Математические модели оценки вероятности ложной тревоги и риска целостности координатной информации вещательного автоматического зависимого наблюдения

УДК 656.021.2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ И РИСКА ЦЕЛОСТНОСТИ КООРДИНАТНОЙ ИНФОРМАЦИИ ВЕЩАТЕЛЬНОГО АВТОМАТИЧЕСКОГО ЗАВИСИМОГО НАБЛЮДЕНИЯ

В.Б. СПРЫСКОВ, В.В. ДУПИКОВ

Любые измерения координат ВС выполняются с ошибками. Использование таких измерений для целей эшелонирования влияет на безопасность полетов. Если источник координат ВС хорошо проверен практикой, как вторичный радиолокатор, то не вводят специальных процедур определения больших ошибок измерения, так как считают, что большие ошибки правильно описаны общей плотностью вероятности ошибок и их влияние на безопасность полетов полностью учтено применяемыми правилами эшелонирования. В связи с отсутствием достаточной практики использования координатных меток вещательного автоматического зависимого наблюдения для эшелонирования воздушных судов в обязательном порядке должна быть введена процедура выявления больших ошибок наблюдения с целью обеспечения безопасности полетов. В работе представлено математическое обеспечение такой процедуры.

Ключевые слова: вещательное автоматическое зависимое наблюдение, целостность, риск целостности, ложная тревога.

1. Задача исследования

Вещательное автоматическое зависимое наблюдение (АЗН-В) рассматривается в настоящее время как перспективная система наблюдения обслуживания воздушного движения (ОВД). В связи с тем, что координаты каждого ВС определяются на борту и затем передаются для использования в систему ОВД, вопрос обеспечения целостности информации АЗН-В является актуальным.

Определяемые на борту ВС координаты, на основе измерений глобальной спутниковой навигационной системы (ГНСС), характеризуются высокой точностью. Однако сбои и отказы, возникающие в системе ГНСС, могут приводить к значительному увеличению ошибок определения координат ВС, передаваемых по каналам АЗН-В. Для пользователя системы АЗН-В важно, чтобы была возможность обнаруживать ситуации, когда ошибки определения координат ВС, передаваемых в сообщениях АЗН-В, превышают заранее установленный радиус удержания Яс. Будем считать, что в этом случае подается сигнал тревоги.

Будем использовать определение целостности, как это предложено в [1]. Для простоты формализации вначале определим «риск целостности». Под риском целостности (ГО.) будем понимать вероятность события, при котором ошибка определения местоположения ВС превышает некий заранее определенный порог Яс в течение интервала времени большего Та и

при этом она не обнаружена. Тогда под целостностью будем понимать вероятность обратного события, а именно события, при котором ошибка определения местоположения ВС не превышает порог Кс или ошибка обнаружена в течение интервала времени, не превышающего Та.

Пусть (х, у) горизонтальные координаты фактического положения ВС, (хм, ум) -

координаты, измеренные системой АЗН-В. Ошибки измерения представляют собой случайные величины, равные См = хм - х и гм = Ум - У .

Если /м (Сы ,гм) совместная плотность вероятности ошибок (Сы ,гм ), то вероятность того, что ошибки не превосходят Яс, определяется как

р = Л /ы

СЬ+гЫ £«с2

Однако формула (1) не может стать основой обеспечения целостности измерений АЗН-В, так как для каждого конкретного измеренного положения (хк, ум) она не позволяет сделать

вывод о том, что ошибки АЗН-В превзошли величину к. Тем самым на основании (1) нельзя

реализовать функцию подачи тревоги.

Для преодоления указанной трудности предполагается осуществлять обеспечение целостности информации АЗН-В путем сравнения каждого измерения координат ВС (хк, ук) с

координатами (хк, ук), полученными от независимой системы наблюдения, например, от вторичных обзорных радиолокаторов (ВОРЛ).

Будем считать, что независимое от АЗН-В измерение имеет

ошибки £к = хк - х и Цк = ук - у, и известна их совместная плотность распределения

/к (Ск Цк).

Гипотеза 1: Будем считать, что за время (0, Та) плотность вероятности ошибок координатной информации независимой системы наблюдения (Хк, Ук) не меняет ни вид распределения, ни параметры распределения.

С учетом справедливости гипотезы 1, обеспечение целостности координатной информации АЗН-В организуем следующим образом.

