Определение реакций взаимодействия опорных элементов твердого тела при движении в упругой направляющей

УДК 623.412.6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОПОРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ДВИЖЕНИИ В УПРУГОЙ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ

А.А. Редькин

Рассматривается математическая модель определения реакций взаимодействия недеформируемых опор твердого тела с поверхностью упругой направляющей.

Ключевые слова: математическое моделирование, упругая направляющая, твердое тело, реакции взаимодействия.

При движении твердого тела по каналу упругой направляющей имеют место реакции взаимодействия между ведущими частями тела и каналом направляющей. Данные реакции, помимо изначальной непрямолинейности канала направляющей, силы тяжести, ветровых и прочих нагрузок, вносят значительный вклад при расчете характеристик поперечных колебаний упругой направляющей.

Основной проблемой при определении реакций взаимодействия является то, что их крайне затруднительно получить экспериментальным путем. Также данные реакции зависят от многочисленных факторов, таких, как начальные условия движения тела, количество опорных элементов, массовая асимметрия тела и направляющей и пр. Отсюда следует, что необходимо производить расчет данных реакций взаимодействия на всем протяжении процесса движения твердого тела совместно с решением уравнения упругих поперечных колебаний направляющей. Характерными примерами конструкций, для которых имеет решающее значение частота и амплитуда колебаний направляющей, являются системы ствольной артиллерии и пусковые устройства ракетной техники.

Взаимодействие твердого тела с упругой направляющей сводится к определению главного вектора силы взаимодействия Fq и главного момента Mq , зависящего от начальной кривизны направляющей, упругих изгибных колебаний и эксцентриситета центра масс твердого тела.

Для определения главного вектора FyQ силы воздействия снаряда на ствол будем считать известными параметры прогиба направляющей вблизи точки с координатой x, находящейся в плоскости, проходящей через центр масс тела. Эти параметры являются суммой начального смещения центра сечения направляющей из-за технологических погрешностей изготовления и действия силы тяжести, Yq (x) и текущего смещения центра поперечного сечения, вызванного упругими изгибны-ми ее колебаниями, Y(x, t) , обозначаемых как y = Yq(x) + Y(x, t) , или

y=y(xt).

Пусть Wy ,¥у - соответственно ускорение и скорость движения

центра масс тела по оси OY системы координат OXYZ. Тогда из уравнения движения следует

mcWy =^,

где шс - масса твердого тела.

Скорость Vy и ускорение Шу можно определить через значения параметров кривизны направляющей, скорость ¥х и ускорение Шх - через перемещения тела по оси ОХ :

^+V.Эу-Эг

у э* х Эх

ш =Э-У+V

Шу Эг2 + Кх

2

Э2у т/ Э2уЛ

- + Vx—ТТ

ЭгЭх Эх2

+Шх *. Эх

Выражение для ускорения Шу получено посредством вычисления

полного дифференциала функции у = у( х,г), последнее слагаемое учитывает несовпадение вектора ускорения тела Шх, направленного по касательной к криволинейной оси у = у(х,г), заданной в координатной системе OXYZ .

Помимо силы FyC, в плоскости XOY на направляющую будет

действовать сила тяжести Fg = шcg.

Указанные параметры, входящие в уравнение изгибных колебаний [1], будут рассчитываться следующими зависимостями:

\2 ( э2у^ ^ / - ^ / ^Л

Э'

Эх2

EJ

Эх2

к-

Э

Эх

V

2 Эу г р—

Эх

У

_э_

Эх

N

Эу

Эх

э_у_

Эг2

Чу:

шсШу

V

у

Эу , „ Эу •

Эх

Ш =

Э 2 у

Эг

2 + Vx

Эг 2

+ V

2

2 + V Э 2 у

ЭгЭх

х

Эх'

+ Ш

Эу

Эх

где Е - модуль упругости первого рода; J = J(х) - момент инерции сечения; х - координата рассматриваемого сечения; г = г (х) - внутренний радиус; р = р(г) - внешние распределенные силы, действующие на тело (например, давление сжатого газа); N = N (х) - продольная сила в рассматриваемом сечении; р - плотность материала направляющей; 5 = 5(х) - площадь поперечного сечения направляющей; Чу = Чу (х) -

распределенная поперечная нагрузка в вертикальной плоскости.

