К вопросу о распределении скоростей частиц в сдвиговом потоке при малой объёмной доле частиц

УДК 519.6, 532.3

Аут Лип, А. И. Лобанов

Московский физико-технический институт

К вопросу о распределении скоростей частиц в сдвиговом потоке при малой объёмной доле частиц

Рассматривается математическая модель распределения скоростей частиц конечного размера в сдвиговом потоке, основанная на рассмотрении законов сохранения массы и импульса. Распределение скоростей играет ключевую роль в моделях сдвиговой диффузии. Модель описывает изменения профиля скорости, зависит от отношения размеров частицы и сосуда. Модель воспроизводить эффекты Фареуса-Линдквиста и Фареуса. Модель основанна на простом геометрическом соображении.

Ключевые слова: течение Пуазейля, уравнение неразрывности, неоднородное обтекание, частица конечного размера.

1. Введение

Система гемостаза является важной системой организма, благодаря которой обеспечивается, с одной стороны, сохранение жидкого состояния крови, а с другой — предупреждение и остановка кровотечений путем поддержания структурной целостности стенок кровеносных сосудов и достаточно быстрого тромбирования последних при повреждениях. Её главные компоненты — тромбоциты (самые маленькие клетки крови) — постоянно содержатся в крови. В последнее время активно развиваются математические модели процессов свертывания крови. Свертывание крови может осуществляться с помощью двух механизмов, тесно связанных между собой, — так называемых внешнего и внутреннего путей свертывания. В природе никогда не реализуется только один путь свертывания. По внешнему пути осуществляется инициация формирования фибринового сгустка в ответ на повреждение ткани. После этого начинается и адгезия тромбоцитов по внутреннему пути. В случае начала адгезии в кровотоке вырабатывается тромбин, приводящий к наработке фибрина и началу его полимеризации. В зависимости от строения и внешнего вида различают белый, красный, смешанный и гиалиновый тромбы. Существенный интерес представляют модели образования тромба по «смешанному» пути.

Для создания адекватных математических моделей важным является распределение скорости частиц по радиусу. Во-первых, для адекватного описания потока крови в мелких сосудах требуется информация о градиентах скорости и пристеночных скоростях сдвига. Во-вторых, перенос клеточных компонентов крови зависит как от координаты частицы, так и от профиля скорости. Распределение тромбоцитов по радиусу и профиль скорости позволяют оценить скорость доставки тромбоцитов к месту образования гемостатической пробки или тромба в сосудах. Для создания математической модели тромбообразования необходимо описать перенос тромбоцитов в потоке жидкости как вдоль оси сосуда, так и поперек движения жидкости. В последнее время существует много экспериментальных и теоретических работ данного направления, их обзор приведен, например, в [1].

При малой объёмной доле частиц можно пренебречь гидродинамическим взаимодействием, и каждую частицу рассматривать индивидуально. При исследовании распределения частиц в потоке вязкой жидкости получено можество экспериментальных результатов, свидетельствующих о неоднородном характере распределения.

В [2] исследована миграция частиц в суспензии в круглой трубе для широкого диапазона концентрации частиц и числа Рейнольдса частицы с помощью магнитно-резонансной томографии в суспензии, состоящей из монодисперсных полиметилметакрилатных сфер. Скорости и концентрации были измерены в установившемся потоке. Было обнаружено,

что при небольшой объёмной доле частиц (не более 0,1) и умеренных числах Рейнольдса (> 0, 2) частицы скапливаются на расстоянии 0,5-0,6 К (К — радиус трубы). Профиль скорости при этом параболический. При массовой доле 0,4 частицы всегда движутся к оси течения и профиль скорости затуплен. Чем меньше число Рейнольдса, тем более затупленным становится профиль скорости. В [3] использован метод модифицированного лазерного доплеровского скоростимера для измерения скорости частиц, профиля концентрации и среднеквадратичной амплитуды флуктуации скорости. Измерения проводились в узком прямоугольном канале. Распределение концентрации частиц имеет максимум вблизи оси течения и минимум на стенке. Профиль скорости также затупленный. Экспериментальные данные сравнены с теоретическими результатами, полученными на основе модели диффузионного потока [4; 5], модели реологического потенциала [6] и модели суспензии [7]. Экспериментальные измерения показали, что существование затупленного профиля скорости вызывается увеличением концентрации частиц или отношения размера частиц к ширине канала. При возрастании объёмной доли частиц профиль скорости затупляется из-за увеличения эффективной вязкости суспензии при высокой концентрации частиц.

