Геострофическая модель атмосферы с учетом центробежной силы инерции

ГЕОСТРОФИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТМОСФЕРЫ С УЧЕТОМ ЦЕНТРОБЕЖНОЙ СИЛЫ ИНЕРЦИИ

Р. Г. Закинян, М. Н. Грицаева, М. А. Волочай

GEOSTROPHIC MODEL OF ATMOSPHERE SUBJECT TO INERTIA CENTRIFUGAL FORCE

Zakinyan R. G., Gritsaeva M. N., Volochay M. A.

The paper presents the analysis of inertia centrifugal force effect conditioned by the Earth rotation upon the atmosphere movement in the geostrophic model. The inconsistency of neglecting the projections of this force upon the horizontal plane compared with the Coriolis force is shown. The accounting of inertia centrifugal force leads to the results which differ gratly from previously known ones.

В работе проведен анализ влияния центробежной силы инерции, обусловленной вращением Земли, на движение атмосферыi в геострофической модели. Показана не состоятельность пренебрежения проекциями этой силыi на горизонтальную плоскость по сравнению с силой Ко-риолиса. Учет центробежной силыi инерции приводит к результатам, которые значительно отличаются от ранее известных.

Ключевые слова: инерция, центробежная сила, вращение, геострофическая модель, атмосфера, сила Кориолиса, уравнение движения, градиент давления.

УДК 551.513

При рассмотрении моделей атмосферы, как правило, не учитывается влияние центробежной силы инерции, считают ее малой величиной, не оказывающей влияние на движение атмосферы [1, 2]. Проведенный нами анализ показал, что можно пренебречь лишь проекцией центробежной силы инерции на вертикальную ось по сравнению с силой тяжести. Однако проекции центробежной силы инерции в плоскости, касательной к поверхности Земли, имеют порядок сравнимый с силой Кориолиса. Поэтому целью работы является уточнение геострофической модели атмосферы с учетом центробежной силы инерции.

Влияние центробежной силы инерции на градиентный ветер в геострофической модели атмосферы

Рассмотрим единичный объем в поле давления. Изобары направлены под углом а к горизонтальной поверхности. Рассмотрение будем вести в рамках плоской модели, поэтому исключим вертикальное движение. На выделенный объем воздуха будет действовать горизонтальная сила градиента давления, и он начнет двигаться в сторону низкого давления. После начала движения на объем воздуха подействует сила Кориолиса, направленная по правилу левой руки (в северном полушарии) вправо и вектор скорости будет поворачиваться вправо до тех пор, пока сила Кориолиса не уравновесит силу градиента давления. В этом случае скорость будет направлена вдоль изобары, в правую

сторону от градиента давления. Такой ветер, направленный вдоль изобар - называется геострофическим (рис. 1). Геострофическая модель атмосферы рассматривает ветер на некотором удалении от поверхности Земли, где действием силы трения можно пренебречь.

Применительно для этой модели запишем уравнение динамики атмосферы с учетом сил инерции:

§ + (сУ)с = g 0 - Г УР + ГК0 + Гцб0 + Гтр или

^с 1

+ (сУ)с = g 0--Ур + 2[сю 0 ]+ ^ К + Гтр,

от р

индексом « 0 » будем обозначать величины в системе отсчета связанной с поверхностью Земли. Движение будем считать установившемся, т. е. ёс/ & = 0 и не будем учитывать трение Г = 0. Исходя из сказанного, уравнение движения запишется в следующем виде:

Рисунок 1. Геострофический ветер

тр

g С

-ÑP + fк0 + Гцб0 = g0 - -ÑP + 2[ею0] + (2r = 0.

Р

a

Цб0 У

Р

Проекции центробежного ускорения (рис. 2): = -ацб sin j = -ü02 R sin j,

a

цб0 z

а

цб

cos j = (ül R cos j.

Система уравнений движения атмосферы для каждой проекции скорости: ёи 1 др

Рисунок 2. Центробежная сила инерции в системе координат, связанной с поверхностью Земли

dt dv dt dw ~dt

=---— + 2 vü

p dx

l(v

'0 z

w(0y ' +

) + f грх ,

= -1dp + 2(w(0x - u(0z )+ frry - Rü0lsinj,

Р dy 1 dp p dz

g 0 +

l(u

J0 y

Vü0 x) +

+ Z^z + R(ícosj .