92

Колебания в плоскости Х02 будут описываться уравнением, аналогичным (4), различие будет лишь в задании начального смещения 2 о = 2 о (х), которое будет учитывать только начальную технологическую непрямолинейность, не учитывая действие сил тяжести на направляющую и твердое тело.

Полученные выражения определяют взаимовлияние технологической непрямолинейности канала направляющей и его упругого изгиба и силы взаимодействия тела, рассматриваемого как материальная точка, с направляющей. Данные выражения предполагают движение тела с постоянным контактом с поверхностью направляющей.

В действительности со стороны тела на направляющую всегда действует вращающий экваториальный момент Мс, вызванный несовпадением равнодействующей силы ¥с с центром масс тела, наличием эксцентриситета центра масс, наличием нескольких опорных элементов на корпусе тела. Данный момент через реакции опорных элементов твердого тела передается на направляющую и оказывает влияние на ее изгибные колебания (рис. 1).

Кроме указанных составляющих, момент Мс зависит от углового перемещения тела при его движении вдоль криволинейной оси канала направляющей. Для этой составляющей при отсутствии продольного вращения тела можно записать

-т -т V

^ ==~М-, =~МУ,

где 122 = 1уу - моменты инерции тела относительно осей С21 и СУ1 (рис. 1); т2, ту - угловые скорости поворота тела относительно осей С21 и С^1; Мя, Му! - моменты, определяемые перемещением снаряда

вдоль криволинейной оси направляющей.

Углы между осью СХ1 и плоскостями 0X2 и ОХУ

ду „ Ъ2 а = —, р =--

дх

Угловые скорости тела

Дифференциал от угловой скорости

Рис. 1. Положение систем координат и реакций опорных элементов твердого тела

Моменты, действующие на тело и связанные с влиянием эксцентриситета центра его масс М78, Му8, зазора и сил трения относительно

осей СХ^ и СУ\, определятся следующими соотношениями:

2

/

М2£ = РГ Рс

8 у + 0,5А си +Г а + Ь

л

2

муе = -рг Рс

V

8 7 + 0,5А Си-

Ь

л

+ /2ГРС :

а + Ь у

где 8у, 8 2 - величина эксцентриситета центра масс по осям С21 и СУ1; рс - внешние распределенные силы, действующие на; /1, /2 - коэффициенты трения опорных элементов тела, зависящие от скорости, А Си -диаметральный зазор между опорным элементом и каналом направляющей:

АС

= А сп + А с

^Си ~ ^сп ' ^сш

Асп - зазор, определяемый реализацией диаметра опорного элемента (в

пределах поля допуска), Асш = /а (х) - зазор, связанным с допуском на

диаметр канала направляющей и его износом.

Для вычисления коэффициентов трения пар, например, «сталь -сталь» и «сталь - медь», зависящих от скорости, будем использовать зависимости, аппроксимирующие данные экспериментов работы [2]:

/1 = 0,5

1 + 0,003У 1 + 0,072К

/2 = 0,29

1 + 00009У

1 + 0,0098К

Суммарный момент, действующий на направляющую, опреде лится через его проекции на оси С21 и С^1:

= М71 + М78-.

Ыу = Ыу> + Муе.

Для определения реакций опорных элементов твердого тела необходимо рассмотреть некоторые особенности взаимодействия данного тела с каналом направляющей. Эти особенности предполагают учет

94

контакта тела с каналом направляющей не в одной точке в сечении, совпадающем с центром масс, а в нескольких сечениях по длине тела, определяемых его конструктивными особенностями.

В большинстве случаев твердое тело имеет две опорные поверхности, процесс движения тела без контакта ведущих элементов с каналом направляющей является кратковременным и не требует дополнительного рассмотрения. Схема с двумя поверхностями контакта легко поддается расчету на предмет определения реакций взаимодействия опор с каналом направляющей.

При известных значениях главного вектора ¥с и главного момента Мс, действующих на твердое тело, для двухопорной конструкции реакции в зоне опор можно определить из решения следующей системы уравнений:

Р1у + Р2у = РуС, Р1уа - Р2уЬ = М1С,

где а, Ь - расстояния от центра масс до середин плоскостей опорных элементов твердого тела.

Решая приведенную систему уравнений, получим

_ = РуС + МС = РуСа - Мс

Ь1у =-71-, Р2у =--Г-,

а + Ь 7 а + Ь

РгСЬ + МуС ^гСа - МуС

^ =-, ^ =-.

