Обобщенные вероятностные показатели нереализованных возможностей многопараметрических систем

УДК: 303.02 ББК: 60.506

ЗибровП.Ф., Зиброва О.Г.

ОБОБЩЕННЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НЕРЕАЛИЗОВАННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Zibrov P.F., Zibrova O.G.

GENERALIZED PROBABILISTIC INDICES UNREALIZED POTENTIAL MULTIPARAMETER SYSTEM

Ключевые слова: статистические многопараметрические объекты, как множества количественных характеристик нереализованных возможностей, вероятностные показатели многопараметрических объектов.

Keywords: multivariable statistical objects as a set of quantitative characteristics of unrealized potential, probability indicators multiparameter objects.

Аннотация: при нахождении количественных показателей функционирования многопараметрических систем использованы нормированные характеристики отклонения статистических характеристик от нормативно установленных. Предложено приводить дискретные статистические данные путем нормирования к непрерывным случайным величинам. Разработанная математическая модель исследуемых систем дает возможность находить их количественные характеристики в целом, а также взаимное влияние друг на друга отдельных составляющих.

Abstract: in finding the quantitative indicators for the multiparameter systems used normalized deflection characteristics of the statistical characteristics of the standard set. Proposed discrete statistical data by normalizing the result of continuous random variables. The developed mathematical model of the studied systems makes it possible to find the quantitative characteristics as a whole, as their constituents.

Одной из важнейших задач подготовки конкурентоспособных специалистов в вузе является компетентностно-ориентированное обучение на основе образовательных стандартов.

Компетенция - это предметная область, в которой индивид хорошо осведомлен и в которой он проявляет готовность к выполнению профессиональной деятельности.

Компетентность - интегральная характеристика личности, распадающаяся на спектр отдельных компетенций и включающая в себя когнитивный мотивационно-ценностный и эмо-циаонально-волевой компоненты.

Когнитивный компонент определяет уровень знаниевой базы и интеллектуального развития студента, его творческих способностей. Он предусматривает знание теоретических и методологических основ предметной области, определяющих степень сформированности научно-теоретической и практической готовности к профессиональной деятельности.

Когнитивной основой всех компетенций являются знания, умения и навыки. Вариативно меняется лишь характер соотношения основных дидактических компонентов: компетентностный подход выдвигает требование подчиненности знаний умениями и практическим потребностям, базирующимся на ценностно-смысловых аспектах, поэтому для оценки уровня сформи-

рованности требуемой компоненты компетенций можно использовать специальные педагогические тесты по отдельным дисциплинам, полидисциплинарные и междисциплинарные тесты. [1]

Составляющие компетентности целесообразно оценивать согласно таксономии Блума по шести признакам: знание, понимание, применение, анализ, синтез и оценка.

В соответствии с ФГОС ВО (уровень бакалавриата) у выпускника необходимо сформировать общекультурные (ОК), общепрофессиональные (ОПК), профессиональные (ПК) и профессионально-прикладные (ППК) компетенции.

Набор соответствующих компетенций будем рассматривать (Xок, XоПк, Xпк, Хппк). По таксономии Блума каждая компонента вектора компетентности имеет шесть оценочных характеристик весовыми коэффициентами, для которых при расчетах обобщенного показателя оценки компетенции выступает вероятностная характеристика.

Для получения среднего значения оценки компетенции как компонента каждого вектора необходим набор многомерных статистических данных, полученных в результате опроса и тестирования, тестовую базу готовят специалисты конкретной предметной области.

Дидактические материалы контроля под-

лежат систематизации и обработке с целью выявления характера и структуры взаимосвязей между компонентами «-мерного вектора Х=(ХЬ Х2,...ХП). Подобные задачи решаются методами многомерного статистического анализа. Они позволяют обоснованно выбирать модели, которые наиболее полно соответствуют исходным статистическим данным, характеризующим реальное поведение исследуемой совокупности объектов , а также оценивать надежность и достоверность выводов, сделанных на основании ограниченного статистического материала.

Статистические методы многомерного анализа подразделяют на пять групп.

1. Корреляция. Она оперирует понятием коэффициента корреляции, характеризующем измерение зависимости между случайной величиной и множеством других случайных величин согласно множественного коэффициента корреляции.

