Метод инвариантных преобразований для определения поперечных компонент электромагнитного поля в гиротропных ограниченных областях

УДК 537.876:537.622.4

©Г. Б. Итигилов, Д.Ш. Ширапов

МЕТОД ИНВАРИАНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОМПОНЕНТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ГИРОТРОПНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Методом инвариантных преобразований получены аналитические выражения для поперечных компонент электромагнитного поля в закрытой гиротропной области с ортогональной криволинейной формой поперечного сечения при произвольном намагничивании. Такой подход позволяет легко перейти к конкретным формам поперечного сечения (прямоугольной, круглой и эллиптической) при различных случаях намагничивания (продольном, касательном, нормальном). В данной работе рассматривается продольное намагничивание.

Ключевые слова: поперечные компоненты электромагнитного поля, намагничивание, гиротропное заполнение, ограниченная область, символы Кристоффеля, коэффициенты Ламэ.

G.B. Itigilov, D.Sh. Shirapov

METHOD OF INVARIANT TRANSFORMATIONS FOR DEFINITION CROSS-SECTION A COMPONENT OF AN ELECTROMAGNETIC FIELD IN GIROTROPIC THE LIMITED AREAS

The method of invariant transformations receives analytical expressions for cross-section a component of an electromagnetic field in closed girotropic areas with the orthogonal curvilinear form of cross-section section at any magnetization. Such approach allows to proceed easily to concrete forms of cross-section section (rectangular, round and elliptic) at various cases of magnetization (longitudinal, касательном, normal). In the given work longitudinal magnetization is considered.

Keywords: cross-section components of an electromagnetic field, magnetization, girotropic filling, limited area, symbols of Kristoffel, coefficients of the Lame.

Введение

Распространение электромагнитных волн (ЭМВ) в намагниченной ферритовой (гиротропной) среде характеризуется тем, что фазовая скорость, затухание и поляризация распространяющейся волны зависят от величины напряженности внешнего магнитного поля и его направления относительно направления распространения волны. Вследствие этого условия распространение волн в направляющих системах с гиротропным заполнением можно сознательно изменять в широких пределах, изменяя величину и направление магнитного поля [1].

Для исследования условий распространения электромагнитных волн в регулярной гиротропной ограниченной области с криволинейной ортогональной формой поперечного сечения, намагниченной вдоль одной из координатных осей, необходимы инвариантные преобразования на основе тензорного исчисления (метод инвариантных преобразований - МИП). Удобство применения МИП для математического анализа ограниченных областей с обобщенно-ортогональной формой поперечного сечения является то, что метод обладает свойством инвариантности относительно преобразования координат.

В общем случае рассматривается намагничивание феррита вдоль одной из трех координатных осей [2]. При этом рассматривают три случая кривизны поперечных координат:

1) линейность по обеим координатным осям;

2) кривизна по одной из координатных осей;

3) кривизна по обеим координатным осям.

Первому случаю соответствует прямоугольная система координат, второму - цилиндрическая, третьему - эллиптическая.

Целью данной статьи является получение аналитических выражений поперечных компонент электромагнитного поля (ЭМП) в гиротропной ограниченной области при произвольном и продольном намагничиваниях с использованием МИП, описанного в §1 и 2.

1. Характеристики ортогональных систем координат

Определим характеристики эллиптической системы координат: коэффициенты Ламэ, символы Кристоффеля и метрику.

Коэффициенты Ламэ определяем по формуле [3]:

h

Ґ дх^2

ди.

+

ґ ду^2

ди.

+

ґ dz 42

ди.

\|V ij \ і / V ij где щ = %,u2 = (р,иъ = z - эллиптические координаты.

Тогда из (1) имеем:

hY = = ed\ hi=\,

где d — ch % - cos <p . e- фокусное расстояние.

Символы Кристоффеля определяем из [4]. После преобразований:

1

2d1

ГІ = 1

sh2£, sin 2(р 0"

sin 2 ер - sh2% 0

0 0 0

sin 2 (р sh2^ 0“

sh2% sin 2 (p 0

0 0 0

Тогда метрика будет равна:

ds — (h]du^) + (h^du^) —є d d^ ~\~є d d(f> ~\~dz

Аналогично для цилиндрической системы координат {щ = г, = ф, Щ = г) коэффициенты Ламэ определим из [3], а символы Кристоффеля из [4]. После преобразований:

Метрика будет равна:

\ = h3 = 1, h2=r;

Г1 = Г2 = Г1 = О Г2 = — Ml 1 22 1 12 1 21

Г

ds —(l\dui) + (fo^du^) + (h^du^) —dr + г dф -\-dz

Для декартовой системы координат (щ =х, и2= у, щ = г):

К = К = Иъ = 1, Г*! = Г222 = Г\2 = Г21 = 0.

