О месте понятия "расстояние" в профессиональной подготовке учителя математики

1УДК 378

ББК 74.58+74.262.21

О МЕСТЕ ПОНЯТИЯ «РАССТОЯНИЕ» В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Е. И. Деза

Аннотация. В статье рассмотрена роль понятий (расстояние» и «метрика» в профессиональной подготовке учителя математики. Дан краткий обзор истории становления и использования теории метрических пространств. Проанализировано место понятия «расстояние» в науке, математике и образовании сегодняшнего дня. Описаны структура и дидактические возможности использования «Словаря расстояний» Е. Деза и М. Деза для совершенствования фундаментальной математической подготовки студентов педагогических высших учебных заведений. Указаны дисциплины предметной подготовки студентов-математиков, при изучении которых полезно акцентировать внимание на используемых расстояниях и метриках. Дана характеристика дисциплины по выбору «Избранные главы теории расстояний и метрик». Предложены темы учебно-исследовательских работ указанной тематики для бакалавров и магистров педагогического образования. Проанализированы проблемы использования конечных метрик для подготовки аспирантов.

Ключевые слова: расстояние, метрика, математическая подготовка студентов, курс по выбору, учебно-исследовательская деятельность, научно-исследовательская деятельность.

ON THE PLACE OF THE CONCEPT "DISTANCE" IN PROFESSIONAL TRAINING OF MATHEMATICS TEACHER

E. I. Deza

Abstract. The article considers the role of the concepts "distance" and "metrics" in professional training of mathematics teacher. The short review of history of formation and use of the theory of metric spaces is given. The place of the concept "distance" in modern science, mathematics and education is analyzed. The structure and didactic opportunities of using "Dictionary of distances" of E. Deza and M. Deza for improvement of fundamental mathematical training of students of pedagogical higher educational institutions are described. Disciplines of mathematical preparation, useful to focus attention on the distances' and metrics' concept, are specified. The characteristic of discipline for choice "The basic chapters of the theory of distances and metrics" is given. Subjects of educational research works of the specified subject for bachelors and masters of pedagogical education are offered. Problems of use of finite metrics for training of graduate students are analyzed.

Keywords: distance, metrics, mathematical training of students, course for choice, education-research activity, research activity.

Понятие расстояния является одним из основных во всей человеческой деятельности. В повседневной жизни расстояние обычно означает некоторую степень близости двух физических объектов или идей (то есть длина, временной интервал, промежуток, различие рангов, холодность или удаленность), в то время как термин «метрика» зачастую используется как стандартное понятие меры или измерения. Математические понятия метрики на множе-

стве X (то есть функции d из X х X в множество действительных чисел, удовлетворяющей условиям d(x, y) > 0 с равенством только при x = y d(x, y) = d(y, x) и d(x, y) < d(x, z) + d(z, y)) и метрического пространства (X, d) были внедрены почти век назад М. Фреше (1906) и Ф. Хаусдорфом (1914) в качестве специального случая бесконечного топологического пространства [1].

Упомянутое выше неравенство треугольника d(x, y) < d(x, z) + d(z, y) можно найти уже у

Евклида. Бесконечные метрические пространства появляются обычно как обобщения метрики \х - у\ на множестве действительных чисел. Основными их классами являются измеримые пространства (добавьте меру) и банаховы пространства (добавьте норму и полноту). Однако начиная с К. Менгера (который в 1928 ввел понятие метрического пространства в геометрию) и Л. М. Блюменталя (1953) интерес как к конечным, так и к бесконечным метрическим пространствам резко повышается. Другой тенденцией стало то, что многие математические теории в процессе их обобщения стабилизировались на уровне метрического пространства. Этот процесс продолжается и сейчас, в частности, применительно к римановой геометрии, действительному анализу, теории приближений. Метрики и расстояния стали важным инструментом исследований в самых разных областях математики и ее приложений, включая геометрию, теорию вероятностей, статистику, теорию кодирования, теорию графов, кластерный анализ, анализ данных, распознавание образов, теорию сетей, математическую инженерию, компьютерную графику, машинное зрение, астрономию, космологию, молекулярную биологию и многие другие отрасли науки [1].

