Совместное использование фильтра Калмана и минимаксного фильтра в задаче оценивания параметров модели хаотического процесса

УДК 519-7

СОВМЕСТНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРА КАЛМАНА И МИНИМАКСНОГО ФИЛЬТРА В ЗАДАЧЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

А.С. Шелудько, В.И. Ширяев

JOINT USE OF KALMAN FILTER AND MINIMAX FILTER IN THE ASSESSMENT PROBLEM OF PARAMETERS FOR RANDOM PROCESS MODEL

A.S. Sheludko, V.I. Shiryaev

Рассматривается задача восстановления модели хаотического процесса по единственной реализации в условиях малого числа доступных измерений. Задача оценивания параметров представлена как задача оценивания вектора состояния в модели динамической системы с переменной матрицей измерений. Исследуется возможность совместного использования алгоритмов фильтрации для уточнения множественной оценки вектора состояния.

Ключевые слова: хаотический процесс, фильтр Калмана, минимаксный фильтр.

The article considers the problem of reconstruction of a random process model by a singular realization in terms of a small number of available measurements. The problem of parameters assessment is shown as the problem of assessment of state vector in the model of a dynamic system with variable matrix of measurement. The possibility of a joint use of filtration algorithm to specify multiple estimation of a state vector is studied.

Keywords: random process, Kalman filter, minimax filter.

но развиваются подходы, основанные на применении генетических алгоритмов, эволюционных вычислений и гравитационного поиска [6, 7]. Также при идентификации хаотических систем находят применение алгоритмы фильтрации [8]. Однако результаты, представленные в большинстве работ, получены в условиях, когда экспериментальные данные являются зашумленной реализацией известных хаотических систем и пока не исследована возможность их применения для практических задач, в которых модель процесса является неизвестной.

В данной работе рассматривается задача восстановления модели «быстрых» колебаний по единственной реализации в условиях малого числа N < 100 доступных измерений. Для построения модели измеряемого сигнала ук, к = 1,2,...,N используется разложение

Ук = ао + X агик) + Пк , к = 1,2,...,N

1 =1

Anton Sergeevich Sheludko - engineer of Applied Mathematics Department of South Ural State University; antonsheludko@gmail.com

Vladimir Ivanovich Shiryaev - Doctor of Science (Engineering), professor, head of Control Systems Department of South Ural State University; vis@susu.ac.ru______________

Введение

Задача оценивания параметров моделей хаотических процессов имеет множество приложений в информационных и технических системах: обработка информации, передаваемой с помощью хаотических колебаний [1], восстановление модели внешних возмущений на управляемый объект [2]. Часть работ, связанных с моделированием хаотических процессов, посвящена реконструкции динамических систем по экспериментальным данным в виде систем дифференциальных уравнений [3]

^ = /

описывающих «медленные» колебания. Другим направлением исследований является построение моделей «быстрых» колебаний с использованием одномерных хаотических отображений [4]

хк+1 = /

а также с помощью нейронных сетей [5].

В настоящее время для решения задачи оценивания параметров моделей вида (1) и (2) актив-

Шелудько Антон Сергеевич - инженер кафедры прикладной математики, Южно-Уральский

государственный университет; antonsheludko@gmail.com Ширяев Владимир Иванович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой систем управления ЮУрГУ; vis@susu.ac.ru

(1

I ^ -

к = 1,2,...,N,

и () = 1 и ( ^ к+1 ^“к

по системе процессов ик

1 = 1,2,...,да, заданных хаотическими отображениями вида (2), где а1, 1 = 0,1,..., да - коэффициенты разложения пк, к = 1,2,...,N - ошибки измерений. Например, такую систему процессов могут задавать логистические отображения:

'(1 -и(, к = 0,1,...,N-1,

1 = 1,2,...,да ,

хаотические решения которых возникают при

и('е ( 0; 1), 1 е (3,57; 4], 1 = 1,2,...,да . Пользуясь

достаточными условиями [9], можно определить различные классы дискретных отображений вида (2) на единичном интервале, которые порождают хаотические процессы. Однако выбирая конкретный класс, необходимо учитывать, что сложные конструкции в правой части уравнения (2) могут привести к вычислительным трудностям при решении задачи идентификации, например, к много-экстремальности целевой функции [10]. Работа продолжает исследования [10-13].

