Конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие обобщенно внешнепланарные графы Кэли

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4. С. 6-9.

УДК 512.572 П.О. Мартынов

КОНЕЧНЫЕ СВОБОДНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ МОНОИДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ ОБОБЩЕННО ВНЕШНЕПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ КЭЛИ

Рассмотрены конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие обобщенно внешнепланарные графы Кэли. Доказано соответствующее характеристическое свойство свободных коммутативных моноидов как система ограничений, налагаемых на количество образующих и определяющие соотношения моноида, заданного своим копредставлением.

Ключевые слова: граф Кэли полугруппы, обобщенные внешнепланарные графы, конечные свободные коммутативные моноиды.

Данная статья продолжает исследование [1], посвященное перечислению полугрупп, допускающих обобщенные внешнепланарные графы Кэли.

Общеупотребительные понятия теории графов мы приводить не будем, их определения можно найти, например, в [2]. Хотелось бы лишь напомнить, что обобщенным внешнепланарным графом называется планарный граф, который можно уложить на плоскости таким образом, что каждое ребро обладает хотя бы одной концевой вершиной на границе одной и той же грани [3]. Необходимо отметить, что обобщенные внешнепланарные графы впервые ввел в рассмотрение Иржи Седлачек. Данное понятие сыграло важную роль при изучении локальных свойств графов [4]. Кроме того, И. Седлачек нашел характеризацию обобщенных внешнепланарных графов в терминах запрещенных подграфов, для полноты изложения приведенную в следующей теореме.

Теорема 1 (Седлачека [4]). Граф является обобщенным внешнепланарным тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, гомеоморф-ных одному из графов, изображенных на рис. 1.

Известно [5], что графом Кэли полугруппы S относительно множества образующих её элементов Х называется помеченный ориентированный мультиграф Cay(S,X), состоящий из множества вершин S и множества помеченных дуг - всевозможных троек (a, x, b), где a, b e S , x e X и ax = b.

© П.О. Мартынов, 2015

Конечные свободные коммутативные моноиды...

7

Приведенное определение задает ориентированный мультиграф с помеченными ребрами. При этом основой помеченного ориентированного мультиграфа мы называем обыкновенный граф, полученный из данного графа удалением меток, петель и заменой всех дуг, соединяющих вершины u и v , на одно ребро {u, v}. Таким образом, утверждаем, что полугруппа допускает обобщенный внешнепланарный граф Кэли, если относительно некоторого множества образующих основа её графа Кэли является обобщенным внешнепланарным графом.

Основное определение базируется на понятии циклического моноида: им является любой гомоморфный образ свободного моноида с одним образующим. Очевидно, что любой циклический моноид либо изоморфен циклической группе, либо получен из циклической полугруппы внешним присоединением единицы. Конечный моноид называется свободным коммутативным, если он является свободным коммутативным произведением циклических моноидов в классе моноидов.

Конечный свободный коммутативный моноид имеет копредставление вида

S = (ах, а2,..., ап\а”] = 1, arj‘+m' = a, i e I, j e J, где 1 - единица для всех элементов данного моноида, I U J = 1, n, I П J = 0, J Ф 0 в классе всех коммутативных моноидов, m ., mj, r - натуральные числа. Заметим, что

соотношение вида ajJ = 1 эквивалентно со-

1 + m. m.

отношениям вида а . 1 = а., а, а .1 = а, для

любого индекса k e 1, n. Граф Кэли будем рассматривать относительно множества образующих, указанных в копредставлении; понятно, что это множество является множеством свободных образующих моноида S.

Ниже перечислим все конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли.

Теорема 2. Граф Кэли конечного свободного коммутативного моноида S обобщенно внешнепланарен тогда и только тогда, когда S в классе всех коммутативных моноидов

имеет копредставление одного из следующих видов:

(1) S = ^а|а” = 1),

где m - любое натуральное число;

(2) S = (а,ъ\аг+m = аг, Ь = 1) либо

S = (а, Ь\ат = 1, Ь‘ = 1) ,

где для натуральных r, m, t выполнено одно из следующих ограничений: а) t = 1; б) m < 2, t = 2 ;

(3) S = (а,Ь,с|аг+” = аг, Ь2 = Ь, с = 1),

где r и m - натуральные числа, причем m < 2. Доказательство.

Для доказательства подробно рассмотрим каждую из возможных ситуаций.

(1) Если полугруппа порождена одним образующим элементом, то граф допускает обобщенную внешнеплоскую укладку для любого числа элементов такой полугруппы.

(2) Докажем, что граф Кэли полугруппы

S =

либо

S =

обобщенно внешнепланарен тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из ограничений: а) t =1; б) m < 2, t = 2 .

Случай t = 1 сводится к полугруппе S = (а\а” = 1^, граф которой обобщенно внешнепланарен.

Теперь рассмотрим следующий случай m < 2, t = 2. Графы Кэли полугрупп

S = (а,Ь|а” = 1, Ь‘ = 1^ (в виде подграфа) и

S = (а,Ь\аг+” = аг, Ь‘ = 1^, при оговоренных

ограничениях, можно увидеть на рис. 2, критерий обобщенной внешней планарности соблюден.

По закону контрапозиций отрицание условий а) и б) будет выглядеть следующим образом (отрицание условия r e N не рассматривается ввиду получения ложного дизъюнкта):

—|^(? = 1) л(т > 1)) v (t > 1) л (m = 1) v (m < 2) л (t = 2))J = —((t = 1) л (m > 1)) л —(t > 1) л (m = 1)) л

л—(m < 2) л(t = 2)) = (—( = 1) v —(m > 1) ) л (—( > 1) v —(m = 1) ) л (—(” < 2) v —( = 2)) = (( Ф1) v v(m < 1)) л (t < 1) v (m Ф1)) л ((m > 2) v (t Ф 2)) = Ф1) л (t < 1)) v (t Ф1) л (m Ф1)) v ((m < 1) л л( < 1)) v (m < 1) л (m Ф1))J л (m > 2) v (t Ф 2)) = (t Ф1) л (m Ф1) л (m > 2)) v (( Ф1) л (m Ф1) л л( Ф 2)) = (t > 2) л (m > 2)) v (m > 2) л ( > 2)).

