Несколько замечаний о естественных минимальных логиках: базисная и формальная логики А. Виссера и их модальные напарники

А.В. Чагров

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ЕСТЕСТВЕННЫХ МИНИМАЛЬНЫХ ЛОГИКАХ: БАЗИСНАЯ И ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКИ А.ВИССЕРА И ИХ МОДАЛЬНЫЕ НАПАРНИКИ

Abstract. The main result is following: Visser's basic logic BPL has a continuum of maximal normal modal companions and a continuum of maximal quasi-normal modal companions, the property "to be a modal companion of BPL ' ' is undecidable in normal case and in quasi-normal case. Some hypothesis about modal companions of Visser 's formal logic FPL is formulated.

В своей классической монографии [2] и последующих работах А.В.Смирнов пристальное внимание уделял проблематике, связанной с минимальными средствами, позволяющими получить те или иные логические результаты, например - разные варианты теоремы дедукции, что выражалось в поиске необходимых и достаточных условий для их выполнения, с формулировкой исчислений, удовлетворяющим некоторым требованиям минимальности, например - абсолютные исчисления, и др. (Автор данного текста предпочитает говорить «теорема о дедукции», хотя только что употребил оборот «теорема дедукции» отдавая дань уважения А.В.Смирнову, говорившему именно так. Не считая разницу принципиальной, всё таки поясню, что слово теорема означает утверждение (имеющее доказательство, разумеется), а в данном случае теорема о дедукции утверждает не столько дедукцию, сколько нечто о дедукции.) Вообще, многие логические исследования можно интерпретировать как стремление к очерчиванию минимальных средств, пригодных для тех или иных целей. Здесь уместно вспомнить про многие неклассические логики, такие как интуиционистская, релевантная и т.д. Сюда же можно отнести и две логики, построенные в начале 80-х годов прошлого века А.Виссером [10]. В определённом смысле данная статья примыкает к работам [4], [5], [6], изданных в сборниках, выпускаемых сектором логики ИФ РАН. Кроме того, базисная логика обсуждается в работе [1], поэтому автор позволил себе считать, что идейная основа введения логик Виссера, а также их реляционная семантика читателю понятны, и ограничился формальным описанием результатов и проблем, относящихся к рассматриваемым логикам.

Мы будем обсуждать довольно разные задачи, но они близки либо по технике решения, либо по устойчивому «сопутствованию» решений в исследованиях самых разных логик и классов логик, либо по традиции одновременного рассмотрения.

Прежде всего напомним, что в [10] базисная и формальная логики были введены синтаксически, точнее - как исчисления натурального вида. Фактически исчисление для базисной логики BPL (далее часто - исчисление BPL или просто BPL) получается из некоторого варианта натурального исчисления для интуиционистской пропозициональной логики Int отбрасыванием правила удаления импликации, то есть правила modus ponens (точнее - заменой его на правило транзитивности импликации), в то время как правило введения импликации сохранено. Исчисление [10] для формальной логики FPL (далее - исчисление FPL или просто FPL) получается из BPL добавлением одного правила (правила Лёба, см. далее). Добавим ещё одно соглашение: множества формул, выводимых в BPL и FPL, будем называть логиками BPL и FPL соответственно.

В исчисления BPL и FPL нельзя добавить правило введения импликации без изменения множества выводимых формул: при таком изменении BPL, как уже сказано, превращается в исчисление для Int, хотя в BPL не выводимы такие, например, принадлежащие Int формулы как A л (A ^ B) ^ B, (A ^ (B ^ С)) ^ ((A ^ B) ^ (A ^ С)), а исчисление FPL вообще становится противоречивым.

