Изучение основ квантовой физики

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ

В.Н. Марков, Липецкий государственный педагогический университет

Статья посвящена некоторым новым методическим решениям проблемы постижения основополагающих принципов квантовой физики. История и методология этих проблем аргументировано освещена в [1].

Онтологическим и теоретическим базисом квантовой физики является принцип корпускулярно-волнового дуализма. В методическим плане этот принцип обстоятельно обсуждался в [2] и [3]. Суть принципа корпускулярно-волнового дуализма, воспринимаемого в рамках ныне действующей квантово-релятивистской парадигмы [4], выражается в следующем. Любой микрообъект, распространяющийся в реальном физическом вакууме как своеобразной «среде», обладающей квантово-релятивистскими свойствами, взаимодействует с ней специфическим образом, участвуя в сложном квантовом стохастическом процессе, который развертывается на уровне микроявлений. Как следствие этого взаимодействия с вакуумом у любого микрообъекта или квантовой динамической системы появляются характерные вероятностно-статистические проявления и свойства. Специфической особенностью квантово-физических вероятностей, генерируемых вакуумным хаосом, является то, что вероятности соответствующих событий в квантовой физике определяются по правилу:

W

где у (q) - функция состояния системы или волновая ее функция.

Соотношение (а), собственно, и определяет онтологическую сущность принципа корпускулярно-волнового дуализма. Помимо этого физического фактора, представляемого соотношением (а), в квантовой физике проявляется еще один конструктивный принцип, получивший название принципа линейной суперпозиции независимых квантовых альтернатив. Под независимой альтернативой в квантовой физике понимают такое состояние системы, находясь в котором, она имеет четко определенное измеряемое значение физической величины A . Набор таких измеряемых значений физической величины A называется спектром собственных значений этой величины и обозначается символом Spec A = { ai }. Каждое собственное значение ai из Spec A фиксирует некоторую независимую альтернативу , которая представляется и описывается собственной функцией состояния уi (q) .

Принцип линейной суперпозиции независимых квантовых альтернатив {| a^j}, сформулированный и определенный на языке собственных функций уi (q) , утверждает, что в любой квантово-физической системе, обладающей набором независимых альтернатив {| a^j}, произвольное состояние этой системы описывается волновой функцией вида:

у (q) = ci уМ)+С2 •^2(q) + —+c,•у, (q) +—, (в

где ci - коэффициенты линейного разложения функции y(q) по системе собственных функций {у, (q) }, i = 1, 2, 3, •••.

Наличие в квантовой физике особой квантово-физической стохастичности, представляемой соотношениями (а) и (в, приводит к существованию еще одного характерного квантового фактора, названного принципом неопределенностей. Количественной мерой воплощения этого принципа являются так называемые соотношения неопределенностей

Apq •Aq > 2 й ,

где {pq, q- пара канонически сопряженных фазовых переменных.

Квантово-физические принципы, выражаемые соотношениями (а), (в и (Y, составляют концептуально-теоретический базис всей квантовой физики, и с ними надо должным образом знакомить учащихся на всех этапах ее изучения. И тем не менее, при постижении квантовой физики, особенно в школе, основной упор надо делать не на детальной объективации данных принципов, а на рассмотрении их общефизического следствия, которое условно можно назвать «спектральным принципом» и обсуждению которого посвящена эта статья.

Квантово-физические вероятности и связанные с ними неопределенности в поведении микрообъектов и квантовых динамических систем носят принципиальный характер - без них невозможна квантовая физика. Однако стохастическая неоднозначность и неопределенность в их поведении составляет лишь одну сторону квантовой истины. Оказывается, что в силу существования и действия в квантовой физике специфической формы движения, в ней имеются и действуют (в диалектической противоположности принципу неопределенностей) чрезвычайно жесткие и однозначно определенные физические начала. Приведем по этому поводу мнение одного из выдающихся и авторитетных физиков двадцатого столетия Виктора Вайскопфа: «Принцип неопределенности, на который обычно ссылаются как на основу квантовой теории, и который, казалось, погружает квантовую физику в туман вероятности, совершенно не является основным, хотя его, конечно, необходимо учитывать, чтобы избежать логических противоречий. Вместо того, чтобы делать мир более неопределенным, квантовая физика делает его более определенным ...» [5, с. 17].

Здесь В. Вайскопф имеет в виду то, что квантово-физическая форма движения или квантовый хаос наряду со стохастично-стью квантовых процессов генерирует жестко и однозначно определенную структуру спектров наблюдаемых и измеряемых физических величин. Именно с ними, в первую очередь, сталкивается человек, исследуя с помощью макроскопических средств наблюдения те квантовые явления и эффекты, которые в виде устойчивых и стабильных структур выносит «на гора» сложный стохастический квантовый мир. С наличием таких спектров собственно и связана идентичность (тождественность) тех или иных квантовых динамических систем. Именно это обстоятельство и возводят в ранг особого квантово-физического принципа.

