ГЕНЕРАТОР ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
GENERATOR OF CHAOTIC OSCILLATIONS

Предлагаемое изобретение относится к радиотехнике и может быть использовано в качестве источника хаотических электромагнитных колебаний.
Известен генератор хаотических колебаний (A.S. Elwakil, М.Р. Kennedy. Chua's circuit decomposition: a systematic design approach for chaotic oscillators // Journal of the Franklin Institute, 2000, No. 337, p. 254, fig. 2 (b)), содержащий устройство с отрицательным сопротивлением, первый вывод которого соединен с первым выводом первого конденсатора и первым выводом первого резистора, второй вывод которого соединен с первым выводом второго резистора и первым выводом второго конденсатора, второй вывод которого соединен с выходом усилителя напряжения, неинвертирующий вход которого соединен с вторым выводом второго резистора и первыми выводами третьего резистора и третьего конденсатора, вторые выводы которых соединены с вторыми выводами устройства с отрицательным сопротивлением, первого конденсатора, общей шиной и первым выводом четвертого резистора, второй вывод которого соединен с инвертирующим выводом усилителя напряжения.
Также известен Генератор хаотических колебаний (S. Sampath, S. Valdyanathan, Ch.K. Volos and V.T. Pham. An Eight-Term Novel Four-Scroll Chaotic System with Cubic Nonlinearity and its Circuit Simulation // Journal of Engineering Science and Tecnology Review, 2015, No. 8(2), p. 4, fig. 6), содержащий первый, второй и третий резисторы, первые выводы которых соединены с первым выводом первого конденсатора и инвертирующим входом первого усилителя напряжения, выход которого соединен с вторыми выводами первого конденсатора и второго резистора, первым входом первого аналогового перемножителя напряжений и вторым входом второго аналогового перемножителя напряжений, выход которого соединен с первым выводом четвертого резистора, второй вывод которого соединен с первыми выводами пятого резистора и второго конденсатора и инвертирующим входом второго усилителя напряжения, выход которого соединен с вторым выводом второго конденсатора, первым выводом шестого резистора и вторыми входами первого и третьего аналоговых перемножителей напряжений, второй вывод шестого резистора соединен с первым выводом седьмого резистора и инвертирующим входом третьего усилителя напряжения, выход которого соединен с вторыми выводами пятого и седьмого резисторов, выход первого аналогового перемножителя напряжений соединен с первым выводом восьмого резистора, второй вывод которого соединен с первыми выводами девятого и десятого резисторов, первым выводом третьего конденсатора и инвертирующим входом четвертого усилителя напряжения, выход которого соединен с вторым выводом третьего конденсатора, первым выводом одиннадцатого резистора, первыми входами второго, третьего и четвертого аналоговых перемножителей напряжений, первым и вторым входами пятого аналогового перемножителя напряжений и вторым выводом девятого резистора, выход пятого аналогового перемножителя напряжений соединен с вторым входом четвертого аналогового перемножителя напряжений, выход которого соединен с вторым выводом десятого резистора, второй вывод одиннадцатого резистора соединен с первым выводом двенадцатого резистора и инвертирующим входом пятого усилителя напряжения, выход которого соединен с вторыми выводами первого и двенадцатого резисторов, выход третьего аналогового перемножителя напряжений соединен с вторым выводом третьего резистора.
Недостатком этих генераторов является незначительная возможность изменения хаотического аттрактора, что ограничивает возможности перестройки параметров генерируемого хаотического сигнала.
Наиболее близким по технической сущности к заявляемому устройству является генератор хаотических колебаний (Пат. РФ №2416144. Генератор хаотических колебаний. Опубл. 10.04.2011, Бюл. №10), содержащий первый нелинейный преобразователь импеданса, первый входной вывод которого соединен с первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с первым выводом двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением и первым выводом первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса и первым выводом второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с вторым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй входной вывод которого соединен с вторым выводом двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением.
Недостатком этого генератора хаотических колебаний, является то, что его хаотический аттрактор является унитарным, что ограничивает пределы его видоизменения и соответствующей перестройки параметров генерируемого хаотического сигнала.
Целью изобретения является расширение пределов регулирования параметров хаотических колебаний путем увеличения возможностей видоизменения конфигурации соответствующего им хаотического аттрактора.
