Кинематика механизма из трех подвижных звеньев, соединенных шаровыми или плоскими шарнирами

УДК 531.134 DOI 10.18698/0536-1044-2016-4-31-36

Кинематика механизма из трех подвижных звеньев, соединенных шаровыми или плоскими шарнирами

М.Л. Иоффе

США, Нью-Йорк, 2-я Авеню, д. 444

Kinematics of the Mechanism Consisting

of Three Mobile Links Connected by Ball or Flat Joints

M.L. Ioffe

444, 2nd Avenue, New York, USA e-mail: ioffe.mark@gmail.com

В последние десятилетия геометрии и кинематике параллельных манипуляторов уделялось много внимания. Наибольший интерес у исследователей вызывает так называемый манипулятор Stewart-Gough, широко используемый во многих областях. Манипулятор состоит из подвижной платформы и базы, связанных друг с другом с помощью 6 подвижных звеньев и 12 шарниров. Кинематику и геометрию такого механизма легче понять, изучая более простой механизм, состоящий из трех подвижных звеньев, соединенных шаровыми или плоскими шарнирами, каковым является широко известный механизм Беннетта. В связи с этим проведен анализ кинематики этого механизма, и предложен алгоритм выбора его параметров.

Ключевые слова: кинематика параллельных манипуляторов, пространственный трех-звенный механизм, механизм Беннетта, число степеней свободы, обобщенные координаты, матрица направляющих косинусов.

In recent years the geometry and kinematics of parallel manipulators have been given considerable attention. The most interest amongst researchers has been generated by Stewart-Gough type manipulators that are widely used in various fields. The manipulator consists of a moving platform and a base that are connected by 6 moving links and 12 joints. The kinematics and geometry of such a mechanism can be easily understood by studying a simpler mechanism consisting of three moving links connected by ball or flat joints, an example of which can be the well-known Bennett mechanism. In this article the kinematics of the mechanism are analyzed, and an algorithm of parameter selection is proposed.

Keywords: kinematics of parallel manipulators, spatial three-link mechanism, Bennett mechanism, number of degrees of freedom, generalized coordinates, direction cosine matrix.

Целью работы является кинематический анализ механизма, частным случаем которого выступает широко известный механизм Беннетта. Поводом для проведения анализа послужили следующие обстоятельства. Во-первых, рассматриваемый механизм является упрощенным вариантом широко распространенного в технике так называемого манипулятора Stewart-

Gough, и анализ более простого механизма должен помочь пониманию работы более сложного. Во-вторых, механизм Беннетта, являющийся частным случаем анализируемого механизма, представляет большой теоретический интерес, поскольку является одним из первых и важных примеров механизма с отрицательным значением числа степеней свободы,

1:

Механизм, состоящий из трех подвижных звеньев, соединенных шаровыми или плоскими шарнирами

способного двигаться только при определенном выборе параметров.

Рассмотрим механизм, состоящий из трех подвижных звеньев, соединенных шаровыми или плоскими шарнирами (см. рисунок).

В этом механизме шарниры в точках А и В находятся на неподвижном основании, а шарниры в точках В и С — на подвижной платформе. Число степеней свободы механизма определяют по формуле

ВОР = 3-6 - 5-к - 3

где к — число плоских шарниров, к = 0, 1, ..., 4.

Формула (1) следует из того, что твердое тело имеет 6 степеней свободы, шаровой шарнир имеет 3 степени свободы и лишает тело трех степеней, плоский шарнир имеет одну степень свободы и отнимает пять степеней. Таким образом, обобщенными координатами механизма являются для шарового шарнира три угла поворота в нем, а для плоского шарнира — один угол поворота относительно оси шарнира.

