СПОСОБ АВТОМАТИЧЕСКОЙ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРА
AUTOMATIC ADJUSTMENT METHOD OF REGULATOR

Изобретение относится к разделу управления и может найти применение при создании систем регулирования для нужд различных отраслей промышленности.
В современных условиях возрастание требований к качеству управления промышленными объектами делает актуальным применение систем автоматического управления с регуляторами состояния. Однако из-за недостаточной параметрической определенности большинства объектов управления разработка и практическая реализация подобных систем осложняется проблемой робастности (параметрической грубости).
Проблема робастности является одной из важнейших в современной теории и практике автоматического управления. Значительные ресурсы повышения параметрической грубости линейной системы содержатся в классических методах модального управления, реализуемого в системе автоматического управления с регулятором состояния, примером которого служит структура (источник книга Изерман Р., Цифровые системы управления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984 с. 142, рис. 8.1.2.), приведенная на фиг. 1. Наряду с объектом управления 1 в составе системы имеется регулятор состояния 2. Объект управления 1 представлен блоком основного управляющего воздействия 3, интегратором 4, блоком выходов 5, блоком обратных связей 6. Регулятор состояния 2 реализован в виде блока обратных связей основного регулятора 7. Для создания замкнутой системы автоматического управления использованы первый элемент сравнения 8 и второй элемент сравнения 9. При этом задающий сигнал поступает на первый вход первого элемента сравнения 8, выход первого элемента сравнения 8 через блок основного управляющего воздействия 3 подключен к первому входу второго элемента сравнения 9, выход второго элемента сравнения 9 через интегратор 4 соединен со входом блока выходов 5, входом блока обратных связей 6, входом блока обратных связей основного регулятора 7. В свою очередь выход блока обратных связей основного регулятора 7 соединен со вторым входом первого элемента сравнения 8. В свою очередь выход блока обратных связей 6 подключен ко второму входу второго элемента сравнения 9. Объект управления 1 и регулятор состояния 2 с точки зрения теории автоматического управления математически представлены в виде матриц, ставящих выходные параметров блоков в соответствие со входными воздействиями. Так блок основного управляющего воздействия 3 представлен матрицей основного управляющего воздействия В, блок выходов 5 с точки зрения математического описания представлен матрицей выходов объекта управления С, блок обратных связей 6 представлен матрицей обратных связей А, блок обратных связей основного регулятора 7 - матрицей обратных связей основного регулятора К. Настройка системы предполагает выбор параметров регулятора состояния 2, удовлетворяющих заданным технологическим требованиям с учетом параметров объекта управления, и техническую реализацию регулятора в виде аналоговых или цифровых блоков и узлов с выбранными параметрами.
Определяющую роль при настройке регулятора состояния 2 играет обеспечение свойства управляемости, которое зависит от взаимного расположение нулей и полюсов передаточной функции, а также от структуры объекта управления. Действительно, при снижении степени управляемости объекта управления 1 его переменные состояния становятся плохо различимыми, и для управления ими требуются значительные по величине воздействия противоположного знака, обеспечиваемые большими значениями параметров блока обратных связей основного регулятора состояния 7. При такой «острой» настройке регулятора состояния 2 на свойства объекта управления 1 настраиваемая система автоматического управления приобретает высокую чувствительность к параметрическим возмущениям.
Математической иллюстрацией этого может служить формула для модального расчета параметров матрицы обратных связей основного регулятора К регулятора состояния 2 вида
-1
-1
где  - матрица коэффициентов регулятора состояния 2,  - матрица управляемости объекта управления 1 в канонической форме управляемости (КФУ), U - матрица управляемости объекта управления 1 в его собственных координатах состояния, U - обратная матрица к матрице U. Формула наглядно показывает, что снижение собственной управляемости объекта управления 1 приводит к росту значений элементов матрицы U и, как следствие, матрицы обратных связей основного регулятора K, а также повышает чувствительность коэффициентов регулятора состояния 2 к вариациям параметров объекта управления 1. Поэтому при работе такой системы автоматического управления с фиксированными значениями коэффициентов регулятора состояния 2 в условиях вариаций параметров объекта управления 1 будут наблюдаться существенные изменения ее показателей качества, т.е. ухудшения робастных свойств.
