Осесимметричные вязкоупругопластические колебания круглой композиционной, в среднем изотропной мембраны

оо ео I

Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.1

9. Ivanov P. Yu. et al. Issledovanie prichin samoproizvol'nogo srabatyvaniya avtotormozov gruzovykh poezdov [Investigation of the causes of spontaneous triggering of auto-brakes of freight trains]. Transportnaya infrastruktura Sibirskogo regiona : materialy vos'moi Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. [Transport infrastructure of the Siberian region: materials of the 8th Intern. scientific-practical conf.]. Irkutsk, 2017, pp. 399-404.

10. P. Yu. Ivanov et al. Vozmozhnosti uluchsheniya bazovykh pokazatelei perevozochnogo protsessa na uchastke Taishet-Taksimo [Possibilities for improving the basic parameters of the transportation process in the Taishet-Taksimo section]. Transportnaya infrastruktura Sibirskogo regiona : materialy vos'moi Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. [Transport infrastructure of the Siberian region: materials of the 8th Intern. scientific-practical conf.], Irkutsk, 2017, pp. 453-456.

11. Usol'tsev A. A. Obshchaya elektrotekhnika [General electrical engineering]. St.Petersburg : SPbSU RTMO Publ., 2009, 301 p.

12. Khrustalev B. M., Nesenchuk A. P., Romanyuk V. N. Tekhnicheskaya termodinamika [Technical thermodynamics]. Minsk : Tekhnoprint Publ., 2004, 486 p.

13. Dul'skii E.Yu., Dotsenko N.S., Garev N.N. Opredelenie uglovykh koeffitsientov izlucheniya v programmnom komplekse «MSC Marc» [Determination of the angular emission coefficients in the software package "MSC Marc"]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling], 2013, No.3 (39), pp. 85-89.

14. Afonin G.S., Barshchenkov V.N., Kondrat'ev N.V. Ustroistvo i ekspluatatsiya tormoznogo oborudovaniya podvizhnogo sostava [The device and operation of brake equipment of rolling stock]. Moscow : Akademiya Publ., 2006, 304 p.

Информация об авторах

Иванов Павел Юрьевич - к. т. н., старший преподаватель кафедры «Электроподвижной состав», Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, e-mail: savl.ivanov@mail.ru

Мануилов Никита Игоревич - аспирант кафедры «Электроподвижной состав», Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, e-mail: nikita-manuilov@mail.ru

Дульский Евгений Юрьевич - к. т. н., доцент кафедры «Электроподвижной состав», Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, e-mail: E.Dulskiy@mail.ru

Authors

Ivanov Pavel Yur'evich - Ph.D. in Engineering Science, Asst. Prof., the Subdepartment of Electric Rolling Stock, Irkutsk State Transport University, Moscow, e-mail: savl.ivanov@mail.ru

Manuilov Nikita Igorevich - Ph.D. student, the Subdepartment of Electric Rolling Stock, Irkutsk State Transport University, Moscow, e-mail: nikita-manuilov@mail.ru

Dul'skii Evgenii Yur'evich - Ph.D. in Engineering Science, Assoc. Prof., the Subdepartment of Electric Rolling Stock, Irkutsk State Transport University, Moscow, e-mail: E.Dulskiy@mail.ru

Для цитирования

Иванов П. Ю. Повышение управляемости тормозов поезда / П. Ю. Иванов, Н. И. Мануилов, Е. Ю. Дульский, М. Н. Че-ревко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2018. - Т. 57, № 1. - С. 103-109. - DOI: 10.26731/1813-9108.2018.1(57). 103-109._

For citation

Ivanov P. Yu., Manuilov N. I., Dulskii E. Yu., Cherevko M. N. Improving the controllability of train brakes. Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol. 57, No. 1, pp. 103-109. DOI: 10.26731 / 1813-9108.2018.1 (57). 103-109.

УДК 534:539.376 БОГ: 10.26731/1813-9108.2018.1(57).109-117

И. А. Тарасюк, А. С. Кравчук

Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь Дата поступления: 29 января 2018 г.

