Исследование тонких сдвигов уровней энергии в водородоподобных атомах с точностью до a^6 ln (1/a) методом квазипотенциала

Заключение

Создание объединенной СВЧ-системы и магнитной системы на основе постоянных магнитов позволит уменьшить вес, размеры и стоимость трехсантиметрового микротрона. Моноблок магнетрон-ускоряющий резонатор предполагается создать на основе магнетрона МИ-505. Это позволит уменьшить объем излучающего блока трехсантиметрового диапазона микротрона с энергией 5 МэВ более чем в три раза. Например, у микротрона [16] размеры излучающего блока уменьшатся с 845x420x552 до 420x420x320 мм3. При этом повысятся электрическая прочность и надежность СВЧ-системы, упростится управление ускорителем и его обслуживание.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-02-01288

Список литературы

1. Векслер В.И. Новый метод ускорения релятивистских частиц // Докл. АН СССР. 1944. Т.43. С.346.

2. Капица С.П., Мелехин В.Н. Микротрон. М.: Наука, 1969. 210 с.

3. Мелехин В.Н. Эффективные режимы микротрона // Электроника больших мощностей. М.: Наука, 1968. №5. С.228-237.

4. Родионов Ф.В., Степанчук В.П. Об одном режиме ускорения в микротроне // ЖТФ. 1971. Т.41, №5. С.999-1001.

5. Алексеев И.В., Балаев А.Ю., Горбачев В.П., Степанчук В.П. Развитие микротронного направления в Саратовском университете // Проблемы современной физики / ОИЯИ. Дубна, 2000. С.22-31.

6. Shvedunov V.I., Barday R.A., Gorbachev V.P. et al. A RaceTrack Microtron with High Brightness Beams // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 2004. Vol.531, №3. P.346-366.

7. Shvedunov V.I., Ermakov A.N., Gribov I.V. et al. A 70 MeV Race-Track Microtron // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 2005. Vol.550, №1-2. P.39-53.

8. Косаpев Е.Л. Процессы установления и предельный ток в микротроне // ЖТФ. 1972. Т.ХЬП, вып.10. С.2239-2246.

9. Заворошило В.Н., Милованов О.С. Модель магнетронно-го генератора для расчета переходных процессов // Ускорители. М.: Атомиздат, 1977. №16. С.34-37.

10. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. СВЧ-сис-тема малогабаритного микротрона // The Thirteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization: Program and Abstracts. Saint-Petersburg, 2006. P.28.

11. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. Совмещенная СВЧ система микротрона // The Fourteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization. Saint-Petersburg, 2007. P.13.

12. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. Переходные процессы в моноблоке магнетрон ускоряющий резонатор микротрона // Вестн. СПбГУ. Сер.10. 2008. №3.

13. Billen I.H., Young L.M. POISSON SUPERFISH Documentation, LA-UR-96-1834. Los-Alamos, 1996.

14. Максимов Р.В., Сшепанчук В.П., Шведунов В.И. Магнит малогабаритного микротрона // The Thirteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization: Program and Abstracts. Saint-Petersburg, 2006. P.41.

15. Максимов Р.В., Мушасов Д.В., Сшепанчук В.П. Магнитная система моноблока магнетрон-ускоряющий резонатор микротрона // The Fourteenth Intern. Workshop Beam Dynamics & Optimization: Program and Abstracts. Saint-Petersburg, 2007. P.32.

16. Бондусь А.А., Горбачев В.П., Сшепанчук В.П. Малогабаритный микротрон трехсантиметрового диапазона для дефектоскопии // Сб. докл. 11-го Междунар. совещ. по применению ускорителей заряженных частиц в промышленности и медицине. СПб., 2005. С.19-22.

УДК 621.382.029.6

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОНКИХ СДВИГОВ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ В ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМАХ С ТОЧНОСТЬЮ ДО а61п а-1 МЕТОДОМ КВАЗИПОТЕНЦИАЛА

Н.А. Бойкова, О.А. Бойкова, Ю.Н. Тюхтяев

Саратовский государственный университет E-mail: na_boykova@mail.ru

Показано, что хотя количество логарифмических вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии в квазипотенциальном подходе возрастает, суммарная поправка a6lna- оказывается равной нулю. Рассчитана часть вкладов высшего порядка по а. Ключевые слова: связанное состояние, тонкий сдвиг, уровень энергии, водородоподобный атом, кулоновское взаимодействие, квазипотенциальный подход, логарифмический вклад, техника Фелла.

