Математика как исследование границ научного познания

ФИЛОСОФСКИЕ НАУКИ

УДК 51

Е. М. Вечтомов

Математика как исследование границ научного познания*

Рассматриваются и анализируются основные положения методологии математики. Показана роль математики в научном познании, в определении и уточнении границ точного знания и возможностей самого познания.

Basic provisions of the methodology of mathematics are being considered and analyzed in the article. It is shown that Mathematics has fundamental role in scientific cognition, in identifying and clarifying the boundaries of exact knowledge and capabilities of cognition.

Ключевые слова: математика, логика, методология, знание, научное познание, границы познания.

Keywords: mathematics, logic, methodology, knowledge, scientific cognition, the bounda-ries of cognition.

Между духом и материей посредничает математика.

Хуго Щтейнхаус

За общую основу можно взять фундаментальный труд Бертрана Рассела [1], не утративший своего значения до сих пор. Наряду с научным познанием существуют и другие формы познания мира: обыденное, художественное, религиозное, философское. Научное же знание наиболее объективно, оно общезначимо и интерсубъективно. Наука имеет свои границы и пределы. Границы все расширяющиеся, а пределы - недостижимые. Невозможность все доказать привела древних греков к выделению геометрических постулатов и общелогических аксиом - самоочевидных истин о наблюдаемом физическом пространстве и истин элементарной логики. Невозможность все определить приводит к необходимости введения первичных терминов. Изучение всякого предметного языка происходит на другом языке - метаязыке, внешнем по отношению к предметному языку. Теоретическому знанию, или знанию по описанию по терминологии Рассела, предшествует эмпирическое знание, или знание-знакомство.

Теоретическое познание имеет дело с модельным рядом, а не с непосредственной реальностью. Знание по описанию рождается, развивается и живет в сфере языка. Поэтому границы научного познания неразрывно связаны с выразительными возможностями языка науки. А языком науки, по крайней мере, классической издавна и по праву считается математика.

Наука и Мир

Научность той или иной области знания предполагает: понятийный аппарат; методы исследования; предметную теорию; методологию, метафизические постулаты; обоснованность, включающую верификацию (проверяемость, адекватность, повторяемость опыта и т. п.) и фаль-сифицируемость (принципиальная возможность опровержения).

Естествознание, точные науки обладают этими признаками научности. Так, в математике обосновать, проверить - значит доказать, фальсифицируемость означает построяемость контрпримеров. Наблюдение, эксперимент, моделирование, вычисления, выдвижение гипотез и дедукция - вот общепризнанный научный инструментарий.

В своей монографии [2] философ В. А. Лекторский во всем многообразии научного знания выделяет четыре системы знания: математику, естествознание, науки о человеке и обществе, историю. Математика признается особым видом знания. Связь математики с эмпирией весьма туманна. Роль математики в развитии науки и техники исключительна. Автор подчеркивает:

© Вечтомов Е. М., 2015

* Работа выполнена в рамках гранта РГНФ, № 15-16-43005. 6

«Большинство ученых и философов считали, что настоящее, т. е. точное знание о природе, обществе и самом человеке может быть выражено только на математическом языке». Естественнонаучное знание позволило создать современную техническую цивилизацию, способно (хотя бы частично) прогнозировать будущие явления, позволяет понять и объяснить происходящие события. В. А. Лекторский пишет: «Естествознание (наряду с математикой) - это школа критического рационального мышления и показатель его возможностей».

Остановимся на двух принципиально различных типах математического видения мира -классическом и неклассическом. Все досягаемое и наблюдаемое человеком, т. е. так или иначе ощущаемое Бытие и познаваемое сущее, можно назвать Универсумом. Универсум содержит всю наличную действительность: физическую реальность (природа); человеческое общество (социум); человеческое сознание, включая идеальный мир знания и веру. Вопрос в том, является ли этот Универсум вполне определенной объективной данностью, данностью познаваемой и достаточно адекватно описываемой, или не является таковой. Классический подход подразумевает положительный ответ на него. Универсум - это мир, живущий и изменяющийся (развивающийся или деградирующий) по непреложным законам, которые должна открывать наука. Метафизически осмысленная и синтезированная совокупность таких законов превращается в научное мировоззрение, основные положения которого составляют научную картину Универсума. И Универсум как объект человеческого познания не допускает произвола и плюрализма мнений. При классическом видении мира Универсум возвышается, а субъект умаляется.

