Применение ортогональных преобразований при цифровой обработке сигналов в спутниковых радиоканалах

УДК 621.391

ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРИ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ В СПУТНИКОВЫХ РАДИОКАНАЛАХ

А. В. Харченко,

канд. техн. наук, доцент

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского

Рассматривается решение задачи различения широкополосных сигналов, принимаемых на фоне гауссовых коррелированных помех, с использованием алгоритмов цифровой обработки сигналов, основанных на применении ортогональных преобразований. Основное внимание уделено оценке влияния коррелированности отсчетов помехи на вероятность ошибки различения двух сигналов. Приводятся примеры снижения вероятности ошибки при применении основных ортогональных преобразований, обладающих декоррелирующими свойствами и имеющими быстрые алгоритмы вычисления.

The article deals with the problem of detecting wide-band signals received on the background of correlated Gauss noise. We use algorithms of digital processing based on orthogonal transformations. The influence of the noise correlation on the error probability of distinguishing different signals is studied. Examples when this probability is decreased after an application of orthogonal transformations with decorrelating properties are given.

В настоящее время применение в радиоэлектронных системах (РЭС) спутниковой связи методов цифровой обработки сигналов (ЦОС) приобретает большое практическое значение. Переход к методам ЦОС, практически заменяющим классические аналоговые методы, обусловлен неоспоримыми достоинствами цифровых устройств обработки сигналов по сравнению с аналоговыми. К этим достоинствам, прежде всего, относятся: миниатюризация функциональных узлов РЭС; высокая точность обработки сигналов; возможность реализации ряда операций и алгоритмов, принципиально нереализуемых с помощью аналоговых элементов.

Современные алгоритмы ЦОС можно разделить на алгоритмы цифровой фильтрации, реализующие обработку сигналов во временной области, и алгоритмы, основанные на применении ортогональных преобразований [1].

Алгоритмы, основанные на применении ортогональных преобразований, в настоящее время являются наиболее перспективными для решения новых задач, возникающих в связи с ужесточением требований, предъявляемых к таким параметрам спутниковых систем, как помехоустойчивость, точность и быстродействие. Известные довольно давно алгоритмы на основе ортогональных преобразований, до недавнего времени не находи-

ли практического применения в РЭС космических комплексов в силу значительных аппаратурных затрат для их реализации. Благодаря техническому прогрессу в области разработки и создания элементной базы ЦОС, а именно высокопроизводительных цифровых сигнальных процессоров и программируемых логических интегральных схем большой емкости, многие известные сложные вычислительные алгоритмы (в том числе алгоритмы оптимальных и адаптивных методов приема сигналов) могут быть реализованы в практических устройствах РЭС.

Принцип применения ортогональных преобразований при ЦОС в спутниковых радиоканалах рассмотрим на примере одной из классических задач, решаемой при приеме сигналов задачи, - различения сигналов [2, 3].

На выходе линейной части приемного устройства присутствует аддитивная смесь

Г{*) = вш

где вш (Ь )е{вг {г )} = {в (г ^ й2 {г)} - один из двух сигналов в1(Ь), I =1, 2, заданных на интервале

0 < Ь < Т8; Дг) - мешающее воздействие.

Задача приемного устройства - определить, какой из сигналов прототипов вг(Ь) больше всего «похож» на принятый сигнал г(Ь).

В устройстве ЦОС принятая смесь (1) подвергается аналого-цифровому преобразованию, в результате чего формируется цифровая последовательность

Ф) = вт

где п = 1, ..., N - номер отсчета.

Будем считать, что частота дискретизации определяется по теореме Котельникова, т. е. в соответствии с равенством

fT = 2/шах>

где ^ах - максимально значимая частота в спектре в^г).

Полученные в результате аналого-цифрового преобразования последовательности представим векторами в действительном векторном пространстве:

гт =[г(1) г(2) ... г^)];

^ =[вт (1) вт (2) (N)];

*Т =[ f (1)f (2) f (N )] -

Входное воздействие (2) при векторном представлении перепишется в виде

Г = Эт + Ґ.

