Механика и Оптика сверхзвукового мелкодисперсного потока около освещаемой сферы

Том XXXVIII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 00 7

№ 3 — 4

УДК 532.529

533.6.011.55:629.7.024.36

МЕХАНИКА И ОПТИКА СВЕРХЗВУКОВОГО МЕЛКОДИСПЕРСНОГО ПОТОКА ОКОЛО ОСВЕЩАЕМОЙ СФЕРЫ

А. Б. МИЛЛЕР, Г. В. МОЛЛЕСОН, А. Л. СТАСЕНКО

Приведены физико-математическая модель и результаты численного исследования пространственного распределения параметров газодисперсного потока в сжатом слое на сфере при входных параметрах, характерных для «типичного» эксперимента в сверхзвуковой аэродинамической трубе. Учтены скоростная и термическая неравновесности фаз, а также обратное влияние монодисперсной фазы на несущий газ. Взаимодействием частиц пренебрега-ется. Газ описывается моделью Эйлера с уравнением состояния Менделеева — Клапейрона.

Исследовано влияние относительного расхода частиц и их размеров на параметры двухфазной смеси. Изучен вклад излучения, отраженного обтекаемым телом, освещаемым монохроматическим зондирующим лазерным «ножом», на суммарный оптический сигнал, регистрируемый с целью измерения локальной концентрации микрочастиц в сжатом слое. Показано, что неучет излучения, отражаемого сферой, может существенно (в пределах порядка величины) исказить результат измерения.

Исследование взаимодействия двухфазного потока с твердыми телами представляет интерес для решения проблем как летательной техники (движение аппаратов в запыленных атмосферах планет), так и для ряда отраслей промышленности (например, напыление веществ на различные подложки). Поэтому к настоящему времени по этой теме имеется обширная литература (например, [1 — 4]).

При экспериментальном исследовании распределения мелкодисперсной примеси у обтекаемого тела (рис. 1), как правило, применяются оптические методы, основанные на измерении излучения, рассеянного частицами [3], и последующего восстановления их массового спектра.

Рис. 1. Схема «типичного» эксперимента: а — вид сбоку, поток воздуха слева направо; б — вид спереди, световая плоскость наклонена во избежание попадания блика (на верхней части обтекаемой сферы) в телекамеру:

1 — луч непрерывного лазера; 2 — непрерывный лазер; 3 — зеркало; 4 — сопло; 5 — ловушка светового луча; 6 — световая плоскость; 7 — ударная волна; 8 — модель; 9 — неодимовый лазер (К = 0.53, 1.06 мкм); 10 — оптические окна; 11 —фотоаппарат; 12 — телекамера

В такой ситуации может оказаться существенным световое поле не только зондирующего излучения, но и отраженного поверхностью обтекаемого тела.

В данной работе рассмотрен комплекс физических явлений, сопровождающих взаимодействие двухфазного потока со сферой: силовое и тепловое межфазное взаимодействие частиц с несущим газом при произвольных значениях числа Кнудсена (построенного по диаметру частиц), рассеяние частицами суммарного излучения (зондирующего и отраженного обтекаемой поверхностью).

Динамика газодисперсной смеси описывается развитой ранее [5] системой уравнений (поскольку для их численного решения используется метод установления, в них сохранены слагаемые с частной производной по времени):

др,

-р- + ё1у (рУ), = 0,

д t ]

д (Р и), д р , :

— ------+ ё1у (р и У), + (2 - ]) — = (-1)] р2 и ,

д t > д х

д (р т)] .1- ( лл\ I-> л д р , :

— ------+ ё1у (р V У), + (2 - ]) — = (-1)] р2У2 ,

д t ] д г

+ а1у(р е У ) + (2-])а1у(р У ) = (—1)][р2 Т + р2 («2 и + V2 V)],

р У2

где р, р, е =--------+------плотность, давление и полная удельная энергия газа; х, г — цилинд-

(к-1) р 2

рические координаты; и, V — проекции (осевая и радиальная) вектора скорости У,

а1уА = —— +1—(гАг). Значения индекса ] = 1, 2 соответствуют параметрам несущего газа и дх г дг

частиц.

Компоненты удельной силы, действующей со стороны газа на частицу, и удельного потока тепла к частице, входящие в правые части уравнений, имеют вид:

( Л

= в р1 сп У - У2

(

и - и-

Л

V V - Т2 У

Т=1ТУТгш(Тг -Т2)/,

а2

а числа Рейнольдса и Маха, от которых зависят коэффициенты сопротивления и теплообмена, равны:

Яе = Яе, ^ 1 „ 21 р1, >4 = \--------21

Т1Ш

кТ

где Яе„ = -

2 а р„ и.