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ КОМПОЗИЦИОННОЙ, В СРЕДНЕМ ИЗОТРОПНОЙ МЕМБРАНЫ

Аннотация. Статья посвящена обобщению уравнения осесимметричных колебаний круглой композиционной, в среднем изотропной мембраны на случай нелинейно деформируемого реологически активного материала. Нелинейность поведения композиционной мембраны моделируется посредством рассмотрения уравнений Работнова нелинейных ползучести и релаксации по наследственной теории в качестве определяющих соотношений ее компонент. При этом в качестве кривых мгновенного упругопластического деформирования компонент материала используются билинейные диаграммы Прандтля. Для исследования колебаний композиционной мембраны производится гомогенизация ее уравнения состояния посредством построения оценочной вилки эффективных вязкоупругопластических характеристик при использовании гипотезы Фойгта об однородности деформаций и гипотезы Рейсса об однородности напряжений в объеме композиционного тела. При помощи предложенного авторами ранее метода гомогенизации произведено уменьшение полученного диапазона эффективных параметров деформирования композиционной, в среднем изотропной мембраны. Согласно данной методике, эффективные уравнения состояния определяются по правилу смеси для эффективных уравнений ползучести и релаксации по Фойгту и Рейссу. В аналитическом виде получены оценочные выражения для эффективных модуля Юнга, модуля упрочнения, коэффициента Пуассона, предела текучести, ядер ползучести и релаксации, а также частот свободных осесимметричных колебаний круглой мембраны как функций указанных вязкоупругопластических характеристик. Полученные результаты могут применяться при проектирова-

© И. А Тарасюк, А. С. Кравчук, 2018

109

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018

нии и вибрационном анализе мембранных элементов конструкций, поскольку позволяют прослеживать изменение характеристик деформирования при изменении структурных, механических и геометрических параметров композиционной мембраны.

Ключевые слова: свободные колебания, круглая мембрана, нелинейная вязкоупругопластичность, композиционный материал, гомогенизация, эффективные характеристики._

I. A. Tarasyuk, A. S. Kravchuk

Belarusian State University, Minsk, Belarus Received: January 29, 2018

AXISYMMETRIC VISCOELASTOPLASTIC OSCILLATIONS OF THE ROUND COMPOSITE MEMBRANE, ISOTROPIC ON THE AVERAGE

Abstract. The work focuses on the generalization of the equation of axisymmetric oscillations of a circular composite membrane, isotropic on the average, in case of a nonlinearly deformable rheologically active material. The nonlinear behavior of the composite membrane is modeled by considering the Rabotnov equations of nonlinear creep and relaxation in hereditary theory as the defining relationships of its components. In this case, the bilinear Prandtl diagrams are used as the curves of instant elastic-plastic deformation of the material components. To study the vibrations of the composite membrane, the equation of state is homogenized. For this, an estimative delta of effective viscoelastoplastic characteristics is constructed using the Voigt hypothesis on the homogeneity of deformations and the Reuss hypothesis on the uniformity of stresses in the volume of the composite body. With the help of the method of homogenization proposed by the authors, the obtained range of effective parameters of deformation of a composite, on the average isotropic membrane, is reduced. According to this technique, the effective equations of state are determined by the rule of the mixture for effective creep and relaxation Voigt-Reuss equations. Analytic expressions are obtained for the effective Young's modulus, hardening modulus, Poisson's ratio, yield point, creep and relaxation nuclei, as well as frequencies of free axisymmetric oscillations of the circular membrane as functions of these viscoelastoplastic characteristics. The results obtained can be used in the design and vibration analysis of membrane structural elements, since they make it possible to trace the change in the characteristics of deformation when structural, mechanical and geometric parameters of the composite membrane change.

Keywords: free vibrations, circular membrane, nonlinear viscoelastoplacticity, composite material, homogenization, effective characteristics.

Введение

Мембранные конструкционные элементы ввиду своей эргономичности, эстетичности, экономичности и низкого веса активно используются в различных отраслях машиностроения и строительства. Мембраны применяются в качестве защитных и рабочих элементов водных и воздушных судов, пролетных и навесных структур строений, функциональных элементов систем фильтрации очистных сооружений [1].

Наряду с устойчивостью мембран, одной из наиболее важных прикладных задач является вибрационный анализ, заключающийся в определении собственных частот для предотвращения резонанса элементов конструкций. Кроме того, использование в последнее время продвинутых материалов на основе полимеров стало толчком к исследованию колебаний композиционных мембран с учетом реологического поведения, которое такие материалы проявляют даже при относительно невысоких температурах [1].

Данная работа является обобщением предыдущего исследования колебаний круглых композиционных мембран [2] на случай вязкоупруго-пластического материала. Для моделирования реологического поведения мембраны в качестве уравнений состояния ее компонент рассматриваются нелинейные уравнения ползучести и релак-

сации Работнова в терминах интенсивностей деформаций и напряжений [3], которые позволяют не применять гипотезу о чисто упругом объемном деформировании материала [4]. При этом предполагается, что компоненты материала являются квазиупругопластическими, а кривые их мгновенного деформирования определяются билинейными диаграммами Прандтля.

