Осредненная динамика легкой сферы во вращающейся вокруг горизонтальной оси полости

ОСРЕДНЕННАЯ ДИНАМИКА ЛЕГКОЙ СФЕРЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ВОКРУГ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСИ ПОЛОСТИ

Н.В. Козлов, С.В. Субботин

Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально изучается поведение лёгкого центрифугированного сферического тела во вращающемся горизонтальном цилиндре, заполненном вязкой жидкостью, при вибрационном воздействии. В отсутствие вибраций при быстром дифференциальном вращении тело занимает устойчивое положение в центральной части полости, симметричное относительно торцов. При понижении скорости тела обнаружена потеря симметрии его положения: сфера смещается к одному из торцов. В случае совпадения частоты вибраций с одной из собственных частот системы смещение сферы возрастает вслед за возбуждением интенсивных круговых колебаний. Однако при интенсивном резонансном вращении (опережающем или отстающем) сфера вновь занимает устойчивое положение, равноудаленное от торцов полости.

Ключевые слова', вращение, вибрации, сферическое тело, осреднен-ное движение, устойчивость.

ВВЕДЕНИЕ

Многофазные гидродинамические системы широко распространены в природе. Управление такими системами является актуальной прикладной задачей. Во многих случаях изучение влияния осложняющих факторов, таких как вращение и вибрации, позволяет предсказать возникновение новых явлений, связанных с проявлением осреднённых эффектов. Интересным с точки зрения вибрационной механики является вращение полости вокруг горизонтальной оси. При этом вектор силы тяжести вращается в системе отсчёта полости, вызывая колебания, и, как следствие, осреднённые эффек-

© Козлов Н.В., Субботин С.В., 2011

ты. Большой спектр вопросов, посвящённых вращающимся гидродинамическим системам, рассмотрен в [1].

Осреднённая динамика неоднородных по плотности гидродинамических систем во вращающихся полостях является актуальной темой исследований. В работе [2] рассмотрена динамика центрифугированного слоя жидкости в горизонтальном цилиндре, когда на свободной поверхности жидкости возникают трёхмерные инерционные волны, генерирующие крупномасштабные вихревые течения. Динамика системы определяется безразмерным вибрационным ускорением Г = g / (02й). где а - радиус свободной поверхности жидкости, g - ускорение свободного падения, О - угловая скорость вращения. Воздействие поступательных поперечных вибраций на центрифугированный слой жидкости со свободной поверхностью [3] или центрифугированную двухжидкостную систему [4] приводит к ровдению азимутальной волны, вследствие чего возбуждается интенсивное осреднённое движение жидкости. Роль газовой фазы может играть свободное лёгкое цилиндрическое тело [5], в этом случае возникает его интенсивное дифференциальное вращение, природа которого заключается в генерации осреднённой массовой силы в слое Стокса вблизи поверхности тела. Неоднородность плотности системы также может быть вызвана градиентом температуры [6].

Вращающиеся системы представляют интерес для фундаментальных исследований, т.к. они моделируют процессы, происходящие в атмосфере, океанах, в жидких ядрах планет. Изучение влияния переменных силовых полей на подобные многофазные системы может иметь большое значение для геофизических исследований.

Динамика лёгкого сферического тела во вращающейся жидкости при вибрациях рассмотрена в работе [7]. Вибрации играют роль только в резонансных областях, где амплитуда колебаний существенно возрастает.

В предлагаемой работе обнаружено новое явление, заключающееся в том, что разным скоростям вращения сферы соответствуют ее различные устойчивые положения на оси вращения кюветы. В работе изучается устойчивость положения сферы как в случае вибрационного воздействия, так и в его отсутствие.

1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

Эксперименты проводятся на установке, представленной на рис. 1. Лёгкое сферическое тело 1 помещается внутрь цилиндрической кюветы 2, которая устанавливается горизонтально на плат-

форме электродинамического вибратора 3 типа УЕВ СЕЯАТЕ-UND-REGLER-WERKE ТЕЬТО\¥. Катушка подмагничивания вибростенда питается от трёх последовательно соединенных источников постоянного тока МАвТЕСН НУ5005Е. Вибрационная катушка управляется с помощью генератора ГСПФ-052, интегрированного в компьютер. Гармонический сигнал с генератора усиливается при помощи усилителя мощности ВЮ^УЫТНЕТГС ЭР3200.

