Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с кусочно-постоянными коэффициентами

1/2011

ВЕСТНИК

КОРРЕКТНЫЙ МЕТОД ТОЧНОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

CORRECT ANALYTICAL SOLUTION OF MULTIPOINT BOUNDARY PROBLEMS OF STRUCTURAL ANALYSIS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF ARBITRARY ORDER WITH PIECEWISE-CONSTANT COEFFICIENTS

Рассматривается универсальный корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с кусочно-постоянными коэффициентами.

Correct analytical solution of multipoint boundary problems of structural analysis for differential equations of arbitrary order with piecewise-constant coefficients are under consideration in the distinctive paper.

Проблема решения многоточечных краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка с кусочно-постоянными коэффициентами возникает, в частности, при расчете разнообразных строительных конструкций (балки, стержни и т.д.) на различные виды воздействий.

1. Постановка многоточечной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения произвольного порядка с кусочно-постоянными коэффициентами.

Пусть имеем обыкновенное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) n-ro порядка с кусочно-постоянными коэффициентами и nk линейных граничных условий, заданных в граничных точках xbk, k = 1,..., nk (ниже, очевидно, полагается, что в число граничных точек входят также точки, в которых имеют место разрывы первого рода коэффициентов уравнения), т.е.:

П.А. Акимов

Pavel A. Akimov

ГОУ ВПО МГСУ

б;y(xk - 0) + б;y(xb + 0) = g- + g;, k = 2,..., nk -1; By(xb + 0)+b-J(xbnt - 0) = g; + g;,

ВЕСТНИК ^/20!!

где у(х) - искомая функция; акр, р = 1,2,..., п; к = 1,2,..., пк -1 - заданные постоянные коэффициенты; /к = /к(х), к = 1,2,...,пк -1 - заданные функции правых частей; Бк,Б+к, §1, §1, к = 2,...,пк -1, атакже , и В,Бщ - заданные матрицы и векторы правых частей п-го порядка граничных условий в точке хьк;

У = У

где ум = Ум

2. О корректном аналитическом построении фундаментальной функции обыкновенного линейного дифференциального уравнения произвольного порядка. Рассмотрим произвольное уравнение из (1.1). Имеем:

Xак,рУ<р)

р=0

Фундаментальная функция ек (х) дифференциального уравнения (2.1) по определению удовлетворяет уравнению

р) =8

р=о

где с>(х) - дельта-функция Дирака [6].

Как известно, £к (х) определена не однозначно, а с точностью до решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. В тоже время ее можно определить однозначно, выбирая в некотором специальном виде. А именно, для корректного использования фундаментальной функции в практических расчетах при решении задач строительной механики, целесообразно исключить из ее выражения экспоненциальные функции с положительными аргументами. В противном случае может возникнуть необходимость оперировать в расчетах с очень большими числами, что, как правило, либо препятствует получению результатов с желаемой точностью, либо ведет к переполнению разрядной сетки ЭВМ.

В соответствии с [2, 4, 5] целесообразно использовать следующие определяющие формулы для фундаментальной функции:

пк,г

ек

г=1

где Ск = [ С1 Ска ... С^, ]Т; С,, = [ Скгд Скг,2 ... С„л, ]Т;

ук = [ ^ ... ]Т;

ж(х А,г) ехр(), А,,ф 0; ткг =0 Х(хА,г )ехР(г^), Лк, Ф 0; ткг > 0

х(.хА,,), = 0; тк,г = 0 , ж(х,Лк,,)хк,, А,, = 0; тк,, > 0;

£ = [1 г г2 ... 2Щ-Г ]Т; х = [1 х х2 ... хщ< ]Т; гк = X. х;

к ,г I- г г г -I ' к ,г I- г г г -I ' к ,г к ,г ' V /

Лкг, г = 1,...,пкг - различные корни соответствующего

]ТакрЛр = 0;

=

Щ,г , Г = пк,г -

с*,,, 7 = 1>-> тк,г, г =1 стическая функция,

ч( ) =

соответствующие кратности указанных корней; , пкг - постоянные коэффициенты; ч() - характери-

1, если х >0 и Яе(лкг) < 0 или х <0 и Яе(лкг) > 0 0 , если х >0 и Яе(лк г) > 0 или х <0 и Яе(лк г) < 0'

= т. -1.

Выражение (2.3) для фундаментальной функции позволяет исключить перечисленные выше крайне нежелательные в расчетной практике случаи (с этой целью вводится соответствующая характеристическая функция) и всегда соответствует оптимальной обусловленности системы разрешающих уравнений при решении многоточечных краевых задач.

Величина гкг выполняет также роль единого критерия, связывающего понятия

протяженности системы и явления типа краевого эффекта.