В ламинарном сдвиговом потоке столкновения соседных частиц происходят из-за переноса частиц с различными скоростями по непересекающимся линиям тока. Столкновения частиц, движущихся вдоль разных линий тока, может приводить к переносу частиц в направлении, перпендикулярном направлению линии тока. Такое перемещение называть сдвиговой, или сдвиг-вызванной диффизией. Эксперименты показывают, что интенсивность сдвиговой диффузии частиц микрометрового и более размера на 2-3 порядка превосходит интенсивность их броуновской диффузии. Поэтому броуновская диффузия тромбоцитов не вносит существенного вклада в их движение при существующих в кровотоке условиях. В [8] получена формула для сдвигового диффузия эритроцитов

Db.bc = ка2квс7Фввс (1 - Фввс)п.

Здесь 7 — локальная скорость сдвига, Фввс — локальная объёмная доля эритроцитов, а ввс — главный радиус эритроцитов, к = 0.15 ± 0.03, п = 0.8 ± 0.3. В экспериментах [9] показано, что за счет нерегулярных столкновений частиц возникает дополнительный поток, который может быть аппроксимирован зависимостью

3 =

Здесь И = 7а2/(<р) — сдвиг-вызванная диффузия, £(ф) — функция объёмной доли частиц. Эксперименты проводились с частицами плоской формы. Экспериментальные результаты показали, что коэффициент сдвиг-вызванной диффузии линейно зависит от средней скорости сдвига при различных начальных концентрациях частиц. Сдвиговая диффузия плоских частиц на два порядка превосходит диффузию частиц сферической формы.

Известно несколько способов определения эффективного коэффициента диффузии тромбоцитов. Самый известный и наиболее точный состоит в визуальном наблюдении за тромбоцитами или моделирующими их шариками с помощью микроскопа [10]. Второй способ измерения коэффициента сдвиговой диффузии - метод Тейлора - основан на анализе кривых размывания, или вымывания [11, 12]. При этом эффективный коэффициент диффузии вычисляют по отклонению экспериментальной кривой от невозмущенного профиля. Третий способ основан на обработке данных по скорости адгезии тромбоцитов в проточной камере с помощью математических моделей, учитывающих транспортное лимитирование адгезии.

Несколько групп исследовали концентрацию тромбоцитов в пристеночном течении. Известно, что концентрация тромбоцитов увеличивается около стенок [13]. Для моделирования переноса тромбоцитов в потоке крови используется уравнение конвекции-диффузии. В стационарной системе латеральное движение тромбоцитов в сдвиговой суспензии эритроцитов больше броуновской диффузии, поэтому вводится допольнительный коэффициент.

Течение крови усиливает .латеральное движение тромбоцитов но двум механизмам. В нервом сдвиговой ноток вызывают столкновения тромбоцитов с другими клетками в суснен-сии. Из-за этих столкновениях каждый тромбоцит случайно движется. Второй механизм предложен Keller [14]. Сдвиговой ноток суспензии вызывает вращательное движение каждой частицы. За счет прилипания жидкости к каждой частице появляется механизм диссипации, аналогичный турбулентной диссипации за счет взаимодействия вихрей. Первый механизм представляется более реалистичным, чем второй.

