Gauss, Peterson-Codazzi, and Ricci equations in nonholonomic frames

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 2, С. 49-57

УДК 514.12

УРАВНЕНИЯ ГАУССА, ПЕТЕРСОНА - КОДАЦЦИ РИЧЧИ В НЕГОЛОНОМНЫХ РЕПЕРАХ

Л. Н. Шаповалова

В работе рассматривается изометрическое погружение га-мерного хаусдорфового ориентируемого многообразия, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, в т-мерное полное односвязное ри-маново или псевдориманово пространство постоянной кривизны. С использованием неголономнах реперов выводятся уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци, Гиччи для погружений класса С2 га-мерного многообразия в т-мерное пространство. Основной результат получен с использованием обобщенного внешнего дифференцирования по де Гаму. Показано, что при этом формы связности, погружения и кручения обладают непрерывным обобщенным внешним дифференциалом.

Ключевые слова: подмногообразие, погружение, неголономный репер, уравнение Гаусса, уравнение Петерсона — Кодацци, уравнение Гиччи.

1. Введение

Для погружений г гладкого п-мерного многообразия X в т-мерное пространство постоянной кривизны, 1 < п < то, класса Сг, г ^ 3, вывод уравнений Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи в голономном репере приводится в книге Эйзенхарта [1, с. 253]. В работах С. Б. Климентова [2], Ю. Е. Боровского [3] и П. Е. Маркова [4] эти уравнения

г

уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи получены в голономном репере для погружений г класса г ^ 3 Я > п, функций, имеющих обобщенные производные по С. Л. Соболеву до г-го порядка включительно, суммируемые с степенью д, п-мер-ного многообразия X в то-мерное псевдориманово пространство постоянной кривизны, 1 < п < то. В работе [3] УР&ВН6НИЯ ГйуССсЦ Петерсона — Кодацци и Риччи выводятся в голономных реперах для погружений г класса W\ без предположения непрерывности отображения г 1 < п < то. В работе [4] эти уравнения получены для погружений г С2

гружения и кручения обладают непрерывным обобщенным внешним дифференциалом, что не следует из конструкций работы [3].

В данной работе последний результат с использованием неголономных реперов обоб-С2г янной кривизны К.

© 2017 Шаповалова Л. Н.

2. Многообразия и расслоения

В данном пункте приводятся необходимые нам сведения о многообразиях и расслоениях, устанавливаются терминология и обозначения, которые используются для формулировки основного результата.

1.1. Пусть X — связное п-мерное, п ^ 2, хаусдорфово ориентируемое С^-много-образие, удовлетворяющее второй аксиоме счетности. Расслоение над X с тотальным пространством Р (X) будем обозначать символом его тотального пространства Р (X), слой над точкой х £ X — Р^^). Через Т(X) и Т*(X) обозначим соответственно касательное и кокасательное расслоение над X. Пусть Ег (X, Р(X)) — множество Сг-сечений, г ^ 1, расслоения Р (X).

Для двух многообразий X и У размерностей п и га соответственно через СУ) обозначим множество всех отображений X ^ У класса Сг. Каждое отображение / : X ^ У будем рассматривать как сечение х ^ (х, /(х)) тривиального расслоения X х У. Тогда Сг(X,У) = Ег(X,X х У).

1.2. Обозначим через Э*^) расслоение локальных кореперов на X. В дальнейшем локальным корепером на X будем называть сечение этого расслоения.

Пусть О — группа Ли, являющаяся подгруппой полной линейной группы СЬ(п). Как

базисе. Два локальных корепера т, т' £ Ег (X, Э*^)) с областями определения и и и' соответственно называются О-согласованными, если либо и П и' = 0, либо в каждой точке х £ и П и', базисы т(х) = (тг(х))"=1, т'(х) = (т'к(х))"=1 пространства Т*^) связаны равенством т'к(х) = рк(х)тг(х), где матрица Р = (рк) £ Сг^, О).

ОО битой. Так как области определения локальных кореперов покрывают X, то, хотя отно-О

локальных Сг-кореперов на X разбивается на непересекающиеся О-орбиты. Каждая О-орбита однозначно определяется заданием какого-либо ее корепера [5, гл. 2, § 6, с. 144].

