Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений

Об одном классе алгебраических уравнений, не имеющих рациональных решений Кочкарев Б.С.

Кочкарев Баграм Сибгатуллович /Kochkarev Bagram Sibgatullovich - кафедра высшей математики и математического моделирования, кандидат физико-математических наук, доцент Институт математики и механики имени Н.И. Лобачевского, Казанского (Приволжского) федерального университета, г. Казань

Аннотация: строится счетный класс (параметром служит степень уравнения n) алгебраических уравнений и доказывается, что все уравнения этого класса при n>3 не имеют рациональных решений. Предлагается алгоритм, который для любого конкретного n>3 определяет не рациональность решений соответствующего уравнения из класса. Доказывается, что решенная в работе проблема является эквивалентом доказательства известного утверждения П. Ферма (Великой теоремы П. Ферма) без использования эллиптических кривых в геометрии Евклида. Abstract: we build the countable class (parameter is the degree n of the equation) of the algebraic equations and we prove that all equations of this class not have the rational decision at n>3. We propose an algorithm which define for any concrete n>3 that the corresponding equation from class not have the rational decisions. We show that the problem which is decided in this work is equivalent of proof of the well-known affirmation Fermat's Last Theorem without utilization of elliptic curves in Euclidean geometry.

Ключевые слова: диофантово уравнение, алгебраическое уравнение, параболическая геометрия, гиперболическая геометрия, эллиптическая геометрия.

Keywords: diophantine equation, algebraic equation, parabolic geometry, hyperbolic geometry, elliptic geometry.

Памяти Бориса Лукича Лаптева и Нила Замиловича Габбасова

В 1637 году П. Ферма сформулировал проблему: найти решение Диофантова уравнения и _ ^ при п> 3. На

полях книги «Арифметика» Диофанта [1] против уравнения иг+уг^м,г он написал: «невозможно разложить ни куб на

два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Известно [1], что дата опубликования в бумагах доказательства частного случая для п = 4 была позже 1637 года, именно, в августе 1659 года. Поэтому, можно предполагать, что для п = 3 П. Ферма утверждение не доказал, и запись на полях книги Диофанта, и в письме к Каркави [1] о методе бесконечного спуска, (в то время аксиоматики Пеано для натуральных чисел не было), который он применил к доказательству случая п = 4 говорит о том, что П. Ферма доказал утверждение для всех п >4, а для и = 3, как отмечено в [2,14], даже доказательство Л. Эйлера небезупречно. Элементарного доказательства утверждения Ферма нет ни для одного показателя п ^ 4 [2,14].

Рассмотрим алгебраическое уравнение степени п:

Теорема. Уравнение (1) имеет рациональные решения только при п~ 1 и п~2.

Доказательство. Действительно, для п=\ уравнение (1) принимает вид х —3 = 0, которое имеет решение х = 3. Для п = 2 уравнение (1) принимает вид х2 - 6х + 5 = 0, которое имеет решения Х1=1,х2 =5.

Докажем методом полной математической индукции, что у уравнения (1) при п> 3 нет рациональных решений.

1. Для п = Ъ уравнение (1) эквивалентно уравнению х3-9х2+15х-9 = 0. По теореме Виета, если полученное уравнение имеет рациональные решения, то они должны быть делителями свободного члена -9 уравнения, т.е. рациональные решения могут быть только среди чисел ±1,±3, ±9- Подстановкой этих чисел в уравнение вместо х убеждаемся, что ни одно из них не является решением уравнения.

2. Предположим теперь, что и при любом я = 4,5,... Д уравнение (1) не имеет рациональных решений.

3. Допустим, что при п = к +1 уравнение (А: 2)'"' I (л: I/'1 -лу' имеет рациональное решение с/1Г которое является делителем свободного члена (-1)*+1(1 + 2*+1) этого уравнения, но тогда делитель (/( свободного члена (-1)*(1+2*) уравнения (х-2)к+(х-1)к = хк является его решением, что противоречит нашему индуктивному предположению. Последнее утверждение является сутью метода спуска в терминологии П.Ферма.

Полученное противоречие доказывает сформулированную теорему.

Доказательство теоремы доставляет нам алгоритм проверки утверждения П. Ферма для любого конкретного п алгоритм состоит в проверке, есть ли среди делителей свободного члена (-1)"(1 + 2") уравнения (х-2)" +(х-1)" =х" решение этого уравнения.

Покажем теперь, что утверждение доказанной теоремы эквивалентно утверждению Ферма для Диофантова уравнения

п . п п

и + V =м>

Если уравнение (1) имеет рациональное решение X при некотором п > 3 , то Диофантово уравнение (2) также имеет рациональное решение при этом п . Для этого достаточно положить и = х — 2,v = х — 1 и w — x. Отсюда, если уравнение (1) не имеет рациональных решений для любого п > 3, то и уравнение (2) не имеет рациональных решений при п > 3 . Таким образом, доказательство утверждения Ферма эквивалентно доказательству сформулированной выше теоремы.

В заключение отметим следующее: признанное экспертами, прорецензировавшими доказательство утверждения П. Ферма Эндрю Уайлсом [3] указывает, что эксперты упустили из виду то, что Э. Уайлс использовал в своем доказательстве только геометрию Евклида (параболическую по классификации Ф. Клейна [4]). Однако для полноты доказательства ему необходимо было бы рассмотреть и неевклидовы геометрии, а, именно, геометрию Н.И. Лобачевского (гиперболическую по классификации Ф. Клейна [4]) и геометрию Б. Римана (эллиптическую по классификации Ф. Клейна [4]).

Литература

1. Самин Д.К. Сто великих ученых. Москва, «Вече», 2001. 592 с.

2. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1982. 240 с.

3. A. Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics, v.141 Second series №3 May 1995 p. 443-551.

4. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. Изд. Казанского университета, 1976.136 с.