Для исследования колебаний композиционной мембраны производится гомогенизация ее уравнения состояния посредством построения оценочной вилки эффективных вязкоупругопла-стических характеристик при использовании гипотезы Фойгта об однородности деформаций и гипотезы Рейсса об однородности напряжений в объеме композиционного тела. При помощи предложенного авторами ранее метода гомогенизации произведено уменьшение полученного диапазона эффективных параметров деформирования композиционной, в среднем изотропной мембраны. Согласно данной методике, эффективные уравнения состояния определяются по правилу смеси для эффективных уравнений ползучести и релаксации по Фойгту и Рейссу.

Для исследования колебаний круглой композиционной мембраны из реологически активных материалов применяются гипотезы Фойгта и Рейс-са об однородности деформаций и напряжений в

Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.1

объеме композиционного тела [5, 6]. При помощи данных предположений строятся вилки эффективных уравнений состояния и их параметров, позволяющие оценивать реальные характеристики деформирования композиционной мембраны. Для уменьшения полученного диапазона эффективных свойств мембраны применяется разработанный авторами метод гомогенизации [7]. Согласно данному методу эффективные параметры деформирования материала определяются по правилу смеси для уравнений состояния по Фойгту и Рейссу. С помощью данного метода в аналитическом виде получены оценочные выражения для собственных частот колебаний, эффективных модулей Юнга и упрочнения, коэффициента Пуассона, предела текучести, а также ядер ползучести и релаксации.

Основные уравнения и гипотезы

Уравнение осесимметричных колебаний круглой мембраны имеет вид [2]:

d2 u

a r

д_ дг

du

Г t Л (0 = Vk4(sk J(0 = Vk-1 (sk) 1 + |Г(t,x)dx ,

-i

напряжений и деформаций, Гк (t, т) и Як (t, т) -ядра ползучести и релаксации, Jk (?, т) и П к (?, т) -функции ползучести и релаксации.

Отметим, что использование закона наследственности в виде уравнений Работнова (2) позволяет не применять гипотезу о чисто упругом объемном деформировании материала [4].

В качестве функции мгновенного деформирования к-й компоненты материала рассмотрим билинейную диаграмму Прандтля, определяющую упругопластическое поведение материала [3, 4, 8]:

3Gk s k,

в k *

pi

s

pi

3G,

G s k +sk

st

1 -

G

pi Л

G

s

pi

3G,

3G,,

s i,

s

pi Г

где Gk =

3Gpkl E,r

3Gp

1 -

G

pi Л

G„

s k >sp,

2

и

Gp =—r k 2(1

Et

+ v

pi

секущий и

касательный модули сдвига, Ек и Ек1 - модули Юнга и упрочнения, V к - коэффициент Пуассона при мгновенном упругом деформировании, а р1 -предел текучести материала.

Предполагается, что в пластической области кривой мгновенного деформирования материал

ведет себя как несжимаемый, т. е. V к! = 1/ 2 [9].

При моделировании мгновенного поведения материала билинейной диаграммой Прандтля кривая деформирования терпит разрыв 1-го рода в окрестности предела текучести. Причиной этому является предположение Ильюшина, что соотношение между интенсивностями напряжений и деформаций может быть сведено к одноосному растяжению при использовании гипотезы о несжимаемости материала в пластической области заданной кривой [9]. Таким образом, предположение о скачкообразном увеличении коэффициента Пуассона до 1/2 при достижении предела текучести приводит к скачкообразному изменению величины интенсивности деформаций.

Полагая, что при равномерном растяжении круглой мембраны аксиальная деформация не изменяется в радиальном направлении, для плоского напряженного состояния имеем агк =стфк = стк и

8г,к =8Ф,к , а вг,к = 28г,кVк/^к - 1) - при вязко-

упругом деформировании и в гк =-2 в гк - при

вязкопластическом [10]. Тогда интенсивность деформаций примет вид:

д?/ г дг ^ дг, где а = д/ст г /р , а г - напряжение натяжения, р -

плотность материала мембраны.

С целью обобщения уравнения (1) на случай нелинейно вязкоупругопластической композиционной мембраны рассмотрим материал, состоящий из п компонент с объемными долями у к . Предполагается, что реологическое поведение к-й компоненты соответствует закону наследственности квазиупругопластического материала [3, 8]:

( ? Л а к (?) = У к (в к )П к (?) = У к (в к ) 1 (?, т)Л

где у к и у к ' - функция мгновенного деформирования и ее обратная, а'к ив 'к - интенсивности

s,, =

2

1 + v,

Л

V1 -vk у

'г,k '

s < ^ s pi

г ,k ^ k '

E

k

2s

1-v

г ,k-

E

k- s p'.