2. Аналоги одномерных статистических методов. Методы многомерных совокупностей аналогичны одномерным.

3. Проблемы системы координат. Они обусловлены выбором систем координат, в которых случайные величины имеют желаемые статистические свойства. Например, отыскание нормированной линейной комбинации случайных величин, для которых дисперсия максимальна или минимальна (нахождение главных компонент), что равносильно отысканию поворота осей, которое приводит ковариационную матрицу к диагональной форме.

4. Более детализированные проблемы. В ряде задач множества случайных величин разбиваются на подмножества, при этом необходима проверка гипотез об их независимости, симметрии между подмножествами и внутри них на основе использования факторного анализа.

5. Зависимые наблюдения. Они ведут к изучению внутрирядной корреляции и стохастически разностным уравнениям.

Любую статистическую систему числовых данных будем рассматривать как множество -! или как вектор (Х;, Х2, —X«). Регламентированные компоненты вектора представляют множество .'-Г или т-мерный вектор

(7.1,7.1.....?„,). Взаимосвязь между множествами

представляет отображение А множеств £ на Ж £АЖ = У,

здесь У п-мерный нормированный вектор {У\, У2, ..., У г), то есть множество нереализованных возможностей, характеризующих отклонение от регламентированных.

Исследуемые статистические процессы произвольной природы определяются как дис-

кретными, так и непрерывными параметрами, образующими указанные многомерные векторы. Одной из задач при этом являются изучение по экспериментальным данным взаимосвязей между составляющими и получение количественной оценки характеристик системы.

В математических моделях функционирования рассматриваемых объектов используется набор статистических экспериментальных данных для выявления взаимной зависимости между компонентами п-мерного вектора {УУ2, ..., Уп). Методы статистического анализа [2] позволяют находить коэффициенты корреляции, устанавливающие связь между выбранной случайной величиной и множеством других, входящих в систему. Компоненты вектора {У\, ¥2, ..., У*п) представляют п оценочных нормированных непрерывных величин, полученных в результате тестирования исходного объекта [3].

Случайные внешние возмущения оказывают на систему воздействие разной степени и оцениваются дискретными и непрерывными статистическими параметрами, такими как: математические ожидания, дисперсии, среднеквадратичные отклонения и корреляционные моменты. Совокупность математических ожиданий характеризует средневзвешенное положение системы, а дисперсии - рассеивание или разброс отклонений параметров от соответствующих математических ожиданий. Корреляционные моменты наряду с рассеиванием устанавливают взаимное влияние статистических показателей друг на друга. В математической модели при расчете оценок нереализованных возможностей использованы вторые вариационные моменты относительно нормативных значений контролируемых параметров, то есть относительно заданного оптимума. Это приводит к количественным характеристикам отклонений показателей системы от заранее принятого эталонного состояния, для чего вводятся непрерывные нормированные величины У^ [4].

у* = м

Здесь компонента - непрерывная количественная характеристика нереализованных возможностей представляет второй вариационный момент относительно 2к - заданные нормативные значения оптимального состояния

системы, к=1,2,.....,п. Хк - экспериментальная

случайная величина в системе статистических данных. Начальный момент первого порядка для непрерывных случайных величин или математическое ожидание показателя находят из соотношения

«11)

Второй центральный момент, характери-

зующии попарную взаимосвязь значении статистических параметров и К- между собой имеет вид

М

Здесь /¡у (_У[,>')) - плотность вероятности системы (у^у/), /,7=1,2,..., п.

Указанные корреляционные моменты характеризуют взаимную попарную корреляцию величин, входящих в систему, записывают в виде

К = M

: : где Г

Частный случай корреляционного момента величины Yi на саму себя представляет дисперсию случайной величины У;

0=К =

" ^

Корреляционные моменты и дисперсии записывают в виде корреляционной матрицы

к =

к11 К1: кк

\Кп1

к

к1 к

к

\

где К =К...

ч л

п2 • •• У

В статистических исследованиях используют нормированную матрицу из коэффициентов корреляции.

