Математическая модель производительности шестеренного насоса-дозатора в процессе его эксплуатации

УДК 621.9:677.4

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ ШЕСТЕРЕННОГО НАСОСА-ДОЗАТОРА В ПРОЦЕССЕ ЕГО ЭКСПЛУАТАЦИИ

© 2012 г. Д.В. Миньков

Научно -производственное предприятие «Орион ВДМ», г. Новочеркасск

Research-and-production association «Orion VDM», Novocherkassk

Рассмотрены теоретические и практические исследования создания математической модели производительности шестеренного насоса-дозатора для формования арамидных волокон. В результате исследований поверхностей деталей узлов трения насосов после их эксплуатации, разработана математическая модель их производительности в зависимости от шероховатости поверхностей пластин насосов.

Ключевые слова: шестеренный насос-дозатор; арамидные волокна; математическая модель; шероховатость поверхности.

In article theoretical and practical researches of creation of the mathematical model of productivity gear metering pumps for formation of aramide fibres are considered. As a result of researches of the surfaces details block frictions pumps after their operation, the mathematical model of their productivity depending on the roughness of the surfaces plates of pumps is developed.

Keywords: gear metering pump; aramide fibres; mathematical model; roughness of surfaces.

Одним из основных параметров шестеренного дозирующего насоса, определяющим его эффективность, является оптимальное значение подачи раствора, не изменяющееся в течение определенного периода времени. Этот параметр особо важен для насосов-дозаторов прядильных растворов, из которых формуют особо прочные арамидные волокна и нити типа СВМ, Русар, Армос, Артек. Высокая агрессивность растворов, содержащих соляную кислоту, диссоциирующую на водород и хлор, приводит к коррозионно-механическому, водородному изнашиванию и электрохимической коррозии трибологических поверхностей деталей насосов, приводящих к особой форме их интенсивного изнашивания и, в конечном итоге, к сравнительно малому времени эксплуатации насосов [1].

Анализ литературных и патентных источников показал, что до настоящего времени не разработана математическая модель насоса-дозатора агрессивных прядильных растворов арамидных волокон, с помощью которой можно было определить время его оптимальной работоспособности. Наличие такой модели является весьма важным и необходимым условием получения требуемых результатов по надежности насосов не только на этапе эксплуатации, но и на этапе проектирования и изготовления. Ниже рассмотрены теоретические и практические исследования по разработке такой модели.

Теоретическое значение подачи раствора в единицу времени Qт зависит от конструктивных параметров шестеренного насоса, скорости привода и определяется выражением

где Л - расстояние между центрами шестерен насоса, Л = mz ; De - диаметр окружности головок (выступов), De = т (z + 2); Ь - ширина шестерен; п - частота вращения ротора насоса, мин-1; т - модуль зубчатого зацепления; z - число зубьев шестерни [2].

Однако фактическое значение производительности насоса в основном зависит от перетоков (будем называть их внутренними утечками Qу), обусловленных принципом действия насоса, конструкцией и условиями его эксплуатации. К ним относятся торцевые утечки Qxу - утечки через торцевые зазоры между пластинами насоса и шестернями, радиальные утечки Qру - утечки через зазоры между двумя шестернями и статором, а также утечки через неплотности межзубового контакта шестерен, находящихся в зацеплении, -Qзу.

В связи с этим фактическая подача раствора Qф постоянной вязкости ц равна

0ф = QT - Qy

QT = nA (De - A)bn • 10-6, л/мин,

где Qу = 40ту + 2Qру + QзУ - общий объем утечек.

Известно, что утечки Qxу, обусловленные торцевыми зазорами, составляют 75 - 90 %, от общего объема утечек [1, 3, 4]. Поэтому при построении математической модели производительности насоса-дозатора агрессивных прядильных растворов арамидных волокон (далее «насосов») ограничимся учетом только этих утечек.

В процессе работы торцовые зазоры насосов являются переменными. Изменения величины зазоров вызываются технологическими неточностями при изготовлении деталей, их прочностными характеристиками и качеством сборки насосов: биением торцов

шестерен, отклонениями от плоскостности сопряженных торцов шестерен и пластин, повышенной волнистостью на торцовых поверхностях деталей, упругой деформацией поверхностей скольжения в зоне контакта. Однако самой важной характеристикой, влияющей на снижение производительности в процессе эксплуатации насосов, дозирующих прядильные растворы, является их стойкость против водородного, коррозионно-механического изнашивания и электрохимической коррозии [1, 5].

