ГЕНЕРАТОР ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
GENERATOR OF CHAOTIC OSCILLATIONS

Изобретение относится к радиотехнике и может быть использовано в качестве источника хаотических электромагнитных колебаний.
Известен генератор хаотических колебаний (N.Inaba, T.Saito and S.Mori. Chaotic phenomena in a circuit with negative resistance and ideal swith of diodes // The transactions of IEICE, 1987, vol.E 70, No 8, p.744), содержащий устройство с отрицательным сопротивлением, первый вывод которого соединен с первыми выводами первого конденсатора и нелинейного резистора, второй вывод соединен со вторым выводом первого конденсатора и первыми выводами второго конденсатора и индуктивного элемента, вторые выводы которых соединены со вторым выводом нелинейного резистора.
Также известен генератор хаотических колебаний (Т.Мацумото. Хаос в электронных схемах. ТИИЭР, 1987, Т.75, №8, с.76-79, рис.19, 20), содержащий конденсатор, первый вывод которого соединен с первым выводом устройства с отрицательной проводимостью, второй вывод которого соединен с первым выводом параллельного колебательного контура, второй вывод которого соединен со вторым выводом конденсатора.
Недостатком этих генераторов является ограниченная возможность видоизменения хаотического аттрактора, что ограничивает возможности перестройки параметров генерируемых хаотических колебаний.
Наиболее близким по технической сущности к заявляемому устройству является генератор хаотических колебаний (Прокопенко В.Г. Генератор хаотических колебаний. Пат. 2273088. Опубл. 2006, БИПМ №9), содержащий первый и второй конденсаторы, индуктивный элемент, первый резистор и нелинейный преобразователь импеданса.
Недостатком этого генератора хаотических колебаний является то, что свойства хаотического аттрактора в нем определяются характеристиками единственного нелинейного элемента, что ограничивает возможности перестройки параметров генерируемых хаотических колебаний.
Целью изобретения является расширение пределов регулирования параметров хаотического сигнала путем увеличения возможностей изменения конфигурации соответствующего ему хаотического аттрактора.
Цель изобретения достигается тем, что в генератор хаотических колебаний, содержащий первый и второй конденсаторы, индуктивный элемент, первый резистор и нелинейный преобразователь импеданса, введены второй резистор, первый и второй нелинейные преобразователи напряжения и нелинейный преобразователь тока, первый выходной вывод которого соединен с первым входным выводом нелинейного преобразователя импеданса и первым выводом первого резистора, второй вывод которого соединен со вторым входным выводом нелинейного преобразователя импеданса, первый выходной вывод которого соединен с первым выходным выводом первого нелинейного преобразователя напряжения, второй выходной вывод которого соединен со вторым выходным выводом нелинейного преобразователя тока, первым выходным выводом второго нелинейного преобразователя напряжения и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен со вторым выходным выводом второго нелинейного преобразователя напряжения и вторым выходным выводом нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выводы первого конденсатора соединены с соответствующими первым и вторым входными выводами первого нелинейного преобразователя напряжения, первый и второй выводы второго конденсатора соединены с соответствующими первым и вторым входными выводами второго нелинейного преобразователя напряжения, первый и второй выводы индуктивного элемента соединены с соответствующими первым и вторым входными выводами нелинейного преобразователя тока, передаточная характеристика нелинейного преобразователя импеданса определена уравнением
2
1
где i(i) - ток, протекающий через выходные выводы нелинейного преобразователя импеданса,
1
i - ток, протекающий через входные выводы нелинейного преобразователя импеданса,
0
ПН1
C1
0
1
1
ПН2
C2
0
2
2
ПТ
L
0
3
3
ПН1
С1
C1
ПН2
C2
2
ПТ
L
I - граничный ток между средним, проходящим через начало координат, сегментом передаточной характеристики нелинейного преобразователя импеданса и сопредельными с ним боковыми сегментами передаточной характеристики нелинейного преобразователя импеданса, а и b - вещественные коэффициенты, имеющие противоположные знаки, М и N - целые неотрицательные числа, напряжение на первом входном выводе нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на первом выходном выводе нелинейного преобразователя импеданса, напряжение на втором входном выводе нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на втором выходном выводе нелинейного преобразователя импеданса, передаточные характеристики первого и второго нелинейных преобразователей напряжения и нелинейного преобразователя тока определены уравнениями U(u)=UH(w), U=u(u)=UH(w) и i(i)=IH(w), соответственно, где u(u) - переменное напряжение между первым и вторым выходными выводами первого нелинейного преобразователя напряжения, u - переменное напряжение на первом конденсаторе, u(u) - переменное напряжение между первым и вторым выходными выводами второго нелинейного преобразователя напряжения, uC - переменное напряжение на втором конденсаторе, i(i) - переменный ток, протекающий через выходные выводы