О

ОО

1.3. В качестве группы О рассмотрим псевдоортогональную группу, определенную следующим образом. Зафиксируем упорядоченный набор А = (А1,..., А"), где Аг = ±1, г = 1,..., п. Будем обозначать так же через А диагональную п х п-матрицу, диагональные элементы которой в г-ой строке равны Аг. Через 0(п, А) обозначим совокупность всех п х п-матриц Р, удовлетворяющих условию АРТ = Р-1А, где Рт — матрица, получаемая из Р транспонированием, Р-1 — матрица, обратная к Р. Можно показать, что 0(п, А) является подгруппой группы вЬ(п) [6, с. 18]. Группу 0(п, А) будем называть псевдоортогональной группой сигнатуры А. Если матрица Р £ 0(п, А), то в силу ее построения det Р = ±1. Множество всех матриц Р £ 0(п, А) с det Р = +1 образует

0(п, А

пой и будем обозначать Б0(п, А). Доказательство того, что группа Б0(п, А) является группой Ли, приводится в работе [4, с. 23].

1.4. Через ^д (X) обозначим Б0(п, А)-орбиту локального ко репера т £ Ег (X, Э*^)). Следующая теорема служит основой для построения тензорного анализа над ^д^) [7, гл. 2, § 1, с. 67-68].

Теорема 1. Для всякого корепера т = (т^"=1 £ Ег(X, ^д^)), г ^ 1, с областью определения и существует и притом единственная система 1-форм Фг- £ Ег-1(и, Т*(и)),

удовлетворяющая условиям

^т* = т? Л Ф?, Д*Ф? + Д? Ф? = 0, г, 3 = 1,..., п.

Формы Ф? определяемые равенствами (1), называются формами связности корепе-ра т. Коэффициенты Г}^ в разложении Ф? = Г^тг,3, к = 1,... ,п, называются символами Кристоффеля.

1.5. Обозначим через Л2Т*(Х) расслоение кососимметрических билинейных форм, через 52Т*(Х) — расслоение симметрических билинейных форм, йдТ*(Х) — иодрассло-ение невырожденных билинейных форм с нормальным видом

п

= * <£> т¿.

¿=1

Всякое сечение расслоения 52Т*(Х) будем называть псевдоримановой метрикой сигнатуры Д. Поскольку псевдометрика определенная равенством (2), не зависит от выбора локального корепера т го содержащей его орбиты, то всякая БО(п, Д)-орбита

Д

доримановой метрике можно сопоставить две БО(п, Д)-орбиты. В каждой из них псевдометрика имеет вид (2), причем всякие два локальных корепера т = (т¿)*=1 и т' = (т'^П=1 из этих орбит связаны равенством т? = д?т\ где ( = (д?) — матрица из О(п, Д) с определителем, равным — 1. Будем считать, что на многообразии X зафиксирована ориентация, и ^д(Х) — та го этих двух орбит, в которой локальные кореперы связаны с координатным корепером (^жг)*=1 в карте из ориентации матрицами с положительными определителями. Эту орбиту ^д(Х) будем называть порожденной псевдоримановой метрикой

2. Пространство постоянной кривизны

Следуя Л. П. Эйзенхарту [1, с. 246], пространство постоянной кривизны К размерности т будем рассматривать в вейерштрассовых координатах. Это позволяет при К = 0 отождествлять его с т-мерным плоским пространством, при К = 0 — с гиперсферой в (т +1)-мерном плоском пространстве. Поэтому в этом пункте сначала рассмотрим

К=0

2.1. Плоским, т-мерным пространством Пт называется т-мерное аффинное пространство Ат, на векторной части которого задана невырожденная симметрическая билинейная форма. Эта форма называется скалярным произведением,, Пт — псевдоевклидовым пространством. Введем в Пт ортонормированную систему координат (О;а1,...,ат). Упорядоченный набор Д' = (Д1,...,Дт), где Да = а^ = ±1 а = 1,..., т, будем называть сигнатурой пространства Пт.

Каждой точке Р пространства Пт можно поставить в соответствие упорядоченный набор действительных чисел (ж1,ж2,... , ж"1) из разложения ОР = хааа, а = 1,... ,т. Тем самым определено биективное отображение ^ : Пт ^ Кт, которое превращает Пт т

2.2. Пусть г : Х ^ Пт — Сг-погружение, г ^ 2, п-мерного многообразия Х в т-мерное пространство Пт, 2 ^ п < т. Образ погружения ^ = г(Х) являет ся п-мер-ным подмногообразием многообразия Пт. Обозначим через Т^ касательное расслоение

многообразия F, T^F — нормальное расслоение, I(z) — метрику на X, индуцированную z. Чтрез Ra(X) обозначим SO(n, А)-орбиту, порожденную метрикой I(z) сигнатуры А = (А1,...,Ап). Для всякого мокалъного корепера т = G Er-1(X,Ra(X)) определен локальный репер e = G Er-1(X, TF), ei = £i(z), причем £ = — локальный репер на X дуальный кореперу т. Для векторов репера e выполняются равенства

eiej = Aij = ^А ' i =j i,j = l,...,n-

[О, г = j,

Будем предполагать, что в каждой точке x G X касательное пространство TxF подмногообразия F содержит n попарно ортогональных неизотропных направлений. Тогда в окрестности каждой точки x G X в термальном расслоении [1, гл. 4, § 42, с. 175-179] определен локальный Cr-1-peneр v = (v,),^ p = m — n, удовлетворяющий условиям

Г A-+- т = а, vr = 0 =

10 т = а,

eivCT = 0, i = 1,...,n, а = 1,...,p.

