Методы выделения главной части решения при расчете нелинейно деформируемых балок

УДК 539.3

В.В. ПЕТРОВ

МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ РЕШЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ БАЛОК

Предлагаются методы выделения главной части решения нелинейной задачи, которая имеет инженерную точность достаточную для приложений, удовлетворяет граничным условиям, специфике нагружения и имеет возможность повышения точности решения.

Физическая нелинейность вариационный метод, итерационные методы

V.V. PETROV

METHODS OF ALLOCATION OF THE BODY OF THE DECISION AT CALCULATION NONLINEAR OF DEFORMABLE BEAMS

Methods of allocation of a body of the decision of a nonlinear problem which has engineering accuracy sufficient for appendices are offered, satisfies boundary conditions, to specificity load and has possibility of increase of accuracy of the decision.

Physical nonlinearity a variation method, iterative methods

Стремление получить решение математической модели с большей точностью сдерживается наличием использованных при ее создании упрощающих гипотез. В механике твердого деформируемого тела это гипотезы о сплошности, однородности, изотропности и идеальной упругости материала, гипотеза Кирхгофа. При расчете за пределом упругости аппроксимируются диаграммы деформирования материала, применяются гипотезы, дающие возможность применить те или иные «привычные» математические методы реализации математической модели. Так как математическая модель изначально имеет неустранимые погрешности, то и математическое решение поставленной задачи следует искать с точностью до суммарной погрешности используемых гипотез и упрощений.

Кроме того, при принятии решения относительно инженерных задач применяется так называемый коэффициент запаса, происхождение которого часто не вполне прозрачно. В инженерной практике чаще необходимо иметь решение, которое достоверно отражает распределение напряжений и деформаций в точках конструкции с требуемой инженерной точностью. Такое решение будем называть главной частью решения. Во многих случаях точности главной части решения бывает достаточно. Однако, в случае необходимости, полезно иметь алгоритм повышения точности главной части решения.

Ниже будут рассматриваться нелинейные задачи, описываемые обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями. В качестве объекта рассмотрим задачу изгиба балки из нелинейно деформируемого материала под действием произвольной нагрузки. Ось x направим вдоль оси балки, ось z направим вниз. Как известно (см., например, [1]), эта задача описывается нелинейным дифференциальным уравнением:

d2 (т (ш( )) d 2W ^

d7 J (W ( x)) —

Здесь W (x) - прогиб балки, q (x) - заданная произвольная нагрузка, включающая в себя

сосредоточенные силы и изгибающие моменты. Переменная по длине балки жесткость имеет вид

h/2

Jc

-h/2

Здесь Ec - секущий модуль, £i - интенсивность деформаций, которая при справедливости

гипотезы плоских сечений для задач изгиба балок определяется по формуле £i = £х =-z d W ,

dx

b( z) - переменная по высоте ширина балки. Необходимые граничные условия формулируются через прогиб балки также как в линейных задачах. Уравнение (1) в развернутой форме имеет вид:

Л, W)^+iJW™ + dJ*ld2WL=q

dx dx dx dx dx

При решении нелинейных задач всегда возникают две ключевые проблемы: выбор или построение начального приближения к решению и применение или разработка быстро сходящегося итерационного процесса, для уточнения начального приближения. Известно, что если начальное приближение принадлежит области сходимости итерационного процесса, то процесс будет схо-

J

диться к решению нелинейной задачи. Однако область сходимости в процессе решения нелинейной задачи изменяется. При слабой нелинейности она может быть достаточно большой, и за начальное приближение можно взять решение линейного уравнения, которое получается путем отбрасывания нелинейных слагаемых.

В механике твердого деформируемого тела успешно применяются вариационные методы Ритца-Тимошенко (МРТ) и Бубнова-Галеркина (МБГ), которые универсальны и позволяют решать геометрически и физически нелинейные задачи. В вариационных методах прогиб балки ищется в виде ряда с конечным числом членов:

W (х ) = £ Кпрп (х),

п=1

где постоянные Kn называются обобщенными координатами, а (рп (x) - аппроксимирующими (координатными) функциями. Функции (рп (х) должны быть линейно независимыми и каждая из

них должна удовлетворять заданным граничным условиям.

