Краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса Аллера - Лыкова с сосредоточенной теплоемкостью

УДК 517.95 DOI: 10.18287/2541-7525-2018-24-3-23-29

М.А. Керефов, Ф.М. Нахушева, С.Х. Геккиева1

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА АЛЛЕРА — ЛЫКОВА С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ

ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ

Работа посвящена рассмотрению уравнения Аллера — Лыкова с дробной по времени производной Римана — Лиувилля с краевыми условиями третьего рода, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость. Аналогичные условия возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка. Для рассматриваемой задачи с помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана — Лиувилля, из которой следует единственность решения задачи.

Ключевые слова: уравнение Аллера — Лыкова, дробная производная, нелокальная задача, обобщенное уравнение влагопереноса, сосредоточенная теплоемкость, метод энергетических неравенств, априорная оценка, краевая задача.

Цитирование. Керефов М.А., Нахушева Ф.М., Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса Аллера — Лыкова с сосредоточенной теплоемкостью // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2018. Т. 24. № 3. С. 23-29. БО!: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-3-23-29.

Введение

В основе математических моделей, описывающих процессы фильтрации жидкости в пористых средах [1; 2], передачи тепла в гетерогенной среде [3; 4], переноса почвенной влаги в зоне аэрации с учетом ее движения против потенциала влажности [5; 6] лежат уравнения в частных производных третьего порядка. В настоящее время активно изучаются локальные и нелокальные краевые задачи для указанных уравнений, в том числе краевые задачи, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Такие задачи возникают в практике регулирования солевого режима почв, когда рассоление верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка [7, с. 233]. Отметим в этом направлении работы [8-10], в которых рассмотрены краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью.

В данной работе исследована краевая задача с сосредоточенной теплоемкостью для уравнения вида

AlD0+lu + D0tu = dX

где Dat — оператор дробного дифференцирования Римана — Лиувилля [11, с. 9], 0 < а < 1, Ai, A = = const > 0.

х© Керефов М.А., Нахушева Ф.М., Геккиева С.Х., 2018

Керефов Марат Асланбиевич (kerefov@mail.ru), кафедра прикладной математики и информатики, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 360004, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

Нахушева Фатима Мухамедовна (fatima_nakhusheva@mail.ru), кафедра прикладной математики и информатики, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 360004, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

Геккиева Сакинат Хасановна (gekkieva_s@mail.ru), отдел математического моделирования геофизических процессов, Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, Российская Федерация, г. Нальчик, ул. Шор-танова, 89 A.

Уравнение (1) при а = 1 совпадает с уравнением Аллера — Лыкова, которое впервые было предложено Куликом В.Я. [12] для описания процессов испарения и инфильтрации влаги в почве. Такого рода уравнения рассмотрены в работах [13-16].

1. Постановка задачи

В области Qт = {(х,Ь) : 0 < х < I, 0 <Ь ^ Т} рассмотрим уравнение (1).

Регулярным решением уравнения (1) в области Qт назовем функцию и = и(х,Ь) из класса ВВ&и(х,1) € С ^т); Ва+1и(х,Ь), ихх(х,Ь), Вагихх(х, Ь) € С (^т), которая удовлетворяет уравнению (1) во всех точках (х,Ь) € Qт. Сформулируем нелокальную краевую задачу для уравнения (1).

Задача. Найти регулярное решение и(х,Ь) уравнения (1) в области Qт, удовлетворяющее краевым

условиям

и начальным условиям

П(х,Ь) = х\В аги(х,Ь) — ¡1(Ь), х = 0, —П(х,Ь) = Х2 Ваги(х,Ь) — ¡2 (Ь), х = I,

Иш В^ и(х,Ь) = т(х), Иш Ваги(х,Ь) = ^(х), 0 < х < I,

о

где т(х), V(х), ¡\(Ь), ¡2(Ь) — заданные функции, П(х,Ь) = к(х,Ь)ди + АВагдц — поток влаги через сечение х в единицу времени, Х1(Ь), Х2(Ь) — сосредоточенная теплоемкость на границах области по направлению х.

Пусть существует регулярное решение задачи. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если кх(х,Ь), кг(х,Ь), / (х,Ь) € С $ т) , v(x) € С [0,1], т (х) € С2 [0,1], к > с1 > 0, кг < 0, х1, Х2 ^ 0, Х1 + Х2 > 0 всюду на Qт и выполнено условие т(0) = т(I) = т'(0) = т'(I) = 0, тогда для решения задачи (1), (1), (2) справедлива априорная оценка:

\\В°ши\\1 + ВихУ&а + №112а <

< М1 (Ь) 1\\/\\1а + \\т' (х)\\2 + \\т'' (х)\\2 + (х)\\2 + 1 (¡2+¡2) ¿т I.

