Общие особенности методики работы с математическим понятием как основа контекстного обучения бакалавров педагогического образования

Раздел IV. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Е.А. Богданенко

ОБЩИЕ ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАБОТЫ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ

ПОНЯТИЕМ КАК ОСНОВА КОНТЕКСТНОГО ОБУЧЕНИЯ БАКАЛАВРОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Аннотация. В статье представлены общие особенности методики работы с математическим понятием. Они выделены с учетом основных положений контекстного обучения бакалавров педагогического образования. Приведены примеры.

Ключевые слова: контекстное обучение, математическое понятие, методика работы с понятием, педагогическое образование.

E.A. Bogdanenko

GENERAL CHARACTERISTICS OF TEACHING TECHNIQUES WITH MATHEMATICAL CONCEPTION AS A BASIS OF CONTEXTUAL EDUCATION OF BACHELORS' TEACHING

Abstract. The article consists of general characteristics of teaching techniques with mathematical conception. They are dedicated with regard to fundamental principles of contextual education of bachelors' teaching. The examples are given.

Keywords: contextual education, mathematical conception, teaching techniques with conception, teacher training.

Методическая подготовка бакалавров педагогического образования должна осуществляться в контексте их будущей профессиональной деятельности. Профессиональный контекст учителя математики, связанный с обучением математическим понятиям, следует рассматривать с точки зрения психологии формирования понятия - процесса становления понятия и с учетом особенностей методики обучения математическим понятиям и, прежде всего, с учетом этапов работы с математическим понятием.

Кратко охарактеризуем процесс становления понятия. Процесс формирования понятий включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия), представление (вторичный образ создается в отсутствии наглядной основы), предпонятие (образный концепт, обобщенное представление, концепт, образ-понятие, "система" представлений), понятие, система понятий (теория).

Каждый из этих этапов подчиняется определенным психологическим закономерностям, которые являются основой выделения условий организации деятельности при изучении математики.

Предпонятие, которое Л.С. Выготский рассматривал как не достигший высшей ступени своего развития концепт, находящийся в простом и непосредственном отношении к объекту, и не включенный в систему вышестоящего понятия [5, 272]. В 30-е годы, как отмечает Л. С. Выготский, такой этап в развитии понятия, как предпонятие, широко использовался в психологии. Но с исчезновением педологии к этому термину перестали обращаться, а в методике обучения математике он практически не использовался в силу параллельности развития психологии и практики обучения, хотя предпонятие представляет значимый этап в становлении понятия. Понимание значения термина "предпонятие" важно в силу его приоритета в школьном возрасте. Психологи отмечают, что "...существенным шагом, который делает школьник в развитии своих понятий (в широком смысле), является то, что его основные звенья, которые господствовали в дошкольной ступени развиваются в так называемые предпонятия. Это своеобразная и интересная форма обобщения, которая господствует в школьном возрасте" [5, 278]. В методике обучения математике часто не отличают предпонятие от понятия (научного), говоря на всех этапах обучения о "формировании понятий". Необходимость постоянного обращения к этим терминам в методике обучения математике требует уточнения этих понятий.

Предпонятие, обобщенное представление есть необходимое звено, смыкающее первосиг-нальную систему и второсигнальную. Они являются переходной ступенью от мышления в образах к мышлению в понятиях. Для понимания процесса развития познания немаловажное значение имеет его разграничение на живое созерцание и мышление с подразделением последнего при проекции на науку на эмпирическое и теоретическое. Поэтому предпонятие еще называют эмпирическим понятием. Переходной характер предпонятия подтверждает и отнесенность предпонятия в психологической литературе как к разделу, посвященному образам и представлениям, так и к раз-

делу описания понятий [13, 230]. Так в психологическом словаре [11, 152] при раскрытии термина понятия описывается и характеристика эмпирического понятия как фиксирующего "нечто одинаковое в каждом отдельном предмете класса на основе сравнения", что является свойством обобщенного представления - предпонятия и указывает на его связь с восприятием.

Именно на уровне предпонятия оперируют большинство учащихся с понятиями. И в повседневной жизни мы тоже, в основном, оперируем предпонятиями. Предпонятия - основа понятия. И если соответствующие предпонятия не были сформированы в 1-6 классах, то условия для их формирования создаются на подготовительном этапе работы с понятием. На этом этапе актуализируется и корректируется субъектный опыт ученика в соответствии с общественно-историческим.

