К теории вихревого взаимодействия на затупленном конусе

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том ХШ 1982

М 3

УДК 533.6.011.5

К ТЕОРИИ ВИХРЕВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ЗАТУПЛЕННОМ КОНУСЕ

Ю. Г. Елькин, Ю. И. Ермак, И. И. Липатов, В. Я Нейланд

Рассмотрено гиперзвуковое течение вязкого газа на режиме вихревого взаимодействия около поверхности затупленного конуса, аппроксимируемого гиперболоидом вращения.

1. Явление поглощения энтропийного слоя пограничным слоем около поверхности гиперзвукового летательного аппарата может оказаться существенным при расчете тепловых потоков к его поверхности в натурных условиях полета. Можно заметить, что поглощение энтропийного слоя приводит к увеличению теплового потока на 50% и более к поверхности орбитального самолета по сравнению с данными расчетов, проведенных без учета этого яв-ления [1]. С другой стороны, расчетные исследования (например, {2}} обтекания треугольного крыла, установленного под углом атаки, показали, что существует определенный диапазон углов атаки, в котором течение в окрестности линии симметрии на наветренной стороне крыла, как вязкое, так и невязкое, хорошо моделируется течением на конусе, обтекаемом под нулевым углом атаки, с полу-углом при вершине, равным углу атаки крыла. Поэтому рассмотрение обтекания затупленного конуса гиперзвуковым потоком вязкого газа, помимо самостоятельного значения, представляет интерес и с этой точки зрения.

В настоящей работе исследуется обтекание гиперболоида вращения на режиме вихревого взаимодействия, как тела, весьма близкого по форме к затупленному конусу (рис. 1).

Угол раскрытия затупленного конуса достаточно велик, чтобы на его затуплении не образовалось „вакуумной“ области (в рамках ньютоновской теории гиперзвуковых течений).

Пусть т — показатель адиабаты; М0> 1 — число М набегающего потока; р0, —плотность и скорость набегающего потока. В рам-

ках ньютоновской теории гиперзвуковых течений при решении уравнений Навье—Стокса имеет место предельный переход:

Ь =

Известно [3, 4], что при достаточно больших значениях числа Ке0 — (р0 «о Г)ІР\ (здесь г — радиус кривизны затупления, индекс 1 соответствует условиям за ударной волной, индекс О соответствует условиям в набегающем потоке, ^ — коэффициент вязкости) невязкое течение за ударной волной в окрестности локально сферического затупления разделяется на две характерные области. В первой области течения, прилежащей к ударной волне, с характерной толщиной ~е1 г характерная величина продольной скорости — и0, характерное значение плотности р^р'0/еь характерная величина давления^ро^0. Во второй, пристеночной области

медленного течения с характерной толщиной — ej/2r характерная величина продольной скорости характерное значение плот-

ности pj^po/ej, характерная величина давления~p0/ío. Эта область характеризуется также пренебрежимо малой величиной попереч-ного перепада давления. На „дне“ этой второй области на поверхности тела при достаточно большом значении числа Re0 развивается обычный пограничный слой в рамках теории Прандтля.

При уменьшении числа Re0 толщина пограничного слоя возрастает и при некотором его значении становится величиной одного порядка с толщиной области пристеночного невязкого течения. Такой режим течения носит название режима вихревого взаимодействия. В этом режиме течение описывается уравнениями пограничного слоя с той лишь особенностью, что внешнее краевое условие для скорости заменяется условием для градиента скорости. Режим вихревого взаимодействия характеризуется более высокими значениями коэффициентов теплопередачи и трения на поверхности вследствие интенсификации переноса импульса в пограничный слой через его внешнюю границу.

В работе [3] изучено течение только в окрестности критической точки. В настоящей работе этот режим исследован для всей боковой поверхности гиперболоида вращения.

Режим вихревого взаимодействия может реализоваться и на боковой поверхности затупленного конуса, когда удлинение ве-

Рис. 1

Рис. 2

лнко, т. е. {L¡r) = К^> \ (здесь ¿ — характерная длина конуса). Это тот случай, когда число Re0 достаточно велико, чтобы в окрестности затупления реализовалось двухслойное невязкое течение с обычным пограничным ело-ем вблизи поверхности.

