Теоретическое исследование пространственного распределения термических остаточных напряжений в телах призматической формы

УДК 621.91

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМИЧЕСКИХ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТЕЛАХ ПРИЗМАТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

© С.И. Ботвенко1, И.А. Огнёв2

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Представлены результаты теоретических исследований объемного распределения остаточных напряжений в брусе квадратного поперечного сечения и пластине после закалки. В качестве исходной эпюры принято распределение остаточных напряжений по параболической зависимости. Установлено положение нулевой плоскости для рассматриваемых призматических тел, относительно которой выполняется условие статического равновесия остаточных напряжений. Ил. 4. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: остаточные напряжения; заготовка; система координат; термическая обработка; пластина.

THEORETICAL STUDY OF THREE-DIMENSIONAL DISTRIBUTION OF THERMAL RESIDUAL STRESSES IN PRISMATIC BODIES S.I. Botvenko, I.A. Ognev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St. Irkutsk, Russia, 664074.

The paper presents the results of theoretical studies of volumetric distribution of residual stresses in the cross-section of a square bar and in a plate after hardening. The distribution of residual stresses according to parabolic dependence is accepted as an initial diagram. The position of the zero plane is identified for the prismatic bodies under consideration, relative to which a condition of static equilibrium of residual stresses is met. 4 figures. 6 sources.

Key words: residual stresses; workpiece; coordinate system; thermal treatment; plate.

Теоретические решения одноосного и плоского остаточно напряженного и деформированного состояния известны и достаточно хорошо изучены [1, 2]. Несколько иное положение складывается относительно теоретических исследований пространственного распределения остаточных напряжений.

1. Пространственное распределение остаточных напряжений в брусе квадратного поперечного сечения. Известно [3, 4], что пространственное распределение термических (закалочных) остаточных напряжений в цилиндре описывается параболоидом вращения. Уравнение исходной (образующей) параболы в системе координат, принятой на рис. 1, имеет вид

7°

zy

7 (АУ2

Пу D

6 6 2 6

— У н—- x--x +

D D 2 D

1).

После упрощений

D

(7° н 27 ) = (y-D)2 + (x- D)2. 67 v zy nJ ^ 27 v 2

П

Введем в уравнение (1.2) выражения обобщенных координат, что значительно упрощает дальнейшую рабо-

ту:

D

67

* *2 *2 -z = У + x ,

П

1 Ботвенко Сергей Иванович, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации машиностроения, тел.: 89025610151, e-mail: bsll110@yandex.ru

Botvenko Sergei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automation of Mechanical Engineering, tel.: 89025610151, e-mail: bsll110@yandex.ru

2Огнёв Игорь Анатольевич, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики, тел.: 89149426951, e-mail: ognev@istu.edu

Ognev Igor, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, tel.: 89149426951, e-mail: ognev@istu.edu

где

г* =&0у +

У * = у-

П

В 2

В

х* = х--.

2

Отсечем от цилиндра четыре равных сегмента таким образом, чтобы в поперечном сечении получился квадрат (рис. 1). Учитывая начальную симметрию квадрата относительно осей, в дальнейших исследованиях будем рассматривать только выделенную левую нижнюю четверть.

Для бруса с квадратным поперечным сечением найдем положение нулевой плоскости, отстоящей на расстоянии Н от начала системы координат, относительно которой будет выполняться условие статического равновесия остаточных напряжений. А именно - объем части параболоида в области растягивающих остаточных напряжений Ух будет равен объему части параболоида в области сжимающих остаточных напряжений V, т.е.

V = V ' 1 2

Выразим из уравнения (1.3) уравнение параболоида в обобщенных координатах

* п , *2 * 2 г =—тП (у +х ).

В

2

Приравнивая координату г величине Н

* 1 2 = Н,

Получим уравнение сечения параболоида нулевой плоскостью

Н =

ва

В

П , *2 *2 ч П (У + х ).