Долгое время был открыт вопрос об исчислениях гильбертовского типа для логик BPL и FPL. Вопрос не праздный: логики BPL и FPL замкнуты относительно правила modus ponens, что является крайне неожиданным в связи со сказанным в предыдущем абзаце, но легко проверяется с помощью семантики логик BPL и FPL. Тривиальное «решение» этого вопроса состоит в том, что в качестве схем аксиом можно взять все выводимые формулы (превратив их в схемы формул, конечно) логик BPL и FPL соответственно. Однако хотелось бы иметь обозримые, например - с конечным списком аксиом, аксиоматики. Не так давно такие аксиоматики были найдены в разных работах, но наиболее разумными являются аксиоматики, обнаруженные японскими логиками: для BPL - Х.Оно и Я.Судзуки, для FPL -К.Сасаки. Эти аксиоматики приводятся ниже. Чтобы не загромождать ссылочный аппарат, укажем как на источник информации доступную в интернете работу К.Сасаки [9], в которой все необходимые ссылки имеются.

Таким образом, возникает возможность рассмотрения для логик BPL и FPL задач, которые уже решены или решаются для логики Int, где развит и соответствующий аппарат, см. например [8], да и возникающие аналогии могут подсказать и направления исследований, и возможные решения. Здесь было трудно удержатся от слова параллели вместо слова аналогии, но оно здесь всё таки не вполне уместно, поскольку, во-первых, некоторые результаты отличаются от своих аналогов, а во-вторых, серьёзным вопросом является вопрос о том, что считать расширением логики в случае рассмотрения логик BPL и FPL, поскольку постулирование правила modus ponens для множеств формул, включающих в себя BPL и FPL, проблематично. В связи с этим некоторые приводимые ниже факты и проблемы надо рассматривать с учётом этой проблематичности.

Приведём упомянутые выше исчисления для логик BPL и FPL. Прежде всего, дадим исходные формулировки натуральных исчислений А.Виссера. Отметим только, что правила натуральных исчислений мы будем по некоторым причинам выписывать линейно, используя вместо горизонтальной черты, над которой и под которой пишутся формулы и/или допущения, символ /. Мы предполагаем, что читатель знаком с обычными обозначениями и наши линейные записи не будут мешать его пониманию.

Язык логик BPL и FPL определяется обычным образом с использованием пропозициональных переменных, константы 1 («ложь») и пропозициональных связок л (конъюнкция), V (дизъюнкция), ^ (импликация). Этот же язык принят для Int в [8] Натуральное исчисление для BPL задаётся правилами (точнее - схемами правил, конечно; происхождение их обозначений должно быть ясно с учетом сокращения f от formalized):

л1: A, B/А л B; лЕ: A л B/A; A л B /B; VI: A /A v B; B /A v B; IE: 1 / A;

Tr: (A ^ B), (B ^ C) / (A ^ C);

лИ: (A ^ B), (A ^ C) / (A ^ (B л C));

vEf: (A ^ C), (B ^ C) / ((A v B)^ C);

^I: [A] . . . B / (A ^ B);

vE: A v B; [A] . . . C, [B] . . . C / C.

Исчисление FPL задаётся теми же правилами, к которым добавлено ещё правило, названное правилом Лёба:

((1^ 1) ^ A) ^ A /(1^ 1) ^ A.

Теперь обратимся к формулировкам гильбертовского типа. Правила вывода здесь два - modus ponens и подстановка. Использование схем аксиом вместо правила подстановки здесь не оправдано обычным удобством применения теоремы о дедукции в присутствии одного лишь правила вывода modus ponens, поскольку здесь такое применение невозможно.

Аксиоматика Х.Оно-Я.Судзуки для BPL (в используемых здесь обозначениях формул):

Их): A ^ A;

Из): A ^ (B ^ A);

(^э): (B ^ C) л (A ^ B) ^ (A ^ C);

(лх): A л B^ A;

(лз): A л B^ B;

(лэ): (C ^ A) л (C ^ B) ^ (C ^ A л B);

(vi): A ^ A v B;

(V2): B^ A v B;

(V3): (A ^ C) л (B ^ C) ^ (A v B ^ C);

(V4): A л (B v C) ^ (A л B) v (A л C);

(1х): 1 ^ A.