Латеральное движение можно описать функцией дрейфа. Предполагается, что тромбоциты к стенке движутся из-за «реологического потенциала» ф:

J _ —DVP + PVdnft,

где Р - концентрация тромбоцитов, Vdrift = —V^ - скорость их поперечного дрейфа, D коэффициент сдвиговой диффузии. Латеральный поток тромбоцитов J равен сумме их случайного и направленного движения. «Реологический потенциал» отражает суммарное направленное влияние эритроцитов на тромбоциты в сдвиговом потоке. В стационарном параллельном потоке форма функции дрейфа экспериментально определяется как производная профиля концентрации латексных шариков тромбоцитарного размера в крови. При J 0

Vdrift(y) _ dPo D _ Р0 dy'

А

R

Рис. 1. К вычислению скорости частицы при 0 < г < а

Введение в рассмотрение «реологического потенциала» и других гипотетических механизмов приводит к чрезмерному усложнению задач гемодинамики. В [1| показано, что повышение концентрации тромбоцитов в пристеночном слое может быть описано из простых геометрических соображений. Процессы столкновений частиц в потоке приводят к перемещению крупных частиц (эритроцитов) к оси сосуда, в результате чего сокращается доля доступного объема для тромбоцитов. При этом в [15] не рассматриваются механизмы, приводящие к увеличению концентрации эритроцитов на оси сосуда. В работах по гемодинамике и реологии крови известен эффект Фареуса Линдквиста, заключающийся в уменьшении кажущейся вязкости крови в тонких капиллярах. При обсуждении возникновения этого эффекта в качестве основной гипотезы принимается то, что каждый эритроцит принимает определенную ориентацию в потоке. Покажем, что есть еще один эффективный механизм переноса эритроцитов на ось течения, кроме столкновений частиц в потоке. Рассмотрим процесс, исходя из простых геометрических и гидродинамических соображе-

2. Математическая модель

Обычно при рассмотрении переноса частиц в жидкости полагают, что скорость каждой частицы совпадает со скоростью потока, за координаты частицы берутся координаты ее

центра масс. Такое приближение справедливо, если рассматриваются частицы бесконечно малого размера или а ^ Д (а — характерный размер частицы, Л— радиус сосуда). Покажем что для частиц конечного размера (в мелких кровеносных сосудах) это не так. Для простоты рассмотрим двумерный случай. Пусть между двумя пластинами сформировался пуазейлевский профиль скорости жидкости. Рассмотрим систему частиц конечного размера. Для демонстрации качественных эффектов считаем частицы протяженными цилиндрами с осью, перпендикулярной плоскости течения. В приближении модели кровь или плазма крови рассматривается как ньютоновская вязкая несжимаемая жидкость.

При движении частиц в потоке жидкости должны выполняться законы сохранения массы и импульса системы. Тогда скорость частиц должна быть равной средней скорости жидкой частицы, занимающей тот же объём. Таким образом, скорость частицы можно представить как интегральное среднее по её объёму

2 rv ГР? (v) Vx(r) = —2 pvx(r)dpdp.

ка2 J о JPi

где ьх(г) = ^¡^ — ^ — пуазейлевский профиль. Для построения модели процесса переноса тромбоцитов в простейшем случае считаем их недеформируемыми сферическими частицами. Хотя тромбоциты имеют форму эллипсоидов, отношение полуосей тромбоцитов обычно лежит в пределах 1:2^3:4 [16], поэтому замена тромбоцитов сферическими частицами оправдано для упрощения математической модели на начальном этапе анализа её свойств.

Для двумерной системы рассмотрим два случая расположения центра частицы относительно оси потока. В первом случае частица находится поблизости от оси течения, расстояние центра частицы от оси симметрии течения меньше её размера(0 < г < а).

Интегральное среднее значение скорости с учетом симметрии задачи может быть вычислено как

_ 2 Г?

Ъх (О = —2 юх(г)рйр(Ьр,

ка2 )-1 )о

Здесь г = р 8т(^>), тогда с учетом этого интеграл может быть представлен в виде

АК2 2 ГI / р2 8т2

Мг)Jo Ч1 —^)dpd

Предельное значение радиуса г((р) можно найти по теореме косинусов (рис 1). Для предельного значения получим квадратное уравнение р(р)2 + г2 — 2p(p)r cos — р^ = а2. В случае, когда центр частицы находится на меньшем расстоянии от оси течения, чем радиус частицы, один из корней квадратного уравнения отрицателен, предельное значения радиуса определяется положительным корнем:

р(р) = г sin(^) + д/а2 — г2 cos2(^>),

Выполнение интегрирование по радиусу и подставив в итоговое выражение значение для предельного радиуса, получим

^х

х

Здесь и далее a — радиус частицы, R — радиус сосуда, у — коэффициент динамической вязкости, г — расстояние от оси до центра частицы, А = дР/дх — постоянный градиент давления.

Рис. 2. К вычислению скорости частицы при а < г < К — а

Для вычисления среднего значения скорости интегрирование но углу может быть выполнено численно. Использовался пакет та1;1аЬ, интегрирование проводилось методом Симнсона.

Во втором случае расстояние от центра частицы до оси симметрии течения больше ее размера(а < г < К а).

При таком расположении частиц в потоке интегральное среднее может быть вычислено как интеграл с несколько иными пределами интегрирования:

2 ГI ГРтах

^Х(г) = -2 Ух(г)рйрй<р.

КО, Jpmin

Минимальное и максимальное значения радиуса определяются из решения квадратного уравнения (рис. 2):

р(р)2 + г2 — 2р(р)г ео^2 — = ,

В этом случае уравнение имеет два неотрицательных корня, определяющих пределы ине-тегрирования.

РштЫ = Г ^ЭШ^) — б1И2(^*) — е082(^ , ртах(р) = Г ^8ш(^>) + 81И2(^*) — С082(^ .

Выполнение интегрирование но радиусу, получим

ух(г) =

АК2 2 Г ъ

Р * { (Р^ахЫ — РтМ) — (Р^ахЫ — Р^М) ^^Л ^ Уф I 2 4Н2 I

4^ жа2

Где для предельного угла использовано обозначение р* = агс8ш(а/г), р = ж/2 — р*.

АК2 4г2 Г 5

ух(г) =

А^ жа2 / (й1п(^) \/й1п2(^*) — еой2(^) х

1 — ((^М + эш2^*) — ео«2Ы) вт2^

В разных точках поперечного сечения потока скорости частиц неодинаковы. Максимальная скорость наблюдается вблизи оси сосуда. Чем ближе к стенкам, тем скорость становится меньше, и у самых стенок скорость частиц жидкости вследствие прилипания их к стенкам равна нулю.

По данным, приведенным на рис. 3, видно, что в крупных кровеносных сосудах скорость движения частицы практически совпадает со скоростью движения жидкости. В этом случае математические модели, предполагающие что форменные элементы крови распространяются со скоростью потока, справедливы.

х

Рис. 3. Сравнение скоростей частиц разного относительного размера (точки) со скоростью потока вязкой жидкости (сплошная линия): а) а = 0,01,6) а = 0, 2, в) а = 0, 3

Для мелких кровеносных сосудов скорость частицы становится несколько меньше .локальной скорости течения. Тем не менее эритроциты оказываются сосредоточенными вблизи оси течения, из-за этого средняя скорость транспорта эритроцитов оказывается больше, чем средняя скорость течения крови. В гемодинамике это явление называется эффектом Фареуеа уменьшение внутриехкудиетого гематокрита в мелких сосудах вследствие того, что средняя скорость эритроцитов больше средней скорости течения крови:

Нт = Уь

Но VR.BC

Здесь Нт — внутрисосудистый гематокрит, Ни — разгруженный гематокрит, Уь — средняя скорость крови и Уивс — средняя скорость эритроцита. Скорость транспорта эритроцитов оказывается меньше локального значения скорости течения.

Такое относительное уменьшение скорости влечет за собой неравномерное обтекание частицы потоком жидкости. При обтекании должна появляться сила, направленная в сторону большей разности между скоростью потока жидкости и скоростью частицы. В рассмотренных случаях эта сила направлена в сторону оси течения. Таким образом, даже при отсутствии столкновений возникает механизм, приводящий к увеличению концентрации эритроцитов в области около оси течения и формированию ядра течения. В области ядра возможно формирование «монетных столбиков».

