Расчет электрического поля и параметров системы цилиндрических электродов

УДК 621.316.925

Расчет электрического поля и параметров системы цилиндрических электродов

Слышалов В.К., д-р техн. наук, Слышалов А.В., канд. техн. наук, Кандалов Ю.В., Полкошников Д.А., аспиранты

Предлагается методика определения электрического поля, распределения тока, стекающего с трубопровода в грунт, шагового напряжения и напряжения прикосновения, а также характеристик электрического взаимодействия трубопроводов с протяженными заземлителями и друг с другом.

Ключевые слова: шаговое напряжение, напряжение прикосновения, протяженный заземлитель, электромагнитное поле, импульс тока.

On calculation of electromagnetic field and system constants of cylindrical electrodes

Slyshalov V.K., Doctor of Engineering Science, Slyshalov A.V., Kandalov Y.V., post-graduate student,

Polkoshnikov D.A., post-graduate student

The article deals with electromagnetic field calculation techniques, distribution of the current, flowing off the pipe-line into the ground, step and touch voltage as well as the characteristics of electrical interaction of the pipe-lines with extended earthing devices and with each other.

Keywords: step voltage, touch voltage, extended earthing device, electromagnetic field, current impulse.

В работе [1] было рассмотрено электромагнитное поле протяженного цилиндрического заземлителя, проложенного параллельно границе раздела воздух-грунт при условии Л > гз, где Л - глубина прокладки заземлителя, гз - его радиус (рис. 1).

Целью выполненного исследования являлось нахождение волновых параметров за-землителя. Основной интерес представляли изменения электромагнитного поля вдоль за-землителя, характеризующие процесс прохождения импульсов тока и напряжения, их затухание по мере продвижения, вынос зарядов и потенциалов в пожаро- и взрывоопасные зоны и т.д. Основное упрощающее допущение, использованное в этих расчетах, предполагало, в силу неравенств Л >> гз, независимость векторов поля на поверхности заземлителя от угла 9 (рис. 1). Необходимость учета изменений по

Рис. 1. Геометрические характеристики системы: заземлитель, граница раздела сред

9' значения плотности тока делает задачу расчета волнового поля заземлителя чрезмерно громоздкой.

Вместе с тем можно предположить, что при выполнении условия

Л <<А. 3 = ,

где Х3 - длина волны электромагнитного поля заземлителя в грунте; у - проводимость грунта; ю - угловая частота; ца = ц0 ц - абсолютная магнитная проницаемость.

Рис. 2. Координатная система и геометрические характеристики заземлителя и трубопровода

Поперечное электрическое поле заземлителя в схеме рис. 1 допустимо определять через стационарное поле тока проводимости, стекающего с заземлителя. Аналогичным образом допустимо использовать этот метод и

і

при оценке величин токов, перетекающих с заземлителей на трубопроводы, оболочки кабелей и другие протяженные объекты (рис. 2).

Поскольку задача расчета поля тока в схеме рис. 1 с помощью метода изображений преобразуется к задаче рис. 2, рассмотрим решение именно этой задачи.

Распределения векторов тока в грунте б (г, 9) и напряженности электрического поля

Е (г, 9) = 5 (г, 9) определяем, полагая, что удельное сопротивление материала электродов у э ^ оо, т.е. вектора плотности токов на электродах б., (г.|9'), б2 (г29'') имеют только нормальные составляющие и являются аналогами плотностей свободных зарядов в соответствующей задаче электростатики [2]. При решении этой задачи принимаем, что плотности зарядов на цилиндрах 1 и 2 распределены по следующим законам:

-1 (в') = а01 + Z Ak1 cos kв' + Bk1sin kв';

k=1

а21

n-1

где а0/ -^°- (i = 1, 2); линейную плотность за-

2 nr

рядов на цилиндрах т0/ считаем заданной; dт2 -а2(9"")r2d9"- элементарный линейный

заряд второго электрода.

Интегрируем на первом электроде распределение [2]

d - (в') = -

ст2 (в'') r2d в'' nr-.

k=1

Z( — ] (cos kв cos kв ' + sin kв sin kв ' ).

Последовательно полагаем, что ст2

получаем коэффициенты Ak1, Bk1 в ряде (2) в следующем виде [3]:

Ak1 = ak0—02

Z aknAi

n2 + bknBn2,

n=1

Bk1 = bk0—02 + ZbknAn2 - aknBn2,

где

n=1

ak0

= -2—\ —1 coskв0, bk0 =-2—\ -11 sinkв0,

b*„ -(-1)”*1 ГИг

hÍr±1 ( n -1)! si

n ! (k -1)!

Для распределения ст2 (9'') в форме ряда (3) коэффициенты Ап2, Вп2 находим тем же методом:

An2 = an0—01

Bn2 = bn0-01

Z

k=1

o

Z b

k=1

'nkAk1

bnkBk1,

'nkAk1 - ankBk1,

причем ап0, Ьп0, апк, Ьпк получаются по формулам путем замены г. -о г2, п о к.

Совместное решение бесконечных систем алгебраических уравнений (5), (6) относительно коэффициентов Ак/, Вк, Ап/, В™ (к, п, / = 1, 2, ...) целесообразно проводить методом редукции [3], осуществляя последнюю отдельно для индексов к и п. Полученные значения коэффициентов Ак , Ап будут соответствовать разложению распределений зарядов на цилиндрах по мультиполям порядка к, п.

Рис. З. Координаты расчетных точек в поле заземлителя

Расчет составляющих напряженности Ex, Ey осуществляется путем суммирования полей, создаваемых отдельными частными распределениями. От цилиндра 1, например, в точке с координатами x, y (рис. 3), согласно [2], получаем:

• от распределения ст01 = 1

cos 0 sin 0 * Р

_х о = г, _y0 = *, р = “;

єар єар

• от распределения cosk0'

_c cos (k +1)0 _c sin (k +1)0

Xk л * ¡ л ’ yk л * ¡ л ;

2єар k +1 2єар k +1

• от распределения sink0'

s¡n (k + 1)0 _sc cos (k + 1)0

_Xk =~ ~ T  _vk =

2єаР* к + 1' 2єаР* к +1

В качестве иллюстраций применения предлагаемой методики рассмотрим две задачи.

Задача 1. Для трубопровода (рис. 1), проложенного в грунте вблизи плоской границы раздела с воздухом (у2 ^ 0), определим распределение плотности тока, стекающего с трубопровода в грунт, напряжение прикосно-

вения ипр и шаговое напряжение иш(х), полагая стекающий ток равным i0 A/м.

Задача 2. Для заглубленного трубопровода h >> rT, проложенного параллельно цилиндрическому заземлителю, с которого стекает ток i0 A/м, определим величины катодной и анодной поверхностей трубопровода в поле заземлителя.

Решение задачи 1. Вводим электрод-изображение (рис. 1) и рассматриваем в однородной среде с удельной проводимостью у-i поле двух цилиндров с параметрами r1 = r2 = r3,

rо = 2h, 0O = , ioi = io2 = io.

Распределение плотности тока на поверхности электрода дает формула (2), в которой следует заменить ст., (0') на б., (0') и а01 на

J01

= -°2жг . Количество слагаемых в (2) при

заданной точности расчета определяет величина отношения гу2л в выражениях (5), причем ряд (2) остается сходящимся и при Л = гз.

Поскольку для вычисления распределения б1 (9') необходимо найти лишь коэффициенты Ак1, Вк1, к = 1, 2, ..., подставляем в выражения (4) формулы (6) для Ап2, Вп2 и в итоге получаем бесконечную систему уравнений:

о [ ( о Л

Ak1 = ak0S02

-z і

n=1 I

an0S01

'Z

k=1

+b.

kn

bn0S01 + Z

k=1

Í o Л

an0S01 + Z

Вк1 = Ьк0б02 + ^| Ькп

п=1 [ V к=1

( о

-акп Ьп0б01 + ^

V к=1

к, п = 1, 2, . .

