Кинетический анализ гиперзвуковых вязких течений многоатомного газа в тонком трехмерном ударном слое

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVI

19 8 5

М 3

УДК 533.6.011.55.011.6

КИНЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ МНОГОАТОМНОГО ГАЗА В ТОНКОМ ТРЕХМЕРНОМ УДАРНОМ СЛОЕ

М. М. Кузнецов, В. С. Никольский

На основе кинетического уравнения для газа с внутренними степенями свободы проведен асимтотический анализ течений многоатомного газа в тонком трехмерном ударном слое при гиперзвуковом обтекании затупленных тел. Исследован вопрос о границах применимости феноменологического описания гиперзвуковых течений вязкого газа в рамках модели тонкого ударного слоя. Проанализирована физическая сущность ньютоновского предельного перехода в уравнениях Навье—Стокса и кинетическом уравнении. Найдена асимптотическая форма макроскопических уравнений, получаемых при совершении ньютоновского предельного перехода в бесконечной цепочке моментов функции распределения.

Исследованию течений газа в тонком ударном слое при гиперзвуковом обтекании затупленных тел посвящено значительное число работ (обзор их имеется, например, в [1, 2]). Более или менее сложившиеся представления о физической картине течения в ударном слое берут свое начало с работ [3, 4]. Детальный теоретический анализ структуры ударной волны и тонкого ударного слоя для стационарных осе-симметричных течений совершенного газа, основанный на уравнениях Навье—Стокса, дан в работе [5]. В работах [6, 7] с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений исследовался режим вихревого взаимодействия в окрестности критической точки осесимметричного и плоского затупленных тел.

В ряде работ (например, в [4, 5, 8]) рассматривался так называемый «режим вязкого слоя», когда перестает быть справедливым независимое разделение потока в ударном слое на невязкое течение и вязкий пограничный слой. В работах [5, 9, 10] было показано, что толщина ударной волны D на этом режиме сравнима с поперечным размером ударного слоя Д. Поскольку уравнения Навье—Стокса неточно описывают структуру сильного скачка уплотнения, то, как справедливо отмечалось в работе [10], они в этом случае не пригодны для описания всего поля течения. Поэтому встает вопрос об обосновании уравнений тонкого вязкого ударного слоя с позиций кинетической теории газов.

Известно, что ньютоновский предельный переход

Роо А Л /I Г> VqO /1 \

3 =-- 0, Моо -> со , Re = -;--»СО,

где рос, Усе — плотность и скорость в набегающем потоке, ¡д.*, р*—характерные значения вязкости и плотности в ударном слое, /?0 — характерный линейный размер, М«, — число Маха в набегающем потоке, Ие — число Рейнольдса, совершаемый в уравнениях Навье—Стокса, приводит к асимптотической системе уравнений параболического типа, имеющей пониженный порядок по сравнению с полной системой уравнений Навье—Стокса.

В работах [5, 8] показано, что в этом случае вместо задания граничных условий в набегающем потоке можно использовать условия сохранения потоков макропараметров в ударной волне (условия Рэнки-на—Гюгонио), не интересуясь при этом ее структурой. В случае, когда параметр со= (Кее)_1 = 0(1), диссипативные процессы становятся существенными во всем поде течения за ударной волной, и в условиях сохранения на волне необходимо оставить члены порядка со, учитывающие «скольжение» в ней (модифицированные условия Рэнкина—Гюгонио [5, 8]).

В работе [11] показано, что феноменологический подход, основанный на совершении предельного перехода (1) в уравнениях Навье—Стокса, справедлив лишь при ш<С1. Случай же м~1, соответствующий режиму вязкого слоя, вообще говоря, не может быть рассмотрен в рамках навье—стоксовского приближения, и предельный переход (1) необходимо совершать в уравнении, Больцмана или в эквивалентной ему бесконечной системе для моментов функции распределения.