Рассмотрение процессов утечек в насосах с учетом всех факторов является сложной задачей, относящейся к прямым задачам гидродинамики. Решение задачи осложняется тем, что в нашем случае речь идет о создании модели насоса, дозирующего агрессивный прядильный раствор с неньютоновским характером течения. Это установлено в работе [6]. Однако анализ полученных результатов показывает, что при малых угловых скоростях вращения шестерен при дозировании прядильных растворов арамидных волокон, влияние этой скорости на вязкость незначительно. Поэтому примем допущение, что в зазорах насоса используется несжимаемая ньютоновская вязкая жидкость. Для описания движения такой жидкости используются уравнения Навье - Стокса [7]: - уравнение движения

— = -(vV)v + vAv -1 Vp + f ; dt v ' P

- уравнение неразрывности vV = 0,

где V - оператор Гамильтона; А - оператор Лапласа; I - время; V - коэффициент кинематической вязкости;

р - плотность; р - давление; V = (V1,..., V") - векторное поле скоростей; / - векторное поле массовых сил.

Для расчета течения в поле давлений жидкой среды в тонких слоях, как правило, уравнение (3) в условиях приближения Рейнольдса можно преобразовать к виду [8, 9]:

I i h3 dx l+dr I h3 dy 1=

dx ^ dx) dy ^ dy

Ux ^ + Uy x dx y

dhT ~dУ

где р - давление в зазоре; ц - динамическая вязкость; их - скорость относительного движения поверхностей вдоль оси х; иу - скорость относительного движения поверхностей вдоль оси у; ^ - зазор с учетом шероховатости, который в насосах-дозаторах определяется соотношением:

hT = H + h„ + h„

и давлением всасывания Рвс, широко используются для построения математических моделей шестеренных насосов различных конструкций.

Для решения уравнений (4) - (6) применяется математический аппарат на основе численных методов -конечных разностей и конечных элементов. Однако решение задачи сильно затруднено, так как необходимо учитывать шероховатость поверхностей. Область расчета методом конечных элементов составляет десятки миллиметров, а дискретность шага при моделировании шероховатости - 1...10 мкм, что приводит к значительному увеличению размерности задачи и требует значительных вычислительных и временных затрат для ее решения.

В работе [10] предлагается для решения этой задачи использовать функцию / (^), характеризующую влияние шероховатости. Тогда модель стационарного потока рабочей среды в зазоре с учетом влияния шероховатости может быть описана уравнением

)|) = ». О

В этом случае размерность задачи сокращается, но возникает трудность определения функции / (У1Т).

Как правило, она определяется эмпирически под конкретную гидравлическую систему, что ограничивает область применения модели (7).

Другой подход предложен в работе [11] - в уравнение (4) вводятся коэффициенты потока, которые вычисляются на небольшом характерном участке зазора и представляют собой отношение утечек в канале с шероховатыми стенками к утечкам в канале с гладкими стенками и зазором, взятым по средним плоскостям шероховатости. Но сложная геометрия насоса не позволяет реализовать этот подход в нашем случае.

Как было сказано выше, основной вклад в снижение производительности насоса вносят утечки Qlу, обусловленные торцевыми зазорами. Это позволяет пренебречь боковыми течениями в канале, тогда, принимая допущения, что давление в зазоре является функцией от радиуса г и течение жидкости только радиальное, в работе [12] предложена следующая формула для определения расхода жидкости через торцевой зазор в зависимости от угла поворота шестерни ф.

K 2? L т, 2 h3

0ту =— 2 -

12Ц с[ ln

3ю2 200

(Г22 - Г12 )-

здесь hп - шероховатость пластины; Н - зазор между средними плоскостями волнистости между шестерней и пластиной; hш - шероховатость торцевой поверхности шестерни.

Уравнения (4) - (6), дополненные граничными условиями - давлением нагнетания на выходе насоса Р^

1Г

Г - ri2)

где г2 - радиусы внутренней и внешней границы торцевого зазора, г2 = г (ф); г - переменный текущий радиус; h = ^ф) - переменное значение торцевого

Ф

зазора; pj = pj (ф) - переменное давление на внешней границе торцевого зазора; К - поправочный коэффициент, учитывающий переменную величину г2, изменяющуюся в пределах от радиуса впадины ^ до радиуса по окружности головки Яе, К < 1; ю - угловая скорость; V - скорость изменения торцевого зазора.

Принимая допущения о незначительном влиянии ю и V на величину утечек и выбирая pj = Рнг, от

приходим к выражению:

_APh3T (ßв +ßн ) _ 12ц1п(Ri/rx) ,

б

Рис. 1. Вид верхней пластины (а); профилограмма поверхности пластины (б). Сканирование по линии БА

Линия БА (рис. 1 а), по которой проводится сканирование поверхности пластин, является базовой длиной для определения шероховатости Яа, наиболее полно учитывающей изменение структуры торцевого зазора насоса в процессе эксплуатации.

