Цифровой алгоритм высокоточной оценки частоты гармонического сигнала на фоне аддитивного гауссовского шума

УДК 621.37

ЦИФРОВОЙ АЛГОРИТМ ВЫСОКОТОЧНОЙ ОЦЕНКИ ЧАСТОТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОГО ГАУССОВСКОГО ШУМА Д.С. Гнездилов, В.А. Сладких, В.М. Стопкин, Б.В. Матвеев

Разработан алгоритм высокой точности для оценки частоты гармонического сигнала на фоне аддитивного гауссовского шума. Эффективность работы алгоритма при различных отношениях сигнал - шум подтверждена методом математического моделирования

Ключевые слова: цифрой алгоритм, оценка частоты, рекурсия, интерполяция

Введение

Измерение центральной частоты радиосигналов является неотъемлемой задачей средств радиоконтроля. В настоящее время наиболее подходящими для автоматизированных аппаратнопрограммных комплексов радиоконтроля являются цифровые методы измерения частоты, обеспечивающие большую точность и скорость измерений при стабильных результатах, а также позволяющие одновременно выполнять усреднение и другие статистические операции.

Среди цифровых методов измерения частоты большое распространение получил спектральный метод, основанный на вычислении быстрого преобразования Фурье (БПФ). Частота сигнала в данном методе измерения оценивается по максимальной спектральной составляющей. При этом точность измерения частоты зависит от шага сетки БПФ. Для получения более точной оценки необходимо увеличивать число точек БПФ, что приводит к резкому возрастанию вычислительной сложности алгоритма [1]. В связи с этим при заданном шаге сетки БПФ для уточнения оценки частоты целесообразно использовать различные интерполяционные методы. Существует большое количество интерполяционных методов. В [2] рассмотрены методы, основанные на расчете взвешенного центра по трем точкам - рассчитанным коэффициентам БПФ. В [3] функция ошибки частоты определяется значениями двух вычисленных коэффициентов БПФ.

В данной статье рассматривается цифровой алгоритм высокоточной оценки частоты гармонического сигнала, основанный на вычислении БПФ, грубой оценке частоты сигнала и последующем уточнении частоты интерполяционным методом. Разработанный алгоритм может применяться в программном обеспечении современных измерительных систем и систем радиоконтроля.

Г рубая оценка частоты

Пусть принимаемый сигнал r (t) представляет собой сумму полезного сигнала и аддитивного гауссовского шума:

r

где s (t) - комплексный гармонический сигнал с частотой f ,

h (t) - аддитивный гауссовский шум с нуле-

2

вым средним и дисперсией s .

Для грубой оценки частоты принимаемого сигнала используется следующий алгоритм:

1. На интервале длительностью T = N • At берется N равномерных комплексных отсчетов r [n ] с

интервалом At = Yr , где fi - частота дискре-

/ ii

тизации, а N - целое число, обуславливающее размер исследуемой выборки сигнала.

2. Вычисляется преобразование Фурье:

N -1 2 •к

X [k ] = X x [n ] • exP

n =0 N

k = 0,...,N -1 - номер спектральной составляющей.

3. Определяется индекс максимальной спектральной составляющей:

k max = maX [|X [k ]|]

k

и соответствующая ей оценка частоты:

f = k • fi/

J 0 max /N V '

При высоком отношении сигнал/шум истинное значение частоты исследуемого радиосигнала будет находиться в диапазоне:

f G [ f 0 - ( ^/2• N ), f 0 + ( f^ N )].

Для уточнения частоты сигнала по имеющимся ____________________________________ данным определяется оценка относительной часто-

Гнездилов Дмитрий Сергеевич - ВГТУ, аспирант, тел. ты $ = С (к шах), где

8-919-235-8701

Сладких Владимир Александрович - ВГТУ, аспирант, тел.

8-950-775-0267

Стопкин Виктор Михайлович - ЗАО «ИРКОС», инженер-программист, тел. (473) 239-23-00

Матвеев Борис Васильевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-960-138-4561

G (k) =

'x [k +1]| л

1 - 0.5

+ 0.5 + k

-0.5

— 0.5 + k

\x [ k +1] + |x [k ]| если

если

после чего рассчитывается уточненная частота сигнала:

f 0 =

h_

N

Интерполяция

Для получения более точной оценки частоты по грубой оценке предлагается рекурсивный алгоритм ДПФ интерполяции, описанный в [4]. Сначала определяются коэффициенты:

a = X x [ k ] • exp

n =0

N —1

p = Xx [k ] • exP

-i • 2 • p • n •

— i • 2 • p • n •

ft 2 • N

V J і

f: +, 1

fі 2 • N

V j і

Затем определяется частотная поправка, которая представляет собой зависимость оценки частоты от величины ошибки в пределах одного отсчета [5]:

12 її?