Известно, что реологические свойства крови в основном определяют» свойствами эритроцитов из-за высокой объемной доли эритроцитов в крови [17]. В экспериментальной гемодинамике известен эффект Фареуеа Линдквиста [18], состоящий в том, что кажущаяся

вязкость крови в длинных трубках диаметром менее 200 мкм уменьшается с уменьшением диаметра, достигая минимума про диаметре около 7 мкм. Это связано с перемещением эритроцитов в область ядра течения и с образованием слоя, в котором частицы практически отсутствуют.

Во многих работах но моделированию крови для описания эритроцитов применяются модели деформируемых частиц. В [19] указывается, что использование модели недеформи-руемого эритроцита приводит к значительным отличиям данных расчетов от экспериментальных. При использовании модели деформируемого эритроцита автоматически происходит учет конечного размера частицы и учитываются все компоненты тензора напряжений при моделировании движения частиц в сдвиговом потоке. Таким образом, в уравнении движения включаются силы, действующие на частицу при ее неравномерном обтекании.

Для объяснения причин перемещения частиц, приводящих) к эффекту Фареуса Линдквиста и формированию «монетных столбиков», рассмотрим средние скорости перемещения частиц в мелких сосудах для частиц эллиптической формы:

ух(Г) =

1 -

АВ? 4 Г 2 4р ^аЬ/-

( ( Г0 Вш(^) /соб2^) , 8Ш2(у) со82(^)Г0\ \

I а2 V ~Ь2 1

~Ь2 1 аГ~

С082

( (го соб(^)\2 . ( /бш2^) , соб2(^) эт2^^^ \ П а2 ) + IV ь2 + а2 а2 Ь2 I

/ б1п2

Рис. 4. К вычислению скорости эллипсоидальной частицы, а < г < Д — а

Распределение скоростей играет ключевую роль в моделях «сдвиговой диффузии». Таким образом, использование распределения скоростей частиц но Пуазейлю приводит к неверным результатам при описании движения частиц в мелких сосудах. В некоторых математических моделях для подгонки результатов моделирования к данным экспериментов вводятся некоторые нефизичные зависимости степенного характера. Правильный учет распределения скоростей частиц с учетом законов сохранения может снять эти противоречия.

х

х

Рис. 5. Разность скорости частиц эллиптической формы и скорости потока жидкости при различной ориентации частиц в потоке. Отношение большой полуоси к радиусу сосуда: а) а = 0, 2, б) а = 0, 3

Вычислим производную скорости частиц по радиусу. Эта величина должна определять частоту столкновений [20]. Покажем, что в окрестности ядра течения меняется частота столкновений. Для первого случая расположения частицы вблизи оси течения 0 ^ г < а производная может быть вычислена как

9МО) = с ' 2

дг

г sin(^) + д/а2 — г2 cos2(^>)) sin(^) —

г cos2

фа2 — г2 cos2(^>) х — (У sin(^) + фа2 — г2 cos2(^>) j sin2 (ф^ d^j .

Для частицы вдали от оси течения имеем выражение

9(vx(r)) = с Г* дг .,„

a2 sin

г2 — (sin2(^) + sin2(^+) — cos2Ы) sin2Ы

\ \г2фа2 — г2 cos2

+ sin(^) ^/sin2(^>*) — cos2(^>) [—2r (sin (ф) {а2 — 2r2 cos2 (ф))) + 2r2 sin4 (ф) — 1] d^j .

Рассмотрим какой вклад в изменение частоты столкновений внесет учет модификации профиля скорости для частиц и в каком месте этот вклад будет максимальным. Для этого вычислим величину 1 (^и^астица/дт^) jí9Vq(1 — г2)/дг. Максимальное её значение указывает на область, где происходит наибольшее изменение частоты столкновений. Видно, что в ядре потока (на расстояниях равных радиусу частицы) изменения частот столкновений

+

х

не происходит. Максимальное изменение частоты происходит вблизи границ ядра течения. На рисунках не приведена зона порядка радиуса частицы в пристеночной области,где подвижная частица не может находиться. Результаты на рисунке приведены для сферической частицы.

