Электромагнитное поле в прямоугольном волноводе с фрактальной ферритовой пластиной

УДК 537.8:621.372.8

А. А. Мисюра, В. М. Онуфриенко

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ С ФРАКТАЛЬНОЙ ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНОЙ

Представлены результаты исследования электромагнитного поля в прямоугольном волноводе с намагниченной фрактальной ферритовой пластиной. Для нахождения а-характеристик компонент поля в представленной среде использован аппарат дробного интегро-дифференцирова-ния. Определена зависимость поперечных и продольных компонент поля от величины скейлингового показателя, характеризующего степень фрактальности ферритового заполнения.

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании СВЧ-устройств широко используются искусственные среды, которые получаются путем структурирования однородных по составу сред, либо путем частичного заполнения. К таким структурам можно отнести волноводы с ферритовыми стержнями, диэлектрическими и ферритовыми пластинами, объемные параметры которых могут оказаться анизотропными в виду особо упорядоченного пространственного расположения атомов в узлах кристаллической решетки.

В работе [1] классическая модель сплошной среды применяется для структуры, представляющей собой прямоугольный волновод, частично заполненный поперечно намагниченным ферритом. Особый интерес представили аномальные потери энергии, которые возрастают по мере приближения ферритовой пластины к узким стенкам волновода. Автор ссылается на ряд экспериментальных исследований и приходит к заключению о существовании поверхностной волны с высокой концентрацией энергии в зазоре между ферритом и стенкой волновода. Даже когда ширина зазора стремиться к нулю, эта «щелевая» волна переносит конечную энергию. Сделаны попытки нахождения амплитуды данной волны путем устранения доминирующего слагаемого в магнитном поле основной волны.

Полностью адекватную математическую модель неоднородных фрактальных свойств материалов и описания реальной физической системы найти трудно, но разработанная теория дифферинтегральных форм [2] создает необходимую структурную основу для рассмотрения и объяснения экспериментальных фактов в едином систематическом виде.

Становится ясным, что рассмотренная композиционная среда по своей природе является фрактальной (неоднородной, особо структурированной), что вносит предпосылки об ее исследовании с помощью особого математического аппарата дробного интегро-дифферен-цирования.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В постановке задачи используем физическую модель зарядов и токов в неоднородной среде, которая основывается на учете скейлинговых соотношений в измерении протяженности неоднородного множества точек. Это позволяет рассмотреть поляризованность неоднородной структуры, ввести понятие а-польного момента, который возникает вследствие микроскопического разделения центров положительных и отрицательных зарядов, а также описать обычный и аномальный скин-эффект на структурированной поверхности среды. Для рассмотрения намагниченности неоднородной структуры используется модель а-поль-ного момента, который порождает а-характеристики электромагнитного поля [3].

Изображенная на рис. 1 поперечно намагниченная фрактальная ферритовая пластина параллельна оси прямоугольного волновода и расположена в Е-плоскос-ти. Намагничивающее поле И0 ориентировано вдоль оси у.

I во, цо / 0/0°/П/о / о- 0/0 'о / О / О / 'о "о "о " ° " о / / / / О / ' ° г 1 п % о ✓ О во, [ц] О, о / о / О/ О/ о, ' О / о ✓ о о 'о 'О ' О ' ' ' /о / О / ° / / III в0, ц0

¿х

Рисунок 1 - Поперечное сечение прямоугольного волновода с ферритовой пластиной

ь

0

а

2

А. А. Мисюра, В. М. Онуфриенко: ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ С ФРАКТАЛЬНОЙ ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНОЙ

Область I (0 < х < й 1), как и область III (й2 < х < а), представляет собой воздушный зазор с параметрами 8о, Цо- Ферритовая пластина занимает область II (й\ < х < й2) и описывается диэлектрической проницаемостью 8, тензором магнитной проницаемости

[ц] =

ц 0 /х

0 ц0 0

-/х 0 ц_

и скейлинговым показателем а, характеризующим степень фрактальности заполнения.

Для данной структуры исследуем влияние фрактальной пластины на поведение мод магнитного поля Я(а)-типа.

