О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций

А.Н. Сыркашев

О ВАРИАЦИОННОМ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ МЕТОДАХ В ТЕОРИИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрены взаимосвязи вариационного и параметрического методов, выведены вариационные формулы в различных классах однолистных функций, приведены случаи интегрирования уравнения Левнера - Куфарева.

Метод внутренних вариаций Шиффера - Голузина и метод параметрических представлений Левнера играют значительную роль в геометрической теории функций комплексного переменного. Они занимают видное место в литературе [1 - 6] и составляют содержание многочисленных статей с исследованием и решением экстремальных задач теории однолистных отображений. Были предложены различные варианты объединения этих методов, существенно обогатившие практику решения экстремальных задач.

Данная работа касается взаимосвязей рассматриваемых методов с подходом к затрагиваемым вопросам по возможности с наиболее простых позиций. Известные теоремы получают новые варианты доказательств, а известные формулы - новые выводы. Вниманию читателя предоставляются на этом фоне отдельные оригинальные факты как научного, так и научно-методического характера. Используемая система обозначений позволяет воспринимать весь материал как единое целое, хотя и не всегда повторяет обозначения оригинальных источников.

В §1 приведена теорема Г.М. Голузина с доказательством К. Поммеренке [7]. Как следствие, представлена вариационная формула Шиффера - Голузина в классе S голоморфных однолистных в круге E={z: |z| < 1} функций f (z), f (0) = 0, f' (0) = 1, дан новый вывод вариационной формулы в подклассе S* класса S звездообразных функций f (z) (т.е. таких, что f (E) является областью, звездообразной относительно нуля), а также получена одна вариационная формула в классе S.

В §2 представлено уравнение Левнера - Куфарева, доказана теорема о существовании и свойствах его решения.

В §3 приведены различные случаи интегрирования уравнения Левнера - Куфарева: как классические (формула Базилевича [8], интегральное представление класса S*), так и оригинальные (при некоторых частных видах уравнения Левнера - Куфарева).

В §4 посредством уравнения Левнера - Куфарева получены вариационные формулы в плотном подклассе класса S функций, предельных для решений этого уравнения.

В §5 приведены варианты объединения рассматриваемых методов, предложенные Н.А. Лебедевым [9] и П.П. Куфаревым [10], а также одна вариационная формула М. Шиффера [11].

§1. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ В КЛАССЕ S

Метод внутренних вариаций был предложен М. Шиффером в 1943 году. Позднее Г.М. Голузин представил свой вариант этого метода, получив вариационные формулы при меньших предположениях об отображениях. Представленная ниже вариационная формула является основной в методе Г.М. Голузина. К. Поммеренке упростил доказательство теоремы 1.

Пусть D с С, 0 є D, - односвязная область в w-

плоскости, и w = f (z), f (0) = 0, f' (0) > 0, - функция, однолистно и конформно отображающая круг E на D. Пусть D(e), є > 0, - семейство областей, сходящееся к D как к ядру относительно точки w = 0 при є ^ 0. Функции w = f (z), f (0) = 0, f (0) > 0, однолистно и

конформно отображающие Е на -О(е), согласно теореме Каратеодори о ядре, равномерно внутри Е сходятся к / (г) при е ^ 0.

Обозначим через К(г, Я), 0 < г < Я, кольцо

{г: г < Г| < Я}. Предположим, что функция V = g(z, е) при каждом фиксированном голоморфная и однолистная по г в кольце К(г, 1), во-первых, отображает это кольцо на двусвязную область А(е), которая при объединении с ограниченной компонентой дополнения совпадает с -О(е), и, во-вторых, имеет разложение по степеням вида

g(z, е) = / (г) + е г? (г) ^) + у(г, е), где у(г, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри К(г, 1) и ^(г) - голоморфная в К(г, 1) функция, имеющая разложение в ряд Лорана вида ц(г~) = Т(г~) + Б(^), где

ад ад

т (-- ) = Е -Г, х (-- ) = Е .

п=1 г п=0

Теорема 1. В классе £ имеет место вариационная формула

f

q (z )-T (z ) + T ^ І j +

C0 C0

f

cn + cn

zf'

+ o (z, є).

Доказательство. Функция ф(г, е), неявно определяемая при фиксированном уравнением g(z, е) = /е (ф(г, е)), г е К(г, 1), голоморфна и однолистна. При каждом она продолжается на окружность {г: |г| = 1} и переводит ее в единичную же окружность. По принципу симметрии Римана - Шварца ф(г, е) голоморфно продолжается в кольцо К(г, 1/г). В этом кольце при соответствующем выборе ветви логарифма функция

( ) 1, ф(z,8) у\г, е) = — 1п—1—-

8 г

голоморфна и раскладывается в ряд Лорана

v(z, є)=Х

n=1

b-n

+ S bn (є) zn

n=0

Так как Re y(z, є) = 0 на единичной окружности, то

Re b0 (є) = 0, bn (є) = -b-n (є),

Введем функции

Mz)- f

єzf '(z) ’

g

:N.

P (z, є) =

q (z, є) =

2Zf '

голоморфные по z соответственно в E, K(r, 1) при

+

) ezy

2ni zl~n 2ni z^n 2ni z^n

1 q

h (z, є).

-L flM<fc +_L f £M<fc-L f iM dz

Ini1 z n ,1-n 2n; J -,1

Y

2ni • z'

Y

2ni • z'

Y

_l_f lq(z,p^є) Ih(z,є) * <M(ф2% (є),

V z

Y

где M(є) = max q(z,є)-p(z,є),

p2 < z <p

2n,

. . " ", )d0,

2n

1 2n

Xi

2ni

Lf P(z,є) dz = J0, n = 1,2,...,

1 (є), n = 0,

f'

~1-n dZ \А(є),

где A (s) = lim p (z,s) = . .

V ' z^V ’ ' B/'

и вещественно.

Известно, что

= b-n (S) = —bn (S) n = 0,1,...,

2ra* z

Y

lim-L f «М* = c-

є^0 2niJ z

Y

Значит при n = 1, 2, ...

n = 0,1,... .

