Точные соотношения между некоторыми характеристиками роста последовательностей

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 4 (2013). С. 17-30.

УДК 517.521+517.547.22

ТОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НЕКОТОРЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ РОСТА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Г.Г. БРАЙЧЕВ

Аннотация. Установлены точные оценки, связывающие классические плотности последовательности комплексных чисел (обычные и усредненные) с ее относительными плотностями, а также с индексами лакунарности и разреженности.

Ключевые слова: нижняя и верхняя (усредненная, относительная) плотности, индексы лакунарности и разреженности последовательности.

Mathematics Subject Classification: 11B05, 11L07

Одним из центральных направлений теории целых функций является исследование зависимости роста функции от распределения ее нулей на плоскости. Большое количество работ, относящихся к этому разделу комплексного анализа, посвящено оценкам индикаторов и типов целой функции конечного порядка через такие устоявшиеся характеристики поведения ее нулей, как обычные, усредненные и другие плотности (см., например, [1]-[5] и обзор [6]), а в последнее время — и менее традиционные в этих вопросах индексы лакунарности и разреженности [7], [8]. Недавние исследования экстремальных задач для целых функций с нулями на луче [9], [10] отчетливо демонстрируют невозможность получения окончательных результатов без выяснения внутренних связей между плотностями последовательностей нулей. Как видно на примере работы [8], дальнейшее развитие теории экстремальных задач порождает также потребность в нахождении и изучении закономерностей, связывающих "количественные" плотностные характеристики стремления последовательности к бесконечности с "качественными" , вроде индексов лакунарности и разреженности. К настоящему времени такие закономерности недостаточно изучены. Ликвидируя этот пробел, здесь мы находим точную взаимосвязь указанных выше характеристик роста последовательностей нулей целых функций конечного порядка.

Итак, предметом изучения в работе являются бесконечно большие последовательности комплексных чисел Л = {Ага}^=1 , которые мы располагаем в порядке возрастания модулей:

0 < |А1| ••• 1 А«4 1 < 1 АП1 + 1 1 • • • 1АП2 1 < 1 АП2 + 1 1 • • • 1 АПз 1 < • • • •

Номера Пк, в которых модули членов последовательности имеют скачки, называются центральными индексами последовательности Л^

Обозначим через Пл(х) = ^ 1 считающую функцию этой последовательности, а через

x Пл

NA(x) = / - dt — ее усредненную считающую функцию.

0 t

Показатель сходимости последовательности Л (см. [1]) вычисляется по формулам:

— ln гсл

рл = lim —----------------= lim —--------------•

x^+те ln x x^+<x ln x

G.G. Braiohey, Exact relationships between certain characteristics of growth for complex sequences.

© Брайчев Г.Г., 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00281).

Поступила 13 мая 2013 г.

Далее в работе через р обозначаем показатель сходимости рл последовательности Л, предполагая, что р — положительное число.

Величины

X ^— Пл

АР(Л) = Ііт и А„(Л) = Ііт м ;

Р ж^+те жр Р ж^+те жр

называются верхними р-плотностями (обычной и усредненной) последовательности Л. Замена в этих равенствах верхних пределов на нижние приводит к определениям нижней и усредненной нижней р-плотностей последовательности:

А р(Л)= Ііт ПЛМ , А*(Л) = Ііт ^лМ.

—ру ' —Г —р —Г

Ж^ + те ж Ж^ + те ж

Для упрощения записей там, где это не приведет к недоразумениям, будем опускать символы р и Л в обозначениях плотностей и других вводимых далее характеристик. Кроме того, ради экономии места будем использовать одновременно верхнее и нижнее подчеркивания, считая, что они соответствуют друг другу во всех частях равенств.

Введем еще верхнюю и нижнюю относительные плотности последовательности, полагая по определению

- т— N

V = Ііт ———.

Ж^+те п

Поскольку всегда выполняется

а = пт пМ = щт " = пт

то естественно ввести дискретные усредненные верхнюю и нижнюю плотности последовательности по формулам:

А = ит Iа#.

и^-те |Аи

Мы увидим ниже (см. теорему 1 и предложение 1), что всегда А* = А, а если

и^-те

Последовательности, удовлетворяюшие условию А = А*, или, что эквивалентно, А = А, называются измеримыми. Аналогично этому, будем называть дискретно измеримыми последовательности, которые удовлетворяют условию /А = А, означающему су-

N

ществование предела Ііт ———.—. Точно так же, если существует предел Ііт ———, то

и^те |Аи|р ж^+те п

говорим, что такая последовательность внутренне измерима. Полезно отметить, что, в отличие от обычной или дискретной измеримости, понятие внутренней измеримости не привязано к какому-либо показателю р.

