Количественные оценка динамики волатильности нестабильного рынка

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

УДК 330.12

И. Е. ДЕНЕЖКИНА Г. Н. МАРТИРОСЯН В. Ю. ПОПОВ А. Б. ШАПОВАЛ

I. E. DENEZHKINA G. N. MARTIROSYAN V. YU. POPOV A. B. SHAPOVAL

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ДИНАМИКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ НЕСТАБИЛЬНОГО РЫНКА

QUANTITATIVE EVALUATION OF DYNAMICS OF UNSTABLE MARKET VOLATILITY

<><x><x><x>o<x><x><x><x><x><><><x><xxxx><x>o<x>

АННОТАЦИЯ

Актуальность. В периоды рыночной нестабильности, когда волатильность растёт, актуальной задачей становится разработка моделей, позволяющих эффективно оценивать риски как в «спокойные» периоды финансового рынка, так и во время системной нестабильности.

Методы. Работа является результатом исследований, которые проводись авторами в 2011- 2012 годах. В работе использовались методы статистического и эконометрического анализа.

Результаты. В работе предложена новая методика оценки величины VaR при помощи модифицированной GARCH-модели, которая эффективна как в «спокойные» периоды финансового рынка, так и во время системной нестабильности. Показано, что предложенный подход сохраняет преимущества правил, принятых в рамках Базель II, и оказывается эффективным для интервалов нестабильности рынков, когда волатильность велика.

Перспективы. Предложенная методика важна для аналитической работы на финансовых рынках с высокими параметрами неопределённости — кризисной ситуации, высокой волатильности и т. д.

Ключевые слова: оценка риска; оценка VaR; модифицированная GARCH модель; волатильность; нестабильные финансовые рынки.

Introduction. During periods of market instability, when volatility increases, the actual task is the development of models that effectively assess risks as «quiet» periods of financial market, and at the time of system instabilities.

Methods. This article is based on the materials of the research studies performed by the author in 2011-2012 on the actual data. This research uses methods of statistical and econometric analysis.

Results. The proposed new method of estimate the VaR using modified GARCH model, evaluates risks effectively as in «quiet» periods of financial market, and at the time of system instabilities. It is shown that the proposed approach preserves the benefits of the Basel 2 rules and is effective for periods of market instability with high volatility.

Discussion. It is important to use the proposed method for analytical work on financial markets with high parameters of uncertainty — a crisis, high volatility, etc.

Keywords: risk estimation; VaR estimation; modified GARCH model; volatility; unstable financial markets.

ABSTRACT

Одним из основных показателей оценки риска финансовых инструментов сегодня является оценка УаЯ (Уа1ие-а1>Ш8к). Для обоснованного применения УаЯ необходимо либо иметь информацию о распределении стоимости активов, либо сделать адекватные предположения относительно параметров этого распределения. В практической деятельности, как правило, используется нормальное рас-пределение1, более редко — колоколообразные распределения с «тяжелыми» (не экспоненциальными) хвостами2. Нормальное распределение удобно тем, что оно удовлетворяет требованиям Базель II. Однако его использование в периоды нестабильности рынка может приводить к недооценке риска3.

На данный момент существует большое количество моделей прогноза, как ожидаемой доходности актива, так и его волатильности. Наиболее используемой сегодня моделью прогноза является вАЯСН и её модификации4.

Общепринятый подход к исчислению УаЯ основан на следующих предположениях:

1. Значение цены финансового инструмента определяется известной детерминированной и случайной составляющими.

2. Случайная составляющая цены имеет нормальное распределение.

3. Свойства цены остаются неизменными в течение определённого интервала времени.

На основе последнего предположения оцениваются характеристики случайной составляющей цены. В периоды рыночной стабильности, когда волатильность невелика, предположение о стационарности цены представляется допустимым. Однако, при возрастании волатильности, которое имеет место в течение эпизодов системных нестабильностей, это предположение по меньшей мере сомнительно. После статьи Роберта Ингла и Симона Манганелли5 активно обсуждаются условные авторегресионные модели, используемые для оценки УаЯ. На этом пути реализуемы достаточно общие спецификации мо-

дели, позволяющие непосредственно моделировать квантили без моделирования неизвестного распределения случайности. Несмотря на определённые теоретические продвижения и вычислимость разработанных теоретических построений, выбор спецификации в каждом конкретном случае остается дискуссионным вопросом.