j
j
j
1
1
2
2
3
3
причем d>>1, M, и N, целые неотрицательные числа, j=1, 2, 3, переменный ток, протекающий через выходные выводы первого нелинейного преобразователя напряжения, равен переменному току, протекающему в цепи первого конденсатора, переменный ток, протекающий через выходные выводы второго нелинейного преобразователя напряжения, равен переменному току, протекающему в цепи второго конденсатора, напряжение между первым и вторым выходными выводами нелинейного преобразователя тока равно напряжению между его первым и вторым входными выводами, каждый нелинейный преобразователь напряжения содержит усилитель напряжения, неинвертирующий вход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами нелинейного преобразователя напряжения, второй входной вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с инвертирующим входом усилителя напряжения и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен со вторым выходом усилителя напряжения и вторым выходным выводом нелинейного преобразователя напряжения, нелинейный преобразователь тока содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен со вторым входом нелинейного преобразователя тока и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен со вторым выходным выводом нелинейного преобразователя тока и неинвертирующим входом усилителя напряжения, второй выход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами нелинейного преобразователя тока, нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен с первым входным выводом нелинейного преобразователя импеданса и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом линейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с первым выходным выводом нелинейного преобразователя импеданса и неинвертирующим входом усилителя напряжения, второй выход которого соединен со вторым входным и вторым выходным выводами нелинейного преобразователя импеданса и общей шиной, каждый нелинейный двухполюсник содержит 1+2Max(Q,R) последовательно включенных активных четырехполюсников, где Max(Q,R) - большее из чисел Q и R, которые равны соответственно М и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса, M и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав первого нелинейного преобразователя напряжения, М и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав второго нелинейного преобразователя напряжения, M и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав нелинейного преобразователя тока, первый и второй выводы первого активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами нелинейного двухполюсника и выходами соответствующих первого и второго генераторов тока нелинейного двухполюсника, общие шины которых соединены с первой шиной питания, третий и четвертый выводы каждого предыдущего активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами последующего активного четырехполюсника, третий и четвертый выводы последнего, 1+2Max(Q,R)-го активного четырехполюсника соединены с соответствующими первым и вторым выводами резистора, линейный двухполюсник содержит резистор, первый и второй выводы которого, являющиеся соответствующими первым и вторым выводами линейного двухполюсника, соединены с соответствующими третьим и четвертым выводами активного четырехполюсника, первый и второй выводы которого соединены с выходами соответствующих первого и второго генераторов тока линейного двухполюсника, общие шины которых соединены с первой шиной питания, каждый активный четырехполюсник содержит первый и второй транзисторы, эмиттеры которых, являющиеся соответствующими первым и вторым выводами активного четырехполюсника, соединены с соответствующими первым и вторым выводами первого резистора, коллектор первого транзистора соединен с эмиттером третьего транзистора и базой четвертого транзистора, эмиттер которого соединен с коллектором пятого транзистора и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с базой пятого транзистора и первым выводом третьего резистора, второй вывод которого соединен с эмиттером пятого транзистора, базой второго транзистора и выходом первого генератора тока, общая шина которого соединена с первой шиной питания и общей шиной второго генератора тока, выход которого соединен с базой первого транзистора, эмиттером шестого транзистора и первым выводом четвертого резистора, второй вывод которого соединен с базой шестого транзистора и первым выводом пятого резистора, второй вывод которого соединен с коллектором шестого транзистора