Неклассическое (тем более постнеклассическое) видение мира фактически пренебрегает «самостью» Универсума, делая его заложником «органов» познания субъекта. Субъект, то или иное сообщество людей конструирует и конституирует свой Универсум или его фрагменты. Упор делается на процедурах - программах и алгоритмах - познания. Получаются разные «миры», пригодные к употреблению в некоторых ограниченных ситуациях. Несколько огрубляя положение дел, можно сказать, что неклассический подход абсолютизирует субъективную сторону познания, а классический подход абсолютизирует объективную познаваемость Универсума.

Являются ли пространство, время, логика реальными (бытийными или идеальными) атрибутами Универсума? Классическая парадигма опирается на реалистические представления, согласно которым мы живем в однородном трехмерном пространстве, движемся в однонаправленном потоке событий, мыслим понятиями обычной двузначной логики. Геометрия нашего пространства евклидова, логика - двузначная аристотелева, моделью времени служит числовая прямая.

Но в XIX в. были открыты неевклидовы геометрии, в XX в. - неклассические логики. Созданы различные теории времени. Если пространство, время и логика суть реальные атрибуты Универсума, то какова их подлинная «математика»? Неклассическая парадигма отрицает «наивный классицизм», приписывая пространству, времени и логике либо неклассические математические свойства, диктуемые успешностью их применений (скажем, в общей теории относительности и квантовой механике), либо плюралистическую неопределенность, либо роль удобных соглашений (конвенций), не имеющих онтологического статуса. Нам ближе классический образ Универсума, хорошо согласующийся с практикой, здравым смыслом, реальным восприятием.

В подтверждение нашей точки зрения приведем размышления А. Ю. Грязнова [3]. Он отмечает, что И. Кант «интерпретирует созерцаемое пространство как априорную форму чувственности познающего объекта, а абсолютное пространство - как связанную с этой формой идею чистого разума, выступающую в качестве регулятивного принципа расширения в бесконечность чистого пространственного созерцания». Пространство Канта метрически совпадает с абсолютным пространством Ньютона. А геометрия воспринимаемых в своей протяженности вещей является евклидовой. Кант считает, что евклидова геометрия внутренне присуща разумным существам. Развивая позиции Канта, А. Ю. Грязнов пишет, «что нельзя построить неевклидову геометрию, не используя евклидову интуицию пространства (как априорную форму чувственности), которая работает не только при построении геометрии Евклида, но и при построении неевклидовых геометрий». И далее: «Наивно полагать, что учение Канта об априорности наших представлений о пространстве и времени однозначно опровергаются развитием математики и физики в XIX-XX вв.».

Место математики в научном познании

Мы придерживаемся следующего методологического тезиса: математическая форма (формулы) предметной теории (физической, биологической, экономической) сохраняется, содержание предметной теории может меняться, а адекватное прояснение ее сущности есть вопрос философии, метафизики или веры. Этот тезис соответствует классической научной парадигме, начало которой было положено Галилеем и Ньютоном. Многие выдающиеся физики XX

7

в. (Эйнштейн, Дирак, Фейнман и др.) утверждали приоритет математики в научном познании. Так, Поль Дирак подчеркивал: «Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой... Следует не доверять всем физическим концепциям». Принципы математизации знания и эстетического отбора служат ведущими положениями научной методологии.

Математика является мощным инструментом координатизации, «измерения», моделирования мира. Ее аппарат хорошо приспособлен для беспристрастного изучения вещей и явлений по кибернетической схеме входа-выхода. Почему возможно познание мира посредством математики? Ответ кроется в природе самой математики. По Платону, математика является «серединной» наукой, связывает преходящий и несовершенный Мир вещей (Теней) с вечным и божественным Миром Идей (Форм). Математика выступает в роли посредника, универсального средства связи между двумя Мирами - материальным и идеальным. Мир вещей дает толчок к пробуждению разума и познанию Идей. Процесс познания есть сократовский диалог (майевтика) разбуженного разума с разумом (возможно, с самим собой), вызывающий «припоминание идей». Таков механизм познания в философии Платона. Согласно В. В. Мадеру [4], «познание сущности явлений есть процесс моделирования этих явлений с помощью предугаданной схемы». Ему вторит физик Е. Л. Фейнберг [5], утверждающий, что угадывание уравнения является хорошим способом открытия в естествознании.

И действительно, объектом математического познания служат основополагающие философские категории формы и количества и всевозможные их проявления, взятые в наиболее общем и чистом виде. Предметом изучения математики является вся математическая реальность, включающая как абстрактные математические структуры и модели, так и конкретные математические объекты (числа, фигуры, их аналоги). Математика изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством категорий формы и количества. Число и геометрическая фигура - исходные абстракции, непосредственная математическая реальность, определяющие - вместе с их обобщениями - предмет математики. Эффективность математики и ее приложений обеспечивается, по-видимому, предполагаемым единством Мира - на той или иной первооснове: Бог, абсолютная идея, законы природы и т. д. Анри Пуанкаре постулировал, что «единственная настоящая реальность есть внутренняя гармония мира»; всякая другая реальность случайна и эфемерна.

