«Математика — это шестое чувство физики»

Как математики выбирают темы для работы, стоит ли решать задачи за миллион долларов, почему математики иногда считают работу физиков антинаучной и сколько ученых нужно стране для нормальной работы, рассказал «Ъ-Науке» заслуженный профессор математического факультета Университета Стоуни-Брук штата Нью-Йорк (США) Леон Тахтаджян. Интервью взято в продолжение медиапроекта Сколтеха и «Ъ-Науки» «Математические прогулки».

Профессор Леон Тахтаджян. 2016 год

Фото: Из личного архива

— Леон Арменович, первоначально мы с вами должны были прогуляться по математическим местам Санкт-Петербурга. Давайте представим, что мы туда все-таки попали. Куда бы мы отправились?

— Можно было бы начать со здания Императорской Санкт-Петербургской академии наук на Университетской набережной, где работали М. В. Ломоносов, математики Николай и Даниил Бернулли, Христиан Гольдбах, Леонард Эйлер, астроном Жозеф Делиль и многие другие замечательные ученые. Потом пойти дальше по набережной Лейтенанта Шмидта к дому №15 (Дом академиков), где в разное время жили такие математики, как А. М. Ляпунов, А. А. Марков, М. В. Остроградский, В. А. Стеклов и П. Л. Чебышев. Там же, на Васильевском острове, на 11-й линии жил известный немецкий математик, создатель теории множеств Георг Кантор. Затем можно было бы прогуляться по Невскому, свернуть на набережную Фонтанки и зайти в мой родной институт (Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН), а оттуда — на Каменноостровский проспект, в мой дом, где с 1952-го по 1974 год жил известный российский и советский математик Владимир Иванович Смирнов.

— Дом, в котором вы живете в Санкт-Петербурге, был какой-то особенный?

— Он называется «профессорский дом». Его построили в 1952 году и нам дали там квартиру (мой отец был тогда деканом биолого-почвенного факультета ЛГУ). Из окон видна 69-я восьмилетняя школа имени А. С. Пушкина, где я учился. К Пушкину она, кстати, имела самое непосредственное отношение: в 1843 году в это здание перевели Царскосельский лицей, до революции он назывался Александровский лицей. Там работал отец В. И. Смирнова, он преподавал Закон Божий и жил на территории лицея.

— Как вы решили стать математиком, учитывая, что ваш отец был всемирно известным ботаником, в советское время возглавлял отделение ботаники Международного союза биологических наук, путешествовал по джунглям и тропическим островам, писал монографии и так далее. В сети даже можно найти такую частушку: «Самый умный из армян — академик Тахтаджян». Неужели он не увлек вас своей наукой?

— Да, я это тоже слышал. Отец был деканом биологического факультета в Ленинградском университете, и эта частушка, видимо, появилась еще в начале 50-х. У него действительно была очень интересная жизнь. Он родился в 1910 году в Шуши Елизаветпольской губернии Российской Империи — маленьком провинциальном городе на Кавказе, где издавались газеты на четырех языках, а в местном театре шли представления на армянском, грузинском, турецком, русском и французском языках. Отец учился в Единой трудовой школе №42, увлекался ботаникой под руководством своего школьного учителя, князя Макашвили, слушал публичное выступление Троцкого в Тифлисе, был вольнослушателем Ленинградского университета, закончил Всесоюзный институт субтропических культур в Тифлисе. Был знаком с В. Л. Комаровым и Н. И. Вавиловым. Побывал в экспедициях по всему миру — от Кавказа до Фиджи и Новой Зеландии.

Меня биология не очень интересовала, и отец не пытался ею специально заинтересовать. Я только помню, как он мне объяснял основы генетики, когда у нас в школе поменяли учебник биологии. Так что у меня была полная свобода в выборе занятий, чем я и пользовался. Математика всегда давалась мне легко. Где-то в седьмом классе я нашел у отца популярные дореволюционные брошюры по дифференциальному и интегральному исчислению. Стал читать, там все было очень понятно написано, мне понравилось. В конце концов я поступил на математико-механический факультет Ленинградского университета.