Подобная закономерность проявляется и при использовании других методов настройки робастных систем с регулятором состояния 2, в частности, интервальных подходов и методов линейных матричных неравенств: снижение управляемости приводит к сужению области вариации параметров объекта управления 1, в пределах которой задача настройки робастной системы оказывается разрешимой.
Известен «Способ самонастройки системы управления объектом и устройство для его осуществления» (источник патент РФ №2304298, МПК G05B 13/00 (2006.01), год опубликования 2007), заключающийся в том, что подают управляющее воздействие на объект, определяют параметры модели объекта управления на основе его реакции на управляющее воздействие, вычисляют значения настраиваемых параметров системы управления, определяют численные характеристики входного и выходного сигналов объекта управления, по которым находят передаточную функцию модели объекта управления, формируют модель эталонной системы управления в виде передаточной функции на основе заданных показателей, а настраиваемые параметры системы управления определяют на основе передаточной функции модели объекта управления и передаточной функции модели эталонной системы управления итерационным путем в отношении структуры и параметров системы управления по показателям качества переходного процесса системы, при этом все преобразования сигналов осуществляются на основе вещественного интерполяционного метода.
Способ решает поставленные перед ним задачи, но, будучи построенным на релейном принципе работы, в некоторых случаях (например, при гармоническом виде возмущений) может привести к возникновению режима автоколебаний. Кроме этого способ теряет свою работоспособность при отсутствии возможности измерения вспомогательного параметра, который в данном случае должен быть представлен моментом нагрузки на валу двигателя электромеханической системы.
max
beg
end
Известен «Способ автоматической оптимальной импульсной настройки системы управления» (источник патент РФ №2384872, МПК G05B 13/00 (2006.01), год опубликования 2010), заключающийся в том, что осуществляют перевод системы управления в разомкнутый режим, на вход объекта подают пробный импульсный сигнал, измеряют параметры переходного процесса, определяют по ним параметры принятой модели объекта управления, затем определяют по параметрам модели оптимальные параметры настройки регулятора и переводят систему с оптимальными параметрами настройки в рабочий режим. В качестве пробного сигнала используется импульсный сигнал с настраиваемыми амплитудой, полярностью и длительностью. Определяются характерные точки переходного процесса, вызванного пробным сигналом. Такими точками принимаются: максимальное значение А модуля разности выхода объекта и его начального значения, момент времени T его достижения, момент времени T достижения модулем разности выхода объекта и его начального значения 5% уровня от его максимального значения А, а также момент времени T, в который значение модуля разности выхода объекта и его начального значения уменьшается до 70% уровня от его максимального значения. Параметры принятой модели объекта управления определяются по указанным характерным точкам с помощью вспомогательных функций. Оптимальная настройка регулятора производится по критерию максимальной степени устойчивости.
Использование способа решает поставленные задачи, но требует осуществления операции размыкания системы, что затрудняет техническую реализацию, снижает быстродействие. Кроме этого аналитические соотношения, связывающие корневые частотные и временные параметры системы, являются весьма приближенными, и поэтому настройка системы в отношении наиболее важных параметров - перерегулирования и быстродействия, является также весьма приближенной, что снижает точность способа. При необходимости оценить поведение системы управления при вариации параметров объекта управления потребуется большое число операций и вычислений.
Наиболее близким к заявляемому является известный способ автоматической настройки регулятора с оценкой потенциальной робастности (источник статья Бирюков Д.С., Дударенко Н.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Конструирование объекта управления. 4.1. // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. - №6. - С. 2-6), принятый за прототип, который заключается в том, что настройку производят с учетом функций чувствительности сингулярных чисел грамианов, что позволяет оценить насколько сингулярные числа зависят от вариации переменных параметров объекта. Последовательность осуществления предложенного способа включает формирование грамиана, соответствующего цели настройки с помощью уравнений Ляпунова для грамиана управляемости, грамиана наблюдаемости и кросс грамиана; формирование сингулярного разложения грамиана; построение матрицы чувствительности; вычисление функции чувствительности сингулярных чисел; формирование матрицы функции чувствительности сингулярных чисел грамиана и решение по ней задачи настройки согласно поставленным технологическим требованиям.
