Методы количественной оптимизации параметров моделей для системы мониторинга комплексной инфраструктуры территории

УДК 621.3

А. С. Бождай

МЕТОДЫ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА КОМПЛЕКСНОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ ТЕРРИТОРИИ

Аннотация. Рассматриваются подходы к решению задачи количественной оптимизации параметров моделей сложных динамических систем на основе методов асимптотического анализа применительно к задаче автоматизированного мониторинга комплексной инфраструктуры территории.

Ключевые слова: комплексная инфраструктура территории, мониторинг, оптимизация.

Abstract. The paper considers approaches to a decision of the quantitative optimization problem of models parameters for complex dynamic systems. Suggested approaches are based on asymptotic analysis methods and figured on a use in spheres of an automated monitoring of a complex territory infrastructure.

Keywords: complex territory infrastructure, monitoring, optimization.

Большинство традиционных методов мониторинга социальноэкономических систем

Головные управляющие организации, занимаясь анализом работы своих подведомственных иерархий, зачастую прибегают к упрощенной схеме, заключающейся в периодическом сборе первичной информации (например, с помощью специально разработанных форм унифицированного образца), ее централизации, автоматической очистке и последующей обработке различными методами. Полученные аналитические обобщения и выводы для наглядности иногда связываются с территориальным аспектом СЭС путем создания тематических карт и атласов. Органы управления образованием, здравоохранением и прочими СЭС проводят данные мероприятия обособленно друг от друга не пытаясь согласовывать формы первичной отчетности, и не учитывая, тем самым, текущего состояния смежных систем и отраслей.

Даже оставив пока в стороне проблему достоверности первичной информации, предоставляемой учреждениями низших уровней иерархии, можно сделать заключение о том, что рассмотренный подход позволяет лишь констатировать общее текущее состояние СЭС, достигнутое за отчетный период. Важнейшие вопросы, связанные с нахождением факторов, которые способствовали переходу системы в это состояние (т.е. причин) остаются за пределами видимости. Далее, в результате такой потери причинно-следственных связей не представляется возможным установить истинные закономерности развития СЭС, и, следовательно, осуществлять эффективные работы в области их моделирования, прогнозирования и мониторинга становится проблематично.

Очевидно, что любая СЭС регионального масштаба является открытой системой, входящей в состав общей инфраструктуры, более обширной как по территориальному, так и тематическому охвату. Административнохозяйственные границы СЭС не могут препятствовать явным или косвенным воздействиям со стороны смежных подсистем инфраструктуры. Иными словами, инфраструктура жизнедеятельности человека в рамках выбранного территориального охвата является единым системным организмом и многие причинно-следственные закономерности следует искать именно в масштабах всей инфраструктуры.

Для терминологической идентификации такого системного единства предлагается ввести новое понятие - комплексная инфраструктура территории (КИТ), определить которое можно следующим образом. КИТ - совокупность антропогенных, техногенных и природно-географических систем, представляющих собой системную целостность в рамках выбранного пространственно-временного масштаба [1].

При автоматизированном решении задач любого характера на первый план выступают проблемы использования формализованных математических моделей и методов с их последующей алгоритмизацией. Важной задачей при создании таких моделей является выбор оптимального множества параметров (как по количеству, так и по характеру влияния на модель), что окажет значительное влияние на емкостные, точностные и надежностные характеристики последующих алгоритмов моделирования.

Наиболее простым и привычным подходом, применимым к мониторингу КИТ, является редукционный подход на основе структурной декомпозиции. Он подразумевает разбиение исследуемой сложной системы на иерархию более мелких подсистем нижнего уровня с последующим их локальным моделированием и анализом. Далее, на основе результатов локальных исследований выстраивается общесистемная картина. Целостность процесса мониторинга обеспечивается за счет специальных, взаимосвязанных в одну систему моделей, построенных на стыке целого ряда информационнокомпьютерных технологий. Инвариантность к предметным областям сферы мониторинга достигается за счет выявления и использования их общих системных черт и закономерностей [2].

