Общая модель формирования математических способностей школьников

ристик реальных явлений, демонстрации универсального характера математики на конкретных примерах и т. д. Но формирование у учащихся представлений о развитии предмета математики опирается на реальный исторический материал, а обучение различным аспектам, например, такого фундаментального метода, как метод математического моделирования, использует прикладные задачи и, соответственно, тоже опирается на реальность.

Обобщая все сказанное выше, заметим, что анализ истории возникновения начальных математических представлений, опирающийся на исследование памятников древности, позволяет сделать заключение о том, что математические знания возникли из практического опыта и являются математическими моделями объектов реальной действительности. Реальность является источником возникновения и развития математического познания человека: и самой математики как науки, и, соответственно, математики - учебного предмета.

В заключение следует отметить, что, начиная с античного периода развития математического познания - периода начала дедуктивного формирования математической науки, которая связывается с научным творчеством античных и эллинистических ученых, в обучении математике постепенно складывалась ситуация, когда прикладные аспекты использования математических знаний в человеческой деятельности периодически уступали доминирующую роль проблемам и задачам «чистой» математики. В дальнейшем линия усиления связи обучения математике с жизнью, физико-математической направленно-

сти математического образования, прикладной и практической направленности обучения математике, использования явлений реальности в обучении математике стала одним из наиболее приоритетных направлений теории и методики обучения математике фактически на всех последующих этапах ее развития.

список источников и ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бурбаки Н. Архитектура математики. - М., 1972. -32 с.

2. Столяр А. А. Педагогика математики. - Минск, 1986. - 414 с.

3. Грабарь М. И., Краснянская К. А Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. - М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

4. Кедровский О. М. Методологические проблемы развития математического познания. - Киев: Вища школа, 1977. - 230 с.

5. Мадер В. В. Введение в методологию математики. -М., 1994. - 448 с.

6. Рузавин Г. И. О природе математического знания. (Очерки по методологии математики). - М.: Мысль, 1968. - 302 с.

7. Комили А. Ш., Шукурзод Т. А., Шодиев М. С. Методы использования исторических задач на уроках математики и физики. - Тегеран, 1388 (2009). - 86 с. (на персид. яз.).

ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ШКОЛЬНИКОВ

THE GENERAL MODEL OF FORMATION OF MATHEMATICAL ABILITIES OF SCHOOLBOYS

М. Б. Виситаева

В статье дано описание общей модели формирования математических способностей школьников, которая является базой для проектирования процесса обучения, представляющей собой естественную систему взаимосвязей между его компонентами, обеспечивающую реализацию выделенных функций в индивидуально-личностном развитии.

Ключевые слова: математические способности, модель, учебная деятельность, компоненты, функции, ступени, ситуации, этапы, дидактические принципы, средства, условия, затруднения, уровни сформированности математических способностей, критерий сформированности математических способностей.

M. B. Visitaeva

In article the description of the general model of formation of mathematical abilities of schoolboys which is base for designing of process of the training, representing natural system of interrelations between its components, providing realization of the allocated functions in individually-personal development is given.

Keywords: mathematical abilities, model, educational activity, didactic principles, means, conditions, difficulties, levels of the formation mathematical abilities, criterion's formation mathematical abilities.

Математические способности формируется у школьников в процессе выполнения ими учебной деятельности. Поэтому содержание учебных предметов (в том числе и математики) необходимо разрабатывать в соответствии с особенностями и структурой учебной деятельности.

В психологии под математическими способностями понимается индивидуально-психологические свойства личности, обуславливающие успешность выполнения математической деятельности.

В соответствии с идеями, которые выдвинул В. В. Давыдов [1] при рассмотрении учебной деятельности, мы разработали общую модель формирования математических способностей школьников.

Модель есть аналог, заместитель исследуемого объекта. Модель - средство сделать абстрактное понятие наглядным [2].

«На основе рассмотрения учебной деятельности формулируются ряд логико-психологических положений, которые можно использовать при определении содержания предметов с учетом восхождения мысли от абстрактного к конкретному.

1. Усвоение знаний, носящих общий и абстрактный характер, предшествует знакомству учащихся с более частными и конкретными знаниями; последние выводятся учащимися из общего и абстрактного как из своей единой основы.

2. Знания, конституирующие данный учебный предмет или его основные разделы, усваиваются учащимися в процессе анализа условий их происхождения, благодаря которым они становятся необходимыми.

3. При выявлении предметных источников тех или иных знаний учащиеся должны уметь, прежде всего, обнаруживать в учебном материале генетически исходное, существенное, всеобщее отношение, определяющее содержание и структуру объекта данных знаний.

4. Это отношение учащиеся воспроизводят в особых предметных, графических или буквенных моделях, позволяющих изучать свойства в чистом виде.

5. Учащиеся должны уметь конкретизировать генетически исходное, всеобщее отношение изучаемого объекта в системе частных знаний о нем, удерживаемых вместе с тем в таком единстве, которое обеспечивает мысленные переходы от всеобщего к частному и обратно.

6. Учащиеся должны уметь переходить от выполнения действий в умственном плане к выполнению их во внешнем плане и обратно» [1].

В результате учебной деятельности происходит усвоение научных понятий, прежде всего изменение самого ученика, его развитие. В общем виде это изменение есть приобретение ребенком новых способностей, то есть новых способов действий с научными понятиями. Учебная деятельность - деятельность по самоизменению, ее продукт - те изменения, которые произошли при ее выполнении в самом субъекте. В этом и заключается ее основная особенность (Д. Б. Эльконин).

В построении модели учитывались требования, выделенные к ней В. С. Ильиным [3]: отражение степени це-

лостности процесса или явления, описание условий и средств его протекания, структурное построение процесса. Предлагаемая нами общая модель формирования математических способностей учащихся включает четыре уровня сформированности математических способностей: дискретный (низкий), фрагментарный (средний), рациональный (достаточный), целостный (продвинутый). В качестве диагностики была выбрана сформированность компонентов математической деятельности: когнитивного (обеспечивающего способность усвоения и применения полученной информации), деятельностного (раскрывающего специфику математической деятельности) компонента и самооценки (проявляющейся в оценке личностью самой себя, своих интересов, возможностей, способностей и т. д.), а показателями служили степени выраженности выделенных функций - познавательно-оценочной (позволяющей ребенку отобрать значимую для него информацию, адекватную сложившимся условиям, для реализации себя как субъекта и сформировать оценочные суждения о происходящем), активизирующей (стимулирует рост активности и самостоятельности учащихся, способствует проявлению математических способностей, прогнозированию и регулированию собственной деятельности), побудительной (способствующей возникновению стремления к личностному самосовершенствованию, саморазвитию).

На основании исследований [4-6 и др.] нами выбраны составляющие, характеризующие «геометрическое зрение» (при этом используется понятие «взаимопроникающие фигуры»), аналитико-синтетическую деятельность и алгоритмическую культуру.

«Взаимопроникающие фигуры» имеют часть общей площади: одними своими частями они перекрывают друг друга, другими частями не совпадают [7].

Нами дано определение «взаимопроникающих фигур», которое применимо как для плоских, так и для пространственных фигур: «взаимопроникающие фигуры» имеют часть общей длины (или площади или объема): одними своими частями они перекрывают друг друга, другими частями не совпадают.

Количественная характеристика применялась нами при оценке:

1) геометрического зрения - насколько полно и точно учащийся увидел искомые фигуры, количество выделенных фигур из фона;

2) аналитико-синтетической деятельности - наличие и количество идей при решении задач, выбор наиболее рационального способа решения;

3) алгоритмические способности - количество шагов, приводящих к верному решению.

Таким образом, мы рассматриваем составляющие, которые влияют на развитие общих способностей, и составляющие, которые характеризуют некоторую математическую деятельность.

В своей опытно-экспериментальной работе в соответствии с закономерностями учебной деятельности и в соответствии с идеей В. В. Серикова о развитии педагогической

ситуации мы выстроили логику развития учебной деятельности учащегося через последовательность ситуаций.

«Ситуация - особый педагогический механизм, который ставит воспитанников в новые условия, трансформирующие привычный ход его жизнедеятельности, востре-бующие от него новую модель поведения, чему предшествует рефлексия, осмысление, переосмысление сложившейся ситуации» [8, с. 89].

Первая ступень - ситуация теоретико-экспериментального исследования на уроке, стимулирующая интерес к учебной деятельности и ведущая к последующей самореализации. Условиями реализации этой стадии выступают: эмоциональная вовлеченность, внутреннее стремление к осмыслению и усвоению добытых знаний; развитие самостоятельности и активности; включение в практическую деятельность.

На данной ступени учащимся предлагаются учебные задания. Педагог знает направление поиска, предлагает пройти этот путь ученику, зная наверняка искомый результат.

Вторая ступень - ситуация частично-поискового исследования, научение образцам учебной деятельности на основе получения новой информации, притом что педагог знает направление поиска, но не знает конечного результата, предлагая ребенку самостоятельно решить проблему или комплекс проблем.

Условиями, наиболее полно осваивающимися на этой ступени, являются: развитие самостоятельности и активности; внутреннее стремление к осмыслению и усвоению; вовлечение в практическую работу.

Основанием для создания ситуаций служат действия, требующие творческой переработки содержания. В ходе этого происходит дальнейшее развитие способности учащихся к рефлексивному осмыслению собственной математической деятельности и достижение уровня умения ставить вопросы (при ответах на которые ребенком достигается осознание собственной деятельности), развивается интерес к своей же деятельности, формируются частично-поисковые умения.

Третья ступень - ситуация поисковой исследовательской деятельности, основанием для создания которой служит исследование с неопределенным содержанием, где происходит преобразование сложившихся стереотипов исследовательского характера на индивидуально-личностном уровне, идет формирование объективной оценки предметов и явлений, самостоятельное определение целей будущего эксперимента и механизмов своей математической деятельности для достижения этих целей.

Преподаватель умело владеет методикой научного исследования, но ни он, ни ребенок не знают ни путей поиска (исследования), ни итога исследования. Для позитивного результата исследования педагог должен не только сам обладать интуицией в этом вопросе, но и активизировать ее у ученика.

Данная ступень отличается повышенной притязательностью учащихся на высокую оценку своей математической деятельности, напряжением сил. Наблюдается вы-

раженное стремление к доказательности актуальности своих действий, целесообразности использования результатов исследования на практике.

Условиями, освоенными учащимися на данной ступени развития учебной деятельности, являются: придание приобретаемым знаниям общественной направленности; развитие самостоятельности и активности; внутреннее стремление к осмыслению и усвоению; вовлечение в практическую работу.

Четвертая ступень - ситуация научного исследования, где деятельность учащегося характеризуется проявлением субъектного отношения к изученным фактам и способам их объяснения, самостоятельным поиском противоречий, проблем, проявлением математических способностей в учебном процессе и внешкольной деятельности. Ученик сам определяет степень готовности к этой ступени. На этой ступени учащийся самостоятельно задается проблемой исследования, определяет его цели, находит механизмы действий по их достижению.

И учащиеся осваивают выделенные нами дидактические условия ситуации учебной деятельности: обеспечение научной доказательности, логической убедительности и непротиворечивости всех усваиваемых знаний и выводов.

Реализация означенной логики разворачивания учебной деятельности учащихся на практике выявила характерные затруднения, успешное преодоление которых учащимися и способствует формированию их математических способностей. Среди характерных затруднений учащихся обнаружены: интеллектуальные, экспериментальные, трансляционные и межличностные затруднения.

Интеллектуальные затруднения обусловлены недостаточной целостностью научной картины мира в сознании, а также недостаточной осмысленностью мировосприятия. Для преодоления интеллектуальных затруднений учащихся в процессе исследовательской деятельности эффективен метод консультаций. Педагогическая поддержка в преодолении интеллектуальных затруднений выражается в организации осмысления учащимися своих действий, проводится с помощью вопросов, при ответе, на которые письменно формулируется суть проблемы, гипотеза.

Педагогическая поддержка в преодолении экспериментальных затруднений выражается в разъяснении учащимся преимуществ групповой, совещательной формы работы, а также в виде советов и рекомендаций обратиться к дополнительной литературе.

Трансляционные затруднения возникают у учащихся при проецировании полученного в исследовании результата на внешкольную деятельность. Педагогическая поддержка в преодолении трансляционных затруднений выражается: в поддержании беседы, желании учителя сотрудничать с учащимися; в совокупности советов, предъявляемых учащимся с правом выбора: принятия или отвержении идей; в применении специальных приемов сравнения, сопоставлении научных открытий и их влиянии на общественную жизнь; в предоставлении возможности высказаться, обосновать свое оригинальное решение.

