СПОСОБ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ
METHOD OF FREQUENCY MEASUREMENT

Предлагаемое изобретение относится к области измерительной техники и может быть использовано для измерения частоты периодических сигналов.
Известен способ измерения частоты [Орнатский П.П. Автоматические измерения и приборы (аналоговые и цифровые) - К.: Вища шк., 1986, стр.321], основанный на подсчете числа периодов измеряемой частоты в течение заранее заданного образцового интервала времени, который формируется из целого числа периодов образцовой частоты.
Однако указанный способ характеризуется большой максимальной относительной методической погрешностью, равной единице, деленной на число периодов измеряемой частоты, подсчитанных в течение образцового интервала времени [Орнатский П.П. Автоматические измерения и приборы (аналоговые и цифровые) - К.: Вища шк., 1986, стр.3221].
Кроме того, известен способ измерения частоты [Орнатский П.П. Автоматические измерения и приборы (аналоговые и цифровые) - К.: Вища шк., 1986, стр.3241], являющийся прототипом предлагаемого изобретения, основанный на подсчете периодов образцовой частоты в течение заранее заданного целого числа периодов измеряемой частоты.
Однако указанный способ характеризуется большой максимальной относительной методической погрешностью, равной единице, деленной на число периодов образцовой частоты, подсчитанных в течение целого числа периодов измеряемой частоты [Орнатский П.П. Автоматические измерения и приборы (аналоговые и цифровые) - К.: Вища шк., 1986, стр.324].
Задачей предлагаемого изобретения является уменьшение максимальной относительной методической погрешности измерения частоты.
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
2
1
2
0
2
2
2
3
1
2
3
3
3
i
i
i
i+1
i
i+1
i-1
i
i+1
i+1
i
i
i
Поставленная задача достигается тем, что в известном способе измерения частоты, заключающемся и подсчете числа периодов образцовой частоты в течение целого числа периодов измеряемой частоты осуществляют подсчет числа периодов образцовой частоты, за каждый период измеряемой частоты и получают соответствующие коды, которые последовательно запоминают без изменения порядка их появления, получая исходную последовательность кодов, которую анализируют, определяя коэффициенты цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, начиная с нулевого коэффициента, путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов находят наименьший код, который является нулевым коэффициентом (a) цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты и нулевым числителем упомянутой цепной дроби (p), затем находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов наибольшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в исходной последовательности кодов не менее двух раз, полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером один (a), далее находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности первую группу кодов, в которой находятся код p+1 и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся (a-l) раз, аналогичным образом находят в упомянутой последовательности кодов вторую, третью и другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером один, и заменяют в исходной последовательности кодов найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в исходной последовательности кодов, получая последовательность кодов, свернутую один раз по отношению к исходной последовательности кодов, затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой один раз, не менее двух раз, полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером два (a), далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, первую группу кодов, в которой подряд находятся коды p, повторяющиеся a раз, и следующий непосредственно за ними код p, аналогичным образом находя в последовательности кодов, свернутой один раз, вторую, третью и по порядку все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером два, и заменяют в последовательности кодов, свернутой один раз, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой один раз, получая последовательность кодов, свернутую два раза по отношению к исходной последовательности, затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой два раза, не менее двух раз, полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером три (a), далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, первую группу кодов, в которой находятся код p и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся a раз, аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой два раза, вторую и третью и все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером три, и заменяют в последовательности кодов, свернутой два раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой два раза, получая последовательность кодов, свернутую три раза по отношению к исходной последовательности кодов, после того как найден код коэффициента упомянутой цепной дроби под номером i (a), код числителя подходящей цепной дроби под номером i (p) и получена последовательность кодов, свернутая i раз по отношению к исходной последовательности кодов, находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой i раз, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой i раз, не менее двух раз, полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером i плюс один (a), далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой i раз, первую группу кодов, в которой находятся коды p, повторяющиеся a раз, и код p, который примыкает к подряд идущим кодам p слева при i четном и справа при i нечетном, аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой i раз, вторую и третью и все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы, путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером i плюс один, и заменяют в последовательности кодов, свернутой i раз, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой i раз, получая последовательность кодов, свернутую (i+1) раз по отношению к исходной последовательности кодов, после определения очередных кодов a и p вычисляют код знаменателя q, значение подходящей цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты под номером i и относительную максимальную погрешность измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты.