Однако на практике применимость этого метода ограничена жесткими рамками сложности КИТ. В большинстве случаев КИТ является сложной открытой системой с элементами самоорганизации, описать которую возможно моделями на основе математического аппарата нелинейной динамики. В основе этого подхода [3] лежит методика выделения небольшого количества ключевых параметров (параметров порядка), которые оказывают наиболее сильное влияние на поведение системы в целом. Огромные массивы информации, касающиеся различных тематических слоев КИТ, зачастую не дают возможности понять и прогнозировать исследуемые процессы. Поэтому упорядочение информации, выделение в ней параметров порядка (уменьшение размерности фазового пространства) выходят на первый план при анализе и мониторинге КИТ и зачастую являются экспертной задачей. Здесь и далее под фазовым пространством понимается «-мерное пространство учитываемых параметров КИТ.

Таким образом, количество параметров порядка определяет размерность фазового пространства КИТ (в дальнейшем - системы), а взаимосвязи

между ними могут описываться различными математическими зависимостями (например, системой обыкновенных дифференциальных уравнений).

Использование аппарата нелинейной динамики для построения таких зависимостей в последнее время стало популярным. Однако эффективность этого подхода в решающей мере ограничивается размерностью фазового пространства, которое не должно превышать четырех-пяти. С ростом размерности емкостная и вычислительная сложности модели растут экспоненциально [4].

В условиях реального функционирования КИТ количество параметров порядка (и, следовательно, размерность фазового пространства) будет значительно больше обозначенной границы. Поэтому особую актуальность представляет количественная оптимизация параметров без существенной потери точности моделирования.

Для решения этой задачи предлагается использовать существующие неоднородности в фазовом пространстве КИТ. Ряд проведенных исследований [5, 6] показал, что:

1) в фазовом пространстве нелинейной динамической системы существуют области, в рамках которых поведение системы может быть с приемлемой точностью охарактеризовано небольшим количеством переменных, описывающих проекцию малой размерности. Прочие переменные могут быть подчинены переменным проекции (или, попросту, несущественными). Такие области принято называть руслами (рис. 1);

2) в фазовом пространстве нелинейной динамической системы существуют области, где поведение системы, напротив, зависит от совокупности повышенного количества переменных. Такие области принято называть джокерами (рис. 2). Поведение системы, находящейся в области джокера, отличается сложностью, непредсказуемостью и разнообразием. Маловероятные ветви поведения системы могут стать вполне реальными. При этом приходится использовать вероятностные методы или простые приближенные правила, определяемые эмпирически.

Рис. 1 Область С в «-мерном фазовом пространстве является руслом для фазовых траекторий ^, /2, /ъ, /4, /5

Рис. 2 Область 1 в «-мерном фазовом пространстве является джокером для фазовой траектории Л

Методы нахождения русел в фазовом пространстве имеют большое практическое значение. Фактически большинство возможностей прогноза в динамической нелинейной системе обусловлено наличием русел, внутри которых существуют устойчивые причинно-следственные связи. Так как картина сближающихся траекторий наблюдается не для всех переменных системы, то «лишние» параметры отбрасываются, а на основе оставшихся строятся упрощенные математические модели. Зная фазовую траекторию Л (рис. 1), можно с достаточной долей уверенности предсказать поведение системы в случаях Л2, Лз, Л4, Л в пределах области О.

Общеизвестно, что при управлении сложными техническими и социально-экономическими системами человек-эксперт на подсознательном уровне способен определять русла и на основе этого принимать оперативные и верные управленческие решения. Одной из важных особенностей человеческого мышления является способность к абстрактному упрощению, т.е. умение видеть небольшое количество решающих ситуацию факторов и зависимостей без каких-либо математических расчетов. Очевидно, что опыт человека - это приобретенная способность находить русла течения реальности. И если «подсознательное чутье» способно увидеть самое главное и существенное среди огромного пространства нашей реальности, значит, оно там на самом деле есть. Следовательно, задачу абстрактного упрощения можно формализовать и отобразить в виде математических моделей. Выполнить такую формализацию весьма непросто. И, тем не менее, существует ряд подходов к решению этой задачи.