Две столицы

— Петербургская и московская математические школы в прошлом веке стали отдельным явлением и порой довольно открыто противостояли друг другу. В чем их отличие и ощущается ли оно сегодня? Можете ли вы, общаясь с другими математиками, сказать, что они из той или иной школы?

— Конечно, могу сразу сказать. Петербургская математическая школа занимается более конкретными задачами, из которых естественным образом возникают общие математические теории и методы. При этом исходная задача может быть и прикладной. Родоначальником школы следует считать Эйлера, но у него не было учеников, поэтому, видимо, нужно начать с Чебышева. Его знаменитыми последователями были Марков, Ляпунов, Коркин, Золотарёв, И. М. Виноградов и другие. Кстати, в Москве, по-моему, говорят Чебышёв.

— Да, с ударением на последний слог. Мы нашли еще одно отличие петербургской и московской школы.

— Да, московская школа более абстрактная, здесь люди с самого начала занимались общими теориями. В более позднее время интерес стал сдвигаться в сторону более конкретных сюжетов, как, например, в школах Арнольда и Новикова.

— То есть можно сказать, что московская школа ближе куда-то к французской?

— Да, пожалуй, ближе к французской, хотя французская очень формальная. А петербургская — к немецкой школе.

— А есть ли, предположим, американская школа?

— Пожалуй, нет, хотя под влиянием европейцев, переехавших из Европы, были четко выраженные школы по топологии, динамическим системам, теории операторов и т. д. Можно упомянуть и школу Терстона по топологии трехмерных многообразий (Г. Я. Перельман доказал его гипотезу геометризации). А вот французская математическая школа существует, потому что сами французы очень редко уезжают учиться из страны и тем самым сохраняют традиции.

В мире идей

— Леон Арменович, какие области в математике сегодня считаются самыми топовыми? Куда чаще всего устремляется талантливая молодежь?

— Это объяснить я не могу. Во-первых, я не знаю, что такое «топовая область математики», во-вторых, сегодня математическое знание очень сильно разрослось и превратилось в многомерную конструкцию, намного более объемную, чем 30–40 лет тому назад. Даже 15 лет назад существовало порядка десяти областей, с которыми можно было как-то разобраться. Сегодня же речь идет о десятках десятков.

Конечно, есть популярные области, существует мода, чем стоит заниматься, и т. д. Молодым людям надо получить работу, что весьма непросто, и это влияет на выбор темы. Дальше мне не хочется это обсуждать, так как это уже «социология науки». Если хотите, популярные области можно определить с помощью ресурса arXiv.org, где каждый день публикуются препринты по математике, физике и другим наукам. Если судить по этому показателю, то сегодня большой интерес к теории чисел.

— Хочется понять, как этот интерес возникает, что бывает отправной точкой?

— Дополнительный интерес к теории чисел возник, видимо, после эпохального доказательства теоремы Ферма Эндрю Уайлсом (доказана в 1994 году, после 300 лет поиска решения.— «Ъ-Наука»). Потом в 2013 году Чжан Итан доказал, что существует бесконечно много пар последовательных простых чисел с ограниченной разностью (около 70 миллионов). Это первый результат на пути доказательства знаменитой проблемы простых чисел-близнецов: существует бесконечно много пар последовательных простых чисел с разностью 2. Эта гипотеза считается гораздо более трудной, чем расширенная гипотеза Римана, и результат Чжан Итана был как гром среди ясного неба. Замечательно, что в его доказательстве использовался усовершенствованный в специальной ситуации вариант результата Энрико Бомбьери и Аскольда Ивановича Виноградова, знаменитой теоремы Бомбьери—Виноградова! Сейчас усилиями многих математиков эта разность доведена до 246.

Эти работы стали как бы центрами кристаллообразования, вокруг которых возникло много замечательных идей и результатов.

