Использование компьютерного эксперимента в фундаментальных профильных курсах для студентов математических направлений подготовки

ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ

УДК 37.022

С. И. Калинин, А. Н. Соколова

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА В ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ПРОФИЛЬНЫХ КУРСАХ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ

В статье обсуждается возможность и целесообразность использования компьютерного эксперимента в рамках различных разделов фундаментальных математических курсов вузов.

This paper is devoted to the feasibility of using computer simulations in various branches of basic mathematical courses in university.

Ключевые слова: компьютерный эксперимент в обучении, обучение математике в вузе, исследовательская деятельность студентов.

Keywords: computer experiment in teaching, training in mathematics in higher education institution, research activity of students.

Современный образовательный процесс в вузе переживает «очередной» этап реформирования, центральной идеей которого является ориентация на компетентностный подход к обучению. Данное обстоятельство касается, в частности, и процесса обучения студентов фундаментальным математическим дисциплинам. Поскольку федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) декларирует необходимость формирования исследовательских компетенций, то требуется модернизация классических математических курсов, которая бы учитывала приоритетную роль исследовательской деятельности для студентов математических направлений подготовки.

В данных условиях представляется целесообразным изучение классических разделов фундаментальных математических курсов сопровождать включением в образовательный процесс компьютерного эксперимента.

Подчеркнем, что в условиях реализации деятельностного подхода в обучении студентов вуза компьютерный эксперимент способствует приобретению теоретических знаний как результата

© Калинин С. И., Соколова А. Н., 2013

собственной работы обучаемого, его личного опыта. Соответствующие эмоциональные переживания делают образовательный процесс личностно значимым, а значит обеспечивается высокая степень его эффективности.

Эмпирический путь познания не только отражает историческое развитие изучаемого материала, но и способствует выходу на новые факты, не имеющие еще теоретического обоснования. Этот материал может в ближайшей перспективе стать основой для проведения студентами собственных научных исследований. Заметим, что в условиях вуза моделирование и компьютерный эксперимент могут проводиться как с привлечением специализированного программного обеспечения, так и через написание и использование студентами собственных программ.

В качестве содержательного наполнения экспериментальной деятельности студентов может выступать программный материал из естественнонаучного и профессионального циклов дисциплин учебных планов математических направлений подготовки бакалавров. Например, практически в каждом разделе математического анализа усматривается потенциал для организации и проведения компьютерного эксперимента. Аналогично широкие возможности для организации экспериментальной деятельности имеются и в таких курсах, как «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Уравнения с частными производными».

В настоящей работе мы условимся рассмотреть включение компьютерного эксперимента в процесс обучения студентов некоторым математическим разделам.

1. Введение в анализ. Изучение в вузе математического анализа начинается с раздела «Введение в анализ», поэтому от качественного, глубокого овладения студентами его содержанием зависит дальнейшее освоение ими всех связанных с данным разделом математических курсов. В то же время преподаватель, начинающий у студентов курс анализа, должен помнить о недостаточном уровне школьной математической подготовки современных выпускников общеобразовательных учреждений [1].

Исследователями отмечается, что наибольшие трудности у студентов, приступивших к изучению математического анализа, возникают при усвоении определения понятия предела числовой последовательности, а затем - предела функ-

ции в точке и ее непрерывности в точке [2]. Если изучение определений отмеченных понятий будет предваряться экспериментами с использованием программного обеспечения, позволяющими формировать интуитивные представления о познаваемых объектах, то за счет подготовленности студентов к осознанному восприятию строгих определений понятий обеспечивается повышение эффективности усвоения учебного материала.

Рассмотрим соответствующую иллюстрацию использования компьютерного эксперимента при работе с определением понятия непрерывности функции в точке. В связи с этим обратимся к известной задаче из раздела «Введение в анализ»: функцию у —х2 • sin— требуется доопре-

х

делить в точке х0 = 0 так, чтобы она стала непрерывной на всей числовой прямой.

Предлагаемая к осмыслению задача является для студентов первого курса непривычной, поскольку в школе подобные, как правило, не рассматриваются. Они видят, что при х0 = 0 функция не определена, но подобрать требуемое значение затрудняются. Предугадать поведение множителя, содержащего синус, в окрестности нуля представляется для них сложным, поэтому целесообразно численно «прощупать» значения функции в некоторой окрестности нуля. В качестве инструмента для вычислений можно использовать электронные таблицы Microsoft Excel. Обычно студенты уже имеют достаточный опыт работы с ними, поэтому выполнение экспериментального этапа решения задачи не занимает много времени. Кроме того, доступность различных электронных таблиц, в том числе в составе свободного программного обеспечения, открывает широкие возможности для их использования в организации самостоятельной экспериментальной работы студентов.

