Волновые процессы в упруго-вязкопластических средах с дислокациями

УДК 539.3

Волновые процессы в упруго-вязкопластических средах с дислокациями

Н.В. Чертова

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

На основе уравнений полевой теории дефектов, содержащей кинематические тождества упругого континуума с дислокациями и динамические уравнения калибровочной теории дислокаций, рассмотрены закономерности распространения плоских гармонических волн в однородных упруго-вязкопластических средах и при наличии границ раздела. Определены коэффициенты отражения и преломления волн смещений и волн поля дефектов, характеризуемого тензорами плотности дислокаций и плотности потока. Проанализированы зависимости полученных величин от параметров контактирующих сред.

Ключевые слова: континуальное описание, дислокации, калибровочная теория, динамические уравнения, волны, границы раздела

Wave processes in elastic-viscoplastic media with dislocations

N.V. Chertova

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The mechanisms of plane harmonic wave propagation in homogeneous and interfaced elastic-viscoplastic media are considered using the field theory of defects with kinematic identities of a dislocation-containing elastic continuum and dynamic equations of the gauge theory of dislocations. The reflection and refraction coefficients were determined for displacement waves and defect field waves with the defect field characterized by the dislocation density tensor and flux density tensor. The dependence of the coefficients on the parameters of the interfaced media is analyzed.

Keywords: continual description, dislocations, gauge theory, dynamic equations, waves, interfaces

1. Введение

Волновые процессы являются одной из важнейших форм движения материи, поскольку в той или иной мере присущи всем без исключения объектам материального мира [1]. С волнами мы сталкиваемся как в повседневной жизни, так и при более глубоком изучении физики явлений. Волны, распространяющиеся в различных средах, сильно отличаются друг от друга. В жидкостях и газах возмущения передаются от слоя к слою преимущественно в направлении, вдоль которого происходит колебание частиц, т.е. волны в жидкостях и газах являются продольными. Твердые тела обладают сдвиговой упругостью, в них наряду с продольными колебаниями распространяются поперечные волны. В средах с внутренней микроструктурой, математические модели которых кроме векторов смещений содержат

дополнительные степени свободы, установлена возможность существования других типов волн [2-4]. В настоящей работе рассматриваются волновые процессы в упруго-вязкопластических средах с дислокациями, динамика которых определяет один из известных механизмов пластической деформации [5]. Исследование проводится на основе уравнений полевой теории дефектов, построенной в рамках калибровочного подхода [68]. Система уравнений полевой теории трансляционных дефектов описывает динамику дислокационного континуума под действием эффективных напряжений и импульса, которые определяют макроскопические свойства среды и могут быть заданы в виде некоторого материального соотношения. Исследуются однородные упруго-вязкопластические среды и при наличии границ раздела. Известны многочисленные результаты, свиде-

© Чертова Н.В., 2011

тельствующие о значимости внешних и внутренних границ в процессах деформирования [9, 10], что указывает на актуальность рассматриваемой задачи. Предложенная работа является продолжением публикаций [1114], где подробно изучены вязкопластические среды с дислокациями и решены некоторые задачи для вязкоупругих сред.

2. Математическая формулировка задачи

Система уравнений полевой теории трансляционных дефектов включает динамические уравнения калибровочной теории дислокаций [6]:

В= -Р ’ атп = -В дГ 1/п - Оп

дхг дхи дt

и кинематические тождества континуальной теории [15]:

д _п д д

3 а/п = °, егтк ^ 1кп = ^ ат ’

дх/ дхт ot

где а у, 1у — тензоры плотности и плотности потока дислокаций; о у, р — эффективные напряжения и импульс, обусловленные внешним воздействием и дефектами материала; В и 51 — константы теории; еут — тензор Леви-Чивиты. Соотношения (2) следуют из определений параметров дислокационного континуума

1 у =-№//д). ау =-екп

где в// — тензор пластической дисторсии. Физический смысл (3) поясняют выражения

а/п = ^п/> 1 п = ^дЬп/д)М »

где Ь — суммарный вектор Бюргерса всех дислокаций, пересекающих единичную ориентированную площадку s, ограниченную контуром с единичным касательным вектором I. Если изучаемая среда проявляет свойства упруго-вязкопластического тела [14], то эффективные напряжения и импульс могут быть заданы соотношениями

°у = Сук1 (ди1 /д к ) + Пук111к,

Р =РГ; , V =Щ ^ .

