Применение алгорифма Шварца к пространственным задачам теории упругости

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 165-176 Механика

УДК 539.3

Применение алгорифма Шварца к пространственным задачам теории упругости

Л. В. Левина, В. Б. Пеньков, М. Р. Рыбакова

Аннотация. Реализовано сочетание алгоритма Шварца с методом граничных состояний при решении трехмерной задачи теории упругости для ограниченного тела, содержащего полость. Отслежена эволюция внутренних состояний тела в процессе наращивания итераций на примере кругового цилиндра, содержащего сферическую полость. Исследовано влияние соотношения характерных размеров тела и полости на процесс сходимости: уменьшение габаритов полости существенным образом улучшает сходимость метода Шварца. В целом сходимость метода Шварца в трехмерных задачах оказывается быстрой, в то время как для двумерных задач расчетная практика установила медленную сходимость.

Ключевые слова: метод граничных состояний, алгоритм Шварца, полость, базис состояний, упругость.

Введение

Альтернирующий «алгорифм» был заявлен Шварцем во второй половине XIX века. Он первоначально предназначался для решения плоских краевых задач для гармонических функций, определенных на множествах точек, образованных объединением взаимоналегающих областей, по аналитическим решениям, строящимся для каждой области в отдельности. Методом Шварца эффективно решались плоские задачи для сред различной физической природы: о дифракции электромагнитных волн на двух телах, об обтекании двух объектов жидкостью, об электростатическом поле между взаимодействующими частицами и др. [1]. Метод эффективно применялся для задач плоской теории упругости И.И. Воровичем, А.С. Космодамианским, Д.И. Шерма-ном, Г.Н. Бухариновым [2]. Наиболее строгое обоснование метод получил по отношению к полям гармонических функций (метод Пуанкаре-Перрона) и позднее был распространен на трехмерные объекты, получив название метода отражений.

Метод Шварца в применении к задачам теории упругости активно развивается и в настоящее время в отношении двумерных задач [3, 4, 5]. Направ-

ленность исследований разнообразна: многосвязность, использование численных алгоритмов на каждом шаге итерации (МКЭ, МГЭ), декомпозиция вычислений за счет многопроцессорности.

Приобретенный мировой опыт эксплуатации метода Шварца отмечает медленную сходимость (в плоских задачах). Достоверность результатов решения базируется на сравнении с решениями, полученными иными способами, построенными для более простых объектов.

В настоящей работе метод Шварца применяется для решения пространственных задач для ограниченного упругого тела, ослабленного полостью. На каждом шаге итерационного процесса применяется метод граничных состояний (МГС), предоставляющий результат решения в аналитической форме. Численными экспериментами оценивается сходимость метода Шварца, ее зависимость от характерного размера полости. Достоверность базируется на сравнении построенного граничного состояния с заложенными граничными условиями (ГУ), поскольку определяющие уравнения среды удовлетворяются тождественно. Следуя установившимся традициям, называем используемый алгоритм именем Шварца.

1. Метод граничных состояний в алгоритме Шварца

Упругое тело заключено в области V = У1 П У2, где VI — односвязная компактная область, У2 — внешность односвязной полости. Полость не имеет пересечений с границей тела: V2 С VI. На границе дУ = дУ1 и дУ2 удержаны некоторые граничные условия, характеризующиеся единственностью решения упругой задачи. Итерационный процесс Шварца традиционен:

1. Строится решение внутри области VI, отвечающее граничным условиям, поставленным на д^. Оценивается след поля на дV2, где формируются состояния, компенсирующие отличие от ГУ на дV2.

2. Решается внешняя задача на У2 со скомпенсированными ГУ на дV2; оценивается граничное состояние на дУ1 и формируется компенсация для дУ1.

Пункты 1, 2 повторяются до достижения необходимой точности, оцениваемой в общем случае невязкой состояния решения с поставленными ГУ.

В качестве метода решения на каждом шаге итерации используется МГС [6], отличительными особенностями которого являются:

1) символьное представление результатов решения (внутреннее состояние является линейной комбинацией базисных состояний, генерируемых в символьной форме через общее решение для среды);

2) самодостаточность (определяющие уравнения среды удовлетворяются тождественно, поэтому достоверность результата решения соотносится с невязкой полученного граничного состояния с ГУ);

3) лаконичность решения основных задач (процедура решения сводится к рутинному вычислению квадратур, через которые определяются коэффициенты разложения искомого решения по базису);

4) прозрачность постановки краевых задач (ГУ формулируются непосредственно через атрибуты граничного состояния или их линейные комбинации);

5) легкость тестирования и интерпретации результатов (внутреннее состояние позволяет легко оценить состояние, относящееся к поверхности, выделенной внутри тела).