На рис. 2 представлен профиль скоростей на боковой поверхности за-тупленного конуса в невязком течении за ударной волной. Первая характерная зона, прилегающая к ударной волне, имеет толщину — tJL) здесь скорость равномерная k = «ooCOS05, Следующая характерная зона, располагающаяся ближе к поверхности кону> са, имеет толщину — K~2txL\ здесь профиль скорости имеет заметный градиент, течение завихренное,

В эту зону попадают почти все линии тока, прошедшие через ударную волну в окрестности затупления. Наконец, вблизи поверхности тела располагается третья зона медленного течения толщиной ~/C~2ei/2¿; характерная скорость в этой зоне~VztL«>- В эту зону попадают линии тока, прошедшие через близкий к прямому участок ударной волны в окрестности затупления. Вторая и третья зоны составляют энтропийный слой. Порядок величины давления во всех трех зонах одинаков. Здесь будет рассмотрено только поглощение зоны медленного течения вязким пограничным слоем.

На больших расстояниях от затупления при /sf> 1 толщина пограничного слоя возрастает, а энтропийный слой становится тоньше вследствие эффекта пространственного растекания. В результате на боковой поверхности конуса реализуются условия, при которых расход в пристеночном слое медленного невязкого течения оказывается одного порядка с расходом в вязком пограничном слое. В данной работе рассмотрен этот режим течения, получены параметр подобия и уравнение с краевыми условиями, а также проведены расчеты.

2. Сначала рассмотрим некоторые геометрические свойства гиперболоида вращения, аппроксимирующего затупленный конус (см. рис. I). Все размерные величины отнесены к радиусу кривизны затупления г. Уравнение контура тела:

О а)

где 0^ — полуугол раскрытия конуса.

Если координаты х и В отнести к характерной длине 1 и ввести координаты В~В1К, К = 1-1 г, то можно получить

ViAiKf + ABl

Вдали от вершины при 1, — В1УА — это уравнение но-

верхности конуса. Учитывая соотношение для элемента дуги

{йх# =

получим

ß, _____________________

Г 1 Íл , Л2 ßl

*1 = J V + [WKP+AB\] dBl'

Угол наклона Ф^л^) контура к оси определим согласно формуле

sin Ф,

4 ' V (А/К)2 + {А~\-А*)В\ V ’

Кривизна контура:

х — ф

^ ” [{AIKF + (А + А*)В\у2 ' ^

Далее подстрочный индекс „1" будет опущен.

Уравнения Навье—Стокса запишем в криволинейной системе координат (я, у), связанной с поверхностью гиперболоида вращения. Здесь координата х отсчитывается вдоль поверхности тела, начиная от критической точки; координата у отсчитывается по нормали к поверхности тела. Метрические соотношения системы координат имеют вид:

dl2 = (1 4- *>02 т dy2 + rf ¿fcp2;

ц = В (х) >f у cos Ф,,, где <р — азимутальный угол.

Введем безразмерные переменные. Размерные переменные отметим чертой сверху

gju0 = {и, V, 0); pS~f2° =-р\ р/Ро = PÍ Ia = v-lv-Г,

Ро ио

Н— (h -j- <Р/2)/(¡3/2) ; ео “ 1 /Re0; Re0 — р0 «© '"/p-i;

x = Lx] у — Ly ,

где q — вектор скорости.

Тогда уравнения Навье—Стокса примут вид

-¿г (4P«) + -^г К1 + = °’

I и ди ди х \ 1 д/>

Р \ 1 + ху дх ^ ^ ду 1 -f- ху U<VJ 1 + ХУ дх

= Ío_Uf du], 1 .

К I ду чН1 ду / "т* ’

1 + ху

К I ду \г ду

и dv . dv х Л . dp Ео Г д ( dv \ 1 .

Ьрху dxí ду I + ху / ду К ду v ду I

dH . дн\ so / д ( ¡J. дН \ . д 17, 1 \ да 1 \

дх ' V дуI К \ ду \ Рг ду ) ду IA Pr / ^ ду J "'J ’

р = (Ч^) [р ш - ?2) - (Д> -1)]-

В дальнейшем понадобятся переменные Мизеса (х, ф). Переход от координат (я, у) к (я, ф) описывается формулами [5].

От переменной ф можно перейти к переменной £ —абсциссе точки на ударной волне, которую пересекает заданная линия тока:

ф = ~2~ Us

волны до тела, индекс s

здесь ys — расстояние от ударной соответствует ударной волне.