Согласно общепринятому подходу [2-4], оптимальный по критерию максимального правдоподобия приемник принимает решение о наличии того или иного сигнала в соответствии с правилом

в1

11Г_Й1ІІ > 11Г_^

в2

где ||г - - норма (модуль, длина) вектора разно-

сти векторов г и э£, і = 1, 2:

11Г - М =</х (г (п)- в (п ))2.

\п=1

Правило (5) означает, что если| |г - эЦ <| |г -то принимается решение о том, что передавался сигнал в1(г), если| |г - эЦ > ||г - э2|| - то сигнал в 2(г).

Для определенности будем считать, что передавался сигнал в1(г). В этом случае условие возникновения ошибки определяется неравенством

которое после несложных преобразований приводится к виду

А«тАэ2 < 2А«ТЇ,

где Дэ2 = э2 - э1.

Далее, для удобства последующего количественного анализа рассматриваемых процессов,

будем считать элементы вектора f случайными гауссовыми (нормальными) величинами с нулевыми математическими ожиданиями Дп) = У^Дп)} = 0, п = = 1, ..., Ы, совместная плотность распределения которых определяется по формуле

юы ^ )= / N е

^(2п) detKf где Kf - корреляционная матрица мешающего воздействия, элементы которой Pfik =vl{|_fО)_fО)_|х

х|у (к)-f (к)^|, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой: р^к = Р^; У^...} - символ математического ожидания.

В этом случае правая часть неравенства (7) представляет собой линейную комбинацию нормально распределенных случайных величин Дп) и, следовательно, также имеет нормальное распределение.

Обозначим правую часть неравенства (7) Р: Р = 2АбТ ^ Левая часть неравенства (7) представляет собой энергию Ед вектора Дз2:

ЕА=АэТАй2 = Х

П—1

Дисперсия случайной величины Р определяется формулой

^2 [Р] = ^2 [2Д8^ ] = 4AsTKfAs2.

Зная математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины Р, можно записать выражение для ее плотности вероятности

Р2

--ґТК71ґ 2 f

ш

^2^2 [Р]

С учетом введенных обозначений неравенство

(7) преобразуется к виду

ЕД<Р.

Следовательно, вероятность ошибки Р0 различения двух сигналов - это вероятность того, что случайная величина Р превысит Ед. С учетом выражений

(8) - (10) для вероятности ошибки Р0 можно записать

Ро =\ ш(р)(ір = Я

'Д

Ед

V

= Я

Аэ'т Дз2

/4Дэ2 Kf Дз2

где Я(хехр

/-\ТТТТТЛ/-\Т/» ’ ^ -V

du - гауссов интеграл

, 1Ч*т ^ V

ошибок.

Анализ выражения (12) показывает, что величина вероятности ошибки в значительной мере определяется корреляционной матрицей К мешающего воздействия.

Будем считать, что мешающее воздействие представляет собой аддитивную смесь

1 (Ь ) = п (Ь) + ь (Ь),

где 1п(Ь) - белый гауссов шум с двусторонней спектральной плотностью мощности Опп (П) = для

2

всех частот от - ^ до + ^; Ь(Ь) - гауссова помеха с заданной мощностью Рь, двусторонней спектральной плотностью мощности Опь (П) =Ь для

2

всех частот в полосе от---Т до +—Т; уе[0, 1 -

22

коэффициент, равный отношению ширины полосы частот, занимаемой помехой Ь(Ь), к ширине полосы частот, занимаемой сигналом.

В этом случае вектор мешающего воздействия * представляет собой сумму случайных векторов

* = *п + Ь,

компоненты которых 1п(1) и Ь(к) между собой некоррелированные:

^1 1п(*)Ь(к)}= 0, I, к = 1, ...,Ы,

имеют нулевые средние значения и гауссово распределение.

Поэтому корреляционная матрица вектора * определяется равенством

К = К^ + Кь,

где К^ и Кь - корреляционные матрицы векторов *п и Ь соответственно.

