Многоуровневая модель для описания пластического и сверхпластического деформирования поликристаллических материалов

УДК 539.52

Многоуровневая модель для описания пластического и сверхпластического деформирования поликристаллических материалов

П.В. Трусов, Э.Р. Шарифуллина, А.И. Швейкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия Для развития технологий изготовления металлических деталей сложной формы перспективным представляется использование режимов сверхпластического деформирования, предоставляющего возможность получения деталей без сварных швов, снижения числа технологических операций, проведения процесса формовки при малых усилиях с уменьшением износа инструментов. Для установления рациональных режимов обработки эффективным является применение математических моделей, центральным элементом которых являются определяющие соотношения. Однако описание даже простейшего (одноосного) испытания с выходом в режим сверхпластичности связано со значительными трудностями в силу сложного сценария реализации процесса деформирования. В материале действуют и оказывают взаимное влияние несколько физических механизмов, меняется их роль, существенным образом эволюционирует структура материала. Аналогичная ситуация характерна и для технологических процессов, базирующихся на использовании сверхпластичности. Поэтому для совершенствования технологий требуются математические модели материалов, позволяющие описывать изменение структуры и зависящих от ее состояния физико-механических свойств. Наиболее перспективным для решения указанной задачи представляется многоуровневый подход, базирующийся на введении внутренних переменных, физических теориях пластичности, явном описании структуры материала и физических механизмов деформирования. Предложена многоуровневая модель для описания поведения поликристаллических металлов и сплавов, учитывающая ключевые механизмы пластического и сверхпластического деформирования: внутризеренное дислокационное скольжение, развороты кристаллических решеток зерен, изменение зеренной структуры. Особое внимание уделено описанию зернограничного скольжения, лидирующего при сверхпластическом деформировании и переходе к нему, и сопровождающих его аккомодационных механизмов — зернограничной диффузии и динамической рекристаллизации. При описании зернограничного скольжения явно рассматриваются вязкопластические сдвиги по границам кристаллитов, подмодель выделяется в отдельный структурный уровень. В модели учитывается взаимодействие механизмов зернограничного и внутризеренного скольжения: приток внутризеренных дислокаций в границу делает ее более дефектной (неравновесной), повышает энергию границы и способствует зернограничному скольжению. Реализация зернограничного скольжения приводит к уменьшению дефектов в границе и, как следствие, снижению сопротивления внутризеренному скольжению. Полученные результаты численных экспериментов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, что позволяет считать предложенную многоуровневую модель перспективной для описания различных режимов неупругого деформирования и переходов между ними.

Ключевые слова: многоуровневая модель для описания деформирования металлов и сплавов, структурная сверхпластичность, эволюция структуры, физические механизмы деформирования, зернограничное скольжение DOI 10.24411/1683-805X-2019-12001

Multilevel model for the description of plastic and superplastic deformation

of polycrystalline materials

P.V. Trusov, E.R. Sharifullina, and A.I. Shveykin

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia Superplastic deformation regimes seem promising for the manufacturing of complex-shaped metal parts and components. Such conditions make it possible to produce parts without welds, reduce the number of technological operations and forces involved in the forming process, thus decreasing tool wear. Optimal processing modes can be determined using mathematical models based on constitutive equations. However, there are serious difficulties in describing even the simplest uniaxial testing with the achievement of superplas-ticity due to a high complexity of the deformation scenario, in which several physical mechanisms act and influence each other, their role changes, and the material structure evolves significantly. A similar situation is observed in technological processes based on the use of superplasticity. Therefore, in order to improve technologies, mathematical models of material deformation must be able to describe changes in the structure and structure-dependent physicomechanical properties. The most promising approach to solving this problem is a multilevel crystal plasticity approach based on the introduction of internal variables and an explicit description of the material structure and physical deformation mechanisms. Here we propose a multilevel model for describing the behavior of polycrystalline metals and alloys, with account for key plastic and superplastic deformation mechanisms, such as intragranular dislocation slip, crystal lattice rotation, and changes in the grain structure. Special attention is paid to the description of grain boundary sliding, which is the leading mechanism in superplastic deformation, and accompanying accommodation mechanisms, such as grain boundary diffusion and dynamic recrystalliza-tion. When describing grain boundary sliding, viscous-to-plastic transitions along crystallite boundaries are considered explicitly, and the submodel is attributed to a separate structural level. The model takes into account the interaction between grain boundary sliding and intragranular slip. The influx of intragranular dislocations into the boundary increases the amount of defects in it (making it nonequilibrium), increases the boundary energy, and promotes grain boundary sliding. On the other hand, grain boundary sliding leads to a decrease in the amount of grain boundary defects and hence in resistance to intragranular slip. The results of numerical experiments agree well with the experimental data, showing that the proposed multilevel model is suitable for describing various inelastic deformation modes and transitions between them.

Keywords: multilevel model for deformation description in metals and alloys, structural superplasticity, structure evolution, physical deformation mechanisms, grain boundary sliding

© Трусов П.В., Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И., 2019

1. Введение

Перспективным направлением развития технологий изготовления металлических деталей сложной формы является использование сверхпластического деформирования. К основным преимуществам данного подхода относятся [1-6]: возможность получения крупногабаритных деталей без сварных швов, снижение числа технологических операций, проведение процесса формовки при малых усилиях, уменьшение расхода материала, получение гладкой поверхности изделия с минимальными отклонениями от заданной геометрии, в частности, с предотвращением разнотолщинности и с высокоточным заполнением штампов. В последнее время находят применение комплексные технологии, совмещающие сварку и сверхпластическую формовку, для получения многослойных пустотелых конструкций [5, 7-9]. Для исследования и совершенствования технологических процессов наиболее эффективным «инструментом» является математическое моделирование, включающее в качестве основного компонента формулировку определяющих соотношений материалов, способных с достаточной степенью адекватности описывать физические процессы при деформировании. Идентификация и верификация моделей материалов осуществляется на основе экспериментальных данных, получаемых, как правило, на макрообразцах, подвергаемых одноосному растяжению.

К текущему моменту накоплена обширная база экспериментальной информации об особенностях структурной сверхпластичности различных металлических сплавов [4, 8, 10]. К числу основных особенностей сверхпластического деформирования относятся аномально высокие показатели относительного удлинения при отсутствии ярко выраженной зоны локализации деформации (шейки), заметное снижение по сравнению с «обычным» пластическим деформированием сопротивления неупругому деформированию (пониженное напряжение течения), высокая чувствительность напряжения течения к скорости деформации, стабильная мелкозернистая структура материала с преобладающей долей высокоугловых межзеренных границ, смена соседствующих кристаллитов. Структурная сверхпластичность наблюдается преимущественно в многокомпонентных близких к однофазным и двухфазных сплавах с различной атомарной структурой фаз. Внутренняя структура материалов первого типа обычно представляет собой ограниченный твердый раствор с матричной структурой из металла основной фазы с распределенными по объему и границам зерен частицами интерме-таллидных фаз внедрения (объемная доля добавочных компонентов-металлов в таких сплавах не превышает 10 %, но частицы играют важную роль, в первую очередь, ограничивая рост зерен и обеспечивая стабилиза-

цию зеренной структуры для реализации сверхпластического деформирования). Стабилизация зеренной структуры двухфазных сплавов связана с ограничением роста зерен одной фазы присутствием второй фазы.

При разработке математической модели для описания деформирования указанных материалов авторы настоящей статьи предприняли попытку систематизировать данные экспериментальных исследований с целью формирования по возможности полной картины о физических механизмах структурной сверхпластичности и необходимых изменениях структуры материала для перехода к деформированию в этом режиме, результаты этого анализа отражены в [10]. В подавляющем большинстве экспериментальных работ (в [10] цитируются 139 работ) представлены результаты исследований, полученные в ходе испытаний на растяжение образцов (с различной исходной внутренней структурой и при разных температурно-скоростных условиях). Важным является то, что для многих сплавов, в том числе широко применяемых в промышленности, в определенных тем-пературно-скоростных диапазонах наблюдается стадийность зависимости напряжения от деформации, связанная с реализацией различных механизмов деформирования, их взаимодействием и сменой их ролей в процессе деформирования. На рис. 1 приведены экспериментальные данные [11] для одноосного растяжения (для определенности — вдоль оси ОХ 3 фиксированной лабораторной системы координат) при различных постоянных скоростях движения захвата. Подобные зависимости приводятся в [12-16] для близких к однофаз-

а33, МПа

0 200 400 600 833,%

Рис. 1. Зависимости продольных напряжений а33 от относительного удлинения е33, полученные при испытаниях на растяжение с различными скоростями (линейной) деформации 10-4 (1), 10-3 (2), 102 (3), 101 с1 (4) для сплава 1420 (А1 -5.5 % Mg - 2.2 % Li - 0.12 % 7г) при гомологической температуре 0.56 и начальном размере зерна 1.2 мкм [11]

ным алюминиевых сплавов, в [17, 18] — для магниевых сплавов, в [ 19-21 ] — для двухфазных сплавов на основе цинка и меди, в [22, 23] — для титановых сплавов. В литературных источниках отмечается отсутствие ярко выраженной зоны локализации деформации (шейки), что позволяет использовать необходимое при экспериментальном исследовании напряженно-деформированного состояния предположение об однородности деформации образца.

В [10] предложен следующий «сценарий», реализующийся во время испытания с выходом в режим сверхпластичности в предположении нахождения темпера-турно-скоростных условий в необходимом диапазоне. Для исключения необходимости рассмотрения возможной непрерывной динамической рекристаллизации как основного механизма сверхпластичности принимается, что температура испытания — не более 0.7 гомологической.

Поликристаллический материал в начальном (перед испытанием) состоянии представляет собой конгломерат зерен как с близкой к шаровой формой и с низкой плотностью дефектов, образовавшихся в результате динамической рекристаллизации при предварительной обработке методами интенсивной пластической деформации, так и кристаллитов нерекристаллизованного материала (зерна с высокой плотностью дефектов могут быть как близкими к сферической форме, так и вытянутыми). Во всех найденных источниках данные об испытаниях на сверхпластичность приводятся для подобной структуры. Причиной ее «недоработки» в процессе предварительной интенсивной пластической деформации до полностью рекристаллизованного состояния, вероятно, является то, что при продолжении процесса обработки (например, реализацией добавочных проходов равноканального углового прессования) происходят нежелательные изменения в зеренной и граничной структуре. Эти изменения могут быть связаны с перераспределением или изменением количества внедренных частиц в объеме материала для близких к однофазным сплавов или с избыточным измельчением зерен одной из фаз для двухфазных сплавов и не приводят к улучшению сверпластических свойств. Отметим, что обозначенный вопрос свидетельствует о важности корректного моделирования процессов предварительной термомеханической обработки с анализом изменения структуры материала, которое выходит за рамки настоящей статьи.

