Модель макрочастиц зарядовой нейтрализации электронного пучка при инжекции в плазму низкого давления

7. Krompholz H.G., Hatfield L.L., Neuber A.A., Kohl K.P., Chaparro J.E., Ryu Han-Yong. Phenomenology of Subnanosecond Gas Discharges at pressures below one atmosphere // IEEE Transactions on Plasma Science. - 2006. - V. 34. - № 3. - P. 927-936.

8. Загулов Ф.Я., Котов А.С., Шпак В.Г, Юрике Я.Я., Ялан-дин М.И. Радан - малогабаритные сильноточные ускорители электронов импульсно-периодического действия // Приборы и техника эксперимента. - 1989. - № 2. - С. 146-149.

9. Методы исследования плазмы / под ред. В. Лохте-Хольтгрей-вена. - М.: Мир, 1971. - 126 с.

10. Фриш С.Э. Оптические методы измерений. - Л.: ЛГУ, 1980. -226 с.

11. Плазма в лазерах / под ред. Дж. Бекефи. - М.: Энергоиздат, 1982. - 411 с.

12. Britun N., Gaillard M., Ricard A., Kim Y.M., Kim K.S., Han J.G. Determination of the vibrational, rotational and electron temperatures in N2 and Ar-N2 rf discharge // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2007.

- V. 40. - P. 1022-1029.

13. Mackuhowsky J., Pokora L. Theoretical model of TEA nitrogen laser excited by electric discharge // Optica Applicata. - 1993. - V. 23.

- P. 113-231.

14. Godard B. A simple high-power large-efficiency N2 ultraviolet laser // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 1974. - V. 10. - № 2. -P. 147-153.

15. Бычков Ю.И., Лосев В.Ф., Савин В.В., Тарасенко В.Ф. Повышение эффективности ^-лазера // Квантовая электроника. -1975. - Т. 2. - № 9. - С. 2047-2053.

Поступила 24.12.2009 г.

УДК 537.533.9

МОДЕЛЬ МАКРОЧАСТИЦ ЗАРЯДОВОЙ НЕЙТРАЛИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА ПРИ ИНЖЕКЦИИ В ПЛАЗМУ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ

В.П. Григорьев, Е.С. Вагин, В.В. Офицеров

Томский политехнический университет E-mail: grig@am.tpu.ru

Рассмотрена задача моделирования процесса транспортировки электронного пучка в камере, заполненной плазмой низкого давления. Приведено описание численной модели, разработанной в среде MatLab. Приведены результаты моделирования.

Ключевые слова:

Физика плазмы, электронный пучок, уравнение Пуассона, метод макрочастиц, транспортировка пучка электронов.

Key words:

Plasma physics, electron beam, Poisson's equation, particle-in-cell simulation method, electron beam transportation.

Введение

Широкая сфера применения электронных пучков вызывает большой интерес к изучению физических процессов, обуславливающих движение заряженных частиц, и созданию более полных математических моделей поведения таких пучков. Особый интерес вызывают низкоэнергетические (десятки кэВ) электронные пучки. Такие пучки способны переносить запасенную энергию без существенных потерь на достаточно большие расстояния и эффективно передавать ее объекту воздействия [1-3].

Однако существует ряд трудностей, сдерживающих развитие данного направления. В частности, при низких энергиях и высоких плотностях токов транспортировка сильноточных электронных пучков (СЭП) к мишени представляет значительные трудности из-за необходимости обеспечения, как полной зарядовой нейтрализации, так и подавления самопинчевания электронного пучка в собственном магнитном поле [2].

Для определения оптимальных условий при переносе энергии пучка к мишени требуется проведения больших сложных и дорогих экспериментов, поэтому широкое распространение получает чи-

сленное моделирование указанных процессов, результаты которых могут позволить не только определить оптимальные условия транспортировки пучка, но и осуществлять управление его параметрами.

В данной работе представлена математическая модель, алгоритмы решения уравнений модели и результаты численного исследования зарядовой нейтрализации при инжекции низкоэнергетических СЭП в предварительно созданную плазму во внешнем магнитном поле. При решении задач такого рода удобно использовать метод макрочастиц. Метод основан на предположении о том, что в течении некоторого малого отрезка времени заряженные частицы, заключенные в некоторый объем, ведут себя как единое целое. Система уравнений модели макрочастиц состоит из макроскопических уравнений Пуассона, уравнений среды и уравнений движения.