В соответствии с формулой (1) находим число степеней свободы:

Число плоских шарниров к.......0 1 2 3 4

Число степеней свободы БОР..... 6 4 2 0 -2

Из приведенных данных следует, что при к = = 3 или к = 4 число степеней свободы неположительно. В этих случаях механизм является переопределенным и для обеспечения мобильности необходимо наложить некоторые ограничения на его параметры. В общем случае последние являются численными величи-

нами, которые позволят определить выпуклый пространственный четырехугольник АВСВ. Этот четырехугольник задается четырьмя векторами АВ, ВС, СВ, АВ, связанными зависимостью

АВ = АВ + ВС + СВ.

В случае, когда имеются лишь шаровые шарниры, этих параметров достаточно для описания механизма. При наличии плоского шарнира в качестве параметра необходимо добавить единичный вектор оси его вращения.

Свяжем с основанием и тремя подвижными звеньями координатные трехгранники:

АХУХ — неподвижный трехгранник, связанный с основанием, с началом в точке А;

АХУХ — подвижный трехгранник, связанный со звеном АВ, с началом в точке А;

ВХ2У2г2 — подвижный трехгранник, связанный со звеном ВС, с началом в точке В;

ВХЪТЪ1Ъ — подвижный трехгранник, связанный со звеном ВС, с началом в точке В.

Примем, что при отсутствии поворотов звеньев относительно друг друга направления соответствующих осей трехгранников совпадают, т. е. матрицы перехода (матрицы направляющих косинусов) от одного трехгранника к другому Тх/Х1, Тхх/Х2, Тх/Х3, Тх3/Х2 являются единичными. Точки А и В находятся на неподвижном основании, а точки В и С — на подвижной платформе, поэтому

АС = АВТХ/Х\ + ВСТХ1/Х2ТХ/Х1 =

= АВ + вСТх/Х3;

ТХ1/Х2ТХ/Х1 = ТХ3/Х2ТХ/Х3.

В формуле (3) вектор АС задается своими проекциями на оси неподвижного трехгранника АХУХ, и векторы АВ, ВС, ВС, АВ имеют постоянные проекции на оси соответствующих трехгранников АХУХъ ВХ2У2^2, ВХ3У3^3, АХУг.

Уравнения (3) справедливы для всех вариантов шарниров в механизме. Различие между ними заключается в том, что для шарового шарнира соответствующая матрица определяется тремя параметрами, например, тремя эйлеровыми углами или проекциями единичного вектора на оси связанной системы, в общем случае переменными, и углом поворота относительно оси, определяемой этим вектором, так-

же переменным. Для плоского шарнира матрица определяется одним переменным параметром — углом поворота, поскольку указанный ранее единичный вектор является постоянным, и его проекции являются параметрами механизма. Матрицу перехода от любого неподвижного трехгранника OXYZ к подвижному Oxyz вычисляют по формулам:

TX/x = E + L sin ф + L2(1 - cos ф);

(

E =

L =

\

0 lz -ly

-lz

ly

0 lx

- 1 - г

^ = Л sin

v a ib,

1 (1х , 1у , Ь ),

где I — единичный вектор оси вращения; ф — угол поворота относительно оси.

Рассмотрим возможные реализации механизма с различными степенями свободы. Если число степеней свободы механизма равно 6, то все шарниры в нем шаровые. В качестве независимых шести обобщенных координат механизма выберем единичный вектор оси вращения первого звена АВ относительно неподвижного основания 11 и угол поворота относительно этой оси ф1, а также единичный вектор оси вращения второго звена ВС относительно первого 12 и угол поворота относительно этой оси ф2. Следует отметить, что векторы и углы можно выбирать произвольно и их значениями определяется положение всего механизма. По заданным параметрам в соответствии с формулами (4) можно вычислить матрицы ТХ/Х1, ТХ1/х2. Затем, используя формулы (3) из первого уравнения, найти матрицу Тх / Х3, воспользовавшись которой из второго уравнения определить матрицу ТХ3/Х2. Для нахождения матрицы Тх/Х3 необходимо решить уравнение

а = ЬТ,

где а, Ь — известные векторы с одинаковой нормой; Т — неизвестная ортогональная матрица.

