Построение каркасной модели криволинейной антенны

УДК 621.396.677:519.711.3

А. Н. Якимов, С. А. Яковлев

ПОСТРОЕНИЕ КАРКАСНОЙ МОДЕЛИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ АНТЕННЫ

Аннотация. Рассмотрен процесс построения каркасной модели влияния механических воздействий на конструкции и характеристики излучения микроволновой антенны, основанной на взаимосвязи ее электродинамической и механической моделей. Приведены результаты расчета характеристик направленности антенны с учетом механических воздействий.

Ключевые слова: антенна, деформация, модель, излучение.

Abstract. Process of construction of frame model of influence of mechanical actions on a design and characteristics of radiation of the microwave antenna, based on interrelation of its electrodynamic and mechanical models, is considered. Result of calculation of directional characteristics of antenna is adduced.

Keywords: antenna, deformation, model, radiation.

Введение

Жесткие условия эксплуатации оказывают значительное влияние на работоспособность и надежность работы микроволновых антенн. Отказы, связанные с потерей механической прочности в конструкциях антенн, обычно выявляются лишь на завершающих этапах разработки и приводят к необходимости длительной оптимизации конструкции, что в конечном итоге сказывается на сроках и стоимости проектирования. В связи с этим перспективным направлением в проектировании микроволновых антенн является их математическое моделирование с учетом влияния вибрационных воздействий.

1 Постановка задачи

При проектировании не всегда имеется полная информация о поведении антенн в процессе эксплуатации, что затрудняет построение адекватной модели разрабатываемой антенны в реальных условиях эксплуатации. В связи с этим особую актуальность приобретает построение математических моделей конструкций разрабатываемых антенн и исследование их характеристик с учетом влияния внешних вибрационных воздействий [1-3].

Существующие модели в недостаточной степени учитывают сложные формы излучающей поверхности, возникающие при деформации.

Так, например, классический метод моделирования вибрационных воздействий, основанный на построении матриц жесткости, при исследовании деформаций антенн сложной пространственной конфигурации приводит к большому объему вычислений, требующих использования сверхмощных вычислительных машин и значительных затрат машинного времени.

В связи с этим перспективными могут оказаться каркасные вибрационная и электродинамическая модели микроволновой антенны, позволяющие учитывать влияния вибрационных воздействий на характеристики микроволновой антенны с незначительными затратами времени и вычислительных средств.

2 Построение модели

При построении каркасных моделей микроволновой антенны двумерная аппроксимация излучающей поверхности сводится к одномерной кусочно-линейной аппроксимации функций, образующих эту излучающую поверхность. При этом совокупность плоских сечений этой поверхности во взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных плоскостям Огх и Огу правой декартовой системы координат, образует криволинейную сетку с узлами в точках взаимного пересечения одномерных сечений. Узлы криволинейной сетки, принадлежащие излучающей поверхности, при кусочнолинейной аппроксимации остаются неизменными, а криволинейные отрезки, соединяющие их, заменяются стержнями квадратного сечения. При этом сторона квадрата сечения стержня выбирается равной толщине профиля излучающей поверхности. В результате гладкая излучающая поверхность заменяется каркасной (стержневой) моделью аппроксимации с прямоугольными или квадратными ячейками (в зависимости от шага дискретизации), а при дополнительном разбиении - моделью с треугольными ячейками [4].

Рассмотрим, например, излучающую поверхность в виде зеркала с параболическим профилем. Такая криволинейная поверхность, синтезируемая в процессе проектирования, может быть описана следующей функцией [2]:

2 , 2

г =Х-±У-,

4/

где х, у, г - координаты текущих точек излучающей поверхности в прямоугольной декартовой системе координат; / - фокусное расстояние.

Одномерное сечение поверхности зеркала с параболическим профилем в случае у = 0 опишется одномерной функцией г(х) в плоскости Огх :

х2

г =---.

4/

В векторной интерпретации эта кривая представляет собой годограф векторной функции г скалярных аргументов х, у иг. Учитывая, что рассматривается осесимметричная антенна, целесообразно осуществлять ее равномерное разбиение относительно центра, совмещенного с центром декартовой системы координат. Интервал равномерного разбиения функции при этом определим как разность Дг радиус-векторов узловых точек при равномерной дискретизации этой кривой:

Дг = гк - гк-Ъ

где к = 1, 2, ..., К; К - максимальный порядковый номер индекса радиус-

вектора узловой точки сечения параболоида в полупространстве Огх с поло-

жительной координатой х. При этом индекс к -1 = 0 соответствует координатам х = 0, г = 0 .