Этап эксперимента. Рассмотрим множество [—1;0)и(0;1], в каждой его связной части возьмем конечную совокупность равноотстоящих точек и вычислим значения функции у в этих точках. Анализ полученных значений позволяет сделать вывод: выбранные первоначально числовое множество и шаг разбиения слишком велики, чтобы определить поведение функции в окрестности точки х0 = 0, потому требуется уточнение. Подчеркнем, что такие ситуации нередко имеют место в реальной практике.

Сузим множество, на котором будем рассматривать функцию у. Пусть это будет множество [-0,05;0)и(0;0,05], в качестве шага разбиения его связных компонент возьмем значение 0,001. Произведем пересчет. Благодаря функциям автозаполнения ячеек и копирования формул, доступным в Microsoft Excel, вычисление новых значе-

ний функции производится очень быстро. Наблюдаем, что при приближении к нулю получаются значения, близкие к нулю.

Таким образом, в результате поставленного эксперимента можно заключить, что для непре-

2  1 х -sin— следует пред-X

рывности функции у положительно ее доопределить значением у(0) = 0: ' 1

• sin-

,хф 0,

О,л: - 0.

Аналитический этап. Убедимся аналитически в том, что в точке х0 = 0 функция непрерывна. Для этого следует показать, что

1:

х-^0

х1  sin

1

г2 X у

= 0

Поскольку х2 - бесконечно малая при x ^ 0

функция, а sin— - ограниченная в проколотой х2

окрестности нуля функция, то записанное соотношение имеет место.

Для наглядности построим, наконец, график исследуемой функции средствами MathCad (рис. 1).

Рис. 1. График функции

Отметим, что обращение к графическому представлению математического факта обеспечивает эстетическое восприятие студентами «трудной» для них задачи. Это позволяет создать положительный эмоциональный фон при изучении дисциплины, научить студентов понимать красоту и гармонию, что заложены в тех или иных аналитических выражениях.

В данном месте позволим себе отметить следующее замечание. При традиционном построении курса математического анализа обычно раздел «Числовые ряды» изучается с существенным разрывом во времени по отношению к теме «Числовые последовательности», что приводит к затруд-

нениям у студентов при их работе с определениями понятий, связанных с рядами. Возможно, с точки зрения естественного развития изучаемого во «Введении в анализ» материала более целесообразно числовые ряды рассматривать вслед за числовыми последовательностями. При таком подходе выстраивания содержания курса анализа экспериментальная деятельность студентов может эффективно дополняться «компьютерным» исследованием поведения частичных сумм ряда.

2. Дифференциальное исчисление. Данный раздел традиционно занимает принципиальное место в классических математических курсах. Это объясняется, с одной стороны, его связью со многими другими разделами математики, а с другой - значительной прикладной направленностью.

Экспериментальная работа студентов при освоении дифференциального исчисления может быть организована по следующим направлениям:

- изучение случаев существования бесконечной производной функции в точке, недифференцируемости функции в точке, визуализация данных случаев;

- обоснование и иллюстрация геометрического смысла производной;

- графическая иллюстрация классических теорем дифференциального исчисления: Ролля, Ферма, Лагранжа, Коши;

- исследование связи характера монотонности функции с ее производной;

- приближенные вычисления с помощью дифференциала функции первого порядка и оценка качества таких вычислений.

Этап эксперимента. С точки зрения практики наиболее естественной видится экспериментальная работа студентов, состоящая в наблюдении зависимости между производной функции в

/

точке и разностным отношением--------------—.

Ах

Варьирование приращения Дх независимой переменной влечет изменение качества приближения производной функции ее разностным отношением.

Аналитический этап экспериментальной работы студентов может заключаться, например, в получении верхней оценки погрешности, допускаемой при замене производной соответствующим разностным отношением.

Одним из достоинств представленной схемы является то, что она легко переносится на случай функции нескольких переменных. В ходе экспериментальной работы студенты начинают осознавать смысл частных производных функции, видеть возможность организации приближенных вычислений с любой степенью точности и т. д.

