Сравнительный анализ результатов моделирования трафика на основе различных вейвлет-моделей

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ

УДК 693.548

Сравнительный анализ результатов моделирования трафика на основе различных вейвлет-моделей

К.Ю. Окулов, А.Е. Перегняк, А.В. Арсеньев

Проводится сравнение различных моделей, лежащих в основе современных методов имитационного моделирования телекоммуникационного трафика; показано преимущество мультифрактальных вейвлет-моделей.

Matching of various models of underlying modern methods of simulation modelling of the telecommunication traffic is spent. Advantage multifractal wavelet-models is shown.

Постановка задачи

Моделирование трафика полезно при анализе поведения глобальных и локальных телекоммуникационных сетей, а также при установке параметров трафика для достижения требуемого качества обслуживания (QoS).

В настоящее время известно множество моделей для описания сетевого трафика, который, как правило, обладает самоподобными свойствами [1,2]. Для описания самоподобного трафика данных чаще всего используют три основных параметра - среднюю скорость передачи m, дисперсию а и параметр Херста (H) телекоммуникационного трафика [3, 4]. Вместе с тем результаты последних исследований показывают [1], что эти параметры не позволяют в полной мере описывать кратковременные корреляции трафика, хотя доказано, что именно кратковременные корреляции оказывают большое влияние на поведение буферных устройств сети [5, 6, 7].

В работах [1, 2] показано, что кратковременные и долговременные характеристики позволяют создать мультифрактальные модели трафика.

Для описания мультифрактальных свойств сетевого трафика были предложены две модели на основе вейвлетов: гауссовская (WIG) и мульти-фрактальная (MWM) [1]. Целью работы является сравненительный анализ способов моделирования

мультифрактального сетевого трафика и получение выходных данных моделей на основе алгоритмов WIG и MWM.

Модель WIG

Согласно дискретному вейвлет-преобразованию сигнал x(t) может быть представлен линейной комбинацией простых ортогональных базисных функций ^(t):

X

i

где сi - коэффициенты; 0<t<21 — отсчеты времени;

I — положительное целое число.

Сигнал может быть преобразован путем сжатия и расширения базисной функции цт, названной материнским вейвлетом. При дискретном вейвлет-преобразовании расширение исходного материнского вейвлета производится путем преобразования

vj

где «0 — интервал расширения; kb0 - интервал перехода.

Коэффициенты разложения получают с помощью вейвлет-преобразования

21 -1

cj = Хx

t=0

Исходный сигнал может быть восстановлен с помощью обратного вейвлет-преобразования

1 2

x(t)=X X су1(t)+У0

1=1 k=0

где ^0 — среднее значение сигнала x(t) при t е [0,2/— 1].

Уравнение (4) представляет собой развернутую версию уравнения (1). В модели WIG в качестве базисного используется вейвлет Хаара [1]. В результате для модели WIG ортонормированный

базис вейвлета ук принимает следующую форму:

ук(t) = 2-1 /2у(2-]t - к) у/,к е Z .

Поскольку в модели WIG a0 и b0 являются константами, параметрами расширения и перехода являются j и к.

Коэффициенты вейвлета Хаара могут быть получены из уравнения (3):

((к+0,5)2J -1 (к+1)2J -1 Л

ск = 2-1 /2

X x

^ t=к 2j t= (к+0,5)2j J

В модели WIG коэффициенты с / выбраны

независимыми гауссовскими переменными с ну” — 2

левым средним и дисперсией <У/ , вычисленной по опытным данным на каждом уровне разложения j,

oj(2H-1)/~2(1-H) i\~ 2

используя равенство О/ = 2 (2 1)0 .

Здесь Ни О2 — параметр Херста и дисперсия опытного сигнала соответственно.

В [1] представлен алгоритм создания модели вейвлета, в соответствии с которым порядок синтеза трассы трафика x(t) на основе опытной трассы х (t) является следующим:

1) определяем коэффициенты Ск , выполняя вейвлет-преобразование над опытной трассой x(t);

2) оцениваем дисперсию о/ из найденных коэффициентов Ск ;

3) случайным образом выбираем ск из набора

независимых значений гауссовской случайной переменной с нулевым средним и оцененной дис-

2

персией О/ ;

4) формируем синтетизированную трассу x(t) с использованием обратного вейвлет-преобразования с выбранными коэффициентами ск .

