Хеджирование динамических финансовых обязательств

математике, являются безарбитражными, поскольку предположение об отсутствии арбитража является основным для современной теории. Финансовые рынки исследуемого класса являются неполными (на этих рынках нет возможности хеджировать любое платежное поручение).

Целью данного исследования является определение оптимального портфеля ценных бумаг на рассматриваемом классе финансовых рынков, учитывая тот факт, что финансовые обязательства являются динамическими.

Описание модели

Рассмотрим класс моделей неполного рынка, каждая из которых является модификацией модели финансового рынка Кокса- Росса-Рубенштейна. Считаем, что на рынке присутствуют акции одного вида. Акция может случайным образом исчезать с рынка: акция начинает вести себя как банковский счет, и так же случайным образом возвращаться на рынок. Данная модель является развитием модели неполного и безарбитражного рынка, когда происходит скупка акции после падения и затем акция снова может вернуться на рынок, рассмотренная в [3].

Рис. 1 • •

о#о»о#о#

•эшстжжжжж)

Введем последовательность независимых в совокупности бинарных одинаково распределенных случайных величин щ ,щ ,...,щ,

гдещ = {0,1}, і = 1,N, К-финальный момент времени. Данная последовательность показывает, когда акция исчезает с рынка после роста или после падения, и когда она может вернуться на рынок. Если щ = 0,

тогда скупка акции происходит после её роста, если же щ = 1, тогда скупка начинается после падения акции. Информационное дерево рынка выглядит следующим образом при щ = 0, щ = 1,щ = 0,щ = 1, N = 4 (рис.1).Черный узел информационного дерева указывает на то, что происходит скупка. Если в информационном дереве за черным узлом снова следует черный узел, то это означает, что акция скупается. Если же после черного узла дерева идет белый, то это означает, что акция возвращается на рынок.

Введем = {0,1}, р =\а,^‘ 0 . Если 8 = 1 , то акция растет.

р' \ьл = 1 г

Если 8. = 0, то акция падает. Параметр а- означает, что акция падает; Ь - означает, что акция падает; г - указывает на то, что акция ведет себя как банковский счет, -1<а < г< Ь-должно выполняться, цена акции в начальный момент времени «0 известна. В модели Кокса-Росса-Рубинштейна цена акции имеет следующий вид

п

п (л + ьЛ ^8

= «0 П (1 + р>) или = ЗД + а)п [ — )'=' .

ы 11 + а)

Заметим, что для нашего класса неполных рынков .,8.-независимые случайные величины. Будем теперь рассматривать о-алгебру х Е .

Как видно ситуация на рынке, когда акция начинает вести себя как банковский счет или возвращается на рынок, зависит от ситуации на рынке в предыдущем моменте времени, т.е. появляется зависимость от §.

Считаем, что 8о = 1. Тогда получаем:

1 + р = (1 + г)1-8-1 ((1 + а)(1-8 81 (1 + Ь)88-1  + (1 + Ь)(1-881 (1 + а)88-1 (1 -  )) Отсюда, получаем формулу для цены акции:

«И = ^

Будем считать последовательность о = ( )”=1 случайной, тогда проинтегрируем цену акции по о (найдем математическое ожидание по о ), получим:

Еш « ) = Бп_х (1 + гУ-8- ((1 + а)0-8" )8-1 (1 + Ь)88-1 ~ + (1 + Ь)0-8- )8--1 (1 + а)8-8-где ~ = Р(о, = 1), ~ = Р(о, = 0), ~ ~ = 1 .

Теперь будем рассматривать цену акции (рисковый актив) в виде:

«Я = ^ (1 + г)1-8--1 ((1 + а)(1-8п )8п-1 (1 + Ь)8,8,-! ~ + (1 + Ь)(1-8п )8п-1 (1 + а)8п8п-1

п = 1..., N (1).

Банковский счет

Было получено семейство мартингальных (нейтральных к риску) мер:

р; = к,і {^,0)+ж = \\8„_,=і) і.

е; = (1 - к.) 1{Л .И+р(<5„ = о\г_1 = 1)1^ .1,,к, є [о,і].

{&-Г1}’

Где:

Р(8„ = 1\^„-і = 1).

г - а~ - ЬЬ

(Ь - а)(я - Ь ) , ^ = оК1 = 1).

Ь~ + аЬ - г

,Ъ. є [0,1].