1
C1
0
1
C1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
C2
0
2
C2
2
2
2
2
2
2
L
0
3
L
3
3
3
3
3
3
Цель изобретения достигается тем, что в генераторе хаотических колебаний, содержащем первый нелинейный преобразователь импеданса, первый входной вывод которого соединен с первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с первым выводом двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением и первым выводом первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с первым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса и первым выводом второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй вывод которого соединен с вторым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, второй входной вывод которого соединен с вторым выводом двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, первый двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит первый линейный емкостной элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами второго нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, второй двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит второй линейный емкостной элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами третьего нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит линейный индуктивный элемент, первый и второй выводы которого соединены соответственно с первым и вторым входными выводами четвертого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выходные выводы которого являются соответственно первым и вторым выводами двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, переменный ток, протекающий в цепи первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, равен переменному току, протекающему в цепи первого линейного емкостного элемента, напряжение между выводами первого двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением равно u(u)=UH(х), где u - переменное напряжение на первом линейном емкостном элементе, U=IR, R - сопротивление резистора, I - граничный ток между средним, проходящим через начало координат, и боковыми участками передаточной характеристики первого нелинейного преобразователя импеданса,  d, h и s - вещественные коэффициенты, причем d>>1, M и N - целые неотрицательные числа, переменный ток, протекающий в цепи второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением, равен переменному току, протекающему в цепи второго линейного емкостного элемента, напряжение между выводами второго двухполюсного элемента с емкостным сопротивлением равно u(u)=UH(y), где u - переменное напряжение на втором линейном емкостном элементе,  d, h и s - вещественные коэффициенты, причем d>>1, М и N - целые неотрицательные числа, переменное напряжение между выводами двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением равно переменному напряжению на линейном индуктивном элементе, ток, протекающий в цепи двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением, равен i(i)=IH(z), где i - переменный ток, протекающий в цепи линейного индуктивного элемента,  d, h и s - вещественные коэффициенты, причем d>>1, M и N - целые неотрицательные числа, причем передаточная характеристика первого нелинейного преобразователя импеданса определена уравнением
вых
вх
вх
где i(i) - ток, протекающий через выходные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, i - ток, протекающий через входные выводы первого нелинейного преобразователя импеданса, а и b - вещественные константы, напряжение на первом входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на первом выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса, напряжение на втором входном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на втором выходном выводе первого нелинейного преобразователя импеданса.
1
1
2
2
3
3
С целью получения повышенной точности и температурной стабильности первый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен с первым входным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса, выходом первого генератора тока и вторым выводом первого активного четырехполюсника, первый вывод которого соединен с выходом второго генератора тока, выходом усилителя напряжения и первым выводом первого резистора, второй вывод которого соединен с первым выходным выводом первого нелинейного преобразователя импеданса и неинвертирующим входом усилителя напряжения, третий вывод первого активного четырехполюсника соединен с первым выводом второго активного четырехполюсника, третий вывод которого соединен с первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с четвертым выводом второго активного четырехполюсника, второй вывод которого соединен с четвертым выводом первого активного четырехполюсника, общие шины первого и второго генераторов тока соединены с первой шиной питания, второй входной и второй выходной выводы первого нелинейного преобразователя импеданса соединены с общей шиной, второй нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, неинвертирующий вход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами второго нелинейного преобразователя импеданса, второй входной вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с инвертирующим входом усилителя напряжения и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с вторым выходом усилителя напряжения и вторым выходным выводом второго нелинейного преобразователя импеданса, построение третьего нелинейного преобразователя импеданса идентично построению второго нелинейного преобразователя импеданса, четвертый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения, инвертирующий вход которого соединен с вторым входным выводом четвертого нелинейного преобразователя импеданса и первым выводом нелинейного двухполюсника, второй вывод которого соединен с первым выходом усилителя напряжения и первым выводом резистора, второй вывод которого соединен с вторым выходным выводом четвертого нелинейного преобразователя импеданса и неинвертирующим входом усилителя напряжения, второй выход которого соединен с первым входным и первым выходным выводами четвертого нелинейного преобразователя импеданса, каждый нелинейный двухполюсник содержит 1+2Max(Q,R) последовательно включенных активных четырехполюсников, где Max(Q,R) - большее из чисел Q и R, которые равны соответственно M и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав второго нелинейного преобразователя импеданса, М