Оценка влияния малых масс системы «Колесо - рельс» на статистические характеристики ее динамики

Список литературы

1. Пахомов, М. П. Воздействие электровоза на путь в зоне стыка [Текст] / М. П. Пахомов // Вестник ВНИИЖТа. 1957. - № 34. - С. 30 - 34.

2. Леванков, И. С. Влияние неравножесткости пути на шпалах и в междушпальных пролетах на силы взаимодействия пути и подвижного состава [Текст] / И. С. Леванков // Вопросы путевого хозяйства: Науч. тр. / Днепропетровский ин-т инж. ж.-д. трансп. -Днепропетровск, 1964. - № 57. - С. 63 - 79.

3. Фришман, М. А. Исследование особенностей изменения вертикальной жесткости пути по его длине [Текст] / М. А. Фришман, И. С. Леванков // Исследование взаимодействия пути и подвижного состава: Науч. тр. / Днепропетровский ин-т инж. ж.-д. трансп. -Днепропетровск. 1972. - № 138. - С. 48 - 57.

4. Теоретические и натурно-экспериментальные исследования динамических процессов взаимодействия подвижного состава и пути в вертикальной и горизонтальной плоскостях зимой и летом: Отчет о НИР (заключит.) [Текст] / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп.; Руководитель М. П. Пахомов. № ГР 76005445; Инв. № Б862362. - Омск, 1980. - 198 с.

5. Панькин, Н. А. Колебательные движения экипажей при параметрическом стохастическом возбуждении [Текст] / Н. А. Панькин, И. М. Стесин, В. П. Ценов // Вестник ВНИИЖТа. 1978. -№1. - С. 27-30.

6. Галиев, И. И. О влиянии неравноупругости пути на резонансные скорости подвижного состава [Текст] / И. И., Галиев, В. А. Нехаев // РЖ ВИНИТИ «Железнодорожный транспорт». 1979.-№10.-С. 48-57.

7. Бурчак, Г. П. Колебания неподрессоренной массы на неравноупругом пути с неровностями [Текст] / Г. П. Бурчак // Науч. тр. - М.: Транспорт, 1980. - №175. - С. 84 - 98.

8. Большакова, А. В. Движение грузового вагона по неравноупругому по длине рельсовому пути [Текст] / А. В. Большакова // Повышение динамических качеств подвижного состава и поезда в условиях Сибирского региона / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп. - Омск, 1989. -С. 51-60.

9. Сабиров, Р. Д. Движение колесной пары вагона по неравноупругому пути вдоль рельса [Текст] / Р. Д. Сабиров // Транспорт Урала. 2009. - №4 (23). - С. 69 - 72.

10. Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения [Текст] / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. - М.: Наука, 1972.-720 с.

11. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем [Текст] / В. В. Болотин. -М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

УДК 629.4

А. Н. Смалев

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ МАСС СИСТЕМЫ «КОЛЕСО - РЕЛЬС» НА СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕЕ ДИНАМИКИ

В статье проведено исследование динамики необрессоренных масс железнодорожного экипажа с применением статистических методов. Выявлена зависимость частотных свойств рассматриваемого системы от малых масс некоторых ее элементов. Сделан вывод о незначительном влиянии масс этих элементов на статистические характеристики колебательных процессов в системе.

Известно, что при постановке задачи моделирования динамики экипажа, как и любой другой системы, возникает вопрос выбора степени сложности математической модели, описывающей рассматриваемые процессы. Есть основание полагать, что любое усложнение мо-

дели, например, учет большего числа параметров процесса, уточнение связей между ними, добавление в модель второстепенных внешних факторов (возмущений), влечет за собой более точные результаты расчетов. С другой стороны, это увеличивает нагрузку на вычислительные мощности, временные затраты возрастают не только в связи с увеличением объема вычислений, но и вследствие необходимости отладки более сложного алгоритма. К тому же, вероятность накопления значительной погрешности в конечном результате может стать существенной, что, как следствие, не гарантирует достижения исходной цели. Таким образом, требуется выяснить, насколько целесообразным является исследование системы в полной мере или можно просто составить ряд допущений без ущерба достоверности результата.