Главную часть решения задачи выделим из следующих соображений. Если построить аппроксимирующую функцию (р(х), достаточно точно отражающую характер прогиба нелинейноупругой балки, то приемлемую точность решения можно получить уже в первом приближении вариационного метода.

В качестве примера рассмотрим балку, показанную на рисунке.

!Г 1 г Л г Л ' л  * . г 1 г Р х

У 1 \ Т і т *

4-

Рисунок

При численном решении нелинейных задач изгиба балок различными методами будем рассматривать именно эту балку, что позволит сравнить эффективность различных методов расчета. В приведенном примере имеем довольно сложный вариант нагружения балки. Здесь есть все три наиболее часто встречающихся вида нагружения: распределенная нагрузка, сосредоточенная сила, сосредоточенный изгибающий момент. Рассматриваем случай простого нагружения.

В качестве аппроксимирующей функции возьмем уравнение прогибов упругой балки при заданной нагрузке и заданных граничных условиях. Прогиб нелинейно-упругой балки будем искать в виде W(х) = Кр(х). Функцию р(х), строим известным из курса сопротивления материалов методом начальных параметров, что позволит учесть не только граничные условия на концах балки, но и характер распределения внешних сил, действующих на балку. При расчете упругой балки с постоянной жесткостью Е ] из курса сопротивления материалов имеем следующее

выражение прогиба W (х):

/ ч М 0 х2 О х3

W (х) = w0 + рох +-------------0--------1—0------+

%о х

2Е1 6Е7 24Е7

т

2ЕІ

6Е7

У У У У У

Здесь И'оРо,М0,00,%0 - соответственно прогиб, угол поворота, изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки в начале координат (начальные параметры), ат , аР - координаты точек приложения момента т и сосредоточенной силы Р.

Упругая линия прогиба балки в этом примере состоит из трех участков: от левой опоры до места приложения сосредоточенной силы, от места приложения сосредоточенной силы до места приложения сосредоточенного момента, от места приложения сосредоточенного момента до правой опоры.

г

3

Удовлетворяя граничным условиям, находим начальные параметры. Подставляя в выражения прогибов численные значения начальных параметров и координат точек приложения сосредоточенной силы и сосредоточенного момента, получим три выражения прогиба балки. Вынося за скобки общие численные множители и, полагая их равными единице, получим функции, аппроксимирующие прогиб на всех трех участках балки:

р (х) = 260,35х -12,09 х3 + х4, р2 (х) = 260,35х -12,09 х3 + х4 + 0,4( х - 5)3 р3 (х) = 260,35х -12,09 х3 + х4 + 0,4( х - 5)3 +1,2( х - 7)2

Эти функции будем далее использовать при применении вариационных методов. В теории упругости такой метод построения аппроксимирующих функций называется статическим методом В.З. Власова.

Вариационное уравнение первого приближения метода Бубнова-Г алеркина имеет вид:

' ' й2

(ед -тлк2 (р")2)к,р

- %(х) > рхйх = 0.

Здесь J0 - осевой момент инерции поперечного сечения балки, Зп - момент инерции

высшего порядка, учитывающий нелинейность задачи. Если диаграмма деформирования аппроксимирована кубической параболой, то с учетом принятых обозначений получим:

Jc

После интегрирования и необходимых преобразований, получим кубическое алгебраическое уравнение

аК\ -РК1 = й ,

коэффициенты которого определяются по формулам:

й/2

а = | рр1Уйх, в

9т н

2 й/2

4Е

йх,

1 н?

0 = —— I %

Е]п ’

Г # IV ” г\ ( /г\2

] уу у у + 2

й/2 ' ^ -й/2 0 - й/2

Если в числе действующих на балку внешних сил (рис. 1) есть сосредоточенная сила Р и сосредоточенный момент т, то они входят в выражение для работы внешней нагрузки й в виде следующих слагаемых:

йр+т) = Р У

где хр, хт — координаты сечений балки, в которых приложены соответственно сосредоточенная сила Р и сосредоточенный момент т. Решая уравнение (8), найдем действительное значение К.

