Системы оптимальности для вырожденных распределенных задач управления

СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для некоторых задач управления системами, описываемыми вырожденными эволюционными уравнениями с начальным условием Коши или Шоуолтера. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примере уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

Ключевые слова: оптимальное управление, система оптимальности, распределенная система управления, вырожденное эволюционное уравнение.

Введение

В теории оптимального управления вывод необходимых условий оптимальности занимает особое место. Набор соотношений, состоящий из этих условий в совокупности с дифференциальным уравнением и ограничениями на управление из исходной задачи, называют системой оптимальности. Для различных классов распределенных систем необходимые условия оптимальности были получены в работах Ж.-Л. Лионса [1; 2] на основе метода штрафных функций. Другой способ вывода систем оптимальности, использующий различные варианты принципа Лагранжа, разработан А. Д. Иоффе, В. М. Тихомировым [3], а для ряда систем, описываемых сингулярными и некорректными задачами, — А. В. Фурсиковым

Исследование данной работы посвящено задачам управления эволюционными системами, не разрешимыми относительно прозводной по времени. Подобной особенностью обладают, например, уравнение Дзекцера свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости, система уравнений Осколкова, квазиста-ционарная система уравнений фазового поля и др. Задачи управления рассматриваемого класса можно записать в виде

Здесь и, X, У — гильбертовы пространства, Ь € £(Х; У), кег Ь = {0}, В € С(Ы; У) (т. е. линейные непрерывные операторы), оператор М € С 1(Х; У) (т. е. линеен, замкнут и плотно определен в X, действует в пространство У). В качестве функционала стоимости рассмотрен компромиссный функционал, представляющий собой линейную комбинацию квадратов норм функций состояния и

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства Челябинской области для молодых ученых.

[4].

Ьх(і) = Мх(ї) + у{і) + Бп(і;),

х(0) = х0, п Є ,

З(х, п) ^ іП.

управления в пространствах Лебега или Соболева, и помимо начального условия Коши рассмаривается начальное условие Шоуолтера. Последнее означает, что в начальный момент времени функция состояния задается лишь на образе вырожденной разрешающей полугруппы однородного уравнения.

Ранее в работах автора [5-8] получены достаточные условия существования и единственности решения различных задач управления вида (0.1)—(0.4). Кроме того, в работе [9] автором были выведены необходимые и достаточные условия оптимальности управления для более узкого класса задач. Здесь получено обобщение этого результата.

Полученные абстрактные результаты проиллюстрированы на примере задачи управления для уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [10].

1. Система оптимальности для абстрактной задачи

В дальнейшем нам понадобятся результаты данного параграфа, полное доказательство которых можно найти в [4].

Пусть Y, V — линейные нормированные пространства, Yi, U — рефлексивные банаховы пространства, причем Yi непрерывно вложено в Y. Рассмотрим абстрактную линейную задачу управления

L

J

u e Ud.

Здесь Ud — замкнутое выпуклое подмножество пространства U, функционал стоимости J является выпуклым, полунепрерывным снизу и ограниченым снизу на

Y х Ud, линейный оператор L : Y1 х U ^ V непрерывен, F0 e V — заданный вектор.

Множеством W допустимых пар (y,u) задачи (1.1)—(1.3) называется множество пар (y,u) e Yi х U, удовлетворяющих соотношениям (1.1), (1-3), для которых J(y,u) < то.

Предполагается также выполнение условий нетривиальности и коэрцитив-ности. Выполнение первого из них означает, что множество W допустимых элементов непусто, второго — что для любого R > 0 множество {(y,u) e W : J(y,u) ^ R} ограничено в Y1 х U.

Решением задачи (1. 1)—(1.3) называется пара (y,u) e W, для которой

J(y,u)= inf J(y,u).

(y,u)£W

Систему оптимальности для (1.1)—(1.3) можно вывести с помощью принципа Лагранжа. Для примененния этого принципа следует составить функцию Лагранжа Ф : Y х U х R х V* ^ R,

Ф(у, u, Л, h) = ЛJ(y, u) + (L(y, u) + Fo, h).

