Формирование и развитие у обучающихся пространственных представлений

56

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ У ОБУЧАЮЩИХСЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

© Капчикаева Д.Н.*

Горно-Алтайский государственный университет, г. Горно-Алтаск

Вопросы культурного образования обучающихся в условиях интенсивно развивающейся информационной цивилизации становятся особенно важными и требуют от молодежи постоянного увеличения объема графических знаний. В данной статье рассматривается тетраэдр с целью формирования пространственного воображения в развитии творческого потенциала школьников.

Ключевые слова: тетраэдр, треугольник, основание, школьное образование.

Интерес к изучению тетраэдра возник у человечества с древних времен и не угасает до сих пор. Это связано не только с его оригинальностью и красотой, но и значительной практической направленностью. Так, тетраэдр, или треугольная пирамида, представляет собой простейший из многогранников, подобно тому как треугольник - простейший из многоугольников на плоскости [1, с. 125]. Тетраэдр в школе изучается как пространственный аналог треугольника.

Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами - точками A, B, C, D не лежащими в одной плоскости; грани тетраэдра - четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть.

При изучении тетраэдра в школе следует учитывать, что в отличие от произвольной n-угольной пирамиды (при n > 4) в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань (рис. 1).

C

С целью формирования у школьников целостного представления о геометрическом объекте необходимо рассмотреть с учащимися свойства тетраэдра:

- параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед;

"Студент кафедры Математики и методики преподавания математики.

Педагогические науки

57

- все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3 : 1, считая от вершины;

- плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

Развивая творческий потенциал обучающихся, при решении задач обычно применяются несколько формул. Так, помимо основных формул отметим еще две формулы для вычисления объема тетраэдра. Они не очень похожи на известные формулы для площади треугольника, но некоторую аналогию можно

все-таки проследить: V = —  SABC  h.

где высота h в данном случае есть рас-

стояние от вершины D до плоскости грани ABC. V

79

2sABC sABD

3AB

sin( ZAB),

где (ZAB) - двугранный угол при ребре AB [2, c. 176].

Эффективным видом работ в школе является, на наш взгляд, работа по вычислению ребер тетраэдров, площадей их граней, объемов, высот. Данную работу можно организовать с помощью векторной алгебры. Рассмотрим задачу на вычисление объема тетраэдра с помощью векторов.

Задача: Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1(x1y1z1), A2(x2y2z2), A3(x3y3z3), A4(x4y4z4) и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань A1A2A3.

Из вершины A1 проведем векторы A A = ix2 - X; У г - У; z2 - Z },

ААз = {хз -x;Уз -y;z -z}> AiA4 = {X -X: У4 -y;z -x}-

1. В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем

Vaaaa = \\(AA, AA3, AA%

С другой стороны V

AA2A3A4

= 1S

AA2A3

h, где согласно геометрическое

3

смыслу векторного произведения

li

SAA2A3 2 IA1A2 X A1A31

Сравнивая формулы (1) и (2), получаем

h = -

3v

A1-A2-A3-A4

( A1A2 , AA, A1A4 )|

S

A.jA2jA3

AA x AjA3

2. Вычисляем смешанное произведение

______________X2 - X1 У2 - У Z2 - Z1

X3 - X1 У3 - У1 Z3 - Z1

X4 - X1 У4 - У1 Z4 - Z1

58

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

и находим объем тетраэдра по формуле (1).

3. Вычисляем координаты векторного произведения

Л1Л2 х AlA3 =

i j к

x2 - xi У - У z2 -x3 - xi Уз - У1 Z3 - zi

и его модуль.

4. Находим высоту h по формуле (3).

В заключении хотелось бы отметить, что тетраэдр является одним из основных фигур стереометрии, однако его изучение в курсе средней школы недостаточно. В некоторых учебниках авторы избегают самой терминологии, предпочитая называть фигуру «треугольной пирамидой» (и рассматривают её именно в таком ключе), а об изучении различных видов тетраэдров зачастую и говорить не приходится. Вместе с тем, обобщая сказанное выше, мы рассматриваем тетраэдр как потенциал развития математических способностей обучающихся и творческой личности в современном образовательном пространстве.

Список литературы:

1. Темербекова А.А. Формирования графической культуры обучающихся методом интерактивного диалога: монография / И.В. Чугунова, А.А. Темербекова, Г.А. Байгонакова. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2012. - 204 с.

2. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: в 2 т. Т 2: Стереометрия, преобразования пространства. - М.: МЦМНО, 2006. - 256 с.

ЯПОНСКИЙ подход

К ИНТЕРНАЦИОНАЛИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

© Кречетников К.Г.* *, Шойнхорова В.Р.*

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

Представлены задачи, которые ставит интернационализация образования в Японии. Показаны особенности японского образования, влияющие на внутренний и внешний рынок образования в стране.

Ключевые слова демографическая ситуация, интернационализация образования, качество образования, международное сотрудничество, развитие инноваций, студенческая мобильность.

* Профессор кафедры Управления персоналом и экономики труда, д.п.н., профессор.

* Студент 3 курса специальности «Управление персоналом».