Об одном семействе классов функций, замкнутых относительно усиленной операции суперпозиции

4. Ratiu Т. Euler-Poisson equations on Lie algebras and the N-dimensional heavy rigid body // Amer. J. Math. 1982. 104. 409-448.

5. Bolsinov A. V., Oshemkov A.A. Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable Hamiltonian systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. 14. 431-454.

6. Fomenko А. Т., Kunii T.L. Topological modeling for visualization. Berlin: Springer-Verlag, 1997.

7. Brailov Yu.A., Fomenko A.T. Lie groups and integrable Hamiltonian systems. Vol. 25. Berlin: Heldermann Verlag, 2002.

8. Fomenko А.Т., Morozov P.V. Some new results in topological classification of integrable systems in rigid body-dynamics // Contemporary geometry and related topics. Belgrade. 15-21 May 2002. World Scientific Publishing Co., 2004. 201-222.

9. Fomenko А. Т., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.

10. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. Algebra and geometry through Hamiltonian systems. Vol. 211. Berlin: Springer-Verlag, 2014.

11. Gavrilov L., Zhivkov A. The complex geometry of Lagrange top // L'Enseign. math. 1998. 44. 133-170.

12. Bolsinov A. A. Compatible Poisson brackets on Lie algebras and the completeness of families of functions in involution // Math. USSR Izv. 1992. 38. 69-90.

13. Bolsinov A.A., Izosimov A.M. Singularities of bihamilton systems // arXiv: 1203.3419.

Поступила в редакцию 29.11.2013

УДК 519.716

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ЗАМКНУТЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО УСИЛЕННОЙ ОПЕРАЦИИ СУПЕРПОЗИЦИИ

Д. К. Подолько1

В работе изучается операция двоичной суперпозиции, определенная для функций k-значной логики (k = 2m, m ^ 2) на основе их кодирования в двоичной системе счисления. Приводится описание всех классов, замкнутых относительно операций двоичной суперпозиции и добавления несущественной переменной и содержащих только функции, принимающие не более двух значений.

Ключевые слова: функции многозначной логики, суперпозиция, замкнутые классы.

k

functions (k = 2m, m > 2) on the basis of their representation in the binary number system. A description of the set of classes containing only functions taking not more than two values and closed under the operations of binary superposition and addition of fictitious variables is given.

Key words: multivalued logic functions, superposition, closed classes.

Изучение замкнутых классов функций k-значной логики при k ^ 3 наталкивается на значительные трудности в связи с континуальностью семейства данных классов (см., например, [1]). Поэтому одним из направлений их исследования является рассмотрение семейств классов, замкнутых относительно более "сильных" операций, чем операция суперпозиции (см., например, обзор [2]). Использование такого подхода позволяет в некоторых случаях получить более обозримую структуру классов, замкнутых относительно рассматриваемых операций. К этому направлению исследований можно отнести, например, работы [3-5].

k

представления их как булевых вектор-функций, зависящих от булевых вектор-переменных. Отметим, что идея такого кодирования достаточно эффективна при решении некоторых задач многозначной логики (см., например, [7]). Из результатов работы [6] следует, что оператор замыкания относительно операций двоичной суперпозиции и введения фиктивной переменной, называемый в-замыканием, не является слишком сильным в том смысле, что семейство в-замкнутых классов функций k-значной логики не менее чем счетно (в отличие от конечных семейств замкнутых классов в [3, 4]).

1 Подолько Дмитрий Константинович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: podolko_dkQmail.ru.

Обычно (см., например, [8-12]) одними из первых изучаются замкнутые классы, содержащие только функции, принимающие фиксированное число значений. В [6] показано, что семейство всех в-замкнутых классов, содержащих только функции, принимающие не более двух значений, является счетным, в то время как семейство классов, замкнутых относительно операции суперпозиции и содержащих только такие функции, континуально (см., например, [1]). В настоящей работе приводится описание всех в-замкнутых классов из [6].

Напомним основные определения и обозначения (подробнее см. [6]). Пусть к ^ 2, п ^ 1. Через Еи обозначим множество {0,1,..., к — 1} а терез ЕП — множество всех наборов длины п, компоненты которых принадлежат Через Ри обозначим множество всех функций к-значной логики.