На начальном этапе деформирования при испытании на сверхпластичность (восходящая ветвь на кривой растяжения, рис. 1) наблюдаются упрочнение и преобладающее действие механизмов внутризеренного дислокационного скольжения и ротаций зерен (происходит развитие кристаллографической текстуры), зерногра-ничное скольжение малозначимо.

На переходной стадии (кривая растяжения постепенно изгибается и может демонстрировать стадию либо со стабильным напряжением течения, либо с его постепенным снижением, рис. 1) происходит возрастание роли зернограничного скольжения, для реализации которого границы к этому моменту становятся более подготовленными за счет притока решеточных дислокаций и выглаживания посредством зернограничной диффузии. В зависимости от исходной структуры материала и температурно-скоростных условий испытания либо на начальном этапе, либо на переходной стадии начинает реализовываться динамическая рекристаллизация. Предполагается, что при рассматриваемых температурах основная роль рекристаллизации заключается в завершении подготовки внутренней структуры материала к режиму структурной сверхпластичности. Происходит рост исходно рекристаллизованных зерен за счет начально нерекристаллизованной фазы и интегральное снижение плотности дислокаций. В процессе деформирования наблюдается ротация зерен, при действии зер-нограничного скольжения (его роль постепенно возрастает) происходит смена соседних зерен, т.е. рекристал-лизованные зерна регулярно приходят в контакт с нере-кристаллизованными кристаллитами. Вероятность (в среднем) роста зерна по произвольному направлению пропорциональна площади границы в этом направлении. В связи с этим для удлиненных на начальной стадии за счет внутризеренного дислокационного скольжения зерен рост более вероятен в перпендикулярном по отношению к оси удлинения направлении, что обусловливает возврат формы зерен к шаровой на переходной стадии. В итоге после переходной стадии формируется практически полностью рекристаллизованная малодефектная равноосная зеренная структура.

Режим структурной сверхпластичности (стадия на кривой со стабильным напряжением течения или с его постепенным снижением) можно охарактеризовать следующими признаками: 1) преобладание механизма зернограничного скольжения, сопровождающегося аккомодационными механизмами внутризеренного дислокационного скольжения и зернограничной диффузии, ротациями и активной сменой соседних зерен; 2) имеет место стабильность структуры (все зерна остаются практически неизменными, структура — равноосной мелкозернистой) за счет одновременной реализации аккомодационного внутризеренного дислокационного скольжения и ротации зерен, когда формоизменение зерен в каждый момент времени происходит, но за счет постоянных поворотов результирующая деформация зерна близка к нулевой. Зернограничное скольжение приводит к ослаблению или рассеиванию текстуры, образованной после первой стадии испытания.

Выход из режима структурной сверхпластичности осуществляется, когда зернограничное скольжение пе-

рестает быть лидирующим механизмом. Последнее может происходить по геометрическим причинам (сильное утонение образца, в результате которого в объеме материала не остается свободы для осуществления меж-зеренного скольжения без разрыва образца), а также при выведении температурно-скоростных условий из требуемых для сверхпластического режима диапазонов (в частности, из-за особенности самого эксперимента, в большинстве случаев проводимого с постоянной скоростью движения захватов, т.е. с монотонным снижением скорости деформации [10]).

Таким образом, имеет место сложный сценарий реализации даже простейшего (одноосного на макроуровне) сверхпластического испытания: действуют и оказывают взаимное влияние несколько механизмов, меняется их роль, существенным образом эволюционирует структура материала. Аналогичная ситуация характерна и для технологий, основанных на сверхпластичности, — также происходит смена режимов деформирования, ролей механизмов деформирования и эволюция структуры, поскольку температурно-скоростные условия деформирования в различных частях обрабатываемой детали могут существенно отличаться. Поэтому актуально создание математических моделей материалов, позволяющих это учитывать и описывать.

Достижение последней цели в рамках макрофеноме-нологического подхода представляется маловероятным, поскольку модели данного класса не включают явное описание физических механизмов деформирования и изменяющейся структуры материала. Так как именно последние определяют поведение материалов с памятью, пренебречь ими в макрофеноменологических моделях, как и любых других, по существу, нельзя. В распространенных в настоящее время математических теориях они учитываются неявно, за счет введения так называемых материальных функций, описывающих свойства материала (например положение и форму поверхности текучести в теории пластического течения). Поэтому дополнительно в качестве существенного недостатка макрофеноменологических моделей в плане их применимости для исследования процессов интенсивного деформирования (характерных для технологических процессов, когда воздействия в различных частях изделия разнообразны), помимо упомянутой неспособности явно описать изменение структуры, можно назвать необходимость проведения экспериментов для (строго говоря, бесконечно) большого числа вероятных воздействий (в том числе траекторий нагружения) и учета полученных данных в операторе модели.

По мнению авторов, наиболее перспективным для создания моделей, позволяющих описывать смену режимов деформирования, ролей механизмов деформирования и эволюцию структуры (в частности, для техноло-

гических процессов, реализующих режим сверхпластичности), представляется многоуровневый подход, в котором основой является явное описание изменения структуры материала на различных масштабных уровнях. В развитие данного направления внесли значительный вклад отечественные ученые [24-30]. В последние десятилетия интенсивно развиваются построенные в рамках данного подхода многоуровневые модели на основе физических теорий пластичности (основной отличительной особенностью является явное описание деформирования отдельных кристаллитов) [31-46]. Ключевым аспектом моделей этого класса является введение множества внутренних переменных [47-51], явным образом характеризующих состояние элементов мезо- и микроструктуры и позволяющих описывать физические механизмы деформирования на различных масштабных уровнях. При этом память материала хранится в наборе текущих значений внутренних переменных, что позволяет осуществлять формулировку определяющих и кинетических соотношений в виде простых операторов, например систем дифференциальных уравнений. Для получения отклика на верхнем масштабном уровне используется та или иная процедура осреднения. Отметим, что модели данного класса обладают значительной универсальностью. Параметры модели постоянны для конкретного материала (а для ряда характеристик — для класса материалов), что позволяет с идентифицированными в простых опытах параметрами использовать модель при любых нагружениях и в случае корректного учета ключевых механизмов деформирования описывать поведение материала в относительно широком диапазоне параметров воздействия. Кроме того, соотношения конститутивной модели могут использоваться и для других материалов, в том числе еще не существующих, проектируемых, в случае действия аналогичных механизмов деформирования.

К настоящему моменту существенное развитие получили многоуровневые модели на основе физических теорий пластичности, учитывающие внутризеренное дислокационное скольжение, двойникование, ротации решеток кристаллитов [32, 44-46]. Важным направлением развития данного класса моделей, наряду с обоснованным с позиций физики твердого тела усовершенствованием описания традиционных механизмов (движение и взаимодействие дислокаций), является учет других значимых механизмов деформирования: фазовых превращений, зернограничного проскальзывания (скольжения), измельчения зеренной структуры (в результате фрагментации и дробления кристаллитов), динамической рекристаллизации и других. В частности, как отмечено выше, лидирующим механизмом в режиме сверхпластического деформирования и при переходе к нему является зернограничное скольжение, поэтому

важнейшей задачей при разработке многоуровневой математической модели для их описания является корректное описание данного механизма и его взаимодействия с другими.

В работах [52-54] представлены результаты исследований зернограничного скольжения в поликристаллах свинца и свинцовых сплавах при разных температурах и теоретическое описание данного механизма в рамках многоуровневой теории поворотных мод деформации. В [55] отмечается, что континуальное многоуровневое моделирование, учитывающее поведение границ зерен, находится на начальных этапах развития. В последнее время происходит совершенствование моделей путем включения в них данных о механике и физике границ, однако определяющие соотношения для описания поведения границ (например соотношения для энергии границ) до сих пор не имеют корректного физического обоснования. В настоящее время ведутся работы по описанию сверхпластичности [56] в рамках концепции нелинейной многоуровневой теории пластического деформирования [26, 27].

Авторам настоящей статьи практически не встречались многоуровневые модели на основе физических теорий пластичности, учитывающие механизм зерно-граничного скольжения. Данное направление в моделировании поведения металлов и сплавов также находится на начальной стадии своего развития. К настоящему времени можно выделить серию работ [57-61], в которых представлен возможный вариант согласованного описания сверхпластического деформирования на макроуровне (уровне образца) и мезоуровне (уровне зерна). Предлагается концепция полос кооперативного зер-нограничного проскальзывания, представляющих собой «макроскопически протяженную систему сопряженных границ, по которой происходит согласованный сдвиг» [61]. Такая система границ рассматривается как макрообъект и определяет представительный макрообъем, на который переносятся характеристики мезо-уровня. Также в перечисленных работах рассматривается вопрос об определении ресурса сверхпластичности — величины деформаций до разрушения.

В настоящей статье предлагается многоуровневая статистическая модель, базирующаяся на физических теориях упруговязкопластичности, учитывающая значимые при сверхпластическом деформировании механизмы и процессы—зернограничное скольжение, внут-ризеренное дислокационное скольжение, динамическую рекристаллизацию, ротации решеток кристаллитов, зернограничную диффузию. Особое внимание уделяется описанию взаимовлияния механизмов зерногранич-ного и внутризеренного скольжения, а также изменения их ролей в процессе неупругого деформирования поликристаллических материалов, демонстрирующего стадийность.

2. Структура и основные соотношения многоуровневой модели для описания деформирования поликристаллических материалов

Предлагаемая трехуровневая модель является обобщением базовой двухуровневой модели для описания деформирования поликристаллических материалов [50, 62], рассматривающей процессы на макроуровне (уровне представительного макрообъема поликристалла, состоящего из различно ориентированных кристаллитов (зерен, субзерен) и границ) и мезомасштабном уровне (уровне кристаллита — зерна, субзерна). Полагается, что представительный объем каждого уровня в каждый момент процесса деформирования находится в однородном напряженно-деформированном состоянии. Отметим, что в базовой двухуровневой модели, в отличие от классических статистических моделей типа Тейлора-Бишопа-Хилла [63], учитывается взаиморасположение кристаллитов в пространстве. В предлагаемой трехуровневой модели характеристиками процессов являются не только мера напряженного состояния (и ее объективная скорость изменения) и мера скорости деформирования (как в формулировках, приведенных в [50, 62]), но также температура и параметры зеренной структуры, важные для описания перехода к режиму сверхпластичности. На мезоуровне описываются механизмы внутризеренного дислокационного скольжения и ротаций решеток кристаллитов, изменение формы и размеров кристаллитов, учитывается динамическая рекристаллизация. Уровень описания зернограничного скольжения вводится как отдельный структурный уровень, и модель модифицируется в трехуровневую: макроуровень (представительного макрообъема) - структурный уровень описания зернограничного скольжения (может рассматриваться как подмодель макромасштаб-ного уровня) - мезоуровень. На уровне описания зерно-граничного скольжения также учитываются зерногра-ничная диффузия и взаимодействие зернограничного скольжения и внутризеренного дислокационного скольжения.