В зависимости от среднего значения и дисперсии модель WIG может генерировать отрицательные значения выходных данных. Отрицательные значения не имеют никакой физической интерпретации в контексте сетевого моделирования трафика и должны быть отброшены, что и является главным недостатком модели WIG.

MWM - мультифрактальная вейвлет-модель

Мультифрактальная вейвлет-модель (MWM) является улучшенной моделью WIG. В модели MWM вводится в рассмотрение дополнительная функция масштабирования ф, с помощью которой можно фиксировать ряд отображений сигнала, причем каждое такое отображение отличается по разрешающей способности от предыдущего. При увеличении разрешающей способности информация, зафиксированная функцией масштабирования, становится более точной. Однако при уменьшении разрешающей способности зафиксированная информация приближается к нулю.

Как и в случае WIG, MWM использует вейвлет Хаара в качестве основного. Однако в модели MWM параметр j называют параметром разрешения, который принимает значение равное нулю при грубой разрешающей способности и возрастает при приближении разрешающей способности к разрешающей способности опытной трассы (в противоположность WIG, где j уменьшается при приближении уровня масштабирования к опытной трассе). В результате уравнение расширения вейвлета (2) принимает следующую форму:

ук(t) = 21 /2у(21t - к) у/, к е Z .

Дополнительная функция масштабирования для функции вейвлета Хаара определена согласно следующему уравнению:

р* «) = 2пр

Вейвлеты Хаара и коэффициенты масштабирования для более грубой разрешающей способности рекурсивно вычисляются с помощью формул

-ч,к 0-1/2/,,2к | л 2к+1\

w1 -1(t) = 2 (u 1 + u 1 ).

ик-1(t) = 2-1/2(u2к - u2к+1).

Коэффициенты масштабирования для самой лучшей разрешающей способности (/'=/) определяются непосредственно из значений реального сигнала согласно уравнению

х(к) = 21 /2ик , к = 0,1,...,2М.

В MWM каждому коэффициенту вейвлета ставится в соответствие соответствующий коэффициент масштабирования.

В результате число параметров, требуемых для моделирования MWM, в два раза больше, чем в модели WIG. Эти параметры необходимы для определения отношения коэффициентов вейвлета к их соответствующим масштабирующим коэффициентам

k w> ak = ——

• u‘

где и;. > 0.

Решая уравнение (12) совместно с (9) и (10),

определяют масштабирующие коэффициенты ак .

В результате уравнения приобретают следующий вид:

2 k+1 '}

2k

-І/2

(І - ak-1)u

-1 / 2 /і k \ k

(І - aj-1)uj-1.

= 2~ и~і = 2"

Приведем алгоритм синтеза трафика MWM [1]. Пусть х (ї) - опытная трасса, на базе которой синтезируется трасса х(ї).

Шаг 1. Определяем коэффициенты ик и wkJ, выполняя мультивейвлетное преобразование х(ї) . Шаг 2. С помощью найденных коэффициентов

дет достигнута самая лучшая разрешающая способность 1 = 1.

Описание исходных данных для разработанных программ моделирования

В качестве исходной выберем широко известную трассу трафика LAN сети Ethernet Bellcore [2]. Для анализа данных с помощью модели WIG была использована программа WsynTraff — визуальный интерактивный программный инструмент для синтеза и анализа сетевого трафика [8]. Программа WsynTraff реализует модель WIG для опытной трассы трафика и использует полученные параметры модели для синтеза сетевого трафика. Рис. 1 отображает главный интерфейс WsynTraff.

WsynTraff содержит три блока ввода данных в главном интерфейсе программы. Главный (верхний) блок позволяет создать модель WIG опытной трассы трафика. Блок имеет два поля ввода данных и используется для ввода имени файла эмпирических данных, который будет проанализирован, и другой — для задания имени выходного файла. Блок имеет две кнопки для управления: для задания направления анализа указанных трасс трафика и для очистки ранее введенной информации.

