Оценивание опционов европейского типа с учетом коррелированности приращений цен

Заключение

На основе имеющихся данных о поставках и отгрузке угля был проведен анализ существующей системы управления запасами на фирме и, учитывая выявленные характеристики данной системы, построена модель управления запасами угля.

Чтобы построенная модель управления запасами эффективно работала, необходимо правильно оценить величины всех издержек, определить надежность каждого поставщика и получить как можно более точный прогноз спроса, так как эти компоненты оказывают прямое влияние на выбор оптимальной стратегии. Эти задачи подробно не рассматриваются, поскольку являются лишь необходимым звеном на пут к поставленной цели, каждая из них имеет самостоятельную теорию и требует глубокого детального анализа.

Анализ структуры спроса по данным о продажах угля за 1996-1998 гг. показал, что спрос имеет ярко выраженную сезонную составляющую, которая была представлена в виде тригонометрического тренда. Прогноз, полученный по предлагаемой нами модели, был использован при нахождении оптимальной стратегии управления запасами.

Результаты моделирования показали, что система управления запасами, основанная на построенной модели управления запасами, поддерживает желаемый уровень обслуживания потребителей в течение всего периода планирования при минимальных ожидаемых потерях, связанных с поступлением угля в речной порт, омертвлением капитала в запасах и штрафом за несвоевременно удовлетворенный спрос

ЛИТЕРАТУРА

1. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975.

2. Беллман Р Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

3.Глинский В.В., Ионин В.Г. Статистический анализ. М.: Филинъ, 1998.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 10 февраля 2000г.

УДК 519.2

Т.В. Калашникова, А.Ф. Терпугов

ОЦЕНИВАНИЕ ОПЦИОНОВ ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА С УЧЕТОМ КОРРЕЛИРОВАННОСТИ ПРИРАЩЕНИЙ ЦЕН

Показывается, что формула Блэка-Шоулса для справедливой цены опционов европейского типа верна для более общей1 модели изменения пены; нежели моделв Самуэльсона.

Нахождение справедливой цены производных ценных бумаг является одной из основных проблем финансовой математики. Начало этим исследованиям положила знаменитая статья Ф. Блэка и М. Шоулса [1], посвященная нахождению справедливой цены опционов европейского типа. Эта формула выведена для так называемой модели Самуэльсона [2]. Ниже показывается, что эта формула верна для более обшей модели изменения цены, включающей в себя, как частный случай, модель Самуэльсона

Описание модели изменения цены

Пусть - цена финансового актива в момент времени Л Перейдем от процесса 5, к процессу

Л,-1п

Тогда в модели Самуэльсона считается, что процесс А, описывается стохастическим дифференци-

_2 '

альным уравнением (¡И, = | ц - — р + асЫ/,, где ц

- коэффициент тренда, а - коэффициент волантиль-ности, а щ - стандартный винеровский процесс. Более общей моделью процесса А, является модель

¿И, = а

учшываюшая, что коэффициент сноса а(И,, /) также

может зависеть от А,, и приводящая к коррелированности

ст2

значений процесса А,. При а(А, ,/) = ц —— она переходит в модель Самуэльсона.

Вывод уравнения для цены актива через самофинансируемый портфель

Пусть имеется безрисковый актив с процентной ставкой г, так что если через В, обозначить цену

этого актива в момент времени I, то имеет место соотношение

ёВ, = гВ,&.

Сформируем портфель, (Р,,уД состоящий в момент времени I из Р, безрисковых активов и у, рисковых ценных бумаг. Стоимость рисковых ценных бумаг в момент времени / равна

Л,=М,+ ГА**-

Пусть У(А,, г) - стоимость производной ценной бумаги (опциона, фьючерса) в момент времени Потребуем, чтобы стоимость нашего портфеля полностью повторяла стоимость производной ценной бумаги, т.е. чтобы для любых моментов времени / выполнялось соотношение

Л,=У{к„1},<И71=с1У{к1)1).

Кроме того, будем рассматривать лишь самофинансируемые портфели, когда верно соотношение

=0.