Из равенства

*2 *2 2 (у + х ) = Г2,

с учетом уравнения (1.7), величина г может быть найдена как

г =

В2

ва

Л.

Для вычисления объема V проецируем область V на плоскость ХОУ. Геометрически объем

VI

можно

описать системой неравенств

0 < х < г,

0 < у </•2 - х2,

г < г < Н.

Согласно [5, 6] объем V может быть найден с помощью двойного интеграла вида

V Г2 - х

После решения внутреннего интеграла запишем

ва

0 0

В

П (у2 + х2)) ёу.

П

Рис. 1. Схема к расчету остаточных напряжений в брусе квадратного поперечного сечения

Рис. 2. Пространственное распределение термических остаточных напряжений в брусе квадратного поперечного сечения

VI =|(Н л/

в а

Г2 - х2 - — П

В

Чтобы избавиться от иррациональности при решении интеграла (1.12), используем тригонометрическую подстановку:

• . 2 2 2 2 . Г~2 2 х = г81пТ, г - х = г ео8 Т, \г - х = г ео8Т,

ёх = г ео8 ТёТ,

при х = 0 Т = 0; при х = г Т =

ж 2

После подстановки (1.13) в (1.12) получим

0

Ж

2

V = } (К

г соб X - -—-П В2

67п /г3 СОБ3X з • 2. у л

(--V г эт X соб X)) г соб X аХ

Выражение (1.14) разбиваем на два интеграла:

ж

2

Ж

67

V; = V21соб2 хах - 67 г4

соб X

\ (

0 3

+эт2 X соб2 X)dх.

После применения выражений понижения степени имеем

Ж

и 2 2

V = ^ \ (1 + cos2X) dх

67

0

В2

П г4

Ж

2

1 2(1 + 2cos2X +1 +1 соб4X)dX+11(1 -cos4х)d/

После интегрирования (1.16) получим равенство для нахождения V:

У. ж\ 3Ж7п

4

4 В

о

где

г =

В2

67

К

или

V =Ж (Л>-7 г2) г2 1 4 п В2

где

В 2

2 В 7

г =-К

67

П

Окончательно запишем

V =-

Ж В2 ,2

8 67г

К

В свою очередь, для вычисления объема У2 рассмотрим проекцию этой области на плоскость ХОУ. Определяемый объем может быть найден как сумма двух объемов с соответствующими проекциями рассматриваемой области в виде площадей ^ и на плоскости ХОУ:

__ __1 __->

=У2+У2.

Геометрически объем VI описывается системой неравенств:

0 <х<г ; л/г2 - х2 <у <а ; \ < 2 < 2

Аналогично для объема :

П

а а

г <х <- ; 0 <у <- ; Н < г < г* .

Интеграл для вычисления объема V] имеет вид

0 Ц2-*

После вычисления внутреннего интеграла запишем

г 2 ва

VI =|ёх | (-П(у2 + х2) - Н)ёу.

ач з

V21 = 1 (О (^+х2 а) - Н 2

2 14 В2 з Г 2 В2

х2 а) - ка - ваП

л/г2 - х2 2 Г^ 2 + х^ г - х

л

3

+ 2 - х2) ёх, (1

24)

или

г

ваП А2 >1 + х 2 а) - На

В2 У 3 Г ^2

г

ёх (

ва

в 2

П

л/г2 - х2

2 Г~2 2 + х V г - х

-Н^г2 -х2)ёх .

Для упрощения решения введем следующие обозначения. Первый интеграл в выражении (1.25) обозначим ух , второй - \)/2 , то есть

а

г

1

3

3

3

0

0

1

V

¥1 =

г (а)3

_ 1(60п(к2' .-2 а\ - а

! (О (

В" у 3

) - Н~) ёх

+ х — ) - Н —

2 п2

После упрощений выражения (1.26) имеем

а гГГ ваП_ х2 + а аП

¥ = 21( в2

2В

Н) ёх .