При построении математической модели производительности насоса-дозатора прядильных растворов учитывается этот фактор. Предлагается для определения утечек использовать выражение

0гу _ 0ту0 + Ö]

туэ

(9) Здесь Qту0 - начальные утечки, определенные мини-

где R1/r - отношение радиуса окружности впадин к радиусу внутренней границе торцевого зазора; ß в + ßн - сумма угловых размеров рабочих камер всасывания и нагнетания; AP - перепад давления как разность между давлением нагнетания на выходе насоса Рнг и давлением всасывания Рвс.

Эксплуатация шестеренных насосов-дозаторов в агрессивных средах солянокислых растворов арамид-ных волокон вследствие коррозионно-механического, водородного изнашивания и электрохимической коррозии приводит к значительному увеличению торцевых зазоров в основном за счет появления на пластинах насоса в зонах их контакта с шестернями «бороздок» и «канавок», глубина которых увеличивается во времени [1, 5]. Таким образом, увеличивается общая шероховатость поверхностей пластин, в том числе в зонах их контакта с шестернями. На рис. 1 а показана верхняя пластина насоса-дозатора растворов арамид-ных волокон, снятого с прядильной машины после 315 сут работы насоса. На рис. 1 б приведена профилограмма поверхности этой пластины, из которой следует, что шероховатость составляет Ra 4,286 мкм. Шероховатость пластины в начале эксплуатации насоса - Ra 0,01 мкм.

¿ту0

мальными начальными торцевыми зазорами между трущимися поверхностями, вычисляются по формуле (9); бтуэ- утечки, возникающие в результате эксплуатации насоса вследствие увеличения торцевых зазоров в связи с постепенным изнашиванием пластин и шестерен и сопутствующим этому процессу понижением класса шероховатости.

Фактическую подачу Qф раствора постоянной вязкости ц, учитывая уравнение (2), можно определить по формуле:

Qф _ Qт - 4Q-

ту

Для построения эмпирической модели роста шероховатости во времени (для дальнейшего использования её в модели производительности насоса во времени) был проведен анализ профилограмм пластин насосов, снимаемых с рабочих мест через различные промежутки времени с начала их эксплуатации.

Из результатов исследований профилограмм следовало, что шероховатость поверхности пластин увеличивается в период эксплуатации насоса. На рис. 2 приведены графики изменения среднего арифметического отклонения профиля шероховатости Яаи поверхности пластин от времени эксплуатации. В процессе эксплуатации насосов наблюдается изменение Яаи в диапазоне от Raumm (кривая 1) до Ra(кривая 2). Кривая 3 - среднее значение шероховатости Raп.

200

T00

400 t, сут

Рис. 2. Изменение Ran поверхности пластин от времени эксплуатации

а

В результате обработки экспериментальных данных и регрессионного анализа с использованием пакета программ MathCad получено выражение, позволяющее вычислять Яап поверхности пластин насосов-дозаторов [13] в период эксплуатации:

Ran (t) = 1,83ln(t)-5,53.

Как показали экспериментальные исследования, шероховатость торцевой поверхности шестерен в процессе эксплуатации насосов фактически не изменяется, Яаш « const. С учетом этих данных утечки в

процессе эксплуатации QTy(t), используя уравнение

(9) и (10), можно определить по формуле

AP

ÖTy(t) =-

12^ln

где hT (t) = H + Ram + Ran (t).

На основании выполненных исследований построена математическая модель производительности насоса-дозатора (уравнения (1), (11) - (13)), учитывающая изменение в процессе эксплуатации его торцевых зазоров.

С целью проверки достоверности предложенной модели были проведены экспериментальные исследования партии насосов в количестве 36 шт. Теоретическая производительность испытуемых насосов -36 см3/мин, перепад давления AP = 2 кгс/см2, постоянный коэффициент, определяемый конструкцией насоса и вязкостью дозирующего раствора, A0 = (ßв +ßн )/[12ц1п(RJr1)] = 1,95 • 107 см2/(Н-мин),

число оборотов шестерни - 12 об/мин.

Измерение шероховатости поверхности пластин проводилось на приборе HÜMMEL TESTER W55. Производительность насосов и величина утечек прядильного раствора измерялись на опытной установке ИС-3 (рис. 3).

Рис. 3. Опытная установка ИС-3

На рис. 4 показан график зависимости утечек от изменения величины торцевого зазора Qту, полученный с помощью модели, а также экспериментально определенные утечки испытуемых насосов. Отклоне-

ние расчетных значений утечек относительно экспериментальных не превысило 5 - 7 %.

