Численное исследование преднамеренной расстройки при вариациях толщины лопаток энергетических турбомашин

05.20.01 УДК 62-135

DOI: 10.24412/2227-9407-2021-8-44-56

Численное исследование преднамеренной расстройки при вариациях толщины лопаток энергетических турбомашин

О. В. Репецкий, В. В. Нгуен

Иркутский государственный аграрный университет имени А. А. Ежевского, г. Иркутск, Россия

* vinh.july177@gmail. com

Аннотация

Введение. Статья посвящена математическим моделям для исследования влияния преднамеренной расстройки лопаток энергетических турбомашин методом конечных элементов. Выполнен численный анализ частот колебаний и статических напряжений академических лопаточных структур. Использование полученных результатов в данной работе позволяет повысить эффективность и надежность на стадии проектирования деталей рабочих колес турбомашин. Также на основе этих результатов возможно обеспечить необходимую точность расчетов и провести вычислительные эксперименты для оценки влияния расстройки параметров в циклических симметричных системах.

Материалы и методы. Для исследования влияния преднамеренной расстройки рабочих колес турбомашин выбран метод конечных элементов с применением конечного элемента ТЕТ10 из программного комплекса ANSYS WORKBENCH. Объектом исследования в данной работе является академическое рабочее колесо с 10-ю лопатками, изготовленное в Бранденбургском техническом университете.

Результаты и обсуждение. Представлены результаты численного анализа эффектов преднамеренной расстройки с целью уменьшения максимального коэффициента амплитуды лопаток облопаченных дисков турбо-машин. Преднамеренная расстройка получена путем оптимизации алгоритмов и реализована при небольших геометрических изменениях в лопатке, в виде разных толщин лопатки.

Заключение. Результаты исследования в данной работе показывают надежность и эффективность применения преднамеренной расстройки в модели облопаченного диска. Изменение геометрических характеристик лопаток облопаченных дисков значительно влияет на их динамические характеристики и долговечность.

Ключевые слова: динамические характеристики, лопатка, математическое моделирование, метод конечных элементов, преднамеренная расстройка, рабочее колесо, собственная частота, статическое напряжение, трехмерный треугольный элемент, форма колебания, энергетическая турбомашина.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Для цитирования: Репецкий О. В., Нгуен В. В. Численное исследование преднамеренной расстройки при вариациях толщины лопаток энергетических турбомашин // Вестник НГИЭИ. 2021. № 8 (123). С. 44-56. DOI: 10.24412/2227-9407-2021-8-44-56

Numerical study of intentional mistuning with variations in the thickness of the blades of power turbomachines

O. V. Repetckii, V. V. Nguyen *

Irkutsk State Agrarian University named after A. A. Ezhevsky, Irkutsk, Russia

* vinh.july177@gmail. com

© Pene^HH O. B., HryeH B. B., 2021

Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License. The content is available under Creative Commons Attribution 4.0 License.

Abstract

Introduction. The article is devoted to mathematical models for studying the influence of intentional mistuning of the bladed rotor power turbomachine based on the finite element method. Numerical analysis vibrations and static stress of an academic bladed structure is carried out. Using the obtained results in this work makes it possible to increase the efficiency and reliability at the design stage of the turbomachine bladed disks. Also, on the basis of these results we can ensure the necessary accuracy of calculations and carry out computational experiments to assess the effect of mistuning parameter in cyclic symmetric systems.

Materials and methods. The finite element method was selected to study the effect of intentional mistuning of turbomachine impellers using the finite element TET10 from ANSYS WORKBENCH software package. The object of research in this work is an academic high-pressure compressor bladed disk with 10 blades, which studied at the Brandenburg University of Technology.

Results and discussion. The results of a numerical analysis are presented of the effects of intentional mistuning in order to reduce the maximum displacement magnification of turbomachine blades. Intentional mistuning is obtained by optimizing algorithms and implemented with small geometric changes in the blade, in detail in cases of different blade thicknesses.

Conclusion. The results of the study in this work show the reliability and effectiveness of the intentional mistuning in the bladed disk model. The obtained results in this article show that the natural vibration frequencies of the impellers always increase with an increase in the rotor speed. Changing the geometric characteristics of the blades of the bladed disks significantly affects their dynamic characteristics and durability.

