Оценка возможности управления ламинарно-турбулентным переходом на стреловидном крыле с помощью плазменных актуаторов

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 4

УДК 532.526:533.6:538.4

ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНЫМ ПЕРЕХОДОМ НА СТРЕЛОВИДНОМ КРЫЛЕ С ПОМОЩЬЮ ПЛАЗМЕННЫХ АКТУАТОРОВ

А. П. КУРЯЧИЙ, С. В. МАНУЙЛОВИЧ, Д. А. РУСЬЯНОВ, В. В. СКВОРЦОВ, С. Л. ЧЕРНЫШЕВ

Представлен теоретический подход к оценке возможности управления ламинарно-турбулентным переходом на стреловидном крыле в результате объемного силового и теплового воздействия на течение в пограничном слое с помощью электрогазодинамических исполнительных элементов (плазменных актуаторов). Предлагаемый подход включает в себя численное моделирование актуаторов, использующих диэлектрический барьерный разряд, расчет невязкого обтекания скользящего крыла, расчет сжимаемого пограничного слоя, пространственно-модулированного вдоль размаха крыла, численное решение задачи линейной устойчивости для стационарных мод неустойчивости поперечного течения. Моделирование актуаторов выполнено для одного набора их геометрических и физических параметров с целью оценки качественных особенностей распределе- " ний объемной силы и тепловыделения. Расчеты невязкого обтекания и пограничного слоя выполнены при параметрах набегающего потока, соответствующих типичным условиям крейсерского полета гражданского самолета. Получена оценка силового воздействия актуаторов, необходимого для устранения ламинарно-турбулентного перехода, вызванного неустойчивостью поперечного течения.

Ключевые слова: диэлектрический барьерный разряд, плазменный актуатор, скользящее крыло, сжимаемый пограничный слой, неустойчивость поперечного течения, ламинарно-турбулентный переход.

Затягивание ламинарно-турбулентного перехода является одним из эффективных методов уменьшения сопротивления трения летательных аппаратов и, следовательно, снижения расхода топлива и загрязнения

КУРЯЧИИ Александр Петрович

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

МАНУЙЛОВИЧ Сергей Викторович

старший научный сотрудник ЦАГИ

РУСЬЯНОВ Дмитрий Анатольевич

научный сотрудник ЦАГИ

СКВОРЦОВ Владимир Владимирович

доктор технических наук, главный научный сотрудник ЦАГИ

ЧЕРНЫШЕВ Сергей Леонидович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, исполнительный директор ЦАГИ

Рис. 1. Схема ЭГД метода УЛО стреловидного крыла

окружающей среды. Неустойчивость поперечного течения в трехмерном пограничном слое является основной причиной ламинарно-турбулентного перехода на стреловидном крыле современных пассажирских самолетов [1]. Поэтому любой метод подавления этой неустойчивости представляет значительный интерес для снижения сопротивления стреловидного крыла, если этот метод является энергетически приемлемым. Рис. 1 иллюстрирует идею метода управления ламинарным обтеканием (УЛО) стреловидного крыла, основанного на ослаблении неустойчивости поперечного течения благодаря электрогазодинамическому (ЭГД) силовому воздействию на трехмерный пограничный слой в окрестности передней кромки крыла [2]. Для практической реализации этого метода, по-видимому, наиболее подходящими являются плазменные актуаторы, работающие на основе диэлектрического барьерного разряда (ДБР-актуаторы) [3]. На рис. 1: Уда — вектор скорости набегающего потока; ПК — передняя кромка крыла; У — вектор скорости газа в некоторой точке внутри пограничного слоя; Уо.т и Упт — компоненты скорости основного и поперечного течения; штриховая кривая — линия тока внешнего невязкого течения; сплошные кривые обозначают внешние электроды ДБР-актуаторов; Е|| — компонента вектора объемной силы, создаваемой каждым актуатором, направленная вдоль поверхности крыла.

Простейшая конфигурация системы ДБР-актуаторов показана на рис. 1, а. Внешние электроды располагаются непрерывно на нижней и верхней поверхностях крыла перпендикулярно его передней кромке. Воздействие объемной силы, направленной вдоль передней кромки, индуцирует компоненту скорости газа, которая будет уменьшать Упт на некотором расстоянии от критической линии. Конфигурация, показанная на рис. 1, б, может оказаться более эффективной и менее энергоемкой. Расположение электродов ДБР-актуаторов вдоль внешней линии тока позволяет создавать объемную силу Е||, направленную непосредственно против Упт, тем самым усиливая влияние на поперечное течение. В этом случае ДБР-актуаторы следует располагать на некотором расстоянии от критической линии, начиная с места появления неустойчивости поперечного течения, что позволяет уменьшить затраты энергии. В обоих случаях ослабление скорости поперечного течения Упт приводит к уменьшению инкрементов пространственного нарастания мод неустойчивости этого течения [4].

В последние годы публикуется большое количество работ, посвященных как теоретическим, так и экспериментальным исследованиям плазменных актуаторов и их различных аэродинамических приложений [5 — 7]. При этом как при численном моделировании различной степени сложности [8 — 13], так и в наиболее подробных экспериментальных исследованиях [14 — 19] рассматривается одиночный ДБР-актуатор в первоначально покоящемся газе.

Для реализации ЭГД метода УЛО одной из главных задач является разработка оптимальной пространственно-периодической системы актуаторов, обеспечивающей необходимое силовое воздействие вдоль всей передней кромки крыла при минимальных затратах электрической мощности [20 — 24]. Силовое и тепловое воздействие плазменных актуаторов на сжимаемый пограничный слой является достаточно сложным. В частности, предварительные теоретические оценки указывают на возможное вредное влияние объемного тепловыделения в разряде на устойчивость пограничного слоя, когда коэффициент энергетической эффективности ДБР-актуаторов (отношение средних значений объемной силы и тепловыделения) слишком мал [25]. Этот коэффициент обратно пропорционален средней дрейфовой скорости носителей заряда [26], которая, в свою очередь, обратно пропорциональна давлению газа. Поэтому коэффициент энергетической эффективности уменьшается при уменьшении давления [27], что является неблагоприятным фак-

тором для ЭГД метода УЛО. С другой стороны, часть электрической мощности, выделяемой в разряде, первоначально затрачивается на возбуждение колебательных степеней свободы молекул воздуха, которые затем релаксируют в поступательные степени свободы, т. е. нагрев газа, в течение конечного времени [28], что может заметно влиять на распределение тепловыделения в пограничном слое [29]. Нагрев внешних электродов вследствие релаксации энергии падающих на них заряженных частиц является другим явлением, влияющим на тепловое состояние сжимаемого пограничного слоя.