Доказательство. Аналогично [16] введем новую неизвестную функцию д(х,Ь), полагая

и(х, Ь) = д(х, Ь) +

1

Г

т

так, что д(х,Ь) представляет собой отклонение функции и(х,Ь) от известной функции |т(аут(х). С учетом В0+1 Ьа-1 = 0, В0агЬа-1 =0 [17, с. 15] функция д(х,Ь) будет определяться как решение уравнения

А1В^+1д + В— (кдх)х — АВ^дхх = Р (х, Ь), 0 < х < I, 0 <Ь <Т, с начальными условиями

Ь

а-1

1™,В0г 1д(х,Ь) = Ипо В^ 1 [и(х,Ь) — т(х) ) = т(х) —

о

о

Г

т^Иш В°м-1Ьа-1 =0, Г(а) г™о ог

™о Вогд(х,Ь) = 11ш Во°г(и(х,Ь) —

^т (х)) = V(x) — ГМ Иш В^Ьа-1

Г

Г(а) ™о"

v

и граничными условиями

П(х,Ь)= Х1В^д(х,Ь) — ¡¡1(Ь), х = 0, —П(х,Ь) = Х2Вогд(х, Ь) — ¡¡2(Ь), х = I,

где П(х,Ь) = к(х,Ь)дх + АВ^дх, Р(х,Ь) = /(х,Ь) + Гщ (кхт'(х) + кт''(х)).

Получим априорную оценку в терминах дробной производной Римана — Лиувилля, для чего умножим уравнение (4) скалярно на Вагд:

А1 (Ва+1д, В°01д) + (Вад, В°01д) — ((кдх)х , В°01д) — А (В°01дхх, Вад) = Р, В°01д),

где (и, у) = f иуйх, (и, и) = \\и\\0 .

о

Преобразуем слагаемые тождества (7) с учетом (5), (6):

А д

А1 (В а+1д,Вагд) = А-ж \\Ва01 д\\2 ,

{

г

(В&д,В&д) = \\В° д\\1.

о о

д [ д(х,т)Зт

Зх

1

/ \ д I д(х, т)Зт [ . . д

кдх(х,г)дь] -(—г -У кдх(х,г)т]

Г(1 - а) 1

О О

д ¡' дх(х,т)Зт (г - т)а

Зх

Г

, ,, N ,, - д [ д(1, т)Зт 1

к

дч

о

д Г

к(0,г)дх(0,г) дг у

д ] д(0,т)Зт

Г

У кдх(х,г)д У

д [ дх(х,т)Зт

(г - т)а

А

А

I г г _ /д / дхх(х,т )Зт д [ д(х,т )Зт

Г2(1 - а)] дь] (г - т )а дь] (г - т )а

оо о

Зх

А I д [ дх(х,т)Зт д [' д(х,т)Зт

Г2

о о

2 ^ "2+2

С учетом полученных неравенств из (7) получим:

а

О,

2

- А \\В^дх\\2 ,

(Р,ВОгд) ^ \2 + х \\Ваг,д\\2 .

А £ "В гд\\о + \\В- г

1 кМдхМ дъ/д-^+

о

+

1

Г(1 - а) А

д

к(0,г)дх(0,г)— у

д [ д(0,т)Зт + 1

о о

У кдх(х,г)дг J

д [ дх(х,т)Зт

(г - т)а

Зх

г г

д [ дх(х,т)Зт д Г д(х,т)Зт

Г2 (1 - а) 1 д^у (г - т)а дг } (г - т)а

+ А \\ВМО < 2 \\р\2 + 1 \\Вогд\\о •

Последнее неравенство с учетом граничных условий (6) примет вид:

А1 д 2 2 1

Ад \\Вагд\\1 + \\В°агд\\1 + Щ-О))

I г

[ кдх(х,г)( д-0З-Зх + А Вдх\\2 +

+ ((Х2Вагд(1,г) - Ц2(г)) В&д(1,г) + (хВ&дМ - (г)) В^д(0,г) <

1

1

^ \\Р\\2 ^ \\Вагд\\2 .

2

2

Последние слагаемые в левой части неравенства (8) оценим так:

М1В^д(0,г) + ц2Вогд(1,г) < - (м2 + м2) + ^ {(Ва1д(0,г))2 + (Вагд(1,г))2) < (^1 + м2) + (е \\ВМ1 + СЕ \\В%гд\\^ .