Сразу укажем, что ни дискретная, ни внутренняя измеримость последовательности не влекут ее измеримости. В работе [10] показано, что класс дискретно измеримых последовательностей достаточно широк: для произвольных чисел р > 0, в > 0 и а Є [0,в] существуют дискретно измеримые последовательности с плотностями А = а и А = в. Здесь мы доказываем (см. ниже предложение 9), что такое же утверждение справедливо и для внутренне измеримых последовательностей.

Из определения считающей функции последовательности Л = {Аи} имеем пл(ж) = 0 при ж Є [0, |А1|) и пл(ж) = пк при ж Є [|Аик|, |Аик+1|), к = 1, 2,... . Для последовательности центральных индексов N = {пк}те=1 — N определим характеристики

р пк+1 г г 1' Пк+1 = р = Ііт ------ и = о = Ііт ----------.

к^те к—>оо пк

Будем называть индексом лакунарности, а — индексом разреженности последовательности N. Аналогично определяются индексы лакунарности /л и разреженности рл последовательности Л = {An} С C (точнее, последовательности |Л| = {|An|} С R+) :

7 7 у--- |An+11 Y- |A«fc+i1 1- |A«fc+i1

/л = / = lim = lim +. и рл = р = lim +. .

Говорят, что последовательность Л лакунарна по Адамару, если её индекс разреженности больше единицы, т. е. рл > 1 (при рл = то имеем так называемые лакуны Островского). Если индекс лакунарности последовательности Л равен единице, /л = 1, то Л называется слабо лакунарной по Адамару (коротко, слабо лакунарной). Например, последовательность всех простых чисел слабо лакунарна. Этим же свойством при b > 1 обладает и последовательность Л = {bn“}, когда a G (0,1). Если здесь а =1, то рл = /л = b, а при а > 1 оказывается рл = то.

Связи между обычными и усредненными плотностями последовательности Л отражают классические неравенства (см. [1, гл. I, § 12], [2, гл. II, § 4, п. 4]):

А ^ рА* ^ рА* ^ А ^ ре А*.

В книге [3, p. 16] фактически идет речь об оценке, уточняющей последнее из этих неравенств в случае, когда известна не только верхняя, но и нижняя плотность последовательности. Именно,

ре А * > А exp {А / А } .

Из общих результатов о сравнительном росте выпуклых функций, установленных в монографии [7], можно извлечь следующие неравенства, уточняющие все предыдущие соотношения (см. также [11]):

ра1А* ^ А ^ ра1А*, ра2А* ^ А ^ ра2А*.

Здесь а1 и а2 — корни уравнения

а ln - = А* / А*, а

а а1 и а2 — корни подобного же уравнения с "подправленной" правой частью:

т е * / г -4*

a ln - = /А / А .

a

Корни этих уравнений связаны неравенствами 0 ^ а1 ^ а1 ^ 1 ^ а2 ^ а2 ^ е.

Как видно из (2), для дискретно измеримых последовательностей в силу условия /А = А* (см. ниже теорему 1) выполняются точные равенства

А = ра1А *, А = ра2А *.

Таким образом, можно констатировать, что к настоящему моменту взаимоотошения между обычными и усредненными плотностями последовательностей достаточно хорошо изучены. К сожалению, так нельзя сказать об изучении связей между плотностями (обычными, усредненными, относительными) и индексами лакунарности и разреженности последовательностей Л. В то же время, такое исследование имеет существенное значение при описании роста целых функций, нулями которых служат Л.

Установлению точных соотношений между указанными характеристиками последовательностей и посвящена настоящая работа.

В дальнейшем считаем, что число р > 0 задано, а сответствующие величины вычисляются при этом показателе р. Кроме того, из неравенств (1) вытекает, что условия А = 0 и А =0, равно как и условия А = то и А = то, равносильны. Поэтому в дальнейшем предполагается, а иногда и явно оговаривается, что выполнено условие 0 < А < то.

Предложение 1. Справедливы следующие неравенства

А ^ ^ А,

А /р ^ А,

А* ^ /А/р,

V ^ ^ V,

ln / ^ V — V.

