Обобщенные нормальные формы двумерных систем с гамильтоновой невозмущенной частью

2014 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1. Том 1 (59). Вып. 3

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

ОБОБЩЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ С ГАМИЛЬТОНОВОЙ НЕВОЗМУЩЕННОЙ ЧАСТЬЮ*

B. В. Басов, А. С. Ваганян

C.-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Предложен новый эффективный метод нахождения структур обобщенных нормальных форм (ОНФ) двумерных автономных систем с гамильтоновой квазиоднородной невозмущенной частью в окрестности точки покоя. В явном виде приведены ОНФ систем с невозмущенной частью, представленной вектором с мономиальными компонентами. Полученные ОНФ сравниваются с известными результатами Такенса, Байдера и Сандерса, Басова и др. Библиогр. 9 назв.

Ключевые слова: нормальные формы, формальные преобразования.

1. Введение. Одним из основных инструментов исследования поведения траекторий автономных систем ОДУ в окрестности особой точки является классический метод нормальных форм (НФ), позволяющий делать выводы о поведении траекторий возмущенной системы по ее линейному приближению. Необходимость исследования вырожденных случаев, когда все собственные числа матрицы линейной части равны нулю, привела к многочисленным обобщениям понятия НФ, которые встречаются, начиная с известной работы Такенса [1] и заканчивая недавней статьей [2]. Говоря неформально, обобщенной нормальной формой (ОНФ) системы с заданной невозмущенной частью (не обязательно линейной) и произвольным возмущением называют наиболее простую формальную систему, к которой можно прийти при помощи формальных преобразований.

В настоящей работе решается задача об описании возможных структур ОНФ для двумерных систем с квазиоднородной гамильтоновой невозмущенной частью. Следуя идеям Байдера и Сандерса [3], мы разделяем возмущение системы на гамильтонову и негамильтонову составляющие и упрощаем каждую из частей по отдельности, используя метод Белицкого [4]. Получающаяся упрощенная система легко интерпретируется в терминах гамильтоновых нормальных форм, в связи с чем вводится понятие обобщенной метагамильтоновой нормальной формы. Также показан алгоритм сведе-

* Работа выполнена при финансовой поддержке тематического плана Санкт-Петербургского государственного университета (тема 6.0.112.2010).

ния метагамильтоновой нормальной формы к ОНФ в смысле определения, данного Басовым в [5]. В частности, мы находим структуры ОНФ двумерных систем с гамиль-тоновой невозмущенной частью, представленной вектором с мономиальными компонентами. Полученные ОНФ сравниваются с известными результатами Такенса [1], Байдера и Сандерса [3], Басова и др. [5-8].

Рассмотрим двумерную автономную систему ОДУ с гамильтоновой полиномиальной невозмущенной частью и произвольным формальным возмущением:

дН дН

х=-—+Х, у=-^ + у

где К = М или С, г = (х, у), х, у — скалярные переменные, а Н является квазиоднородным полиномом обобщенной степени х с весом 7 € № (см., напр. [5]), причем X > 6 == 71 + 72. Введем обозначения для невозмущенной части системы (1),

дН д дН д

дх ду ду дх и возмущения,

дд

2 = х-х + ¥1Гу «>

Будем также предполагать, что 2 имеет обобщенный порядок (т. е. начинается с членов обобщенной степени) больше обобщенной степени Н.

В силу сделанных предположений начало координат является точкой покоя системы (1), а Н — квазиоднородный векторный полином обобщенной степени х — 6.

Пусть V = Р1 д/дх + Р2 д/ду — векторный ряд обобщенного порядка к € N. Тогда под действием почти тождественного формального преобразования

х = ^ + Р1

система

1+х-й] = Щ+Х-«]^ [Н, т17к]] = 2[7к+х-Й] - 2[к+х-&]

где квадратные скобки в левой части обозначают скобку Ли, а верхние индексы — обобщенные степени.

Поясним понятие ОНФ, как оно вводится в работе [5]. Выбрав в пространствах квазиоднородных векторных полиномов стандартный базис и лексикографически упорядочив его элементы, придем к системе линейных уравнений, связывающих коэффициенты возмущения исходной и преобразованной систем:

ар = г

Условия совместности этой системы называются резонансными уравнениями. Коэффициенты, входящие хотя бы в одно из резонансных уравнений, называются резонансными, а остальные — нерезонансными. ОНФ определяется как система, у которой в каждой обобщенной степени равны нулю все нерезонансные коэффициенты, а

также все резонансные коэффициенты, за исключением резонансного набора, которому соответствует подматрица системы резонансных уравнений с отличным от нуля определителем.

2. Нахождение структуры ОНФ. Хорошо известно [2, 3], что произвольный двумерный векторный ряд 2 единственным образом разлагается на гамильтонову и негамильтонову составляющие:

z=dF±_dF± + G£^

дх ду ду дх 7'

где £1 = 71 хд/дх + 72 у д/ду — оператор Эйлера с весом При этом

ак =я.у(£М)/(к + 6).

Оператор £7 имеет нулевую обобщенную степень и обладает следующими свойствами: £7(Р\к]) = к Р\к], [£7, рк] = к рк, £7) = (к + 6) Р\к].

Введем на К[г] скалярное произведение

(р, СЗ) = р(д)тг=0 (р, деки),

где д = (д/дх, д/ду), а черта сверху означает комплексное сопряжение коэффициентов, и оператор н , сопряженный н относительно этого скалярного произведения (см. [4]), имеет вид

дН дН

Н =У^д)~Х^д)-

Введем обозначения:

Ж = Кег н*, Ж' = Кег н*П 1т Н*.

Из квазиоднородности Н вытекает, что Ж и Ж' разбиваются в прямую сумму ортогональных линейных подпространств Жк], Ж'к С [г].

Определение 1. Гамильтоновым (усеченным) резонансным набором в обобщенной степени к для гамильтониана Н назовем множество полиномов {Б^^} такое, что для некоторого базиса {Р^}^} пространства Жк] (соответственно Ж' 1^) матрица скалярных произведений {{Н^}^, Б^^)} невырождена. Здесь индексы ¡л и V пробегают множество целых чисел от 1 до размерности соответствующего пространства.

Легко видеть, что определение (усеченного) резонансного набора не зависит от

к (соответственно Ж' к]

выбора базисов в пространствах ЖУ (соответственно Ж' ^).

Пусть

е = U еу, е' = U е

' и

7 ' ~ KJ ~ 7

k=1 k=1

где &Y] и е'у — произвольно выбранные гамильтоновы резонансные и усеченные резонансные наборы для H в обобщенной степени к. Обозначим через Span S и Span S' линейные оболочки множеств S и S'.

Определение 2. Систему (1) назовем обобщенной метагамильтоновой нормальной % соответствующей наборам 6 и &', если ее возмущение имеет вид (5), где

F\k] е Spanа Gk е Span 6 для всех к е N.

Теорема 1. Для произвольно выбранных наборов 6 и 6' существует преобразование (3), приводящее систему (1) к соответствующей обобщенной метагамильтоновой нормальной форме.

Доказательство. Рассмотрим произвольное преобразование (3) вида

ж = ^ + 71 xP\k](2), y = y + 72 У P\k] (У).

Из гомологических уравнений (4) и цепочки равенств

[H, P^ ] = {H, P\k]} E + P\k] [H, Ey] = {H, P\k]} E 7 - (x - S) P\k] H =

(l - f^) {#, Plk]} + iq+x-Q P\k]} S-y + ТЩ+Х~6],

где фигурные скобки обозначают скобку Пуассона, а — бездивергентное век-

торное поле, вытекает, что дивергентные части возмущений исходной и преобразованной систем, О и С, в обобщенной степени к + х — 6 связаны следующим образом:

Ф+X-S] _ Жк+X-S] = k + S й(р[к]\

к + х 7

Покажем, что существует единственный полином G[k+X-S] е Span 6, для которого

последнее уравнение разрешимо относительно P[k. Действительно, из альтернативы

\k]

Фредгольма следует, что для существования P\ ] необходимо и достаточно выполнение равенства

{'R\k+X-S],

для всех Rlk+X-S] е R[k+X-S]. Пусть R^} —базис пространства Rlk+X-S], а 6^k+X S] = {S[k,+,X S]}. Полагая G^k+X S] v cv S^+j* S], приходим к системе уравнений на коэффициенты cv,

Y,(Rlk+X-S], sk+X-s]) cv = r [k+X-s], G[k+X-S]),

v

которая однозначно разрешима по определению гамильтонова резонансного набора. Теперь рассмотрим произвольное преобразование (3) вида

x = x + 7i y = y + ^yPlk4^ + dQl^~iT),

где {H, } = 0. С учетом того факта, что все интегралы векторного поля H являются функциями от H, из гомологических уравнений (4) и равенств

~ 8F д 8F д 1 _ д{Н, F} д д{Н, F} д ' dx dy dy dx J dx dy dy dx'

dx dy dy dx

вытекает, что при таком преобразовании дивергентная часть возмущения в обобщенной степени к + х — & не меняется, а бездивергентные части возмущений исходной и преобразованной систем связаны уравнением

F\k+x — F\k+X = H (Q[k;+S]) + HI\k\

где {H, likk} = 0. Проводя те же рассуждения, что для дивергентной части возмущения, приходим к выводу, что имеется единственный полином Flk+xX G Span S', для

r^[k+S] T[k]

которого данное уравнение разрешимо относительно QY и 1Yf .

Согласно гомологическим уравнениям (4) при указанных преобразованиях возмущение не меняется в обобщенных степенях меньше к + х — Таким образом, преобразование (3), приводящее систему (1) к нужному виду, может быть получено в результате композиции указанных преобразований для всех к G N в порядке возрастания.

Для описания структуры ОНФ нам остается перейти от гамильтоновых к обычным резонансным наборам. Для этого выберем S и S', состоящими из мономов. Обозначим через Z (p,q) коэффициент ряда Z G K[[zj] при мономе xp yq.

Представления (2) и (5) векторного ряда Z связаны следующим образом:

х

Если xp+1 yq+1 G S', xp yq G S, коэффициенты X(p+1,q), Y(p,q+1) в соответствующей ОНФ равны нулю согласно теореме 1.

Если xp+1 yq+1 G S', xp yq G S, то коэффициенты X(p+1,q), Y(p,q+1) могут быть любыми.

Если xp+1 yq+1 G S', xp yq G S, то в соответствующей ОНФ можно положить равным нулю только один из коэффициентов X(p+1,q), Y(p,q+1). Это следует из представлений

Р Ч е 72 (, . , л р „+1 д , . , , р+1 а д \ , 11 Р + 12 Ч + 6 р+1 а д

71 (, , -ПР+1 а д , , р ч+1 д \ , ИР+ 124 +5 +1 д

В случае хр+1 уЧ+1 € &', хр уЧ € & в ОНФ можно положить либо X(р+1,а) = 0, если для некоторых р', ч' € Z+ коэффициент ['НХ, хр уЧ £1 ]1р+1'ч) = 0, либо У(р,Ч+1') = 0, если

хр уЧ £1 ]Р,Ч+1 = 0. При этом нужный коэффициент обнуляется заменой вида (3) с Р = схр уЧ £7, с € К. Все лишние слагаемые, возникающие после такого преобразования, можно учесть, добавляя в доказательстве теоремы 1 к и С]'-к+х г] слагаемые, не принадлежащие соответственно & и 6. Следствие 1. Система (1) с невозмущенной частью (ут-1, 0) с т > 2 формально

эквивалентна системе

вида

ж m-3 ж

• m— 1 , \ ~ \ ~ v(i—j,j) i — j j . 2 m — 2 \ —

X = y + У, У. X у ' X J yJ + x y У, X

i=m j=0 i=0

ж m-2 ж

y=J2 J2Y(i-jj) xi-j yj + xym-1J2 Y(i+1'm-1) Xi,

i=m j=0 i=0

где для каждого i G Z+ полагаем X(i+2,m-2) = 0 или Y(i+1,m-1) = Q.

X

Доказательство. В рассматриваемом случае в степенях к > т существует лишь один мономиальный гамильтонов резонансный набор 6 (см. [9]), который в то же время является усеченным и состоит из мономов хр у4 с д < т — 1. Отсюда с учетом теоремы 1 и приведенных вслед за ней рассуждений немедленно вытекает доказываемое утверждение.

При т = 2 полученная ОНФ совпадает с НФ Такенса [1], а при т = 3 — с результатом из [6, теор. 11].

Следствие 2. Система (1) с невозмущенной частью (—тх1 ут-1,1х1-1 ут) с I > т > 1 и НОД (I, т) = d формально эквивалентна системе вида

о 1 — 2 т-3

х= —тх1 ут-1 + X х' ук— х(к-3'3) хк-3 у) +

к=1+т '=0 3=0

о о

+ х1+2 ут-2 ^ X('+1+2,т-2) х' + х1-1 ут+1 ^ X(1-1т+3+1) у* + '=0 3 = 0 о о

+ х(г1/й,тт/й-1) хт1/й уТт/й-1 + х(в1/й-1,вт/й-2) хв1/й-1 увт/й-2

о 1-3 т-2

у = 1х1-1 ут + ^ У(''к-') х' ук-' +52 ¥(к-3'3) хк-3 у3) +

к=1+т '=0 3=0

оо

+ х1+1 ут-1^ У(ш+1'т-1) х' + х1-2 ут+2^ У(1-2'т+3+2) у3+

г=0 3=0

оо + у(т1/а-1,тт/а) хт1/й-1 уТт/й + у(в1/й-2,вт/й-1) хв1/й-2 уВт/й-1

где для каждых г, з € Ъ+, г>йив>й + [7+^7] полагаем х(г+г+2'т~2) = 0 или У('+1+1,т-1) = 0, х(1-1т+3+1) = 0 или У(1-2т+3+2) = 0, X(тЧ*,тт/Л-1) = 0 или у (т1/а-1,тт/а) =0, ив случае т = 1 полагаем У(в1/а-2,вт/а-1) =0, а в случае т > 2 полагаем X(в1/Л-1,вт/й-2) = 0 или У(в1/Л-2,вт/Л-1) = 0.

Доказательство. В рассматриваемом случае в степенях к > I + т существует лишь один мономиальный гамильтонов резонансный набор 6 (см. [9]), который в то же время является усеченным и состоит из мономов хр у4, где либо р < I — 1, либо д < т — 1, либо р = г 1/3 — 1, д = гт/3,— 1 с г > 3. Отсюда с учетом теоремы 1 и приведенных вслед за ней рассуждений немедленно вытекает доказываемое утверждение.

При I = 2, т =1 отсюда вытекает [7, теор. 7, а = —1/2].

Следствие 3. Система (1) с невозмущенной частью (—хт ут-1, хт-1 ут) с т > 1 формально эквивалентна системе вида

то т — 2 т—3

х = —хт ут—1 + ^ (х(г'к—г) X ук—г + 51 х(к—3'3) хк—3 у3) +

к=2т г=0 3=0

то то

+ хт+2 ут-2 X(г+т+2,т—2) X + хт-1 уШ+1^ X(т — 1,т+з + 1) у3 +

г=0 з=0

то

+ Хт у™^2 X(г+т+1'г+т) Хг + 1 уг

т=0

то т—3 т—2

1 т . \ ^ I \ ~ \л(г,к—г) I к—г . \ ^ л^(к — 3,3) _к — 3 3 \ .

у = х у + у, ( У. У х у + у. У х •'у I +

к=2т г=0 3 = 0

тото

, ^,т+1 т — 1 \ ^ лг(г+т+1,т — _г , _т — 2 т+2 \ ^ 2,т+3+2) 3 .

+ х у У, * х + х у У, У у +

г=0 3=0

то

+ хт ут^ У(г+т,т+т+1) хг уг+1

т=0

где для каждых I, ] и г € Z+ полагаем X(г+т+2,т—2) = о или У(г+т+1,т—1) = о,

X(т—1,т+з + 1) = о или у(т—2,т+з+2) = о, X(т+т+1,т+т) = о или у(т+т,т+т+1) = о.

Доказательство. В рассматриваемом случае в степенях к > 2 т существует лишь один мономиальный гамильтонов резонансный набор 6 (см. [9]), который состоит из мономов хр у4, где либо р < т — 1, либо д < т — 1, либо р = д. Поскольку мономы вида хр ур являются интегралами невозмущенной части, они не входят в усеченный гамильтонов резонансный набор. Отсюда с учетом теоремы 1 и приведенных вслед за ней рассуждений немедленно вытекает доказываемое утверждение.

Для каждого к € Z обозначим

_„ , ( о, если к < о,

е[к] = и 1 ^ п

I 1, если к > о.

Следствие 4. Система (1) с невозмущенной частью (±ут—1, х1-1) с I > т > 2 формально эквивалентна системе вида

т — 2 , то

х = ±ут—1 + ^ у3—1( ]Г X(г7—1) хг + ^2 X(т1—13—1) хт1—1 +

3=1 \ф0, — 1mod I т = 1+в[т—71]

г>1

+ ^2 X(°1'3—1) х/П + ^2 X(г'т—2) хг ут—2,

з = 1 ' гфОшоА I

г>1/т

г-2

uj

y = xl-1 + Y. yj[ E Y(i-1j) xi-1 + ^ Y(rl-2j) xrl-2 +

j=1 \^0,-1mod l r=1+e[m-jl]

i>l

CO \

+ £ Y(sl-1j) xsl-4 + Y. Y(i-1'0) xi-1 + Y Y(i-1'm-1) xi-1 ym-1,

s = 1 ' i^0,-1mod l i^Omod l

i>l i>l/m

где для каждых i ф 0 mod /, г > l/m, j = 1, то — 2, r > 6[m — jl] и s G N полагаем

X(г,™-) = о или Y(i-1m-1) = 0, X(rl-1j-1) = 0 или Y(rl-2,j) = 0, X(sl,j-1) = 0 или Y(sl-1,j) = 0; за исключением случая l = m, в котором при j = m — 2 в парах {X(sm,m-3), Y(sm-1,m-2)} полагаем X(sm,m-3) =0.

Доказательство. В рассматриваемом случае y = (m/d, l/d), х = l m/d, H = xl/l ^ ym/m, где l > m > 2 и d = НОД (l, m).

Достаточно показать, что в обобщенных степенях к > lm/d можно выбрать га-мильтонов резонансный набор S, который состоит из мономов xp yq, где p ф—1 mod l и q < m — 1, и усеченный гамильтонов резонансный набор, состоящий из мономов xp yq, где либо p ф —1, 0 mod l и q = 0, либо p ф — 1 mod l и 0 < q < m — 1. Пусть R = ECq=0 R(p'q) xp yq G R. Имеем H * = y (dl-1 /dxl-1) ± x (dm-1 /dym-1), откуда

CC

Y, Z)(l — 1)! C- R(i'j) xi-l+1 yj+1 Y, (m — 1)! CT-1 R(i'j) xi+1 yj-m+1 =0.

i=l-1 j=0 i=0 j=m-1

Приравнивая нулю коэффициенты при xi+1, yj+1 и xi+1 yj+1, получаем уравнения R(i'm-1) = 0, R(l-1j) =0, (l — 1)! C- R(i+lj) ± (m — 1)! CR(ij+m) = 0.

Отсюда по индукции находим, что R(i,km-1), R(kl-1,j) = 0 для всех к G N и, кроме того, R однозначно определяется своими коэффициентами R(p,q) с q < m — 1. Следовательно, множество таких мономов образует гамильтонов резонансный набор. Нужный усеченный набор получается исключением из найденного гамильтонова резонансного набора мономов, неортогональных степеням H = xl/l ^ ym/m.

Отсюда с учетом теоремы 1 и приведенных вслед за ней рассуждений немедленно вытекает доказываемое утверждение.

При m = 2 полученная ОНФ совпадает с НФ второго порядка, полученной Байде-ром и Сандерсом [3]. Отметим, что в последнем примере из-за громоздкости формул выписаны не все возможные структуры ОНФ. В случае l = 3, m = 2 это сделано в [8, т. 4], а в случае l = 4, m = 2 — в [5, теор. 3].

Литература

1. Takens F. Singularities of vector fields // IHES. 1974. Vol. 43, N 2. P. 47-100.

2. Algaba A., Gamero E., Garcia C. The integrability problem for a class of planar systems // Nonlinearity. 2009. Vol. 22. P. 395-420.

3. Baider A., Sanders J. Further reduction of the Takens—Bogdanov Normal Form // Journal of Differential Equations. 1992. Vol. 99, N 2. P. 205-244.

4. Белицкий Г. Р. Инвариантные нормальные формы формальных рядов // Функциональный анализ и его приложения. 1979. Т. 13. Вып. 1. С. 59-60.

5. Басов В. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность систем дифференциальных уравнений с нулевыми характеристическими числами // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, №2. С. 154-170.

6. Басов В. В., Федорова Е. В. Двумерные вещественные системы ОДУ с квадратичной невозмущенной частью: классификация и вырожденные обобщенные нормальные формы // Дифференц. уравнения и процессы управления (Эл. журнал http://www.math.spbu.ru/diffjournal). 2010, №4. С. 49-85.

7. Басов В. В., Скитович А. В. Обобщенная нормальная форма и формальная эквивалентность двумерных систем с нулевым квадратичным приближением, I // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, №8. С. 1016-1029.

8. Басов В. В., Федотов А. А. Обобщенная нормальная форма двумерных систем ОДУ с линейно-квадратичной невозмущенной частью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 1. С. 25-30.

9. Басов В. В., Ваганян А. С. Нормальные формы гамильтоновых систем // Дифференц. уравнения и процессы управления (Эл. журнал http://www.math.spbu.ru/diffjournal). 2010, №4. С. 86107.

Статья поступила в редакцию 27 марта 2014 г.

Сведения об авторах

Басов Владимир Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент; vlvlbasov@rambler.ru

Ваганян Артур Суренович — аспирант; armay@yandex.ru

GENERALIZED NORMAL FORMS OF TWO-DIMENSIONAL AUTONOMOUS SYSTEMS WITH A HAMILTONIAN UNPERTURBED PART

Vladimir V. Basov, Artur S. Vaganyan

St.Petersburg State University, Universitetskiy pr., 28, Petrodvorets, 198504, Russian Federation; vlvlbasov@rambler.ru, armay@yandex.ru

A new effective method for finding the structures of generalized normal forms (GNF) of two-dimensional autonomous systems with a quasi-homogeneous Hamiltonian unperturbed part in a neighbourhood of the equilibrium is presented. GNFs for systems with the unperturbed part represented by a vector with monomial components are given explicitly. The obtained GNFs are compared to the known results by Takens, Baider and Sanders, Basov et al. Refs 9.

Keywords: normal forms, formal transformations.