— А центр — это человек или это какая-то решенная задача или доказанная гипотеза?

— И то, и другоe, иногда вместе. Выше мы обсуждали современные достижения. Следует также отметить, что в 1956 году великий норвежский математик Атле Сельберг открыл новое направление, получившее название «спектральная теория автоморфных функций» и «формула следа Сельберга». Это была необычайно интересная, но очень сложная тема. Ей очень интересовались и в Советском Союзе, и в Европе, и в США, но буквально человек десять-двадцать. И только начиная с 80-х годов методы спектральной теории автоморфных функций стали применяться в аналитических задачах теории чисел, и начался настоящий бум.

То же самое сейчас происходит вокруг гипотезы или программы Ленглендса (сеть гипотез о связях между теорией чисел и теорией представлений.— «Ъ-Наука»). Ее в 1967 году сформулировал канадский математик Роберт Ленглендс, который работает в Институте высших исследований в Принстоне. Долгое время ей опять же занимались во всем мире совсем немного математиков, правда, очень известных. А потом вдруг она стала мегапопулярной, и сейчас ее геометрическими вариациями начали активно заниматься физики и математики.

Возвращаясь к вашему вопросу, скажу, что в центре кристаллизации изначально должна быть какая-то очень важная работа, которая долго лежит и о ней знает очень узкий круг людей.

— А у вас есть интуиция, какая работа, может быть, не самая известная, выстрелит через какой-то период времени?

— Очень хороший вопрос, но, к сожалению, интуиция работает только в обратную сторону и предугадать тут ничего невозможно. Приведу пример: в Германии в начале века было много знаменитых математиков. В частности, тогда работал всем известный сегодня Давид Гильберт, который как бы «конкурировал» с не менее известным Анри Пуанкаре во Франции. Но на самом деле в то время самым популярным в Германии считался математик Пауль Кёбе, крупный специалист по комплексному анализу. Он был безумно знаменит, гораздо больше, чем остальные, и у него была масса учеников. Сегодня его работы, конечно, хорошо знают — есть теорема и неравенство Кёбе, но значительного влияния на дальнейшее развитие математики они не оказали. Другой пример — это Герман Грассман, работы которого в середине XIX века не получили никакого признания современников. Теперь они используются повсеместно, начиная от линейной алгебры и кончая квантовой теорией поля (функциональное интегрирование по грассмановым переменным).

— Как вы выбираете задачи для работы? Откуда задачи берутся у конкретного человека?

— Я не знаю. Это как спросить у реки, почему она течет в эту сторону, или у живописца. По-моему, у каждого, по крайней мере у меня, в голове есть несколько крутых задач, проблем или гипотез, назовите их как угодно, над которыми надо думать. Иногда что-то получается, приходит какая-то мысль в голову или ассоциация в подсознание. Иногда прочитанное или случайно услышанное слово вдруг отзовется потоком ассоциаций. Становится ясно, что то, чем ты занимался раньше, можно использовать и здесь. Так возникает новый взгляд на старую задачу или что-то новое, неизвестное ранее.

— Должно ли результатом этой деятельности стать решение конкретной очень сложной задачи? Или для математиков это, как ни странно, не так важно?

— Важно, чтобы были новые интересные идеи. Если с их помощью удается решить сложную известную задачу — очень хорошо, если они открывают новое направление с новыми задачами — то тоже очень хорошо.

— Многие думают, что математики выбирают как раз известную задачу, например из «списка тысячелетия», за которую Институт Клэя назначил премию в миллион долларов, и решают ее изо всех сил.

— Это все от лукавого, пиар, реклама и шоу-бизнес. Еще есть и премия Мильнера в три миллиона долларов. Может быть, это чересчур радикальная точка зрения, но я считаю, что очень большие деньги часто приносят очень большой вред (как в песне «Money» группы «Пинк Флойд»). Конечно, эти задачи когда-то кто-то обязательно решит, но премии здесь будут совершенно ни при чем.