Keywords: dynamic characteristics, blade, mathematical modeling, finite element method, intentional mistuning, blad-ed disk, natural frequency, static stress, tetrahedral element, vibration modes, energy turbomachine.

The authors declare no conflict of interest.

For citation: Repetckii O. V., Nguyen V. V. Numerical study of intentional mistuning with variations in the thickness of the blades of power turbomachines // Bulletin NGIEI. 2021. № 8 (123). P. 44-56. (In Russ.). DOI: 10.24412/22279407-2021-8-44-56

Основой надежности в машиностроении принято считать конструкционную прочность. В структурный состав конструкционной прочности входят: расчетная прочность, свойство материалов и технология изготовления. Расчеты на прочность и компьютерное моделирование технических процессов особенно актуальны на стадиях проектирования и доводки, так как позволяют существенно сократить объем дорогостоящих экспериментальных исследований и уменьшить сроки конструирования. Проектирование, например, авиационного газотурбинного двигателя предполагает использование приблизительно тысячи специализированных программ, от точности и достоверности которых зависит работоспособность конструкций. Стадия доводки содержит более 50 видов длительных и эквивалентных испытаний для подтверждения показателей надежности и ресурса. Изменение геометрии, массы, свойств материала отдельного сектора рабочих колеса турбомашин от проектных параметров называется расстройкой [6; 10; 11; 12; 13]. При малой величине расстройки лопаток можно значительно увеличить амплитуды перемещений и напряжений

Введение

Материалы и методы

Метод конечных элементов (МКЭ) обычно используется в технической области для решения задач статики, колебаний и расчета ресурса различных технических систем. МКЭ имеет общий алгоритм, простое использование и позволяет быстро выполнить расчеты различных вариантов сложных конструкций [15; 16; 17; 18]. Для исследования динамических характеристик колебаний и прогнозирования долговечности лопаточных дисков турбо-машин МКЭ является самым эффективным инже-

нерным средством и применен в работах [19; 21]. В данной статье для исследования влияния расстройки параметров на долговечность лопаток рабочих колес турбомашин использован конечный элемент ТЕТ10 из программного комплекса ANSYS WORKBENCH. Элемент ТЕТ10 имеет 10 узлов с 3-мя степенями свободы в узле (рис. 1). Таким образом, трехмерный треугольный элемент ТЕТ10 имеет 30 узловых параметров.

Рис. 1. Конечный элемент ТЕТ10

Fig. 1. Finite element ТЕТ10 Источник: разработано авторами

Для математического описания каждого элемента выбирается аппроксимирующая функция в виде полинома, который соответствует дифференциальному уравнению элемента. Статическое напряженно-деформированное состояние (НДС) в методе конечных элементов можно определить по формуле:

KS = FCT,

где K - матрица жесткости, S - вектор статических перемещений узловых точек, а FCT - вектор статической нагрузки.

Динамические характеристики для линейного демпфирования при использовании МКЭ могут быть описаны следующим уравнением:

MS + CS + KS = Föuu

где M - матрица масс конструкции; C - матрица демпфирования; К К - основная матрица жесткости конструкции; S - ускорение узловых точек; S -скорость узловых; S - вектор перемещений; FdUH (t) - вектор возбуждающих сил.

Уравнение движения для свободных колебаний без демпфирования имеет вид:

MS + KS = О,

S = S0 cos {at -ß),

где 30 - амплитуда, а - круговая частота системы, Р - фаза колебаний.

После преобразования получим:

(K -агЫ = 0.

Уравнение (5) имеет смысл при детерминанте, равном нулю

det(K -rn2M) = 0.

Для решения этого уравнения и определения собственных значений применяют стандартные алгоритмы. Анализ задачи вынужденных колебаний требует решения уравнения (2) и определения матрицы демпфирования. Решение производится, как правило, методом численного интегрирования в конечные промежутки времени.

Многие исследования влияния расстройки параметров на динамические характеристики и ресурс рабочих колес турбомашин показали, что распределение динамических характеристик лопаток зависит от расстройки параметров лопаток. Значения расстройки параметров лопаток определяются в виде:

f.. - f.