Экспериментальная отработка ЭГД метода УЛО в аэродинамических трубах затруднена, прежде всего, из-за большого количества геометрических и физических параметров, сложным образом влияющих на эффективность и саму возможность реализации метода. Поэтому предварительное теоретическое изучение такой возможности является весьма актуальным. Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию нескольких взаимосвязанных задач. Во-первых, выполняется численное моделирование пространственно-периодического набора ДБР-актуаторов и рассчитываются распределения осредненных по времени объемной силы и энерговыделения. Характерные особенности этих распределений учитываются при их аналитической аппроксимации, используемой для кардинального сокращения времени параметрических расчетов. Во-вторых, рассчитывается невязкое обтекание скользящего крыла с современным профилем при типичных значениях параметров, соответствующих крейсерскому режиму полета гражданского самолета. Затем аппроксимированные пространственные распределения объемной силы и энерговыделения используются в качестве источниковых членов в уравнениях импульса и энергии в расчетах 3-мерного пространственно-периодического сжимаемого пограничного слоя при заданных параметрах внешнего невязкого течения. Наконец, рассчитываются характеристики устойчивости поперечного течения в пограничном слое в линейной постановке. На основе использования известного е^-метода оценивается положение ламинарно-турбулентного перехода. Указанные задачи решаются при некоторых упрощающих предположениях, отмеченных ниже.

1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ДБР-АКТУАТОРОВ

В рассматриваемой схеме системы ДБР-актуаторов, показанной на рис. 2, а, используются дополнительные экранирующие электроды, предложенные впервые в [20], но в отличие от [20] учитывается предполагаемое ее применение на крыле самолета. Здесь А — электропроводная обшивка крыла, электрический потенциал которой считается нулевым; В — ускоряющие изолированные электроды, также имеющие нулевой потенциал; С — утопленные внутрь конструкции внешние электроды под заданным переменным потенциалом ф = -фо sin (2nf), где t — время, f— частота; D — экранирующие изолированные электроды, электрически связанные с внешними электродами. Все электроды разделены диэлектрическими слоями 1 и 2. Если амплитуда приложенного переменного потенциала достаточно высока, вблизи внешних острых кромок каждого внешнего электрода C возникает ДБР. В разрядном промежутке из-за разделения зарядов возни-

кает осциллирующая объемная электростатическая сила. Средняя по времени горизонтальная компонента Е|| этой силы направлена слева направо и ускоряет пограничный слой в этом направлении. Экранирующие электроды В позволяют существенно ослабить напряженность электрического поля вблизи левых (пассивных) кромок внешних электродов, тем самым ослабляя или полностью предотвращая разряд в этих областях. Использование электродов В также позволяет существенно уменьшить ширину внешних электродов и расстояние между ними.

В настоящей работе моделируется вариант расположения ДБР-актуаторов, показанный на рис. 1, а. Кривизна поверхности крыла не учитывается. Вводится система декартовых координат (х, у, г) с центром, расположенным на критической линии, осью х, направленной вдоль поверхности крыла перпендикулярно передней кромке, осью у, направленной по нормали к поверхности, и осью г, направленной вдоль кромки крыла. Это означает, что электроды В, С, и В расположены вдоль оси х, а сила Е|| направлена вдоль оси г. Рассматривается один пространственный период системы актуаторов. Расчетная область показана на рис. 2, б. Здесь С — половина некоторого (левого) внешнего электрода, а Сг — половина следующего (правого) электрода. Толщина обшивки А и изолированных электродов В и В считается нулевой, толщина внешних электродов равна 50 мкм. Подобласти 1 и 2 — слои диэлектрика, подобласть 3 соответствует разрядному промежутку, подобласть 4 введена, чтобы удовлетворить условию равенства нулю потенциала на бесконечности [24].

Постановка краевой задачи численного моделирования ДБР в рассматриваемой конфигурации подробно изложена в [24, 30]. Численное решение сформулированной краевой задачи позволяет оценить пространственные распределения объемной силы и энерговыделения, реализуемые в разряде. Эти распределения так же, как и полная сила, создаваемая ДБР-актуатором, становятся квазипериодическими по времени после нескольких циклов приложенного напряжения [14]. Кроме того, при фиксированных конструкции актуатора и параметрах приложенного напряжения характеристики ДБР чувствительны к давлению воздуха, так как коэффициенты скоростей плазмо-химических реакций в разряде сильно зависят от функции приведенного поля у = Е / N , где Е — модуль вектора напряженности электрического поля, N — объемная концентрация молекул воздуха. Очевидно, что изменение статического давления вдоль поверхности крыла будет приводить к изменению характеристик разряда. В свою очередь, численное моделирование ДБР в течение одного периода приложенного напряжения требует очень большого времени. Поэтому дальнейшее рассмотрение особенностей распределений объемной силы и энерговыделения выполняется на основе результатов расчетов, выполненных для одного набора параметров задачи и второго периода приложенного напряжения.

Ниже представлены результаты расчетов при следующем наборе параметров задачи. Пространственный период системы актуаторов и ширина внешних электродов выбраны достаточно малыми: ге = 10 мм, .1 = 1 мм, соответственно. Другие размеры расчетной области следующие (см. рис. 2, б): г2 = 6, г3 = 8, у1 = -3, у2 = -1, уе = 5, уда = 7 мм. Физические параметры, использованные в расчетах: давление и температура воздуха р = 2.6 • 104 Па (200 Тор) и Т = 223 К, амплитуда и частота приложенного напряжения ф0 = 5 кВ и / = 10 кГц, диэлектрические постоянные слоев изоляции 81 = 2.1 (тефлон) и 82 = 3.5 (каптон), коэффициенты вторичной ионно-электронной эмиссии на диэлектрике и электродах £ а = С т = 0 05 , частоты десорбции отрицательных ионов и электронов на диэлектрике ve = vn = 5 кГц, коэффициент электрон-ионной рекомбинации

на поверхности диэлектрика аге = 10-7см2/с [31, 32].

