Идентификация и моделирование хаотических режимов в электроэнергетических системах

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

П. В. Рысев, Д. В. Рысев, В. К. Федоров1, К. С. Шульга, С. Ю. Прусс

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 1 Тюменский государственный университет, г. Тюмень, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-3-101-107

Аннотация - Электроэнергетические системы представляют собой нелинейные динамические системы, в которых возможно возникновение хаотических режимов. Хаотические режимы потенциально опасны для оборудования, устойчивости и живучести системы в целом. Нами рассматривается возможность своевременного обнаружения хаотических режимов электроэнергетических систем, возникающих вследствие бифуркаций параметров системы. Задача исследования и своевременного обнаружения таких режимов для повышения надежности и живучести электроэнергетических систем является актуальной.

Целью исследования является разработка алгоритма идентификации хаотических режимов электроэнергетических систем в реальном времени с использованием данных векторных измерений. Для достижения поставленной цели решены задачи моделирования хаотических режимов, определения показателей, по которым можно идентифицировать хаотические режимы. Моделирование производилось численным интегрированием систем дифференциальных уравнений. В результате получен алгоритм идентификации хаотических режимов, проведена его проверка путем математического моделирования.

Ключевые слова: хаотические режимы в электроэнергетических системах, алгоритм обнаружения хаотических режимов, бифуркации параметров режима.

I. Введение

Хаотические режимы электроэнергетических систем являются сложными непериодическими типами режимов, которые могут приводить к нарушению устойчивости электроэнергетических систем [1], повреждениям основного оборудования [2]. Определение параметров возникновения таких режимов с целью недопущения их реализации на практике, а также прогнозирование возможного перехода электроэнергетической системы в хаотический режим является актуальной задачей. Своевременная идентификация хаотического режима электроэнергетической системы позволит повысить устойчивость работы и живучесть электроэнергетических систем. Исследования в данной области ведутся отечественными и зарубежными учеными. В работе [3] описываются общие теоретические подходы к идентификации хаотических колебаний, в [4] рассматриваются особенности данного типа режимов. В работах [6-14] рассматриваются вопросы устойчивости и живучести электроэнергетических систем в хаотических режимах, в том числе вызванных бифуркациями параметров системы [7, 9, 14]. В хаотических режимах электроэнергетических систем колебания переменных состояния могут проходить с относительно небольшими амплитудами [9], не выходящими за установленные нормативными документами пределы. Это обстоятельство усложняет их идентификацию. Одной из научных проблем идентификации является выбор индикатора, по которому возможно достоверно идентифицировать такие режимы, а также создание алгоритма обнаружения, который можно будет использовать в устройствах противоаварийной автоматики электроэнергетических систем.

II. Постановка задачи

Рассмотрим электроэнергетическую систему (рис. 1), состоящую из трех генераторов, соединенных линиями без потерь.

Рис. 1. Схема исследуемой электроэнергетической системы

Для данной системы определим возможность возникновения хаотических режимов, проведем моделирование динамики электроэнергетической системы при различных начальных условиях и возмущениях, с разными параметрами генераторов.

В ходе моделирования выявим параметры системы, по которым возможна идентификация хаотических режимов. Составим алгоритм определения хаотических режимов.

III. Теория

Хаотические процессы представляют собой сложные непериодические колебания параметров режима системы. Такие процессы были зафиксированы в различных физических системах [3, 7, 9].

Характерной особенностью таких процессов и отличием их от других являются сплошной частотный спектр и фазовый портрет изменения параметров системы в виде сложных, не повторяющихся траекторий в фазовом пространстве, локализованных в определенной области. Такой тип фазового портрета принято называть странным аттрактором [9].

В электроэнергетических системах параметрами режима, колебания которых анализируются, являются частота ю (отклонения частоты Лю) и угол ротора генератора д.

Возникновение хаотических режимов возможно только в нелинейных системах с несколькими источниками или накопителями энергии. Наиболее вероятно появление хаотических режимов в изолированных электроэнергетических системах с распределенной генерацией, характеризующихся относительно небольшими мощностями и инерционностями генераторов. Переход от установившегося режима или периодических колебаний к хаотическим происходит, как правило, посредством бифуркаций параметров режима.

