Математическая модель волны тока и напряжения в линии передачи

УДК 51.73

ГРИГОРЬЕВ Юрий Михайлович, доктор физико-математических наук, действительный член Академии наук Республики Саха (Якутия), заведующий кафедрой теоретической физики, заместитель директора по научной работе Физико-технического института Якутского государственного университета имени М.К. Амосова. Автор 114 научных публикаций, в т.ч. одного учебного пособия

ОРЛОВА Марфа Николаевна, младший научный сотрудник Научно-исследовательского института математики при Якутском государственном университете имени М.К. Амосова. Автор 25 научных публикаций

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНЫ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ В ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ*

В работе аналитически и численно решены задачи о волне тока и напряжения в линии передачи, возникающей при разряде молнии вблизи линии передачи. Построенная модель учитывает зависимость тока молнии от времени.

Молния, линия передачи, многолетняя мерзлота, индуцированное напряжение

Проблема электромагнитной совместимости технических сооружений с атмосферным электричеством в условиях многолетней мерзлоты имеет особую актуальность. Одним из аспектов этой проблемы являются вопросы повышения эффективности грозозащиты линий передач. При разряде молнии вблизи кабеля между оболочкой и жилой кабеля возникают кратковременные перенапряжения, вызванные прямым попаданием молнии или индуцированные этим разрядом. Методы защиты от прямых ударов молний достаточно хорошо разработаны. Однако в регионах с высоким удельным электрическим сопротивлением грунта, к которым относятся и регионы с многолетней мерзлотой, часто наблюдаются множественные повреждения подземных кабелей вдали от точки разряда молнии даже при отсутствии прямого попадания молнии в кабель.

Общепринятый метод приближенного расчета индуцированных перенапряжений в воздушных линиях основан на вычислении электромагнитного поля, излучаемого каналом молнии. Это связано с решением системы уравнений Максвелла, при этом определяется горизонтальная составляющая электрического поля излучения канала молнии вблизи линии передачи, затем решается задача для системы телеграфных уравнений [1-5].

В данной работе предлагается другой подход к вычислению индуцированных перенапряжений, основанный на построении математической модели явления волны тока и напряжения (ВТН). Под действием электростатического поля грозового облака на проводниках линии передач индуцируются электрические заряды. При быстром разряде грозового облака эти заряды «высвобождаются» и, растека-

* Работа выполнена по гранту № 06-08-96020 конкурса РФФИ-Дальний Восток.

ясь по линии передач, образуют ВТН, в результате которой появляются грозовые перенапряжения [6-8]. Явление ВТН может инициировать аварийные явления в ЛЭП и трубопроводах, расположенных в регионах с многолетней мерзлотой. Известно, что на линии передач, расположенные в полярных и субполярных широтах, интенсивные геомагнитные возмущения оказывают сильное влияние, вплоть до аварий [9].

Преимущество нашего метода по сравнению с другими состоит в математической простоте: легко можно моделировать случаи разрядов молнии в землю и между облаками, учесть наличие многолетней мерзлоты. В работах [6-8] аналитически и численно решены задачи о ВТН в предположении о мгновенном характере разряда молнии, рассмотрены случаи разряда молнии в землю и между двумя облаками. В данной статье представлена математическая модель ВТН, учитывающая зависимость тока молнии от времени и аналитически решена задача о ВТН для случая произвольных погонных параметров Я, С, Ь, О, проведены численные расчеты.

1. Математическая модель. Рассмотрим линию передач с одним бесконечным проводником, который характеризуется распределенными параметрами Я,С,Ь,С - сопротивлением, емкостью, индуктивностью и коэффициентом утечки, рассчитанными на единицу длины. Ось х направим вдоль проводника. Грозовое облако моделируем точечным зарядом ^ > Рас" положенным на высоте к над кабелем и на высоте к + / над проводящим полупространством (проводящий слой земли), параметр I описывает толщину многолетнемерзлого слоя грунта. Следовательно, проводник находится в поле заряда и его электростатического изображения {рис. 1).

Проводник считаем заземленным в бесконечно удаленной точке, потенциал Земли <р = О, т.е. индуцированные на проводнике заряды создают такой потенциал, который компенсирует потенциал, создаваемый двумя точечными зарядами О, ы о,.

Рис. 1. Геометрия модели

Пусть в момент времени t = 0 облако начинает разряжаться, и зависимость заряда облака от времени выражается функцией Q{t), / > О , тогда ток молнии равняется dQ{t) / Ш. При уменьшении заряда облака на dQ за время Ш те заряды на линии, которые компенсировали потенциал этого заряда dQ (и его изображение - dQ), становятся свободными и начнут «разбегаться», возбуждая ВТН в линии. Другими словами, разряд грозового облака эквивалентен действию некоторого источника зарядов в линии. За время dt на элементе dx этот источник вырабатывает количество зарядов dql, равное

dql = Cdxdu = С/ (x)dxdQ, где Ґ N

Г ,4і Iі 1

/ (х) =------1 —I =

[л/к2 + х2 д/(2/ + К)2 + х2 /

такой вид функции соответствует тому, что заряд находится над началом координат.