Предполагается, что силовое воздействие ДБР-актуаторов на течение в пограничном слое в основном обусловлено компонентой объемной силы, параллельной обтекаемой поверхности и определяемой выражением (5э — площадь подобласти 3 на рис. 2, б):

Здесь е — элементарный заряд; Ег — компонента напряженности электрического поля, направленная вдоль оси г; Пр, пп и пе — объемные концентрации положительных ионов, отрица-

тельных ионов и электронов соответственно. Влияние на течение компоненты объемной силы, направленной по нормали к поверхности, рассмотренное например в [29], в дальнейшем не будет учитываться, поскольку осредненное по времени и интегральное по пространству разрядного промежутка значение этой компоненты, согласно результатам численного моделирования, почти на порядок меньше, чем среднее интегральное значение горизонтальной силы.

Тепловое воздействие ДБР-актуаторов на сжимаемый пограничный слой обусловлено, во-первых, объемным нагревом газа. Суммарная мощность энерговыделения в разряде (джоулевой диссипации) рассчитывается как

J (*) = | еЕ(

Г „ - Г„ - Ге

Здесь Е — вектор напряженности электрического поля; Г,- (- = р,п,е) — векторы диффузионно-дрейфовых потоков соответствующих заряженных частиц. Однако не вся джоулева диссипация затрачивается непосредственно на нагрев газа в разрядном промежутке из-за наличия течения газа. Некоторая часть энергии электронов сначала поступает в энергию колебательных степеней свободы молекул воздуха. Затем эта колебательная энергия релаксирует в поступательные степени свободы в течение конечного времени. Течение газа может влиять на область этой релаксации и, следовательно, на тепловыделение. Времена колебательно-поступательной релаксации х^ для молекул азота и кислорода существенно зависят от давления р и температуры Т воздуха согласно следующим формулам [28]:

р т( 2 ) = 6.5 -10"4ехр(137/Т1/3 ), Па • рт(2) = 2.7 • 10-3ехр(/Т1/3) (Т < 500К),

Па • с.

Например, при р = 2.6 • 10 Па и Т = 223 К, согласно (1.3), т^ = 162 с для азота и т^ = 0.29 с для кислорода.

Доли энергии электронов, поступающие в колебательное возбуждение молекул кислорода /0 и азота , в зависимости от функции приведенного поля при указанном выше давлении и

типичной для ДБР относительной концентрации электронов пе/И = 10 9 были рассчитаны на основе двухчленного приближения уравнения Больцмана [33]. Представленные на рис. 3 функции /о и /используются далее для оценки средней доли полной джоулевой диссипации, которая

затрачивается на колебательное возбуждение молекул воздуха.

На тепловое состояние пограничного слоя также может влиять нагрев внешних электродов актуаторов вследствие релаксации на них энергии падающих заряженных частиц, а именно, положительных ионов при отрицательной полярности электродов (когда электрическое поле направлено к их поверхности, т. е. Ем, < 0), отрицательных ионов и электронов — при положительной полярности (поле направлено от поверхности электродов, Е„ > 0). При Е„ < 0 падающий на электрод-катод положительный ион передает ему свою кинетическую энергию 0.5Шр¥^р , где У№р =Г№р /Пр — скорость иона,

и потенциальную энергию нейтрализации. Для нейтрализации однозарядного иона электрон должен быть извлечен из катода. Следовательно, энергия нейтрализации равна разности ф,- - фе, где ф,- — потенциал ионизации положительного иона, фе — работа выхода электрона из материала электрода [34]. При Е„ > 0 электроду-аноду передают свою кинетическую энергию электроны и отрицательные ионы.

0.5

\1 / 2

, ---1

1СГ

10"

10'

10

ЁЙГПО В см")

Рис. 3. Доли энергии электронов, поступающие в колебательное возбуждение молекул кислорода

3

с

Кроме этого, работа выхода электрона также входит в приток энергии, поскольку каждый электрон, поступающий на анод, нейтрализует ион металла при внедрении в его решетку [35]. Таким образом, интегральная по открытой поверхности внешнего электрода Бе мощность релаксации заряженных частиц в двух указанных случаях определяется в виде:

К < 0: Чъ = - {Г«р

я I=п,е

е

Кг =Гъ1/пг(г = P,n,е).

Знак минус перед интегралами (1.4) обусловлен тем, что в рассматриваемой постановке задачи потоки частиц, выходящие из расчетной области, являются отрицательными. Для оценки характерных значений мощности, согласно (1.4), задавались значения фг = 0.8 • 15.5 + 0.2• 12.2=14.8эВ с учетом процентного содержания азота и кислорода в воздухе, где 15.5 и 12.2 эВ — энергии ионизации азота и кислорода, и фе = 4.5 эВ (медь).

Зависимости от времени величин, определяемых выражениями (1.1), (1.2) и (1.4) в течение второго периода приложенного напряжения, представлены на рис. 4. Штриховые кривые показывают изменение потенциала внешних и экранирующих электродов. Прежде всего отметим, что разряд вблизи левой (пассивной) кромки правого электрода Сг (см. рис. 2, б) отсутствовал при указанных выше параметрах задачи. В свою очередь, повышение амплитуды напряжения до 6 кВ в дополнительных расчетах приводило к появлению разряда на этой кромке. Дальнейшее обсуждение относится к разряду на правой кромке левого электрода Сг.

При уменьшающемся потенциале внешнего электрода (так называемый прямой ход разряда) ДБР имеет вид серии интенсивных микроразрядов, разделенных интервалами, в течение которых ток проводимости в разряде мал. Возникновение каждого микроразряда сопровождается образованием отрицательной горизонтальной объемной силы в малой окрестности кромки внешнего электрода, которая создается двигающимися к ней положительными ионами. Осаждение уходящих от электрода электронов на поверхность диэлектрика ведет к ослаблению напряженности поля вблизи кромки электрода и, как следствие, к затуханию микроразряда. Концентрация положительных ионов быстро уменьшается вследствие их релаксации на электроде. После этого возникает положительная горизонтальная сила, создаваемая двигающимися от электрода отрицательными ионами. Положительная сила постепенно ослабевает с уменьшением концентрации отрицательных ионов вследствие их осаждения на поверхность диэлектрика. Этот процесс повторяется в следующем микроразряде, возникающем из-за продолжающегося падения потенциала внешнего электрода и увеличения абсолютного значения напряженности поля вблизи его кромки. Объемная концентрация отрицательных ионов последовательно возрастает с появлением следующих микроразрядов. Поэтому положительная горизонтальная сила между микроразрядами также увеличивается. Каждый микроразряд характеризуется высоким током проводимости (примерно до 0.3 А/м) и большой джоулевой диссипацией.