С учетом введенных выше свойств случайных процессов 1п(Ь) и Ь(Ь) очевидно, что корреляционные матрицы К^ и Кь будут иметь вид

K, = ^

fj 2

No

n 2

" 1 a

a 1

b b

где I - единичная матрица; a = -

sin

sin

(™).

nv

b = -

n(N - 2)v

В этом случае выражение (12) для вероятности ошибки Р0 различения двух сигналов можно привести к виду

Po - Q

E.л

2

где J0 = J1v - спектральная плотность средней мощности помехи, нормированная к занимаемой ею полосе частот, в дальнейшем будем полагать J0 =

N N

'Z'Zrnm

= const; ^ = n=1 m=1------------------------------------------

N

E

n=1

- обобщенный коэффициент корреляции, зависящий от V и взаимной корреляции различаемых сиг-

sin (JTV n - m

- коэффициенты корре-

ляции компонент вектора ^ (13).

При отсутствии помехи ^0 = 0) формула (14) преобразуется к хорошо известной формуле [2-4], характеризующей помехоустойчивость когерентного приемасигналов:

Р =

о = Q ^Ej(2No)),

которая для ортогональных сигналов равной энергии приводится к виду

Po = Q(JEJN0),

N

где Es = ^(n) - энергия сигнала вг(я).

n=1

При наличии помехи с постоянной конечной мощностью: Pj = const, выражение (14) для ортогональных сигналов равной энергии удобно записать следующим образом:

Ро _ Q

Es/No

1 + 4{Es/No) {Pj/Ps )B

-1

где Рь = Ь01Т - мощность помехи; Рв = Е8Т8 - мощность сигнала; В - коэффициент расширения спектра сигнала или, по-другому, база сигнала [4].

Очевидно, что при наличии такой помехи говорить о приемлемой для космических радиолиний вероятности ошибки, например 10-5, можно только при использовании широкополосных сигналов. По мере увеличения Ев/Ы0 при заданном отношении мощностей Рь/Рв всегда будет существовать неснижаемая вероятность возникновения ошибки, вызванной наличием помех [4]:

lim

Es ¡No ^

Po - Q

B

MPj/Ps )

Единственная возможность снизить вероятность ошибки состоит в увеличении базы сигнала В.

Кроме того, из формулы (17) очевидно, что наличие корреляции компонент вектора Ь (13), т. е. когда множитель V < 1 и, следовательно, |1>1, может привести к значительному повышению вероятности ошибки.

Рис. 1. Зависимость вероятности ошибки Р0

различения двух сигналов от отношения сигнал/шум Ев/Ы0 при фиксированных значениях отношения Рь/Рв

На графиках (рис. 1) кривая 1 соответствует случаю, когда помеха отсутствует и вероятность ошибки Р0 определяется по формуле (15). Кривая 2 соответствует случаю приема сигнала с базой В = 511, наличию некоррелированной помехи (V = 1) и отношению Рь/Рв = 14 дБ. Кривая 3 при тех же В и Рь/Рв соответствует случаю, когда помеха коррелированная (V = 0,5). Как видно из графиков, наличие коррелированной помехи приводит к повышению вероятности ошибки Р0 различения двух сигналов.

В устройстве ЦОС принятый вектор (4) без каких-либо потерь [2, 5], кроме повышения вычислительных затрат, может быть подвергнут ортогональному преобразованию

z = Тг = а; + ^,

где аг = ^; ^ =

Т VI >1

т = Т ¥2 = ^2 (1) ^2 (2)  • ¥2

Т - V N (1) VN (2)  • V N ^ )_

- матрица ортогонального преобразования;

^ = [>; (2) - V; ^)], І = 1, -.., N - базис-

ные векторы преобразования, которые для удобства будем считать вещественными и ортонорми-рованными:

N

І{п)Ук{п) = уТ=Ъ;к, І, Ъ = 1, ..., N,

п-1

т. е. матрица преобразования ¥ является симметрической (ТТ =¥) и ортогональной (ГТ = Т-1); 5;й -символ Кронекера.

