Численное исследование колебаний трубопроводов с учетом вязкоупругого основания грунта

УДК 539.3 Б01: 10.20998/2411-0558.2017.50.12

Б.А. ХУДАЯРОВ, д-р техн. наук, проф., Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, г. Ташкент, Узбекистан

Ф.Ж. ТУРАЕВ, асс., Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, г. Ташкент, Узбекистан

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ТРУБОПРОВОДОВ С УЧЕТОМ ВЯЗКОУПРУГОГО ОСНОВАНИЯ ГРУНТА

В работе решается задача о колебаниях прямолинейных участков трубопровода на базе теории оболочек. Построена математическая модель о параметрических колебаниях вязкоупругих трубопроводов большого диаметра с протекающей пульсирующей жидкостью. Разработан вычислительный алгоритм, основанный на исключении особенностей интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами, с последующим использованием квадратурных формул, для решения задач динамики вязкоупругих трубопроводов с протекающей пульсирующей жидкостью. Численно исследовано влияние сингулярности в ядрах наследственности и частоты возбуждения на колебания конструкций, обладающих вязкоупругими свойствами. Ил.: 1. Библиогр.: 9 назв.

Ключевые слова: математическая модель; вязкоупругий трубопровод; интегро-дифференциальные уравнения; численное исследование; пульсирующая жидкость.

Постановка проблемы и анализ литературы. Проблема обеспечения высокопрочными трубами для строительства и эксплуатации мощностей по добыче и транспортировке нефти и газа является одной из первоочередных государственных задач. Решение ее начинается с формулировки требований к качеству труб, связанных с повышением надежности и долговечности трубопроводного транспорта. Одним из путей решения этой проблемы является использование в нефтегазовой отрасли труб из различных материалов, в том числе полимеросодержащих [1].

Как известно, магистральные, технологические и промысловые газонефтепроводы представляют собой сложные инженерные конструкции, проложенные во многих республик и регионах СНГ и эксплуатируемые в разнообразнейших природно-климатических условиях. Следует отметить, что подземная, наземная и подводные прокладки трубопроводов, подводные переходы, различные электрохимзащиты от коррозии, особенности технологии строительства и конструктивных решений создают широкий спектр параметров прочности, устойчивости различных участков трубопроводов. В

© Б.А. Хадаяров, Ф.Ж. Тураев, 2017

настоящее время при строительстве магистральных трубопроводов широко применяются трубы, изготовленные из различных естественных и искусственных (композитных) материалов. При сложных климатических условиях от проектировщика и расчетчика требуется максимально правильно оценить свойства материала трубы и реального грунта [2].

Задача исследования колебаний трубопровода на упругом и вязкоупругом основании с протекающей в нем жидкостью является весьма сложной. На сегодняшний день разработано множество подходов для решения подобных задач, но ни один из них не дает качественно полного решения задачи гидроупругости в трубопроводной системе в целом. В основном эти подходы описывают отдельные стадии процессов, происходящих в газо-нефтепроводе [3, 4].

Широкое использование новых композиционных материалов в объектах нефтегазовой промышленности, в объектах химического производства, а также других отраслях машиностроения требует дальнейшего совершенствования механических моделей деформируемых тел и разработки методов и методики их расчета с учетом вязкоупругих свойств материала тонкостенных конструкций.

Таким образом, несомненный научный и практический интерес вызывает построение математических моделей, позволяющих исследовать динамические процессы вязкоупругих трубопроводов с протекающей газо-жидкостью с учетом вязкоупругого основания грунта.

Необходимо не только создание математической модели, но и численного алгоритма и компьютерной программы для решения задачи о свободных колебаниях вязкоупругих тонкостенных трубопроводов с учетом вязкоупругого основания грунта.

Рассмотрим поведение трубопровода типа цилиндрической оболочки, внутри которой протекает пульсирующая жидкость. Скорость жидкости и (V) изменяется по закону [5].