Таким образом, реологическое поведение кой компоненты осесимметрично растянутой круг-

k

s k >

s k =

r

Б

3

s г,k >

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018

лой композиционной мембраны определяется со-

отношениями:

' Е

* г ,к ) =

В г,к П к «, в г,к < ^ , 1 Ек

2 Ер

р1

(

р1

в г к

1

2Ер 3Е к

\

П к

В г,к > ^ * Р

Ек

В г,к ^) =

1 -V,

Ей

* гк

* г ,к ^к (), * г ,к <* к

*

р1

V 2 Ер

г"

Г 1 1 + ^ к УУ

2 Ер 3Е

J к ('),

* г,к >*Р .

Гомогенизация круглой композиционной мембраны

Рассмотрим кольцевой сектор мембраны, соответствующий интервалам (г1, г2) и (ф1, ф 2) на осях 0г и 0ф , такой, что (ф 2 - ф1) г2 = г2 - г1 = Ая (рис. 1). Предполагается, что концентрации компонент материала рассматриваемого элемента совпадают с объемными долями компонент всей мембраны. Кольцевой сектор с минимальной характерной длиной Ая', удовлетворяющий данному условию, называется макроточкой композиционного материала. Очевидно, что рассматриваемый элемент мембраны выбирается из критерия Ая > Ая'. Если рк - плотность к-й компоненты, в этом случае средняя плотность выделенного элемента и всей мембраны равна:

п

(рк) = Х к Рк.

к=1

0 <£>1 Г1 г2

Рис. 1. Кольцевой сектор круглой мембраны

макроточка композиционного материала, на границах которой задаются воздействия, имитирующие возникающие в симметрично растянутой круглой мембране [2]. В данном случае рассматриваются колебания выделенного кольцевого сектора. Принцип реализации метода гомогенизации заключается в следующем: если композиционное тело в среднем изотропно (например, имеет место квазиизотропный ламинат или хаотически армированная матрица), к нему могут быть применены гипотезы Фойгта и Рейсса. Согласно первой гипотезе, в объеме композиционного тела деформации являются однородными [5], согласно второй гипотезе, однородными являются напряжения [6].

Рассмотрим уравнение релаксации (3) к-й компоненты. Производя умножение обеих частей соотношения на объемную долю ук и суммирование по всем компонентам материала, применяя гипотезу об однородности деформаций в объеме композиционного тела [5], получим оценочное уравнение состояния реологически активной круглой композиционной мембраны по Фойгту:

(* г (/)> , =

1 -М V

2< Е) Р

в г <П(0> ,, в г < ^ <*) р,

1 (1 + М,)'

в г + <*} Р

2ЕР Щу

<П(/)> у ,

в.> ^ (*>р',

Еу ™

где эффективные вязкоупругопластические характеристики по Фойгту имеют вид:

Х Х ьЕ^ Х Г к Ек V к

+V к 1 - ^

Е у =

^ У к Ек

x

к=11 -v к

М у = ~

xx

=1 1 -V к

У к Е к

к=11 - ^ к

Е у = £ у к Ер, <П(0) у = 1 -| х)> уdт

к=1 0

У ук<Г1 - 2Ер (1 + Ук)1у

й V зе к к _

<*> Р =

х у к V т

Е__2 Е р1

Зк

кк

Для решения задачи определения эффективных параметров деформирования исследуется

Транспорт

Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.1

£ Rk

Rt, t)) v = k=j1 v k-+ -+

ER=У I / k=1 jk

j (t ) r = i+j<r('. t) r dt

3£ 1

Y k E k

3£y k j

pi

kk

k=1

Iy ks

pi

+ -

k=1

s p' kk

1 - 2Ep (1 + v k ) "

3E,

« =

p^ k=1

1 2

E p1 Ve k

3E,

Rk

I y k

k=1

2

E p1 Vk

3E

k У

3Iy ks

pi

k=1

1 - 2Ep

3E

Эффективное ядро ползучести по Фойгту может быть получено с помощью метода итерированных ядер, поскольку является резольвентой ядра релаксации [8, 11]:

£ ^ Pk (t. Т) £ jp- rk (t, t) (r(t, t) r = —a--:—+-Ы-а-+

Y k

k=1

E.

Y k

E pi k=1 jk

(f(t, t)>„ = (R(t, t)>„. R. (t, t)},,.

i = 1

t

где (Ri+1 (t, t)) v = j(R(t, s)) F( Ri (x, t)} ^dx

Т

вторные ядра, а (R1 (t, t))v = (R(t, t))у .