и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав третьего нелинейного преобразователя импеданса, М и N в нелинейном двухполюснике, входящем в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса, первый и второй выводы первого активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами нелинейного двухполюсника и выходами соответствующих первого и второго генераторов тока, общие шины которых соединены с первой шиной питания, третий и четвертый выводы каждого предыдущего активного четырехполюсника соединены соответственно с первым и вторым выводами последующего активного четырехполюсника, третий и четвертый выводы последнего, 1+2Max(Q,R)-го, активного четырехполюсника соединены с соответствующими первым и вторым выводами резистора, каждый активный четырехполюсник содержит первый и второй транзисторы, эмиттеры которых, являющиеся соответствующими первым и вторым выводами активного четырехполюсника, соединены с соответствующими первым и вторым выводами первого резистора, коллектор первого транзистора соединен с эмиттером третьего транзистора и базой четвертого транзистора, эмиттер которого соединен с коллектором пятого транзистора и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с базой пятого транзистора и первым выводом третьего резистора, второй вывод которого соединен с эмиттером пятого транзистора, базой второго транзистора и выходом первого генератора тока, общая шина которого соединена с первой шиной питания и общей шиной второго генератора тока, выход которого соединен с базой первого транзистора, эмиттером шестого транзистора и первым выводом четвертого резистора, второй вывод которого соединен с базой шестого транзистора и первым выводом пятого резистора, второй вывод которого соединен с коллектором шестого транзистора и эмиттером седьмого транзистора, база которого соединена с коллектором второго транзистора и эмиттером восьмого транзистора, база и коллектор которого соединены с четвертым выводом активного четырехполюсника и выходом третьего генератора тока, общая шина которого соединена с коллекторами четвертого и седьмого транзисторов, второй шиной питания и общей шиной четвертого генератора тока, выход которого соединен с базой и коллектором третьего транзистора и третьим выводом активного четырехполюсника, каждый усилитель напряжения, входящий в состав второго, третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса, содержит первый и второй транзисторы, базы которых являются соответствующими неинвертирующим и инвертирующим входами усилителя напряжения, эмиттер первого транзистора соединен с коллектором третьего транзистора и базой четвертого транзистора, эмиттер которого соединен с выходом первого генератора тока и эмиттером третьего транзистора, база которого соединена с коллектором четвертого транзистора и эмиттером второго транзистора, коллектор которого соединен с базой пятого транзистора и эмиттером шестого транзистора, база и коллектор которого соединены с выходом второго генератора тока и базой седьмого транзистора, эмиттер которого соединен с коллектором первого транзистора, эмиттер пятого транзистора соединен с коллектором восьмого транзистора и первым выводом первого резистора, второй вывод которого соединен с базой восьмого транзистора и первым выводом второго резистора, второй вывод которого соединен с эмиттером восьмого транзистора, выходом третьего генератора тока и первым выходом усилителя напряжения, коллектор пятого транзистора соединен с выходом четвертого генератора тока и эмиттером девятого транзистора, коллектор которого соединен с выходом пятого генератора тока и вторым выходом усилителя напряжения, база девятого транзистора соединена с третьей шиной питания, общие шины первого, третьего и пятого генераторов тока соединены с первой шиной питания, общие шины второго и четвертого генераторов тока соединены с коллектором седьмого транзистора и с второй шиной питания.
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
3
3
3
3
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
1
1
3
3
2
2
2
2
3
3
1
1
Заявляемый генератор хаотических колебаний поясняется фиг. 1, на которой изображена его схема электрическая принципиальная, фиг. 2, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме генератора при его работе, фиг. 3, на которой приведена схема электрическая принципиальная первого нелинейного преобразователя импеданса, фиг. 4, на которой приведена схема электрическая принципиальная второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 5, на которой приведена схема электрическая принципиальная четвертого нелинейного преобразователя импеданса, фиг. 6, на которой приведена схема электрическая принципиальная нелинейного двухполюсника, фиг. 7, на которой приведена схема электрическая принципиальная активного четырехполюсника, фиг. 8, на которой приведена схема электрическая принципиальная усилителя напряжения, фиг. 9, на которой приведена безразмерная передаточная характеристика второго, третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса, фиг. 10, на которой приведен пример проекции безразмерного странного аттрактора на плоскость (х,у) при M=N=М=N=М=N=0, А=1.5, В=6, а=3, b=-12, фиг. 11, иллюстрирующей механизм образования простейшего составного мультиаттактора при М=1, N=M=N=M=N=0, А=1.5, В=6, а=3, b=-12, фиг. 12, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при М=2, N=1, M=N=М=N=0, А=1.5, В=6, а=3, b=-12, фиг. 13, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при М=2, N=1, M=N=М=N=0, А=1.5, В-6, а=3, b=-12, фиг. 14, иллюстрирующей механизм образования составного мультиаттрактора при М=2, N=1, M=N=M=N=0, А=1.5, В=6, а=3, b=-12, фиг. 15, на которой приведен пример проекции мультиаттрактора на плоскость (х,у) при М=2, N=1, М=2, N=1, М=N=0, А=1.5, В=6, а=3, b=-12, фиг. 16, на которой приведен пример проекции мультиаттрактора на плоскость (x,z) при M=2, N=1, М=2, N=1, M=N=0, А=1.5, В=6, а=3, b=-12, фиг. 17, на которой приведен пример проекции мультиаттрактора на плоскость (y,z) при М=2, N=1, M=2, N=1, M=N=0, А=1.5, В=6, а=3, b=-12, фиг. 18, 19 и 20, на которых приведены примеры временных зависимостей безразмерных переменных x, у и z, фиг. 21, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса при их работе, фиг. 22, на которой показано распределение токов и напряжений в схеме четвертого нелинейного преобразователя импеданса при его работе.
Генератор хаотических колебаний содержит первый 1 и второй 2 двухполюсные элементы с емкостным сопротивлением, двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением 3, резистор 4, первый нелинейный преобразователь импеданса 5, первый двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит первый линейный емкостной элемент 6 и второй нелинейный преобразователь импеданса 7, второй двухполюсный элемент с емкостным сопротивлением содержит второй линейный емкостной элемент 8 и третий нелинейный преобразователь импеданса 9, двухполюсный элемент с индуктивным сопротивлением содержит линейный индуктивный элемент 10 и четвертый нелинейный преобразователь импеданса 11, первый нелинейный преобразователь импеданса содержит усилитель напряжения 12, первый 13 и второй 14 активные четырехполюсники, первый 15 и второй 16 резисторы, первый 17 и второй 18 генераторы тока, второй и третий нелинейные преобразователи импеданса содержат усилитель напряжения 19, резистор 20 и нелинейный двухполюсник 21, четвертый нелинейный преобразователь импеданса содержтт усилитель напряжения 22, резистор 23 и нелинейный двухполюсник 24, нелинейный двухполюсник содержит резистор 25, активные четырехполюсники 26, первый 27 и второй 28 генераторы тока, каждый активный четырехполюсник содержит первый 29, второй 30, третий 31, четвертый 32, пятый 33, шестой 34, седьмой 35 и восьмой 36 транзисторы, первый 37, второй 38, третий 39, четвертый 40 и пятый 41 резисторы, первый 42, второй 43, третий 44 и четвертый 45 генераторы тока, каждый усилитель напряжения, входящий в состав второго, третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса, содержит первый 46, второй 47, третий 48, четвертый 49, пятый 50, шестой 51, седьмой 52, восьмой 53 и девятый 54 транзисторы, первый 55 и второй 56 резисторы, первый 57, второй 58, третий 59 четвертый 60 и пятый 61 генераторы тока.
Запишем уравнения, описывающие работу данного генератора (см. фиг. 2):
C1
C2
C1
C2
L
L
где С1 и С2 - емкости первого 6 и второго 8 линейных емкостных элементов; L - индуктивность линейного индуктивного элемента 10; R - сопротивление резистора 4; u и u - переменные напряжения на первом 6 и втором 8 линейных емкостных элементах, соответственно; i и i - переменные токи, протекающие в цепях первого 6 и второго 8 линейных емкостных элементов, соответственно; u и i - переменное напряжение на линейном индуктивном элементе 10 и протекающий через него переменный ток, соответственно.
Учитывая, что  и разрешив уравнения (1) относительно производных  получим следующую систему дифференциальных уравнений:
Вводя безразмерные переменные  и безразмерное время  представим полученные уравнения в безразмерном виде:
1
2
3
где  - безразмерная передаточная характеристика первого нелинейного преобразователя импеданса, H(x) - безразмерная передаточная характеристика второго нелинейного преобразователя импеданса, Н(у) - безразмерная передаточная характеристика третьего нелинейного преобразователя импеданса, Н(z) - безразмерная передаточная характеристика четвертого нелинейного преобразователя импеданса.
j
j
1
2
3
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Изображение функции H(w), где j=1, 2, 3, w=x, w=y, w=z, приведено на фиг. 9. Видно, что она представляет собой кусочно-линейную многосегментную функцию, содержащую M+N+1 сегментов с единичным наклоном и M+N сегментов с наклоном -d. Протяженность по аргументу {х, у или z) сегментов с единичным наклоном равна 2h, протяженность по аргументу сегментов с наклоном -d равна 2h/d. Коэффициент s задает величину смещения функции H(w) относительно начала координат вдоль проходящего через начало координат сегмента с единичным наклоном.
Такая нелинейность вольт-амперных характеристик реактивных элементов схемы генератора необходима для того, чтобы обеспечить условия формирования составного мультиаттрактора.
1
1
2
2
3
3
1
2
3
В случае линейных первого и второго емкостных двухполюсных элементов с емкостным сопротивлением, а также двухполюсного элемента с индуктивным сопротивлением (при M=N=M=N=M=N=0, когда Н(х)=х, Н(у)=у, Н(z)=z) заявленный генератор хаотических колебаний генерирует хаотические колебания, соответствующие уравнениям:
1
1
2
2
3
3
На фиг. 10 показан хаотический аттрактор, существующий в системе (4) при А=1.5, В=6, а=3, b=-12, M=N=M=N=M=N=0.
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
Положим теперь M=1, оставив N=M=N=M=N=0. При этом функция H(x) примет вид, показанный на фиг. 11. В этом случае вид колебаний в генераторе будет зависеть от значений коэффициентов h и s, задающих положение границ между сегментами нелинейной функции H(x).
1
1
1
Пока границы не пересекаются с аттрактором, колебания в генераторе ничем не отличаться от случая линейной функции Н(х)=х, так как движение по координате х происходит на сегменте функции H(x) с единичным наклоном, проходящем через начало координат. Однако при уменьшении h до 11.5, когда максимальные размеры аттрактора по координате х превысят соответствующие размеры этого сегмента, фазовые траектории будут иногда пересекать границу между сегментами и переходить на сегмент с наклоном -d и далее на соседний сегмент с единичным наклоном.
При нахождении рабочей точки в пределах второго линейного сегмента с единичным наклоном, колебания в генераторе происходят в соответствии с уравнениями:
1
1
так как второй линейный сегмент с единичным наклоном смещен относительно первого такого сегмента по оси х на интервал [2h-s].
1
1
Если произвести замену переменных x1=x-2h+s, и учесть, что  получим систему уравнений
1
1
которая ничем не отличается от уравнений (4). Поэтому при движении на соседнем (втором) сегменте с единичным наклоном воспроизводится исходный хаотический аттрактор, смещенный относительно исходного аттрактора на интервал [2h-s] по оси х.
1
Когда траектория вновь пересечет границу между сегментами, движение возвратится на исходный хаотический аттрактор и т.д. В результате образуется составной хаотический аттрактор, объединяющий два одинаковых аттрактора (фиг. 11). Аналогично образуется составной мультиаттрактор при большем числе сегментов в составе функции H(x) (фиг. 12).
Таким же образом происходит образование составных мультиаттракторов, состоящих из копий исходного аттрактора, упорядоченных вдоль осей у и z, - для этого служат нелинейности третьего и четвертого нелинейных преобразователей импеданса (фиг. 13, 14).
j
j
Если одновременно нелинейными являются две функции H(w), описанным образом реализуются «двумерные» составные мультиаттракторы (фиг. 15, 16, 17).
j
j
И, наконец, когда все три функции H(w) содержат несколько сегментов с единичным наклоном, образуется «трехмерный» составной мультиаттрактор.
Значения старшего характеристического показателя Ляпунова при различных значениях коэффициентов уравнений (3), соответствующих рассмотренным выше ситуациям равны:
При А=1.5, а=3, b=-12,
1
1
2
2
3
3
- в случае M=N=M=N=М=N=0, В=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.4…0.58;
1
1
2
2
3
3
1
1
1
- в случае M=N=1, М=N=М=N=0, d=50, h≈1.9, s=0, В=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.48…0.61;
2
2
1
1
3
3
2
2
2
- в случае M=N=1, M=N=M=N=0, d=50, h≈2.1, s=0, B=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.47…0.54;
3
3
1
1
2
2
3
3
3
- в случае М=N=1, M=N=M=N=0, d=50, h≈3.9, s=0, В=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова приблизительно равен 0.46…0.61;
1
1
2
2
3
3
1
2
1
2
1
2
- в случае M=N=M=N=1, М=N=0, d=d=50, h≈1.9, h≈2.1, s=s=0, B=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.55…0.61;
1
1
3
3
2
2
1
3
1
3
1
3
- в случае M=N=М=N=1, M=N=0, d=d=50, h≈1.9, h≈3.9, s=s=0, B=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.50…0.70;
2
2
3
3
1
1
2
3
2
3
2
3
- в случае M=N=М=N=1, M=N=0, d=d=50, h≈2.1, h≈3.9, s=s=0, B=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.48…0.57;
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
- в случае M=N=M=N=M=N=1, d=d=d=50, h≈1.9, h≈2.1, h≈3.9, s=s=s=0, B=5.9…8, старший характеристический показатель Ляпунова равен 0.42…0.69;
j
j
j
j
j
При данных значениях коэффициентов А, В, a, b, M, N, d, h, s, j=1, 2, 3 в заявленном генераторе наблюдаются хаотические колебания, характеризующиеся наличием композиционного странного мультиаттрактора, состоящего из нескольких копий хаотического аттрактора системы (4).
Параметры передаточной характеристики первого нелинейного преобразователя импеданса равны:
где
1
2
1
3
3
1
3
1
R1 - сопротивление резистора 15, R2 - сопротивление первого резистора 37, входящего в состав активного четырехполюсника 13, R3 - сопротивление первого резистора 37, входящего в состав активного четырехполюсника 14, R4 - сопротивление резистора 16, I - значение выходных токов генераторов тока 44 и 45, входящих в состав активного четырехполюсника 14. Значение I выходных токов генераторов тока 17 и 18 равно I+I, где I - значение выходных токов генераторов тока 44 и 45, входящих в состав активного четырехполюсника 13, которое устанавливаются в несколько раз большими тока I: I=(2…10)I.
j
j
j
j
j
Параметры передаточной характеристики второго и третьего нелинейных преобразователей импеданса равны  при условии, что  где j=1 в случае второго и j=2 в случае третьего нелинейных преобразователей импеданса; R5 - сопротивление резистора 20, входящего в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса; R6 - сопротивление первого резистора 37, содержащегося в первом активном четырехполюснике 26, входящем в состав нелинейного двухполюсника 21, содержащегося в j-ом нелинейном преобразователе импеданса; R7 - значение сопротивления резистора 25, входящего в состав нелинейного двухполюсника 21 и сопротивлений первых резисторов 37, содержащихся в остальных, со второго по 1+2Мах(M,N)-й, активных четырехполюсниках 26, входящих в состав нелинейного двухполюсника 21, содержащегося в j-ом нелинейном преобразователе импеданса.
j
j
1j
1j
2j
2j
j
1j
1j
3j
j
j
j
3j
3j
1j
1j
1j
1j
1j
1j
3j
1j
1j
При M=N токи I и J равны значениям выходных токов соответственно третьих 44 и четвертых 45 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 26, и значениям выходных токов соответственно четвертых 45 и третьих 44 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 26, содержащихся в нелинейном двухполюснике 21, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса. При этом значение выходных токов I генераторов тока 27 и 28, содержащихся в нелинейном двухполюснике 21, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса, определяются выражением I=K(I+J)+I, где K=Max(M,N), I - значение выходных токов третьего 44 и четвертого 45 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 21, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса, причем ток I в несколько раз больше тока Max(I,J), где Max(I,J) - наибольший из токов I и J, то есть I=(2…5)Max(I,J).
j
j
j
j
j
j
3j
1j
Случай M<N отличается от случая M=N тем, что выходной ток третьего 44 генератора тока, входящего в состав 1+2(N-M)-го активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 21, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I, а выходной ток третьего 44 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 21, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току I.
j
j
j
j
j
j
3j
1j
Случай N<M отличается от случая M=N тем, что выходной ток четвертого 45 генератора тока, входящего в состав 1+2(M-N)-го активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 21, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса, равен току I, а выходной ток четвертого 45 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 21, входящем в состав j-го нелинейного преобразователя импеданса, устанавливается равным току J.
3
3
Параметры передаточной характеристики четвертого нелинейного преобразователя импеданса равны  при том, что где R8 - сопротивление резистора 23, входящего в состав четвертого нелинейного преобразователя импеданса; R9 - сопротивление первого резистора 37, содержащегося в первом активном четырехполюснике 26, входящем в состав нелинейного двухполюсника 24, R10 - значение входящего в состав нелинейного двухполюсника 24 сопротивления резистора 25 и сопротивлений первых резисторов 37, содержащихся в остальных, со второго по 1+2Max(M,N)-й, активных четырехполюсниках 26, входящих в состав нелинейного двухполюсника 24.
3
3
13
13
2j
23
3
13
13
33
3
3
3
33
33
13,
13
3j
13
13
13
33
13
13
При М=N токи I и J равны значениям выходных токов соответственно четвертых 45 и третьих 44 генераторов тока, входящих в состав нечетных, за исключением первого, активных четырехполюсников 26, и значениям выходных токов соответственно третьих 44 и четвертых 45 генераторов тока, входящих в состав четных активных четырехполюсников 26, содержащихся в нелинейном двухполюснике 24. При этом значение выходных токов I генераторов тока 27 и 28, содержащихся в нелинейном двухполюснике 24, определяются выражением I=K(I+J)+I, где K=Max(M,N), I - значение выходных токов третьего 44 и четвертого 45 генераторов тока, входящих в состав первого активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 24, причем ток I в несколько раз больше тока Max(IJ), где Max(I,J) - наибольший из токов I и J, то есть I=(2…5)Max(I,J).
3
3
3
3
3
3
33
13
Случай М<N отличается от случая М=N тем, что выходной ток третьего 44 генератора тока, входящего в состав 1+2(N-М)-го активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 24, устанавливается равным току I, а выходной ток третьего 44 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 24, устанавливается равным току J.
3
3
3
3
3
3
33
13
Случай N<М отличается от случая М=N тем, что выходной ток четвертого 45 генератора тока, входящего в состав 1+2(М-N)-го активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 24, равен току I, а выходной ток четвертого 45 генератора тока, входящего в состав первого активного четырехполюсника 26, содержащегося в нелинейном двухполюснике 24, устанавливается равным току I.