и эмиттером седьмого транзистора, база которого соединена с коллектором второго транзистора и эмиттером восьмого транзистора, база и коллектор которого соединены с четвертым выводом активного четырехполюсника и выходом третьего генератора тока, общая шина которого соединена с коллекторами четвертого и седьмого транзисторов, второй шиной питания и общей шиной четвертого генератора тока, выход которого соединен с базой и коллектором третьего транзистора и третьим выводом активного четырехполюсника, каждый усилитель напряжения содержит первый и второй транзисторы усилителя, базы которых являются соответствующими неинвертирующим и инвертирующим входами усилителя напряжения, эмиттер первого транзистора усилителя соединен с коллектором третьего транзистора усилителя и базой четвертого транзистора усилителя, эмиттер которого соединен с выходом первого генератора тока усилителя и эмиттером третьего транзистора усилителя, база которого соединена с коллектором четвертого транзистора усилителя и эмиттером второго транзистора усилителя, коллектор которого соединен с базой пятого транзистора усилителя и эмиттером шестого транзистора усилителя, база и коллектор которого соединены с выходом второго генератора тока усилителя и базой седьмого транзистора усилителя, эмиттер которого соединен с коллектором первого транзистора усилителя, эмиттер пятого транзистора усилителя соединен с коллектором восьмого транзистора усилителя и первым выводом первого резистора усилителя, второй вывод которого соединен с базой восьмого транзистора усилителя и первым выводом второго резистора усилителя, второй вывод которого соединен с эмиттером восьмого транзистора усилителя, выходом третьего генератора тока усилителя и первым выходом усилителя напряжения, коллектор пятого транзистора усилителя соединен с выходом четвертого генератора тока усилителя и эмиттером девятого транзистора усилителя, коллектор которого соединен с выходом пятого генератора тока усилителя и вторым выходом усилителя напряжения, база девятого транзистора усилителя соединена с третьей шиной питания, общие шины первого, третьего и пятого генераторов тока усилителя соединены с первой шиной питания, общие шины второго и четвертого генераторов тока усилителя соединены с коллектором седьмого транзистора и со второй шиной питания.
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
3
3
3
3
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Заявляемый генератор хаотических колебаний поясняется фиг.1, на которой изображена его схема электрическая принципиальная, фиг.2, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме генератора при его работе, фиг.3, на которой приведена схема электрическая принципиальная нелинейного преобразователя напряжения, фиг.4, на которой приведена схема электрическая принципиальная нелинейного преобразователя тока, фиг.5, на которой приведена схема электрическая принципиальная нелинейного преобразователя импеданса, фиг.6, на которой приведена схема электрическая принципиальная нелинейного двухполюсника, фиг.7, на которой приведена схема электрическая принципиальная активного четырехполюсника, фиг.8, на которой приведена схема электрическая принципиальная усилителя напряжения, фиг.9, на которой приведена безразмерная передаточная характеристика нелинейного преобразователя импеданса при М=0, N=1, фиг.10, на которой приведена безразмерная передаточная характеристика нелинейных преобразователей напряжения и тока, фиг.11, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора на плоскость (y,z) при M=N=М=N=M=N=0, М=0, N=1, а=1, b=-0.5, А=10, В=9, С=0.3, фиг.12, иллюстрирующая механизм образования простейшего составного мультиаттактора при M=l, N=M=N=M=N=0, М=0, N=1, а=1, b=-0.5, А=10, В=9, С=0.3, фиг.13, иллюстрирующая механизм образования составного мультиаттрактора при М=N=2, М=N=M=N=0, М=0, N=1, а=1, b=-0.5, А=10, В=9, С=0.3, фиг.14, иллюстрирующая механизм образования составного мультиаттрактора при M=N=2, M=N=M=N=0, М=0, N=1, а=1, b=-0.5, А=10, В=9, С=0.3, фиг.15, иллюстрирующая механизм образования составного мультиатрактора при М=N=2, М=N=M=N=0, M=0, N=1, а=1, b=-0.5, А=10, В=9, С=0.3, фиг.16, на которой приведено трехмерное изображение безразмерного странного аттрактора при М=0, N=1, а=1, b=-0.5, А=10, В=9, С=0.3, M=N=M=N=M=N=1, d=d=d=10, h≈0.4, h≈5.4, h≈2.7, s=0, s≈2.3, s≈0.7, фиг.17, 18 и 19, на которых приведены примеры проекции этого аттрактора на плоскости (x,у), (x,z) и (y,z), соответственно, фиг.20, 21 и 22, на которых приведены соответствующие хаотическому аттрактору на фиг.16 примеры временных зависимостей безразмерных х, у и z, фиг.23, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме нелинейного преобразователя напряжения при его работе, фиг.24, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме нелинейного преобразователя тока при его работе.