Аксиоматика К.Сасаки [9] логики FPL получается из только что приведённой добавлением одной аксиомы, которую в связи с описанным выше правилом Лёба естественно называть формулой Лёба:

(L): (((1 ^ 1) ^ A) ^ A) ^ ((1 ^ 1) ^ A).

Тот факт, что с учетом свойств приведённых выше трёх исчислений эта аксиоматика действительно задаёт логику FPL,

достаточно очевиден, поэтому, возможно, разумнее называть её аксиоматикой Х.Оно-Я.Судзуки- К.Сасаки.

Исчисления сформулированы, мы можем обратиться к вопросу о целях их введения; более точно, разумеется, говорить о целях введения логик, соответствующих этим исчислениям.

Уместно вспомнить, что в своё время интуиционистская логика была сформулирована с целью описать минимальное множество принципов, приемлемых с точки зрения интуиционистов. То, что это было сделано аксиоматически, не носит принципиального характера - это ведь один из способов эффективного (в широком смысле этого слова) описания бесконечного множества утверждений. С некоторых точек зрения, являющихся в определённой степени уточнениями интуиционистских взглядов, построенная интуиционистская логика оказалась не минимальной: на предикатном уровне она не содержит принципа Маркова (это единственное место в данной статье, где упоминаются не пропозициональные логики); на пропозициональном уровне она оказалось меньше логики реализуемости и меньше логики финитных задач Медведева и т.д. Тем не менее, она оказалась достаточно естественной минимальной логикой для рассмотрения всех упомянутых и некоторых других точек зрения и взглядов.

Добавим к этому, что интуиционистская логика появилась и ещё в одном варианте стремления к минимальности. Имеется в виду обнаруженная К.Гёделем связь её с модальной логикой S4. Вкратце (а тем самым и не вполне скрупулёзно точно), интересующий нас аспект истории таков, подробности см. в [8]. К. Гёдель при попытке сформулировать пропозициональную модальную логику доказуемости построил экономную (читай: минимальную) аксиоматическую систему, оказавшуюся дедуктивно эквивалентной (равной по множеству выводимых формул) модальной логике К.И.Льюиса S4. Затем, задавшись целью выделить из нее фрагмент, в котором в формулах классические связки оказываются только в области действия модальности «доказуемо», обнаружил, что в результате у него получилась интуиционистская пропозициональная логика. Точнее, если каждую интуиционистскую пропозициональную связку расшифровать как соответствующую классическую, но на которую навешен оператор «доказуемо» (то есть считать ее сильным вариантом классической) и навесить оператор «доказуемо» на пропозициональные переменные, то в результате получается перевод погружающий Int в S4: интуиционистская формула принадлежит Int тогда и только тогда, когда её перевод принадлежит S4. Это наблюдение К.Гёделя (доказательств он не

опубликовал, и неизвестно, были ли они у него) также можно отнести к поиску естественных минимальных логик: каков окажется фрагмент модальной логики, состоящий из формул, в которых всякая классическая связка снабжена оператором «доказуемо».

В дальнейшем было обнаружено несколько переводов с аналогичными свойствами, наиболее употребительным из которых оказался T-перевод: модальность «доказуемо» или «необходимо» (будем предпочитать читать её «необходимо» и обозначать ) навешивают только на элементарные подформулы (переменные и константу «ложь») и на импликацию; таким образом, Int можно называть T-фрагментом S4. Отошлю заинтересованного читателя к [3], [7] за дополнительной информацией.

Логики BPL и FPL возникли в [10] примерно по этой же схеме: А.Виссер выделял T-фрагменты из модальных логик K4, отличающейся от S4 в формулировке К.Гёделя отсутствием аксиомы []A ^ A, и логики доказуемости Гёделя-Лёба GL, являющейся расширением K4. Заметим, что выбор K4 здесь довольно случаен: было замечено, что большинство модальных логик, возникших по естественным соображениям (прежде всего, S4 и GL), включают в себя K4. В литературе встречались даже предложения называть её базисной (или базовой) модальной логикой.

