Движение ультрадисперсных частиц в закрученной секции кольцевого канала

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 2

УДК 531.351

М.А. Бубенчиков ДВИЖЕНИЕ УЛЬТРАДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ В ЗАКРУЧЕННОЙ СЕКЦИИ КОЛЬЦЕВОГО КАНАЛА1

В работе исследуется процесс центрифугирования ультрадисперсных частиц в кольцевом канале с вращающейся секцией. При математическом моделировании их движения в модели стоксовского сопротивления учтена поправка Каннингема на конечность числа Кнудсена. Построена явно-неявная схема, позволяющая вести расчеты в широком диапазоне изменения шагов по времени. Для проверки точности вычислений дано также аналитическое решение задачи об определении поперечного смещения частицы. Получено хорошее согласование численного и аналитического решений.

Ключевые слова: ультрадисперсные частицы, кольцевой канал, центрифугирование, поправка Каннингема, число Кнудсена, явно-неявная схема.

Центробежные аппараты широко и успешно используются для разделения компонент полифракционных газовых смесей, а также для выделения из газовой фазы взвешенных в ней фракций редкоземельных элементов, в частности, газовое центрифугирование является основным способом выделения радиоактивных изотопов. Если речь идет о частицах, размер которых порядка микрона и выше, то для описания их движения в газе применимы методы механики сплошной среды, и в частности методы классической аэромеханики. В этом направлении активно работали и работают представители томской школы аэромехаников В. А. Шваб, А.В. Шваб, М.И. Шиляев, И.М. Васенин, А. А. Глазунов, А. Д. Рычков, В. А. Архипов, А.В. Старченко, О.В. Матвиенко и другие. Однако при описании движения мелкодисперсных частиц из-за нарушения гипотезы сплошности среды и наличия броуновского движения возникают проблемы при определении силы аэродинамического сопротивления частицы. При выполнении расчетов в настоящей работе принята технология вычисления сопротивления, широко используемая при газовом центрифугировании радиоактивных изотопов.

Физическая постановка задачи

Будем рассматривать стационарное осесимметричное изотермическое закрученное течение газа, содержащего незначительное по массе количество примеси в виде ультрадисперсных либо даже наночастиц. Движение газа осуществляется в кольцевом канале постоянного сечения, имеющем вращающуюся секцию.

Пусть а и Ь - внутренний и внешний радиусы кольцевого канала, а Ь = Ц+ Ь2 + Ь3 - его длина, причем Ь » Ь - а. Изначально прямоточное движение газа, поступающего на вход в кольцевой канал еще на участке Ь1 трансформируется в автомодельное распределение (см. ниже). В секции Ь2, где осуществляется вращение стенок канала, на это движение накладывается окружное пере-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 08-01-00484-а).

мещение среды, в результате траекториями движения частиц на этом участке оказываются линии, схожие с винтовыми. В секции £3 окружное движение под действием сил вязкости постепенно затухает. Безусловно, в начале секции Ь2 существует участок перестройки движения. Его длина будет определяться отношением интенсивностей конвективного и диффузионного механизмов в переносе окружной скорости. Как только распределение компоненты Ж будет соответствовать закону вращения твердого тела, этот участок закончится. Имея в виду относительно небольшой поперечный размер области течения и модельный характер настоящих расчетов, ниже мы не будем рассматривать участок перестройки движения.

Рис. 1. Физическая область движения газа и частиц:

Ь1 - предвключенный участок, Ь2 - вращающаяся секция, Ь3 - участок последействия

Автомодельные распределения в газовой фазе

Стационарные уравнения осесимметричного изотермического дозвукового течения воздуха в центробежном аппарате можно записать как осесимметричные уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости [1]:

1 др

и ди+V ди

дг дг

и V+V V.

дг дг

Ж 2 г

р дг

1 др

-+V і у2у - у р дг V г

ттдж ^ дж уж ( 2ш ж

и-----+ V-----+-----= V і У2Ж —-

дг

дг г

ди + 1 д(Уг) дг

- + —

дг г

= 0 .