Мы исходим из того, что межличностные затруднения могут возникать у учащихся на любой ступени развития ситуации учебной деятельности. Процесс исследования предполагает субъект-субъектное взаимодействие (учащийся-учащийся, учащийся-учитель), в котором проявляется неумение вести диалог, прислушиваться к мнению других, готовностью принимать точку зрения товарищей. Педагогическая поддержка в случае межличностных затруднений выражается в организации взаимодействий между учащимися и между учащимися и педагогом.

Потенциал учебной деятельности в процессе формирования математических способностей учащихся реализуется при организации ее на принципах: научности в обучении, сознательности усвоения, наглядности обучения, самодеятельности, мобильности усвоения умений, доступности, естественности, познавательной активности, активной самостоятельной деятельности, осмысленности, прочности знаний, экспериментальности и учета индивидуальных и возрастных особенностей.

Каждому из четырех уровней сформированности математических способностей учащихся предлагаемой нами общей модели формирования математических способностей школьников: дискретному, фрагментарному, рациональному и целостному - соответствует группа условий, стимулирующих переход к более высокому уровню. Для дискретного - накопление знаний, умений, навыков путем выполнения творческих, индивидуальных заданий, погружение в ситуации успеха, стимулирование интеллектуальных достижений, вовлечение в практическую деятельность, внутреннее стремление к осмыслению и усвоению; для фрагментарного - сориентированность деятельности учащихся, направленной на самостоятельное добывание знаний, погружение в проблемные ситуации, стимулирование творческой инициативы развитие самостоятельности и активности; для рационального - привнесение новизны в элементы действий, стремление к познанию, реализация на практике творческих разработок, эмоциональная удовлетворенность; для целостного - участие в научно-познавательных проектах, направленных на добывание новых знаний, осознание востребованности результатов этих проектов для своего саморазвития, самосовершенствования, обеспечение научной доказательности, логической убедительности и непротиворечивости всех усваиваемых знаний и выводов.

При разработке гипотезы критерия сформированности математических способностей мы использовали тот факт, что учащиеся 5-6-х классов используют преимущественно наглядно-образное мышление, но вместе с тем и абстрактно-логическое.

Как известно, существуют виды мышления: 1) наглядно-действенное (объектом непосредственных мыслительных операций служат реальные объекты); 2) наглядно-образное (характеризуется способностью манипулировать образами без практических действий); 3) абстрактно-логическое (выступает, прежде всего, в форме абстрактных понятий и суждений).

Под критерием сформированности математических способностей учащихся (для данных компонентов) будем

понимать полноту (определяемую программой) и успешность выполнения деятельности при решении задач.

Можно предположить, что:

- математические способности учащихся для дискретного уровня (К1) сформированы, если учащийся выполняет отдельные операции без определенной последовательности, узнает ранее воспринятый образец действий с помощью алгоритмического предписания (чтобы решать задачи на воображение с опорой на восприятие -можно дать и рекомендации);

- математические способности учащихся для фрагментарного уровня (К2) сформированы, если учащийся выполняет в основном все операции, но действия недостаточно осознанны, выполняет действия в стандартных задачных ситуациях на наглядной основе без алгоритмического предписания (к примеру, задачи на воображение с опорой на восприятие);

- математические способности учащихся для рационального уровня (К3) сформированы, если учащийся выполняет все операции, последовательность их рациональна, действия осознанны, проявляет возможность формирования соответствующих способностей в новой (нестандартной) задачной ситуации, с помощью ориентировочной основы (к примеру, на наглядной основе, могут служить и задачи (повышенной сложности) на воображение с опорой на восприятие);

- математические способности учащихся для целостного уровня (К4) сформированы, если учащийся выполняет все без исключения операции, последовательность их всегда рациональна, действия во всех случаях осознанны, проявляет формируемые способности в нестандартной за-дачной ситуации, без наглядной основы (примером могут быть и задачи на воображение без опоры на восприятие).

Характеристики математических способностей К1-К4 отвечают требованиям, предъявляемым к содержанию критериев:

- уровень К4 не может быть достигнут без предварительного «прохождения» через уровни К1-К3, так как «реализация возможностей, которая представляет способность одного уровня, открывает новые возможности для дальнейшего развития способностей более высокого уровня...» [9].

