Расчет электростатического поля диодной эмиссионной системы с полевым катодом

Сер. 10. 2010. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 533

Н. В. Егоров, В. А. Клемешев, М. Г. Фоменко

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ДИОДНОЙ ЭМИССИОННОЙ СИСТЕМЫ С ПОЛЕВЫМ КАТОДОМ

Введение. Среди актуальных задач современной вакуумной электроники, которая по-прежнему сохраняет свои позиции в областях применений, где требуются радиационная стойкость, высокая пиковая мощность, устойчивость к электромагнитным импульсам и т. п., важное место отводится созданию стабильных полевых эмиссионных катодов, способных длительное время работать в условиях высокого технического вакуума (10~6-10~7 мм рт. ст.). Использование полевых эмиттеров позволяет не только снизить энергопотребление электронных устройств, сократить время готовности при включении, но и принципиально уменьшить габариты активных элементов и применить методы интеграции, разработанные для твердотельной электроники [1].

Анализ работ по полевой эмиссии показывает, что материалы катодов, предназначенных для работ в условиях высокого технического вакуума, должны обладать специфической совокупностью свойств, таких как низкие и стабильные значения работы выхода электронов, электро- и теплопроводности, высокая механическая прочность. Кроме того, материалы полевых катодов должны быть технологичными и доступными. Перечень материалов, которые были использованы для создания полевых катодов, достаточно широк (вольфрам, молибден, рений, платина). В настоящее время интенсивно развиваются технологии создания эмиттеров, основанные на самоорганизованном росте структур на базе углеродных нанотрубок [2, 3], а также самоорганизованных оксидных наноструктур [4, 5]. Установление эмиссионных свойств у наноуглеродных структур (прежде всего у углеродных нанотрубок) в последнем десятилетии ХХ в. принципиальным образом расширило возможности применения полевых эмиттеров. Это обстоятельство было обусловлено чрезвычайно малыми пороговыми напряженностями поля (до 104 В/см) и способностью к работе в относительно низком вакууме (10~5-10~6 тор), обнаруженными у холодных катодов, изготовленных из этих материалов. Благодаря

Егоров Николай Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 180. Научные направления: математическое моделирование, электронная оптика, математическая физика. E-mail: nve@apmath.spbu.ru.

Клемешев Владимир Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 13. Научные направления: математическое моделирование, электронная оптика, математическая физика. E-mail: v-alexeevich@yandex.ru.

Фоменко Марина Георгиевна — аспирант кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Н. В. Егоров. Количество опубликованных работ: 5. Научные направления: математическое моделирование, электронная оптика, математическая физика. E-mail: mutul_marina@mail.ru.

© Н. В. Егоров, В. А. Клемешев, М. Г. Фоменко, 2010

таким свойствам появились также новые потенциальные области применения для полевых эмиттеров - сверхминиатюрные источники рентгеновского излучения, плоские люминесцентные источники света и плоскопанельные эмиссионные дисплеи с высокой разрешающей способностью. Подобные дисплеи вызывают особый интерес для всей индустрии электронных устройств благодаря сочетанию малой толщины, свойственной LCD/плазменным экранам и качеству передачи цветов, а также минимальному размеру элементов изображения, которыми обладают электронно-лучевые трубки. Идеология использования углеродных волокон в полевых катодах базируется на том, что они не требуют специального предварительного заострения, так как необходимые эмит-тирующие центры содержат простой излом волокна. Таким образом, наноуглеродные образования могут представлять собой полевые катоды с острыми кромками.

Цель данной работы - расчет диодной осесимметричной электронно-оптической системы на основе полевого источника.

Физическая постановка задачи. Исследуем диодную систему, в которой поверхности анода и катода с острой кромкой являются частями сфер (рисунок). Требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области системы. Потенциал катода равен нулю, потенциал анода - У0. Для решения такой задачи рассмотрим тороидальную систему координат (а, в). В этом случае поверхности катода и анода совпадают с координатными поверхностями данной системы [6].

а = а! \ а = а2

V-

Схематическое изображение диодной системы

Математическая постановка задачи. Распределение потенциала удовлетворяет уравнению Лапласа, записанному в тороидальной системе координат:

д_

да

ди\ д { ди\

0,

где

здесь а - масштабный множитель.

