Методика выбора оптимального материнского вейвлета на основе критериев энергии и энтропии

УДК 621.2.082.18

МЕТОДИКА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО МАТЕРИНСКОГО ВЕЙВЛЕТА НА ОСНОВЕ КРИТЕРИЕВ ЭНЕРГИИ И ЭНТРОПИИ

С.В. Сычёв, Ю.А. Фадин, А. Д. Бреки, А.Е. Гвоздев, Д. А. Провоторов

В данной работе для анализа сигналов акустической эмиссии, регистрируемых при трении используется вейвлет-преобразование. Это преобразование позволяет разделить исходный сигнал на частотные составляющие, которые можно связать с определёнными стадиями процесса трения. Каждому частотному диапазону можно сопоставить свою энергию. Использование энтропии Шеннона в качестве критерия анализа и сравнения является одним из способов автоматического выбора оптимального вейвлета. Целью предлагаемой методики является демонстрация эффективности применения критерия распределения энергии вейвлет-коэффициентов при выборе оптимального уровня разложения.

Ключевые слова: акустическая эмиссия, вейвлет-преобразование, трение, энергия, энтропия.

Широкие исследования акустической эмиссии при трении приходятся на начало 80-х годов и описаны в работах [1 - 5]. Взаимосвязь акустической эмиссии (АЭ) и трения подтверждает тот факт, что АЭ можно использовать для современной диагностики технического состояния оборудования. Эмиссия, связанная с деформацией кристаллической решётки, проявляется в виде сигналов небольшой амплитуды с характеристиками близкими к белому шуму. Разрывы материалов в области, испытывающей напряжения, превышающие предел упругости, вызывают появление импульсов эмиссии с большой амплитудой [6]. Медленно растущая трещина производит слабый сигнал, в то время как быстро растущая трещина того же размера порождает острый и сильный сигнал. Слабый сигнал может быть зашумлен фоновым шумом [7].

Экспериментальная установка состояла из датчиков, предусилите-лей и оборудования для сбора и анализа данных. Для непосредственного восприятия волн АЭ были использованы пьезоэлектрические широкополосные пьезоэлектрические преобразователи типа П 113, GT-200 и GT-205. Для регистрации сигналов АЭ использовался персональный компьютер с виртуальным осциллографом-приставкой АСК-3107. частота дискретизации составляла 20 кГц. Для анализа формы волны сигнала АЭ (рис. 1) был применён пакет прикладных программ MATLAB.

Так как сигналы АЭ являются нестационарными и часто содержат кратковременные включения, чья форма и время поступления не известны, то для обработки таких сигналов используется множество методов, основными являются: 1) анализ с помощью временных рядов; 2) быстрое преоб-

33

разование Фурье (БПФ); 3) преобразование Габора (или оконное (локальное) преобразование Фурье); 4) распределение Вигнера - Вилля; 5) вейв-лет-преобразование [8]

20

-10

О 250 500 750 1000 1250 1500

Время, сек

Рис. 1. Типичный сигнал АЭ, регистрируемый при трении

Вейвлет-преобразование (ВП) - это относительно новое достижение в области обработки сигналов. Появление ВП в том виде, в котором оно существует сейчас, относится к середине восьмидесятых годов XX века и связано с такими фамилиями, как Мейр [9], Гроссман, Морле [10], Малла [11] и Добеши [12]. ВП является разновидностью частотно-временного анализа, при реализации которого происходит разложение исследуемого сигнала в ряд базисных элементов, умноженных на определённые коэффициенты. В общем виде обработка сводится к преобразованию полученных коэффициентов. В соответствии с алгоритмом дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) на выходе получаем два вида коэффициентов - аппроксимирующие и детализирующие. Низкочастотная часть сигнала (его огибающая) содержится в коэффициентах аппроксимации, а высокочастотная (мелкие детали сигнала) - в детализирующих коэффициентах.

На рис. 2 показано различие между частотным и временным разрешениями БПФ и ВП: узкий, высокий прямоугольник ответственен за высокое временное разрешение и низкое частотное, в то время как плоский, широкий прямоугольник символизирует высокое частотное разрешение и низкое временное. В соответствии с принципом неопределенности Гейзен-берга сужение окна анализа во временной области вызывает расширение его в частотной [13,14]. Таким образом, площадь окна (прямоугольника) остается постоянной.