Основным недостатком способа, выбранного за прототип, является использование лишь качественной оценки его управляемости (наблюдаемости), что не связано непосредственно с решением проблемы настройки робастных систем автоматического управления. Способ не позволяет вести целенаправленное формирование структуры и расчет параметров систем с заданными робастными свойствами, не в полной мере учитывает ограничения реального объекта на выполнение структурных преобразований.
Все указанные способы преобразования объекта, использующие лишь качественную оценку его управляемости (наблюдаемости), не связаны непосредственно с решением проблемы настройки робастных систем автоматического управления. Они не позволяют вести целенаправленное формирование структуры и настройку параметров систем с заданными робастными свойствами, не в полной мере учитывают ограничения реального объекта на выполнение структурных преобразований.
В этих условиях становится актуальным поиск других, более эффективных в достижении робастных свойств способов структурно-параметрического настройки системы автоматического управления, одним из направлений которого является повышение степени управляемости исходного объекта с ориентацией на ее предельное значение, свойственное структурному представлению объекта в КФУ.
Технический результат предлагаемого изобретения заключается в повышении точности настройки систем автоматического управления и в обеспечении возможности настройки с учетом низкой параметрической чувствительности.
c
c
c
c
1
i
Такой результат достигается за счет того, что способ автоматической настройки регулятора, заключающийся в том, что при настройке формируют матрицу обратных связей А объекта управления, матрицу основного управляющего воздействия В объекта управления, матрицу выходов С объекта управления, задают требования к качеству управления в виде желаемого полинома D(s) и средне-геометрического корня, определяют интервалы изменения элементов матриц ΔА и ΔВ, а также формируют матрицу дополнительных каналов управления Е, вычисляют значение грамиана управляемости и выполняют его сингулярное разложение для получения диагональной матрицы управляемости Σ и матрицы преобразования грамиана управляемости к диагональной форме U, по полученным значениям Σ определяют количество сингулярных чисел  которые варьируют в процессе преобразования , которое должно соответствовать числу диполей объекта управления, а также предельную величину шага сканирования Δσ, определяют матрицу обратных связей основного регулятора состояния K при заданном полиноме D(s) и матрицах объекта А и В, определяют интервалы робастной устойчивости, принимают в качестве исходных скорректированных матрицы  формируют двоичную диагональную матрицу Е1, проверяют условие достижения заданной робастной устойчивости  при выполнении этого условия процедуру настройки робастной системы завершают, в противном случае выполняют увеличение сингулярных чисел грамиана управляемости на заданную величину, начиная с минимального  если в результате настройки соотношение  выполняется, то процесс настройки прекращают, дополняют тем, что если условие  не выполняется, то на основе текущих значений матрицы сингулярных чисел  проводят расчет скорректированных матриц  и , выполнив сингулярное разложение грамиана управляемости , корректируют полученные значения матрицы сингулярных чисел на заданную величину , а затем формируют двоичную диагональную матрицу Е, принимают исходные значения скорректированных матриц , определяют значения матрицы преобразования L, после этого корректируют матрицы , определив новое значение грамиана управляемости  для матриц , выполняют его сингулярное разложение, определяют значения  проверяют условия завершения вычислительного процесса:  или i>N и при выполнении одного из этих условий настройку объекта управления прекращают, в противоположном случае увеличивают величину i на единицу и повторяют процедуру настройки объекта управления, если настройка объекта завершена, выполняют расчет матрицы обратных связей основного регулятора  при заданном полиноме D(s), выполняют расчет интервалов робастной устойчивости  и , после чего вновь проверяют условие робастной устойчивости  после завершения процедуры настройки робастной системы автоматического управления выполняют расчет предрегулятора, для чего формируют матрицу прямого канала предрегулятора В' и матрицы обратных связей предрегулятора А', для настроенного таким образом объекта реализуют безынерционый регулятор состояния с ранее полученной матрицей обратных связей основного регулятора .
На фиг. 2 приведена структурная схема системы автоматического регулирования, поясняющая предложенный способ. Она представляет собой одноканальную систему управления с регулятором состояния 2. По сравнению с рассмотренной фиг. 1, здесь проведены следующие изменения. В состав системы введены блок прямого канала предрегулятора 10, блок обратных связей предрегулятора 11, блок дополнительных каналов управления 12, третий элемент сравнения 13 и четвертый элемент сравнения 14.