Здесь г, г - цилиндрические координаты; и, V, Ж - компоненты вектора скорости в выбранной системе координат; р, р - плотность и давление газа (жидкости);

2 д'

У2 = —

2

д

2

1 д

дг2 дг2 г дг

Для случая прямоточного течения несжимаемой жидкости в [1] приведено автомодельное распределение для продольной компоненты скорости в кольцевом канале:

2

- плоский оператор Лапласа.

<(г ) =

Др

2 2 а - г +

»2 2 Ь - а

1п

где а, Ь - внутренний и внешний радиусы кольцевого канала; Ар - перепад давления на длине Ь\, ц - коэффициент динамической вязкости среды.

Существует простейшее автомодельное (все распределения которого зависят только от одной координаты) решение задачи о закрученном течении в кольцевом канале:

и (г) = и (г), V (г) = 0, Ж (г) = юг,

2

Р

Здесь ю - постоянная по величине угловая скорость, ра (г) - линейная функция г,

др

так что — уже не зависит от г.

дг

Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти распределения удовлетворяют уравнениям (1) - (3).

Уравнение поперечного перемещения отдельной частицы

Примем, что сила сопротивления ¥а движению частицы пропорциональна первой степени скорости поперечного смещения:

^ = 2Мрг ,

где М - масса частицы, в - пока еще неопределенный коэффициент сопротивле-

ёг

ния, г = —, г(г) - поперечная координата отдельной частицы.

Ж

Далее в настоящей работе мы пренебрегаем скольжением частиц при их перемещении в продольном направлении, считая, что в этом направлении они двигаются со скоростью, равной скорости основного потока. Запишем основное уравнение динамики частицы, спроецированное на радиальное направление, в котором будут учтены лишь центробежная сила инерции и сила сопротивления среды:

Ж2

М  г = М------2Мрг .

г

Заменяя Ж с использованием (6) и сокращая на М, найдем:

г = ю2г - 2рг .

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое будем интегрировать численно. Однако в дальнейшем для проверки точности вычислений построим и аналитическое решение этого уравнения.

Расчет силы сопротивления

В дальнейшем будем использовать обозначения V = г, V = гег, где ег - орт оси 0г.

Сила сопротивления через коэффициент сопротивления может быть определена следующим образом:

Р0 =- ^ .

8

Здесь ё - диаметр частицы; V - ее относительная скорость; р - плотность окружающей среды.

Для Са будем использовать простейшую формулу Стокса

24

с» = ЙГ <“>

с коррекцией Каннингема [2, 3] на конечность числа Кнудсена для частицы наноразмера. Поэтому здесь

Йе = Р ,.

ц' = ^С , С = 1 + Кп(Д + А2ехр(-А3/Кп)), Кп = ^, Ц' - величина скорректированного по Каннингему коэффициента динамической вязкости среды, I - длина свободного пробега молекул окружающей частицу среды, Кп - число Кнудсена, А- ( = 1,3) - коэффициенты модели.

Подставляя (11), (12) в (10), получим

^ = 3ndV ц'.

С другой стороны, принимая для Ев зависимость

^ = 2М PV , из сопоставления этих формул найдем

п 3пё ,

Р =-----Ц'.

2М

Численное решение задачи

Уравнение второго порядка (9) запишем в виде системы двух уравнений первого порядка:

^ = V

— = ю2г - 2р V .

Добавляя к уравнениям (15), (16) кинематическое условие, определяющее продольную скорость частицы, получим замкнутую систему, полностью определяющую движение частицы в потоке:

^ = и

Численное интегрирование полученной системы будем проводить с использованием для уравнений (15), (17) схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности и неявной схемы для уравнения (16). Согласно подходу Рунге-Кутта, использующему идею пересчета для того, чтобы вычислить значение искомой величины на новом слое по времени (в момент /п+'), необходимо предварительно вычислить правые части указанных уравнений в четырех точках интервала t е _/п, ^+1 ^ :

Г = Гп, V = V", и = и (г);

Г4 = Гп + к^, V. =

Тогда значения искомых величин на новом слое по времени найдутся по формулам

Соотношения (22), (23) представляют собой формулы явного определения цилиндрических координат частицы по технологии Рунге-Кутта, а (24) - формула неявного вычисления скорости частицы на новом слое по времени.

