Построение ортогональных вейвлетов с компактным носителем и матричным коэффициентом масштабирования

УДК 513

ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕЙВЛЕТОВ С КОМПАКТНЫМ НОСИТЕЛЕМ И МАТРИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ МАСШТАБИРОВАНИЯ

П. Н. Подкур

CONSTRUCTION OF ORTHOGONAL COMPACTLY SUPPORTED WAVELETS WITH

MATRIX SCALING COEFFICIENT P. N. Podkur

В данной работе для многомерных вейвлетов с матричным коэффициентом масштабирования получен способ построения большой серии ортогональных вейвлетов с компактным носителем и установлены достаточные условия ортогональности.

In this paper the mode of construction of the big series orthogonal many-dimensional wavelets with matrix scaling coefficient and with compact support is received and sufficient conditions of orthogonality are established.

Ключевые слова: вейвлеты; масштабирующая функция; матричный коэффициент масштабирования.

Keywords: wavelets; scaling function; matrix scaling coefficient.

Теория вейвлетов [1] имеет широкие применения в обработке одномерных сигналов и изображений. Она развита как для коэффициента масштабирования N = 2, так и в случае N>2 [2]. Для многомерных вейвлетов с матричным коэффициентом масштабирования пока имеются только отдельные общие результаты [4], [2]. Дело в том, что здесь возникают дополнительные проблемы, связанные со строением носителя масштабирующей функции. Многомерные аналоги даже простейших вейвлетов Хаара имеют в качестве носителя фрактальное множество [4], [2]. В данной работе для многомерных вейвлетов с матричным коэффициентом масштабирования получен способ построения большой серии ортогональных вейвлетов с компактным носителем и установлены достаточные условия ортогональности. Для простоты мы будем рассматривать только двумерные вейвлеты, хотя все результаты очевидным образом переносятся на случай любой размерности.

Напомним, что двумерным сигналом называется массив действительных чисел {ап}, где индекс п меняется во множестве Z2 всех наборов из целых чисел, п = (п1, п2). Если п е Z2 и г = (г1, г2) е ^, то символом гп будем обозначать моном вида

С каждым многомерным сигналом

F [ f (Ax )](и) =

1

-J

zn = zn znJ

{an} ассоциируется следующий степенной ряд вида (z-преобразование):

X(z) = Е vn = Е

n n zi z2

n GZ2

n-, n =—те

Преобразование Фурье функции f(x) e L'(R2) n L2(R2) определяется формулой:

f(u) = f f (x)e—i(xu)dx,

R2

где  = (, 2), x = (x1, x2), (x,) = x11 +

x22 и dx = dx1dx2.

Напомним одно из свойств пеобразованияФурье в R2. Пусть y = Ax - линейный невырожденный оператор в пространстве R2. Тогда

det

где А)—1 - обратная транспонированная матрица для A.

1. Масштабирующие функции. Пусть A - невырожденная целочисленная матрица порядка 2 модули собственных чисел которой больше единицы,

I I > 1. Степень растяжения характеризуется модулем определителя N = |det A| матрицы A. Определим 2-мерный тор как T2 = R2/2nZ2. Он является прямым произведением T2 = S1x S1 единичных окружностей S1c C.

Определение. Функция p(x) e L2(R2) называется A-масштабирующей, если она может быть представлена в виде следующего ряда:

ф

n GZ2

где числа {hn}, ne Z2, удовлетворяют условию Е gz2 | hn |2 < те и N = |det A|. Равенство

(1) называется масштабирующим уравнением. Набор коэффициентов {hn} называется масштабирующим фильтром.

Если масштабирующая функция p(x) имеет носитель в шаре радиуса L, то масштабирующий фильтр содержит конечное число ненулевых коэффициентов {hn}. Это число K ненулевых коэффициентов может быть оценено сверху:

K < (2LN- 1) 2.

Применение преобразования Фурье к масштабирующему уравнению приводит [2] к следующему соотношению:

ф

где

Hо

ф detА 1nGZ2

- частотная функция масштабирующей функции p(x). Отметим, что она является 2я>периодической

оо

по всем переменным CDІ и поэтому может считаться определенной на торе Г2 = Я2/2^2.

Из масштабирующего соотношения (2) в частотной области получаем при условии, что функция ф(ш) непрерывна и рх) нормирована соотношением ф(0) = 1:

гда и только тогда, когда

f 2 Ф(x)Ф(x — l)dx _ S0l.