голоморфную в K(r, 1) при фиксированном е. Нетрудно проверить, что введенные функции связаны между собой равенством

y(z, е) = [q(z, е) - p(z, е)][1 + h(z, е)] и что limh (z,e) = 0 равномерно внутри K(r, 1). Оче-

e—0 V 7

видно,

p(z, е) = q(z, е) - y(z, е) + [q(z, е) - p(z, e)]h(z, е). Найдем предел при е ^ 0 каждого слагаемого в сумме, стоящей в правой части равенства.

Легко увидеть, что lim q (z, e) = q (z) равномерно

e—>0 47 V 7

внутри K(r, 1).

Фиксируем p2 e (r, 1). Тогда r < p2 < p < 1. Умножим почленно последнее равенство на zn-1/ 2л/, n = 0, 1, ... и, переставив слагаемые, получим

1 y(z, e) + 1 p (z, e) 1 q (z, e) =

b0 (є)- А (є) + c0 < M (є)Х1 (є). Поскольку Re b0(e) = Im А (є) = 0, то

b0 (s) + A (s) — c0 < M (e)X1 (s). Легко увидеть, что

C0 — c0

b0 (є) +

< M (є)Х1 (є).

Переходим к оценке разности

R (z, є) = у (z, є)-

Т (z ) +

с0 - с0 - Т fl

ад ___________________________________________

:X(bn (є)+ C-n ) + Ь0 (є)‘

C0 -с

n

n=1

n=\

на окружности {z: |z| = p}. Имеем

R

< 1+ P

ад

^+Sp2n

n=1

2га г1-п

Интегрируя полученное равенство по окружности у = {г: |г| = р2} и оценивая модуль левой части, приходим к неравенству

Эта оценка позволяет найти предел R(z, е) при е ^ 0. Используя неравенство

max \q (z e)- p (z e)|< max |y(z, Е) +

+ max |q (z, e)- p (z,e)| max \h (z, e)|,

p <|z|<p находим, что

где

причем ^(е) ^ 0 при е ^ 0.

Пользуясь интегральной теоремой Коши (п = 1,2,...) и интегральной формулой Коши (п = 0), находим

M(e)< K(s)+ M(s)X2 (s),

K (s) = max |y(z, s)|<ro,

p2 <1 z| <P

^2

и Х2(е) ^ 0 при е ^ 0 равномерно на у. Таким образом, М(е) ограничена при е ^ 0. Значит lim R (z, e) = 0 равномерно внутри K(r, 1), то есть

s^0

lim y(z, є) = Т (z)+ - Т

e—0 ' ' ' " 2

равномерно внутри K(r, 1).

В итоге получаем

p (z) = lim p (z, e) = lim q (z, e)-lim Wz, e) +

' e——0 ' e——0 ' e—0 V '

+ lim [ q (z, e)-p (z, e)] h (z, e) =

= q (z )-T (z )+

c0 c0 ™f 1

2 + 4?

равномерно внутри Е. Таким образом.

/е(г) = /(г)+е/'(г) £ (г)+

Легко увидеть, что

c0 с0 +т ^ 1

+o (z, є).

bn (є) + c-n < M (i^)p2nX1 (^

fe(0 ) = 1 + єс°^^ + o (є).

Функция

принадлежит классу S. Подсчет дает формулу (1), что и требовалось.

Приведем примеры использования теоремы 1. Представим вывод вариационной формулы, предложенной М. Шиффером [12] и полученной позднее Г.М. Голузиным [13] как следствие теоремы 1.

Теорема 2. В классе S имеет место вариационная формула

f

- jrL ( *)-TL (••, 5Г |+»(ze),

где zk , k = 1, 2, ..., m, m e N, - различные точки из E, Ak - произвольные комплексные постоянные,

н w=тм, l ( ")=h «т+а+1

Доказательство. Напишем вариационную формулу (1) для

q (z) = V A H (zk )f (z) f (z)e S

q( ) £ kzf(z)(f(z)-f(zk))f( ) .

Выделяя главную часть T(z) разложения функции q(z) в ряд Лорана в кольце K(r, 1), где r = max |zk|, находим

1<k <m

j q (z)zn—1dz=£res (q (z)zn—1 )=£ Akz,

2nl z=p k=1 z=zk k=1

и для T(z) имеем

Л c

n=1 z

T (z) = I^ = 14 I =SA

z^0

k=1

+Ak

f 11 z,—

M

Ч zk /

> + o (z, s),

где zk , k = 1, 2, ..., m, m e N, - различные точки из E, Ak - произвольные комплексные постоянные,

H (z)= zf-(z)), L (z, a) = H (z )^ +1,

f

z — a az

Ы (г)= 5Ш, М (z, й) = Н (г) )2 *

/

Доказательство. Запишем вариационную формулу (1) для

чМ = £л»н3(2„)3^.)/((г))-2,/г)) /М*£.

к=1 Н

Это можно сделать, поскольку функция g(z, е), соответствующая выбранной q(z), удовлетворяет условиям теоремы 1. Для этого достаточно показать, что функция

/ \ т а ^2

ю(^ ) = V + е£ Ак—-------—,

к=1

1

голоморфная в С \ и и (wk, p), p = 2 min \wk — wi |, од-

k=1

нолистна в этой области при достаточно малых .

Пусть V', - различные точки указанной облас-

ти. Тогда имеет место равенство

ю (w'^ - Ю (V"') = (т/ - V"') X

I1—s£ Ak

k=1

2 + w,

w' + w" — 2wk

(w' — wk ) (w" — wk )2

и следующие неравенства

w' + w" — 2wk

2 + w,

I3 f

< 2 + T

k=1 n=1V ‘У k=1 ^ ¿k

Свободный член правильной части разложения q(z) равен

m

c0 =lim [ q (z)-T (z )] = X Ak.

w — wJw — wk

1 1

+

< 2 + -

2w

3

— < Mk,

1 — s£| Ak\Mk

k=1

Для завершения доказательства остается записать формулу (1) с указанными q(z), Т(г), -0.

Приведем ещё один пример применения теоремы Голузина для получения вариационной формулы в классе £.

