Вавилов & Co

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 1

К 60-ЛЕТИЮ Н. А. ВАВИЛОВА

ВАВИЛОВ & Со.

Наша дружба и сотрудничество с Николаем Александровичем началось много лет назад. Мы рады выразить в этом небольшом вступлении наши чувства восхищения, уважения и любви.

Всем, соприкасавшимся с Николаем Александровичем в математике и жизни, хорошо известен его уникальный талант увлекать темой своих научных интересов молодых, да и не только молодых, исследователей. Мы, некогда попавшие в эти сети, с благодарностью воспринимаем это, как подарок судьбы. С практической точки зрения эта харизматичность (не только научная) Николая Александровича привела к появлению большой семьи его учеников и соавторов. Поэтому мы зачастую будем пользоваться аббревиатурой «Вавилов & Со.», имея ввиду, что

Вавилов & Со. = Н. А. Вавилов + ученики,

опуская конкретные имена. Заранее просим прощения за эту вольность обозначений.

Основная область математических интересов Николая Александровича — структурная теория групп Шевалле над кольцами. В ней Н. А. Вавилов признанный во всем мире эксперт, создатель научной школы, автор многочисленных статей и обзоров.

Отправной точкой работ Н. А. Вавилова послужили две статьи его научного руководителя З. И. Боревича о подгруппах полной и специальной линейных групп, содержащих группу верхнетреугольных или диагональных матриц, опубликованные в 1976 году.

Отталкиваясь от первоначальной задачи о обобщении результатов Боревича (1976, 1977), Вавилов пишет большую серию работ о подгруппах классических групп, содержащих фиксированную подгруппу, о надгруппах борелевских подгрупп, над-группах расщепимых максимальных торов в классических группах над кольцами, о вычислении нормализаторов и фактор-групп, и так далее.

Одновременно Н. А. начинает распространять возникающие в недрах классических групп методы на группы Шевалле над кольцами. Уже в 1978 году он пишет первую работу о параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальными кольцами, а в 1979 году еще две работы, посвященные параболическим подгруппам скрученных групп Шевалле и сетевым подгруппам групп Шевалле.

В то же время полная линейная группа остается тестовым примером для получения новых результатов. Достигнув виртуозного владения техникой вычислений в ней, Н. А. Вавилов получает ряд важных теорем о нормальной структуре классических групп над коммутативными кольцами. В дальнейшем в одной из своих книг

Н. А. напишет главу под названием «Её Величество Полная Линейная Группа», в которой всем известная группа представлена живым и очень особенным организмом, выделяющим ее действительно королевскую сущность.

В начале 80-х Н. А. Вавилов концентрируется на общей задаче описания подгрупп групп Шевалле, содержащих расщепимый максимальный тор. Он получил теоремы о стандартном описании и классификации таких подгрупп для произвольных групп Шевалле над произвольным полем, содержащим более 11 элементов.Этот глубокий результат обобщает аналогичный результат Г. Зейтца для конечных полей. Он изложен в двух обзорах Н. А. Вавилова (1989, 1990). Решение этой задачи для классических групп составило основное содержание его докторской диссертации.

Кроме того, при попытках перенести результаты о подгруппах на более общие кольца Боревич и Вавилов заметили, что диагональных и даже верхнетреугольных матриц недостаточно для извлечения трансвекций над общими, даже коммутативными, кольцами. Зато с привлечением леммы Суслина или некоторых условий стабильности удается описать решетку подгрупп, содержащих группу клеточно-диагональ-ных матриц при условии, что размеры клеток не меньше, чем 3.

Примерно в то же время М. Ашбахер выдвинул «Maximal Subgroup Classification Project» для конечных простых групп. В частности, он доказал, что любая максимальная подгруппа классической конечной группы лежит в одном из 9 классов. Вавилов заметил, что после подходящей модификации классов Ашбахера подгруппы из классов остаются достаточно большими (хотя и не максимальными) и в классических группах над коммутативными кольцами; большими в том смысле, что можно описать решетку их надгрупп. Этой тематике посвящена серия работ «Вавилов & Co.», которая началась в 80-х с класса C1 + C2 и продолжается по настоящее время (классы C8, C5, C4).

