Концентраторы напряжений источники микропластической деформации в нагруженном кристалле

Концентраторы напряжений — источники микропластической деформации в нагруженном кристалле

Е.Е. Слядников

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

При деформации неоднородного кристалла генерация и скольжение дислокаций первоначально происходят в окрестностях концентраторов напряжений. Показано, что источниками микропластической деформации в нагруженном кристалле являются пейсмекеры, возникающие в окрестности концентраторов напряжений.

1. Введение

При сдвиговом напряжении выше критического значения в кристалле экспериментально наблюдаются генерация и скольжение дислокаций, причем их пространственное распределение уже на начальной стадии пластической деформации существенно зависит от неоднородности кристалла. Например, если растягивать однородный монокристалл с хорошо отполированной поверхностью, скольжение осуществляется сначала однородно по всему объему кристалла и затем локализуется путем образования большого числа тонких линий на поверхности кристалла (тонкое скольжение) [1]. В случае деформации неоднородного кристалла генерация и скольжение дислокаций происходят первоначально в окрестности концентратора напряжений [2]. Генерация дислокаций в окрестности концентратора напряжений в рамках модели [3] связывается с возникновением однородного и неподвижного макроскопического конденсата дислокационных пар при критическом напряжении сдвига тс. Возникновение макроскопического скольжения дислокаций в окрестности концентратора напряжений происходит при напряжении сдвига тР вследствие возникновения течения однородного конденсата дислокационных пар по всему объему полосы скольжения в поле сдвиговых напряжений при т > тР > тс. Скорость течения конденсата дислокационных пар в полосе сколь-

жения, а следовательно, и скорость макропластической сдвиговой деформации, определяется волновым вектором дислокационной пары q, величина которого увеличивается пропорционально увеличению разности (т-тР) > 0. При дальнейшем увеличении сдвигового напряжения т > тL > тР происходит локализация (доме-низация) течения конденсата дислокационных пар в фазе солитонной решетки [4], что экспериментально наблюдается в виде большого числа тонких линий скольжения в полосе скольжения деформированного кристалла. Однако из экспериментов в неоднородных монокристаллах хорошо известно, что при сдвиговом напряжении т < т Р стадии макроскопического скольжения дислокаций в полосе скольжения предшествует стадия микропластической деформации [2]. Существование стадии микропластической деформации связано с тем, что сдвиговое напряжение недостаточно велико, чтобы вызвать скольжение дислокаций по всей полосе скольжения кристалла и пластическая деформация протекает локально в окрестности концентраторов напряжений [2]. В настоящей работе будет показано, что в кристалле при среднем сдвиговом напряжении т < тР источниками, вызывающими локальное течение (а при т < тс и возникновение) конденсата дислокационных пар, являются пейсмекеры, возникающие в областях неоднородности кристалла на концентраторах напряжений.

© Слядников Е.Е., 2000

2. Стационарные уравнения эволюции для неоднородного конденсата

В рамках модели [3] существование стадии микро-пластической деформации в нагруженном неоднородном кристалле качественно можно объяснить следующим образом. Когда напряжения сдвига находятся в области тс <т<тР, состояние кристалла с неоднородным идеальным газом дислокационных пар остается устойчивым относительно возникновения течения конденсата дислокационных пар. Однако поскольку кристалл неоднороден, то на этих неоднородностях возникают концентраторы напряжений, в области которых сдвиговое напряжение больше критического напряжения течения т > тР. Поэтому в области концентратора напряжений может возникнуть конденсат дислокационных пар, который становится неустойчивым относительно спонтанного возникновения фазовых волн [3]. При распространении фазовой волны в конденсате в нем устанавливается постоянный градиент фазы автоколебаний, который и вызывает течение конденсата. Количественно этот процесс при среднем сдвиговом напряжении т < тР описывается уравнением эволюции для неоднородного комплексного параметра порядка Т(г, {), квадрат амплитуды которого равен плотности конденсата дислокационных пар, а градиент фазы пропорционален скорости движения конденсата [3]:

Т(г) = -аТ(г) + ^УТ(г) - вТ(г)|2Т(г),

где комплексные коэффициенты а, D, в определены и вычислены в работе [3]. Выделяя явным образом в коэффициентах а, D, в реальную и мнимую части, это уравнение удобно записать следующим образом:

Т(г, ^ = А(р)Т(г, 0 - г'ю(р)Т(г, 0 + + (D1 + iD2)V2Т(г, 0.

Здесь точка обозначает дифференцирование по времени; А(р) = а1 - Р1р2, ю(р) = а2 + Р2р2, V — оператор Набла; а1 = -уТ(ас -а*)/ас, а2 = ^(0), в2 =

= (р^ )[П(0) - Е ], Вг = (12) д 2&/дд2 =^*, а положительные коэффициенты Б1, Р1 и константы уТ, ас(ас < 0), ^(0), ^*, Еопределены и вычислены в работе [3]. Из (1) видно, что функция А(р) обращается в нуль при р = р0 = (^/Р1)12, отрицательна при р > р0 и положительна при р<р0. Таким образом, конденсат дислокационных пар представляет собой автоколебательную среду, которая описывается “А-ю-моделью” [5]. Если комплексный коэффициент D = D1 + iD2, играющий роль коэффициента диффузии в уравнении (1), равен нулю, то конденсат представляет собой совокупность не связанных между собой точек, совершающих автоколебания. В установившемся режиме каждая точка конденсата совершает колебания по закону Т^) =

= р0ехр[-г(ю^ + ф)] с амплитудой р0, определенной из условия А(р0) = 0, и частотой ю0 = ю(р0). Здесь р0 отвечает плотности генерированных дефектов, а частота ю — энергии дислокационной пары в конденсате [3]. Начальная фаза ф этих колебаний одинакова у всех точек конденсата. Такому однородному режиму автоколебаний соответствует состояние конденсата с однородной плотностью и скоростью конвективного движения, равной нулю. Малые возмущения амплитуды 8р = р - р0 для отдельной точки конденсата затухают со временем согласно уравнению 8р = р0А'(р0)8р, где штрих обозначает дифференцирование по р. Следовательно, время

релаксации амплитуды равно ^е1 = | 1 =

= |(у2а1). В общем случае D Ф 0, тогда подставляя параметр порядка в виде Т(г, t) = р(г, t) х Xехр[-г'(Ю(/ + ф(г, ^)] а уравнение (1), для функций р(г, 0 и ф(г, 0 можно получить уравнения:

р = А(р)р + ^°р - Ар^ф)2 +

+ D2рV2ф + 2D2(Vр)(Vф),

ф = [ю(р) - Ю0 ] + 2^р -1 ^р)^ф) -

- D2р-1V2р + D2(Vф)2 + DlV2ф.

Рассмотрим только плавные распределения параметра порядка, характеризуемые большим пространственным масштабом Ь. Тогда амплитуда колебаний в каждой точке конденсата будет близка к р0, то есть 8р/р0 << 1. Предположим, что характерное время tL для изменения неоднородности фазы с пространственным масштабом Ь велико по сравнению со временем релаксации амплитуды ^е1 в отдельной точке конденсата. Следовательно, отклонения амплитуд 8р(г, t) будут адиабатически подстраиваться к значениям Vф и V2ф в соответствующих точках конденсата и с точностью до членов порядка 1/L2 из (2) имеем 8р = р0^е1[D2V2ф - D1(Vф)2]. Подставляя р = р0 + 8р в уравнение (3) для фазы и сохраняя в нем лишь члены порядка 1/1}, получим для кристалла без концентраторов напряжений

ф = а^ф)2 + bV 2ф,

где коэффициенты а = -(Р2/Р1^1 + D2, Ь =

= (Р2/Р1^2 + D1 обладают размерностью коэффициента диффузии, а ю(р) не зависит явно от координаты г. Из уравнения (4) следует, что время tL имеет порядок величины tL ~ 1}/ь. Поэтому полученное уравнение фазовой динамики (4) применимо лишь для описания таких плавных распределений фазы, для которых пространственный масштаб неоднородности удовлетворяет условию L >> (Ь^)12. Рассмотрим процессы, описываемые уравнением (4). С помощью подстановки

ф

уравнение (4) сводится к линейному уравнению

Q = bV2Q.

Из уравнения (6) видно, что решающую роль в эволюции фазы конденсата играет знак коэффициента b. Если этот коэффициент положителен, любая локальная неоднородность Q (и соответственно ф) с характерным пространственным масштабом L полностью размывается и исчезает за время порядка tL. В результате этого происходит восстановление синхронности колебаний во всех точках конденсата, поскольку Q и ф не зависят от пространственных координат. Плотность конденсата вновь становится однородной, а скорость течения конденсата равной нулю. Следовательно, в однородном конденсате (без концентраторов напряжений) при сдвиговом напряжении т < тP любая флуктуация фазы параметра порядка размывается, а локальное течение конденсата, вызванное этой флуктуацией, прекращается. Если коэффициент b отрицателен, то начальная неоднородность фазы не размывается, а, наоборот, сжимается и возрастает за характерное время L2/b. Вследствие этого однородный режим с синхронными автоколебаниями оказывается неустойчивым по отношению к малым возмущениям фазы. Флуктуации фазы усиливаются, причем быстрее всего идет рост наиболее коротковолновых флуктуаций. В конденсате устанавливается хаотический, или турбулентный режим автоколебаний

[5], который характеризуется множественным рождением сингулярностей в распределении фазы. Такому режиму соответствует состояние конденсата с сильно неоднородной плотностью и турбулентным характером течения. Как было показано в [3], при распространении фазовой волны в конденсате дислокационных пар в нем устанавливается постоянный градиент фазы колебаний Vф = -q = const. Благодаря этому вдоль направления вектора q колебания соседних точек конденсата происходят с постоянным сдвигом по фазе, как будто по конденсату движется фазовая волна. Такому режиму автоколебаний соответствует состояние течения однородного конденсата со скоростью, пропорциональной градиенту фазы — волновому вектору q. Распространение фазовых волн можно исследовать в рамках уравнения (4). Такая волна отвечает частному решению этого уравнения, имеющему вид ф = -qr + aq t. Зависящее от времени слагаемое дает сдвиг частоты колебаний ю = = ю0 + aq2. Скорость распространения фазовой волны равна с = ю0/q + aq. В рамках уравнения (4) все фазовые волны устойчивы, если b > 0. При b < 0 частное решение в виде фазовой волны по-прежнему существует, но оно уже неустойчиво и в среде формируется хаотический пространственно-временной режим.

3. Пейсмекеры в неоднородном конденсате

Для возбуждения фазовых волн в конденсате при сдвиговом напряжении т < тР необходимо создать начальный градиент фазы автоколебаний. Поэтому возникновение фазовых волн в конденсате возможно лишь при существовании источников градиента фазы (концентраторов напряжений). Очевидно, что в области концентратора напряжений точки конденсата имеют собственную частоту автоколебаний (энергию образования дислокационной пары) ю(г), превышающую частоту колебаний остальных точек конденсата, причем ю(г) — ю0 при г —— ^. Тогда фазовая динамика в нагруженном кристалле с концентратором напряжений описывается уравнением

ф = ю

После преобразования (5) оно сводится к линейному уравнению

2 = +

которое эквивалентно уравнению Шредингера /НФ = -(Н 2/2m)V2Ф + и (г)Ф, если положить Ф — 2, Н 2 /2да — Ь, и (г) — -(а/Ь)[ю(г) -ю0], (^Н^ — t.

Когда частота ю(г) превышает ю0 внутри некоторой области, то в терминах уравнения Шредингера это означает, что в данной области имеется некоторая потенциальная яма. Пусть характерный размер такой области равен г0. Тогда уравнение (8) имеет общее решение 2(г, {) = = Хми (г)Си ехр(Аnt), где Ап, цп (г) являются решения-

п )

ми задачи определения собственных значений L|a = Ац для линейного оператора L = bV2 + (а/Ь)[ю(г) - ю0]. Положительные собственные значения Аи соответствуют связанным состояниям частицы в потенциальной яме и(г). Отрицательные собственные значения Аи образуют сплошной спектр. Поскольку вклад от таких членов в Q экспоненциально затухает со временем, его можно не учитывать. Наконец, поскольку и (г) — 0 при г — существует также нулевое собственное значение А0 = 0 и соответствующая функция ц0(г). Как известно [6], для любого связанного состояния частицы в потенциальной яме волновая функция экспоненциально спадает на достаточно больших расстояниях от центра ямы. Ввиду аналогии с уравнением Шредингера имеем Ми(г) = сош1ехр(-г/гиX г >> ^ где Гп = (Ь/Аи)2 — характерный радиус локализации. Для нулевого собственного значения собственная функция ц0(г) ~ 1 вдали от области, где сосредоточенно возмущение ю(г). Предположим вначале, что в потенциальной яме и(г) имеется всего одно связанное состояние А1, М1(г). Тогда с учетом (5) получим:

ф

При г >> г0, т. е. вдали от области, где локализовано возмущение ю(г), выражение (9) упрощается:

ф

Это решение описывает рождающийся в области концентратора напряжений источник фазовых волн или пейсмекер — источник течения конденсата. Внутри растущей сферической области радиуса R(t) = (ЬА1)121 имеем систему концентрически расходящихся фазовых волн

ф

с частотой ю = ю0 + (Ь/а )А1 и волновым числом k = = (А1ь/а2)12, которые вызывают течение конденсата со скоростью, пропорциональной k. Вне этой области сохраняются однородные автоколебания конденсата с частотой ю0, а сам конденсат неподвижен. С течением времени область, заполненная расходящимися волнами, расширяется, захватывает и приводит в движение весь конденсат в той части кристалла, где т > тс. Известно

[6], что в одномерном и двумерном случаях любая сколь угодно мелкая потенциальная яма содержит хотя бы одно связанное состояние. Следовательно, для одномерного и двумерного конденсатов достаточно сколь угодно слабого локального возмущения частоты ю(г) (слабого концентратора напряжений), чтобы родился источник, действие которого охватит со временем всю активную среду. В отличие от этого в трехмерном случае потенциальная яма содержит связанное состояние, только если она является достаточно глубокой (сильный концентратор напряжений). Переформулируя соответствующее условие для уравнения (8), можно получить условие, при выполнении которого имеется хотя бы одно положительное собственное значение А: 8ю>> Ь аг0 , где 8ю — характерное возмущение частоты, а г0 — характерный размер области, где такое возмущение локализовано. Когда это условие нарушается, рождение пейсмекера в трехмерном неоднородном конденсате не происходит.

4. Заключение

Свойства диссипативных структур, образующихся

в ансамбле дислокаций, существенно зависят от того, к

какому типу активной среды (бистабильной, возбуди-

мой, автоколебательной) относится ансамбль. В работе [3] было показано, что при достижении критического

напряжения сдвига тс в окрестности концентратора

напряжений возникает конденсат дислокационных пар,

характеризуемый параметром порядка Т, который удовлетворяет обобщенному уравнению Гинзбурга-Ландау

с комплексными коэффициентами. При дальнейшем увеличении сдвигового напряжения т > тР > тс неподвижный конденсат дислокационных пар становится неустойчивым относительно возникновения течения

конденсата. Следовательно, конденсат представляет собой автоколебательную среду, каждая точка которой совершает устойчивые колебания по закону Ф(г, t) = = p(r, t)exp[-i(mt + ф(г, t))]. Колебания характеризуются амплитудой р, частотой ю, фазой ф, которые однозначно определяются свойствами конденсата. Физический смысл комплексного параметра порядка Ф состоит в том, что квадрат его амплитуды равен плотности конденсата генерированных дислокационных пар, а градиент фазы пропорционален скорости движения конденсата (скорости сдвиговой деформации). Частота ю равна энергии образования дислокационной пары. При сдвиговом напряжении тP > т > тс и гомогенном зарождении конденсата в кристалле без концентраторов напряжений возникает режим синхронных автоколебаний, при котором все точки конденсата совершают колебания с одной и той же амплитудой, частотой и фазой ф(г, t) = = const. Плотность конденсата однородна, а скорость течения конденсата равна нулю. Если произвести некоторое возмущение однородного режима синхронных автоколебаний, то амплитуда и фаза перейдут к устойчивым значениям по прошествии некоторого времени релаксации trei, tL соответственно. Пусть пространственное изменение фазы колебаний является плавным и характеризуется большим пространственным масштабом L. Тогда распределение фазы колебаний будет медленно меняться со временем. С другой стороны, возмущение амплитуды колебаний релаксирует быстро, независимо от того, каков его характерный пространственный масштаб. Ее затухание определяется свойствами отдельной точки среды и происходит за время trel. Таким образом, для возмущений с достаточно большим пространственным масштабом характерные времена для изменения фаз и амплитуд колебаний могут сильно различаться. Когда tL велико по сравнению trel, амплитуда колебаний в каждой точке конденсата быстро стремится к своему устойчивому значению. При наличии слабого градиента фазы Vф амплитуда колебаний быстро адиабатически подстраивается к мгновенному значению этого градиента. Тогда поведение конденсата хорошо описывается уравнением фазовой динамики, решающую роль в котором играет знак эффективного коэффициента диффузии b. Если коэффициент b положителен, то уравнение фазовой динамики эквивалентно уравнению диффузии. Следовательно, любая локальная неоднородность с характерным пространственным масштабом L полностью размывается и исчезает за время порядка tL. В результате в конденсате восстанавливается однородный режим синхронных автоколебаний. Плотность конденсата становится однородной, а скорость конвективного течения равной нулю. Следовательно, в однородном конденсате (без концентраторов напряжений) при сдвиговом напряжении т < тP любая флуктуация фазы параметра порядка размывается, а локальное тече-

ние конденсата, вызванное этой флуктуацией, прекращается. Если коэффициент b отрицателен, то начальная неоднородность фазы не размывается, а, наоборот, обостряется и возрастает с характерным временем tL. Вследствие этого однородный режим с синхронными автоколебаниями оказывается неустойчивым по отношению к малым возмущениям. Флуктуации усиливаются, причем быстрее всего идет рост наиболее коротковолновых флуктуаций. В результате в системе устанавливается хаотический режим, характеризуемый множественным рождением сингулярностей в распределении фазы. Плотность конденсата становится сильно неоднородной, а течение имеет турбулентный характер. Если в кристалле с однородным режимом синхронных автоколебаний конденсата создать возмущение с пространственным периодом L и начальным градиентом фазы автоколебаний (концентратор напряжений), то в конденсате возбуждаются фазовые волны. При распространении фазовой волны в автоколебательной среде в ней устанавливается постоянный градиент фазы колебаний Vф = -q = const. Градиент фазы колебаний параметра порядка является той движущей силой, которая вызывает конвективный поток конденсата дислокационных

пар, другими словами скольжение дислокаций. Таким образом, если в кристалле при среднем напряжении сдвига т < тP существует концентратор напряжений, то в его окрестности конденсат дислокационных пар становится неустойчивым относительно конвективного течения со скоростью, пропорциональной Уф. Поэтому в неоднородном кристалле под нагрузкой на концентраторах напряжений (на поверхности, на стыках зерен и т. п.) спонтанно возникают локальные источники пластической деформации — пейсмекеры.

Литepaтypa

1. Kan P. Физическое металловедение. - М.: Мир, 1968. - 484 с.

2. Пнин B.E., Лшauee B.A., Гpuняeв Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.

3. Cляднuкoв E.E. Спонтанное возникновение дислокаций в кристалле под воздействием высоких напряжений // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 5. - С. 57-68.

4. Cляднuкoв E.E. Формирование полос тонкого скольжения в нагруженном кристалле // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - N° 2. -С. 55-61.

5. Kuramoto Y Chemical oscillations, waves, and turbulence. - Berlin:

Springer, 1984. - 424 p.

6. Лaндay Л.Д., Лифшиц E.M. Квантовая механика. - М.: Наука, 1989.- 767 с.