Метрика будет равна:

ds ( /?| б/?./1) + (/?2 ) + (/736/Н3) dx + dy + dz

2. Поперечные компоненты ЭМП

При рассмотрении процессов, гармонических во времени (зависимость от времени примем в

виде е^1), уравнения Максвелла без наведенных токов и зарядов имеют вид [1]:

\rotH = ]\уЕ; rotE = -jwB^,

I divD = 0: divB = 0,

где Е,Н- соответственно напряженности электрического и магнитного полей; П,В- соответственно электрическая и магнитная индукции, / - мнимая единица, ж - циклическая частота. Система (9) дополняется материальными уравнениями среды:

В = ЩК,

где £ — абсолютная диэлектрическая проницаемость, а \\jul — тензор магнитной проницаемости.

При произвольном намагничивании, когда внешнее намагничивающее постоянное поле имеет составляющие по всем трем координатным осям, тензор магнитной проницаемости феррита, как следует из [5], имеет вид:

Mi 1 jk fl

-jk ju22 jm ,

_~fl ~Jm Мзз_ где jUn,jU22,jU33,k,l,m - компоненты тензора.

В системе (9), разложив rot Км rot Е по осям, после подстановок и преобразований получим поперечные компоненты электромагнитного поля (ЭМП) для гиротропной области с криволинейной ортогональной формой поперечного сечения:

Мгк =

где

Е = —

jYa

a2b2-w4s2k2

V,E3

jw2sk

у a

V F -

V 2^3

V2 + wm

H3-

Vj + wl \H3

WE

E =_____________Jj±_________

2 2?2 4 2; 2

a b -w s к

V F -

V 2^3

у b2 1

H3 +

jw2£k

VjE3 +1 V2 + wm IH3

W£

H, =-

jrb2

a2b2 - w4£2k2

— V,£L-

jw2k£

V: +

w d

H3 +

we „ _ w2£m^

—Vji?3 + V9 + Н3

_ у 1 У J

jya

a2b2-w4S2k2

W £

—+

jw2k£

V2 +

я3-

W£ „ ^ f w2d^

2 3 V, + Н3

_ У 1 У )

«2 = w2А - X2; b2 = w2fi22£ - y2;

= W £

2 U11M22 к „,2

2 2 M\ l/^22 ^ 2

p ~W£ '

M22

1 a

v, =

\ дщ

w - циклическая частота, у - постоянная распространения.

Mi 1 д

h2 ди2 ’

У

Выражение (12) описывает поперечные компоненты ЭМП в ограниченной гиротропной области с ортогональной формой поперечного сечения при произвольном намагничивании.

При продольном намагничивании тензор магнитной проницаемости феррита имеет вид [5]:

р ]к 0

-]к (л 0

0 0

М 1

где = 1

w0wM . к

WW,

м

Кл

-;w.

= уи01М0;7 = 1.76*1011— - гиромагнитное отношение

Мо /л0 кг

для спина; м>0 = //,,}'//0 - частота ферромагнитного резонанса; М0 - намагниченность насыщения феррита; Н0 - внешнее намагничивающее магнитное поле.

Из формулы (12), учитывая (13), получим поперечные компоненты ЭМП в ограниченной гиро-тропной области с криволинейной ортогональной формой поперечного сечения при продольном намагничивании:

Е =-Ш-1 „2 2

у а а

у^з-^Яз

\ме

е2=-

2

2

у,£3-^у,я3 + ^ г я а

У^з + -

-V 2Я3

КуА-7,Н| + >^

£+£- 7 а

УХЕЪ + У2Я3

н2=-

41 є

У2і?з У]Я3

где

2

а = >у //и£-;к =и> цє-у іи2-к2

2 2,2; 2 *+ = єк -у ;

2 2 С = м? є

м

72-

Из (14) можно легко получить поперечные компоненты ЭМП для конкретных форм ограниченных областей. При этом форма поперечного сечения ограниченной области определяет выбор системы координат. При анализе ЭМВ в ограниченных областях с эллиптической, круглой и прямоугольной формами поперечного сечения, используются соответственно эллиптическая, цилиндрическая и декартовая системы координат.

Чтобы определить поперечные компоненты ЭМП гиротропной эллиптической области, в (14) необходимо подставить (2):

~2 дН2 ]м>2єк(дЕг у дН2^

Ес =-

Е'=~

7>2 1 дЕ2

g2+g2- ей _д%

т2 1 ~дЕг

8І81- ей д(р

с

у а2 д(р

д(р \ує д<^

,2 аи ~.,2^ (

мі ц с дН г ]м! єк

нї =

её

2 2

у а2

ц;є дд зп .-...2

_______І-А- *_______

2

______ 7 дНг

дЕ, чіє д(р

дН 2 /и' єкі м>є дЕ2 дН г

у дер дЕ, а2 у у дЕ, д(р

Н,=~

1

е<і

міє дЕ, 9Я,

+ -

]м>2єк( \мєдЕг дНг

у дЕ, д(р

у д(р д%

Аналогично из (14) с учетом (5) получим выражения для поперечных компонент ЭМП для гиротропной цилиндрической области при продольном намагничивании:

Е. =-

Е,=~

дЕг_ дг

І 7а

с2 1 дН г

у а г и>ц с

рг2єк

2 дН.

]'ц>2єк

Я =

№

2 2 ё+ё-

Н,=~

1_дЕ^ г до

У дН:

и>є дг

____________

у дг г д(р

дЕ^+^\_дН1 дг и>е г д<р

1 дН, ^

а~ у у дг г д<р

]'м?2ек( їує 1 дЕг дН у г д(р дг

дН2 /и' єк( м>є дЕ2 дг

Также аналогично из (14) с учетом (7) получим выражения для поперечных компонент ЭМП для гиротропной прямоугольной области при продольном намагничивании:

уд.х ду а \ у ду

В [6] получены поперечные компоненты ЭМП в цилиндрической и прямоугольной областях с продольно намагниченными тензорными магнитным и диэлектрическим заполнениями. Результаты, полученные в [6] полностью совпадает с выражениями (16) и (17), если среда заполнения характеризуется тензором магнитной и скалярной диэлектрической проницаемостями. Такой результат подтверждает правильность данных формул, полученных на основе инвариантных преобразований.

Заключение

1. Применением «метода инвариантных преобразований» получена общая формула (14) для поперечных компонент ЭМП для произвольно намагниченных гиротропных ограниченных областей с обобщенно-ортогональным поперечным сечением.

2. Из (14) легко определяются соответствующие формулы поперечных компонент ЭМП для конкретных форм поперечных сечений ограниченных областей (эллиптическая, круглая, прямоугольная) для различных случаев намагничивания (продольное, касательное и нормальное).

3. В данной работе представлены переходы от поперечных компонент ЭМП для произвольно-намагниченных гиротропных ограниченных областей с обобщенно-ортогональным поперечным сечением к продольно-намагниченным гиропропным областям с эллиптической, круглой, прямоугольной формами поперечного сечения.

Литература

1. Микаэлян А.Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 664 с.

2. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Современные методы проектирования линий передач и резонаторов сверх- и крайне высоких частот. М.: Педагогика-Пресс, 1998. 328 с.

3. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1967. 780 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 831 с.

5. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. 464 с.

6. Виприцкий Д.Д. Открытые и экранированные направляющие структуры с продольно намагниченными ферритовыми слоями: дис. ... канд. техн. наук. Нижний Новгород, 2007. 177 с.

Итигилое Гарма Борисович, старший преподаватель кафедры электронных вычислительных систем Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, тел. 8-3012-21-53-14. 670013, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская 40В, кафедра электронных вычислительных систем, e-mail: Gablz@mail.ra Ширапов Дашадондок Шагдарович, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. электронных вычислительных систем Восточно-Сибирского государственного университета технологий и управления, тел. 8-3012-21-53-14. 670013, Республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская 40В, кафедра электронных вычислительных систем, e-mail: Shir@esstu.ru

Itigilov Garma Borisovich, senior teacher of chair “Electronic computer systems” of the East Siberian State University of Technology and Management.

Shirapov Dashadondok Shagdarovich, the doctor of physical and mathematical sciences, the professor, head of the chair “Electronic computer systems” of the East Siberian State University of Technology and Management.