а + Ь а + Ь

Реализация математической модели движения твердого тела, предусматривает расчет упругих изгибных колебаний направляющей при движении тела и одновременный расчет реакций взаимодействия. При проведении сопряженного расчета определенную сложность представляет учет начальной непрямолинейности направляющей, замеряемой перед началом испытания. Обычно замеры проводятся в 15 - 20 сечениях по длине, точность определения смещения о,о1 мм. Отсюда следует, что высока погрешность измерения малых значений непрямолинейности.

С целью уменьшения погрешностей округления при измерении начальной непрямолинейности целесообразно произвести сглаживание результатов измерений, например, с использованием пятичленных неис-кажающих зависимостей [3].

Ввиду того, что при расчете упругих изгибных колебаний направляющей шаг по координате более чем на порядок превышает шаг измерения начальной ее непрямолинейности, необходимой вычислительной процедурой будет аппроксимация с последующей интерполяцией измеренных значений начальной непрямолинейности. Учитывая, что при вычислении усилий взаимодействия тела с направляющей используются производные до третьего порядка включительно, использо-

вать обычную кусочно-линейную аппроксимацию нельзя, поскольку в узловых точках для нее имеется разрыв первой производной, и, при вычислении усилия взаимодействия (с использованием второй производной прогиба по координате), возникают нефизические осцилляции решения в узловых точках табличной функции задания начальной непрямолинейности. В результате снижается точность вычислений, и, иногда, может возникать «развал» численной схемы решения уравнений упругих изгибных колебаний.

Приемлемым вариантом решения данной проблемы является дополнительное сглаживание исходных данных по непрямолинейности для компенсации погрешностей измерения и использования аппроксимирующих зависимостей в виде гладких функций с отсутствием разрыва второй производной, например, кубического сплайна. Данная процедура обеспечивает большую гладкость, нежели традиционная кусочно-линейная интерполяция, при которой интерполяционная функция имеет разрывы даже в первой производной.

Сравнительный анализ графиков, характеризующих варианты аппроксимации табличной функции начальной непрямолинейности направляющей, приведенных на рис. 2, показывает, что наилучшим результатом будет предварительное сглаживание табличных данных скользящим средним с последующей аппроксимацией полученных результатов кубическим сплайном.

у" v- v,

^ д 3 мм

0,01 0,5 1,0

0,00 0,0 0,5

-0,01 -0.5 ^ о о У"

0,01

0,00

0,0 1,6 3,2 4,8 X , м

Рис. 2. Варианты аппроксимации табличной функции начальной непрямолинейности направляющей

В качестве примера расчета реакций взаимодействия твердого тела с направляющей можно привести результат моделирования движения абсолютно твердого снаряда в канале ствола, совершающего упругие поперечные колебания (рис. 3).

F, кН 7

О

-7 -14

0,0 1,3 2,6 3,9 Х,м

Рис. 3. Графики изменения реакций взаимодействия твердого тела

с упругой направляющей

Таким образом, полученные выражения (1) - (15) образуют замкнутую систему уравнений, решая которую в совокупности с предложенными математическими методами аппроксимации, можно определить параметры перемещения центра масс твердого тела в упругой направляющей, включая реакции их взаимодействия.

Список литературы

1. Хоменко Ю.П., Ищенко А.Н., Касимов В.З. Математическое моделирование внутрибаллистических процессов в ствольных системах. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 1999. 256 с.

2. Балакин В. А. Трение и износ при высоких скоростях скольжения. М.: Машиностроение, 1980. 136 с.

3. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений / пер. с англ. М.: Мир. 1985. 284 с.

Редькин Александр Александрович, асп., alexander9629@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

CALCULA TION THE REACTIONS OF INTERACTION OF NONDEFORMABLE RIGID BODY SUPPORTS WITH AN ELASTIC GUIDE PATH

A.A. Redkin

This article describes the mathematical model for calculating the reactions of interaction of nondeformable rigid body supports with an elastic guide path.

Key words: mathematical modeling, elastic guide path, rigid body, reactions of interaction.

Redkin Alexandr Alexandrovich, postgraduate, alexander9629@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University

к

F,(x) -~—------—^f '-il

^ККл

7 * FrP)/ V