Самофокусировка света в филаменты со сверхширокими временными и пространственными спектрами

САМОФОКУСИРОВКА СВЕТА В ФИЛАМЕНТЫ СО СВЕРХШИРОКИМИ ВРЕМЕННЫМИ И ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ СПЕКТРАМИ С.А. Козлов, П.А. Петрошенко

Проанализирован режим самофокусировки света в канал с поперечным размером порядка центральной длины волны излучения. Показано, что такой световой канал окружен электромагнитным облаком другой частоты, а сам он представляет собой излучение по разному "окрашенное" вдоль продольного размера.

Введение

Оптические импульсы, содержащие лишь несколько колебаний светового поля, принято называть предельно короткими (ПКИ). Экспериментально такие импульсы получают во многих научных лабораториях [1-3]. Понятие огибающей для ПКИ теряет свое физическое содержание, поэтому при описании их распространения перестают быть оправданными традиционные в нелинейной оптике уравнения эволюции огибающих [4, 5].

Как показано при анализе результатов численного моделирования параксиальной динамики поля ПКИ в [6, 7], строгая теория самовоздействия ПКИ в объемных средах должна быть непараксиальной, поскольку при расчете нелинейной пространственно-временной эволюции импульсов с малым продольным размером следует учитывать возможность появления в их структуре и поперечных неоднородностей такого же масштаба.

В работе [8] было показано, что при рассмотрении непараксиальной динамики ПКИ значительные преимущества перед полевым может иметь спектральный подход. В этой работе было выведено укороченное уравнение, описывающее непараксиальную динамику пространственно-временного спектра ПКИ в однородной изотропной диэлектрической среде с произвольной спектральной зависимостью линейного показателя преломления и нерезонансной электронной нелинейностью. В настоящей работе решения этого уравнения анализируются методами компьютерного моделирования.

Уравнение эволюции пространственно-временного спектра излучения

В работе [8] было показано, что динамика пространственно-временного спектра

¥ ¥

Г

— ¥ —¥

электрического поля Е двумерного пучка ТБ-поляризованного излучения, которое распространяется в изотропной нелинейной диэлектрической среде, может быть описана уравнением

тг+'—] --• g+' ^ ЯФ. и, т, «х,, Р)-

дг су и2 п (ш) 4р3с —'¥

• г

В (1), (2) г - направление распространения излучения, х - поперечная координата; г - время; кх и ш - частоты пространственного и временного спектра; п(ш)- линейный показатель преломления среды, с - нелинейная восприимчивость, характеризующая нелинейную часть поляризованности среды Рп1 = %Е3, которая в [7] ив данной работе предполагается безынерционной из-за ее нерезонансной природы; функция ф описывается соотношением

ф(кх, тх, пх, а, Р) =

шп

1 -

кхс

ш п

+

2 2

1 - (кх - тх - пх) с +

22

+ (а-Р)п(а-РХ 1 -

2 2 тхс

+ РЧР\1 -

22 пхс

Р2п2

4-1

Уравнение (2) было выведено в [8] обобщением линейного уравнения, строго описывающего непараксиальную дифракцию и дисперсию малоинтенсивного однонаправленного излучения, на случай высокоинтенсивного света в предположении, что нелинейная добавка к поляризованности среды существенно меньше ее линейной по полю части. В [8] отмечено и дополнительное ограничение на применимость уравнения (2), которое не описывает явление самоотражения излучения назад. Из-за изменения модуля пространственно-временного спектра в нелинейной среде подкоренное выражение во втором слагаемом уравнения (2) может стать отрицательным, а само слагаемое действительным. В этом случае из физических соображений знак корня должен быть выбран отрицательным. Слагаемое при этом становится положительным, что соответствует появлению в среде экспоненциально спадающих вдоль г (а не возрастающих) спектральных компонент (см. также [9, 10]), аналогичных возникающим при полном внутреннем отражении. Если уменьшение энергии излучения, распространяющегося вперед, значительно, то математическая модель взаимодействия света с веществом (2) требует дополнительного уравнения, описывающего волну, генерируемую назад.

Уравнение (2) может быть использовано для описания самовоздействия импульсов, со сверхширокими как временным, так и пространственным спектром.

