Обучение младших школьников моделированию при решении математических задач

УДК 373.1.02

ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

© 2012 Магомеддибирова З.А.

Дагестанский государственный педагогический университет

Показано, как схематическое использование знаково-символических средств (моделирование) в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач способствует развитию личности через формирование универсальных учебных действий.

The author of the article shows how schematic using the sign and symbolic means (modeling) in the process of junior schoolchildren's training for solving the textual tasks promotes the personality development through forming the universal educational actions.

Ключевые слова: знаково-символические средства, модель, моделирование, учетное моделирование.

Keywords: sign and symbolic means, model, modeling, accounting modeling.

Важнейшей задачей современной начальной школы является развитие личности через формирование универсальных учебных действий (УУД), которые выступают

инвариантной основой образовательного и воспитательного процесса.

Овладение учащимися общеучебными УУД выступает как способность к саморазвитию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. Особую группу общеучебных универсальных учебных действий составляют знаково-символические

действия.

Использование разных знаково -символических средств для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи. Из разных видов деятельности со знаково-символичес-кими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование.

Под моделью (лат. modulus - мера, образец) понимают искусственно созданный объект в виде схемы, чертежа, логико-математической

знаковой формулы, другими словами, модель - это заместитель оригинала в познании или на практике. Модели подразделяются на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Так, вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и так далее), могут быть представлены разного рода

инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного схематического воссоздания ситуации задачи. К ним относят: 1) рисунок; 2) условный рисунок; 3) чертеж; 4) схематичный чертеж (или просто схема).

Действие моделирования обычно заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае -текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект. При этом в моделировании выделяются этапы: выбор модели, работа с моделью и переход к реальности.

Аналогичные этапы (компоненты) входят в состав учебного моделирования:

- предварительный анализ текста;

- перевод текста на знаково-символи-ческий язык, который может осуществляться вещественными или графическими средствами;

- построение модели;

- работа с моделью;

- соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстами).

Каждый компонент деятельности моделирования имеет свое содержание со своим составом операций и своими средствами, которые, согласно психологическим исследованиям,

должны стать самостоятельным предметом усвоения.

Предварительный анализ, который ведет к пониманию текста, заключается в выделении смысловых опорных пунктов текста, которые способствуют созданию его структуры. В общей деятельности моделирования действие анализа является подготовительным этапом для осуществления действий перевода и построения модели. Перевод текста на знаково-символический язык делает обозримыми связи и отношения, скрытые в тексте, и способствует тем самым поиску и нахождению решения. Эффективность перевода текста

определяется видом используемых знаково-символических средств.

Поскольку перевод текста на знаково-символический язык нужен не сам по себе, а для получения новой информации, то в процессе перевода должны учитываться требования, предъявляемые к выбору и характеристикам знаково-символических средств.

В ходе работы с моделью вынесение во внешний план элементов задачи и их отношений настолько обнажает связи и зависимости между величинами, что иногда перевод сразу ведет к открытию решения. Однако во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, а для решения требуется дальнейшая работа со схемами. Именно здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовывать их. При этом необходимо иметь в виду, что уровень графической подготовки при построении модели и работе с ней

определяется главным образом не степенью владения учеником техникой выполнения графического изображения, а тем, насколько он готов к мысленным преобразованиям образно-знаковых моделей, насколько подвижно его образное мышление.

При создании различного типа моделей очень важно определить, какая информация должна быть включена в модель, какие средства (символы, знаки) будут употребляться для каждой выделенной составляющей текста. Очень важно определить, какие из них должны иметь одинаковую символику, а какие -разную.

Работу с моделью можно вести в двух направлениях:

- достраивание схемы, исходя из логического выведения, расшифровки данных задачи;

- видоизменение схемы, ее переконструирование. Соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстом).