1. Постановка задачи и метод решения

Рассмотрим нахождение оценок коэффициентов а{1 = 0,1,...,да разложения (3) в реальном времени с помощью алгоритмов фильтрации [1316]. Представим вектор коэффициентов

а = [ ... ап а0]Т

в уравнении (3) как вектор состояния хк = а е Мп , п = да +1 в модели процесса и измерений:

к-1 =

ук = С к х к + %, к = 1,2,..., N.

Элементы матрицы измерений С к в модели

(5) задаются логистическими отображениями (4):

С к =

,

1

Таким образом, для нахождения оценок коэффициентов разложения требуется найти оценку вектора состояния в модели (5). Тогда после обработки N измерений можно положить а = хN. Применительно к модели (5) уравнения фильтра Калмана [14] имеют вид:

хк = хк-1 + Ьк

Ьк = Рк-1Ст

Рк =

где хк - оценка вектора состояния хк ; Ьк - ко-

эффициент усиления; Рк - ковариационная матрица ошибок оценивания; г - оценка дисперсии помехи пк, к = 1,2,...,N ; I - единичная матрица.

Переменные ук и С к на каждом шаге к считаются известными. Для момента времени к = 0 необходимо задать оценку х0 вектора состояния и начальное значение Р0 ковариационной матрицы ошибок.

Последовательность оценок хк, к = 1,2,...,N , найденная по формулам (6)-(8), является оптимальной в смысле математического ожидания среднеквадратической ошибки, то есть оптимальной для множества реализаций измерительной помехи пк, к = 1,2,...,N . Как известно, с вероятностью 99,73% истинное значение вектора состояния хк на шаге к будет лежать во множестве

Бк с Мп :

Бк ={х е Кп |

Для построения множественной оценки вектора состояния в модели (5) может быть применен алгоритм минимаксной фильтрации [13]. Пусть ошибка % е V = [-у; у], к = 1,2,...,N , а начальное

состояние х0 е Х0, причем Х0 с Мп - выпуклое множество. Тогда на шаге к истинное значение вектора состояния будет принадлежать информационному множеству Хк с Мп, где

Хк = Хк- п ¥к .

Здесь Ук с Мп - множество, совместное с измерениями:

¥к ={хе мп|Ук -у ^Скх^Ук + у}.

Информационное множество Xк в момент времени к можно уточнить, используя доверительное множество Бк для оценки фильтра Кал-мана:

Хк = Хк- п ¥к п Бк .

2. Модельный пример

Рассмотрим модельный пример для случая п = 2, который имеет место при последовательном выделении составляющих разложения (3). Пусть число измерений N = 100.

На рис. 1 показан хаотический процесс, заданный логистическим отображением

%+1 = 1ик (1 - ик), к = N-1

с параметром 1 = 3,68 и начальным значением и0 = 0,3 . Для рассматриваемой реализации индекс фрактальности д е [0,73; 0,80].

На рис. 2 показана помеха цк, к = 1,2,...,N ,

которая является реализацией белого шума со среднеквадратическим отклонением с = 0,174. В этом случае отношение сигнал/шум ~ 0 дБ. Для данной реализации белого шума индекс фракталь-ности д е [0,60; 0,67].

На рис. 3 показана последовательность измерений

Ук = ао + а1ик + Пк , к = 1,2,...,М , где а0 = -1, ах = 1. Индекс фрактальности измеряемого сигнала ^ є [0,65; 0,71].

3. Применение фильтра Калмана

Модель (5) для рассматриваемого примера имеет вид

Ч, к

^2,к

Ук = Х1, кик + Х2, к + Пк.

ик = Чк -1

к = 1,2,..., N.

