Расчет аэродинамических характеристик эллипсоидальных носовых частей при гиперзвуковых скоростях

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIV 1993 №4

УДК 533.6.011.55.011.6 532.526.011.55.011.6

РАСЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ НОСОВЫХ ЧАСТЕЙ ПРИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

В. А. Башкин, И. В. Егоров

На основе полных уравнений Навье — Стокса с выделением головной ударной волны исследовано обтекание сверхзвуковым потоком воздуха осесимметричных носовых частей в виде эллипсоидов вращения, коэффициент эллиптичности 8 которых изменялся от 1,0 до 10,0. Обтекаемая поверхность предполагалась абсолютно нетеплопроводной, и с нее происходило излучение тепловой энергии согласно закону Стефана — Больцмана. В качестве модели движущейся среды использовался совершенный и несовершенный газ; в последнем случае в движущейся среде происходят неравновесные термохимические процессы. Рассмотрено поведение локальных характеристик на поверхности тела в зависимости от числа Рейнольдса, коэффициента эллиптичности и каталитических свойств поверхности.

Задача по определению аэродинамических характеристик тела, движущегося с гиперзвуковой скоростью в плотных слоях атмосферы, является многопараметрической, сложной в математическом и вычислительном отношении и сопряжена со значительными затратами машинного времени. Вследствие этого особенности гиперзвукового обтекания тел обычно исследуются на частных примерах с целью выявления влияния тех или иных факторов на аэродинамические характеристики. Так, например, в [1, 2] на примере носовой части в виде эллипсоида вращения, обтекаемого гиперзвуковым потоком =’7000 м/с) совершенного газа и неравновесного воздуха под нулевым углом атаки, было изучено влияние формы тела (коэффициента эллиптичности) и неравновесных процессов на их суммарные аэродинамические характеристики: коэффициенты сопротивления трения, сопротивления давления и аэродинамического сопротивления. Сравнительный анализ показал, что учет эффектов реального газа приводит для тел малого удлинения к незначительному снижению, а для тел большого удлинения к не-

значительному возрастанию коэффициента сопротивления давления по сравнению с его значением для совершенного газа. На сопротивление трения это воздействие существенно больше: для тела малого удлинения коэффициент сопротивления трения снижается примерно на 20...30%; с ростом удлинения тела влияние эффектов реального газа ослабевает и для тел большого удлинения меняет свой знак. В целом же эффекты реального газа и каталитические свойства поверхности влияют слабо на аэродинамическое сопротивление тела и существенно на температурный режим обтекаемой поверхности.

В указанных выше работах слабо освещены вопросы о точности расчета локальных характеристик эллипсоидальных носовых частей, поведении их вдоль образующей тела и влиянии на них эффектов реального газа и каталитических свойств обтекаемой поверхности. С этой целью были проведены специальные расчетные исследования, результаты которых излагаются ниже.

1. Носовая часть представляет собой лобовую поверхность эллипсоида вращения и характеризуется коэффициентом эллиптичности 5= а / Ь , где а и Ъ — полуоси эллипса, расположенные параллельно и ортогонально вектору скорости набегающего потока. Удлинение носовой части Я = а / 27?м = 5 / 2, где — радиус миделевого сечения.

Поле течения около лобовой поверхности эллипсоида вращения определялось путем численного интегрирования полных уравнений Навье — Стокса с выделением головной ударной волны.

В силу осесимметричности задачи область интегрирования в цилиндрической системе координат х, г ограничена осью симметрии, контуром образующей тела, плоскостью миделевого сечения и головной ударной волной. При численном анализе двумерных уравнений Навье — Стокса в качестве краевых условий на ударной волне ставились обобщенные условия Ренкина — Гюгонио, на оси симметрии — условия симметрии, на обтекаемой поверхности — условия непротекания и прилипания и условие локального баланса тепла, в миделевом сечении — «мягкие условия» экстраполяции. При этом предполагалось, что газ является оптически прозрачным, а с обтекаемой абсолютно нетеплопроводной поверхности происходит излучение тепловой энергии по закону Стефана—Больцмана (степень черноты поверхности е= 0,85).

При расчетах использовались модели совершенного газа и неравновесного воздуха. Совершенный газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона, имеет постоянные удельные теплоемкости (их отношение у = СР / си = 1>4), постоянное число Прандтля Рг=0,71 и динамическую вязкость, значение которой зависит только от температуры и вычисляется по формуле Сазерленда.

В модели неравновесного воздуха учитывалось шесть реакций по схеме Зельдовича: реакции диссоциации кислорода, азота и окиси азота, реакция образования окиси азота и обменные реакции; при этом значения скоростей химических реакций определялись согласно [3], коэффициенты переноса согласно [4, 5], а удельные энтальпии компонентов газовой смеси согласно [6]. Число Шмидта принималось постоянным и равным 0,5. При

численном анализе обтекания тела неравновесным потоком воздуха учитывались каталитические свойства обтекаемой поверхности и были рассмотрены три ситуации: 1) абсолютно каталитическая поверхность; 2) абсолютно некаталитическая поверхность; 3) поверхность конечной

каталитичности (коэффициенты каталитичности Jfcw0 = kwjf = 3 м / с).

Для решения полных двумерных уравнений Навье — Стокса применен неявный интегро-интерполяционный метод конечных разностей [7]. Потоки в полуцелых узлах, включая смешанные производные, аппроксимировались центральными разностями со вторым порядком точности на девятиточечном шаблоне «ящик»; эта схема проста и надежна в областях плавного изменения газодинамических переменных, но не обладает свойством монотонности, что может приводить к осцилляциям сеточного решения в областях их резкого изменения. Для решения нелинейных сеточных уравнений использован модифицированный метод Ньютона—Рафсона, а линеаризованная девятидиагональная система уравнений решалась при помощи L [/-разложения с предварительной перенумерацией неизвестных по методу вложенных сечений.

Расчеты проведены при скорости полета V„ = 7000 м / с на высоте Н= 70 км для различных значений числа Re (изменение Re осуществлялось за счет варьирования характерного линейного размера Л^); коэффициент эллиптичности 8 изменялся от 1,0 до 10,0.

2. Расчеты проводились на сетке пх т, равномерной в продольном и неравномерной в нормальном к обтекаемой поверхности направлениях; при этом сгущение узлов сетки по нормальной координате выбиралось в зависимости от чисел М и Re. Итерационная абсолютная поірешность решения задачи не превышала 10~5.

Контрольные расчеты на примере обтекания эллипсоидов малого удлинения (£« 1), проведенные на сетках 21 х 41 й 41 х 81, показали,что максимальная погрешность определения радиационно-равновесной температуры поверхности эллипсоида менее 1%.

Первая серия параметрических расчетов, которая ставила основной целью изучение интегральных характеристик носовых частей, была проведена на сетке 21x41. Такой ее выбор обусловлен, в первую очередь, временными затратами на ЭВМ. Вместе с тем очевидно, что по мере увеличения коэффициента эллиптичности возрастает удлинение носовой части и в окрестности ее вершины усиливаются градиенты газодинамических переменных в продольном направлении. Вследствие этого при £-+10 сетка по продольной координате становится слишком ірубой, и это может привести к значительным погрешностям счета.

В связи с этим на примере обтекания лобовой поверхности эллипсоида

с 8 = 10 (число Re*, = 4 х 104) было проведено исследование влияния погрешности аппроксимации — числа узлов п в продольном направлении

(21 й п й 65) при т = const = 41 на точность расчета поля течения.

Влияние сеточного параметра и на величины коэффициента давления ср и радиационно-равновесной температуры Tw в критической точке тела показано на рис. 1. По результатам, полученным на мелких сетках с я = 65 ил» 61, были вычислены значения срТ и TwT согласно экстраполяции по

Рис. 1. Влияние сеточного параметра п на величины коэффициента давления ср и радиационно-равновесной температуры в критической точке тела

Схл-Ю3 вО, 121 г

80,070

80,019

79,968

79,917

0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 1/п

СаРУЩ?

Ю,7

0,015 0,020 0,025 ОЛЗО 0,035 0,040 0,0451/п

сх-10г 13,362Г

0,015 0,0200,025 0,030 0,035 0,400 0,045 Цп

Рис. 2. Влияние сеточного параметра п на значения коэффициентов сопротивления давления , сопротивления трения схр и аэродинамического сопротивления сх

Ричардсону (сплошные прямые на рис. 1). Как коэффициент давления, так и температура тела в критической точке расчетом на фиксированной сетке занижаются и с ростом сеточного параметра и монотонно стремятся к точному значению снизу. Погрешность определения ср велика при и = 21 (-17%)» уменьшается с ростом параметра и и при п = 65 составляет уже -2%. При заданной сетке температура вычисляется с меньшей погрешностью, чем коэффициент давления; при возрастании сеточного

параметра и от 21 до 65 она уменьшается с -2,1% до -0,5%.

Изменение коэффициента давления ср и температуры 7^ вдоль образующей тела носит достаточно гладкийхаракгер, и увеличение параметра п приводит к повышению точности расчета в окрестности вершины тела и практически не сказывается на точности расчета в его кормовой части. Иная картина наблюдается при расчете местного коэффициента сопротивления трения су. Распределение су вдоль омываемой поверхности является немонотонным; увеличение сеточного параметра п приводит к

появлению осцилляций в окрестности его максимума, особенно заметных для тел большого удлинения, что, по-ввдимому, связано с немонотонностью разностной схемы.

На аэродинамическое сопротивление и его составляющие влияние параметра я менее значительно, чем на локальные характеристики (рис. 2). Даже на самой грубой сетке (21 х 41) коэффициенты аэродинамического сопротивления и сопротивления давления вычисляются с приемлемой степенью точности: отличие отданных, полученных на самой мелкой сетке

(65 х 41),составляет0,92%и0,27% соответственно.Естественно,наименее точно определяется коэффициент сопротивления трения: различие в его значениях, полученныхнасамойгрубойисамой мелкой сетках, не превышает 2 %. Далее отметим, что изменение коэффициента сопротивления давления в зависимости от п (см. рис. 2) носит менее гладкий характер по сравнению с аналогичной зависимостью для коэффициента давления в критической точке (см. рис. 1).

Таким образом, с увеличением параметра я повышается точность расчета, но одновременно существенно возрастает продолжительность счета. Поэтому проводить систематические расчеты с использованием самой мелкой сетки нецелесообразно по экономическим причинам. Вместе с тем анализ показал, что если определить точное решение как экстраполяцию по Ричардсону решений на мелкой (я = 65 и 61, сплошные прямые на рис. 1) и грубых (я = 21 и 41, штриховые прямые на рис. 1) сетках, то различие между ними не превышает 1%. Поэтому было решено провести систематические расчеты на сетке 41 х 41 и, используя ранее полученные результаты на сетке 21x41, провести экстраполяцию по Ричардсону. Это обеспечивает расчет основных аэродинамических характеристик носовой части с погрешностью » 1 %, что вполне приемлемо для прикладных задач.

3. Для рассматриваемых носовых частей максимум коэффициента

давления ср и максимум теплового потока Я», а следовательно, и максимальное значение рад иационно -равновесной температуры на обтекаемой поверхности наблюдается в критической точке тела.

Для идеального газа коэффициент давления в критической точке не зависит от формы тела и определяется только числом М набегающего потока и теплофизическими свойствами движущейся среды; для рассматриваемых условий обтекания Ср = 1,835 (на рис. 3, а эта

зависимость нанесена штриховой линией). Для вязкого газа его значение будет зависеть как от формы тела, так и от числа Яе (см. рис. 3, а). При

д= \ (полусферическая носовая часть) значения ср (0) для вязкого газа превышают соответствующее значение для идеального газа: максимальное различие наблюдается при наименьшем числе Ле и составляет 3,5%. С увеличением числа 11е это различие уменьшается, но всюду ср^ > ср .

Такой характер поведения ср в зависимости от числа Ле при гиперзвуковых

скоростях полета в целом согласуется с данными [8], где исследовано обтекание кругового цилиндра на основе уравнений Навье — Стокса.

Совершенный газ: 1 - ReM = 4  104; 2- Re*, =

= 4 103; 3 - Re,,, = 4 • 102

Рис. 3

С увеличением удлинения тела (коэффициента эллиптичности 8) коэффициент давления ср . при наименьшем числе Re монотонно возрастает; максимальное отличие от идеального газа имеет место для тела наибольшего удлинения (8 = 10) и составляет примерно 13%. При наибольшем числе Re значение ср^ в зависимости от 8 практически остается постоянным и лишь для тел большого удлинения начинает монотонно уменьшаться; при этом для тела с 8 = 10 ср^ < ср.^ и различие между ними составляет примерно 0,8%.

