Об одной форме решения уравнения Матье

тем больше интенсивность его нарастания. Возможно, этот результат уже не будет иметь места в рамках модели Дарси с учетом стратификации.

Заключение. В работе предложена осредненная модель вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу с учетом стратификации течения между пластинами ячейки. В модель входит свободный параметр — объемное содержание вытесняющей жидкости в вытесняемой. При пренебрежении как инерционными, так и вязкими дифференциальными слагаемыми эта модель переходит в обобщенные уравнения типа Дарси, которые могут быть использованы для решения задачи об определении характерного размера "вязкого пальца".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Звягин A.B., Ивашнев O.E., Логвинов O.A. О влиянии малых параметров на структуру фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 4. 27-37.

2. Nagel M., Gallaire F. A new prediction of wavelength in radial viscous fingering involving normal and tangential stresses // Phys. Fluids. 2013. 25. 124107.

3. Zeng J., Yortsos Y. S., Salin D. On the Brinkman correction in unidirectional Hele-Shaw flows // Phys. Fluids. 2003. 15, N 12. 3829-3836.

4. Логвинов O.A. Об устойчивости боковой поверхности вязких пальцев, образующихся при вытеснении жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 2. 40-46.

5. Saffman P. G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium or a Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. London. 1958. A245. 312-329.

Поступила в редакцию 27.05.2015

УДК 531.36

ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ

В. М. Буданов1

Вводится линейное преобразование частного вида, позволяющее представить общее решение дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом через частное решение вспомогательной нелинейной системы второго порядка с периодически возмущенной правой частью. Численно установлено наличие периодических решений вспомогательной системы вне зон неустойчивости решений уравнения Матье. Полученные оценки зон неустойчивости согласуются с известными результатами.

Ключевые слова: система с периодическими коэффициентами, нелинейная система, уравнение Матье.

A linear transformation of a special type is introduced to express the general solution to a second-order differential equation with a periodic coefficient using a particular solution to an auxiliary second-order nonlinear system with a periodically perturbed right-hand side. It is numerically shown that there exist periodic solutions to the auxiliary system outside the instability zones of the Mathieu equation. The obtained estimates for the instability zones are in agreement with known results.

Key words: system with periodic coefficients, nonlinear system, Mathieu equation.

Введение. В настоящей работе рассматривается известное уравнение Матье, представляющее собой один из простейших примеров линейных нестационарных систем с периодическими коэффициентами. Будем использовать следующую форму этого уравнения:

X +

1 Буданов Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей механики НИИ механики МГУ, e-mail: vlbudanovQgmail.com.

где /л, из — параметры, задающие амплитуду и частоту возбуждения; £ — время. В литературе распространенной является другая форма, а именно

х" + \2

где штрихом обозначено дифференцирование по независимой переменной т. Очевидно, что уравнения (1) и (2) преобразуются одно в другое посредством замены независимых переменных т и параметров X, из:

2 2

г = -т, А = -.

из из

Важным моментом в анализе систем с периодическими коэффициентами является теорема Флоке-Ляпунова [1, 2], из которой непосредственно следует приводимость (2) к системе с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Ляпунова. Явный вид такого преобразования установлен лишь для небольшого числа частных систем [3], а в общем случае неизвестен, поскольку требует знания фундаментальной системы решений на одном периоде возмущения. Несмотря на это, теорема Флоке-Ляпунова дает общее представление о делении плоскости на области устойчивости и неустойчивости. В частности, эти области разделяются границами, на которых фундаментальная система решений состоит из периодического решения и решения с линейно по времени возрастающей амплитудой [4].

В связи с этим вопрос о нахождении соотношений между параметрами, при которых существует периодическое решение, является ключевым в теории систем с периодическими коэффициентами. Значительные результаты в этом направлении были получены благодаря применению методов малого параметра [5]. Несмотря на существенные продвижения в данной области, в том числе для уравнения Матье, ряд вопросов далек от окончательного решения, в частности в ситуациях, когда параметр модуляции является конечной величиной [6, 7], а также в случае многомерных систем [8]. В настоящей работе вводится новая форма решения уравнения Матье, которая предоставляет дополнительные возможности для теоретических выводов и допускает ясную геометрическую интерпретацию.