Рис. 4. Интегральные по пространству горизонтальная сила

Обратный ход разряда (возрастающий потенциал внешних электродов) характеризуется плавным поведением тока проводимости, объемной силы и джоулевой диссипации. Подвижность положительных ионов много меньше подвижности электронов. Поэтому ионы, двигаясь от внешнего электрода и осаждаясь на диэлектрике, не успевают сформировать поверхностный заряд, достаточно большой для экранирования внешнего электрического поля, как это происходит на прямом ходе разряда. В свою очередь, электроны, десорбируемые с поверхности диэлектрика, постоянно поступают в разрядный промежуток, обеспечивая тем самым непрерывность процессов ионизации. Положительные ионы вносят основной вклад в формирование положительной горизонтальной силы на обратном ходе разряда.

Отметим, что зависимости полного тока (суммы токов смещения и проводимости) от времени в экспериментах содержат многочисленные кратковременные и большие пики, которые наиболее интенсивны на обратном ходе ДБР. Согласно визуальным наблюдениям, именно обратный ход разряда сопровождается наиболее частыми и протяженными стримерами [14]. По-видимому, стримеры обусловливают упомянутые пики в токе проводимости. Используемая двумерная математическая модель неспособна описывать такое трехмерное явление, как стример. Некоторое оправдание использования модели заключается в низком вкладе стримеров в генерирование объемной силы, так как ионизованная среда в канале стримера является квазинейтральной, за исключением малой области вблизи его головки. Однако стримеры вносят значительный вклад как в ток проводимости, так и в джоулеву диссипацию. Поэтому необходимо иметь в виду, что численное моделирование ДБР без учета этого явления дает заниженные значения джоулевой диссипации и завышенные значения коэффициента энергетической эффективности.

Для расчетов пограничного слоя с учетом воздействия ДБР-актуаторов представляют интерес осредненные по времени значения функций, определенных в (1.1), (1.2) и (1.4). Такое осреднение по второму периоду разряда дает значения полной средней горизонтальной силы на единицу длины внешнего электрода = 6.74-10-3 Н/м, джоулевой диссипации = 25.1 Вт/м,

мощности релаксации частиц на электроде = 0.141 Вт/м и коэффициента энергетической

эффективности сей- = = 2.69 -10-4 с/м. Вклады прямого и обратного ходов разряда в эти

величины сильно различаются. Прямой ход вносит примерно 40% в джоулеву диссипацию, 70% — в мощность релаксации энергии частиц на электроде и только 12% — в горизонтальную силу. Это означает, что знак полной средней горизонтальной силы в рассматриваемой геометрии определяется, главным образом, положительными ионами. Этот результат представляется противоречащим известным экспериментальным данным о ключевой роли отрицательных ионов в ДБР в воздухе [16, 36]. Возможное объяснение этого противоречия связано с влиянием размеров ак-туаторов. Характерные размеры одиночных ДБР-актуаторов, исследованных в указанных экспериментах, были значительно больше, чем в настоящем моделировании. Влияние размеров актуа-тора на знак горизонтальной силы при убывающем отрицательном потенциале внешнего электрода показано при численном моделировании [37].

Осредненные за период приложенного напряжения доли мощности разряда, поступающие в колебательное возбуждение молекул воздуха, в рассматриваемых условиях оцениваются как

Таким образом, примерно четверть полной мощности, поступающая в колебательное возбуждение молекул азота, может вылетать из разрядного промежутка благодаря течению газа. Возбуждением молекул кислорода можно пренебречь. Отметим, что примерно 40% полной джоулевой диссипации генерируется током положительных ионов.

'3

Рис. 5. Рассчитанные распределения осредненных по времени плотности горизонтальной силы

Пространственные распределения осредненных по времени горизонтальной силы и джоуле-вой диссипации рассчитываются по формулам:

г+Д

Р(у) = Д ^еЕг (пР " Пп " Пе ^,

Г

1 г+Д/

0(г,у) = — |еЕ(гр - Гп - Ге), Д = 10

с.

Общее представление об этих распределениях дает рис. 5. Небольшая область отрицательной силы Р, примыкающая к кромке электрода, не учитывается. Имеется несколько существенных качественных различий между представленными распределениями. Максимальная плотность горизонтальной силы Ртах = 1.6 • 104 Н/м3 достигается на поверхности диэлектрика на расстоянии примерно 1 мм от кромки левого электрода, а максимальная плотность джоулевой диссипации 0шах = 2.8 -109 Вт/м3 достигается непосредственно на кромке, где напряженность поля и плотность тока достигают экстремальных значений. Кроме того, распределение джоуле-вой диссипации является гораздо более острым, т. е. имеет очень большие пространственные градиенты вблизи максимального значения. Поэтому для наглядности изображения максимальное значение шкалы на рис. 5, б почти на порядок меньше указанного значения 0шах.

Показанные на рис. 5 распределения объемной силы и энерговыделения были использованы в расчетах сжимаемого пограничного слоя на скользящем крыле в [30]. Полученные результаты показали, что основные характеристики ДБР-актуаторов, определяемые значениями

= 674 •Ю-3 Н/м и = 25.1 Вт/м, являются недостаточными для заметного влияния на устойчивость поперечного течения. Кроме того, вертикальный размер области объемной силы оказался слишком большим, поскольку толщина пограничного слоя в рассмотренной окрестности передней кромки крыла была мала (менее 1 мм).

Как отмечалось выше, определение оптимальных геометрических и физических параметров системы ДБР-актуаторов на основе ее численного моделирования является очень трудоемким. Поэтому для облегчения дальнейшего численного параметрического исследования рассматриваемого метода УЛО и формулирования требований к основным параметрам системы актуаторов предлагается следующий упрощенный подход. Предполагается, что характерные особенности пространственных распределений объемной силы и джоулевой диссипации, показанных на рис. 5, могут быть воспроизведены с помощью аналитической аппроксимации этих распределений в виде пирамиды, показанной на рис. 6 слева, согласно следующим формулам:

0 < у < 5г + г < г < ^ : Р = Р*

у0

г - г,

у

у0

5г = гт - г1

у

0 < у < у0, г* < г < -——г: Р = Р

у0

1 - гт

Дг

у0

Д = г2 - .

О 2

Рис. 6. Аналитическая аппроксимация объемных источников

Заданные величины ^FjJ, yo, Z1, Z2 определяют максимальное значение этого распределения Fm = 6 ^ FjJ /[y0(z2 - z1)]. В качестве примера на рис. 6 представлена такая аппроксимация для объемной силы, показанной на рис. 5, а, при (Fj|^= 6.74 • 10 3 Н/м, y0 = 0.8, z1 = 1, zm = 2, z2 =4.4 мм.

