Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности

The paper features an experiment on adhesion strength between samples of Steel 20 with different coatings, and a conclusion has been made on superiority of coatings obtained with hydrogen-propane mixture.

Key words: rotor-bearing node, coating, base, adhesion strength, adhesion, thermo-mechanical treatment, gas-thermal spraying, shear method, hydrogen-propane mixture.

Rodichev Alexei Yurievich, candidate of technical science, docent, researcher of PRL "Modeling of hydromechanical systems", rodfoxayandex.ru, Russia, Orel, Orel State University named after I.S. Turgenev,

Sytin Anton Valerievich, candidate of technical science, docent, sytinamail.ru, Russia, Orel, Orel State University named after I.S. Turgenev,

Tyurin Valentin Olegovich, postgraduate, v7a7l@mail.ru, Russia, Orel, Orel State University named after I.S. Turgenev

УДК 539.3; 534.26

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА УПРУГОМ ЦИЛИНДРЕ С НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ, НАХОДЯЩИМСЯ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Л.А. Толоконников

Получено аналитическое решение задачи о дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности. На основе решения прямой задачи дифракции рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородное упругое покрытие, законы неоднородности.

Создание покрытий, обеспечивающих требуемые звукоотражающие свойства тел, является актуальной проблемой. Обычно покрытия применяются для повышения звукопоглощения и уменьшения отражения звука в определенном направлении. Существуют различные виды покрытий, наносимых на твердые тела. Например, звукопоглощающие покрытия из твердых пористых материалов с сообщающимися открытыми порами и из мягких демпфирующих материалов. В таких покрытиях происходит сильная диссипация энергии звуковых колебаний. К другому типу покрытий относятся резонаторные устройства, которые могут быть выполнены по-разному (например, в виде большого числа ячеек, примыкающих одна к другой и имеющих отверстия с наружной стороны). Такие покрытия

276

под действием звуковых колебаний определенной частоты резонируют. В результате интерференции падающего поля и поля резонатора происходит гашение звуковых колебаний на поверхности тела с покрытием, и звук данной частоты практически не отражается. Изменение звукоотражающих свойств упругих тел можно осуществить с помощью непрерывно-неоднородных покрытий. С помощью непрерывно-неоднородного упругого покрытия можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. При этом непрерывно-неоднородные покрытия можно реализовать с помощью многослойной системы тонких однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров. С математической точки зрения такое представление эквивалентно аппроксимации непрерывных функций, характеризующих переменные параметры непрерывно-неоднородного слоя, кусочно-постоянными функциями.

Значительный практический интерес представляют рассеиватели, имеющие форму кругового цилиндра. Задачи дифракции звуковых волн на упругих телах цилиндрической формы, находящихся в безграничной жидкости, рассматривались во многих работах. Дифракция звуковых волн на однородных изотропных упругих сплошных цилиндрах и цилиндрических оболочках исследовалась, например, в работах [1-4]. В [1-2] рассматривался случай нормального падения волны, а в [3-4] - случай наклонного падения. В работах [5, 6] решена задача о рассеянии плоских звуковых волн на неоднородном изотропном упругом цилиндре. Исследованию рассеяния звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем посвящена работа [7]. В [8] найдено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии. Решения задач о рассеянии плоской и цилиндрической звуковых волн неоднородными упругими полыми цилиндрами в вязкой жидкости получены в [9, 10]. В работах [11, 12] изучена дифракция плоских звуковых волн на неоднородных изотропном и анизотропном термоупругих полых цилиндрах с учетом вязкости и теплопроводности содержащей жидкости. Исследованию дифракции цилиндрических волн на неоднородных изотропной, трансверсально-изотропной и термоупругой цилиндрических оболочках произвольной толщины посвящены работы [13-15]. В [16] теория резонансного рассеяния использована для анализа рассеяния звука неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочкой. Результаты исследований дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных и термоупругих телах, в том числе, цилиндрической формы изложены в монографиях [17, 18]. В [19] определены линейные законы неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука.

В ряде работ исследована дифракция звуковых волн на цилиндрических телах, находящихся вблизи границ раздела сред. Например, рассеяние плоской волны абсолютно жестким цилиндром в присутствии упругой плоской поверхности изучено в [20], а дифракция звука на однородном изотропном упругом цилиндре, находящемся вблизи упругого или импе-дансного полупространства рассмотрена в [21]. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном изотропном упругом цилиндре в плоском слое жидкости с абсолютно мягкими границами изучена в [22]. Задачи дифракции звука на неоднородных и анизотропных полых цилиндрах в плоских волноводах с акустически мягкими и жесткими стенками решены в работах [23-27].