Ниже более подробно рассмотрены соотношения для описания процессов на различных уровнях предлагаемой модели, предназначенной для описания деформирования с переходом в режим сверхпластичности и способной реализовать приведенный выше сценарий деформирования, наблюдаемый в экспериментальных испытаниях (с выходом на сверхпластичность).

При записи соотношений модели «родственные» параметры состояния на макро- и мезоуровнях обозначаются одинаковыми буквами, на мезоуровне — строчными, на макроуровне — заглавными.

2.1. Соотношения модели на макроуровне

Для описания поведения материала на макромасш-табном уровне используются следующие соотношения:

Ксог = К - О • К + к • о =

= П :(7Vт - О - Zgb - zS1 - Z

О = <©>,

П = <п>,

Ъ^, = [соотношения промежуточного уровня для определения ЪЩ, ],

Ъ* =КП > + П -1: <п': / »'> + + П-1: (<к' • га>-<га • к'>),

Zth = <Л > + П-1: <п: / Л'>,

Q = < 4> + <^ь > еь.

VуТ = (VVT)SтR, © = (©^, © = (©Ы,

г=0 = К 0,

где определяющее соотношение — закон Гука в скоростной релаксационной форме (1), — сформулировано

О

в терминах текущей конфигурации, К = <р/ р> Е — взвешенный тензор напряжений Кирхгоффа макроуровня,

О

Е — тензор напряжений Коши макроуровня, <р/ р > — среднее отношение плотности в отсчетной и текущей конфигурации для кристаллитов, составляющих представительный объем макроуровня (согласно обобщенной гипотезе Фойгта эта величина в каждый момент процесса деформирования для всех кристаллитов одинакова); Ксог — объективная скорость изменения (коро-тационная производная) меры напряженного состояния на макроуровне; О — тензор спина квазитвердого движения; К0 — начальное значение макронапряжений, для естественной конфигурации К 0 = 0.

Напряжения К связываются с воздействиями (кинематическим V V т и тепловым—текущей температурой © и скоростью ее изменения ©). Воздействия определяются из решения краевой термомеханической задачи на уровне конструкции (уровень выше, чем представительный объем макроуровня) с использованием предложенной модели материала. В системе (1) это схематически отражено в соотношениях (1)8, где индекс (• обозначает уровень конструкции. Определяющее соотношение (1), содержит внутренние переменные (О, П, Zgb, ZS1, ZЛ), текущие значения которых определяются соотношениями (1)2-(1)6 с использованием приводимых далее моделей низших масштабных уровней, в которых воздействия VVт, ©, © являются аргументами наряду с внутренними переменными, характеризующими структуру материала и реализацию механизмов деформирования.

В качестве меры скорости полных деформаций в (1), используется индифферентный тензор градиент скорости перемещений на макроуровне за вычетом спина квазитвердого движения [64]. Тензор спина подвижной системы координат макроуровня О

(1)2 и тензор упругих свойств П макроуровня (1)3 передаются из модели мезоуровня с помощью операции осреднения по представительному макрообъему. Для определения неупругой составляющей транспонированного градиента относительной скорости перемещений Zgb используются соотношения промежуточного структурного уровня (1)4. Неупругая составляющая тензора скорости деформации за счет внутризеренных сдвигов Ъ™ (1)5 и термическая составляющая скорости деформации ЪЛ (1)6определяются из модели мезоуров-ня с использованием процедуры согласования определяющих соотношений макро- и мезоуровня [50].

Помимо напряжений, в качестве отклика представительного объема макроуровня необходимо определить мощность источника Q, используемого в уравнении теплопроводности краевой термомеханической задачи на уровне конструкции. Согласно (1)7, Q определяется осреднением (по представительному макрообъему) мощностей совокупности внутренних тепловых источников за счет внутризеренного скольжения <ц) и зернограничного скольжения <д^ > В (1) приняты следующие обозначения: ( • ) — для операции осреднения по представительному макрообъему (по кристаллитам), штриховые величины вида а' — для отклонения тензорной характеристики а в рассматриваемом кристаллите (для сокращения обозначений индекс кристаллита опущен) от среднего значения (а' = а -(а)), операция осреднения обладает свойством <а'> = 0 для любой характеристики а. Отметим, что использование условий согласования (1)5, (1)6 эквивалентно принятию равенства макронапряжений осредненным мезонапряжениям К = <к> [50]. Под О^ понимается осреднение по всем границам зерен в представительном макрообъеме.

В формулировке (1) отражается возможность многоуровневых моделей для представления параметров макроуровня как эффективных величин, интегрально характеризующих процессы деформирования на мезоуровне. В частности, разрешается важный при построении моделей описания технологических процессов (с характерными большими градиентами перемещений — геометрической нелинейностью) вопрос определения ко-ротационной производной — используется информация о подвижных системах координат отдельных кристаллитов (1)2, которые связываются с симметрийными элементами кристаллитов [65, 66], при этом изменение симметрии материала на макроуровне в результате формирования текстуры [67] не требует корректировки модели.

2.2. Соотношения модели на мезоуровне

Система уравнений на мезоуровне (применяется для каждого кристаллита, для упрощения записи индекс кристаллита опущен) имеет следующий вид:

кСОГ = к - и • к + к • и = п - ш - г* -

Vут = - Zgb, 0 = ©, 0 = ©,

2 Г = £ у (г)Ь(г)п(г), 1=1

У

ш = [соотношения для определения ш] , о • от = ш , 2Л = а 0, 9 = а°:г Г/Р,

к = к х

к|(=0 = ко, хс =0 = хс0 , У =0 = у0 ,

к = 1,..., К, оЦ = О0.

Здесь уравнение (2)1 — определяющее соотношение в терминах текущей конфигурации (гипоупругий закон);

о

к = р/р о — взвешенный тензор напряжений Кирхгоф-

о

фа мезоуровня; о — тензор напряжений Коши; р — плотность материала кристаллита в отсчетной конфигурации; р — плотность материала кристаллита в текущей конфигурации; кСог — коротационная производная тензора напряжений на мезоуровне; ш — тензор спина подвижной системы координат кристаллита, определяющий скорость ее поворота; п — тензор упругих свойств кристаллита (его компоненты постоянны в базисе подвижной системы координат каждого кристаллита); VVт = & • f-1 — транспонированный градиент скорости перемещений (передается с макроуровня на основе обобщенной гипотезы Фойгта (2)2 с учетом реализации части воздействий за счоет механизма зерногра-ничного скольжения Zgb); f = V г — градиент деформации (транспонированный градиент места (радиуса-вектора частицы г), определенный в отсчетной конфигурации); (VV1' - ш) = — мера скорости деформации, определенная как транспонированный градиент вектора относительной (относительно подвижной системы координат мезоуровня) скорости перемещений V,. [64]; V и V — операторы Гамильтона в подвижной и текущей лагранжевой системах координат соответст-

in й

венно; г8 и г — неупругая и термическая составляющие транспонированного градиента относительной скорости перемещений.

В качестве воздействий, помимо кинематического Vvт = VVт - Zgb согласно (2)2, с макроуровня также передаются температура 6 и скорость изменения температуры 6 (напомним, что все воздействия на мак-

роуровне определяются из решения краевой задачи на уровне конструкции).

Неупругая составляющая г™ меры скорости деформации определяется соотношением (2)3, в котором Ь(г) и п(г) — единичные векторы направления скольжения и нормали к плоскостям скольжения г-й системы скольжения в текущей конфигурации. Скорости внутризерен-• (0

ных сдвигов у4 , определяемые вязкопластическим соотношением (2)4, в каждом кристаллите описывают вклад в неупругие деформации за счет внутризеренного дислокационного скольжения по известным для данного материала кристаллографическим плоскостям скольжения (К—число систем скольжения). В соотношении для определения скоростей сдвигов в (2)4 использованы следующие обозначения: т — параметр модели (скоростная чувствительность по отношению к внутризе-ренному дислокационному скольжению), Н ( • ) — функция Хевисайда, х(к) — касательные напряжения (2)5, хСк) — критические напряжения. Параметр у 0 характеризует скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений критическим. В большинстве физических моделей пластичности он принимается постоянным и меньшим рассматриваемых скоростей деформации [31, 34, 44], что при использовании уравнения вида (2)5 отражает чувствительность к скорости деформации: при скоростях деформации, больших у0, превышение касательными напряжениями х(к) на активных системах скольжения критических х при небольших т может быть достаточно существенным. Следует отметить, что во многих работах в соотношения (2)5 добавляется множитель ехр (-и/(к6)), к — константа Больц-мана, и — параметр модели, для учета чувствительности отклика к температуре. Альтернативным является подход с использованием соотношения у 0 = П-Ои, Ои = = л/ 2/30' : О — интенсивность скорости деформации, О' — девиатор тензора деформации скорости О, п — параметр модели (обычно п = 1) [68, 69]. В этом случае чувствительность отклика к скорости деформации и температуре закладывается в эволюционные соотношения для критических напряжений х, при такой формулировке касательные напряжения для активных систем скольжения близки к критическим [69], что делает более ясной трактовку внутренних переменных х и соотношений для них, упрощает процедуру идентификации. В предлагаемой модели использовался именно этот вариант задания у 0 и учета скоростной и температурной чувствительности. Отметим, что в общем случае в модели при определении г™ может учитываться двойникование, однако при повышенных температурах, характерных для режимов деформирования, близких к сверхпластическому, двойникованием можно пренебречь.

Соотношения для определения изменения критических напряжений (2)6 и спина подвижной системы коор-

динат (2)7 приведены в (2) в общем виде, т.к. в различных моделях для их определения могут использоваться разные операторы, в частности, подмодели, алгоритмы. Конкретизированные соотношения, применяемые в предлагаемой модели, описываются далее. Ориентация подвижной системы координат кристаллитов относительно фиксированной лабораторной системы координат задается собственно ортогональным тензором о.

Термическая составляющая гЛ определяется соотношением (2)8, в котором а — тензор термического расширения. Мощность внутреннего теплового источника q, определяемая (2)9 (а — коэффициент выхода тепла, р — текущая плотность), так же, как и к, г™, ю, гЛ, п, передается на макромасштабный уровень (в (1)7).

В (2) к0, т, у0ко0 — начальные значения напряжений, критических сдвиговых напряжений и сдвигов (для каждой к-й системы скольжения, при принятии естественной конфигурации в качестве отсчетной к 0 = 0, у0к > = 0), ориентации подвижной системы координат соответственно.