В дальнейших параметрических исследованиях предполагается варьировать значения средней объемной силы ^F|), коэффициента энергетической эффективности ceff, расстояния между

актуаторами ze, характерных размеров силового и теплового источников yo, Z1, Z2. Подход используется в настоящей работе для оценки средней объемной силы, необходимой для заметного воздействия на положение ламинарно-турбулентного перехода на стреловидном крыле для типичных условий крейсерского полета при фиксированных геометрических параметрах объемных источников.

2. ВОЗДЕЙСТВИЕ ДБР-АКТУАТОРОВ НА ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

Влияние ДБР-актуаторов на положение ламинарно-турбулентного перехода, вызванного неустойчивостью поперечного течения, оценивается на примере обтекания крыла бесконечного

размаха с углом стреловидности х = 30°. Статическое давление px = 2.6 -104 Па и температура воздуха Tx = 223 K, соответствующие численному моделированию ДБР-актуаторов в предыдущем разделе, и число Маха M x = 0.8 выбраны в качестве основных параметров набегающего потока. Они определяют другие параметры течения, необходимые для дальнейших расчетов пограничного слоя: скорость течения Vx = 240 м/с, плотность воздуха px = 0.41 кг/м , коэффициент

динамической вязкости = 1.33 • 10-5 кг/(м • с).

На основе уравнений Эйлера рассчитывалось двумерное невязкое обтекание профиля крыла LV6 с хордой L под нулевым углом атаки. Течение в пограничном слое в окрестности передней кромки крыла характеризуется числом Рейнольдса Re = p^V»//^, определяемым продольным размером I = Vrj[due(0)/dx], где координата x направлена вдоль поверхности крыла перпендикулярно его передней кромке, а ue — x-компонента скорости внешнего невязкого течения. Длина хорды профиля по нормали к кромке L связана с характерной длиной I формулой L = I du'e (0)/ dx', где безразмерные скорость u'e и координата X измеряются в долях V^cosx и L соответственно. Согласно выполненному расчету двумерного невязкого течения, du'e (0)/dx' = 107.7. В настоящих расчетах было принято значение I = 0.03 м, следовательно, длина хорды профиля L = 3.23 м.

Рассчитанные распределения безразмерных x-компоненты скорости внешнего течения

tt 2

u'e = ue / Vx и продольного градиента давления dp / dx = I /(p^Vx, )dp / dx в окрестности передней кромки крыла показаны на рис. 7, а. Нулевой угол атаки крыла был выбран для расчета невязкого обтекания из-за достаточно протяженного участка разгона потока и, следовательно, интенсивного поперечного течения в пограничном слое.

Течение в пограничном слое описывается компонентами скорости u, v, w, энтальпией h, статическим давлением p, плотностью воздуха р, средней энергией колебательных степеней свободы на единицу массы воздуха ш. Бесконечный набор ДБР-актуаторов расположен на поверхности крыла с шагом ze вдоль размаха, как показано на рис. 1, а. Внешние электроды ак-туаторов начинаются на критической линии и направлены вдоль оси x. Предполагается, что каждый актуатор создает распределения объемной силы и энерговыделения, которые не зависят от координаты x. То есть влияние изменения статического давления вдоль потока на характеристики актуаторов не учитывается.

Возможность использования обычного приближения пограничного слоя в случае, когда толщина слоя много меньше характерного размера актуаторов ze, обоснована в [25]. В [29] показано, что амплитуда пульсаций скорости, вызванных периодическими по времени объемными силовыми и тепловыми источниками в сжимаемом пограничном слое, слабо зависит от скорости потока, но быстро уменьшается при увеличении частоты осцилляции источников. Поэтому течение в пограничном слое может рассматриваться в квазистационарном приближении при достаточно высокой частоте ДБР-актуаторов.

Таким образом, течение в пограничном слое описывается следующей системой уравнений и граничных условий:

Рис. 7. Распределения вдоль поверхности крыла: безразмерной продольной скорости невязкого течения и градиента давления

д(рu) , d(pv) + d(pw) = 0

дх

dy

dz

к-1 h

Р =-Р К

к

du du du dp d р u--hp v--hp w— =---1--

dx dw

dy

dw

dz

dx dy i dy

du

v—

dw

d

p u--hp V--hp w-= F h--

dx

dy

dz

dw

v—

dy i dy

dh dh dh dp

p u--hp v--hp w— = u--hv

dx dy dz dx

( du ^

h

( dw V

dy ) \dy

h

h

d

f

V dh

Л

dy lPr dy

h (1 - r )Q + P

Ш-йп

Lvt

дш дш p u--hp v--hp w— = —

dx dy dz dy

дш d ( v дш Sc dy

^ 1 h rQ - p-

V(T ) = 1.47 -10

T

3/2

-, к = 1.4, Pr = 0.72, Sc = 0.9,

Th114

y = 0: u = v = w = dh/dy = ш = 0, y = ye : u = ue, w = we, h = he, ш = 0,

( 2 2 2 ! Ko - ue - we j.

T

vt

6

Здесь ц — коэффициент динамической вязкости; F и Q — распределения объемной силы и полной джоулевой диссипации, задаваемые в описанном выше аналитическом виде;

r = Jn2)/J) — колебательная доля джоулевой диссипации, оцениваемая выражением (1.5); последние члены в уравнениях (2.4), (2.5) моделируют процесс колебательно-поступательной релаксации молекул азота с характерным временем Tvt, определяемым первым выражением (1.3), и равновесным значением колебательной энергии Ю0 = 0 для относительно холодного газа, рассматриваемого здесь. Тепловое граничное условие (2.6) означает, что рассматривается теплоизолированная поверхность, т. е. релаксация энергии заряженных частиц на электродах не учитывается. Нижний индекс «е» обозначает соответствующие величины на внешней границе пограничного слоя.

Заданные выше параметры задачи определяют значение числа Re = 2.03 • 105 и толщину по-

—1/ 2

граничного слоя на критической линии 60 ~ 51 Re « 0.33 мм. Нарастание пограничного слоя в рассматриваемой небольшой окрестности передней кромки является умеренным из-за интенсивного разгона внешнего течения. Поэтому условие 5 / ze << 1 выполняется в рассматриваемой области течения.