1. Толщину тонкого ударного слоя в окрестности затупления либо на наветренной стороне тела, обтекаемого под большим углом атаки, можно оценить по расходу газа через контрольную поверхность, выбирая подходящим образом контрольный цилиндр [2]. В работе [2] показано, что в общем случае толщина ударного слоя А зависит от формы тела, а также от отношения плотностей и скоростей в набегающем потоке и ударном слое. Так, при гиперзвуковом обтекании гладко затупленного тела с характерным размером когда характерное значение продольной компоненты скорости в ударном слое и* по порядку величины равно скорости набегающего потока К», толщина ударного слоя Для сильно затупленных тел, когда скорость и* совпадает со скоростью звука, Д~г!/2/^о в дальнейшем будем считать, что Д~е1/?о.

В соответствии с физической теорией сильных ударных волн [12] величина е может стать достаточно малой (е<С1), если в молекулах газа за волной возбудилось достаточно большое число степеней свободы (поступательных, вращательных, колебательных и т. д.) или прошли энергоемкие процессы, такие, как диссоциация, ионизация и пр.

В качестве исследуемой среды выберем однокомпонентный газ, молекулы которого имеют 3 поступательные и / внутренние степени свободы. Предположим также, что на исследуемых режимах выполняется соотношение Т" Т1 ~ ^ 6г, где Т"— температура поступательных степеней свободы — температуры внутренних степеней свободы, Э, — характеристические температуры внутренних степеней свободы. Это предположение соответствует условиям за сильной ударной волной в случае так называемого «легкого» обмена энергией между поступательными и внутренними степенями свободы молекул газа [13]. Оно справедливо для вращательных степеней свободы и достаточно хорошо выполняется для колебательных степеней свободы тяжелых многоатомных газов, таких как С^, БРб и др. Будем рассматривать режимы, при которых влияние процессов диссоциации и электронного возбуждения несущественно.

Поскольку в ударном слое характерное значение давления к 2

где &— постоянная Больцмана, т — масса молекулы, а из закона сохранения массы в ударной волне следует, что у — еУсо (V — нормальная к ударной волне компонента скорости), то

— 2

» — А " Т* с* £*. гол

- Р* ~ ~ ^ ~ и  &

Здесь — характерное значение компоненты тепловой скорости в ударном слое, и—р*Л~р* — среднее значение внутренней энергии единицы объема (А — энтальпия). Можно показать [12], что параметр г—и е  ПРИ неогРаниченном во3"

растании числа внутренних степеней свободы.

Оценим по порядку величины длину свободного пробега в тонком ударном слое. Так как ¡л* ~ р* 13с* [14], то

Кп, = --^---- ---р- ~ ШвЗ/2.

Здесь Кп^ — число Кнудсена в ударном слое, = е-1 Ие =

= Р* °°—- , <о = (еНе)"1. Поскольку толщина ударного слоя Д~г/?0, _

то 1ц\Д — <о"|/е. Параметр и*/Дроэ V»—р^\р по порядку вели-

чины равен отношению вязкого напряжения рт к давлению р. При о)—1 весь ударный слой становится вязким, образуя общую область неизоэнтропического течения с ударной волной. Подобный режим гиперзвукового обтекания экспериментально исследовался в работе [9].

В дальнейшем всюду предполагается, что величина е-с1, т. е. перед телом формируется область сжатия. В качестве необходимых критериев существования ударной волны, которая, вообще говоря, уже не является поверхностью разрыва, примем, как и в монографии [3], что

/,<< Д~г/?0, 4о«/?0.

где /оо —

длина свободного пробега в набегающем потоке.

Для степенного потенциала взаимодействия Ф = —^-г [14],

г

где х — силовая постоянная, г — расстояние между частицами, V — константа, имеем:

4

Ь- ^ — — Ь*. ~ ев*-' Р* С* IV

где в = 1/ёМ».

