Анализ сходимости процесса формирования программных траекторий с ограниченными отклонениями для манипуляторов с контурным управлением

Равичев Леонид Владимирович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Управление технологическими инновациями» Российского химико-технологического университета им. Д.И. Менделеева

Логинов Владимир Яковлевич -

кандидат технических наук, программист отдела лицензирования и аккредитации образовательных программ Российского химико-технологического университета им. Д.И. Менделеева

Беспалов Александр Валентинович -

доктор технических наук, профессор кафедры общей химической технологии Российского химико-технологического университета им. Д.И. Менделеева

Статья поступила в редакцию 5.03.12, принята к опубликованию 12.03.12

УДК 621.865

Пчелинцева С.В. АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ ДЛЯ МАНИПУЛЯТОРОВ С КОНТУРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

Приведен сравнительный анализ алгоритмов планирования программных траекторий в декартовом пространстве. Исследован и реализован метод построения траекторий с ограниченными отклонениями. Приведен анализ сходимости алгоритма формирования дополнительного множества узловых точек для различных значений максимально допустимых отклонений схвата манипулятора по положению и по ориентации. Разработана программа, позволяющая формировать программные траектории рассмотренным методом для различных манипуляторов.

Программные траектории, манипулятор, обобщенные координаты, кватернионы

Pchelintceva S.V. CONVERGENCE ANALYSIS METHOD OF PROCESS FORMING THE DISABLED PROGRAM TRAJECTORY DEVIATION FOR MANIPULATORS WITH LOOP CONTROL

The method of planning policy trajectories in Cartesian space. Researched and implemented a method for constructing paths with limited variations. The analysis of the convergence of the algorithm of forming an additional set of nodes for different values of the maximum tolerances gripper arm in position and the orientation.

Programmed trajectory, manipulator, generalized coordinates, quaternions

Одной из актуальных и важных задач при управлении роботами-манипуляторами с контурным управлением является задача формирования программных траекторий. Особенностью подобных манипуляторов является в непрерывное движение рабочего органа (РО) по заданной в пространстве обобщенных координат или в декартовом пространстве траектории при выполнении различных технологических операций, таких как сварка, резка, нанесение покрытий, операции переноса и транспортировки.

Задание манипулятору обычно представляется в виде последовательности узловых точек в пространстве, через которые должен пройти схват или рабочий инструмент, а программная траектория движения задается в виде дискретной функции времени.

Учитывая характер и специфику выполняемых манипулятором движений, задание для движения принято формировать в пространстве обобщенных координат с использованием аппрокисмирующих функций для простых манипуляций, когда на траекторию движения вне начальной и конечной точек движения не наложены ограничения.

В случаях, когда положение манипулятора в пространстве должно быть строго определено, например, при манипулировании движущимися объектами, обходе препятствий или, например, для сварочного манипулятора, осуществляющего движение вдоль шва, для разработки сложной пространственной траектории используются так называемые методы планирования программных траекторий в декартовом пространстве. Указанные методы позволяют сформировать законы изменения во времени функций положения и ориентации рабочего органа манипулятора, но требуют определения улов в сочленениях в каждой точки траектории.

В связи с этим в настоящей статье ставится задача сравнительного анализа методов планирования траектории манипуляторов, выбора наиболее подходящего для определенного класса, разработки соответствующего алгоритма и исследование его сходимости.

Метод формирования программных траекторий включает следующие этапы. В рабочей зоне, задается множество узловых точек (рис. 1), движение между которыми осуществляется, например, по прямолинейным траекториям, в соответствии с линейными законами изменения декартовых координат положения и ориентации схвата манипулятора. Для обеспечения непрерывности по скорости при переходе через узловые точки, законы изменения во времени функций положения и ориентации на этих участках аппроксимируются квадратичным полиномом (рис. 2).

Далее в каждый момент времени решается обратная задача кинематики о

Рис. 2. Задание узловых точек траектории

Рис. 1. Изменение декартовых координат положения РО

положении, т.е. задача нахождения углов (смещений) в сочленениях манипулятора, соответствующих конфигурациям манипулятора в заданных точках траектории.