Кроме того, в классических математических курсах для студентов традиционно рассматриваются в основном лишь дифференцируемые («глад-

кие») функции. Построенные с их использованием модели описывают многие процессы, например, прямолинейное равномерное движение тела, размножение бактерий и т. д., однако такие модели являются достаточно грубыми, или, следуя терминологии В. И. Арнольда, «жесткими» [3]. При попытке уточнения исследуемой модели нередко возникает необходимость отказа от условия дифференцируемости функции, что приводит к потребности обращения к понятиям так называемого «негладкого» анализа. В связи с этим на повестку дня выходит расширение содержания курса дифференциального исчисления, обеспечивающее выход на современные вопросы и разделы анализа.

Следует подчеркнуть, что существует соответствующая теоретическая база, включающая различные подходы к обобщению и развитию понятия производной функции в точке. Ослабление условий на функцию неизбежно влечет некоторое усложнение математического аппарата, поэтому при изучении вопросов, восходящих к «негладкому» анализу, важную роль для понимания студентами материала играет наглядность, реализуемая за счет использования компьютерных средств. В качестве содержательного насыщения экспериментальной деятельности студентов в данном случае могут выступать различные обобщения классического понятия производной (производной по Коши).

Экспериментальное изучение определений «неклассических» производных сопровождается систематизацией и обобщением полученных ранее знаний по теории пределов, повторным осмыслением понятий точных граней множества и функции, фундированием понятия производной. Компьютерный эксперимент может заключаться в конструировании рассматриваемых производных для различных конкретных функций, недифференцируемых в обычном смысле, попытке сформулировать основные теоремы классического дифференциального исчисления в терминах новых производных, поиске экстремумов функций и формулировании соответствующих необходимых условий для них.

3. Интегральное исчисление. Само содержание определения интеграла Римана уже несет широкие возможности для потенциальной организации экспериментальной деятельности студентов. Последняя, например, может включать в себя:

- исследование поведения интегральных сумм функции, вычисленных для различных разбиений отрезка интегрирования на частичные сегменты и способов выбора промежуточных точек из таких сегментов;

- сравнение точного значения определенного интеграла и значений различных интегральных сумм, определение соответствующих погрешностей вычисления;

- экспериментальное обоснование аддитивного свойства определенного интеграла, теоремы о среднем значении.

Подчеркнем, что экспериментальная работа с определением интеграла Римана обеспечивает естественный подход к рассмотрению таких прикладных вопросов интегрального исчисления, как способы аппроксимации значения определенного интеграла Римана, оценка погрешности при приближенном вычислении интегралов функций из различных классов.

Рассмотрим иллюстрационный пример. Этап эксперимента. Вычислим значения интегральных сумм для функции у = х • в1 на отрезке [0; 1], разбивая его последовательно трижды на частичные сегменты равной длины с шагом 0,1, 0,05 и 0,01 соответственно. При каждом разбиении значения функции будем вычислять в серединах частичных сегментов. Условимся получаемые в результате интегральные суммы обозначать соответственно через S1, S2 и S3. После вычислений имеем следующие значения: S1 = 0,99815, S2 = 0,99954, S3 = 0,99998.

Инструментарий для вычислительной работы студенты могут выбирать самостоятельно, но тем из них, кто в соответствии с направлением подготовки программирование изучает глубоко, рекомендуется использовать собственные программы. Данный подход обеспечивает интеграцию фундаментальной математической подготовки с профессиональной.

Подчеркнем, что в реальной практике обучения студентов анализу уделять много времени осмыслению значений интегральных сумм конкретных функций не удается. Компьютерный же подход позволяет «перебрать» огромное количество значений данных сумм. Таким образом, у студентов формируется понимание того, что вычислять интеграл Римана по определению физически невозможно, а значит формируется мотивация поиска эффективного аналитического метода вычисления определенных интегралов.

Аналитический этап. После того как изучена формула Ньютона - Лейбница вычисления определенного интеграла и обоснован метод интегрирования по частям, нетрудно вычислить точ-

1

ное значение определенного интеграла [ хехс1х:

1 и = х:с1и = сЬс

\хех<Ьс =

{ = ехсЬ:; V = ех

1

Найденное точное значение интеграла хехйх

позволяет определить абсолютную погрешность, допускаемую при замене данного значения соответствующей интегральной суммой:

) | 1 - 0,99815| = 0,00185,

Д/ | 1 - 0,99954| = 0,00046,

Д.2 | 1 - 0,99998| = 0,00002.

Возвращаясь к результатам экспериментального этапа, студенты должны сделать следующие выводы. Во-первых, уменьшение длины частичного сегмента уменьшает допускаемую абсолютную погрешность вычисления. Во-вторых, интегральные суммы могут использоваться в качестве приближенного значения определенного интеграла.

