Метод интегральных уравнений для решения задачи Дирихле в возмущенном трехмерном слое

УДК 517.3

Ю. Г. Смирнов, А. А. Щербаков, А. В. Цветков

МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ВОЗМУЩЕННОМ ТРЕХМЕРНОМ СЛОЕ

Аннотация. Краевая задача Дирихле для уравнений Лапласа в трехмерном слое с локально возмущенной границей решается методом граничного интегрального уравнения. Единственность решения и его фредгольмовость доказаны. Метод Галеркина для численного решения граничного интегрального уравнения, направленный на использование параллельных расчетов, усовершенствован и подтвержден.

Ключевые слова: возмущенный слой, граничное интегральное уравнение, метод Галеркина.

Abstract. A Dirichlet boundary value problem for the Laplace equation in a threedimensional layer with a local perturbation of the boundary is solved by the method of boundary integral equation (IE). The unique solvability of the IE and its Fredholm property are proved. A Galerkin method of the IE numerical solution aimed at the use of parallel computations is developed and justified.

Key words: perturbed layer, boundary integral equation, Galerkin method.

Введение

Краевые задачи в слоях с возмущенными границами были рассмотрены многими авторами. Отметим здесь результаты Вернера [1, 2], где краевая задача Дирихле для уравнений Гельмгольца в трехмерном слое с локально возмущенной границей была рассмотрена детально.

Преобразование краевых задач для многообразий с границами к граничным интегральным уравнениям - это всем известный подход, усовершенствованный Стефаном [3], Костабелем [4], Ильинским [5] и другими учеными. Метод граничного интегрального уравнения дает возможность уменьшить размер задачи и предлагает техническое решение, применимое в таких областях, где методы, базирующиеся на дискретизации, не работают или возникают существенные трудности.

Краевые задачи в слоях с возмущенными границами возникают, среди прочего, в математических моделях электромагнетизма и контактной механики. В соответствии с последними данными Шестопалова [6] моделирование контакта между клише и подложкой (бумага или доска) в процессе флексо-печати ведет к краевой задаче для системы уравнения Ламе в двухмерном и трехмерном слое - так называемые краевые контактные задачи. Решение краевых контактных задач методом приближенного разложения с заданным количеством итераций порождает последовательности вспомогательных краевых задач для уравнения Лапласа в слоях, имеющих границы с большим количеством практически идентичных непересекающихся локальных возмущений.

В этом труде мы развиваем метод решения краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в трехмерном слое с локальной возмущенной границей Q, основанный на эквивалентном преобразовании границы интегрального уравнения над Q. Мы доказываем единственно возможную разрешимость инте-

трального уравнения и его фредгольмовость и совершенствуем численный метод решения, направленный на использование параллельных расчетов.

Принимая во внимание аналитическое и численное решение, использование метода граничного интегрального уравнения является актуальной задачей, особенно когда рассматриваются задачи в неограниченных областях. В самом деле, последнее требует в особенности разработку методов, основанных на преобразовании и дальнейшем численном анализе краевой задачи в ограниченных (вырезанных) областях. Специфические трудности возникают, когда бесконечная граница области (например, слоя) возмущается набором многих мелких (по отношению к характерному размеру проблемы) неоднородностей, сравнимых с ячейкой сети. В этом случае необходимо разрезать область и применить плотные сетки к каждой неоднородности, которая ведет к огромным размерам матрицы и резкому уменьшению точности.

Метод граничного интегрального уравнения свободен от этих недостатков. Фактически для краевой задачи в возмущенном слое результирующее интегральное уравнение решается только на неоднородной поверхности, и решение целой области определяется при помощи потенциалов, где снова интеграция уменьшается к области, занятой неоднородностями. Более того, метод интегрального уравнения доказывает свою эффективность, когда интегральное уравнение на разных непересекающихся областях решается численным методом с использованием параллельных вычислений. Разработка математической основы для соответствующей вычислительной техники также является целью данного исследования.