J ],i J]

f f. fj

где fj - среднее арифметическое значение основных частот; f - значение частоты j-й формы колебания лопаток, i = 1,..., N (N- число лопаток). В 1966 г. Whitehead D. S. определил максимальный коэффициент увеличения амплитуды колебаний, который зависит от числа лопаток рабочих колес, что использовалось разными авторами в дальнейшем [14]:

Гшах = 1

Объектом исследования в данной статье является академическое рабочее колесо компрессора высокого давления с 10-ю лопатками, изготовленное и впервые исследованное в Бранденбургском техническом университете. Основные механические характеристики имеют вид: материал рабочего колеса - сталь, модуль Юнга - 2.1-105 Мпа, плотность - 7 850 кг/м3, коэффициент Пуассона - 0.3. Общий вид рабочего колеса представлен на рис. 2, а, где конструкция объекта была жестко закреплена по ободу диска. В качестве конечно-элементной модели применяется конечный элемент ТЕТ10 комплексной программы ANSYS WORKBENCH с общим количеством конечных элементов - 38830 и 76280 узловыми точками. Количество степеней свободы составляет 228840 (рис. 2, б).

Рис. 2. Академическое рабочее колесо c 10-ю лопатками: а - общий вид, б - конечноэлементная модель Fig. 2. Academic bladed disk with 10 blades: а - general view disk, b - finite element model

Источник: разработано авторами

Результаты и обсуждение

Данным этапом исследования явился расчет и анализ изменения собственных частот колебаний и статических напряжений от геометрических параметров. На примере осевой лопатки академического

колеса турбомашин проанализирована точность прогноза изменения собственных частот колебаний и статических напряжений при различных геометрических изменениях лопатки: утолщение и утонение на 10 % по всей лопатке (рис. 3).

Рис. 3. Разные варианты по изменению толщины лопатки академического колеса: а - реальный вариант; б - утолщение на 10 %; с - утонение на 10 % Fig. 3. Different variants by changing the thickness of the academic wheel blade: a - real variant; b - thickening by 10 %; c - thinning by 10 % Источник: разработано авторами

Для анализа возможностей использования преднамеренной расстройки в проектировании компрессорной лопатки ГТД выполнены численные исследования статического НДС при оборотах п = 50 и 100 (1/с). В таблицах 1 и 2 приведены результаты расчета и значения статического напряжения о2 от изменения толщины лопатки на ±10 % с учетом вращения 50 и 100 (1/с). Результаты расчетов анализа показывают, что максимальные напряжения возникают в месте крепления лопатки к основному диску в районе выходной кромками лопатки. В случае утонения толщины лопатки на 10 %

получаем максимальное значение статического напряжения рабочей лопатки. А статическое напряжение в случае утолщения лопатки уменьшается на 2 % по сравнению с исходным вариантом лопатки.

В таблице 3 приведены частоты собственных колебаний исходной модели и показан анализ влияния утолщения/утонения на 10 % всей лопатки на частоты свободных колебаний. Анализ таблицы показал, что при изменении толщины лопатки уменьшение толщины ведет к уменьшению собственных частот колебаний и наоборот. Сильнее изменяются изгибные собственные формы, менее крутильные.

Таблица 1. Расчет статического напряжения oz по изменению толщины лопатки на ±10 % с учетом вращения 50 и 100 (1/c), МПа

Table 1. Calculation of the static stress oz by changing the blade thickness of ± 10 % with the rotation of 50 and 100 (s-1), MPa

Толщина лопатки / Blade thickness

n = 50

n = 100

Статические напряжения / Static stress

Hn

H = 1.1H0

H2 = 0.9H0

Источник: составлено авторами

Таблица 2. Значение статического напряжения oz по изменению толщины лопатки на ±10 % с учетом вращения 50 и 100 (1/c), МПа

Table 2. The value of the static stress oz by changing the blade thickness of ± 10 % with the rotation of 50 and 100 (s-1), MPa

Толщина лопатки / n = 50

Blade thickness Статические напряжения / Static stress

Ho 16,92 67,679

Hi = 1.1Ho 16,296 65,182

H2 = 0.9Ho 17,164 68,656

Источник: составлено авторами

Таблица 3. Расчет частот колебаний с учетом вращения 50 и 100 (1/с) по изменению толщины лопатки на ±10%, Гц

Table 3. Calculation of the natural frequencies of vibration with the rotation of 50 and 100 (s-1) by changing the blade thickness of ± 10%, Hz