Доказательство. Поскольку для считающей функции последовательности Л выполняются равенства пл(£) = n(t) = nk при t G Ik = [|Ank|, |Anfc+1|), k =1, 2,... , то

А = lim sup ^ = Hm , А = lim inf ^ = Hm —^ и

k^^ xG/fc xP |Ank|P k^^ xG/k xP k^^ |Ank+i|P

V = IE sup NM = nm N

k^^ xG/fc n(x) k^^ nk k^-ж xG/k n(x) k^^ nk

Из (9) легко получаем

A = їі--^-nk+1 > Alii nk+1 = A^ k^~ I Лп^+1 IP nk k^~ nk

т. е. неравенство (4) выполняется. Точно так же

д = Ет-^ > дйт 1^пк±11р = д /р,

что подтверждает истинность и неравенства (5).

Аналогичным образом из (10) получаем (7):

— Р-- N (|АП±1 |) ^ N (|АП±1|) V---------- Пк+1

V = 11т -------±— > 11т ----------------------------±— 11т -= ^^.

пк пк+1 пк

Далее, для произвольного е > 0 и достаточно больших к при всех х Е в силу возрастания функции N(х) имеем

ад в N(1А">±. 1) = N((|А">±‘|) (V < (д + е)(/ + £)Р.

Переход к верхнему пределу по х ^ +то, а затем по е ^ 0 доказывает (6).

Для доказательства (8) и в дальнейшем нам понадобится формула:

N

которая непосредственно вытекает из определения функции N(х) :

|Лп*+11 |Лп*+11 . .

N(| Ап*+11) - N(|А„* |) = [ ^х = Пк [ — = Пк 1п I АГ*+11.

Чтобы получить (8), запишем (11) в удобном для этого виде:

1п 1 Ап*±1 1 = N

и перейдем к верхнему пределу, принимая во внимание формулы (10).

Все соотношения (4)-(8) установлены.

Из доказанного предложения вытекает следующий факт.

Следствие. Если последовательность измерима (А = А = А) с А > 0 или только внутренне измерима (v = V = v) с V > 0, то она сама и последовательность её центральных индексов являются слабо лакунарными.

Действительно, первое утверждение есть следствие формул (4) и (5), а второе вытекает из неравенств (7) и (8).

Следующее предложение устанавливает взаимоотношения между обычными, относительными и дискретными плотностями последовательностей.

Предложение 2. Имеют место следующие неравенства

А ^ min {А V, А V} ^ max {А V, А v} ^ /А.

Доказательство. Используя формулы (9) и (10), получаем

д 1- nk N (|An.fc + 1 |) ^ 1. nk у N (|An.fc + 1 |) Д —

А = lim —------:--+— ^ lim —------------— lim ------+— = А V

k—|Arafc+i |P nk k—|Arafc+i |P k—(^ nk

или

А = lim —N(|Anfe |) ^ Hi Hm N(|Anfe |) = А v.

Тем самым, неравенство А ^ min { А V, А v} доказано.

Неравенство max {А V, А vj ^ /А проверяется аналогично:

Д у nk N (|An.fc + 1 |) ^ 1. nk у N (|A™fc + 1 |) Д —

А = lim —-------:-------+— > lim —--------— lim -----------+— = А V и

k—~ |Arafc+1 |p nk k—ж |Arafc+1 |p k—~ nk

А =H^7-nt- N(|A“>|) > П^-ni- lim N<|A“»|> = А V.

Предложение 2 установлено.

В книге [12, отд. IV, гл. 1, задача 60]) указана связь между относительными плотностями последовательности и ее показателем сходимости:

V ^ 1 /р ^ V.

Какими свойствами будет обладать последовательность, для которой реализуется равенство в одном из этих неравенств? В этой связи предложение 2 может предоставить любопытную, на наш взгляд, информацию.

Следствие. Если верхняя относительная плотность последовательности принимает свое наименьшее возможное значение, т. е. V = 1/р, то выполняются равенства А* = А = А /р.

Если нижняя относительная плотность последовательности принимает свое наибольшее возможное значение, т. е. и = 1/р, то А = /А = А/р.

В самом деле, из (1) извлекаем А /р ^ А*. При условии V = 1/р левая оценка в (13) дает А ^ А /р. Отсюда

А /р ^ А* ^ А ^ А /р,

что приводит к первому утверждению следствия. Второе вытекает из аналогичных рассуждений, приводящих в ситуации V = 1/р к неравенствам

А/р С А С А* С А/р.