Здесь и — вектор полных смещений; р — плотность среды; Сук1, Пуи — тензоры упругих модулей и коэффициентов вязкости, которые в случае однородного изотропного тела имеют вид:

СуЫ = Х8у 8 и + ^(8*8 /I + 8/I 8 /к X

Пук1 = У8у 8к1 + у(8/к8у1 + 8/18ук ),

X, |х — коэффициенты Ламе; у, V — объемная и сдвиговая вязкость пластически деформируемого тела; 8 у — символы Кронекера. Приведенные соотношения (4) являются частным случаем определений эффективных напряжений и импульса с учетом самодействия дефектов и диссипации энергии, обусловленной движением дислокаций [8]. Напряжение и импульс удовлетворяютурав-

нению динамического равновесия Эр/дt = дои/дХи, которое является условием совместности (1). На границе раздела, характеризуемой нормалью п и касательным вектором t, выполняются следующие условия для параметров континуума дислокаций, определяющих внутреннюю структуру материала:

[Вп/1/к ] = о, У/1/к ] = о, [щаи ] = о, ] = 0.

Для полей смещений и напряжений, представляющих внешние переменные, в случае идеального контакта справедливы соотношения

№ ] = ° № г ] = ° [Щ°и] = °.

3. Волновые процессы в однородных упруго-вязкопластических средах

Рассмотрим решения (1), (2) при определяющих соотношениях (4) в виде плоских гармонических волн, распространяющихся в направлении координаты г:

{ау (Г, t), I у (г, t), и(г, t)} = = [ау(2), I у(г), и г(г)] exp(-/'юt).

Система уравнений полевой теории дислокаций (1), (2) будет эквивалентна равенствам

в д21п(г) = /юр ип(г), та т (г) = °,

гюа„

(г) = -етгудг1 уп (2)’ т = Х, у Ф.

дгагп (г) = ° гюВ1п (г) -0гп (г) = °

/юВ1тп (г) - °тп (г) = ^ту дгауп (г).

Как следует из решений [14], в упруго-вязкопластических средах распространяются волны смещений

ип

связанные с динамикой компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны или плоскости перпендикулярной направлению распространения волны (рис. 1):

1гп(г) =( грю! В)1 ип(z)dz,

1п (г) = (Рю/Вкп а ехР( /Кг), где ю — частота; кп — соответствующее волновое чис-

Рис. 1. Пояснение к структуре волновых решений для поля дефектов

ло; ап — константа, п = г,х, у. Выражения для волновых чисел в случае упруго-вязкопластических сред (4), характеризуемых одним коэффициентом вязкости Пуи = = п8,у 8Ы, имеют следующий вид:

kZ = (га/ Cion)2(1 + i tg d),

k2x = k2 = (ш/C,r)2(1 + i tg d).

Здесь Clon =y¡(A + 2ц)/p, Ctr = -y/^P — продольная и поперечная скорости упругих волн; tg d = п/ (Вю) — тангенс угла потерь, который при ю0 =п/B определяется таким образом: tgd = ю0/ю. Если ввести показатели преломления n и поглощения х, связанные с тангенсом угла потерь:

n=тЩТ+1+1ф, x=V^tg2d+1 -1^2,

волновые числа (10) можно записать в виде:

kz = ю

Согласно (12), показатель преломления определяет фазовую скорость волны, показатель поглощения характеризует скорость убывания амплитуды волны в направлении ее распространения.

Компоненты тензора плотности потока дислокаций на плоскости параллельной направлению распространения волны (рис. 1) определяются суммой двух волн, за исключением Imj (z)- компонент:

юуАт

Imz (z) = qz exp(ikz) +

!mm (z) = ^х exP(ikz) +

s (k2 - m

mXkz

am exP(ikmZ),

az e^CikzzX

S(k2 - k2) z

Imj (z) = qy exp(i'kz), где

k = rn

m = x, y Ф z, j = x,y Фт, qn — константы при n = z,x,y.

Первые слагаемые в (13) описывают возбуждения дислокационного ансамбля, вторые — возмущения, обусловленные вектором смещений. Компоненты Imz, Imm могут быть записаны в виде:

Imz

Imm

если ввести средние волновые вектора и их разности

{ kz > = (km + k V2, 8kz = k - km>

{km > = (kz + k)/2, 8km = k - kz.