а вИ а

еИ (

- еов в

г

Граничные условия определяются заданными потенциалами на аноде и катоде. Условия непрерывности нормальной составляющей вектора смещения на линиях, разделяющих области, но не принадлежащих поверхностям сегментов, имеют вид

и (а, = Уо, а1 < а < а2,

и (а, — [2) = и (а, 2п — [2) =0, 0 ^ а < то;

и\ (а, в\ — 0) = и2(а,[\ +0), 0 ^ а < то,

дп\

¡3=вг-0

ди2 ~d¡3

0 ^ а < ai, а2 ^ а < то. v '

в=в1+0

Решение задачи. Так как поверхности электродов системы совпадают с частями координатных поверхностей, то рассматриваемую область можно разбить на подобласти, ограниченные поверхностями, входящими в семейство координатных поверхностей, в которых уравнение Лапласа интегрируется разделением переменных. Для решения граничной задачи (1), (2) удобно разбить всю область электронно-оптической системы на две подобласти: —[2 < в < в\ и < в < 2п — [2. Требуется в них определить потенциалы и\<2 (а, [), удовлетворяющие уравнению Лапласа (1) с граничными условиями (2). Согласно методу разделения переменных, общее решение уравнения Лапласа в каждой из подобластей можно записать следующим образом:

сю

и1 (а, ¡3) = л/ сЬ а + соэ ¡3 J (г) эЬ (/3 + /?2) т + В1 (г) эЬ (/?! - /3) г) х

xP_i+IT(cha) dT

sh (/?!+/? 2) г'

СЮ

и2 (а, /3) = л/ ch а + cos ¡3 J (а2 (г) sh (2тг ~/32+/3)т +

о

sh (27г — [32 — /3i) г'

где P_i+ir (cha) - функция Лежандра первого рода или функция тора.

Удовлетворяя граничным условиям (2), находим, что Ai (т) = A2 (т) = A (т),

Bi (т) = B2 (т) = 0.

Принимая во внимание условие непрерывности вектора электростатического поля (3), получим систему тройных интегральных уравнений

С

У A (т) т(cth (в1 + &) т + cth (2п - в2 - А) т) X

о

х Р_ i +ir ( ch a) dr = 0, 0 ^ a < at,

СЮ

J A

о

x P_i+iT (ch a) dr = 0, a2 ^ a < 00,

С

Í V0

A(T)P_i+ir(cha)dT = ai < a < a2-

J 2 у7 ch

Если заменить A (т) новой неизвестной функцией C (т) = 2A (т) cth пт и положить + в2 = п, то систему (5) можно записать так:

сю

J С (г) rP_i+iT ( ch a) dr = 0, 0 ^ а < о.\1 о

с

J C

о

с

/2V

th (7rr)C,(r)P_i+iT (cha)dr = '3 «i < а < а2-

2 v ch

Таким образом, для того чтобы найти распределение электростатического потенциала (4), необходимо решить систему тройных интегральных уравнений (6). Для этого введем в рассмотрение новую функцию M (т), связанную с C (т) соотношением [7]

сю

J Cír)rP_,+ÍT{cha)dT = М{т)., О«,«*.

о

По формуле обращения для обобщенного преобразования Мелера-Фока имеем

СК2

с

о

^

Умножая первое уравнение из системы (6) на —, = и интегрируя обе

у/ Л

части по т от 0 до х, получим

¡^С

о

Подставляя С (т) из (7) в (8) и во второе уравнение из (6) и меняя порядок интегрирования, приходим к следующим выражениям:

х

Г sh (у) М (у) dv , ч

' V ; - 0, 0 < ж < аь

J \/ ch

о

J sh {v)M{v)K2

в которых

Г ds

K2{v,a)= / =--=.

J v ch

max

Уравнение (9) представляет собой уравнение Абеля, и его решение имеет вид

М (и) = 0, 0 <и < а1. Учитывая представление (11), перепишем выражение (10) так:

а.2 с

[ вЬ (» М (г;) ¿V [ ^ = ^ = (а) , «1 < а < а2,

] ] ^еЪ (в) — еЪ (а) п

а1 шах

или

а2 сю

Г (в) Зв Г Зв

(«)-/

где

.] сЬ

а1 а2

а2

Г вЪ (V) М (V) ЗV х I —. =, о.\ < о. < о.2,

] у еИ

а1

в

Г вЬ (V) М (V) ЗV

= / -г, I , > «1 < в < а2.