На чертеже приведена функциональная схема устройства, реализующего предлагаемый способ.
Устройство содержит:
Формирователь импульсов 1 (Ф);
Генератор образцовой частоты 2 (ГОЧ);
Счетчик импульсов 3 (счетчик);
Микроконтроллер 4 (МК);
Цифровой ввод-вывод 5.
Входом устройства является вход формирователя импульсов 1, выход которого соединен с первым информационным входом микроконтроллера 4 (МК). Выход генератора образцовой частоты 2 (ГОЧ) соединен со счетным входом счетчика импульсов 3, вход управления, которого соединен с управляющим выходом МК 4. Информационный выход счетчика импульсов 3 соединен со вторым информационным входом МК 4, который имеет цифровой ввод-вывод 5.
Формирователь импульсов 1 может быть выполнен на основе компаратора, например MAX9692 (производства MAXIM), генерирующего короткие единичные импульсы каждый период измеряемой частоты. Генератор образцовой частоты 2 может быть выполнен на основе кварцевого генератора, например ГК137-ТС (производства МОРИОН). В качестве микроконтроллера (МК) 4 может быть выбрана схема, например, PZ276-104 (производства КАСКОД-ЭЛЕКТРО). Счетчик импульсов 3 может быть выполнен, например, по традиционной схеме на триггерах MAX9381 (производства MAXIM) либо содержаться в микроконтроллере 4.
<mrow><msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub></mrow><mrow><msub><mi>q</mi><mi>n</mi></msub></mrow></mfrac></mrow>
<mrow><mi>ε</mi><mo>=</mo><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>T</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>T</mi><mi>x</mi></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub></mrow><mrow><msub><mi>q</mi><mi>n</mi></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow></mrow>
<mrow><mi>ε</mi><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msubsup><mi>q</mi><mi>n</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow>
n
n
n
n
n-1
n-2
n
n-1
n-2
n
n-1
n-2
n
n-1
n
n-2
n
n-1
n
n-2
-1
0
0
-1
0
x
0
Способ осуществляется следующим образом. ГОЧ 2 вырабатывает импульсы с образцовой частотой, которые поступают на счетный вход счетчика импульсов 3, где производится их счет. Формирователь 1 формирует импульс, который поступает на первый информационный вход МК 4, по приходу которого МК 4 считывает из счетчика импульсов 3 код, подсчитанных периодов образцовой частоты за период измеряемой частоты, и записывает этот код в память МК 4. После записи кода, МК 4 через управляющий выход подаст сигнал, который поступает на вход управления счетчика импульсов 3, обнуляя его. Далее счетчик импульсов 3 подсчитывает импульсы, формируемые ГОЧ 2. После прихода следующего импульса от формирователя 1, МК 4 считывает из счетчика импульсов 3 код подсчитанных периодов образцовой частоты за следующий период измеряемой частоты и записывает этот код в память МК 4, вслед за предыдущим кодом. Затем МК 4 подает на управляющий выход сигнал, который поступает на вход управления счетчика импульсов 3, тем самым, обнуляя его. Таким образом, формируется последовательность кодов, которая запоминается в памяти МК 4, при этом сохраняется порядок появления кодов, соответствующий порядку поступления периодов измеряемой частоты на вход устройства. Далее МК 4 проводит анализ исходной последовательности кодов и определяет коды коэффициентов цепной дроби отношения периода измеряемой частоты к периоду образцовой частоты, начиная с кода нулевого коэффициента. Рассчитывает коды числителей и знаменателей помянутой цепной дроби, используя следующие соотношения:
, где S - n-я подходящая цепная дробь, описывающая отношение периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты; n - целое число, изменяющееся от 0 до n; p - числитель n-й подходящей дроби, описывающей отношение периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты; q - знаменатель n-й подходящей дроби, описывающей отношение периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, a, a, a - коэффициенты цепной дроби n, n-1 и n-2 порядка соответственно; p, p, p - числители цепных дробей n, n-1 и n-2 порядка соответственно; q, q, q - знаменатели цепных дробей n, n-1 и n-2 порядка соответственно. Кроме того: p=p·a+p; q=q·a+q [Хинчин Л.Я. Цепные дроби - М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961, стр.11). Задаются начальные значения числителей, и знаменатель подходящей дроби p=1, p=a, q=0, q=1 [Хинчин Л.Я. Цепные дроби - М: государственное издательство физико-математической литературы, 1961, стр.12). После определения кода очередной подходящей дроби определяют абсолютную и относительную погрешности измерения входной частоты по следующим соотношениям:
- абсолютная погрешность приближения n-й цепной дроби к отношению периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, где T - период измеряемой частоты, T - период образцовой частоты.