4
бэ
4
бэ
Сопротивления второго 38, третьего 39, четвертого 40 и пятого 41 резисторов и выходные токи первого 42 и второго 43 генераторов тока, содержащихся в каждом активном четырехполюснике, связаны следующими соотношениями IR12=(1.2…2)U, R11=(1…10)R12, где R11 - значение сопротивлений второго 38 и пятого 41 резисторов, R12 - значение сопротивлений третьего 39 и четвертого 40 резисторов, I - значение выходных токов первого 42 и второго 43 генераторов тока, U - значение базо-эмиттерного напряжения пятого 33 и шестого 34 транзисторов, входящих в состав активного четырехполюсника.
y1
y2
y3
y5
y4
y1
y2
y3
y4
y5
y3
y5
Выходные токи генераторов тока, содержащихся в усилителе напряжения, должны удовлетворять следующим соотношениям I=2I, I+I=I, где I - выходной ток первого 57 генератора тока, I - выходной ток второго 58 генератора тока, I - выходной ток третьего 59 генератора тока, I - выходной ток четвертого 60 генератора тока, I - выходной ток пятого 61 генератора тока. Причем значения токов I и I должны быть в несколько раз больше значения выходных токов первого 27 и второго 28 генераторов тока, содержащихся в нелинейном двухполюснике, входящем в состав нелинейного преобразователя импеданса вместе с данным усилителем напряжения.
y3
бэ
бэ
Сопротивления первого 55 и второго 56 резисторов и выходной ток третьего 59 генератора тока, содержащихся в усилителе напряжения, связаны следующими соотношениями IR14=(1.2…2)U, R13=(1…15)R14, где R13 и R14 - значения сопротивлений первого 55 и второго 56 резисторов, соответственно, U - значение базо-эмиттерного наряжения восьмого 53 транзистора.
Второй и третий нелинейные преобразователи импеданса (фиг. 4) представляют собой преобразователи импеданса, изменяющие импеданс путем преобразования напряжения (U-ПИ). Каждый из них содержит дифференциальный усилитель напряжения с высоким коэффициентом усиления, имеющий дополнительный токовый выход. Усилитель имеет высокие входные сопротивления по обоим входам и низкое выходное сопротивление по первому выходу. Дополнительный (второй) выход представляет собой выход повторителя тока, с высоким выходным сопротивлением. Его назначение - генерировать ток, равный току, протекающему через первый, низкоомный, выход усилителя, так, чтобы переменный ток втекающий в первый выход усилителя, был равен переменному току, вытекающему из второго выхода усилителя (фиг. 21).
C
НЛ
НЛ
C
С учетом того, что разность потенциалов между входами усилителя напряжения и его входные токи пренебрежимо малы, падение напряжений на линейном резисторе 20 равно падению напряжений на линейном емкостном элементе (конденсаторе), следовательно, ток i*, протекающий в этом резисторе, равен U/R*; этот же ток протекает в цепи нелинейного резистора 21, напряжение на котором зависит от величины протекающего через него тока i*, а следовательно от напряжения на конденсаторе u(i*)=u(u/R*).
НЛ
C
НЛ
C
Вследствие пренебрежимо малой разности потенциалов между входами усилителя, напряжение между первым и вторым выходами нелинейного преобразователя импеданса равно падению напряжений на нелинейном резисторе u(u/R*). При этом ток, протекающий через конденсатор, равен сумме тока i*, протекающего в цепи резисторов R* и R, и тока i-i* протекающего в цепи первого и второго выходов усилителя. Поэтому через выход нелинейного преобразователя импеданса протекает ток, равный току, протекающему через линейный емкостной элемент (фиг. 21).
НЛ
C
1
C1
НЛ
C1
2
C2
НЛ
C2
Таким образом, при подключении линейного емкостного элемента к внешней цепи через нелинейный преобразователь импеданса, через выходы преобразователя протекает ток, равный току, протекающему в линейном емкостном элементе, а падение напряжений между выходами преобразователя равно u(u/R*). В случае второго нелинейного преобразователя импеданса u(u)=u(u/R*), в случае третьего нелинейного преобразователя импеданса u(u)=u(u/R*). То есть совокупность конденсатора и нелинейного преобразователя импеданса образует эквивалентный нелинейный емкостной элемент с заданной вольт-амперной характеристикой.