Как и для фиг. 1 на фиг. 2 приведены математические модели блоков, которые представляют собой с точки зрения теории автоматического управления матрицы, ставящие выходные параметров блоков в соответствие со входными воздействиями. Так, блок прямого канала предрегулятора 10 представлен матрицей прямого канала предрегулятора В', блок обратных связей предрегулятора 11 представлен матрицей обратных связей предрегулятора А', блок дополнительных каналов управления 12 представлен матрицей дополнительных каналов управления Е. При этом выход интегратора 4 подключен ко входу блока обратных связей предрегулятора 11, выход первого элемента сравнения 8 соединен со входом блока прямого канала предрегулятора 10, выход блока прямого канала предрегулятора 10 подключен к первому входу третьего элемента сравнения 13, второй вход которого соединен с выходом блока обратных связей предрегулятора 11, выход третьего элемента сравнения 13 через блок дополнительных каналов управления 12 соединен с первым входом четвертого элемента сравнения 14. Второй вход четвертого элемента сравнения 14 подключен к выходу блока основного управляющего воздействия 3, выход четвертого элемента сравнения 14 соединен ко второму входу второго элемента сравнения 9.
3
Здесь приняты следующие обозначения: s - переменная Лапласа; y, y - входной (задающий) и выходной сигналы; R - управляющее воздействие на объект управления 1; x - вектор координат состояния объекта; А - матрица обратных связей с размерностью n×n, В - матрица основного управляющего воздействия с размерностью n×1, С - матрица выходов объекта управления 1 с размерностью 1×n, где n - порядок объекта управления 1; K - матрица обратных связей основного регулятора состояния 2.
Пусть имеется возможность корректировать параметры объекта управления 1 путем введения дополнительных связей по координатам, заданным матрицей дополнительных каналов управления Е, причем глубина этих связей определяется матрицами А' и В' соответствующих размерностей n×n и n×1.
Векторно-матричное описание объекта управления 1 имеет вид
y=С⋅x,
причем матрицы А и В носят интервальный характер.
o
Будем проводить настройку робастной системы с регулятором состояния 2 методом модального управления при номинальных значениях элементов матриц объекта управления 1: А, В и С. При этом динамические свойства системы автоматического управления формируются путем выбора желаемого полинома D(s) передаточной функции замкнутой системы при среднегеометрическом корне Ω.
Требуется настроить робастную систему автоматического управления, сохраняющую устойчивость при вариации элементов матриц объекта управления в заданных интервалах А+ΔА и В+ΔB. Положим, что данный объект управления 1 обладает свойством управляемости, а интервальная матрица обратных связей А является гурвицевой, что обеспечивает возможность вычисления грамианов.
Будем решать задачу путем повышения степени управляемости объекта управления 1 за счет преобразования подобия матриц А, В и С, приближающего структуру объекта к КФУ. При этом для определения матрицы преобразования координатного базиса объекта используем математический аппарат грамианов управляемости и их сингулярного разложения.
c
o
Рассмотрим вначале возможность преобразования структуры объекта управления 1 с целью повышения его управляемости. Для этого предлагается использовать математический аппарат грамианов управляемости G и наблюдаемости G, которые определяются выражениями:
где t - время, Т - знак транспонирования матрицы. Для одномерного объекта грамианы представляют собой матрицы размерностью n×n.
Анализ грамианов позволяет судить об управляемости, наблюдаемости и вырожденности объекта управления 1, представленного в векторно-матричной форме, причем для количественной оценки системных свойств используется процедура сингулярного разложения, приводящая грамианы к виду:
c
c1
c2
cn
o
o1
o2
on
c
o
c
o
c n
o n
где Σ=diag{σ, σ, …, σ}, Σ=diag{σ, σ, …, σ} - диагональные матрицы управляемости и наблюдаемости соответственно, состоящие из сингулярных чисел грамианов управляемости (σ) и наблюдаемости (σ), выстроенных в порядке убывания; U - матрица преобразования грамиана управляемости к диагональной форме: V - матрица преобразования грамиана наблюдаемости к диагональной форме. Относительно малые значения сингулярных чисел грамианов являются признаком плохой управляемости или наблюдаемости координат состояния объекта управления 1. Равенство хотя бы одного из них нулю свидетельствует о вырождении объекта управления 1 с потерей управляемости при σ=0 или наблюдаемости при σ=0.