Расстояние от оси вращения Земли до точки, находящейся на высоте h = z над поверхностью Земли:

R = (R3 + h)cos j = (R3 + z)cos j . Проекции угловой скорости вращения Земли:

ü0x = 0, ü0y = ü0 sin в = ü0 cos j, ü0z = ü0 cos в = ü0 sin j. С учетом выше изложенных условий уравнения динамики атмосферы преобразуются к виду: 1 dP

0 =---— + 2vü0 sin j,

Р dx

0 = -1 dp - 2uw0 sin j -

P fy

0 = -1 - g0 + R + z)w02 cos j cos j . p dz

Ускорение свободного падения и выражение для центробежной силы в последнем уравнении составляют такую величину: g — g0 - (Яз + z)cos j w02 cos j, тогда из системы (1) получаем горизонтальные проекции скорости геострофического ветра и уравнение статики атмосферы:

= 1 dp (R3 + z )w 0cos j u g — ,

2w0 p sin j dy 2

= dp • (2) 2w0 p sin j dx

pg — -dp/dz .

В отличие от известных формул [1, 2] в полученном нами выражении для проекции скорости геострофического ветра на ось х, присутствует составляющая центробежной силы, которую другие исследователи отбрасывают, но при оценке центробежная сила (на 45° с. ш.) wQ (R3 + h)cos j sin j » 3,2 • 10-4 м/с2 не мала по сравнению с силой Кориолиса

(» u •Ю-4 м/с2, где u в м/с), поэтому ею нельзя пренебрегать, причем она достигает максимального значения на 45o с. ш.

Центробежную составляющую можно не учитывать лишь в последнем уравнении, так как она мала по сравнению с ускорением свободного падения.

Таким образом, полученная нами добавка к проекции геострофического ветра на ось х имеет вид: - (Кз + z) W0 cos j/2 . С учетом этой добавки даже при отсутствии градиента давления вдоль меридиана, геострофический ветер существует. Величина добавочной скорости (на 45° с. ш. ) 7,29 •Ю-5 • 64 • 105 (л/2/2)/2 — 165 м/с . Большое значение скорости связано с пренебрежением силой трения. Действительно, полученное значение скорости в два раза меньше скорости вращения точек поверхности Земли в системе отсчета, связанной с центром Земли. Поэтому, в отсутствии сил трения, воздух не увлекается Землей, и в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, скорость движения воздуха будет равна по величине и противоположна по направлению скорости вращения точек поверхности Земли. Отсюда следует, что вклад центробежной силы инерции будет вносить существенные изменения в динамику атмосферы. Рассматривая частный случай, при dp ¡ dy > 0 вдоль оси y давление будет падать в направлении от экватора к полюсу (в глобальном масштабе это наблюдается в атмосфере) геострофический ветер будет направлен с запада на восток, т. е. будет преобладать западный поток. Следовательно, направление геострофического ветра обосновывает преобладание западного переноса в атмосфере.

Рассмотрим некоторую изобарическую поверхность, которая параллельна поверхности Земли, а, следовательно, отсутствуют градиенты давления в этой плоскости dp¡dx — 0 и dp/ dy — 0, то по выводам, полученным другими исследователями [1, 2] градиентный ветер должен отсутствовать. В этом случае за счет центробежной добавки будет существовать проекция градиентного ветра на ось x: u — - (R3 + z)w0 cos j2 . На это движение так же будет накладываться сила Кориолиса, и закручивать воздух по часовой стрелки (рис. 3):

/к0у = "20ив вт < .

Знак «-» показывает, что эта сила будет направлена против оси у и будет выполнять роль центростремительной силы. Тогда:

ug

2w0ug sin j = .

R

Исходя из последнего уравнения, получим радиус окружности, по которой будет двигаться частица:

R = ug /2w0 sin j .

С учетом модуля проекции скорости геострофического ветра получим:

R = R + z)cos j¡4sin j . Радиус окружности этого движения на широте Ставрополя (45°с. ш.) будет равен: R = (Кз + z) cos j/ 4sin j = 1600 км. Это довольно

большой масштаб для такого процесса, что в очередной раз подтверждает ошибочность пренебрежения центробежной силой инерции.