Причины таких бифуркаций в общем случае весьма разнообразны. В электроэнергетических системах такими причинами могут являться большое возмущение, изменение какого-либо параметра (в этом случае его называют бифуркационным параметром [11, 13, 14]).

В нашем исследовании будем рассматривать хаотические процессы, возникающие вследствие бифуркации параметров режима, вызванной большим возмущением.

В электроэнергетической системе, включающей несколько генерирующих источников, хаотические колебания, возникающие после большого возмущения, могут привести к потере синхронизма и устойчивости системы [2, 12]. Для выявления в реальном времени хаотической динамики системы воспользуемся характеристическими показателями Ляпунова [15].

Математическое определение показателей Ляпунова может быть дано с помощью уравнения нелинейной

¿х

динамической системы — = /(х) . Продифференцируем его относительно начального значения х0. В результа-

Л

те получим

dx,

Dxßt(Xo) =I ,

dx

где </>t(x0) - решение — = f(x) при x=x0. dt

Принимая DXoф((x0) = Ot(x0) , переписываем (1) и получаем

= Dxf ф {x0))DxOt

0t(Xo) = I.

Пусть m/t), i = 1, 2, ..., n, - собственные значения Ф(х0). Тогда показатели Ляпунова Äi будут определены выражением:

1п

Яг := lim —1-

t^x t

Из данного определения следует, что характеристические показатели Ляпунова представляют собой средний коэффициент (скорость) расширения или сжатия i-го измерения в Rn фазовом пространстве динамической системы. Если этот коэффициент является положительным, тогда разность между начальными условиями увеличится в особом направлении по фазовой траектории. В противном случае разность уменьшится в особом направлении по фазовой траектории. Устойчивый режим характеризуется превышением уменьшения над увеличением: L < 0. ¿—ч=1 i

Особенностью, присущей хаотическим колебаниям, является то, что среди показателей Ляпунова будет хотя бы один положительный [9]. Для режимов - точек равновесия, периодических колебаний - все показатели Ляпунова будут иметь отрицательную величину. Для трехмерной системы в хаотическом режиме знаки показателей Ляпунова имеют следующий вид: (+, 0,-), то есть Ä1 > 0, Ä2 =0, и Ä3 < 0. Для четырехмерной системы возможны два случая: (+, 0,-,-) и (+, +, 0,-). Второй иначе называется гиперхаосом. Для многомерных систем подобным образом можно определить знаки показателей Ляпунова при учете ограничения: ^^ Л < 0.

Используя знаки показателей Ляпунова, можно идентифицировать хаотические режимы:

На интервале NAT , показатели Ляпунова /^nät], i=1, — ,n могут быть определены как:

^] :=ШЫ.

Критерием наличия хаотических режимов будет присутствие хотя бы одного положительного показателя Ляпунова. Достаточно определить знак самого большого показателя Ляпунова.

Основываясь на свойствах хаотических режимов, выражении (4) составлен алгоритм обнаружения хаотических режимов на основе показателей Ляпунова.

Для реализации алгоритма требуется наличие системы синхронизированных векторных измерений (WAMS/СМПР) для измерения величин частоты и угла на каждом генераторе в режиме реального времени и передачи измеренной информации в центр обработки информации.

Алгоритм вычисления

По данным измерений формируются частотный и угловой векторы: {p(kALT')f}={(a>1 (kAT),...,am(kAT))}

{(S{kÄT)}={(S1 {kÄT),...,Sm(kAT))}, k=0, 1, ..., N.

AT - период квантования, NAT - интервал измерения, m - число исследуемых генераторов.

1. Используя векторы {(<5 (kAT))} и {a(kATj)} формируем уравнения, описывающие динамику электроэнергетической системы.

Пусть электроэнергетическая система состоит из m генераторов, тогда уравнения колебаний можно представить в виде [1]:

а25 1 т т

' Рг " ОгСг — XЕгЕ1Вг] Яп(3г ~8}) — XЕгЕРу С°*'(3г ~ 8} >

>'=' М

ж2 Т]г

где 3 - '-тая составляющая 3(•) и Р, Бр, Ор, Тр, Е, - соответственно генерируемая активная мощность,

энергия демпферной обмотки, реактивная проводимость, активная проводимость, инерционность и ЭДС /-го

- Р - О - ЕгЕ.Бу - Е гЕ.Ог. генератора. Преобразуем параметры уравнения: Рг = -!- , = —'-, Б у =- и Ог] =-.