В качестве альтернативной оценки управляемости и наблюдаемости удобно использовать норму матрицы преобразования координат объекта управления 1 из канонической формы управляемости (КФУ) в исходный координатный базис  и норму матрицы преобразования координат объекта управления 1 из канонической формы наблюдаемости (КФН) в исходный координатный базис :
ij
ij
где u и ν - элементы матриц преобразования координат  и  находящиеся на пересечении строки i и столбца j;  и V - матрицы наблюдаемости объекта управления 1 в КФН и в координатах объекта управления 1. Преимущество этих показателей заключается в том, что по мере приближения объекта к КФУ и КФН соответствующие значения  и  стремятся к единице.
Помимо проведения системного анализа, математический аппарат грамианов позволяет решать и обратные задачи, то есть формировать математические модели объектов с заданным соотношением степени управляемости и наблюдаемости. Примером таких задач является получение сбалансированной формы объекта с одинаковой управляемостью и наблюдаемостью, для которой соответствующие грамианы совпадают.
Подобный подход, основанный на целенаправленном изменении сингулярных чисел грамиана управляемости с последующим вычислением скорректированной матрицы обратных связей , скорректированной матрицы основного управляющего воздействия  и скорректированной матрицы выходов , может применяться для формирования структуры с более высокой степенью управляемости, обеспечивающей в дальнейшем успешное решение задачи настройки робастной системы с регулятором состояния 2. В дальнейшем описании символ «^» над обозначением будет указывать на скорректированный параметр, уже использованный без этого символа ранее.
Основная идея преобразования структуры объекта управления 1 для его настройки заключается в том, что для исходной матричной модели принудительно увеличивают значения сингулярных чисел грамиана управляемости: . Затем определяют матрицы ,  и скорректированную матрицу преобразования грамиана управляемости к диагональной форме  преобразованной модели объекта путем решения интегрального уравнения:
Математически строго уравнение (2) решается при условии идентичности передаточных функций исходной и преобразованной моделей объекта:
где L - матрица преобразования размером n×n. В этом случае матрицы , , и  модели объекта в новой системе координат определяются путем преобразования подобия:
Выражение для матрицы преобразования L может быть получено на основе первого из уравнений (3), а также сингулярного разложения грамиана управляемости (1) в исходной и преобразованной системе координат,  соответственно:
, откуда следует
c
причем матрица преобразования грамиана управляемости к диагональной форме U в данном случае не меняется: , что позволяет при настройке минимизировать изменение структуры объекта управления 1.
Предлагаемые преобразования физически реализуются путем изменения параметров объекта управления 1 или введения в его структуру дополнительных прямых и обратных связей (фиг. 2), то есть выполняется синтез своего рода «предрегулятора» по формулам:
где В' и А' - матрица прямого канала предрегулятора и матрица обратных связей предрегулятора соответственно, дополнительно вводимых в объект управления 1.
Менять структуру матрицы С в реальном объекте целесообразно только в тех случаях, когда требуется идентичность передаточных функций исходной и преобразованной структур, так как эта матрица не фигурирует в уравнениях настройки и не влияет на значения параметров безинерционного регулятора состояния 2.
Вместе с тем, далеко не всегда дополнительные связи могут быть введены в структуру реального объекта управления 1. Поэтому представляет интерес решение интегрального уравнения (2) при определенных ограничениях, наложенных на изменение матриц А и В или отдельных элементов этих матриц.
c
c
Как показывают анализ (2), если снять ограничение на изменение матрицы U, то для получения заданного распределения сингулярных чисел Σ достаточно варьировать только часть строк матриц А и В, что упрощает реализацию корректирующих связей в структуре системы автоматического управления при ее настройке. Для осуществления данного подхода предлагается модифицировать формулы (4) и (5) таким образом, чтобы получить возможность выполнять преобразование матриц итерационным методом, с использованием двоичных масок:
1
где i - номер итерации; E=I-Е - двоичная диагональная матрица, в которой единицы соответствуют неизменным строкам матриц А и В; I - единичная матрица;  и  - текущие значения матриц, полученные при сингулярном разложении грамиана  вычисленного для  После каждой итерации вычисляется новое значение грамиана и выполняется его сингулярное разложение:
i
В этом случае решение уравнения (2) при заданном векторе сингулярных чисел  и переменной скорректированной матрице преобразования грамиана управляемости к диагональной форме  может быть найдено при помощи итерационной процедуры, в каждом цикле которой вычисляется новое значение матрицы преобразований L по формуле (9) и выполняется преобразование матриц  по формулам (7) и (8).