Теорема 1.1. [4] Пусть (у, и) — решение задачи (1.1)-(1.3) и 3 дифференцируем по Гато в (у,и). Предположим, что выполнено условие 1пШд = 0 и множество 1т£ = £(^1 х и) замкнуто в V. Тогда существует такая пара (А, К) € (К+ х V*) \ {0}, что для функции (1.4) выполняется

Если 1пШд П {(у, и) + кег£} = 0, то в (1.4)-(1.6) можно взять А =1. Обратно, если 3 — выпуклый функционал, (у,и) € ф1 х Я удовлетворяет (1.1), (1.5), (1.6) с некоторым К € V* и А =1, то (у,и) — решение задачи (1.1)-(1.3).

2. Существование решения начальной задачи

Приведем используемые в дальнейших рассмотрениях результаты, доказательство которых можно найти в [7; 11; 12].

Пусть X, У — рефлексивные банаховы пространства. Всюду в дальнейшем предполагаем, что Ь € £(Х; У), М € С/(X; У). Обозначим р((М) = {^ € С : (^Ь — М)-1 € £(У; X)}, Я((М) = (^Ь — М)-1Ь, Ь((М) = Ь(^Ь — М)-1, К+ = {а € К : а > 0}, К+ = {0} и К+, N0 = {0} и N.

Определение 2.1. Пусть р € N0. Оператор М называется (Ь,р)-секториальным, если

(М) = {^ € С : |а^(^ — а)| < в,^ = а} С р((М);

К

тах{|RLt)p)(M)І£(x), НЬ(М,р)(М^ДУ)} < —р-----------;

к=0

К

II ,р) (М)(АЬ — М) 1|^(У;Х) ^ р .

к=0

Замечание 2.1. В [11] определение сильной (Ь,р)-секториальности содержит дополнительное условие, которое в рефлексивных банаховых пространствах X, У следует из условий определения 2.1 (см. по этому поводу [12]).

Обозначим через X0 (У0) ядро кег(Я((М))р+1 (кег(Ь((М))р+1), а через X1 (У1) — замыкание линеала 1т(Я((М))р+1 (1т(Ь((М))р+1) в норме пространства X (У). Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на ^тМк = Xк П аотМ (Xк), к = 0,1.

Теорема 2.1 [11; 12]. Пусть оператор M сильно (L,р)-секториален. Тогда

(i) X = X0 X1, Y = Y0  Y1;

(ii) Lfc Є L(Xk; Yk), Mfc Є C/(Xk; Yfc), k = 0, і;

(iii) существуют операторы M—1 Є L(Y0; X0) и L-1 Є L(Y1; X1);

(iv) оператор G = M0_1L0 Є L(X0) нильпотентен степени не больше р;

(v) существует вырожденная аналитическая в секторе £ = {т Є C :

| arg т| <0 — п/2,т = 0} разрешающая полугруппа {X* Є L(X) : t ^ 0} уравнения Lx(t) = Mx(t);

(vi) инфинитезимальным генератором аналитической полугруппы {X* Є L(X1) : t ^ 0} является оператор S = L-1M1 Є C/(X1).

Замечание 2.2. Проектор вдоль X0 на X1 (вдоль Y0 на Y1) обозначим через P

(Q).

Пусть теперь X, Y, U — гильбертовы пространства, а B Є L(U; Y). Рассмотрим задачу оптимального управления

Lx

x

u Є Ud,

J

где x Є Н 1(X), u Є L2(U), y Є Hp+1(Y) — заданные функции, заданный вектор

x0 Є domM, константа N > 0. Здесь и далее приняты обозначения L2(0, T; V) =

L2(V), Н 1(0,T; V) = Н 1(V).

Сильным решением задачи (2.1), (2.2) называется функция x Є Н 1(X), если она удовлетворяет условию (2.2) и почти всюду на (0,T) — уравнению (2.1). В силу вложений Hm+1(X) ^ Cm([0,T]; X) данное определение корректно. Решения уравнения (2.1) будем рассматривать в пространствах

Zr = {z Є Н 1(X) : z(t) Є domM при п. в. t Є (0,T), Lz — Mz Є Hr(Y)}.

Множество W пар (x,u) Є Zr x Hr(U), удовлетворяющих условиям (2.1)-

(2.3), назовем множеством допустимых пар задачи (2.1)-(2.4). Решение задачи (2.1)—(2.4) состоит в нахождении пар (x, u) Є W, минимизирующих функционал стоимости J:

J (x,u)= inf J (x,u).