Таким образом, квантово-физический хаос не только вносит в мир квантовой физики элементы специфического (через амплитуды вероятностей) вероятно-стохастического описания, но и он же формирует жесткие, строго определенные «фигуры»

физической реальности, которые мы воспринимаем как некоторые корпускулярные проявления. Другими словами, для раскрытия структуры квантовой физики весьма важно раскрытие диалектики взаимопроникновения жесткого (однозначность) и пластичного (неопределенность, неоднозначность) начал, что придает гибкость и действенность физическому мышлению.

На уровне школьного курса физики сформулировать и понять теоретические правила, которые определяют формирование наблюдаемых спектров невозможно. Поэтому для преодоления подобного препятствия мы предлагаем использовать метод теоретических обобщений [3] эмпирического базисного материала, в котором действие спектрального принципа проявляется наиболее просто и ясно. В квантовой физике существуют две простые эталонные задачи - это динамические системы, называемые гармоническим (G) и отражательным (R) осцилляторами. Последним является микрочастица, запертая в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме с вертикальными стенками. Элементарными математическими средствами (доступными учащимся средней школы) можно показать, что в этом случае «спектры» собственных функций и значений энергии R-осциллятора будут представляться следующими соотношениями:

Wn

^ L) n 2mL

где m - масса микрообъекта, X - пространственная координата, определяющая место его локализации, L - «размер» потенциальной ямы, h - постоянная Планка.

Рассматривая ряд подобных примеров, с неизбежностью приходят к выводу:

В любой замкнутой квантово-физической системе существуют жестко фиксируемые и измеряемые спектры наблюдаемых физических величин. Собственные значения этих величин индексируют устойчивые и стабильные состояния таких систем, которые представляются и описываются наборами собственных функций y/i (q) .

Далее можно показать, как таким образом понимаемый и методически адаптированный «спектральный принцип» развертывается в школьном курсе физики. Размеры статьи не позволяют это продемонстрировать в полной мере. Однако существует объект, на котором обозначенный выше принцип можно эффективно объективировать. Таковым является атом водорода.

Впервые спектры электромагнитного излучения стали изучать в физической химии. Характеристические спектры различных химических элементов химики использовали для их идентификации. Вначале это научное направление носило сугубо феноменологический характер. Несколько позднее спектроскописты, собрав богатый эмпирический материал, попытались в нем обнаружить (выявить) теоретические правила, которые регулируют образование соответствующих спектральных структур.

Первым в этом сложном деле отличился Иоганн Бальмер, школьный учитель из Базеля. Ему удалось установить закономерность, которой подчиняется структура одной из спектральных серий атома водорода. Эта спектральная серия атома приведена на рисунке 1. На этой диаграмме целые числа n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, • • • - «числа Бальмера», которые индексируют линии

эмпирически полученного спектра. Спектроскопическими символами {Hа, Hр, Hу, Hs } обозначены спектральные линии данной серии, которые наблюдаются в оптическом диапазоне.

3 4 5 6 7 8 П ^

Н„

Н„

Н,

н.

А(«>

Рис. 1 Н ^

Интерполяционная формула, которую Бальмеру удалось разгадать в представленном ему спектроскопическом материале, имеет вид:

n

M(n) = B 2

n2 - 4

где В = Нх = 3646 А, П = 3, 4, 5, 6, 7, 8, • • •. Эта формула показывает зависимость длины волны соответствующей спектральной линии с «номером» П от целочисленного значения этого номера.

Оказалось, что таким образом полученная формула (2) согласуется с экспериментальными результатами с поразительно высокой точностью, лучшей, чем 0,002% (!). Этот факт доказывал, что Бальмер «попал в десятку».

С

Формулу (2) удобно записать для частот тех же спектральных линий. Поскольку х = —, то соответственно у(ЛП ) =

Mn

где С - скорость света в вакууме. Для частот У2п эта формула принимает вид

^2n = RH | 2

, m

1 1

где, т = 2, а П > т, и П = 3, 4, 5, ••• , Я.Н = 4с / В - постоянная, позднее названная постоянной Ридберга, которая определяется некоторыми характерными свойствами атома водорода. Сам вид зависимости частоты У2п от целочисленного

параметра П указывал на то, что в этом случае речь идет не о случайном совпадении, а о какой-то существенной закономерности, природа которой на феноменологическом уровне не может быть объяснена.

Идея, схваченная и сформулированная в (3), была поддержана двумя спектроскопистами Ю. Ридбергом и В. Ритцем. Ритц, анализируя спектры различных атомов, пришел к формулировке феноменологического правила, получившего название комбинационного принципа Ритца. Суть его заключается в том, что для каждого конкретного атома можно определить некоторый

набор особых величин, называемых спектральными термами {Т (п)} , которые являются функциями некоторого целочис-

v

2

n

ленного параметра П = 1, 2, 3, • • •. Используя эти базовые «термы», частоту любой спектральной линии этого атома можно представить как разность соответствующих термов

vm„ = T

Обобщая идеи Бальмера и Ритца, Ридберг предположил, что спектральные термы T (п) для атома водорода имеют вид:

R

T

П

Объединяя (4) и (5), мы получаем обобщенную формулу Бальмера, которая определяет частоты спектральных линий для всех характеристических спектральных линий атома водорода:

Vmn = Rh Р2 - ^ ]

^ m П )

где m, П = 1, 2, 3, • • • и m < П . Исходная формула (3) для серии Бальмера получается тогда, когда m = 2 . Как оказалось, теоретическая формула (6) великолепно согласуется с экспериментальным спектроскопическим материалом для всех спектральных серий атома водорода. В связи с этим интересно отметить одну характерную фразу Н. Бора: «Когда я увидел формулу Бальмера, мне стало все ясно». Последнее обстоятельство и стало одним из отправных пунктов элементарной эвристической квантовой модели атома водорода, разработанной Бором.

Другим факторным компонентом теории Бора было представление о существовании особых стационарных квантовых состояний атома водорода. Естественно, что в 1913 году природу и причину существования таких состояний Бор знать не мог, но он понимал, что факт стабильности атомов с необходимостью требует существования таких состояний. Теоретическое обоснование существования стационарных состояний атома водорода в дальнейшем было получено из корпускулярно-волновой теории де Бройля - Шредингера. Поэтому теперь при обсуждении квантово-физических свойств стационарных состояний атома водорода мы имеем право исходить не из эвристических предположений Н. Бора, а из утверждений и требований спектрального принципа, сформулированного нами ранее. Для подкрепления уверенности в этом квантово-физическом феномене можно наряду с теоретическими аргументами использовать и экспериментальные факты известных опытов Франка и Герца.

Применительно к атому водорода спектральный принцип требует, чтобы электрон, находящийся в связанном состоянии в атоме водорода и совершающий движение в ограниченной компактной области пространства вблизи протона, пребывал в особых стационарных состояниях | E^j, в которых он имеет строго определенные значения энергии En = f (n), где П = 1, 2, 3, ••• - целочисленный параметр, нумерующий элементы множества Spec E = {ЕП }. Заметим, что поскольку в стационарных состояниях | Enj электрон «привязан» к протону, то энергия электрона (в системе покоя протона) должна быть отрицательной, т.е. для связанных состояний En < 0 для всех п = 1, 2, 3, —. Естественно, что в этой области Spec E является дискретным множеством. Отметим также, что нумерация целочисленным индексом П элементов Spec E идет в порядке возрастания параметра E .

Рассмотрим два различных стационарных состояния атома H с энергиями и Em (где П > m). Очевидно, что при

квантовом переходе | En^ ^ | Em^ (рис. 2) атомная система теряет часть своей энергии, которую уносит порожденный в этом процессе фотон с частотой Vmn и которая в силу соотношения Планка - Эйнштейна должна быть равна

AE

(nm) \ n m / mn> v-/

где П > m, и En > Em .

5 y, yy,

E

П

E

AE, , = hv

(nm) m

wvw

Рис. 2

С другой стороны, в силу эмпирически определенного проявления действия спектрального принципа, представленного обобщенной формулой Бальмера, соответствующие частоты должны совпадать с частотами спектральных линий излучения

атома водорода у = К [ —---— |. Умножим последнее равенство на И и в соответствии с (7) приравняем его разности

тп н ^ т2 п2 )

Ян • И Ян•И

Еп - Ет =-Н---

т п

Отсюда следует, что энергетический спектр стационарных состояний атома водорода определяется формулой

И • ян

Еп =--2Н,

п

где П = 1, 2, 3, • • •, а

hRH =| E\ = R'H = 13,605 эВ

является ионизационным потенциалом этого атома или, что то же самое, приведенной постоянной Ридберга, выраженной в энергетических единицах.

Если Spec E = {En } известен, то спектральные термы T (n) такого атома вследствие правомочности соотношений

E

Планка - Эйнштейна AE,) = h Vmn должны определяться по правилу T (n) =--— .

( ) h

Заслугой Бора и Шредингера является то, что им почти точно удалось теоретически определить ионизационный потенциал атома водорода, а именно, и по теории Бора, и по теории Шредингера получается

1 4

1 me

Ei =--2ТТ, а E = RH = 13,6 эВ,

11 теор g 2 h ¿I11 экс H

где e - заряд электрона, me - его масса, h - постоянная Планка, S0 - диэлектрическая проницаемость физического вакуума. Численные значения всех этих констант определены в системе СИ. Соответствующие значения и

I 1 I теор I 11 экс

совпадают с очень высокой экспериментальной точностью. Именно это обстоятельство в свое время весомо повлияло на признание как теории Бора, так и теории Шредингера. Теоретические решения квантово-физической задачи об атоме водорода, полученные Бором и Шредингером, сыграли огромную роль в развитии квантовой физики.

Однако мы считаем, что при изучении квантовой физики на школьном уровне не следует пытаться повторять теоретические аргументы Бора или Шредингера в их конструктивно-вычислительном варианте. Дело в том, что буквальное следование эвристической боровской аргументации означает, что для обоснования серьезных и глубоких физических положений мы используем несуществующие физические фантомы. Круговые боровские орбиты в реальной физической действительности просто не существуют! Шредингеровская теоретизация с использованием стационарного уравнения (в вычислительном плане) недоступна учащимся начального этапа обучения.

Нам представляется, что этого, собственно, и не требуется делать. На этом этапе изучения квантовой физики главное -понять и объективировать то, что в ней (в квантовой физике) действует характерный физический фактор, называемый спектральным принципом. Здесь важно не умение вычислять спектры (это должны делать профессиональные физики), а понимание того, что такие спектры существуют, и какими причинами определяется их структура. Качественной и количественной мотивацией и аргументацией существования и действия этого принципа являются стандартные эталонные примеры с R -осциллятором и атомом водорода. Этих примеров вполне достаточно, чтобы отталкиваясь от них, понять и осмыслить характер и структуру действия этого принципа в любой квантовой системе. Объективировав (на основе простых и точно решаемых динамических задачах) факт существования и действия спектрального принципа квантовой физики, это общефизическое положение можно соответствующим образом обобщить и применять в других разделах квантовой физики.

Сейчас точно известно, что каждый химический элемент обладает собственным характеристическим спектром. Эта замечательная особенность не ограничивается областью только атомных спектров, а распространяется на молекулы, ядра, элементарные частицы, и так далее вниз по «квантовой лестнице»1. На каждой «ступеньке» этой лестницы структурных элементов материального мира имеются свои характерные спектры, отражающие лицо квантового «подмира» этой ступени. В других диапазонах энергий и пространственных масштабов спектры верифицируются излучением и поглощением не только фотонов (квантов электромагнитного поля), но путем образования и исчезновения множества и других «фигурантов» физики микромира. Различные превращения квантово-физических систем как раз и совершаются путем перехода этих систем из одних стационарных состояний в другие путем обмена (с окружающей эту систему физической средой) квантами тех или иных полей. Рождение и гибель элементарных частиц осуществляется по той же схеме и с «руководящим» действием все тех же общефизических квантовых принципов. В последнем случае целостной квантовой системой становится сам физический вакуум, а его «спектральными линиями» (в обобщенном смысле) становятся сами элементарные частицы (стабильные и не очень). Таким образом, мир элементарных частиц - это своеобразный «спектральный портрет» самого физического вакуума. Правда, до сих пор пока никому не удалось сформулировать тот принцип (некий глобальный аналог стационарного уравнения Шредингера), используя который можно было бы «чисто» теоретически вычислить (рассчитать) спектр масс всех фундаментальных элементарных образований.

Итак, спектральный принцип - это правила, по которым квантовая физика из вакуумного квантового хаоса формирует устойчивые стабильные структуры, которые и организуют стабильный облик реального Мира. Это придает исключительно важную мировоззренчески-обобщающую роль этому общефизическому принципу в раскрытии содержательных основ квантовой физики.

Литература

1. Джерммер М. Эволюция понятий квантовой механики. - М.: Наука, 1985.

2. Пухов Н.М., Марков В.Н. Новые аспекты изучения основ современной физики в школе // Проблемы физики и технологии ее преподавания. Вып. 2. - Липецк: ЛГПИ, 1997.

3. Марков В.Н., Пухов Н.М. Новые методические идеи изучения основ релятивистской и квантовой физики. Ч. 3. Квантовая физика // Наука и школа. - 2006. - № 5.

4. Крижниц Д.А., Линде А.Д. Фазовые превращения физического вакуума в физике элементарных частиц и космологии // Наука и человечество. - М.: Знание, 1982.

5. Вайскопф В. Физика в двадцатом столетии. - М.: Атомиздат, 1977.

1 Термином «квантовая лестница» здесь обозначена структурная организация материи. Молекулы, атомы, ядра атомов, элементарные частицы, кварки - это структурные ступеньки «квантовой лестницы», ведущей в глубь материи. Уменьшение пространственных размеров объектов ведет к соответствующему увеличению энергетических масштабов и появлению на каждой ступени совершенно специфических явлений, представляющих собой отдельные области физики.