«Внешние» категории формы и количества способны структурно выразить «внутренние» категории содержания и качества. Все имеет структуру, а структура вещи определяет ее бытие. Поэтому математика универсальна. Математика через явление пробивается к сущности. Как говорится, математические формулы умнее их создателей, точнее - открывателей.

Наука математика исследует абстракции самого высокого логико-диалектического уровня. Естественные и гуманитарные науки изучают вещи и явления реального, осязаемого мира. Физика изучает твердые тела и атомы, химия - строение вещества, биология описывает виды растений и открывает генетический код животных. История описывает и объясняет факты истории, превращая их в исторические факты. Психология исследует внутренний мир и поведение человека. Технические науки конструируют свои механизмы на основе конкретной действительности и для реальной работы. Все они используют тот или иной математический аппарат. Но в окружающем нас мире нет таких вещей, как число, геометрическая фигура, показательная функция, не говоря уже о понятиях группы, топоса, фрактала. Другие науки также работают со своими абстракциями и моделями. В процессе научного познания физические модели замещают реальность и опредмечивают высокие понятия и теории. Так, физики рассматривают понятие материальной точки, понимая под этим сколь угодно малое твердое тело с заданными массой, параметрами положения и движения. Здесь использован геометрический образ, наделенный числовыми характеристиками. Математические же понятия более опосредованы и идеальны.

Человеческое познание связано с чувственными ощущениями и наблюдениями. И математика, по Энгельсу, имеет объектом своего изучения пространственные формы и количественные отношения действительности, т. е. вполне реальный материал. «Число пять» абстрагируется от целого ряда совокупностей, содержащих по пять предметов, в том числе и руки с пятью пальцами. В историческом плане насущные практические потребности людей в счете, расчетах и измерениях подтолкнули появление и становление понятий числа и геометрической фигуры, привели к возникновению и развитию арифметики и геометрии. Допонятийные образы и представления, интуитивные предпонятия постепенно превращались в научные понятия. Этот процесс требовал оформления логики и ее возведения в статус науки. Нуждались в обосновании складывающиеся тысячелетиями эмпирические правила вычислений и измерений. В философских школах Фалеса и Пифагора начали практиковаться строгие рассуждения и доказательства, 8

возник дедуктивный метод, что ознаменовало собой рождение математики как дедуктивной науки.

Первичная математическая реальность имеет определенный бытийный (онтологический) статус. Для математика число пять не менее объективно и действительно, чем пять пальцев на руке, а понятие прямой линии говорит больше, чем край стола или отвес. Поэтому математику иногда называют квазиэмпирической наукой. С греческого математика переводится как «учение», «наука»,учусь через размышление.

В настоящее время классической математикой можно назвать теоретико-множественную математику, базирующуюся на канторовской теории множеств и двузначной логике. В XX в. вся классическая математика была аксиоматизирована. Центральным стало понятие математической структуры, определяемой как множество с заданным на нем набором отношений. Бурбаки выделили три типа фундаментальных математических структур - алгебраический, порядковый и топологический. К указанным типам структур можно добавить структуру с мерой и структуру инцидентности. Группа Бурбаки определила математику как дедуктивную науку о математических структурах. Математические объекты часто имеют сложную структуру, включающую в себя две или более моноструктуры, некоторым образом согласованные друг с другом.

Математическая логика является строгим языком классической математики. Многие разделы математики выражаются на языке логики предикатов первого порядка, такая возможность получила название тезиса Гильберта.

В середине прошлого века возникла теория категорий. В 60-70-е гг. XX в. французом Ло-вером и другими математиками были описаны категории (элементарные топосы), эквивалентные категории множеств. Тем самым было доказано, что теоретико-категорный язык равносилен теоретико-множественному основанию математики. Теория множеств дает внутреннее, «элементное» рассмотрение математических объектов. В то время как теория категорий описывает математические объекты внешним образом, через их связи (морфизмы) с подобными себе вещами. Теория категорий является удобным универсальным языком современной математики. Ее аппарат позволяет унифицировать формулировки и доказательства из различных разделов математики.

Перечислим основные взгляды на место математики в семействе наук.

1) Математика, будучи частью теоретической физики, является естественной наукой (В. И. Арнольд).