1. Формулировка

Представим задачу Дирихле в трехмерном слое с локально возмущенной границей:

Дu = 0, x =

u 1о = ^ u 1эи/О = 0 ,

где и = {х: ф(Х1, Х2) < Х3 < 1} обозначает слой, ограниченный двумя плоскостями (хз = 0 и Х3 = 1), с локальным возмущением границы, обозначенной ф(Х1, Х2). Мы принимаем, что функция Х3 =ф(Х1, Х2) имеет компактный носитель, таким образом, 8ирр ф = Оо , где П0 является ограниченной областью

на плоскости переменных хь х2 с кусочно-гладкой границей Э00. Примем во

1 2

внимание также, что 0 < ф(Х1, Х2) < 1 и фе С (Я ) (один раз непрерывно дифференцируемая). О = {х: (Х1,Х2)еО0, Х3 = ф(Х1,Х2)} обозначает возмущенную часть границы и.

Функция и модулирует компонент поля перемещений в слое между двумя плоскостями (возмущенной и невозмущенной) под влиянием граничной силы (давления) точно определяющей границы перемещений ц.

Давайте сформулируем краевую задачу для решения: необходимо определить функцию

и( Х1, Х2, Х3) е С 2(и) п С (и \ ЭО0),

удовлетворяющую

1) уравнению Лапласа Ди = 0 в неограниченной области и;

2) граничным условиям

и|О =М-(Х1,Х2,Х3),

где ц(Х1, Х2, Х3) является заданной непрерывной функцией на возмущенной части границы О (и и = 0 на границе и снаружи О);

3) условия на бесконечности (3).

2. Единственность и устойчивость

Теорема 1. Задача (1)-(3) может иметь не более одного решения. Доказательство. В слое и0 = {х: 0 < Х3 < 1} отделить цилиндр

и я = {х: 0 < Х3 < 1, х2 + х2 < Я}

достаточно широкого радиуса Я. Принимая во внимание существование двух решений щ и и2, удовлетворяющих условиям 1-3, мы видим, что разность и0 = и - и2 является решением задачи (1)-(3) с однородными граничными условиями. Применяя к и0 в иК принцип максимума, мы получаем неравенство

хедия

*

Возьмем х е ия . Когда условие (3) также удовлетворяет функции и0, мы имеем

Мо(х ) < тах |мо(х) ^ 0, Я

хеЭ и я

*

Следовательно, и0(х ) = 0 и и0 (х) = 0 в области иК, и также в целой области и, что доказывает единственность решения краевой задачи Дирихле.

Давайте докажем устойчивость, т.е. непрерывную зависимость решения рассматриваемой задачи от граничных данных.

Вспомним, что задача называется устойчивой (или физически корректной), если небольшая вариация определенных данных, описывающих решение (что и является граничными данными) производит небольшую вариацию решения.

С этой целью возьмем две разные функции щ и и2, удовлетворяющие условиям

ГДи! = 0,хеи, ГДи2 = 0,хе и,

К 1о =^ь и1 \ди\О = 0; 1и2 1о =^2, и21эи\О = 0,

так, чтобы разница их граничных значений не превышала е, 94

Это легко проверить, применяя обоснование, подобное доказательству единственности теоремы, что принцип максимума имеет место и для пространственной неограниченной области и. Следовательно, следующий расчет верен:

|«1 - иг\Ф1 -М ^

что подразумевает непрерывную зависимость решения задачи Дирихле от граничных данных.

3. Преобразование до граничного интегрального уравнения

Мы приведем задачу Дирихле (1)-(3) к граничному интегральному уравнению, используя метод функции Грина.

Давайте сначала определим функцию Грина Ои = Ои (х, у), х, у е и0, для слоя ио ={ х :0 < Х3 < 1} , используя ряды представления Моргенротера

[7]:

( \

і

Ои (х, у) =-! V 4п

і=-~

1

1

-У -27ез|

х - У + 2 .ез

где ез = (0, 0, 1) и у = (у:, у2, -уз).

Функция Грина удовлетворяет граничным условиям Дирихле

а1

и

хз =0

= а1

и

Хз =1

= 0

и исчезает, следовательно, на границе и0, образованной двумя плоскостями х3 = 0 и х3 = 1.