Амплитуды, зависящие от координат, определяются таким образом:

qmz

4S {kz >8k.

qmm (z) = qx exP(i8kmz/2) +

, M2{km >-8km )

am exp(-i8kzz/2),

По известным компонентам тензора плотности потока дислокаций кинематические тождества (2) позволяют найти компоненты тензора плотности

а п = 0 а хп =д /уп/ІЮ. а уп =-д ¿ш/™.

4. Распространение волн через границу раздела

Рассмотрим закономерности прохождения волн через границу раздела двух упругопластических сред, каждая из которых в рамках предложенной модели характеризуется набором пяти констант р, А, ц, 51, В, п. В общем случае на границе раздела существуют три типа волн: падающая, отраженная и преломленная волна. В случае нормального падения первичной волны на границу раздела (рис. 2) указанные волны для компонент вектора смещений запишутся таким образом:

U0 = a0 exp(-imí - ik\z), і і

ип = ап ехр(-Ш + гкпг),

и'п = ахп ехр(-Ш - гк2г).

Здесь и далее верхние символы г, ^ 0 обозначают принадлежность к отраженной, преломленной и падающей волне, верхние индексы 1, 2 показывают, к какой среде (сверху или снизу от границы раздела) относится данная величина, п = г,х, у. Для компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскостях параллельных направлению распространения волны (13)—( 15) имеют место аналогичные выражения:

И = (г)ехр(-Ш - Кк\ > г),

1Хг = Ях? (г) ехР(-гЧ + г{к\ > гХ

1Хг = Чхг(z)exP(-г'юt- /<и2 > гХ 1<0Х = Чхх (г) ехР(-/Ч - г<кх>^

4 = Чхх

4* = Чхх (г)ехР(-/Ч - г<к2 > гХ ^ = 9° ехР(-/Ч- г),

1'ху = 9 у ехр(-Ш + /к1 г),

4 = 9 У ехР(-/Ч -/к2 г).

Z

1 М° ип Un р1, (і1, А.1, т)1, В1, S1

X

U’n р2, (і2, X2, г|2, В2, S2

2

4S {km >8km

az exP(—i8kmz/2).

Рис. 2. Отражение и преломление плоской волны на границе раздела двух сред при нормальном падении первичной волны

Компоненты тензора напряжений (4) с учетом (9) запишутся таким образом:

° гп = Цгд 2ип + «КСЬ,

В

где Lz = 2ц +А, Lx = Ly = Ц. Подставляя (19) и (21) в граничные условия (6), получим систему равенств

и0 + ип = ип, + ^ = ъ\п, эквивалентную

0 . г П / 0 г \_ 1 /7 1 П _ 2 / ?2 ап + ап = ап, (ап - ап )Р I кп = апР ¡кп ,

на основе которой могут быть найдены величины, называемые коэффициентами отражения и преломления:

П ^=р1к„2 -р2 кп

0 1,2 2 7

ап Р кп +Рк

п

У = 0п =

2гЛ ’ 1п „0 ^17 2 , „2,

ап Р ки + Р к

2р к”_____

1,2, 7,1.

По определению коэффициенты отражения представляют отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей волны, коэффициенты преломления равны отношению амплитуды преломленной или прошедшей волны к амплитуде падающей. Соотношения (22) и (9) позволяют записать коэффициенты отражения и преломления или коэффициенты Френеля для компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны:

Что касается компонент параметров поля дислокаций, заданных на плоскостях параллельных направлению распространения волны (13), то граничные условия (5), принимающие для этих величин вид:

11п + 4п = II,п, 5'(< +«9п ) = ^ V

где а9п = е9тд21тп/т согласно (18), позволяют без труда найти коэффициенты Френеля компоненты I :

П =

Пху 0

= 9у = 51*1 - 52 к2

9У Л1 + 52 к2

у = ^ = 251к1

Уху 0 0Ь 1 , 02 7 2 .

Для компонент 1х2 и 1хх, представляющих сумму двух гармоник (15), аналитические выражения коэффициентов Френеля могут быть найдены лишь приближенно в рамках метода медленно меняющихся амплитуд [16, 17]. Это обусловлено тем, что второе условие (24) кроме амплитуд этих величин будет содержать их производные дг1а(г) = {дг9х/(г)-г'<к>9х/(г)}ехр(-/'<к/>i = z,

х, поэтому система граничных равенств не может быть разрешена относительно отношения амплитуд существующих на границе волн. Условие медленного изменения амплитуды, предполагающее д 2цх/ (г) = 0, позволяет получить аналитические выражения коэффициентов отражения и преломления для компонент 1х2, 1хх относительно средних волновых векторов в виде, подобном (25):

Ухг =

Пхх =

у =

¿г (0) = 51 < к\ >- 52 < к2 > (0) 51 {к\ > + 52 < к2 >’

91 (0) = 251 <к1 >

£ (0) 51 < к\ > + 52 < к2 >’

9хх (0) = 51 <кх >- 52 к >

<?>) 51 <кх > + 52<к2>’

25*< к\ >

¿с

(0) 51 < к\ > + 52 < кх2 >'

Для коэффициентов Френеля компонент I справедливы следующие равенства: Яуп = Яхп, Ууп = Ухп, где

п= z,x, у.

5. Анализ и обсуждение результатов

Поскольку волновые вектора (10), (14), (16) — комплексные величины, то определяемые ими коэффициенты отражения и преломления (22), (23), (25)-(27) также комплексны. Были найдены действительные и мнимые части рассматриваемых величин, определены их модули и аргументы. Коэффициенты Френеля компонент вектора смещений (22), зависящие от отношений упругих

2 2/11

импедансов граничащих сред рп =р Сп / р Сп и тангенсов углов потерь х = ng С1, у = пg d2, могут быть записаны в виде:

л/1 + гу -рпУ 1 + /х

Пп =

гх

Уп =

л/1 + гу + Рп^ 1 + гх 2^1 + /^ л/1+гу+рпу] 1+/х Несложно получить

М^п ) = [(1 - Р2)2 + (у - р1х)2 ]-1 Х

Х [1 - Р4п + у2 - Р4п х2 - 2Рп (1 - рЬ Ап -

- 2Рп (у - Р2х)Вп ]

Re(уn) =[(1 - Р2)2 +(у - р1 х)2 Г1 Х Х2[1 -Р2 + у2 -Р2ух-Рп(1 -р1)А -

- Рп (у - Р2х)Вп ],

М Пп) = 1т(Уп) =

_ 2 Рп[ Рп ( х - у) - (1 - Р2) Вп + (у - Р2 х) Ап ]

[(1 - р2)2+(у - р2х)2]

где

Ап = >/(7(1 - ху)2 + (х + у)2 +1 - ху^2,

Вп = >/ ^(1 - ху)2 + (х + у)2 -1 + ху)/2, п = :г,х у.

Из (28) следует, что при рп ^ 0 Яе(Пп) = 1, Яе(Уп) =

= 2, 1т(Пп ) = 1т(Уп ) = 0 • При Рп Яе(Пп ) = -1,

Яе(Уп) ^ 0, 1т(Яп) = 1т(Уп) ^ 0 . В случае нулевых или равных тангенсов углов потерь 1т( Яп) = 1т(Уп) = 0,

Рис. 3. Модули и косинусы аргументов коэффициентов отражения (а, б) и преломления (в, г) волн смещений при ng С1 = 0, пg С2 = 0 (1); 2, 0 (2);

0, 2

Re(R ) = (1 - pn )/(1+ pn ), Re(7H ) = 2/(1 + pn ). Ha рис. 3 приведены зависимости модулей и косинусов аргументов Rn, Yn от отношений упругих импедансов граничащих сред при различных значениях тангенсов углов потерь. Полученные результаты показывают, что минимальные значения модуля коэффициента отражения

1 2

наблюдаются при pn < 1, когда tg d > tg d , и при pn > > 1, когда tgd1 < tgd2 (рис. 3, а). Минимуму модуля Rn соответствуют нулевые значения cosFn = Re(Rn)/| Rn | (рис. 3, б). Параметры сред, при которых |Rn| имеет ми-

Рис. 4. Модули

нимальное значение, удовлетворяют системе соотношений

Ке(Пп) = 0 д 1 Пп УдРп = д 1т(Пп )/дРп = 0

д2| Яп |/д2рп > 0.

Для волны смещений, характеризуемой условием пg С1 = = пg С2 = 0, аргумент коэффициента отражения Рп изменяется на 180° при | Пп | = 0. Коэффициенты Пп, Уп, соответствующие границе раздела упругих сред при ng С1 = пg С2 = 0, также определяют контакт сред с равными тангенсами углов потерь. При рп значения | Пп |

отражения волн смещений, pn = 1.5

больше модуля коэффициента отражения на границе раздела упругих тел в случае ng С1 > пg С2 и меньше при ng С1 < пg С2. Противоположная ситуация имеет место при рп < 1, когда | Яп | меньше модуля упругого тела при ng С1 > пg С2 и больше при ng С1 < пg С2. Монотонные зависимости | Уп | меньше коэффициента преломления на границе раздела упругих сред при ng С1 > пg С2 и больше при ngС1 < пgС2 (рис. 3, в).

Результаты, представленные на рис. 4, 5, позволяют детально проанализировать зависимости коэффициентов отражения и преломления от тангенсов углов потерь граничащих сред. Качественно подобные при рп < 1 и рп > 1 зависимости | Уп | от тангенсов углов потерь имеют максимальные значения, уменьшающиеся с ростом рп, при наибольшем значении ng С2 и пg С1 = 0, рис. 5. Минимальные значения | Уп | наблюдаются при наибольшем значении ng С1 и пg С2 = 0. Характер зависимостей | Яп | от пg С1, пg С2 противоположен при

рп < 1 и рп > 1 (рис. 4). Максимальные значения модуля Яп имеют место при наибольшем значении ngd1 и пgd2 = 0, когда рп > 1, и при наибольшем ng С2 и пg С1 = = 0, когда рп < 1. Функциональная зависимость коэффициентов отражения от тангенсов углов потерь симметрична при рп ~ 1.

Коэффициенты Френеля компонент тензора плотности потока дислокаций на фронте волны (23) вычислялись по формулам

л/(1 + гх)(1 + гу),

Rzn Rn, Yzn pnb ~

VT

I 2

+ y

из которых следует

где

V(1 + xy )2 +(x - y )2

1+y2

Рис. 6. Модули (а) и косинусы аргументов (б) коэффициентов преломления компонент тензора плотности потока дислокаций на плоскости фронта волны, ng С1 = 0, пg С2 = 0 (1); 2, 0 (2); 0, 2 (5); 2, 0.5 (4); 0.5, 2 (5); во всех случаях Ь = 1

cos х = -

b = B1/B2, значения pn, x, y были определены в (28). На рис. 6 приведены зависимости |^n | и cos Wn от отношения упругих импедансов граничащих сред при различных значениях tg d1, tg d2. В отличие от | Yn | модуль Yzn больше модуля коэффициента преломления на границе раздела сред с нулевыми тангенсами углов потерь при tg d1 > tg d2 (кривые 2, 4) и меньше при tgd1 < tgd2 (кривые 3, 5). Из полученных результатов также следует, что при pn ^ 0 Re(Yzn) = Im(Yzn) = 0, при pn^ го Re(Yn) ^ 2b, Im(Yzn) ^ 0, поэтому cos Wzn ^ 1. Наибольшее отличие cos Wzn от единицы наблюдается при pn = 0 и ненулевых значениях tg d1, tg d 2.

Коэффициенты Френеля компоненты тензора плотности потока дислокаций I зависят от значений величины pp = \J B2 S 2 / B1S1 = B 2C 2/b1C1 и тангенсов углов потерь:

V1 + ix - ppyj1 + iy

V(1 + xyf + (x - y)2 + 1 + xy

Rxy vr

+ ix + pv4T + iy

2^l + ix

+ ІХ + Рр^Д + іу

Величину рр, определяемую отношением скоростей дислокационного континуума и констант, характеризующих инерционные свойства ансамбля дислокаций, можно рассматривать в качестве отношения пластических импедансов граничащих сред. Зависимости

модулей Яху, Уху и косинусов их аргументов от отношения пластических импедансов и тангенсов углов потерь аналогичны результатам, приведенным на рис. 3-5 при взаимной замене tg 81 и tg 82, что непосредственно следует из равенств (28) и (30). Выражения (26), (27), учитывая определение среднего волнового вектора для компонент 1хг, 1хх (16), могут быть преобразованы к виду:

r = Vl + ix - p^l + iy Xt л/l + ix + p^/1 + iy

2%/l + ix л/l + ix + /')\l l + i

Yxi =

iy

где

p = pp(1 + c2V(1 + i = z,x,

cz = C/Ctr, cx = C/Cot.

На рис. 7 представлены зависимости модулей и косинусов аргументов коэффициентов отражения и преломления компонент тензора плотности потока дислокаций Imn (т = x,y, n = z, х, у) от отношения пластических импедансов при tg d1 = tg d2 = 0. Кривая 1, получаемая

2 1 л 2 1

как при ci = ci = 0, так и при ci = ci, в первом случае определяет коэффициенты Френеля компоненты I

(25), во втором соответствует компонентам Ixz, Ixx. Зависимости (2)-(4) представляют коэффициенты отражения и преломления компонент Ixz, Ixx при различных значениях c2, c1, связывающих скорости упругих волн и дислокационного континуума в каждой из сред. Особенностью зависимостей модулей Rmn (рис. 7, а) является равенство |Rmn | = 0, которое имеет место при

Рис. 7. Модули (а, в) и косинусы аргументов (б, г) коэффициентов отражения и преломления 1тп компонент при с2 = 0, с1 = 0 (1); 0.1, 0.7 (2); 0.7, 0.1 (5); 0.4, 0.7 (4); tg С1 = 0, tg С2 = 0 для всех кривых

1 ^1 1,2

p = 1, что выполняется при pp < 1 в случае ct < ct и

12 p

при pp > 1, когда ct > ct. При | Rmn | = 0 аргументы коэффициентов отражения изменяются на 180° (рис. 7, б). Для коэффициентов преломления могут быть отмечены следующие закономерности. При c1 < c2 модуль Yxy меньше модулей Yxz, Yxx, между которыми выполняется неравенство \Yxx | > |Yxz |. Если c1 > c2, то модуль Yxy больше модулей Yxz, Yxx (рис. 7, в). При любых значениях ci от нуля до единицы cos Wmn = 1 (рис. 7, г).

Анализ зависимостей коэффициентов Френеля компонент Imn от тангенсов углов потерь показал, что соотношения c1 < c2 или c1 > c2 не влияют на характер функциональных связей Rmn, Ymn от tg S1, tg S2, которые зеркально противоположны аналогичным зависимостям коэффициентов отражения и преломления волн смещений на рис. 3-5.

Проведенные исследования позволили определить особенности распространения волн в неограниченных однородных упруго-вязкопластических средах и при наличии границ раздела. Полученные результаты представляют основу для обсуждения неупругого поведения деформируемых сред, обусловленного динамикой дислокаций, при различных условиях нагружения. Аналитические соотношения, полученные при анализе границ раздела, позволяют по экспериментально определенным значениям коэффициентов Френеля (28) при различной частоте возбуждаемой волны вычислить параметры контактирующих сред pn, “0, “°:

Re(Yn(pn, “0/“, “о/1)) = /h

Re(Yn (pn. “0/“2 . “°/“2 )) = /,

Re(Yn(pn, “0/“з, “°/“3)) = /3, где “j, “2, “3 — частоты возбуждаемых волн; /1, /2, /3 — найденные значения коэффициентов преломления. Аналогичная система может быть записана при определении коэффициентов отражения. Представленные результаты необходимы при рассмотрении прохождения волн через слой упруго-вязкопластических сред с дефектами, при исследовании потоков энергии, переносимой волной при прохождении границы, и могут

быть использованы в качестве эталона частного случая при произвольном угле падения волны на границу раздела.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00264а).

Литература

1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1990. - 432 с.

2. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.

3. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. -М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 646-751.

4. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика. - 1964. - Т. 86. - № 4. - С. 129-160.

5. Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косееич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. - М.: Наука, 1991. - 279 с.

6. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.

7. Гриняее Ю.В., Егорушкин В.Е., Чертова Н.В. Калибровочные теории в механике сплошных сред // Структурные уровни пластической деформации и разрушения. - Новосибирск: Наука, 1990. -С. 20-53.

8. Гриняее Ю.В., Чертова Н.В. Полевая теория дефектов. Часть I // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 5. - С. 19-32.

9. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.

10. Алехин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. - М.: Наука, 1983. - 280 с.

11. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Закономерности распространения плоских волн поля дефектов в вязкопластической среде при наличии границ раздела двух сред // ПМТФ. - 2004. - Т. 45. - № 1. -С. 115-125.

12. Chertova N.V., Chertov M.A. Propagation features of plane waves of defect field across the interface boundary between viscoplastic media with arbitrary damping // Int. J. Engng. Sci. - 2006. - V. 44. - P. 16011610.

13. Чертова Н.В., Чертов М.А. Распространение плоских волн поля дефектов в вязкоупругой среде // Письма в ЖТФ. - 2005. - Т. 31. -№ 7. - С. 25-32.

14. Чертова Н.В. Волновые процессы в твердых телах с дефектами // ПМТФ. - 2008. - Т. 49. - № 6. - С. 190-197.

15. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 256 с.

16. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981. - 68 с.

17. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 503 с.

Поступила в редакцию 11.04.2011 г.

Сведения об авторе

Чертова Надежда Васильевна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, chertova@ms.tsc.ru