Мах( )'

Rg Тйх

1-17 \7 I I \2 , I \2 ~ о 3 р~ 3 СР' ^"Йх

IV, - ^ = [(», - и2 ) + (1 - т2 ) ] . Р = 5- .

( ..2 \

V К'ТйХ у

(р/, сг — плотность и удельная теплоемкость материала частиц, а — радиус частицы; Я., срё, РГ' — газовая постоянная, изобарная удельная теплоемкость и число Прандтля несущего газа).

Выражения для коэффициентов сопротивления, тепло- и массообмена, пригодные при любых значениях числа Кнудсена, приведены в [6]. Поскольку в рассматриваемой области параметров движение частиц нигде не происходит в чисто свободномолекулярном режиме, ограничимся поправочными множителями, экспериментально апробированными Милликеном [7] и Каванау [8]:

= 2 + ^Яе^Рг/3,

0 2 ё

1 + 3.42

КМ — 1 +

24 4.4

С^ — I ~+ ~—г”^г + 0.42

Яе Яе

1/2

1 + ехр

0.427

М

4.63

/К

М

3.82 + 1.28/ехр

Здесь учтена также возможность как дозвукового (М < 1), так и сверхзвукового (М > 1) обтекания сферической частицы:

Яе —

Яе, М < 1, Тг = Т

, к -1 - 2 1 +----------М2

Яе.

М > 1,

Яе* — Яе

Т*

Тй — Т2 + 3 (Ті - т2),

І:Т —

т^Ю+1 т^Ю+1 Т1 - т 2

(ю + 1) ( - Т2) Т1<х

кМ2 -

М-2 (к +1) 2.

Приведенная система уравнений записана в безразмерном виде. Масштабы величин связаны со значениями газодинамических параметров в набегающем потоке (индекс ,) для квазиодно-мерного стационарного течения идеального газа. Скорости газа и частиц отнесены к скорости

несущей среды и,, плотности — к р„, давление газа — к р,и,, температуры — к и, / Яё (Яё —

удельная газовая постоянная). Радиус сферы Я служит для обезразмеривания длин (в том числе и радиуса частиц). Предполагается степенная зависимость вязкости от температуры (показатель ю) М = ЦйХ(7У?йХ)ю; Тг — температура адиабатического восстановления газа относительно частиц;

— температура за прямым скачком уплотнения; Тл — промежуточная (между температурами несущего газа и частиц) температура, определяемая эмпирическим «правилом 1/3», описывающим влияние существенного отличия температур газа и частиц на силу их взаимодействия; /т (Т2/Т1) — множитель, описывающий влияние этого отличия на теплообмен между газом и частицей. Несущая среда — воздух; ю = 0.76; Цг1Х = 1.7 • 10-5 кг/(м • с); Тг1Х = 273 К.

Численное исследование релаксации скорости частиц в несущем потоке весьма чувствительно к характерному размеру ячейки. Физически очевидно, что характерное время пребывания частицы в ячейке должно быть много больше времени скоростной релаксации частицы,

|Лх,Лг| / V >> Ту . Поскольку Ту ~ а (в газодинамическом режиме, когда Яе >> 1) и Ту ~ а2 (для

медленного ползущего движения, когда Яе < 1), ясно, что, например, для правильного расчета траектории частицы с уменьшением ее размера должен уменьшаться и размер ячейки. Эти обстоятельства учитывались при дискретизации расчетного поля.

Приведенная выше система уравнений решалась методом крупных частиц. Метод позволяет исследовать дозвуковые и сверхзвуковые течения сквозным счетом, без выделения скачков уплотнения. Использованы разностные соотношения, размывающие скачок уплотнения на три расчетные ячейки. Чтобы уменьшить размывание скачка и не потерять особенности обтекания час-

1

тицами сферы, расчетная сетка содержала 304 х 424 ячейки. Граничные условия выражали не-протекание газа через границу тела и ось симметрии.

