Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 3.

УДК 514.76

ОБОБЩЕННЫЙ ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ ВАГНЕРА

ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

С. В. Галаев (г. Саратов) Аннотация

На многообразии с почти контактной метрической структурой (M, £, n, f, g) и эндоморфизмом N : D ^ D вводится понятие N-продолженной связности VN = (V, N), где V — внутренняя связность. Найден эндоморфизм N : D ^ D, при котором тензор кривизны N-продолженной связности совпадает с тензором кривизны Вагнера. Доказывается, что тензор кривизны внутренней связности равен нулю тогда и только тогда, когда на многообразии M существует атлас адаптированных карт, для которых коэффициенты внутренней связности обращаются в нуль. Строится взаимно-однозначное соответствие между множеством N-продолженных связностей и множеством N-связностей. Показано, что класс N-связностей включает в себя связность Танака-Вебстера и связность Схоутена-ван Кампена. Получено равенство, выражающее N-связность через связность Леви-Чивита. Исследуются свойства тензора кривизны N-связности, названного в работе обобщенным тензором кривизны Вагнера. Доказывается, в частности, что обращение в нуль обобщенного тензора кривизны Вагнера в случае контактного метрического пространства влечет существование постоянного допустимого векторного поля любого направления. Показано, что тождественное равенство нулю обобщенного тензора кривизны Вагнера возможно лишь в случае нулевого эндоморфизма N : D ^ D.

Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, N-продолженная связность, обобщенный тензор кривизны Вагнера, связность Танака-Вебстера, связность Схоутена-ван Кампена.

GENERALIZED WAGNER'S CURVATURE TENSOR OF ALMOST CONTACT METRIC SPACES

S. V. Galaev

Аннотация

On a manifold with an almost contact metric structure (M, £, n, f, g) and an endomorphism N : D ^ D the notion of an N-prolonged сonnection VN = (V, N), where V is an interior connection, is introduced. An endomorphism N : D ^ D found such that the curvature tensor of the N-prolonged connection coincides with the Wagner curvature tensor. It is proven that the

M

atlas of adapted charts for that the coefficients of the interior connection are zero. A one-to-one correspondence between the set of N-prolonged and the set of N-connections is constructed. It is shown that the class of N-connections includes the Tanaka-Webster Schouten-van Kampen connections. An equality expressing the N-connection in the terms of the Levi-Civita connection is obtained. The properties of the curvature tensor of the N-connection are investigated; this curvature tensor is called in the paper the generalized Wagner curvature tensor. It is shown in particular that if the generalized Wagner curvature tensor in the case of a contact metric space is zero, then there exists a constant admissible vector field oriented in any direction. It is shown that the generalized Wagner curvature tensor may be zero only in the case of the zero endomorphism N : D ^ D.

Key words: almost contact metric structure, N-prolonged connection, generalized Wagner curvature tensor, Tanaka-Webster connection, Schouten-van-Kampen connection.

1. Введение

В последние годы на гладком многообразии М с почти контактной метрической структурой (М, У, п, Ц>, д) все чаще, наряду со связностью Леви-Чивита, используются как метрические так и не метрические связности с кручением. В настоящей работе все линейные связности Уу, заданные на многообразии М с почти контактной метрической структурой (М,У,п,Ф,д) и однозначно определяемые условиями

1) 5(х,у) =2и(Х,$)£ + п(Х)Жу - п(УЖХ, х,у,г е Г(ТМ);

2) УУд(у,У) = 0 х,у,х е Г(О);

3) УУу = 0 X е Г(ТМ);

4) У У п = 0 X е Г(ТМ), где Б(х, у) — кручение связи ости, N : О ^ О — эндоморфизм распределения структуры, объединены в один класс связностей, названных ]М-связностями. Тензор кривизны К(X, у) У ]М-связности, названный в работе обобщенным тензором кривизны Вагнера, находится по формуле К(X, у) У = 2ш(Х, y)Nz + Я(Х, у) г + п(х)(Р(у, У) — (Ур^)у) — п(У)(Р(X, у) — (УX, у, У е Г(ТМ), где К(Х,у)У тензор кривизны Схоутена [1].

]М-связность может быть отождествлена с парой (У, N), где У — внутренняя связность, осуществляющая параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых.

Идея построения ]М-связностей берет начало в геометрической теории неголономной механики. С геометрической точки зрения уравнения движения неголономной динамической системы интерпретируются как уравнения геодезических внутренней связности [1] - [2], заданной на неголономной многообразии — конфигурационном пространстве механической системы. Интегрирование уравнений движения во многом зависит от удачного выбора системы координат [2]. В некоторых случаях, геометрические свойства неголономного многообразия позволяют выбрать такую специальную систему координат, в которой уравнения движения неголономной динамической системы принимают наиболее простой вид. Поиск необходимых геометрических инвариантов приводит В. В. Вагнера к построению тензора кривизны неголономного многообразия, называемого сегодня тензором кривизны Вагнера. Нами показано, что в случае контактного многообразия тензор кривизны Вагнера совпадает с тензором кривизны некоторой связности в векторном расслоении (О,п,М), пространством которого является распределение О контактной структуры (М, У,п,ф)- Необходимую для получения тензора кривизны Вагнера связность будем называть связностью Вагнера. Задание связности Вагнера сводится к продолжению внутренней связности до связности в векторном расслоении с помощью эндоморфизма N : О ^ О, имеющего специальное строение.

В настоящей работе, с одной стороны, конструкция Вагнера уточняется для случая многообразия с почти контактной метрической структурой, а с другой стороны, мы обобщаем построения Вагнера, используя наперед заданный эндоморфизм N : О ^ О. Полученная таким образом в векторном расслоении (О, п, М) связность получает название ]М-продолженной связности. Всякой 1М-продолженной связности естественным образом соответствует некоторая ]М-связность. Вообще говоря, ]М-связность УУ не является метрической связностью. Выбирая соответствующим образом эндоморфизм N, можно получить часто используемые в геометрии почти контактных метрических пространств ]М-связности: связность Танака-Вебстера, связность Схоутена-ван Кампена и другие связности [3] - [8].

Предлагаемая работа устроена следующим образом. Во втором разделе на почти контакт-

М

и изучаются их основные свойства. В третьем разделе устанавливается соответствие между классом 1М-продолженных связностей и подклассом линейных связностей на многообразии с почти контактной метрической структурой. Дается описание как уже хорошо известных ]М-связностей — связности Танака-Вебстера [3] - [5] и связности Схоутена-ван Кампена [6], так и совсем недавно получивших свое развитие — связности Бежанку [7] и ^-связности [8].

В четвертом разделе определяется обобщенный тензор кривизны Вагнера, и изучаются его свойства. Доказывается, что обращение в нуль обобщенного тензора кривизны Вагнера влечет существование постоянного допустимого векторного поля любого направления.

2. Внутренняя и Ы-продолженная связности

Пусть М — гладкое многообразие нечетной размерности п = 2т + 1 т > 1, Г(ТМ) — модуль гладких векторных полей на М. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса СПредположим, что на М задана почти контактная метрическая структура (М, £, п, р,д) [9], где р — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, £ и п — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, д — (псевдо) риманова метрика. Мы требуем, чтобы £ £ кег ш, где ш = ^п- Кососимметрический тензор О(ж, у) = д(ж, ру) называется фундаментальной формой структуры. Почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой, если выполняется равенство О = ^п- Пусть О — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п, = £рап(£) — его оснащение: ТХ = О  В контактном случае вектор £ однозначно определяется из условий п(£) = 1, кегш = £рап(£) и называется вектором Риба. Будем называть О распределением почти контактной метрической структуры. В работе, в частности, рассматривается пространство (многообразие) Сасаки — контактное метрическое пространство, удовлетворяющее дополнительному условию + 2^п  £ = 0 где ХДж, у) = [рж, ру] + р2[ж, у] — р[рж, у] — р[ж, ру] — тензор Нейенхейса эндоморфизма р. Выполнение условия Х^ + 2^п  £ = 0 означает, что пространство Сасаки является нормальным пространством.

