Математическая модель обобщенной кабельной линии при импульсном входном воздействии

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

УДК 621.372

А. З. ТЛЯВЛИН, Э. А. ГИЛЬМАНОВ, Р. Ф. ЗАИНУЛЛИН

математическая модель обобщенной кабельной линии при импульсном входном воздействии

В статье предложено решение системы телеграфных уравнений обобщенной кабельной линии передачи (ОКЛП) при входном импульсном воздействии. Кабельная линия; телеграфные уравнения; зондирование; теория длинных линий

Одной из главных причин отказов кабельных линий (КЛ) как силовых кабелей (СК), так и кабелей связи (КС) является повреждение изоляции вследствие возникновения и роста в них локальных дефектов, возникающих при изготовлении, монтаже и эксплуатации. Анализ методов диагностики состояния СК и КС, проведенный авторами [1], показал, что между ними очень много общего, более того, при диагностике применяются одни и те же приборы. В последнее время наибольшее распространение находит метод импульсной рефлектометрии.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

На практике все измерения на КЛ производят при их отключении от сети не чаще одного раза в год (за исключением аварийных ситуаций), что затрудняет накопить за короткий период времени статистический материал, необходимый для создания системы количественных показателей, который характеризовал бы динамику изменения параметров кабеля во времени.

Решить проблему накопления статистического материала, по мнению авторов, можно путем математического моделирования процессов, происходящих в КЛ.

Наиболее общий подход при математическом описании и анализе электромагнитных процессов в КС и СК основан на решении уравнений Максвелла. Однако такой подход оказывается довольно сложным даже для самых простейших случаев. Поэтому обычно прибегают к определенным приближениям, в результате которых электромагнитные процессы можно исследовать с помощью теории цепей с распределенными параметрами с применением обобщенной системы телеграфных уравнений или

обобщенной системы уравнений длинной электрической линии [2-4].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Телеграфные уравнения известны давно и довольно хорошо изучены для случая цепей синусоидального тока.

При входном импульсном воздействии эти уравнения решались, как правило, при введении допущения в виде так называемых «линий без потерь» или «линий без искажений». В первом случае не учитываются потери энергии в проводниках и диэлектриках, во втором - анализ проводится в предположении существования определенной связи между первичными параметрами цепи. В реальных линиях указанные выше условия не выполняются. Точный расчет искажения импульсов в процессе их распространения по линии представляет значительные трудности [5].

До последнего времени считалось, что при определении расстояния до места повреждения в линиях методом импульсной рефлектометрии нет необходимости в определении закономерностей изменения формы прямоугольных импульсов, поскольку требовалось знать лишь точный учет временных соотношений (время прохождения отраженного импульса от места неоднородности до начала).

В настоящее время при широком внедрении в практику диагностики КЛ этим методом и анализе влияния величины неоднородности на вид рефлектограммы большое значение имеет форма сигнала. А более конкретно - изменение формы входного импульса при его прохождении по обобщенной кабельной линии передачи (ОКЛП), включая и отраженный импульс. Под ОКЛП будем понимать или симметричный КС, или СК 6-10 кВ.

Контактная информация: (347) 273-79-65

Система телеграфных уравнений, для линии из п цепей имеет следующий вид:

Эй

Эх

Эх Эt

Э1

Эt

где x - линейная координата, отсчитываемая от начала линии; t - время;

и(x,t) =

U

un

u, ( х,

(X,t) - значение напря-

жения в 7-и цепи;

i

i (x,t ) =

цепи;

7n

, 7i

- значение тока в 7-и

X

X( x,t ) = ,Z( x,t ) =

Xn

Хк (хД), £к (хД) - распределенные источники напряжения и тока (помехи) в к-й цепи;

Rjj- ••RJn Gjj -G2j  '-Gjn

R = , G =

Rnj- Rnn -^nj -G 2  n2 G nn

L =

Щ, 09, С 9 - погонные сопротивление, проводимость, индуктивность, емкость.

