К вопросу о возможности унификации процедуры обоснования научных областей: поиск сущностных оснований математики

Вестник Челябинского государственного университета. 2018. № 11 (421). Философские науки. Вып. 50. С. 63-68.

УДК 16 DOI 10.24411/1994-2796-2018-11111

ББК 87.25

К ВОПРОСУ О ВОЗМОЖНОСТИ УНИФИКАЦИИ ПРОЦЕДУРЫ ОБОСНОВАНИЯ НАУЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ: ПОИСК СУЩНОСТНЫХ ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ

Е. И. Арепьев, В. В. Мороз

Курский государственный университет, Курск, Россия

Статья посвящена проблемам метатеоретического уровня научного знания и, в частности, проблемам философско-методологического характера, назревших к настоящему времени в свете осмысления закономерностей развития и сущностного обоснования математики. Предлагается авторский подход к алгоритмизации, стандартизации процедуры обоснования научных областей, авторское видение сущностных основ математики и пример применения разрабатываемой процедуры к обоснованию математического знания. В работе также аргументируется наличие трёх сущностно значимых различных компонент фундамента математики — арифметической, геометрической и логической. Предлагается их онто-гносеологическая интерпретация.

Ключевые слова: методология науки, онтологические и гносеологические основания математики, процедура обоснования понятийно-теоретических областей.

Вначале конспективно обозначим структуру алгоритма применения метода внешнего и внутреннего рассмотрения к исследованию разделов математики, их онто-гносеологическому обоснованию.

Компоненты внешнего рассмотрения:

1. Прикладное значение для естественнонаучных, технических разделов знания, материального производства и пр.

2. Специфика объектов и процессов действительности, моделируемых и интерпретируемых посредством понятийного аппарата и системы утверждений исследуемой математической области.

3. Возможности выражения основных понятий и законов в естественном языке, их формулировки.

4. Аналогии и отличия рассматриваемой области математического знания с другими «нематематическими» областями интеллектуальной активности человека: естественными науками, техническими отраслями, гуманитарным знанием, игровыми системами (шахматы, карточные игры и пр.), логикой, языковыми системами и т. д.

5. Общенаучные, заимствованные (прежде всего из вышеперечисленных областей) и специфические методы исследования, применяемые в рассматриваемой области, их теоретико-познавательное описание.

Компоненты внутреннего рассмотрения:

1. Общее описание раздела (разделов), в который включена рассматриваемая область.

2. Описание специфических черт, выделяющих рассматриваемую область из более общего раздела, отличающих её от других областей этого

раздела. Описание первичных, базисных определений, понятий и объектов, специфичных для рассматриваемой области.

3. Описание структуры рассматриваемой области, её составных частей и их сущностных отличий.

4. Варианты, возможности интерпретации понятий, объектов и законов (теорем) рассматриваемой области в других областях математики.

5. Описание степени формализации раздела, общенаучные (общематематические), заимствованные из других математических областей и специфические методы исследования, применяемые в рассматриваемой области, их теоретико-познавательное описание.

Проблемам обоснования научного знания посвящено огромное количество работ. Области оснований отдельных научных дисциплин порой разрастаются до необозримых пределов, причём в таких областях разрабатываются и частнона-учные (в основном фундаментальные) проблемы, и методологические основы, и общетеоретический базис, а также вырабатывается онтологический и гносеологический фундамент научной отрасли, выявляется сущностный статус её объектов и положений. При этом, как правило, остаётся достаточно неясным вопрос о том, в какой степени обоснование некоторой научной области является делом философов и методологов, а в какой — делом представителей самой этой области. Совсем не прибавляет ясности исторически сформировавшаяся терминология, которая далеко

не однозначна и не единообразна, которая, например, называет методологией, то есть учением о методе, исследования, посвящённые раскрытию структуры и механизмов функционирования науки (концепции И. Лакатоса, Т. Куна и др.), понимает (в одной из интерпретаций) под идеализмом лишь субъективный идеализм и пр.

