Гамильтонова механика, микроканоническое распределение и свойство эргодичности

Л. В. Прохоров

ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА, МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВО ЭРГОДИЧНОСТИ

Введение. В работах [1, 2] была предложена модель Вселенной, которая базировалась на предположении, что классическое трёхмерное пространство есть трёхмерная сеть в крупномасштабном пределе, построенная из бозе-струн и помещённая в термостат. Речь идёт о структуре пространства на планковских расстояниях (lp = 1,6 • 10~33 см), недоступных для современной физики, поэтому под словом «термостат» понимается источник случайных сил неизвестной природы, действующий на струны. Важным здесь представляется изначальное наличие в теории элемента случайности, присущего фундаментальной физике (квантовая механика). Поскольку план-ковские расстояния находятся за пределами возможностей современного эксперимента, о разумности предположений, на которых базируется модель, приходится судить по выводимым из нее следствиям. Оказывается, что из данной гипотезы вытекают все важнейшие элементы современной физики: классическая гамильтонова механика, квантовая механика, калибровочные симметрии, внутренние симметрии, отличная от нуля космологическая постоянная и др.

Для вывода гамильтоновой механики исходным пунктом является распределение Гиббса [2]. Из условия его стационарности следует постоянство гамильтониана H(p, q), т. е. bH = ViHbxi = 0, где Vi — оператор градиента в 2п-мерном фазовом пространстве (ФП), i = 1, 2,..., 2n, xi(p, q) — вектор в ФП, p — импульс, q — координата. Решение уравнения bH = 0 даётся формулой

bxi = wij Vj H bs,

где 
lj = —wji — некоторая антисимметричная матрица (вообще говоря, функция х); bs — вариация некоторого скалярного параметра s. В случае отождествления s со временем получаем уравнения Гамильтона X1 = 
lj Vj H. Здесь замечательна связь причинной классической теории Гамильтона и вероятностной теории Гиббса. Это — два аспекта одной теории. Ясно, что вероятностный аспект не исчезает после установления уравнений Гамильтона, позволяя глубже взглянуть на существо уравнений Гамильтона, поскольку вариация bs может и не быть малой (воздействие случайной силы). В связи с этим существенно, что и в (2n — 1)-мерном подпространстве, выделенном условием H = const, действуют случайные силы (термостат!). В рамках изучаемой модели данный факт естественным образом ведёт к появлению понятия «микроканоническое распределение» (см. [3]). Действительно, случайные силы действуют и во всем ФП, и в его подпространствах.

Более того, естественным образом возникает понятие «эргодическая механика» [4], ибо согласно (1) изменение динамических переменных со временем есть результат воздействия случайных сил, и можно ожидать, что усреднение «по времени» будет равняться усреднению по микроканоническому «ансамблю».

Микроканоническое распределение. Само по себе распределение Гиббса несёт не так много информации — это всего лишь мера на стандартном фазовом пространстве. Его богатое физическое содержание обнаруживается после внесения в теорию

© Л. В. Прохоров, 2011

нового элемента — понятия «случайные силы» (термостат). Собственно говоря, теперь и само распределение можно рассматривать как характеристику термостата. При этом открывается масса новых возможностей. Например, можно ввести понятие случайных вариаций канонических переменных bx. Но тогда, например,

1) появляются два класса вариаций bx^ и bxц, таких, что bx = bx^ + Ьхц, причём H(x + bx±) = H(x), H(x + bx|) = H(x);

2) для малых bx^ следует: bx^ = OVHbs (см. (1));

3) можно ввести понятие времени (если s — непрерывный параметр);

4) можно ввести понятие неравновесных распределений (квантовая механика [1, 2]);

5) появляется понятие «время релаксации» неравновесных распределений tr;

6) можно «моделировать время» — s может принимать дискретные значения;

7) появляется понятие температуры (масштаб энергии);

8) появляется масштаб времени T — если H = о(р2 + q2)/2, то T = 1/о (в надлежащих единицах);

9) появляются теории с различными 2-формами со;

10) можно рассматривать теории с ФП разных топологий.