Постоянные коэффициенты Ск , у = 1,..., тк,г, г = 1,...,пк,г определяются из условий непрерывности в точке х = 0 функции ек (х) и ее производных до (п - 2 )-го порядка включительно и того факта, что производная (п -1 )-го порядка в этой точке имеет «скачок» равный 1/ акп [4, 5, 6]:

^(+0) - ^0(-0) = — 5,п_х, , = 0,1,..., п -1:

где д,} - символ Кронекера.

При определении производных высоких порядков фундаментальной функции зачастую приходится сталкиваться с известными трудностями, связанными, прежде всего, с громоздкостью сопутствующих математических выкладок. Еще большие сложности сопряжены с вопросами нахождения первообразных фундаментальной функции. Классические пути отыскания производных и первообразных заданной функции в данном случае не являются самыми рациональными. Предложенный в [4, 5] способ определения производных (, > 0) и первообразных (, < 0 ) фундаментальной функции любого требуемого порядка , позволяет «обойти» упомянутые трудности и значительно уменьшить сложности, связанные с соответствующими процессами дифференцирования и интегрирования. Данный способ основывается на указанных в [4, 5] явных и рекуррентных формулах вычисления постоянных коэффициентов в соответствующих выражениях.

*<"

г—1

где Жк - соответствующая матрица перехода, квадратная п-го порядка,

[Лк,г ] тк,г = 0, , > 0

[1/Лкг ], лкг Ф 0, ткг = 0, , < 0

[х], л, = 0, т. = 0, , < 0

I- -I' к ,г ' к ,г '

Wkr 1, тк, > 0, , > 0

(1/дк,г Ж,, лк,г * 0, тк,г > 0, , < 0

^к^ лк.г = 0, тк > 0, , < 0

и <2кг - квадратные матрицы тк г -го порядка, определяемые формулами

а

к,п

к, 2

к

к,г

к ,пк

к,г,1

к,г,2

ш =

к ,г ,1

Лкг I + 1

Ш, 2 = х

к ,г,2

1/2

1/1

1/т

вкг =

11 12

1 I +1

1

1

3. Построение общего решения многоточечной краевой задачи.

Будем обозначать вектор-функцию у(х), определяемую формулой (1.4), на произвольном интервале (хьк,хьы) через ук(х), т.е.

ук

Имеем [4, 5]:

у,

где ё, =^к

- п-мерная вектор-функция, содержащая фундаментальную функцию ОЛДУ (2.1) и ее производные до заданного (п -1) -го порядка включительно;

Ек (х)=

^0)

х) 42)

ек2)

<( х) <( х) <( х) <(х) .

*Г

- матрица-функция типа Ганкеля, составленная из фундаментальной функции ОЛДУ (2.1) и ее производных до (2п - 2 )-го порядка; Ск - вектор искомых постоянных коэффициентов п -го порядка; * - символ обозначающий операцию свертки;

1 х е (х", хГ'+1) 0, х (2 (х"г, х"г+1);

Введя обозначения

/к (х) = /(x)^(x, хк, х1:) ; x, х1, хг'+1) =

1

2

л, т

к ,г

1

к г

т

к ,г

Ек(х) = Ек(х - х\) - Ек(х - хЬ+1); Я(х) = ^ * Л , (3.6) можем переписать (3.2) в виде

Ук(х) = Ек(х)Ск + Як, х е (хЬ,хЬ+1). (3.7) Подставляем (3.7) в граничные условия (1.2)-(1.3) с учетом соотношений

у

У(х* + 0) = Ук(х* + 0), к = 1,...,пк -1. (3.9) В результате получаем разрешающую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов Ск, к = 1,..., пк -1:

Б-к Екл (хЬ - 0)Скв;Ек_(хЬ + 0)Ск =

= Ёк + Ш - ВкЯк-1(хк - 0) - ВкЯк(хк + 0), к = пк -1;

к к к к >к 1 &к ~0) _ ВкЯк(хк ' в: Д(хЬ + 0)С + вч Еч_1(хь - 0)С„к=

= + Шк - в;я, (хЬ + 0) - ВЧБЧ1 (< - 0).

"к 1 14 1 ' пк пк пк На основании свойств фундаментальной матрицы-функции записываем:

Ем

Ъ

хкк

Ек (хк + 0) = Ек (+0) - Ек (0 - кк) = Ек (+0) - Ек (-кк), к = 1,..., пк -1,

где

к

кк = хм -хк, к = 1,...,пк -1.

