Об одном критерии устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений с последействием

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Аннотация. Получены критерии устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений с последействием в банаховых пространствах. Приводимые критерии справедливы как в регулярном, так и в критических случаях.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с последствием, критерии устойчивости, банаховы пространства.

Abstract. The article introduces criterions of solution stability of differential equations with aftereffect. These criterions are valid in the regular and singular cases.

Key words: differential equations with aftereffect, criterions of stability, Banach spacer.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений с последействием исследовалась многими авторами [1-3]. При этом большое внимание уделялось исследованию устойчивости решений уравнений с последействием в критических случаях [4].

В работах [5, 6] предложен метод исследования устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в критическом случае одного нулевого корня, основанный на исследовании спектра якобиана правой части уравнения в окрестности возмущенного решения. В работах [7, 8] он распространен на дифференциальные и разностные уравнения в банаховых пространствах и на всевозможные критические случаи. При этом вместо спектров операторов исследуются логарифмические нормы и спектры действительных частей множества специальным образом построенных матриц. Аналогичный подход использован в статьях [9, 10] при исследовании устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с последействием. Эти результаты подытожены в книге [11]. Ниже эти результаты распространяются на дифференциальные уравнения с последействием в банаховых пространствах. Приводимые критерии устойчивости справедливы как в регулярных, так и в критических случаях.

Приведем обозначения, используемые в статье. Пусть X - банахово пространство, К - оператор, действующий из X в X. Тогда В(а, г) = {х, а е X :|| х - а ||< г}, £ (а, г) = {х, а е X :|| х - а ||= г}, Л(К) - логарифмическая норма линейного оператора К, определяемая [12] выражением

Введение

Л( K) = lim

hU)

1. Устойчивость решений автономных систем с запаздыванием

Рассмотрим в банаховом пространстве X уравнение

dx(t) = Ax(t) + B( x(t - г|)).

dt

Здесь А е [X, X] - линейный ограниченный оператор, действующий из X в X; В(х) - нелинейный оператор, действующий из банахова пространства X в X, причем В(0) = 0.

Будем считать выполненным условие

Исследуем устойчивость тривиального решения уравнения (1). Дадим функции х(^) возмущение

х(0 = ), _ л < і < 0,|| у(0 ||с[_^,0] = 5.

Из условия (3) следует, что в момент времени ^0 =0 возмущение

х

Рассмотрим задачу Коши (1), (4) при условии (3). Обозначим через х(^ х0) траекторию решения задачи Коши (1), (4).

При 0 < t < ^ решение задачи Коши (1), (4) представимо в виде

х(і) = еАіХо +1еА( і 5)В(у(s _л))^5.

Переходя к нормам, имеем

Л

; е Л (А)і (5 +1 е-Л( А) 435^) = 5

е Л (А) і +_Р___________еЛ( А)і

Л

Так как логарифмическая норма Л(А) < 0, то отсюда имеем

" " I Л(А) | \ /

=5

еЛ( А) і + Р

<5

еЛ( А)і

(

Л( А)і + (Л( А)і )2 + ^

_Р

V

1!

1!

2!

<

//

2!

//

< 5*

где

(

5* = 5 тах

еЛ( А)і

_Р

і _ |Л( А) | і2 1!

+...

//

Докажем, что при выполнении условия Л (А) + Р <0 траектория х(^ хд) решения задачи Коши (1), (4) с возмущением (3) не покидает шара В(0,80), 8* < 80 < 28*. Предположим противное. Пусть в момент времени Т траектория решения задачи Коши достигает сферы £(0,80) и при t > Т покидает шар В(0,80). Пусть существует промежуток [Т, Т + ДТ ], в течение которого значения х^) находятся вне шара В(0,80), но при этом значения х^ - л) остаются в открытом шаре В(0,80) \ £ (0,80).

Тогда при Т < t < Т + ДТ решение задачи Коши (1), (4) может быть представлено в виде

t

х

Т

Отметим, что так как в момент времени Т траектория х^, х0) впервые достигает сферы £(0,80), то || х(5 - л) ||< 80 при 0 < 5 < Т.