Последнее актуально в силу того, что на момент изучения интегрального исчисления студенты, как правило, еще не знакомы с функциональными рядами и их приложениями к приближенным вычислениям. Тем не менее они уже на данном этапе обучения получают метод, позволяющий вычислить значение определенного интеграла Римана с нужной степенью точности, в частности, для так называемых «неберущихся» интегралов. Соответствующее полезное задание может быть сформулировано следующим образом: используя интегральные суммы, вычислите приближенно с точно-

1

стью до 0,001 интеграл е х2(1х.

Следует подчеркнуть, что схема экспериментального исследования интегральных сумм в дальнейшем органично переносится на изучение кратных и криволинейных интегралов и их свойств, при этом реализуется преемственность освоения теоретического материала и эмпирического опыта студентов, обретаемого в работе с математическими объектами.

4. Функциональные последовательности и ряды. При изучении функциональных рядов большое значение имеют их приложения к приближенным вычислениям. На рис. 2 представлена иллюстрация аппроксимации функции у = ^ х частичными суммами ее ряда Маклорена с помощью математического пакета MathCad, которую мы регулярно демонстрируем студентам при рассмотрении темы «Ряд Тейлора функции».

Подчеркнем также, что изучаемые в курсе анализа ряды Фурье непосредственно связаны с моделированием ряда физических явлений, например гармонических колебаний, распространения тепла в твёрдом теле, электромагнитных колебаний и т. д.

При изучении функциональных рядов экспериментальная деятельность студентов может быть организована по следующим направлениям:

- вычисление и изучение свойств частичных сумм ряда Тейлора (Маклорена) конкретной функции различных порядков;

- вычисление и изучение свойств частичных сумм ряда Фурье заданной функции различных порядков;

[ехск

А *

=е-е+1=1

- исследование сходимости какого-либо функционального ряда;

- вычисление погрешности, возникающей при замене исходной функции частичной суммой ее ряда Тейлора или ряда Фурье;

- другие вопросы приложения рядов (решение обыкновенных дифференциальных уравнений, численное интегрирование).

у

2 4

13 (х) := 1 + — + —

2! 4!

2 4 6

, 1 . X X X

14(х) := 1 + — +—+ —

2! 4! 6!

Рис. 2. Аппроксимация функции частичными суммами ряда

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Широкое применение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для построения динамических моделей обусловливает их обязательное включение в содержание обучения сту-дентов-математиков. Обычно данный раздел изучается в рамках объемного математического курса или как самостоятельная учебная дисциплина. При его освоении в организацию образовательного процесса в качестве составляющей может быть включен компьютерный эксперимент.

Скажем, это возможно сделать, например, уже при изучении метода изоклин. Упоминаемый метод, как известно, действительно изучается одним из первых, в его основе лежит изображение фрагмента задаваемого ОДУ поля направлений, а современные компьютеры могут быстро и сколь угодно точно такое поле построить. Последнее позволяет студенту с высокой степенью точности самому увидеть искомую интегральную кривую и, тем самым, сде-

лать вывод: метод изоклин есть эффективный способ исследования решений ОДУ.

Компьютерный эксперимент эффективно может использоваться и при осмыслении понятия общего решения ОДУ первого порядка. Общее решение описывает семейство интегральных линий, которые при изображении на плоскости располагаются плотно. Экспериментальная часть работы студентов будет состоять в визуализации данного семейства с помощью компьютера, что позволяет наглядно и четко увидеть взаимное расположение отдельных интегральных кривых, «нащупать» существование возможной огибающей для рассматриваемого семейства. В этом случае аналитический этап экспериментальной деятельности студентов будет заключаться в попытке составления уравнения огибающей, что может привести к обнаружению особого решения исследуемого уравнения.

Привлечение компьютерного эксперимента при освоении теории ОДУ обеспечивает также пропедевтику изучения соответствующих численных методов решения задачи Коши.

6. Дифференциальные уравнения в частных производных. Данный раздел также играет важную роль в прикладной подготовке студентов, поскольку поставляет математический аппарат описания ряда физических явлений.

Часто применяемый для решения дифференциальных уравнений в частных производных метод сеток открывает широкие возможности для организации компьютерного эксперимента. В данных условиях эксперимент реализует сразу несколько функций. Во-первых, он обеспечивает преемственность в изучении разностных схем, уже рассмотренных ранее в разделе дифференциального исчисления. Во-вторых, производит красочную иллюстрацию метода, что создает положительную мотивацию к изучению теории решения подобных уравнений. Кроме того, использование программного обеспечения позволяет быстро по времени визуализировать изменения, связанные с варьированием параметров в уравнении, а значит, студенты могут «увидеть» роль соответствующих коэффициентов.