Измерение амплитуды вибраций осуществляется акселерометром 4 типа ПАМТ 4 0.225, сигнал с которого поступает на плату электронного осциллографа ЛА-2М5РСІ, интегрированного в компьютер. Спектральный анализ сигнала, полученного с акселерометра, показывает, что вклад паразитных гармоник не превышает 20 % от величины вибрационного ускорения в худшем случае, а в большинстве экспериментов остаётся в пределах 10 %.

Вращение задается с помощью шагового двигателя 5 типа РЬ868ТН80-4208А. управляемого драйвером 81УГО-42. Вращение кювете передаётся посредством гибкой передачи <5, изготовленной из резинового шланга. Регулировка скорости вращения кюветы осуществляется генератором звуковых колебаний ГЗ-112/1.

Кювета представляет собой изготовленный из плексигласа цилиндр кругового сечения, который помещается внутрь полого параллелепипеда (рис. 2). Данная конструкция герметизируется с обеих сторон прозрачными плексигласовыми фланцами и укрепляется в шарикоподшипниках опор установки. Таким образом, кювета состоит из двух отсеков: рабочей полости и рубашки. Длина рабочей полости кюветы составляет Ь = 72.0 мм, внутренний диаметр Б = 52.0 мм. Сфера диаметром £/=35.3 мм (ее средняя плотность

= 0.17 г/см3) находится в заполненной жидкостью цилиндрической полости.

В «рубашку», образованную пространством между стенками параллелепипеда и цилиндра, заливается также рабочая жидкость. В результате оптические искажения на цилиндрической поверхности устраняются, что позволяет видеть истинный размер сферы. Передний фланец (на рис. 2 слева) закрепляется в подшипнике так, чтобы через него можно было вести наблюдения за движением сферы и жидкости.

Рис. 2. Схема кюветы

Горизонтальность системы контролируется в ходе эксперимента жидкостным уровнем.

В качестве рабочей жидкости используются вода и водные растворы глицерина. Кинематическая вязкость жидкости меняется в пределах у= 1.0-25.7 сСт. Из-за изменения концентрации глицерина в растворе изменяется плотность жидкости, рь = 1 -1.195 г/см3, а также относительная плотность тела в пределах Р = Рл / Р/ = 0.14 - 0.17. Вязкость жидкости измеряется капиллярным вискозиметром типа ВПЖ-2 с точностью не ниже 0.1 сСт, плотность измеряется ареометром с точностью 0.001 г/см3.

Наблюдения осуществляются как со стороны торца, вдоль оси вращения, так и в направлении, перпендикулярном оси вращения кюветы, и ведутся в свете стробоскопической лампы 7 (рис. 1), фо-торегистация ведётся в свете лампы-вспышки 8. Так как кювета имеет форму параллелепипеда, необходимо, чтобы съёмка всегда проводилась в фазе, когда одна из граней расположена перпендикулярно оптической оси фотоаппарата. Для этой цели разработан модуль [8], синхронизирующий положение кюветы и момент вспышки лампы 8. Первоначально на фотоаппарате настраивается определённое значение времени экспозиции, после чего при съемке

сигнал от вспышки фотоаппарата поступает в модуль, где запоминается. Когда кювета при своем вращении достигает нужной фазы, сигнал от оптоэлектронной пары 9 синхронизируется с сигналом, полученным от фотоаппарата, после чего происходит вспышка.

В экспериментах измеряется скорость вращения сферы относительно полости Д/=/у —/тЬ для чего частота мерцаний стробоскопа синхронизируется первоначально со скоростью вращения кюветы Лгои а после со скоростью вращения сферы/,. Отрицательные значения А/означают, что в лабораторной системе отсчёта сфера вращается медленнее полости. В системе отсчёта полости при этом тело вращается в обратном направлении.