Генератор хаотических колебаний содержит первый 1 и второй 2 конденсаторы, индуктивный элемент 3, первый 4 и второй 5 резисторы, нелинейный преобразователь импеданса 6, первый 7 и второй 8 нелинейные преобразователи напряжения, нелинейный преобразователь тока 9, каждый нелинейный преобразователь напряжения содержит усилитель напряжения 10, резистор 11 и нелинейный двухполюсник 12, нелинейный преобразователь тока содержит усилитель напряжения 13, резистор 14 и нелинейный двухполюсник 15, нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения 16, линейный двухполюсник 17 и нелинейный двухполюсник 18, линейный двухполюсник содержит резистор 19, активный четырехполюсник 20, первый 21 и второй 22 генераторы тока линейного двухполюсника, нелинейный двухполюсник содержит резистор 23, активные четырехполюсники 24, первый 25 и второй 26 генераторы тока нелинейного двухполюсника, каждый активный четырехполюсник содержит первый 27, второй 28, третий 29, четвертый 30, пятый 31, шестой 32, седьмой 33 и восьмой 34 транзисторы, первый 35, второй 36, третий 37, четвертый 38 и пятый 39 резисторы, первый 40, второй 41, третий 42 и четвертый 43 генераторы тока, каждый усилитель напряжения содержит первый 44, второй 45, третий 46, четвертый 47, пятый 48, шестой 49, седьмой 50, восьмой 51 и девятый 52 транзисторы усилителя, первый 53 и второй 54 резисторы усилителя, первый 55, второй 56, третий 57 четвертый 58 и пятый 59 генераторы тока усилителя.
Запишем уравнения, описывающие работу данного генератора (см. фиг.2):
C2
C2
C1
C2
L
L
где C1 и С2 - емкости первого 1 и второго 2 конденсаторов; L - индуктивность индуктивного элемента 3; R1 и R2 - сопротивления соответственно первого 4 и второго 5 резисторов; u и u - переменные напряжения на первом 1 и втором 2 конденсаторах, соответственно; i, и i, - переменные токи, протекающие в цепях первого 1 и второго 2 конденсаторов, соответственно; u и i - переменное напряжение на индуктивном элементе 3 и протекающий через него переменный ток, соответственно.
Учитывая, что
и разрешив уравнения (1) относительно производных
получим следующую систему дифференциальных уравнений:
где
Вводя безразмерные переменные  и безразмерное время  представим полученные уравнения в безразмерном виде:
где
- безразмерная передаточная характеристика нелинейного преобразователя импеданса.
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Из фиг.10, на которой показана функция H/Wj), видно, что она представляет собой кусочно-линейную многосегментную функцию, содержащую M+N+1 сегментов с единичным наклоном и M+N сегментов с наклоном -d. Протяженность по аргументу (х, у или z) сегментов с единичным наклоном равна 2h, протяженность по аргументу сегментов с наклоном -d равна 2h/d. Коэффициент s задает величину смещения функции H(w) относительно начала координат вдоль проходящего через начало координат сегмента с единичным наклоном.
Такая нелинейность передаточных характеристик первого и второго преобразователей напряжения и преобразователя тока необходима для того, чтобы обеспечить условия формирования составного мультиаттрактора.
1
1
2
2
3
3
1
2
3
При M=N=M=N=М=N=0, когда H(x)=x, Н(y)=y, Н(z)=z, заявленный генератор хаотических колебаний генерирует хаотические колебания, соответствующие уравнениям:
1
1
2
2
3
3
Например, при М=0, N=1, a=1, b=-0.5, A=10, B=9, C=0.3, M=N=M=N=M=N=0, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.77 (фиг.11)
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
Положим теперь М=1, оставив N=M=N=М=N=0. При этом функция Н(х) примет вид, показанный на фиг.12 В этом случае вид колебаний в генераторе будет зависеть от значений коэффициентов h и s, задающих положение границ между сегментами нелинейной функции H(x).
1
1
1
Пока эти границы не пересекаются с аттрактором, колебания в генераторе ничем не будут отличаться от случая линейной функции H(x)=x, так как движение по координате х происходит на сегменте функции Н(х) с единичным наклоном, проходящим через начало координат. Однако при уменьшении h до 0.4, когда максимальные размеры аттрактора по координате х превысят соответствующие размеры этого сегмента, фазовые траектории будут иногда пересекать границу между сегментами и переходить на сегмент с наклоном -d и далее на соседний сегмент с единичным наклоном.