Используя формулу Ито, получим ' Ы дИ, 2 а/г,2

ЗУ дУ ,, ч ст2 дгУ

— + —а( А,,п+---

д1 ЗА, х ' ' 2 <ЗА,

ЭК , „.

Л + ст-¿н>г

ЗА,

Для портфеля, используя формулу Ито, получим

<Ш, = р ,rB,<h + у, V*' [dh, + - dh? 1 =

р, rB, + y,SQeh'a{h„t)+y,S,eh-

дУ_

dh,

дУ_ dh,

iu Л

2 ЗА,

dV dV ,, ч

dt +

d2V

+y, S0 e^adw,. Условие dfl, = dV(hnt) дает уравнения

2

P+ y, 50 e*' a(h,,t)+y, S0 e* — =

а/ ЗА, ч "' 2 ЗА,2 '

и видно, что слагаемые, содержащие функцию а(А,, сокращаются и для У (к,, /) получается уравнение, не зависящее от коэффициента сноса а(А,, /):

dV_

dt '

г —

I дУ а'

ЗУ

2 dh, 2 dh,

dV dV /, ч oJ d2y

= —+-a\h.,t)+--

dt dh, V ' ' 2 ЗА,2

dV

y,S0e*o=o—.

dh,

Сюда же надо добавить условие

Из уравнения (10) имеем у, Ба е*' -вка этого выражения в (11) дает

dh,

Подставляя все это в (9), получим

8У_ dh,

Подстано-

Переход к переменной Я, = £0е приводит к обычному уравнению Блэка-Шоулса

8У _ ЭК ст25,2 d2У „ п

— + г8,-+------гУ = О,

(к ' dS, 2 dSf

т.е. формула Блэка-Шоулса верна для более общей модели процесса А,. Результаты, отличные от формулы Блэка-Шоулса, получаются лишь тогда, когда коэффициент волатильности ст2 станет зависеть от А, так как в этом случае коэффициенты при dгV^dА,2 и dV|dhl станут переменными, зависящими от А„ что и приведет к результирующей формуле, отличающейся от формулы Блэка-Шоулса.

ЛИТЕРАТУРА

1. F. Black,, М. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities//Journal of political economy. 1973. Vol. 81. № 3. P. 637-659.

2. Ширяев Л. H. Основы стохастической финансовой математики. Том I. Факты и модели. М.: Фазис, 1998. 489 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Поступила в научную редакцию 1 марта 2000 г.

УДК 519.2

Е.В. Сухушина, А.Ф. Терпугов

АВТОРЕГРЕССИОННАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕНЫ

ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ СО СКАЧКАМИ В СЛУЧАЙНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ

Рассматривается авггорегрсссионная модель изменения цены финансовых активов с изменением цен в моменты сделок, образующих пуассоновский поток событий постоянной интенсивности. Находятся основные характеристики процесса изменения иены (среднее значение, дисперсия, функция корреляции) и показывается его асимптотическая нормальность.

Модели изменения цен финансовых активов в настоящий момент привлекают к себе очень большое внимание, так как они необходимы для прогнешфования цены актива, расчета стоимости вторичных ценных бумаг и т.д.

Пусть Б, есть цена актива в момент времени /. Тогда при построении модели изменения цены 5, обычно переходят к процессу А, по формуле

А,=1п

где 50- начальная цена актива (в момент времени 1 = 0). Дальнейшее развитие модели сводится к описанию процесса А,. Одной из наиболее часто используемых моделей процесса А, является авторегрессионная модель. В этом случае считается, что время меняется дискретно с интервалом Д/, так что = иАл В случае авторегрессионной модели первого порядка значения К ~ 40 процесса А, удовлетворяют уравнению

К = М + рК-1 +

где ц - среднее значение

Однако в приложении к финансовому рынку такая модель не совсем адекватно отражает реальность. Дело в том, что цена актива изменяется и устанавливается в момент сделки, а моменты совершения сделок являются случайными. Представляется естественным считать, что изменения процесса А, происходят лишь в те случайные моменты времени, когда совершаются сделки. Именно эта модель и рассматривается в данной работе.

Описание модели

Будем считать, что момент совершения сделок ,12.....являются случайными и образуют пуассоно-

2