«Математическое образование заставляет людей думать по-другому»

Почему математики в отличие от биологов и физиков все еще могут понимать друг друга? Какие области науки сегодня выглядят наиболее перспективно и почему великие физики начала века не сделали бы своих открытий, родись они на сто лет позже? Об этом рассказал член оргкомитета МКМ-2022 математик Федор Богомолов.

Федор Богомолов, российско-американский математик, профессор Института Куранта Нью-Йоркского университета, доктор физико-математических наук

Фото: Из личного архива

Федор Алексеевич Богомолов — один из наиболее известных российско-американских математиков, профессор Института Куранта Нью-Йоркского университета, доктор физико-математических наук. В 1970 году окончил мехмат МГУ. Первая статья была посвящена топологии. В начале 1970-х годов начинает исследования в области алгебраической геометрии. После защиты диссертации поступил в отдел алгебры МИАН. В 1994 году эмигрировал в США. В 2000-х годах стал признанным лидером мировой алгебраической и арифметической геометрии. Его работы лежат в основе современной алгебраической геометрии и ее пересечений с теоретической физикой (теорией струн). Имя ученого носят теорема Богомолова о разложении и форма Бовиля—Богомолова. С 2010 года — научный руководитель лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений Высшей школы экономики в Москве. Главный редактор European Journal of Mathematics, автор более ста работ по математике.

— Федор Алексеевич, Международный конгресс математиков привлекает к себе довольно много внимания по сравнению с обычными научными конференциями. В чем его принципиальное отличие?

— Математика остается одной из немногих областей классической науки, где до сих пор возможно проведение конгресса, который охватывает все основные направления. Так получилось, что именно математики, работающие в разных областях, все еще могут понимать друг друга. Это результат работы нескольких поколений ученых, которые создали некий общий базис, общую терминологию. То есть помимо того, что математики решали какие-то задачи и продвигали науку вперед, они занимались довольно неблагодарной работой по упрощению предыдущих результатов. Конечно, и в математике проходит процесс размывания, но общий стержень все-таки остается. В других науках, где люди концентрируется каждый на своем направлении, это общее понимание уже утеряно. Вряд ли такой конгресс можно провести по теоретической физике или особенно по медицине или биологии. Меня поразил рассказ моего знакомого биолога, который сказал, что если решит использовать константы своих коллег из смежной области исследований, то у него человек будет весить две тонны.

— За какое время до начала конгресса начинает собираться оргкомитет?

— Мы начали собираться примерно семь-восемь лет назад. Дело в том, что сама подача заявки на конгресс требует большой работы и всегда связана с некоторой конкуренцией. Санкт-Петербургу пришлось серьезно бороться за проведение МКМ с французами. Помимо математического сообщества Петербург был интересен по многим параметрам. Это наиболее европейский город России, большой культурный и математический центр, который хотели бы посетить многие ученые.

В целом же за последнее время структура конгресса во многом поменялась. Он оброс большим количеством сателлитных конференций, которые организуют локальные инициативные группы. Сейчас у нас около 40 с чем-то таких мероприятий и в России, и в некоторых соседних странах. Но и изначальная идея никуда не делась: продемонстрировать основные достижения и сформулировать самые интересные проблемы на будущее.

–– Обычно это острые дискуссии? Или, наоборот, особых споров по поводу того, что было самое главное за четыре года, не возникает?

–– Дискуссии в пленарном комитете всегда разные, бывают очень острые, но в целом крупные достижения разногласий не вызывают. В каждой области можно выделить последние достижения и под это подстроить набор приглашенных докладчиков.

— Можно выделить области, где эти достижения за последние четыре года бесспорны? Какая область математики сейчас находится на подъеме?

–– Для меня это, конечно, алгебраическая геометрия и теория трехмерных многообразий, теория чисел. На мой взгляд, были сделаны очень серьезные продвижения в теории вероятности и ее различных применений. Там действительно произошел очень серьезный прогресс. Кроме этого, были большие продвижения в теории графов и бесконечных групп. Но это только те области, за продвижением которых я следил.