Если единичный вектор т и угол ^ в соответствии с (4) определяют матрицу Т, то их вычисляют по формулам:

где х — символ векторного произведения; | | — норма вектора.

Если число степеней свободы механизма равно четырем, то три шарнира в нем шаровые и один плоский. В качестве независимых четырех обобщенных координат механизма выберем единичный вектор оси вращения первого звена АВ относительно неподвижного основания 11 и угол поворота относительно этой оси ф1, а также угол поворота ф2 второго звена ВС относительно первого вдоль единичного вектора оси вращения 12. В отличие от первого варианта, в данном случае вектор 12 в процессе движения механизма не меняется, т. е. является параметром механизма и может быть выбран произвольно. Остальные зависимые обобщенные координаты механизма определяют так же, как и в предыдущем случае.

Если число степеней свободы механизма равно двум, то два шарнира в нем шаровые и два плоские. В качестве двух независимых обобщенных координат механизма выберем угол поворота первого звена АВ относительно основания ф1, а также угол поворота ф2 второго звена ВС относительно первого. Первый поворот происходит относительно постоянного единичного вектора 11, второй относительно постоянного единичного вектора 12. Оба вектора являются параметрами механизма и могут быть выбраны произвольно. Остальные зависимые обобщенные координаты механизма определяют так же, как и в предыдущих случаях.

Если число степеней свободы равно нулю, то механизм содержит три плоских шарнира и один шаровой. Предположим, что шаровой шарнир находится в точке С. Тогда параметрами механизма являются не только векторы АВ, ВС, СО, АО, но и единичные векторы 11,12,13 осей плоских шарниров, расположенных в точках А, В, О. Обозначим углы поворота относительно этих осей как ф1, ф 2, ф 3. Для обеспечения мобильности механизма эти векторы должны удовлетворять некоторым ограничениям, одним из которых является равенство

Ус = ^ Т х AC + ^72 х BC = ^Тз х DC,

dt

dt

dt

где Уо — скорость точки С.

Равенство (7) является однородной линейной системой уравнений относительно переменных dф1/dt, —ф2/dt, —ф3/dt. Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно выполнение равенства

((Т х АС) х (Т> х ВС)) * (Т, х ВС) = 0,

где * — знак скалярного умножения. Используя выражение

((h х ЛС) х (¡2 х BC)) =

= т> (Ti, ЛС, BC) - BC(Ti, 1С, Т2),

где (а, Ь, С) = (а х Ь) * С — тройное векторное произведение, следует, что (8) равносильно равенству

(ТьТа,ВС)(Ть АС, ВС)-

- (BC, ¡з, DC)(h, AC, ¡2) = 0. Обозначим

F = (Тх,Fy,Fz) = (Ti,AC, BC)DCхT2 -- (Ti, AC, T>)DC х BC.

Уравнение (10) представим в виде F * Т3 = FXZ3X + FyIj + FzZ3Z = 0.

Предположим, что Рг Ф 0. Тогда из выражения (12) получим

IZ =-Т- ( + ТтЦ),

где 1у могут быть любыми.

Таким образом, проекции единичного вектора Iз зависят от произвольных параметров и и V:

и Р'

IX =-

Y = 1. ¡3 = >

¡z = --(Fxu + FyV ), pFz

где p =

1

u2 + v2 +—- (FXu + íYv ) Fz

0,5

Как следует из предыдущего изложения, для обеспечения мобильности векторы 1\, 12 могут быть произвольными, а вектор 13 зависит от двух произвольных постоянных, и его компоненты находят по формулам (14).

Обозначим:

Н = 11 х АС; Н2 = Т> х ВС; Н~3 = Т3 х ВС. Тогда равенство (8) приобретает вид

Если равенство (16) выполняется, то

Н3 = Х1Н1 + Х2Н2,

где

^ =

Я-2 =

Hз *H1)(H2 *H2)-(Hз *H2)(H1 *H

H1 *H1)

H3 * H2)

H1 *H1)(H2 *H2)-(H1 *H2)(H1 *H

Общее решение линейной системы (7) представим в виде

(^Ф^, —ф31 = к (, М, (19) ^ dt dt dt ) х '

где к — произвольная постоянная.