В наиболее общей постановке система соотношений (2) должна быть дополнена уравнениями для параметров, характеризующих текущую форму зерна. Совокупность этих параметров описывает текущее состояние зеренной структуры, от которого зависят параметры в соотношениях для определения вклада от различных механизмов деформирования. Основной целью работы было развитие ранее предложенных многоуровневых моделей с учетом зернограничного скольжения и применение разработанной модификации для описания испытаний образцов с выходом в режим структурной сверхпластичности. Информация об изменении зеренной структуры в ходе этих испытаний известна: на первой стадии происходит растяжение зерен, на второй — динамическая рекристаллизация с возвратом формы к шаровой, на заключительной стадии форма зерен практически не меняется. Эта полученная из экспериментов информация была напрямую использована для учета эволюции зеренной структуры при моделировании процесса одноосного испытания. В общем случае для моделирования технологических процессов термомеханической обработки подмодель описания изменения зе-ренной структуры, в том числе за счет рекристаллизации, должна быть добавлена в структуру многоуровневой модели. Стоит отметить, что описание динамической рекристаллизации представляет собой сложную и ресурсоемкую задачу [70, 71].

В [62, 72] показано, что в случае малости упругих деформаций, что характерно для металлов и сплавов, модель мезоуровня (2) при описании упругопластичес-кого деформирования дает результаты, близкие к получаемым с использованием других альтернативных моделей мезоуровня, в том числе с популярной формулировкой определяющих соотношений в терминах разгруженной конфигурации [31, 34, 44].

В качестве соотношения (2)7 для определения ю используется модель ротации, описанная в [65, 66], согласно которой подвижная система координат связывается с элементами симметрии кристаллитов, что обусловливает соответствующий выбор коротационной производной. В этом случае для наблюдателя в фиксированной лабораторной системе координат тензоры будут изменяться как индифферентные, что позволяет удовлетворить принципу независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета [73]. При проведении расчетов для нахождения спина (27) применялось соотношение [65]

ю = кг-к= -

где к 1 — ортонормированный базис подвижной системы координат, ориентация которой относительно фиксированной лабораторной системы определяется собственно ортогональным тензором о, 1е = Vvт - г™ - гЛ — упругая составляющая градиента скорости перемещений. В (3) заложена инвариантность решетки (а следовательно, подвижной системы координат) по отношению к пластическому деформированию за счет движения краевых дислокаций по системам скольжения [65]. В [74] описаны результаты сопоставления использования спина (3) и альтернативных формулировок. Как направление развития моделей данного класса можно отметить усовершенствование описания ротации решетки кристаллитов путем включения в уравнения силовых (мо-ментных) факторов, возникающих от взаимодействия дефектов соседних зерен (субзерен) [50]. При активизации зернограничного скольжения по нескольким границам зерна появляется возможность его дополнительного поворота за счет действия сдвиговых напряжений по границам. Для описания этого к спину (3) добавляется составляющая ю^ = Ь у0 цт Н ((^>^„Ц), где Ь — параметр модели (характеризует податливость по отношению к моментным воздействиям), ц т — момент за счет действия касательных усилий на всех границах зерна, ||< г^ 8гат|| — норма средней по границам текущего зерна скорости деформации за счет зерногранич-ного скольжения.

Критические напряжения сдвига т по системам скольжения принимаются функциями внутренних переменных, определяющих состояние дефектной структуры кристаллитов, — накопленных к текущему моменту сдвигов и истории их изменения. Соотношения для описания изменения т^' предложены во многих работах [44, 75, 76]. В [77, 78] отмечена важность учета для мелкозернистых материалов упрочнения за счет взаимодействия дислокаций с границами зерен. В этом случае закон упрочнения может быть представлен в виде [78]

&(k) _ & (k) + & (k) 1 c _ 1 st ^ 1 b '

&

&

где хи хь"' — составляющие скорости изменения критических напряжений за счет барьеров дислокационной природы внутри зерна и за счет границ кристаллитов соответственно.

Для исходно (после предварительной обработки методами интенсивной пластической деформации) ре-кристаллизованных зерен первой составляющей упрочнения можно пренебречь, х^' = 0, поскольку плотность дефектов мала и при внутризеренном дислокационном скольжении практически не возникают дополнительные препятствия. Для исходно нерекристаллизованных кристаллитов использован известный закон упрочнения вида

[31]

к

&k) h(k)у(l) - A

(

i_1

exp-

&(k) ^ --1

** > = [9* + (1 - 91а,)§(й > ] ^>,

= hо |1 - х^/х^ \а,

где параметр латентного упрочнения д1а принимает значение 1.0 для компланарных и 1.4 для некомпланарных систем скольжения (с номерами к и 1); §(И) — дельта Кронекера; х8а(, а — параметры, определяемые при идентификации модели. В рассматриваемом диапазоне температур существенными являются процессы динамического возврата и диффузии, что приводит к чувствительности отклика и крупнозернистых материалов к скорости деформации и температуре [79]. Второе слагаемое аррениусовского типа в (5) описывает влияние диффузионных процессов на сопротивление внут-ризеренному скольжению — при увеличении температуры и уменьшении скорости деформации повышается как вероятность преодоления барьеров движущимися дислокациями, так и вероятность распада барьеров, А, и, Т — параметры модели, к — постоянная Больцмана. В работе [68] с использованием макрофеноменоло-гического подхода [79] предлагается учесть эффект динамического возврата в физической модели пластичности с явным рассмотрением эволюционных соотношений на микроуровне для плотностей дислокаций по системам скольжения. Не отрицая принципиальной возможности соответствующего расширения в дальнейшем, на данном этапе в разработанной модели используется приближение для учета снижения скорости упрочнения при увеличении температуры и уменьшении скорости деформации — за счет определения параметра Ь) = ^^(А)/А)^)р, где — значение параметра, определяемое при идентификации модели при некоторой фиксированной начальной скорости деформации А0ЙХ; А0 — начальная скорость деформации в испытаниях с постоянной скоростью движения захватов; р — дополнительный параметр модели (определяется из сопоставления максимальных напряжений в испытаниях

при двух скоростях деформации). Заметим, что все параметры модели упрочнения зависят от температуры, в данной статье результаты приведены для случая постоянной температуры. Зернограничная диффузия, влияющая на зернограничное скольжение, значима и при меньших температурах, поскольку размер зерна рассматриваемых структур мал.

Межкристаллитная граница является эффективным препятствием для скользящих дислокаций. Барьерное действие границы обусловлено резким изменением ори-ентаций систем скольжения при переходе через нее [80]. В общем случае решеточная дислокация рассматриваемого кристаллита не может свободно перейти в соседний в силу различия ориентаций кристаллографических систем. Вследствие этого, согласно [77, 78], принимается следующий механизм движения дислокации через границу: решеточная дислокация рассматриваемого кристаллита переходит в энергетически наиболее выгодную систему скольжения соседнего, оставляя в границе дислокацию ориентационного несоответствия. Следующая решеточная дислокация, скользящая по той же системе скольжения кристаллита, будет испытывать дополнительное сопротивление за счет поля упругих напряжений ранее образовавшейся дислокации ориен-тационного несоответствия и т.д. Соотношения для определения вклада в критическое касательное напряжение действия границ в результате накопления дислокаций ориентационного несоответствия без учета зерно-граничного скольжения подробно описаны в [77, 78].

В случае действия зернограничного скольжения дислокации ориентационного несоответствия трансформируются в зернограничные дислокации [81-83]. Последние участвуют в реализации зернограничного скольжения и поглощаются тройными стыками фасеток, в результате плотность накопленных дислокаций ориента-ционного несоответствия снижается, что приводит к

уменьшению или даже смене знака скорости изменения

•

вклада х Ь в скорость изменения критических напряжений внутризеренного дислокационного скольжения. Предлагается следующая модификация для составляющей упрочнения за счет границ:

& (k) _ &b _

-К z

' >

&b [без ЗГС] >

-a

7-п > — zu gb grain s

&

если zs

KIKzgb >g

gb/ grain '

где ||z™|| — норма скорости деформации зерна за счет внутризеренного дислокационного скольжения; ||< zgb> grain || — норма средней по границам текущего зерна скорости деформации за счет зернограничного сколь-

жения

т Ь [ без зге] — скорость изменения критических напряжений без учета зернограничного скольжения, вычисляемая по соотношениям [77], учитывающим зависимость от текущего размера зерна, а — параметр. В (6) заложено, что при активации зернограничного проскальзывания часть образующихся дислокаций ориен-тационного несоответствия диссоциирует в зерногра-ничные дислокации, что может, в зависимости от соотношения скоростей внутризеренного и зерногранично-го скольжения, приводить как к ослаблению зерногра-ничного упрочнения, так и к разупрочнению (т^ ' в правой части (6)2 отражает текущую плотность дефектов в границе. Заметим, что модель может быть расширена явным введением соответствующих внутренних переменных и использованием их в соотношениях для описания зернограничного упрочнения). При описании деформирования материала с мелким рекристаллизован-ным зерном без значимого зернограничного скольжения (например при низкой гомологической температуре) напряжения течения будут возрастать вследствие значительного упрочнения (главным образом, зерногранич-ного), в то время как при деформировании в режиме сверхпластичности из-за активности зернограничного скольжения согласно (6) критические напряжения реализации внутризеренного дислокационного скольжения будут снижаться (а следовательно, будут уменьшаться и напряжения течения для представительного макрообъема).

Таким образом, в модели мезоуровня явно закладывается связь с механизмом зернограничного скольжения, лидирующим при сверхпластическом деформировании.

2.3. Подмодель для описания зернограничного скольжения

При зернограничном скольжении происходят относительные смещения кристаллитов (зерен, субзерен) вдоль общей границы, которые наблюдаются в бикрис-таллах и поликристаллах [84]. В поликристаллических материалах реализация зернограничного скольжения затруднена наличием соседних кристаллитов, что учитывается при построении модели в приведенном далее законе упрочнения зернограничного скольжения. В разрабатываемой модели полагается, что граница каждого кристаллита представляет собой множество плоских фасеток с нулевой толщиной [85], каждая пара соседних кристаллитов в представительном макрообъеме имеет общую фасетку границы, относительные смещения кристаллитов происходят по общей фасетке путем пере-

мещения в них зернограничных дислокаций (однако без явного модельного описания последних — так же, как в модели мезоуровня при описании внутризеренного дислокационного скольжения, применяются осреднен-ные характеристики).