Ho

Форма / Mode n = 0

1 261,67 270,73 295,86

2 902,68 905,96 915,52

3 1418,8 1428,3 1454,5

4 2727,9 2733,0 2747,5

5 3553,4 3552,8 3553,9

6 3779,3 3789,0 3813,4

7 4470,2 4471,4 4476,4

8 5314,9 5322,1 5341,0

9 6900,0 6900,7 6907,2

10 7398,6 7412,3 7438,7

H1 = 1.1H0

Форма / Mode n = 0

1 286,53 294,68 317,81

2 998,68 1001,6 1010,2

3 1577,1 1585,1 1608,9

4 3051,3 3055,7 3068,8

5 3487,8 3488,1 3488,9

6 4215,2 4222,8 4245,3

7 5054,1 5055,5 5059,6

8 5932,3 5938,0 5955,1

9 7720,4 7722,3 7728,2

10 8243,5 8251,5 8275,5

H2 = 0.9H0

Форма / Mode n = 0

1 238,43 248,32 275,76

2 807,32 810,93 821,67

3 1267,3 1277,1 1306,2

4 2406,8 2412,2 2428,6

5 3348,9 3357,9 3384,6

6 3637,3 3637,6 3638,5

7 3889,6 3891,6 3897,8

8 4703,9 4710,9 4732,0

9 6083,1 6085,5 6092,8

10 6574,0 6583,9 6613,3

Источник: составлено авторами

На следующем этапе анализа рассмотрена первая блочная модель расстройки лопаток с изменением толщины лопатки на -10 %, как 1 лопатка в

одной группе расстройки (рис. 4). Рис. 5 показывает расчет значения расстройки частот колебаний лопаток первой блочной модели расстройки.

Рис. 4. Первая блочная модель расстройки лопаток с изменением толщины лопатки на -10 % Fig. 4. The first block model of mistuned blades with a change in blade thickness by -10 %

Источник: разработано авторами

Рис. 5. Значения расстройки частот колебаний лопаток для первой блочной модели Fig. 5. The mistuned values of the vibration frequencies of the block mistuned model No. 1

Источник: разработано авторами

Значения коэффициентов увеличения амплитуды колебаний оказались меньше, чем максимальный коэффициент увеличения амплитуды колеба-

ний в зависимости от числа лопаток рабочего колеса как у Whitehead (умакс = 2,08).

Рис. 6. Расчет максимального коэффициента увеличения амплитуды для первой блочной модели Fig. 6. Calculation of the maximum displacement magnification for the block mistuned model No. 1

Источник: разработано авторами

Рис. 6 показывает, что получены почти одинаковые значения максимального коэффициента увеличения амплитуды для всех лопаток академического колеса при колебаниях по форме 1, а форма

колебания 4 обладает очень большими значениями максимального коэффициента увеличения амплитуды умакс = 1,9 (уменьшается на 8,6 % по сравнению с результатом максимального коэффициента увели-

чения амплитуды Whitehead). Максимальный коэффициент увеличения амплитуды для 1-й формы колебания (умакс = 1,24) показывает, что получен самый эффективный результат для первой блочной модели расстройки академического колеса (уменьшается на 40,38 % по сравнению с результатом максимального коэффициента увеличения амплитуды Whitehead).

Далее рассмотрим вторую, третью и пятую блочную модель расстройки лопаток с изменением толщины лопатки на -10 %, как по 2, 3 и 5 лопаткам в одной группе расстройки. На рис. 7 и 8 показыны расчеты значения расстройки частот колебаний и максимального коэффициента увеличения амплитуды лопаток для различной блочной модели расстройки.

Рис. 7. Блочная модель расстройки лопаток с изменением толщины лопатки на -10 %: а - вторая модель; б - третья модель; с - пятая модель Fig. 7. The block model of mistuned blades with a change in blade thickness by -10 %: a - second model; b - third model; c - fifth model Источник: разработано авторами

Рис. 8. Значения расстройки частот колебаний (слева) и максимального коэффициента

увеличения амплитуды лопаток (справа) с изменением толщины лопатки на -10 % Fig. 8. The mistuned values of the vibration frequencies (left) and the maximum displacement magnification of the blades (right) with a change in blade thickness by -10 % Источник: разработано авторами 51

Таблица 4. Расчет максимального коэффициента увеличения амплитуды при утолщении/утонении (±10 %) лопаток