1

< -

Здесь мы воспользовались известной оценкой [18, с. 173]:

Лх\\о + С£ ||"И0

Ы\1 < е \\их\\1 + С£ |М\° ,

где е > 0 — произвольная постоянная, се = ^ + .

Учитывая условия хь Х2 ^ 0, Х1 + Х2 > 0, усилим неравенство (8). Тогда получим

А1 д 2 2 1

д \\ВЫ° + \\Вагд\\1 + П-Ц

I г

[ кдх(х,г)! дх(- тЗЗх + А \\В^дх\\2 +

1

о

+Xi

< £ \Datgx \\l + (C + ±) DMl + 2 (Mi + m2) + \ \\l

2 J 11 0t""0 ' 2

Проинтегрируем (9) по т от 0 до t:

t

At WDotgWo +(2 - j WDaTg\\l dT+

о

г 1т г

+Г(га)1 / кдх(х,Ь)/дГ—^хт+(А — £)! \\Ватдх\\2 ¿т <

ООО о

г

< 1 \\Р+ Ц (¡2 + ¡1) ¿т + А \\ВЫх,0)\\2.

о

Предположим, что кг ^ 0, тогда неотрицательность тройного интеграла в левой части последнего неравенства доказывается так же, как в [11, с. 43]. Усиливая это неравенство, получим:

г

А1 Вд\\° + 'IV \\Ва0гд\\1д1 +2vl В^х]^ < \\Р+ | (¡2 + ¡2) ¿т + А1 (х)^ ,

о

где V = 1 — се > 0, Vl = А — £ > 0, ^В^д^22^ = \\Вагд(х,Ь)\\° ¿т. Откуда следует оценка

В,д\\1 + ВА2^ + \\В^дх^ < М(Ь) (V^ + \Пх)\\1 + | (¡2 + ¡2) ¿т

или, возвращаясь к и(х,Ь), получим (3). Теорема доказана.

Замечание. Из (3) следует единственность решения задачи (1), (1), (2).

Действительно, пусть и - решение однородной задачи, т. е. / = т = V = 0. Тогда из (3) имеем:

\\В°ши\\1 + \\Ва0гих\\1^ + \\Ваши\\2^ = 0.

Применяя обобщенную формулу Ньютона — Лейбница [17, с. 15]:

Ьа-1

Г(а) ™о

в частности, получим:

DotaDatu(x,t) = u(x,t) — lim D^- 1 u(x,t),

ta—i ta—i u(x,t) = ^^ lim Dot71u(x,t) = (x) = 0 в Qt

1

Учитывая произвольность T, получаем, что u(x,t) = 0 во всех точках (x,t) £ Q.

Литература

[1] Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 25. Вып. 5. C. 852-864.

[2] Дзекцер Е.С. Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Докл. АН СССР. 1975. Т. 220. № 3. C. 540-543.

[3] Рубинштейн Л. И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах // Изв. АН СССР. Сер. геогр. 1948. Т. 12. № 1. C. 27-45.

[4] Ting T., Cooling A. Process according to two temperature theory of heat conduction //J. Math. Anal. Appl.

1974. Vol. 45. № 9. P. 23. DOI: http://doi.org/10.1016/0022-247X(74)90116-4.

[5] Hallaire M. L'eau et la production vegetable // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. № 9.

[6] Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.

[7] Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Энерго- и массообмен в системе растение-почва-воздух. Л.: Гидрометеоиздат,

1975. 358 с.

[8] Нахушева Ф.М., Водахова В.А., Кудаева Ф.Х., Абаева З.В. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 2. С. 763. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=24123596.

[9] Нахушева Ф.М., Кудаева Ф.Х., Кайгермазов А.А., Кармоков М.М. Разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка с сосредоточенной теплоемкостью // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 2. С. 839. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=24921705.

[10] Шхануков-Лафишев М.Х., Лафишева M.M., Нахушева Ф.М., Мамбетова А.Б. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью // Владикавказский матем. журн. 2013. Т. 15. № 4. С. 58-64. DOI: http://doi.Org/10.23671/VNC.2013.4.7345.

[11] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

[12] Кулик В.Я. Исследование движения почвенной влаги с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований // Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-воздух. Л.: Наука. 1972.

[13] Лафишева М. М., Керефов М. А., Дышекова Р. В. Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера — Лыкова с нелокальным условием // Владикавказский математический журнал. 2017. Т. 19. Вып. 1. С. 50-58. DOI: http://doi.Org/10.23671/VNC.2017.1.5821.

[14] Геккиева С. Х. Первая краевая задач для уравнения влагопереноса Аллера — Лыкова с дробной по времени производной // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Устойчивое развитие: проблемы, концепции, модели». Нальчик. 2017. С. 99-102.