Понятно, что стремление к упрощению математической модели появляется в случае большого порядка ее размерности, когда ее расчет затруднителен не только аналитически, но и численными методами с помощью вычислительных машин. Тем не менее некоторые ее качественные особенности можно проанализировать и в случае более простого описания системы. Так, в данной работе рассмотрим вертикальную динамику необрессоренных масс экипажа и оценим влияние на результаты расчетов присущих пути и элементам буксовой ступени подвешивания экипажа малых масс по сравнению с остальными элементами механической части локомотива. Приведенная на рисунке 1 расчетная схема исследуемой системы является в значительной мере простой: механическая система имеет всего две степени свободы, все обрессоренные массы считаются неподвижными и соответствующим образом обозначены на схеме. Это сделано на основании возможности разделения движения [1] благодаря тому, что частоты возмущения при больших скоростях движения на порядок выше собственных частот экипажа, поэтому параметры экипажа, относящиеся к надрессорному

строению, в решении задачи динамики не участвуют.

Согласно расчетной схеме на рисунке 1 движение экипажа происходит по упругому пути с некоторой массой и диссипативными свойствами. Все параметры пути являются приведенными к оси колесной пары. Кроме этого продольный профиль рельса принимается неидеальным, его поверхность катания характеризуется некоторой геометрической неровностью, описываемой случайной функцией.

Обозначим координаты, присутствующие в рассматриваемой механической системе: глр - вертикальные колебания упругих элементов с диссипацией энергии в буксовой ступени подвешивания экипажа; гкп - вертикальные колебания колесной пары; ги - вертикальные колебания пути; // - случайная функция геометрической неровности рельса. Из перечисленных переменных обобщенными координатами будут первые две, остальные связаны непосредственно с координатой колесной пары на основании гипотезы безотрывного движения:

гп=гк.п-Л-

Из всех кинематических характеристик вопрос вызывает только одна: что подразумевается под перемещением упругих элементов в буксовой ступени подвешивания (далее будем называть их листовой рессорой)? Сложность заключается в том, что движущаяся масса, соответствующая координате глр, является распределенной и ее, как и массу пути, следует каким-то образом заменить приведенной к некоторой точке. Располагается эта точка между об-рессоренными массами экипажа (рамой тележки) и колесной парой и включает в себя некоторую часть массы буксового рессорного комплекта, состоящего из четырех пружин и двух листовых рессор в расчете на колесную пару. Не вдаваясь детально в механизм распределения этой массы, рассчитаем максимальную ее величину, равную массе буксового комплекта: она составляет порядка 360 кг на колесную пару. Фактически же в параметр тлр не должна

Рисунок 1 - Расчетная схема механической системы

входить масса в области крепления листовой рессоры к буксе и пружин к раме тележки, а наибольшие инерционные свойства проявляются в месте соединения пружин с листовыми рессорами, т. е. целесообразно всю движущуюся массу листовой рессоры и пружин отнести именно к этим точкам. Учитывая результаты исследований, приведенные в работе [2], в качестве активной инерционной массы условно примем треть полной массы буксового рессорного комплекта, т. е. 120 кг. Тогда все вычисления, связанные с подстановкой данного значения, опять же - условно, будем считать точными.

Итак, зададим необходимые для решения задачи параметры системы [3] (в расчете на одну колесную пару): /илр = 0,012 - «приведенная» масса листовой рессоры, тс-с /м; тк,и =

о

=0,662 - масса необрессоренных частей экипажа, тс-с /м; тп = 0,05 - «приведенная» масса пути, тс-с /м; жпр = 1120 - жесткость пружин рессорного комплекта, тс/м; жлр = 244 - жесткость листовых рессор, тс/м; жп = 70000 - приведенная жесткость пути, тс/м; Жб = 200,4 -суммарная жесткость буксового рессорного комплекта, тс/м; = 23 — приведенный коэффициент вязкого трения в пути, тс-с/м; Дф = 87,7 - эквивалентный коэффициент вязкого трения в листовой рессоре, тс-с/м. Приведенные параметры соответствуют экипажной части магистрального локомотива ВЛ10, выполняющего основную грузовую работу на сети постоянного тока.

