Осесимметричная деформация оболочки вращения из нитей

Е. В. Полякова, П. Е. Товстик, В. А. Чайкин

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ ИЗ НИТЕЙ*

Рассматривается осесимметричная деформация оболочки вращения, образованной двумя системами нерастяжимых или растяжимых нитей. Получены уравнения равновесия и при различных значениях параметров исследованы равновесные формы оболочки. Обнаружено, что при наличии кручения возможны как двухосные, так и одноосные напряженные состояния, а при достаточно большом кручении равновесных форм не существует.

1. Введение. Рассматриваемая задача об оболочке, образованной двумя системами, относится к классу задач теории мягких оболочек, изложенной в [1-4]. Задачи изучения мягких текстильных труб, удерживаемых в равновесных положениях, соответствующих геометрическим или силовым условиям, задаваемым на их кромках, встречаются в разнообразных приложениях. Сам процесс производства таких труб, который обычно реализуется на круглотрикотажных машинах, ставит сложные задачи отвода продукта от зоны вязания с сохранением равномерности натяжения в его петельных структурах [5]. Важные резервы повышения экономичности процессов производства трикотажной одежды заключены в совершенствовании методов соединения ее трубчатых деталей [6]. В настоящее время растет внимание к использованию трубчатых трикотажных оболочек в медицине [6, 7], в задачах фильтрации, упаковки и многих других.

Особенность поведения оболочки, образованной двумя системами нитей, по сравнению с изотропной мягкой оболочкой заключается в том, что в последней недопустимы сжимающие усилия ни в одном из тангенциальных направлений. Для оболочки из нитей недопустимы сжимающие усилия лишь в направлениях нитей. Поэтому общая теория мягких оболочек не может быть применена без анализа деформации оболочки из нитей.

2. Постановка задачи. Рассмотрим осесимметричную деформацию (быть может, с кручением) оболочки вращения, образованной двумя системами нитей, связанных узелками таким образом, что в недеформированном состоянии она может быть натянута на вертикально стоящий цилиндр. При этом элементарные ячейки (см. рис. 2, 1) образуют равные ромбы со стороной ¿o, у которых диагонали вертикальны или горизонтальны. Пусть ni и П2 — число ромбов в вертикальном и в окружном направлениях, а 2а — угол при вершине ромба. Тогда длина и радиус цилиндра соответственно равны L = 2niSo cos а и R = ^¿o(sin а)/п. В связи с произвольностью угла а размеры оболочки будем характеризовать величинами Lo = 2ni§o и Ro = П2§о/п — максимальная длина и максимальный радиус цилиндра, на который без деформации может быть натянута рассматриваемая сеть. Размерами узелков пренебрегаем. Наша цель — использовать континуальный подход, при котором размер ¿o стремится к нулю, а числа ni и n2 — к бесконечности таким образом, что величины Lo и Ro остаются постоянными.

Пусть нижний и верхний края оболочки прикреплены к недеформируемым круговым кольцам радиусов ri и r2 соответственно. На нижнее кольцо действует осевая

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04.01.00247).

© Е. В. Полякова, П. Е. Товстик, В. А. Чайкин, 2007

растягивающая сила Ро и крутящий момент Мо, оболочка находится под действием внутреннего давления qn, которое, быть может, зависит от высоты (см. рис.1). Осевая сила и крутящий момент на верхнем кольце определяются из условия статического равновесия. Нашей целью является описать напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки, используя континуальный подход.

3. Геометрические соотношения и уравнения равновесия. Ясно, что в деформированном состоянии оболочка имеет форму поверхности вращения (рис. 1), которую будем характеризовать длиной дуги меридиана в и расстоянием г(в) от поверхности до оси вращения. Для гладкой поверхности вращения имеют место геометрические соотношения [3, 8]:

1

Р1

¿в

¿в ’

Р2

эш в’

¿г

— = — сое 0,

ав

— = вт 0, ав

где в — угол между нормалью к поверхности и осью вращения, рх и р2 —главные радиусы кривизны поверхности, 2 — высота текущей параллели над основанием.