Если разность координат двух независимых измерений одного и того же положения ВС больше некоторой наперед заданной величины , то предполагается, что качество координатной информации АЗН-В неудовлетворительно, подается сигнал тревоги (за время, не превосходящее Та) и метка (хк, ук) не используется для целей ОВД. В противном случае

предполагается, что координатная информация АЗН-В обладает достаточным качеством и используется для ОВД. Алгоритм обеспечения целостности координатной информации АЗН-В описанным выше способом изображен на рис. 1.

Формирование разности координатных отметок .

) ) .

^ 1

5 = д/(Хк - Хм )2 + (У, - Ум )2

Подача сигнала тревоги; информация АЗН-В не используется для целей ОВД

Информация АЗН-В используется для целей ОВД

Рис. 1. Алгоритм обеспечения целостности координатной информации АЗН-В путем сравнения измерений координат ВС, полученных от системы АЗН-В и независимой системы наблюдения

Обеспечение целостности с использованием алгоритма, изображенного на рис. 1,

объективно связано со следующими случайными событиями:

• «правильное обнаружение» - событие, при котором подается сигнал тревоги для пользователя, поскольку расстояние между независимыми случайными метками больше Д и

ошибки определения фактического положения ВС системой АЗН-В больше Яс N > кС);

• «правильное необнаружение» - событие, при котором расстояние между независимыми случайными метками не превосходит величины Д, сигнал тревоги не подается и ошибки

определения фактического положения ВС системой АЗН-В не превосходят Яс (^ + цЦ < ЯС);

• «ложная тревога» - событие, при котором расстояние между независимыми случайными метками больше Д и подается сигнал тревоги для пользователя, но ошибки определения

фактического положения ВС системой АЗН-В не превосходят Яс (^Ц + цЦ < кС )• Вероятность

появления события ложной тревоги Рр А не должна превосходить приемлемую величину Рр А ;

• «пропуск обнаружения» - событие, при котором сигнал тревоги для пользователя не подается, поскольку расстояние между независимыми случайными метками не превосходит величины Д, а ошибки определения фактического положения ВС системой АЗН-В больше Яс

(й + цЦ - кС). Вероятность появления события пропуска обнаружения (риск целостности) Р1к

не должна превосходить приемлемую величину Р1 к .

Поскольку появление событий ложной тревоги и пропуска обнаружения крайне негативно влияет на безопасность полетов при использовании информации АЗН-В в целях ОВД, задачей данной работы является формализация моделей оценки вероятности ложной тревоги Рр А и

риска целостности Р1.к. . После того, как трудности формализации будут преодолены, мы естественным образом введем меру целостности информации АЗН-В.

2. Общие соображения и математические модели оценки Рр. А., Р1 .к. и Р1.

Процедура обеспечения целостности основана на анализе разности координат независимых меток горизонтального положения ВС (хц, уц) и (хк, ук).

Введем следующие двумерные случайные величины: N (Хы, Уц) - вектор оценки координат

ВС системой АЗН-В; к(Хк,Ук) - вектор оценки координат ВС системой ВОРЛ; 5(5х, 5у) -

расстояние между векторами N и к .

Вектора N и к являются независимыми с известными плотностями. Компоненты Хц,УЦ,Хк,Ук векторов N и Я также независимы как внутри N и Я , так и между векторами.

Гипотеза 2: Математические ожидания компонент вектора к совпадают с координатами фактического положения ВС.

Математические ожидания компонент вектора N могут иметь смещения Ах и Ау по

отношению к фактическим координатам ВС. Указанные смещения таковы, что Ах2 + Ау2 = к2.

Пусть N и к - независимые случайные величины с плотностями /ц (х) и /к (х). В общем

виде N и к - двумерные случайные величины, но все соотношения будут справедливы и для одномерных случайных независимых величин.

Обозначим плотность случайной величины 5 = к - N через g(я). Рассмотрим две пары случайных величин: (N, Я) - исходная пара; (N, 5) - пара, принимающая участие в процедуре обеспечения целостности информации АЗН-В.

Тогда априорная (до применения процедуры обеспечения целостности) совместная плотность вероятности пары случайных векторов (N, 5) будет равна /ц (х) • /к (х + я) .

Зная априорную совместную плотность вероятности пары (N, 5), можно определить условную плотность вероятности иц!я (х; ^) случайной величины N при условии, что 5 = я

*Ы/.