Серия работ посвящена изучению влияния покрытий цилиндрических твердых тел на их звукоотражающие свойства. В [28] рассмотрены прямая и обратная задачи дифракции плоской звуковой волны на цилиндре с перфорированным покрытием. Выбраны параметры среды резонаторов перфорированного покрытия, обеспечивающие заданный уровень гашения поля дифракции на цилиндре. В [29, 30] обсуждается задача о нерассеива-ющем покрытии для цилиндра, делающее его акустически прозрачным. Для снижения рассеяния падающей на цилиндр звуковой волны применено тонкое покрытие с протяженной реакцией. Дифракции плоской звуковой волны на упругой цилиндрической оболочке с однородным упругим покрытием исследована в [31]. Выявлены условия, при которых совместный выбор импедансов покрытия и оболочки позволяет минимизировать рассеянное поле. Задачи о рассеянии плоских и цилиндрических звуковых волн жестким цилиндром с непрерывно-неоднородным упругим покрытием решены в [32, 33]. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием рассмотрено в [34], а с дискретно-слоистым покрытием - в [35]. Влияние термоупругости материалов цилиндра и его радиально-неоднородного покрытия на рассеяние звука изучено в работах [36, 37]. При этом в [36] рассмотрены как прямая задача дифракции, так и обратная задача об определении законов неоднородности материала покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в определенном угловом секторе и в заданном диапазоне частот. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами осуществлено в [38,39]. В [40] получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом цилиндре, имеющем цилиндрическую полость и радиально-неоднородное покрытие. На основе решения прямой задачи рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих минимальное звукоотраже-ние. Задачи дифракции звуковых волн на сплошном упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием в плоских волноводах с акустически мягкими и абсолютно жесткими границами решены в [41, 42].

В настоящей работе решается задача дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, находящемся вблизи плоской идеальной поверхности (абсолютно жесткой и акустически мягкой).

Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный упругий цилиндр радиуса г0. Цилиндр имеет радиально-неоднородное покрытие, внешний радиус которого r\. Полагаем, что модули упругости l, m и плотность р неоднородного покрытия описываются дифференцируемыми функциями радиальной координаты. Цилиндрическое тело находится в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью с плотностью Pi и скоростью звука c, вблизи плоской поверхности Г, которая является абсолютно жесткой или акустически мягкой. Ось цилиндра параллельна плоскости Г и отстоит от нее на расстоянии d.

Пусть из внешнего пространства на цилиндр падает плоская звуковая волна с временной зависимостью e~mt. Полагаем, что волна падает наклонно к плоскости Г и по нормали к поверхности цилиндра.

При рассеянии звука цилиндром, находящемся вблизи звукоотража-ющей границы, возникают многократные переотражения между телом и плоскостью. Близко расположенная подстилающая поверхность оказывает существенное влияние на рассеяние звука цилиндром

Определим акустическое поле, рассеянное цилиндром с покрытием в присутствии плоскости.

Сведение задачи к задаче дифракции на двух телах. Выберем основную прямоугольную декартову систему координат x, y, z с началом O так, чтобы ось x находилась на плоскости Г, ось y была перпендикулярна этой плоскости. Кроме того, введем локальную прямоугольную систему координат x+i, y+i, z+1 с началом O+i, расположенным на оси вращения цилиндра z+1. Оси основной координатной системы одинаково ориентированы с соответствующими осями локальной системы координат. Оси y и y+1 совпадают (рис. 1).

Потенциал скорости плоской звуковой волны, распространяющейся в направлении волнового вектора ki, в основной системе координат имеет вид

Y01 = A exp[/(k1  r) - rat], где A - амплитуда волны; ki = [k cos jo, k sin jo, 0} ; r = {x, y,0}; k = w / c -волновое число в окружающей жидкости; w - круговая частота; jo - угол, образованный вектором k1 с положительным направлением оси x ; t -

время. В дальнейшем временной множитель e-iwt будем опускать. Потенциал скорости полного акустического поля

Yi= Yoi + Y,

279

где Y - потенциал скорости рассеянной цилиндром и плоскостью волны. При этом скорость частиц v и акустическое давление p в содержащей жидкости определяются формулами:

v = grad Yi, p = /рю Yi.

Поставленную задачу будем решать методом замены плоской границы на зеркально отраженный от нее рассеивающий объект. При такой замене приходим к задаче дифракции звука на двух идентичных телах.