В дальнейшем вместо будем пис ать Поскольку всякий век тор из Пт может

быть представлен в виде линейной комбинации векторов ei, v,, то сигнмтура скалярного произведения в силу (3), (4) в Пт имеет вид А' = (e2,..., eП, vj,..., vj).

Разложение дифференциалов dei; dv, по базису (ei, v, ) [4] приводит к формулам Гаусса и Вейнгартена

dei = Фкefc + £ ш, v,,

n p (t-\

dv, = — £ А^ ei + £ Атк,vr, ^

i_1 r_1

i, k = 1,...,n, т, а = 1,...,p, p = m — n,

где Ai = e2, А1 = v2, Ф^ _ формы связности локального корепера т G Er-1 (X,Ra(X)), ш, — 1-формы, называемые формами nогружения, к, = — к, — 1-формы, называемые формами кручения. Для форм погружения [4] выполняются соотношения

ш, Л тг = 0, i = 1,...,n, а = 1,...,p.

Билинейную симметрическую форму IIl G Er-2(X, S2T*(X)), определенную равенством

IIl = ш, <g> тi = btj тi <g> тj,

называют второй основной формой многообразия F или погружения z относительно нормали v,. Симметрия б- = i, j = 1,... ,n, а = 1,... ,p, следует из леммы Картана [8, гл. 2, § 7].

Если погружение z G C3(X, Пт ), то внешнее дифференцирование формул Гаусса и

Вейнгартена [4, с. 25] приводит к уравнениям Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи

р

ДГ< Л ^ = Д^Ф} + Ф| л фк),

г=1

^ = фк Л + Л к-,

т=1

п р

^ = £ Д^т л < + ^ ДркР Л кТ, ¿=1 р=1

г,^, к = 1,...,п, т, а = 1,...,р.

2.3. Пусть Рт — т-мерное полное односвязное риманово или псевдориманово пространство постоянной кривизны К = 0 сигнатуры Д" = (Д1,..., Дт). Будем рассматривать Рт [1; с. 246] как гиперсферу в плоском пространстве Пт+1 сигнатуры Д' = (Д1,..., Дт, Дт+1), заданную уравнением

г2 =

К

1

Пусть г : X ^ Рт Сг-погружение, г ^ 1, п-мерного многообразия X в т-мерное пространство постоянной кривизны Рт, 2 ^ п < т, Р = г(Х) — подмногообразие многообразия Рассматривая подмногообразие Р в пространстве Пт+1, будем использовать сведения пунктов 2.1 и 2.2. Дифференцируя равенство (7), получим г^г = 0. Следовательно, в каждой точке на Р вектор г можно взять в качестве одной из нормалей нормального пространств а Р в Пт+1. Обозначим эту но рмаль ^р+1. Оставши еся р = т — п нормалей (^Г)Г=1 определяют нормальное пространство к Р в которое является подпространством касательного пространства Рт в Пт+1. Совокупноеть , Г ир+1 = |||, |-г| = л/|г2|, взаимно ортогональных нормалей в каждой точке х £ X образует

ортонормированный базис в нормальном пространстве Т^Р подмногообразия Р в Пт+1,

Д'

и (7) имеем Д"7^1 =

При г ^ 2 формулы Гаусса и Вейнгартена для погружения г : X ^ Рт С Пт+1, используя (5), можно записать в виде

р

^ = Фке^ + £ ДГ<^г — Кт¿Дгг,

Г=1

^ = — £ ДЧГ е» + £ Дт кГ ^т,

¿=1 т=1

р = т — п, Д» = е22, Дт = V,;2, г, к = 1,...,п, т, а = 1,...,р.

Если г ^ 3, то внешнее дифференцирование формул Гаусса и Вейнгартена (8) при-

водит к уравнениям Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи:

р

л = д*(ёФ} + ф£ л Фк) - кд*д*т* л т^,

= фк л + ^ Дтл <,

т=1

п

р

ёкТ = £ дчт л ШГ + ^ Дркр л кт,

к = 1,...,п, т, а = 1,...,р, р = т — п.