Предложение 3. Для любой последовательности комплепксных чисел с показателем сходимости р > 0 справедливы следующие утверждения.

Если 0 < А < то, то выполняется неравенство

> 6,

а если 0 < А < то, то имеем Всегда справедливы оценки

р

р С

Ц.

lnр С V(ц — 1),

1 / ^ - 5 — 1 ln / > V

5

:м)

:15)

16)

:17)

Доказательство. При условии А = 0 можно записать

1

А = lim

nk С he nk+1

k nk

lim 1 +

Сократив на А, получаем неравенство (14). Если же А = 0, то

д v nk ^ r nk+1 1 r f

А = lim —-------------— С ДШ тт--------------n^:~7 lim I 7-г

k—ж |Arafc+1|P k—ж |Arafc+2 |P lim ------------------— k—ж V |Arafc+1 I

nfc+2 I

— /Р

А —,

Пк

что приводит к неравенству (15).

Оценки (16), (17) доказываются с помощью обобщенной леммы Штольца (см., например,

[7, с. 26]) и формул (12), (10): 1пр = Ит 1п I . п,+11 =

Jim N' I An.' . I) — N! An, |)

lim N(|A„.+11) — N(|An.|) /nk+1 С

k

nk

k

nk+1 nk

nk

С

lim N

k—ж

nk+1 nk

. — 11 С lim

k—^ V nk / k—ж

nk

(ц — 1) = V (ц — 1).

Опираясь на те же соображения, получаем, что ln / = lim ln I t nfe+11 =

lim

k

nk

lim

k

> lim ------1---—---------------- lim 1 —

k—^ nk nk-1 k—ж V nk/nk-1

nk+1 I nk nk-1

1

nk

>

> lim МЫ)

k—Ж

nk

т. е. неравенство ln / > v

51

5

-. Предложение 3 установлено.

Нам понадобится ряд элементарно проверяемых фактов, которые удобно собрать в одно утверждение.

Лемма. I. Функция q1

ln x =1

x — 1, X = , строго убывает на (0, +то).

1, x = 1

р

р

е*-1

II. Функция д2(х) = ------ имеет на (0, +то) единственный минимум в точке х = 1,

х

равный 1.

Ь + а 1п х

III. Функция ^з(х) =--------------, а > 0, Ь > 0, имеет на (0, +то) единственный максимум

1 ь а _ ь 1

--- е-- Р--1

в точке х = е р а, равный — е р а .

р

Исследуем теперь зависимость между индексом разреженности последовательности и ее обычными и дискретными плотностями.

Предложение 4. Индекс разреженности, плотности и дискретные плотности последовательности, имеющей показатель сходимости р > 0, связаны соотношениями

Доказательство. При р =1 оба неравенства превращаются в тривиальное равенство

0 = 0. При р > 1 обозначим с^ = |. ”*+11 и применим лемму Штольца, используя равенство

(10) и пункт I предыдущей леммы:

А = пт МЫ) с вт N— N^ =

— Пк 1п Ск 1 — Пк — 1п ск А 1п рр

11т ——:-----р-- С — 11т ——— 11т

к^те |А„* |р с^ — 1 р к^те |А„* |р к^те с^ — 1 р рр — 1

Таким образом, /А С А •---------—. Точно так же

рр — 1

А = 11т МЫ! > 11т *(|А“>+1|) — N^ =

Пк 1п Ск 1 Пк 1п с-р А рр 1п рр

= 11т тт------:-------— > — 11т —--------— 11т —--------= — •-----------,

к^те |Ага*+1 |Р 1 — С- р к^те |Ага*+1 |Р к^те С- — 1 р рР — 1

р 1п р

т. е. А > А •--------. Предложение полностью доказано.

~ рр — 1

В качестве следствия из предложений 2-4 можно получить

Предложение 5. Если 0 < А < то, причем последовательность {Ап* имеет ла-

куны Адамара, то справедливы оценки

1п р С V С .

^ — 1 рр — 1

Если 0 < А < то, и последовательность {пк имеет лакуны Адамара, то справед-

ливы оценки

рр 1п р 61п / . .

------т С V С т--т.

рр — 1 6 — 1

Доказательство. Поскольку {Ап* }те=1 имеет лакуны Адамара, то р > 1. Поэтому, сопоставляя правую часть неравенств (13) с первым неравенством из формулы (18), получим

— ~ — 1п р

А С А С А----------. Это дает правую часть соотношения (19). Левая часть этого соот-

р р 1

ношения вытекает из (16), так как согласно (15) имеем ^ > рр > 1.