Таким образом, ситуацию в области философ-ско-методологических и общетеоретических оснований науки нельзя назвать ясной. Здесь, по-видимому, можно ожидать возражения со стороны некоторой части специалистов, живущих проблемами оснований и имеющих в своём представлении достаточно адекватную и, в определённом смысле, ясную картину этой области. Но суть вопроса в том, что подобная ясность существует лишь в «их представлении», тогда как сама ситуация в обсуждаемой области, а значит, и её объективная картина совсем не ясны. Для того чтобы убедиться в этом, специалисту можно провести мысленный эксперимент: попробуйте объяснить воображаемому (или реальному) неспециалисту смысловую нагрузку таких распространённых в области оснований терминов, как «аналитичность», «синтетичность», «априорность», «идеализм», «реализм», «индуктивизм», «эмпиризм»... Представляется, что обстоятельное объяснение основных нюансов заняло бы достаточно много времени.

Наконец, обширность, многообразие и сложность рассматриваемой сферы практически никак не обеспечены рефлексией, то есть исследованиями структуры, методов и закономерностей развития самих оснований. Конечно, критически настроенный читатель скажет: «рефлексия над процессом рефлексии науки, чем и является область оснований в широком смысле, это уже слишком!» Пожалуй, он будет в основном прав. Но тем не менее остаются, на наш взгляд, очевидными два момента: первое — обоснование научных дисциплин способствует их успешному развитию и, второе, — разработанность методов этого обоснования оставляет желать лучшего. Поэтому задача систематизации имеющихся и разработки новых методов обоснования науки является актуальной. Другими словами, область метатеоретических, логико-методологических и философских оснований научного знания на современном уровне развития приходит к необходимости её оформления в упорядоченную научную отрасль, обладающую собственными методами, общетеоретическими установками, структурой (в значительной степени определяемой, конечно же, многообразием

обосновываемых научных дисциплин) и прочими специфическими особенностями.

К числу препятствий, стоящих на пути успешного развития области оснований научного знания, относится и проблема, являющаяся общей для большинства гуманитарных областей науки, — это проблема многословия, традиционно присущего гуманитарному знанию и философии. Учёные, излагая свои идеи, как правило, не пытаются классифицировать результаты на те, которые представляют собой формулировку истин, отражающих сформировавшееся, выявившееся, но невербализированное знание, то есть истин, формулировка которых является результатом, становящимся очевидным сразу после его вербализации (например, законы диалектики, идея парадигмального развития науки Т. Куна и т. д.), и на те, которые представляют собой гипотетическое знание, в котором доминирующим является конструктивный элемент (например, идея проли-фирации теорий П. Фейерабенда, идея «финитных» методов Д. Гильберта и конструктивизм Дж. Брауэра и пр.).

Именно последний вид результатов нуждается в развёрнутых построениях, демонстрирующих их адекватность действительности или их полезность для процесса познания, тогда как первый вид результатов после своей формулировки нуждается лишь в нескольких поясняющих примерах, демонстрирующих идею, делающих её наглядной, затем эти результаты могут использоваться в исследованиях как достаточно обоснованные.

Существует и такая форма философского исследования, когда результаты получаются не в виде формулировки не вербализированных, но очевидных истин, отражающих закономерности исследуемых процессов, исследуемой области действительности, и не в виде исходных конструктивных гипотез, предшествующих исследованию, а как результат осуществления некоторой методологической процедуры. Подобная форма весьма схожа с естественнонаучным исследованием, если считать осуществление методологической процедуры своеобразной эмпирией. Конечно же, нельзя не оговориться, что предложенная классификация, как и любая классификация в философии, носит условный характер. Результаты, полученные учёным в виде обобщения и формулировки не вербализированного, но достаточно очевидного знания, могут стать, в то же время, некоторыми исходными, гипотетическими положениями, образующими фундамент многообразных конструк-

ций, нуждающихся в развёрнутом обосновании или получаемых в результате реализации некоторой процедуры.

К подобным фундаментальным установкам мы отнесём ряд положений, отражающих в определённой степени онтологический и гносеологический статус математических областей и математического знания в целом. Эти положения представляют собой попытку «прояснения», то есть выражения в максимально простом, ясном виде того, чем же являются математические истины и объекты, каково их отношение к бытию и процессу познания.