Создание наиболее удобных метрик и расстояний стало центральной задачей для многих исследователей. Особенно интенсивно ведутся поиски таких расстояний, в частности, в математической биологии, сфере распознавании речи и образов, выборки информации. Нередки случаи, когда одни и те же метрики расстояний появляются независимо друг от друга в таких совершенно разных сферах, как, например, расстояние между словами и расстояние (путь) эволюционного развития в биологии, расстояние Левенштейна в теории кодирования и расстояние Хэмминга - Гэпа, или Хэммин-гово тасованное расстояние [1].

Понятия, связанные с метрическими пространствами, пронизывают и весь курс математической подготовки студентов педагогических вузов. Прежде всего, весь курс математического анализа для первокурсников строится на базе числовой прямой, то есть множества действительных чисел с заданной на нем естественной метрикой \х - у\, хотя этот аспект не выделяется как что-то специфическое. Обсу-

дить этот вопрос на более общем уровне студенты получают возможность при изучении дисциплины «Числовые системы». Аксиоматическая теория действительных чисел строится здесь как пополнение поля рациональных чисел 2 по естественной метрике \х - у\; при этом подчеркивается, что при использовании р-ади-ческой метрики на множестве 2 мы получим, рассуждая аналогичным образом, совершенно другую систему - поле р-адических чисел. Метрика пути связного графа является одним из основных инструментов исследования в теории графов - важнейшей составной части дисциплины «Дискретная математика». Понятие полного метрического пространства лежит в основе построения сжимающих отображений, существенно используемых в курсе «Численные методы» для приближенного решения задач линейной алгебры.

Однако несмотря на то, что примеры метрик и метрических пространств встречаются часто и повсеместно, у студентов нет цельного представления о данном объекте, в каждом курсе они изучают «свою» метрику, не обнаруживая связей между ними, не понимая, что имеют дело с одной и той же общей математической структурой, поставленной на службу различным приложениям. Отсутствие такого общего взгляда приводит к необходимости повторений, неизбежного дублирования, передоказательства одних и тех же фактов, что отнимает время и не способствует систематизации получаемых знаний.

В этой статье мы рассматриваем несколько дидактических подходов к совершенствованию профессиональной подготовки будущих учителей математики на основе систематизации, расширения и углубления знаний студентов, связанных с понятиями расстояния и метрики. Прежде всего, мы подчеркиваем необходимость явного выделения этих понятий, их свойств и особенностей при изучении упомянутых выше и других курсов предметной подготовки студентов педвузов. Кроме того, мы рассматриваем методические особенности разработанной нами дисциплины по выбору, посвященной указанной тематике. Наконец, мы доказываем методическую целесообразность использования вопросов, так или иначе связанных с расстояниями и метриками, при орга-

низации учебно-исследовательской и научной работы обучающихся: при подготовке выпускных квалификационных работ бакалавра и магистра, написании кандидатских диссертаций.

Основой такой многоплановой работы со студентами может служить «Энциклопедический словарь расстояний» Е. Деза и М. Деза, вышедший в 2006 г. на английском языке [2], переведенный на русский язык в 2008 г. [1] и, после существенной переработки, связанной с постоянным появлением новой научной информации, превратившийся в энциклопедию расстояний, вышедшую на английском языке в 2009 г. и переиздававшуюся 2012, 2014 и 2016 гг. [3]. За основу словаря авторы взяли свою личную коллекцию метрик и расстояний. Дополнительные материалы были почерпнуты из изданий энциклопедического характера, в значительной мере из «Математической энциклопедии», «Мира математики» [4], «Планеты "Математика"» [5] и Википедии. Однако главным источником информации для Словаря явилась специальная литература. Помимо собственно расстояний авторы включили в книгу много родственных понятий и парадигм, позволяющих применять эти малопонятные для неспециалистов термины в готовом для использования виде. Данный справочник представляет собой специализированный энциклопедический тематический словарь. Он состоит из 28 глав в семи частях примерно одинакового объема. Названия частей преднамеренно даны приближенно в расчете на то, что читатель самостоятельно выберет тематику в зависимости от собственных интересов и компетентности. Так, например, части II, III и IV, V потребуют определенного уровня знаний, соответственно, в области чистой и прикладной математики, в то время как содержание части VII будет доступно любому неспециалисту [1].