2) Математика - гуманитарная наука, поскольку является творением человеческого разума: интуиционисты, математик-конструктивист А. А. Марков, логик и математик Н. Н. Непейвода.

3) Математика - техническая наука, служащая «идеальным» аппаратом, инструментарием для решения прикладных задач (А. Д. Александров).

4) Математика - наука о возможных чистых структурах, об общих схемах, охватывающих классы сходных моделей (Бурбаки, А. Д. Александров, математик М. М. Постников).

Нам ближе четвертый подход. Математика - наука обо всех возможных мирах. Математическое познание имеет своими истоками априорные начала и математические очевидности, двузначную логику и интуицию, эмпирический опыт и интеллектуальную деятельность, которые должны рассматриваться во взаимосвязи друг с другом. Феномен математики состоит в том, что она сама по себе образует автономную специфическую форму познания, включающую структурный анализ бытия, его формальное воспроизведение, дедуктивно-модельный способ обретения точного знания.

За умозрительной натурфилософской картиной мира древних греков последовала механистическая картина мира, развитая Декартом, Галилеем, Ньютоном. В философии науки ее сменила релятивистская модель, ведущим принципом которой выступает зависимость знания, истины от способа их получения. Произошел отход от сциентизма и теории Прогресса, что в определенной мере оправдано. На роль современной научной картины мира претендует синергетика, которая в отличие от кибернетики ставит во главу угла математику, синтез математики с диалектикой, при этом в методологии науки оппозиционная бинарность заменяется согласованной тернарностью [6].

Посмотрим теперь на основные этапы развития научной методологии с точки зрения приоритета в паре субъект - объект. В натурфилософской и механистической картинах мира главенствует объект познания (тезис). Как будто человек непосредственно и отчетливо видит удаленный предмет в ясный день. В релятивистской картине мира на первое место выдвигается субъект со своими «проблемами зрения» (антитезис). Вокруг туман; человек снова и снова всматривается в один и тот же предмет, напрягает зрение, достает бинокль, включает фонарик

9

или надевает инфракрасные очки. Оказывается, как много зависит от «очков»: различим лишь изменчивый силуэт (но что же сам предмет, где истина?). Наконец, синергетическая картина мира обещает синтез, когда объект и субъект становятся равноправными партнерами. Человек признает самостийность предмета и стремится всесторонне его обозреть.

В последние десятилетия в сфере культуры и философии, в частности философии науки, наблюдается противостояние между фундаменталистами и нефундаменталистами. Фундаментализм опирается на разум, здравый смысл, реальность, логику и науку, провозглашает рациональные ценности, необходимость познания истины и важность научного образования. Это направление стремится обосновывать существование фундаментальных основ бытия и мышления, вырабатывает общую картину мира. Фундаментализм воспитывает в человеке оптимистическое мироощущение. Нефундаменталистское течение проявляется в социокультурном подходе, делающем акцент на исторические, общественные и культурные аспекты и особенности развития научного знания, возвышающем субъективизм и релятивизм в познании и в жизни. В философии науки, да и в жизни общества, особую тревогу вызывает постмодернизм, абсолютизирующий плюрализм мнений, не признающий истину как таковую.

Любая методология предполагает определенные метафизические принципы, к которым можно отнести принцип единства мира и законы диалектики. Метафизика (буквально «после физики», «над физикой») определяется как учение о первоначалах бытия, постигаемых умозрительно. Метафизика ориентирована на поиск единства мира - единства сущности, происхождения и оснований Мироздания. По Расселу, цель метафизики есть «попытка охватить мир как целое посредством мышления». Она предполагает возможность целостного рационального познания мира и допускает создание единой научной картины мира. Также нужно иметь в виду общий методологический принцип дополнительности, состоящий в разумном сочетании двух подходов, именуемых «бритвой Оккама» и «призмой Менгера» (в частности, не быть буридановым ослом). Правило Оккама гласит, что сущности не следует множить без необходимости, т. е. надо стремиться к простоте, избегая надуманных вещей. А правило Менгера заключается в том, что кажущуюся простоту надо разлагать на скрывающиеся за ней сущности.