U R ’

ф(и) _ П Hо

з _ 1

t) з'

Последняя формула дает метод для нахождения масштабирующей функции через частотную функцию H0(w) при достаточно слабых [2] предположениях на коэффициенты {hn}.

Для ортонормированности системы функций p0,n(x) = px - n), n e Z2 должно выполняться свойство

Поскольку носитель функции рх) компактен, то для проверки ортонормированности нужно найти

конечный набор чисел а[ = ^ 2 ф(х)ф(х — I)йх. В

случае ортонормированности массив а с векторным индексом I имеет вид: а = 5о/. Используя масштабирующее соотношение

ф(х) = >Шу I Ьпф(Ах — п), сделаем I преобразования:

следующие

al _ f Ф(х)Ф(x — l)dx _

R2

У j ф(и + 2nn) j2 _ 1 п. в.

n Є Z2

_ Nf У hnhmф(Ax — n)ф(Ax — Al — m)dx _

r2 n ,m

_ У hnhm f Ф(У) Ф(У — Al — m + n)dy _

Более простое необходимое условие ортогональности выражается [2] равенством:

N — 1

в = 0

где целочисленные векторы dsеZ2 представляют все

_У

k — AL-

Следовательно, если мы определим матрицу А (с векторными индексами) по формуле:

классы фактор-группы Z /A Z .Данное условие эк- a _ У h h

г^і kl / j n k Al ~+ n

вивалентно следующему [2]: n

У h h A _ 60 .

/ j n n — Ar Or v '

Получим более простое, чем (6) достаточное условие ортонормированности для вейвлетов с компактным носителем с конечным числом ненулевых коэффициентов {кп}, где индекс п = (п1, п2) меняется в пределах: 0 < п1 < Ь1 и 0 < п2 < Ь2. Тогда частотная функция является тригонометрическим полиномом вида:

ь

1

y/W

L1 ,L 2 У

h e

n1,n2n

— І

где Ит = 0, если т < 0 или т > Ь, то Аа= а, т. е. а является собственным вектором матрицы А для собственного значения 1. Заметим, что 1 всегда является собственным значением А, если

У N="0 1 Но( ш + 2пвт / N) I2 = 1. Действительно,

определим вектор в =$),/. Легко видеть, что вектор в является собственным для матрицы А,

(А в )1 = У Ак1 дк ,0 = А01 =

_ У hnh

n — Al

Теорема 1. Предположим, что частотная функция является тригонометрическим полиномом

вида Н0

0\ > /_^п = 0 п

Здесь мы воспользовались равенством (7). Если собственное значение 1 является простым, то вектор

а должен быть пропорциональным Д а = св. То-

гда

ряющим условиям (6) и Н0(0) = 1, а функция рх) определена соотношением:

ГО

ф(ш) = П Н0 ((А*)—3(ш)).

з=1

Если собственное значение 1 матрицы

\Ь

f 2 ф(x)ф(x — l)dx _ c6l0 . При нормировке , удовлетво- f^ j ф(x) j2 dx

_ 1 мы получаем, что с — 1. Сис-

о Ьпкк-мі+п не является кратным, то

функции <ро,п(х) = (р(х — П), П Є Z2 образуют ор-тонормированную систему.

Доказательство. Очевидно, что система функций р(х — п) образует ортонормированную систему то-

тема функций р0,п(х) = р(х — п), п е Z является ортонормированной. Теорема доказана.

2. Построение ортогональных вейвлетов с компактным носителем с матричным коэффициентом масштабирования. В работе [4] предложен метод построения большой серии ортогональных вейвлетов с компактным носителем в одномерном случае. Распространим этот метод на случай многомерных вейвлетов с матричным коэффициентом масштабирования с полиномиальными частотными функциями и с вещественными фильтрами. Схема построения следующая.

те

R

k

1

n

H(z) _

Сначала находится унитарная матрица

H0

Hl

H

LN—1(z) HN—1(p1z) " HN—1 (pN—1Z\

частотных полиномиальных функций [2]: Ho(z) -для масштабирующей функции i(x) и H1(z), ..., HN-1(z) - для вейвлет-функций, где

z _ (z 1, z2) _ (e-Іи1, e—Іи2) ,

—i2n(A)—1d , —i2n& —ilnS, s

ps _ e s _ (e s ,e ) ,

do, d1, ., dN-1 - элементы из Z2, представляющие все классы фактор-группы Z2/AZ2 и

(A )—1ds _ (Su, &2s).