The Investigation of the Fine Shift to the Energy Levels in the Hydrogen-Like Atoms with Accuracy a6 In a-1 by Quasipotential Method

N.A. Boikova, O.A. Boikova, Yu.N. Tyukhtyaev

In the quasipotential approach the quantity of Logarifmic corrections to the fine shift increased but the sum result of a6lna_1 is equal zero. The past of high order to ^ corrections is calculated. Key words: bound state, fine shift, energy level, hydrogen-like atom, Coulomb interaction, quasipotential approach, logarithmic contribution, Fell technics.

Эффективным методом исследования спектров водородоподобных атомов является квазипотенциальный подход, позволяющий последовательно и полно получить тонкую структуру и величины тонких сдвигов с точностью до четвертого и пятого порядка по а Основное уравнение квазипотенциального подхода имеет вид

Г-Ч Е)Че

где Е - собственное значение полной энергии, (р) - описывающая систему волновая функция, Г = О0 (р, 4, Е), О0 - функция

Грина двух невзаимодействующих фермио-нов, верхняя черта означает интегрирование по относительным энергиям. Квазипотенциал У (р, 4, Е) выражается через амплитуду рассеяния Т:

У = Т+ (1 + ГТ+)-1 ,

операция (...) += и*и *у10у20 (...) щи 2 означает проектирование на состояния с положительными энергиями с помощью дираковских биспиноров щ (г = 1,2),

(1 ^ ui = ор

{ М J

Мр = е + т, N. =,

М

£р =

4-

2 2 т] + р2

Сдвиги уровней энергии определяются при решении квазипотенциального уравнения (1) по теории возмущений. С точностью до второго порядка поправка к кулоновским уровням энергии равна

а ес = (ф суш + А У1 у + А У 2 7 +

+ А У^+ Уш)

е„ - Е.

-(А У1у + Уш

)\ ф Л,

где фс - кулоновская волновая функция, АУ1у = У1у - Ус , ус - кулоновский потенциал,

У и у - квазипотенциалы одно- и двух-

1у 2 у

фотонного обменов соответственно,

4 ( 1 л \

Уш = (-2р)3 53(р - 4) р.

1

1

тМ

1 р

т2М 2р ,

При исследовании тонкого сдвига в во-дородоподобном атоме, где основным взаимодействием является кулоновское, удобно использовать кулоновскую калибровку фотонного пропагатора.

АУ1у = (Кс)+- Ус + (Кт)+, (4) где ядра (Кс) + и (Кт) + описывают обмен одним кулоновским и одним поперечным фотонами соответственно. Ограничиваясь обменами двумя кулоновским и поперечным фотонами, для величины тонкого сдвига получаем

ае = фс |( Кт) + + (КсО0 Кт) +- УГ (Кт)+ +

+

+ УшГ (Кт)++ (Кт)+ гуи| ф^.

Ядро Кст соответствует перекрестному обмену кулоновским и поперечным фотонами.

При исследовании кулоновского взаимодействия [1-3] было выяснено, что использование 5-приближения кулоновских волновых функций

фс

устраняет зависимость от внешних импульсов и позволяет определить только поправки порядков а и а5. В 5-приближении не учитываются зависимости квазипотенциала от внешних импульсов [4], что приводит к появлению расходимостей. Поэтому возникает необходимость введения параметра обрезания и в суммарном выражении расходимости устраняются. Повышение точности теоретических расчетов требует учета зависимости квазипотенциала от импульсов р , д и энергии е.

У = У

Анализ полученных выражений показывает, что соответствующие квазипотенциальные выражения не содержат расходимостей ни в ультрафиолетовой, ни в инфракрасной областях.