+ -

i y k

k=1

s

pi

E p1 Ve k

2

E,

Л

rk

- по-

3£y k

k=1

E pi Vk

2

Eh

Аналогично (7), эффективное ядро релаксации по Рейссу может быть получено методом ите-

В случае разностных ядер, описывающих рированных ядер [8, 11]:

ад

реологическое поведение материалов с не изме-

няющимися во времени свойствами, для опреде- * ' 'к ^ ' 'к ^ ^ 1 +

ления эффективного ядра ползучести по ядру ре- ,

лаксации может быть применено преобразование где (Гг+1 (?,т))я = Г(Г(?,х)}к(Гг (х,т))кёх - повтор-

П О ТТ ПОЛО И /1 X ' »

ные

ядра, а (Ц (t, t))R = (r(t, t))r .

В случае разностных ядер эффективное ядро релаксации по Рейссу может быть также опреде-

Лапласа [3, 4, 8]:

(и, ь = Л ^»'} 1 <Г('»- =£ Гтрш

Перейдем к рассмотрению уравнения ползучести (4) к-й компоненты мембраны. Умножая обе лено с помощью пртобразоюния Лапласа [3, 4, 8]:

части выражения на концентрацию у к и суммируя по всем компонентам, при использовании гипотезы об однородности напряжений [6], получим Выражения (6), (7) и (9), (10) образуют вил-оценочное уравнение состояния реологически ак- ку Фойгта - Рейсса эффективных характеристик

(Ы.А _ L J L{r(t)R }, I <R(t)>R - L J1 + L{r(tRR }.

тивной композиционной мембраны по Рейссу:

(в г (?)>я =

[1 R

Er

s.

s

J (t )) R

s г <« ,

2 Ej

-

_j__1+H

2 E)R 3 Er

w

j J

J (t )} R

s г >« ,

где эффективные вязкоупругопластические характеристики по Рейссу имеют вид:

er = у i

Y k

k=1 E k

Y k v k

k=1 Ek

=i

i f

k=1j k

композиционной мембраны. Ее недостатком является большой разброс значений при оценке свойств материала. Для уменьшения диапазона параметров деформирования структурно неоднородной, в среднем изотропной мембраны приме-(8) ним метод гомогенизации [7], согласно которому оценочные напряжения и деформации могут быть получены из правила смеси при 0 < а < 1:

(в г (а))с=(1 -а)(в г)у + а(в Л я, (11) полагая (аг)у =(а^К , и

полагая {вХ = (вг)д .

Из выражений (11) и (12) определяются эффективные уравнения ползучести и релаксации

1

3

3

v

R

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018

круглой композиционной мембраны, аналогичные Вторая граница эффективных деформацион-

(8) и (5) соответственно. Интегрируя по а на ин- ных характеристик материала мембраны опреде-тервале [0, 1] эффективные вязкоупругопластиче- ляется аналогично из соотношения (12): ские характеристики, определяемые из соотношения (11), получим выражения, являющиеся первой

Е у + ^ +

7 7

^у^ я

границей новой вилки:

2

Е * =

Е у

1п-

Е у -<Е)я Ея'

1у \ /я = Е у (у) я -(ЕШ у +

Еу ЧЕ)я

+Е у Ея

(V) у »я ^Е

1п-

(Е у -<Ея )2 Е

(Еу ЕЖ 1п ЕРР_

к ер -<ея ея ,

(*>:' =

<*> р Ау »я а

я ^я

Ау А я

-а А <"> Р Я' 1п Ау.

(Ау -Ая)2 Ая

(У (Г )}* =1 + }(г(t, т))о ^

<г(', т)>*= 3

<Г(', т))я Ху -(Г(', т))у Xя

Ху -Хя

№ *)>Р -<Г(^, Т)>ЛЕ),

Е Р-< е).

№ т» я< * Я' Ая-<Г(', т)> Л * р А,

р'

у\" /у ^у

<*> Р Ау-К' А я

«Г

V

ЕЖ 1п_Е,

ХуХя

-1п

Х

(Ху - Хя )2 Хя

(ЕР'-ЕЯ) Е-

(*> Р'(*>Я Ау А я

_ ЖА.

(<*> Р' Ау-« А я Г И' АЯ

1п

где Ау =

2

и Ху =

Ер' 3Е?