Требуемая ориентация и положение рабочего органа манипулятора при переходе от одной узловой точки к другой осуществляется за счет поступательного и вращательного движений. Поступательная часть движения связана с изменение декартовых координат x(t), y(t), z(t). Вращательная часть предполагает обеспечение заданной ориентации схвата в узловой точке, что также может быть достигнуто различными способами. Один из оригинальных способов задания ориентации при переходе от одной узловой точки к другой, рассматриваемый в работах Пола [1], основан на использовании двух вращений. Также для изменения ориентации можно использовать кватернион поворота [ 1, 2].

Так для двух последовательных участков траектории i и i +1 положение и ориентацию РО манипулятора в трех узловых точках традиционно можно описать матрицей однородных преобразований 4x4

C n

_ 0 1^

где С - матрица направляющих косинусов, характеризующая ориентацию РО, n = [x, y, z]T радиус вектор положения РО.

Закон изменения положения РО манипулятора на прямолинейном участке имеет вид: n

t' - безразмерное время.

На участке квадратичной аппроксимации изменение положение осуществляется по закону

A =

() (т+т. —1)2 . (т—т+1 )2

n(t) = n — --l — An,. + l — An,.

4tT

4тТ

l+1

t є [Ti — t, + т],

l+1

где ?, ? - реальное и нормированное время, т - полуинтервал времени квадратичной интерполяции, Т - время прохождения I -го участка.

Обеспечить требуемую ориентацию РО можно, используя, при переходе из одной узловой точки в другую, два вращения. Первое вращение (4) переводит вектор подхода РО

в (рис. 3). Второе вращение (5) осуществляется вокруг вектора подхода РО .

^\У(0/)+ С(0/) _ ЗуСуУ(0/) Су£(в/)"

_ ЗуСуУ

Су£

С„Ж):

— I

V (t'0) = 1 — cos(t/0), С (t'0) = cos(t/0), S (t'0) = sin(t/0), C(ф/) — S (ф/) 0

Сф(< ')--

S (ф/) С(ф/) 0

0 0 1

, С(ф/) = cos^t'),S(ф^) = sin(ф^),

С t ) = С¥>' )Сф(/), t' є[0, 1],

где Су0(/) - матрица поворота, описывающая вращение на угол 0 вокруг оси ориентации РО У1_1, которая повернута на угол у вокруг вектора подхода Ъм, Сф(г') - матрица, описывающая вращение на угол ф вокруг вектора подхода Ъ і.

Ф

Рис. 3. Изменение ориентации РО с использованием двух поворотов: на угол 0 вокруг оси У—1, повернутой на угол у вокруг оси Ъ,_1 (а) и (б) на угол ф вокруг вектора подхода Ъ,, и с использованием кватерниона вращения на угол р

Углы вращений для , -го участка определяются через элементы матриц ориентации в , - 1-й и , -й точках

у= аг^

Г у—1 ъ , 0 = агс1.[ [(X,—1 •Ъ,)2+(г,— 1 •Ъ,)2 ]1/2 | ад о сЗ II «ф,

[ X,—1 • Ъ, _ ' 0 1 Ъ,_! • Ъ, | [ Сф, _

-л<у, <п, 0<0<п, -л<ф, <п,

«ф, = _*уСУV(0,«'X*,_,  X,)+ [С3у V(0,»')+ С(0,»')](к,_1  X,)- «у,«(0,»'ХЪН • X,),

Сф = -Су,СуV

Законы изменения ориентации РО манипулятора на линейном и квадратичном интервалах для , -го и I + 1-го участков при использовании двух поворотов имеют вид:

С

С (»)= С1С

Гу(»), (т + 7-—»>’ в,] С |у(, ),(т"7'+»)2 0,,,] С ] — + — 1 С ] + — 1

4т7 , 4т7 ж 4тТ [ 4 >+1 _ 4тТ [ 411 ,+1 _

у(») = у, + (у,+1 _ у, У, » = (»+ т)/ 2т, »€ [Т, -т, Т, + т],

где С, - матрица направляющих косинусов, характеризующая ориентацию РО манипулятора в конечной точке , -го участка, ф,, 0, - углы вращения для обеспечения требуемой ориентации РО в конечной точке , -го участка.