Начальные и граничные условия запишем следующим образом:

£j

u (x, 0) = , i (x, 0 ) =

en

ecu (0,t) + e/J (0,t) = p (t), eY (l,t) + eA (l,t) = q (t), где e - единичная матрица размера n xn,

aj bj gj Ij

a= , я=

«n bn gn In

здесь ак, рк, ук, Хк - в общем случае некоторые операторы;

X

(j) P (t) = , q (t ) =

C

здесь рк(0, qk(k) - источники тока или напряжения (в зависимости от ак, рк, ук, Хк) к-й линии; I -длина линии.

Произведем преобразование Лапласа системы уравнений (1) и получим

dU

dx

-E

= sLI

dx

-J (x,s)-Cu (x, 0),

= sCU (x,s) + GU (x,s )-

где

U (x,s ) =

I (x,s ) =

Uj

Un

In

lu- "Ljn , С = Cjj -C  j2 -Cjn , E

Lnj- L nn -Cnj —C 2  n2 Cnn En

J ( x,s ) =

Jj

Jn

Ui (x,s) = L\[ui (x,t),t,s],

1 г ( x,s ) = L [7 i( x,t) ,t,s ] ,

, E (x,s) = L[Xi(x,t),t,s],

J г ( X,S ) = L [Сг( X,t ),t,S ] .

Здесь и далее

Ь[/(т)] = | /(т)ехр[-т]йт.

о

Введем обозначения

Z (5 ) = sЬ + Я, У ( 5 ) = + С.

Следовательно

Z =

^

х

202

РАДИОТЕХН ИКА И С ВЯЗ Ь

У =

Гц

-Г„1 (*)-Г„2 (*) -

Перепишем

—х —\ (х,*) йх

-Гп

Гпп

+ Ъ\ (х,* ) = Е (х,*) + Ы (х, 0), + Уи (х,* ) = 3 (х,*) + Си (х, 0).

Систему уравнений (4) можно рассматривать как математическую модель ОКЛП.

Соотношения между приведенными выше параметрами модели и параметрами диагностируемой КЛ (симметричный КС или СК 6-10 кВ) сведены в табл. 1.

Система уравнений (4) дополняется начальными и граничными условиями, которые характеризуют состояние КЛ в момент подачи зондирующего импульса, а также режимы на концах (короткое замыкание, разрыв, подключение какого-либо сопротивления).

3. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Решим систему уравнений (4) для случая трех цепей (п = 3) с учетом следующих ограничений:

1) будем считать, что исследуемая система не подвержена влиянию извне;

2) в момент ввода в линию зондирующего импульса напряжение и ток в ней отсутствовали;

3) для определенности примем, что зондирующий импульс посылается в первую цепь, в остальных же цепях входное воздействие отсутствует.

С учетом этого из (4) получим следующую

систему уравнений: —2

-2и (х,*)-Гп2 (*)Ц (х,*)-ах

-Г122 (*)и2 (х,*)-Г132 (*)и (х,*) = 0,

й

--2и2 (х,*)-Г212 (*)и (х,*)-

-Г222 (*)и2 (х,*)-Г232 (*)и3 (х,*) = 0,

й2

—ги3 (х,*)-Г312 (*)и (х,*)-йх

-Г322 (*)и2 (х,*)-Г332 (*)и3 (х,*) = 0,

Г 2

1 11

Г 2 1 12

Г 2

1 13

Г2 Г21

Г

Г22

Г2 Г23

Г2 Г31

Г2

Г32

Г2

)= 2„ ( * ) Гц ( * )- ( * ^21 ( * )-713 ( * )^31 ( * ),

) = -2п ( * ) Г12 ( * ) + 712 ( * )Г22 ( * )-713 ( * ) Г32 ( * ), ) = -2п (*)Г,3 (*)-2и (*)Г23 (*) + 2П (*)Г33 (*). ) = 221 ( * ) Гц ( * )-222 ( * )Г21 ( * )-223 ( * ) Г31 ( * ), = -221 ( * ) Г12 ( * ) + 222 ( * )Г22 ( * ) - 223 ( * ) ^ ( * ).