При нахождении рабочей точки в пределах второго линейного сегмента с единичным наклоном колебания в генераторе происходят в соответствии с уравнениями:
так как второй линейный сегмент с единичным наклоном смещен относительно первого по оси х на интервал [2h-s]. Если произвести замену переменных x1=x-2h+s и учесть, что  получим систему уравнений
которая ничем не отличается от уравнений (1). Поэтому при движении на соседнем (втором) сегменте с единичным наклоном воспроизводится исходный хаотический аттрактор, смещенный относительно исходного на интервал [2h-s] по оси х.
1
Когда траектория вновь пересечет границу между сегментами, движение возвратится на исходный хаотический аттрактор и т.д. В результате образуется составной хаотический аттрактор, объединяющий два одинаковых аттрактора (фиг.12). Аналогично образуется составной мультиаттрактор при большем числе сегменов в составе функции H(x) (фиг.13).
Таким же образом происходит образование составных мультиаттракторов, состоящих из копий исходного аттрактора, упорядоченных вдоль осей у и z, - для этого служат нелинейности второго нелинейного преобразователя напряжения и нелинейного преобразователя тока (фиг.14 и фиг.15, соответственно).
j
j
Если одновременно нелинейными являются две функции H(w), описанным образом реализуются «двумерные» составные мультиаттракторы (фиг.17, 18 и 19).
j
j
И, наконец, когда все три функции H(w) содержат несколько сегментов с единичным наклоном, образуется «трехмерный» составной мультиаттрактор, пример которого показан на фиг.16 описания изобретения.
Значения старшего характеристического показателя Ляпунова при различных значениях коэффициентов уравнений (3), соответствующих рассмотренным выше ситуациям равны:
При М=0, N=1, а=1, b=-0.5, А=10, В=9, С=0.3
1
1
2
2
3
3
- в случае M=N=M=N=M=N=0, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.17 (фиг.12);
1
1
2
2
3
3
1
1
1
- в случае M=N=1, М=N=М=N=0, d=10, h≈0.4, s=0 старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.17 (фиг.13);
2
2
1
1
3
3
2
2
2
- в случае M=N=1, M=N=M=N=0, d=10, h≈5.4, s≈-2.3 старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.18 (фиг.14);
3
3
1
1
2
2
3
3
3
- в случае М=N=1, M=N=M=N=0, d=10, h≈2.7, s≈0.7 старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.18 (фиг.15);
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
- в случае M=N=М=N=М=N=1, d=d=d=10, h≈0.4, h≈5.4, h≈2.7, s=0, s≈-2.3, s≈-0.7 старший характеристический показатель Ляпунова близок к 0.18 (фиг.16).
j
j
j
j
j
При данных значениях коэффициентов a, b, А, В, С, М, N, M, N, d, h, s, j=1, 2, 3 в заявленном генераторе наблюдаются хаотические колебания, характеризующиеся наличием составного странного мультиаттрактора, состоящего из нескольких копий хаотического аттрактора, показанного на фиг.11.
Параметры передаточной характеристики нелинейного преобразователя импеданса равны
где R3 - сопротивление резистора 19, входящего в состав линейного двухполюсника 17; R4 - сопротивление первого резистора 35, содержащегося в активном четырехполюснике 20, входящем в состав линейного двухполюсника 17; R5 - сопротивление первого резистора 35, содержащегося в первом активном четырехполюснике 24, входящем в состав нелинейного двухполюсника 18, содержащегося в нелинейном преобразователе импеданса; R6 - значение входящего в состав нелинейного двухполюсника 18 сопротивления резистора 23 и сопротивлений первых резисторов 35, содержащихся в остальных, со второго по 1+2Max(M,N)-й, активных четырехполюсниках 24, входящих в состав нелинейного двухполюсника 18, содержащегося в нелинейном преобразователе импеданса.
1
2
2
1
3
4
3
4
3
4
При M=N ток I равен значению выходных токов третьего 42 и четвертого 43 генераторов тока, входящих в состав активных четырехполюсников 24, содержащихся в нелинейном двухполюснике 18, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса. При этом значение выходных токов I генераторов тока 25 и 26, содержащихся в нелинейном двухполюснике 18, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса, определяются выражением I=KI, где К=1+2Max(M,N) - количество активных четырехполюсников 24 в составе нелинейного двухполюсника 18, входящего в состав нелинейного преобразователя импеданса. Значение выходных токов I третьего 42 и четвертого 43 генераторов тока, входящих в состав активного четырехполюсника 20, содержащегося в линейном двухполюснике 17, равно значению выходных токов I содержащихся в нем генераторов тока 21 и 22, I=I. Причем значения токов I и I определяются выражением  где |a| и |b| - абсолютные значения коэффициентов а и b.