Карту К (жа) (а, в, 7 = 1,...,п) (а, Ь, с, е = 1,...,п — 1) многообразия М будем называть адаптированной к распределению О, если дп = £ [9]. Пусть Р : ТМ ^ О — проектор, определяемый разложением ТХ = О  и К(жа) — адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему О: О = £рап(еа). Таким образом, мы имеем на многообразии М неголономное поле базисов (еа) = (еа, дп) и соответствующее ему поле кобазисов (^ж", п = @п = ¿жп + ГП^ж"). Непосредственно проверяется, что [еа,еь] = 2шьадп. Адаптированным будем называть также базис еа = да — ГПдп, как базис, определяемый адаптированной картой. Условие £ £ кег ш влечет справедливость равенства дпГП = 0. Пусть К(жа) и К'(жа ) — адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат:

Гра _ Гра ( Гра \ грп _ грп I Грп ( Гра \

ж = ж

Тензорное поле ¿типа (р, д), заданное на почти контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению О), если Ь обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются £ ми п- Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид: Ь = '0реа1  ...  еар   ...  ^жь<г.

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону: Ь" = А"'Аьь", где А"' = да"'

Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные дпЬ" являются компонентами допустимого тензорного поля. Заметим, что обращение в нуль производных дпЬ" не зависит от выбора адаптированных координат.

Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами

Лж = 1(Ь?-р)(ж), С (ж, у) = 1(Ь?-д)(ж,у), д(Сж,у) = С (ж, у), ¿ж = Сж — ^ж, ж, у £ Г(ТМ). В адаптированных координатах получаем: Л" = 1 дпр", Саь = 2дпдаь, С" = дл"С^ь, Ф" = дЬсшаь-

Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора д: У, Г^- В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид:

Гс _гс Г™ _/| _с рь _Гь _сь_/Р Гп _Га _п

Г аЪ = р аЬ, р аЬ = шЬа саЬ, р ап = р па = са уа, Г па = р пп = п,

где гас = 1 даЛ(ёьдса + еСдь<1 — ёЪс).

Под внутренней линейной связностью на многообразии с контактной метрической структурой [9] понимается отображение У : Г(О) х Г(О) ^ Г(О), удовлетворяющее следующим условиям:

1)У/1Х+М = ЬУх + /2Уу,

2)У/ = (X/)у + / Уху,

3)Ух(у + У) = Уху + УхУ,

Г

деляются из соотношения Уеаёь = Г^ёС. Из равенства еа = Аа еа/, где

Аа' =  (ч

обычным образом следует формула преобразования для коэффициентов связности:

Гаь = Аа' АЪ АС Г^/ + АС/ еа АС^.

Кручение внутренней линейной связности 5 по определению полагается равным

5 (X, у) = Уху — У$ — Р [X, у].

Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем БСь = Гаь — ГСа.

Координатное представление тензора кручения внутренней связности указывает на целесообразность называть внутреннюю связность с нулевым кручением симметричной связностью. Действие внутренней линейной связности обычным образом продолжается на произвольные

Уд = 0

соответствующую связность будем называть внутренней метрической связностью без кручения.

Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством векторного расслоения (О,п,М). Будем говорить, что над распределением О задана связность, если распределеоние О = п-^О), где п : О ^ М — естественная проекция, раскладывается в прямую сумму вида О = НО  УО, где УО —

О

О

рованной карте К (а) на многообразии М сверхкарту К^", хn+a) на многообразии О, где (хn+a) — координаты допустимого вектора в базисе Уа = да — ГП9п. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта Са^, хn+a) такого, что НО = 5рап(Уа), где Уа = да — Гпдп — Съадп+ь. В случае, когда Сa(хa, хn+a) = Г^c(хa)хn+c, связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. В настоящей работе уточняется введенное ранее [11] понятие продолУ

распределением НО, и N : О ^ О — поле допустимого тензора типа (1,1). 1М-продолженной

ТО = НО  У О, такую, что НО = НО  Брап(и), где йх = У — (NX)v, У = дп, X е О, (NX)v — вертикальный лифт. Относительно базиса (Уа,дп,дп+а) поле й получает следующее координатное представление: й = дп — NЪхn+Ъдn+a.