R=

г

' 11

г

V п1

г

' 1 п

\

, где 0< Г =

К

а1а]

причем г1± =г22 = •• = гп„ = 1,

а а"; и <7,- - сред] нения У„ У;, (7; = Д от, =

а еГс и (7,- - средние квадратичные откло-

Определитель | Я | матрицы из коэффициентов корреляции можно использовать для количественной характеристики взаимосвязи между компонентами вектора (У1^2,..^п). Он имеет вид

Когда составляющие (Уь У2, ..., Уп) независимы, то Тц = 0 и |Д| = 1, если г.^ = 1, что соответствует эквивалентности У, иУ;, определитель |Д| = 0, следовательно, 0 < |Д| < 1. Таким образом, количественные значения | й | дают целостностное представление о взаимном влия-

нии всех составляющих системы друг на друга и определяют вероятностную оценку их значимости.

Если систему непрерывных нормированных случайных величин ^1У2.Хп) рассматривать распределенной по нормальному закону плотности вероятности, то справедливо соотношение [5]:

(ьф

ул

Л;=1

", .'. .'.-'. |

Здесь |С| - определитель матрицы С,

С =

с

- матрица, обратная корреляционной

матрице к =

к

С

Элементы^ находят из соотношений

К

где

К

определитель

корреляционной матрицы, а ЬЛи - миноры

У

элементов

этого

определителя,

при-

1

чем С = :-г .

м

Плотность вероятности (10) в п-мерном Евклидовом пространстве постоянна на эллипсоидах

с центрами на линии регрессии т,^-Где о, и Щ - средние квадратные отклоне-

ния

Вщ -

-Г2.

ч

Характеристики эффективности функционирования изучаемого объекта или процесса в заданной области Б определяются из соотношения

8э=1-Р;:":": . 'с Б).

Когда компоненты вектора ^1У2.Уп) коррелированные, то riJ^0, в частном случае, если Yi и YJ независимы, то Г)=0 при ^. Вероятность того, что показатели не реализованных возможностей попадут в заданную область Б ак<Ук< /?к, с гранями параллельными координатным плоскостям, находятся по формуле [5,6]

Чс

интегралы

"к ^ "к ' вероятности от соответствующих к — ых параметров.

При Гу=0 область интегрирования В пред-

Р

Здесь " "

п

г

г

г

21

22

2 п

г

г

п2

пп

ставляет шар с радиусом г пропорциональным , и вероятность попадания в область В находят из соотношения

Для двумерного пространства (У1,У2) нормальный закон принимает вид [2]

Матрица из коэффициентов корреляции, то есть корреляционная матрица записываются

соответственно

К

и1&гг±г

Е

,

\01<*2Г21

где г12 = г21.

)

Так как определить | Я | = 1 — т^, то для независимых величин У1 и У2, г12 = 0 и |Д | = 1, следовательно, величины У] и У2 не влияют друг на друга. Когда г12 = 1, то |Я| = 0, и то

есть их взаимное влияние максимально. Величина |Я| изменяется в пределах 0 < |Д| < 1 и позволяет количественно оценивать состояние системы и взаимосвязь между компонентами в

исследуемом процессе (У1,У2, ....., Уп), а также

сравнивать их по указанным показателям и оптимизировать их. Графическая зависимость |Я| от Гц представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Зависимость значения определителя корреляционной матрицы от величины коэффициента корреляции

Из рисунка 1 следует, что при изменении коэффициента корреляции в пределах от О < г12 ^ 0,7071 величина определителя убывает в пределах 1 > > О.Б, если , то определитель корреляционной матрицы удовлетворяет неравенствам 0^ > |£?| > 0, то есть в первом случае связь между составляющими системы (УЬУ2,) можно рассматривать как слабую, так как при |Д| = "1 составляющие У1 и У2 независимы. Во втором случае взаимосвязь между компонентами системы усиливается из-за того, что при г1/2 = 1,

В заключение можно отметить, что величина определителя корреляционной матрицы позволяет судить об усилении или ослабевании взаимного влияния У1 и У2 друг на друга, как составляющих системы в результате случайного и целенаправленного воздействия на исследуемый объект.

Проиллюстрируем оценки уровня профессиональной компетентности студентов квалификации - бакалавр по направлению подготовки 080100.62, «Экономика». Компонентами вектора X - профессиональная компетентность, оценивались две составляющих: способность на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и интерпретировать полученные результаты (ПК 4); способность использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК 8). Вектор компетентности (Х1, Х2) рассматривается как двумерный. Их формирование и оценка проводились при изучении дисциплины «Эконометрика» студентами третьего курса на основе таксономии Блума.