Исследование взаимодействия частиц с поверхностью является сложной самостоятельной задачей, относящейся скорее к физике твердого тела, чем к газодинамике. Существующие теории ограничиваются введением коэффициентов отражения для нормальной и тангенциальной компонент импульса, заимствуемых из экспериментов. При этом используемые интерполяционные выражения пригодны только для той пары веществ, которая имела место в опытах, и их перенос на другие пары, вообще говоря, неправомерен. Поэтому далее принята гипотеза неупругого столкновения частиц с поверхностью, в результате которого нормальная компонента импульса частицы полностью теряется, а тангенциальная остается прежней.

Эта гипотеза оправдана тем обстоятельством, что для рассматриваемых ниже значений размеров обтекаемой сферы и налетающих частиц последние либо вообще не попадают на поверхность, либо ударяются о нее со столь малыми скоростями, что даже в случае отражения они остаются в пограничном слое, который здесь не рассматривался. Отметим, что в работе [2], в которой были численно изучены многие характерные особенности структуры двухфазного сжатого слоя у сферического затупления, также не учитывается процесс взаимодействия частиц с поверхностью.

Расчеты проведены для следующего набора параметров: радиус обтекаемой сферы R = 37.5 мм; число Маха набегающего потока M„= 6; параметры торможения ро = 20 ата, То = 600 K; теплофизические свойства материала частиц: с = 900 Дж/кг • К, рг = 5200 кг/м3.

Тестирование результатов проводилось их сравнением с многочисленными опубликованными данными по отходу и форме ударной волны, полученными другими исследователями для случая чистого газа (в отсутствие диспергированной фазы). Кроме того, несколько тестов проведены сравнением результатов, полученных с измельченной сеткой.

Результаты расчетов. Рис. 2 иллюстрирует распределение плотности газа pi и «размазанной» плотности частиц Р2 = «2^ (n — концентрация частиц, m — масса частицы) за скачком уплотнения при фиксированном наборе параметров £ и а (е — массовая доля частиц в набегающем потоке). Уже из этого графика виден немонотонный характер распределения плотностей фаз поперек сжатого слоя. Этот факт особенно наглядно подчеркивает рис. 3, на котором приведены распределения pi (сплошные линии) и р2 (штриховые) вдоль координатных линий цилиндрической системы координат r$ = const, пересекающих сферу при трех фиксированных значениях полярного угла 0. Представлены результаты для трех значений «загрузки» потока частицами.

Рис. 2. Распределение плотностей газа (слева) и частиц (справа) при £ = 0.5 и

а = 0.2 мкм:

а — первая нижняя изолиния соответствует р! = 0.45 кг/м3, последующие линии — с шагом -0.05 кг/м3; б — первая верхняя изолиния соответствует р2 = 0.25 кг/м3, последующие

линии — с шагом -0.05 кг/м3

Рис. 3. Продольное распределение массовой плотности газа (сплошные линии) и частиц (штриховые) при а = 0.2 мкм и а) £ = 0.026, б) £ = 0.5, в) £ =1

Видно, что с ростом £ скачок уплотнения прижимается к телу (ср. с рис. 2), а слой частиц, скользящих вдоль поверхности, становится все более тонким и плотным. Кроме того, при больших значениях £ возникает немонотонность в поперечном распределении плотностей: образуется своеобразный «экранный» слой частиц (несмотря на пренебрежение их отражением от поверхности), в который газ предпочитает не проникать (максимум р! отстоит дальше от поверхности, чем максимум р2).

На рис. 4 показано влияние радиуса частиц на их плотность при фиксированном значении £. Видны как вполне понятная тенденция более крупных частиц «прижиматься» к поверхности сферы, так и уплотнения их слоя, связанные с ростом инерционности крупных частиц.

Отметим одно существенное различие в описании двухфазной среды на основе расчета дискретных траекторий частиц и при помощи уравнений в частных производных. В первом случае можно было бы четко ответить на вопрос, сталкивается ли частица с обтекаемым телом, и, например, определить граничную траекторию, касающуюся обтекаемого тела. Во втором случае необходимо ставить граничные условия не только для несущего газа, но и для «газа» частиц. Дискретизация же уравнений в частных производных приводит к размазыванию границ «жгута» частиц и появлению их у поверхности, которое было бы невозможно при траекторном описании.