Е у

Ая =

2

ЕЯ 3Ея

X я =

Ея

1 -(V)у' Я 1 -(Vя '

2 (Zу-2 я )3

<(Му -

Л

у \у/я

2

2 2 - 2 2 - 22 2 1п —

у Я ¿-^у^яш 2

2Я У

(V =2у( ^ у -2 як У) я -2у 2 я У у я 1п ^,

- - у Я ^ -2я )2 2я

2 - 7

уя

ЕР =

р' ЕР' +Ер'

я

2

>) Р+(*) Я х

2

2(Yу -Yя )3

(

\

Y

Y 2 - Y 2 - 2YY 1п —

1у 1Я А1у1 Яш Y

V *Я У

г

(П(' )>„ = 1 Я(', ^ ^

0

(Л(', т)) = 1 № (Ху ^ ^

Ху -ХЛ

+

+

+

+

(д М уЮ? -( Л С'-т» ЛЕГ +

ер -< е д

(д М Л * у' в? -< д М> Г <€

<*> р в?»: в.

«Д(т»у чД (т))д )г хх

+

-1п ^ +

(Ху -Хд )2 Хя

Е У'( Е

+-

Ер

[ЕР-ЕГ) Е

£

р'

ЕР ЕЯ в?вд

1п

где 2? =

(*) Р в

(ЕРву-(*Гд вд)2 <*>Яв

Еу . (Ея

1 -(^ Р

2 я =

в я И ЕЯ А я , С? =

1»я

Е ?

ву = ЕР Ау , (Ея

Ся =

и

Y=B С Y=B С

1у ^у^-у, 1Я иЯьЯ •

я

+

+

+

+

+

2

2

1

1

я

Транспорт

Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol 57, no.1

Эффективные ядра ползучести и релаксации новой вилки могут быть получены методом итерированных ядер, аналогично (7) и (10), или с помощью преобразования Лапласа в случае разностных ядер.

На рис. 2 и 3 для сравнения представлены диапазоны Фойгта - Рейсса (сплошные линии) и полученные с помощью предложенного авторами метода гомогенизации (пунктирные линии) эффективных функций ползучести J(t) (рис. 2) и релаксации П(?) (рис. 3) двухкомпонентной круглой мембраны. Характеристики компонент композиционного материала приведены в табл. 1.

0 5 10 15 20 t, сут. Рис. 2. Диапазоны эффективных функций ползучести J(t) двухкомпонентной мембраны: сплошные линии - Фойгта - Рейсса, пунктирные линии - авторский

П-1-1-г

0 0.5 1.0 1.5 2.0 ^ сут. Рис. 3. Диапазоны эффективных функций релаксации П(^) двухкомпонентной мембраны: сплошные линии - Фойгта - Рейсса, пунктирные линии - авторский

Т а б л и ц а 1

k Yk Р k, Ek, Ep, v k sp, T

кг/м3 ГПа МПа МПа

1 0,3 1700 15 200 0,29 90 1,9 еод

2 0,7 2200 1,3 5 0,4 4,7 1,1 e0'2

Как видно из рис. 2 и 3, разброс значений эффективных функций ползучести и релаксации, определяемых с помощью разработанной авторами методики гомогенизации, значительно меньше вилки Фойгта - Рейсса. Можно показать, что данное утверждение распространяется на остальные эффективные параметры деформирования (13), (14).

Ввиду малости полученной вилки, эффективные характеристики структурно неоднородной мембраны можно получить как среднее арифметическое соответствующих величин (13), (14).

Таким образом, собственные частоты колебаний симметрично растянутой круглой композиционной, в среднем изотропной мембраны из реологически активных материалов в случае закрепления ее границы определяются выражением [2]:

», (tо ) = ^

R V

(s г (tо »

<Р>

где Я - радиус мембраны, ц' - корни функции Бесселя J0 (х), (р) - средняя плотность материала, ? 0 - время действия релаксации напряжений.

Количество N собственных частот, которые могут быть вычислены с помощью данного метода гомогенизации, определяется длиной волны и характерной длиной макроточки Ля': Я N >> As'.

На рис. 4 представлена зависимость низшей собственной частоты колебаний ш1 (?0) (15) двух-компонентной круглой мембраны от деформации натяжения в г и времени действия релаксации напряжений ?0 до начала колебаний. Характеристики компонент композиционного материала приведены в табл. 1.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 1 (57) 2018

o>i(i0), кГц

0.Г\\К15 0 «о,сут.

Рис. 4. Зависимость низшей собственной частоты

Шх(^0) двухкомпонентной круглой мембраны от деформации натяжения £г и времени релаксации Заключение

Исследовано влияние нелинейно вязкоупру-гопластического поведения на осесимметричные колебания круглой композиционной, в среднем изотропной мембраны. В качестве уравнений состояния компонент материала рассмотрены наследственные уравнения Работнова в терминах интенсивностей деформаций и напряжений, позволяющие не применять гипотезу о чистой упругости объемной деформации. Для описания мгновенного упругопластического поведения компо-

нент мембраны использовались билинейные диаграммы Прандтля.