Уравнения движения оболочки, полученные в рамках классической теории оболочек [5], с учетом наличия вязкоупругого основания, имеют вид:

(л 2и 1 -тд2и 1 + т д2V Т. Л 1 -т2 д2и п

11 - Я К—- + —2- +-£-+ ¿^П-р-£--= 0,

1 Лдх2 2Я2 Ш2 2Я дхде 14 Л н Е дл2

(1 - ЯЧ^-^У= 0, (1) у Я2 Ш2 2 дх2 2Я дхде ^ н Е дл2

д2V 1 -тд2V 1 + т д2и 1 1 -т2 д2V

в(1 - Я*)у 4 w + ¿3 (и, V, w) + к1 (1 -Г*)^ + рк

д 2 w 12=

I

где Я*- интегральный оператор вида: Я ) = | Я(V -т)ф(т)Л;

0

Я(V - т) - ядро релаксации; Я - радиус кривизны срединной поверхности; и - коэффициент Пуассона материала трубы; Б -цилиндрическая жесткость трубы; Е - модуль упругости материала трубы; р - его плотность; к - коэффициент основания Винклера; к - толщина стенки трубы; и - параметр возбуждения; у1 - частота возбуждения; операторы Ц(м), Ь2(м) и ^(ы,V,м) определены такими:

ц (м) = и дм + дм д2м + 1 + т дм д2м + 1 - и дм д2м 1 Я дх дх дх2 2Я2 д0 дедё 2Я2 дх д02 '

2 2 2 1 дм дм д м 1 + и дм д м 1 -тдм д м

Ц2(м) =--;т— +--+ —---+ —---

Я2 дх де де2 2Я дх дхдё 2Я д0 дх2

/ \ /, Ек 1 и ды 1 дv м и Г дм V

Ь3 (ы, V, м) = (1 - Я -И---т—+ —т- I— I -

34 ' ' ' V /1 -и2 | я дх Я2 де Я2 2Я^дх0

Я31аё.

1 -и2 дх |дх

ды и дv и м дх Я дё Я

+

1 - и дм

(- Я -Г I ды+IV 11

2Я д^ \Я дё дх0|

Ек 1 д |1 дм

1 -и2 Я дё |Я дё

ды 1 дv м

и~дх Я дё Я

+

+

1 - и дм 2 дх

(- Я*(Я

ды ду Я дё + дх

q - давление жидкости на стенку трубопровода

д м д2м^

q = -Фат р

2

+и

дх

2

где ф^т р - присоединенная масса жидкости; т - число

волн, образующихся по окружности; а - волновое число или постоянная распространения фазы.

Решение систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) в частных производных (1) при различных граничных условиях и при наличии сингулярных ядер наследственности представляет собой значительные математические трудности. Поэтому естественным способом решения этих систем является дискретизация по пространственным переменным и получение системы нелинейных ИДУ относительно функций времени.

В связи с этим целью статьи является разработка численного метода, позволяющего исследовать влияние геометрических нелинейностей и вязкоупругих свойств материала на колебательные процессы вязкоупругих трубопроводов.

Будем искать приближенное решение системы (1) в виде: и(х, 9, 0) = 2 ^ппт (0)ссв ^^-ып т9,

п=1 т =1 —

N М ПШ

Ч х 9 0 = 22упт

п=1 т=1

, 9 Л • пш . 9

х 9 0) = 22 ^пт (0) в1П -— МП т9,

п =1 т=1

где ипт (0), Упт (0) и -шпт (0) - неизвестные функции времени.

Подставляя (2) в систему (1) и применяя метод Бубнова-Галёркина, получим систему интегро-дифференциальных уравнений:

ик1 +(1 - Я *)^к 2 ш2 5 2 у2 + ЬН/25 2 )ик1 - ^ к/шу5 2 гк1 +

N М л„-2 2 .. ,„„2 л

+н5 укш wk/ + 22

п,г=1 т,г=1

т ш т. 1 -н пг' .