Для модели газа из твердых сфер (V = оо) 1а1103—е и вследствие (3) /оо/#о~У^еш. Для произвольного степенного потенциала взаимодействия (у=5 соответствует модели максвеллов-

I , »-*> _ _±_

ских молекул) ----^г^т--юе^-ом,» 1,-1 -»-0 при Ммоо и

"о Яо

фиксированной длине пробега за скачком. Поэтому в гиперзвуковых течениях длина (подобно температуре Тх) не является характерным параметром для течения в сжатом слое за ударной волной.

Таким образом, на режиме вязкого слоя для произвольного степенного потенциала взаимодействия критерии (4) выполнены. Отметим также, что решения, полученные на основе уравнений Навье—Стокса [5], многочисленные исследования в рамках кинетической теории газов [14, 15], а также экспериментальные данные [9] показывают, что предельная толщина ударной волны (зоны, где возбуждаются «быстрые» степени свободы молекул) /)</<х,. Поэтому на режиме вязкого слоя ударная волна является тонкой по сравнению с характерным размером обтекаемого тела, т. е. .О-С^о-

Можно показать, что при со^>1 все звуковые возмущения с характерной длиной порядка толщины ударного слоя А эффективно затухают и ударная волна в принципе не может образоваться. Заметим, однако, что расчеты теплового потока в окрестности критической точки затупленного тела в рамках теории тонкого вязкого ударного слоя дают приемлемые результаты вплоть до свободномолекулярного предела

[4, 8].

Обратим внимание на то важное обстоятельство, что рассматриваемый класс предельных течений (1) относится к экстремальному типу [16], характеризуемому тем, что продольная компонента макроскопической скорости изменяется в нормальном направлении на длине свободного пробега на заметную долю тепловой скорости с* : Д

<~ . Поэтому, как справедливо отмечено в работе [9], макроскопические уравнения Навье—Стокса на режиме вязкого слоя могут дать удовлетворительное приближение лишь в дозвуковой части ударного слоя, где локальные градиенты скорости сравнительно малы.

2. Кинетический анализ будем проводить на основе квазиклассического кинетического уравнения Больцмана [13]. При квазиклассическом описании предполагается, что функция распределения молекул по скоростям и внутренним состояниям может быть задана в виде

М, г, I), где £ — скорость молекулы; N соответствует набору квантовых чисел {УУ} = {Ми . . . , ./V/}, характеризующих внутреннее состояние молекулы с энергиями •   , Еы,\

г — радиус-вектор, характеризующий положение частицы; Ь — время.

В дальнейшем удобно перейти от функции г, Ь)

к функции /(с, N. г, где с — £ — V — собственная скорость молекулы, V— макроскопическая скорость, определяемая соотношением = ¿у —среднее число частиц в еди-

n * N

нице объема ( знак 2 здесь и далее обозначает суммирование по

V N

всем внутренним состояниям^ . Тогда уравнение Больцмана в произвольной криволинейной ортогональной системе координат (хи х2, х9) для функции /(с1г Ы, х^ ¿)> ¿=1, 2, 3 будет иметь вид [17] (везде далее по повторяющимся греческим индексам предполагается суммирование):

2

U 7 = 1

df' ' df дил ( df

(щ + cf dHt

dSa

df дщ дс-f dSa j

(Uj + Cj) (u, + ct) r)Hj

Я;

dS.

Hj

dS,

+

df

dc,

J.

Здесь иг i= 1, 2, 3 — компоненты макроскопической скорости в криволинейной системе координат, Ht — параметры Ляме, д 1 д

^^ = —pj--, У—интеграл столкновении, включающии различные типы столкновений

скорость с — {си с2, с3) является уже независимой переменной.

Рассмотрим теперь систему координат, связанную с поверхностью тела, предполагая, что хи х2— координаты на поверхности, а координатные линии лг3 ортогональны поверхности. Тогда в области тонкого ударного слоя x^R0, i— ],2,х3— eR0 справедливы оценки: щ—Vx, i= 1, 2, ы3~вVx. Используя (2), будем иметь:

df dul Voo

-/, ¿= 1, 2; На=\. С другой стороны, J--

dc, dSo

¿Re,

I/a

cos/?.