Этап эксперимента рассмотрим на примере урав-

ди д2и

нения диффузии, которое имеет вид — = и------— .

дг дх

Это уравнение есть уравнение параболического типа. Соответствующая разностная схема для данного уравнения определяется следующим образом:

Чм = ° + и<~и ) + ии.

Для краткости обозначим коэффициент О

к2

через к. Зададим его значение к = 0,15 и диапазон изменения координат t и х: t е [0; 29], х е [0; 49].

После того как определены начальные и граничные условия, можно провести расчеты и представить результаты на графике

Рис. 3. Изображение графика решения

Разные виды уравнений будут порождать различные графические представления решений.

Особое внимание студентов необходимо обратить на условия устойчивости рассматриваемого метода. Отсюда, естественно, возникает еще одна задача для экспериментов - определить максимально допустимую величину шага, для которого метод будет оставаться устойчивым.

Аналитический этап. После того как исходное уравнение диффузии решено численно, студенты могут пытаться построить аналитическое описание решения с помощью метода Фурье. В результате появится возможность с помощью программного обеспечения сравнить качество численного решения и аппроксимацию с помощью частичных сумм ряда Фурье, оценить трудоемкость каждого метода, выявить преимущества и недостатки.

Таким образом, в ходе организации и проведения экспериментирования осуществляется повторение и систематизация пройденного материала, обусловленные объективной необходимостью, потребностями практики, что является самым мощным мотивационным фактором для будущих бакалавров математики.

Замечание. Нередко в практике обучения студентов приходится сталкиваться со следующим мнением некоторых преподавателей. Упоминаемые педагоги в выступлениях на научных конференциях, в статьях, интернет-публикациях предлагают при изучении математического анализа и тесно связанных с ним дисциплин «уйти» от категории непрерывности в содержании обучения математике. Из-за активного внедрения информационных технологий сторонников такого мнения становится все больше, широкое распространение получает специальное программное обес-

печение - системы компьютерной математики, функциональность которых позволяет не только автоматизировать вычисления, но и осуществлять поиск символьных решений различных задач.

Однако классики отечественного образования призывают соблюдать аккуратность и не злоупотреблять информатизацией при обучении математике. Напомним, еще Л. Д. Кудрявцев отмечал, что «возникает проблема построения процесса обучения так, чтобы... компьютерная техника (и даже калькуляторы) не наносила ущерба развитию абстрактного поискового мышления, основанного на чувстве гармонии и интуиции» [4].

Представленный в данной работе подход к обучению студентов не предполагает отказа от рассмотрения непрерывных математических объектов, его реализация нацелена на формирование у будущих специалистов понимания связей между непрерывными и дискретными величинами.

Подчеркнем, в процессе обучения студентов фундаментальным математическим курсам использование компьютерного эксперимента целесообразно в силу следующих обстоятельств:

- оно обеспечивает овладение современными технологиями научного познания;

- наглядность модели позволяет студентам глубже осознать суть достаточно абстрактных понятий и фактов;

- компьютерный эксперимент способствует реализации таких этапов исследовательской работы, как постановка задачи, выбор методов ее решения, планирование и проведение эксперимента, аналитическая проверка и оценка его результатов, формулирование выводов;

- применение компьютерных экспериментов в практике обучения обеспечивает интеграцию образовательного процесса с реальной исследовательской деятельностью.

Примечания

1. Иванов О. А. ЕГЭ и результаты первого семестра обучения // Математика в школе. 2011. № 5. С. 34-39; Кириллова И. А. Снижение уровня математических знаний. Их причины и пути преодоления // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок». URL: http://festival.1september.ru/articles/5130l0/; Рыжик В. И. ЕГЭ... Как много в этом звуке... // Математика в школе. 2011. № 9. С. 58-64.

2. Викторова О. С. Научные основы изучения и предупреждения частнометодических затруднений студентов в овладении математическим анализом: На примере раздела «Введение в анализ»: дис. ... канд. пед. наук. Таганрог, 2005.

3. Арнольд В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М.: МЦНМО, 2000.

4. Кудрявцев Л. Д. О реформах образования в России // Образование, которое мы можем потерять. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова: Ин-т компьютерных исследований, 2003. С. 130.