Метод решения нелинейных краевых задач наноэлектродинамики и нанофотоники на основе автономных блоков с каналами Флоке

Макеева. Г.С. , Голованов О.А.

МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НАНОЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И НАНОФОТОНИКИ НА ОСНОВЕ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ С КАНАЛАМИ ФЛОКЕ

Разработан итерационный метод решения двух- и трехмерных нелинейных задач дифракции для периодических наноструктур и фотонных кристаллов на основе декомпозиции на нелинейные автономные блоки с виртуальными каналами Флоке (АБФ), в спектре которых существуют TEM-волны. Для определения дескриптора нелинейного АБФ на каждой итерации решаются нелинейные уравнения Максвелла с условиями неасимптотического излучения. Итерационный метод рекомпозиции нелинейных АБФ в декомпозиционной схеме наноустройства СВЧ разработан на основе линеаризации их дескрипторов.

Методом АБФ проведено математическое моделирование дифракции электромагнитной волны на периодической решетке из магнитных микро- и наносфер с учетом реального спектра магнитостатических и спиновых колебаний в микроволновом диапазоне. Получены результаты электродинамического расчета элементов многомодовой многоканальной матрицы рассеяния в зависимости от частоты падающей электромагнитной волны при различных расстояниях между магнитными наночастицами.

Введение

Изучение электромагнитных свойств фотонных кристаллов (PBG - Photonic Band Gap structures) и наноструктур является чрезвычайно актуальным как для микроволнового, так и для оптического диапазонов. Уникальные дисперсионные свойства фотонных кристаллов, а именно наличие полосы полного отражения, обусловливают их применение в частотно-селектирующих и волноводно-резонаторных наноустройствах микроволнового и терагерцового диапазонов.

Численные модели распространения электромагнитных волн в фотонных кристаллах и структурах основаны на таких методах, как FDTD или MoM (метод моментов). Основными среди них признаны метод Пендри [1], использующий условия квазипериодичности поля в фотонном кристалле так, что для получения коэффициентов в дисперсионном уравнении достаточно решить уравнения Максвелла численно (методом конечных разностей) в масштабе одной ячейки, и метод Блоха-Флоке [2], приводящий к бесконечной системе дисперсионных уравнений путем разложения поля по пространственным гармоникам. В работах [3-5] разработана дисперсионная теория для трехмерных регулярных решеток в рамках приближения локального поля и дипольного взаимодействия.

Однако развитые методы применимы для решения лишь линейных краевых задач наноэлектродинамики и нанофотоники. Исследование нелинейного распространения и преобразования электромагнитного излучения в фотонных кристаллах и наноструктурах требует разработки новых методов решения двух- и трехмерных нелинейных задач дифракции на электродинамическом уровне строгости.

1. Постановка нелинейных краевых задач наноэлектродинамики

Нестационарные нелинейные уравнения Максвелла для электродинамических структур, содержащих нелинейные диэлектрические, металлические, полупроводниковые или магнитные наночастицы, имеют следующий вид

rotH

Bt dt

где E(t) = E(x,y,z,t) , H(t) = H(x,y,z,t) - векторы напряженности электрического и магнитного полей;

D(E(tJ) - вектор электрической индукции; - вектор магнитной индукции; - вектор плот-

ности электрического тока.

Для случая изотропных нелинейных наночастиц зависимости определяются

следующими выражениями:

D

где - нелинейные относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости;

a(\E(t)\) - нелинейная электропроводность; £0, jU0 - абсолютные электрическая и магнитная постоянные;

\т[ \щ)\ - модули векторов E{t), H{t).

Зависимости e(\E(t)\), /<|tf(0|) , <г(|Я(0|) аппроксимируются многочленами

S(|^(0|) = S1+S2 |Ё(/)| + е3 +... + £„ |5?(/)|” 1,

М

к|^(0|) = CTj + СГ2 |5(/)| + СГ3 |ï?(/)|2 + ... + <7„ 1 ,

(T(\E(t)\) = (J, +CJ^\E(t)\+CJ-\E(t)\ +... + <7л| '

где коэффициенты многочленов определяются из эксперимента.

Представим Е(1), Я(?) , \е(і)\, \н(і)\ в виде рядов по комбинационным частотам

СО _ СО

£(*)= X £(т)ЄХР(гЧЛ Н{ґ)= £ Н(ют)ехр(іютї) ,

т=—» т=-‘х>

СО _ СО

\Щ)\ = X £(т)ЄХР(г'тО, \Н(()\ = X Я(т)ЄХР(г'тО '

т=—да т=—да

где индекс т определен на множестве индексов {тІ5т2,...,тг} , здесь г - число гармонических источников поля.