Преобразование переменных. Вводя для краткости обозначение

/ = //сови;£,

запишем уравнение (1) в стандартной матричной форме Коши:

'ж'А ( 0 1\ (х\

. I — I П I -ел п I \ I ' или X = Ах>

%2J + Л 0J \х2J

где х\ = х, Х2 = х, х = (Х\,Х2)Т• К системе (5) применим линейное преобразование

х = B

с матрицей следующего вида:

10

v и

где u(t), v(t) — некоторые функции времени. После замены переменных (6) система (5) примет вид у = Су с матрицей

( V и \

I 1+f+v2+i) uv+ù I •

С = В '

Наложим условия сц = С22, С21 = — С\2 на элементы этой матрицы, что даст систему, интегрируемую в квадратурах:

'»Л - ( V и\ (У1

#

У2 ) \-UV ) \у2;

с функциями u,v, удовлетворяющими следующей системе:

ù + 2 uv = 0,

v - и2 + v2 + 1 = -/.

Отметим, что если рассматривать первое уравнение независимо, считая v = v(t) произвольной функцией времени, то его решение запишется в виде

и = щ ехр

-2 J v(t) dt

Поскольку оно знакопостоянно, то преобразование (6) является невырожденным.

Замена переменных у\ = всо^^, у2 = звш^ в (7) приводит к следующим уравнениям относительно новых переменных в,

£ = и, ё = ув,

которые имеют решение

= £о ехр J vdt, £ = {о + J и (М,

где £о, Со — постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями. В результате, учитывая (7), приходим к следующему виду решения уравнения Матье (1):

х = зоехр V

где и, V — любое решение системы (8). Состоятельность решения (10) легко проверяется его прямым дифференцированием с учетом (8). Имея в виду соотношение (9), получаем более простой вид решения (10):

х = сое

Рассмотрим соотношения между начальными условиями (Хо,Хо), (ио,ьо) для системы (5), (8) и постоянными интегрирования (,§о,£о)- В нулевой момент времени решение (10) и его производная дают уравнения

¿0 = ¿оС^осов^о - и0 вш^о),

которые разрешаются относительно во, £о таким образом:

/ 9 , /VqXO -Хо\ . VQXO - Хо

so = \xo2+[- , £0 = arctg-.

V \ Uo J и0х о

Полученный результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Произвольное решение линейного уравнения ж + (1 + f(t))x = 0 может быть представлено в виде х = So-\/^fcos(£o + f и dt), где u(t), v(t) — любое решение вспомогательной системы й + 2uv = 0; v — и2 + v2 + 1 = —f(t), а параметры (so,£o) выражаются через начальные условия посредством соотношений Хо = socos£o, ¿о = So(focos£o ~~ Wosin£o).

Сформулируем также следующую теорему, которая, несмотря на тривиальное доказательство, устанавливает важную связь между свойствами решений исходного уравнения и вспомогательной системы.

Теорема 2. Если вспомогательная система имеет периодическое решение, то все решения уравнения (1) ограничены.

Доказательство. Поскольку и > 0 в силу (9) и периодично, то существует min и > 0, откуда следует ограниченность первого сомножителя в (11) и решения в целом. Теорема 2 доказана.

Замечание 1. В условиях теоремы 2 имеет место именно ограниченность решения исходной системы, но не периодичность, поскольку период одного сомножителя в (11) определяется периодом решения u(t), а период другого сомножителя — средним значением этого решения.

Замечание 2. Вопрос о существовании периодических решений вспомогательной системы (8) всюду вне резонансных областей остается открытым и сам по себе представляет нетривиальную теоретическую проблему [9]. Результаты численных экспериментов говорят в пользу положительного ответа.

Отмстим, что конкретный вид функции /(Ь) до этого момента не учитывался, таким образом, решение в форме (10) или (11) может быть записано для любого уравнения вида (1). Далее будем рассматривать поведение решений для конкретного случая /(Ь) = ц.созшЬ, что и оправдывает название настоящей работы. Отметим также, что в результате сделанных преобразований исследование линейного уравнения с периодическим коэффициентом свелось к исследованию вспомогательной системы нелинейных уравнений с периодическим аддитивным возмущением.