Средний блок ввода данных программы позволяет синтезировать мультифрактальные трассы

U- и w - оцениваем дисперсию а -

отношения а при каждой разрешающей способности/.

Шаг 3. Задаем начальные разрешающую способность / = 0 и коэффициент , равный среднему значению X (^) .

Шаг 4. Для каждой разрешающей способности / генерируем случайные

множители а* в интервале [-1,1] с

симметричным бета-распределением

Р

1

2а 2

- 0,5,

2а 2

-0,5

Шаг 5. Для разрешающей способности / из уравнения (13), используя

kk

при этом и • и a—,

2k

вычисляем и-л1 и

u

,2k+1 •+1 '

Шаг 6. Повторим шаги 4 и 5, заменяя ] на j + 1 до тех пор, пока не бу-

Рис. 1. Главный интерфейс программы WsynTraff для WIG

ви-

Рис. 2. Главный интерфейс MsynTraff для MWM

трафика, используя данные из файлов анализа, созданных ранее текущей программой. Блок имеет два поля для ввода данных. Первое поле ввода необходимо для ввода названия файла WIG анализа, произведенного ранее программой, и второе поле ввода для задания названия получаемого файла трафика. Блок имеет две кнопки управления. Нажатие на кнопку «Синтезировать» приводит к синтезу трафика, а нажатие на кнопку «Сброс» приводит к очищению блока ввода.

Нижний блок ввода данных позволяет задать параметры анализа и графиков статистических свойств синтезируемых или опытных трасс трафика (по умолчанию — все параметры, профиль трассы, автокорреляция, R/S статистика, дисперсия, маргинальное распределение).

Другая программа MsynTraff — зуальная интерактивная программная среда, созданная для синтеза и анализа сетевого трафика, которая поддерживает синтез моделей MWM из опытной трассы трафика. На рис. 2 показан главный интерфейс MsynTraff, который содержит три блока ввода данных, реализующих три основные функции программы. С помощью верхнего блока производятся синтез и анализ мультиф-рактальной вейвлет-модели опытной трассы трафика. Блоки ввода данных позволяют осуществить ввод имени файла опытного трафика для последующего анализа этого файла и имени выходного файла, предназначенного для размещения результатов анализа.

Программа производит оценку шести характерных диаграмм: среднего значения коэф-

фициентов масштабирования, дисперсии коэффициентов масштабирования, среднего значения вейвлет-коэффициентов, дисперсии вейвлет-коэффициентов, среднего значения нормализованных коэффициентов и дисперсия нормализованных коэффициентов. Для построения диаграммы анализа для каждой модели пользователь должен ввести имя файла в блок ввода «Проанализировать» и нажать на кнопку «Нарисовать». Для построения сравнительных диаграмм пользователь должен ввести два имени файла в соответствующие блоки ввода: «Проанализировать» и «Имя

файла для анализа». Пользователь может также вводить дополнительный заголовок для диаграмм.

Центральный блок позволяет генерировать мультифрактальные трассы трафика, основанные на ранее полученных файлах анализа. Комплекс обеспечивает дополнительные опции для получения точек данных с крупным шагом: Gauss, FARIMA, Sprinkle, Cascades. Разрешающая способность данных с крупным шагом может быть выбрана пользователем со «Стартовым уровнем» пиктограммы масштаба. Пользователь может выбрать одну из упомянутых методик получения грубых точек данных, щелкая вкладкой в блоке, который выводит соответствующие данные для взаимодействия с пользователем. Независимо от выбранной методики пользователь должен указать название файла анализа MWM, произведенного

комплексом, и имя файла для получаемого трафика. В зависимости от выбранной методики пользователь может изменить дополнительные необязательные параметры. Кнопка FARIMA позволяет пользователю изменять значения параметра Херста и дисперсии. Кнопка «Sprinkle» служит для изменения порогового значения. После определения параметров пользователь нажимает кнопку «Синтез» генерации трафика. Нижний блок ввода данных позволяет задать параметры анализа и построения графиков статистических свойств синтезируемых или опытных трасс трафика (задание по умолчанию всех параметров, профиля трассы, автокорреляции, R/S статистики, дисперсии, маргинального распределения).

