Учебно-исследовательская работа &quot;Необычные способы умножения натуральных чисел&quot;

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей № 26»

Учебно-исследовательская работа

«Нестандартные способы умножения натуральных чисел»

Саранск 2017 г.

Содержание

1. Как люди научились считать. 5

2. Первая литература по способам счета. 7

3. Русский способ умножения. 8

4. Рациональный способ умножения. 9

8. Индийский способ умножения. 10

9. Китайский способ умножения. 11

Введение

Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Нестандартные способы умножения являются самыми древними и простыми способами вычисления. Знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы естественно-математического цикла. Поэтому мы поставили перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные способы умножения, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.

Объект исследования: вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно-математического цикла.

Предмет исследования: нестандартные способы умножении натуральных чисел.

Цель исследования:

· ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений;

· показать необычные способы умножения.

Задачи:

· Найти и разобрать различные способы умножения.

· Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.

· Рассказать о новых способах умножения и научиться ими пользоваться.

· Развивать навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

· Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Методы исследования:

1) сбор информации;

2) систематизация и обобщение.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные нестандартные способы умножения рассчитаны на ум обычного «человека» и не требуют уникальных способностей.Главное – более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих способов развивает логику и память учащегося.

Рисунок 1

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов – одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили «один», а если их было больше – «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки) привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд.

Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия.
Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различныхспособов умножения и деления –приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

Рисунок 2 Рисунок 3

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных рукописных сборниках.
Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» – старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Интересно, что и наши способы умножения не является совершенными, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.

Способ этот был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Таблица умножения в этом деле без надобности.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением.

Иными словами все строки с чётными левыми числами зачёркиваем; оставляем только с нечётными левыми числами, а затем суммируем
не зачёркнутые числа правого столбца.

Существует ещё один способумножения, очень похожий на способ умножения русских крестьян.

Если один из множителей оканчивается на 5, то один из множителей делим на 2, а другой умножаем на 2. Например,

• 42 х 35= 21 х 70= 1470

• 43 х 15= 21,5 х 30= 645

86 х 5 = 430

Если же число не делится на 2, то к неполному частному добавляем 5:

49 х 5 = 245

Для того, чтобы число умножить на 11, данное число надо умножить на 10 и прибавить это же число:

567 х 11 = 5670 + 567= 6237

Если двузначное число умножаем на 11, то между цифрами этого числа вставить сумму цифр этого числа:

34 х 11= 3(3+4)4= 374

78 х 11 = 7(7+8)8 = 858

Для того чтобы число умножить на 25, данное число делим на 4 и умножаем на 100.

44 х 25 = 1100

36 х 25 = 900

Если же число не делится нацело на 4, то поступаем таким образом: находим неполное частное и остаток от деления на 4, потом этот остаток умножаем на 25 и к неполному частному приписываем полученное произведение.

34х25 = 850

67х 25 = 1675

Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние.

Например, умножим их способом 537 на 6

Пример: 12 × 321 = 3852

Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёная палочка (1); две оранжевых палочки (2). 12 нарисовали.

Рисуем второе число сверху вниз, слева на право: три голубых палочки (3); две красных (2); одну сиреневую(1). 321 нарисовали.

Теперь простым карандашом по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим.«Собирать» слева направо (против часовой стрелки) и получили 3852.

Рисунок 4

10. НОВЫЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.

По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво.
Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
Например, требуется умножить 9 на 842. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишетсяна «своё» место.

С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева.

Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразование РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.

Пример: 15647 х 5

В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению, не вся эта информация доходит до нас, современных учеников.
При выполнении исследовательской работы нам понадобились не только те знания, которые имеются у нас, но и необходимая работа с дополнительной литературой.
В ходе работы мы познакомились с нетрадиционными способами умножения, такими как «Индийский способ умножения», «Китайский (рисовательный)»,«Итальянский».
Ранее признавалось, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна.
Своей работой мы доказали, что наша гипотеза верна, не нужно обладать сверхъестественными способностями, чтобы уметь пользоваться старинными способами умножения. Есть способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги.
А ещё мы научились подбирать материал, обрабатывать его, то есть выделять главное и систематизировать.

Список использованных источников

1. Глейзер, Г. И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964.

2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994.

3. Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта+, 2003

4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов─М.:Просвещение,1989. ─ 287 с.

5. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

6. http://nsportal.ru/ap/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/library/neobychnye-sposoby-umnozheniya