Вычисление интегралов по многомерным областям на многопроцессорных вычислительных системах

Вычислительные технологии Том 11, № 3, 2006

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ПО МНОГОМЕРНЫМ ОБЛАСТЯМ

НА МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ*

Д. Я. Рахматуллин Институт математики с вычислительным центром Уфимского НЦ РАН, Россия e-mail: nicknamej@rambler.ru

An algorithm for approximate integration of functions is considered. The domain is a hyper prism with one smooth curved boundary. Results of the computations using the proposed parallel algorithm are analyzed.

Введение

Вычисление интегралов по областям больших размерностей сдерживается отсутствием достаточных вычислительных мощностей. Это МР-полная задача, и даже самые быстрые персональные компьютеры вкупе с лучшими методами не могут справиться с этой задачей за разумное время при удовлетворительной точности вычислений. Применение суперкомпьютеров — мощных многопроцессорных вычислительных систем — хотя и не устранило полностью, но существенно ослабило ограничения на входные параметры задачи — размерность пространства и количество верных знаков в ответе. Если вычислительный алгоритм достаточно хорошо распараллеливается, то предельная размерность пространства, в котором требуется найти интеграл, ограничивается лишь количеством процессоров конкретного суперкомпьютера, а оно на данный момент может измеряться тысячами. Мы используем алгоритм, основанный на применении решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем. Он почти идеально распараллеливается, т. е. исходная задача почти поровну разбивается на ряд подзадач, независимо решаемых на каждом процессоре. При этом обмен данными между процессорами сведен к минимуму, так что итоговое время вычислений уменьшается с увеличением числа процессоров практически пропорционально. Суперкомпьютер МВС-15 000, на котором тестировалась программа, установлен в Межведомственном суперкомпьютерном центре РАН. Для вычислений предоставлялось 922 процессора с распределенной, т. е. отдельной для каждого двухпроцессорного вычислительного модуля, памятью.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-07-90077-в, № 06-01-00597^) и Программы президиума РАН (№ 17).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

1. Алгоритм

Рассмотрим пространство Соболева Ш™(П)' П С Кга, функций, интегрируемых с р-й степенью (р > 1) вместе с производными до т-го порядка включительно. Здесь т £ N — гладкость функций, а П — ограниченная область с гладкой границей Г, лежащая вместе со своим замыканием в некоторой гиперпризме (многомерном прямоугольном параллелепипеде) Q [1].

Мы берем это пространство в одной из эквивалентных норм:

g\n=f |п

= Ыр + <х

я

(1 + |к|2)т/2е2пгхк

к=0

1 /р

где

9к = <хд(х) е

—2 пгхк

я

Будем использовать последовательность кубических решеток {Нк}^^ при Н — 0. Наша задача состоит в возможно более точном приближении интеграла

1п

п

решетчатыми кубатурными формулами вида

КП(/):= НпТ Ск(Н)/(Нк), Н - 0.

ькеп, kezn

Введем несколько определений.

Определение 1. Последовательность кубатурных формул (ПКФ) называется оптимальной, если каждый ее элемент минимизирует норму его разности с точным значением интеграла по множеству коэффициентов этого элемента:

У!г :=а^ тш - Кп\\^м^ .

Определение 2. Последовательность кубатурных формул К^П'аБ называется асимптотически оптимальной, если она имеет оптимальные свойства в пределе, т. е. выполняется следующее равенство:

Иш

Ь.^0

Iп - К

П,аБ

(шт(п)у

I п — кп'°рЬ

1.

(пт(п)у

Определение 3. Последовательность кубатурных формул называется оптимальной по порядку, если существует такая, не зависящая от Н константа С, что верна оценка

Иш

ь^о

Iп - К

ь

(Жт(П))*

I п — кп'°рЬ

£ С.

(пт(п)у

р

Определение 4. Последовательностью кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем (ОПС) называется такая ПКФ, для которой выполняются два условия

1. Все ее коэффициенты равномерно ограничены по h и k:

sup |cfc(h)| ^ Li. h, к

2. Всем узлам решетки, содержащимся в области П, за исключением пограничного слоя толщины L2h, соответствуют коэффициенты, равные единице:

vk, h : p(kh, Ега\П) ^ L2h ^ ck(h) = 1.