- наличие факта выполнения указанной деятельности позволяет установить степень сформированности математических способностей учащихся;

- критерий сформированности математических способностей учащихся достаточно прост, допускает простейшие способы измерений, например, регистрацией (метод регистрации - терминология Л. Б. Ительсона) [10].

Организация учебной деятельности, направленной на формирование математических способностей учащихся, включает три этапа: 1) информационно-оценочный, 2) практический, 3) прогностический.

Информационно-оценочный - стимулирование интереса к учебной деятельности, осознание ее значимости для успешной адаптации к обучению в школе, самореализации. Первый этап осознания, формирования, постановки проблемы.

Проблема исследования заключается в неразработанности методики формирования математических способностей учащихся 5-6-х классов при изучении геометрического материала.

На первом этапе был разработан концептуальный замысел исследования, определена его эмпирическая база, организована опытная работа по проверке эффективности отдельных элементов научного исследования.

Был проведен констатирующий эксперимент, сформулированы предмет, цель, гипотеза, методы и научный аппарат исследования.

На этом этапе нашей опытно-экспериментальной работы мы столкнулись с засильем объяснительно-иллюстративных методов обучения в массовой школе и отсутствием технологий, побуждающих учащихся к самостоятельному добыванию и применению знаний, пробуждению и активизации их позитивных качеств. Основными средствами для достижения данных целей являлись: насыщение практических занятий эмоциональным содержанием, включение исследовательских заданий по геометрической проблематике в ситуациях приближенных к реальной деятельности, решение посильных задач с постепенным нарастанием их трудности, создание ситуаций успеха.

Так как формирование внутренней мотивации учения, вызывающей чувство радости познания, стимулирует волю и внимание учащихся, повышает их заинтересованность, работоспособность, то в системе реализуемых нами принципов на данном этапе ведущим является принцип познавательной активности.

Реакция учащихся на внедрение педагогом в ходе урока решения учебно-познавательных задач в основном была позитивной, особенно у учащихся с высоким уровнем сформированности математических способностей. У учащихся с низким уровнем сформированности математических способностей наблюдалось состояние неуверенности, проявляющееся в пассивности, что объясняется наличием интеллектуальных и операционных затруднений. Применение педагогом рассмотренных ранее методических приемов и способов позволило свести к минимуму данные затруднения. Наблюдая регулярные проявления познавательного интереса учащихся, вовлеченность в решение учебно-познавательных задач, усвоение примерного алгоритма их решения (задач на выделение взаимопроникающих элементов геометрических пространственных фигур), сведение к минимуму проявления операционных затруднений, мы сочли возможным перейти к следующему этапу.

Решение задачи - это деятельность, предполагающая использование имеющихся и формирование более сложных исследовательских умений [11].

Целями практического этапа являлись: формирование стремления к преодолению личностных затруднений, развитие умения решать учебно-познавательные задачи. Здесь мы осуществляли группировку ранее освоенных элементов, то есть применение их на уровне технологии.

Средствами реализации данных целей в результате теоретического анализа исследований по данной проблеме (Н. М. Борытко, М. А. Данилова, М. Н. Скаткина, А. А. Сто-

ляра и др.) нами определены: включение в содержание обучения обязательных компонентов учебной (математической) деятельности, использование в качестве ведущих интерактивных методов и приемов обучения (игровых, дискуссионных), создание ситуаций выбора, саморазвития. Ведущим принципом организации деятельности на данном этапе, наряду с принципом мобильности усвоения умений, является принцип индивидуализации. Последовательность задач выстраивалась в основном таким образом, чтобы решение каждой предыдущей задачи подготавливало к восприятию и решению новой задачи, а также учитывало исходный уровень готовности учащихся к решению. Анализ практики обучения, в том числе использование рефератов и докладов по определенным темам, способствовало: преодолению межличностных, креативных затруднений, развитию познавательной самостоятельности, осознанному применению приобретенных умений.

На этом (втором) этапе был организован и проведен формирующий эксперимент.

Наблюдая возросшее стремление учащихся к самостоятельности в процессе решения задач на выделение взаимопроникающих элементов геометрических пространственных фигур на базовом уровне, сведения к минимуму проявления личностных затруднений, мы сочли возможным перейти к следующему этапу.