Необходима основополагающая система фундаментальных философских категорий и общенаучных универсалий. Идея минимального словаря - базиса системы философских категорий - высказывалась Расселом. Философские категории суть фундаментальные универсалии, в совокупности позволяющие отразить любое явление и само мироздание всесторонне, во всем многообразии. Категории будоражат ум (как Сократ своих сограждан) вопросами типа Кто? Что? Где? Когда? Как? Какой? Сколько? Куда? Почему? Зачем?, последовательно отвечая на которые, человек познает мир. В самом деле, кто говорит о субъекте, что вещает об объекте и о содержании, где - о пространстве, когда - о времени, как - о форме и методе, какой - о качестве, сколько - о количестве, куда - о направлении, почему - о причине и сущности, зачем - о цели и смысле [7]. Система философских категорий должна представлять собой искусно сплетенную понятийную сеть, набрасываемую на изучаемые объекты, что позволяет конкретным наукам описывать их. Многие категории, отображая мир структурно, имеют априорно-интуитивный характер или характер аподиктической очевидности, стало быть, они объективны.

В философии существуют четыре параметра-измерения: онтологический (бытие), гносеологический (познание), аксиологический (ценности, оценки) и праксеологический (практика, деятельность). Та или иная конкретная философская теория имеет свое соотношение этих параметров. В цепочке

философияметафизикаметодологиянаукаматематика

последовательно уменьшается субъективный фактор и, соответственно, неуклонно нарастает объективность. Метафизика как важнейшая составляющая философии полностью включает в себя онтологию, праксеологию и эпистемологию. Заметим, что эпистемология исследует оппозицию «объект - знание» в отличие от более общей гносеологии (или теории познания), в центре внимания которой стоит дуализм «субъект - объект». Метафизика опирается на ценности истины и целостности и определенную веру. А постмодернистская философия эти ценности не приемлет, превознося субъективный принцип ничем не ограниченного плюрализма мнений. По сравнению с метафизикой научная методология еще в большей степени уповает на истинное познание, руководствуясь принципами верификации и фальсифицируемости знания. Метафизика выступает в качестве необходимой общей методологии естествознания.

Цель науки - познание Абсолюта, Универсума, добывание объективных истин. Этому больше отвечают точные науки, в частности математика. Но математика как наука о возможных мирах, в том числе и о нашем Мироздании, дает все богатство истин условных. Это еще одна причина эффективности математики в приложениях. Представляется, что классическая логика дает абсолютную (аналитическую) истину. Математика и философия способны выражать синтетические суждения и открывать истины, не сводящиеся к тавтологиям.

Математика сродни философии: обе занимаются глобальными вопросами познания, исследуют фундаментальные категории и закономерности. Но в то время как философия пытается познать сущность бытия, математика успешно справляется со структурой явлений.

В философии математики мы придерживаемся фундаменталистских и метафизических позиций, утверждающих объективность и достоверность математического знания, ведущую роль математики в научном познании мира. Математики в своем подавляющем большинстве являются реалистами и стихийными фундаменталистами. Образец фундаменталистской философии математики демонстрирует в своих работах В. Я. Перминов. Так, в монографии [8] он строит обоснование математики на принципах априоризма, аподиктической очевидности и практической целесообразности.

Математика - простая модель Мироздания

Для понимания предельных возможностей научного познания посмотрим теперь на математику как на модель, некий простой образ Мироздания. Именно математика вместе с ее основаниями - математической логикой и метаматематикой - способна выявить и показать подлинные возможности и границы научного знания.

1. Особое внимание - к математической логике, поскольку она является языком современной математики. В связи с этим приведем одно высказывание математика и логика Н. Н. Непей-воды [9]: «Логика в многоуровневом мышлении является единственной рациональной альтернативой и единственным интеллектуальным противоядием против манипуляции умами (истинная религия выходит за рассматриваемую нами область, хотя справляется с данной задачей столь же хорошо)».

2. Упрощенную схему моделирования самого процесса познания описывает американский математик и логик Р. Линдон [10]: «Формальное изучение любого круга вопросов, связанных с нашим повседневным опытом, начинается с замены реальных объектов некоторыми подходящим образом выбираемыми их абстрактными описаниями, идеализациями, выбираемыми таким образом, чтобы в этих идеализациях были отражены именно те свойства исходных объектов, которые мы собираемся изучать. В нашем случае речь пойдет об абстрактных "заместителях" для таких понятий, как мышление, реальная действительность и связь между мышлением и действительностью. Вместо мышления мы будем рассматривать язык, точнее говоря, формализованный вариант некоторых аспектов естественного языка. Можно показать, что все чисто формальные аспекты мышления адекватным образом отображаются в таком языке.

Вместо реальной действительности мы будем рассматривать так называемую структуру (выделено нами. - Е. В.), грубо говоря, представляющую собой совокупность предметов, которые могут быть сопоставлены в качестве значений различным выражениям языка. Наконец, роль связи между языком и действительностью будет у нас играть интерпретация (выделено нами. - Е. В.), то есть функция, приписывающая некоторым языковым выражениям в качестве их значений некоторые определенные предметы, входящие в данную структуру».