Уравнения равновесия имеют обычный для безмоментной теории вид и для осесимметричного НДС при заданном нагружении [3, 8] имеем

ав

— Т2 соэ в = 0,

й{гБ)

ав

0,

ТлТ2_

------1----— Чт

Рх Р2

где Тх, Т2 и Б — растягивающие и сдвиговое усилия в оболочке, отнесенные к единице длины деформированной поверхности. При отсутствии кручения считаем Б = 0.

Если форма оболочки известна, осесимметричная задача для усилий является статически определимой и интегрирование уравнений (3.2) дает

Тх =

Ро

1

2пг эш в г эш в

гдп соэ в ав,

Б=

Мр 2-7ГГ2 ’

Т2 =

Т\г ¿в гдп

Формулы (3.3) содержат две неизвестные функции г(в) и в(в), и процесс их определения существенно зависит от растяжимости нитей, от наличия кручения, а также от того, двухосное или одноосное НДС реализуется. Ниже последовательно рассматриваются эти случаи.

г

а

о

4. Нерастяжимые нити при двухосном НДС. В этом простейшем случае элементарные ячейки и после деформации имеют форму ромбов со стороной ¿о и с подлежащим определению углом при вершине а = а(в) (рис. 2, 1). Здесь имеют место геометрические соотношения

r = Д0 sin а,

о =

ds

cos а

связывающие параметры деформированной и недеформированной поверхностей.

S

*

о

Рис. 2. Элементарная ячейка: 1, 2 — нерастяжимые нити; 3,

4 —растяжимые нити; 1, 3 —двухосное состояние; 2, 4 —одноосное состояние.

Пусть Рх(в) и Р2 (в) — силы натяжения первой и второй системы нитей. Проектируя эти силы, приложенные к верхнему и правому узлам элементарной ячейки, находим усилия в оболочке:

Ti

(Pi + Р2) cos а Д ’

S -

(P1 — P2) sin а Д ’

T2

(Pi + Р2) sina

Д ctga ’

где

Д = 2S0 sin а и Д ctga

— размеры ячейки в горизонтальном и вертикальном направлениях (см. рис. 2,1). Из формул (4.2) и (4.3) находим

T2 = Ti tg^, P2 = So (Ti tga — S).

Здесь и в дальнейшем считаем, что Мо ^ 0, поэтому Б ^ 0 и необходимым условием того, что НДС двухосно, является выполнение при всех в неравенства Р2 > 0, или

Ti tga > S.

T

T

Пусть условие (4.5) выполнено при всех в. Запишем краевую задачу, решение которой позволяет определить НДС и форму оболочки:

d(Tir sin в) ¿в sin в tg2a qn

~ —qnr cosO, — —

ds ds r Ti ,. „4

dr dL 1

— = —eos#, r = lío sin a, ~r =------------;

ds ds cos a

r = rb Tí = -—P° , 6 = в0 при s = 0;

2nri sin в0

r = r2, L = Lo при s = s*,

где L(s) —длина нити, отсчитываемая от нижнего кольца.

Эту задачу удобно решать численно методом пристрелки. Начальный угол во не задан. Задавая его, решаем задачу Коши (4.6), (4.7), проводя интегрирование до тех пор, пока не будет выполнено условие L(s*) = Lo. Меняя затем во, добиваемся выполнения условия r(s*) = r2.

Если ri = r2 и давление qn постоянно или отсутствует, то задача симметрична относительно середины оболочки и граничное условие (4.8) на верхнем кольце можно заменить условием симметрии:

<9=|, l=Y при

Если qn = 0, то форма деформированной поверхности не зависит от силы Po (при выполнении неравенства (4.5)), а усилие Ti исключается из системы (4.6), которая может быть переписана в виде

d9 sin a sin в d(sin a) cos в

ds Ro cos2 a ’ ds Ro

Получим необходимые условия существования решения задачи (4.6)—(4.8), связанные с тем, чтобы длины нитей хватило для выполнения геометрических граничных условий. Во-первых, это неравенства ri < Ro и r2 < Ro. Далее, длина Lo не должна быть слишком мала по отношению к разности радиусов колец:

Lo > Ro | arcsin

Действительно, система (4.10) имеет интеграл sin в = C cos a, где C — произвольная постоянная. Используя его и второе уравнение (4.10), перепишем условие Lo = L(s*) в виде

Г°2 da

Lo = R4 /ЛГ2 2 -

Jai V 1 — C2 cos2 a

откуда в силу соотношений ri = Ro sin ai и r2 = Ro sin a2 следует неравенство (4.11).