[15] Архестова С.М., Шхануков-Лафишев М.Х., Разностные схемы для уравнения влагопереноса Аллера — Лыкова с нелокальным условием // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2012. № 3(47). С. 7-16.

[16] Геккиева С.Х., Керефов М.А. Краевые задачи для обобщенного уравнения влагоперено-са // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2018. № 1(21). С. 21-32. DOI: http://doi.org/10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31.

[17] Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005. 199 с.

[18] Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 407 с.

References

[1] Barenblat G.I., Zheltov Yu.P., Kochina I.N. Ob osnovnykh predstavleniiakh teorii fil'tratsii odnorodnykh zhidkostei v treshchinovatykh porodakh [About the main submissions of the theory of filtration of uniform liquids in jointed breeds]. Prikladnaia matematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 1960, Vol. 25, Issue 5, pp. 852-864 [in Russian].

[2] Dzektser E.S. Uravneniia dvizheniia podzemnykh vod so svobodnoi poverkhnost'iu v mnogosloinykh sredakh [Equations of the movement of underground waters with a free surface in multilayered environments]. Dokl. AN SSSR [Doklady Earth Sciences], 1975, Vol. 220, no 3, pp. 540-543 [in Russian].

[3] Rubinshtein L.I. K voprosu o protsesse rasprostraneniia tepla v geterogennykh sredakh [To the question of the process of distribution of heat in heterogeneous environments]. Izv. AN SSSR. Ser. geogr. [Izvestiya RAN (Akad. Nauk SSSR). Seriya Geograficheskaya], 1948, Vol. 12, no 1, pp. 27-45 [in Russian].

[4] Ting T., Cooling A. Process according to two temperature theory of heat conduction. J. Math. Anal. Appl., 1974, Vol. 45, no 9, p. 23. DOI: http://doi.org/10.1016/0022-247X(74)90116-4 [in English].

[5] Hallaire M. L'eau et la production vegetable. Institut National de la Recherche Agronomique, 1964, no 9 [in French].

[6] Chudnovsky А^. Teplofizika pochv [Thermophysics of soils]. М.: Nauka, 1976, 352 p. [in Russian].

[7] Nerpin S.V., Chudnovsky А^. Energo- i massoobmen v sisteme rastenie-pochva-vozdukh [Power- and a mass exchange in system plant-soil-air]. L.: Gidrometeoizdat, 1975, 358 p. [in Russian].

[8] Nakhusheva F.M., Vodakhova V^., Kudaeva F.Kh., Аbaeva Z.V. Lokal'no-odnomernaia skhema dlia uravneniia diffuzii drobnogo poriadka s sosredotochennoi teploemkost'iu [Locally one-dimensional difference schemes for the fractional order diffusion equation with a concentrated heat capacity]. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniia [Modern problems of science and education], 2015. no 2, p. 763. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=24123596 [in Russian].

[9] Nakhusheva F.M., Kudaeva F.Kh., Kaygermazov А.А., Karmokov M.M. Raznostnaia skhema dlia uravneniia diffuzii drobnogo poriadka s sosredotochennoi teploemkost'iu [Difference schemes for the fractional order diffusion equation with a concentrated heat capacity]. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniia [Modern problems of science and education], 2015, no 2, p. 839. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=24921705 [in Russian].

[10] Shkhanukov-Lafishev M.Kh., Lafisheva M.M., Nakhusheva F.M., Mambetova A.B. Lokal'no-odnomernaia skhema dlia uravneniia teploprovodnosti s sosredotochennoi teploemkost'iu [Local and one-dimensional scheme for the heat conductivity equation with the concentrated thermal capacity]. Vladikavkazskii matem. zhurn. [Vladikavkaz Mathematical Journal], 2013, Vol. 15, Issue 4, pp. 58-64. DOI: http://doi.org/10.23671/VNC.2013.4.7345 [in Russian].

[11] Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculation and its application]. M.: Fizmatlit, 2003, 272 p. [in Russian].

[12] Kulik V.Ya. Issledovanie dvizheniia pochvennoi vlagi s tochki zreniia invariantnosti otnositel'no nepreryvnykh grupp preobrazovanii [Research of the movement of soil moisture from the point of view of invariancy of rather continuous groups of transformations]. In: Sb. "Issledovanie protsessov obmena energiei i veshchestvom v sisteme pochva-rastenie-vozdukh" [Collection "Research of the Processes of Exchange of Energy and Substance in the System Soil-Plant-Air"]. L.: Nauka, 1972 [in Russian].