–– Говорят, что конгресс 1966 года дал колоссальный импульс советской математике. Какие области после этого стали развиваться, может быть, более активно?

–– Это довольно сложно сказать, потому что тогда я был студентом. Но в целом очевидно, что тогда начали активно развиваться топология, алгебраическая геометрия и теория чисел. Кроме того, существенно усилились контакты с западными учеными.

–– Вы были волонтером на МКМ в Москве, что запомнилось больше всего? Кто на вас произвел наибольшее впечатление?

–– Конечно, я ходил на пленарные доклады, мы помогали иностранцам в разных мелочах, но больше всего мне запомнилось именно неформальное общение и удивительный дух, царивший на МКМ. Тогда я учился на третьем курсе, увлекся топологией и встретил там Джона Милнора (один из шести математиков, которые получили премию Филдса, Вольфа и Абеля, последнюю с формулировкой «За гениальные и очень оригинальные открытия в области геометрии, открывшие важные новые перспективы в топологии с алгебраической, комбинаторной и дифференциальной точек зрения»). Тогда он был еще очень молодым и при этом одним из самых выдающихся ученых, который сделал настоящий прорыв в топологии.

— Какие конгрессы с тех пор вам запомнились особо?

— Мне, конечно, очень запомнился конгресс 1978 года в Хельсинки, где я был докладчиком. Тогда я много общался с европейскими, японскими и американскими математиками. Кроме того, туда приехало много знакомых, которые перед этим эмигрировали, и это, по сути, была первая встреча и смычка советских математиков с теми, кто покинул СССР. Было очень интересно послушать их впечатление.

Мыслить по-иному

— В Питер приедет около 5 тыс. математиков из десятков стран. Насколько актуален сегодня разговор о математических школах, которые когда-то ассоциировались с национальными границами — российская школа, французская?

— Математический язык, конечно, единый, но все-таки думают люди при этом немножко по-разному. Есть отличие в восприятии различных понятий. Причем, это зависит даже не от национальности ученого, а скорее как раз от его принадлежности к той или иной математической школе. Например, у меня есть знакомые из бывшего СССР, которые затем прошли школу во Франции, и очень интересно наблюдать, как они по-другому соображают, расставляют другие акценты.

— В чем это отличие?

— Я вышел из математических кружков 1960-х годов. Это такой мини-вариант греческой академии, где было много встреч, разговоров, идей и их обсуждений. Это очень вербальная история. Авторитет человека базировался на том, мог ли он произвести какую-то интересную рабочую идею или соображение по поводу обсуждаемой проблемы. При этом локальным лидером кружка или научной группы мог стать совсем молодой ученый, которому это старшинство вроде бы совершенно не по рангу. Например, я помню кружок, где лидером был семиклассник! И он действительно очень хорошо соображал.

— Интересно, что с ним стало потом?

— Он вырос и стал очень хорошим математиком. Так что в моей математической среде была особая демократичность. Это не значило, что каждый мог говорить все, что угодно, но если ты говорил что-то толковое, то тебя начинали слушать все, невзирая на ранги. Ну и могли точно так же довольно резко тебя осадить. То есть главным была концентрация на обсуждении интересных работающих идей, которые могли решить ту или иную проблему.

— А французская школа чем отличается?

— Мне она показалась более формальной. Понимаете, на Западе для меня вообще самое трудное — это заставить человека говорить то, что он реально думает по поводу задачи или даже по любому поводу, вызвать на серьезное обсуждение, на зыбкую почву гипотез, на уровень идей, где происходит самое интересное. Здесь иногда человек боится сделать ошибку, боится сказать слишком много и поэтому дает банальные ответы. Меня это поражало с самого начала. Почти невозможно представить себе какой-то спор, в котором можно было бы столкнуть крайние позиции. Хотя, с моей точки зрения, такие споры и есть самое полезное.