3. Обобщенный внешний дифференциал и его свойства

В данном пункте приводится понятие обобщенного внешнего дифференциала [9, 10], некоторые его свойства, доказательства которых приведены в работе [11], и выводятся уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи для случая С -погружений г: X

.">. I. Пусть [7-открытое множество на X, замыкание которого II компактно и содержится в некоторой координатной окрестности. Через ЛгТ*(и) обозначим расслоение внешних дифференциальных форм степени I ^ 0 на и, I = 0,1,..., через Е05(и, ЛгТ*(и)) пространство С ^-сечений, в ^ 0, этого расслоения с компактными носителями, содержащимися в и. Рассмотрим непрерывную на и д-форму ш, д = 0,1,... Непрерывную (д + 1)-форму ^ е Е0(и, Л9+1Т*(и)) будем называть обобщенным внешним, дифференциалом формы ш е Е0(и,Л9Т*(и)), если для всякой формы ^ е Е01(и,Лп-9-1Т*(и)) справедливо равенство

В этом определении можно потребовать, чтобы ^ е Е^Ци, Лп 9 1Т*(и)) для каждого

в ^ 1[Щ.

Если ш е Е 1(и, Л9Т*(и)), то обобщенный внешний дифференциал ёш совпадает с обычным внешним дифференциалом. Кроме того, ёш (если он существует) определяется формой ш однозначно, имеет локальный характер, не зависит от локальных координат на и, и ёёш = 0 [11].

Следующие два предложения касаются свойств обобщенного внешнего дифференциала [11].

Лемма 1. Если форма ш е Е0(Х, Л9Т* (X)) имеет обобщенный внешний дифференциал ёш, то для всякой формы р е Е 1(Х, ЛрТ*(Х)), р, д ^ 0, справедливо равенство

Лемма 2. Если многообразие X односвязно, то для всякой формы ш е Ег (X, Т*(Х)), г ^ 0, для которой ёш = 0, найдется функция / е СГ+1 (X, Я), для которой ш = ё/.

3.2. Основной результат настоящей работы составляет

Теорема 2. Для всякого погружения г : X ^ Гт класса С2 формы связности, погружения и кручения обладают непрерывным обобщенным внешним дифференциалом.

и

и

ё(ш л р) = ёш л р + (—1)9ш л ёр.

Для них справедливы уравнения Гаусса, Петерсон а — Кодацци и Риччи (8), если под знаком й понимать символ обобщенного внешнего дифференциала.

< Пусть и — произвольное открытое множество на X с компактным замыканием, содержащимся в некоторой координатной окрестности, т = (тг)"=1 — локальный С^корепер с областью определения и из БО(п, Д)-орбиты, порожденной метрикой I(г), Ф = — корепера т, £ = _ локальный репер, дуальный кореперу т. Как и ранее, полагаем е* = при этом е* £ С 1(и, Пто+1), йе* £ Е0(и, Т*(и)^Пт+1), г = 1,..., п. В силу равпнства (00), учитывая, что ййе* = 0 для всякой формы р £ Ео(и, Л"-2Т*(и)), получаем Л р) = — йа Л йр. Следовательно,

J йе* Л йр = 0.

и

Подставим йе* из формул Гаусса (8):

I (ф?ек + ^ <^ — КтЛ йр = 0, г, к = 1,..., п.

и

Внесем е?, г под знак й, по лемме 1 имеем

/ Ф? Л й

и [ -=1

р

—Ф? Л йе? Л р — ^ ^ Л ^ Л р + КД V* Л йг Л р =0.

<т=1

Пользуясь формулами Гаусса и Вейнгартена (8), последнее равенство запишем в виде Г Г р

/ Ф? Л й

и [ -=1

—

^ <т=1 '

— ^Ф? Л сак + ^ ДтЛ к^ Л

Пусть е* = е"аа V = г = гааа, а = 1,...,т +1 г = 1,...,п, а = 1,... где

(О; Яа)^]1 _ ортонормированная система координат в Пто+1, задающая сигнатуру Д'. Положим в равенстве (11) р = еаф, где ф £ Ео1(и, Л"-2Т*(и)) — произвольная форма, затем умножим его скалярно на аа. После суммирования по а а = 1,..., т +1, получим

I ДФ? Л # = I ^Д*Ф? Л Ф? — ^ Л ^ — Кт* Л т^ Л ф. (12) и и ст=1

Положим в равенстве (11) р = ^'ОФ, где ф £ Ед (и, Л"-2Т*(и)) — произвольная форма.