Моделирование осуществляется для того, чтобы получить новые данные о реальности или ее описании, поэтому необходимым моментом деятельности моделирования является соотнесение результатов с текстом. Из практики известно, что учащиеся после решения задачи так или иначе проверяют свои ответы для доказательства того, что они удовлетворяют условиям и требованиям задачи. Принципиально важным при проверке ответов решения задачи для деятельности моделирования является не столько выявление правильности (точности), сколько соотнесение данных, полученных на модели, с ее описанием в тексте. Поскольку перевод текста на знаково-символический язык,

приводящий к построению модели, является важным этапом решения задач и вместе с тем вызывает наибольшие трудности у учащихся, рассмотрим его более подробно.

При обучении младших школьников математике рекомендуется

использование различных подходов построения моделей с опорой на определенный набор знаково-символических средств.

Один из подходов предложен Ж. Вернье. Для анализа текста он использует две категории: состояние объекта и трансформации.

Состояние объекта - это описание в тексте задачи тех ситуаций, в которых действует объект. Различают начальное, промежуточное и конечное состояния (или ситуации).

Трансформации - это те изменения в объектах, которые происходят при переходе их от одного состояния к другому.

В схемах, предложенных Вернье, данные в задаче обозначаются в виде геометрических фигур, объекты -квадратами.

Отношения между состояниями объектов обозначаются линиями, стрелками, отношения между

величинами состояния объекта -кругами. Заданные числовые данные -числами. Рассмотрим несколько задач, в

процессе решения которых

использованы схемы Ж. Вернье.

1) Имеется 6 шаров после того, как выиграло 4 шара. Сколько шаров было до выигрыша? Объясняем учащимся, что изначально количество шаров неизвестно, поэтому обозначаем его квадратом (пустым) I_I.

Далее обозначаем результат

квадратом с вписанной цифрой 6 И То, что было выиграно 4 шара, обозначим в кружочке над стрелкой от начального к конечному результату:

2) В первой партии было выиграно 6 шаров, во второй - проиграно 4. Что произошло?

Известно: направленность отношений между состояниями объекта. Числовое значение величин отношений между состояниями объекта (начального, промежуточного, конечного).

Определить: значение величин отношений между начальным и конечным стояниями объекта.

Моделирование сюжета данной задачи представляет собой более сложный процесс, чем в предыдущей. Однако при умелой его организации учителем дети с легкостью решают задачу.

Учитель направляет внимание учащихся на то, что необходимо определить, что оказалось больше -количество выигрышей или количество проигрышей, а также важно заметить, что этот результат не изменится ни при каких значениях начального и конечного чисел.

Рассмотрим примеры формирования моделирования в различных учебно-методических комплексах.

По УМК «Школа России» в учебниках по математике для 1 класса с первых уроков ведется работа по овладению учащимися универсальным действием моделирования. Так, в процессе решения учебной задачи Научимся прибавлять и вычитать число 2 на стр. 84 используются такие знаково-

система-тические средства, как картинка, круги разных цветов, игровые кости «Домино», линейка.

Особенностью методического

подхода в обучении младших школьников моделированию является использование как вербальных (краткая запись, наглядная интерпретация), так и невербальных (чертежи, схемы, графики, таблицы, символические рисунки, формулы, уравнения) средств в процессе решения задач. Например:

1. Задача № 1 на стр. 9 ([1]). У Люси было

тетрадь тетрадь тетрадь тетрадь

Стало на 2 больше. Сколько тетрадей стало у Люси? В процессе решения можно использовать разные модели. Например: а) схему Ж. Вернье:

б) краткую запись: Было - 4 т. —| Стало - на 2 > |

в) условный рисунок: Б. - ОООО С. - ОООООО

г) чертеж (графическая модель). В этом случае предварительно подсказываем детям, что одну клетку мы принимаем за одну тетрадь. Тогда получим: 1 т. I-1

Схематический чертеж может выполняться и от руки, на нем указываются все данные и искомые

2. Задача № 2 на стр. 98 (Математика 1 кл. I часть). Задача отнесена к разряду для любознательных.

На верхней полке было 7 книг, а на нижней - 3. Столько книг нужно переставить с верхней полки на нижнюю, чтобы книг на них стало поровну.

Использование схематического

чертежа намного облегчает решение задачи.