Для равномерной дискретизации годографа векторной функции, описывающей параболический профиль в декартовой системе координат, примем шаг дискретизации равным ДЬ , тогда, записав функционал вида [2]

/ (х) =

АЬ -^{хк - хк-1 ) + ^к - Ч-1)

где хд, хд_1, гд , гд_1 - индексированные координаты краиних узловых точек линейных элементов дискретизации антенны, мы можем определить его минимумы, найти координату хд и по формулам (1), (2) определить соответствующую координату гд .

Приняв полученную узловую точку в качестве исходной, используя формулы (2), (4), можем определить следующую узловую точку и т.д. Последний интервал при таком разбиении может оказаться меньше заданного, тогда в качестве узловой точки выбирается точка х, соответствующая крайней точке апертуры зеркала. По полученному вектору-строке координат х узловых точек параболы, в силу ее симметрии, можно легко получить вектор-строку координат х, определяющий все сечение параболоида X = [хд] = (х1, х2,..., хп). Эта операция может быть осуществлена путем симметричного отражения относительно нуля всех элементов вектора-строки, исключая ноль, с противоположным знаком и их присоединения слева к исходному вектору-строке. Соответствующий вектор-строка координат г узловых точек Ъ =[ гк] = (г1 , г2,..., гп) может быть получен по формуле (2), при этом максимальный порядковый номер индекса элемента вектора строки п = 2 К + 1. Таким образом, получим множество векторов векторного пространства, описывающее сечение параболической антенны.

Если, например, принять х = 0 и для сечения параболической поверхности в плоскости Огу

2

z =

У 4/

провести дискретизацию с интервалом АЬ, то по методике, приведенной выше, получим множество векторов векторного пространства, описывающее сечение параболической антенны в плоскости Ozy .

Соединением матриц-строк в матрицу-столбец, а матриц-столбцов в матрицу-строку формируем прямоугольные матрицы размером т х п :

X = [ хк ] =

' XI' ^ ' У '

х2 22 У2

, 2 = [ ^ ] = , V = [уг-к] =

_ Хп _ 2п _ у _ т _

Таким образом, формируются матрицы координат узловых точек излучающей поверхности в декартовой системе координат. Полученные матрицы определяют область возможного решения или область проектирования.

Для выделения границы параболической поверхности все элементы матрицы Ъ, минимально превышающие расчетное значение координаты внешней границы параболоида , приравниваются , для них определяются соответствующие координаты х и у, являющиеся элементами мат-

риц X и У . Остальные же элементы матрицы Ъ, превышающие , и соответствующие элементы матриц X и У считаются избыточными и приравниваются нулю.

Таким образом, область решения определяется элементами матриц Ъ, X и У , отличными от нуля, а также точкой поверхности зеркала, совмещенной с началом системы координат О , определяемой отдельно. Информация, содержащаяся в матрицах Ъ, X и У, достаточна для разбиения излучающей поверхности антенны на стержневые конечные элементы, образующие треугольники.

Оценку влияния деформирующих воздействий на расчетный профиль антенны проводим с помощью модели, являющейся кусочно-линейной аппроксимацией криволинейного профиля антенны в виде совокупности металлических стержней. В такой модели чем дальше ее узел от источника распространения колебания (в нашем случае - центра антенны), тем меньше амплитуда его колебания. При этом в каждом последующем узле амплитуда колебания в п раз меньше амплитуды колебания в предыдущем узле, где п - число стержней, соединяющихся в узле, воспринимающем колебания (рис. 1).

Предположим, что в некотором узле «склеены» стержни из одного материала. К концу одного стержня подходит «падающая волна» с амплитудой Лпад, от границы отражается волна с амплитудой Лотр, а через границу

склеивания проходит волна с амплитудой Лпр . Все три волны имеют одинаковую частоту, но разные амплитуды. В результат получаем

где п - число стержней, входящих в узел, за исключением стержня, в котором распространилась отраженная волна.

Рис. 1 Процесс распространения колебаний в стержнях антенны

п

Для всех стержней, составляющих модель, характерно, что их длина во много раз превышает их поперечные размеры. Благодаря этому при расчетах вибраций стержней можно строить простые гипотезы о распределении деформаций и напряжений по сечению стержня. А такие гипотезы, в свою очередь, позволяют свести сложную трехмерную задачу о деформации стержней к одномерным задачам. Это позволяет, в частности, рассматривать независимо друг от друга продольные, крутильные и изгибные колебания стержня.

