Cимметрия в науке, технике и технологиях. III. Симметрия в уравнениях физики и технологиях

3. Raffel, M. Particle Image Velocimetry / M. Raffel C. Willert J. Kompenhans. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. -

229 p.

4. Adrian, R.J. Statistical properties of particle image velocimetry measurements in turbulent flow. Laser Anemo-metry in Fluid Mechanics-III. - Lisbon: Instituto Superior Tecnico, 1988. - P. 115-119.

5. Priestley M.B. Spectral Analysis and Time Series 7th edn / M.B. Priestley. - San Diego, CA: Academic, 1992.

УДК 548.12+57.018.72 Б.П. Сорокин, Т.П. Сорокина

СИММЕТРИЯ В НАУКЕ, ТЕХНИКЕ И ТЕХНОЛОГИЯХ.

III. СИММЕТРИЯ В УРАВНЕНИЯХ ФИЗИКИ И ТЕХНОЛОГИЯХ

Третья статья цикла посвящена анализу симметрии физических уравнений и применению понятий симметрии в технологиях и новых композиционных материалах. Отмечено важное требование - однородности физических величин, входящих в любое уравнение, как с точки зрения однородности вида, так и внутренней симметрии. Приведены примеры анализа симметрии уравнений электродинамики Максвелла, линейных тензорных материальных уравнений. Указаны способы вычисления трансформации полярных и аксиальных векторов при векторных и скалярных произведениях. Кратко рассмотрены пьезоэлектрические текстуры и композитные материалы с точки зрения эвристического значения принципа симметрии в предсказании вновь возникающих свойств.

Данная статья является третьей частью цикла и посвящена анализу симметрии физических уравнений и применению понятий симметрии в технологиях и новых композиционных материалах. Все основные понятия и обозначения приведены в первой части [1].

1. Анализ симметрии физических уравнений

Уравнения, описывающие самые различные физические процессы или явления, могут быть представлены в виде функциональной связи тех или иных величин, которые в математическом смысле могут представлять собой тензоры (псевдотензоры) различного ранга. Например, общую взаимосвязь явления (физического эффекта) и воздействия можно представить соотношением

Явление

Уравнение (1) дает возможность обратиться к любому материальному свойству вещества. Так, вследствие анизотропии свойств кристаллов явление (эффект), т.е. реакция кристалла на воздействие, геометрически может не совпадать по направлению с воздействием. Учесть многообразие физических эффектов и свойств можно, записав (1) в координатном виде:

РаЬс.../ ^аЬс...А]к ...гЯ]к...г >

где f - тензор (или псевдотензор) ранга п (равного числу подстрочных координатных индексов

аЬс..Д описывающий эффект; ^ г - тензор

ранга п+т, соответствующий искомому свойству вещества. В (2) и далее принято, что строчные индексы соответствуют осям ортогональной системы координат и пробегают значения от 1 до 3 (X = 1, У = 2,1. = 3), а также действует эйнштейновское правило суммирования по дважды повторяющемуся индексу (таким образом, в правой части (2) суммирование производится т раз). С точки зрения классификации следует также иметь в виду, что тензор нулевого ранга - это скаляр, первого ранга - полярный вектор; псевдотензор нулевого ранга - псевдоскаляр, первого ранга - аксиальный вектор.

Анализируя (2), следует зафиксировать важное обстоятельство: в правой и левой частях равенства должны стоять величины, однородные по виду (тензор или псевдотензор), рангу и внутренней симмет-

рии (внутренней симметрией называют свойство тензора (псевдотензора) быть инвариантным относительно той или иной перестановки индексов). Наряду с применением принципа одинаковой размерности, симметрия также может служить внешним критерием корректности того или иного уравнения.

Например, материальное уравнение электропроводности (закон Ома в дифференциальной форме) для изотропных проводников или полупроводников имеет вид

} = сгЁ,

где полярные векторы плотности тока ] и напряженности электрического поля Е совпадают по направлению, а коэффициент удельной электропроводности ст имеет смысл скаляра. Однако в анизотропных средах (некоторые металлы, полупроводники и композитные материалы) это уравнение должно быть заменено более общим:

1к=°к1Е1,

где векторы плотности тока и электрического поля уже могут не совпадать по направлению, а коэффициент удельной электропроводности аи - симметричный тензор второго ранга. Соотношение (4) - это система трех линейных уравнений для компонент вектора плотности тока \2, ]з относительно компонент электрического поля Е1, Е2, Ез. Это соотношение является частным случаем преобразования полярного вектора из одного линейного пространства в другое. Итак, векторный эффект возникновения тока (уравнения (3), (4)) создается за счет векторного воздействия (электрического поля).