Кп, Ъ - предсказуемые последовательности. Не трудно показать, что

при ~ = і рынок ЯвЛЯЄГОЯ ДЄТЄрМиНированНММ. КромЄ ТОГ°, на раО

сматриваемом классе рынков нет возможности получить прибыль не рискуя (класс безарбитражен) тогда и только тогда, когда:

1 Ь - г г - а Л 1 тіттті ~ ~~ Г . (1 Ь - г г - а Л Л

—,-----,----1,1 или ~ <ь, я є 0,штI —,-------,-

2 Ь - а Ь - а І I 2 Ь - а Ь - а

(

> Ь,

шах

V

а + Ь

а < г < Ь или ~ =1, при условии, что г = ^

Согласно первой фундаментальной теореме финансовой ма-тематики1, иллюстрирующей тесную взаимосвязь понятия безарбит-ражности рынка (экономическая категория) и мартингальности меры (математическая категория) - каждый рынок из семейства рынков безарбитражен (так как множество мартингальных мер не пусто), то есть на рынке нет возможности получить прибыль не рискуя. По второй фундаментальной теореме финансовой математики2, поскольку есть семейство мартингальных мер (мартингальная мера не единственна), получаем, что каждый рынок из семейства рынков не полон. Не полнота рынка означает, что не обеспечивается доступность всех фигурирующих активов на рынке и нет отсутствия ограничений для инвестирования в эти активы. Итак, рассматриваемое параметрическое семейство рынков таково, что каждый рынок неполон и безарбитражен.

1 Для того, чтобы (В, 8)-рынок был безарбитражен, необходимо и достаточно, чтобы множество мартингальных мер было не пусто Р ^ 0. [1]

2 Для того, чтобы безарбитражный (В, 8)-рынок был полон, необхо-

*

димо и достаточно, чтобы множество мартингальных мер Р состояло из одного элемента. [1]

В данном случае мы имеем дело с параметрическим семейством рынков, где каждый рынок семейства является деформируемым рынком, поскольку некто вмешивается и вводит параметр, имея не известную нам свою стратегию поведения, мы же в случае верхнего хеджирования отвечаем ему изменениями верхней цены, причем нашей основной задачей является максимизация для определения наихудшего значения параметра.

Будем рассматривать хеджирование сверху для динамических финансовых обязательств, причем в качестве финансовых обязательств возьмем , как обычно при решении задачи верхней цены и минимальной хеджирующей стратегии в финансах используют выпуклую комбинацию американских опционов call и

put: f = (я(£и -К)+ + (1 -Л)(Кг -Sn)+ >)рп,0<Р< 1,0<Х< 1 (4) , Х-параметр

комбинации, (Sn - К)+ = max{ Sn - К,0}, (К - SB)+ = max{ К - S„ ,0}, К -контрактная цена американского опциона call1 ( опцион на покупку), К - контрактная цена американского опциона put2 (опцион на прода-

жу).Реализация нашего финансового обязательства может быть осуществлена в любое время до финального момента времени N включительно, и держатель этого обязательства может получить выплату в размере f .Экономически финансовое обязательство - это количество денег, которое мы запланировали получить в терминальный момент в результате ведения портфеля ценных бумаг.[1]

Сформулируем задачу верхнего хеджирования следующим образом: нам необходимо найти минимальный портфель, с минимальным начальным капиталом Х^’с. Поэтому нам необходимо решить следующую оптимизационную задачу: min X 7‘

' 0 п

Vn,C

rn,C > f . X"

n

К ^ fn; -=г" - сУпеРмаРти нгал

В„

<

1 опцион call—это опцион, дающий право, но не обязывающий купить фьючерский контракт ,товар или иную ценность по заранее установленной контрактной цене.

2 опцион put—это опцион, дающий право, но не обязывающий продать

фьючерский контракт или иную ценность по заранее установленной кон-

трактной цене.

Если я = (Р,у) - портфель ценных бумаг (инвестиционная стратегия) с Р = (Рп)n<N,/ = (/„)„<м (где Рп и уп - количества безрисковых и рисковых активов в момент времени п) и капиталом хя =РпВп + уп$п, п < N (6), то будем предполагать, что этот портфель является «самофинансируемым» в смысле выполнения следующего «балансового условия»: - Сп_1 = РпБп_1 + уп8п_1 (7) с

«процессом потребления» (Сп )^, С -0, С = 0 и С е ^ .

Заметим, что случайные величины Рп(п = 0,1,...,N могут быть не только положительными, но и равными 0 - если Рп = 0, то это значит , что на банковском счёте в момент времени п денег . Значения Рп могут быть и отрицательными -у банка берём заём. Величины Рп не обязательно являются целыми. Например, если в момент времени п цена банковского счёта равна $200 , а на счету $100 , то Рп = 0,5. Если количество рискового актива в момент времени п у п является дробным, то это соответствует гипотезе о безграничной делимости цен акций. Если у = 0, то отсюда следует, что в момент времени п акции в портфеле отсутствуют. Если количество рискового актива отрицательно (уп < 0 ), то такая ситуация носит название короткой продажи акций.

