К оценке точности определения координат в задаче Ганзена

УДК 528.117

25.00.00 Науки о Земле

К ОЦЕНКЕ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ В ЗАДАЧЕ ГАНЗЕНА

Соколов Юрий Григорьевич к.т.н., профессор

Гурский Иван Николаевич доцент

Струсь Сергей Сергеевич к.э.н., доцент

Пшидаток Саида Казбековна к.с-х.н., доцент

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

В последнее время широкое применение для определения координат точек получили спутниковые методы, которые позволяют, не имея взаимной видимости между определяемыми точками, находить их координаты. Однако в отдельных случаях, например в лесных массивах, в городских застройках применение этих методов становится проблематичным и проще применять традиционные методы. В статье рассмотрен случай использования метода расчета координат по «задаче Ган-зена» и проведена оценка точности определения координат точек. В некоторых работах даются только рекомендации, что наиболее точные результаты получаются, когда рассматриваемая фигура построения по форме близка к квадрату. В нашем случае на основании полученных формул проведен анализ влияния длины определенного базиса и его удаленности от исходной стороны на точность определения координат исходных точек. Вывод состоит в том, что точность определения координат искомых точек зависит от соотношения длины исходного базиса и исходной линии. При этом оптимальной может считаться удаленность, равная 0,3-0,6 от длины исходной линии. Проведенные в работе исследования могут с успехом использоваться при составлении проектов геодезической привязки полигонометрических ходов и сетей сгущения

Ключевые слова: ЗАДАЧА ГАНЗЕНА, УСЛОВНЫЙ БАЗИС, ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ, ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ, КООРДИНАТЫ

UDC 528.117 Earth sciences

HOW TO ESTIMATE THE ACCURACY OF DETERMINING THE COORDINATES IN THE APPROACH OF HANSEN

Sokolov Yuriy Grigoryevich Cand.Tech.Sci., professor

Gurskiy Ivan Nikolaevich Associate professor

Strus' Sergey Sergeyevich Cand.Econ.Sci., associate professor

Pshidatok Saida Kazbekovna Cand.Agr.Sci.

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Recently, there have been satellite-based methods widely used to determine the coordinates of points, which allow, without mutual visibility between points, to pursue their coordinates. However, in some cases, for example in forests, in urban buildings the application of these methods becomes a problem and it is easier to apply traditional methods. The article describes the case of using the method of calculation of coordinates for "the approach of Hansen" and held to evaluate the accuracy of determining the coordinates of the points. Some studies provide only recommendation guidelines that the most accurate results are obtained when the shape of the building is shaped similar to a square. In our case, on the basis of obtained formulae we had an analysis of the influence of the length of the corresponding base, and its distance from the source side on the accuracy of determination of coordinates of the original points. The conclusion is that the accuracy of determination of coordinates of required points depends on the ratio of the length of the original basis and the baseline. The optimal can be considered the distance equal to 0.3-0.6 of the length of the baseline. The holding data in the study can successfully be used for the drafting of geodetic reference polygono-metries moves and thickening of networks

Keywords: APPROACH OF HANSEN, CONDITIONAL BASIS, GEODETIC NETWORK, COORDINATES, ACCURACY ASSESSMENT

Вопросу решения задачи Ганзена для привязки двух точек по двум исходным с известными координатами посвящено ряд работ [1,2]. Наибо-

лее простым ее решением, по нашему мнению, является способ условного базиса (Рисунок 1).

Рисунок 1. Схема геодезических пунктов, углов и сторон для решения задачи Ганзена

На рисунке 1 показаны измеренные углы вьвь на точке Р и углы в3, в4 на точке Q. Известны координаты пунктов А(ха,уа) и В(хь,уь). Для решения треугольников АQР и БОРс целью вычисления сторон Б2, Б3, и 84необходим линейный элемент (сторона PQ). В общем случае принята условная длина PQ=1м.