(x,u)€W

Для x0 Є domM, y Є Hp+1(Y) множество функций управления u Є Hp+1(U ), таких, что

p p

£ Gk M0~1(/ — Q)Bu(k)(0) = —(I — P )x0 — J] Gk M0~1(/ — Q)y(k)(0), fc=0 fc=0

обозначим через Нд(x0,y).

Теорема 2.2. Пусть оператор M сильно (L,p)-секториален, Ud — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений L2(U),

Яд П Нд (х0, у) = 0- Тогда существует единственное решение (х,и) 6 2х Ь2(и) задачи (2.1)—(2.4).

Для той же задачи с начальным условием Шоуолтера

Рх

справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, Яд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Ь2(и), Яд П Нр+1(и) = 0. Тогда существует единственное решение (х,и) 6 2 х Ь2(и) задачи (2.1), (2.3)-(2.5).

3. Критерий оптимальности для вырожденных распределенных систем управления

Пусть X, У, Н, и — сепарабельные гильбертовы пространства, причем

непрерывны вложения Н С X С У, а У — сопряженное пространство к Н относи-

тельно скалярного произведения в X. Как и прежде, Ь 6 £(Х; У), М 6 С/(X; У), В 6 £(и; У). В случае сильно (Ь,р)-секториального оператора М рассмотрим задачу оптимального управления

Ьх

х

и 6 Яд,

3

где у 6 НР+1(У), х0 6 X, х 6 Н^), и 6 Ь2(и), Яд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства Ь2(и), константа N > 0.

Кроме множества Нд(х0, у), введенного в первом параграфе, нам понадобится оператор Вг 6 £(НГ(и); Нг(У)), определенный по правилу (Вги)(Ь) = Ви(Ь), Ь 6 (0,Т), и пространство

20 = (х 6 Н1^) : х(Ь) 6 ёошМпри п. в. Ь 6 (0, Т), Ьх — Мх 6 Ь2(У)} =

= (х 6 Н1 (X) : х(Ь) 6 ёошМпри п. в. Ь 6 (0, Т), Мх 6 Ь2(У)}.

Пусть ^ — гильбертово пространство. Через Н|Бт}(^) в формулировке следующей леммы обозначается множество функций х 6 Н{(0,Т; ^), для которых выполняются граничные условия (Втх)(0) = (Втх)(Т) = 0, задаваемые некоторыми операторами Вт.

Лемма 3.1. Пусть V, ^ — сепарабельные гильбертовы пространства, плотны вложения V С ^, Н^^Н*) С Н{В2 }(^). Тогда плотным является также

вложение Н{^1}^) с Н{В2 }(^).

Доказательство. В силу плотности линеала V в ^ можно построить ортонорми-рованный базис (^к} С V в пространстве ^. Возьмем функцию V 6 Н 1(^’), тогда

при каждом Ь 6 (0,Т) имеем v(Ь) = ^ ск(Ь)^, где ск(Ь) = (и(Ь),^)^ 6 Н 1(0,Т;

к=1

ГО /

т т

ПН 1(0,Т;К) = X! ( / |Ск (Ь)|^Ь + / ^ (Ь)|^Ь ) = ИН 1(И>) <

к=1 к=Ас 0 )

П

Обозначим $п(Ь) = ^ ск(Ь)^ 6 V, Ь 6 (0,Т), тогда к=1

т т \

НЯННЦу) = ^ >^)у I / Ск(і)сг(і)^і + 4(і)Сг(і)^і I

к=1 І=1 \0 0 )

, )У (||ск || Н1 (0,Т ;К) + 11С IIН1 (0,Т ;К)) <

к=1 1=1

Поскольку для всякого v 6 Н 1(^’) имеем

го

1^ — ^пПя1^) = ^ |ск 11н 1(0,Т;К) ^ 0, п ^ ^,

к=п+1

то v = Иш $п в Н 1(^’), где ($п} С Н1^). Таким образом, Н1^) плотно в

п^го

Н 1(^).

Для каждого ск 6 Н 1(0,Т; М) найдется последовательность (Ькг}^=1 С Н^ (0,Т; М), для которой Иш Ькг = ск в пространстве Н 1(0,Т; М). Переходя, если

3( г^го

надо, к подпоследовательности, добьемся того, чтобы для всех к, г 6 N выполнялось неравенство ||ск — Ькг ||я 1(0т;М) < 1/г. Возьмем v 6 Н 1(^’). Тогда для

~ п

£п = ^2 bfcnVfc 6 Н^ (0,Т; V) получим к=1 <и

го п

1^ — ^пПя1^) ^ |ск 11Н 1(0,Т;К) + 11Ск — Ь^пПЯ1(0,Т;К) <

к=п+1 к=1

< X/ |Ск IIН1 (0,Т;К) + 1/п ^ 0

12

к=п+1

при п ^ то. Отсюда следует, что пространство Н^ (V) плотно в Н 1(^’).

в,Ь

2

А-в,ь

Общий случай доказывается аналогичным образом.

Лемма 3.2. Пространство 20 плотно в Н1^).

Доказательство. Рассмотрим пространство ЕМ = ^шМ со скалярным произведением (•, ^)х + (М•, М^)у, которое является гильбертовым в силу замкнутости оператора М. Очевидно, что пространство Н 1(Ем) содержится в 20 ив силу леммы 3.1 плотно в Н1^).

Зададим оператор Ь Є С(Ь2(Х); Ь2(^)) равенством (Ьг)(Ь) = Ьг(Ь) при п. в. Ь Є (0, Т). Обозначим через Ь' Є С ( Н^(Н); Н^(X)) сопряженный оператор к Ь

V в,ь в,Ь /

относительно билинейной формы (•, •)н1(Х).

Определим также оператор М Є С/(Ь2(Х); Ь2(^)) с областью определения

^шМ = Ь2(^м), плотной в Ь2(Х), следующим образом: (Мг)(і) = Мг(і) при

п. в. Ь Є (0,Т). Через М' Є СI (Н\ (Н); Н^(X)) обозначим оператор, сопряжен-

\ в,Ь /

ный к М относительно формы (•, •)ні(х).

Теорема 3.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, Яд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Ь2(и), Яд П Нд(х0,у) = 0, ІпШд = 0, оператор В0 сюръективен и выполняется условие

8рап{ішСкМ0_1

Пара (х,и) Є 20 х Ь2(и) является решением задачи (3.1)-(3.4) в том и только в том случае, когда существует Л Є doшM/; для которого

И

—Ь'Л + М'Л = х — X, Ь'Л(Т) = 0,

N

Доказательство. Для доказательства проверим выполнение условий теоремы

1.1. Для этого сначала докажем сюръективность оператора £(х, и) = (Ьх — Мх — Вм,70ж) : 20 х Ь2(и) ^ Ь2(^) х X, где непрерывный оператор 70 : И 1(Х) ^ X действует по правилу 70х = х(0). Возьмем произвольную пару (у, х0) Є Ь2(^) х X. Условие (3.5) обеспечивает существование некоторого и1 Є Ид(х0, 0) для любого х0 Є X. Выберем вектор-функцию х Є 20, которая является решением задачи Коши х(0) = х0 для уравнения ЬХ = Мх + Ви1. Из сюръективности оператора В0 следует существование такой вектор-функции и Є Ь2(и), для которой %и = —у + В0и1 Є Ь2(^).

Так как не пусто множество ІпШд С Ь2 (и), то не пусто и множество Іп^Яд — и). В окрестности любой точки из Іп^Яд — и) в смысле топологии пространства Ь2(и) найдутся функции из Нр+1(и), в т. ч. такие функции и, для которых и(0) =

0, и'(0) = 0, ..., и(р)(0) = 0. Следовательно, Іпі(Яд — и) П Нд(0, 0) = 0. Возьмем

V Є Іп^Яд — и) П Нд(0, 0) С Нр+1(и) и вектор-функцию х Є Н1^), являющуюся сильным решением задачи

х(0) = 0, Ьх(Ь) = Мх(Ь) + ^(і).

Понятно, что при этом х Є 20, (х, V) Є кег £, а значит, выполнено условие (х,и) + (х, V) Є (20хІпШд)П((х,и)+кег£) = 0. Поэтому в силу теоремы 1.1 в дальнейших рассуждениях мы можем взять Л =1.