Однако было обнаружено (сошлюсь здесь опять-таки на работу [7], где это довольно подробно сказано), что Int погружается не только в S4. Имеются нормальные модальные логики, собственно расширяющие S4 и являющиеся модальными напарниками Int. Среди них наибольшей является логика Гжегорчика Grz, получающаяся из S4 добавлением аксиомы []([](A ^ []A) ^ A) ^ A. Этот факт вместе со свойствами Grz - финитной аппроксимируемостью и в результате разрешимостью - даёт алгоритм, отвечающий на вопрос про произвольную формулу р, будет ли нормальное расширение S4 аксиомой р модальным напарником Int. Сходная ситуация и в том случае, если мы будем рассматривать не только нормальные логики, то есть откажемся от постулирования правила Гёделя. Правда, в этом случае логика Гжегорчика уже не является максимальным (и тем более не наибольшим) модальным напарником Int, хотя и в этом случае S4 имеет наибольшее расширение среди тех, в которое Int вкладывается T-переводом. Оба наибольших модальных напарника Int в расширениях S4 (в нормальном и произвольном случаях) устроены достаточно просто (разрешимы, во всяком случае), чтобы доказать разрешимость проблемы «быть

напарником Int» в расширениях S4 и нормальных расширениях S4.

Теперь сформулируем четыре утверждения, проясняющие аналогичные вопросы о базисной логике BPL.

Теорема 1. Базисная логика BPL имеет континуум максимальных по включению нормальных модальных напарников и континуум максимальных модальных напарников среди квазинормальных расширений K4. Свойство «быть модальным напарником BPL» алгоритмически неразрешимо и в случае нормальных, и в случае квазинормальных модальных логик.

Теорема 1. Базисная логика BPL имеет континуум максимальных по включению нормальных модальных напарников.

Теорема 2. Базисная логика BPL имеет континуум максимальных по включению модальных напарников среди квазинормальных расширений K4.

Теорема 3. Свойство «быть модальным напарником BPL» алгоритмически неразрешимо и в случае нормальных модальных логик.

Теорема 4. Свойство «быть модальным напарником BPL» алгоритмически неразрешимо в случае квазинормальных модальных логик.

Что касается логики FPL, то мне не удалось для неё доказать аналоги этих теорем. Более того, представляется разумной гипотеза, что логика GL является единственным (а тем самым и наибольшим) нормальным модальным напарником FPL, а все квазинормальные модальные напарники FPL расположены между логиками GL и логикой Р. Соловея S.

Работа автора была поддержана грантом РФФИ № 03-0680115.

ЛИТЕРАТУРА

1. Витер Д.А. Базисная логика и примитивно рекурсивная реализуемость // Логические исследования. Вып. 9. М.: Наука, 2002.

2. Смирнов В.А. Формальный вывод и логические исчисления М.: Наука, 1972, 272 с.

3. Чагров А.В. О границах множества модальных напарников интуиционистской логики // Неклассические логики и их применение. Вып. 10. М.: ИФ АН СССР, 1989, с. 74-81.

4. Чагров А.В. Формальная пропозициональная логика А.Виссера и её расширения // Логические исследования. Вып. 10. М.: Наука, 2003, с. 204-211.

5. Чагров А.В., Чагрова Л.А. Об алгоритмической проблеме пропозициональной определимости формул первого порядка в семантике формальной логики А.Виссера // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XVII. М., 2004, с. 94-102.

6. Чагров А . В. Алгоритмическая проблема финитарного семантического следования для базисной и формальной логик А. Виссера // Логические исследования. Вып. 11. М.: Наука, 2004, с. 282-289.

7. Chagrov A., Zakharyashchev M. Modal Companions of Intermediate Prepositional Logics // Studia Logica, 1991, Vol. 51, P. 49-82.

8. Chagrov A., Zakharyashchev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997, 603 p..

9. Sasaki K. Logics and Provability. ILLC Dissertation Series DS-2001-07.

10. Visser A. A prepositional logic with explicit fixed points // Studia Logica, 1981, Vol. 40, P. 155-175.