Мы будем рассматривать именно ОПС-формулы. Верна следующая теорема:

n

Теорема 1. Пусть 1 ^ p1 ^ p2 < ^ и — < m1 < m2. Последовательность кубатур-

Р i

ных формул Kht(f) с ОПС асимптотически оптимальна на пространствах

wpm(

J m£

тогда и только тогда, когда она оптимальна на них по порядку [2].

Определение 5. Последовательностью функционалов погрешности (ПФП) (f), соответствующей ПКФ K (f), называется последовательность, каждый элемент которой представляет собой разность точного интеграла Iн (f) от функции f по области ш и соответствующего элемента ПКФ:

/н(f):= 1Ш(f) - K(f), h ^ 0, или в виде обобщенной функции:

lh (x) : Хн (x

) - hn Ck(h)S(x - hk), h ^ 0,

hfcGw,

kezn

где Хн (x) — характеристическая функция области ш.

Приведем теперь алгоритм построения ПКФ с нужными нам свойствами. Для каждой точки x Е П можно указать окрестность U(x) такую, что попавшая в нее часть границы Г Р| U(x) может быть гладко спроектирована на одну из координатных плоскостей. Так как П ограничена, существует ее конечное покрытие {Ut}J=1 , Ut = U(x(t)). Пусть разбиение единицы {at}T=1 подчинено этому покрытию, т. е.

T

Vat Е C0° supp at С Ut, ^ at(x) = 1.

t=1

Введем обозначение: Vt = П Р| Ut. Последовательность функционалов погрешности для всей области П получим суммированием по областям Vt локальных ПФП, помноженных на функции разбиения единицы:

T

#(x) = X;at(x) /V(x), t=1

где

^ (х) := (х) - С1 (к)*(х - кк), к ^ 0.

нкеУ', kezn

Тогда I£(х) будет иметь коэффициенты ск(к), вычисляемые по формуле

т

<£(к) = > ш(щ ск(к).

4=1

Таким образом, если уметь считать коэффициенты локальных ПФП ** (х) для любого Ь, то задача будет решена. Далее мы приведем формулы, дающие явный вид коэффициентов локальных ПФП.

Рассмотрим любую из локальных ПФП (х). Будем обозначать штрихом (п— 1)-мерный вариант того или иного обозначения, например (х1} ...,хп-1,хп) = (х',хп); (8'(х'),р(х)) = <^(0', хп). Пусть для определенности Г4 = Г Р| и = {х : хп = 7(х'), 7 € СМ} , т. е. последняя координата любого вектора из множества Г4 явно выражается через остальные координаты. Будем предполагать, что хп > 7(х'). Тогда для коэффициентов ПФП I* (х) можно записать явное выражение [1]:

М+1 1 М+1 тт[к„-5-1,М+1} тт[к„-£-з,Ы+1}

Е " Е Vя-1 Е Е wrp, кп > 1 + £

Р=1 Р Я=1 8=1 Г=1

Здесь £

7 (кк') к

0,

Г 7 (кк' К б

п = < —;-> — целая и дробная части числа

к

кп ^ 1 + 7

к

г 1 М+1

а /¿,7=1

элементы матрицы, обратной к матрице Вандермонда (М + 1) х (М + 1):

11 1 2

V 1 2

М

1

М + 1

Построенная таким образом ПФП I£ (х) является оптимальной по порядку на любом пространстве с т < М [1], а значит, по теореме 1, и асимптотически оптимальной.

В частности, для любого т < М выполняется оценка

II*"Н(^(П)Г ^Скт к ^ °

Так как (*£(х),/(х)) ^ ||II (жт(п))* /И^т(п) , рассчитанный программой ответ может

разниться с точным на величину произведения константы, нормы функции / и значение кт.

Составим программу приближенного вычисления интеграла ^ ^х/(х)а(х) с использованием формул (1) и (2).

2. Программа

Для вычислений по изложенному алгоритму написана программа на языке C+—+ с использованием библиотеки параллельных функций MPI. На данный момент она реализует основную часть алгоритма: при заданной области V с явно определенной границей rt она вычисляет интеграл от произведения функции f (x) и срезывающей функции at(x), вычисляя коэффициенты c| локальной ПФП /V (x).