Физика и платонизм

— Когда мы говорили о наиболее популярных областях, вы упомянули алгебраическую геометрию, а я почему-то думала, что на первом месте окажется математическая физика как самая активная и живая область, где много всего происходит…

— Математическая физика — очень сложное понятие, и каждый вкладывает в него разные вещи. Сегодня математическая физика — это «синтетическая» область математики, состоящая из методов и приемов многих областей: теории дифференциальных уравнений в частных производных, функционального анализа, дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии, топологии, квантовой теории поля и т. д. Сюда же отнесена «струнная математика» (математический аппарат, возникший вокруг теории струн — одной из фундаментальных теорий, согласно которой элементарные частицы, из которых состоит наш мир, не точки, а крошечные струны.— «Ъ-Наука»). «Струнники» используют разную математику, и вся она в одном пакете тоже называется «математическая физика».

— Что здесь кажется самым интересным?

— Когда можно применить методы квантовой теории поля и сформулировать получающиеся результаты или конструкции в чисто математических терминах. Так, например, из квантовой теории интегрируемых систем возникло понятие квантовых групп. Вообще, когда математики используют «подсказки» от физиков и получают чисто математический результат, они предпочитают отбрасывать все, что привело к его появлению, потому что им это неинтересно. Таких примеров можно привести очень много. Самый яркий из них, конечно, теория струн. Это некая теория, которая может быть верна, а может и нет, но математикам это неважно, так как они решают интересные математические задачи, поставленные физиками. Последние, конечно, скажут, что они это уже решили, а математики просто «строго доказали».

— Обычно спрашивают: верите ли вы в теорию струн? Верите, что в основе мира лежит струна?

— Это не вопрос, верить или не верить, скорее, надо спросить, описывает ли эта теория окружающий физический мир вокруг нас или нет. Здесь, конечно, мы считаем, что этот мир, «объективная реальность, данная нам в ощущениях», как меня учили в школе и в университете, существует. В этом смысле я считаю, что физический мир эта теория не описывает.

Но это действительно очень красивая идея, хотя и довольно примитивная. Мы берем и считаем, что вместо точек — элементарные частицы, это «пульсирующие маленькие колечки», струны. Движение точек — это линии, которые пересекаются довольно резко, а движение струн — двумерные поверхности, которые являются более гладкими. Но если это описывать формулами, то дальше все получается очень сложно.

В первоначальном подходе такая теория не противоречила специальной теории относительности, только если пространство-время имеет размерность не четыре, как привыкли мы (три пространственных измерения, отображаемых на координатной плоскости как x, y, z и время.— «Ъ-Наука»), а 26! При этом в теории возникает частица с чисто мнимой массой, что есть полный нонсенс. Однако в 1981 году Александр Поляков из Института Ландау предложил новый подход, в котором теория имеет смысл при любой размерности пространства-времени, однако при размерностях, отличных от критической размерности 26, в теории возникает так называемая аномалия — дополнительное поле («поле Лиувилля»), которое тоже необходимо проквантовать и совместить с основными полями. Поляков высказал блестящее предположение, что на этом пути можно доказать, что наше пространство-время действительно четырехмерно! Аналогичным образом в так называемой суперсимметрической теории критической размерностью будет размерность 10.

Однако задача квантования теорий с аномалиями оказалась очень сложной, и физики ее забросили. Вместо этого было высказано радикальное предположение, что действительно пространство-время имеет размерность 10, просто остальные измерения настолько «маленькие», что мы их не видим! Тут сразу приходит в голову дореволюционный анекдот, когда какой-то господин что-то ищет под фонарем. К нему подходит городовой и спрашивает: «Что, Ваше благородие, делаете?» Он отвечает: «Ищу пятиалтынный» — и они оба ищут. Городовой спрашивает: «А где обронили?» Отвечает: «Обронил там, за углом, но ищу его здесь, потому что светло».