[Хинчин Л.Я. Цепные дроби - М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961, стр.40] оценка абсолютной погрешности приближения n-й цепной дроби к отношению периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты. Для получения относительной максимальной погрешности разделим уравнение оценки абсолютной погрешности на n-ю подходящую дробь, получим
<mrow><msub><mi>γ</mi><mi>n</mi></msub><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msub><mi>q</mi><mi>n</mi></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub></mrow></mfrac><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
n
γ - относительная максимальная погрешность измерения частоты предлагаемого способа.
<mrow><msub><mi>γ</mi><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub></mrow></mfrac><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
np
γ - относительная максимальная погрешность измерения частоты прототипа изобретения.
Максимальный выигрыш по относительной погрешности измерения при сравнении способа прототипа и предлагаемого способа:
<mrow><msub><mi>W</mi><mi>n</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>γ</mi><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>γ</mi><mi>p</mi></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>q</mi><mi>n</mi></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>=</mo><msub><mi>q</mi><mi>n</mi></msub><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
n
В предлагаемом способе по сравнению с прототипом относительная методическая погрешность измерения частоты уменьшена в q раз.
Нахождение коэффициентов цепной дроби осуществляется в соответствии с формулой изобретения и рассмотрено на примерах.
Пример 1: отношение периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты 133/31
Подсчитывают число периодов образцовой частоты за каждый период измеряемой частоты и получают соответствующие коды, которые последовательно запоминают без изменения порядка их появления. Получают исходную последовательность кодов. В таблице 1.1 приведена исходная последовательность кодов данного примера.
0
0
0
0
Полученную исходную последовательность кодов анализируют, определяя коэффициенты цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, начиная с нулевого коэффициента, путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов находят наименьший код (выделен в таблице 1.1 жирным курсивом), который является пулевым коэффициентом (a) цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты и нулевым числителем упомянутой цепной дроби (p). Из таблицы 1.1 следует, что a=p=4.
0
1
1
0
0
1
0
0
1
Затем находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов наибольшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в исходной последовательности кодов не менее двух раз. Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером один (a). Из таблицы 1.1 следует, что a=3. Далее находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности первую группу кодов, в которой находятся код p+1 и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся (a-1) раз, а именно код p+1=4+1=5 и следующие непосредственно за ним коды p=4, повторяющиеся a-1=3-1=2 раза, образуя следующую группу кодов: 544.
1
1
1
Аналогичным образом находят в упомянутой последовательности кодов вторую, третью и другие такие же группы кодов. Вычисляют код группы, путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером один. В данном случае p=5+4+4=13. Заменяют в исходной последовательности кодов найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в исходной последовательности кодов, получая последовательность кодов (приведена в таблице 1.2), свернутую один раз по отношению к исходной последовательности кодов.
1
2
2
1
2
0
1
2
0
2
2
2
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой один раз, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 1.2 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером два (a). Из таблицы 1.2 следует, что a=2. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, первую группу кодов, в которой подряд находятся коды p, повторяющиеся a раз, и следующий непосредственно за ними код p, а именно код p=13 повторяется a=2 раз, непосредственно за ними следует код p=4, образуя следующую группу кодов: 13 13 4. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой один раз, вторую, третью и по порядку все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером два. В данном случае p=13+13+4=30. Заменяют в последовательности кодов, свернутой один раз, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой один раз, получая последовательность кодов (приведена в таблице 1.3), свернутую два раза по отношению к исходной последовательности кодов.