Линейные уравнения достаточно часто используются в физике, однако их симметрийный анализ показывает, сколь различными могут быть те или иные эффекты. Рассмотрим воздействие изменения температуры АТ на анизотропное твердое тело

е.. = ауАТ.

Здесь еу - симметричный тензор второго ранга, описывающий тепловую деформацию. Очевидно, что изотропное (скалярное) воздействие АТ не должно изменить форму изотропного твердого тела. Такое возможно для аморфных тел и кристаллов кубической симметрии (высшая категория), если учесть, что тензор

линейного теплового расширения в этих случаях принимает наиболее простой вид

0 0 (а О 0Л

а» =

а,

а и 0

0 =

а

и

а

0

0

а

0

0

Однако для более низкосимметричных (тригональных, тетрагональных или гексагональных) кристаллов средней категории тензор оц усложняется:

а* =

У

аи

0

0

0 0 >

а\\ 0

0 аъъ)

Ґ ах 0 0

аУ = 0 сс2 0

0 аъ

Наконец, для низшей категории кристаллов (моноклинных, ромбических или трикпинных), тензор оц, приведенный к диагональному виду, имеет форму

Такое изменение числа независимых и не равных нулю компонент вызвано действием внешней симметрии, т.е. фактором, влияющим на инвариантный вид тензора, является симметрия данного кристалла, конечно, взаимосвязанная с его внутренним строением. В случаях, описываемых тензорами вида (7) или (8), изотропное внешнее воздействие должно приводить к такой деформации образца кристалла, которая соответствует тому или иному виду тензора теплового расширения. Например, в случае (7) образец, изготовленный в виде сферы, в результате изменения температуры превратится в эллипсоид вращения, сжатый или вытянутый вдоль оси в зависимости от свойств конкретного кристалла. Для случая (8) исходно сферический образец примет форму эллипсоида общего вида. Следовательно, наблюдая изменение формы кристалла в таком эксперименте, можно, руководствуясь принципом Неймана, определить, к какой из трех категорий относится исследуемый образец кристалла.

Обращаясь к уравнениям (3) или (4), следует отметить, что вид тензора удельной электропроводности будет зависеть от симметрии среды так же, как и тензор оц (6)-(8). Этими тремя случаями изотропное или анизотропное движение тока, заданное уравнениями (3) или (4), описывается исчерпывающим образом.

Записав основной закон динамики (второй закон Ньютона) для движения макроскопических тел в свободном пространстве

Р = та ,

где полярные векторы силы Р и ускорения а совпадают по направлению, легко убедиться, что с точки зрения симметрии это уравнение подобно (3). Здесь масса т - скаляр. Однако движение электронов или дырок в твердых телах уже не подчиняется классическому закону динамики (9). Его квантовомеханический аналог будет иметь более общий вид

Рг =Щап

где т - симметричный тензор эффективной массы. Его вид зависит от симметрии кристалла так же, как и тензор теплового расширения (6)-(8). Следовательно, в анизотропных металлах или полупроводниках ускорение электронов, например, под действием электрического поля Е, может не совпадать по направлению с Е.

Используя предельные группы Кюри, можно сейчас легко понять глубинное различие постоянных электрического и магнитного полей. Хотя то и другое являются векторами, однако происхождение этих полей качественно различно: если постоянное электрическое поле возникает благодаря наличию «покоящихся» электрических зарядов, то постоянное магнитное поле - вследствие их движения. При этом, если традиционное изображение напряженности электрического поля стрелкой (рис. 1, а) вполне соответствует представлению о симметрии полярного вектора дат, то для изображения индукции постоянного магнитного поля или его намагниченности, следуя А.В. Шубникову [2], нужно применить фигуру, совпадающую по симметрии с симметрией аксиального вектора да/т (рис. 1, б).

Как известно, для получения однородного постоянного магнитного поля можно использовать длинный соленоид. Движение электрических зарядов по круговым виткам соленоида как раз и создает однородное магнитное поле, индукция которого направлена по прямолинейным силовым линиям, заполняющим соленоид изнутри. Здесь, собственно, на уровне данной специфической симметрии и выявляется вихревой характер полей, определяющих как магнитные свойства веществ, так и образованных макроскопическими электрическими токами.