Главы являются, по существу, перечнями тематик по различным областям математики или приложениям, которые могут читаться независимо друг от друга. При необходимости глава или раздел могут предваряться кратким введением-экскурсом по основным понятиям. Помимо таких предисловий описание характерных особенностей и областей применения расстояний дается в тексте скорее как исключение. Каждая из глав компонуется таким образом,

чтобы между ее разделами прослеживалась взаимосвязь. Все заголовки разделов и ключевые термины вынесены отдельно в предметный указатель (около 1500 пунктов) и обозначены жирным шрифтом, если только их значение не вытекает из контекста. Это облегчает поиск определений по тематике внутри главы и по алфавиту в самом указателе. Тексты введений и определения ориентированы на удобство для читателя и максимально независимы друг от друга. Они остаются взаимосвязанными посредством обозначенных жирным шрифтом текстовых ссылок (по типу формата HTML с гиперссылками) на схожие определения [1].

Много интересных сведений представлено в этом биографическом справочнике расстояний. Примерами занятных терминов являются относящееся к вездесущему евклидову расстоянию выражение «как летит ворона» (то есть по прямой линии), «метрика цветочного магазина» (кратчайшее расстояние между двумя точками, с промежуточным посещением точки «цветочного магазина»), «метрика хода коня» на шахматной доске, «метрика гордиева узла», «метрика бульдозера», расстояние биотопа, «Прокрустово расстояние», «метрика лифта», «почтовая метрика», хоп-метрика Интернета, квазиметрика гиперссылок WWW, «московская метрика», «расстояние собаковода». Кроме абстрактных расстояний рассматриваются также и расстояния с физическим содержанием (особенно в части VI) [1].

Рассмотрим структуру словаря более подробно. Книга состоит из семи частей.

Первая часть «Математика расстояний» включает в себя пять глав: «Общие определения»; «Топологические пространства»; «Обобщения метрических пространств»; «Метрические преобразования»; «Метрики на нормированных структурах».

Вторая часть словаря «Геометрия и расстояния» рассматривает вопросы, связанные с расстояниями, так или иначе относящимися к геометрическим структурам, и состоит из четырех глав (главы 6-9): «Расстояния в геометрии»; «Римановы и Эрмитовы метрики»; «Расстояния на поверхностях и узлах»; «Расстояния на выпуклых телах, конусах и симплициальных комплексах».

Часть третья «Расстояния в классической математике» содержит коллекции расстояний

и метрик на группах, бинарных отношениях и решетках (глава 10 «Расстояния в алгебре»), на строках и перестановках (глава 11), на числах, многочленах и матрицах (глава 12), на функциональных пространствах и линейных операторах (глава 13 «Расстояния в функциональном анализе»), на случайных величинах и на законах распределения (глава 14 «Расстояния в теории вероятностей»).

В четвертой части рассмотрены расстояния в прикладной математике. Глава 15 «Расстояния в теории графов» содержит различные аспекты метрической теории графов. В главе 16 «Расстояния в теории кодирования» речь идет, во-первых, о минимальном расстоянии и его аналогах и, во-вторых, об основных расстояниях на кодах. Глава 17 «Расстояния и подоб-ности в анализе данных» представляет особый интерес для приложений, поскольку на практике именно анализ данных требует наличия приемлемой меры различия (или, при другом подходе, сходства) сравниваемых выборок. Основные расстояния в компьютерной инженерии собраны в главе 18.