Максимальная температура Tw (0) в зависимости от параметров 8 и ReM ведет себя так, как и следовало ожидать: при Rew = const значения Ту, (0) возрастают по мере увеличения коэффициента эллиптичности, поскольку с ростом 8 уменьшается радиус кривизны в критической точке

и, следовательно, возрастает тепловой поток (см. рис. 3, б). При 8 = const максимальная температура поверхности возрастает по мере уменьшения числа Re.

Для полусферической носовой части (5=1,0) число Re оказывает сравнительно слабое влияние на распределение ср = ср(г) ив особенности на отношение ср(г)/ср(0). С увеличением удлинения носовой части влияние числа Рейнольдса на ср возрастает в окрестности критической

точки и ослабевает по мере отхода от нее, но остается в силе очень слабое влияние числа Яе на распределение относительной величины ср (г) / ср (0).

Влияние формы тела на распределение коэффициента давления вдоль обтекаемой поверхности показано на рис. 4, а для фиксированного числа К.е. Для всех тел коэффициент давления монотонно уменьшается по мере отхода от критической точки вниз по потоку, но характер зависимости ср = ср (г) разный: если для полусферической носовой части эта зависимость является выпуклой (кривизна кривой имеет постоянный знак), то для тел большого удлинения она выпукло-вогнутая (кривизна кривой меняет знак).

Как и в рамках теории пограничного слоя, изменение числа Яе вызывает лишь количественные изменения в распределении температуры по обтекаемой поверхности: с увеличением Ле уровень температуры понижается. Изменение формы тела сказывается на характере распределения температуры (рис. 4, б): если для носовой части малого удлинения (£ = 1,0) температура медленно уменьшается по мере отхода от критической точки вниз по потоку и темп изменения возрастает в окрестности миделевого сечения, то для тел большого удлинения характерно быстрое изменение температуры в окрестности критической точки и снижение темпа изменения на остальной части поверхности. При этом с ростом удлинения тела уровень температуры повышается в окрестности критической точки и понижается в кормовой части тела.

Совершенный газ: = 4 • 104; 1-8 = 1,0;

2-8 = 5,0; 3-8= 10,0

Рис. 4

Влияние определяющих параметров задачи на распределение местных коэффициентов сопротивления трения су и теплопередачи

ch = Qw / «о (1 - Hw)\ вдоль омываемой поверхности в качественном

отношении имеет такой же характер, как и в рамках уравнений Прандтля.

С этой целью было проанализировано поведение величин Cj-^jReM и ch yj]Re*,, которые в теории пограничного слоя не зависят от числа Re.

Распределение с у ^Re*, вдоль образующей тела является немонотонным и типичным для затупленных осесимметричных тел. При 8 = const уменьшение числа Re приводит к возрастанию этой величины на всей обтекаемой поверхности, а при Re*, = const по мере увеличения

удлинения тела возрастает максимум величины су , а его положение смещается к критической точке.

Параметр теплопередачи ch изменяется монотонным образом вдоль омываемой поверхности, принимая максимальное значение в

критической точке (см. рис. 5, а). При 8 = const величина cftA/ReM возрастает по мере уменьшения числа Re, а изменение формы тела (увеличение 8) при Re*, = const приводит к ее возрастанию в окрестности критической точки и уменьшению вдали от критической точки.

4. Для реального воздуха расчеты были проведены, при одном числе Rew = 4•104 .

Эффекты реального газа приводят к некоторому возрастанию коэффициента давления (максимальное отличие наблюдается при 8 = 1 и не превышает 5%) и снижению уровня температуры (рис. 6) в критической точке тела. Каталитические свойства поверхности практически не влияют на значение (0), но вызывают заметное воздействие на уровень температуры. При этом зависимости для тел малого и умеренного удлинения с разными каталитическими свойствами поверхности идут почти эквидистантно, что указывает на слабую зависимость проявления эффектов реального газа от формы тела. Однако для тел большого удлинения влияние эффектов реального газа ослабевает* что, по-видимому, связано с тем, что сравнение проводится при разных значениях температурного фактора (разных значениях Tw).

