О внутренней геометрии внешне рекуррентных подмногообразий в пространствах постоянной кривизны

МАТЕМАТИКА

УДК 514

О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ВНЕШНЕ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

И. И. Бодренко

В статье изучаются внутреннегеометрические свойства внешне рекуррентных римановых подмногообразий Рп в пространствах постоянной кривизны Мп+Р(с).

Введение

Пусть Мп^р — (п + р)-мерное гладкое риманово многообразие, д — риманова метрика на Мп+Р, V — ковариантное дифференцирование в Мп+Р, F" — п-мерное гладкое подмногообразие в Мп+Р, д — индуцированная риманова метрика на Рп, ТРп и Т^Рп — касательное и нормальное расслоения на Рп соответственно, V — риманова связность на Fn, определенная д, Л и Й1 - тензоры кривизны Римана и Риччи связности V соответственно, Ь — вторая фундаментальная форма Рп, О — нормальная связность, Я1- — тензор нормальной кривизны, V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Определение 1. Подмногообразие Рп в Мп+Р называется внешне рекуррентным, если для некоторой I-формы р, на Рп выполняется условие

Определение 2. Подмногообразие Рп в Мп+Р называется внутренне рекуррентным, если для некоторой 1-формы и на Fn выполняется условие

Уп Е

Пусть Еп+Р — (п + р)-мерное евклидово пространство.

Теорема 1. Пусть Рп — внешне рекуррентное подмногообразие в Еп+Р. Тогда F^г является внутренне рекуррентным.

Определение 3. Подмногообразие Fn в Мп+Р называется внутренне обобщенно рекуррентным, если для некоторых 1-форм U), Q на F” выполняется условие

VWR{X, Y, Z, V) = u{W)R{X, Y, Z, V) +

+ e

Пусть Mn+P(c) — риманово пространство постоянной кривизны с.

Теорема 2. Пусть Fn — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р(с). Тогда Fn является внутренне обобщенно рекуррентным.

Определение 4. Подмногообразие Fn в Мп+Р называется локально симметрическим, если V# = 0 на Fn.

Определение 5. Точка х € Fn называется аксиальной, если все нормальные составляющие векторных полей VxY для любых X,Y ETFn коллинеарны в х, но не все равны нулю.

Теорема 3. Пусть Fn — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р{с). Тогда, если Fn не содержит аксиальных точек, то Fn является локально симметрическим.

Теорема 4. Пусть F2 — внешне рекуррентное подмногообразие в М2+Р(с). Тогда, если F2 не содержит аксиальных точек, то F2 имеет постоянную гауссову кривизну К = const.

Теорема 5. Пусть F3 — внешне рекуррентное подмногообразие в М3+Р(с). Тогда, если F3 не содержит аксиальных точек, то F3 имеет постоянную скалярную кривизну s — const.

Теорема 6. Пусть F2 — внешне рекуррентное подмногообразие постоянной гауссовой кривизны К = const в М2+Р(с). Тогда, если V6 ф 0, то К = с.

Теорема 7. Пусть F3 — внешне рекуррентное подмногообразие постоянной скалярной кривизны s — const в М3+Р(с). Тогда, если Vb ф 0, то s = 6с.

1. Свойства тензора кривизны Римана

Формулы Гаусса и Вейнгартена, соответственно, имеют вид [1]:

VxY = VxY + b(X,Y), VxZ=-AsX + DxS, \/X,Y е TFn, € T1Fn. Оператор Вейнгартена A%, соответствующий £, удовлетворяет соотношению

g{b{X,Y),i) = д(А^Х,¥)-

Ковариантная производная V6 определяется равенством [2]

(Vxb)(Y, Z) = Dx(b(Y, Z)) - b(VxY, Z) - b(Y, VXZ).

Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи в случае, когда F" является подмногообразием в Мп+Р(с), имеют, соответственно, следующий вид [2]:

д{Я(Х1 У)г, \¥) = с(д(Х, Иг)д(У, Z) - д(Х, г)д(У, 1У))+

+д{Ь{Х,Ю,Ь

д

для любых X, У, 2?, И7 6 Г.Рг и £, г/ е Т±Рп.