Переходя к нормам, имеем

Т

Так как || х(5 - л) ||< 80 при 0 < t < Т + ДТ, то в промежутке времени [Т, Т + ДТ ]

Продолжим с учетом этого замечания исследование неравенства (6). Очевидно, что

II хЦ) I< еЛ

Т

Пусть ф(t) = е Л(А)Г | x(t) |. Тогда неравенство (7) можно представить в виде

t

ф^) < ф

Т

Применяя к неравенству (8) неравенство Гронуолла - Беллмана [12], имеем

ф^) <ф(Т)еР(г-Г).

Возвращаясь к нормам, имеем

Из (9) следует, что если

Л

то || х^) ||<|| х(Т) || при t е [Т,Т + АТ]. Таким образом, получено противоречие, и в момент времени t = Т траектория решения задачи Коши (1), (4) не покидает шара 5(0,8о).

Таким образом, при выполнении условия (10) доказана устойчивость задачи Коши (1), (4) при возмущении (3).

Теорема 1. Пусть логарифмическая норма оператора А отрицательна (Л(А) < 0) и выполнено условие (10). Тогда решение задачи Коши (1), (4) при возмущении (3) устойчиво.

Исследуем асимптотическую устойчивость тривиального решения уравнения (1).

Дадим функции х^) возмущение (3) и рассмотрим задачу Коши (1), (4) при условии (3).

Как и выше, решение этой задачи представляется уравнением (5). Запишем решение при t >л в виде

х^) = еА{Х0 + |еА

где g(5) = В(х(5- л)).

Перейдем в уравнении (11) к нормам:

I

л

ґ_ л

; ЄЛ(А)Г50 +Р | ЄЛ(А)(Г-5_Л) || Х(5) || & < 0

<

еЛ

Здесь 50 = Г|| Х0 || +Л-А-(1_е_Л(А)л)), ^0 =№)|С[_

Л( А)\ >Г - .........^- л,0]

Введем функцию ф^) = е-Л

в виде

ф

0

Воспользовавшись неравенством Гронуолла - Беллмана, имеем ф^) < 80 ехр|ре- Л(А)л^.

Возвращаясь к нормам, получаем оценку

|| x(t) ||< 80 ехр|(л(А) + Ре-Л(А)л)^.

Из этого неравенства следует, что при выполнении условий Л(А) <0 и

тривиальное решение задачи Коши асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Пусть логарифмическая норма оператора А отрицательна (Л(А) < 0), и выполнены условия (2), (14). Тогда тривиальное решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

2. Устойчивость решений неавтономных систем с запаздыванием

Исследуем в банаховом пространстве X устойчивость тривиального решения уравнения

dx

dt

Дадим функции х(^ возмущение

хЦ) = —^), - л < t <0, II —^) ||С[_л,0] <8.

Пусть при любом t выполняются условия

Л

где Р(t) - неубывающая функция.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (17), (18). Тогда тривиальное решение уравнения (15) устойчиво.

Доказательство. Рассмотрим решение уравнения (15) при возмущении тривиального решения (16). Пусть

х

- л<г <0

Покажем, что в течение промежутка времени 0 < t < л траектория

решения задачи Коши (15), (19) при возмущении (16) не покидает шара

В(0,8).

Предположим противное. Пусть в момент времени Т, 0 < Т < л ,

траектория х(^ х0) задачи Коши покидает шар В(0,8), проходя через точку х*, ив течение промежутка времени (Т, Т + АТ ] || х^) ||> 8. При Т < t <л решение задачи Коши (15), (19) при дополнительных условиях (16) можно записать в виде

х(г) = еА(Т)(г_Т)х(Т) + ІеА(Т)(г_5)(А(5) _ А(Т))х(5)Ж -т

г

+І еА(Т )(г_5) В(Т, ^ (5 _ л))^ +

Т

Т

Так как функция А(^ непрерывна, то существует такой промежуток времени Т < t < Т + АТ1 (АТ[ <АТ), в течение которого || A(t)- А(Т) ||<е, || B(t, —(5 - л)) - В(Т, —(5 - л)) ||< е II х(Т) || .

Переходя в (20) к нормам, имеем при t е [Т, Т + АТ1]

II х(,) ||< еЛ(А(Т))('-Т> || х(Т) II +2е|еЛ(А(Т »(,-“) II х(5) В Л +

+Р ]> (А(Т l)('_, 11 —(I-л) | а! <

Т

< еЛ(А(Т™-Т) | х(Т) И +2е|еЛ(А(Т))(^) | х(*) |+ Р8|еЛ(А(Т<

Т Т

еЛ(А(Т))(^) || х(Т) II +2е|еЛ(А(Т))(^) || х(5) || +

Т

+Р \еЛ (А(Т ))(^) || х( 5) || =

Т

= еЛ

Т

Введем функцию ф(0 = е Л(А(Т ))г. Тогда неравенство (21) представим

<(

в виде

ф(г) < ф(Т) + І (2е + Р)ф( 5^.