Аналогично [10] выведем систему телеграфных уравнений с учетом действия такого источника зарядов. Применяя закон Ома к участку длиной dx, получаем

- uxdx = iRdx + Litdx.

Количество зарядов, притекающих в элемент проводника dx за время dt, равно

dq2 = 0 (х, ?) - /(х + dx, ? = -ixdxdt,

за это время dt на участке dx за счет действия указанного выше «генератора» дополнительно образуется количество зарядов dq^. Количество заряда , которое идет на зарядку элемента dx за счет электроемкости, равно

dqъ = С {и (х, ^ + dt) - и (х, ^ )^х = Cutdxdt,

количество заряда dq4, теряющегося за счет несовершенства изоляции:

dq4 = Gudxdt.

Согласно закону сохранения заряда:

dql + dq 2 = dqъ + dq 4.

Подставляя сюда выражения для зарядов, получаем

С/ (х )dxdQ - ixdxdt = Cutdxdt + Gudxdt

Из этого соотношения и из уравнения (1) получаем искомую неоднородную систему телеграфных уравнений и, добавляя нулевые начальные условия, получаем задачу Коши, описывающую ВТН в линии передачи, с учетом зависимости тока молнии от времени:

их + Ы{ + Яг — 0, -го< х <го, ^ > 0,

dQ

1Х + Си( + Си — Сf (х)-

dt

и( х,0) = 0,

/(х,0) = 0.

2. Аналитическое решение. Аналитическое решение задачи (2), описывающей ВТН получаем в следующем виде:

+

С - X

а )

с1£ +

+-

2аС

+

Г -

С - X

а )

+

2 аС

-Яг

е X

х-а! 0

к

V V к

а

(

х-а! а

+¿с №! и^г)<г

х о

( г I------------

-Хт

0

V V

К /(* -г)2 -

а

(' -т)2 -

dт +

Яае

-к г х+а

0 х-а

а

-у(х - а(7-т),т)^т +

+

x-C

0 x-a

(t -r)2 -

kJ(t-r)2 -

(*-o2

(*-o2

a2 -\

a

d£.

. RC + LG ДС - LG\ 2 1

я =------------, к = ----------1 a --------.

2LC 2 LC LC

Рассмотрим неискажающую линию передачи, т.е. когда погонные параметры удовлетворяют соотношению ЯС = ЬС. В этом случае

А=-|, * = О,

и формулы для величин ВТН существенно упрощаются:

, , 1 ХГ С -X^

и(х,О =----- I ш\С,/+ ----- е а dC +

2аС V у а )

х-аГ ^ '

2aC

t -

£ - x a J

j-x

e" a d£t

-Xt t

i(x,t) = -—— [e Az(v(x + a{t-t),t)-О J

3. Прямоугольный импульс тока молнии. Рассмотрим случай, когда ток молнии имеет вид прямоугольного импульса с длительностью t0, с амплитудой /0 = Q0 /10, где Q0 -первоначальный заряд облака, в этом случае заряд облака выражается функцией:

Q(t) = е0(1 - f М»о -'),

t О

где

)

Г1, при t > О

[О, при t < О единичная функция Хевисайда. Тогда

dQ{t) Q0

. = -—лИо - О

at t0

откуда:

х, t) = Cf

dQ(t) CQ0

dt

t Л

/(*M*o -1\

Для такой функции у/{х, t) решение (3) задачи (2) будет иметь вид:

и(х, t) = -

2аС

j Ж>;

tQ -1 -

£ - X ~х—

а

<dC -

0>

2аС

-гш

I /(Оч

t0 -1 +

х

Xt х

lat,

\d( I /(f)e

•Яг

0 x-at О

f г XI0

V V

1

а

+

к

(* -тГ -

2 (X - С)"

11 Х

а

1

а

rj(t0 - r)dv -

С" х

0 Xt x-at О g

2 at,

~ai a

Ij /(о

e lT X

(-А) I с

2 (X - С)2Л

(* - *Г - 2

а

\

(Г - О’ - ^

а

К 1(, - г)’ -

а

0 - г)dг -

RCQ0 ае

-Я* г х+а

2/

V

О 0 х—а

\

(*-г)2 -

(х - С)/

а

ЛИ о

у

Аналогично преобразуется формула (4) для силы тока:

-Хг г

1о О

- у/(х - а(7 - г))) - г)й?г -

7/-, .—* —Яг г х+а

*аСе рг | е^ X

О 0 х-а^-т)

х - С

К* -ту -

2 (* - О"

Г(С,тУ гх

а

2 (X - О2

а

Л£.

В случае неискажающей линии передач решение (5), (6) будет иметь вид:

2а£

О х-а1

.А.

2а?п

г

X ¿0

\

х+ а!