Численная схема решения спектрального уравнения

Используя подстановку

(

Я (г кх, ш) = и (г кх, ш)ехр

-1-

. шп

Ы Г

Ф2

ш2п 2

Л

• г

где и (г, к , ш) = я (г, к , ш) , преобразуем уравнение (2) к виду V х /\2=0 V х /\г=0

\г=0

ди + 1ш2с

дг 4р3с2

ЯIЯ

и

с V ш2п2

+ а

( (

х ехр

1г

шп(ш) 1

V V

к\с 2

ш2п 2

- а

йпхйшхйшйр = 0,

00

где

=

+

\

(а-р)п(а-р) 1

! (кх - шх - пх У с

' \2 2-

22

22

шх с

_,

(а-р)2 п2 (а-р) с у

22

1 _ пх с

Р 2п 2 (Р)'

с

X

— со

с

с

с

Нормируем уравнение (5), сделав замену переменных и = иио, где ио - наибольшее значение величины и (г к ш) ; ш = ш ш0, йп - центральная частота излу-

V ' х Л г=0

~ ш0п(ш0) (ш) ~(ш) ( ) ~ с чения; кх = к-— ; п(ш) = п(ш)-п(ш0); г = -

х ~г , --у/ 2 г' I

х х с ш0п

Опуская ниже для простоты восприятия значки «~», уравнение (5) для новых переменных можно записать в виде:

ди. + ¡ш20и(кх -тх -пх,ш -а)и(тх,а-р)и(пх,р) х

дг ** * * к2

шп(шХ I1 —2Г^\+А

ш п

х ехр

12

Шп(шХ1--- А

ш п

2 2 2п 2

V V 4 7 00

йпхйтхйшйр = 0,

где G = Апи/(тш)21 аш0 | , Апп[ - нелинейная добавка к показателю преломления,

V 2 0 6р2

т - характеристическая длительность импульса, а - характеристический размер импульса,

2

п

А=(ш - а)п(ш - аХ1 - ((кх Гх2( Пх))+

\

-

2

1 -7-ЧТГ,-ч +Рп

(а-р)2 п 2 (а-р) V

2

1 - пх

Р2п2(Р) "

Численные решения уравнения (6) будем находить для вспомогательной функции и, но их иллюстрации ниже будем по-прежнему приводить для спектра g и поля Е. При численном интегрировании (6) использовали метод Симпсона [11]. Численное дифференцирование производили методом Адамса-Мунда [12].

Непараксиальная динамика пространственно-временных спектров импульсов

из малого числа колебаний

Промоделируем на основе уравнения (6) нелинейную эволюцию спектра ПКИ титан-сапфирового лазера в кварцевом стекле. Входное пространственно-временное распределение импульса будем предполагать гауссовым с начальной фазовой модуляцией (7). Зависимость показателя преломления кварцевого стекла в области нормальной

групповой дисперсии охарактеризуем зависимостью п(ш) = N0 + аш2, где N0 = 1.450;

2 15 -1

аш0 = 0.007; ш0 = 2,4 -10 с . Пространственно-временные размеры ПКИ будем полагать равными — = 3 и = 3 , где 70 = ~~ = 2.6 фс и 10 = ~~ = 0 7 мкм. Нелинейную

7 10 ш0 ш0

добавку к показателю преломления Али^ будем полагать равной 1. При значении коэффициента нелинейного показателя преломления кварцевого стекла

См2

п2 = 2.9 -10- -такая добавка возникает при пиковой интенсивности

Вт

I = 1,3 -1013 Вт

См2

X 1о

0 1; ^

15

1 ГБ

х/А-о

Рис. 1. Поле ПКИ на входе в оптическую среду хА-о

2 О -2

Рис. 2. Поле ПКИ после прохождения им в среде расстояния г = 1210

х/ 1о

2 0 -2

1

0 15

1, ГБ

Рис. 3. Поле ПКИ после прохождения им в среде расстояния г = 2410

Для лучшего восприятия изображения распределения поля импульса будем приводить в двух видах: плоскостное (а) и аксонометрическое (б). На плоскостных изображениях светло-серые области соответствуют отрицательным значениям поля импульса Е, темные - положительным.

Из рис. 1-3 видно, что распространение импульса сопровождается эффективной генерацией высокочастотных компонент. Из-за дисперсии они отделяются от «материнского» импульса. Происходит самоделение ПКИ, которое было описано в [10]. Аналогом этого эффекта для квазимонохроматических импульсов является классический эффект генерации третьей гармоники.