.) у еп

а1

Предполагая, что правая часть (12) известна, его решение может быть записано следующим образом:

а2

„ , ч 1 ЗГЕ1

здесь

/-

1 вЪ (в) /•v/еh(p) — еЪ (а2)Зр =--, = / -, =—х

п еЬ

а2

а2

Г вЪ (V) М (V) сЬ х / , а1 < в < а2.

.! у еИ

а1

Пусть

а2

(15,

,/ у'еп

Так как уравнение (13) имеет решение вида

V

1 З Г £1

а1

то, подставляя его в (15) и интегрируя по частям, находим, что

а2

„ , ч 1 /—,—-;——г I 5*1 М вЬ (у) ЗУ

п ]

а1

Согласно представлениям (14)—(16), получим

а2

II

где

вЬ

К2 (V, в1 —

7г2 у/ сЬ

сю

[ (еЬ (р) - еЬ («2)) ¿р

,]

а2

Из (14) и (17) выводим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

СК2

$1 (в) + J $1

Ядро интегрального уравнения (18) имеет вид

вЬ

К2

я2 сЬ

1 1 ( 1 еЬ(«2)+еЬ2 (в) ,

агсвт--—— — агсвт--———ч-г +

сЬ

)

1 1

Н—;—г^-;—гг—, - агсвт ——

сЬ

а правая часть

2

1 (1 Г (а) вЬ (а) ¿а Сг (а) =---— / = -2У0 х

п у/еЬ

в

I I — вЬ (в) еЬ («2) — вЬ (в)еов(/3:0

— вЬ (в) I х

^

1

| 2 сЬ («2) + сов (/?1) - сЬ (в) + 2у/(сЬ (а2) - сЬ (в))(сЬ (а2) + сов (&)) | вЬ (в) \

| еЬ (в) + еов(/?1) | у

Таким образом, решив уравнение Фредгольма (18), найдем неизвестные коэффициенты, входящие в разложение электростатического потенциала (4). В общем случае решение интегрального уравнения можно получить численными методами [8].

Заключение. Преимущества электронных катодов по сравнению с другими видами источников свободных электронов хорошо известны (высокая плотность тока, устойчивость к колебаниям температуры и т. д.). Основная трудность в создании стабильных катодов состоит в том, что полевая эмиссия чувствительна к изменению геометрии катода и состоянию его поверхности. В работе получено аналитическое решение

х

х

X

задачи электростатики для осесимметричной диодной электронно-оптической системы с полевым источником во всей области диодной системы. Задача решена с помощью метода тройных интегральных уравнений, который позволяет свести исходную граничную задачу (1), (2) к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода (18) с ядром (19) и правой частью (20). Все геометрические размеры, потенциалы анода и катода являются параметрами задачи.

Литература

1. Шешин Е. П. Структура поверхности и автоэмиссионные свойства углеродных материалов. М.: Изд-во Моск. физ-техн. ин-та: Физматкнига, 2001. 287 с.

2. То,то,ренко Н. И., Кравченко В. Ф. Автоэмиссионные наноструктуры и приборы на их основе. М.: Физматлит, 2006. 192 с.

3. Hsu David S. Y. Microgating carbon nanotube field emitters by in situ growth inside open aperture arrays // Applied Physics Letters. 2002. Vol. 80(16). P. 2988-2991.

4. Chalamala B. R., Wei Y., Reuss R. H. et al. Effect of growth conditions on surface morphology and photoelectric work function characteristics of iridium oxide thin films // Applied Physics Letters. 1999. Vol. 74(10). P. 1394-1396.

5. Aggarwal S., Monga A. P., Perusse S. R. Spontaneous ordering of oxide nanostructures // Science. 2000. Vol. 287. P. 2235-2237.

6. Мутул М. Г. Математическое моделирование диодной системы на основе полевого катода с острой кромкой // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й Междунар. науч. конференции аспирантов и студентов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 153-157.

7. Singh B. M., Rokne J., Dhaliwal R. S. The study of triple integral equations with generalized Legendre functions // Abstract and Applied Analysis. 2008. Vol. 35. P. 257-269.

8. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: справ. пособие. Киев: Наукова думка, 1986. 732 с.

Статья принята к печати 24 декабря 2009 г.