Мы, по всей видимости, можем вполне обоснованно заключить, что основания математики включают в себя как минимум три составляющие, принципиально отличающиеся друг от друга в онто-гносеологическом плане. К ним относится арифметическая компонента, выражающая свойства и связи количественных и порядковых параметров; геометрическая, которая выражает характеристики и принципы пространственных отношений, и, наконец, логическая компонента, раскрывающая нам свойства законов истинности, свойства отношений между необходимым и достаточным, причиной и следствием, свойства отрицания и пр.

То, что указанные составляющие основ математики сущностно различны, легко показать. Так, эволюция идеи Лейбница о «всеобщей характери-зации» знаний, развитие и попытки реализации установок логицизма, а также доказанные К. Гё-делем известные теоремы с полной очевидностью говорят, что арифметика не может рассматриваться как часть логики.

То же можно сказать и про сущностную специфику геометрической и арифметической компонент. В частности, то, что прямая, традиционно представляемая как интерпретация действительных чисел, однородна, тогда как числовой ряд — нет, то, что в арифметике и геометрии присутствуют различные типы очевидностей и пр., позволяет уверенно говорить о принципиальности различий указанных сфер. Достаточно наглядно просматривается также разница между геометрической и логической компонентами: различие форм очевидностей, интуиции, сфер приложения...

Таким образом, мы должны различать не менее трёх компонент оснований математики, и такое различие делает возможной предварительную бытийно-познавательную трактовку некоторых ключевых аспектов.

1. Математические разделы, порождаемые путём выведения следствий из первичных понятий и принципов, раскрывающих свойства отношений количества и порядка, базируются на доопытных принципах функционирования разума, выступающих его необходимым условием и служащих выражением непрерывных и дискретных характеристик бытия, всего существующего и возможного.

2. Основанием и условием формулируемости исходных понятий и законов геометрии выступает априорное свойство разума, состоящее в выражении им наиболее абстрактных, общих принципов и отношений материальной составляющей действительности.

3. Логическая составляющая оснований математики, определяющая свойства законов истинности, свойства отношений между необходимым и достаточным и т. д., базируется на неотъемлемой составляющей разума, состоящей в выразимости в нём свойств, принципов и связей элементов, образующих во взаимодействии какую-либо систему.

Невозможно отрицать, что геометрическая, арифметическая и логическая компоненты математики тесно взаимосвязаны между собой, дополняют и интерпретируют друг друга. Тем не менее данные компоненты обладают принципиальными отличиями, указывающими на сущностную специфичность их исходных понятий и принципов. Что же касается их единого начала, определяющего их место в системе точных наук, то оно, по нашему мнению, состоит в выражении универсальных законов возможного.

Приняв обозначенные утверждения в качестве базисных принципов, мы постараемся предложить онто-гносеологическую интерпретацию оснований математического знания в реалистическом ключе. Вначале представляется уместным на примере исследования проблем сущностного и метатеорети-ческого обоснования математического знания дать предварительное описание одной методологической процедуры. Речь пойдёт об одном из аспектов обозначенной выше проблемы — о методе, который может быть включён в методологию оснований науки и который нам удобнее всего наглядно представить в контексте обоснования математических областей. Данная процедура, обозначаемая как метод внешнего и внутреннего рассмотрения [1-3], состоит в развёрнутом многоаспектном анализе понятийной системы (математической теории), подлежащей обоснованию, и заключается в сопоставлении её специфических черт с характеристиками и спецификой других сфер. В этом

будет состоять внешнее рассмотрение. Что же касается внутреннего рассмотрения, то оно будет заключаться в экспликации свойств и структурных связей объектов, элементов и принципов в рамках данной сферы или теории.

Попытаемся конкретизировать этот метод, дав описание его составляющих с некоторыми поясняющими примерами.

Если в качестве области, подлежащей обоснованию, мы выберем раздел математики, то внешнее рассмотрение может быть начато с определения областей его приложения в естествознании, технике и других сферах. Помня, например, о том, что основы математического анализа закладываются, в первую очередь, в виде математического выражения свойств механического движения тел, мы можем определить, что понятие бесконечно малой величины, имеющее противоречивый характер, отражает диалектическую природу движения, выявленную ещё в апориях Зенона Элейского. Бесконечно малое, таким образом, может быть определено как условный «минимальный шаг» непрерывности.