Если плоскость Г является акустически жесткой, то граничные условия на ней заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости

Если плоскость Г является акустически мягкой, то граничные условия на ней состоят в равенстве нулю акустического давления

Y1 I y=°.

Исключим плоскость Г, вводя в рассмотрение второй цилиндр, являющийся зеркальным отражением исходного рассеивателя, и вторую падающую плоскую волну, распространяющуюся в направлении волнового вектора k 2. Причем вектор k 2 является зеркальным отражением вектора ki относительно плоскости Г, k 2 = [k cos j°, - к sin j°, 0}.

Рис. 1. Геометрия задачи

Чтобы граничные условия на плоскости Г (при у = 0) удовлетворялись автоматически, потенциал скорости второй падающей плоской волны должен быть равен

^02= Аехр[/(к2 • г)], если плоскость Г жесткая, и

^02= - А ехр[/(к 2 • г)],

если плоскость Г мягкая.

Таким образом, исходную задачу свели к задаче дифракции двух плоских волн на двух идентичных цилиндрах, находящихся в безграничном пространстве, заполненном однородной идеальной жидкостью.

Следует найти решение задачи дифракции каждой из двух плоских волн на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями, а затем в силу линейной постановки задачи полученные результаты просуммировать.

Потенциал скорости полного акустического поля будет равен

= ^01 + ^02 + + ^ 2 , где ^,1 и 2 - потенциалы скорости рассеянных двумя цилиндрами первой и второй плоских волн соответственно.

Потенциал скорости волны, рассеянной цилиндром в присутствии подстилающей плоской поверхности определяется выражением

^ = ^02 + ^ 2.

Дифракция плоской волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями. Рассмотрим два одинаковых бесконечных однородных упругих цилиндра, оси которых параллельны. Радиусы цилиндров равны /0. Цилиндры имеют радиально-неоднородные покрытия с внешним радиусом / и находятся в идеальной жидкости.

Наряду с основной системой координат х, у, I введем локальные прямоугольные декартовы системы координат х+1, у+1, г+1 и х-1, у-1, г-1, связанные с цилиндрами. Оси локальных координатных систем одинаково ориентированы с соответствующими осями основной системы координат.

При этом центры локальных систем координат 0+1 и 0-1 находятся на осях вращения цилиндров 1+1 и г-1, расположенных в верхней и нижней полуплоскостях (относительно оси х ) соответственно, а оси у+1 и у-1 совпадают с осью у (рис. 2).

Свяжем с системами координат х, у, г, х+1, у+1,1+1 и х-1, у-1, цилиндрические системы координат г, ф, г, г+1, ф+1^+1 и г-1, ф-1, соответственно.

В локальных цилиндрических координатах уравнения внешней и внутренней поверхностей покрытия I -- го цилиндра имеют вид / = / и

/ = /0 (I = ±1).

Задача определения акустического поля, рассеянное двумя одинаковыми упругими цилиндрами с радиально-неоднородными покрытиями при падении плоской волны, в рассматриваемой постановке является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты г.

281

Решение задачи дифракции плоской звуковой волны с потенциалом скорости Yqi получено в [43].

Учитывая, что r = r¡ + yq¡ ) (l = ±1), падающая волна записывается

в виде

Yoi = Aexp[i(ki • rQ¡)]exp[/(ki • r¡)], где rQ¡ = (0, dl) - радиус-вектор, соединяющий точку Q с точкой Q¡; ki • rQ¡ = kdl sin jo.

Потенциал скорости Yoi в локальных цилиндрических координатах представляется в виде разложения

Y0i

П =

где Jn (x) - цилиндрическая функция Бесселя порядка n .

Рис. 2. К задаче дифракции плоской волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями

Потенциал скорости волны, рассеянной двумя цилиндрическими телами, определяется выражением

Тя = I I 4)И„

/ = ±1 " = -¥

где Нп (х) - цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п;

а"1 ) - коэффициенты, определяемые в [43].

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента [44]

рп

Hn

1

2

p x

exp

x p

2 4,

и учитывая, что на больших расстояниях от цилиндров (kr¡ > 1) справедливы соотношения

r¡ » r - ¡d sin j, j¡ »j (r >> d; ¡ = ±1), получим следующее выражение для потенциала рассеянной волны

- П

Y

s1

exp

kr -p

V

4

У

*i(j),

где

*1(j) =

2

_ £ e-i¡d sin j ^

Vpkri ¡=±i n

n = —¥

Используя полученное решение дифракционной задачи для случая, когда падающая плоская волна имеет потенциал скорости , легко записать решение задачи дифракции плоской волны с потенциалом скорости ^02. Для этого в выражениях (2)-(4) достаточно заменить компоненты волнового вектора к1 на компоненты вектора к2, если подстилающая плоскость является акустически жесткой, и дополнительно заменить амплитуду А на - А, если плоскость акустически мягкая. Суммируя результаты решения двух дифракционных задач, получаем решение задачи дифракции плоской звуковой волны ¥01 на упругом цилиндре с покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности.

