Вариационные формулировки задач устойчивости упругих стержней через изгибающие моменты

4/2010 М1 ВЕСТНИК

ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ ЧЕРЕЗ ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ

VARIATIONAL FORMULIATIONS OF THE PROBLEMS OF STABILITY OF ELASTIC RODS USING THE BENDING MOMENTS

B.B. Купавцев

V.V. Kupavtsev

ГОУ ВПО МГСУ

Получены выраженные через изгибающие моменты вариационные формулировки задач устойчивости прямолинейных однопролётных неоднородно-сжатых упругих стержней переменной изгибной жёсткости.

The author obtained the variational formulations of the stability problems for rectilinear one-span non-uniformly compressed elastic rods with variable bending rigidity; the aforesaidformulations are expressed through the bending moments.

Рассматривается в классической постановке задача устойчивости прямолинейного однопролётного упругого стержня длиной I и переменной изгибной жесткости EJ

(0 < x < i), сжатого продольным усилием pN(x). Внешние нагрузки, пропорциональные безразмерному параметру p, при потере устойчивости стержня не изменяются ни по величине, ни по направлению. Концы стержня закреплены одним из следующих шести способов: 1) оба конца жестко заделаны; 2) заделан один конец и шарнирно опёрт другой; 3) оба конца шарнирно опёрты; 4) жестко заделан один конец, а другой заделан в опору, имеющую возможность смещаться в поперечном направлении; 5) жестко заделан один конец и свободен второй; 6) шарнирно опёрт один конец и заделан другой в опору, подвижную в поперечном направлении. Предполагается, что условия закрепления концов стержня допускают продольное смещение второго конца при нагружении стержня и N(x) > Nmin > 0 .

Согласно энергетическому критерию потери устойчивости требуется найти наименьшее значение pl параметра нагружения (квазистатического) p, при котором изменение полной потенциальной энергии стержня АЭ при переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к смежной изогнутой форме равновесия равно нулю. Это представляется в виде следующего равенства [1]

t

АЭ = J[EJ

0

где штрихом обозначено дифференцирование по x . Минимум p в (l) отыскивается на множестве V функций поперечных перемещений v(x) оси стержня. Функции v(x) должны удовлетворять следующим геометрическим граничным условиям, соответствующим условиям закрепления концов стержня:

ВЕСТНИК 4/2010

1) v(0) = v'(0) = v(£ ) = v'(£) = 0; 2) v(0) = v'(0) = v(£) = 0; 3) v(0) = v(£ ) = 0;

4) v(0) = v'(0) = v'(£ ) = 0; 5) v(0) = v'(0) = 0; 6) v(0) = v'(£ ) = 0. Эта, по существу, вариационная формулировка в перемещениях рассматриваемых задач устойчивости эквивалентна условию стационарности полной потенциальной энергии стержня в смежном положении равновесия. Из условия стационарности, приравняв нулю первую вариацию £(ДЭ) = 0 и проинтегрировав по частям, получаются уравнение смежной формы равновесия стержня в перемещениях и соответствующие ему естественные граничные условия [1].

При потере устойчивости связь между внутренним изгибающим моментом m(x) и поперечным прогибом v(x) оси стержня описывается обычной зависимостью линейной теории изгиба балок [2]. Тогда

v"

a естественные граничные условия после подстановки в них (3) принимают вид силовых и смешанных граничных условий (если они присутствуют): 1) ихнет; 2) m(£) = 0; 3) m(0) = m(£) = 0; 4) m'(£) + pN(£)v'(£) = 0;

5)m(£) = 0, m'(£) + pN(£)v'(£) = 0; 6) m(0) = 0, m'(£) + pN(£)v'(£) = 0. Подставив формулу (3) в уравнение смежной формы равновесия стержня и проинтегрировав его, получим

m'

где Q - константа интегрирования. Из смешанных граничных условий (4) следует, что Q = 0 для трёх последних 4), 5) и 6) из рассматриваемых случаев закрепления концов стержня.

Следует отметить, что в [2] А.Р. Ржаницыным соотношения (5) получены из рассмотрения равновесия бесконечно малого элемента сжатого стержня при выводе дифференциального уравнения его изогнутой оси. Если условиями закрепления стержня не допускаются поперечные перемещения его концов, то величина Q равна поперечной силе, возникающей в момент потери устойчивости стержня в его заделке. Подставив второе выражение (5) в (3), получим такое же, как в [2], дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня, выраженное через внутренний изгибающий момент m(x) и поперечную силу Q,

[

В тех случаях (4, 5 и 6), когда условиями закрепления стержня допускается поперечное перемещение одного из его концов, то Q = 0 и уравнение изогнутой оси стержня выражается через изгибающий момент.

