Компьютерное восстановление изображений методом цифровой голографии с источником освещения малой когерентности

КОМПЬЮТЕРНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ЦИФРОВОЙ ГОЛОГРАФИИ С ИСТОЧНИКОМ ОСВЕЩЕНИЯ МАЛОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

И.П. Гуров, А.С. Захаров, А.Д. Лопатухина

Представлены результаты исследований в области цифрового восстановления информации о форме объекта по серии голограмм, полученной при освещении объекта источником малой когерентности и последовательных сдвигах опорного отражателя. Предложенный метод позволяет восстанавливать форму поверхности объекта, а также исследовать внутреннюю микроструктуру неоднородных сред.

Введение

Классическая голография [1] предоставляет возможность сохранять информацию о трехмерной форме объекта в виде голограммы. При записи голограммы излучение источника разделяется на опорную и объектную волну. Объектная волна отражается от исследуемого объекта и интерферирует с опорной волной, при этом сохраняется информация об амплитуде и фазе объектной волны, что позволяет восстановить трехмерную форму объекта.

Отличие цифровой голографии от классической заключается в том, что запись голограммы осуществляется с помощью видеокамеры, и восстановление формы объекта по голограмме является полностью цифровым [2-6], В результате процесса восстановления получается не визуальное изображение объекта, а численное выражение его формы (например, в виде «карты высот», представляющей форму поверхности).

При записи и цифровой реконструкции голографических изображений необходимо учитывать ряд ограничений. В частности, если записывать голограмму с использованием монохроматического источника света, фазу объектной волны можно восстановить только с точностью до 2тс, поскольку интерференционные максимумы наблюдаются в тех точках, где разности хода опорной и объектной волны кратны величине длины золны X. Поэтому монохроматическую голографию проще всего использовать для количественного определения весьма малых отклонений формы объекта.

Если монохроматическая волна отражается не только от поверхности объекта, но также испытывает объемное отражение от частично прозрачной среды, то волны от различных «слоев» объекта будут накладываться друг на друга, вследствие чего невозможно отделить вклад одного слоя от вклада другого.

Указанные проблемы позволяет решить малокогерентная голография, в которой используются источники освещения с широким спектром. Излучение источника малой когерентности можно приближенно представить как суммарное излучение монохроматических источников с различными длинами волн и разными интенсивностями. Для каждой длины волны интерференционная картина аналогична картине для монохроматического источника: максимумы наблюдаются там, где разность хода кратна X. Интерференционные картины, полученные на разных длинах волн, накладываются друг на друга. В результате, четкая интерференционная картина наблюдаются только там, где оптическая разность хода близка к нулю, в пределах дины когерентности излучения, как это иллюстрируется на рис. 1.

Тот факт, что в малокогерентной голографии интерференционная картина существует только в пределах длины когерентности излучения, позволяет добиться эффекта -выделения слоя», что невозможно в монохроматической голографии.

Рис 1. Формирование интерференционной картины малой когерентности

Если сформировать последовательную серию голограмм, записанных при освещении источником малой когерентности и заданных изменениях оптического пути опорной волны, можно получить полную информацию обо всех слоях объекта. Благодаря эффекту «выделения слоя», малокогерентная голография позволяет определять не только отклонения формы отражающей поверхности объекта, превышающие X, но и его внутренние неоднородности.

В настоящей работе исследована задача восстановления информации о форме поверхности объекта при помощи цифровой мало когерентной голографии. Для этого по набору голограмм отдельных слоев восстанавливается полная информация об объекте.

Для того, чтобы убедиться в работоспособности метода и получить оценки точности, необходимо сравнить восстановленную форму объекта с исходной. Следовательно, необходимо иметь информацию об исходном объекте в цифровом виде и осуществить цифровой синтез «эталонной» голограммы.

Таким образом, кроме основной задачи восстановления формы объекта по серии голограмм, возникает также дополнительная задача цифрового синтеза серии голограмм в целях тестирования метода и вычислительных алгоритмов.