Пусть радиусы верхнего и нижнего колец одинаковы (ri = r2). Тогда при некотором соотношении между параметрами задача имеет решение, при котором деформированная оболочка принимает форму цилиндра:

г = п = ñosina, 0=77, Ti = ^~, T2 = qnr, q„ = q*n =

2 2nr R

При дп < д** оболочка имеет отрицательную гауссову кривизну, а при дп > д** является выпуклой.

Кручение не входит в задачу (4.6)—(4.8), поэтому проверка выполнения условия (4.5) должна проводиться после решения. В силу соотношений (3.3) это условие выполнено, если

М0 < М* = тш{2пг2Г[ tga}.

в

5. Нерастяжимые нити при наличии зоны с одноосным НДС. При Mo > M*

в оболочке присутствуют зоны с одноосным НДС. В этих зонах натяжение нитей Р2 =0 и (см. рис. 2, 2) получаем

_ Pi cos a Pi sin а _ Pi sin а

1 Д ’ Д ’ 2 2So cos а ’

где Д < 2So sin а — расстояние между узлами ячейки по горизонтали. Из формул (5.1) получаем соотношения, не содержащие размеров ячейки. Пусть и2 —число ячеек в горизонтальном направлении. Тогда

2пг = и2Д, 2nRo = 2n2So-

Теперь, исключая из (5.1) силу Р\ и размеры ячеек, получаем

rS

Titga = S, Т2 = -------------.

Ro cos а

Запишем систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных Ti, в, г, пригодную как для одноосного, так и для двухосного НДС:

dTo de sin в qn dr .

—j- = gnr COS 6», — = -----f ~ — = -cos0, To = T\r sin 9,

ds ds r T i ds

причем для двухосного состояния угол а определяется из уравнения r = Ro sin а, а f = tg2a. Для одноосного состояния

*. S Mo f T2 r sin a

tga=^r, S=ó—2’ J=^F = ~5-2 * 5'5

T i 2nr2 li Ro cos2 а

Не исключаем возможность обратного перехода одноосного состояния в двухосное. Условием перехода является равенство Д = 2So sin а, или

r = Ro sin а.

Граничные условия для системы (5.5) те же, что и для системы (4.6). Для ее численного интегрирования может быть использован описанный выше метод пристрелки.

Как и выше, в случае одноосного НДС при некотором соотношении между параметрами задача имеет решение, при котором деформированная оболочка принимает форму цилиндра:

п 71 гг ро а М0 S * S

r = n=r2, 0=-, Ti = —, tga = —, gn = qn = ~¿--------------------------, 5.7

2 2nr 2nr2 Ti Ro cosа

если r < До sin а. При qn < q*k оболочка имеет отрицательную гауссову кривизну (в этом случае наименьший радиус называем радиусом шейки), а при qn > q*k является выпуклой.

При наличии одноосных зон крайние кольца поворачиваются друг относительно друга на угол у>:

rs* До sin а — r

Ч>= ~Б--------------ds>

Jо Дог cos а

причем интегрирование в (5.8) фактически распространяется на одноосные зоны, ибо в двухосных зонах подинтегральное выражение равно нулю.

6. Численный пример. Возьмем геометрические размеры ri = Г2 = 1, До = 1.5, Lo = 5 и осевую силу Ро = 1, а параметры нагружения Мо и qn=const будем менять.

Пусть сначала крутящий момент Мо = 0 или мал (Мо ^ Mg, т.е. он не превосходит критического значения, выше которого появляется одноосная зона). При решении краевой задачи (4.6) в силу симметрии используем граничное условие (4.9). Некоторые результаты численного интегрирования для разных значений qn представлены в таблице 1 и на рис. 3.

Таблица 1.