Коэффициенты ак0, акп, ... в уравнениях вычисляются по формулам (5):

б01 = б02 =

Напряжение прикосновения в этой зада-

че ипр = Uab (рис. 1) дает интеграл

иПр = |еу Í 2 yHy 1,

где Еу ^^уНу | находится в согласии с формулами (8) и (9), в которых выполняется замена

* = У . б

8а ^ У1 , р = — , ст0/ ^ б0/ .

Напряжение шага дает интеграл

'•  ~ш

Uw (X) = 2 | Ex1 (Zy = h)dZ.

При расчете напряжения прикосновения в формулах (7)-(9) подставляем р1 = у,

91 = п , р2 = 2Л - у , 92 = — . Главную часть ре-

2

2

шения дает постоянная составляющая плотно-

сти тока б0 =

(7) получаем

E = 'о

Ey 01 =

2пгз

, для которой по формулам

-y 02

2nY1y и, соответственно,

2^Y

Unpo =^ln

h2

2пуГ

Дополняющие «добавки» от гармонических составляющих напряжений

c = Ak1'k+1 2Y1yk+1

Ec =

Eyk1 =

sin (k+1)2,

Ec =

Eyk 2 =

Л<2гз

k+1

2Y1 (2h - y)' „k+1

k+1sin (k + 1)32T;

ESk1 =-^Bk1'5<+Tcos(k +1) ,

2y1Vk

f—s Bk2rk+1 ,, лЗп

Eyk2 = -. з.,4k+1 cos(k +1)y

2yi

имеют вид

h

иПр = j

r3

x sin

\1Ґз

k+1 ÍÍ

2Y1k

1 1

rk hk

V 'з "

і

1

hk (2h - Гз )k

3n

Unp =J(( + E£ 2 )cÎV =

k+1

<cos (k +1)2 -

2Y1k

л

J________1

rk hk

V 'з " ]

hk (2h - Гз )k

Суммарное напряжение определяется по формуле

4* = ипр0 + иПр + исПр.

При определении напряжения шага учитываем, что на поверхности грунта

Л

p1 =p2 = (h2 + X2 ), в1

= arcsin-

cos в1 = cos в2

p1

Для постоянной составляющей тока 80, согласно (12), получаем главную часть иш (х):

x

0

h

з

Г

з

x

ишо = 2 • j Exio (Z)dZ- In

^ + ( + аш) h2 + x2

2яу -2 . „2

От гармонических составляющих напряженностей

Exk = 2Exk1 = S"

k-1 y

k+1

2

Ak cos (k +1)9 + +Bk sin (k +1)9

получаем

иШ (x) + иШ (x ) =

ад x+au

1s ^ j

k-1

+Bk1 sin

Ak1 cos

(k + 1)arcsin

ar sin-

d Z

k+1  2

Изложенная методика расчета распределений S1 (9'), иш(х) и напряжения Unp применима и в общем случае, когда удельные проводимости сред Yi и у2 (рис. 1) имеют конечные и различные значения, например, вода и грунт. Учет этого различия сведется к применению метода изображений для определения фиктивных токов и раздельному рассмотрению электрических полей в средах у1 и у2.

Решение задачи 2. Геометрические характеристики трубопровода и заземлителя показаны на рис. 2: для трубопровода - rT = r1, хт = Ут = 0, S01 = 0; для заземлителя - хЗ = r0 cos v0,

хз = Г0 cos 90, у з = Г0 sin 90, S02 -

2 nr,

; внешнее

положение описывают параметры г0, 90.