При доказательстве оценок (20) действуем схожим образом, только теперь сочетаем левую часть (13) и второе неравенство из (18) с последующим привлечением (17). Обе части предложения 5 установлены.

Результат является точным в следующем смысле. Равенства всюду в (19), (20) заведомо достигаются, если реализуются равенства в (14), (15). А это имеет место, например, для любой последовательности Л = (Ага}^=1, модули членов которой и центральные индексы образуют две согласованные "почти геометрические прогрессии" , т. е. с некоторым д > 1 удовлетворяют условиям

|А„к+11~ д |А„к |, Пк+1 ~ , к ^ то.

В этом случае I = р = д, ^ = 8 = др, и справедливы формулы

1п д _ др 1п д

V =---------, V =------.

др — 1 др — 1

Теорема 1. Нижняя дискретная усредненная плотность Д и нижняя усредненная

плотность Д* произвольной бесконечно большой последовательности Л С С совпадают:

Д = Д*.

Доказательство. Очевидно, что

А = lim П > lim ------------------------------------= А

га^те ж^+те x'

N(A|) ^ ^ N(ж)=А

N

Чтобы получить неравенство противоположного смысла, рассмотрим функцию Ф(ж) =--------------------

жр

для изучения которой при k Е N положим

N(|Ant|) + nk In t (> 0.

tp

Поскольку на промежутках /& = [|Ank |, |Anfc+1|) имеем nA(t) = , то

N(|Anfc |)+ nk ln lA^kT 1 Л ( x \

Ф(х) =------------xp---------= гак ФЧ , x Е /k-

Согласно пункту III леммы Ф(ж) либо монотонна на /&, либо имеет на этом промежутке единственный максимум. В любом случае имеем

inf (ф(ж)} = mm {ф(|А„к^ ф(|А«к+11)} , k Е N.

Поэтому { }

А* = lim inf Ф(ж) = lim min {Ф(|Ank|), Ф(|A^fc+11)} xelk

> lim inf Ф(|Am|) = lim Ф(|Am|) = А, т. е. А* > А .

m>fc

Сопоставляя с предыдущим, получаем А = А *, что и требовалось.

В формулировке следующего результата используем стандартное обозначение а+ = max (а, 0} .

Теорема 2. Для произвольной бесконечно большой последовательности Л С C с усредненной верхней р-плотностью А (Л) = А Е (0, +то) выполняются неравенства

— * ~ е pv-1

А* ^ А е-------,

Р V

— * ~ е-v-1

А* ^ А ^^,

р V

— * ~ /А* ^ А—1---------,

ln /р + 1 v J

* ~ /-р

А* ^ А—^-----------—.

(ln/-р + 1)+ v ’

Доказательство. Отметим сразу, что неравенство (23) уточняет неравенство (5) в слу-

чае / > 1. Теперь приступим непосредственно к доказательству.

Если /А = А , то неравенства (21)—(24) выполняются очевидным образом, поскольку каждый из сомножителей величины /А в правых частях этих неравенств не меньше единицы.

Изучим теперь случай /А < А . Выберем положительное число е < А — /А. Сохраняя обозначения теоремы 1 и используя определение верхней усредненной плотности, найдем последовательности индексов K и точек Xfc так, чтобы выполнялись соотношения:

А* = lim sup Ф(ж) = lim sup Ф(ж),

fc^TO xe/fc fceK

Ф(жк) = sup Ф(ж) > /А + е, k Е K.

При достаточно больших номерах k функция Ф(ж) принимает на концах промежутков /д значения

Ф(|Anfc|) < А + е < Ф(жк).

Поэтому (отбрасывая при необходимости конечное число индексов из K) можем считать, что для каждого k Е K точка ж^ лежит строго внутри /д, т. е.

Обозначим Cfc = | | nfe+11 и Vfc = —(| nk В . Применяя пункт III леммы к функции Фд (t), с | Ank | nfc

учетом равенства

Ф(ж)= iAnkF Ф‘( 1^)  ж Е /k

получаем

1 <^ = ер-vk < cfc,

Ф

Логарифмирование (25) приводит к неравенству

1 — ln сД < р vfc < 1.