В расчетах использовались следующие постоянные параметры, определяющие силовой и тепловой источники: пространственный период системы актуаторов ze = 5 мм; средняя полная сила (Fl) = 0.02 Н/м; y0 = 0.3, Z1 = 0.5, zm = 1, Z2 =2.5 мм — для объемной силы; y0 = 0.2, Z1 = 0.5,

zm = 0.8, Z2 =1.5 мм — для джоулевой диссипации. Было рассмотрено два значения коэффициента энергетической эффективности для оценки его влияния на течение в пограничном слое и его устойчивость. Первое значение близко к рассчитанному в предыдущем разделе ceff = 2.5 • 10-4 с/м, т. е. средняя джоулева диссипация в этом случае (J^ = 80 Вт/м. Второе значение увеличено до ceff = 5 • 10 4 с/м и, следовательно, (J} = 40 Вт/м.

Численное решение задачи (2.1) — (2.6) выполнялось с использованием разложения всех зависимых переменных в конечные ряды Фурье по координате z и последующего решения получающихся систем двумерных уравнений с помощью численного метода второго порядка точности [25].

На рис. 7, б показаны рассчитанные продольные распределения экстремальных значений скорости поперечного течения Vo.t, которая вычисляется согласно следующим формулам (см. рис. 1, а):

Vo.t = u sin у-w cos у, tg у = we / ue, we = Vx sin х.

Угол у между внешней линией тока и осью x показан на рис. 7, б кривой 4. Сплошная кривая 1 представляет максимум скорости поперечного течения в пограничном слое без воздействия актуаторов. Три кривые 2 показывают значения наибольшего, наименьшего и среднего (сплошная кривая) максимумов скорости поперечного течения в промежутке 0 < z < ze при воздействии актуаторов с коэффициентом энергетической эффективности cf = 2.5 • 10 4 с/м, кривые 3 — то же при ceff = 5 • 10 4 с/м. Отметим, что среднее значение любой функции течения определяется нулевым членом соответствующего ряда Фурье.

Течение в пограничном слое является сильно неоднородным вдоль размаха крыла из-за локализованного силового и теплового воздействия актуаторов, что отражено на рис. 8, где показаны распределения температуры газа (а, в) и скорости поперечного течения (б, г) на расстоянии x/l = 1 и 3 от передней кромки при ceff = 2.5 • 10 4 с/м. Наибольший максимум скорости поперечного течения Vo t max ~ 23.5 м/с на рис. 8, б достигается при z ~ 0.7 мм, а наименьший максимум Vo t max ~ 19.5 м/с — при z ~ 2.2 мм. При этом среднее значение максимальной скорости поперечного течения Vo t max ~ 21.5 м/с.

Вследствие отмеченной пространственной неоднородности течения верхняя штриховая кривая 2 на рис. 7, б лежит выше кривой 1 вплоть до x/l ~ 1.5, отражая ускоряющее воздействие теплоподвода на продольную компоненту скорости u [25], возрастание которой, согласно (2.7), ведет к увеличению Vot. Силовое воздействие актуаторов, результатом которого является увели-

Рис. 8. Распределения температуры газа и скорости поперечного течения в сечениях х/г = 1

чение по абсолютной величине ъ-компоненты скорости и, следовательно, уменьшение Уот, становится более заметным при уменьшении угла внешней линии тока у (2.7).

Амплитуда пространственного модулирования скорости поперечного течения постепенно уменьшается вниз по потоку, как видно на рис. 7, б и 8, г, несмотря на то, что неоднородность температуры возрастает, согласно рис. 8, в. Но из-за силового воздействия актуаторов появляются отрицательные значения скорости поперечного течения в пристеночной области. На рис. 8, г отрицательные значения Уо.т наблюдаются в промежутке 1< г < 2 мм. Экстремальное отрицательное значение Уо.т изменяется от -2 м/с в сечении х/г = 3 до -4.5 м/с при х/г = 5. При этом максимальная температура, которая достигается на поверхности диэлектрика, возрастает до 530 К в сечении х/г = 5. Увеличение энергетической эффективности актуаторов значительно ослабляет негативное влияние теплоподвода на скорость поперечного течения. Кривые 3 на рис. 7, б демонстрируют, что при Сей- = 5 • 10 4 с/м силовое воздействие актуаторов превалирует над тепловым на всем рассматриваемом участке пограничного слоя. При этом экстремальное отрицательное значение скорости поперечного течения в сечении х/г = 5 изменяется мало (до -4.8 м/с), в то время как максимальная температура значительно снижается до 380 К.

Появление отрицательных значений скорости поперечного течения указывает на то, что воздействие ДБР-актуаторов на течение в пограничном слое при рассматриваемой геометрии и параметрах воздействия является не оптимальным, а даже слишком сильным. При дальнейшей оптимизации рассматриваемого метода УЛО необходимо учитывать, что интенсивный нагрев поверхности диэлектрика может приводить к ее разрушению и ухудшению характеристик ДБР-актуаторов [38].

3. ВЛИЯНИЕ ДБР-АКТУАТОРОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ

Влияние рассмотренного выше воздействия ДБР-актуаторов на устойчивость течения в пограничном слое оценивается на основе численного решения системы уравнений линейной устойчивости Дана — Линя [39]. В настоящем упрощенном рассмотрении не учитывается пространственное модулирование течения, демонстрируемое рис. 7, б и 8. Это означает, что в уравнениях устойчивости используются только нулевые члены Фурье-разложений функций основного течения. Отметим, что при учете поперечного модулирования течения в пограничном слое его устойчивость может даже повышаться [40].

Рассматриваются только стационарные возмущения поперечного течения, которые характеризуются углом между внешней линией тока и направлением волнового вектора в диапазоне 85 90°. Для оценки положения ламинарно-турбулентного перехода используется известный еЛ-метод [1]. Таким образом, возмущения всех функций течения и N-фактор определены как

x

q

x0

Здесь q — комплексная собственная функция возмущения; a = ar + ia,- — комплексное собственное значение; ar и ß —компоненты волнового числа в x- и z-направлениях; ai — инкремент пространственного нарастания (ai < 0) или декремент затухания (ai > 0) возмущения; xo — координата сечения, в котором ai меняет знак с положительного на отрицательный.

Для расчета N-фактора используется так называемая стратегия фиксированного поперечного волнового числа ß [1]. То есть распределения вдоль поверхности крыла собственного числа a и N-фактора вычисляются для набора фиксированных значений ß. Рассчитанные продольные распределения безразмерных инкрементов пространственного нарастания a* =a l Re-12 и N-факторов для нескольких значений безразмерного поперечного волнового числа ß' = ßl Re-1/2 представлены на рис. 9.

а

-0.6

-1.2 (1

а.

-4,6

- V'v 1 ¿^Г 2 [ff аг) & V,' 1 1 1 1 1 С? ' Л7 ' У / S — /У / у я ' /// б) 1 /'" 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 ^^ я 1 1 1 1 1

а

-0.6

-! .2

4 х/1 5

4 х/1 5

Рис. 9. Безразмерные инкременты пространственного нарастания стационарных мод неустойчивости и ^-факторы в пограничном слое без воздействия

Сравнивая рис. 9, а и 9, в, представляющие инкременты нарастания возмущений, и сплошные кривые 1 и 2 на рис. 7, б, представляющие максимумы средней скорости поперечного течения, можно видеть, что при ceff = 2.5-10 4 с/м заметное воздействие актуаторов как на среднюю скорость поперечного течения, так и на инкременты возмущений проявляется на расстоянии x/l > 1, где угол внешней линии тока у уменьшается до 30°, т. е. до значения угла стреловидности крыла х. Расстояние, на котором появляется неустойчивость, т. е. а становится отрицательным, оценивается как xo/l = 0.21 — 0.26 для рассмотренного диапазона поперечных волновых чисел. Можно ожидать, что усиление влияния актуаторов на устойчивость поперечного течения с одновременным снижением интенсивности их воздействия может быть достигнуто при расположении актуаторов параллельно вектору скорости набегающего потока, т. е. под углом х к оси x, начиная с расстояния X0/I ~ 0.2 от критической линии. Такая схема расположения актуаторов не только проще, чем показанная на рис. 1, б, но и не «привязана» к внешней линии тока, угол которой зависит от угла атаки крыла.

Согласно е—-методу предсказания ламинарно-турбулентного перехода, последний возникает, когда какой-либо N-фактор достигает некоторого заданного значения Nn. При использовании стратегии фиксированного в переход, вызываемый неустойчивостью поперечного течения, определяется значением Nn = 8 — 10 [1]. Используя для оценки положения перехода нижнее значение Nn = 8, можно видеть на рис. 9, б, что переход в пограничном слое без воздействия актуаторов может появиться на расстоянии x/l = 3.3 для рп = 0.3. Воздействие актуаторов даже при низком коэффициенте энергетической эффективности ceff = 2.5-10 4 с/м, как видно на рис. 9, г, предотвращает переход на всем рассматриваемом участке пограничного слоя. Увеличение энергетической эффективности актуаторов в два раза обеспечивает более значительный запас устойчивости течения (рис. 9, е).

Средние плотности объемной силы и электрической мощности на единицу площади крыла в рассмотренном случае оцениваются как Fs = (|F\)/Ze = 4 Н/м2 и Js = (Jjze = 16 кВт/м2 при

ceff = 2.5 • 10 4 с/м. Это значение Js примерно в 2 — 2.5 раза больше, чем мощность, необходимая для преодоления силы турбулентного трения на крыле. Однако ДБР-актуаторы, необходимые для затягивания ламинарно-турбулентного перехода, вызванного неустойчивостью поперечного течения, могут быть расположены лишь на нескольких процентах поверхности крыла. Поэтому значительная экономия механической мощности может быть получена благодаря ламинаризации около половины поверхности крыла (примерно до линии минимума статического давления), если переход, вызываемый неустойчивостью Толлмина — Шлихтинга, подавлен, например, благодаря благоприятному продольному градиенту давления.

Подчеркнем, что выше дана оценка минимальной электрической мощности. При определении полной потребной мощности ЭГД метода УЛО необходимо учитывать различные каналы потерь энергии [41].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе теоретических оценок ЭГД метода УЛО показано, что средняя плотность объемной силы на единицу площади крыла Fs = 4 Н/м2 представляется достаточной для затягивания ламинарно-турбулентного перехода, вызываемого неустойчивостью поперечного течения, в условиях дозвукового крейсерского режима полета. При дальнейшей оптимизации данного метода целесообразно рассмотреть другие схемы расположения актуаторов, также учесть влияние сильной однородности течения в пограничном слое вдоль размаха, вызванной силовыми и тепловыми источниками, на устойчивость поперечного течения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-00086).

ЛИТЕРАТУРА

1. Arnal D., Casalis G. 2000. Laminar-turbulent transition prediction in three-dimensional flows // Progress in Aerospace Sciences. 2000. V. 36, p. 173 — 191.

2. Chernyshev S. L., Kiselev A. Ph., Kuryachii A. P. Laminar flow control research at TsAGI: Past and present // Progress in Aerospace Sciences. 2011. V. 47, p. 169 — 185.

3. Roth J. R., Sherman D. M., Wilkinson S. P. Electrohydrodynamic flow control with a glow-discharge surface plasma // AIAA J. 2000. V. 38. N 7, p. 1166 — 1172.

4. Mack L. M. On the stability of the boundary layer on a transonic swept wing // AIAA Paper. 1979. N 264, 11 p.

5. Moreau E. Airflow control by non-thermal plasma actuators // J. Phys. D: Appl. Phys.

2007. V. 40, p. 605 — 636.

6. Corke T. C., Post M. L., Orlov D. M. SDBD plasma enhanced aerodynamics: concepts, optimization and applications // Progress in Aerospace Sciences. 2007. V. 43, p. 193 — 217.

7. Corke T. C., Enloe C. L., Wilkinson S. P. Dielectric barrier discharge plasma actuators for flow control // Annu. Rev. Fluid Mech. 2010. V. 42, p. 505 — 529.

8. Boeuf J. P., Lagmich Y., Callegari Th., Pitchford L. C., Unfer Th. New insights in the physics of DBD plasma actuators for flow control // AIAA Paper. 2008. N 1376, 17 p.

9. Bogdanov E. A., Kudryavtsev A.A., Kuranov A. L., Kozlov I.E., Tkachenko T. L. 2D simulation and scaling of DBD plasma actuator in air // AIAA Paper.

2008. N 1377, 18 p.

10. Soloviev V. R., Krivtsov V. M. Features of a surface barrier discharge modeling // AIAA Paper. 2009. N 842, 16 p.

11. Likhanskii A., Semak V., Shneider M., Opaits D., Miles R., Macheret S. The role of photoionization in the numerical modeling of the DBD plasma actuator // AIAA Paper. 2009. N 841, 14 p.