Далее будем считать, что к = 2т, т ^ 2. Каждое число а из Еи запишем в двоичной системе счисления. Следовательно, ему взаимно однозначно сопоставляется двоичный вектор (а^,..., ат) из Ет (обозначения («1,..., ат) и а). Переменной ж, принимающей значения из Е^, поставим в соответствие вектор-переменную (ж1,..., жт), где Ж1,... , жт являются переменными, принимающими значения из множества Е2, таким образом, что каждому значению а переменной ж ставится в соответствие значение («1,..., ат) вектор-переменной (ж1,..., жт). Данную вектор-переменную будем обозначать также через Ж.

Произвольной п-местной функции Е(ж1,..., жп) из Ри сопоставим булеву вектор-функцию (/1,..., /т), где /1,..., /т — функции алгебры логики, каждая из которых зависит от всех булевых переменных жЦ,..., жт, ] = 1,..., п (здесь ж-7' = (жЦ,..., ж^))- Для этой вектор-функции будем также использовать обозначения Е((ж1,..., ж^),..., (жП,..., жт)) и Е.

Описанные представления будем называть двоичным,и представлениями числа, а, переменной ж и функции Е соответственно.

Пусть Е € Ри и Е = (/1,..., /т). Каждую из фун кций /1,...,/т будем называть компонентой

Е

через Ь(Е).

Пусть АС Рк. Класс булевых функций, совпадающий с замыкание м множества и Ь( Е) относительно операций суперпозиции и введения несущественной переменной, будем называть булевым, замыканием множества А и обозначать ч ерез В (А).

Определим в-замыкание множества А, которое будем обозначать через [А]^: функция Н из Р^ принадлежит [А] в тогда и только тогда, когда для нее найдутся функция Е из А и функции $1,..., дтп из В (А) (гд е п — число переменных функции Е), такие, что выполняется равенство

НЕ = Е (д

1, . . . , дт), . . . , (дт(п-1)+1, . . . , дтга)) .

Класс А функций из Ри будем называть в~за^кнутьш, если имеет место равенство [А]в = А. Отме-

в

замыкания (см., например, [13]). Доказательство данного факта приводится в [6].

Пусть Е € Р^. Через Е) будем обозначать множество значений функции Е, а через Ри|2 — множе-к

Пусть А С Ри|2 и [А]в = А. Для всех чисел р и д из Е&, таких, что р ^ д, обозначим через Аря множество всех функций Е из А, для которых выполняется соотношение Е) = {р, д}. Для класса А положим также 1пс1(А) = {(р, д) | Ард = 0}.

Пусть I — подмножество множества {(р, д) | р, д € Еи, р ^ д}. Положим

1(1) = {(р,р) | (р,р) € I}, 1(2) = {(р,д) | (р,д) € I, р = д}, ¿(I) = У ({р}и{д}).

(р,д)е/

Если Б — замкнутый класс булевых функций, то множество £>Р|{0,1,ж,ж} называется основанием класса В (см., например, [14]). Для основания класса В будем использовать обозначение и (В). По лемме 5 из [6] для каждого замкнутого класса В функций алгебры логики существует не более конечного числа различных в-замкнутых классов А функций из Р&|2, таких, что верно равенство В (А) = В. Изучим

В

Лемма. Пусть А С Ри|2; [А] в = А, (р, д) € 1пё (А) и р = (р1,... ,рт), ад = (д1,..., дт). Тогда для всех г = 1,..., т выполняются следующие соотношения:

1) если ж / и(В(А)); то р^ = д^;

2) если ж ф. II(В(А)), то Рг ^ д^;

3) если 0 / и (В (А)); то р^ V д^ = 1, где ж V у — дизъюнкция, в Р2;

4) если 1 / и (В (А)); то р^ & д^ = 0, где ж & у — конъюнкция в Р2.

Доказательство. Все случаи рассматриваются аналогично, поэтому изучим только идин из них. Пусть 1 / и(В(А)). Предположим, что найдется число г, 1 ^ г ^ ш, такое, что pi = 1. Так как (р, д) € 1пс1(А), то найдется функция ¥ из А, Для которой верно равенство ) = {р, д}. Обозначим ее двоичное представление через (/1,..., /т). Так ка к pi = 1 и qi = 1, то булева фун кция / на некоторых наборах принимает значение 1. Предположим, что она также принимает значение 0. Тогда функция ¥ принимает значения р, а также значение г, у которого в двоичном представлении г-я компонента равна нулю, что неверно. Поэтому функция / равна константе 1, и тогда 1 € Ь(¥) С В (А), что противоречит условиям рассматриваемого случая. Значит, pi &qi = 0 для всех г = 1,... ,ш. Лемма доказана.