Следующим этапом внешнего рассмотрения будет определение, выявление реальных объектов и явлений, описываемых и характеризуемых при помощи основных понятий данного раздела математики, раскрытие особенностей, свойств этих объектов и явлений.

Дальнейшим шагом внешнего рассмотрения может быть исследование возможностей интерпретации исходных понятий и принципов, а также фундаментальных законов и истин в естественном языке. Подобное выражение может быть полным, или же быть возможным лишь до определённой степени, или же быть практически невозможным. В зависимости от результатов, вполне вероятно, можно будет судить, например, о степени формализации, вернее, степени присутствия формального в сущностных основах рассматриваемой области и можно будет некоторым образом описать эти основы с точки зрения здравого смысла, представлений о мире, бытии, о процессе познания, что и является задачей философии науки.

После осуществления перечисленных шагов можно обратиться к процедуре, олицетворяющей собственно внешнее рассмотрение. Она состоит в выявлении аналогий и отличий рассматриваемой области математического знания в соотнесении с другими «нематематическими» областями: естественными науками, техническими сферами, гуманитарным знанием, игровыми системами

(шахматы, карточные игры и пр.), логикой, языковыми системами и т. д.

И, наконец, внешнее рассмотрение должно включить в себя предварительное исследование методологической составляющей рассматриваемой области. Оно состоит в выявлении общенаучных заимствованных прежде всего из областей, с которыми сравнивается рассматриваемая область, а также в выявлении специфических методов исследования, применяемых в рассматриваемой области, в их теоретико-познавательном описании.

Выполнение совокупности вышеперечисленных шагов и является реализацией процедуры внешнего рассмотрения (эта процедура, без сомнения, может быть уточнена и дополнена). Оно должно дать, как мы надеемся, определённое представление об исследуемой области, расширить возможности построения интерпретаций, моделей истолкования сущностных её оснований.

Что касается второй составляющей метода — внутреннего рассмотрения, то оно может быть начато с элементов структуризации, а именно — с определения и общего описания области (или областей), в которую включён рассматриваемый раздел. Здесь, далее, может быть осуществлено описание специфических черт, выделяющих рассматриваемую область из более общих разделов, описание первичных определений, понятий и объектов, специфичных для рассматриваемой области.

Следующим этапом внутреннего рассмотрения должно явиться описание структуры рассматриваемой области, её составных частей и их сущностных отличий. Подобное описание должно быть дополнено сущностной структуризацией, то есть выявлением разделов рассматриваемой области, отличающихся не только в содержательно-теоретических аспектах, но и на уровне бытийных и теоретико-познавательных основ. Конечно же, подобная сущностная структуризация должна опираться на предыдущие шаги внутреннего рассмотрения, брать в них своё начало.

В целях прояснения сущностных особенностей составных частей исследуемой области могут быть рассмотрены варианты проекции её понятий, объектов и законов (теорем) в других областях математики. Например, для математического анализа являются распространёнными геометрические интерпретации его положений и результатов.

Наконец, представляется необходимым, главным образом для прояснения теоретико-познавательной составляющей оснований рассматриваемой области, определение степени формализации раз-

дела, описание общенаучных, то есть общематематических, заимствованных из математических областей, и специфических методов исследования, применяемых в ней.

При оценке перспектив и значимости подобных построений следует помнить, что для успешного открытия нового знания в математике и других науках, так же, как и в области оснований научного знания, неявно используется принцип, который мы будем называть «принцип ограничения обоснованности». Суть его в общих чертах состоит в отрицании следующей установки: «сколько-нибудь значимая понятийная система или интерпретация невозможна без выполнения требования полноты, решения всех вопросов». Этот принцип в неявной форме встречается в философских учениях различных эпох, в частности, он просматривается в философско-лингвистических исследованиях аналитической традиции [1]. Он заключён также в рассуждениях Декарта об исходном безусловно достоверном тезисе. Декарт говорит, что «...сомневаться можно во всём, кроме наличия самого сомнения, то есть мышления.» Это рассуждение имплицитно содержит идею ограничения обоснованности, предписывающую нам на начальном этапе теоретических построений исходные положения, идеи и понятия принимать в интуитивно-осмысленном виде, или, можно сказать, приближённо осмысленном. Таким образом, в конечном

итоге всякие научные построения — это фрагменты структуризации, некоторые конструкции, не имеющие ни незыблемых основ, ни всеобъемлющей, безоговорочной применимости. Стыковка же подобных структур с другими научными построениями тоже является почти всегда приближённой, «натянутой». То же можно сказать, конечно, и о предложенной процедуре.