На фиг. 3 приведен алгоритм настройки робастной системы управления, на фиг. 4 изображен алгоритм преобразования структуры объекта управления, на фиг. 5 приведена структурная схема системы автоматического управления, настроенная по предлагаемому способу. Все буквенно-цифровые обозначения, использованные на фиг. 5 соответствуют буквенно-цифровым обозначениям, которые были применены для фиг. 2. На фиг. 6 указаны диаграммы сингулярных чисел грамианов управляемости и наблюдаемости в исходной (а) и скорректированной (б) формах, а также КФУ (в), полученных при настройке системы управления, выбранной для примера. Для этой же системы на фиг. 7 указаны зоны робастной устойчивости вариантов систем управления с регулятором состояния для различных структур объекта управления, на фиг. 8 приведен вид переходных характеристик настраиваемой системы управления с регулятором состояния для исходной (а) и преобразованной по результатам настройки (б) структур объекта управления.
Способ осуществляют следующим образом. Процедура настройки робастных систем управления с регуляторами состояния, включающая в себя этапы преобразования матричной модели объекта управления 1 и настройки основного регулятора состояния 2 методом модального управления приведена на фиг. 3. Поскольку аналитически определить зависимость между сингулярными числами грамиана управляемости и интервалами робастной устойчивости матриц объекта управления 1 в системе управления с регулятором состояния 2 затруднительно, предлагается итерационный алгоритм настройки робастной системы автоматического управления. При этом этапы коррекций сингулярных чисел грамиана управляемости, вычисления соответствующих матриц объекта управления 1  и настройки регулятора состояния 2 повторяются циклически вплоть до получения заданных интервалов робастной устойчивости системы.
o
На предварительном этапе настройки (блок 1) формируют матрицы объекта управления 1 А, В и С, задают требования к качеству управления в виде желаемого полинома D(s) и средне-геометрического корня Ω. Кроме того, на основе имеющейся информации об объекте управления 1 определяют интервалы изменения элементов матриц ΔА и ΔВ, а также формируют матрицу дополнительных каналов управления Е.
c
c
c
c
c
Затем (блок 2) вычисляют значение грамиана управляемости G и выполняют его сингулярное разложение (1) для получения диагональной формы Σ и матрицы U. По полученным значениям Σ определяют количество сингулярных чисел  варьируемых в процессе преобразования  которое должно соответствовать числу точек вырождения (диполей) объекта управления 1, а также величину шага сканирования Δσ.
1
Далее (блок 3) выполняют расчет матрицы обратных связей основного регулятора состояния K при заданном полиноме D(s) и матрицах объекта А и В методом модального управления, определяют интервалы робастной устойчивости . После выполнения указанных действий принимают в качестве исходных матрицы  формируют двоичную диагональную матрицу Е.
На первом этапе итерационной процедуры проверяется условие достижения заданной робастности системы:  (блок 4). При выполнении этого условия процедура настройки робастной системы завершается, задача считается решенной.
В противном случае выполняется коррекция (увеличение) сингулярных чисел грамиана управляемости на заданную величину, начиная с минимального:  (блок 5). Если в результате настройки при некотором k=n-1, n-2, …,  условие ранжирования  нарушается, увеличивают следующее по порядку сингулярное число: , принимая
Затем проверяется условие достижения варьируемыми сингулярными числами граничного значения (блок 6), при выполнении которого процесс настройки прекращается, выдается соответствующее сообщение (блок 16). Если условие завершения не выполняется, то на основе новых значений сингулярных чисел  проводится расчет матриц скорректированной модели объекта управления  (блок 7) путем решения интегрального уравнения (2), которое осуществляется рассмотренным выше порядком, приведенным на фиг. 4 и заключается в преобразовании параметров объекта управления 1. При этом производят следующие действия.