= -221 ( * ) Г,3 ( * ) - 222 ( * )Г23 ( * ) + 223 ( * )Г33 ( * ) , = 231 ( * )Гц ( * )- 232 ( * )Г21 ( * )- 233 ( * ) Г31 ( * ), = -231 ( * ) Г12 ( * ) + 232 ( * ) Г22 ( * )-233 ( * )Г32 ( * ), = -231 ( * )Г13 ( * )-232 ( * ) ^23 ( * )+ 233 ( * )Г33 ( * ).

Граничные условия для системы уравнений (5) имеют следующий вид:

и (0,*) + 2в (*) /1 (0,* )= Р (*),

— и, (I,* ) = 0;

—х и ;

й —

— и2 (0,*) = 0, —и2 (I,*) = 0;

ах ах

—и3 (0,* ) = 0, —и3 (I,* ) = 0.

—х 3 V ' —х 3 V ;

Первая строка в (6) характеризует состояние первой цепи: в начале - импульсный источник с сопротивлением 2В(*), в конце - цепь разомкнута; вторая и третья строки характеризуют режимы холостого хода на концах второй и третьей цепей.

В дальнейшем будем считать, что вторая и третья цепи не оказывают влияния на первую. Тогда первое уравнение системы (5) примет

следующий вид:

—2

—и (х,*)-Г112 (* и (х,* ) = 0.

—х

С учетом граничных условий (6) получено решение

и1

Напряжения во второй и третьей цепях можно определить при условии, что они не оказывают друг на друга влияния, из следующих уравнений

где

—2

— и2 (X,*) - Г222 (*)и2 (X,*) =

—х

= Г212 (*(х,*) —2

— и3 (х,*) - Г332 (*)и3 (х,*) =

—х

= Г312

с учетом граничных условий (6).

2

Таблица 1

Связь между параметрами математической модели и параметрами ОКЛП

Параметр модели Параметр силового кабеля Параметр линии связи

и1 (х,5) и I, ( х,5 ) Мгновенные значения напряжения и тока в ,-й цепи

Ьи и С и Собственные индуктивность и емкость ,-й цепи

и (при С] * ] ) Взаимные индуктивность и емкостный коэффициент , -го и ] -го проводов [5] Индуктивная и магнитная связи между ,-й и j-й цепями [6]

Г +

Щ где г и - активные сопротивления Активное сопротивление ,-й це-

-го провода и пути в земле тока соот- пи

ветственно [5]

Щ (при * ] ) Коэффициент, характеризующий падение напряжения в , -м проводе от активных потерь при протекании тока ,] [5] Активная составляющая магнитной связи между ,-й и j-й цепями [6]

Собственная активная проводимость утечки ,-й цепи

Взаимная, активная проводимость утечки [5] Активная составляющая электри-

(при * ] ) ческой связи между ,-й и]-й цепями [6]

Е, (х 5 ) Внешнее воздействие, имеющее смысл линейной плотности ЭДС [4] Распределенный источник напряжения (помеха) в ,-й цепи [3]

(х 5 ) Внешнее воздействие, имеющее смысл Распределенный источник тока (помеха) в ,-й цепи [3]

линейной плотности тока, притекающего на провод извне [4]

Решим задачу (8), введем обозначение

Ф ( Х,5 ) = Г212 ( 5 )их ( Х,5 ) . (9) Решение данной задачи имеет следующий

вид

и2

Для нахождения А^х) и А2(х) воспользуемся методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной. Решим следующую систему уравнений

Г22 ( х

- Г22 ( 4х

Г22 (5)еГ*(5)х -Г22 (5)<

Следовательно

-Г22(5)х

А

А2

Таким образом

й

~и2 ( ^ )= Г22 ( 5 ) С1 ( 5 ) е

Г22 ( Ф

йх

- Г22 ( 5 ) С2 ( 5 ) е

-Г22 Мх

+

е Г22 ^

+е-1Ф (х,5) е" Г22 (*)х

йх +

+

- Г22(х)х

| Ф (х,5) е (*)хйх.