Затем находится масштабирующая функция i(x) по формуле (5) и проверяется выполнение достаточное условие ортонормированности системы функций i,n(x) — (fix — n), n є Z2. На последнем этапе находятся вейвлеты /(x), . , / 1(x) по формулам Ф1 (x) _ 'NУ neZ2 g‘nФА — n),

l = 1, 2 , ... N-1,

где gln — коэффициенты многочленов H^z),... ,

1

hn—1(z\ h (и) _~n У gl

l e—i

n ЄZ,

H(z) _ B(zA )R(z).

R(z) _7W

1

zdw—1

1

(Pl z)dl (PlZ )dw—1

1

(Pn—lz f1

(Pn—1Z )dN—1

±le2 , Ae2 _ Alel + A2e2 ,

то опреде-

лим следующие мономы:

Ae, A1 Al

у l __ z 1 z 1

Ae, Al Al

у 2 z , z ,

Такой набор переменных w = (^1, ^2) будем

А

обозначать символом w = г . Отметим, что для любого целочисленного набора к = (к\, к2) имеет ме-

Ак к ~

сто равенство г = г , действительно,

А = гКАе1 +к2Ае2 = (гАе1)к1(гАе2)к2 = гк1 гк2 = гк.

Матрица В^) в выражении (10) называется по-лифазной. Она является уже произвольной унитарной, при |w 11 = 1, |w2І = 1, матрицей с полиномиальными элементами. Отметим, что матрица ^(г) является унитарной на торе Т = ^х^1, а именно, имеет место равенство Я(г)Я (г) = Е.

Задавая унитарную полифазную матрицу В(у>), мы можем построить по формуле (10) матрицу частотных функций Н(г) и вместе с ней частотные функции Н()(г), Н^г), ... , Н^1(г) вейвлетов, следовательно, и сами вейвлеты р(х), ^(х), ... ,

/-1(х).

Схема построения полифазной матрицы. В

данном разделе мы приведем простую схему построения унитарной (при |w 11 = 1, |w2І = 1) матрицы В^), элементы которой являются многочленами с вещественными коэффициентами.

Выберем произвольную ортогональную матрицу В0 порядка N>1, В0 = {Ьк}, к,] = 0, 1, ... N-1}. Умножим ее на диагональную унитарную матрицу

вида

D (w) _ diag(wP0, wPl,..., wPw—1),

где ро, ..., ры-\ - целочисленные векторы. Затем умножим на ортогональную матрицу Со = [Ск], к,] = 0, 1, ... N-1}. В результате получим унитарную матрицу:

B(w) = Dp(w)BoCo,

элементы которой, В з (г) = У N ^ ЬквсзгРк , являются многочленами по переменной w с вещественными коэффициентами.

А

Теперь подставим w = г , где г =

матрицу В(гА) с полиномиальными элементами с вещественными коэффициентами. Умножим ее на унитарную матрицу Я(г). Тогда, согласно формуле (10), мы получим унитарную (на торе) матрицу Н(г) частотных полиномиальных функций Н0(г), Н1(г),. , Н^[—1(г). Таким образом,

Н

Для того, чтобы полученные функции были бы частотными функциями ортогональных вейвлетов, необходимо, чтобы сумма коэффициентов для Н0(г) была бы равна единице, а суммы коэффициентов для остальных функций Н1(г), ..., HN-1(z) были бы равны нулю. Учитывая, что умножение на диагональную матрицу ОР(г4) не влияет на сумму коэффициентов, получаем:

N—1 N—1

I = 1,2, ..., N — 1..

Матрица (9) имеет очень специальный вид. Однако ее можно [2] разложить в произведение двух унитарных (на торе ^| = 1, ^| = 1) матриц:

где В(гА) - унитарная матрица, элементами которой являются многочлены от гА, а матрица К(г) имеет вид:

Напомним определение [2] мономов г . Пусть в1, в2 - стандартный базис пространства Я2. Если А - матрица с целочисленными элементами и

Ае = А1 е + А

— У

'W о

1

4N

N—1

У

s, j _ о

k _ 1,2,...,N — 1.

^ _ vWУоb0s

N—1

k c - _^= У bk

sj W ks

1

N—1

У cs3

.3 _ 0

N—1

У c3j

3 _ 0

_ 1 .