Теперь после проведенной подготовительной работы оценка (21) легко доказывается предельным переходом в равенстве (26):

( epvk-i ^ ___ ___ epvk-i _ epv-l

А = lim Ф(жд) = lim Ф(|Ank|)-----------> ^ lim Ф(|Ank|) lim ---------------- ^ А-.

fceK 4 ' fceK [ 41 kl' pvk J k fc^TO pvk р V

e^-l

Здесь мы учли, что функция д2(ж) =-------------убывает на интервале (0, 1), согласно пункту II

ж

леммы.

Неравенство (22) доказывается аналогичным образом. Запишем

N(|Ank+i |)+ Пк ln |A„X+11 1 ( ж \

Ф(ж) = -------------- -------+- = тт----г~ Фк тт--------, , ж Е /fc.

x' I Л«к + 1 I' V I Л«к+1 I

глг / Н (|Л«к+1|) 1 . Х 1 -V', д.

Обозначив =---------------, получим — < —-------- = е р к < 1, или, после логарифмирова-

1 Лга^+1 1

ния,

1 <р^к < 1 + 1п ск.

Следующее соотношение выводится так же, как и формула (25), и на этот раз приобретает вид

ф

|Л™к+11 |Л™к+11 Р^г рр^

Снова используя пункт II леммы (теперь на промежутке (1, +то), где функция д2(ж) возрастает), предельным переходом из (28) получаем (22):

_* ___ _ еР-1 ~ еР*-1

А = ИшФ(жк) ^ Иш Ф(|Лга,+11) Иш -----------— ^ /А----.

кек 1 4 Пк+1 и Р^ р^

Для доказательства неравенства (23) воспользуемся определением индекса лакунарности, согласно которому при любом е > 0 и всех к > к0(е) выполняется с^ < / + е. Это позволяет для достаточно больших к Е К сначала из (28) вывести, что 1 < р и'к < 1 + 1п(/ + е)р, а затем из (29) и леммы II получить

е1п(1+е)р _ (/ I е)р

ф(*‘> < ^^ЙТ+еЩ < (А + ^щг+еТП.

Последовательный переход к пределу при к ^ то, к Е К, и е ^ 0 приводит к нужной оценке (23).

Неравенство (24) доказывается с использованием аналогичных соображений. Действительно, из (27) следуют неравенства

1 — 1п(1 + е)р < 1 — 1п ск < р^к < 1, р^к > 0,

откуда р > (1 + 1п(1 + е)-р)+. Дальнейшее ясно.

Доказательство теоремы 2 завершено.

Отметим, что оценки (21) и (22) теоремы 2 можно записать в виде

Д > р^е1-р* = е1-р* 1п^— , Д > е1-р* 1п-т^=

А е1-р * А е1-р *

е

соответственно. Поскольку функция а 1п — строго возрастает на отрезке [0, 1] и строго

а

убывает на промежутке [1, то), то предыдущие неравенства эквивалентны неравенствам

е1-р* > 02, е1-р* ^ а1,

е А _

где 01,02 — корни уравнения а 1п — = =^-, 0 ^ а1 ^ 1 ^ а2 ^ е. Логарифмируя (30),

а А

приходим к соотношениям

~~,е /А _ _ ~ П е /А

р^а2 ^ а21п — = =* и р^а1 > а11п — = =*.

а2 А а1 А

Таким образом, неравенства (21) и (22) теоремы 2 можно коротко записать в эквивалентном виде

~ А

р^а2 ^ ^ р^а1.

Действуя аналогичным образом, запишем неравенства (23) и (24) в виде

А е А е

> /-р 1п -— и > /р 1п —,

А* > /-р А* > /р

что эквивалентно

а! > /-р, <А ^ /р.

Дополним теперь неравенство (21) оценкой снизу через нижние усредненную и относительную плотности.

Предложение 6. Справедливы неравенства

еРV-! _ еРV-1

А* е-----^ А* ^ А е-------.

Р V р V

Доказательство. В обосновании нуждается лишь левая часть оценки (33) в нетривиальном случае, когда 0 < А* ^ А < +то. Предположим, рассуждая от противного,

+ ер^-1 А * е А *

что А < А*----------. Тогда р^е1-рк < =*, или, что равносильно, е1-рк 1п —---------- < =т.

рv А е1-р^ А

Следовательно, е1-рк > а2, где, как и прежде, а2 обозначает больший корень уравнения

е А*

а 1п — = =*. Отсюда с учетом левой части (13) заключаем, что а А

А* п е А*

=* = а21п — > а2р V > а2р -=.

А а2 А

„ А* А* -5- _*

Из полученного неравенства =* > а2р -=- выводим оценку А > а2р А , которая противо-

речит последнему из соотношений (2). Предложение доказано.