Поэтому не будет преувеличением сказать, что все богатство возможностей «механического» описания внешнего мира связано с включением в теорию понятия «термостат».

Оказывается, однако, что перечисленные возможности — это не всё то новое и важное, что открывается в теории. Естественным образом можно ввести понятие «микрока-ноническое распределение». Действительно, если в полном ФП имеет место стандартное распределение Гиббса

G

где к — постоянная Больцмана, T — температура, Z-1 — нормировочная постоянная, то в любом подпространстве ФП также действуют законы статистической физики. Следовательно, они действуют и в подпространстве, определённом условием H = const. Но это и есть определение микроканонического ансамбля — случайные силы не исчезают. Казалось бы, здесь появляется ограничение на возможные вариации bx: bx|| = 0, см. (1). Но дело в том, что при статистическом описании объекта задается именно распределение Гиббса (2) с фиксированной функцией H(x), поэтому указанное условие не ограничивает стандартное статистическое описание (равновесное распределение). Отказ от данного условия (bx| = 0) допускает появление деформированных (неравновесных) распределений Гиббса, что служит предметом отдельной теории. Как показано в [2], для гармонического осциллятора включение в теорию отличных от нуля bx ц ведёт к появлению амплитуд вероятности.

Итак, канонический ансамбль (2) содержит в себе понятие микроканонического распределения, что не является отдельной независимой гипотезой, если существует термостат. Наличие источника случайных сил лежит в основе статистической физики.

Свойство эргодичности. Прежде всего подчеркнём отличие понятия «термостат» для данной модели от общепринятого. Обычно изучаемая система является частью большой системы, взаимодействие с каковой осуществляется через её границу и сводится к обеспечению равенства их температур. Термостат обсуждаемой модели имеет принципиально другой механизм воздействия на изучаемую систему. Как и в стандартном случае, это также источник случайных сил, но эти силы воздействуют непосредственно на каждый элемент структуры. Примером может служить броуновское движение частиц, где структурой оказывается газ этих частиц. Но вместо неупорядоченного множества броуновских частиц можно взять и упорядоченную структуру,

например, струну или двумерную сеть, построенную из струн. В нашем случае речь идёт о трёхмерной сети из бозе-струн, которая моделирует трёхмерное пространство Вселенной [1, 2].

Появлением понятия микроканонического распределения не исчерпываются важные следствия включения в теорию подобного термостата. А именно, прямым следствием рассматриваемой гипотезы оказывается появление идеи эргодичности механики [4]. Механика называется эргодической, если среднее от какой-либо динамической величины F(x(t)) по микроканоническому распределению равно среднему от этой величины по времени, т. е.

t

с J F

0

где dr2n есть дифференциал полного ФП, с — нормировочная постоянная, с/ b(H(x) — — E)dr2n = 1, E = const [5]. Интуитивно это свойство почти очевидно, ибо согласно (1), (2) именно случайные вариации канонических переменных, сохраняющие гамильтониан, ведут к появлению классических уравнений Гамильтона [1, 2]. Другими словами, именно случайные вариации bx^ порождают причинные уравнения движения Гамильтона. Но тогда следует ожидать выполнения равенства (3).

Ввиду важности вопроса рассмотрим его более подробно. Легко убедиться, что все зависит от особенностей термостата и особенностей системы, её характерного масштаба. Действительно, согласно второму пункту перечня предыдущего раздела уравнения Гамильтона следуют из уравнения (1), лишь если s есть непрерывный параметр. Но это может быть точным условием, а может быть и приближённым, например, если характерный временной масштаб системы (скажем, 1/ю, если система — осциллятор, а о — его частота) порядка или меньше As, где As — наименьшее значение временного интервала в теории с «дискретным временем». Разумеется, величина As есть характеристика термостата, ибо динамическая система может подвергаться воздействию случайной силы за интервал As ^ 1/о. В таком случае из данной модели не следует никаких уравнений Гамильтона.

Итак, для появления уравнений Гамильтона термостат и механическая система должны быть таковы, чтобы в масштабах модели можно было говорить о сколь угодно малых интервалах bs. Заслуживает быть отмеченным и тот факт, что предполагается дифференцируемость функции Гамильтона.