В рамках мониторинга КИТ наиболее перспективным представляется метод выделения в фазовом пространстве областей медленной динамики (движение системы в области русла обычно протекает медленнее, чем, к примеру, в области джокера). В качестве математического аппарата, описывающего медленно-быструю динамику, можно применить методы асимптотического анализа (особенно эффективные при решении междисциплинарных задач). Наиболее часто для этого используются сингулярно возмущенные сис-

темы обыкновенных дифференциальных уравнений, упорядоченных по характерным временам изменения переменных в силу наличия малых параметров при одной или более производных. Согласно теореме Тихонова [7] решение таких систем стремится к решению вырожденной системы, в которой малый параметр взят равным нулю (что приводит к замене соответствующего дифференциального уравнения алгебраическим и, фактически, к понижению размерности системы). Таким образом, можно выбрать в качестве проекции малой размерности вырожденную систему. Тогда конфигурация области медленного движения - русла будет определяться устойчивыми участками гиперповерхности, заданной упомянутым алгебраическим уравнением [8]. «Исток» русла будут составлять точки падения (точки перехода от быстрого движения к медленному), а «устье» - точки срыва (точки перехода от медленного движения к быстрому) [6].

В процессе управления сложной динамической системой человек подчас сталкивается с обратной ситуацией, когда система входит в области-джокеры, где становится особенно чуткой к влиянию скрытых или подчиненных факторов. Это обусловливает возникновение хаотических режимов в поведении системы, когда уровень неопределенности резко возрастает. Обычно это области фазового пространства с повышенной динамикой движения системы, для нахождения которых используется тот же математический аппарат, что и для поиска русел. Сталкиваясь с такими областями в ходе моделирования или прогнозирования, необходимо иметь механизмы упрощения поведенческого описания системы. В целях такого упрощения каждому джокеру ставится в соответствие некоторая система эмпирически установленных правил, в соответствии с которыми система скачком выходит из области повышенной неопределенности 1. Выделяют три основных типа джокеров [5]:

1. Джокер первого рода - дискретный точечный джокер. Обычно связывается с ситуацией, когда хаос в системе обязательно повлечет за собой ее распад. На рис. 2 фазовая траектория /1, попадая в область джокера 1, обязательно скачком перейдет в точку А (точку распада).

2. Джокер второго рода - дискретный вероятностный джокер. С вероятностью р1 он переведет систему в точку В, с вероятностью р2 - в точку С.

3. Джокер третьего рода - непрерывный вероятностный джокер. Переводит систему в точку некоторой области фазового пространства в соответствии с заданным законом распределения вероятности.

Стоит отметить, что отношение лиц, принимающих решения (ЛПР), к ситуациям с высокой степенью неопределенности неоднозначно. В зависимости от выбранной стратегии управления, от запаса устойчивости системы и от объема ее ресурсов, можно либо использовать джокеры, либо, зная об их местоположении, избегать их. Так, в условиях нарастающей доли хаоса, потери устойчивости и еще достаточного объема ресурсов можно целенаправленно ввести фазовую траекторию в область джокера, чтобы с известной долей вероятности быстро и безболезненно вывести систему в благоприятную точку фазового пространства. Однако, с другой стороны, это связано с риском ускорить крах системы, оказавшись в неблагоприятной точке после срабатывания джокера. Другая ситуация связана со стабильной траекторией движения системы (особенно в области русла), когда рисковать вовсе ни к чему. Тогда, меняя ключевые параметры порядка, можно увести фазовую траекторию в сторону от области джокера (траектория/ на рис. 2).

Таким образом, можно перечислить последовательность задач, решение которых необходимо для количественной параметрической оптимизации и построения упрощенных математических моделей КИТ:

1. Выделить небольшое количество N параметров порядка КИТ.

2. Построить фазовое ^мерное пространство КИТ.

3. Используя статистические и экспертные данные, исследовать фазовое пространство на предмет неоднородностей.

4. Используя математические методы сингулярного приближения, исследовать фазовое пространство на предмет наличия областей медленной и быстрой динамики (русел и джокеров).

5. Сопоставить результаты шагов 3 и 4 для получения обобщенной картины неоднородностей фазового пространства.

6. В пределах областей, соответствующих руслам, выявить управляющие параметры и провести, тем самым, локальное уменьшение размерности. Сформулировать для ЛПР различные сценарии развития системы в области данного русла.

7. В пределах областей, соответствующих джокерам, определить алгоритмы их срабатывания, вероятности скачков и управляющие параметры. Сформулировать для ЛПР поведенческие и вероятностные характеристики каждого джокера.