Теорема 3. В классе £ имеет место вариационная формула

/ (^ 8) = / () +

+е/ (г )£| а„н 3 (.-к )3/ ((м~2/)) -

к=ч

- Ак [М (z, гк )-( + N (к ))Ь (^ гк )^ +

последнее из которых влечет однолистность ra(w).

Выделяя главную часть разложения функции q(z) в ряд Лорана в кольце K(r, 1), где r = max |zk I, находим

1<k <m

tn — — til

T

k=1

k=1

z — z,

Свободный член правильной части разложения равен

т

-0 =-2£ Ак

к=1

Для завершения доказательства теоремы остается записать формулу (1) с указанными q(z), Т(г), -0.

Представим новый вывод вариационной формулы в классе звездообразных функций, впервые полученной И. А. Александровым [14].

w

k

Теорема 4. В классе S* имеет место вариационная формула

m

f (^ є) = f (z) + ^ (z) Z {Ak [H (zk ) K (z, zk ) -

k=1

- L (z, zk )]- Ak

H (zk Kl z —

+ L

k

k У

> + o (z, є),

где гк , к = 1, 2, ..., т, т е М, - различные точки из Е, Ак - произвольные комплексные постоянные и

н (г)=7М' К (г, а)=н

X (г, а) = Н (г ) + а +1.

Доказательство. Образуем функцию g(z, е) = /ф ехр(еф (г)), /(г) е £*,

где

ф(z )=Zn

z + z.

- + Bk

1 + zkz

Jk r Щ ", =

z - zk 1 - zkz

z є E,

zf' (z) m

= Re _ ; / - 2є Re Z

f

k=1

Bk

zkz

-- Bk

zkz

lim Re

r ^1

ГЄ ф

V0)]

= -4 Re

i Im Z Bk----k----

Z (- zk )2

= 0,

К(г, 1) при объединении с ограниченной компонентой дополнения является звездообразной относительно V = 0 областью.

Применим теорему 1 к функции g(z, е). Имеем q(z) = ф(г)/Н(г) и находим, что

т 2 В у

т(г)=£- 2В‘гк

k=1 H

c0 = 1™ [ q(z)- T (z )^ = Z

k=1

Bk- Bk +

2Bk

Для завершения доказательства теоремы остается записать формулу (1) при указанных q(z), Т(г), -0 и заменить Вк на АкН(гк).

§2. УРАВНЕНИЕ ЛЕВНЕРА - КУФАРЕВА

В теории однолистных функций важную роль играет уравнение Левнера - Куфарева

f=^ («• *

0 < т < т , 0 <т < ад,

k=1V z zk

и _Sk , k = 1, 2, ..., m, - комплексные постоянные. Она при каждом фиксированном голоморфна по z в K(r, 1), r = max |zk I. Поскольку g(z, е) дифференци-

1<k <m

руема по при = 0 равномерно внутри кольца K(r, 1), то в этом кольце имеет место разложение g(z, е) = f (z) + е f (z) 9(z) + Y(z, е), где y(z, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри K(r, 1).

Пусть z', z" - различные точки из K(r, 1). В силу однолистности f (z) при достаточно малых справедливы следующие неравенства:

| g(z’, е) - g(z” , е) | >

>| If (z') - f (z'' )| - е If (z') ф (z') - f (z'' ) ф (z'' )| | >

> K - е f (z') ф (z') -f (z '' ) ф (z'' )| > 0, откуда следует однолистность g(z, ).

Покажем, что внешняя граничная компонента образа кольца K(r, 1) при отображении w = g(z, е) ограничивает звездообразную относительно нуля область. Тогда образ круга Е при отображении w = f (z, е) будет звездообразной относительно нуля областью, и функция f (z, е) попадет в класс S*. Имеем

Re «М. = Re Ш + e Re (('(*)) =

g

где p(Z, т) - заданная в ЕхТ, Т = [0, т0), функция, при каждом фиксированном т принадлежащая классу C (классу Каратеодори) голоморфных в Е функций p(z), p(0) = 1, Re p(z) > 0, и непрерывная по совокупности переменных в цилиндре ЕхТ. Множество всех таких функций p(Z, т) обозначим через P (C, T).

Решения уравнения (2), обращающиеся при т = t, 0 < t < т0, в z, обозначим через Z = С(т, t, z). В случае, если t = 0, вместо ^(т, 0, z) будем писать ^(т, z). Очевидно, ^(т, t, 0) = 0.

Теорема 5. Какова бы ни была фиксированная точка t, t є T, уравнение Левнера - Куфарева

а) на интервале Т П (t - ln [(1 + |z|)2 / 4|z|], т0) имеет, и притом единственное, решение ^(т, t, z), z є Е;

б) если т1, t < т1 < т0, конечно, то ^(т1, t, z) осуществляет однолистное конформное отображение круга E на некоторую область В(т1, t) с Е, причем С(ть t, 0) = 0, Zz'(ть t, 0) = e‘-T1;

в) если т0 = да, то функция

f (z) = lim eT—Z(t, t, z) = z +...

голоморфна и однолистна в Е.

Доказательство. а) Уравнение (2) вместе с начальным условием Z | i=t = z, z є Е\{0} равносильно интегральному уравнению

С = z exp |-j p (C T)d

Рассмотрим это равенство при г = ге'. Поскольку первое слагаемое в правой части равенства положительно при любых г и 0, в силу звездообразности функции / (г), и поскольку

то при достаточно малых е и при г, близких к единице, сумма в правой части рассматриваемого равенства положительна. Значит действительно образ кольца

решение которого будем искать методом последовательных приближений. Для этого рассмотрим последовательность голоморфных в Е при фиксированном т, т > /, функций

Сс = 0,

С п = С п (т1, гг ехР {-1 р (-1 (т ъ г), т) ) ,

п = 1,2,..., и уравнение

где P (x ) = 1

iv = -vP (-v), dx K ’

1 + x

получаем

L-x

Решение уравнения

где

;(т) = 1 + A - A^j 1 + A, t <x<(

(1 -I z )2

A =-

2 z

5« = -[—

« J Лг

del Z

d t =

ЭИ+1 /

I5« ( *>z)l І l5«-1 exp i-2 (x (t) - a)}

2v

(1 - v (t))2

-dt.

положительно, монотонно убывает с ростом т и строго меньше единицы на (t, ).

Поскольку P(-v(t)) < 1, то с учетом (4) имеем

|Zi| = |z| exp j-J dxj < |z| exp j-JP (-v (t))tJ = v(t).

Далее, используя (4) и известное неравенство для функций p(z) класса C

P(-|z|) < Re p(z) < P(|z|), по индукции получаем

iq=izi exp j-Re J p ( n-ь T)d Tj<

< Iz| exp j-J P (-|c „-1 |)d t j <

< |z| exp j-J P (-v (t)) dT^j = v (t).

С другой стороны,

|C n | ^ Iz| exp j-J P (-11)d T j ^ |z| exp j-J P (v (T))d T j =

= v (T)exp <J-J [P (v (T))-P (-v (T))]d T j =

=v(T)exp|-J4v2T,),dt|=v(T)expi2(x(t)-a),

I t1 - v (t) j

где х(т) = P(v(t)), a = x(t) = P(|z|). Таким образом, имеем оценки

v

n = 1,2,....

Установим теперь оценку сверху для модуля функции

Я Я { + \ 1 Zn (т, t, zd л г.

8n=5n(T,t,z d=1 , n=1,2

Представим 5n в виде

При возрастании т от 1 до т0 величина х убывает от а до х(т0). В неравенстве (7) произведем замену переменного т на х. Будем иметь

X

|8п I ^ -Ц5п-1 еХР {2 (х - а

а

где 5п = 5п(х, а, г) = 5п(т(х), т(а), г). Выполнив в последнем неравенстве замену по формуле

P = P(x ) = І e

получим искомую равномерную внутри Е оценку

откуда, используя (5), заключаем, что

_ п

|Сп+1 ( 1, г) - Сп ( 1, г) < V (т) “ < -

п! „!

где р(х(т0)) зависит только от г.

Таким образом, последовательность (^п(т, 1, г))пеМ

голоморфных функций равномерно внутри Е сходится. Ее предельная функция £ = С(т, *, г) по теореме Вейерштрасса голоморфна в Е при фиксированном т, т > 1, и, как легко показать, удовлетворяет уравнению (3).

При т < 1 решение уравнения (3) также будет предельной функцией для рассмотренной последовательности (^п(т, 1, г))пеМ. Это можно доказать повторением

проведенных рассуждений, взяв вместо v(т) решение и(т) уравнения

^ и! \ I 11

— = -иР (и ), и| т=

d т

= z

существующее при т e (t - ln [(1 + |z|)2 / 4|z|], t), и вместо неравенства (5) использовав оценки

U (T) exp {2 (y (T) - *)} < |Cn (T, t, z)| < U (T),

где у(т) = P(-u(t)), b = y(t) = P(-|z|). Тогда, соответственно, получим неравенство

X

где

x(y ) = І

= fe-2("-

, d X ~k ’

= -}^16, , Р (, т)~ Р (С-, т) d т,

¡г п 1 г _л

1 ^п+1 Ъп ^п-1

откуда, используя (5) и известное неравенство для функций класса С

\р м-р (* >1<( )• <6>

опираясь на которое, легко завершить доказательство сходимости последовательности (^и(т, ґ, г))ием при

т є Т П (ґ - 1п [(1 + |г|)2 / 4|г|], ґ).

Обычным образом устанавливается единственность решения уравнения (3).

б) Пусть при некотором т1, 0 < ґ < т1 <т0, в Е нашлись точки гь z2, z1 Ф z2, в которых

^(т1, ґ, z1) = ^(т1, ґ, z2). Тогда, в силу единственности решения, имеем ^(т, ґ, z1) = ^(т, ґ, z2) при т є Т П (ґ -- 1п [(1 + 5)2 / 4^], т0), 5 = шах(^|, ^2|), откуда при т = ґ получаем z1 = z2, что противоречит предположению. Следовательно, ^(т, ґ, z) однолистна в Е и конформно отображает Е на односвязную область В(т, ґ). Равенства в утверждении б) непосредственно следуют из (3).

в) Из (3) находим

ет 1 Z = z exp j(1 - p (Z, f))d t.

Если т = да, то при т ^ да интеграл справа равномерно относительно г внутри Е сходится, поскольку, в силу (6), оценки |^| < v(т) и явного представления v(т), справедливо

1

- p (z, т)<

_ h 2 1 = ч Д +-< —.

A A

d- = <p(zt), С|t=0 = z є E,

голоморфно и однолистно в Е при любом 1.

Доказательство. Положим р(0, 1) = а(1) + 'Ь(1), имеем а(1) > 0 и

Р(С, 1) = 'Ь(1) + а(1)р*(С, 1), где р*(С, 1) е Р (С, Т). При этом уравнение (8) примет вид

1

l

d ln Z

dt

+ ib

= - p * (Ct).

Выполнив замену переменного по формулам t = T(t) = ja(t)dt,Z1 =Zexp|ijb(t)dtj,

придем к уравнению Левнера - Куфарева

іл z ^ Г t l ^1 Л

d ln Z1

d t

= - p *

I fb (t(t)) | . 4

z'exp |-ij ff •'

Z1 T=0 z,

решение которого по теореме 5 голоморфно и однолистно в Е. Значит этими же свойствами обладает решение

С ( г) = С* ( (), г) ехР |-' 1 ь () & | уравнения (8), что и требовалось доказать.

§3. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА - КУФАРЕВА

1. Автономное уравнение Левнера - Куфарева

Пользуясь тем, что наряду с функцией р(г) из класса С этому же классу принадлежит и функция 1/р(г), рассмотрим уравнение Левнера - Куфарева в виде

dZ= С

dT p (z)’

Z |t=0 = z є E.

Следовательно, существует предел

lim eT—Z(t, t, z) = f (z) ,0 < t <w,

и функция f(z) = z +... как отличный от постоянной равномерный предел голоморфных однолистных функций голоморфна и однолистна в Е. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть функция p(Z, t) непрерывна по совокупности переменных в ЕхТ, голоморфна по Z в Е при каждом t, 0 < t < да, и имеет в Е положительную вещественную часть. Тогда решение Z = Z(t z) уравнения

Согласно теореме 5, решение £ = С(т, г) задачи (9) при каждом фиксированном т, 0 < т < да, голоморфно и однолистно в Е. Правая часть рассматриваемого уравнения не зависит от т, и, следовательно, оно равносильно некоторой автономной (динамической) системе двух дифференциальных уравнений для двух функций вещественного переменного. Нетрудно увидеть, что решение ^(т, г) задачи (9) дается в неявном виде формулой

С(т,г) С(У) Р(С)-1 1п 1 — dZ+x = 0.

г С

г ~

Функция ех^(т, г) е £. Этому же классу принадлежит функция

7(г) = Й^(^ггеХР |1:Р(^;)^Ч.

Для нее

zf'

= p (z), и значит f (z) отображает

круг Е на звездообразную относительно нуля область. Множество получаемых указанным способом функций / (¿), / (0) = 0,/'(0) = 1, составляет весь класс 5'*.

Теорема 6. Если р(^ є) = р(z) + єТ^) + y(z, є) - вариационная формула в классе С, где у^, є)/є ^ 0 при є ^ 0 равномерно внутри Е, у^, є)/z и T(z)/z голоморфны в Е, то

/е) = /00 + є/00[т(и)— + 0(^є) -0 и

вариационная формула в классе 5*.

Доказательство. Рассмотрим функцию /^,є)є5*, соответствующую функции р(^ є) є С, то есть

^'

f

= p (z, є). Имеет место тождество

zf'

+ sT (z) + y (z, є) ,

где /(г) е £*. Разделив обе его части на г и проинтегрировав полученное по г от г0, г0 ф 0, до г вдоль пути, не содержащего нуль, приходим к равенству

уЩ)=7ыехр |е *+Т1 (*8){ ^

где у^, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри Е. Умножив обе части этого равенства на г0 и перейдя к пределу при г0 ^ 0, получим

/(г, е) = /(г)ехр<|е1Т-(и^du + у2 (г, е)|,

где у2(г, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри Е. Для доказательства теоремы остается разложить последнее тождество по степеням е.

Следствие 2. В классе имеет место вариационная формула

7 (z, 8) = 7 (г) +

+е/(z)Еі А

к=1 I

z + z1^

Н

2z

- Ак

Н ^ )-1 + Н (zk )т

2 zkz

+

+іеА '/' ' )- / ^ )} + о ^, е),

где гк , к = 1, 2, ., т, т е М, - различные точки из Е, Ак - произвольные комплексные постоянные, А - про-

7'

извольная вещественная постоянная, Н ^) =

Для доказательства следствия достаточно применить теорему 6 для вариационной формулы

А(р ()- р (zk ))-

-А1-^

+ іАр

р (ґ )-1 йґ ]

С|х=с = z є E,

С

^ = X

йх

=1 = z,

х=1

в котором, в свою очередь, замена 1(х, г) = £(х г)/х дает dx = ар (1) dt

ґ х=1 = z.

х ар (1) +1 1

Интегрируя последнее равенство и возвращаясь к переменному т, имеем

ар (1) dt

ат =

і

е-атф, г,

Перепишем (11) в виде

г

1п г - 1п ^(т, г)- |

ар (ґ ) +1 ґ

йґ

аС(т

d | т Р (z, 8) = Р (г ) + 8г-Г-

dz [к=1

1+

ч1

в классе С.

Следствие 3. В классе имеет место вариационная формула

7 (z, 8) = 7 (г )-8(а +'Ь)(г/ '(г)-7 (г)) + 0 (^ 8), где а е (0,1), Ь е М.

Доказательство. Пусть 7

- соответствующая функция класса С. Легко увидеть, что при е > 0 классу С принадлежит функция

р (г, е) = р ( -/ае)е~'Ье г ) =

= р (г)-е(а +'Ь )гр' (г) + о (е).

Применив к этой вариационной формуле теорему 6, получим требуемое.

2. Уравнение, приводящееся к однородному

Теорема 7. Пусть р(г) е С, и а, а > 0, - произвольная постоянная. Тогда классу принадлежит функция

)( + аР ( )) или после потенцирования в виде

^

= 0,

z

= ехр |т- [

йґ

"С(т

>(1+ар (ґ ))ґ|

Из последнего выражения и (11) получаем

"?(т

р (ґ)-1 І

.ар (ґ) +1 ґ

где функция ех^(т, г) е £. Переходя к пределу при т ^ да, получим требуемое. Легко увидеть, что

яе ; ч ’ >0.

3. Формула Базилевича

Теорема 8. Пусть р0(0, Р1© - голоморфные в Е функции с положительными вещественными частями. Тогда классу £ принадлежит функция

/ (z ) =

рэ (0) А (0) о

[ рі (У )у1>0 (0) Є

у ЫиШ0) йи

йу

ро

Доказательство. Рассмотрим уравнение (8) с функцией

1

р (сґ ) =

,0 < ґ < оо,

[ 0 ар ()+11 г

Доказательство. Согласно теореме 5, решение £ = С(т, г) задачи

¿С = с

d т

После замены переменного х = е1 уравнение примет вид

|.-(х - 1)^-«Д с| х=1 = г е Е.

Проинтегрировав его, получим формулу

X = 1 -

однолистно и голоморфно в круге Е при каждом фиксированном т. При а = 0 уравнение (10) примет вид (9), рассмотренный в предыдущем пункте. Пусть а > 0. Произведя в (10) замену переменного х = еат, получим однородное уравнение

ро (

йи

йу,

неявно задающую решение £ = ё(х, z) = c1(x)z + ... . Коэффициент с1(х) находим из уравнения

йх = -[(х-1)р0 (о) + р1 (0)й 1пс1 (х).

Легко увидеть, что

c1 (x ) =

Pi

Po (°)x + Pi (°)-P° (°),

p°

Ветвь обобщенной степенной функции выбираем из условия С1(1) = 1. Поскольку Яе р0(0) > 0, то С1(х) ^ 0 при х ^ да. Из (12) следует

xg (х, г )Р0 (0)= g (х, г ) (0) +

g (x

i -7

Pi

V p°(u)-p°(°)du

Po

dv.

f (z ) =

P°

P°

z

+

z(1-a)P° (o)g

(i-a) Po(U )- Po (0) du

(i-a)V Po(U )-Po (0)du ^

,(i-a)P° (0)-Є Ло u dv

ÈL = -(i-a^-Po^Z) x-(1 -a)^-^, x| dÇ v ’ Z v ’ Z 1

Ç=z

= 1,

проинтегрировав которое, получим формулу

Z du

-(1-a) Po (u )du

x = e

-

Pi

(1-a)i

Po (

du

dv,

неявно задающую решение £ = g(x, г) = —1(х)г +... . Коэффициент с1 (х) находим из уравнения

dx = -(1 -а)[р0 (0)х + р1 (0) d 1п—1 (х).

Он имеет вид

c1 (x ) =

Po

Ветвь обобщенной степенной функции выбираем из условия С!(1) = 1. Поскольку Яе р0(0) > 0, то

С1(х) ^ 0 при х ^ да. Из (13) следует

(1-а) г р0 (и)-р0 (0) du

)1-а)Р0 (0) = г (1-а)р0 (0)е g(x, г) и

г (1-а) V Р0 (и)-Р0 (C)du

+ (1 -а) 1 р1 (V)^: а)р°(()) :е g(x,г) и

+

dv.

,(1-a)Po (°) T

Разделив обе части последнего равенства на

/ ЧР0

х—1 (х) иу у и перейдя к пределу при х ^ да, получим искомую формулу Базилевича.

4. Уравнение, приводящееся к уравнению Бернулли

Теорема 9. Пусть р0(0, Р1© - голоморфные в Е функции с положительными вещественными частями и а, 0 < а < 1, - произвольная постоянная. Тогда классу £ принадлежит функция

Разделив последнее равенство на xcj (x)'

перейдя к пределу при х ^ да, получим требуемое.

Заметим, что из выведенной интегральной формулы можно получить формулу Базилевича, положив а = 0 и p2(z) = p0(z) + p:(z).

§4. ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ В КЛАССЕ S

Уравнение Левнера - Куфарева порождает некоторый подкласс функций класса S, являющихся предельными для решений этого уравнения.

Пусть для f (z) е S найдется такая функция p(Z, т) е P (С, T), что f (z) = lim eTC (t, z), где Z(t, z) -

T^W

решение уравнения Левнера - Куфарева

= z є E .

где ц = 1/((1 - а)р0(0)).

Доказательство. Рассмотрим уравнение (8) с функцией

Р (С, 1) =-----------1-;-,0 < 1 < да,

Р0

После замены переменного у = е1 уравнение примет вид

±I = 1,

dz С С 15

и является относительно у уравнением Бернулли. Заменой х = у - а приведем его к линейному неоднородному уравнению

Множество всех таких функций /(¿) обозначим через 5(С, Т). Оно содержит подкласс 5' функций класса 5, отображающих круг Е на области, полученные из плоскости проведением разреза по обобщенно жордановой кривой, и является плотным подклассом класса 5.

Теорема 10. Пусть / ^) є 5(С, Т). Тогда при достаточно малых є классу 5 принадлежит функция

/ (z, е) = / () +

+ej|*i

- 2 (T) f ' (Z)^ ( Z( ( Z), T)jdт + 0 (z, S) ,

где вещественные функции Ю 1 (т), ю 2(т), т е Т, непрерывны за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, |ехю 1(т)|, |ю 2(т)| ограничены на Т, и Z(t, z) - решение уравнения (14).

Доказательство. Согласно следствию 1, решение Z = Z(t, z, е) дифференциального уравнения

d Ç

— = -(i + є* d t

, (t))Zp (çe'*2"*, t), Z

т=0

= z,

голоморфно по г. Это уравнение равносильно системе двух дифференциальных уравнений для двух функций вещественного переменного. Правая часть этого уравнения непрерывно дифференцируема по е, и ее производная, как легко увидеть, ограничена. Следовательно, по теореме о зависимости решений от параметра [15. С. 121] £ = С(т, г, е) непрерывно дифференцируема по е. Запишем разложение £ = С(т, г, е) по степеням е:

<^(т, г, е) = ^(т, г ) + еQ (т, г ) + а(т, г, е),

+

где а(т, г, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри ЕхТ, и а(т, г, е) ограничено внутри ЕхТх(- е0, е0);

Q(0, г) = 0. Разложим по степеням е левую и правую части тождества:

d 1п С(т,г,е) ( + ( )\ )г ( ) 'Ю2(т)е \

------^----- = _(1 + ею1 (т)) Р )С(Т, г, е)е , т^.

d т Получим

dlnZ

dт dт ^

= - (1 + ею 1 (т)) {Р ( ( г ), т) +

+ер (с (т, г), т) ^ (т, г) + /ю2 (т) С (т, г)]} + о (г, е).

Сравнивая теперь коэффициенты при е, приходим к равенству

^ Кт-)Р‘(с(т,г),т) (т,г)-Я (тг),

где Я (т, г) = ю1 (т)р (с(т, г), т) +

+'Ю2 г )р£(с (т, г) т).

Оно показывает, что отношение Q(т, г) / ^(т, г) является решением обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка

dy

d т

+z (т, z ^.pZ ( (т, z ) •T) ) = - R (т, z) • У (0) = °.

Дифференцируя тождество

d

dy d d т d т

ln

Z'z

y = - R (f z )• y (0 ) = 0.

f (z, e) = lim f (z, t, e), f (z) = lim ех^(т, z).

T^W T^W

Перейдя в последнем равенстве к пределу при т ^ да, получим искомую вариационную формулу.

Приведем две вариационные формулы, полученные посредством уравнения Левнера - Куфарева.

Теорема 11. Пусть функция p(Z, т, е) при каждом фиксированном е, е е (- е0, е0), е0 > 0, принадлежит классу P (С, T), непрерывно дифференцируема по е в (- е0, е0) и имеет разложение в окрестности е = 0 вида P(Z, т, е) = p(Z, т) + еТ(С, т) + y(Z, т, е), где y(Z, т, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри Ех Т. Тогда в классе S(C, Т) имеет место вариационная формула

f (z, e) = f (z) -ef'(z) W тгй T (z (t z ),dT+0 (e),

0 Л^ z)

где ^(т, z) - решение уравнения (14).

Доказательство. Пусть ^(т, z, е) - решение задачи

dz

d т

= -CP (•т,є) С|т=0 = z є Е •

—1п С г ) = - р (с (т г), т) по г, получаем формулу

)т)е(г )=- ^|м,

позволяющую записать рассматриваемое уравнение в виде

( Г’ и

z)

Решив его, находим Q(т, z) и, следовательно,

^ ^^(т (т, z)]тhгрR (ґ, z)йґ+а(т, z, е).

о ^

Функция £ = С(т, z, є), £ (т, 0, є) =0, однолистно и конформно отображает круг Е в себя. Легко найти, что

Г т ^

(т,0,е)= е-т 1-е|ю1 (ґ)йґ + о (е).

V о )

Классу 5 принадлежат функция

/ (z, т, е)=%4 = ехС(т, z ) +

м ' с(т,о,е) ^ '

т

+е |еТС (т, z) [  1 (ґ) йґ -

0

- еХ’2

и функции 94

которая равносильна системе двух уравнений для двух функций вещественного переменного. По теореме о зависимости решений от параметра [15. С. 121] £ = С(т, г, е) непрерывно дифференцируемо по е. В круге Е для него имеет место разложение по степеням е вида,

£(т, г, е) = £(т, у) + еQ(т, г') + а(т, г, е), где а(т, г, е) ограничено внутри ЕхТх(- е0, е0), и а(т, г, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри ЕхТ. Раскладывая левую и правую части тождества

ст

по степеням е и сравнивая коэффициенты при е, получим

(т г)+[ р (С (т, г), т)+С (т, г) р’с, ( (т, г), т) (? (т] )= ^(т г )т ((т г ),т).

Пользуясь тождеством

Ст (т, г) = -С (т г) р (С (т г), т),

находим, что

- [ р ((т,г),т)+С(т,г) р^ ((т,г),т)] = ^1п ^г).

Видим, что Q(т, г) является решением линейного неоднородного уравнения

л=d 1п г) у^(т г )т с г), т), у (0)=0.

Решив это уравнение, находим Q(т, х), и, следовательно,

г, е)=сг )--ест(т, г) 1 -^^т ((, г), 1 )Л+а (т, z, е).

Классу £ принадлежат функции ех^(т, г, е) при любом фиксированном т и 7(г,е)= Ишех^(т,г,е). Та-

ким образом, умножив обе части последнего равенства на е1 и перейдя к пределу при т ^ да, получим искомую вариационную формулу.

Теорема 12. Пусть функция р(С, т, е) при каждом фиксированном е, е е (- е0, е0), е0 > 0, принадлежит классу Р (С, т), непрерывно дифференцируема по е в (- е0, е0) и имеет разложение в окрестности е = 0 вида Р(С, т, е) = Р(С, т) + ет(С, т) + у(С, т, е), где у(^, т, е)/е ^ 0 при е ^ 0 равномерно внутри ЕхТ. Тогда в классе £(С, Т) имеет место вариационная формула

7 (z, е) = 7 (г) +

+sf (z )j

'ZT(f, z ) V

0 VZ(f,z) где Z(т, z) - решение уравнения

dz = z

d т

T ((f, z), f)d t + o (z, є), ия

Z |t=0 = z є E.

= 1,

z, ^^(т z) +

+є Z(f,z djl

T (Z (t, z ), t )t + a (t, z, є).

p

Доказательство. Поскольку наряду с функцией p(Z, т) классу P (С, T) принадлежит и функция 1/p(Z, т), для любой f (z) е S(C, Т) найдется такая функция p(Z, т) е P (С, T), что f (z)= lim ех^(т, z),

где ^(т, г) - решение уравнения (15).

Пусть ^(т, г, е) является решением задачи

? = _~ё~),С|т=0 = г е Е.

d т р

и имеет в Е, как и при доказательстве предыдущей теоремы, разложение по степеням е вида

£(т, г, е) = £(т, г') + еQ(т, г') + а(т, г, е). Раскладывая левую и правую части тождества

р

по степеням е и сравнивая коэффициенты при е, получим равенство

р ((т г ) т)QT(т, г) +

+[1+Ст (т г) Рс ( (т, г), т)] <2 (т, г) =

= -Ст (т, г )т ((т г ),т).

Пользуясь тождеством

р (с (т, г), т) ст (т г)=-С (т, г),

находим, что

[1+ст (т, г ^((т г), т)] =

(р ((т,г), т)ст(т,г ))т'

0 VZ(t,z d

Классу S принадлежит функция е^(т, z, є) при любом фиксированном т и f(z,є)= limeTZ(f,z,є). Та-

t^w

ким образом, умножив обе части последнего равенства на е1 и перейдя к пределу при т ^ , получим искомую вариационную формулу.

§5. ОБЪЕДИНЕННЫЕ МЕТОДЫ

Метод внутренних вариаций при решении экстремальных задач приводит к некоторым дифференциально-функциональным уравнениям для экстремальных функций. Качественный анализ уравнений показывает, что часто эти функции отображают единичный круг на плоскость, разрезанную по кусочноаналитической кривой. Для таких функций f (z) всегда найдется p(Z, т) є P (C, T), такая, что

f (z )= lim eTZ(f, z),

T^W

где ZCr, z) - решение уравнения Левнера - Куфарева. Это привело к мысли комбинировать вариационный и параметрический методы. Разные способы объединения методов были предложены Н.А. Лебедевым [10] и П.П. Куфаревым [11]. Теорема 13 представляет содержание метода Н.А. Лебедева, а теорема 14 -П.П. Куфарева. Теорема 15, предложенная М. Шиф-фером [12] для такого же типа функций, приведена в новой редакции в терминах параметрического метода.

Теорема 13. Пусть f (z) є S(C, T). Тогда при достаточно малых є классу S принадлежит функция

f (z є) = f (z) +

f (z d

+єf

k=1 I

f (z)-f (zkd

Ak

-Yl (z(т, z), Z(f zk ))-

— (

- a^l

z(т, z),

Z(f, zkd

> + o (z, є),

где гк , к = 1, 2, ., т, т е М, - различные точки из Е,

Ак - произвольные комплексные постоянные, £(т, г~) -решение уравнения (14),

Н (г )= -/-P-)), I (г, а ) = Н (г )-^а- +1.

f

z - a

Видим, что Q(т, ¿) является решением линейного неоднородного уравнения

dy ст(т, г) ст(т, г)2 / / ч Ч / ч

¿т=тЫ у+%-т т ((” ),т) у(0 )=°.

Решив это уравнение, находим Q(т, г), и, следовательно,

Доказательство. Рассмотрим функцию w=f0(QєS. Фиксируем в круге Е точки ^ = С(т, zk), k = 1,2,.т. В силу однолистности решения уравнения Левнера -Куфарева, все они различны. Согласно теореме 2, классу 5 принадлежит функция

/(Се) = /о (С) + е/о (£) = {АН2 (Сk-

Ak

Ak

-fL (Z, Z k )-fL

Z, Z Zk у

+o (Z,є).

Сделав здесь замену £ = С(т, г) и /(г) = />(С(т, г)), получим искомую вариационную формулу.

Функция w*(w, т) = Т*(^У, т), т), с одной стороны, отображает область Вт на Вт*, с другой - В0 на об-

Пусть /(г) = г + с2г +... е & отображает круг Е на ласть В0*, близкую к В0. Разложение м*(м, т) по сте-область В0 = С\Ь, где Ь - кусочно-гладкая кривая, с пеням е имеет вид

параметрическим уравнением V = ф (ґ), 0 < ґ < да.

Функция ф(ґ) такова, что область Вт, полученная из плоскости проведением разреза V = ф (ґ), т < ґ < да, односвязна. Будем считать параметризацию семейства областей Вт стандартной, то есть функция V = Т(., т), Т(., 0) = /(.), однолистно и конформно отображающая Е на Вт, нормирована разложением

Т (., т) = в1 (. + с2(х) г 2 +...).

Обратную к Т(., т) функцию обозначим через Е(м>, т). Очевидно, Е(0, т) = 0, _Р(0, т) = е-т.

Теорема 14. В классе £ имеет место вариационная формула

/(.є) = /(.) + є]Г |АкН2 ,т) / ,{_//. ) -

к=1 I /

1

> + о (z, є),

где zk , k = 1, 2, ..., m, m є N, - различные точки из E, Ak - произвольные комплексные постоянные, z^z

H(z,т) _-

T

q f

т)_ 1F

} 2 FWf (z), т) a - F (f (z), т) 2 '

Доказательство. Согласно теореме 2, отображение круга Е на некоторую близкую к Вт область Вт* имеет вид

Т * (г, т) = Т(г, т) +

^1" ?, ч Т2

+е£] 4Я (, т)—--------——------- +

к=1 I Т

+AkK (^ zk, т)+ AkK

1

\

+ о (z, є),

где

К (z, a, т)_1

zx¥'z

'* (w, т)_ w + є^і Ak

k _1

Ak

F

F

KZw т) zk - F

w

w - wk

- w

Ak

F

K

> + о (є).

Заменив в этой формуле w на f (z), получим искомую формулу.

Теорема 15. В классе S имеет место вариационная формула

f * (Z) = f (Z)+ ^ [2e'& - C2 (T)] f 2 (Z) +

+e~2x [зе2г6 - 4e!% (t) + 2c22 (t) - C3 (т)] f (z) +

+ o (z, e~2T),

где 0 < 9 < 2n, lim je2xo (e~2x )] = 0 , и ск(т), к = 2, 3,

- коэффициенты тейлоровского разложения производящей для f (z) функции T(z, т).

Доказательство. Пусть

Ф (z, т т”) = F (Т (z, т'), т”), т' < т”.

Запишем функцию

e^

g (z )_

|^1 - еівФ(, 0, т)]

Она голоморфна и однолистна в Е как композиция голоморфных и однолистных функций. Легко увидеть, что £(0) = 0, £'(0) = 1. Таким образом, £(г) е & Вычисления показывают, что

Ф(г,0,т) = ^ [/(г)-е-тС2 (т)/2 (г) + +е~2т(2с22 ()-сз (т3)/3 (г) +... .

Подставляя это выражение в разложение функции £(г) по степеням Ф(г, 0, т), получим искомую вариационную формулу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

3. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960. 182 с.

4. Бабенко К.И. К теории экстремальных задач для однолистных функций класса S // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1972. Т.101. С. 1—318.

5. Pommerenke Ch. Univalent Functions. Gottingen, 1975.

6. Александров И.А. Метолы геометрической теории аналитических функций. Томск: ТГУ, 2001. 220 с.

7. Pommerenke Ch. On a variational method for univalent functions // Michigan Math. J. 1970. V. 17. P. 1-3.

8. Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Матем. сб. 1964. Т. 100. С. 628-630.

9. Лебедев Н.А. Метод вариаций в конформном отображении // ДАН СССР. 1951. Т. 76. № 1. С. 25-27.

10. Куфарев П.П. Об одном методе исследования экстремальных задач теории однолистных функций // ДАН СССР. 1956. Т. 107. № 5. С. 633-635.

11. SchifferM. On the coefficient problem for schlicht functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V.134. No. 1. P. 95-101.

12. SchifferM. Variation of the Green function and theory of the p-valued functions // Amer. Journ. Math. 1943. V. 65. P. 341-360.

13. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. С. 203-236.

14. Александров И.А. Вариация звездообразных функций // Вопросы математики. Тр. Том. ун-та. 1961. Т. 155. С. 61-71.

15. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. 280 с.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 15 октября 2003 г.