В табл. 1 в первой строке представлены результаты решения нелинейно-упругой задачи изгиба балки (рис. 1) методом Ритца-Тимошенко (МРТ), во второй строке - методом Бубнова-Галеркина (МБГ). В третьей строке табл. 1 приведены результаты решения задачи методом конечных разностей (МКР) при разбиении длины балки на 512 частей. Диаграмма деформирования аппроксимирована кубической параболой.

Таблица 1

Методы расчета М тах X х 10-2, м Ртах Х х 10 -3 Iм тах Х X 105, Нм |Єтах| Х х105,Н £і тах Х х 10-3

МРТ 1,735 8,310 2,115 1,307 1,259

МБГ 1,730 8,285 2,109 1,303 1,255

МКР 1,735 8,272 2,038 1,267 1,331

Разница в % 0,3 0,2 3,5 2,8 6,0

Результаты, приведенные в табл. 1, показывают, что если аппроксимирующую функцию выбрать как прогиб линейно-упругой балки, то при решении нелинейно-упругой задачи методы

и

Ритца-Тимошенко и Бубнова-Галеркина уже в первом приближении дают высокую точность. Это подтверждается хорошим совпадением с результатами, полученными МКР.

Для того чтобы получить главную часть решения необходимо иметь итерационный алгоритм повышения точности решения. Для этого рассмотрим метод упругих решений на примере задачи изгиба балки из нелинейно-упругого материала.

Диаграмму деформирования А.А. Ильюшин предложил аппроксимировать выражением:

а, = Ее, [1 -а

где бу(е) - функция пластичности Ильюшина, зависящая от вида диаграммы деформирования. Секущий модуль в этом случае имеет вид: Ес = — = Е(1 -а), а переменную жесткость можно за-

е

А/2

писать в виде /с (Щ) = Е/0 - Е/а (Щ), где / а = | а(Щ) Ь (г) г2 dz.

-А/2

Отправим в уравнении (3) все нелинейные слагаемые в правую часть и расставим индексы номера итераций (приближений) следующим образом:

/оЩ" = -1«

Е

А/2

/а,п-1 = I а

- А/2

В первом приближении (п = 1) решается задача расчета балки из упругого материала:

Е/оЩ™ = 9

Полученное решение будем считать начальным приближением к решению нелинейной задачи. Для уточнения решения нелинейной задачи строим итерационный процесс. При п = 2 решается аналогичное уравнение, но уже с более сложной нагрузкой:

/оЩ;"7 = -19

Е

А/2

где /а1 = | а(Щ1) Ь (г) г2dz. Полагая далее п равным трем, четырем и так далее, будем получать

V,.

-А/2

все более точные решения задачи для нагрузки, заданной в первом приближении. Процесс итерационного решения заканчивается при достижении требуемой точности вычислений, определяемой относительной разницей между результатами двух соседних приближений решения.

Алгоритм метода упругих решений весьма прост, но при нагрузках, вызывающих деформации, заметно отличающиеся от линейных, число циклов процесса существенно возрастает. Линейные дифференциальные уравнения на каждой из итераций просты, но имеют довольно громоздкую правую часть.

Рассмотрим следующий алгоритм решения задачи с использованием итерационного метода упругих решений. На каждой итерации будем решать уравнения вариационным методом Буб-нова-Галеркина в первом приближении. В соответствии с методом Бубнова-Галеркина, прогиб балки на п-й итерации ищем в виде Щп (х) = А X (х). Аппроксимирующую функцию X (х) выбираем в виде прогиба упругой балки под действием произвольной нагрузки методом начальных параметров. Тогда при постоянной изгибной жесткости балки Е/у аппроксимирующая функция

Х(х) будет иметь вид (6).

Уравнение метода Бубнова-Галеркина на произвольной итерации метода упругих решений

запишется в следующем виде:

і і

іі

0 0- Е

Хдх.