0.1-2

сх ю

—радиус частицы = 0.011

:

_ х 10

0.2 0.4 Щ 0.8

расстояние от оси до центра частицы

а)

—радиус частицы = 0.2

..............

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0:.§ 0.| 0:8 расстояние от оси до центра частицы

в)

—радиус частицы = 0.1 .

. X 10

К

0.2 0.4 0:6 0.8 1

р;]^е'МЯ!ш.е ''I .'^'К ли ЖЩрЩЩЗ иIпл

б)

—радиус частицы = 0.3

ОД 0.2 0.3;. 0.4 0.5 0.6 расстояние от оси до центра чаепщы

г)

0.7

Рис. 6. Относительная разность производных скорости частицы и скорости пуазейлевского потока (см. в тексте): а) а = 0, 01, б) а = 0,1 в) а = 0, 2, г) а = 0, 3

3. Заключение

В настоящее время для моделирования реологических свойств крови используются сложные мшихжомпонентные модели, описывающие динамику деформируемых частиц в сдвиговых потоках.

В [21] проведена оценка сопротивления потока и найден профиль скорости эритроцитов при различных значениях гематокрита и диаметров сосудов с использованием двумерной решеточной модели, основанной на уравнениях Больцмана. Модель способна воспроизводить эффекты Фареуеа Линдквиста и Фареуса. В модели рассмотрена кровь в виде суспензии частиц в плазме. Учтены взаимодействия частиц и частиц со стенкой для предека-зательших) моделирования макроскопических реологических свойств крови. В результате расчетов обнаружено увеличение сопротивления потока и выравнивание профиля скорости около оси течения. С увеличением гематокрита профиль скорости сглаживается сильнее из-за столкновения частиц. При малом гсматокритс профиль скорости несущественно отличается от параболических).

В [17] кровь моделируется в виде суспензии эритроцитов в ньютоновской жидкости. Кровоток в микротрубке моделируется при различных значениях гематокрита и диаметра

трубки. За счёт миграции эритроцитов к оси течения, около стенки трубки формируется слой с отсутствием частиц. Это — проявление эффектов Фареуса-Линдквиста и Фареуса. В мелких трубках при большом гематокрите плоский профиль скорости захватывает практически всю область течения за исключением тонкого погранслоя в окрестности стенки, что указывает на формирование монетных столбиков около оси течения, область ядра становится значительно больше слоя с недостатком частиц. Средняя скорость течения увеличивается для больших трубок. За счет миграции эритроцитов к оси течения вязкость вблизи оси увеличивается. Профиль скорости зависит от геометрии сосуда.

В цитируемых работах применяются довольно сложные математические модели, требующие реализации на высокопроизводительных параллельных системах. В данной работе показано, что качественно эти же эффекты воспроизводятся и при сравнительно простом описании частиц в потоках, основанном на рассмотрении законов сохранения массы и импульса. Конечно, описанный выше подход справедлив лишь при малой объёмной доле форменных элементов, когда можно пренебречь гидродинамическими межчастичными взаимодействиями.

Как следует из рассмотрения, даже при отсутствии столкновений и межчастичных взаимодействий возникает механизм, приводящий к увеличению концентрации эритроцитов в области около оси течения и формированию ядра течения. В области ядра возможно формирование «монетных столбиков. Агрегация частиц, в свою очередь, приводит к увеличению эффективного размера частиц и усилению эффектов, приводящих к миграции частиц.

Литература

1. Токарев А.А., Бутылин А.А., Атауллаханов. Ф.И. Транспорт и адгезия тромбоцитов в условиях потока крови: роль эритроцитов // Компьютерные исследования и моделирования. - 2012. - Т. 4, № 1. - С. 185-200.

2. Han M.S., Kim С., Kim М., Lee S. Particle Migration in Tube Flow of Suspension //J. Rheol. - 1999. - V. 43, N 5. - P. 1157-1174.

