Необходимое, достаточное, стрелки в доказательствах

Есть утверждение теоремы, первое А, второе В, и между ними какие-то слова, устанавливающие между ними логическую связь. Есть два односторонних случая и один случай равносильности.

Нарисуйте две диаграммы Эйлера-Венна из двух эллипсов один внутри другого:

1) Внутренний А, внешний В. Тогда такое расположение условий записывается символьно как

(т.н.

необходимость

).

Словами:

- для выполнения А

необходимо

, чтобы выполнялось В. (на пальцах - чтобы попасть во внутренний круг, необходимо сначала попасть во внешний, но не достаточно). Или

- А выполняется

только тогда, когда

выполняется В.

2) Внутренний В, внешний А. Символьно

(т.н.

достаточность

)

Словами:

- для выполнения А

достаточно

, чтобы выполнялось В (на пальцах - для попадания во внешний круг А достаточно попасть во внутренний В, т.е. выполнить более сильное условие. Но нет необходимости - если даже мы не попали во внутренний круг В, мы можем всё ещё быть во внешнем круге А).

- А выполняется

тогда, когда

выполняется В.

3) теоремы вида "критерий": для выполнения А

необходимо и достаточно

выполнения В ( = А выполняется

тогда и только тогда, когда

выполняется В). Доказывается в два шага - в обе стороны.