Определение энергетических параметров электронных состояний в полупроводниковых углеродных нанотрубках

УДК 537.311.322

С. В. Булярский, Л. Н. Вострецова, М. С. Ермаков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ

Аннотация. Исследуется вольт-амперная характеристика полупроводниковой однослойной углеродной нанотрубки. Найдены выражения для концентрации электронов (дырок), а также плотности состояний в зоне проводимости (валентной зоне) для полупроводниковой нанотрубки. Из приведенной скорости рекомбинации определены параметры энергий локальных состояний, участвующих в процессе переноса тока.

Ключевые слова: плотность состояний, полупроводниковая углеродная нанотрубка, концентрация электронов (дырок), энергия локальных состояний, вольт-амперная характеристика, приведенная скорость рекомбинации.

Abstract. The article investigates a current - voltage characteristic of the semiconductor carbon nanotube. Expressions are found for the concentration of electrons (or holes) and the density of states in the conduction band (valence band) for the semiconductor carbon nanotube. The authors determined parameters of the local states energies relative to the Fermi level.

Key words: density of states, semiconductor carbon nanotube, concentration of electrons (or holes), energy of localized states, current - voltage characteristics, reduced rate of recombination.

Введение

Углеродные нанотрубки (УНТ) обладают важными для практического применения свойствами. Например, величина плотности тока в них может

92

превышать 10 А/см [1, 2]. Теоретические и экспериментальные исследования электрических и магнитных свойств нанотрубок обнаруживают ряд эффектов, указывающих на квантовую природу переноса заряда. Анализ зависимости спектра проводимости и вольт-амперных характеристик (ВАХ) нанотрубок от температуры показал, что в УНТ наряду с баллистической проводимостью [3-7] наблюдаются и туннельные [8-12] механизмы переноса, а также прыжковая проводимость [13-15].

В данной работе будет показано, что из обобщенной модели рекомбинации [9] можно получить ступенчатое возрастание тока от напряжения при увеличении напряжения смещения на образце. Приведенная методика анализа ВАХ УНТ апробируется на углеродной однослойной полупроводниковой нанотрубке с хиральностью (16,0), экспериментальные вольт-амперные характеристики которой, приведены в работе [16].

І. Приведенная скорость рекомбинации

Разработанный в работах метод [14, 15] анализа ВАХ позволяет преобразовать монотонную характеристику в кривую с экстремумами. Эти особенности связаны либо с включением в процесс рекомбинации еще одного центра рекомбинации, либо с перезарядкой многозарядного центра, либо подключением иных, указанных выше, механизмов транспорта, также связанных с локальными состояниями в запрещенной зоне полупроводника.

Предложенный способ нахождения параметров локальных состояний заключается в следующем. Вычисляется приведенная скорость рекомбинации, которая в процессах рекомбинации равна обратному времени жизни [14, 15, 17]:

R=

пр

lr

2kBTSd (U )n

exp

exp(—q~——) -1 2kBT

( qU ^ 2kBT

= wN cncpni X

+1

cncp (n(U) + Пі )(p(U) + Pl) + wNt [cn (n(U) + Пі) + cp (p(U) + Pi)] ’

где Іг - ток при прямом смещении напряжения и; ик - контактная разность потенциалов; кв - постоянная Больцмана; Т - температура; д - заряд электрона; - площадь р-п-перехода; ё(и) - ширина области пространственного

заряда; w - вероятность туннелирования; - концентрация глубоких уров-

ней; сп (Ср) - коэффициенты захвата электронов (дырок) локализованными состояниями; п = N с ехр[-(Е - Ес)/ кТ] - параметр, характеризующий скорость эмиссии электронов; р = Nv ехр[-(Е - Еу)/ кТ] - параметр, характеризующий скорость эмиссии дырок; Nc, N - плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне; п - собственная концентрация носителей;

cp

exp

cn (cpPl + wNt) 12kBT

P(U) = Пі

cn

exp

cp (cnn1 + wNt) І 2kBT

значение концентрации носителей заряда в максимуме приведенной скорости рекомбинации.

Если характерный размер образца L больше по сравнению с упругой средней длиной свободного пробега, но меньше по сравнению со средней длиной неупругого рассеивания Lin, то перенос носителей заряда имеет баллистический характер. Баллистический транспорт возможен, если время рекомбинации много больше, чем время переноса. Данное условие выполняется, если Jcncpn( exp | | >> wN . Тогда выражение (1) принимает вид

I 2kT J

R„„ = J AUN (E) N tn (E )cpp1dE = U J AN (E) NdE .

mp

Для случая несимметричного потенциального барьера постоянная А пропорциональна вм>(Е) [14, 15, 17].

Пусть вероятность туннелирования определяется как

Е

ю(Е) = |/(Е)Б(Е)(1 -/(Е))ёЕ ,

где /(Е) - функция плотности состояния, имеющая ступенчатый вид для квантовой проволоки; 0(Е) - коэффициент пропускания для квантовой проволоки. Тогда зависимость вероятности туннелирования от напряжения имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость вероятности туннелирования от напряжения на образце В рамках предложенной модели вероятность туннелирования опреде-

Е

ляется как ^ ~ Т (Е)---, тогда выражение (2) принимает вид

ПЫ

„р - 1, ~ Т1NET (E)dE

Включение нового канала проводимости в процесс токопереноса выражается в ступенчатом возрастании коэффициента туннельной прозрачности потенциального барьера Т(Е).

Вид вольт-амперной характеристики и зависимости приведенной скорости рекомбинации от напряжения с учетом ступенчатой зависимости Т(Е) приведен на рис. 2, из которого видно, что при выполнении указанных выше условий ВАХ определяется изменением коэффициента прозрачности потенциального барьера. Для расчетов нам необходимо знать Ыс, - плотность

состояний в зоне проводимости и валентной зоне, ц - собственную концентрацию носителей. Зависимость приведенной скорости рекомбинации от напряжения приведена на рис. 3, из него видно, что при выполнении условия ди

Jcncpnj exp I-----I >> wN ВАХ определяется зависимостью вероятности

I 2kT j

туннелирования от напряжения, а приведенная скорость рекомбинации уменьшается с ростом напряжения на образце. На зависимости Яр„(и) наблюдаются особенности, связанные с особенностями на зависимости вероятности туннелирования от напряжения. Следовательно, зависимость Яр„(и) можно использовать для определения энергетического положения уровней, участвующих в создании тока в исследуемой структуре.

1П -

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Рис. 2. Вольт-амперная характеристика однослойной полупроводниковой нанотрубки, рассчитанная по формуле

Рис. 3. Зависимость приведенной скорости рекомбинации от напряжения

2. Плотность состояний в энергетических зонах для УНТ

Для полупроводниковых нанотрубок, которые в основном являются нанотрубками типа «zigzag» с хиральностью (j, 0), зависимость энергии от волнового вектора имеет следующий вид [18]:

E(k) = Уо

1 + 4cos -J3ka 1 Г In 1 2 Г ln 1

cos + 4cos

2 V J V j j V j J

где у о - интеграл переноса электрона от узла к соседнему узлу; к - волновой вектор; а = 0,142 нм - расстояние между соседними атомами углерода;

I = 1,2,3... - квантовое число; ] - индекс хиральности.

Углеродную нанотрубку можно рассматривать в виде квантовой проволоки, тогда согласно [18-20] плотность состояний в «наношнуре» в пределах одной зоны определяется формулой

N (E) =

л] 2т

nhd 2^

где т - эффективная масса носителей заряда; к - постоянная планка; Е -энергия; Еху - энергия, соответствующая дну подзоны с соответствующими

х, у; й - диаметр квантовой проволоки.

Концентрацию электронов в зоне проводимости можно найти, интегрируя зависимость концентрации свободных электронов по энергии:

n = J N(E)f (E, T)dE = J

і

2m„

dE

Ec

Ec

nhd2 E - Ec 1

+ exp

A E - Ef л kRT

где mn - эффективная масса электрона; Ec - энергия дна зоны проводимости; Ef - энергия Ферми.

Верхним пределом можно выбрать бесконечность, потому что функция

Ферми - Дирака быстро уменьшается. При условии, что exp

( E - Ef 1 V kBT

>> 1,

получаем

V 8m* kBT n =' 2 exp si nhd

( Ec - Ef 1 kBT

где эффективная плотность состояний в зоны проводимости равна

\lSm*nkBT

Nc = г 2 •

yjnhd

Аналогично для дырок.

oo

3. Разложение приведенной скорости рекомбинации

Для анализа полупроводниковой УНТ были взяты данные работы [16]. В этой работе было найдено значение тока насыщения, которое позволяет оценить ширину запрещенной зоны EG = 0,6...0,8 эВ. Поскольку в работе

[16] изучалась одностенная полупроводниковая УНТ типа «zigzag» с хиральностью (16,0), то можно оценить диаметр нанотрубки:

Z3 ’ /.-2 , •• , У2

2З -З

N p = 5,961x10 м . Зная эти величины, можно найти концентрацию соб-

й йоЛ// + у + 7 ,

п

где ёо — 0,142 нм - расстояние между атомами углерода в нанотрубке [18, 20], г, 7 - индексы хиральности. Получаем диаметр УНТ (г = 16, 7 = 0): й — 1,253 нм. Величина эффективной массы носителей заряда была взята из

* *

работы [19]: тп — 0,004те и т* — 0,004те, где те - масса электрона. По

формулам (6) и (7) были вычислены концентрации электронов и дырок и эффективная плотность состояний в соответствующих зонах (с учетом

т* — т* ): п — 1,807х1018 м_3, И£ — 5,961 х 1023 м_3, р —1,807X1018 м_3,

— 1 961X10 м 3

Р

ственных носителей в полупроводниковой нанотрубке с хиральностью (16, 0):

I— 18 _3

П — V пр —1,807 х10 м . С использованием этих данных вольт-амперная характеристика (из работы [16]) была перестроена в кривую Лпр (и) (рис. 4). В работах [14, 15, 17] показано, что если сделать замену

ци

х — ехр(-----) , то (1) можно представить в виде

2квТ

к — 2 ЬХ .

х + Ьх + й

С учетом [14, 15, 17] энергию локального состояния можно пересчитать относительно уровня Ферми:

Е, = kBT ln

1 f ь -Vb^87)hl

Nc

при этом коэффициент захвата на локальное состояние (с учетом сп — ср — с) можно вычислить по формуле

с = ь -VЬ2 - Ы* 1.

\ )

Реализуя данную методику, экспериментальную зависимость приведенной скорости рекомбинации, найденную по формуле (1), разложили на три составляющие и определили параметры энергии локальных состояний относительно уровня Ферми, которые обусловливают появление упомянутых

особенностей: Е} = 0,09 эВ , Е2 = 0,20 эВ , Е} = 0,32 эВ.

Рис. 4. Зависимость приведенной скорости рекомбинации и разложение на элементарные составляющие: 1 - экспериментальная кривая (по данным [16]);

2 - теоретическая кривая (сумма элементарных кривых); 3 - теоретический пик, построенный по (9); 3а - с энергией 0,09 эВ; 3b - с энергией 0,20 эВ;

3с - с энергией 0,32 эВ

Расчет проводился в модели баллистического переноса без учета механизмов рассеяния. Экспериментальные результаты по исследованию процессов тепловыделения и зависимости тока УНТ от температуры не укладываются в модель баллистического переноса. Очевидно, что баллистический механизм не является единственным. Наличие энергетической щели, а также локализованных состояний, вызванных дефектами, должно привести к прыжковым и генерационно-рекомбинационным механизмам переноса носителей заряда. Учет механизмов рассеяния, введение новых, отличных от баллистического, механизмов переноса приводит к размытию ступенек (с ростом температуры) на ВАХ и приведенной скорости рекомбинации.

Заключение

В работе найдены выражения для плотности состояний и концентрации

* *

носителей заряда в квантовом шнуре (при условии mn = m ), с использованием которых были найдены значения плотности состояний и концентрация носителей заряда в полупроводниковой углеродной нанотрубке хиральности (16,0); предложен способ для нахождения параметров локальных состояний в полупроводниковых УНТ из приведенной скорости рекомбинации.

Список литературы

1. Saito, R. Physical properties of Carbon Nanotubes / R. Saito, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus. - L. : Imperial College Press, 1999.

2. Елецкий, Ф. В. Углеродные нанотрубки / Ф. В. Елецкий // Успехи физических наук. - 1997. - Т. 167, № 9. - C. 945-972.

3. Poncharal, Ph. Room temperature ballistic conduction in carbon nanotubes / Ph. Poncharal, C. Berger, Yi Yan et al. // J. of Physical Chemistry. - 2002. - V. B. 106. -P. 121004-121029.

4. Wrobel, J. Quantum e_ects in linear and non-linear transport of T-shaped ballistic junction / J. Wrobel, P. Zagrajek, M. Czapkiewicz et а! - URL: arXiv:0912.2004v1 [cond-mat.mes-hall] 10 Dec 2009.

5. Ismail, R. Analysis and simulation of carriers statistic for semiconducting single wall carbon nanotube / Razali Ismail et al. // Materials Research Innovations. - 2009. -V. 13 (3). - P. 211-213.

6. Berger, C. Multiwalled carbon nanotubes are ballistic conductors at room temperature / C. Berger, Y. Yi, Z. L. Wang, W. A. de Heer // Appl. Phys. - 2002. - V. A 74. -P. 363-365.

7. Chiu, H. Y. Ballistic Phonon Thermal Transport in Multiwalled Carbon Nanotubes / H. Y. Chiu, V. V. Deshpande, H. W.Ch. Postma // Phys. Rew. Letters. - 2005. - V. 95. -P.226101-226104.

8. Захарченко, А. А. Электронная структура и кондактанс однослойных углеродных нанотрубок структурного типа «ARMCHAIR» в приближении свободных электронов / А. А. Захарченко, Б. К. Петров, С. И. Курганский, А. Ф. Клинских // Вестник ВГУ. - 2008. - № 1. - С. 29-34.

9. Dayen, J. F. Wegrowe Conductance in multiwall carbon nanotubes and semiconductor nanowires: evidenceof a universal tunneling barrier» / J. F. Dayen, T. L. Wade, M. Konczykowski. - URL: arXiv:cond-mat/0412316v1 [cond-mat.str-el] 13 Dec 2004.

10. Weiss, С. Photon-assisted tunneling in optical lattices:Ballistic transport of interacting boson pairs / C. Weiss, H.-P. Breuer. - URL: arXiv:0812.0684v2 [cond-mat.other.

11. Thorwart, M. Correlated tunneling in intramolecular carbon nanotube quantum dots / M. Thorwart, G. Grifoni Cuniberti et al. - URL: arXiv:cond-mat/0210511v1 [cond-mat.str-el] 23 Oct 2002.

12. Krive, V. The Influence of Electro-Mechanical Effects on Resonant Electron Tunneling Through Small Carbon Nano-Peapods / V. Krive, R. Ferone, R. I. Shekhter et al. -URL: arXiv:cond-mat/0702153v2 [cond-mat.mes-hall] 14 Jun 2008.

13. Grujicic, M. A computational analysis of the percolationthreshold and the electrical conductivity of carbon nanotubes filled polymeric materials / M. Grujicic, G. Gao, W. Roy // J. of Materials Science. - 2004. - V. 39. - P. 4441-4449.

14. Булярский, С. В. Обобщенная модель рекомбинации в неоднородных полупроводниковых структурах / С. В. Булярский, Н. С. Грушко // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2000. - Т. 118, № 11. - С. 1222-1229.

15. Булярский, С. В. Туннельная рекомбинация в наноразупорядоченных полупроводниковых структурах / С. В. Булярский, Ю. В. Рудь, Л. Н. Вострецова и др. // ФТП. - 2009. - Т. 43, № 4. - С. 460-466.

16. Ji Ung Lee. Photovoltaic effect in ideal carbon nanotube diodes / Ji Ung Lee // Appl. Phys. Lett. - 2005. - V. 87, 073101. - P. 1-3.

17. Грушко, Н. С. Процессы туннельной рекомбинации в пространственно неоднородных структурах / Н. С. Грушко, Е. А. Логинова, Л. Н. Потанахина // Физика твердого тела. - 2006. - Т. 40, № 5. - С. 584-588.

18. Драгунов, В. П. Основы наноэлектроники : учеб. пособие / В. П. Драгунов, И. Г. Неизвестный, В. А. Гридчин. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2006. - 332 с.

19. Zheng Y ang. Introduction to carbon nanotubes (CNTs) & CNT-Based nanoelectronics / Zheng Yang // Quantum Structure Laboratory, Department of electrical engineering. - University of California, Riverside. - 2005. - mar. 4.

20. Харрис, П. Углеродные нанотрубки и родственные структуры. Новые материалы XXI века / П. Харрис. - М. : Техносфера, 2003. - 336 с.

Булярский Сергей Викторович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой инженерной физики, Ульяновский государственный университет

E-mail: bsv@ulsu.ru

Вострецова Любовь Николаевна

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра инженерной физики, Ульяновский государственный университет

E-mail: kapiton04@yandex.ru

Ермаков Михаил Сергеевич аспирант, Ульяновский государственный университет

E-mail: ermakov@pisem.net

Bulyarsky Sergey Viktorovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of engineering physics,

Ulyanovsk State University

Vostretsova Lyubov Nikolaevna Candidate of physical and mathematical sciences, senior lecturer, sub-department of engineering physics, Ulyanovsk State University

Ermakov Mikhail Sergeevich

Postgraduate student, Ulyanovsk State University

УДК 537.311.322 Булярский, С. В.

Определение энергетических параметров электронных состояний в полупроводниковых углеродных нанотрубках I С. В. Булярский, Л. Н. Вострецова, М. С. Ермаков II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 (24). -С.205-213.