Для выбранной расчетной схемы составим систему дифференциальных уравнений малых колебаний для двух обобщенных координат: глр и гкп- Решим поставленную задачу с помощью метода Лагранжа аналогично расчетам, проведенным в работе [4]. В результате получим систему уравнений динамики системы:

™лр^'лр+Млр+^Жпр+Жлр

'лр^к.п _Жлргк.п -

(Жпр+ЖлрНр-РЛ

К.П + ти ) К.и + (Рлр + Рп ) ¿к.и + (Жлр + Жп ) - Рлр^лр - Жлрглр = + РпЛ + ЖПЛ-

Чтобы в дальнейшем определить соответствующие амплитудные частотные характеристики, которые понадобятся нам для вычисления статистических характеристик случайных процессов колебаний колесной пары и листовой рессоры, найдем из системы (2) передаточные функции для каждой из обобщенных координат. Для этого преобразуем оба уравнения системы (2) по Лапласу при нулевых начальных условиях и выразим из полученных выражений необходимые нам по определению соотношения, в результате чего получим искомые передаточные функции для каждой координаты по неровности пути:

Н(5) А(з)' 1ВД А(*)'

где А(з) = а0я4 + а^3 + а2Б2 + а+ а

4 '

5(5) = Ъхя3 + Ъ^2 + Ъ+ Ъ

4 '

С(^) = с054 + с^3 + с252 + + с4;

2лр(5), 2^(5) и Н(5) - изображения по Лапласу вертикальных колебаний листовой рессоры, колесной пары и случайных геометрических неровностей рельса соответственно.

Коэффициенты передаточных функций выражаются через физические параметры системы «экипаж — путь». Для полинома знаменателя, одинакового для обеих передаточных функций, эти коэффициенты вычисляются по формулам:

а0 =™лр(™к.п+™п);

а1 = (™лр + ™к.п + ти ) Рлр + ™лрРп ;

a=?i?i +т (ж + ж ) + (т +т )(ж + ж ):

2 Г^пГ^Лр лр v лр П ' V К.п п/\ ПР ЛР / '

аЪ = Рлр (Жпр + Жп ) + Рп (Жпр + Жлр ) ;

п(Жпр+Жлр)-

аА =ЖлрЖпр+Жп 1Жпр+Жлр

Заметим здесь, что полином числителя передаточной функции для листовой рессоры на порядок меньше, чем для колесной пары; коэффициенты при одинаковых степенях незначительно отличаются друг от друга и определяются выражениями:

h=0;

^2=РпРлр+™пЖлр; h =Рлржп+РпжлР;

74 ~ ЖлрЖп>

с1 = ™лРРп+™пРлР;

С2 = ™лрЖп + РпРлр + ти (Жпр + Жлр ) ; С3=РлрЖп+Рп(Жпр+Жлр); С4 =Жп(Жпр+Жлр)-

Как видно из формул (5), при сравнении коэффициентов Ъ и с с одинаковыми индексами оказывается, что их различие с учетом малости масс тлр и ти действительно несущественно. И все же необходимо кроме этого установить, насколько сильно влияет пренебрежение этими малыми массами при расчете статистических характеристик колебательных процессов в системе, для нахождения которых воспользуемся известным методом Винера - Хинчина [5]. Чтобы применить этот метод, нам как раз и понадобятся полученные передаточные функции для координат системы по возмущению. Тогда для рассматриваемых случайных малых колебаний, имеющих нулевое математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение можно определить по формуле:

су* = Js2(G)>/G),

где ^Дсо) - спектральная плотность соответствующей обобщенной координаты системы, рассчитываемая по формуле:

В формуле (7) присутствуют модуль соответствующей частотной передаточной функции, полученной из выражения (3), и спектральная плотность геометрической неровности рельса, характеризующая свойства его поверхности катания, которую примем согласно рекомендациям [6] независимой от частоты и в виде функции скорости экипажа:

Очевидно, что такое описание неровности пути является существенно упрощенным, как и сама модель механической системы, и требует проведения анализа с некоторыми допущениями, что будет оговорено далее. Тем не менее оно позволяет при прочих равных условиях провести сравнение результатов при существенно меньших объемах вычислений, т. е. достичь основной цели данной работы с меньшими затратами.