л/ ч = 1 pi —a ,

Л m (x ) 4 N P I2 I I2 fi

4 • N P + a

f m+1 =f m +Afm

В [4] для достижения достаточной на практике точности рекомендуется выбирать количество итераций m = 3.

Характеристики алгоритма оценки частоты были получены методом математического моделирования. Для оценки эффективности работы алгоритма было проведено сравнение s f - среднеквадратичного значения (/J - f )/ fd с границей Крамера - Рао [4]:

s Кр =------2------~2-----------,

(2• к )2 • N •(N 2 -1)• () где SNR - значение соотношения сигнал-шум.

При проведении эксперимента моделировался комплексный гармонический сигнал со случайной равномерно распределенной в диапазоне [0... f i ]

частотой. Для каждого значения отношения сигнал/шум в диапазоне -10___+10 дБ с шагом 2 дБ про-

водился 500 тысяч экспериментов по измерению частоты. Число точек взятия БПФ равно N=16 и

N=1024. Результаты среднеквадратичной ошибки

С г в зависимости от отношения сигнал/шум при

разном количестве итераций рекурсивного алгоритма представлены на рис. 1 и 2.

Рис. 1. Ошибка оценки частоты от «сигнал - шум» в дБ, число точек БПФ = 16.

БЖ, дБ

Рис. 2. Ошибка оценки частоты от «сигнал - шум» в дБ, число точек БПФ = 1024.

На рисунках 3-6 представлены зависимости среднеквадратичной ошибки с для алгоритма,

описанного в [4], без уточнения положения максимальной спектральной составляющей, и разработанного алгоритма для разной размерности БПФ при количестве итераций т = 3.

SNR, дБ

Рис. 3. Ошибка оценки частоты от «сигнал - шум» в дБ, число точек БПФ = 16.

n =0

Из рисунков 3-6 видно, что уточнение положения максимального отсчета в частотной области перед интерполяцией сигнала позволяет уменьшить среднеквадратическое значение погрешности частоты. Особенно заметен выигрыш предложенного алгоритма для низких значений размерности БПФ N £ 512 и низких значений отношения сигнал/шум. Стоит отметить, что дополнительные вычислительные затраты предложенного алгоритма для уточнения оценки частоты минимальны.

Заключение

Таким образом, в данной статье предложен алгоритм измерения частоты гармонического сигнала на фоне аддитивного гауссовского шума, позволяющий получить высокоточную оценку частоты сигнала. Отличие алгоритма от известного рекурсивного алгоритма измерения частоты заключается в уточнении положения максимальной спектральной составляющей перед проведением интерполяции. Предложенный алгоритм имеет выигрыш в точности оценки частоты, что особенно заметно при низком отношении сигнал/шум и малой размерности БПФ. Алгоритм может применяться для высокоточной оценки частоты сигнала в программном обеспечении систем связи, радиоконтроля и радиолокации.

Литература

1. E. Aboutanios, “Frequency estimation for low earth orbit satellites,” Ph.D. dissertation, Univ. of Technology, Sydney, Australia, 2002.

2. Гнездилов Д. С. Сравнительный анализ цифровых интерполяционных алгоритмов оценки частоты радиосигнала / Д.С. Гнездилов, Б.В. Матвеев // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 2. С.37-39.

3. David C. Rife, Robert R. Boorstyn // Single-Tone Parameter Estimation from discrete time observations // IEEE Transactions on information theory, September 1974, vol. IT-20, NO 5.

4. Sam Reisenfeld and Elias Aboutanios //A new algorithm for the estimation of the frequency of a complex exponential in additive Gaussian noise // IEEE Communications letters, November 2003, vol. 7, NO 11.

5. Frequency estimation // Australian Provisional Patent 2002950296 // Univ. of Technology, Sydney, July 19,

2002.

число точек БПФ = 512.

Воронежский государственный технический университет Закрытое акционерное общество «ИРКОС»

DIGITAL ALGORITHM FOR ACCURATE ESTIMATION OF THE MEASURED FREQUENCY OF THE HARMONIC SIGNAL IN ADDITIVE GAUSSIAN NOISE D.S. Gnezdilov, V.A. Sladkih, V.M. Stopkin, B.V. Matveev

An algorithm developed for high precision estimates of frequency harmonic signal in Additive Gaussian noise. By

experiment shows the effectiveness of the algorithm under different signal-to-noise ratios

Рис. 4. Ошибка оценки частоты от «сигнал - шум» в дБ, число точек БПФ = 128

SNR, дБ

Рис. 5. Ошибка оценки частоты от «сигнал - шум» в дБ,число точек БПФ = 256.

Рис. 6. Ошибка оценки частоты от «сигнал - шум» в дБ,

Key words: digit algorithm to estimate the frequency, recursion, interpolation