Использование аппарата кватернионов позволяет описывать изменение ориентации РО манипулятора в более простой форме. Уравнения линейной и квадратичной аппроксимации изменения ориентации РО для двух соседних участков , и , + 1 в кватернионных параметрах имеют вид:

м (») = мм [Ь ,-рД » = »Т, »е [о, Т-т],

м (») = мм

ь,-_(т+Тс')2 в,

м

4тТ,

» =»/ 2т, »€[7, — т, + т]

Ь (т — Т, +»)2 в

Ь ,+1, . ГГ, в,+1

4т7

, +1

а

в

М, = М,-м ^ м = м,--1 м, = м($,,р,),

где М, - кватернионная матрица, характеризующая ориентацию манипулятора в конечной точке ,-го участка; Ь, - ось вращения на угол поворота в, для ,-го участка; » - нормированное время.

Недостатком этого метода формирования программных траекторий являются существенные вычислительные затраты, связанные с получением на каждом шаге матрицы ориентации и положения рабочего органа и решением обратной задачи кинематики в масштабе реального времени, а также сложность учета ограничений на движение манипулятора в пространстве обобщенных координат.

Указанные недостатки позволяет устранить метод планирования траекторий с ограниченными отклонениями, предложенный Тейлором [1].

Этот метод является одним из способов планирования в декартовом пространстве, в котором, в отличие от вышеизложенного метода планирования, задание движения и управление осуществляется в пространстве обобщенных координат. Специфика метода состоит в том, что он включает предварительный этап, позволяющий получить дополнительные множества узловых точек с учетом максимально допустимых отклонений по положению и по ориентации. Метод требует меньших вычислительных затрат, при этом положение рабочего органа манипулятора в пространстве определено с точностью до задаваемых предельных отклонений. На этапе предварительных вычислений можно выбрать промежуточные точки в количестве, достаточном, чтобы отклонения планируемой траектории схвата от прямолинейной не превышали некоторых заданных пределов.

Для перехода к обобщенным координатам вычисляются их векторы, соответствующие положению и ориентации рабочего органа манипулятора в узловых точках траектории, которые далее используются в качестве узловых точек в процедуре построения траектории изменения обобщенных координат, аналогичной процедуре построения траектории в декартовых координатах.

Аппроксимация законов изменения обобщенных координат осуществляется на основе уравнений (1), (2). Так, движение из точки qi в точку qi—1 можно описать уравнением

луинтервал времени квадратичной интерполяции; Т{ - время прохождения , -го участка.

При движении между узловыми точками рабочий орган манипулятора может существенно отклоняться от заданной прямолинейной траектории. Величина отклонения характеризуется разностью между положением схвата, которое соответствует точке q  (») в пространстве обобщенных координат, и положением схвата в момент времени » при условии его движения по заданной прямолинейной траектории. Отклонения по положению и ориентации определяются соответственно формулами

д(і) = д,-і + , і є[0, Ті - т], і' = і/Т .

При переходе от участка к участку движение задается в виде

где д(і) - вектор обобщенных координат; і, і - реальное и нормированное время, т - по

5(3 = /[М>)М} (і)] .

Задавая максимальные допустимые отклонения по положению 8Ртах и ориентации 8ртах, можно сформировать дополнительное множество узловых точек траектории, для которых выполнятся условие (15).

8Р ¿»Ртах. 8Р<8Ртах-

Блок-схема алгоритма формирования последовательности дополнительных узловых точек приведена на рис. 4. Пример нахождения узловой точки для двух вращательных степеней подвижности приведено на рис. 5.

с

Начало

_ 2 ______

Вычисление значений обобщенных координат

Определение qi и д1+и соответствующих точкам положения схвата в пространстве М( и М+

г- 3 ------

Вычисление средней точки для обобщенных координат

Ят = Яі+\ +1/2А Ц_1+\ Определение Мт

_ 5 _______________________

Вычисление отклонений

по положению и по ориентации

5р = / | М Лс Мт I

і- 4

Вычисление средней точки в декартовом пространстве

Рс = (Р+\ + Р)/2 Определение Мс

1

Рис. 4. Блок схема алгоритма формирования траекторий с ограниченными отклонениями

При заданных максимальных отклонениях 8Ртах и »втах по положению и ориентации, соответственно, и заданных узловых точках траектории в декартовом пространстве в соответствии с алгоритмом (рис. 4) формируется последовательность промежуточных узловых точек в пространстве обобщенных координат такая, что отклонения системы координат схвата от заданной прямолинейной траектории в декартовом пространстве не превышают заданных пределов. В работе оценивалась сходимость метода формирования траекторий с ограниченными отклонениями. Результаты анализа сходимости для манипулятора типа Пума приведены ниже. На рис. 5 приведен прямолинейный участок траектории движения и результат разбиения прямолинейного участка на 14 дополнительных траекторий для заданных максимально допустимых отклонений по положению 8Ртах = 10 мм и по ориентации 8Ртах = 0,1 рад.

