Напряженно-деформированное состояние составной мягкой сферической оболочки, предварительно нагруженной внутренним давлением

МЕХАНИКА

УДК 539.3

Г. В. А бушик

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СОСТАВНОЙ МЯГКОЙ СФЕРИЧЕСКОИ ОБОЛОЧКИ, ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАГРУЖЕННОЙ ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ

На основе уравнений нелинейной теории мягких оболочек изучается задача определения напряжений и деформаций в оболочке вращения, состоящей из двух сферических сегментов, соединенных на контуре с упругим кольцевым элементом. Выполнен расчет на действие внутреннего давления при исходных данных, соответствующих параметрам оболочки глазного яблока.

Введение. Постановка задачи. Теоретические и экспериментальные исследования оболочки глазного яблока при различных воздействиях сохраняют свою актуальность в современных задачах биомеханики. В большинстве исследований биомеханическая модель глаза представляется в виде заполненной жидкостью тонкой замкнутой сферической (или близкой к ней по форме) оболочки. В действительности оболочка глазного яблока представляет собой систему двух сопряженных сферических сегментов (роговицы и склеры), имеющих различные геометрические и жесткостные параметры. Относительно свойств материала склеры отмечается достаточно широкий диапазон изменения модуля Юнга Ец. Согласно Е.Н.Иомдиной [1], его величина колеблется в пределах 11,8-35,8МПа. В данной работе значение Ец = 14, 3 МПа принималось из указанного интервала, а модуль упругости роговицы E/, в интересах исследования, менялся от 1/5 до 1/2 от модуля склеры Ец. Геометрические параметры, а также механические свойства материала оболочки глаза таковы, что позволяют считать ее мягкой оболочкой. Поэтому при построении теории упругих гибких оболочек необходимо применение геометрически нелинейной теории (в квадратичном приближении). В предлагаемой статье, также как и в работе [2], оболочка глазного яблока рассматривается как система двух сопряженных сферических сегментов, на линии соединения которых вводится упругий кольцевой элемент, моделирующий лимб. Исследование проводится в рамках нелинейной теории мягких оболочек с использованием некоторых положений, излагаемых в книге В.Л.Бидермана [3]. Целью работы является изучение напряжен© Г. В. Абушик, 2008 но-деформированного состояния составной сферической оболочки, находящейся под действием внутриглазного давления.

Нелинейные уравнения осесимметричной деформации предварительно напряженной мягкой сферической оболочки. На срединной поверхности сферической оболочки вводятся криволинейные координаты ai = в (0 А в А п) и а2 = <£>

(0 а Lp а 2л") с векторами локального базиса ei, §2 , ёи (рис. 1). При осесимметричной деформации, пренебрегая изменением метрики поверхности, уравнения равновесия малого элемента оболочки со сторонами до деформации dsi = ДЛв, cls2 = R sin вЛА> с учетом действия начального внутреннего давления ро приводят к системе

+ Ту sin 0(1 + %) + Т2 sin в = poRSin в,

где т —угол поворота нормали к срединной поверхности вокруг направления е2 после деформации, для которого в соответствии с допущениями квадратичной теории принимаются ограничения

Исключая из системы (1) усилие T2 с учетом условий (2), можно представить усилие Ti выражением

Tisin(0 + tfi) = А7р sin е,

имеющим ясный механический смысл — условие равновесия сферического сегмента в вертикальном направлении. Заметим также, что, исключая в системе (1) нелинейные слагаемые, можно сразу получить решение

гр 0 гр о P0R -11 — — ——

Рис. 1. Система координат.

Рис. 2. Меридиональное сечение составной оболочки вращения.

определяющее начальные усилия в сферической оболочке, преднапряженной внутренним давлением ро. Следуя работе [3], представим усилия Т., Т2 в виде суммы

Ti = Tio + Ti, T2 = T2o + T2,

где Т|', Т2 —усилия в оболочке от дополнительных воздействий, которые предполагаются малыми первого порядка по сравнению с Т|'°, Т2°.