Кратко остановимся на краевых условиях для уравнений Навье—Стокса. На поверхности тела следует задать условия не-протекания, прилипания и, например, температуру стенки. На ударной волне выполняются условия Гюгонио (на рассматриваемых в дальнейшем режимах течения). При меньших значениях числа Рейнольдса оказывается необходимым рассматривать более общие условия [6].

3. Введем следующие асимптотические разложения [5] для течения за ударной волной:

и(ху ф; еь N, е0, К) = а,(х, 5; Л/, К)+ . \

v(xt ф; е„ N, е0, АГ) = (ага Ny К) +

р(х, ф; e„ N, е0, АГ) =/?j (л:, Е; /V, /С) + .

р

И(x} ф; Sl, iV, £0, К) = Нх{х, 6; ЛГ, K) + . .

Ф; si> W £o« tf)s(ei/tf)yi(*; -М /С) +

чД*1Ф; i» лг, е0> /с) = 5 + —

После подстановки разложений (8а) в уравнения Навье—Стокса (5) с учетом (6) и (7) и выполнения предельного перехода

е0-*0; 6,-0; Мс -* оо; ЛГ=0

получаем уравнения, описывающие течение за ударной волной, решение которых в переменных (х, ?) имеет следующий вид:

р 1

а, = АВЫ(А1КТ Л- (А + А^В2; (А(КУ*+АВЦх) АЦА1К)1

+

(А1КР+{А+А*)В*(х) ' 2 [(А1К)2-\- (А + AZ)B*{x)fl2YA-\-Ai

х | в (х) Vc* + B'(x) -в (г) +

X

— С21п

В

В(Е) + /счГЖш С = (А!Ю21(А +л2).

Отсюда нетрудно получить предельные формулы для скорости и давления иа боковой поверхности гиперболоида вращения, аппроксимирующего затупленный конус при АТ> 1:

и, = С05 0,; />1==81п20л.

Эти результаты справедливы для течения с & —0(1) на толщинах ударного слоя — е^. Однако имеется область течения, расположенная ближе к боковой поверхности тела, где Ф — /С *3.

Толщина этой области —K~2txL. Сюда попадают струйки тока, прошедшие через ударную волну в области затупления- Равномерный профиль скорости поперек ударного слоя на боковой поверхности тела, описываемый формулой (10), справедлив лишь для О {!). Для скорости в окрестности боковой поверхности при Ф — /С“2 можно получить из (9) следующие выражения:

1 1 *2. ^ ~ <т» /с\ AK~l (Kz) ]

Ф------* <г; cos Ф, (?) ~  -....- -

Т 2 sW

U\ ~ cosФ_, (0—\ — j

Это выражение для скорости в энтропийном слое понадобится ниже.

Рассмотрим слой медленного течения, располагающийся еще ближе к поверхности тела. В соответствии с работами [3, 4] в окрестности затупления толщина этого слоя ref2 или —К~х е?/2 L. На боковой поверхности затупленного конуса вследствие прост-ранственного эффекта растекания (на длине~L) толщина этого слоя становится — /С2е?/2/,. Асимптотические разложения параметров течения в этой области в деформированных переменных, связанных с поверхностью тела, имеют вид:

~ —2 3/2 — ']

у — /С в/ у;

yfiU-h...; -к . . ; ^

Р — efl р + .. . ; Р ~Р + .. . ; |

При подстановке разложений (12) в уравнения Навье—Стокса (5) и выполнении предельного перехода

Е„-0; е, — 0; N = 0

получим уравнения для невязкого пограничного слоя, описывающие невязкое медленное течение в окрестности боковой поверхности затупленного конуса. В эту область поступают линии тока, прошедшие через прямую ударную волну в окрестности затупления на расстоянии ~ угг1 г от линии симметрии течения. Решение этих уравнений при выполнении условия непротекания и сращивании с решениями (9) имеет вид

Р—РЛх, 0); ?=/>,(*, 0)/(1+ЛО;

{2 [ф-(1 + Л01п/7,(*, О)]}1'2.

4. На поверхности затупленного конуса выполняется условие прилипания, и в связи с этим необходимо введение пограничного слоя. Режим вихревого взаимодействия в окрестности затупления реализуется в том случае, когда толщина медленного пристеночного течения имеет один порядок с толщиной пограничного слоя ^r/]/Re0 — пГ) и определяется параметром Д =

= (во/'е?/2) = 0(1). Теория вихревого взаимодействия в окрестности затупления развита в работах [3], [4]. Здесь следует отметить, что

в работе [3} имеется арифметическая ошибка при определении градиента давления в окрестности критической точки. Правильное выражение имеет вид (4, 5]: (сЬр/йх) —1/8/3*.