Проанализируем симметрию уравнений классической электродинамики Максвелла:

д — — — Я)

гоШ = 7 + — (є0 Е + Р) = 7 + —:

а а

гвїЕ = -

Ж

д1

сИ\’Г) = Шу(є0Е + Р) = р, йіуВ = 0,

а б

Рис. 1. Фигуры, изображающие: а - полярный вектор (симметрия предельной группы Кюри сот; б - аксиальный вектор (симметрия предельной группы Кюри х>/т

где Е - среднее макроскопическое электрическое поле внутри диэлектрика; Р - диэлектрическая поляризация; б - вектор электрической индукции; Н - напряженность магнитного поля; В - вектор магнитной индукции; у - вектор плотности тока; р - объемная плотность свободных зарядов; е0- диэлектрическая постоянная.

Для постоянного тока из первого уравнения (11) имеем

гоШ = ] . №

В свете сказанного о различной природе симметрии полярного и аксиального векторов, данное уравнение иллюстрирует трансформацию аксиального вектора Н в полярный вектор ] посредством векторного произведения оператора у = Г—+ 7—+к — и вектора Я. Порождающий у и порожденный Я век-

дх ду дг

торы всегда пространственно ортогональны. Второе из уравнений (11) дает преобразование полярного вектора Ё в аксиальный — за счет векторного произведения полярных векторов V и Е . Как и ранее, по- ЗВ - Т7

рождающии — и порожденный Е векторы пространственно ортогональны.

дг

Третье из уравнений (11) демонстрирует результат скалярного произведения полярных векторов V и

3 с образованием скалярной величины. Однако результат скалярного произведения полярного вектора V

и В (четвертое из уравнений (11)) не столь очевиден. В данном конкретном случае вследствие ортогональности этих векторов их произведение равно нулю. Однако, как показано, например, в [3], в общем случае такое произведение дает результатом псевдоскаляр (величина, которая не изменяется при переходе от правой системы координат к правой (от левой системы координат к левой), либо изменяет знак на противоположный при переходе от правой системы координат к левой (от левой системы координат к правой)). Физической величиной, имеющей смысл псевдоскаляра, является, например, удельное вращение плоскости поляризации в оптически активных жидкостях или оптически активных изотропных твердых телах. Некоторые полезные результаты алгебры полярных и аксиальных векторов приводятся в таблице (р - полярный, а -

аксиальный векторы; б - скаляр; Дб - псевдоскаляр). Более сложные виды операций, например, смешанное произведение, могут быть составлены, руководствуясь данной таблицей. Надо также отметить, что в математике и физике употребляются и более сложные объекты - тензоры и псевдотензоры, которые, в свою очередь, подразделяются на полярные и неполярные.

Трансформация полярных и аксиальных векторов

Скалярное произведение Модуль Векторное произведение Модуль

V ,Р С'' 5 = р р)''соъа а = р р ^\х\ а

Ц,р У Лл’ =: р Р<-  = ар ^іп а

л1 = а и ^соъа == а^ а С' С''

А = ±1 (определитель матрицы ортогонального преобразования, переводящего старую систему координат в новую). Знак "плюс” соответствует переходу от правой системы координат к правой (от левой системы координат к левой), знак «минус» - переходу от правой системы координат к левой (от левой системы координат к правой).

2. Симметрия текстур и композитных материалов. Применение в технологии

Текстурами называют искусственные или природные материалы, в которых за счет тех или внешних воздействий была задана анизотропия физических свойств. Блестящим результатом применения принципов симметрии оказалось предсказание А.В. Шубниковым [2] новых искусственных пьезоэлектриков, названных пьезоэлектрическими текстурами. Большое количество пьезокерамических материалов различного назначения было создано на основе изоморфных титанату бария ВаТЮз соединений, например, Pb(Zr,Ti)O3. Эти соединения обычно трудно получить в виде крупных однородных монокристаллов, однако керамическая технология позволяет изготовить изделия необходимой заданной формы. Поликристаллическое строение таких материалов с хаотически ориентированными осями кристаллитов исключает пьезоэлектрический эффект, если не принять определенных мер. Для появления выделенного полярного направления образец керамики поляризуют, т.е. подвергают воздействию сильного электрического поля, обычно при повышенных температурах. В результате обращения направлений сегнетоэлектрических доменов внутри кристаллитов преимущественно вдоль поля при последующем охлаждении образец приобретает новые свойства. В соответствии С принципом симметрии происходит понижение симметрии ОТ изотропной co/mm к симметрии полярного вектора дат, которая допускает существование пиро- и пьезоэлектрических свойств.