После интегрирования это уравнение будет иметь вид рекуррентной алгебраической фор-

мулы:

л,=а

где коэффициенты а, в, 2 не зависят от номера итерации и вычисляются по формулам:

а

9т к

4Е

} X

_ 0 0 ] Е10 0

Очевидно, что при реализации итерационного процесса эти коэффициенты не изменяются и вычисляются один раз.

В табл. 2 представлены результаты сходимости решения при изгибе нелинейно-упругой балки. МКР реализован при делении длины балки на 512 частей.

Таблица 2

№ итерации л / л нел. лин. ГО шах X х 10-2, м ^шах х X 10 -3 М шах Х X 105 ,Нм |Єшах| Х х105,Н еі шах Х х 10-3

1 1,024 1,727 8,269 2,105 1,300 1,253

2 1,025 1,728 8,275 2,106 1,301 1,254

3 1,025 1,728 8,275 2,106 1,301 1,254

МКР 1,735 8,272 2,038 1,267 1,331

Разница в % 0,4% 0,04% 3,4% 2,7% 6,1%

"аким образом, сочетание двух методов: итерационного метода упругих решений и вариационного метода Бубнова-Галеркина позволяет получить рекуррентную формулу (18), с помощью которой осуществляется процесс уточнения первого приближения решения нелинейной задачи. Необходимо отметить, что при уточнении решения конфигурация прогиба балки остается постоянной. Нелинейность проявляется в зависимости «нагрузка - амплитуда прогиба» и, следовательно, в других параметрах напряженно-деформированного состояния.

На примере задачи изгиба балки из нелинейно-упругого материала рассмотрим алгоритм применения метода переменных параметров упругости (МППУ) И. А. Биргера. Дифференциальное уравнение изгиба балки из нелинейно-деформируемого материала имеет вид (3). В соответствии с методом переменных параметров упругости расставляем номера последовательных итераций в (3) в следующем виде:

З, К-1 К" + 2З, К- )№"+ Г,^„_1 )№"= Я

к/2

(И3-і) = | Ес(е,(Ич)Жг)г-ІІІ.

-к/2

В первом приближении п = 1 решается задача расчета балки из упругого материала:

ЕЗ 0ГС1" = Я (х),

Это решение считаем начальным приближением решаемой задачи. Для получения решения нелинейной задачи строится следующий итерационный процесс. Зная величину прогиба W1, можно определить жесткость:

к!2

1(И,) = \ Ес(ех(И,))Ь(г)г2йг.

-к/2

Затем решается уравнение (20) при п = 2 :

З,

и определяется уточненный прогиб балки №2. Полагая далее п равным трем, четырем и так далее,

получим все более точные приближения решаемой задачи. Следовательно, на каждой итерации переменная жесткость нам известна из предыдущего решения, что позволяет проводить расчеты с произвольной диаграммой деформирования.

Уравнения вида (20), линейные, но имеют переменные коэффициенты общего вида, поэтому возникает проблема их численной реализации. Для выделения главной части решения поступим так же, как мы поступили в методе упругих решений, а именно: будем решать на каждой итерации уравнение (20) методом Бубнова-Г алеркина в первом приближении.

За аппроксимирующую функцию принимаем прогиб упругой балки, полученный методом начальных параметров. В этом случае функция X (х) в выражении прогиба балки (х) = К X (х), построена ранее методом начальных параметров (6).

Вариационное уравнение метода Бубнова-Г алеркина в сочетании с итерационным методом переменных параметров упругости имеет вид:

I I

Хйх = | д (х) Хйх

Кп/[ 1 (К_, X) Х1 + 2 1 (К_, X) X" + /;(К„_, X) X'

0

Ы2

1)= / Е;(ех))ь(г)Лг

-НИ

После интегрирования получим алгебраическое уравнение относительно амплитуды Кп.