Далее показывается, что и в тех случаях (1, 2 и 3), когда условиями закрепления стержня не допускается поперечное перемещение ни одного из его концов, дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня можно выразить через изгибающий момент. Более того, определение критического значения параметра нагружения p во всех рассматриваемых задачах устойчивости стержней можно представить в виде вариационной задачи, выраженной через изгибающий момент.

Действительно, если проинтегрировать левую и правую части второй формулы (5) от 0 до I и учесть, что для первых трёх случаев закрепления концов стержня v(0) = 0 и v(£) = 0, то получим

4/2010 ВЕСТНИК _МГСУ

Q = j'm'

0 / 0

Выразив Q в уравнении (6) по формуле (7), получим для первых трёх из шести рассматриваемых случаев закрепления концов стержня интегро-дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня, выраженное через изгибающий момент.

Подставив формулу (7) во второе выражение (5) для производной v', а затем её в (1), где V следует выразить по формуле (3) через m, то получим условие ДЭ = 0, представленное через изгибающие моменты. Для 1), 2) и 3) случаев закрепления концов стержня оно сводится к такому

I 1111

p j'[m2

0 0 0 1 0 а для случаев 4), 5) и 6) к следующему

I I

p J[m2

0 0

Чтобы условие существования изгибающего момента m(x), удовлетворяющего указанным в (4) силовым граничным условиям и для которого выполнено равенство (8), было эквивалентно условию существования функции v(x), удовлетворяющей одному из первых трёх видов граничных условий (2) и равенству (1), необходимо выполнение указанных граничных условий функцией v(x), выраженной через изгибающий момент m(x) интегрированием формулы (3). При этом появляются две константы интегрирования, которыми можно обеспечить выполнение функцией v(x) двух граничных условий, указанных в (2). Так, для третьего случая закрепления концов стержня, можно считать выполненными условия v(0) = v(l) = 0 за счёт этих констант. Поэтому на изгибающий момент дополнительных граничных условий кроме тех, указанных в (4) m(0) = m(£) = 0, не накладывается. Для первых двух случаев закрепления концов стержня, можно считать выполненными следующие условия: v(0) = v'(0) = 0 . Тогда, проинтегрировав левую и правую часть формулы (3) от 0 до I, получим, что выпол-

I

нение условия v'(f) = 0 эквивалентно условию |[m(x)/EJ^Х^ = 0. Умножив левую и

0

правую части формулы (3) на разность x -1 и проинтегрировав по частям от 0 до I, получим, что выполнение условия v(£) = 0 эквивалентно условию

]"[(x - £)m{x)¡EJ(x)]dx = 0 .

0

Таким образом, в первых трёх случаях закрепления концов стержня нужно требовать выполнение равенства (8) для функции m(x), удовлетворяющей следующим граничным и дополнительным условиям:

I I

1) |[m(EJ(x)]dx = 0, |[(x - £)m(EJ(x)]dx = 0;

0 , 0

2) m(^) = 0 , |[(x - EJ(x)]dx = 0; 3) m(0) = 0, m(l) = 0. 0

В трёх последних случаях 4), 5) и 6) закрепления концов стержня требуется выполне-

ВЕСТНИК МГСУ

4/2010

ние равенства (9) для функции m(x), удовлетворяющей следующему дополнительно-

му и граничным условиям:

4) J[m(x)/EJ(x)]dx = 0; 5) m(() = 0; 6) m(0) = 0.

Итак, выраженные через изгибающие моменты вариационные формулировки критического значения р1 параметра нагружения в рассматриваемых задачах устойчивости стержней для первых трёх (1, 2, 3) и трёх последних (4, 5, 6) случаев закрепления концов стержня представляются, соответственно, в виде

rm

dx -

p1 = mm-

meM.

^ dx -1 Г t, s fm( x) dx

U N

p1 = mm -

meM2

rm'2

dx

j"[m2 (x)/EJ( x)]dx j"[m2 (x)/EJ( x)]dx

0 0 Минимум первого функционала в (12) отыскивается на множестве M1 функций m(x), удовлетворяющих граничным и дополнительным условиям (10), соответствующим одному из первых трёх рассматриваемых видов закрепления концов стержня. Минимум второго функционала в (12) отыскивается на множестве M2 функций m(x), удовлетворяющих дополнительному или граничным условиям (11), соответствующим 4), 5), и 6) типу закрепления концов стержня.