Table 4. Calculation of the maximum displacement magnification of the blades with thickening/thinning (± 10 %) of the blades

Блочная модель / Утонение 10 % / Thinning by 10 % Утолщение 10 % / Thickening by 10 %

Block model Умакс % Умакс %

5

Источник: составлено авторами

1,9 1,24 1,85 1,2 1,83 1,17 1,7 1,15

-8,6 -40,38 -11,05 -42,3 -12,02 -43,75 -18,27 -44,7

2,15 1,86 2,18 1,9 2,26 1,93 2,24 1,89

+3,2 -10,4 +4,89 -8,6 +8,4 -7,5 +7,8 -9,2

В таблице 4 приведены основные значения максимального коэффициента увеличения амплитуды при разных толщинах лопатки с учетом преднамеренной расстройки. Видно, что результаты исследования в работе показывают надежность и эффективность применения преднамеренной расстройки в моделях облопаченных дисков, чтобы повысить максимальный коэффициент увеличения амплитуды до 8 % при утолщении 10 % по всей лопатке. А также уменьшить максимальный коэффициент увеличения амплитуды около 44 % при утонении 10 % по всей лопатке на основе использования разных вариантов блочной модели расстройки лопаток об-лопаченного диска.

Наряду с расчетом численного исследования преднамеренной расстройки осевых рабочих колес

большое значение имеет анализ радиальных рабочих колес. Одним из примеров такого анализа является расчет промышленного радиального турбинного колеса с целью значительного уменьшения максимальной принудительной реакции основной изгибной формы [22]. Метод анализа базируется на методах циклической симметрии и конечных элементов. Рис. 9 показывает конечно-элементную (КЭ) модель полного колеса, одного сектора и вид 3D лопатки. КЭ модель сектора построена из 47 209 конечных элементов, представляющая настроенное радиальное колесо турбины. Модель позволяет определять собственные частоты и формы колебаний в зависимости от частоты вращения двигателя, а также от рабочей температуры.

Рис. 9. Модель промышленного радиального турбинного колеса: а - КЭ модель сектора; б - КЭ модель полного колеса; с - вид 3D-лопатки Fig. 9. The industrial radial turbine wheel: a - FE sector model; b - FE wheel model; c - 3D blade model) Источник: разработано авторами

В отношении определения подходящей модели с преднамеренной расстройкой были выдвинуты два основных требования: 1) простота реализации и 2) максимально возможное снижение при-

нудительного отклика. С этой целью рассмотрена преднамеренная расстройка, которая отличается от оригинала по собственной частоте колебания на 2 %. Рис. 10 показывает два варианта полученной

1

2

3

модели с отрезкой кончика задней кромки. Такой метод доводки конструкций исследован достаточно давно, например в работе [23]. Значения преднамеренной расстройки для первой формы колеба-

12 3 4 5

Из результатов анализа видно, что значение максимального коэффициента увеличения амплитуды модели с преднамеренной расстройкой равно у = 0.584, т. е. достигается уменьшение более чем на 41 % по сравнению с настроенной конструкцией с идентичными лопатками. Выполнение моделирования КЭ для улучшения возможностей проектирования с эффективностью преднамеренной расстройки поможет сократить производственные затраты при проектировании и доводке деталей машин и максимально снизить динамический отклик такой сложной конструкции, как радиальные колеса энергетических и транспортных турбомашин.

Заключение В данной работе проведены исследования эффективности преднамеренной расстройки осевой лопатки академического колеса турбомашин при различных геометрических изменениях лопатки: утолщение и утонение на 10 % по всей лопатке. Утолщение лопатки на 10 % дает увеличение значения собственных частот колебаний максимально и достигает 13 %. В этом варианте также выполнен численный анализ статического НДС при оборотах

ний показаны на рис. 11, а. А результат расчета максимального коэффициента увеличения амплитуды для первой формы в этом случае показан на рис. 11, б.

8 9 10 11 12 Blade

п = 50 и п = 100 (1/с). Статическое напряжение в случае утолщения лопатки уменьшается на 3,8 % по сравнению с исходным вариантом лопатки. А максимальный коэффициент увеличения амплитуд лопаток этого варианта увеличивается до 8 %.

