Особенности преподавания вероятностно-статистической линии в классах естественнонаучного профиля

ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

Методика преподавания

УДК 37 01 Т. А. ПОЛЯКОВА

Т. А. ШИРШОВА

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ В КЛАССАХ

ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ПРОФИЛЯ_

Вопрос о введении в школьную программу по математике элементов теории вероятностей и математической статистики является весьма актуальным для настоящего времени. И если для 5-9 классов существуют методические разработки по вопросам преподавания стохастической линии, то для 10-11 классов этот вопрос остается открытым. В данной статье рассмотрены основные вопросы, связанные с преподаванием стохастики на старшей ступени обучения в классах естественнонаучного профиля.

О необходимости преподавания вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики говорилось очень давно. В настоящее время в связи с включением основных вопросов стохастики в Стандарт школьного образования [1], этому вопросу уделяют особое внимание.

В. Д. Селютин в качестве одного из основных компонентов методической готовности учителей к обучению школьников стохастике выделяет прикладной, «направленный на установление тесной генетической связи вероятностных моделей с вещественным миром, организацию процессов построения и истолкования моделей как ведущих форм деятельности» [2].

Согласно мнению большинства исследователей (Ю. М. Колягин, В. В. Фирсов, С. В. Щербатых и др.),

реализация прикладной направленности в обучении стохастике возможна на старшей ступени, в условиях профильной школы, когда перед учителем математики ставится одна из главных задач — показать учащимся возможность применения математического аппарата в их будущей профессиональной деятельности. Ведь школьники зачастую не представляют, в какой области науки можно применять полученные знания и умения.

Н. В. Глотов, посвятивший много лет преподаванию генетики и биометрии в вузах, а также биологии в школе, отмечает, что «трудности, которые возникают и у учащихся, и у преподавателей при изучении ряда биологических проблем, связаны с несовершенством программ математического образования в школе» [3].

По его мнению, именно «отсутствие в школьной программе теории вероятностей и математической статистики препятствует формированию естественнонаучного взгляда на мир, который совершенно необходим любому человеку в современном обществе, независимо от того, кем он станет и чем будет заниматься в жизни» [3].

Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики имеют большое значение при изучении вопросов, возникающих при рассмотрении ряда естественнонаучных дисциплин. О том, насколько важна для биолога математическая статистика, свидетельствует, например, тот факт, что именно профессиональные биологи заложили ее основы и разработали методы, используемые в настоящее время и физиками, и экономистами, и социологами. Для учащегося небезынтересно узнать, что [4, 5]:

• первые закономерности, которым подчиняется возникновение случайностей в природе, в первой половине XIX в. отметил бельгийский антрополог А. Кетле;

• важнейшие статистические методы анализа связи между явлениями — корреляционный и регрессионный анализ — разработал антрополог Ф. Дальтон;

• основные методы проверки достоверности получаемых результатов создал биолог К. Пирсон;

• важнейшие методы математической статистики — дисперсионный анализ и планирование экспериментов — предложил и обосновал генетик Р. Фишер;

• в практике лабораторной и научно-исследовательской работы весьма эффективным оказалось использование круга новых вероятностно-статистических идей, которые образовали затем теорию планирования эксперимента.

Одна из групп задач, встающих перед биологами самых различных специальностей, состоит в изучении совокупностей однородных биологических объектов. Вот примеры таких задач:

1. Сколько птичьих гнезд имеется в среднем, на единице площади в пределах данного ареала?

2. Сколько в среднем, яиц имеется в одной кладке?

3. Сколько микроорганизмов в среднем, содержится в 1 мм3лесной почвы?

4. Какова средняя продолжительность жизни населения в данной области и как она меняется со временем?

Очевидно, что количество подобных задач практически бесконечно, и для учащегося всегда можно подобрать те из них, решать которые будет и интересно, и полезно.

При выполнении простых, хотя и трудоемких заданий возникают вопросы, от решения которых зависит правильность будущих выводов и сделанных на их основе рекомендаций. Это, например, следующие вопросы:

1. Сколько подсчетов или измерений необходимо сделать, чтобы, полученной на их основе средней величине можно было доверять?

2. Какова степень этого доверия и в каких пределах может, быть в действительности средняя величина, если бы. удалось измерить всю генеральную совокупность данных объектов?

3. Какова зависимость между средними величинами двух изученных объектов, явлений, факторов?

Решение подобных вопросов очень важно при планировании экспериментов и наблюдений, а также при анализе их результатов. Это позволяет не только сделать заслуживающие доверие выводы, но и максимально обосновать полученную информацию.

