К.И. Пименов, "Комбинаторные виды и теория представлений симметрической группы"

К.И. Пименов, "Комбинаторные виды и теория представлений симметрической группы"

В весеннем семестре 2013 года К.И. Пименов прочитает спецкурс
"Комбинаторные виды и теория представлений симметрической группы".

Неформально говоря, комбинаторный вид --- это тип структуры на конечных множествах.
Графы, деревья, упорядочения, разбиения на несколько частей --- это все приемры комбинаторных видов.
В 1980 году A. Joyal предложил простую формализацию понятия комбинаторного вида,
Благодаря чему многие принципы перечислительной комбинаторики оказалось возможным сформулировать в виде теорем.
С каждым комбинаторным видом связаны некоторые производящие функции, сложение и умножение которых, как оказывается,
отвечает сложению и умножению комбинаторных видов.

Например, при для того, чтобы на конечном множестве ввести струкутру, отвечающую произведению вида "цикл" на вид "линейный порядок",
надо разбить данное конечное множество на две части, на первой из них ввести структуру цикла, а вторую линейно упорядочить.

Основной источник по теории комбинаторных видов --- книжка F. Berheron, G. Labelle, P. Leroux, "Combnatorial species and tree like structures".

Теорема перечисления Пойа про цикловой индекс действия группы на множестве
оказывается составной частью теории комбинаторных видов.
Другой ключевой ингредиент --- полиномиальные функторы, по существу изобретенные И. Шуром еще
в начале двадцатого века в связи с двойственностью Шура-Вейля между представлениями симметрических групп и полных линейных групп.
Теория комбинаторных видов позволяет изложить основы теории представлений симметрических групп быстро и естественно.
Чачть курса будет посвящена изложению стандартных красивых фактов и формул с симметрическими функциями, которые можно найти в 7 главе
"Перечислительной комбинаторики" Р. Стэнли.

С примерной программой этой половины курса можно ознакомиться по адресу
www.math.spbu.ru/VAlgebra/SPECIES/exam211.pdf (вопросы с пятого по шестнадцатый).
Там же лежит книжка трех авторов с именем файла species.djvu

Центральный объект курса --- кольцо симметрических функций, с десяток аватар которого можно обнаружить
на стр. 33 в тексте Хазевинкеля http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0810/0810.5691.pdf
Категория комбинаторных видов --- это категорификация кольца симметрических функций.
С другой стороны, кольцо симметрических функций --- это универсальное лямбда-кольцо.

Центральная тема курса --- это композиция комбинаторных видов, объясняющая плетизм симметрических функций,
который обычно объясняется через композицию лямбда-операций. Мы попытаемся объяснить, почему композицию комбинаторных видов даже и изобретать не надо,
она появляется автоматически из универсального свойства категории комбинаторных видов как симметрической моноидальной категории.

Лямбда-кольцам и большим векторам Витта (см. другой текст Хазевинкеля http://arxiv.org/abs/0804.3888

) тоже планируется посвятить некоторое время.
В зависимости от запросов аудитории можно больше уклониться в сторону теории категории,
а можно больше времени посвятить перечислительной комбинаторике, устроив нерегулярный спецсеминар.

В книжке трех авторов найдется не меньше 4 хороших тем для доклада. Две из них ---
формулы Оттера, связывающие корневые деревья (разных видов) с некорневыми;
комбинаторная теория ортогональных полиномов.

Пререквизиты к этому курсу минимальны.
Требуется что-то понимать про действие группы на множестве, можно изучить по ходу дела
определения сопряженных функторов по учебнику Маклейна.
Основы теории представлений конечных групп можно также изучить по ходу дела самостоятельно или заглянув
в гости на занятия к 211 группе по вторникам на 14 линии 29 с 11.10 до 13-30 в 32 ауд.

Вводная лекция состоится в субботу, 9 февраля, 13.10 на 14 линии 29, в 34 ауд.