Теорема. Пусть I С {(р, д) | р, д € Ек, р ^ а В — замкнутый класс булевых функций. Тогда существует не более одного в-замкнутого кл асса А функций из Рк\2, такого, ч то В (А) = В и 1пё (А) = I. Необходимые и достаточные условия существования такого в-замкнутого класса, в зависим,ост,и от, основания класса, В задаются следующим,и ограничениями на множество I:

1) и (В) = {0,1, ж, ж}: /(2) фЯ и С й{1(1));

2) и (В) = {ж,ж}; Iф Я ир+д=к—1 для, всех (р, д) € I]

3) и (в) = {о, 1,ж}: I(2) = Я, ¿(I(2)) С ¿(I(1) ) и р < я для вс ех (р, д) € I;

4) и (в) = {о, ж}: I(2) = Я I(1) = {(0, 0)} м р = 0 для всех (р, д) € I;

5) и (в) = {1, ж}.' !(2) = Я, I(1) = {(к - 1,к - 1)} и д = к - 1 для всеж (р,д) € I;

6) и (В) = {ж}: I = {(0, к - 1)};

7) и (В) = {0,1}: I(2) = Я, !(1) = Я, !(1) = {(0, 0)} и I(1) = {(к - 1, к - 1)};

8) и (В) = {0}: I = {(0, 0)};

9) и (В) = {1}: I = {(к - 1, к - 1)}.

Доказательство. Пусть существует ^-замкнутый класс А функций из Р^, такой, что В (А) = В и 1пс1(А) = I. Единственность такого класса следует из утверждения леммы 5 работы [6]. Докажем необходимость указанных в утверждении теоремы соотношений для множества I в зависимости от основания В

Сначала рассмотрим случай, когда ж € и (В). Предположим, что мн ожество I(2) является пустым. Это означает, что каждая функция ¥ из А принимает только одно значение, а следовательно, все ее компоненты являются константами. Но в этом случае В (А) С [{0,1}], что неверно. Зн ачит, I(2) = Я.

Если основание класса В равно одному из множеств {ж} или {ж, ж}, то оставшиеся соотношения для множества I легко выводятся из приведенной леммы.

Пусть теперь {0,1,ж} С А. Так как !(2) = Я, то (2)) = Я. Рассмотрим произвольное число в из ^(!(2)). Покажем, что в € ^(!(1)). Так как в € ¿(I(2)) то либо существует число р, р € Ек, р < в, такое, что (р, в) € I(2), либо существует число д € Ек, д > в такое, что (в,д) € I(2), либо и то и другое. Без ограничения общности будем считать, что (р, в) € I(2) для некоторого числа р, 1 ^ р < в. Это означает, что множество Арз не является пустым. Обозначим двоичные представления р и в через (р1,...,рт) и (в1,..., вт) соответственно. Для каждого г, 1 ^ г ^ ш, определим булеву функцию /¿, зависящую от переменных ж1,..., жт, следующим обр азом: / = 0, если pi = 0 и вi = 0 / = ж 1, если pi = 0 и вi = 1; /г = жТ) если ^ = 1 и «г = 0; /г = 1, если Рг = 1 и «г = 1. Рассмотрим вектор (/1, ..., /т) булевых функций. Он является двоичным представлением некоторой функции ¥ (ж) из Р^. Так как р = в, то ^(¥) = {р, в}, а также найдется число г, 1 ^ г ^ т, такое, что р^ < вг. Поэтому Ж1 € &(¥). Если ж ^ и (В), то по лемме среди компонент функции ¥ не содержится функция Щ, а значит, Ь(¥) С {0,1, Жх} С В. Если ж € и (В), то выполняется соотношение Ь(¥) С {0,1,Ж1,ЖГ} С В. Поэтому по лемме 3 работы [6] верно включение ¥ € Арв-

В рассматриваемом случае булевы функции со и С1, реализующие константы 0 и 1 соответственно, содержатся в В (А) Так как кл асс А являет ся ^-замкнутым, то функции Но и Н1, соответствующие двоичным представлениям ¥((со,..., со)) и ¥((с1,..., С1)) принадлежат А. Очевидно, что данные функции принимают ровно одно значение, а поскольку среди компонент функции Ь(¥) содержится фун кция ж1, то Но = Н1. Следовательно, либо функция Но, либо функция Н1 принимает значение в. Поэтому (в, в) € I(1) ив € (1)). Что и требовалось показать.