Анализ уравнений состояния обнаружил наличие разрывов 1-го рода на кривых деформирования и связанных с ними характеристик в окрестности точки предела текучести. Скачок обусловлен использованием гипотезы Ильюшина о несжимаемости материала при мгновенном пластическом деформировании, приводящей к скачкообразному изменению величины интенсивности деформаций при достижении предела текучести.

Для исследования колебаний композиционной, в среднем изотропной мембраны применены методы гомогенизации, основанные на оценке эффективных вязкоупругопластических характеристик с использованием гипотез Фойгта и Рейсса об однородности деформаций и напряжений в объеме композиционного тела. В аналитическом виде получены выражения для частот собственных колебаний, эффективных модулей Юнга и упрочнения, коэффициента Пуассона, предела текучести, ядер ползучести и релаксации.

Полученные результаты позволяют производить оценку указанных параметров деформирования при проектировании мембранных элементов конструкций из реологически активных композиционных материалов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Peters S.T. Handbook of Composites. London: Chapman & Hall, 1998. 1118 p.

2. Кравчук А.С., Кравчук И.А., Тарасюк И.А. Исследование осесимметричных колебаний круглой композиционной мембраны // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2016. Т. 82. № 2. С. 53-59.

3. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М. : Наука, 1966. 752 с.

4. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций. М.: Физматлит, 2005. 576 с.

5. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Stuttgart: B.G. Teubner Verlag, 1966. 1005 p.

6. Reuss A. Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitätsbedingung für Einkristalle // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1929. Vol. 9. No. 1. Pp. 49-58.

7. Тарасюк И.А., Кравчук А.С. Сужение «вилки» Фойгта-Рейсса в теории упругих структурно неоднородных в среднем изотропных композиционных тел без применения вариационных принципов // APRIORI. Сер.: Естественные и технические науки. 2014. № 3. URL: http://www.apriori-journal.ru/seria2/3-2014/Tarasyuk-Kravchuk.pdf. (дата обращения 10.11.2017).

8. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М. : Стройиздат, 1968. 418 с.

9. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1: Упруго-пластические деформации. М. : ОГИЗ, 1948. 376 с.

10. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. М. : Госстройиздат, 1957. 256 с.

11. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М. : Наука, 1977. 384 с.

REFERENCES

1. Peters S.T. Handbook of Composites. London: Chapman & Hall, 1998, 1118 p.

2. Kravchuk A.S., Kravchuk I.A., Tarasyuk I.A. Issledovanie osesimmetrichnykh kolebanii krugloi kompozitsionnoi membrany [Study of axisymmetric oscillations of a circular composite membrane]. Zavodskaya laboratoriya. Diagnostika materialov [Industrial laboratory. Diagnostics of materials], 2016, Vol. 82, No. 2, pp. 53-59.

3. Rabotnov Yu.N. Polzuchest' elementov konstruktsii [Creep of structural elements]. Moscow : Nauka Publ., 1966, 752 p.

4. Gorshkov A.G., Starovoitov E.I., Yarovaya A.V. Mekhanika sloistykh vyazkouprugoplasticheskikh elementov konstruktsii [Mechanics of layered viscoelastoplastic structural elements]. Moscow : Fizmatlit Publ., 2005, 576 p.

5. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Stuttgart: B.G. Teubner Verlag, 1966, 1005 p.

6. Reuss A. Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitätsbedingung für Einkristalle. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 1929, Vol. 9, No. 1, pp. 49-58.

оо ео I

Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol. 57, no. 1

7. Tarasyuk I.A., Kravchuk A.S. Suzhenie «vilki» Foigta-Reissa v teorii uprugikh strakturno neodnorodnykh v srednem izotropnykh kompozitsionnykh tel bez primeneniya variatsionnykh printsipov [The contraction of the Voigt-Reuss "ranges" in the theory of elastic structurally inhomogeneous in the mean isotropic composite bodies without the use of variational principles]. APRIORI. Ser.: Estestvennye i tekhnicheskie nauki [APRIORI. Ser .: Natural and technical sciences], 2014, No. 3. URL: http://www.apriori-journal.ru/seria2/3-2014/Tarasyuk-Kravchuk.pdf. (Access date Nov 10, 2017).

8. Rzhanitsyn A.R. Teoriya polzuchesti [Creep theory]. Moscow : Stroiizdat Publ., 1968, 418 p.

9. Il'yushin A.A. Plastichnost'. Part 1: Uprugo-plasticheskie deformatsii [Plasticity. Part 1: Elastic-plastic deformations]. Moscow : OGIZ Publ., 1948, 376 p.

