Неподвижные точки семейства коммутирующих отображений частично упорядоченных множеств

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Матем. моделирование. 2010. 22, № 1. 69-85.

2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 40-43.

3. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.

4. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Об одном приближенном методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 43-46.

5. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Об одном подходе к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 6. 57-60.

6. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.

Поступила в редакцию 14.03.2016

УДК 515.562, 515.126.4, 515.126.83

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ СЕМЕЙСТВА КОММУТИРУЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ

Д. А. Подоприхин1

В статье представлены условия, гарантирующие существование общей неподвижной точки семейства коммутирующих изотопных многозначных отображений упорядоченного множества и существование минимального элемента в множестве общих неподвижных точек. Приведены также дополнительные условия, гарантирующие существование наименьшего элемента в этом множестве. Показана связь полученных теорем с соответствующими известными результатами.

Ключевые слова: общие неподвижные точки, упорядоченное множество, изотопное отображение, коммутирующее семейство отображений, многозначное отображение.

The paper presents conditions providing the existence of a common fixed point of a family of commuting isotone multivalued mappings of a partially ordered set and the existence of the minimal element in the set of common fixed points. Additional conditions that guarantee the existence of the least element in that point set are also presented. Relations of the obtained results to well-known fixed point theorems are considered.

Key words: common fixed points, partially ordered set, isotone mapping, commuting family, multivalued mapping.

Настоящая работа посвящена вопросам существования общей неподвижной точки семейства однозначных и многозначных коммутирующих отображений упорядоченных множеств. Как в категории метрических пространств важны не только существование неподвижной точки, но и оценка расстояния от заданного элемента до некоторой неподвижной точки, так и в категории упорядоченных множеств интерес представляет вопрос существования минимального и наименьшего элементов в множестве неподвижных точек. Результаты о существовании неподвижных точек отображений упорядоченных множеств имеют многочисленные приложения. Из недавних публикаций отметим работу [1], где показано применение теоремы Кнастера-Тарского в вычислительной геометрии. В [2, гл. 18] представлена связь между вопросами, касающимися неподвижных точек отображений метрических пространств, и соответствующими результатами для отображений частично упорядоченных множеств. В частности, показано, что известная теорема Надлера [3] выводится из теоремы Смитсона [4]. Автором совместно с Т. Н. Фоменко были также изучены вопросы, связанные с общими

1 Подоприхин Дмитрий Александрович — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: podoprikhindmitryQgmail.com.

неподвижными точками и совпадениями некоммутирующих семейств отображений упорядоченных множеств.

В работе используются стандартные определения линейно упорядоченного множества, частично упорядоченного множества, цепи и минимального элемента, с которыми можно ознакомиться, например, в [5, 6].

Введем необходимые определения. Пусть задано непустое множество А, частично упорядоченное множество (Х,^). Всюду в дальнейшем символом обозначается многозначное отображение, которое каждому элементу ж € X ставит в соответствие непустое подмножество ^(ж) С X. Предположим, что, кроме того, задано семейство многозначных отображений Я = где

Са : X X, а € А. Для произвольного подмножества 2 С X и индекса а € А определим множество = У Оа(г). Окрестностью точки жо € X в множестве X называется множество

Ох(%о) = {ж € Х\х Хо}. Для пересечения окрестностей элементов Х\,Х2 € X используется стандартное обозначение = Ох{х\) П Ох(%2)- Наименьшим элементом подмножества У С1 называется элемент у € У, такой, что у у' для всех у' € У.

Определение 1. Семейство отображений Я = {Оа}а^А называется коммутирующим, если для любой пары индексов а,/3 € А и для любого элемента х € X выполнено равенство Са{Ср{х)) =

Определение 2. Многозначное отображение Р : X X называется изотопным,, если для любых Х\,Х2 € X, х\ < Х2 и для любого 2/2 € -Р(жг) найдется элемент у\ € Р(х\), такой, что у\ < у2-В частности, однозначное отображение / : X —> X называется изотопным, если из того, что Х\ Х2, следует, что ¡'(х\) < /(жг).

Определение 3. Множество {уа}а^А ^ X называется множеством Я-значений в точке х € X, если уа € Са(х), а £ А.