РЕШЕНИЕ

В дальнейшем рассмотрении ограничимся случаем, когда отсутствует зависимость от координаты у. Тогда, согласно [1], поля в первой и третьей области можно рассматривать в классическом виде, а во второй - а-характеристики компонент поля (см., например, [4, 5]).

1. Область I

Ey i( x, z) = sin (hi • x )• e

j • k • z

Hzi (x, z) = (j/ W0) • CQs(h\ • x)• e

j • k • z

где ^о = ю - цо/¡1 - характеристическое сопротивление среды; ¡11 - коэффициент фазы плоской волны в воздухе; Цо - магнитная постоянная; 8о - электрическая постоянная; ю - круговая частота; к' =

= ^ю2 • 80 • Ц0 _ hi - постоянная распространения волны.

2. Область II

(x^y^x, z) = = [A • sin(h2 • x) + B • cos(h2 • x)] • e

j • k • z _

(ЛН2Ыx, z) = (j • A/^0 • hi • ц • ц±) x

-/ • k • z

x [ц • h2 • cos(h2 • x) - х • k • sin(h2 • x)] • e

- (j • B/ W0 • hi • Ц • Ц^) x x [ц • h2 • sin(h2 • x) + х • k • cos(h2 • x)] • e

-/ • k • z

а восстановленные по a-характеристикам компоненты электромагнитного поля имеют вид:

Ey<2)(x, z) = [A • sin(h2 • x - a • п/2) +

+ B • cos (h2 • x - a • п/2) ] • — • e

h

(Hz?)(x, z) = [(/ • A/ W0 • hi • ц • ц±)x x (ц- h2• cos (h2• x - a^n/2) - х - k • sin(h2 • x - a • п/2)) -- (j • B/ W0 • hi • ц • ц1) • (ц • h2 • sin(h2 • x - a • п/2) +

+ х • k • cos(h2 • x - a • п/2))] • — • e

ha

где Л и £ - амплитуды поля, определяемые из

с- гча с

граничных условии для составляющих Ey и D-aEy2,

Hz и Н,а) при x = dp = (|2 - %2)/Ц - эффективная магнитная проницаемость поперечно намагниченного феррита; ^ - коэффициент фазы плоскоИ

волны в феррите; k' = Ja2 • s • - h^ распространения волны. 3. Область III

постоянная

Еуз(x, z) = C • sin[h3 • (a - x)] • e

j • k • z

Hz3

где С - амплитуда поля, определяемая из граничных условий для составляющих Ey и D^Eyi, Hz и

D^H^ при x = d2, h3 = hi - коэффициент фазы плоской волны в воздухе.

В соответствии с граничными условиями в силу

сохранения непрерывности Ey и D^Eyi, Hz и

xDaxH(za при x = di и x = d2 имеют место следующие равенства:

sin(hi • di) = Л • sin (h2 • di) + В • cos (h2 • dj);

(j/ W0) • cos(hi • ¿i) = (/ • A/ W0 • hi • ц^ ц±) x x [ц • h2 • cos(h2 • di) - х • k' • sin(h2 • ¿i)] -

- (j • B/ W0 • hi • ц • ц1) x

x [ц • h2 • sin(h2 • di) + х • k' • cos(h2 • di)];

C • sin [• (a - d2)] = A • sin(h2 • ¿2) + B • cos(h2 • d2);

(-/ • C / W0 )• cos [ h3 •( a - d 2)] = (j • A / W0 • hi •ц^) x [ц • h2 • cos(h2 • di) - х • k' • sin(h2 • di)] -

- (j • B/ W0 • hi • ц • ц1) x

x [ц • h2 • sin

Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения:

й 1 = й 1 / а,

й2 = й2/а, ко = ю-8 о -Цо - й2, у = ¡1 - й2, у - (й1 /й2) = ¡1 - й2, / 2 2

^ + ко - (8- Ц± - 1 ) = ¡2 - й2,

(й/й2+ к2 -(8-Ц± - 1) = ¡2 - й2,

у/й2 = ¡1 - а,

= к'- й2.