2
3
3
1
2
3
1
2
3
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой два раза, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 1.3 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером три (a). Из таблицы 1.3 следует, что a=4. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, первую группу кодов, в которой находятся код p и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся a раз, а именно код p=13 и следующие непосредственно за ним коды p=30, повторяющиеся a=4 раза, образуя группу кодов: 13 30 30 30 30.
3
3
3
Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой два раза, вторую и третью и все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы, путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером три. В данном случае p=13+30+30+30+30=133. Заменяют в последовательности кодов, свернутой два раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой два раза, получая последовательность кодов (приведена в таблице 1.4), свернутую три раза по отношению к исходной последовательности кодов.
Таблица 1.4
133
133
133
133
133
133
133
133
133
133
133
133
…
В таблице 1.5 приведены результаты вычислений по формулам (1), (2), (3).
Таблица 1.5
a<sub>0</sub>
a<sub>1</sub>
a<sub>2</sub>
a<sub>3</sub>
4
3
2
4
p<sub>-1</sub>
p<sub>0</sub>
p<sub>1</sub>
p<sub>2</sub>
p<sub>3</sub>
1
4
13
30
133
q<sub>-1</sub>
q<sub>0</sub>
q<sub>1</sub>
q<sub>2</sub>
q<sub>3</sub>
0
1
3
7
31
γ<sub>1</sub>
γ<sub>2</sub>
γ<sub>3</sub>
2,6%
0,48%
0,024%
γ<sub>1p</sub>
γ<sub>2p</sub>
γ<sub>3p</sub>
7,7%
3,3%
0,75%
W<sub>1</sub>
W<sub>2</sub>
W<sub>3</sub>
3
7
31
1
2
3
γ, γ, γ - относительная максимальная погрешность предлагаемого способа измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, вычисленная по формуле (1).
1p
2p
3p
γ, γ, γ - относительная максимальная погрешность способа-прототипа измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, вычисленная по формуле (2).
1
2
3
W, W, W - выигрыш по максимальной относительной погрешности измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты при сравнении прототипа изобретения и предлагаемого способа, вычисленный по формуле (3).
Таким образом, из таблицы 1.5 видно, что максимальная погрешность измерения частоты в предложенном способе существенно меньше, чем у способа-прототипа.
Пример 2: отношение периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты 298/231
Подсчитывают число периодов образцовой частоты за каждый период измеряемой частоты и получают соответствующие коды, которые последовательно запоминают без изменения порядка их появления. Исходная последовательность кодов данного примера приведена в таблице 2.1.
В действительности вероятность того, что начало периода измеряемой частоты и периода образцовой частоты совпадут очень низка. Пусть измерение началось с произвольного момента времени (коды, не вошедшие в исходную анализируемую последовательность, выделены жирным курсивом в таблице 2.1), такая последовательность кодов приведена в таблице 2.2.
0
0
0
0
Полученную исходную последовательность кодов анализируют, определяя коэффициенты цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, начиная с нулевого коэффициента, путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов находят наименьший код (выделен в таблице 2.2 жирным курсивом), который является нулевым коэффициентом (a) цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты и нулевым числителем упомянутой цепной дроби (p). Из таблицы 2.2 следует, что a=p=1.
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
Затем находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов наибольшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в исходной последовательности кодов не менее двух раз. Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером один (a). Из таблицы 2.2 следует, что a=3. Далее находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности первую группу кодов, в которой находятся код p+1 и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся (a-1) раз, а именно код p+1=1+1=2 и следующие непосредственно за ним коды p=1, повторяющиеся a-1=3-1=2 раза, образуя группу кодов: 2 1 1. Аналогичным образом находят в упомянутой последовательности кодов вторую, третью и другие такие же группы кодов. Вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером один. В данном случае p=2+1+1=4. Заменяют в исходной последовательности кодов найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в исходной последовательности кодов, получая последовательность кодов (приведена в таблице 2.3), свернутую один раз по отношению к исходной последовательности кодов.