Рис. 4. Влияние размера частиц на их массовую плотность в сжатом слое при е = 0.026:

а — радиус частицы а = 0.05 мкм, первая нижняя изолиния соответствует р2 = 0.01 кг/м3, последующие линии — с шагом -0.001 кг/м3; б — а = 0.1 мкм, первая нижняя изолиния соответствует р2 = 0.012 кг/м3, последующие линии — с шагом -0.001 кг/м3; в — а = 0.2 мкм, первая нижняя изолиния соответствует р2 = 0.3 кг/м3, последующие линии — с шагом -0.05 кг/м3; г — а = 0.3 мкм, первая верхняя изолиния соответствует р2 = 0.01 кг/м3, последующие линии - с шагом 0.01 кг/м3

Оптика частиц в сжатом слое у поверхности тела. Полученные данные о пространственном распределении концентрации частиц позволяют оценить характеристики рассеяния ими излучения зондирующего лазерного «ножа». Для этого рассмотрим прежде всего суммарное световое поле, порожденное падающим тонким «ножом» и отраженным сферой излучением. Подразумевая под тонкостью малость толщины этого ножа h по сравнению с радиусом сферы R, будем для упрощения вычислений считать цилиндрической узкую полоску на поверхности сферы (шириной h << R).

Зеркальное отражение. Лучистый поток шириной Ах после отражения от этой квазицилинд-рической полоски длиной Rd0 пойдет внутри угла 2d0, как если бы он шел из мнимого источника O' (рис. 5, а).

Рассмотрим произвольную точку Р(х, у) в потоке перед сферой. Ее расстояние OP = r' от мнимого источника определяется выражением

г'2 = (.х-Rcos3 0)2 +[у-Rsin0(1 + (1/2)cos20)] 2.

Если напряженность электрического поля в отраженной волне вблизи точки падения обозначить через E'r , то в точке Р(х, у), согласно предположению цилиндричности отражающей полоски, она будет равна

E = E R= E________________________((1/2)Rsin0)1/2_________________

Er Er\ f Er 14 .

v r [{ - R cos3 0)2 +[y - R sin 0(1 + (1/2) cos 20)] 2 }

Рис. 5. Оптика частицы у зеркально отражающей (а) и диффузно рассеивающей (б) сферической поверхности

Координаты точки наблюдения Р можно выразить в полярной системе координат с началом в центре сферы О:

x = rP cos 0P, y = rP sin 0P.

Существует однозначная связь между координатами точки Р и угловой координатой 0 точки отражения I, которую можно получить, например, из треугольника OPI:

0Р = 20 - arccos(R cos0/rP).

Можно показать, что при x = R cos 0, y = R sin 0 (на поверхности) имеем Er = E'r.

Примем далее предположение о зеркальном отражении, так что |ЕГ| = |Ег| (фазовые соотношения пока не существенны). В этом случае будем считать излучения, падающее на частицу и зеркально отраженное, некогерентными. В качестве причин некогерентности можно привести возможную неконтролируемую волнистость поверхности, турбулентные пульсации в пограничном и в сжатом слоях.

Тогда на частицу, находящуюся в точке P, падают два потока лучистой энергии, пропорциональные Ef и Е^ . Считая, что их интенсивности складываются (интерференция отсутствует), получим следующий «коэффициент усиления», учитывающий влияние отражающей поверхности на рассеянный поток энергии:

2 I Z72 ( Z7 ^

Е2 + Е

Кт = Е^-+2Е- = 1 + Е,

Ег

2

= 1 + -

(1/2) sin 0

| (rP cos 0P - cos3 0)2 + [rP sin 0P - sin 0 (1 + (1/2) cos 20)]

21 1/2

cos0 . ч — /ri

где —=— = cos(20-0p) и Гр = rp R.

rP

Легко показать, что вблизи поверхности Кт = 2.

На рис. 6, а приведены изолинии рассмотренного коэффициента. Эти оценки показывают, что при определении концентрации частиц по рассеянному излучению лазерного ножа следует вводить поправки на влияние близкорасположенной отражающей поверхности.

Диффузное отражение. В этом случае верен закон Ламберта, согласно которому мощность, рассеянная внутри телесного угла d под углом а (относительно локальной нормали), равна

dWd = BedQ dSj cos а, где Ве — яркость, dSj — площадь рассеивающего участка.

Для определения угла а имеем соотношение:

sin а sin

1/2

( \ 2

откуда cos а = 1 - ZP_ sin2

ч rI У

Рис. 6. К расчету светового поля у отражающей сферической поверхности:

изолинии плотности суммарного излучения, падающего на частицу при зеркальном отражении (а), при диффузном рассеянии (б) сферой

Телесный угол, под которым видна частица рал л л 2 2

диуса а из точки I, равен dО = па / г .