Пусть индексы в статье принимают следующие значения: 1^,к,1,тп = 1,..., п, а,(3,7 = 1,... ,р, и действует правило суммирования Эйнштейна.

Пусть х — произвольная точка Рп, ТхРп и ТхРп — касательное и нормальное пространства Рп в точке х соответственно, II(х) — некоторая окрестность точки х, (ь},...,ип) — локальные координаты на Рп в II (х), {д/ди1} — локальный базис в ТРп, {па|} — поле базисов нормальных векторов в Т^Рп в и(х). Базис {па|} всегда можно выбрать ортонормированным и считать, что д(па|, пр\) = <5а/з, где — символ Кронекера. Введем следующие обозначения:

( д д \ ( д д \ . а „ /_ <9 <9 \

^ = % = Чл?-^= ч"“1, Г«'‘ = ЧЧ&Ы'дф)'

с)Ь‘^ / ~ \

Г‘ = 9*”ТЧ,,„, -Г"6”,-Г56“т,

^1? = ^,,, ^ + г,!,”(£).

где ||#Лт|| и ||(5а/3|| — матрицы, обратные к \\дьт\\ и Н^а/зЦ соответственно.

Лемма 1. На Рп в Мп+Р(с) имеет место формула

Уи/Я(х, У, ^ У) = И(^)(*, У), Ъ(У, г)) + д(Ь(Х, У): (УмЬ){У, г)) -

- д((ЧшЬ)(Х, г),Ъ(У, У)) - д(Ь(Х, 2), (VЖ6)(У, ]/)) УХ, У, 2, У, 1У е ТТп. (2.4) Доказательство. Уравнение Гаусса (2.1) в локальных координатах имеет вид:

р

= с(дг1д^ - д:кдм) + ^(Щк ~ ЬЩ)-

а~ 1

Отсюда получим:

V

Vmд^^.w = + Ь^‘Ь% - - Ь^тЩ,)-

а—1

Используя равенство = — Г^, находим:

V V р

\ ' о 181.Г* \ л р-ЬЗ ]Рка \ ' -р±а 1.а1.0

2_^ 1 р\т°й°3к / ; 1 а\тп И 1 к ~~ У , 1 0\гпиИи]к'

а=1 (3=1 а=1

Отсюда,

£ т^Хщк+Е = о.

а=1 а=1

Следовательно,

£(ь“1уть2+ьзутб^) = E<^'7".^>3+^ЗVmь“()+Eг^m6^+Eг^"636«t =

а=1 а= 1 а=1 а=1

= Е +г^,^)+Е ьз(утб“к+г^«^) = е +Е %*»%

а=1 а=1 а=1 а=1

Таким образом, верно равенство

Х>3.у-6* + = Е

а=1 а=1

Учитывая (2.6), преобразуем (2.5) к виду:

vmдi,,ы = Е^^З + - б^у„ба - щутб51).

а=1

Отсюда следует формула (2.4).

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Всякое двумерное подмногообразие F2 С М2+р с ненулевой гауссовой кривизной К ф О является внутренне рекуррентным.

Доказательство. Пусть х — произвольная точка ^2, (и1, и2) — локальные координаты на F2 в некоторой окрестности 1Т(х). Тензор кривизны Я в двумерном случае определяется одной существенной компонентой, например, Яп,21- Гауссова кривизна

А' -= Я\2.-2\/С, где С = дид-22 - <?12- Для Я\2.2\ находим:

г> ____ дЯ\2;2\ рД; гу -р/с гу р/с р тл/г г> ___

V т-К\2рЛ — “ ---1 т1Пк2.2\ — 1 т2Л1к,21 ~ I т2П12М ~ 1 т1Л12,2к ~

##12,21 0/р1 р2 чп _ ^12,21 <91пС

( ^1+ т2/ 12,21 ^

12,21 -

Отсюда,

(2-7>

Так как каждая ненулевая компонента Ф 0 равна или Яхг.гъ или —^12,21, то из (2.7), используя свойства операции ковариантного дифференцирования V, получим:

V В ,2 81

V тПЦМ — о —ЩоМ-

04"'

Для нулевых компонент тензора Я уравнение (2.8) выполняется тождественно. Рассмотрим на F2 1-форму

и = сИп \К\

В II (х) и> имеет следующие локальные компоненты:

/ д \ _ д\п\К\

Шт ~ Ш ) ~ дит

Следовательно, (2.8) можно записать в виде

^mRijlkl ~ ^т^г],к1'

Отсюда следует, что на F2 выполняется условие (1.2) для 1-формы и, заданной равенством (2.9).