Для определения кинематики зернограничного скольжения для каждой межкристаллитной фасетки вводится базис из векторов п^, Ь^^ и Ь^ в трехмерном пространстве: п^ — нормаль к плоскости фасетки; Ь^ъ и Ь<2? — взаимно ортогональные единичные векторы направлений смещения в плоскости фасетки (в начальный момент времени один из векторов направления смещения привязывается к решетке одного из кристаллитов). При построении модели осуществляется переход от смещений к деформационным характеристикам: при описании зернограничного скольжения смещение или совокупность смещений (скоростей смещений) двух кристаллитов относительно друг друга вдоль общей границы аппроксимируется сдвигом (скоростью сдвига), осредненным на представительный объем макроуровня — по аналогии с соотношением для скорости сдвига в кристаллите за счет внутризеренного дислокационного скольжения с использованием уравнения Орована [86].

Пусть в рассматриваемой плоскости скольжения (фасетке границы) перемещаются Мф зернограничных дислокаций. Тогда скорость сдвига в представительном объеме макроуровня у^ за счет перемещения в нем Иф зернограничных дислокаций по фасетке границы можно определить следующим соотношением [87]:

88ъ h = 1 Мъ-

У 8Ъ

h Н h HLD

ьвЬ — ^Ъ =

еъ

= 1 ^еъ = 1 к р

--ЬеЪ , , ^ъ = ТКУЬфрф^ъ,

h HLD

1еЪ^Ъ

& - ЬБЪ lgbdgb дг

где о^ = ^ -у—меЪ — скорость смещения на

масштабе представительного макрообъема, ^ Ь^/ 1еЪ — скорость смещения за счет перемещения одной зерно-граничной дислокаций, ^ — средняя скорость перемещения зернограничных дислокаций в фасетке границы, Ьф — модуль аналога вектора Бюргерса для зернограничных дислокаций, 1еъ — характерная длина границы, lфdgb|LD — весовой множитель (отношение площади фасетки границы ^ъ^ъ к площади сечения представительного объема макроуровня LD; таким образом, в статистической модели локальное зерногра-ничное скольжение описывается осредненным, реализующимся во всем представительном объеме макроуровня сдвиге), h = + hB )/2 — характерный половинный размер пары граничащих кристаллитов в направлении п^ (где Нл, Нв — соответствующие размеры составляющих границу зерен); Н — соответствую-

щий размер представительного макрообъема; коэффициент Ку = И^^/ИЬБ — отношение части суммарного объема граничащих зерен, на которую осредняется зернограничный сдвиг, к объему представительного объема макроуровня; реЬ = — плот-

ность зернограничных дислокаций (размерности 1/м), которая вводится на единицу поверхности границы ([80]) как отношение общей длины зернограничных дислокаций в границе к площади границы. Соотношение (7) также представимо в виде

у8Ь =7ЪФ рвь ^ь =

h HLD

4bdgb , — Sgb , —

bgb pgbvgb _ Vbgb pgbvgb,

где — площадь границы; V — размер представительного объема макроуровня.

Подставляя в соотношение (8) выражение для ¥ф в форме вязкопластического закона (^ = v0АlgЪ X х (теь/тсвЬ)Ин (теЬ -тсвЬ)> 'и0А1ф — некоторая характерная скорость перемещения зернограничных дислокаций на участке фасетки границы) и вводя индекс г для каждого направления смещения в каждой фасетке границ из представительного макрообъема, получаем:

Mi)

Ygb _ VPgbo(Tgj)/<gb)ntf (Tgib) -т«), i _ 1, 2,..., 4Kgb, X,

где = Ь^Ь ^0А/бЬ — характерная скорость перемещения совокупности зернограничных дислокаций по всей фасетке границы; величина у= /у рбЬ0 зависит от площади рассматриваемой границы. Принимается, что связывается с интенсивностью скорости деформации: РйЬ0 = Аиг (г — размер зерна); п — параметр; 4Кф — общее количество базисных направлений смещения по всем фасеткам границ в представительном объеме макроуровня. В соотношении (9) используются переменные, характеризующие касательные напряжения х^Ь на границе и критические напряжения хС^,, необходимые для реализации зернограничного скольжения; учет температурной и скоростной чувствительности осуществляется в соотношениях для изменения последних.

Поскольку в модели явным образом описывается смена соседних кристаллитов при зернограничном скольжении, касательные напряжения, аффилированные с границей, в рамках принятого модельного представления для которой сменяются составляющие ее зерна, определяются следующим образом:

г

&gb _ qgb . ngbbgb,

У m

"уgb qa + + уgb qc + °д

°gb _' т т

у 2 у 2

' max ' max

где qgb — характерное напряжение для рассматривае-

мой границы (индекс опущен); утах — величина сдвига, при которой имеет место смена составляющих границу зерен (потеря контакта исходных зерен А и В);

у8ь=7 (у^ь - уеь )2+(уеь - уеь )2—произошедший к

текущему моменту сдвиг по всем четырем базовым направлениям в рассматриваемой границе; уБ, — накопленные к текущему моменту сдвиги в рассматриваемой границе (по четырем различным направлени-

ь

^ — Ьп

ям, b <3 _-b g1

n(1) _ n(2) _ n(3) _ n(4) _ n gb _ n gb _ n gb _ n gb _

бЬ БЬ '

= пБь). При отсутствии сдвига уйЬ = 0 характерное напряжение определяется средним напряжением для исходно граничащих зерен А и В, при уБЬ = утах — осреднением напряжений новых граничащих зерен С и А. Последние определяются из рассмотрения направлений сдвига и взаиморасположения кристаллитов в пространстве.

Величину сдвига утах, определяющего момент смены составляющих границу зерен, определим следующим образом:

I.

У m

gb

. ^gbSgb

(НА + ^ )/2 У У

где V — объем зерна.

После достижения суммарным сдвигом в границе предельного значения (11) сдвиги у Б, в рассматриваемой границе аннулируются, меняются составляющие границу зерна, изменение критических напряжений обсуждается ниже.

Неупругая составляющая транспонированного градиента относительной скорости перемещений за счет реализации зернограничного скольжения Zgb определяется по скоростям сдвигов (9) следующим образом:

4КеЬ

ryin _ Zgb _

X у gb bgb)ngb

При принятом описании зернограничного скольжения с использованием соотношений (9)-(12) внутренними переменными, определяющими реализацию зер-нограничного скольжения, являются критические напряжения зернограничного сдвига хС^,, ' = 1,2, ..., 4Кбь (для сокращения записи формул индекс системы зернограничного скольжения далее опускается), вследствие чего эволюционное уравнение для них является важным элементом разработанной модели. Примем его с учетом всех действующих факторов в следующем виде:

cgb

_ f + f2 + f3 + f4,

где /1 описывает увеличение критических напряжений за счет интрузии при реализации межкристаллитного скольжения (характеризует сопротивление со стороны соседних (в направлении сдвига) зерен) и за счет выхода растворенных частиц на поверхность зерна в результате процесса динамической рекристаллизации, второе слагаемое /2 описывает уменьшение критических напря-

жений в результате механического выглаживания границ, /3 характеризует уменьшение критических напряжений за счет увеличения энергии границ в результате притока внутризеренных дислокаций, слагаемое /4 описывает процессы, связанные с зернограничной диффузией и также приводящие к уменьшению критических напряжений (диффузионная «подстройка» границ).

Слагаемое, характеризующее увеличение критических напряжений за счет интрузии при реализации меж-кристаллитного скольжения, принимается следующим:

/1 = h у еъ,

где h — коэффициент упрочнения, зависящий от среднего размера кристаллитов и средней характеристики их вытянутости; у ёЪ — скорость сдвига по рассматриваемому направлению в фасетке границы. В результате динамической рекристаллизации зерна увеличиваются и приобретают форму, близкую к шаровой. Сопротивление такой структуры зернограничному скольжению становится существенно меньшим, чем сопротивление начальной структуры. Кроме того, на начальных стадиях при рекристаллизации происходит выход растворенных частиц на границы зерен, что дает вклад в рост сопротивления зернограничному скольжению, на финальной стадии этот процесс прекращается. Для суммарного учета обозначенных факторов, как приближение, коэффициент упрочнения h принимается в виде

А =

К,

Н33 - Н0>

И0 +

Н р - Н 0

Н0 < Н33 < Нр,

Ар

Н33 ^ Нр,

где И0 — начальное значение коэффициента упрочнения до начала рекристаллизации; Ир — значение после ее окончания; Н33 — продольная компонента тензора деформации Генки; Н0, Нр — ее значения при начале и конце процесса рекристаллизации (определяются по экспериментальным данным).

Механическое выглаживание, являющееся следствием контактного взаимодействия граничащих зерен, приводит к уменьшению критических напряжений зер-нограничного сдвига, описываемому следующей составляющей скорости изменения критических напряжений:

/2 =- пп £ |уН

&

к =1

где 0пп = -Пеъ •«еъ •"еъ — давление на границе; уЕЪ скорости сдвигов в рассматриваемой границе (по четырем различным направлениям); в, ф — параметры модели; 0Т — тангенциальная составляющая вектора напряжений на границе; у шах определяется по формуле (11). Таким образом, принимается, что выглаживание осуществляется при реализации сдвига в каком-либо направлении в границе при положительном давлении,

а также за счет уменьшения шероховатости от сдвигов на микроуровне.

Скорость уменьшения критических напряжений за счет увеличения энергии границ в результате притока внутризеренных дислокаций представляется возможным описать следующим соотношением:

Л К

/3 = -££/ у / =1к =1

х Н (Ь( к)(} /

/о I (Ь

К(к )а)),

) )>

где j — индекс кристаллита, прилегающего к границе (как и в (10), рассматриваются начально составляющие границу зерна А, В и составляющие границу после зер-нограничного скольжения зерна С, П); Ц/— весовой коэффициент, равный - уеъУ^шах) для зерен А, В и уЕъ/(2ушах) для зерен С, П (таким образом, при вычислении (16) применяется такая же линейная комбинация, как в (10)); у(к)(/) — скорость сдвига по системе скольжения к в j-м кристаллите (одном из четырех, прилегающих к фасетке); К/ — число систем скольжения в j-м зерне; Ь( к)(/) — единичный вектор направления скольжения к в j-м кристаллите; Nк)(/) — внешняя нормаль к плоскости фасетки границы для j-го кристаллита; g — параметр модели.

Составляющая скорости изменения критических изменений за счет процессов, связанных с зерногранич-ной диффузией, определена как

/4 =-с ехр I -

где аъъ = кЪ •

Еа

К0

ъъ

ёЪ

• Ь ЕЪ — нормальное напряжение в направлении сдвига по границе ЬЕЪ (на площадке, ортогональной Ь«), вычисляемое по характерным напряжениям оёЪ для рассматриваемой границы (10); а, с — параметры модели; Еа — энергия активации зернограничной диффузии; к — постоянная Больцмана. Слагаемое (17) характеризует уменьшение критического напряжения сдвига зернограничного скольжения в результате сглаживания границ за счет диффузионных процессов, облегчения процессов диссоциации накопленных в границе дислокаций ориентационного несоответствия на зернограничные дислокации и решеточные дислокации, переползания дислокаций. В ряде работ, например [88, 89], отмечается «ускорение зернограничной диффузии при сверхпластичности». Авторы цитируемых работ в рамках своих модельных построений связывают коэффициент зернограничной диффузии с притоком внутризеренных дислокаций в границу: с увеличением скорости деформации возрастает интенсивность притока дислокаций в границу, что делает ее более неравновесной (более дефектной) и способной к зернограничному скольжению. В рамках описанной в настоящей статье модели осуществляется раздельный

учет зернограничной диффузии и притока решеточных дислокаций в границу (соотношения (16), (17)).