Запишем уравнения фильтра Калмана (6) - (8) для системы (13). Уравнения для оценок переменных вектора состояния имеют вид:

М, к

2,к

А

V рк

А „

Л

-+1

2,к

Х1, к-1 + 11, к

Рк

+ 11,кик Х2,к-1 + 12,к

Рис. 2. Реализация белого шума

Рис. 1. Хаотический процесс, заданный логистическим отображением

Рис. 3. Измеряемый сигнал

где Рк = г + ^кик + *2,к ,

51,к = Рп,к -1ик + р12,к -1,

*2, к = р12,к-1ик + р22,к -1.

Элементы коэффициента усиления фильтра Калмана равны:

l1,k =

1,k

l2,k =

2,k

Р к рк

элементы ковариационной матрицы ошибок:

А

P11,k =

r

------+ l

Pk

Л

2,k

P12,k =

Pk

2,k

P11,k-1 l1,kP12,k -1 :

P12,k-1 l1,kP22,k-1 :

A

P22,k =

+ l1,kuk

Pk

P22,k -1 l2,kuk P12,k-1 .

Предположим, что дисперсия измерительной помехи известна точно: г = с2. Выберем следующие начальные условия для фильтра Калмана:

Т 8

х0 = [0 0] , Р0 = 91. На рис. 4 и рис. 5 приведены графики оценок переменных вектора состояния и элементов ковариационной матрицы ошибок. После фильтрации всех N = 100 измерений отно-

сительная погрешность конечной оценки х^ составила 0,89 %. При более точном знании начального условия, например, при Х0 = [0,8 -0,8]т и

Р0 = 11, уже в момент времени к = 90 относительная погрешность равна 0,87%.

4. Гарантированная оценка

При построении информационного множества Xк для вектора состояния в модели (13) с помощью минимаксного фильтра множество, совместное с измерениями

¥к ={х є Ж I Ук - У ^ х1ик + Х2 ^ Ук + ^, образуют две параллельные линии на плоскости

Х2 = -икХ1 + Ук ± У , которые «вращаются» на каждом шаге за счет изменения значения ик .

Зададим множество Х0 как на показано рис. 6. Число V зададим как максимальное по модулю значение измерительной помехи: V = 0,5. Информационное множество Хк в моменты времени к = 30 и к = 100 показано рис. 7 и рис. 8 соответственно. Построенные множества содержат и точечную оценку фильтра Калмана, и истинное

к

Рис. 4. Оценки фильтра Калмана

Рис. 5. Элементы ковариационной матрицы фильтра Калмана

Рис. S. Начальные условия для алгоритмов

Рис. 7. Множественные оценки при k = 30

Рис. S. Множественные оценки при k = 100

значение вектора состояния.

5. Совместное использование фильтров

Рассмотрим последовательность множеств Xk , k = 1,2,...,N, построенную в соответствии с

выражениями (9), (11) и (12). Начальные условия для алгоритмов при этом остались прежними. На рис. 9 и рис. 10 показано множество Xк в моменты времени к = 30 и к = 100. В таблице приведено сравнение множественных оценок по величине

максимальной ошибки max X - xJ и площади

Xk

соответствующей фигуры на плоскости. Таким образом, совместное использование фильтров позволило уменьшить размер конечного множества XN в 6 раз, а величину максимальной ошибки в

3 раза.

Рис. 9. Множественная оценка при к = 30 в случае совместного использования фильтров

0.5

-0,5-

-1,:

—Г рашща множества Истинное значение

-0.5

0

0.5

1

1.5

Рис. 10. Множественная оценка при к = 100 в случае совместного использования фильтров

