Расчет вибрации электрода-инструмента в процессе электроэрозионной обработки

УДК 621.1.9

Т.Р. Абляз, В.А. Иванов T.R. Ablyaz, V.A. Ivanov

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Perm National Research Polytechnic University

РАСЧЕТ ВИБРАЦИИ ЭЛЕКТРОДА-ИНСТРУМЕНТА В ПРОЦЕССЕ ЭЛЕКТРОЭРОЗИОННОЙ ОБРАБОТКИ

CALCULATION OF WIRE ELECTROD VIBRATION DURING ELECTRICAL DISCHARGE MACHINING

Представлено математическое описание вибрации электрода-инструмента в процессе электроэрозионной обработки.

Ключевые слова: электроэрозионная обработка, проволочно-вырезная электроэрозион-ная обработка, вибрация электрода-инструмента, электрод-инструмент, электрод-деталь.

In this work the mathematical description of the electrode-tool vibration in the EDM is presented.

Keywords: electrical discharge machining, wire electrical discharge machining, electrode vibration, electrod-tool, electrod-detail.

Задачей настоящего исследования является разработка математических моделей для расчета прогибов проволоки-электрода в процессе обработки детали на проволочно-вырезном электроэрозионном оборудовании.

Одним из существенных недостатков процесса электроэрозионной обработки (ЭЭО) является вибрация электрода-инструмента (ЭИ) в процессе резки. Данный недостаток сказывается на технологических параметрах электро-эрозионного формообразования. Снижение влияния вибрации ЭИ на точность обработки является одной из основных задач в области развития ЭЭО.

Деформация ЭИ оказывает влияние на точность обработки в случае, когда он обладает малой жесткостью. Это в основном относится к операциям электроэрозионного вырезания (ЭЭВ). При ЭЭВ в качестве инструмента используется проволока диаметром 0,25-0,03 мм. Под воздействием силы, возникающей в межэлектродном зазоре при пробое, проволока прогибается на некоторую величину, в результате прогиба электрода-инструмента возникают погрешности обработки.

В нашей работе ЭИ рассматривается как металлическая струна, закрепленная на концах. Под струной в математической физике понимают гибкую упругую нить. Пусть струна натянута и закреплена на отрезке [0, /] оси ОХ.

Если усилием струну отклонить и придать ее точкам некоторую скорость, а затем отпустить, то точки струны будут совершать колебания.

При малых отклонениях струны от начального положения можно полагать, что точки струны движутся перпендикулярно оси ОХ и в одной плоскости, а функция, описывающая процесс колебаний, имеет вид и = и(х; г).

Рассмотрим элемент струны ММ\ (рисунок). На концах этого элемента по касательным к струне действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью ОХ углы ф и ф+Аф. Тогда проекция на ось Ои сил, действующих на элемент ММЬ Т 8ш(ф + Дф) - Т 8Ш(ф).

Рис. Профиль колебаний струны

В силу малости ф и Дх с точностью до О (Дх2 + Дф2) можно записать

Т 8ш

= Т

дх

дх

= Т д2и(х;г) Дх дх2 ‘

Для получения уравнения движения необходимо внешние силы, приложенные к элементу, приравнять к силе инерции. Если р - линейная плотность струны, то масса струны - р Дх. Следовательно,

рДх ди = Т -2 Дх. дг дх

Т 2

Обозначая — = а , получаем уравнение свободных колебаний струны Р

д 2и дг

2 д2и 2 = а дх2.

Если колебания вынужденные, то равнодействующая внешних сил, приложенных к участку струны ММ1 в момент времени г будет определяться как

Р = g (х, г)ММ1 ~ g (х, г)Дх.

Уравнение вынужденных колебаний струны

д2 и 2 д2 и 1

ТТ = а тг + _ g (х, г), дг дх р

где форма записи g (х, г) зависит от участка, на котором действует данная сила, и от закона распределения данной нагрузки.

Для приближения расчета к реальным условиям процесса ЭЭО необходимо рассмотреть колебания струны с учетом сопротивления окружающей среды. Силу сопротивления, возникающую при этом, примем пропорциональной скорости. Тогда на бесконечно малый участок струны М1М2 действует сила

г ди д

=*¥ а,,

где а - коэффициент пропорциональности.

Сила сопротивления всегда направлена против движения, следовательно,

д 2и 2 д2и „ ди 1

—^ = а —^ - 2т— + —, дг дх дг р

где а / р = 2т.

Ограничиваясь случаем свободных колебаний, запишем уравнение

в виде

д2и ди 2 д2и

—Т + 2т— = а —2.

дг2 дг дх2

При начальных условиях

ди

= Р

г=0

при граничных условиях

и = 0, и\ = 0.

1х=0 1х=/ 4 7

Решение уравнения (1) с условиями (2), (3) будем производить методом Фурье:

и

отсюда получаем

(It + 2mT л

X

Поскольку краевые условия для функций Х(х) остались такими же, как и для случая колебаний без сопротивления, то равенство (4) будет возможно,

если обе его части равны X2, где Xк = - собственные числа (к = 1,

2, ...); при этом собственные функции Хк(х) определяются по формуле

• к кх Хк(х) = эт——.

Для определения функций Тк(г) получим дифференциальное уравнение

Тк+ 2тТ'к + [^^ Тк = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид

г2 + 2тг +1 1 = 0.

l

Корни уравнения

Г =-т +

2 i kna т +|

l

Предположим, что коэффициент трения т настолько мал, что подкоренное выражение отрицательно для любых значений k. Данное условие будет

pa

выполняться тогда, когда т < —^-

Вводя обозначения, получим ^-k^j - т2 = qI, следовательно, общее решение уравнения (1) будет иметь вид

u

k=i l

где коэффициенты ak, bk находятся следующим образом:

l' k f (x)sin- l

ak = y Í f (x)sin — dx, l

a

bk = — [f (x)sin knx dx + mak.

q 0 l qk

Таким образом, решение уравнения (5) позволит определить деформацию ЭИ в процессе ЭЭО с учетом сопротивления окружающей среды.

Список литературы

1. Fundamental geometry analysis of wire electrical discharge machining in corner cutting / W.J. Hsue [et al.] // International Journal of Machine Tools & Manufacture. - 1999. - № 39. - P. 651-667.

2. Абляз T.P. Изучение погрешности формы, возникающей при обработке криволинейных поверхностей на проволочно-вырезном электроэрозион-ном станке // Вестник ПГТУ. Машиностроение, материаловедение. - Пермь, 2011. - Т. 13, № 3. - С. 51-54.

3. Altpeter F., Perez R. Relevant topics in wire electrical discharge machining control // Journal of Materials Processing Technology. - 2004. - № 149. -P. 147-151.

Получено 3.09.2012

Абляз Тимур Ризович - аспирант, лауреат премии «Инженер года», Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, е-mail: lowrider11-13-11@mail.ru).

Иванов Владимир Александрович - доктор технических наук, профессор, Пермский национальный исследовательский политехнический университет (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, е-mail: msi@pstu.ac.ru).

Ablyaz Timur Rizovich - Postgraduate Student, Engineer of the Year award winner, Perm National Research Polytechnic University (614990, Perm, Komso-molsky av., 29, е-mail: lowrider11-13-11@mail.ru).

Ivanov Vladimir Aleksandrovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Perm National Research Polytechnic University (614990, Perm, Komsomolsky av., 29, е-mail: msi@pstu.ac.ru).