Вопросы устойчивости анизотропных пластин

Расчет конструкций из композитных материалов

ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Г.Л. КОЛМОГОРОВ, доктор технических наук, профессор, Е.О. ЗИБРОВА, бакалавр техники и технологий.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»;

614990, г. Пермь - ГСП, Комсомольский проспект, д. 29, dpm@pstu. ги

Предложена методика определения критической нагрузки, приводящей к потере устойчивости анизотропных прямоугольных шарнирно опертых пластин. В качестве примера приводится задача устойчивости прямоугольной анизотропной пластинки при сжатии силами в срединной поверхности в одном направлении.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: анизотропная пластинка, свободное опирание по контуру, устойчивость, критическая сила.

В современном машиностроении широкое применение находят композиционные анизотропные материалы, в форме пластинки, в частности, ортотроп-ные пластинки, обладающие тремя плоскостями симметрии упругих свойств. При определенных условиях эксплуатация машиностроительных конструкций (судостроение, авиастроение, космическая техника) сопровождается появлением сжимающих напряжений в срединной поверхности пластин, входящих в состав конструкций, которые могут привести к потере устойчивости и их несущей способности.

Положим, что материал пластинки в отношении своих упругих свойств обладает тремя плоскостями симметрии. Если эти плоскости принять в качестве координатных плоскостей, то соотношения между компонентами напряжения и деформации для случая плоского распределения в координатах х-у можно будет представить следующими уравнениями [1] :

Ох Ех£х + Е £у, Оу Еу£у + Е £х, ТХу СУху

Из уравнений ( 1 ) следует, что для характеристики упругих свойств орто-тропного материала в случае плоского напряженного состояния необходимо

знать четыре упругие постоянные материала Е'х , Е'у, Е", б. В вышеприведенных уравнениях Е'х является аналогом модуля упругости в направлении х, Е'у -аналог модуля упругости в направлении у, Е" — упругая постоянная связывает направления х и у, б - модуль сдвига ортотропного материала.

Для пластинки, изготовленной из подобного материала, предполагаем, что перпендикулярные к срединной поверхности пластинки, линейные элементы остаются нормальными к поверхности пластинки после ее изгиба. На этом основании мы можем записать для компонентов деформации:

д2ш д2ш д2ш

£х = —2~дх^'£у = —2~ду^,Уху =

где о) - функция прогиба. Соответствующие компоненты напряжения определяются из уравнений (1) [1, 2]:

д2ш д2ш д2ш д2ш д2ш

С учетом соотношений (2) определяются изгибающие и крутящие моменты:

[2 I дг и> дг ш

Мг-1 ахгйг - — |ВГ ^ „ + Д

Г2 д2 ш д2 о)

Му - - —(Яу — + ^ —);

где их —-, иу — ——,и1 —-, иху —--жесткость при изгибе

2

Л о

_ д2 ш — J — 2^xУ~дxдy,

ЕхЬ^ Яу/г^ Е"Ъ? „ СП3

12 ' у 12

в соответствующих направлениях, к — толщина пластинки.

Устойчивость пластинки определяется силами, действующими в плоскости срединной поверхности, что соответствует сложному нагружению пластин, когда кроме поперечных сил действуют силы в плоскости срединой поверхности. Данному виду нагружения для изотропных пластин соответствует уравнение [1] З4^ д4ш д4ш 1 / З2^ З2^ 32о) \

где И - цилиндрическая жесткость; Е, ^ - модуль упругости и коэффициент Пуассона изотропного материала.

По аналогии с изотропными пластинками дифференциальное уравнение сложного изгиба анизотропной пластинки запишется в следующем виде [1]

д4ш д4ш д4ш д2ш д2ш д2ш

Вх—г+2Н ?+Ву^т — р + Ых-т + Ыу—т + 2Ых^—-,

х дх4 дх2ду2 Уду4 х дх2 у ду2 ху дхду

где Н — + 2Дху.

В уравнениях (4) и (5) Nx, Л^у, - усилия, действующие в срединной поверхности пластинки, р - поперечная нагрузка.