Четвертый нелинейный преобразователь импеданса (фиг. 5) представляет собой преобразователь импеданса, изменяющий импеданс путем преобразования тока (I-ПИ), который работает следующим образом (фиг. 22). Он содержит дифференциальный усилитель напряжения с высоким коэффициентом усиления, имеющий дополнительный токовый выход. Усилитель имеет высокие входные сопротивления по обоим входам и низкое выходное сопротивление по первому выходу. Дополнительный (второй) выход представляет собой выход повторителя тока, с высоким выходным сопротивлением. Его назначение - генерировать ток, равный току, протекающему через первый, низкоомный, выход усилителя, так, чтобы переменный ток втекающий в первый выход усилителя, был равен переменному току, вытекающему из второго выхода усилителя.
НЛ
L
L
НЛ
L
L
L
L
L
С учетом того, что разность потенциалов между входами усилителя напряжения и его входные токи пренебрежимо малы, напряжение между выходными выводами нелинейного преобразователя импеданса равно напряжению на линейном индуктивном элементе (например, катушке индуктивности), кроме этого равны падения напряжений на линейном 23 и нелинейном 24 резисторах. Через нелинейный резистор 24 протекает ток, равный току в цепи линейного индуктивного элемента. В результате на нелинейном резисторе 24 возникает зависящее от величины тока в линейном индуктивном элементе падение напряжений u(i), под действием которого в цепи линейного резистора 19 протекает ток i(i)=u(i)/R*. При этом на первый, низкоомный, выход усилителя поступает ток i-i(i), этот же ток вытекает из второго выхода усилителя и в сумме с током i поступает во внешнюю цепь. То есть, во внешнюю цепь поступает ток i(i), протекающий в цепи линейного резистора 23.
L
L
Таким образом, при подключении линейного индуктивного элемента к внешней цепи через четвертый нелинейный преобразователь импеданса, через выходные выводы преобразователя протекает ток i(i) а между ними падает напряжение u. То есть совокупность линейной индуктивности и четвертого нелинейного преобразователя импеданса образует эквивалентный нелинейный индуктивный элемент с требуемой вольт-амперной характеристикой.
Примером практической реализации заявленного генератора хаотических колебаний может служить схема, имеющая следующие параметры.
0
1
2
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
11
11
21
31
2
2
12
12
22
32
13
13
22
32
y1
y2
y3
y5
y4
Пусть R=500 Ом, С1=0.1 мкФ, R1=200 Ом, R2=100 кОм, I=640 мкА, R7=R7=R10=1 кОм. Тогда в случае M=N=M=N=М=N=1, d=d=d=50, h≈1.9, h≈2.1, h≈3.9, s=s=s=0, при A=1.5, B=6, a=3, b=-12, хаотические колебания, соответствующие этим параметрам уравнений (3), наблюдаются при следующих номиналах колебательной системы генератора: С2≈0.15 мкФ, L1≈625 мкГн, первого нелинейного преобразователя импеданса: R3≈2.3 кОм, R4≈480 Ом, I≈0.8 мА, I≈2.8 мА, I≈2 мА; второго нелинейного преобразователя импеданса: R5≈1.02 кОм, R6≈51 кОм, I=J≈0.61 мА, I≈3.2 мА, I≈2 мА; третьего нелинейного преобразователя импеданса: R5≈1.02 кОм, R6≈51 кОм, I=J≈0.67 мА, I≈3.3 мА, I≈2 мА, четвертого нелинейного преобразователя импеданса: R8≈1.02 кОм, R9≈51 кОм, I=J≈2.5 мА, I≈10 мА, I≈5 мА, элементов цепей смещения постоянного напряжения в нелинейных преобразователях импеданса: R11≈5 кОм, R12≈1 кОм, I4≈2 мА, усилителя напряжения: R13≈10 кОм, R14≈1 кОм, I≈2 мА, I≈1 мА, I=I≈10 мА, I≈20 мА.
Повышенная точность и температурная стабильность нелинейного усилителя тока и нелинейных преобразователей импеданса обусловлена тем, что их передаточные характеристики практически не зависят от параметров транзисторов, вследствие взаимной компенсации эмиттерных сопротивлений транзисторов 29 и 31, а также 30 и 36 в составе активных четырехполюсников, а также благодаря повышению коэффициента усиления и минимизации разности постоянных напряжений на инвертирующем и неинвертирующем входах усилителя напряжения за счет введения транзисторов 46, 47 и 48, 49.
Таким образом, заявленный генератор хаотических колебаний выгодно отличается от прототипа и аналогов, в которых перестройка хаотического сигнала возможна только за счет изменения параметров исходного хаотического аттрактора, тем, что он позволяет реализовать составной хаотический мультиаттрактор, получаемый объединением исходного хаотического аттрактора с одной или более его копиями, вследствие чего его перестройку можно дополнительно осуществлять изменением количества и взаимного расположения входящих в его состав компонентов, благодаря чему заявленный генератор обладает значительно большими возможностями перестройки параметров генерируемого хаотического сигнала.