Внося (2), (3) в (1), с учетом (4) получаем систему стационарных нелинейных уравнений Максвелла

на комбинационных частотах

гоШ(ют) = іатє0єх {(от)Е{(от) + У(т) ,

гоіЕ{сот) = -і(от/и0/и1 {сот)Н{сот) + г{сот) ,

00 00

•/

&=—«П= —»

+ 2 2 2 3 (т Ж,, Ж, +    +

т

к=—от п=—от ^/——от

от от от от

+ 2 2 11ё„^Е{сок)Е{соп)Е{со]).Жсо1)Гы]..]) ,

п V т

к=—от п=—от у=—от /=—от

00 00

2{сот) = ісотцй{ £ £ ц2(ют)Н(юк)Н(юп)укп -

к=—от п=—от

+ 2 2 2 М<от)Н{сок)Н(Соп)Н(Со^гк„+...+

т

к=—от п=—от у=—от

от от от от

+ 2 2 ^^^от)Щсок)Щсоп)Щсо])...Н{соІ)ЇЬі]

'""п

к=—от п=—от у=—от /=—от

здесь

% (т ) = % (т ) - > ак{(°т) , к = 1,2,..., П;

0, если шк + ф + ф + ... + т: ф Фт,

^ . і = ^

П І 1, если £ф + Фф + Шу + ... + Ш = т.

2. Итерационный процесс решения уравнений Максвелла для нелинейного АБФ

Для решения задачи дифракции нелинейный автономный блок (АБФ), представляющий собой прямоугольный параллелепипед (рис. 1) с однородной нелинейной средой заполнения и виртуальными волноводами - каналами Флоке, присоединенными к граням параллелепипеда, рассматриваем как волноводный трансформатор [6].

Рис.1. Нелинейный автономный блок с однородной нелинейной средой заполнения и виртуальными волноводами - каналами Флоке

Для нелинейного АБФ связь между коэффициентами С

падающих волн в виртуальных каналах Флоке устанавливается при помощи следующей системы нелинейных уравнений

СЫа)

где Ма - число учитываемых нормальных волн в а -ом виртуальном канале, М - число учитываемых

комбинационных частот; где с+ это аргумент, который определен на множестве

{ С1+(1)(Ш1),С1+(2)(ф) .",Сп(ю(Ш/)М0 }

Основой построения вычислительного алгоритма является простая итерация [ 7]. Для определения дескриптора Рк (а)(т ’ С+) нелинейного АБФ необходимо на каждой итерации решать нелинейные уравнения Максвелла (5) с условиями неасимптотического излучения на гранях параллелепипеда [8]:

Ба

где - поперечные компоненты (электрическая и магнитная) нормальных волн в виртуальных каналах Флоке [ 9], )(фт) - коэффициент нормировки.

где

На каждой итерации в задаче

и токи

Да>т) , г{сот), локализованные в объеме параллелепипеда; неизвестными - коэффициенты СадК) • На

каждой итерации решение линеаризированных уравнений Максвелла (5) с краевыми условиями (7) будем искать в виде

С = СЕ + 5С+ ,

где 5 - матрица рассеяния линеаризованного АБФ с однородной линейной средой заполнения (элементы матрицы 5 получены в [9]); - матрица излучения, появление которой связано с наличием возбуждаю-

щих токов J{com) , Х(а?т) ; С+,С - матрицы, элементами которых являются коэффициенты с^(Д)(т) и

^к(а)Ст) *

Из решения задачи возбуждения АБФ токами Да>т) , г(ют) [11] получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения элементов матрицы С^

где I - единичная матрица, УТ - транспонированная матрица проводимости линеаризованного АБФ [9], /'-матрица, элементы которой определяются следующим образом

/к

V

Таким образом на данной итерации определены неизвестные коэффициенты ск(а)(т) * ^Ри переходе к

следующей итерации необходимо вновь определить токи Да>т) , г(0т), которые вычисляются по формулам

(б), при этом Е(й)т) , Н(б)т) определяются из решения проекционным методом [12] краевой электродинамической задачи (5), (8) для прямоугольного резонатора.

3. Итерационный процесс рекомпозиции нелинейных АБФ в декомпозиционной схеме наноустройства СВЧ

При рекомпозиции нелинейных АБФ, а также линейных АБФ с нелинейными в декомпозиционной схеме наноустройства СВЧ необходимо решать системы нелинейных уравнений (7). Это достаточно сложная и трудно алгоритмизируемая вычислительная процедура. Разработан итерационный метод рекомпозиции нелинейных АБФ на основе линеаризации их дескрипторов. На каждом шаге нелинейные АБФ в декомпозиционной схеме наноустройства СВЧ заменяются на линеаризованные АБФ с дескрипторами в виде эквивалентных матриц рассеяния , а затем осуществляется их рекомпозиция.

