Об экстремальных взаимосвязях медиан и средних

УДК 519.222

ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ВЗАИМОСВЯЗЯХ МЕДИАН И СРЕДНИХ В.Л. Хацкевич, Ю.Я. Агранович

В работе доказывается характеристическое экстремальное свойство медианы в непрерывном случае. Отдельно исследованы экстремальные свойства характеристик двумерных случайных величин

Ключевые слова: средние значения, моменты случайных величин, экстремальные свойства

Попытки понять, как можно разделить что-либо на две равные части и попытки найти центр какого-либо предмета (не обязательно материального, разумеется), по-видимому, существуют столько же, сколько существует человечество. За длительную историю понятия медиан и средних величин развивались, наполняясь новым более глубоким содержанием. В настоящее время существует не один десяток различных определений медианы для самых разных случаев дискретных и непрерывных величин, случайных и детерминированных. Существует также гораздо больше сотни различных определений средних величин. Время от времени делаются более или менее удачные попытки составить энциклопедию медиан и средних, но выходя из печати, соответствующее издание уже устаревает, так как скорость появления новых определений значительно опережает полиграфические возможности даже самых современных издательств. Интуитивно ясно, что медианы находятся где-то поблизости к средним, однако совсем простые соображения показывают, что это не совпадающие объекты. А если бы совпадали, то за длительную историю их существования принцип «экономии мышления» давно объединил бы их одним определением. Тем более интересно понять, при каких условиях, и в каком смысле медианы могут совпадать со средними значениями. Некоторые экстремальные условия таких совпадений установлены ниже. Настоящая работа является продолжением статьи [1] об экстремальных свойствах средних и математических ожиданий случайных величин. Понимание этого факта важно, в частности, при взвешенном усреднении временных рядов (см., например, [3]) .

1. Непрерывные взвешенные средние.

Пусть заданы числа а < Ь и кусочно-непрерывная неотрицательная на отрезке [а, Ь ] функция р (х).

Для непрерывной функции медиана (см. [2]) -это число т из интервала (а ,Ь) такое, что

I p (s )ds = I p (s )ds

Хацкевич Владимир Львович - ВГУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: vlkhats@mail.ru Агранович Юрий Яковлевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: agyrya@yandex.ru

Отметим, что в силу непрерывности величины интеграла как функции верхнего предела интегрирования, по крайней мере, одна медиана существует. Однако в общем случае она не единственна. Характеристическое свойство всех таких медиан содержит

Теорема 1. Пусть функция р (х) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а,Ь], тогда каждая ее медиана т минимизирует по с е [а, Ь ] величину

| р (х )х - с \йх .

а

Доказательство. Справедлива формула

| р (х ) х - т\йх + 21 (с - х ) р (х )ёх, апее п > т ,

| p (x )x - c |dx = <

| p (x ) x - m\dx + 21 (x - c) p (x )dx,

anee c < m.

Вывод этой формулы основан на следующих соображениях. Рассмотрим, например, случай с > т . Тогда

| р (х )х -с\йх = | р (х )(с - х )х +1 р (х)(х - с )х .

а а с

При этом

п т с

| р (х )(с - х )х = | р (х )(с - х )ёх +1 р (х )(с - х )ёх =

а а т

= | р (х )(т - х )х + (с - т )| р (х )ix +1 р (х )(с - х )ix.

Используя для среднего интеграла свойство (1) медианы, отсюда получим

| р (х Хс - х = | р (х ) т - х\ёх + (с - т )| р (х )ёх +

а а т

+1 р (х )(с - х У1х == | р (х ) т - х\йх +1 р (х )(с - х )ix +

т а т

+1 р (х )(х - т )ёх +1 р (х )(с - х У1х.

Тогда

| р (х )(с - х У1х = | р (х )т - х\ёх +

аа

+ 21 р (х )(с - х )ёх +1 р (х )(с - х У1х

Отсюда следует справедливость верхнего соотношения в формуле (2). Аналогично рассматривается случай с < т . Из условий теоремы понятно, что второе слагаемое в правой части (2) неотрицательно, чем и доказывается утверждение теоремы.

Отметим, что формула, близкая к (2), известна для случайных величин (см. [4] §30).

2. Непрерывные случайные величины.

Приводимые ниже термины и взаимосвязи между ними можно найти, например, в монографии Б.Н. Гнеденко [4]. Пусть X - непрерывная случайная величина с функцией распределения ¥ (х) и плотностью вероятности р (х). По определению

¥

Кроме того,

р ^ = 1.

Математическое ожидание М (X ) случайной величины X определяется формулой

М

а медианой называют число т , для которого

¥ (т ) =1.

У 7 2

Как известно, (см., напр., [4] §30) математическое ожидание М и медиана т случайной величины минимизируют соответственно отклонения

| (х - С )2р(х )х и || х - с \(р(х .