Под кручением ]М-продолженной связности будем понимать кручение исходной внутренней связности. Будем использовать следующее обозначение для ]М-продолженной связности: Ум = (У, N), где У — внутренняя связность. ]М-продолженную связность назовем метриче-У

У^ даь = дпдаь — Nдсь — Щдас = П.

У

маться внутренняя симметричная метрическая связность. Допустимое тензорное поле, определяемое равенством

К(^,уу)У = УхУуУ — УуУхУ —Ур [х,у\У — Р [Я[^,уу\,У\,

где Q = 1 — Р, названо Вагнером [1] тензором кривизны Схоутена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид: ЯЪьС = 2е[аГ^\С + 2Г|Ъ||е||Г6\С. Тензор кривизны Схоутена возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных: 2У\_аУь\УС = ЯсаЪеУе + 4шЪадпуС.

Обращение в нуль тензора кривизны Схоутена равносильно тому, что параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых не зависит от пути переноса. Назовем

ОО

ния в нуль тензора Схоутена, — распределением нулевой кривизны. Из формул (1), (2) следует, что частные производные дпГЪС = РЪС являются компонентами допустимого тензорного поля, обозначаемого в дальнейшем Р(X,у).

Для К-контактных [9] пространств тензор кривизны Схоутена наделен теми же формальными свойствами, что и тензор кривизны риманова многообразия. В более общем случае препятствием к этому выступает наличие производных дпдьС в равенстве

У[еУа\дьС = 2ШвадпдьС — дс^Я^Ъ — дыВ^ъС.

Векторные поля (Уъ = да — Гпдп — ГЪ^^З™^^ = дп — NbЪхn+Ъдn+a,дn+a) определяют на О неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dхa, 0п = dхn + Гndхa, Эп+а = (Ып+а + Гlcхn+cdхЪ + NЪЪхn+Ъdхn) — соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[Уъ, Уь\ = 2Шьай + Xn+d

[Уъ, й\ = Xn+d

[Уa, 9п+ь] = PaЪдn+c,

аО

С

аЪ'

[й, дп+а\ = КОп+С.

Из (3), (4) получаем выражение для тензора кривизны ]М-продолженной связности:

К

К

где X, у, У е Г(О).

Как следует из (5), (6), тензор кривизны ]М-продолженной связности полностью определяется допустимыми тензорными полями. Если положить в адаптированных координатах

N5 = 4т шс^"(й> т0 соответствующую ]М-продолженную связность и ее тензор кривизны будем называть связностью Вагнера и тензором кривизны Вагнера соответственно. В более общем случае назовем тензор кривизны ]М-продолженной связности обобщенным тензором кривизны Вагнера. Для связности Вагнера будем использовать обозначение . Эндоморфизм N5 = 4тшЫЩ^иь получен Вагнером [1] при построении тензора кривизны неголономного многообразия коразмерности 1.

Выбор эндоморфизма N определяется предпочитаемыми свойствами конструируемой связности.

Теорема 2. На, многообразии с контактной метрической структурой существует N-продолженная метрическая связность, однозначно определяемая следующим,и условиями:

1. ¿д(ж, = д(У,?ж, + д(ж, У^?/) (свойство метричности), Уху — Ууж — Р[ж, у] =0 (отсутствие кручения),

3. N — симметрический оператор, такой, что

д

где ж, у, г £ Г(О) — сечения распределения О.

Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [1]. В случае, когда Ь^д = 0, полагаем N = 0. Пусть, теп ерь, Ь^д = 0. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем: У[еУа]дьс = 2шеадпдьс—д^^а — дьаЩ^ас-

Предполагая, что существует ^продолженная метрическая связность, удовлетворяющая условиям теоремы, и, сравнивая полученный результат с (7), находим явное выражение для эндоморфизма N

N1 = ¿<^"(^"5 + дьа дс О

Далее, с помощью прямого вычисления убеждаемся в справедливости равенства Упдаь = 0 для найденного выше эндоморфизма N. Тем самым теорема доказана.

3. ^продолженные связности и специальные связности в почти контактном метрическом пространстве

Пусть Ум — N -продолженная связность на многообразии с почти контактной метрической структурой (М, £, п, р, д). Поставим в соответствие связности Vм линейную связность на многообразии М, обозначаемую тем же символом Vм и удовлетворяющую следующим условиям:

1)5(ж, у) = 2ш(ж, + пО^у/ — п(у/Жж, ж, у, г £ Г(ТМ);

2) УМд(у,г) = 0 ж, у, г £ Г(О);

3) УМ £ = 0 ж £ Г(ТМ);

4) УМп = 0 ж £ Г(ТМ), где Б(ж, у) — кручение связности УМ.

Имеет место

Теорема 3. Пусть (М, £, п, р,д) — почти контактная метрическая структура, заданная на многообразии М. Тогда на многообразии М существует единственная связность УМ такая, что выполняются следующие условия:

Б

УМд

УМ £ = 0, ж £ Г

VNп = 0,x е Г

где N : D ^ D распределения D.

Доказательство. Из предположения существования связности, докажем ее единственность. Получим явное выражение для коэффициентов Г^ связности VN в адаптированных координатах. Условия (8), (9) определяют коэффициенты Г^ = |gad(eb9cd + ecgbd — £ьс)- Из условий (10), (11) следует справедливость следующих равенств: Г(^п = ГПп = Гапп = Г^, = ГПь = ГПп = 0. Повторно используя условие (8), получаем, что ГПа = Nab• Что и доказывает единственность. Определим теперь отличные от нуля коэффициенты связности VN, положив Гас = 2gad(ebgcd + ecgbd — еьс), ГПа = N^. Непосредственно проверяется, что определяемая тем самым связность удовлетворяет условиям (8)-(11). Теорема доказана.

Теорема 3 указывает на биективное соответствие между множеством N-продолженных связностей и множеством N-связностей. Следующее утверждение позволяет построить N-связ-ность, используя связность Леви-Чивита.

Теорема 4. Пусть (М,у,п,р, g) — почти контактная метрическая, структура, заданная, на, многообразии М. Тогда, определяемая с помощью равенства

VNУ = Vxy — n(X)V/ + (и + c)(x, y)y + n(X)Ny связность VN совпадает с N-связностью с соответствующим эндоморфизмом N : D ^ D.

Доказательство теоремы сводится вычислению коэффициентов связности в адаптированных координатах.

Используя равенства (5), (6), получаем выражение для тензора кривизны N-связности VN:

K(x, y)z = 2u(x, y)Nz + R(x, y)z + V(x)(P(у, z) — (V^yN)z) — V(y)(P(x, z) — (V^N)z), x, y, z е Г(ТМ).

Назовем тензор кривизны N-связности, также как и тензор кривизны соответствующей N-продолженной связности, обобщенным тензором кривизны Вагнера. Задавая надлежащим образом эндоморфизм N : D ^ D, получаем специальные классы N-связностей:

1. Связность Бежанку VB с нулевым эндоморфизмом N = 0. Бежанку [7] определяет связность VB на почти контактном метрическом многообразии с помощью формулы

VB y = V xy — n(x)V / — n(y)V xy + (и + c)(x, y)y.

В адаптированных координатах отличными от нуля компонентами ГВ" связности Vb являются ГВ? = ^ = 2gad(ebgcd + ecgbd — ebc). В случае многообразия Сасаки тензор кривизны связности Бежанку совпадает с тензором кривизны Схоутена. Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической. Так как VBgab = dngab, то метричность связности Бежанку эквивалентна К-контактности контактной метрической структуры. N-связность VN на многообразии с почти контактной метрической структурой с заданным эндоморфизмом N : D ^ D может быть определена с помощью равенства VNy = VBy + n(x)Ny.

2. Связность Танака-Вебстера VTW определяется как единственная связность, удовлетворяющая следующим условиям:

1) VTWп = 0,

2) VTWУ = 0,

3) VTWg = 0,

4) S(x,y)=2u(x,y)yx,y е Гр),

5) S(У, px) = —pS(y,x), x е Г(ТМ).

Связность VTW является N-связностью для N = C.

3. Связность Схоутена-ван Кампена У5^ определяется с помощью равенства [6]:

УГ V = (У х/^ + (У ху")'

где ^^ = = QV*. Непосредственно проверяется, что связность Схоутена-ван Кампена

является 1М-связностью для случая, когда N = С — р.