Легко убедиться, что для функций u(x) и g(x) множества M2, можно ввести ска-

i i лярные произведения по формулам [u, g]A = ju'g'N^dx и [u, g]B = jug(EJ)~l dx , no-

00 скольку N(x) >0 и EJ(x) > 0 . Таким образом, числитель и знаменатель второго функционала (12) является отношением квадратов норм соответствующих гильбертовых пространств. Далее показывается, что и числитель первого функционала (12) также является для функций u(x) и g(x) множества M1, удовлетворяющих одному из условий (10), квадратом нормы гильбертова пространства, скалярное произведение которо-

i tilt го задаётся по формуле [u,g]c = ju'g'N^dx-ju'N^dx jg'N^dx J"N~ldx . Легко

0 0 0 /0 убедиться, что квадратичная форма [u, g]с симметрична и билинейна [3]. Для доказательства неравенства [m, m]c > 0 нужно воспользоваться неравенством Шварца [3] для функций N(x) и m'(x)^JN(x) , рассматриваемых как элементы пространства L2 квадратично интегрируемых функций на отрезке 0 < x < I, применив его к вычитаемому квадрату в выражении [m, m]c . Чтобы убедиться, что из равенства [m, m]c = 0 для функции m(x) множества M1 следует m = 0 , можно воспользоваться тождеством

г dx г dx г I-[m, mjc = I-I-

J Miy\ C J Miy\ J

(m')2 dx -| f- m

J 1

dx

\2 .11 ff m'

2 JJ У 0 0 N(s)N(t) _

dsdt

0 N

Положив равной нулю левую часть равенства (13), а справа, заменив произведение N (я) N (^) его максимумом в квадрате 0 < t < I, получим неравенство

4/2010 М1 ВЕСТНИК

0 = [m,m]C > CJj"[m'(s) -m'(t)]2dsdt, где константа C > 0. Откуда следует, что

0 0

m(s) = m(t) = al - const и m(x) = a1x + a0. Из граничных и дополнительных условий (10) следует, что a1 = a0 = 0 .

Чтобы получить соответствующие вариационным задачам (12) уравнения Эйлера, для функции m(x), на которых достигаются минимумы функционалов (12), нужно перейти к следующей эквивалентной формулировке: найти минимум на множестве Mj (j = 1,2) функционала равного выражению в числителе функционалов (12) при дополнительном условии равенства единице выражения в знаменателе. Кроме того, в 1), 2) и 4) случаях закрепления концов стержня к дополнительным условиям следует отнести условия, наложенные на функцию m(x) в виде интегральных равенств. Далее, используя метод множителей Лагранжа [1], задача сводится к отысканию условия стационарности вспомогательного функционала без дополнительных условий. В результате получим, что уравнение Эйлера совпадает с уравнением (6), если в нём положить Q равным выражению (7) для первых трёх случаев закрепления концов стержня, или нулю для последних трёх случаев закрепления концов стержня. Естественные граничные условия [3] получаются в таком виде :1) m(j) - Q = 0 (j = 0, i); 2) m'(0) - Q = 0; 3) отсутствуют; 4) m'(0) = m'(i) = 0; 5) m'(0) = 0; 6) m'(i) = 0 , где Q равно выражению (7).

Если стержень сжимается силами, приложенными только на концах (N = const),

t

выражение в числителе функционала (12) равно N_1{|(m')2dx -i~\m(t) - m(0)]2}, а

0

уравнение Эйлера для всех рассматриваемых случаев закрепления концов стержня совпадает с известным [2] уравнением изгиба сжатого стержня, выраженным через моменты.

Литература

1. Алфутов Н.А. Основы расчёта на устойчивость упругих систем. М., Машиностроение, 1978

2. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М., Гостехиздат, 1955

3. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М., Мир, 1985

The literature

1. Alfutov N. A. Principles of the stability analysis of elastic systems. M., Machine building, 1978

2. Rzhanitsyn A. R. Stability of the equilibrium state of elastic systems M., Gostekhizdat, 1955

3. Rektoris K. Variational methods in mathematical physics and engineering. M., Mir, 1985

Ключевые слова: устойчивость, упругий стержень, однопролётный, неоднородно-сжатый, критическая нагрузка, вариационная формулировка, изгибающий момент, граничные условия

Key words: stability, elastic rod, one-span, non-uniformly compressed, critical loading, variational formulation, bending moment, boundary conditions

Тел.:8-985-257-21-90.

E-mail автора: kupavtsev.mgsu@mail.ru

Рецензент: Андреев Владимир Игоревич, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Сопротивление материалов» МГСУ.