Таким образом, на режиме вязкого слоя, когда со— 1, малый параметр имеется не перед всеми членами в конвективной части уравнения Больцмана, и решение уравнения (5) в этом случае будет отличаться от локально-равновесного уже в главном приближении. По этой причине для решения уравнения (5) при со — 1 не применим метод последовательных приближений Чепмена—Энскога [16] и его модификации. Однако можно попытаться построить замкнутое макроскопическое описание течения вязкого газа в тонком ударном слое, обратившись к методу моментов. Этот подход, широко применявшийся еще Максвеллом [18],. состоит в том, что решается не уравнение (5), а следующие из него так называемые уравнения переноса. При этом искомыми неизвестными являются макропараметры течения, представляющие наибольший интерес в задачах газовой динамики.

Введем обозначение (?) = 2 I Для произвольной функции

N

9 = Ы,г, /). Умножая уравнение (5) на т, тс¡, г=1, 2, 3,

17хс с v ^

Е = —^- + Ем, интегрируя по с и суммируя по всем

внутренним состояниям, получим соответственно уравнения сохранения массы, импульса и энергии:

dp , 1 dt ^ НХНЪНЪ

дрщ //2 #3 дрм2 Нх Н<

дхj

+

дх.,

дт + 1 dt ' Н1Н2 Н3 [ дхх

H2H&^ului-^r рп)

3 + д

+ -т— Hi Н2

дх.

дри3 Ы\ Я2 \_q 1

-H1Hb{pu2ui+p2i) +

дх2

.

г

дН

Р

, д

% + + ШъНг н> <* + "••'•» +

- Я, Нй (д2 + и« я2«) + Нх Н2 (да + и* тг3а) | = 0.

дхг

1

В уравнениях (6) ри = (тс1 с}) , р = -у (тслса), — Ъцр,

2 2 Ф _ ри2 + 122 дН2 , Р"з +^33 дн3___рЦ| ц2 + р)2 дН1 _ущиъ + Р)3 дНх

1 ~~ Н2 д31 Н3 дБ! Н1 с»52 С»53 '

Н= — (и+р) ^ =4-т <св га> -¡-

р 2 2

= + <7Г = 0? = . <7Г = •

Выражения для Фг-, г = 2, 3 получаются из Ф1 циклической перестановкой индексов 1, 2 и 1,3.

/ \ \ 3

Положим по определению: ип = ^—тсаСаУ = — пкТ" — сред-

\ 2 / 2

няя энергия единицы объема, приходящаяся на поступательные степени свободы, Тп — температура поступательных степеней

свободы; ивн = (Ек) = п ^¿чРТ, = пс™Твн — средняя энергия еди-

I

ницы объема, приходящаяся на внутренние степени свободы;

— — суммарная теплоемкость при постоянном объеме

/

внутренних степеней свободы; Т, — внутренняя температура /-той

Цви

моды; Твн = ——; для удобства вычислений считаем, что е</>=соп8^

ПС1?

хотя это предположение не является принципиальным.

Введем также равновесную температуру Т, определяемую соотношением

±-кТ° + с™Тв*}=пс],Т = +

и отклонения соответствующих энергий от их равновесных значений [19]:

Дип = -пк (Гп - Т), Шш = пс'ЧТ™ - Т).

Из определения (7) следует, что Д£/п= —Дит. С использованием температуры Т можно ввести еще одно определение тензора напряжений: р°.у *=>р0Ъи + Ъц—рц — ЬрЪи, р0=п/гТ, Ьр = п1г(Тп—Т)=

Для замыкания системы уравнений сохранения (6) необходимо иметь выражения для компонентов тензора напряжений р^, вектора теплового потока Ц1 и величины Ар = п1гАТ.