3. Парадоксы, возникающие в науке, служат теми граничными колышками, которые показывают реальные пределы общих понятий и теорий. Так было с ничем не ограниченным употреблением понятия множества (парадоксы Кантора, Рассела и др.). После чего канторовская теория множеств была аксиоматизирована Эрнстом Цермело. Парадокс «Куча» показывает неприменимость строгих математических методов (математической индукции) к нестрогим понятиям (куча). Парадокс лжеца проявился в теореме Тарского о невыразимости истины и теореме Гёделя о неполноте. Парадоксы Зенона привели к естественнонаучной проблеме соотношения дискретного и непрерывного, к математическому анализу континуума - числовой прямой.

4. Логика предикатов первого порядка - основной язык формальной математики (тезис Гильберта). Она занимает особое место среди логик. По теореме Линдстрема логика первого порядка является единственной логикой, замкнутой относительно обычных логических связок и кванторов и удовлетворяющей теореме компактности и теореме Левенгейма - Сколема. Но на этом языке нельзя адекватно формализовать ни натуральный ряд N ни систему действительных чисел Я. Существует счетная модель N не изоморфная стандартной модели N а также модели N любой несчетной мощности. И для Я имеется счетная модель. В нестандартной модели Я, эле-

11

ментарно эквивалентной стандартной модели Я существуют бесконечно малые элементы, актуализирующие лейбницеву абстракцию бесконечно малого числа.

5. Принятие формализма Гильберта приводит к неопределенностям. Теории основных числовых систем оказываются некатегоричными. В любой арифметической теории неустранимо существуют неразрешимые предложения. Имеют место результаты Гёделя и Коэна о независимости аксиомы выбора и континуум-гипотезы от канонической аксиоматики теории множеств Цермело - Френкеля и друг от друга. Из аксиомы выбора следует теорема Банаха - Тарского о том, что шар можно разбить на 4 части так, что из них собираются два точно таких же шара. Существуют альтернативные аксиоматические теории множеств, в которых не выполняются многие теоремы классического анализа. Получается, что строго формально нельзя определить одно из фундаментальных понятий математики - континуум. Более того, и содержательными средствами не удается решить проблему континуума.

6. По Гильберту, математика - наука о бесконечности. В 1979 г. математики Парис и Харринг-тон доказали, что в формальной арифметике понятие актуально бесконечного множества невыразимо. Это означает невозможность строгой арифметизации анализа, стало быть, необходимо непосредственное рассмотрение содержательной математики, либо тот или иной тип аксиомы бесконечности, скажем, в рамках аксиоматической теории множеств. Тем не менее, понимая определенную относительность математики, Вейль подчеркивал главное в ней - объективность.

7. Некоторое усиление логики либо ослабление финитарных требований к обоснованию натурального ряда приводит к доказательству непротиворечивости формальной арифметики, а значит, позволяет обосновать и всю классическую математику. Например, рассмотрение П. С. Новиковым бесконечных конъюнкции и дизъюнкции, или индукция по счетным трансфинитам, осуществленная Генценом. Интересна «локальная» реабилитация программы Гильберта [11].

8. В зависимости от принятия тех или иных оснований сами математики подразделяются на «классиков», коих большинство, формалистов, конструктивистов. У приверженцев различных оснований понимание, скажем, действительного числа существенно разное. Заметим также, что синергетики стали употреблять термин «мягкая математика», что может быть оправдано только в прикладном смысле - по отношению к математическим моделям реальности.

9. Принимать ли математикам необозримо длинные компьютерные доказательства? Строго доказывается, что чем эффективнее компьютерная программа, тем сложнее проверка ее правильности. До сих пор нет обычного текста доказательства гипотезы четырех красок, положительно решенной на компьютере в 1976 г. (первоначально программа работала 500 часов). Многие математики-классики такое доказательство не принимают.

10. В конце XX в. в логике стала разрабатываться теория формализации неформализуемых понятий. Данное неформализуемое понятие (как правило, гуманитарное) описывается во взаимосвязи с другими родственными понятиями, составляющими так называемый тезаурус. Формализация неформализуемого понятия представляет собой систему классических логических теорий, называемых ипостасями системы. Разветвление перетекающих одна в другую ипостасей позволяет целиком охватить описываемое неформализуемое понятие. Система формализации должна удовлетворять ряду естественных принципов (постулатов системы). Например, каждое расширение любой ипостаси имеет альтернативное расширение этой ипостаси, логически несовместимое с исходным расширением. Или такой принцип: пересечение множеств теорем всех расширений произвольной ипостаси совпадает с множеством теорем данной ипостаси. Как показал Н. Н. Непейвода [12], в теории неформализуемых понятий каждая ипостась должна базироваться на классической логике, что еще раз подчеркивает исключительную роль классической логики в многообразии логик. Но при выражении ряда понятий, скажем, глобального понятия знания о незнании, необходимо единое обозрение совокупности формализаций, апеллирующее к неклассической логике.