Нелинейные функции )(т+) в (6) разложим в ряд Тейлора:

М Ь -Г

Фт ) = ^ (а)Фт; Со+ ) + £ £ Ф ) ~ )) + ... ^

/=1 р=\ п=1 -Сп

где М - число учитываемых комбинационных частот; Ь - число виртуальных каналов, - число

типов волн, учитываемых в Р-м виртуальном канале.

Учитывая в ряде Тейлора (12) члены до первых частых производных включительно, линеаризуем нелинейную зависимость между коэффициентами С+Р)(фт) и Ск(а)(Шт) , представив ее в следующем виде

С = С- + SяCn ,

где С£ = Со—— SнC+0 .

Матрицы С+ , С0 , С + , С составлены соответственно из элементов {с+°д)(/ )| , {-^(а)(т;С+| ,

{с+(Д)(7)} , {Ск(а)(т)} . Матрица Sд- скомпонована по комбинационным частотам, входным каналам, типам

волн; ее элементы вычисляются следующим образом

SаkР

-Сп

Матрица С^ состоит из элементов {с^к(а)(Шт)| и скомпонована так же, как и матрицы С , С0 . Декомпозиционная схема замещения нелинейного АБФ линеаризованным с дескриптором в виде эквивалентной матрицы рассеяния Sн приведена в [10].

Итерационный процесс рекомпозиции нелинейных АБФ состоит в следующем. Задав начальные приближения для С+ , определяем из (14) элементы матриц Sн и С^ для всех нелинейных АБФ, входящих в декомпозиционную схему наноустройства СВЧ. Объединяя в декомпозиционной схеме дескрипторы линеаризованных АБФ в виде матриц , получаем суммарную матрицу рассеяния наноустройства СВЧ на первой итерации. Зная

коэффициенты падающих волн во входных каналах и элементы матрицы С^ , определяем коэффициенты отраженных волн в каналах волноводного трансформатора и элементы матриц С+, С в виртуальных каналах Флоке.

Если значения элементов матриц С + и С удовлетворяют с заданной точностью нелинейным уравнениям

(7), то вычислительный процесс заканчивается. Если не удовлетворяют, то переходим к следующей итерации, на которой элементы матриц Sн и С2 определяются при начальном приближении С<+ = С + из (13), (14), и процесс рекомпозиции линеаризованных АБФ в декомпозиционной схеме наноустройства СВЧ повто-

ряется. На последней итерации вычисленные коэффициенты отраженных волн в каналах волноводного трансформатора являются решением исходной краевой задачи дифракции (5), (8).

4. Решение электродинамической задачи дифракции для периодических магнитных нанорешеток методом АБФ.

Математическое моделирование периодических магнитных нанорешеток базируется на решении трехмерной задачи дифракции для уравнений Максвелла (5) совместно с уравнением Ландау-Лифшица с учетом обменного взаимодействия [13] . Вычислительный алгоритм построен методом АБФ. В спектре волн виртуальных прямоугольного волноводов с периодическими граничными условиями на стенках (каналов Флоке) в отличие от виртуальных прямоугольных волноводов в методах многомодовых автономных блоков [14] и минимальных автономных блоков [15] существуют ТЕМ-волны. Поэтому метод АБФ позволяет преодолеть ограниченность базиса и разработать эффективный вычислительный алгоритм решения задач дифракции квази ТЕМ-волны в микро- и наноструктурах СВЧ.

Рассмотрим задачу дифракции плоской однородной электромагнитной волны на периодической структуре из магнитных частиц - решетке из ферритовых сфер (ферритовая сфера находится между сечениями ^, 52

(рис.2)) . Пусть на входное сечение ^ падает ТЕМ-волна с амплитудой Сщ^ю) и частотой т , распространяющаяся поперечно по отношению к направлению постоянного поля подмагничивания Н0 .

Рис. 2. Геометрия решетки с магнитными наночастицами.

Численное исследование дифракции электромагнитной волны на решетке из ферритовых сфер (с микро- и наноразмерами) проведено на математических моделях электродинамического уровня строгости, базирующихся на совместном решении уравнений Максвелла и уравнения Ландау - Лифшица с учетом обменного взаимодействия [13] без упрощения уравнений и граничных условий. Методом АБФ получены результаты электродинамического расчета элементов многомодовой многоканальной матрицы рассеяния, связывающей амплитуды ск(а)(т) отраженных и амплитуды с^р'(о1) падающих волн на сечениях ^,52 , в зависимости от нормированной частоты ОЇ у ( у - гиромагнитное отношение) с учетом реального спектра магнитостатических и спиновых колебаний. (При этом на сечениях ^, <52 (рис.2) вводятся локальные системы координат).