В случаях утонения толщины лопатки на 10 % получаем уменьшение значения собственных частот колебаний максимально на 11 %. Статическое напряжение в случае утонения лопатки увеличивается на 2 % по сравнению с исходным вариантом лопатки. Максимальный коэффициент увеличения амплитуд лопаток этого варианта уменьшается до 44 % с использованием разных вариантов блочной модели расстройки лопаток диска. Погрешность прогноза приведенных результатов по использованию различных видов преднамеренной расстройки в данной работе позволяет использовать для оценки возможных проектов лопатки рабочих колес турбо-машин. Также можно применить эффект преднамеренной расстройки для исследования деталей сложных конструкций в ближайшем будущем, например радиального или диагонального рабочего колеса турбомашин.

Рис. 10. Две модели лопатки с отрезкой кончика задней кромки Fig. 10. Two blade model with cropping of trailing edge Источник: разработано авторами

Рис. 11. Результат анализа преднамеренной расстроенной модели Fig. 11. The result of the analysis of an intentional mistuned model Источник: разработано авторами

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Beirow B., Figaschewsky F., Kuhhorn A., Bornhorn A. Modal analyses of an axial turbine blisk with intentional mistuning // J Eng Gas Turb Power. 2018. № 140 (1). 012503-012503-11.

2. Beirow B., Figaschewsky F., Kuhhorn A., Bornhorn A. Vibration analysis of an axial turbine blisk with optimized intentional mistuning pattern // Journal of Sound and Vibration. 2019. 442. P. 11-27.

3. Beirow B., Kuhhorn A., Figaschewsky F., Bornhorn A., Repetckii O. V. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning // Proceedings of the ASME Turbo Expo. Turbomachinery Technical Conference and Exposition. Ser. «ASME Turbo Expo 2018: Turbomachinery Technical Conference and Exposition». GT 201876584.

4. Castanier M. P., Pierre C. Using Intentional Mistuning in the Design of Turbomachinery Rotors // AIAA Journal. 2002. Vol. 40. № 10.

5. Figaschewsky F., Kuhhorn A., Beirow B., Nipkau J., Giersch T., Power B. Design and analysis of an intentional mistuning experiment reducing flutter susceptibility and minimizing forced response of a jet engine fan // Proceedings of ASME Turbo Expo. 2017. GT2017-54621. P. 1-13.

6. Kaneko Y., Mase M., Fujita K., Nagashima T. Vibrational response analysis of mistuned bladed disk // JSME International Journal. Series C. 1994. Vol. 37. № 1. P. 33-40.

7. Klauke T., Kuhhorn A., Beirow B., Golze M. Numerical investigations of localized vibrations of mistuned blade integrated disks (blisks) // J. Turbomach. 2009. 131. 031002. P. 1-11.

8. Lim S. H., CastanierM. P., Pierre C. Intentional mistuning design space reduction based on vibration energy flow in bladed disks // ASME-Paper. 2004. GT2004-53873.

9. Repetckii O. V., Nguyen V. V. Numerical research of vibrational characteristics for compressor bladed disks of an energy turbomachine with intentional mistuning of blades // 2020 International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon). 2020. P. 9271444.

10. Гоева В. В. Методика определения износа лопаток вентилятора дробилки зерна // Тракторы и сельхозмашины. 2017. № 2. С. 29-34.

11. Shinha A., Bhartiya Y. Modeling geometric mistuning of a bladed rotor. Modified modal domain analysis // IUTAM Symposium on Emerging Trends in Rotor Dynamics. IUTAM book series, Springer. 2010. P. 177-184.

12. Shinha A., Bhartiya Y. Reduce order model of a multistage bladed rotor with geometric mistuning via modal analyses of finite element sectors // Journal of Turbomachinery ASME. 2012. V. 134. P. 041001-1.

13. Wei S.T., Pierre C. Localization phenomena in mistuned assemblies with cyclic symmetry-Part I: Free Vibrations // ASME J. of Vibration, Acoustic. Stress and reliability in Design. 1988. V. 110. № 4. P. 429-438.

14. Whitehead D. S. Effect of mistuning on the vibration of turbomachine blades induced by wakes // Journal Mechanical Engineering Science. 1966. № 8. P. 15-21.

15. Yan Y. J., Cui P. L., Hao H. N. Vibration mechanism of a mistuned bladed disk // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 317. P. 294-307.

16. Yang M. T., Griffin J. H. A reduced-order model of mistuning using a subset of nominal system modes // J Eng Gas Turb Power. 2001. 123. P. 893-900.