Туг Ту Т]1 Т]1

с12 8

—^-(кЛТ) можно аппроксимировать последующими измеренными частотами:

Ж2

Л2 ЛТ

2. Согласно (4), вычисляем ] из уравнений электроэнергетической системы. Используем знак ]

для определения наличия хаотических режимов.

^21- _

Пусть уравнения —— = /(3) идентифицируют колебания в (5). Соответствующее уравнение может быть

А2

найдено из (2). Принимаем начальное возмущение Л3(0) приближенно равным начальному значению углового вектора 3(0) . Интегрируя уравнение (6) для АТсекунд получаем:

Л5

Повторяем эту процедуру интегрирования по всему интервалу N раз. Тогда самый большой показатель Ляпунова, заключенный на этом интервале, вычисляется следующим образом:

=-Л* п| к-ц=ш Ы <">

к=1 к=1

IV. Моделирование динамики электроэнергетической системы

Анализ возникновения хаотических колебаний проводился для электроэнергетической системы (рис.1) с линиями без потерь.

При моделировании не учитываем влияние демпферных обмоток генераторов.

Предполагаем, что два генератора (1 и 2) идентичны и имеют большую инерционность по сравнению треть-

Т.3

им. Отношение инерционностей: = ¡л = 0.8 .

Тг1

Тогда динамика электроэнергетической системы может быть описана системой уравнений колебаний, полученной из (5):

(3,

—- = С, Л

= Р1 — Б12^п(- + Л1 3 +Лз3,) — Б13^п(31 -33) ся. 3

3 = С,

ся.

= рз -Б31$т(33 — 3 1)—Б32$т(л131 + (1 + ец3)3 ) .

Л 3

Произведем интегрирование (9) со следующими значениями параметров Р1 = 0.6 , Р3 = 0.85 , Б12 = 1.0 ,

Б13 = 0.001, Б31 = 0.1, Б32 = 1.0 , е = 0.01, ¡л = 0.8 и начальных условий 31(0), со 1(0), 33(0), со3(0) « (0.4,0.0,0.4,0.0) .

Решение системы (9) при заданных параметрах и начальных условиях представлено на рис. 2 - 4. По предложенному алгоритму для исследуемой системы получен наибольший показатель Ляпунова

4сек] = 023 .

б,рад

Рис. 2. Хаотический характер колебаний угла ротора 3 генератора 1

ад/с 0.2|-

- 0.2---

0 0.5 1 + 1.5

Рис. 3. Хаотический характер колебаний отклонений угловой частоты А со генератора 1

Рис. 4. Фазовый портрет решения системы (9) в координатах (д1,Ат1) На рис. 5 представлена временная зависимость разности углов роторов генератора 1 и 3 системы (рис. 1).

Рис. 5. Потеря устойчивости системы

IV. Результаты экспериментов

При моделировании динамики электроэнергетической системы были получены временные зависимости и фазовые портреты параметров состояния. Оценивая характер изменения углов роторов (рис. 2) и отклонений угловой частоты (рис. 3), можно сделать вывод о хаотическом характере колебаний. Это заключение подтверждается фазовым портретом (рис. 4), представляющим собой странный аттрактор.

Также при моделировании системы (9) было обнаружено интересное явление - при превышении критического времени (для данной системы tкр > t = 2.12 c) происходит разрушение хаотического режима, система теряет устойчивость (рис. 5).

Для системы (9) по предложенному алгоритму был определен старший показатель Ляпунова Л{]сек] = 0.23. Положительный знак показателя Ляпунова также свидетельствует о хаотическом характере процессов.

VI. Обсуждение результатов

В результате моделирования получены временные зависимости и фазовые портреты решений системы (9). Они наглядно демонстрируют сложную динамику электроэнергетической системы в хаотическом режиме. Также показано, что хаотические колебания, амплитуда которых не выходит за допустимые пределы, могут служить причиной потери устойчивости электроэнергетической системы.