Лемма 2 доказана.

Теорема 8. Если Рп — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р(с), то для некоторой 1-формы /л на Fn выполняется условие

\7wRiX, У, г, V) = 2ц(\¥)Я(Х, У, V) -

- 2ср

Доказательство. Из (2.4) в силу (1.1) получим, что для некоторой 1-формы р на Я71 имеет место равенство:

У, г, V) = 2р

для любых X, У, V, IV € ТРп. Отсюда, используя (2.1), получим (2.10).

Теорема 8 доказана.

Лемма 3. Пусть F3 — внешне рекуррентное подмногообразие в М3+Р(с). Тогда для некоторой 1-формы р на F3 выполняется условие

(м(И0(6с - а) + (д{Х, 109(У, 2) - д(Х, 2)д(У, V)) = 0

VХ,У,г,У,\У еТГ3,

где 5 — скалярная кривизна F3.

Доказательство. Из теоремы 8 следует, что для некоторой 1-формы р на Fn выполняется условие (2.10), которое в локальных координатах имеет следующий вид:

У'mRij,kl ‘2‘PlmRij,kl 2с//т

Отсюда,

= — 2 cpm(Sigj|^: — gikSj).

Произведем свертку в последней формуле. Мы имеем:

= ~~ 2с(п — 1 )pmgjk

Так как тензор Риччи имеет компоненты = Яг^к, то из последнего равенства при п = 3 получим:

У тЯзк З^тЯзк 4с/-£т^£.

С другой стороны, в трехмерном случае компоненты тензора Римана Я выражаются

через компоненты тензора Риччи Яг по формуле

£

Яц,к1 Я0к9и "Ь Яцд^к Rik9jl ЯзШ “Ь ^ [д1к9ц gil9jk)

Отсюда, учитывая (2.13), находим:

^тЯг},к1 9И^Ц'тЯ]к ^СР"т9]к) ^ 9]к {'^ЦтЯ-и 4с/1т

1 (9в

9jl^‘^-^"rnRik 4с^тп9гк) 9гк{‘^рт^1 4с//т^() + — ^ т {.9гк9]1 9il9jk) =

2Рт{Я]к9И Ягт Ягк9у1 Яц9гк) “Ь 1 дв

~\- 0С1л,т{д1к9^ 9и9зк) "Ь 2с)цт 9гl9jk)

= 2Цт {^^ij,kl ~~ 9гк9]1 — 9и9]к~Ь ^8с/Лт + — ^ {Эгк9з1 ~~ 9и9]кУ) =

2РтИц,к1 “Ь ^8СЦт 3/1т ~\г 2

Таким образом,

/ 1 дв \

УmRij,kl ~ ^РтЩ,к1 (8Срт ) \9il9jk 9гк9]1}-

Вычитая из (2.12) последнее равенство, приходим к утверждению леммы.

2. Достаточные условия параллельности второй фундаментальной формы

Определение 6. Вторая фундаментальная форма Ь называется параллельной, если

Теорема 9. Пусть Fгг — внешне рекуррентное подмногообразие в Мп+Р{с). Тогда, если Fn не содержит аксиальных точек, то Fn имеет параллельную вторую фундаментальную форму.

Доказательство. Пусть р, — 1-форма на Fr\ для которой выполняется условие (1.1). Покажем, что тогда р = 0. Предположим противное. Пусть в некоторой точке х е Fn для некоторого вектора Ь Е ТхРп имеем /л(£) ф 0. По условию теоремы найдутся векторы е ТхРп такие, что векторы Ъ(1Х, £2), &(^з, £4) € T1afFn

неколлинеарны, В силу уравнения Петерсона — Кодацци (2.2) на Fn справедливы равенства:

Отсюда, используя условие (1.1), приходим к следующей системе уравнений: ц(Ф(Ь,Ь) = ^(^ЖМг) = р^2)Ь(Ь,г), м(^)Ь(^3, ^4) = /^3)Ь(М4) = Ц^Ж^Л).