В пятой части «Расстояния в компьютерной сфере» представлена обширная коллекция расстояний, так или иначе связанных с информационными технологиями. Глава 19 содержит список расстояний на действительной и цифровой плоскостях. Не менее экзотические названия можно встретить и в следующей главе

20. Здесь они используются для описания тех или иных расстояний Вороного. Достаточно серьезная теория построена для измерения расстояний в анализе образов и звуков. Основные расстояния такого рода представлены в главе

21. Глава 22 содержит описание основных расстояний в Интернете и родственных сетях.

Шестая часть «Расстояния в естественные науках» посвящена описанию расстояний в биологии (глава 23), физике и химии (глава 24), географии, геофизике и астрономии (глава 25), в космологии и теории относительности (глава 26). В последней, седьмой части собраны меры длины и шкалы физических длин (глава 27), а также нематематические и образные значения расстояния (глава 28) [1].

Таким образом, в словаре сделана попытка максимально полно отразить использование понятия расстояния в различных областях че-

ловеческой культуры, науки, искусства, повседневной жизни.

А. Осознавая исключительную роль понятий «расстояние» и «метрика» в предметной подготовке учителя математики (к схожим по значимости и всеохватности относятся понятия «число», «фигура», «отношение»), мы считаем дидактически целесообразным акцентировать внимание студентов на соответствующих структурах и выполняемых ими функциях при изучении любой математической дисциплины.

При изучении математического анализа нетрудно найти немного времени для того, чтобы рассмотреть теорию и практику использования естественной метрики, обсудить общие вопросы близости действительных чисел, выяснить возможные альтернативы измерения такой «близости».

При освоении курса геометрии полезно упомянуть, что уже на плоскости расстояние между двумя точками может быть подсчитано разными способами, совершенно равноправными с точки зрения элементарных свойств (не будем забывать, что замена Евклидовой метрики может привести к потере фундаментальной для геометров операции скалярного произведения).

Курс «Числовые системы» позволяет продемонстрировать использование двух принципиально разных числовых метрик в полном объеме. К сожалению, это не всегда удается сделать на «практическом» уровне: подробно изучать арифметику р-адических чисел не позволяют жесткие границы учебного плана.

Большие возможности для изучения трех основных классов метрик х,у) = X -у1| + _ + + |х» - Уп\' = (|х1 - У1|+  + Iх» - У„\)0,5'

d(x,y) = тах(|х1 - у11, .. ,\хп - уп\)) на п-мерном арифметическом пространстве предоставляет курс «Численные методы». Здесь от того или иного вида алгебраической структуры, фигурирующей в постановке задачи приближенного анализа (например, матрицы коэффициентов системы линейных уравнений), зависит оптимальный выбор «рабочей» метрики. Поэтому избежать обсуждения метрических вопросов просто невозможно.

Однако опыт показывает, что у студентов нет навыков такой работы, им не хватает широты кругозора, практической «смелости»: если

общие формулы воспринимаются достаточно адекватно, то вычисления конкретных расстояний на основе этих формул всегда вызывают затруднения. Одна из основных причин такой ситуации - неумение студентов мыслить масштабно, понимать, что помимо привычного им математического аппарата существуют и другие - аналогичные или более общие - структуры, позволяющие с успехом решать те же задачи. Для частичного улучшения указанной ситуации - систематизации и обобщения знаний студентов в теории метрик и расстояний - и служат наши предложения.

Б. Предлагаемый в «Словаре расстояний» материал можно с успехом использовать для разработки спецкурсов, изучающих те или иные аспекты применения расстояний и метрик. Как правило, содержание первой части книги используется при этом максимально, поскольку именно здесь собраны базовые факты, необходимые для полноценного понимания тематики. Выбор других вопросов зависит от направления специального курса. Так, в рамках числовой линии можно более подробно изучить расстояния на числах, многочленах и матрицах, а в рамках дискретной линии нельзя обойти вниманием расстояния в теории графов и в теории кодирования. И в том, и в другом случае полезным будет рассмотреть расстояния на действительной и цифровой плоскостях.

