ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЭФФЕКТИВНОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕЖДУНАРОДНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ КОРИДОРОВ РЕГИОНА

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЭФФЕКТИВНОМ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕЖДУНАРОДНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ

КОРИДОРОВ РЕГИОНА Гельдиев Б.А.1, Хыдыров Р.Б.2, Оразбердиев М.Ч. 3, Сапаргельдиев Б.А.4

'Гелъдиев Бердимурат Аманович - кандидат технических наук, старший преподаватель, кафедра высшая

математика;

2Хыдыров Ровшен Батыр оглы - преподаватель, кафедра эксплуатации автомобильного транспорта, 3Оразбердиев Мердан Чарыярович - преподаватель, 4Сапаргельдиев Базаргельди Амандурдыеаич. - преподаватель, кафедра высшая математика Институт инженерно-технических и транспортных коммуникаций Туркменистана,

г. Ашхабад, Туркменистан

Аннотация: в статье проведены основные особенности объекта исследования теория массового обслуживания, рассмотрена работа международного транспортного коридора как системы массового обслуживания. Системы массового обслуживания масштабно использоваться во многих сферах хозяйственной деятельности и в транспортной отрасли. Для обеспечения наиболее эффективное обслуживание необходима модели и методы, с учётом снижения затрата. Предоставленная модель транспортного коридора позволить определить оптимальный показатели эффективности использования обслуживание заявок. С целью улучшение работы международного транспортного коридора, рассмотрена одноканальная СМО с неограниченной очередью с ожиданием. По предусмотренным свойствам системы для принятия подходящего решения о время обслуживания поста, представляется наиболее простой способ, аналитическое исследование СМО. Представленный способ, могут использоваться в разных направлениях транспортных систем. Ключевые слова: система массового обслуживания, вероятность, транспортная система, модель.

APPLICATION OF QUEUING SYSTEM THEORY IN EFFICIENT USE OF INTERNATIONAL TRANSPORT CORRIDORS OF THE REGION Geldiev B.A.1, Hydyrov R.B.2, Orazberdiyev M.Ch.3, Sapargeldiyev B.A.4

1Geldiev Berdimyrat Amanovich - Candidate of Technical Sciences, Senior lecturer, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS;

2Hydyrov Rovshen Batyr ogly - Teacher, DEPARTMENT OF USAGE OF AUTOMOBILE TRANSPORT, 3Orazberdiyev Merdan. Charyyarovich - Teacher, 4Sapargeldiyev Bazargeldi Amandurdyyevich - Teacher, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS;

INSTITUTE OF ENGINEERING-TECHNICAL AND TRANSPORT COMMUNICATIONS OF TURKMENISTAN,

ASHGABAT, TURKMENISTAN

Abstract: the article presents the main features of the object of research, the theory of queuing, the work of the international transport corridor as a queuing system is considered. Queuing systems are widely used in many areas of economic activity and in the transport industry. To ensure the most efficient maintenance of the necessary models and methods, taking into account cost reduction. The provided model of the transport corridor will allow you to determine the optimal performance indicators for the use of application service. In order to improve the operation of the international transport corridor, a single-channel queuing system with an unlimited waiting queue was considered. According to the provided properties of the system, in order to make a suitable decision about the time of the post maintenance, the easiest way seems to be an analytical study of the queuing systems. The presented method can be used in different directions of transport systems.

Keywords: queuing system, probability, transport system, model.

УДК 656.07:004

Для разумной организации работы систем массового обслуживания эффективно используют модели массового обслуживания. Компонентами СМО считаются входящий поток заявок, очередь, поток необслуженных заявок, каналы обслуживания, выходящий поток обслуженных заявок. Их сущность такова [3]:

• заявка - это любой одиночный запрос на выполнение какой-нибудь работы (загрузка, разгрузка и обслуживание подвижного состава сухопутного транспорта, техническое обслуживание автомобильного транспорта, заправка автомобиля топливом и т. д);

• очередь это скопление заявок, ожидающих обслуживания;

• каналы обслуживания - это технические устройства или персонал, выполняющий соответствующие работы;

• поток входных заявок - это последовательность однородных событий, следующих друг за другом в некоторые случайные моменты времени.