8б

Эти равенства можно записать в матричном виде:

"00

"10

"01

"11

-1,0 -1,1

"0М -1

"1,М -1

WN-1,М-1

С00 + С01 + + С0Д-1

^0 + С11 + + С1,М-1

СМ-1,0 + СN-1,1 + + СN-1,М-1

\[м'

— 0

0

Выбирая различные ортогональные матрицы В0 и С0, удовлетворяющие указанному равенству (14) получаем по формуле (13) матрицу частотных функций.

Для получения достаточно простого класса ортогональных вейвлетов с компактным носителем и с матричным коэффициентом масштабирования,

возьмем в качестве ортогональной матрицы В0 следующую матрицу:

Б0 =

' 1 / 4и 1 / 4^ 1 / 4и 1 / 4и • • 1 / 4и "

1 /42 -1/42 0 0 •• 0

1 /46 1 /46 - 2/46 0 •• 0

1 / 4Ї2 1 / 4Ї2 1 / 4Ї2 - 3 / 4Ї2 •• 0

(1Ц N N-1) 1 Ц N N-1 1 Ц N N-1 1Ц N N-1 -^-1)/^1 N N-1

В работе [2] показано, что тогда в качестве матрицы С0 можно взять матрицу вида

С0 — Б-1МТБ0, где М - ортогональная матрица

вида:

1 0 0 0

М — 0 т1 т1 • •• т\-1 .

0 т?-1 т^-1 •  mN-1 -1

Получаем,

Нм (г) — Бр (г* БМТ Я(г) —

N

= Бр (г* )М1В0Е(г).

Формула (17) дает прямой способ построения частотных функций Н00(г), Н^г), ..., Н^1(г) ортогональных вейвлетов с компактным носителем. Ортогональную матрицу М вида (16) и вектор степеней Р = (Р0, Р1, ••• , РN-l) можно задавать произвольно. При построении частотной функции по формуле (4) нужно учитывать достаточное условие ортогональности, установленное теоремой 1.

Замечание. Для построения полифазной матрицы при помощи матриц Ор^), В0 и Со можно также использовать следующую формулу:

B(w) = В0Ор^) С0.

В этом случае мы получаем матрицу частотных

функций в виде: НМ (г) = В0Бр ^)ВтМтВ0К(х).

Это приводит к другой серии ортогональных вейвлетов с компактным носителем.

3. Пример построения матрицы частотных функций. В данном разделе мы покажем на примере эффективность изложенной выше схемы построения матрицы частотных функций в виде (17).

Пусть А —

1 2

-2 1

Тогда N = det А = 5. Эта матрица является поворотом на угол а = агС£ 2 по часовой стрелке и растяжением с коэффициентом 45. Фактор-группа 22/АЙ2 имеет 5 классов, представленных элементами (вектор-столбцами): й?0 = (0, 0)', й1 = е1 = (1, 0)', й?2 = -е1 = (-1, 0)', й3 = е2 = (0, 1)', й?4 = -е2 = (0, -1)'.

Найдем матрицу Я(г). Для каждого для 5 = 0, 1,., 4 рассмотрим вектор-столбцы координат векторов, (А* )—1д,8 = (6Ъ, 62з). Для выбранной мат-

рицы А имеем (А ) 1 —

= -г2п (А) Ц = ( -ры Р8 — е — (е

случае имеют выражения:

п(А‘)-1Л 0

1 2

-2 1

. Поэтому векто-

і2пд1В -і2пд2*

,е

в нашем

Р 0 =

— (1,1):

Р.1 — е ^ П (А‘ Г1 ^ — (е-2 п/5, е! 4 П/5) ,

- І2 п (А* )-1 (І2 / І2 п/5 - І4 п/5-,

Р 2 — Є 2 — (е , Є ) ,

-І2 п (А* )-1 Ло / -І4п/5 -І2п/5Х

Р3 — е 3 — (е , е ) ,

-І2 п (А*)~1Л4 / І4 п/5 І2 п/5

Р 4 — е — (е , е ) .

Умножение векторов Ра и 2 = (21, 22) определяется покоординатно,

-І2п (А* )~1Л,В

Р*г — е

/ -І2п д-, -і2п д

— (е г*, е

2 ) .