Отметим, что ограничение на то, что векторы ^І оставлены из вещественных чисел, не является

принципиальным, и все последующие рассуждения без потери общности могут быть распространены на комплексные числа.

Вернемся к условию возникновения ошибки различения сигналов (11), где дисперсия Р определялась формулой (9). При выполнении ортогонального преобразования (18) равенство (9) можно переписать в виде

^2 [Р] = 4Аа2ТТТК; ТДа2,

где Да2 = а2 - а1 = ТА82 .

Заметим, что правая часть неравенства (11) не зависит от ортогонального преобразования Т: Ед = ЛвТА82 = АаТТТ¥Аа2 = АаТАа2, поскольку Т -симметрическая матрица, для которой справедливо ТТ Т = I. При этом, как мы выяснили ранее, повышение вероятности ошибки Р0 различения двух сигналов вызвано наличием недиагональных элементов матрицы Кп, точнее, недиагональных элементов составляющей ее матрицы К^ (13).

Следовательно, если использовать преобразование ¥, которое приводит матрицу из

соотношения (19) к диагональному виду, то негативное влияние коррелированности помех на вероятность ошибки Р0 можно компенсировать, т. е. приблизиться от кривой 3 к кривой 2 (см. рис. 1).

Известно [5], что матрица ТТКп Т будет диагональной, если матрица ¥ образована из векторов ф;, являющихся собственными векторами матрицы Кп , т. е. векторов, удовлетворяющих уравнению

Кф; -Ягфг = 0,

где ф; - собственные векторы; - собственные значения матрицы К^

Указанное выше ортогональное преобразование Т = [ф1ф2 ... фы], базисные функции которого являются собственными векторами корреляционной матрицы К^ называется дискретным преобразованием Карунена - Лоэва [5, 6].

Однако отсутствие быстрых алгоритмов вычисления и зависимость параметров оптимального преобразования Карунена - Лоэва от структуры матрицы К существенно ограничивают практические возможности его применения и вынуждают использовать другие ортогональные преобразования [6].

В настоящее время известно довольно значительное количество дискретных ортогональных преобразований, имеющих процедуры их быстрого вычисления. К этим преобразованиям, например, относятся: дискретное преобразование Фурье, дискретное косинусное преобразование, дискретное преобразование Уолша.

Построены графики (рис. 2) при следующих условиях: приеме сигнала с базой В = 511; наличии коррелированной помехи V = 0,5; фиксированном значении отношения Рь/Рв = 14 дБ. Кривая 5 рис. 2 соответствует кривой 3 рис. 1, т. е. случаю,

Рис. 2. Зависимости вероятности ошибки Р0

различения двух сигналов от отношения сигнал/шум Es/No для различных ортогональных преобразований

когда ортогональное преобразование над вектором (4) не выполняется. Кривая 1 получена с применением дискретного преобразования Карунена-Лоэва, кривая 2 - дискретного косинусного преобразования, кривая 3 - дискретного преобразования Фурье, кривая 4 - дискретного преобразования Уолша.

Выводы, которые следуют из анализа графиков (см. рис. 2), подтверждают известные результаты оценки декоррелирующих свойств ортогональных

преобразований [5, 6]. Из рассмотренных ортогональных преобразований, имеющих быстрые алгоритмы вычисления, наиболее близкие к дискретному преобразованию Карунена-Лоэва характеристики декорреляции в рассмотренных условиях дает применение к вектору (4) дискретного косинусного преобразования.

Литература

1. Куприянов М. С., Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. СПб.: Политехника, 1998. 592 с.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. 2-е изд., испр. М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. 1104 с.

3. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1970. 728 с.

4. Помехозащищенность радиосистем со сложными сигналами / Г. И. Тузов, В. А. Сивов, В. И. Прытков и др.; Под ред. Г. И. Тузова. М.: Связь, 1985. 264 с.

5. Ахмед Н., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1980. 248 с.

6. Умняшкин С. В., Кочетков М. Е. Анализ эффективности использования дискретных ортогональных преобразований для цифрового кодирования коррелированных данных // Изв. вузов. Сер. Электроника. 1998. №6. С. 78-84.