Концепция пространств состояний рождается из последовательности понятий: 1) состояние среды есть любое частное решение ее определяющих соотношений; 2) внутреннее состояние £ — любое состояние среды, удовлетворяющее определяющим соотношениям в области V, занятой телом; 3) граничное состояние 7 — след внутреннего состояния на границе дV тела; 4) пространство внутренних 2 (граничных Г) состояний — множество всех возможных внутренних (граничных) состояний.

В случае изотропно-упругого тела под состояниями — элементами пространств 2, Г понимаем наборы £ = {щ}, 7 = {иг,рг}, удовлетворяющие определяющим соотношениям изотропной упругой статической среды: уравнениям равновесия

оц^ = О,

соотношениям Коши

£г] = 1/2

обобщенному закону Гука

агЗ = Л£кк+ 2Ц£1] , (2) а также соотношениям на границе тела

рг — пз,

где о^ — напряжения, иг — перемещения, £^ — деформации, Л, ц — константы Ламе, рг — усилия на границе с^ с единичным вектором внешней нормали {п1,п2,пз}.

Таким образом, построенные пространства 2, Г являются линейными. Введение скалярных произведений

(£(к),£(т)}з

V

(1(к) ЛМ )г = / p(k)vt)ds

дV

делает их евклидовыми и далее — гильбертовыми. Возможность назначения счетного базиса характеризует гильбертово пространство как сепарабель-ное. Равенство скалярных произведений, обусловленное принципом возмож-

ных перемещений, завершает установление гильбертова изоморфизма пространств Г.

Любой элемент пространства 2 и соответствующий ему по изоморфизму элемент пространства Г представляются рядами Фурье по элементам изоморфных ортонормированных базисов:

£ = £ ск£(к), 7 = £ ск = (£,£(к))- = (Ъ1{к))г-

к к

Постановка краевых задач в терминах МГС в общем случае приводит к бесконечной системе уравнений

Яс = Ч,

где Я — «скелет» задачи (матрица коэффициентов БСУ; в случаях первой и второй основных задач Я = Е, Е — единичная матрица); ч — вектор правых частей БСУ. Алгоритмы вычисления коэффициентов и правых частей БСУ построены [7]. Для основных типов задач доказана единственность решения любой усеченной подсистемы.

Базис пространства 2 набирается из решения Папковича-Нейбера в форме Аржаных-Слободянского. Для компактной области это

Щ = 4

где V — коэффициент Пуассона, Бг — компонента произвольного гармонического вектора. Для генерации исходного базиса состояний достаточно воспользоваться базисом однородных гармонических многочленов

{х, у, х, ух, хх, ху, у2 — х2, х2 — х2, ... } .

В случае неограниченного тела с полостью роль элементов гармонического базиса выполняют иррациональные функции вида

( 1 х у х ух XX ху 1 ГЪ-о-о

г = ^ х2 + у2 + х2

и используется решение

щ = 4

Для ортогонализации базиса удобно использовать рекурсивный матричный алгоритм, основанный на матрице Грама. По реализации алгоритма Шварца результирующее состояние строится аддитивно £ = ^ + £2), где

г

нижний индекс указывает на номер итерации в алгоритме Шварца, а верхний соответствует области, по отношению к которой решалась краевая задача методом граничных состояний в соответствии с формулированными ГУ.

2. Сжатие кругового цилиндра, ослабленного сферической

полостью

Круговой изотропный упругий цилиндр (безразмерные параметры Ламе Л = ц = 1) безразмерных радиуса Кс = 1.5 и высоты Н = 3 ослаблен сферической полостью радиуса Я3 = 1 (рис. 1).

Рис. 1. Круговой цилиндр со сферической полостью

По границам Б\, £2 цилиндр нагружен встречными поверхностными безразмерными усилиями постоянной интенсивности ро = 1, вызывающими осевое сжатие цилиндра. Поверхности £3, £4 свободны от нагрузки. Требуется установить напряженно-деформированное состояние цилиндра.

Оставляя в стороне прямое решение задачи методом граничных состояний (МГС это позволяет), декомпозируем задачу на предмет применения алгоритма Шварца.

Внутренняя задача для цилиндра. Область У1 цилиндра имеет границу дУ1 = £1 и £2 и £3. ГУ на первой итерации определяются вектором усилий

{ {0, 0, ро}, г € £1, р =\ {0, 0, -ро}, г € £2, I {0, 0, 0}, г € £3,

а на последующих итерациях соответствующие позиции занимают усилия, определенные процедурой компенсации возмущений, вызванных внешней задачей для сферы.

Исходный базис пространства внутренних состояний набирается в соответствии с базисом гармонических многочленов (5) по цепочке (4), (1), (2),

причем гармонический вектор В, компоненты которого фигурируют в (4) строится из каждого гармонического многочлена ф тремя способами

В  {

Например, многочлену ф = xy в комбинации B = {xy, 0, 0} соответствует элемент базиса

е (6) = {u(6), ^6), ?(6)~

где

u

(6) = I _

4 xy

У2 -yz

,?<6) =

(

4y 2 x 0 2x -2 y -z/2 0 -z/2 -y

9y 4 x 0 4x —3 y —z 0 -z -y

Последующая ортогонализация совмещена с «чисткой» базиса: отбрасываются линейно зависимые элементы, устанавливаемые в процессе ортогона-лизации. Таких элемента оказалось три на начальном отрезке базиса.

Поскольку ГУ соответствуют первой основной задаче теории упругости (по классификации Н.И. Мусхелешвили), то «скелет» задачи в (3) представляет собой единичную матрицу, следовательно, правые части совпадают с вектором коэффициентов Фурье и рассчитываются по формуле:

Ck = J Piuf^dS.

&V\

Результатом первой итерации является однородное НДС внутри цилиндра. Оно оставляет на мысленно выделенной границе сферической полости след, характеризуемый усилиями p = {0, 0,p0 sin в}, где в — широта в сферической системе координат. Процедура решения внутренней задачи для цилиндра в последующих итерациях такая же, но усилия на границе выставляются как результат компенсации возмущения, вызванного решением внешней задачи для сферы из предыдущей итерации. Сравнение уровня усилий, закладываемых в ГУ в последовательных итерациях на границе Si цилиндра, приведено в табл. 1 в форме эпюр в сечении ф = п/4 (на границе S3 картина идентична; на S2 ГУ не приведены, поскольку визуально неотличимы от нуля). Во внутренней задаче для цилиндра сплошная линия соответствует ГУ первой итерации, пунктирные — последующим итерациям: длинный — второй, средний — третьей, короткий — четвертой. Сравнение показывает, что в последовательности итераций наблюдается регулярное снижение уровня поправок в решение. Идентичность рисунков в столбцах px, py обусловлена симметрией в постановке задачи. Обозначение линий во внешней задаче для сферы аналогичное (четвертая итерация не проводилась).

Таблица 1

Граничные условия в последовательных итерациях

Внутренняя задача для цилиндра Si

Внешняя задача для сферы S4

Pz

I i

Внешняя задача для сферы. Процедура формирования исходного базиса совпадает с таковой во внутренней задаче с тем отличием, что вместо базиса гармонических функций используется (6) и решение (7). Например, первому элементу базиса ф = 1/г в варианте В = {1/г, 0, 0} соответствует элемент базиса

£(1) = {и«?« а(1)},

где

u

(1) = 1

2 a2 — 11 x2 xy

xz

£

5

—3x3

У a/ —z a/2

1 , ^ —У a/2

a1) = — I —ya/2 x

—3xyz

7x2 + y2 + z2,

—za/2 — 3 xyz x

a

1 , —xa —ya —za

(1) = — 1 —ya x (a — 6x2 — 6y2) —6 xyz

—za —6 xyz x

ГУ для сферы в первой итерации есть вектор

p = {0, 0, —po sin в},

а в последующих итерациях компенсирует соответствующие следы решения от внутренней задачи для цилиндра.

Последовательность суммарных состояний по результатам итераций сведена в табл. 2, где приведены поля радиального ar, окружного аф, осевого az, сдвигового arz напряжений в первом квадранте сечения y = 0. Процесс завершен третьей итерацией, линии уровня напряжений из результирующего состояния идентифицированы.

Внутренность полости представлена фоном, который соответствует нулевому уровню напряжений. Более светлые тона соответствуют более высоким напряжениям. Сравнение итераций отслеживает эволюцию полей.

a

3

r

5

r

Таблица 2

Уточнение полей напряжений в последовательных итерациях

На рис. 2 приведены эпюры перемещений их, иу, и,х (линии одинарной, двойной и тройной толщины соответственно), отнесенные к границам Б\, Бз, Б4, построенные в зависимости от параметризующих границы переменных г, г, в.

Рис. 2. Перемещение их, иу, иг на границах: а - £1,6- Б3, в - Б4 Форма тела после деформирования изображена на рис. 3.

Рис. 3. Деформированный цилиндр с полостью

3. Влияние размера полости на сходимость решения

Рассмотренный в п. 2 пример характеризуется сопоставимыми характерными размерами областей во внешней и внутренней задачах (К8 = 1, Кс = = 1.5). Этот фактор, очевидно, сказывается на количестве итераций, необходимых для приемлемой точности. Уменьшая радиус полости (К8 = 0.5), оценим степень улучшения сходимости алгоритма Шварца в трехмерных задачах. В табл. 3 сопоставлены среднеквадратические невязки граничных условий с граничными состояниями, соответствующими завершению итерации при различных отношениях характерных геометрических размеров.

Таблица 3

Анализ сходимости

Параметр полости № итерации

0 1 2 3

= 1 3.760 1.153 0.816 0.813

К8 = 0.5 3.760 0.187 0.113 0.113

Нулевая итерация соответствует нерешенной задаче. Заметно существенное улучшение сходимости (примерно на порядок) при уменьшении характерного размера полости всего лишь вдвое. Стабилизация невязки на поздних итерациях обусловлена накоплением вычислительной ошибки из-за размера мантиссы в представлении действительных чисел, когда компенсирующая поправка формируется на уровне ошибки.

На рис. 4 приведены результаты решений аналогичной задачи, в которой высота цилиндра совпадает с диаметром полости, из-за чего полость по касательной граничит с торцами цилиндра. Этот фактор сводит на «нет» ре-

зультаты итерационного процесса. Показано распределение поверхностных усилий рх на нижнем торце цилиндра (рис. 4 а) и поля осевых напряжений ах в сечении у = 0 (рис. 4 б). Сопоставление результатов с ГУ свидетельствует о том, что вблизи оси цилиндра достижение достаточно точного результата методом Шварца получить не удастся: «провал» на рис. 4, а на фоне заданного уровня поверхностного усилия рх = 1 в процессе итерирования не ликвидируется.

Рис. 4. Некорректное применение алгоритма Шварца: а - нормальное усилие на поверхности £1; б - осевые напряжения в осевом сечении

В целом в трехмерной задаче при заметном различии характерных размеров наблюдается весьма быстрая сходимость.

Выводы

1. Сочетание алгоритма Шварца с МГС, применяемого в каждой итерации, явилось весьма эффективным средством решения задач с полостями.

2. Декомпозиция задачи методом Шварца существенно снижает объем вычислений на предварительных этапах подготовки решения по МГС. Наиболее трудоемкая часть решения, связанная с процедурой ортогонализации базиса, в рассмотренных примерах сокращена вдвое, а если однотипных полостей п, то примерно в (п + 1)2/2 раз (оценка получена сравнением размерности матриц Грама для прямого метода МГС и в алгоритме Шварца). Аналогичная картина наблюдается в отношении формирования «скелета» задачи.

3. Сходимость метода Шварца в трехмерных задачах быстрая в отличие от аналогичных постановок для двумерных задач, но требуется высокая точность в представлении действительных чисел.

Список литературы

1. Трайтак С.Д. Методы решения краевых задач в областях с несвязной границей // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11. № 1.

С. 87-112.

2. Седов Л.И. Механика СССР за 50 лет. Т. 3. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972. 480 с.

3. Бормотин К.С. Модификация метода Шварца, регуляризация и параллелиза-ция МГЭ-решений в комплексе программ расчета упругих микронеоднородных тел: дисс... канд. физ.-мат. наук. Комсомольск-на-Амуре, 2006. 140 с.

4. Людский В.А. Приближенное численно-аналитическое решение плоских задач об образовании отверстий в телах конечных размеров при больших деформациях: дисс ... канд. тех наук. Тверь, 2008. 164 с.

5. Зайков Г.А. Численные алгоритмы расчета краевых задач теории упругости для составных систем специального вида: дисс . . . канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 1984. 120 с.

6. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2. № 2. С. 115-137.

7. Пеньков В.Б., Саталкина Л.В. Итоги и перспективы метода граничных состояний // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 193-211.

Левина Любовь Владимировна (satalkina_lyubov@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики, Липецкий государственный технический университет.

Пеньков Виктор Борисович (vbpenkov@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра общей механики, Липецкий государственный технический университет,.

Рыбакова Маргарита Рушановна (RybakovaRita@gmail.com), ст. преподаватель, кафедра сопротивления материалов, Московский государственный машиностроительный университет.

Application of the algorithm of Schwartz to three-dimensional problem of elasticity theory

L.V. Levina, V. B. Pen'kov, M.R. Rybakova

Abstract. Combination algorithm of Schwarz with method of boundary states for solving the three-dimensional problems of elasticity theory for a limited body with a cavity is realized. The evolution of the internal states of the body in the process of increasing of the iterations on the example circular cylinder, containing a spherical cavity is traced. The effect of the ratio of the characteristic size of the body and cavity in the process of convergence is investigated. Decreasing in the size of body and the cavity significantly improves the convergence of the Schwarz method. In general, the convergence of the Schwarz method in three-

dimensional problems is rapid, while for two-dimensional problems of the global design practice has established a slow convergence.

Keywords: method of boundary states, algorithm of Schwartz, cavity, basis of states, elasticity.

Levina Lyubov (satalkina_lyubov@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics, Lipetsk state technical university.

Penkov Viktor (vbpenkov@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of general mechanics, Lipetsk state technical university.

Rybakova Margarita (RybakovaRita@gmail.com), senior lecturer, department of strength of materials, Moscow University of engineering.

Поступила 14-04-2015