1
Случай M>N отличается от случая M=N тем, что выходные токи третьих генераторов тока 42, входящих в состав 2(M-N)-го и 2(M-N)-1-го активных четырехполюсников 24, содержащихся в нелинейном двухполюснике 18, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса, соответственно увеличиваются и уменьшаются на одинаковую величину ΔI=(0.7…0.9)I.
1
Случай N>M отличается от случая M=N тем, что выходные токи четвертых генераторов тока 43, входящих в состав 2(N-M)-го и 2(N-M)-1-го активных четырехполюсников 24, содержащихся в нелинейном двухполюснике 18, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса, соответственно увеличиваются и уменьшаются на одинаковую величину ΔI=(0.7…0.9)I.
j
j
j
j
j
Параметры передаточной характеристики j-го нелинейного преобразователя напряжения равны  при условии, что  где R7 - сопротивление резистора 11, входящего в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения; R8 - сопротивление первого резистора 35, содержащегося в первом активном четырехполюснике 24, входящем в состав нелинейного двухполюсника 12, содержащегося в j-ом нелинейном преобразователе напряжения; R9 - значение сопротивления входящего в состав нелинейного двухполюсника 12 резистора 23 и сопротивлений первых резисторов 35, содержащихся в остальных, со второго по 1+2Мах{М,N)-й, активных четырехполюсниках 24, входящих в состав нелинейного двухполюсника 12, содержащегося в j-ом нелинейном преобразователе напряжения.
j
j
1j
1j
2j
2j
j
1j
1j
3j
j
j
j
3j
3j
1j
1j
1j
1j
1j
1j
3j
1j
1j
При M=N токи I и J равны значениям выходных токов соответственно третьих 42 и четвертых 43 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 24, и значениям выходных токов соответственно четвертых 43 и третьих 42 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 24, содержащихся в нелинейном двухполюснике 12, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения. При этом значение выходных токов I, генераторов тока 25 и 26, содержащихся в нелинейном двухполюснике 12, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения, определяются выражением I=К(I+J)+I, где K=Мах(М,N), I - значение выходных токов третьего 42 и четвертого 43 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 12, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения, причем ток I, в несколько раз больше тока Max(I,J), где Max(I,J) - наибольший из токов I J, то есть I=(2…5)Max(I,J).
j
j
j
j
j
j
3j
1j
Случай M<N отличается от случая M=N тем, что выходной ток третьего 42 генератора тока, входящего в состав 1+2(N-М)-го активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 12, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения, устанавливается равным току I,, а выходной ток третьего 42 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 12, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения, устанавливается равным току I.
j
j
j
j
j
j
3j
1j
Случай N<M отличается от случая M=N тем, что выходной ток четвертого 43 генератора тока, входящего в состав 1+2(М-N)-го активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 12, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения, равен току I, а выходной ток четвертого 43 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 12, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя напряжения, устанавливается равным току J.
Параметры передаточной характеристики нелинейного преобразователя тока равны  при том что  где R10 - сопротивление резистора 14, входящего в состав нелинейного преобразователя тока;
3
3
R11 - сопротивление первого резистора 35, содержащегося в первом активном четырехполюснике 24, входящем в состав нелинейного двухполюсника 15, содержащегося в нелинейном преобразователе тока; R12 - значение входящего в состав нелинейного двухполюсника 15 сопротивления резистора 23 и сопротивлений первых резисторов 35, содержащихся в остальных, со второго по 1+2Max(M,N)-й, активных четырехполюсниках, входящих в состав нелинейного двухполюсника 15, содержащегося в нелинейном преобразователе тока.
3
3
13
13
23
23
3
13
13
33
3
3
3
33
33
13
13
13
13
13
13
33
13
13
При М=N токи I и J равны значениям выходных токов соответственно четвертых 43 и третьих 42 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 24, и значениям выходных токов соответственно третьих 42 и четвертых 43 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 24, содержащихся в нелинейном двухполюснике 15, входящем в состав нелинейного преобразователя тока. При этом значение выходных токов I генераторов тока 25 и 26, содержащихся в нелинейном двухполюснике 15, входящем в состав нелинейного преобразователя тока, определяются выражением I=K(I+J)+I, гдe K=Мах(М,N), I - значение выходных токов третьего 42 и четвертого 43 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 15, входящем в состав нелинейного преобразователя тока, причем ток I в несколько раз больше тока Max(I,J), где Max(I,J) - наибольший из токов I и J, то есть I=(2…5)Max(I,J).