Решение задач 6 и 7 даст в распоряжение ЛПР эффективное средство для мониторинга и прогнозирования КИТ как в критических (хаотических) условиях, так и в условиях стабильного развития.

Рассмотренные методы количественной оптимизации параметров мониторинга прошли практическую апробацию в ряде научно-исследовательских проектов и позволили получить существенные результаты.

Так, при выполнении проекта «Разработка технологии информационного мониторинга образовательной системы города Пензы в составе комплексной инфраструктуры территории (КИТ)» (заказчик - Управление образования г. Пензы, 2009 г.) было выявлено чуть более 500 основных параметров КИТ, которыми пользуются ЛПР Управления образованием для анализа и принятия решений в сфере своей деятельности. Помимо образовательных слоев, в состав КИТ были включены такие аспекты, как здравоохранение; материальная база образовательных учреждений; социально-экономическое благосостояние учащихся; количество и характер правонарушений, совершенных учащимися, и др. Традиционные статистические методы мониторинга, которые использовались для этих целей ранее, не позволяли в полной мере охватить весь спектр зависимостей, причинно-следственных связей и тенденций для проведения эффективного анализа и прогнозирования образовательных процессов. Благодаря предлагаемому методу удалось существенно упростить модель КИТ и оптимизировать количество параметров модели до 35 (почти в 14 раз). В этот сокращенный набор вошли параметры, наиболее сильно влияющие на характер образовательных процессов и в полной мере определяющие области медленной и быстрой динамики исследуемой системы.

При выполнении проектов «Разработка методики информационной поддержки подготовки и переподготовки государственных и муниципальных служащих в области информационных технологий» (заказчик - Администрация Тамбовской области, 2007 г.) и «Разработка алгоритма оценки качества подготовки профессиональных кадров и их востребованности на рынке тру-

да» (заказчик - Минобрнауки РФ, 2008 г.) предлагаемый метод был использован для количественной оптимизации параметров моделей качества подготовки профессиональных кадров и позволил упростить модели более чем на порядок без существенных потерь в их точности.

Список литературы

1. Бершадский, А. М. Методы и модели информационного мониторинга социальной инфраструктуры территории / А. М. Бершадский, А. С. Бождай // Известия Волгоградского государственного технического университета : межвузовский сборник научных статей. - 2007. - № 1 (27). - С. 17-22.

2. Бершадский, А. М. Принципы и методы построения универсальных информационно-аналитических систем для задачи мониторинга / А. М. Бершадский, А. С. Бождай, С. И. Столяров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2005. - № 5 (20). - С. 107-114. - (Технические науки).

3. Бершадский, А. М. Комплексная инфраструктура территории: синергетические аспекты исследования и мониторинга динамики информационных процессов / А. М. Бершадский, А. Г. Финогеев, А. С. Бождай // Приложение к журналу «Открытое образование» [Материалы XXXIV Международной конференции и дискуссионного научного клуба «Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе ГГ+8Е’07». Украина]. - Ялта - Гурзуф, 2007. - С. 432-433.

4. Малинецкий, Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Ма-линецкий, А. Б. Потапов. - М. : УРСС, 2002. - 328 с.

5. Малинецкий, Г. Г. Джокеры, русла и поиски третьей парадигмы / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов // Знание - Сила. - 1998. - № 3. - С. 19-35.

6. Зальпукаров, М. Г. Метод русел и джокеров на примере исследования системы Розенцвейга-Макартура : препринт / М. Г. Зальпукаров, Г. Г. Малинецкий, А. В. Подлазов ; Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. - М., 2006. - № 21. - 32 с.

7. Тихонов, А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. Избранные труды А. Н. Тихонова / А. Н. Тихонов. - М. : МАКС Пресс, 2001. - С. 201-238.

8. Мищенко, Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. - М. : Наука, 1975. - 414 с.

Бождай Александр Сергеевич кандидат технических наук, доцент, кафедра систем автоматизированного проектирования, Пензенский государственный университет

Bozhday Alexander Sergeevich Candidate of technical sciences, associate professor, CAD sub-department, Penza State University

E-mail: bam@pnzgu.ru

УДК 621.3 Бождай, А. С.

Методы количественной оптимизации параметров моделей для системы мониторинга комплексной инфраструктуры территории /

А. С. Бождай // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 71-77.