Тогда по теореме синусов, согласно способу условного базиса, находят условные длины сторон Б}, Б'2, Б'3, и Б'4. В результате получают:

5а =

Л =

31П I

зшу

51Пу

зшу'

зту'

Здесь:в 1+в2=у; вз+в4=¥'; у=180°-ф1+в2+ в) у'=180°-

Далее находят масштабный коэффициент К, из треугольника АВР, по формуле:

к-—- *

и для контроля вычисляют этот коэффициент из треугольника ABQ

к-—- ъ

^ + (6) где: Ъ- длина исходной стороны АВ вычисленная по координатам решением обратной геодезической задачи (ОГЗ).

;

Выводя среднее значение масштабного коэффициента, вычисляют фактические длины сторон треугольников по формуле:

Координаты искомых точек Р и Q вычисляют по формулам линейной засечки [2].

Существенным недостатком в рассматриваемых научных статьях и литературе способах решения задачи Ганзена является отсутствие оценки точности полученных результатов координат точек Р и Q. В некоторых работах даются только заключения, что наиболее точные результаты получаются, когда рассматриваемая фигура по определению координат в этой задаче близка к квадрату.

Нами предлагается проводить оценку точности по измеренным углам между сторонами образующими линейную засечку и по вычисленным фактическим значениям этих сторон.

Учитывая, что масштабный коэффициент К для всех сторон одинаков, находят частные производные по измеренным углам для сторон 8 и Б2.

95± гозрг5ту — созузтрг з1п(}'г — /?3} заар 5г

зт~у зт~у зт~у зту,

,

д^=-С05Г51пР3 =

,

Ш "У1

К35 II |2/ II |3 = ( [с05(/?П ,3 +  51пу1' - СОВ^Г' 51711

г2 у* ) = в1п

Аналогичным образом получают частные производные для сторон Б3

г2 у1') = 81п(ГГ''

Ф* 3/(1 Фг Ж I

и 84.

35л 3? д5± „ , 65* „ ,

Тогда средние квадратические погрешности (СКП) определения сторон Б1 и Б2 будут:

ТП'

ТП'

= ™2

Полагая, чтот^1 - - - - , получим

т.-

1 р- \JiIl7 /

т.;

ТПй

Здесь У=в1+в2+ вз; У'=в2+вз+ в4.

Далее находят среднюю квадратическую погрешность определения координат точки Р.

тр =

Подставляя (18) и (19) в (20), получают

Ра + 2Slcos2j 2Sj +Sacos2Y*

тР = (m

Аналогичным способом находят среднюю квадратическую погрешность для сторон и Б4.

\satyj р' \smy} р--"j^+Ksbc

m;

mi = -1*

•

Г^к-я«.

а

Учитывая, что mi?i = = "^з = mA = , получим:

~ р• \Cstn*r "3 Yj

m

Л- lur-viSi,

Zcta*r)=

щ

p'sin'Y

T

Р' \sin-y

Далее находят среднюю квадратическую погрешность определения координат точки Q.

J

4- :

m,f

= p'i jjagg| Л + 25jcPJsr'

• (26) Как сказано выше, считается, что самой оптимальной фигурой образованной точками A, B, P, Q является четырехугольник, близкий к квадрату, при этом погрешности минимальны.

Но анализа влияния изменения длины базиса PQ и его удаленности от исходной линии АВ на величину погрешностей в литературных источниках не встречается.

Нами проведен такой анализ с использованием исходных данных, полученных в графическом редакторе AutoCAD, по следующим геометрическим фигурам: квадрат, прямоугольник, трапеция, четырехугольник. Координаты точек А и В исходной линии указаны в каталоге координат в таблице 1

Длина базиса РО равна или близка длине стороны АВ. При этом в прямоугольнике, трапеции и четырехугольнике базис РО расположен на расстоянии близком половине исходной линии АВ. Угловые элементы для названных фигур представлены в таблицах 2,3,4,5.