Мы предполагаем, что область Vt вложена в два соединенных в направлении n-й координаты единичных гиперкуба, в одном из которых находится гладкая граница rt. Таким образом, Vt — вытянутая гиперпризма, в которой одна из плоских границ заменена произвольной гладкой поверхностью.

В качестве параметров программы следует указывать:

— размерность пространства n;

— подынтегральную функцию f (x);

— срезывающую функцию at(x);

— y(x') — функцию, задающую поверхность rt;

— параметр гладкости M ;

— параметр разбиения h. Задается как N-1, где N — количество точек решетки на ребре единичного куба. Общее количество узлов в гиперпризме Q вычисляется как

— коэффициенты растяжения области Vt по всем координатам;

— количество процессоров P.

Следует отметить, что используемые нами кубатурные формулы являются условно-ненасыщаемыми. Хотя параметр гладкости M задается заранее, наш алгоритм применим и для функций, реальная гладкость m которых меньше или больше M. В первом случае теоретическая погрешность вычислений имеет порядок hm, во втором — hM. Так как наши эксперименты проводились с бесконечно гладкими функциями f, мы имели второй случай, т. е. гладкость таких функций искусственно понижалась до порядка гладкости M, фактически учитываемого в программе. Ясно, что теоретически в этом случае лучше брать возможно большее M. Однако, так как от параметра M зависит размер матрицы Вандермонда, с обратной к которой мы имеем дело, при увеличении M усиливаются ее плохие свойства. Кроме того, поскольку параметр M лежит в основе нескольких вложенных циклов нашей программы, при его увеличении, как будет показано позже, значительно возрастает время вычислений. В связи с этим величина M варьировалась в не очень широком диапазоне — от 2 до 6.

3. Вычислительные эксперименты

Программа тестировалась при следующих параметрах:

1) п от 2 до 10;

2) /(х) = зт ^Е а^Ь^ , а = (1, 2, 3,1,1..., 1), Ь = (1, 2, 3,1,1..., 1);

п— 1

3) а(х1,...,хп) = П ¥>(жг) ^(хп), где = £(2е*)£(2е(1 - *)), = £(1 + е - 2*),

г=1

а е

1 и

0, г < о,

I г е

€(*) = \ I *(*)&*//

0 0

1, е < г;

*(г) = (г(е-г))м, о ^г<е

1 /п—1 \ 1

4) 7(ж') = 4 81п ( £ +2, где с = (1, 2, 3,1,1..., 1), & = (1, 2, 3,1,1..., 1);

5) М от 2 до 6;

6) N от 5 до 100 000;

7) коэффициенты растяжения области (1, ...1, 2) — п-мерный вектор;

8) Р от 1 до 900.

Заметим, что независимыми параметрами являются лишь п, М, N и Р, поэтому в процессе тестирования следует варьировать лишь их.

Точность вычислений рассчитывалась по устойчивости десятичных знаков в ответе при использовании последовательности уменьшающегося параметра Л. Верными при этом считались совпадающие десятичные знаки в ответах при текущем и следующем — меньшем значении Л (см., например, [3]). В результате экспериментов установлено, что при фиксированных значениях параметров п, М, N и изменении Р точность вычислений не изменяется, т. е. она не зависит от числа процессоров. Далее, если фиксировать п, М и увеличивать N то точность повышается. То же самое происходит при постоянных параметрах п, N и возрастающем М. Например, при п = 2 получаем табл. 1.

Сравнивая при каждом М вышестоящие ответы с нижестоящими, мы нашли верные (устойчивые) знаки и убрали несовпадающие (округление учитывалось). Количество верных знаков для каждого результата показано в табл. 2.

Теоретически ожидаемые порядки точности представлены в табл. 3. Как видно, при теоретической точности до 16 знаков практические результаты не менее точны, тогда как

Таблица 1. Результаты экспериментов, п = 2

N\М 2 3 4

100 0.03539 0.032350 0.03034590

1000 0.03539291 0.0323504440 0.0303459075339

10 000 0.03539291153 0.0323504440474 0.030345907533967

100 000 0.035392911532 0.03235044404743 0.0303459075339675

N\М 5 6

100 0.028926864 0.0278703404

1000 0.02892686406822 0.027870340463228

10 000 0.028926864068224 0.0278703404632276

100 000 0.0289268640682242 0.0278703404632276

Таблица 2. Количество верных знаков

N\М 2 3 4 5 6

100 5 6 8 9 10

1000 8 10 13 14 15

10 000 11 13 15 15 16

Таблица 3. Теоретическая точность

N\М 2 3 4 5 6

100 4 6 8 10 12

1000 6 9 12 15 18

10 000 8 12 16 20 24

далее сказываются ошибки округления. В программе используются числа типа long double с 15 (в ОС UNIX) значащими цифрами после точки.