Ведь иногда для того, чтобы выразить яркую мысль, приходится ее немножко заострить, так что она, может быть, станет в деталях неверной, но по существу будет лучше передавать смысл. Такого подхода я почти нигде не встречал за пределами России. Хотя с отдельными людьми он возможен, например, всегда очень хорошо разговаривать с Дэвидом Мамфордом — с ним как раз такие диалоги очень плодотворны.

— Продолжая параллель с античностью, можно сказать, что, по сути, это платоновские диалоги с целью выяснить истину. В Институте теоретической физики семинары могли длиться по 12 часов кряду. Это совершенно изумляло иностранных коллег.

— Конечно, семинар — это всегда диалог. В современной культуре эта традиция исчезает, считается невежливым спросить, уточнить, поспорить. Хотя сейчас, по-моему, с этим становится немного получше.

— Интересно, сколько русскоязычных математиков сейчас в мировом сообществе?

— Скажем так, сегодня нет таких университетов, где бы их не было. Поэтому вопрос здесь не в процентах. Зачастую русскоязычные математики наиболее активное творческое ядро.

— С чем это связано?

— Дело не столько в самих людях или в их национальностях. Дело в системе образования, которая была разработана в СССР и в восточноевропейских странах. У нас человек шел в математику потому, что у него было к этому призвание, она была ему интересна. Туда попадали люди, собранные со всей страны, которые действительно хотели заниматься этой наукой всю жизнь. Масса людей уходила с мехмата в прикладные институты и другие места, но они продолжали интересоваться тем, что происходит в математике. В 1990-е годы, когда наука развалилась, многие вообще ушли на заработки непонятно куда, но продолжали посещать семинары, потому что для них это важно и ценно.

На Западе изначально меня поразило то, что в математике много людей, которые пришли сюда просто потому, что им хотелось стабильной профессорской зарплаты и гарантированной пенсии. Человек учился, достигал хорошего уровня и на этом останавливался. Из таких людей создать активную творческую среду чрезвычайно сложно. Хотя как-то это работает.

— Можно ли, на ваш взгляд, возродить подобную систему образования? Или поменялась не только система, но и люди?

— В 1990-х годах эта система начала распространяться по миру вместе с советскими эмигрантами, которые всюду насадили ее ростки. Но что будет дальше — сказать трудно. Потому что мы находимся в таком турбулентном режиме, где все меняется. Современные студенты совсем другие. Многие уверены, что можно чего-то не знать, потому что все можно найти в интернете. Когда мы учились, главная идея была в том, чтобы не просто получить результат, но и полностью понимать, почему так происходит, то есть внутренние фундаментальные законы. Если какие-то числа оказываются равны, хорошо бы понимать, почему так получилось. Сегодня студенту это объяснить сложно, потому что он может сразу все вычислить точно и это очень много меняет. Поэтому сегодня, например, Майкельсон не мог бы открыть, что скорость света постоянна.

— Почему?

— Потому что сегодня существуют слишком точные измерения. И теперь мы знаем, что скорость света в воздухе и в других средах отличается, что гравитация искривляет пространство и т. д.

Когда появились быстродействующие компьютеры с огромной памятью, знание многих физических законов оказалось необязательным для многих конкретных вычислений. Теперь можно заложить в компьютер ряд данных и получить ответ, применяя правильную модель и не задаваясь вопросом, на основе чего был получен такой результат. Математика как таковая оказалась ненужной, потому что все можно вычислить точно. Этого достаточно для чисто прикладных вещей, но для развития соответствующей математики это тупик.

Один знаменитый математик говорил, что главное во всей истории образования для математика — формирование мышления. Классическое математическое образование заставляет людей думать по-другому, у них другой подход к решению задач.

— Интересно, почему сегодня не происходит этого ухода на глубину.