Характеристики множественных оценок

k Минимаксный фильтр Совместное использование

Наибольшая ошибка Площадь Наибольшая ошибка Площадь

10 2,3045 0,90б4 1,7279 0,41В5

20 2,3045 0,40б5 1,7170 0,230б

30 1,2240 0,22Вб 1,0171 0,0945

40 1,2240 0,22Вб 0,9370 0,0794

50 1,2240 0,22Вб 0,7579 0,0б3б

б0 0,8782 0,1074 0,6023 0,0455

70 0,8782 0,1074 0,4816 0,035В

В0 0,8782 0,1074 0,4630 0,0330

90 0,5145 0,051В 0,1607 0,00В4

100 0,5145 0,051В 0,1600 0,00В4

Заключение

Для решения задачи оценивания коэффициентов разложения по системе хаотических процессов в реальном времени используются алгоритмы фильтрации. В рассмотренном модельном примере (число измерений N = 100, отношение сигнал/шум ~ 0 дБ) относительная погрешность точечной оценки, найденной с помощью фильтра Калмана, составила 0,89 %. При построении множественной оценки совместное использование фильтра Калмана и минимаксного фильтра позволило уменьшить размер информационного множества в 6 раз по сравнению с результатом, полученным при применении только минимаксного фильтра. Аналогично можно использовать пересечение множественных оценок для коррекции оценки и ковариационной матрицы фильтра Калмана.

Литература

1. Тратас, Ю.Г. Эффективная передача информации хаотическими колебаниями / Ю.Г. Тратас //Радиотехника. - 2011. - № 4. - С. 4-11.

2. Нечаев, Ю.И. Информационные технологии и управление в бортовых интеллектуальных системах новых поколений / Ю.И. Нечаев // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2010. - № 1. - С. 42-53.

3. Никульчев, Е.В. Моделирование систем с нелинейной динамикой на основании экспериментальных данных / Е.В. Никульчев // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2006. - № 5. - С. 6-14.

4. Смирнов, Д.А. Реконструкция уравнений динамики и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по временным рядам: автореф. ... д-ра физ.-мат. наук /Д.А. Смирнов. -Саратов, 2010. - 34 с.

5. Антипов, О.И. Прогнозирование и фрактальный анализ хаотических процессов дискретно-нелинейных систем с помощью нейронных сетей / О.И. Антипов, В.А. Неганов //Доклады АН. -2011. - Т. 436, № 1. - С. 34-37.

6. Parameters identification of chaotic system by chaotic gravitational search algorithm / C. Li, J. Zhou, J. Xiao, H. Xiao // Chaos, Solitons & Fractals. - 2012. - Vol. 45. - P. 539-547.

7. Parameter identification of commensurate fractional-order chaotic system via differential evolu-

tion / Y. Tang, X. Zhang, C. Hua, L. Li, Y. Yang // Phys. Lett. A. - 2012. - Vol. 376. - P. 457-464.

8. Voss, H. U. Nonlinear dynamical system identification form uncertain and indirect measurements / H. U. Voss, J. Timmer, J. Kurths // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2004. - Vol. 14. -№ 6. - P. 1905-1933.

9. Erramilli, А. An application of deterministic chaotic maps to model packet traffic / А. Erramilli, R.P. Singh, P. Pruthi // Queueing Systems. - 1995. -Vol. 20. - P. 171-206.

10. Елсаков, С.М. О многоэкстремальности в задачах оценивания систем детерминированного хаоса / С.М. Елсаков, В.И. Ширяев // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2009. - № 3. -С. 37-41.

11. О решении задач параметрической идентификации процессов с хаотической динамикой / И.В. Гришин, А.С. Шелудько, В.И. Ширяев и др. // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2008. -№ 3. - С. 44-50.

12. Кожихова, Н.А. Прогнозирование временного ряда с учетом хаотической компоненты / Н.А. Кожихова, В.И. Ширяев // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2010. - № 22. - С. 22-25.

13. Уханов, М.В. Алгоритмы построения информационных множеств для реализации минимаксного фильтра / М.В. Уханов, В.И. Ширяев // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2002. - № 3. - С. 19-33.

14. Калман, Р.Е. Идентификация систем с шумами /Р.Е. Калман // УМН. - 1985. - Т. 40, № 4. - С. 27-41.

15. Черноусько, Ф.Л. Об оптимальном эллипсоидальном оценивании динамических систем, подверженных неопределенным возмущениям / Ф.Л. Черноусько // Кибернетика и системный анализ. - 2002. - № 2. - С. 85-94.

16. Шматков, А.М. Построение аналога фильтра Калмана для гарантированной оценки состояния динамической системы / А.М. Шматков // Изв. РАН. Теория и системы управления. -2011. - № 5. - С. 33-40.

Поступила в редакцию 25 сентября 2012 г.