Расчет ламинарных спутных струй с точным удовлетворением условия постоянства избыточного импульса

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том V 1974 '

УДК 532.526.2:532.525.2

РАСЧЕТ ЛАМИНАРНЫХ СПУТНЫХ СТРУЙ С ТОЧНЫМ УДОВЛЕТВОРЕНИЕМ УСЛОВИЯ ПОСТОЯНСТВА ИЗБЫТОЧНОГО ИМПУЛЬСА

Б. П. Белоглазое, А. С. Гиневский

Излагается численный метод решения уравнений пограничного слоя, описывающих распространение плоских и осесимметричных ламинарных струй в спутном однородном потоке.

Задача о расчете струи в спутном потоке принадлежит к одной-из важнейших в теории струй. Вследствие ее неавтомодельностю она в основном решалась с помощью интегральных методов. В последнее время широко используются численные методы для расчета разнообразных струйных течений, как ламинарных, так и турбулентных [1 — 8].

Существенной особенностью изобарических струй в спутном потоке является наличие инварианта, т. е. постоянства избыточного-импульса во всех поперечных сечениях струи. В связи с этим эффективность численных методов решения задач о распространении спутных струй определяется, в частности, тем, насколько точно-выполняется это условие. В работе [1], например, при численном решении задачи о распространении плоских спутных струй в качестве критерия для оценки точности расчета и выбора необходимого числа шагов использовалось условие сохранения избыточного импульса. При этом, однако, не удается во всех случаях: добиться точного выполнения указанного условия.

Очевидно имеет смысл при численном решении задачи о распространении спутных струй ввести такие независимые переменные, которые обеспечивают автоматическое выполнение условия сохранения избыточного импульса. Такого рода переменные были предложены в работе [9].

1. В настоящей работе рассматривается расчет ламинарных: спутных струй несжимаемой жидкости. Воспользуемся для этой; цели уравнениями пограничного слоя в безразмерной форме:

‘‘ё+г’-|=у4

причем

где х%, у* — координаты прямоугольной (у' = 0) или цилиндрической (/ = 1) системы координат; и*, — составляющие скорости

вдоль осей л;*, у%; и* 0 — некоторая характерная скорость, например, скорость на оси струи, в ее начальном сечении; V — коэффициент кинематической вязкости жидкости; §0 — полуширина (/ = 0) или радиус (/=1) сопла.

При истечении струи из сопла конечного размера в случае ступенчатого распределения скорости на срезе сопла граничные условия записываются в виде

Здесь т представляет собой отношение скорости спутного потока к скорости истечения (т = и*со/м* 0) и носит название параметра спутности. Условие постоянства избыточности импульса получается путем интегрирования первого уравнения (1.1) с учетом второго, и записывается в виде

При заданном значении параметра т. соответствующее решение и(х, у), v(x, у) можно найти путем численного интегрирования системы (1.1) с граничными условиями (1.2). Для этой цели можно использовать многие из известных конечноразностных схем. В работе [1], например, для расчета плоских спутных струй был применен метод прямых х = const. Основная трудность, которую приходится преодолевать при численном решении уравнений (1.1), связана с неограниченностью области интегрирования по координате у. Вынужденное ограничение такой области конечными, допустимо большими значениями координаты у приводит к накоплению ошибок в соблюдении асимптотики. При численном решении эти ошибки заметнее всего проявляются в интегральном условии сохранения избыточного импульса, которое естественно использовать для контроля точности расчета. Поэтому целесообразно ввести преобразование исходной бесконечной области интегрирования в конечную. Преобразование Крокко, которое широко используется для этой цели при расчете пограничного слоя, к струйным течениям, вообще говоря, неприменимо.

В дальнейшем перейдем от переменных х, у к новым переменным £, »), которые преобразуют исходную бесконечную область интегрирования в полосу и при этом автоматически обеспечивают выполнение условия постоянства избыточного импульса [9]:

и— 1

и — т

00

/0 = I" и (и — т)у) dy = const. о

%z=x, •*)= (1+У) J и(и — m)y{dyx 1+;

о

' и = ^ ди

dU (« - т-Y дЧ '

Для определения поперечной скорости воспользуемся уравнением (1.6), а поперечной координаты—уравнением (1.4):

Таким образом, уравнения (1.5), (1.7) и (1.8) определяют функции с'(£,?]), и . у{%, т]) в области !>0, 0 < т] <где

т}» — [(1 + /) /0]1/(1+у)- Следовательно, вместо задачи интегрирования системы уравнений (1.1) в бесконечной области получаем задачу для уравнения (1.5) в прямоугольнике с сопутствующими квадратурами (1.7), (1.8).

