Автоколебательный режим нанорезонатора

УДК 534.1

Автоколебательный режим нанорезонатора

Д.А. Индейцев12, О.С. Лобода12, Н.Ф. Морозов23, Д.Ю. Скубов12, Л.В. Штукин12

1 Санкт-Петербургский политехнический университет, Санкт-Петербург, 195251, Россия

2 Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия 3 Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, 199034, Россия

Основной целью исследования является разработка новой схемы графенового резонатора, построенного на принципе работы автогенератора. Одним из главных недостатков графенового резонатора при его использовании как детектора массы является его низкая добротность. Это затрудняет получение с достаточной точностью собственной частоты по резонансной кривой. Использование резонансных кривых со срывом при наличии нелинейных свойств колебательной системы позволяет улучшить точность определения собственной частоты, но при этом частота срыва может зависеть от амплитуды колебаний. В представленной работе предложена схема графенового резонатора, позволяющая устранить перечисленные недостатки. Графеновый резонатор предлагается включить в состав автогенератора. Важнейшим достоинством автоколебательного режима является самонастройка на резонансную частоту при медленном (в сравнении с периодом колебаний) изменении параметров колебательной системы. Автогенератор состоит из усилителя, колебательной системы в виде графенового резонатора и цепи положительной обратной связи. В состав цепи обратной связи входит датчик колебаний графенового слоя. В качестве сигнала, зависящего от колебаний графенового слоя, предлагается использовать ток перезарядки конденсатора, образованного графеновым слоем и проводящей подложкой. Поскольку при деформации графенового слоя емкость конденсатора изменяется, будет происходить его перезарядка при питании от источника постоянного электрического напряжения. Сигнал датчика подается на вход усилителя, выходной ток которого пропускается по графе-новому слою. Графеновый слой помещен в магнитное поле, при пропускании по нему тока возникает сила, вызывающая деформацию графенового слоя. При соответствующем выборе направления магнитного поля и коэффициента усиления усилителя возможно возникновение раскачивающихся колебаний. Их размах ограничивается нелинейными свойствами усилителя. В работе представлена электромеханическая модель предлагаемого устройства, составлены уравнения движения в безразмерном виде. Проведен численный эксперимент, показывающий возможность возникновения установившихся колебаний с собственной частотой. Проведен анализ наличия предельных циклов в рассматриваемой системе. Показано, что предельный цикл может быть только один, причем он всегда устойчив. Предложенная схема резонатора может быть использована как детектор массы, сигналом наличия присоединенной массы является изменение частоты автоколебаний.

Ключевые слова: детектор массы, графеновый резонатор, усилитель с нелинейной характеристикой, датчик колебаний графенового слоя, магнитное поле, перезаряд конденсатора, положительная обратная связь, автоколебания, предельный цикл, устойчивость

Self-oscillating mode of a nanoresonator

D.A. Indeitsev12, O.S. Loboda12, N.F. Morozov23, D.Yu. Skubov12, and L.V. Shtukin12

1 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, 195251, Russia 2 Institute for Problems in Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia 3 Saint Petersburg State University, St. Petersburg, 199034, Russia

The paper develops a new circuit of a graphene resonator based on the operating principle of a self-oscillator. A major disadvantage of the graphene resonator used as a mass detector is the low quality factor. This complicates an accurate determination of eigenfrequency by the resonance curve. The use of resonance curves with drops with given nonlinear properties of the oscillatory system enhances the eigenfrequency measurement accuracy, but in this case the quenching frequency can be dependent upon the oscillation frequency. This paper puts forward a circuit of a graphene resonator that allows eliminating the above drawbacks. The graphene resonator is proposed to be a part of a self-oscillator. An essential advantage of the self-oscillating mode is the self-adjustment to the resonance frequency at a slow (compared to the oscillation period) variation of the oscillating system parameters. The self-oscillator consists of an amplifier, a graphene resonator as an oscillating system, and a positive feedback circuit. The feedback circuit includes a transducer of the graphene layer oscillations. The overcharge current of the capacitor made up by the graphene layer and conducting substrate is taken as the signal depending on the graphene layer oscillations. Since the capacitor capacity changes during the graphene layer deformation, the capacitor is charged by feeding from a constant voltage source. The transducer signal is transmitted to the amplifier input whose output current is passed through the graphene layer. The graphene layer is in the magnetic field. When current passes through the layer, a force arises that induces its deformation. A certain combination of the magnetic field direction and the amplification coefficient value of the amplifier may lead to the generation of swinging oscillations. Their amplitude is limited by the nonlinear properties of the amplifier. An electromechanical model of the proposed device is represented in the paper. Equations of motion in a dimensionless form are derived. A numerical experiment is conducted to illustrate the possible generation of steady-state oscillations with eigenfrequency. The presence of limit cycles in the considered system is analyzed. It is shown that there can be only one limit cycle and it is always steady. The proposed resonator circuit can be used as a mass detector. The signal indicating mass adsorption is the self-oscillation frequency change.

Keywords: mass detectors, graphene resonator, nonlinear amplifier, transducer of graphene layer oscillations, magnetic field, recharge of the capacitor, positive feedback, self-oscillations, limit cycle, stability

© Индейцев Д.А., Лобода О.С., Морозов Н.Ф., Скубов Д.Ю., Штукин Л.В., 2016

1. Введение

В подавляющем большинстве экспериментальных работ по изучению графеновых резонаторов [1-9], как и в работах, где рассматриваются различные механические модели резонаторов [10, 11], предлагается определять собственную частоту резонатора методом построения частотной характеристики (резонансной кривой). Это означает по существу следующее. На резонатор осуществляется воздействие, меняющееся во времени по гармоническому закону с некоторой частотой. Измеряется амплитуда установившихся колебаний резонатора. Затем изменяется частота воздействия, и снова измеряется амплитуда установившихся колебаний резонатора. Такая процедура осуществляется в некотором частотном диапазоне, внутри которого, предположительно, находится собственная частота резонатора. После этого строится зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты воздействия. Частота, соответствующая максимальному значению амплитуды, принимается за искомую собственную частоту. Достоинством такого метода является простота проведения эксперимента, в процессе которого требуется только измерение амплитуды колебаний, и простота обработки результатов.

Отметим недостатки этого метода. Во-первых, проведение эксперимента требует значительных затрат времени. Измерение должно быть проведено для большого числа значений частоты воздействия. Во-вторых, определение максимального значения амплитуды может содержать большую погрешность. Именно вблизи резонанса амплитуда резко изменяется при малых изменениях частоты, что затрудняет поиск этого экстремума. Уточнение может быть проведено уменьшением шага изменения частоты при проведении эксперимента, что не всегда технически возможно. Использование резонансных кривых с характерным срывом при наличии нелинейностей в колебательной системе резонатора облегчает задачу поиска экстремума. При этом появ-

Проводящая поверхность7 Рис. 1. Схема автоколебательного резонатора

ляется другой неприятный фактор — частота срыва может сильно зависеть от амплитуды воздействия.

Перечисленных недостатков лишена колебательная система, в которой возможно возникновение автоколебательного режима. Появление автоколебательного режима возможно при наличии положительной обратной связи между колебательной системой и источником возбуждения колебаний [12]. Важнейшим достоинством автоколебательного режима является самонастройка на резонансную частоту при медленном (в сравнении с периодом колебаний) изменении параметров колебательной системы. При осаждении исследуемой частицы на графеновом слое меняется масса, участвующая в колебательном процессе, что приводит к изменению частоты автоколебаний.

2. Схема и принцип работы автоколебательного резонатора

Предлагаемая схема автоколебательного резонатора представлена на рис. 1. Автоколебательный резонатор состоит из усилителя, колебательной системы в виде графенового резонатора и цепи положительной обратной связи. Выходной ток усилителя пропускается по графеновому слою. Сам графеновый слой помещен в магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен направлению тока и направлению прогиба гра-фенового слоя. За счет взаимодействия тока и магнитного поля возникает сила, действующая на графеновый слой и вызывающая его прогиб.

Графеновый слой и проводящая поверхность под ним образуют конденсатор. К обкладкам этого конденсатора приложено напряжение от источника постоянной электродвижущей силы и0. При изменении прогиба графенового слоя изменяется емкость конденсатора, что вызывает его перезарядку, причем ток перезарядки зависит от скорости изменения прогиба. Падение напряжения на резисторе R, пропорциональное току перезарядки и являющееся сигналом датчика колебаний графе-нового слоя, подается на вход усилителя, тем самым замыкается обратная связь усилителя. Эта обратная связь может быть как положительной, так и отрицательной при соответствующем выборе направления магнитного поля.

3. Уравнения движения

Используем модель графенового слоя при его поперечных колебаниях из работы [11]. Эта модель представляет собой электромеханическую систему (рис. 2), состоящую из колебательной механической системы с одной степенью свободы и электрической цепи из последовательно включенных источника электродвижущей силы, резистора и конденсатора. Взаимное влияние механической системы и электрической цепи обусловлено тем, что электрическое поле в конденсаторе созда-

Рис. 2. Электромеханическая модель автоколебательного резонатора

ет механическую силу, действующую на колеблющуюся массу, а перемещение массы вызывает изменение емкости конденсатора. В случае пропускания тока по гра-феновому слою и наличия при этом внешнего магнитного поля на массу будет действовать дополнительно сила, обусловленная взаимодействием тока и магнитного поля. Величина этой силы пропорциональна величине тока д2, магнитной индукции поля В и длине проводника (графенового слоя) L.

Уравнения движения механической системы имеют тот же вид, что и в работе [11], с добавлением силы, связанной с наличием магнитного поля:

тх + Ьх + Р(х) -1—+ BLq2 2 с

0.

Для двух электрических контуров в соответствии со схемой на рис. 1 запишем уравнения второго закона Кирхгофа:

и0 - Щ - 91 = 0, F(ивх) - Я^ = 0,

где F (ивх) — характеристика усилителя.

К этим уравнениям следует добавить соотношение, определяющее напряжение на резисторе:

ивх =

Для удобства введем более удобные неизвестные вместо неизвестных зарядов в контурах. Проще всего ввести напряжение на конденсаторе V, которое выражается через заряд емкости:

91

V = —

Тогда первое из уравнений системы

Выходной ток усилителя также можно выразить через напряжение на конденсаторе V:

9&2 = F

Емкость конденсатора может быть выражена через прогиб графенового слоя:

С = С

d0

-х

где С0 — емкость конденсатора при недеформирован-ном графеновом слое.

Окончательно система уравнений, описывающая колебательный процесс в рассматриваемой электромеханической системе, имеет вид

тх + Ьх + Р(х) -1С0 VI —-

2 0 - х)

- BLF

ЯСг

Я С

Я

¿0

d0 - х

do

-V + -

do

\\

d0 - х

-те

V + -

d(^

= 0,

; 1

-ух

+ V = и

0

Характеристика усилителя может быть различной. В достаточно общем случае характеристика усилителя имеет вид

F (и) = Vo п arctg

п ки

2 V

Здесь К — коэффициент усиления при малых входных сигналах; ¥0 — напряжение ограничения сигнала на выходе усилителя. Такая характеристика позволяет учесть почти линейный участок при малых входных сигналах, плавную нелинейность при больших входных сигналах и ограниченность выходного сигнала некоторым уровнем, зависящим от напряжения питания усилителя.

Напряжение ¥0 следует выбрать исходя из следующего. При возникновении автоколебательного режима амплитуда выходного сигнала усилителя будет близка к величине У0. В установившемся автоколебательном режиме необходимо, чтобы амплитуда колебаний графе-нового слоя была достаточно заметной, но не превышала бы величины первоначального зазора. Исходя из этого сначала следует решить задачу о резонансных вынужденных колебаниях графенового слоя под действием силы магнитного взаимодействия и подобрать величину выходного тока усилителя так, чтобы амплитуда графенового слоя в резонансном режиме была заданной величиной, порядка 0.3-0.5 первоначального зазора. Не нарушая общности, можно положить У0 = = и0, а необходимое значение выходного тока обеспечить за счет величины сопротивления резистора Я.

Уравнения (8) можно записать в безразмерном виде:

% + + -Р2 П

-aF 5

с г 5

V V

1 ' 1

-П +-;

1 -% (1Ч)'

(1-1У

-п'

\\

= 0,

1 ^ 1

п + „ч7

1 -V (1 Ч)2

+п = 1,

где \ = х^0 — безразмерный прогиб; п = — безразмерное напряжение на конденсаторе; т = А^—безразмерное время; А — собственная частота графенового резонатора. В упругой характеристике графенового слоя

Р (£) _ + у^3 учтены линейная и кубическая составляющие; ()' — производная по безразмерному времени.

В уравнениях (10) введены безразмерные множители, имеющие вполне конкретный физический смысл.

Первый из них — отношение энергии электрического поля к максимальной энергии колебаний при амплитуде, равной полному зазору:

1 си

0и 0 _р2

2 md0 X 2

встречался ранее при рассмотрении колебаний резонатора [10, 11]. По проведенным оценкам его величина составляет от 0.01 до 0.1.

Второй множитель — отношение магнитной силы, возникающей при протекании тока по графеновому слою к упругой силе, соответствующей прогибу графе-нового слоя на величину первоначального зазора: вьио/Я, _ вьио/Я,

тХ 2 d 0

cd 0

_ а.

1 о о

Ток создается наличием источника с выходным напряжением ио и внутренним сопротивлением Я,. Об оценке величины магнитной силы сказано выше. Оценка множителя а — величина, обратная добротности колебательной системы.

Третий множитель — отношение постоянной времени заряда конденсатора к периоду собственной частоты: КС

ЯС 0Х_2я^ = 8.

При большом значении этого множителя конденсатор не будет успевать перезарядиться за один период колебаний графена. При малом значении напряжение на резисторе Я будет малым. Оценка этой величины — порядка 0.01-0.1.

Наконец, в уравнениях (10) есть еще один безразмерный множитель — коэффициент усиления К. Его выбор позволяет получить раскачку колебаний при малых амплитудах. Возникновение автоколебаний, когда естественное демпфирование колебаний может быть скомпенсировано поступлением энергии от внешнего источника. В первом из уравнений (10) есть два слагаемых, содержащих скорость причем они имеют разные знаки. Первое из них — вязкое трение, отвечающее за поглощение энергии, второе — сила, создаваемая за счет взаимодействия тока и магнитного поля, отвечающая за поступление энергии. При соответствующем выборе коэффициента усиления можно получить положительный баланс энергии и, как результат, — раскачку колебаний.

4. Результаты численного интегрирования уравнений

Проведенный при решении уравнений (10) численный эксперимент показал, что при соответствующем выборе коэффициента усиления К и напряжения огра-

Рис. 3. Осциллограмма автоколебательного процесса

ничения У0 можно получить раскачку колебаний с последующим выходом на установившийся режим.

На рис. 3 показана одна из осциллограмм, полученных численным интегрированием системы уравнений (10). На приведенной осциллограмме видны процесс раскачки колебаний и последующее установление ограничения размаха колебаний.

При осаждении частицы на графеновом слое происходит изменение эффективной массы колебательной системы. В уравнениях (10) это можно учесть изменением коэффициента при старшей производной — добавлением составляющей ц:

(1 + ц) ^ + 2 < + -в2

П

а

с

5

V

1 ' 1

П + „ „ч2 П

1Ч (1Ч)2

(1Ч)2 _ о,

//

1 '+ 1

-7П +-тЛь

1Ч (1Ч)2

+ П_ 1>

где ц — относительное увеличение эффективной массы.

На рис. 4 показаны осциллограммы установившихся автоколебаний при различных значениях добавленной массы. По осциллограммам рис. 4 видно, что наличие осажденной массы увеличивает период колебаний, т.е. уменьшает частоту установившихся автоколебаний.

0.1

0.0-

-0.1-

-0.2

п-1-1-1- 7ч/УУ\\ /X ?///\\\ 1

о- 5 Т2 1": ) 15 20 т

Гз .

Рис. 4. Установившиеся автоколебания при различной массе осажденной частицы ц = 0.0

5. Исследование предельного цикла

Рассмотрим случай малой постоянной времени заряда конденсатора 5. Тогда во втором уравнении системы (10) можно пренебречь скоростью изменения напряжения на конденсаторе и в явном виде получить напряжение на конденсаторе

При подстановке в первое уравнение из (10) получим уравнение

£4 2< + £ + у£3-в2

1

-аГ

г г

V V

1

(1 -£)2

\\

(1 -£)2+£

=0.

; )

Для получения представления о возможных предельных циклах при решении уравнения (13) рассмотрим сначала фазовый портрет свободных колебаний графе-нового резонатора в отсутствие магнитного поля, т.е. при разомкнутой обратной связи. Соответствующее уравнение свободных колебаний имеет вид

¿3 о2 1

Г+£+у£3-в2

0.

(1 -£)2

При определенном соотношении параметров у, в система имеет два положения равновесия: устойчивое и неустойчивое. Уравнение (13) имеет интеграл энергии

!(£')2 +1 £2 + — -в2 2

= Н.

2^ 4^ 1

На рис. 5 показан фазовый портрет системы, описываемой уравнением (14).

Рассмотрим движение системы с обратной связью около устойчивого равновесия системы без обратной связи при небольших амплитудах колебаний, полагая, что прогиб £ мал по сравнению с 1 (зазором в резонаторе). Тогда можно уравнение (13) линеаризовать по

£ + 2< + £-в2 - аГ

Оставив в характеристике усилителя только линейное и кубическое слагаемые, получим уравнение

£' + (IV-а5К + е(£')2)£'+£-в2 = 0.

Рис. 5. Фазовый портрет Н = 0.005

Известно, что уравнение (17) имеет единственный предельный цикл [13]. Методом гармонического баланса может быть дана приближенная оценка его амплитуды

[4о5К-27

""¡1—-с—•

Существование предельного цикла возможно только при выполнении условия а5К > 2v, т.е. при условии, что поступление энергии от источника при малых амплитудах колебаний больше, чем потери энергии вследствие демпфирования. Оценка амплитуды предельного цикла дает возможность показать его принадлежность области, лежащей внутри сепаратрисы, определяемой соотношением (15) (рис. 5, кривая 4).

Устойчивость предельного цикла определяется знаком его характеристического показателя

1 т

Н т ^

-2 V + а5К - 3еу + а5

ду

Л.

Здесь интеграл берется по замкнутой фазовой траектории, отвечающей предельному циклу, что соответствует периодической функции у(т) = £'(т) с периодом Т. В результате приходим к выражению

Н = а5К - 2v-

1т 11

3еу2 - а5

ду

ат.

Предельный цикл устойчив, если h < 0. При подстановке в (20) решения для предельного цикла, полученного методом гармонического баланса, можно убедиться, что условие устойчивости предельного цикла выполняется при а5К > 2 V. Из этого следует, что полученный предельный цикл уравнения (13) при его существовании устойчив.

6. Выводы

Предложена принципиально новая схема нанорезо-натора на основе графенового слоя, работающего в режиме автогенератора. Разработана электромеханическая модель и составлены уравнения движения. Проведены численные эксперименты, демонстрирующие возможность раскачки колебаний и выхода в режим установившихся автоколебаний. Показано, что уравнение, описывающее движение рассматриваемой электромеханической системы, имеет один устойчивый предельный цикл. Сигналом наличия присоединенной массы является изменение частоты автоколебаний, что может быть использовано для измерения массы наночастицы, осажденной на графеновом слое.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 1401-00845.

Литература

1. Гринберг Я.С., Пашкин Ю.Я., Ильичев Е.В. Наномеханические резонаторы // УФН. - 2012. - Т. 182. - № 4. - С. 407-436.

2. Eom K., Park H.S., Yoon D.S., Kwon T. Nanomechanical resonators and their applications in biological/chemical detection: Nanome-chanics principles // Phys. Rep. - 2011. - V. 503. - P. 115-163.

3. Scott Bunch J., van der Zande A.M., Verbridge S., McEuen P. Electromechanical resonators from graphene sheets // Science. - 2007. -V. 315. - P. 490-493.

4. Chen C., Rosenblatt S., Bolotin K.I., Kalb W., Kim P., Kymissis I., Stormer H.L., Heinz T.F., Hone J. Performance of monolayer grapheme nanomechanical resonators with electrical readout // Nature Nanotechnology. - 2009. - V. 4. - P. 861-867.

5. He X.Q., Kitipornchai S., Liew K.M. Resonance analysis of multi-layered graphene sheets used as nanoscale resonators // Nanotechnology. - 2005. - V. 16. - P. 2086-2091.

6. Liu Y., Xu Z., Zheng Q. The interlayer shear effect on graphene multilayer resonators // J. Mech. Phys. Solids. - 2011. - V. 59. - P. 16131622.

7. Toxhiaki N., Jin-Xing S., Qing-QuingN. Vibration analysis of nanome-chanical mass sensors using double-layered graphene sheets resonators // J. Appl. Phys. - 2013. - V. 114. - P. 0904307.

8. van der Zande А.М., Barton R.A., Alden J.S., Ruiz-Vargas C.S., Whitney W.S., Pham P.H.Q., Park J., Parpia J.M., Craighead H.G., McEuen P.L. Large-scale arrays of single-layer graphene resonators // Nano Lett. - 2010. - V. 10(12). - P. 4869-4873.

9. Chen C., Hone J. Graphene nanoelectromechanical systems // Proc. IEEE. - V. 101. - No. 7. - P. 1766-1779.

10. Морозов Н.Ф., Беринский И.Е., Индейцев Д.А., Привалова О.В., Скубов Д.Ю., Штукин Л.В. Срыв колебаний графенового резонатора как способ определения его спектральных характеристик // ДАН. - 2014. - Т. 456. - № 5. - C. 537-540.

11. Штукин Л.В., Беринский И.Е., Индейцев Д.А., Морозов Н.Ф., Скубов Д.Ю. Электромеханические модели нанорезонаторов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 1. - С. 24-30.

12. Бонч-Буевич А.М. Радиоэлектроника в экспериментальной физике. - М.: Наука, 1966. - 768 с.

13. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1990. - 488 с.

Поступила в редакцию 06.06.2016 г.

Сведения об авторах

Индейцев Дмитрий Анатольевич, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, зав. каф. СПбПУ, научн. рук. ИПМаш РАН, DmitryЛndeitsev@gmail.com Лобода Ольга Сергеевна, к.ф.-м.н., доц., доц. СПбПУ, снс ИПМаш РАН, loboda_o@mail.ru

Морозов Никита Федорович, д.ф.-м.н., акад. РАН, научн. конс. ИПМаш РАН, зав. каф. СПбГУ, morozov@nm1016.spb.edu Скубов Дмитрий Юльевич, д.ф.-м.н., проф., проф. СПбПУ, внс ИПМаш РАН, skubov.dsk@yandex.ru Штукин Лев Васильевич, к.ф.-м.н., доц., доц. СПбПУ, зав. лаб. ИПМаш РАН, lvtvsh4749@gmail.com