Параметры формы оболочки из нерастяжимых нитей

Qn S* r(s*/ 2) a(st/2) Я М*

0.000 0.050 0.100 0.127 0.200 0.500 4.540 4.336 3.916 3.726 3.416 3.000 0.399 0.609 0.901 1.000 1.125 1.245 0.269 0.418 0.646 0.730 0.848 0.980 4.294 4.230 3.910 3.726 3.398 2.910 0.142 0.276 0.646 0.894 0.959 1.456

Для шести значений внутреннего давления qn в таблице представлены следующие величины: длина образующей в*, радиус среднего сечения г(в*/2), половина угла между нитями в среднем сечении а(в*/2) (укажем для сравнения, что а(0) = а(в*) = 0.646), высота оболочки Н = г (в*), крутящий момент М*, начиная с которого в оболочке появляются одноосные зоны (см. (4.14)).

С ростом давления qn растет угол между нитями и одновременно убывают длина образующей в* и высота оболочки Н. Значение qn = qn = 0.127, найденное по формуле (4.13), является критическим. При этом давлении оболочка имеет форму цилиндра. При меньшем давлении оболочка имеет отрицательную гауссову кривизну, а при большем — она выпуклая (см. рис. 3). Как и следовало ожидать, появление одноосной зоны начинается с сечений с минимальным радиусом г. При qn < qn одноосная зона впервые появляется в середине оболочки, а при qn > qn —вблизи ее краев. При qn = qn одноосная зона охватывает всю оболочку. С ростом qn критический крутящий момент М* возрастает.

При рассмотрении формы оболочки с одноосной зоной ограничимся случаем, когда давление отсутствует ^п = 0). Одноосная зона появляется вблизи середины оболочки (см. рис. 3). В табл. 2 для ряда значений момента Мо ^ М* = 0.142 приведены те же величины, что и в табл. 1. Кроме того, приведены угол относительного поворота колец ^ и диапазон изменения параметра образующей в1 < в < в2, в котором имеет место одноосное состояние.

¿А

Ч =0

1 п

9 п = 0.127

Ч п =0.5

Рис. 3. Формы оболочки из нерастяжимых нитей при малом крутящем моменте.

Таблица 2.

Параметры формы оболочки из нерастяжимых нитей (при наличии одноосной зоны).

Мо «* г(в*/2) а(в*/2) Я V 81-82

0.142 0.150 0.160 0.170 0.180 0.182 4.540 4.538 4.536 4.528 4.510 4.498 0.399 0.395 0.383 0.361 0.314 0.289 0.269 0.285 0.311 0.346 0.408 0.441 4.294 4.292 4.282 4.262 4.212 4.182 0.000 0.022 0.104 0.274 0.698 0.982 1.97-2.60 1.74-2.80 1.55-2.98 1.37-3.14 1.31-3.19

При 0 ^ Мо < 0.142 состояние двухосно и форма оболочки не зависит от Мо. При Мо > 0.142 с ростом Мо радиус оболочки в среднем сечении г(в*/2) убывает, угол наклона к образующей напряженных нитей а(в*/2) растет, также растет длина интервала [в1, в2], в котором имеет место одноосная зона. При приближении к значению М0 = 0.182 угол ^ резко возрастает.

При Мо > 0.183 не удается найти начальный угол во, при котором было бы выполнено граничное условие (4.9). Возьмем, например, Мо > 0.2 и построим график функции Ь(во), где величина Ь вычисляется в той точке, в которой в = п/2 (рис. 4).

Рис. 4. График функции Ь(во).

Максимум функции Ь(во) равен 2.432, что меньше, чем Ьо/2 = 2.5. При уменьшении во радиус шейки неограниченно уменьшается, а угол взаимного поворота крайних колец растет. Например, при во = 0.6 имеем г(в*/2) = 0.025, ^ = 9.66. Следовательно, при Мо > 0.183 равновесных положений не существует.

7. Форма оболочки из растяжимых нитей при отсутствии кручения. Зададим закон растяжения нитей соотношением

А = Fo

где Fo(P) —заданная функция, А = dl/dlo ^ 1 —растяжение участка нити, т. е. отношение длин растянутого и нерастянутого участка, P — сила натяжения нити. При континуальном подходе функцию (7.1) переписываем в виде

А = F

где Q — номинальное усилие в направлении нитей, т. е. сила, отнесенная к единице длины до деформации. Использование номинальных усилий связано с тем, что при этом

в процессе деформации сохраняется число нитей, участвующих в формировании величины А. В линейном случае

F

где c — податливость нити на растяжение.

