Наиболее общее описание связи между тензорами напряжений и деформаций в нелинейных изотропных средах

Отметим также, что для оценок использовались результаты модели коллективного движения молекул воды в воде. При этом сделан вклад в понимание механизма плавления льда: плавление - это процесс, идущий по достижении определенной температуры, при которой ослабленные связи между молекулами начинают разрываться, и после какого времени разрыва снова восстанавливаются. Таким образом, каждая межмолекулярная связь в воде какое-то время существует и какое-то время разорвана. Это является причиной того, что колебательные единицы льда, сохраняя свою в целом структуру и свою колебательную функцию, становятся одновременно кинетическими единицами. Частота перемещений молекул в связи с этим возрастает на 5 порядков, и лед превращается в воду.

Литература

1. Эйзенберг Д., Кауцман В. Структура и свойства воды / Д. Эйзенберг, В. Кауцман, Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 280 с.

2. Яшкичев В. И., Шилин И. А. Вероятностный подход к теплоемкости воды / В. И. Яшкичев, И. А. Шилин, Ж. Наука и мир, 2014. № 2. ХХ.

3. Jashkichev V. I. A model of collective water molecule motion in water / V. I. Jashkichev. J. Avances in Molecular Relaxation and Interaction Processes, 1982. 24. 157.

4. Walrafen G. E. Raman spectral studies of water structure / G. E. Walrafen J. Chem. Phys, 1964. 40. 3249.

Наиболее общее описание связи между тензорами напряжений и деформаций в

нелинейных изотропных средах Ошхунов М. М.

Ошхунов Муаед Музафарович / OshkhunovMuaedMuzafarovich — доктор технических наук, профессор,

кафедра вычислительной математики, институт физики и математики, Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик

Аннотация: предлагается общая полиномиальная связь между тензорами напряжений и деформаций в изотропных нелинейных средах. Предполагается, что определяющие функции, входящие в этот закон, зависят от трех инвариантов тензора напряжений или деформаций. В частных случаях данная зависимость переходит в известные более простые законы связи между напряжениями и деформациями в нелинейных средах. Даны условия, обеспечивающие корректность известных теорем механики деформируемого твердого тела, как принцип Лагранжа (минимум потенциальной энергии) и принцип Кастильяно (минимум дополнительной работы). Ключевые слова: тензор напряжений и деформаций, определяющие законы для описания нелинейных свойств механики, принцип Лагранжа, принцип Кастильяно, вариационные теоремы.

Рассмотрим классическую модель теории упругости, состоящую из уравнений равновесия

Cijj+X^O,

соотношений Коши между тензором напряжений atj и деформацией £у вида

и i,J+uJ, д •

связи между тензором напряжений и деформаций в виде полинома

Gij =

ffy = <PoSij + p ij + <p2EikEkJ +   -Здесь в формулах (1)-(3) запятая означает дифференцирование

по соответствующей декартовой координате, по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3, щ - неизвестные значения перемещения сплошной среды под действием внешних нагрузок, -тензор Кронокера, X i - компоненты массовых сил, p0, pь p2 зависят от трех инвариантов тензора деформаций Еь Е2, Е3.

Выберем в качестве независимых инвариантов тензора деформаций значения

Е i = ZijSij,

Е2 = J ÉijEij,

Ез = У elkekjelj-

Чтобы завершить построение математической модели деформирования сплошной среды с нелинейными свойствами необходимо задать граничные условия смешанного типа

и i\Sl = Щ, GijnjlS2 = a?, i,j = 1,2,3.

8

Здесь uf, - заданные значения перемещения и напряжения на поверхностях 5! и S2 соответственно, S = S-l + S2 - полная поверхность тела, n¡ - направляющие косинусы единичного вектора, перпендикулярного к поверхности S2.

В соответствии с известной теоремой Келли Гамильтона симметричный тензор второго ранга удовлетворяет своему характеристическому уравнению, которое, очевидно, для тензора Оу будет уравнением третьего порядка. Следовательно, любые тензорные степени выше второго можно выразить через слагаемые второй и первой степени, а также единичную матрицу Кронекера Stj. Из этого следует, что полиномиальное разложение вида (3) является наиболее общим представлением между тензорами напряжений и деформаций в виде ряда Тейлора.

Представление (3) содержит как частный случай известные законы, описывающие свойства нелинейных материалов в частности теорию малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина [1], двухинвариантные модели Д. Л. Быкова [2], а также модели, учитывающие влияние температуры, М. М. Ошхунова [3, 4].

Для специального вида представления (3), когда вместо тензора деформаций £у используется его

д

девиатор e£j- = £у , в = El. В работах [5] получены условия, обеспечивающие справедливость

теоремы о минимуме потенциальной энергии (принцип Лагранжа). В случае, когда соотношения (3) обратимы и тензор деформаций разлагается в ряд по степеням тензора напряжений в виде полинома, в работе [6] получены условия минимума дополнительной работы (принцип Кастильяно). В частных случаях из этих условий следует широко известные ограничения, полученные в работах [1, 2]. В работe [7] рассматриваются условия сходимости итерационных процессов в пространстве С.Л. Соболева, сводящих решение нелинейной задачи к решению последовательности линейных задач.

Литература

1. Ильюшин А. А. Победря Б. Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука, 1970. 281 c.

2. Быков Д. Л., Ильюшин А. А., Огибалов П. М., Победря Б. Е. Некоторые основные проблемы теории термовязко-упругости // Механика композитных материалов, 1971. № 1. С. 41.

3. Ошхунов М. М. О скорости сходимости итерационных процессов нелинейной упругости // Прикладная механика, 1995. Т. 31. С. 117.

4. Комаров Г. Н., Ошхунов М. М. О разрешимости физически нелинейных задач теории упругости // Украинский математический журнал, 1996. № 6. С. 132.

5. Oshkhunov M. M., Ozden S. The general stress and strain relationship in non-linear materials // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2000. № 35. P. 763-767.

6. OshhkunovM. M., Ozden S. The conditions of minimum potential energy and Castigliano's functional in non-linear media // International Journal of Non-Linear Mechanics, 2003. № 38. P. 71-77.

7. Nagoev Z. V., Oshkhunov M. M. Discrete-dynamic particle method in problems of mechanics of deformable solids // Mechanics of Solids, 2011. Т. 46. № 4. С. 622-634.

О введении канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче

Баррара Севрюков П. Ф.

Севрюков Павел Фёдорович /SevryukovPavel Fyedorovich - кандидат физико-математических наук, доцент,

кафедра математики и информатики, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь

Аннотация: вводятся канонические переменные «действие-угол» в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Ключевые слова: спутник, гравитационный потенциал, возмущённая задача Баррара, переменные «действие-угол», канонические оскулирующие переменные.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид