О направлениях, параллельно переносимых в нормальных связностях на поверхности в конформном пространстве

УДК 514.756.2

АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ СЕТЕЙ

НА ПОВЕРХНОСТИ В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

AFFINE CONNECTION AND ITS USE IN THE STUDY OF INTRINSIC GEOMETRY OF NET ON THE SURFACE OF THE CONFORMAL SPACE

Т. В. Зверева T. V. Zvereva

ГОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В данной статье изучается поверхность V m , вложенная в конформное пространство C n . В частности, получено пространство аффинной связности A m , m , индуцируемое нормальным оснащением заданной поверхности. Найдено приложение аффинной связности V пространства

A m , m к изучению внутренней геометрии сетей на т-мерной поверхности конформного пространства.

Abstract. In this article we study the surface V m in the conformal space C n . In particular, we obtain the affinely connected space A m , m induced by the normal framing of the given surface. It was found out that the concept of the affine connection V could be used in the study of intrinsic geometry of net on the m-dimensional surface of the conformal space.

Ключевые слова: поверхность, нормализация, связность, сеть.

Keywords: surface, normalization, connection, net.

Актуальность исследуемой проблемы. Известно, что М. А. Акивис занимался инвариантным построением теории многомерных поверхностей V m в конформном пространстве C n [1]. А. П. Норден изучает некоторые вопросы внутренней геометрии оснащенной поверхности трехмерного конформного пространства C з [5]. Однако до настоящего времени в математической литературе вопросы внутренней геометрии сетей на поверхности Vm с Cn почти не рассматривались. Целью данной работы является восполнение этого пробела в дифференциальной геометрии.

Материал и методика исследований. Результаты работы получены с использованием инвариантных методов дифференциально-геометрических исследований, а именно методом внешних форм Э. Картана [6], методом нормализации А. П. Нордена [5] и методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [4].

Результаты исследований и их обсуждение. Полученные результаты являются новыми, актуальными и достоверными.

зз

На протяжении всего изложения индексы принимают следующие значения:

і , 3 , К = 1, п ; X , Ц- = 0, п + 1; а , р = т + 1, п ; и , V = т + 1, п — 1; і, / , к = 1, т .

Рассмотрим т-мерную поверхность Vт с с п , отнесенную к полуизотропному по-

луортогональному реперу R = {Ao, Аі, Ап+1}. В данном репере дифференциальные уравнения поверхности имеют вид

га а = 0.

Пусть задано нормальное оснащение поверхности Vm с с п полем (п-т)-сфер [ Рі] (рі = хі А0 + Аі), определяемое полем квазитензора {х0 }:

dxo + х> 0 — х0Ю / + га 0 = х0 га 0 .

Возьмем систему форм Пфаффа { 0 , 97 }, где

<0=4 9=га—/га—л+охгамга

Система форм (1) удовлетворяет структурным уравнениям Картана - Лаптева [4], [3]

с<0 =<0 а97' +2?0іга0 ^>0

4 =< а<айі

Следовательно, система форм Пфаффа (1) определяет пространство аффинной связности

А

71 т,т ; тензоры кручения и кривизны этого пространства имеют следующее строение:

Г0Ы = 0, Г/ = 2(ЛЯ *Л 7 ] а — 8 !хЫ ] — gJkxk0[ *аі ]і — gJkxk0 а,[ ,х° +

'0їі ~ ' іїі ~ ]а иіл[їі] 6 к[]і 6 лк6і[]

-0 8 7 + ак1 х 0 х 0 а 8 7 — х 0 х 0 8 7 >

^ і[ * 8 і ] + а хкх1 аі[ ї 8 і ] хі х[ * 8 і ]>

Справедлива

Теорема 1. Пространство аффинной связности А т ,т без кручения, индуцируемое нормальным оснащением поверхности Vт с с п, является вейлевым с полем метрического тензора % а и дополнительной формой © = ю0 - х0ю О ; это пространство есть

эквиаффинное, а, следовательно, риманово тогда и только тогда, когда обращается в

о

нуль кососимметричный тензор х[а ] .

Согласно В. Т. Базылеву [2], сетью 2 т на поверхности У т проективного пространства р п +1 называется т семейств линий, заданных на V т так, что через каждую точку А 0 є Ут проходит ровно по одной линии каждого семейства и пространство, натянутое на касательные к линиям сети в точке А 0 , т-мерно.

На поверхности Ут с ^ проективного пространства р п +1 , являющейся образом поверхности Ут с С п при перенесении Дарбу, рассмотрим сеть 2 т , описываемую

точкой А 0 . Дифференциальные уравнения сети 2 т с Ут с ° в проективном репере R, отнесенном к ее линиям, имеют вид [2]:

га/ = акга к, і * 7 . (2) Прообразом каждого семейства линий сети 2 т при перенесении Дарбу на по-юсти Ут С С п являет на у т с Сп образует сеть

Теорема 2. На заданной поверхности Ут с Сп сеть 2 т с Ут существует с произволом т (т ~ ' 1) функций т аргументов.

Возьмем совокупность функций

аі *= X а/а7 —

/' * і

Функции (3) являются относительными (і * * ) или абсолютными (і = *) инвариантами.

к

Матрица порядка т из относительных и абсолютных инвариантов аі невырождена.

Элементы обратной матрицы а І определяются соотношениями ак а\ = ак а І =8к . Возьмем охват

верхности Ут с с п является семейство линий; т линейно независимых семейств линий У- С Сп образует сеть 2 т С Ут С Сп .