Линеаризация уравнений равновесия. Применение метода линеаризации, предложенного в упомянутой работе В.Л.Бидермана [3], согласно которому с учетом (4) можно пренебречь произведениями усилий Т1, Т2 на величины, зависящие от а также произведением Т|°л12, позволяет преобразовать систему (1) к виду

решением ее. будут уччыин

ро И di) 1

Балабухом и Усюкиным [4] было показано, что в условиях линеаризованной задачи для нахождения перемещений и угла поворота возможно использование геометрических соотношений линейной теории, имеющих в осесимметричной задаче вид

Здесь и — перемещение в направлении меридиана, — прогиб, $1 —угол поворота нормали в меридиональной плоскости, а £., £2 —относительные удлинения. Формула (7)2 представляет соотношение неразрывности деформаций и удовлетворяется тождественно относительно функций и и при подстановке (7)1 в (7)2. Используя соотношения упругости и выражая £1, £2 через усилия Т1, Т2 по формулам (6), после подстановки в (7)2 получаем разрешающее уравнение относительно функции $1:

где а2 = 2ЕЬ/роК — большой параметр (при значениях для величин в рассматриваемой задаче 1/20 < Ь/К < 1/10, ро = 0,02кг/см2, Е > 35кг/см2). Как показано В.В.Ново-жиловым в работе [5], это позволяет в областях значений угла в, достаточно удаленных от точек в = 0, п, применить асимптотический метод интегрирования, который дает решение

л = СіСае + С2Є-ае,

где в =/ de, а С1, С2 —постоянные интегрирования. В области значений в А 0о аргу-

во

мент в а 0, и в формуле (9) слагаемое с постоянной С1 будет представлять решение,

в

быстро затухающее при удалении от края в = во в сторону уменьшения угла в. Для значений в а во тем же свойством обладает второе слагаемое с постоянной C2, быстро затухающее при увеличении значений угла в. В зависимости от области в, в которой необходимо получить искомое решение для $i, в формуле (9) следует оставить только быстро затухающую часть. Полученное решение для угла поворота $i позволяет найти усилия Ti, T2 по формулам (6), а также деформации £1, £2, после чего интегрированием системы уравнений (7) можно найти перемещения u, w.

Решение задачи сопряжения. Оболочка глазного яблока представляет собой сопряженную систему двух сферических сегментов I (роговица) и II (склера) (рис. 2), на которых сохраняются принятые системы криволинейных координат (в, у). Для роговицы 0 А в А в0, а для склеры вО1 А в А п. На линии сопряжения расположен упругий кольцевой элемент, воспринимающий горизонтальные составляющие меридиональных усилий Ti1, Ti11, которые в дальнейшем обозначаются Qr1, Qr11 и определяются формулой

Qr = (Ti0 + Ti) cos В - Т10Л1 sin В.

С учетом положительных направлений (рис.3,а) радиальные перемещения Дг7 оболочек равны

Дг = w sin в + u cos в = £2R sin в.

Их положительные направления, а также положительное направление радиального (10) перемещения кольца и действующего на него усилия показаны на рис. 2,б.

Таким образом, статическое условие сопряжения примет вид дгп

Qr1 — Qr11 + Qk = 0,

а кинематическое условие —

д/ = д// = дк = 0,

где Дк — yQK (7 — R\/EkFk — коэффициент податливости кольца).

1 1 А к > Qk

Рис. 3. Направления перемещений: а — положительные, б — радиальные перемещения краев сегментов и кольца.

Полученное выше решение, дополненное частным решением для усилий Т0 = Т20 = роШ2, деформаций £0 = £2 = роШ2ЕН(1 — V) и перемещения = роГ2/2ЕН(1 — V),

обусловленных давлением р0 при предварительном напряжении оболочки, дает для роговицы в области в а в0А общее решение:

Для определении перемещен и и и7 w исполг^уем ураиненин (7) с: учетом смст^мы (14):

^ •}

ит - l^yCid + W-*> + DiSinO,

j _ pqR1

(l /' Г. “W "V +clg0)) - D, «o«0.