В завершении настоящего обсуждения следует отметить, что реализация описанного алгоритма, несомненно, привнесёт существенные его дополнения, уточнения и преобразования. По образцу описанного выше в набросках алгоритма могут быть разработаны подобные последовательности предписаний, преследующие совсем другие цели, направленные на самые различные аспекты обоснования научных областей и сфер интеллектуальной активности человека. Каждая из таких последовательностей будет обладать определённой спецификой, реализовываться в различных процедурах. Отличительные особенности этого метода могут проявляться также и в зависимости от целей исследования, от полноты охвата проблемы и глубины предполагаемого обоснования. При этом, однако, хотелось бы верить в эвристическую значимость и методологическую перспективность метода «внешнего и внутреннего рассмотрения» в сфере оснований математики и науки в целом.

Список литературы

1. Арепьев, Е. И. Аналитическая традиция: методология науки и сравнительный анализ свойств математики / Е. И. Арепьев // Филос. науки. — 2003. — № 4. — С. 64-77.

2. Арепьев, Е. И. Методологические принципы аналитического истолкования природы математики / Е. И. Арепьев // Филос. науки. — 2004. — № 10. — С. 78-92.

3. Арепьев, Е. И. О методологии аналитической философии математики / Е. И. Арепьев // Alma mater. Вестн. высш. шк. — 2003. — № 1. — С. 41-44.

Сведения об авторах

Арепьев Евгений Иванович — доктор философских наук, профессор кафедры философии, Курский государственный университет. Курск, Россия. arepiev@yandex.ru

Мороз Виктория Васильевна — доктор философских наук, профессор кафедры философии, Курский государственный университет. Курск, Россия. victoriamoroz2014@ yandex.ru

68

Е. K. ApenbeB, B. B. Mopo3

Bulletin of Chelyabinsk State University. 2018. No. 11 (421). Philosophy Sciences. Iss. 50. Pp. 63-68.

TO THE QUESTION ABOUT THE POSSIBILITY OF UNIFICATION OF PROCEDURE FOR JUSTIFICATION OF SCIENTIFIC AREAS: SEARCH FOR ESSENTIAL BASES OF MATHEMATICS

E.I. Arepiev, V.V. Moroz

Kursk State University, Kursk, Russia. arepiev@yandex.ru

The article is devoted to the problems of the meta-theoretical level of scientific knowledge and, in particular, to problems of a philosophical and methodological nature, which have ripened to the present in light of the understanding of the laws of development and the essential substantiation of mathematics. The author's approach to algorithmization, standardization of the procedure for substantiating scientific fields, the author's vision of the essential foundations of mathematics and an example of applying the developed procedure to the substantiation of mathematical knowledge are proposed. The work also argues the existence of three essential different components of the foundation of mathematics — arithmetical, geometrical and logical. Their onto-logical and epistemological interpretation is proposed.

Keywords: methodology of science, ontological and epistemological foundations of mathematics, procedure for substantiating conceptual theoretical areas

References

1. Arepiev E.I. Analiticheskaya traditsiya: metodologiya nauki i sravnitel'nyy analiz svoystv matematiki [Analytical tradition: the methodology of science and comparative analysis of the properties of mathematics]. Filosofskiye nauki [Philosophical Sciences], 2003, no. 4, pp. 64-77. (In Russ.).

2. Arepiev E.I. Metodologicheskiye printsipy analiticheskogo istolkovaniya matematiki [Methodological principles of analytical interpretation of the nature of mathematics]. Filosofskiye nauki [Philosophical Sciences], 2004, no. 10, pp. 78-92. (In Russ.).

3. Arepiev E.I. O metodologii analiticheskoy filosofii matematiki [On the methodology of the analytical philosophy of mathematics]. Alma mater. Vestnik vysshey shkoly [Alma mater. Herald of Higher Education], 2003, no. 1, pp. 41-44. (In Russ.).