Qту, см3/мин

0,6

0,4

о - эксперим — расчет ент о /о ) у о

п уУ)

""о /о о

0,2L 0,001

0,001

0,0014

0,0016 hT, см

Рис. 4. Зависимость утечек от изменения величины торцевого зазора

График изменения производительности насоса в процессе его эксплуатации, полученный с помощью предложенной модели, представлен на рис. 5. На рис. 6 приведен график зависимости погрешности производительности насоса от времени эксплуатации относительно производительности на момент начала его эксплуатации.

Оф, см3/мин

35,8

35,6

35,4

35,2

0

t, сут

Рис. 5. Зависимость изменения производительности насоса от времени эксплуатации

Одним из обязательных условий применения насосов в составе прядильной машины является обеспечение их одинаковой производительности. Поэтому они устанавливались на прядильную машину с учетом начальной утечки (погрешность производительности насоса относительно теоретического значения составляет 0,5 %) и выводились из эксплуатации при изменении производительности на 1,5 %. В нашем случае, как показано выше, изменение производительности на эту величину соответствует сроку эксплуатации насосов 14 мес. и более. Анализ полученных результатов (рис. 4 - 6) показывает, что определение производительности насосов-дозаторов с помощью предложенной модели хорошо согласуются с практикой их эксплуатации.

Рис. 6. Относительная погрешность производительности насоса в процессе эксплуатации

На основании выполненных исследований можно сделать вывод, что предложенная математическая модель производительности шестеренного насоса-дозатора, в отличие от известных, обеспечивает оценку производительности насосов-дозаторов прядильных растворов с учетом особенностей их эксплуатации в прядильных машинах в зависимости от одного из основных параметров процесса изнашивания -шероховатости Яа поверхности пластин насоса. Использование данной модели позволяет осуществлять оценку оптимальной работоспособности насосов-дозаторов в условиях эксплуатации, а также при их проектировании и изготовлении.

Литература

1. Миньков Д.В. Особенности изнашивания деталей шестеренных насосов-дозаторов растворов арамидных волокон / Вестн. РГУПС. 2011. № 4. С. 50 - 56.

Поступила в редакцию

2. Чиняев И.А. Роторные насосы : справочное пособие. Л., 1969. 216 с.

3. Юдин Е.М. Шестеренные насосы. М., 1964. 236 с.

4. Ping Bai Improvement and Experimental Research on High-Pressure Gear Pump Based on Volumetric Efficiency / Advanced Materials Research. 2012. Vol. 503 - 504. P. 739 -742.

5. Миньков Д.В. Основные научно-технологические аспекты повышения долговечности оборудовании прядильных производств / Механика и трибология транспортных систем: Сб. тр. междунар. науч.-практ. конф. «МехТрибоТ-ранс» (г. Ростов-на-Дону, 8 - 11 ноября 2011 г., РГУПС). С. 97 - 105.

6. Математические модели описания реологических характеристик аномально-вязких полимерных материалов / Д.В. Миньков, В.В. Долгих [и др.] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2008. № 5. С. 76 - 80.

7. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ : 2-е изд. М., 1981. 408 с.

8. Sun D.C. Analysis of the steady state characteristics of gas-lubricated porous journal bearings // ASME J. of Lubrication Technology. 1975. Vol. 97. P. 44 - 51.

9. Gargiulo E.P. Porous wall gas lubricated journal bearings: theoretical investigation // ASME Journal of Lubrication Technology. 1979. Vol. 101. P. 458 - 465.

10. Patir N., Cheng H.S. An Average Flow Model for Determining Effects of Three-Dimensional Roughness on Partial Hy-drodynamic Lubrication // ASME J. of Lubrication Technology. 1978. Vol. 100. № 1. P. 12 - 17.

11. Порошин В.В., Богомолов Д.Ю., Сыромятникова А.А. Математическая модель течения рабочей среды в подвижных металл-металлических соединениях с учетом трехмерной топографии рабочих поверхностей // Вестн. БГТУ. 2008. № 2. С. 97 - 102.

12. Рыбкин Е.А., Усов А.А. Шестеренные насосы для металлорежущих станков. М., 1960. 187 с.

13. Пат. RU 2423620 РФ, МПК F04C2/08, Дозирующий шестеренный насос / Д.В. Миньков, О.М. Башкиров, А.С. Иванов [и др.]. ООО НПП «Орион ВДМ». № 2009136109. Заявл. 29.09.2009, опубл. 10.07.2011 // Бюл. 2009. № 19.

5 июля 2012 г.

Миньков Дмитрий Васильевич - канд. техн. наук, директор - главный конструктор научно-производственного объединения «Орион ВДМ», г. Новочеркасск.

Minkov Dmitriy Vasilievich - Candidate of Technical Sciences, head- designer of Scientific and Production Association«^_