Гидродинамика потоков, создаваемых лопастной мешалкой

Н. А. Газизуллин

ГИДРОДИНАМИКА ПОТОКОВ, СОЗДАВАЕМЫХ ЛОПАСТНОЙ МЕШАЛКОЙ

Ключевые слова: перемешивание, метод контрольных объемов, циркуляция жидкости.

Методом контрольных объемов выполнено численное моделирование ламинарного течения несжимаемой вязкой жидкости в аппарате с лопастной мешалкой. На основании результатов расчетов исследована динамика потоков в аппарате. Результаты расчетов представлены в виде линий тока вторичной циркуляции.

Keywords: mixing, control volume method, fluid circulation.

Numerical simulation of the viscous flow field in a tank with a blade stirrer is carried out by the control volume method. Fluid dynamics are investigated on the basis of computations. The results of computations are presented as streamline contours of the secondary circulation.

Аппараты с мешалками находят широкое применение в ряде отраслей промышленности при проведении различных технологических процессов [1,2]. Одним из наиболее важных распределений в теории перемешивания является распределение скорости по объему аппарата. Методы расчета, применяемые при решении задач перемешивания, непосредственно связаны с использованием гидродинамических характеристик потока. Числовые значения компонент скорости представляют собой основу для расчета некоторых практически важных характеристик, таких как мощность, потребляемая на перемешивание, время перемешивания или коэффициенты теплопередачи. Кроме того, соотношения между величинами компонент скорости определяют эффективность работы мешалки. Поэтому исследование динамики потоков, создаваемых перемешивающим устройством, представляет несомненный практический интерес. В настоящей работе проведено численное моделирование ламинарного течения несжимаемой вязкой жидкости в аппарате с лопастной мешалкой.

Исходными уравнениями, описывающими течение жидкости в аппарате, являются уравнения Навье-Стокса и неразрывности [3]

р-V + р

• У = 0 .

Введем неподвижную цилиндрическую систему координат Г, ф, ъ, в которой компоненты вектора скорости обозначим соответственно через и, V, ш.

Граничные условия для компонент скорости на твердых стенках сводятся к условию нулевого конвективного потока и условию прилипания жидкости. Тогда на дне и боковой стенке аппарата

и = 0, V = 0, Ш = 0,

а на поверхности вала и мешалки соответственно

и = 0, У= 60Г, Ш =0,

где ы - угловая скорость вращения вала и мешалки.

На свободной поверхности жидкости

ш = 0, — = 0, — = 0 . ъ ъ

Первое из условий (5) является предположением о том, что жидкость не может протекать через свободную поверхность, и представляет собой равенство нулю проекции вектора скорости на нормаль к поверхности. Остальные два условия выражают собой отсутствие трения на поверхности жидкости.

На оси вращения потока под мешалкой примем W

u = 0, v = 0, ---= 0. 6)

r

Уравнение движения (1) в проекциях на оси координат может быть записано в виде обобщенного уравнения переноса

—p)+div

где r=1/(nRe) - коэффициент диффузии; Re=pnd2/^ — центробежное число Рейнольдса; n - число оборотов мешалки в единицу времени; d - диаметр мешалки, а S - член типа источника соответствующий искомой функции u, v или W.

Численное моделирование течения проведем методом контрольных объемов в сочетании с алгоритмом SIMPLE [4]. Основная идея метода контрольных объемов заключается в том, что расчетную область разбивают на конечное число контрольных объемов (ячеек) таким образом, что каждая узловая точка содержится в отдельной ячейке. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Поэтому одним из наиболее важных свойств этого метода является то, что он обеспечивает интегральное сохранение физических законов для всей расчетной области.

Размещение всех узловых функций в одних и тех же точках приводит к дополнительным вычислительным трудностям, связанным с рассогласованием полей скорости и давления. Поэтому выберем разнесенную шахматную сетку, в которой узловые точки для давления размещаются в центрах ячеек, а узловые точки для составляющих скорости располагаются на соответствующих гранях ячеек для давления [5]. Это позволяет точно записать дискретный аналог уравнения неразрывности, а также точно рассчитать градиенты давления в уравнениях движения.

Алгоритм SIMPLE представляет собой итерационную процедуру для расчета полей скорости и давления. При этом итерационная процедура рассматривается как метод установления для решения нестационарных уравнений с целью получения стационарного решения. Проинтегрируем уравнение

(7) по контрольному объему и временному интервалу At. Для аппроксимации конвективных и диффузионных членов в уравнениях движения используем неявную схему [5]. Тогда узловая функция Ф в пределах всего временного шага At будет характеризоваться новым значением Ф1, соответствующим следующему моменту времени t+At. Для аппроксимации конвективных потоков через грани контрольных объемов используем схему против потока [6]. В результате получим дискретный разностный аналог, который связывает значения искомой функции Ф в узловой точке P с ее значениями в центрах E, W, N, S, T, B смежных ячеек в форме

а Ф1 = а Ф1 + а Ф1 + а Ф1 + а Ф1 +

p P «e^ E W W N N S S

Ф0 AV ,

+ ат Ф т + ав Ф в + Sp AV + ^—

At

где Л У - объем ячейки; Sp - узловое значение источникового члена, а Ф0 - значение Ф в момент времени t.