Если в качестве независимой скорости выбрать величину dф1/dt , то две остальные скорости имеют вид

d92 _ ^2 dq>1

dt dt dq3 = 1 d91 dt dt

Таким образом, при выбранных предложенным способом параметрах плоских шарниров, несмотря на то, что число степеней свободы равно нулю, в механизме появляется возможность движения с одной степенью свободы, поскольку угол ф1 можно задать произвольным.

Если число степеней свободы равно -2, то в механизме присутствуют четыре плоских шарнира. К этому случаю, являющемуся наиболее интересным и описанным в литературе, относится известный механизм Беннетта, открытый

независимо Беннеттом и Борелем [1-8]. В отличие от описанного ранее варианта с тремя плоскими шарнирами, находящимися в точках А, В, О, и шаровым шарниром в точке С, в данном случае в точке С имеется плоский шарнир, параметры оси которого, т. е. проекции вектора 14, являются параметрами механизма, которые наряду с проекциями векторов 11,12, 13 следует выбрать соответствующим образом для обеспечения его мобильности. При выборе параметров необходимо использовать, помимо уравнения (7) для скорости точки С, выражение для угловой скорости подвижного звена ВС:

— = Лф1Т ^ ^ф2 Т = ^ф3 Т ^ ^ф4 У Г->1\

&ВС =—— П '2 =—— '3 +—— '4.

ш ш ш ш

Используя уравнение (7) так же, как и в предыдущем случае, определим проекции векторов 11,12,13. При таком выборе может принимать произвольное значение, а величины Шф2/, Шф3/Л определяют по формулам (20). Подставив эти значения в формулу (21), получим

^ f 71 \ - ^ Тз ] = ^14. dt V X1 X1 J dt

Из формулы (22) следует, что

dф4 _ dф1 dt dt

Та =

k + ^T2 -—Тз

X1 X1

1

k T2 --Тз X1 X1

и + Xl 72 - - Тз

X1 X1

Формула (23) позволяет определить проекции вектора 14 и тем самым завершить нахождение параметров механизма, обладающего подвижностью при условии, что его степень свободы равняется -2. Такой механизм, состоящий из трех подвижных звеньев, соединенных плоскими шарнирами, можно назвать механизмом

Беннетта, хотя, строго говоря, Беннетт предложил механизм с вполне определенными параметрами.

Предложенные Беннеттом условия для обеспечения мобильности механизма заключаются в следующем:

• последовательно взятые оси имеют общие пересекающие нормали;

• длины противоположных сторон четырехугольника АВСО равны;

• угол между векторами 11 и 12 равен углу между векторами 13 и 14, а угол между векторами 11 и 14 — углу между векторами 12 и 13;

• справедливо равенство

ЛВ

ВС

sin a! sin а2

где а! — угол между векторами li и l2; a2 — угол между векторами li и l4.

Согласно проведенному анализу, в общем случае алгоритм выбора параметров механизма Беннетта включает в себя следующие шаги:_

• выбор четырех векторов ЛВ, BC, CD, AD, удовлетворяющих условию (2). При этом пространственный четырехугольник ABCD является выпуклым;

• произвольный выбор единичных векторов li и l2; _

• определение вектора F по формуле (!!);

• вычисление вектора l3 по формулам (14);

• определение параметров Хь Х2 по формулам (18); _

• вычисление вектора l4 по формулам (23).

Выводы

!. Проведен анализ кинематики механизма из трех подвижных звеньев, соединенных плоскими или шаровыми шарнирами.

2. Рассмотрен частный случай такого механизма — механизм Беннетта. Предложен алгоритм выбора его параметров.

Литература

[1] Bennett G.T. A new mechanism. Engineering, 1903, vol. 76, pp. 777-778.