Возвращаясь к размерности 10, было предположено, что существует только одно многообразие, которое берет на себя все лишние шесть размерностей пространства-времени. Однако оказалось, что таких многообразий — геометры называют их многообразиями Калаби—Яу — существует очень много, порядка 10500. Это фантастическое число, больше, чем число атомов в наблюдаемой Вселенной! Как из них выбрать одно многообразие, которое описывает нашу Вселенную?

Геометрам это все равно, им интересны все возможные многообразия, все «возможные миры», но физики ведь должны как-то выбрать одно, не правда ли? Оказалось, что нет. Видимо начитавшись в детстве третьесортной околонаучной фантастики, кто-то (я не знаю, кто, может быть, у этой идеи есть автор) предложил теории мультивселенных, теории, что якобы действительно теория струн описывает все эти миры и мы живем в одном из них по чистой случайности. В каждом мире свои физические законы, наши — лишь случайность в океане возможных физических теорий. Ландау и Паули, классики и строгие цензоры квантовой теории, назвали бы это патологией или употребили бы более крепкое выражение. Наукой это назвать нельзя, термин «лженаука» испорчен в 50-е годы, поэтому можно называть «антинаука».

— Красивая же теория!

— Красивая, годится для псевдонаучного фантастического романа. А как физическая теория — это бред, по крайней мере я так считаю.

С другой стороны, математика теории струн очень красивая, и сама теория, а точнее, ее дальнейшее развитие и модификации (без мультивселенных), известные под названием «струнные революции», приводят к множеству интересных новых результатов в геометрии, топологии, алгебраической геометрии и других областях. Математикам это очень нравится, и они доказывают эти результаты строгими методами своей науки. Есть ли там физический смысл или нет там этого смысла, это их не интересует. И это правильно, так как математика изучает «мир идей», который включает в себя все, что было, есть и будет, и все, что вообще возможно.

— Мне очень нравится высказывание Людвига Дмитриевича Фаддеева о том, что математика — это шестое чувство физики. Насколько вам созвучна такая идея?

— Это абсолютная правда. Он имел в виду, что математическая красота зачастую определяет правильность той или иной физической теории. Конечно, можно сослаться на эксперимент, но есть еще и некая красота формул, логическая согласованность формулировок и т. д. В каком-то смысле это все восходит к учению Пифагора и философии Платона.

Физики любят использовать такое понятие, как «физический смысл», и, например, представлять электроны как движущие частицы. При этом они прекрасно понимают, что «на самом деле» электрон можно описать только при помощи уравнения Дирака, то есть только как математический объект. И в этом смысле математика — это шестое чувство физики. Здесь я полностью согласен.

Математическая пирамида

— Почему вы для работы выбрали именно Stony Brook University?

— Как и многие мои друзья и хорошие знакомые, я понимал, что, чтобы иметь возможность продолжать занятия математикой, надо работать за рубежом, так как вместе с Советским Союзом распался и наш математический мир. Стоуни-Брук — это университет штата Нью-Йорк, расположенный на живописном северном побережье Лонг-Айленда, где-то в 100 км от города Нью-Йорка. По американским меркам это очень молодой университет: основан 60 лет тому назад. Математический и физический факультеты здесь пользуются всемирной известностью. Первым деканом математического факультета (1968–1978 годы) был Джеймс Саймонс, известный специалист в дифференциальной геометрии, впоследствии основатель очень успешного хедж-фонда, миллиардер и филантроп. Он пригласил на работу весь цвет дифференциальной геометрии, включая приехавшего из Ленинграда Михаила Громова. Здесь же работали известные специалисты по теории Тейхмюллера и дискретным группам Ирвин Кра и Бернард Маскит и много других очень известных людей. Примерно в это же время при физическом факультете был создан Институт теоретической физики, и директором пригласили Чженьнин Янга, знаменитого физика-теоретика, самого молодого нобелевского лауреата.