-у 5 + —^-у5

2 2 2

V

1+ Н ^ М тг - I

2 2 -у У5А2к/пт1г™птМ1г \ = 0,

п,г =1 т,г=1

vkl +(l-Rk2p2d2у2 + Z252Xkl -^Ыщ52ukl -ld2wkl -

N M

mr —

i i ,, N M

m, 1 + m ^ inrp 2c-t

Z -2—55Л3klnmirwnmwir + Z Z ^Г у 5Л4klnmirwn

n,i =1 m,r=1 n,i =1 m,r=1

1 - m хн l mp 2 T i ^

Z Z "у у Л 3klnmir wnm wir l = 0

n,i =1 m,r=1

(l + Фаl )wkl +(l - R^^ [k2p2у2 + z2 J2 +521 wkl +pmу52kukl -

5

NM

l5 vkl - — Z Z mr Л 5kln

n,i=1 m,r=1

w w- -

nm ir

2 N M pmr 5

Z Z "i Л6klnmirwnmwir l +

n,i=1 m,r=1

1 - m NM / nt

+ у5 Z Z n^nm (l - R * J[Уpl>Vir - r 2 uir

n,i =1 m,r=1

Л 6klnmir +

5 NM ( ^ r

+ ô Z Z mwnm l1 - R J W uir--vir +- wi,

' n,i=1 m,r=1

N M

1 -m N M ( *V

— 5Z Z mwnm (l - R f 4

p p

\1ту uir - у2i2 p vir

Л 5klnmir +

Л 5kln

n,i=1 m,r=1

NM / ï

Z Z n^nm (l - R*J|il

2 -2 3 2 -2

рму p vir -1 у p vir -mpir wir

Л 6kln

' n,i=1 m,r=1

1 -m

NM / Nr

5Z Z nmwnm (l - R *

,у uir - 1у 2 p vir

Л 7kln

n,i=1 m,r=1

NM

5 ^ ^ 2,

Z Z m 2 wnm (l - R ) 1>у vir -L- vir + p wir

2 . 1 1 I p p

n,i=1 m,r=1 L

1

Л 8kln

NM

5 V"1 V 2 /1 n* M- 32 2 2

Z Zn wnm l1 - R Jp p uir -mr7 p vir +mу p w

Л 8kln

' n,i=1 m,r=1

4

5

4

-52М*2у2М2Ек+ 5^(1 - Г*)w = 0.

ипт

Я пт (0) = Я0пт , ^пт (0) = Я0пт, ^пт (0) = ^0пт .

Решение ИДУ (т) находится численным методом, основанным на использовании квадратурных формул [6 - 9]. Результаты вычислений, отражаются графиками, приведенными на рис. 1 и рис. 2, где показано влияние параметра у1 на колебательный процесс при А = 0,01; a = 0,25; Ь = 0,005; 5 = 10; N = 5; М = 2. Из рисунков видно, что увеличение значения частоты возбуждения приводит к увеличению амплитуды и частоты колебаний.

б)

Рис. 1. Зависимость прогиба от времени при у = 75 Гц (а), у! = 150 Гц (б).

71

-2-

-1 -

2-

-1 -

О

О

одз

t

Рис. 2. Зависимость прогиба от времени при gj = 250 Гц

скорость звука,

Выводы. Необходимо отметить, что алгоритм предлагаемого метода позволяет детально исследовать влияние геометрических нелинейностей и вязкоупругих свойств материала конструкций на колебательные процессы вязкоупругих трубопроводов, в частности, при исследовании свободных и параметрических колебаний трубопроводов на базе теории идеально-упругих оболочек.

