Периодические колебания в дискретных релейных системах управления

УДК 681.511.4

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИСКРЕТНЫХ РЕЛЕЙНЫХ

СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

А.В. Козырь, С.В. Феофилов

Традиционно анализ и синтез релейных автоколебательных систем управления (РСУ) проводится в непрерывном времени. Однако большинство регуляторов для таких систем в инженерной практике реализуются в цифровом виде. Необоснованный выбор частоты дискретизации при проектировании автоколебательной системы может существенно ухудшить качественные показатели РСУ. В работе рассматриваются методы анализа периодических колебаний в дискретных релейных системах.

Ключевые слова: автоколебания, релейное управление, дискретные системы, предельный цикл.

Введение.

Анализ и синтез релейных автоколебательных систем в настоящее время является классической темой теории управления, основными вопросами которой является определение возможных периодических режимов, проверка их устойчивости, оценка робастности, проведение коррекции. Первые работы, посвящённые анализу РСУ, можно отнести к 50-м годам прошлого века [1]. Основным инструментом исследования автоколебательных систем в работах того времени был метод гармонической линеаризации. Такие методы имеют практическую направленность, отличаются простотой применения и имеют графическую интерпретацию. Однако этот подход является приближенным, основывается на «гипотезе фильтра» и применим для узкого класса систем с линейным объектом управления (ОУ). Систематическую теорию РСУ можно найти в фундаментальной работе Я.З. Цыпкина [1]. В данной монографии был разработан точный графоаналитический метод определения автоколебаний в частотной области. Применимость данного метода ограничена классом релейных систем с линейным объектом управления. В подавляющем большинстве практических случаев ОУ содержит различного рода нелинейности, которые существенным образом влияют на параметры автоколебаний и их устойчивость в РСУ. Дальнейшее развитие теории РСУ, свободных от указных выше ограничений, можно найти в работах Н.В. Фалдина [2]. В основу этих работ был положен метод точного определения параметров предельных циклов в РСУ с помощью фазового годографа релейной системы [2]. Данный метод позволяет точно определить параметры автоколебаний в РСУ с кусочно-линейным ОУ, а также с некоторыми классами нелинейных звеньев.

Несмотря на то, что РСУ в настоящее время в основном реализуются в цифровом виде, их анализ, разработка корректирующих устройств оценка показателей качества обычно выполняется в непрерывном времени без учета дискретизации сигналов по времени и уровню. Достоверность

61

результатов проектирования дискретных РСУ по непрерывной модели обычно подтверждается при высоких частотах дискретизации, однако обеспечить такую частоту на практике не всегда целесообразно или невозможно. В настоящей работе делается попытка установить точную зависимость качественных показателей системы от параметров дискретизации.

Начальные работы по исследованию релейных систем, работающих в дискретном времени, можно отнести к 60-70-м годам прошлого века. Первые теоретические результаты, посвящённые исследованию нелинейных импульсных систем, основывались на методе фазовой плоскости [3]. Полученные методы представляют собой достаточно сложную вычислительную процедуру и в большинстве случаев применимы лишь к системам второго порядка. В работах [4,6] в различных вариантах был предложен точный метод определения возможных периодических движений в нелинейных дискретных системах. Данные методы были основаны на численном решении системы нелинейных уравнений, где порядок системы определялся количеством тактов дискретизации на периоде возможных колебаний. Данный подход связан с серьезными вычислительными трудностями, а также не дает явной зависимости параметров колебаний от параметров дискретной системы. К исследованию симметричных периодических режимов возможных в нелинейных импульсных системах в работах [6,7] был применен метод гармонического баланса с определёнными изменениями. Метод фазового годографа также был распространён на класс цифровых автоколебательных следящих систем [5]. Однако предложенный подход в неполной мере позволяет учесть все специфические особенности, возникающие в автоколебательных системах при введении импульсного элемента.