Рассмотрим непрерывную двумерную случайную величину (X ,У) с функцией распределения ¥ (х, у) и плотностью вероятности / (х, у). Математическим ожиданием двумерной случайной величины называют пару чисел М х и М у , определяемых равенствами

М , = 111 (х, у )(кйу Му = 11 у/ (х, у )(кйу .

Как известно [5] гл.4, числа М х и М у являются одновременно математическими ожиданиями случайных величин X и У соответственно.

Предложение 1. Вектор математических ожиданий минимизирует по X , ] е ¥ выражение

II [(х -Х) +0 -Ц)2 ]/ (х, У )^у .

Действительно, обозначим рассматриваемый интеграл через 8 . Приравняем частные производ-

* 95 п 95 а г

ные от 5 к нулю — = 0, — = 0 . С учетом равен-

д% дц

ства

= 0, отсюда найдем координаты

точки экстремума X = М х и ] = М . Вторые част-

8 д28 д28

ные производные от 8 равны -----------------=----= 2,

д% д]

д2 8 дХ д]

достаточное условие минимума.

Как известно, функции распределения случайных величин X и У определяются через совместную функцию распределения ¥ (х, у) равенствами

= 0. Поэтому в точке М, Му)

выполнено

¥ 1 (х ) = ¥ (х ,+да) и ¥ 2 (у ) = ¥ (+ у) соответственно. Поэтому медианным вектором в случае двумерной случайной величины естественно назвать пару чисел

¥ (т х ,+го) = ¥ (+ т ) =1. В

т х и т такую, что ¥ (т х ,+¥

случае независимости случайных величин X и У медианный вектор удовлетворяет также соотноше-

2У

Предложение 2. Медианный вектор минимизирует по X , Ц є К выражение

-Х|+1 У -ц|]/ (х, У .

Действительно, рассматриваемый интеграл можно представить в виде

IIх -Х|11(хVх +1|у -]|12(у№ .

Здесь /1 (х) и / 2 (у) - есть плотности вероятности случайных величин X и У соответственно, определяемые равенствами

11

Поэтому предложение 2 следует из результата об экстремальном свойстве медианы для одномерных случайных величин (см. [4] §30).

Теорема 2. Пусть для плотности вероятности / (х, у ) двумерной случайной величины (X ,У ) выполнено условие симметрии относительно точки с координатами (п х, п у ).

1 (с, + х, с у + у )= 1 (с, - х, су - у ) "х, у е К (7) Тогда вектор (п х, п у ) совпадает с вектором математических ожиданий случайной величины (X ,У ) и медианным вектором. Экстремум функции / (х, у ) достигается в точке (п х, п у ).

Действительно, для плотности вероятности /1 (х) согласно (6) можем записать

/1(с, +х)= |1 (с, +х,уУу .

х

Применяя замену переменных у = с +f и свойство (7) получим

/1 (с, + х )= I 1 (с, + х , су +£ )* = I 1 (с. - х , су - £ )* .

В последнем интеграле сделаем замену с у - £ = г , тогда

/1(с, +х)= |1 (с, -х,г^ = /1(с, -х).

Таким образом, для плотности вероятности /1 (х) одномерной случайной величины X выполнены условия симметрии. Поэтому число п х является математическим ожиданием и медианой случайной величины X . Аналогично число п есть математическое ожидание и медиана случайной величины У с плотностью вероятности / 2 (у). Согласно определению вектора математических ожиданий и медианного вектора случайной величины (X ,У) делаем вывод о справедливости теоремы 2 в этой части.

Для проверки последнего утверждения теоремы рассмотрим функцию / (х, с у). В силу свойства

(7), убеждаемся, что частная производная / '(х, с у) в точке х = с1 равна нулю, т.е. /х'(сх,су )= 0. Аналогично / '(с х, су )= 0, что и влечет высказанное утверждение.

Литература

1. Хацкевич, В.Л. О некоторых экстремальных свойствах средних значений и математических ожиданий случайных величин [Текст]/ В.Л. Хацкевич // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. - № 3.1. - С.39-44.

2. Джини К. Средние величины. М.: Статистика, 1970. - 447 с.

3. Скользящее усреднение на основе минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена [Текст]/ Ю. Я. Агранович, Н. В. Концевая, С. Л. Подвальный, В. Л. Хац-кевич // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2011.- Т. 7. - № 12.1. - С.4-7.

4. Гнеденко Б.Н. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. - 400 с.

5. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Физматлит, 2002. - 496 с.

Воронежский государственный университет Воронежский государственный технический университет

ABOUT OF EXTREMAL INTERDEPENDENCE FOR MEDIANS AND LE MEDIE V.L. Khatskevich, Yu.Ya. Agranovich

In this paper, we prove the characteristic extremal property of the median in a continuous weighted case. Are classes of weight functions for which match the values of arithmetic mean weighted and medians. It is shown that for random variables with symmetric densities of probability values of the mathematical expectation and medians, as well as mode or antimode coincide. Separately investigated the properties of two-dimensional extremal properties of random variables

Key words: average values, the moments of random variables, extreme properties