Согласно теории, при увеличении размерности n и сохранении величин N и M постоянными погрешность ПФП имеет порядок hm = N-m, т.е. не зависит от размерности пространства. Однако не нужно забывать, что на практике мы должны учитывать важный дополнительный параметр — предоставленное для вычислений время. Следует подбирать число N так, чтобы счет не оказался слишком долгим. Для этого нужно поддерживать постоянным общее количество узлов в гиперпризме Q : N := |Q|Nn, а значит, при увеличении n уменьшать N.

Практика показала, что при максимальном на МВС-15 000 количестве процессоров оптимальное по затратам времени общее количество узлов — 1010 точек. Поэтому, если для размерности n = 2 мы можем взять до 105 точек в одном измерении, то для n =10 вынуждены ограничиться значением N = 10. В этом случае пограничный слой кубатурной формулы, т. е. приграничная часть области, где пересчитываются коэффициенты, сравним по объему со всей областью, что плохо сказывается на точности вычислений. В самом деле, счет с параметрами n = 10, N = 10, M = 2 дает лишь четыре верных знака.

Теперь проанализируем практическую значимость применения большого количества процессоров в нашей задаче. Время вычислений при варьировании параметров n, M, N и числа процессоров P изменялось следующим образом.

При фиксированных n, M, N и увеличивающемся числе процессоров P время вычислений уменьшалось почти пропорционально возрастанию P. Пусть, например, n = 7, M = 5, N =15.

Для лучшего анализа введем понятия ускорения и эффективности распараллеливания программы:

Sp = —1 (ускорение),

—

p

S

Ер = -Р (эффективность),

где Тр — время, за которое задача выполняется на Р процессорах. Будем варьировать Р от 100 до 900 с шагом 100. При этом положим Т = 100Т10о. Дело в том, что реальное время Т слишком велико, поэтому фактически идеальным для нас будет случай, когда Р = 100. Имеем табл. 4.

В идеальном (пропорциональном) случае было бы так, как в табл. 5.

Таблица 4. Реальный случай

P 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Tp 262.0 135.0 89.0 68.0 53.0 47.0 39.0 34.0 30.0

Sp 100.0 194.07 294.38 385.29 494.34 557.45 671.79 770.59 873.33

Ep 1.0 0.97 0.98 0.96 0.99 0.93 0.96 0.96 0.97

Таблица 5. Идеальный случай

P 100 200 300 400 500 600 700 800 900

Tp 262.0 131.0 87.33 65.50 52.40 43.67 37.43 32.75 29.11

Sp 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 600.0 700.0 800.0 900.0

Ep 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

Sp

100 200 300 400 500 600 700 800 900

2

3

4

M

5

6

P

Рис. 1. Зависимость ускорения от числа про- Рис. 2. Зависимость времени вычислений от

На графике (рис. 1) наглядно показано отклонение экспериментального ускорения Бр (ломаная кривая) от идеального ускорения (прямая).

Зависимость времени вычислений от параметра гладкости М при прочих равных условиях продемонстрируем на примере (рис. 2). Пусть п = 10, N = 5, Р = 20. Как видно, при увеличении М время счета возрастает. Это связано с тем, что в алгоритме активно используется матрица, обратная к матрице Вандермонда размера (М +1) х (М + 1).

Список литературы

[1] Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН,

[2] Ramazanov M.D. To the Lp-theory of Sobolev formulas // Siberian Advances in Mathematics. 1999. Vol. 9, N 1. P. 99-125.

[3] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 600 с.

цессоров.

гладкости.

1996. 484 с.

Поступила в редакцию 23 декабря 2005 г., в переработанном виде — 7 февраля 2006 г.

Правила для Авторов

<http://www.ict.nsc.ru/mathpub/comp-tech/>

1. Статья должна быть представлена в редакцию в двух экземплярах в виде рукописи, отпечатанной на одной стороне листа стандартного формата A4 и подписанной авторами, файла рукописи в формате LTeX 2е и файлов рисунков на дискете.

2. Все файлы предоставляются на дискете 3.5" формата 1440 Кбайт. Предпочтительнее пересылка файлов по электронной почте jct@ict.nsc.ru в виде *.zip архива.

3. На отдельной странице на русском и английском языках прилагаются: название статьи, имена авторов, аннотация

4. Статья должна сопровождаться разрешением на опубликование от учреждения, в котором выполнена данная работа. В сопроводительном письме необходимо указать почтовый адрес, телефоны, e-mail автора, с которым будет проводиться переписка.

5. Для каждого автора должна быть представлена (на русском и английском языках) в виде отдельного файла следующая информация:

о Фамилия, имя, отчество о место работы и должность о ученая степень и звание о почтовый адрес

о телефоны с кодом города

6. Материалы следует направлять по адресу: редакция журнала "Вычислительные технологии", Институт вычислительных технологий СО РАН, просп. Акад. Лаврентьева, 6, 630090, Новосибирск, 90, Россия, Игорю Алексеевичу Пестунову (отв. секретарь) — тел.: +7(383)3308785, e-mail: jct@ict.nsc.ru; Галине Григорьевне Митиной (зав. РИО).

Рекомендации по оформлению статьи в LTEX

В редакцию следует направлять исходный файл, подготовленный в формате LTEX 2е в классе jctart (допускается использование стандартного класса article).

Файл класса jctart.cls можно скачать с сайта ЖВТ: http://www.ict.nsc.ru/win/mathpub/comp-tech/.

1. Структура файла в формате LTEX 2£:

\documentclass{jctart} \usepackage{amsmath}

\begin{document}

\setcounter{page}{1}\pagestyle{myheadings}

\markboth{<^0. Фамилия автора(ов)>}{<КРАТКОЕ НАЗВАНИЕ СТАТЬИ (ДО 40 СИМВОЛОВ)>} ^^^{<НАЗВАНИЕ СТАТЬИ>\footnote{<Ссылка на поддержку (факультативно)>.}} ^uthor^sc^^^. Фамилия первого автора>}\\ \it{<MecTO работы первого автора>}\\ e-mail: \^{<Адрес первого автора>}\\[2тт] ^^^.О. Фамилия второго автора>}\\

\^{<Место работы второго автора (отличное от первого)>}\\ ...}

\date{}

\maketitle

\begin{abstract}

<Текст аннотации>

\end{abstract}

<Текст статьи>

\begin{thebibliography}{9}

<Библиография (\bibitem-список)>

{\small

\bibitem{} {\sc Иванов~И.И., Иванова~И.И.} К вопросу о вычислительных технологиях //

Вычисл. технологии. 1999. Т.~11, №-~11. С.~1123-1135. ...}

\end{thebibliography} \end{document}

(В конце файла даются:

<Перевод названия статьи на английский язык

2. Список литературы составляется по ходу упоминания работы в тексте и оформляется по образцу:

Книга

Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1979. 222 с.

Бренстед А. Введение в теорию выпуклых многогранников: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.

Рояк М.Э., СоловЕйчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.

Finlaysön B.A. The Method of Weighted Resuduals and Variational Principles. N.Y.: Acad. Press, 1972.

Книга четырех авторов

Проблемы вычислительной математики / А.Ф. Воеводин, В.В. Остапенко, В.В. Пивоваров, С.М. Шур-гин. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1995.

Статья из продолжающегося тематического сборника

Федорова А.А., Черных Г.Г. О численном моделировании струйных течений вязкой несжимаемой жидкости // Моделирование в механике: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Вычисл. центр. Ин-т теор. и прикл. механики. 1992. Т. 6 (23). С. 129-140.

Статья из журнала

Игнатьев Н.А. Выбор минимальной конфигурации нейронных сетей // Вычисл. технологии. 2001. Т. 6, № 1. С. 23-28.

Venkatakrishnan V. Newton solution of inviscid and viscous problems // AIAA J. 1989. Vol. 27, N 7. P. 285-291.