(х; я) =

/ы (х) • Л (х + л) £(я) '

Если известны плотности вероятности /м (х) и /к (х), то для разности случайных независимых измерений имеем

g(я) = | /ы (х) • /д (х + я)ёх

Процедура обеспечения целостности основана на опыте, при котором случайная величина £ принимает конкретное значение я : £ = я. Значение я сравнивают с порогом обнаружения и принимают решение о подаче сигнала тревоги. При рассуждении о том, вышли ли ошибки

АЗН-В за пределы радиуса удержания Дс или не вышли при условии, что £ = я, априорная (безусловная) плотность ошибок измерения АЗН-В должна быть заменена на условную (х; я) . Таким образом, модели оценок вероятностей РР А , Р1Д и Р1 должны строиться не на

плотностях g (я) и /ы (х) , а на плотностях g (я) и иы, я (х; я).

Исходя из общих соображений формализации вероятности ложной тревоги и риска целостности, можем записать

Рр.Л. = р{я| > Dt & И £ Яс }; Р1Я = РЫ £ Dt & И > Яс }

С учетом того, что случайные величины я и х имеют плотности вероятности, равные g (я) и иы! я (х; я), получим следующие значения искомых вероятностей

Р

Р

п. /.

| иы / я(х; я)ёх

£Дс

| иы / я(х; я)ёх

ёя;

ёя.

Ошибки в определении координат ВС посредством АЗН-В в общем виде могут иметь ненулевые смещения А :

/А2х + А^ = Яс. Состояние, в котором АЗН-В измеряет координаты ВС со смещениями, будем называть отказом. Вероятность этого состояния равна Р,. Априорная плотность вероятности ошибок измерения координат ВС посредством АЗН-В при отказе обозначим как // (х; А). Тогда и плотность разности случайных величин Я — N также будет иметь параметр смещения А . Следовательно, условную плотность ошибок измерения координат ВС системой АЗН-В при отказе следует записывать со смещением ^)я (х; я, А).

Учет состояния отказа АЗН-В дополняет модели ложной тревоги и риска целостности

РР.Л.=(1 — Р,)• Рр'+В ”'

+ Р • Р1

- Р.А. / 1 Р.А.’

Р

I .д.

= (1 -Р/)• РП/ + Р/ • Р/я,

где р;А..

и Рп/.

и ГI.д.

определяются соотношениями

РР/А. = | g/.

\ыЫ / я (х; я, А = Дс )ёх

ёя,

я1 < О

х\>Д

uN / я (х; я, А = Яс )ёх

ёя.

Заметим, что вероятность события, при котором ошибка определения местоположения ВС не превышает порог Яс или ошибка обнаружена, т.е. целостность Р1 объединяет в себе три из четырех возможных событий: «правильное необнаружение», «правильное обнаружение» и «ложная тревога», вследствие чего

Р1.= 1 — Р1.К.,

где Р1Я определяется выражением (7).

Таким образом, целостность координатной информации АЗН-В определяет вероятность того, что информация о координатах ВС, передаваемая в сообщениях АЗН-В и используемая диспетчером в целях ОВД, не содержит необнаруженных больших ошибок, превышающих порог Яс .

Для лучшего понимания природы случайных событий ложной тревоги и пропуска обнаружения приведем некоторые иллюстрации для одномерного случая с учетом принятых гипотез (рис. 2, 3).

ЛМ МеткаВ0РЛ

а б

Рис. 2. Возможные плотности вероятностей ошибок отображения фактического положения ВС и возможные метки АЗН-В и ВОРЛ: а - при Ау = 0; б - при наличии смещения Ау в измерениях АЗН-В

Рис. 3. Возможные распределения плотности вероятности расстояния между метками ВОРЛ и АЗН-В (Бу = УЯ — YN): а - при АЗН-В без смещения (Ау = 0); б - со смещением,

а также границы порога обнаружения ± Д для подачи тревоги

3. Практическое использование моделей оценки Рр А целостности координатной информации АЗН-В

и Р1Я для целей обеспечения

Ранее было указано, что известны приемлемые значения вероятностей Рр А и Р1 Я. Для обеспечения целостности необходимо задать априорные вероятностные описания случайных величин N и Я , значения среднеквадратических отклонений ошибок измерения координат ВС посредством ВОРЛ и АЗН-В и вычислить значения Д и Яс, при которых Рр А и Р1Я не будут

превышать значений Рр А и Р1Я. Целостность будет обеспечена путем подачи тревоги и

неиспользования того или иного измерения АЗН-В для целей ОВД.

Обычной практикой при сравнении точностей измерений координат ВС посредством ВОРЛ и АЗН-В является рассмотрение радарных меток от одиночного моноимпульсного вторичного радиолокатора. В связи с этим ошибки случайной величины Я описываются одномерными плотностями с дисперсиями, которые определяются азимутальными дисперсиями ВОРЛ.

Случайная величина N всегда двумерная. Однако для целей сравнения Я и N ее описывают одномерной со специально увеличенным параметром дисперсии {д'N).

Известно, что радиус удержания на заданном уровне вероятности отклонений случайной величины от математического ожидания для двумерной плотности любого вида, выраженный через среднеквадратическое отклонение (СКО), всегда больше, чем для соответствующей одномерной плотности. Как правило [2], находят величины гг для двумерного распределения и г для одномерного, такие что Р{х| < гг}= 0.95; и Р{х| < г}= 0.95.

Находят отношение гг/г = к. Тогда, при замене двумерного распределения на одномерное,

для описания ошибок АЗН-В, СКО одномерного распределения ошибок АЗН-В увеличивают на величину к , тем самым радиусы удержания гг и г для вероятности 0.95 становятся одинаковыми.

Будем искать оценки величин Д и Яс для следующих априорных распределений

случайных величин Я и N: Я - гауссовская; N - гауссовская; Я - двусторонняя экспоненциальная (ВБ); N - двусторонняя экспоненциальная (ВБ).

В качестве линейных точностей радарных измерений будем рассматривать измерения с линейной среднеквадратической погрешностью, равной оя = 479.7 м.

В качестве точности измерения координат ВС системой АЗН-В будем рассматривать круговую точность с параметрами Ош = Ощ = , равными: 37.80 м; 75.59 м; 226.78 м.

Соотношения (4), (5), (8) и (9), полученные для горизонтальных ошибок, в случае одномерных распределений случайных величин Я и N примут вид

п. /.

Р. А.

•‘'•с

| щ ,(х; ^

+о,

-Яс

- Яс

о, +о,

| uN /,(х; №

Яс

| щ ,(х; ^

¿я;

¿я;

,

р/а. = I 8/

-Яс

-Яс

+ 18/

р/я. = 18/

о,

+В,

IК / ?(х; ^ Яс)№х

Яс

IК / ?(х; ^ Яс)№х

¿я;

¿я.

-В

-В

Я

В

-В

Я

Для оценивания <УМ будем иметь в виду, что тгм = 2.450; гм = 1.960; км = 1.250. Поэтому все перечисленные ранее значения точностей навигации (рм) будем умножать на 1.25.

Плотности вероятностей, входящие в соотношения (11), (12), (13) и (14), имеют вид

_ 1 я2

g(s;aN,0К) = 1 = е 200;

^2р[

I 2 Г 1 ( 0 'X2 +0(*+*)2

+ав

„2

UNls(х;я,0,0) = ^ 'К е 22 020 02+02

V 2р  &м  0

'К

g/.(s;Яс,0N,0к) =іі2 е 20

Л/2р[0 +0К )

/. (.. „ К 0 0 ) = е" ^

МЛТ/ я (х; s, Кс , 0N ,0К ) ПТ- е

Ы2р  0 0К

Значения Ц и Кс выбирают минимальными, при которых Ррл < Ррл; и Р1К < Р1К , где Р1

Р1 Я оцениваются соотношениями (6) и (7); Р'г = 5-10 ; Р^л = 6.67 10 и Р1Я = 110 [3].

Результаты оценивания сведены в табл. 1, где представлены параметры Д и Яс алгоритма обеспечения целостности координатной информации АЗН-В для гауссовских законов ошибок Я и N при <Я = 479.7 (м) в зависимости от приведенных значений точности определения координат ВС системой АЗН-В.

Таблица 1

1 (я-Кс )2

).

к  0N (м) 47.25 94.49 283.48

Ц 1950 2000 2230

Кс 255 505 1510

Р, 0.99999918 0.999999899 0.999999999

Проведем теперь оценки Д и Яс при двусторонних экспоненциальных распределениях (ББ) случайных величин Я и N

Для оценивания <7Ш будем иметь в виду, что тгш = 2.751 -0Е; тш = 2.1183 -0Е; кОЕ = 1.29868. Плотность вероятности одномерной случайной величины, имеющей ББ распределение, равна

ЖЛ) = -гя=^.