С](^), С2(^) определим исходя из граничных условий (6):

йи2 (0,5) = Г22 (5)С, (5)-Г22 (5)С2 (5) +

1 Г

Ь-1Ф

-Г22 Мх ,Г22 Мх

х,5) е" '22 (5)хйх +

1х=0

+- IФ(х,5)е'22(1)х йх\ = 0.

2 ^ 1х=0

йи2 (^ ) = Г 22 ( 5 ) С1 ( 5 ) е

Г22 (5)1

- Г22 (*)1

+

- Г22 ( 5 ) С2 ( 5 ) е

еГ22 (5)1 , +е-1Ф (х,5) е" Г22 (*)х

2

йх

е" Г22 М1 „ +| Ф (х,5) е Г22 (*)хйх

+

= 0.

Для решения уравнений (14) и (15) введем

е

х=1

х=1

следующие обозначения

/п10 = п (0,*) =11Ф(х,*)е~Ггг(*)х—х\ о, /П20 = Щ (0,*) =11Ф(х,*)еГ22*х—х\ о, ЫХ1 = /Ш1 (1,*) =11Ф(х,*)е"Г22*х—х ^

Ы21 = Щ (1,*) =11Ф(х,*)еГ22(*)х—х| .

2 х=1

Перепишем (14) и (15) с учетом (16) Г22 ( * ) С1 ( * )- Г22 ( * ) С2 ( * )+ /п110 + /Ш20 = 0 Г22 (*) С1 (*) еГ22 (*)1 - Г22 (*) С2 (*) е-Г22 (*)1 + +Ых1еГгг {*)г + Ы21е~Ггг (*)1 = 0

После несложных преобразований получим

"Г22 (*)1

С (* ) =_е_х

1 2 Г22 (*) *и [ Г22 (*) 1 ]

х(+ /п^20 -/п121 -/Шие2Ггг^),

Ггг (*)1

е —

2 2 Г22 ( * ) [ Г22 ( * ) 1 ] х(/п£10 + /Ш20) -/Ши -/Ш21е~2Ггг).

Вычислим значения интегралов из

М0 = ГР (* ) Г2' (* ) , X 10 4[Г121 (*)-Г222 (*)]

X [-Г11 (*) + Г 22 (*) + { Г11 (*)+ Г 22 (*)} е-2 г" ],

/-20 = / ( * ) Г2' ( * ) п X

20 4[Г2

X[-Г11 (*)-Г22 (*) + {Гц (*)-Г22 (*)}е-2^], п = Р (*) Г221 (*) Г22 (*) е-[гп(*)+Г22(#

11 2[г2 (*) г22(*)]' Р ( * ) Г2 (*) Г22 ( * ) -

2[Г2 (*)-Г222 (*)]е

/пи, = -

Г„(*)-Г22 (*)]1

Окончательно из

С1 (* ) =

С2 (* ) =

Р (*) Г2 (*) Гц (*) [е-2^ -1]

2Г22

Р (*) Г2 (*) Г» (*) [е-2Г" (*)1 -1]

2 Г22 (*) [ Г2 (*)-Г22 (*)] (1 - е-2 ^(*)1).