1
Выполнив сингулярное разложение грамиана управляемости  корректируют полученные сингулярные числа на заданную величину а затем формируют двоичную диагональную матрицу Е. Принимают исходные значения преобразуемых матриц  Эти операции приведены на фиг. 4 в блоке 8.
i
i
Следующий этап (блок 9) - вычисление значения матрицы преобразования L для текущего номера итерации i по формуле (9). После этого вычисляют (блок 10) скорректированные матрицы  с использованием L по формулам (7) и (8). Вычислив новое значение грамиана управляемости  для матриц  и  выполняют его сингулярное разложение (блок 11) и определяют значения . Далее проверяют условие завершения вычислительного процесса:  где δ - малое положительное число или i>N, где N - максимальное число итераций (блок 12). При выполнении одного из этих условий вычисления прекращаются. В противоположном случае увеличивают величину i на единицу (блок 13) и выполняют переход к блоку 9 с повторением процедуры.
Можно показать, что аналогичная итерационная процедура позволяет получить решение уравнения (2) при заданной диагональной матрице  путем вариации части строк матрицы А в соответствии с выражением (7) при неизменной матрице В объекта управления 1, обладающего свойством управляемости. В этом случае блок 10 предложенного алгоритма выполняет преобразование только матрицы  по формуле (7), значение В остается прежним, в остальном вычислительная процедура не меняется.
1
При решении задачи структурно-параметрического настройки робастной САУ следует стремиться минимизировать количество вводимых в объект управления дополнительных связей. Выбор каналов управления и формирование матриц Е и E осуществляется с учетом физических особенностей объекта, причем на начальном этапе осуществляется вариация всех тех элементов матриц А и В, для которых технически возможно введение корректирующих связей в структуру реальной системы.
На втором этапе итерационной процедуры (блок 14) выполняют расчет скорректированной матрицы обратных связей основного регулятора состояния  при заданном полиноме D(s) для скорректированной модели объекта (матриц ) методом модального управления.
Затем (блок 15) для настраиваемой системы управления с регулятором состояния 2 выполняют расчет интервалов робастной устойчивости  одним из известных методов, например D - разбиения или регулярного сканирования, после чего вновь проверяют условие робастной устойчивости (блок 4). Итерационная процедура может повторяться многократно вплоть до получения заданных интервалов робастной устойчивости.
После завершения процедуры настройки системы автоматического управления по формулам (6) выполняется расчет предрегулятора, корректирующего системные свойства объекта управления 1, формируются матрица прямого канала предрегулятора В' и матрица обратных связей предрегулятора А' (блок 17). Для скорректированного таким образом объекта управления 1 реализуется регулятор состояния с ранее полученной матрицей коэффициентов  (блок 18).
В случае, когда проводимые настройки структуры объекта управления 1 не приводят к желаемому результату (блок 16), можно рекомендовать коррекцию требований к показателям качества системы автоматического управления (блок 1) или использование большего количества сингулярных чисел (блок 2) грамиана управляемости.
Относительно перспектив практического применения и эффективного использования предложенного способа можно, в частности, отметить следующее. Плохая управляемость объектов во многих случаях обусловливается наличием в их структурах параллельных каналов, содержащих динамические звенья с близкими полюсами. Однако такие многоканальные структуры обычно имеют возможности независимого воздействия на отдельные каналы, что создает реальные условия для повышения степени управляемости указанных объектов и улучшения робастных свойств систем автоматического управления, настраиваемых изложенным способом.
Приведенный алгоритм настройки регулятора подтверждает возможность автоматизации процесса выбора различных параметров регулятора состояния 2 и объекта управления 1 при минимальном количестве ручных операций. Технически настройка осуществляется путем организации структуры системы с возможностью изменять параметры объекта управления 1 за счет введения блока прямого канала предрегулятора 10, блока обратных связей предрегулятора 11, блока дополнительных каналов управления 12, третьего элемента сравнения 13 и четвертого элемента сравнения 14. Изменяя параметры регулятора состояния 2, блока прямого канала предрегулятора 10, блока обратных связей предрегулятора 11, блока дополнительных каналов управления 12 (выполненных технически в виде аналоговых или цифровых узлов и блоков) по предложенному алгоритму удается автоматически настроить регулятор на заданные показатели.