К середине 80-х оформилась общая философия Н. А. по отношению к структурной теории групп Шевалле над кольцами. В результате в 1991 году после Международного конгресса в Киото выходит концептуальный обзор «Structure of Chevalley groups over commutative rings», в котором изложены и проиллюстрированы идеи и результаты осмысленной за эти годы теории.

В введении к обзору Н. А. Вавилов пишет, что «основной целью (обзора) являются скорее вопросы "почему" и "как", чем вопрос "что". Мы концентрируемся более на методах доказательства результатов, чем на самих результатах». В частности, он декларирует несколько логически согласованных методов, каждый из которых превратился в работах «Вавилов & Co.» в самостоятельное направление исследований.

Не претендуя на полноту, перечислим некоторые из них.

«Нет существенного различия между классическими группами и исключительными группами, если мы рассматриваем последние в подходящем представлении». Отталкиваясь от этого тезиса, Н. А. Вавилов последовательно изучает структуру и геометрию минимальных модулей для групп Шевалле. Эта работа приводит к следующей теме.

Весовые диаграммы, комбинаторика базисных (микровесовых) представлений, матричные вычисления в минимальных модулях для классических и исключительных групп. Эта тема стимулирует новый цикл исследований.

Элементарные вычисления, а также стабильные вычисления, т. е. вычисления, заменяющие умножение матриц, представляющих произвольные элементы груп-

пы Шевалле, на операции с элементарными матрицами и на контроль действия элементарных матриц на строках и столбцах. Немедленно возникает еще один объект интересов Н. А.

Нахождение явных уравнений, независимых от характеристики, задающих исключительные группы Шевалле в минимальных представлениях, а также изучение реализаций исключительных групп как групп изометрий подходящих форм. Возвращаясь к задачам, в которых применима указанная техника, то есть к вопросу «что?», Вавилов концентрирует внимание на структурной теории алгебраических и близких к ним групп над кольцами. Ключевыми здесь являются вопросы

нормальности группы элементарных матриц во всей группе Шевалле над коммутативным кольцом и нильпотентности Ki-функтора;

описания подгрупп группы Шевалле, нормализуемых подгруппой элементарных матриц;

стабильности функторов Ki и K2, а также центральности K2. Каждый из указанных вопросов дал начало нескольким долговременным проектам Н. А. Вавилова, реализованным (здесь уместнее употребить более оптимистичное «present continuous» — находящихся в стадии реализации) им самим в содружестве с учениками и соавторами.

Нормальность группы элементарных матриц была доказана А. Суслиным в 1977 году для случая полной линейной группы над произвольным коммутативным кольцом (см. также результаты В.Копейко для классических групп). Д. Таддеи (1985) доказал аналогичный результат для произвольных групп Шевалле. Н. Вавилов и Р. Хазрат (2003) показали, что при разумных ограничениях на кольцо факторгруппа универсальной группы Шевалле по ее элементарной подгруппе (то есть Ki-функтор) является нильпотентной группой. Фактически этот важный результат можно рассматривать как далекое обобщение результатов Суслина—Копейко—Таддеи. Позднее (2010), Н. Вавилов вместе с А. Баком и Р. Хазратом доказали, что и в относительном случае Ki-функтор есть расширение нильпотентной группы с помощью абелевой.

Описание указанных подгрупп групп Шевалле было получено Абе—Сузуки— Васерштейном с помощью локализационных методов. В серии работ (1976-1995) они показали, что каждая такая подгруппа зажимается между подходящей относительной элементарной подгруппой уровня A, где A — идеал, и соответствующей конгруэнц-подгруппой. Н. А. Вавилов вместе с учениками нашел другие доказательства этого факта (1980-2012). Эти доказательства, отличаясь концептуально, позволяют получить некоторые более тонкие результаты, а также визуализировать ход рассуждений и понять «quo vadis?» в хорошем смысле слова. Часть возникающих доказательств Н. А. назвал «Доказательствами из Книги».