Сравнительный анализ эффективности моделей

Проведем сравнение эффективности вейвлет-моделей WIG и MWM, фиксируя отличия статистических свойств (среднее, дисперсия, профиль и маргинальное распределение) синтезированной и опытной трассы.

Для опытной трассы были выбраны первые

2 048 с трассы сети Ethernet Bellcore [2]. Эта трасса содержит преобладающий трафик LAN и малую часть проходящего трафика WAN при 1секундной детализации. Дисперсия трассы высока по сравнению с ее средним значением, как показано на рис. 3 и в таблице.

Рис. 3. Графики профилей и гистограммы: а - опытная трасса (шаг 1 с); б - реализация WIG; в - реализация MWM

Таблица. Сравнение среднего значения и дисперсии трасс, полученных различными вейвлет-моделями из опытной

На основе опытной трассы с использованием моделей WIG и MWM были получены две различные искусственные трассы. Реализация WIG была синтезирована с использованием WsynTraff, а MWM - с использованием программы MsynTraff. Средние значения и дисперсии опытной трассы и трех искусственных трасс приведены в табл. 1. Профили и маргинальные распределения перечисленных трасс показаны на рис. 3.

Анализ результатов показывает, что модель WIG сохраняет среднее значение опытного трафика, тогда как среднее значение модели MWM немного ниже, чем опытного. Сравнение дисперсий показывает, что модель MWM проявляет большее совпадение с опытной трассой, чем WIG.

Графики реализаций MWM больше напоминают графики опытной трассы, чем WIG.

Маргинальное распределение опытной трассы, показанное на рис. 3,a, является положительно асимметричным, с «тяжелым хвостом». Среди синтезированных трасс только реализованная с помощью модели MWM трасса имеет асимметричное распределение и подобна опытной трассе, в то время как распределение искусственной трассы, полученной с помощью модели WIG, имеет симметричный вид.

После сравнения представленных результатов можно сделать вывод, что модель MWM более точно описывает статистические характеристики опытной трассы. Использование модели WIG при синтезе приводит к появлению отрицательных значений

трафика. Отбрасывание отрицательных значений не приемлемо, так как это приводит к изменению среднего значения, дисперсии и корреляции для малых диапазонов времени.

Таким образом, при синтезе трафика модель MWM более предпочтительна, чем модель WIG.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шелухин О.И., Осин А.В., Смольский С.М. — Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения / Под ред. О.И. Шелухина — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

2. Sheluhin O.I., Smolskiy S.M., Osin A.V. — Self-similar processes in telecommunications. — John Wiley & Sons, 2007.

3. Norros I. — On the Use of Fractional Brownian Motion in the Theory of Connectionless Networks. — IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Vol. 13, No. 6, pp. 953—962, August 1995.

4. Williamson С. — Synthetic Traffic Generation Techniques for ATM Network Simulations. — Simulation Journal, Vol. 72, No. 5, pp. 305—312, May 1999.

5. Grossglauser M., Bolot J-C. On the Relevance of Long-Range Dependence in Network Traffic. — Proceedings of the 1996 ACM SIGCOMM Conference, Stanford, CA, pp. 15—24, August 1996.

6. Heyman D., Lakshman T. What are the Implications of Long-Range Dependence for VBR-Video Traffic Engineering? — IEEE/ACM Transactions on Networking, Vol. 4, No. 3, pp. 301—317, June 1996.

7. Ryu B., Elwalid A. The Importance of Long-Range Dependence of VBR Video Traffic in ATM Traffic Engineering: Myths and Realities. — Proceedings of the 1996 ACM SIGCOMM Conference, Stanford, CA, pp. 3—14, August 1996.

8. Шелухин О.И., Разумов Я.М. Имитационные средства моделирования самоподобного трафика. — Электротехнические комплексы и информационные системы, 2008, т.4, №3, с. 20-23.

Поступила 10.09.2008 г.

трассы

Модель Среднее значение, Мбит/с Дисперсия, Мбит/с

Опытная 1,098 486981

WIG 1,098 386756

MWM 1,086 389579