -группой тогда и только тогда,

когда G будет группой Шмидта, в которой ненормальная силовская подгруппа несамонормализуемая.

Доказательство. Необходимость. Так как по теореме 1 конечная нильпотентная группа является BS -группой, то группа G ненильпотентна. Тогда G группа Шмидта.

Следовательно, по лемме 5 ненормальная силовская подгруппа в G будет несамонормализуемой.

Достаточность. По теореме 1 конечная нильпотентная группа является BS -

группой. Поэтому в конечной группе Шмидта все максимальные подгруппы будут BS -группами. По лемме 6 группа G не является BS -группой. Значит, группа G -минимальная не BS -группа. Теорема 2 доказана.

Лемма 7. Пусть G - конечная 2MNS -группа. Тогда G разрешима. Доказательство. Пусть G2 - силовская 2-подгруппа в группе G и S -максимальная подгруппа в G , содержащая G2. Если G2 - собственная подгруппа в S, то G2 включается в максимальную подгруппу группы S, которая по условию будет перекрученной группой. Тогда по лемме 2.2 [11] G2 - перекрученная группа и по лемме 2.7 из [11] подгруппа G2 циклическая. Тогда по теореме IV.2.8 [9] группа G 2-нильпотентна, а, следовательно, G разрешима.

Значит, S = G2, то есть G2 является максимальной подгруппой в G. Тогда по

теореме 1 [8] |S| = 4, откуда по лемме 15.2.4 [12] группа G 2-нильпотентна. Поэтому G

разрешима. Лемма 7 доказана.

Пример. Элементарная абелева группа порядка 8 является 2MNS -группой. Теорема 3. Пусть G - конечная 2MNS -группа. Тогда порядок группы G делится не более чем на два простых числа.

Доказательство. По лемме 7 группа G разрешима. Далее доказательство проводится непосредственной проверкой всех типов групп из теорем 1-3 в [8]. Теорема 3 доказана.

Теорема 4. Пусть в конечной группе G каждая ненормальная максимальная подгруппа является перекрученной группой. Тогда группа G 2-замкнута или 2-нильпотентна.

Доказательство. Пусть силовская 2-подгруппа группы G нормальна в G . Тогда по определению группа G 2-замкнута. Следовательно, силовская 2-подгруппа ненормальна в G . Тогда она содержится в ненормальной максимальной подгруппе группы G . Так как все ненормальные максимальные подгруппы в G являются перекрученными группами, то по лемме 2.2 [11] силовская 2-подгруппа также будет перекрученной группой. Значит, по лемме 2.7 [11] силовская 2-подгруппа является циклической группой. Тогда по теореме IV.2.8 [9] группа G 2-нильпотентна. Теорема 4 доказана.

Следствие. Если в конечной группе G каждая ненормальная максимальная подгруппа является перекрученной группой, то G разрешима.

Доказательство. Так как конечная 2-замкнутая группа и конечная 2-нильпотентная группа разрешимы, то утверждение следует из теоремы 4. Следствие доказано.

In the first part of article we study a finite group in which each primary subgroup is either abnormal or subnormal. Such finite group is called BS -group. The finite 2MNS -groups are studied in the second part of article. The finite

group in which each maximal subgroup is MNS -group, is called 2MNS -group.

The key words: finite group, subnormal subgroup, abnormal subgroup, MNS -group.

Список литературы

1. Forster P. Finite groups all of whose subgroups are F-subnormal or F-subabnormal // J. Algebra. 1986. V. 103. P. 285-293.

2. Bauman S., Ebter G. A note on subnormal and abnormal chains // J. Algebra. 1975. V. 36. P.287-293.

3. Семенчук В. Н. Строение конечных групп с F-абнормальными или F-субнормальными подгруппами // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во «Университетское», 1985. Вып. 2. С. 50-55.

4. Li S. F-subnormal and F-subabnormal chains in finite groups // Science in China. 1998. V. 41, N 11. P. 1121-1127.

5. Ли Ш., Ду Н. Конечные группы с F-субнормальными условиями // Сиб. матем. ж. 2008. Т. 49, N 2. С. 367-373.

6. Fattahi A. Groups with only normal and abnormal subgroups // J. Algebra. 1974. V. 28, N 1. P. 15-19.

7. Aschbacher M. Near Subgroups of finite groups // J. Gronp Theary. 1998. V. 1, N 2. P. 113-129.

8. Мыльников А.Л. Конечные минимальные неперекрученные группы // Вестн. Красноярск. гос. ун-та. 2005. N 1. С. 71-76.

9. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука. 1978.

10. Huppert B. Endliche Gruppen, I. Springer, 1967.

11. Мыльников А.Л. Конечные перекрученные группы // Сиб. матем. ж. 2007. Т. 48, N 2. С. 370-375.

12. Gorenstein D. Finite groups. Harper and Row, 1968.

Об авторах

С.В. Путилов - канд., доц. Брянского государственного университета им. академика И.Г. Петровского, algebra@brgu.ru.

Е.Е. Мошенко, Д.В. Передельская - магистранты 6 курса Брянского государственного университет им. академика И.Г. Петровского, algebra@brgu.ru.