Фиксируем некоторый элемент жо € X и обозначим через 5(жо;(?) множество элементов ж € СЬс(жо), таких, что существует множество {уа}а&А (/-значений в точке ж, такое, что уа ^ ж,а £ А. В случае, когда Я — семейство однозначных отображений, имеем 5(жо;^) = {ж € Ох{хо)\Оа(х) < х, V« € А}.

Множество общих неподвижных точек семейства многозначных отображений Я будем обозначать через СотАх(^) = {ж € Х\х € П Оа(ж)}. В случае, когда семейство Я состоит из однозначных

а£А

отображений, СотАх(^) = {ж € Х\х = Са{ж) для всех а € А}.

Теорема 1. Пусть заданы, упорядоченное множество (X, коммутирующее семейство однозначных изотопных отображений Я = {Оа}а^А, где Оа : X —> X, а € А, и, точка Жо € X, тлкие, что Оа(Жо) ^ Жо для всех а € А. Пусть, кром,е того, для каждой, цепи Б С 5(жо;^) существует ее нижняя граница, и € X, такая, что Оа(ь) < и для всех а € А.

Тогда, множество общих неподвижных точек СотАх(^) непусто и, содержит минимальный элемент.

Доказательство. Для начала отметим, что множество 5(жо;<7) непусто. Действительно, согласно условию теоремы для элемента Жо выполнено неравенство Оа(жо) ^ Жо при всех а € А, и, следовательно, Жо € £(хо;Я). Рассмотрим множество С(хо;Я), состоящее из всевозможных цепей ¿> С 5(жо; Я)- Упорядочим множество С(Хо;Я) по включению. Обозначим введенный порядок через

В силу принципа максимума Хаусдорфа в упорядоченном множестве (С(хо; Я), существует максимальный элемент ¿>*. Согласно условиям теоремы существует нижняя граница £ € X цепи ¿>*, такая, что ^ а € А.

Покажем, что на самом деле = £ для всех а € А. Предположим, что существует индекс

/3 € А, такой, что -< В силу изотонности отображения Ср и того, что мы имеем

С^ для всех а € А. Воспользовавшись свойством коммутируемости семейства Я,

получаем равенство Ср(Са(()) = Са(Ср(()), и, следовательно, Са(Ср(()) ^ для всех а € А.

Кроме того, -< ж для каждого ж € 5**, так как 0/з({;) -< а элемент £ является нижней гранью

цепи ¿>*. Таким образом, цепь ¿>*и{£} € С(жо; Я) и 5** ¿>*и{£}, что противоречит максимальности цепи 5*. В результате заключаем, что Са(() = € А, т.е. £ € СотАх(^).

Осталось показать, что £ является минимальным элементом в множестве СотАх(^). Предположим противное, т.е. пусть существует элемент г? € СотАх(^), такой, что г? -< В силу того что для всех а € А выполнено равенство Оа(г]) = г] и г] -< элемент г] является нижней гранью цепи ¿>*, не содержащейся в ¿>*. В результате цепь ¿>* и {г/} € С(Хо;Я) и ¿>* <5* и {г/}, что опять противоречит максимальности цепи ¿>*. Значит, £ является минимальным элементом множества СотАх(^).Теорема доказана.

Сравним теорему 1 с теоремой Смитсона [7, теорема 2.1], которую сформулируем для двойственного порядка.

Теорема 2 (И,. Е. БтШтт). Пусть заданы, частично упорядоченное множество (X, точка Хо € X и коммутирующее семейство изотопных однозначных отображений Я = {Оа}а^А, где Оа : X —> X, тлкие, что для каждого а € А выполнено Оа(хо) ^ Хо и любая цепь, содержащая Хо, имеет инфимум. Тогда множество общих неподвижных точек семейства отображений непусто.

Утверждение. Теорем,а 1 является обобщением теоремы 2.

Доказательство. Пусть выполнены все условия теоремы 2, покажем, что тогда выполнены условия теоремы 1. Для этого достаточно показать, что любая цепь Б С Б{хо', Я) имеет нижнюю границу и € X, такую, что Оа(и) ^ и для всех а € А. Рассмотрим произвольную цепь ¿>о Q <?(жо; Я) и соответствующую ей цепь Со = ¿>о и {жо}- Согласно условиям теоремы 2 существует инфимум и € X цепи Со, который также будет инфимумом цепи ¿>о. Для любого а € А и любого х € 5о в силу свойства изотонности отображения Са и того, что и ^ х, имеем Оа(и) ^ Оа(х) ^ х, т.е. Оа(и) является нижней гранью цепи ¿>о. Объединяя это с тем, что и есть инфимум цепи ¿>о, получаем, что Са{и) и для всех а € А. Таким образом, выполнены все условия теоремы 1.

Покажем, что теорема 1 не следует из теоремы 2. Для этого рассмотрим следующий пример.

Пример. Пусть X = [—1,0) и (0,1] имеет стандартный порядок на К. Определим семейство Я = {Са}а&А, где А = {жеК:ж>1}, следующим образом:

Легко видеть, что отображения Са суть изотопные. Семейство Я является коммутирующим, так как Са(Ср(х)) = Ср(Са(х)) = если ж € (0,1], и Са(Ср(х)) = Ср(Са(х)) = -1, если х € [-1,0).

Фиксируем произвольный элемент жо € (0,1]. Цепь (0,Жо] содержит жо и не имеет инфимума. Таким образом, условия теоремы 2 не выполнены. Покажем, что выполнены условия теоремы 1, для этого достаточно показать, что для любой цепи Б С 5(жо; Я) существует ее нижняя граница и € X, такая, что Оа(и) ^ и, а € А. Поскольку 5(жо;Я) ^ Ох(хо), а элемент и = —1 является нижней гранью множества Ох(хо) и Са(—1) = —1 ,а € А, то элемент и есть искомая нижняя грань. Таким образом, выполнены все условия теоремы 1.

Рассмотрим теперь случай семейства многозначных отображений.

Теорема 3. Пусть заданы, частично упорядоченное множество (X, непустое множество А и семейство коммутирующих изотопных многозначных отображений Я = {Оа}а^А,Оа : X ^ X, т,а,ки,е, что для каждых х € X и а € А множество Оа(х) содержит наименьший элемент,. Пусть, кром,е того, найдутся элемент, Хо € X и множество {уа}а^А Я-значений в точке Хо, тлкие, ч,т,о уа -< Хо для всех а € А. Тогда, если, для, любой цепи Б С 5(жо] Я) существуют ее нижняя грань г и множество {га}а&А Я-значений в точке г, т,а,ки,е, ч,т,о < г для, всех а £ А, то множество СотАх(^) непусто и, содержит минимальный элемент.

Доказательство. Рассмотрим семейство однозначных отображений д = {да}а&А,9а ' X —> X, где 9а{х) = МСа(ж), ж € X, а € А. Согласно [7, предложение 2.2], семейство д является коммутирующим и каждое отображение да этого семейства является изотопным. Покажем, что для семейства д выполнены все условия теоремы 1. Рассмотрим элемент жо € X и соответствующее множество {уа}аеА (/-значений в точке Хо, такие, что уа -< Хо для всех а € А. Так как да(хо) = т{Оа(хо) и Уа € Оа(хо), то да(хо) ^ уа ^ Хо, а € А. Аналогично показывается, что для любой цепи 5 С 5(жо; (?) существует ее нижняя грань и € X, для которой да(и) ^ и, а € А.

Таким образом, выполнены все условия теоремы 1, и, следовательно, множество СотАх(д) непусто и содержит минимальный элемент являющийся нижней гранью максимальной относительно порядка цепи ¿>* из С(хо]д), где элемент цепь ¿>* и порядок указаны в доказательстве теоремы 1. Следовательно, множество СотАх(^) ф 0. Покажем, что £ — минимальный элемент в СотАх(^). Рассуждая от противного, предположим, что существует г? € СотАх(^), такой, что г] -< Так как г? € Оа(г]) и да(г/) = т1Са(г?), то да{г]) ^ V для произвольного элемента а € А. Таким образом, г? е 8(хо;д) и г/ -< х,\/х е 51*, т.е. 5* и {г?} € С(хо;д) и 5* -<* 5* и {г]}, что противоречит максимальности элемента <5*. Таким образом, получаем, что неравенство г? -< £ невозможно, и, следовательно, £ — минимальный элемент множества СотАх(^).

Заметим, что если в условиях теоремы 3 все отображения семейства Я однозначные, то мы получим в точности теорему 1. Легко показать, что теорема 3 является обобщением [7, теорема 2.3].