Решая уравнения (12) и (13) без учета (19), получим значение для постоянных коэффициентов А1 и А2

А =

Р

А2 =

4 г22 (*) [ Г2 (*)-Г22 (*)]

-(Г11 (*)- Г22 (*)) е-^*Г22 (*)] х + + (Г11 (*) + Г22 (*)) е-^е^-Г22(*)]х

Р

4 Г 22 (*) [ Г2 (*)- г22 (*)]

"(Г11 (*) + Г22 (*))е-[г"(*)-г22(*)]х --(Г11 (*)- Г22 (*)) е-2 Г-(*)1е[Г"( *)+Г22(*)] х

После преобразований определим напряжение во второй цепи и2

Р (*) Г21 (*) х

и (х,* ) = — г л' } 2Г22(*)[Г121 (*)-Г22(*)]

Гпп (* )1 е

Ги

+

+Гп (*) [е

-2 Г„(*)1

-11X

*) х] - *к [Г22 (*)(х - 21)] ек [2 Г22 (*) 1 ] -1

Аналогично

и (х*) =_Р(*)Г31(*)_

А ' > 2Г33 (*)[Г2 (*)-Г33 (*)]

X

X

Г33

+Гц

е-Гц

+

е-2 Гп( *)1 - 1"

X

X

*) х ] - *к [ Г33 (*)(х - 21)] ек [2 Г33 (*) 1 ] -1

Для учета влияния второй и третьей цепей на первую цепь необходимо решить следующее

уравнение —2

0х?и'

= Г.22

при граничных условиях (6). Введем обозначение

Ф

и, действуя аналогично (11-21), определим

и(х, *).

X

X

Для учета влияния первой цепи на вторую и третью, а также влияния второй и третьей цепей друг на друга уточняем и2(х, 5), и3(х, 5) из следующих уравнений

й2

— и 2 ( х, 5 )-Г222 ( 5 )и 2 ( х, 5 ) = = Г212 (5)и (х,5) + Г232 (5)и (х, 5) ;

й йх'

и3 (х^)-Г332 (5)и3 (х^) =

= Г312 (5)и1 (х,5) + Г212 (5)и2 (х,5).

при нулевых граничных условиях.

Обозначим правую часть

Ф

Ф(х,5) = Г312 (5)и1 (х,5) + Г212 (5)и2 (х,5).

Получим по схеме (11) - (21) соответственно и2(х, 5), и3(х, 5).

Вычисление (22) - (24) повторяем до тех пор, пока не получим необходимой точности значений их(х, 5), и2(х, 5), и3(х, 5).

Вычисления, проведенные для полевого кабеля дальней связи П-296, с достаточной степенью точности совпадают с результатами экспериментальных исследований.

4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Полученная математическая модель может быть использована в двух практических приложениях: 1) при моделировании процесса импульсного зондирования кабельных линий с целью определения неоднородностей; 2) при анализе причин искажения сигналов в цифровых системах передачи информации.

ВЫВОДЫ

Полученные результаты позволяют определить напряжение в любом сечении многопроводной кабельной линии передачи при импульсном входном воздействии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гильманов Э. А., Султанов А. Х. Методы диагностики кабельных линий // Электротехнические комплексы и системы: межвузовский сб. науч. тр. Уфа: УГАТУ, 2008. С. 248-252.

2. Демирчан К. С., Коровкин Н. В., Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов. СПб.: Питер, 2003. 576 с.

3. Андреев В. А. Теория многопроводных линий связи. М.: ИРИАС, 2006. 162 с.

4. Бутковский А. Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977. 320 с.

5. Шалыт Г. М. Определение мест повреждения линий электропередачи импульсными методами. М.: Энергия, 1968. 213 с.

6. Ионов А. Д., Попов Б. В. Линии связи: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1990. 168 с.

ОБ АВТОРАХ

Тлявлин Анвар Зуфаро-вич, нач. учеб. управления УГАТУ. Канд. техн. наук по элементам и устройствам вычисл. техники и систем управления (УАИ, 1982). Иссл. в обл. преобразования и распространения электромагн. энергии.

Гильманов Эдуард Ахна-фович, нач. диспетч. службы гл. энергетика МУП «Уфаводоканал». Дипл. инж. по электроприводам и автоматике промышленных установок и технолог. комплексов (УГНТУ, 2004).

Зайнуллин Руслан Флю-рович, асп. УГАТУ. Дипл. инж. по многоканальным. телекоммуникац. системам (УГАТУ, 2007).