Курс, посвященный изучению метрических пространств, призван, прежде всего, дать полное единое представление о таком всеобщем математическом объекте, как расстояние, и проанализировать его использование в классических областях математической науки. Такой подход позволит студентам взглянуть на давно известные им факты с новой, более общей точки зрения, осмыслить возникающие связи, осознать, что «отдельно стоящие» ранее теоремы фактически являются разными формами отражения одного и того же фундаментального утверждения, а следовательно, совершенно с новой точки зрения систематизировать имеющийся у них багаж знаний, укрупнив «блоки», сконструировав дополнительные структурные связи.

Помимо решения этой, на наш взгляд, основной задачи, дополнительные акценты могут быть расставлены весьма многими способами.

Например, курс может быть посвящен изучению общей теории метрических пространств, можно рассматривать метрики в информатике, метрики на числах и их расширениях, метрики на графах, избранные вопросы обобщенных метрик и т. д. Независимо от выбранной специализации, главной особенностью курса может и должен быть его интегративный характер, возможность показать, на примере рассмотрения одного из наиболее общих математических понятий, взаимосвязь и взаимозависимость различных областей математики и других областей человеческого знания.

Программа разработанного нами курса «Избранные главы теории расстояний и метрик» включает в себя следующие вопросы.

• Расстояния, полуметрики, квазиметрики, 2-метрики. Определения и примеры. Метрика Хемминга, метрика Ли, метрика Хаусдорффа, метрика пути связного графа, евклидова метрика, Чебышевская метрика.

• Естественная и р-адическая метрики. Классические свойства. Возможные обобщения. Теорема Островского. Построение системы действительных чисел с помощью естественной метрики. Построение системы р-адических чисел с помощью р-адической метрики. Другие числовые метрики.

• Метрики и нормы. Норма элемента группы. Групповые метрики, право-, лево- и биинва-риантные метрики. Г-норма векторного пространства, Г-метрики, пространства Фреше. Норма вектора. Метрика нормы на векторном пространстве. Банаховы пространства. Классические примеры. Метрика Минковского.

• Метрики на многомерном арифметическом векторном пространстве. Их единичные шары. ¿р-метрики и их свойства. Классические примеры ¿р-метрик. Экзотические метрики на действительной и числовой плоскостях. Метрика парижского метро. Московская метрика. Метрика шахматного коня. Метрика цветочного магазина. Метрика лифта. Городская метрика. Метрика Манхэттена. Метрика Центрального парка. Шестиугольная метрика. Примеры расстояний Вороного (расстояние парусной лодки, расстояние снегохода, расстояние лесного пожара и др.).

• Преобразования метрик. Преобразования на том же множестве. Метрика функцио-

нального преобразования. Метрика степенного преобразования. Метрика преобразования Шоенберга. Внутренняя метрика метрического пространства. Преобразования на расширениях данного множества. Метрика калитки. Преобразования на прямом произведении множеств. Классические примеры метрики произведения. Некоторые классические метрики теории множеств. Метрика симметрической разности и ее ориентированный аналог. Метрика Хаусдорффа и ее обобщения. Метрика Хеммин-га и гиперкуб. Метрики в теории кодирования. Издательское расстояние, расстояние Левен-штейна и их обобщения.

• Метрики в теории графов. Метрика пути графа и ее ориентированный аналог. Метрика кругового тура. Классические метрики между графами. Метрики на деревьях и их приложения.

• Метрики и полуметрики на конечном числе точек. Разрезы, мультиразрезы и их ориентированные аналоги. Конусы полуметрик и разрезов на п точках. Их свойства. Конусы ориентированных полуметрик, ориентированных разрезов и ориентированных мультиразрезов на п точках. Некоторые конусы т-метрик на п точках.

