Построение математической модели манипулятора с учетом упругой податливости конструкции

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МАНИПУЛЯТОРА С УЧЕТОМ УПРУГОЙ ПОДАТЛИВОСТИ КОНСТРУКЦИИ

THE CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF THE MANIPULATOR WITH THE ELASTIC FLEXIBILITY OF CONSTRUCT

Бакай Б.Я.

Рассмотрены и получены основные динамические характеристики и уравнения движения гидравлического манипулятора с учетом упругой податливости его конструкции.

Considered and obtain the basic dynamic characteristics and the equations of motion of hydraulic manipulator with the elastic flexibility of its construct.

Ключевые слова: динамика, манипулятор, упругая податливость, уравнения движения Лагранжа.

Key words: dynamics, manipulator, elastic flexibility, Lagrange's equations of motion.

Введение. Известно, что одним из прогрессивных путей создания современных гидравлических манипуляторов с большой величиной вылета стрелы есть разработка унифицированных конструкций и компоновка той или иной манипуляторной системы [1-4]. В связи с этим, актуальной является задача всестороннего исследования гидравлических манипуляторов.

Постановка задачи. На рис. 1 представлена одна из наиболее распространенных кинематических схем манипулятора лесозаготовительных машин (харвестера, форвардера и др.) для выполнения операций в сложных производственных условиях [3]. На основании проведенного детального анализа производственных возможностей и конструктивных особенностей наиболее общей кинематической схемой манипулятора таких машин является манипулятор, созданный с использованием вращательных пар для обеспечения полноценного пространственного перемещения лесоматериалов [4].

Рисунок 1 - Кинематические схемы манипулятора: а - общая стреловая система; б - звено манипулятора с упругой податливостью

Для описания движения манипулятора введем в инерциальном пространстве вместе со стрелой систему координат 01 х1 у1 г с общей осью Ох. Ось О1 у1 зададим по направлению касательной к нейтральной линии стрелы гид-

Z

равлического манипулятора в точке 01.

Введем следующие обозначения: тг и I - масса и момент инерции /-го звена манипулятора относительно оси, проходящей через центр инерции параллельно Oz (г=1, 2, 3, 4); 131 - момент инерции стрелы относительно оси проходящей через ее центр инерции параллельно 01х1; I - расстояние от центра инерции к оси Oz, ф - угол между ортами осей Оу и 01 у1; 2 - высота звеньев над плоскостью Оху; М - сосредоточенный относительно оси О2 момент управляющих сил; ^ и управляющие усилия, обеспечивающие изменение во времени высоты 2 и длины соответственно; А1 и А 2 - угловые относительные отклонения конца стрелы манипулятора с грузом от равновесного состояния.

Сущность решения задачи. Уравнение движения изучаемой механической системы составим в форме уравнения Лагранжа второго рода. Примем за обобщенные координаты величины: ф, 2, $>., Аь А2. Для вычисления кинетической энергии системы воспользуемся формулой

Т = 2 к 6 2 + 2 тг

где тг - масса /-го звена манипулятора;

иг - скорость полюса;

г - радиус вектор центра инерции тела в системе осей, имеющей начало в полюсе;

© - тензор инерции тела в полюсе;

Юг - угловая скорость.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы имеет вид

Т = ±Тг,

г=1

где Т - кинетическая энергия г-го звена манипулятора;

Выражение кинетической энергии колоны манипулятора и механизма передвижения рассматриваемой системы имеет вид

1 т 1 1

Т = 211 ф2, Т2 = 2ш2

Прежде чем записать кинетическую энергию стрелы и груза найдем квадрат абсолютной скорости точки О'2. Для радиуса-вектора точки О'2 имеем

ОО'2 = 0О1 + ор' 2.

В соответствии с правилами кинематики абсолютная скорость точки О2 равна

d00'l 1

V0 = 1 + —+ссх О1О' 2,

О2 dt dt 12

^ * _^

где — - производная вектора О.О' , вычисленная в подвижной системе координат О1 х1 у1 г;

Й - вектор угловой скорости вращения подвижной системы координат относительно инерциальной.

Для векторов ОО1 в системе Охуг и Й, 010'2 в системе О1 х1 у1 г имеем следующие координатное представление

ОО =

С учетом (4) и (5) квадрат абсолютной скорости точки О'2 равен

У" =

Откуда для кинетической энергии груза имеем

1 2

Т4 = 1^

Используя уравнения (1) и (6) кинетическую энергию стрелы манипулятора можно представить в виде

т 1 13 = — т3 2 3

1  • 2 1  2 1  1  2

+ 5АА1 - 5ф)2 + 4(+ 5фА1 )2 + (г - ^ - - 5 А2)2

+

+ 2 [/з

С учетом уравнений (2), (3) и (6)-(8), для кинетической энергии рассматриваемой манипуляторной системы имеем окончательное выражение

Т = 2 [/ ф2 + тг2 + т5(1 + А2 +А22)5?2 + /1А2 + /2 А ]-

- /1 фА1 - т6г

где т = т2 + т3 + т4; т6 = т4 + т3/2; т5 = т4 + т3/4; / = I3 + т5 52; /2 = I31 + т5 52; I = /1 + /2 + /1 + т212 + т5 52 А^.

Будем моделировать податливость конструкции звеньев манипулятора упругим потенциалом

Па = 2

где К1 и К2 - приведенные угловые коэффициенты жесткости, определяемые экспериментально. Если не учитывать податливости в шарнирах, как это делается в некоторых работах, то в квазистатическом приближении в качестве коэффициентов можно принять величины

К* = 3Е1 / 5, г=1, 2,

г* 1 у у у

где Е - модуль Юнга;

1г - центральные моменты инерции поперечного сечения г-го звена манипулятора;

5 - длина звена манипулятора. Отметим, что если известны величины Кг и К*, то приведенные угловые

коэффициенты жесткости Кг**, характеризующие упругую податливость шарниров конструкции манипулятора, можно вычислить из соотношений

1/К. = 1/К** +1/К*.

** *

Суммарная потенциальная энергия, которую запасает система как следствие податливости конструкции и действия сил тяжести, имеет вид

П = mgz -ш6gSА2 + 2

Принимая во внимание уравнения (9) и (11) уравнения движения манипулятора, записанные в форме уравнений Лагранжа второго рода в линейном приближении по А1 и А2 , имеют вид

I ^)ф - /1 ^)А1 +/

т

т5 ^- т6А2

)

/2

У формулах (12)-(16) точкой обозначена производная по времени t, а штрихом - по переменной S. Кроме того 10 = I(А1, S) 0 .

Вывод. Таким образом, получена нелинейная система взаимосвязанных дифференциальных уравнений, которая при выбранных начальных условиях для ф, 2, S, А1, А 2 и заданных уравнениях М, определяет движение ма-

нипулятора с упругой податливостью конструкции в линейном приближении по относительным отклонениям.

Список использованных источников

1. Ловейюн, В. С. Моделювання динам^ мехашзмш вантажоп1дйомних машин [Текст] / В. С. Ловейюн, Ю. В. Човнюк, М. Г. Д^ерук, С. I. Пастушенко. - К. : - Миколаш : РВВ МДАУ, 2004. - 286 с.

2. Корендясев, А. И. и др. Манипуляционные системы роботов [Текст] / А. И. Ко-рендясев, Б. Л. Саламандра, Л. И. Тывес; Под ред. А. И. Корендясева. - М. : Машиностроение,1989. - 471 с.

3. Адамовський, М. Г. Аналiз i перспективи використання трелювальних тракторш у люовому комплексi Украши [Текст] / М. Г. Адамовський, Б. Я. Бакай // Наук. вюник Укр-ДЛТУ: Лiсова шженерш: технiка, технолопя i довк1лля. - Львiв: УкрДЛТУ. - 2004, вип. 14.3. - С. 175-182.

4. Бакай, Б. Я. Формализация зоны действия гидравлических манипуляторов на лесопромышленных складах [Текст]/ Б.Я. Бакай// Актуальные проблемы лесного комплекса: сб. науч. тр. по итогам междунар. науч.-техн. конф./ Под ред. Е. А. Памфилова. - Брянск: БГИТА, 2006. - Вып. 16. - С. 3-7.