Анализ и синтез систем управления в непрерывном времени и последующий переход к цифровой реализации стал одним из стандартных подходов к проектированию регуляторов в инженерной практике. Разработка релейных систем не является исключением, однако исследование РСУ в дискретном времени не развилось в полную и современную теорию, в отличие от непрерывного случая. В настоящей работе показано, что параметры и свойства периодических процессов в дискретных РСУ могут существенно отличатся от непрерывных аналогов, даже в случае сравнительно высокой частоты квантования. Синтез дискретного автоколебательного контролера, основанный на непрерывной модели ОУ, может привести к неудовлетворительным результатам. В работе разработан дискретный аналог метода фазового годографа, применимый для определения периодических движений в системах с линейным ОУ.

Статья организована следующим образом. В разделе 2 приводится математическое описание исследуемых систем управления. В разделе 3 кратко приводятся существующие методы анализа автоколебаний в непрерывном времени. Данные инструменты применяются к некоторому простейшему модельному примеру с устойчивым линейным объектом управ-

62

ления. Показано, что периодический режим, возникающий в дискретных «автоколебательных» системах может существенно отличаться от предельного цикла, который наблюдается в непрерывном случае. Такая особенность наблюдается даже в том случае, когда частота дискретизации соответствует рекомендациям теории линейных дискретных систем. В разделе 4 предлагаются дискретные методы анализа «автоколебательных» дискретных систем, а также рассмотрено применение метода фазового годографа к таким системам с линейным ОУ.

2. Математическое описание исследуемых систем

В настоящей работе рассматриваются РСУ с линейным устойчивым объектом управления. Структурная схема для случая непрерывных систем приведена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема автоколебательной РСУ

На рис. 1: f (/)- входной сигнал, у - выходная координата, Uрел - сигнал управления. Управляющее устройство представляет собой двухпозиционный релейный элемент с амплитудой Uр и гистерезисом Ь .

Математическое описание ОУ может быть представлено в виде передаточ-

ТТГ , ч M(s) ^

ной функции W0y (£) =-. Будем рассматривать представление линей-

N

ной системы в пространстве состояний

х = Ах(*) + Ви (();

У

где А и В , С - постоянные матрицы (п х п),(п,1).и (1, п); х = (хь х2,..., хп ).

Далее будет рассматриваться дискретная модель ОУ с экстраполя-тором нулевого порядка (ЭНП). Передаточная функция ОУ имеет вид

У

U (2) ОУ ^ ^

где У(2), и(2) - /-преобразование входного и выходного сигнала соответственно, ЖОу(2) = (1 - 2-1)2(1~1(ЖоУ(.

£

63

Дискретный ОУ можно представить в виде разностного уравнения

х[к +1] = Фх[к ] + Чи [ к ];

у[к] = Сх[к].

Предполагается, что дискретизация не влияет на управляемость и наблюдаемость системы и выполняется условие: (Ф,Ч)- управляемы, (С, Ф)- наблюдаемы. Из теории линейных импульсных систем известно преобразование непрерывной системы с ЭНП в дискретную модель:

Ф = еАТ;

Ч = /еАСВ,

о

где Т8 - период дискретизации.

Если существует обратная матрица А-1, то справедливо равенство

Ч = А-1

Матрицы Ф и Ч можно определить с помощью численного моделирования системы (1). Замкнутая структурная схема релейной системы с дискретным ОУ приведена на рис. 2.

Рис. 2. Дискретная РСУ

3. Анализ автоколебаний в непрерывном времени

Рассмотрим замкнутые автономные релейные системы (рис. 1,2). Исследование периодических режимов в автономных системах, то есть при /(г) = 0, является необходимым этапом при проектировании следящих

систем. Сначала определяется возможный период автоколебаний, оценивается устойчивость такого режима. Следующим этапом является рассмотрение прохождения управляющего сигнала. Таким образом, точность определения параметров автоколебаний имеет определяющее значение при проектировании таких систем.

В работе будут рассмотрены только простые, симметричные автоколебания, когда за один период происходит два переключения релейного элемента. Методы точного определения автоколебательного режима в системе 1 рассмотрены во многих работах. Предметом нашего исследования являются периодические колебания, возникающие в релейных системах управления с дискретным ОУ (см. рис. 2).