Функция Лангранжа задачи (3.1)—(3.4) определяется равенством

Ф(х, и, Л, Л, д) = Л/(х, и) + (Ьх — Мх — у — Ви, Л)Ні(Х) + (тох — х0, д)х,

Л ^ 0, (Л, д) Є V*, где V* — сопряженное к пространству V = Ь2(^) х X относительно билинейной формы (•, •)#і(х) + (•, •)*. Другими словами, Л Є Н^(Н),

д € X. Согласно теореме 1.1, для оптимальности пары (Х,и) необходима справедливость равенства (Ф^(Х,и, 1,Л,д),;) = 0 при некотором (Л, д) € V* \ {0} для всех г € 2^о. Таким образом,

У; € ^о

Возьмем ; из подпространства ) С 20, плотного в Ь2(^м) по лемме

3.1. Тогда

(Мг, Л)я і(Х) = ^ г, х — х — —Ь'Л^

/ Я1

Таким образом, Л € ^шМ', М'Л = X — X — Ь'Л.

В равенстве (3.7) при ; € 2о проинтегрируем второе слагаемое по частям и получим, учитывая, что Л € Н2 (Н),

в,Ь

— (7о;,7о(Ь'Л))х + (7т ;,7т (ЬЛ))х + (7о;,д)х = 0.

Выбирая 7о; = 0, имеем 7Т(Ь'Л) = Ь'тгЛ = 0.

Кроме того, должно выполняться (Ф^(Х, и, 1, Л, д), и—и) ^ 0 при всех и € Яд, что и означает неравенство (3.6).

Заменим теперь условие Коши на обобщенное условие Шоуолтера

Рх

Теорема 3.2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален, Дд — непустое

выпуклое замкнутое подмножество пространства Ь2(и), 1п1Яд = 0, оператор

Во сюръективен. Пара (Х,и) € 2о х Ь2(и) является решением задачи (3.1), (3.3),

(3.4), (3.9) в том и только в том случае, когда существует Л € ^шМ', для которого

И

—Ь'Л + М'Л = X — X, Ь'Л

ш:

ЬЛ

N (и — и,и — и)^2(и) — (В(и — и), Л)Н1(Х) ^ 0 Уи € Дд.

Доказательство. В данной ситуации имеем V = Ь2(^) х X:. Для произвольной пары (у, хо) € Ь2(^) х X1 выберем функцию X € 2о, которая является решением задачи (3.9) для уравнения ЬХ = Мх, и и € Ь2(и), для которой Вои = —у € Ь2(^). Тем самым доказана сюръективность оператора £.

Возьмем V € 1п1(Дд — и) П Нр+1(и) и сильное решение X € Н1^) задачи Рх(0) = 0, ЬХ(£) = Мх(^) + ^(£). Тогда, очевидно, (Х,и) + (х, V) € (2о х 1пШд) П ((Х,и) + кег£) = 0. Поэтому в функции Лагранжа можно взять А = 1. Непустота множества 1пШд в то же время гарантирует выполнение условия Яд П Нр+1(и) = 0 из теоремы 2.3 о существовании и единственности решения рассматриваемой задачи.

Для рассматриваемой задачи имеем V* = Н2 (Н) х X1. Рассуждая как при доказательстве предыдущей теоремы, получим

— (7о;,7о(Ь'Л))х + (7т ;,7т (Ь'Л))х + (^7о;,д)х = 0.

Отсюда следует, что 7т(Ь'Л) = 0. Выберем ;, для которого Р7о; = 0. Тогда получим равенство ((I — Р)7о;, 7о(Ь'Л))х = 0. Из произвольности значения (I — Р)7о; € Xо следует (3.11).

4. Система оптимальности для уравнения Дзекцера

Пусть О С К5 — ограниченная область с границей дО класса Сте. Введем в рассмотрение пространства

Н2(О) = {; € Н2(О) : ^-;(х) = 0, х € дО [ дп

дд

Н4(О) = < ; € Н4(О) : —;(х) = — А;(х) = 0, х € дО [ дп дп

и докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 4.1. Пространством, сопряженным к Н(О) относительно Н(О) со скалярным произведением, заданным равенством (,-)я2(П) = (, ) +

^ (д|т, дХ7') + (А', А-), является ^(О). г=о '

Доказательство. Для V € Н(О),; € Н(О) имеем

<v, г>„2 м=/ „(ф^+/ уф)  =

п п п

= / ф^)* +/ ^МФ)* — / МХМХ)ИХ+

П дП П

+ У Av(x)—;(х)Их — ^ VAv(x)  У;(х)Их = дп п

= J (v(x) — Av(x) + А2 v(x))z(x)dx + J — v(x)z(x)dx+ п дп

^ д ^ д

+ Av(x)—;(х)Их — — Av(x)z(x)dx.