Ярким примером колебательных процессов, проходящих в стержнях каркасной модели, являются колебательные процессы, проходящие в одном (главном) сечении антенны.

Оценку влияния вибрационного воздействия на расчетный профиль антенны будем проводить с помощью модели, представляющей собой кусочнолинейную аппроксимацию криволинейного профиля антенны в виде совокупности металлических стержней [5].

В соответствии с этой моделью источник механических гармонических колебаний соединен с краем антенны, а ее центральная часть жестко закреплена. Будем учитывать только поперечные колебания.

Падающую механическую гармоническую волну, распространяющуюся от источника, с учетом того, что она движется против оси Ox, опишем следующим образом:

^пад = А cos

где А - амплитуда падающей волны; ют = 2tcv - круговая частота; t - время; km = 2л/Xт - волновое число механической волны; v - частота механи-

ческих колебаний; 0Cj - начальная фаза механического колебания к моменту времени t = 0; Xm = ст/v - длина волны; ст =^G / р - скорость движения механической волны; G - модуль сдвига вещества твердого тела; р - плотность вещества.

В связи с тем, что антенна имеет параболический профиль, амплитуда колебания, проходящего через точку дискретизации, будет отличаться от амплитуды волны в предыдущей точке множителем cos (рис. 2). Амплитуды коле-

баний каждого из элементов дискретизации определяются по формуле [4]

А1+1 = At cos q ,

где косинус угла q. в текущей узловой точке i может быть определен по формуле

cos q. XiXi+1 + ^ ,

+ z2 )

Хі , хг+1, z^, гг+1 - координаты узловых точек дискретизации профиля антенны с номерами і и і +1 в декартовой системе координат.

Для отраженной механической волны будем иметь

^отр _ АС08

І04

Рис. 2 Определение амплитуд колебаний элементов дискретизации криволинейной антенны

Результат наложения этих волн есть их обычная сумма. Поскольку отражение происходит от более плотной среды, то волны в эту среду не проникают, т.е. в точке х = 0 деформация не наблюдается, и полное смещение равно нулю:

^ = 2A sin kmx sin romt.

Затухание волны в поглощающей среде может быть оценено экспоненциальным законом [2, 5]:

A = Ao exp

где A - амплитуда механической волны в текущей точке с координатой х; Ao - амплитуда механической волны на краю антенны в начальный момент времени t = 0; у - коэффициент затухания механической волны [4, 6].

Электрическое поле Е^, создаваемое системой таких излучателей в точке наблюдения P, является суперпозицией полей отдельных излучателей с учетом амплитуд и фаз возбуждающих их токов:

Ez= S Ее/ ,

i=0

где i - номер излучателя; n = 2N - число излучателей; N - максимальный порядковый номер излучателя относительно оси z; Ее / - составляющая

электрического поля, создаваемая дискретным излучателем с индексом i .

Представление антенны в виде системы линейных элементарных излучателей может быть проведено с помощью линейной дискретизации годографа векторной функции, описывающей профиль антенны [2, 7, 8]. Тогда с использованием построенной модели (2)...(15) можно провести исследование влияния деформаций профиля рассматриваемой антенны на ее ДН F(е), представляемой как

F

где Emax = Е2 (0) - максимальный уровень напряженности электрического поля, равный для симметричных антенн его значению в направлении оси излучения.

3 Решение тестовой задачи

В соответствии с математической моделью, построенной на основе локально-одномерной схемы, оценим влияние на ДН деформаций цилиндрической антенны с длиной раскрыва L = 1 м, синфазным и равноамплитудным возбуждением, работающей на длине волны, равной Х = 3 см, когда точка наблюдения P удалена на расстояние R = 1000 м. В качестве материала антенны используется алюминиевый сплав АМЦМ, плотность которого

р = 2730 —3, а модуль сдвига G = 25,6 ГПа. При расчете логарифмический м

декремент Л, учитывающий демпфирующие свойства материала конструкции, принять равным 0,01.

Предположим, что деформация антенны произошла в результате воздействия на антенну механического гармонического колебания вида \ = A cos Ш, амплитудой 3 мм и частотой 150 Гц. Для упрощения расчетов рассмотрим только поперечные колебания, пренебрегая продольными.

В соответствии с предложенной математической моделью расчеты были проведены в оболочке MatLAB. В результате расчетов было установлено, что модель антенны с заданными параметрами в отсутствие вибрационных воздействий имеет ДН с шириной на уровне половинной мощности

200 5 = 30 и уровнем боковых лепестков (УБЛ), равным -13,22 дБ (рис. 3, кривая 1).