Доказано, что если основание класса В совпадает с множеством {0,1,ж,ж}, то выполняются соотношения I(2) = Я и ^(!(2)) С ¿(I(1)) что и требовалось. Если же и (В) = {0,1, ж}, то оставшееся соотношение для множества I следует из приведенной леммы.

Случаи, когда основание класса В равно множеству {0,ж} или {1,ж}, рассматриваются аналогично.

Если основание класса В равно одному из множеств {0} или {1}, то все нужные соотношения для I

и(В) = {0, 1}

когда множество I(1) является пустым ми равно множеству {(0, 0)} или {(к - 1,к - 1)}.

Таким образом, установлена необходимость указанных в утверждении теоремы соотношений для множества I (в зависимости от основания класса В) для того, чтобы существовал в-замкнутый класс А функций из Р&|2, такой, что В (А) = В и 1пс1(А) = I. Покажем, что данные условия для множества I являются достаточными.

Пусть I С {(р, д) | р, д € Е&, р ^ д}, В — замкнутый класс булевых функций и для I выполняются соотношения, приведенные в утверждении теоремы. Построим в-замкнутый класс А функций из Р^, такой, что В (А) = В и 1п с1(А) = I.

Рассмотрим произвольную пару индексов (р, д) из I. Обозначим двоичные представления р и д через (р1,... ,рт) и (д1,..., дт) соответственно. Для каждого г, 1 ^ г ^ т, определим булеву функцию Лрд;г, зависящую от переменных ж1,..., жт, следующим обр азом: Лр9>г = 0, есл и рг = 0 и вг = 0 Лр9>г = ж1; если рг = 0 и вг = 1; 1грд^ = жГ, если р^ = 1 и = 0; = 1, если рг = 1 и ^ = 1. Рассмотрим вектор (Лрд,1,..., Лрд,т) булевых функций. Он является двоичным представлением некоторой функции Нрд(ж) из Ри. Если р = д, то ^(Нрд) = {р, д}, а если р = д, то ^(Нрр) = {р}. Значит, Нрд € Ри|2.

Рассмотрим сначала случай, когда ж / и (В). Тогд а В является одним из классов Со, С1 или С. В каждом из этих случаев в-замкнутый класс А, задаваемый равенством А = [{Нрр | (р,р) € I}]в, является искомым, поскольку для него, очевидно, выполняются соотношения 1пс1(А) = I и В (А) = В.

Перейдем к рассмотрению случая, когда ж € и (В). Пуст ь {д1,... , дг} — базис класса В. Есл и п- — число переменных функции д— то через с- обозначим минимальное натуральное число, превосходящее пи кратное т, j = 1,..., г. Для каждого 1 ^ ] ^ г, определим функцию д-(ж1,..., ж^.) как функцию, полученную из функции д- путем добавления несущественных переменных жп^+1, ...,гс.. Очевидно, что [{д1,...,дГ }]= В

Так как ж € и (В), то выполняется соотн ошение I(2) = 0. Рассмотрим произвольную пару индексов (р, д) из I(2). Обозначим ч ерез (р1,...,рт) и (д1,..., дт) двоичные представлени я чисел р и д соответственно. Для каждой пары чисел 1 ^ j ^ г, 1 ^ г ^ т, определим -местную булеву функцию д-,г следующим образом: д-,^ = 0 есл и рг = 0 и вг = 0 д-,г = д- есл и рг = 0 и вг = 1 д-^ = д- есл и рг = 1 и вг = 0 д-,г = 1) если рг = 1 и вг = 1. Для каждого значения 1 ^ j ^ г, рассмотрим вектор (д-,1,..., д-,т) булевых функций. Он является двоичным представлением некоторой функции С^ из Рь, зависящей от ^ переменных, и по построению С- € j = 1,..., г, причем поскольку р < д, то найдется такой номер 1 ^ £ ^ т, для которого р^ = 0, а д^ = 1. Значит, д- € ), j = 1,... , г.

Определим множество 5 = {Нрд | (р, д) € I} и {С1,..., Сг} и класс А = [5] в- По построению верны соотношения А С Р^ и [А]в = А. Покажем, что А — искомый класс.