Как известно, все живое на любом уровне организации жизни (клеточном, организменном, популяци-онном, биогеоценотическом) представлено даже не сложными, а сверхсложными системами. Тогда как современные биологи и математики свидетельствуют о том, что сложное похоже на случайное. Другими словами, поведение сложных и сверхсложных систем достаточно хорошо описывается методами теории вероятностей и математической статистики. А потому «для усвоения этих представлений требуется определенная вероятностная направленность курса школьной математики, т. е. не одноразовое обращение к этим вопросам, а длительное и настойчивое формирование вероятностного мышления, начиная с младших классов школы» [3]. И этого мнения придерживаются не только вузовские биологи, но и специалисты других естественных наук: физики, химики, представители медицинской сферы.

При изучении элементов стохастики в 10-11 классах естественнонаучного профиля (химико-биологического, медицинского, биолого-географического, физико-химического) очень важно сделать акцент на прикладную сторону стохастики. В процессе изложения материала учащимся необходимо постоянно демонстрировать ту роль, которую играют идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики во всем комплексе естественных наук. Например, вся теоретическая генетика (а ее основы изучаются как раз в школьном курсе биологии), включая популяционную, основана на вероятностных законах. Многие понятия современной химии, такие как, например, представления о равновесном состоянии, природе химических реакций, требуют теоретико-вероятностных представлений.

Важно акцентировать внимание учащихся на статистической составляющей курса стохастики. Ведь математическая статистика представляет собой важнейший математический аппарат для решения задач, связанных с планированием экспериментов и обработкой их результатов. В настоящее время ни одна экспериментальная работа по биологии (и не только по биологии) не принимается всерьез, если статистически не обоснован объем проделанных экспериментов и не проведена доверительная оценка полученных результатов.

Таким образом, при отборе стохастического материала для классов естественнонаучного профиля очень важно обратить внимание на то, что «ядро» содержания (тот обязательный минимум содержания среднего (полного) общего образования по математике, определяемый стандартом) должно быть дополнено рядом тем и разделов стохастической составляющей, знакомство с которыми будет способствовать более глубокому пониманию и осмыслению многих процессов, описываемых в биологии, химии, медицине, а также продемонстрирует прикладную сторону вероятностно-статистической линии в цикле естественнонаучных дисциплин. Речь идет, в первую очередь, о следующих основных вопросах:

• формула полной вероятности и формула Байе-

са;

• независимые повторные испытания: формула Я. Бернулли, формула Муавра-Лапласа, формула Пуассона;

• нормальное распределение;

• элементы, корреляционного и регрессионного анализа;

• проверка статистических гипотез.

Изучение каждого раздела, необходимо сопровождать примерами и задачами с интересным прак-

тическим содержанием, что, по мнению большинства исследователей в области прикладной направленности школьного курса математики (В. В. Фирсов, Г. В. Дорофеев, В. Д. Селютин, И. М. Шапиро, И. А. Тере-шин, Ю. М. Колягин и т. д.), оказывает существенное влияние на формирование и развитие математического и, в частности, вероятностно-статистического мышления учащихся.

Например, при изучении основных правил и формул комбинаторики (правило суммы, правило произведения, перестановки, сочетания, размещения), учащимся можно предложить следующие задачи:

1) При сравнительном изучении пернатых видов требуется проанализировать пять признаков. Если у трех признаков имеется по шесть различимых особенностей, а у остальных двух признаков — по пять различимых особенностей, то каково максимальное число различных групп видов, которые можно бы. было выделить на основе этих пяти признаков?

2) По оценкам, специалистов существует. 2 млн видов насекомых, 1 млн видов растений, 20000 видов рыб и 8700 видов птиц. Если для сравнительного анализа нужно выбрать по одному виду от. каждой из этих четырех категорий, то сколькими способами это можно сделать?

3) В распоряжении агрохимика есть шесть различных типов минеральных удобрений. Ему необходимо провести несколько экспериментов по изучению совместного влияния любой тройки минеральных удобрений. Сколько всего экспериментов ему придется провести?

При решении подобного рода задач учащиеся получают представление об упорядоченных и неупорядоченных выборках; о возможностях применения комбинаторных правил при подсчете числа вариантов в тех ситуациях, когда решение задачи простым перебором представляет определенные трудности (например, задачи с большим диапазоном данных), а такие задачи достаточно часто возникают на практике; учатся различать между собой те или иные соединения и применять для подсчета их числа нужные формулы.