Проблема логарифмических вкладов в шестом порядке по а исследовалась многократно с применением различных методов и подходов. Значительный успех в этом направлении связан с работами Фелла и группы

+

2

Хрипловича. Техника вычислений, которую предложил Фелл, оказалась наиболее проста и продуктивна. В таблице работы [5] приведены результаты вычислений логарифмических вкладов шестого порядка по а в тонкий сдвиг уровней энергии позитрония. Если исключить из одного из рассматриваемых в таблице интегралов вклады шестого по а порядка, то получим

ёр л ёд 1

Выполняя интегрирование по угловым пере-

а6ц3

менным и выделяя члены порядка ——, по-

лучим

= х

п т2 0(р + а2ц2)2

I 2 ёд 1 Г + (р2 + д2) ^ |р - д\ Л (д2 + а2м2)2 м 2рд р + д

о (д2 + а2м2)2 м

(р2 + а2ц2) (д2 + а2ц2) (р - д)2 = 4я41п а-1.

Этот интеграл, который можно назвать интегралом Фелла, расходится, как впрочем и все остальные в таблице, но его вклад берется в особом «логарифмическом» промежутке. Имеем точный результат:

I

ёд

1

Логарифмический вклад обеспечивает интеграл вида

/]п .

0(р2 + а м2)0(д +а2м2)е2ц р + д

Для его выделения в выражении (13) требуется наличие при 1п ——^ фактора (р2д2).

р + д

Дополнительную степень д2 можно получить

(д2 + а2ц2)(р - д)2

2я р _

=-arctg— (9) с помощью преобразования

р ам

2 и р-аг^ам |.

Таким образом, интеграл Фелла приводится к виду

] = 8р3 {_р^Р

F 0 (р2 + а2 ^) V 2 р

Логарифмическую поправку дает его расхо дящаяся часть в пределах ца2 < р < ц . По этому с логарифмической точностью имеем ёр ? ёд 1 _

1

1

м1д 2тх

1

м д

V 1д У

^ —

8т1е12,

Тогда, полагая NpNq = 1, получим следующее аналитическое выражение для логарифмической поправки

АБТ (а61п а) = -

2р2 ёр ,, х

4а бц5 п2т1т2 0 (р2 +а2ц2)2

=1 (р+«V .V+«У)( р - д )=

Ж

X

д2 ёд рд ]п |р - д

м

р ёр

}/ 2 . 2 2ч

ма2

= 2я41^-м7 = 4я41п а-1. ца

0(д2 + а2ц2)2 е^ р + д

Вычисления приводят к результату

= у ]и = .

п т1т2 т1т2 2

а 6ц3 , а-1

Решение задачи о логарифмических по а вкладах метод квазипотенциала позволяет сделать наиболее полно [6]. Проанализируем вначале выражение для тонкого сдвига уровней энергии атома от обмена одним поперечным фотоном:

АБТ = (ф*с(р)|( кт(р,д))+|фс(д}) =

Однако полученный логарифмический вклад не является полным. Дополнительные степе-

2 2

ни р и д выделяются также из нормировочных множителей. Учитывая, что

NpNq =1 -

д

2е, РМ , р

4а бц5

I-

Npё3 р

п4 }(р2 + а 2ц2 )2

х

Nqё д [рд]

—п2 (

(д2 +а2м2 )2 (р - д)4

1 1

+—

м

V

V м1 р

1д У

11

+

2 2 р д

V м 2 р

м

4е, р ецм, Рм д (1 + Np )(1 + Nq )' NN

2д У

2 2 _ _р___,

8^р 8е^

т,т

1""2

2

2

2

х

получаем аналогичный (16) логарифмический вклад

АЕ 2 = 2 а т 1П а

6..3 -1

1п-

т1т2 2

Итак, суммарный результат от однофотонно-го взаимодействия оказывается следующим:

АЕТ (а6 1П а) = АЕ1Т (МрМд = 1) + а 6 и3

+ АЕТ (Ф1) = 4—!— 1п а-1.

Анализ однофотонного взаимодействия базируется на логарифмическом интеграле (14), который является аналогом интервала Фелла и приводится к нему с помощью преобразования

1

й3 р

8р2;

-х

х

й Зд

1

" 2 2 2 и последующей замены д2 + т12  т12, устраняющей вклады порядка а6. Поэтому с точностью до членов а6 1п а

1

11п =

1

8р2 т2 "'

Хотя интеграл Фелла в отличие от 11п не являются сходящимся, но содержит только искомую логарифмическую поправку без дополнительных членов а6. Поэтому при расчетах с логарифмической точностью его использование более целесообразно. Однако при повышении точности расчетов до а интеграла 1Р оказывается недостаточно.