р

р

4. Свойства кривизны ^продолженной связности

Пусть (М, £,п,р,д) — контактная метрическая структура, заданная на многообразии М.

М

У с коэффициентами Г"с = 2д"^(еьдс^ + есдь^ — еьс). Имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть (М, £, п, р, д) — почти контактная метрическая структура, заМ

ствованию такого атласа, состоящего из адаптированных карт, для которого выполняются равенства Г"с = 0.

Доказательство. Достаточность утверждения непосредственно подтверждается координатным представлением тензора Схоутена в адаптированных координатах. Докажем необходимость. Как показано в [1], обращение в нуль тензора Схоутена влечет независимость коэффициентов связности Г"с от последней координаты: дпГ"с = Р^, = 0. Покажем, что на М

связности равны нулю. Составим систему уравнений в полных дифференциалах.

да/ь' = А"' ,д"Ас' =Г"ьАс'.

Условия интегрируемости полученной системы сводятся к следующим соотношениям: Б"ь^с = 0 ЯьсА = 0, которые выполняются тождественно. Следовательно, система

вполне интегрируема и имеет решение с произвольными начальными условиями, что и завер-

Теорема 6. Пусть (М, £, п, р, д) — контактная метрическая структура, заданная, на, М

только тогда, когда N = 0 и существует постоянное допустимое векторное поле любого направления.

Доказательство. Предположим, что обобщенный тензор кривизны Вагнера тождественно равен нулю. Из равенства (5) заключаем, что 2ш(ж, у)NZ + Я (ж, у)V = 0. В качестве следствия легко проверяемого тождества Я|"ьс] = 0, получаем равенство N(т — 1) = 0. Т.к. т > 1, то

отсюда следует, что N = 0. Что, в свою очередь, влечет обращение в нуль тензора Схоутена.

5. Заключение

]М-продолженные связности естественным образом возникают в различных разделах математики и теоретической физики [13-15]. Так, например, в работе [13] с помощью 1М-продолженной симплектической связности определяются обобщенные классы Маслова лежан-дровых подмногообразий почти контактных метрических пространств. Доказывается, что все

характеристические классы Маслова вполне геодезических лежандровых подмногообразий почти контактных кэлеровых пространств равны нулю. Во многих случаях знание строения обобщенного тензора кривизны Вагнера позволяет значительно упростить проводимые исследования. При интегрировании уравнений движения системы, Вагнер, используя геометрические свойства тензора кривизны неголономного многообразия [2], подбирает такую систему координат, в которой уравнения движения принимают наиболее простой вид.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

(n - 1) n

пространстве / В. В. Вагнер// Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 173-255.

2. Вагнер, В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В. В. Вагнер// Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. Вып. 5. С. 301-327.

3. Tanaka, N. On non-degenerate real hvpersurfaces, graded Lie algebras and Cartan connections / N. Tanaka // Japan J. Math. 20 (1976), 131-190.

4. Tanno, S. Variational problems on contact Riemannian manifolds / S. Tanno // Trans. Amer. Math. Soc., 1989 314, № 1. P. 349-379.

5. Webster, S. M. Pseudo-Hermitian structures on a real hvpersurface / S. M. Webster //J. Diff. Geom. 1978. № 13. P. 25-41.

6. Schouten, J. Zur Einbettungs-und Krummungstheorie nichtholonomer Gebilde / J. Schouten, E. van Kampen // Math. Ann. 1930. № 103 P. 752-783.

7. Bejancu A. Kähler contact distributions / A. Bejancu // Journal of Geometry and Physics, 2010. Vol. 60, iss. 12. P. 1958-1967.

8. Букушева А. В. О геометрии контактных метрических пространств с р-связностью / А. В. Букушева // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер. Математика. Физика. — Белгород: Изд-во НИУ "Белгу 2015. Вып.40, № 17(214). С. 2024.

9. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий / С. В. Галаев // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. Вып. 1. С. 16-22.

10. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. Вузов, Математика. 2013, № 4. С. 10-18.

11. Галаев С. В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны / С. В. Галаев // Изв. Вузов, Математика. 2014. № 8. С. 42-52.

12. Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые N-продолженной связностью // Математические заметки СВФУ, 2015. Т. 22. № 1. С. 25-34.

13. Галаев С. В. О характеристических классах Маслова лежандровых подмногообразий почти контактных кэлеровых пространств // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград : Изд-во БФУ им. И. Канта, 2015. Вып. 46. С.68-75.

14. Krvm V. R., Petrov N. N. The curvature tensor and the Einstein equations for a four-dimensional nonholonomic distribution. Vestnik St. Petersburgskogo Un-ta. Math. 2008. Vol. 41, № 3. P. 256-265.

15. Bejancu A., Calin, C. 4D Einstein equations in a general gauge Kaluza-Klein space. Int. J. Geom. Methods Mod. Phvs.. 2015. Vol. 12, № 3, 1550036, 18 pp.

doi: 10.1142/S021988781550036X REFERENCES

1. Vagner V. V. 1941, "The geometry of an (n — 1)-dimensional nonholonomic manifold in an n-dimensional space" , Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Analiza, Moscow Univ. Press, Moscow, issue 5, pp. 173-255 (Russian).

2. Vagner V. V. 1941, "Geometric interpretation of the motion of nonholonomic dynamical systems" , Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Analiza, Moscow Univ. Press, Moscow, issue 5, pp. 301327 (Russian).

3. Tanaka N. 1976, "On non-degenerate real hvpersurfaces, graded Lie algebras and Cartan connections" , Japan J. Math. № 20, pp. 131-190.

4. Tanno S. 1989, "Variational problems on contact Riemannian manifolds" , Trans. Amer. Math. Soc., vol. 314, № 1. pp. 349-379.

5. Webster S. M. 1978, "Pseudo-Hermitian structures on a real hvpersurface" , J. Diff. Geom. № 13. pp. 25-41.

6. Schouten J. 1930, "Zur Einbettungs-und Krummungstheorie nichtholonomer" , Gebilde. Math. Ann. № 103 pp. 752-783.

7. Bejancu A. 2010, "Kahler contact distributions" , Journal of Geometry and Physics, vol. 60, issue 12. pp. 1958-1967.

8. Bukusheva A. V. 2015, "On geometry of the contact metric spaces with ^-connection" , Belgorod State University. Scientific Bulletin. Mathematics. Physics. № 17(214), issue 40, pp. 20-24 (Russian).

9. Galaev S. V. 2012, "The intrinsic geometry of almost contact metric manifolds" , Izvestiya Saratovskogo un-ta. Seriya «MatemMika. Inform,atika. Mekhanika», vol. 12, issue 1, pp. 16-22 (Russian).

10. Bukusheva A. V., Galaev S. V. 2013, "Connections on distributions and geodesic sprays", ; Izvestija vuzov. Mat. (Russian Mathematics (Izvestija VUZ. Mathematika)), № 4, pp. 10-18 (Russian).

11. Galaev S. V. 2014, "Almost contact Kahler manifolds of constant holomorphic sectional curvature", Izvestiya vuzov. Mat. (Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Mathematika)), № 8. pp. 42-52 (Russian).

12. Galaev S. V. 2015, "Almost contact metric structure determined by N-extended connection" , YakuMan Mathematical Journal, vol. 22, № 1, pp. 25-34

13. Galaev S. V. 2015, "Characteristic classes Maslov Legendre submanifolds of almost contact Kahler spaces Differential geometry of manifolds of figures, Izd-vo BFU im. I. Kanta, Kaliningrad, issue 46. pp. 68-75 (Russian).

14. Krvm V.R., Petrov N.N. 2008, "The curvature tensor and the Einstein equations for a four-dimensional nonholonomic distribution" , Vestnik St. Petersburgskogo Un-ta. Math., vol. 41, № 3, pp. 256-265.

15. Bejancu A., Calin C. 2015, "4D Einstein equations in a general gauge Kaluza-Klein space" , Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., vol. 12, № 3, 1550036, 18 pp. doi: 10.1142/S021988781550036X

Саратовский государственный университет им. И. Г. Чернышевского. Получено 8.02.2016 г. Принято в печать 13.09.2016 г.