Основные уравнения физической модели

При транспортировке интенсивного пучка электронов происходит взаимодействие пучка с плазмой. Инжекция пучка приводит к образованию потенциала в области пучка, что заставляет

электроны плазмы покидать область инжекции. При этом ионы плазмы из-за высокой относительной массы (обычно это однозарядные ионы аргона) остаются в области и обеспечивают зарядовую нейтрализацию транспортируемого пучка, в результате чего на основную часть импульса действуют только фокусирующие силы со стороны собственного и внешнего магнитных полей. В результате формируется плазменный канал, по которому транспортируется пучок. За счет нейтрализации пространственного заряда уменьшается провисание потенциала и рассыпание пучка. Это позволяет транспортировать самофокусированные пучки с токами выше, чем те, которые возможно добиться при транспортировке пучка в вакуумных каналах.

Математическая модель самосогласованной динамики пучка в поле пространственного заряда пучка и магнитных полях при его транспортировке в пространстве дрейфа (рис. 1), заполненного плазмой с однородной плотностью п0, разработана на основе описания электронов пучка и плазмы макрочастицами [4]. Модель построена для области, совпадающей с областью камеры, и имеет размерность 2,5 (трехмерная по динамике, двумерная по полям).

Рис. 1. Труба дрейфа частиц пучка

При построении модели сделаны следующие допущения:

• аксиальная симметрия процессов 5/50=0;

• преобладание продольного тока пучка >>1„ 1в;

• рассматривается движение электронов пучка и плазмы, ионы из-за большой массы относительно электронов считаются неподвижными, концентрация ионов плазмы считается однородной и постоянной П=По.

Динамика электронов пучка и плазмы описывается системой релятивистских уравнений в цилиндрической системе координат:

= е(гв В' - ’ Вв + Е) + угв

1 Л (Уат0Г в) Г

= ~е

где то - масса покоя электрона; е - заряд электрона; Е, Е, Вв - компоненты собственного электромаг-

нитного поля пучка; Б^=соШ - компонента внешнего магнитного поля; уа - релятивистский фактор частиц для электронной плазмы или пучка.

Собственное поле пучка описывается уравнениями Пуассона для скалярного потенциала Ф и продольной компоненты векторного потенциала А

18Ф

г 5г ^ 5г

1АГ Г 8А

г 8г I 8г

5 2Ф

2

84

5г2

где £о, Но - диэлектрическая и магнитная постоянные; р, - плотности заряда и тока пучка в про-

странстве дрейфа, зависящие от уровня полей.

Плотности заряда и тока пучка в уравнениях (2), (3) связаны уравнением непрерывности:

аш+8рр=о.

Суммарная плотность заряда в уравнении (2) описывается соотношением:

где рь, Ре - плотности заряда электронов пучка и плазмы; Рi=Яо4i=const - плотность заряда ионов плазмы; qi - элементарный заряд иона.

Начальное условие для плотности заряда электронов пучка задано как Ре|,=о=0, что соответствует отсутствию пучка в трубе дрейфа.

Граничные условия для потенциалов задаются исходя из условий идеальной проводимости поверхности стенок трубы (г=Я) и условия непрерывности потенциалов на оси трубы (г=0) и на торцах трубы (=0 и 1=Е):

, 5Ф 5Ф 5Ф

г=К ^ 8г г=0 8 2 = 0 82 ’=1

I =5Аг = 5Аг =5А

г =К ^ 5г Г=0 5г 2 = 0 52 ?==

0.

Компоненты полей пучка вычисляются по формулам дифференцирования потенциалов:

_ 5Ф 8Аг 8Ф и 8А

Ег =-~-Т7 ’ ЕГ =-~^ ’ Вв=--5Г •

5г 5( 8г 8г

Численная реализация физической модели

Поскольку задача имеет аксиальную симметрию, примем форму макрочастиц в виде колец с прямоугольным сечением (рис. 2). Каждая макрочастица характеризуется координатой (I, г) скоростями Уг, Уг и зарядом Q.

Для решения задачи (1-6) введем в область сетку:

^ хЖг = {г. = 1к , I = }х

х{г,- = А > У = !>•••> N}.

0

При самосогласованном решении уравнений модели на каждом шаге в текущий момент времени / сначала находятся макроскопические плотности заряда и плотность тока, входящие в уравнения Пуассона. Для частиц, поступающих на шаге моделирования А/, в рассматриваемую область, необходимо предварительно воспроизвести их начальное распределение. После этого численно решаются уравнения Пуассона для потенциалов. Решение находится в узлах сетки (7). Для численного интегрирования уравнений движения необходимо вычислить поля в промежуточных точках, где располагаются частицы. При этом используются методы интерполирования или численного дифференцирования сеточных функций, иногда со сглаживанием. Из уравнений движения находится расположение частиц в следующий момент времени +А/ и так далее.

Плотность тока у и плотность заряда р в каждый момент времени определяются по значениям координат и скоростей частиц, которые находятся из решения уравнений движения. Пусть - доля заряда г-й

частицы, попавшей в к-ю ячейку разностной сетки, Ук - это объём ячейки. Тогда плотность тока и плотность заряда в к-й ячейке сетки определяется выражением:

Л = ^7"X УкК  рк = ТТ" X '

При вычисления заряда в узлах сетки используется метод «размазывания по площадям», т. е. заряд рассчитывается пропорционально расстоянию от центра макрочастицы до ближайших узлов сетки:

Р,у =Ро Мг* X

\2т ~ гЛ| = К

¥(х) =

,г. =

ут

\Гт - А

1 - X, X < 1

0, х > 1

где М- количество макрочастиц, 1т, гт - координаты т-й частицы.

Решение уравнения Пуассона для потенциала и векторного потенциала (2), (3) происходит по явной итерационной схеме:

ип+1 =

к2 (а ип + с ип ) + к2(аип + си" ) + к2к 2Г

= г_ 2 и-Ц 2 (-^ ' 2 г и+1 г 1,Н' 2 г и

Ьк2 + Ьк2 ’

гг г г

где - значения правой части уравнений (2, 3) в узле I, у на слое п, коэффициенты аг=1, с=1, Ъ=2; аг=1+2(/-1)-1, сг=1-2(/'-1)-1, Ъ=2.

Для определения напряженности поля в центре макрочастицы по известным значениям в ближайших узлах используется метод линейной интерполяции, т. е.:

Е=Ткл

к=1

где К- количество ближайших узлов (для нашей задачи К=4), Ек - напряженность поля в узле к, кк - величины обратные площади прямоугольников образованные центром макрочастицы и узлами сетки. При этом должно выполняться условие нормировки:

а=1.

к=1

Порядок восстановление полей в точке пространства должен выполняться тем же способом интерполяции, что и размазывание заряда, что является главным условием сохранения заряда в системе.

Для решения системы уравнений (1), описывающих изменение координат макрочастиц, применяется метод Рунге-Кутта четвертого порядка, обладающий малой погрешностью.

Моделирование и анализ результатов

Моделирование самосогласованной динамики пучка проводится путем численного решения системы уравнений (1)-(6). Алгоритм решения реализован в среде МаНаЬ.

В расчетах параметры пучка и плазмы выбирались близкими к экспериментальным по транспортировке сильноточных пучков в плазмонаполненных камерах [1, 2]. А именно, энергия электронов пучка Ж0=10...40 кэВ, ток пучка /0=1...10 кА, температура плазмы 2 эВ, плотность плазмы п0=10п см-3, индукция магнитного поля В’=200 Гс.

Считаем, что ток инжектируемого пучка изменяется во времени по закону:

[Л|(? / тф) пРи0 < Г <Тф

Здесь Тф, 10 - длительность фронта импульса тока и его амплитуда.

Исследование динамики инжектируемого пучка в трубе дрейфа (рис. 1) проводилось для следующих параметров камеры Х=20 см, Я=5 см, и пучка: ЛЪ=2,5 см. На рис. 3 представлены конфигурационные портреты пучка в плоскости {г, ¿}, полученные при различных значениях магнитного поля, тока пучка и плотности плазмы.

т =1

При инжекции интенсивного пучка электронов в трубу дрейфа (рис. 3), заполненной плазмой, происходит процесс взаимодействии электронов пучка с электронами плазмы, что приводит к зарядовой нейтрализация пучка его передним фронтом (рис. 3, в, г). В результате формируется канал, по которому транспортируется остальная часть пучка. Таким образом, плазменный канал обеспечивает зарядовую нейтрализацию транспортируемого пучка, и на основную часть импульса пучка действуют только фокусирующие силы со стороны собственного магнитного поля пучка. По мере нейтрализации пространственного заряда уменьшается радиальное расплывание пучка (рис. 3, г). В этом случае появляется возможность транспортировки самос-фокусированного пучка с токами пучка, выше предельных для вакуумных каналов (рис. 3, а).

Из представленных результатов можно сделать вывод, что плотность плазмы п0~10и см-3 достаточна для прохождения пучком трубы дрейфа при токе /0~10 кА. Увеличение значения плотности плазмы приводит к пропорциональному росту тока транспортируемого пучка. При этом динамика

пучка носит более нестационарный характер и увеличение длительности фронта пучка лучше обеспечивает зарядовую нейтрализацию пучка.

Выводы

1. Использование конечно-разностных методов численного решения в среде МаНаЬ позволяет рассчитать самосогласованную динамику сильноточного пучка в плазмозаполненных трактах транспортировки, получить детальную информацию о внутренней структуре пучка, а также определить степень влияния на нее параметров плазмы.

2. Динамика поступления пучка в камеру дрейфа зависит от длительности фронта и амплитуды тока. В случае, если динамика поступления превысит динамику выхода электронов из области пучка, может образовываться виртуальный катод.