Свойства реального газа и обтекаемой поверхности оказывают слабое влияние на распределение относительного коэффициента давления ср (г) / ср (0) по контуру тела независимо от его формы. В то же время их проявление на распределение температуры существенным образом зависит от формы тела (см. рис. 7): если для тела малого удлинения оно заметно на всей обтекаемой поверхности, то для тела большого удлинения только в окрестности критической точки (при г < 0,3). Это связано со следующим. У тел малого удлинения область критической точки, в которой имеет место высокий уровень температуры,занимает большую часть площади миделевого сечения, а область течения с низким уровнем давления и

ю

а — совершенный газ: Ле^ = 4 • 104;

1-5 = 1,0; 2-5= 5,0; 3-3=10,0;

б — реальный газ: ДА = (су, фїе^)р -

- (с/, ^Кех ) ; индексы соответствуют:

р — совершенный газ, г— реальный газ; 1,4 — абсолютно каталитическая поверхность; 2,5 — абсолютно некаталитическая поверхность; 3,6 — поверхность конечной каталитичности

Рис. 5

Реальный газ: = Тщ - Тн,г; индексы:

р— совершенный газ, г — реальный газ; 1 — абсолютно каталитическая поверхность; 2 — абсолютно некаталитическая поверхность; 3 — поверхность конечной каталитичности

Рис. 6

Реальный газ: АТК = Ткр - Тм/Г; индексы и обозначения кривых те же, что на рис. 5,6

Рис. 7

температуры вне пристеночного слоя относительно невелика. Поэтому воздух в пристеночных слоях, перетекая из окрестности критической точки в кормовую часть тела, будет находиться в существенно неравновесном состоянии. У тела большого удлинения область критической точки занимает незначительную часть площади миделевого сечения, поэтому высокотемпературный неравновесный воздух эволюционирует в обширную область низких давлений и температур и все эффекты реального *аза быстро затухают.

Аналогичным образом влияние неравновесных процессов и каталитических свойств поверхности на распределение местных коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи (см. рис. 5, б) для тел малого удлинения проявляется на всей обтекаемой поверхности, а для тел большого удлинения только в некоторой окрестности критической точки.

Таким образом, результаты проведенного исследования показывают, что используемая методика численного анализа позволяет определять аэродинамические характеристики затупленных осесимметричных носовых частей в условиях гиперзвукового полета с точностью, приемлемой для инженерной практики.

Вместе с тем недостаточно надежно определяется распределение местного напряжения трения, в особенности для тел большого удлинения, из-за появления осцилляций в окрестности его максимума. С этой точки зрения необходимы дальнейшие исследования по повышению эффективности численного алгоритма.

ЛИТЕРАТУРА

1. Башкин В. А., ЕгоровИ. В., Колина Н. П. Аэродинамические характеристики осесимметричных носовых частей в сверхзвуковом потоке // Ученые записки ЦАГИ.—1993. Т. 24, № 2.

2. Ye go го v I. V. On the influence of real gas properties on integral aerodynamic coefficients // Proceedings of the 4-th International Symposium on Computational Fluid Dynamics, Davis, California. — September 9 — 12,1991. Vol. 2.

3. Kang S. W., Dunn M. G. Theoretical and measured elektron-density distribution for the RAM vehicle at high altitudes. //AIAA Paper. — 1972. N 689.

4. Wilke S. A viscosity equation for gas mixtures // J. Chem. Phys. — 1950.

Vol. 18, N 4.

5. Mason E. A., Saxena S. C. Approximate formula for the thermal condactivity of gas mixtures // Phys. Fluids. — 1958. Vol. 1, N 5.

6. Гурвич JI. В., Вейц И . В., Медведев В. А. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. — М.: Наука, 1978. Т. 1. Кн. 2.

7. Егоров И. В., Зайцев О. Л. Об одном подходе к численному решению двумерных уравнений Навье — Стокса методом сквозного счета//

Ж. вычисл. матем. и матем. физ,—1991. Т. 31, № 2.

8. Башкин В. А., Бабаев И. Ю., Егоров И. В. Расчет обтекания цилиндрического тела на основе уравнений Навье — Стокса // Труды ЦАГИ. — 1990. Вып. 2514.

Рукопись поступила 26/111992 г.