Таблица 1. КАТАЛОГ КООРДИНАТ ИСХОДНЫХ ПУНКТОВ

Названия исходных пунктов Координаты

Х У

А 12054.792 10616.619

В 12322.793 11838.002

Таблица 2. УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ КВАДРАТ

Схема

№

Град.

Мин.

Сек

в1

45

00

00

в2

45

00

00

вз

45

00

00

в4

45

00

00

Таблица 3. УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ ПРЯМОУГОЛЬНИК

Схема № Град. Мин. Сек

в1 63 26 06

в2 26 33 54

вз 26 33 54

в4 63 26 06

Таблица 4. УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ ТРАПЕЦИЯ

Схема № Град. Мин. Сек

вг 63 26 06

в2 26 33 54

вз 33 43 57

в4 82 56 33

Таблица 5. УГЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ФИГУРЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

Схема № Град. Мин. Сек

'154 вг 74 12 42

в2 32 6 46

вз 25 58 42

в4 70 41 50

Для рассматриваемых фигур произведены расчеты средних квадрати-ческих погрешностей по предлагаемым формулам (21, 26) и получены следующие результаты (таблица 6).

Таблица 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ КВАДРАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО ФИГУРАМ

Название фигуры в1 Р2 Рэ Р4 РО тР то

Град Мин Сек Град Мин Сек Град Мин Сек Град Мин Сек

Квадрат 45 0 0 45 0 0 45 0 0 45 0 0 1250 0,15 0,14

Прямоугольник 63 26 6 26 33 54 26 33 54 63 26 6 1250 0,06 0,05

Трапеция 63 26 6 26 33 54 33 43 57 82 56 33 936 0,08 0,07

Четыр ехугольник 74 12 42 32 6 46 25 58 42 70 41 50 1000 0,06 0,06

Для наглядности сравним средние квадратические погрешности на диаграмме.

Рисунок 2. Диаграмма погрешностей точек Р, Q в зависимости от фигуры построения

Анализ полученных среднеквадратических погрешностей опровергает утверждение об оптимальности квадрата в схеме построений при решении задачи Ганзена. По нашим расчетам самой точной схемой построения является фигура в виде прямоугольника, удаленного на расстоянии половины длины исходной стороны.

В свете полученных результатов нами предлагается рассмотреть изменение величины погрешностей на примере четырехугольников с различной длиной базиса РО и разной удаленностью от исходной линии с шагом

через 0,1 длины исходной стороны. Использование фигуры четырехугольник обусловлено тем, что в полевых условиях сложно обеспечить параллельность базиса РО и исходной линии АВ.

Ввиду того что расстояние межу точками А и В равно 1250 метров, принимаем значения базисов близкие к 250, 500, 625, 750 и 1000 метров. При этом первый базис расположен на расстоянии около 250 метров, второй на расстоянии 375 метров, третий 500 метров и т.д. Общая схема построений показана на рисунке 3.

6

Рисунок 3. Общая схема построения четырехугольников Значения исходных углов и полученные результаты вычисления средних квадратических погрешностей тР и тд приведены в таблице 6.

По результатам проведенных расчетов погрешностей определения координат точек Р и О, построены диаграммы, ранжируемые по длине базиса и его удаленности от исходной линии.

Таблица 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО ПЕРЕМЕННОМУ _БАЗИСУ И ЕГО УДАЛЕННОСТИ_

Удаленность в1 в2 вз в4 РО тР то

о " о " о " о "