1

5

Вестник КемГУ

№ 4 (44) 2010

Тогда, если n =

имеем следующую формулу умноже-

(p z)n = e-'2n(ds’A~'n)zn ния: ' .

В случае выбранной матрицы:

Ал -2 2

= (Z1Z2 , V

Тогда матрица R(z) принимает вид:

R (z)=75

(1 1 1 1 1

z1 - i 2n/5 e Zj i 2n/5 e z1 - i 4n/5 e z1 i 4п/5 e z1

-1 z1 i 2n/5 -1 e Zj -i 2n/5 -1 e z1 i 4n/5 -1 e z1 - i4n/5 -1 e z1

Z2 i 4n/5 e Z2 - i 4n/5 e Z2 - i 2n/5 e Z2 i 2n/5 e Z2

-1 ^ Z2 -i 4n/5 -1 e Z2 i 4n/5 -1 e Z2 - i 2n/5 -1 e Z2 i 2n/5 -1 e Z2

Диагональную матрицу В(м’) возьмем, для примера, в виде Б(м>)= diag{1, w1, 1, w2, 1}.

Выберем матрицу В0 пятого порядка вида, указанного в (15).

Возьмем вращение вокруг оси Ох, например, в плоскости в1, в2'.

(1 0 0 0 0^

M (t) =

0 cos t sin t 0 0

0 - sin t cos t 0 0 0 0 0 1 0

v0 0 0 0 1,

Получаем,

Н(', г) = О(гА)В0Мте (')Я(г) =

= О(гА )МТ (')В0Я(г), где О(гА) = diag{1, , 1, г2,1} и матрица

Я(г) имеет вид (18). Перемножая все эти матрицы, находим частотные функции Н00(г), Н^), Н2(г), Нз(г), Н4(г):

Н0(о,о2)=^(1+е01 + е02 + е° + е0),

H,(”, ”)=—^ (—2>/з sin te' 3]\0

i2”

,i2&2

+(3cos t+V3 sin t)e ” e +(-3 cos t ^л/3 sin t)e-2” ei2”),

H2(”, ”)=—^ (-2^3 cos te1 3л/10

+(-3sin t+V3 cost)+

+(3 sin t+V3 cos t)e~l”),

H3(ffl"ffl2>=2^-”^ + '’v” +

+e~'3” e4” - 3e- 2” e~' 2”)

-i 2” -i 2” ^

Н 4 (о1,о2) = 110 (е0 - 4е°2 +1 + е 1(01 + е).

Тогда имеется всего 5 ненулевых коэффициентов масштабирующего уравнения:

и = и = и = и = и = 1/ л/5

''(-1,0) "(0,-1) "(0,0) "(1,0) "(0,1) ’

Поэтому масштабирующее уравнение имеет вид: рх,у) = р(х+2у,—2х+у) +

+р(х+2у+1,—2х+у) +р(х+2у—1,—2х+у) +

+ р(х+2у,—2х+у+1) +р(х+2у,—2х+у—1) и соответствует следующим векторам решетки О = {0, е1, -е1, е2, -е2}. Такая масштабирующая функция типа Хаара рх,у) является [3] характеристической функцией компактного множества Т с Я2. Это множество Т удовлетворяет уравнению

А Т=и,5=0(Т+< )• имеет меру 1, замещает Я2

при целочисленных сдвигах и имеет фрактальную границу (рис. 1).

0,5

-0.5

-0.5 0 0.5

Рис. 1. Множество T для D = {0, eh -eh e2, -e2}

Литература

1. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам [Текст] / И. Добеши. - М. -Ижевск: РХД, 2001. -464 с.

2. Смоленцев, Н. К. Введение в теорию вейвлетов [Текст] / Н. К. Смоленцев. - М. - Ижевск: РХД, 2010. - 292 с.

3. Jorgensen, P. E. T. Matrix Factorizations, Algo-

rithms, Wavelets / P.E.T. Jorgensen // Notices Amer. Math. Soc. - 2003. - Vol. 50, no. 8. - P. 880-894. ([Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://www.math.uiowa.edu/~jorgen/fea-jorgensen.pdf, свободный).

4. Podkur, P. N. About construction of orthogonal ный ресурс]. - Режим доступа: arXiv.org, ar-

wavelets with compact support and with scaling coeffi- Xiv:0705.4150v1 [math.FA], 2007, 15 P., свободный.

cient N / P. N. Podkur, N. K. Smolentsev // [Электрон-