Уравнения, описывающие вязкое течение на режиме вихревого взаимодействия [А.— 0(1)] в окрестности затупления, имеют вид

Выражение для давления в уравнениях (13а) представлено соотношением (9).

Режим вихревого взаимодействия на боковой поверхности затупленного конуса при АГ> 1 реализуется в том случае, когда

толщина слоя медленного пристеночного течения_________оказывается

одного порядка с толщиной пограничного Слоя (¿/1/7?2)~ К~2 е?-12£ и определяется параметром Д2^/С3ео ^Г5/2 = 0(1) (^ — КЯо)*

Величина А! представляет собой отношение толщины пограничного слоя к толщине области незязкого медленного течения. В том случае, когда эти толщины одного порядка, параметр ^ имеет порядок единицы. Когда толщина пограничного слоя много меньше толщины области медленного течения, параметр А! много меньше единицы, и на „дне“ медленного течения на поверхности тела развивается обычный пограничный слой. В случае, когда параметр А! много больше единицы, пограничный слой поглощает энтропийный слой. Следует отметить, что с ростом длины затупленного конуса происходит переход от режима обычного пограничного слоя к режиму вихревого взаимодействия, затем режим вихревого взаимодействия переходит в режим поглощения энтропийного слоя. Если режим вихревого взаимодействия имеет место в непосредственной окрестности затупления, то на боковой поверхности этот режим переходит в режим поглощения энтропийного слоя. Наконец, с дальнейшим увеличением длины тела режим поглощения энтропийного слоя переходит в режим обычного пограничного слоя.

Если сравнить выражения для А и А,, можно заметить, что в случае ¿1 — 0(1) и АГ»1, которому соответствует режим вихревого взаимодействия на боковой поверхности, величина А 1 и в окрестностии затупления на поверхности тела развивается обычный пограничный слой.

Д<сг^гг + В/'2 +В- Г/")-2В/Г; Д

с краевыми условиями:

/' (0, л;) — 0; /(0,*) = 0; Н(0,х)= Н9;

/" (оо, х) = 1; И( со,*)==!,

где

а

Асимптотические разложения в случае вихревого взаимодействия на боковой поверхности затупленного конуса имеют вид (12). Рассмотрим предельный переход:

е0 0; *1-0; М0 оо; /с-ос; N=0

Если асимптотические разложения подставить в уравнения Навье — Стокса (5) и выполнить предельный переход (14), можно получить следующую систему уравнений для вихревого взаимодействия на боковой поверхности затупленного конуса:

¿(йрИ)+ ± (ВргО = 0;

(да . да \ , др А д ( да \

р (“ ж + v ¿7) + дЯ “ ¿7 (f1 57)'

1 дН . дН\ . д ( }л дН\

Р\идх + V ду ) “ 1 ду ( Рг ду ) ’

£ = 0. ду

Граничные условия на поверхности тела имеют обычный вид:

и{ 0) = хг

Краевое условие для уравнения энергии на внешней границе пограничного слоя также имеет обычный вид:

И

Краевое условие для скорости и на внешней границе пограничного слоя получим путем сращивания асимптотических разложений.

Если использовать результат (И), можно получить

и

или

(&)_-*• (15д) Начальные условия для системы (15а) получим при сращивании с решениями (126):

и

Краевая задача (15а)—(15е) неавтомодельна, хотя в соответствии с (9)(dpjdx) 0 при К ^ оо вследствие начальных данных (15е). Ниже решается предельная задача, не зависящая от начальных данных, когда пограничный слой выходит на некоторый регулярный режим, не зависящий от начального состояния.

Преобразуем систему уравнений (15а) с краевыми условиями (15в) — (15д). Введем следующие независимые переменные

£ = jp,B>dx; Ч = ^и-/р *У

О О

и функцию тока в виде

I w>

Тогда краевая задача (15а) —(15д) примет вид:

мсг)'+4-//"-х/'2-°; ]

А.

/ (0) =/' (0) = 0; Я(0) = Я,

/" (схэ) = 1; И(оо) = 1

Здесь С = (р^/ре^).