Для начала рассмотрим, как влияют два этих параметра - малые массы пути и листовой рессоры - на свойства самой механической системы. Исследуем логарифмическую частот-

=ИВНЕСТИЯ Транссиба 23

Подвижной состав железных дорог

ную характеристику для обеих обобщенных координат. Как видно из рисунка 2, а, для логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ) листовой рессоры характерно наличие трех групп кривых 1-9 (по три кривых в каждой группе), соответствующих одинаковому значению массы листовой рессоры, а также еще три отдельно расположенные кривые (10 - 12), построенные при равной нулю «приведенной» массе пути. Наибольший интерес представляет высокочастотная область графика (за резонансной частотой), поскольку именно здесь решается вопрос о сходимости интеграла (6) и, как следствие, возможности определить среднеквадратическое отклонение случайного процесса. Первая группа кривых (1 - 3), соответствующая нулевой массе листовых рессор, проходит при больших частотах горизонтально. Это очевидно, поскольку в этом случае согласно формулам (4), (5) передаточная функция представляет собой отношение полиномов третьего порядка. Для таких значений параметров спектральная плотность ускорения колебаний листовой рессоры с увеличением частоты также не будет сходиться к нулю, поэтому рассчитать среднеквадратическое отклонение по формуле (6) нельзя.

Частота, с1

а б

Рисунок 2 - ЛАЧХ колебательной системы для листовой рессоры

Две другие группы кривых (4 - 6 и 7 - 9) изображены с наклоном высокочастотной асимптоты -20 дБ/дек, что свидетельствует о сходимости спектральной плотности и интеграла (6). Такой наклон графиков обусловлен учетом (ненулевыми значениями) масс листовых рессор и пути, вследствие чего числитель и знаменатель имеют исходный порядок, т. е. третий и четвертый соответственно. При нулевых массах листовой рессоры и пути (самый упрощенный случай) понижается порядок как числителя, так и знаменателя, передаточная функция представляет отношение полиномов второго порядка к третьему, и, соответственно, кривая 10 на высоких частотах также проходит с наклоном -20 дБ/дек. Если пренебречь только «приведенной» массой пути, то порядок числителя станет равным двум при неизменном порядке знаменателя; это видно из рисунка 2, а, на котором оставшиеся две кривые (11 и 12) в области высоких частот построены с наклоном -40 дБ/дек. Для всех логарифмических характеристик листовых рессор характерно, что при одинаковом значении массы листовой рессоры, принимаемом в расчете, график на высоких частотах при большей массе пути проходит выше, в области резонанса - наоборот.

Теперь рассмотрим ЛАЧХ колесной пары, представленную на рисунке 2, б. Очевидно, что для данной координаты в любом из случаев учета массы пути получается высокочастотная асимптота с нулевым наклоном, поскольку полиномы числителя и знаменателя передаточной функции имеют одинаковый порядок (в случае нулевой массы листовой рессоры - на

единицу меньше максимального). Следовательно, такой подход к описанию динамики колесной пары не позволяет вычислить среднеквадратическое отклонение по формуле (6). Характерной особенностью изображенных кривых является их близость друг к другу при одинаковом значении массы пути, другими словами, масса листовой рессоры почти не влияет на свойства колебаний колесной пары. «Приведенная» масса пути, наоборот, значительно изменяет свойства логарифмической характеристики на высоких частотах: с ее уменьшением группа кривых (для различных значений массы листовой рессоры) проходит ниже, а в пределе - при расчетах без учета массы пути - в передаточной функции порядок полиномов числителя и знаменателя снижается до двух и трех соответственно, и в этом случае кривые (10 -12) проходят с наклоном -20 дБ/дек.

Таким образом, рассчитать характеристики колебательных процессов колесной пары аналитически возможно только в случае, когда «приведенная» масса пути в расчетах не учитывается. А если принимать во внимание тот факт, что свойства системы не зависят от массы листовой рессоры, то дополнительно было бы целесообразным принять равным нулю и этот параметр.