17. До М. Т. Численный анализ влияния расстройки параметров на динамические характеристики рабочих колес турбомашин. Автореф. диссертации кандидата технических наук. Иркутск. 2014. 16 с.

18. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Москва : Мир. 1975. 541 с.

19. Когаев В. П., Махутов Н. А., Гусенков А. П. Расчеты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. М. : Машиностроение. 1985. 224 с.

20. Репецкий О. В, Нгуен В. В. Обзор исследования преднамеренной расстройки в прочном анализе роторов турбомашин // Байкальский Вестник ДААД ИрГАУ, Иркутск. 2020. № 1. С. 87-97.

21. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М. : Мир. 1979. C. 392.

22. Nakos A., Beirow B., Zobel A. Mistuning and damping of a radial turbine wheel. Part 1: fundamental analyses and design of intentional mistuning pattern. Proceedings of ASME Turbo Expo 2021. GT2021-59283.

23. Repetskii O. V. Use of the FEM to solve the thermoelasticity problem of turbine blades. Strength of Materials. 1990. Т. 22. № 12.

Дата поступления статьи в редакцию 25.05.2021, принята к публикации 28.06.2021.

Информация об авторах: РЕПЕЦКИЙ ОЛЕГ ВЛАДИМИРОВИЧ,

проректор по международным связям, доктор технических наук, профессор кафедры «Электроооборудование и физика» Адрес: Иркутский государственный аграрный университет им. А пос. Молодежный. E-mail: repetckii@igsha.ru Spin-код: 2788-7770 НГУЕН ВАН ВИНЬ,

аспирант кафедры «Электроооборудование и физика» Адрес: Иркутский государственный аграрный университет им. А пос. Молодежный E-mail: vinh.july177@gmail.com Тел.: +79994231020 Spin-код: 2759-6554

Заявленный вклад авторов:

Репецкий Олег Владимирович: общее руководство проектом, формулирование основной концепции исследования, окончательное редактирование текста.

Нгуен Ван Винь: сбор и обработка материалов, подготовка и проведение численных анализов.

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

REFERENCES

1. Beirow B., Figaschewsky F., Kuhhorn A., Bornhorn A. Modal analyses of an axial turbine blisk with intentional mistuning, JEng Gas Turb Power, 2018, No. 140 (1), 012503-012503-11.

2. Beirow B., Figaschewsky F., Kuhhorn A., Bornhorn A. Vibration analysis of an axial turbine blisk with optimized intentional mistuning pattern, Journal of Sound and Vibration, 2019, No. 442, pp. 11-27.

3. Beirow B., Kuhhorn A., Figaschewsky F., Bornhorn A., Repetckii O.V. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning, Proceedings of the ASME Turbo Expo. Turbomachinery Technical Conference and Exposition. Ser. «ASME Turbo Expo 2018: Turbomachinery Technical Conference and Exposition». GT 2018-76584.

4. Castanier M. P., Pierre C. Using intentional mistuning in the design of turbomachinery rotors, AIAA Journal, 2002, No. 40 (10), 2077.

5. Figaschewsky F., Kuhhorn A., Beirow B., Nipkau J., Giersch T., Power B. Design and analysis of an intentional mistuning experiment reducing flutter susceptibility and minimizing forced response of a jet engine fan, Proceedings of ASME Turbo Expo, 2017, GT2017-54621, pp. 1-13.

6. Kaneko Y., Mase M., Fujita K., Nagashima T. Vibrational response analysis of mistuned bladed disk, JSME International Journal. Series C, 1994, No. 37 (1), pp. 33-40.

7. Klauke T., Kuhhorn A., Beirow B., Golze M. Numerical investigations of localized vibrations of mistuned blade integrated disks (blisks), J Turbomach, 2009, 131 (031002), pp. 1-11.

8. Lim S. H., Castanier M. P., Pierre C. Intentional mistuning design space reduction based on vibration energy flow in bladed disks, ASME-Paper, 2004, GT2004-53873.

9. Repetckii O. V., Nguyen V. V. Numerical research of vibrational characteristics for compressor bladed disks of an energy turbomachine with intentional mistuning of blades, 2020 International Multi-Conference on Industrial Engineering and Modern Technologies (FarEastCon), 2020, 9271444.