т

\

\

\

\ (\ Д V

\д\

V\\ \'\Ч

\\\> J

\ г —'SV'

V Чл\

о

град

Рис. 3 Диаграммы направленности криволинейной антенны с исходным (1) и деформированными (2, 3, 4) профилями

При механическом гармоническом воздействии с начальной фазой, равной нулю, за один интервал времени , равный периоду гармонического

воздействия (Д^ = Т), возникающие деформации профиля антенны порождают следующие изменения ДН (рис. 3, кривая 2): ширина ДН незначительно увеличивается, но уже исчезают нулевые уровни в области боковых лепестков и значительно увеличивается УБЛ, составляя -11,36 дБ. При расчете ре-

1G6

зультатов деформации для каждого последующего временного интервала Дґ воздействие поперечных механических колебаний оценивается для нового пространственного положения узлов профиля антенны, полученного в предыдущий момент.

4 Анализ результатов

Расчеты деформации профиля антенны для моментов времени ґ, соответствующих его дальнейшему дискретному приращению с интервалом Дґ, дали следующие результаты. При времени, равном двум периодам ґ = 2Дґ (рис. 3, кривая 3) и ґ = 3Дґ (рис. 3, кривая 4), т.е. при дальнейшем увеличении ґ, наблюдается увеличение деформации профиля антенны и отклонения ДН от исходной формы. Так, например, уровень ДН в области бывших нулей (см. рис. 3, кривая 1) еще более возрастает и практически размывается боковой лепесток (см. рис. 3, кривые 3, 4). И хотя мы наблюдаем незначительное снижение УБЛ по отношению к УБЛ кривой 2, тенденция роста его все-таки сохраняется и для ґ = 2Дґ и ґ = 3Дґ составляет, соответственно, -11,88 и -11,85 дБ. Полученные результаты соответствуют тенденциям влияния вибрационных воздействий на характеристики микроволновых антенн [3].

Заключение

Таким образом, предложенный подход к оценке влияния вибрационных воздействий на конструкции антенн сложной пространственной конфигурации с использованием каркасной модели позволяет с приемлемыми вычислительными затратами оптимизировать конструкции микроволновых антенн и обеспечить их устойчивость к вибрационным воздействиям с требуемыми характеристиками излучения.

Список литературы

1. Маквецов, Е. Н. Механические воздействия и защита радиоэлектронной аппаратуры : учебник для вузов / Е. Н. Маквецов, А. М. Тартаковский. - М. : Радио и связь, 1993. - 200 с.

2. Якимов, А. Н. Проектирование микроволновых антенн с учетом внешних воздействий : монография / А. Н. Якимов. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2004. - 260 с.

3. Абжирко, Н. Н. Влияние вибраций на характеристики радиолокационных антенн / Н. Н. Абжирко. - М. : Сов. радио, 1974. - 168 с.

4. Кабисов, К. С. Колебания и волновые процессы: Теория. Задачи с решениями / К. С. Кабисов, Т. Ф. Камалов, В. А. Лурье. - М. : КомКнига, 2005. - 360 с.

5. Сазонов, Д. М. Антенны и устройства СВЧ / Д. М. Сазонов. - М. : Высшая школа, 1988. - 432 с.

6. Якимов, А. Н. Влияние деформаций на характеристики направленности линейной антенны / А. Н. Якимов, С. А. Яковлев // Надежность и качество : труды Международного симпозиума. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - С. 318-320.

7. Яковлев, С. А. Моделирование влияния вибраций на характеристики направленности криволинейной антенны / С. А. Яковлев, А. Н. Якимов // Надежность и качество : труды Международного симпозиума. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. - С. 278-280.

8. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1974. - 832 с.

Якимов Александр Николаевич

доктор технических наук, профессор, кафедра конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет

E-mail: kipra@pnzgu.ru

Яковлев Сергей Александрович аспирант,

Пензенский государственный университет

E-mail: kipra@pnzgu.ru

УДК 621.396.677:519.711.3 Якимов, А. Н.

Построение каркасной модели криволинейной антенны / А. Н. Якимов, С. А. Яковлев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 1 (9). - С. 100-108.

Yakimov Alexander Nikolaevich a Dr. Sci. Tech., the professor, chair of designing and radio equipment manufacture, the Penza state university

Yakovlev Sergey Aleksandrovich the post-graduate student, the Penza state university