Отметим в очередной раз, что в случае дискретно измеримой последовательности, определяемой условием А * = А, знаки неравенств в предложении 6 заменяются равенствами, подтверждая точность оценок (33).

е А*

В работе [11] для корней а1 и а2 уравнения а 1п — = =* найдено представление

а А

ч 1

а1 = е д 1-ч, а2 = е д 1-ч

а2

через параметр д = — и показано, что в случае дискретно измеримой последовательности а1

комплексных чисел с индексом лакунарности / выполняется равенство д = /р. Воспользуемся этими фактами для получения следующего результата, который интересно сравнить с оценками (23), (24) из теоремы 2.

Предложение 7. Для произвольной последовательности комплексных чисел с конечными положительными усредненными плотностями А *, А и индексом лакунарности / справедливы неравенства

— * р /р - 1

А* > А * / ,

--- е 1п /р

/р _ 1 ф /р _ 1

А* ^ А* ^ А* , - , .

а2 1п /р а1 /р 1п /р

е А*

Как и ранее, а1 и а2 - корни уравнения а 1п — = =^-. Наличие дискретной измеримости

а А

последовательности обеспечивает в (34), (35) знаки равенств.

А а2

Доказательство. Из неравенств (5) и (1) следует, что /р ^ ^ — = д, т. е. /р ^ д.

А а1

Привлекая пункт I леммы, видим, что выражение а2(д) = ед1-4 возрастает с увеличением

е

д. Поэтому а2(д) > а2(/р). Поскольку функция а 1п — убывает на промежутке [1, +то), то

а

А* е е 1п /р

=зт = а2(д) 1п —— ^ а2(/р) 1п —= е /1-1Р ------------,

А * а2(др ^ а2(/р) /р - 1

что дает (34). Неравенства (35) вытекают из аналогичных рассуждений, если заметить еще, что а1 = а1(д) = ед1-4 убывает при возрастании д. Так, например, правая часть (35) следует из соотношений

А * е е 1п /р

А = а1(д) 1п —— > а11п —= а1/р-—-. А а1(д) а1(/р) /р — 1

Предложение 7 установлено.

Как уже отмечалось, дискретная измеримость последовательности не влечет её измеримости. Интересно, какие дополнительные к дискретной измеримости условия на последовательность могут обеспечить её измеримость? Как видно из предложения 1, одним из таких условий является слабая лакунарность последовательности. Действительно, при / = 1 из (6) вытекает А* ^ А ^ А = А*, т. е. А* = А . Другим условием служит внутренняя измеримость последовательности, которая, согласно неравенству (8) предложения

1, влечет её слабую лакунарность. Однако, из теоремы 2 можно вывести более сильное утверждение.

Предложение 8. Пусть Л — дискретно измеримая последовательность комплексных чисел. Тогда выполнение любого из условий V = 1 или V = р влечет измеримость этой последовательности. ^

Доказательство. Дискретная измеримость означает, что А = А *. Выполнение же любого из условий предложения приводит, согласно формулам (21) и (22), к неравенствам Д*^ А* ^ А ^ А*, влекущим измеримость.

Возникают естественные вопросы: влечет ли только слабая лакунарность или только внутренняя измеримость последовательности (без дискретной) её измеримость? На оба вопроса мы дадим отрицательные ответы, используя понятие уточненного порядка (по Валирону). Напомним, что так называется дифференцируемая на К+ функция р(х), удовлетворяющая двум условиям Иш р(х) = р > 0 и Иш р;(х) х 1п х = 0, которые экви-

Ж^- + ^ Ж^- + ^

хЛ/(х) /ч

валентны одному условию пш = р для функции д(х) = хр(Ж), или, что наиболее

ж^+те д

удобно для наших целей, условию

ж

11ш = 0

^+~ Цх)

для функции Ь(х) = Л,(х) х р.

Предложение 9. Для наперед заданных чисел р > 0, в > 0 и а Е [0,в] существуют внутренне измеримые, слабо лакунарные последовательности с р-плотностями А = а и А = в.

Доказательство. Пусть числа р, в и а удовлетворяют условиям предложения. Если а > 0, то для построения заявленной последовательности возьмем функцию а(х) = а. Если же а = 0, то полагаем а(х) = 1п-7х, где 7 Е (0,1). Выберем затем в качестве Ь(х) функцию

Ь(х) = — у/ а(х)в в

8Ш 1п7 Ж

которая, как несложно проверить, удовлетворяет условию (36). Определим далее функцию п(ж) = [ж Л/(ж)], а последовательность Л возьмем так, чтобы ее считающая функция совпадала с п(ж). Здесь Л,(ж) = жрЬ(ж), а [ж] обозначает целую часть числа ж. Из результатов монографии [7] следует, что при ж ^ +то условия N (ж) ~ Л,(ж) и п(ж) ~ ж Л/(ж) на считающие функции Л эквивалентны. Последовательность Л является внутренне измеримой, так как для нее по построению выполнено

N(х) _ 1^ ВД_ 1

С другой стороны,

рА* = р Ііш

ж^+те

Ііш , ч

ж^+те п

Ііш , , ч

ж^+те жд'(ж) р

ж

р Ііш ----------

ж^+те жР

р Ііш Ь

ж^+те

и

р А*

Ііш д/а (ж) в

ж^+те

— N (ж) р Ііш

в

11п7 :

а

р Ііш Ь

ж^+те

Ііш \]а2

ж^+те

Ііш а(ж) = а

ж^+те

ііп^

Ііш \/а(ж)в

ж^+те

в

а

в.

ж^+те Хр

Применяя следствие из предложения 2, получаем

Д = рА* = а и Д = рА* = в.

Итак, построенная последовательность имеет заданные р-плотности, внутренне измерима, а её слабая лакунарность вытекает из неравенства (8) предложения 1. Доказательство завершено.

Подытоживая предыдущие рассуждения, можно сформулировать следующее утверждение.

Предложение 10. Произвольная последовательность Л = {Ага}^=1 комплексных чисел с показателем сходимости р> 0 и 0 < Д < то измерима тогда и только тогда, когда она дискретно измерима и выполнено хотя бы одно из условий:

а) последовательность Л слабо лакунарна, т. е. /д = Ит ' , ''+,1' = 1,

N (ж) 1

Ііш “ЙГГ га^те |А„|

b) выполняется условие V = Пт ,

ж^+те п(ж) р

- т^- N (ж) 1

c) выполняется условие V = 11т —= —,

ж^+те п(ж) р

^) последовательность Л внутренне измерима, т. е. существует предел

N(ж) ( 1'

11т ——

ж^+те п(ж) \ р /

Доказательство. Достаточность дискретной измеримости последовательности Л с любым из условий а) или ^) для её измеримости уже обсуждалась перед предложением 8, а с условиями Ь), с) — в самом предложении 8.

Пусть теперь последовательность Л измерима, т. е. Д = Д = Д. Её дискретная измеримость следует прямо из определения. Слабая лакунарность вытекает из неравенства (5) предложения 1, а внутренняя измеримость - из неравенств (1) и того, что существует предел

Ііш

N

Ііш

N (ж)/жр А/р

ж^+те п(ж) ж^+те п(ж)/жр

А

1

р.

Все доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ. 1956. 632 с.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976. 536 с.

3. Boas R.P. Entire functions. Acad. Press. New-York. 1954. 276 p.

4. Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций, IV // Матем. сб. Т. 66. 1965. С. 411-457.

5. Кондратюк А.А. Об экстремальном индикаторе целых функций с положительными нулями // Сиб. матем. журн. Т. 11. № 5. 1970. С. 1084-1092.

6. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Монография-обзор, РИЦ БашГУ, изд. четвертое, дополненное. Уфа. 2012. 176 с.

7. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций М.: Прометей. 2005. 232 с.

8. Брайчев Г.Г. Точные оценки типов целой функции порядка р £ (0,1) нулями на луче // Уфимск. матем. журн. Т. 4. № 1. 2012. С. 29-37.

9. Брайчев Г.Г. Наименьший тип целой функции порядка р £ (0,1) с положительными корнями заданных усредненных плотностей // Матем. сб. Т. 203. № 7. 2012. С. 31-56.

10. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О росте целых функций с дискретно измеримыми нулями // Матем. заметки. Т. 91. в. 5. 2012. С. 674-690.

11. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. Точные соотношения между плотностями нулей целых функций конечного порядка // Математичш студ11. Т. 30. № 2. 2008. С. 183-188.

12. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть II. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. М.: Наука. 1978. 432 с.

Георгий Генрихович Брайчев

Московский педагогический государственный университет, ул. М.Пироговская, 1,

199296, Москва, Россия E-mail: braichev@mail.ru