При смене соседних кристаллитов после достижения суммарным сдвигом в границе предельного значения (10) критические напряжения тсвЬ уменьшаются

на величину

%

I (Х/ + X2 /2 + Хз /з + X4 /4 ) ^

%

где ¿5, ¿р — время начала и окончания скольжения зерен по рассматриваемой границе, в момент окончания пара зерен теряет контакт. Принимаются значения параметров х1 = 0.6, х2 = 0.3, х3 = 0.5, х4 = 0, т.е. «сбрасываются» только изменение критических напряжений за счет «механических» факторов и притока решеточных дислокаций в границы, но с учетом того, что сопротивление новому сдвигу по границе со стороны окружения в определенной степени наследуется, в частности, за счет выхода частиц на поверхность (х1 = 0.6). Принимается, что выглаживание граничащих поверхностей произошло и для вновь составляющих границу зерен (х2 = = 0.3); дислокации ориентационного несоответствия на границе при смене зерен частично сохраняются (Хз = 0.5).

Мощность внутреннего теплового источника за счет зернограничного скольжения дёЪ определяется следующим образом:

где напряжения на границе г определяются с помощью (10), суммирование осуществляется по всем направлениям в границе; а — коэффициент выхода тепла; р — плотность материала в актуальной конфигурации. Поскольку тепловые источники необходимо определять для решения задачи на уровне конструкции, где они входят в уравнение теплопроводности в качестве объемных источников, в (18) осуществлено приведение поверхностных источников к объему.

В наиболее общей постановке модель должна быть дополнена уравнениями для параметров, характеризующих текущую форму зерен. Формулировка этих соотношений с учетом процесса динамической рекристаллизации является достаточно сложной задачей. К текущему моменту предложенная формулировка апробирована для случая испытаний образцов промышленного алюминиевого сплава 1420 в режиме структурной сверхпластичности, информация об изменении зерен-ной структуры во время которых известна и была заложена напрямую в разработанную модель. В дальнейшем в структуру общей модели будет встроена подмодель для описания динамической рекристаллизации, упомянутая эмпирическая информация будет заменена на результаты, получаемые в общей модели при применении к конкретным испытаниям.

На настоящем этапе важнейшей задачей являлась разработка общей структуры модели, включающей все ключевые физические механизмы деформирования и учитывающей их взаимодействия. В рамках этой структуры конкретные соотношения могут быть модифицированы на основе привлечения более подробной информации из физики твердого тела и экспериментальных данных.

3. Результаты и их обсуждение

Предложенная модель была применена для моделирования испытаний на одноосное растяжение представительного объема поликристаллического алюминиевого сплава 1420. Поскольку в большинстве натурных экспериментов фиксированной является скорость захватов [10], в численном эксперименте задавалась соответствующая этому уменьшающаяся скорость деформации вдоль направления растяжения (вдоль оси ОХ3 фиксированной лабораторной системы координат):

где А33 — компонента тензора скорости деформации D, являющегося симметричной частью транспониро-

об ~ т

ванного градиента скорости перемещений L = VV ; Н33 — компонента логарифмической меры деформации (тензора Генки, определенного в актуальной конфигурации [90]); А0 — начальная скорость деформации; t—время. Заданную скорость деформации можно представить в виде Н33 = А0 ехр(-Н33) [91]. Остальные компоненты транспонированного градиента скорости перемещений, определяющего кинематическое воздействие, находятся из условия одноосности напряженного состояния [50]. Температура принималась постоянной, равной 523 К, что соответствует гомологической температуре 0.56 (полагается, что скорость прихода в равновесие с окружающей средой, имеющей эту температуру, существенно выше скорости возможного изменения температуры в результате разогрева при неупругой деформации).

Представительный объем сплава 1420 в рамках предложенной статистической модели описывался выборкой из 343 ГЦК-кристаллитов, у каждого рассматривалось 26 границ-фасеток с соседними.

При расчетах использовались следующие параметры модели, постоянные для наблюдателя в жесткой подвижной системе координат, связанной с решеткой: упругие модули кристаллитов п1111 = 106.8 ГПа, п1122 = = 60.4 ГПа, п1212 = 28.3 ГПа [92], параметр спина Ь = = 0.1 (Н • м)-1; параметры подмодели описания внутризе-ренного скольжения: т = 10, начальные критические напряжения для рекристаллизованных зерен (в исходном состоянии) хС0Гес = 6.5 МПа, для нерекристалли-зованных зерен хС0)попгес = 8 МПа; параметры состав-

£33, МПа £33, МПа

Рис. 2. Зависимости интенсивности напряжений x и = x 33 от Н33, полученные при моделировании и в натурных испытаниях

ляющей упрочнения за счет барьеров дислокационной природы внутри нерекристаллизованных зерен: тза. = = 108 МПа, НГ1хП = 23 МПа, Д0Г1Х = 10-3 с-1, а = 2.25,р = = 0.6, Аехр (-Е/(к0)) = 10-5 МПа/с, т = 40 МПа, а = = 0.01 с-1; начальный размер рекристаллизованных зерен 1.2 мкм, конечный размер рекристаллизованных зерен 2 мкм для В0 = 10-3 с1, 1.5 мкм для П0 = 10-2 с1; параметры подмодели описания зернограничного скольжения: п = 5, И0 = 104 МПа, Ир = 50 МПа для П0 = 10-3 с1, Ир = 10 МПа для В0 = 10-2 с"1 (поскольку при рекристаллизации получается более мелкозернистая структура), в = 1.5, ф = 1.0 с-1, g = 30.1 МПа, с ехр (-иА/(к0)) = 0.02 МПа/с, а = 35 МПа, д = 3. В модели присутствует значительное число параметров, однако для идентификации можно применять экспериментальную информацию для различных нагружений, включая данные об изменении структуры материала. Модели с идентифицированными параметрами применимы для широкого класса условий термомеханического нагружения (включая деформирование по сложным траекториям деформации).

На рис. 2 приведены зависимости компоненты X 33 тензора истинных напряжений Коши на макроуровне от компоненты Н33 логарифмической меры деформа-

ции при моделировании одноосного растяжения вдоль оси ОХ3 фиксированной лабораторной системы координат и соответствующие экспериментальные данные [11] при двух различных начальных скоростях деформации (на рис. 1 приведены те же данные, но с использованием при построении диаграммы нагружения соответствующей компоненты линейной меры деформации).

Можно отметить достаточно хорошее качественное соответствие напряжений, полученных при моделировании, опытным данным, корректно описывается стадийность кривых деформирования. Подчеркнем, что в модели отсутствуют параметры, которые задаются с явной зависимостью от накопленной деформации. Некоторые колебания напряжений при более высокой скорости деформации связаны с достаточно интенсивной сменой соседних зерен при зернограничном скольжении.

К преимуществам многоуровневой модели относится возможность определения роли механизмов деформирования и изменения структуры в процессе испытания. На рис. 3 приведены графики для компоненты меры

накопленной неупругой деформации за счет зерногра-

t

ничного скольжения М33 = [ С^)33&.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.

I

Рис. 3. Зависимости компоненты меры накопленной неупругой деформации за счет зернограничного скольжения м33 = | (z1gb/33dt

от Н33 при начальной скорости деформации В0 = 10 3 (а) и

-2 „-1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Я-

33

0.0 0.2 0.4 0.6 0.

Рис. 4. Значения компонент скорости неупругой деформации за счет зернограничного скольжения (2ПЬ)33, выведенные через

равные промежутки деформации Н33 при начальной скорости деформации А0 = 10 3

Увеличение угла наклона графиков на рис. 3 свидетельствует о возрастании роли зернограничного скольжения. Модель позволяет отслеживать и скоростные характеристики деформирования, на рис. 4 приведены значения компоненты скорости неупругой деформации за счет зернограничного скольжения (2^)33, выведенные через равные промежутки деформации Н33.

Линии на рис. 4 надо понимать условно — Zgb меняется на каждом шаге, на графиках соединены значения (2еП,)33 для шагов через равные промежутки деформации Н33. Эти графики характеризуют «мгновенную долю» зернограничного скольжения в соответствующие моменты времени. Отметим согласование данных рис. 3 и 4, в обоих случаях видно увеличение доли зернограничного скольжения.

Рисунок 5 содержит полюсные фигуры, построенные для трех стадий: начальное состояние Н33 = 0, при Н33 = 0.9 и при Н33 = 1.3 (фигуры приведены для модели растяжения с начальной скоростью деформации А0 = 102 с1, для испытания с А0 = 103 с1 получаются качественно близкие результаты).

На начальном этапе с доминированием внутризерен-ного скольжения образуется текстура (рис. 5, б), близкая к текстуре при растяжении гранецентрированного кубического поликристалла [31], однако более размытая, что объясняется действием зернограничного скольжения. На завершающей стадии деформирования происходит наблюдаемое в экспериментах рассеивание текстуры [93, 94].

Полученные результаты свидетельствуют о том, что модель реализует описанный выше сценарий деформирования. На начальном этапе деформирования наблюдается упрочнение (рис. 2) и преобладание механизма внутризеренного дислокационного скольжения (рис. 3, 4) и ротаций зерен (рис. 5), зернограничное скольжение малозначимо. На переходной стадии, когда кривая растяжения постепенно изгибается (рис. 2), роль зернограничного скольжения возрастает (рис. 3, 4). К этому моменту границы становятся более подготовленными к зернограничному скольжению за счет притока решеточных дислокаций и выглаживания посредством зер-нограничной диффузии. На переходной стадии реализуется динамическая рекристаллизация (как отмечено

Рис. 5. Прямые полюсные фигуры для направлений

выше, известная из экспериментов информация об изменении зеренной структуры в процессе испытаний на растяжение заложена в модель напрямую). Режим структурной сверхпластичности (завершающая стадия на кривой с постепенным уменьшением напряжения течения (рис. 2)) можно охарактеризовать преобладанием механизма зернограничного скольжения (рис. 3, 4); имеет место стабильность равноосной мелкозернистой структуры за счет одновременной реализации аккомодационного внутризеренного дислокационного скольжения и ротаций зерен, когда формоизменение зерен в каждый момент времени происходит, но за счет постоянных поворотов результирующая деформация зерна близка к нулевой. Зернограничное скольжение приводит к рассеиванию текстуры, образованной после первой стадии испытания (рис. 5).