Для решения дифференциального уравнения (5) в случае свободного опи-рания пластинки по контуру применим решение аналогичное решению Навье с использованием двойных тригонометрических рядов. При этом задаем

ОО ОО

V-1 V-1 тпх ппу

р

т п

а функцию прогибов

О)

(х,у) = ^^Ъъ

тпх ппу sin-sin-

а

Ь

Функция прогибов (7) удовлетворяет граничным условиям свободного опи-рания пластинки по контуру. После подстановки рядов (6) и (7) в исходное дифференциальное уравнение (5) ,полагая Ыху = 0 , получим:

Ъг,

4 4

+ 2Н-

2 2 2 2

а4

Ь2

+

Из выражения (8) следует:

Ь =

итп

4 4 ГСП*

~ЬГ

2 2

2 2

а'

Ь2

Л 8 )

+ 2 Н-

Ъ2

+ Д

у Ь4

-Т"2-.

У Ь2

При отсутствии поперечной нагрузки коэффициенты атп = 0. Потере устойчивости будет соответствовать равенство нулю знаменателя выражения (9).

4 4

+ 2Н-

2 2 2 2

+ д,

4 4

гтп*

2 2

2 2

а4 ' "" а2 Ь2 Ь4 * а2 у Ь2

= 0.

Уравнение ( 10 ) может быть использовано для различных видов нагрузки:

1. Сжатие пластинки только усилиями Nx.

2. Сжатие пластинки усилиями Nx и

3. Сжатие пластинки усилием Nx и растяжение усилием

В качестве примера рассмотрим потерю устойчивости анизотропной пластинки свободно опертой по контуру под действием только усилий Nx ( рис. 1.) , положив = 0.

Рис. 1. Расчетная схема пластинки Выражение ( 10 ) при этом примет вид :

+ 2Я-

= 0,

ь2 ' У ь4

Из выражения ( 11 ) определяется критическое значение усилия Л^

^кр = Ох

2 2

+ 2Н-

2 2

4 2 2

Ь2 +°у Ь4 т2

В уравнении ( 12 ) т и п соответствуют количеству полуволн синусоид при потере устойчивости в направлениях х и у соответственно.

Нас интересует минимальное значение критической нагрузки, из соотношения ( 12 ) следует, что минимальное значение критической силы будет при деформации пластинки по одной полуволне синусоиды в направлении у, т.е. и=1.

При этом

^кр =

у ь41

Минимальное значение критического усилия определяется из условия:

а

х

dNKp/dm = 0.

Продифференцируем соотношение ( 13 ) по m, получим

dNKO 2n2Dva4 - 2n2Dxb4m4

—— =-----.

dm a2b2m3

Полученное выражение приравняем нулю и в результате преобразования получим m, соответствующее минимальному значению критической нагрузки:

т = Dy/4a/Dx/4b.

После подстановки значения m (16) в соотношение (13) получим значение минимальной критической нагрузки:

ЛТкр = 2я2(Я + Jdx Dy )/b2.

Как частный случай перехода к изотропной пластинке при Dx = Dy = Н = D, где D - цилиндрическая жесткость изотропной пластинки, имеем

п2 D

мтт = -4 о

что согласуется с критической нагрузкой для изотропной пластинки при сжатии в одном направлении [2, 3]. Таким образом, в работе предложена методика расчета на устойчивость анизотропных ( ортотропных ) пластин при действии усилий в плоскости срединной поверхности.

Л и т е р а т у р а

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки: пер. с англ. -М.: Наука, 1966. - 635 с.

2. Саргсян А.Е. Строительная механика. Механика инженерных конструкции: учеб. для вузов. М. : Высшая школа, 2008. - 462 с.

3. Leissa Arthur W. A Review of Laminated Composite Plate Buckling, Appl. Mech. Rev., 40(5), 1987, p. 575-591.

References

1.Timoshenko, SP, Voinovski-Krieger, C (1966) Plastinki i Obolohki, M: Nauka, 635 p.

2.Sargsyan, AE (2008). Sproitelnay Mehanika. Mehanika Inzhinernyh Konstruktcii, M.: Vyssh. shkola, 462 p.

3.Leissa Arthur W (1987). A Review of Laminated Composite Plate Buckling, Appl. Mech. Rev., 40(5), p. 575-591.

THE SUSTAINABILITY OF ANISOTROPIC PLATES

G.L. Kolmogorov, E.O. Zibrova

The technique of definition of critical loads, leading to the loss of stability of anisotropic rectangular articulated supported plates is presented. As an example, stability problem of the rectangular anisotropic plate with compression forces in the middle surface in one direction is researched.

KEY WORDS: anisotropic plate-free-bearing contour, stability, critical power.