Т

Применяя неравенство Гронуолла - Беллмана и возвращаясь к нормам, имеем

II х(1) ||< е(Л(А(Т))+е+Р)(г-Т) || х(Т) II.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Таким образом, при выполнении условия Л(А(Т)) + Р <0, траектория х^, Хо) при t е [0, л] не выходит из шара 5(0,8).

Покажем, что при t >л траектория решения системы уравнений (15), (19) не покидает шара В(0,8*), 8* = 28. Предположим противное. Пусть в момент времени Т1 траектория системы (15), (19) покидает шар В(0,8*), проходя через точку х(Т1). Представим уравнение (15) в следующем виде:

Шх

Ш

С и ) = A(t)- А(Т1).

Тогда решение уравнения (22) при начальном условии х(Т1) можно представить в виде

t

x

Т1

Возьмем достаточно малый промежуток времени ДТ2 такой, что при Т1 < t < Т2= Т1 +ДТ2

II A

и предположим, что в течение этого промежутка времени значения функции

х^) находятся вне шара В(0,8*), а значения х^- л) находятся внутри шара В(0,8*).

Переходя в (23) к нормам, имеем

I х(,) |< еЛ( А(Т1))(^ | х(Т1) I +е1\еЛ(А(Т< )('-’) IIГ(з) В Шз +

Т1

+1 еЛ(А(Т))('-»)Р(3) II х(з - л) II Шз < еЛ( А(Т1)) (^) II х(Т1) II +

Т1

t

+1

Т1

Здесь учтено то обстоятельство, что в промежутке времени ТъТ1 + ДТ2] по предположению I х(з - л) ||<|| х(з) I .

Введем функцию

) = е-Л(А(Т1))(Г-Т') I x(t) I.

Тогда неравенство (25) представимо в виде

ґ

ф(ґ ) = ф(ТІ) + |Рі( 5 )ф( 5 )<*,

где Р1( з) = Е1 + Р( з).

Применяя к неравенству (26) лемму Гронуолла - Беллмана [12] и возвращаясь к нормам, имеем

(Л( А(Ті)) + Єі)(ґ-7І) + | Р( 5)ё5

В предположении, что Л( А(Ті))<0 и Л (А(Ті)) + Р(Ті)<0, из неравенства (27) следует, что в момент времени Ті траектория х(ґ) не покидает шара В(0,5*).

Из полученного противоречия следует справедливость теоремы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

^ = А^ х^- л)),

Ш

где А^,х) = (А^,х),...,Ап(t,х), хе Яп.

Будем считать, что при -л < t < 0 функция x(t) равна

Положим

х(ґ) = ^(ґ),- л < ґ < 0.

- г|<г <0

Исследуем устойчивость решения задачи Коши (28), (30) при условии (29). Представим уравнение (28) в виде

Шх^)

йґ

= А(ґ, х(ґ)) + А(ґ, х(ґ - л)) - А(ґ, х(ґ)).

Пусть у = (Уъ---,Уп) е Яп, Ц у ||=0, Т (^ < Т < ^) - фиксированный момент времени.

Введем матрицу В(Т,у) = Ьу (Т,у), /', j = 1,2,.,п, элементы которой имеют вид

Ьу(Т, У ) = <

а,-

АІ

У і = о,

о, У і = о,

где агу > 0, причем агу = 0, если у у = 0, и ^агу = 1.

і=1

Замечание. Возможны и другие способы определения матрицы В(Т, у). В частности, возможно следующее определение:

Ь« (Т, У) = <

АІ(Т ,0,...,0, У і, У і+ь ., У п ) - АІ(Т ,0, • • •,0, У і+ъ • • •, У п ) „ п

аі-----------------------------------------------------------------------------------—- -, У і у О,

Уі

о, У і =о,

где на аіі, І,і = 1,2,.,п, налагаются те же условия, что и в предыдущей формуле.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть 5 - достаточно малое положительное число, Аі(ґ,О) = О, функции Аі(ґ,Мі,.,ип), і = 1,2,.,п, непрерывны по всем аргументам,

IIА2

при ґ > О, 2 є В(О,5), где А2 (ґ, 2,) означает производную Фреше по второй переменной.