Тогда, с учетом (5), из (4) получим

Л =

у - Ц±

л/у2 + ко -

соя

+ Х -

Ц /__2 , ,2

^ч/к <о - У2

я1п

Л/у2 + ко -(8-Ц± - 1) (й1 /й<2) + к2 - (8 - Ц± - 1 )| + я1п (у - (й1 /й2 )) х

X я1п ((й 1 /й2) - ^у2 + (8-ц± - 1 )|;

в =

у - Ц±

Л

у2 + ко-

соя (у - (й1 /й2)) -

>ч/к оо - у2

я1п

Ц Л/у2 + ко-

я1п((й1 /й2) - ^у2 + ко - (8 - Ц± - 1 )| + я1п(у (й1 /й2)) : х соя/й2) - Л/у2+к2^~Ц±М));

с =

Л- ят^у2 + к2о-

Я1пI - у

I й2

Ц - л^2 + к2- (8-Ц± - 1)х

(А/у-ц-ц±)-х соя (^у2 + к2- (8- Ц± - 1)) - Х- л/ко - у2 х

X я1п (д/у2 + к2о- (8-Ц± - 1)] - (в/у-Ц-Ц±)х Ц - + ко-(8-Ц± - 1) - я1п (А/У2 + к2- (8- Ц± - 1)) + + Х - ^ - соя (д/у2 + ко- (8-Ц± - 1 ^

+ С- соя[¡з - (а-й2)] = о.

0,5

1 / 2

/ / // 1 / лл / / У 3 \ 4 I / / \ / // \ > \

Г I1 / А/ / / / ¥ ул/ г !/ V

Уравнение (6) дает возможность численно определить у, а, следовательно, и все остальные параметры, входящие в волновые уравнения.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

тт 1 / г-

На рис. 2-4 представлена структура ЕУ - и Иг -ком-

гг(а) « У

понент поля Н -типа в классической анизотропной \н?\х)\

0,2 0,4 0,6 0,8

я)

г(а) .

Рисунок 2 - Структура поперечных и продольных компонент поля Н -типа при различных значениях дробного

индекса а для й 1 /а = о, о5 и й2/а = о, 95

х соя

А. А. Мисюра, В. М. Онуфриенко: ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ С ФРАКТАЛЬНОЙ ФЕРРИТОВОЙ ПЛАСТИНОЙ

0,75 0,5 0,25

/ , 1 \

// // / м ч 2

// ь / ч / 1 Г 1\(! ' , 3

/1 / / № /, \ 4

1,5

0,5

л/ 1 / 2

'Л / / 11 /- м/ /

и-- ^ // к//,' / ч у ^ г/

/ V

0 0,2

0,4 0,6 а)

0,8

0 0,2

Рисунок 3 - Структура поперечных и продольных компонент поля И^-типа при различных значениях дробного

индекса а для й 1 /а = 0, 1 и ¿2/а = 0, 6

\Hf\x\ 1,5

0,4 0,6 6)

0,8

0,5

К \ 1

ч V 4 /

>Л ) V

0,2 0,35

Рисунок 4 - Структура поперечных и продольных компонент поля И -типа при различных значениях дробного

индекса а для й 1 /а = 0, 45 и ¿2/а = 0, 55

0,5 б)

0,65

\

\ V \\ у/а = 0,05

\ \ \\ V —ч к (12/а \ / = 0,95

УХ. \\ _1_ _

-0,5

0 а)

0,5

Иа)(*)|

(¿¡/а = 0,95

V/

\ \ —\\ = 0,05

/

\ \ ч

-0,5

0

б)

0,5

г(а) .

Рисунок 5 - Скейлинговые зависимости поперечных и продольных компонент поля И -типа на границе раздела сред

¿1 /а = 0, 05 и ¿2/а = 0, 95

среде (кривая 1 - а = о) и во фрактальной - с показателем фрактальности а = о, 1 (кривая 2); а = о, 3 (кривая 3); а = о, 5 (кривая 4). На рис. 2 ферритовая пластина расположена по середине волновода и занимает почти весь его объем (от й/а = о,о5 до й2/а = о, 95), на рис. 3 она смещена к началу координат и занимает половину пространства (от й / а = о, 1 до й2/а = о, 6), а на рис. 4 - ее размеры малы по сравнению с воздушным заполнением (от й/а = о, 45 до й2/а = о, 55). Параметры феррита: 8 = Ю; ц = = 1, 914; х = о, 686.