В качестве диагностических средств были выбраны: тесты достижения уровней знания и понимания; представление и защита итоговой работы по дисциплине, включающей обработку, анализ и расчет эконометрических показателей с помощью средств ЭВМ (пакет «Анализ данных»), создание эконометрических моделей и их использование для построения прогнозов. В процессе диагностики оценивались уровни применения, анализа, синтеза и оценки.

Результаты диагностики нереализованных возможностей в группе из 25 студентов представлены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1 -компетенций

Результаты ПК-4

нереализованных возможностей при формировании профессиональных

Номер студента в списке группы Знание Понимание Применение Анализ Синтез Оценка Усредненное значение

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1,56 1,56 1,68 9,24 3,20 6,64 3,98

2 1,44 1,60 1,64 3,00 6,16 6,32 3,36

3 1,88 2,00 4,56 6,56 9,72 3,36 4,68

4 1,84 1,96 2,00 3,12 6,32 6,40 3,61

5 1,12 1,24 1,24 2,24 2,40 2,2 1,75

6 1,24 1,84 1,88 2,80 2,84 6,48 2,85

7 2,08 2,80 2,24 9,24 6,32 6,56 4,87

8 3,44 2,04 4,56 6,56 3,32 6,64 4,43

9 2,08 1,00 1,32 5,28 6,16 6,32 3,69

10 2,24 2,80 2,92 7,04 3,44 7,04 4,25

11 3,72 1,20 1,28 5,28 2,72 6,56 3,46

12 2,48 2,80 1,88 7,04 3,56 7,04 4,13

13 2,04 2,24 2,60 6,56 9,72 6,48 4,92

14 3,72 2,80 1,48 2,28 2,60 2,92 2,63

15 1,28 1,28 1,44 9,24 9,72 6,40 4,89

16 0 0,08 0,48 2,48 1,68 1,48 1,03

17 0 0 0,24 2,48 3,04 2,80 1,43

18 0 0 0,40 1,04 0,84 2,24 0,75

19 0 0 0,24 1,76 1,44 1,28 0,79

20 0 0,28 0,60 1,52 1,40 1,84 0,94

21 0 0,20 0,40 1,76 1,12 0,96 0,74

22 0 0 0,16 1,04 1,44 2,24 0,81

23 0 0,80 0,88 1,80 1,92 2,80 1,37

24 0 0 0,16 1,60 3,04 0,88 0,95

25 0 0 0,04 1,36 1,44 1,56 0,73

Таблица 2 - Р компетенций Г езультаты нереализованных возможностей при формировании профессиональных [К-8

Номер студента в списке группы Знание Понимание Применение Анализ Синтез Оценка Усредненное значение

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1,52 1,40 1,72 9,10 ,320 3,66 3,48

2 1,44 1,56 1,60 6,52 6,16 6,36 3,94

3 1,72 1,92 4,48 6,62 9,32 4,64 4,78

4 1,72 2,04 3,04 3,28 6,36 6,44 3,81

5 1,20 1,20 1,24 2,28 2,28 2,28 2,13

6 1,28 1,88 2,00 2,88 6,48 2,81 2,89

7 2,16 2,80 2,32 9,36 6,48 4,79 4,65

8 3,48 4,00 4,44 6,56 3,28 4,68 4,07

9 2,04 1,04 1,34 5,40 6,12 6,36 4,45

10 2,20 2,84 3,08 7,16 3,40 4,29 3,83

11 3,92 1,48 1,52 5,40 2,92 6,59 3,64

12 2,40 2,80 1,81 7,08 3,59 7,03 4,12

13 2,24 2,23 2,58 6,56 9,79 6,59 4,99

14 3,64 2,72 1,44 2,32 2,61 2,84 2,61

15 1,32 1,36 1,41 9,20 9,70 6,36 5,34

16 1,31 0,96 1,28 2,87 1,88 1,79 1,68

17 1,40 0,72 1,64 3,48 3,72 3,68 2,44

18 1,08 1,20 1,68 2,28 1,92 2,81 1,83

19 0,44 0,46 1,58 1,56 1,64 1,12 1,13

20 0,62 0,88 1,18 2,32 2,20 2,28 1,58

21 0,34 0,41 0,62 2,19 1,12 1,42 1,02

22 0,78 0,79 1,39 3,02 3,84 3,14 2,16

23 0,38 1,21 1,98 2,24 2,06 3,36 1,54

24 0,21 0,22 0,44 1,87 3,48 1,42 1,27

25 0,18 0,82 0,61 2,24 2,32 2,44 1,44

При нахождении обобщенных показате- Обобщенные показатели нереализованно-

лей использованы вероятностные появления сти каждой компетентности даны в таблице 3. табличных величин.