Чі =

Рассмотрим гиперсферы

dq0 + Ч0

^ = q°Ао + 4 ,

принадлежащие «касательным» к линиям сети 2 т с Ут . Они являются инвариантными, так как 5Fi = % гiFi ; назовем их гармоническими гиперсферами сети.

В силу уравнений (4) поле гармонических (п-т)-сфер F = [^] пересечения

т

гармонических гиперсфер F і сети задает нормальное оснащение поверхности

Таким образом, справедлива

Теорема 3. Поле гармонических (п-т)-сфер [Fi ] сети 2 т , заданной на поверхности Ут с Сп , внутренним образом определяет нормальное оснащение поверхности.

Допустим, что сеть 2 т с Ут с Сп ортогональна, т. е. касательные к ее линиям попарно ортогональны:

Принимая во внимание соотношения (6), функции (3), элементы обратной матрицы и охват (4) соответственно примут вид

ак =-

т - 1 а * г

Таким образом, геометрический смысл гармонических гиперсфер F г ортогональной сети 2 т с Ут с Сп заключается в следующем: каждая из т-1 гиперсфер

FiJ = -ауАо + Аг = 8иа‘лАо + Аг, г * ] ,

принадлежащих «касательной» к ^ой линии ортогональной сети 2 т с Ут , является инвариантной, так как 5Fi1 = %. Следуя работе [2], назовем их псевдофокальными гиперсферами касательной А о Ai к ^ой линии сети 2 т с Ут с Сп . Для ортогональной

сети в силу (5), (7) и (8) справедливо Fi = т _ 1 Е ' , то есть каждая из т гармониче-

i * а

ских гиперсфер F i заданной ортогональной сети есть среднее арифметическое псевдо-фокальных гиперсфер Fi1 касательной А о Ai к линии ю го сети.

Будем говорить, что поверхность Ут с с п , несущая ортогональную сеть 2 т , есть т-сопряженная система, если при перенесении Дарбу соответствующая поверхность Ут с О2п с Рп+1 является т-сопряженной системой в Р п +1 , то есть все псевдофокусы

^ = _ аа Ао + а i, i *а

каждой касательной АоА i к линии юо = о сопряженной (относительно полей конусов

направлений а^ю ою о = ° ю ою о = о) сети 2 т с Ут с ОП являются фокусами. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием того, что поверхность

Ут с Сп (2 < т < п _ 1), несущая ортогональную сопряженную сеть 2 т , есть т-

сопряженная система, является обращение в нуль относительных инвариантов а I (все

индексы различны).

Теорема 5. т-сопряженные системы Ут с с п существуют с произволом т (т _ 1) функций одного аргумента.

Предположим, что ортогональная сопряженная сеть 2 т с Ут с Сп является голо-номной, т. е. каждое из т уравнений Пфаффа ю о = о вполне интегрируемо. Справедлива

Теорема 6. Поверхность Ут с Сп (2 < т < п _ 1), несущая ортогональную сопряженную сеть 2 т , есть т-сопряженная система тогда и только тогда, когда сеть 2 т является голономной.

Условием параллельного перенесения направления А о Ai касательной к ^й линии ортогональной сети 2 т с Ут с Сп вдоль ее к-й линии в аффинной связности V , индуцируемой нормальным оснащением поверхности Ут с с п полем квазитензора х° , является выполнение соотношений

аік — а1іх°0аік + 8іхі = 0, і * і .

Если условия (9) справедливы для любых і * к , (і = к ), то ортогональная сеть

2 т с Ут с Сп называется чебышевской (геодезической) относительно данной нормализации поверхности, определяемой полем квазитензора х0 .

Теорема 7. Если нормально оснащенная полем квазитензора х0 поверхность

Ут с Сп несет ортогональную геодезическую сеть 2 т в аффинной связности V , то она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами и данное оснащение

будет нормальным оснащением полем ее гармонических (п-т) сфер [Fi ].

Справедливо и обратное утверждение:

Теорема 8. Если ортогональная сеть 2 т с Ут с Сп есть сеть с совпавшими псевдофокальными гиперсферами, то при нормальном оснащении поверхности Ут с Сп полем ее гармонических (п-т) сфер [Fi ] данная сеть является геодезической относительно аффинной связности V .

Пусть поверхность Ут с С п несет ортогональную чебышевскую сеть 2 т . Тогда имеет место

Теорема 9. Если нормально оснащенная полем квазитензора х0 поверхность Ут с Сп (п>3) несет ортогональную чебышевскую сеть 2 т в аффинной связности V , то эта сеть является геодезической, причем данная нормализация будет нормализацией полем гармонических (п-т) сфер [Fi ] сети.

Резюме. Доказано, на заданной поверхности Ут с Сп существует сеть 2 т С Ут с произволом т (т — 1) функций т аргументов. Причем нормально оснащенная полем квазитензора х0 поверхность Ут с Сп несет ортогональную геодезическую сеть 2 т в аффинной связности V тогда и только тогда, когда она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис, М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Аки-вис // Математический сборник. - М., 1961. - Т. 53. - № 1. - С. 53-72.

2. Базылев, В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Математика. - 1966. - № 2. - С. 9-19.

3. Евтушик, Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Остиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М. : ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - 246 с.

4. Лаптев, Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды Московского математического общества. - 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

5. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с.

6. Фиников, С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. -М. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.