Скорость вращения полости меняется в интервале /га = 5 — 45 об/с и измеряется с точностью 0.01 об/с. Наблюдения проводятся как в отсутствие, так и при наличии вибраций. Частота и амплитуда вибраций изменяются в интервалах ЛпЪ = 20 - 40 Гц, Йуй = 0.10 - 0.50 мм.

По результатам обработки фотографий рассчитывается положение сферы относительно ПОЛОСТИ Х= (х2 — X] )/(х2 + X}), где XI и х2 -расстояния от правого и левого торца кюветы до поверхности сферы, соответственно.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Поведение сферы в отсутствие вибраций

Опыты проводятся со сферой, плотность которой меньше плотности окружающей жидкости, поэтому в отсутствие вращения сферическое тело всплывает и занимает положение в верхней части полости. При повышении скорости вращения сфера увлекается жидкостью, а при некотором критическом значении /го1 центрифугируется (устанавливается на оси полости). В отсутствие вибраций скорость вращения сферы меньше скорости вращения полости, /ы>Л- Эго связано с осредненным действием силы тяжести [5, 7]. По мере увеличения скорости Лт отставание тела от полости уменьшается, при некотором критическом значении Лгы наблюдается конечно-амплитудный переход - значение скорости А/" меняется скачком (рис. 3, переход а). При понижении скорости вращения полости интенсивность вращения сферы возрастает монотонно, в переходах наблюдается гистерезис.

На рис. 3 кроме зависимости А/"от/гЫ показано положение сферы относительно полости, координаты х = 0, 1,-1 - соответствуют центральному и крайним положениям у правого и левого торцов.

Видно, что при интенсивном отстающем вращении (при [т! < 12.5 об/с) сфера находится на одинаковом удалении от торцов полости. При этом она совершает интенсивные круговые колебания. Симметричное состояние теряет устойчивость при повышении /гЫ\ в точке а сфера смещается вдоль оси вращения к одному из торцов. Новое положение сферы также является устойчивым.

Рис. 3. Зависимость относительной скорости вращения (1) и положения сферы (2) от скорости вращения полости, V = 1.0 сСт; здесь и далее светлые и темные символы - повышение и понижение/го,, соответственно

Независимо от направления вращения полости смещение сферы может произойти как вправо, так и влево. Относительная скорость вращения тела также не зависит от того, к какому из торцов она сместится. С дальнейшим повышением скорости /гЫ величина смещения сферы изменяется несущественно и составляет в обоих случаях х < 0.25, кривые смещения в зависимости от /гЫ оказываются зеркально симметричными. При понижении скорости вращения уход сферы в центральное положение происходит при более низком значении (т! (переход Ь). Критические значения скорости (т! смены режима вращения и осевого смещения тела совпадают.

Таким образом, во вращающейся полости существуют два режима вращения сферы. Первый, более интенсивный, возбуждается после центрифугирования и ограничен сверху по частоте значением, соответствующим переходу а, для него характерно положение тела в центре полости относительно торцов. Второй, менее интен-

сивный, возбуждается в точке а, при этом положение сферы в центральной по длине части становится неустойчивым: сфера смещается в направлении одного из торцов на расстояние х~0.25. Скорость в точке а изменяется скачком. Переход от второго режима к первому происходит мягко (рис. 3, переход Ь), при этом тело возвращается в центральную по длине часть полости без изменения скорости.

18 Лор об/с 30

Рис. 4. Влияние вязкости на дифференциальное вращение сферы

С повышением вязкости жидкости интенсивность вращения сферы уменьшается (рис. 4), гистерезис, связанный с существованием двух режимов вращения, исчезает. Центрифугирование и обвал (возвращение тела от оси полости к границе) происходят при меньших значениях скорости. Модуль относительной скорости сферы при постоянной величине /гЫ убывает с вязкостью по закону |Д/| —V05, что согласуется с результатами, полученными в случае цилиндрического тела [9]. Из общей закономерности выпадают только экспериментальные точки, соответствующие гистерезису при V = 1 сСт (рис. 4, б).

Если говорить о влиянии вязкости жидкости на положение сферы в кювете, то, главным образом, изменению подвергаются критические значения скорости вращения полости, при которых наблюдается потеря симметрии. Первоначально, с повышением вязкости уменьшается глубина гистерезиса (V = 5 сСт, рис. 5, а), при дальнейшем повышении вязкости гистерезис исчезает. Одновременно с этим сокращаются границы области устойчивости центрального (по длине полости) положения сферы (уже при V = 9 сСт положение сферы в центре вообще отсутствует, рис. 5, б). В более вязкой жидкости (V > 12.8 сСт) зависимость становится обратной -точка бифуркации смещается в область больших скоростей вращения /гЫ. Величина относительного смещения сферы слабо зависит от вязкости и во всех случаях составляет примерно 0.25.

23 /гоР об/с 40 Рис. 5. Влияние вязкости на положение сферы

Таким образом, порог устойчивого положения сферы изменяется с вязкостью немонотонно (рис. 6). На левой, нисходящей ветви графика переход происходит с гистерезисом, область которого су-

жается с повышением вязкости (заштрихованная область). На восходящей ветви первоначально вязкость полностью подавляет гистерезис, который вновь появляется при больших значениях V ; устойчивость центрального по длине полости положения сферы возрастает.

18

/™Л об/с

13

8

0 13.5 С0Т 27

Рис. 6. Граница устойчивости центрального положения сферы frot в зависимости от вязкости жидкости; точки 1 - потеря устойчивости, 2 - возвращение сферы в центр полости, точки 3 - всплытие сферы

Критическое значение frot в области минимума (точки 3) совпадает с критическим значением, соответствующим всплытию сферы, т.е. с потерей устойчивости центрифугированного состояния. Таким образом, можно сказать, что в некотором диапазоне значений вязкости (примерно от 7 до 12 сСт) положение сферы в центре всегда неустойчиво.

2.2. Вибрационное воздействие

Вибрации являются существенным фактором, оказывающим влияние на динамику сферы только в резонансных областях [7]. В области опережающего вращения (Af > 0, рис. 7) можно выделить несколько критических значений frot, соответствующих: жёсткому возбуждению опережающего вращения (переход а), срыву опережающего вращения (переход Ь), мягкому возбуждению (точки с и d). Сравнительно небольшое увеличение вязкости жидкости сильно влияет на скорость сферы в резонансных областях. Повышение

вязкости до V = 5 сСт приводит к уменьшению максимальной скорости А/ в несколько раз, помимо этого гистерезис между переходами а я Ь исчезает. В случае V = 15.1 сСт интенсивное вращение в резонансных областях практически полностью подавляется вязкими силами.

Рис. 7. Влияние вибраций на скорость сферы,= 30.0 Гц, = 0.27 мм

Рис. 8. Влияние вибраций на скорость (1) и положение (2) сферы, = 30.0 Гц, = 0.27 мм, штрих - гравитационная кривая

На рис. 8 представлены графики скорости (точки 1) и положения сферы (2) в зависимости от /т1. Видно, что координата х, аналогично относительной скорости, изменяется только в резонансных областях, в остальных случаях она преимущественно совпадает с гравитационной кривой. Максимальное смещение из центра полости наблюдается в области опережающего вращения, причем этот максимум совпадает с границей мягкого возбуждения (точка с), в которой происходит интенсификация опережающего вращения. Детальное исследование резонансных эффектов показывает, что соответствующее значение fn,/frot равно собственной частоте круговых колебаний сферы [7].

При скорости frot, соответствующей точке (I. сфера занимает центральное положение. Также устойчивое положение в центре свойственно системе в случае интенсивного отстающего дифференциального вращения, это - область наибольшей интенсивности колебаний сферы перед обвалом центрифугированного состояния. Между критическими значениями с и J положение сферы меняется сложным образом, немонотонно. В области интенсивного отстающего вращения, вблизи резонансной частоты, сфера смещается ближе к центру, а в пике интенсивности отстающего вращения вновь удаляется от него.