Янг дружил с Фаддеевым и хорошо знал наши с ним работы по квантовым интегрируемым системам (мы с Фаддеевым даже предложили термин «уравнение Янга—Бакстера»), а Кра и Маскит — мои работы с Петром Зографом о проблеме акцессорных параметров Пуанкаре, действии Лиувилля и метрике Вейля—Петерссона на пространствах Тейхмюллера. Во время моего трехнедельного визита в США в 1987 году я рассказывал про это Ирвину Кра и Липману Берсу, классику теории Тейхмюллера. Позже они меня пригласили работать в Стоуни-Брук, и я согласился. Математический факультет здесь один из лучших в мире. Здесь работает Джон Милнор — один из самых великих математиков XX века.

— Исход математиков из СССР и Восточной Европы в 90-е сравнивают с тем, что происходило перед Второй мировой войной, когда в Америку бежали ученые из Германии. Тогда интеллектуальный взрыв произошел просто потому, что вместе оказалось собрано большое количество топовых ученых.

— Это правда, хотя, может быть, из Советского Союза приезжих ученых было меньше, чем из других стран. Фаддеев показывал мне одно исследование РАН, где было показано, что из СССР уехало порядка 300 ведущих математиков. Но зато, по оценкам уже американских социологов, эти несколько сотен людей изменили математическую культуру в Америке.

— Каким образом?

— К концу 80-х годов в США была очень спокойная и размеренная научная жизнь. Здесь были и есть свои великие математики, но бум, возникший после массового переезда ученых перед и после Второй мировой войны, закончился. А в 90-е годы он возник заново, появилась конкуренция, самим американцам стало сложнее получить работу, несмотря на то что в университетах уже давно было много китайцев. Изменился и ритм научной жизни, стиль публикаций, конференций и т. д.

— В некоторых американских университетах сегодня существуют негласные квоты на прием китайских студентов.

— Например, в Гарварде или в Принстоне есть квоты на все, правда, какие именно, никто не знает, это засекречено. Но как мне кажется, для приема в аспирантуру по математике квот нет, и поэтому там много китайцев. У нас на факультете примерно треть или половина всех аспирантов — это китайские студенты.

— Давайте предположим, что из России одномоментно уехали 300 топовых математиков. А сколько стране нужно ученых такого класса?

— Ну, конкретную цифру я бы не стал называть. На самом деле фундаментальную роль играет базовый уровень математического образования в школах и университетах. То есть необходимо, чтобы были не только великие математики и их знаменитые результаты, но также, чтобы в стране был высокий уровень математической культуры и грамотности. А для этого должна быть выстроена такая своеобразная пирамида. На самом верху там должны находиться ученые мирового уровня, работающие в ведущих университетах и в Академии наук; на их место со временем приходят их самые сильные и талантливые ученики. На следующем уровне — тоже очень сильные ученики. Они идут работать не на математические факультеты ведущих университетов или в Академию наук, а на кафедры высшей математики в университетах и институтах по всей стране. Это необходимо для подготовки квалифицированных программистов, инженеров, конструкторов, дизайнеров для промышленности, а также и для обороны. В основании этой пирамиды находятся квалифицированные школьные учителя математики в школах по всей стране. Их задача — подготовить математически грамотных студентов университетов и институтов, из которых выйдут новые великие ученые на вершине пирамиды, и так далее по кругу. Если этот принцип нарушить, то система математического образования рухнет. Не может вся математика в стране, основа для подготовки современных квалифицированных кадров, держаться на нескольких ведущих ученых, пусть и мирового уровня.

Леон Арменович Тахтаджян, доктор физико-математических наук, заслуженный (distinguished professor) профессор математического факультета Университета Стоуни-Брук штата Нью-Йорк (США), ведущий научный сотрудник Международного математического института им. Л. Эйлера в Санкт-Петербурге. В 1972 году окончил кафедру математической физики математико-механического факультета ЛГУ. В 1975 году защитил диссертацию под руководством Л. Д. Фаддеева. Занимается интегрируемыми системами математической физики и применением квантовых теорий и моделей теории струн к алгебраической геометрии и комплексному анализу.