Кроме того, в процессе знакомства старшеклассников с комбинаторикой, очень важно на примерах продемонстрировать то, насколько широко комбинаторные методы используются в биологии, химии, медицине. Н. Я. Виленкин отмечет, что «сложность строения биологических систем, их строгая иерархичность, взаимослаженность отдельных процессов в целом организме делают биологию благодарным полем для приложения комбинаторных методов» [6]. Например, советский биолог А. А. Любищев полагал даже, что сходство растений и морозных узоров на окнах не случайно — в обоих случаях проявляются определенные законы комбинирования частей в единое целое [6].

Одним из самых замечательных открытий в биологии XX века была разгадка генетического кода [7]. Удалось выяснить, каким образом организм передает потомству наследственную информацию. Оказалось, что эта информация записана в гигантских молекулах дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК). Различные молекулы ДНК отличаются друг от друга тем, в каком порядке идут в них четыре азотистых основания: аде-нин, тимин, гуанин и цитозин. Этот порядок определяет последовательность чередования аминокислот при построении белков в организме. Число аминокислот равно двадцати. Каждая аминокислота зашифрована кодом из трёх азотистых оснований.

Легко понять, откуда взялось число 3. Ведь с помощью комбинаций двух оснований можно за-

шифровать лишь 42 = 16 аминокислот, а этого явно недостаточно. Если же брать по три основания, то получим 43 = 64 комбинации. А этого с избытком хватит, чтобы зашифровать 20 аминокислот. Здесь возникает вопрос, как используется в природе избыточность информации — ведь число комбинаций равно 64, а число аминокислот втрое меньше [7].

Элементарные знания и представления о случайных событиях, вероятностях случайных событий, распределениях и т. д. необходимы для усвоения материала общей биологии в старших классах. Понятие случайной величины и закона ее распределения является центральным понятием при изучении математической статистики. Значения случайной величины — это количественная характеристика случайных событий, т. е. те числовые значения, которые могут реализовываться при проведении опыта. После знакомства с основными характеристиками случайной величины, учащимся можно предложить, например, следующую задачу:

Упрощенная эпидемия [8]. Некая инфекционная болезнь имеет, однодневный инфекционный период, и после этого дня пациент, становится невосприимчивым. к этой болезни и не передает, ее. На острове живут. 6 отшельников, которых мы. пронумеруем числами от. 1 до 6. Если какой-либо отшельник заболеет. этой болезнью, то он обратится за помощью к другому случайно выбранному отшельнику. В том случае, если этот новый отшельник еще не болел этой болезнью, то после этого он заразится ею, и будет оставаться заразным, в течение следующего дня. Предположим., что в один день этой болезнью заболел отшельник 1, в то время как остальные отшельники никогда ею не болели. При помощи бросания игральной кости выберите отшельника, к которому больной обратится за помощью (не обращая внимания на выпадение одного очка). Этот отшельник будет заразным на следующий день. Затем, при помощи бросания кости определите, к кому он обратится за помощью, и т. д. Продолжите этот процесс до тех пор, пока какой-либо больной отшельник не обратиться за помощью к такому, который уже болел этой болезнью, вследствие чего эпидемия прекратится. Повторите этот эксперимент. 5 раз и найдите среднее число отшельников, которые перенесли болезнь.

Подобная задача дает учащимся не только наглядное представление о таких понятиях, как случайная величина, закон распределения случайной величины, математическое ожидание случайной величины, но и имеет важное прикладное значение. На этом упрощенном примере учащиеся знакомятся с так называемой «теорией эпидемий» (распространение инфекционных болезней, эпидемий в терминах количества предрасположенных к болезни, заразных и невосприимчивых к инфекции людей в зависимости от времени [8]).

При изучении законов распределения случайных величин (дискретных и непрерывных) важно отметить, что применение соответствующего закона распределения, который, например, определяет вероятность того, что результат измерения какого-либо параметра индивидуума, выбранного случайным образом, будет иметь любое заданное значение или лежать в определенном интервале значений является одним из основных плодотворных способов описания характера изменчивости.

Такие непрерывные понятия, как рост, вес, нередко удовлетворительно описываются кривой нормального, или гауссова, распределения (несмотря на

то, что теоретически эта кривая лежит в интервале от - ж до + ж ) [5]:

1 Г (х - ц)21 , л

—¡=ехр-^^ (-ж < х <ж),

;у/2Л 1 2о2 ]

где Ц - математическое ожидание, а о — среднее квадратичное отклонение.

Нормальное распределение является одним из простейших с точки зрения математики. Кроме того, существует ряд теоретических оснований, позволяющих предполагать, что многие распределения, встречающиеся на практике, должны быть близки к нормальному, и это предположение действительно часто подтверждается. Этих предположений вполне достаточно для того, чтобы нормальное распределение заняло важное положение в теории вероятностей и математической статистике.

Для описания дискретных величин в тех случаях, когда имеется ограниченное число альтернативных наблюдений (например, таких, как число детей-альбиносов в семье данного состава), может оказаться пригодным биномиальное распределение. Если имеется п индивидуумов и вероятность того, что какой-либо из них обладает определенным признаком, равна р (независимо от других индивидуумов), то вероятность наблюдения г индивидуумов с данным признаком имеет биномиальное распределение и равна [5]:

п!

рг (1 - р)п-г (0 < г < п) .

г!

Распределение числа радиоактивных частиц, испускаемых за данный промежуток времени некоторой большой массой радиоактивного вещества, числа дорожно-транспортных происшествий, происходящих за данный промежуток времени при определенных условиях, или числа лейкоцитов, наблюдаемых в квадрате гемоцитометра, лучше всего описывается законом Пуассона, согласно которому вероятность наблюдения г событий равна [5]:

е-ттГ

(0 < г < ж),

г!

где т — среднее значение случайной величины.

Подводя итог, скажем следующее. Биологам, химикам, географам и т. д. для анализа результатов экспериментов и наблюдений необходимо знать некоторые разделы математики, среди которых особая роль отводится комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике. Изучение основных разделов стохастической линии позволяет познакомить учащихся с закономерностями более широкого типа, чем те, которые представляет классический детерминизм, а именно, с вероятностными закономерностями, которые играют главную роль при изучении «живых» систем. Математика не является профильным предметом для классов естественнонаучного профиля, а потому очевидно, что в рамках урока математики полностью раскрыть прикладную сторону стохастики практически невозможно, но в то же время, сделать это необходимо. И здесь на помощь приходят элективные курсы, призванные, в данном случае, «развить содержание одного из базовых

предметов» (математики), «что позволит поддерживать изучение смежных предметов на профильном уровне» [1]. Основная цель такого элективного курса состоит в обучении школьников стохастике через реализацию ее прикладной направленности. Ведь, по словам В. В. Фирсова, именно «прикладная ориентация курса теории вероятностей в школе выступает как существенное и необходимое условие достижения целей обучения, т. е. формирования у учащихся элементов мышления, позволяющих оперировать в мире случайных явлений» [9]. Таким образом, вероятностная направленность курса школьной математики призвана сформировать у учащихся особый, вероятностно-статистический стиль мышления, необходимый не только будущему ученому и исследователю, но и любому человеку, живущему в современном сложном и вариативном обществе. Знакомство же учащихся естественнонаучного профиля с элементами стохастики, кроме того, будет способствовать осознанному восприятию известных биологических и химических законов, демонстрировать связь законов математики, химии и биологии, укрепляя тем самым межпредметные связи, а также откроет широкие возможности для иллюстрации значимости математики в решении прикладных задач.

Библиографический список

1. Сборник нормативных документов. Математика / Сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. — 2-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2006. - 80 с.

2. Селютин В. Д. Компоненты методической готовности учителя к обучению детей стохастике / В. Д. Селютин // Школьные технологии. — 2004. - № 2. — С. 93-102.

3. Глотов Н. В. Вероятность и статистика в школе: взгляд биолога / Н. В. Глотов, О. В. Глотова // Математика в школе. — 2002. - № 2. — С. 64-66.

4. Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике / Б. В. Гнеденко. — М. : Просвещение, 1982. — 144 с.

5. Бейли Н. Математика в биологии и медицине / Н. Бейли. — М. : Мир, 1970. — 328 с.

6. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика / Н. Я. Виленкин. — М.: Наука, 1975. — 208 с.

7. Виленкин Н. Комбинаторика / Н. Виленкин // Наука и жизнь. — 1965. - № 5. — С. 74-77.

8. Мостеллер Ф. Вероятность / Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас. - М. : Мир, 1969. - 432 с.

9. Фирсов В. В. О прикладной ориентации курса математики / В. В. Фирсов // Математика в школе. — 2006. -№ 6. — С. 2-9.

ШИРШОВА Татьяна Ахметовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики Омского государственного университета.

ПОЛЯКОВА Татьяна Анатольевна, аспирантка 3-го года очной формы обучения математического факультета Омского государственного университета, преподаватель кафедры высшей математики СибГАДА.

Дата поступления статьи в редакцию: 24.12.2007 г. © Ширшова Т.А., Полякова Т.А.