12. M a m u n u r u M., K o r t s h a g e n U., E r n i e D., S i m o n T. Plasma actuator simulation: Force contours and dielectric charging characteristics // AIAA Paper. 2010. N 1221, 9 p.

13. Huang P. G., Shang J. S., Stanfield S. A. Periodic electrodynamic field of dielectric barrier discharge // AIAA Paper. 2010. N 961, 12 p.

14. Enloe C. L., Font G. I., McLaughlin T. E., Orlov D. Surface potential and longitudinal electric field measurements in the aerodynamic plasma actuator // AIAA J. 2008. V. 46. N 11, p. 2730 — 2740.

15. Thomas F. O., Corke T. C.,Iqbal M., Kozlov A., Schatz man D. Optimization of dielectric barrier discharge plasma actuators for active aerodynamic flow control // AIAA J. 2009. V. 47. N 9, p. 2169 — 2178.

16. Font G. I., Enloe C. L., Newcomb J. Y., Teague A. L., Vasso A. R., McLaughlin T. E. Effects of oxygen content on dielectric barrier discharge plasma actuator behavior // AIAA J. 2011. V. 49. N 7, p. 1366 — 1373.

17. Поливанов П. А., Вишняков О. И., Сидоренко А. А., Маслов А. А. Исследование нестационарного поля течения, генерируемого диэлектрическим барьерным разрядом // Журнал технической физики. 2012. Т. 82, вып. 4, с. 32 — 41.

18. Murphy J., Lavoie P. Characterization of DBD plasma actuators via PIV measurements // AIAA Paper. 2013. N 346, 14 p.

19. Wang Y., Zheng B., Gao C., Liu F., Luo S. Experimental study of DBD plasma actuation body force based on PIV // AIAA Paper. 2013. N 350, 11 p.

20. Benard N., Jolibois J., Mizuno A., Moreau E. Innovative three-electrode design for definition of multiple dielectric barrier discharge actuators // Proceedings of 2009 Electrostatic joint Conference. — Boston, June 2009. Paper N 1 — 17, 18 p.

21. Erfani R., Hale C., Kontis K. The influence of electrode configuration and dielectric temperature on plasma actuator performance // AIAA Paper. 2011. N 955, 12 p.

22. Berendt A., Podlinski J., Mizeraczyk J. Multi-DBD actuator with floating inter-electrode for aerodynamic control // Nukleonika. 2012. V. 57. N 2, p. 249—252.

23.Chernyshev S. L., Kuryachii A. P., Rusyanov D. A., Skvortsov V. V. On increase of efficiency of plasma multi-actuator system // CD-ROM Proceedings of the 6th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2012), September 10 — 14, 2012, Vienna, Austria, Eds.: Eberhardsteiner J.; Böhm H. J.; Rammerstorfer F. G., Publisher: Vienna University of Technology, Austria, ISBN: 978-3-9502481-9-7. 14 p.

24. Курячий А. П., Русьянов Д. А., Скворцов В. В., Чернышев С. Л. О повышении эффективности системы электрогазодинамических исполнительных элементов для управления пограничным слоем // Ученые записки ЦАГИ. 2013. Т. XLIV, № 3, c. 3 — 17.

25. Курячий А. П., Мануйлович С. В. Ослабление неустойчивости поперечного течения в трехмерном пограничном слое с помощью объемного силового воздействия // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 3, с. 41 — 52.

26. Курячий А. П., Русьянов Д. А., Скворцов В. В. Моделирование плазменных актуаторов при различном давлении газа и оценка их воздействия на сдвиговые течения // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 2, с. 68 — 79.

27. N i c h o l s T. G., R o v e y J. L. Fundamental processes of DBD plasma actuators operating at high altitude // AIAA Paper. 2012. N 822, 23 p.

28. Мнацатанян А. Х., Найгис Г. В. Баланс колебательной энергии в разрядах в воздухе // ТВТ. 1985. Т. 23. № 4, с. 640 — 648.

29. Курячий А. П. Влияние на ламинарный пограничный слой пространственно-временной структуры, моделирующей диэлектрический барьерный разряд // Известия РАН. МЖГ. 2006. № 3, c. 49 — 58.

30. Chernyshev S. L., Kuryachii A. P., Manuilovich S. V., Rusya-nov D. A., Skvortsov V. V. Attenuation of cross-flow-type instability in compressible boundary layer by means of plasma actuators // AIAA Paper. 2013. N 321, 16 p.

31. Курячий А. П., Русьянов Д. А., Скворцов В. В. Особенности численного моделирования диэлектрического барьерного разряда // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 1, с. 37 — 52.

32. Golubovskii Yu. B.,Maiorov V. A., Behnke J., Behnke J. F. Influence of interaction between charged particles and dielectric surface over a homogeneous barrier discharge in nitrogen // J. Phys. D: Appl. Phys. 2002. V. 35, р. 751 — 761.

33. Hagelaar G. J. M., Pitchford L. C. Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models // Plasma Sources Sci. Technol. 2005. V. 14, p. 722 — 733.

34. Грановский В. Л. Электрический ток в газе. Установившийся ток. — М.: Наука, 1971, 543 с.

35. Энгель А. Ионизованные газы. — М.: Физматлит, 1959, 332 с.

36. Zhao P., Roy S. Study of spectrum analysis and signal biasing for dielectric barrier discharge actuator // AIAA Paper. 2012. N 408, 9 p.

37. Hoskinson A. R., Hershkowitz N. N. 2D simulations of single and double DBD plasma actuators with finite electrode thicknesses // AIAA Paper. 2009. N 484, 13 p.

38. Hanson R., Kimelman J., Lavoie P. Effect of dielectric degradation on dielectric barrier discharge plasma actuator performance // AIAA Paper. 2013. N 397, 13 p.

39. D unn D. W., Lin C. C. The stability of the laminar boundary layer in a compressible fluid for the case of three-dimensional disturbances // J. Aeronaut. Sci. 1952. V. 19, N 7, p. 491 — 502.

40. Мануйлович С. В., Асмолов Е. С. Влияние периодичности по размаху силового и теплового воздействия на неустойчивость течения газа в трехмерном пограничном слое // Модели и методы аэродинамики. Материалы тринадцатой Международной школы-семинара. — М.: МЦНМО, 2013, с. 145 — 146.

41. Kriegseis J., Duchmann A., Grundmann S., Tropea C. Comprehensive effectiveness and efficiency evaluation of dielectric barrier discharge plasma actuators // AIAA Paper. 2013. N 898, 11 p.

Рукопись поступила 21/III2013 г.