Компьютерный синтез «эталонных» голограмм

Как отмечено выше, решение задачи подразделяется на два логических этапа; синтез серии голограмм и восстановление формы объекта по серии голограмм. Для того, чтобы синтезировать серию голограмм объекта, прежде всего, требуется получить его цифровое представление в виде трехмерной функции. Затем необходимо решить задачу цифрового синтеза голограмм для модели объекта. Для восстановления формы объекта по серии голограмм вначале решается задача восстановления объектного поля по одной голограмме. Затем по последовательности таких восстановленных полей можно получить полную информацию о форме объекта.

В данной работе в качестве модели исследуемого объекта рассматривается многослойный объект. При этом отражение объектной волны происходит от поверхности объекта, а также от каждой границы слоев. При такой модели объектное поле в плоскости голограммы представляет собой суперпозицию полей, соответствующих каждому слою объекта:

Еа(х,у,Х) =

/

где Е0 - комплексная амплитуда результирующего объектного поля в плоскости голограммы, Е, - комплексная амплитуда поля в плоскости голограммы для /-го слоя. Поле ¡-го слоя в плоскости голограммы можно определить как распространение до плоскости голограммы поля, сформированного при отражении от 1-го слоя;

2

Е, У, X) = Яд"'' ^ л' ^^ (*' ^ ыРУкрин (*> У, Л) ,

где а, - поле г-го слоя в плоскости слоя, рин (х, у, Г)) - функция расстояния между точками г-го слоя и голограммы, которая вычисляется по формуле

Рин(*.У* л) = +(>'-Л)2 +А/(^Л))2 я

где гон - расстояние между объектом и голограммой, йгГ)) - отклонение формы 1-го слоя, к - волковое число.

Поле в плоскости слоя, в свою очередь, можно вычислить как результат распространения 'исходной волны до плоскости слоя:

2

а,-(л-, у,%) = П—(4,г|, Х)р1] (х, у, Т1)ехр []кри{х, у, л)№*П,

"А

где Ее — поле исходной волны, ри(х,у,£,г}) - функция расстояния до точек /-го слоя,

Ри(х, = ' \)2 + (у - л)2 + Со + К (5. л))2 % Го - расстояние до объекта.

Результирующее поле в плоскости голограммы равно суперпозиции объектного поля и поля опорной волны:

Е, {х, у,Х) = Е0 (х, у, X) + Ея (х, у, X). Поле -опорной волны можно вычислить как распространение исходной волны до плоскости голограммы в форме

Ея(х,у,Х) = ( ^ У' ^ скрукр(х, у, г\)Щ4ц,

п IX

где т|) - расстояние до точек голограммы, пройденное опорной волной,

р(х,у,Г|) = у[(х - £)2 + (у - г|)2 + (г0 + гон + с!)2 , ё. - сдвиг опорного отражателя.

Представленные выше выражения определяют решение задачи вычисления поля объектной и опорной волн в плоскости голограммы для монохроматического источника освещения. Отличие вычислений для случая малокогерентного источника заключается в том, что необходимо выполнить дополнительное интегрирование по длине волны, а именно

Е!{х,у)=\С{Х)Е1(х,у,Ху[Х,

где С(Х) - функция распределения излучения по длинам волп. В случае спектра гауссовой формы

С(Х) = Аехр[-(Х-Х0)2/2а2], где А - максимальное значение, Х0- центральная длина волны, ст - параметр, определяющий ширину спектра. Интенсивность излучения в плоскости голограммы в точке (х,у) пропорциональна интенсивности результирующего интерференционного поля,

Представленные выше выражения определяют алгоритм синтеза голограммы малой когерентности для заданной модели объекта.

Восстановление формы объекта по цифровой голограмме

В классической голографии для восстановления изображения объекта необходимо осветить голограмму опорной волной с теми же характеристиками, что и при записи голограммы. После дифракции на голограмме формируется волна, аналогичная записанной объектной волне.