1
2
2
1
2
0
1
2
0
2
2
2
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой один раз, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 2.3 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером два (a). Из таблицы 2.3 следует, что a=2. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, первую группу кодов, в которой подряд находятся коды p, повторяющиеся a раз, и следующий непосредственно за ними код p, а именно код p=4 повторяется a=2 раза, непосредственно за ними следует код p=l, образуя группу кодов: 4 4 1. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой один раз, вторую, третью и по порядку все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером два. В данном случае p=4+4+1=9. Заменяют в последовательности кодов, свернутой один раз, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой один раз, получая последовательность кодов (приведена в таблице 2.4), свернутую два раза по отношению к исходной последовательности кодов.
2
3
3
1
2
3
1
2
3
3
3
3
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой два раза, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 2.4 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером три (a). Из таблицы 2.4 следует, что a=4. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, первую группу кодов, в которой находятся код p и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся a раз, а именно p=4 и следующие непосредственно за ним коды p=9, повторяющиеся a=4 раза, образуя группу кодов: 4 9 9 9 9. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой два раза, вторую и третью и все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером три. В данном случае p=3+17+17+17=54. Заменяют в последовательности кодов, свернутой два раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой два раза, получая последовательность кодов (приведена в таблице 2.5), свернутую три раза по отношению к исходной последовательности кодов.
3
4
4
3
4
2
3
4
2
4
4
4
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой три раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой три раза, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 2.5 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером четыре (a). Из таблицы 2.5 следует, что a=3. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутую три раза, первую группу кодов, в которой подряд находятся коды p, повторяющиеся a раз, и следующий непосредственно за ними код p, а именно коды p=40, повторяющиеся a=3 раза, и следующий непосредственно за ними код p=9, образуя группу кодов: 40 40 40 9. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой три раза, вторую, третью и по порядку все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером четыре. В данном случае p=40+40+40+9=129. Заменяют в последовательности кодов, свернутой три раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой три раза, получая последовательность кодов (приведена в таблице 2.6), свернутую четыре раза по отношению к исходной последовательности кодов.
4
5
5
3
4
5
3
4
5
5
5
5
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой четыре раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой четыре раза, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 2.6 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером пять (a). Из таблицы 2.6 следует, что a=2. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой четыре раза, первую группу кодов, в которой находятся код p и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся a раз, а именно код p=40 и следующие непосредственно за ним коды p=129, повторяющиеся a=2 раза, образуя группу кодов: 40 129 129. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой четыре раза, вторую и третью и все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером пять. В данном случае p=40+129+129=298. Заменяют в последовательности кодов, свернутой четыре раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой четыре раза, получая последовательность кодов (приведена в таблице 2.7), свернутую пять раз по отношению к исходной последовательности кодов.
Таблица 2.7
1
1
9
9
9
9
40
40
9
129
298
298
298
298
298
298
298
298
298
298
298
298
298
298
298
…
В таблице 2.8 приведены результаты вычислений по формулам (1), (2), (3).
Таблица 2.8
a<sub>0</sub>
a<sub>1</sub>
a<sub>2</sub>
a<sub>3</sub>
a<sub>4</sub>
a<sub>5</sub>
1
3
2
4
3
2
p<sub>-1</sub>
p<sub>0</sub>
p<sub>1</sub>
p<sub>2</sub>
p<sub>3</sub>
p<sub>4</sub>
p<sub>5</sub>
1
1
4
9
40
129
298
q<sub>-1</sub>
q<sub>0</sub>
q<sub>1</sub>
q<sub>2</sub>
q<sub>3</sub>
q<sub>4</sub>
q<sub>5</sub>
0
1
3
7
31
100
231
γ<sub>1</sub>
γ<sub>2</sub>
γ<sub>3</sub>
γ<sub>4</sub>
γ<sub>5</sub>
8,3%
1,6%
0,081%
0,0078%
0,0015%
γ<sub>1p</sub>
γ<sub>2p</sub>
γ<sub>3p</sub>
γ<sub>4p</sub>
γ<sub>5p</sub>
25%
11%
2,5%
0,78%
0,34%
W<sub>1</sub>
W<sub>2</sub>
W<sub>3</sub>
W<sub>4</sub>
W<sub>5</sub>
3
7
31
100
231
1
2
5
γ, γ, …, γ - относительная максимальная погрешность предлагаемого способа измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, вычисленная по формуле (1).