В работах других авторов [7-9] всюду полагается N Мд= 1. Часть вклада (18) АЕ\ (Ыр Мд = 1) компенсируется в сумме с поправкой от обмена двумя поперечными фотонами. Другая же часть в технике Фелла и Хри-пловича уничтожиться не может, так что корректность квазипотенциального подхода к исследованию величины тонкого сдвига уровней энергии зависит от разработки специфической теории возмущений, учитывающей отличие нормировочного множителя дираковского биспонора от единицы. Такая

теория возмущения показывает, что зависимость итерационных членов в выражении (5) от величины нормировочного множителя дираковского биспинора различна

АЕ3 = ф |( Кт)+ *Ч| Фс) = - ^ 1п а-1

т1т2

при МрМд Ф 1,

6и3

АЕ4 = ф |(Кт)+ ЕУШ\фс) = -1п а-1

при ЫрЫд = 1 .

Отсюда следует, что часть вклада (18) при №рЫд Ф1 компенсируется в сумме с величиной (21). Однако существует симметричный итерационный член

2а 6и3

АЕ5 =-(фс|ус* (Кт)+|фс) = - 1п а-1

тт.

при МрЫд Ф 1.

Для анализа этой поправки, возникающей из-за отличия нормировочного множителя от единицы, необходимо рассмотреть двухфотонные обмены в выражении (5).

Опуская члены, не имеющие непосредственного отношения к рассматриваемой проблеме, для величины сдвига от параллельного обмена кулоновским и поперечным фотонами имеем:

- 7и5 Ырйр Ыдйд

АЕ,Г = -а6и

п0т2: (р2 +а2ц2) (д2 +а2ц2)2

г йк М1

х• (к -р)2(к -д)2(к2 +а2и2)"^к х [ /Д) + У2 (р, к) + Ш, к)],

х

где

к2 '

у1(к >=Т

3+М-к

М

1д

х

к2 Г 2т2 М 1к + у

М

1к

+ -

2т М

1д/У 2к

(к - д )2 2т ^

х

У2( P, к ) = рк

V М! рМ к

1д У У

(к2 - д2)2 (к - д)2

х

х

М

- + -

V 2т22

2

к

1

_ 2 ( т, к)=^

1 + 3 ^

м,

+1

V ~ _1д / (

1 +

м

1к

м

(к - Я )2 +

2

М 1к +

ч2т2 М 1д }

V

V

1

„.2/1 2 „2 \2 Я

(

V 2т2

+

2т2 М.

V 2 1д /

2

Поправка от блока / (к) представляется выражением

а* (Л'=- ^ I Т-^Ж *

п т2

I {„2 , П12,,2\2 I {К

(к

-х

!

х-

м„

6,

3 +

м„

м

1Я

(к2 - д 2 )2

кд

М 1к +

2М,

Последний член, пропорциональный (к2 - д2)2к.2 , не приводится к интегралу

(к - д )4

Фелла, так как интегрирование по угловым переменным обеспечивает результат

г (к2 - д2)2(Ю.

(к - д )4

@ 4р,

и множитель (к +аЦ2) , необходимый для ] F, исчезает. В оставшемся выражении требуется выделить степень д2 для погашения фактора (д2 +а2Ц2), что достигается преобразованием

М,

о М к

3 + ——

м,.

= 8 -

2д2

Тогда получаем

А*!. = -0^- I

м:

(3 р

8-

д

сТ 2п6т2* (р2 + а2т2 )2

2т,

х

х

I;

й Зд

й Зк

д)21

х

х

мм („, 2 к2д2^

2т1

(к - д)2

8к

-4 N

Выражение, пропорциональное к2д2/(к - д)2, обеспечивает логарифмический вклад при

М рМ д = 1-

« II 3

А*1т (МрМ, = 1) = —^ 1п а-1.