Для использования полученных уравнений не требуется монотонность функции и°(у) в начальном сечении струи, а достаточно лишь знакопостоянства величины и — т. Рассматриваемое семейство начальных профилей в (1.2) при всех /га>- 0 удовлетворяет условию знакопостоянства разности и — т для х^О, > 0. При / = 1 уравнения (1.5) и (1.7) имеют особенности на концах интервала [0, 7]оо], которые легко устраняются с помощью правила «Лопиталя.

2. В работе [9] на основе уравнений (1.5)—(1.8) рассмотрены известные автомодельные решения для струйных течений, которые получены методом разделения переменных. Рассмотрим неавтомодельную задачу о спутных струях с однородным ступенчатым распределением скорости в плоскости среза сопла. Граничные условия (1.2) в случае новых переменных (1.4) имеют вид:

Отрезок [0, -yjoo] приводится к единичному соответствующим выбором характерного поперечного размера. Здесь ttj тццаз-

Численное интегрирование уравнения (1.5) с граничными условиями (2.1) удобно проводить на прямых г] = const ввиду разре-шенности (1.5) относительно производной dujdl, т. е. для любой прямой — полагается uk = uk{\), &=0, 1, 2, ..., п, причем ип=т. Используя конечноразностные аппроксимации производных по т) в правой части (1.5) с вычислением определенных интегралов ук

v =

т) П 1

о

"=1 ) (5 = 0);

и = т (?] = 1) I v '

} (6 = 0);

Д << / _____СЛ /-л ________________ п\

по какой-либо формуле численного интегрирования, получим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения uk(i). Интегрировать такую систему нужно с начальными условиями иА(0) = 1, k = О, 1, 2, п—1, применяя какой-либо метод численного интегрирования. _

Разрыв начального профиля скорости на прямой к]=1 вызывает необходимость введения достаточно малого шага по переменной fj в левой окрестности этой прямой на начальном участке, т. е. при малых значениях I, что, в свою очередь, требует соответствующего мельчения шага по I. Например, в плоском случае начальный шаг Д£ должен быть не больше величины 2 Д?]2/| 1—т2|,, что легко усмотреть из выражения (dun-i/dl) \ е=о при всех остальных (dukjdl) | s=0 = 0, если прямые v\n-\ = 1—Д?ь %-2 = 1 — 2Д?] и использованы симметричные разности для аппроксимации производных по vj. Заметим, что в случае задания в качестве начального профиля скорости «°(г,) = и(0, Yj) какой-либо гладкой непрерывной функции на [0, 1], удовлетворяющей условию и° = т только при 7] = 1, задача численного интегрирования становится проще сравнительно со случаем ступенчатого начального профиля скорости.

Во всех случаях в процессе интегрирования по переменной с шаг далее можно постепенно увеличивать с обязательной проверкой условий выполнения заданной точности для ий(|). В случае нашего разрывного профиля в (1.2) точность расчета начального участка при фиксированном числе прямых -ц — const можно повысить двумя способами: 1) последовательным увеличением длины [vj0, 1], где 0<7|0< 1, соответственно нарастанию вдоль оси £ толщины слоя смешения при сохранении равномерного шага по ^ или 2) введением неравномерного шага по »] (с мельчением к правому концу [0, 1]). Однако первый способ связан с усложнением, программирования для ЭЦВМ.

Неравномерное по -yj разбиение можно задавать различными способами. В наших расчетах вводилась замена

Ч = [0+*

где г1 G [0, 1], а—параметр, по модулю меньший или равный единице. В частности, равномерное разбиение по ^ получается при а = 0> для j = 0 и при а = —1 для-у = 1, если по t принято равномерное разбиение.

3. При выполнении расчетов принималось п = 40 (At = 1/40), а = +1 как для у = 0, так и для у = 1. Производные от и (или гг2) по t аппроксимированы обычными симметричными разностями. Вычисление интегралов, определяющих у иг/, осуществлено по правилу трапеций. Численное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений выполнено по методу Рунге— Кутта с автоматическим выбором шага по %, обеспечивающим абсолютную точность по uk(l) четыре десятичных знака.