Базис 250

250 136 23 50 26 48 5 12 16 24 126 51 44 250,09 0,60 0,45

375 118 4 21 35 57 50 19 24 59 109 2 20 250,09 0,35 0,29

500 102 40 49 43 39 35 25 50 11 94 56 12 250,09 0,30 0,25

625 90 0 0 50 0 0 31 30 4 83 39 59 250,09 0,30 0,26

750 79 36 40 55 11 40 36 26 41 74 31 37 250,09 0,33 0,30

875 71 4 31 59 27 44 40 44 9 67 0 31 250,09 0,39 0,35

1000 64 0 39 62 59 41 44 27 22 60 44 40 250,08 0,46 0,42

Базис 500

250 134 5 2 19 37 18 12 16 24 126 51 44 500,77 0,18 0,15

375 114 45 37 26 59 22 19 24 59 109 2 20 500,71 0,12 0,11

500 99 28 10 33 40 2 25 50 11 94 56 12 500,70 0,11 0,11

625 87 18 23 39 35 33 31 30 4 83 39 59 500,71 0,12 0,12

750 77 29 38 44 46 50 36 26 41 74 31 37 500,70 0,15 0,14

875 69 27 40 49 17 24 40 44 9 67 0 31 500,71 0,18 0,16

1000 62 47 49 53 12 0 44 27 22 60 44 40 500,70 0,21 0,20

Базис 625

250 130 35 1 18 10 33 11 37 11 122 56 56 625,71 0,13 0,11

375 111 0 5 25 6 18 18 26 15 105 30 15 625,71 0,09 0,08

500 96 12 8 31 28 21 24 37 14 92 1 12 625,71 0,09 0,08

625 84 40 43 37 12 28 30 7 47 81 20 24 625,71 0,10 0,09

750 75 26 32 42 18 9 34 59 2 72 41 20 625,70 0,12 0,11

875 67 52 25 46 47 25 39 14 6 65 33 15 625,71 0,14 0,13

1000 61 34 2 50 43 41 42 57 2 59 35 7 625,71 0,17 0,16

Базис 750

250 126 53 52 17 16 49 10 48 28 115 51 44 749,95 0,10 0,08

375 106 30 9 23 41 16 17 23 2 100 26 54 749,95 0,07 0,07

500 92 29 59 29 48 6 23 17 56 87 58 14 749,94 0,07 0,07

625 81 46 53 35 22 5 28 37 25 78 9 32 749,95 0,08 0,08

750 73 12 26 40 22 2 33 21 50 70 11 38 749,95 0,10 0,09

875 66 9 1 44 48 59 37 33 23 63 35 10 749,94 0,12 0,11

1000 60 13 54 48 45 23 41 15 10 58 1 8 749,95 0,15 0,14

Базис 1000

250 109 13 29 15 16 24 9 44 31 100 30 2 999,95 0,05 0,05

375 93 7 41 21 15 5 15 34 58 87 41 53 999,95 0,05 0,04

500 82 25 46 26 53 17 21 0 35 78 15 19 999,95 0,05 0,05

625 74 12 42 32 6 46 25 58 42 70 41 50 999,95 0,06 0,06

750 67 27 53 36 53 33 30 28 46 64 23 39 999,95 0,08 0,07

875 61 44 42 41 13 24 34 31 41 59 1 19 999,95 0,09 0,09

1000 56 48 49 45 7 24 38 9 15 54 23 0 999,95 0,12 0,11

Рисунок 4. Диаграмма изменения погрешности тР

Рисунок 5. Диаграмма изменение погрешности mQ

Как видно из расчетов и представленным диаграммам, минимальные погрешности определения координат точек Р и О получены при длине ба-

лв

зиса равной 2 и более. При этом оптимальной может считаться удаленность, равная 0,3 - 0,6 от длины исходной линии.

Литература

1. Справочник геодезиста. Под ред. В. Д. Большакова и Г. П. Левчука, М, Недра, 1985.

2. Г. Г. Поклад, С. П. Гриднев. Геодезия; учебное пособие для вузов - М; Академический Проект, 2007.

References

1. Spravochnik geodezista. Pod red. V. D. Bol'shakova i G. P. Levchuka, M, Nedra, 1985.

2. G. G. Poklad, S. P. Gridnev. Geodezija: uchebnoe posobie dlja vuzov - M: Akademicheskij Proekt, 2007.