3. Показана возможность эффективной транспортировки сильноточных пучков в камере, заполненной плазмой, при сравнительно невысоких плотностях (1010...1012 см-3).

Рис. 3. Конфигурация пучка в плоскости {г, х} в момент инжекции 1=2 нс: а) В2’=200 Гс, 10=1 кА, Тф=0, п0=0; б) В* =0,10=10 кА, Тф=0, п0=10” см~3; в) Вх =0,10=10 кА, Тф=2 нс, п0=10'1 см~3; г) В* =200 Гс, 10=10 кА, Тф=2 нс, п0=10” см-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Назаров Д.С., Озур Г.Е., Проскуровский Д.И. Генерация низ-коэнергетичных сильноточных электронных пучков в пушке с плазменным анодом // Известия вузов. Физика. - 1994. - Т. 37.

- № 3. - С. 100-114.

2. Григорьев В.П., Коваль Т.В., Кухта В.Р., Рахарджо П., Уемура К. Исследование транспортировки и фокусировки низкоэнергетического электронного пучка в ионизованном аргоне низкого давления // Журнал технической физики. - 2008. - Т. 78. -№1. - С. 104-108.

3. Крейндель М.Ю., Литвинов Е.А., Озур Г.Е., Проскуровский Д.И. Нестационарные процессы в начальной стадии формирования сильноточного электронного пучка в плазмонаполненном диоде // Физика плазмы. - 1991. - Т. 17. - № 12. -С. 1425-1431.

4. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. - М.: Мир, 1987. - 640 с.

Поступила 16.11.2009 г.

УДК 519.673+533.9

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИСКАЖЕНИЯ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПАКЕТЕ COMSOL MULTIPHYSICS ПРИ ТРАНСПОРТИРОВКЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ

В.П. Григорьев, А.С. Огородников

Томский политехнический университет E-mail: ogorodnikov@sibmail.com

В неоднородной плазме могут возникать диамагнитные токи, приводящие к искажению внешнего магнитного поля. Последнее необходимо учитывать при создании приборов и установок с использованием замагниченной плазмы. В частности, этот эффект может существенно повлиять на процессы, связанные с транспортировкой пучков заряженных частиц в плазменных и газовых средах. Поэтому важно оценить влияние этого эффекта на искажение внешнего магнитного поля в зависимости от параметров плазмы. Эта задача сводится к решению системы нелинейных уравнений в частных производных и для ее решения применяется система компьютерной математики COMSOL Multiphysics.

Ключевые слова:

Неоднородная плазма, диамагнитные токи, замагниченная плазма, решение нелинейных уравнений, пакет COMSOL Multiphysics. Key words:

Nonuniform plasma, diamagnetic currents, magnetized plasma, the decision of the nonlinear equations, modelling package COMSOL Multiphysics.

Известно, что магнитные поля с успехом применяются для удержания плазмы и фокусировки пучков заряженных частиц [1, 2]. Однако при наличии неоднородности плазмы и магнитного поля в плазме могут возникать диамагнитные токи, приводящие к искажению внешнего магнитного поля. Последнее необходимо учитывать при создании приборов и установок с использованием замагниченной плазмы. В частности, этот эффект может существенно повлиять на процессы, связанные с транспортировкой пучков заряженных частиц в плазменных и газовых средах [3]. Поэтому важно оценить влияние этого эффекта на искажение внешнего магнитного поля в зависимости от параметров плазмы и уровня и градиента внешнего магнитного поля. Эта задача является сложной, так как сводится к решению нелинейных уравнений и для ее решения целесообразно применить численные методы.

В данной работе проблема искажения магнитного поля в замагниченной плазме исследуется на основе численного моделирования с использованием пакета С0М80Ь МиШрЬуз^.

В качестве расчётной выбиралась аксиальносимметричная область в цилиндрической системе координат (г,ф,т) (рис. 1), которая соответствует

типичным системам транспортировки электронных пучков в плазменных каналах [3].

Внешнее магнитное поле в такой системе создаётся двумя одинаковыми катушками с плотностью тока в катушке

Iп

где I - ток в катушке, п - число витков, Н и АЯ -размеры катушки вдоль оси г и по радиусу соответственно.

Плотность диамагнитного тока, возникающего в неоднородной плазме, зависит от давления в плазме, величины внешнего магнитного поля и его градиента и описывается в общем случае выражением [4, 5]:

Jм =-Vx(p±B / B2),

где р1=п0Те/(г) =р0/(г) - давление плазмы поперёк силовых линий внешнего магнитного поля; п0 -концентрация частиц плазмы на оси канала транспортировки; Те - электронная температура в эВ; /(г) - функция, описывающая неоднородность давления плазмы по радиусу.