Поток заявки, очередь и каналы обслуживания в комплексе последовательно связаны, который представляет собой СМО.

Для задания СМО необходимо прежде всего определить входной поток, это и есть заявки. Заявки в СМО должны моделировать все существенные признаки и показатели тех дискретных объектов, моделями которых они являются. Если для цели исследования безразличны какие-либо особенности этих объектов, то можно считать все заявки одинаковыми, однотипными. В общем случае заявки могут быть нескольких типов или отличаться друг от друга по одному и нескольким параметрам. От типа заявки или значений ее параметров может зависеть дисциплина и длительность обслуживания [2].

При создании любой системы массового обслуживания, в которую заявки поступают из внешних источников, необходимо задать законы, определяющие порядок поступления заявок, их типы и параметры, т. е. задать потоки заявок в систему. Проще всего поток заявок можно задать в виде строгого графика, который точно определяет моменты поступления заявок, их количество в каждый момент, их типы и параметры.

Значительное место в теории массового обслуживания занимает так называемый простейший или пуассоновский поток заявок. Такое положение объясняется тем, что существует теорема, согласно которой сумма большого числа независимых потоков с произвольными законами распределения длительностей интервалов между событиями приближается к простейшему.

Обладающий тремя свойствами поток: ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия называется простейшим (стационарный пуассоновский) потоком. Эти свойства позволяют утверждать, что функция распределения длины промежутка между двумя последовательными наступлениями событий потока равна [6]:

F(t) = 1 - e~lt

т. е. длины интервалов между очередными событиям потока имеют экспоненциальное распределение, а вероятность наступления ровно к событий на интервале времени t равна

w-Vg-r*

где X - некоторое положительное число, которое носит название параметра потока.

Легко подсчитать, что для простейшего потока среднее число событий, наступающих за время t, равно [6]:

I =^===ас

к=1 к=1 к=1

Математическое ожидание числа событий, наступающих в единицу времени, называется интенсивностью потока. Из последнего соотношения видно, что для простейшего потока интенсивность совпадает с параметром потока. Очевидно также, что средняя длительность интервала времени между очередными событиями простейшего потока равна 1/Х.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью нередко встречается, что заявка (транспортные средства), пришедшая в момент занятости системы, становится в очередь [1]. Будем полагать, что на очереди ни по длине, ни по времени ожидания не ставлено никаких ограничений. Тогда показатели эффективности такого типа СМО [4]:

• среднее число транспортного средства в системе ^исг ;

• среднее время пребывания транспортного средства в системе Тсист ;

• среднее число транспортного средства в очереди ;

• среднее время пребывания транспортного средства в очереди Точ ;

• вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала) Рзан.

Справедливы следующие формулы Литтла, связывающие между собой первые четыре из переведенных характеристик:

1 1

Т = — N  Т = — N

' С ИСТ д ' у СПСТ ' ' ОЧ

где X — интенсивность потока заявок.

Для расчёта характеристик результативности СМО с ожиданием необходимо решить задач о распределении вероятностей состояний СМО в установившемся режиме. Допустим в одноканальную СМО с неограниченной очередью поступает простой поток заявок с интенсивностью X. Поток обслуживания также подобно является простейшим и имеет интенсивность ц. Очевидно, что если система перегружена и не справляется с обслуживанием, то при t ^ да очередь будет неограниченно возрастать и никакого предельного распределения вероятностей не получится [4].

Рассмотрим граф состояний СМО

S0— канал свободен и простаивает; S1— обслуживается заявка (транспортная средства), очереди нет; S2— одна заявка обслуживается и одна стоит в очереди ... Si — одна заявка обслуживается и / - 1 заявок стоят в очереди. Как только приходит заявка, система переходит из текущего состояния в другого правое состояние. Интенсивности этих переходов одинаковы и равны X. Обратные переходы происходят при обслуживании заявок. Это схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. Попытаемся найти предельное распределение вероятностей для процесса гибели и размножения:

Л X2 Л/

р = I 1 + - + + + ... =

V /

где р - коэффициент загрузки. В скобках — геометрическая прогрессия, сходящаяся лишь при 0 < р < 1. В связи с этим, при р > 1 система оказывается перегруженной и очередь растет неограниченно. Но скажем, что условие р < 1 выполнено. Тогда, учитывая формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим:

Р1 = рР0; Р2 = р2Р0; - Pi = piPi

О'

то есть

р± = р(1 - р); р2 = р (1 - р); - Рг = р1(1-Р); -

Итак, если система не перегружена и справляется с потоком заявок (р < 1), то предельное распределение вероятностей представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем р; когда нет ни одной заявки, то состояние имеет самую высокую вероятность [4].

Среднее число заявок в системе является математическим ожиданием случайной величины, распределение которой было только что определено:

N

ivCIICT

= ^ iPi = ^ фЧ1 - р) = р( 1 - р) ^ ipi 1 =

¿=1 ¿=1 ¿=1

fy . оэ

1 dp1 d v-" d

Zap' d v-" a / p \

d^ = p(1- v)TvLvl = V{1 ~ v)Tp\—v) =

L= 1 1 = 1

(1 ~ P + P) P

= p( 1 - p)—--ГГ- = --

(1 - p)2 1-p

Используя формулу Литтла находим среднее время пребывания заявки в системе:

_ Р

Гсист " Я

Среднее число заявок в очереди равно среднему число заявок в системе минус среднее число обслуживаемых

заявок. Математическое ожидание этой случайной величины (это и есть Ротк) равно р, поэтому

р р — р + р2 р2

^04 ^CIICT Р 1 Р

1 — р 1 — р 1 — р

Аналогично с применением формулу Литтла находим среднее время пребывания заявки в очереди [4]:

V2

Т =---

04 Ж1-р)

Рассматривая СМО с неограниченной очередью, мы ни разу не упомянули характеристики эффективности: вероятность отказа, относительная и пропускная способность. Это объяснено с тем, что в системе с неограниченной очередью выполнено условие р < 1, то всякая заявка со временем обязательно будет обслужена. Поэтому для предельного установившегося режима вероятность отказа Pотк = 0, вероятность обслуживания поступившей заявки Q =1 и абсолютная пропускная способность A = X.

Использование аналитического метода теории массового обслуживания обосновывает существование тесной соотношенья между потоками заявок, числом и эффективностью обслуживающих поста [1, 5]. Поэтому, с помощью методов теории массового обслуживания могут быть решены задачи планирования, оценки и оптимизации качества обслуживания заявок в международном транспортном коридоре.

Список литературы /References

1. Балгабеков Т.К., Оразалина А.Б. Применение теории системы массового обслуживания в повышении эффективности эксплуатации международных автомобильных коридоров// Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований № 3, 2015. С. 411-414.

2. Бушуева В.О., Сергеев А.Э. Теория массового обслуживания// Научно-образовательный журнал для студентов и преподавателей StudNet №7, 2022. С. 7629-7647.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятности. — 3-е изд., перераб. — М.: Инфра-М, 2004.

4. Гефан Г.Д. Марковские процессы и системы массового обслуживания: учебное пособие / Г.Д Гефан. -Иркутск: ИрГУПС, 2009. С. 80.

5. Максимова Н.Н., Сергамасова О.И. Теория систем массового обслуживания и ее приложения// Вестник Амурского государственного университета. Серия: Естественные и экономические науки № 59, 2012. С. 1725.

6. Ослин Б.Г. Моделирование. Имитационное моделирование СМО: учебное пособие / Б. Г. Ослин; Томский политехнический университет. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. С. 128.