Кп = 1 (а-вКП-),

где коэффициенты а, в и б не зависят от номера итерации и определяются по формулам:

ГX

АТ7 * * /7/ «I

0 4 Е _ о 0 J 0 0

Эти формулы в точности совпадают с формулами, полученными при решении задачи сочетанием метода упругих решений с методом Бубнова-Г алеркина, но структура рекуррентных формул различна

А =а

а 1

Таким образом, сочетание двух методов: итерационного метода переменных параметров упругости и вариационного метода Бубнова-Г алеркина - позволяет в результате получить формулу (24), с помощью которой осуществляется процесс получения приближенного решения нелинейной задачи. Необходимо отметить, что при уточнении решения конфигурация прогиба балки остается постоянной. Нелинейность проявляется в зависимости «нагрузка-амплитуда прогиба» и, следовательно, в других параметрах напряженно-деформированного состояния.

В табл. 3 представлены результаты исследования сходимости решения при применении обсуждаемой методики решения к задаче изгиба нелинейно-упругой балки.

Таблица 3

№ итерации Кнел/Кл т тах Х X 10-2, м Ртах Х х 10 -3 \М тах Х X105, Нм |бтах| Х х105,Н е тах Х х 10-3

1 1,025 1,728 8,275 2,106 1,301 1,254

2 1,026 1,728 8,278 2,107 1,302 1,254

3 1,026 1,728 8,278 2,107 1,302 1,254

МКР 1,735 8,272 2,038 1,267 1,331

Разница в % 0,4% 0,07% 3,4% 2,8% 6,1%

0

Данные табл. 3 показывают, что итерационный процесс метода переменных параметров упругости Биргера сходится устойчиво и быстро. Метод Биргера по сравнению с методом упругих решений (табл. 2) дает более точные результаты после 1 - 3 итераций. Сопоставление результатов метода Биргера с результатами метода конечных разностей (табл. 3) показало высокую точность использованной методики расчета нелинейно-упругих балок.

Рассмотрим теперь метод Ньютона-Канторовича. Итерационное уравнение этого метода можно записать в следующем виде:

И 2 и 2

-2[Л № )Ди-:,1 ] = д

ах ах

Ы2

’к^п)- | “к^х”'"*'"2'

-Н/2

Ы2

2

Ш/ 2

где переменная жесткость З, (№п) = | Ек (£х )Ь(г)г2Лг содержит уже касательный модуль Ек , а

переменная жесткость Зс (№п) = | Ес (£х )Ь(г)г2-г содержит секущий модуль Ес. В этом выра-

-Ш/2

жении №п+1 = №п + Д^п+1. В первом приближении решается обычное уравнение балки из упругого материала, которое считаем начальным приближением решаемой задачи. Для получения решения нелинейной задачи строится следующий итерационный процесс. Полученный прогиб №1 подставляем в (27) и подсчитываем скорректированные жесткости ]к (№), 1С (№),

Ш/2 Ш/2

Л(№1) = | Ес(£х(ГС1)Жг)г2-г, Зк(№1) = | Ек(ехЩ))Ь(г)г2йг.

-Ш/2 -Ш/2

Затем находим уточненное значения прогиба №2 решаем уравнение (4.76) при п = 2:

а 2 а 2

[Л

Полагая далее п равным трем, четырем и так далее, будем получать все более и более точные приближения решаемой задачи. Процесс такого итерационного процесса заканчивается при достижении требуемой точности вычислений, определяемой относительной разницей между результатами двух соседних приближений решения

Скорость сходимости метода Ньютона-Канторовича является более высокой по сравнению с методом упругих решений и методом переменных параметров упругости, однако на каждой итерации для вычисления №п+1 необходимо формировать и решать новую систему линейных дифференциальных уравнений.

Уравнение (27) является линейным, но содержит переменные коэффициенты и громоздкую правую часть. В качестве алгоритма численной реализации этого уравнения применим метод Бубнова-Галеркина в первом приближении при аппроксимации прогиба № прогибом упругой балки. Аппроксимирующую функцию Х(х), входящую в выражение прогиба балки № (х) = АХ (х), выбираем в виде прогиба упругой балки, который определяем, решая методом начальных параметров линейную задачу изгиба балки.

Применяя к итерационному уравнению метода Ньютона-Канторовича метод Бубнова-Галеркина, получим:

]к(АпХ)Х^ + 2 -Гк (АХ) X" + -Зк (АХ) х* Их Их

0

ь

= | д(х) ХЛх -Ап |

ХЛх =

З с (АпХ) X- + 2 “]с(АХ) X' + -Чс(А Х > X-

Их Их

Хйх,

Л№п) = |Ек(е,№п))Ьг2&, Л№) = IЕс(е.<№»ь"2*, =(А + ДД.+1)X.