Докажем сначала, что В (А) = В. Так как по определению выполняется равенство В (А) = В (5), то достаточно доказать равенство В(5) = В. По построению функций С1,...,СГ справедливо включение {С1,..., Сг} С 5, а значит, {д1,..., дГ} С у Ь(Е) и В С В(5). По построению функций из множества

5 и по приведенной лемме если 0 / и (В), то среди компонент фун кций из 5 не содержится функций, реализующих константу 0, если 1 / и (В), то не содержится функций, реализующих константу 1, а если ж ^ и (В) — функций жТ и ... ,д'г. Поэтому независимо от множества и (В) получим, что для каждой функции Е из 5 выполняется соотношение Ь(Е) С В. А значит, выполняется соотношение В(5) С В, и, следовательно, В (А) = В.

Теперь покажем, что имеет место равенство 1пс1(А) = I. Включение I С 1пс1(А) очевидно в силу определения класса А. Перейдем к доказательству включения 1пс1(А) С I. Рассмотрим произвольную пару индексов (р, д) / I(2), р = д. По построению среди функций множества 5 не содержится функций,

р д А

соотношения (р, д) / (1пс1(А))( ) и

(1ПС1(А))(2) С I(2).

Для доказательства включения

/I (1) , то « = 0 и среди компонент функции Н содержится функция, реализующая константу 1. Значит, Ь(Н) ^ В и В (А) = В, что неверно. Случай, когда и (В) Р| {0,1} = {1}, рассматривается аналогично предыдущему.

Таким образом, установлено, что если {0,1} ^ и (В), то (1пс1(А))(1) С !(1), и для завершения доказательства теоремы осталось доказать включение (1пс1(А))(1) С I(1) в тех случаях, когда {0,1,ж} С и (В). Для этого рассмотрим произвольную пару (в, в) € (1пс1(А))(1), где в € Е&, и произвольную функцию

H € Ass. Тогда выполняется равенство H = F((gi,... ,gm),..., (gm(n-i)+i, • • •, gmn)), где F — некоторая функция из A, которая зависит от n переменных, a gi, • • • , gmn — функции из B(A). Если D(F) = {s}, то по определению множества S пара индексов (s, s) принадлежит I(i). Если D(F) = {si,s2}, где si,s2 € Efc, si < s2, то s € {si, S2^- В силу определения множества S пара индексов (si, S2) принадлежит I(2). По-s d(1(2)), а так как верно соотношение d(I(2)) С d(I(i)), то s € d(I(i)). Значит, пара индексов (s,s) принадлежит множеству I(i) и для рассматриваемых случаев справедливо включение (Ind(A))(i) С I(i), что и требовалось показать. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00598) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Янов Ю.И., Мучник A.A. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.

2. Угольников А.Б. О некоторых задачах в области многозначных логик // Мат-лы X Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения" (Москва, МГУ, 1-6 февраля 2010 г.). М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2010. 18-34.

3. Нгуен Ван Хоа. Описание замкнутых классов k-значной логики, сохраняемых всеми автоморфизмами // Докл. АН Белорусе. 1994. 38, № 3. 16-19.

4. Марченков С. С. S-классификация функций многозначной логики // Дискретн. матем. 1997. 9, вып. 3. 125-152.

5. Тарасова О. С. Классы функций k-значной логики, замкнутые относительно операций суперпозиции и перестановок // Математические вопросы кибернетики. Вып. 13. М.: Физматлит, 2004. 59-112.

6. Подолько Д.К. О классах функций, замкнутых относительно специальной операции суперпозиции // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 54-57.

7. Кочергин A.B. О глубине функций k-значной логики в бесконечных базисах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 1. 22-26.

8. Burosch G. Über die Ordnung der prävollständigen Klassen in Algebren von Prädikaten. Preprint. WPIJ Rostock, 1973.

9. Lau D. Uber abgeschlossene Teilmengen von Pk,2 // J. Inform. Process. Cybern. EIK. 1988. 24, N 10. 495-513.

10. Дагасв Д. А. О сложности псевдолинейных функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 2. 53-56.

11. Михайлович A.B. О замкнутых классах функций многозначной логики, порожденных симметрическими функциями // Математические вопросы кибернетики. Вып. 18. М.: Физматлит, 2013. 123-212.

12. Тарасов П.Б. О равномерности некоторых систем функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 61-64.

13. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

14. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 06.12.2013