Результаты вычислений

^шах шм2 и и 2/3

10 1,974 2,025 0,99948 1,00011 0,666543 0,666556

7 1,974 2,026 0,99947 1,00012 0,666543 0,666556

5 1,973 2,027 0,99946 1,00013 0,666542 0,666557

3 1,969 2,031 0,9994 1,00019 0,666541 0,666558

2 1,958 2,041 0,9993 1,00033 0,66654 0,66656

1,5 1,934 2,064 0,9990 1,0007 0,66653 0,66657

1,3 1,901 2,095 0,9986 1,0012 0,66652 0,66659

1,2 1,856 2,134 0,998 1,002 0,6665 0,6666

1,1 1,72 2,25 0,996 1,005 0,6664 0,6667

1,05 1,39 2,46 0,993 1,02 0,6663 0,6668

Численный анализ периодических решений вспомогательной системы. В обычных нелинейных системах неизохронность (зависимость частоты собственных колебаний от амплитуды) является фактором, ограничивающим амплитуду вынужденных колебаний, в частности в резонансных ситуациях. В |10| было отмечено, что вспомогательная система (8) в невозмущенном случае / = 0 обладает свойством изохронности независимостью частоты колебаний от амплитуды. Поэтому можно ожидать неограниченного нарастания колебаний на основной частоте вспомогательной системы ш = 2. Более того, в отличие от обычного резонанса в линейной системе в данном случае бесконечное нарастание амплитуды колебаний имеет место в полосе. В таблице приведены результаты численных экспериментов, показывающие зависимость амплитуды периодических колебаний итах от частоты возбуждения вблизи основного резонанса ш = 2 и двух следующих резонансов: ш = 1 и ш = 2/3. Под амплитудой здесь понимается максимальное значение переменной и. Все результаты численных экспериментов здесь и далее получены для конкретного значения амплитуды возбуждения ц, = 0,05.

На рис. 1 приведены графики, соответствующие таблице. Левые и правые ветви графиков аппроксимируют значения (указаны точками) из левых и правых колонок таблицы для соответствующих резонансных частот. По оси абсцисс отложены отклонения Аш от резонансных частот в разном масштабе, поскольку для уравнения Матье с ростом номера резонансных зон их ширина существенно уменьшается.

Рис. 1. Зависимость амплитуды периодических решений вспомогательной системы от частоты для первых трех зон неустойчивости: и ш = 2 + Аш, б ш = 1 + Аш, в со = 0,66655 + Аш

Для сравнения укажем здесь оценки границ первых трех зон неустойчивости решений, вычисленные при ц, = 0,05 по формулам, приведенным в |1, 3|, с учетом иной формы записи (2) уравнения Матье и преобразований (3): 1,9749 < ш < 2,0249, 0,99948 < ш < 1,00010, 0,666543 < ш < 0,666556. Первая строка таблицы дает хорошую оценку зон неустойчивости при разумном значении амплитуды вынужденных колебаний.

Отметим, что периодические решения вспомогательной системы являются устойчивыми и их легко найти, применяя обычные методы численного интегрирования. При этом поиск периодических решений уравнения Матье затруднен тем, что эти решения неустойчивы. В качестве примера приведем графики, иллюстрирующие эволюцию решений при ш = 1,95. При этой частоте возбуждения существует периодическое решение с начальными условиями (1,745; 0). На рис. 2 показана эволюция при начальном условии (2;0). Точками отмечены значения решения через каждые три

периода. Решение представляет собой биения с диапазоном изменения максимумов по переменной и от 1.5 до 2,0.

Графики периодических решений (и, и) вспомогательной системы при разных частотах возмущения приведены па рис. 3. Они иллюстрируют изменение формы и возникновение решений с частотой, в три раза большей частоты возбуждения (рис. 3,б), вблизи третьей резонансной зоны со & 2/3. Эти решения возникают в узких зонах, соответствующих большим, но конечным значениям амплитуд (рис. 1,в), и примыкающих справа (рис. 3, а, б) и слева (рис. 3, в-д) к области неустойчивости. Этим зонам соответствуют решения (10) уравнения Матье в форме крупномасштабных биений, что объясняется большой амплитудой экспоненциальной части.