Распределение тока на поверхности трубопровода, согласно ряду (2) и условию б01 = 0, имеет вид

8-і (r-i, v')-S Ak1 cos k9' + Bk1 sin k9'.

k-1

Коэффициенты Ак1, Вк1 определяются при решении системы уравнений (10), в которых следует принять 501 = 0:

да да

Ак1 = ак0502 + ІК акпапк + ЬкпЬпк )А<1 + (акпЬпк Ькпапк )Вк1 п=1 к=1

да да

Вк1 = Ьк0502 + ^^(кпапк - акпЬпк)Ак1 + (кпЬпк + акпапкРк1 п=1 к=1

В частности, положив 90 = 0, что всегда можно сделать в системе координат рис. 2, и приняв г2 << /о, получаем

A =a 8 --2Г211

Ak1 = ako802 - 2 I

r1 V r0

802 -

r1 V r0

nr2

Bk1 - 0,

и соответственно, распределение тока на поверхности трубопровода в виде

81 (r19') = -:;7¿і 71 cosk9'

nr1 ¡,_л \ r0 )

1 к=1V '0

При г1 << г0 это выражение преобразуется в распределение тока по цилиндру в равномерном поле:

б1 (г-|9') = ——cos к9' = -2802 (г0 )cos к9'. пг0

Границы катодной

Заключение

Предложенный метод расчета плоскопараллельных полей взаимодействующих цилиндрических заземлителей допускает распространение на регулярные системы электродов при любом количестве последних.

Возможности метода существенно расширяются при его совместном использовании с методом изображений, в том числе, при решении задач электростатики, в которых исследуются поля цилиндрических электродов, расположенных вблизи границы раздела диэлектрических сред.

Перспективной областью применения метода является задача об электрическом поле и параметрах трехфазной системы одножильных силовых кабелей с изоляцией из сшитого полиэтилена, для которых характерно использование экранов в качестве токоведущих элементов, причем распределение токов в экранах существенно зависит от расположения кабелей относительно друг друга и границы воздух-грунт.

Список литературы

1. Слышалов В.К., Киселева Ю.А. Электронное поле протяженного заземлителя, проложенного параллельно границе раздела воздух-грунт // Вестник ИГЭУ. -2005. - Вып. 1. - С. 62-69.

2. Гринберг Г.А., Бонштедт Б.Э. Основа точной теории волнового поля линии передачи // Ж.ТФ. - 1954. -Т. XXIV. - Вып. 1. - С. 62-69.

3. Слышалов В.К. Некоторые специальные распределения зарядов в плоскопараллельных электростатических полях // Новые методы исследования в теоретических электротехнике и инженерной электрофизике: Меж-вуз. сб. науч. тр. / Иван. гос. ун-т. - Иваново, 1975.

4. Слышалов В.К. Распределение электрических зарядов на ленте из несовершенного диэлектрика, движущейся вблизи кругового цилиндра // Электричество. -1978. - № 2. - С. 68-74.

5. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - Л-М.: ГИТТЛ, 1949.

6. Методы расчета электростатических полей / Н.Н. Миромабав, В.М. Костенко, М.Л. Левинштейн, Н.Н. Ти-хадеев. - М.: Высш. шк., 1963.

x

з

x

0

Слышалов Владимир Константинович,

Ивановский государственный энергетический университет, доктор технических наук, профессор кафедры электрических систем, телефон (4932) 38-57-79,

адрес: 153003, г. Иваново, ул. Красных Зорь, д.10, кв.43.

Слышалов Андрей Владимирович,

ОАО «Ивэнерго»,

начальник отдела, кандидат технических наук, телефон 8-910-982-79-91,

адрес: 153003, г. Иваново, ул. Красных Зорь, д.10, кв.43.

Кандалов Юрий Владимирович,

Ивановский государственный энергетический университет, аспирант кафедры электрических систем, телефон (4932) 34-99-25,

153000, г. Иваново, ул. Красногвардейская д.5, кв.20, e-mail: kandalov@ivrdu.so-cdu.ru artyr_198353@mail.ru

Полкошников Денис Андреевич,

Ивановский государственный энергетический университет, аспирант кафедры электрических систем, телефон (4932) 38-57-79,

адрес: 153000, г. Иваново, ул. Красногвардейская д.5, кв.20 e-mail: DenisPolkoshnikov@yandex.ru