4. Заключение

Для совершенствования технологий изготовления металлических деталей сложной формы перспективным представляется использование режимов сверхпластического деформирования, что дает возможность получения деталей без сварных швов, снижения числа технологических операций, проведения процесса формовки при малых усилиях, в силу чего происходит снижение износа инструментов, уменьшение расхода материала. Для развития соответствующих технологических процессов эффективным является применение математического моделирования.

Выявлено, что даже для простого испытания на одноосное растяжение при достижении сверхпластичности имеет место сложный сценарий реализации процесса деформирования: действуют и оказывают взаимное влияние несколько физических механизмов, меняется их роль, существенным образом эволюционирует структура материала. Аналогичная ситуация характерна для технологических процессов, базирующихся на использовании сверхпластичности. Поэтому для совершенствования технологий требуются математические модели материалов, позволяющие описывать изменение структуры и зависящих от ее состояния физико-механических свойств. Наиболее перспективным для решения указанной задачи представляется многоуровневый подход, базирующийся на введении внутренних переменных, физических теориях вязкопластичности, явном описании структуры материала и физических механизмов деформирования. Одним из основных направлений развития моделей данного класса является расширение набора учитываемых значимых механизмов.

Предложена многоуровневая модель для описания поведения поликристаллических металлов и сплавов, учитывающая ключевые механизмы пластического и сверхпластического деформирования: внутризеренное дислокационное скольжение, развороты кристалличес-

ких решеток зерен, измельчение зеренной структуры. Особое внимание уделено описанию зернограничного скольжения, лидирующего при сверхпластическом деформировании и переходе к нему, и аккомодационных механизмов, сопровождающих его, — зернограничной диффузии и динамической рекристаллизации. При описании зернограничного скольжения явно рассматриваются вязкопластические сдвиги по границам кристаллитов, подмодель выделяется в отдельный структурный уровень. В модели учитывается взаимодействие механизмов зернограничного и внутризеренного скольжения: приток внутризеренных дислокаций в границу делает ее более дефектной (неравновесной), повышает энергию границы и способствует зернограничному скольжению; в свою очередь, реализация зерногранич-ного скольжения приводит к уменьшению дефектов в границе и, как следствие, снижению сопротивления внутризеренному скольжению.

Полученные результаты численных экспериментов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными — модель воспроизводит сложный сценарий процесса деформирования в испытаниях на одноосное растяжение, что позволяет считать предложенную многоуровневую модель перспективной для описания различных режимов деформирования и переходов между ними.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 17-19-01292).

Литература

1. Грабский М.В. Структурная сверхпластичность металлов. - М.: Металлургия, 1975. - 272 с.

2. Полухин П.И., Горелик С.С., Воронцов В.К. Физические основы пластической деформации. - М.: Металлургия, 1982. - 584 с.

3. Кайбышев О.А. Сверхпластичность промышленных сплавов. -М.: Металлургия, 1984. - 264 с.

4. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности.

В 2 ч. - Уфа: Гилем, 1998. - Ч. 1. - 280 с.

5. Фридляндер И.Н. Современные алюминиевые, магниевые сплавы и композиционные материалы на их основе // Металловедение и термическая обработка металлов. - 2002. - № 7. - С. 24-29.

6. Чувильдеев В.Н., Грязнов М.Ю., КопыловВ.И., СысоевА.Н. Сверхпластичность микрокристаллических сплавов системы Al-Si // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. -2010. - № 4(1). - С. 42-48.

7. Лутфуллин Р.Я. Сверхпластичность и твердофазное соединение наноструктурированных материалов. Часть I. Влияние размера зерна на твердофазную свариваемость сверхпластичных сплавов // Письма о материалах. - 2011. - Т. 1. - С. 59-64.

8. Мулюков Р.Р., Имаев Р.М., Назаров А.А., Имаев М.Ф., Имаев В.М. Сверхпластичность ультрамелкозернистых сплавов: эксперимент, теория, технологии. - М.: Наука, 2014. - 284 с.

9. Шоршоров М.Х., Базык А.С., Казаков М.В. Сверхпластичность сталей и сплавов и ресурсосберегающие технологии процессов обработки металлов давлением. - Тула: Изд-во ТГУ, 2018. - 158 с.

10. Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И., Трусов П.В. Обзор экспериментальных исследований структурной сверхпластичности: эволюция микроструктуры материалов и механизмы деформирования // Вестник ПНИПУ Механика. - 2018. - С. 103-127.

11. Berbon P.B., Tsenev N.K., Valiev R.Z., Furukawa M., Horita Z., Nemoto M., Langdon T.G. Fabrication of bulk ultrafine-grained materials through intense plastic straining // Metallurg. Mater. Trans. A. -1998. - V. 29. - P. 2237-2243.

12. Furukawa M., Utsunomiya A., Matsubara K., Horita Z, Langdon T.G. Influence of magnesium on grain refinement and ductility in a dilute Al-Sc alloy // Acta Mater. - 2001. - V 49. - P. 3829-3838. - doi 10.1016/S1359-6454(01)00262-2.

13. Kaibyshev R., Goloborodko A., Musin F., Nikulin I., Sakai T. The role of grain boundary sliding in microstructural evolution during superplastic deformation of a 7055 aluminium alloy // Mater. Trans. - 2002. -V. 43. - No. 10. - P. 2408-2414. - doi 10.2320/matertrans. 43.2408.

14. Sakai G., Horita Z., Langdon T.G. Grain refinement and superplas-ticity in an aluminum alloy processed by high-pressure torsion // Mater. Sci. Eng. A. - 2005. - V. 393. - P. 344-351. - doi 10.1016/j.msea. 2005.07.023.

15. Mazilkin A.A., Myshlyaev M.M. Microstructure and thermal stability of superplastic aluminium-lithium alloy after severe plastic deformation // J. Mater. Sci. - 2006. - V. 41. - P. 3767-3772. - doi 10.1007/ s10853-006-2637-4.

16. Грязное М.Ю., Чуеильдеее B.H., Кузин B.E., Мышляее М.М., Копылов В.И. Сверхпластичность алюминиевых сплавов системы Al-Li-Mg, полученных методом равноканального углового прессования // Вестник Нижегородского университета им. НИ. Лобачевского. - 2011. - № 6(1). - С. 49-57.

17. Watanabe H., Mukai T. Superplasticity in a ZK60 magnesium alloy at low temperatures // Scripta Mater. - 1999. - V. 40(4). - P. 477484. - doi 10.1016/S1359-6462(98)00469-2.

18. Figueiredo R.B., Langdon T.G. Achieving superplastic properties in a ZK10 magnesium alloy processed by equal-channel angular pressing // J. Mater. Res. Technol. - 2017. - V. 6(2). - P. 129-135. - doi 10.1016/j.jmrt.2016.05.005.

19. Neishi K., Horita Z., Langdon T.G. Achieving superplasticity in a Cu-40% Zn alloy through severe plastic deformation // Scripta Mater. - 2001. - V 45(8). - P. 965-970. - doi 10.1016/S1359-6462 (01)01119-8.

20. Huang Y., Langdon T. G. Characterization of deformation processes in a Zn-22% Al alloy using atomic force microscopy // J. Mater. Sci.-2002. - V. 37. - P. 4993-4998.

21. Yakovtseva O.A., Mikhaylovskaya A.V., Kotov A.D., Portnoi V.K. Effect of alloying on superplasticity of two-phase brasses // Phys. Met. Metallogr. - 2016. - V. 117(7). - P. 742-748. - doi 10.1134/S00319 18X16070188.

22. Sergueeva A. V., Stolyarov V.V., Valiev R.Z., Mukherjee A.K. Superplastic behaviour of ultrafine-grained Ti-6A1-4V alloys // Mater. Sci. Eng. A. - 2002. - V. 323. - P. 318-325. - doi 10.1016/S0921-5093 (01)01384-3.

23. Ko Y.G., Lee C.S., Shin D.H., Semiatin S.L. Low-temperature super-plasticity of ultra-fine-grained Ti-6Al-4V processed by equal-channel angular pressing // Metallurg. Mater. Trans. A. - 2006. - V. 37. -P. 381-391.

24. Лихачев B.A., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.

25. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

26. Панин B.E. Физические основы мезомеханики среды со структурой // Изв. вузов. Физика. - 1992. - Т. 35. - № 4. - С. 5-18.

27. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

28. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика. - 1992. - № 4. - С. 42-58.

29. Макаров П.В., Романова В.А., Балохоное Р.Р. Моделирование неоднородной пластической деформации с учетом зарождения локализованных пластических сдвигов на границах раздела // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. - C. 29-39.

30. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. -2003. - Т. 6. - № 4. - C. 111-124.

31. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: Application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2004. - V. 193. - P. 5359-5383.

32. Van Houtte P. Crystal Plasticity Based Modelling of Deformation Textures // Microstructure and Texture in Steels. - New York: Springer, 2009. - P. 209-224.

33. McDowell D.L. A perspective on trends in multiscale plasticity // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. - P. 1280-1309. - doi 10.1016/j.ijplas. 2010.02.008.

34. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Mater. - 2010. - V. 58. -P. 1152-1211. - doi 10.1016/j.actamat.2009.10.058.

35. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

36. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

37. Mayeur J.R., McDowell D.L. A comparison of Gurtin type and micropolar theories of generalized single crystal plasticity // Int. J. Plasticity. - 2014. - V. 57. - P. 29-51. - doi 10.1016/j.ijplas.2014. 01.010.

38. Amodeo J., Dancette S., Delannay L. Atomistically-informed crystal plasticity in MgO polycrystals under pressure // Int. J. Plasticity. -2016. - V. 82. - P. 177-191. - doi 10.1016/j.ijplas.2016.03.004.

39. Anand L., Gurtin M.E., Reddy B.D. The stored energy of cold work, thermal annealing, and other thermodynamic issues in single crystal plasticity at small length scales // Int. J. Plasticity. - 2015. - V. 64. -P. 1-25. - doi 10.1016/j.ijplas.2014.07.009.

40. Ardeljan M., Knezevic M., Nizolek T., Beyerlein I.J., Mara N.A., Pollock T.M. A study of microstructure-driven strain localizations in two-phase polycrystalline HCP/BCC composites using a multi-scale model // Int. J. Plasticity. - 2015. - V. 74. - P. 35-37. - doi 10.1016/ j.ijplas.2015.06.00.

41. Keshavarz S., Ghosh S. Hierarchical crystal plasticity FE model for nickel-based superalloys: sub-grain microstructures to polycrystalline aggregates // Int. J. Solid. Struct. - 2015. - V. 55. - P. 17-31. - doi 10.1016/j.ijsolstr.2014.03.037.

