Аналогия применения как инструмент математического образования студентов

УДК 372.851

А. И. Шерстнёва, В. С. Шерстнёв, О. В. Янущик АНАЛОГИЯ ПРИМЕНЕНИЯ КАК ИНСТРУМЕНТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТУДЕНТОВ

Изучена аналогия применения как связующее звено между различными разделами математики с целью развития математического мышления студентов.

Ключевые слова: аналогия применения, алгебра, геометрия, системы линейных неравенств, многогранники.

В настоящее время наше восприятие пресыщено огромным потоком информации, создаваемым новыми научными достижениями и технологиями. В таких условиях возникает потребность в специалистах, не только обладающих определенным количеством знаний, но и умеющих эффективно анализировать поступающую информацию, обобщать, сопоставлять, проводить аналогию. Это неуклонно меняет требования к методам образования выпускников вузов. Одним из приоритетных направлений высшей школы является задача научить студента быть думающим, хорошо ориентированным в современных тенденциях науки и производства специалистом.

В результате анализа литературы было выявлено, что процесс обучения любой науке в значительной степени строится на переносе отношений и свойств из одной системы в другую. Это обстоятельство лежит в основе применения такого метода научного познания, как метод аналогии. Перенос знаний, полученных при изучении одного объекта, на другие объекты - важнейшая задача не только развития науки, но и образования, поэтому формирование у студентов умения «мыслить» аналогиями, применять методы аналогии в познании окружающей действительности следует рассматривать как один из эффективных путей подготовки востребованных специалистов.

Под методом аналогии в обучении математике будем понимать такой метод обучения, при котором обоснованно и целенаправленно устанавливаются связи между различными ее разделами.

Вопрос использования аналогии в обучении не является новым и рассматривался с разных сторон в работах отечественных и зарубежных ученых. Результатом исследований явилось осознание следующих фактов. Во-первых, было установлено, что аналогия определяет особую форму мысли -вывод по аналогии, - отличительной чертой которой является перенос информации с одного сложного объекта (модели) на другой (оригинал) (А. И. Уёмов, Д. Пойа и др.). Во-вторых, опытным путем было доказано, что использование аналогии в обучении является целесообразным, так как это может быть полезно при повторении материала, установлении связей различных разделов математики (О. А. Аракелян, С. Е. Лапин и др.), отыска-

нии студентами способов решения задач, изучении с ними отдельных фактов физики и математики (В. Г. Болтянский, Г. Д. Балк, С. Ф. Бондарь, С. Е. Каменецкий, З. Крыговская и др.). В-третьих, было осознано, что применение аналогии в обучении развивает творческие способности студентов, а степень овладения аналогией характеризует уровень творческого развития человека (Ж. Адамар, С. Банах, Б. А. Викол, В. В. Давыдов, В. А. Крутец-кий и др.). Наконец, давно было замечено, что дети с первых шагов познания мира, а также в процессе учения стихийно пользуются аналогией (Ф. П. Ага-пьев, В. И. Зыкова и др.).

Мы будем придерживаться определения понятия математической аналогии, данного Е. А. Беляевым: «Математическая аналогия есть тождественность в широком смысле каких-либо систем математических объектов, возникающая как результат совмещения данных систем и основывающаяся на внутреннем сходстве и взаимосвязанности математики в целом» [1, с. 26].

При определении понятия «аналогия» мы считаем, что аналогия есть понятие, обозначающее некоторое сходство между различными объектами, процессами или системами в тех или иных свойствах, функциях, соотношениях элементов, структурах и порядке действий. Аналогия представляет собой один из видов сходства, но сходство само не является аналогией. Сходство существует объективно. Аналогия - это продолжение начального сходства с участием мышления человека. Анализ литературы показал, что различные объекты могут быть аналогичными, если у них существуют некоторые сходные существенные свойства или признаки.

В литературе выделяют следующие виды аналогий: аналогия применения, аналогия обобщения, аналогия контакта, предельная аналогия, аналогия преобразования, тривиальная аналогия. Пусть заданы внешне разнородные системы объектов произвольной природы. Если в них глубоко заложено сходство и есть возможность применить к ним один и тот же математический аппарат, то говорят об аналогии применения. Используемый математический аппарат выступает в данном случае как своеобразный язык, на котором формулируется общность разнородных систем объектов.

Различают внешнюю и внутреннюю аналогии применения. Внешняя аналогия применения позволяет установить связь математического аппарата и тех явлений действительного мира, которые он описывает. Возникновение понятий числа, фигуры и т. д. связано с внешней аналогией применения. Приведем классический пример этого вида аналогии: аппарат дифференциальных уравнений, применяемый к различным объектам действительности.

Дж. Максвелл получил систему дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле. Для электромагнитного поля в вакууме из этих уравнений можно получить важное следствие:

82 Е

8ґ2

= с

82 Е 8 Е 8 Е

Л

8х 8у

822

где Е - напряженность электрического поля;

82 В

(

8ґ2

= с

82 В 8 В 8 В

к8х 8у 82 у

где В - напряженность магнитного поля.

А до этого было известно, что локальное возмущение в изотропной упругой среде распространяется в виде волн, описываемых уравнением

82 и 8ґ2

2

= V

82и 8 и 8 и

Л

8х 8у

822

где и(х, у, 2, 0 - отклонение от начального покоя в точке (х, у, 2, 0 в момент времени ї и V - скорость распространения.

«Подобные закономерности возникают, - как отмечает У У Сойер, - в связи с такими явлениями, как гравитация, свет, звук, теплота, магнетизм, электрический ток, электромагнитные излучения, морские волны, полет самолета и строение атома, не говоря уже об одной чисто математической теории первостепенной важности - теории функций комплексного переменного. Мы здесь имеем дела не с двенадцатью отдельными теориями, а с одной теорией, имеющей двенадцать применений. Физически эти применения различны, математически -одинаковы» [2, с. 15].

Когда математический аппарат используется для нужд различных областей внутри самой математики, то говорят о внутренней аналогии применения.

Примером такого вида аналогии служит следующий факт. Решение уравнения 3х + 7х + 2х = 12х строится на характерных свойствах функции: разделив обе части на 12х, которое не равно нулю ни при каких значениях х є Я, будем иметь

- +

В левой части полученного уравнения стоит убывающая функция, а в правой части - константа.

Графики убывающей функции и константы могут иметь лишь одну точку пересечения, абсцисса которой легко находится подбором для исходного уравнения, это х = 1; разномонотонность функций, стоящих в разных частях уравнения (*), доказывает наличие лишь одного корня (х = 1).

Еще один пример внутренней аналогии - теория множеств - позволила ученым интерпретировать в математике различные ее области.

Во время зарождения математики и ее развития обнаружилась тесная связь между алгебраическими утверждениями и геометрическими образами. Исторически теорема Пифагора всегда связывалась с понятием площади и формулировалась на языке площадей: «площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах» [3, с. 236].

Аналогию между числами и геометрическими образами можно найти у Евклида. С числом у него связан образ отрезка, с произведением двух множителей - плоскостное число, с произведением трех чисел - телесное, а множители при умножении Евклид называет сторонами. «Когда же два числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее <число> называется плоскостным, стороны же его - перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его - перемножаемые между собой числа» [3, с. 16].

С появлением буквенной символики связь между числами и геометрическими образами начинает ослабевать. Э. Мах пишет: «Изобретение алгебры основано на том, что была усмотрена аналогия между операциями над числами при всем различии этих последних. Там, где величины аналогичным образом входят в вычисления, достаточно рассчитать только одну величину, чтобы потом одной подстановкой чисел по аналогии получить остальные» [4, с. 227].

Однако и на более высоких ступенях развития науки аналогия продолжает играть важную роль. В XVII в. благодаря работам французского философа и математика Р. Декарта возник метод координат, тем самым появилась возможность проводить аналогии между алгеброй и геометрией. Так, любому действительному числу можно сопоставить точку на числовом луче, паре действительных чисел - точку на координатной плоскости и т. д.

Аналогия применения дает возможность изучения студентами такого фундаментального понятия современной математики, как линейное неравенство, и его связи с геометрическими объектами. В ходе изучения этого вопроса функции используемых задач выступают весьма своеобразно - они составляют единое целое с изложением теоретического материала, с их помощью вводятся, изуча-

ются и закрепляются важнейшие математические понятия, связанные с понятиями выпуклых множеств, плоскости, пространства, фундаментального набора решений и др.

Используя аналогию, можно показать, как системы линейных неравенств с двумя или тремя неизвестными описывают соответственно выпуклые многоугольники и многогранники. Так, всякий выпуклый многоугольник (многогранник) можно задать аналитическим способом, а именно системой линейных неравенств. Например, параллелепипед со сторонами 3, 5, 4 можно задать системой линейных неравенств

х < 3, у < 5,2 < 4,

х > 0, у > 0,2 > 0.

Геометрическая интерпретация линейных неравенств помогает студентам глубже осмыслить такие понятия, как плоскость, пространство, вооружить их геометрическим методом решения.

Реализация связей различных разделов математики необходима для воспитания у студентов по-

нимания единства математики, в частности, для ознакомления с аналитической моделью геометрических фигур, причем для этого включаются задачи, решение которых требует знания как алгебраического, так и геометрического материала. Как показали проведенные исследования, аналогия, которую можно установить между геометрическими фигурами и системами линейных неравенств, позволяет развивать интерес студентов к различным разделам математики, а также представляет интерес изучение выпуклых многоугольников и многогранников и их выражение алгебраической моделью. Мысленное представление изменяющихся фигур или их элементов положительно сказывается на развитии пространственного и аналитического мышления, формирование которого является одной из приоритетных задач высшей школы. Включение в процесс обучения различным разделам математики задач, которые предполагают использование как геометрического, так и алгебраического материала, способствует повышению математической культуры учащихся.

Список литературы

1. Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. М.: Изд-во МГУ, 1975. 112 с.

2. Горбачева Н. В. Метод аналогии как средство развития творческого мышления учащихся при обучении их элементам сферической геометрии: дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2001. 164 с.

3. Далингер В. А., Костюченко Р. Ю. Аналогия в геометрии: учеб. пос. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. 149 с.

4. Мах Э. Познание и заблуждение. Очерки по психологии исследования. М.: Изд-во С. Скирмунта, 1909. 471 с.

Шерстнёва А. И., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры.

Томский политехнический университет.

Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.

E-mail: sherstneva@tpu.ru

Шерстнёв В. С., кандидат технических наук, доцент кафедры.

Томский политехнический университет.

Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.

E-mail: vss@tpu.ru

Янущик О. В., кандидат педагогических наук, доцент кафедры.

Томский политехнический университет.

Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.

E-mail: sherstneva@tpu.ru

Материал поступил в редакцию 05.10.2010.

A. I. Sherstnyova, V S. Sherstnyov, O. V Yanushchik ANALOGY OF APPLICATION AS THE TOOL OF STUDENTS’ MATHEMATICAL EDUCATION

The analogy of application as a link between various sections of mathematics for the purpose of development of students’ mathematical thinking is studied in the article.

Key words: analogy of application, algebra, geometry, systems of linear inequalities, polyhedrons.

Sherstnyova A. I.

Tomsk Polytechnic University.

Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: sherstneva@tpu.ru

Sherstnyov V. S.

Tomsk Polytechnic University.

Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: vss@tpu.ru

Yanushchik O. V.

Tomsk Polytechnic University.

Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: sherstneva@tpu.ru