Вопросы маломерной K-теории с позиций групп Шевалле были изучены М. Штейном в конце 70-х. «Вавилов & Co.» развивает технику Штейна, что дает возможность получить новые результаты о сюръективной/инъективной стабилизации для Ki и сюръективной стабилизации для K2 при различных условиях на размерность (какую-либо!) основного кольца. Попутно он развивает чрезвычайно важную технику стабильных матричных вычислений в исключительных группах, которая неразрывно связана с техникой треугольных факторизаций типа разложений Брюа или Гаусса и параболических факторизаций типа разложения Денниса—Васерштейна. Эта тематика, возникшая еще в начале 80-х, получила новый импульс в совсем недавних работах «Вавилов & Co.». Другим важным

объектом исследований «Вавилов & Co.», пришедшим из этой области, является метод разложения унипотентов, который вместе с разложением Шевалле—Ма-цумото позволяет вести индукцию по рангу группы.

Этот, отсутствующий выше, пункт посвящен проекту, который Н. А. со свойственным ему темпераментом окрестил «Йогой коммутаторов» (совместно с Р. Хазратом, А.Степановым и Ж. Чжангом, 2008-2013). По сути, речь идет о наборе сложных коммутационных формул, обобщающих классические коммутационные формулы и составляющих мощный инструмент для доказательства различных структурных теорем как описанных выше, так и новых. В частности, они позволили А. Степанову и Н. Вавилову доказать ряд результатов о конечности ширины коммутаторов в элементарных образующих для групп над достаточно общими (и даже произвольными) коммутативными кольцами. Основными средствами, используемыми для доказательств формул из «йоги», являются два типа локализации: «localization and patching» Квиллена—Суслина и «localization-completion» А. Бака, которые, в отличие от разложения унипотентов, позволяют вести индукцию по размерности основного кольца.

В заключение отметим, что помимо перечисленных направлений, «Вавилов & Co.» (совм. с Л.Ди Мартино, 1992-1995) получили ряд результатов, относящихся к проблеме (2,3) порождения групп типа Ли. Вместе с Л. Ди Мартино были также начаты работы по геометрии корневых подгрупп и торов, продолженные позднее с В. Нестеровым и И. Певзнером. К этому направлению примыкают работы по весовым элементам, полупростым корневым элементам и клеткам Брюа.

Отдельно следует отметить начавшееся еще на Конгрессе в Киото в 1990 году долговременное научное содружество Н. А. Вавилова и А. Бака. Помимо чисто научных результатов, связанных со структурными теоремами для унитарных групп Бака, с алгебраической теорией квадратичных форм, с фундаментальными идеалами групповых колец, это сотрудничество оказалось чрезвычайно важным для многих студентов Санкт-Петербургского университета, которые побывали в Билефельде и получили возможность участвовать в многочисленных конференциях и научных школах.

В последнее время «Вавилов & Co.» уделяет много внимания строению не только расщепимых групп, но и изотропных редуктивных групп над кольцами. Этот поворот интересов произошел во многом благодаря усилиям В. Петрова, А. Ставровой и А. Лузгарева, которые показали что и как можно переносить с расщепимых групп на изотропные. В качестве побочного продукта этой активности было получено ключевое продвижение в проблема Гротендика—Серра для изотропных групп (совм. с И. А. Паниным и А. К. Ставровой).

Мы желаем Николаю Александровичу хорошего здоровья, активности и кипучей энергии. Мы желаем привести в порядок и опубликовать те, уже написанные, тысячи страниц алгебраической беллетристики, которые, без сомнения, станут бестселлером для студентов и специалистов. Мы желаем написать то, что еще не написано, и доказать то, что еще не доказано.

И, наконец, мы желаем Николаю Александровичу перечитать это вступление через 60 лет.

Е. Б. Плоткин, Е. В. Дыбкова, Н. Л. Гордеев, А. Ю. Лузгарёв, И. А. Панин, В. А. Петров, А. А. Семёнов, А. В. Степанов, А. В. Яковлев