Пусть функция Ь(ґ) удовлетворяет одному из следующих условий:

1) функция Ь(ґ) невозрастающая; 2) функция Ь(ґ) непрерывная.

Пусть для любого у, О<|| у ||<5 , и для любого Т, О < Т < ^, выполнено условие

Л(В (Т, У)) + 2Ь(Т )<О.

Тогда тривиальное решение системы уравнений

* * *

в точке у =(у1,.,уп) и в течение промежутка времени ґ є [Т, Т + ДТ] выполняются неравенства | х(ґ) |>51, | х(ґ - л) |< 51.

Система уравнений (28) эквивалентна следующей системе

йх(ґ) йґ

: В

Нетрудно видеть, что из непрерывности функций А(^ ^1,., ип) по всем переменным следует, что для любого е >0 найдется такой промежуток времени ДТ1(ДТ1 < ДТ), что при t е [Т, Т + ДТ1]

Из условия (32) следует, что при х^) е В(0,8) и t е [Т, Т + ДТ]

| А^, х^ - л)) - А^, х^)) |<

< Ь(}) | х(} - л) - x(t) ||< 2Ь^) | x(t) |.

Решение уравнения (33) при начальном условии х(Т) = у имеет вид

^) = еВ(Т•»')('-Т>х(Т) + $еВ(Т• у*^"*1 X

Т

X СА(з,х(з))-В(Т,у )х(з)) + (А(5,с(з-л))-А(з,х(з))) Шз Переходя к нормам, имеем при t е [Т, Т + ДТ ]

| х(0 ||< еЛ(В(Т,у ))(^Т) I х(Т) I + t *

+1еЛ

Т

В случае, если функция ) невозрастающая, из последнего неравенства следует, что

Т

В случае, если функция Ь(t) непрерывна, для любого е найдется такой промежуток времени ДТ2 (ДТ2 <ДТ1), что при t е [Т, Т + ДТ2] справедливо неравенство || Ь^) - Ь(Т) ||< е. Тогда неравенство (34) может быть усилено:

Т

В дальнейшем будем рассматривать неравенство (36), у которого правая часть больше, нежели у неравенства (35).

Введем функцию

ф^) = е-Л(В(Т,у ))t | х^) | ,

тогда

t

ф^) <ф

Т

Применяя к неравенству (37) неравенство Гронуолла - Беллмана и возвращаясь к нормам, имеем

Из неравенства (38) следует, что если выполняется неравенство Л(В(Т,у*)) + 2Ь(Т) < 0,

то найдется такой промежуток времени ДТ (ДТ <ДТ2), что при

t е (Т, Т + ДТ ] выполняется неравенство || х^) ||<|| х(Т) ||. Получено противоречие, из которого следует справедливость теоремы.

Список литературы

1. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. - М. : ГИФМЛ, 1959. - 212 с.

2. Беллман, Р. Дифференицально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. -М. : Мир, 1967. - 548 с.

3. Мышкис, А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис. - М. : Наука, 1972. - 352 с.

4. Резван, В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием /

B. Резван. - М. : Наука, 1983. - 359 с.

5. Виноград Р. Э. Замечание о критическом случае устойчивости особой точки на плоскости / // Доклады Академии Наук СССР, 1953. - Т. 101. - С. 209-212.

6. Красовский, Н. Н. Об устойчивости движения в критическом случае одного нулевого корня / Н. Н. Красовский // Математический сборник. - 1955. - Т. 37, № 1. - С. 83-88.

7. Бойков И. В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений в критических случаях // Доклады Академии Наук СССР. - 1990. -Т. 314, № 6. - С. 1298-1300.

8. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений с недифференцируемыми правыми частями / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 1993. - Т. 29, № 8. - С. 1453-1455.

9. Бойков, И. В. Об устойчивости движения в одной системе с последействием / И. В. Бойков // Прикладная математика и механика. - 1997. - Т. 61, Вып. 3. -

C. 398-402.

10. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с последействием / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34, № 8. - С. 1134-11138.

11. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. - 244 с.

12. Далецкий, Ю. А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / Ю. А. Далецкий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 1970. - 534 с.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

УДК 517.91 Бойков, И. В.

Об одном критерии устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений с последействием / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2011. - № 1 (17). - С. 58-68.