Обсудим теперь вопрос о симплектической форме о. Данная форма наряду с гамильтонианом определяет механику. Если она не зависит от x, то имеет место стандартная механика Гамильтона. Если же О зависит от x, то наряду с гамильтонианом появляется зависящая от x антисимметричная матрица, также определяющая эволюцию системы. Это необыкновенно расширяет возможности механики. Ведь в случае системы с n степенями свободы появляется n(2n — 1) независимых функций, выбором которых можно радикально изменить законы движения. Например, оказывается возможным включить в рассмотрение так называемые «нелагранжевы системы» [6]. Разумеется, подобное обобщение порождает много вопросов. Самые главные из них — зависимость о от bx и вытекающие из него следствия: должны ли совпадать определения bx^ и bx|| для H и о, чем отличаются получающиеся теории в общем случае?

Может показаться, что в стандартной теории законы движения определяются лишь одной функцией — гамильтонианом H(x), поскольку о фиксирована. На самом деле

матрица ю играет не менее важную роль. Во-первых, эта матрица входит в действие наряду с Н(ж). Во-вторых, она определяет направление скорости (причинность).

Заключение. Теорема о возвращении Пуанкаре [7] по существу носит вероятностный характер. Конечно, можно сказать, что это не случайно, что более фундаментальная теория (квантовая механика) является вероятностной наукой. Дело, однако, в том, что квантовая механика была открыта гораздо позже, и теорема Пуанкаре свидетельствует о глубоком проникновении её автора в существо дела. Здесь тесно переплетаются и классическая гамильтонова, и квантовая механики. Что, впрочем, и неудивительно, ибо формализм квантовой механики базируется на формализме механики Гамильтона. Это — исторически, а фактически в основе обоих формализмов лежит теория вероятностей [1, 2].

Обычно теория признается корректной, если выполненные согласно её предписаниям расчёты не противоречат эксперименту. Своеобразие данного случая в том, что нетривиальные утверждения касаются планковских расстояний, поэтому для экспериментальной проверки соответствующих расчётов необходимы опыты на этих расстояниях. К сожалению, это лежит за пределами возможностей современной физики. Именно поэтому приходится ограничиваться лишь выяснением следствий рассматриваемой гипотезы. Все её многочисленные следствия полностью согласуются с выводами существующих фундаментальных теорий и не противоречат наблюдаемым фактам.

Наконец, представленная модель позволяет указать путь, на котором можно получить ответ и на такой нередко задаваемый вопрос: почему гравитационное взаимодействие слабое? Этот весьма нетривиальный вопрос эквивалентен следующему: почему массы элементарных частиц (электрона, протона) такие маленькие?

Предлагаемая модель даёт на него такой ответ. В основе всего сущего лежит термостат (источник случайных сил), характеризуемый своей температурой. Эта температура Т по атомным меркам может быть весьма мала (например, по оценке [2], Т ^ 10-29 К). Следовательно, вопрос о массах элементарных частиц сводится к вопросу о спектре масс возбуждений трёхмерной сети. Речь идёт о неравновесных распределениях для осцилляторов пространствообразующих струн. Но последние целиком определяются температурой термостата. Следовательно, минимальные массы соответствующих возбуждений не могут быть большими. Это и объясняет (качественно) феномен «малости» гравитационного взаимодействия.

Литература

1. Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Квантовая механика // Ядерн. физика. 2004. Т. 67. С. 1322.

2. Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Пространство как сеть // Физика элем. частиц и атомн. ядра. 2007. Т. 38. С. 696.

3. ГиббсДж. В. Основные принципы статистической механики. М., 2002. 204 с.

4. Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. М., 1996. 132 с.

5. Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. Москва—Ижевск, 2003. 128 с.

6. Прохоров Л. В. Гамильтонова механика и её обобщения // Физика элем. частиц и атомн. ядра. 2008. Т. 39. С. 1565.

7. Синай Я. Г. Современые проблемы эргодической теории. М., 1995. 208 с.

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.