Алгоритм SIMPLE содержит циклическую последовательность действий типа «предположение-коррекция». Поэтому на каждой итерации компоненты скорости определялись в два этапа. Вначале на основе предполагаемого давления p из уравнений (В) вычислялись предварительные значения u*, v*, w*, не удовлетворяющие уравнению неразрывности. С учетом приближенного решения для скорости находилась поправка к давлению бр из уравнения

ap 5Pp = aE 5Pe + aw 5Pw + aN 5Pn + + aSSpS +a т2рт +ав2рв +b

полученного из дискретного аналога уравнения неразрывности с использованием уравнений количества движения и представляющего собой фактически дискретный аналог уравнения Пуассона.

Затем с учетом поправок бр рассчитывались скорректированные значения компонент скорости на гранях e, w, n, s, t, b ячеек, удовлетворяющие уравнению неразрывности по поправочным формулам

. Гє AфAz / ч

Ue = Ue + --(Spp - 5Pe),

ae

Uw = UW +

vn = vs + ArAz(SPp - sPn),

an

Vs = vs + ArAz

wt = wt +

Wb = Wb +

(5Pp - 5Рт),

at

Гь^Ar

и давления

где

а -

p = p* + аф,

релаксации.

расчетах

параметр релаксации. В принималось а = 0,7.

Численное решение дискретных уравнений (8) и (9) проводилось при граничных условиях (3) -(6) методом прогонки [7] в радиальном направлении. При этом граничные значения поправок давления полагались равными нулю, поскольку граничные значения скорости не требуют поправок. В качестве критерия сходимости рассматривалась сумма модулей невязок по всем контрольным объемам для уравнений

(8). Расчеты проводились по этому критерию с точностью до 10-6 на равномерной сетке. В расчетах принималось Н0=й; ^й=0,5; ^/й=0,05; Ь^=0,2; Н/И0=0,3, где й - диаметр аппарата; Н0 - высота жидкости в аппарате; Н - высота расположения мешалки над дном аппарата; Ь - высота лопасти мешалки; ^ - диаметр вала. Результаты расчетов представлены в виде линий тока радиально-осевой и радиально-тангенциальной циркуляций.

Мешалка создает потоки жидкости, которые вызывают циркуляцию жидкости во всем объеме аппарата. Окружная циркуляция, называемая также первичной, связана с вращением массы жидкости вокруг оси вращения мешалки. Заметную роль в перемешивании играет вторичная циркуляция. Линии тока в меридиональной плоскости аппарата характеризуют вторичное циркуляционное течение, которое накладывается на основное тангенциальное течение. Наблюдается два потока радиально-осевой циркуляции соответственно сверху и снизу от мешалки, которые способствуют перемешиванию жидкости. Осевые потоки как бы разрываются мешалкой, которая делит область перемешивания на

ss

а.

Рис. 1 - Радиально-осевая циркуляция в аппарате при Кв=100

На рис. 2-3 представлены картины линий тока в горизонтальной плоскости аппарата в области мешалки при 7=Н+Ь/2. При небольших значениях числа Рейнольдса в аппарате преобладает окружная

b

W

циркуляция жидкости. Перемешиванию способствуют вторичные токи, которые возникают по контуру лопастей мешалки (рис. 2).

Рис. 2 - Радиально-тангенциальная циркуляция в аппарате при Кв=20

Увеличение числа Рейнольдса связано с ростом центробежных сил, что находит отражение в усилении радиально-тангенциальной конвекции. При этом происходит изменение характера течения. Между лопастями также возникают вторичные токи, интенсивность которых постепенно растет с дальнейшим увеличением числа Рейнольдса. Это обусловлено, по-видимому, ростом радиальной составляющей скорости в связи с возрастанием действия центробежных сил, а также увеличением интенсивности касательных напряжений сдвига (рис. 3).

Рис. 3 - Радиально-тангенциальная циркуляция в аппарате при Re=200

Таким образом, течение в области мешалки формируется при взаимодействии потоков

радиально-осевой и радиально-тангенциальной циркуляций, что способствует усилению циркуляции жидкости и интенсификации перемешивания по объему аппарата.

Литература

1. Стренк, Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками / Ф. Стренк. - Л.: Химия, 1975. - 384 с.

2. Брагинский, Л.Н. Перемешивание в жидких средах /

Л.Н. Брагинский, В.И. Бегачев, В.М. Барабаш - Л.:

Химия, 1984. - 336 с.

3. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа /

Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

4. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости: Пер. с англ. / С. Патанкар. - М.: Энергоатомиздат. 1984, - 152 с.

5. Harlow, F.H. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid

with free surface / F.H. Harlow, J.E. Welch // Physics of Fluids. - 1965. - Vol. 8. - No. 12. - P. 2182-2189.

6. Пейре, Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости: Пер. с англ. / Р. Пейре, Т.Д. Тейлор - Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 352 с.

7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики /

Г.И. Марчук. - М.: Наука. 1989, - 608 c.

© Н. А. Газизуллин - канд. техн. наук, доц. каф. высшей математики КНИТУ, gnazym@gmail.com.