1p
2p
5p
γ, γ, …, γ - относительная максимальная погрешность способа-прототипа измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, вычисленная по формуле (2).
1
2
5
W, W, …, W - выигрыш по максимальной относительной погрешности измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты при сравнении прототипа изобретения и предлагаемого способа, вычисленный по формуле (3).
Таким образом, из таблицы 2.8 видно, что максимальная погрешность измерения частоты в предложенном способе существенно меньше, чем у способа-прототипа.
Пример 3: отношение периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты 1452/511
Подсчитывают число периодов образцовой частоты за каждый период измеряемой частоты и получают соответствующие коды, которые последовательно запоминают без изменения порядка их появления. Получают исходную последовательность кодов. В таблице 3.1 приведена исходная последовательность кодов данного примера.
0
0
0
0
Полученную исходную последовательность кодов анализируют, определяя коэффициенты цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, начиная с нулевого коэффициента, путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов находят наименьший код (выделен в таблице 3.1 жирным курсивом), который является нулевым коэффициентом (a) цепной дроби отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты и нулевым числителем упомянутой цепной дроби (p). Из таблицы 3.1 следует, что a=p=2.
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
Затем находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности кодов наибольшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются к исходной последовательности кодов не менее двух раз. Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером один (a). Из таблицы 3.1 следует, что a=1. Далее находят путем последовательного перебора кодов исходной последовательности первую группу кодов, в которой находятся код p+1 и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся (a-1) раз, а именно код p+1=2+1=3 и следующие непосредственно за ним коды p=2, повторяющиеся a-1=1-1=0 раз, образуя группу кодов, которая состоит в данном случае из одного кода 3. Аналогичным образом находят в упомянутой последовательности кодов вторую, третью и другие такие же группы кодов. Вычисляют код группы, путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером один. В данном случае p=3. Заменяют в исходной последовательности кодов, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в исходной последовательности кодов, получая последовательность кодов (приведена в таблице 3.2), свернутую один раз по отношению к исходной последовательности кодов.
1
2
2
1
2
0
1
2
0
2
2
2
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой один раз, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 3.2 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером два (a). Из таблицы 3.2 следует, что a=5. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой один раз, первую группу кодов, в которой подряд находятся коды p, повторяющиеся a раз, и следующий непосредственно за ними код p, а именно код p=3 повторяется a=5 раз, непосредственно за ними следует код p=2, образуя следующую группу кодов: 3 3 3 3 3 2. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой один раз, вторую, третью и по порядку все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером два. В данном случае p=3+3+3+3+3+2=17. Заменяют в последовательности кодов, свернутой один раз, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой один раз, получая последовательность кодов (приведена в таблице 3.3), свернутую два раза по отношению к исходной последовательности кодов.
2
3
3
1
2
3
1
2
3
3
3
3
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой два раза, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 3.3 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером три (a). Из таблицы 3.3 следует, что a=3. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой два раза, первую группу кодов, в которой находятся код p и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся a раз, а именно код p=3 и следующие непосредственно за ним коды p=17, повторяющиеся a=3 раза, образуя группу кодов: 3 17 17 17. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой два раза, вторую и третью и все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером три. В данном случае p=3+17+17+17=54. Заменяют в последовательности кодов, свернутой два раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой два раза, получая последовательность кодов (приведена в таблице 3.4), свернутую три раза по отношению к исходной последовательности кодов.