[13] Lafisheva M.M., Kerefov M.A., Dyshekova R.V. Raznostnye skhemy dlia uravneniia vlagoperenosa Allera — Lykova s nelokal'nym usloviem [Differential schemes for the equation of moisture transfer of Aller — Lykov with not local condition]. Vladikavkazskii matem. zhurn. [Vladikavkaz Mathematical Journal], 2017. Vol. 19, Issue 1, pp. 50-58. DOI: http://doi.org/10.23671/VNC.2017.L5821 [in Russian].

[14] Gekkieva S.Kh. Pervaia kraevaia zadach dlia uravneniia vlagoperenosa Allera — Lykova s drobnoi po vremeni proizvodnoi [First boundary-value problem for Aller — Lykov moisture transfer equation with time fractional derivative]. Materialy Vserossiiskoi konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem "Ustoichivoe razvitie: problemy, kontseptsii, modeli" [Materials of the All-Russian conference with the international participation "Sustainable development: problems, concepts, models"]. Nalchik, 2017, pp. 99-102 [in Russian].

[15] Arkhestova S.M., Shkhanukov-Lafishev M.Kh. Raznostnye skhemy dlia uravneniia vlagoperenosa Allera — Lykova s nelokal'nym usloviem [Differential schemes for the equation of moisture transfer of Aller — Lykov with not local condition]. Izvestiia Kabardino-Balkarskogo nauchnogo tsentra RAN [News of Kabardino-Balkarian scientific center of the Russian Academy of Sciences], 2012, no 3 (47), pp. 7-16 [in Russian].

[16] Gekkieva S.Kh., Kerefov M.A. Kraevye zadachi dlia obobshchennogo uravneniia vlagoperenosa [The boundary value problem for the generalized moisture transfer equation]. Vestnik KRAUNTs. Fiziko-matematicheskie nauki [Bulletin KRASEC. Physical & Mathematical Sciences], 2018, no 1 (21), pp. 21-32. DOI: http://doi.org/10.18454/2079-6641-2018-21-1-21-31 [in Russian].

[17] Pskhu A.V. Uravneniia v chastnykh proizvodnykh drobnogo poriadka [Equations in private derivatives of a fractional order]. M.: Nauka, 2005, 199 p. [in Russian].

[18] Ladyzhenskaya O. A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]. M.: Nauka, 1973, 407 p. [in Russian].

M.A. Kerefov, F.M. Nakhusheva, S.Kh. Gekkieva2

BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE ALLER — LYKOV MOISTURE TRANSPORT GENERALIZED EQUATION WITH CONCENTRATED HEAT

CAPACITY

The article considers the Aller — Lykov equation with a Riemann — Liouville fractional time derivative, boundary conditions of the third kind and with the concentrated specific heat capacity on the boundary of the domain. Similar conditions arise in the case with a material of a higher thermal conductivity when solving a temperature problem for restricted environment with a heater as a concentrated heat capacity. Analogous conditions also arise in practices for regulating the water-salt regime of soils, when desalination of the upper layer is achieved by draining of a surface of the flooded for a while area. Using energy inequality methods, we obtained an a priori estimate in terms of the Riemann — Liouville fractional derivative, which revealed the uniqueness of the solution to the problem under consideration.

Key words: Aller's — Lykov equation, fractional derivative, nonlocal problem, moisture transfer generalized equation, concentrated heat capacity, inequalities method, a priori estimate, boundary value problem.

Citation. Kerefov M.A., Nakhusheva F.M., Gekkieva S.Kh. Kraevaia zadacha dlia obobshchennogo uravneniia vlagoperenosa Allera — Lykova s sosredotochennoi teploemkost'iu [Boundary value problem for the Aller — Lykov moisture transport generalized equation with concentrated heat capacity] [Boundary value problem for the Aller — Lykov moisture transport generalized equation with concentrated heat capacity]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2018, no. 24, no. 3, pp. 23-29. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-3-23-29 [in Russian].

Статья поступила в редакцию 5/IX/2018. The article received 5/IX/2018.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

2Kerefov Marat Äslanbievich (kerefov@mail.ru), Department of Applied Mathematics and Informatics, Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov, 173, Chernyshevsky Street, Nalchik, 360004, Russian Federation.

Nakhusheva Fatima Mukhamedovna (fatima_nakhusheva@mail.ru), Department of Applied Mathematics and Informatics, Kabardino-Balkarian State University named after H.M. Berbekov, 173, Chernyshevsky Street, Nalchik, 360004, Russian Federation.

Gekkieva Sakinat Khasanovna (gekkieva_s@mail.ru), Department of Mathematical Modeling of Geophysical Processes, Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, 2, Balkarova Street, Dolinsk, Nalchik, 360002, Russian Federation.