Список литературы: 1. Якубовская С.В. Явление ползучести и релаксации армированных полиэтиленовых трубопроводов / С. В. Якубовская, Н.Ю. Сильницкая, Е.Ю. Иванова // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 2. - С. 1676-1680. 2. Гаджиев В.Дж. Свободное колебание прямоугольного участка неоднородного трубопровода, лежащего на двухконстантном основании / В.Дж. Гаджиев, С.Р. Расулова, Х.Г. Джафаров // Нефтегазовое дело. - 2015. - Т. 13. - № 4. - С. 137141. 3. Vincent O. S. Olunloyo. Dynamic Response Interaction of Vibrating Offshore Pipeline on Moving Seabed / O.S. Olunloyo Vincent, A. Osheku Charles and A. Oyediran Ayo // Journal Offshore Mech. Arct. Eng. - 2006. - Vol. 129 (2). - Р. 107-119. 4. Limarchenko V. O. Vibration of a pipeline with liquid under combined vibration perturbations / V.O. Limarchenko // Journal of mathematical sciences. - 2014. - Vol. 201. №. 3. - Р. 105-125. 5. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости / А.С. Вольмир. - М.: Наука. 1979. - 320 с. 6. Бадалов Ф.Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости / Ф.Б. Бадалов. - Ташкент: Мехнат, 1987. - 269 с. 7. Бадалов Ф.Б. О некоторых методах решения систем интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости / Ф.Б. Бадалов, X Эшматов,

М. Юсупов // Прикладная математика и механика. - 1987. - Т. 51. - № 5. - С. 867-871. 8. Худаяров Б.А. Нелинейный флаттер вязкоупругих отротропных цилиндрических панелей / Б.А. Худаяров, Н.Г.Бандурин // Математическое моделирование. - 2005. -Том 17. - № 10. - С. 79-86. 9. Бадалов Ф.Б. Исследование влияния ядра наследственности на решение линейных и нелинейных динамических задач наследственно-деформируемых систем / Ф.Б. Бадалов, Б.А. Худаяров, А. Абдукаримов // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2007. - № 4. - С. 107-110.

References:

1. Yakubovskaya, S.V., Silnitsky, N.Yu., and Ivanova, E.Yu. (2015), "The Phenomenon of creep and relaxation of reinforced polyethylene pipes", Fundamental research, No. 2, pp. 1676-1680.

2. Hajiyev, V.J., Rasulov, S.R., and Jafarov, Kh.G. (2015) "Free oscillation of a rectangular plot of heterogeneous pipeline, lying on the two constant basis", Oil and gas business, Vol. 13, No. 4, pp.137-141.

3. Vincent, O.S. Olunloyo, Charles A. Osheku, and Ayo, A. Oyediran. (2006) "Dynamic Response Interaction of Vibrating Offshore Pipeline on Moving Seabed", Journal Offshore Mech. Arct. Eng., No. 129(2), pp. 107-119.

4. Limarchenko, V.O. (2014) "Vibration of a pipeline with liquid under combined vibration perturbations", Journal of mathematical sciences, Vol. 201, No. 3, рр. 105-125.

5. Volmir, A.S. (1979), Shells in the flow of liquid and gas. Problems of hydroelasticity, Science, Moskow, 320 p.

6. Badalov, F.B. (1987) Methods of solution of integral and integro-differential equations of hereditary theory of viscoelasticity, Mexnat, Tashkent, 269 p.

7. Badalov F.B., Eshmatov H., and Yusupov M. (1987) "About some methods for solving systems of integro-differential equations encountered in problems of viscoelasticity" Journal of Applied mathematics and mechanics, Vol. 51, No. 5, pp. 867-871.

8. Khudayarov B.A., Bandurin N.G. (2005), "Nonlinear flutter of viscoelastic cylindrical panels urotropine", Mathematical modeling, Vol.17, No. 10, pp. 79-86.

9. Badalov F.B., Khudayarov B.A., Abdukarimov A. (2007), "Study of the influence of the kernel of heredity on the solution of linear and nonlinear dynamic problems hereditary-deformable systems", Problems of mechanical engineering and reliability of machines, No. 4, pp. 107-110.