Расчеты были выполнены для значений т— 0; 0,05; 0,25; 0,50; 0,75; 0,95; 1,05; 1,5 и 2 как для плоских

ли

в,а

¥

0,2

V & з,г ?

&

у

4*

о

-у

Фиг. 1

и поперечной скорости V при т = 0,5 и у = 1, на фиг. 2 и 3 — изменение вдоль по потоку безразмерной избыточной скорости на оси струи Ьит==(ит —т)1(\—т) и характерного поперечного размера V = У<л—Уоэ> причем ит - скорость на оси струи, и _у09 — такие расстояния от оси, где избыточная скорость равна соответственно Аи = 0,1 и 0,9 (см. также табл. 1 и 2). Представленныё на фиг. 2

\. т 0 0,25 0,50 0,75 1,50 2,0

\ £ 01 '5 &01 5 01 £ 01 £ 01 £ 01

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0.000 0,000

0,999 0,010 0,556 0,010 0,470 0,010 0,423 0,010 0,388 0,010 0,326 о.ою 0,299

0,999 0,051 1,241 0,049 1,040 0,048 0,923 0.047 0,840 0,044 0,681 0,042 0.612

0,990 0,088 1,620 0,084 1,342 0,081 1,181 0,078 1,066 0,071 0,848 0,067 0,755

0,950 0,167 2,149 0,155 1,741 0,146 1,506 0,137 1,341 0,118 1,032 0,108 0,902

0,900 0,257 2,581 0,233 2,046 0,214 1,741 0,198 1,528 0,164 1,143 0,147 0,986

0,850 0,360 2,995 0,319 2,320 0,287 1,945 0,262 1,688 0,209 1,231 , 0,185 1,050

0,800 0.486 3,440 0,420 2,604 0,372 2,149 0,335 1,846 0,259 1,316 0.226 1,109

0,750 0,645 3,950 0,544 2,915 0,473 2,368 0,420 2,012 0,316 1,402 0,272 1,171

0,700 0,852 4,558 0,699 3,270 0,598 2,612 0,523 2,193 0,384 1,495 0,326 1,237

0,600 1,497 6,227 1,156 4,175 0,952 3,214 0,811 2,630 0,564 1.716 0,470 1,396

0,500 2,764 8,975 1,982 5,501 1,560 4,058 1,289 3,230 0,853 2.017 0,698 1.615

0,400 5,628 14,026 3,646 7,609 2,724 5,339 2,181 4,125 1,372 2,465 1,102 1,946

0,300 13,670 24,936 7,633 11,356 5,354 7,508 4,134 5,617 2,468 3,211 1.948 2,500

0,200 46,706 56,106 20,431 19,390 13,232 11,909 9,804 8,619 5,562 6.705 4,300 3,615

тп Д“т \ч 0 0,25

£ 01 £ 01

1,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,999 0,010 0,565 0,010 0,471