64

В работе метод фазового годографа распространяется на релейные системы с цифровым управлением. Для выявления отличий процессов в релейно-импульсных системах приведем кратко основные положения метода определения симметричных простых автоколебаний в релейных системах с непрерывным временем, основанного на фазовом годографе (ФГ) релейной системы [2].

Рассматривается релейная система, представленная на рис. 1. Периодическое движение будет задаваться фазовым вектором х = (х 1,х 2,...,х п), соответствующим переключению релейного элемента с «минуса» на «плюс». Каждому периоду автоколебаний будет соответствовать единственное периодическое решение системы (1), т.е. каждому периоду 2Т в фазовом пространстве х будет соответствовать единственная точка х(Т). В общем случае динамику системы можно описать в виде

йх

— = Р(х0,и,г). Тогда основное уравнение ФГ будет иметь вид йг

х*

ФГ релейной системы есть вектор функция х (Т) = (х 1,х 2,...,х п), выделяющая все возможные симметричные периодические (периода 2Т ) движения в автономной РСУ [2].

Возможные автоколебания в системе (1) определяются из условия

С • х*(Т) = -Ъ;

С.^ 0.

. йг

В случае если А-1- существует ФГ, который можно задать в матричном виде:

Сх* = С

Решение уравнения (9) даст точное значение периода возможных автоколебаний [2]. Условие единственности переключение релейного элемента определяется неравенством

у

Выражения (9), (10) определяют условия существования симметричных автоколебаний в системе (1). В общем случае уравнение (7) можно решать числено.

3.1. Модельный пример

Рассмотрение примера необходимо для понимания сути исследуемых процессов. Определим автоколебательный режим в простейшей релейной системе с линейным ОУ второго порядка. Структурная схема показана на рис. 1. Объект управления задается передаточной функцией ™ (р) =---.

^

Параметры математической модели:

Релейный элемент - ир = 1, Ь = 0.1; ОУ- К = 10, Т = 0.85, Т2 = 0.61.

Математическая модель ОУ в матричной форме будет иметь вид (1), где матрицы системы

' -2.8158 -1.9286^ Г 4 ^

А = , в =

V 1 0 , V 0 ,

, С = (0,4.8216).

Так как матрица А-1 существует для построения ФГ, можно воспользоваться выражением (9). Решение уравнения (9) дает единственное точное значение периода автоколебаний: Т0 = 2Т = 1.2745с.

Для системы, представленной на рис. 3 и 4, задаваясь различными начальными значениями х = (Х1, Х2), нетрудно построить фазовый портрет и выделить предельные циклы.

/(0 = 0x^(0

е [кТ()] __>. А

ЭНН и К х1 1

-Ъ ъ

х2

1.5

0.5

-0.15

-0.1

Рис. 3. Дискретная релейная система

Т = 1.2692с. ( -ъ ь V

-0.05

О

х2

0.05

0.1

0.15

0.2

1(1 \\\ *

\\\ 1 Л Чу, Ч\хч ! ) ! / .//'

— Т= 1.28

1 1

х2

а

б

Рис. 4. предельный цикл в непрерывной релейной системе

Применение данного подхода к исследованию дискретных релейных систем встречает определенные трудности. Очевидно, что при достаточно высокой частоте квантования теория непрерывных систем будет выполняться. Однако даже на простейшем модельном примере можно

66

показать, что дискретизация может приводить к весьма существенным изменениям: не только количественным, но и качественным. На рис. 5 представлена структурная схема дискретной автоколебательной системы управления, экстраполятор нулевого порядка (ЭНП), период дискретизации Т8 = 0.02 с.