• Приложения метрик. Метрики в компьютерной сфере. Метрики в биологии и генетике. Метрики в физике, астрономии и теории относительности.

На спецсеминарах, помимо решения задач, иллюстрирующих теоретический материал, предполагается заслушивать доклады студентов по тем или иным вопросам, связанным с применением метрик. Практика показывает, что наиболее рациональной формой организации докладов является свободный выбор студентами того или иного раздела словаря, самостоятельное изучение вопросов, изложенных в этом разделе, в том числе доказательство упоминаемых, но не доказанных фактов, и подробное освещение полученных результатов во время научного доклада на спецсеминаре. Это дает возможность охватить значительное число дополнительных вопросов теории, полезных для усвоения материала, и активизирует работу студентов, направленную на осознанное применение теоретических фактов при решении конкретных практических задач.

Интегративный характер спецкурса определяет его основную цель, заключающуюся в систематизации знаний студентов на примере рассмотрения одного из наиболее общих математических понятий, а также в построении целостной картины математической науки на основании осмысления имеющихся в ней внутренних связей. В результате изучения курса студент должен демонстрировать:

• знание основных классов метрических пространств, целостное представление о месте теории метрических пространств в системе математических знаний, о ее взаимосвязях и взаимозависимостях со всеми основными разделами математической науки, понимание универсального характера теории, ее применимости в различных областях человеческой деятельности; умение использовать полученные знания при решении теоретических и практических задач, знакомство с различными интерпретациями одного и того же типа метрик;

• умение точно реализовывать относящиеся к метрическим проблемам технологии, владение соответствующей методологией и терминологией; владение общими методами научного исследования (аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез), опыт решения учебных и научных проблем;

• системное владение культурой мышления, логической и алгоритмической культурой, готовность к непрерывному развитию творческих способностей, креативности [6].

В. Трудно переоценить возможности теории расстояний и метрик для организации учебно-исследовательской деятельности студентов.

Многолетний опыт работы со студентами математического факультета Московского педагогического государственного университета (МПГУ) показывает, что среди примерных тем выпускных квалификационных работ (ВКР) бакалавра могут быть успешно использованы следующие.

• Расстояния и метрики: теория и практика. Классические числовые метрики. Элементы теории нормированных пространств. Методы измерения расстояний в цифровом пространстве. Метрики на действительной и дискретной плоскостях. Задачи, связанные с расстояниями Вороного. Некоторые аспекты метрических

преобразований. Классические метрики теории множеств. Метрики в численном анализе. Метрики на графах. Метрики на деревьях. Обобщения метрик. Метрики и их приложения. Занимательные задачи теории метрик. Метрики: избранные главы истории.

Для ВКР магистра педагогического образования интерес представляют такие темы.

• Теория измерений как содержательная основа проектной деятельности учащихся основной школы. Методика изучения курса «Метрики вокруг нас» на занятиях математического кружка в 5-6-м классах основной школы. Методика преподавания элективного курса «Метрические пространства» для учащихся основной школы. Методика проведения факультативного курса «Экзотические метрики на плоскости» для учащихся 8-9-х классов основной школы. Методическое обеспечение изучения темы «Числа и расстояния» на внеурочных занятиях с учащимися 8-9-х классов основной школы. Методика изучения факультативного курса «Так измеряли в старину» для учащихся основной школы с применением технологий мультимедиа. Изучение избранных вопросов теории расстояний и метрик как средство общекультурного развития учащихся основной школы. Методика введения элементов теории расстояний и метрик на курсах по выбору в классах естественнонаучного профиля. Вопросы профессионального самоопределения учащихся старшей школы при изучении курса «Метрики и их приложения». Методическое обеспечение факультативного курса «Метрики на графах» для старшей школы в условиях компьютерных технологий обучения. Дидактическое обеспечение курса по выбору «Метрики в науке и обществе» для социально-экономического профиля обучения. Изучение прикладных метрических задач в рамках технологического профиля обучения как средство общекультурного развития учащихся. Теория расстояний и метрик как средство активизации учебно-исследовательской деятельности учащихся старшей школы. Методика изучения классических числовых метрик на элективном курсе в рамках естественнонаучного профиля. Методика преподавания элективного курса «Искусство измерений» для гуманитарного профиля обучения в условиях применения информационно-коммуникационных