Ученик является субъектом образовательного процесса. Каждый ребенок, придя в школу, уже имеет свой собственный опыт познания окружающего его мира людей и вещей. Это опыт его жизнедеятельности, накопленный через общение в семье, со сверстниками и другими людьми, через источники информации, в процессе целенаправленного обучения. Учитель знакомит учащихся с исторически - общественным опытом в какой-либо предметной области. Чтобы вводимое учителем содержание имело личностный смысл, оно должно согласоваться с имеющимися у ученика ценностями, установками, способами переработки информации, отношением к содержанию знания. Каждый предмет многомерен в своем содержании, но в каком именно содержании с ним намерен работать учитель - ученик не знает.

Поэтому важно:

Выявить то «смысловое поле», через которое ученик определяет предмет и четко обозначить содержание, которое будет использовано учителем как объект анализа. Несовпадение предмета и объекта анализа приводит к тому, что ученик и учитель часто работают с разным содержанием. Задача учителя - выявить смысловые характеристики понятий, а затем «окультурить» (предметный аспект субъектного опыта).

Учитывать природную активность, особенности психофизиологической организации ребенка (процессуальный аспект субъектного опыта).

Воспитывать ценностное отношение к знанию через личностную значимость предметной и деятельной составляющих знания для ребенка. Ведь в гносеологии все большее внимание рассмотрению проблем не столько объективности, сколько избирательности познания. Признаются как равноправные два типа детерминация - причинная и ценностная. Первая - для мира вещей, вторая - для людей (ценностный аспект субъектного опыта).

Каковы же критерии сформированное™ предпонятий и понятий?

Будем считать, что ученик овладел предпонятием геометрического объекта, если у него сформирован широкий запас свойств, существенных для соответствующего геометрического понятия (образующих более чем один достаточный и необходимый набор) и объем понятия, который может дифференцироваться в дальнейшем, т.е. можно говорить о неполной систематизации на уровне обобщенных представлений. При этом ученик еще может не уметь выделять минимального достаточного набора свойств геометрического объекта, на основе которого формируется определение, а геометрический объект может описывать не через ближайшее родовое понятие, т.е. у ученика еще не сформирована иерархия понятий вышележащих уровней. Ученику может быть недоступно оперирование логическими кванторами.

Будем считать, что у ученика сформировано понятие геометрического объекта, если он овладел предпонятием и мыслит геометрический объект в системе понятий, т.е. может выделить понятия, для которых данное является максимальной подсистемой, и понятия, для которых данное является ближайшим родом. При этом из набора существенных свойств геометрического объекта он может выделить достаточный и необходимый набор (желательно не один) и сформулировать определение понятия, т.е. он мыслит понятие как определенную структуру. Ученик владеет логическими кванторами.

Заметим, что сформулированные критерии годятся и для других математических объектов.

Перейдем к рассмотрению методики обучения математическим понятиям.

Методика работы с понятием, а также с другим теоретическим материалом (теоремой, правилами) включает четыре этапа:

- профессиональный (суть его - выполнение логико-математического анализа, который позволит на уроке дать определение в алгоритмизированном виде и отобрать знания, которые необходимо актуализировать),

- подготовительный (актуализация необходимых знаний, связь с субъектным опытом ребенка, мотивация),

- основной (обучающий),

- этап закрепления (применение введенного теоретического материала при решении типовых задач).

Последние три этапа реализуются при работе с учащимися в классе.

Профессиональный этап можно рассматривать как нулевой, т.к. этот этап осуществляет учитель сам, но частично он может реализовываться в классе в зависимости от ступени обучения и возможностей учащихся.

Раскроем смысл этих этапов и входящих в них подэтапов на примерах.

Подготовительный этап включает следующие шаги:

1. Актуализация знаний, умений и навыков, выделенных при проведении логико-математического анализа.

Цель его: осуществление обратной связи между учителем и учащимся, выявление незнания, неумения, их исправление и корректировка у учащихся.

Формы: устный диктант с обязательной проверкой на уроке или включение в домашнюю работу соответствующих заданий к уроку введения нового понятия.

Если в результате проверки большинство учащихся не справляется с заданиями, то целесообразно отказаться от введения нового материала и повторить необходимый материал.

2. Показ связи вводимого понятия с уже сформированными образами или понятиями через выявление их субъектного опыта (предметный аспект), связанного с этим понятием, и его «окультуривание», раскрытие этимологии термина понятия.

Цель: создать условия для включения новых знаний в систему уже сложившихся у ученика знаний, создать одинаковое «смысловое поле», через которое ученик определяет понятие, а учитель использует как объект анализа, т.е. создать условия для понимания («разговор на одном языке»).