Проинтегрируем выражение (1.27):

¥1 =

а

2

После подстановки пределов интегрирования окончательно запишем

-а2 а 2

а

¥=^

В

ваг

м О 2 А)

2В 3

Второй интеграл в выражении (1.25) имеет вид

-ва„/ Л*-

2 2 г - х 2 1,2 2

¥2 = 1 (-г1 (-- + х2л/г2 -х) -Нл1г2 -х2

-1 В

3

л/г2 - х2) -2 - х2) ёх

0

г

0

г

0

Решение интеграла (1.30) значительно упрощается с помощью тригонометрической подстановки:

2 2 2 2 I ? Т

x = r sint, откуда r —x = r cos t, или Vr — x = rcost ,

dx = r cos t dt.

При следующих пределах интегрирования

x = 0, t = 0;

ж

x = r, t = —.

2

В результате подстановки (1.31), (1.32) в уравнение (1.30) с учетом пределов интегрирования (1.33) получим

К67„ /(r cost) 2 . 2 \ , \

——п (-—-—— + r sin tr cos t ) — hr cos t) r cos tdt.

После упрощений выражение (1.34) примет вид

¥2 = r

2G

ж

2

D

67

ж

2

ж

2

п r2 j cos4 tdt +-^ r2 j sin21 cos2 tdt — \ j cos2 tdt

0

D

0

0

Решим отдельно интегралы, стоящие в квадратных скобках выражения (1.35):

ж

2

jcos4t dt

4 . 3ж 4 tdt = —, 16

ж

2

f • 2 2i Ж

sin t cos t dt = —, J 16

Ж

2

С 2 1 Ж

cos t dt = —. J 4

Подставив полученные результаты (1.36), (1.37), (1.38) в исходное уравнение (1.35), запишем

¥2 = r

2&п 2 3ж 6Gn 2 ж , ж

—^ r — + —^ r--h —

D2 16 D2 16 4

После упрощений имеем

¥2 =

D2ж

48 7

h2.

п

Подставляя полученные решения (1.29) и (1.40) в исходное уравнение (1.25), запишем

0

0

0

ТИ а

^ =¥,-¥2 =-.у

в -н » -2 а,)

1 + -

ВЖ

в а 2В 3 ^ 48 а

н,2

Теперь рассмотрим второе слагаемое в уравнении (1.20), которое может быть найдено с помощью интегра-

ла:

V2 =

1 ёх ¡(О (у2 + х2) - Н) ёу.

Решение внутреннего интеграла в (1.42) приводит к выражению

а( 2

V22 =1

вап((2) , ,„2

В2 К 3

а\ , а + х2 —) - Н — 2 2

ёх.

Проинтегрируем уравнение (1.43) в соответствующих пределах

V,2=[

В 2

)х +

3а0п х

В2 Т

3Л

а а

г

или после подстановки пределов интегрирования

V2=(О (а )3 -) а

а\ а 3аО

2У

В у2

22

В2

В2 у2

3аО г3

В2 "3

.

Промежуточное решение после упрощений (1.45) имеет вид

V2 =

ая а

А. V - (

4

0П а

н а)

г--

аа

В2

П г3

Подставив в (1.46) значение г по выражению (1.9), окончательно запишем

К2=Оп а_- ъа-~аПа

3

2

В2 4

4 В2 4]

В2 а

-Н + Н

ва 4 п

П

3\

В2

ва

Н1 .