11. Знаменитая теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики 1931 г. показала, что математика способна доказывать и недостаточность своих финитарных предпосылок. Заметим, что с помощью циркуля и линейки можно выполнить заметно больше построений, чем одним циркулем, но нельзя построить угол в 20°. Сила логико-математических методов проявилась в доказательстве алгоритмической неразрешимости целого ряда математических вопросов и независимости одних утверждений от других. Нарастающую дедуктивную мощь математики продемонстрировало решение большинства проблем Гильберта в XX в., доказательство Великой теоремы Ферма (Эндрю Уайлс, 1994 г.) и гипотезы Пуанкаре (Г. Я. Перельман, 2003 г.). Возникают новые важные и интересные математические дисциплины: нечеткая логика, фрактальная геометрия, формализация неформализуемых понятий и др. Это строгие и четкие дедуктивные теории, находящие приложения в других областях знания посредством математического моделирования.

12

Выводы

1. Научное познание мира есть познание его структуры, количественных и «формовых» характеристик явлений действительности. Именно это предопределяет успешность математического описания реальности, эффективность приложений математики.

2. Структурный характер научного познания с учетом метафизики задает и очертания границ, пределы точного знания. Для нахождения границ такого знания необходим логико-математический анализ как конкретного используемого научного языка, так и других возможных языков. Успех в определении этих границ зависит от уровня формализации данной теории, т. е. от синтаксиса и дедуктики языка теории, ее семантики.

3. Никакая замкнутая формализованная научная система не способна полно и непротиворечиво выразить все структурное многообразие мира - мира идеального. Поэтому научное познание в целом есть открытая меняющаяся система с подвижными границами охватываемой достижимости.

4. Одна и та же предметная теория может быть выражена различными способами, с той или иной степенью формализма. В качестве примера назовем арифметику натуральных чисел, имеющую интуитивно-эмпирическую трактовку (обыденную), содержательную теорию (используемую математиками на практике), аксиоматику Пеано (изучаемую в курсе «Числовые системы»), формальную аксиоматическую теорию (рассматриваемую как раздел математической логики).

5. Следует иметь в виду общий закон сохранения - в нашем случае сохранения интеллектуальной энергии, математического ожидания адекватной выразимости, строгости и формализуемости. Если обеднить, упростить предметный язык какой-либо теории, то с необходимостью потребует обогащения, усложнения семантика, метаматематика этой теории. И наоборот, как правило, полная категоричная теория не может быть до конца формализована. Увеличение точности в одном аспекте влечет размывание оценочных границ, увеличение погрешности в другом аспекте. Это напоминает принцип неопределенностей Гейзенберга в микромире.

6. В научном плане нужно стремиться к ясности и четкости, к минимуму и простоте вводимых первичных понятий и аксиом. Но в дидактике и методике желательны взвешенность и умеренность, вполне допускающие некоторую избыточность терминологии и аксиоматики, если это вызвано особенностями восприятия, соображениями наглядности, доступности и надежности усвоения.

Примечания

1. Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и границы: пер. с англ. М.: Терра-Книжный клуб: Республика, 2000.

2. Лекторский В. А. Эпистемология классическая и неклассическая. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

3. Грязное А. Ю. Абсолютное пространство как идея чистого разума // Вопросы философии. 2004. № 2. С. 127-147.

4. Мадер В. В. Введение в методологию математики. М.: Интерпракс, 1995.

5. Фейнберг Е. Л. Две культуры. Интуиция и логика в искусстве и науке. Фрязино: Век 2, 2004.

6. Баранцев Р. Г. Становление тринитарного мышления. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005.

7. Вечтомов Е. М. Философия математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2013; Вечтомов Е. М. Математика - стержень научной методологии // Методология современной науки. Моделирование сложных систем: сб. трудов междунар. науч. конф. Киров: Изд-во ВятГУ, 2007. С. 82-91.

8. Перминов В. Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001.

9. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000.

10. Линдон Р. Заметки по логике: пер. с англ. М.: Мир, 1968.

11. Ершов Ю. Л., Самохвалов К. Ф. О новом подходе к методологии математики // Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты / под ред. М. И. Панова. М.: Наука, 1987.