Вне резонансных областей возникают решения вспомогательной системы с частотой возбуждения и малой амплитудой (рис. 3, д, е), близкие к тривиальному решению и = 1, V = 0. Соответственно решения уравнения Матье при этом близки к гармоническим колебаниям со слабой модуляцией на меньшей частоте возбуждения, т.е. представляют собой мелкомасштабные биения.

Рнс. 2. Биения нрн начальных условиях, не отвечающих периодическому решению

Рис. 3. Формы периодических решений при различных значениях частот возбуждения

Таким образом, областям устойчивости уравнения Матье (1) соответствуют области существования периодических решений вспомогательной системы (8), причем в этих областях решения (1) периодическими пе являются, а представляют собой биения.

Связь с теоремой Флоке—Ляпунова. Теорема Флоке-Ляпунова утверждает, что фундаментальная матрица системы (5) может быть представлена в виде Х(1) = Р(1)ехр(Ю;). где Р^) и К — периодическая и постоянная матрицы. При этом внутри областей неустойчивости в соответствии с теоремой Ляпунова имеются и экспоненциально возрастающие, и экспоненциально убывающие решения. Возникает вопрос: как форма решения (10) соотносится с этими общепризнанными фактами?

Отсутствие противоречия иллюстрирует рис. 4, где представлены графики экспоненциальной 1 и тригонометрической 2 составляющих решения (10), а также результат их произведения 3.

Точки максимумов графика функции ехр(§ сИ) образуют бесконечно возрастающую последовательность, в то время как точки минимума последовательность, стремящуюся к нулю. При соответствующей фазе тригонометрической части, которая определяется начальными условиями, может возникать либо возрастающее, либо стремящееся к нулю решение. Вычисления произведены для значений со = 2, ¡л = 0,05, т.е. в центре основной резонансной области. г>нс- Затухающее решение

Заключение. Предлагаемый метод предоставляет новые возможности для изучения свойств решений уравнения Матье в силу следующих особенностей: 1) вся совокупность решений (1) с произвольными начальными условиями (однопараметричеекое семейство) выражается через одно произвольное решение вспомогательной системы (8); 2) вспомогательная система, как и уравнение (1), в отсутствие возмущения имеет аналитическое решение; 3) как показали численные эксперименты, вспомогательная система в зависимости от частоты возмущения всегда имеет либо периодическое решение, либо неограниченно возрастающее, причем периодические решения устойчивы, в отличие от периодических решений уравнения Матье.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Якубович В.А., Старжиткий В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972.

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

3. Каленова В.И., Морозов В.М. Линейные нестационарные системы и их приложения к задачам механики. М.: Физматлит, 2010.

4. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ. 1952.

5. Боголюбов Н.Н., Митропольекий Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974.

6. Сейранян А.П. Качели, параметрический резонанс // Прикл. матем. и механ. 2004. 68. вып. 5. 847 856.

7. Акуленка Л.Д., Нестеров С.В. Параметрические колебания механической системы и их устойчивость при произвольном коэффициенте модуляции // Изв. РАН. Мсхан. твердого тела. 2013. № 2. 3 13.

8. Холоетова О.В. Об устойчивости относительных равновесий двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса /'/' Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 4. 18 30.

9. Леонов Г. А. Эффективные методы поиска периодических колебаний в динамических системах // Прикл. матем. и механ. 2010. 74. вып. 1. 37 73.

10. Буданов В.М. Об одной изохронной нелинейной системе // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 59 63.

Поступила в редакцию 21.09.2015

УДК 532.516

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКИ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ В ПЕРЕМЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Е. И. Могилевский1, В. Я. Шкадов2

В работе исследуется течение тонкой пленки вязкой проводящей жидкости, стекающей по одной из обкладок вертикально расположенного плоского конденсатора, подключенного к источнику переменного напряжения. Показано, что наличие электрического

1 Могилевский Евгений Ильич капд. фго.-мат. паук, доцепт каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, е-шаП: mogilevskiyOmecli.mat.li.msu.su.

2 Шкадов Виктор Яковлевич доктор фго.-мат. паук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, е-таП: slikadovOmecli.mat.li.msu.su.