В остальных членах для выделения вклада а6 1п а-1 требуется учесть нормировочные множители более детально.

Мр = 1--^-

р 261 р (1 + Мр )М 1

-1 р^ 1 м р 8т1 Поэтому произведение нормировочных множителей М р Мд с учетом симметрии подынтегрального выражения по р ид обеспечивает требуемый для интеграла Фелла фактор:

МрМд = 1 - 2

4т;2

Итак, детальный учет факторов М и

Мд обеспечивает весьма существенную логарифмическую поправку, которая оказывается в три раза больше предыдущей.

.6.. 3

А*Т (МрМд Ф 1) = 31п

а

В отличие от / функция /2 в выражении (24) содержит зависимость от внешнего импульса р .

2 =- «У Г Мр(Р Г МЯ(д *

сТ п6 т21

с йк

* Гг ^2,Г ^

м

/ р, к).

(к - рГ(к - д) (к ) 61^

Преобразуя матричную структуру /2 ,

выделяем члены, пропорциональные д2( рк),

которые обеспечивают вклады порядка а7 . В оставшемся выражении выполняя интегрирование по д , получаем фактор 1/а.

2а 6ц4

А* =-

I М'й 2 р22 *

п4т2 -1 (р2 +а2м2)2

*

1тН

(рк)й Зк

1

(р - к )2(к2 +а 2м2 )м 1км

*

1 р

*

к2

-1

т1т2

2

2

2

2

2

к

т1т2

е

Заметим, что а|1 =

а тт „

-@ а р т2,

т1 + т2

где Ь = т1 / т2. Следовательно, подынтегральное выражение зависит от двух малых параметров а и р. Выполняя замены р = т1р , д = т1д, к' = т1к, исключим зависимость от параметра р и далее исследуем

, а

зависимость от параметра а =

1+ Р

де2ст =

К'й3 р

4п4 т2 т, (р2 +а'2)2

X

х

(рк)(3к

(р - к )2(к2 + а'2)2 ИМр'

М'

где Ик =ек +1, ек = л/кТ7~1, М'р ^^•

Рассмотрим «базовый» интеграл выражения ДЕс2Т :

т = аЧ (3 р г

3 рк а } , 2 . /2ч2 J

( Зк

.

(р2 +а'2) (к2 + а'2)2 (р - к )2

С учетом симметрии его можно представить в виде

(3 р

1_х

' /2x2

2 + а 2)2

(Зк Г р2 1 ^

3рк = а81

х

I;

2

Несмотря на высокую степень коэффициента, 3 рк приводит к вкладу порядка а6,

Трк =-а6-

= а8I

(3 р

(Зк

х

х

1

(р - к)2

( 4 2, 2

р + р к

V И

м:

м:

Последний член, не содержащий кулонов-ского фактора (р - к )2, приводит в вкладу

порядка а7. Первый член вследствие наличия множителя р 4 устраняет фактор

(р2 + а'2)-2 и также обеспечивает вклад

порядка а7 без логарифма а . Наличие фак-

2,2 8 тора р к повышает порядок вклада до а ,

но, согласно интегралу Фелла, обеспечивает

логарифмическую зависимость по а. Итак,

выражение ДЕ2сТ не дает логарифмических

поправок порядка а6. Его наибольший вклад составляет

1 а У

ДЕТ =

16 т1т2

В блоке ДЕс3Т, содержащем функцию

/3, после выделения в матричном выраже-

6 2 нии членов порядка а , содержащих д и

к2, получим

ДЕ =_а6|4 , ^

I:

сТ т 4 J , 2 . ^,2,,2ч2

2п т2

х

г М 1к( Зк

х

(р - к)2(к2 +а2|2)2е1

-х

х

1 + 3 М 1к

М

-2

22 к д

1д

М 1д

Учет фактора

М'кМ'р

выражении эквивалентен введению в инте-

грал дополнительного множителя типа

В последнем члене, пропорциональном в подынтегральном к2д2, имеются все необходимые элементы

для выделения логарифмического интеграла Фелла. В первом же члене требуется выделить дополнительную степень к2, что достигается преобразованием

р

М'

т' 8 Г

3рк = а I

(3 р

(Зк

-х

х

1

V

(р - к)2 2

р к2

V м'р2 М'2

1 + 3 Мк-

м,

м,

= 8 +

6к2

4к2

—

к2

ММ. е„,М„

1 1д "-1^-* 1к

2т1

Учет нормировочного множителя Nне

изменяет логарифмической поправки ДЕ

сТ

2

2

2

д

1

е

2

3

6.4

AEl =-

a m

-!

q 2d 3q

x

Itts-

2n m2m{ J (q +am J

k 2 d 'к ~ б"3

x

(p - k )2(k2 +a 2m2)2

о a m i -2—— ln a 1.