3
4
4
3
4
2
3
4
2
4
4
4
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой три раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой три раза, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 3.4 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером четыре (a). Из таблицы 3.4 следует, что a=4. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой три раза, первую группу кодов, в которой подряд находятся коды p, повторяющиеся a раз, и следующий непосредственно за ними код p, а именно код p=54 повторяется a=4 раза, непосредственно за ними следует код p=17, образуя группу кодов: 54 54 54 54 17. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой три раза, вторую, третью и по порядку все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы, путем суммирования всех кодов, входящих в состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером четыре. В данном случае p=54+54+54+54+17=233. Заменяют в последовательности кодов, свернутой три раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой три раза, получая последовательность кодов (приведена в таблице 3.5), свернутую четыре раза по отношению к исходной последовательности кодов.
4
5
5
3
4
5
3
4
5
5
5
5
Затем находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой четыре раза, наименьшее число подряд идущих кодов p, которые встречаются в последовательности кодов, свернутой четыре раза, не менее двух раз (такие коды выделены в таблице 3.5 жирным курсивом). Полученное число является кодом коэффициента упомянутой цепной дроби под номером пять (a). Из таблицы 3.5 следует, что a=6. Далее находят путем последовательного перебора кодов последовательности, свернутой четыре раза, первую группу кодов, в которой находятся код p и следующие непосредственно за ним коды p, повторяющиеся a раз, а именно код p=54 и следующие непосредственно за ним коды p=233, повторяющиеся a=6 раз, образуя группу кодов: 54 233 233 233 233 233 233. Аналогичным образом находят в последовательности кодов, свернутой четыре раза, вторую и третью и все другие такие же группы кодов, вычисляют код группы путем суммирования всех кодов, входящих к состав группы, который является кодом числителя (p) подходящей цепной дроби под номером пять. В данном случае p=54+233+233+233+233+233+233=1452. Заменяют в последовательности кодов, свернутой четыре раза, найденные группы кодов на код p, не изменяя порядка их расположения в последовательности кодов, свернутой четыре раза, получая последовательность кодов (приведена в таблице 3.6), свернутую пять раз по отношению к исходной последовательности кодов
Таблица 3.6
1452
1452
1452
1452
1452
1452
1452
1452
1452
1452
1452
1452
…
В таблице 3.7 приведены результаты вычислений по формулам (1), (2), (3).
Таблица 3.7
a<sub>0</sub>
a<sub>1</sub>
a<sub>2</sub>
a<sub>3</sub>
a<sub>4</sub>
a<sub>5</sub>
2
1
5
3
4
6
p<sub>-1</sub>
p<sub>0</sub>
p<sub>1</sub>
p<sub>2</sub>
p<sub>3</sub>
p<sub>4</sub>
p<sub>5</sub>
1
2
3
17
54
233
1452
q<sub>-1</sub>
q<sub>0</sub>
q<sub>1</sub>
q<sub>2</sub>
q<sub>3</sub>
q<sub>4</sub>
q<sub>5</sub>
0
1
1
6
19
82
511
γ<sub>1</sub>
γ<sub>2</sub>
γ<sub>3</sub>
γ<sub>4</sub>
γ<sub>5</sub>
33%
0,98%
0,097%
0,0052%
0,00013%
γ<sub>1p</sub>
γ<sub>2p</sub>
γ<sub>3p</sub>
γ<sub>4p</sub>
γ<sub>5p</sub>
33%
5,9%
1,9%
0,43%
0,069%
W<sub>1</sub>
W<sub>2</sub>
W<sub>3</sub>
W<sub>4</sub>
W<sub>5</sub>
1
6
19
82
511
1
2
5
γ, γ, …, γ - относительная максимальная погрешность предлагаемого способа измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, вычисленная по формуле (1).
1p
2p
5p
γ, γ, …, γ - относительная максимальная погрешность способа-прототипа измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты, вычисленная по формуле (2).
1
2
5
W, W, …, W - выигрыш по максимальной относительной погрешности измерения отношения периода образцовой частоты к периоду измеряемой частоты при сравнении прототипа изобретения и предлагаемого способа, вычисленный по формуле (3).
Таким образом, из таблицы 3.7 видно, что максимальная погрешность измерения частоты в предложенном способе существенно меньше, чем у способа-прототипа.