ас -

а )

С-* е “

г(х, /) =

Q0 Сае 2/п

-Хг г

1о О

- ^(х - а(7 - г))) ^(10 - г)й?г _

4. Численные расчеты. Численные расчеты проведены для случая прямоугольного импульса тока молнии с длительностью ?о= 50 мкс и амплитудой Л = 20 кА, @0 = 1 Кл при Н = 1500 м, / = 250 м (толщина многолетней мерзлоты или скальных грунтов, воздушная линия над ущельем), погонные параметры линии передачи: К = 10~3 м/м,

С = 1010 ф/м, 1= 10 7 Гн/М, О = 10-6—]---------

Ом*м

На рис. 2 для примера приведен результат расчетов в разные моменты времени для безразмерной силы тока при разряде молнии в землю:

Расчеты показывают, что максимальное значение силы тока в линии при приведенных выше параметрах достигается в точках, расположенных на значительном расстоянии. После перехода к размерным величинам получаем, что максимальная амплитуда волны напряжения в линии передачи и = 247-103В, максимальная амплитуда волны силы тока / = 64-103А. Сравним полученные результаты с результатами расчетов по модели с мгновенным разрядом молнии [7]. На рис. 3 приведены распределения силы тока в линии при достижении ее максимального значения, рассчитанные по этим

i[K]

Рис. 2. Волна силы тока для прямоугольного импульса тока молнии

Рис. 3. Волны тока для двух математических моделей при достижении максимальных значений силы тока

двум моделям при одинаковых параметрах.

Видно, что максимум тока в модели с мгновенным разрядом молнии в несколько раз больше, чем в модели с учетом зависимости тока молнии от времени. Видны и различия в крутизне переднего фронта волны. Максимальные значения силы тока достигаются в разные моменты времени.

На рис. 4 приведены распределения напряжения в линии при достижении ее максимального значения, рассчитанные по этим двум моделям при одинаковых параметрах.

Выводы. В работе построена математическая модель индуцированных грозовых перенапряжений в линиях передач, учитывающая зависимость тока молнии от времени, наличие многолетней мерзлоты. При этом в отличие от других авторов принимается во внимание явление ВТН и не решается система уравнений Максвелла, что существенно упрощает мате-

матическую модель. Проведенные численные оценки показывают, что величины ВТН достигают величин, достаточных для возникновения аварийных ситуаций в линии передачи.

и [к , * ]

Рис. 4. Волны напряжения для двух математических моделей при достижении максимальных значений

Список литературы

1. Перенапряжение и защита от них в воздушных и кабельных электропередачах высокого напряжения / М.В. Костенко, К.П. Кадомская, М.Л. Левинштейн, И.А. Ефремов. Ленинград, 1988.

2. Calculation Methods of the Horizontal Component ofLightning Return Stroke Electric Fields / F. Rachidi, M. Ianoz, C.A. Nucci, C. Mazzetti II Eleventh International Wroclaw Symposium and Exhibition on Electromagnetic Compatibility, September 2-4,1992. Wroclaw, 1992. P. 452-456.

3. Левкин H.E., ГумероваН.И. Анализ грозовых перенапряжений в ВЛ и на подстанциях 35 кВ II Перенапряжения и надежность эксплуатации электрооборудования: материалы междунар. науч.-тех. конф., С.-Петербург, 31 марта-5 апреля 2003 г. Вып. 2. СПб., 2003. С. 104-111.

4. Baba Y., Rakov V.A. Voltages Induced on an Overhead Wire by Lightning Strikes to a Nearby Tall Grounded Object II IEEE Transaction on Electromagnetic Compatibility. 2006. V. 48, № 1. P. 212-224.

5. Ефимов Б.В. Теория распространения волн атмосферных перенапряжений в многопроводных коронирую-щих линиях II Электрофизические проблемы надежности эксплуатации высоковольтных сетей и цепей управления: сб. тр. Апатиты, 1999. С. 20-41.

6. Расчет волны тока индуцированной разрядом молнии в кабельных линиях / Ю.М. Григорьев, С.Н. Еремеев, В.В. Наумов, А.А. Семенов II Десятый международный Вроцлавский симпозиум по электромагнитной совместимости, 26-29 июня, 1990 г. Вроцлав, 1990, С. 247-252.

7. Григорьев Ю.М., Орлова М.Н. Математические модели грозовых перенапряжений в линиях передач IIVII Лаврентьевские чтения: науч. конф., Якутск, 7-11 апреля 2003. Т. I. Якутск, 2003. С. 29-33.

8. Их же. Математическая модель грозового перенапряжения в линии передачи при разряде молнии между двумя облаками// Динамика спл. (нужно полностью написать) среды. 2004. Вып. 122. С. 53-56.

9. Lahtinen М., Elovaara J. GIC occurrences and GIC test for 400 kV system transformer II IEEE transaction on power delivery. 2002. V. 17, № 2. P. 555-561.

10. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977.

Grigoriev Yury, Orlova Marfa

MATHEMATICAL MODEL OF THE CURRENT AND VOLTAGE WAVE IN THE TRANSMISSION LINE

Analytical and numerical solutions of the current and voltage wave problem in the transmission line caused by a lightning discharge are given. The presented model takes into account time dependence of lightning current.

Контактная информация: Григорьев Юрий Михайлович e-mail\ grigyum@yandex.ru Орлова Марфа Николаевна e-mail', omarfa@mail.ru

Рецензент-ПоповВ.Н., доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей физики Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова