Формула Хана - Банаха - Канторовича для решеточного субдифференциала

Владикавказский математический журнал Январь март, 2002, Том 4, Выпуск 1

УДК 517.98

ФОРМУЛА ХАНА — БАНАХА — КАНТОРОВИЧА ДЛЯ РЕШЕТОЧНОГО СУБДИФФЕРЕНЦИАЛА

В. А. Раднаев

Исследуется решеточный субдифференциал дцР для сублинейного оператора Р, являющийся подмножеством дР, состоящим из решеточных гомоморфизмов. На этом пути выводится формула Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала, развивающая известную теорему о мажорированном продолжении решеточного гомоморфизма.

Одной из наиболее важных задач субдифференциального исчисления является анализ классической двойственности Минковского, т. е. отображения, сопоставляющего сублинейному оператору его опорное множество или, что то же самое, субдифференциал (в нуле). При этом основополагающую роль играют вопросы геометрического строения субдифференциала. Возникающие здесь задачи прежде всего связаны с описанием множества крайних точек субдифференциала, изучением способов восстановления субдифференциала по крайним точкам, см. [1].

Хорошо известно, что решеточные гомоморфизмы часто возникают как крайние точки субдифференциалов, и наоборот, крайние точки некоторых субдифференциалов являются решеточными гомоморфизмами (см. [2-4]). Наш метод изучения данной взаимосвязи для субдифференциала дР сублинейного оператора Р заключается в исследовании решеточного субдифференциала днР, являющегося подмножеством дР, состоящим из решеточных гомоморфизмов. Изучение данного явления ограничено классом так называемых минорируемых сублинейных операторов, т. е. сублинейных операторов, имеющих непустой решеточный суб дифференциал. Здесь возникает важное понятие точной миноранты М(Р) сублинейного оператора, сохраняющего конечные верхние грани, к которому в основном сводится изучение решеточного субдифференциала, и исследование возникаюших взаимосвязей приводит к соотношению между формулой Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала дцР и формулой замены переменной в точной миноранте М{Р). На этом пути устанавливаются характеризации решеточных гомоморфизмов, лежащих в субдифференциале сублинейного оператора, сохраняющего конечные верхние грани, в терминах его крайних точек, развивающие некоторые результаты из [4] и [5]. В качестве вспомогательного результата для произвольного положительного ортоморфизма а и сублинейного оператора Р выведена формула СЬ(аР) = аСЬ(Р), связывающая между собой крайние точки субдифференциалов д(а,Р) и дР, полученная как ответ на один вопрос, поставленный А. Г. Кусраевым и С. С. Кутателадзе в работе [6]. Из полученных результатов мы выводим основной результат настоящей работы — формулу Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала. Важным частным случаем полученной формулы является известная теорема о мажорированном продолжении решеточного гомоморфизма, установленная впервые Баскесом и ван Ружем в [5].

© 2002 Раднаев В. А.

Перейдем к точным формулировкам. Всюду ниже X — произвольная векторная решетка, Е — К-пространство. Все векторные решетки рассматриваются над полем Ж вещественных чисел. Через Sbl(X, Е) обозначается множество сублинейных операторов, действующих из X в Е. Опорным множеством или субдифференциалом (в нуле) дР сублинейного оператора Р €Е Sbl(X, Е) называют совокупность всех линейных операторов из X в Е, мажорируемых Р или опорных к Р, т. е.

дР := {Т е L(X, Е) : (\/х € Х)Тх < Р(х)},

где L(X, Е) — пространство линейных операторов из X в Е. Символом Ch(P) обозначается совокупность всех крайних (или экстремальных) точек субдифференциала дР. Отображение Р : X ^ Е называют возрастающим (сохраняющим конечные верхние

грани), если для любых элементов Х\,Х2 6 X из х\ ^ ж2 следует, что Р{х\) Р(ж2) (со-

ответственно Р{х 1 V ж2) = Р{хi) V Р{хi)). Линейный оператор, действующий между векторными решетками и сохраняющий конечные верхние грани, называется решеточным гомоморфизмом. К-пространство регулярных операторов, действующих из векторной решетки X в К-пространство Е обозначаем символом Lr(X,E). Множество всех решеточных гомоморфизмов, действующих из X в Е, обозначаем символом Hom(X, Е). Будем говорить, что операторы Ti,T2 6 Lr(x,E) являются сильно дизъюнктным,и, если обычная дизъюнктность равносильна дизъюнктности их образов, т. е. |Ti|±|T2| im(Ti)±im(T2). Под сильной дизъюнктностью семейства операторов будем понимать их попарную сильную дизъюнктность.

Определение 1. Для сублинейного оператора /’ : X —г !•'. множество <Э#Р := дР П Hom(X, Е) называем решеточным субдифференциалом.

Определение 2. Сублинейный оператор Q : X ^ Е называется минорантой Р, если Q ^ Р поточечно и Q сохраняет конечные верхние грани. При этом сублинейный оператор Р будем называть минорируемым.

Ясно, что решеточные гомоморфизмы из <Э#Р являются минорантами Р. Отметим, что в силу [7, предложение 3.1 (2)] сублинейный оператор Р является минорируемым в том и только в том случае, когда решеточный суб дифференциал 9#Р непуст.

Определение 3. Пусть Р : X ^ Е — минорируемый сублинейный оператор. Тогда миноранту Q отображения Р назовем точной, если выполнено соотношение днР = 8hQ-

В работе [7, предложение 3.1] доказывается, что каждый минорируемый сублинейный оператор обладает единственной точной минорантой, которую обозначим через М(Р). Формулы точных минорант для широких классов сублинейных операторов установлены в [7]. Минорируемыми сублинейными операторами, в частности, являются все возрастающие сублинейные операторы (см. [7, предложение 4.1]).

Предложение 4. Пусть P,Q — сублинейные операторы, сохраняющие конечные верхние грани. Тогда Р = Q в том и только в том случае, когда 9#Р = &hQ-

<\ Непосредственно вытекает из того, что отображения Р и Q являются поточечными верхними огибающими операторов из соответствующих решеточных субдифференциалов (см. [7, предложение 3.1]). >

Известно, что субдифференциалы являются операторно выпуклыми множествами. Решеточные субдифференциалы обладают аналогичным свойством, но в «ограниченном смысле», что делает их похожими на множества крайних точек обычных

субдифференциалов. Пусть Рг(£7) обозначает полную булеву алгебру порядковых проекторов в Е.

Предложение 5. Пусть Р : X ^ Е — минорируемый сублинейный оператор. Тогда решеточный субдифференциал дцР замкнут относительно перемешиваний, т. е. для любого семейства решеточных гомоморфизмов : X ^ Е таких, что Щ £

дР(£ £ Н), и всякого разбиения единицы в булевой алгебре Pr(Е) существует

Т := o-J2^s4T(. (относительно о-сходимости в Lr(X, Е)), являющийся решеточным гомоморфизмом, лежащим в дР.

< В силу сильной операторной выпуклости субдифференциала

существует оператор Т £ дР, определенный как поточечная o-сумма семейства операторов {ж^Щ : С ^ т- е- Тх := о- (ж £ X). Так как Щ положительны, то

применив [8, V.III. 2.4.], выводим, что Т := <>- Y^í( - относительно о-сходимости в Lr(X,E). Наконец, заметим, что семейство операторов {ж^Щ : £ £ является сильно дизъюнктным, порядково ограниченным и состоит из решеточных гомоморфизмов. Прямой проверкой несложно убедиться, что Т также будет решеточным гомоморфизмом. >

В последующем нам понадобится

Лемма 6. Пусть для некоторого сублинейного оператора Р : X —г ! . операторов T,S £ L{X,E), проектора тг £ Pr(Е) выполняется Т £ СЬ(тгоР), S £ Ch(7rrfoP). Тогда T + S (ЕСЦР).

< Пусть Т + S = А, Г, + А2Г2. где Л,.Л2 £ Я. . Л, + Л2 1 и Г,. Г2 £ ЭР. Так как Т ^ ж о Р, S ^ жа о Р, то ж о Т = Т, жа о S = S. Отсюда ж о S = жа о Т = 0. Стало быть, ж о Т = ж о (Т + S) = X\iг о U\ + Л27г о С/г, что по условию леммы влечет Т ттоГ, коГ.,.3 тг''о Г, к'1 о Г.,. Окончательно получаем Т + * II 2. что и требовалось доказать. >

Вопрос о вычислении множества крайних точек составного сублинейного оператора по множествам крайних точек субдифференциалов, составляющих оператор, был поставлен в статье [6]. Как один из ответов на этот вопрос, установим следующий результат.

Теорема 7. Пусть Р : X ^ Е — сублинейный оператор, a — положительный ортоморфизм на Е. Тогда Ch(a о Р) = a о Ch(P).

< Докажем сначала включение Ch(a о Р) Cao Ch(P). Возьмем Т £ Ch(a о Р). Введем следующие обозначения: (3 := a-1 : im(a) ^ (ker(a))rf, ж — проектор па компоненту (ker(a))rf. Ясно, что ж = (3 о а. Покажем, что (3 о Т £ Ch(7r о Р).

Пусть (ЗоТ = AiTi+A2T2, где Аь Л2 £ Ж+, Ai+A2 = 1 шТъТ2 £ <){к»1>). Поскольку д(ж о Р) = ж о дР (см. [1, 1.4.14]), то Ti = ж о Si (i = 1, 2) для некоторых Si, ¿>2 £ дР. Так как Т ^ а о Р и ж о а о Si = а о Si (¿ = 1,2), то Т = а о (3 оТ = Ai« о S\ + A2a о 52. Отсюда заключаем, что Т = ао S\ = a о 52, а значит, :1 о Г 1\ =Т2.

Теперь возьмем произвольный Sq £ Ch(7rrf о Р). Положим S := Sq + (3 о Т. Тогда S £ Ch(P) в силу леммы 6, и кроме того, а о S = Т.

Обратно, пусть Т = aoS для некоторого S £ Ch(P). Покажем, что Т £ Ch(aoP). Пусть Т = ао S = А, Г, + А2Г2. где А,. А2£Я'.А,+А2 1 и Г,. Г2 £ д(а о />). Из

предложения 1 вытекает, что существуют операторы S\,S2 £ дР такие, что Ui = а о Si (i = 1,2). Тогда справедливо представление S = Ai(ao5i+arfo(S') + A2(ao(S'2+arfo,S').

Заметим, что операторы ао^+в^об1 иво52 + а(|о5 входят в ЭР. Согласно условию, Б = а о Бг + ай о Б = а о + ай о Б. Отсюда сразу следует Т = а о Б = 11\ = 1/2- >

Следующая теорема проясняет связь между решеточным субдифференциалом и возникающими крайними точками.

Теорема 8. Пусть Р : X ^ Е — сублинейный оператор, сохраняющий конечные верхние грани. Для оператора Т €Е дР следующие условия эквивалентны:

(1) ] ' —решеточный гомоморфизм, т. е. Т €Е дцР;

(2) существует ортоморфизм а € [0, 1е] такой, что Т € СЬ(а о Р);

(3) найдутся а €Е [0, 1е] и Б €Е СЬ(Р), для которых Т = а о Б.

< (1) => (2): Рассмотрим следующее отображение из <Э#Р в [0,1е]-

ЦТ) = т£{а е [0,1Е] : Т е д(а о Р)} (Т е днР).

Ясно, что ЦТ) € [0, /в]иТе д(ЦТ) о Р). Кроме того, используя [1, теоремы 2.5.7 (3), 2.5.8 (1)], несложно проверить, что выполняются следующие соотношения:

1) Ца о Т) = а о ЦТ) для каждого а € [0, 1е];

2) ЦП + Т2) = ЦТг) + ЦТ2) для ТЬТ2 е днР, + Т2 е 0Р.

Предполагая Т €Е 9#Р докажем, что Т является крайней точкой д

выполнено равенство ЦТ) = Х1ЦТ1) + Х2ЦТ2). Используя неравенства ЦТ1) ^ ЦТ) и ЦТ2) ^ Л(Т), получим соотношения ЦТ) = ЦТ1) = ЦТ2).

Так как 0 < Х^ < Т и Т е НотрГ,#), то по [1, теорема 2.1.8] найдется ортоморфизм р е [О,/в] такой, что А1Т1 = (3 о Т. Тогда р о ЦТ) = ХгЦТ). Теперь, используя коммутативность ортоморфизмов, выводим равенства Х\ЦТ) о Т\ = ЦТ) о ;1 о Т ХхЦТ) о Т, т. е. (Т о Тг)(Х) С кег(Л(Т)). На основании [9, 146.1] образ ¡т(ЦТ)) ортоморфизма ЦТ) является порядковым идеалом в Е и, поскольку Т1,Т2 €Е д(ЦТ) о Р), то для произвольного ж €Е X выполняются соотношения Т(х) е ¡т(/г(Т)) и Т^ж) е ¡т(/г(Т)), а значит, (Т — Т1)(ж) € ¡т(ЦТ)). Но так как выполнено включение ¡т(ЦТ)) С (кег(Л(Т)))<г, то заключаем, что (Т — Т\)(х) = 0.

(2) => (3): Немедленно следует из теоремы 7.

(3) => (1): Из [10, теорема 12] при п = 1 (см. также [1, 2.5.8 (1)]) вытекает, что СЬ(Р) С Нот(Х,Е). А так так положительные ортоморфизмы являются решеточными гомоморфизмами, то оператор Т = а о Б также является решеточным гомоморфизмом. >

Отметим, что в [5] вышеупомянутый результат был получен при дополнительном требовании Р ^ 0.

Для минорируемого сублинейного оператора Р имеется взаимосвязь между формулой Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала 9#Р и формулой замены переменной в точной миноранте М(Р).

Теорема 9. Пусть Х,У — векторные решетки, Е — К-пространство, Р : X ^ Е — минорируемый сублинейный оператор, Т — решеточный гомоморфизм из У в X. Рассмотрим следующие утверждения:

(1) дн(РоТ) = (днР)оТ,

(2) М(РоТ) = М(Р)оТ.

Тогда справедлива импликация (1)=>(2). Если, кроме того, либо Р 5? 0. либо ¡т(Т) = X, то утверждения (1) и (2) равносильны.

< (1) => (2): Покажем сначала справедливость формулы Хана — Банаха — Канторовича для точной миноранты М(Р) и решеточного гомоморфизма Т. Возьмем Б 6 дн(М(Р) оТ). Из свойств точных минорант (см. [7]), выводим, что Б С дн(Р °Т). По условию 5 е (днР) ° Т, а так как <Э#Р = <Э#М(Р), то 5 6 дн(М(Р)) о Т. Обратное включение дн(М(Р)) о ТС дн(М(Р) о Т) очевидно. Итак, выполнено равенство дн(М(Р)оТ) = дн(М(Р))оТ.

Так как точные миноранты сохраняют конечные верхние грани, то согласно предложению 4, равенство М(Р о Т) = М(Р) о Т имеет место тогда и только тогда, когда выполнено соотношение дн(М(Р о Т)) = дн(М(Р) о Т). Начнем с проверки вложения дн(М(Р о Т)) С дн(М(Р) о Т). Пусть 5 С дн(М(Р о Т)), что эквивалентно тому, что 5 С <Э#(Р ° Т). По условию имеем 5 С (<Э#Р) о Т. Но <Э#Р = <Э#М(Р), поэтому Б С (днМ(Р)) о Т. Согласно доказанному выше соотношению, выполнено 5 С дн{М{Р) о Т). Обратное включение дн(М(Р) о Т) С дн(М(Р о Т)) очевидно. Итак, равенство М(Р о Т) = М(Р) о Т установлено.

(1) =4- (2): Пусть М(Р о Т) = М(Р) о Т и выполнено одно из условий Р ^ О или ¡т(Т) = X. Для того, чтобы установить формулу Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала 9#(Р ° Т) = (9#Р) о Т, требуется только проверить соотношение <Э#(Р о Т) С (<Э#Р) о Т, ибо обратное включение очевидно. Пусть 5 С дн{Р о Т), а значит, выполнено 5 С дн(М(Р о Т)). Поскольку оператор М(Р о Т) сохраняет конечные верхние грани, то пользуясь теоремой 8, найдем ортоморфизм а С [О, 1е] и оператор У С СЬ(М(Р оТ)), для которых справедливо равенство Б = аУ. Но поскольку имеется соотношение М(РоТ) = М(Р)оТ, то воспользовавшись теоремой 7, получим V С СЬ(М(Р))оТ, т. е. найдется и С СЬ(М(Р)) такой, что V = 1/оТ. Отсюда следует равенство Б = а о и о Т. Заметим, что в силу теоремы 8 оператор Ш = а о и является решеточным гомоморфизмом. Покажем, что Ш С дР. Пусть сначала для всех х С X имеет место неравенство Р(х) ^ 0. Поскольку имеем соотношения а С [0, 1е] и{/£ дР, то для каждого ж С X справедливо Ц?{х) = ао1/(х) ^ аоР(х) ^ Р(ж), т. е. 1¥ С <ЭР.

Теперь предположим, что выполнено условие ¡т(Т) = X. Поскольку Я С д(РоТ), то для каждого у С У справедливо неравенство 5(у) = о Т(у) ^ Р о Т(у). В силу нашего предположения Ш(х) ^ Р(х) для всех х С X. Итак, Б = 1¥ о Т С (<Э#Р) о Т. Теорема полностью доказана. >

Отсюда легко вывести следующее утверждение — формулу Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала.

Теорема 10. Пусть Х,У — векторные решетки, Е — К-пространство, Р : .V Е — сублинейный оператор, сохраняющий конечные верхние границы, Т — решеточный гомоморфизм из векторной решетки У в X. Допустим, что кроме того, либо /’ > (I. либо ¡т(Т) = X. Тогда для Р и Т справедлива формула Хана — Банаха — Канторовича:

дн(РоТ) = (днР)оТ.

< Из свойств точных минорант (см. [7]) вытекают соотношения М(Р) = Р, М(Р о Т) = Р о Т. Требуемое теперь обеспечено применением теоремы 9. [>

Стоит подчеркнуть, что когда Т — вложение векторной подрешетки У в X, установленная формула Хана — Банаха — Канторовича для решеточного субдифференциала в точности выражает следующее известное свойство мажорированного продолжения решеточного гомоморфизма.

Теорема [1, 5]. Пусть X — векторная решетка, Y — векторная подрешетка в X, Е — К-пространство, Р : X Е — сублинейный оператор с положительными значениями, сохраняющий конечные верхние грани. Если Sq : Y Е — решеточный гомоморфизм, мажорируемый Р, т. е. выполнено Sq Р\у поточечно, ТО Sq продолжается до решеточного гомоморфизма S : X ^ Е такого, что S Р поточечно.

Литература

1. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения.—Новосибирск: Наука, 1992,—270 с.

2. Bernau S. J. Sums and Extensions of Vector Lattice Homomorphisms // Acta Appl. Math.—1992.— No. 27.—P. 33-45.

3. Кутателадзе С. С. Признаки субдифференциалов, изображающих шапки и грани // Сиб. мат. журн,—1986.—Т. 27, № 3.—С. 134-141.

4. Crenshaw J. A. Extreme positive linear operators // Math. Scand.—1969.—V. 25, No. 2—P. 195-217.

5. Bustes G. J. H. M., van Rooij A. C. M. Hahn-Banach for Riesz homomorphisms, Indag. Math.— 1989.—V. 51.—P. 25-34.

6. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Теорема Крейна-Мильмана и пространства Канторовича // Оптимизация / Нн-т математики СО АН СССР.—Новосибирск, 1992.—вып. 51(68).—С. 5-18.

7. Раднаев В. А. О решеточно-безатомных субдифференциалах // Сиб. мат. журн.—1994.—Т. 35, № 4,—С. 853-859.

8. Вулих В. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Физматгиз, 1961.—407 с.

9. Zaanen А. С. Riesz Spaces. V. 2.—Amsterdam etc.: North Holland, 1983.—720 p.

10. Раднаев В. А. О верхних огибающих семейства семейства n-дизъюнктных операторов // Владикавказский мат. журн.—2001.—Т. 3, вып. 3.—С. 8-16.

Улан- Удэ

Статья поступила 23 март,а 2002 г.