Для нахождения портфеля воспользуемся теоремой, рассмотренной в [2,с.680]. Не трудно показать, что условия теоремы выполняются для нашей модели. Воспользуемся следующими формулами для нахождения дисконтированного капитала, аналогичные формулам, рассмотренным в [2,с.679]. В итоге, получена следующая формула для дисконтированного капитала портфеля:

YN =

В N

V т^\у°-1 у°,° ]т , , Ь~ + ак - г 1,0 г - а~ - Ь~ У1,1ЛТ \

п |Вп ’^Гп+1,Гп+1 ^^-=0! + ((Ь -а)(~ -~) ^ + (Ь -а)(~ -~) ^ 1 ^4

Обозначение означает, что мы сейчас находимся в новом узле дерева, в который пришли после скупки акции, но теперь акция возвращается на рынок, то есть 8п = 0,с>и+1 = 1. Аналогично анализируются

следующие обозначения: Уи+1 - 8п = 0,8и+1 = 0-продолжается скупка акции, Г1;0- 8п= 1,8и+1 = 0-акция после нахождения на рынке в момент времени п , начинает скупаться в момент времени п+1, -

8 = 1,8и+1 = 1 - акция продолжает оставаться на рынке.

Капитал портфеля в момент времени п находим из соотношения: X",с = В У

п п п V '

Верхняя цена хеджирования находится из соотношения: С * = Х*’с

Оптимальный момент остановки (оптимальный момент времени для исполнения финансового обязательства) для каждого момента времени п определяется следующим образом:

/

тп = шіп(п < і < N: — = у }. Или можно переписать в виде:

В,

/

п,— = У

Вп

Л+1

Если в момент времени п момент остановки равен п ( тп = п ), то необходимо воспроизводить финансовое обязательство именно в этот момент времени, если это не так, тогда наблюдаем дальнейшую ситуацию на рынке.

Найдем теперь число единиц рискового актива для каждого момента времени п уп.

1)8и-1 = 1 , то есть в предыдущий момент времени скупка не происходила.

у1Д - г .

у Т =—-------------— £Р ,

п 1 (8„-1 =1} ( п1,1 Л п-1

А

V Вп у

_ + ак - г 1,п г - а~ - Ък и

п-1 (Ъ - а)( ~ - к) п (Ъ - а)( ~ - к) п .

2) 8и-1 = 0 - началась скупка акций.

Уп I

Для процесса потребления были получены следующие соотношения:

1) Скупки не было

Cn1 = 0, i = 0,1

2)Скупка началась на предыдущем шаге:

C.ug F

0,i

Cn= max{Y0,1,Y00} - Yu,‘ ,i = 0,1

V и ? и > и? ?

0,0

0,i

Найдем число единиц безрискового актива для каждого момента времени п Р=( /3 ).

Pn находим «балансового условия»: X*- - Cn-i = PnBn-- +ynSn--Получим:

Xn-\ - Cn-1 -YnSn-1

B

n-1

Таким образом, был найден минимальный хеджирующий портфель.

Для нахождения данного портфеля при наличии начальных данных были использованы современные информационные технологии - была написана программа с графическим интерфейсом, где строится информационное дерево, рассматривающее все ситуации на рынке для каждого момента времени. Так, что можно узнать все составляющие портфеля в каждый момент времени. А также есть возможность определять оптимальные моменты остановки.

Пример расчета

Рис.2

Приведем пример нахождения оптимального портфеля ценных бумаг при следующих данных для модели после упрощения: параметр роста a = -0,1 ; параметр падения акции имеет следующее значение b = 0,5 ; процентная ставка - r = 0,1; начальная цена акции S0 = 10 ; начальное состояние банковского счета В0 = 5 ; контрактная цена американского опциона call K =15; контрактная цена американского опциона put K =10: параметры финансового обязательства

P = 0,7; Я = 0,5; финальный момент времени N = 5, параметр внешнего влияния g = 0. Тогда получим следующее информационное дерево, иллюстрирующее всю ситуацию на рынке (рис.2).Светлые узлы дерева

означают, что акция на рынке, темные узлы - начинается скупка акции. Можно рассмотреть следующее поведение акции: после начального момента времени происходит скупка акции, но в следующий момент времени акции возвращается на рынок, и на третьем временном интервале происходит скупка, воспроизводится финансовое обязательство и мы уходим с рынка (путь акции на рис.2 обозначен красным цветом). Таким образом, оптимальным моментом остановки является третий момент времени. Портфель ценных бумаг в момент исполнения финансового обязательства имеет

вид: Х",С = 1,6721;/з = 0; Д = 0,251258 .Цена акции равна £3 = 24,75 . у3 = 0 - так как начинается скупка акции. Х"’с = 0,7143;

у2 = 0,13429; Д =-0,248204. Цена акции £2 = 16,5 . Величина процесса потребления С2 = 0. По формулам (8)—(14) вычисляются остальные параметры портфеля и таким же образом проводятся расчеты для остальных моментов времени. Верхняя цена (премия) С* = 0,42495605.

Теперь необходимо определить стоит ли выходить на рынок при такой исходной ситуации на рынке (начальных данных рынка).

Определение наихудшего значения параметра модели рынков ~, при котором верхняя цена хеджирования является максимальной.

Будем искать значение параметра ~ такое, при котором стратегия поведения на рынке дает максимальную верхнюю цену С *, а целью решения задачи верхнего хеджирования является получение минимальной верхней цены,

отсюда полученный параметра ~ —наихудший.

Для решения этой задачи был разработан следующий алгоритм:

1) Определяем множество мартингальных мер

2) Выбираем шаг поиска для этого множества

3) Осуществляем поиск по этому множеству

4) Строим график С *

Находим максимальную верхнюю цену С * и соответствующий ей параметр ~ .Данный алгоритм был реализован программным путем,

строился график С * ( ~ ) и выдавалась максимальная верхняя цена

С * и соответствующее ей значение параметра ~ .При

а = -0,1; г = 0,1; Ь = 0,5; N = 5;£0 = 10, В0 = 5, К = 15; Д = 0,7;Л = 0,5;

К = 10,можно определить значение наихудшего параметра g получили следующий вид зависимости С * ( g ) (рис.3):

При таких входных данных, имеем:

тах С * = 0,425, (~)* = 1 .Таким образом, делаем вывод, что максимальная верхняя цена достигается при ~ = 1 - это и есть наихудший параметр.

Теперь необходимо проверить, можно ли работать с упрощенным классом рынков.

Проверка воспроизведения финансового обязательства в условиях реального рынка.

Поскольку в начале мы упростили модель, то необходимо проверить будет ли в реальных условиях рынка (то есть когда скупка акции происходит случайным образом, и случайным образом происходит её возврат на финансовый рынок) наш хеджирующий портфель оптимальным и сможем ли мы воспроизвести наше финансовое обязательство.

Для этого проведем экспериментальную проверку исполнения финансового обязательства:

1)Генерируем случайную последовательность е [0,11 п = 1,..., N.

2)Формируем последовательность со=(щ)^ следующим образом:

е [0, ~*]

|0,4 е (Г,1]

3)Копируем из информационного дерева модели рынка для параметра, дающего максимальную верхнюю цену g - число единиц рискового актива для каждого момента времени уп, потребление С„ , верхнюю цену С *, моменты остановки г ,п=0,1,...Ы. Таким образ м, мы

=

должны рассматривать воспроизведение финансового обязательства в условиях самой худшей ситуации для нас на рынке.

4)Пересчитываем цену акции по формуле (1), капитал и число без-

Г Хя =/Л +рпвп

рискового актива находим из системы: 1

1 Хя-1 - ^я-1 = /я^я-1 + РяВя-1

5) В цикле генерируем путь акции (выбираем случайным образом путь акции), и смотрим, исполнимо ли финансовое обязательство в моменте остановки, подсчитываем количество успешных исходов к числу экспериментов.

Отсюда, получаем вероятность воспроизведения финансового обязательства в реальных условия рынка. Например, при следующих данных а = -0,1; г = 0,1; Ь = 0,5; N = 5; = 10; В0 = 5, К = 15;

Р = 0,7; К = 10; Л = 0,5 ,получим следующие графики (рис.4):

Рис.4

Если зафиксируем начальные данные рынка а, Ь, N, £0, В0, К, К ,Р,Л и будем изменять процентную ставку г , то получим график зависимо-

сти вести ис-финан-обяза-от проставки. из этого можно лить процент-ставки, торых

роятно-полнения сового тельства центной Исходя графика, опреде-значения ной при ко-вероят-

ность воспроизведения финансового обязательства максимальна.

Аналогичным образом, фиксируя а, Ь, N, £0, В0, К, К,Р,Л и изменяя процентную ставку можно определить значения наихудшего параметра ~ . Важной особенностью является то, что наихудшее значение ~ равняется или нулю, или единице.

Таким образом, зная процентную ставку, можно с большой вероятностью определить ситуацию на рынке.

Литература:

1. И.В.Павлов, Н.П.Красий. Стохастическая финансовая математика: Односеместровый курс лекций. Ростов-на-Дону: РГСУ.2005.

2. А.Н.Ширяев. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. Москва: ФАЗИС.1998.

3. Никоненко Н.Д. Хеджирование динамических финансовых обязательств для одной модели неполного рынка. Выпускная квалификационная работа./Под научным руководством д.т.н., профессора Г.И.Белявского.

4. http://www.rusconf.ru

5. http://www.bbh24.ru