12. Непейвода Н. Н. О формализации неформализуемых понятий: автопродуктивные системы теорий// Семиотика и информатика. 1985. Вып. 25. С. 46-93.

Notes

1. Russell B. Chelovecheskoe poznanie: ego sfera i granicy [Human Knowledge: Its Scope and Limits] Moscow. Terra Book Club: The Republic, 2000.

2. Lektorsky V. A. Epistemologiya klassicheskaya i neklassicheskaya. [Epistemology classical and non-classical]. Moscow. Editorial URSS, 2001.

3. Gryaznov A. Y. Absolyutnoe prostranstvo kak ideya chistogo razuma [Absolute space as an idea of pure reason] //// Voprosy filosofii - Problems of Philosophy. 2004. № 2. pp 127-147.

4. Mader V. V. Vvedenie v metodologiyu matematiki [Introduction to the methodology of mathematics] Moscow. Interpraks, 1995.

5. Feinberg E. L. Dve kul'tury. Intuiciya i logika v iskusstve i nauke [Two cultures. Intuition and Logic in art and science]. Fryazino: Vek 2, 2004.

6. Barantsev R. G. Stanovlenie trinitarnogo myshleniya. [Formation Trinitarian thinking]. Moscow, Izhevsk. 2005.

7. Vechtomov E. M. Filosofiya matematiki. [Philosophy of Mathematics]. Kirov: VSHU 2013; Vechtomov E. M. Matematika sterzhen' nauchnoi metodologii [Mathematics - a core scientific methodology] // Me-todologiya sovremennoi nauki. Modelirovanie slozhnyh sistem [Methodology of scientific methodology of modern science. Simulation-complicated systems] Kirov: Vyatka State Humanitarian University Publishing House, 2007, pp 82-91.

8. Perminov V. Y. Filosofiya i osnovaniya matematiki [Hilosophy and foundations of mathematics]. Moscow. Progress-Tradition, 2001.

9. Nepeivoda N. N. Prikladnaya logika. [Application logic]. Novosibirsk. 2000.

10. Lyndon R. Zametki po logike [Notes on logic] Moscow. Mir, 1968.

11. Ershov Y. L., Samohvalov K. F. O novom podhode k metodologii matematiki [A new approach to the methodology of mathematics] // Zakonomernosti razvitiya sovremennoi matematiki. Metodologicheskie aspekty [Laws of development of modern mathematics. Methodological aspects] / ed. M. Panov. Moscow. Nauka, 1987.

12. Nepeivoda N. N. O formalizacii neformalizuemyh ponyatii: avtoproduktivnye sistemy teorii [To formalize non-formalizable concepts of auto production systems theories // Semiotika i informatika [Semiotics and Informatics]. 1985. Vol. 25. S. 46-93.

УДК 165.2:159.924

А. В. Фукалов

Гениальность в науке как форма проявления власти

В данной статье показана роль гениальной личности в развитии науки. Рассмотрена смысловая взаимосвязь власти и гениальности. Понятие «гений» рассматривается в контексте науки. Указывается на решающее влияние личности в науке, причём личности подлинно гениальной, которая создаёт новое знание. Власть и гениальность рассматриваются как генетически близкие явления, потому что власть обозначается как одна из самых сильных форм гениальности, которая проявляется разными способами в науке, но всегда - как способ изменения существующей реальности. В статье дан краткий исторический обзор форм гениальности и развития понятия «гений», показано, как на современном этапе опасны лжеучёные. В общем и целом статья повествует о важности понимания роли гения в науке и его влияния на весь исторический период развития человечества через власть своего ума и интеллекта.

This article shows the role of a brilliant personality in the development of science. We consider the semantic relationship of power and genius. The concept of «genius» is considered in the context of science. Points to the decisive influence of personality in science, with a truly brilliant personality that creates new knowledge. Power and genius are considered to be genetically similar phenomenon, because the power is referred to as one of the strongest forms of genius, which manifests itself in many ways in science, but always -as a way to change the existing reality. A brief historical overview of the development of forms of genius and the concept of «genius», shows how dangerous at the present stage false scientist. In general, the article tells us about the importance of understanding the role of genius in science and its impact on the entire historical period of human development through the power of your mind and intellect.

Ключевые слова: власть, наука, гениальность, рациональность, сфера, новое, познание, религия, гений, мышление, иррациональное, творчество, теория, практика, философия.

Keywords: power, science, genius, rationality, sphere, new knowledge, religion, genius, thinking, irrational, creativity, theory, practice, philosophy.

© Фукалов А. В., 2015 14