Умножая уравнение (5) на тс1с)—тсас* тсаса, Е^, с^,

сг ¿¡л? и выполняя операцию осреднения, получим следующую систему уравнений:

dr-ij

dt

' Л/, Я2 Я3 дх,

Ô ЩН3(и, + Qlíy. - -J-8¡j Qt) +

+ Hl H3 (u2 + Q2lJ- 8i; Q2) + H, tf2 («,,„ + Q3i7

- y Qa)] + + ^ Щ---Г 8V n«P

du¡ , duj 2 ^ диа\ , ^ 2 « « , . . 1

j4

<35n

аа/ ij>

k DT" m Dt H

rrkHHè ??+¿ я- í!+á;

9 дк„ о i „

k DT™ , Р--— +

1

m Dt Н}Н2Н3

dS^

àqi dt

+ TïT Я")] - -|г(^>, + ТГтЬгЬг- Н« ("i + "Г- Я1 ("» ft +

П1ПгН3 OXi олг2

+ ("3 <7< + Оме)! + + +

du

dq] dt

jd dA

d

дх*

+ Ça

du¡

Ж"

+ Ф iE*

{Jíe),

,вн i г л л

HxH2(u3q™ + Q3/ejv)]

+ UB

Dut Dt

du„

+ IT Ж -ЗЗГ + <У<^>'

k DLT , P —— +

1

m Dt ' Hi H2 à

CBH -

-HXH2 Aq3

т<л«>

В (8) = +

Z)¡f dt ÔSa

2 c£H f дил .

-, Qijk = (mctcjck)> Qi = Qi«,

Que=<c1cjE), Qhen = (c¡ Cj En)-, Afc--^r?fH>

cv

<Л;> = S J cj Jdc' =2 / = Jdc'

N N

<JlE) = 2 j C/ EJdC> <J'EN) = 2 í C¿ ^ JdC'

at a;

Величины Ф, Ф,7, Ф 1е и Ф^д, вычисляются элементарно и приведены в [17]. Из-за громоздкости приведем лишь те члены в этих выражениях, которые потребуются нам в дальнейшем: Фзя =

и\(и+Рзъ) дН~ ч2Аи + Рзз) dHj

Н2 dSB Н! dS2 "'

ФЗЕЛГ

uju™ дн2

Но dS,

"1и™ дНг Н, <553

Анализ соотношений (8) показывает, что в уравнения для определения компонентов вектора теплового потока и тензора напряжений входят моменты более высокого порядка, т. е. в общем случае получаем бесконечную систему «зацепляющихся» уравнений. Однако специфика рассматриваемых предельных гиперзвуковых течений позволяет в принципе получить для некоторых типов интегралов столкновений (модельный оператор, молекулы Максвелла, линеаризованный интеграл столкновений) замкнутую систему уравнений, не используя предположения о представлении функции распределения в виде конечного числа ортогональных полиномов.

Для упрощения моментного представления интеграла столкновений воспользуемся модельным оператором столкновений в форме Мор-за [20]:

М1—/ м — /

те1

в (9) М* _ п (-^-)312 ехр (- л*-) П  6ХР £л< * ^

2*kT" ) * V 2kT" ) 4=1 ^ ехр

Ni

' ехр

.. 1т N3/2 / тс2\п

»1

релаксации соответственно при упругих и неупругих столкновениях молекул. В дальнейшем будем рассматривать такой диапазон температур, когда имеет место соотношение хе1!х1п = а = О (1), т. е. будем рассматривать случай „легкого" обмена энергией между поступательными и внутренними степенями свободы молекул.

Получим асимптотическую систему уравнений, описывающую в главном приближении течение в тонком ударном слое при е->0. Введем безразмерные время, координаты и время релаксации, деформируя координату х3 с учетом оценки для толщины ударного слоя:

" 00 "оо 00 00

Разложения для моментов функции распределения с учетом оценок (2) можно представить в виде

В|= 1/^ + 0(1)), г = 1, 2;_н3 = г1М^+0(1));

H=vlо (Я + О (1)); qt = Роо Vl (^0) + е1/2 q\l) + О (г1/2)); LT—zVt, -^-(ДГ-f- 0(1)); Qi/ft = e'/2pool/L(Q^+0(l));

Qvb=pco + оо».