3. Lyon M.K., Leal L.G. An experimental study of the motion of concentrated suspensions in two-dimensional channel flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1998. — V. 363. — P. 25-56.

4. Leighton D., Acrivos A. The shear-induced migration of particles in concentrated suspensions // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 181. - P. 415-439.

5. Ronald J. Phillips, Robert C. Armstrong, Robert A. Brown, Alan L. Graham, James R. Abbott. A constitutive equation for concentrated suspensions that accounts for shear-induced particle migration //J. Phvs. Fluids. - 1992. - V. 4. - P. 30-39.

6. Mills P., Snabre P. Rheologv and structure of concentrated suspensions of hard spheres, shear induced particle migration //J. Phvs. Paris. — 1995. — V. 5. — P. 1597-1608.

7. Prabhu R. Nott, Johb F. Brady. Pressure-driven flow of suspensions:simulation and theory // J. Fluid. - 1994. - V. 275. - P. 157-199.

8. Zydney A.L., Colton C.K. Augmented solute transport in the shear flow of a concentrated suspension //J. PhvsicoChem. Hydrodynamics. — 1988. — V. 10, N 1. — P. 77-96.

9. Roberto R., Howard A.S. Shear-Induced Diffusion of Platelike Particles in Microchannels // The American Physical Society Journal. - 2008. - V. 101.

10. Goldsmith H.L. Red cell motions and wall interactions in tube flow // Fed.Proc. — 1971. — V. 30, N 5. - P. 1578-1590.

11. Leonard E.F., Grabowski E.F., Turitto V. T. The role of convection and diffusion on platelet adhesion and aggregation // Ann. N.Y. Acad. Sci. — 1972. — V. 201. — P. 329-342.

12. Turitto V.T., Benis A.M., Leonard E.F. Platelet diffusion in flowing blood // Ind. Eng. Chem. Fundamen. - 1972. - V. 11, N 2. - P. 216-223.

13. Aarts P.A., Van S.A., Prins G. W., Kuiken G.D., Sixma J. J., Heethaar R.M. Blood platelets are concentrated near the wall and red blood cells, in the center in flowing blood // Arteriosclerosis. - 1988. - V. 8, N 6. - P. 819-824.

14. Eugene C., Eckstein, Fethi B. Model of platelet transport in flowing blood with drift and diffusion terms // Biophysical Journal. — 1991. — V. 60. — P. 53-69.

15. Tokarev A., Sirakov I., Panasenko G., Volpert V., Shnol E., Butvlin A., Ataullakhanov F. Continuous Mathematical Model of Platelet Thrombus Formation in Blood Flow // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2012. — V. 27, N 2. - P. 191-212.

16. Буравцев В.H., Лобанов А.И., Украинец А.В. Математическая модель роста тромбоци-тариого тромба // Математическое моделирование. — 2009. — Т. 21, № 3. — С. 109-119.

17. Dmitry A.F., Bruce С., Aleksanders. P., George E. Blood Flow and Cell-Free Layer in Microvessels // Microcirculation. - 2010. - V. 17, N 8. - P. 615-628.

18. Fahraeus R, Lindqvist T. The viscosity of the blood in narrow capillary tubes // The American Journal of Physiology. — 1930. — V. 96. — P.562-568.

19. Корнелик С.E., Борзенко Е.К., Гришин А.H., Бубенчиков М.А., Столяро В.И. Образование и разрушение монетных столбиков эритроцитов в канале с локальным расширением // Математическое моделирование. — 2008. — Т. 20, № 1. — С. 3-15.

20. Буравцев В.Н., Николаев А.В., Украинец А.В. Влияние столкновений на распределение тромбоцитов в кровотоке // Вестник Московского университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. — 2009. — № 4. — С. 81-84.

21. Chenghai S.,Lance L. M. Particulate Nature of Blood Determines Macroscopic Rheologv: A 2-D Lattice Boltzmann Analysis // Biophysical Journal. — 2005. — V. 88. — P. 1635-1645.

Поступим в редакцию 21.12.2012.