Труды конференции

Ivanov I.I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Препринт

Гуськов А.Е., Федотов А.М., Молородов Ю.И. Информационная система'Конференции". Новосибирск, 2003 (Препр. РАН. Сиб. отд-ние. ИВТ. № 1-03).

Диссертация

Деменков А.Г. Численное моделирование турбулентных следов в однородной жидкости: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1997. 123 с.

3. Иллюстрации вставляются в текст статьи с помощью команды \includegraphics, например:

\begin{figure}[htbp] \centering

\includegraphics{fig1.eps} \caption{<Подрисуночная подпись.>} \end{figure}

Наиболее предпочтительной формой представления иллюстраций являются файлы рисунков в векторном формате PostScript (.eps) или черно-белых растровых в форматах .bmp, .pcx, .tif с разрешением 300 dpi.

Все надписи на рисунках (обозначение осей и т.п.) должны быть выполнены в том же начертании (гарнитура "Roman"), что и в тексте статьи. Латинские символы — курсивом, из математической моды (x[fcj, z х 10-3, ф, P,...), цифровые обозначения на графиках — наклонно (№ кривой — 1, 2,...), цифры по осям — прямо (10, 15,...), единицы измерения — по-русски (кг, м,...).

Instructions für Authors

<http://www.ict.nsc.ru/math.pub/comp-tech/>

1. Papers may be submitted to the editorial board as two copies of the manuscript typed on one side of the standard A4 sheet (297x210 mm) and files of the manuscript in LTEX 2e format and files of the figures on a diskette.

2. All files should be submitted on a 3.5"floppy disc (1440 Kbytes) or sent to jct@ict.nsc.ru as a *.zip - archive.

3. A separate page should contain a title, names of the authors, an abstract (not more than 300 characters) and keywords.

4. The paper should be accompanied by the publication permission from the organization, where the work was done. The enclosed letter should contain the postal address, phone numbers and e-mail of the corresponding author.

5. A separate file should contain the following information on each author:

o First name, second name, last name o Affiliation, position o Academic degree and title o Postal address

o Office and home phone numbers

6. All materials should be sent to the following address: Dr. Igor A. Pestunov (executive secretary), Journal of Computational Technologies, Institute of Computational Technologies SB RAS, Academician Lavrentyev Ave. 6, Novosibirsk, 630090, Russia. Phone +7(383)3308785, E-mail: jct@ict.nsc.ru; Galina G. Mitina (publishing department manager).

Recommendations on submitting paper in LTEX

The source file should be submitted in LTEX 2e format using jctart class file (standard article class can also be used).

The files of appropriate jctart.cls class file can be downloaded from JCT web site: http://www.ict.nsc.ru/win/mathpub/comp-tech/.

1. The file structure in LTeX 2e format:

\documentclass[english]{jctart} \usepackage{amsmath}

\begin{document}

\setcounter{page}{1}\pagestyle{myheadings}

\markboth{<Name(s) of author(s)>}{<SHORT TITLE (LESS THAN 40 CHARACTERS)>} \title{<TITLE OF PAPER>\footnote{<Reference to supporting organization (optional)>.}} \author{\sc{<Name of the first author>}\\

\it{<Affiliation of the first author>}\\ e-mail: \tt{<Address of the first author>}\\[2mm] \sc{<Name of the second author>}\\ \it{<Affiliation of the second author>}\\ ...}

\date{} \maketitle \begin{abstract} <Abstract> \end{abstract} <Text of paper> \begin{thebibliography}{9} <References (\bibitem-list)> {\small

\bibitem{} {\sc Ivanov~I.I., Ivanova~I.I.} On computational technologies //

Computational technologies. 1999. Vol.~11, No.~11. P.~1123-1135. ...}

\end{thebibliography} \end{document}

2. A list of the references should be sorted according to the order of citations in the text and it should be written as in the following example:

Book

Finlayson B.A. The method of weighted residuals and variational principles. N.Y.: Acad. Press, 1972. Book by four authors

Problems of computational mathematics / A.F. Voevodin, V.V. Ostapenko, V.V. Pivovarov, S.M. Shurgin. Novosibirsk: SB RAS Publishing House, 1995.