Многие примеры текстурирования образцов металлов возникают как при формообразовании заготовок (полуфабрикатов), так и в процессах той или иной механической обработки - волочение, прокат, резание, рубка и др. Вообще, идеальная изотропия свойств поликристаллического металлического образца может быть получена в крайне сложных условиях - плавки в изотропном тепловом поле в отсутствие гравитации с последующим охлаждением без ограничивающих механических влияний. Однако даже разливка металла в изложницы приводит к некоторому текстурированию как благодаря форме изложницы, так и вследствие градиента теплового потока. Очевидно, что металлообработка сопровождается значительными пластическими деформациями. Если воздействие имеет определенную симметрию, то она отразится в симметрии текстуры металла. Тем самым возникает определенная предыстория пластических деформаций и напряжений внутри таких образцов. В результате заготовки с неконтролируемой текстурой в процессе последующей металлообработки могут вести себя непредсказуемым образом (рис. 2).

Рис. 2. Искажения плоского проката из-за особенностей текстуры заготовки: а - изгиб в плоскости прокатки; б - изгиб в вертикальной плоскости; в - серповидность; г - и д - волнистость; е - желоб; ж - винт; з - верхнее давление [4]

Композитными, в широком значении термина, являются любые материалы, состоящие из двух и более фаз. Начиная с 80-х годов, особыми свойствами композитов заинтересовались в связи с успехами в технологии тонких технических керамик [5,6]. Для многофазных материалов их свойства могут быть классифицированы как сумма, комбинация или произведение свойств исходных фаз. Например, при простом суммировании свойств диэлектрическая проницаемость композита лежит между ее значениями для индивидуальных фаз. Для комбинации свойств требуется, чтобы два или более свойства являлись средними из свойств компонентов. Наконец, произведение свойств компонент может дать третье свойство, присущее только композитному материалу. Например, в магнитоупругом композите наличие пьезоэлектрического эффекта в титанате бария и магнитострикции кобальтового феррита приводит к тому, что возникает новый, ранее не существовавший, магнитоэлектрический эффект - деформация образца за счет магнитострикции в приложенном магнитном поле затем вызывает, благодаря прямому пьезоэлектрическому эффекту, возникновение электрической поляризации [5]. Симметрия управляет физическими свойствами композитов так же, как это происходит в монокристаллах. В случае магнитоупругого композита его симметрия оказывается ниже, чем симметрия любой из входящих компонент. При таких обстоятельствах возникают неожиданные свойства композита. Композитные структуры могут принадлежать к многим различным симметриям: кристаллографическим, черно-белым, цветным группам или группам симметрии Кюри.

Литература

1. Сорокин, Б.П. Симметрия в науке, технике и технологиях. 1. Точечные и предельные группы. Принцип симметрии Кюри / Б.П. Сорокин, Т.П. Сорокина // Вестн. КрасГАУ. 2005. - № 9. - С. 218-223.

2. Шубников, А.В. Избранные труды по кристаллографии / А.В. Шубников. - М.: Наука, 1975. - 556 с.

3. Сиротин, Ю.И. Основы кристаллофизики / Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. - М.: Наука, 1979. - 634 с.

4. Дурнев, В.Д. Симметрия в технологии / В.Д. Дурнев, И.П. Талашкевич. - СПБ.: Политехника, 1993. - 256 с.

5. Newnham, R.E. Ferroelectric Composites / R.E. Newnham. - Jap.J.Appl.Phys. - 1985. - V.24 (Suppl.2). - P. 16-17.

6. Newnham, R.E. Composite Electroceramics.3 / R.E. Newnham. - Electron. Ceram. - 1987. - V.18. - №85. -P. 37-47.

УДК 621.928 В.И. Чарыков, С.А. Соколов

ПОВЫШЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ УСТАНОВОК ДЛЯ ОЧИСТКИ СЫПУЧИХ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ПРОДУКТОВ ОТ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРИМЕСЕЙ

Сущность проведенных авторами исследований заключается в обосновании параметров электромагнитных сепараторов для неравномерного магнитного поля в межполюсном пространстве, повышающего эффективность его работы. Значимость этой работы для практики заключается в установлении эффективности очистных установок за счет обоснования параметров электромагнита.

Надежное снабжение страны продовольствием и сельскохозяйственным сырьем является важнейшей задачей аграрной политики правительства РФ и региональных структур управления в современных условиях. Важнейшую роль при этом играют вопросы качества получаемой сельскохозяйственной продукции.

Для осуществления вышеназванной задачи необходимо не только достижение устойчивого роста сельскохозяйственного и перерабатывающего производства, надежное снабжение страны продуктами питания и сельскохозяйственным сырьем, но и обеспечение перерабатывающих отраслей высокотехнологичными машинами и оборудованием.

Мука и крупа являются одними из основных продуктов питания. На их производство затрачивается ежегодно примерно четвертая часть всего валового сбора зерна. Объем производства валовой продукции мукомольно-крупяной промышленности за последние годы растет. При этом особенно интенсивно развивается производство муки и крупы высоких сортов и гранулированных комбикормов.