0.1 |-----------

- ^^ Ч«^ ' ' МП) N ** >

I см т ^тгппп

Т0=кТ,

Рис. 5. Определение периодов автоколебания в дискретных РСУ

Из рис. 7 видно, что в непрерывной релейной системе существует единственный предельный цикл, в то время как в дискретной РСУ наблюдаются три устойчивых периодических решения с периодами

(Т0 = 2Т8к, где к = 32,33,34).

Анализ дискретных релейных систем в непрерывном времени не позволяет определить все возможные периодические движения, возникающие в таких системах. Проведем анализ импульсных РСУ в дискретном времени.

4. Дискретные релейные системы

Рассмотрим определение автоколебаний в релейных системах с дискретным ОУ (структурная схема такой системы приведена на рис. 2).

Из-за дискретизации реле может не переключится, когда выход непрерывной части ОУ пересекает прямую у^) = -Ь. Реле может переключаться только в дискретные моменты времени. Таким образом, в импульсной РСУ существует априори неизвестная задержка переключения релейного элемента, которая зависит от периода дискретизации, начальных условий и от свойств системы.

Предположим, что в дискретной РСУ имеется простой симметричный периодический режим с периодом N = 2М. Состояние дискретной системы, при котором происходит переключение реле с минуса на плюс, обозначим х*[0].

Так как периодический режим симметричный, то с учетом

^ рел ;

' рел

х*[0 + М] = -х*[0] = ФМх*[0] - (Ф -1)-1(ФМ -1)ЧП1

-х*[0] = ФМх*[0] -

х*[0] = (ФМ + 1)-1(ФМ - 1)(Ф - 1)-1Т^рел .

Тогда на полупериоде динамика системы будет описываться уравнениями:

х[к +1] = Фх*[к] - чи рел;

х[к + 2] = Ф [Фх*[к ] - чи рел ] - чирел = Ф2 х*[к ] - (Ф +1 )чи рел;

х[к + 3] = Ф2х*[к +1] - (Ф +1)Чирел = = Ф2 [Фх*[к ] - чи рел ] - (Ф + I) Ч и рел =

= Ф3х*[к ] - Ф2 ви рел - ФЧФи рел - Чи рел ;

х[к+М] = ФМх*[к] - X Ф1Чирел =

1=0

= ФМ х[к ] - (Ф - I )-1 (ФМ - I) чи рел .

Отличительной особенностью исследования предельного цикла в дискретных РСУ от непрерывных состоит в том, что в импульсных РСУ состояние системы на выходе ОУ может не принадлежать поверхности переключения (первое условие в равенстве (8)), а находиться в некоторой окрестности. Таким образом, все возможные предельные циклы, возникающие в таких системах, определяются условиями

Сх*[к + М ] <-Ь; [Сх*[к + М -1] > -Ь.

Алгоритм поиска всех возможных периодических движений можно

представить в следующей последовательности действий. Задается вектор

*

полупериода М = (0, п). Для каждого значения М вычисляется х [0], используя (12). С помощью равенства (13) определяется состояние системы через М тактов. Если условие (14) выполняется, то в системе возможны свободные периодические движения с периодом N = 2МТ8 (с). Для того чтобы такие колебания наблюдались в РСУ, необходимо чтобы они были устойчивыми.

Если в непрерывных РСУ автоколебания определялись единствен*

ной точкой Сх (Т)), то в дискретном случае предельный цикл определяет**

ся двумя точками: Сх [М ] и Сх [М -1]. При определении возможных свободных колебаний в дискретной РСУ по непрерывной модели необходимо учитывать фазовое запаздывание, вызванное дискретизацией:

х^) = е А('-еТ)х[кТ ], к = (0,1,2,...,0 < е < 1), ^ = Щ + еТ.

М -1

Прие = 0,Сх*[кТ] = Сх*(Т0), если е = 1,Сх*[кТ] = С[(еАТ )-1 • х*(Т0)].

Учитывая, что еАТ = Ф, справедливо равенство

Сх*

Для определения всех возможных периодических движений в дискретной РСУ необходимо построить семейство ФГ в зависимости от

0 < е < 1 (15) и определить все точки пересечения с прямой Сх*(Т0,е) = -Ь . Точки, принадлежащие сетке дискретизации, будут соответствовать возможным периодам автоколебаний в дискретной РСУ (см. рис.5).