Используем пошаговое рассуждение:

1) Отразим количество книг на верхней и нижней полках отрезками, расположив их один под другим так, чтобы начало второго совпало с началом первого.

2) На первом отрезке отметим часть, соответствующую длине второго отрезка.

3) На оставшейся части первого

отрезка отметим точкой середину.

4) Достраиваем второй отрезок на расстояние, равное 2.

5) Ответ находим на отрезках: нужно переложить 2 книги с верхней полки, чтобы книг стало поровну.

3) В системе Эльконина-Давыдова моделирование является основным действием в формировании учебной деятельности и должно быть, как считают авторы, сформировано к окончанию начальной школы.

Моделирование отношений

рассматривается чуть ли не с первых уроков. Например:

- изображение величин и отношений между ними графически - с помощью отрезков А I I, В I-1;

- в знаковой форме с использованием букв и знаков «>», «<», «=», например: А = В, А < В или А > В;

- в словесной форме с использованием слов «равно», «неравно», «меньше», «больше» и цифр.

Особенности подхода к решению задач в учебниках «Математика 1-4 кл.» А. И. Александровой таковы:

1) каждая задача рассматривается как словесное описание величин и отношений между ними, характеризующее некоторую ситуацию;

2) решить задачу - значит установить способ нахождения результата, затем подумать над тем, как его вычислить.

Задача считается решенной, если известна связь между неизвестной величиной и известными величинами. Это означает, что составлено выражение (или уравнение) и установлен порядок действий, с помощью которых может быть вычислен результат.

3) Наглядно представляем все эти связи и отношения между величинами, о которых идет речь в задаче, в виде графической схемы (модели). Используя схемы, учащиеся легко решают текстовые задачи.

Задолго до введения термина «задача» учащиеся знакомятся с понятием целого и части, с тремя моделями целого и частей. Эти понятия являются основными при обучении решению текстовых задач.

Например, задача № 104, № 3 (1 кл., с. 2).

В вазе лежало 5 апельсинов и 7 яблок. Когда несколько яблок съели, то их осталось на 2 меньше, чем апельсинов. Сколько яблок съели?

Учитель, работавший до этого по традиционной системе, может предложить учащимся выполнить краткую запись, которая запутает учащихся.

Лежало 5 ап. съели ост. на 2 < 7 ябл. ? ?

Однако перевод текста в схему (модель) намного упрощает решение задач.

Анализируя текст, учащимся предлагаем отразить в виде отрезков (моделей) величины и отношения между ними.

Учитель:

- Количество апельсинов отразим в виде отрезка. Количество яблок тоже в виде отрезка. Но первый отрезок должен быть короче второго. Почему?

Учащиеся:

- Потому что количество апельсинов было меньше, чем количество яблок.

Учитель:

- Как расположим эти отрезки? в ряд?

Учащиеся:

- Лучше их расположить один под другим.

Варианты, предложенные учащимися:

I а I

я I

II а

Достраивание схемы и нанесение всех данных:

Рассуждаем, как удобно на целой отметить то, что съели. Разные варианты схем с заданием: «какая схема подходит?»

а)

с

а -г-— —

я ^^--

б)

<_

а ----—--

я^--

в)

Дети приходят к выводу о том, что подходит вариант а), так как в варианте б) оставшаяся часть больше, чем 5 (это противоречит условию задачи), а в варианте в) оставшаяся часть меньше 75, чего не может быть.

Работая над моделью в случае а), дети предлагают решение: 7-3, отв.: съели 4 ябл.

Схематическое использование

знаково-символических средств

(моделирование) в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач способствует развитию личности через формирование универсальных учебных действий.

Примечания

1. Александрова Э. И. Математика 1 кл. (в 2-х частях). М. : Дрофа, 2011. 2. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В., Волкова С. И., Степанова С. В. (УМК «Школа России»). Математика. Учебник для 1 кл. (в 2-х частях). М. : Просвещение, 2011. 3. ФГОС начального общего образования. Утв. 6 октября 2009 г. URL:http://www.edu.ru>db-mon/mo/data/d_09/m373.html

Статья поступила в редакцию 27.07.2012 г.