Следует указать на общую особенность колебаний для обеих обобщенных координат в области резонанса. Как видно из рисунка 2, вблизи своего пика графики логарифмических характеристик практически совпадают, при этом изменение массы одинаково влияет на все кривые. С уменьшением суммарной массы (независимо от варьирования каждого из параметров в отдельности) резонансная частота возрастает, а пиковое значение характеристики увеличивается. Однако вопрос о пренебрежении параметрами касается малых масс, поэтому эти изменения являются несущественными. Вообще же, нетрудно заметить, что в случае пренебрежения как массой пути, так и листовой рессоры логарифмические характеристики для обеих координат проходят наиболее близко. Это связано в первую очередь с тем, что при таком упрощении, как видно из формул (4), (5), в обоих случаях порядок числителя оказывается на единицу меньше, чем знаменателя, при этом порядки числителей и знаменателей у обеих передаточных функций оказываются соответственно равными. Существенные отличия для разных координат наблюдаются только на малых частотах (менее 100 рад/с), и на рисунке 2 это различие не показано, поскольку на расчетах оно сказывается незначительно.

До текущего момента, очевидно, было рассмотрено влияние малых масс элементов экипажной части локомотива и пути на качественном уровне и установлено их некоторое незначительное влияние на свойства системы, представленные в виде графиков логарифмической амплитудной частотной характеристики. Теперь исследуем непосредственно такую статистическую характеристику, как среднеквадратическое отклонение, в зависимости от конкретных числовых значений этих масс. Как было упомянуто выше, варьироваться эти два

параметра будут от нулевых значений (случай пренебрежения ими в полной мере) до 2 2 0,036 тс-с /м для массы листовой рессоры и 0,08 тс-с /м - для «приведенной» массы пути. Результаты вычислений представим графически и согласно этим данным проведем количественный анализ влияния рассматриваемых параметров на колебательные процессы.

Начнем с более простого случая, когда расчет среднеквадратического отклонения ускорения по формуле (6) сводится к вычислению сходящегося интеграла. Этот случай соответствует согласно выражению (3) анализу колебаний листовой рессоры. На рисунке 3 изображены зависимости среднеквадратического отклонения ускорения вертикальных колебаний листовой рессоры от скорости движения экипажа. Графики приведены для нескольких выбранных значений массы пути и листовой рессоры (условные обозначения приняты аналогично рисунку 2). Сплошными утолщенными линиями показаны кривые, соответствующие среднему значению «приведенной» массы пути, принятой равной 0,05 тсс /м. Случаи пренебрежения массой пути показаны тонкой сплошной линией. Особым образом (крупными точками) представлена зависимость, характеризующаяся пренебрежением обеими малыми массами, в общем же случае должны быть показаны графики для нулевой массы только листовой рессоры. Другое дело, что в случае пренебрежения ее массой и одновременно учета

Рисунок 3 - Зависимость среднеквадратического отклонения (СКО) вертикального ускорения листовой рессоры от скорости экипажа

массы пути интеграл (6) не сходится, поэтому остальные зависимости на графике рисунка 3 не показаны. Если же масса листовой рессоры не равна нулю, то при ее уменьшении, равно как и «приведенной» массы пути, наблюдается увеличение среднеквадратического отклонения ускорения для любой скорости экипажа. Точечная линия 10 характеризует наиболее приближенное описание процессов колебаний, но и она располагается рядом с другими кривыми, что говорит о незначительном влиянии рассматриваемых параметров на возникающие вертикальные ускорения колебаний листовой рессоры.