Третий этап (прогностический) реализации принципиального решения проблемы. Все исследователи выделяют этап окончательного оформления найденного принципиального решения проблемы. Его специфика состоит в том, что часто проверенная форма: «...добытая идея материализуется, объективируется. В научном творчестве этот этап выступает как доказательство гипотезы и ее практическая проверка» [12, с. 15].

Целью прогностического этапа была актуализация стремлений к учебной (математической) деятельности, стимулирование к реализации полученных знаний в различных жизненных ситуациях, выход на продвинутый уровень применения составляющих математических способностей (решение задач на выделение взаимопроникающих элементов геометрических пространственных фигур на продвинутом уровне).

Для этого учащиеся включались в ситуации самооценки, саморазвития, рефлексии, получали возможность попробовать себя в роли конкретного действующего лица. Для достижения данной цели предполагалось использование всех выделенных ранее принципов организации педагогического процесса и учет проблемного подхода к обучению.

Основными средствами достижения цели стали: самостоятельное проведение наблюдений, предъявление задач исследовательского характера, выполнение учащимися исследовательских проектов (выступление на научно-практических конференциях, фестивалях и т. д.), групповые и индивидуальные консультации по возникающим затруднениям. На этом этапе создавались условия, обеспечивающие свободный обмен мнениями по рассматриваемой проблеме. Для решения сложных задач, требующих про-

Ф

Рис. Модель формирования математических способностей учащихся

должительного времени, мы рекомендовали выполнение проектов (в том числе и участие учащихся в научно-практических ученических конференциях и фестивалях творческих работ), что позволило учащимся приобрести и обогатить опыт преодоления не только интеллектуальных, но и личностных и межличностных затруднений.

На этом (третьем) этапе проведен завершающий эксперимент, на основе контрольного эксперимента проведен сравнительный анализ полученных данных, позволивший сформулировать выводы и рекомендации, направленные на формирование математических способностей учащихся, способствующее дальнейшему улучшению процесса изучения геометрического материала учащимися 5-6-х классов основной школы. Осуществлены итоговая математическая обработка, анализ и обобщение результатов исследования. Сформулированы его основные выводы.

Модель - одна из важнейших форм исследования гипотез: в нашем случае гипотеза критерия сформирован-ности математических способностей учащихся заключается в том, что указанные уровни сформированности математических способностей отражают реальный процесс формирования математических способностей учащихся (как надо действовать и общее знание о результате действий - Е. Н. Кабанова-Меллер).

Это предположение было подтверждено непосредственно экспериментом, проведенным в ряде общеобразовательных учреждений Чеченской республики [13 и др.].

В процессе обучения учителю необходимо постоянно иметь в виду наличие этих категорий учащихся (условное деление школьников на четыре подвижные группы по уровням сформированности математических способностей), состав которых не является постоянным, и строить свою работу так, чтобы оптимально удовлетворять каждую из них.

Вышесказанное можно отразить в виде схемы (см. рисунок).

список источников и ЛИТЕРАТУРЫ

1. Давыдов В. В. Что такое учебная деятельность // Начальная школа. - 1999. - № 7. - С. 12-18.

2. Шумилин А. Т. Проблемы теории творчества. -М.: Высш. шк., 1989.

3. Ильин В. С. Формирование личности школьника: целостный процесс. - М.: Педагогика, 1984.

4. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Академия, 2003.

5. Насыбуллина А. К. Методика выявления параметров математических способностей учащихся при обучении математике в неполной средней школе: Дис. ... канд. пед. наук. - М., 1993.

6. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968.

7. Якиманская И. С. Уровни анализа, синтеза и абстракции при чтении чертежа у учащихся IV-VIII классов // Вопросы психологии. - 1959. -№ 1. - С.114-126.

8. Сериков В. В. Образование и личность. Теория и практика проектирования образовательных систем. - М.: Логос, 1999.

9. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. - М.: Изд-во АН СССР, 1958.

10. Ительсон Л. Б. Математические и кибернетические методы в педагогике. - М.: Просвещение, 1964.

11. Шумилин А. Т. Проблемы структуры и содержания процесса познания. - М.: Изд-во МГУ, 1969.

12. Борытко Н. М. Теория обучения: Учебник для студентов пед. вузов. - Волгоград: Изд-во ВГИП-КРО, 2006.

13. Виситаева М. Б. Об изучении пропедевтического курса геометрии в школах Чеченской Республики // Математика в школе. - 2007. - № 5. - С. 26-30.