Нетрудно увидеть, что краевая задача (16) допускает преобразование подобия:

Т) = Д,1'3 Г; /_Д

При этом преобразовании краевая задача (16) принимает тот же вид (16), но с Д1=1. Выражение для интенсивности теплового потока при этом преобразовании имеет вид (дИ/ду]) — АГ1/3 (<?£/<%). Краевая задача (16) в случае С=1 может быть решена в квадратурах:

!-я ? ~2^

1 1 Л ТСГ I Л А

------- J3

9^1 jt Ö

е

б

Выражение для числа Стантона иа режиме вихревого взаимодействия St= — qJ(HJНJ ро и0 (здесь ^ — удельный тепловой лоток к поверхности тела) в пределе имеет вид:

st Pr

В этом выражении использовано преобразование подобия (17). Для удобства использования основного результата (18) напомним, что р0—плотность в набегающем потоке, pj—плотность за прямой

ударной волной, Ке0 = ^^-^, г — радиус затупления, скорость

VU1 V

набегающего потока, — вязкость при температуре торможения, Ргчисло Прандтля, 6t — полуугол раскрытия конуса, Hw — температурный фактор. Следует отметить, что в пределе число Стантона на режиме вихревого взаимодействия не зависит от продольной координаты, в то время как при обычном пограничном слое оно изменяется, как единица, деленная на корень квадратный из продольной координаты.

5. Решение краевых задач (13) и (16) проводилось с помощью конечно-разностного метода, имеющего второй порядок точности аппроксимации производных по нормальной координате и первый порядок точности аппроксимации производных по продольной координате. Исследовалось обтекание гиперболоида вращения с полууглом раствора, равным 35°, для двух значений температурного фактора —0,1; 0,2 и при трех значениях параметра Д=0,5; 1,0; 1,5. Предполагалось, что Рг = 0,74 и закон изменения коэффициента вязкости имеет вид уl — h, где (ог=;0,76.

На рис. 3 н 4 представлено распределение числа Стантона на поверхности гиперболоида вращения, начиная от критической точки, на режиме вихревого взаимодействия, отнесенного к числу

Стантона на режиме обычного пограничного слоя. Приведенные на рис. 3 и 4 результаты свидетельствуют о том, что режим вихревого взаимодействия сопровождается большими тепловыми потоками к поверхности тела, чем режим течения с пограничным слоем. Как отмечалось выше, такое увеличение теплового потока связано с интенсификацией перекоса массы и энергии в неравномерном потоке. Можно видеть, что при исследованном режиме течения тепловой поток иа участке поверхности на расстоянии двух радиусов от критической точки может в два раза превосходить тепловой поток для режима течения с обычным пограничным слоем. Оказывается, что увеличение параметра Д приводит к монотонному росту теплового потока.

На рис. 5 представлено распределение величины gw в зависимости от температурного фактора gw, полученное при решении краевой задачи (16) для значений параметров Рг —0,74, «> = 0,76 и Д, = 1. Функция немонотонно зависит от температурного фактора Вместе с тем вычисления числа Стантона, пропорционального произведению функции g'w и отрицательной степени температурного фактора, обнаруживают монотонно убывающую зависимость числа Бі от температурного фактора

Таким образом, результаты изучения некоторых режимов течений с вихревым взаимодействием указывают на их практическую важность и на необходимость дальнейших исследований.

Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность А. В. Зубцову за ряд ценных замечаний, сделанных в процессе работы иад статьей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Goodrich W. D., Li С. P., Houston С. К., Chin Р. В., Olmedo L. Numerical computations of orbiter flowfields and laminar heating rates. ,J. Spacecraft*, may, vol. 14, N 5, 1977.

2. Adams I., Martindale W., Mayne I. and M a r -с h a n d E. Real-gas scale effects on shuttle. Orbiter laminar boundary-layer parameters. BJ. Spacecraft“, vol. 14, N 5, 1977.

3. Ермак Ю. H„ H e й л а н д В. Я. К расчету теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела в гиперзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1967, № 6.

4. Bush W. В. On the viscous hypersonic blut body problem.

„J. Fluid Mech“., vol. 20, part. 3. 1964.

5. Ф p и м e н И. К. К теории гиперзвукового потока, обтекающего плоские и аксиально-симметричные тупые тела. Проблемы движения головной части ракет дальнего действия. М., Изд. иностр. лит., 1959.

6. Магомедов К. М. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом. *Изв. АН СССР, МЖГ% 1970, № 2.

Рукопись поступила 24jXII 1980 г.