10. Zhemochkin B.N. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow : Gosstroiizdat Publ., 1957, 256 p.

11. Rabotnov Yu.N. Elementy nasledstvennoi mekhaniki tverdykh tel [Elements of hereditary mechanics of solids]. Moscow : Nauka Publ., 1977, 384 p.

Информация об авторах

Тарасюк Иван Александрович - аспирант кафедры био- и наномеханики, Белорусский государственный университет, Беларусь, г. Минск, e-mail: ivan.a.tarasyuk@gmail.com

Кравчук Александр Степанович - д.ф.-м.н., профессор кафедры био- и наномеханики, Белорусский государственный университет, Беларусь, г. Минск, e-mail: ask_belarus@inbox.ru

Authors

Tarasyuk Ivan Aleksandrovich - Ph.D. student, the Subdepartment of Biomechanics and Nanomechanics, Belarusian State University, Belarus, Minsk, e-mail: ivan.a.tarasyuk@gmail.com

Kravchuk Alexandr Stepanovich - D. Sci. in Physics and Mathematics, Prof. the Subdepartment of Biomechanics and Nanome-chanics, Belarusian State University, Belarus, Minsk e-mail: ask_belarus@inbox.ru

Для цитирования

Тарасюк И. А. Осесимметричные вязкоупругопластические колебания круглой композиционной, в среднем изотропной мембраны / И. А. Тарасюк, А. С. Кравчук // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2018. - Т. 57, № 1. - С. 109-117. - DOI: 10.26731/1813-9108.2018.1(57).109-117.

For citation

Tarasyuk I.A., Kravchuk A.S. Axisymmetric viscoelastoplastic oscillations of the round composite membrane, isotropic on the average. Modern technologies. System analysis. Modeling, 2018, Vol. 57, No. 1, pp. 109-117. DOI: 10.26731 / 1813-9108.2018.1 (57). 109-117.

УДК 621.321 БОГ: 10.26731/1813-9108.2018.1(57).117-123

Е. С. Ильин, О. Ю. Вахрушева, В. С. Ратушняк

Красноярский институт железнодорожного транспорта, г. Красноярск, Российская Федерация Дата поступления: 08 февраля 2018 г.

ОБ ЭКСПЕРИМЕНТЕ ПРИМЕНЕНИЯ МАГНИТОИМПУЛЬСНОГО СПОСОБА ПО ОЧИСТКЕ ВАГОНА ОТ ПРИМЕРЗШЕЙ МАССЫ

Аннотация. Объемы грузоперевозок сыпучих грузов как в России, так и за рубежом ежегодно увеличиваются. В соответствии с генеральной схемой развития ОАО «РЖД» грузоперевозки до 2020 года будут прирастать на 43,5 млн т. в год. По данным Института проблем естественных монополий, с января по август 2017 года объем экспортных перевозок угля из России превысил на 13,3 млн т внутренние перевозки: перевозки угля на экспорт составили порядка 110,2 млн. т, а внутри страны - 96,9 млн. т. Всего железными дорогами по итогам 2017 года было отгружено каменного угля - 358,5 млн т. (+9,1 % к 2016 году). Только в Красноярском крае ежемесячно отгружается около 32 тыс. полувагонов у 82 перевозчиков. Пунктов выгрузки (эстакады, наклонный и вращающийся опрокиды) - более 100. Основные методы разгрузки смерзшегося груза на сегодняшний день - разогрев и дробление. Совершенствование технологии при разогреве направлено на уменьшение энергопотребления -применение темных (инфракрасных) излучателей, природного газа, солнечных панелей. Совершенствование технологии при дроблении - это использование наиболее стойких к трению материалов рабочих органов. Так или иначе, попытки освободить полувагон от смерзшейся и слежавшейся массы традиционными способами недостаточно эффективны, так как увеличивают время выгрузки и приводят к повреждению вагона. Для устранения недостатков применяемых в настоящее время способов разгрузки смерзшегося груза разработан технологический комплекс по очистке вагонов от примерзшей и слежавшейся массы магнитоимпульсным способом. В статье рассматриваются используемые в настоящее время методы очистки вагона и результаты работы экспериментальной установки, функционирующей на основе магнитоимпульсного способа.

Ключевые слова: смерзание груза, магнитоимпульсный способ, перевозка сыпучих грузов железнодорожного транспорта, нелинейные эффекты, зимние перевозки, борьба со смерзанием, очистка вагонов.

© Е. С. Ильин, О. Ю. Вахрушева, В. С. Ратушняк, 2018

117