Теперь ужесточим условия теоремы 3, добавив дополнительные требования, гарантирующие существование наименьшего элемента в множестве общих неподвижных точек. Введем в рассмотрение множество 5(Я) = У

хех

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3 и, кроме того, для любой пары Х\,Х2 € X (соответственно Х\,Х2 € Ох{хо)) множество S(Q) П 1,^2) ф 0, тогда в множестве Comfix(í¿) (соответственно Comfix(í¿) Г\Ох(%о)) существует наименьший элемент.

Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда для любой пары Х\,Х2 € X множество S(Ç) П ф Доказательство для второго случая полностью аналогично. Рас-

смотрим семейство однозначных отображений g = {да}а&А,9а ' X —> X,ga(x) = mîGa{x), максимальную относительно порядка цепь S* из C(xo',g) и нижнюю грань £ € X цепи S*, где элемент цепь S* и порядок построены в доказательстве теоремы 3. Так как согласно доказательству теоремы 3 элемент £ является минимальным элементом в множестве Comfix(^), то для завершения доказательства достаточно показать, что элемент £ сравним с любым элементом Comfix(^). Предположим, что существует элемент ( € Comfix(^), такой, что ( и £ несравнимы. Тогда согласно предположению теоремы найдется элемент w € S (G) С)- Так как £ и ( несравнимы, то w -<

В силу того что w € <S(G), найдется множество {wa}açA ^-значений в точке w, такое, что wa ^ w для всех а € А. А так как ga{w) = iníGa(w), имеем неравенства ga{w) wa ^ w, а € А. Таким образом, w е S(xo;g) и w -< х,Ух € S*, т.е. S* U {w} € C(xo;g) и S* -<* S* U {w}, что противоречит максимальности элемента S* в множестве цепей С(хо]д). В результате получаем, что любой элемент ( € Comfix(í¿) сравним с Объединяя это с тем, что £ — минимальный элемент множества Comfix(^), заключаем, что £ — наименьший элемент множества Comfix(^). Теорема доказана.

Автор приносит благодарность профессору Т. Н. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Reem D., Reich S. Zone and double zone diagrams in abstract spaces // Colloq. Math. 2009. 115. 129-145.

2. Kirk W.A., Sims B. Handbook of metric fixed point theory. Dordrecht: Springer Science & Business Media, 2001.

3. Nadler Jr.S.B. Multi-valued contraction mappings // Pacif. J. Math. 1969. 30, N 2. 475-488.

4. Smithson R.E. Fixed points of order preserving multifunctions // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. 28. 304-310.

5. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

6. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory. N.Y.: Springer Science & Business Media, 2013.

7. Smithson R. Fixed points in partially ordered sets // Pacif. J. Math. 1973. 45, N I. 363-367.

Поступила в редакцию 04.04.2016

УДК 539.3

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ВЫСОКОТОЧНОГО ТРЕУГОЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ДИСКРЕТИЗАЦИИ С КОРРЕКТИРУЮЩИМИ МНОЖИТЕЛЯМИ ЛАГРАНЖА

Ю.В. Клочков1, А. П. Николаев2, О. В. Вахнина3

Изложен алгоритм расчета тонких оболочек, основанный на использовании треугольного конечного элемента, в столбец узловых варьируемых параметров которого дополнительно включены корректирующие множители Лагранжа, позволившие улучшить условия совместности элементов в рамках вариационной формулировки задачи.

Ключевые слова: оболочка вращения, метод конечных элементов, треугольный конечный элемент, множители Лагранжа.

The algorithm of calculation of thin shells on a basis of a triangular finite element is described. The column of nodal variable parameters of this element additionally contains correction

1 Клочков Юрий Васильевич — доктор техн. наук, зав. каф. высшей математики электроэнергетического ф-та ВолГАУ, e-mail: KlotchkovQbk.ru.

2 Николаев Анатолий Петрович — доктор техн. наук, проф. каф. лесного и водного хозяйства эколого-мелиоративного ф-та ВолГАУ, e-mail: anpetr40Qyandex.ru.

3 Вахнина Ольга Владимировна — канд. техн. наук, доцент каф. высшей математики электроэнергетического ф-та ВолГАУ, e-mail: OvahninaQbk.ru.