Вводя обозначения

= 7(Х1 - у1)2 + (х2 - у2)2 + (х3 - у3 - 2.)2

и

г) = >/(Х1 -у1)2 + (х2 -у2)2 + (х3 + у3 - 2])2 . мы получаем альтернативную формулу для функции Грина:

1

ои =— V

4п

.=-~

( \ 1 1

Метод функции Грина основан на формуле Грина для области V, ограниченной кусочно-гладкой границей Е:

ГГГ(уАы - uДv)dх = ГГ(V — - и —а

ІІІ дп дп

£

^ Э Э Э Э

где n - внешняя нормаль к л; — = cos а!-------+ cos а2-----+ cos аз-------произ-

dn 3xi dx2 дxз

водная в направлении n, al, a2, аз - углы между внешними нормалями и осями Oxl, Ox2, Oxз соответственно. Мы имеем

Эф .

cos al = —— I ч

dxl ]

l+ Г Эф ' 2 Г +

У dxl j У

dx2

Эф .

cos а2 = —— I

dx2 }

l+

Г Эф '2 + г Эф '2

dxl

dx2

cos аз = -lI

l+

Г Эф '2 + г Эф '2

dxl

dx2

Принимая v = GU в (5), мы получаем

f (GUДи - uAGu )dx = )GU ^ - и dGU '

U Q У n

dn dn

d а.

Затем, допустим, что и - это решение к задаче (1)-(3). Мы видим, что первый элемент слева исчезает и второй элемент имеет 5-особенность при х = у. Затем, и на О равно ц, которое дает интегральное представление решения

(У) = jjGU 4~dа - jjцЩ—dа,

JJ dn dn

Q

Q

dG

dn

где ц и GU - известные функции,

dG

U

dn

= cos al

dG

U

dG

U

dG

U

- + cos a2 —---------------+ cos аз -

dxl dx2 Эxз

Эи

Единственная неизвестная функция у := — входит в первый интеграл

дп

представления (6), в то время, как вторая подынтегральная функция является продуктом известных функций и, следовательно, может быть вычислена; мы обозначаем второй интеграл как

dG

n

U

-d а.

Однако последний интеграл испытывает разрыв на границе области в соответствии со свойствами двухслойных потенциалов [8]. Следовательно, при осуществлении перехода к границе х^уеО во втором интеграле

добавляется величина — М-(у),

Ц(У) = Ц ^с-^(у) + 1 |а(у), у е О.

О

Таким образом, функция у может быть определена как решение интегрального уравнения

Я

о

Оиуйа = 2 ) + ґ(у), У є о.

4. Интегральное уравнение и его свойства

Запишем интегральное уравнение (7) в операторной форме:

Ау + Ку = /

где

Ау =4П Я І7-У уй а;

к у := К1У+к2 у; ,1^1

4п

кіу=і Я-

о

х - у-

уй а;

К2У = О1^ уй а;

о

Ои

ОК

-1

(х, у) = — У 4п

] =-«

1

+— У

4п ^

]=1

1

-У -2]'ез|

х - У + 2 ]е3 1

+

х - У + 2 ]е3

Допустим, что М - это бесконечно дифференцируемое двухмерное компактное многообразие, бесконечное в Я3. Многообразие ориентировано и не обязательно связное. Мы будем считать ОсМ как подмногообразие, конечное в многообразии М, которое не обязательно конечно и имеет конечное число соединенных компонентов; каждый из этих компонентов имеет размерность 2. Мы имеем, что граница дО - это кусочно-гладкое одномерное компактное бесконечное многообразие.

Мы фиксируем конечное покрытие Q = {Ох} из М при помощи коорди-

2

натных окрестностей и определим при помощи ха : Оа ^ Уа с Я локальные карты, и при помощи {фа} - разбиение единицы, зависимой от О. Для функции g е С(М) мы задаем ga = фа g . Для каждой 5 е Я мы определим пространство Соболева Н!(М) как дополнение С(М) с соблюдением нормы - , где

и

=II ко

Скалярное произведение и норма определены для И'(Я2) обычным способом:

(и,у)' = {(£) и(£>(^)й£, |Н12 = (и,и)'

где

Здесь и далее мы принимаем, что интеграл, для которого область интегрирования не указана, берется для целого пространства Я2. Для любого другого покрытия, разбиения единицы и карт нормы эквивалентны. Таким образом, определение пространства И'(М) корректно.

Для любого ' є Я мы определим пространства И ' (О) и И' (О) в соответствии с обозначением, используемым Ремпелем [9]:

И' (О) = {и |О : и є И' (М)}

и

И' (О) = {и є И ': 8ирр и с о}.

Посмотрим на решение уравнения (7) в пространстве Соболева ~±- -у є И 2 (о); правая сторона I є И2 (о); интегральные операторы А и К определены соответственно

__1__ 1 _ 1

А: И 2 (о) ^ И 2(о), К: И 2(о) ^ И 2(о).

Нетрудно доказать, что оператор А ограничен и фредгольмов (с индексом нуль) в выбранных пространствах.

Поскольку гладкий оператор (х, у) функции Грина и его производ-

ные случайного порядка по переменным х и у являются непрерывными в охо (и не имеют особенности при х = у), т.е. О][ є С(охо), в соответствии с Моргенротером [7] и Егоровым [10] оператор К2 компактный в этих пространствах.

Рассмотрим интегральный оператор

~_1 - 1 К1:И 2(о)^И2(о).

Для ядра интегрального оператора К1 мы имеем

1 є С“(охо) (и —1— є С“(охо)),

*

х _ у

*

х - у

а

2

*

так как ядро имеет особенность только на границе дО для х = у є Эо . Можно также показать, что К1 является компактным оператором.

Таким образом,

- 1

А + К: И 2 (о) ^ И 2(о),

это фредгольмов оператор (с индексом нуль) [11]. В соответствии с теоремой

1 краевая задача не имеет более одного решения, что подразумевает, что од-

нородное уравнение Ау + Ку = 0 (с I = 0) имеет только тривиальное решение. В самом деле, если это однородное уравнение имело бы нетривиальное реше-

ди „ ^

ние у, тогда, заменяя — = у и ц = 0 в (6), мы получаем нетривиальное реше-дп

ние и для краевой задачи (1)-(3), что противоречит утверждению теоремы 1. В дополнение: оператор А+К является обратным ограниченным

1 „А -

(А + К)-1: И2(о) ^ И 2 (о).

Таким образом, доказана следующая теорема.

~А —

Теорема 2. Решение у є И 2 (о) интегрального уравнения Ау + Ку = I (и для уравнения (7)) существует и является единственным для правой части

1

I є И 2(о).

Рассмотрим интегральное уравнение (7), для которого задача (1)-(3) была упрощена. Преобразуем поверхностный интеграл над О для двойного интеграла над О0:

И О

о0

И

О

у

1 +

дх

дх2

Интегральное уравнение в форме (15)-(18) будет решаться численным методом Галеркина.

5. Метод Галеркина

Возьмем схему метода Галеркина для решения интегрального уравнения (8) в соответствии с Крессом [12]:

Здесь уn е HN - это приблизительное решение, uN е - это базисные функции, Hn с Н = Н 12 - конечномерные пространства. Скобки (•, ^ обозначают двойное отношение к паре двойных пространств Н' и Н, где

Н' = Н12 (О) и Н = Н/2 (О), с учетом билинейно формы (у, /} = JJу/dа .

О

Стефан [3] и Кресс [12] доказали, что метод Галеркина (19) сходится, если следующие условия приближения

uN еНN

выполнены для каждого у е Н .

Мы решим интегральное уравнение (15) численно методом Галеркина. Возьмем Оо = П , где П := {х: 0 < xi < ai,0 < Х2 < a2}, это прямоугольник. Выберем в П решетку прямоугольной формы с вершинами

(xi, х2), xi = ihi, х2 = ih2,

где hi = h2 = , Ni > i, N2 > i, i = 0,...,Ni, j = 0,...,N2.

Ni N 2

Определим базис функций методом Галеркина:

u ij = (х( xi— xi)—х( xi—xi+i)) (х( х2—х2)—х( х2—х2+i)),

где %(t) = 0 для t <0 и %(t) = i для t > 0. Таким образом, каждый базис функций имеет компактный носитель

nj

:= {х: xi < xi < xi+i, x2j < x2 < x2+i}.

Применяя метод Галеркина, мы получаем линейную систему уравнений

^-1N 2 -1

£ £ атса = /м, к = 0,...,N1 -1,1 = 0,...,N2 -1,

г=0 7=°

где элементы аук1 и компоненты правой стороны / вычисляются как кратные интегралы:

аук1 = /Л/ Ои

Пу П к1

/к1 = // ^

пм

Приблизительное решение \|/ N1 N2 представлено как

N -1N 2 -1

V^,N2 = £ £ °уиу.

г=° 7=°

Общее преимущество предлагаемого метода по сравнению с существующими техниками в том, что двухмерное уравнение решается в области, занятой неоднородными объектами, лучше, чем трехмерная задача в неограниченной области.

Заключение

Метод граничных интегральных уравнений применим и к математическому, и к численному анализу краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в трехмерном слое с локально возмущенной границей. Доказаны однозначность разрешимости интегрального уравнения и его фредгольмовость. Разработан и обоснован метод Галеркина для численного решения интегрального уравнения.

Список литературы

1. Werner, P. Resonance Phenomena in Local Perturbations of Parallel-Plane Waveguides / P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences, i996. -Р. 773-823.

2. Morgenrother, K. On the Principles of Limiting Absorption and Limit Amplitude for a Class of Locally Perturbed Waveguides. Part I: Time-independent Theory / K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences, i988. -Р. i25-i44.

3. Stephan, E. P. Boundary integral equations for screen problems in R3 / E. P. Stephan // J. Int. Eqs. Operator Theory, i987. - Р. 236-257.

4. Costabel, M. Boundary integral operators on Lipschitz domains: elementary results / M. Costabel // SIAM J. Math. Anal. -i988. - Р. 6i3-626.

5. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника. - С. 8i-i67.

6. Shestopalov, Yu. Approximate decomposition for the solution to boundary value problems for elliptic systems arising in mathematical models of layered structures / Yu. Shestopalov, N. Kotik // Proc. Progress in Electromagnetics Research Symposium (Cambridge, MA, March 26-29, 2006). - Cambridge, 2006. - Р. 5i4-5i8.

7. Morgenrother, K. On the instability of resonances in parallel-plane waveguides / K. Morgenrother, P. Werner // Mathematical Methods in the Applied Sciences. -i989. - Р. 279-3i5.

8. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. -М. : Наука, i98i. - С. 4i2-438.

9. Rempel, S. Index Theory of Elliptic Boundary Value Problems / S. Rempel, B.-W. Schulze. - Berlin : Akademie Verlag, i982. - Р. i04-i6i.

10. Егоров, Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Элементы современной теории / Ю. В. Егоров // Современные проблемы математики. Основные тенденции. - М. : ВИНИТИ, i992. - С. 5-i25.

11. Taylor, M. Pseudodifferential Operators / M. Taylor. - Princeton : Princeton Univ. Press, i98i. - P. 7- i94.

12. Kress, R. Linear Integral Equations / R. Kress // Applied Mathematical Science 82, -New York : Springer-Verlag, i989. - Р. i25-290.

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Щербаков Антон Алексеевич аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: matematik3@mail.ru

Цветков Александр Витальевич

аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: al.tsvetkov86@gmail.com

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Shcherbakov Anton Alekseevich Postgraduate student,

Penza State University

Tsvetkov Alexander Vitalievich

Postgraduate student,

Penza State University

УДК 517.3 Смирнов, Ю. Г.

Метод интегральных уравнений для решения задачи Дирихле в возмущенном трехмерном слое / Ю. Г. Смирнов, А. А. Щербаков, А. В. Цветков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 1 (21). - С. 92-102.