3
3
3
3
3
3
33
13
Случай M<N отличается от случая M=N тем, что выходной ток третьего 42 генератора тока, входящего в состав 1+2(N-M)-го активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 15, входящем в состав нелинейного преобразователя тока, устанавливается равным току I, а выходной ток третьего 42 генератора тока, входящего в состав первогого активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 15, входящем в состав нелинейного преобразователя тока, устанавливается равным току J.
3
3
3
3
3
3
33
13
Случай N<M отличается от случая M=N тем, что выходной ток четвертого 43 генератора тока, входящего в состав 1+2(М-N)-го активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 15, входящем в состав нелинейного преобразователя тока, равен току I, а выходной ток четвертого 43 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 24, содержащегося в нелинейном двухполюснике 15, входящем в состав нелинейного преобразователя тока, устанавливается равным току I.
5
бэ
5
бэ
Сопротивления второго 36, третьего 37, четвертого 38 и пятого 39 резисторов и выходные токи первого 40 и второго 41 генераторов тока, содержащихся в каждом активном четырехполюснике, связаны следующими соотношениями IR14=(1.2…2)U, R13=(1…10)R14, где R13 - значение сопротивлений второго 36 и пятого 39 резисторов, R14 - значение сопротивлений третьего 37 и четвертого 38 резисторов, I - значение выходных токов первого 40 и второго 41 генераторов тока, U - значение базо-эмиттерного наряжения пятого 31 и шестого 32 транзисторов, входящих в состав активного четырехполюсника.
y1
y2
y3
y5
y4
y1
y2
y3
y4
y5
Выходные токи генераторов тока, содержащихся в усилителе напряжения, должны удовлетворять следующим соотношениям I=2I, I+I=I, где I - выходной ток первого 55 генератора тока усилителя, I - выходной ток второго 56 генератора тока усилителя, I - выходной ток третьего 57 генератора тока усилителя, I - выходной ток четвертого 58 генератора тока усилителя, I - выходной ток пятого 59 генератора тока усилителя.
y3
y5
Причем значения токов I и I должны быть в несколько раз больше значения выходных токов первого 25 и второго 26 генераторов тока, содержащихся в нелинейном двухполюснике, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса, первого или второго нелинейных преобразователей тока или нелинейного преобразователя тока вместе с данным усилителем напряжения.
y3
бэ
бэ
Сопротивления первого 53 и второго 54 резисторов усилителя и выходной ток третьего 57 генератора тока, содержащихся в усилителе напряжения, связаны следующими соотношениями IR15=(1.2…2)U, R15=(1…10)R16, где R15 и R16 - значения сопротивлений первого 53 и второго 54 резисторов усилителя, U - значение базо-эмиттерного наряжения восьмого 51 транзистора усилителя.
Первый и второй преобразователи напряжения представляют собой нелинейные преобразователи импеданса, которые работают следующим образом (фиг.23).
Преобразователь напряжения содержит дифференциальный усилитель напряжения с высоким коэффициентом усиления, имеющий дополнительный токовый выход. Усилитель имеет высокие входные сопротивления по обоим входам и низкое выходное сопротивление по первому выходу. Дополнительный (второй) выход представляет собой выход повторителя тока с высоким выходным сопротивлением. Его назначение - генерировать ток, равный току, протекающему через первый низкоомный выход усилителя, так чтобы переменный ток, втекающий в первый выход усилителя, был равен переменному току, вытекающему из второго выхода усилителя (фиг.8).
C
1
c
НЛ
1
ПН
1
ПН
C
1
С учетом того, что разность потенциалов между входами усилителя напряжения и его входные токи пренебрежимо малы, падение напряжений на резисторе R1 равно падению напряжений u на конденсаторе, следовательно, ток i, протекающий в этом резисторе, равен u/R1, этот же ток протекает в цепи нелинейного резистора R, напряжение на котором зависит от величины протекающего через него тока i, а следовательно, от напряжения на конденсаторе u(i)=u(u/R).
