Алгоритм и программа расчета напряженно-деформированного состояния песчаных грунтов при циклическом нагружении

УДК 624.131

АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЕСЧАНЫХ ГРУНТОВ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

В.А. Миронов, д.т.н., профессор; О.Е. Софьин, к.т.н., доцент

На основе современной упруго-пластической модели Дафалиаса-Манзари, неявного метода Эйлера и итерационной схемы Ньютона-Рафсона разработана численная модель расчета деформаций несвязного грунта. Выполнена численная реализация разработанной модели на ЭВМ. Проведено моделирование поведения песчаных грунтов при монотонном и циклическом нагружениях. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными, полученными для песка различной плотности, показало, что численная модель достоверно описывает поведение грунта как при монотонном, так и при циклическом нагружении. Результаты теоретического прогноза напряженно-деформированного состояния песчаных грунтов при монотонном и циклическом нагружении показали эффективность вычислительного алгоритма и позволяют рекомендовать его для конечно-элементных расчетов при решении геотехнических задач.

Ключевые слова: несвязные грунты, упруго-пластичность, моделирование, циклическое нагружение.

THE ALGORITHM AND PROGRAM FOR CALCULATING THE SANDS STRESS-STRAIN STATE

UNDER CYCLIC LOADING Mironov V.A., Ph.D., professor; Sofin O.E., Ph.D., associate professor

Abstract. A numerical model of non-cohesive soil deformation calculating is developed On the basis of modern elastic-plastic Dafalias-Manzari model, implicit Euler method and the iterative Newton-Raphson scheme. The numerical implementation of the model on the computer is executed. The simulation of the sand behavior at a monotonic and cyclic loading is carried out. The calculation data and experimental information for sand with various compactness were compared. The computational model definitely describes sand behavior with monotonic and cyclic loading. The results of the theoretical prediction of the sands stress-strain state under monotonic and cyclic loading show the efficiency of the computational algorithm. They allow recommending this prediction for finite-element analysis for geotechnical problems solving.

Keywords: non-cohesive soils, elasto-plasticity, modeling, cyclic loading.

Моделирование напряженно-деформированного состояния грунтов при циклической нагрузке является одной из главных областей исследования в гражданском строительстве. Решение геотехнических задач все чаще и чаще выполняется с использованием численных методов, в частности, метода конечных элементов. Выбор адекватной упруго-пластической теории здесь является определяющим.

Упруго-пластические модели, как правило, формулируются в скоростях, используя законы теории пластического течения. Численное интегрирование этих моделей имеет решающее значение для успешного моделирования геотехнических задач. Схема, показывающая место подпрограммы интегрирования упруго-пластической модели неявным методом Эйлера внутри программы метода конечных элементов, приведена на рисунке 1. Основной целью подпрограммы является вычисление приращений напряжений и параметров упрочнений грунта Да и Дq. Здесь используются обозначения ДП=Пя+1-Пя, где п+1 и п соответствуют значениям функции, вычисленным в моменты времени tn+1 и tn. Кроме того, подпрограмма вычисляет соответствующие касательные модули грунта Ср =дап+1 /дгп+1 , которые будут применяться в последующих итерациях. При ис-

пользовании касательных модулей нелинейный конечно-элементный алгоритм имеет асимптотическую скорость сходимости, что является одним из ключевых элементов для эффективного геотехнического анализа.

Рис. 1. Блок-схема конечно-элементного алгоритма

Для моделирования механического поведения песчаных грунтов наиболее популярной является двухповерхностная модель Дафалиаса и Манзари [1]. Она разработана на основе концепции критических состояний и позволяет описать наблюдаемые в опыте эффекты упрочнения и дилатансии плотных и рыхлых песков.

Согласно модели Дафалиаса-Манзари коэффициент пористости в критическом состоянии грунта определяется уравнением

ec ec,ref hc

' Р ^

где ec, ref - начальное значе-

ние критического коэффициента пористости; р -давление; pat - атмосферное давление; Хс, Е, - константы грунта.

Скорость полной деформации упруго-пластического грунта складывается из упругой и

пластической частей:

где £, £ , £ -

соответственно тензоры скоростей полной, упругой и пластической деформации.

Упругие свойства грунта описываются соотв и

ношениями Гука: ё" = —  ;У" = — где ёе ,ёе -

2 С У К "

тензор-девиатор скоростей деформации и скорость объемной деформации; 8, р - тензор-девиатор скоростей напряжений и скорость среднего напряжения; О, К - модули сдвига и объемной деформации.

Модули О и К определяются выражениями:

G = G

ГРЛ

2 (1 + v) K = —i-G,

3 (1"

где О0 - константа грунта; V - коэффициент Пуассона.

Поверхность текучести задается в форме кону-

са вращения с уравнением f = \|Л|| -J^ тР = 0'

где \\Л\\ = у1(ь - ра): (в - ра) ; т - угловой коэффициент, принятый константой грунта; а - безразмерный тензор-девиатор, определяющий положение оси конуса в пространстве главных напряжений.

Принимается неассоциированный закон пластического течения. Нормаль к поверхности текучести Ь = д/ / да определяется выражением

(

а

¡2 \ : n + J—т 1, V 3 ,

s - ра

где n = ——г— - девиа-

ч /

торная часть тензора, определяющего направление нормали к поверхности текучести в я-плоскости; 1 = й (с(  с; - тензор второго ранга; <\, - символ Кронекера.

Для учета влияния третьего инварианта тензора напряженного состояния используется функция

g в, с

2c

где c=Me/Mc -

1 + с - 1-е совЗВ отношение угловых коэффициентов при растяжении и сжатии; 6 - угол вида напряженного состояния Лоде.

Линия, параллельная нормали п, пересекает предельную, критическую и дилатансионную поверхности в трех точках (рис. 2) с соответствующими тензорами кинематического упрочнения

грунта: а° = п, а = (Ь с, ^),

где аа = М(6, с) ехр (±п"цг)-т; п" -константы грунта; у = е - ес - параметр упрочнения.

ri=si/p

m' а0 /

поверхность текучести предельная поверхность критическая поверхность дилатансионная поверхность

Г2=«2/р

/Гз=«з/р

Рис. 2. Схематическое представление модели Дафалиаса-Манзари в ж-плоскости

Скорости пластической деформации определяются тензором

¿р = Хт = Х\ Вп-С\ n^- —1 | + -Z)1

I1

-g-

3 1 - с

где В = 1 +--^С0836; С = 3

2 с

Коэффициент дилатансии грунта

°=А'(<-аУп=АЩ .

Изменение А^ зависит от изменения тензора структурной дилатансии z:

А = А> (1 + {г : п)), где А0 - константа грунта.

Закон кинематического упрочнения принима-

-А

ется в виде а = X

с функцией

h =

b

где ain - начальные значения тен-

(а - ап ) : п

зора а при инициировании нового процесса на-

гружения; b0 = G0h0

f p

где h0, ch -

константы грунта.

Закон изменения тензора структурной дила-

тансии записывается в виде г = —/х\ (-/У) х

х (^шахп + 2), где ег, %тах - константы грунта.

Численная реализация упруго-пластической модели была выполнена на основе неявного метода Эйлера и итерационной схемы Ньютона-Рафсо-на [2, 3].

Алгоритм получения нелинейного решения заключается в следующем:

1. Задаются начальные значения напряжений и

параметров упрочнения: к = 0, о(0) = ов + До,

о* = о(0), а(0) = а, г(0)= ^, ДХ(0) = 0.

2. Проверяются значения функции текучести и невязок: С<к)= /(о(к)), /(+> = /(о(к),а(к)),

С"1 ок -а'г + ДХтк

R'

к «л k — к

а -а„-ДХ а

к д л к — к

г -z-ДХ z

1А11 Р

Если /(к) < То1х и ЦяЦ < То12, то итерации заканчиваются, иначе - переход к п. 3.

3. Вычисляются приращения напряжений и параметров упрочнения:

дя

J

5 (о1

ДХ

Т| .,ОИ I + ДХ- 5о л1 5m ДХ- 5а 5m ДХ- 5z m

л1 5а -ДХ— 5о т до 5а I - ДХ — 5а 0 -а

л1 5z -ДХ — 5о Л1 5z -ДХ — 5а I - ДХ — 5z - z

5f f 0 0

5о 5а

I = i(S,k+6,S.k)e,. eу ek e,

k

Д(о(k), а(k), z(k), ДХ(k)) = -J(k)-iR

4. Вычисляются новые значения напряжений и

т( k+i)= k )+До( k),

параметров упрочнения: о

а

= а( k) + Да

= z( k ^Az'

ДХ( к+1)=ДХ( к >+Д2Х( к >.

Далее изменяется номер итерации к-^к+1 и выполняется переход к п. 2.

В каждой итерации к уравнения невязки линеаризуются, чтобы найти более близкое решение

с /к+1 = 0. При последующей итерации к+1 значения св+1, qв+1 находятся путем перехода от /в+1 к

У,к+1 /-^к в+1 с использованием упругих модулей Св+1, законов пластического течения и упрочнения. Так как поверхность текучести выпуклая, применяемая итерационная схема (рис. 3) гарантирует сходимость решения.

На основе разработанного алгоритма составлена вычислительная программа для ЭВМ на языке Visual Fortran. Программа апробирована на результатах известных опытов по трехосному сжатию изотропно-уплотненных образцов песчаного грунта в стабилометре [4].

Характеристики грунта, при которых выполнялись расчеты, представлены в таблице, где они разделены на группы в зависимости от описываемых ими свойств [5].

Константы модели

Свойство Характеристики

Упругость Go V 125 0,05

Критическое состояние M 1,25

c 0,712

ec,ref 0,934

Х 0,019

£ 0,7

Дилатансия nd 2,1

Ao 0,704

nb 1,25

Кинематическое упрочнение ho 7,05

Ch 0,968

Структурная дилатансия zmax 2,0

Cz 600

На рисунке 4 приведены расчетные кривые, которые сопоставлены с экспериментальными данными, полученными для песка различной

а)

q, кПа

б) q, кПа

5 10 15 20 25 30

5 10 15 20 25 30

в) q, кПа

г)

q, кПа

Г'' \

V- \

\ \

1

0,8 0,35 0,9 0,95 1,0

0,8 0,35 0,9 0,95 1,0

Рис. 4. Сравнение экспериментальных данных с результатами расчета ф^ЗОО кПа; e0=0,810, 0,886, 0,960)

плотности при монотонном нагружении с последующей разгрузкой. Как видим, результаты расчета достоверно описывают поведение грунта.

На рисунке 5 представлен теоретический прогноз деформации плотного песка при циклическом нагружении с постоянным p. Очевидно, что поведение со значительным разрыхлением будет наблюдаться и для реальных образцов плотного грунта.

Полученные результаты теоретического прогноза напряженно-деформированного состояния песчаных грунтов при монотонном и циклическом нагружении показали эффективность вычислительного алгоритма и позволяют рекомендовать его для конечно-элементных расчетов в геотехническом проектировании.

Литература

1. Dafalias Y.F., Manzari M.T., Journ. of Engineering Mechanics, 2004, no. 130 (6), pp. 622-634.

2. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method, Solid Mechanics, Butterworth-Heinemann, 2000, Vol. 24, 59 p.

3. Миронов В.А., Софьин О.Е. Упруговязкопластическое деформирование анизотропных оснований // Вестн. МГСУ, 2011. № 7. С. 570-576.

4. Verdugo R., Ishihara K., Soils and Foundations, 1996, no. 36 (2), pp. 81-91.

5. Taiebat M., Jeremic B., Dafalias Y.F., Kaynia A.M., Cheng Z., Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2010, no. 30, pp. 236-257.

References

1. Dafalias Y.F., Manzari M.T., Journ. of Engineering Mechanics, 2004, no. 130 (6), pp. 622-634.

2. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method, Solid Mechanics, Butterworth-Heinemann, Vol. 24, 2000, 459 p.

3. Mironov V.A., Sofin O.E., Vestnik MGSU [Proc. of Moscow State Construction Univ.], no. 7, 2011, pp. 570-576.

4. Verdugo R., Ishihara K., The steady state of sandy soils. Soils and Foundations, 1996, no. 36(2), pp. 81-91.

5. Taiebat M., Jeremic B., Dafalias Y.F., Kaynia A.M., Cheng Z., Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2010, no. 30, pp. 236-257.

УДК 004.932+681.5

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС СИСТЕМЫ ТЕХНИЧЕСКОГО ЗРЕНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ ПРОЦЕССА ОБЖИГА

Д.А. Юдин,, аспирант; В.З. Магергут, д.т.н., профессор

В статье рассматривается программный комплекс системы технического зрения для оценки состояния процесса обжига во вращающихся цементных печах. ПО реализует специально разработанный способ распознавания изображений процесса обжига, позволяющий в режиме реального времени автоматически оценивать состояние процесса обжига по трем параметрам: запыленность, состояние материала и состояние факела. Способ распознавания включает в себя предобработку изображения с построением матрицы текстурных характеристик для областей изображения, сегментацию областей изображения с построением самоорганизующейся карты, формирование на найденных сег-