Слагаемые Ек (-0) и Ек (+0) будем называть главными частями. Систему (3.10) можно переписать в матричном виде

КС = в ,

' К ц 0 0

К 2,1 К2,2 0

где К = 0 К3,2 К3,3

0 0 0

К

1,пк -1 0

К

К

К1М = В; Ек-, (хЪ - 0); КкД = ВкЕк (хк + 0);

к

К,,, = В,+ Е, (хк + 0); К1л 1 = В- Епк, (< - 0);

в = [ е,7 е2т

С7]7; С = [ С, С: ... Стп,]

в = + К -В1+Я1(х1Ъ + 0)-В-ЯАх* -0);

Ок = ш; + & -В-кБ1_1(хк -0)-ВкБк(хк + 0), к = 2,...,пк -1. В матрице коэффициентов (3.15) полезно выделить главную К0 и дополнительную К1 части:

К = К0 + К \

где К0 = 0 К1 К... 0 0 ;

К,0, 0 0 . .. 0 К,0 , 1,»к -1

К 201 К20, 2 0 .. .0 0

0 К 30, 2 К3°3 .. .0 0

0 0 0 К0  -1,»к -2 К0

0

K1 =

KÜ

к 2Д

о

к 1

к 2,2

K 3,2

к 3,з

-1

о о

к 1

к1

«i -1,«i -1

ко

= в; £ (+о);

к,0 ,=-5"£ ,(-0);

1, «i -1 «i «i -1 V / >

0 0 0.

к:м =-B-k Ei_1 (-0);

к°1 = B+ Д(+0);

к^1 = В; i~i_1(Ä^); к\л = -Bt+i?i (-ä; );

кй = -в;Д (-K); к1«_1 = B-Jnt_1 (h;t_1).

Система (3.14) насчитывает 2«х (пк -1) уравнений. По своей структуре такая СЛАУ называется системой с окаймлением и для ее решения могут применяться специальные методы [3].

Недостатком системы (3.14) является то, что главная часть (3.22) матрицы коэффициентов имеет структуру, в которой диагональные блоки являются, по сути, вырожденными. В этой связи, несмотря на то, что СЛАУ является ленточной, для ее решения не могут применяться многие соответствующие итерационные методы, а требуется, например, использование метода Гаусса с выбором главного элемента [3]. С этих позиций полезно указать пути устранения этого недостатка.

Преобразуем СЛАУ (3.14) следующим образом: каждое уравнение системы, начиная с первого (и заканчивая предпоследним), будем заменять суммой этого уравнения с последующим (вместо исходного первого уравнения берем сумму исходного первого с исходным вторым, вместо исходного второго - сумму исходного второго с исходным третьим, и так далее). Наконец, вместо исходного последнего уравнения берем сумму исходного последнего с исходным первым. Рассмотрим теперь полученную после преобразований матрицу (3.15):

" ки к1,2 0 0 ... 0 0 к 1 1,«i -1

к 2,1 к 2,2 к 2,3 0 ... 0 0 0

к = 0 к 3,2 к3,3 к3,4 .. 0 0 0 ;

кч -1, 0 0 0 ... 0 к 1 , к 1 1 «i — 1« —2 «i — 1« —1

Можно показать, что блочные элементы, стоящие на главной диагонали матрицы (3.28) не являются вырожденными, а это дает ряд очевидных преимуществ на этапе численного решения преобразованной системы (3.14).

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.

2. Грант 2.3.11 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.

0

0

0

0

1/2011 ВЕСТНИК _У2011_МГСУ

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).

Литература

1. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28.

2. Акимов П.А., Золотов А.Б., Ширинский В.И. Методы точного аналитического решения многоточечных краевых задач строительной механики. // Вестник МГСУ, №3, 2006, с. 29-39.

3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. - М.: Мир, 2001. -430 с.

4. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с.

5. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с.

6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965. - 327 с.

References

1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).

2. Akimov P.A., Zolotov A.B., Shirinsky V.I. Analytical Methods for Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis. // Bulletin MSUSE, #3, 2006, pp. 29-39 (in Russian).

3. Demmel J.W. Applied Numerical Linear Algebra. University of California, Berkeley, California, SIAM, Philadelphia, 1997, 421 pages.

4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).

5. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).

6. Shilov G.E. Mathematical Analysis. Second Special Course. Moscow, "Nauka", 1965, 327 pages (in Russian).

Ключевые слова: многоточечная краевая задача, обыкновенное дифференциальное уравнение произвольного порядка, кусочно-постоянные коэффициенты, точное аналитическое решение, дискретно-континуальные методы, расчеты строительных конструкций.

Keywords: multipoint boundary problem, differential equation of arbitrary order, piecewise-constant coefficients, correct analytical solution, discrete-continual methods, structural analysis.

Автор: Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail:pavel.akimov@gmail.com.

Рецензент: Андреев Владимир Игоревич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ).