Поглощение энтропийного слоя на затупленном конусе в гиперзвуковом потоке вязкого газа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 1

УДК 533.6.011.5

ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНТРОПИЙНОГО слоя НА ЗАТУПЛЕННОМ КОНУСЕ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОГО ГАЗА

Ю. Г. Ель кин, Ю. Н. Ермак, И. И. Липатов, В. Я- Нейланд

Построена асимптотическая теория поглощения энтропийного слоя пограничным слоем при обтекании затупленного конуса гипер-звуковым потоком вязкого газа. Получены уравнения, краевые и начальные условия. Найден параметр подобия, характеризующий режим поглощения энтрчпийного слоя пограничным слоем. Получены численные решения в случае обтекания гиперболоида вращения ньютоновским газом.

Явление поглощения энтропийного слоя пограничным слоем при гиперзвуковом ламинарном обтекании затупленного конуса вязким газом представляет значительный практический интерес. В работе [1] проведено численное исследование этого явления методом, который можно назвать композитным. В настоящей работе проведен асимптотический анализ режима поглощения энтропийного слоя пограничным слоем на поверхности затупленного конуса. Получены уравнения, краевые и начальные условия для описания этого явления. Найден соответствующий параметр подобия. Уравнения, описывающие течение с поглощением энтропийного слоя, имеют обычный вид уравнений пограничного слоя Прандтля. Краевые условия на поверхности тела и на внешней границе имеют обычный вид. Начальным условием для системы уравнений является профиль скорости и энтальпии в энтропийном слое. Проведены расчеты течения поглощения энтропийного слоя пограничным слоем на, поверхности гиперболоида вращения при использовании ньютоновского предельного перехода.

Рассмотрим гиперзвуковое обтекание конуса длиной L конечного полуугла раскрытия 60 = О(1) с малым затуплением г; величина K—{L¡r)^> 1 (рис. 1). Течение будем считать ламинарным. Баланс расхода газа в энтропийном слое на боковой поверхности конуса при Моо»1, если 80 — толщина энтропийного слоя, можно записать в виде

гсг3 Иоо ~ 2tcL sin 0О В0 р0 и0.

Индекс оо соответствует параметрам течения В] набегающем потоке, индекс 0 соответствует характерным параметрам течения

в энтропийном слое на боковой поверхности конуса. Так как угол 60 = О(1), можно считать, что за ударной волной статическая температура имеет порядок полно.й температуры. Из соотношения (1) получаем оценку для толщины энтропийного слоя на боковой поверхности конуса:

Здесь использованы соотношения и0~ «ооСОЭбц, 0О = 0(1).

Характерное число Рейнольдса на боковой поверхности конуса имеет вид:

Р0 Цоо £

Ие£.

Но

где р — коэффициент вязкости.

Толщина пограничного слоя на боковой поверхности конуса — о ~ Ь/УЯеь. Условие поглощения энтропийного слоя пограничным слоем 8П.

записывается в виде: (Р>о)/К

УК/Ке о, Иео

Рр “ооГ (*0

Отсюда получаем параметр подобия, характеризующий режим поглощения энтропийного слоя пограничным слоем на боковой поверхности затупленного конуса:

До =

В случае, когда энтропийный слой много толще пограничного слоя, выполняется условие Д0^>1, а когда энтропийный слой поглощен пограничным слоем, параметр Д0<С1. Режим поглощения энтропийного слоя пограничным слоем характеризуется условием А0 = О(1). Отсюда можно получить следующую оценку Для безразмерных длин конуса, на которых происходит поглощение энтропийного слоя пограничным слоем:

12/3

19

Таким образом, при обтекании конуса с малым затуплением гиперзвуковым потоком вязкого газа при больших значениях числа Re0 может реализоваться следующий режим течения. В окрестности затупления течение за ударной волной невязкое, лишь вблизи поверхности затупления развивается тонкий пограничный слой толщиной —r/|/Re0. Ниже по течению от затупления на рас: стояниях, больших г, но меньших Кг, где величина К определяется формулой (3), невязкое течение за ударной волной состоит из двух характерных областей: области энтропийного слоя, где течет сильно завихренный газ, прошедший через область затупления [толщина энтропийного слоя вследствие эффекта растекания уменьшается в соответствии с формулой (1)], и области безвихревого течения, примыкающей к косой ударной волне. На „дне“ энтропийного слоя располагается обычный пограничный слой. В соответствии с вышеприведенными оценками на длинах порядка (3) толщина пограничного слоя становится одного порядка с толщиной энтропийного слоя. На внешней границе этого слоя течение безвихревое, соответствующее обтеканию острого конуса.

Здесь исследуется процесс поглощения энтропийного слоя пограничным слоем. Предполагается, что задача о течении невязкого газа в окрестности затупления решена, а также решена задача о невязком обтекании острого конуса. В дальнейшем окажется полезным решение для параметров течения в энтропийном слое на боковой поверхности на длинах Lu где г <^L1<^_rK, величина К определяется выражением (3).

Уравнения Навье — Стокса в координатах, связанных с поверхностью тела, для осесимметричного течения имеют вид:

д (Ьри) | d(bpv) дх ' ду

. ( , 2 \ Г 1 да . dv . kv , ( и db v дЬ \

+ \у- —-3- V-) [— -fe + + — + \-jb~dF + ~Г ~w).

Здесь координата х изменяется от критической точки вдоль поверхности тела; координата у — от поверхности тела по нормали к ней; 7=1 +¿у; /?= 1/£(х) — радиус образующей, Ь — расстояние от оси симметрии до точки в поле течения (см. рис. 1); и, V — компоненты вектора скорости вдоль осей хну, р — плотность; р — давление; Я, Л —соответственно полная и статическая энтальпия; ¡а, ]л' — соответственно коэффициенты первой и второй вязкости.

Введем следующие независимые переменные:

л: = 11х1; у и асимптотические разложения:

а = йоо щ + . ,.

г2

Уи

Р-Рт = ?а,и^Р1 + - • ; Р=РоР1+'

^=^0^1 + ’ ' Ь = ¿1Ь1 +. . . ;

Ф = Р^ г3 ф1 + .

Если подставить эти выражения в уравнения Навье — Стокса (4) и выполнить предельный переход:

М0

оо;

1?е0

оо;

(Ш

оо;

можно получить следующую систему уравнений, описывающую течение в энтропийном слое:

Краевое условие на поверхности конуса для системы уравнений (6) — это условие непротекания (х1г Уі) =0 при У! = 0. Краевые условия на внешней границе энтропийного слоя находятся путем сращивания с решением для острого конуса. Тогда:

Здесь ре — давление на поверхности острого конуса — заданная константа, ие—-скорость на поверхности острого конуса — тоже заданная константа.

Общее решение системы уравнений (6) имеет вид:

Здесь 7 — показатель адиабаты.

Функции Q^l»,) и (4*1) находятся путем сращивания с решением в окрестности затупления. Решение (7) понадобится в дальнейшем при получении начальных условий для уравнений, описывающих течение в области поглощения энтропийного слоя пограничным слоем.

Для исследования течения в области поглощения энтропийного слоя пограничным слоем введем новые независимые переменные порядка 0(1) вблизи поверхности^ затупленного конуса и запишем асимптотические разложения для параметров течения в этой области:

Если соотношения (8) подставить в уравнения Навье — Стокса (4) и выполнить предельный переход:

pi(xí)=pe] иг {Xi) — ие.

C!/T(<M = Ca0h);

^і- = С1(ф1); 7/j = He.

РІ

7-1

р—pao = pootllp2+  • •; р=ро

Р — Ро р2 Т

Н1 —: Р'о ^2 + • • • і b — Krb2 Ф = «00р00/'2Ф2-Ь-----------------

Mco-^oo;: Re0 oo ; К -* °о ; Д0 = О(1),

. :V. ' . ’ .

можно получить следующую систему уравнений:

( дНъ , дН2 \

А-г д Г |Л2 дН2 , Л 1 \ диа 1. ПО)

= А° -Ж ГрГ'^Г + 'Ч1- pF/^J’ V '

Нг = h2 -)- Мг .

Граничные условия на поверхности конуса для этих уравнений имеют обычный вид. Это условия прилипания и непротекания; энтальпия стенки принимает заданное значение:

щ

Для нахождения внешних краевых условий для системы уравнений (10) нужно воспользоваться одним из принципов сращивания асимптотических разложений (86) в области поглощения энтропийного слоя пограничным слоем с невязким решением для обтекания острого конуса. В результате можно записать внешние краевые условия для системы уравнений (10):

и2{х2, оо)=ие; ps

Необходимо также получить начальные условия для системы уравнений (10). Из физических соображений ясно, что начальными условиями для этой системы уравнений являются профиль скорости и профиль полной энтальпии в энтропийном слое на боковой поверхности затупленного конуса. Для того чтобы показать это, воспользуемся одним из принципов сращивания асимптотических разложений. Удобно использовать вместо переменной у функцию тока Ф, так как эта величина одна и та же как в области невязкого энтропийного слоя, так и в области поглощения энтропийного слоя пограничным слоем. Имеем:

lim и1(хи ^,) = lim и2{х2, Ф2);

jTj-i-oo ЛГа -> 0

lim Нх{хи tyi)= lim Н2(х2, ф2).

Отсюда следуют начальные условия для системы уравнений (10):

и?

где решения »1 (4*1) и даются решением (7); заметим, что

и2(0, 0) ф 0.

Таким образом, речь идет о решении уравнений ламинарного пограничного слоя при произвольных начальных условиях. Такая задача была рассмотрена в работах [2] — [4]. Методика расчета таких задач изложена в работе [2]. В работе [4] рассмотрена аналогичная постановка для плоского гиперзвукового потока.

Система уравнений (10) при краевых условиях (11), (12) и начальных условиях (13) была решена численно для случая обтекания гиперболоида вращения ньютоновским газом. В этом случае предельный переход (9) дополняется условием (р^/'ро) 0, iV=Ö(l);

> краевое условие (12) принимает вид:

Щ (х2, оо) = cos 60; Н2 (х2, оо) = 1 -f- Л/; Pi (-«г) = sin2 60,

Рис. 2

Рис. 3

где JV = (р00/РоМ^3), а начальные условия в соответствии с работой [5] принимают вид:

«2(0, ф2) = А/2фГ[А2 + И + А*)2ЬГ1*-, 1 15

Я2(0, ф3)= 1+JV, J

где А = ctg2 0О.

Система уравнений (10) при краевых условиях (11), (14) и начальных условиях (15) была преобразована к переменным Лиза — Дородницына и решена численно с использованием метода конечных разностей. Разностная схема имела второй порядок точности аппроксимации по поперечной переменной и первый порядок точности по продольной переменной. В расчетах предполагалось, что

число Прандтля Рг=1, показатель степени в зависимости коэффициента вязкости от температуры =1, температурный фактор кш — = 0,1; 0,3; 0,5; параметр Д0=1. Результаты расчетов величин (дН2(дт])да) и (д2//дг12)ш в зависимости от величины I,

представлены на рис. 2 и 3. Следует отметить, что уравнение импульсов быстрее „выходит“ на решение для пограничного слоя на поверхности острого конуса, чем уравнение энергии.

1. Adams J., Martindale W., Mayne Ir. and Marchand E. Real — Gas Scale effects on shuttle orbiter laminar boundary--layer parameters. „J. of Spacecraft and Rockefs", N 5, 1977.

2. Нейланд В. Я. О решении уравнений ламинарного пограничного слоя при произвольных начальных условиях. ПММ, т. 30,

3. Н е й л а н д В. Я., Сычев В. В. Асимптотические решения уравнений Навье — Стокса в областях с большими локальными возмущениями. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1966, № 4.

4. Соколов Л. А. Поглощение энтропийного слоя вязким слоем. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IX, № 5, 1978.

5. Е л ь к и н Ю. Г., Ермак Ю. Н., Липатов Н. Н., Нейланд В. Я. К теории вихревого взаимодействия на затупленном ко-

< нусе. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XIII, № 3, 1982.

где

ЛИТЕРАТУРА

1966.

Рукопись поступила lOjVlI 1981 г.