42. Mayeur J.R., Beyerlein I.J., Bronkhorst C.A., MouradH.M. Incorporating interface affected zones into crystal plasticity // Int. J. Plasticity. - 2015. - V. 65. - P. 206-225. - doi 10.1016/j.ijplas.2014.08.013.

43. Ardeljan M., Beyerlein I.J., McWilliams B.A., Knezevic M. Strain rate and temperature sensitive multi-level crystal plasticity model for large plastic deformation behavior: application to AZ31 magnesium alloy // Int. J. Plasticity.- 2016. - V. 83. - P. 90-109. - doi 10.1016/ j.ijplas.2016.04.005.

44. Khadyko M., Dumoulin S., Cailletaud G., Hopperstad O.S. Latent hardening and plastic anisotropy evolution in AA6060 aluminium alloy // Int. J. Plasticity. - 2016. - V. 76. - P. 51-74. - doi 10.1016/ j.ijplas.2015.07.010.

45. Zhang H., Diehl M., Roters F., Raabe D. A virtual laboratory using high resolution crystal plasticity simulations to determine the initial yield surface for sheet metal forming operations // Int. J. Plasticity. -2016. - V. 80. - P. 111-138. - doi 10.1016/j.ijplas.2016.01.002.

46. Yalfinkaya T., Özdemir I., Simonovski I. Micromechanical modeling of intrinsic and specimen size effects in microforming // Int. J. Mater. Forming. - 2018. - V. 11. - P. 729-741. - doi 10.1007/s12289-017-1390-3.

47. Guo Y.B., Wen Q., Horstemeyer M.F. An internal state variable plasticity-based approach to determine dynamic loading history effects on material property in manufacturing processes // Int. J. Mech. Sci. -2005. - V. 47. - P. 1423-1441. - doi 10.1016/j.ijmecsci.2005.04.015.

48. McDowell D.L. Internal State Variable Theory // Handbook of Materials Modeling / Ed. by S. Yip. - Springer, 2005. - P. 1151-1169.

49. Sat K. Multi-mechanism models: Present state and future trends // Int. J. Plasticity. - 2011. - V. 27. - P. 250-281.

50. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева E.C., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 33-56.

51. Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893-2013) // Mech. Res. Commun. - 2015. -V. 69. - P. 79-86. - doi 10.1016/j.mechrescom.2015.06.00.

52. Егорушкин В.Е. Динамика пластической деформации. Волны локализованной пластической деформации в твердых телах // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. -С. 50-77.

53. Елсукова Т. Ф., Панин В.Е. Влияние масштабных уровней поворотных мод пластического течения на сопротивление деформации поликристаллов // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 5-13.

54. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Елсукова Т.Ф. Физическая мезомеханика зернограничного скольжения в деформируемом поликристалле // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 6. - С. 15-22.

55. Van Beers P. Multiscale Modelling of Grain Boundary Plasticity. -Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven, 2015. - 143 p.

56. Егорушкин В.Е., Панин В.Е. Масштабная инвариантность пластической деформации планарной и кристаллической подсистем твердых тел в условиях сверхпластичности // Физ. мезомех. -2017.- Т. 20. - № 1. - С. 5-13.

57. Пшеничнюк А.И., Кайбышев О.А., Астанин В.В. Природа крупномасштабного течения как отличительный признак сверхпластичности // ФТТ. - 1997. - Т. 39. - № 12. - С. 2179-2185.

58. Пшеничнюк А.И., Кайбышев О.А., Астанин В.В. О возможности использования физических моделей при построении определяющих соотношений сверхпластичности // Математическое моделирование систем и процессов. - 1998. - № 6. - С. 92-98.

59. Пшеничнюк А.И., Кайбышев О.А., Астанин В.В. Модель сверхпластичности, основанная на представлениях о кооперативном зернограничном проскальзывании // Математическое моделирование систем и процессов. - 1998. - № 6. - С. 99-109.

60. Пшеничнюк А.И. Ресурс сверхпластической деформации в модели кооперированного зернограничного проскальзывания // Электронный журнал «Исследовано в России». - 2001. - С. 264-272.

61. Жиляев А.П., Пшеничнюк А.И. Сверхпластичность и границы зерен в ультрамелкозернистых материалах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 320 с.

62. Швейкин А.И., Трусов П.В. Сопоставление сформулированных в терминах актуальной и разгруженной конфигураций геометрически нелинейных упруговязкопластических определяющих соотношений для кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. -№ 5. - C. 48-57. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00018.

63. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011. - 419 с.

64. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 2. - С. 15-31. - doi 10.24411/ 1683-805X-2013-00026.

65. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физ. мезо-мех. - 2016. - Т. 19. - № 2. - С. 47-65. - doi 10.24411/1683-805X-2016-00052.

66. Trusov P. V, Shveykin A.I., Kondratev N.S. Multilevel metal models: formulation for large displacements gradients // Nanosci. Technol. Int. J. - 2017. - V. 8. - No. 2. - P. 133-166.

67. Trusov P. V., Ostapovich K.V. On elastic symmetry identification for polycrystalline materials // Symmetry. - 2017. - V. 9. - No. 10, 240. -P. 1-28.

68. Beyerlein I.J., Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects // Int. J. Plasticity. - 2008. -V. 24. - P. 867-895.

69. Forest S., Rubin M.B. A rate-independent crystal plasticity model with a smooth elasticeplastic transition and no slip indeterminacy // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2016. - V. 55. - P. 278-288.

70. Rollett A.D. Overview of modeling and simulation of recrystalliza-tion // Progr. Mater. Sci. - 1997. - V. 42. - No. 1-4. - С. 79-99.

71. Трусов П.В., КондратьевН.С. Двухуровневая упруговязкопласти-ческая модель: применение к анализу эволюции зеренной структуры при статической рекристаллизации // Физ. мезомех. - 2018. -Т. 21. - № 2. - С. 21-32. - doi 10.24411/1683-805X-2018-12003.

72. Швейкин А.И. Многоуровневые модели поликристаллических металлов: сопоставление определяющих соотношений для кристаллитов // Проблемы прочности и пластичности. - 2017. - Т. 79. -№ 4. - С. 385-397.

73. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

74. Shveykin A.I., Trusov P. V. Multilevel models of polycrystalline metals: comparison of relations describing the rotations of crystallite lattice // Nanosci. Technol. Int. J. - 2019. - V. 10(1). - P. 1-20. - doi 10.1615/NanoSciTechnolIntJ.2018028673.

75. HolmedalB., Van Houtte P., An Y. A crystal plasticity model for strain-path changes in metals // Int. J. Plasticity. - 2008. - V. 24. - P. 13601379.

76. Gerard C., Cailletaud G., Bacroix B. Modeling of latent hardening produced by complex loading paths in FCC alloys // Int. J. Plasticity. - 2013. - V. 42. - P. 194-212.

77. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ Механика. - 2012. -№ 3. - С. 78-97.

78. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Моделирование неупругого деформирования поликристаллических материалов с учетом упрочнения за счет границ кристаллитов // Вестник Пермского университета. Физика. - 2012. - № 4 (22). - С. 92-100.

79. Kocks U.F., MeckingH. Physics and phenomenology of strain hardening: the FCC case // Progr. Mater. Sci. - 2003. - V. 48. - P. 171-273.

80. Орлов А.Н., Перевезенцев В.Н., Рыбин В.В. Границы зерен в металлах. - М.: Металлургия, 1980. - 156 с.

81. Pumphrey P. Observations of the interaction of lattice dislocations with high angle grain boundaries // J. Phys. Colloq. - 1975. - V. 36. -P. C4-23-C4-33.

82. PoulatS., Decamps B., Priester L. In-situ transmission electron microscopy study of the dislocation accommodation in [101] tilt grain boundaries in nickel bicrystals // Philos. Mag. A. - 1999. - V. 79. - No. 11. -P. 2655-2680.

83. ВалиевР.З., АлександровИ.В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. - М.: Логос, 2000. - 272 с.

84. Глейтер Г., ЧалмерсБ. Большеугловые границы зерен. - М.: Мир, 1975. - 376 с.

85. Shveykin A.I., Sharifullina E.R. Development of multilevel models based on crystal plasticity: Description of grain boundary sliding and evolution of grain structure // Nanosci. Technol. Int. J. - 2015. - V. 6. -No. 4. - P. 281-298. - doi 10.1615/NanomechanicsSciTechnolInt J.v6.i4.30.

86. Orowan E. Problems of plastic gliding // Proc. Phys. Soc. - 1940. -V. 62. - P. 8-22.

87. Sharifullina E.R., Shveykin A.I., Trusov P. V. Multilevel model ofpoly-crystalline materials: Grain boundary sliding description // IOP Conf. Mater. Sci. Eng. - 2017. - V. 286. - P. 012026. - doi 10.1088/1757-899X/286/1/012026.

88. Сахаров Н.В., Чувильдеев В.Н., Грязное М.Ю., Нохрин A.B., Копылов В.И., Пирожникова О.Э., Лопатин Ю.Г., Мелехин Н.В. Эффект ускорения зернограничной диффузии при сверхпластичности нано- и микрокристаллических сплавов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2010. - № 5(2). -С. 167-170.

89. Чувильдеев В.Н., Нохрин A.B., Пирожникова О.Э., Грязнов М.Ю., Лопатин Ю.Г., Мышляев М.М., Копылов В.И. Анализ изменения диффузионных свойств неравновесных границ зерен при рекристаллизации и сверхпластической деформации субмикрокристаллических металлов и сплавов // ФТТ. - 2017. - Т. 59. - № 8. -С. 1561-569.

90. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопласти-ческие деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

91. Малыгин Г.А. Пластичность и прочность микро- и нанокристал-лических материалов // ФТТ. - 2007. - Т. 49. - № 6. - С. 961-982.

92. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

93. Bricknell R.H., Edington J.W. Textures in a superplastic Al-6Cu-0.3Zr alloy // Acta Metallurg. - 1979. - V. 27. - P. 1303-1311. - doi 10.1016/ 0001-6160(79)90199-8.

94. Perez-Prado M.T., Gonzalez-Doncel G. Texture changes during deformation of a 7475 superplastic aluminum sheet alloy // Textures Microstructures. - 2000. - V. 34. - P. 33-42. - doi 10.1155/TSM.34.33.

Поступила в редакцию 06.03.2019 г, после доработки 11.03.2019 г., принята к публикации 15.03.2019 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Шарифуллина Эльвира Ривгатовна, вед. инж. ПНИПУ, elvira16_90@mail.ru Швейкин Алексей Игоревич, к.ф.-м.н., доц., доц. ПНИПУ, shveykin@pstu.ru