10. Goeva V. V. Metodika opredeleniya iznosa lopatok ventilyatora drobilki zerna [Method for determining wear of grain crusher fan blades], Traktory i sel'hozmashiny [Tractors and agricultural machines], 2017, No. 2, pp. 29-34.

11. Shinha A., Bhartiya Y. Modeling geometric mistuning of a bladed rotor. Modified modal domain analysis, IUTAMSymposium on Emerging Trends in Rotor Dynamics. IUTAMbook series, Springer, 2010, pp. 177-184.

12. Shinha A., Bhartiya Y. Reduce order model of a multistage bladed rotor with geometric mistuning via modal analyses of finite element sectors, Journal of Turbomachinery ASME, 2012, No. 134, 041001-1.

13. Wei S.T., Pierre C. Localization phenomena in mistuned assemblies with cyclic symmetry-Part I: Free Vibrations, ASME J. of Vibration, Acoustic. Stress and reliability in Design. 1988, No. 110 (4), pp. 429-438.

55

. А. Ежевского, 664038, Россия, г. Иркутск,

. А. Ежевского, 664038, Россия, г. Иркутск,

14. Whitehead D. S. Effect of mistuning on the vibration of turbomachine blades induced by wakes,. Journal Mechanical Engineering Science, 1966, No. 8, pp. 15-21.

15. Yan Y. J., Cui P. L., Hao H. N. Vibration mechanism of a mistuned bladed disk, Journal of Sound and Vibration, 2008, No. 317, pp. 294-307.

16. Yang M. T., Griffin J. H. A reduced-order model of mistuning using a subset of nominal system modes, JEng Gas Turb Power, 2001, No. 123, pp. 893-900.

17. Do M. T. Chislennyj analiz vlijanija rasstrojki parametrov na dinamicheskie harakteristiki rabochih koles turbomashin [Numerical analysis of the effect of mistuning parameters on the dynamic characteristics of turbomachine impellers. Ph. D. (Engineering) Thesis], Irkutsk, 2014, 16 p.

18. Zenkevich O. Metod konechnyh jelementov v tehnike [Finite element method in technology], Moscow: Mir. 1975, 541 p.

19. Kogaev V. P., Mahutov N. A., Gusenkov A. P. Raschety detalej mashin i konstrukcij na prochnost' i dol-govechnost' [Calculations of machine parts and structures for strength and durability], Moscow: Mashinostroenie, 1985.224 p.

20. Repeckij O. V., Nguen V. V. Obzor issledovanija prednamerennoj rasstrojki v prochnom analize rotorov turbomashin [Research overview of intentional mistuning at the design of turbomachine rotors], Bajkal'skij Vestnik DAAD [Bulletin of DAAD Baikal], Irkutsk, 2020, No. 1, pp. 87-97.

21. Segerlind L. Primenenie metoda konechnyh jelementov [Application of the finite element method], Moscow, Mir. 1979, 392 p.

22. Nakos A., Beirow B., Zobel A. Mistuning and damping of a radial turbine wheel. Part 1: fundamental analyses and design of intentional mistuning pattern, Proceedings of ASME Turbo Expo, 2021, GT2021-59283.

23. Repetskii O. V. Use of the FEM to solve the thermoelasticity problem of turbine blades, Strength of Materials, 1990, Vo. 22, No. 12.

The article was submitted 25.05.2021, accept for publication 28.06.2021.

Information about the authors: REPETCKII OLEG VLADIMIROVICH,

vice-rector, Dr. Sci. (Engineering), professor of the department «Power and physics»

Address: Irkutsk State Agrarian University named after A. A. Ezhevsky, 664038, Russia, Irkutsk, pos. Molodezhny E-mail: repetckii@igsha.ru Spin-code: 2788-7770 NGUYEN VAN VINH,

postgraduate student of the department «Power and physics»

Address: Irkutsk State Agrarian University named after A. A. Ezhevsky, 664038, Russia, Irkutsk, pos. Molodezhny E-mail: vinh.july177@gmail.com Phone: +79994231020 Spin-code: 2759-6554

Contribution of the authors: Oleg. V. Repetckii: managed the research project, developed the theoretical framework, writing the final text. Van. V. Nguyen: collection and processing of materials, preparation and implementation numerical analyzes.

All authors have read and approved the final version of the manuscript.