Входящая в решения (15), (16) постоянная D1 определяется из условия равенства нулю

вертикального перемещения Д2 = w cos в — и sin в на крас в — в.)7 и равна

PoR1 Л, ..........a I ...nl, 1 ..... /•

Т)\ — ..... ,

'lh1 /?• ' ' а. >

8Ш во

Для оболочки склеры {в ^ 0$ ) приведенные выше величины выражаются формулами

в/г-с.2е «о"), " 1!"(" +

А," ~ e211R11 sin в,

11

2 ЕПЬП

т„ _ роЛ^

2 2

11ереметтт,етшя и и w определяются аналогично и:сложенному выттте и равны

1 -1/ + Г2е 11 (" °° \оп + vci,g 6)j ,

R11 2

тт !’ I’'1 ‘

2 Enkn ,ir2

C2(l + //)e--“ (0~e'J - + D2sin0

г т pCiR ... ^ t .

№ = „„г,, rr ( 1 — V I 62 С

2 Enhu

где

D-i

JfTiJJl ((1 - I (-3 («" cos»," I

sin 0r/f

I // sin On

и

Полученные выражения для оболочек роговицы и склеры, а также для упругого кольца на линии сопряжения позволяют перейти к решению задачи раскрытия статической неопределимости при совместной деформации указанных элементов. Кинематические условия (13) равенства радиальных перемещений на краях оболочек и кольца позволяют выразить значения постоянных С1, С2 через усилие Qк, действующее на кольцо со стороны сферических сегментов:

Для получения разрешающего уравнения относительно усилия Qfc используем равенства (10), в которые входят постоянные 01, С2 содержащие величину Qfci

Условие сопряжения (12) приводит к равенству для раскрытия статической неопределимости на линии сопряжения и нахождения величины Qfc по формуле

Результаты расчета и их анализ. Расчет выполненен при следующих геометрических размерах и параметрах упругости:

а) для роговицы: Ш = 0,78 см, Н1 = 0,052 см, О? = 39,87°, Е1 = 35,75; 47,7; 71,5 кг/см2, V = 0, 45;

б) для склеры: Ш1 = 1,1 см, Н1 / = 0,1 см, О^1 = 27,04°, Е1 / = 143кг/см2, V = 0,45;

в) для упругого элемента на линии сопряжения: Дк = 0, 5 см, Ек = 0,0225 см2, ЕК = 0; 35,75; 47,7; 71,5; 100 кг/см2. Нагрузка ВГД р0 принимала значения, соответствующие здоровому (15 мм. рт. ст.) или глаукомному глазу (30 мм.

рт. ст.).

Рис. 4. Вид меридионального сечения в области сопряжения.

На рис.4 показана картина изменения геометрии — исходное положение, его изменение в результате действия начального давления на сегменты и 5о кончательный вид меридионального сечения после сопряжения сферических сегментов роговицы и склеры с кольцевым элементом. Результаты вычислений показывают, что во всех рассмотренных комбинациях жесткостей сопрягаемых элементов оболочки роговицы и склеры оказываются растянутыми, а наличие кольцевого элемента лишь корректирует это натяжение в области, прилегающей к лимбу.

Если Ек < Е1, включая случай отсутствия кольца, то окружные деформации в роговице и склере возрастают в направлении к лимбу, а меридиональные убывают. При этом величина краевого эффекта, дополняющая частное решение в области сопряжения, с ростом Ек становится менее значительной, а при Е1 < Ек < Ец окружные деформации в роговице уже возрастают, а меридиональные убывают в направлении к лимбу. В склере же картина качественно сохраняется прежней. При дальнейшем увеличении жесткости кольца (Ек > Ец), включая случай абсолютно жесткого кольца, окружные деформации возрастают, а меридиональные убывают в направлении к лимбу и в роговице, и в склере. Теперь величина краевого эффекта, дополняющая частное решение в области сопряжения, с ростом Ек становится более значительной. Такие варианты развития деформации при различных параметрах жесткости кольца подтверждаются графиками меридиональных и окружных напряжений, соответственно, в роговице и склере (рис.5, 6).