Paper from continued subject transactions

Fedorova A.A., Chernykh G.G. On numerical modelling of viscous incompressible jet fluid flows // Modelling in mechamics: Scientific transactions / RAS. Siberian branch. Computing Center. Institute of Theoretical and Applied Mechanics. 1992. Vol. 6 (23). P. 129-140. Paper from journal

Venkatakrishnan V. Newton solution of inviscid and viscous problems // AIAA J. 1989. Vol. 27, N 7. P. 285-291.

Conference proceedings

Ivanov I.I. Problems in computational techologies // Intern. Conf. Comput. Techs. Novosibirsk, 1988. P. 225-229.

Dissertation

Demenkov A.G. Numerical modelling of turbulent wakes in homogeneous fluid: Dissertation for degree of candidate of physical and mathematical sciences. Novosibirsk, 1997. 123 p.

3. Figures should be included into the text using command \includegraphics{<figure file name>}, for example:

\begin{figure}[htbp] \centering

\includegraphics{fig1.eps} \caption{<Figure caption.>} \end{figure}

The preferred presentation form for illustrations is a figure file in vector format PostScript (.eps) or black and white bitmap formats .pcx, .bmp, .tif with 300 dpi resolution.

All figure inscriptions (axes definitions, etc.) should be done by the same font as in the text of paper ("Roman" type family). Latin characters should be done in italics in mathematical mode (x[k], z x 10-3, P,...), figures on axes — by straight font.

In papers, which are written in Russian, the units of measurement should be written in Russian.

В ближайших номерах/Forthcoming papers

Liseikin V.D., Likhanova Yu.V., Patrakhin D.V., Vaseva I.A. Generation of block structured smooth grids

ЛисЕйкин В.Д., ЛихлновА Ю.В., Патрахин Д.В., Васева И.А. Построение блочных, гладких сеток

АщЕпков Л.Т., Давыдов Д.В. Показатель интервального неравенства: свойства и применение

Aschepkov L.T., Davydov D.V. Numerical characterization for interval inequalities: properties and applications

Башуров В.В. Применение методов геометрической оптики к решению задач безопасности объекта

BashurOV V.V. Application of optics methods to security problems

Горелов Д.Н., Редреев Д.Г. Построение квадратурной формулы для сингулярного интеграла с ядром Коши по контуру крылового профиля

GORELOV D.N., Redreev D.G. Construction of a quadrature formula for a singular integral with the Cauchy kernel over wing profile contour

Данаев Н.Т., Ергалиев Е.К. Об одном итерационном методе решения стационарных уравнений Навье — Стокса

Danaev N.T., Ergaliev E.K. On an iteration method for stationary Navie — Stocks equations

КАртошкинА А.Е. Влияние динамики на термодиффузию в плоском слое со свободными границами

Kartoshkina A.E. Influence of dynamics on thermodiffusion in a 2D layer with free boundaries

Клочков Ю.В., Николаев А.П., Джабраилов А.Ш. К вопросу о неадекватности изопараметрической параметризации в МКЭ

KLOCHKOV J.V., NikOLAEV А.Р., DzhABRAILOV A.Sh. On inadequacy of isoparametrical parametrization in finite element method

Новиков Е.А., Шорников Ю.В. Контроль устойчивости метода Фельберга седьмого порядка точности

NOVIKOV E.A., Shornikov Yu.V. Stability control of Felberg method of the 7th order of accuracy

Червов В.В. Моделирование трехмерной конвекции в мантии Земли с применением неявного метода расщепления по физическим процессам CHERVOV V.V. Modelling of 3-D convection in the Earth mantle using an implicit splitting method over the physical processes

ЧикинА Л.Г. Двухпараметрические итерационные методы CHIKINA L.G. Two-parameter iterative methods

Шапеев В.П., Черепанов А.Н. Конечно-разностный алгоритм для численного моделирования процесса лазерной сварки металлических пластин SHAPEEV V.P., CHEREPANOV A.N. Finite-difference algorithm for numerical simulation of process of metal plates laser welding

КАРБАНОВСКИй В.В., Клиров Т.В. Замечания к статье В.В. Альчикова "Решение уравнений магнитостатики для ферромагнетиков различной формы"

KARBANOVSKIY V.V., KAIROV T.V. Remarks on the article "A solutions of magnetostatic equations for ferromagnetics of various shape"