На основании (1) получаем выражение для общей функции Р(ф),

описывающей рассеянное акустическое поле в дальней зоне полупространства. При этом следует учитывать, что

^02(Г/, ф,) = ±Ае~1Ш §1п фо I 1пЗп {кП Уп(ф/ -фо) (/ =±1),

" = -¥

а асимптотическая формула для цилиндрической функции Бесселя при больших значениях аргумента имеет вид [44]

рп

Vх - ~2 - 4 283

Jn

i

2

cos

px

(x >>1).

Обратная задача. С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля | ¥(ф) | исследуются диаграммы направленности и частотные характеристики рассеянного поля, позволяющие изучить звуко-отражающие свойства тела в различных направлениях и резонансные явления. Для получения требуемых звукоотражающих характеристик цилиндрического тела, расположенного вблизи плоской поверхности, необходимо найти соответствующие законы неоднородности покрытия цилиндра, то есть определить зависимости р(ц), 1(ц) и т(г/).

Предположим, что функции р(ц), 1(ц) и т(ц) имеют вид многочленов относительно переменной ц (или аппроксимированы такими многочленами):

р

q=0 *=0 *=0

где Я - степень многочленов.

Для функций р(ц), 1(ц) и т(ц), определенных на отрезке [по, ц], введем ограничения

а о <р(ц) <аь Ьо £ 1(1) £р1, 7 о <Ж>/) £71, п е И), 11, где а^, Ьj, 7j (] = о,1) - некоторые положительные константы.

Найдем такие значения коэффициентов р Й) т(*) в выраже-

ниях (5), при которых цилиндр с неоднородным покрытием имеет минимальное звукоотражение. Рассеивающую способность тела будем характеризовать с помощью функционалов, построенных специальным образом.

Построим функционал Ф1, определенный на классе функций р(ц), 1(ц) и т(п/) и характеризующий рассеивающую способность тела в направлении полярного угла ф = ф*:

¥(ф*) 2

Ф1[р, 1, т] =

А

о

В случае, когда частота звуковой волны не является фиксированной, а изменяется в некотором диапазоне [ю^, Ю2], построим функционал Ф2 , выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном диапазоне частот при фиксированном угле наблюдения ф = ф* :

1 ю2 2

Ф2[р, 1,т] =- | | ¥(ю,ф*)|2 йю.

ю2 -ю1 ю1

Для случая, когда требуется иметь минимальное звукоотражение в заданном угловом секторе наблюдения [ф1, Ф2] при фиксированной частоте ю = ю*, построим функционал Ф 3:

1 ф2 2 Ф3[р, 1,m] =- f | F(w*, ф)|2 dj.

j2 -Ф1 ф1

Найдем оптимальные законы неоднородности материала покрытия, для которых функционалы Фj (j = 1,2,3) достигают минимального значения.

Если в (5) R = 1, то для нахождения оптимальных линейных законов неоднородности материала покрытия можно воспользоваться алгоритмом, предложенным в [38], который использует метод направленного перебора.

Если R = 2, то для нахождения параболических законов неоднородности покрытия можно воспользоваться алгоритмом, разработанным в [45]. Нахождение оптимального решения осуществляется с помощью процедуры поиска минимума функции многих переменных. Вычислительная процедура построена на основе комбинации методов случайного поиска и покоординатного спуска.

Осуществив минимизацию соответствующего функционала, получаем аналитическое описание механических параметров неоднородного покрытия упругого цилиндра с требуемыми звукоотражающими свойствами.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-41-710083) и Правительства Тульской области.

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. Vol. 23. No 4. P. 405-418.

2. Doolittle R.D., Uberall H. Sound scattering by elastic cylindrical shells // J. Acoust. Soc. Amer. 1966. Vol. 39. No 2. P. 272-275.

3. Flax L., Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. Vol. 68. No 6. P. 1832-1835.

4. Векслер Н.Д., Корсунский В.М., Рыбак С.А. Рассеяния плоской наклонно падающей волны круговой цилиндрической оболочкой // Акустический журн. 1990. Т. 36. Вып. 1. С. 12-16.

5. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акустический журн. 1986. Т. 32. Вып. 6. С. 762-766.

6. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акустический журн. 1987. Т. 33. Вып. 6. С. 1060-1063.

7. Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

8. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С.11-14.

9. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2оо9. Вып. 1. С. 61-7о.

10. Толоконников Л. А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2оо8. Вып. 2. С.151-1бо.

11. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2оо9. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

12. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Рассеяние звука неоднородной анизотропной термоупругой цилиндрической оболочкой в вязкой теплопроводной среде // Известия Тульского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2ооб. Т. 12. Вып. 3. С. 212218.

13. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

14. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Метод сплайн-коллокации в задаче дифракции цилиндрических звуковых волн на неоднородном упругом цилиндре // Вестник Тульского государственного университета. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». 2оо8. Вып. 1. С.92-95.

15. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной термоупругой цилиндрической оболочке // Диффер. уравнения и прикл. задачи. Тула: Изд-во Тульского государственного университета, 2оо1. С. 78-85.

16. Толоконников Л. А. Резонансное рассеяние звука трансверсаль-но-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой // Известия Тульского государственного университета. Серия «Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология». 2ооб. Вып. 3. С. Ю6-114.

17. Толоконников Л.А., Скобельцын С.А. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных телах: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2оо4. 2оо с.

18. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

19. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.

20. Bertrand J.C., Young J.W. Multiple scattering between a cylinder and a plane // J. Acoust. Soc. Amer. 1976. Vol. 60. No 6. P. 1265-1269.

21. Шендеров Е.Л. Дифракция звука на упругом цилиндре, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Акустический журн. 2002. Т. 48. № 2. С. 266-276.

22. Белов В.Е., Горский С.М., Зиновьев А.Ю., Хилько А.И. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости // Акустический журн. 1994. Т.40. № 4. С. 548-560.

23. Толоконников Л. А., Садомов А. А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Известия Тульского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 208-216.

24. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С.161-176.

25. Толоконников Л. А., Романов А.Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 3-10.

26. Толоконников Л.А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154-163.

27. Толоконников Л. А. Дифракция звука на анизотропном цилиндре в волноводе с акустически жесткими границами // Вестник Тульского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2009. Т.15. Вып. 2. С. 95-106.

28. Иванов В.П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журн. 2006. Т. 52. № 6. С. 791 -798.

29. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.

30. Бобровницкий Ю.И., Морозов К.Д., Томилина Т.М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акустический журн. 2010. Т. 56. № 2. С. 147-151.

287

31. Косарев О.И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2о12. Т. 46. № 1. С. 34-37.

32. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2о11. Т. 75. Вып. 5. С. 85о-857.

33. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2о13. Вып. 3. С. 2о2-

2о8.

34. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2о13. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

35. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2о15. Т. 79. Вып. 2. С. 242-25о.

36. Ларин Н.В. Дифракция плоской звуковой волны на термоупругом цилиндре с непрерывно-неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2о17. Вып. 6. С. 154-173.

37. Ларин Н.В. О влиянии непрерывно-неоднородного покрытия на звукоотражающие свойства термоупругого цилиндра // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2о17. Вып. 9. Ч. 1. С. 395-4о3.

38. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2о14. Вып. 4. С. 54-62.

39. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотра-жающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2о17. № 4. С. 189-199.

40. Толоконников Л.А. Определение законов неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, обеспечивающих минимальное звукоотражение // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2о17. Вып. 4. С. 67-81.

41. Толоконников Л.А Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2о15. Вып. 1. С. 43-53.

288

42. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 76-83.

43. Толоконников Л. А. Дифракции плоской звуковой волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями // Чебышевский сборник, 2018. № 1.

44. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамови-ца, И. Стигана. М.: Наука, 1979. 832 с.

45. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоот-ражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480-488.

Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, tolokonnikovla@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

DIFFRACTION OF A PLANE SOUND WAVES BY AN ELASTIC CYLINDER WITH AN NON-UNIFORM COATING SITUATED NEAR TO A FLAT SURFACE

L.A. Tolokonnikov

The analytical solution of a problem on diffraction of a plane sound wave by an elastic cylinder with a radially-non-uniform elastic coating situated near to a flat surface is received. On the basis of solution of a direct diffraction problem a inverse problem on determination of the inhomogeneity laws for providing minimum sound reflexion covering is considered.

Key words: diffraction, sound waves, elastic cylinder, non-uniform elastic coating, inhomogeneity laws

Tolokonnikov Lev Alexeevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonnikovla@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University