В цифровой голографии этот процесс осуществляется при цифровой обработке голограммы. Вначале вычисляется волна с такими же характеристиками, как и опорная волна при записи голограммы. Затем рассчитывается поле в плоскости голограммы сразу после «пропускания» через голограмму опорной волны:

Ен (х, у, X) = Es (х, у, Х)Н(х, у). После этого необходимо рассчитать поле в объектной плоскости как распространение поля от плоскости голограммы, а именно

2

Е0(х,у,X) = JJ—£я(Ç, ц,X)Pq (х,у,tj)exp[jkp0(x,у,i

Ро(х,у,Ç,л) = J(x-£,)2 +(У-Г])2+(Г0 + ГН)2 ;

Е0(х,у) = ¡C(X)E0(x,y,X)dX

Рассмотрим сигнал в точке (л, у), то есть функцию, которая представляет зависимость интенсивности восстановленного по одной голограмме поля в определенной точке от сдвига опорного отражателя, при котором получена голограмма. Этот сигнал имеет вид синусоиды умноженной на некоторую огибающую. Пример сигнала в точке представлен на рис. 2,

Рис 2. Пример сигнала как функции изменения оптической разности хода

Определив максимумы огибающей, можно найти сдвиги опорного отражателя, при которых оптическая разность хода опорной и объектной волны совпали, Таким образом, возможно выделить те слои, которые внесли вклад в сигнал для отдельного слоя, что позволяет в результате восстановить форму объекта как сумму слоев.

Экспериментальные результаты

Выполнен синтез серии голограмм с последующим восстановлением по ней формы объекта для модельного объекта, представляющего собой сложную поверхность. В качестве образца исследуемого рельефа выбран участок поверхности плитки Иогансона (первые буквы надписи "С.Е. Johansson").

На рис. 3 показаны голограммы для трех слоев объекта: вблизи основания («подложки»), слоя в середине диапазона высот рельефа и слоя в области наибольших отклонений рельефа.

Рис 3. Голограммы объекта

На рис. 4 в виде карт полутонов представлены исходный объект и результат восстановления формы поверхности по набору голограмм слоев. На рис. 5 показаны трехмерные представления поверхности. Из рисунков видно, что исходный и восстановленный объекты практически неотличимы визуально.

Рис 4. Исходный и восстановленный объекты

Рис 5. Исходный и восстановленный объекты

На рис. 6 представлено пространственное распределение погрешности рассмотренного метода восстановления рельефа. Погрешности вычислялись для каждой точки как квадрат разности между значениями высот исходного и восстановленного рельефа. На рисунке большим значениям погрешности соответствуют более светлые точки, а меньшим - более темные. Можно видеть, что погрешность тем больше, чем сильнее локальное изменение рельефа.

Рис 6. Пространственное распределение погрешностей метода

Оценка среднего квадратичного отклонения восстановленного рельефа с диапазоном высот порядкам 100 микрометров составила 2,3%.

Заключение

Проведенные исследования метода цифровой голографии с источником освещения малой когерентности применительно к задаче реконструкции трехмерной формы объекта показали высокую точность реконструкции поверхности в расширенном диапазоне отклонений рельефа. Метод восстановления трехмерной формы объекта по серии голограмм может быть использован для восстановления формы непрозрачных объектов, а также объемного распределения степени отражения частично прозрачных материалов и неоднородных сред. Важным преимуществом метода голографии по сравнению с интерферометрией малой когерентности является возможность реализации компьютерной фокусировки на слоях объекта без использования дорогостоящих оптико-механических фокусировочных узлов.

Метод оптимизации синтеза серии голограмм позволяет существенно снизить время вычислений. Полученные количественные оценки погрешностей предлагаемого метода демонстрируют, что достигаемая точность достаточна для большинства практических приложений. Метод может быть применен для сохранения информации о форме объекта в цифровом виде, эффективного сравнения тестируемого объекта с образцом, а также для поиска неоднородностей поверхности или внутренней структуры объектов.

Литература

1. Оптическая голография /Под ред. Г. Колфилда. В 2-х т. М.: Мир, 1982.

2. Kronrod R.W., Merzlyakov N.S., Yaroslavskii L,P. Reconstruction of a hologram with a computer//Sov. J. Tech. Phys. 1972. V.17. P. 333-334.

3. Ярославский Jl.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987, С. 243-286.

4. Schanrs U, Jüptner W. Direct recording of holograms by a CCD target and numerical reconstruction //Appl. Opt. 1994. V.33. P. 179-181.

5. Schnars U., Jüptner W. Digital recording and numerical reconstruction of holograms //Meas. Sei. TechnoL 2002. V.13. P. R85-R101.

6. Балтийский С.А., Гуров И.П., Де Никола С., Коппола Д., Ферраро П, Современные методы цифровой голографии. В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики /Под ред. И.П. Гурова и CA. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. С. 91-117.