В рассматриваемом случае отсутствия кручения элементарная ячейка имеет форму ромба (см. рис. 2,1) с той лишь разницей, что сторона ромба ¿o заменяется на 5 = А^о. Внесем в формулы § 4 изменения, связанные с растяжением.

Геометрические соотношения (4.1) переписываются в виде

[s* ds

г = RoXsma, Lq= -----------------.

Jo А cos a

Полагая в формулах (4.2) и (4.3) Pi = P2 и Д = 2А5о sin a, находим

Ti = £cosa^ д = T2=Tltg2aj Q=P

А sin a 5o

Соотношение упругости (7.2) приводит к неявному выражению для А:

А = F

которое вместе с первым соотношением (7.4) образует систему уравнений относительно

a и А. В случае (7.3), исключая a, получаем уравнение относительно А

которое имеет единственное решение А > 1, ибо левая часть растет вместе с А. Уравнения равновесия сохраняют свой вид (4.6):

d(Tir sin в) de sin в tg2a qn dr dL 1

----------- = -qnr cosé», — =--------------—, — = -cos0, = -г-----------, 7.8

ds ds r T i ds ds А cos a

причем давление qn отнесено к единице площади после деформации. Граничные условия также сохраняют вид (4.7)—(4.9).

В качестве примера рассмотрим оболочку с параметрами

ri = Г2 = 1, До = 1.5, Lo = 5, с =1, Mo = 0.

Параметры Ро и дп будем менять. Приведенные в табл. 3 данные позволяют судить о зависимости формы оболочки от этих параметров.

Таблица 3.

Параметры формы оболочки из растяжимых нитей

Ро Яп í¡* r(í¡*/2) ot(s*/2) Я

0.100 0.0 4.632 0.397 0.264 4.390

0.316 0.0 4.818 0.393 0.254 4.584

1.000 0.0 5.336 0.385 0.229 5.122

3.162 0.0 6.716 0.375 0.182 6.543

10.000 0.0 10.516 0.368 0.116 10.404

1.000 0.0 5.336 0.385 0.229 5.122

1.000 0.1 4.474 1.090 0.687 4.468

1.000 0.2 4.462 1.446 0.839 4.317

При qn = 0 с ростом осевой силы Po длина образующей s* и высота оболочки H сильно возрастают, радиус среднего сечения r(s*/2) меняется незначительно, а угол между нитями a(s*/2) заметно убывает. При Ро = 1 с ростом давления qn существенно возрастают радиус среднего сечения r(s*/2) и угол между нитями a(s*/2).

8. Форма оболочки из растяжимых нитей при кручении (двухосное состояние). Рассматриваемый случай показан на рис. 2, 3. Из этого рисунка видно, что

Pi cos «i + P2 cos «2 Pi sin «i — P2 sin «2 Pi sin «i + P2 sin a2

1 Л 7 Л 7 2 r>c 7

Д Д 2ói cos «i

причем имеют место геометрические соотношения

Д = 0i sin ai + 02 sin а2, 0i cos ai = 02 cos а2, 0i = Ai¿0, 02 = A200.

Здесь Ai и A2 —деформации растяжения первой и второй систем нитей, определяемые

по формулам

Ai=P

оо оо

где функция F та же, что и в формулах (7.2) или (7.3).

С учетом обозначений (8.3) из первых двух соотношений (8.1) находим номинальные усилия Qi и Q2:

Qi =------------------—t-----;----ñ-------------,

sin

i

42 =-------------------------¡----^-------------•

sin

Теперь для вычисления величин «i, «2, Ai и A2 имеем систему четырех уравнений

Ai = F

где Qi и Q2 вычисляются по формулам (8.4). При S = 0 система (8.5) сводится к рассмотренной выше системе (7.6), (7.4).

Как и ранее, двухосное состояние реализуется при Q2 > 0 или

S < Ti tg«i.

В системе уравнений равновесия (7.8) меняется лишь второе уравнение, которое теперь принимает вид

М _ Г2 sin в _ qn т _ Qi sin а\ + Q2 sin a2 ds rT\ Ti’ 2 2Aicosai

Получим выражение для взаимного угла поворота ^ крайних колец:

,/0 Air cos ai

9. Форма оболочки из растяжимых нитей при кручении (одноосное состояние). Из рис. 2, 4 находим

_ Pi cos ai _ Pi sin ai _ Pi sin ai 1 Д ’ Д ’ 2 2(5icosai

Пользуясь геометрическими соотношениями

ДД0 = 2¿or, Ji = Ai¿o,

как и в § 5, находим

с ^ , Тг г sin ai

S = Titgab — = ——-2--------------------------> 9-3

Ti AiRocos2 ai

а параметры Ai и ai (в отличие от § 8) получаем в явном виде:

2rTi

Ai = F

Ro cos ai

Система уравнений равновесия и граничные условия здесь те же, что и в предыдущем параграфе с той лишь разницей, что отношение T2/Ti теперь вычисляется по формуле (9.3).

Взаимный угол поворота крайних колец примет вид

í's* Ai sin ai — (Д/Jo) j í Ai sin ai — A2 sinao f AiR0 sin ai — r

^ Jo Air cos ai S Js2 Air cos ai S + Jsi Aiño^cosai S’

где S2 и Si —области, занятые двухосной и одноосной зонами соответственно.

Как и для нерастяжимых нитей, при тех же соотношениях (5.7) оболочка имеет форму цилиндра с той лишь разницей, что в данном случае нити первого семейства растянуты (см. (9.4)).

10. Обсуждение. В статье рассмотрены осесимметричные равновесные формы оболочки вращения, образованной двумя системами нерастяжимых или растяжимых нитей. Оболочка находится под действием трех нагрузок: осевого растяжения, внутреннего давления и кручения.

Расчеты показали, что при отсутствии кручения для нерастяжимых нитей задача имеет единственное решение (для растяжимых нитей существование и единственность решения может зависеть от принятого закона (7.2), однако соответствующие расчеты не проводились). При этом НДС оболочки является двухосным.

При деформации оболочки из нерастяжимых нитей с кручением возможно появление одноосного состояния. Имеются два критических значения крутящего момента, зависящих от прочих параметров задачи: M* и Mg*. При Mo < Mg НДС оболочки двухосно, а форма оболочки не зависит от Mo. При M* < Mo < M** в оболочке появляется одноосная зона. И, наконец, при Mo > Mg* равновесных положений не существует (крутящий момент слишком велик, средняя часть оболочки вытягивается в линию).

Для растяжимых нитей качественная картина остается той же, что и для нерастяжимых. Расчеты были проведены лишь для случая отсутствия кручения. При наличии кручения возникают технические трудности, связанные с решением системы (8.3), определяющей двухосное деформированное состояние оболочки. Здесь также следует ожидать появления длух критических значений крутящего момента M* и M**, а также возможно отсутствие решения (разрыв нити), связанное с большими растягивающими силами.

Summary

E. V. Polyakova, P. E. Tovstik, V. A. Chaikin. Axisymmetric deformation of a shell of revolution made of fibres.

The axisymmetric deformation of a shell of revolution made of two systems of unextensible or of extensible fibres is studied. The equilibrium equations are obtained and, and for various values of parameters the equilibrium shell contours are investigated. It is established that in the presence of torsion as the two-dimensional so the one-dimensional stress states are possible, and for the large enough torsion the equilibrium is impossible.

Литература

1. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

2. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек / Под ред. К. Ф. Черныха, С. А.Кабрица. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. 388 с.

3. Кузьмина Р. П. Мягкие оболочки. М.: Факториал Пресс, 2005. 256 с.

4. Полякова Е. В., Чайкин В. А. Прикладные задачи механики мягких оболочек и тканей. СПб.: СПГУТД, 2006. 193 с.

5. Липков И. А. Технология трикотажного производства. М.: Гизлегпром, 1963. 452 с.

6. Полякова Е. В., Энтин В. Я., Чайкин В. А. К теории упругих текстильных оболочек, не полностью прилегающих к охватываемым ими телам // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности, 2005, №3. С. 107-110; №4. С. 74-77.

7. Шаммут Ю.А., Корнилова Н.Л., Колотилов С. И., Королева С. В. Методика оценки статики фигуры со сколиотической осанкой при проектировании корсетных изделий ортопедического назначения // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности. 2004, № 2. С. 72-74.

8. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. 320 с.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.