Так же выражение для проекций скоростей геострофического ветра (2) можно выразить через геопотенциальную высоту с использованием уравнения статики атмосферы:

1 йФ g

- — dp = gdz , — = —, = gdz .

Р dz g0

1

Правые части этих выражений равны, а, значит, равны и левые:--dp = g0йФ . Подста-

Р

вим это выражение в уравнения (1):

Рисунок 3. Влияние центробежной добавки на скорость геострофического ветра при отсутствии градиента давления

ug =

g 0

дФ R + z )w0cosj

vg =-"

g0

дФ

2w0sin j ду 2 2w0sin j dx

Таким образом, показано, что учет центробежной силы инерции оказывает существенное влияние на поведение геострофического ветра.

Влияние центробежной силы инерции на изменение геострофического ветра с высотой

Вернемся к рассмотрению уравнений (2) включающих проекции скорости геострофического ветра.

Заменим плотность по уравнению состояния: р = p/RcT, где Rc- удельная газовая постоянная сухого воздуха, и введем под знак дифференциала давление:

RcT дlnp (R + z)w0 cos j^

ug =-

vg =

2w0 sin j dy

RcT дlnp

2

2w0 sin j dx

Разделим полученные уравнения на T и продифференцируем их по z :

д_ dz

д_ dz

VT 0

r ^ л

V T 0

Rc

d ln p

2w0 sin j dzdy

Rc d ln p 2w0 sin j dzdx

d í (R, + z)w0 cos j

dz V 2T

Поменяв порядок дифференцирования в первых выражениях в правой части, мы сможем

д 1п р _ g о

использовать уравнение статики атмосферы

' Л g d í ^

dz

RcT

д_ dz

д_ dz

T

go d

2w

o z dy

T

-I

dz1

z)a0 cosj

2T

g

T

g0 d

2Wo z dx

V

Продифференцировав последние выражения, получим:

д_ dz

d dz

чл

T

Vl

T

g0 dT

2wozT

g0

2 dy

dT

w0 cos j + (R, + z)w0 cos j dT

2T

2T2

dz

2w0zT2 dx

Рассмотрим, при каких условиях отношение проекции скорости геострофического ветра на ось X к температуре будет постоянной величиной:

д_ dz

2T

ч ^

V T 0

g 0 dT

2w0zT2 dy

w0 cos j + (R, + z)w0 cos j dT _

2T

2T2

g0 dT

- w0 cos j +

(R3 + z)w0 cos j dT

2T

dz

2«0zT dy Это выполняется при условии:

1 dT _ w02 sin j cos j (R3 + z)w02 sin j cos j dT

- t dy "

dz

_ 0.

_ 0,

g 0

g0T

dz

Проинтегрируем уравнение (3) по z, в пределах от zi до z :

и g

ug

g0

r 1 dT , w0 cos j f 1 , f

I 2 — dz--0-z- I — dz + I

J T2 dy 2 j T j

T

2w0, J T

(R, + z)w0cos j dT

2

T

2T2

dz

dz,

V z

g0

T(z) T(zi) 2w0Z{T2 dx

I ^ f dz

2 dx

Вместо температуры и ее горизонтального градиента возьмем среднюю температуру слоя и средний градиент температуры:

goГ ср г, «о cos j f А_ 1 f (R + z )ш0 cos j ЗГ

u g

u g

T

2W0T zi

I dz

2Т„

ср

J dz + ¿ J

2

dz

dz,

Vg (Z ) Vg (Z1 )_ g 0 Гср

T (z) T (z,) 2w X

2 J dz .

0 z ср z,

(z) _ ^ T (z) + f dz - W^jM J dz + Jr T(z )•

gW X(z ) W 9m T2 J 2Т J Т2

0 ср

gv_/ T(zjГ^' 2^>с2р 2Тср Г' T2

z (R + z)wо cos j ST dz J 2 Sz

() vg(zi)X() gTXQ^d yg(z)_ to T (z idz •

\ 1 / 0 z ср z,

Так же с учетом, что T(z) _ Хср получим:

() ug(zi)| gоГср ( ) w0cosj( ) w0cosj z( )ST

ug(z)_Хт-уT(z) + ^^(z-zi)- 0 2 (z-zi)+ 2Т J(R + zdz,

T (zi) 2W zTср 2 2Тср Г, Sz

vg (z)_ ^ X (z b^^- (z - z,). gW T (z, ) W 2w0zTc/ 17

ST

Если учтем в первом уравнении системы, что -_ — g _ const (g > 0) получим:

Sz

ug _ и-Щ-T(z) + (z - z,)- ^^(z - z,) + ^^(- g) f(r + z)dz .

g T(z,) W 20zTCp ^ 2 V ^ 2ХСр 4 ^

Найдем последний интеграл:

_

J (r + z )dz _J (r + z Mr + z )_(R + z )2

2

2 . -)R

при этом учтено, что гср << R.

Окончательно с учетом центробежной силы инерции выражение для проекции скорости геострофического ветра на ось х принимает вид:

, = ^ г

ё Т(г,) ^ 2ю0гТСр 2 V 2ГСр ^

Учет центробежной силы инерции привел к существенному отличию от известных формул. Эта добавка всегда отрицательная, а, следовательно, уменьшает значение проекции скорости геострофического ветра на ось х.

Исходя из формулы (4) получаем, что в случае, если последние два выражения по величине превышают величину термической добавки, то наблюдаться другой поворот ветра при адвекции тепла или холода в отличие от поворота, который получался исходя из ранее известных формул [1, 2]. Такой результат получится и в случае, если термическая добавка (термический ветер) отсутствует, т. е. Дмт = 0 .

Получим условия, при которых последние два выражения по величине превышают термический ветер, т. е. критическое значение горизонтального градиента температуры Гср кр . Если Г < Гср кр, то центробежная добавка будет превышать термическую.

Сравним численно последние два выражения в уравнении (4):

(О0 008 ф 2

(г - г) +

УЮ0 008 ф

2Т

к

ср

1 +

ж.

т_

ср у

К 7,3 • 10-5 • 6,4 • 106

тср

300

= 128 .

Полученное значение значительно больше 1, а, следовательно, третье выражение в уравнении (4) значительно меньше четвертого и его можно исключить из рассмотрения.

Приравнивая последнее и второе слагаемое уравнения (4), получаем критическое значение горизонтального градиента температуры Гср кр :

£ 0 Г с

ую0 со8 ф

2Т

К (г - 21 ) =

0 ср кр 2^Тср

(г - г1 ),

Гс

702 8т 2ф 2 £ 0

Рисунок 4. Адвекция холода в атмосфере

К

Г

Рисунок 5. Адвекция тепла в атмосфере

Оценим эту величину численно: сркр » 1,044 • 10-5 град / м = 1,044 град /100 км .

В итоге получаем, что если температура в горизонтальной плоскости, находящейся над поверхностью Земли, будет изменяться более чем на один градус на 100 км, что реально наблюдается в атмосфере, то центробежная добавка Ли цб уменьшит значение и (за исключением случая

приподнятой инверсии) и будет наблюдаться левый поворот геострофического ветра при адвекции тепла (рис. 4). При адвекции холода (рис. 5) будет наблюдаться правый поворот геострофического ветра. Эти результаты совершенно противоположны действию термической добавки

ЛИТЕРАТУРА

1. Матвеев Л. Т. Физика атмосферы. - СПб.: Гидрометеоиздат, 2000.

2. Матвеев Л. Т. Теория общей циркуляции атмосферы и климата Земли. - Л.: Гидрометеоиздат, 1991.

Об авторах

Закинян Роберт Гургенович, Ставропольский государственный университет, профессор кафедры теоретической физики. Сфера научных интересов - физика атмосферы, физика магнитных жидкостей, распространение электромагнитных волн. /актуап@таП ,гц

Грицаева Марина Николаевна, Ставропольский государственный университет, аспирантка кафедры

теоретической физики. Сфера научных интересов - физика атмосферы.

Mgric@mail.ru

Волочай Марина Александровна, Ставропольский государственный университет, аспирантка кафедры

теоретической физики. Сфера научных интересов - физика атмосферы.

vol.marina@mail.ru