ПН
C
1
НЛ
C
1
ПН
C
Вследствие пренебрежимо малой разности потенциалов между входами усилителя, напряжение между первым и вторым выходами нелинейного преобразователя напряжения равно падению напряжений на нелинейном резисторе u(u/R1). При этом ток, протекающий через конденсатор, равен сумме тока i, протекающего в цепи резисторов R1 и R, и тока i-i протекающего в цепи первого и второго выходов усилителя. Поэтому через выход нелинейного преобразователя напряжения протекает ток, равный току, протекающему через конденсатор (фиг.23). То есть реализуется указанная в формуле зависимость u(u).
ПТ
L
ПТ
L
ПТ
L
L
ПТ
L
L
ПТ
L
Нелинейный преобразователь тока представляет собой нелинейный преобразователь импеданса, который работает следующим образом (фиг.24). Он содержит такой же усилитель, что и нелинейные преобразователи напряжения. Так как разность потенциалов между входами усилителя пренебрежимо мала, напряжение между выходами нелинейного преобразователя тока равно напряжению на индуктивном элементе, кроме этого равны напряжения на линейном и нелинейном резисторах. Через нелинейный резистор протекает ток, равный току в цепи индуктивного элемента. В результате на нелинейном резисторе возникает зависящее от величины тока в индуктивном элементе падение напряжений u(i), под действием которого в цепи линейного резистора протекает ток i(i)=u(i)/R1. При этом на первый, низкоомный, выход усилителя поступает ток i-i(i), этот же ток вытекает из второго выхода усилителя и в сумме с током i поступает во внешнюю цепь. То есть, во внешнюю цепь поступает ток, протекающий в цепи линейного резистора i(i).
ПТ
L
L
ПТ
L
Таким образом, при подключении индуктивного элемента к внешней цепи через нелинейный преобразователь тока через выходы преобразователя протекает ток i(i), а между ними падает напряжение u. То есть реализуется указанная в формуле зависимость i(i).
Примером практической реализации заявленного генератора хаотических колебаний может служить схема, имеющая следующие параметры.
1
2
0
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
1
2
3
4
1
1
11
11
21
31
2
2
12
12
22
32
13
13
23
33
Пусть R1=1 кОм, С1=0.1 мкФ, R3=4 кОм, R5=500 Ом, R7=R7=R10=11 кОм, I=333 мкА. Тогда в случае M=N=М=N=M=N=1, d=d=d=10, h≈0.4 h≈5.4, h≈2.7, s=0, s≈-2.3, s≈0.7, при M=0, N=1, a=1, b=-0.5, A=10, B=9, C=0.3, хаотические колебания, соответствующие этим параметрам уравнений (3), наблюдаются при следующих номиналах колебательной системы генератора: С≈0.01 мкФ, L1≈11 мГн, R2≈3.3 кОм, нелинейного преобразователя импеданса: R4≈800 Ом, R6≈333 Ом, I≈1 мА, I≈3 мА, I=I≈3 мА, первого нелинейного преобразователя напряжения: R8≈11 кОм, R9≈1 кОм, I=J≈145 мка, I≈0.79 мА, I≈0.5 мА, второго нелинейного преобразователя напряжения: R8≈11 кОм, R9≈1 кОм, I≈1 мA, J≈ 3 мА, I≈12 мА, I≈8 мА, нелинейного преобразователя тока: R11≈11 кОм, R12≈1 кОм, I≈0.75 мА, J≈1.25 мA, I≈6 мА, I≈4 мА, усилителя напряжения:
y1
y2
y3
y5
y4
5
R15≈10 кОм, R16≈1 кОм, I≈400 мкА, I≈200 мкА, I=I≈7.5 мА, I≈15 мА, элементов цепей смещения постоянного напряжения в нелинейных преобразователях напряжения и тока: R13≈5 кОм, R14≈1 кОм, I≈1 мА.
Соответствующие этим значениям параметров генератора примеры безразмерного странного аттрактора, его проекций на плоскости (x,y), (x,z) и (y,z), а также примеры зависимостей безразмерных переменных х, у и z от времени, приведены на фиг.16-22.
Таким образом, заявленный генератор хаотических колебаний выгодно отличается от прототипа и аналогов, в которых перестройка хаотического сигнала возможна только за счет изменения параметров исходного хаотического аттрактора, тем, что он позволяет реализовать составной хаотический мультиаттрактор, получаемый объединением исходного хаотического аттрактора с одной или более его копиями, вследствие чего его перестройку можно дополнительно осуществлять изменением количества и взаимного расположения входящих в его состав компонентов, благодаря чему заявленный генератор обладает значительно большими возможностями перестройки параметров генерируемого хаотического сигнала.