Цель настоящей статьи — показать, что при численном решении конкретной задачи простые алгоритмы могут приводить к более эффективному вычислению УаЯ. В работе настройка алгоритмов, вычисляющих УаЯ, проводится в скользящем временном окне заданного размера. Оценка адекватности алгоритмов осуществляется с использованием стандартных статистик для этого окна.

Построенный алгоритм основан на новой модификации модели вАЯСН. Для сравнения сделан прогноз будущих значений на основе двух более простых моделей, экстраполирующих в будущее линейные тренды. Настройка параметров вАЯСН-процесса также проводится в фиксированном скользящем временном окне, достаточно малой протяженности. Размер окна задается один раз для исследуемого временного ряда на основе разработанной количественной процедуры, согласующейся с известными статистическими критериями6.

После оценки параметров вАЯСН-процесса выделяется случайная составляющая цены. УаЯ определяется как квантиль распределения, то есть как диапазон цен, вероятность выхода из которого имеет заранее заданное значение.

Оценка УаЯ основана на предположениях о неизвестном распределении будущего значения цены. В статье это распределение моделируется следующими тремя способами.

Модель 1 «Без прогноза».

Пусть т( ~ Ы([,а) — это доходность в момент времени имеющая нормальное распределение с математически ожиданием [л и стандартным отклонением а. Считается, что [л совпадает с известной доходностью в предыдущий момент вре-

1 См.: Меньшиков И. С., Шелагин Д. А. Рыночные риски: модели и методы. ВЦ РАН, 2010.

2 См.: Лобанов А. А., Чугунов А. В. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. Альпина Паблишер , 2009.

3 Guedj O. and Bouchaud J.-P. Experts earning forecasts: bias, herding and gossamer information. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2005, no. 8, p. 933.

4 См.: Росси Э. Одномерные GARCH модели: обзор. Квантиль. 2010. № 8. С. 1-69.

5 R. F. Engle, S. Manganelli. CAViaR: Conditional Autoregressive Value at Risk by Regression Quantiles. Journal of Business & Economic Statistics, American Statistical Association, 2004, vol. 22, pp. 367-381.

6 Хейфец И. Тестирование распределений // Квантиль. 2011. № 9. С. 25-35

мени: у = r . Значение а вычисляется по некоторому количеству q предшествующих значений, которое будет определено позднее: а = а (R).

Это наиболее простая модель оценки, в которой фактически отсутствуют эконометри-ческие методы для прогноза: считается, что доходность завтра будет та же, что и сегодня, волатильность не меняется.

Модель 2 «Тренд доходности».

В отличие от предыдущей модели математическое ожидание у доходности rt ~ N(y,a) вычисляется как экстраполяция линейной аппроксимации доходности по предшествующим q значениям: u = rt = f (t).

В такой модели а по-прежнему стандартное отклонение, вычисленное по q предшествующим доходностям: а = а (R).

Модель 3 «ARMA/GARCH».

Самая сложная из трёх рассматриваемых моделей, на основе которой оцениваетя VaR.

Г, ~ N

m m

U = r,=a()+Y4aie,-i+ Yfr-t

i=1 i=1

P m m

(г1 = ^ = a++

i=1 i=1

Для анализа и обоснования эффективности этой модели результаты оценки VaR, полученные с её помощью, сравниваются с оценками VaR на основе более простых моделей (моделей 1 и 2).

Оценим и сравним качество перечисленных моделей на основе данных о ценах акций CISCO7 при помощи следующего алгоритма.

Шаг 1. Определение оптимального объёма обучающей выборки.