П

Применяя подстановку (1.41), (1.47) в уравнение (1.20) получим

V =

а 2)1

В2

в а

-Н (

+

П

ап а4

а2 ап

2В2

2

н)

+

В2ж 480

н2 +

2

а

ая а

3

В2 4 Н 4 В2 4

В2

в а

-Н + Н

П

а

31/

В2

ва

Н

После упрощений равенство (1.48) примет вид

V =

В2ж , 2 Л а2 1 ая а4

48 а

-Н - н— +

П

4 В2 4

3

3

3

Запишем уравнение (1.4) с учетом (1.19), (1.49):

ж Б2

48 (

% =

Б ж ,2 , а

(Гп а

к - к — + , 48 (Гп п 4 4 Б

4

или после упрощений

4 Б2 4

Согласно рис.1 взаимосвязь между величинами Б и а отражает зависимость

или

С учетом (1.53) уравнение (1.51) примет вид

Б2 = а2 + а2,

Б

а =

42

Таким образом, определено положение нулевой плоскости, относительно которой соблюдается условие статического равновесия объемов в области растягивающих и сжимающих остаточных напряжений для оставшейся части параболоида вращения, соответствующей брусу квадратного поперечного сечения. Если по линиям проекционных связей построить третью проекцию оставшейся после отсечения четырех равных сегментов части параболоида , можно заметить, что парабола на поверхности бруса не пересекает нулевую линию (плоскость). Это говорит о том, что на поверхности бруса в результате закалки формируются только остаточные напряжения сжатия, что согласуется с теорией процесса закалки. С учетом симметрии на рис. 2 показано пространственное распределение остаточных напряжений в брусе квадратного поперечного сечения, полученное в результате закалки.

2. Пространственное распределение остаточных напряжений в пластине

Как и в предыдущем разделе 1, начальные условия те же, то есть в результате закалки в цилиндре высотой И (рис.3) наведены остаточные напряжения, пространственное распределение которых соответствует параболоиду вращения. Отсечем от цилиндра четыре парно равных сегмента таким образом, чтобы в поперечном сечении получилась пластина с размерами поперечного сечения а х Ь . В данном случае под пластиной понимаем термически толстую заготовку призматической формы, у которой размеры а и Ь величины одного поИ

рядка. Для рассматриваемой пластины найдем положение нулевой плоскости, отстоящей на расстоянии 1 от начала координат, относительно которой будет выполняться условие статического равновесия:

V =У у 1 У 2

Математический аппарат (методика расчета) определения объемов у и у идентичен описанному в разделе 1, поэтому приводим только конечные выражения. Объем у определяется равенством

у = И2

1 48 ( 4

Объем у определяем как

У =у2 + у22.

Геометрически объем у~ можно описать системой неравенств

0 < х < г ;

4т2—X2 < у < Ь;

2

И < г < г * .

Интеграл для определения объема у1 имеет вид

Рис.3. Схема к расчету остаточных напряжений в пластине

Рис. 4. Пространственное распределение остаточных напряжений в пластине

v = — ^ 2

В -Н

ваг

2В 3

1 + -

В2ж 48 ап

Выражение для определения объема V имеет вид

а Ь 2 2

V22 =

1 ёх 1 (О (у2 + х2) - Н) ёу.

г 0

Решение внутреннего интеграла позволяет получить

( Ь )3

вап (2) , 60п 2Ь иь

^ =1 (—.П 2 + ^х2- -

В2 3 В2 2 12У

--) ёх

Проинтегрировав уравнение (2.8), запишем

у.2=—(

ь ап —

2 х В 2

Н)а+а- (—(О —_ - Н)+О г2) г,

2 В 8 В 2

В

или

„2 а— ап аа3—О Г—3 0П — , — ап 2\ V =-^--Н +-^ - (-П — Н +—^ г ) г

8 В2 4 Н + 8В2 ( 4В2 2Н " В2

Г

Подставив в (2.10) значение параметра г по уравнению (1.9), окончательно запишем

у22 = оь (°п_ н )-(—— н. \ 2 4 2 7 4 4в2 3 7 ^

в2

вОп

Н. .