При повышении скорости вращения полости frot положение тела за пределами резонансных областей совпадает с тем, что наблюдается в отсутствие вибраций. При подходе к области отстающего вращения происходит смена режима движения тела и его положения. При обратном ходе по fot положение тела отличается от безвибрационного, обнаружен гистерезис (рис. 8, заштрихованная область).

Как и в случае вращения в отсутствие вибраций зависимость х (fot) является практически зеркально симметричной относительно центра полости (рис. 9). Изменение зависимости Af(fot) сопровождается изменением зависимости х (/,,,,): появившийся при уменьшении амплитуды вибраций гистерезис в окрестности критического значения с относится как к скорости А( так и к положению х. Получившиеся петли гистерезиса положения точно укладываются в границы гистерезиса для скорости, а также симметричны по отношению друг к другу.

Даже небольшое повышение вязкости делает динамику сферы более упорядоченной, её положение изменяется со скоростью вращения полости плавно (рис. 10). Однако качественно положение не меняется: в окрестности резонансной частоты, аналогично рис. 8,

Козлов Н.В., Субботин С.В. Осредненная динамика легкой сферы наблюдается максимальное осевое смещение тела из центра.

Рис. 9. Относительная скорость и положение сферы в зависимости от скорости вращения полости при/,ц, = 30.0 Гц, Ь^ц, = 0.20 мм

Рис. 10. Изменение координаты тела в зависимости от скорости вращения при различной вязкости;/,й = 30.0 Гц, &„,4 = 0.27 мм

В области резонансного возбуждения отстающего вращения положение сферы в центре становится устойчивым, при этом проис-

ходит переключение режима движения, и между прямым и обратным ходом по частоте /гЫ вне резонансной области обнаруживается гистерезис, глубина которого изменяется с вязкостью немонотонно (рис. 10, а-г, заштрихованные области). Переходы между симметричным, в центре полости, и крайним, у торца, положениями имеют пороговый характер.

Рис. 11. Зависимость максимального осевого смещения тела в резонансной области от вязкости при различной интенсивности вибраций

Величина максимального смещения сферы из центра полости представлена на рис. 11. В области небольших значений вязкости величина смещения изменяется довольно сильно. Однако при последующем повышении вязкости хтах изменяется мало, что особенно заметно при увеличении интенсивности вибраций, при этом кривые поднимаются от хтах = 0.69 до значения 0.78.

Повышение амплитуды вибраций приводит к росту интенсивности дифференциального вращения. В маловязкой жидкости (рис. 12, а) вместе с этим расстояние, на которое смещается сфера, уменьшается. Таким же образом подвергаются изменению и границы смещения по координате ЛгЫ. Увеличение вязкости (рис. 12, 6) приводит к усилению взаимодействия сферы с торцевой стенкой: чем выше амплитуда тем сильнее прижимается сфера к торцу, кроме того, расширяется область, в пределах которой существует асимметричное состояние.

Рис. 12. Влияние амплитуды вибраций на скорость сферы и её положение,/,,ъ = 35.0 Гц

3. ОБСУЖДЕНИЕ

Устойчивость осевого положения сферы при гравитационном воздействии на вращающуюся систему определяется скоростью вращения кюветы и свойствами жидкости, в частности, ее вязкостью (рис. 6).

Сравнение результатов, полученных при вибрационном воздействии, на плоскости безразмерных параметров п, Д/У/гЫ

Сп = Ла> //год показывает резонансное смещение сферы вдоль оси вращения (рис. 13). Максимум этого смещения наблюдается при п~ 2, когда безразмерная частота вибраций совпадает с частотой круговых колебаний сферы. Видно, что пик смещения сферы совпадает с точкой с, где возбуждается интенсивное опережающее вращение. Экспериментальные точки, полученные при различных значениях частоты вибраций, согласуются на выбранной плоскости, что подтверждает определяющую роль параметра п. Как показано в работах [1-5], безразмерная частота п является определяющей в динамике различных вращающихся систем.