Можно показать, что для ББ ошибок Я и N плотности вероятностей, входящие в модели (11), (12), (13) и (14), будут иметь следующий вид

1Яе Я -1ме

* «=-ЦТ;

им /*(х; *) =

__Й-4)е

1м

• е

Яр

211

к-я(

1 е 1

^ Яс) ^

Лме

*-Яс 1

21 -1)

1 -Хм)е

У

21м1я

- Яс І V

1яе

Яые

Результаты расчетов сведены в табл. 2, где приведены параметры Д и Яс алгоритма

обеспечения целостности координатной информации АЗН-В для двусторонних

о 479.37 , .

экспоненциальных распределений ошибок Я им при ЛЯ = —-¡=— (м) в зависимости от

л/ 2

приведенных значений точностей определения координат ВС системой АЗН-В.

Таблица 2

е

*

^БЕ ' ВЕ (м) 49.090 98.167 294.5165

1 (м) 34.71 69.41 208.25

4 3260 3300 3500

Я, 560 1130 3250

Р/. 0.99999989 0.99999991 0.99999903

Заключение

Разработаны модели оценки вероятностей ложной тревоги (Рр А ), риска целостности (Р1Я) и целостности (Р) координатной информации АЗН-В на основе сравнения меток горизонтального положения ВС от двух независимых систем наблюдения ОВД. При формализации указанных моделей использовались допущения об ошибках измерений, принятые в документах ЯТСА и ЕиКОСАЕ.

Разработан алгоритм обеспечения целостности информации АЗН-В с использованием указанных моделей.

Представленный подход обеспечения целостности информации АЗН-В может стать всеобъемлющим в предположении, что на борту ВС координатная информация определяется сразу от двух независимых систем ГНСС.

Для ОВД на маршруте выполнены расчеты параметров алгоритма обеспечения целостности в предложении, что второй независимой системой наблюдения является радарная система. Расчеты выполнялись в предположении, что ошибки определения местоположения ВС системами АЗН-В и ВОРЛ могут быть описаны априорными функциями плотности распределения вероятности, подчиняющиеся гауссовскому и двустороннему экспоненциальному распределениям.

Полученные результаты оценки Рр А и Р1Я не могут рассматриваться как окончательные, поскольку получены в предположении гипотетических распределений ошибок определения местоположения ВС системами АЗН-В и ВОРЛ. С целью получения окончательных результатов, необходимо провести дополнительное исследование ошибок определения местоположения ВС системами АЗН-В и ВОРЛ, определить фактические плотности распределения вероятностей ошибок и выполнить оценку уровня целостности координатной информации АЗН-В при использовании разработанного алгоритма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Minimum Aviation System Performance Standards (MASPS) for Traffic Information Service - Broadcast (TIS-B) - RTCA, D0-286B, 2007.

2. Assessment of ADS-B to Support Air Traffic Services and Guidelines for Implementation. - 1-е изд. - Montreal, ICAO, Cir 311 AN/177, 2006.

3. Safety, Performance and Interoperability Requirements Document for the ADS-B Non-Radar-Airspace (NRA) Application. - Washington, RTCA/D0-303, 2006.

MATHEMATICAL MODELS TO ASSESS FALSE ALARM PROBABILITY AND INTEGRITY RISK OF AUTOMATIC DEPENDENT SURVEILLANCE BROADCAST POSITION INFORMATION

Spryskov V.B., Dupikov V.V.

Aircraft coordinate measurements are obtained with errors. The use of such measurements for purpose of aircraft separation impacts on safety. If an aircraft position information source (e.g. SSR) has been historically accommodated for years, then there are no special monitoring procedures of large measurement errors as it is assumed large errors are correctly described by the general probability density function and their influence on safety is completely accounted for in applied separation rules. Due to the lack of usage practice of ADS-B position targets regarding aircraft separation there identifying large surveillance errors procedure shall be introduced to provide safety. This paper presents mathematical foundation for such procedure.

Key words: automatic dependent surveillance broadcast, integrity, integrity risk, false alarm.

Сведения об авторах

Спрысков Владимир Борисович, 1951 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1975), МГУ им. М.В. Ломоносова (1983), доктор технических наук, главный научный сотрудник ФГУП ГосНИИ «Аэронавигация», автор более 100 научных работ, область научных интересов - безопасность воздушного движения.

Дупиков Валентин Владимирович, 1982 г.р., окончил МГТУ ГА (2005), начальник сектора ФГУП ГосНИИ «Аэронавигация», автор более 30 научных работ, область научных интересов - системы связи, навигации и наблюдения/организации воздушного движения, моделирование.