Положение и ориентация рабочего органа и соответствующие значения обобщенных координат в начальной и конечной точках участка, длина участка и угол поворота РО для обеспечения требуемой ориентации РО манипулятора в конечной точке указаны в табл. 1.

Для оценки сходимости метода рассмотрены участки траектории разной длины, а также различные величины отклонений по ориентации (углу) и по положению. Результаты построения дополнительных узловых точек траектории приведены в табл. 2 и на рис. 7, 8. Длина прямолинейных участков изменялась от 300 мм до 1500 мм. Величина максимально допустимого отклонения по положению изменялась от 0,1 до 100 мм.

Рис. 5. Схема получения дополнительной Рис. 6. Дополнительное множество узловых

узловой точки на прямолинейном участке точек (14) при 5Pmax = 10 мм,

P+1P для двухзвенного манипулятора 5р max = 0, 01 рад

Таблица 1

Характеристики участка траектории

Начальное и конечное положение РО манипулятора в узловых точках Длина участка, мм Угол поворота, 0, рад

Обобщенные координаты [q1, q2, q3, q4, q5, q6], град Декартовы координаты РО, [X, Y, Z, O, A, T], град

[90,-21,74, 180, 53,180] [-5.6,-46, 105, 180, 60, 180] [-815, -149, -175, 0, -53, 0] [-82.1, 689, -47, 0, -60, 0] 1120 1.7

Таблица 2

Оценки сходимости метода для участков различной длины

Длина Угол §6max, рад §Pmax, мм

участка, поворота, 0,1 1 2 3 5 10 30 50 100

мм рад 1. Число узловы 2. Максимальное число итерац >1х точек, ий для получения точки

933 1,06 0.1 119 6 35 4 24 4 19 4 14 4 9 3 4 2 3 1 1 1

1120 1,6684 0.1 156 6 49 5 34 4 28 4 20 4 14 3 7 2 5 2 2 1

1511 2,01 0.1 235 69 48 38 30 20 11 7 4

7 5 5 4 4 4 3 2 2

1

%

1

V\ 1 \

. .

—- — i

О 10 20 30 40 50 6D 70

delta Р_

О 10 20 30 40 50 БО 70 80 90 100

delta Pma,

Рис. 6. Число узловых точек N траектории Рис. 7. Максимальное число итераций ^ах определения

в зависимости от максимально допустимого одной узловой точки в зависимости от максимально

отклонения 5Pmax для трех участков

допустимого отклонения для двух участков траектории

На рис. 6 приведена зависимость числа дополнительных узловых точек от величины максимально допустимого отклонения по положению 8Ршах для прямолинейных участков различной длины. На рис. 7 отображена зависимость максимального числа итераций 1шах определения одной узловой точки от максимально допустимого отклонения 8Ршах для участков траектории различной длины. На рис. 8 приведена зависимость узловых точек траектории от длины участка для различных значений максимально допустимых отклонений 8Ршях.

На примере манипулятора «Пума» показано, что метод сходится достаточно быстро. Зависимость числа итераций для нахождения одной узловой точки от величины максимального допустимого отклонения имеет характер, близкий к экспоненциальному. Число итераций значительно увеличивается, начиная со значения максимального отклонения 8Ршах = 0,1 мм.

В соответствии с предлагаемыми алгоритмами разработан пакет прикладных программ позволяющий осуществлять формирование программных траекторий манипулятора в декартовом пространстве для различных манипуляторов.

Рис. 8. Число узловых точек траектории N в зависимости от его длины Ь для различных значений 8Ртах

ЛИТЕРАТУРА

1. Фу К. Робототехника : пер. с англ. / К. Фу, Р. Гонсалес, К. Ли. М. : Мир, 1988.

2. Глазков В.П., Пчелинцева С.В., Егоров И.В. К вопросу использования бикватерни-онного аппарата для описания движения роботов-манипуляторов // Математические методы в технике и технологиях: сб. трудов XX Междунар. науч. конф. Ярославль, 2007. C. 12-15.

Пчелинцева Светлана Вячеславона -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Системы искусственного интеллекта» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 5.03.12, принята к опубликованию 12.03.12