0 0

После вычисления определенных интегралов получаем линейное алгебраическое уравнение относительно ААп+1.,

ДАп+1 = ‘ '

а- 3М

0

0

где коэффициенты а, в и Q не зависят от номера итерации и определяются по следующим формулам:

9га к2

а = JXXwdx, в = -

4E

I I 1 I

_ о 0 _ ЕЗ 0 0

Эти формулы в точности совпадают с формулами, которые были получены при решении задачи сочетанием метода упругих решений с методом Бубнова-Галеркина, но структура рекуррентных формул различна.

Таким образом, сочетание итерационного метода Ньютона-Канторовича и вариационного метода Бубнова-Г алеркина - позволяет в результате получить формулу (30), с помощью которой осуществляется процесс получения приближенного решения нелинейной задачи.

В табл. 4 представлены результаты исследования сходимости обсуждаемой методики решения задачи изгиба нелинейно-упругой балки.

Таблица 4

№ итерации Анел./Алин. W max X х 10-2, м max X х 10-3 \M max X X 105, Нм Qmax| X х105,Н £i max X X10 -3

1 1,0267 1,7302 8,2868 2,2092 1,3032 1,2554

2 1,0264 1,7298 8,2847 2,1086 1,3028 1,2551

3 1,0264 1,7298 8,2847 2,1086 1,3028 1,2551

МКР 1,7351 8,2723 2,0376 1,2666 1,3306

Разница в % 0,3 0,15 3,5 2,9 6,0

В последней строке табл. 4 приведены результаты решения уравнения МНК методом конечных разностей (МКР) с разделением длины балки на 512 частей.

Данные табл. 4 свидетельствуют, что итерационный процесс метода Ньютона-Канторовича сходится устойчиво и весьма быстро. Отметим, что при задании относительной точности, равной

е = 10 5, число итераций увеличивалось лишь на единицу.

Свидетельством более высокой скорости сходимости МНК по сравнению с МУР и МППУ

является достижение при заданной точности |(№п - №п-1)/ №п| < 10-4 более точных результатов по

сравнению с МУР и МППУ. Кроме того, сопоставление обсуждаемых результатов МНК с весьма точными данными метода конечных разностей показало высокую точность использованной методики расчета нелинейно-упругих балок.

Заключение

Таким образом, можно утверждать, что методика расчета нелинейно-упругих балок, основанная на построении функции распределения прогиба линейно-упругой балки методом начальных параметров и использовании процедуры метода Бубнова-Г алеркина для численной реализации задачи, уже в первом приближении решения дает точность результатов, достаточную для практических расчетов. При этом решение нелинейной задачи получаем в виде формулы. Достаточно сложное распределение активных нагрузок на балку не понижает точности результатов, получаемых с использованием любого из рассмотренных итерационных методов решения задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров В.В. Методы расчета конструкций из нелинейно-деформируемого материала / В.В. Петров, И.В. Кривошеин. М.: Издательство АСУ. 2009. 208 с.

2. Petrov V.V. Metody of calculation of designs from a nonlinear-deformed material / V.V. Petrov, I.V. Krivoshein. M.: Publishing house of building high schools. 2009. 208 p.

Петров Владилен Васильевич - Petrov Vladilen Vasil’evich -

академик Российской академии архитектуры и Russian Academy of Architecture and строительных наук, доктор технических наук, Building Science, Doctor of Technical Sci-

профессор, Заслуженный деятель науки и техни- ences, Professor, Honored Worker of Sci-ки РФ, Почетный строитель РФ, заведующий ка- ence and Technology of Russia, Honored федрой «Механика деформируемого твердого Builder of Russia, head of the department, тела» Саратовского государственного техниче- "Fracture Mechanics", Saratov State Tech-ского университета имени Г агарина Ю. А. nical universities named Gagarin Yu.A.