Уравнения сохранения для главных членов в разложении (10) имеют следующий вид (черточки над безразмерными величинами опускаем) :

д(

1

НХН2

дриг #2 дхх

Н\

дх,

йи{ . щ и2 дН]

I--г

+

дН,

Н2

дг~

— 0:

т

Н1Н2 дху

+

Н\ #2 дх2

«I а2 дН2 Н1Н2 дхх Нх #2 дх2

дНх

(>Рю

дрзз

к? и?

-=!- + — =0;

ОН

?15Г

+ + = Н = Т +

= 0;

В системе координат, связанной с поверхностью тела, параметры Ляме равны: Н1 = А1(хи х2) (1 + , Я2 = Л2(л:1, х2)Х

\ /

+ = гДе А и Л2 — коэффициенты основной квадра-

тичной формы поверхности, и /?2 — главные радиусы кривизны поверхности, отнесенные к В полученной системе с принятой точностью следует положить Н1 — А1, / = 1, 2.

Подставляя разложения (10) в уравнения (8), в главном приближении получим

2 я„

=--^—' / =

ди1

Р9 з-

а:

"33 (1 + °0

7(0).

дщ

Рм =  = <7|н(°> = 0;

*гз

¿=1,2;

+ «)

?!н

В (11), (12) суммирование по р происходит от 1 до 2.

Из (12) следует, что для определения компонентов вектора теплового потока <7з и необходимо вычислять моменты более высокого порядка <2зз Е и С?ззе„ •

Умножая уравнение (5) на с\Е и с%Ец, выполняя операцию осреднения и подставляя в полученные уравнения разложения (10), в главном приближении будем иметь:

<3ззк = , (Мззе + аМззв), <Зззелг= -(^ззеы +*МззеыУ

'  1 -+- а " 1 + о

Мзз/. = (4 ьу, /=М, Ь = Е, Вы.

Наконец, разрешая системы уравнений

/>33 = --*--Л

За

ют dui , . _

Pis=* — Pn—--jr, 1= 1, 2;

1 + а О-

«Р—«if^['••^Tt^r,

ЙЫр

Д/> = - 2 3 0)Т а

сот \2 ди? ди9

1 + а/ di дС,

Здесь Q2 = ( | a | —суммирование по р происходит от 1 до 2.

В случае, когда cBva/cv -* 1, выражение для компоненты вектора теплового потока q^ упрощается:

(D— _ Ср д1

Яг — " Рзз , + а т д-

ЮТ Ср

Величина ¡л = р0 [ g равна коэффициенту вязкости, а X ^ —

коэффициенту теплопроводности, вычисленным для модельного уравнения Больцмана в навье—стоксовском приближении [20].

ШТ с„

Обозначим Уэфф = руу yqj^-, Аэфф =-^-1лэфф и будем называть введенные диссипативные коэффициенты эффективными. Из (14) следует, что эффективные диссипативные коэффициенты нелинейно

дщ

зависят от производных , 1= 1, 2. При пренебрегая

членами, пропорциональными ш2, приходим к навье—стоксовским выражениям для коэффициентов вязкости и теплопроводности.

Полученная асимптотическая система уравнений (11) вместе с замыкающими соотношениями (14) имеет более низкий порядок по сравнению с полной системой уравнений Навье—Стокса. Для получения на ударной волне замыкающих соотношений типа Рэнкина—Гюгонио используем законы сохранения в интегральной форме [2, 8]. В результате в главном приближении получим

pv— Роо^оо, p33 = pxV2x,

Po=Vco(u[ — ui00) = pn, 1 = 1, 2, Poo Vоо (И — #оо) = <7з + ЩРф,-Здесь р33, р13, 1=1, 2 и q3 определяются выражениями (14),

с„ п.~ 11-

т 1 2

Для получения граничных условий на поверхности тела воспользуемся законами сохранения потоков массы, импульса и энергии по толщине слоя Кнудсена. При со ^ 1 справедливы следующие оценки

порядка величины скорости скольжения Аш, 1=1,2 и температурного скачка AT:

__с _

А«г — Аз/Р«с»~ ш/гКос, /=1,2; Р* с, — ш/еГ*.

Отсюда следует, что при to — 1 можно пользоваться в главном приближении условиями прилипания и отсутствия скачка температуры (предполагается, что температура стенки Tw порядка характерной температуры за ударной волной). Аналогичный вывод ранее был сделан в работах [4, 8].

Таким образом, проведенный кинетический анализ приводит к существенному изменению известной классификации течений в тонком ударном слое [3, 5]. В диапазоне V е < со 1 влияние на параметры течения нелинейной зависимости компонентов тензора напряжений и

вектора теплового потока от производных —1=1, 2 будет существенен

нее влияния условий скольжения на теле (—ш}/Е), а также механизма объемной вязкости (~сое). При со j/в полученный эффект должен рассматриваться в рамках следующего приближения теории тонкого слоя, в котором учитываются члены порядка е, отброшенные в системе уравнений сохранения (11).

Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность В. Я. Нейланду и О. Ю. Полянскому за внимание к работе и полезное обсуждение, а также В. С. Галкину и О. Г. Фридлендеру за ряд ценных замечаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Анкудинов А. Л. Численное решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя. — Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1845.

2. М а р к о в А. А. Асимптотический анализ уравнений Навье—Сток-са для трехмерных течений в тонком ударном слое. — М.; 1979, препринт Ин-та проблем мех. АН СССР.

3. X е й з У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

4. Cheng Н. К. The blunt body problem in hypersonic flow at low Reynolds number. — Inst. Aerospace Sciences Paper, 1963.

5. В u s h W. B. On the viscous hypersonic blunt body problem. — J. Fluid Mechanics, 1964, vol. 20, part 3.

6. E p м а к Ю. H., Нейланд В. Я. К расчету теплопередачи на лобовой поверхности затупленного тела в гиперзвуковом потоке. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 6.

7. Ермак Ю. Н., Нейланд В. Я. Влияние вязкости на отход ударной волны при обтекании цилиндра гиперзвуковым потоком. — Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. II, № 6.

8. Магомедов К. М. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом, —Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 2.

9. Авдуевский В. С., Иванов А. В. Течение разреженного газа вблизи передней критической точки затупленного тела при гиперзвуковых скоростях. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 3.

10. Галкин В. С. О границах применимости механики сплошной среды для описания течения в окрестности критической точки при больших сверхзвуковых скоростях. — Труды ЦАГИ, 1959, вып. 764.

И. Кузнецов М. М., Никольский В. С. Асимптотический анализ течений многоатомного газа в тонком ударном слое на основе обобщенного уравнения Больцмана.—Деп. в ВИМИ 6 мая 1983, № Д05247.

12. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных газодинамических явлений. — М., Физматгиз, 1963.

13. Wang —С h an g C. S„ Uhlenbeck G. E., de Boer J. —In: Studies in statistical mechanics, ed. de Boer J. John Wiley and Sons Inc., 1964.

14. Коган M. H. Динамика разреженных газов. — M., Наука, 1967.

15. G г a d Н. Singular and nonuniform limits of the Boltzmann equation. — In: Transport Theory. — Americam Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1960, vol. 1.

16. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

17. Шахов Е. М. Уравнение Больцмана и моментные уравнения в криволинейных координатах. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № 2.

18. М а х w е 11 J. CI. On the dynamical theory of gases. — The scientific papers, vol. 2, Paris, 1927.

19. Ж Д а н о в В. M. Явления переноса в многокомпонентной плазме.— М., Энергоиздат, 1982.

20. М о г s е Т. F. Kinetic model for gases with internal degrees of freedom. — The Physics of Fluids, 1964, vol. 7, !N 2.

Рукопись поступила 5/XII 1983 г.