Оптимальный объём обучающей выборки определялся из условия стабилизации прогнозируемой дисперсии. Поскольку оценить момент стабилизации зачастую легче визуально, чем каким-либо алгоритмом, то на случайной выборке заданного объёма (например, 5 % исходных данных) был построен прогноз

дисперсии по предыдущим данным от 2 до 50 торговых дней. На рис. 1 показаны графики зависимости дисперсии от объёма обучающей выборки для представленных выше моделей. Видно, что для данного временного ряда прогнозируемая дисперсия стабилизируется, начиная с объёма обучающей выборки 30 торговых дней для всех рассматриваемых моделей.

Шаг 2. Тест на соответствие нормальному распределению

Для проверки гипотезы о применимости нормального распределения при прогнозировании параметров с помощью модели ARMA/ GARCH был построен следующий алгоритм.

С помощью ARMA/GARCH-модели на каждый день на основе предыдущих 30-ти доход-ностей были спрогнозированы параметры распределения (yt и а). Далее каждое значение нормировалось относительно параметров, спрогнозированных на этот момент:

= _ Г - ^

° г

Затем проводились проверка всех нормированных значений по критерию Пирсона и ряд проверок в скользящем 30-ти дневном окне по критерию Колмогорова - Смирнова8.

Результаты обоих тестов не дали повода отвергнуть гипотезу о нормальности распределения параметров у и а на уровне значимости 0,99. Из рис. 2 видно, что статистика критерия Колмогорова - Смирнова распределена достаточно равномерно во времени, так что, несмотря на непредсказуемое поведение цены, значения доходностей на всех исследуемых данных в равной степени нормальны.

Метод скользящего окна для проверки равномерности статистик был разработан для задач геофизики и гелиофизики9 и применен авторами для прогнозирования катастрофических событий на финансовых рынках10. Равномерность проверялась как с помощью стандартных статистических методов, так и с

7 Forexpros. Financial markets worldwide. URL: http://www.forexpros.ru/equities/cisco-sys-inc

8 Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. М.: Физматлит, 2006.

9 Shnirman M., Shapoval A. Variable predictability in deterministic dissipative sandpile. Nonlinear Processes in Geophysics, 2010, vol. 17, pp. 85-91; Blanter E. M., Shnirman M. G., Le Mouel J.-L. Solar variability: Evolution of correlation properties. Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics, 2005, vol. 67, pp. 521-534.

10 Денежкина И. Е., Попов В. Ю., Рубцов Б. Б., Станик Н. А., Шаповал А. Б. «Пузыри» как предвестники крахов на финансовых рынках. Москва: ИТКОР, 2012; Шаповал А. Б., Попов В. Ю. Численно-аналитический алгоритм оценки предсказуемости крахов // Математическое моделирование. 2011. № 23. С. 65-74.

Рис. 1. Зависимость прогнозируемой дисперсии от объёма обучающей выборки для рассматриваемых моделей

помощью визуализации равномерности. Интересно, что тест Коломогорова - Смирнова (КС) показывает наилучшее согласие с гипотезой о нормальности на интервале [110, 120] и на правом конце (последние 10-15 точек), то есть на промежутках значительного роста. Однако на левом конце (<100) при слабом стабильном подъёме значение статистики КС устойчиво выше. На рассматриваемых данных наша модификация вАЯСН-модели по критерию КС является наилучшей при сильном росте цен.

Шаг 3. Получение распределения ошибок методов

Далее, для каждой модели были оценены доверительные интервалы прогнозируемых величин. Каждой доходности сопоставлялись квантили нормального распределения со спрогнозированными параметрами, далее строились векторы ошибок.

Были рассчитаны квантили (и ошибки УаЯ

соответствующей надежности) при а = 90 %, 95 % или 99 % как правого, так и левого хвостов нормального распределения (VaR сверху и снизу соответственно). Здесь под ошибкой VaR понимается выход наблюдаемой цены за пределы предсказанного промежутка.

На рис 3. показано распределение ошибок 95 % VaR для модели 3 «ARMA/GARCH».

Шаг 4. Тест отношения правдоподобия С помощью LR (Likelihood ratio) теста11 проверялось соответствие распределения ошибок VaR (а), построенных по а-квантилям, закону Бернулли с параметром p = 1 - а (гипотеза H0) при альтернативной гипотезе о том, что параметр распределения p > 1 - а.