Следовательно,

М

Используя (3.2), составим следующую нетривиальную линейную комбинацию векторов 6(£ь£г) и К^,и)-

р(и )р{Ь)Ь{Ь, t4) - р{Ь)р(и)Ь{гг, *2).

Учитывая (1.1) и (2.2), имеем:

^(ti)id{t2)b(t3,U) - ix{h)ii(U)b{ti,t2) - v(ti)n(h)b(t2,h) - n(t3)ii(t4)b(ti,t2) =

= fJL(U)tl(t3)b(t2, ti) - {l(t3)fJL(U)b(ti,t2) = 0.

Полученное равенство приводит к противоречию с линейной независимостью векторов bitx.t?) и b(t3,t4).

Таким образом, условие (1.1) выполняется для 1-формы ц = 0, и тогда на Fn выполняется условие (3.1).

Теорема 9 доказана.

3. Доказательства теорем 1-7

Доказательство теоремы 1. Формула (2.10) при с = 0 принимает следующий вид

VWR{X, У, Z, V) = 2ii(W)R{X, У, Z, V) VX, Y, Z, V, W e TFn.

Отсюда заключаем, что условие (1.2) выполняется для 1-формы и> = 2/i.

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. В силу (2.10) условие (1.3) выполняется для 1-форм и = 2/х, д = —2сц.

Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Из теоремы 9 следует, что на Fn выполняется условие (3.1). Следовательно, условие (2.10) выполняется для 1-формы ц = 0, и поэтому Vi? = 0 на Fn.

Теорема 3 доказана.

Доказательство теоремы 4. Пусть U — открытое подмножество F2, на котором К ф 0. Тогда из леммы 2 следует, что в U имеет место равенство

VWR(X, У, Z, V) = u)(W)R(X, У, Z, V) VXXZtV.W eTFl,

где и = rfln |ATf. Так как в силу теоремы 3 на F2 имеет место равенство VR = 0, то из (4.1) получим, что и = 0 в U и, следовательно, К = const.

Теорема 4 доказана.

Доказательство теоремы 5. Из теоремы 9 следует, что на F3 выполняется условие (3.1). Тогда условие (2.11) выполняется для 1-формы /л = 0, и из леммы 3 находим:

W(s)(g(X, V)g(Y, Z) - д(Х, Z)g(Y, V)i = 0 VX, У, г, V, W e TF\ Запишем последнее равенство в локальных координатах:

~ 9u9jk)) = 0,

и положим в нем г = к — 1, j = I — 2. Мы имеем:

д s

0^{ди922 - д\2) = °- .

Так как метрический тензор д положительно определен, то отсюда получим:

£- = о.

дит

Значит, s = const.

Теорема 5 доказана.

Доказательство теоремы 6. Из условия К = const, в силу леммы 2, получим, что X7R = 0. Так как V6 Ф 0 на F2, то условие (2.10) выполняется для некоторой 1-формы /i ф 0 и принимает следующий вид

2p(W)(R(X, Y, Z, V)-c(g(X, V)g(Y, Z)-g(X, Z)g(Y, V))) — 0 VX, F, Z, V, W € TF2 Отсюда получим:

R(X, Y, Z, V) - c(g(X, V)g{Y, Z) - g(X, Z)g(Y, V)) = 0 VX, Y,Z,Ve TF2.

Следовательно, К = с.

Теорема 6 доказана.

Доказательство теоремы 7. Из леммы 3, учитывая, что ц Ф 0, имеем:

(6с - s)(g(X, V)g(Y, Z) - g(X. Z)g(Y, V)) = 0 IX, Y. Z, V 6 TF3.

Отсюда получим соотношение 6c — .9 = 0.

Теорема 7 доказана.

Summary

ON INTERNAL GEOMETRY OF EXTERNALLY RECURRENT SUBMANIFOLDS IN SPACES OF CONSTANT CURVATURE

1.1. Bodrenko

In the article, studies internally geometric properties of externally recurrent Rie-mannian submanifolds Fn in spaces of constant curvature Mn+P(c).

Литература

1. Кобаяси ILL, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. Т. 2. М.: Наука, 1981.

2. Chen B.-Y. Geometry of submanifolds. N.-Y.: M. Dekker, 1973.