Остановимся подробнее на положениях, касающихся невыполнения условия сходимости интеграла (6). Применительно к колебаниям листовой рессоры было указано на то, что построение этих зависимостей попросту опущено. Тем не менее в случае перехода к анализу вертикальных колебаний колесной пары так поступить нельзя, поскольку согласно выражениям (3) - (5) интеграл будет сходиться только в случае пренебрежения обеими массами. Таким образом, сравнение точного и приближенного расчета вообще теряет смысл. Здесь также следует отметить, что данная проблема связана всего лишь с невозможностью в полной мере применять данный метод для оценки среднеквадратического отклонения колебаний, когда ускорение геометрической неровности рельса описывается случайной функцией типа «белого» шума. Это означает, что значения амплитуды ускорений неровностей равномерно распределены по всему частотному диапазону от нуля до бесконечности. Фактически же в реальной системе «колесо - путь» геометрических неровностей с очень большими значениями частоты почти не существует, что связано в первую очередь с ограничениями, накладываемыми на физические свойства контактирующих материалов. В этом случае интегрирование целесообразно проводить не до бесконечности, а до некоторого фиксированного значения частоты, за которой примем, что свойства геометрической неровности проявляются несущественно, а следовательно, можно ее спектральную плотность на больших частотах считать равной нулю. В качестве граничной частоты интегрирования обычно выбирают равную нескольким десяткам резонансной частоты. Укажем также и на тот факт, что на самом деле среднеквадратические отклонения перемещений как колесной пары, так и листовой рессоры не должны значительно отличаться друг от друга вследствие присутствия между этими элементами упругой связи и их взаимные отклонения, таким образом, ограничены.

Итак, перейдем к анализу колебаний колесной пары. Рассмотрим два случая: частоты, кратные резонансной (округленной до 314 рад/с) сто и пятьсот раз. Зависимость среднеквадратического отклонения ускорения ее вертикальных колебаний от скорости движения экипажа для различных значений варьируемых параметров приведена на рисунке 4, а для первого случая и на рисунке 4, б - для второго. Сразу же отметим, что на том и другом рисунке кривые 10 - 12, полученные интегрированием спектральной плотности до бесконечности, соответствуют только случаю пренебрежения «приведенной» массой пути. Нетрудно заметить, для одного и того же значения массы листовой рессоры эти кривые одинаковы для обоих случаев выбора граничной частоты интегрирования. Наиболее приближенным случаем будет тот, когда пренебрегают обеими массами, эта линия 10 проведена крупными точками. В остальных случаях (кривые 1-9) графики проходят снова недалеко от построенных по

приближенной модели, как и для листовой рессоры, за исключением, пожалуй, расчета сред-неквадратического отклонения ускорения колесной пары при массе пути выше средней (кривые 1, 4, 7) в случае интегрирования до значения частоты, кратного резонансной пятьсот раз. Но это, в свою очередь, как раз и связано со свойствами передаточной функции колесной пары по неровности рельсового пути и самого подхода к моделированию, и эти особенности гораздо лучше будет исследовать с немного другой позиции. Для этого потребуется построить зависимости непосредственно от задаваемых параметров, т. е. «приведенной» массы пути и листовой рессоры.

а.

Скорость экипажа, км/ч

Скорость экипажа, км/ч

а б

Рисунок 4 - Зависимость СКО вертикального ускорения колесной пары от скорости экипажа при интегрировании до 31400 рад/с

Рассмотрим рисунок 5, на котором изображена зависимость среднеквадратического отклонения ускорения колебаний колесной пары от массы листовой рессоры. Здесь приведены две серии графиков для разных верхних пределов интегрирования: 1 - 3 - при интегрировании до 31400 рад/с и 4 - 6 - до 157000 рад/с. Особым образом (точечной линией) представлена кривая 7, соответствующая случаю нулевой массы пути. Эти графики делают очевидным тот факт, что среднеквадратическое отклонение почти не зависит от массы листовой рессоры, тем не менее такая зависимость имеет неярко выраженный максимум, приходящийся как раз приблизительно на величину, равную трети этой массы. Другой заметной особенностью является отличие в поведении кривых из разных серий при изменении массы пути. Так, при использовании в расчетах меньшего предела интегрирования с увеличением «приведенной» массы пути линии среднеквадратическое отклонение уменьшается, а что касается большего - наоборот, причем линия для массы пути 0,03 тс-с2/м расположена, тем не менее, ниже соответствующей нулевой. Более наглядно это можно объяснить, построив зависимость среднеквадратического отклонения именно от «приведенной» массы пути, изображенной на рисунке 6. В этом случае видно, что независимо от массы листовой рессоры, которая, как было отмечено, существенного влияния не оказывает, кривые первой серии (1-3) оказываются монотонно убывающими функциями. Кривые второй серии (4 - 6) начинаются в той же точке, что и соответствующие кривые, относящиеся к первой серии, и также убывают, хоть и в меньшей степени, до некоторого значения массы пути, а затем начинают резко возрастать, причем на интервале реальных значений массы пути зависимость является строго возрастающей. Это связано с тем, что масса пути входит в коэффициент при старшей степени в числителе передаточной функции в качестве множителя и при уменьшении до нуля понижает порядок полинома числителя. В противном случае порядок числителя и знаменателя становится одинаковым и условие сходимости интеграла (6) перестает выполняться, чем и объясняется резкое возрастание среднеквадратического отклонения с увеличением массы

пути. Такое поведение присуще второй серии, поскольку, как видно из рисунка 6, при интегрировании до более высоких частот гораздо заметнее проявляются высокочастотные свойства амплитудной частотной характеристики, которая не сходится к нулю.

Рисунок 5 - Зависимость СКО ускорения колебаний колесной пары от массы листовой рессоры

Рисунок 6 - Зависимость СКО ускорения колебаний колесной пары от «приведенной» массы пути

Рисунок 7 - Зависимость СКО ускорения колебаний листовой рессоры от ее массы

Рисунок 8 - Зависимость СКО ускорения колебаний листовой рессоры от «приведенной» массы пути

Приведем такие же зависимости для среднеквадратического отклонения ускорения колебаний листовой рессоры. Анализируя графики на рисунке 7, можно сделать вывод о том, что и для листовой рессоры параметры колебательных процессов зависят от ее массы несущественно. Другими словами, это явно свидетельствует о возможности пренебречь этим параметром в расчетах колебаний как листовой рессоры, так и колесной пары. Единственное отличие от рисунка 5 заключается в том, что при устремлении массы листовой рессоры к нулю в случае учета в расчетах массы пути линии 2-4 уходят в бесконечность. Это снова связано с особенностями модели, так как зануление этой массы понижает порядок знаменателя, что делает выполнение условия сходимости интеграла (6) невозможным кроме случая одновременно пренебрежения и массой пути. Если же использовать описание геометрической неровности с ограничением в высокочастотной области, что фактически выразится в увеличении порядка полинома знаменателя подынтегрального выражения, то три кривые, соответствующие ненулевой массе пути, будут аналогичными самой верхней (кривая 1). В целом графики отражают явление снижения среднеквадратического отклонения с увеличением «приведенной» массы пути. Такой же вывод следует из рисунка 8, на котором представлена его

зависимость уже от массы пути. Здесь опять же присутствует недостаток используемой модели: невозможность рассчитать среднеквадратическое отклонение в случае задания нулевой массы листовой рессоры, кроме единственной точки А, когда масса пути также равна нулю. Для сравнения приведена кривая 1, построенная при очень малом значении массы листовой

о

рессоры (0,001 тс-с /м), которая, очевидно, с увеличением «приведенной» массы пути начинает возрастать. Для остальных значений этого параметра в интервале его реальных значений функциональные зависимости носят незначительно убывающий характер. Для рассмотренных значений массы пути (соответствующих реальным величинам) уменьшение средне-квадратического отклонения составляет не более 10 %.

Обратимся к рисунку 9, на котором представлены зависимости среднеквадратических отклонений вертикальных ускорений от скорости. Две из них является приближенными, так как построены с допущением о возможности пренебрежения «приведенной» массой пути и листовой рессоры. Другая пара зависимостей рассчитана с учетом этих масс и принята как точная, при этом были взяты некоторые средние параметры (масса пути - 0,05 тс-с /м, листо-

о

вой рессоры - 0,012 тс-с /м). Для модели динамики колесной пары расчет проводился с интегрированием по формуле (6) до частоты, кратной резонансной сто раз (31400 рад/с). Как видно из графиков, приведенных на рисунке 9, разница между приближенной зависимостью и точной не превышает 5 % для листовой рессоры и 7 - для колесной пары.

. г г ф

4

К 1^^

.« X' К*

г* *

г? //

Хяпя ктега дотик Я' то чняя ттпиР ЛИЖ{

А» 1истовая рессора --- Солесная пара - - - ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

I

^_100_110

Скорость экипажа, км/ч

Рисунок 9 - Точные и приближенные зависимости СКО листовой рессоры и колесной пары

от скорости экипажа

Таким образом, выполненный анализ дает основания для следующих выводов.

1. Масса упругих элементов с диссипацией энергии в буксовой ступени подвешивания экипажа почти не влияет на характеристики колебаний необрессоренных масс подвижного состава, ее значение можно задавать равным нулю.

2. При варьировании «приведенной» массы пути наибольшее значение среднеквадрати-ческого отклонения получается в случае пренебрежения ею, а при ее увеличении в пределах реальной величины оно уменьшается не более чем на 10 %.

3. Наибольшее влияние на среднеквадратическое ускорение оказывает изменение массы пути, пренебрежение обеими массами приводит к увеличению расчетных ускорений не более чем на 7 % по сравнению с точными значениями.

Значения приближенных характеристик оказываются выше, чем точных, тем не менее это является положительным результатом. Это означает, что в случае, если рассчитанные по приближенной модели значения будут меньше критических, допустимых по условиям эксплуатации подвижного состава, то реальные значения будут еще в большей степени удовле-

Подвижной состав железных дорог

творять заданным требованиям. В заключение следует добавить, что эти же выводы справедливы и для сил, возникающих в пути и экипажной части подвижного состава при их взаимодействии. В частности, изменения происходят в оцениваемых значениях сил инерции, поскольку они непосредственно связаны с ускорениями движущихся элементов. Однако в целом разница также оказывается несущественной. Силы инерции, в свою очередь, входят, например, в виде составляющих таких величин, как давление колеса на рельс или, соответственно, реакция рельсового пути. Таким образом, существует возможность оценивать эти важные силовые характеристики в системе «экипаж - путь» по приближенной математической модели, пренебрегая достаточно малыми массами ее элементов. Приведенный материал и сделанные выводы имеют большое значение в связи с внедрением и на железных дорогах России высокоскоростных поездов и оценки безопасности условий их движения.

Список литературы

1. Галиев, И. И. Метод разделения движения в задачах транспортной механики [Текст] / И. И. Галиев, В. А. Нехаев, В. В. Марковиченко // Исследование динамики транспортных и строительных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. / МИИТ. - М., 1989. - Вып. 817. - С. 4 - 10.

2. Цзе, Ф. С. Механические колебания [Текст] / Ф. С. Цзе, И. Е. Морзе, Р. Т. Хинкл. - М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

3. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов [Текст] / Под ред. Ф. М. Дементберга и К. С. Колесникова. - М.: Машиностроение, 1980.-544 с.

4. Нехаев, В. А. Динамика необрессоренных масс электровоза BJT10 [Текст] / В. А. Нехаев, В. А. Николаев, А. Н. Смалев // Транспорт Урала. 2010. - № 25. - С. 65 - 68.

5. Лившиц, Н. А. Вероятностный анализ систем автоматического управления: В 2 т. Т. 1. Вероятностные и статистические характеристики воздействий и процессов. Линейные стационарные и нестационарные системы [Текст] / Н. А. Лившиц, В. Н. Пугачев. - М.: Советское радио, 1963. - 896 с.

6. Ушкалов, В. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей [Текст] / В. Ф. Ушка-лов, Л. М. Резников, С. Ф. Редько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 360 с.

УДК 621.332

А. Н. Смердин, А. С. Голубков, В. А. Жданов

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В КОНТАКТНОЙ ПОДВЕСКЕ НА ОСНОВЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ

В статье рассмотрены перспективные методы расчета взаимоОействия контактных подвесок и токоприемников на основе конечно-элементных моделей, предназначенных для исследования волновых процессов при токосъеме.

Повышение скоростей движения пассажирских и грузовых поездов на перспективных направлениях российских железных дорог является одним из приоритетных направлений развития ОАО «РЖД». Одним из первых участков, на котором открыто движение пассажирских поездов со скоростями свыше 200 км/ч, стала линия «Москва - Санкт-Петербург» Октябрьской железной дороги.

Необходимым условием для скоростного движения является обеспечение удовлетворительного качества токосъема при низких эксплуатационных расходах и высокой надежности токосъемных устройств.

30 ИЗВЕСТИЯ Транссиб!^— N;n1'5)