На рис. 5 представлено семейство ФГ в зависимости от едля системы, представленной на рис 3. Как видно в системе возможно существование трех предельных циклов с периодом Т0 = 2Т^к, где к = 32, 33, 34, те же, что наблюдались в разделе 3.1.

4.1 Анализ автоколебаний в импульсных РСУ с помощью ряда

Фурье

Как и раньше, допустим, что в системе существует симметричный предельный цикл с периодом N = 2М. Тогда выходной сигнал релейного элемента в дискретном времени можно представить в виде решетчатой функции:

(Щк ] = и при к = 1 + mN,2+mN,.., М + mN;

рел ' ' ' / /1 /Г\

[и[к] = -ирелпри к = М +1+mN,.., N+mN, у 7

Сигнал (16) можно разложить в ряд Фурье:

— УГ Р 0к " " N УГ

1У п=1

2р N'

Коэффициент Гп для сигнала (16) определен в работе [7]:

N 0 7 2 1Р-рп/N сп = У и (к )Р - 0к = -.

к=1 sin

N

Выход с линейной части можно представить в виде

]

Сх*[к]=у[к] = -2 У ьФоуЧ м Ур_м_).

М п=1 sm

2М

Условие существования предельного цикла в дискретной системе определится системой неравенств (14). Если ограничиться первой гармоникой ряда (18):

¡2п - ¡п

у[к]»-2М^Оу

М  ( п \

81И

2М

и [к ] =— У Спр]по 0к ,

п=1

где 0 0 N

то можно получить известный метод гармонического баланса в дискретном виде. Данный метод имеет явное графическое [7] представление и позволяет приближено определить все возможные предельные циклы в дискретной РСУ при (b = 0) :

jp

p p

arg

иУУ " 2M 2M

Если фазовая частотная характеристика дискретной передаточной функции ОУ на частоте W0 принадлежит интервалу -p + ~p[ )'

то в системе возможно существование автоколебаний с частотой W0.

Заключение

В работе были рассмотрены методы определения предельных циклов в дискретных РСУ. Было показано, что процессы, протекающие в таких системах, могут существенно отличаться от непрерывного случая. При проектировании автоколебательной РСУ в непрерывном времени и последующем переходе к дискретной модели необходимо учитывать влияние дискретизации. В работе были представлены метод ФГ и частотный анализ применимый к дискретным РСУ с линейным ОУ. Достоверность таких методов подтверждается на модельном примере.

Список литературы

1. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

576 с.

2. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник: в 3 т. Т. 1. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 748 с.

3. Pai M.A. Oscillations in Nonlinear Sampled-Data // AIEE Transactions. 1963. P. 355-362.

4. Complete and Exact indetification of self-sustained oscillations in relay sampled-data systems // AIEE Transactions. 1963. P. 350-355.

5. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №5. С. 11-17.

6. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 416 с.

7. Bazanella A. S., Parraga A. Limit cycles in sampled-data relay feedback systems // IEEE Transactions on Automatic Control. Springer, 2016.

70

Козырь Андрей Владимирович, асп., Kozyr_A_V@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, проф., svfeofilov@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет.

PERIODIC OSCILLATIONS IN SAMPLE-DATA RELAY CONTROL SYSTEMS

A.V. Kozyr, S.V. Feofilov

Traditionally, analysis and synthesis of relay self-oscillating control systems (RSCS) is performed in continuous time. However, most regulators for such systems in engineering practice are implemented in digital form. An unreasonable selection of the sampling frequency in the design of an self-oscillating system can significantly degrade the quality of the RSCS. In this paper, methods for analyzing periodic oscillations in relay-pulse systems are considered.

Key words: oscillations, relay control, discrete system, limit cycle.

Kozyr Andrey Vladimirovich, postgraduate, Kozyr_A_ V@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, svfeofi-lov@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University