технологий. Методика проведения элективного курса «Метрические вопросы численного анализа» для классов естественнонаучного профиля обучения. Методическое обеспечение курса по выбору «Что такое евклидово расстояние?» для учащихся естественнонаучного профиля. Изучение курса по выбору «Расстояния на плоскости и в пространстве» в условиях интеграции очного и дистанционного обучения. О месте элективного курса «Метрическая теория множеств» в системе профильного обучения старшеклассников. Развитие алгоритмической культуры учащихся технологического профиля при изучении метрических вопросов теории графов. Интегрированный курс «Избранные главы теории расстояний и метрик» как средство общекультурного развития учащихся старшей школы.

Примерные темы ВКР магистра науки по теории конечных метрик могут иметь следующий вид.

• Элементы теории разрезов и метрик. Ориентированные разрезы и метрики. Метрики и их многомерные аналоги. Обобщения разрезов и метрик. Конусы и многогранники конечных частичных метрик. Конусы и многогранники конечных взвешенных метрик [7].

Г. Впрочем, вопросы, связанные с исследованиями обобщений конечных метрик, представляют интерес прежде всего с точки зрения организации фундаментальных исследований в рамках аспирантуры. Это особенно актуально в настоящий момент, когда идет большая работа по превращению аспирантуры в третий уровень высшего образования: «подготовка кадров высшей квалификации».

В современной литературе можно встретить много публикаций (А. Шрайвер (1986), М. Деза и М. Лоран (1997), М. Деза и В. Гришухин (1993), М. Деза, К. Фукуда, Д. Пасечник и М. Сато (2001) и др.), имеющих дело с конусами МЕТп полуметрик и СиТп разрезов на п точках. Для малых значений п такие конусы (и соответствующие многогранники) полностью описаны; для произвольной размерности доказан ряд важных теорем.

Мы рассматриваем обобщение этого вопроса в двух направлениях: во-первых, изучаем ориентированные аналоги полуметрик и разрезов и исследуем конусы этих объектов на

малом числе точек; во-вторых, конструируем многомерные аналоги полуметрик, так называемые га-полуметрики, проводя аналогичные построения и в этом случае. В монографии «Обобщения конечных метрик и разрезов» [8] мы исследуем свойства вышеуказанных конусов и соответствующих им многогранников, полностью описав их графы для п = 3, 4, 5 (начиная с п = 6, в ориентированном случае наблюдается комбинаторный взрыв) и доказав ряд теоретических утверждений, касающихся общего случая п точек.

Если ориентированный случай получается из классического отказом от свойства симметричности, то многомерный случай может быть получен, если мы так или иначе введем в рассмотрение «расстояние» между тремя (а не двумя, как в классическом случае) точками, называемое 2-полуметрикой. Простейшим примером 2-полуметрики является площадь треугольника, построенного на трех данных точках.

Обучение в аспирантуре по указанной тематике возможно в рамках следующих направлений.

• Ориентированные метрики. Частичные метрики. Ориентированные разрезы и мульти-разрезы. га-метрики. Конусы ориентированных полуметрик, разрезов и частичных метрик на п точках. Конусы га-метрик на п точках.

В отличие от, например, теоретико-числовых исследований, которые требуют от студента серьезной предварительной подготовки, овладения набором очень серьезных методов и приемов научного поиска, в случае исследования перечисленных выше метрических вопросов объем предварительной подготовки значительно меньше, новые результаты могут быть получены быстрее, их объем больше, поскольку тематика достаточно нова, имеется возможность постановки множества дополнительных вопросов, ответы на которые еще неизвестны и могут без особого труда быть получены заинтересованным исследователем. Это значительно повышает шансы аспиранта закончить диссертацию в срок, а значит, полностью выполнить учебный план и получить диплом соответствующего уровня образования. Однако при этом необходимым условием успешной работы является умение работать с компьютером, применять для практиче-

ских нужд имеющиеся в свободном доступе пакеты программ (таких как, например, программа cdd+), анализировать получаемые массивы данных - в целом обладать навыками современных подходов к научным исследованиям в области компьютерной математики и ее приложений.