Данный тест также был проведен как для всего объёма данных, так и для скользящего 30-ти дневного окна. Кроме того, для каждой модели прогноза были рассчитаны абсолютные внеплановые потери на 1 акцию — сумма от-

Рис. 2. Статистика Колмогорова - Смирнова для модели 3 «ARMA/GARCH»

1 Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. М.: Дело, 2004

Таблица 1

Результаты тестирования моделей

Модель УаВ. сверху УаВ. снизу

Модель 1 Модель 2

Процент ошибок 90 % VaR 18,4 % 12,5 % 14,0 % 19,2 % 15,0 % 15,4 %

95 % VaR 12,9 % 8,0 % 8,5 % 13,7 % 9,3 % 10,4 %

99 % VaR 6,3 % 3,0 % 4,2 % 5,1 % 4,0 % 3,2 %

статистика ЬЯ 90 % VaR 30,0 3,0 7,4 36,3 11,6 13,5

95 % VaR 44,1 7,8 10,0 52,7 14,9 22,1

99 % VaR 61,7 12,0 27,0 40,2 24,7 14,3

Абсолютные потери на 1 акцию* 90 % VaR 42,25 19,20 22,57 125,80 88,62 91,17

95 % VaR 27,41 9,82 13,64 111,23 62,7 80,76

99 % VaR 11,19 2,65 3,94 43,08 31,88 21,26

клонений в денежном выражении при выходе за пределы доверительного интервала. Результаты общего теста представлены в табл. 1, из которой видно, что Модель 2 имеет такую же эффективность, что и Модель 3.

При известном распределении цен можно определить а-квантиль и применять его для оценки УаЯ на следующем шаге. Тогда, видимо, доля ошибок будет близка к а, однако они будут сильно неравномерны по времени. Эффективное вычисление квантиля должно приводить не только к малой доле ошибок, но и к их равномерности во времени. Поэтому при оценке риска важен не только процент ошибок метода УаЯ, но и их близость друг к другу. В соответствии с этим, анализ эффективности моделей проводился, в том числе на основе результатов ЬЯ-теста скользящих 30 дней. На рис. 4-6 представлены результаты оценки 95 % УаЯ сверху для рассматриваемых моделей.

Анализ рис. 4-6 позволяет сделать следую-

щие выводы.

1. ЬЯ на рис. 4 значительно больше, чем на рис. 5 и рис. 6.

2. Среднее значение ЬЯ незначительно меньше для модели 2, чем для модели 3.

3. Модель 3 обладает наиболее равномерным распределением статистики.

Таким образом, в работе представлена новая методика оценки величины УаЯ при помощи модифицированной вАЯСН-модели, эффективно оценивающая риски как в «спокойные» периоды финансового рынка, так и во время системной нестабильности.

Для проверки эффективности методики оценки УаЯ используются известные статистики, вычисляемые как на всем исследуемом временном интервале, так и в скользящем окне. Результаты локального и глобального применения этих статистик хорошо согласуются друг с другом, при этом статистики, вычисленные в скользящем окне дают информацию о равномер-

Рис. 3. Распределение ошибок 95 % VaR для модели 3 «ARMA/GARCH».

153 201 2S1 !01 Торговые дни

Рис. 4. Оценки 95 % VaR сверху для модели 1

Торгоаьн

Рис. 5. Оценки 95 % VaR сверху для модели 2

Рис. 6. Оценки 95 % VaR сверху для модели 3

ности эффективности вычисления УаЯ. В частности, эффективность оценки УаЯ практически не меняется в периоды значительного роста цен по сравнению со «спокойными» периодами.

Предложенная в работе новая методика оценки УаЯ сохраняет преимущества правил, принятых в рамках Базель II12:

• ясность и прозрачность используемой про-

цедуры;

• возможность их применения в автоматическом режиме;

Методика практически устраняет недостаток правил Базель II, связанных со стационарностью цен, и оказывается эффективнее правил Базель II в течение промежутков сильной вола-тильности.

12 Гамза В. А., Вяткин В. Н. Управление банковскими рисками. Базель-2: революция идеи и эволюция действий. М.: Экономика, 2006.