Рассчитанные зависимости модуля коэффициента прохождения |512| через решетку из ферритовых сфер в зависимости от частоты о падающей электромагнитной волны (величины постоянного поля подмагничива-ния Н0 ) при размерах магнитных частиц в микро- и нанообласти (радиусы сфер Я=10 0 мкм и 250 нм) и различных расстояниях между частицами (периодах решетки) приведены на рис.3-5.

Рис.3. Дифракция ТЕМ-волны на решетке из ферритовых сфер при различных расстояниях Ь между сфера-

Л=0,550 мм;

Л=0,35 мм;

Л=0,215 мм; Би-

модуль коэффициента прохождения;

Н =оі у ; Я=0,100 мм; М0 = 0, 026Тл ; С^1} (о) = 0,01 А / ММ ;

I-

Ofi

0,6

<M

о

fB.

№!№!-

mm-Î-. h !.

1

•

• К--Н

Si S>

- |$J -------------

4—I—I—I—I—I-------1—I—I—I—I—I—I—I—I—h

2800 3200 3600

а>/уД034я Л/ж

Рис. 4. Дифракция ТЕМ-волны на решетке из магнитных сфер при уменьшении расстояния Ь между сфера ........Ь=0,210 мм; __________ Ь=0,2005 мм; |^г| - модуль коэффициента прохождения; Н0 = т / у; радиус

сфер R: 1.0 -

0.99 -

0,100 мм; М0 = 0, 026Тл ; С^1}() = 0,01 А / мм ;

га/у ,103/4я A/m

Рис. 5. Дифракция ТЕМ-волны на решетке из ферритовых наночастиц при различных расстояниях h между

наночастицами: кривая 1

h=3000 нм; 2

h=7 50 нм; 3

12

модуль коэффициента прохожде-

ния; Н0 = т / у ; радиус наносфер ^=250 нм; = 0, 026Тл ; (т) = 0,01 А / ММ ;

Заключение

Разработка наноустройств микроволнового и терагерцового диапазонов, в том числе на основе нанокомпозитов с магнитными наночастицами, сохраняющих высокую намагниченность и имеющих низкие потери, требует создания инженерных методов проектирования наряду с экспериментально-эмпирическим подходом в индустрии наносистем.

Развитый метод математического моделирования наноустройств, базирующийся на решении решения задач нелинейной дифракции без упрощения уравнений электродинамики и краевых условий, в отличие от методов квантовофизических компьютерных расчетов позволяет провести электродинамические расчеты размерно-зависимых нелинейных электромагнитных свойств фотонных кристаллов (PBG) и твердотельных наноструктур в микроволновом и терагерцовом диапазонах.

Condensed Matter, 1996, Vol. 8,

ЛИТЕРАТУРА

1. Pendry J. Calculating photonic bandgap structure //J. Phys.

P. 1085-1108.

2. Joannopoulos J., Meade R., Winn J. Photonic crystals. Princeton, NJ, 1995.

3. Belov P.A., Simovski C.R. Oblique propagation of electromagnetic waves in regular 3D lattices of scatterers (dipole approximation) //Proc. of SPIE, 2000,Vol. 4073.

4. C.R., Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Interaction effects in two-dimensional bian-isotropic arrays //IEEE Trans. Ant. Prop.,1999, Vol. 47, No. 9, pp.1429-1439.

5. П.А. Белов, Симовский К.Р. Аналитический расчет дисперсионных кривых для трехмерных фотонных кристаллов. Оптические и лазерные технологии. Вып. 1. СПбГИТМО(ТУ), 2001. С. 58-62.

6. Никольский В.В., Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. М.: Наука, 1983. 304 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975.- 632с.

8. Голованов О.А. Численный алгоритм решения задач дифракции для волноведущих устройств СВЧ с нелинейными средами. Радиотехника и электроника - 1990 - Т.35 -N 9. - С.1853-1863.

9. Голованов О.А. Макеева Г.С. Электродинамический анализ устройств и систем сверхвысоких частот на основе универсальных автономных блоков с каналами Флоке. Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2005, Т. 8, N 4, С. 10-18.

10. Голованов О.А., Макеева Г.С., Туманов А.А. Математическое моделирование нелинейных устройств СВЧ методом нелинейных универсальных автономных блоков с каналами Флоке. Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2007. Т. 10. N4. С. 63-72.

11. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М. Советское радио. 1957.

12. Никольский В.В. Вариационные методы для задач дифракции. Изв. вузов. Радиофизика. - 1977. -

Т.20. - N 1. - С. 5.

13. А.Г.Гуревич. Г.А. Мелков. Магнитные колебания и волны. М. Наука.1994.

14. Никольский В.В., Голованов О.А. //Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24. №.6. С.1070.

15. Никольский В.В., Лаврова Т.И. //Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23. №.2. С.241.