Таблица 3 - Обобщенные показатели нереализованное™ формирования профессиональных компетенций

Номер студента в списке группы ПК 4

1. 3,98 3,48

2. 3,36 3,94

3. 4,68 4,78

4. 3,61 3,81

5. 1,75 2,13

6. 2,85 2,89

7. 4,87 4,65

8. 4,43 4,07

9. 3,69 4,45

10. 4,25 3,83

11. 3,46 3,64

12. 4,13 4,12

13. 4,92 4,99

14. 2,63 2,61

15. 4,89 5,34

16. 1,03 1,68

17. 1,43 2,44

18. 0,75 1,83

19. 0,79 1,13

20. 0,94 1,58

21. 0,74 1,02

22. 0,81 2,16

23. 1,37 1,54

24. 0,95 1,27

25. 0,73 1,44

На основании статистического материала данных найдем оценки математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции в доверительной области для вектора математических ожиданий с надежностью у = 0,95. Точечные оценки у, =2.68, у2 =2.99. Для определения корреляционной матрицы 8 выборки осуществляется переход к центрированным случайным величинам ич=уу-у'у

Ковариационная матрица 8 выборки равна

1 /136.52 87.624 /5.68 3.56\ я а4\87.62 63,20/ КЗ,65 2.63^ Таким образом, несмещенные оценки дисперсий и средних квадратичных отклонений следующие: 8^=5,68, 81=2,38, 822=2,63, 82=1,62. Вычислим выборочный коэффициент

корреляции т1а = П|33е^62 = 0,92.

Из рисунка 1 следует, что между компонентами ПК4 и ПК 8 существует слабая связь.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зибров, П.Ф., Кузнецова О.А. Математическая модель интервальной оценки компетентности как двумерного вектора распределения по статическим данным. Практика использования естествен-

нонаучных методов в прикладных социально-гуманитарных исследованиях: сборник материалов методического семинара, 18-19 декабря 2014 года. - Тольятти, 2014. - С 160-172.

2. Зибров, П.Ф., Зиброва О.Г. Математическая модель оценки компетентности обучаемых на основе случайного вектора п-мерного пространства нереализованных возможностей // Материалы конференции «Татищевские чтения: Актуальные проблемы науки и практики». - 2016. - Том 3. -С 255-260.

3. Зибров, П.Ф., Зиброва О.Г. Математическая модель оценки экономико-образовательных процессов по вероятностным показателям нереализованных возможностей сформированности компетенции // Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева. - 2015. - № 1(33). - С. 111-117.

4. Зибров, П.Ф. Механизм вероятностной оценки природоохранных технологий и состояния экосистем по показателям нереализованных возможностей: сб. трудов первого международного экологического конгресса «Экология и безопасность жизнедеятельности промышленно-транспортных комплексов» БЬРГГ. - Тольятти, 2007.

5. Зибров, П.Ф., Зиброва О.Г. Математическая модель обобщенной оценки функционирования параметрических объектов по показателям нереализованных возможностей // Вестник Волжского университета им. В.Н. Татищева. - 2016. - № 3(35. - С. 98-105.

6. Зибров, П.Ф., Зиброва О.Г. Вероятностная оценка взаимного влияния компонентов систем компетенций в образовательном процессе // Материалы конференции. «Татищевские чтения: Актуальные проблемы социально-экономического развития» - 2016. - Том 4. - С. 204-209.

7. Зибров, П.Ф., Зиброва, О.Г. Математическая модель обобщенной вероятностной оценки функционирования многопараметрических объектов по показателям нереализованных возможностей // Вестник Волжского университета им. В.Н. Татищева. - 2016. - № 1. - С. 151-154