— Потому что на поверхностном уровне в этом нет необходимости. Во время локдауна в Нью-Йорке мы долгое время обучали по Zoom. Ты даешь задание, понимая, что студент может все решения найти в интернете. Остается только надеяться, что остались те, кому интересно это решить самому, пройти некий путь. И именно это основа глубокого понимания.

Если таких людей не будет, то, по-моему, человечество очень быстро потеряет в качестве. Я это вижу постоянно. За границей я впервые столкнулся с тем, что кассир в магазине на десять умножает на калькуляторе. Про таблицу умножения я вообще молчу. География тоже перестает быть наукой: люди просто не понимают, где север, а где юг, и я часто вижу, как люди со смартфоном в руках включают карту и идут ровно в противоположном направлении, потому что в принципе не представляют, как ориентироваться в пространстве. В целом, на мой взгляд, эта античеловечная тенденция ведет к деградации. А чем меньше человек думает, тем проще живется бюрократии, выстраивающей отслеживающие системы и т. д. Уже сегодня мы заполняем кучу ненужных документов, отвечаем на массу вопросов просто для того, чтобы просто выйти из дома. Лично я делаю это каждый раз, чтобы попасть в университет. Поставишь галочку не там — и проблемы тебе обеспечены. Зачем собирается эта информация и что с этим будут делать — большой вопрос. Боюсь, что все это не пропадет с окончанием пандемии и система будет зажимать нас все больше. Что и было продемонстрировано в течение последних месяцев.

— Все-таки классическое образование должно давать какую-то прививку от расчеловечивания.

— Да, но в последнее время меня тревожит еще одна тенденция — уход хороших студентов в финансовую сферу. Они собирают команды из ведущих ученых, включая не только математиков, но и физиков-теоретиков, статистиков, экономистов, и создают механизмы, позволяющее им накачивать деньги. Это, по сути, уже не бизнес, а просто грабеж, причем очень выгодный. Они начинают зарабатывать в десятки раз больше, чем в науке, и поэтому для многих это очень соблазнительно.

— Можно сказать, что это новое явление?

— В каком-то смысле, но это похоже на классическое пиратство. В Средние века всегда было гораздо выгоднее кого-то грабить, чем честно работать матросом на военном или купеческом корабле. Конечно, не всегда это сходит с рук. Но пиратский бизнес все равно утягивает очень многих.

Посчитать деньги

— Если продолжить говорить о финансах, можно ли сказать, насколько охотно сегодня математикам дают гранты? Можно ли вообще получить грант под фундаментальную задачу?

— По моему опыту участия в работе соответствующих панелей в основном работает очень простой и не очень хороший принцип: деньги дают тем, у кого они есть. Грубо говоря, большие гранты получают люди, которые уже привыкли их получать. Все скатывается к главенствованию отдельных сплоченных групп. В математике образуются центры силы, которые притягивают на свою орбиту большое количество молодых ученых, создают своеобразные популяции молодежи, которая занимается определенной темой. Конечно, система пытается с этим бороться, но это очень трудно.

— В вашей области математики тоже происходит нечто похожее?

— В алгебраической геометрии силы концентрируются в нескольких направлениях. Некоторые из них, с моей точки зрения, интересны, а некоторые совсем нет. Но тут работает принцип наследственности: профессор, который занимается какой-то областью, часто старается привлечь своих учеников в эту область, порождая такое самоподдерживающееся дерево. Это отчасти даже хорошо, но все-таки не очень. Мне кажется, это не совсем верный подход. Так как я всегда занимался разными вещами и даже разными областями, то старался скорее подстроиться под вкусы аспиранта, чтобы на выходе получалась разная математика.

— Где сейчас, на ваш взгляд, работают самые яркие математические центры?