а,, (кг/см2) 0,16-1-----'---

у=0,11

без кольца

- 7=0

0,12-

0,08-

0,04-

0,00-

0 08-^ km->- *

0 04

0 00- 1 i  1 1 1

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

ft рад

ft рад

Рис. 5. Графики меридиональных напряжений в роговице (слева) и склере (справа).

ст,

0,24-

0,00-

—— у=0Д1

----— 7=0,23

0,6- *

без кольца уьО

I

/

: •

0,4-

0,2-

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ft рад

0,7

0,0-

0,4 0,6

1,2 1,4

1,8 1,0 (1 рад

Рис. 6. Графики окружных напряжений в роговице (слева) и склере (справа).

Исследовано также влияние соотношения модулей упругости роговицы и склеры на картину напряженно-деформированного состояния оболочки глазного яблока. Рассматривались соотношения Ец = 2Е1, ЗЕ1, 4Е1. Картина, описанная выше, качественно сохраняется во всех случаях, однако имеются числовые отличия. В случае более мягкой роговицы ее деформации от действия внутреннего давления оказываются большими, следовательно, и влияние жесткости кольца на деформированное состояние оказывается более значительным. Величина краевого эффекта, дополняющая значение частного решения в области сопряжения (ст* = ст* = 0,15), оказывается большей в более мягкой роговице при Ек > Е/, и меньшей при Ек < Е/. Это объясняется тем, что величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние склеры, практически не меняют своих значений. Эти выводы подтверждаются числовыми результатами, приведенными ниже в таблице.

Наибольшие и наименьшие напряжения в роговице на линии сопряжения при различных жесткостях сопрягаемых элементов

без кольца Ек = E11/ 3 Ек = Eu/2 жесткое кольцо

o-l Q2 о~1 Q2 о~1 Q2 o-l Q2

En = 2 Ei 0,161 0,358 0,1509 0,166 0,1495 0,1412 0,1454 0,0654

E11 = 3 Ei 0,1583 0,2733 0,149 0,1345 0,1478 0,1171 0,1443 0,0649

Eu = iEi 0,156 0,2281 0,1475 0,1182 0,1464 0,1047 0,1434 0,0645

При расчете на повышенное давление имеет место увеличение напряжений и деформаций, а также увеличение области нелинейного краевого эффекта в зоне сопряжения. Для роговицы (0° А в/ < 40°) она определяется значениями в > 20°, в то время как при нормальном давлении значениями в > 28°. Для склеры при тех же условиях расширение области менее существенно.

Заключение. Отмеченные особенности напряженно-деформированного состояния в области сопряжения оболочек роговицы, склеры и упругого элемента, моделирующего лимб, необходимо учитывать в дальнейших исследованиях состояния оболочки глаза.

Summary

G. V. Abushik. The tensely-strained state of previously loaded with interior pressure composite spherical soft shell.

According to equations of nonlinear theory of soft shells the problem of defining stresses and strains in shell of rotation, which consist of two spherical segments with different source data and connected by elastic ring element is considered. Calculation for composite shell of eye-bulb under action of intraocular pressure is made.

Литература

1. Иомдина Е. Н. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии // Сб. научн. работ, посв. 100-летию МНИИ ГБ им. Гельмгольца, М., 2000. С. 193-195.

2. Абушик Г. В., Павилайнен В. Я. Расчет составной оболочки глазного яблока на действие внутриглазного давления // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб.: ВВМ, 2006. 702 с.

3. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций // М.: Машиностроение, 1977.

4. Балабух Л. И., Усюкин В. И. Приближенная теория мягких оболочек вращения // Труды VIII всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. М., 1973. С. 230-235.

5. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек // Л.: Судпромгиз, 1962.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.