[2] Bennett G.T. The skew isogram-mechanism. Proceedings of the London Mathematical Society,

1913-1914, vol. 13, pp. 151-173.

[3] Hunt K.H. Kinematic Geometry of Mechanisms. Oxford engineering science series, University

Press, Oxford, 1978.

[4] Perez A., McCarthy J.M. Dimensional synthesis of Bennett linkages. Proceedings of the ASME

Design Engineering Technical Conferences, Baltimore, Maryland, USA, Paper DETC2000/MECH-14069, 2000.

[5] Brunnthaler K., Schrocker H.P., Husty M. A new method for the synthesis of Bennett Pro-

ceedings of CK2005, International Workshop on Computational Kinematics, Cassino May 4-6, 2005.

[6] Яруллин М.Г., Мингазов М.Р. Синтез структурных модификаций механизма Беннет-

та. URL: http://www.mmf.spbstu.ru/mese/2014/129.pdf (дата обращения 02 ноября 2015).

[7] Яруллин М. Г., Мингазов М. Р. Краткий анализ модификации механизмов Беннетта.

Матер. У междунар. конф. Проблемы механики современных машин, Улан-Удэ, Изд-во ВСГУТУ, 2012, т. 1, с. 177-181.

[8] Яруллин М.Г., Мингазов М.Р. Структурный синтез двухподвижного пространственно-

го 5R механизма и элементы следящего управления. Известия Самарского научного центра Российской академии наук, 2014, № 6, с. 214-220.

References

[1] Bennett G.T. A new mechanism. Engineering, 1903, vol. 76, pp. 777-778.

[2] Bennett G.T. The scew isogram-mechanism. Proceedings of the London Mathematical Society,

1913-1914, vol. 13, pp. 151-173.

[3] Hunt K.H. Kinematic Geometry of Mechanisms. Oxford engineering science series, University

Press, Oxford. 1978. 484 p.

[4] Perez A., McCarthy J.M. Dimensional synthesis of Bennett linkages. Proceedings of the ASME

Design Engineering Technical Conferences, 2000, Baltimore, Maryland, USA, paper DETC2000/MECH-14069.

[5] Brunnthaler K., Schrocker H.-P., Husty M. A New Method for the Synthesis of Bennett

Mechanisms, Proceedings of CK2005, International Workshop on Computational Kinematics, Cassino, May 4-6, 2005, pp. 1-8.

[6] Iarullin M.G., Mingazov M.R. Sintez strukturnykh modifikatsii mekhanizma Bennetta [Synthe-

sis of structural modifications mechanism Bennett]. Available at: http://www.mmf.spbstu.ru/ mese/2014/129.pdf (accessed 2 November 2015).

[7] Iarullin M. G., Mingazov M. R. Kratkii analiz modifikatsii mekhanizmov Bennetta [A brief

analysis of the modification arrangements Bennett]. Problemy mekhaniki sovremennykh mashin. Materialy 5 mezhdunarodnoi konferentsii [Problems of modern machines. Proceedings of the 5 International Conference]. Ulan-Ude, VSGUTU publ., 2012, vol. 1, pp. 177-181.

[8] Iarullin M.G., Mingazov M.R. Strukturnyi sintez dvukhpodvizhnogo prostranstvennogo 5R

mekhanizma i elementy slediashchego upravleniia [Structure Synthesis of Differential 5R Linkage and Tracking Control Elements]. Izvestiia Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiis-koi akademii nauk [Proceedings of the Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences]. 2014, no. 6, pp. 214-220.

Информация об авторе

ИОФФЕ Марк Львович (Нью-Йорк) — кандидат технических наук (США, Нью-Йорк, 2-я Авеню, д. 444, e-mail: ioffe.mark@gmail.com).

Статья поступила в редакцию 25.01.2016 Information about the author

IOFFE Mark Lvovich (New York) — Candidate of Science (Eng.) (444, 2nd Avenue, New York, USA, e-mail: ioffe.mark@gmail.com).