Из графиков видно, что с увеличением скейлингового показателя а происходит заметное уменьшение амплитуды, а также фазовый сдвиг Е^- и Н^-компонент поля Н(а)-типа. Кроме того, на границе раздела сред в случае фрактальной пластины появляется резкий скачок амплитуды поля. Это явление обусловлено возникновением поверхностных токов, распределенных вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Это позволяет говорить о том, что кроме магнитной волны основного типа в данной структуре имеет место «щелевая» поверхностная волна, которая, как указывалось в [1], играет роль в переносе энергии. Разность амплитуд поля на границе раздела сред определяет искомую амплитуду «щелевой» волны. Данный эффект наблюдается даже в случае, когда величина воздушного зазора бесконечно мала, что согласуется с данными работы [1].

На рис. 5 представлены скейлинговые зависимости

„

ЕУ - и НУ -компонент поля Н -типа на границе разу ¿

дела сред й1 /а = о, о5 и й2/а = о, 95.

Графические зависимости указывают на то, что скейлинговая структура ферритовой пластины существенно сказывается на поведении электромагнитных полей в рассматриваемой конструкции. Таким образом, многие термодинамические эффекты (например, рассеяние энергии) могут быть объяснены не только экспериментально, но и теоретически, что актуально при проектировании вентилей, фазовращателей, поглощающих нагрузок и других СВЧ-устройств.

ВЫВОДЫ

На примере прямоугольного волновода с поперечно намагниченной фрактальной ферритовой пластиной показано влияние гиромагнитных эффектов на структуру магнитного поля.

Выявлена возможность существования «щелевой» волны в среде с фрактальными свойствами, что устра-

няет термодинамический парадокс, связанный с возможностью однонаправленного распространения энергии. Показана возможность управления ее распространением за счет варьирования величины скейлингового показателя, характеризующего степень фрактальности ферритового заполнения.

Для исследования вышеуказанной структуры применен математический аппарат дробного интегро-диф-ференцирования, позволяющий любую сложную электродинамическую задачу сводить к рассмотрению классической задачи об однородном заполнении области веществом, но в терминах а-характеристик компонент поля с классическими предельными условиями.

Результаты работы могут использоваться для решения актуальных задач об управлении электромагнитным полем в волноведущих системах за счет варьирования скейлингового показателя.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Левин Л. Теория волноводов. Методы решения волновод-ных задач. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1981. - 312 с.

2. Онуфр/енко В. М. Диферштегральш a-форми у хаусдорфовш метриц на фрактальних множинах // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2002. -№ 2 (8). - С. 31-35.

3. Onufriyenko V. M. Physical and Geometric Interpretation of Electromagnetic Field's a-Characteristics // Telecommunications and Radio Engineering, Vol. 53. - No. 4-5, 1999. - PP. 136-139.

4. Мисюра А. А., Онуфриенко В. М. Собственные функции и числа прямоугольного волновода с фрактальными широкими стенками // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2003. - № 1 (9). - С. 12-16.

5. Misyura A. A. Onufrienko V. M. Calculation of the Magnetic Wave Attenuation in a Rectangular Waveguide with Fractal Walls // Telecommunications and Radio Engineering. Vol. 59. - No. 10-12, 2003. - PP. 25-30.

Надшшла i3.i0.04

Наведено результати досл1дження електромагттного поля у прямокутному хвилевод1 з намагтченою фрак-тальною феритовою пластиною. Для знаходження a-xa-рактеристик компонент поля у наведеному середовищ1 використаний апарат дробового ттегро-диференщювання. Визначена залежтсть поперечних та повздовжтх компонент поля в1д величини скейлтгового показника, що ха-рактеризуе стутнь фрактальност1 феритового заповнення.

The investigation results of electromagnetic field in rectangular waveguide with magnetized fractal ferrite plate have been showed. The apparatus of fractional integro-diffe-rential calculus has been used to find a-characteristics of the field components in presented medium. The dependence of transversal and longitudinal field components on values of scaling index which characterizes the degree of ferrite fractal filling has been determined.