* * *

Статья подготовлена по результатам исследований, выполненных за счет бюджетных средств по государственному заданию Финуниверситета 2012 года. Работа поддержана грантом РФФИ 11-06-00278-а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гамза В. А., Вяткин В. Н. Управление банковскими рисками. Базель-2: революция идеи и эволюция действий. - М.: Экономика, 2006.

2. Денежкина И. Е., Попов В. Ю., Рубцов Б. Б., Станик Н. А., Шаповал А. Б. «Пузыри» как предвестники крахов на финансовых рынках. - М.: ИТКОР, 2012.

3. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. М.: Физматлит, 2006.

4. Лобанов А. А., Чугунов А. В. Энциклопедия финансового риск-менеджмента. - Альпина Паблишер , 2009.

5. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. - М.: Дело, 2004.

6. Меньшиков И. С., Шелагин Д. А. Рыночные риски: модели и методы. - ВЦ РАН, 2010.

7. Росси Э. Одномерные GARCH модели: обзор // Квантиль. 2010. № 8. С. 1-69.

8. Хейфец И. Тестирование распределений // Квантиль. - 2011. - № 9. - С. 25-35.

9. Шаповал А. Б., Попов В. Ю. Численно-аналитический алгоритм оценки предсказуемости крахов // Математическое моделирование. 2011. № 23. С. 65-74.

10. Blanter E. M., Shnirman M. G., Le Mouel J.-L. Solar variability: Evolution of correlation properties. Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics, 2005, vol. 67, pp. 521-534.

11. R. F. Engle & S. Manganelli. CAViaR: Conditional Autoregressive Value at Risk by Regression Quantiles. Journal of Business & Economic Statistics, American Statistical Association, 2004, vol. 22, pp. 367-381.

12. Guedj O. and Bouchaud J.-P. Experts earning forecasts: bias, herding and gossamer information. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2005, vol. 8, p. 933.

13. Shnirman M., Shapoval A. Variable predictability in deterministic dissipative sandpile. Nonlinear Processes in Geophysics, 2010, vol. 17, pp. 85-91.

REFERENCES

1. Gamza V. A., Vyatkin V. N. Managing banking risks Basel-2: a revolution of ideas and the evolution of action. Moscow, 2006 (in Russian).

2. Denezkina I. E., Popov V. Yu., Rubtsov B.B., Stanik N. A., Shapoval A. B. "Bubbles" as harbingers of implosions in financial markets. Moscow, 2012 (in Russian).

3. Kobzar A. I. Applied mathematical statistics. Moscow, 2006.

4. Lobanov A. A, Chugunov A. V. Encyclopedia of financial risk management. 2009 (in Russian).

5. Magnus Y. R., KatyshevP. K., Peresetsky A. A. Econometrics. Мoscow, 2004 (in Russian).

6. Mensikov I. S., Shelagin D. A. Market risks: models and methods, 2010 (in Russian).

7. Rossi A. One-dimensional GARCH models: A review. Kvantil - Quantile, 2010, vol. 8, pp. 1-69 (in Russian).

8. Heifetz I. Test the distributions. Kvantil - Quantile, 2011, vol. 9, pp. 25-35 (in Russian).

9. Shapoval A. B., Popov V. Yu. Numerical-analytical algorithm of estimation of predictability implosions. Matematicheskoe modelirovanie - Mathematical modelling, 2011, vol. 23, pp. 65-74 (in Russian).

10. Blanter E. M., Shnirman M. G., Le Mouel J.-L. Solar variability: Evolution of correlation properties. Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics, 2005, vol. 67, pp. 521-534.

11. R. F. Engle & S. Manganelli. CAViaR: Conditional Autoregressive Value at Risk by Regression Quantiles. Journal of Business & Economic Statistics, American Statistical Association, 2004, vol. 22, pp. 367-381.

12. Guedj O. and Bouchaud J.-P. Experts earning forecasts: bias, herding and gossamer information, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2005, vol. 8, p. 933.

13. Shnirman M., Shapoval A. Variable predictability in deterministic dissipative sandpile. Nonlinear Processes in Geophysics, 2010, vol. 17, pp. 85-91.