Формы: если вводимый термин встречался ребенку (включен в субъектный опыт ребенка), то предлагается учащимся раскрыть смысл этого термина (ответить на вопрос, что понимается под этим термином) или включить в контрольные работы, проводимые перед введением понятия, опережающие диагностические задания, связанные с этим понятием. Если термин не знаком ребенку, то попытаться описать его через знакомые ребенку понятия. Так, например, дробь ^ при оперировании может вызвать затруднения учащихся, в то время как знакомый ребенку образ половины является «рабочим».

Раскрытие этимологии может помочь связать новое понятие со знакомым образом. Например, и слово диабет и циркуль имеют общее происхождение, происходят от «перешагивающий через».

При введении отрицательных чисел сам термин может быть не знаком учащимся, но и «число», и «отрицательный» (негативный) - слова, знакомые учащимся. Именно такое отношение вызывали числа, связанные первоначально с долгами. Эти числа долго не признавали, в математику они окончательно вошли лишь в 18 веке. «Долг» - слово также знакомое учащимся. Ситуация с возвратом 5 рублей, когда в кармане 2, позволяет связать действия с числами с разными знаками со знакомыми учащимся образами. Как показывает опыт, на основе этого образа учащиеся неплохо складывают положительные и отрицательные числа, в то время как введение соответствующего правила (не связанного с опытом учащихся), у многих учащихся вызывает ухудшение выполнения действий с разными числами. Особенно это касается учащихся с преобладанием деятельности правого полушария.

Выявление субъектного опыта, позволяет заранее предвидеть какие понятия могут вызвать затруднения учащихся и организовать специальную работу. Поэтому переход к изучению теорем должна предварять работа, направленная на применение законов логики и правил вывода в различных ситуациях.

В результате реализации этого этапа целесообразно ввести тему урока.

3. Мотивация - показ необходимости изучения понятия (значимость его в жизни, в науке, в различных учебных дисциплинах) через реализацию ценностного аспекта субъектного опыта.

Цель: создать условия для формирования личностно-значимого знания.

Формы: беседа или выполнение проблемных заданий.

Для отрицательных чисел мотивационными заданиями могут быть задания, связанные с определением температуры воздуха, с расположением объектов выше и ниже уровня море и т.п. Также необходимо показать и предметную мотивацию (невыполнимость действия вычитания в определенных случаях), особенно учащимся, интересующимся математикой.

4. Накопление образов как основы понятия через моделирование и варьирование несущественных свойств; выделение свойств объектов, существенных для понятия.

Цель: формирование предпонятия, создание личностных образов, адекватных формируемому понятию.

Формы: задания на нахождения соответствующих моделей понятия в окружающем ребенка

мире.

Эта работа позволит среди различных обобщенных образов выбрать наиболее близкий ученику. Именно на него опирается ребенок при усвоении понятии, оперировании им, что позволит ребенку войти в мир научных понятий. Например, после рассмотрения различных материальных моделей двух параллельных прямых некоторые учащиеся, предпонятие о параллельности двух прямых линий, связывают с образом рельс на прямолинейном участке, что наполняет геометрическое отношение содержанием, близким и понятным ребенку.

В результате реализации этого этапа ученики сами могут сформулировать «вариант» определения.

Конечно, последовательность 2-4 этапов может меняться, не все этапы могут быть реализованы на уроке.

Рассмотрим подготовительный этап на примере введения понятия "Отрицательные числа" как чисел, соответствующие точки которых лежат левее нуля на числовой прямой. Это определение явное конструктивное (или вербальное описательное).

Актуализировать необходимо: 1) понятие натурального числа; 2) числовой прямой; 3) умения находить точки на числовой прямой; 4) умение отличать правее, левее (некоторые путают) или для них это не важно.

Учащимся предлагается выполнить следующие задания.

1. Поднялись на вершину 150 метров над уровнем моря, а потом спустились, используя батискаф на глубину 180 метров. Где оказались?

2. Температура 2 градуса. Понизилась на 5 градусов. Какая стала температура. (-3 градуса).

А кто знает, какая может быть температура в морозилке холодильника?

Вы встречались уже с такими числами? А как бы вы назвали такие числа?

Их называют отрицательными. Как вы думаете, почему?

С такими числами люди обращались еще до нашей эры, понимая их как долг. Например, ты взял у Васи 8 рубля, а сегодня хочешь их отдать. Но у тебя 6 рублей. Сколько у тебя останется денег после того, как ты отдашь свои деньги? А с учетом долга?

Конечно, вряд ли к долгу может быть хорошее отношение. Да и числа какие-то ненастоящие, их долго не признавали вплоть до 18 века. Поэтому так и назвали. Итак, тема нашего урока «отрицательные числа».

А где вы встречались с отрицательными числами? Что они значат для вас?

Основной этап.

Цель: введение и первичное усвоение формулировки определения через осуществление следующих действий, формирование (на определенном возрастном этапе и классе) операции определения понятия, которая включает следующие действия.

- Неявный логический анализ структуры определения объекта. Позволяет в работе с учащимися «алгоритмизировать» определение.

- Действие "подведение под понятие". В работе с учащимися реализуется в решении задачи на "распознавание" - выделение изучаемого объекта среди предложенных.

- Работа с формулировкой. Переформулировка определения, заполнения пропусков в определениях, нахождение ошибок в некорректных определениях.

- Действие получения следствий из факта, что конкретный объект принадлежит к классу объектов, охарактеризованных определением.

- Если требует педагогическая ситуация, замена определения ему эквивалентным.

Последовательность действий может быть различной, что определяется подходом к введению понятия. Последние три действия выполняются, если вводится явное определение. Два последних действия могут носить отсроченный характер.

Существует два подхода к введению понятия и его определения: дедуктивный и индуктивный. Первый заключается в том, что сначала формулируется определение, затем рассматриваются частные случаи, индуктивный способ предполагает формулирования определения как результат рассмотрения частных случаев.

Покажем реализацию второго этапа на примере явного определения - определения трапеции.

Пример 1.

Вербально явное определение через характеристическое свойство, конъюнктивное.

Логико - математический анализ:

А (х) » V х е М л В (х) л С (х). термин (логическая связка) трапеция

род (логическая связка) видовые отличия

множество четырехугольников две стороны

параллельны, две стороны

В результате выполнения подготовительного этапа учащиеся накапливают образы трапеций, знакомятся с этимологией этого слова (в переводе с греч. трапеция означает трапеза). На этом этапе можно с учащимся посмотреть изображения столиков на иконах, их поверхности имеют форму разных трапеций, изображены с разных точек зрения, но в определенной закономерности. Все точки, в которых сходятся различные линии взглядов, образуют на иконе крест. Далее учитель предлагает учащимся сформулировать определение трапеции или формулирует сам. На доске и в тетрадях целесообразно записать сокращенно в алгоритмизированной форме определение:

Трапеция » 1. Четырехугольник. 2. Есть две параллельных сторон. 3. Есть две непараллельные стороны. Выполняются все свойства одновременно.

Действие подведения под понятие фактически направлено на понимание определения учащимися и предлагается в форме заданий на распознавание. Определить, являются ли трапецией следующие объекты. Можно предложить оформить это задание в виде таблицы 1.

Таблица 1. Результаты выполнения действия «подведение под понятие «трапеция»

Проверка свойств Выполн. одновр. Вывод

№ Объект 1 2 3

1 Число 5 _ _ _ _ _

2 ' J _ + + _ _

3 Л _ _ _ _ _

4 + _ _ _ _

5 / / + + _ _ _

6 \ / + + + + +

Только при наличии всех положительных ответов в 1-4 столбцах делается вывод, что объект принадлежит к множеству трапеций.

Количество предлагаемых примеров определяется количеством возможных различных комбинаций знаков в 1-4 столбцах. Рассмотрение обоих примеров 1 и 3 (одинаковые знаки в таблице) необязательно и приведено из методических соображений, чтобы показать учащимся возможность проверки любого объекта на принадлежность к определенному множеству. Примеры, подобные примеру 3, целесообразно включать в рассмотрение для того, чтобы уделить внимание одному из основных свойств фигур школьного курса - принадлежать плоскости или не принадлежать плоскости. Эти свойства в силу разбиения школьного курса геометрии на планиметрию и стереометрию, часто остаются вне внимания школьников.

Форма: самостоятельная работа с обязательной проверкой с объяснением.

Третий шаг предполагает конструирование определений объекта самими учащимися (иногда сознательно с ошибками). Другие учащиеся должны найти некорректность предложенных определений, если есть.

Четвертый шаг предполагает выделение свойств объекта. Новые свойства объекта появляются, когда рассматриваются отношения изучаемого объекта с объектами других множеств. В частности, рассмотрение трапеций и окружностей позволяет выделить трапеции с таким свойством как равенство сумм противоположных сторон (описанные около окружности трапеции) или равенство противоположных углов (вписанные в окружность трапеции).

Этап закрепления.

Цель: установление и развитие связей и отношений с другими понятиями, способствующие систематизации знаний.

Реализация этого этапа может быть осуществлена с помощью следующих методических приемов:

- включение в существующую классификацию, например, с помощью кругов Эйлера;

- теоретическое обобщение, устанавливающее логические связи с другими понятиями;

- конструирование родословной понятия, которое состоит в последовательном выделении расширяющихся множеств, вплоть до наибольших, наименьшим из которых является множество, состоящее из объектов введенного понятия;

- решение задач, в которых новое понятие используется наряду со знаниями из разных тем курса, требуется замена некоторого понятия введенным понятием и наоборот.

На этом этапе приходится много решать задач, поэтому в классах, не особо увлеченных математикой, требуется использование разнообразных форм, как подачи учебного материала, так и деятельности учащихся. Выполнение этого требования также необходимо и для создание условий развития учащихся (через задания, требующие использования когнитивных стилей, противоположных преобладающим у учащихся). В начале этапа закрепления не стоит обязательно требовать правильных ответов от учащихся с преобладанием рефлексивного стиля, флегматиков. Они должны привыкнуть к материалу, осознать его специфику.

Таким образом, рассмотрены общие особенности методики работы с математическим понятием: 1) процесс становления понятия, 2) этапы работы с математическим понятием. Для выявления связей между ними рассмотрим сначала пример изучения определения понятия «равнобедренный треугольник».

Пример 2. Пример методики и определения равнобедренного треугольника

_Равнобедренный треугольник_

Актуализация необходимых знаний и умений_

Скажите, какая фигура называется треугольником?

Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков эти точки соединяющих. Точки - это вершины треугольника, а отрезки -стороны треугольника.

Сравните два треугольника. Что вы можете сказать об их сторонах? У первого треугольника две стороны равны, а у второго все стороны различны. Верно.

Вы видите перед собой шесть треугольников. На какие две группы можно их разбить?

Первая группа - это треугольники 1, 3, 5. Вторая группа - треугольники 2, 4,6. Верно.

Первая группа:_

Вторая группа:

Наведение на факт

Что вы можете сказать о первой группе? Что именно объединяет эти фигуры? 1. это треугольники, 2. эти треугольники имеют две равные стороны. Это все, что мы знаем об этих треугольниках?

_да_

Значит, эти треугольники должны иметь особенное название? Да.

Эти треугольники называются равнобедренными. Теперь сформулируйте определение равнобедренного треугольника. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Введение определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона - основанием равнобедренного треугольника.

Закрепление определения_

Задача 1.

Рассмотрите два треугольника. Какой из них является равнобедренным? Объясните ваш ответ. 14

У треугольника 1 две стороны равны 14, т.е. он является равнобедренным треугольником. У треугольника 2 все стороны различны, поэтому он является разносторонним. Задача 2.

Периметр равнобедренного треугольника равен 55 см. Найти боковую сторону треугольника, если его основание равно 15 см.

Дано:

АС = 15 см, Р = 55 см. Найти: АВ = ?

Решение:

1) Р = АВ + ВС + АС,

2) АВ = ВС ( т.к. АВС - равнобедренный треугольник).

Задача 3.

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 6 см, а периметр равен 22 см. Вычислите основание треугольника. Решите самостоятельно.

Данный пример раскрывает взаимосвязь процесса становления понятия «равнобедренный треугольник», этапов работы с определением математического понятия, заданий учителя, направленных на формирование понятия и предполагаемых действий учеников.

Обобщая все вышесказанное, приводим таблицу 2 и выводы после нее.

Таблица 2. Контекстная взаимосвязь между процессом становления понятия и этапом

работы с ним

8 о. а '3 Подготовительный этап Основной этап Этап закрепления

> го и % й 7! Я £ < ж я !' 1 5 Е: 1 1 5 я 6 1 о Е к Щ ~ | ¥ ж л 3 ъ £ У 1 ж У ^ ¥ ч С- а 1—1 ? 5С 3? и а. 1 1 5 * = О Б ^ = — ОС ~ У — да Г-^ ™ Я 5 я 1 3 § С. | г и 4> ^ __ К 1 I *~* и Е_ А 4> а "3 ¥ а 0 о к 3 1  е^ г г > т 1 Е ^ о $ I | и-2 >ч К К 0 1 £ 2 5 >ч 0 | 1 к У 7 3 = 1 й, г ^ 1? £ * о и У к НС 3 С- 5 ак к

Данная таблица, во-первых раскрывает взаимосвязь между 1) процессом становления понятия и 2) этапом работы с математическим понятием в целом, во-вторых, демонстрирует взаимосвязь внешних действий учителя (внутри каждого подэтапа) и внутренних смыслов этих действий (содержание контекста) [4, 178].

Итак, в данной статье были рассмотрены, во-первых, процесс становления понятия, во-вторых, методика обучения математических понятий, которая включает себя 4 этапа: профессиональный, подготовительный, основной, этап закрепления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Выготский, Л.С. Собр. Соч.: в 6 т. - М., 1981. - Т. 1. - С. 160.

2. Найссер, У. Познание и реальность. Смысл и принципы когнитивной психологии. - М.: Прогресс, 1981. - 230с.

3. Психологический словарь / под ред. В.П. Зинченко, Б.Г. Мещерякова. - М., 1990. - С.343.

4. Модель контекстного обучения будущих учителей математики в процессе их методической подготовки: в 2 ч. / М.Г. Макарченко. - Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та имени А.П. Чехова, 2012. Прил. 7- С. 178.

А.А. Бузнякова, М.Г. Макарченко, В.В. Сидорякина

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЪЯСНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Аннотация. В данной статье представлены основные принципы построения объяснения доказательства теоремы. Они сгруппированы с учетом структуры информации в тексте учебника. Приведены примеры.

Ключевые слова: Теорема, доказательство теоремы, объяснение доказательства теоремы, идея доказательства теоремы, основные принципы построения доказательства теоремы.

A. А. Buznyakova, M.G. Macarchenko, V.V. Sidoryakina

BASIC PRINCIPLES OF CONSTRUCTION OF EXPLANATION OF THEOREMS PROOF IN THE SCHOOLS MATHEMATICS

Abstract. The basic principles of construction of explanation proof of theorem are presented in the article. Its are formed groups. Examples are given.

Key words: theorem, proof of theorem, explanation proof of theorem, idea of proof of theorem, basic principles of construction of explanation proof of theorem.

Учить рассуждать значит способствовать обучению решению задач.

В основе обучения решению математических задач лежит не только знание теоретического материала, действия по его применению, но и умение рассуждать, грамотно строить математическую речь. Не слыша «образца» рассуждения от учителя, школьники вряд ли смогут построить собственное математическое рассуждение. В связи с этим учитель должен сам уметь грамотно стоить собственное рассуждение. Сущность объяснения состоит в том, что оно должно вскрывать мыслительный процесс и передавать способ нахождения пути к новым знаниям, а, значит, и сами знания [6, 5]. Теоремы школьного курса математики, их «прописанная» в тексте учебника «математика» требуют осуществления молодым педагогом перестройки текста учебника в текст объяснения. Начинающий учитель математики всегда опирается на текст доказательства теоремы в школьном учебнике. Очевидно, что текст объяснения доказательства отличается от текста учебника, поскольку последний лаконичен и как правило построен на синтетическом рассуждении в виде готового доказательства, не вскрывая путей к его нахождению.

Обратимся теперь к построению объяснения в «деталях», а именно, сформулируем принципы построения, позволяющие усовершенствовать его.

Прежде чем это сделать выясним, что такое объяснение? Согласно «толковому словарю русского языка» С.И.Ожегова родовым понятием для понятия «объяснение» следует считать «письменное или устное изложение» [3, 429]. Нас, прежде всего, интересует, то что объяснение является «изложением» и непосредственно связано устной или письменной речью, а, значит, оно должно подчиниться требованиям грамотной речи.

В книге «Основы искусства речи» Поль Л. Сопер утверждает, что любая речь состоит из трех основных частей, а значит, из этих же частей будет состоять и объяснение:

1. Введение.

2. Главная часть.

3. Заключение.

Охарактеризуем каждую из них.

1.ВВЕДЕНИЕ.

Оно имеет цель «... сформировать и пояснить ваши намерения» [4, 21], (т.е. намерения учителя), т. е. прежде чем раскрыть суть, необходимо формализовать данные теоремы и требование. Затем указать подходы к доказательству и определить идею.

На примере рассмотрим, как будет реализовываться данная рекомендация.

Для этого рассмотрим несколько примеров возможного «введения» при объяснении теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм»,

LA^D - четырехугольник, AE^D, ВС=АD.

2. Дано: A^D, Ab^D, ВС=ДБ.

Требуется доказать, что A^D - параллелограмм (см. рисунок).