У дп ,/ дп

дп дп

Образом оператора 1 — А + А2 на пространстве Н(О) является все пространство Ь2(О). Поэтому при каждом v € Н(О) линейный функционал (;) = (и,;)я2(п), заданный на пространстве Н 2(О), представим в виде

(;) = у*(1 — А + А2^(х);(х)Их = J Л(х);(х)Их пп

при некотором Л € Ь2(О) и поэтому продолжим на Ь2(О).

При Л, а € К, в > 0 рассмотрим задачу для уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости

г

д д

—г

дп дп

и € Яа,

3

где ™ € Н 1 (0,Т; Н(П)), и € Ь2(0,Т; Ь2(П)) — заданные функции, N > 0, Яд —

выпуклое замкнутое подмножество пространства Ь2(0,Т; Ь2(П)). Редуцируем задачу (4.1)-(4.5) к задаче (3.1)—(3.4), выбрав Н = Н(П), X = Н(П), У = и =

Ь2(П), соответствующие операторы Ь = Л — Д € £(Х; У),В = I € £(и; У),

М = аД — вД2 € С/(X; У) с областью определения ^шМ = Н(П).

В работе [9] была доказана сильная (Ь, 0)-секториальность оператора М при условии Л = 0, Л = а/в. Для рассматриваемой системы имеем

Нд(™о, 0) = {и € Н 1 (0, Т; ^(П)) : (и(х, 0),^(х))^(п) =

= —(аЛ — вЛ2)(^о(х),^к(х))ь2(п) при Лк = Л},

2о = {г € Н 1 (0,Т; Н?(П)) : г(£) € Н(П) при п. в. £ € (0, Т), Д2г € Ь2(0,Т; Ь2(П))}.

Заметим, что в смысле билинейной формы (•, •)# 1(о,т;я2(П)), где

і= : \дХг дХг / І2

2

для сопряженных операторов имеют место равенства Ь' = Л — Д, М/ = аД — вД где doшM/ = Н2^(0,Т; Н^(П)). Тогда из очевидной биективности оператора В и

в,Ь

конечномерности подпространства X0 следует выполнение условия (3.5). Поэтому из теоремы 3.1 сразу следует теорема 4.1.

Теорема 4.1. Пусть Яд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Ь2(0, Т; Ь2(П)), Яд П Нд(г0, 0) = 0, 1п1(Яд — и) П Нд(0, 0) = 0. Тогда пара (г, и) € 20 х Ь2(0,Т; Ь2(П)) является решением задачи (4.1)-(4.5) в том и только в том случае, когда существует функция Л € Н\ (0,Т; Н^(П));

в,Ь

для которой

(Л — Д)Л + (аД — вД2)Л = г — г, (Л — Д)Л(х, Т) = 0,

X(и — 11,и — и)Ь2(0,Т;Ь2(П)) — (и — ^ Л)Н 1(о,Т;Я2(П)) ^ 0 ^и € Яд.

Понятно, что принадлежность значений функции Л пространству Н^(П) означает выполнение для этой функции краевых условий вида (4.2).

Список литературы

1. Лионе, Ж!.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. — М. : Мир, 1972. — 412 с.

2. Лионе, Ж!.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионс. — М. : Наука, 1987. — 456 с.

3. Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. — М. : Наука, 1972. — 480 с.

4. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск : Науч. кн., 1999. — 350 с.

5. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2004. — № 5. — С. 40-44.

6. Плеханова, М. В. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 7. — С. 37-47.

7. Плеханова, М. В. О существовании и единственности решений задач оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Мат. — 2011. — Т. 75, № 2. — С. 177-194.

8. Плеханова, М. В. Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 4 — С. 565-576.

9. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2007. — № 2. — С. 37-44.

10. Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е. С. Дзекцер // Докл. АН СССР. — 1972. — Т. 202, № 5. — С. 1031-1033.

11. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht ; Boston : VSP, 2003. — 216 p.

12. Фёдоров, В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Мат. сб. — 2004. — Т. 195, № 8. — С. 131-160.