— Сейчас существуют заметные исследовательские центры во многих странах мира, которые, как правило, создавались под каких-то ярких представителей. Также имеются и такие классические центры, как Оксфорд, Кембридж, Париж, Бонн, Пиза, Тата-институт в Индии, Киото, Цинхуа и Гонконг в Китае и даже Сидней. Это все центры вне США. В Штатах же существует ряд известных университетов и центров: Беркли, Принстон и т. д. Я помню, как в 1981 году посетил Гарвард и МIT и застал там компанию ярких математиков. Там работали Джон Тейт, Дэвид Мамфорд, Рауль Ботт, Барри Мазур и другие. Я со всеми ними очень много общался, у кого-то жил, и это было очень продуктивное время. В 1989 году, во время поездки большой группы геометров в Чикаго, мы познакомились с яркой группой ученых, которые работали в ближайших университетах.

Один известный математик как-то сказал, что вся сила США — это 50 университетов самого высокого уровня, где сосредоточены прорывные исследования, и в каждом штате есть хотя бы один такой университет. Особенность США в том, что если где-то что-то вырождается, то в другом месте обязательно появляется что-то новое. В советское время это называлось «жизнь в джунглях»: на том, что сгнивает, тут же вырастают десять деревьев. Это позволяет стране постоянно поддерживать концентрированную высокопрофессиональную научную среду.

В последние десятилетия большую роль в поддержке науки сыграл такой человек, как Джеймс Саймонс. Он сам был математиком, но при этом заработал на бирже многомиллиардное состояние и очень грамотно организовал систематическую поддержку разных направлений науки. Его вклад по масштабу сравним с вкладом американских правительственных организаций.

— Financial Times назвала его самым умным из миллиардеров. В России пока с этим как-то не очень.

— Но в некоторых местах начинают появляться живые силы и без больших денежных вливаний. Москва остается крупным математическим центром за счет нового поколения математиков. Например, появился факультет математики в Высшей школе экономики. Его развитию способствует активное участие профессоров в работе со студентами, в организации научных семинаров разного уровня. На самом деле очень многое зависит от людей на местах.

Задачи тысячелетия и не только

— Федор Алексеевич, какая проблема в математике, на ваш взгляд, сейчас самая интересная? И какие задачи из «списка тысячелетия» Клэя будут решены в первую очередь?

— Математика очень большая. В разных областях существует масса интересных проблем, которые часто не так-то просто описать для неспециалистов.

Мне очень интересно, что недавно было опубликовано доказательство гипотезы Шпиро в теории чисел. Я тоже этим немножко занимаюсь. Это была проблема в теории чисел, очень глубокое обобщение того, что всем известно, как теорема Ферма — частный случай гипотезы. Самое интересное, что здесь неожиданным образом доказательство формулируется на очень простом языке, понятным любому человеку, знакомому с арифметикой. А само доказательство требует довольно глубокого понимания геометрических объектов. Доказательство написал Синъити Мотидзуки, кто-то считает, что оно правильное, а кто-то из ученых сомневается. И мне хотелось бы, чтобы это как-то разрешилось.

— Наверное, не так много людей в мире, кто сможет найти ошибки в этом 500-страничном труде.

— Да, и в этом большая проблема. Доказательство, которое он дал, изначально довольно сложное, и его трудно проверить. Я очень надеюсь, что в скором времени появится какой-то вариант, который будет более доступным для остальных.

Также на меня произвели большое впечатление результаты по гипотезе Терстена про поведение трехмерных многообразий. Отметим при этом, что в размерностях больше чем три все обстоит совсем по-другому, а размерность четыре по многим параметрам оказалась исключительной.

Сам список проблем Клэя мне как-то не очень интересен. Это в основном старые классические проблемы, для решения которых не видно реального подхода к решению. Так что у меня есть свои задачи, которые я считаю интересными.

— Давайте опубликуем список Богомолова?

— Это довольно большой список, и сейчас мы прорабатываем его с моим студентом. Не думаю, что он будет интересен всем, ведь у каждого математика со временем накапливается довольно большой перечень задач, которые он хотел бы разрешить.