Распределение значений функции Дедекинда в классах вычетов

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 17, 2010

УДК 511

Б. М. Широков, Э. И. Ульянова

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ ДЕДЕКИНДА В КЛАССАХ ВЫЧЕТОВ

В работе устанавливается критерий слабо равномерного распределения функции Дедекинда ф(п) и приводится асимптотический ряд для распределения ее значений по классам вычетов, взаимно простых с модулем.

Функция Дедекинда Ф(п) мультипликативна, а на степенях простых чисел p определяется равенством:

ф(рк) = pk-1(p + 1).

Изучение слабо равномерного распределения целозначных арифметических функций берет начало с работы [1]. Далее этому вопросу были посвящены работы [2, 8] и другие. Авторы не ставили цели привести полный список работ по названной теме.

Напомним определение слабо равномерного распределения по Нар-кевичу целочисленной арифметической функции f (n). Если обозначить через |М | мощность конечного множества M, x — действительное число, то определение будет выглядеть так.

Определение 1. Функция f (n) слабо равномерно распределена в классах вычетов по модулю N, если для любых вычетов a и b, взаимно простых с N, справедлива асимптотическая формула при x ^ ж

|{n < x|f (n) = a (mod N)}| ~ |{n < x|f (n) = b (mod N)}|

при условии, что множество {n|(f (n),N) = 1} бесконечно.

Для дальнейшего нам потребуются еще следующие обозначения: G(N) — мультипликативная группа вычетов по модулю N, взаимно

© Б. М. Широков, Э. И. Ульянова, 2010

простых с модулем; для произвольной арифметической целозначной функции f (п) через Rk (f,N) будем обозначать множество тех вычетов x Є G(N), для которых существует такое простое число р, что f (pk) = x (mod N); M — наименьшее натуральное число k, для которого Rk(f,N) = 0; A(f, N) — подгруппа группы G(N), порожденная множеством Rm(f,N); va(x) — количество тех n < x, для которых ф(п) = a (mod N).

В работе [1] приводится критерий слабо равномерного распределения функции по модулю N для полиномоподобных функций, то есть функций, значения которых на степенях простых чисел являются значениями полиномов, не зависящих от выбора простого числа, на этих простых числах. Например, функция Эйлера <р(п) на pk равна значению многочлена xk-1(x — 1) при x = р. Для функции Дедекинда соответствующий многочлен равен xk-1(x + 1). Приведем критерий в виде следующего предложения.

Предложение. Мультипликативная целозначная функция f (п) слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда для любого неглавного характера х(п) по модулю N, равного 1 на подгруппе A(f, N), существует такое простое число р, что

Следствие. Если А(/, N) = С(М), то функция /(п) слабо равномерно распределена по модулю N.

Для каждого характера х по модулю N обозначим

Для главного характера хо это число обозначим через ).

В работе будут доказаны две теоремы.

Теорема 1. Функция ф(п) слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда либо N — нечетное число, большее 1, либо N = 2да, а € М, д > 3 и 3 — первообразный корень по модулю N.

Теорема 2. Если N удовлетворяет условиям слабо равномерного распределения функции ф(п), то для любого натурального числа п

и любого вычета a G G(N) при x ^ ж справедлива асимптотическая формула

v‘{x) = -^trnnnXx-)1-дао Е P~( ¿Х’х) + O

X

где

<p(N)(lnx)1-^(N'x) ^ n \lnx’ J \(lnx)”+1-A(N) J ’

р (, ) ^ ( )(Н^,х) - 10 ••• (Н^,х) - к) ,н

Ри{ь,х) = 2_.аь(х)------/АТ у,-----------ъ ,

ЦМ^хл

а А^) — мультипликативная арифметическая функция, определяемая равенством

X(N) = П

q — 2

Доказательство теоремы 1. Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 работы [4], но ради полноты изложения коротко его воспроизведем.

Пусть N нечетно и N = qa, a G N. Тогда (ф(p),N) = 1 в том и только в том случае, когда p = x (mod N) и x = a + bq, 1 < a < q — 2,

0 < b < qa-1 — 1. Значит, M = 1 и IRi^,N)| = qa-i(q — 2). Множество Ri (ф, N) порождает группу G(N), если

qa-1(q — 2) > 2r(qa) = 2qa-1 (q — 1),

то есть при q > 3. Если N = 3a, то Ri(N) содержит число 2, являющееся первообразным корнем по модулю, и вновь порождает G(N).

Пусть N нечетно и N = q^1 • • • q^k. Сначала допустим, что qi = 3. Представим G(N) в виде прямого произведения

G(N) = G(qa) Х---Х G(qak).

Нам достаточно убедиться, что (1,..., 1, gi, 1,..., 1) G Л(ф, N) с первообразным корнем gi по модулю q“i. Для удобства записи проделаем это для i = 1, обозначая g = gi.

Заметим, что Ri = Ri(ф, N) содержит элементы (g, —1,..., —1) и ( — 1,..., —1). Если a — решение сравнения

2a = —1 (mod q^1),

то, так как ді = 3, то и (а, — 1,..., —1) Є Кі. Поэтому

(1, —1,..., —1) = (2, —1,..., —1)(а, —1,..., —1)( — 1,..., —1) Є Л(ф,М).

Теперь будем считать, что N = 3ао д^1 ••• д^. Принадлежность элементов вида (1,..., 1, ді, 1,..., 1) подгруппе Л для і > 1 доказывается так же, как выше. Нам осталось показать, что (2,1,..., 1) Є Л, так как число 2 — первообразный корень по модулю 3ао.

Пусть аі,. .. ,ак — суть решения сравнений (2) по модулям д^1, .. ., (¡00° соответственно. Тогда

Таким образом, Л(ф, N) = ) при любом нечетном N.

Пусть теперь N четно. Если 6^, то К = 0 для всех г, так как ф(р) четно для нечетных р и ф(2) = 3. Поэтому будем считать, что 3 Л N. Тогда К\(ф^) = {3} и порождает О^) лишь в том случае, когда число 3 — первообразный корень по модулю N, то есть N = 2да, д > 3 и 3 — первообразный корень.

Покажем, что слабо равномерного распределения нет, если 3 не является первообразным корнем по модулю N. Для этого воспользуемся критерием Наркевича, приведенном как предложение. Пусть х — неглавный характер по модулю N, равный 1 на подгруппе, порожденной числом 3. Если р > 2, то х(Ф(Р)) = 0 для всех ] > 1. Если р = 2, для ] > 1 получаем тот же результат. Так что левая часть равенства (1) равна либо 1, либо 3/2. Таким образом, функция ф(п) не обладает слабо равномерным распределением. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы 2 нам потребуется лемма, представляющая собой теорему тауберова типа.

Для комплекснозначной функции ](п) (необязательно мультипликативной) обозначим

Отсюда получаем, что

(д, 1,..., 1) = (д, —1,..., —1)(1, —1,..., —1) Є Л(ф, N).

(2, 1,..., 1) = ( — 1,а1,...,ак )(2, 2,..., 2)( — 1, —1,..., —1) Є Л.

в = а + іі,

П=1

а через Б(/,х) сумматорную функцию коэффициентов этого ряда:

в(/,х) = ^ I(п).

пКх

Далее, для некоторых действительных чисел а и Ь обозначим , Ь

аа(і) = а — М2ГЙ)’ +“;

Ща) = {в|а > шах | аа(і), — | <і < +^}.

Лемма 1. Если |/

Р (в)= 0(1пС1 (2+ |і|)), |і|> 1,

и существует такое комплексное число г и такая регулярная в ії(а) функция с условием О(а) = 0, что в этой области

р (,)=

(в - а,)г ’

то существует такая константа с, что 0 < с < 1 и

1) если г = 0, -1,..., то

Б (х) = 0(хав-с^1ПХ);

2) если г = 1, то

Б (х) = О(а) ха + 0(хав-сУ1ПХ); а

3) если г € Z, то для любого п € N

Б (хНтг-^!-: Ри-1 ) + 0

(1п х)1-2 п \ 1п х) \(1п х)п+1-Ке 2

где

Рп(і) = ± ак — — к) ік,

к=0

^ 1 ак /'ад',,,

а коэффициенты ак = —гг ----- (а).

к (ав)к \ в 1

Доказательство. Нам необходим видоизмененный вариант формулы Перрона. Для действительного числа x > 1 обозначим

2 л—

6 = S(x) = ---, сто = 1 + 6(x), T = e x, Го = {s|s = сто + it, |t < T}.

ln x

Умножим ряд (3) на xs/s и проинтегрируем его по контуру Го: v ) def 1 [ Г F( ) xS d 1 ^ f (n) i Г (x )S-i ds

J(x) = 2üJГоF(s)Tds = 2Л^— Гоn) T'

J n=1 J

Пусть £ — пока произвольное число, удовлетворяющее неравенствам

0 < £ < 1/2. Разобьем последнюю сумму на три части: Si — сумма по тем n, для которых n < (1 — £)x, S2 — (1 — £)x < n < (1 + £)x и S3 — n> (1 + £)x. Оценим сумму S2. Существует такая постоянная C, что

1 /V ( x )S ds

2ni 0 ln) s

< — f —tt

- 2n J \n) VT+t2 < V '

Для оценки сумм $1 и $з нам потребуется следующее неравенство 1 [ ¿\п] Г ди

Епо+ =.!1—том+— -

В сумме $1 в каждом слагаемом добавим и вычтем интегралы по двум контурам

Г+ = {в = а + 1Т, —то < а — <го}> Г— = {в = а — %Т, —то < а — ао}-

Тогда интегралы по замкнутым контурам для каждого п будут равны ](п). Таким образом,

$1 = £ >(п) + Е ^ /г—и г+ (П) т-

п<(1— е)х П<(1 + £)х

Оценим последнюю сумму:

Et (n) ¡' „ ( x )s ds

Г-и Г+ n т

n<(1+£)x

OI Е /-сто (n)'-Jh=. ) = £? Е 1

^ - -n) sjT2 + u] \£T^n1+S

n<(1+£)x J \ n=1 ,

Применяя неравенство (5), получим:

$1 = $

В сумме $з у интегралов в каждом слагаемом замкнем контур интегрирования, добавляя интегралы по контурам

Г1 = {в = а — %Т, ао — а < +то}, Г2 = {в = а + %Т, ао — а < +то}.

В виду регулярности функций внутри контура Г1 и Го и Г2, каждое

, X , п

слагаемое равно 0. Учтем, что в этой сумме

вательно,

1п Х

= 1п — > є. Следо-

X

* = Е О Ч^(Ї)• * = ) = о(єГ£

„ „ чє7""~ \п/ \єТ ^ н'+‘

>(1+й)ж \ п=1

В силу неравенства (5), имеем:

о Г

єТ

*3 = ОІ^ І.

Из оценок (4)-(7) следует

1 (х) = $(х(1 — е)) + О ^—Т^) + О(ех—тх).

Заметим, что |$(х) — $(х(1 — е))| — ех, положим е = —= и найдем

Т

такое число с, 0 < с < 1, что

$

Применяя теперь к интегралу 1 (х) лемму из работы [6, с. 180] (см. также теорему Б в работе [7, с. 138]), получим утверждение леммы.

Доказательство теоремы 2. Исходя из свойств характеров х(п) по модулю N, можем представить необходимое количество следующим образом

Мх) = £х

^ ' X п<х

і

Тем самым задача сводится к асимптотической оценке суммы

йе^

п<х

являющейся суммой коэффициентов ряда Дирихле

*

Г м = Е

П=1

К этому ряду мы намерены применить лемму 1. Для этого нужно проверить ее условия.

Прежде всего, 1х("Ф(п))1 < 1. Значит, ряд абсолютно сходится при а > 1. Поэтому, на основании теоремы Эйлера,

Г0.х) = п(і + + хШ<£ + 1) + -) -

р V р р /

Рассмотрим отдельно р-й член произведения. Просуммируем прогрессию и домножим и разделим результат на 1 + х(р + 1)р-8. Тогда р-й член примет вид

1 + х

Р2я + (х(р +1) - х(р))р8 - х(р(р +1)) / '

Обозначим

х(р(р + ^

Ф(«,х) = П 1 +

р „ р28 + (х(р + 1) - х(р))р8 - х(р(р +1))/'

Это произведение абсолютно и равномерно сходится при а > 1 + є для любого є > 0. Поэтому функция Ф(в, х) ограничена в каждой такой

полуплоскости, регулярна при а > — и не обращается там в 0.

Теперь сумма ряда (11) при а > 1 имеет вид

Преобразуем последнее произведение, переходя к степенному ряду для его логарифма, причем фиксируем ту ветвь логарифма, которая

действительна для действительного характера и і = 0:

1п П(і + х(р+1) = Е + Е ^їїр +1) =

_£. Л. \ р8 / р8 крк8

р^'р р,к>2

V'4 х(р +1) , < \

=2^ —8— + а

рр

Через а(з,х) обозначена сумма двойного ряда. Эта функция регуляр-

1

на в полуплоскости а > — и ограничена при а > 2 + є.

Обозначая через X (п) произвольный характер Дирихле по модулю N, преобразуем ряд по простым числам следующим образом:

Е ^ ^ Е х(а +1) ЕХ(а) Е ^

р 1 / аЄО(И) х р

Последний ряд по простым числам легко связать с ^-функциями Дирихле. Представляя при а > 1 функцию Ь(в, X) в виде бесконечного произведения, преобразуем его тем же путем, что и произведение в

формуле (12). Тогда найдется такая регулярная при а > — и ограниченная при а > 2 + є, є > 0, функция Ъ(в, X), что

Е Хр8г=1п Цв,Х) + Ъ

Обозначим

?( N х X) =

№)

Теперь функция Р (в, х) может быть представлена в виде

рв

р

г^^,Х ) = Е х(а +1)Х (а)-

аЄО

Р

X

Как уже было сказано, функция

ф(в,х~) П

еа

х

ограничена при a > — + е при любом е > 0, регулярна в полуплоскости a > — и не обращается там в 0. Следовательно, все сказанное

относится и к области 0(1). Функции L(s, X) при X = хо также регулярны и не равны 0 в 0(1) и при |t| > 1 с некоторой постоянной ci > 0 удовлетворяют условию L(s,X) = O(lnC1 (|t| +2)) (см., например, [9, глава IV]).

Последнее замечание справдливо и для функции L(s,xo)(s — 1). Заметим, что z(N,x,Xo) = ^(N,x). Обозначим

G(s,x) = *(s,x) Пea(s’x)+b(s’x)(L(s,X))z(N’x’X) (L(s,xo)(s—1)YiN’x).

X=Xo

Тогда

F

Г[-Ь,Х (s — 1)v(N,x) ,

причем функция G(s,x) удовлетворяет условиям леммы 1. Применяя ее для каждого характера х и для краткости обозначая ^(N, х) просто через ^, получим

S(x,x') = Pn-i (ыХ,Х) + O((lnx)”+1-Reм) , (13

где

D !+ „Л _ ^ „ <,,\(^ — 1) ... (^ — k) +k

Pn

k=0

Для главного характера хо число p(N,xo) = M.N) можно вычислить. Величина X(N) является мультипликативной функцией. Действительно, пусть N = qa q%2. Для каждого вычета х G G(N) однозначно определяется пара вычетов xi и Х2 по модулю q^1 и q2^2 соответственно таким образом, что

х = x1 (mod q^1) и х = х2 (mod q2t2).

Если х0 и хо — главные характеры по модулям q^1 и q^2 соответственно, то на G

хо(х) = х0(х1)х" (х2).

Таким образом,

X(N ) = -JN) Е хо(х + 1) =

' xeG

= -~f1) Е хо (х1 + 1) —qa) Е хо,(х2 + 1) = Hq?1 )KqT).

1 X1£G

Если же N = qa, то X(N) есть количество вычетов х в G(N), для которых q / (х + 1). Это вычеты х = mq + п, 0 < m < qa-1 — 1 и

1 < n < q — 2. Таких вычетов qa-1(q — 2). Таким образом,

*<n)= П ,£-^ = П#.

qa 11N 7 q| N

Теперь учитывая, что р(N,х) < X(N), подставим для каждого характера х(п) результат (13) в формулу (9) и получим утверждение теоремы.

Resume

It had beleaved the conditions of weak uniformly distribution and asimtotic row for values distribution of Dedekind function in residue classes in this paper.

Список литературы

[1] Narckiewicz W. On distribution of values of multiplicative functions in residue classes // Acta Arithm. 1967. V. 12. No 3. P. 269-279.

[2] Narckiewicz W., Rayner F. Distribution of values of a2(n) in residue classes // Monatshefte fur Mathematik. 1982. V. 94. P. 133-141.

[3] Scourfild E. J. On divisibility of r2(n) // Glasgov Math. J. 1977. V. 18. No 1. P. 109-111.

[4] Sliva J. On distribution of values of o(n) in residue classes // Colloq. Math. 1973. V. 27. F. 2. P. 283-292.

[5] Фоменко О. М. Распределение значений мультипликативных функций по простому модулю // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 83. С. 218-224.

[6] Широков Б. М. Распределение значений арифметических в классах вычетов // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 176-186.

[7] Широков Б. М. Распределение й(п,ш) в классах вычетов // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 1995. Вып. 2. С. 136-144.

[8] Широков Б. М. Распределение значений обобщенной суммы делителей // Труды ПетрГУ. Серия Математика. 1996. Вып. 3. С. 176-189.

[9] Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: shirokov@petrsu.ru