Проводя последовательно расчеты по формулам (18) - (24), находим численное решение задачи о движении частицы в закрученном потоке, полученное с использованием явно-неявной схемы.

Аналитическое решение

Исходное уравнение динамики одиночной частицы

г = ю2г - 2рг

есть однородное линейное уравнение второго порядка. Решение ищем в виде

Подставляя в (25), находим

а2еа + 2раеа -ю2еа = 0.

Сокращая на еш, получаем характеристическое уравнение

а2 + 2ра -ю2 = 0 .

Его корнями будут действительные числа

4,2

Поэтому общим решением будет распределение

а,? . Г'

а12 =-р + -у/р2+ю2 .

г

где Сь С2 - константы интегрирования, которые найдутся из начальных условий:

/ = 0, г = г0, г = 0,

из которых при наличии аа) следует

С1а1 + С2а2 = 0, С1 + С2 = г0.

Отсюда с учетом а28) получим

с = Г0 Р+УР2 +ю2

2 Ур2 +032 а29)

С =-г0 Р-УР2 +°2

,2 2' ^р2+ю2 .

Принимая во внимание введенное ранее обозначение г = V, для поперечной скорости частицы найдем

V = а1С1е“1? +а2С2е“2?.

Результаты расчетов

Ниже представлены результаты расчетов движения газа и частиц в кольцевом канале с поперечными размерами: а = 0,3 м, Ь = 0,35 м, длиной вращающейся секции Ь2 = 1,4 м и угловой скоростью вращения барабанов ю = 300 с-1. На рис. 2 показан профиль продольной скорости газа. Цифровка на всех графиках соответствует значениям в системе СИ. Как видим, уровень скоростей, представленный на этом рисунке, отвечает ламинарному режиму течения газа.

В качестве частиц были выбраны углеродные шарики диаметром ё = 10-7 м, М = 1,2-10-20 кг, а в качестве окружающей среды - атмосферный воздух, для которого I = 2-10-7 м. Поэтому число Кнудсена было равно Кп = 2. Поправка вязкости в этом случае определялась следующими значениями коэффициентов [2]: Л\ = 0,99, Л2 = А3 = 0 (см. соотношение (12)). При этом коэффициент в, входящий в (16), получился равным в = 2,44-106 с-1, а корни характеристического уравнения, входящие в решение (а), имели следующие значения: а1 = 2,2-10-2 с-1,

а2 = -4,09-106 с-1. Как видим из рис. 3, скорость центрифугирования V оказалась в этом случае практически постоянной величиной и приближенно равной 8 мм/с.

Кривые 1 - 5 на рис. 3 - 5 отвечают различным начальным положениям частиц в поперечном сечении канала. Эти положения отмечены цифрами на вертикальной оси рис. 3. В представленной математической модели процесса мы не рассматривали эффект отражения частиц от стенки канала. Попадая на нее, они останавливаются, что и следует из рис. 4, 5. Зона пребывания частиц в аппарате ограничена справа поверхностью вращения с образующей в виде траектории частицы, сошедшей с малого барабана (см. кривая 1 на рис. 5).

Рис. 2. Автомодельный профиль Рис. 3. Изменение радиальной координаты

продольной скорости (5) частиц со временем. Кружки на прямой 3 -

аналитическое решение

Рис. 4. Изменение продольной координаты Рис. 5. Траектории движения частиц

частиц со временем в плоскости

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1973. 848 с.

2. Хаппель Дж., Бренер Л. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976. 464 с.

3. Смирнов Н.Н. и др. Моделирование поведения наночастиц в газе // Кшпапо1еЛ’09. Томск, 2009. С. 169 - 172.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

БУБЕНЧИКОВ Михаил Алексеевич - ассистент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. Е-шаП: Michael121@mail.ru

Статья принята в печать 30.04.2010 г.