Рис. 13. Зависимость безразмерной скорости дифференциального вращения сферы и её положения на оси от безразмерной частоты вибраций

Совпадение резонансных частот для обоих эффектов, интенсивных круговых колебаний тела, возбуждающих дифференциальное вращение, и осевого смещения, указывает на их взаимосвязь.

В аналогичных экспериментах с лёгким телом цилиндрической формы [5] наблюдалось резонансное возбуждение дифференциального вращения, однако не было замечено смещение тела вдоль оси. Можно предположить, что осевое смещение - это реакция на круговые колебания сферы.

Дальнейшие исследования планируется направить на детальное изучение структуры течений во всём объёме полости. Вероятно, это позволит объяснить причину неустойчивости сферы относительно торцов полости.

Заключение. Изучено поведение лёгкого сферического тела во вращающемся цилиндре с жидкостью под действием поступательных вибраций, ориентированных перпендикулярно оси вращения.

В отсутствие вибраций сфера вращается медленнее полости. Обнаружено, что в зависимости от режима вращения и вязкости жидкости устойчивое положение сферы может смещаться вдоль оси вращения.

Вибрации оказывают влияние на динамику сферы только в резонансных областях, в которых возбуждаются колебания и интенсивное вращение сферы. Максимальное смещение сферы к торцу полости (вдоль оси вращения) обнаружено в пороге возбуждения колебаний, когда скорость вращения ещё не велика.

Как при наличии, так и в отсутствие вибраций при интенсивном дифференциальном вращении сферы (опережающем или отстающем) становится устойчивым её симметричное положение относительно торцов цилиндра.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 09-01-00665-а.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Гидрометеоиз-дат: Ленинград, 1975. 304 с.

2. Иванова А А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ.

2004. №4. С. 98-111.

3. Иванова А.А., Козлов В.Г., Полежаев Д.А. Вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ.

2005. №2. С. 133-142.

4. Иванова А.А., Сальникова А.И. Динамика двухжидкостной системы во вращающемся горизонтальном цилиндре при продольных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 3. С. 39-46.

5. Козлов В.Г., Козлов И.В. Вибрационная динамика легкого тела в заполненном жидкостью вращающемся цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 12-23.

6. Вяткин А.А., Иванова А.А., Козлов В.Г. Конвективная устойчивость неизотермической жидкости во вращающемся горизонтальном коаксиальном зазоре // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 1. С. 12-21.

7. Козлов И.В., Субботин С.В. Вибрационная динамика легкой сферы во вращающейся полости с жидкостью // Труды XVII

Зимней школы по механике сплошных сред (Электронный ресурс). Пермь-Екатеринбург, 2011.

8. Субботин С.В., Шаров М.Т. Методика наблюдений течений в быстровращающейся кювете // Конвективные течения... Вып. 5. Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 2011. С. 195-204.

9. Козлов Ник. Влияние вязкости жидкости на динамику легкого тела во вращающейся вокруг горизонтальной оси полости //Конвективные течения... Вып. 4. Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 2009. С. 144-156.

POSITION OF THE SPHERE IN A ROTATING CYLINDER WITH LIQUID

N.V. Kozlov, S.V. Subbotin

Abstract. The behaviour of a light centrifuged spherical body in a rotating horizontal cylinder filled with viscous liquid at vibrational action is experimentally investigated. In the absence of vibrations, at rapid differential rotation the body occupies a steady position on the cylinder axis, symmetric relative to the cavity end walls. With the decrease of the relative body velocity the loss of symmetry of its position is found: the sphere displaces to one of the ends. In case of coincidence of the vibration frequency with one of the eigen frequencies of the system, the sphere displacement increases after excitation of intensive circular oscillations. However, at intensive resonant rotation (outstripping or lagging) the sphere again occupies the steady position in the centre, between the end walls.

Key words', rotation, vibration, spherical body, averaged motion, stability.