Рис. 2. Различные представления частотно-временной плоскости

Для анализа сигналов с использованием ВП очень важны выбор оптимального вейвлета и числа уровней разложения. Максимальное количество уровней разложения непосредственно связано с частотой дискретизации (/3) анализируемого сигнала. Для того чтобы получить детализации сигнала, содержащие частоты ниже частоты /, количество уровней декомпозиции J должно быть принято согласно [15]

' л ^

J = т!

1ОБ

I

!ОВ

Вследствие того, что различные типы вейвлетов обладают различными частотно-временными конструкциями, существует проблема выбора наилучшего материнского вейвлета для каждого конкретного применения. Принято считать, что результат ВП был бы лучше, если базис вейвлетов был бы «подобен» анализируемому сигналу, так как вейвлет-коэффициенты отражают сходство между сигналом и соответствующим вейвлет-базисом. В данной работе выбор материнского вейвлета был выполнен путём тщательной оценки эффективности 54 предварительных кандидатов на материнский вейвлет из 7 семейств по трём критериям: 1) концентрация максимальной энергии; 2) минимум энтропии Шэннона; 3) максимальное отношение энергии к энтропии Шеннона.

Если доминирующая частотная составляющая, соответствующая определённому параметру масштаба, присутствует в исследуемом сигнале, то вейвлет-коэффициенты на данном масштабе будут обладать сравнительно высокими амплитудами в те моменты времени, когда доминирующая частотная составляющая возникает. Энергию, связанную с данной частотной составляющей, можно извлечь из такого сигнала при использовании ВП, поэтому количество энергии может служить критерием выбора базисного вейвлета для вейвлет-коэффициентов, заданных как

35

Cj,k = {S, У jk

где Cjk - k-й вейвлет-коэффициент на уровне j : j = 1,2,..., J;k = 1,2,...,N;

N - количество вейвлет-коэффициентов.

Энергия детализирующих коэффициентов на каждой временной выборке определяется суммой квадратов детализирующих вейвлет-коэффициентов соответствующего уровня разложения. Тогда полная энергия сигнала для всех уровней разложения определяется суммой энергий всех уровней разложения

J N 2

Etotal = I I Cj,k = I Ej.

j=1 k=1 j

Энтропия будет равна нулю, если все вейвлет-коэффициенты за исключением одного равны нулю и будет максимальной, если вероятность распределения энергии для всех вейвлет-коэффициентов одна и та же. Из этого следует, что чем меньше величина энтропии, тем выше концентрация энергии. Поэтому подходящий базисный вейвлет будет обладать значительной амплитудой вейвлет-коэффициентов на нескольких уровнях разложения и незначительной величиной на других, приводя тем самым к минимальной энтропии Шэннона.

Для того чтобы найти распределение вейвлет-энтропии по всем уровням разложения, вычисляются отношения энергий различных уровней к полной вейвлет-энергии:

Ei

Pj = .

Etotal

Полная энтропия всех вейвлет-коэффициентов определяется как сумма энтропий всех уровней разложения [16]:

J

Sentropy =- I Pj ln[Pj].

j=1

На рис. 3 показан результат вычисления максимальной энергии и минимальной энтропии для 54 потенциальных вейвлетов 10 уровней разложения.

Согласно первому критерию выбора вейвлет «rbio3.1» обладал наибольшим количеством энергии и рассматривался как наиболее подходящий вейвлет-базис для анализа сигналов АЭ с данными параметрами. На основе критерия минимума энтропии вейвлет «dmey» был наиболее подходящим базисным вейвлетом. Однако данный результат не согласуется с вейвлетом «haar», выбранным согласно критерию максимума энергии. Чтобы решить это противоречие, были вычислены отношения энергий к соответствующим энтропиям по следующей формуле:

R

_ Eenergy

'entropy

Таким образом, по критерию максимального отношения энергии к энтропии выбран вейвлет «dmey».

Рис. 3. Критерии выбора вейвлетов: 1 - максимальная энергия; 2 - минимальная энтропия Шэннона; 3 - максимальное отношение

энергии к энтропии

Применение ВП к анализируемому сигналу АЭ приводит к его декомпозиции на несколько различных уровней, таких что каждый охватывает определённый частотный диапазон (таблица).

Частотный диапазон для каждого из уровней разложения

Уровень Частотный Уровень Частотный

разложения j диапазон, Гц разложения j диапазон, Гц

1 5000 ... 10000 4 625 ... 1250

2 2500 ... 5000 5 312,5 ... 625

3 1250 ... 2500 6 156,25 ... 312,5

На рис. 4 показано распределение относительных энергий вейвлет-коэффициентов нескольких сигналов АЭ, рассчитанных по формуле (4) при различных нагрузках. Из данного рисунка видно, что изменение прикладываемой нагрузки приводит к росту амплитуд энергий вейвлет-коэффициентов, при неизменности распределения преобладающих частотных диапазонов, ответственных за те или иные процессы, возникающие непосредственно в процессе трения.

Рис. 4. Распределение энергий вейвлет-коэффициентов по уровням разложения при трении керамик на основе Л12Оз и соответствующих нагрузках: 1 - 20 Н; 2 - 30 Н; 3 - 45 Н

Таким образом, если заранее не известен исследуемый частотный диапазон сигнала АЭ, то для автоматизации определения достаточности уровней разложения можно применять математический критерий, основанный на критерии распределения энергии вейвлет-коэффициентов. Кроме этого, использование таких математических критериев, как максимальная энергия вейвлет-коэффициентов, минимальная энтропия вейвлет-коэффициентов и максимальное отношение максимальной энергии к минимальной энтропии может являться одним из критериев автоматизированного определения оптимального материнского вейвлета, что и было продемонстрированно в данной работе.

Результаты могут быть использованы для разработки ресурсосберегающих технологий и процессов [17 - 23].

Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований по приоритетным тематическим направлениям исследований» научного проекта: "Формирование беспористых покрытий из нанокомпозици-онных материалов типа «износостойкая матрица - наночастицы дисульфида молибдена (вольфрама)», обладающих низким коэффициентом трения, методом химического осаждения из газовой фазы", № 15-13-00045.

Список литературы

1. Свириденок, А.И. Акустические и электрические методы в триботехнике / А.И. Свириденок [и др.]; под ред. В. А. Белого. Минск: Наука и техника, 1987. 280 с.

2. Исследование динамики процессов трения металлов методом акустической эмиссии / Л.С. Рапопорт [и др.] // Трение и износ. 1981. Т. 2, № 2. С. 305-309.

3. Будадин О.Н., Рапопорт Д. А. О методе автоматизированной обработки результатов дефектоскопии // Дефектоскопия. 1982. №3. С. 531536.

4. Филатов, С.В. Акустическая эмиссия при абразивном изнашивании металлов // Трение и износ. 1982. Т. 3. № 3. С. 558-562.

5. Носовский И.Г., Миронов Е.А., Стадниченко Н.Г. Исследование процессов деформирования и разрушения поверхностных слоев металлов при трении методом акустической эмиссии // Трение и износ. 1982. Т.3. №3. С. 531-536.

6. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: справочник в 2 кн. / под ред. В.В. Клюева. М.: Машиностроение, 1976. 326 с.

7. Scruby C.B. Acoustic Emission: Theory and Practice // Proceedings of the 16th European Working Group on Acoustic Emission Conference / ed. by C.B. Scruby and R. Hill. London, 1987. P. 2831-2838.

8. Li X. A brief review: acoustic emission method for tool wear monitoring during turning // International Journal of Machine Tools & Manufacture. 2002. Vol. 42. P. 157-165.

9. Coifman R.R., Meyer Y., Wickerhauser M.V. Wavelet Analysis and signal processing // Wavelets and their applications / ed. by M.B. Ruskai [et al.]. Boston - USA: Jones and Bartlett, 1992.

10. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrals wavelets of constant shape / // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1984. Vol. 15. No 4. P. 723-736.

11. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet rep-resentation // IEEE Pattern Anal, and Machine Intell. 1989. Vol. 11, No. 7. P. 674- 693.

12. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1988. Vol. 41. P. 909996.

13. Cohen L. Time-frequency distributions - a review // Proc. IEEE. 1989. Vol. 77, No 7. P. 941-981.

14. Polikar R. The story of wavelets Physics and Modern Topics in Mechanical and Electrical Engineering / ed. by N. Mastorakis. World Scientific and Eng. Society Press. 1999. 192-197 p.

15. DWT analysis of numerical and experimental data for the diagnosis of dynamic eccentricities in induction motors / J. Antonino-Daviu [et al.] // Mechanical Systems and Signal Processing. 2007. Vol. 21. No.6. P. 25752589.

16. Time-frequency analysis of electroencephalogram series (III): wavelet packets and information cost function / S. Blanco [et al.] // Phys Rev E. 1998. Vol. 57. P. 932-940.

17. Эксплуатация, техническое обслуживание и ремонт автомобиля: учебное пособие / Н.Н. Сергеев, А.Е. Гвоздев, А.Н. Сергеев, К.Г. Мирза, Ю.С. Дорохин, Д.М. Хонелидзе. ТГПУим. Л.Н. Толстого. Тула: 2015. 174 с.

18. Экспертиза и диагностика объектов и систем сервиса: учебное пособие / Ю.С. Дорохин, А.Н. Сергеев, М.В. Ушаков, Н.Н. Сергеев, А.Е. Гвоздев, П.Н. Медведев, Д.В. Малий. ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Тула: 2015, 160 с.

19. Макаров Э.С., Гвоздев А.Е., Журавлев Г.М. Теория пластичности дилатирующих сред: монография. 2-е изд., перераб. и доп. / под ред. А.Е. Гвоздева. Тула, 2015. 337 с.

20. Гвоздев А.Е., Журавлев Г.М., Колмаков А.Г. Формирование механических свойств углеродистых сталей в процессах вытяжки с утонением // Технология металлов. 2015. № 11. С. 17-29.

21. Зависимость показателей сверхпластичности труднодеформи-руемых сталей Р6М5 и 10Р6М5-МП от схемы напряженного состояния А.Е. Гвоздев, А.Г. Колмаков, Д.А. Провоторов, Н.Н. Сергеев, Д.Н. Боголюбова // Деформация и разрушение материалов. 2015. № 11. С. 42-46.

22. Условия проявления нестабильности цементита при термоцик-лировании углеродистых сталей / А.Е. Гвоздев, А.Г. Колмаков, А.В. Маляров, Н.Н. Сергеев, И.В. Тихонова, М.Е. Пруцков // Материаловедение. 2014. № 10. С. 31-36.

23. Особенности протекания процессов разупрочнения при горячей деформации алюминия, меди и их сплавов / А.Е. Гвоздев, А.Г. Колмаков, Д.Н. Боголюбова, Н.Н. Сергеев, И.В. Тихонова, Д. А. Провоторов // Материаловедение. 2014. № 6. С. 48-55.

Сычёв Сергей Владимирович, вед. специалист, sychou@ya.ru, Россия, Санкт-Петербург, АО «РУСАЛ» Всероссийский алюминиево-магниевый институт»,

Фадин Юрий Александрович, д-р техн. наук, зав. лабораторией, fadinspb@,yandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН,

Бреки Александр Джалюльевич, канд. техн. наук, доц., зам. зав. кафедрой, albrekiayandex. ru, Россия, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

Гвоздев Александр Евгеньевич, д-р техн. наук, проф., technologyatspu.tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого,

Провоторов Дмитрий Алексеевич, канд. техн. наук, вед. инженер-конструктор, _prodmyt@,rambler.ru, Россия, Тула, ООО «НПП «Вулкан-ТМ»

ON THE INFLUENCE OF OILS WITH PURPOSE OF SOLID LUBRICANTS ON POWER

LOSSES IN GEAR TRANSMISSIONS

S. V. Sychev, Y.A. Fadin, A. D. Breki, A. E. Gvozdev, D.A. Provotorov

In the paper, expressions were obtained for determining the efficiency, taking into account the loss of power on the friction between the teeth, the efficiency, taking into account the power loss for shaking the lubricating oil and squeezing it out of the gaps between the teeth, the efficiency, taking into account the power losses in the bearings, taking into account the presence of nanoparticles Solid lubricants in lubricating oil.

Key words: gear drives, power losses, nanoparticles, solid lubricant, lubricating layer, lubricating oil, friction, lubrication.

Sychev Sergey Vladimirovich, senior specialist, sychou@ya.ru, Russia, Saint-Petersburg, Joint Stock Company «RUSAL» AlllRussian Aluminum and Magnesium Institute»,

Fadin Yuri Alexandrovich, doctor of technical sciences, head of the laboratory, fadinspbayandex. ru, Russia, St. Petersburg, Russia, Institute of Problems of Mechanical Engineering RAS,

Breki Alexander Dzhalyulevich, candidate of technical sciences, docent, deputy head of chair, albreki@,yandex. ru, Russia, Saint-Petersburg, St. Petersburg Polytechnic University of Peter the Great,

Gvozdev Alexander Evgenevich., doctor of technical sciences, professor, technolo-gy@tspu. tula. ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical L.N. Tolstoy University,

Provotorov Dmitriy Alekseevich, candidate of technical sciences, leading design engineer, prodmyt@rambIeL.LM, Russia, Tula, SME «Vulkan-TM»