О"

После умножения на аа и суммирования по а, получим

/ст Л*=/

и и ст=1

Поскольку равенства (12) и (13) справедливы для всякой формы ф £ Е}1 (и, ЛП-2Т*(и)), то в силу определения обобщенного дифференциала получаем, что формы Ф' и о>Т, г, з = 1,... , п, а = 1,... обладают обобщенными внешними дифференциалами, совпадающими с правыми частями соответствующих уравнений (8) на и.

Рассмотрим тождество Л р) = —Л ёр, а = Из этого тождества

следует, что

J Л ёр = 0.

и

Подставляя выражение из формул Вейнгартена (8), будем иметь

и

53 Д^в» + 53 ДткТТV; ) Л ёр = 0,

т =1

»=1

г = 1,..., п, т, а = 1,... Используя формулу (10), находим

/га р 1 /" Г п

— 53 в» Л ёр + 53 ДтКтЛ ёр = / — 53 Л ё

и

т =1 га

и

Р

+ 53 Дткт Л р) + 53 Д'^т Л ёв» Л р — 53 ДткТ Л Л р

т =1

»=1

т =1

0.

В силу формул (8) имеем

/IV г

— 53 ДЧТ Л ё

и 1 »= т=1

, га р .

+ Дчт л ф' + 53 Дт кТ л Д'' Л

^ »=1 т=1 '

(га р \ га

Л Дт— Дркр Л Дт) Л (^тр) + 53 Л кД V» Л (гр) »=1 р=1 ' »=1

0.

Полагая здесь р = ^ф, умножая на аа и суммируя по а, получаем

/*Т Л # = / (¿ Д*Чр Л Чт + £ ДткТ Л К?) Л ф.

и и ч»=1 т=1 /

Из этого равенства п из определения обобщенного внешнего дифференциала следует, что формы кр, а, р = 1,..., р, обладают обобщенным внешним дифференциалом ё. Этот дифференциал совпадает с правой частью третьего равенства Риччи из (9). Непрерывность левых частей в (9) следует из непрерывности правых частей равенств. >

Литература

1. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия.—М.: ГИИЛ, 1948.—316 с.

2. Климентов С. В. Глобальная формулировка основной теоремы теории га-мерных поверхностей в т-мерном пространстве постоянной кривизны // Укр. геом. сб.—1979.—№ 22.—С. 64-81.

3. Боровский Ю. Е. Системы Пфаффа с коэффициентами из Ь п и их геометрические приложения !! Сиб. мат. журн.—1988.—Т. 24, № 2.—С. 10-16.

4. Марков П. Е. Общие аналитические и бесконечно малые деформации погружений. I // Изв. вузов. Сер. Математика.—1997.—№ 9 (424)-С. 21-34.

5. Зуланке Р., Винттен 17. Дифференциальная геометрия и расслоения.— М.: Мир, 1975.—352 с.

6. Постников М. М. Группы и алгебры Ли: уч. пособие.—М.: Наука, 1982.—480 с.

7. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны.—М.: Наука, 1982.—480 с.

8. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.—М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1948.—432 с.

9. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия.—М.: ГИИЛ, 1956.—250 с.

10. Боровский К). Е. Вполне интегрируемые системы Пфаффа // Изв. вузов. Сер. Математика.— 1959.—№ З.-С. 35-38.

11. Марков П. Е. О погружении метрик, близких к погружаемым // Укр. геом. сб.—1992.—№ 35.— С. 49-67.

Статья поступила 1 августа 2016 г.

Шаповалова Лариса Николаевна ФГБУ «Северо-Кавказская государственная зональная машиноиспытательная станция», математик

РОССИЯ, 347740, г. Зерноград, ул. Ленина, 32 E-mail: mpe@mail.ru

GAUSS, PETERSON-CODAZZI, AND RICCI EQUATIONS IN NONHOLONOMIC FRAMES

Shapovalova L. N.

The isometric immersion of the M-dimensional pseudo-Riemannian manifold to an m-dimensional pseudo-Riemannian space of the constant curvature is under consideration. The manifold is assumed to be Hausdorff and orientable. Using the non-holonomic frames the author derived Gauss, Peterson-Codazzi, Ricci equations for C2 immersion of this manifold into m-dimensional pseudo-Riemannian space of constant curvature. The main result is obtained with the use of generalized external de Rham derivation. It is found that in this context the forms of connectivity, immersion and torsion have continuous generalized exterior derivations.

Keywords: submanifold, immersion, nonholonomic frame, Gauss equation, Peterson-Codazzi equation, Ricci equation.