0,999 0,037 1,099 0,036 0,897

0,990 0,059 1,403 0,057 1,132

0,950 0,097 1,778 0,092 1,403

0,900 0,131 2,041 0,123 1,574

0,850 0,163 2,260 0,152 1,708

0,800 0,196 2,473 0,181 1,830

0,750 0,231 2,693 0,212 1,950

0,700 0,270 2,930 0,245 2,074

0,600 0,364 3,488 0,326 2,348

0,500 0,493 4,235 0,432 2,684

0,400 0,683 5,330 0,586 3,127

0,300 0,997 7,134 0,834 3,765

0,200 1,623 10,721 1,310 4,820

у = 1

0,50 0,75 1,5 2,0

£ ^01 £ 01 • £ ^01 £ 801

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

0,010 0,422 0,010 0,390 0,010 0,329 0,010 0,304

0,035 0,796 0,034 0,727 0,032 0,601 0,031 0,550

0,055 1,000 0,054 0,911 0,050 0,749 0,048 0,681

0,088 1,225 0,085 1,109 0,078 0,900 0,074 0,814

0,117 1,362 0,112 1,224 0,101 0,982 0,095 0,884

0,143 1,464 0,137 1,309 0,122 1,039 0,115 0,933

0,170 1,556 0,162 1,382 0,144 1,089 0,136 0,974

0,198 1,644 0,188 1,454 0,167 1,136 0,158 1,013

0,229 1,734 0,217 1,526 0,193 1,183 0,182 1,053

0,302 1,930 0,285 1,682 0,254 1 ,286 0,241 1,138

0,399 2,166 0,377 1,869 0,337 1,410 0,321 1,243

0,540 2,473 0,510 2,114 0,461 1,573 0,442 1,381

0,767 2,913 0,728 2,464 0,666 1,809 0,643 1,582

1,210 3,636 1,156 3,042 1,076 2,205 1,048 1,922

2—Ученые записки ЦАГИ № 4 17

Фиг. 2 Фиг.

и 3 значения, соответствующие от-> 1, рассчитаны по известному точному решению [10].

Как показывают соответствующие перестроения, на некотором удалении от сопла при всех значениях параметра спутности т профили избыточной скорости приближаются к универсальным. Однако приближение профиля скорости к универсальному происходит по-разному для т = 0 и поскольку этим двум случаям соответ'

ствуют два различающихся автомодельных решения. Удобным

параметром для количественной оценки отличия профиля безразмерной избыточной скорости от универсального является отношение 801/805, где 805 равно такому расстоянию от оси струи, которому отвечает значение Д» = 0,5. На участке струи, где профиль избыточной скорости универсален, отношение Ь011Ьпъ вдоль по потоку не изменяется. На фиг. 4 представлены зависимости 601/§05—/(Аит, т) для у = 0 и 1, причем предельные значения 801/805 при Дит = 0 определены по известным автомодельным решениям для струи и следа [9; И].

В заключение необходимо отметить, что изложенный выше метод пригоден и для случая, когда в начальном сечении струи задается не одноступенчатый, а произвольный профиль с конечным числом разрывов и (0, у) с тем, однако, ограничением, чтобы сохранялось знакопостоянство величины и{0, у) — т. При этом условие изобаричности течения накладывает дополнительное требование: негладкость и (0, у) не должна приводить к значительному искривлению линий тока.

Этот метод может быть также использованчпри расчете изобарических турбулентных струй жидкости и газа. В частности, при простейшем предположении о постоянстве коэффициента турбулентной вязкости поперек струи характеристики турбулентной струи легко получаются по известным характеристикам ламинарной струи путем соответствующего пересчета продольной координаты [10].

Авторы благодарны В. Д. Абгарову, выполнившему программирование задачи на БЭСМ-4.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоглазов Б. П., ГиневскийА. С. Численное решение плоской задачи о неавтомодельных струйных течениях несжимаемой жидкости. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1967, № 5.

2. Р a i S. I., Hslen Т. Numerical solution of laminar jet mixing with and without free stream. Appl. Sci. Research, X, vol. 27, No 5, 1972.

3. Wang R. L., Pressis M. R. An explicit numerical method for the solution of jet flows. Trans. ASME, Journal of Fluids Engineering, 1 95, No 1, 1973.

4. E1 a s s a r R. J. A transformation for the numerical solution of twodimensional free mixing flow problems. Trans. АъМЕ, Journal of Fluids Engineering, I 95, No 1, 1973.

5. Borg hi R. Numerical methods for jets flows. Von Karman Institute for Dynamics. .Turbulent jet flows*, VKI AQARD LS-36, 1971.

6. Fox H., Sinha R., Weinberger L.An implicit finite difference solution for jet and wake problems. Astronautica Acta, VI, vol. 17, No 3, 1972.

7. E p ш и н Ш. A., E ф и м о в А. К. Спутная ламинарная струя газа различной плотности. В сб. „Проблемы теплоэнергетики и прикладной теплофизики', вып. 5, Каз. ССР, Алма-Ата, „Наука* 1969.

8. С е к у н д о в А. Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 5.

9. Белоглазов Б. П. Об одном преобразовании уравнений свободных струйных течений несжимаемой жидкости, основанном на их инвариантах. ДАН СССР, т. 198, № 3, 1971.

10. Г и н е в с к и й А. С. Теория турбулентных струй и следов. М., .Машиностроение*, 1969.

11. В у л и с Л. А., Каш к аров В. П Теория струй вязкой жидкости. М., „Наука", 1965.

Рукопись поступила 22jXI 1973 г.