1
2
1
2
1
2
Рассмотрим пример настройки в соответствии с предложенным алгоритмом робастной системы с регулятором состояния 2 на примере электромеханического объекта управления 1, представляющего собой два канала электропривода, работающие на общую массу (фиг. 5). Примем следующие параметры объекта управления: b=3, b=1, Т=0.25; коэффициенты q и q носят интервальный характер: q=2±1, q=3±1.5.
1
2
3
Рассматриваемый двухканальный объект управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений в координатах состояния x, x и x
3
y=x,
где r(s) и r'(s) - сигналы основного и вспомогательного каналов управления объектом.
Представив дифференциальные уравнения в векторно-матричной форме, получим описание объекта управления общего вида с матрицами
Примем в качестве желаемого D(s) синтезируемой системы полином Ньютона 3-го порядка при Ωo=7.5 рад/с, что отвечает заданным требованиям к быстродействию системы автоматического управления.
Реализуемая средствами комплекса MatLab 7.x процедура вычисления грамиана управляемости с последующим сингулярным разложением для объекта управления дает следующие результаты:
c3
o3
Соответствующие диаграммы нормированных сингулярных чисел грамианов управляемости Gc и наблюдаемости Go для объекта управления приведены на фиг. 6а. Относительно малые значения сингулярных чисел σ и σ свидетельствуют о тенденции к вырождению с потерей как управляемости, так и наблюдаемости. Значения норм матриц преобразования координат  для объекта управления подтверждают указанную тенденцию.
Как следствие, полученная при заданных D(s) и Ωo матрица обратных связей основного регулятора состояния
K=[-32.017+82.550+21.437]
1
2
не удовлетворяет условиям параметрической грубости, поскольку интервалы робастной устойчивости для параметров объекта q и q не соответствуют требованиям к системе управления (фиг. 7а).
Будем настраивать системные свойства объекта управления при помощи матрицы обратных связей предрегулятора А', приняв матрицу прямого канала предрегулятора В'=0 в целях упрощения структуры предрегулятора (фиг. 5).
Применяя предложенный метод настройки для повышения управляемости объекта управления, удается решить задачу синтеза робастной системы автоматического управления путем вариации 2-й строки матрицы А и получить технически реализуемую структуру, приняв
В соответствии с условием (блок 4 фиг. 3) выполняется коррекция сингулярных чисел грамиана управляемости (блок 5 фиг. 3):
после чего (блок 7 фиг. 3) вычисляется скорректированная матрица  путем решения интегрального уравнения:
Расчет скорректированной матрицы обратных связей основного регулятора состояния 2 для преобразованной структуры объекта управления (блок 14 фиг. 3) дает результат:
Расчет интервалов робастной устойчивости (блок 15 фиг. 3) показывает, что полученная структура отвечает требованиям к параметрической грубости системы управления объектом управления 1 (фиг. 7б). Этот результат достигается за счет введения минимального количества корректирующих связей по 2-му управляющему входу объекта.
Настроенная структура робастной системы управления объектом управления приведена на фиг. 5, полученные параметры предрегулятора:
Анализ диаграмм сингулярных чисел, приведенных на фиг. 6б, показывает, что после коррекции объект управления приблизился по своим системным свойствам к КФУ (сингулярные числа объекта, представленного в КФУ, приведены на фиг. 6в). Это подтверждается также значениями норм матриц преобразования координат:  и
2
2
Переходные характеристики систем управления с регулятором состояния для исходной структуры объекта управления приведены на фиг. 8а, для преобразованной структуры - на фиг. 8б, где кривая I соответствует номинальным параметрам объекта, кривые II и III - отклонению параметра q на величину ±0,5q.
Таким образом, предложенный способ предоставляет разработчикам возможность вести целенаправленную структурно-параметрическую настройку систем автоматического управления в соответствии с требованиями обеспечения как традиционных показателей качества, так и низкой параметрической чувствительности.
Предложенный способ автоматической настройки регулятора позволяет улучшить точность настройки систем автоматического управления и обеспечить возможность настройки с учетом низкой параметрической чувствительности.