т2 т1

Тогда логарифмический вклад выражения (24) оказывается следующим:

?2 , А 173 =

= АЕст (^ = 1) + АЕст (МрМд Ф1),

AEcT = DE]T +DE2cT +AE3t

где

— 6N3

DEcT (NpNq = 1) = 3ln a-1,

6. 3

DEcT (NpNq Ф 1) = 3—ln a-1.

Итак, учитывая выражения (18), (21)-(23), (39), для суммарного логарифмического вклада в величину тонкого сдвига от обмена кулоновским и поперечным фотонами получаем результат

DE = 2

—У

ln a 1,

который компенсируется учетом вклада от обмена двумя поперечными фотонами [10].

Следовательно, возникающая в однофо-тонном обмене дополнительная поправка, связанная с учетом отличия нормировочных множителей от единицы, уничтожается в сумме диаграмм, следующих из квазипотенциальной теории возмущений. Таким образом, в наших работах продемонстрирована возможность квазипотенциального метода рассчитать поправки к тонкому сдвигу в высших порядках по а.

Список литературы

1. Boikova N.A., Boikova O.A., Kleshchevskaya S.V., Tyukh-tyaev Yu.N. On the possibility of precise calculations of the contribution to the fine energy shifts of hydrogen-like atoms due to the motion of the nucleus // Laser Physics and Photonics, Spectroscopy and Molecular Modeling VII, SPIE 2007. Vol.6537. P.6537-19-1-6537-19-8.

2. Бойкова Н.А., Бойкова О.А., Клещевская С.В., Тюхтя-ев Ю.Н. К вопросу о новых вкладах в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов с точностью до шестого порядка по константе тонкой структуры // Теоретическая физика. 2007. Т.8. C.124-130.

3. Бойкова Н.А., Бойкова О.А., Клещевская С.В., Тюхтя-ев Ю.Н. Исследование поправок к известному значению тонкого сдвига в высших порядках теории возмущений // Проблемы оптической физики: Материалы 11-й Между-нар. молодежной науч. школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов, 2008. C.145-151.

4. Нюнько Н.Е., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Влияние движения ядра на тонкую структуру водорода / Сообщение ОИЯИ Р2-7493. Дубна, 1973. 16 с.

5. Fell R.N. Single transverse photon correction to the 2S energy levels of positronium / Preprint BUW 01742. Massachusetts, 1992. 40 p.

6. Клещевская С.В., Тюхтяев Ю.Н., Фаустов Р.Н. Техника Фелла и возможности ее обобщения при расчетах тонких сдвигов методом квазипотенциала // Тез. докл. Всерос. совещ. по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам / Государственный научный центр РФ. Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им. Д.И. Менделеева. СПб., 2008. 30 с.

7. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Corrections of (a6 ln a) in two-body QED problem // Phys. Lett. B. 1992. Vol.282. P.237-242.

8. Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. Logarifmic corrections in the two-body QED problem // Physica Scripta. 1993. Vol.146. P.252-260.

9. Fell R.N., Khriplovich I.B., Milstein A.I., Yelkhovsky A.S. On the recoil corrections in hydrogen // Phys. Lett. A. 1993. Vol.181. P.172-174.

10. Бойкова Н.А., Бойкова О.А., Клещевская С.В., Тюхтя-ев Ю.Н. Исследование аномально больших логарифмических вкладов при решении задачи об отдаче ядра квазипотенциальным методом // Проблемы оптической физики и биофотоники: Материалы 12-й Междунар. молодежной науч. школы по оптике, лазерной физике и биофизике. Саратов, 2009. C.118-124.

m1m2