Применив алгоритм идентификации хаотических режимов к исследуемой системе, получили положительный старший показатель Ляпунова, что соответствует хаотическому режиму и подтверждается результатами моделирования.

В исследуемой системе были введены некоторые допущения, однако на работоспособность алгоритма они не влияют.

VII. Выводы и заключение

В работе анализировалась нелинейная динамика электроэнергетических систем. Рассмотрена возможность идентификации хаотических режимов в электроэнергетических системах.

Разработан алгоритм, использующий характеристические показатели Ляпунова и знак старшего показателя как индикатор для идентификации хаотических режимов электроэнергетических систем в режиме реального времени. Для проверки работоспособности алгоритма было проведено математическое моделирование, построены временные зависимости и фазовые портреты, по которым также можно идентифицировать тип режима. Результаты моделирования подтвердили правильность работы алгоритма.

Применение предложенного алгоритма возможно в системах противоаварийной автоматики электроэнергетических систем при наличии в электроэнергетической системе системы векторных синхронизированных измерений, которая позволяет оценивать необходимые параметры в режиме реального времени. Для повышения быстродействия процедуры идентификации хаотических режимов возможно применение для этих целей нейронных сетей, использующих разработанный алгоритм.

Список литературы

1. В. К. Федоров [и др.]. Режимы детерминированного хаоса в нелинейных электроэнергетических системах // Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2008. № 9-10. С. 36-44.

2. Рысев Д. В., Федоров В. К. Устойчивость энергосистемы турбина-генератор-нагрузка при возникновении электромеханического резонанса // Омский научный вестник. 2011. № 3 (103). С. 194-198.

3. Воронов С. С., Колпакова Л. В., Кузнецов В. А. Метод хаотического генератора: подходы к диагностированию параметров нелинейных хаотических систем // Измерительная техника. 2000. № 4. С.19-21.

4. Анищенко В. С. [и др.]. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / под ред. В. С. Анищенко. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. 529 с.

5. Moon F. Chaotic and Fractal Dynamics. Springer/Verlag New York, LLC, 1990. 140 p.

6. Nayfeh M. A., Hamdan A. M. A., Nayfeh A. H. Chaos and instability in a power system - Primary resonant case // Nonlinear Dynamics. 1990. Vol. 1. P. 313-339.

7. Wang H. O., Abed E. H., Hamdan A. M. A. Bifurcations, chaos, and crises in voltage collapse of a model power system // IEEE Trans. Circuits Syst, Mar. 1994. Vol. 41, no. 3. P. 294-302. DOI: 10.1109/81.285684.

8. Yixin Y., Hongjie J., Li L. Peng. Power system instability and chaos // Electric power systems research, June 2003. Vol. 65, no. 3. P. 187-195.

9. Vahdati P. M., Kazemi A. Bifurcations and chaos in nonlinear dynamics of power systems // 24th Iranian Conference on Electrical Engineering (ICEE). 2016. P. 1706-1711.

10. Ma M. [et. al.]. Dynamic analysis and controlling chaos of the electrical power system with the disturbance of electromagnetic power // Proceedings of the 33rd Chinese Control Conference, 2014. P. 1994-1998.

11. Yibei W. [et. al.]. Research on chaos phenomena in power system // IEEE Power Engineering and Automation Conference, 2011. Vol. 2. P. 453-456.

12. Wei D.-Q., Qin Y.-H. Controlling Chaos in Single-Machine-Infinite Bus Power System by Adaptive Passive Method // Fourth International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications, 2011. P. 295-297.

13. Wei D.-Q., Luo X.-S., Qin Y.-H. Studying Chaos in Power System Under Load Perturbation and Bounded Noise // International Conference on Electrical and Control Engineering, 2010. P. 2185-2188.

14. Grillo S. [et. al.]. Bifurcation analysis and Chaos detection in power systems // 43rd International Universities Power Engineering Conference, 2008. P. 1-6.

15. Chen X. Y., Min L. Study of Lyapunov Exponent of the Chaotic Signal Wave Interception // International Conference on Electrical and Control Engineering, 2010. P. 2039-2042.