8

П.О. Мартынов

1

b

Г"~

I /—cb f arb 1

m-1b

r+m-1

a

a

Рис. 2. Граф Кэли полугруппы

S = (a,b|ar+m = ar, b‘ = 1^, t = 2, m < 2

Рассмотрим основу подграфа графа Кэли (рис. 3) полугрупп S =

=

при полученном отрицании. Графы Кэли (названия вершин представлены в таблицах 1 и 2) этих полугрупп будут содержать подграф, изображенный на рис. 3, основа кото-

рого гомеоморфна запрещенному графу Сед-лачека G11. Можно сделать вывод о достаточности ограничений: а) t =1; б) m < 2, t = 2 .

Рис. 3. Подграф графа Кэли полугрупп

S = (a,b\am = 1, bt = l) и

S = (a,b\ar+m = ar, bt = l), при m > 2, t > 1

Таблица 1

Вершины подграфа, изображенного на рис. 3, графа Кэли полугруппы S = (a,b|ar+m = ar, V = 1^ при соответствующих значениях параметров

Ограничения параметров V1 V2 V3 V4 V5

(t > 2 лm > 2) a+m -1 ar a+m - 2 bar+m -2 bcr+m -1 ber

(m > 2 л t > 2) V-1 1 V-2 eV-2 bet-1 e

Таблица 2

Вершины подграфа, изображенного на рис. 3, графа Кэли полугруппы S = (a, b|am = 1, V = 1^ при соответствующих значениях параметров

Ограничения параметров V1 V2 V3 V4 V5 v6

(t > 2 лm > 2) em-1 1 em-2 bem-2 bem-1 b

(m > 2 л t > 2) V-1 1 V-2 cV-2 ab‘-1 a

(3) Перейдем к рассмотрению случая, при котором множество образующих полугруппы состоит из трех элементов.

Для полугрупп S = (a,b,cla^1” = ar, b2 = b, c = 1, где r и m - натуральные числа, причем m < 2, имеется внешнеплоская укладка, представленная на рис. 4. Если же m > 2, граф (рис. 5) будет содержать подграф, основа которого гомеоморфна графу G11 с рис. 1, то есть не является обобщенно внешнепланарным графом по теореме Седлачека.

1

1 eb1 1 erb 1 t i'TTTTs

ar+m-1b

Рис. 4. Граф Кэли коммутативной полугруппы

S = (a,b,c\ar+m = ar, b2 = b, c = 1), m < 2

r+m-1

c

a

a

a

(4) Для того чтобы показать достаточность [6] условий теоремы, имеет смысл рассмотреть случай с четырьмя и более образующими. Для полугруппS = (a,b,c,d\ar+m = ar,

b2 = b, c2 = c, d = 1^ , где r и m - натуральные

числа, граф Кэли такой полугруппы будет содержать подграф (рис. 6), основа которого гомеоморфна графу G11, и, следовательно, не будет являться обобщенно внешнепланарным.

Графы всех остальных полугрупп [7], имеющих копредставление S = ^at,a2,...,an |a“J = 1,

ar!+m' = a ,i e I, je J при n > 4, отличное от

выше рассмотренного, согласно [8], не являются планарными вообще. Теорема доказана.

Конечные свободные коммутативные моноиды...

9

a a

r+m-1

С

a

b

Рис. 5. Граф Кэли коммутативной полугруппы

S = {a,b,c\ar+m = ar, b2 = b, c = l), m > 2

ac

С

Рис. 6. Подграф графа Кэли коммутативной полугруппы

S = t^a,b,c,d\ar+m = ar, b2 = b, С = c, d = l^, где r и m - натуральные числа

ab abc

В статье была описана серия конечных свободных коммутативных моноидов, допускающих обобщенные внешнепланарные графы Кэли, доказано соответствующее характеристическое свойство. Основным

направлением дальнейшего использования результатов является их применение для

классификации полугрупп с обобщенными внешнепланарными графами Кэли.

Автор выражает благодарность Д.В. Соломатину за постановку задачи и ряд важных замечаний.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Мартынов П. О., Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы и полугруппы с нулем, допускающие обобщенные внешнепланарные графы Кэли // Вестн. Ом. унта. Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2014. Вып. 3. С. 22-26.

[2] Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973. 300 с.

[3] Sedlacek J. On a generalization of outerplanar graphs (in Czech) // Casopis Pest. Mat. 1988. Vol. 113. № 2. P. 213-218.

[4] Sedlacek J. On local properties of graphs again // Casopis Pest. Mat. 1989. Vol. 114. № 4. P. 381390.

[5] Zelinka B. Graphs of Semigroups // Casopis. Pest. Mat. 1981. Vol. 106. P. 407-408.

[6] Соломатин Д. В. Строение полугрупп, допускающих внешнепланарные графы Кэли // Сибирские Электронные Математические Известия.

2011. Т. 8. С. 191-212.

[7] Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные полугруппы с планарными графами Кэли // Математика и информатика: наука и образование : Межвузовский сборник научных трудов: Ежегодник. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2003. Вып. 3. С. 32-38.

[8] Соломатин Д. В. Конечные свободные коммутативные моноиды, допускающие планарный граф Кэли // Вестн. Ом. ун-та. Омск : Изд-во Ом. гос. ун-та, 2005. Вып. 4. С. 36-38.