Запишем выражение (2.3) с учетом (2.6) и (2.11):

_В1_а, (а2н)+—Н + ^О-Н)-(—О-—Н),В

ва 2В 3 48 а 4 2 17 4 4В2 3 и У60п

^ = !,ва 2В 3 48З

2 \ 6 ^ п 2В 3 48 ^ п

После упрощений выражение для V имеет вид

V' = О + Т 1)

Равенство (2.1) с учетом (2.2) и (2.13) примет вид

жВ Л2 = В^Н2 +

48 О 48 а 4 2

Окончательно имеем

а

Н =

п

2

Таким образом, определено положение нулевой плоскости в пластине, относительно которой соблюдается условие статического равновесия объемов в области сжимающих и растягивающих остаточных напряжений. На рис. 4 показано пространственное распределение термических (закалочных) остаточных напряжений в пластине.

Представленная в рамках данной статьи работа проводится при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (Минобрнауки России) в рамках комплексного проекта «Разработка и внедрение комплекса высокоэффективных технологий проектирования, конструкторско-технологической подготовки и изготовления самолета МС-21», шифр 2010-218-02-312.

Библиографический список

1. Биргер И.А. Остаточные напряжения. М.: Машгиз, 1963. 232 с.

2. Абрамов В.В. Остаточные напряжения и деформации в металлах. М.: Машиностроение, 1963. 355 с.

3. Ботвенко С.И. Остаточные напряжения и деформации при изготовлении деталей типа пластин с подкреплениями. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2012. 132 с.

4. Ботвенко С.И., Огнев И.А. Теоретическое исследование пространственного распределения термических остаточных напряжений в цилиндре // Вестник ИрГТУ. 2012. №7. С. 29-36.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся 13 вузов. М.: Наука, Гл. ред. физ -мат. лит., 1986. 544 с.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. М.: Высш. шк., 1988. Т.1. 712 с. УДК 519. 21, 372.851

ТИПОЛОГИЯ ОШИБОК И ЗАБЛУЖДЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ЗАДАЧАМИ КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ 1: СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

© Г.Д. Гефан1, О.В. Кузьмин2

1Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Иркутский государственный университет, 664003, Россия, г. Иркутск, ул. К. Маркса, 1.

Проведён анализ и предложена типологическая структура ошибок, совершаемых студентами при изучении разделов теории вероятностей, связанных с понятием случайного события: классического определения вероятности, основных теорем о вероятности, последовательности однородных независимых испытаний. Даны методические рекомендации по совершенствованию учебного процесса. Статья адресована преподавателям математики и специалистам, которым приходится иметь дело с вероятностными методами. Библиогр. 9 назв.

Ключевые слова: случайные события; вероятность; заблуждения; методология.

TYPOLOGY OF ERRORS AND DELUSIONS ASSOCIATED WITH PROBABILITY THEORY COURSE GOALS. PART 1: STOCHASTIC EVENTS G.D. Gefan, O.V. Kuzmin

Irkutsk State University of Railway Engineering, 15 Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074. Irkutsk State University, 1 Karl Marx St., Irkutsk, 664003.

The article presents the analysis and typological structure of students' errors made when studying the sections of the probability theory dealing with the concept of a stochastic event: a classical definition of probability, basic probability theorems, a sequence of homogeneous independent tests. The methodic recommendations on improving the educational process are made. The article is addressed to the teachers of mathematics and specialists dealing with the probability methods. 9 sources.

Key words: stochastic events; probability; delusions; methodology.

1Гефан Григорий Давыдович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89086615484, 638354, e-mail: grigef@rambler.ru

Gefan Grigoriy, Candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics of Irkutsk State Railway University, тел.: 89086615484, 638354, e-mail: grigef@rambler.ru

2Кузьмин Олег Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теории вероятностей и дискретной математики, тел.: 89025604133, e-mail: quzminov@mail.ru

Kuzmin Oleg, Doctor of physical and mathematical sciences, Professor, Head of the Department of the Theory of Probability and Discrete Mathematics of Irkutsk State University, тел: 89025604133, e-mail: quzminov@mail.ru