Многолетний опыт практической работы автора на математическом факультете МПГУ показывает, что применение предложенных в статье дидактических подходов весьма эффективно [6]. Основная проблема, возникающая в ходе работы, - слабое владение студентами понятием расстояния и метрики. Это не только затрудняет освоение специального курса, но и вызывает сбои в организации учебно-исследовательской работы: студенты весьма неохотно выбирают соответствующие темы ВКР. Мы планируем частично решить эту проблему, опубликовав и внедрив в практику образовательной деятельности учебное пособие «Избранные главы расстояний и метрик», включающее в себя не только все основные разделы теории метрических пространств, но и обширные списки примерных тем исследовательских работ данной тематики с необходимыми аннотациями и рекомендуемой литературой.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Деза Е. И., Деза М. М. Энциклопедический словарь расстояний: пер. с англ. - М.: Наука, 2008. - 444 с.

2. DezaM. M., Deza E. I. Dictionary of Distances.

- Elsevier, 2006. - 426 p.

3. Deza M. M., Deza E. I. Encyclopedia of Distances. - Springer-Verlag, 2016. - 760 p.

4. WolframMаthWorld (Мир математики). -URL: http://mathworld.wolfram.com/ (дата обращения: 29.09.2017).

5. PlanetMath (Планета математики). - URL: http://planetmath.org/ (дата обращения: 29.09.2017).

6. Деза Е. И. Подготовка учителя математики в системе вариативного образования: моногр.

- М.: МПГУ, 2012. - 212 с.

7. Деза Е. И. Пишем выпускные квалификационные работы дискретной тематики: 176 тем и 26 конспектов бакалаврских работ и магистерских диссертаций: учеб. пособие. - М.: ЛЕНАНД, 2015. - 160 с.

8. DezaM. M., Deza E. I., Dutour SikiricM. Generalizations of finite metrics and cuts. - World Scientific, 2016. - 316 p.

REFERENCES

1. Deza E. I., Deza M. M. Entsiklopedicheskiy sl-ovar rasstoyaniy: per. s angl. Moscow: Nauka, 2008.444 p.

2. Deza M. M., Deza E. I. Dictionary of Distances. Elsevier, 2006. 426 p.

3. Deza M. M., Deza E. I. Encyclopedia of Distances. Springer-Verlag, 2016. 760 p.

4. WolframMathWorld. Available at: http://math-world.wolfram.com/ (accessed: 29.09.2017).

5. PlanetMath. Available at: http://planetmath.org/ (accessed: 29.09.2017).

6. Deza E. I. Podgotovka uchitelya matematiki v sisteme variativnogo obrazovaniya: monogr. Moscow: MPGU, 2012. 212 p.

7. Deza E. I. Pishem vypusknye kvalifikatsionnye raboty diskretnoy tematiki: 176 tem i 26 kons-pektov bakalavrskikh rabot i magisterskikh dis-sertatsiy: ucheb. posobie. Moscow: LENAND, 2015.160 p.

8. Deza M. M., Deza E. I., Dutour Sikiric M. Generalizations of finite metrics and cuts. World Scientific, 2016. 316 p.

Деза Елена Ивановна, кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики математического факультета Московского педагогического государственного университета e-mail: Elena.Deza@gmail.com

Deza Elena I., PhD in Mathemathics, ScD in Education, Associate professor, professor, Theoretical Informatics and Discrete Mathematics, Department f, Mathematics Faculty, Moscow Pedagogical State University e-mail: Elena.Deza@gmail.com