Мощность падающего излучения, проходящая через элементарную горизонтальную площадку НАх, попадает на наклонную площадку НRd0 sin 0. Часть этой мощности, определяемая коэффициентом отражения Re, рассеивается в телесный угол 2п. Яркость

I, sin 0

рассеянного излучения равна Бе =--------Re.

П

Итак, мощность излучения, падающего на частицу в результате рассеяния полоской сферы малой ширины Н, равна

^ RН [ sin0d0^а(0)Re(0)/^(0),

О

где О(0) — множество точек освещенной полоски, видимых из точки наблюдения Р.

Сравним выражения, полученные для зеркального и диффузного отражений. В первом случае размеры частицы а , ширины светового ножа Н и освещаемой сферы R не вошли в коэффициент влияния Кт вследствие предположения о цилиндричности зеркально отражающей полоски. Во втором случае аналогичный коэффициент имеет вид

Kd = 1 + Wd / Jt п с2 = 1 +

h

nR

J Resin 0cos а d0Гг{

G

_ ^2 ^—2 _

(Г[ = г /Я, Г[ = 1 + Гр - 2гр cos(0-0p)) и зависит не только от отношения Н/Я, но и от коэффициента отражения поверхности сферы Яе. Поэтому он может быть рассчитан лишь при наличии информации об указанных величинах. В качестве примера изолинии К приведены на рис. 6, б для случая Н/Я = 1 мм/37.5 мм, Яе = 1.

Рис. 7. Распределения суммарного излучения, рассеянного частицами, вдоль линий параллельных оси:

сплошные и штрихпунктирные линии соответствуют частицам, находящимся сверху от полюса сферы (точки торможения) в предположении зеркального и диффузного рассеяния излучения сферой (соответственно), пунктирные — частицам, расположенным ниже него на том же расстоянии

от оси X

Напомним, что до сих пор речь шла о суммарной плотности потока излучения, падающего на частицу, расположенную в точке Р. При этом изолинии Кт и К лежат в плоскости светового ножа.

Далее облако частиц считается оптически прозрачным, что равносильно предположению аддитивности потоков, рассеянных всеми частицами (в противном случае следовало бы решать уравнение переноса в двухфазной среде). Излучением газа пренебрегается.

На рис. 7 построены распределения интенсивности излучения, рассеиваемого дисперсными частицами в единичном объеме сжатого слоя, отнесенного к интенсивности падающего излучения q = п , в зависимости от безразмерного расстояния вдоль оси х, направленной противоположно набегающему потоку.

Расчеты интенсивности излучения, рассеиваемого отдельной шаровой частицей, проводились по теории Ми, размер частицы принят равным а = 0.2 мкм, массовая доля частиц в набегающем потоке £ = 0.026, продольные распределения концентрации частиц соответствуют рис. 3, а; длина волны падающего излучения X = 0.53 мкм, комплексный показатель преломления частицы п = 1.5 + 0.05/. Вектор Е в падающей волне направлен перпендикулярно плоскости лазерного ножа, плоскость лазерного ножа составляет угол 25° с вертикалью (см. рис. 1), условное расстояние до приемника I = 1 м.

Для случаев зеркального и диффузного отражения излучения от обтекаемой сферы распределения величины q даны для частиц, находящихся на одинаковом расстоянии г от оси х в плоскости лазерного ножа. Выбраны значения г = 0 (соответствует 0 = 0 — угловой координате точки пересечения сферы прямой, на которой находятся частицы), г = Л/2 (соответствует 0 = 30°), г =л/з Л/2 (соответствует 0 = 60°). Сплошные и штрихпунктирные линии соответствуют частицам, находящимся сверху от полюса сферы (точки торможения) в предположении зеркального и диффузного рассеяния излучения сферой соответственно, пунктирные — частицам, расположенным ниже него на том же расстоянии от оси х. Видно, что при г = Л/2 интенсивность излучения, рассеиваемого частицами, находящимися в нижнем полушарии, приблизительно в два раза меньше для случая зеркального отражения сферой. Это связано с тем, что частицы в верхнем полушарии находятся также в поле отраженного сферой излучения, поэтому интенсивность падающего на них излучения больше. В то же время они находятся на большем расстоянии от приемника излучения (см. рис. 1), что уменьшает приходящую от них интенсивность по сравнению с частицами, находящимися в нижнем полушарии. При увеличении координаты г влияние отраженного излучения ослабевает и от частиц сверху и снизу приходит почти одинаковая интенсивность (см. 0 = 60° на рис. 7). Таким образом, яркостный контраст верхней и нижней частей дисперсного экрана имеет четкий угловой экстремум и наиболее выражен для случая зеркального отражения сферой падающего излучения. В случае диффузного рассеяния эффект уменьшается, но остается существенным.

Приведенные результаты указывают на необходимость учета отраженного сферой излучения при обработке экспериментальных данных с целью определения концентрации частиц оптическими методами.

Рассмотрим пример использования приведенных данных. Для того чтобы получить мощность, регистрируемую приемником, его площадь £пр (линзы) умножается на значение ординаты графика рис. 7, соответствующее положению рассеивающего объема, и на величину этого объема V. Например, при 0 = 30° значение рассеиваемой единичным объемом относительной интенсивности для частиц, лежащих в верхней полусфере, в окрестности максимума составляет nJjJi = 42.5. Для величины рассеивающего объема V ~ d3 (d = 0.05R — цена шкалы расстояний рис. 7) и значения £пр ~ 10-4 м2 регистрируемая мощность (Вт) будет составлять 2.8 • 10-11 Ji, где Ji измеряется в Вт/м2.

Замечание. К настоящему времени библиография, посвященная исследованию параметров сжатого слоя в сверхзвуковом двухфазном потоке, довольно обширна, о чем уже упоминалось в начале статьи. В дополнение можно указать, например, работу [9], в которой учтены явления, не рассматриваемые здесь (отражение частиц от поверхности поперечно обтекаемого цилиндра и их столкновения друг с другом, сопровождаемые вращением). Данная статья является шагом к созданию самостоятельного математического кода для сопровождения экспериментов, в которых существенную роль играют оптические измерения. В этом плане расчет концентрации частиц рассмотрен в качестве необходимого предварительного этапа, на результатах которого затем продемонстрированы оптические явления.

Выводы. 1. Приведены численные исследования пространственного распределения параметров газодисперсной смеси в сжатом слое у сферы, обтекаемой сверхзвуковым потоком в широком диапазоне значений относительного расхода и радиуса частиц, в том числе для условий «типичного» аэродинамического эксперимента.

2. Показано, что при оптическом зондировании двухфазной среды вблизи обтекаемого тела поток энергии на частицу и, следовательно, рассеянного ею излучения может увеличиваться на порядок своей величины. Этот факт следует учитывать при обработке экспериментальных данных, имеющей целью получить информацию о массовом спектре частиц. В частности, целесообразно провести контрольные измерения по определению оптических свойств поверхности (например, диаграммы направленности и характеристики поляризации отраженного излучения) в отсутствие частиц.

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ 04 — 01 — 00817.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баланин Б. А., Злобин В. В. Экспериментальное исследование аэродинамического сопротивления простых тел в двухфазном потоке// Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 3.

2. Головачев Ю. П., Шмидт А. А. Обтекание затупленного тела сверхзвуковым потоком запыленного газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 3.

3. Василевский Э. Б., Осипцов А. Н., Чирихин А. В., Яковлева Л. В.

Теплообмен на лобовой поверхности затупленного тела в высокоскоростном потоке, содержащем малоинерционные частицы // ИФЖ. 2001. Т. 74, № 6.

4. Стасенко А. Л., Чирихин А. В. Испарение кварцевых частиц за сильными ударными волнами в слабозапыленном воздухе // Теплофизика высоких температур. 2002. Т. 40, № 8.

5. Моллесон Г. В., Стасенко А. Л. Трехмерное взаимодействие с преградами сверхзвуковой газокапельной струи с учетом фазовых переходов // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41, № 6.

6. Стасенко А. Л. Модели динамики и тепломассообмена шаровых частиц в газодисперсных и парокапельных потоках // Труды ЦАГИ. 1984, вып. 2220.

7. Millikan R. A. The general law of fall of a small spherical body through a gas, and its bearing upon the nature of molecular reflection from surfaces // Phys. Rev. 1923. V. 22.

8. Kavanau L. L. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in subsonic flow // Trans.

ASME. 1955. V. 77, N 5.

9. Volkov A. N, Tsirkunov Yu. M., Oesterle B. Numerical simulation of supersonic gas-solid flow over a blunt body: the role of inter-particle collisions and two-way coupling effects // Intern. J. of Multiphase flow. 2005. V. 31.

Рукопись поступила 30/XII2005 г.