1 2 3

Рис. 4. Разность абсолютныхзначений спектров ПКИ, рассчитанных в параксиальном приближении и на основе строгих непараксиальных уравнений при г = 2410

Х/1о

а

"II II 1>

1

хА,о

Рис. 5. Поле ПКИ после прохождения им в среде расстояния г = 1210

X/ 1о

-2

0 15

1, 1з

Рис. 6. Поле ПКИ после прохождения им в среде расстояния г = 2410.

1 2 3

Рис. 7. Разность абсолютныхзначений спектров ПКИ, рассчитанных в параксиальном приближении и на основе строгих непараксиальных уравнений при г = 2410

Из рис. 4 видно, что непараксиальный метод анализа позволяет выявлять особенности высокочастотных пространственных компонент спектров ПКИ в «красной» области, которые не учитываются в параксиальном случае. Непараксиальная поправка составляет всего 0.03 по отношению к абсолютному значению спектра, полученного в параксиальном приближении.

Для сравнения промоделируем распространение импульса с теми же характери-

Вт

стиками, но с большей пиковой интенсивностью - I = 8 • 1013 —- .

См

Из рис. 5-6 видно, что при распространении импульс претерпевает сжатие в центральной части. В области больших интенсивностей формируется нитевидное распространение поля, в поперечном размере сравнимое с центральной длиной волны. При этом изменение фазы от периферии до центральной части импульса составляет порядка р/2. Это изменение фазы хорошо видно на плоскостном изображении импульса. Из рис. 6 видно, что при прохождении импульсом расстояния в г = 2410 распределение поля

принимает колоколообразную форму с высокочастотным хвостом. На рис. 8 можно наблюдать начало процесса отделения высокочастотных компонент от основной части импульса. Непараксиальная поправка, изображенная на рис. 7, в этом случае составляет до 10% от абсолютного значению спектра, полученного в параксиальном приближении.

Выводы

В настоящей работе рассмотрена динамика самовоздействия импульсов из нескольких колебаний светового поля. Показано, что самовоздействие таких импульсов может приводить к генерации нитевидного распределения поля с поперечными размерами порядка центральной длины волны излучения со скачкообразным изменением фазы в поперечном сечении импульса.

Проведено сравнение результатов, полученных в параксиальном и непараксиальном приближении. Показано, что для гауссовых импульсов из нескольких колебаний светового поля, имеющих начальную фазовую модуляцию, параксиальное приближение с погрешностью в 10% описывает динамику поля на расстояниях в несколько де-

Вт

сятков длин волн при интенсивностях до I = 8 • 10 —- .

См

Работа поддержана грантом РФФИ № 05-02-16556-а.

Литература

1. Steinmeyer G., Sutter D.H., Gallman L., Matuschek N., Keller U. Frontiers in ultrashort pulse generation: pushing the limits in linear and nonlinear optics. // Science. 1999. V. 286. P. 1507-1512.

2. Brabec Th., Krausz F. Intence few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics. // Rev. Mod. Phys. 2000. V. 72. № 2. P.545-591.

3. Cerullo G., De Silvestri S., Nisoli M., Sartania S., Stagira S., Svelto O. Few-optical cycle laser pulses: From high peak power to frequency tenability. // IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electronics. 2000. V. 6. № 6. P. 948-958.

4. Ахманов C.A., Выслоух B.A., Чиркин A.C. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 312 с.

5. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996. 324 с.

6. Берковский А.Н., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Самофокусировка импульсов с малым числом колебаний светового поля. // Оптический журнал, 2002. T.69. № 3. С. 35-42.

7. Andrey N. Berkovsky, Sergei A. Kozlov, and Yuri A. Shpolyansky. Self-focusing of few-cycle light pulses in dielectric media. // Physycal Review A. 2005.

8. Feit M.D., Fleck J.A., Beam nonparaxiality, filament formation, and beam breakup in self-focusing of optical beams. // J .Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 5. № 3. P. 633-640.

9. Изъюров С.А., Козлов С.А. Динамика пространственного спектра световой волны при ее самофокусировке в нелинейной среде. // Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 71. № 11. С. 666-670.

10. Козлов С.А., Петрошенко П.А. Самоделение импульсов из нескольких колебаний светового поля в нелинейной среде с дисперсией. // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 76. В.4.С 241-245.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Гобельков Г.М. Численные методы. 1990. 97 с.

12. S.D. Conte, Carl de Boor, "Elementary Numerical Analysis in Algorithmic Approach", New York, 1980, P. 382.