Статью представил д-р физ.-мат. наук, проф. Наримов Н.

Поступила (received) 10.11.2017

Khudayarov Bakhtiyar, Dr. Sci. Tech, Prof.

Tashkent Institute of Agricultural Irrigation and Mechanization,

Str. Kari-Niyazov, 39, Tashkent, Uzbekistan, 050010,

Tel: +99897-721-07-14, e-mail: bakht-flpo@yandex.com

Тураев Ф.Ж., ass.

Tashkent Institute of Agricultural Irrigation and Mechanization, Str. Kari-Niyazov, 39, Tashkent, Uzbekistan, 050010, Tel: +99897-721-07-14, e-mail: bakht-flpo@yandex.com

УДК 539.3

Чисельне дослвдження коливань трубопроводш з урахуванням в'язкопружного пiдстави грунту / Худаяров Б.А., Тураев Ф.Ж // Вюник НТУ "ХП1". Серш: 1нформатика та моделювання. - Харк1в: НТУ "ХП1". - 2017. - № 50 (1271). - С. 66 -74.

Виршуеться задача про коливання прямолшшних дшянок трубопроводу на баз1 теорп оболонок. Побудовано математичну модель про параметричш коливання в'язкопружних трубопровод1в великого д1аметру з протжаючою пульсуючою рвдиною. Розроблено обчислювальний алгоритм, заснований на виключенш особливостей штегральних та штегро-диференщальних р1внянь з сингулярними ядрами, з подальшим використанням квадратурних формул, для виршення завдань динамжи в'язкопружних трубопровод1в. Чисельно дослщжеш вплив сингулярност в ядрах спадковост i частоти збудження на коливання конструкцш, що володiють в'язкопружнi властивостями. 1л.:2. Бiблiогр.: 9 назв.

Ключевые слова: математична модель; вязкопружний трубопроввд; штегро-дифференцiальнi рiвняння; чисельне дослщженя; пульсуюча рiдина.

УДК 539.3

Численное исследование колебаний трубопроводов с учетом вязкоупругого основания грунта / Худаяров Б.А., Тураев Ф.Ж. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2017. - № 50 (1271). - С. 66 - 74.

Решается задача о колебаниях прямолинейных участков трубопровода на базе теории оболочек. Построена математическая модель о параметрических колебаниях вязкоупругих трубопроводов большого диаметра с протекающей пульсирующей жидкостью. Разработан вычислительный алгоритм, основанный на исключении особенностей интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами, с последующим использованием квадратурных формул, для решения задач динамики вязкоупругих трубопроводов. Численно исследовано влияние сингулярности в ядрах наследственности и частоты возбуждения на колебания конструкций, обладающих вязкоупругими свойствами. Ил.:2. Библиогр.: 9 назв.

Ключевые слова: математическая модель; вязкоупругий трубопровод; интегро-дифференциальные уравнения; численное исследование; пульсирующая жидкость.

UDC 539.3

Numerical study of the vibrations of pipelines taking into account the viscoelastic base of the soil / Khudayarov B.A., Turaev F.Dg. // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2017. - № 50 (1271). - P. 66 - 74.

The problem of oscillations of rectilinear pipeline sections based on shell theory is solved. A mathematical model of the problem of parametric oscillations of viscoelastic large diameter pipelines with a flowing pulsating fluid is constructed. A computational algorithm based on eliminating the singularities of integral and integro-differential equations with singular kernels was developed, followed by the use of quadrature formulas, to solve the problems of the dynamics of viscoelastic pipelines with a flowing pulsating liquid. The influence of singularity in the heredity nuclei and the frequency of excitation on the vibrations of structures possessing viscoelastic properties are numerically investigated. Figs.: 1. Refs.: 9 titles.

Keywords: mathematical model; viscoelastic pipelines; integro-differential equations; numerical investigation; pulsating fluid.